О многообразиях полугрупп, на свободных объектах которых почти все вполне инвариантные конгруэнции слабо перестановочны

Алгебра и логика, 43, N 6 (2004), 635—649

УДК 512.532.2

О МНОГООБРАЗИЯХ ПОЛУГРУПП, НА СВОБОДНЫХ ОБЪЕКТАХ КОТОРЫХ ПОЧТИ ВСЕ ВПОЛНЕ ИНВАРИАНТНЫЕ КОНГРУЭНЦИИ СЛАБО ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ∗) Б. М. ВЕРНИКОВ

В универсальной алгебре значительное внимание уделяется рассмотрению конгруэнц-перестановочных и слабо конгруэнц-перестановочных многообразий, т. е. многообразий, на всех алгебрах которых любые две конгруэнции α и β, соответственно, перестановочны (удовлетворяют равенству αβ = βα) или слабо перестановочны (удовлетворяют равенству αβα = βαβ). Важность этих классов многообразий в немалой степени определяется тем, что конгруэнц-перестановочными являются все многообразия групп и колец. Применительно к многообразиям еще одного классического типа алгебр — полугрупп — условия конгруэнц-перестановочности и слабой конгруэнц-перестановочности оказываются слишком жесткими и существенного интереса не представляют. Имеется в виду, что многообразие полугрупп слабо конгруэнц-перестановочно тогда и только тогда, когда оно состоит из периодических групп (это легко вытекает из результатов работы [1] и является частным случаем результатов, полученных в [2]; для ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 01-01-00258, и межвузовской научной программы ”Университеты России — фундаментальные исследования“ Министерства образования Российской Федерации, проект N 04.01.059.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2004

636

Б. М. Верников

конгруэнц-перестановочных многообразий аналогичный факт был доказан раньше в [3]). Однако, условия конгруэнц-перестановочности и слабой конгруэнцперестановочности можно естественным образом ослабить, потребовав выполнения соответствующих равенств не для всех конгруэнций на всех полугруппах из многообразия, а только для вполне инвариантных конгруэнций на полугруппах, свободных в многообразии. Как видно из [4, 5], такого рода ослабленным условиям удовлетворяют обширные и важные классы полугрупповых многообразий. В [4—6] и ряде более ранних работ, посвященных тождествам в решетках многообразий полугрупп, была выявлена важная роль многообразий, на свободных объектах которых перестановочны или слабо перестановочны не все вполне инвариантные конгруэнции, а только те, которые содержатся в наименьшей полурешеточной конгруэнции (т. е. наименьшей конгруэнции, фактор-полугруппа по которой является полурешеткой). Многообразия полугрупп, на всех свободных объектах которых любые две вполне инвариантные конгруэнции (содержащиеся в наименьшей полурешеточной конгруэнции) перестановочны, называются (почти) f iперестановочными, а многообразия полугрупп, на всех свободных объектах которых любые две вполне инвариантные конгруэнции (содержащиеся в наименьшей полурешеточной конгруэнции) слабо перестановочны, — (почти) слабо f i-перестановочными. Условия почти f i-перестановочности и почти слабой f i-перестановочности, вообще говоря, не наследуются подмногообразиями (см. [7, пример 2.10]), в отличие от условий f i-перестановочности и слабой f iперестановочности, наследственность которых вытекает из простых соображений (см. [7, лемма 1.1]). Многообразия, все подмногообразия которых почти (слабо) f i-перестановочны, будут называться наследственно почти (слабо) f i-перестановочными. Отметим, что свободные объекты подмногообразий многообразия V — это в точности относительно свободные полугруппы, принадлежащие V. Поэтому наследственная почти (слабая) f iперестановочность многообразия V эквивалентна тому, что на всех отно-

