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Translation from the English language edition: Astroparticle Physics by Claus Grupen, G. Cowan, S. Eidelman, and T. Stroh c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005 Copyright Springer is a part of Springer Science+Business Media All Rights Reserved
序文 「序文は本の中でも一番重要な部分である,批評家は序文 だけしか読まないこともある. 」
Philip Guedalla
英語版への序文 注 1)
宇宙粒子物理学(astroparticle physics)
にまつわるこの本は,ドイツの Vieweg,
Wiesbaden から 2000 年に発行された『Astroteilchenphysik』の訳である.単に訳した だけでなく,最新のものに改訂している.宇宙粒子物理学は若い分野であり,非常に早 く発展しつつある.特に,たとえばニュートリノ天文学のような ‘新しい天文学’ や宇宙 背景放射の精密測定などがあり,これらの新しい実験結果や新しい理論的な見解は書き 加える必要がある. 宇宙創生の詳細についてはいまだ完全に理解されていない.また宇宙がどのように終 わるのかは完全に明らかではない.しかし,超新星観測の最近の結果と原始の黒体放射 の正確な測定は,我々が平坦なユークリッド宇宙に住んでおり,その宇宙は膨張し,そ の膨張は加速されつつあることをより一層の信頼度で示しているようだ. ここ数年で宇宙論はパーセントレベルの正確な測定で裏付けがなされ,推測的な科学 から,教科書に書いてよい分野にまで発展した. 最新版にする過程は,おもに私の同僚でロンドンの Royal Holloway College で宇宙 「宇宙論」の章は書き改めた. 粒子物理学を教えている Glen Cowan 博士と私で進めた. 「初期宇宙」, 「ビッグバン元素合成」, 「宇宙マイクロ波背景」, 「インフレーション」の章 が加えられ,重力天文学についての節も加えられた.古い章の「未解決の問題」は新し い章「暗黒物質」へ,またその一部は「一次宇宙線」, 「二次宇宙線」の章に移された. この本には宇宙粒子物理学に関する演習問題を沢山載せた.すべての演習問題につい て十分な解答を与えた.理論的な面の理解や物理的なデータの解釈を容易にするために, 数学の付録を付けた.これにより,本文で使われた数学公式のほとんどが示され,また は導かれた.さらに付録の別の章で,初期宇宙の熱力学の詳細を取り扱った. ノボシビルスクの Budker Institute of Nuclear Physics の Simon Eidelman 教授と
Tilo Stroh 氏(訳注:現在は博士)には演習問題を注意深く検討していただき,また新 注 1
訳注:本書の原著題名も ‘Astroparticle Physics’ であるが ‘particle’ に対して「粒子」の日本語訳はいま だなじみがないので,題名は「宇宙素粒子物理学」とした.ただし,本文では「宇宙粒子物理学」の訳とし た.
iv しい演習問題を提出してもらった.Ralph Kretschmer 博士には,幾つかの興味あるま た難解な演習問題を寄せていただいた.Siegen 大学の私の同僚や学生たちからは多くの コメントをいただいた. 英語版を作る技術的な面で,Ute Smolik さん, Lisa Hoppe さん, 本文について Angelika
Wied さんの助けを借りた.図を最新版にするために Stefan Armbrust 氏, 私の英語を 洗練するために Glen Cowan 博士と Ross Richardson 博士,そして編集の手伝いに
Mehmet T. Kurt 氏の手を煩わした.本文,図や配置について多くの意見を含めこの本 の最終的な体裁は,Tilo Stroh 博士と Nadir Omar Hashim 氏によって完成した. これらの方たちの助けがすべてなければ,私にとってこの翻訳を成し遂げることは 不可能であった.特に,一般相対論のアインシュタイン理論の専門家である私の同僚の
Torsten Fließbach 教授に宇宙論の章について,重大な評価と重要な改良を提案してい ただいたことに感謝する.Glen Cowan 博士の初期宇宙や関連した問題についての新し い洞察に深く感謝する.また Cowan 博士にはこの本の最後の章に欠くことのできない
ohrer 博士, Tilo 内容を付け加えていただいた.最後に Simon Eidelman 教授, Armin B¨ Stroh 博士には注意深く原稿を読んでいただき貴重なコメントをいただいた.ここに英 語版を作るのに際し,助けていただいたすべての友人に対し,感謝を申し上げる. ジーゲン, 2005 年 2 月
Claus Grupen
序文
v
ドイツ語版への序文 宇宙粒子物理学(astroparticle physics)の分野は実のところ新しい分野ではない.
1960 年まで,宇宙線物理学が本質的にこの分野を代表していた.加速器を用いた素粒子 物理学は宇宙線中の素粒子過程の研究から発展してきた.中でも,最初の反粒子(陽電 子)や第二世代のレプトン(ミューオン)は宇宙線実験で発見された. しかし,宇宙論と素粒子物理学間の緊密な関係は,比較的最近になって認識されるよ うになった.宇宙は膨張しているというハッブルの発見は,宇宙は元来非常に小さかった ことを示した.そのような非常に古い時代,宇宙は素粒子物理の量子論的方法によって のみ記述できる極微の世界であった.今日,素粒子物理研究者は高エネルギーの電子— 陽電子や陽子—反陽子衝突から,宇宙初期に存在した状態を再生し,“ミニビッグバン” に似たものの模擬実験をしようと試みている. 素粒子物理の好ましい理論は,相互作用のいろいろな型を標準理論の中で統一しよう とすることにある.弱い相互作用を仲介する重いベクトルメソン (W + , W − , Z 0 ) の存在 が実験的に確かめられたこと,そして強い相互作用の理論的理解から,ビッグバンの直後 の宇宙の発展が理解できるのではないかと示唆するように思える.しかし,ビッグバン時 の超高温あるいはエネルギーは,地上の実験室では決して到達できない.このことが素粒 子物理と天文学と宇宙論の共存協力のみがごく自然に行われる理由である.この新しい分 野を宇宙粒子物理学(astroparticle physics)と名付けるのか粒子宇宙物理学(particle
astrophysics)と名付けるのかは,多かれ少なかれ,好みの問題あるいは書く人の研究経 歴によるだろう.この本では,宇宙物理の観点と素粒子物理の観点と,両方取り扱おう. 我々は素粒子に焦点を当てた宇宙物理学の概念と,そして宇宙物理学的方法を使った素 粒子物理学の概念とを,等しく議論しよう.ガイドラインは宇宙粒子(astroparticles) と共にある物理である.これが私が粒子宇宙物理学(particle astrophysics)より宇宙粒 子物理学(astroparticle physics(訳注:この本の原題))の言葉を好んだ理由である. 宇宙粒子物理上の画期的な発見を述べた比較的詳しい歴史的な序文(第 1 章)の後で、 素粒子物理の基礎(第 2 章)と相互作用(第 3 章)と測定技術(第 4 章)について述べ る.天文学的見方は加速機構(第 5 章)や一次宇宙線(第 6 章)で現れる.これらの分 野では,ニュートリノ天文学やガンマ線天文学のような新たな専門分野が素粒子物理と 密接に連携する.この様相は二次宇宙線(第 7 章)を示すことでさらに強調される.一 方,二次宇宙線は素粒子物理における発見の金鉱であった.しかし,他方宇宙粒子の観 測上,悩ましいバックグラウンドにもなる. 宇宙粒子物理学の呼び物は確かに宇宙論(第 8 章)であり,そこでは大宇宙を記述す る一般相対論が素粒子物理の成功と一体となっている.勿論すべての問題が答えられた のではなくて,最後の章(第 9 章)では宇宙粒子物理学の解決のつかない,あるいは未 解決の問題について書いている.
vi この本では平易な宇宙粒子物理学の紹介と,大学高学年に対して書かれた教科書間の 切れ目を橋渡しをしようと試みている.素粒子物理,量子力学,特殊相対論の基礎知識 は,相応した数学の厳密な扱いはせずに,注意深く導入され適用する.基礎的なレベル の数学の知識で,ここで記した計算を理解できるであろう.その上,この本で議論する 基本的な考えは,特別な数学を使わないでもたどることができる.
orer 博士に 私がこの本を書く間,多くの人の助けを借りたことに感謝する.Armin B¨ は注意深く原稿を読んでいただいた.Ute Bender さんと Angelika Wied さんには原稿 を書いていただいた.そして,Angelika Wied さんは図を用意し,Stefan Armbrust 氏 にはそれを完成していただいた.特に感謝するのは Klaus Affholderbach 博士と Olaf
Krasel 氏で,LATEX のスタイルで本全体のコンピュータ割り付けを行っていただいた. また Tilo Stroh 氏には,絶え間ない援助をいただいた.物理の問題に関することだけ でなく,特に原稿の最終段階で誰にも真似のできない名人芸の目で,本文や図の残って いた欠陥を探してくれた.最後に Vieweg 社編集部の Christine Haite さんと Wolfgang
Schwarz 氏にお礼を申し上げる. ジュネーブ, 2000 年 7 月
Claus Grupen
序文
vii
日本語版への序文 宇宙粒子物理学は急速に進展している科学の分野である.それは宇宙線物理や天体物 理の分野から発展し素粒子物理と一緒になって実りの多い境界領域となった.初期の頃 は宇宙線関係の実験装置はかなり簡素なものであった.現今では,宇宙粒子物理学は高 エネルギー実験の精巧な装置から恩恵を受けている.宇宙粒子物理学は今や,宇宙空間 での観測実験から得られた高精度の結果に裏付けされた宇宙論の分野も含む.大きな赤 方偏移を持つ超新星の最近の天文学的観測はこの分野を著しく発展させた. 素粒子物理学の標準模型を拡張しようとする試みは,CERN での LHC(大型ハドロ ンコライダー)のような高エネルギー加速器やコライダーの建設を促すだけでなく,宇 宙粒子物理学にもきわめて重要な話題を提供する.超対称性粒子は LHC で発見される かもしれない.もしそれらが存在するとすれば,宇宙線の中でもまた見つかるかもしれ ない.宇宙粒子物理学は今までもすでに素粒子物理学に,たとえばニュートリノ振動の 発見のように,著しく寄与してきたし,これからも間違いなくそうなるだろう. この本はもともとはドイツ語で書かれ英語版にする際,著者によって十二分に補強さ れた.そして今,とても有能な翻訳者小早川教授その人を得た.彼は宇宙線物理学と高 エネルギー物理学の両分野でかなりの寄与をしてきている.小早川教授は英語版だけで なく,もともとのドイツ語版も参考にして,この本全体を細心に読まれ翻訳された.彼 は幾つかの矛盾点を見つけ,それらは建設的なやりとりの後修正された.英語版が出た
2005 年以来,宇宙粒子物理学の分野で新しい結果や考えが示された.そのため,この翻 訳も一部最新のものにしている. 私は小早川教授に,特に問題の節で彼の念入りな正確さと疑問点を明らかにしようと する強い意志に謝意を表す.すべての問題とその解答が完全にチェックされていると読 者は見なしてよいだろう.この点小早川教授の見識が大いに役に立った.ドイツ語版に あったが,英語版ではその出版社が「非科学的」であると見なして除いてしまった科学 的な風刺漫画を,日本の出版社が再現するとのことで,私はまた感謝を申し上げる.こ れも小早川教授のイニシアチブによるものだ. また Tilo Stroh 博士は私がお世話になった 1 人である.日本語の翻訳中に出てきた未 解決の問題を明らかにする e–メール通信に彼に加わっていただいた.彼は LATEX での図 の作成や原稿組版に卓越していて,大いに助けてもらった. 終わりに,宇宙粒子物理学に関する私の本を翻訳するという,ヘラクレスのような実 に優れた仕事を小早川教授は成し遂げた.日本の学生や科学者にこの本が役立ち,刺激 を受けたり,おもしろいと感じていただけるよう,私は祈ってやまない. ジーゲン, 2009 年 2 月
Claus Grupen
目
次 「人類が今までに発明した技術的に最も効率のよい機械は本 である」
Northrop Frye
iii
序文 第1章 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
歴史的展望によるまえがき 20 世紀における発見 . . . . . 新しい素粒子の発見 . . . . . 人工衛星時代の幕開け . . . . 未解決の問題 . . . . . . . . . 問題 . . . . . . . . . . . . .
1 . . . . .
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3 8 12 20 22
第 2 章 素粒子の標準模型 2.1 相互作用過程の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
第3章 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
41
しきいエネルギー 4 元ベクトル . . . ローレンツ変換 . . 断面積 . . . . . . 問題 . . . . . . .
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第4章 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8
宇宙粒子の相互作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . 粒子検出に使われる相互作用過程 . . . . . . . . . . 大気チェレンコフ技術の原理 . . . . . . . . . . . . . 光子検出の特有な面 . . . . . . . . . . . . . . . . . 低温検出技術 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 銀河系内と銀河系外空間で宇宙粒子の伝播と相互作用 検出器の特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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第5章 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7
サイクロトロン機構 . . . . . . . 太陽黒点対による加速 . . . . . . 衝撃波加速 . . . . . . . . . . . . フェルミ機構 . . . . . . . . . . . パルサー . . . . . . . . . . . . . 連星 . . . . . . . . . . . . . . . 一次粒子のエネルギースペクトル
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運動学と断面積 . . . . .
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30 38
43 46 52 53 55
57
素粒子物理と放射線検出
58 60 63 65 67 68 70 71
73
加速機構 . . . . . . .
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74 75 76 78 79 82 84
x 5.8
第6章
問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
89
一次宇宙線
6.1
一次宇宙線の荷電成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
ニュートリノ天文学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.2.1
大気ニュートリノ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
6.2.2
太陽ニュートリノ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
6.2.3
超新星ニュートリノ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
6.2.4
銀河系と銀河系外高エネルギーニュートリノ
. . . . . . . . . . . . . .
119
6.3
6.4
90
ガンマ線天文学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
6.3.1
まえがき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
6.3.2
ガンマ線生成の仕組み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.3.3
ガンマ線の測定
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
6.3.4
ガンマ線点源の観測 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
6.3.5
ガンマ・バースター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
X 線天文学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
6.4.1
はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
6.4.2
X 線生成の仕組み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
6.4.3
X 線の検出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
6.4.4
X 線源の観測
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
6.5
重力波天文学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
6.6
問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
第7章
161
二次宇宙線
7.1
大気中の伝播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
7.2
地上での宇宙線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
7.3
地下の宇宙線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
7.4
拡大空気シャワー
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
7.5
最高エネルギー宇宙線の性質と起源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
7.6
問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
第8章
193
宇宙論
8.1
ハッブル膨張 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
8.2
等方的で一様な宇宙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
8.3
ニュートンの重力からフリードマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
8.4
一般相対論からフリードマン方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
8.5
流体方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
8.6
加速方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
8.7
フリードマン方程式の解の性質
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
8.8
真空エネルギーの実験的証拠 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
8.9
問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
序文
第 9 章 初期宇宙 9.1 プランクスケール . . . . . . . . . . 9.2 初期宇宙の熱力学 . . . . . . . . . . 9.2.1 エネルギー密度と数密度 . . . 9.2.2 全エネルギー密度 . . . . . . 9.2.3 状態方程式 . . . . . . . . . . 9.2.4 温度とスケール因子の関係 . . 9.3 フリードマン方程式を解く . . . . . . 9.3.1 熱平衡の余談 . . . . . . . . . 9.4 最初の 10 マイクロ秒の熱的変遷 . . . 9.5 宇宙のバリオン非対称性 . . . . . . . 9.5.1 バリオン非対称の実験的証拠 9.5.2 バリオン非対称の大きさ . . . 9.5.3 サハロフの条件 . . . . . . . 9.6 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . 第 10 章 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 第 11 章 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5
215 . . . . . . . . . . . . . .
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ビッグバン元素合成(BBN) BBN の二三の要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . BBN 時代の幕開け . . . . . . . . . . . . . . . . . 中性子対陽子比 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ニュートリノ脱結合,陽電子消滅,中性子崩壊 . . 軽い原子核の合成 . . . . . . . . . . . . . . . . . BBN の詳細 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ニュートリノ世代数についての制約 . . . . . . . . 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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宇宙マイクロ波背景(CMB) . . . . . . . .
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239 240 241 242 244 246 248 252 254
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第 12 章 インフレーション 12.1 地平線問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 平坦性問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 モノポール問題 . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 インフレーションでどのようにうまくいくか 12.5 インフレーションの仕組み . . . . . . . . . . 12.6 平坦性問題の解決 . . . . . . . . . . . . . . 12.7 地平線問題の解決 . . . . . . . . . . . . . . 12.8 モノポール問題の解決 . . . . . . . . . . . . 12.9 インフレーションと構造の成長 . . . . . . . 12.10 インフレーションの見解 . . . . . . . . . . . 12.11 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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前奏曲:物質優勢宇宙への移行 CMB の発見と基本的な性質 . . CMB の形成 . . . . . . . . . . CMB 異方性 . . . . . . . . . . モノポールと双極子項 . . . . . 11.5.1 小角度の異方性 . . . . 11.6 宇宙論的パラメータの決定 . . . 11.7 問題 . . . . . . . . . . . . . .
xi
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
257 259 261 263 265 265 267 272
275 276 276 279 282 283 287 289 290 291 294 296
xii 第 13 章 暗黒物質 13.1 宇宙の大規模構造 . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 暗黒物質に対する動機 . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 暗い星 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 暗黒物質としてのニュートリノ . . . . . 13.2.3 弱相互作用しかない重い粒子(WIMPs) 13.2.4 アキシオン . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.5 真空エネルギー密度の役割 . . . . . . . . 13.2.6 銀河形成 . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.7 暗黒物質のレジュメ . . . . . . . . . . . 13.3 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
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. . . . . . . . . .
297 299 302 305 309 313 314 316 318 321
第 14 章 宇宙生命学 14.1 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
第 15 章 今後の見通し 15.1 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
第 16 章 用語集
335
第 17 章 解答
375
付録 A
数学の付録
419
付録 B
統計物理学からの結果:初期宇宙の熱力学
427
付録 C
赤道座標と銀河座標の定義
439
付録 D
宇宙粒子物理学の重要な定数
441
327
333
引用文献
443
さらなる参考文献
445
写真提供
449
訳者あとがき
450
索 引
452
第1章
歴史的展望によるまえがき
「未来への指針には過去を調べよ」
Robert Jacob Goodkin
宇宙粒子物理学(astroparticle physics)あるいは素粒 子宇宙物理学(particle astrophysics)の分野は比較的新し い.それゆえ,この研究分野の歴史を記述するのは簡単で はない.この本で画期的な事柄を選び出すのはある程度任 意であり,また個人の好みにもよろう. 歴史的には宇宙粒子物理学は光天文学に基礎を置いてい る.検出技術が改良されるにつれて,この観測的な科学は
高エネルギー物理学の実験室とし ての宇宙物理学
宇宙物理学として成熟する.この研究テーマは特殊相対論 や一般相対論はもちろん,力学,電気力学,熱力学,プラ ズマ物理学,核物理学,素粒子物理学のような物理の多く の分野を含んでいる.素粒子物理学の詳しい知識は多くの 宇宙物理学的状況を理解するのに欠くことができない.そ れは,特にその状況に相当する実験条件を我々の実験室で は用意できないからである.だから,宇宙物理学的状況は 高エネルギー物理屋にとって重要な実習場所を構成する. 宇宙粒子物理学という語を使用するのは,天体は素粒子
術語の正当化
物理でいう「光(光子)」で観測されてきたのだから,確 かに正しいといえるだろう.もちろん X 線天文学やガンマ 線天文学は,宇宙粒子物理学より天文学により近いという こともできよう.大事をとるなら,新しい宇宙粒子物理学 という言葉は「本当の」素粒子に制限すべきかもしれない. ホームステーク炭鉱で 1967 年ニュートリノを通して行われ たわが太陽の観測(デイビス(Raymond Davis)の実験) デイビスの実験 は,放射性化学の実験であって太陽の方向との相関性を欠 くものの,太陽ニュートリノの最初の測定であるから,宇 宙粒子物理学のはしりである.太陽をリアルタイムで「見 る」ことができたのは,ようやく 1987 年の日本のカミオカ
2
第 1 章 歴史的展望によるまえがき カミオカンデ実験
ンデ(Kamiokande)実験
注 1)
以降である.それにつけ加
えて,放出されたニュートリノの方向を見ることができる.
1987 年,自然はなんと親切にも大マゼラン星雲にある超新 超新星 1987A
星(SN 1987A)を爆発させてもくれたので,そのニュート 注 2)
リノバーストはカミオカンデや IMB
の水チェレンコフ
検出器やバクサン(Baksan)にあるシンチレーター実験で 記録することができた. 現在,ガンマ線天文学やニュートリノ天文学の分野は急 速に広がりつつある.しかし,荷電粒子を使った天文学は 違った事態にある.星間や銀河間の不規則な磁場は荷電宇宙 線の方向をランダムにしてしまう. 非常に高いエネルギー を持つ荷電粒子だけが磁場の間をほぼ真っ直ぐに進んでく
図 1.1 カニ星雲 {1}
る.もし高エネルギー一次線の強度が十分高ければ,荷電 粒子の天文学を可能にする. 実際,高エネルギー宇宙線(> 1019 eV)は一様でない 分布を持ち,超銀河面から来ているのかもしれない.この 面は銀河が,あたかも星が天の川銀河を作っているように, 円盤状に集まっている所である.しかし,他の可能な源と して,宇宙論的な距離にある個々の銀河核(M87?)かもし れない. 新分野である宇宙粒子物理学に貢献した画期的な事柄を 年代順に示してみよう.そのために,天文学,宇宙線,素 粒子物理学に関連する発見をうまくバランスをとって考え よう.もちろん選びかたには個人的な偏見がある.
6000 年前シュメール人によるベラ(帆座)超新星の観察 ベラ超新星
に触れるのは面白い.この超新星は 1500 光年離れたベラ (帆)星座で爆発した.今日,この爆発の残骸をたとえば X
ベラ X1
線やガンマ線を通して見ることができる.ベラ X1(Vela
X1)は連星であり,その 1 つはベラパルサーである.回転 周期 89 ミリ秒を持つベラパルサーは,今までに連星系で 見つかった中で, 「最も遅い」パルサーの 1 つである.ベラ
X1 のような名前のつけ方は,ベラ星座にある X 線源の中 注 1
Kamiokande—Kamioka Nucleon Decay Experiment(神岡核子崩 壊実験).
注 2
IMB—Irvine Michigan Brookhaven(カリフォルニア大学アーバイ ン校・ミシガン大学・ブルックヘブン研究所)共同実験.
1.1 20 世紀における発見
3
で,最も強い(= 「1 番目の」)ことを意味する. 二度目の劇的な超新星爆発は 1054 年に中国で観測され た.この爆発の残骸はカニ星雲(Crab Nebula)であり,ベ
カニ星雲
ラ X1 と同様 X 線やガンマ線を放射している.いつも同じ 明るさなので,カニ星雲はしばしばガンマ線天文学で「標 準光源」として用いられる(図 1.1). オーロラ・ボリアリス(aurora borealis「北の夜明け」) としての北極光の観測(ガッサンディ(Pierre Gassendi) 北極光(オーロラ・ボリアリス)
1621 年とハレー(Edmund Halley)1716 年)があり,1733 年,メラン(Jean-Jacques d’ Ortous de Mairan)は太陽 にこの現象の原因があると考えた.北極光や南極光は太陽
地球磁場
粒子の軌跡
からの電子や陽子が地磁気に沿いらせん状の軌道を描いて 極地に入射することに起因する.荷電粒子は磁力線に沿っ て進むので,磁力線と垂直に交わる赤道付近の低緯度に比 べ高緯度では,はるかに大気中深く侵入できる(図 1.2). 次のこともいっておく価値がある.銀河を形成する星の 集団である星雲を最初に正しく解釈したのは,天文学者で
図 1.2 地球磁場内における電子のら せん状軌跡
なく,哲学者のカント(Immanuel Kant)(1775 年)で あった.
1.1 20 世紀における発見 「天文学とは,恐らく偶然によるその学 問上の発見はごくわずかしかなく,その 全体にわたって人間の理解が及ぶとき, 人間が如何に小さい存在かが一番よく わかる科学であろう」
Georg Christoph Lichtenberg
X 線(レントゲン(Wilhelm Conrad R¨ ontgen)1895 年; 1901 年ノーベル賞),放射能(ベックレル(Antoine Henri Becquerel) 1896 年;1903 年ノーベル賞)と電子(トム ソン(Sir Joseph John Thomson) 1897 年;1906 年ノー ベル賞)の発見はすでに天文学への素粒子物理学的様相を 示唆している.世紀の変わり目には,ウィルソン(Charles
Thomson Recs Wilson)(1900 年)やエルスター(John
天文学と素粒子物理学
4
第 1 章 歴史的展望によるまえがき
Phillip Ludwig jultius Elster)とガイテル(Hans Geitel) (1900 年)が大気中の残留伝導率の測定にかかわっている.
1903 年,ラザフォード(Ernest Rutherford)は検電器を 遮蔽しても伝導性が減ることを示した(1908 年,放射性物 質の研究でノーベル賞).ベックレルが発見した地球表面 にある何らかの鉱石の放射能がこの効果を説明すると考え たことは,自然の成り行きであった.
1910 年,ウルフ(Theodor Wulf)はエッフェル塔の最上
宇宙線
階に電位計を持ち込み,強度がどれだけ減るかを測定した. そして,放射線による電離という地球起源説が見かけのも のであることを確かめた
注 3)
.高度 5 km まで気球に乗って
行われたヘス(Victor Franz Hess)(1911/1912 年;1936 年ノーベル賞)の測定は地球からの要素に加えて,高度が 増すに従い強さも増すような電離作用を持つ放射線源も必 要であることを示した(図 1.3 と 1.4).
図 1.3 宇宙放射線の測定のため気球 に乗るヘス {2} 図 1.4 ノースダコタ州のビスマーク で風船実験で手を放そうとす るミリカン(Robert Andrews Millikan)(1938 年) {3}
2 年後(1914 年),この地球外の要因はコールヘルスター orster)によって確かめられた.1912 年, (Werner Kohlh¨ ウィルソンは霧箱を開発して,電離作用を持つ粒子が残す 飛跡を検出し,たどることを可能にした(1927 年ノーベル 賞,図 1.5). 高度とともに増す地球外宇宙からの輻射( 「H¨ ohen注 3
訳注:地球の放射性物質が原因とすると測定値よりもっと減らなければ ならない.
1.1 20 世紀における発見
5
strahlung(高所からくる放射線)」)はいろいろな実験 で観測することができ(図 1.6),宇宙粒子物理学の発展に 特に重要である.
ロケット, 科学衛星
図 1.5 霧箱内の宇宙線の飛跡 {4}
重い原子核 気球
高度
残留大気
研究用飛行機
定期航空便
陽子 エベレスト山
雲の発生上限
山の高度の 観測所
海水面 地下実験 ニュートリノ天文学 WIMPsの探索
このような実験観測と平行して,アインシュタイン(Al-
図 1.6 宇宙線分野のいろいろな実験 相対性理論
bert Einstein)は特殊相対性理論と一般相対性理論を展開 した(1905 年,1916 年).特殊相対性理論は素粒子物理学 にとって最も重要な理論である.一方,一般相対性理論が広 く使われるのは宇宙論においてである.アインシュタイン はノーベル賞を 1921 年に受賞したが,その対象は相対性や 重力の根本的な理論ではなく,光電効果の量子論による正 しい解釈とブラウン運動の説明であった.ストックホルムの ノーベル賞委員会は明らかに,相対論の卓越した重要性に 気づいていなかったか,あるいは相対論の予言の正しさに すら確信がなかったのであろう.このようなことはシュワル ツシルト(Karl Schwarzschild)にもあり,彼は 1916 年早 くもブラックホールの存在について正しい結論を導いてい た.またエディントン(Sir Arthur Stanley Eddinton)の 場合は太陽近くを通る光線が重力によって曲げられるとい う相対論の予言を,1919 年の日食のときに証明した.重力
ブラックホール
6
第 1 章 歴史的展望によるまえがき 重力レンズ
場内での光の曲がりの実験観測は重力レンズの発見でもあ る.光が重い物体の近くを通ると重力レンズにより曲げら れるので,星の映像はずれて見える.地球上の観測者から 遠く離れた星や銀河を見る線上に重い物体があると,この 効果により二重に見えたり,多重に見えたり,リング状に 見えたりもする(図 1.7).1979 年になって,やっと 1 つ のクェーサー(二重クェーサー)の多重の像が観測された. この後,1936 年にアインシュタインが予言していた電波銀 河のアインシュタインリングが 1988 年に観測された. 見かけの位置 二重の像 アインシュタインリング 星 太陽 観測者
図 1.7 重い物体による重力レンズ: a) 光の曲がり, b) 二重の像, c) アインシュタインリング 星の進化
天文学では星はその明るさとスペクトルの色で分類される
ヘルツシュプリング–ラッセル図
(ヘルツシュプリング–ラッセル(Hertzsprung–Russell)図 (Ejnar Hertzsprung,Henry Norris Russell)1911 年). この体系によって,主系列星から赤色巨星,そして白色矮 星への星の進化がよりよく理解される.1924 年,ハッブル (Edwin Powell Hubble)はカントの推測,つまり「星雲」 は銀河内の星の集まりであることを,アンドロメダ星雲中 の個々の星を分離することで確かめた.それからわずか数
宇宙の膨張
年後(1929 年),彼は遠くの銀河のスペクトル線が赤方偏 移していることを観測し,したがって宇宙は膨張しつつあ ることを実験的に証明した. それらの間に,宇宙線の本質がしだいに明らかになってき た.新しい検出技術を用いて,1926 年ホフマン(G. Hoff-
mann)は吸収層の下で,粒子が増殖することを見出した (「ホフマンの衝突」).クレイ(Jacob Clay)は,1927 年 に宇宙線の強度が地磁気緯度によって変化することを論証 した.地球磁場によって光子は影響を受けないので,これで
1.1 20 世紀における発見
7
宇宙線は光子でなく荷電粒子であることが明らかになった. 一次宇宙線は地球の極では,磁力線に平行に沿いながら
宇宙線の大気中への侵入
大気中深く侵入できる.赤道では,宇宙線粒子はローレン ツ力をまともに受ける(F = e(v × B);F —ローレンツ 力,v—宇宙線粒子の速度,B—地球磁場,e—素電荷:極 では v B なので,F = 0,一方赤道では v ⊥ B なので,
|F | = e v B ).この緯度効果は当時論争になった.というの
緯度効果
◦
も,中緯度(≈ 50 N)から出発し赤道に向かった学術調査 旅行では確かにこの効果を示した.一方,北極に向かった 調査では宇宙線強度の増加は観測されなかった.この結果 は,宇宙線荷電粒子は地磁気によるカットオフに勝らない 損失を受けることで説明された.この大気中でのカットオ フは約 2 GeV で,これによって極に向かう宇宙線強度がさ
強度
といけないが,また大気中で電離による一定のエネルギー
北極
赤道
地磁気緯度
らに増えることはない(図 1.8).1929 年,ボーテ(Walter
Whilhelm Bothe)とコールヘルスターは同時放電の手法 図 1.8 を使って,地上では宇宙線が荷電粒子であることを最終的
緯度効果:地磁気と大気によ るカットオフ
に確かめた.
ulertz 早くも 1930 年,シュテルマー(Fredrik Carl M¨ St¨ ormer)は地磁気中での荷電粒子の軌道を計算し,地磁
地球磁場における荷電粒子の軌道
気効果がよく理解できるようにした.これらの計算で,最 初,彼は宇宙線粒子の出発点を地球からはるか離れた場所 にした.しかし,ほとんどの粒子は磁場のため地上に到達 できないことに,すぐに気がついた.この取り組みの能率 の悪さから,地上から反粒子を放てば地磁気がそれらを地 球外に導くという考えが彼に浮かんだ.これらの研究で, 彼はある運動量を持った粒子は磁場によって捕まえられて,
1 つの磁極から他の磁極へ行き来する「磁気鏡」の過程を 示すことに気がついた.蓄積された粒子は放射線帯を形成 し,人工衛星エクスプローラー 1 号に積まれた実験装置か ら,1958 年ヴァン・アレン(James Alfred Van Allen)が 発見した(図 1.9,図 7.2 も参照). 一次宇宙線がおもにプラス電荷の粒子から成るとする最 後の証明は東西効果(ジョンソン(Thomas H. Johnson), アルヴァレ(Luis Walter Alvarez)とコンプトン(Arthur
Holly Compton),アルヴァレ 1968 年ノーベル賞,コン
ヴァン・アレン帯
8
第 1 章 歴史的展望によるまえがき
地球
地球
図 1.9 ヴァン・アレン帯
プトン 1927 年ノーベル賞)の観測でなされた.北極で宇 宙線粒子の入射方向を考えてみると,東方向に比べ西方向
観測点
からの強度が強いことがわかる.この非対称性は東方向か らくる正電荷の粒子の軌道のあるものは大気圏外につなが らないからである(図 1.10 の点線).したがって,東方向 からの強度は減る.
図 1.10 東西効果
1933 年,ロッシ(Bruno Benedetto Rossi)は吸収体の 鉛の厚さをいろいろ変えた同時放電実験から,地上の二次 宇宙線がその中でカスケードを起こすことを示した(「ロッ シ曲線」).彼の装置による吸収の測定は,地上の宇宙線は 軟成分と吸収体を貫通する成分があることも示した.
1.2 新しい素粒子の発見 「もし私がこれらすべての素粒子の名 前を憶えているなら,植物学者になれ るでしょう」
Enrico Fermi
電子,陽子(原子核を構成する部分として)と光子だけ 陽電子の発見
が 1930 年までに,素粒子として知られていた.陽電子は アンダーソン(Carl David Anderson)によって,1932 年 に霧箱内で発見された(1936 年ノーベル賞).これはディ ラック(Paul Adrian Maurice Dirac)が 1928 年に予言 していた電子の反粒子であった(1933 年ノーベル賞).こ れと 1932 年,チャドウィック(Sir James Chadwick)に よる中性子の発見(1935 年ノーベル賞)により素粒子物理
1.2 新しい素粒子の発見
学と宇宙粒子物理学の新しい章が始まった.加えて,原子 核のベータ崩壊で一見破れているように見えたエネルギー, 運動量,そして角運動量の保存則を復活させるため,1930 年パウリ(Wolfgang Pauli)は中性で質量なしスピン
1 2
の ニュートリノ仮説
粒子の存在を仮定した(1945 年ノーベル賞).この仮想の 謎めいた粒子であるニュートリノはようやく 1956 年に原 子炉実験でその存在が明らかになった(コーワン(Clyde
L. Cowan)とライネス(Frederick Reines),ライネスに 1995 年ノーベル賞).それはやがて天文学のまったく新し い分野であるニュートリノ天文学に至る.この分野は素粒
ニュートリノ天文学
子物理学と天文学の完全な相互関係を持つ古典的といえる 代表的な例である. 中性子発見を耳にしたランダウ(Lev Davidovich Lan-
dau)(1962 年ノーベル賞)は,数時間後におもに中性子か ら成る冷たく密度の大きい星の存在を予言したといわれて
中性子星
いる.1967 年,回転する中性子星(パルサー)の存在が電 パルサー 波信号の観測から確かめられた(ヒューイッシュ(Antony
Hewish)とベル(Jocelyn Bell),ヒューイッシュに対し 1974 年ノーベル賞). 中性子は中性子星内では崩壊しない.パウリの排他律
中性子星の安定性
(1929 年)があるので,すでに占有されている電子状態に 崩壊できないからである.中性子星内に残された電子のフェ ルミエネルギーは数 100 MeV 程度であるが,一方中性子 の崩壊で電子に移される最大エネルギーは 0.77 MeV であ る.だから,電子が移れる準位は空いていない. 原子核の第 2 の構成子である中性子の発見後,原子核 はどのようにしてくっついているのかが問題になった.中 性子は電気的に中性であるが,陽子は電気的に互いに反発 し合う.核力の及ぶ範囲とハイゼンベルグ(Werner Karl
Heisenberg)の不確定性原理(1927 年,1932 年ノーベル 賞)を基礎にして,湯川秀樹は 1935 年,電子の約 200 倍の 質量を持つ不安定な中間子が核力を媒介しているのだろう と推測した(1949 年ノーベル賞).当初は,1937 年にアン ダーソンとネッダーマイヤー(Seth Henry Neddermeyer) によって霧箱内で発見されたミューオン 注 4
訳注:当時ミュー中間子と呼ばれた.
注 4)
が仮想の湯川
湯川粒子
9
10
第 1 章 歴史的展望によるまえがき
粒子に必要な性質を持っているように見えた ミューオンの発見
注 5)
.しかし,
ミューオンは物質と強い相互作用を持たなく,すぐに電子 によく似た重い粒子であることが明らかになった.電子に 似た粒子がもう 1 つあるということで,ラビ(Isidor Issac
Rabi)(1944 年ノーベル賞)は「誰がこの順序をつけたの か?」といっている.このラビの質問は今日でも答えのな タウの発見
いまま残されている.この状況は,パール(Martin Lewis
Perl)(1995 年ノーベル賞)が,もう 1 つのさらに重いレ プトンであるタウを 1975 年に発見したとき,なおより深 刻になった. 強い相互作用を持つ荷電パイオン(π ± )は,1947 年山の
パイオンの発見
高さで宇宙線に露出した原子核乾板を用いることで,ラッ テス(Cesare Mansueto Giulio Lattes),オキアリーニ (Giuseppe Paolo Stanislao Occhialini),パウエル(Cecil
Frank Powell)とミュアヘッド(Hugh Muirhead)によっ て発見された.このパイオンによって湯川粒子をめぐるパ ズルが解かれた(パウエルに対して 1950 年ノーベル賞.写 真技術による核反応の研究方法の開発とこの方法による中 間子発見に対して).パイオン族は 1950 年の中性パイオン (π 0 )の発見によって補完された.1949 年以来パイオンは 粒子加速器で人工的にも作れるようになった. この時期まで,素粒子はおもに宇宙線内で見つかっている.
π− , π 0 ) のほかに,電荷 ミューオン(μ± )やパイオン(π + , 図 1.11 霧箱内の中性ケーオンの崩 壊 {4} V 粒子
のあるまた中性のケーオンの飛跡が霧箱の中で見つかった. 中性ケーオンは崩壊し 2 つの荷電粒子になるのでわかる.
K 0 は ‘V’ の字を逆さまにした形になって見える.霧箱内で は,K 0 が崩壊してできた荷電粒子だけが電離によって作 る飛跡が見えるからである(ロチェスター(George Dixon
Rochester)とバトラー(Clifford Charles Butler)1947 年,図 1.11).
1951 年,V 粒子の一部はラムダバリオンと認められた.
バリオンとハイペロン
ラムダバリオンも比較的すぐに 2 つの荷電二次粒子に壊れ 注 5
著者コメント:ミューオンは最初宇宙線にさらされたウィルソン霧箱 中にプロシアの物理学者クンゼ(Paul Kunze)によって見つけられた
(Z. Phys. 83 (1933) 1).彼は電子と陽子の間の質量を持つ粒子の飛 跡を見た.しかし未知の粒子を発見したとは主張しなかった.
11
1.2 新しい素粒子の発見
る(Λ0 → p + π − ).さらに Ξ や Σ ハイペロンが宇宙線の
1953 年).
相対強度
中で発見された(Ξ:アルメンテロス(Rafael Armenteros) 他,1952 年;Σ :トマシーニ(Giovanna Tomasini)他, 宇宙線粒子の局所的な相互作用は別として,全体の特性 も調べられた.ロッシは鉛板の下に,シャワー状に荷電粒 子の生成を見たが,これはまた大気中でも見られた(ポッ ツァー(Georg Pfotzer),1936 年).一次宇宙線は大気 中で相互作用し,拡大空気シャワーを起こす,7.4 節を見よ
大気の 「頂上」 約40km
大気中の高度
海水面
図 1.12 大気中の宇宙線粒子強度の 概形
(オージェ(Pierre Auger),1938 年).これらの宇宙線の シャワーは地上 15 km の高さで最大の強度を持つ(「ポッ ツァー極大」,図 1.12). これより 1 年前(1937 年),ベーテ(Hans Albrecht
Bethe)とハイトラー(Walter Heitler),そして同時に カールソン(J. F. Carlson)とオッペンハイマー(John
Robert Oppenheimer)は,電磁カスケードの理論を展開 し,拡大空気シャワーをうまく記述できると思われた.
acker) ベーテはワイツゼッカー(Carl Friedrich von Weizs¨ とともに,1938 年,長い間謎であった恒星内のエネルギー
恒星のエネルギー源
発生の仕組みを解明した.陽子が融合してヘリウム核を作
核融合
る.その際,核子当たりの結合エネルギー 6.6 MeV を放出 し,それで恒星が輝く(1967 年ノーベル賞).
1937 年フォルブッシュ(Scott Ellsworth Forbush)は 太陽の活動が増すと宇宙線の強度がかなり減ることに関連
太陽風 太陽風
があることに気づいた.太陽活動は荷電粒子から成るある 種の太陽風として吹いてきて,その流入が地磁気の上にさ らに磁場をつけ加える.したがって,太陽活動は宇宙線の 銀河系からの成分を変化させる(図 1.13). 彗星の尾が常に太陽の方向と逆に観測されるのは,ビア
圧縮された 磁場
マン(Ludwig Biermann)によれば,ある種の太陽風のよ うなものが存在するに違いないからである(1951 年).こ 図 1.13
地球磁場 の尾
太陽風の地球磁場への影響
の多かれ少なかれ連続的な粒子の流れは,宇宙探査機マリ ナー 2 号によって 1962 年初めて直接観測された.太陽風は ほとんど電子と陽子で,それに少量の α 粒子から成り立っ ている.1 天文単位(太陽から地球までの距離)での粒子強 度は 2 × 108 イオン /(cm2 s) である.この太陽プラズマの
12
第 1 章 歴史的展望によるまえがき
伝播は太陽磁場の一部を運ぶので,一次宇宙線粒子が地球 にやってくるのを多少妨げる.
1949 年には一次宇宙線はおもに陽子から成ることが明ら かになった.シャイン(Marcel Schein),ジェシー(William
Jesse)とウォラン(Ernst Wollan)は気球実験で,宇宙放 射線の運び手が陽子であることを見極めた. フェルミ加速機構
フェルミ(Enrico Fermi. 1938 年ノーベル賞,中性子放 射による新しい放射性元素と遅い中性子による核反応に対 して)は宇宙線粒子と大気中の原子核との,また太陽磁場 や地球磁場との相互作用を研究した.彼はまた早くも 1949 年には,宇宙線粒子を非常に高いエネルギーまで加速する 機構を考えていた.
一次宇宙線の化学組成
その間に,電子,陽子,α 粒子に加えて,重い原子核の宇 宙線中の全スペクトルがわかってきた(フライアー(Phyl-
lis Freier),ブラット(Helmut L. Bradt),ペーターズ (Bernhard Peters),1948 年).1950 年,テル・ハール (Dirk ter Haar)は超新星爆発が考え得る宇宙線の起源で はないかと論じた.この考えは後にシミュレーションや測 定によって確かめられた. 反粒子の発見
1932 年の陽電子の発見の後,2 番目の反粒子として知ら れていた反陽子がチェンバレン(Owen Chamberlain)と
e)によって,1955 年加速器実 セグレ(Emilio Gino Segr` 験で見つけ出された(1959 年ノーベル賞).後になって,一 次宇宙線中にも陽電子(マイヤー(Peter Meyer)とフォー クト(Rochus Vogt),アール(James A. Earl),1961 年)と反陽子(ゴールデン(Robert L. Golden),1979 年)が観測された.しかし,これら一次宇宙線中の反粒子 は反物質から成る源から発するのではなく,もともとの一 次宇宙線が星間物質か大気のごく上層部で起こした二次相 互作用で創られたと考えられている.
1.3 人工衛星時代の幕開け 「宇宙に探索機を送り出すことは洪水 を取り除くようなものだ」
Hannes Alfv´en
1.3 人工衛星時代の幕開け
最初の人工衛星の打ち上げ(スプートニク,1957 年 10 月 4 日)は,宇宙粒子物理学の発展のために,まったく新 しい状況を提供する道を切り開いた.大気は ≈ 28 放射長 (radiation length)を持つ吸収体である.大気の上層部で もこの吸収があるので,一次 X 線やガンマ線放射を観測す るのは以前は無理であった.この電磁放射は,大気の「最上 部」に近い非常に高い所—大気吸収で乱されない—でのみ 調べられる.ややときを経て,初期の X 線観測衛星(たと
X 線観測衛星
えば,1970 年ウフル(Uhuru),1978 年アインシュタイン 観測衛星(Einstein Observatory),1983 年エクソサット ;ジャコーニ(Riccardo Giacconi)に対し 2002 (Exosat) 年ノーベル賞)やガンマ線衛星(たとえば,1967 年ベラ
‚ 線衛星
(Vela),1969 年 OSO-3,1972 年 SAS-2,1975 年 COS注 6)
B)
が打ち上げられた.これらの人工衛星は今まで測
定できなかったスペクトル範囲で,多くの新しいデータを 提供した.銀河中心は X 線やガンマ線領域でも輝いてい る.また,幾つかの高エネルギー宇宙粒子の点源(カニ星 雲,ベラ X1,白鳥座 X3(Cygnus X3),· · · )も初めて見 つかった. 準恒星状電波源(クェーサー,1960 年)の発見で人類は 宇宙の果てまで行けた.複数のクェーサーは,もし本当に宇 宙論的距離にあれば,銀河を全部合わせたものよりよく光っ ているように思われる.それらまでの距離はスペクトル線 の赤方偏移から決められる.今までに知られている最も遠 いクェーサーは 2001 年に見つかったが,z =
λ−λ0 λ0
= 6.28
の赤方偏移を持つ.さらに遠い赤方偏移として,z = 10 の 銀河 Abell 1835 IR 1916 がある.この銀河が見つかった のは,この視線上にあった巨大な質量の銀河団による強力 な重力レンズによって,光が約 50 倍に増幅されたからであ る [1].第 8 章で議論するように,クェーサーは宇宙が現在 の年齢の 5 %以下の若いときの状態を映し出している.し たがって,このクェーサーは 130 億(13 billion)光年離れ
注 6
OSO—Orbiting Solar Observatory(軌道太陽天文台),SAS— Small Astronomy Satellite(小型天文衛星).
クェーサー
13
14
第 1 章 歴史的展望によるまえがき
た所にある
注 7)
.最初,この観測されたクェーサーの赤方
偏移は重力か宇宙論かが原因ではないかという論争があっ た.現在,観測されたこの大きい赤方偏移は宇宙のハッブ ル膨張の結果であることに疑いは無い. 宇宙が膨張していることは,過去のあるとき大爆発を起こ
ビッグバン理論
したことをにおわせる.このビッグバン仮説によれば,大爆 発は約 140 億年前に起こったのに違いないとの結論になる. 定常状態宇宙
ビッグバン模型は,宇宙はいつも定常状態であるという従 来の考えとかなり長い間張り合った.定常状態モデルとは, 古い星が死に絶える間に新しい星が連続的に生まれ,全体 として宇宙は時間に関係なく一定であるとする仮定に基づ く.一方,ガモフ(George Gamow)は,ビッグバンから 残された輻射が現存するはずであると 1940 年代から推測 してきた.彼の推定によれば,この輻射の温度は数ケルビ
宇宙背景放射
ンであった.ペンジアス(Arno Allan Penzias)とウィル ソン(Robert Woodrow Wilson)(1978 年ノーベル賞) は 1965 年,ノイズが小さいラジオアンテナを開発中,偶然 にビッグバンからのこの電波の反響を検出した(図 1.14) 注 8)
.この発見によって,ビッグバン模型は最終的に一般に
受け入れられた.この黒体放射の正確な温度は COBE
注 9)
衛星により,1992 年に 2.726 ± 0.005 ケルビンと測定され た
注 10 )
.
COBE はまた,2.7 ケルビン黒体放射の空間の非対称性が ΔT /T ≈ 10−5 程度であることを見出した 注 7
注 11)
.このこと
科学の文献では通常の慣わしでは 109 を billion としている.一方
billion を 1012 とする国もある.この本では一貫して billion は百万の 千倍つまり 109 とする. 注 8
彼らのホルンアンテナの雑音(ノイズ,noise)を減らそうと試みると き,鳩の糞が深刻な問題であった.装置全体をいくらきれいにしても, 雑音がどうしても残った.ペンジアスは「我々は宇宙の誕生を見ている のか,鳩の糞の塊を見ているのか」といったと報告されている.
注 9 注 10
COBE—COsmic ray Background Explorer(宇宙背景放射探査機). 現在(2006 年)の一番正確な黒体放射の温度は 2.725 ± 0.001 K であ る.
注 11
COBE の結果によって,マザー(John Cromwell Mather)とスムー ト(George Fitzgerald Smoot III)に 2006 年ノーベル賞.受賞理 由は宇宙マイクロ波背景が黒体放射と一致し,非等方性を持つことの発 見.
1.3 人工衛星時代の幕開け
15
から,初期宇宙はずんぐりした構造で,それは銀河形成の 種だと考えることができる. 宇宙論の進展に平行して,レーダーマン(Leon Max Le-
derman),シュワルツ(Melvin Schwartz)とスタインバー ガー(Jack Steinberger)による 1962 年の著名な 2 つの ニュートリノ実験(1988 年ノーベル賞)は宇宙粒子物理学 の進展上重要な歩みを示した.この実験は原子核のベータ 崩壊から出るニュートリノとパイオン崩壊からのニュート リノとは同一でないことを証明した(νμ = νe ).今は,3 世代のニュートリノが知られている(νe ,νμ と ντ ).タ ウニュートリノの直接測定は,比較的最近(2000 年 7 月) 注 12 )
DONUT
実験によってようやく行われた.
1967 年,デイビスの実験による太陽ニュートリノ観測は
図 1.14 黒体放射の測定に使われたホ ルンアンテナの前にいるペン ジアスとウィルソン {5}
ニュートリノ天文学分野の始まりを印した(デイビスに対 して 2002 年ノーベル賞).事実,デイビスは太陽ニュー トリノのフラックスが不足しているのを測定した.これは 注 13 )
後に続いた実験,GALLEX,
注 14 )
SAGE,
そしてカミ
オカンデ(小柴昌俊に対して 2002 年ノーベル賞)によっ て確かめられた.太陽ニュートリノ問題は,太陽内の物理 についての理解が不十分だからであるというのは,ありそ うもないと考えられた.1958 年,ポンテコルボ(Bruno ニュートリノ振動
Pontecorvo)はニュートリノ振動によるのではないかと強 く主張した.現在,そのような振動(νe → νμ )で太陽ニュー トリノ欠損が説明されると,一般に受け入れられている.こ のことは,ニュートリノは非常に小さいが 0 ではない質量 を持つことを意味する.電磁相互作用と弱相互作用を統一 した電弱理論(electroweak theory)の枠組み(グラショウ (Sheldon Lee Glashow),サラム(Abdus Salam),ワイ ンバーグ(Steven Weinberg) 1967 年;1979 年ノーベル 賞)では,ニュートリノ質量が 0 でないことは予知できな 注 12
DONUT—Direct Observation of NU Tau (ντ )(ニュータウの直 接観測).
注 13
GALLEX—German–Italian GALLium EXperiment(独–伊,ガ
注 14
SAGE—Soviet American Gallium Experiment(ソ連–アメリカ,
リウム実験). ガリウム実験).
電弱理論
16
第 1 章 歴史的展望によるまえがき クォーク
かった.物質の基本的構成要素であるクォークの導入(ゲル マン(Murray Gell-Mann)とツヴァイ(George Zweig)
1964 年,ゲルマンに対し 1969 年ノーベル賞)と量子色力 学(quantum chromodynamics; QCD)理論による彼ら 標準模型
の描写は電弱理論を素粒子の標準模型に拡張した(フェル トマン(Martinus Justinus Godefriedus Veltman),ト ホーフト(Gerardus t’Hooft);1999 年ノーベル賞). この模型では,素粒子の質量は前もって計算できない.し たがって,特に実験結果から決めなければならない 18 個の フリーパラメータを含んでいる標準模型に,小さいが 0 で ないニュートリノ質量は深刻な問題をもたらすものではな い.しかし,質量 0 でないニュートリノ 3 世代は,さらに
7 個のパラメータ(3 つの質量パラメータと 4 つの混合パ ラメータ)をつけ加える.標準模型は理論家にとって究極 的理論ではないと一般に信じられている. チャームメソン
宇宙線中におけるチャームメソンの発見(丹生潔他,1971
4 番目のクォーク
年)と加速器実験による第 4 番目のクォーク存在(リヒター (Burton Richter)とティン(Samuel Chao Chung Ting)
1974 年;1976 年ノーベル賞,図 1.15)の確証はゲルマ ンやツヴァイの標準模型を拡張した(アップ(up),ダウ ン(down),ストレンジ(strange),チャーム(charm)). 一般相対論とシュワルツシルトの重力特異点の形成につ いての考えは 1970 年,強い X 線源白鳥座 X1 の詳しい調 白鳥座 X1 と重力特異点
査によって支持された.白鳥座 X1 の光による観測は,こ の密集した X 線源は我々の太陽の質量の 10 倍を持つこと を示した.この天体からの X 線強度が急速に変化するので,
白鳥座 X1 はブラックホール?
この源は直径が約 10 km しかないとされた.これと同程度 の直径を持つ典型的な中性子星は太陽の 3 倍の質量しかな い.白鳥座 X1 のような大きな質量を持つ天体では,縮退 中性子のフェルミ圧力に打ち勝つ大きな重力収縮が実現さ れているのであろう.このことから,白鳥座 X1 の中心に ブラックホールが存在するのに違いないと結論される.
ホーキング放射
ホーキング(Stephen Williams Hawking)は 1974 年ま でにすでに,一般相対性理論と量子物理学とをある局面で うまく統一していた.彼は事象の地平線(event horizon) の外側に重力エネルギーからフェルミオン対を生成するこ
1.3 人工衛星時代の幕開け
とで,ブラックホールが蒸発できることを示し得た.もし
17
ブラックホールの蒸発
フェルミオンの 1 つがブラックホールから抜け出すならば, その全エネルギーつまりは質量が減る(ホーキング放射). しかし,質量の大きいブラックホールの蒸発過程の時定数 は,宇宙の年齢よりも多くの桁数を掛けたものになる. 重力波が地上で測定されるなら,ブラックホール生成や他 の宇宙の大激変に関する疑問を解いてくれるのではないか との望みがある.このような望みは,1969 年のウェーバー (Joseph Weber)による重力波の実験で高められた.今ま でのところ,これら初期の実験ではっきりした徴候は確認
図 1.15 励起されたチャーム粒子の崩 されていない.ウェーバーの結果は一般に,日常的なバッ 壊(ψ → ψ + π + + π − と続 く崩壊 ψ → μ++ μ− ) クグラウンドによるものだとされている.
これに対して,テイラー(Joseph Hooton Taylor Jr.) とハルス(Russell Alan Hulse)は,1974 年にパルサーと 中性子星から成る連星系を観測して重力波放射の間接的証 拠の提供に成功した(1993 年ノーベル賞).彼らはこの連 星系を用いて,一般相対論の予言を詳しく検査できた.こ の系の楕円軌道の移動(近星点移動(回転))は,惑星で ある水星の近日点移動より 1 万倍大きい.連星の公転周期 がだんだん短くなっていくのは,重力波放射によるエネル ギー損失がまさに関係している.連星系伴星の公転速度の 大きくなる率や公転周期の減り方の観測値は,一般相対性 理論から求めた理論値と 1 ‰以内で一致した. 宇宙にはすぐには説明できないような過程が存在すると思 われる.1967 年に発見されたガンマ線バースター(GRB:
gamma-ray burster)がまさにそれである.軍の偵察衛星 に積まれたガンマ線検出器が γ バーストを観測したとき, 驚きが走った.この衛星は,熱核爆発(水素爆弾)のテス トを禁止する条約に違反が無いかを監視するために軌道に あった.この発見は軍の機密として,しばらくは知らされ なかった.しかし,γ バーストが地球からでなく,外の宇宙 から来ているのが明らかになったので,その結果が発表さ れた.ガンマ線バースターは非常に短い時間,ただの 1 回 だけ輝く.その持続時間は 10 ミリ秒から数秒までである.
γ バーストは超新星爆発か中性子星同士の衝突かと考えら れている.
γ 線バースター
18
第 1 章 歴史的展望によるまえがき
c Sidney Harris
周期律
宇宙粒子物理学の素粒子面では,b クォーク(レーダーマ
トップクォークとボトムクォーク
ン,1977 年)と t クォーク(CDF 共同実験,1995 年)の 発見で完結したと思われる.今や 6 個のレプトン(lepton) (νe ,e−;νμ ,μ−;ντ ,τ − )とそれらの反粒子(ν¯e ,e+;
ν¯μ ,μ+ ;ν¯τ ,τ + )が知られている.これらレプトン族は 6 個のクォーク(アップ(up),ダウン(down);チャー ;トップ(top),ボト ム(charm),ストレンジ(strange) ム(bottom))とそれらの反クォークに対応している.こ れら物質を作る粒子は 3 つのファミリー(family)あるい は「世代(generation)」で整理することができる.宇宙 物理学における原始の重水素,ヘリウム,リチウムの存在 量の測定は,軽いニュートリノと同様,ただ 3 世代がある ことをすでに示していた.この 3 世代の宇宙物理的結果は, 注 15 )
後に 1989 年の大型電子–陽電子コライダー LEP
(図
2.1 も見よ)によって,疑問の余地がないものとして確かめ られた.フェルミオン 3 世代を持つ素粒子の標準模型はま グルーオン
W + ,W ` ,Z
注 16)
た,強い力の運び手であるグルーオン(DESY, +
1979
−
年),と弱い相互作用を媒介するボソン(W ,W ,Z ;
注 15
LEP—Large Electron–Positron コライダー(衝突型加速器),ジュ ネーブ郊外の CERN にある.
注 16
DESY—Deutsches Elektronen Synchrotron(ドイツ電子シンクロ トロン),ハンブルクにある.
1.3 人工衛星時代の幕開け 注 17)
CERN
1983 年;ルビア(Carlo Rubbia)とファンデル
メーア(Simon van der Meer)に対し 1984 年ノーベル賞) の発見からも立証された.強い相互作用理論でクォークの漸 近的自由性を見出したグロス(David Jonathan Gross), ポリッツァー(Hugh David Politzer)とウィルチェック (Frank Wilczek)は 2004 年のノーベル賞に輝いた. 超新星 1987A の爆発が銀河系外のニュートリノバース トとともに観測されたことはまさに宇宙粒子物理学の幕開 けであった.放出されたおそらく 1058 個のうち,たった の 20 個のニュートリノを捕まえただけだが,実験室では それまで寄りつけなかった素粒子物理の実験研究が可能と なった.ニュートリノの到達時間の散らばりから物理学者 はニュートリノ質量の上限(mνe < 10 eV)を引き出すこ とができた. ニュートリノ源が 170,000 光年離れた大マ ゼラン星雲の中にあるということだけから,ニュートリノ の寿命の下限が推定される.SN 1987A からのガンマ線の
図 1.16 タランチュラ星雲内の SN 1987A 超新星の爆発 {6}
放射から,超新星モデルから予言されていた鉄,コバルト, ニッケルに至る重い元素が爆発の際,合成されるのが確か められた.望遠鏡の発明以来初めて目で見えた SN 1987A は天文学と天体物理そして素粒子物理との理想的な共生の 道をつけた(図 1.16). 高分解能 X 線天文衛星 ROSAT
注 18)
の打ち上げが 1990
ROSAT
年成功し,多くの X 線源発見の道を切り開いた.同じ年に スタートしたハッブル望遠鏡は,ややピンぼけだったのを宇
ハッブル望遠鏡
宙空間で劇的に調整した後,星や銀河の光のかつてない品質 の画像を提供している.ROSAT の成功したミッションは,
1999 年打ち上げられた X 線天文衛星チャンドラ(チャン ドラセカール(Subrahmanyan Chandrasekhar)の名前に 注 19 )
由来,1983 年ノーベル賞)と XMM
に引き継がれた.
コンプトンガンマ線観測衛星(Compton Gamma–Ray 注 17
CERN—Conseil Europ´ een pour la Recherche Nucl´eaire(ヨー
注 18
ROSAT—ROentgen SATellite of the Max-Planck Institute for Extraterrestrial Physics, Munich(マックス–プランク研究所(ミュ
ロッパ合同原子核研究機構).
ンヘン)地球圏外物理学部門のレントゲン衛星). 注 19
XMM—X-ray Multi-Mirror mission(X 線多重鏡観測衛星),2002 年にニュートン観測衛星と改名.
CGRO
19
20
第 1 章 歴史的展望によるまえがき
Observatory(CGRO)1991 年打ち上げ)は GeV ガンマ 線天文学の扉を開けた.地上に置かれた空気チェレンコフ望 遠鏡や拡大空気シャワー実験は,我々の天の川銀河中や銀河 系外にある TeV ガンマ線点源を特定することができた(そ れぞれ,カニ星雲(Crab Nebula),1989 年とマルカリア ン(Markarian)421,マルカリアン 501, 1992 年).マル カリアン銀河の活動銀河核(active galactic nuclei, AGN) はまた,高エネルギー宇宙線荷電ハドロンの源としての有 力な候補とされている.
軌道速度
測定された 軌道速度
1.4 未解決の問題 「宇宙がどんなに単純であるかがわか
ケプラー軌道
ると,それがどんなに不思議なもので あるかがわかる」
作者不明
銀河中心からの距離
宇宙粒子物理学でいまだに未解決な疑問は, 暗黒物質と
光年
暗黒エネルギーの問題である.我々の天の川銀河内の星の
図 1.17 天の川銀河内の星の軌道速度 のケプラー軌道の速さとの 比較
軌道速度や銀河団中の銀河速度の観測から,宇宙にある観 測できる物質のエネルギー密度だけで,これらの運動を記 述するのは不十分であるのは明らかである(図 1.17). 注 20)
MACHO,EROS
1990 年代初めから,MACHO
や EROS 実験
注 21 )
が
マイクロレンズの技術を用いて,天の川銀河のハローの中 に小さくて光らない木星のような天体が無いかを,探して いる.数個の候補があるにはあるが,宇宙内の見つからな い暗黒物質を説明するのに十分な数にほど遠い.異種の今 超対称性粒子
WIMPs
注 22 )
まで未知の粒子(超対称性粒子,WIMPs
,· · · ),また
は重いニュートリノが見つからない暗黒物質の問題解決に 役立つと推測できよう.ゼロでない宇宙の真空エネルギー 密度もまた,宇宙の力学や発展に決定的な役割を演じてい ることが知られている.
ゼロでないニュートリノ質量 注 20
1998 年にスーパーカミオカンデ(Super-Kamiokande) MACHO—search for MAssive Compact Halo Objects(質量が大 きく小さいハローにある天体(探索)).
注 21
EROS—Exp´ erience pour la Recherche d’Objets Sombres(暗黒
注 22
WIMP—Weakly Interacting Massive Particles (弱い相互作用だ
物質探索実験). け持つ質量大の粒子).
1.4 未解決の問題
実験は,大気中の電子ニュートリノとミューオンニュートリ ノの存在比の研究から,ニュートリノの質量がゼロではな い証拠を見つけた.大気中のミューオンニュートリノの不足 が観測され,それはニュートリノが 1 つのレプトンフレー バーから他のレプトンフレーバーに振動する(νμ → ντ ) という仮定から,容易にすっきりと説明される.この振動は ニュートリノが質量を持っているときだけ可能である.し かし,現在受け入れられている ντ の質量は 0.05 eV であっ て,これだけで宇宙の力学を説明するには不十分である. 太陽ニュートリノに対する振動のシナリオは,2001 年 注 23)
に SNO
実験によって確かめられた.それは,太陽電
子ニュートリノの一部分が振動して,異なるフレーバーの ニュートリノになっていることが実証され,太陽から地球 にそそぐフレーバーに依存しない全ニュートリノフラック ス(νe ,νμ ,ντ )が太陽モデルの予測値との一致を示した ことによる. 素粒子の質量の階層はいまだに未解決の問題である.電
ヒッグス(Higgs)粒子
弱と強い相互作用の標準模型の中では,質量を生み出す のは自発的対称性の破れ(spontaneous symmetry break注 24 )
ing)
,いわゆるヒッグス(Peter Ware Higgs)機構か
ら起こると信じられている.この過程は少なくとももう 1 つの重い中性ボソンが存在すれば都合がよい.CERN の
LEP 実験でこの謎の粒子を運動学的にぎりぎりの質量約 115 GeV まで調べたが見つからず,将来のハドロンコライ ダーに託さざるを得ない. ごく最近の同じくらい興奮する発見としては,宇宙膨張 の加速を示すパラメータの測定がある.古いビッグバン説 をもとに,我々は爆発の最初の押し出しが重力によって減 速するものだと思っていた.しかし,はるか遠い超新星爆 発の観測(1998 年)から,宇宙年齢の早い時期における膨 張の割合は現代より小さいと思われた.加速されつつある宇 宙—現在では一般に受け入れられている—の発見は,宇宙 注 23
SNO—Sudbury Neutrino Observatory(サドベリー(カナダの地 名)ニュートリノ観測所).
注 24
訳注:南部陽一郎は最初にこの考えを導入したことで 2008 年ノーベル 賞.弦理論の先駆者でもある.
加速されつつある宇宙?
21
22
第 1 章 歴史的展望によるまえがき
論に重大な意味をもたらす.見つかっていない暗黒物質の大 部分は動力学的真空(「クインテセンス(quintessence)」) 中に暗黒エネルギーとして蓄えられていることを,それは 示唆している. 最後に,目立った話として,太陽系外惑星の発見がある(マ
太陽系外惑星
イヨール(Michel Mayor)とクエロッツ(Didier Queloz),
1995 年).それは地球圏外の知能のある生物の存在につい ての議論の再開をうながした.今までのところ,一番近い 太陽系外惑星(「ミレニアム(Millennium)」)はタウボー
otis,うしかい座タウ星)太陽系の中に,カ ティス(Tau Bo¨ ナリア(Canary)諸島にあるハーシェル(Herschel)望遠 鏡で観測されている.その惑星は木星の 2 倍の大きさ,重 さは 8 倍であり,55 光年離れた所にある.今までに約 100 個の太陽系外惑星が見つかっている.宇宙粒子物理学を究 めようとしている知能ある生物は我々人類だけではないか もしれない.
1.5 問題 1. 次のものを算出せよ. (a) 高度が低い軌道を持つ地球の人工衛星の速度. (b) 地球からの脱出速度. (c) 静止衛星の地表からの高度.静止衛星をどこに置い たらよいか?
2. 地球磁場(0.5 ガウス)に対して垂直に入ってくる太陽 からの粒子(陽子,運動エネルギー 1 MeV とする)の 曲がりの半径はいくらか? 遠心力とローレンツ力の関 係 (6.1) を用いよ.そして,古典力学での計算か相対 論的計算か,どちらが適当かを議論せよ.
3. 大気中におけるミューオンの平均エネルギー損失を概 算せよ(作られる高度は 20 km,ミューオンの平均エ ネルギー ≈ 10 GeV とする.図 4.2 と照合せよ)
注 25 )
.
4. 1 等級だけ異なる 2 つの星の明るさの比はいくらか? (等級(magnitude)の定義は用語集を見よ) 注 25
訳注:− dE = 2 MeV/g/cm2 とする. dx
1.5 問題
5. 隕石や小惑星のような小さい天文学的物体は物性的効 果で結合している.一方惑星は重力によって結合して いる.重力結合が物性的結合より勝る最小の質量を概 算せよ.重力ポテンシャルエネルギーが固体の全結合 エネルギーより大きくなったとき,重力結合が勝る.固 体のそれは物体中の原子数に比例するとする.平均質 量数 A とボーア半径 rB を使って,平均密度が見積も れる.
6. 赤方偏移 z = 6.68 のクェーサーは現在の宇宙年齢の たった 5 %以下の知識を与える,とこの章で述べた.赤 方偏移を宇宙の年齢に換算できるか?
23
第2章
素粒子の標準模型
「科学の最も根本的な考えは本来単純 であり,通常誰にでも理解できる言葉で いい表せる」
Albert Einstein
ここ数年で素粒子の首尾一貫した描像が明らかになって きた.原子模型の発展以来,実験の分解能が進むにつれ,科 学者達はますますより小さい構造を調べることができるよ うになった.原子のほとんどの質量を持つ原子核でさえ合成
原子核の構成
物である.原子核を作っているブロックの陽子と中性子も, 核子の構成 電子–核子散乱実験から明らかになったように顆粒状の構造 を持っている.単純なクォーク・パートン模型では,核子は
3 つのクォークから成る.粒子がより小さい構成物を包んで いるという,当初は基本的で初等的であると思われた玉ね ぎ型の見方は,クォーク(訳注:クォークそのものは見つか らない.以下参照)やその力学の発見によって終わりを迎 えたようだ.原子,原子核,陽子,中性子は自由粒子とし
クォークの閉じ込め
て,実験で観測できる.しかし,クォークはそれ自身で構成 しているハドロンの牢獄から,決して逃れることはできな い.多数の実験による徹底的な探索にもかかわらず,自由 なクォークを未だに誰も見ることができない.クォークの 相互作用を記述する量子色力学(QCD)だけが,運動量の 大きい所でクォークの漸近的自由(asymptotic freedom) を可能にする.核子内の束縛されているクォークは概して 低い運動量を持つので, 「赤外奴隷(infrared slavery)」を 受けている.この閉じ込めはクォークが互いに離れること を許さない. クォークは強い相互作用を持つハドロン物質の構成要素 −17
である.クォークの大きさは 10
m 以下である.クォーク
に加えて,弱い相互作用と電磁相互作用を持つレプトンが ある.最強の分解能を持つ顕微鏡(蓄積リング型加速器) で見ると,クォークとレプトンは点状粒子で内部構造は無
クォークとレプトン
26
第 2 章 素粒子の標準模型
い.レプトンの 3 つの異なる型(電子,ミューオン,タウ)
ハドロン
が知られている.各々の荷電レプトンはそれぞれのニュー トリノ(νe ,νμ ,ντ )を持つ.弱い相互作用を媒介する中 断面積
性の Z 粒子の精密な研究によって,軽いニュートリノには 正確に 3 つの粒子族(訳注:世代)があることがわかった (図 2.1). の質量中心系の エネルギー
図 2.1 Z 崩壊からのニュートリノ世 代数の決定
c Vladim´ ır Renˇ c´ ın
この結果は Z の全崩壊幅の測定から得られた.ハイゼン ベルクの不確定性原理によれば,相補的な物理量の分解能 はプランク(Max Karl Ernst Ludwig Planck)(1918 年 ノーベル賞)定数(h = 6.626 0693 × 10−34 J s)によって 本質的に制限されている.エネルギーと時間の相補的な量 間の関係は
ΔE Δt ≥ /2 ( = h/2π) .
(2.1)
もし,Δt = τ が粒子の寿命ならば,関係式(2.1)は,崩 壊幅 ΔE = Γ は τ が短くなれば大きくなることを意味す る.軽いニュートリノに多くの世代があれば,Z 粒子はこ れらすべてのニュートリノに崩壊できる.
Z → νx + ν¯x .
(2.2)
これらの崩壊は,仮にそれぞれの世代に伴った荷電レプト ン x が重すぎて Z がそれに崩壊できないとしても,起こり ニュートリノ世代
得る.異なる軽いニュートリノの数が多いと Z の寿命が短 くなり,したがって崩壊幅が大きくなる.Z の崩壊幅の正 確な測定が,1989 年に LEP(大型電子–陽電子コライダー) の蓄積リングで行われ,軽いニュートリノ世代の数が決め られた.それはレプトンと同じ,正確に 3 世代であった.
原始時代のヘリウム存在量
原始時代のヘリウムの存在量の測定から,ニュートリノ 世代数についての制限が物理学者によってすでに引き出さ
27 れていた.初期宇宙の核合成は,ビッグバンの後,宇宙を 冷やすことのできる相対論的粒子の数によって本質的に決 まる.核子が核内に束縛され始めるエネルギー(≈ 1 MeV) に対応する温度 ≈ 1010 K で,これら相対論的粒子とは陽 子,中性子,電子とニュートリノとから成る.もし多くの 違ったニュートリノフレーバーがあれば,ニュートリノは
核合成
ほとんど相互作用をしないので,もともとの火の玉から大 量のエネルギーが漏れ出る.その結果温度は急激に下がる だろう.この急な温度降下は中性子にとっては,原子核を 作る束縛エネルギーに達するまでの時間が非常に短くなる ことであり,それまでに崩壊する間(寿命 τn = 885.7 s)が ほとんど無くなる.崩壊しない中性子が多ければ,安定し た陽子と一緒になって,ヘリウムを作ることができる.そ れゆえ,原始ヘリウムの存在量はニュートリノの世代を指 定するものとなる.1990 年,実験で決められた原始ヘリウ ムの存在量から,異なった軽いニュートリノの数は最大 4 個とされた. 加えて,クォークの世代数はまた 3 つであり,レプトン クォークの性質 の 3 世代と 1 対 1 の対応をしている.
νe νμ ντ e− μ− τ− . u c t d s b
(2.3)
これら基本物質粒子の特性を表 2 に示す.クォークは(素 電荷を単位として)分数の電荷を持つ.3 つのそれぞれの フレーバー 世代(ファミリー)にあるクォークのいろいろな種類(u,
d;c,s;t,b)は異なるフレーバーによって特徴づけられ る.直接測定から,ニュートリノ質量はゼロであっても矛
ニュートリノ質量
盾せず,単に上限が実験的に与えられるだけである.しか し,スーパーカミオカンデと SNO の実験結果は,ニュート リノ振動で説明でき,ニュートリノは小さい質量を持って いると強調しておく必要がある.現に,電弱相互作用と強 い相互作用を統一しようとする大統一理論(GUT:Grand
Unified Theory)では,ニュートリノは小さいがゼロでな い質量を持つと予言されている.クォークについては,質量 のおよその値しか与えられない.というのは,自由なクォー
ニュートリノ振動
28
第 2 章 素粒子の標準模型 表 2.1: 素粒子の周期律表:物質粒子(フェルミオン)[2] レプトン ,スピン
1. 世代
電荷
[e]
1 ~ 2
フレーバー
2. 世代 質量
フレーバー 2
−9
< 2.5 × 10 95 % CL
νe 電子
ニュートリノ
−1
νμ ミューオン
5.11 × 10
e
μ
質量 [GeV/c2 ]
電荷 フレーバー
[e] u
−1/3
< 1.9 × 10 90 % CL
c
1.15 ∼ 1.35
ストレンジ
s
τ
1.777
(反クォーク q¯)
質量 [GeV/c2 ]
4 × 10−3 ∼ 8 × 10−3
d
< 0.018 95 % CL
タウ
フレーバー
チャーム
タウ
ニュートリノ
0.106
1.5 × 10−3 ∼ 4 × 10−3
ダウン
ντ
ミューオン 1 ~ 2
質量
[GeV/c2 ]
−4
ニュートリノ
−4
電子
アップ
フレーバー
[GeV/c ]
クォーク q ,スピン
+2/3
3. 世代 質量 2
[GeV/c ] 0
(反レプトン ¯)
フレーバー
質量 [GeV/c2 ]
t
174.3
トップ
0.08 ∼ 0.13
b
4.1 ∼ 4.4
ボトム
クは存在せず,ハドロン内のクォークの結合エネルギーか らざっと推定されるだけであるからである.表 2 に載せた 各粒子について,すべてもともとの粒子と違う反粒子が存 在する.つまり,実際には基本的なレプトン 12 個と同じ数 のクォークがある. 素粒子間相互作用
素粒子間の相互作用は異なる力で左右される.強い,電 磁,弱い,重力相互作用で区別された全部で 4 つの力があ
電弱理論
る.1960 年代,電磁相互作用と弱い相互作用は統一できて, 電弱理論となった.すべての相互作用の担い手は整数スピ
ボソンとフェルミオン
ンを持った粒子(ボソン)であり,物質を構成する粒子が すべて半整数スピンを持つ(フェルミオン)とは対照的で ある.これらボソンの特性は表 2.2 にまとめた. 電弱相互作用のゲージボソンや強い相互作用のグルーオ ンの存在ははっきりしているが.重力の担い手である重力 子(グラビトン,graviton)はまだ見つかっていない.相
重力の弱さ
互作用の特性は表 2.3 で比較している.重力は強い相互作 用と比べて 10−40 の強さしかないので,微視的な領域では 完全に無視できるのは明らかである. 単純なクォーク模型では,強い相互作用を持つすべての
価クォーク
粒子(ハドロン)は価クォークから構成される.バリオン
29 電弱 相互作用 スピン [~] 電荷 [e] 2
質量 [GeV/c ] 強い スピン [~]
質量 [GeV/c ] 重力 スピン [~]
質量 [GeV/c ]
相対的 強さ 到達距離 例
0
−1
+1
0
0
80.4
80.4
91.2
0
0
電弱 弱
↓
粒子
1
重力
特性
交換する
1
0 2
粒子
1
2
電荷 [e]
影響を受ける
1
表 2.2 素粒子の周期律表:力の担い 手(ボソン)[2]
重力子 G
相互作用
に作用
Z
0 2
作用
W+
1
電荷 [e]
→
W−
グルーオン g
相互作用
相互
γ
質量–エネルギー フレーバー すべて
クォーク, レプトン
強 電磁 電荷
すべての 荷電 粒子
カラー荷 クォーク, グルーオン
重力子 G
W +, W −, Z
γ
グルーオン g
10−40
10−5
10−2
1
∞
≈ 10−3 fm
∞
≈ 1 fm
原子内の
核内の
結合
結合
地球–月 の系
β 崩壊
は 3 つのクォークの系であり,一方メソンはクォークと反 クォークの系である.バリオンの例として,陽子は uud,中 性子は udd で構成される.同様に,メソンの一例としてプ ラス電荷のパイオンを見ると,ud¯ の系である.まったく同 一でスピンも同じ方向の 3 つのクォークから成るバリオン
表 2.3 相互作用の特性
30
第 2 章 素粒子の標準模型
(Ω − = (sss),スピン 32 )が存在することから,クォー 隠された量子数
クは隠された量子数を持つに違いないことが暗に示される. そうでないと,パウリの排他律が破れる.この隠された量
クォークのカラー
子数をカラーとよぶ.電子–陽電子の相互作用は,正確に 3 つの異なるカラーがあることを示す.それぞれのクォーク はそれゆえ,3 つのカラーのうち 1 つを持って現れる.し かし,観測されるすべてのハドロンは中性のカラーを持つ. カラーの 3 つの自由度を赤(red,r ),緑(green,g ),青 (blue,b)とするならば,陽子は ured ugreen dblue から作ら
海クォーク
れる構成物である.価クォークに加えて,ハドロン内には また仮想(virtual)的なクォーク–反クォーク対の海(sea) がある.