О многообразиях полугрупп

637

сительно свободных полугруппах из V (а не только на V-свободных полугруппах) любые две вполне инвариантные конгруэнции, содержащиеся в наименьшей полурешеточной конгруэнции, (слабо) перестановочны. Описание f i-перестановочных и наследственно почти f i-перестановочных многообразий полугрупп получено в [7], а почти f i-перестановочных многообразий — в [8]. Автор получил описание слабо f i-перестановочных многообразий, но в полном объеме этот результат пока не опубликован; различные его частные случаи можно найти в [9, 10]. Напомним, что многообразие полугрупп называется вполне регулярным, если оно состоит из вполне регулярных полугрупп (т. е. объединений групп). Аналогично, многообразие называется вполне простым, если оно состоит из вполне простых полугрупп, и нильмногообразием, если оно состоит из нильполугрупп. Многообразием полугрупп с вполне регулярным квадратом называется многообразие, квадрат всякой полугруппы которого является вполне регулярной полугруппой. Говорят, что многообразие полугрупп V имеет индекс n, если все нильполугруппы из V нильпотентны ступени, не превосходящей n, где n — наименьшее число с таким свойством. Ясно, что вполне регулярные многообразия — это в точности многообразия индекса 1. При помощи простых рассуждений можно установить, что всякое почти слабо f i-перестановочное многообразие полугрупп имеет модулярную решетку подмногообразий (см. лемму 3 ниже). Из этого факта и результатов [11—14] вытекает, что всякое почти слабо f i-перестановочное многообразие либо имеет индекс, не превосходящий 2, либо близко к нильмногообразиям. Из результатов работы [10] непосредственно вытекает описание слабо f i-перестановочных многообразий индекса, не превосходящего 2. В данной работе описаны почти слабо f i-перестановочные и наследственно почти слабо f i-перестановочные многообразия полугрупп индекса, не превосходящего 2. Как обычно, через var Σ обозначается многообразие полугрупп, за-

638

Б. М. Верников

данное системой тождеств Σ. Положим SL = var {x2 = x, xy = yx};

ZM = var {xy = 0}; ← − P = var {xy = x2 y, x2 y 2 = y 2 x2 }; P = var {xy = xy 2 , x2 y 2 = y 2 x2 }.

Символами ∨ и ∧ будут обозначаться, соответственно, объединение и пересечение в решетке всех многообразий полугрупп и в решетках конгруэнций. ТЕОРЕМА 1. Пусть V — многообразие полугрупп индекса, не превосходящего 2. Многообразие V почти слабо f i-перестановочно тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий: 1) V — вполне простое многообразие; 2) V — многообразие полугрупп с вполне регулярным квадратом, содержащее SL; 3) V = A ∨ X, где A — многообразие периодических абелевых групп, ← − а X — одно из многообразий P и P ; 4) V = ZM. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Н е о б х о д и м о с т ь. Если V + SL, то наименьшей полурешеточной конгруэнцией на всякой V-свободной полугруппе является универсальное отношение. Следовательно, справедлива ЛЕММА 1. Если V — почти (слабо) f i-перестановочное многообразие полугрупп, причем V + SL, то V (слабо) f i-перестановочно. ЛЕММА 2 [10]. Всякое слабо f i-перестановочное многообразие полугрупп является либо вполне регулярным многообразием, либо нильмногообразием. Пусть V — произвольное почти слабо f i-перестановочное многообразие полугрупп индекса, не превосходящего 2. Предположим сначала, что V + SL. В силу леммы 1, V слабо f i-перестановочно. Из леммы 2 вытекает, что V либо вполне регулярно, либо является нильмногообразием. Ясно, что во втором случае V = ZM, т. е. выполняется условие 4 теоремы 1. Пусть V вполне регулярно. В силу основного результата из [10] оно является либо вполне простым многообразием, либо многообразием полурешеток групп. Всякое многообразие полурешеток групп, не содержащее

О многообразиях полугрупп

639

SL, является многообразием периодических групп, следовательно, в обоих случаях выполняется условие 1 теоремы 1. Далее при доказательстве необходимости условий теоремы 1 можно считать, что V ⊇ SL. Как обычно, через L(V) будет обозначаться решетка подмногообразий многообразия V. ЛЕММА 3. Если многообразие полугрупп V почти слабо f i-перестановочно, то решетка L(V) модулярна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Многообразие SL является нейтральным элементом решетки всех многообразий полугрупп (это легко вытекает, например, из [15]). Следовательно, решетка L(V) вкладывается в прямое произведение 2-элементной решетки L(SL) и интервала [SL ∧ V, V] решетки L(V). Достаточно убедиться в модулярности интервала [SL ∧ V, V]. Этот интервал антиизоморфен решетке всех вполне инвариантных конгруэнций на V-свободной полугруппе счетного ранга, содержащихся в наименьшей полурешеточной конгруэнции на этой полугруппе. В силу результатов Йонссона [16] (см. также [17, § IV.4]) всякая решетка, представимая слабо перестановочными отношениями эквивалентности, модулярна. Поскольку тождество модулярности самодвойственно, интервал [SL ∧ V, V] модулярен. 2

← − Положим Q = var {xy = x2 y, xyz 2 = yxz 2 , xyx = yx2 }, Q = var {xy =

= xy 2 , x2 yz = x2 zy, xyx = x2 y}. Из результатов [13] (см. также [14]) непосредственно вытекает ЛЕММА 4. Если V — многообразие полугрупп индекса, не превосходящего 2, и решетка L(V) модулярна, то имеет место один из следующих случаев: 1) V — многообразие полугрупп с вполне регулярным квадратом; 2) V = D ∨ E, где D — одно из многообразий P и Q, а E — вполне регулярное многообразие; ← − ← − 2′ ) V = D′ ∨ E′ , где D′ — одно из многообразий P и Q , а E′ — вполне регулярное многообразие. Поскольку V ⊇ SL, в случае 1 выполняется условие 2 теоремы 1. Про-

640

Б. М. Верников

верим, что в случаях 2 и 2′ выполняется условие 3 этой теоремы. По соображениям симметрии достаточно доказать, что, в случае 2, V = A ∨ P, где A — многообразие периодических абелевых групп. Обозначим через F абсолютно свободную полугруппу счетного ранга. Непосредственно проверяется следующая ЛЕММА 5. Пусть V — многообразие полугрупп такое, что V ⊇ ⊇ SL, а ν и σ — вполне инвариантные конгруэнции на F , отвечающие многообразиям V и SL соответственно. Многообразие V почти (слабо) f i-перестановочно тогда и только тогда, когда любые две вполне инвариантные конгруэнции на F , содержащие ν и содержащиеся в σ, (слабо) перестановочны. Для всякого слова u ∈ F , c(u) будет обозначать множество всех букв, входящих в запись u, t(u) — последнюю букву в записи u, ℓ(u) — длину слова u, а ℓx (u) (соответственно, ℓi (u)) — число вхождений буквы x (соответственно, xi ) в слово u. Через ≡ обозначается отношение равенства на F . Для всякого натурального n > 1 под An понимается многообразие всех абелевых групп экспоненты n. Нам понадобится следующая лемма, пп. 1—3 которой хорошо известны и легко проверяются, п. 4 доказан в [18]. ЛЕММА 6. Тождество u = v выполняется 1) в многообразии An тогда и только тогда, когда ℓx (u) − ℓx (v) делится на n для всякой буквы x; 2) в многообразии SL тогда и только тогда, когда c(u) = c(v); 3) в многообразии ZM тогда и только тогда, когда либо u и v — одна и та же буква, либо ℓ(u), ℓ(v) > 2; 4) в многообразии P тогда и только тогда, когда c(u) = c(v) и либо ℓt(u) (u), ℓt(v) (v) > 1, либо ℓt(u) (u) = ℓt(v) (v) = 1 и t(u) ≡ t(v). Пусть теперь V = D ∨ E, где D — одно из многообразий P и Q, а E — вполне регулярное многообразие. Хорошо известно, что всякое многообразие периодических полугрупп X содержит наибольшее вполне регулярное подмногообразие, которое обозначим через CR(X). Без ограничения общности можно считать, что E = CR(V). Кроме того, V ⊇ D ⊇ P ⊇ SL, и

О многообразиях полугрупп

641

потому E ⊇ SL. Обозначим через ρ и ε вполне инвариантные конгруэнции на F , отвечающие многообразиям P и E соответственно. В силу леммы 5 конгруэнции ρ и ε слабо перестановочны. Ясно, что P ∧ E = CR(P) = SL. По п. 2 леммы 6, (u, v) ∈ ρ ∨ ε тогда и только тогда, когда c(u) = c(v), в частности, (xy, yx) ∈ ρ ∨ ε = ρερ. Значит, xy ρ u ε v ρ yx для некоторых слов u, v ∈ F , в частности, xy = u в P. В силу п. 4 леммы 6, c(u) = {x, y}, t(u) ≡ y и ℓy (u) = 1, следовательно, u ≡ xn y для некоторого натурального n. Аналогично, v ρ yx влечет v ≡ y m x для некоторого натурального m. Тогда в многообразии E выполняется тождество xn y = y m x,

(1)