グルーオン交換によるハドロン内
ハドロンを形成するクォークはグルーオンの交換によっ
のクォークの結合
て,ともに支え合う.グルーオンはクォーク間を媒介する ので,2 つのカラー,すなわち,カラーと反カラー(訳注: 補色)を持たないといけない.それぞれ 3 つのカラーと反 カラーがあるので,3 × 3 = 9 種類のグルーオンが存在する はずである.しかし,量子色力学では 8 個のグルーオンと
qb
g rb
1 個の(r¯ r + g¯ g + b¯b)となり,後者は色を持たない.8 個 √ のグルーオンは,r¯ g ,r¯b,g¯b,g¯ r,b¯ r,b¯ g ,(r¯ r − g¯ g )/ 2, √ (r¯ r + g¯ g − 2b¯b)/ 6 である.クォークがグルーオンを放出 する非常に簡単な図を図 2.2に示した.
qr
図 2.2 クォークによるカラーグルー オンの形成 核内の核子の結合
電気力の余った相互作用で分子が結合しているのとまっ たく同様に,グルーオンの残留相互作用(訳注:用語集参 照)で核内の核子が結合している.
2.1 相互作用過程の例 「量子力学ではエネルギー的に違法な 領域でもすばやくこっそりと出入りで きる」
素粒子の相互作用はファインマン図
Richard P. Feynman 注 1)
(Richard Phillips
Feynman) (1965 年ノーベル賞)で,グラフとして表せる. ファインマン図によって手早く断面積が決められる.以下 注 1
用語集を見よ.
31
2.1 相互作用過程の例
に幾つかの相互作用過程を示し,基本的なクォーク–レプト ンの構造を描写しよう. 電子と陽子とのラザフォード散乱は光子で媒介される(図
2.3). –
e
–
–
–
g
g
p
p
e
e
e
p
}
図 2.3 電子の陽子によるラザフォー ド散乱
u u d
u u d
}
図 2.4 光子–クォーク過程としての ラザフォード散乱
p
–
ne
しかし,高エネルギーになると光子は陽子全体とではなく,
e
その要素であるクォークの 1 つと相互作用する(図 2.4).核 W
子の他のクォークは相互作用に,単にスペクテーター(spec-
–
tator,傍観者)として関与するだけである.光子は電気的 に中性な粒子だから,相互作用で標的粒子の性質を変える ことはできない.しかし,弱い相互作用では荷電ボソンが 世代内の粒子間で交換され得る.一例として,図 2.5 は電子 +
ニュートリノの中性子との散乱が荷電カレント(W ,W
−
n
}
d d u
中性カレント相互作用(Z 交換)において,ニュートリノ は中性子で散乱された後,その性質を変えない.電子ニュー トリノが電子によって散乱されるときは,荷電カレントと 中性カレントが寄与し得る.これはミューオンニュートリ ノやタウニュートリノと電子との散乱のときも同じである (図 2.6). −
ベータ崩壊 n → p + e
核のベータ崩壊
+ ν¯e は弱荷電カレントによって
媒介され(図 2.7),そこでは中性子内の d クォークが仮想 的な W − を放出して,u クォークに変わる.W − は直ちに レプトン第 1 世代に崩壊する(W − → e− ν¯e ).原理的に
¯d のようにも崩壊できるが, は W − → μ− ν¯μ とか W − → u これは運動学的に許されない.ミューオン崩壊も同様な仕 方で描ける(図 2.8).ミューオンはその電荷を W
−
に移
}
図 2.5 荷電カレントによるニュート リノ–中性子散乱
の交換)反応によることを示す.
素粒子の崩壊も同様な方法で描写できる.核の中性子の
u d u
ミューオン崩壊
p
32
第 2 章 素粒子の標準模型
し,自分自身は第 2 世代の中性レプトン νμ に変わる.W − は,再び e− ν¯e に壊れる. ne
–
ne
ne
e
W
Z
–
–
–
e
e
e
ne
nm
nm
nm
m
W
Z 図 2.6 電子によるニュートリノ散乱 に寄与するいろいろなファイ ンマン図
–
–
e
n
}
u d d
ne
e
u d u W
}
–
–
p
m
nm W
– –
–
e
図 2.8 ミューオン崩壊
–
–
e
–
最後に,パイオン崩壊について検討しよう(図 2.9).
パイオン崩壊
図 2.7 中性子崩壊
–
ne
e
ne
+
m
}
+
p
u
W
この場合,W + は原理的に e+ νe 状態にも壊れることがで
+
d
きる.しかし,この崩壊は以下のヘリシティーを考えると, nm
強く抑制される.パイオンはスピンがゼロの粒子なので,角 運動量保存則から,崩壊後の 2 つのレプトンは反平行スピ
図 2.9 パイオン崩壊
ンを持つ必要がある.ヘリシティー(helicity)とは運動量 ベクトル上にスピンを投影したものなので,ニュートリノ に対しては固定されている(質量の無い粒子では,運動量に 対しスピンは平行か反平行かのどちらかである).粒子は標 準的には負のヘリシティー(スピン −p,左巻き)を持つ.
スピン
スピン
図 2.10 π + 崩壊のヘリシティー保存
そうすると,反粒子として陽電子(スピン p,右巻き)は 不自然なヘリシティーをとらざるを得ないことになる(図
2.10).この異常なヘリシティーを持つ確率は 1 − vc (v は
2.1 相互作用過程の例
荷電レプトンの速さ)に比例する.ミューオンは電子に比 べ質量が大きいので(mμ me ),パイオン崩壊では電子 より非常に小さい速さを持つ.この結果,崩壊後のミューオ ンが不自然なヘリシティーをとる確率は陽電子よりはるか に大きくなる.このため,π + → e+ νe 崩壊は π + → μ+ νμ 崩壊に比べ,強く抑制される(抑制因子は 1.23 × 10−4 ). 種々の素粒子は量子数で特徴づけられる.電荷に加えて, 量子数 クォーク世代(クォークフレーバー),あるいはレプトン 世代(レプトン数)が量子数として導入される.世代それ
レプトン数
ぞれに,レプトンはレプトン数 +1 を割り当て,反レプト ンには −1 を割り当てる.レプトン数は,ミューオン崩壊 の以下の例で示すように,異なるレプトン世代のレプトン 数(Le ,Lμ ,Lτ )が別々に保存する.
μ−
→ νμ
+
e−
+
ν¯e
Lμ
1
1
0
0
Le
0
0
1
−1
.
(2.4)
パリティ変換 P は物理状態の空間反転である.パリティ パリティ は強い相互作用や電磁相互作用では保存するが,弱い相互 作用では最大限破れている.これは弱相互作用過程の鏡に
パリティの破れ
映った状態は物理的実在ではないということになる.自然 は弱相互作用で右と左を区別している. 荷電共役の演算 C を物理状態にほどこすと,すべての電
荷電共役
荷が変わる.つまり,運動量やスピン等は変えずに,粒子 と反粒子を入れ替える.弱相互作用で荷電共役はまた破ら れている.たとえば,ベータ崩壊では左巻き電子(負のヘ リシティー)と右巻き陽電子(正のヘリシティー)が好ま れる.対称的な演算 P と C 個々には保存しないにもかか 弱相互作用で CP 保存? わらず,両者を組み合わせた CP すなわち,空間反転(パ リティ変換 P )と続けて粒子反粒子交換(荷電共役 C )の 演算は十分よい対称性を持つ(訳注:以下にある崩壊を除 いて弱相互作用でも CP は保存する).この対称性は,し CP 変換の破れ かし,ある種の崩壊(K 0 や B 0 崩壊)ではやはり破れてい る.けれども,一般に CP T 対称性(CP 対称性に時間反 CT P 対称性 転を加えたもの)はどんな状況でも保存すると信じられて いる.
33
34
第 2 章 素粒子の標準模型 ストレンジ粒子
ケーオンのような幾つかの粒子は非常にストレンジな (strange,奇妙な)振る舞いをする.それらは多量に作ら れるが,比較的ゆっくりと崩壊する.これらの粒子は強い相 互作用で作られるが,弱い相互作用を通じて崩壊する.こ
ストレンジネス
の性質は量子数ストレンジネスを導入して説明された.ス トレンジネスは強い相互作用で保存されるが,弱い相互作 用では保存しない.強い相互作用でストレンジネスが保存 するので,ストレンジ粒子は対になってのみ生成される.す なわち,1 つのハドロンは 1 つのストレンジクォークを持 ち,もう 1 つのハドロンは 1 つの反ストレンジクォークを 持つ.たとえば,
π− + p → K + + Σ − .
(2.5)
この過程で,K + (= u¯ s) 内の s¯ はストレンジネスが +1,一 方 Σ − (= dds) 内の s はストレンジネスを −1 と割り当て る.弱い相互作用の K + → π + π 0 崩壊では,パイオンはス トレンジクォーク(s)を持たないので,ストレンジネスは 破れる. アイソスピン多重度
ある粒子は荷電状態が違っていても,強い相互作用の下 では同じ振る舞いをするので,アイソスピン多重度として
核子のアイソスピン 2 重項
まとめられる.陽子と中性子は核子であるが,I = 1/2 の アイソスピン 2 重項を形成する.核子のアイソスピンを z 軸に投影した Iz = +1/2 の状態を陽子に,Iz = −1/2 を
パイオンのアイソスピン 3 重項
中性子に対応させる.3 個のパイオン(π + ,π − ,π 0 )は組 み合わさって I = 1 のアイソスピン 3 重項を形成する.こ の場合,Iz = −1 は π − に,Iz = +1 は π + に,Iz = 0 は
π 0 に対応させる.アイソスピン多重度つまり粒子の多重度 m は式 m = 2I + 1
(2.6)
でアイソスピンと関係づけられる. バリオン数
最後にバリオン数について述べる.クォークはバリオン 数 1/3,反クォークは −1/3 と割り当てる.それゆえ,3 つ のクォークから成るすべてのバリオンはバリオン数 1 とな る.一方それ以外のすべての粒子はバリオン数 0 である.
素粒子物理の保存則
素粒子物理の各種相互作用についての保存則を表 2.4 に
35
2.1 相互作用過程の例
まとめる.
物理量 強い 運動量 エネルギー(含む質量) 角運動量 電荷 クォークフレーバー レプトン数 ∗ パリティ 荷電共役 ストレンジネス アイソスピン バリオン数 ∗
表 2.4 素粒子物理の保存則(保存す る:+;破れている:–)
相互作用 電磁 弱い
+ + + + + ./. + + + + +
+ + + + + + + + + – +
+ + + + – + – – – – +
強い相互作用では,レプトン数は関係がない
あいにくクォークが関与する領域で小さいが重要な複雑 さがある.レプトンとクォークの間には,表 2 で見るよう に,完全な対称性がある.しかし,レプトンは自由粒子と して相互作用に関与するが,クォークはそうでない.クォー クの閉じ込めによって,スペクテータークォークは,いつ もなんとかして相互作用に関与するだけである(訳注:直 接には関与しない).荷電レプトンについては,厳密なレ プトン数保存則があって,違った世代のメンバーが互いに 混じることはない.クォークについては,弱過程でストレ ンジネスが交換するのが見られる.Λ 崩壊では,第 2 世代
L
}
u d s W
に属する s クォークが弱ボソン W − を出して第 1 世代の u クォークに変わる. W − は通常 d と u ¯ に変わる(図 2.11). それはあたかも s クォークがときには d クォークのよう
–
u d
のは,d や s クォークでなく,d や s クォークである.d と s クォークは d と s クォークを回転したもので記述でき る.この回転は
d = d cos θC + s sin θC , (2.7)
で表される.ここで,θC は混合角(キャビボ(Nicola Cabibbo) キャビボ角
}
}
図 2.11 ラムダ崩壊:Λ → p + π −
に振る舞うように見える.事実,弱い相互作用で結合する
s = −d sin θC + s cos θC
u d u
p
p
–
36
第 2 章 素粒子の標準模型
角)である. 重みをつけるのに角度を使うのは,重み因子の 2 乗の和
cos2 θ + sin2 θ = 1 となって,自動的に正しい規格化が保証 されるからである.θC は実験で求められていて,約 13 度 (sin θC ≈ 0.2235)である.cos θC ≈ 0.9747 となるので,
d クォークは少し s クォークが混じるが,おもに d クォー クのように振る舞う. CKM 行列
もともとキャビボ(Nicola Cabibbo)によって導入され たクォークの混合は小林誠と益川敏英
注 2)
によってクォー
クすべての 3 世代に,d,s,b から d ,s ,b が得られるよ うに,回転行列によって拡張された.この行列はキャビボ– 小林–益川(Cabibbo–Kobayashi–Maskawa)行列(CKM 行列)とよばれ,
⎛
d
⎞
⎛
⎞ d
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ s ⎟ = U ⎜ s ⎟ . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b b
(2.8)
3 × 3 行列 U の対角線成分は 1 に非常に近い.対角線外の 成分はクォークフレーバーの破れの強さを表す.ニュート リノ族にある同様な複雑さについては後で議論するが,こ の場合質量の固有状態と弱い相互作用における固有状態は 同一ではない(6.2.1 節を見よ). 電弱相互作用と強い相互作用の標準模型は終局的な理論
標準模型の限界
ではあり得ない.この模型は人為的に調節しなければなら ない自由パラメータをあまりにも多く含んでいる.加えて,
ヒッグス機構
基本的なフェルミオンのすべての質量は始めはゼロである. それらは自発的対称性の破れ(ヒッグス機構)によっての み,質量が得られる.もう 1 つ書いておかねばならない非 常に重要な点は,宇宙全体として一番支配的な力である重 力がこの模型で一切考慮されていないことである.今まで 万物の理論(すべての理論)
に,すべての相互作用を統一しようとする万物の理論(す べての理論(Theory of Everything,TOE))が数多く試 みられてきた.そのような包括的な記述のうち,非常に有
弦理論
望な候補は弦理論である.弦理論は素粒子(訳注:ここで 注 2
訳注:クォークが 3 世代であることを予言し,CP 対称性の破れを説明 したことで 2008 年ノーベル賞.
2.1 相互作用過程の例
37
はレプトンとクォークを指す)を点状でなく,1 次元の弦 であるとする仮定を基礎に置いている.弦の異なる励起状 態または振動状態が異なる素粒子に対応する.さらに,あ る種の弦理論は超対称(supersymmetric)である.その対 超対称性(supersymmetry) 称性とはフェルミオンとボソンの間に成り立つものである. 弦理論,特に超弦理論(superstring theory)は高次元空 間で組み立てられている.いわゆる M 超弦理論では,もと もとの 11 次元の中から 7 次元が圧縮され,非常に小さい 寸法にならなければならない.これらは自然界としては観 測できないからである(訳注:残り 4 次元が我々が観測す る時空の次元). 弦理論は目下,量子場の理論と一般相対論を一体化でき る最善の候補だと考えられている.弦理論で素粒子の 3 世 代の問題すらも解くことができるかもしれない.11 次元の 弦理論の枠組みの中で,重力の弱さは重力の一部が余分な
重力の弱さ
次元に漏れ出ていることと関連づけられるかもしれない. 一方対照的にたとえば電磁気力は,よく知っている 4 次元 の世界に限定されている. もし本当に重力が余分な次元に漏れ出しているなら,そ こに入り込んだエネルギーは,宇宙構造に影響を及ぼす暗 黒エネルギーのもとになるかもしれない(暗黒物質につい ては第 13 章を見よ).余分な次元にある重力物質は,その 重力相互作用を通してのみ目に見えてくるだろう. 我々はホログラフィーの宇宙に住んでいるとも考えられ
ホログラフィーの宇宙
る.その意味は,あたかも 3 次元の人間の身体が 2 次元の ホログラム(レーザー写真(訳注:レーザー光線を利用し た写真))で表すことができるように,高次元の空間が低次 元の空間にコード化されているということである. 図 2.12 では,種々の理論を過去どのようにうまくまとめ
てきたか,将来はどうなるかを概観した.人々は温度(= エネルギー)がどんどん上がっていくと,自然は対称性が ますますよくなるのが,当然だと思う.ビッグバンの時代 に存在したような極端な高温では,対称性はあまりにも完 全なので,すべての相互作用は 1 つの普遍的な力で書くこ とができるであろう.高いエネルギーを持つますます大き な加速器が作られつつある理由は,このすべての力の普遍
普遍的な力
38
第 2 章 素粒子の標準模型 重力
電気力 電磁気力 磁気力 電弱理論
弱い相互作用
図 2.12 いろいろな相互作用の万物の 理論への統一(GUT—大統 一理論,SUGRA—超重力理 論(Super Gravitation))
強い相互作用
的記述を徹底的に調べることにある. M 理論
現在信じられているところによれば,超重力理論(SUGRA) まですべてを取り込んだ理論は,11 次元超弦理論の M 理 論である.この超弦理論の最小の要素は p 次元の物(「ブレ イン(brane)」;訳注:brane = membrane(膜)からの 造語)であり,その大きさはプランク長 LP =
G/c3 で
ある(ここで,G は重力(万有引力)定数, はプランク定 数(訳注:通常 h をプランク定数といっているので,その 場合 = h/2π である),c は光速).10 個の空間次元のう ち 7 個はカラビ–ヤウ(Calabi–Yau)空間に圧縮されてい 「membrane る.M 理論の M はそれぞれの好みによって, (膜)」, 「matrix(行列)」, 「mystery(謎)」,だったり,あ るいは「mother (of all theories)((すべての理論の)母)」 だったりする.
2.2 問題 1. 以下の崩壊で許されるのはどれか? (a) μ− → e− + γ, (b) μ+ → e+ + νe + ν¯μ + e+ + e− , (c) π 0 → γ + e+ + e− , (d) π + → μ+ + e− , (e) Λ → p + K − , (f) Σ + → n + π + ,
2.2 問題
(g) K + → π + + π − + π + , (h) K + → π 0 + π 0 + e+ + νe . 2. 高さ 20 km で作られた宇宙線ミューオンが地上まで到達 する最小の運動エネルギーはいくらか(τμ = 2.197 03 μs,
mμ = 105.658 37 MeV) ? この問題ですべてのミュー オンはその静止系で上の寿命を持つとする.
3. プランク質量を持つ 2 つの単電荷粒子が,r = 1 fm 離 れているとき,その間のクーロン力と重力を算出せよ!
4. 標的粒子を固定する実験で,静止している標的電子に 陽電子を放つ.Z (mZ = 91.188 GeV)を作るのに陽 電子のエネルギーはどれだけ必要か?
39
第3章
運動学と断面積
「問題から逃れる最良の方法は,それを 解くことである」
Alan Saporta
宇宙粒子物理では関与する粒子は,おおむね高エネルギー なので,相対論的運動学を用いなければならない.科学の
相対論的運動学
この分野では,質量とエネルギーとは同一で,単に違った面 を表しているのに過ぎないことが明らかになる.質量はエ ネルギーを特に圧縮した形であり,粒子の全エネルギーと 有名なアインシュタインの関係式
E = mc2
(3.1)
で結ばれる.
c Sidney Harris
この式で m は速度 v で動いている粒子の質量であり,c は 真空中での光速である. いかなる慣性系でも真空中の光速が最大であるという実 験結果から,粒子が光速近くになると,いくら加速しても そんなに速くならず,おもに質量が重くなるだけであり,
m=
m0 1 − β2
= γm0
(3.2)
となる.この式で m0 は静止質量,β = v/c は光速で規格
相対論的質量の増加
42
第 3 章 運動学と断面積
化した粒子の速さ.そして,
1 γ= 1 − β2 ローレンツ因子
(3.3)
はローレンツ(Hendrik Antoom Lorentz)因子.これか ら (3.1) は,
E = γm0 c2
(3.4)
とも書ける.ここで,m0 c2 は粒子の静止エネルギーであ る.粒子の運動量は次のように書ける.
p = mv = γm0 βc .
(3.5)
(3.3) を用いて,差 E 2 − p2 c2 = γ 2 m20 c4 − γ 2 m20 β 2 c4 は
E 2 − p2 c2 = 不変質量
m20 c4 (1 − β 2 ) = m20 c4 1 − β2
(3.6)
と書ける.この結果は E 2 − p2 c2 がローレンツ不変量であ ることを示す.この量はどの系でも同じ値になり,静止エ ネルギーの 2 乗に等しい.したがって,相対論的粒子の全 エネルギーは
E = c p2 + m20 c2
(3.7)
と表せる.この式はどんな粒子にでも当てはまる.質量の 無い,より正確には静止質量ゼロの粒子では,
E = cp 等価質量
(3.8)
となる.静止質量が無い,全エネルギー E の粒子は,
m = E/c2
(3.9)
に従って質量を得ることになるので,これも重力を受ける. 古典力学近似
相対論の運動学から古典(ニュートン)力学(p m0 c) への移行は (3.7) を級数展開しても導ける.粒子の運動エ ネルギーは
E kin
= = ≈ =
E − m0 c2 = c p2 + m20 c2 − m0 c2
2 p 2 m0 c 1 + − m0 c2 m0 c 2 1 p 2 − m0 c2 m0 c 1 + 2 m0 c p2 1 = m0 v 2 2m0 2
3.1 しきいエネルギー
(3.10)
と得られ,古典力学と一致する.(3.4) と (3.5) を用いて, 速度は
v=
p c2 p = γm0 E
または
β=
cp E
(3.11)
で表せる.相対論的運動学では,通常 c = 1 とおく.これ ですべての式が簡単化される.しかし,数値を計算しなけ ればならないときは,光速の実際の数値を考慮しなければ ならない.
c Vladim´ ır Renˇ c´ ın
3.1 しきいエネルギー 「エネルギーは質量を持ち,質量はエネ ルギーを表す」
Albert Einstein
宇宙粒子物理学では,しばしばある粒子生成過程でしき いエネルギーを決めるという問題が起こる.これには反応 の最終状態にあるすべての粒子の質量が,衝突の質量中心
しきいエネルギー
43
44
第 3 章 運動学と断面積
(重心)系で供給されればよい.蓄積リング型加速器では, しばしば質量中心系が実験室系そのものになる.たとえば, 電子–陽電子の正面衝突(e+ と e− が同じ全エネルギー E を持つ)であれば
2E ≥ M . 質量中心系エネルギーの決定
(3.12)
一方,宇宙線の過程ではいつもそうであるが,エネルギー
E を持つ粒子が静止している標的粒子と相互作用するとき, まず質量中心のエネルギーを計算する必要がある.
c Claus Grupen
一般に,全エネルギー E1 と E2 ,運動量 p1 と p2 の 2 粒 子の衝突の場合,ローレンツ不変な質量中心のエネルギー
ECMS は,(3.7) と (3.11) を用いて,次のように決められる: √ ECMS = s 1/2 = (E1 + E2 )2 − (p1 + p2 )2 1/2 = E12 − p21 + E22 − p22 + 2E1 E2 − 2p1 · p2 1/2 = m21 + m22 + 2E1 E2 (1 − β1 β2 cos θ) . (3.13) この式で,θ は p1 と p2 とのなす角である.高エネルギー (β1 , β2 → 1 そして m1 , m2 E1 , E2 )で,θ があまり小 さくないと,(3.13) は簡単になって,
ECMS =
√
1/2
s ≈ {2E1 E2 (1 − cos θ)}
.
(3.14)
3.1 しきいエネルギー
もし 1 つの粒子(たとえば,質量 m2 の粒子)が静止して いると(実験室系,E2 = m2 ,p2 = 0),(3.13) は
√
s = {m21 + m22 + 2E1 m2 }1/2
(3.15)
となる.相対論的近似(m21 , m22 2E1 m2 )では,
√
s≈
(3.16)
2E1 m2
となる.このような反応では全質量 M ≤
√
s の粒子だけ
が生成できる. 例 1: 宇宙線中の高エネルギー陽子(エネルギー Ep ,運
pp ¯生成
動量 p,静止質量 mp )が静止している標的陽子に衝 突して,陽子–反陽子対を生成する
p + p → p + p + p + p¯
(3.17)
を考えよう.
(3.13) より,質量中心のエネルギーが以下のように 計算される:
1/2 √ s = (Ep + mp )2 − (p − 0)2 1/2 = Ep2 + 2mp Ep + m2p − p2 1/2 = 2mp Ep + 2m2p .
(3.18)
最終状態は 3 つの陽子と 1 つの反陽子(反陽子の質 量は陽子の質量と等しい)だから,
√ s ≥ 4mp .
(3.19)
これから入射陽子のしきいエネルギーは
2mp Ep + 2m2p ≥ 16 m2p , Ep ≥ 7mp (= 6.568 GeV) , Epkin
= Ep − mp ≥ 6mp
(3.20)
となる. 入射電子が静止している標的電子によって e+ e− 対 e+ e` 生成 を作る上と同様な過程
e− + e− → e− + e− + e+ + e− で,対応した結果 Eekin ≥ 6me を得る.
(3.21)
45
46
第 3 章 運動学と断面積 光子の電子対生成
例 2: 静止している標的電子との衝突による光子の電子– 陽電子対生成を考えよう.
γ + e− → e− + e+ + e− ; √
(3.22)
s = {m2e + 2Eγ me }1/2 ≥ 3me , Eγ ≥ 4me , Eγ ≥ 2.04 MeV . (3.23)
ı 0 生成
例 3: 静止している標的陽子(質量 mp )との衝突による 光子の中性パイオン(質量 mπ0 ≈ 135 MeV)生成を 考えよう:
γ + p → p + π0 ;
(3.24)
√ s ={m2p + 2Eγ mp }1/2 ≥ mp + mπ0 , m2p + 2Eγ mp ≥ m2p + m2π0 + 2mp mπ0 , Eγ ≥
2mp mπ0 + m2π0 m2 0 = mπ0 + π (3.25) 2mp 2mp
≥ mπ0 + 9.7 MeV ≈ 145 MeV .
3.2 4 元ベクトル 「物理学者が自分の仕事を準備するの に,3 つのものが必要である.数学,数 学そして数学である」
Wilhelm Conrad R¨ ontgen ローレンツ不変な 4 元ベクトル
いろいろな計算をする際,ローレンツ不変な 4 元ベクト ルを導入すると,実際の役に立つ.時間 t と位置ベクトル
s = (x, y, z) を組み合わせるのと同じ方法で 4 元ベクトル を作ることができる.ここで,4 元運動量ベクトル
q=
E ただし p = (px , py , pz ) p
(3.26)
が導入される.
2 E q = = E 2 − p2 = m20 p 2
(3.27)
47
3.2 4 元ベクトル
だから,4 元運動量の平方は静止質量の平方に等しい.光 子については,
q 2 = E 2 − p2 = 0 .
(3.28)
(3.27) を満たす粒子は質量殻(mass shell)上にあるとい
質量殻
う.殻上にある粒子はまた実(real)粒子ともいう.これと は別に,粒子はハイゼンベルクの不確定性原理の枠組みの 中で,短い間真空からエネルギーを借用することもできる. このような粒子を仮想(virtual)粒子という.これらは質 量殻上にない.相互作用過程で仮想粒子は交換粒子として のみ存在し得る. 例 4: 核のクーロン場による光子の電子–陽電子対生成. 核のクーロン場によるe+ e` 対 この例で,入射光子 γ は実で,一方電子と核の間に
生成
交換される光子 γ ∗ は仮想光子である(図 3.1). 例 5: 電子–陽子散乱(図 3.2) 交換される光子 γ ∗ の仮想度(virtuality)は,電子と 陽子の 4 元運動量ベクトルをもとにした運動学から容 易に決められる.4 元運動量ベクトルは次のように定 義する.入射電子 qe =
Ee
Ep
pe
,終状態電子 qe =
E
E e
pe
原子核
,
原子核
ルギーと運動量は保存するので,4 元運動量も保存
図 3.1 γ + 原子核 → e+ + e− + 原子核 過程
する:
e` p散乱
入射陽子 qp =
pp
,終状態陽子 qp =
p
pp
.エネ
–
e
q e + qp =
qe
+
qp
.
(3.29)
交換する仮想光子の 4 元運動量の 2 乗 qγ2 ∗ は
g
qγ2∗ = (qe − qe )2 2 Ee − Ee = = (Ee − Ee )2 − (pe − pe )2 pe − pe = Ee2 − p2e + Ee2 − p2 e − 2Ee Ee + 2pe · pe
= 2m2e − 2Ee Ee (1 − βe βe cos θ)
–
e
(3.30)
として決められる.ここで,βe と βe は入ってくる電 子と出ていく電子の速度であり,θ は pe と pe のな
*
p
図 3.2
e− + p → e− + p 過程
p
48
第 3 章 運動学と断面積
す角である.高エネルギーであまり小さくない散乱 角の場合,(3.30) は簡単になって, +
+
m
e
= −2Ee Ee (1 − cos θ) θ = −4Ee Ee sin2 . 2
qγ2∗
g*
–
–
m
e
もし sin
θ 2
が
θ 2
(3.31)
と近似できるなら,あまり小さくな
い散乱角で
図 3.3 e+ e− → μ+ μ− 過程
qγ2∗ = −Ee Ee θ2 .
空間的(space-like)光子
(3.32)
交換する光子の質量の 2 乗はこの場合負になる! こ れは γ ∗ の質量は純虚数であることを意味する.この ような光子を空間的(space-like)とよぶ.
—対発生
例 6: e+ e− 衝突によるミューオン対発生(図 3.3) 電子と陽電子は同じ全エネルギー E を持ち,反対方 向の運動量 (pe+ = −pe− ) を持つとする.そのとき,
2 E+E pe+ + (−pe+ ) (3.33) 4E 2 .
qγ2∗ = (qe+ + qe− )2
= =
時間的(time-like)光子
この場合交換する光子の質量は 2E であり,正であ る.このような光子は時間的(time-like)といわれ る.終状態のミューオン対は,2E ≥ 2mμ であれば 作られる. 運動学的関係の計算をする上で,4 元運動量ベクトルの 手際よい定式化は素粒子の崩壊にも拡張できる.静止して いる素粒子の 2 体崩壊では,運動量の保存から崩壊後の 2 つの粒子は別々のきっちりと決められたエネルギーを持つ.
2 体崩壊
例 7: 2 体崩壊 π + → μ+ + νμ
4 元運動量の保存から qπ2 = (qμ + qν )2 = m2π .
(3.34)
パイオン静止系でミューオンとニュートリノは反対 方向に放出されて,pμ = −pνμ ,
Eμ + E ν pμ + pνμ
2
= (Eμ + Eν )2 = m2π .
(3.35)
3.2 4 元ベクトル
ニュートリノ質量はゼロでないかもしれないが,こ こではゼロとして,
Eν = pνμ . その結果
Eμ + pμ = mπ . この式を並べ替え,2 乗して
Eμ2 + m2π − 2Eμ mπ
=
p2μ ,
2Eμ mπ
=
m2π + m2μ ,
Eμ
=
m2π + m2μ . (3.36) 2mπ
mμ = 105.658 367 MeV と mπ± = 139.570 18 MeV から,Eμkin
崩壊の運動学
= Eμ − mμ = 4.12 MeV を得る.ケ
イオンの 2 体崩壊,K + → μ+ + νμ では,(3.36) から Eμkin = Eμ − mμ = 152.49 MeV (mK ± =
493.677 MeV)となる. ヘリシティーの保存から,π + → e+ + νe の崩壊は強 く抑制される(図 2.10 参照).この崩壊で陽電子の 運動エネルギーは (3.36) から,Eekin + = Ee+ − me = mπ 2
+
m2e 2mπ
− me =
mπ 2
1−
me mπ
2
≈ 69.3 MeV で,
パイオン質量のほぼ半分となる. 「重い」パイオンが ほとんど質量の無い 2 つの粒子に崩壊するのだから, 驚くには当たらない. 例 8: π 0 → γ + γ 崩壊 静止している π 0 崩壊の運動学はきわめて簡単である. ı 0 崩壊 崩壊後のそれぞれの光子はパイオンの静止質量の半 分のエネルギーを持つ.この例では,飛行中の π 0 崩 壊も考えよう.もし光子が π 0 の飛行方向に放出され るなら,飛行方向と反対方向の放出に比べ,より高 いエネルギーを得る.飛行中の π 0 崩壊(ローレンツ 因子 γ = Eπ0 /mπ0 )では,光子のエネルギースペク トルは最大と最小のエネルギー間で平らになる.4 元 運動量の保存
49
50
第 3 章 運動学と断面積
qπ0 = qγ1 + qγ2 から,
qπ2 0 = m2π0 = qγ21 + qγ22 + 2qγ1 qγ2 .
(3.37)
実光子の質量はゼロだから,運動学的制限は
2qγ1 qγ2 = m2π0
(3.38)
となる.光子へのエネルギー移行が運動学的に最大, 最小となる極限では,光子は π 0 の飛行方向と平行あ るいは反平行に放出される.このことから
pγ1 −pγ2 .
(3.39)
これを用いて (3.38) は
2(Eγ1 Eγ2 − pγ1 · pγ2 ) = 4Eγ1 Eγ2 = m2π0 (3.40) と書ける.
Eγ2 = Eπ0 − Eγ1 だから,(3.40) は 2 次方程式 Eγ21 − Eγ1 Eπ0 + ı 0 崩壊による光子スペクトル
m2π0 =0 4
(3.41)
となり,その対称的な解は
Eγmax 1
=
Eγmin 1
=
1 (Eπ0 + pπ0 ) , 2 1 (Eπ0 − pπ0 ) 2
(3.42)
となる.Eπ0 = γmπ0 ,pπ0 = γmπ0 β だから,(3.42) は次のようにも表される.
Eγmax 1 Eγmin 1
=
1 1 γmπ0 (1 + β) = mπ0 2 2
=
1 1 γmπ0 (1 − β) = mπ0 2 2
1+β , 1−β 1−β . 1+β (3.43)
相対論的極限(γ 1,β ≈ 1)では,π 0 の飛行方 向に放出された光子は Eγmax = Eπ0 = γmπ0 のエネ ルギーを持ち,後方に放出された光子のエネルギー はゼロとなる.
3.2 4 元ベクトル
51
(3.43) から中性パイオンがどんなエネルギーを持っ ていても,出てくる光子のエネルギー範囲に mπ0 /2 が入ってくる(訳注:Eγmax と Eγmin の幾何平均が 1 1
mπ0 /2 になる).中性パイオンのエネルギースペク トルが与えられると,崩壊後の光子のエネルギース ペクトルは π 0 の質量の半分の所に最大がくるように 積み重ねられる.
3 体崩壊の取り扱いはより一層難しい.そのような過程 3 体崩壊 として,ミューオン崩壊
μ− → e− + ν¯e + νμ
(3.44)
を例にとって説明しよう. ミューオンは最初静止しているとしよう(Eμ = mμ ).
4 元運動量保存 (3.45)
qμ = qe + qν¯e + qνμ を移項して,
(qμ − qe )2 = (qν¯e + qνμ )2 , qμ2
+
qe2
− 2qμ qe =
m2μ
+
m2e
Ee mμ −2 0 pe
= (qν¯e + qνμ )2 , m2μ + m2e − (qν¯e + qνμ )2 . 2mμ
(3.46)
(qν¯e + qνμ )2 が最小値をとるとき,電子のエネルギーは最
強度
Ee =
大となる.質量ゼロのニュートリノの場合,これは,
qν¯e qνμ = Eν¯e Eνμ − pν¯e · pνμ = 0
(3.47)
であればよい.式 (3.47) は pν¯e pνμ を満たす.これから
Eemax =
m2μ + m2e mμ = 52.83 MeV ≈ 2mμ 2
図 3.4
(3.48) ミューオン崩壊による電子の エネルギースペクトル
となる.この場合,電子の運動量 pe は,互いに平行に出た
2 つのニュートリノの運動量方向に反平行である. 関与するすべての粒子のスピンと弱い相互作用の組み立 てを考慮すると,x = 2Ee /mμ ≈ 子のスペクトラムは
Ee /Eemax
ミューオン崩壊における電子スペ
とおいて,電 クトラム
52
第 3 章 運動学と断面積
N (x) = const x2 (1.5 − x) .
(3.49)
原子核のベータ崩壊(n → p + e− + ν¯e )とまったく同 様に,3 体崩壊の有効な崩壊エネルギーは終状態粒子間で 連続的に分布する(図 3.4).
3.3 ローレンツ変換 「ローレンツ変換に関する自然の法則 とその不変性,そして互いに一律に動 いているすべての慣性系に対するその 妥当性を今までに学んできた.我々は法 則を知ったが,その系がどこに帰着する のか知らない」 実験室系と質量中心系間の変換
Albert Einstein
相互作用または崩壊過程間の変換を取り扱うのに,質量 中心系で考えればまったく十分である.異なる系(たとえ ば,実験室系)のエネルギーと運動量はローレンツ変換に よって求められる.質量中心系で E と p をエネルギーと運 動量とし,実験室系が p に対し速度 β で動いているとす る.実験室系での変換された E ∗ と p∗ は(図 3.5 を見よ)
E∗ p∗
=
γ
−γβ
−γβ
γ
E , p∗⊥ = p⊥ (3.50) p
で与えられる.運動量の横成分はこの変換で影響されない. 行列の記号を用いずに書くと,(3.50) は
E∗
= γE − γβp ,
p∗
= −γβE + γp .
(3.51)
β = 0 したがって γ = 1 のとき,E ∗ = E ,p∗ = p とい うあたりまえの結果を得る. エネルギー E = γ2 m0 を持つ粒子をその運動量 p に平 行に β1 で動く系から見ると,そのエネルギーは
E∗
= γ1 E − γ1 β1 p
γ12 − 1 (γ2 m0 )2 − m20 γ1 (3.52) = γ1 γ2 m0 − m0 γ12 − 1 γ22 − 1 = γ1 γ2 m0 − γ1
3.4 断面積
図 3.5 ローレンツ変換の図解
となる.
γ1 = γ2 = γ (粒子と並んで一緒に動いている系)のと き,当然
E ∗ = γ 2 m0 − m0 (γ 2 − 1) = m0 .
3.4 断面積 「一般的な慣例として,物理学者は教養 人である.彼らは長いラテン語で考え 話をする.そして,何か書き下ろすとき には,通常少なくとも 1 つの偏微分と
3 つのギリシャ文字を入れる」 Stephen White
相互作用過程の運動学とは別に,反応の断面積は特に重
断面積
要である.ほとんどの単純な場合,入射粒子が衝突する際, 断面積は標的粒子が示す有効な面積と考えることができよ 2 を持ち,入射する粒子の対応する う.もし標的が面積 πrT 2 面積が πrP であるとすれば,衝突の幾何学的断面積は
σ = π(rT + rP )2 .
(3.53)
ほとんどの場合,断面積は他の,たとえば粒子のエネルギー のようなパラメータにも依存する.原子の断面積 σA は cm2 単位で,相互作用の長さ λ と以下のような関係がある.
λ {cm} =
A NA
{g−1 }
3
{g/cm } σA {cm2 }
相互作用の長さ
(3.54)
(NA —アボガドロ数;A—標的の質量数,—密度).(λ )
{g/cm2 } で表される相互作用の長さもよく使う.同様に吸 収係数は
吸収係数
53
54
第 3 章 運動学と断面積
1 NA σA (3.55) = A λ で定義される.同じく吸収係数は (μ/) {(g/cm2 )−1 } とも μ {cm−1 } =
表される. 相互作用の割合
吸収係数はまた,相互作用の確率あるいは相互作用の割 合と有用な関係を持つ.
φ {(g/cm )−1 } = 2
NA μ = σA . A
(3.56)
核子当たりの断面積を σN とすると,
φ {(g/cm )−1 } = σN NA . 2
(3.57)
j を cm2 と s(秒)当たりの粒子のフラックスとすると,角 度 θ で指定される立体角 dΩ 中に散乱される粒子数 dN は, 単位時間当たり
dN (θ) = j σ(θ) dΩ .
(3.58)
ここで
σ(θ) = 微分散乱断面積
dσ dΩ
は微分散乱断面積である.これは立体角要素 dΩ に散乱さ れる確率を表している.ここで
dΩ = sin θ dθ dϕ
(3.59)
(ϕ—方位角,θ—天頂角). 方位角について対称であれば(訳注:ほとんどの場合方 位角の依存性はない),
dΩ = 2π sin θ dθ = −2π d(cos θ) .
(3.60)
角度依存性とは別に,断面積は他の量にも依存し得るから, 多くの微分断面積が知られている.たとえば,
dσ dσ , dE dp あるいは
d2 σ dE dθ 二重の微分断面積
(3.61)
のような二重の微分断面積もある.上のような特有な量に ついての微分断面積以外にも,特別な過程もしくは崩壊を 扱う上で,他の運動学的変数についての微分断面積も数多 くある.
3.5 問題
3.5 問題 1. エネルギー 1 MeV を持つ黒体放射の光子と衝突して, μ+ μ− 対を作る光子のしきいエネルギー Eγ1 はいく らか?
2. 平均自由行程 λ(g/cm2 単位)は核子の断面積 σN(cm2 単位)と
λ=
1 NA σ N
の関係がある.ここで,NA はアボガドロ数,すなわち
g 当たりの核子数,σN は核子当たりの断面積である. 相互作用を受けずに標的を x だけ通り抜ける粒子数は
N = N0 e−x/λ . 薄い標的の厚さ x で衝突を起こすのは何回か(NA =
6.022 × 1023 g−1 ,σN = 1 b(バーン, = 10−28 m2 ), 2
N0 = 108 ,x = 0.1 g/cm とせよ)? 3. ニュートリノは反応 ν¯e + p → n + e+ で発見された.標的陽子は静止していた.この反応を 起こす最小のニュートリノのエネルギーはいくらか?
4. 電荷 z の粒子が電荷 Z の標的核により電磁相互作用を 媒介して散乱される.衝突係数(impact parameter)
b(一番近づいたときの距離)で入射した粒子の運動量 と垂直方向の運動量移行(momentum transfer)pb を 算出せよ! 計算に際しては,粒子の軌跡は歪まない,つ まり散乱角は小さいと仮定する.
5. 運動量 p を持つ電子の荷電 Z の標的核の散乱を問題 4 では,散乱核が小さいとして扱った.横運動量につい ての一般式をラザフォードの散乱公式
tan
Zre ϑ = 2 bβ 2
(3.62)
を用いて算出せよ.ここで,ϑ は散乱角である.
55
第4章
素粒子物理と放射線検出
「あらゆる物理的効果は検出器の原理 として使える」
作者不明
宇宙粒子物理学に関連する測定技術はかなり多様である. 宇宙粒子の検出には通常,多段階の手順で行われる.この 研究分野で,粒子を検出するのはたいていは間接的である. 間接的な粒子検出 適当な相互作用過程で宇宙粒子の性質を見分けることが重 要である.相互作用させて見たい目標は検出器が測定して いる相互作用後の結果とは,多くの場合同一ではない.たと えば宇宙線ミューオンニュートリノは,南極の氷とか,海洋 の水とかでニュートリノ–核子が相互作用して,荷電ミュー オンを作る.これらのミューオンは氷(水)との電磁相互作 用でエネルギー損失を受ける.中でもチェレンコフ (Pavel
Alekseyevich Cherenkov)(1958 年ノーベル賞)放射が生 じる.チェレンコフ光は光電効果を通して,光電子増倍管に 記録される.これはその後ミューオンのエネルギーと入射 方向を再現するのに使われる.ミューオンの入射方向は最 初のニュートリノの入射方向とおよそ同じである(訳注: ミューオンの方向はニュートリノの方向を中心にした角分 布を持つ.その角分布はニュートリノのエネルギーが大き いほど狭くなる). この章では,最初の相互作用過程をまず記述する.次に, 検出器内で相互作用によってできた検出の根拠になる過程 について述べる. いろいろな過程の断面積は,粒子の性質,粒子のエネル ギーや標的物質によって変わる.相互作用の確率 φ と事例 の比率を決めるのに,原子—(σA )あるいは核—との相互 作用断面積(σN )との次のような有用な関係がある.
φ {(g/cm )−1 } = 2
NA σA = NA {g−1 }σN {cm2 } . (4.1) A
ここで,NA はアボガドロ数,A は標的の質量数,σA は原子
断面積
58
第 4 章 素粒子物理と放射線検出
との断面積で cm2 / 原子の単位(σN は cm2 / 核子の単位)で ある.(3.56) と (3.57) も参照.標的の面密度が d {g/cm2 }, 事例の比率
一次粒子のフラックスが F {s−1 } であれば,事例の比率 R は
R = φ {(g/cm2 )−1 } d {(g/cm2 )} F {(s−1 )}
(4.2)
として得られる.
4.1 宇宙粒子の相互作用 「観測はそれを説明する理論がないか ぎり無意味である」
Raymond A. Lyttleton
宇宙物理的情報をもたらす一次粒子は,核(陽子,ヘリウ ム核,鉄核,· · · ),光子やニュートリノである.これら 3 つ 一次核の測定
の区分はまったく違った相互作用で特徴づけられる.陽子や 他の核は強い相互作用を受ける.これらはまた電磁相互作 用や弱い相互作用も受けるが,しかし,それらに対応する断
陽子−空気非弾性断面積
面積は強い相互作用の断面積と比べて非常に小さい.一次核 はしたがって強い相互作用過程を通した反応が圧倒的に多 い.典型的な陽子–陽子の非弾性散乱の断面積は,100 GeV 程度のエネルギーで σN ≈ 40 mb(1 mb = 10−27 cm2 )で ある.高エネルギー一次陽子は大気中で陽子–空気との相互 作用を起こすから,陽子–空気衝突の断面積は大変重要であ 実験室系エネルギー
図 4.1 陽子–空気相互作用の断面積
る.この断面積の陽子エネルギー依存性を図 4.1 に示す. 典型的な相互作用断面積 250 mb をとると,大気中での陽 子の平均自由行程は(窒素なら:A = 14)第 3 章の (3.54) を参照して,
λ=
A 2 ≈ 93 g/cm . NA σA
(4.3)
この値から,陽子は大気の上層部で最初の相互作用を起こ 平均自由行程
すことがわかる.もし一次粒子が陽子でなく鉄の原子核(質 量数 AFe = 56)であったとすると,鉄核–空気相互作用の 断面積はそれ相応に大きいので,最初の相互作用はさらに 高い高度で起こるだろう.
一次光子の検出
高エネルギー一次光子(エネルギー 10 MeV)は電子–
4.1 宇宙粒子の相互作用
陽電子対生成の電磁過程で相互作用をする.空気中で電子に 注 1)
対する相互作用の特性長(「放射長(radiation length)」)
は,X0 ≈ 36 g/cm2 である.高エネルギー(エネルギー
≥ 10 GeV)光子は,対発生がおもになるが,その断面積は 電子の断面積の 7/9 になるので([3],第 1 章),光子の放 射長は電子の放射長の 9/7,つまり 47 g/cm2 である.それ ゆえ,光子が引き起こす電磁カスケード(electromagnetic
cascade)の最初の相互作用も大気の最上層部で発生する. 宇宙線ニュートリノの検出はまったく違う.それらは(重 力は別にして)弱い相互作用だけに従う.ニュートリノ–核 子相互作用の断面積は
σνN = 0.7 × 10−38 Eν [GeV] cm /核子 2
(4.4)
で与えられる.100 GeV のニュートリノは大気中で途方も 無く大きい相互作用の長さを持つ: 2
λ ≈ 2.4 × 1012 g/cm .
(4.5)
起こりうるニュートリノ–空気相互作用のバーテックス(反 応した点,vertex)はしたがって大気中に一様に分布する. 電荷を持つあるいは/または中性の粒子が相互作用で作 られるが,一次粒子の違いにはよらない.これら二次粒子は 一般に実験装置または望遠鏡で記録される.これを行うの に二次粒子の多くの種類の過程が使える.
注 1
電子の放射長は (4.7) で定義される.電子が制動放射により,E =
E0 e−x/X0 に従ってエネルギーを失う.この「相互作用の長さ」X0 は また,光子による電子対発生も特徴づける.ハドロン(陽子,パイオン,
· · · )の相互作用の長さ(interaction length)は (4.3) で σA を全断 面積として与えられる.この長さを,衝突の長さ(collision length) ということもある.(4.3) の全断面積を非弾性散乱の部分だけに置き換 えると,得られる長さは吸収の長さ(absorption length)とよばれる.
宇宙線ニュートリノの検出
59
60
第 4 章 素粒子物理と放射線検出
4.2 粒子検出に使われる相互作用過程 「私がいつもいっていることだが,君が 話していることについて測定すること ができ,それを数値で表すことができ たとき,君はそれについてあることを 知ったことになる.しかし,それを測定 できなかったとき,それを数値で表せな かったとき,君の知識は乏しく不満足な ものとなる」
Lord Kelvin (William Thomson) 相互作用の機構
表 4.1 と 4.2 は宇宙粒子物理の実験で一般的に使われて いる荷電粒子と光子のおもな相互作用過程を示す.この概 観図では,相互作用過程だけでなく,その相互作用過程を利
荷電粒子のエネルギー損失
用した代表的な検出器も載せた.荷電粒子の相互作用を支 配する機構は電離と励起によるエネルギー損失である.こ
ベーテ–ブロッホの式
のエネルギー損失過程はベーテ–ブロッホ(Bethe–Bloch) の式で書ける:
表 4.1 荷電粒子の相互作用過程の 概観
表 4.2 光子の相互作用過程の概観
荷電粒子
電子孔生成
電離
励起
制動放射
チェレンコフ 放射
半導体 検出器
ガス検出器
シンチレーター
カロリメーター
しきい計数管, RICH
光子 低エネルギー
中間エネルギー
高エネルギー
光電効果
コンプトン散乱
対生成
光電子増倍管 検出器
半導体検出器
カロリメーター
Z dE − = K z2 dx ion A 1 1 2me c2 β 2 γ 2 Tmax δ 2 × 2 ln . −β − β 2 I2 2
(4.6)
4.2 粒子検出に使われる相互作用過程
61
ここで,
K
— 4πNA re2 me c2 ≈ 0.307 MeV/(g/cm2 ),
NA
— アボガドロ数,
re
— 古典電子半径(≈ 2.82 fm),
me c2 — 電子の静止エネルギー(≈ 511 keV), z
— 入射粒子の電荷数,
Z ,A — 標的粒子の電荷数と質量数, β γ Tmax
— 入射粒子の速度(= v/c), — 1/ 1 − β 2 , 2me p2 — m20 + m2e + 2me E/c2 電子にわたる最大のエネルギー,
m0 — 入射粒子の質量, p,E — 入射粒子の 運動量と全エネルギー,
I
— 標的の平均電離エネルギー,
δ
— 密度補正.
液体水素
ヘリウムガス
ミューオン運動量
ベーテ–ブロッホの関係式に従った荷電粒子のエネルギー 損失を図 4.2 に例示する.低エネルギーでは,1/β 2 で増え ていることを表している.最小の電離の割合が βγ ≈ 3.5 の辺りで起こる.この振る舞いを電離が最小であると称し, そのような βγ の値を持つ粒子を最小電離(minimum ion-
ization)にあるという.高エネルギーでは,エネルギー損
図 4.2 種々の標的内での荷電粒子の エネルギー損失 [2] エネルギー損失の依存性
62
第 4 章 素粒子物理と放射線検出
失は対数的に増加し(「相対論的増加」),やがて密度効果 によって,平らに近づく(「フェルミの平坦域(plateau)」). 平坦域のエネルギー損失は,気体中だと最小電離に比べ典型 的に 60 %大きい.単電荷を持ち最小電離の粒子の電離と励 起によるエネルギー損失は,空気中で 1.8 MeV/(g/cm2 ), 水(氷)中で 2.0 MeV/(g/cm2 ) である. ランダウ分布
式 (4.6) は荷電粒子の平均エネルギー損失を述べている のに過ぎない.エネルギー損失は最確値の周りに不対称な ランダウ分布に従う.平均のエネルギー損失は最確値での エネルギー損失の約 2 倍である.電離によるエネルギー損 失は多くの粒子検出器の基礎原理になっている.
フライズアイ(Fly’s Eye)
粒子天文学におけるフライズアイ(Fly’s Eye:蝿の目) の手法は,空気中でのシンチレーションの仕組みを利用し てエネルギー ≥ EeV(≥ 1018 eV)の粒子を検出する.こ の実験では一次粒子に対して,大気が標的になっている.相 互作用で作られたものが空気中でシンチレーション光を出 し,それを地表に置かれた鏡の焦点面に据えつけられた光 電子増倍管で記録する.
制動放射
高エネルギーでは制動放射の過程が重要になってくる.こ の過程で電子のエネルギー損失は
−
dE 183 E Z2 = 4αNA re2 E ln 1/3 = dx brems A X0 Z
(4.7)
と書ける.ここで,α は微細構造定数(α−1 ≈ 137)であ 放射長
る.放射長 X0 の定義は (4.7) から明らかである.(4.7) の 他の量は (4.6) と同じ意味である. 電子では制動放射によるエネルギー損失は特に重要であ る.重い粒子については,制動放射によるエネルギー損失 は 1/m2 の因子で抑えられる.しかし,エネルギー損失は エネルギーに比例して増えるので,高エネルギーではすべ ての粒子について重要になる.
直接対生成
荷電粒子は制動放射のほかに電子–陽電子の直接対生成や
核相互作用
核相互作用によってエネルギーの一部を失う.これら 2 つの 相互作用過程によるエネルギー損失もエネルギーに比例し て変わる.宇宙粒子物理において,二次粒子としてのミュー オンは粒子検出手法の上で最も有力な役割を果たす,たと
ミューオンのエネルギー損失
えばニュートリノ天文学においてである.ミューオンは強
4.3 大気チェレンコフ技術の原理
い相互作用を受けないので,比較的長い距離を進むことが
岩石中の ミューオン
dE − = a(E) + b(E) E dx muon
(4.8)
と書け,ここで a(E) は電離によるエネルギー損失,b(E) E はミューオンの制動放射,直接電子対生成,核相互作用に
エネルギー損失
できる.このことから,ミューオンが宇宙粒子物理で粒子 検出上重要になる.ミューオンの全エネルギー損失は,
63
ミューオンのエネルギー
よるものの和である.標準岩石中でのミューオンのエネル
図 4.3 ギー損失はそのエネルギーによって変わる.それを図 4.3 標準岩石内でのミューオンの エネルギー損失
に示す. 高エネルギー粒子の全エネルギー損失では制動放射と粒 子のエネルギーに比例する過程がおもになる.だから,こ れらのエネルギー損失の仕組みは粒子のカロリメトリー (熱量の測定(calorimetry))の原理として用いられる.カ ロリメトリーの手法では,粒子の全エネルギーを検出器の 有効な媒体の中で消費させる.そのようなカロリメーター (calorimeter)の出力信号は吸収したエネルギーに比例す る.この文脈で,100 MeV 以上のエネルギーの電子や光子 は電磁カスケードを引き起こすので,すでに高エネルギー 粒子と見なしてきた.ミューオン質量は電子質量より非常 に大きいので,エネルギー損失を測定するミューオンカロ
ミューオンカロリメトリー
リメトリーは,≈ 1 TeVを超えるエネルギーでのみ可能と なる.このカロリメトリーの技術は TeV ニュートリノ天文 学の分野で特に重要である.
4.3 大気チェレンコフ技術の原理 「人生で大いなる喜びは,人々がそれは できないよ,といったことをすることで ある」
Walter Bagehot
光子が引き起こす大気中で発達する電磁シャワーが確認 できるようになってから,大気中のチェレンコフ光を見る 技術が,TeV γ 線天文学に適したものとして,ますます広 まってきている.屈折率 n を持つ媒質中を動く荷電粒子の 速度 v が,光速 cn = c/n を超えるとき,チェレンコフ放
チェレンコフ効果
64
第 4 章 素粒子物理と放射線検出
射として知られる電磁波を放出する.これによるエネルギー 損失にはしきい効果がある.チェレンコフ放射は
v≥
1 c v または,等価で,β = ≥ n c n
(4.9)
のときだけ起こる.チェレンコフ光は粒子の速度の方向か ら見て,
θC = arccos
1 nβ
(4.10)
の角度で放出される.この過程により,z の電荷数を持つ粒 子は可視領域(λ1 = 400 nm から λ2 = 700 nm まで)にあ る一定数の光子を作る.光子数は以下の式から計算される:
dN λ 2 − λ1 = 2παz 2 sin2 θC dx λ1 λ2 (4.11)
空気
空気
水
水
水内チェレンコフ角
これらの光子は方位角について(軸の周りに)等方的に放 出される.相対論的粒子の場合(β ≈ 1)チェレンコフ光
水中cm当たりの光子数
空気中m当たりの光子数
空気内チェレンコフ角
≈ 490 z 2 sin2 θC cm−1 .
トル当たり約 30 個の光子が作られる.図 4.4 に水と空気
の角度は,水中で 42◦ ,空気中で 1.4◦ である.水中ではセ ンチメートル当たり約 220 個の光子が,単電荷の相対論的 粒子によって作られる.これに対応して空気中では,メー 中で,チェレンコフ光の角度と光子数を粒子の速度につい て示した.大気中のチェレンコフ光を捕まえる技術は光子 が引き起こす大気中で発達する電磁シャワーの同定を可能 にし,はるかに数多いハドロンによるカスケードシャワー から光子によるシャワーを分離する.電磁カスケードとハ
図 4.4 水中と空気中で,単電荷粒子 のチェレンコフ角と光子生成 数の速度による変化
ドロンによるカスケードは記録されるチェレンコフ光のパ ターンが違うので,このことが可能となる.さらに,光子 の場合,チェレンコフ円錐の軸は最初の光子の方向に従う ので,その源まで逆にたどれる.一方ハドロンの場合は等 方的な背景を示すだけになる.γ が空気中で引き起こすカ スケードのチェレンコフ円錐はわずか ±1.4◦ に広がるだけ なので,そのような小さい角度範囲に入るハドロンのバッ クグラウンドは相当に小さい. 大気中のチェレンコフ光測定技術とは別にニュートリノ 天文学にとって,チェレンコフ光はまた大きな水槽の光検
65
4.4 光子検出の特有な面
出器内で役に立つ.水チェレンコフ計数管の作動原理を図
4.5 に図解した.チェレンコフ光は距離 Δx に沿って放射
粒子の軌跡
チェレンコフ環
される.チェレンコフ円錐は源から距離 d にある検出器の 面に像を投影する.その像は平均の半径 チェレンコフ錐
(4.12)
r = d tan θC
チェレンコフ光発生の媒質としての水
を持つ円環となる.
図 4.5 水チェレンコフ計数管のチェ レンコフ環の生成
4.4 光子検出の特有な面 「輝いている物質から発している非常に 小さな物体が光線ではないだろうか?」
Sir Isaac Newton
光子の検出は荷電粒子に比べると大分間接的になる.光 子は相互作用過程でまず荷電粒子を作らないといけない. これらの荷電粒子はすでに述べた電離,励起,制動放射や チェレンコフ光を出すというような過程で検出される.
X 線天文学で扱うような比較的低いエネルギーでは,光 子はかすめ入射(grazing incidence)の反射で像を作るこ とができる.光子は光電効果によって,X 線望遠鏡の焦点面 注 2)
,大きい原子
番号を持つ希ガス(たとえば,クリプトン,キセノン)で満 たした多芯比例計数箱(multiwire proportional chamber)
吸収体のZ
で検出される.半導体計数管,X 線 CCD
おもに 光電効果
おもに 対生成
おもに コンプトン散乱
が焦点に置かれる検出器として用いることができる.これ らの型の検出器はエネルギーと同様空間的な細かい情報を
光子のエネルギー
与える.
MeV エネルギーの光子については,コンプトン散乱が 図 4.6 おもになる(図 4.6 を見よ).コンプトン散乱ではエネル ギー Eγ の光子は標的電子にエネルギー ΔE を移して,赤
光子のいろいろな相互作用が おもになる領域.光子のエネ ルギーと吸収体の原子核の電 荷で示す
方に偏移する.反応の運動学から,散乱された光子のエネ ルギー Eγ の入射光子のエネルギー Eγ との比は,
Eγ 1 . = Eγ 1 + ε(1 − cos θγ )
(4.13)
この式で ε = Eγ /me c2 は換算光子エネルギー,θγ は γ– コンプトン望遠鏡 注 2
CCD—Charge-Coupled Device(電荷結合素子) (固体電離箱(solidstate ionization chamber)).
66
第 4 章 素粒子物理と放射線検出 入射方向の位置
電子相互作用における光子の散乱角である.コンプトン望 遠鏡で,エネルギーだけでなく,光子の入射方向も決める ことができる.この望遠鏡で,コンプトン散乱をした光子 のエネルギー損失 ΔE = Eγ − Eγ は検出器の上部の層で
検出器
コンプトン電子のエネルギーを測ることで決められる(図
4.7 を見よ).コンプトン散乱後のエネルギーを一部失った 光子は,その後下部の検出面で優先的に光電効果によって 見つけられる.散乱過程の運動学と (4.13) を用いて,散乱 角 θγ が決まる.方位角について放出は等方的なので,再 検出器
図 4.7 コンプトン望遠鏡の図解
構成される入射光子の方向は天空の一点を示すことはでき なくて,天空で円を指定するだけである.しかし,源から たくさんの光子が記録されれば,これらの円の重なり部分 から源の位置がはっきりする.このようなコンプトン望遠 鏡でのコンプトン散乱した光子の検出は,光電子増倍管で 読み出しする区切りされた大面積の無機または有機のシン チレーション計数管で通常行われる.分解能の高い望遠鏡 では,半導体ピクセル検出器を,あるいはまた使うことが できる.この「通常の」コンプトン過程は光子の検出に好
逆コンプトン散乱
都合である.宇宙物理における源探しでは,逆コンプトン 散乱が重要な役割を演じる.その過程で低エネルギー光子 は,高エネルギー電子との衝突でしっかりとエネルギーを もらって,X 線や γ 線領域に移ることができる.
電子–陽電子対生成
高エネルギー領域の光子では電子–陽電子対生成が支配 的になる.コンプトン望遠鏡と同様に,電子と陽電子の飛 跡から入射光子の方向が決められる.光子のエネルギーは 電子と陽電子のエネルギーの和として得られる.これらは 普通,電磁カロリメーターで決める.電子や陽電子がこの 中で制動放射や対生成を代わるがわる行って,そのエネル
電磁カロリメーター
ギーを検出器の媒質に移す.これら電磁カロリメーターは
NaI か CsI のようなものを使った全吸収結晶検出器,ある いはそれらをサンドイッチ型に積み上げたものである.サ サンドイッチ型カロリメーター
ンドイッチ型カロリメーターというのは,吸収体と検出器 を交互に置いたものである.粒子の増殖はパッシブな吸収 体層で優先的に行われ,一方作られたシャワー粒子はアク ティブな検出器層で記録される.サンドイッチ型カロリメー ターはコンパクトに細かく分割して組み立てられるが,エ
4.5 低温検出技術
ネルギー解像度に関しては,結晶カロリメーターより劣る.
4.5 低温検出技術 「氷売りが息子にいった『そこ(氷)に くっつけてごらん.低温学の未来がある よ』」
作者不明
c Sidney Harris
非常に小さいエネルギーの検出は低温検出器で行われる. 低温検出器 超伝導体のクーパー(Cooper)結合はわずか 1 meV(=
10−3 eV)ですでに壊れる.古典的なカロリメーターの方法 が低温での粒子検出にも使える.低温では固体の比熱は温 度の 3 乗(csp ∼ T 3 )で変わるので,ごくわずかのエネル ギー ΔE をもらっただけで,測定可能な温度信号が得られ る.これらの検出器はおもに仮説的な弱相互作用しかない重 い粒子(weakly interacting massive particles:WIMPs) 注 3)
の探索に使用する.このカテゴリーには通常の粒子の
超対称性パートナーも含まれる.一方また,低温検出器は
X 線分光学で高度の分解能が必要な領域で採用される.そ こでは数 eV のエネルギー分解能が達成できる.
注 3
訳注:WIMPs の ‘s’ は複数を表す.以下同様.
67
68
第 4 章 素粒子物理と放射線検出
4.6 銀河系内と銀河系外空間で宇宙粒子の伝播 と相互作用 「空間は物質がどのように動くかを教 え · · · そして物質は空間がどのように 曲がるかを教える」 John A. Wheeler 宇宙粒子の伝播
さて,一次粒子や二次粒子の検出法の原理を述べてきた が,源から銀河系外あるいは銀河系内空間を通ってくる宇 宙粒子の相互作用について,簡単に議論しておこう.
ニュートリノ
ニュートリノは物質と弱い相互作用しかしないので,そ の通過距離は非常に長くなる.ニュートリノは銀河系内外 の空間を通過しても,そのフラックスを減らさないし,磁 場でその方向を変えることもない.だからその源に直接さ かのぼれる.
陽子と原子核
我々の銀河,特に,銀河系内空間では物質密度は大変小 さい.このことは一次陽子がその源から地球に至るまでに 受ける電離エネルギー損失が極端に小さいことを意味する.
強度
しかし,陽子は宇宙にある光子と相互作用することができ る.特に黒体放射光子は標的として非常に高密度(≈400 光 子 /cm3 )である.これらの光子のエネルギーは非常に低く, 典型的に 250 μeV であり,プランク分布に従う(図 4.8). 波長
「宇宙マイクロ波背景」も見よ. 第 11 章: 黒体放射光子が高エネルギー陽子と相互作用してパイ
図 4.8 宇宙マイクロ波背景光子の黒 体スペクトル
オンを生成するには陽子があるしきいエネルギーを超える 必要がある(グライセン–ザツェピン–クズミン(Greisen–
Zatsepin–Kuzmin,GZK)カットオフ).このしきいエネ ルギーで,光子によるパイオン生成が,光子–陽子の質量中 心系で励起状態 Δ を通した反応(p + γ → p + π 0 )が運 動学的にできるようにする.陽子がこのしきいエネルギー を超えると陽子は急速にエネルギーを失い,しきいエネル GZK カットオフ
ギーより下に落ちる.GZK カットオフは最高エネルギー宇 宙線(エネルギー > 6 × 1019 eV)の平均自由行程が数十 メガパーセクより小さいとの制限をつける.これは典型的 な銀河系外スケールからすると,まったく短い距離である. もちろん,高エネルギー陽子は,黒体放射の光子による逆 コンプトン散乱でもエネルギーを失う.Δ 励起を通した π 0
4.6 銀河系内と銀河系外空間で宇宙粒子の伝播と相互作用
生成に比べて,この過程にはしきいエネルギーがない.さら に,断面積は 1/s,すなわち質量中心系の有効なエネルギー の 2 乗の逆数,で変化する.励起状態を経た π 0 生成に比べ て,陽子の黒体放射光子による逆コンプトン散乱の断面積 は小さいので,一次陽子のスペクトラムの形に顕著な影響 を与えない.さらに,あり得る過程 p + γ → p + e+ + e− は p + γ → p + π 0 より,しきいエネルギーは小さいが励 起状態を通さないから,高エネルギー陽子が厚い光子の層 を伝播しても,その影響はごくわずかでしかない.加えて, 一次陽子(荷電粒子)は地磁気と同様に,銀河系内外の磁 場の影響を当然受ける.非常に大きいエネルギー(エネル ギー 1018 eV)の陽子だけは,磁場による偏向が十分小
磁場による偏向
さくなって,粒子天文学で使うことが可能となる.
c Claus Grupen
光子は磁場の影響は受けない.しかし陽子と同様,黒体 放射光子と相互作用して,電子–陽電子対を γγ → e+ e− で 生成する.電子,陽電子の質量は小さいので,この過程の しきいエネルギーは高々約 ≈ 10
15
eVである.一次光子の
(黒体放射光子との相互作用による)減衰を,γ 線源からの 幾つかの距離に対し,一次光子のエネルギーの関数として 図 4.9 に示す.可能な競争過程 γγ → γγ があるが,非常 に小さい断面積を持つ(それは微細構造定数の 4 乗に比例 する).さらに,この過程で光子の角度の曲がりは極端に 小さい.
銀河系内の光子吸収
69
第 4 章 素粒子物理と放射線検出
減衰
70
図 4.9 黒体放射との相互作用による 一次宇宙線高エネルギー光子 の減衰
光子エネルギー
この過程によって,エネルギーの大きい(エネルギー >
1015 eV)光子の平均自由行程は数 10 キロパーセクに制限 される.高エネルギー γγ 過程では違った終状態(μ+ μ− ,
. . .)になることもある.低エネルギー光子は赤外あるいは 星の光の光子と相互作用して減衰する.
4.7 検出器の特性 「検出器は 3 つのカテゴリーに分類で きる.働かないか,壊れるか,どこかへ 行ってしまうか」
作者不明
宇宙粒子の二次相互作用で作られた産物は適当な装置で 検出される.それらの検出器は人工衛星や気球に搭載され たり,地上やあるいは地下の実験室にでも設置される.測 エネルギーと位置の分解能
定の質は検出器のエネルギーや位置の分解能による.ほと んどの場合,電離によるエネルギー損失が検出機構にかか わっている. 気体の検出器では,電子–イオン対を作るのに,典型的に 平均 30 eV が必要である.自由になった電荷は外の電場で 集められ次の手順に進む電気的信号を作る.これと対比し
固体検出器
て,固体検出器では電子–ホール対を作るのに必要な平均エ ネルギーはたったの ≈ 3eV であるから,エネルギー分解
シンチレータ
能はよくなる.代わりに結晶検出器内のシンチレーション
4.8 問題
過程で作られる励起光子はたとえば光電子増倍管で記録さ れるが,無機材料(NaI (Tl)(訳注:タリウム活性化ヨウ 化ナトリウム)のような)であれば,必要なエネルギーは 約 25 eV である.一方有機結晶であれば ≈ 100 eV のエネ ルギーがシンチレーション光子を作るのに必要である.低 温検出器では,電荷の運び手を作るのに,ごくわずかのエ ネルギーが必要である.この本質的な長所で優れたエネル ギー分解能が得られるが,ほとんどミリケルビンの低温で の操作のため,費用がかかる.
4.8 問題 1. (4.1) が次元的に正しいことを示せ. 2. 次の粒子生成に必要な平均エネルギーは以下の通りで ある.
(a) プラスチックシンチレータ内の光子は 100 eV, (b) 空気中での電子–イオン対は 30 eV, (c) シリコン内での電子–ホール対は 3.65 eV, (d) (超伝導でクーパー対を壊す)準粒子は 1 meV. 10 keV の粒子を止めるための,これらの計数管の相対 的エネルギー分解能はいくらか? ポアソン統計(ファ ノ(Fano)効果
注 4)
は無視して)を仮定する.
3. ミューオンの簡単化したエネルギー損失は (4.8) でパラ メータ表示(parametrize)される.a(= 2 MeV/(g/
cm2 ))と b(岩石中で = 4.4 × 10−6 cm2 /g)はエネル ギーに無関係として,エネルギー E (= 100 GeV)の ミューオンの岩石(ρrock = 2.5g/cm3 )中の飛程距離 を算出せよ.
4. 荷電粒子の質量はチェレンコフ光の角度 θC と運動量 p で, 注 4
粒子エネルギーのどのような値に対しても, (電子–イオン対のような) 二次粒子生成のゆらぎは,ポアソン分布から期待されるよりも小さい. これは,全エネルギー損失は入射粒子の決まったエネルギーによって制 限されているという事実からの単純な結論である.このことから,標準 誤差 σ =
√
F N となる.ここで,N は生成された二次粒子の総数,F
はファノ因子で 1 より小さい.
低温装置
71
72
第 4 章 素粒子物理と放射線検出
m0 =
p 2 n cos2 θC − 1 c
と決められることを示せ.ここで,n は屈折率である.
5. 低温アルゴンカロリメータ(T = 1.1 K,質量 1 g) に WIMP が 10 keV のエネルギーを与えた.温度は どれだけ上がるか? (アルゴンの 1.1 K での比熱 csp =
8 × 10−5 J/(g K). ) 6. 4 元運動量を用いて,(4.13) を導け. 7. コンプトン過程で電子に移せる最大のエネルギーを算 出せよ! 1 例として,137 Cs のベータ崩壊後の励起 137
Ba 核から放出される 662 keV の遷移エネルギーを
持つ光子を使う. 137
∗
Cs → 137 Ba + e− + ν¯e . - 137 Ba + γ (662 keV)
光子のエネルギーが大きくなって,無限大になると,電 子の得る最大のエネルギーはどうなるか? 一方,こ の極限で後方散乱された光子の最小のエネルギーはど うなるか?
8. 図 4.2 はベーテ–ブロッホの式で与えられた荷電粒子の エネルギー損失を示している.横軸は運動量ならびに 規格化された速度 β とローレンツ因子 γ の積で与えら れている.βγ = p/m0 c が成り立っていることを示せ.
9. (4.11) 式は放出されるチェレンコフ光子の数 N が 1/λ2 に比例することを示している.X 線光子の波長は可視 光領域の波長に比べ短い.チェレンコフ光はなぜ X 線 領域に放出されないのか?
第5章
加速機構
「物理学はパズルもまた解く.しかし, これらのパズルは人類から提出される のではなく,むしろ自然から提出される のだ」
Maria Goeppert-Mayer
宇宙線の起源は何かは,宇宙物理学的分野でまだ解けて いない重要な問題の 1 つである.最高エネルギーの宇宙線は 巨視的なエネルギーを持っている.そして,その起源は宇宙 における最大エネルギーの過程と結びついているとするの がもっともらしい.宇宙線の起源を論じるとき,パワーの
宇宙線の起源
源と加速機構とを,原則として区別する必要がある.宇宙 線はパルサーのような加速される現場で,粒子の相互作用 によって作ることができる.加速機構はもちろん,超新星残
加速機構
骸とか活動銀河核の近くの電磁ポテンシャルや重力ポテン シャルを使った通常の物理をまた基盤とする.通常,宇宙線 粒子はほとんどの場合その源で作られるだけでなく,源の 中あるいはその周辺で高エネルギーまで加速されるものと される.宇宙線の生成や加速する現場の候補は,超新星爆
超新星
発,強く磁化され高速回転している中性子星すなわちパル
パルサー
サー,降着しているブラックホール,それに活動銀河核の
ブラックホール
中心部である.しかし,ある源からエネルギーをもらった宇 活動銀河核 宙線粒子が,星間や銀河間の媒質内を伝播する間に広がっ たガス雲との相互作用で加速されることも可能である.こ れらのガス雲は磁場の不規則性によって作られ,荷電粒子 はこれら「磁化された雲」の構成要素を散乱させることで エネルギーを得る. トップ–ダウンシナリオではエネルギーの大きい宇宙線は また,ビッグバンの残骸とされる位相欠陥,ドメインウォー ル(domain wall)や宇宙紐(cosmic string)の崩壊によっ て作り出すこともできる. 宇宙線の加速については多くのモデルがある.このこと
トップ–ダウンシナリオ
74
第 5 章 加速機構
は,本当の加速機構が完全に理解されておらず,特定され ていないことを明らかに示している.一方,違った機構が異 なるエネルギーで働いているとすることも可能である.以 下では宇宙線粒子の加速について,一番もっともらしい考 えを紹介しよう.
5.1 サイクロトロン機構 「物事のことわりを知る者こそ,幸福で ある」
Virgil
普通の星でも荷電粒子を GeV 領域まで加速することが できる.この加速は時間に依存する磁場によって引き起こ され得る.この磁場のある現場は星のしみ(star spot)と 太陽黒点
か太陽黒点(sunspot)とかに現れる.太陽黒点の温度はそ の周りの領域に比べてやや低い.熱エネルギーの一部が磁 場のエネルギーに転換されているので,暗く見える.典型 的な星の黒点は 1000 ガウス(1 テスラ (T) = 104 ガウス) までの磁場の強さを伴うことができる.そのような黒点の 寿命は回転周期の数倍を超えられる.太陽黒点の空間的な 広がりは 109 cm 程度までなり得る.スペクトル線のゼーマ ン効果による分離の観測で,太陽黒点は磁場が原因である ことが何の疑いもなく示された.スペクトル線のゼーマン 分離は磁場の強さに依存するからで,このことはまた,星 の磁場の強さを測るのに用いられる.