поэтому E не содержит ни многообразия всех полугрупп левых нулей LZ, ни многообразия всех полугрупп правых нулей RZ. Из следующей леммы (которая хорошо известна, см., напр., [19, 20]) вытекает, что E = A ∨ SL, где A — некоторое многообразие периодических групп. ЛЕММА 7. Если вполне регулярное многообразие полугрупп не содержит многообразий LZ и RZ, то оно является либо групповым многообразием, либо объединением группового многообразия и многообразия SL. Тождество (1) выполняется в любой группе из V. Подставляя в это тождество 1 сначала вместо x, а затем вместо y, получаем, что любая группа из V удовлетворяет тождествам y = y m и xn = x, а значит, и тождеству xy = yx. Следовательно, A — многообразие периодических абелевых групп. Учитывая RZ ⊆ Q и RZ * A ∨ SL = E = CR(V), получаем, что Q * V. Следовательно, D = P, и потому V = D ∨ E = P ∨ A ∨ SL = A ∨ P. Д о с т а т о ч н о с т ь. В [4, 5] независимо доказано, что если многообразие полугрупп удовлетворяет условию 1 теоремы 1, то оно f i-перестановочно, а в [6] установлено, что многообразия, удовлетворяющие условию 2 этой теоремы, почти слабо f i-перестановочны. Случай, когда выполняется условие 4, очевиден: решетка L(ZM) является 2-элементной цепью, и потому на всякой ZM-свободной полугруппе любые две вполне инвари-

642

Б. М. Верников

антные конгруэнции сравнимы по включению, а значит, и перестановочны. Осталось рассмотреть случай, когда V удовлетворяет условию 3 доказываемой теоремы. По соображениям симметрии можно считать, что V = A ∨ P, где A — многообразие периодических абелевых групп. ЛЕММА 8 [7]. Многообразие P наследственно почти f i-перестановочно. В силу леммы 8 далее будем считать, что многообразие A нетривиально, т. е. A = An для некоторого натурального n > 1. Нам понадобится также следующая ЛЕММА 9 [4, 5]. Всякое вполне регулярное многообразие полугрупп почти f i-перестановочно. Положим K = CR(An ∨ P). Многообразие An ∨ P удовлетворяет тождествам xn+1 y = xy,

(2)

xn+1 y n+1 = y n+1 xn+1 .

(3)

Тождество (3) показывает, что K не содержит многообразий LZ и RZ. В силу леммы 7, K = G ∨ SL, где G — наибольшее групповое подмногообразие многообразия V. Подставляя 1 вместо y в (2), получаем, что экспонента многообразия G делит n. С учетом (3) отсюда вытекает, что G абелево. Следовательно, G ⊆ An . Обратное включение очевидно, и потому G = An . Итак, K = An ∨ SL. Известно, что L(An ∨ SL) ∼ = L(An ) × L(SL) (это вытекает, напр., из [15]). Следовательно, всякое вполне регулярное подмногообразие многообразия V, содержащее SL, имеет вид G ∨ SL, где G ⊆ An . Обозначим через T тривиальное многообразие. В силу [13, лемма 15] всякое подмногообразие многообразия An ∨ P имеет вид X ∨ Y, где X — вполне регулярное многообразие, а Y — одно из многообразий T, ZM и P. Итак, всякое подмногообразие многообразия V, содержащее SL, является многообразием одного из следующих шести типов (где G — некоторое нетривиальное подмногообразие многообразия An ): SL, G ∨ SL, ZM ∨ SL, P, G ∨ ZM ∨ SL, G ∨ P.

О многообразиях полугрупп

643

Пусть α и β — вполне инвариантные конгруэнции на полугруппе F , отвечающие некоторым подмногообразиям многообразия V, содержащим SL. В силу леммы 5 достаточно показать, что α и β слабо перестановочны. Можно считать, что α и β несравнимы в решетке всех вполне инвариантных конгруэнций на F . Обозначим через ρ, σ и µ вполне инвариантные конгруэнции на полугруппе F , отвечающие многообразиям P, SL и ZM соответственно. Возможны следующие девять случаев (через γ, γ1 и γ2 всюду ниже обозначаются вполне инвариантные конгруэнции на F , отвечающие нетривиальным подмногообразиям многообразия An ): 1) α = γ1 ∧ σ, а β = γ2 ∧ σ; 2) α = γ ∧ σ, а β = µ ∧ σ; 3) α = γ ∧ σ, а β = ρ; 4) α = γ1 ∧ σ, а β = γ2 ∧ µ ∧ σ; 5) α = γ1 ∧ σ, а β = γ2 ∧ ρ; 6) α = ρ, а β = γ ∧ µ ∧ σ; 7) α = γ1 ∧ µ ∧ σ, а β = γ2 ∧ µ ∧ σ; 8) α = γ1 ∧ µ ∧ σ, а β = γ2 ∧ ρ; 9) α = γ1 ∧ ρ, а β = γ2 ∧ ρ. Пусть u, v ∈ F и (u, v) ∈ α ∨ β. Достаточно убедиться в том, что (u, v) ∈ αβα и (u, v) ∈ βαβ. Поскольку α, β ⊆ σ и по п. 2 леммы 6, c(u) = = c(v), и если ℓ(u) = ℓ(v) = 1, то u ≡ v. Без ограничения общности можно считать, что ℓ(u) > 2. С л у ч а й 1: α = γ1 ∧ σ, а β = γ2 ∧ σ. Конгруэнции α и β перестановочны в силу лемм 5 и 9. С л у ч а й 2: α = γ ∧ σ, а β = µ ∧ σ. Если ℓ(v) > 2, то, в силу п. 3 леммы 6, u µ v и потому u β v, т. е. можно считать, что ℓ(v) = 1. Тогда v ≡ x и u ≡ xk для некоторых буквы x и натурального k > 1. Следовательно, u β xn+1 α v, т. е. (u, v) ∈ βα. С л у ч а й 3: α = γ ∧σ, а β = ρ. Пусть x — произвольная буква, входящая в запись u. По п. 4 леммы 6 имеем u α uxn β vxn α v, т. е. (u, v) ∈ αβα. Осталось показать, что (u, v) ∈ βαβ. Без ограничения общности можно считать, что c(u) = {x1 , x2 , . . . , xm }. Пусть t(u) ≡ xi и t(v) ≡ xj . Ес-

644

Б. М. Верников

ли ℓi (u) > 1, то, в силу п. 4 леммы 6, u β vxni α v, т. е. (u, v) ∈ βα. Аналогично проверяется, что (u, v) ∈ αβ, если ℓj (v) > 1. Наконец, если ℓi (u) = ℓj (v) = 1, то, снова используя п. 4 леммы 6, получаем u β x1 · · · xi−1 xi+1 · · · xm xi α x1 · · · xj−1 xj+1 · · · xm xj β v, т. е. (u, v) ∈ βαβ. С л у ч а й 4: α = γ1 ∧ σ, а β = γ2 ∧ µ ∧ σ. Положим β ′ = γ2 ∧ σ. Ясно, что (u, v) ∈ α ∨ β ′ . В силу лемм 5 и 9 конгруэнции α и β ′ перестановочны, поэтому (u, v) ∈ β ′ α, т. е. u β ′ w α v для некоторого слова w ∈ F . Ясно, что u β ′ wn+1 α v и ℓ(wn+1 ) > 1. Из п. 3 леммы 6 вытекает, что u µ wn+1 , откуда u β wn+1 α v, т. е. (u, v) ∈ βα. С л у ч а й 5: α = γ1 ∧ σ, а β = γ2 ∧ ρ. Здесь и в случае 9 необходима следующая ЛЕММА 10. Пусть γ1 и γ2 — вполне инвариантные конгруэнции на полугруппе F , отвечающие некоторым многообразиям периодических абелевых групп, u, v ∈ F , (u, v) ∈ γ1 ∨ γ2 и c(u) = c(v). Тогда существуют слова w1 , w2 ∈ F такие, что u γ2 w1 γ1 w2 γ2 v, u ρ w1 и w2 ρ v. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим экспоненты групповых многообразий, отвечающих конгруэнциям γ1 , γ2 и γ1 ∨ γ2 , через r, s и t соответственно. Ясно, что t — наибольший общий делитель чисел r и s. Без ограничения общности можно считать, что c(u) = c(v) = {x1 , x2 , . . . , xm }. Пусть i ∈ {1, 2, . . . , m} и ℓi (u) < ℓi (v). В силу п. 1 леммы 6, ℓi (v) − ℓi (u) = gi t для некоторого натурального числа gi . Далее, r = kt и s = ℓt для некоторых взаимно простых натуральных чисел k и ℓ. Значит, существуют натуральные числа ai и bi такие, что kai − ℓbi = gi . Аналогично проверяется: если ℓi (u) > ℓi (v), то существуют натуральные числа hi , ci и di , для которых ℓi (u) − ℓi (v) = hi t и kci − ℓdi = hi . Положим u0 ≡ u, v0 ≡ v и для всякого i = 1, 2, . . . , m определим по индукции слова    u ,  v , если ℓ (u) 6 ℓ (v), если ℓi (v) 6 ℓi (u), i−1 i i i−1 ui ≡ vi ≡  xdi s ui−1 , если ℓi (u) > ℓi (v);  xbi s vi−1 , если ℓi (v) > ℓi (u). i i