磁場の発生
太陽の磁場は乱されたプラズマ運動から発生する.プラ ズマは本質的に陽子と電子から成る.このプラズマの運動 で電流が流れ磁場が作られる.これらの磁場ができたり衰え たりすると電場が作られ,そこで陽子や電子が加速される. 図 5.1 は広がり A = πR2 ,変化する磁場 B を持つ太陽 黒点の模式図である. 磁束 φ の時間変化はポテンシャル U を生じ,
粒子の軌道
dφ = − dt
E · ds = U
(5.1)
図 5.1 変化する太陽黒点によって粒 (E—電場の強さ,ds—粒子の軌道に沿った微小変位).磁 子が加速される原理 束は
B · dA = BπR2
φ=
75
5.2 太陽黒点対による加速
(5.2)
で与えられ,ここで dA は微小面積要素である.この式で, 円軌道加速
B は面と垂直,すなわち B A (ベクトル A はいつでも 面に垂直である)と仮定されている.荷電粒子が時間依存 の磁場の周りを 1 周すると,
E = eU = eπR2
dB dt
(5.3)
のエネルギーを得る.広がりが R = 109 cm,磁場 B =
2000 ガウス,寿命が 1 日( dB dt = 2000 ガウス/日)の黒点 だとすると,
E
= =
0.2 V s 86, 400 s m2 −10 (5.4) 1.16 × 10 J = 0.73 GeV 1.6 × 10−19 A s π 1014 m2
となる.実際 100 GeV までのエネルギーを持つ太陽からの 粒子が観測されている.しかし,このことはまた,星のサ イクロトロン機構による加速できる力の限界を示している かもしれない. サイクロトロン模型はエネルギーを正しく説明できるが, 荷電粒子がなぜ時間依存の磁場の周りの円形軌道に乗るの か説明できない.円軌道は地上の加速器で使われているよ うな先導する力があるときだけ安定になる.
双極子
5.2 太陽黒点対による加速
モーメント
「地球上に住むには費用がかかるが,そ
太陽表面
双極子 モーメント
れには 1 年かけて太陽の周りをただで 旅行することが含まれている」
黒点
Ashleigh Brilliant
太陽黒点はしばしば反対方向の極を持つ磁石の対として
黒点
現れる(図 5.2 を見よ).
2 つの黒点は普通は互いに近づき,しばらくして溶け合 図 5.2 う.左側の黒点が止まっているとし,右側の黒点が速度 v で近づくとしよう.動いている磁気双極子は双極子と運動 の方向 v に垂直に,つまり v × B に平行な電場を作る.典 型的な太陽の磁場黒点は 10 V/m の電場を生み出すことが
太陽黒点対の概略
76
第 5 章 加速機構
できる.こんな小さい電場でも,密度の小さい(太陽表面 の)彩層内では,陽子は衝突によるエネルギー損失が,エネ ルギーを得る方より小さいので,加速される.実際的な想 定で(黒点間の距離 107 m,磁場の強さ 2000 ガウス,相対 GeV エネルギーへの加速
速度 v = 107 m/日),粒子は GeV 領域までエネルギーを 得る.このことは,磁気双極子接近による粒子加速の模型 はサイクロトロン機構でも与えられるエネルギーまで説明 するだけである.2 つの黒点の接近の機構は,しかし(サイ クロトロン模型のような)先導する力は必要ないので,よ りもっともらしい.
5.3 衝撃波加速 「基本的な研究とは,私が何をしてよい のかわからないときに,私がなすべき ことである」
Wernher von Braun
もし重い星が水素を使い果たしてしまうと,放射圧がも はや重力圧力に耐えられなくなり,星はそれ自身の重力に 重力崩壊
よりつぶれる.解き放された重力エネルギーは,重い星の中
連続核融合過程
心でヘリウムが燃え出すまで温度を上げる.蓄えられたヘ リウムが使い果たされると,重力による物質の落下過程が 繰り返されて,温度がさらに増しヘリウム自身が核融合を 引き起こす.これら連続した核融合過程によって鉄族(Fe,
Co,Ni)の元素までもたらす.さらに大きい電荷を持つ原 子核について,融合反応は吸熱性である.つまりエネルギー の追加補給がないと,より重い元素は合成できない.核融 合反応が鉄核で止まると,重い星は破裂する.この過程で, 質量の一部は星間空間内に放出される.この材料は新しい 世代の—太陽のように—いくらかの重い元素を含んだ星を 中性子星の誕生
作るのに再利用される.破裂の結果,原子核と同程度の密 度を持つ密な中性子星が作られるであろう.超新星爆発の
重い元素の形成
際,もし十分な数の中性子が鉄族の元素に取りつくと,— 以下のような連続した β − 崩壊で—より大きい核電荷を持
中性子の付着
つ鉄より重い元素が形成される:
5.3 衝撃波加速
+n
→
57 26 Fe
,
57 26 Fe
+n
→
58 26 Fe
,
58 26 Fe
+n
→
∗ 59 26 Fe
56 26 Fe
59 27 Co
+n
→
77
(5.5) 59 27 Co
+ e− + ν¯e ,
60 28 Ni
+ e− + ν¯e .
∗ 60 27 Co
-
超新星から星間物質に放出された外縁は衝撃波フロントを
衝撃波加速
示す.衝撃波フロントが速度 u1 で動いているとしよう.衝 撃波フロントの後ろでは,ガスが速度 u2 で後退している とする.ガスは実験室系で速度 u1 − u2 を持つということ
衝撃波フロント
になる(図 5.3 参照).
衝撃波フロントから 逃げるガスの流れ
衝撃波フロントに速度 v で衝突し反射した粒子はエネ ルギー
ΔE
入射粒子
= =
1 1 m(v + (u1 − u2 ))2 − mv 2 2 2 1 m(2v(u1 − u2 ) + (u1 − u2 )2 ) 2
(5.6)
衝撃波フロント の速度 実験室系の ガスの速度
を得る.1 次の項が効く(v u1 , u2 , u1 > u2 )ので,こ の単純な模型ではエネルギーを得る割合は
2(u1 − u2 ) ΔE ≈ E v
図 5.3 衝撃波加速の概略図
(5.7)
内側衝撃波 フロント
外側衝撃波フロント
となる.散乱角の変数も含めた衝撃波加速のより一般的な 相対論的取り扱いでは,
4 u1 − u2 ΔE = E 3 c
(5.8)
となる.ここでは粒子の速度 v は光速 c と近似している. 粒子が 2 つの衝撃波フロントの間に閉じ込められていて, フロントから前後に反射される場合でも同様な結果が得ら れる. 外側のフロントの速度(v1 )は星間物質との相互作用で すでに減速されているので,通常は内側のフロントは,v1 に比べてずっと大きい速度(v2 )を持つだろう(図 5.4). 入射したガスのドップラー効果を測り,内側の衝撃波フロ ントの速度は 20, 000 km/s までとわかる.外側フロントは 星間物質内に,数 100 km/s から 1000 km/s までの速度で
残骸
図 5.4 2 つの衝撃波フロント間での 多重反射による粒子加速
78
第 5 章 加速機構
広がる.活動銀河核の衝撃波加速では,v2 = 0.9 c の超高 速衝撃波さえ検討されている. 速度 v の粒子が内側の衝撃波フロントに反射されて,
1 1 1 m(v + v2 )2 − mv 2 = m(v22 + 2vv2 ) (5.9) 2 2 2
ΔE1 =
のエネルギーを得る.外側の衝撃波フロントで反射され,
ΔE2 =
1 1 1 m(v −v1 )2 − mv 2 = m(v12 −2vv1 ) (5.10) 2 2 2
のエネルギーを失う.平均して,粒子は次のエネルギーを 得ることになる.
ΔE =
1 m(v12 + v22 + 2v(v2 − v1 )) . 2
(5.11)
2 次の項は無視でき,また v2 > v1 だから, ΔE ≈ mvΔv ,
Δv ΔE ≈2 E v
(5.12)
を得る.この計算は (5.6) や (5.7) でしたのと似たものに なる. ここで示した 2 つの衝撃波加速機構は相対速度の 1 次式 一次フェルミ機構
になっている.衝撃波加速のこの型は,一次フェルミ機構と よばれることもある.相対論的に取り扱い,もっともな条
100 TeV までの加速
件の下で,最大エネルギー約 100 TeV まで,このやり方で 説明できる.
5.4 フェルミ機構 「結果だ! と何故,人はいう.私がた くさんの結果を得てきたのは,うまく いかない何千というものを知っている からだ」
Thomas Edison
二次フェルミ機構
二次フェルミ機構(あるいは,もっと一般的にフェルミ
衝突する磁化された雲
機構)は宇宙線粒子と磁化された雲(磁気雲)との相互作 用で書かれる.一見したところ,こんな方法で粒子がエネ ルギーを得るとは思われない.粒子(速度 v )が速度 u で 動いているガス雲で反射されるとしよう(図 5.5). もし,v と u が反平行ならば,粒子は
ΔE1 =
1 1 1 m(v + u)2 − mv 2 = m(2uv + u2 ) (5.13) 2 2 2
79
5.5 パルサー 場合
のエネルギーを得る.v と u が平行ならば,粒子は
ΔE2 =
1 1 1 m(v −u)2 − mv 2 = m(−2uv +u2 ) (5.14) 2 2 2
粒子
ガス雲
のエネルギーを失う.平均して,正味
ΔE = ΔE1 + ΔE2 = mu2
(5.15) 場合
のエネルギーが得られるが,最初のエネルギーとの比は
u2 ΔE =2 2 E v
粒子
ガス雲
(5.16)
となる.この加速機構は雲の速度の 2 乗で書けるので,こ 図 5.5 の別の形はよく二次のフェルミ機構とよばれる.(5.16) の 磁気雲からの反射による粒子 結果は相対論的取り扱いをしても,そのままで正しい.雲 のエネルギー増加
の速度は粒子の速度に比べかなり小さい(u v ≈ c)の で,1 回の衝突当たりのエネルギー獲得(∼ u2 )は非常に 小さい.したがって,このフェルミ機構による粒子加速は非
ゆっくりしたエネルギー増加
常に長い時間が必要である.この型の加速には,衝突の相 手として,磁気雲—通常のガス雲でなく—を想定する.磁 化された雲のほうがガスの密度が大きく,したがって,衝 突する確率も大きくなるからである. もう 1 つの重要な面は,宇宙線粒子は得たエネルギーの 一部を星間,あるいは銀河間物質との相互作用によって,失 うことである.このことが,この加速機構になぜ最小の投 入エネルギー(injection energy)—そのエネルギー以上の ときだけ粒子は効果的に加速される—が必要かの理由にな る.この投入エネルギーは一次フェルミ機構,つまり衝撃 波加速の際,あらかじめ与えられる.
5.5 パルサー 「リズミカルに鼓動している電波源に ついて,どんなにものすごい力が,鋭く かつ強烈な信号の原因となっているの を見せつけられているが,それを君は 我々に教えることができないのではな いか?」
Dietrick E. Thomsen Jonathan Eberhart
回転している磁化された中性子星(パルサー)は超新星
投入エネルギー
80
第 5 章 加速機構
爆発の残骸である.星は典型的に半径 106 km を持つが,重 力崩壊によってほんの約 20 km までに収縮する.この経過 で密度が原子核と同程度 6 × 1013 g/cm3 となる.この過程 で電子と陽子が非常に密接に詰まるので,弱い相互作用で 中性子が作られる:
p + e− → n + νe . 中性子星
(5.17)
そのような中性子星内の電子のフェルミエネルギーは数 100
MeV なので,作られた中性子は崩壊できない.それはパウ リの原理による.中性子のベータ崩壊で,電子の最大エネ ルギーはたった 0.78 MeV であり,電子のフェルミガスの このエネルギーあるいはこれを超えたエネルギーまでのす べての準位は占有されているからである. 重力崩壊
星の重力崩壊の際,角運動量が保存する.だから,回転 する中性子星は大きさが小さくなるので,極端に短い回転 周期を持つことになる. 普通の星の回転周期を太陽のように,約 1ヶ月としよう.
パルサーの周期
パルサーの振動数 ωpulsar は—収縮の間に質量の損失が無視 できれば—次のようになる(慣性モーメントを Θ と書く).
Θstar ωstar
=
Θpulsar ωpulsar ,
ωpulsar
=
2 Rstar ωstar . 2 Rpulsar
(5.18)
パルサーの周期に対応させると,
Tpulsar = Tstar
2 Rpulsar . 2 Rstar
(5.19)
星の大きさ Rstar = 106 km,パルサーの半径 Rpulsar =
20 km,星の回転周期 Tstar = 1 月とすれば, Tpulsar ≈ 1 ms .
(5.20)
重力崩壊はもともとの磁場を極度に増大させる.たとえば 星の上半球に入る磁束は収縮の間保存されるだろうから, 磁束線は堅く押しつぶされる(図 5.6 参照).
B star · dAstar = star
B pulsar · dApulsar , pulsar
Bpulsar = Bstar
2 Rstar 2 Rpulsar
(5.21)
5.5 パルサー
が得られる.Bstar = 1000 ガウスとすると,パルサーの磁
81
星
場は 2.5 × 1012 ガウス = 2.5 × 108 T になる! この理論的 に予測された極端に強い磁場は,強い磁場中で,自由電子
素面積
の量子化されたエネルギー準位(「ランダウ準位」)を測る ことで実験的に確かめられた.パルサーの回転軸は通常磁 場の方向とは一致しない.この強磁場のベクトルが方向が 違う回転軸の周りに回転するので,強い電場を作り出すこ とは明らかであり,そこで,粒子は加速される.
30 ms のパルサーであれば,回転速度は v=
2πRpulsar 2π × 20 × 103 m ≈ 4 × 106 m/s = Tpulsar 3 × 10−2 s
であり,v ⊥ B として,E = v × B を用いると,電場の 収縮
強さは
|E| ≈ v B = 1015 V/m .
(5.22)
単電荷の粒子ならばメートル当たり 1 PeV = 1000 TeV の エネルギーを得ることになる.しかし,パルサーがその回
パルサー
転エネルギーをどのようにして粒子の加速に変換するかの 詳細は,まったく明白ではない.パルサーは回転エネルギー
Erot =
素面積
1 1 2 2 2 2 Θpulsar ωpulsar m Rpulsar = ωpulsar 2 2 5 (5.23)
≈ 7 × 1042 J ≈ 4.4 × 1061 eV (Tpulsar = 30 ms,Mpulsar = 2 × 1030 kg,Rpulsar =
20 km,ω = 2π/T )を持つ.もしパルサーがこの巨大なエ ネルギーのわずか 1 %をうまく宇宙線粒子の加速に転換で き,パルサーの寿命を 1010 年とするなら,注入の比率は
dE ≈ 1.4 × 1042 eV/s dt
図 5.6 星の重力崩壊の際の磁場の 増加
(5.24)
となる. もし我々の銀河系に 1011 個の星があり,超新星爆発の比 エネルギー生成の比率 率(パルサー生成の比率)が 1 世紀に 1 回だとすると,我々 の銀河系の生成以来(銀河系の年齢 ≈ 1010 年),108 個 のパルサーが宇宙線粒子の加速エネルギーを提供したこと になる.これから,平均のパルサーの注入時間 5 × 109 年 として,全エネルギー 2.2 × 1067 eV となる.我々の銀河
宇宙線のエネルギー密度
82
第 5 章 加速機構
系の全体積(半径 15 kpc,銀河円盤の実質的な平均の厚さ
1 kpc)2 × 1067 cm3 に対して,このエネルギー密度は宇宙 線の 1.1 eV/cm3 に相当する. もちろん,宇宙線粒子は我々の銀河系に限られた時間だ けとどまっていることや,さらにエネルギー損失過程を考 えに入れないといけない.それでも上に示した粗い推定は 実際の宇宙線エネルギー密度 ≈ 1 eV/cm3 をかなりうまく 説明する.
5.6 連星 「連星の近くに住んでよいのは,半分の 時間で日焼けすることである」 作者不明
パルサーあるいは中性子星と通常の星とからなる連星は また,宇宙線粒子加速の現場と考えられる.そのような連 星系では,通常の星から,いつでも物質がひきずり出され ていて,ぐるぐる回りながら圧縮された伴星(訳注:中性 子星)の周りの降着円盤となる.これらの莫大なプラズマ 運動によって,中性子星の近傍に非常に強い電磁場が発生 する.それらの場の中で,荷電粒子を高エネルギーまで加 速できる(図 5.7 を見よ). 重力ポテンシャル内の加速
パルサー(質量 Mpulsar )の重力ポテンシャル内に落ちる 陽子(質量 mp )の得るエネルギーは,
ΔE = −
Rpulsar
G ∞
mp Mpulsar mp Mpulsar dr = G r2 Rpulsar
≈ 1.1 × 10−11 J ≈ 70 MeV
(5.25)
(mp ≈ 1.67×10−27 kg,Mpulsar = 2×1030 kg,Rpulsar =
20 km,万有引力定数 G ≈ 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 ). 降着円盤に落ち込む物質の得る速度 v は,古典的扱い
1 m Mpulsar mv 2 = ΔE = G 2 Rpulsar から
(5.26)
v=
2GMpulsar ≈ 1.2 × 108 m/s . Rpulsar
(5.27)
5.6 連星
83
通常の星
物質の転送
パルサー
図 5.7 連星系における降着円盤の 形成
c Vladim´ ır Renˇ c´ ın
降着円盤と垂直な中性子星の変化する磁場はローレンツ 力により強い電場を作る.
F = e(v × B) = eE
(5.28)
から,v ⊥ B を用い,粒子の得るエネルギー E は,
E=
F · ds = evBΔs .
(5.29)
降着円盤
84
第 5 章 加速機構
もっともらしい仮定で(v ≈ c,B = 106 T,Δs = 105 m), 活動銀河核
粒子エネルギーは 3 × 1019 eV まで可能である.ブラック ホールや圧縮された活動銀河核の周りに形成される降着円 盤は,なお一層強力である.このような活動銀河核やその ような核から注入されたジェットの中で,粒子は一次宇宙 線で観測されている最高エネルギーまで加速され得る. これらの加速過程の詳細はまだ完全に理解されたわけで はない.ブラックホール—太陽の質量の 10 億倍の質量を 持つような—の近傍なら,最高エネルギーの宇宙線まで加 速できる環境を提供できよう.限定された極度に相対論的 ジェットはそのようなコンパクトな源の共通した様相であ る.ブラックホールあるいは圧縮された銀河核の近傍で加 速された粒子のジェットは,源の電磁場の中に注入される だろう.衝撃波によってジェット内で加速された電子や陽子
ブラックホールからのビーム
は電磁カスケードやハドロンカスケードを起こす.高エネ
ジェット
ルギー γ 線は,加速された電子による逆コンプトン散乱で 作られる.高エネルギーニュートリノはハドロンカスケー ドの発展中,荷電パイオンの崩壊で作られる.ジェットが 我々の視線に合わせて発せられたときのみ,これらの源か らの放射が検出されると想定される.巨大な質量を持つコ ンパクトな源からのビームジェット中の粒子加速の可能な シナリオを図 5.8 にスケッチした.
5.7 一次粒子のエネルギースペクトル 「まず,実際起こったことは正しいとし なさい.それから好きなだけそれをゆ がめたらよい」
Mark Twain
目下のところ,提示されている機構のうち,宇宙線粒子 の加速に際立って寄与しているのはどれかは,まったく明 らかではない.銀河系内宇宙線の大部分は,源から放射さ れた粒子がさらに一次のフェルミ機構による衝撃波で加速 されているとする好ましい議論がある.これに対して,き わめてエネルギーの大きい宇宙線はおもに,パルサー,連 星,あるいはブラックホールあるいはまた活動銀河核から 放出されるジェット内で加速されているとするのが,もっ
5.7 一次粒子のエネルギースペクトル
85
衝撃波フロント
きわめて重いブラックホール あるいはAGN
取り巻いている光子または シンクロトロン光子
地球に向かうジェット
降着円板
図 5.8 ブラックホールあるいは活動 銀河核(AGN)によって強 力になった相対論的ジェット の加速モデル(反応だけを図 にした)
ブラックホールによって エネルギーを得た星
ともらしい.超新星爆発による衝撃波加速に関しては,宇 宙線粒子のエネルギースペクトルの形を加速の仕組みから 導くことができる. 粒子の最初のエネルギーを E0 ,加速の 1 サイクルについ て得られるエネルギーを εE0 とする.最初のサイクルの後 には
E1 = E0 + εE0 = E0 (1 + ε)
(5.30)
が得られ,n サイクル後(たとえば衝撃波フロントからの 多数回反射によって)には,
En = E0 (1 + ε)n
(5.31)
となる.最終のエネルギー En = E を得るには,
n=
ln(E/E0 ) ln(1 + ε)
(5.32)
衝撃波加速模型
86
第 5 章 加速機構 周期的に得られるエネルギー
のサイクルが必要である.1 サイクルで逃げていく確率を
P としよう.n サイクル後粒子がまだ加速機構の中に残っ ている確率は (1 − P )n である.これから E を超えるエネ ルギーを持つ粒子の数は ∞
N (> E) ∼
(1 − P )m .
(5.33)
m=n ∞
1 (x < 1 について)なので,(5.33) は書 1−x
xm =
m=0
き換えられて,
N (> E) ∼ (1 − P )n
∞
(1 − P )m−n
m=n
= (1 − P )n
∞
(1 − P )m =
m=0
(1 − P )n . P
(5.34)
ここで,m − n を m と置き換えた.式 (5.32) と (5.34) を 一次積分スペクトル
組み合わせて,積分エネルギースペクトルが得られる.
N (> E) ∼
1 P
E E0
−γ
∼ E −γ .
(5.35)
ここで,スペクトルの指数 γ は (5.34) と (5.35) から,(5.32) を使って,
(1 − P )n =
E E0
−γ ,
n ln(1 − P ) = −γ ln(E/E0 ) , γ=−
ln(1/(1 − P )) n ln(1 − P ) = . ln(E/E0 ) ln(1 + ε)
(5.36)
この単純な考察は,一次宇宙線の観測と一致する冪(ベキ) 則を与える.
1 サイクル当たり得るエネルギーは確かにかなり小さい (ε 1).さらに逃げていく確率が低ければ(たとえば,
2 つの衝撃波フロント間で反射されれば)(5.36) は簡単に なり,
γ≈
P ln(1 + P ) ≈ . ln(1 + ε) ε
(5.37)
実験では,1015 eV のエネルギーまで,スペクトルの指数
γ = 1.7 である.もっと大きいエネルギーでは,一次宇宙 線のエネルギースペクトルは γ = 2 となり,急勾配になる.
5.8 問題
5.8 問題 1. ベータトロンで加速される電子の運動エネルギーを, 古典論(v c)と相対論で算出せよ(B = 1T,R =
0.2 m).また問題 1.2を見よ. 2. 太陽の 10 倍の質量を持つ星が超新星爆発を起こす.そ の質量の半分を放出し,残りの半分で半径 10 km のパ ルサーになったとする.パルサー内の電子のフェルミ エネルギーはいくらか? その結果どうなるか?
3. 活動銀河核がブラックホールによってエネルギーを得 ているとしよう.太陽の 100 万倍の質量を持つブラッ クホールの事象の地平線(event horizon)に落ち込む 陽子が得るエネルギーはいくらか?
4. もし太陽がつぶれて中性子星(RNS = 50 km)になっ たとする.そのような太陽の残骸(M = 2 × 1030 kg,
R = 7 × 108 m,ω = 3 × 10−6 s−1 )の回転エネル ギーはいくらになるか?この回転エネルギーと,太陽 のような主系列の星が核融合で放出できるエネルギー と比べよ!
5. ベータトロンで,磁束 φ =
B dA = πR2 B の変化
は電場を引き起こす.
E ds = −φ˙ . そこで,粒子が加速でき,
E=−
1 φ˙ = − RB˙ . 2πR 2
運動量が
p˙ = −eE =
1 eRB˙ 2
(5.38)
で増える.荷電粒子を安定な軌道に保つためには,ど のような種類の先導磁場が必要か?
87
第6章
一次宇宙線
「あらゆることが,物質粒子が互いに作 用し合う力の成り立ちしだいであると わかるでしょう.そして,実際すべての 自然現象はこれらの力から生まれてき ます」
R. J. Boscovich
宇宙線は我々の銀河内あるいはその外で起こされている
原始放射
高エネルギー過程について,重要な情報を提供する.源で作 られた宇宙線は通常原始宇宙線(primordial cosmic ray) とよばれる.この放射線は銀河系内または銀河系外空間で伝 播する間に変化する.銀河系に源を持つ粒子は,地球大気の 頂上に達する前に,平均してコラム密度(column density, 訳注:粒子の通った飛跡に沿って,単位面積で切り取った 質量)6 g/cm2 を通過する.もちろん,大気は実際に「頂 上」を持っているわけではなく,むしろ指数的な密度分布 を示す.普通約 40 km の高さを大気の頂上と理解すれば, 大気の頂上 実際的であるとされる.40 km の高さは,これより上に残 された大気のコラム密度は 5 g/cm2 であり,圧力にしてほ ぼ 5 hPa に相当する.乱されないで地球大気にやってくる 宇宙線は通常一次宇宙線とよばれる. 宇宙線の源は陽子や電子のような荷電粒子を主として加 速する.周期律表にあるすべての元素は,元素生成の時期 に作られているので,ヘリウム,リチウム等の原子核も加 速される.宇宙線は地球圏外の,あるいは銀河系外の物質 のサンプルをも示している.その化学組成は我々の太陽系 の元素組成とある程度似ている. 源で加速された荷電宇宙線は,源自身の中で相互作用し て,多くの二次粒子を作れる. これらのほとんどがパイオンやケーオンのような不安定 な二次粒子ではあるが,崩壊して安定な粒子となる.すな わち π 0 → γγ 崩壊からの光子,π + → μ+ + νμ 崩壊から
二次粒子の生成
90
第 6 章 一次宇宙線
のニュートリノである.二次粒子もまた,源から現れて地 球に到達し得る.まず最初に一次宇宙線の初めに加速され る荷電粒子について議論しよう.
6.1 一次宇宙線の荷電成分 「宇宙からやってきて大気に入ってく る,一次宇宙線として知られる荷電粒 宇宙線存在量
子のぱらぱら降る雨がある」
太陽系存在量 (Si=106で規格化)
C. F. Powell
存在量の対数
一次宇宙線の元素組成が太陽系の元素組成と図 6.1 と 6.2 で比較された.陽子が顕著に多く(≈ 85 %),α 粒子が続く (≈ 12 %).電荷 Z ≥ 3 の原子核は一次荷電宇宙線中わず か 3 %である.図 6.1 と 6.2 で示した太陽系の化学組成は多 くの点で宇宙線のそれと似ている.しかしリチウム,ベリ リウム,ホウ素(Z = 3–5)や鉄族以下(Z < 26)の元素 に顕著な違いが見られる.宇宙線中の Li,Be や B のより大 原子番号
図 6.1 一次宇宙線の 1 ≤ Z ≤ 28 に ついての元素組成
きい存在量は,銀河系内物質中のより重い炭素核(Z = 6) や特に酸素核(Z = 8)が,源から地球にくるまでに分裂 したとして,容易に理解できよう.
宇宙線存在量
存在量の対数
太陽系存在量 (Si=106で規格化)
図 6.2 一次宇宙線の 1 ≤ Z ≤ 100 についての元素組成
原子番号
91
6.1 一次宇宙線の荷電成分
同じように比較的豊富にある鉄核の分裂や破砕反応(spal-
lation)によって鉄族の下の原子核が増える.一次宇宙線 の原子番号による化学組成の一般的な傾向は,原子核物理 学の議論から理解される.殻モデルで,偶数個の陽子と偶
殻モデル
数個の中性子を持った原子核(偶–偶核)は奇数個の陽子と く存在するということから簡単に説明される.安定性に関
核子
奇数個の中性子を持った原子核(奇–奇核)に比べてより多 するかぎり,偶–奇核や奇–偶核は偶–偶と奇–奇の間にある を持った原子核」)が存在する.それは陽子数または中性子 数が殻が一杯になる魔法数(2,8,20,28,50,82,126) になったときである.その結果,二重の魔法数を持った原 子核(ヘリウムや酸素のように)は特に安定であり,した
微分フラックス
存在比で関係づけられる.きわめて安定な原子核(「魔法数
がって豊富に存在する.また鉄のように結合エネルギーが 大きい原子核は,核融合で作られ,荷電一次宇宙線の中で
運動エネルギー
核子
も比較的多い.一次宇宙線の水素,ヘリウム,炭素,鉄核 のエネルギースペクトルを,図 6.3 に示した. 一次スペクトルの低エネルギー部分は太陽や地球の磁場 によって変わる.太陽黒点サイクルの 11 年周期は低エネ
図 6.3 荷電一次宇宙線の主成分のエ ネルギースペクトル 魔法数を持った原子核 低エネルギー部分の修正
ルギー(< 1 GeV/ 核子)一次宇宙線の強度を変化させる. 活動期の太陽は,太陽から作られる強い磁場が銀河の荷電 粒子が地球に到達するのを妨げるので,宇宙線の強度を減 らす. エネルギー成分の大気頂上での気球や人工衛星による直接 観測は結局は統計がらみになる.それゆえ,数 100 GeV を 超える一次宇宙線の荷電成分の測定は間接的な方法に頼ら
微分フラックス
一般にエネルギーが増すと強度が減るので,宇宙線の高
ざるを得ない.大気の空気チェレンコフ光による手法(6.3 節:ガンマ線天文学を見よ)や,拡大空気シャワーの空気か らの蛍光を通しての測定,または粒子の抽出(sampling) によって(7.4 節:拡大空気シャワーを見よ),エネルギー スペクトルのこの高い部分を原理的に取り扱うことができ
核当たりエネルギー
る.しかし,このような間接的な手法で一次宇宙線の化学
図 6.4 一次宇宙線の全粒子のエネル ギースペクトル
組成を決めるのは特に難しい.さらに高エネルギー粒子の
高エネルギーでの強度の減少
強度はきわめて小さい.約 1019 eV を超えるエネルギーを 持つ粒子は,km2 当たり 1 年にたった 1 個の割合である.
92
第 6 章 一次宇宙線
荷電一次宇宙線のすべての粒子スペクトルは,どちらか といえば急に落ちるので(図 6.4),細かい所がほとんど 見えない.そこで強度に最初のエネルギーのベキ乗を乗じ てやると,初めて一次スペクトルの構造が見えてくる(図
図 6.5 一次宇宙線のエネルギースペ クトルに E 3 倍した.日本の 空気シャワー実験 AGASA のデータは—非常に高いエネ ルギーの所を除いて— ユタ 州の高解像度の空気–シンチ レーション実験結果と,スペ クトルの形状に関するかぎり よく一致している.しかし絶 対強度は一致しない (AGASA—Akeno(明野) Giant Air Shower Array,
HiRes—High Resolution
フラックス
6.5).
核当たりエネルギー
(高分解能)Fly’s Eye)
全粒子スペクトル (ひざ)
(足首) (足指)
図 6.6 一次宇宙線スペクトルの多様 な構造についてのイメージ画
核当たりエネルギー
少なくともエネルギー 1015 eV までの宇宙線の大部分は 我々の銀河系内に起源があると信じられている.このエネル ギーより上はいわゆる「ニィー(ひざ):knee」となり,一次 スペクトルは急勾配に変わる.ほぼエネルギーが 5×1018 eV 辺りは,いわゆる「アンクル(くるぶし):ankle」で,そ
6.1 一次宇宙線の荷電成分
93
れを超えるとスペクトルは勾配が再びゆるやかになる.こ の後者の特色は勾配の急な銀河系成分と緩やかな銀河系外 起源の成分が混じるからだと,しばしば説明される. 宇宙線は主として我々の銀河系内に源を持つが,この銀 河系は非常な高エネルギー粒子を閉じ込めるような,大き さと磁場の組合わせを一般に持っていない. 遠心力とローレンツ力の釣り合い(v ⊥ B として)
mv 2 / = Z e v B
遠心力とローレンツ力の釣り合い
(6.1)
から,単電荷粒子の運動量は
p=eB (p は粒子の運動量,B は磁場,v は粒子の速度,m は粒子 の質量, は曲がりの半径あるいは旋回半径).銀河系内 −10
で B = 10
銀河系内封じ込め
5
T(地球表面磁場に比べ,10 分の 1 の弱さ)
を持つ大面積の銀河磁場に対し,旋回半径が 5 pc になるよ うな粒子は銀河系から漏れ始める.運動量
p [GeV/c] = 0.3 B [T] [m] , pmax = 4.6 × 106 GeV/c = 4.6 × 1015 eV/c
(6.2)
までの粒子は封じ込められる.1 パーセク(parsec(pc))は 1 パーセク(pc)= 3.26 光年 天文学でよく使われる長さの単位である(1 pc = 3.26 光年
= 3.0857 × 1016 m).1015 eV を超えるエネルギーを持つ 粒子は銀河系から漏れ始める.このことはこれより高いエ ネルギーで勾配が急になる原因となる.封じ込めの半径は 原子番号に関係するので((6.1) を見よ),ニィーの位置は, 陽子のニィー このシナリオによると,一次宇宙線の電荷に依存する.す なわち,鉄核のニィーは陽子に比べ,より高いエネルギー で起こることが期待される. 宇宙線のニィーを説明するもう 1 つの可能な理由は,
1015 eV が超新星爆発の際供給され得る最大エネルギーにほ ぼ等しいことに関係する.これより高エネルギーには,違っ 鉄のニィー た加速機構を必要とし,それはより急勾配のエネルギース ペクトルを与えるかもしれない.高エネルギー粒子の相互 作用の性質が変わり得るものとして,原理的にニィーの原 因とすることもできるかもしれない.ニィーでのエネルギー
94
第 6 章 一次宇宙線
√
は現在加速器で手に入る最大エネルギー( s = 1.8 TeV で,Elab ≈ 2 × 1015 eV に対応)と一致する.したがって そのエネルギーを超えた直接測定は無く利用できない.エ ネルギーとともに相互作用断面積が変化して,一次宇宙線 スペクトルのニィーを作るのだとの考えもある.1019 eV よ 宇宙線のアンクル
り上でスペクトルが平ら(「アンクル」)になるのは,一般 に銀河系外成分によるものだと想定されている.
1966 年にグライセン,ザツェピンとクズミン(GZK)は およそ 6 × 1019 eV のエネルギー以上を持つ宇宙線は宇宙 背景放射と相互作用すると主張した.これより高いエネル ギーを持つ陽子はこの相互作用過程によって急激にエネル ギーを失い,スペクトルは 6 × 1019 eV 辺りのエネルギー でカットオフされることになる.このエネルギーの一次陽 子は黒体放射の光子と Δ 共鳴状態を通した
γ + p → p + π0 , γ + p → n + π+
(6.3)
の反応に従って,パイオンを作る.それによって,陽子は GZK カットオフ
そのエネルギーのほとんどを失う. パイオンの光生成のしきいエネルギーは 4 元運動量の保 存則
(qγ + qp )2 = (mp + mπ )2
(6.4)
から決められる(qγ ,qp はそれぞれ光子と陽子の四元運動 量;mp ,mπ は陽子とパイオンの質量).これより正面衝 突のとき,
Ep = (m2π + 2mp mπ )/4Eγ
(6.5)
となる. 温度 2.7 ケルビンの黒体放射に対応するプランク分布の 典型的な値は 1.1 meV 辺りである.この光子エネルギーに ついて,パイオンの光生成のしきいエネルギーは
Ep ≈ 6 × 1019 eV
(6.6)
となる. したがって,1020 eV を超えた事例の観測(一次宇宙線の 宇宙線のトウ
「トウ」(toe,つま先))は確かに謎である.GZK カット
6.1 一次宇宙線の荷電成分
オフは高エネルギー陽子の平均自由行程に制限を与え,そ れは 10 Mpc 程度となる.それゆえ,一次宇宙線スペクト ルにおける GZK カットオフの実験的確認が数 1019 eV を 超える高エネルギー粒子が銀河系外の源で発生している最 も明らかな証明になるだろう.一次粒子の候補としての光
‚‚ 相互作用
子は,黒体,赤外,星の光の光子とガンマ–ガンマ相互作用 (γγ → e+ e− )をして,電子対を作るので,もっと短い平 均自由行程(≈ 10 kpc)を持つ.最高エネルギーの事例が 一次ニュートリノによるものだという仮説はあまりありそ うもない.ニュートリノが大気中で相互作用する確率はき わめて小さい(< 10−4 ).それに,高エネルギー事例の観 測された天頂角分布や大気中でカスケードを起こす最初の バーテックスの位置は,これらの事例が一次ニュートリノ によるものだという仮説と相いれない.なぜなら,相互作
ニュートリノの起源
用する確率が小さいので,最初のバーテックスは大気中に 一様に分布するはずである.これに対して最初の相互作用 が起こる場所はおもに最初の 100 ヘクトパスカルの層内で 観測され,これはハドロンや光子の相互作用の特色である. 結局のところ,6 × 1019 eV 以上のエネルギーの事例は陽子 が引き起こすとするのが,ただ 1 つの考え方であろう.こ のことは最高エネルギーの宇宙線の源は比較的近い所にあ ると考えられる.1 つの源の候補は,15 Mpc 離れたおとめ M87,宇宙線の源? 座銀河団(Virgo cluster)にある巨大な楕円銀河 M87 で ある.M87 の中心部から,長さ 1500 pc のジェットが放出 されており,高エネルギー粒子の源となり得よう.M87 は おとめ座の中で,最も強い電波源の 1 つであるおとめ座 A (3C274)と同一である. 実験の状況をよく見ると(図 6.5 を見よ),2 つのおもな 実験が ≤ EeV で測定した範囲で絶対強度が一致していない し,また ≈ 5 × 1019 eV を超えるエネルギーの所でスペク トルの形が違っている.HiRes 実験では 1020 eV を超える 事例があるといっても,HiRes スペクトルは GZK カット オフに基づく期待値と一致しないとはいえない.AGASA の結果はこれとまったく対照的である.以下のような議論 ができるかもしれない.シャワーのエネルギー決定につい てはおそらく HiRes のほうが AGASA より優れているの
HiRes 対 AGASA
95
96
第 6 章 一次宇宙線
ではないか,なぜなら HiRes はシャワーの縦方向の発達を 全部記録しているが,一方 AGASA はシャワーを大気層の 一断面,つまり地上でサンプリングしているのに過ぎない からである. オージェ(Auger)実験が GZK カットオフについての疑
オージェ実験
問を明らかにするだろうと期待されている.これと関連して, オージェ–南のアレイ(array)が建設の段階で ≈ 1020 eV の一例をすでに記録した [4].オージェ–南の検出器が完成 するのは 2006 年春である
注 1)
.
このような高エネルギー粒子の非常に大きいリジリティ (rigidity)と銀河間の弱い磁場を考慮すると,これらの粒 子は 50 Mpc の距離にわたって実質的な方向の偏りは予期 されない.このことはきわめて高いエネルギーの宇宙線に エキゾチック粒子?
ついての天文学が考えられることを意味する.これら高エ ネルギー宇宙線事例の到来方向と,我々の銀河系に隣接し た近傍に天文観測上知られた源との間に関連性がない.そ こで,もし AGASA の結果がたとえばオージェ実験で確か められるなら,6 × 1019 eV を超える事例は新しいまだ知ら れていない素粒子によるものだといえるかもしれない.
一次宇宙線中の反粒子
一次宇宙線中に反粒子はきわめて稀にしかない.測定さ
p ¯生成
れる一次反陽子は,おそらく一次荷電宇宙線が星間ガスと 相互作用して作られたものであろう.反陽子は
p + p → p + p + p + p¯
(6.7)
から容易に作ることができる(第 3 章の例 1 を見よ).一 e+ 生成
方陽電子はエネルギーの大きい光子による対生成で,もっ と簡単に作られる(第 3 章の例 4 を見よ).エネルギー
> 10 GeV の一次反陽子のフラックスは N (¯ p) ≈ 10−4 N (p) >10 GeV
(6.8)
と測定されている. 一次電子の一次陽子に対する割合はわずか 1 %である.一
一次電子
次陽電子は 10 GeV くらいのエネルギーで,電子の 10 %で 注 1
訳注:オージェの最近の観測は GZK の予測と矛盾しない(PRL 101,
061101 (2008)).
6.1 一次宇宙線の荷電成分
97
しかない.これらはおそらくまた,二次的に作られたとし て矛盾しない. 圧倒的にプラス電荷の粒子(マイナス電荷はたったの 1 %) が絶え間なく地球に降りそそいでいるので,我々の地球は プラス電荷に帯電するのではないかと,思うかもしれない. しかし,これは本当ではない.一次陽子と電子の割合を比 べるとき,普通エネルギーの高い所だけで比べている.陽 子と電子のスペクトルは非常に違っていて,電子はおもに 低エネルギー領域に存在する.もしすべてのエネルギーを 考えるなら,陽子と電子は同数あり,したがって我々の惑 星はプラスにもマイナスにも充電されることはない. 宇宙に反物質から成る星があるかどうかを見つけるため
反物質の星?
には,一次反原子核の存在を確かめる必要がある.という のは,Z ≥ 2 を持つ反原子核(反ヘリウム,反炭素)の宇 宙線による二次生成はほとんど可能性がないからである.
Z ≥ 2 を持つ一次反物質が観測されていないことは,我々 の宇宙が物質優勢であるとの強いヒントである. 高エネルギー(> 1015 eV)一次宇宙線の化学組成につい
高エネルギー宇宙線の化学組成
ては,いろいろな面で未だ分っていない.もし核子–核子相 互作用の最近のモデルが 1015 eV(質量中心系のエネルギー が陽子–陽子衝突で > ∼ 1.4 TeV に対応)を超える範囲まで 外挿できるとしよう.また拡大空気シャワー内のミューオ ンの数やミューオンの横方向分布で一次粒子を同定できる 基準として取り上げるとしよう.そうすると,一次宇宙線 の化学組成はニィー以下(< 1015 eV)の組成と非常に異な るものにはならないとの結論になるだろう.ところが,幾 つかの実験は,ニィーを超えたエネルギーで一次宇宙線中 の鉄核の割合が増すことを示しているように見える.この ことは銀河内の封じ込めによる結果かもしれない.つまり, 鉄核のニィーは陽子のニィーより高いエネルギーで起こる ことが期待されるからである. 宇宙線は 90 年前に発見されたとはいえ,その起源はいま だに未解決な問題である.通常,活動銀河核,クェーサーや 超新星爆発が高エネルギー宇宙線のよくできた源の候補とさ れている.しかし,これらの説の直接証拠は無い.100 TeV までのエネルギー範囲では,個々の源は一次ガンマ線によっ
宇宙線の起源
98
第 6 章 一次宇宙線
高エネルギーガンマ線はハドロン が源か?
て同定されてきた.このようなエネルギーのガンマ線は素 粒子の崩壊の結果(π 0 崩壊,ケンタウルス A?)であり, これらはもともと源で加速された粒子によって作られてい る.したがって,このようにもともと加速された粒子に光 を当てて宇宙線の源を探すことは興味深いだろう. このことは,しかし,重要な問題を示す.つまり,光子 やニュートリノは銀河や銀河間の空間を真っ直ぐ進むので, 源まで直接逆にたどれる.一方荷電粒子は等質的ないし不 規則な磁場の影響を受ける.これによって,加速された粒子 は無秩序な軌道に沿って運動し,最後地球へ達する前にす
荷電粒子の等方性
べての方向性の情報を失ってしまう.したがって,1014 eV 以下のエネルギーを持つ荷電粒子の方向分布が完全に等方
異方性
的なのは,まったく驚くには当たらない.観測された異方 性のレベルは 0.5 %以下である.1018 eV を超えるエネル ギーについては,一定の方向性が見えるのではないかの望 みがある.しかし,このエネルギー領域でも,曲がりの半 径はかなり大きいが,銀河系磁場は考慮されねばならない. 銀河磁場のかなり不確かな形体が状況をさらに複雑にする.
3, 260 万光年)も離れている 加えて,源が > 10 Mpc(= こともあるのだから,基本的に過去 ≈5,000 万年にわたっ て磁場の時間変動を知る必要がある.荷電粒子と光子を見 て宇宙線源を同時に観測しようとすると,荷電粒子は軌道 が曲がってやってくるので,光子に比べ遅れてくることを 太陽
銀河面
考慮しなければならない. 磁場による曲がりは粒子の電荷に比例するので,陽子天 文学は重い核の天文学より将来見込みがある.この考えは 図 6.7 で説明する.ここでは我々の銀河系で 1018 eV のエネ
図 6.7 天の川銀河内で 1018 eV を持 つ陽子と鉄原子核の軌道の概 略図
ルギーの陽子と鉄核(Z = 26)の軌道が描かれている.こ の図から明らかなように—もし実験的に可能なら—,粒子 天文学として陽子だけ使うべきだろう.実際,エネルギー
> 1019 eV の数個の事例の源が超銀河団面(supergalactic plane),すなわち我々の天の川銀河を含み比較的すぐ近く にある銀河団(「局所的超銀河団(local super galaxy)」)に 位置するかもしれないという幾つかのヒントがある.我々の 天の川銀河の中心,そしてまた特に白鳥座の領域に 1018 eV で確かな異方性があると議論されてきている.しかし,そ
6.2 ニュートリノ天文学
のような可能な相関があるという主張は,非常に少ない統 計量に基づいているので全面的に支持されているわけでは ないと,指摘しておくべきだろう.間違いなくさらなる実 験的な確証が必要である.
6.2 ニュートリノ天文学 「ニュートリノ物理学とは,大部分は何 も観測せずに多くのことを知るわざで ある」
Haim Harari
電波,赤外線,可視光,紫外線,X 線,ガンマ線の周波
古典的天文学の限界
数帯で観測するような古典的天文学に不利なこととして, 電磁波が物質によって急速に吸収されるという事実がある. それゆえ,これらの天文学では天文学的対象物の表面のみ しか観測できない.さらに,離れた源からの高エネルギー ガンマ線は黒体放射の光子と γγ 相互作用
γ + γ → e+ + e− を起こし,減衰してしまう.たとえば,大マゼラン星雲 (Large Magellanic Cloud(LMC),距離 52 kpc)からの エネルギーの高い(> 1015 eV)光子はこの過程で大幅に 減ってしまう(図 4.9 を見よ). 一次荷電粒子はまた,原理的には宇宙粒子物理学に適用 19
できる.しかし,非常に大きいエネルギー(> 10
一次荷電粒子
eV)の
陽子しか,その方向性の情報は保たれない.エネルギーが非 常に大きくないと, 不規則なあるいは一部よくわかっていな い銀河磁場がもともとの方向をランダムにしてしまうから である.このような高いエネルギーでは GZK カットオフも 関与し始める.つまり,陽子は黒体光子によるパイオン光 生成によってエネルギーを失う.エネルギーが 6 × 1019 eV を超える陽子にとって,宇宙はもはや透明ではない(減衰 距離(attenuation length)λ ≈ 10 Mpc).このような事 柄を考えると,最適な天文学に対する要請を以下のように 定めることができる:
1. 最適な宇宙粒子あるいは放射線は磁場による影響を受
最適な天文学に対する要請
99
100
第 6 章 一次宇宙線
けてはならない.
2. 粒子は源から地球まで崩壊してはならない.このこと は,非常に高エネルギーでない中性子を実質的に運び 0 手として排除する(τ中性子 = 885.7 s;E = 1019 eV で, 0 γcτ中性子 ≈ 300,000 光年となる) (訳注:エネルギーが
≈ 6 × 1019 eV を超えると,陽子の場合と同様に GZK カットオフが起こる).
3. 粒子と反粒子は区別すべきである.これは原則として 粒子が物質から来たのか,反物質から来たのかを明ら かにする.この条件は光子を除外する.それは光子は
¯ だからである. それ自身反粒子,γ = γ 4. 源の中心部を調べるためには,粒子は透過性を持たね ばならぬ.
5. 粒子は星間や銀河間の塵によって,あるいは赤外線や 黒体光子に吸収されてはならない. ニュートリノ天文学
これら 5 つの要請をニュートリノは理想的な形で満たして いる!読者はニュートリノ天文学はなぜ最初から主流にな らなかったのかと問うことができよう.ニュートリノが源 の中心から脱出できるのは,相互作用断面積が小さいから である.残念ながら,これは地球上でニュートリノを検出 するのに多大な困難が伴うことにもなる. 数 100 keV 範囲の太陽ニュートリノについてニュートリ ノ–核子散乱の断面積は
σ(νe N ) ≈ 10−45 cm2 /核子 .
(6.9)
これらのニュートリノが我が地球の中心に向かって入って きて,相互作用を起こす確率は
φ = σ NA d ≈ 4 × 10−12
(6.10)
(NA はアボガドロ数,d は地球の直径, は地球の平均密 度).太陽から cm2 当たり,毎秒当たり 7×1010 個のニュー トリノが放射されて,そのうち高々1 個だけ地球で「見ら れる」. ニュートリノ望遠鏡
この結果,ニュートリノ望遠鏡は巨大な標的物質量を用 意し,また長い露出時間の心積もりをしなければならない. しかし高エネルギーでは,相互作用断面積はニュートリノの
6.2 ニュートリノ天文学
101
エネルギーとともに大きくなる.数 100 keV のエネルギー 範囲では,放射化学の方法でニュートリノが検出される.エ ニュートリノ検出 ネルギーが 5 MeV を超えると,大体積の水チェレンコフ計 数管が魅力的な可能なものとなる. ニュートリノ天文学は宇宙粒子物理学でも非常に若い分 野である.今までに 4 つの違ったニュートリノの源が研究 されている.これらの測定の物理的結果と意味は,以下の
4 つの節で議論しよう.
6.2.1 大気ニュートリノ 現実のニュートリノ天文学にとって,大気を源とするニ ュートリノはやっかいなバックグラウンドである.宇宙粒 子物理学の素粒子物理学の側面から見ると,大気ニュート リノは大変興味深い問題であることがわかる.一次宇宙線
ニュートリノ生成
は大気中で窒素や酸素の原子核と相互作用をする.これら 陽子–空気相互作用で,核破片や多くの荷電あるいは中性の パイオンが作られる.荷電パイオンは崩壊し(寿命 26 ns), エレクトロニクス小屋
ミューオンニュートリノになる:
π + → μ+ + νμ , π − → μ− + ν¯μ .
(6.11)
ミューオン自身も不安定で平均寿命 2.2 μs をもって,次の
中央 検出器
ように崩壊する.
ベト計数管
μ+ → e+ + νe + ν¯μ , μ− → e− + ν¯e + νμ . (6.12) したがって,大気ニュートリノビームは電子ニュートリ ノとミューオンニュートリノを含み,その比は反応 (6.11) 図 6.8 と (6.12) の崩壊ニュートリノ数を数えればすぐわかるよ
日本の神岡鉱山にあるスー パーカミオカンデ検出器 {8}
うに,
Nμ N (νμ , ν¯μ ) ≡ ≈2 N (νe , ν¯e ) Ne
(6.13)
となる. 大気ニュートリノ測定で現在最大の実験はスーパーカミ オカンデ(図 6.8 を見よ)と AMANDA II(6.2.4 節を見 よ)である.スーパーカミオカンデ検出器は,ニュートリ ノ相互作用を,超純水約 50,000 トンを満たしたタンク内に
— の予期される優勢
102
第 6 章 一次宇宙線
記録する.電子ニュートリノは,そのエネルギーの一部を 電子に移す,
νe + e− → νe + e− ,
(6.14)
あるいは,ニュートリノ–核子相互作用で電子を作る.
νe + N → e− + N .
(6.15)
ミューオンニュートリノはニュートリノ–核子相互作用
νμ + N → μ− + N
(6.16)
によって検出される.反電子ニュートリノや反ミューオン ニュートリノは,同様に陽電子やプラスミューオンを作る. 荷電レプトン(e+ ,e− ,μ+ ,μ− )は水中のチェレンコフ 効果で検出できる.直径 50 cm の光電子増倍管 11,200 本 をもって,出てきたチェレンコフ光を測定する. GeV 領 図 6.9 スーパーカミオカンデ検出器 内の高エネルギー電子のチェ レンコフパターン {9} 電子ニュートリノとミューオン ニュートリノの区別
域の電子は特徴的な短い範囲の電磁カスケードを起こす.一 方ミューオンは長い直線の飛跡を作る.これがミューオン ニュートリノから電子ニュートリノを区別する根拠を与え る.それに加えて,ミューオンが検出器内で崩壊し同定さ れるなら,それによって作られたニュートリノ種同定の証 拠が追加される.図 6.9 と 6.10 はスーパーカミオカンデの 電子とミューオンの事例を示している.ミューオンの事例 は,はっきりした範囲そして鋭い端を持った鮮明なチェレ ンコフ模様を示す.一方,電子は電磁カスケードを起こし, それによってぼやけたリング模様を作る. スーパーカミオカンデの実験結果は,電子ニュートリノ の事例の数は理論の期待値と一致したが,ミューオンニュー
図 6.10 スーパーカミオカンデ検出器 内の高エネルギーミューオン のチェレンコフパターン {9} ミューオンニュートリノの欠損
トリノからの事例は明らかに不足していた.測定された電 子とミューオンのスペクトルが期待値と図 6.11 と 6.12 で 比較される. 水チェレンコフ検出器では電子とミューオンのアクセプ タンス(受容率)が違うので,ミューオンと電子の比はモ ンテカルロ・シミュレーションと比較される.二重比
R=
(Nμ /Ne )データ (Nμ /Ne )モンテカルロ
(6.17)
について,標準の相互作用と伝播のモデルと一致する値 R =
103
事例
年キロトン
6.2 ニュートリノ天文学
図 6.11 スーパーカミオカンデの単環 電子を示す事例の運動量スペ クトル.実線はモンテカルロ による期待値 {9}
年キロトン
運動量
事例
図 6.12 スーパーカミオカンデで単環 ミューオンを示す事例の運動 量スペクトル.実線はモンテ カルロによる期待値.約 10 GeV のカットオフはミューオ ンの飛跡は検出器内に含まれ る必要があることからくる
運動量
{9}
1 が期待される.しかしスーパーカミオカンデ実験では R = 0.69 ± 0.06
(6.18)
が得られ,期待値とは明らかな違いを示した. 実験結果の注意深いチェックや可能な系統的な効果を調べ た後,大方の意見はミューオンニュートリノの欠損はニュー
ニュートリノ振動
トリノ振動によってのみ説明できるとなった. 粒子の混合状態はクォークの分野で知られている(第 2 章を見よ).レプトン分野でも同様に,弱い相互作用の固 有状態 νe ,νμ ,ντ は,質量の固有状態 ν1 ,ν2 ,ν3 の重ね
弱い相互作用の固有状態
合わせと考えられる.ミューオンニュートリノ νμ は,パイ オン崩壊で生じ,そこから検出器で観測されるまで伝播し ている間に異なるフレーバーのニュートリノに変わること ができる.実際,もしミューオンニュートリノが 2 つの異 なる質量固有状態 ν1 と ν2 が混合していて,これらの質量 が同一でなければ,異なる速度で伝播し,2 つの質量成分 は互いに位相がずれてくる.この結果,検出器には違った
質量固有状態
104
第 6 章 一次宇宙線
フレーバーのニュートリノが現れてもよい.しかし,すべ てのニュートリノがもし質量が無いとすれば,それらはす べて正確に光速で伝わるので,質量の固有状態は互いに位 相がずれることは決して無い. 混合角
2 つのニュートリノ νe と νμ の混合を考えるとして,弱 い相互作用の固有状態は質量固有状態と次の 2 つの式で関 係づけられる:
νe = ν1 cos θ + ν2 sin θ , νμ = −ν1 sin θ + ν2 cos θ .
(6.19)
混合角 θ は混合の度合いを決める.こう考えることは, ニュートリノはゼロでない質量を持つこと,加えて m1 = m2 であることを必要とする. この振動モデルの枠組みでは,電子ニュートリノが電子 ニュートリノにとどまる確率が計算できて,
x Pνe →νe (x) = 1 − sin2 2θ sin2 π Lν
(6.20)
となる(この節の問題 4 も見よ).ここで,x は発生源か ら検出器までの距離,Lν は振動の長さで
Lν =
2.48 Eν [MeV] m − m22 ) [eV2 /c4 ]
(m21
(6.21)
である.m21 − m22 は通常 δm2 と書く.(6.20) と (6.21) 式 を合わせて,
2 x Pνe →νe (x) = 1 − sin 2θ sin 1.27 δm . (6.22) Eν 2
2
ここで,δm2 は eV2 で,x は km で,Eν は GeV で測る.
2 つのニュートリノ混合の考えは図 6.13 に示した. 図 6.13 νe –νμ 混合でいろいろな混合 角のときの振動モデル
混合行列
すべての 3 ニュートリノフレーバー混合である一般的な 場合について,(6.19) を一般化した
⎛
⎞
νe
⎛
⎞
ν1
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ νμ ⎟ = UN ⎜ ν2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ντ ν3
(6.23)
を得る.ここで,UN は 3 × 3 のニュートリノ混合行列で ある. ミューオンニュートリノの欠損
ミューオンニュートリノの欠損は今やミューオンニュート
6.2 ニュートリノ天文学
リノの一部が生成された場所から検出器に伝播する間に異 なるニュートリノフレーバー,たとえばタウニュートリノに 変化したとして説明できる.図 6.13 に示したスケッチは混 合角を 45◦ としたのも示した.ある決まったフレーバーの ニュートリノは,振動の長さの半分を伝播した所で,すべ て異なるフレーバーのニュートリノに変わる.しかし,も しミューオンニュートリノが振動してタウニュートリノに なるなら,ミューオンニュートリノの欠損は検出器内でタ ウとして観測されるだろう.というのは,タウニュートリ ノは水チェレンコフ計数管内で,ミューオンでなくタウだ けを生成するからである.しかし,タウの質量はかなり大
タウ生成?
2
きい(1.77 GeV/c )ので,タウニュートリノは通常タウ を作るのに必要な質量中心系でのエネルギーを持っていな い.したがって,相互作用せずに検出器を通り過ぎる.も しミューオンニュートリノ欠損が(νμ → ντ )振動で解釈 されるなら,混合角と質量 2 乗の差 δm2 を実験データから 決めることができる.二重比の測定値 R = 0.69 より,最 大混合のとき(θ = 45◦ に対応し,sin2 2θ = 1)
注 2)
δm2 ≈ 2 × 10−3 eV2 .
,
(6.24)
もしニュートリノセクターに荷電レプトンのセクターと 同様な質量の階層(me mμ mτ )があるとすれば, 一番重いニュートリノの質量は (6.24) から推定でき,
mντ ≈
√
δm2 ≈ 0.045 eV
ニュートリノ質量
(6.25)
(この節の問題 4の b,c を見よ).この結論が正しいかど うかは電子ニュートリノとミューオンニュートリノの正確 に測定されたフラックスの絶対値に依存している.電子と ミューオンでは,水チェレンコフ検出器内でのチェレンコ フパターンが異なるので,電子ニュートリノとミューオン ニュートリノの検出効率が違うかもしれない.それゆえ,振 注 2
スーパーカミオカンデ実験は 90 % の信頼度で δm2 の範囲を 1.3 ×
10−3 eV2 ≤ δm2 ≤ 3 × 10−3 eV2 と与えた.ミューオンニュートリ ノを神岡鉱山に送る加速器実験 K2K では,δm2 = 2.8 × 10−3 eV2 [5] を得た. K2K–KEK(高エネルギー研究所)から神岡への長基線 ニュートリノ振動実験
天頂角依存
105
106
第 6 章 一次宇宙線
動仮説を支持するためには,独立した追加実験の結果が望 まれる.このことが,上向き—と下向き—ミューオンの比 トリノは全地球(≈ 12,800 km)を通ってやってくる.そ スーパーカミオカンデ
}
モンテカルロ
という印象的な仕方で提供された.上向きに進む大気ニュー
期待値
れらは典型的にはたった約 20 km を通って下向きにやって
{
くるニュートリノに比べて,十分大きな確率でタウニュー
}
同実験の結果によると,全地球を通ってやってくる上向き
{
データ
トリノに振動するだろう.実際,スーパーカミオカンデ共 ミューオンニュートリノは下向きのそれと比べて,ファク 下から
水平
上から
図 6.14 スーパーカミオカンデ実験で 測定された天頂角の関数とし て νμ フラックス比
ター 2 押さえられている.これは振動が起こっていることの 強い表れである(図 6.14 を見よ).下向きミューオンニュー トリノに対する上向きミューオンニュートリノの比は
S=
{N (νμ )}データ = 0.54 ± 0.06 {N (νμ )}モンテカルロ
(6.26)
と得られ(訳注:分母は振動がないとしたときの値),こ れは振動を支持するはっきりした効果を示している. 大気 νe と νμ フラックスの天頂角依存が詳しく観測され, 振動モデルを特に強く支持する.
GeV 以下と数 GeV の 2 つの範囲について,電子とミュー オン事例の天頂角依存性を図 6.15 に比較した.
データ/モンテカルロ
電子の事例は期待値と完全に一致しているが,一方ミュー オンに対して振動無しの仮定は,データにより明らかに排 除される. 大気ニュートリノ生成の高さ L やエネルギー Eν はわかっ 電子事象 ミューオン事象
ているので(垂直下向きのニュートリノでは ≈ 20 km),電 子ニュートリノとミューオンニュートリノの観測された天 頂角依存は再現された比 L/Eν に対する割合としても換 算される. 図 6.16 にスーパーカミオカンデ実験で fully
図 6.16 距離をエネルギーで割った (L/Eν )再構成された値の関 数としてスーパーカミオカン デ検出器の fully contained 事例の比.ミューオン事象に ついての下のヒストグラムは δm2 = 2.2 × 10−3 eV, sin 2θ = 1 とした νμ ↔ ντ 振動の予想値 {10}
contained(訳注:生成された荷電粒子の軌跡がすべて水槽 内に含まれる)事象について,データ/モンテカルロの比を 示す.データは天頂角(すなわち距離)依存のミューオン ニュートリノ欠損を表している.一方電子ニュートリノは 振動無しの期待値に従っている.観測されたこの振る舞い は(νμ ↔ ντ )振動と一致する.ここで一番よく一致する のは δm2 = 2.2 × 10−3 eV2 ,最大の混合(sin 2θ = 1)の ときである.
6.2 ニュートリノ天文学
107
400 (a)
(b)
(c)
(d)
事例数
300
200
100
0 200
事例数
150
100
50
0 –1
–0.5
0
0.5
1
cos
–1
–0.5
0
0.5
1
cos
図 6.15 スーパーカミオカンデにおけ る電子事象とミューオン事象 の GeV 以下領域(訳注:見 えているエネルギー 1.3 GeV)(c:電 子,d:ミューオン)の天頂角 分布.濃い線は仮定なしの (振動がない)場合の予測値, 一方薄いヒストグラムは混合 角が最大(sin2 2θ = 1)で δm2 = 3 × 10−3 eV2 のとき の予測値を表す {9}
素粒子の標準模型では,ニュートリノは質量を持たない. それゆえニュートリノ振動は素粒子物理学の重要な拡張を 意味している.宇宙物理学と粒子物理学がニュートリノ振 動のこの例において,一体となったのは特に明らかである.
6.2.2 太陽ニュートリノ 太陽は核融合原子炉である.その内部では,水素が燃え てヘリウムになる.太陽の寿命は最初の反応,
p + p → d + e+ + νe ,
太陽内の核融合反応
p + e− + p → d + νe (6.27)
が弱い相互作用によって進行していることと関係がある. 太陽ニュートリノの 86 %はこの陽子–陽子反応で作られる.
(6.27) で作られた重水素はさらに陽子と融合し,ヘリウム 3 となる. d + p → 3 He + γ . 3
(6.28)
He–3 He の相互作用 3
He + 3 He → 4 He + 2p
(6.29)
108
第 6 章 一次宇宙線 核融合の「化学」
で,同位体ヘリウム 4 が作られる.一方同位体の 3 He と 4
He で,ベリリウムも作ることができる. 3
7
He + 4 He → 7 Be + γ .
(6.30)
Be は 4 つの陽子と 3 つの中性子からできている.軽い元
素は陽子の数と中性子の数が等しいほうを選ぶ.7 Be は電 子を捕獲して 7 Li となる. 7
Be + e− → 7 Li + νe .
(6.31)
ここでは 1 つの陽子が中性子に変わったことになる.一方, 7
Be は豊富にある陽子と反応し 8 B を作る. 7
Be + p → 8 B + γ .
(6.32)
(6.31) で作られた 7 Li は通常陽子と相互作用をしてヘリウ ムを作る. 7
Li + p → 4 He + 4 He .
(6.33)
一方ホウ素の同位体 8 B は β + 崩壊によって,過剰な陽子 を減らす. 8
B → 8 Be + e+ + νe .
(6.34)
そして,できた 8 Be は 2 つのヘリウム核に崩壊する.反応
(6.27) による最も多い pp ニュートリノは別として,電子 ガリウム実験 塩素実験
水実験
捕獲の反応 (6.31) でさらに 14 %が生成し,一方 8 B 崩壊は 高エネルギーのニュートリノを発生するが,0.02 %程度の 寄与しかない.地球に届く太陽ニュートリノのフラックス
ニュートリノ フラックス
は,全部で cm2 当たり,秒当たり約 7 × 1010 個である.
1500 万ケルビンの温度の太陽内部で進行するいろいろな 反応によるニュートリノのエネルギースペクトルを図 6.17 ニュートリノエネルギー
図 6.17 太陽の核融合反応からの ニュートリノスペクトル.ガ リウム,塩素,水のチェレン コフ光実験のしきい値も示し た.Be 同位体,pep の線状 のフラックスは cm−2 s−1 の 単位.CNO サークルによる ニュートリノは省略した.
に示す.太陽は純粋な電子–ニュートリノの源である.反電 子ニュートリノや特に他のフレーバーのニュートリノ(νμ ,
ντ )は作らない. 放射化学の 3 つの実験と水チェレンコフの 2 つの実験が 太陽ニュートリノのフラックスの測定を試みつつある. 太陽ニュートリノ探索の歴史的な最初の実験は,反応
νe + 37 Cl → 37 Ar + e−
(6.35)
6.2 ニュートリノ天文学
109
に基づく.ここで,生成された 37 Ar は 380,000 リットルも あるパークロロエチレン(四塩化エチレン)(C2 Cl4 )で 満たされた巨大なタンクから抽出されねばならない.捕獲 されるニュートリノは 1 日に 1 個より少ない低い割合のた め,実験は大気宇宙線から遮蔽する必要がある.したがっ て,実験は地下 1500 メートルの金鉱で行われた(図 6.18 を見よ). 典型的には 1ヶ月の作動後,タンクは希ガスで 洗い流されて,生成した数個の 37 Ar 原子が検出器から抽 出され計数される.この計数は 37 Ar の電子捕獲反応によっ てなされ,ここでまた 37 Cl が作られる.電子捕獲は K 殻 図 6.18 太陽ニュートリノ測定のため
からが主なので,生成された 37 Cl は最も深い内部(K 殻) のデイビスの塩素実験検出器. の 1 個の電子を欠くことになる.37 Cl 原子の電子は特性 X 検出器はサウスダコタ州の 線を放射するか,オージェ電子を放射するかして再編成さ れる.これらオージェ電子,特に特性 X 線は太陽ニュート
ホームステック鉱山に設置さ れ,380,000 リットルの四塩 化エチレンで満たされている.
{11}
リノから生成された 37 Ar 原子を数える基礎である.
30 年にわたる作動によって,太陽ニュートリノ欠損がし
デイビスの実験
だいに明らかになってきた.デイビスによる実験は期待さ れる太陽ニュートリノフラックスのたった 27 %しか見つけ なかった.このニュートリノの謎を解くために,さらに 2 つのニュートリノ実験が始まった.イタリアのグランサッ GALLEX, SAGE ソー山脈のトンネル内のガリウム実験(GALLEX)とコー カサス山脈にあるソ連–アメリカのガリウム実験(SAGE) である.両者はまた放射化学的な実験で太陽ニュートリノ のフラックスを測る.太陽ニュートリノはガリウムと
νe + 71 Ga → 71 Ge + e−
(6.36)
の反応をする.この反応で 71 Ge が生成され,デイビスの実 験のように抽出され計数される.ガリウム実験には大きな 長所がある.反応 (6.36) のしきい値が 233 keV と低く,こ の実験は陽子–陽子融合反応からのニュートリノも感知でき pp融合ニュートリノ る.一方デイビスの実験はしきい値が 810 keV なので,本 来 8 B 崩壊からのニュートリノだけを測定する.GALLEX と SAGE はまた太陽ニュートリノの欠損を測定した.彼ら は期待値の 52 %を見つけ出しただけだった.これは標準太 陽模型に基づく予測とはっきり違っている.しかし,この 違いはデイビスの実験ほど著しくはない.ガリウム実験の
110
第 6 章 一次宇宙線
説得力のある点は,ニュートリノ捕獲の割合や抽出の技術 が人工的な 51 Cr 源からのニュートリノで照合されている ことである.生成された 71 Ge 原子が期待される量にうま く抽出できていることが示せる. カミオカンデ実験とスーパーカミオカンデ実験はそれぞ れ水チェレンコフ計数管を用いてしきい値 5 MeV で,反応
νe + e− → νe + e−
(6.37)
を通して太陽ニュートリノを測定する.ノックオンされた 電子は本来入射ニュートリノの方向をたどるので,検出器 カミオカンデ, スーパーカミオカンデ
は実際に太陽を「見る」ことができる.水チェレンコフ計数 管はこの指向性があるので,放射化学的実験より優れたも
事例(日 キトロン)につき
のになっている.図 6.19 に太陽に向けての角度の関数とし て,スーパーカミオカンデ実験のニュートリノ計数比率を
太陽
示す.スーパーカミオカンデ実験はまた太陽ニュートリノ
地球
の低いフラックスを測定し,それは期待値のたった 40 %を 示した. ニュートリノで見た太陽の再構成された画像を図 6.20 に 示す.
図 6.19 スーパーカミオカンデ実験で 測定されたニュートリノの到 来方向
太陽ニュートリノ問題の解決に多くの提案がなされてき た.素粒子物理に関しては最初,標準太陽模型の正当性に 疑問が持たれた.8 B ニュートリノのフラックスは太陽の中 心温度とともに ∼ T 18 のように変わる.太陽中心温度がわ ずか 5 %減れば,もうカミオカンデの実験とそのとき減っ た期待値とは一致する.しかし,太陽天体物理学者は太陽 の中心温度をほんのすこし小さくするのさえかなりありそ うもないことと考えている. 太陽ニュートリノフラックスの理論計算には反応 (6.27) から (6.34) までの断面積を用いる.反応断面積を多めに見 積っても,高過ぎる期待値のニュートリノフラックスにな
図 6.20 太陽ニュートリノから見た太 る.核物理研究者が現実に考え得る範囲内でこれらの断面 陽の再構成された画像.スー パーカミオカンデの限られた 積を変化させても,実験データと期待値の不一致を説明す 空間分解能と角分解能のため, 太陽の画像は本物より大きく るには至らない. 見える {12} もしニュートリノが質量を持つなら,磁気モーメントを 断面積 ニュートリノの磁気モーメント?
も持つことができる.太陽内部から地球の検出器まで伝播 する間,そのスピンが回転するなら,検出器は間違ったヘ
111
6.2 ニュートリノ天文学
リシティーを持つニュートリノに感度が無いので,これら のニュートリノは測定できないであろう. 最後に,太陽から地球にくるまでの間,太陽ニュートリ
ニュートリノ崩壊?
ノはニュートリノ検出器では見えない粒子に崩壊したのか もしれない. 思い切った仮定をすると,太陽の火が消えてしまう.ニュー
消える太陽の火?
トリノの観点から見ると,このことはほとんどすぐに行わ れる(より正確には,8 分で).しかし,エネルギーが太陽 の内部から表面まで運ばれるのに,数 10 万年の時間が必 要である.したがって,たとえ中心部で核融合が終わって も太陽はこの期間は輝き続ける(訳注:太陽の誕生は約 40 数億年前である). 今まで述べたすべての説明はかなりありそうもないと考
ニュートリノ振動?
えられるので,大気ニュートリノの場合と同じく,振動に よって太陽ニュートリノ欠損を解釈するのが魅力的である.
(6.23) によって記述される真空中の振動に加えて,太陽 ニュートリノはいわゆる物質中の振動によっても変形し得 る.太陽内部から来た太陽ニュートリノフラックスは豊富
物質中の振動
にある太陽電子と出会い衝突しニュートリノ–電子散乱を起 こす.それによって電子ニュートリノのフラックスやその振 動の特性は変更され得る.物質効果によって,フレーバー 振動が共鳴状態のように拡大されることさえあり,そうす るとあるエネルギー範囲の太陽 νe が欠乏してしまう.物 質振動の可能性は最初ミケーエフ(Stanislav Mikheyev), MSW 効果 スミルノフ(Alexei Smirnov)とヴォルフェンシュタイン
–
ne
e
(Lincoln Wolfenstein)によって提案された.MSW 効果の 振動特性は真空のそれとは異なる.それは νe e− 散乱が混 合行列の中に,真空の場合には無かった項を付け加えるこ
W
–
とに関係する.太陽中 νμ や ντ では,νe のみ起こる荷電カ レント相互作用(図 6.21)によって,νe についての相互作 用ハミルトニアンが,他のフレーバーのニュートリノと比
–
e
ne
べて修正される.これによって 2 つのニュートリノの固有
図 6.21 値のエネルギー差が真空の場合から物質中では変更される. 物質のあるときのニュートリ ノ振動(MSW 効果)の原因 したがって,電子ニュートリノは物質中のこのつけ加わっ になるファインマン図.太陽
た相互作用過程で選び出される. 太陽内部の電子密度によって,もともと優勢の質量固有
ニュートリノのエネルギーが 与えられ,太陽内部の標的に は電子しか無いことから,こ の過程は νe だけ起こり νμ や ντ では起こらない
112
第 6 章 一次宇宙線
状態 νe が違った質量固有状態に移っていくが,それに対し てニュートリノ検出器は感度が無い.人々は太陽内部でそ のような物質の振動がどのように行われているのだろうと 不思議に思うかもしれない.ニュートリノが物質中で相互 作用する確率はきわめて小さい.しかし,太陽内電子密度 は太陽ニュートリノの進路に沿って,確率の平方根である 振幅に寄与する.したがって,相互作用の確率が小さいも のの,振動機構の振幅依存性により,ニュートリノフレー バーは著しく変化できる. もし 3 つのニュートリノフレーバー νe , νμ , ντ が完全に 混じるのであれば,もともとの電子ニュートリノの 1/3 し か地球にやってこないだろう.しかし,ニュートリノ検出 器は νμ や ντ 型の MeV ニュートリノを見ることができな いが,実験結果は振動の枠組みの中で理解できよう.明ら かに太陽ニュートリノ問題はそんなに簡単に解けるもので はない.太陽ニュートリノ測定のすでに述べてきた 4 つの 実験の結果は,(6.20) と (6.21) にあるパラメータ sin2 2θ と δm2 のパラメータ空間でただ 1 つの解を可能にしたわけ 混合角
ではない.もし(νe → νμ )かあるいは(νe → ντ )振動 を仮定し,また MSW 効果が振動に関与するなら,δm2 は
4 × 10−4 –2 × 10−5 eV2 の程度であり,最大の混合はよくな いにもかかわらず,今のところ大きい混合角の解が有利で ある.ニュートリノセクターにもまた質量の階層を仮定す るなら,このことから νμ か ντ の質量が 0.02–0.004 eV で ニュートリノ質量の可能な値
あると導かれる.このことは大気ニュートリノからの結果 と必ずしも矛盾するものではない.というのは,太陽ニュー トリノはミューオンニュートリノに振動し,大気ニュートリ ノはタウニュートリノ(あるいは未だ見つかっていない弱い 相互作用すら持たないステライル(sterile,不毛の)ニュー トリノ)に振動すればよいからである.このシナリオが正 しいとすれば,mνμ ≈ 10 meV であり,mντ ≈ 50 meV に なる. 最近,ザドバリニュートリノ観測所(SNO,Sudbury Neu-
trino Observatory)は納得のいく形で振動の描像を確実な SNO 実験
ものにした.SNO チェレンコフ検出器はカナダのオンタ リオ州にあるニッケル鉱山の地下 2000 m の深さに設置さ
6.2 ニュートリノ天文学
れ,直径 12 m のアクリル球形容器に質量 1000 トンの重 水(D2 O)からなる標的が入っている.相互作用する標的 は 9600 本の光電管で監視されている.この中心の検出器 は 7000 トンの普通の軽水を入れた 30 m のたる型の容器に 浸されている.これは宇宙線反応によるバックグラウンド や周りの岩石や鉱抗の塵にある放射性同位元素から出る地 中の放射線を抑えるためである.SNO 実験は電子ニュート リノだけが起こし得る荷電カレント相互作用(CC)
(a)
荷電カレント
νe + d → p + p + e−
とどのようなフレーバーの入射ニュートリノでも重水素と 相互作用できる中性カレント(NC)反応
(b)
νx + d → p + n + νx
中性カレント
(x = e, μ, τ )
を区別できる.この反応で生成された中性子は重水素に捕 獲され 6.25 MeV の光子を放出するから,それが NC 相互 作用の信号になる.CC 反応から得られた νe フラックスは 太陽ニュートリノの予測されたフラックスのわずか 1/3 で あり,一方,NC 反応から測定された全ニュートリノフラッ クスは太陽模型からの期待値と一致した.それゆえ νe 成分 が無くなった証拠を与えたことになる. この結果は長いこと続いていたニュートリノ問題を解決 する.しかし,振動過程の基礎を成す機構を解決したわけ ではない.νe は振動して νμ になったのか,あるいは ντ に なったのか,まったく明らかでない.太陽中での MSW 効 果を通した物質振動は,太陽電子ニュートリノを他のニュー トリノフレーバーに変質させる最も適した機構で,非常に ありうることと考えられる.しかし,あいにく軽水のチェ レンコフ計数管では直接測ることはできない. 種々の太陽実験から示唆されていた振動過程(νe → νμ ) 注 3)
は,2002 年の終わりに KamLAND
原子炉ニュートリ KamLAND 原子炉実験
ノ検出器によって確かめられた.その実験は標準太陽模型 からの予測可能な不確定性さについてのすべての疑問を取 り除いた. 注 3
KamLAND—Kamioka Liquid-scintillator Anti-Neutrino Detector(神岡液体シンチレーター反ニュートリノ検出器)
113
114
第 6 章 一次宇宙線
c Sidney Harris
6.2.3 超新星ニュートリノ SN1987A の発見
1604 年のケプラー(Johannes Kepler)の観測以来最も 明るい超新星が,1987 年 2 月 23 日にチリにあるラス・カンパ ナス(Las Campanas)観測所でシェルトン(Ian Shelton) によって発見された(図 6.22 を見よ). 大マゼラン星雲 (距離 170,000 光年)中にあるタランチュラ(Tarantula) 星雲の天空の範囲(そこで超新星が爆発した)が,オース トラリアのマックノート(Robert McNaught)によって, 定期的にすでに 20 時間も前から写真に撮られていた.し
図 6.22 タンチュラ星雲内の超新星
1987A {6}
かし,マックノートは次の日になってやっと現像し写真板 の解析を行った.シェルトンは肉眼で見えるほどの超新星 の明るさに衝撃を受けた.初めて超新星爆発のもとになっ た星が突き止められた.タランチュラ星雲の前の写真を用 いて,青色超巨星サンデュリーク(Sanduleak)が爆発し
星の核融合サイクル
たことがわかった.サンデュリークは表面温度が 15,000 K で太陽の 10 倍の質量を持つ目立たない星であった.水素を 燃やし続けている間,サンデュリークは明るさを増し,太 陽光度の 70,000 倍にも達した.供給される水素が使い尽 くされた後,この星は膨張し赤色超巨星となった.この過 程で中心部はヘリウムの燃焼が可能になるほど温度と圧力
重力崩壊
が上昇した.比較的短い時間(600,000 年)でヘリウムの 供給もまた終わった.ヘリウムの燃焼後重力収縮が起こり,
6.2 ニュートリノ天文学
115
星の核は温度が 7 億 4 千万ケルビン,密度は 240 kg/cm3 に達した.これらの状態は炭素核を発火させた.同様な仕 方で収縮と核融合の段階が進み酸素,ネオン,ケイ素,硫 黄,そして最後に核子当たり最高の結合エネルギーを持つ 鉄核まで生じた. これら収縮や核融合の速さはだんだんと速くなり最後の 鉄に至った.いったん星がそのような状態になると,核融 合からエネルギーをさらに得る方法が無くなる.したがっ て,サンデュリークの安定性はもはや維持できなくなった. その星は自身の重力によって崩壊した.この過程の間,星 中性子星の生成 の電子は陽子へ押しつけられ,そして直径約 20 km の中性 子星となった.この下記の再レプトン化の経過中に莫大な
再レプトン化!ニュートリノ
強度を持つニュートリノバーストが引き起こされた.
バースト
e− + p → n + νe .
(6.38)
温度が 10 MeV(≈ 1011 K)の崩壊の熱い時期には熱的光 子は電子–陽電子対を生成したが,しかしそれらは取り巻く 高密度の物質によってすぐに吸収された.ただバーチャル (virtual,仮想的)な Z を通した弱い相互作用過程
e+ + e− → Z → να + ν¯α
(6.39)
で,熱い星の核からニュートリノの形でエネルギーが漏れ 出した.この反応で,3 つのすべてのフレーバー νe ,νμ ,
ντ は「民主的」に同数で作られる.全ニュートリノバース トは 1058 個のニュートリノから成り,地球においてもその 超新星からのニュートリノフラックスは短い期間だが,太 陽からのフラックスと同程度であった. 現に超新星のニュートリノバーストは地球上で登録され た初めての信号となった.カミオカンデと IMB(Irvine–
Michigan–Brookhaven)の大型水チェレンコフ検出器は放 出された 1058 個のニュートリノのうち,全部で 20 個を記 録した.カミオカンデ実験のしきい値は 5 MeV という低 さであった.これと比べて,IMB 共同研究は 19 MeV を超 えるエネルギーを持つニュートリノだけを測ることができ た.バクサンの液体シンチレーターは—実質の(fiducial) 質量はわずか 200 トンであるものの—幸いにもエネルギー
ニュートリノの測定
116
第 6 章 一次宇宙線
が 10 MeV から 25 MeV の間の 5 個の同時発生の事例を記 録した.
10 MeV 程度のニュートリノのエネルギーはミューオン やタウを生成するには不十分なので,電子型ニュートリノ だけが
ν¯e + p
→ e+ + n ,
ν¯e + e− → ν¯e + e− , νe + e
−
(6.40)
−
→ νe + e
の反応を通して記録された. 地球上で測定されたニュートリノの数はわずかであるに もかかわらず,興味深い幾つかの天文学的結論をこの超新星 エネルギー出力
爆発から引き出せる.Eνi を検出器で測られた個々のニュー トリノエネルギー,ε1 を検出器でニュートリノが相互作用 をする確率,ε2 はこの反応を見る確率としよう.そのとき, ニュートリノの形で放出される全エネルギーは推定できて,
Etotal =
20 i=1
Eνi 4πr2 f (να , ν¯α ) . (6.41) ε1 (Eνi ) ε2 (Eνi )
ここで,補正因子 f で,水チェレンコフ計数管がすべての ニュートリノフレーバーに対しては感度が無いことを考慮 した.20 個の記録されたニュートリノの事例をもとに,全 エネルギーは
Etotal = (6 ± 2) × 1046 ジュール
(6.42)
と得られる.このような莫大なエネルギー放出を理解する のは難しい(世界で 1 年間に消費するエネルギーは 1021 ジュールである).ニュートリノバーストが続いた 10 秒間 に,サンデュリークは宇宙の残りの部分が出すより大きい エネルギーを放射したことになる.これはまた,太陽が全 寿命約 100 億年の間に出すエネルギーの 100 倍にもなる. ニュートリノ質量の制限
過去 40 年にわたる測定によって,ニュートリノ質量に ついての制限をきついものにしてきた.超新星爆発のとき, トリチウムのベータ崩壊(3 H → 3 He + e− + ν¯e )の測定か ら電子ニュートリノ質量の上限値は約 10 eV であった.超 新星ニュートリノのすべてはほとんど同時に放出したとし
6.2 ニュートリノ天文学
て,もしニュートリノに質量があるならば,地球に到達す る時間はあるばらつきに従うと期待される.質量がゼロで ないニュートリノは,そのエネルギーに応じて異なる速度 を持つ.超新星から同時に放出され,v1 と v2 の速度を持
伝播時間の差
つ 2 つのニュートリノの予期される到着時間の差 Δt は,
Δt =
r r r − = v1 v2 c
1 1 − β1 β2
=
r β2 − β1 . (6.43) c β1 β2
記録された電子ニュートリノの静止質量を m0 とすると,そ のエネルギーは
m0 c2 E = mc2 = γm0 c2 = 1 − β2
(6.44)
であり,その速度は m0 c2 E としてよいから,
m2 c4 1 − 02 E
β=
1/2 ≈1−
1 m20 c4 . 2 E2
(6.45)
これは,ニュートリノの速度は光速に非常に近いことを意 味する.明らかに,到着時間差 Δt はニュートリノの速度 の差に依存する.(6.43) と (6.45) から
r Δt ≈ c
2 4 1 m0 c 2 E12
−
2 4 1 m0 c 2 E22
β1 β2
≈
1 2 4 r E22 − E12 (6.46) m c 2 0 c E12 E22
が得られる.実験で測られた到着時間差と個々のニュート リノのエネルギーとから原理的にニュートリノの静止質量 を算出でき,
m0 =
2Δt E12 E22 r c3 E22 − E12
1/2 .
(6.47)
しかし,すべてのニュートリノが実際に同時に放出され ていないので,(6.47) からはわかっているエネルギーの粒 子の対とわかっている到着時間差とから,ニュートリノ質 量の上限値が求まるだけである.カミオカンデと IMB 実 験の結果を使うと,電子ニュートリノの質量についての制 限として
mνe ≤ 10 eV
ニュートリノ質量の制限
(6.48)
と確定できた.この結果は測定された時間差を約 10 秒と して得られ,実験室内の実験より天文物理的検討のほうが
117
118
第 6 章 一次宇宙線
潜在的に優位であることを示している. 同様に以下の議論ができる.ニュートリノ崩壊を仮定す ることで太陽ニュートリノ欠損を説明するのは可能である が,170,000 光年離れた所からの電子ニュートリノを観測 したことだけで,これは誤りと立証された.ニュートリノ 質量を m0 = 10 meV とすると,10 MeV ニュートリノの ローレンツ因子は
γ= ニュートリノの寿命
E ≈ 109 . m0 c2
(6.49)
これと τν0 = τν /γ から,ニュートリノの寿命の下限が出せ,
τν0 = 170 000 年
1 ≈ 5 000 s . γ
(6.50)
超新星 1987A は豊かな天文学的実験室であることがわ 確立した超新星模型
かってきた.それは手に入る超新星模型で重い星の劇的な 死を余すことなく正確に説明できることを示してきた.測 定されたニュートリノフラックスが期待値と一致したこと から,超新星ニュートリノは振動を必要としないと思われ た.一方,シミュレーションの正確さや実験の統計的誤差 から見て,超新星ニュートリノのそのような微妙な効果に はっきりした結論を下すのは無理であるともいえる.近い 将来,我々のごく近い所で同じような超新星の輝く光景が 起こり,超新星ニュートリノが振動しているかどうかがはっ きりするような確率はきわめて小さい.振動のシナリオが 太陽ニュートリノや大気ニュートリノの観測,そしてよくわ かっていて選ばれたフレーバーのニュートリノビームを持 つ加速器実験から決められるのは驚くことではない.宇宙 線ニュートリノ実験(デイビス,GALLEX,SAGE,スー パーカミオカンデ,SNO)の実験的証拠や最近の加速器や 原子炉実験(K2K,KamLAND;訳注:いずれも日本グルー プが主)で,ニュートリノセクターでの振動は確立したも のとしてすべて一致している.
6.2 ニュートリノ天文学
119
6.2.4 銀河系と銀河系外高エネルギーニュート リノ
宇宙論的
太陽
きな実験的挑戦である.そのようなニュートリノの到達方向 はさかのぼって直接宇宙線源へ向くだろう.したがって,研 究の実体は TeV 領域のニュートリノ検出器の試作品を作る, ないしは銀河系と銀河系外高エネルギーニュートリノの測
ニュートリノフラックス
高エネルギー(≥ TeV の範囲)ニュートリノの測定は大
若い超新星 古い超新星
大気
活動 銀河核
定のための準備に向けられている.高エネルギーニュートリ ノに限定するのは図 6.23 をよく見れば明らかである.ビッ グバンのニュートリノエコーは meV 範囲以下のエネルギー である.ビッグバン以後約 1 秒で弱い相互作用は陽子を中性 子にまた中性子は陽子に代わり,その際ニュートリノを生成
ニュートリノエネルギー
図 6.23 宇宙ニュートリノフラックス の種々のエネルギー領域の 比較
する(p + e− → n + νe , n → p + e− + ν¯e ).これら原始時 代のニュートリノの温度は,現在 1.9 K であるべきである. 加えて電子と陽電子は消滅してそのエネルギーを光子のエ ネルギーに変換するので,黒体光子はやや高い温度(2.7 K) を持つ.ビッグバンニュートリノは黒体光子よりもっと早 い宇宙論的時代からでも発生している.というのは,宇宙 はニュートリノに関してより一層早く透明になったからで ある.これら宇宙論的ニュートリノは,その創生の詳細や 初期宇宙の発展に関して,大変興味深いものである.残念 ながら,現在 meV 領域の低エネルギー領域のニュートリ ノを測定できるとはまったく想像できない. 太陽(≈MeV 範囲)や超新星ニュートリノ(≈ 10 MeV) の観測は実験的に確立されている.大気ニュートリノは宇 宙物理的な源からのニュートリノのバックグラウンドにな る.大気ニュートリノは本質的にパイオン崩壊とミューオ ン崩壊から生じる.それらの生成スペクトルは測定される 大気ミューオンスペクトルから推測できる.それはまた直 接測定されている(図 6.11 と 6.12 を見よ).それらの強 度は約 30 %の精度でしかわかっていない.図 6.23 に示さ れた銀河系外の源(AGN—Active Galactic Nuclei,活動 銀河核)からのニュートリノスペクトルの形と強度は,非 常に大雑把な推定値を示している. 一般に連星はエネルギーの高いニュートリノ生成の望ま
「黒体」ニュートリノ
120
第 6 章 一次宇宙線
パルサー
しい候補に挙げられている.パルサーと通常の星からなる 連星は強いニュートリノ源となり得るだろう(図 6.24). 星
パルサーと星はそれらに共通の質量中心の周りを回転する. もし星の質量がパルサーの質量に比べて大きければ,ニュー
星の大気 静止
局所的密度
トリノ生成機構の例として以下のように考えられる.パル
コラム密度
サーは同伴星の周りを円を描いて回る.幾つかのモデルがあ り,そこではパルサーは陽子を非常に高いエネルギーまでう まく加速できることを示唆する.これら加速された陽子は伴 図 6.24 連星系における高エネルギー ニュートリノの生成機構
星の大気ガスと衝突し,相互作用して,おもに二次パイオン を作る.中性パイオンは比較的すぐに(τπ0 = 8.4 × 10−17
s)崩壊し 2 つの高エネルギー γ 線となる.γ 線の観測から この天文学的対象物の位置の確認ができるだろう.荷電パ イオンは, (π → μν )崩壊によって高エネルギーのニュート リノを作る.そのような源が高エネルギー γ 量子やニュー トリノを放出するかどうかは星の大気の微妙なパラメータ
陽子あたり生成確率
のとり方に決定的に依存する.もしパイオンが陽子の相互 作用で
p + 原子核 → π + + π − + π 0 + 何でも
(6.51)
のように作られるのなら,荷電と中性パイオンの崩壊(π + →
μ+ + νμ , π − → μ− + ν¯μ ,π 0 → γ + γ )により,ニュー トリノと光子は同数作られる.しかし,星の大気のコラム
コラム密度
図 6.25 連星系内の光子とニュートリ ノの生成と吸収の競い合い 競争:ニュートリノガンマ放射 –
m
nm
密度が増すと光子は再吸収されるだろう.そして,星の大 気の密度 ≤ 10−8 g/cm3 で,コラム密度が 250 g/cm2 よ り大きいと,この源はニュートリノの明かりしか見えない だろう(図 6.25). 源はおもにミューオンニュートリノ(νμ または ν¯μ )で輝 くだろう.これらのニュートリノは,弱い荷電カレントを通
W
+
しミューオンを生成し,検出器内で記録できる(図 6.26). この相互作用で作られたミューオンは本質的に入射ニュー トリノの方向をたどる.ミューオンのエネルギーは検出器
n
p
図 6.26 ミューオンニュートリノ検出 のための反応
内のエネルギー損失によって測定される.TeV 領域を超え るエネルギーについては,ミューオンの制動放射や直接の 電子対生成による損失がおもになる.これら 2 つの過程に よるエネルギー損失はミューオンエネルギーに比例するの で,そのエネルギーをカロリメーター的に決定することが
6.2 ニュートリノ天文学
121
できる(7.3 節の図 7.17 を参照). ニュートリノは相互作用する確率が低くまたそのフラッ ニュートリノ検出器 クスは小さいので,検出器は非常に大きくて重いものでな ければならない.検出器の全容量でニュートリノの相互作用 とミューオンのエネルギー損失を記録できるように装備さ れねばならないので,単純で費用効率のよい検出器を建造 する必要がある.この条件に合う実行できる候補は巨大な 水か氷のチェレンコフ計数管しかない.南極大陸で深い所 まで氷の透明度が非常によく,また氷中に比較的簡単に装 備できることから,氷チェレンコフ計数管が,実際のニュー トリノ望遠鏡として現在最も都合のよい選択である.大気 中の粒子の比較的高いフラックスから検出器を守るには,地 球を吸収体として使うのが普通になっている.そして「下 から」検出器に入ってくるニュートリノだけに注意を向け る.そのような仕組みの原理図を図 6.27 にスケッチして いる.宇宙線源からの陽子は標的(たとえば,星の大気や
図 6.27 銀河間空間内のニュートリノ 生成,伝播と地球での検出
銀河間物質)と衝突し,崩壊してニュートリノや γ 量子を 供給するパイオンを作る.光子はしばしば銀河間物質に吸 収されたり,黒体放射の光子,赤外放射線あるいは星の光 南極
の光子と γγ 相互作用して消えてしまう.残ったニュート リノは地球を横切り,地下の検出器で検出される.ニュー
硬い層
トリノ検出器自身は,氷の中で(または水中で)生成され
泡を 伴った氷
たミューオンからのチェレンコフ光を記録する光電子増倍 管の大きなアレイから成り立っている(図 6.28).そのよう なニュートリノ検出器内では,光電子増倍管は紐上適当な
データ処理
光電子増倍管 とその ための穴
透明度の 高い氷
間隔で据えつけられ,そのような紐が数多く氷の中(また は水中)に配置される.紐上の光電子増倍管の互いの距離 や紐間の間隔は,検出器の媒体中でのチェレンコフ光の吸 収や散乱の長さによって決める.ニュートリノの入射方向
図 6.28 高エネルギー銀河系外ニュー トリノの検出のための概略図
は幾つかの光電子増倍管での到着時間から推測できる.大
大きい体積の実験装置
洋中に設置された水チェレンコフ計数管では生物発光やカ リウム 40 の放射線がやっかいなバックグラウンドとして 存在するが,氷の場合これらは無い.実際に適用する場合, 南極の氷中に光電子増倍管の紐を取り付けるほうが,大洋 中に展開するよりも問題が大変少なくなることは明らかで ある.
122
第 6 章 一次宇宙線 氷の表面
南極の氷中に作られた検出器の試作品の構成を図 6.29 に 示す.光電子増倍管紐を最初深さ 810 から 1000 m に取り付 けたところ,まだ氷があまりに多くの泡を含んでいること がわかった.1500 m 以下でようやく圧力が十分大きくなっ て(≥ 1.5 × 107 Pa),泡が無くなり吸収長が約 300 m の並 はずれた透明度になる.検出器の作業基準は,大気ミュー オンやミューオンニュートリノを測ることで具体的に示す ことができよう.しかし, 「現実」のニュートリノ望遠鏡と しては,現在作動している AMANDA 検出器はまだあま
泡なし
りにも小さい.銀河系外ニュートリノのフラックスを記録 しようとすれば,1 km3 の体積が必要である.もともとの 図 6.29 南極に設定された AMANDA の構成(AMANDA— 南極 のミューオンおよびニュート リノ検出器アレイ)
AMANDA 検出器は絶えず改良されて最後にはそのような 大きい体積まで装備されるだろう(IceCube(訳注:南極 大陸の氷河中にニュートリノ検出器を備える,日米欧の共 同実験)).図 6.30 は AMANDA のミューオンの事例を示 す.以下の例でこのような規模の体積が実際必要なのが確 かめられるだろう. 実際問題として我々の銀河系内にある点源が生み出すニ ュートリノスペクトルは
dN 100 cm−2 s−1 TeV−1 (6.52) = 2 × 10−11 2 dEν Eν [TeV2 ] と考えられる.これから積分したニュートリノフラックスは
Φν (Eν > 100 TeV) = 2 × 10−11 cm−2 s−1
(6.53)
となる(銀河系外の源については,図 6.23 も見よ). 高エネルギーニュートリノの相互作用断面積は加速器で 測られていて,
σ(νμ N ) = 6.7 × 10−39 Eν [GeV] cm2 /核子 . (6.54) 100 TeV ニュートリノに対して,断面積は 6.7 × 10−34 cm2 / 核子となる.標的の厚さ 1 km に対して,ニュート 図 6.30 AMANDA 装置で記録され
リノ当たり相互作用する確率 W としては,
たニュートリノによって引き W = NA σ d = 4 × 10−5 起こされた上向きミューオン. 記号の大きさは測定された チェレンコフ光に比例するよ が得られる(d = 1 km = 105 cm,(氷) うにした {13} ニュートリノ検出器内の相互作用 の割合
(6.55) ≈ 1 g/cm3 ).
全体の相互作用する割合 R は積分したニュートリノフ
6.2 ニュートリノ天文学
ラックス Φν ,相互作用する確率 W ,有効なデータのとれ る面積 Aeff = 1 km2 と観測時間 t から得られる.これらか ら事例の割合
(6.56)
R = Φν W Aeff
は 1 年で 250 例に対応する.生じたチェレンコフ光につい て吸収長が大きいから,検出器の有効なデータのとれる面 積は装置の体積の断面積よりも一層大きくなる.我々の銀 河系に約 1 ダースの半分の源があるならば,前の推定から 事例を見る割合は 1 日に 4 個となる.点源からのこの割合 に加えて,バックグラウンドの拡散した(diffuse)ニュート リノからの事例を見ることもまた期待できる.しかし,そ れからは天文学的な情報はほとんど得ることができない. 我々の銀河系内でずば抜けた源の候補は,カニ星雲とベ ラの超新星残骸,銀河中心や白鳥座 X3 である.銀河系外の 候補としては,マルカリアン銀河の Mrk 421 と Mrk 501 や M87 あるいはクェーサー(たとえば,3C273)が挙げら れよう. ニュートリノ天文学はシベリアのバイカル湖に設置された
ニュートリノ望遠鏡
バイカル望遠鏡から始まった.最も進んだより大きな望遠鏡 注 4)
は AMANDA と ANTARES
である.AMANDA は南
極大陸で数年来データを取り続けている.一方 ANTARES 検出器はトゥーロン(フランス)の沖合いの地中海に据え つけられ 2003 年の初めからデータをとるのが始まった.
NESTOR 検出器
注 5)
は 2003 年の末に最初の結果を出し
た.それはまたギリシャ沿岸の沖合いの地中海で作動して いる.しかし,本当のニュートリノ天文学には南極大陸に 現在装備されている IceCube のようなより大きい検出器が 必要である.IceCube からの最初の結果は 2005 年から利 用できると期待されている
注 6)
.
注 4
ANTARES—Abyssal Neutrino Telescope And Research Environment of deep Sea(深海ニュートリノ望遠鏡と深海環境調査)
注 5
NESTOR—Neutrino Extended Submarine Telescope with Oceanographic Research(海底に展開し海洋学研究も含めたニュー
注 6
訳注:2007 年には 22 本の弦による測定結果がでている.完成は 2011
トリノ望遠鏡) 年で 80 弦となる.
IceCube
123
124
第 6 章 一次宇宙線
6.3 ガンマ線天文学 「光あれ」
旧約聖書;創世記 1 : 3
6.3.1 まえがき 目で見えるスペクトル範囲での星の観測は古典的天文学 の分野に属する.すでに中国,エジプト,ギリシャでは多 数の系統だった観測が行われており,天体の運動について 多くのことを知っていた.しかし,その光学的範囲は全電 磁波のスペクトルのごくわずかだけである(図 6.31).
波長
振動数
エネルギー
低周波交流
電波天文学
赤外
紫外
X線
線 天文学
可視スペクトル
図 6.31 電磁波のスペクトル領域
このスペクトルのすべての部分が天文学的観測として使 われるようになってきた.大きな波長(電波天文学)から, 可視光より以下(赤外線天文学),古典的な可視光による 天文学,紫外線天文学,そして X 線天文学,最後にガンマ 線天文学に至る. ガンマ線天文学の研究者は光量子をその波長 λ や振動数
ν ではなく,むしろエネルギー E =hν
(6.57)
で特徴づける.プランク定数は,便利な単位で
h = 4.136 × 10−21 MeV s
(6.58)
振動数 ν は Hz = 1/s の単位で測る.波長 λ は
λ = c/ν
(6.59)
6.3 ガンマ線天文学
として得られる.ここで,c は真空中での光速である(c =
299, 792, 458 m/s). 原子物理学や核物理学では,ガンマ線と X 線とはその生
‚ 線と X 線の区別
成の仕組みから区別する.X 線は原子殻内の電子の変位で 放射され,一方ガンマ線は原子核の変換によって生じる.こ の区別はまた X 線とガンマ線をそのエネルギーに従って自 然に分類したことになる.X 線は典型的には 100 keV 以下 のエネルギーを持つ.100 keV を超えたエネルギーを持つ 電磁波はガンマ線とよばれる.ガンマ線のエネルギーには 上限はない.1015 eV = 1 PeV のエネルギーを持つ宇宙 γ 線すら観測されている. 宇宙粒子物理学上のいまだ未解決な重要な問題は,宇宙 線の発生源である(6.1 節と 6.2 節も見よ).荷電一次宇宙
荷電粒子天文学?
線の研究は,この問題に対して本質的に答えられない.荷 電粒子は発生源から地球への途中,広範囲で不規則な磁場 を通らねばならないからである.これによって荷電粒子は 制御できない形でゆがめられ,発生源を「忘れて」しまう. したがって,荷電粒子の天文学は,粒子が宇宙磁場によって もはや顕著に影響されない極端に高いエネルギーを持つと きだけ可能になる.これには 1019 eV を超えるエネルギー が必要になるであろう.しかし,このようなエネルギーを 持つ一次粒子のフラックスがきわめて小さいという別の問 題が生じる.宇宙線の発生源が何であろうとも,これは銀 河間や星間にある磁場に曲げられることのない透過力のあ る高エネルギー γ 線をまた放出でき,発生源まで逆にたど れる.しかし,はるか離れた発生源からの X 線や γ 線にも
到着時間のばらつき
時間的なばらつきがあることを心に留めておかねばならな い.これらの発生源の視線上にある天文学的物体がその重 力レンズによって光の軌道がゆがめられる.そのため,電 磁波もまたぼけて見えたり,到着時間にばらつきができた りする原因になる.
6.3.2 ガンマ線生成の仕組み 可能な宇宙線の発生源はまた γ 線の発生源でもあるが, ‚ 線の発生源
125
126
第 6 章 一次宇宙線
それらは超新星とその残骸,パルサーのように速く回転す る物体,中性子星,活動銀河核そして物質が降着している ブラックホールである.これらの発生源で γ 線は異なった 仕組みで作られる.
磁力線 電子
a) シンクロトロン放射: 荷電粒子は磁場で曲げられて加速運動をする.加速
光子
された電荷は電磁波を放出する(図 6.32).磁場の下
図 6.32 磁場内,荷電粒子の偏向によ るシンクロトロン放射の生成 シンクロトロン放射の適用
での荷電粒子のこの「制動放射」はシンクロトロン 放射とよばれる.地表にある円形加速器では,シン クロトロン放射の生成は一般に望ましくないエネル ギー損失の仕組みとして考えられている.一方では, 加速器からのシンクロトロン放射は生物学,医学の みでなく原子物理,固体物理の構造の研究に広く使 われている. 宇宙磁場で生み出されるシンクロトロン放射はほと んど軽い質量の電子から放射される.シンクロトロ ン光子のエネルギースペクトルは連続的である.電 子のエネルギーを E ,磁場の強さを B とすると,放 射されるパワー P は,
P ∼ E2 B2 .
原子核
(6.60)
b) 制動放射: 電荷(原子核あるいは電子)のクーロン場で曲げられ た荷電粒子は制動放射の光子を放出する(図 6.33).
電子 光子
図 6.33 原子核のクーロン場内,荷電 粒子の偏向による制動放射の 生成 制動放射の確率
この仕組みはシンクロトロン放射とある程度似てい るが,違いはただこの場合粒子の曲がりは磁場内で なく,電荷で作られるクーロン場内である.制動放射 の確率 φ は入射粒子の電荷 z の 2 乗とまた標的の電 荷 Z の 2 乗に比例して変わる,(4.7) も参照.φ は粒 子のエネルギー E に比例し,曲げられる粒子の質量 の 2 乗に反比例する:
φ∼
z2Z 2E . m2
(6.61)
電子の質量は小さいから,電子により生成する制動 制動放射光子のスペクトル
放射が圧倒的になる.制動放射光子のエネルギース
127
6.3 ガンマ線天文学
ペクトルは連続的で高エネルギーでは 1/Eγ で減って いく.
c) 逆コンプトン散乱: 1920 年代にコンプトンはエネルギーの大きい光子が
逆コンプトン散乱
衝突し,自由電子にエネルギーの一部を与え,した がってエネルギーの一定量を失うことを発見した.宇 宙物理学では逆コンプトン効果が重要な役割を演じ る.発生源で高エネルギーまで加速された電子は黒 体放射(Eγ ≈ 250 μeV,光子密度 Nγ ≈ 400/cm ) 3
の,あるいは星の光(Eγ ≈ 1 eV,Nγ ≈ 1/cm3 )の
低エネルギー 光子 (2.7K放射, 星の光)
高エネルギー 光子
おびただしい光子と衝突し,そのエネルギーの一部
遅い電子
を光子に移す「青方偏移する」(図 6.34).
速い電子
d) π 0 崩壊: 発生源で加速された陽子は陽子–陽子あるいは陽子– 原子核相互作用で荷電パイオンや中性パイオンを作
図 6.34 高エネルギー電子と低エネル ギー光子の衝突.速い電子は そのエネルギーの一部を光子 に移して,遅くなる
ることができる(図 6.35).1 つの起こり得る過程は 陽子
−
p+ 原子核 → p + 原子核 +π +π +π . (6.62) +
0
原子核
荷電パイオンは 26 ns の寿命でミューオンとニュー
星間物質の
トリノに崩壊する.一方中性パイオンは速く(τ =
8.4 × 10−17 s)2 つの γ 量子に壊れる. π0 → γ + γ .
(6.63)
もし中性パイオンが静止して崩壊するならば,2 つの光 子は背中合わせの反対方向に放出される.この崩壊で,
光子
光子
図 6.35 π 0 生成 それらはそれぞれ π 0 の静止質量(mπ0 = 135 MeV) 陽子相互作用による 0 と π の 2 つの光子への崩壊 の半分のエネルギーを持つ.飛行中の π 0 崩壊では π 0
の飛行方向から見た放出方向によって違ったエネル ギーを持つ(第 3 章の例 8 を見よ).ほとんどのパ イオンは低エネルギーで作られるので,特にこのよ うな発生源からの光子は典型的に 70 MeV のエネル ギーを持つ.
e) 物質–反物質消滅からの光子: 光子が粒子対(対生成)を生成するのと同様,荷電
128
第 6 章 一次宇宙線
粒子はその反粒子と消滅してエネルギーとなる.こ の生成機構の主なものは電子–陽電子,陽子–反陽子 消滅である.
e+ + e− → γ + γ .
(6.64)
運動量保存則から少なくも 2 つの光子が作られる必要
光子
がある.静止した e+ e− の消滅では,光子はおのおの
電子 陽電子 光子
電子または陽電子の静止質量に対応する 511 keV を 得る(図 6.36).陽子–反陽子消滅反応の 1 つの例は
図 6.36 e+ e− 対消滅して 2 つの光
p + p¯ → π + + π − + π 0 .
(6.65)
子へ
ここで,中性パイオンは 2 つの光子に崩壊する.
f) 原子核変換からの光子: 超新星爆発で重い元素は「熱処理(cooked)」され ている.この過程で安定な元素だけでなく放射性同 位元素も作られる.これら放射性同位元素は大部分 ‚ 線の線スペクトル
ベータ崩壊の結果作られ,MeV 領域の光子もたとえ ば,以下のように放出される. 60
Co
→
60
Ni∗∗ + e− + ν¯e - 60 Ni∗ + γ(1.17 MeV) (6.66) - 60 Ni + γ(1.33 MeV) .
g) ニュートラリーノの消滅 よりやや風変わりなシナリオでは,高エネルギーの
γ 線は,通常粒子の中性の超対称性パートナーであ ニュートラリーノの消滅
るニュートラリーノによる以下のような消滅からで きる.
χ+χ ¯→γ+γ .
(6.67)
6.3.3 ガンマ線の測定 基本的には γ 線の生成の仕組みの逆をすれば,それらを 光電効果,E‚ < ‰ 100 keV
検出できる(第 4 章も見よ).数 100 keV 以下のエネルギー
129
6.3 ガンマ線天文学
の γ 線については,光電効果が支配的である.
γ + 原子 → 原子+ + e− .
(6.68)
原子核崩壊から出る典型的な MeV 領域のエネルギーにつ いては,コンプトン散乱が最大の断面積を持つ.
γ + e− → γ + e− . 静止 速い
減衰係数
光電子はたとえばシンチレーション計数管で記録できる. 全 コンプトン 散乱
(6.69) 光電効果
対生成
この場合,シンチレーション計数管の物質は電子の標的と エネルギー
しても働き,同時に散乱電子を記録する.より高いエネル ギー( 1 MeV)では,電子–陽電子対生成が顕著になり, 図 6.37
ヨウ化ナトリウムシンチレー
γ + 原子核 → e+ + e− + 原子核 .
(6.70) ション計数管内の光子の質量 減衰係数
図 6.37 に NaI シンチレーション計数管の上で述べた 3 つ の過程の質量減衰係数 μ を示す.
コンプトン効果,E‚ < ‰ 1 MeV 電子–陽電子対生成,
E‚ fl 1 MeV
この係数は物質中,光子の減衰強度が
飛跡−チェンバー系 ベト計数管
I(x) = I0 e
−μx
(6.71)
光子
(I0 —最初の強度,I(x)—厚さ x の吸収体により減衰した 光子強度)として,定義される. 高エネルギーでは対生成が顕著になるので,GeV 領域で はこの過程が光子検出に用いられる.図 6.38 に GeV 領域 の γ 線を測定する観測衛星実験の典型的な構成を示す. エネルギーの大きい光子は飛跡検出用チェンバーの組み 立てユニット(たとえば,多層スパークチェンバーあるい は半導体シリコン計数管の積み重ね)中で e+ e− に変わる. エネルギー Ee+ と Ee− は電磁カロリメーター(ほとんど 結晶シンチレーターカロリメーター,NaI(Tl) か CsI(Tl)) 光電子倍増管
内で測られ,もとの光子のエネルギーは
E γ = Ee + + E e − .
結晶カロリメーター
(6.72)
光子の入射方向は,電子と陽電子の運動量から光子の運動
電磁カスケード
図 6.38 GeV 領域の γ 線測定のため の科学衛星実験の概略図
量は,pγ = pe+ + pe− となって出せる.高エネルギー 結晶カロリメーター (E me c2 )では近似 |pe+ | = Ee+ /c と |pe− | = Ee− /c はよく成り立っている. 結晶カロリメーター内での電子と陽電子の検出は電磁カ
130
第 6 章 一次宇宙線
スケードによる.これらのシャワーで最初に生成した電子 は制動放射で光子を放出し,光子は e+ e− 対に変わる.制 動放射と対発生の交互の過程で最初の電子と光子はエネル ギーを減らす.一方光子については光電効果やコンプトン
制動放射 対生成 コンプトン散乱 光電効果
散乱で,他方電子や陽電子については電離損失で吸収過程 が起こり,さらなる粒子の増加を止める(図 6.39). 図 6.38 にある反同時計数管(anticoincidence counter, ベト計数管)は入射荷電粒子を同定し,それらを解析から 除外する.
100 GeV を超えるエネルギーに対しては宇宙線源からの 光子の強度は非常に小さい.十分大きな装置がいるが,観 測衛星上には積めない,それらの検出には別の技法が適用 されねばならない.この文脈で,大気チェレンコフ光技法の 光子検出が特別な役割を演じる. 図 6.39 電子カスケードの図式的描写
γ 線が大気に入ってくると,—すでに結晶カロリメーター のところで書いたように—一般には低いエネルギーの電子, 陽電子,光子のカスケードを生成する.このシャワーは大気 中で縦方向に伝播するだけでなく,ある程度横方向にも広が る(図 6.40).しかし,最初の光子のエネルギーが 1013 eV (= 10 TeV)以下であると,シャワー粒子は地上まで達し
チェレンコフ放射 光子
ない.カスケードの相対論的電子や陽電子は本質的にもと もと入射光子の方向をたどり,大気中でチェレンコフ光と して知られる青い光を放射する.光速を超えた荷電粒子は
25
この特徴的な電磁波を放射する(第 4 章を見よ).大気中 高度 [km]
20
の光の速さは
15
cn = c/n
(6.73)
(n は空気の屈折率,20◦ C,1 気圧で n = 1.000 273)な
10
ので, 5
v ≥ c/n
(6.74)
0 -5
0
+5
横広がり [km]
図 6.40 エネルギー 1014 eV の光子に よって引き起こされた大気中 での電磁シャワーのモンテカ ルロ模擬実験.エネルギーが E ≥ 3 MeV のすべての二次 粒子が示されている {14}
の速度を持つ電子はチェレンコフ光を放出する.このしき いの速さは
v = cn = 299, 710, 637 m/s となり,電子の運動エネルギー
(6.75)
6.3 ガンマ線天文学
Ekin
131
Etotal − m0 c2 = γm0 c2 − m0 c2 1 2 = (γ − 1)m0 c = − 1 m0 c2 2 2 1 − v /c 1 (6.76) = − 1 m0 c2 1 − 1/n2 n √ = − 1 m0 c2 ≈ 21.36 MeV n2 − 1 =
に対応する.光学的衝撃波でのチェレンコフ光のでき方(図
6.41)は,航空機が音速を超えたときできる音の衝撃波と 類似している. 光学的 衝撃波フロント 放出された光
電子の運動方向
図 6.41 屈折率 n の媒質中をその媒質 中の光速を超えた速さ (v > c/n)で進む粒子による 光学的衝撃波でのチェレンコ フ放射の放出
電磁球面波
この方法でエネルギーの大きい一次 γ 量子は,電磁シャ ワーが地上まで届かなくても,発生したチェレンコフ光を通 して地上で記録できる.チェレンコフ光はある特有の角度
θC = arccos
1 nβ
チェレンコフ角度 光子
(6.77) 電磁 カスケード
で放出される.数 GeV 領域の電子ではチェレンコフ錐の 開きの角度はわずか 1.4◦ である
注 7)
.
それゆえ,簡単なチェレンコフ検出器はチェレンコフ光
チェエレンコフ 光円錐 開きの角
を集める放物線状の鏡と,集められた光を記録する鏡の焦 点に置かれた光電子増倍管の組とから成る.図 6.42 に大気 チェレンコフ光を用いた光子測定の原理を示す.鏡の直径 が ≥ 10 m の大きいチェレンコフ望遠鏡で,小さなシャワー 注 7
シャワー粒子は高所で作られ,そこでは空気の密度が小さく,したがっ て屈折率がより小さくなるので,実際はチェレンコフ角はやや小さくな る(≈ 1◦ ).
図 6.42 大気中で光子が引き起こした 電磁カスケードによるチェレ ンコフ光の測定
132
第 6 章 一次宇宙線
サイズに対応した比較的低エネルギー(< 100 GeV)の光 子は,夜空からの光があっても測定可能である(図 6.43 を 見よ). より高いエネルギー(> 1015 eV)では,光子か ら始まった電磁カスケードは地上まで達する.そして拡大 空気シャワーの研究や測定に使われた(粒子抽出,空気シ ンチレーション,7.4 節を見よ)のと同じ手法で記録でき る.このような高エネルギーでは γ 線の観点から,宇宙の より広い範囲を調査するのはどのような方法でも不可能で ある.より高エネルギーの一次光子の強度は,おもに周囲 図 6.43 大気チェレンコフ望遠鏡,
CANGAROO (CANGAROO – Collaboration of Australia and Nippon(日本)for a GAmma-Ray Observatory in the Outback)の写 真 {15} ‚‚ 相互作用
に数多くある 2.7 ケルビンの黒体放射の光子と光子–光子相 互作用して弱められてしまう.反応
γ + γ → e+ + e−
(6.78)
に対して,γγ の質量中心系で電子質量の 2 倍以上のエネル ギーが必要である.エネルギー E の一次光子がエネルギー
ε の標的光子に角度 θ で衝突すると,しきいエネルギーは Ethreshold =
2m2e . ε(1 − cos θ)
(6.79)
中心衝突(θ = 180◦ )で典型的な黒体光子のエネルギーと して ε ≈ 250 μeV とすると,しきいエネルギーは
Ethreshold ≈ 1015 eV .
(6.80)
断面積はしきいエネルギーより上で急に大きくなり,しき いエネルギーの 2 倍の所で最大値 200 mb となり,その後 は減っていく.より高いエネルギーでは,赤外線や星明か りの光子とさらなる吸収過程(γγ → μ+ μ− )が起こる.そ のため高エネルギー(> 100 TeV)の光子について,宇宙 の遠い領域(> 100 kpc)を見るのは難しい.それゆえ,光 子–光子相互作用は γ 線天文学の限界の原因となるが,高 エネルギー γ 量子を見ることで,銀河系の我々のいる場所 のごく近傍なら,探索は可能である.しかし,より遠い所 からは γ 線強度は大きく減るので,意味のある観測はでき なくなる(第 4 章の図 4.9 参照). 図 6.44 γγ 吸収の標的光子(BB—黒 体放射,IR—赤外光,VIS— 可視光,X—X 線)に対する しきいエネルギー E の依存性
γγ の吸収相互作用のしきいエネルギーと標的光子のエネ ルギーの関係を図 6.44 に示す.遠い γ 線源からの高エネル ギー光子は黒体や赤外線光子で吸収されるが,< 1 TeV の
6.3 ガンマ線天文学
133
エネルギー領域ではそれでも観測できる.
6.3.4 ガンマ線点源の観測 銀河系 γ 線の最初の観測は観測衛星での実験で 1970 年 代に行われた.これらの調査の結果(図 6.45)は明らかに 銀河中心,カニ星雲,ベラ X1 パルサー,白鳥座 X3,そし てゲミンガ(Geminga)が γ 線の点源であることを示して いる.最近のコンプトンガンマ線観測衛星(CGRO)を用 コンプトンガンマ線観測衛星 いた人工衛星の測定はさらに多くの γ 線源があることを示 している.CGRO 科学衛星には 4 つの実験装置が積まれて 注 8)
いる(BATSE,OSSE,EGRET,COMPTEL)
.こ
れら 4 つの望遠鏡で 30 keV から 30 GeV のエネルギーを カバーしている.γ 線バースト(6.3.5 節を見よ)は別とし て,多数の銀河系内パルサーや銀河系外の発生源(AGN) 注 9)
が発見されている.古いパルサーは回転エネルギーを
若いパルサーに比べてより効率的に γ 線に変換しているこ とが見出された.観測された γ 線はパルサーの強い磁場内 で高エネルギー電子のシンチレーション放射で生成された
カニ星雲
ゲミンガ
ベラ
銀河中心
光子数
白鳥座
の光子数,銀緯±10度以内
銀経 注 8
度
OSSE — Oriented Scintillation Spectroscopy Experiment(有向 シンチレーションスペクトロメータ実験)
COMPTEL — COMpton TELescope(コンプトン望遠鏡) EGRET — Energy Gamma Ray Telescope Experiment(高エネ ルギーガンマ線観測望遠鏡)
BATSE — Burst And Transient Source Experiment(バースト と一時的発生源探索実験) 注 9
AGN—Active Galactic Nuclei(活動銀河核)
図 6.45 光子エネルギー > 100 MeV の銀河系 γ 線強度測定.実 線はその方向にあるコラム密 度をもとに予測された γ 線 強度.
134
第 6 章 一次宇宙線 白鳥座領域
銀河中心
図 6.46 γ 線の観点での全天調査 {16}
ゲミンガ
クェーサー
ベラ
カニ星雲
クェーサー
としてよい. 発見された活動銀河の中で変化の激しいブレーザー(blazer, 強い電波放射を伴い短い時間規模で急激に変わる物体)が 見つかった.その最大の放射はガンマ線領域にある.さら に大きい赤方偏移(z > 2)を持つガンマクェーサーが観測 された.この場合,ガンマ線放射はエネルギーの大きい電 子と光子との逆コンプトン散乱で作られるのだろう. 図 6.46 は γ 線で見た完全な全天調査を銀河座標で示す. 銀河中心とさらに数個の点源は別にして,銀河円盤がはっ 可能な点源
きり見える.銀河系内 γ 線の点源の候補はパルサー,連星 系パルサーや超新星である.銀河系外の点源はコンパクト な活動銀河核(AGN),準星状電波源(クェーサー),ブ
ブラックホール
レーザーや降着ブラックホールなどと思われている.一般 にブラックホールはクェーサーの「発電所」と考えられて いる.幾つかのブラックホールが銀河中心で見出されてい る.そこでは物質密度が最高で,それによってブラックホー ルの周りに降着円盤が形成され, 十分な物質が供給される. ブラックホールの定義からすると,それからはいかなる放 射が漏れ出ることはできない
注 10)
.しかし,落ちていく物
質は事象の地平線に到達する前にすでに熱せられているの 注 10
これとの関連で,ブラックホールの「温度」は非常に低いので,γ 線天 文学では重要にならないホーキング放射は考えないでおく.
6.3 ガンマ線天文学
で,強い γ 線を放射できる. 注 11)
INTEGRAL
注 12)
(15 keV∼10 MeV)や GLAST
(30 MeV∼300 GeV)のような将来観測衛星に積まれるガ ンマ線望遠鏡は,初期の γ 線観測ミッションによる結果を 確かに補完するだろう.
TeV 領域では γ 線点源は空気チェレンコフの技法で発見 注 13)
されてきた.最近,HESS
実験によって,高エネルギー
光子の発生源として超新星残骸が観測されている.この天 体,SNR RX J1713.7-3946(訳注:SNR は Super Nova
Remnant(超新星残骸)の略)は銀河面内にあり,銀河中 心から 7 kpc 離れ,太陽系に近い(距離 1 kpc).この天体 からの γ 線スペクトルで,10 TeV 近傍のエネルギーの光
ハドロン加速器
0
子は π 崩壊で作られたとすると最もよく説明できる.すな わち,この発生源はハドロン加速器のよい候補である.直 径 17 m の鏡を持つ空気チェレンコフ画像化望遠鏡 MAGIC がカナリア諸島のラパルマ(La Palma)に建設中である が,ナミビア共和国(Namibia)にある HESS 望遠鏡とす ぐに競争になろう.銀河系内発生源(カニ星雲)とは別に,
TeV 光子を放出する銀河系外天体(マルカリアン 421,マ TeV 光子 ルカリアン 501,M87)もまたあいまいさ無しに同定され てきた.マルカリアン 421 は非常によく変わる銀河核を持 つ楕円銀河である.TeV 光子で見ると,等方的放射を仮定 すると,マルカリアン 421 の光度はカニ星雲の 1010 倍にも なる.この銀河は質量が大きいブラックホールによってエ ネルギーを得て,その極から相対論的粒子のジェット流が 放出されていると一般に信じられている.このおよそ 4 億 光年離れた銀河が高エネルギー粒子のジェットを—それに ついて光子ビームも—発し,それが正確に地球に向いてい るのだと想像できる. 宇宙の発生源からの最高エネルギーの γ は地表に固定さ 注 11
INTEGRAL—INTErnational Gamma-Ray Astrophysics Laboratory(国際ガンマ線宇宙物理望遠鏡).2002 年 10 月打上げ
注 12
GLAST—Gamma Ray Large Area Space Telescope(ガンマ線広 域宇宙望遠鏡).2008 年 6 月打上げ
注 13
HESS—High Energy Stereoscopic System(高エネルギー立体鏡方 式)
最高の‚ エネルギー
135
第 6 章 一次宇宙線
強度
136
日
図 6.47 超新星 1987A の光度曲線. 実線は 56 Co の γ 線が赤外 線,可視光,紫外線のスペク トル範囲に完全に転換したと きに対応
爆発後の時間
日
れた空気シャワー実験か,または空気チェレンコフ望遠鏡 で記録されてきた.100 TeV までの光子を放射しているカ ニ星雲を標準光源とするのが普通になっている.このエネ ルギー範囲で見つかった γ 線源は,ほとんどが極端に変化 しやすいことで特徴づけられる.この文脈で X 線源であ る白鳥座 X3 は特別な役割を演じる.1980 年代,1016 eV (10, 000 TeV)までのエネルギーの γ 線が,この源からやっ てきたと報告された.これら高エネルギー γ 線は,この天 体からくる X 線と同じ時間変化(周期 4.8 時間)を示した. しかし,この源の高エネルギーガンマ線の爆発は,以後二度 と再び見ることはなかったことに注意しなければならない. ‚ 線の線スペクトル放出
高エネルギー γ 線の観点から宇宙の源を探るのとは別に, ある特定のエネルギーの γ 量子について,全天を調査する のもまた行われている.この γ 線の線スペクトル放出は超 新星爆発の際,原子核の合成過程で作られる放射性同位元 素を暗に示す.大マゼラン星雲中の 1987A 超新星爆発の際, 陽電子を放出する 56 Ni が生成されたことは疑う余地がなく 示せた.この放射性同位元素は半減期 6.1 日で 56 Co に崩
超新星 1987A の光度曲線
壊する.この源の光度曲線は光度の最大を示してから,指 数関数的に衰えていった.これは娘核 56 Co が半減期 77.1 日の安定同位元素核 56 Fe へ放射性崩壊したとさかのぼるこ とができよう(図 6.47 を見よ).
e+ e− 消滅からの 511 keV の線スペクトルを見る全天調 査も興味ある結果が期待できる.この γ 線の線スペクトル 放出は我々の銀河系内で反物質の存在を示唆し得る.宇宙 反物質の分布を観測することは,なぜ我々の宇宙が物質優 勢かの問題にある種の光を当てるだろう.
6.3 ガンマ線天文学
137
6.3.5 ガンマ・バースター 突然単発的に短い時間に γ 線の噴出を起こす天体が,1970 年代の初めアメリカの幾つかの偵察衛星によって発見され ている.これらの衛星の目的は大気中での核兵器実験禁止
‚ 線バーストの発見
の協定をチェックするためであった.しかし,記録された
γ 線は地表や大気から来たのではなく地球外の源から来て いた.それゆえ,これは核兵器の爆発と関係なく,これも
γ 線バーストは突然予告無しに 1 日におよそ 1 回の割合 で起こる.γ 線バーストの持続時間は 1 秒から 100 秒の間
光子比
γ 線の発生源からであった.
でごく短い.γ 線バーストには 2 つの別な種類があるよう に見える.1 つは短い(≈ 0.5 s),他は長い(≈ 50 s)持続 時間を持ち,2 つの異なる γ 線バーストの種属の存在を示 している.図 6.48 は典型的な短いバーストの γ 線光度曲 時間
線を示す.わずか 1 秒間でほぼ 10 倍 γ 線強度が増えてい る.γ 線バースターは全天にわたって一様に分布している ように見える.持続時間が短いので,γ 線バースターを知
図 6.48 典型的な γ 線バーストの光度 曲線
られた天体に同定するのは非常に難しい.1997 年初め,研 究者達は初めて γ 線バースターを可視光で見て急に消えて いく天体と関係づけるのに成功した.光学的パートナーの スペクトル解析から,この γ 線バースターまでの距離は約 数 10 億光年であると結論づけられた.
1997 年の終わりまでに記録された 2,000 個の γ 線バース
角分布
ターの角分布を図 6.49 に銀河座標で示す.この図から銀河 面に沿って γ 線バースターが集まっているようなことはな
図 6.49
事例
CGRO 科学衛星に搭載され た BATSE 検出器に記録され た 2000 個の γ 線バーストの 銀河座標で示した角分 布 {17}
138
第 6 章 一次宇宙線
いのは明らかである.したがって,最も単純な仮定は,この ような風変わりな天体は天文学的距離すなわち銀河系外に あるとすることである.バーストの強度分布の測定は,弱 いバーストは比較的稀であることを示している.これは弱 い(つまり遠い)バーストは強い(近い)バーストに比べ て空間的な密度が小さいことを意味するのだろう. 激しい超新星爆発が γ 線バーストの非常に適した候補だ としても,他の宇宙物理学的天体がまたこの謎の多い現象 空間分布
の一翼を担っているかどうかは明らかでない.観測された γ 線バースターの空間分布は,それらが銀河系外の距離にあ ることを暗に示している.これに関連して,強度分布で弱 いバーストが不足しているのは,宇宙膨張に伴うスペクト ル線の赤方偏移によって説明できるだろう.これはまたよ り弱いバーストがよりソフトなエネルギースペクトル(訳 注:高エネルギーでスペクトルが速く減る)を持つことの 説明になるだろう.
γ 線バーストの大部分は急激な超新星爆発(たとえば,崩 壊して回転するブラックホールになる極超新星(hypernova) 超新星爆発,極超新星爆発
爆発)によると思われている.このことは γ 線バースト
GRB030329 が超新星 SN2003dh の爆発と連動したことで 確かめられたように思われる.このバーストの光学的残光 の観測からその距離は 800 Mpc と測られた.バーストの 残光すなわちこれに関連した超新星の光学的光度は,γ 線 バースト後の最初の観測では 12 等級に達していた.そのよ うな明るい超新星ならば,爆発後の最初の数分間は肉眼で も見ることができたであろう.このような極超新星爆発は ウォルフ–ライエ星
稀な現象であり,多分「ウォルフ–ライエ(Wolf–Rayet)」 型の星によると考えられる.ウォルフ–ライエ星とは重い天 体(M > 20 M )で,最初はおもに水素から成る.それら の燃焼の時期に外側の層を自らはがし,したがっておもに ヘリウム,酸素や重い元素から成る.燃料を使い果たすと, 中心核はつぶれて,降着円盤に取り巻かれたブラックホー ルを形成する.この瞬間ブラックホールから物質のジェッ トが噴出し γ 線バーストとなると考えられている(「崩壊 ブラックホールモデル」).
‚ 線バーストの候補
γ 線バーストすなわち短い時間間隔バーストの代わりの
6.3 ガンマ線天文学
候補として,中性子星同士の衝突,中性子星とブラックホー ルの衝突,2 つの中性子星が合体してブラックホールを作 る,小惑星が中性子星と衝突,あるいは小さい原始的なブ ラックホールの爆発等が議論されている.バーストの短い 継続時間から γ 線バースターの空間的広がりはきわめて小 さいのに違いないと確かに結論できる.しかし,γ 線バー ストの残光のパートナーの正確な位置決めや詳しい観測に よって,その起源の問題を明らかにすることができよう.こ の問題について 1 つの重要な情報源は,ハワイ島のマウナ ケア(Mauna Kea)にある口径 10 m の光学望遠鏡による 可視領域も含んだ γ 線バースターの観測である.90 億光年 の距離を決めることができる.
1986 年に γ 線バースター族からやや異なる形が見つかっ た.これらの天体は散発的に同じ発生源から γ バースト を放射する.今までに知られている幾つかの準周期的 γ 線 準周期的‚ バースター バースターは,すべて我々の銀河か近くのマゼラン星雲に 存在する.これらの天体の大部分は若い超新星残骸と同定 できよう.これら「柔ガンマ線リピーター(soft gamma-
柔ガンマ線リピーター
ray repeater)」は巨大な磁場を伴っているように思われ る.このようなマグネター(magnetar)がより好ましいエ ネルギー状態になるようにその磁場を再編成するならば,星 が時折振動しその際 γ バーストが放出される.マグネター
SGR-1900+14 の γ 線バーストは,1998 年 8 月 27 日に 7 つの観測衛星によって記録された.このマグネターの回転 周期が長くなっていくのが観測され,それからこの物体は 通常の中性子星磁場の 1000 倍を超える超強力な 1011 テス ラの磁場を持つと結論づけられている. これらの特性から γ バースターは宇宙線の発生源として も優れた候補である.中性子星の誕生や崩壊のとき,狭く平 行になった粒子ジェットが放射されるのではないかが,しば しば議論されている.もしこれが本当なら,我々は γ バース ターのわずかな部分しか見られないだろう.すると γ バー スターの総数は十分多くて,観測されている宇宙線粒子の フラックスを説明できるだろう.時間によって変わる巨大 な磁場はまた強い電場を引き起こし,そこで宇宙線粒子は 最高エネルギーまで加速されよう.
マグネター
139
140
第 6 章 一次宇宙線
6.4 X 線天文学 「光は宇宙の便りをもたらす」
Sir William Bragg
6.4.1 はじめに X 線は γ 線とはその生成の仕組みとエネルギーで違う. X 線の生成
電子が原子核のクーロン場で減速したり,原子内の電子の 準位間の遷移があると,X 線が作られる.そのエネルギー はおよそ 1–100 keV の範囲である.これと比べて,γ 線は 通常原子核の準位間の遷移,原子核の変換,あるいは素粒 子反応で放出される.
1895 年のレントゲンによる X 線の発見以来,X 線はそ の高い透過力のためおもに医学的応用に使われてきた.エ X 線吸収のエネルギー依存性
ネルギーが 50 keV を超える X 線は体の組織の 30 cm は簡 単に通過できる(吸収確率 ≈50 %).しかし,地球大気の コラム密度はあまりにも大きいので,地球圏外からの X 線 は地上まで届かない.大部分の X 線源からの最大輝度に相 当する keV エネルギー範囲では,X 線が空気中で進む距離 はわずか 10 cm である.したがって,天文学上の対象物か らの X 線を観測するには大気の頂上か宇宙空間で検出器を 働かせねばならない.これは気球実験,ロケット航行ある いは観測衛星ミッションを意味する.
気球実験
気球実験で,飛行の高さは 35 から 40 km まで達すること ができる.飛行持続時間は一般的に 20 から 40 時間である. しかし,このような高度だと X 線の相当量がすでに吸収さ れている.それゆえ,気球は吸収損失があまり無い 50 keV を超えたエネルギーの X 線源だけが観測できる.これに対
ロケット航行
し,ロケットは普通高い高度まで達する.したがって,吸 収効果による影響を受けない X 線源を測定できる.しかし, 地球に落ちて戻るまでの航行時間は普通数分で,きわめて
観測衛星
短い.観測衛星は大きな利点がある.その軌道はいつも大 気圏の外にあり,数年間の観測時間が可能である.
宇宙 X 線源の発見
1962 年,3 本のガイガー計数管から成る検出器を積んだ アメリカのエアロビーロケット(Aerobee,気象観測用ロ ケット)が月からの X 線を捜索している際,たまたま宇宙
6.4 X 線天文学
X 線源が発見された.月からの X 線は見つからなかったも のの,その代わりさそり座といて座からの太陽系外 X 線が 観測された.これは大きな驚きであった.というのも,我々 の太陽はそのエネルギーの一部分を X 線領域として放射し ているのはわかっていた.そして—立体角の議論から—星 からの X 線放射は予期しなかった.最も近い星までの距離 は太陽までの距離の 100,000 倍より大きいからである.そ 明るい X 線源 のように離れた源の光度は太陽の X 線光度に比べて莫大な ものだったはずである.それで 1960 年代に使用された検 出器でも検出できた.したがって,さそり座やいて座の源 で何が X 線領域でそんなに明るくしているのかの仕組みは 天文学上興味ある問題であった.
6.4.2 X 線生成の仕組み X 線源はガンマ線源と似ている.電磁波の放出エネルギー スペクトルは普通エネルギーが増すと急に減るので,X 線 源のほうがガンマ線源より数でまさる.すでに 6.3 節(ガン マ線天文学)で議論した,シンクロトロン放射,制動放射, 逆コンプトン散乱のような過程に加えて,さらに熱い宇宙 線源からの熱的放射のような X 線生成機構を考えねばなら ない.有効表面温度約 6,000 ケルビンを持つ太陽は主とし て eV 領域の光を放出する.数 100 万ケルビンの温度を持 つ源からはまた,黒体放射として X 線を放出するだろう. 黒体放射としての X 線 多くの X 線源の測定されたスペクトルは,非常に小さい
スペクトルの形状
エネルギーで急勾配で強度が落ちている.それはやってく る途中での,冷たい物質による吸収のせいにすることがで きる.やや高いエネルギーでは X 線の主な生成機構に依存 して,ベキの形(∼ E −γ )か指数の形で記述できる連続ス ペクトルが続く.相対論的電子がシンクロトロン放射また は,逆コンプトン散乱で X 線を発生する源では,E −γ の ベキ則のスペクトルで特徴づけられる.他方もし熱過程が 主であれば,高エネルギーで指数的に減少する.制動放射 のスペクトルは低エネルギーで通常比較的平らである.ほ とんどの場合,X 線の生成には 1 つの過程でなく多くの過
熱生成の優勢
141
142
第 6 章 一次宇宙線
程が関係している.大部分の X 線源からの X 線は熱的な ものと現在理解されている.熱的 X 線について以下の 2 つ の場合を区別しなければならない. 光学的に薄い媒体内での生成
1. 熱い(≈ 107 K)ガス内では原子は電離している.熱 いガスの電子は光学的に薄い媒体中(実際,自己吸収 は無い)で制動放射や原子準位間の遷移によって X 線 を作る.2 番目の仕組みには,少なくも 1 個の束縛さ れた電子を持つ原子があることが必要である.しかし, 温度が ≈ 107 K を超えると,水素やヘリウムのよう に一番豊富にある原子は完全に電離しているので,こ の場合制動放射が主な源となる.この関係で,プラズ マ中の正イオンの作るクーロン場で電子が相互作用し, 連続的に変移する制動放射による X 線が生成すると理 解される(熱制動放射).エネルギー hν > kT のと き,スペクトルは e−hν/kT (k:ボルツマン(Ludwig
Eduard Boltzmann)定数)で,指数的に減少する.一 方 hν kT であればスペクトルはほとんど平らにな る.源が光学的に低密度であれば,放射スペクトルと 生成スペクトルは実質的に同じものになる. 光学的に厚い媒体内での生成
2. 熱く光学的に厚い物体は,もともとある生成過程と独 立に黒体放射スペクトルを生じる.放射過程と吸収過 程の両方が関与するからである.したがって,光学的 に厚い場合には,制動放射の光は吸収されて黒体放射
エネルギースペクトル
のスペクトルをまた作る.黒体放射 P はプランクの法 則から与えられ,
P ∼
ν3 ehν/kT − 1
.
(6.81)
高エネルギー(hν kT )では,P は指数の型で書け,
P ∼ e−hν/kT .
(6.82)
一方,低エネルギー(hν kT )では,
ehν/kT = 1 +
hν + ··· kT
(6.83)
なので,
P ∼ ν2
(6.84)
6.4 X 線天文学
のようになり,スペクトルは低い振動数で減る.熱い
143
シンクロトロン放射 ・逆コンプトン散乱
S = σ T4 .
(6.85)
ここで,σ はシュテファン–ボルツマン定数である. いろいろな生成機構の典型的なエネルギースペクトルを
光子フラックス,適当な単位
物体からの全放射 S はシュテファン–ボルツマンの法 則で書け,
制動放射
黒体放射
図 6.50 にスケッチした. 光エネルギー
6.4.3 X 線の検出 X 線源の観測は可視光天文学に比べると多くのことが必
図 6.50 いろいろな生成過程からの標 準的な X 線スペクトル
要である.keV 領域の X 線は屈折率が 1 に非常に近いの で,レンズで像を結べない.X 線が鏡に入ると,反射より も吸収される.したがって,X 線の入射方向は違ったやり 方で測る必要がある.方向を決めるのに一番簡単な方法は, 受動コリメーター
X 線検出器の前部に設置されたスリットか針金のコリメー ターを使用することである.この場合,空間プローブが直 線状になることで観測方向が与えられる(訳注:2 つの直 交したスリットを使えば方向が特定できる).そのような 幾何学的な構成で 0.5◦ 程度の分解能までいく.いろいろな 型のコリメーターを組み合わせると 1 アーク分(訳注:通 常の分と同じ,=
1 ◦ 60 )まで角度分解ができる.
1952 年にウォルター(Hans Wolter)はすでに X 線望
ウォルター望遠鏡
遠鏡をどのように組み立てるかを,全反射を基礎にして提 案していた.吸収や散乱でなく,かすめるような入射方向 の光の反射を得るのに,反射鏡面は可視光線の波長の 10−3 よりよい精度で磨かねばならない.一般的に放物線面鏡の 多重層あるいは放物線面と双曲線面の鏡の組合わせの多重 層が使われる(図 6.51 を見よ). 双曲面
読み出し
源から
絞り
放物面
X線 遠隔装置 検出器
図 6.51 放物面と双曲面の鏡を持つ X 線望遠鏡の断面図
144
第 6 章 一次宇宙線
この技術で 0.5 nm から 10 nm までの X 線の像が描ける 反射係数
ためには,入射方向の角度が 1.5◦ より小さくないといけな い(図 6.52).波長 λ [nm] は次の関係から得られる.
λ= かすめる角度
度
図 6.52 金属製鏡の反射率の角度依存
hc 1240 c = = nm . ν hν E [eV]
(6.86)
鏡は共通の焦点面に入射 X 線の像を結ぶように組立てられ ている.X 線観測衛星は一般に焦点面検出器として数個の
X 線観測装置を搭載している.通常遠隔操作できる装置に 取り付けられる.特別な目的によっては適当な検出器で焦 点をずらすことをする.鏡の多数枚配置で,角度分解とし (鏡の面に)かすめるよ て 1 アーク秒が得られる.しかし, うに入れるという必要条件は X 線望遠鏡のアクセプタンス をかなり制限する.
X 線検出器 X線光子
X 線検出器として,結晶分光器(ブラッグ反射),比例計 数管,光電子増倍管,単チャネル電子増倍管(チャネルト ロン:chanelltron),半導体計数管,あるいは X 線 CCD
計数ガス
(電荷結合素子)が使われている. 比例計数管では入射光子がまず光電効果で電子を作り,次
細い 陽極針金 薄い窓
に電子が強い電場でなだれを起こす(図 6.53). 比例領域内で,ガスによって 103 から 105 倍に増幅され る.光電効果の吸収断面積は Z 5 に比例するので,計数用ガ スとして重い希ガス(Xe,Z = 54)を放電の消滅剤をかね
充電回路
デカップリング コンデンサー 増幅器
て使うべきである.ベリリウム(Z = 4)か炭素(Z = 6) でできている薄い(≈ 1 μm)箔が入り口の窓に使われる. 入射した光子はその全エネルギーを光電子に移す.このエ ネルギーはなだれを作り,その間にエネルギーに比例した
読み出し
形で増幅される.したがって,この手法で X 線光子の入射
図 6.53 比例計数管の操作原理 光電子増倍管,チャネルトロン
方向だけでなくそのエネルギーも決められる. 入射光子は光電子増倍管やチャネルトロンでも,光電効 果で電子に変わる.この電子は離散的あるいは連続的な電 極体系内の電離衝突によって数を増やす.増幅された信号 は陽極で集められ,さらに電子増倍管で処理される.
角度分解能
X 線検出器でのエネルギー測定は光電子から生ずる荷電 を運ぶ粒子数に基づく.ガス比例チェンバーでは,電子–イ オン対を作るのに一般に 30 eV が必要である.半導体計数 管では電子–正孔対を作るのにわずか約 3 eV でよいとの好
6.4 X 線天文学
ましい特色を持っている.したがって,半導体計数管のエ ネルギー分解能は比例チェンバーに比べおよそファクター
√
10 倍よくなる.固体材料として,ケイ素,ゲルマニウム
やガリウムヒ素が考えられる.簡単に入手できることと雑 音に対する好ましい性質から,たいていはケイ素半導体計 数管が使われる. もしケイ素計数管がマトリックス状に多くの 2 次元の要
電荷結合素子
素(ピクセル:画素(pixcel))に細分されており,ピクセ ルは互いにポテンシャルの井戸でさえぎられているならば, 発生し付着したエネルギーを 2 次元的に読み出せる.ピク セルの電荷を結合させるので,ケイ素の画像センサーのこ のような型をまた電荷結合素子(Charge-Coupled Device:
CCD)という.面積 1 cm × 1 cm で厚さ 300 μm の業務用 CCD は約 105 のピクセルを持つ.CCD での電荷の移動が 直列処理で行われても,これらの計数管は比較的高い率で 測定できる.現在,時間分解能は 1 ms から 100 μs である. このことは kHz の範囲の割合で起こる現象が測れることに なる.これは,高速で変化する X 線源の観測にとってはと りわけ興味深い.
6.4.4 X 線源の観測 太陽は X 線が記録された最初の星である(フリードマン (Herbert Friedmann)他 1951 年).X 線領域で太陽は激 しく変化することで特徴づけられる.強いフレアのときの
X 線の輝度は静かな太陽のときの 10,000 倍以上にもなる. 1959 年,最初の X 線望遠鏡が組み立てられ(ジャコー ニ(Riccardo Giacconi),2002 年ノーベル賞),エアロ ビーロケットに搭載されて 1962 年に飛ばされた.その 6 分 間の飛翔時間で,最初の太陽系外の X 線源をさそり座に発 見した.最初の X 線観測衛星ウフル(UHURU,スワヒリ 語で「自由」の意味)が,1970 年ケニアの基地から打ち上 げられ,それによって観測時間が延長できた.軌道に乗っ て毎週,前の実験すべてを集めたよりも多くの結果を提供 した.
太陽系外 X 線
145
146
第 6 章 一次宇宙線
やがて,多くの X 線観測衛星により,X 線で見た全天に ついてより多くのそしてより正確な知識が提供された.1999 年までで,1 番よい解像度を持った観測衛星はドイツ–イギ リス–アメリカの共通プロジェクト,ローサット(ROSAT:
ROentgen SATellite)であった(図 6.54 を見よ). ロー サットは口径 83 cm のウォルター望遠鏡を使って,0.1 か ら 2.5 keV の領域の X 線を測定した.X 線検出器として,
25 アーク秒の分解能を持つ多重線型比例計数箱(multiwire 図 6.54 X 線科学衛星ローサットの写 真 {18}
proportional chamber)(PSPC)
注 14 )
と 5 アーク秒の分
解能を持つチャネル–プレート増倍管(channel-plate mul注 15)
tiplier) (HRI)
が使われた.PSPC の 1 つは太陽方向
に向けるのに失敗し,永久に使えなかった.2 番目の PSPC は 4 年の期間データを取った後,ガス供給が使い果たされ て運転が止まった.それ以来チャネル–プレート増倍管だけ が X 線検出器として利用できた.初期の X 線観測衛星に 比べて,ローサットは非常に大きな幾何学的アクセプタン ス,よりよい角度とエネルギーの分解能,そしてかなり大 きくなったシグナル–ノイズ比(すなわち 1 個の角分解ピク セルについて,バックグラウンドは 1 日わずか 1 事例であ る)を持っていた. 発見された 130,000 個の X
ローサットは天空を捜査して,約 130,000 個の X 線源を
線源
発見した.比較として,初期のアインシュタイン観測衛星で
HEAO
注 16)
ある HEAO
はたった 840 個の X 線源を見つけただけ
だった.X 線源の一番多い種類は活動銀河の核(≈ 65, 000 個)と通常の星(≈ 50, 000 個)である.約 13,000 個の銀 河団と 500 個の通常の銀河が X 線を放出していることがわ かった.X 線源の一番小さい種類は超新星残骸であり,約
300 個が同定されている. 超新星残骸(SNR)は天空で最も美しい X 線源を示す. ローサットは,ベラパルサーがその可視光の放射から知ら れていた 89 ms の周期で X 線もまた放射しているのを見つ 注 14
PSPC—Position Sensitive Proportional Counter(位置敏感型比
注 15
HRI—High Resolution Imager(高分解能撮像器)
例計数管) 注 16
HEAO—High Energy Astronomy Observatory(高エネルギー天 文観測衛星)
6.4 X 線天文学
147
けた.そのことからベラ X1 の X 線放射の一部は熱的な原 因だと思われる.デンマークの天文学者ティコ・ブラーエ (Tycho Brahe)が観測した超新星残骸 SNR 1572 は X 線 領域ではほとんど球状に広がっている殻を示す(図 6.55). その殻は星間物質へ速度約 50 km/s で膨張しており,この 過程で数百万度まで周りを熱している. カニ星雲パルサーからの X 線の放出形態は,違った成分 があることを示す.すなわちパルサー自身,より拡散した 別の X 線放射に比べて非常に明るい X 線である.おもな構 成要素はドーナツ型をしており,それはパルサーの磁場内
図 6.55 ローサット科学衛星に搭載さ れた HRI 検出器(High Resolution Instrument)で 記録された超新星残骸 SNR
で高エネルギー電子と陽電子のシンクロトロン放射によっ 1572 {18} て生じる.さらに,電子と陽電子は極にある磁力線に沿っ て逃げ出し,そこでらせん状の風の中で,X 線を作る(図
helical jet
6.56 参照). 渦巻銀河 M81 にある超新星爆発のわずか 6 日後,ロー
bright pulsar
サットはその X 線放射を測定した.図 6.57 の右部分で,
M81 の中心の南に X 線源 SN 1993J が見える.天空の同 じ領域のこれより前のときのコマでは(写真の左部分)こ
toroidal emission
の X 線源は見えない.
X 線源の多くは連星である.これらの連星では,ほとん 図 6.56
カニ星雲パルサーからの X 線
どの場合コンパクトな天体—白色矮星,中性子星,あるい 放射のスケッチ はブラックホール—がそばにある伴星から物質を降着させ ている.コンパクトな天体へ流入してくる物質はしばしば 降着円盤を作るが(図 5.7 参照),物質はまた中性子星に直
連星 M81 central region PSPC 20000 s October 1992 MPE
M81 with SN 1993J PSPC 27000 s April 1993
接向いている磁力線に沿って運ばれることもある.そのよ うな大変動(激変星)で,伴星からたとえば白色矮星に質 量が移動すれば,永久的な水素燃焼が十分維持できる.も
1’
しイオン化された水素が中性子星に落ちるならば,核融合 によって X 線による閃光も起こり得る.最初は入射水素が 中性子星の表面の薄い層と核融合しヘリウムになる.もし 十分な量の物質が降着すると,核融合で作られたヘリウム が高密度高温に達し,核融合爆発で燃え上がり炭素を形成 する. 銀河団からの熱的 X 線を観測すると,熱いプラズマの質 量や銀河団の全重力質量を決めることができる.この方法 は,温度は銀河団の重力による引力の尺度になるということ
図 6.57 超新星 SN 1993J を伴った渦 巻銀河 M81.この画像は科学 衛星ローサットの PSPC 検 出器(Position Sensitive Proportional Counter)で 記録された {18}
148
第 6 章 一次宇宙線
に基づく.高温ガスの温度—放射された X 線のエネルギー で記述された—は重力に反する力でガスが銀河団の中心に 銀河団
落ちないようにしているガス圧を表す.銀河団からの X 線 測定によって,銀河間の熱いプラズマは銀河自身の 5 倍の 質量を持つことがはっきりした.銀河間の X 線を放射する 質量の大きい熱いプラズマの発見は,宇宙の力学を理解す る上で非常に重要な入力である.
宇宙の階層的構造
宇宙の進化に関して,すべての構造はそれぞれの早い段 階の対象物から階層的に形成されているというのが,現段 階での理解である.すなわち,星団が結合して銀河となり, 銀河が銀河の集まりを作り,それが成長して銀河団となり, 今度は超銀河団となる.銀河間距離が離れた,すなわち若い 銀河団はより質量を大きくしようとするが,一方その距離 が近い銀河団はそれ以上成長することはほとんどない.こ のことから,近くにある銀河団同士は実質的に利用可能な すべての物質を重力によって集めてきたと結論される.これ
宇宙の密度
ら集団の質量はガス雲がおもであるように思われるが,そ の中にあたかもケーキの中にあるほしぶどうのように,星 団が埋め込まれている.したがって,X 線を放出するガス 雲から宇宙の物質密度が推定できる.ローサットによる現 在の X 線観測は宇宙の臨界物質密度の約 30 %の値を示唆 している.もしこれで全部ならば,宇宙はいつまでも膨張 することになる(第 8 章を見よ).