О многообразиях полугрупп

645

Положим, наконец, w1 ≡ um и w2 ≡ vm . Очевидно, что ℓi (w1 ) − ℓi (u) и ℓi (w2 ) − ℓi (v) делятся на s для всякого i ∈ {1, 2, . . . , m}. В силу п. 1 леммы 6 имеем u γ2 w1 и w2 γ2 v. Проверим, что w1 γ1 w2 . В силу п. 1 леммы 6 требуется установить, что ℓi (w1 )−ℓi (w2 ) делится на r для всякого i ∈ {1, 2, . . . , m}. В самом деле, пусть i ∈ {1, 2, . . . , m}. Если ℓi (u) = ℓi (v), то ℓi (w1 ) = ℓi (u) = ℓi (v) = ℓi (w2 ) и ℓi (w1 ) − ℓi (w2 ) = 0. При ℓi (u) > ℓi (v) выполняются ℓi (w1 ) = ℓi (u) + di s и ℓi (w2 ) = ℓi (v). Следовательно, ℓi (w1 ) − ℓi (w2 ) = ℓi (u) − ℓi (v) + di s = hi t + di s = ci kt − di ℓt + di ℓt = ci kt = ci r. Наконец, если ℓi (u) < ℓi (v), то ℓi (w1 ) = ℓi (u) и ℓi (w2 ) = ℓi (v) + bi s, откуда ℓi (w1 ) − ℓi (w2 ) = ℓi (u) − ℓi (v) − bi s = −gi t − bi s = −ai kt + bi ℓt − bi ℓt = −ai kt = −ai r. Итак, u γ2 w1 γ1 w2 γ2 v. Проверим теперь, что u ρ w1 . Из построения слова w1 видно, что c(u) = c(w1 ) и t(u) ≡ t(w1 ). Пусть t(u) ≡ xi . Если ℓi (u) = 1, то ℓi (u) 6 ℓi (v) и ℓi (w1 ) = ℓi (u) = 1. Если же ℓi (u) > 1, то ℓi (w1 ) > ℓi (u) > 1. Из п. 4 леммы 6 вытекает u ρ w1 . Аналогично проверяется, что w2 ρ v. 2 Положим β ′ = γ2 ∧ σ. Ясно, что (u, v) ∈ α ∨ β ′ . В силу лемм 5 и 9 конгруэнции α и β ′ перестановочны, поэтому (u, v) ∈ αβ ′ , т. е. u α w β ′ v для некоторого слова w ∈ F . Пусть x ∈ c(u), тогда wxn β ′ vxn и, в силу п. 4 леммы 6, wxn ρ vxn . Следовательно, wxn β vxn , тогда u α uxn α wxn β vxn α v, т. е. (u, v) ∈ αβα. Остается проверить, что (u, v) ∈ βαβ. Пусть t(u) ≡ xi и t(v) ≡ xj . Если ℓj (v) > 1, то, в силу п. 4 леммы 6, wxn ρ v. Учитывая, что u α wxn β ′ v, получаем uαwxn βv, т. е. (u, v) ∈ αβ. Аналогично проверяется, что ℓi (u) > 1 влечет (u, v) ∈ βα. Поэтому можно считать, что ℓi (u) = ℓj (v) = 1. Пусть w1 и w2 — слова, существующие в силу леммы 10. Тогда u γ2 w1 γ1 w2 γ2 v, u ρ w1 и w2 ρ v. Из двух последних соотношений вытекает, в частности, c(w1 ) = c(u) = c(v) = c(w2 ). Следовательно, w1 σ w2 и w1 α w2 . Кроме того, u β w1 и w2 β v. Значит, (u, v) ∈ βαβ.

646

Б. М. Верников С л у ч а й 6: α = ρ, а β = γ ∧ µ ∧ σ. Ясно, что α ∨ β ⊆ µ и потому