AXAF,XMM
1999 年,X 線観測衛星 AXAF(Advanced X-ray Astrophysics Facility:先端 X 線宇宙物理学衛星)の打ち上 げに成功した.インド–アメリカ人の宇宙物理学者チャンド ラセカールの天文学と宇宙物理学への功績に対し,AXAF はチャンドラ(Chandra)と改名された.1999 年の終わり には,XMM(X-ray Multi-Mirror mission:X 線多重鏡 ミッション)が軌道に乗った(図 6.58). これもまたニュー
図 6.58 XMM X 線科学衛星の写真 {19}
トンに敬意を示して,2000 年には改名されて,現在 XMM ニュートンあるいはニュートン観測台となっている.チャン ドラとニュートン観測台はともにローサットに比べて角度 やエネルギーの分解能がよいので,宇宙の X 線源と発光し ない物質についてより深い理解が得られることが期待され る.実験的見地からいうと,感度の高い焦点面のピクセル
6.4 X 線天文学
149
検出器が,太陽噴出の際放出される低エネルギー粒子(p,
α,e)からの放射線損害を受けないように細心の注意を払 わなければならない. チャンドラと XMM ニュートンによって 1 年につき ≈
50,000 個の新しい X 線源が発見されると予測されている. X 線源の期待される発見 特に興味深いのは,ブラックホールによってエネルギーを得 ていると思われている活動銀河核である.はるか遠い銀河 の中心に存在する多くのあるいはほとんどのブラックホー ルは見付けるのが難しいかもしれない.それはエネルギー を吸収する大量の塵の奥深くに隠れていて,高エネルギー の X 線か γ 線だけが逃げ出せるからである.早くも今やこ れらの新しい X 線観測衛星は,高い赤方偏移を持ち X 線 の形で巨大なエネルギーを放出している銀河を観測してき ている.その数は星の形成時に作られるとかつて予測され たものよりはるかに多い.したがって,これらの銀河は活 発に物質を降着しつつある超重のブラックホールを含んで いると予想される. 現在知られている種類の X 線源はチャンドラと XMM 図 6.59 ニュートンで発見されたものが統計的にかなりの部分を占 めているのであろうが,完全に新しく興奮させるような X 線源を見つけるような可能性もまた存在する. ごく最近の結果の 1 つとして,約 9 百万光年離れた銀河 のアベル(Abell)754 で 2 つの銀河団同士の衝突を観測し たということがある.数百万の銀河を持つ銀河団が劇的な
各々が数百の銀河を含む合併 した 2 つの銀河団の衝突.こ の大変事の現場は約 900 万光 年離れたアベル 754 である. 写真はこの領域の記号化され た圧力の強さを示す.銀河自 身は高圧領域に対応する白い 場所の周りに閉じ込められて いる.中心から離れるのに 従って,圧力は減っていく
{20}
衝突を起こし合併し,たった 1 つの巨大な集団になろうと している. 一方,2000 年初めに始まった X 線観測ミッション ASTRO- ASTRO-E
E は放棄せざるを得なかった.ブースターロケットが意図 した軌道に必要な高度まで人工衛星を運べなかったからで ある.その人工衛星は多分大気圏に再突入の際燃え尽きた のであろう. 比較的早く発見されていた拡散した背景 X 線(diffuse 拡散した背景 X 線
background)の大方(75 %)は確かめられた銀河系外の 源からである.当然 X 線の残りの拡散部分は今のところ未 定の遠くの X 線源からであろう. 初期の段階で未定だった X 線源中,最も大きな割合を占
150
第 6 章 一次宇宙線
めたのは活動銀河核とクェーサーである.ローサットの長 期の露光(40 時間)によって 1 度四方につき 400 個以上の
X 線源があることが明らかにされた. X 線スペクトル中の鉄の線
多くの X 線源のスペクトル中に鉄の線(5.9 keV)が見 つかっている.これは鉄が超新星爆発で直接合成されたか, あるいは物質が何世代の星で処理されたもっと古い源から の X 線であることを明らかに示している.
c Claus Grupen
月からの X 線
ごく最近の調査で驚くべき結果の 1 つは,実質的にすべ ての星は X 線を放出していることである.月からの X 線 の検出も目を見張る観測であった.しかし,月自身がこれ らの X 線を放出しているのではない.月そのものは可視光 領域で輝いているのでなく,太陽からの光を反射している. それと同じ方法で,太陽からのコロナ放射を反射している のである(図 6.60).
図 6.60 ローサットに搭載された PSPC 検出器で記録された月 からの X 線放射.月の暗い側 は宇宙の X 線バックグラウン ドを遮蔽している {18}
6.5 重力波天文学 「もし重力が無かったならば,物理学は どのように見えるだろうか?」
Albert Einstein
6.5 重力波天文学
151
最後に新しい分野の重力波天文学について触れておくの が適切だろう.重力波は早くも 1916 年,アインシュタイン によって予言されていた.連星パルサー(PSR 1913+16) 重力波によるエネルギー損失 のエネルギー損失について,1974 年から始まるある期間に わたる重力波の放出によるものだという,テイラーとハル スによる説明がある(1993 年ノーベル賞).それを別とす れば,重力波の存在を直接示す証拠はない.特に,重力波 放出による連星パルサー系のエネルギー損失について,テ イラーとハルスの結果は一般相対論の理論的予測と強く印 象づけられるほど一致している(0.1 %以内).したがって, アインシュタインの予言の正しさを疑うものはいない. テイラーとハルスはパルサーと中性子星からなる連星系
PSR 1913+16 を 20 年以上の期間にわたり観測してきた. 0
周りを,楕円軌道で回転している.パルサーからの電波放出
−5
は正確な時計の信号として使うことができる.パルサーと 中性子星が一番近くに寄ったとき(近星点(periastron)), 軌道速度は最大となり,重力場も最強となる.高速で強い重 力場では,時間は遅くなる.この相対論的効果はパルサー からの信号の到着時間が変化するのを見ることで詳しく調 べられる.この質量が大きくコンパクトなパルサー系では,
change in periastron time [s]
この 2 つの質量の大きい天体はこれらに共通の質量中心の
Taylor & Hulse PSR 1913+16
− 10 − 15 − 20
general relativity
− 25 − 30
1975
1985
1995
1 日での近星点時間の変化量は我々の太陽系の惑星である 図 6.61 水星が 1 世紀必要とする量と同じである.この連星の近傍 で時空は大きくゆがめられている. 相対性理論は,連星系はその軌道を回るエネルギーが重 力波に換えられ,時間とともにエネルギーを失うと予言す
連星パルサー系 PSR 1913+16 の近星点時間の 20 年以上にわたる観測された変 化と,アインシュタインの一 般相対性理論に基づく予測値 の比較.理論と観測値は 0.1 %以内で一致している.
る.図 6.61 はアインシュタインの一般相対性理論に基づく 予測値を実験データと比較した.理論と実験の見事な一致 は—間接的ではあるが—今のところ重力波の最も有力な証 拠で最善のものである. 重力波を直接検出すれば,激しい宇宙物理学的事例につ いて新しい窓を開くことになるだろう.また暗黒物質や暗 黒エネルギーを含むような過程に手がかりを与えるだろう. しかし,直接観測に関するかぎり,状況は 1950 年代の ニュートリノ物理学にある程度似ている.その頃ニュート リノの存在を疑うものは誰もいなかったが,その予言を調
重力波の証拠
152
第 6 章 一次宇宙線
べるのに有効な強いニュートリノ源が無かった.来たるべ き原子炉は十分強力であったので,観測するのに十分大き いニュートリノフラックスを供給できた.問題はニュートリ ノと物質との相互作用断面積が小さいことに関係していた. 重力波に比べてニュートリノの物質との相互作用は「強 重力波の低い相互作用確率
い」といえよう.重力波の相互作用確率は極端に低いので, 宇宙で起こる大変動過程に対して,検出はきわめて難しい が新たな窓を用意するのは確かである.ニュートリノにつ いては,多数の宇宙物理学的源はほとんど透き通っている. 重力波のごく弱い相互作用のために,最も激しい宇宙論的源 から重力波はニュートリノよりも一層自由に伝播してくる. 電磁波はいろいろなスペクトル領域で天体を映しとれる. これは電磁波の波長が一般に天体の大きさよりも非常に小 さいからである.重力波の波長はずっと大きいので,この
重力波による画像処理?
波による画像処理はほとんど問題外である.電磁波では時 間とともに変わる電場と磁場が時空を伝播していく.重力 波では時空それ自身の振動を取り扱う. 電磁波は電荷が加速されたり減速されたりすると,発生 する.同様に質量–エネルギー分布が球対称でない加速があ るとき,いつでも重力波が発生する.しかし,両者の間に
1 つの重要な違いがある.電磁波は双極子放射であり,重 四重極放射
力波は四重極放射である.これは重力波の量子である重力 子はスピン 2 を持つというのと同じ意味である. 電磁波は時間変化する双極子モーメントによって作られ, 双極子は 1 つの正電荷と 1 つの負電荷から成る.これに対 比して重力には電荷はなく,ただプラスの質量があるだけ
アンテナ振動のモード
である.マイナスの質量は存在しない.反物質であっても, 通常の物質と同様プラスの質量を持つ.したがって,振動 する質量双極子を作り出すことはできない.2 体の系で左 方向に加速される 1 つの質量が作られたとすると,運動量 保存則から等しいが反対方向の運動が第 2 の質量に起こり, 右方向にそれを動かす.2 つの等しい質量について,間隔 は変化するかもしれないが両者の質量中心は変わらないま まである.その結果,単極モーメントあるいは双極子モー メントはない.したがって,重力波を生み出す最低次の振 動は,時間的に変化する四重極モーメントによるものであ
6.5 重力波天文学
153
る.試験的な質量の歪みから重力波を作り出せる.ここで, たとえば最も単純な非球対称運動は,水平方向にある質量 は内側に,垂直方向にある質量は離れるように動く.これ と同じように,発生した重力波は同様にアンテナを 1 つの 方向では圧縮し,他の方向では引き伸ばしをしてゆがめる だろう(図 6.62 を見よ). 重力波の四重極特性はしたがって,潮力のような働きに なる.すなわち 1 つの軸方向に沿ってアンテナを押しつけ, 一方他の方向には引き伸ばそうとする.重力波による力が 弱いので,アンテナの相対的な伸びは,宇宙の最大の変動 のときでさえ高々 h ≈ 10−21 の程度であろう.しかし,重 力波には電磁波の測定に比べて 1 つの利点がある.すなわ ち,電磁波の観測量は宇宙物理学的源からのエネルギーフ ラックスのようなものであり,立体角のせいで 1/r2 の依存 性で特徴づけられる.これと対比して,重力波の直接観測 (h)は距離とともにただ 1/r のように減っていく.h は宇 宙物理学的対象物の四重極モーメントの 2 階微分に線形に 依存し,そして距離 r の逆数に比例し,
h∼
¨ G Q (G:万有引力定数) 4 c r
となる.この結果,重力波の検出器の感度がファクター 2 よくなると,重力波源があるかもしれない測定可能な体積 がファクター 8 増える.重力波の像が結べない不利な条件 はあるが,重力波検出器は全天ほとんど 4π 立体角が見ら れる有利な点もある. 重力波源として最も有力な候補としては,連星系の合併, 降着ブラックホール,中性子星同士の衝突,あるいは共通 の質量中心の周りの軌道を回っている 2 つのブラックホー 図 6.62 ル(2 つの銀河の合併の結果現れたらしい電波銀河 3C66B 四重極振動を受けた重力波の のような)からなる特別な連星が挙げられる. これらのアンテナでは,雑音の抑制が一番難しい問題で ある.重力波検出器が幾つかあるが,それらは孤立してい て(訳注:地面の振動の影響を受けない)大部分は光学干渉 計の形である.この形では一方のレバーの腕では伸び,他 方では縮むので,マイケルソンの干渉計で監視できる.こ れらの検出器は地上か宇宙空間で操作される.重力波の信
衝突による球面アンテナの振 動モード 重力波の減衰 雑音の抑制
154
第 6 章 一次宇宙線
号として説得力があるためには,幾つかの独立した検出器 からの同時信号がおそらく必要であろう.
6.6 問題 6.1 節の問題 1. 一次宇宙線中で,炭素核,酸素核やネオン核が元素の 周期律表で近いもの(窒素核,フッ素核,ナトリウム 核)より豊富にある理由は何か?
2. 6.1 節で,一次宇宙線は陽子,α 粒子と重い原子核から 成っていると述べた.一次粒子のわずか 1 %が電子で ある.これは,一次宇宙線のおもにプラス電荷の絶え 間ない衝突の間に,惑星である地球が電気的に帯電す ることを意味するのか? もしこれが本当ならば,我々 の惑星が生まれて以来,過剰のプラス電荷がどの程度 蓄積されることになるか?
3. 一次宇宙線の元素組成で鉄核のすぐ下の核は鉄核のフ ラックスの約 10 %である.
(a) 一次鉄核が星間核や銀河間核と衝突して壊れる断面 積を推定せよ.
(b) 一次鉄核が地上まで生き延びるチャンスはどれほ どか?
6.2 節の問題 1. 太陽は次の反応に従って陽子をヘリウムに変える. 4p → 4 He + 2e+ + 2νe . 地球上で受ける太陽のパワーを表す太陽定数は P ≈
1400 W/m2 である.反応当たり得られるエネルギー はヘリウムの束縛エネルギーに対応する(EB (4 He) =
28.3 MeV).どのくらいの数の太陽ニュートリノが地 球にやってくるか?
2. 太陽電子ニュートリノはミューオンニュートリノやタ ウニュートリノへと振動するならば,それらはおもに 反応
6.6 問題
νμ + e− → μ− + νe , ντ + e− → τ − + νe を通して検出される.これらの反応が起こるときのし きいエネルギーを算出せよ.
3. 太陽ニュートリノの放射に被ばくするとして, (a) (6.9) を用いて,人体(人体組織の密度 ≈ 1 g cm−3 ) 内で太陽ニュートリノが相互作用を起こす数を算出 せよ.
(b) ニュートリノは人体内で νe + N → e− + N によって相互作用する.ここで放射線障害は電子に よって起こされる.ニュートリノのエネルギーの平 均 50 %が電子に移されるとして,人間が年間に吸収 するエネルギー量を推定せよ.
(c) 線量当量は H = (ΔE/m) wR
(6.87)
で定義される(m は人体の質量,wR は放射線荷重 係数(電子のとき = 1),[H] = 1 Sv(シーベルト =
1wR J kg−1 ),そして,ΔE は人体に堆積したエネ ルギー).太陽ニュートリノによる年間の線量当量を 計算し,それを通常の自然線量当量 H0 ≈ 2 mSv/年 と比べよ.
4. ニュートリノ振動
注 17 )
.
ニュートリノ振動の最も簡単な場合は以下のように書 :このシナ ける(いつものように, と c を 1 とする) リオでは,レプトンフレーバー固有状態は質量固有状 態 |ν1 と |ν2 の重ね合わせ
|νe = cos θ|ν1 + sin θ|ν2 , |νμ = − sin θ|ν1 + cos θ|ν2 となる.これらの状態はすべてきっちり定義された運 動量を持つ波束と考えられる.相互作用での(固有状 態)たとえば νe は運動量 p で作られ,自由粒子として 注 17
この問題は難しく,解答には数学的知識が必要である.
155
156
第 6 章 一次宇宙線
伝播していくとする,つまり,|νe ; t = e−iHt |νe . 質 量固有状態について,e−iHt |νi = e−iEνi t |νi ,ここで
E νi =
p2 + m2i ,i = 1, 2 である.時間 t 後,ミュー
オンニュートリノを見出す確率は
Pνe →νμ (t) = |νμ |νe ; t|2 . (a) Pνe →νμ (t) を計算せよ.時間 t 後,粒子は x ≈ vt = p t/Eνi にいる.ニュートリノ質量は小さいとして, (6.22) で与えられる振動確率が導けることを示せ. (b) (νμ ↔ ντ )振動で,最大の混合(sin 2θ = 1),Eν = 1 GeV,mνμ mντ と仮定(すなわち,mντ ≈ √ δm2 ),そして大気ミューオンニュートリノで下向 き対上向きの比が 0.54 とする.τ ニュートリノの質 量を推定せよ.
(c) ここで,mνμ mντ の仮定は意味があるか?
6.3 節の問題 1. 3 cm の厚さの NaI (Tl) シンチレーション計数管の 1 MeV 光子に対する検出効率を推定せよ(ヒント:図 6.37 から質量減衰係数の数値を読み取れ. ) 2. 図 6.48 に示した γ 線の光度曲線を引き起こす宇宙天 体の大きさを推定せよ.
3. 空気中(n = 1.000 273)と水中(n = 1.33)でチェレ ンコフ光を生じるミューオンのしきいエネルギーはい くらか?
4. カニパルサーは 100 GeV で仕事率 P = 3 × 1027 W で 高エネルギー γ 線を放射している.放射が等方的であ るとして,計画されている GLAST 実験(ガンマ線広 域宇宙望遠鏡)で,このエネルギーの光子が年間何個 記録されるか? カニ星雲から GLAST が検出できる 最低のフラックスはいくらか(J/(cm2 s) の単位で)? (GLAST の集光面積 A = 8000 cm2 ,カニ星雲までの ) 距離:R = 6300 光年とする.
5. 地球に到達する太陽の仕事率を示す太陽定数は PS ≈ 1400 W/ m2 である.
6.6 問題
(a) 太陽から放射される全仕事率はいくらか? (b) 106 年の間に放出された太陽の質量の割合はいく らか?
(c) 太陽は地球に毎日どれだけの質量を運んでいること になるか?
6.4 節の問題 1. 黒体から放射される仕事率の振動数に対する依存性は (6.81) で与えられる.この輻射式を波長を変数とする 関数に書き換えよ.
2. 星から 1 秒間に放射される全エネルギーは光度とよば れる.光度は星の半径と温度に関係する.太陽より 10 倍大きく(R = 10 R ),温度が同じ星の光度はどう なるか? また大きさは太陽と同じで,温度が 10 倍高 い星の光度はどうなるか?
3. エネルギー E を持つ相対論的電子の,横向き磁場 B 内でのシンクロトロン放射による仕事率は古典的電気 力学から導かれて
P =
e2 c3 Cγ E 2 B 2 . 2π
ここで
Cγ =
re 4 π ≈ 8.85 × 10−5 m GeV−3 . 3 (me c2 )3
1000 km 離れてパルサーの周りを 1 TeV 電子が円運動 する.そのときシンクロトロン放射で,1 周につき電 子が失うエネルギーを計算せよ.パルサーはこの距離 でどのような磁場を持つか?
4. 時間によらない横向き一様磁場を横切る粒子の放射に よるエネルギー損失を考えよう.この節の問題 3 も参 照して,放射による仕事率は
P =
2 e2 2 2 ˙ γ |p| 3 m20 c3
で与えられる.以下の 2 つの場合について,粒子エネ ルギーと軌道の曲がりの半径の時間依存性を計算せよ.
(a) 超相対論的な場合.
157
158
第 6 章 一次宇宙線
(b) 一般的な場合
注 18)
.
5. 人工衛星に搭載した収集面積 1 m2 の X 線検出器が,大 マゼラン星雲にある X 線源から 10 keV 光子を1 個/時間 の割合で数える.等方的に放射されているとすれば,X 線源から 10 keV 光子が何個放射されているか? 検出器 は 1 cm の厚さのキセノンで満たされた比例計数管であ る(10 keV 光子に対する減衰係数は μ = 125 (g/cm2 )−1 , 密度 Xe = 5.8 × 10−3 g/cm3 ).
6. エネルギーの高い電子(Ei )が黒体光子(エネルギー ωi )と逆コンプトン散乱を起こすと,X 線が生じる.散 乱角 ϕi と ϕf で,散乱された光子のエネルギー ωf は
ωf ≈ ωi
1 − cos ϕi 1 − cos ϕf
(6.88)
で与えられることを示せ.ここで,ϕi は入射電子と入 射光子とのなす角度,ϕf は入射電子と出ていく光子と のなす角度である.上の近似式は Ei mi ωi のと き成り立つ.
7. 黒体放射が E = 50 keV のエネルギーで最大になると き,この天体の温度はいくらか? (ヒント:この問題の解答には超越関数の方程式がで てくる.数値的に解く必要がある. )
6.5 節の問題 1. 質量 M の天体に向けて伝播している光子は運動量を 得て青方偏移する.高さ H = 1 km から太陽表面に近 づく光子のエネルギーの相対的増加量を計算せよ.同 様に,質量の重い天体から脱出する光子は重力的に赤 方偏移をすることになる. (太陽の半径 R = 6.9635×108 m,太陽の質量 M =
1.993×1030 kg,太陽重力による加速度 g = 2.7398× 102 m/s2 . ) 2. 加速されている質量は重力波を放出する.単位時間当 たり放出されるエネルギーは計算されて 注 18
この問題の解答には数学的な知識が必要である.
6.6 問題
P =
G ...2 Q . 5c5
ここで,Q はある質量形状(たとえば,太陽–地球系) の四重極モーメントである.周期的な時間依存性を持 つ(∼ sin ωt)回転系では,時間微分するごとに ω の 因子が出るので,
P ≈
G 6 2 ω Q . 5c5
太陽のように重い質量の天体(M )と地球のような軽 い質量の天体(m)でできている系では,四重極モー メントは mr 2 の程度である.1 程度の数値の違いを無 視すれば,
P ≈
G 6 2 4 ω m r c5
を得る.太陽–地球系から放出される仕事率を計算し, それと速く回転する典型的な実験室の装置から放出さ れる重力の仕事率と比べよ.
159
第7章
二次宇宙線
「ホレショーよ,この天と地には君の哲 学で夢見るよりもはるかに多い事柄が あるのだ」
Shakespeare,Hamlet
宇宙粒子物理学の目的に対して,太陽や地球の磁場の影 響は摂動になり,宇宙線起源の探索を複雑にする.太陽活 動は銀河からの宇宙線の一部が地球に届くのを妨げるよう
太陽変調
な追加の磁場を作る.しかし,図 7.1 が示すように,太陽
黒点 最小
の影響はエネルギーが 10 GeV 以下の一次粒子に制限され る.低エネルギー一次宇宙線粒子のフラックスは太陽活動 と逆相関である.
陽子フラックス
電子フラックス
粒子強度
黒点 最大
高度
運動量
図 7.1 太陽 11 年周期による一次ス ペクトルの変調
高度
一方,太陽風はその磁場によって一次宇宙線を変調し,そ れ自身粒子の流れであり,地球上で観測できる.太陽風を構 成している粒子(おもに陽子と電子)は低エネルギー(MeV 領域)である.これらの粒子はヴァン・アレン帯にある地球 磁場で大部分捕獲されるか,地球の大気の上層部で吸収さ れる(図 7.9 を見よ).図 7.2 はヴァン・アレン帯内の陽子 と電子のフラックス密度を示す.陽子の帯は高度 2,000 か
図 7.2 地球の放射線帯における陽子 と電子のフラックス密度 太陽風
162
第 7 章 二次宇宙線
ら 15,000 km まで広がっている.強度は 108 /(cm2 s) まで, 放射線帯
エネルギーは 1 GeV までの粒子を含んでいる.電子の帯は
2 つの部分から成る.内側の電子の帯はフラックス密度が cm2 当たり秒当たり 109 粒子までで高さは約 3,000 km で ある.一方外側の帯は高度約 15,000 km から 25,000 km ま で広がる.放射線帯の内側の部分は地球の周りに対称的に 分布しているが,外側の部分は太陽風の影響を受け,その 結果対称性から歪む(図 1.9 や 1.13 も見よ).
7.1 大気中の伝播 「宇宙粒子は異なる世界からの使徒で ある」 大気中の相互作用
作者不明
一次宇宙線は大気中の空気の原子核との相互作用によっ て大きく変わる.大気のコラム密度は約 1000 g/cm2 に達 し,大気圧約 1000 hPa にほぼ相当する.図 7.3 (a) に高さ
コラム密度
と大気中のコラム密度 や圧力との関係を図示した.図 7.3
(b) では高度 28 km 以下についてコラム密度をより詳しく 示した.観測用気球の飛揚高度(≈ 35–40 km)はおよそ数
g/cm2 に相当する.斜め方向については大気の厚さは大き く増す(およそ 1/ cos θ で変わる,θ—天頂角).地上で天
大気の深さ
圧力
大気の深さ
頂角によって大気の深さがどう変わるかを図 7.4 に示した.
図 7.3 (a) 大気の深さ(コラム密度) と圧力の関係 (b)28 km までの高さの関数 としての大気コラム密度
高度
高度 海水面
海水面
7.1 大気中の伝播
163
一次宇宙線の相互作用の振る舞いについて,問題にしてい る関与する粒子の種類に対して,大気の厚さを特有の相互作 気中の放射長(radiation length)は X0 = 36.66 g/cm2 で ある.したがって,大気は 28 放射長の深さに対応する.関連 して,ハドロンの空気中での相互作用長は λ = 90.0 g/cm2
大気の深さ
用長の単位で書いておくことは重要である.光子や電子の空
であり 1 気圧は 11 相互作用長に相当する.このことから, もともとの一次宇宙線が 1 個の粒子として,地上に到達する ことは実際にはありえないといえる.すでに 15 から 20 km 天頂角
の高さで一次宇宙線は空気の原子核と相互作用して,—エ ネルギーや粒子の種類によって—電磁カスケードと/また はハドロンカスケードを引き起こす. 一次宇宙線の単電荷成分の大気頂上での運動量スペクト ルを図 7.5 に示す. この図で粒子の速度 β = v/c は運動量 の関数として示されている.明らかに水素の同位体の帯が
図 7.4 天頂角と海水面までの大気の 深さとの関係 放射長 相互作用長 電磁カスケードとハドロンカス ケード
見られ,同様に一次反陽子の低いフラックスも見える.こ の高度でさえパイオン崩壊を経て数個のミューオンが作ら れている.ミューオンとパイオンの質量は非常に近いので, 対論的電子や陽電子は μ+ や μ− と書いた帯の中に入る.測 定された反陽子はもともとのものでなく,むしろ星間や惑
速度
この散乱図から両者を区別することはできない.また,相
星間の空間で,あるいはまた気球の上にある残留大気との 相互作用で作られたものと一般に想定されている. 大気中で一次宇宙線が変形する様子を図 7.6 に表した. 陽子は一次宇宙線の中で約 85 %の割合で最大の割合を占め る.ハドロンの相互作用長は 90 g/cm2 なので,一次陽子 はおよそ 100 hPa の層に対応する高さですでに最初の相互 作用をして,ハドロンカスケードを引き起こす.一番多く 作られる二次粒子はパイオンである.一方ケーオンはパイ オンの約 10 % の確率でしか作られない.中性パイオンは 崩壊(π 0 → γ + γ )して,電磁カスケードを引き起こし, その発達はより短い放射長(空気中で,X0 ≈ 13 λ)で特徴 づけられる.このシャワー成分は比較的容易に吸収される ので,軟成分とも名づけられる.荷電パイオンやケーオン はさらに相互作用または崩壊し得る. 崩壊するか相互作用するかのどちらになるかの確率はエ
運動量 図 7.5 気球による飛揚高度(上層の コラム密度 = b 5 g/cm2 )にお ける単電荷宇宙線粒子の同 定 {21}
164
第 7 章 二次宇宙線 陽子
ネルギーによって変わる.同じローレンツ因子であれば,荷 大気の「頂上」
電パイオン(寿命 26 ns)は荷電ケーオン(寿命 12.4 ns)に 比べて崩壊する確率は小さい.荷電パイオンと荷電ケーオン
大気 成分
の大気中における崩壊確率を,その運動エネルギーの関数と して図 7.7 に示した.パイオンやケーオンのレプトンへの崩 壊から貫通性のあるミューオンやニュートリノ成分が生成 される(π + → μ+ + νμ ,π − → μ− + ν¯μ;K + → μ+ + νμ ,
K − → μ− + ν¯μ ).ミューオンはまた崩壊し,崩壊後の電 子を通して軟成分に寄与するし,崩壊後のニュートリノは, そのままニュートリノ成分になる(μ+ → e+ + νe + ν¯μ ,
μ− → e− + ν¯e + νμ ). 大気中で崩壊しない相対論的ミューオンのエネルギー損 失は小さい(≈ 1.8 GeV).このミューオンは地上ではすべ ての荷電粒子の 80 % を占め,二次粒子中で最大の割合に
海水面 ハドロン 成分
なる. ある程度の二次メソンやバリオンはまた地上まで到達す
ミューオン 成分
地下
ニュートリノ 成分
図 7.6 一次宇宙線の大気中での変遷 ケーオン
ることができる.地上で観測されている低エネルギーの荷 電ハドロンのほとんどは局所的に作られたものである.し かし,地上でのハドロンの全割合はごくわずかである. 縦方向の発達とは別に,電磁カスケードとハドロンカス ケードは大気中横にもまた広がる.電磁カスケードの横広 がりの大きさは電子や陽電子の多重散乱によっている.一 方,ハドロンカスケードでは二次粒子生成の際の横運動量が
崩壊確率
パイオン
運動エネルギー
図 7.7 運動エネルギーの関数として の,大気中での荷電パイオン と荷電ケーオンの崩壊確率 図 7.8 大気中の電磁カスケード (100 TeV 光子)とハドロン カスケード(100 TeV 陽子) の発達の比較.E ≥ 1 GeV の二次粒子のみを示す {22}
7.1 大気中の伝播
カスケードの横広がりの原因である.図 7.8 は 100 TeV 光 子と 100 TeV 陽子による大気中のシャワー発達の比較であ る.二次粒子の横運動量がハドロンカスケードを扇型に広 げているのがはっきり見える. 陽子,電子とミューオンのすべてのエネルギーでの強度 を大気中の高度の関数として,図 7.9 に描いた.陽子の吸 収はほぼ指数関数で書ける.
π 0 崩壊から続く対生成によって作られた電子と陽電子は およそ高さ 15 km で強度が最大になり,その直後に比較的 速く吸収される.一方,対照的にミューオンのフラックス は比較的弱くしか減らない.
c Claus Grupen
エネルギースペクトルが急に落ちることから,粒子の強 度はもちろん低エネルギー粒子が優位を占める.しかし,こ れら低エネルギー粒子はほとんど二次宇宙線から生まれた ものである.もしエネルギーが 1 GeV を超える粒子だけを 数えるなら,違った図が現れる(図 7.10).
地表面での成分
165
166
第 7 章 二次宇宙線
垂直強度
粒子のフラックス
海水面
高度
図 7.9 大気中の粒子成分の深さによ る変化 図 7.10 大気中 > 1 GeV のエネル ギーを持つ宇宙線粒子の強度
大気の深さ
大気の深さ
最初高いエネルギーを持った一次核子(陽子と中性子) は高度 9 km まで他の粒子のどれよりも多い.9 km より低 くなると,ミューオンが多くなる.ニュートリノは相互作 用の確率が小さいため,実質的に大気でまったく吸収され ない.このフラックスは粒子崩壊によってニュートリノが 絶えず追加されるので,単調に増加する. 一次粒子のエネルギースペクトルは比較的急激に下がる ので,二次粒子のエネルギー分布もまたこの性質を反映せ ねばならない. 陽子とミューオンのスペクトル
図 7.11 に大気中のいろいろな深さでの陽子とミューオ ンのスペクトルを示す.大気の深さが増すと特に高エネル ギーで,明らかにミューオンが陽子より優位を占め始める 傾向があることが見て取れる.
ミューオン
陽子
図 7.11 大気中のいろいろな高度にお ける陽子とミューオンの運動 量スペクトル
強度
強度
海水面
海水面
運動量
運動量
7.2 地上での宇宙線
167
7.2 地上での宇宙線 「発見の喜びは確かに人間の心が感じ
Claude Bernard
速度
得る最高のそう快さである」
地上(sea level)における荷電粒子の測定によると,陽 子はいくらかはあるが,明らかにミューオンが最も多い成 分である(図 7.12). 地上では,二次宇宙線の荷電成分の約 80 % はミューオン である.そのフラックスは水平面積 cm2 当たり,1 分間に
運動量
ざっと 1 個である.これらのミューオンは主としてパイオ
図 7.12 地上での荷電粒子の測定と同 定 {21}
ン崩壊で生じる.それは一番軽いメソンであるパイオンが ハドロンカスケード内で多数生成されるからである.した がって,地上のミューオンスペクトルは発生源のパイオン スペクトルの直接の帰結になる.しかし,幾つかの修正が
スペクトル
ある.図 7.13 では,生成された場所の親パイオンスペクト ルと観測された地上ミューオンスペクトルを比べた. ミュー パイオンスペクトルの形と比較的よく一致している.しか
強度
オンスペクトルの形は運動量が 10 と 100 GeV/c の間で,
スペクトル
し,10 GeV 以下や 100 GeV 以上のエネルギーではミュー オンスペクトルの強度は発生源のパイオンスペクトルに比 べて減り方がより大きい.低エネルギーでは,ミューオン が崩壊する確率が増す.1 GeV ミューオンはローレンツ因 子 γ = E/mμ c2 = 9.4 となり,平均崩壊長は
sμ ≈ γτμ c = 6.2 km .
(7.1)
パイオンは典型的には高度 15 km で作られ比較的速く崩壊 する(γ = 10 であれば,崩壊長はわずか sπ ≈ γτπ c = 78 m である).崩壊でできたミューオンは地上に達するよりも, むしろそれ自身が崩壊するか大気に吸収されるかである. 高エネルギーになると事情は変わる.100 GeV パイオンに ついては(sπ = 5.6 km,これは生成された高さから測っ てコラム密度 160 g/cm2 に対応する),相互作用の確率の ほうが大きくなる (Sπ > λ).したがって,このようなエネ ルギーのパイオンはさらに続いて相互作用を起こし,三次 のパイオンを作り出し,やがてミューオンに崩壊するが低 エネルギーのミューオンになる.それゆえ,高エネルギー
運動量
図 7.13 地上でのミューオンスペクト ルと元の親パイオンの生成時 のスペクトルとの比較
168
第 7 章 二次宇宙線
ミューオンスペクトルは常に親のパイオンスペクトルより は急に落ちる. 水平に近い斜め方向からのミューオンをもし考えるなら ば,さらなる局面を考慮する必要がある.大きい天頂角の 場合,ミューオンの親粒子は大気の薄い部分を比較的長い 距離進む.斜め方向に対する高高度での低い面積密度のた 斜め方向からのミューオン
め,相互作用確率に比べ崩壊確率が増す.したがって,斜 め方向ではパイオンはおもに崩壊し,高エネルギーミュー オンを作る. これらの考察の結果は観測と一致する(図 7.14).約
170 GeV/c の所から,天頂角 83◦ のミューオン強度は鉛直 方向の強度より数で勝るようになる.低エネルギーの水平 方向からのミューオン強度は,大きい天頂角でより厚い大 気内でのミューオン崩壊や吸収の効果で当然減る. 20 TeV=cまでの地上ミューオ ンスペクトル
斜め方向からの地上ミューオンスペクトルは,鉄板から なる運動量分光計(スペクトロメーター:spectrometer) で約 20 TeV/c の運動量まで測られている(図 7.15).エ ネルギーが高くなるにつれて,ミューオン強度はより急に 減っていく.
鉛直
図 7.15 大きい天頂角からの地上の ミューオン運動量スペクトル. 図の微分強度は p3μ を掛けて いる
微分強度
図 7.14 垂直方向と斜め方向からの地 上のミューオン運動量スペク トル
微分強度
大きい 天頂角
運動量
運動量
しかし,ミューオンの全強度は低エネルギー部分が支配 的になる.斜め方向からのミューオンは崩壊確率が増える こととより多く吸収されることから,地上での全ミューオ ン強度は,あまり大きくない天頂角 θ について,
Iμ (θ) = Iμ (θ = 0) cosn θ
(7.2)
7.2 地上での宇宙線
169
のように変化する.天頂角分布のベキ指数は n = 2 と得ら れる.このベキ指数は,浅い地下でもある固定したエネル ギー以上のミューオンを数えるかぎり,ごくわずかしか変 わらない.
1 つの興味ある量として地上でのミューオンの荷電比があ
ミューオンの荷電比
る.一次宇宙線は正電荷なので,この正電荷過剰は結局は ミューオンにも移される.一次陽子が大気中の原子核の陽子 や中性子と相互作用すると,生成されるパイオンの多重度は 通常非常に大きい.ミューオンの荷電比 N (μ+ )/N (μ− ) は, 可能な荷電交換反応:
p + N + kπ + + kπ − + rπ 0 ,
p+N
→
p+N
→ n + N + (k + 1)π + + kπ − + rπ 0
荷電交換反応
(7.3)
を考慮して推定できる.この式で k と r は作られた粒子の 多重度であり,N は標的核子を表す.(7.3) の 2 つの反応 について断面積が同じとすれば,パイオンの荷電比は
R=
2k + 1 1 N (π + ) = =1+ N (π − ) 2k 2k
(7.4)
と求まる.エネルギーが低いときは k = 2 で,これから
R = 1.25 となる.この比はパイオン崩壊によってミュー オンにも移されるので,ミューオンについても同じような 値であることが期待される.地上でのミューオンの荷電比 は広い運動量の範囲で一定であることが実験で測定されて おり,
N (μ+ )/N (μ− ) ≈ 1.27
(7.5)
という値をとる. パイオンやケーオン崩壊の「古典的な」ミューオン生成過 程に加えて,チャームメソンのセミレプトン崩壊からもミ ューオンが作られる(たとえば,D 0 → K − μ+ νμ や D + →
¯ 0 μ+ νμ , D− → K 0 μ− ν¯μ ).これらチャームメソンは非常 K τD± ≈ 1.1 ps),実 に短い寿命を持つので(τD0 ≈ 0.4 ps, 質的に生成した直後にそれ自身,相互作用すること無く崩 壊する.したがって,それらは高エネルギーミューオンの 源となる.陽子–核子相互作用でチャームメソンの生成断面 積はかなり小さいので,D 崩壊は非常に大きいエネルギー
セミレプトン崩壊からのミュー オン
170
第 7 章 二次宇宙線
のときだけ重要な寄与をする. すでに図 7.12 に示したように,ミューオンとは別に,地 核子成分
上でいくらかの核子が観測される.これら核子は一次宇宙 線の生き残りか,あるいは大気中ハドロンカスケードで作ら れたかである.前者は多数回の相互作用によって強度やエネ ルギーは減っている.地上での核子の約 3 分の 1 は中性子で ある.陽子 / ミューオン比は粒子の運動量によって変わる. 低い運動量(≈500 MeV/c)では p/μ 比 N (p)/N (μ) が約
10 % で,大きな運動量になるとだんだん減っていくのが観 測されている(1 GeV/c で,N (p)/N (μ) ≈ 2 %.10 GeV/c で,N (p)/N (μ) ≈ 0.5 % ). 電磁カスケードからの陽電子, 電子と光子
ミューオンや陽子に加えて大気中電磁カスケードの結果 として,地上で電子,陽電子,光子が見つかる.電子や陽電 子のある部分はミューオン崩壊からくる.電子はまたミュー オンの二次相互作用で自由にされる(「ノックオン電子」).
地上でのパイオンとケーオン
地上で見つかるわずかなパイオンやケーオンはおもに局 地的な相互作用で作られたものである.
e と— の生成
荷電粒子とは別に電子ニュートリノやミューオンニュー トリノがパイオン,ケーオン,ミューオン崩壊から作られ る.これらは,特にニュートリノ天文学にとって,煩わしい バックグラウンドになる.一方大気ニュートリノの伝播は, ニュートリノ振動のように素粒子物理に対して新しい見方 を提供してきた.垂直方向からと水平方向からのニュート リノスペクトルの比較(図 7.16)は,ミューオンスペクト
垂直方向
ニュートリノ エネルギー
ニュートリノ強度
図 7.16 垂直方向と水平方向からくる ミューオンニュートリノと電 子ニュートリノのエネルギー スペクトル
ニュートリノ強度
ルと同じ傾向を示している.
水平方向
ニュートリノ エネルギー
7.3 地下の宇宙線
ニュートリノの親粒子はほとんどパイオンとケーオンで
171
ニュートリノの親粒子
あり,斜め方向からくるとその崩壊確率は相互作用確率に 比べて増えるので,水平方向からのニュートリノスペクト ルは垂直方向からのスペクトルに比べ,またよりハード(訳 注:スペクトルの勾配がゆるやか)になる.ヘリシティー 保存のために, (π → eν )や(K → eν )の崩壊は強く抑
— の優勢
えられ,結局ミューオンニュートリノが圧倒的になるだろ う.したがって,パイオンやケーオンはほとんどミューオ ンニュートリノのみ作ることになる.ミューオン崩壊だけ が同数の電子ニュートリノとミューオンニュートリノを作 る.高エネルギーではチャームメソンのセミレプトン崩壊 もまた,ニュートリノの源となる. これら「古典的な」考察に基づいて,ニュートリノ積分 スペクトルはニュートリノフレーバー比
N (νμ + ν¯μ ) ≈2 N (νe + ν¯e )
(7.6)
を与える.この比はしかし,ニュートリノ振動のように伝播 ニュートリノフレーバー比 の効果で修正される(6.2 節:ニュートリノ天文学を見よ).
7.3 地下の宇宙線 「もし君の実験が統計を必要とするな ら,君はよりよい実験を心掛けねばな らない」
Ernest Rutherford
地下における二次宇宙線の粒子成分やエネルギースペク トルはニュートリノ天文学にとって特に重要である.ニュー
地下の粒子成分
トリノ天文学の実験は,宇宙線の他の粒子を十分遮蔽する ため通常地下深くで行われる.ニュートリノの事例がごく わずかしかないので,残った宇宙線のフラックスが小さく ても,やっかいなバックグラウンドになる.いずれにして も,宇宙線の源から来た可能性がある信号を,大気宇宙線 バックグラウンドの統計的ゆらぎや系統的な不確定さから 区別できるように,地下二次宇宙線の同定やフラックスを 正確に知る必要がある. 飛距離の長い大気ミューオン,ミューオンによって局所
ニュートリノ天文物理学に対する バックグラウンドの源
172
第 7 章 二次宇宙線 鉄
エネルギー損失
和
図 7.17 ミューオンの鉄内でのいろい ろなエネルギー損失
電離
直接 対生成
制動 放射
核 相互作用
ミューオンエネルギー
的に作られた二次粒子,そして大気ニュートリノによる相 互作用で作られた粒子はニュートリノ天文学に対する重要 なバックグラウンドの源になる. ミューオンのエネルギー損失
ミューオンは電離作用,直接電子–陽電子対生成,制動放 射および核との相互作用によって,エネルギーを失う.こ れらの過程は第 4 章にかなり詳しく書いた.高エネルギー では,電離によるエネルギー損失は本質的に一定であり,一 方他のエネルギー損失過程はミューオンのエネルギーに比 例して増え,
−
dE =a+bE . dx
(7.7)
鉄を吸収体としたときエネルギーの関数として,ミューオ ンのエネルギー損失を図 7.17 に示す.岩石中のミューオン のエネルギー損失のエネルギー依存性はすでに前に示した (図 4.3). ミューオンの飛程
式 (7.7) を積分すれば,ミューオンの飛程(range)が出 る.パラメータ a と b はエネルギーによらないとして,
0
R= E
1 b dE = ln 1 + E . −dE/dx b a
(7.8)
エネルギーがあまり大きくないとき(E < 100 GeV),電 離によるエネルギー損失が支配的である.この場合 bE a でしたがって,
R=
E . a
(7.9)
7.3 地下の宇宙線
大気中の最小電離ミューオンのエネルギー損失は
dE = 1.82 MeV/(g/cm)2 . dx
標準岩石
エネルギー 100 GeV のミューオンは岩石内で,飛程約 40,000
g/cm2 であり,160 m に相当する(あるいは,400 m 水相
飛程
(7.10) 飛程
−
173
当).標準岩石におけるエネルギー–飛程関係を図 7.18 に 示す. 大きくエネルギーを損失するミューオンの相互作用過程 (たとえば制動放射)の確率的性質から,ミューオンの飛程 はかなりのゆらぎを持つ.
ミューオンエネルギー
図 7.18 岩石中のミューオンの飛程
地上でのミューオンスペクトルとミューオンのエネルギー 損失過程がわかると,ミューオンについて深さ–強度関係を
深さ–強度関係の決定
決めることができる.地上のミューオン積分スペクトルは, およそベキ則で表されて,
N (> E) = A E −γ .
(7.11)
られる.
N (> E, R) = A
a b
(ebR − 1)
−γ
.
(7.12)
垂直強度
エネルギー–飛程関係 (7.8) を用いて,深さ–強度関係が得
高エネルギーのとき(Eμ > 1 TeV,bE a),指数項が 効いてきて,
N (> E, R) = A
a −γ b
e−γbR .
(7.13)
斜め方向からくる場合 ,地面が平らであれば吸収体の層は
1/ cos θ = sec θ(θ—天頂角)で増えるので,斜め方向か らのミューオンについて,深さ–強度関係は
N (> E, R, θ) = A
a −γ b
e−γbR sec θ
(7.14)
となる.しかし,深度が浅いとき (7.12) や (7.9) からもベ キ則
N (> E, R) = A (aR)−γ
(7.15)
が導かれる.垂直方向の測定された深さ–強度関係が図 7.19 に描かれている.10 km 水相当(岩石で ≈ 4000 m)以降 の深さでは大気ニュートリノから作られたミューオンの割
深さ 地下
図 7.19 鉛直方向からのミューオンの 深さ–強度関係.深い所で灰 色にハッチした帯はニュート リノから作られる 2 GeV 以 上のエネルギーを持つミュー オンのフラックス(上の線: 水平,下の線: 鉛直上向きの ニュートリノから作られる ミューオン) [2] 斜め方向のミューオン
174
第 7 章 二次宇宙線 金鉱 水相当
金鉱 水相当
強度
強度
大気 ミューオン
深さ―強度関係を もとにした予想値
から作られ るミューオン
図 7.20 1,500 と 7,000 m 水相当の深 さにおける大気ミューオンの 天頂角分布
天頂角
天頂角
合が顕著になる.ニュートリノの相互作用確率が小さいた め,ニュートリノから作られたミューオンの割合は深さに よらない.深い所(> 10 km 水相当)に置かれた収集面積
100 × 100 m2 ,立体角 π のニュートリノ望遠鏡でも,1 日 に 10 事例の割合でバックグラウンドを測ることになるだ ろう. 深度 1,500 と 7,000 m 水相当の大気ミューオンの天頂角 分布を図 7.20 に示す.大きい天頂角では,覆う岩石の厚さ が 1/ cos θ で増えるので,フラックスは急激に減る.それ ゆえ,深い所の斜め方向では,ニュートリノからのミュー オンが主となる. 指数
天頂角や深度があまり大きくないとき,ミューオン積分 スペクトルの天頂角依存性はまだ
I(θ) = I(θ = 0) cosn θ
(7.16)
で表される(図 7.21).しかし,深度が大きいときはこの 分布のベキ n が非常に大きくなるので,代わりに (7.14) を 深さ 地下
図 7.21 ミューオンの天頂角分布指数 n の深さによる変化
使うほうがよい. 地上でミューオンの平均エネルギーは数 GeV の範囲であ る.岩石内の吸収過程ではおもに低エネルギーの強度を減ら す.だから,ミューオンスペクトルの平均エネルギーは深度 とともに増える.高エネルギーミューオンは,局所的相互作 用で他の二次粒子も生み出す.低エネルギーミューオンは, 特徴的な数マイクロ秒程度の崩壊時間をもって(μ → eνν ) と崩壊するので,同定できる.したがって,地中で止まる ミューオンの測定は局所的な生成過程の知識を与える.止
7.3 地下の宇宙線
175
まるミューオンのフラックスは普通 100 g/cm2 の厚さの検 出器で決められる.透過ミューオンに対する止まるミュー オンの比 P を示す(図 7.22). 止まるミューオンの一部は,低エネルギーパイオンが比 較的速くミューオンに崩壊することによって局所的に作ら れている.透過ミューオンのフラックスは深度が増すと大 きく減るので,5,000 m 水相当より大きい深さでは,透過 ミューオンに対する止まるミューオンの比 P はニュートリ ノ相互作用に支配される. 地下非常に深い所の粒子組成の知識はニュートリノ天文 学にとって重要な情報になる. 大気中で発達した拡大空気シャワーの生き残りも,地下 でまた測られる.電子,陽電子,光子やハドロンは岩石の比 較的浅い層ですでに完全に吸収される.それゆえ,拡大空 気シャワー中のミューオンとニュートリノだけが地下深く まで透過する.空気シャワーを起こす最初に相互作用する バーテックスは,典型的に大気中高さ 15 km である.ハド ロンカスケード中の二次粒子の横運動量は高々300 MeV/c なので,高エネルギーミューオンはシャワー軸に実質沿って 14
いく.一次エネルギーが 10
深さ 地下
図 7.22 深さの関数としての止まる ミューオンの透過するミュー オンに対する比.幾つかの実 験結果と比較している.(1) 止まる大気ミューオン,(2) 核相互作用によって止まる ミューオン,(3) 光子から局 所的に作られて止まるミュー オン,(4) ニュートリノから 生じて止まるミューオン,(5) すべての寄与の和 地下ミューオンの横広がり
eV 程度で高エネルギーミュー
オン(≈ 1 TeV)について,もっぱら横向き運動量が移さ れるとして,浅い地下で典型的には数 m の横広がりが得ら れる.高エネルギー(≈100 GeV)ミューオンの岩石の厚 い層(50–100 m)での代表的な多重散乱角は数 mrad 程度 である. 最初の粒子のエネルギーとともに,作られる二次粒子の
ミューオン束
多重度は増える(1 TeV 陽子の,陽子–陽子相互作用であれ ば,荷電粒子の多重度は約 15).このような相互作用で作 られた二次粒子はおもにミューオンに崩壊するから,地下 で拡大空気シャワーの芯の中に,ほとんど平行なミューオ ンの束が観測される.図 7.23 は深さ 320 m 水相当に置か れた ALEPH 実験で観測された平行ミューオン 50 個以上 のそのようなシャワーを示す. 高エネルギーミューオンは高エネルギー一次粒子から作 られる.特にミューオンシャワーはさらに高い一次エネル ギーと関係づけられる.したがって,個々のあるいは多重
宇宙線検出器としての ALEPH
176
第 7 章 二次宇宙線
図 7.23 ALEPH 実験におけるミュー オンシャワー.ハドロンカロ リメータで囲まれた中央のタ イムプロジェクションチェン バー(TPC)に多数のミュー オン飛跡が見られる.画面に 垂直に強い 1.5 T の磁場がか かっているにもかかわらず, ミューオン飛跡はほとんど直 線で,大きい運動量を示して いる.TPC 内で,ミューオ ンによるノックオンされた電 子が円状に曲げられてい る {23}
のミューオンの到来方向を見て,高エネルギー宇宙線の地 白鳥座 X3
球外源を特定したくなる.白鳥座 X3 は 1016 eV までのエ ネルギーの光子を放射しているとされているので,この天 文学的な源はまた高エネルギー荷電一次宇宙線の加速がで きる優れた候補となる.約 33,000 光年離れた白鳥座 X3 は 超高密度のパルサーと伴星から成る X 線連星である.伴星 からパルサーに向けての物質の流れは,パルサーの周りに 降着円盤を形成する.もし明らかに超高エネルギー光子を 作ることができるならば,それらは π 0 崩壊(π 0 → γγ ) から来ていることが期待される.中性パイオンは一般に陽 子の相互作用で作られる.であれば,その源は荷電パイオ ンもまた作れるし,その崩壊によってミューオンやミュー オンニュートリノが生ずる.ミューオンは寿命が短いので, 白鳥座 X3 から 33,000 光年離れた地球まで,到達するこ とは決してない.したがって,ミューオンの信号として可 能性があるものはニュートリノから生じたミューオンによ るものに違いない.残念ながら,フレジュス(Frejus)実
白鳥座 X3,ハドロン加速器?
験で観測された白鳥座 X3 の方向からのミューオンや多重 ミューオンは大気起源のものが圧倒的で,白鳥座 X3 が高 エネルギー粒子の強い源であることは確かめられていない (図 7.24).この源の中で加速された一次粒子自身地上で測 られたとき,原理的にその源まで逆にたどれるかもしれな
ミューオン天文学
い.しかし,白鳥座 X3 からの荷電一次粒子の到来方向は,
赤緯
7.4 拡大空気シャワー
177
図 7.24 白鳥座 X3 方向からのミュー オンと多重ミューオンの天空 地図.十字印は光学的に知ら れた白鳥座 X3 の位置を示す. 円は白鳥座 X3 の周り ±2◦ と ±5◦ の角度で,ミューオ ンの岩石中の多重散乱によっ て起こり得るぼやけに対応す る {24}
赤経
不規則な銀河磁場によって完全にランダムにされているで あろう.白鳥座 X3 からのニュートリノによるミューオン 生成は稀な事例であろうから,意味のある比率を得るには きわめて質量の大きい検出器が必要になるだろう.
7.4 拡大空気シャワー 「科学は新たな問題を 10 以上作り出す こと無しに 1 つの問題を決して解決し ない」
George Bernard Shaw
拡大空気シャワーはエネルギーの高い一次粒子によって 始まり,大気中で発達するカスケードである.拡大空気シャ 拡大空気シャワーの成分 ワー(EAS:Extensive Air Shower)は電磁,ミューオン, ハドロンそしてニュートリノ成分を持つ(図 7.6 を見よ). 空気シャワーは高エネルギーハドロンから成る核シャワー を発達させ,それは相互作用や崩壊して,絶えずエネルギー ハドロン,電磁,ミューオン, を電磁や他のシャワー成分に注入する.核相互作用で生成
ニュートリノ成分
した中性パイオンが崩壊してできた光子が,対生成によっ て電子と陽電子をつくり,電子,陽電子,光子成分を供給す る.光子,電子,陽電子は対生成と制動放射過程を交互に 行って,電磁カスケードを引き起こす.ミューオンとニュー トリノ成分は荷電パイオンや荷電ケーオンの崩壊で作られ る(図 7.6 も見よ). ハドロン相互作用の非弾性度は 50 % 程度である.つま
非弾性度
178
第 7 章 二次宇宙線
り一次エネルギーの 50 %が二次粒子生成に使われる.おも にパイオンが作られ(N (π) : N (K) = 9 : 1),またパイ オンのすべての荷電状態(π + , π− , π 0 )は同数作られるの で,非弾性度の 3 分の 1 は電磁成分の形成に使われる.荷 電ハドロンやハドロン相互作用で作られたほとんどのハド ロンはまた多くの相互作用を受けるので,結局は一次エネ シャワー粒子数
ルギーの最大部分は電磁カスケードに移される.したがっ て,粒子の数でいえば電子と陽電子がシャワーのおもな成 分となる.粒子数はシャワーの深さ t とともに増える.や がて荷電粒子に対しては電離のような,また光子に対して はコンプトン散乱や光電効果のような吸収過程が支配し始 め,シャワーはしぼむ. いろいろな一次エネルギーについて,図 7.25 に電磁カス シャワーの深さ
図 7.25 電磁カスケードの縦方向の シャワーの発達(大気中の臨 界エネルギーは Ec = 84 MeV) 縦方向の粒子数変化
ケードの発達が示されている.粒子強度は最初放物線状に 増え,シャワーの最大に到達した後指数的に落ちていく.縦 方向の粒子数変化の様子はパラメータ表示されて,
N (t) ∼ tα e−βt .
(7.17)
ここで,t = x/X0 は放射長を単位としたシャワーの深さで あり,α と β は合うように選ぶ自由パラメータである.シャ ワー最大の位置は最初のエネルギーの対数でしか変化しな い.一方,シャワー粒子の総数はエネルギーに比例して増 加する.後者はそれゆえ,一次粒子のエネルギーを決める のに使われる.地球大気は,その中で拡大空気シャワーが発 達し,ハドロン成分と電磁成分がともに吸収されるカロリ メーターだと考えることができる.大気はおよそ 11 相互作 用長で,28 放射長の厚さから成っている.地上で空気シャ ワー中に生じる粒子を見ることで,一次粒子のエネルギー について,十分納得し得る測定ができる最小値は約 1014 eV
= 100 TeV である.地上での粒子数 N の一次エネルギー E0 依存性の粗い推定として N = 10−10 E0 [eV]
(7.18)
の関係を使うことができる.拡大空気シャワー中の荷電粒 子のわずか 10 %がミューオンである.ミューオン数は大気 の深さ 200 g/cm2 ですでに平らになる(図 7.9 と図 7.10 も
7.4 拡大空気シャワー
見よ).その数は地上までほとんど減らない.それは制動放
179
電子
射のような急激なエネルギー損失過程の確率が,質量が大 電離によってそのエネルギーのほんの少ししか失わない.
ミューオン
粒子数
きいため電子に比べて低いからである.ミューオンはまた,
ハドロン
高エネルギー(Eμ > 3 GeV)ミューオンの崩壊は,相対 論による寿命の延びによって強く抑えられる.
海水面
図 7.26 は一次エネルギーが 1015 eV のときの,大気中の 拡大空気シャワーのいろいろな成分の縦方向の発達を模式 的に示している.拡大空気シャワーの横方向の広がりはハド
大気の深さ
ロン相互作用で移される横運動量と,低エネルギーシャワー 粒子の多重散乱によって本質的に引き起こされる.ミュー オン成分は電子やハドロンの横分布に比べ,比較的平らで ある.図 7.27 はいろいろなシャワー成分の横拡がりの側面
図 7.26 大気中の拡大空気シャワーの 各成分の平均縦発達 シャワーの縦方向の発達の様子
を示している.ニュートリノは本質的にミューオン成分の 電子
形をたどる. ワーは地上に到達できないけれども,シャワー粒子から放
ハドロン
粒子数
一次エネルギーが 100 TeV 以下から発した拡大空気シャ 射されるチェレンコフ光が記録できる(ガンマ線天文学の
ミューオン
6.3 節を見よ).もっと高いエネルギーではいろいろな検出 方法が選択できる. 拡大空気シャワーの古くからの測定方法は,代表的には
1 m2 の大きなシンチレーターか水チェレンコフ計数管を使っ シャワー軸からの 距離
た,地上でのシャワー粒子の見本抽出である.この方法は 図 7.28 に略図が描かれている.アルゼンチンにおけるオー ジェプロジェクトでは,1600 個の抽出検出器が 3000 km2 の面積に展開され,地上における拡大空気シャワーの成分 測定に使われる.しかし,この技術を使って一次粒子のエ
図 7.27
E ≈ 1015 eV に対応する N = 105 個のシャワー成分の 平均横分布 横方向の広がり
ネルギーを決めるのは,きわめて正確であるとはいえない. オージェプロジェクト
28 放射長の厚さを持つカロリメーターとして働く大気中で, シャワーは発達する.このシャワーについての情報をただ
1 回だけ(地上で)抽出する. (地上に展開したアレイは) このカロリメーターの最後の層であり,この層が覆う面積 は通常わずか 1 % の程度である.一次粒子の到来方向はい ろいろな抽出カウンターに入るシャワー粒子の到来時間か ら得られる. 大気中のカスケードの縦方向の発達の全容を測れれば,な
エネルギー測定
180
第 7 章 二次宇宙線
一次粒子
厚さ
シャワー軸 天頂角
図 7.28 検出器により標本抽出する空 気シャワー測定
検出器
大気 空気シャワー
最初の 相互作用
等方性 シンチレーション光
フライズアイ
図 7.29 拡大空気シャワーからのシン チレーション光を測る原理
フライズアイ
おさら都合がよい.このことはフライズアイの手法ででき る(図 7.29). シャワー粒子は大気中で方向性のあるチェ レンコフ放射のほかに,等方的にシンチレーション光も放 出する. エネルギーが 1017 eV を超える粒子の場合,窒素からの 蛍光は,星の光の拡散したバックグラウンドがあっても,十
蛍光技法
分強くて,地上でも記録できる.実際の検出器は鏡と光電 子増倍管を組み合わせた装置から成り,全天を見る.その
7.4 拡大空気シャワー
181
図 7.30 ユタグループによるもともと のフライズアイ実験における 鏡と光電子増倍管の配置 {25}
ようなフライズアイ型の検出器近くの大気を通過する空気 シャワーは光電子増倍管の視野に蛍光を入れ,その管だけ を作動させる.作動した(多くの)光電子増倍管から,空 気シャワーの縦発達の再構成が可能になる.記録された光 の全強度がシャワーエネルギーを決めるのに使われる.こ のような型の検出器では粒子エネルギーをずっとより正確 に推定できるが,古くからの空気シャワーの測定手法に比 べ大きな欠点がある.それは明るい月の無い夜だけ作動で きることである.図 7.30 はユタグループによって,最初の フライズアイで取りつけられた鏡と光電子増倍管の配置を 示した.オージェ実験では,標本抽出の検出器のアレイが 大気中で発生したシンチレーター光を測るためのしかるべ き数の望遠鏡で補完されている.もしそのようなフライズ アイ型検出器が衛星軌道に据えつけたらずっと大きなアク
衛星軌道からの空気観測
セプタンスを提供できるだろう(衛星軌道からの空気観測:
Air Watch(訳注:空気観測では意味がとれないので, 「衛 星軌道からの」を補った),図 7.31)
注 1)
.
これらの検出手法のほかに,空気シャワーを電波領域の 電磁波によって観測する試みもまたされてきた.この電波 による信号は,シャワー電子が地球磁場で曲げられそれに 注 1
この種の観測として日本グループがおもになった JEM-EUSO(Extreme Universe Space Observatory onboard Japanese Module, 日本のモジュールに搭載される極限エネルギー観測装置)計画が進行中 である.その計画は宇宙航空研究開発機構(日本)(JAXA)に採用さ れている.
電波によるシャワー検出
182
第 7 章 二次宇宙線
一次陽子
鏡の焦点におかれた 光電子増倍管
図 7.31 拡大空気シャワーからの等方 的シンチレーション光を科学 衛星に搭載したフライズアイ 型検出器によって測定する (「衛星軌道からの空気観測」)
よってシンクロトロン放射を起こすことからくると一般に 思われている.実際はすべての波長の範囲でバックグラウ ンドが多すぎて,これらの試みは今までのところ,特に成功 地下のミューオンシャワー
していない
注 2)
.大きい空気シャワーを地下実験で,ミュー
オンを含む量を見て検出する可能性が最近の実験で追求さ れている. 拡大空気シャワーを測定する目的は,素粒子物理の観点 のほかに,一次宇宙線の化学組成を決め,宇宙にある加速 器の場所を探すことである. 最高エネルギー(> 1019 eV)粒子の到来方向は,強度 が少ないので,空気シャワーの測定技術によってのみ記録 できるが,事実上銀河面と相関性がない.このことは明ら かに,これらの粒子の源は銀河系外にあるのに違いないこ 陽子の地平線
とを示す.もし最高エネルギー一次宇宙線粒子が陽子であ 注 2
原著書注:シンチレーターの代わりに FM アンテナに近い装置を沢山使っ た実験がドイツのカールスルーエで進んでいる(実験名 LOPES(Low
Frequency Array Prototype Experimental Station), C.Grupen et al., Brasilian Joarn. of Phys. 36 (2006)1157.)
7.4 拡大空気シャワー
183
り, 50 Mpc より遠い所からくるなら,そのエネルギーは
1020 eV 以下でなければならない.もともとの陽子エネル ギーがはるかに大きくても,黒体放射の光子とパイオンの 光生成によって,そのエネルギーを失い,GZK カットオ フのしきい値(≈ 6 × 1019 eV)以下に落ちる.このよう な高エネルギーの陽子なら,銀河系内あるいは銀河系間の 磁場による角度の歪みが 1 度程度しかないので,点源まで 逆にたどれるだろう.しかし,そのような長い距離走ると き,磁場の不規則性は一方でニュートリノと光子,他方で 陽子の間でかなりの時間の遅れが生じるだろう.これが生 じるのは,陽子の軌道が,たとえ磁場での曲げられ方がか なり小さくとも,ある程度長くなるからである.点源から の距離によっては,この遅れは数ヶ月やあるいは数年にも なり得る.もし γ 線バーストがまた最高エネルギー粒子を
拡大空気シャワーと‚ 線バースト
加速しており,γ 線バーストからの光子と一次荷電粒子か ら始まる拡大空気シャワーとの到着時間の相関を見たいな ら,この時間の遅れは特に重要である. エネルギーが 1020 eV を超える粒子数個が,天空上均一 エネルギー> 1020 eV な分布を示さず,局所的な超銀河面に近い所にある程度か たまっているのが示された.エネルギーが > 1020 eV の陽 子の銀河間空間での減衰長はおよそ 10 Mpc なので,局所 的超クラスター(最大の大きさ 30 Mpc)がこれら粒子の もとであることはもっともらしい. 測定された一次エネルギーが 1020 eV を超える 6 個のシャ 粒子天文学? ワーのうち,2 つの事例の源の方向は測定精度の範囲内で 一致している.この方向は電波銀河(3C134)の位置を指 す.それは銀河面の方向にあり,星間内の吸収があるので, 銀河系外の天体を光学的に測定するのは無理なので,そこ までの距離は残念ながらわからない.もちろん,2 つの最 高エネルギーの粒子の到来方向が電波銀河 3C134 と一致し たのはまた偶然かもしれない. 通常の拡大空気シャワーなら,最高エネルギーでもその 横幅はせいぜい 10 km である.しかし,100 km 以上離れ た所での空気シャワーの到着時間の相関が存在するという 兆候がある.そのような同時発生は,エネルギーが(非常 に)大きい一次宇宙線粒子が地球から遠く離れた所で相互
大きく離れた所での同時発生
184
第 7 章 二次宇宙線
作用か分裂した,とすれば理解できるであろう.この相互 作用で作られた二次粒子が大気中で別々の空気シャワーを 起こすであろう(図 7.32). 原始粒子
地上で相関している 空気シャワー
銀河内での 相互作用
図 7.32 遠く離れた拡大空気シャワー 間の相関について可能な説明
わずか 1 パーセク(3 × 1016 m)の適度の距離でも地上で
100 km 程度離れた空気シャワーを作るのに十分である(一 次エネルギー 1020 eV,横運動量 ≈ 0.3 GeV/c).これら 相関のあるシャワー
シャワーの到着時間の変動は,分裂の際違ったエネルギー を持てば異なる伝播時間になることで説明できるだろう. 銀河内または銀河外磁場はまた分裂した粒子の軌道に違っ た形で影響を及ぼせるので,到着時間にまたかかわるであ ろう.
7.5 最高エネルギー宇宙線の性質と起源 「宇宙は不思議なことで一杯であり, 我々の知力がより鋭く発達するのを辛 抱強く待ってくれている」
Eden Phillpotts
7.4 節ですでに説明したように,宇宙線の最高エネルギー 粒子は銀河系外に起源を持つように見える.これら粒子の 高エネルギー一次粒子の正体?
源の問題は,これらの粒子の正体と深くかかわっている. 現在まで,一次宇宙線の化学組成はエネルギーとともに変 わるものと常にされてきた.しかし,最高エネルギーの粒 子は陽子か軽い原子核かことによると中くらいの重さの原 子核(鉄核まで)かといつも予想している.エネルギーが
1020 eV を超える粒子については,この問題は完全に未解 決である.以下ではエネルギーが > 1020 eV の宇宙線の事
7.5 最高エネルギー宇宙線の性質と起源
例を担う候補について批判的に論じる. エネルギーが 1020 eV を超えた事例は今までに一握りし E > 1020 eV の事例 か観測されていない.拡大空気シャワーから見たエネルギー の指定には,測定技術のため典型的には ±30 %の実験誤差 がある.これら高エネルギー粒子の加速された親粒子につ いて,その旋回半径(ラーモア半径)は源のサイズより小 さくなければならない,したがって,
mv 2 ≤ evB R から,その源で加速できる粒子エネルギーの最大値は
Emax ≈ pmax ≤ eBR
銀河内の閉じ込め
(7.19)
(v は粒子の速度,B は源の磁場の強さ,R は源の大きさ,
m は粒子の相対論的質量).源で加速されて得られる最大 エネルギーを,宇宙粒子物理学にふさわしい単位で表すと
Emax = 105 TeV
R B . −6 3 × 10 G 50 pc
(7.20)
我々の天の川銀河で代表的な値 B = 3 μG と旋回半径を非 常に大きくとって R = 5 kpc とすれば,
Emax = 107 TeV = 1019 eV
(7.21)
となる.この式は次のことを意味する.我々の天の川銀河 で,エネルギー 1020 eV を超える粒子を作り出したり蓄え たりするのはほとんど不可能であるから,これらの粒子は 銀河系外に起源を持つとせざるを得ない. 陽子に関して,黒体光子による Δ 共鳴状態を通した以下
陽子
のパイオン光生成による GZK カットオフは,伝播に対し て重要な影響を及ぼす.
γ + p → p + π0 .
(7.22)
この過程のしきいエネルギーは 6 × 1019 eV である(6.1 節 を見よ).このエネルギーを超える陽子はこの光生成過程 で急速にエネルギーを失う.光生成の平均自由行程は
λγp =
1 Nσ
(7.23)
で計算される.ここで,N は黒体光子の数密度,σ はしき
陽子の平均自由行程
185
186
第 7 章 二次宇宙線
い値での断面積で,σ(γp → π 0 p) ≈ 100 μb.これから
λγp ≈ 10 Mpc .
(7.24)
最高エネルギーの光子の源であることが示されてきたマ ルカリアン銀河,Mrk 421 と Mrk 501 は,高エネルギー マルカリアン銀河は宇宙線源?
陽子を生み出す候補になり得るだろう.しかし,それらは ほぼ 100 Mpc 離れた所にあるので,1020 eV を超えた陽子 が,この距離から到来できる確率は,わずか
≈ e−x/λ ≈ 4 × 10−5 .
(7.25)
したがって,高エネルギー空気シャワー現象を引き起こせる 陽子は,比較的近くの源からくる場合だけに限られる(す なわち,距離が数平均自由行程になる所に GZK 球を定義 すれば,その球内は < 30 Mpc である).おとめ座銀河団 M87 は素粒子加速器? の心臓部にある巨大な楕円形銀河
M87(距離 ≈ 20 Mpc)
は天空における一番顕著な対象物の 1 つである.それは高 エネルギー宇宙線の源として優れた候補になるすべての条 件に合っている. しかし,一次粒子が原子核であれば,GZK カットオフ効 果をもっと高いエネルギーにずらすことが可能である.し きいエネルギーは核子当たりであるから原子核のとき,た GZK 球
とえば炭素核(Z = 6,A = 12)ならば,対応するしきい エネルギーは p E = Ecutoff A = 7.2 × 1020 eV
重い原子核
(7.26)
と高くなる.したがって,観測された事例は GZK カット オフと矛盾しない.しかし,原子核が光子との相互作用に
光分解
より分解したりせず,あるいは分裂したり破砕したりの過 程無しで,どのようにそのような高エネルギーまで加速さ れるかは理解し難い.
GZK カットオフを超えた事例を説明するためのまった く別のやや思い切った仮定として,ローレンツ不変性を破 ればよいというのがある.もしローレンツ変換が慣性系の 相対速度の差によるだけでなく絶対速度にもよるとすると, 黒体光子と高エネルギー陽子との相互作用による γp 衝突 についてのしきいエネルギーは忘れられ,光子と陽子が同
7.5 最高エネルギー宇宙線の性質と起源
程度のエネルギーを持ったときの γp 衝突の場合と異なって くる.したがって GZK カットオフから逃れられる. 観測された超高エネルギーカスケードを起こす可能な候
光子
補として,光子があるが,この場合さらに多くの問題があ る.黒体光子との電子と陽電子の対生成過程によって(6.3.3 節を見よ),光子は比較的短い平均自由行程
λγγ ≈ 10 kpc
光子の平均自由行程
(7.27)
を持つ.これら高エネルギーシャワーを説明するためには,γ 線源は相当近い所にいなければならない.これは源が銀河系 内になければならないことを意味するだろうが,かなりあり そうもないと思える.それは光子の親粒子が必要な最高エネ ルギーまで我々の天の川銀河内で,加速される可能性はわず かであるからである.さらに,高エネルギー光子は,地球磁
光子が起源?
場との相互作用のため地上から高高度(≈ 3000 km)で空気 シャワーを引き起こす.したがって,理論計算によれば,その シャワーが最大になるのは(地上から見て)≈ 1075 g/cm2 となる(訳注:地下になる).フライズアイ実験で見つかっ た事例は (815 ± 40) g/cm2 でシャワーが最大であった.こ れはハドロンで引き起こされたカスケードの典型的な値で ある.したがって,光子は最高エネルギーの事例を起こす 候補としては確実に排除される. 最近,そのような高エネルギー事例を起こす候補として, ニュートリノ ニュートリノが議論されている.しかし,ニュートリノも このような事例を説明するためには,困難な問題にぶつか る.ニュートリノ–空気と陽子–空気相互作用の断面積の比 は,1020 eV で,
σ(ν–air) ≈ 10−6 σ(p–air) E≈1020 eV
(7.28)
である.エネルギー > 1020 eV の事例を説明するには,非常 注 3)
に莫大なニュートリノフラックスが必要になる.HERA
で陽子の構造関数の測定が行われ,小さい x(x = Eパートン /
E陽子 )の所で構造関数の値が大きくなることが示され問題 注 3
HERA—Hadron Elektron Ring Anlage(ハドロン電子リング施設), ハンブルクのドイツ電子シンクロトロン(DESY)にある.
187
188
第 7 章 二次宇宙線
になった.陽子中にグルーオンが数多く存在することを示 ニュートリノの断面積は
すこの結果を見てさえも,空気核とニュートリノ相互作用
大きくなるか?
の断面積は 0.3 μb を超えることはできないだろう.このこ とから,銀河系外ニュートリノが大気中で相互作用を起こ すことは,非常に稀である.(3.56) を参照して
φ
NA d A 23 6 × 10 g−1 × 1000 g/cm2 ≤ 0.3 μb 14 ≈ 1.3 × 10−5 = σ(ν–air)
(7.29)
(NA はアボガドロ数,d は大気のコラム密度). しかるべき相互作用の比率を得るには,入射方向が斜め の場合か地球内での相互作用だけが考えられる.そのこと ニュートリノバーテックス分布
から期待されるニュートリノ相互作用による最初のバーテッ クスの分布は観測とはまったく異なる.それゆえ,最高エネ ルギー宇宙線空気シャワーを引き起こす候補として,ニュー トリノもまた排除されるのはきわめてもっともらしい.
WIMPs
物質の大きな割合は暗黒物質の形で占められることが論 証されてきた.宇宙線中の高エネルギー粒子についての疑 問に答える 1 つの方法は,弱相互作用しかない重い粒子 (WIMPs)を > 1020 eV のエネルギーを持つ観測された シャワーの親とすることである.これら粒子のすべては, 弱いあるいはさらに超弱相互作用だけを持つので,それら の相互作用の比率はニュートリノ相互作用の大きさと同程 度でしかないことを考慮する必要がある. エネルギーが 1020 eV を超える事例は,したがって素粒子 物理学にとって進退きわまる問題である.陽子が好ましい親 候補であると思いたい.それらは比較的近い(< 30 Mpc) 距離から来なければならない.そうでなければ,陽子は光 生成過程によってエネルギーを失い,6 × 1019 eV 以下に なってしまう.しかし,この距離の範囲内に非常に多くの銀 河(たとえば M87)が存在するのも事実である.観測され た事例がはっきりと近くの源まで逆にたどれないのは,銀
銀河系外磁場
河系外磁場があまりにも強くて,仮に陽子が比較的近い道 のりから来ようとも,到来方向の情報が失われてしまうと して説明できる.実際この磁場はナノガウス領域ではなく
7.5 最高エネルギー宇宙線の性質と起源
189
マイクロガウスより大きいのではないかを示す兆候がある
[6]. しかし,少なくも HiRes 実験データで見られるように, 最近の測定は GZK カットオフを示しているように見える (図 6.5 を見よ).一方この結果は大きな AGASA 空気シャ ワーアレイの結果と矛盾する(95,95 ページのコメントと
96 ページの脚注も見よ). 現在,超新星爆発の際の衝撃波の機構によって粒子は 1015
加速機構
eV のエネルギーまでしか加速できないと思われている.こ のエネルギーから一次スペクトルは急になる(「一次スペ クトルのニィー」).すでに示したように,我々の天の川銀 河は小さすぎて,粒子を 1020 eV を超えるエネルギーまで 加速したり蓄えたりできない.さらに,高エネルギー粒子 の到来方向は銀河面との相関を実際上示していない.した がって,それら粒子は銀河系外に起源を持つと考えざるを 得ない. 活動銀河核(AGN)が最高エネルギー宇宙線の可能な源 活動銀河核 として,しばしば取り上げられている.銀河のこのグルー
ブレーザー
プの中で,ブレーザーが際立った役割を演じている.ブレー ザーはとかげ座 BL 型天体やクェーサーの階級に属してい る源の省略語である.とかげ座 BL 型天体はクェーサーと とかげ座 BL 型天体,クェーサー 同じく天の川銀河と似た源で,中心核は光が強く銀河全体 を星のように見せる.クェーサーは発光スペクトルと吸収 スペクトルを持つが,とかげ座 BL 型天体はそのようなス ペクトル構造はまったく持っていない.このことは,クェー サーの銀河核は厚いガスに取り囲まれているが,とかげ座
BL 型天体は低ガス密度の楕円型銀河の中にある,として 説明される. ブレーザーの特有な様相は,早い時間変動を起こすこと である.わずか数日の規模でかなりの明るさが変わるのが 観測されてきた.したがって,この天体は非常にコンパク トに違いない.というのは,源の直径は光が変化する時間 走る距離より大きくなるのはほとんどあり得ないからであ る.ブレーザーはその中心にあるブラックホールによって エネルギーを得ていると一般に思われている.物質がブラッ クホールに落ち込み,巨大なエネルギーを解放する.核分
190
第 7 章 二次宇宙線 エネルギーの変換効率
裂では質量のわずか 1 ‰,核融合ではわずか 0.7 %がエネ ルギーに変換される.一方,質量 m の物体がブラックホー ルに飲み込まれたとすると,静止エネルギー mc2 のすべて がほとんど解放される.
CGRO(コンプトンガンマ線観測所)衛星により見つけ られた多くの高エネルギー γ 線源はブレーザーと関係が あるようだ.このことから,これらブレーザーは最高エネ ルギー粒子の加速にも関与していると推測される.ブレー ブレーザーによる粒子ジェット
ザーによって生成された粒子ジェットは 10 ガウスより大き い磁場を示し,10−2 pc あるいはそれ以上に広がっている. したがって,(7.20) より,粒子は 1020 eV を超えるエネル ギーまで加速されるであろう.もし陽子がこのような源で 加速されるならば,陽子はこれらの銀河から容易に抜け出 せるであろう.それは確かに同様に加速されるに違いない 電子に比べて相互作用の強さが小さいからである.もしこ れらの議論が正しいとすれば,ブレーザーはまた高エネル ギーニュートリノの豊富な源になるだろう.この予測は水 (または氷)のチェレンコフ計数管から成る大きな装置で試 すことができる.
超銀河が源?
すでに述べたように,陽子の場合,地球にたどり着くた めには,その源はあまり遠くではいけない.源の最良の候補 は,したがって超銀河面にあるだろう.局部超銀河団(local
おとめ座銀河団
supergalaxy)は,中心がおとめ座銀河団の方向にあり, 「天 の川」を含む銀河団の一種である.我々の天の川銀河も一 員である局所銀河群(local group of galaxies)はこの局 所超銀河団の中心から約 20 Mpc 離れている.この超銀河 の中心の周りわずか約 20 Mpc に銀河がばらまかれている. (訳注:おとめ座銀河団を中心に持つ局部超銀河団の一角に 局部銀河群があり,その中に我々の天の川銀河がある. ) 最高エネルギー宇宙線の起源が未だに分かっていないが, これら高エネルギーの事例の源は実際に超銀河面にあるだ ろうという二三のヒントがある.そのような相関が本当に あるのかを詳しく確かめるには,もちろん多くの事例がさ らに必要である.アルゼンチンに建設中のオージェ実験が 高エネルギー宇宙線の起源についての疑問に答えを出すで あろう.
7.6 問題
最後に,超高エネルギー宇宙線は陽子や原子核が加速さ れた結果ではなく,原始時代からあった不安定な物体が崩壊 してできたものという考えが進められてきた.可能な源とし て議論されている候補としては,以下のようなものがある. 銀河ハローに散らばっているであろう超重 GUT(大統一理 論)粒子が崩壊したもの.宇宙の初期に生成されたドメイ ンウォールのような位相欠陥,宇宙紐(cosmic string)で 結合されたモノポール(磁気単極子:magmetic monopole) の「ネックレス」のようなもの,超伝導の電流が循環して いる閉じた宇宙紐(訳注:宇宙紐もモノポールも位相欠陥 の産物であると考えられている),あるいはクライプトン (crypton)—宇宙インフレーションの間に生まれ残された 準安定の重粒子などである.
7.6 問題 1. 地表面での圧力は 1013 hPa である.この圧力を kg/cm2 単位のコラム密度に換算せよ!
2. 大気中の気圧は(等温を仮定して)高さ h とともに, p = p0 e−h/7.99 km で変わる.高さ 20 km の気圧はいくらか? これに対 応するコラム密度はいくらか?
3. 天頂角があまり大きくないとき,地上における宇宙線 ミューオンの角分布は I(θ) = I(0) cos2 θ とパラメー タ表示できる.cos2 θ の依存性を導け!
4. 図 7.22 は地下で止まるミューオンの比率を示している. 浅い深さで,深さの関数としてどれだけの比率の大気 ミューオン(1 で表される曲線)がその深さで止まる かを算定せよ!
5. 図 7.23 は ALEPH 実験で得られたミューオンシャワー を示している.このシャワー内のミューオンエネルギー の代表的な値は 100 GeV である.そのようなミューオ ンの岩石中(訳注:地下の取り扱いは通常岩石とする) での散乱角の r.m.s.(訳注:root-mean-square,2 乗 平均の平方根)はいくらか(地下 320 m 水相当とする.
風変わりな候補
191
192
第 7 章 二次宇宙線 2
岩石中の放射長 X0 = 25 g/cm = 10 cm である)?
6. 典型的に 100 GeV ミューオンから成る狭いミューオン 束は,一次宇宙線による大気中での相互作用に起源が ある.地下 320 m 水相当での宇宙線ミューオン束中の ミューオンの典型的な横広がりを推定せよ.
7. 地球磁場の双極子の性質によって,地磁気によるカッ トオフは磁気緯度によって変わる.宇宙線が地磁気を すり抜け地上に到達できる最小エネルギーは
Emin =
ZeM cos4 λ 4R2
と計算できる.ここで,Z は入射粒子の荷電数(訳注: 原子番号),M は地球の磁気双極子モーメント,R は 地球の半径,λ は磁気緯度(赤道で 0◦ )である.陽子 であれば,Emin = 15 GeV cos4 λ となる.地球の磁場 は,我々の惑星の歴史の中で,数回反転している.双 極子がその極性を変えるとき,磁場はいったん 0 にな る.この時期,磁気による遮蔽が壊れ,より多くの宇 宙線粒子が地球表面に到達できて,我々の惑星上に発 育している生命体に高い水準の放射能を浴びせること になる.このことが生物進化の上でプラスに働くのか マイナスなのかは多くの議論を必要とする問題である. 場が 0 の間,放射線がどれだけ増えるかを以下の筋道 で推定できよう.
• 一次宇宙線の微分エネルギースペクトルはベキ法 則 N (E) ∼ E −γ (ここで γ = 2.7)で表せる.
• 地磁気によるカットオフとは別に,荷電粒子は大 気中でのエネルギー損失による大気カットオフが ある.大気中で ≈ 2 GeV である. 上の制限を用いて,場が 0 のとき放射線の増加量を算 定せよ!
8. 最高エネルギー宇宙線の候補としての中性子は,今ま で議論してこなかった.中性子について問題になるの は何か?
第8章
宇宙論
「数学法則が真実を映し出しているか ぎり,それは確かでない.数学法則が確 かであるかぎり,それは真実を映し出し ていない」
Albert Einstein
以下の章では素粒子物理学で我々が知り得たことを,きわ めて初期の宇宙に対し適用し,宇宙論の熱いビッグバン模
熱いビッグバン
型の文脈で探求していこう.基礎となる描像は,宇宙は約
140 億年前にきわめて熱いそして密度がきわめて濃い段階 から出現した,ということである.意味のある推測を我々 ができる最も早い時刻は,ビッグバン後約 10−43 秒(プラ ンク時間)である.それより以前に行くには,重力の量子
量子重力
理論が必要であるが,これはまだ手にしていない. 初期は粒子の密度や典型的なエネルギーはきわめて大き く,どんな種類の粒子でも絶えず創られたり壊されたりし ているだろう.最初の 10−38 秒くらいでは,すべての粒子 の相互作用はたった 1 つの結合の強さを持った理論で「統 一」されているように見える.この後,粒子の典型的なエ ネルギーがおよそ 1016 GeV 以下になると,強い相互作用 と電弱相互作用とが区別されるようになる.ビッグバン後 おそらく 10−38 から 10−36 秒の間で宇宙はインフレーショ インフレーション ンの時期を経験したであろう.それは原始プラズマの任意 の 2 つの要素間の距離がおそらくファクター e100 倍増える きわめて急激な膨張である.宇宙の温度が 100 GeV 以下 に下がったとき,電弱相互作用の統一が破れて電磁相互作 用と弱い相互作用に分かれた. ビッグバン以後ほぼ 1 マイクロ秒まで,クォークとグルー オンは本質的には自由粒子として存在できた.この時期以 後エネルギーはほぼ 1 GeV 以下になり,パートンは束縛さ れ,ハドロンつまり陽子,中性子やそれらの反粒子になっ
194
第 8 章 宇宙論 物質と反物質の消滅
た.この時点で,宇宙が等しい量の物質と反物質を含んで いたとすると,それらのほとんどすべては消滅して光子や ニュートリノとその他わずかなものになったであろう.何ら かの理由で,自然はどうも一方(物質)を他方(反物質)よ
消滅段階
りごくわずか多く持っていて,消滅の段階が過ぎても,宇宙 が現在あるようにいくらかの物質が残されていたのであろ う.最初の数秒間で陽電子は事実上すべて電子と消滅した. ビッグバンの後およそ 3 分で,陽子と中性子が融合して 重陽子が作られる温度まで下がる.次の数分間で重陽子は 結合して,宇宙の核物質の全質量中 4 分の 1 を占めるヘリ ウム,それに重水素,リチウム,ベリリウムのような二三の
ビッグバン元素合成
軽い元素とになる.ビッグバン元素合成(BBN:Big Bang
Nucleosynthesis)モデルはこれら軽い原子核の相対的存在 比を正しく予言でき,これが熱いビッグバン模型を支える 礎の 1 つになっている. 宇宙は次の数十万年膨張を続け,電子と陽子が結びつい て中性の原子を作ることができる温度まで最終的に下がっ た.この後宇宙は光子に対し本質的に透明になる.そのと きあった光子は,以後妨げられないで漂う.それらの光子 宇宙マイクロ波背景放射
は今日宇宙マイクロ波背景放射として検出できる.放射温 度の方向による依存性はきわめてわずかで,105 分の 1 程度 と観測されている.このことは宇宙が非常に早い時期から の,多分ビッグバンの後わずか 10−36 秒のインフレーショ ン時代からの,小さい密度変動に関係しているのだろうと 考えられる. 宇宙マイクロ波背景放射(CMB:cosmic microwave back-
ground radiation)の研究は宇宙の全密度の決定にもつな 臨界密度
がる.そしてその値はいわゆる臨界密度に非常に近い値で あることがわかる.密度がこの臨界密度より大きいと宇宙
「ビッグクランチ」
は「ビッグクランチ(Big Crunch,収縮消滅)」として再 びつぶれてしまう.しかし,同じ CMB データとまた多く の遠方の超新星観測は,この臨界密度の約 70 % はいわゆ る物質とよんでいるものではなく,むしろ何もない空間に
真空のエネルギー密度
伴ったエネルギー密度のたぐいであることを示している. 残りの 30 % は重力を持つ物質と考えられるが,どんな 種類の物質であろうか? ビッグバン核種合成の間接的な
8.1 ハッブル膨張
結果の 1 つに,宇宙にある物質のごくわずかの部分だけが 知られた粒子からできているように見える,というのがあ る.残りは暗黒物質であり,多分超対称性とよばれる理論
暗黒物質
から予測されるニュートラリーノから成っているのかもし
ニュートラリーノ
れない. 原始宇宙を研究する上での枠組みは「標準宇宙模型」あ 標準宇宙模型 るいは「熱いビッグバン」に基づいている.その基本の構成 要素はアインシュタインの一般相対性理論と,宇宙は十分 遠方まで見渡したとき,等方的であり均一であるとの仮定 である.この模型の文脈の中で,素粒子物理の法則を,原 始時代の宇宙の進展を追いかけようとする試みに適用する. この章では,必要な宇宙論の重要な様相を調べる.
8.1 ハッブル膨張 「天文学の歴史は後方に下がる地平線 の歴史である」
Edwin Powell Hubble
標準宇宙模型へとつながる最初の重要な観測は,最も近 い銀河以外のすべては,その距離に比例した速さで我々(す なわち,天の川銀河)から後退しつつあるというハッブル の発見である.この速さはスペクトル線のドップラーシフ トから決められる.ある銀河が我々から(すなわち天の川 銀河から)速さ v = βc で後退しつつ,波長 λem の光子を 放射するとしよう.その光子を観測すると,その波長はず れて λobs になる.これを定量的に扱うために,赤方偏移 z を
z=
λobs − λem λem
(8.1)
と定義する.相対論から赤方偏移と速さの関係
z=
1+β −1 1−β
(8.2)
を得る.β 1 のとき,
z≈β と近似できる.
(8.3)
赤方偏移
195
196
第 8 章 宇宙論
銀河までの距離を測るためには,正しく調整された明る 「標準光源」
さを持つ光源(「標準光源:standard candle」)がその中 に必要である.光源からの光のフラックスは距離 r の 2 乗 の逆数で下がるので,光源の絶対光度 L がわかり,光源か ら等方的に放射されているならば,測定される光のフラッ
光度距離
クスは F = L/4πr 2 である.したがって,光度距離は
r=
L 4πF
(8.4)
から決められる.ハッブルが用いたセファイド変光星のよ Ia 型超新星
うないろいろな標準光源が利用できる.Ia 型超新星
注 1)
か
ら決めた距離に対する速さの関係を図 8.1 に示す [7]. 図に書かれた距離の範囲まで,データは明らかに直線関係
v = H0 r
(8.5)
とよく一致している.これがハッブルの法則である.パラ ハッブル定数
メータ H0 はハッブル定数である.図 8.1 のデータから H0 は 64 (km/s)/Mpc である.ここで,添え字 0 は現在のパ ラメータの値を示すためにつけられている.しかし,速さ と距離の関係は時間について一定でない. ハッブル定数の決定は,現在はここ十年前より小さくなっ ているが,いろいろな観測は矛盾する結果を出している.
2004 年までのデータのまとめでは H0 = 71 ± 5 (km/s)/Mpc 注 1
(8.6)
Ia 型超新星のスペクトルには水素線がほとんどない.惑星に似た星雲 が無いのでこれら超新星の起源を再現することが可能である.Ia 型超 新星のもとは白色矮星と赤色巨星の伴星から成る連星系だと広く信じ られている.両者は重力で結ばれている.白色矮星では電子の縮退圧が 内向きの重力圧と釣り合っている.白色矮星の強い重力ポテンシャルは 赤色巨星の弱い重力に勝る.赤色巨星の周辺部で,白色矮星による重力 が赤色巨星の重力より強くなって,その周辺部から物質が白色矮星に 向かって降着する.白色矮星について,質量と体積の積は一定なので, 降着の間その大きさが減ってくる.白色矮星がチャンドラセカール限界
(1.44 M )に達すると,電子の縮退圧はもはや重力圧に耐えられなく なる.そして自身の重さで崩壊する.この間に温度が上がり,水素は融 合してヘリウムやさらに重い元素になる.このエネルギーの突然の爆発 は熱核反応を起こし,星を破壊する. チャンドラセカール限界は普遍的な量なので,すべての Ia 型超新星は 同じ仕方で爆発する.したがって,この超新星は標準光源と見なすこと ができる.
8.2 等方的で一様な宇宙
197
40000
速度 (km/sec)
30000
20000
10000 0 0
100
200
300
400
500
600
70 0
距離 (Mpc)
図 8.1 Ia 型超新星の速度対距離の実 例([7] より)
であり,加えて系統誤差が 5 から 10%つく [2].さらに,通 hパラメータ
常パラメータ h を次のように定義する.
H0 = h × 100 (km/s)/Mpc .
(8.7)
(訳注:h は 1 に近い無次元量で議論しやすい. )H0 に依存 する物理量は,同様に h で書けることになる.h の数値を求 めるには,そのとき利用できるデータから最も正確な推定 (訳注:h = 0.73 ± 0.03, を行う(h = 0.71+0.04 −0.03 ,2004 年.
2008 年)).この本の目的に照らして,h ≈ 0.7 ± 0.1 とし よう.
8.2 等方的で一様な宇宙 「宇宙の中心はどこにでもあり,そして その周辺はどこにもない」
Giordano Bruno
等方的で一様な宇宙の仮定は宇宙原理とよばれることも
宇宙原理
あり,一般相対論の数学を簡単にするので,最初にアイン シュタインが導入し,そして後の人も使った.現在ではこ の仮定に都合のよい十分な観測上の証拠がある.たとえば, 宇宙マイクロ波背景放射はほぼ 105 分の 1 の水準で等方的 であると見出されている(訳注:非等方性があるとしても, それは 105 分の 1 程度である). 今日では,等方性と一様性は,たとえばほぼ 100 メガ
等方性と一様性
198
第 8 章 宇宙論
図 8.2 我々の銀河から r(t) と R(t) 離れている 2 つの銀河
任意の銀河 (たとえば天の川銀河)
パーセクの十分遠い所まで,成り立っていると考えられて いる.より近い距離では銀河は群れを成し,銀河団や超空 洞(void)を形成していることがわかっている.典型的な 銀河間距離は 1 Mpc 程度であり,つまり 1 辺 100 Mpc の 立方体には百万個の銀河が入る.したがって,体積が十分 大きくたくさんの銀河を含むなら,等方性と一様性を持つ 気体中の「分子」のように銀河を考えることができる. もしこのように宇宙が等方的で一様であるならば,唯一 可能な運動は,全体として膨張するか収縮するかである.た とえば,ランダムに選んだ 2 つの銀河が図 8.2 に示したよ うに我々の銀河から r(t) と R(t) の距離にあるとしよう. 距離の尺度
等方的で一様な膨張(あるいは収縮)とは比
χ = r(t)/R(t)
(8.8)
が時間によらず一定であることを意味する.r(t) = χR(t) より,
R˙ r˙ = χR˙ = r ≡ H(t)r . R
(8.9)
ここで,ドットは時間微分を示す.比
˙ H(t) = R/R ハッブルパラメータ
(8.10)
はハッブルパラメータとよばれる.それは任意の 2 つの銀 河間距離の単位時間当たりの変化の比率である.H はしば
膨張率
しば宇宙の膨張率ともよばれる.
(8.9) 式はまさにハッブルの法則であり,現在の H(t) を とれば,それはハッブル定数 H0 と同一である.このよう
8.3 ニュートンの重力からフリードマン方程式
199
にして,等方的で一様な膨張の仮説によって,なぜ我々か ら遠ざかる銀河の速さが,その距離に比例するかが説明さ れる.
8.3 ニュートンの重力からフリードマン方程式 「どの理論も神がかりではない」
Edwin Powell Hubble
等方的で一様に膨張する過程は,任意に選び出した 2 つ フリードマン方程式 の銀河間距離の時間依存性を与えると完全に決まる.この 距離を R(t) と書き,スケール因子 とよぶ.R の実際の数
スケール因子
値は重要ではない.たとえば,特定の時間(例として,現 在)R = 1 と定めることができる.宇宙が全体としてどの ように進化していくかの情報を与えるのは R の時間依存性 である. 厳密な取り扱いは,等方で一様な物質分布を仮定し一般 相対論の法則を適用して,R(t) を決めることである.この 特別な問題について,幸運の一致で重力のニュートン理論 から同じ答え,すなわちスケール因子 R についてのフリー ドマン方程式が導かれる.このアプローチをこれから簡単 に見ていく. 図 8.3 に示すように,一様と見なされるくらい十分に大 きい半径 R の球体の宇宙を考えよう.現在の宇宙であれば, 宇宙論的モデル
R は少なくとも 100 Mpc をとることを意味する.宇宙が電
図 8.3 多くの銀河を含む半径 R の 球.その端に質量 m のテス ト銀河がある
200
第 8 章 宇宙論
気的に中性ならば,このような距離にわたって顕著な力は 重力しかない.テスト質量として,質量 m の銀河がこの球 の端にあるとしよう.この銀河は内部にある他のすべての 銀河から重力による引力を受ける.重力の逆二乗の法則か ら,この力は球内のすべての質量を球の中心に集めて得ら れる力と等しい.
1/r2 力の取り上げるべきもう 1 つの結果は,球外の銀河 は関係しないということである.テスト銀河に働く球外の ニュートンの重力
銀河の全重力はゼロである.ニュートンの重力で,球の内外 に等方的に質量が分布している場合,これらの性質は 1/r2 力についてのガウスの法則から導かれる.一般相対論でも
バーコフの定理
対応する法則が成り立ち,バーコフ(Birkhoff)の定理と して知られている. もし銀河質量が平均密度 で空間に分布しているならば, 球内の質量は
M=
4 3 πR 3
(8.11)
である.テスト銀河の重力ポテンシャルエネルギー V は, したがって
V =−
4π GmM = − GmR2 . R 3
(8.12)
テスト銀河の運動エネルギー T とポテンシャルエネルギー
V の和である全エネルギー E は 1 4π 1 GmR2 = mR2 E = mR˙ 2 − 2 3 2
8π R˙ 2 G − R2 3
(8.13) 曲率パラメータ
となる.さて曲率パラメータ k を
−2E = R2 k= m
R˙ 2 8π G − 2 3 R
(8.14)
で定義する.もし光速 c の因子を持ち込むなら,k は
−2E/mc2 と定義される.いずれの場合でも k は無次元 量である.(8.14) 式は
k 8π R˙ 2 G + 2 = R2 R 3 フリードマン方程式
(8.15)
と書き換えられ,これはフリードマン方程式とよばれてい
8.4 一般相対論からフリードマン方程式
201
る.この方程式のそれぞれの項は
T − E = −V
(8.16)
を表していると見なせる.つまり,フリードマン方程式はテ スト銀河に当てはめた単なるエネルギー保存則である.こ
エネルギー保存則
の球やテスト銀河は宇宙のどこにあってもよいから,R に ついての方程式は銀河のどのような一対についても,互い に十分遠く離れていて間に入る物質が一様に分布している と見なせるなら,適用される. フリードマン方程式は初期の銀河形成以前の宇宙に対し
初期宇宙
ても適用される.電離プラズマに対してさえも,宇宙が全 体として電気的に中性で十分に長い距離にわたって平均を とるかぎり,フリードマン方程式は成り立つ.その場合,ス ケール因子 R は,十分離れていて打ち消し合わない唯一 の力が重力であるような任意の 2 つの物質要素間の距離を 表す.
8.4 一般相対論からフリードマン方程式 注 2) 「相対論は数学の一部分であるので,相 対論を数学無しで説明しようというよ くある話はほとんど確実に失敗する」
Eric Rogers
上で述べたように,フリードマン方程式は一般相対論か らも得られる.この導き方は多くの数学がいるけれども,こ の手際のよい方法を以下で概略を描いてみよう.もっと詳 しい記述は文献 [8, 9] にある. 一般相対論ではスケール因子 R(t) は,計量(メトリック) 計量テンソル テンソル gμν に因子として入る.このテンソルは座標 xμ の変化で書かれた時空間隔 ds2 と以下のように関係する.
ds2 = gμν dxμ dxν .
(8.17)
ここで,μ, ν = 0, 1, 2, 3 であり,繰り返された添え字につ いて和をとるものとする.等方で一様な宇宙について,計 量テンソルの最も一般的な形式はロバートソン–ウォーカー 注 2
この節は数学を多く用いる.テンソルに馴染みの無い読者はとばしても よい.
ロバートソン–ウォーカー計量
202
第 8 章 宇宙論
(Robertson–Walker)計量で与えられ,
ds2 = dt2 − R2 (t)
! 2 dr2 2 2 2 dθ . + r + sin θ dφ 1 − kr2 (8.18)
ここで,k は曲率パラメータ,R はスケール因子である.計 量テンソルは以下のアインシュタインの場の方程式の解と して得られる.
1 Rμν − Rgμν = 8πGTμν + Λgμν . 2
(8.19)
ここで,Rμν はリッチ(Ricci)のテンソル,R はリッチの スカラー(スケール因子 R と混同しないように)であり, 宇宙定数 エネルギー–運動量テンソル
両者とも gμν の特定の関数である.右辺の Λ は宇宙定数,
Tμν はエネルギー–運動量テンソルである. 等方で一様な宇宙では,Tμν は
Tμν = diag(, −P, −P, −P )
(8.20)
の形になる.ここで, はエネルギー密度,P は圧力で,
‘diag’ は (8.20) で与えられた対角要素を持ち,それ以外の 他の要素はすべてゼロの正方行列を意味する. ロバートソン–ウォーカー計量と (8.20) の Tμν を代入し た場の方程式からスケール因子 R に関する微分方程式が得 られる:
Λ k 8π R˙ 2 G + . + 2 = R2 R 3 3
(8.21)
これは本質的にニュートンの重力から得られたフリードマ ン方程式であるが,3 つの違いがある.第 1 に,ここの はエネルギー密度を表し,単なる質量の密度ではない.た とえば光子でも,エネルギーの形ですべてを含む. 第 2 に,曲率パラメータ k は実際にこの名前のとおり空 間の曲率を示す.ニュートン力学では k は単なる全エネル ギーの尺度に過ぎない. 第 3 に,方程式に宇宙定数 Λ からの項がつけ加わってい 真空のエネルギー密度
る.それは真空のエネルギー密度 v を
v =
Λ 8πG
(8.22)
8.4 一般相対論からフリードマン方程式
203
と定義し,完全なエネルギー密度に v を含むと見なすこと で, に取り込むことができる.それが真空のエネルギー とよばれるのは,仮想粒子が真空から出たり真空に入った り「変動する」ことから,そのような項が量子力学から出 ると予想されているからである.この現象は素粒子の標準 模型のような量子場の理論で現れる.カシミア(Casimir) 効果 におけるようなある状況の下で,実験的にも観測でき る.これは,真空からの仮想粒子が図 8.4 に示すようなご カシミア効果 くわずか離れた金属板間に引力をもたらすというものであ る
注 3)
.それでも,場の量子論から Λ の大きさの単純な推
定値は,120 桁を超えるようなあまりにも大きい値である! スケール因子に関する一般化された微分方程式を得るよ り古典的な方法は,(8.15) から出発して,密度 を古典的 な密度と (8.22) で定義した真空のエネルギー密度 v の和 と解釈することである. 明らかに,宇宙定数について理解されていない多くのこ
図 8.4 カシミア効果の図解:ある波 長だけが板の間の空間にうま くはまる.板の外部では可能 な振動数の制限はない
とがある.そしてアインシュタインはそれを提案したこと を悔やんだという有名な話がある.しかし,物理法則のよ り現代的見方からは,1 つの方程式から 1 つの項を無くす と幾つかの対称性原理を破ってしまうことになると思われ ている.宇宙定数は一般相対論が基礎におく対称性と矛盾 はない.そして最近数年,遠く離れた超新星の赤方偏移か らの明らかな証拠として,宇宙定数は本当にゼロではなく, そして宇宙の全エネルギー密度に対し真空のエネルギーは 注 3
量子力学の枠組みでは,調和振動子のゼロ点エネルギーがゼロにならな いことが通常証明されている.また,場の量子論では真空は空ではない. ハイゼンベルクの不確定性関係は,真空は無限に多くの仮想粒子–反粒 子対を含むことを暗に示している.そのような量子のゆらぎが存在する 証拠はカシミア効果として具体的に示された.2 枚の平行な金属板をき わめてわずか離して真空中におく.その距離はあまりにも小さいため,
2 枚の板の間にある空間にどんな波長でも存在することはできない(特 定の波長のみ存在を許される).これは 2 枚の板の周りの真空とはまっ たく対照的である.板間の量子の選択が制限されることで,板間に小さ な引力が生ずる.この周りの真空からの圧力は実験で確かめられた.こ の力は次のように考えることができる.金属板間の空間には場の量子数 が減っているので,周りの真空中の場の量子の無制限の数に抵抗しきれ なかった.
対称性原理
204
第 8 章 宇宙論
大きな寄与を持つことを提示している.第 12 章と第 13 章 で,この辺の話をもっと詳しく検討しよう.
8.5 流体方程式 「宇宙は金庫のようなもので,それに 対して組合わせがある— しかし,組合 わせは金庫の中に閉じ込められている」
Peter de Vries
エネルギー密度 が時間とともにどう変わるかわからな いので,まだフリードマン方程式は解くことができない.そ の代わり,以下のように, やその時間微分 ˙ と圧力 P と 流体方程式
の関係が得られる.流体方程式 とよばれるこの関係はエネ ルギー U ,温度 T ,エントロピー S ,体積 V を持つ体系に 熱力学第 1 法則を当てはめて導かれる:
dU = T dS − P dV .
(8.23)
さて,熱力学第 1 法則を体積 R3 の膨張する宇宙に適用し よう. (訳注:球の体積として (4π/3) · R3 としても,以下 の U にも (4π/3) がかかるので,(8.28) はそのまま成り立 つ. )対称性から,この体積の境界を通して正味の熱の流れ 断熱膨張
はないので,dQ = T dS = 0 で,つまり断熱膨張である.
(8.23) を時間間隔 dt で割って, dV dU +P =0. dt dt 全エネルギー U は U = R3 .
(8.24)
(8.25)
したがって,微分 dU/dt は
∂U ˙ ∂U dU = R+ ˙ = 3R2 R˙ + R3 ˙ dt ∂R ∂
(8.26)
となる.(8.24) の第 2 項として
d dV (8.27) = R3 = 3R2 R˙ dt dt を得る.(8.26) と (8.27) を (8.24) に代入して整理すると, ˙ +
3R˙ ( + P ) = 0 R
(8.28)
8.6 加速方程式
の流体方程式が求まる.あいにく,この式では問題を解く のにまだ十分ではない.それは と P に関する状態方程 状態方程式 式が必要だからである.これは 9.2 節で示されるように統 計力学の法則から得られる.これらの式によって,フリー ドマン方程式を使って R(t) が出せる.
8.6 加速方程式 「観測は常に理論を巻き込む」
Edwin Powell Hubble
フリードマン方程式と流体方程式を組み合わせて二階微
¨ を含む第 3 の方程式を求めると,多くの場合に役に立 分R つ.ここでは,単に適切な段階だけ概略し,結果だけ与え る.導出は簡単である(この章の問題 4 を見よ). フリードマン方程式 (8.15) に R2 を掛け時間で微分する
¨ ,R˙ ,R,˙ を含んだ方程式が得られる.流体方程式 と,R (8.28) から求まる ˙ を,このフリードマン方程式を微分し た式に代入する.こうやって,
¨ 4πG R =− ( + 3P ) R 3
(8.29)
が得られ,これは加速方程式 とよばれる.この式はもとに 加速方程式 なったフリードマン方程式や流体方程式を越えて何らかの 新しい情報が加わったのではない.しかし,いろいろな問 題を解くのにより使いやすい道筋を提供するだろう.
8.7 フリードマン方程式の解の性質 「物理科学のあらゆる分野に数学と同 じくらいあるのは,正確にはいわゆる 科学だけである」
Immanuel Kant
フリードマン方程式を具体的に解かなくとも,可能な解 の性質について,二三の一般的な結論を述べることがすで にできる.フリードマン方程式 (8.15) は
H2 =
k 8πG − 2 3 R
(8.30)
205
206
第 8 章 宇宙論
˙ と書け,ここでいつものように H = R/R である.銀河の 赤方偏移の観測から,現在の膨張率 H は正であることが知 減速する膨張?
られている.しかし,重力による引力があるので銀河の膨 張は鈍るだろうと予測される.そこでこの引力は膨張を止 めるのに十分かどうか,つまり H が減ってゼロになるかが 問われる. もし曲率パラメータ k が負なら,(8.30) の右辺のすべて は正になるので,膨張が止まることはない.k = −2E/m は基本的に,銀河の集まりの球の端にあるテスト銀河の全 エネルギーを与えることを思い出そう.k < 0 はテスト銀 河の全エネルギーが正である.すなわち,テスト銀河は重
開いた宇宙
力的に束縛されていない.この場合,宇宙は開いたといわ れ,いつまでも膨張し続ける. たとえば,宇宙のエネルギー密度が非相対論的物質が支 配的だとすると, は 1/R3 で減っていくことがわかる.結
永遠の膨張
局 (8.30) の右辺の曲率パラメータの項がきき,
k R˙ 2 =− 2 R2 R になり,R˙ は一定,すなわち R ∼ t となる.
(8.31)
他方 k > 0 であれば, が減るのに従い,(8.30) の右辺 の第 1 項と第 2 項は打ち消し合い,ついには H = 0 となる. 宇宙の収縮
つまり膨張が止まる.この時点で銀河の運動エネルギーの すべては重力ポテンシャルエネルギーに移される.ちょう ど,空中へ鉛直上方に投げた物体が最高点に達したときと 同じである.そしてこの投げられた物体と同様,運動は逆
閉じた宇宙
になり,宇宙は収縮し始める.この場合宇宙は閉じたとい われる. 曲率パラメータ k あるいはまたテスト銀河のエネルギー
E がゼロ,すなわち開いていると閉じているの境界にある とき何が起こるだろうか.この場合,膨張は減速され,H 平坦な宇宙
は漸近的にゼロに近づく.そして宇宙は平坦なといわれる ようになる.これは,脱出速度と完全に等しい速さで投げ 上げた物体と類似される. 上で得た 3 つのシナリオ—開いた,閉じた,平坦な—の どれが得られるかは,宇宙に膨張を減速させる,あるいは むしろ膨張に影響を与えるのは何かによって決まる.これ
8.7 フリードマン方程式の解の性質
207
2つの銀河間距離
開いた
平らな
閉じた
図 8.5
宇宙の年齢
Ω < 1,Ω > 1,Ω = 1 の場 合,時間の関数としてのス ケール因子 R
現在
がエネルギー密度にどのように対応しているかを調べてみ る.曲率パラメータ k は,フリードマン方程式 (8.15) から 解けて,
k = R2
8π G − H 2 3
(8.32)
となる.次に臨界密度 c を
c =
3H 2 8πG
(8.33) ˙ パラメータ
と定義しよう.そして,エネルギー密度 は比 Ω
Ω=
c
(8.34)
で表すことにする.これを用いて (8.32) は
k = R2 (Ω − 1)H 2
(8.35)
となる.それで,Ω < 1,すなわち密度が臨界密度より小 さければ,k < 0 であり宇宙は開いている.つまり膨張は 永遠に続く.同様に Ω > 1 ならば,宇宙は閉じており,H は減ってゼロとなりやがて負になる.もし密度 が正確に 臨界密度 c に等しいとき,k = 0 であり,これは Ω = 1 に対応し,宇宙は平らになる. 図 8.5 に 3 つのシナリオの場合,スケール因子 R が時 間とともにどう変化するかの概略を示した.閉じた,開 いた,平らな,の言葉は時空の幾何学的性質に関連してい て,一般相対論から得られるそれぞれに対応する解がある. もし全エネルギーがおもに真空エネルギーであると,まっ たく違う型の解を見つけることができる.この場合膨張は
208
第 8 章 宇宙論 インフレーション
指数的に増す.このシナリオはインフレーションを議論す る第 12 章で取り扱う.
c Sidney Harris
8.8 真空エネルギーの実験的証拠 「50 億年前のこと.それは宇宙がゆっ くりするのを止め,加速し始め,宇宙の 突き上げを経験しだしたときである」
Adam Riess
宇宙のエネルギー密度に対する寄与の一組を与えると, フリードマン方程式から,時間の関数としてのスケール因 子 R(t) が予測される.観測論的立場からは,逆に R(t) の 測定から宇宙の発展内容について何らかの推定ができるこ とが望ましい.単純に考えると,重力による引力によって 減速パラメータ
¨ < 0 となり,ハッブル膨張はゆっく 減速され,すなわち R り進むようになるだろう.近年最も驚くべき進展の 1 つは,
加速パラメータ
実際は,ここ数十億年の間明らかに膨張が加速されつつあ るという事実である.このことは,もし前に述べた真空の
負の圧力
エネルギーのような負の圧力を持つエネルギー密度の寄与 を仮定すれば,フリードマン方程式から予測できる. に対
暗黒エネルギー
するそのような寄与を,暗黒エネルギーとよぶことがある.
8.8 真空エネルギーの実験的証拠
光速は有限なので,非常に遠方の銀河の観測から,はる か昔の状態に関する情報が提供される.我々から非常に遠 くにある銀河を正確に観測し,より近い銀河の観測と比較 することで,宇宙膨張がゆっくりなりつつあるのか,速ま りつつあるのかの識別を試みることができる.観測される それぞれの銀河について,2 つの情報,すなわち後退の速さ と距離が必要である.Ia 型超新星は非常に明るく光るので, 宇宙論的距離でも見つけられて,この手の研究に適してい る.速さを得るには,スペクトル線の赤方偏移 z が用いら れる.Ia 型超新星はよい近似で絶対光度が一定であるので, Ia 型超新星 見かけの光度から距離がわかる.これは本質的に 8.1 節で 述べたハッブルパラメータ H0 を決めるのに用いたのと同 じ解析方法で行えるということである.しかし,ここでは あまりにも遠いため膨張の割合自体が,光が地球まで到来 するのにかかった時間内で変化してしまうかもしれないよ うな距離まで測定を押し進めることに注意が必要である. 時間の関数としてのスケール因子がいったんわかると,超
光度と赤方偏移の関係
新星の見かけの光度とその赤方偏移の関係が得られる.同 様にエネルギー密度の寄与を特定すると,フリードマン方 程式からこの関係が求められる.宇宙が(非相対論的)物 質と,宇宙定数 Λ で記述される真空のエネルギー密度とを
宇宙定数
含むとしよう.臨界密度 c で割ったそれらの現在のエネル ギー密度をそれぞれ Ωm,0 と ΩΛ,0 としよう.ここで,い つものように添え字 0 は現時点での値を表す.また光子や ニュートリノからくる放射のエネルギー密度 Ωr,0 も考えよ う.その寄与は宇宙マイクロ波背景放射の測定からきっち り決められていて,観測に関連する期間で考えると,他の 寄与に比べて非常に小さい.そこで,相対論的粒子を無視 して,光度距離 dL は
dL (z) =
1+z H0
光度距離 z
" ΩΛ,0 + (1 + z )3 Ωm,0
0
#−1/2
+ (1 + z )2 (1 − Ω0 )
dz (8.36)
で与えられることが示される.Ωm,0 と ΩΛ,0 にどのような 値を仮定しても,数値積分すれば都合よく,dL (z) が求まる. 光度距離は F = L/4πd2L で定義されているのを思い出
209
210
第 8 章 宇宙論
そう.ここで,F は地球上で測定するフラックスで,L は 光源での本来の光度である.天文学者は通常 F と L をそ 等級
れぞれ,見かけの等級 m と絶対等級 M に置き換える.こ れらはそれぞれ F と L の常用対数に関係している(正確 な定義は [10] のような標準的な天文学の教科書にある.あ るいはこの本の用語集を見よ).超新星の観測から見かけ の等級 m が決まる.絶対等級 M は前もっては未知である が,Ia 型超新星すべてについて(ある補正や調整をした上 で)同じと見なす.この 2 つの量は光度距離と
m = 5 log10
dL 1 Mpc
+ 25 + M
(8.37)
の関係を持つようになる.見かけの等級 m がより大きいこ とは,より微かな,つまりより遠い超新星に対応すること に注意しよう. 遠距離超新星のサンプルについて,赤方偏移に対する見 ハッブルダイアグラム
かけの等級 m を図 8.6 に示した [11].小さい z のデータ点 から,ハッブル定数 H0 が決まる.しかし,大きい z の所で の関係は,宇宙内で物質と暗黒エネルギーを含む量によっ て左右される.図に示した曲線は Ωm,0 と ΩΛ,0 のいろいろ な値に対して,(8.36) と (8.37) から得られる予想を示す. 暗黒エネルギーが無い,Ωm,0 = 1,すなわち ΩΛ,0 = 0 はデータと明らかに一致しない.データは Ωm,0 ≈ 0.25 と
ΩΛ,0 ≈ 0.75 でうまく記述できる.宇宙マイクロ波背景放 射のさらなる測定はこの見方を支持している.この描像に ついて第 11 章 と 第 13 章で仕上げしよう. 図 8.6 に示された振る舞いは,定性的に以下のように理 解される.高い赤方偏移のデータ点は真空エネルギーがゼ 加速している宇宙
ロの曲線より上にある.すなわち,予測値より等級が大き くなっていて,より暗くなっている.このようにして,あ る与えられた z で見える超新星は予測されたよりも速く遠 ざかっている.したがって,膨張はスピードを上げている のに違いない. 真空エネルギーの正確な物理的起源については,謎とし て残されている.一方,真空エネルギーは素粒子の標準模型
真空のエネルギー
のような場の量子論から予測されている.単純にその値は
8.8 真空エネルギーの実験的証拠 m,0
Supernova Cosmology Project
22
mB
0.25,0.75 0.25, 0 1, 0
24
有効な
211
20
18
Calan/Tololo & CfA 16
m,0
0.5 との等級の差
物質のない宇宙モデル
14 1.0
0.25,0.75
0.0
0.25, 0 0.5 1.0
1,
0.0
0.2
0.4 赤方偏移
0.6
0.8
0
1.0
z
4 v ≈ Emax
図 8.6 Ia 型超新星の等級,等級の差 と親銀河の赤方偏移との関係. いろいろなモデルによる予想 値と比較.データは暗黒エネ ルギーが約 75%の割合を持つ 平らな宇宙と一致している.
Supernova Cosmology Project と the Calan/Tololo group, Harvard–Smithsonian Center for Astrophysics (CfA) からのデータを示す {26}
(8.38)
の程度と予測されている.ここで,Emax は場の理論が成 り立つ最大のエネルギーである.量子重力効果が入ってく るような,たとえばプランクエネルギー EPl ≈ 1019 GeV より高いエネルギーでは,素粒子の標準模型は不完全だと 考えられる.そこで,真空エネルギーはざっと, 4 v ≈ EPl ≈ 1076 GeV4
(8.39)
程度かもしれない.しかし,観測されている今日の値 ΩΛ,0 ≈ 期待値と観測値との不一致
0.7 からの真空のエネルギー密度は Λ,0 = ΩΛ,0 c,0 = ΩΛ,0
3H02 ≈ 10−46 GeV4 (8.40) 8πG
となる.単純な予測値と観測値の間には,桁数で 122 の違 いがある. つまり,明らかに予測のどこかがおかしい.プランクス
212
第 8 章 宇宙論
ケールにおける物理的理解が十分でないとの議論もあろう. それは確かにもっともなので,より低いエネルギーカット オフを試みるべきであろう.最大エネルギーを電弱相互作 用のスケールとし,およそ W や Z ボソンの質量 EEW ≈
100 GeV としよう.このエネルギー辺りまで,標準模型は 高い精度で調べられてきた.真空のエネルギー密度の予想は 4 v ≈ EEW ≈ 108 GeV4
(8.41)
となる.観測された制限と「たったの」53 桁の違いになる. 改良されたかもしれないが,明らかに十分ではない. 最後に,真空のエネルギーを予想した論法の全体を通し たシナリオが正しくなかったのではないかと,主張できよ カシミア効果
う.しかし,8.4 節で議論したカシミア効果のような現象が 実験的に観測されて,真空エネルギーの描像に重要な確証 を与えている.そこで,我々は真空エネルギーを作り話と して簡単に片づけるわけにはいかない.Ω に対するその寄 与が,予測よりもはるかに小さいのは何か他の理由がある のに違いない.このことは目下のところ我々が宇宙を理解 する上で,一番大きい違いのある欠陥の 1 つである.
8.9 問題 1. 後退する銀河の赤方偏移と速度の相対論的関係 (8.2) を導け.
2. ガス雲はもし重力エネルギーが雲を構成する分子の熱 エネルギーより大きくなると,すなわち,
3 M GM 2 > kT R 2 μ のとき不安定になる.ここで, 32 kT は 1 つの分子の熱 エネルギー, M μ は分子数,μ は分子質量である.この 条件からガス雲の安定性限界(ジーンズ(Jeans)の規 準)を求めよ.
3. 一定の密度を持つ大きな天文学的物体が内部圧力によっ て安定せず,重力によってまさに収縮しようとしてい るとしよう.この物体が重力崩壊に対して安定化され るような最低の回転速度を推定せよ! 回転速度は銀
8.9 問題
河中心からの距離とどのような関係があるか?
4. フリードマン方程式 (8.15) から流体方程式 (8.28) を 用いて,加速方程式 (8.29) を導け.
5. 半径 R,大きい質量(質量 M )の星から放射される光 の重力による赤方偏移は
GM Δν = 2 ν c R で与えられることを示せ.
6. 太陽近辺を通過する星の光の曲がりを古典力学で推定 せよ.
7. 重力ポテンシャル内にある時計は,空の空間にある時計 よりも遅れる.パルサー(R = 10 km,M = 1030 kg) 上にある時計の遅れる割合を見積もれ!
8. 太陽(平均密度 = 1.4 g/cm3 )と地球( = 5.5 g/cm3 ) の中心での重力圧力を見積もれ.
9. 以下の平均密度を推定せよ. (a) 太陽質量の 1011 倍の銀河中心が存在する大ブラック ホール,
(b) 太陽質量のブラックホール, (c) ミニブラックホール(m = 1015 kg). 10. 我々の銀河内にある星の軌道速度 v の計算では,20,000 光年の距離までは,あたかも密度が一様で一定( =
6 × 10−21 kg/m3 )のように取り扱ってよい.それより 大きな距離では星の速度はケプラー運動の予測に従う.
(a) R < 20, 000 光年のとき,v(R) を導け. (b) 天の川銀河の質量を推定せよ. (c) 光子のエネルギー密度は 0.3 eV/cm3 程度である.臨 界密度とこの数値を比較せよ!
213
第9章
初期宇宙
「ビッグバン後 0.5 秒を誰が気にかける のだろうか? 0.5 秒前はどうだろう?」
Fay Weldon quoted by Paul Davies
この章では,宇宙が存在してから最初の 10 マイクロ秒ま での歴史を述べよう.まず 9.1 節では量子力学的効果と重 力の効果の両方が重要になるプランクスケールを定義しよ
プランクスケール
う.プランクスケールはこれから展開される理論の出発点 を位置づける.9.2 節では,統計力学や熱力学の公式がまと められる.これらは熱く高密度の段階を記述するのに必要 であり,この段階から宇宙は進化していく.それから,こ れらの式を使って,9.3 節と 9.4 節で,フリードマン方程式 を解き,非常に早い時期の宇宙の性質を調べる.熱いビッ グバン模型で未解決の際立った謎の 1 つ,なぜ宇宙は物質
物質優勢宇宙
と反物質の混合物でなく,ほとんど完全に物質から成るよ うに見えるのかについて,最後の 9.5 節で述べる.
9.1 プランクスケール 「新しい科学の真実が勝利を得るのは, 反対者を納得させたり,それを受け入 れさせたりすることによるのではなく, むしろ反対者はいつか亡くなり,新しい 科学に通じた世代が育ってくるためだ」
Max Planck
我々が現在持っている理論から意味のある予測ができる 一番初期の時代をプランク時代といい,ビッグバンの 10−43
プランク時代
秒後辺りである.それより以前は,重力の量子力学的観点が 重要とされ,したがってこの時期を描くには量子重力論が 必要になろう.おそらく超弦理論がそのような理論を提供
量子重力論
216
第 9 章 初期宇宙
するだろうが,それを使って明白な予言ができるような形 に未だなっていない. プランクスケールがどのように起こるかを見るために, シュワルツシルト半径
質量 m のシュワルツシルト半径 RS を考えよう(この章の 問題 5 を参照).
2mG . c2
RS =
(9.1)
ここで,さしあたり因子 c や は明示しておく.距離 RS 事象の地平線
はブラックホールの事象の地平線を与える.これは質量 m による時空の曲率の効果が重要になる距離を示す. さて,質量 m を持つ粒子のコンプトン波長
h mc
λC =
(9.2)
を考えよう.これは量子論的効果が重要になる距離を示す. 条件 λC /2π = RS /2,すなわち
mG = 2 mc c プランク質量
(9.3)
によって,プランクスケールを定義する.プランク質量に ついて解くと,
mPl =
c ≈ 2.2 × 10−5 g G
(9.4)
となり,直径約 1/3 mm の水滴の質量と同じになる.mPl プランクエネルギー
の静止エネルギーがプランクエネルギーで,
EPl =
c5 ≈ 1.22 × 1019 GeV G
(9.5)
である.これは 2 ギガジュールあるいは TNT 650 kg に相 当する.換算コンプトン波長 /mc にプランク質量を入れ プランク長
ると,プランク長になる.
lPl = プランク時間
G ≈ 1.6 × 10−35 m . c3
(9.6)
光が lPl を通過するのにかかる時間がプランク時間で,
tPl
lPl = = c
G ≈ 5.4 × 10−44 s . c5
(9.7)
プランク質量,長さ,時間等は量子力学と相対論を結びつ ける基本的定数,すなわち ,c,G から構成され,適合し
9.2 初期宇宙の熱力学
た次元を持つ唯一の量である.今後, と c を 1 とおいて
mPl tPl
√ EPl = 1/ G , √ = lPl = G
(9.8)
=
(9.9)
と書く.したがって,プランクスケールは基本的に重力の
重力の強さ
強さを特徴づける.プランク質量(または,エネルギー)と して 1.2 × 1019 GeV は憶えておきたい数値であり,1/m2Pl は G に対する便利な置き換えとして用いられる.
9.2 初期宇宙の熱力学 「我々はかつて予想もしなかった宇宙を 見て驚いている」
Walter Bagehot
この節では初期宇宙を記述するのに必要となる統計力学 や熱力学からの幾つかの結果をまとめる.ここで示される 幾つかの関係式は統計力学で教わる代表的なものと違う かもしれない.このことはおもに 2 つの理由による.第 1 に,非常に熱い初期宇宙では,粒子は典型的に光速と同程 度であるので,エネルギーと運動量の間には,相対論の関 係 E 2 = p2 + m2 を使う必要がある.第 2 に,温度が非
粒子の生成と消滅
+ −
常に高いので,たとえば γγ ↔ e e のような反応を通し て,粒子は絶えず作られたり無くなったりする.このこと は,低い温度の物理系では通常粒子数が一定であることと 対照的である.よく知られた例外は黒体放射である.そこ では温度がゼロでないかぎり,質量の無い光子が作られた り無くなったりするからである.相対論的粒子のガスの場
相対論的粒子のガス
合,,n,P の式は黒体放射のそれらと同じであることが わかる.ここで,,n,P はそれぞれ,密度—より一般的 には—エネルギー密度,数密度,圧力である. この節での式は統計力学の標準的教科書で導かれている. 統計力学 幾つかの式の導出は付録 B で与え,ここでは単に,初期宇 宙に適切な形での結果を引用しよう.もっと厳格に扱うに は,電荷,バリオン数,レプトン数などの量子数の保存則 を考える必要がある.それぞれの保存量について,化学ポ テンシャル μ があり,エネルギー密度,数密度の式にそれ
217
218
第 9 章 初期宇宙
らが入ってくる.非常に初期の宇宙の取り扱いで,ほとん 化学ポテンシャル
どの場合,化学ポテンシャルは無視できるので,ここで与 える式でも出さないようにする.
9.2.1 エネルギー密度と数密度 粒子が相対論的である極限,すなわち T m のとき
注 1)
,
与えられた粒子の種類によって,エネルギー密度は
⎧ 2 π ⎪ 4 ⎪ ⎨ gT 30 = 2 ⎪ ⎪ ⎩ 7 π gT 4 8 30
内部自由度
ボソンのとき,
(9.10) フェルミオンのとき.
ここで,g は粒子の内部自由度である.たとえば,スピン
J の粒子ならば,2J + 1 のスピンの自由度を持つ.さらに 因子 g はクォークやグルーオンの違うカラー状態を含む. たとえば,電子は ge− = 2,電子と陽電子を一緒に考えて,
ge = 4 である.スピンが 1/2 である u クォークは u ¯ を一 緒にして,gu = 12,すなわち,スピンから 2,カラーから 光子のスピン状態
3,粒子と反粒子を一緒に考えて 2 である.光子は J = 1 であるが,2 つの横偏極状態に対応した 2 つのスピン状態 だけを持つことに注意しよう.光子の質量がゼロなので縦 偏極は無い.これから光子については,γ = (π 2 /15)T 4 となり,黒体放射のエネルギー密度としてよく知られた式
シュテファン–ボルツマンの法則
を得る(シュテファン–ボルツマンの法則).実際に,すべ ての相対論的粒子について ∼ T 4 で同じ振る舞いになり, 違いは自由度数だけとなる.また,フェルミオンであれば,
7/8 の因子が掛かる. 同じような仕方で,数密度 n が
数密度
⎧ ζ(3) 3 ⎪ ⎪ ⎨ 2 gT π n= ⎪ ⎪ ⎩ 3 ζ(3) gT 3 4 π2
ボソンのとき,
(9.11) フェルミオンのとき
で与えられることが示される.ここで,ζ はリーマンのツェー タ関数で,ζ(3) ≈ 1.202 06 . . . である.素粒子物理学の単 位(訳注:素粒子物理でいう自然単位. = c = 1)では 注 1
ボルツマン定数 k も 1 とおいていることに注意しよう.
9.2 初期宇宙の熱力学
219
数密度はエネルギーの 3 乗の次元を持つことに注意しよ う.これを通常の単位体積当たりの数に直すには,(c)3 ≈
(0.2 GeV fm)3 で割ればよい. 数密度とエネルギー密度から粒子当たりの平均エネルギー
E = /n が求まる.T m であれば,
E =
⎧ π4 ⎪ ⎪ ⎨ 30 ζ(3) T ≈ 2.701 T ⎪ ⎪ ⎩
7π 4 T ≈ 3.151 T 180 ζ(3)
ボソンのとき, フェルミオンのとき.
(9.12) 非相対論的極限で,エネルギー密度は
エネルギー密度
(9.13)
= mn . ここで,n は数密度であり,この極限では
n=g
mT 2π
3/2
e−m/T
(9.14)
として与えられる.ここでは,上と同様化学ポテンシャル が無視できて,フェルミ–ディラック分布とボーズ–アイン
フェルミ–ディラック分布
シュタイン分布で同じ結果が得られる.したがって,非相
ボーズ–アインシュタイン分布
対論的粒子について,数密度は e
−m/T
の因子で指数的に
抑えられることがわかる.非相対論的極限では平均エネル ギーは質量と運動エネルギーの項の和
3 E = m + T ≈ m 2
(9.15)
となる.最後の近似は T m の非相対論的極限で成り 立つ.
9.2.2 全エネルギー密度 上で与えた と n の式は 1 つの種類の粒子に対するもの である.しかし,フリードマン方程式に必要なのはすべて の粒子からの全エネルギー密度である.これは単純にすべ ての粒子について の値の和をとればよい.ここで,与え られた温度について,ある種類は相対論的となり,他は非 相対論的になるだろう.
ボルツマン因子
220
第 9 章 初期宇宙
全エネルギー密度の式は,非相対論的粒子の数密度が因 子 e−m/T で指数的に抑えられていることを思い出せば,非 常に簡単になる.保存する量子数があると化学ポテンシャル がゼロでなくなり密度が減少するが,このようなことがな いかぎりこの因子はそのまま保たれる.化学ポテンシャルが 無視できないと,非相対論的物質は全エネルギー密度に対し てごくわずかの寄与しかしない.宇宙の初期の頃(t < 105 年),全エネルギー密度は相対論的粒子によって占められ 輻射優勢時代
る.これは「輻射優勢時代」とよばれ,この時期は非相対 論的粒子からの への寄与は無視できる.そうすると,ボ ソンとフェルミオンに対する相対論的式 (9.10) から,全エ ネルギー密度として,
π2 gi T 4 + 30
=
i=ボソン
j=フェルミオン
7 π2 gj T 4 (9.16) 8 30
を得る.ここで,和は m T の相対論的粒子のみとする. この式は
= 自由度の有効数
π2 g∗ T 4 30
(9.17)
と書いてもよい.ここで,自由度の有効数 g∗ は
g∗ =
gi +
i=ボソン
7 8
(9.18)
gj
j=フェルミオン
と定義する.ここで,同様に和は m T の粒子のみと する. 現在の光子温度は宇宙マイクロ波背景放射から T ≈ 2.73 K と非常に正確に測られているので,T はいつも光子温度を 意味するものと仮定する.しかし, 幾つかの型の粒子はも はや光子と熱的に接触しないので,異なる温度を持つであ ニュートリノ脱結合
ろう.たとえば,ニュートリノはほとんどの電子や陽電子 が消滅して光子になる前の時期に,他の粒子と実際上分断
ニュートリノ温度
されている.その結果,現在のニュートリノ温度はおよそ
1.95 K である.一般に,異なる温度を考慮して (9.18) を以 下のように修正できる.
g∗ =
i=ボソン
gi
Ti T
4 +
7 8
j=フェルミオン
gj
Tj T
4 .
(9.19)
9.2 初期宇宙の熱力学
221
上に述べたニュートリノの例以外,この g∗ の一般式はめっ たに必要としないだろう. 与えられた温度 T で g∗ を計算するには,m T の粒 子の種類と,そしてそれらの自由度も知ることが必要であ る.表 9.1 に標準模型の粒子の質量と g の値を示す(「カ ラー状態」が 1 は,カラーが中性の粒子を意味する). ここで,ニュートリノは左巻きのみ,反ニュートリノは右 巻きのみとして扱うことにする.すなわち,それらはまた 質量が無いと考えることと関係して,それぞれ 1 つのスピ ン状態だけを持つとする.実際,最近の実験的証拠(ニュー トリノ天文学 6.2 節を見よ)は,ニュートリノは質量がゼ ロでないことを示しているが,それによって追加される他
ニュートリノ質量
のスピン状態への結合は非常に小さいので,g∗ への影響は 無視できる. 表に載せた粒子に加えて,大統一理論の X や Y ボソン, そしておそらくすべての粒子の型に対応する超対称性のパー トナーを入れるのも可能である.今日の加速器技術でその
超対称性粒子
ような粒子が作り出せるかどうかを見つけ出すのが,ハド ロンコライダーの課題であろう.あるいはそのような新粒 粒子
質量
光子(γ ) W +, W − Z
0 80.4 GeV 91.2 GeV グルーオン(g ) 0 ヒッグス > 114 GeV
スピン カラー g (粒子と 状態 状態 反粒子)
2 3 3 2 1
1 1 1 8 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1
ボソン
u, u ¯ d, d¯ s, s¯ c, c¯ b, ¯b t, t¯ e+ , e− μ+ , μ− τ +, τ − νe , ν¯e νμ , ν¯μ ντ , ν¯τ フェルミオン
3 MeV 6 MeV 100 MeV 1.2 GeV 4.2 GeV 175 GeV 0.511 MeV 105.7 MeV 1.777 GeV < 3 eV < 0.19 MeV < 18.2 MeV
2 6 3 16 1 28 12 12 12 12 12 12 4 4 4 2 2 2 90
表 9.1 標準模型の粒子とその特性 [2]
222
第 9 章 初期宇宙
子が—初期宇宙に存在するとすれば—宇宙物理的なデータ 宇宙考古学
に痕跡を残し,宇宙考古学の研究で証拠が見つかるかもし れない.ここでは,標準模型に限定し,そこにあるどの質 量よりも十分大きい温度,たとえば T > 1 TeV を考えるな らば,
g∗ = 28 +
7 × 90 = 106.75 8
(9.20)
である.通常必要な程度の正確さであれば,T > 1 TeV の とき,g∗ ≈ 102 ととれば十分である. 温度が低くなると,さらに二三の微妙な問題が入ってく る.たとえば,T ≈ 0.2GeV 辺りでは,クォークとグルー オンが閉じ込められてカラー中性のハドロン,つまり陽子 や中性子になる.そこで,たとえば T = 100MeV で g∗ を 得るためには,クォークやグルーオンは無い.代わりにハ ドロンから 8 × 7/8 = 7 の寄与になる.つまり,陽子と中 性子とそれらの反粒子それぞれの 2 つのスピン状態である.
9.2.3 状態方程式 エネルギー密度
次に,エネルギー密度 と圧力 P の必要な関係,状態方 程式を思い出そう.これらは付録 B で導かれている.R(t) についてのフリードマン方程式を解くのに,加速方程式と
相対論的物質の圧力
流体方程式を結びつける状態方程式が必要となる.相対論 的粒子ガスについての圧力は
P =
3
(9.21)
となる.これは黒体放射のよく知られた結果であるが,T
m の相対論的極限でどんな種類の粒子にでも実際適用され 非相対論的物質の圧力
る.非相対論的極限では,圧力は理想気体の法則 P = nT で与えられる.しかしこの場合,エネルギー密度は = mn となるから,T m であれば P となり,加速方程式 や流体方程式で
P ≈0 真空の圧力
(9.22)
と近似してよい.さらに宇宙定数からの真空エネルギー密 度の場合には,
9.3 フリードマン方程式を解く
P = −v
(9.23)
と表せる.すなわち,真空のエネルギー密度は負の圧力と なる.一般に,状態方程式は
(9.24)
P = w
と書け,パラメータ w は相対論的粒子のとき 1/3, (非相対
wパラメータ
論的)物質のとき 0,真空エネルギーのとき −1 をとる.
9.2.4 温度とスケール因子の関係 この節の最後に温度 T とスケール因子 R との間の一般 的な関係を書き留めておこう.少なくも 100 Mpc を越える 距離スケールについて考えるとき,すべての長さは R とと もに増える.粒子のドブロイ波長 λ = h/p は粒子の運動量 に逆比例するから,粒子の運動量は 1/R のように減ること
運動量とスケール因子
がわかる.光子については E = p で,そのエネルギーは
1/R で減る,さらに,熱平衡にある光子の温度は単に,光 子の平均エネルギーの大きさであるから,重要な関係式と して,
T ∼ R−1
(9.25)
を得る.この関係は,T が光子の温度として解釈されるか ぎり,また,ハッブル膨張が T に変化をもたらすかぎり, 成立する.実際はこの条件は正確に成り立たない.という のは,同様に温度に影響を与える他の過程があるからであ る.たとえば電子と陽電子が非相対論的になって,消滅し 光子になると,光子の温度に余分な寄与を与える.これら の効果は熱力学的議論によって,エントロピー保存を使う ことで,考慮される.この詳細はここでの取り扱いで,重 要ではないので,通常 (9.25) は成り立つものとしてよい.
9.3 フリードマン方程式を解く 「宇宙の言葉つまり数学の言葉を理解 できなければ,誰も宇宙の偉大なる本 を読むことはできない」
Galileo Galilei
光子の温度
223
224
第 9 章 初期宇宙
ここで,フリードマン方程式を解くのに十分な知識が入 手できた.これで,スケール因子 R,温度 T ,エネルギー 密度 の時間変化が導かれる.もし手始めに,非常に早い 時期を考えるならば,フリードマン方程式 (8.15) の中の曲 曲率パラメータ
率パラメータ k/R2 を無視できることに気づけば,問題を 簡単にすることができる.これを示すために,8.5 節の流 体方程式 (8.28) を思い出そう:
˙ +
3R˙ ( + P ) = 0 . R
(9.26)
この式はエネルギー密度 の時間微分と圧力 P を結びつけ る. の項は輻射で支配されるとすると,状態方程式 (9.21) が使えて,
P = 流体方程式
. 3
(9.27)
これを流体方程式 (9.26) に代入して,
˙ +
4R˙ =0 R
(9.28)
となる.左辺は全微分に比例しているので,
1 d 4 R = 0 R4 dt
(9.29)
と書き直せる.これは R4 が時間に関係なく一定であるこ %の半径依存
とを意味するから,
∼
1 R4
(9.30)
になる.代わって非相対論的物質が優勢とすると, につ いて状態方程式 P = 0 を使い,同じようにして(この章の 問題 1 参照)
∼
1 R3
(9.31)
を得る.どちらの場合も, の R との関係は,ごく初期つ まり十分小さい R についてであり,フリードマン方程式の 右辺にある 8πG/3 の項は k/R2 より非常に大きくなる. 曲率パラメータ
そうすると,曲率パラメータは無視でき,実際上 k = 0 と おいてよい.このことは,この章で扱っている非常に初期 には確かに正しいし,140 億年後の今日でもよい近似であ
修正されたフリードマン方程式
る.したがって,フリードマン方程式は
9.3 フリードマン方程式を解く
8π R˙ 2 G = R2 3
(9.32)
となる. 以下, が輻射優勢の場合,(9.32) を解こう.式 (9.30) は
= 0
R0 R
4 (9.33)
と書け,ここで 0 と R0 はある特定の(初期の)時刻の と
R の値とする.求めたい解は R = Atp の形と想定できるの で,これを入れた の (9.33) をフリードマン方程式 (9.32) に代入する.この式からはフリードマン方程式は p = 1/2, 輻射優勢時代 すなわち
R ∼ t1/2
(9.34)
のときだけ成り立つ.したがって,膨張率 H は
1 R˙ = . R 2t
H=
膨張率
(9.35)
代わりに, が非相対論的物質で占められ,状態方程式 P =
0 を使うなら,同様にして(この章の問題 2 参照), R ∼ t2/3
物質優勢時代
(9.36)
と,
2 3t
H=
(9.37)
を得る. まず,フリードマン方程式 (9.32) とエネルギー密度 (9.17) を組み合わせ,重力定数 G = 1/m2Pl と書く.次に,平方 根をとると,膨張率 H が温度の関数として与えられ(この 章の問題 3 参照),
H=
8π 3 g∗ T 2 √ T2 ≈ 1.66 g∗ 90 mPl mPl
(9.38)
となる.これと (9.35) とから,温度と時間の関係が求まり, 温度と時間の関係
1 t= 2
0.301 mPl 90 mPl ≈ √ . 3 2 8π g∗ T g∗ T 2
(9.39)
これら 2 つの式では素粒子物理の単位系(訳注:自然単位 系)を使っていることを思い出そう.つまり,(9.38) の膨 張率は GeV 単位であり,(9.39) の時間は GeV−1 の単位で
225
226
第 9 章 初期宇宙
ある.またフリードマン方程式と解 H = 1/2t を組み合わ エネルギー密度の時間依存性
せて(訳注:(9.17) と (9.39) から)時間の関数としてのエ ネルギー密度を得る.
=
3m2Pl 1 . 32π t2
(9.40)
9.3.1 熱平衡の余談 数密度やエネルギー密度のような物理量を温度の関数と して導いたので,どのようなときにこれらを適用できるか を問いただしてみる価値がある.ある系が温度によって特 徴づけられるためには,粒子間の相互作用の存在が必要で, 熱平衡の条件
それによって数や運動量分布が調整され熱平衡になる.さ らに,平衡に達するまでは,個々の微視的な相互作用の時 間スケールよりも,はるかに長い十分な時間を待つ必要が ある. さて,温度がどのように変化しても,熱分布が調整する のに十分すばやく微視的な相互作用が起こらなければなら ない.この条件は,平衡を維持するのに必要な反応の割合
Γ が,単位時間当たりの温度変化よりずっと大きくなけれ ばならないとして表せる.すなわち,
Γ |T˙ /T | .
(9.41)
しかし,相対論的粒子系の場合,(9.25) から T ∼ 1/R と
˙ = −H である.したがって,(9.41) なり,T˙ /T = −R/R は条件
Γ H
(9.42)
と等価である.ここで絶対値の記号をはずしたのは,膨張率 はいつも正としているからである.温度を与えると,(9.38) から直ちに H が決まる.それは g∗ のわずかな温度依存性 を無視して,基本的に T 2 に比例する. 相互作用の割合
反応の割合 Γ は単位時間当たり,粒子当たりの特定の型 の相互作用数である.それは粒子が問題にしている相互作 用を受けるのに必要な平均時間の逆数である.Γ は粒子の
断面積
速さ v ,標的粒子の数密度 n,相互作用断面積 σ の関数と して,
9.4 最初の 10 マイクロ秒の熱的変遷
(9.43)
Γ = nσv
で算出できる.ここで,< > は速度の熱分布についての平 均を表す. 熱平衡に達しているならば,9.2 節の適当な式を用いて 数密度 n を求めることができる.断面積を求めるには粒子 物理学の知識が必要である.
9.4 最初の 10 マイクロ秒の熱的変遷 「粒子理論で存在しない素粒子は,宇宙 論でもまた存在しない」
作者不明
これまでの節のいろいろな関係式を用いて,宇宙のエネ ルギー密度や温度の時間依存性が導かれる.前節で述べた ように熱平衡の仮定は成り立たなかったかもしれないこと を気に留める必要はあるものの,手始めに,(9.40) を使っ てプランク時間でのエネルギー密度を求められる.いずれ にしろこの式から,
(tPl ) =
3m2Pl 1 3 m4 ≈ 6 × 1074 GeV4 (9.44) = 2 32π tPl 32π Pl
となる.ここで mPl = 1/tPl ≈ 1.2 × 1019 GeV を使った. プランクのエネルギー密度 この値を通常の単位に直すのに,(c)3 で割って,
(tPl )
≈ 6 × 1074 GeV4 ×
1 (0.2 GeV fm)3
≈ 8 × 1076 GeV/fm3
(9.45)
を得る.この密度は 1 個の陽子が入れる体積に,約 1077 個 の陽子質量が詰まっていることに相当する! もっと体系的に議論を進めると,異なる温度に達する時 間やエネルギー密度を求めることができる.これと素粒子 物理学の知識を組み合わせると,どのような時間にどのよ うな型の粒子相互作用が起きているのかがわかる. 温度を時間と結びつけるには,自由度 g∗ の数値が必要で ある.自然は標準模型で知られる粒子しか含まないとしよ う.そのとき,T は数 100 GeV より大きいので,すべての 粒子は相対論的として取り扱える.(9.20) より g∗ = 106.75
初期宇宙の特徴的温度
227
228
第 9 章 初期宇宙
である.もし,たとえば GUT(大統一理論)ボソンとか 超対称性粒子も存在するならば,この値はもっと大きくな る.ここで問題にしている桁程度の計算では,g∗ の不確定 さは重要ではない. 表 9.2 にビッグバン後,最初の 10 マイクロ秒以内の数点 の温度とエネルギー密度の値を示した.この表では大方の 値は一番近い桁で丸めている. 表 9.2 最初の 10 マイクロ秒の熱的 変遷
「スケール」 プランク
GUT 電弱
QCD
T [GeV] 19
10 1016 102 0.2
[GeV4 ] 78
10 1066 1010 0.01
t [s] 10−45 10−39 10−11 10−5
プランクスケールのとき,すなわちエネルギーが 1019 GeV 宇宙論的素粒子物理学
程度のとき,宇宙論や宇宙論的素粒子物理学に関して,何 かを推測する我々の能力は限界に達している.温度がプラ ンクエネルギーに等しくなる時間は,(9.39) からプランク 時間と等しくなく,実際はもっと早くなることに注意しよ う.そこで,能力の限界はやや超える.
10−39 秒後,温度が 1016 GeV(「GUT スケール」)程度 まで冷えてきたとき,宇宙では互いに異なる結合の強さを 持つ強い相互作用と電弱相互作用が,はっきりと分かれ始 ヒッグス場
める.この温度辺りで,大統一理論のヒッグス場に関係し た相転移が起こるとされる.相転移より上の温度では,ヒッ
ヒッグス場の真空期待値
グスの真空期待値はゼロで,したがって X と Y ボソンも 含んだすべての素粒子は質量が無い.相転移の間に GUT のヒッグス場はゼロでない真空期待値を獲得する.この現
自発的対称性の破れ
象は自発的対称性の破れ(SSB(spontaneous symmetry
breaking))とよばれる.その結果として,X と Y ボソン は質量ゼロから GUT スケール程度の非常に重い質量を持 つことになる.したがって,より低い温度になると,X と
Y ボソンが仲立ちするバリオン数保存を破る過程が強く抑 えられる. 時刻が約 10−11 秒より後になると,温度は 100 GeV 程 電弱スケール
度になる.これを「電弱スケール」という.ここでもう 1 つ別の SSB 相転移が起こることが予測され,そこでは電弱
9.4 最初の 10 マイクロ秒の熱的変遷
229
ヒッグス場がゼロでない真空期待値を獲得する.その結果, クォークやレプトンと同様 W や Z ボソンが質量を持つよ うになる.電弱スケールよりかなり低い温度になると,質 量 MW ≈ 80 GeV と MZ ≈ 91 GeV は他の衝突粒子の運 動エネルギーに比べて大きいので,W や Z の伝播関数が, 実際弱い相互作用の強さを抑えることになる. 温度が 0.2 GeV(「QCD スケール」)辺りになると,強
QCD スケール
い相互作用の有効結合定数 αs が非常に大きくなる.この 時点でクォークとグルーオンが閉じ込められてカラー中性 のハドロン,つまり陽子,中性子とそれらの反粒子に閉じ 込められる.この過程をハドロン化といい,t ≈ 10−5 秒で ハドロン化 起こる.ここでこの時刻を (9.39) から得るためには,すべ ての粒子が相対論的でないので,g∗ の値は前よりやや小さ い値を使うべきである.もし,ハドロン化の直前で,光子, グルーオン,u,d,s,e,μ と ν のすべての世代が相対論 的であるとすると,g∗ = 61.75 が得られる.
QCD スケールのエネルギー密度を,通常の単位に直す
エネルギー密度
3
とほぼ 1 GeV/fm となっておもしろい.これは普通の核 物質の密度の約 7 倍である.ニューヨークの近くにあるブ ルックヘブン国立研究所の相対論的重イオン衝突型加速器 (RHIC:Relativistic Heavy Ion Collider)の実験で,最 近,非常に高いエネルギーの 2 つの重イオンを正面衝突さ せて,このような条件を再現しようとしている [12].これ によって, 「クォーク–グルーオンプラズマ」とそれのカラー
クォーク–グルーオンプラズマ
中性のハドロンへの移行のより詳しい研究が可能となる. 初期宇宙についてのここでの簡単な記述は,少なくとも
2 つの重要な問題点に触れていない.第 1 に,なぜ宇宙は物 質と反物質の混合物ではなく,物質から成り立って出現し たのかまだ説明されていない.この問題について決定的な 答えはない.しかし,宇宙のごく早い時期,おそらく GUT スケールかその後の電弱スケールかに,宇宙にいわゆるバ リオン非対称が生じたとするもっともらしいシナリオがあ る.この問題は次節でより詳しく見ることにしよう. 第 2 に,今までに展開してきた模型では幾つかの観測事実 を説明できない.その中で一番重要なのは宇宙マイクロ波背 景放射に関連したことである.この問題についての救済策は,
バリオン非対称
230
第 9 章 初期宇宙 真空エネルギー
ある非常に早い時期にエネルギー密度が真空エネルギーで 占められたと見なすことであろう.この場合,R は ∼ t1/2
インフレーション
ではなく,指数的に増える.これはインフレーションとし て知られる.
9.5 宇宙のバリオン非対称性 「科学の中で最も古くしかも最も若い ものの 1 つである天文学は,なおも幾 つかの驚きを持って待ち構えているか もしれない.反物質もこれに値するだ ろう」
Arthur Schuster
陽電子発見後数十年の間,自然の法則は物質と反物質の 間で完全に対称であると思われていた.しかし,我々が知っ ている宇宙は物質だけで成り立っているように見える.バ リオンの相対存在比を詳しく見ていこう.そこでここでの 題目は宇宙のバリオン非対称としよう.最初に物質と反物 質が等しい量含まれている状態から,この非対称性がどの ように進化したかを,我々は調べなければならない.この バリオン起源
過程をバリオン起源(baryogenesis)とよぼう.あらゆる 陽子について,電子が存在するので,宇宙もゼロでないレ プトン数を持つように見える.しかし,これは説明するの にもうちょっとやっかいである.というのは,レプトン数 は見えない反ニュートリノで原理的に打ち消せるからであ る.いずれにしろ,バリオン起源の模型は,一般に何らか
レプトン起源
の形でレプトン生成(レプトン起源(leptogenesis))と 結びついている. バリオン起源は素粒子物理と宇宙論の交錯したよい例を 提供する.最終的な解析によると,標準模型は,そのまま では観測された宇宙のバリオン非対称を説明できない.こ のことは標準模型が完全でないことを強く示唆する.
9.5.1 バリオン非対称の実験的証拠 もし局所的に反粒子が数多く存在するならば,陽子–反陽 子や電子–陽電子の消滅によって,この証拠を見ることにな
9.5 宇宙のバリオン非対称性
るだろう.p¯ p 消滅は,一般的に中性パイオンを含む幾つか
pp ¯消滅
のパイオンを作る.中性パイオンは 2 つの光子に崩壊する. そこで,100 MeV 程度のエネルギー領域の中に γ 線を見る ことになる.小惑星が他の惑星と衝突する際にそのような
γ 線を見るようなことはなく,火星に着陸した人工的な宇 宙探査機は生き残り,月に降り立ったニール・アームスト ロング(Neil Armstrong)が消滅してしまうことはなかっ た.そこで全太陽系は物質からできている,と結論できる. 実際,地球に入ってくる反陽子としては,宇宙線中に陽子 と比べてほぼ 10−4 の程度ある(6.1 節を見よ).もっと離 れた領域では反物質から成るという可能性を残してもよい. しかし測定された反陽子の比率は,通常の高エネルギー陽 子が星間ガスや塵と衝突して,
p + p → 3p + p¯
(9.46)
のように反応して作られたとしたのと一致する.今まで,反
宇宙線中の反原子核?
原子核が宇宙線中にあるという証拠はない.とはいえ,国際 宇宙ステーションに搭載されたアルファ磁気分光計(Alpha
Magnetic Spectrometer)によって,今後数年の間に,よ り精度の高い探索が行われるだろう [13]. もし仮に宇宙に反物質だけの領域があるとすれば,物質 領域からの分離がいたって完全でなければならないか,そ うでなければ陽子–反陽子または電子–陽電子の消滅からの
γ 線フラックスが見えることになる.その予測されるフラッ クスは,隔離されている領域の大きさによる.図 9.1 に測 定されたガンマ線のフラックス(データ点)が物質領域と 反物質領域の衝突から得られる予測(曲線)と一緒に示さ れた [14, 15].上の曲線は領域の大きさが 20 Mpc に対応 し,明らかにデータから除外される.下の曲線は 1000 Mpc の領域に対応し,同様に測定とは相入れない.そこで,も し反物質領域が宇宙に存在すると結論づけるならば,それ らはギガパーセク程度離れている必要がある.これは観測 できる宇宙のぎりぎりの所である.そのような遠い距離ま で,反物質から物質を切り離すもっともらしい仕組みがな いならば,宇宙は物質からできており,つまり正味ゼロで ないバリオン数を持っているとしたほうがはるかに自然で
e+ e` 消滅
231
232
第 9 章 初期宇宙 0
-1
s MeV sr ]
10
消滅過程による放射の欠如
-1 -2 -1
10
フラックス [ 光子数 cm
図 9.1 測定されたガンマ線のフラッ クス(データ点)と物質領域 と反物質領域間の相互作用か ら得られた予想曲線.上の曲 線は領域の大きさ 20 Mpc, 下の曲線は 1000 Mpc に対 応 [14, 15]
-1
10
-2
-3
10
-4
10
-5
10
COMPTEL Schönfelder et al. (1980) Trombka et al. (1977) White et al. (1977)
-6
10
1
10
光子エネルギー [MeV]
ある.そしてまた,電子–陽電子消滅による 511 keV γ 線 のフラックスが有意には見つかっていないことも,この結 論を後押しする. そこで,作業仮説として,宇宙は反物質より圧倒的に物 質を含む,としよう.これがどのようにして生じたかを尋 ねる必要がある.1 つの可能性は,初期条件としてゼロでな いバリオン数が存在し,それが今日まで維持されてきたと することである.これは幾つかの理由で魅力的な考えでは ない.まず,今日バリオンと反バリオンの非対称性が大き い,すなわち前者がほとんどで,後者はないとしても,ビッ グバンに近い時期は両者とも大量にあり,相対的な不均衡 はごく小さかった.この点は 9.5.2 節で,定量的に扱われ る.ビッグバンにさかのぼるとき,自然の法則はある意味 でより根源的なものになると思いたい.そして,いかなる 種類の小さな非対称性を人為的に課すような必要性は避け るほうを望むだろう. さらに,自然法則は以下のことを可能にする,もしくは
正味のバリオン数
要求するように見える.バリオン非対称性は,正味のバリ オン数がゼロの状態から生ずる.これに必要な条件は 9.5.3 節で議論される.