u µ v. В силу п. 3 леммы 6, ℓ(v) > 2. Положим β ′ = γ ∧ σ. Ясно, что (u, v) ∈ α ∨ β ′ . В силу случая 3 конгруэнции α и β ′ слабо перестановочны. Следовательно, (u, v) ∈ αβ ′ α, т. е. u α w1 β ′ w2 α v для некоторых слов w1 , w2 ∈ F . Поскольку α = ρ ⊆ µ, получаем u µ w1 . Из ℓ(u) > 1 и п. 3 леммы 6 вытекает ℓ(w1 ) > 1. Аналогично проверяется, что ℓ(w2 ) > 1. Следовательно, w1 µ w2 , тогда u α w1 β w2 α v, т. е. (u, v) ∈ αβα. Далее, (u, v) ∈ β ′ αβ ′ , т. е. u β ′ w1′ α w2′ β ′ v для некоторых слов w1′ , w2′ ∈ F . Пусть, как и ранее, x ∈ c(u). Тогда u β ′ w1′ xn α w2′ xn β ′ v, u µ w1′ xn и w2′ xn µ v, откуда u β w1′ xn α w2′ xn β v, т. е. (u, v) ∈ βαβ. С л у ч а й 7: α = γ1 ∧ µ ∧ σ, а β = γ2 ∧ µ ∧ σ. Как и в случае 6, u µ v, а, в силу п. 3 леммы 6, ℓ(v) > 2. Положим α′ = γ1 ∧ σ и β ′ = γ2 ∧ σ. В силу лемм 5 и 9 конгруэнции α′ и β ′ перестановочны, откуда (u, v) ∈ α′ β ′ , т. е. u α′ w β ′ v для некоторого слова w ∈ F . Пусть x ∈ c(u), тогда u α′ wxn β ′ v и u µ wxn µ v, поэтому u α wxn β v. Следовательно, (u, v) ∈ αβ. С л у ч а й 8: α = γ1 ∧ µ ∧ σ, а β = γ2 ∧ ρ. Как и в предыдущих двух случаях, u µ v и, в силу п. 3 леммы 6, ℓ(v) > 2. Положим α′ = γ1 ∧ σ. Ясно, что (u, v) ∈ α′ ∨ β. В силу рассуждений, проведенных в случае 5, конгруэнции α′ и β слабо перестановочны. Следовательно, (u, v) ∈ α′ βα′ , т. е. u α′ w1 β w2 α′ v для некоторых слов w1 , w2 ∈ F . Пусть x ∈ c(u), тогда u α′ w1 xn β w2 xn α′ v, u µ w1 xn и w2 xn µ v, откуда u α w1 xn β w2 xn α v. Таким образом, (u, v) ∈ αβα. Далее, (u, v) ∈ βα′ β, т. е. u β w1′ α′ w2′ β v для некоторых слов w1′ , w2′ ∈ F . Из β ⊆ ρ ⊆ µ получаем u µ w1′ . Поскольку ℓ(u) > 1 и по п. 3 леммы 6, справедливо ℓ(w1′ ) > 1. Аналогично проверяется и неравенство ℓ(w2′ ) > 1. Следовательно, w1′ µ w2′ , тогда u β w1′ α w2′ β v, т. е. (u, v) ∈ βαβ. С л у ч а й 9: α = γ1 ∧ ρ, а β = γ2 ∧ ρ. По соображениям симметрии достаточно установить, что (u, v) ∈ βαβ. Ясно, что в данном случае u ρ v. Пусть w1 и w2 — слова такие, как в лемме 10. Тогда u γ2 w1 γ1 w2 γ2 v, u ρ w1 и w2 ρ v. Из двух последних соотношений вытекает, что w1 ρ u ρ v ρ w2 , т. е. w1 ρ w2 . Следовательно, u β w1 α w2 β v и (u, v) ∈ βαβ. 2 ТЕОРЕМА 2. Пусть V — многообразие полугрупп индекса, не пре-

О многообразиях полугрупп

647

восходящего 2. Эквивалентны следующие условия: 1) V наследственно почти слабо f i-перестановочно; 2) V наследственно почти f i-перестановочно; 3) V либо является вполне регулярным многообразием, либо содер← − жится в одном из многообразий P и P . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 3) ⇒ 2). Вытекает из лемм 8 и 9. 2) ⇒ 1). Очевидно. 1) ⇒ 3). Для этого нам понадобится усиливающая [7, лемма 2.3] следующая ЛЕММА 11. Если V — наследственно почти слабо f i-перестановочное многообразие полугрупп, то V либо вполне регулярно, либо не содержит нетривиальных вполне простых подмногообразий. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V — наследственно почти слабо f iперестановочное многообразие полугрупп, не являющееся вполне регулярным многообразием, т. е. V ⊇ ZM. Пусть X — произвольное вполне простое подмногообразие многообразия V. Тогда X ∨ ZM ⊆ V, и значит, многообразие X ∨ ZM почти слабо f i-перестановочно. Кроме того, X ∨ ZM + SL. В силу леммы 1 многообразие X ∨ ZM слабо f i-перестановочно и, по лемме 2, является нильмногообразием. Следовательно, многообразие X тривиально. 2 Пусть V — наследственно почти слабо f i-перестановочное многообразие полугрупп. В силу леммы 3 решетка L(V) модулярна, поэтому для V имеет место один из случаев 1, 2 и 2′ леммы 4. Из [7, док-во леммы 2.5] вытекает, что всякое многообразие полугрупп с вполне регулярным квадратом, не являющееся вполне регулярным многообразием и не содержащее нетривиальных вполне простых подмногообразий, содержится в SL ∨ ZM. Отсюда и из леммы 11 вытекает: если имеет место случай 1 леммы 4, то либо V вполне регулярно, либо V ⊆ SL ∨ ZM ⊆ P. В силу симметрии остается рассмотреть ситуацию, когда для V имеет место случай 2 леммы 4, т. е. V = D ∨ E, где D — одно из многообразий P и Q, а E — вполне регулярное многообразие. Лемма 11 позволяет считать, что V не содержит нетривиальных вполне простых подмногообразий, следовательно, E ⊆ SL.