9.5 宇宙のバリオン非対称性
233
9.5.2 バリオン非対称の大きさ 宇宙は今日,完全にバリオン優勢で反バリオンはないよ うに見えるものの,初期では非対称の度合いはきわめて小 さかった.このことを大雑把に理解するには,クォークや 反クォークすべてが高度に相対論的であるような温度,た とえば T ≈ 1 TeV であるような時刻を考えるとよい.そ してそれ以後はバリオン数を破る過程はなくなるとしよう. バリオン数を破る過程 このとき,共動(comoving)体積 R3 内の正味のバリオン 数は一定である.つまり, 3 (nb − nb¯ )R3 = (nb,0 − nb,0 ¯ )R0 .
(9.47)
ここで,右辺の添え字 0 は現在の値を示す.しかし,現在 では本質的に反バリオンはないから,nb,0 ¯ ≈ 0 と近似でき る.したがって,バリオン–反バリオン非対称性 A は
A≡
nb − nb¯ = nb
nb,0 R03 nb R 3
.
バリオン–反バリオン非対称性
(9.48)
関係式 R ∼ 1/T を使えば,スケール因子の比を温度の比 で書けるから,
A≈
nb,0 T 3 nb T03
(9.49)
となる.ここで,数密度は温度と関係があることを使う.
(9.11) 式から, nb
≈ T3 ,
(9.50)
nγ,0
≈ T03 .
(9.51)
ここでは,1 程度の因子は省略した粗い近似をとっている. これらの式から非対称性は
A≈
nb,0 nγ,0
(9.52)
と表せる.さらにバリオン数対光子数比は
η=
nb − nb¯ nγ
バリオン対光子比
(9.53)
と定義できる.バリオン数非保存の過程がなく,そして光 子の温度に関してハッブル膨張を越えた余分な影響がない かぎり,この比は一定のままであるはずである.そこで,ま
234
第 9 章 初期宇宙
た η を現在の値 (nb,0 − nb,0 ¯ )/nγ,0 ≈ nb,0 /nγ,0 としてもよ い.もっとも—厳密にいえば—これは η0 とよぶべきではあ るが.したがって,最終的に,バリオン–反バリオン非対称 性 A は,現在のバリオン対光子比 η にほぼ等しい.省略し たすべての因子を入れたより正確な解析をすると,A ≈ 6η となる. 現在の光子密度
現在の光子密度 nγ,0 は CMB 温度からきっちり決まって,
410.4 cm−3 である.宇宙に見えるバリオンすべてを足し合 わせることで,原理的に nb,0 を決めることができよう.実 際これは低く見積もることになる.というのは,ガスや塵 といった物質は見えないだろうし,これらは遠い星を覆い 隠してしまうからである.η のより正確な決め方は,ビッ 核合成
グバン核合成模型を水素核に対する重水素核の測定比に結 びつけることによる.このことから η ≈ 5 × 10−10 が得ら れる.したがって,最終的にバリオン非対称性は,
A ≈ 6η ≈ 3 × 10−9
(9.54)
と表すことができる.これは,初期宇宙には 10 億個の反 クォークごとに 10 億プラス 3 個のクォークがあったこと を意味する.今日我々が見ている宇宙の物質は,すべての 反バリオンが本質的に完全に消滅した後,残されたごくご くわずかの物質量なのである.
9.5.3 サハロフの条件 1967 年,サハロフ(Andrei Dmitrievich Sakharov)は, 宇宙が最初バリオン対称の状態からゼロでないバリオン数 を持つように進化するためには,3 つの条件が必要である と指摘した [16].自然界には以下のことが必要である: バリオン数を破る過程
1. バリオン数を破る過程;
C とCP 対称性の破れ
2. C と CP 対称性の破れ;
熱平衡からのずれ
3. 熱平衡からのずれ. 第 1 の条件は明らかに満たさなければならない.そうでな ければ,B = 0 の宇宙であれば,いつまでも B = 0 であ る.第 2 の条件で,C は荷電共役,P はパリティである.
9.5 宇宙のバリオン非対称性
P や CP 対称であれば,大雑把にいえば,粒子が成す系が それに対応する反粒子の成す系と同じ振る舞いをする.も しすべての物質と反物質の反応が同じ比率で進行するなら ば,正味のバリオン数は生じない.このようにして,C や
CP 対称性は破る必要がある.平衡からのずれの第 3 の条 件は,必然的に同じエネルギー準位にある粒子と反粒子間 に,等しくない占有状態を得るのに必要である. 初期宇宙の既存の理論でサハロフの条件をある程度満た
サハロフの条件
しているものは,原則としてバリオン密度あるいはそれと 等価なバリオン対光子比 η を予言している.正味のバリオ ン数は測定されたバリオンに対する光子の比 η = nb /nγ ≈
5 × 10−10 と矛盾しないことが望まれる.これを満たすか どうかは,完全には明らかでない.詳しい議論はこの本の 範囲を超える.ここでは最近の好ましい二三の考え方に触 れるだけにしよう. バリオン数の破れは大統一理論から予言される.しかし, 得られたバリオン数が,たとえばインフレーションのような 他の構成要素と結びついたとき,どのようにすれば保たれる のかを理解するのは難しい.驚いたことに,ゼロでないバリ オン数はまた,通常の標準模型における量子異常(quantum 注 2)
anomaly)
量子異常
からも予言される.そしてこれは目下バリ
オン起源の重要な候補である.
CP の破れは K や B メソン崩壊で観測される.これは 素粒子物理の標準模型から予測されるが,バリオン起源を 説明するにはあまりにも小さいレベルである.もし自然が, 超対称性模型にあるヒッグス場からの CP の破れの仕組み をさらに含むのなら,その効果は十分大きく,観測されて いるバリオン密度が説明される.このことは,標準模型は 不完全であり,他の粒子か相互作用が必要であるという,宇 宙論からの最もはっきりした指摘の 1 つである.それは K や B メソンの CP を破る崩壊を,実験的に調べる重要な 動機になってきた.しかし,これらの実験は標準模型と何 注 2
量子異常は,古典的な対称性が量子化やくりこみの過程で破れると発生 する.場の量子論の摂動的取り扱いでは,くりこみが必要である.そし て,このことは,古典論で得られた不変ラグランジュ密度に不変でない カウンター項を加えることになる.
標準模型の不完全さ
235
236
第 9 章 初期宇宙
ら矛盾することは無かった. 熱平衡からのずれ
熱平衡からのずれは単に宇宙の膨張を通して成される.す なわち,平衡を保つのに必要な反応率が膨張率以下になっ たときであり,Γ H である.あるいは,自発的対称性 の破れに結びつくような位相変換からくるとしてもよい. そんなことで,宇宙についてのバリオン非対称性に関す る現在の状況は,不完全な実験観測と初期宇宙のある時点 でゼロでないバリオン密度が生じたとする部分的な理論の 集まりである.バリオン起源の詳細は未だ霧の中で,積極 的に研究すべきテーマとして残されている.それは素粒子
素粒子物理学と宇宙論の接点
物理学と宇宙論の最も近い学際領域の 1 つになっている. 詳細がわかるまで,宇宙のバリオン密度,あるいは同じこ とであるが,バリオン対光子比は自由なパラメータととる 必要がある.それは観測から得られるべきである.図 9.2 も参照のこと.
図 9.2 微視的スケールで観測される 物質–反物質対称性.巨視的 レベルでは破れているようだ.
微視的 物質
微視的 反物質
巨視的 物質
クォーク
反クォーク
地球
巨視的 反物質
9.6 問題 1. 非相対論的物質が優勢な宇宙について,スケール因子 R とエネルギー密度 の関係を導け! 2. 非相対論的物質が優勢な初期宇宙について,スケール 因子 R と時間との関係を導け!
3. 初期宇宙の全エネルギー密度は温度とともに, =
π2 g∗ T 4 30
(9.55)
のように変わる.フリードマン方程式を使って,膨張 率 H を温度とプランク質量の関数として表せ!
9.6 問題
4. 9.1 節では,量子効果と重力効果が等しい影響力を持 つとの議論から,プランク長を導いた.自然界にある 適切な定数(G,,c)を組み合わせて,特有の長さ が出るようにできる.その答えはどうなるか?
5. 弱い重力場(実際には問題に適用しない)を仮定して, シュワルツシルト半径を推定せよ.地球と太陽のシュ ワルツシルト半径はいくらか? ヒント:脱出速度を非相対論的に考え,式の上で v を
c に置き換えよ. 6. 重力エネルギーが分子の熱エネルギーより大きくなる と,ガス雲はそれ自身の重力のもと不安定になりつぶ れる.つぶれて我々の太陽になる T = 1000K の水素 ガスの臨界密度を推定せよ!安定性の条件(ジーンズ の規準)については問題 8.2 を参照のこと.
7. 時折,星が光速を超えて動くように見えることがある. ほとんどの場合,これは観測時間の間,星が地球の方向 に動いていることによる. 「光を超える(superluminal) 速さ」を引き起こす例を作れ!
237
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
「実際,今日の科学は,何百万もの世紀 を一気にさかのぼり,光と放射の海が物 質とともに無から突然現れた瞬間に発 せられたあのすべての根源である ‘Fiat lux’〔光あれ(let there be light)〕の 証人となることに成功したように見え る.一方,化学元素の粒子は分割して何 百万もの銀河を成したのである.この ように,創造は時間の中で起こったので あり,それゆえそこには創造者がおり, したがって神は存在するのだ!」
Pope Pius XII
ビッグバンの後,およそ 10−2 秒から最初の数分で,温度 はほぼ 10 から 10−1 MeV 以下になった.この間に,陽子 と中性子は結合して,かなりの量の 4 He—質量にして宇宙
原始時代の元素
の原子核の 4 分の 1 を占める—と,それに加えて少量の重 水素(D,すなわち,2 H),トリチウム(3 H),3 He,6 Li, 7
Li,7 Be を作った.星の中で,さらに原子核の合成が行わ
れ,すべての重い元素と比較的少量のヘリウムが生成する. (BBN) ビッグバン元素合成 ビッグバン元素合成 (Big Bang Nucleosythesis) の予言は,観測と非常によく一致することがわかり,これ がビッグバン模型の最も重要な柱の 1 つになっている.
BBN の 2 つのおもな構成要素は宇宙論の方程式とすで に述べた熱力学の方程式であり,それらに加えて原子核反 応を起こす比率がある.原子核反応の断面積は理論的に計 算するのは難しいものの,大部分は,実験室内の実験でよ く測られている.きわめて重要なのは,νe n ↔ e− p 反応 の比率で,この反応で中性子と陽子とが変換する.陽子は 中性子より Δm = mn − mp ≈ 1.3 MeV だけ軽い.この 反応が十分速く進行するかぎり,中性子に対する陽子の比
中性子と陽子間の変換
240
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
はボルツマン因子 e−Δm/T で抑えられる
注 1)
.温度がほぼ
0.7 MeV 程度になると,反応は速く進まず状態が保たれ, 凍結する温度
中性子対陽子比がほぼ 1/6 の値に「凍結」される.ヘリウ ムの存在量は,第 1 近似で単に,利用できるすべての中性 子は最後には 4 He になるとして推定できる.
BBN の 1 つの自由パラメータはバリオン密度 Ωb ,ある
バリオン密度
いは同じことであるが,バリオン対光子比 η である.観測 された軽い元素の存在量と BBN で予言された量と比べる と,η の値が推定できる.その結果は第 13 章で扱う暗黒物 質問題について,根本的に重要となる.
10.1 BBN の二三の要素 「罪人の立場からは,教会は将来彼に地 獄を保証する.しかし,宇宙論は地獄が 光り輝いたのは過去のことであると証 明する」
Ya. B. Zel’dovich
軽い原子核の合成に関する模型を作るには,MeV 領域の 温度に対して適切な宇宙論の方程式と熱物理学の方程式が 必要である.この時点で,宇宙の全エネルギー密度はまだ 輻射(すなわち相対論的粒子)優勢で,したがって圧力と エネルギー密度の関係は P = /3 である.第 9 章で,これ 膨張率
から膨張率と時間が温度の関数として,
√ T2 = 1.66 g∗ , mPl 0.301 mPl t = √ g∗ T 2
H
(10.1) (10.2)
と導かれている. BBN に必要な要素
これらの式を使うためには,有効な自由度数 g∗ を知る 必要がある.クォークやグルーオンは T = 200 MeV 辺り ですでに閉じ込められて陽子や中性子になっているし,核 子の質量はほぼ mN ≈ 0.94 GeV だから,これらはもはや 相対論的粒子ではないことを思い出そう.核子と反核子は 温度がほぼ 50 MeV に下がるまで熱平衡を保てる.そして, 注 1
以下では自然単位を使い,c,~,k を 1 とおく.
10.2 BBN 時代の幕開け
この間それらの数密度は e−mN /T の因子で指数的に抑えら れる.数 10MeV 以下の温度では,反物質は本質的には消
反物質の消滅
え,したがってその結果核子密度はエネルギー密度に大き な寄与を与えない. 温度が MeV 領域になると,相対論的粒子は光子,e− ,νe ,
νμ ,ντ とこれらの反粒子である.光子については gγ = 2 で,e+ と e− は合わせて ge = 4 となる.一般にニュート
ニュートリノ世代
リノが Nν の世代を持つならば,合わせて gν = 2Nν であ る.したがって,(9.18) より
g∗ = 2 +
7 (4 + 2Nν ) 8
(10.3)
となる.Nν = 3 であれば,g∗ = 10.75 となる.この値を 使うと,(10.2) は BBN 時代を記述するのに便利な形
tT 2 ≈ 0.74 s MeV2
(10.4)
と書ける.
10.2 BBN 時代の幕開け 「主のお言葉により天国は創られた.主 がいえばそうなり,主が命ずれば,確固 たるものになった」 聖書;詩篇 33:6,9
温度 T = 10 MeV には,(10.4) から時刻 t ≈ 0.007 s で到 達する.この温度では,すべての相対論的粒子—γ ,e− ,νe ,
νμ ,ντ とそれらの反粒子—は,反応 e+ e− ↔ ν ν¯, e+ e− ↔ γγ 等を通して,熱平衡にある.たとえば,ニュートリノの
相対論的粒子の熱平衡
数密度は相対論的フェルミオンに適した式 (9.11) で,
nν =
3 ζ(3) gν T 3 . 4 π2
(10.5)
電子密度についても同様な式が成り立つ. 温度がほぼ 20 MeV において,すでにすべての反陽子や 反中性子は本質的に消滅している.バリオン対光子比は,も しバリオン起源の完全な理論があるならば,原理的に予言 できる数である.しかし,そうはなっていないので,バリ オン密度を自由パラメータとして扱わねばならない.BBN 時代近くの温度になると,バリオン数を破る過程はもはや
バリオン起源
241
242
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
期待できないので,共動体積内の陽子と中性子の総数は一 定のままである.すなわち,陽子や中性子がもはや相対論 バリオン数保存
的でなくとも,バリオン数保存からそれらの数密度の和は,
nn + np ∼
1 ∼ T3 R3
(10.6)
となる必要がある.中性子と陽子の質量差 Δm = mn −
mp ≈ 1.3 MeV よりずっと高い温度では nn ≈ np になる.
10.3 中性子対陽子比 「宇宙の究極の運命にかかわる最も重 大な不確実さは,陽子は軽い粒子に壊 れることなく,絶対的に安定かという問 題である.もし陽子が不安定であれば, すべての物質は一時的なものであり,分 解して発光してしまうに違いない」
Freeman J. Dyson
全バリオン数は保存するものの,陽子と中性子は nνe ↔
pe− や ne+ ↔ p¯ νe のような反応を通して入れ替わること ができる.典型的なファインマン図を図 10.1 に示す. 図 10.1 反応 nνe ↔ pe− のファイン マン図 中性子対陽子比
重要な問題は ,これらの反応が膨張率より速く進行して, 熱平衡が保たれるかどうかである.このことが保たれてい るとすれば,中性子対陽子の数密度比は
nn = np
mn mp
3/2
e−(mn −mp )/T ≈ e−Δm/T
(10.7)
与えられ,ここで mp = 938.272 MeV,mn = 939.565 MeV, そして,Δm = mn − mp = 1.293 MeV である.熱平衡が 保たれるかどうかを見るには,(10.1) の膨張率 H と反応の 割合 Γ とを比べる必要がある.この反応の割合は 9.3 節の
(9.43) で与えられていて, Γ = nσv . 反応の割合
(10.8)
Γ は nνe ↔ pe− についての中性子当たりの反応の割合で あり,< > は速度の熱分布についての平均を表す.(10.8) の数密度 n は,標的粒子,つまりニュートリノについてで あり,したがって (10.5) で与えられている.
10.3 中性子対陽子比
243
反応 νe n ↔ e− p の断面積は電弱相互作用の標準模型か ら予言できる.正確な計算は難しいが,よい近似で熱的に 平均された速さと断面積の積は
弱い相互作用の断面積
σv ≈ G2F T 2 .
(10.9)
ここで,GF = 1.166 × 10−5 GeV−2 はフェルミ定数で,弱 い相互作用の強さをを特徴づける. 反応の割合を求めるには,(10.9) に (10.5) からの数密度
n を掛ける必要がある.しかし,ここでの主たる興味には 粗い近似でよいから,1 程度の因子は無視して,n ≈ T 3 と すれば,
Γ (νe n → e− p) ≈ G2F T 5
(10.10)
が得られる.逆反応 e− p → νe n について,同様な式が見 熱平衡外
出される.
熱平衡内
さて,この反応は熱平衡が保たれるほど十分速く進行す るかどうかの疑問が出てくる.温度の関数として,(10.1) からの膨張率 H と (10.10) からの反応の割合 Γ を図 10.2 温度
に示す.
Γ = H になる点が,分離または凍結する温度 Tf を決 図 10.2
反応の割合 Γ (νe n ↔ e− p) と膨張率 H 温度依存性
める.
Γ の式と H の式を等しいとおいて, √ T2 G2F T 5 = 1.66 g∗ . mPl
(10.11)
そして,T について解けば,
Tf =
1.66 G2F mPl
1/3 1/6
g∗
.
(10.12)
g∗ = 10.75 を用いて数値計算すると,Tf ≈ 1.5 MeV とな る.(10.12) には中性子と陽子の質量差に直接関係するもの は何も入ってはいないが,それでもその値が mn − mp ≈
1.3 MeV に非常に近いことは興味を引く.この一致につい て,実際の凍結する温度は単純な計算よりもやや小さくな り,もっと慎重な解析をすると,
Tf ≈ 0.7 MeV となる.
(10.13)
凍結する温度Tf
244
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
温度が Tf より低くなると,νe n ↔ e− p 反応はもはや平 衡な数密度を保てるほど速く進行できない.中性子密度は 凍結の条件
凍結すると言われる.すなわち,中性子が陽子に変われる 道筋が,実際上閉ざされる.もし中性子が安定な粒子であ るなら,これは共動体積中の中性子の数が一定である,す なわちその数密度は nn ∼ 1/R3 であることを意味する.実 際は自由な中性子はなお崩壊するから,これは正確ではな
中性子崩壊
い.中性子は平均寿命 τn ≈ 886 s という元素合成の時間ス ケールに比べ比較的長い寿命を持つが,完全に無視するわ けにはいかない. さしあたり,中性子崩壊の影響を無視すると,凍結する 温度での中性子対陽子比は
nn = e−(mn −mp )/Tf ≈ e−1.3/0.7 ≈ 0.16 np
(10.14)
となる.(10.4) によると,この温度に達するのは t ≈ 1.5 s である.次の 5 分間の終わりまでに,実質的にすべての中 性子が 4 He として束縛される.したがって,凍結する温度 中性子対陽子比
における中性子対陽子比は,作られるヘリウム量を決める 決定的な因子になる.ヘリウムの存在量の予測を進める前 に,二三の問題についてやや詳しく述べてみよう.すなわ ち,ニュートリノ脱結合,陽電子消滅,中性子崩壊につい てである.
10.4 ニュートリノ脱結合, 陽電子消滅, 中性子崩壊 「ニュートリノ,それらは実に小さい. 電荷は持たず,質量は持たず,相互作用 は少しもしない」
John Updike
中性子の凍結する温度 Tf ≈ 0.7 MeV を推定するのに,有 有効な自由度数
効な自由度数として,g∗ = 10.75 を用いてきた.これは相対 論的粒子として光子,e+ ,e− ,ν と ν¯ の 3 世代をとったこと に対応している.温度が電子の質量 me ≈ 0.511 MeV 以下 に下がると,g∗ は 10.75 から 3.36 に変化するので((10.16) 参照),BBN の時刻表はやや複雑になる.このことは,重 水素の合成が始まる前に,やや多くの時間が経過し,その
10.4 ニュートリノ脱結合,陽電子消滅,中性子崩壊
結果 g∗ が大きいときより,より多くの中性子が崩壊の機会 を持つことを意味する. ニュートリノは e+ と e− と,反応 e+ e− ↔ ν ν¯ を通して, 平衡状態に保たれる.しかし,温度がおよそ 1 MeV にな ると,この反応の割合は膨張率以下になる.ミューオンニ ュートリノやタウニュートリノは他の粒子から完全に脱結合
ニュートリノの脱結合
−
(decoupling)するが,一方 νe はしばらくの間 νe n ↔ pe
で,相互作用を続ける.およそ 0.7 MeV で中性子が凍結し た後,すべてのニュートリノフレーバーが他の粒子から脱 結合する.しかし,それらは安定なので,数密度は他の相 対論的粒子とまったく同様に 1/R3 に比例して減少し,有 効な自由度数への関与はなお持つ.
T me ≈ 0.5 MeV では,反応 e+ e− ↔ γγ が,双方 向に同じ割合で進行する.しかし,温度が電子質量より下
消滅と創生
+ −
がると,光子は γγ → e e が許されるだけのエネルギー を持たなくなる.最初にあったすべてといっても少ない割 合の電子だけでなく,陽電子も e+ e− → γγ で消滅する. それらはもはや全エネルギー密度に対して重要な寄与はし ないので,g∗ への寄与も無くなる. 反応 e+ e− → γγ によって光子が作られることで,光 子の温度が以前に比べてゆるやかに減ることになる.しか し,ニュートリノはこれと関係なく,ニュートリノ温度は ニュートリノ温度
Tν ∼ 1/R のスケールで減り続ける.熱力学のエントロピー 保存の議論から,陽電子消滅後,ニュートリノの温度は光 子の温度に比べて [17],
Tν = Tγ
4 11
1/3 ≈ 0.714
(10.15)
だけ低いと示すことができる.以下では,T はいつも光子 の温度を表すものとする. そこで,全エネルギー密度を得るには,ニュートリノは やや低い温度にあることを考慮して,(9.19) を使う必要が あり,
7 7 T4 g∗ = gγ + 2Nν ν4 = 2+ 2Nν 8 T 8
4 11
4/3 ≈ 3.36 (10.16)
を得る.ここで,最終的に Nν = 3 とした.
光子の温度
245
246
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
この新たな g∗ の値は膨張率と温度の関係を変える.し たがってまた,時間と温度の関係も変わる.g∗ = 3.36 を
(10.2) に入れて, tT 2 = 1.32 s MeV2
(10.17)
となる.次節で,ほぼ T = 0.085 MeV で重水素が生成さ 凍結する温度
れ始めるまで,凍結した中性子は崩壊することができるこ とを示す.これは (10.17) から時刻 t ≈ 180 s で起こる. 第 1 近似として,中性子は約 3 分間崩壊でき,その後は すぐ吸収されて重水素,そしてヘリウムを作るといってよ い
注 2)
.そこで,凍結から重水素生成の開始まで,中性子
対陽子比は
nn = e−(mn −mp )/Tf e−t/τn . np
(10.18)
ここで,中性子の平均寿命は τn = 885.7 s である.図 10.3 温度
図 10.3 温度の関数としての比 nn /np 中性子対陽子比
は温度の関数として,nn /np を示す. 凍結する温度は Tf =
0.7 MeV で,それ以下では比はほぼ一定であるが,中性 子崩壊によってわずかに下がる.時刻 t = 180 s(T =
0.086 MeV)で, nn ≈ 0.13 np
(10.19)
となる.
10.5 軽い原子核の合成 「私に物質を下さい.そうすれば世界を 作って見せましょう」
Immanuel Kant 4
He の合成は,たとえば次のような連鎖反応によって進
行する.
注 2
pn
→ dγ ,
(10.20)
dp
→
3
He γ ,
(10.21)
d 3 He
→
4
He p .
(10.22)
計算は熱力学的分布の平均値に基づく.したがって,この近似は不連続 な変化を示す.しかし,マクスウェル–ボルツマン分布やプランク分布 をそれぞれに使えば,この不連続は無くなる.
10.5 軽い原子核の合成
重水素の結合エネルギーは Ebind = 2.2 MeV である.した がって,もし温度が十分に高くて,これより大きいエネル ギーを持つ光子が数多くあるならば,重水素は作られても, 重水素生成 すぐ壊れて分解する.温度が下がってきてほぼ 2.2 MeV に なると,すぐに反応 (10.20) が目立ってくると単純に予測 するかもしれない.実際は,これよりもかなり低い温度に なるまで,この反応は起こらない.これは,光子はバリオ ンより非常に多くあり,また,光子のエネルギーはプラン ク分布に従い,高エネルギー部分で長いすそを持っている からである. この時点で,核子対光子比は本質的にバリオン対光子比 −9
η = nb /nγ と同じでおよそ 10
バリオン対光子比
である.重水素生成が進
行し始めるのはいつかは,2.2 MeV より大きいエネルギー を持つ光子数が核子数と等しい温度を求めることで,大雑 把に推定できる.核子対光子比が 10−9 であれば,これは
T = 0.086 MeV で起こり,t ≈ 3 分で達する. 次の数分間の間,崩壊するのを除いて,中性子は本質的 にすべて処理されて 4 He になる.4 He の存在量は通常,質
4 Heの質量の割合
量の割合, 4
YP =
He の質量
すべての核子の質量
=
mHe nHe (10.23) mN (nn + np )
で引用される.ここで,中性子と陽子の質量はいずれも核 子の質量と近似でき,mN ≈ mn ≈ mp ≈ 0.94 GeV であ る.4 He には 4 つの核子があるので,結合エネルギーを無 視すれば,mHe ≈ 4mN となる. さらに,4 He 核当たり 2 個の中性子があるので,中性子のすべてが 4 He に使われる なら,nHe = nn /2 になる.これはよい近似となる.とい うのは,次の最もありふれた重水素核の存在量は,水素核 のそれに比べて,4 から 5 桁少なくなっているからである. したがって,4 He の質量の割合は
YP
= ≈
2(nn /np ) 4mN (nn /2) = mN (nn + np ) 1 + nn /np 2 × 0.13 ≈ 0.23 1 + 0.13
(10.24)
となる.この大雑把な推定値はもっと詳しい計算値ととて もよく一致する.4 He の質量の割合が 23 % というのは,数
4 He数の割合
247
248
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
の上では水素の約 6 % であることを意味する. 宇宙の核合成が最後に質量にして約 4 分の 1 の 4 He を 含んで終わったことは,他のかなり顕著な事柄が同時に起 こった結果として,見なすことができる.たとえば,弱い 相互作用の崩壊で,平均寿命は多くの桁にわたって異なっ てもよい.中性子の平均寿命が 885.7 秒なのは,かなり近 い質量の中性子と陽子が強い相互作用と弱い相互作用で結 パラメータの調整(tuning)
びついたという複雑な結果である.仮に τn がたとえばたっ たの数秒もしくはそれ以下としよう.そうすると,本質的 にすべての中性子が重水素を作る前に崩壊し,一連の核反 応を始めることができない. 脱結合温度の正確な値はまた,いろいろな効果に影響され, それが複雑に混ざって決まる.その効果として,たとえば,
g∗ は熱平衡時の相対論的粒子の数によって決まる.もし脱結 合温度 Tf が 0.7 MeV でなく,たとえば 0.1 MeV としよう. そうすると,中性子対陽子比は e−1.3/0.1 ≈ 2 × 10−6 とな パラメータの微調整
り,ヘリウムは実質的に作られない.一方,温度が mn −mp より非常に高ければ,陽子と中性子は同量になる.このと き,全宇宙はヘリウムで作られる.水素を燃やしている通
宇宙化学,宇宙生命学
常の星が,あり得ないことになる.そして,宇宙は間違いな く非常に違ったものになる(第 14 章:宇宙生命学も見よ).
10.6 BBN の詳細 「時間は少しずつ幾つもの事柄をそれ ぞれ明らかにしていき,そして理由は それらを光の岸に持ち上げる」
Lucretius
元素合成の詳細な模型作りは,存在量のすべてと反応の 質量の割合
割合を含む微分方程式系を用いる.核反応の割合は実験デー タをパラメータで表しておく.比率についての方程式系を 数値的に解く数個のコンピュータープログラムが公開され ている [18].温度と時間に対して,予想された質量の割合 の一例が図 10.4 に示される. ほぼ t ≈ 1000 s で温度は T ≈ 0.03 MeV に下がる.この 時点で,原子核の運動エネルギーがクーロンの障壁を越え
10.6 BBN の詳細
249
質量の割合
分
図 10.4 原始時代の元素の質量と数の 割合の変化.4 He は質量の割 合で,他の元素は数の割合で 示す
温度
るには低くなり,核融合過程が止まる. ビッグバン元素合成の予言と観測値を比べるためには,軽 い元素の原始時代の,すなわち BBN 時代の直後の,存在 量を評価する必要がある.このことは,星の元素合成の結
星の元素合成
果によって存在量が変わるので,複雑である.たとえば,ヘ リウムは星の中で作られるが,重水素は分解する. 4
He の質量割合の最も正確な測定値を得るには,たとえ
原始の4 Heの存在量
ば, 「金属元素の少ない」銀河からの熱い電離したガスの領 域を探してみる.すなわち,そこでは星内で水素が燃えて, 比較的少量の重い元素が作られている.最近の調査の結果
[2] は,原始 4 He の質量の割合は YP = 0.238 ± 0.002 ± 0.005
(10.25)
と結論している.ここで,最初の誤差は統計的誤差,2 番目 は系統的誤差である.宇宙にあるヘリウム 4 の存在量は伝 統的に質量の割合で与えられるが,それと対照的に他の原 始的な元素の含有率は数の割合で示される.たとえば,7 Li については,n7 Li /np ≡ n7 Li /nH で与える. 7
Li の存在量の一番よい決め方は,銀河ハローからの熱 4
い金属元素の少ない星による. He については,金属の存 在量が 0 の状態まで外挿すれば,原始的な値が求まる.最
7 Li
存在量
金属元素の少ない星
250
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
近のデータ [2] はリチウム対水素比
n7 Li /nH = 1.23 × 10−10
(10.26)
を与えている.しかし,この値についての系統的不確かさ は非常に大きく,ほぼ,1 から 2 × 10−10 の範囲になる. 重水素は水素を燃やしている星で,最初の反応 pp →
de+ νe で作られるものの,さらに急速に変化してより重い 原子核になる.星の中では本質的に正味の重水素生成は起 こらず,重水素があればすぐにヘリウムに融合してしまう. 原始時代の重水素
そこで,原始時代の重水素の存在量を測ろうとすれば,は るかに遠いそして時間をはるかにさかのぼって,赤方偏移 の大きい,星の部分では決してないガス雲を探す必要があ る.これらは,これらよりもさらに遠くのクェーサーから くる光に,吸収スペクトル線を作る.λ = 121.6 nm の水 素のライマン(Lyman)–α 線は,非常に大きい赤方偏移 (z ≥ 3)を持つと,スペクトルの可視部分に入る.重水素
重水素の分光学
からの対応する線は短波長のほうへ小さい同位体偏移があ る.2 つの成分の比較から重水素対水素比 D/H = nd /np が推定される.最近の測定値は [19]
nd /np = (3.40 ± 0.25) × 10−5
(10.27)
である. 原始時代の 3 He の存在量の測定はもっと難しい.ビッグ バン元素合成をテストしたり制限をつけたりする十分信頼 できる値は,3 He に関してはまだ無い. 最後に,軽い原子核の予測された存在量が測定値と比較 される.しかし,予測値はバリオン密度 nb あるいは同じ ことだが η = nb /nγ に依存する.水素に対する予測された
D,3 He,7 Li の数の割合だけでなく,4 He の質量の割合も η の関数として,図 10.5 に示した [2]. 重水素の割合 D/H は η が増えるに従い減る.それは,バ リオン密度が高いと,重水素がより徹底してヘリウムに変 D=H比に敏感
わるからである.D/H について得られた予測値はバリオン 密度に非常に強く影響されるので,測定される D/H の値は 一番正確な η の値を提供する.(10.27) の測定値,すなわ ち nd /np = (3.40 ± 0.25) × 10−5 が,η 値の許容範囲を与
水素に対する数の比
10.6 BBN の詳細
251
図 10.5 バリオン対光子比 η の関数と しての 4 He,D,7 Li の予想 される存在量の予測.YP は 原始時代の 4 He の質量の割合 である.宇宙における 4 He の 含有量は慣例上質量の割合で, 他の元素は数の割合で与えら れる(縦軸の切れ目に注意). 7 Li/H についての大きな箱は 系統誤差と統計誤差の 2 乗の 和の平方根を示す
える.それを図 10.5 の垂直の帯で示した.これは
η = (5.1 ± 0.5) × 10−10
(10.28)
に対応している. 図 10.5 の箱は 4 He と 7 Li の測定された存在量(上に述 べた解析とやや異なる解析から)を表す.箱の大きさは測 定の不確かさを示す.これらの測定値は,特に関与する値 の大きさがほぼ 10 程度は広がっていることを考えると,予 想値と驚くほどよく一致している.
η = nb /nγ の値から,バリオン密度が決まる.という のは,光子密度は,宇宙マイクロ波背景放射温度の測定値
T = 2.725 K から (9.11) の nγ = 2ζ(3)T 3 /π 2 を使ってよ くわかっているからである.したがって,η の値は,バリ
バリオン対光子比
オンのエネルギー密度を臨界密度で割った
Ωb =
b c
(10.29)
の予測値に転換できる.臨界密度は (8.33) で c = 3H02 /8πG と与えられている.現在のバリオンは非相対論的であるか ら,そのエネルギー密度は,単に単位体積当たりの核子数 に核子の質量を掛ければよい.すなわち,b = nb mN ,こ こで mN ≈ 0.94 GeV である.これらの事柄を一緒にして, Ωb の決定
252
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
Ωb = 3.67 × 107 × ηh−2
(10.30)
となる.ここで,h は H0 = 100 h km s−1 Mpc−1 で定義 宇宙のバリオンの割合
される.h = 0.71+0.04 −0.03 と (10.28) の η を使うと,
Ωb = 0.038 ± 0.005 .
(10.31)
ここで,不確定さはハッブル定数と η の両方からくる.最 近では,η と Ωb は,宇宙マイクロ波背景放射の温度変動を 用いてより高い精度で測定され,Ωb = 0.044 ± 0.004 と求 まっている(訳注:最近(2008 年)の値については付録 D を見よ).この値は第 11 章で吟味する(表 11.1 も見よ).
BBN と宇宙マイクロ波背景放射の研究は互いに矛盾せず, 一緒にするとビッグバン模型の説得力のある確証になって いる.
10.7 ニュートリノ世代数についての制約 「もしニュートリノ世代がたくさんあっ たなら,我々はここに存在せず,その世 代数を数えることはない.なぜなら全 宇宙はヘリウムから作られており,生命 は発現し得ないからである」 作者不明
この節では,4 He の質量割合の観測値と予測値を比較す ることで,BBN の温度で宇宙の粒子を含む割合にどのよう に制約がつけられるかを示そう.たとえば,標準模型では,
Nν = 3 であるが,つけ加わる世代があるかどうかを問うこ 宇宙論からのN
とができる.後でわかるように,BBN から,Nν が 3 にき わめて近いと制約がついた—電子–陽電子衝突を用いて Z の共鳴状態近くにエネルギーを設定した加速器実験で,非 常に正確にこの値が決められたときよりはるか前のことで ある. いったんパラメータ η が決められると,予測される 4 He の質量の割合は YP = 0.24 の値に近い狭い範囲で決まる.
ニュートリノは何世代か?
前に述べたように,この予測値は測定された存在比とよく 一致する.しかし,予測値は有効な自由度数
g∗ = 2 +
7 (4 + 2Nν ) 8
(10.32)
10.7 ニュートリノ世代数についての制約
253
に依存する.ここで,Nν はニュートリノの世代数である. 前述の標準模型の値,Nν = 3 を使えば,g∗ = 10.75 にな る.この値は
√ T2 H = 1.66 g∗ mPl
(10.33)
を通して,膨張率を決める.したがって,有効な自由度数 は H = Γ (nνe ↔ pe− ) になる凍結する温度に,(10.11) で見られるように大きく影響する.このことは反応の割合
Γ (nνe ↔ pe+ ) ≈ G2F T 5 と膨張率 H の温度に対する変化 を示した図 10.6 で見ることができる.膨張率は g∗ の値と
温度
して,Nν = 2, 3, 4 に対応する 3 つの値を使った場合が示 図 10.6 されている. 図 10.6 から,g∗ の値が大きくなれば,つまり Nν の値
温度の関数としての反応の割 合.Γ (νe n ↔ e− p) と Nν = 2, 3, 4 のときの膨張率 H を示す
が大きくなれば,凍結する温度 Tf も上がるのがわかる.Tf で中性子対陽子比が凍結されて,nn /np = e−(mn −mp )/Tf になる.もし凍結がより高い温度で起こるなら,この比は より大きくなる.つまり,ヘリウムを作る中性子がより多 くなり,ヘリウムの存在量が上がる. これを図 10.7 で見ることができる.ここではバリオン 密度の関数として予測されるヘリウムの存在量を示してい る.斜めの 3 本の帯はニュートリノの相当する世代数 Nν = N とヘリウムの存在量
の質量の割合
臨界密度の割合
バリオン密度
図 10.7 η の関数として Nν のいろい ろな値に対する 4 He の予想さ れる質量の割合
254
第 10 章
ビッグバン元素合成(BBN)
3.0, 3.2, 3.4 としたとき,予測される YP を示している.も ちろんこれはもはやニュートリノフレーバーの数(整数) を表しているのではなく,単に g∗ を与える有効なパラメー タに過ぎない.データは Nν = 3 と矛盾しない.値がこれ よりもっと大きいと明らかに矛盾する [19]. 軽い(すなわち質量 ≤ mZ /2)ニュートリノの相当する 世代数はまた大電子–陽電子衝突型加速器(LEP)で,図
2.1 に示したように,Z の共鳴状態の全崩壊幅を見ることで 決められた(この章の問題 3 も見よ).LEP 実験のデータ N についての加速器のデータ
をまとめると [20],
Nν = 2.9835 ± 0.0083 .
(10.34)
この値は 3 より引用されたエラーバーの 2 倍小さい値であ るが,Nν = 3 に当然よく一致していることは明らかであ り,他のどんな整数値でも排除される.
Nν が加速器実験で高い精度で決められたほぼ 1990 年よ り前,BBN の測定から,ニュートリノが高々もう 1 世代あ るはずとわかっていた [21](第 2 章も見よ).これら 2 つ の異なる方法による Nν 決定の相互関係は,素粒子物理学 者に宇宙論との関連性に注意を向けさせる重要な役割を果 素粒子物理学への宇宙論の衝撃
たした.目下議論してきたのは,ニュートリノ世代数の例 であったが,同じ議論は,中性子の凍結する温度に影響を 及ぼす g∗ にかかわるどのような粒子にも適用される.この ように,軽い元素の存在量は,BBN 時代のエネルギー密度 に著しく寄与するような新しい粒子を含むどのような理論 にも重要な制約をつける.
10.8 問題 1. (10.4) 式で, tT 2 ≈ 0.74 s MeV2 と示した.前の幾つかの式から,この数値がどのよう にして出せるか?
2. 中性子対陽子比を決める際, (n ↔ p)の転換反応 νe + n → e− + p
10.8 問題
の断面積を
σ v ≈ G2F T 2 と推定した.この断面積の T 2 依存性はどのように導 かれるのか?
3. LEP における Z 共鳴状態の全崩壊幅 ΓZ の測定から, 軽いニュートリノ数 Nν の詳細な決定がなされた.Z のこの幅からどのように Nν が得られるか? この問題に答えるには素粒子物理学の幾つかの複雑な 細かいことが必要である.
255
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB)
「神は 2 つの愚かな行いを創造した.第
1 にビッグバンで宇宙を創造したこと. 第 2 に怠慢にもこの行為の証拠をマイ クロ波放射の形で,後に残したこと」
Paul Erd¨ os
この章では,最初の数 10 万年にわたって存在した初期 宇宙を描写する.これはビッグバン模型を支持する一番重
宇宙マイクロ波と黒体放射の概観
要な柱の 1 つとなる.すなわち,宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)である.CMB がどのように,いつ形成されたか, またその特性は何かを見ていこう.これらの中で,一番重 要なのは平均温度が T = 2.725 K で特徴づけられる黒体放 射のエネルギースペクトルであり,まったくといっていい ほど同じ温度のスペクトルを方向に関係なく見ることであ る.方向によって温度がごくわずか違うという最近の測定
宇宙論パラメータの精密な決定
は,数多くの宇宙論パラメータを数パーセントの精度で決 めるのに使われてきた.
11.1 前奏曲:物質優勢宇宙への移行 「今日我々は物質についてあまりにも多 くのことを知っているので,もうこれ以 上の物質主義者にはなれない」
Harides Chaudhuri
前章の時刻表をまとめると,ビッグバン元素合成はほぼ
t ≈ 10 s,すなわち温度が 100 分の 1MeV の数倍に下がっ 3
たときに完了した.このときまでに,重い原子核に束縛さ れていない中性子はすべてすみやかに崩壊していた. 初期宇宙の恐ろしく速いテンポが,ここへきて顕著にギ ヤを変える.次の興味のある出来事は,輻射すなわち相対 論的粒子(光子とニュートリノ)のエネルギー密度が物質
元素合成
258
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB)
(非相対論的原子核と電子)のエネルギー密度よりも小さ 物質–輻射対等
く成り下がったとき起こる.これは「物質–輻射対等」のと きとよばれる.宇宙の時間的発展をたどるには,このこと がいつ起こったかを決める必要がある.というのは,エネ ルギー密度の構成がスケール因子 R(t) の時間発展に影響 を及ぼすからである. 物質–輻射対等のときの推定は,宇宙の中身をどうするか によって変わる.後で見るように,物質に関しては,クラス ター内の銀河の動きをもとにしたり,CMB の特性をもとに
現在のエネルギー密度
したりして,Ωm,0 = m,0 /c,0 ≈ 0.3 と推定されている.こ こで,添え字 0 はいつものように,現在の値を示す.光子につ いては CMB 温度から Ωγ,0 = 5.0×10−5 とわかる.ニュー トリノを考慮すると,全輻射について Ωr,0 = 8.4 × 10−5 である.したがって,現在全エネルギーに関して,物質は 輻射より 3,600 倍ほど多く寄与する. 第 8 章では,フリードマン方程式を解くことによって,
エネルギー密度のR依存性
エネルギー密度の異なる成分の時間依存性を,どのように 予測したかを導いてきた.輻射については,r ∼ 1/R4 が 得られ,一方物質については,m ∼ 1/R3 に従うことがわ かった.これから,比は m /r ∼ R になり,したがってス ケール因子 R が現在の値より 3 600 分の 1 だけ小さいとき に,1 となる. このことがいつ起こるかを突き止めるためには,スケー ル因子が時間とともにどのように変わるかを知る必要があ
Rの時間依存性
る.宇宙が物質–輻射対等のときから現在まで,物質優勢で あるならば,R ∼ t2/3 である.これから物質–輻射対等の とき tmr はほぼ 66,000 年となる.実際,真空エネルギー が,ΩΛ ≈ 0.7 となって,宇宙の主要な部分を占めるとい う抗しがたい証拠につながる.このことを考慮すると,物 質–輻射対等のときは,もう少し早い,ほぼ tmr ≈ 50, 000 年になる. エネルギー密度の優位を占める成分が輻射から物質に変
物質優勢のエネルギー密度への 移行
わるとき,温度と時間の関係も変わる.非相対論的粒子が 質量 mi で数密度 ni であれば,エネルギー密度として,
≈
i
mi ni
(11.1)
11.2 CMB の発見と基本的な性質
259
となる.ここで,和は少なくともバリオンと電子を含み,お そらく「暗黒物質」粒子もまた含む.フリードマン方程式 はそのとき(曲率項を無視して),
H2 =
8πG mi ni . 3 i
(11.2)
エネルギー密度に寄与する粒子は安定であるとすると,
ni ∼ 1/R3 ∼ T 3
(11.3)
が得られる.さらに,R ∼ t2/3 だから,膨張率は
H=
2 R˙ = R 3t
物質優勢時のRとT の時間依存性
(11.4)
で与えられる.(11.3) を (11.4) あるいは R ∼ t2/3 と組み 合わせると,
T3 ∼
1 t2
(11.5)
となる.これはエネルギー密度で,相対論的粒子が優勢の 時代に成り立つ関係 T 2 ∼ t−1 と比べて,対照的である.
11.2 CMB の発見と基本的な性質 「我々が見出してきたのは宇宙誕生の 証拠である.それは,神を見ているよう だ」
George Smoot
CMB が存在することはビッグバン元素合成と関連させ て,ガモフ [22] によって予言されていた.第 10 章で示し たように,BBN には時刻 t ≈ 200 s に到達する温度約 T ≈
0.08 MeV が必要であった.最初の反応 p + n → d + γ の 断面積と中性子と陽子の数密度 n を知って,反応の割合
Γ = nσv を予測できる. BBN によってヘリウムの観測量を生成するには,適切な 時間スケールにわたって,十分高い割合で重陽子融合反応 が起こることが必要である.このことは Γ t が,温度が適 切な範囲に至る時間 t ≈ 200 s で,少なくとも 1 の程度に なる必要がある.この仮定から,BBN 段階におけるの核子 の密度が決まる.
重陽子融合
260
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB)
BBN 時代以後,核子と光子の密度はともに n ∼ 1/R3 ∼ 光子温度の推定
T 3 に従う.そこで,BBN 時代の核子密度と現在の核子密 度とを比べれば,現在の光子の温度が予測される.これら の方針で議論を進め,アルファ(Ralph Asher Alpher)と ヘルマン(Robert C. Herman)[23] は,CMB 温度をほ ぼ 5 K と推定した.この値は大きくずれていないことがわ かった.
宇宙のエネルギー密度に対する
BBN を引き合いに出さなくとも,現在のエネルギー密度
光子の寄与
に対する光子の寄与が,臨界密度を超えられないと主張で きる.そこで,Ωγ ≤ 1 とすれば,T ≤ 32 K となる.
CMB の予言と観測
CMB についてのガモフの予言は,何年もの間検討されな かった,1960 年代になって,プリンストンのチーム(ディッ ケ(Robert Henry Dicke),ピーブルズ(Phillip James
Edwin Peebles),ロール(Peter G. Roll),ウィルキン ソン(David Todd Wilkinson))はこの予測を真剣に受 け取って,CMB を探す実験の組み立てに取りかかった.彼 らは知らなかったのだが,ニュージャージー州にあるベル 研究所の 2 人の電波天文学者ペンジアスとウィルソンが,
CMB と無関係にラジオアンテナの調整をしていた.2 人は 発見を以下のように報告した. 「天頂からの目立ったノイズ があり,温度は · · · 予測より約 3.5 K 高い.この過剰な温 度は我々の観測の限度内であり,ノイズは等方的,偏極な し,季節変化なし · · · 」[24].プリンストンのチームはペン ジアスとウィルソンの観測にすぐ気づき直ちに納得できる 地上ベース対人工衛星に維持され た CMB 測定
解釈を与えた [25].
CMB の最初の観測は,黒体放射のスペクトルと矛盾は 無かったものの,地上ベースの観測は数 cm の波長を持つ 放射しか正確に測定できない.これより短い波長は大気中 の水分によって強く吸収されてしまう.しかし,温度 3 K の黒体放射のピークはほぼ 2 mm の所にある.COBE 観測 衛星が,1992 年になって初めて宇宙からの CMB の正確な 測定を行った.これはエネルギー分布の形が図 11.1 に描か れたように,黒体放射のそれに,すなわちプランク分布に きわめて近いことを示した.
11.3 CMB の形成
261
波長 [mm] 2
強度 [MJy/sr]
400
1
0.67
0.5
VのエラーバーをつけたFIRASデータ 2.725 K 黒体放射
300
200
図 11.1
100
0 0
5
Q
10
15
20
[1/cm]
COBE 観測衛星で測定され た CMB のスペクトルと T = 2.725 K の黒体放射曲 線.エラーバーは 400 倍大き くしている;プランク曲線か らのずれはいずれも 0.005 % 以下である([26] より)
11.3 CMB の形成 「宇宙を横切る無線通信という昔の夢 は,今や多くの人々が期待したのとまっ たく違った形で実現されてきている.宇 宙の短波は我々に違った世界からの株式 市場も,ジャズももたらさなかった.む しろ,柔らかなノイズとともに電子と 陽子間の終わり無き愛のやりとりを物 理学者に伝えている」
Albrecht Uns¨ old
中性水素原子に何とか結びついていた陽子と電子はどれで も,非常に早い時期に,高エネルギー光子の衝突ですぐに引 き離されたであろう.温度が下がるにしたがって,結局は水 素の形成が可能となり,宇宙は電離したプラズマ状態から中 性原子のガスに変わる.この過程は再結合(recombination) 再結合:水素原子の生成 とよばれる.自由電子の密度がほぼゼロに減ることは,光 子の平均自由行程がすぐに長くなって,ほとんどの光子は 以来散乱されなくなることを意味した.これを光子の物質 からの脱結合(訳注:宇宙の晴れ上がり)という.幾つか
光子の物質からの脱結合(宇宙の
の簡単な計算によって,いつ再結合や脱結合が起こったか
晴れ上がり)
が推定できる. 中性水素は電子の結合エネルギー 13.6 eV を持ち,反応
p + e− → H + γ
(11.6)
を通して形成される.単純に考えて,温度が 13.6 eV 以下 になると,中性水素の割合が顕著になると思われるだろう.
262
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB)
しかし,バリオン対光子比 η ≈ 6 × 10−10 は非常に小さい から,E > 13.6 eV の光子数がバリオン数と同程度になる には,温度はこれよりも著しく低いに違いない. (これは重 水素生成がその結合エネルギーの温度 T = 2.2 MeV 辺り で起こらず,かなり低い温度で始まることを説明するのと 同じ基本的な議論である. )中性原子と電離された原子の数 再結合温度
が等しくなる再結合温度は Trec ≈ 0.3 eV(3500 K)であ ることがわかる.この温度を境にして,宇宙は電離したプ ラズマから本質的に中性の水素やヘリウムガスに変わる. 今日測定された CMB の温度 T0 ≈ 2.73 K と再結合温度
再結合時代の推定
Trec ≈ 0.3 eV を比較することで,再結合がいつ起こったか を推定できる.9.2.4 節にあった,光子の波長は λ ∼ R に 従うことを思い出そう.したがって,スケール因子の現在 の値 R0 に対する前の時代の値 R の比は,赤方偏移 z と
λ0 R0 = =1+z R λ
(11.7)
の関係がある.さらに,今日の CMB 温度は T0 ≈ 2.73 K と測定され,また T ∼ 1/R と知られている.それゆえ,
1+z =
1 T 0.3 eV × ≈ ≈ 1300 T0 2.73 K 8.617 × 10−5 eV K−1 (11.8)
を得る.ここで,温度の単位を eV から K に換算するため ボルツマン定数が入った.この時点から現在まで,スケー 再結合の時刻ı 300; 000 年
ル因子が,R ∼ t2/3 に従うと仮定すると,再結合は,
trec
3/2 3/2 t0 R T0 = t0 = t0 = R0 Trec (1 + zrec )3/2 10 1.4 × 10 年 (11.9) ≈ ≈ 300, 000 年 (1300)3/2
で起こっていたことがわかる. 再結合の後,間もなく光子の平均自由行程は長くなって, 光子の物質からの脱結合
光子は事実上物質と脱結合状態になった.宇宙が電離した プラズマ状態である間,光子の散乱断面積はトムソン散乱, すなわち電子による光子の弾性散乱が支配的である.光子 の平均自由行程は,時間の関数として予測できる電子の数 密度と,計算可能なトムソン散乱の断面積から決められる.
11.4 CMB 異方性
宇宙が膨張するのにつれて,電子の密度は減り,光子の平 均自由行程はより長くなる.この行程の長さは,赤方偏移
1 + z ≈ 1100 に対応する脱結合の温度 Tdec ≈ 0.26 eV
脱結合の温度
(3000 K)で,地平線の距離(与えられた時刻での観測可能 な宇宙の大きさ)より大きくなる.この条件によって,物 質から光子が脱結合することが定義される.その脱結合の 時刻は
tdec = t0
T0 Tdec
3/2 =
t0 ≈ 380, 000 年 . (1 + zdec )3/2 (11.10)
いったん光子と物質が脱結合すると,光子は単に妨げら れることなく今日に至る.最終散乱面を,我々を中心とし, 最終散乱面
CMB 光子が散乱した最後の場所までの平均距離を半径と する球面と定義しよう.よい近似で,これは脱結合が起こっ た場所までの距離であり,最終散乱の時刻は本質的に tdec と同じである.それで,CMB を検出すれば,ビッグバン 透明な宇宙 から約 380,000 年後の宇宙の状況を探っていることになる.
11.4 CMB 異方性 「宇宙の万物の流れは,いかなる神や 人によって創られたものではない.そ れは今までずっとそしてこれから先ずっ と生きた火である」
Heraclitus of Ephesus
ペンジアスとウィルソンによる CMB 温度の最初の測定 は,温度は方向によらない,すなわち放射はほぼ 10 % の 精度で等方的になっていることを示した.やがてより精密 な測定により,天空のある特定の方向の温度はその逆方向 の温度より,約 1000 分の 1 だけ高いことを明らかにした. これは双極子異方性とよばれ,CMB 中の地球の運動が原
双極子異方性
因だとして解釈できる.それから 1992 年に,COBE 観測 衛星によって,より小さい角度分解能で,異方性は 105 分 小さい角度異方性の発見 の 1 の程度とわかった.この温度の小さな変化は,最近に
263
264
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB) 注 1)
なって WMAP
観測衛星を含む幾つかの研究グループ
によって,1 度の数 10 分の 1 の角度まで,測定されるよう になった.これから,初期宇宙について豊富な知識を引き 出すことができる.
CMB 異方性を研究するには,CMB 温度を方向の関数と して,つまり T (θ, φ) を測定することから始める.ここで,
θ と φ は球座標のそれぞれ天頂角と方位角である.方向の どのような関数でも,球面調和関数 Ylm (θ, φ) で展開でき ラプラス級数
て(ラプラス級数)
T (θ, φ) =
l ∞
alm Ylm (θ, φ) .
(11.11)
l=0 m=−l
ラプラス級数の数学法則の一部は付録 A.2 に載せた.この 展開は高次の項は高い振動数に対応しているフーリエ級数 と類似している.ここで,l が大きいほど,小さな角度ス ケールの構造に対応する.同じ数学的手法は,電荷分布か 多重極展開
らポテンシャルを出す際の多重極展開に使われている.こ の例から術語を借りてきて,級数の各項を多重極モーメン トとして示す.l = 0 はモノポール,l = 1 は双極子等. いったん,係数 alm が推定されると,角度とともに規則 的に変化する振幅は,
Cl =
l 1 |alm |2 2l + 1
(11.12)
m=−l
角度パワースペクトル
と定義してまとめられる.数値 Cl の組は角度パワースペ クトルとよばれる.Cl の値は角度の分離が
Δθ ≈
180◦ l
(11.13)
で見出される構造の程度を表す.測定装置は一般にある最 小の角度までしか分解できず,これが測定できる最大の l を決める.
注 1
WMAP—ウィルキンソンマイクロ波異方性探査機(Wilkinson Microwave Anisotropy Probe).
11.5 モノポールと双極子項
11.5 モノポールと双極子項 「岩石の堆積層が地球の過去の地質学 上の記録をとどめているように,宇宙 には過去の記録が含まれている」
Heinz R. Pagels
T (θ, φ) の展開で,l = 0 の項は,温度のあらゆる方向
モノポール項
についての平均値を表す.この値を一番正確に決めたのは,
COBE 観測衛星による, T = 2.725 ± 0.001 K
(11.14)
である.
1970 年代,ある特定の方向からの CMB の温度が,そ の反対方向からのよりも 0.1 % 高いことが発見されていた. これはラプラス展開の l = 1 あるいは双極子項の値がゼロ
双極子項
でないことに対応する.この双極子異方性は最近 WMAP 双極子異方性 実験で再測定され,温度の差は
ΔT = 1.23 × 10−3 T
(11.15)
である.温度差が最高に現れた方向は,赤径と赤緯が(こ れらの座標の定義については,付録 C を見よ),(α, δ) =
(11.20h , −7.22◦ ) である.この温度変化は簡単に解釈され る.つまり,CMB が双極子異方性を持たない(局所的な) 唯一つの基準座標に対して,地球が動いているからである. この座標系はある意味で,宇宙の(局所的な) 「静止座標系」 局所的な静止座標系 となっている.太陽系,それとともに地球はコップ座(乙 女座と海へび座の間)の方向に向かって速さ v = 371 km/s で動き続けている.CMB は進行方向については,わずかに 高い温度で青方偏移し,その反対方向では赤方偏移してい る.この双極子の CMB 温度の地図における模様は図 11.2 に示す.この地図は銀河座標系の等面積射影であり,天の 川銀河の面が図の水平線を走っている.
11.5.1 小角度の異方性 初期宇宙にもし小さい密度のゆらぎが存在すると,重力 によってこれらのゆらぎが拡大され,より密な領域がさら
265
266
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB)
図 11.2 COBE 観測衛星で測られた CMB 温度の地図.双極子模 様は CMB 中の地球の運動に よる([27] から){27}
に多くの物質を引きつけ,ついには宇宙の物質が塊となっ ゆらぎと銀河形成
て分離するだろう.これはどのように銀河が形成されたか を示している.今日見られる,塊り具合の程度を与えると, 最終散乱時に,どの程度密度の変動が存在しなければなら ないかが予測できる.この変動は異なった温度範囲に対応 しており,したがって観測されている宇宙の大規模構造か ら,CMB 温度の異方性が 105 分の 1 程度と予測された. このような小さい角度の異方性はついに 1992 年に COBE
COBE と WMAP の角度分
観測衛星によって観測された.COBE の角度分解能はほぼ
解能
7◦ であり,したがってパワースペクトルを多重極数がほぼ l = 20 まで決めることができた.その後,気球実験でさら に小さい角度まで分解が可能となったが,感度が制限され た.最終的に,2003 年に WMAP プロジェクトが,角度分 解能 0.2◦ で CMB 温度変化の非常に精密な測定を行った. その地図の 1 つ(双極子項は引かれている)を図 11.3 に 示す.
図 11.3 WMAP 観測衛星で測られた CMB 温度の宇宙地理学的地 図.双極子成分は差し引かれ ている([28] より){28}
COBE に比べ WMAP の角度分解能は優れているので, 図 11.4 に見るように角度のパワースペクトルは,l ≈ 1000 まで正確に測定された.
11.6 宇宙論的パラメータの決定 角度スケール
267
度
図 11.4 CMB のパワースペクトル. 小さいエラーバーの組は WMAP から,大きいエラー バーの組は WMAP より前の 測定の平均を表す([29] より)
多重極モーメント
11.6 宇宙論的パラメータの決定 「観測される新しい発見によって完全に くつがえされたり,役に立たなくされた りすることができない理論的宇宙論の 特徴が幾つかあるだろう」
Sir Hermann Bondi
CMB の角度パワースペクトルは,最も重要な宇宙論パ CMB 角度パワースペクトルか ラメータの多くを正確に決めるのに使うことができる.こ
らの結論
れらは,臨界密度に対するバリオンからのエネルギー密度 成分 Ωb や非相対論的物質のエネルギー密度成分 Ωm だけ でなく,ハッブル定数 H ,バリオン対光子比 η ,全エネル ˙ の決定
ギー密度 Ω を含んでいる. 一例として,角度パワースペクトルが,Ω からどのよう に影響を受けるかのあらましを以下に与えよう.最終散乱 時 tls ≈ tdec ≈ 380, 000 年に因果関係のある最大の領域を 考えよう.この距離は粒子的地平線 dH とよばれる.単純に
粒子的地平線
考えて,この距離は dH = t(すなわち,ct,しかし c = 1 とおいている)と予期される.宇宙は膨張しつつあるので, これはまったく正しいというわけではない.等方的で一様 な宇宙において,時刻 t での粒子的地平線までの距離の正 しい式は, (たとえば,[30] を参照)
dH (t) = R(t) 0
t
dt R(t )
膨張宇宙における距離
(11.16)
268
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB)
で与えられる.もし物質–輻射対等の前を考えるならば時刻 (tmr ≈ 50, 000 年)の,R ∼ t1/2 であり,dH (t) = 2t とな る.物質優勢時代であれば,R ∼ t2/3 であり,dH = 3t と なる.もし tmr で,R ∼ t1/2 から R ∼ t2/3 へ急に転換す るならば,tls での粒子的地平線は,(11.16) を積分して, 2/3 dH (tls ) = 3tls − tls t1/3 mr ≈ 950, 000(光)年 (11.17)
であることがわかる.tls までの時間のほとんどは,物質優 勢であり,結果は実際 3tls に近い. 音波としての密度のゆらぎ
初期宇宙における密度のゆらぎの詳しいモデルを作るこ とで,ほぼ地平線距離までの距離スケールで大きい水準の 構造を予言できる.これらのゆらぎは,本質的には原始プラ ズマ中の音波である.すなわち,始めの密度の小さい摂動 に物質が落ちることからできる一定の圧力変化である.こ れらの最初の摂動はずっと前の時代,たとえばインフレー ション時代の終わりの時期に作り出されたかもしれない. 温度ゆらぎの角度による差を見ると,実際は光子が放射 した時期における密度の摂動間の距離を測ったことになる.
物理的距離
角度と距離を関係づけるには,物理的距離(proper dis-
角度距離
tance)と角度距離(angular diameter distance)を簡単 に復習する必要がある.時刻 t における物理的距離 dp と は,ハッブル膨張を何とかして止めて,2 点間の端から端 まで,メートル尺を置いて測った距離である.膨張してい る宇宙では,現在の(すなわち,t0 での)最終散乱面まで の物理的距離は,
t0
dp (tls ) = R(t0 ) tls
dt R(t)
(11.18)
で与えられることがわかる.これは,光子が放射されている 場所がハッブル膨張に沿って運ばれていると仮定した上で の,現在のその場所までの物理的距離であることに注意し よう. (前に用いた粒子–地平線距離は,単に t = 0 で放射さ れた光子の源までの物理的距離である. )もし tls 以後物質優 勢ならば,すなわち R ∼ t2/3 ならば,dp (tls ) = 3(t0 − tls ), あるいは近似して dp (tls ) ≈ 3t0 が得られる. さて,我々が知りたいのは,光子が放射されたとき,我々 角度差による温度変化
の視線に垂直な距離 δ = 3tls を張っている角度であり,そ
11.6 宇宙論的パラメータの決定
269
の両端の温度変化である.この角度の値を得るには,δ を 我々から最終散乱面までの現在の物理的距離で割るのでは なく,むしろ光子が散乱し始めた過去のときの距離で割る 必要がある.この場所はハッブル膨張にしたがって運ばれ て,現在ではスケール因子の比 R(t0 )/R(tls ) に等しい分だ け遠くに移動している.したがって,(11.7) を使って,
Δθ =
δ δ R(t0 ) = (1 + z) dp (tls ) R(tls ) dp (tls )
(11.19)
になる.ここで,z ≈ 1100 は最終散乱面の赤方偏移であ る.このようにして,(11.17) で与えられた最終散乱時にお ける,粒子–地平線距離に等しい大きさの今日から見た領域 を考えるならば,それに対して張る角度は, 2/3 1/3
Δθ
≈ ≈
3tls − tls tmr (11.20) (1 + z) 3t0 950, 000 年 180◦ ≈ 1.4◦ × 1100 × 10 3 × 1.4 × 10 年 π
今日見られる最終散乱時の粒子– 地平線距離の角度間隔
となる.この角度スケールかすぐ下の構造が「音波のピー ク」に対応し,パワースペクトルでほぼ l ≈ 200 から始ま るのが見られる. パワースペクトルの構造で, 「音響ピーク(acoustic peak)」 「音響ピーク」 と名づけたのは以下の理由による.すでに述べたように,初 期宇宙の密度のゆらぎは重力の不安定性による.物質がこ れら重力ポテンシャルの井戸に落ちると,この物質は圧縮 され,それによって熱くなる.この熱い物質が光子を放射 しバリオンのプラズマを作り,広がっていき,そこで冷や されてその結果,放射しなくなる.放射圧が減るとともに, 不規則性がある点に到達し,その点に重力が再び引き継が れて次の圧縮段階が始まる.重力による降着と放射圧間の 競争がバリオン流体中の縦波音振動を引き起こす.放射か らの物質の脱結合の後,音振動の模様は CMB として凍結 された.したがって,CMB 異方性は原始時代の陽子流体
陽子流体中の音波
中の音波によるものである. 最終散乱時の地平線距離によって張られる角度は,しか し,宇宙の幾何学に依存する.この角度はエネルギー密度
測定された角度の˙ パラメータ依
の臨界密度に対する比 Ω によって決められる.このことは
存性
図 11.5 に図式的に解説した.図 11.5(a) では Ω = 1 で,し
270
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB)
図 11.5 今日の我々から見た最終散乱 時の地平線距離.(a) 平坦な 宇宙(Ω = 1)(b) 開いた宇 宙(Ω < 1)
たがって宇宙は平坦な幾何学として記述される.三角形の 内角の和は 180◦ であり,音響地平線に対して張られる角度 は 1◦ よりわずかに小さくなる.しかし,もし Ω < 1 であ れば,宇宙は開いており,負の曲率を持つ幾何学で記述さ れる.このとき光子は図 11.5(b) の軌道をたどる.そして, 三角形の内角の和は 180◦ より小さい.この場合,音響地 平線の距離として我々が観測する角度が減るので,最初の 音響ピークを,多重極数 l の高い所に見ることになる.角 度パワースペクトルにおける最初の音響ピークの位置と Ω の関係は
220 lpeak ≈ √ Ω
(11.21)
となることが示される [31].Ω の 3 つの値について,予測 されるパワースペクトルの振る舞いが図 11.6 で見ることが できる. 6 :=0.9 :=1.0 :=1.1
5
Cl
4
3
2
図 11.6 現在のエネルギー密度のいろ いろな値について,予期され る CMB パワースペクトル (CMBFAST プログラム [32] で 計算された値)
1
0 10
100 多重極モーメント l
1000
角度パワースペクトルにおけるピークの詳細な構造は全
11.6 宇宙論的パラメータの決定
271
エネルギー密度だけでなく,他の多くの宇宙論パラメータに も依存する.たとえば,ハッブル定数 H0 ,バリオン対光子 比 η ,物質,バリオン,真空エネルギーからのエネルギー密 度への寄与等である.図 11.4 に示したパワースペクトルの 測定値を用いて,WMAP チームはこれらのパラメータの 多くを,数パーセントあるいはそれよりよい精度で決めて いる.幾つかの値を表 11.1 に示す.これらの中で,最も重 要なハッブル定数が今や最終的に数パーセントの精度で知 られていることがわかり,得られたその値は過去の測定の 平均値(h = 0.7 ± 0.1)とよく一致している.さらに,宇 宙は平坦である.すなわち Ω は 1 に非常に近く,これは偶 然の一致としてはいけない. パラメータ
数値と実験 誤差
ハッブル定数 h 全エネルギー密度対 c 比,Ω バリオン対光子比 η
c で割ったバリオンエネルギー密度,Ωb
c で割った物質エネルギー密度,Ωm
c で割った真空エネルギー密度,ΩΛ
0.71+0.04 −0.03 1.02 ± 0.02 −10 6.1+0.3 −0.2 × 10 0.044 ± 0.004 0.27 ± 0.04 0.73 ± 0.04
表 11.1 CMB 角度パワースペクトル の測定を通して,WMAP 実 験によって決められた幾つか 注 2) の宇宙論パラメータの値
宇宙背景撮像器(CBI(Cosmic Background Imager))
[33]—アタカマ(Atacama)砂漠(訳注:南米チリにある) に置かれた 26 から 36 GHz の振動数に感ずるアンテナ のアレイ— からのデータは平坦な宇宙の描像を確かめ,
Ω = 0.99 ± 0.12 を与えた.この結果は Boomerang 注 4)
Maxima
注 3)
や
とそしてもちろん WMAP の実験と一致する.
さらに,WMAP はバリオン対光子比 η を数パーセント の精度で決めた.求められたこの値は重水素の存在量から 得られた値 η = (5.1 ± 0.5) × 10−10 より,やや大きい.し 注 2
訳注:いろいろな測定をまとめた最近の値については,付録 D あるいは
C. Amsler et al. Physics Letters, B667, 1 (2008) を参照のこと. ただし,この表の数値とほとんど変わっていない(誤差は小さくなって いる). 注 3
Boomerang—Balloon Observations of Millimetric Extragalactic Radiation and Geophysics(ミリ波・銀河系外起源放射および地球物
注 4
Maxima—Millimeter Anisotropy Experiment Imaging Array(ミ
理学の気球観測). リ波異方性実験撮像アレイ).
WMAP で測定されたバリオン 対光子比
272
第 11 章
宇宙マイクロ波背景(CMB)
かし,後者の測定誤差には全系統的不確定性さを表してい ない.実際,両者の一致はまったくもっともらしい.2 つの 完全に独立な測定がそのような近い値をもたらしたことは, 確かによい兆候である.非相対論的物質からの密度 Ωm と 真空密度からの密度 ΩΛ は同様に申し分なく決められてお り,これらの測定値は完全に異なる観測量に基づく以前の 値を確かめている. 欧州宇宙機関(European Space Agency(ESA))に よって 2007 年に打ち上げ予定
注 5)
の Planck(前は CO-
BRAS/SAMBA とよばれていた)プロジェクトから [34], 将来の改良された測定
これらのパラメータや他のパラメータの決定について,さ
初期宇宙における素粒子物理学
らなる改善が期待される.これらの実験は,初期宇宙の宇宙 論と素粒子物理学との間に,もう 1 つの密接な橋渡しを提 供するだろう.CMB は重要な宇宙論パラメータを突き止め るのに手を貸す.それに加えて,超高エネルギースケール— 人工の粒子加速器では決して達成できないエネルギー— で の素粒子相互作用を理解するのに必要な最も重要な手がか りを提供するかもしれない.このテーマについては,イン フレーションに関する次章でさらに調べよう.
11.7 問題 1. ビッグバンからの光子が,最終散乱面を通過した後,散 乱を受ける確率はいくらか?
2. 宇宙定数の限界を推定せよ! 3. 宇宙定数で展開したフリードマン方程式は,エネルギー の異なる形態間の関係に他ならない:
1 GmM m ˙2 m 2 2 R + − − mΛc R = −kc2 2 R 6 ( )* 2+ ( )* + ( )* + 運動
ポテンシャル
全エネルギー
(m は質量 M の銀河団の端にある 1 つの銀河の質量). 古典的なポテンシャルエネルギーに関連した圧力を,R の関数として表せ.また宇宙定数を含む項からくる圧 力と比較せよ. 注 5
訳注:2009 年 4 月初めに Herschel 観測衛星とともに打ち上げ予定.
11.7 問題
4. 黒体マイクロ波の光子の平均エネルギーを算出せよ! プランク分布の積分については,[35] の第 27 章また は,[36] の (3.411) 式を参照のこと.リーマンのツェー タ関数については,
http://mathworld.wolfram.com/ RiemannZetaFunction.html, を見よ.
5. 現在と最終散乱時における宇宙マイクロ波背景放射の エネルギー密度を推定せよ.
6. 最終散乱時の光子の脱結合温度(0.3 eV)は,水素の 電離エネルギー(13.6 eV)に比べて,なぜとても小さ いのか?
273
第 12 章
インフレーション
「インフレーションはレースに勝ったの ではない,しかし今までのところ,唯一 の競走馬である」
Andrei Linde
標準宇宙模型は,観測データ,たとえば軽い原子核の存在 量,宇宙の等方的で一様な膨張,宇宙マイクロ波背景の存 在などを説明するのに非常に成功したように思われる.し かし,CMB の非常に高度な等方性や全エネルギー密度が 臨界密度に近い事実は,宇宙に関する初期条件に,非常に
宇宙に関する初期条件
特別で見たところ恣意的な選択が必要であるという問題を 持ち込んでくる.さらに,他のいろいろな素粒子物理の理 論と同様,大統一理論(GUTs)は,まだ誰も観測に成功 していない磁気モノポールのような安定な粒子の存在を予
モノポール?
言する.これらの問題は,あるごく早い時期に,宇宙の全 エネルギー密度は真空エネルギーが支配的であったと仮定 すれば解決できる.これは,インフレーションとよばれる スケール因子の急激な加速的増加へとつながる. この章では,上に述べた問題をインフレーションがどの ように解決するのか,インフレーションが他に何か予測す るのか,これらの予測は観測と比較してどうなのかを,詳 しく取り上げる.これを行うには,宇宙の膨張について,ご インフレーションの予測 く初期から今日までを予測する必要があるだろう.このた めには,ほぼ 50,000 年後の物質優勢時代と,それに先んず る輻射優勢時代(インフレーション時代そのものは除く) の宇宙を取り扱えば十分であろう.実際はこの描像は,今 宇宙の時代 やまったく本当というわけではなく,そして今日のエネル ギー密度は,一種の真空エネルギーが再び優勢と思われて いる.この事実はこの章に関連する議論を変えるものでは ないので,ここでは無視し,現在の宇宙にある真空エネル ギーの話題は次章で再び取り上げる.
真空エネルギー
276
第 12 章 インフレーション
12.1 地平線問題 「現存している宇宙にはその範囲は限 界がない,というのは限界があるとす ればその先外部を持たねばならぬ」
Lucretius
前の章で,双極子異方性の補正後,CMB はすべての方 向から 105 分の 1 以内の同じ温度でやってくることを示し た.この放射はほぼ tls ≈ 380, 000 年の時刻に,最終散乱 宇宙マイクロ波背景
面から発射された.11.6 節で,tls で粒子–地平線距離だけ 離れた 2 つの場所は,今日見ると角度にしてほぼ 1.4◦ 離れ ていると計算した.この計算では,輻射優勢時代である始 めの 50,000 年は R ∼ t1/2 とし,そのときから tls までの 物質優勢時代は R ∼ t2/3 とした.輻射優勢時代と物質優 勢時代をどのようにとっても,角度は 1 度から 2 度の範囲 であることがわかる. それで,もしほぼ 2◦ より大きい角度で離れている天空の
因果的接触の範囲
範囲を考えるなら,最終散乱時に因果的接触を持たないと 予測される.さらに,投影された全天空を,今までずっと 因果的接触を持っていないであろう 104 以上の区画に分け ることができる.そして,それでもそれらはすべてほとん ど同じ温度である. 因果関係で結ばれていないと思われる領域での説明がつ
地平線問題
かない温度の均一性は「地平線問題」とよばれる.これは, この模型が観測と矛盾する予測を行うという意味での問題 ではない.異なる温度を持つべきだが,おそらくすべて「た またま」同じ温度を持ったのであろう.この選択はまじめ にとれない.複数の系が同じ温度になるには,相互作用す ることが必要で,これ以外のどんな仕組みも関与するとは 考えにくい.