648

Б. М. Верников

По той же причине RZ * V. Поскольку RZ ⊆ Q, получаем, что D 6= Q и D = P. Кроме того, E ⊆ SL ⊆ P = D, значит, V = D ∨ E = D = P. 2

ЛИТЕРАТУРА 1. P. R. Jones, Congruence semimodular varieties of semigroups, in: Semigroups, theory and applications, Proc. Conf., Oberwolfach, FRG, 1986 (Lect. Notes Math., 1320), 1988, 162—171. 2. P. Lipparini, n-permutable varieties satisfy non trivial congruence identities, Algebra Univers., 33, N 2 (1995), 159—168. 3. E. J. Tully, The equivalence, for semigroup varieties, of two properties concerning congruence relations, Bull. Am. Math. Soc., 70, N 3 (1964), 399—400. 4. F. J. Pastijn, Commuting fully invariant congruences on free completely regular semigroups, Trans. Am. Math. Soc., 323, N 1 (1991), 79—92. 5. M. Petrich, N. R. Reilly, The modularity of the lattice of varieties of completely regular semigroups and related representations, Glasg. Math. J., 32, N 2 (1990), 137—152. 6. M. V. Volkov, T. A. Ershova, The lattice of varieties of semigroups with completely regular square, in: T. E. Hall (ed.) et al., Semigroup theory, Monash conf. semigroup theory honour G. B. Preston, Clayton, Australia, 1990, Singapore, World Scientific, 1991, 306—322. 7. B. M. Vernikov, M. V. Volkov, Permutability of fully invariant congruences on relatively free semigroups, Acta Sci. Math., 63, N 3-4 (1997), 437—461. 8. B. M. Vernikov, M. V. Volkov, Commuting fully invariant congruences on free semigroups, in: D. Dorninger (ed.) et al., Contrib. Gen. Algebra 12, Klagenfurt, Verlag Johannes Heyn., 2000, 391—417. 9. Б. М. Верников, Многообразия полугрупп с мультипликативными ограничениями на вполне инвариантные конгруэнции их свободных объектов, Докл. РАН, 384, N 4 (2002), 446—448. 10. B. M. Vernikov, Completely regular semigroup varieties whose free objects have weakly permutable fully invariant congruences, Semigroup Forum, 68, N 1 (2004), 154—158. 11. М. В. Волков, Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий, Изв. вузов. Матем., 1989, N 6, 48—58.

О многообразиях полугрупп

649

12. М. В. Волков, Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий II, Изв. вузов. Матем., 1992, N 7, 3—8. 13. М. В. Волков, Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий III, Изв. вузов. Матем., 1992, N 8, 21—29. 14. М. В. Волков, Многообразия полугрупп с модулярной решеткой подмногообразий, Докл. РАН, 326, N 3 (1992), 409—413. 15. И. И. Мельник, О многообразиях и решетках многообразий полугрупп, Исслед. по алгебре, вып. 2, Саратов, 1970, 47—57. 16. B. J´ onsson, On the representation of lattices, Math. Scand., 1, N 1 (1953), 193—206. 17. Г. Гретцер, Общая теория решеток, М., Мир, 1982. 18. Э. А. Голубов, М. В. Сапир, Финитно аппроксимируемые многообразия полугрупп, Изв. вузов, Матем., 1982, N 11, 21—29. 19. T. E. Hall, P. R. Jones, On the lattice of varieties of bands of groups, Pac. J. Math., 91, N 2 (1980), 327—337. 20. L. Pol´ ak, On varieties of completely regular semigroups. I, Semigroup Forum, 32, N 1 (1985), 97—123.

Поступило 18 ноября 2003 г. Адрес автора: ВЕРНИКОВ Борис Муневич, матем.-механ. ф-т, Уральский гос. университет, пр. Ленина, 51, г. Екатеринбург, 620083, РОССИЯ. e-mail: [email protected]