12.2 平坦性問題 「しかし,宇宙のこの型は初期条件とし て,明らかに「常識」とは矛盾する極端 な微調整が必要と思われる」
Idit Zehavi and Avishai Dekel
12.2 平坦性問題
11.6 節で見たように,宇宙の全エネルギー密度は臨界密 度に非常に近い,つまり Ω ≈ 1 である.今では,この値は
˙ı1
ほぼ 2 % 以内で成り立つことがわかっているが,大分前か ら Ω は,少なくともほぼ 0.2 < Ω < 2 に制約されること が明らかになっていた. (下限はたとえば銀河団中の銀河の
宇宙の平坦性
動きから,上限は宇宙年齢は少なくとも観測された一番古 い星と同じくらい古いという制限からくる. )Ω = 1 の状態 は,宇宙は平坦である,すなわち空間曲率がゼロであると いうことである. 今日宇宙がほとんど平坦である,すなわち Ω ≈ 1 である ことについて問題になるのは,初期宇宙でもその値が非常 に 1 に近かったはずであるということである.このことを 見るのに,まず第 8 章のフリードマン方程式を思い出そう. フリードマン方程式
H2 +
k 8πG . = 2 R 3
(12.1)
˙ ここで,いつものように H = R/R で,k は曲率パラメー タである.もし密度 が臨界密度
臨界密度
2
c =
3H 8πG
(12.2)
に等しいならば,k = 0,すなわち平坦な宇宙が得られる.フ
˙ リードマン方程式の両辺を H 2 で割り,(12.2) と H = R/R を用いて,式を整理して,
Ω−1=
k ˙ R2
(12.3)
を得る. さて,物質優勢時代では,R ∼ t2/3 なので,R˙ ∼ t−1/3
物質優勢時代
˙2
となり,RR は定数となる.したがって,Ω と 1 との差は
Ω − 1 ∼ kR ∼ kt2/3 .
(12.4)
物質–輻射対等時期,tmr ≈ 50, 000 年から現在 t0 ≈ 1.4×
1010 年まで物質優勢とすれば,(12.4) より, 2/3 R(tmr ) tmr Ω(tmr ) − 1 = = Ω(t0 ) − 1 R(t0 ) t0 2/3 50, 000 年 = ≈ 2 × 10−4 1.4 × 1010 年
˙ の初期の値
(12.5)
となる.最近の CMB データから,Ω(t0 ) − 1 は今の所,
277
278
第 12 章 インフレーション
ほぼ 0.04 より小さいと測られている.これと (12.5) から, ビッグバン以後 t = 50, 000 年で Ω − 1 は 10−5 より小さ かったことになる. 時代をさらにさかのぼれば,問題はさらに深刻になる.tmr の時刻よりずっとさかのぼってプランク時間 tPl ≈ 10−43 秒までの間,宇宙は輻射優勢であったとしよう.そのとき,
R ∼ t1/2 をとるべきであり,これは R˙ ∼ t−1/2 で,した プランク時間の˙
がって
注 1)
Ω − 1 ∼ kR2 ∼ kt
(12.6)
となる.tmr より前の時期のこの時間依存性を用いて,現 在の値に対するプランク時間での Ω − 1 の値は,
2
2/3 tPl tmr R(tmr ) = R(t0 ) tmr t0 2/3 −43 50, 000 年 10 s ≈ 50, 000 年 × 3.2 × 107 秒/年 1.4 × 1010 年 (12.7) ≈ 10−59
Ω(tPl ) − 1 = Ω(t0 ) − 1
R(tPl ) R(tmr ))
となる.すなわちこのことから,現在 1 程度の Ω の値が見 出されるためには,プランク時で Ω の値は 10−59 以内の 精度で 1 と一致する模型が必要とされる. 地平線問題と同じく,問題点は観測と矛盾した状態を予
平坦性問題
測するということではない.初期宇宙で Ω が勝手に 1 に近 ˙ の微調整
い値をとるのを妨げる何者も無い.しかし,今まで述べて きた宇宙論模型の文脈内で,ある他の値をとることも,まっ たく容易である.そして,もし他の値をとることが,先験 的に同様にあり得ることならば,それなら自然が Ω が 1 に 非常に近い値を「偶然にも」選んで始まったと信ずるのは, とんでもないように見える.なぜ Ω がそのような値をとっ たのかについて,何らかの理由があるに違いないと感じる だろう.
注 1
ボルツマン定数と曲率パラメータは慣例で,同じ文字 k で表す.文脈 からどちらのパラメータを意味するかはいつもはっきりさせるべきであ る.
12.3 モノポール問題
12.3 モノポール問題 「理論の見地から,モノポールは数学的 美的感覚から存在すべきである」
Paul Adrian Maurice Dirac
今まで提案されてきた模型についての最後の「問題」を 理解するには,初期宇宙の相転移について,あるものを思
初期宇宙の相転移
い出す必要がある.第 9 章で,GUT エネルギースケールぐ らいの臨界温度 Tc ≈ EGUT ≈ 1016 GeV
注 2)
で,ある種の
相転移が起こることを述べた.温度が Tc 以下に下がると,
X と Y ボソンの質量を担っているヒッグス場がゼロでな
ヒッグス場
い真空期待値を獲得する.この過程は強磁性体の冷却と類
強磁性体
似している.そこでは突然,磁気双極子が隣と平行に並ぶ. どの方向に並ぶかは,同じように起こり得るが,双極子の 二三が,ランダムにいったん特定の方向を選ぶと,その近 辺はその方向に従う.水が凍って雪片になるもっとありふ れた変化についても,同じことがいえる.水の中で分子は あらゆる方向にランダムに動いている.水が凝固点以下に 冷やされると,氷の結晶ないしは雪片が作られ,水分子は 秩序立った模様を作る.そこでは摂氏零度以上の温度にあっ た位相の対称性が破られている.ヒッグスの場合,双極子
対称性破れの仕組み
の方向や結晶の方向づけと類似したが,そのような物理的 空間の方向を示すのではなく,むしろ抽象的な空間で,そ この座標軸はヒッグス場の成分に対応する.強磁性体や氷 の結晶が方向軸を持つのと同様,場の成分はある与えられ た局所的領域で,同じ方法で,同じ形状をとる傾向にある. 非常に離れていて因果的接触を持たない 2 つの領域を考 えよう.そのとき,ヒッグス場によってそれぞれが獲得し た形状は一般には同じではない.これらの領域間の境界に, 強磁性体結晶の転移と類似した「位相欠陥」とよばれるも
位相欠陥
のができる.欠陥の一番単純な型は点転移の類似形であり, 代表的な大統一理論では,これらは磁荷を持ち歩く.すな わち,磁気モノポールである.磁気モノポールは,質量が およそ 注 2
いつものように,以下では標準的な表記 c = 1,~ = 1,k = 1(ボル ツマン定数)を使う.
磁気モノポール
279
280
第 12 章 インフレーション
mmon ≈
MX ≈ 1017 GeV αU
(12.8)
の粒子として振る舞う.ここで,X ボソンの質量 MX ≈
1016 GeV はほぼ GUT スケールの大きさと同じであり,有 効な結合定数の大きさ αU ≈ 1/40 である. 安定なモノポール
さらに重要な予測は,これらモノポールは安定であると いうことである.質量が大きいので,その生成の瞬間から, 宇宙のエネルギー密度の非相対論的成分として本質的に寄
因果的に孤立した領域
与する.モノポールは因果的に孤立した領域ごとに,それ ぞれ数密度がほぼ 1 で創られると予測される.そのような 領域の大きさは,ビッグバンの最初から相転移の時刻 tc ま での間,光が伝わる距離によって決められる.この距離は 単純に,時刻 tc で (11.16) から与えられる粒子的地平線で ある.もし tc 以前は輻射優勢時代とすると,R ∼ t1/2 で あり,したがって粒子的地平線は 2tc となる.それで,モ
モノポールの数密度
ノポールの数密度は,
nmon ≈
1 (2tc )3
(12.9)
と予測される.臨界温度 Tc は,GUT スケール MX ≈
1016 GeV 程度と予想されるから,相転位の時期は tc ≈ 10−39 秒とわかる.モノポールは非相対論的であるので, モノポールのエネルギー密度
そのエネルギー密度は
mon = nmon mmon ≈
光子のエネルギー密度
MX 1 ≈ 2 × 1057 GeV4 αU (2tc )3 (12.10)
で与えられる.これは同じ時刻の光子のエネルギー密度
γ =
π2 4 T ≈ 2 × 1063 GeV4 15 GUT
(12.11)
と比べられる.したがって最初は光子のエネルギーがモノ ポールのエネルギーよりもまだ γ /mon ≈ 106 倍優勢で ある.しかし,光子はいつでも相対論的であるので,γ ∼
1/R4 であるが,モノポールは非相対論的で,mon ∼ 1/R3 になる.2 つのエネルギー密度は,R が 106 倍大きくなった モノポールの過多
所で等しくなる.それは R ∼ 1/T なので,温度が 106 分の
1 まで下がったときになるといえる.時間は t ∼ T −2 に従う から,γ と mon が等しくなるのは,時間が 1012 倍になっ
12.3 モノポール問題
281
たときになる.したがって,ほぼ TGUT ≈ 1016 GeV あるい は,時刻 tGUT ≈ 10−39 s の GUT スケールから出発して, 温度 Tγmon ≈ 1010 GeV あるいは,時刻 tγmon ≈ 10−27 s で,γ = mon となることが予測される. これは明らかに今日観測されていることと相入れない. 磁気モノポールの探索は以前から行われてきて,1982 年カ ブレラ(Blas Cabrera)によって,1 個の磁気モノポール が見つかったという物議をかもす実験の報告があった [37]. しかし,もっと感度の高い実験で,それ以後モノポールは 見つからなかったので,カブレラの実験は 1 回かぎりの欠 陥だろうと思われる.実際ははるかに深刻な問題が予言さ れたモノポールから出てくる.これらのうちまっ先に挙げ なければならない問題は,エネルギー密度があまりにも大 きくなり,宇宙がずっと以前に再び崩壊していただろうと
磁気モノポールによる再崩壊
いうものである.今日観測されている膨張率と光子密度を 与えると,物質時代に入った所で,モノポールから予想さ れる寄与により再崩壊が起こることになる. このように,宇宙の初期条件が説明できないばかりでな
モノポール問題
く,予測と観測されたものとの間に実質的な矛盾がある.も ちろん,大統一理論は正しくなく,実際そのような描像が 真実であるとする直接の証拠は無いではないかと,論ずる ことはいつでも可能である.また,モノポールを作らない ように GUT を調整する試みは可能であるが,この手の理 論は,通常他の理由から好ましくない.歴史的にはこのモ ノポール問題は,グース(Alan Guth)が,インフレーショ ンの仕組みを提案する動機づけになった要因の 1 つである. インフレーションとは初期宇宙で膨張が加速的に行われた 段階をいう.以下の節でまずインフレーションとは何かを よりはっきりと定義し,どのように起こったか,そして次 にモノポール問題だけでなく,地平線問題,平坦性問題も 同様に,どのように解決したかが示される.
インフレーションが謎を解く
282
第 12 章 インフレーション
12.4 インフレーションでどのようにうまくいくか 「点が中心でないのは空の空間が空で ないのと同じ.それは最も乱暴な物理 の指定席である」
John Archibald Wheeler
¨> インフレーションは加速的膨張が行われる,すなわち R 0 の時期の意味で定義される.この節で,これがどのよう にして起こるかを調べよう.まず,以下のように書けるフ リードマン方程式を思い出そう:
k 8πG R˙ 2 . + 2 = 2 R R 3
(12.12)
真空のエネルギー
ここで, の項は真空のエネルギー密度 v をはじめすべて
宇宙定数
たように,この真空の項は宇宙定数 Λ を考慮したことから
の型のエネルギー密度を含むと理解される.第 8 章で示し 出る.この定数はエネルギー密度に一定の寄与を与え,
v =
Λ 8πG
(12.13)
の形で真空のエネルギー密度として解釈できる. ここで,もし真空のエネルギー,あるいは一般にどのよ うな定数項であっても,全エネルギー密度で支配的になる ことがあれば,何が起こるかを問うことができよう.この 場合として, ≈ v とし,同時に初期宇宙ではいつもよい 近似である k/R2 の項を無視する.そうすると,フリード マン方程式は
8πG R˙ 2 v = 2 R 3
(12.14)
となる.このようにして,膨張率 H は一定となる:
R˙ = H= R スケール因子の指数的増加
8πG v . 3
(12.15)
t > ti について (12.15) の解は
,
R(t) = R(ti ) eH(t−ti ) = R(ti ) exp , = R(ti ) exp
Λ (t − ti ) 3
.
8πG v (t − ti ) 3 (12.16)
すなわち,スケール因子は時間とともに指数的に増加する.
12.5 インフレーションの仕組み
283
より一般に,膨張が加速的に行われる期間についての条 件は,8.6 節にある加速方程式を思い出せばわかる:
¨ 4πG R =− ( + 3P ) . R 3
加速方程式
(12.17)
この式は,エネルギー密度と圧力が
(12.18)
+ 3P < 0
¨ > 0 となり加速的膨張になることを示 を満たすかぎり,R している.すなわち,状態方程式を P = w と表すならば,
w < −1/3 のとき,加速的膨張になる.圧力は系の全エネ wパラメータ,状態方程式のパラ ルギー U をエントロピー S 一定の下で体積 V で微分した
メータ
ものと関係する(補遺 B を見よ).もし,U/V = v が一 定であれば,圧力は
P =−
∂U ∂V
=− S
U = −v V
(12.19)
となる.このようにして,真空のエネルギー密度から負の
負の圧力
圧力が導かれ,状態方程式のパラメータ w = −1 となる. ここでさらに幾つかの疑問を問いただす必要がある. 「そ のような真空のエネルギー密度は何によって引き起こすこ とができたのか?」, 「インフレーションはどのようにして, またなぜ止まったのか?」, 「このことは前に述べてきた幾 つかの問題をどのように解決するのか?」,そして「イン フレーションの観測できる結果とは何か?」
12.5 インフレーションの仕組み 「我々が今知っている力を使うと,君た ちは今我々が知っている宇宙を創造でき ない」
George Smoot
スケール因子の加速を予言するためには,圧力 P とエネル ギー密度 の関係を表す P = w の状態方程式で w < −1/3 が必要であった.w = −1 を持つ真空エネルギーはこの必 要条件を満たすが,何が我々にそれが存在することを信じ させるのだろうか? 真空のエネルギーの考え方は場の量子論から自然に生じ
場の量子論
284
第 12 章 インフレーション
る.量子場についてのよい類似は,すべての空間を埋め尽 くした原子の格子である.原子の系は 1 対の量子力学的振 動子の組のように振る舞う.たとえば,ある特定の振動モー ドは格子のある方向に,決まった振動数や波長を持って伝 播する平面波で書けるだろう.そのようなモードは与えら れたエネルギーと運動量を運ぶだろう.そして,場の量子 論では,これは粒子に相当する.このことは実際フォノン フォノン
(音量子)が結晶格子の中でどのように記述されるかであ る.フォノンは格子中でエネルギーや運動量を運ぶ量子化 された集団振動である. 格子の全エネルギーはすべての原子のエネルギーを含む. しかし,量子力学的振動子は最低のエネルギー状態でさえ,
ゼロ点エネルギー
ω/2 のエネルギーで寄与する.これはゼロ点エネルギーで あり,場の量子論における真空エネルギーと類似される. 素粒子の場の量子論では,この類似性において原子を無
場の励起としての粒子
しで済まし, 「原子間」の空間はゼロとしなければならない. 素粒子の標準模型では,たとえば電子場,光子場等があり, 宇宙におけるすべての電子は,単にその電子場が非常に複 雑な励起状態にあるということになる. 場の量子論の数学的定式化はこの本の範囲を超えるが, どのようにインフレーションが起こり得るかの多少の着想 を与えるために,単に幾つかの一般的な結果を引用しよう.
スカラー場!スピン 0 の粒子
スカラー場 φ(x, t) があるとしよう.この場の励起状態はス ピン 0 の粒子に対応する.φ に伴うエネルギー密度 と圧 力 P は( = c = 1 の単位で)[38]
1 ˙2 φ + 2 1 P = φ˙ 2 − 2 =
1 2 (∇φ) + V (φ) , 2 1 2 (∇φ) − V (φ) 6
(12.20) (12.21)
で与えられる.V の項は幾つかの素粒子理論に現れるポテ ヒッグス場
ンシャルである.たとえば,ヒッグス場について V は,決 まった形が予言されている(以下を参照).さしあたり V (φ) は自由に選べる関数として取り扱おう. さて場 φ(x, t) について,時間や空間についてほとんど一 定なので,V (φ) に関して φ˙ 2 や (∇φ)2 の項は無視できて,
≈ −P ≈ V (φ)
(12.22)
12.5 インフレーションの仕組み
285
となり,したがって状態方程式のパラメータはほぼ −1 と なる.これは w < −1/3 の関係を満たすので,加速的宇宙,
¨ > 0 を与える. すなわち R 場の量子論を構築するのにあたって,ポテンシャル項 V (φ) を書き下す際,かなり広い選択肢がある.たとえば,図 12.1 はヒッグス場に伴うポテンシャルを示す.ヒッグス場は素 粒子物理の標準模型で既知粒子の質量を説明するのに必要 なスカラー場である.
1981 年,グース [39] は大統一理論に関連したスカラー のヒッグス場がインフレーションの原因になり得ると提案 した
注 3)
.この場のポテンシャルは,図 12.2 に示すように,
図 12.1 素粒子物理の標準模型でヒッ グス場 φ に伴うポテンシャル V (φ) の概略図 ヒッグスポテンシャル
必ず φ = 0 を囲んでくぼみを持っている.φ = 0 で局所 的極小になるので,この位置で場は古典的に安定の形状に なっているはずである.この状態で場のエネルギー密度は,
φ = 0 でのポテンシャルの高さで与えられる.時刻 ti で, 場はこの状態に入ったとしよう. そうすると,スケール因 子は指数的膨張
R(t) = R(ti ) exp
8πG (t − ti ) 3
(12.23)
に従う.ここで = V (0) である.
図 12.2 インフレーションを起こすた めに最初に提案されたポテン シャル V (φ) の概略図
場の古典論では,場が φ = 0 の局所的極小に落ち着くと, 永久にそこにとどまる.しかし,量子力学の理論ではこの
改良されたヒッグスポテンシャル
「偽の真空」から V = 0 の真の真空へトンネルを通って抜 け出せる.このことが起こると,真空のエネルギーはもは や支配的ではなく,膨張は放射のような に寄与する他の ものによって進められる. 素粒子物理の標準模型のような場の量子論では,異なった 場は相互作用をする.すなわち,1 つの場からのエネルギー は他の場の励起に転換できる.これが粒子を作ったり消滅 させたりする反応をどのように記述するかである.そこで, インフラトン(inflaton)場(詳しくは以下を参照)が偽の 真空から真の真空に移るとき,そのエネルギーが光子や電 子等の他の「普通の」粒子に転換されることが予測できよ 注 3
訳注:1980 年グースより半年前,日本の佐藤勝彦もインフレーション 理論を提案した.
インフラトン(inflaton)場
286
第 12 章 インフレーション
図 12.3 「新しいインフレーション」 を起こすためのポテンシャル V (φ) の概略図
インフレーションの終わり方
う.このようにして,インフレーションの終わりは,単に既 存のビッグバン模型の熱く膨張する宇宙とそろう.このと き,インフレーションは観測によって立証できるような何 らかの予測をしているわけではないように見える.そして, 今まで述べてきたように,立証する何ものも無い.しかし, この章の後のほうで,ビッグバンの人為的に課さざるを得 なかった初期条件についての説明を,インフレーションが どのように提供するかを示そう. もともとのインフレーションポテンシャルが提案されて 間もなく,このモデルは重要な欠陥があることがグースや
量子力学のトンネル効果の問題
他の人達によってはっきりした.量子力学のトンネル効果は ランダムな過程であるから,インフレーションは異なる場 所ではやや異なる時間で終わるはずである.したがって,幾 つかの場所では,他の場所よりもインフレーションをより長 く経験する.そして,これらの領域はインフレーションを続 けるため,宇宙全体の体積に大きな割合を占める.実際上, インフレーションは決して終わらない.これはインフレー
華麗な退場の問題
ションの「華麗な退場の問題(graceful exit problem)」と よばれている. リンデ(Andrei Linde)[40] と,アルブレヒト(Andreas
Albrecht)とスタインハート(Paul J. Steinhardt)[41] に よって,ポテンシャル V (φ) に適切な修正を行えば,インフ レーションの華麗な終わりを遂げることができることが指 摘された.これに必要なポテンシャルは図 12.3 に概略を示 インフラトン
す.そこに記述される場はインフラトン(inflaton)とよば れる.このようによばれるのは,そのポテンシャルは,ヒッ グス機構のような素粒子物理学的考察からは導けなく,む
12.6 平坦性問題の解決
しろそのただ 1 つの動機はインフレーションを説明するた めにあるからである.V における φ = 0 の局所的極小はほ とんど平坦な台地で置き換えられる.φ ≈ 0 の近傍で,場 は準安定状態に落ち着き,それから真の真空に向けて台地 を実質的に「転がり」落ちる.このシナリオは新しいイン
新しいインフレーション
フレーションとよばれるが,指数的膨張がどこでも華麗に 終わることを示すことができる. しかし,グースのもともとの理論では,新しいインフレー ションはあらゆる場所で同時には終わらない.しかし今や, この特徴は有利な点に変わる.このことが,ほぼ 100 Mpc より小さな距離のスケールで,最近見られるようになった宇 宙の構造や塊状のものの説明に使われる.量子のゆらぎの
量子のゆらぎ
ために,インフレーションの段階が始まるときの場 φ の値 はすべての場所で,正確に同じにはならない.量子力学の トンネル効果のランダムさと同じで,これらの量子のゆら ぎは場所に依存して,真の真空状態に移るのに必要な時間 に差をつける. 空間のある体積がインフレーション的に変化をするとき, エネルギー密度 ≈ V (0) は,本質的に一定である.インフ レーションが終わった後,そのエネルギーは光子,電子等
インフレーションの終わり
の粒子に移される.その後エネルギー密度は,宇宙が膨張 し続けると減り,相対論的粒子については, ∼ R−4 とな る.それゆえに,インフレーションが長く続いている領域 では,この減少の始まりが遅くなる.このようにして,イン フレーションの終わる時期の変動が,場所によってエネル ギー密度が異なるためのもっともな仕組みを提供する.こ れらの密度のゆらぎはその後重力によって増幅され,つい には今日我々が見る構造,たとえば銀河,銀河団,超銀河 団を作ることになる.
12.6 平坦性問題の解決 「私はまさに反重力機械を発明したと ころだ.それは椅子とよばれる」
Richard P. Feynman
インフレーション的膨張が初期の時期にあったことで,平
密度のゆらぎ
287
288
第 12 章 インフレーション
坦性問題,すなわち今日,エネルギー密度が臨界エネルギー なぜ% = %c ?
密度になぜ非常に近いのか,を説明できることを示そう.イ ンフレーションがある最初の時刻 ti から始まり,最後の時 刻 tf まで続くものとし,この時刻の間エネルギー密度はあ るインフラトン場から生じる真空エネルギー v で支配さ れるとしよう.この期間の膨張率 H は
H= スケール因子の e の指数
8πG v 3
(12.24)
で与えられる.それで ti から tf まで,スケール因子は比
R(tf ) = eH(tf −ti ) ≡ eN R(ti )
(12.25)
をもって増える.ここで,N = H(tf − ti ) は,インフレー ションの間,指数関数で膨張する e の指数を表す. フリードマン方程式は,前の (12.3) に戻って,
Ω−1= インフレーション期間の˙
k R˙ 2
(12.26)
と書けた.さて,インフレーション期間は R ∼ eHt であ
˙ り,H = R/R は定数である.ゆえに,インフレーション 段階の間は,
Ω − 1 ∼ e−2Ht .
(12.27)
つまり,インフレーションの間,Ω は 1 に向けて指数的に 近づく. 望ましいことに,この |Ω − 1| の指数的減少でもって, 輻射優勢や物質優勢の時期でも Ω が 1 からずれないよう インフレーション間に˙ を 1 に
に埋め合わせをしていることである.これを見るには,イ
駆り立てる
ンフレーションの指数関数の指数について,Ω が 1 からど れだけずれるかを見積もればよい.物質優勢の期間であれ ば,(12.4) から,|Ω − 1| ∼ t2/3 ,輻射優勢の期間であれ ば,(12.6) より,|Ω − 1| ∼ t である.インフレーションは
ti で始まり,tf で終わるとしよう.それから,輻射優勢が tmr ≈ 50, 000 年まで続き,その後現在 t0 ≈ 14 × 109 年ま で物質優勢になるとしよう.そうすると,現在の Ω と 1 の 差は −2H(tf −ti )
|Ω(t0 )−1| = |Ω(ti )−1| e
tmr tf
2/3 t0 . tmr (12.28)
12.7 地平線問題の解決
第 11 章で,WMAP のデータは |Ω(t0 ) − 1| < 0.04 を示す ことを見てきた.もしインフレーション場がたとえば大統 一理論の物理と関係があるなら,インフレーションはほぼ
10−38 から 10−36 s の時間スケールで起こったと予想され −36
る.tf = 10
インフレーションの期間
s と WMAP の制限 |Ω(t0 ) − 1| < 0.04 を
とったとしよう.インフレーション前,Ω(ti ) − 1 が 1 の程 度としよう.そうするとインフレーションの e の指数は少 なくとも
, 2/3 |Ω(ti ) − 1| tmr 1 t0 N > ln ≈ 61 (12.29) 2 |Ω(t0 ) − 1| tf tmr
でないといけない.インフレーションが始まる前,宇宙は 輻射優勢だとしよう.これは膨張率が,H = 1/2t に従う ことを意味する.時刻 ti の「インフレーションの始まり」 は真空のエネルギーが支配的になり始める時刻であり,し
インフレーションの始まり
たがってインフレーションの間,ほぼ H ≈ 1/ti としてよ い.そのようにして,e の指数はインフレーションの持続 期間によって基本的に決定され,
N = H(tf − ti ) ≈
t f − ti ti
(12.30)
となる.そこで,もし tf ≈ 10−36 s ならば,ti は 10−38 s よりはるかに早くはなり得ない.もちろんインフレーショ ンはより長く続いているのかもしれない.(12.29) 式は,今 日の Ω が 1 に 0.04 の範囲内になぜあるのかを説明するの に必要な e の最小の指数を与えているのに過ぎない.
12.7 地平線問題の解決 「我々の宇宙の始まりに「前」は,無 かった.なぜならその昔,時が無かった からだ」
John D. Barrow
インフレーション的膨張の早い時期で,地平線問題すな わちなぜ全天空は同じ温度に見えるかも説明できる.具体 的にするために,インフレーションは ti = 10−38 s で始ま り,tf = 10−36 s で終わるとし,インフレーションの間,膨 張率は H = 1/ti であるとしよう.宇宙は ti まで輻射優勢
N ı 100?
289
290
第 12 章 インフレーション 地平線問題
とすると,この時点の粒子–地平線距離は,
dH = 2cti ≈ 2 × 3 × 108 m/s × 10−38 s = 6 × 10−30 m (12.31) であった.この距離より遠いいかなる範囲でも,因果的接 因果的接触の範囲
触はできないので,これが同じ温度が見つかると期待され る最大の範囲である.さて,インフレーションの間,大き さ d の領域は eN 倍されたスケール因子 R に比例して膨張 する.ここで,e の指数は (12.30) から,N ≈ 100 である. インフレーションが終わった後,領域は物質–輻射対等の時 刻(50,000 年)まで,R ∼ t1/2 に従って膨張する.そし て,そのときから現在まで,物質優勢として R は t2/3 に比 例する.このようにして,インフレーション前に因果的接 触が行われていたであろう領域の現在の大きさは,
d(t0 ) = d(ti ) eN
tmr tf
1/2
t0 tmr
2/3 ≈ 1042 m . (12.32)
ハッブル距離
この距離は現在のハッブル距離 c/H0 ≈ 1026 m と比較され る.このように,全最終散乱面を含めて現在見ることので きる宇宙は,同じ温度が期待できるはるかに大きい領域に 容易に組み込まれる.天空の反対方向が因果的接触を一度 も持たないことは,インフレーションによって真実でなく なる.したがって,CMB の非常に高度な等方性が理解さ れよう.
12.8 モノポール問題の解決 「もしそれらを見つけられなかったら, それらを薄めよ」
作者不明
モノポール問題の答えは同様に簡単である.インフレー ションの時期の前あるいは間に作られるモノポールについ ては,簡単に調整する必要はある.この調整は以下のよう なモデルで自然にできる.そのモデルでは,インフレーショ ンは大統一理論のヒッグス場と関係していて,もちろんイ ンフレーションが GUT スケールの後で同じように起こる.
12.9 インフレーションと構造の成長
291
このときモノポールの密度はインフレーションの膨張によっ て,極端に減らされる.ごくわずかのモノポールしか残さ れていないので,我々がモノポールを見付けることは期待 できない. 数値をあたるために,モノポールは臨界時刻 tc = 10−39 s に形成されたとしよう.前の例と同じく,インフレーション モノポール密度 の始めと終わりの時刻を ti = 10−38 s,tf = 10−36 s とし, インフレーションの間,膨張率は H = 1/ti としよう.これ
インフレーション中の希薄化
らは指数的膨張の e の指数,N ≈ 100 を与える.ある与え られた数のモノポールを含む体積は R3 に比例して増大す るから,インフレーションの間,密度は因子 e3N ≈ 10130 で減少する.モノポール密度の全時間発展をまとめて考え よう.tc から ti までの輻射優勢の間は R ∼ t1/2 とし,イ ンフレーションの間は R ∼ eHt である.その後,再び輻射 優勢の時期が物質–輻射対等の時刻 tmr = 50, 000 年 まで続 く.次に現在 t0 = 14 × 109 年まで物質優勢で,R ∼ t2/3 に従う.現在のモノポールの数密度は,必要な因子 c をあ
磁気モノポールの希薄化
らわに入れて,
nm (t0 ) ≈
−3/2 ti 1 e−3(tf −ti )/ti (2ctc )3 tc −3/2 −2 tmr t0 × tf tmr
(12.33)
と求まる.適切な数値を入れて,
今日のモノポールの密度
nm (t0 ) ≈ 5 × 10−125 m−3 ≈ 10−48 Gpc−3 (12.34) が得られる.だから,今日我々が見るモノポールの個数は, このような非常に大きな因子によって抑えられており,宇 宙の観測可能な部分にたった 1 個のモノポールがあること さえ期待できないであろう.
12.9 インフレーションと構造の成長 「宇宙は創られたものでなく,絶えず創 られつつあるものである.それはおそ らく永久に成長し続ける」
Henri Bergson
292
第 12 章 インフレーション
インフレーションモデルの主たる成功は,特有な初期条 特有な初期条件
件に対して動的な説明を提供したことである.そのような 説明が提供されなければ,その条件は人為的に課さざるを 得なかった.さらに,インフレーションは,今日見られる 銀河や銀河団のような構造に発達する密度のゆらぎを説明 するもっともな仕組みを提供する.しかし,この定性的な 申し立てを越えて,予測された構造が実際観測したものと 一致するのかを問うことができよう. 宇宙における構造のレベルは,ある与えられた場所での 密度 (x) と平均密度 との相対的な差によって通常定量 化される:
δ(x) = 密度コントラスト
(x) − .
(12.35)
物理量 δ(x) は密度コントラスト(density contrast)とよ ばれる.一辺 L,体積 V = L3 の立方体を考え,V 内の密 度コントラストをフーリエ級数で展開しよう.周期的な境 界条件を仮定して,これは
δ(x) =
δ(k) ei k·x
(12.36)
となる.ここで,和は箱に適合した k = (kx , ky , kz ) のす べての値についてとる.たとえば,kx = 2πnx /L,nx =
0, ±1, ±2, . . . で,ky と kz についても同様にとる.すべて の方向について平均をとると,k = |k| の関数としてのフー リエ係数の平均の大きさが与えられる.次に,パワースペ パワースペクトル
クトルを
P (k) = |δ(k)|2
(12.37)
として定義する.これは単に波長 λ = 2π/k で存在する構 造のレベルの尺度と解釈される.いろいろな観測は異なっ た距離スケールでのパワースペクトルについての情報を提 供する.約 100 Mpc までの距離であれば,たとえば,ス スローン・デジタル・スカイ・ サーベイ
ローン・デジタル・スカイ・サーベイ(Sloan Digital Sky
Survey(SDSS))(訳注:Sloan は財団の名前)のような銀 河の調査は銀河密度を直接測定するのに使うことができる. もっと大きい距離スケールであれば,つまり k のより小さ い値であれば,CMB の温度変化が一番正確な情報を提供
12.9 インフレーションと構造の成長
293
する.幾つかの最近の P (k) の測定を図 12.4 に示す [42].
現在のパワースペクトル
波長
宇宙マイクロ波背景放射 SDSSによる銀河 クラスター存在量 弱い重力レンズ ライマンーアルファの森
図 12.4 いろいろなタイプの観測によ るパワースペクトル P (k) の 測定.曲線はスペクトル指数 n を 1 としたときの予測値. パラメータ h は 0.72 とした ([42] より)
波数
構造形成についてのほとんどの宇宙理論では,大きい距 離(小さい k )については,
P (k) ∼ k n
(12.38)
のベキ則が成り立つとしている.スカラースペクトル指数に
スカラースペクトル指数
ついて n = 1 の値をとると,スケール不変のハリソン–ゼ ルドヴィッチ(Harrison–Zel’dovich)のスペクトルとよば れるものになる.ほとんどのインフレーションモデルは約
10 % 以内で n ≈ 1 と予測している.特定のモデルについ てきっちりした値は採用したポテンシャル V (φ) の形,つ まりその平坦部分がどれだけ長くまた平らであるかに関係 する(たとえば,[43] や図 12.3 を参照). 図 12.4 に示した曲線は,遠距離で n = 1 を持つモデルに 基づいており,これはデータとよく一致する.モデルの具 インフレーションモデル 体的な仮定に依存するが,スペクトル指数の最もよく合う 値は,ほぼ 10 % 以内で 1 に等しい.これは最近,理論と 実験が密接に交わる分野であり,将来パワースペクトル測 定が改善されれば,インフレーションモデルについて,ま すますきつい制約を与えることになるだろう.
294
第 12 章 インフレーション
12.10 インフレーションの見解 「十分にしっかり議論をしているように 見えても,理論がいったん事実と相反す れば,結果は悲劇に終わる」
Louis Nizer
これまでのところ,インフレーションは幾つかの重要な テストに合格してきたと思える.その最も一般的な予測,す なわちエネルギー密度が臨界密度に等しいこと,観測可能 な宇宙についての温度が均一であること,インフレーショ インフレーションのテスト
ン期以前に作られた粒子の残骸が欠けていること,これら は十分観測で確かめられている.その上,これと同レベルの 成功を収められる他に代わるべきまともな理論はない.し かし,インフレーションはただ 1 つの理論ではなく,加速 的膨張の時期も含めた模型の 1 組である.これらの模型で まだ多くの面,たとえばインフレーションを起こすエネル ギー密度の性質とかインフレーションが存在した時間とか で,制約が不十分のまま残されている. エネルギー密度の性質に関しては,第 13 章で述べるが, 宇宙における現在のエネルギー密度のほぼ 70 %は,実際
今の暗黒エネルギー
「暗黒エネルギー」,すなわち真空エネルギーと似た性質 を持つある物である.Ia 型超新星からのデータは,そして
WMAP のような CMB 実験からの情報もまた,数 10 億 年前に宇宙は ΩΛ,0 = v,0 /c,0 ≈ 0.7 の値と矛盾しない ような準指数的膨張を再び受けていたことを示している. (添え字 Λ は真空エネルギーと宇宙定数の関係を表す.添 )臨界密度は え字 0 はいつものように現在の値を意味する.
c,0 = 3H02 /8πG,ここで H0 ≈ 70 km s−1 Mpc−1 はハッ 現在の真空のエネルギー密度
ブル定数である.これから現在の真空のエネルギー密度は ほぼ(c ≈ 0.2 GeV fm)
v,0 ≈ 10−46 GeV4
(12.39)
となる.しかし,上で考えてきたインフレーションの例で は,真空のエネルギー密度は (12.15) より,インフレーショ ンの膨張率に関係する.さらに,膨張率はインフレーショ ンの始まる時間に関係し,およそ H ≈ 1/ti という議論をし た.そこで,もしインフレーションが GUT スケール,たと
12.10 インフレーションの見解
295
えば ti ≈ 10−38 s で起こったとすれば,真空のエネルギー 密度は (9.40) から,
v =
3m2Pl 32πt2i
インフレーション時の暗黒 エネルギー
≈ 1064 GeV4 .
(12.40)
今日の真空エネルギーと初期インフレーション時期に存在 した真空エネルギーは共通した解釈でよいであろう.しか し,両者には莫大な数的な差があり,それらの関係は決し て明らかとはいえない. 後の時刻でもインフレーションが起こり,したがってよ り小さい膨張率を持ち,同様に小さい v を持つと主張する ことはできる.可能な最も遅いインフレーションの時刻は
インフレーションの時刻
ビッグバン元素合成時代のすぐ前,ほぼ t ≈ 1 s であろう. これより遅いどんな時刻のインフレーションでも,軽い原 子核の存在量について BBN の予測が変わり,観測とよい 一致を示していたのが,もはや成り立たなくなる.ti = 1 s でインフレーションが起こったとしても,真空のエネルギー 密度は v ≈ 10−12 GeV4 が必要で,現在の観測値に比べ てまだ 34 桁大きい. これまで述べた観測可能な様相に加えて,インフレーショ ンは重力波の存在を予想する.これらは最初の時期の化石 化した記録を提供するだろう.特に,重力波のエネルギー 密度は
インフレーションからの重力波 2
重力波 =
2
h ω 32πG
(12.41)
重力波 h2 ω 2 = c 12H 2
(12.42)
と予測され,
Ω重力波 =
を与える.これは kHz の重力波に対して,重力波アンテ −27
ナに h = 10
程度の歪みを与える.現在の重力波アン
テナはこの程度の感度に至っていないものの,インフレー ションモデルで期待されるレベルでの予測された重力波背 景が検出されれば,2.7 K 黒体放射の観測でビッグバンを 成功に導いたのと比べられるほど信頼できるものとなる. 重力波の検出は実験的にまだ確立していないが,それで も新しい技術か新しい考えで,インフレーションモデルの予 測を実証する手段を見つけることが,将来できるかもしれ
重力波の検出
296
第 12 章 インフレーション
ない.ペンジアスとウィルソンによる黒体放射発見の 1965 年の当時,現在知られている程度のスペクトルを測ること 新しい実験の可能性?
ができると想像することは非現実的に見えた.ヨーロッパ の Planck ミッションのような将来の観測衛星によって,一 層の進歩が心に描けよう.
12.11 問題 1. 宇宙定数 Λ の値は,宇宙項で拡張されたフリードマン 方程式から推定できる.この値は統一超重力理論で予 測される真空エネルギーの結果と大きさが約 120 桁も 違うとよく言われる.この違いはどのように説明され るか?
2. 宇宙定数 Λ を持つ平坦な宇宙について,宇宙の大きさ の時間依存性を導け.
3. もし Λ 優勢の平坦な宇宙について,Λ が動的に一定 (Λ = Λ0 (1 + αt))であるとして,宇宙の時間発展を 算出せよ.
4. インフレーション期間の終わり(≈ 10−36 s)における 宇宙の大きさを推定せよ.物質優勢宇宙では,その大 2
1
きさは t 3 で増え,一方輻射優勢宇宙では R ∼ t 2 であ ると考えよ.
第 13 章
暗黒物質
「宇宙は何のためにあるのか,なぜ宇 宙はここに存在するのか,その答えを 正確に見つける人がいれば,宇宙はす ぐに消え去りはるかに奇怪で不可解な 何かに取って代わるであろう,という理 論がある.それはすでに起こってしまっ たのだという別の理論もある」
Douglas Adams
最近の観測は,宇宙は平坦すなわち Ω = 1 であること を示してきた.バリオン物質は全構成の 4 % 程度の小さい 割合を占めるだけである.宇宙のおもな構成要素は,我々 宇宙エネルギーの内容 がただ推測するだけの物質あるいは/またはエネルギーで ある.宇宙の物質の約 20 %は暗黒物質であり,73 %は暗黒
暗黒エネルギー
73
(訳注:2008 年の値). エネルギーである(図 13.1 を見よ)
クインテセンス
よく知られているバリオン物質に比べ,どんな種類の物質 が支配的なのかについて明確な考えはない.見える物質で さえ,全バリオン物質の小さい割合しか占めない.
宇宙定数 インフレーション
反発する重力 真空エネルギー
以下の節では,見えないバリオン物質の幾つかの候補に ついて議論し,見つかっていない非バリオン物質や暗黒エ ネルギーについての幾つかの提案を述べる.
23 4
暗黒物質
「通常の」バリオン物質
13.1 宇宙の大規模構造 「我々は今や自然の究極法則を探索す る最終時期の近くにいるかもしれない, という慎重な楽観主義に対する根拠が ある」
Stephen W. Hawking
もともとは宇宙は均一であり,等方的であると仮定され てきた.しかし,すべての証拠はそれとは反対であると語っ
図 13.1 暗黒物質,暗黒エネルギー, バリオン物質の相対比率
298
第 13 章 暗黒物質
c Sidney Harris
宇宙の不均一性
ている.ほとんどすべての規模について不均一性が観測さ れる.星は銀河を作り,銀河は銀河団を作り,そして超銀 河団や銀河フィラメント,超空洞,グレートウォールがあ る.それらの幾つかは名付けられたばかりである.大規模 構造は約 100 Mpc の距離まで調査されてきた.これら大き い規模で,驚くべき塊が見つかった.しかし,銀河の空間 的分布が宇宙における物質の分布と,必ずしも一致すると は限らないことを心に留めておかねばならない.
COBE 観測衛星や WMAP 観測衛星の 2.7 ケルビン黒体 初期宇宙
放射の不均一性についての測定は,初期宇宙は今よりはる かに均質であったことを示してきた.他方,黒体放射の小 さい温度の差は,現在宇宙で我々が見ている構造を作る種 を供給してきた.
大規模構造の発展
大規模構造は重力的不安定さから発展してきたと一般に 考えられている.その不安定さは初期宇宙のエネルギー密 度の最初の小さなゆらぎにさかのぼれる.エネルギー密度 の小さな摂動は,それに伴う重力のため,拡大される.時 間が進むのに従い,これらの重力による集団はますます質 量を集め,構造を作り上げる.もともとの微視的に小さな
量子のゆらぎ
不均一性の原因は,多分量子のゆらぎに見出されるであろ う.宇宙論的インフレーションやそれに続くゆっくりした 膨張はこれらの不均一性を引き伸ばし,現在観測されてい る規模にしてきた.宇宙論的インフレーションの考えの結 果の 1 つは,指数的増大が滑らかで平坦な宇宙を導いたこ
13.2 暗黒物質に対する動機
とであり,それは密度パラメータ Ω は 1 に非常に近くなけ
299
インフレーション ! ˙ = 1
ればならないことを意味する.宇宙の大規模構造の形成や その力学を詳しく理解するためには,質量の十分な量が必 要である.さもないともともとのゆらぎでは,異なる質量 の集団に変化させることが決してできないからである.し かし,目に見える物質の量だけでは,インフレーションが 必要とする Ω = 1 の臨界密度を維持できないのも真実で ある. 平坦な宇宙を得るには,第 2 のコペルニクス的大変革が 必要かもしれない.コペルニクス(Nicolaus Copernicus) は,地球は宇宙の中心ではないと,かつて指摘した.宇宙 論研究者は今や以下のように推測する.人間や地球を作っ ている物質の種類は,宇宙の力学を理解したり臨界質量密
非バリオン暗黒物質の主な役割
度に—暗黒エネルギーとともに—達するために,必要な暗 黒の非バリオン物質に比べてごく小さな役割しか演じない.
13.2 暗黒物質に対する動機 「もしそれが暗黒でなければ,それは物 質ではない」
作者不明
我々の宇宙が暗黒物質を含んでいるという考えは,まっ たく新しいということではない.すでに 1930 年代にツビッ キー(Firtz Zwicky)[44] は,余分な目に見えない暗黒物 質がないと,銀河団は重力的に安定にならないと主張して いた.高い z 値を持つ超新星の最近の観測や宇宙マイクロ 波背景の詳しい測定から,大量の暗黒物質が存在しなけれ ばならなく,そしてそれらは宇宙空間を占めていることが 今や明らかに証明されている.目に見えない暗黒物質が存 在するとの主張は,銀河内の星のケプラー運動からでもす でに推論できる.ケプラーはブラーエの正確な測定をもと に,ケプラーの有名な法則を公式化した.我々の太陽系内 にある惑星軌道の安定性は,遠心力と万有引力の釣り合い から得られる:
mM mv 2 =G 2 r r
(13.1)
(m は惑星の質量,M は太陽の質量,r は惑星の軌道を円
暗黒物質の状況証拠
300
第 13 章 暗黒物質
と仮定したときの半径).その結果の軌道速度(訳注:公
水星
転速度と同じ)は計算できて, 金星
軌道速度
地球
v=
GM/r
(13.2)
火星
木星 土星
となる.軌道速度の半径依存性は v ∼ r−1/2 になるが,こ 天王星
海王星 冥王星
れは我々の太陽系で完全に立証されている(図 13.2). しかし,銀河中の星の回転曲線はまったく違った様子を 示す(図 13.3).質量の大部分は銀河の中心部に集中して
太陽からの距離
いると想定しているので,ややそれよりも大きい距離の所
図 13.2 我々の太陽系内惑星(訳注: では,ケプラー的な v ∼ r −1/2 の軌道速度を少なくとも予 2006 年 8 月以降,冥王星は 惑星から除外されている)の 想するだろう.それとは違って銀河中心から大きく離れた 回転曲線,1 天文単位(AU) 星でさえ,その回転速度はほとんど一定である. = 地球と太陽の距離
平らな回転速度曲線は,銀河ハローは銀河質量のほとん
150
軌道速度 [km/s]
NGC 6503
ど 90 %を含んでいるのに違いないとの結論を導いた.一定 の軌道速度を得るためには,(13.1) にある銀河核の質量は,
100
ハロー
今では支配的なハロー内の目に見えない物質の質量に置き 換えなければならない.この要求から質量密度の半径依存
銀河 円盤
50
性が, ガス
0
0
10
∼ r−2
(13.3)
20
半径 [kpc]
図 13.3 渦巻銀河 NGC 6503 の回転 曲線.銀河円盤,ガス,ハ ローの寄与を別々に示す
になることが導かれる.それは
r m 0 dV mv 2 mV mr−2 r3 =G ∼ G ∼ G r r2 r2 r2 2 (13.4) ⇒ v = 一定
だからである.大きな r についての (13.3) の比例式は,し 銀河の質量密度のパラメータ表示
ばしば以下のようにパラメータで表される:
(r) = 0
R02 + a2 . r2 + a2
(13.5)
ここで,r は銀河系中心からの距離,R0 = 8.5 kpc(天の川 銀河に対して)は太陽の銀河系中心からの距離,a = 5 kpc はハロー核の半径である.0 は太陽系における局所的エネ ルギー密度で,
0 = 0.3 GeV/cm3
(13.6)
である.もし,必要とされる平らな回転速度曲線について, 質量密度が (13.3) のように r −2 で減るならば,銀河の積分
301
13.2 暗黒物質に対する動機
された質量は,体積が r3 で増えるから M (r) ∼ r で大き くなる. 今まで 3 次元で回転について対称な銀河の質量分布を考 えてきた.他の極端な場合として,純粋に 2 次元の分布を
5
調べることもできる.というのは,光を発する物質は張り
元の質量密度を
⎧ ⎨
σ(r) =
M 2πar
arccos
⎩
r a
,
r 0.1 を仮定して,(13.12) より,すべ
トリノ質量の下限 注 4
簡単のため,いつものように c = 1 としている.しかし,数値をあた るときには光速の正しい数値 c ≈ 3 × 108 m/s を使わねばならない.
13.2 暗黒物質に対する動機
.
てのニュートリノフレーバーの質量の和は,
307
mν > 2 eV
となる.ニュートリノセクターで,荷電レプトンと同じ質量 の階層性が成り立っているとすると(me mμ mτ →
mνe mνμ mντ ),τ ニュートリノの質量を 1 eV ≤ mντ ≤ 10 eV
(13.14)
の範囲に制限することができる. しかし,この結論は Ων > 0.1 に基づいている.最近の
Ων の推定値ははるかに小さい値(Ων < 1.5 %)を示して いるので,ντ の質量は相当に小さくなり得る.小さい質量 を持つニュートリノは相対論的であり,初期宇宙の熱平衡で いわゆる「熱い暗黒物質」を成すだろう.しかし,熱い暗 熱い暗黒物質 黒物質では,宇宙における小規模(銀河の規模)の構造を 理解するのはきわめて難しい.それゆえ,ニュートリノは 暗黒物質のよい候補とは考えられない. ニュートリノ質量の大きさについて,さらに制限がつく 可能性がある.銀河の暗黒物質に直接関与するには,ニュー トリノは銀河に重力的に束縛される必要がある.すなわち, 銀河に対する重力的束縛 その速度は脱出速度 vf より小さくなる必要がある.この ことから最大運動量 pmax = mν vf について制限が計算で きる.もし銀河中のニュートリノが,最低エネルギー状態 (T = 0)で自由な相対論的フェルミオンガスとして扱える ならば,フェルミエネルギー
自由な相対論的フェルミオンガス
EF = c(3π 2 nmax )1/3 = pmax c
としてのニュートリノ
(13.15)
から,ニュートリノの質量密度についての推定(nmax —数
ニュートリノの質量密度
密度)
nmax mν =
m4ν vf3 3π 2 3
(13.16)
が導ける.もし銀河の力学をニュートリノ質量で説明しよ うとすれば,nmax mν は銀河中の暗黒物質の代表的な密度 と少なくも同じ程度でないといけないから,これらの議論 はニュートリノ質量に対する,下限を与える.M と r を 銀河の力学からのニュートリノ質 銀河の質量と半径として,vf =
2GM /r を用い,ニュー
トリノ質量密度と銀河の大きさと構造にもっともな仮定を して,
量の下限
308
第 13 章 暗黒物質
mν > 1 eV
(13.17)
を得る.この議論は再度,宇宙の質量密度にニュートリノ質 量が相当な寄与を持つと仮定したことに基づいている.こ れら宇宙論的主張は,ニュートリノ質量について比較的狭 い範囲しか許さない. これらの考察はニュートリノ振動の結果の解釈と必ずし も矛盾するものではない.というのは,ニュートリノ振動 ではニュートリノ質量を直接測るのではなく,むしろ質量 の 2 乗の差を測るからである.大気ミューオンニュートリ ノの欠損から,
δm2 = m21 − m22 = 3 × 10−3 eV2
(13.18)
が得られる.もし νμ –ντ 振動がこの効果の原因ならば,宇宙 論的質量制限と矛盾すること無く,ミューオンニュートリノ 振動からのニュートリノ質量
とタウニュートリノの質量が,非常に近ければよい.荷電レ プトンセクターで知られている質量の階層性(me mμ
mτ )がニュートリノセクターに移され,mνμ mντ なら ば,その結果(mντ ≈ 0.05 eV)は,宇宙論的制限と矛盾 する.しかし,このとき宇宙論的制限は,宇宙における質 量密度に対してニュートリノ質量が実際重要な役割を演じ ているとする仮定から導かれており,今やそのような役割 をしていないことがわかった. もし軽いニュートリノが銀河ハローを満たしているなら ば,地球に到来している高エネルギーニュートリノのスペ ニュートリノの吸収線
クトルに狭い吸収線が見られるはずである.そのような吸
ニュートリノハロー
収線が観測されれば,ニュートリノハローの存在の直接証 拠になるだろう.さらに,この線のエネルギーの位置から, ニュートリノ質量を直接推定できる.ニュートリノ質量を
10 eV として,吸収線の位置は ν + ν¯ → Z 0 → ハドロンま たはレプトンについて,(3.16) より,
2mν Eν = MZ2
(13.19)
から計算できて,
Eν =
MZ2 = 4.2 × 1020 eV 2mν
(13.20)
となる.そのような吸収線の検証は,Z 崩壊からのハドロン
13.2 暗黒物質に対する動機
またはレプトンのバースト(「Z バースト」)を起こすので, Z バースト 実際実験的に手ごたえのある仕事であろう.宇宙論的データ に適合させる最近の操作では,宇宙における全質量密度に対 するニュートリノ質量の寄与はかなり小さい(Ων ≤ 1.5 %) ことを示している.だから,吸収線の観測はむしろあり得 ない.
13.2.3 弱相互作用しかない重い粒子(WIMPs) 「このような問題で,真理は多くの誤 りの変種とともに置かれているのみで ある」
Virginia Wolf
バリオン物質やニュートリノの質量では宇宙を閉じさせ るには不十分である.暗黒物質のさらに別の候補の探索が, 重力のほかに弱い相互作用しか持たない粒子に向けられる のに違いない.さもなければ,候補をすでに見つけている はずである.弱相互作用しかない重い粒子(WIMPs)の 存在を可能にするいろいろなシナリオがある.原理的には, 第 4 世代? 重いニュートリノを持つレプトンの第 4 世代を考えること ができよう.しかし,LEP の Z の崩壊幅についての測定 は,軽いニュートリノの種類は正確に 3 であることを示し た(第 2 章の図 2.1 と 10.7 節を見よ).そこで,可能な第
4 世代の質量の制限が出る: mνx ≥ m(Z)/2 ≈ 46 GeV .
重いニュートリノ
(13.21)
しかし,そのような質量では重すぎて,ビッグバンでかな り多くの量が作られたとは考え難い. 重いニュートリノに代わるものとして,WIMPs がある.
WIMPs はニュートリノ族より Z と一層弱く結びついてい るかも知れない.そのような粒子の候補は,標準模型を拡 張した超対称性理論 で与えられる.超対称性とは,基本的 なフェルミオン(レプトンとクォーク)とゲージボソン(γ ,
W + ,W − ,Z ,グルーオン,ヒッグスボソン,重力子)と の間の対称性のことである.超対称性模型では,すべての粒 子は超多重度の枠で配列され,各フェルミオンはボソンの
標準模型の超対称性拡張
309
310
第 13 章 暗黒物質
パートナーを持ち,各ボソンはフェルミオンのパートナー を持つ. ボソンのクォークとボソンのレプトン (スクォーク (squark) とスレプトン(slepton)とよばれる)は,通常のクォーク とレプトンと関係づけられている.通常のゲージボソンの 相棒は,超対称性ゲージノ(gaugino)である.ここで,チ ャージーノ(chargino)(荷電ゲージボソンの超対称性の
/ + ,W / − )や荷電ヒッ パートナー:ウィーノ(wino)(W 0 + ,H 0 − ))と,ニュートラリー グシーノ(higgsino)(H 0,ジィーノ ノ(neutralino)(フォティーノ(photino)γ 0,中性ヒッグシーノ(higgsino)(H 0 0 , . . .),グ (zino)Z 0,それとグラビティーノ(gravitino) ルイーノ(gluino)g )とは区別されねばならない.超対称性粒子は加速器で見 つかっていない.このことは,超対称性は破れているのに フォティーノ
違いなく,超対称性のパートナー粒子は既知の粒子より重
フォティーノ
く,現在の加速器で届く範囲ではないことを示している.超 対称性理論は少なくとも理論家にとって,美的で単純なの で本当であると思いたくなる.新しい量子数である R パリ ティが通常の粒子をその超対称性のパートナーから区別す
見えない フォティーノ
る.もし R パリティが保存量であり—そして一番単純な超 対称性理論の場合であれば— 最も軽い超対称性粒子(LSP (the lightest supersymmetric particle))は安定であるに 違いない(崩壊するのは R パリティを破るときだけ).こ の最も軽い超対称性粒子が 暗黒物質の理想的な候補として
見えない フォティーノ
図 13.9 (a) 超対称性粒子の生成と崩 壊のファインマン図.(b) 検 出器内での見え方
挙げられる(図 13.9).CERN に建設中の LHC(Large
Hadron Collider,大型ハドロンコライダー)は,超対称性 粒子を作り出し,その生成を再構成することに成功するか なりのチャンスがあると,一般に考えられている.LHC に おける最初の衝突は 2007 年に予定されている
注 5)
.
しかし,LSP の持つ相互作用の弱さは同時にその検出を WIMP,LSP 検出の可能性
難しくする.もし加速器においてたとえば陽子–陽子あるい は電子–陽電子相互作用で超対称性粒子が作られるならば, 最終状態の失われたエネルギーを見ることで明らかにされ るだろう.なぜなら,超対称性粒子の崩壊では 1 個の最も 注 5
訳注:2008 年 9 月 10 日に衝突実験開始.その後故障し修理が必要と なった.運転再開は 2009 年春以降の見通し.
13.2 暗黒物質に対する動機
311
軽い超対称性粒子がいつも作られ,それは顕著な相互作用 無しに検出器を通り抜けてしまうからである.原始時代に 作られた超対称性粒子は,R パリティが保存すれば安定だ と期待される最も軽い超対称性粒子を除いて,大分以前に すでに崩壊しているであろう.これら LSP は普通の物質 と衝突して,エネルギーの一定量を失うことでそれらの検 出に使われよう.あいにく,WIMPs 相互作用(質量 10∼
100 GeV)で標的核に移される反跳エネルギーはかなり小
反跳エネルギー
さい.すなわちほぼ 10 keV の範囲である.それでも,反 跳核によって作られる電離かシンチレーションを測ろうと
反跳核による電離とシンチレー
している.また,ボロメーター内に移されたエネルギーを
ション
直接熱量測定することも考えられる.測るべきエネルギー
ボロメーター 熱量測定
ΔQ が小さくて,関連してごくわずかの温度 ΔT = ΔQ/csp m
(13.22)
(csp は比熱,m はカロリメーターの質量)しか上昇しない ので,このような測定は超純粋な結晶(たとえば,サファ イア)内で,極低温(ミリケルビンの範囲で,csp ∼ T 3 ) でのみ行うことができる.超伝導の細片を検出に使うこと も考えられている.これはエネルギーを吸収して通常の伝 導状態になるので,利用できる信号を出すであろう.
WIMPs の数密度についての一般的な仮定をもとにする と,標的キログラム当たり,1 日当たり,多くとも 1 事例 の計数割合が期待できよう.このような実験の重要な問題 予想される WIMP の割合 は,自然放射能や宇宙線によるバックグラウンドである.
WIMPs はその予想される大きな質量のために,また太 陽や地球によって重力的に捕らわれることもあり得る.そ
太陽系での重力的束縛
れらは太陽や地球の物質と時々相互作用して,エネルギー を失い,結局太陽あるいは地球それぞれの脱出速度より小 さな速度になるだろう.WIMPs や同様にその反粒子は捕 らえられるので,互いに消滅して,陽子–反陽子あるいは
WIMP 消滅
ニュートリノ対になるだろう.捕らえられるのと消滅の割 合の平衡状態が得られるだろう.
WIMP の消滅の信号はもともとニュートリノ天文学のた めに設計された既存の大検出器で記録することができるだ
ニュートリノ検出器による可能な 記録
312
第 13 章 暗黒物質 注 6)
ろう.建設中の大きなニュートリノ検出器(ANTARES
や IceCube)もまた WIMP 信号を拾い上げる機会がある だろう. 特に重い WIMP 粒子が,元素合成の前のビッグバン時代 に形成されたとされる原始ブラックホールとして現れたと WIMP 候補としてのブラック
するのは,まったく思いもよらないことではない.そのよ
ホール
うなブラックホールは冷たい暗黒物質の理想的な候補とな り得るだろう.しかし,ビッグバン時代にそのような原始 ブラックホールを作る仕組みを考えることは非常に難しい. 注 7)
最近,イタリアと中国の DAMA
共同研究は,WIMPs
の存在についてヒントになる 1 つの結果を公表した.我々 天の川銀河に重力的に束縛可能な 季節依存の WIMP フラックス
の太陽と同様に,天の川銀河はまた全体として,重力的に
WIMPs を捕らえられる.太陽系が銀河中心の周りに回転 している間,仮説的な WIMP ハローに対する地球の速度 は季節によって変化するだろう.このようにして,太陽の 周りの軌道に乗っている地球は季節によって異なる WIMP のフラックスに遭遇するだろう.6 月には地球はハローに 向かって動き(→WIMP との衝突の割合が大),12 月には ハローと同方向に動く(→WIMP との衝突の割合が小).
DAMA と CDMS 共同研究
DAMA 共同研究では,100 kg の重いヨウ化ナトリウム
からの結果
の結晶内で相互作用の比率の季節による変動を測定してき た.相互作用の比率の変調は 3 % の振幅であり,それは
WIMPs の証拠として解釈された.グランサッソーの実験 室で得られたその結果は,WIMPs の質量が 60 GeV が都 合がよいとした.しかし,この主張はアメリカの共同研究 注 8) 注 9 )
(CDMS)
の結果と矛盾する.CDMS では非常に
高感度の低温カロリメーター内で季節によらない中性子の バックグラウンドを観測するだけだった.
注 6
ANTARES—Astronomy with a Neutrino Telescope and Abyss environmental RESearch(ニュートリノ望遠鏡による天文学と地底 探索).
注 7
DAMA—DArk MAtter search(暗黒物質探索).
注 8
CDMS—Cryogenic Dark Matter Search(低温暗黒物質探索).
注 9
訳注:日本でも XMASS 実験を始め WIMPs 探索の二三の実験計画 が進んでいる.
13.2 暗黒物質に対する動機
c Sidney Harris
13.2.4 アキシオン 「すべての複雑な自然現象について,単 純で,優雅で,つり込まれるような,し かし間違った説明がある」
Thomas Gold
弱い相互作用はパリティP や荷電共役 C を破るだけでな
C ,P ,CP の破れ
く,組み合わせた対称性 CP も破る.CP の破れは,中性 ケーオンや B メソンの崩壊で印象深く立証された.強い相 互作用を記述する量子色力学(QCD)の枠組みの中では,
CP を破る項も理論の中に入っている.しかし,強い相互 作用では CP の破れは実験的に見つかっていない.
QCD の枠組みの中での理論的考察に基づくと,中性子 の電気双極子モーメントは磁気双極子モーメントと同じ程 度あるべきである.しかし,実験によると,それは非常に 小さく,ゼロとしてさえ差し支えがない.この矛盾はいわ
強いCP 問題
313
314
第 13 章 暗黒物質
ゆる強い CP 問題として知られている.この謎の答えはお そらく素粒子の標準模型の枠組みの外にあるのだろう.1 つ アキシオン
の可能な解答は,結果的にアキシオン(axion)とよばれる 擬スカラー粒子を必要とする場や対称性を追加,導入する ことで与えられる.アキシオンは中性パイオンと類似した 外場
性質を持っていると考えられている.π 0 と同じく,2 つの 光子と結合して,2 つの光子崩壊か,あるいは外部の電磁場 内で光子に変わるかして,観測できるだろう(図 13.10). 理論的考察からアキシオンの質量は μeV から meV 間の 範囲のどこかにあると思われている.アキシオンだけで,
宇宙の臨界密度に届くようにしようとするとアキシオンの 図 13.10 (a) アキシオンがフェルミオ 密度は—質量を 1 μeV として—非常に大きいものになる ンループを通して,2 つの光 子と結合.(b) 電磁場による (> 1010 cm−3 ).アキシオンの予想されている質量が非常 アキシオンの転化によっても 光子が作られる
銀河による重力的束縛
に小さいため,銀河に重力的に束縛されるには非相対論的 な速度を持たねばならない.というのは,そうでないと単 に銀河から脱出してしまうからである.この理由から,ア
冷たい暗黒物質 アキシオン崩壊
キシオンは冷たい暗黒物質と考えられる. 質量が小さいので,アキシオン崩壊で作られる光子は一般 にエネルギーは低い.アキシオンのエネルギーとして μeV の範囲を選ぶと,磁場内のアキシオンの相互作用で作られ る光子はマイクロ波の範囲に入る.したがって,宇宙アキ シオンを検出できる 1 つの方法は,マイクロ波空洞内の信 号を測定することであり,それは熱的ノイズよりはるかに 目立つであろう.アキシオンは強い CP 問題の解として必 要と思われ,それだから暗黒物質のよい候補と考えられた が,その探索のすべての実験は,今までの所否定的な結果 である.
13.2.5 真空エネルギー密度の役割 平坦な宇宙と宇宙定数
平坦な宇宙を得ようとすれば,宇宙の指数的膨張を起こ すためのゼロでない宇宙定数が必要となる.宇宙定数は有 限な真空エネルギーの帰結である.このエネルギーは,も
偽の真空
ともと偽の真空,すなわち最低エネルギー状態ではない所 に,蓄えられていたものである.偽の真空のエネルギーは,
13.2 暗黒物質に対する動機
真の真空に移行することで解放される(12.5 節を見よ). 逆説的にいえば,ゼロでない宇宙定数は,静的宇宙を記
315
真の真空 宇宙定数と静的宇宙
述するために,アインシュタインが一般相対性理論の場の 方程式にパラメータとして導入したものである.そのよう な宇宙は当時通説であって,アインシュタイン理論から導 かれる動的な振る舞いを防ぐためでもあった.現在では,宇 宙の力学を決める支配的なエネルギーは,空の空間自身に
支配的なエネルギーとしての宇宙
蓄えられているように見える.ここで,宇宙定数は必要な
定数
暗黒物質を実際上補うことができるのかどうかの問いが生 ずる.この問いは,過去数年にわたって,超対称性粒子や アキシオンの存在の問題と同じように物議をかもした.し かし,最近では幾つかの実験が暗黒エネルギーが相当な量 あることを信じざるを得ない証拠を見出してきた.それは たとえば,ゼロでない宇宙項として解釈できるものである. インフレーションについては,第 12 章を参照のこと.
MACHO,WIMPs やアキシオンの形の古典的な暗黒物 質と宇宙定数 Λ の効果の間には根本的な差がある. 質量 m のテスト体に対して物質と真空エネルギーから作 り出されるポテンシャルエネルギーは,ニュートンにした がって簡単に書けて,
mM真空エネルギー mM物質 −G R R 真空 R3 物質 R3 − ∼− R R
Epot = −G
(13.23)
である.宇宙が膨張している間,物質密度と真空エネルギー 物質密度 対 真空エネルギー密度 密度の間には,根本的な違いがある.(13.23) の真空エネル ギー項について,真空エネルギー密度は,真空の性質によ り,一定のままである.これに比べて物質密度は,質量の みが一定であるので,膨張の間に薄まって一定にはならな い.したがって,ポテンシャルエネルギーの空間依存性は
Epot ∼ −
M物質 − 真空 R2 R
(13.24)
で与えられる.真空 ∼ Λ だから,(13.24) は質量項の半径 依存性は,宇宙定数を含む項のそれとは根本的に異なるこ とを示している.それゆえ,暗黒物質(M物質 )と有限の真 空エネルギー密度(Λ = 0)の存在の問題は,自明に結びつ
316
第 13 章 暗黒物質
くものではない.さらに,Λ は動的な定数となり得るが,こ れは初期宇宙の発展に対して重要な役割を持つだけにとど まらない.場の方程式における Λ 項は,現在優位を占めて 宇宙定数と宇宙の膨張
いると思われるので,加速的膨張が予測されるだろう.加 速パラメータを実験的に決定できれば,Λ の現在の効果の 証拠を与えることになる.このため,初期の宇宙論的時代 の宇宙の膨張率と現在のそれとを比較しなければならない.
超新星宇宙論計画
そのような測定がカリフォルニア大学バークレー校で超 新星宇宙論計画(Supernova Cosmology Project)として, またオーストラリアのストロムロ山サイディングスプリン
高z 超新星探索
グ(Mount Stromlo and Siding Spring)天文台で高 z 超 新星探索チームとして,実行されている.これらの研究の驚 くべき結果は,宇宙は実際予想以上のペースで膨張しつつ あるということであった(8.8 節,特に,図 8.6 も参照).結 論に関係がある Ia 型超新星が,現在とずっと初期の時代と 同じ道筋で爆発しており,だから信頼できる標準光源と見 なすことができるということを確かめることは重要である. このことはやや古い Ia 型超新星とより最近の Ia 型超新星を 見ることで調べられるであろう.遠方の銀河の測定に関係 するプロジェクトに,チリのアンデス山脈にあるセロトロロ アメリカ大陸天文台(CTIO:Cerro Tololo Interamerican
Observatory),ハワイにあるケック(Keck)望遠鏡があ り,さらに遠方の超新星に対してはハッブル望遠鏡(HST:
Hubble Space Telescope)がある.
13.2.6 銀河形成 この章の序論ですでに述べたように,銀河形成の疑問は 暗黒物質の問題と密接に関係している.すでに 18 世紀に カント,ライト
は哲学者カントやライト(Thomas Wright)は銀河の性質 や起源について推測をしていた.今日では,銀河はビッグ
量子のゆらぎ
バン直後に形成された量子のゆらぎに起因しているのは明 らかである,と思われている.
ハッブル望遠鏡
ハッブル望遠鏡で,赤方偏移が z = 3.5(λobserved =
(1 + z)λemitted )までの銀河を観測できる.これは全宇宙の
13.2 暗黒物質に対する動機
317
85 % に相当する.宇宙インフレーションの考え方は,宇宙 は平坦でありそして永久に膨張する,すなわち Ω パラメー
˙ パラメータ
タが 1 に等しいと予測する. 銀河内の星の力学や銀河団内の銀河の力学は,物質の ≈
5 % 以下がバリオンの形で存在していることを示唆してい る.真空エネルギーは別にして,Ω = 1 を導く物質のおも な部分は非バリオン物質でなければならず,これは素粒子 物理学の標準模型では出てこない粒子から構成されている 必要がある.この物質の振る舞いは通常の物質と完全に異
非バリオン物質の性質
なる.この暗黒物質は他の物質と,おもに重力を通して相 互作用をする.それゆえ,暗黒物質粒子が知られた物質粒 子と衝突するのはごく稀に違いない.この結果,暗黒物質 粒子は宇宙を渡り歩いても,そのエネルギーのわずかの部 分しか失わない.これは銀河形成のモデルを論ずるとき,重 要な事実となる. 暗黒物質の候補は「冷たい」粒子と「熱い」粒子に細分
「冷たい」と「熱い」粒子
される.熱い暗黒物質の原型はニュートリノ(mν = 0)で あり,少なくとも 3 つのフレーバー状態からなる.低質量 のニュートリノであれば,宇宙を閉じるには,不十分であ るのは確かである.冷たい暗黒物質については,普通弱相 互作用しかない重い粒子(WIMPs)かアキシオンを含む. 銀河形成のモデルは,宇宙が熱い暗黒物質によって支配
銀河形成のモデル
されるかあるいは冷たい暗黒物質によって支配されるかに 非常に敏感に依存する.どのモデルでも銀河は量子のゆら ぎから始まり,より大きな重力の不安定さに発展するもの
量子ゆらぎと重力の不安定性
としているので,2 つの違った場合に区別される. もし宇宙が低質量のニュートリノによって支配されてき たとすると,ある臨界質量以下のゆらぎは,銀河まで成長 しなかっただろう.というのは,相対論的で速いニュート リノは,これらの質量の集合体から容易に抜け出して, 「原 始銀河」を散らしてしまうからである.ニュートリノ質量
20 eV に対して,およそ 1016 太陽質量の臨界質量が必要で あり,構造形成を実際始めることができる.そのような大 きな質量は超銀河団の質量の範囲内にある.したがって,暗 黒物質の候補としてのニュートリノは,まず大きな構造(超 銀河団)ができ,後に銀河団,ついには銀河が形成される
「原始銀河」
318
第 13 章 暗黒物質
「トップ–ダウン」シナリオ
(「トップ–ダウン」シナリオ)のシナリオに味方する.こ のことは,銀河はわずか z ≤ 1 の範囲で作られてきたこと を意味する.しかし,すでにハッブルの観測から z ≥ 3 で さえも銀河の大きい集団が存在することを知っている.こ のことはまた,ニュートリノ優勢の宇宙を排除する論拠に なる. 重くて弱い相互作用しかないそしてほとんどが非相対論 的な(すなわち,遅い)粒子はしかし,すでに重力的に束 縛されていて,小規模の質量のゆらぎを作っているだろう. もし冷たい暗黒物質が優勢であるなら,最初に小さい質量 の集団が収縮し,さらに質量を引きつけることで成長し,銀 河を形成する.これらの銀河はその後,銀河団に,さらに 超銀河団に発展する.したがって,冷たい暗黒物質は,よ り小さな構造がまず形成されてその後にのみ大きな構造に
「ボトム–アップ」シナリオ
発展するとするシナリオ(「ボトム–アップ」シナリオ)に 味方する. 特に COBE と WMAP 観測衛星による 2.7 ケルビン放
黒体放射の不均一性
射の不均一性の観測は,小さい原始時代のゆらぎが,重力 によって増幅して構造形成がされたという考えを確かめた. したがって,これらの観測は,冷たい暗黒物質によって,小 さい構造(銀河)がまず形成され,後で銀河団に発展する 宇宙起源論を支持する. 冷たい暗黒物質が優勢であることは,しかし,ゼロでな いニュートリノ質量を排除しない.スーパーカミオカンデ
ニュートリノ異常性
や SNO 実験で観測されたニュートリノ異常性によって裏 づけられた値は,冷たい暗黒物質が優勢とするシナリオと 矛盾しない.この場合,カクテル—バリオン物質は別とし て—になり,1 つまみの軽いニュートリノを持った主とし て冷たい暗黒物質から成る.
13.2.7 暗黒物質のレジュメ 暗黒物質の大部分が宇宙のどこかに隠されているに違い ないのは明らかである.銀河や銀河団の力学は,重力の主 光を出さない物質
たる部分は光を出さない物質によるものとすることでのみ
13.2 暗黒物質に対する動機
理解できる.宇宙で構造を形成しようとする理論では,バ リオン物質(Ωb )に加えて,物質の他の形あるいはエネル
バリオン物質
ギーが必要である.これらは熱い暗黒物質(たとえば軽い
熱い暗黒物質
相対論的ニュートリノ:Ωhot )や冷たい暗黒物質(たとえ
冷たい暗黒物質
ば,WIMPs:Ωcold )で表すことができよう.現段階で宇 宙論研究者達は,これら 3 つの構成要素からなるとしてい る.遠い超新星の最近の観測や黒体放射の不均一性の詳細 な観測は,宇宙定数 Λ でほぼ解釈できる暗黒エネルギーも
宇宙定数
また宇宙の構造に非常に重要な影響を持つという結論を導 く.一般に,密度パラメータ Ω は 4 つの寄与の和として表
˙ パラメータ
すことができ,
Ω = Ωb + Ωhot + Ωcold + ΩΛ
(13.25)
となる.宇宙論の現在の技術水準では Ωb ≈ 0.04,Ωhot ≤
1 %,Ωcold ≈ 0.23,ΩΛ ≈ 0.73 を与えている. 遠い超新星の観測から実証されているように,現在観測 されている膨張は加速されている.それゆえ,宇宙定数は
加速膨張
今日でも重要な役割を演じているのは明らかである.たと え真空の斥力が重力の作用と比べて小さいとしても,もし 十分な空の空間があれば,ついには斥力は重力に勝つよう になるだろう.(13.24) も参照のこと.現在の測定(2005 年)からは ΩΛ の値は ≈ 0.7 を示している(訳注:2008 年 では ≈ 0.73).これは,真空は弱い相互作用を持つ仮想的 なスカラー場で満たされていることを意味している.その 場は本質的に反発する重力や負の圧力が,結局は張力の形 を通してのみ明らかになる.この模型では,場(たとえば, 「クインテセンス(quintessence)」,用語集を見よ)は今 クインテセンス 日でもまた重要な役割を果たしている反発する重力になる ような動的な真空エネルギー密度を作り出す.この考え方 は,アメリカの Boomerang や Maxima 実験の研究結果に
Boomerang
よって支持される.これら 2 つの風船実験では,限られた
Maxima
天空中の範囲で,COBE 実験よりはるかに高い精度で,黒 体放射を測定している.観測された温度の不等方性は,銀 河形成の種と考えられている. これらの温度変化は,ビッグバンの約 380,000 年後の宇 宙が透明になったときの宇宙構造に光を当てる.その時刻
最終散乱面
319
320
第 13 章 暗黒物質
より前の宇宙はあまりにも熱いので,原子は形成はできな かったし,光子は荷電粒子の海に捕まっていた.粒子の海の 中で,圧力波は水中の音波のように脈動した.重力ポテン シャルのゆらぎに対するこの海の反応は,通常の物質や暗 黒物質から成る膨張しつつある宇宙内でこの流体の性質を 評価することを可能にする.宇宙が冷えてきたとき,陽子 再結合
と電子は再結合して電気的に中性な水素原子を形成し,そ れにより光子は自由になった.これらの熱い光子はそれ以 降現在のほぼ 2.7 K の温度まで,冷やされてきた.この放射 内の温度変化は,透明になった初期宇宙の音波パターンの 指紋である.熱の地図内におけるスポットの大きさは,初 期宇宙の曲率あるいは幾何に関係し,エネルギー密度につ
Boomerang,Maxima, いての情報を与える.Boomerang と Maxima それと衛星 WMAP 実験 WMAP はさしわたし約 1 度の大きさにわけて温度地 温度地図
図を観測した.この情報は粒子の濃い流れの中の原始音波 のパワースペクトルから実験的に得られる(第 11 章を見 よ).特徴的な集団の大きさ約 1◦ に対応した観測された温
平坦な宇宙
度地図のパワースペクトルは—理論によれば—宇宙は平坦 であることを示している.もし超新星プロジェクトの結果 (8.3 節を見よ),WMAP の結果,それと Boomerang と
Maxima のデータをつき合わせると,宇宙定数は ΩΛ ≈ 0.7 が望ましい.そのような著しい寄与は, (たとえばクインテ センス模型の言葉で)信じられないほど弱い相互作用しか 持たず,それ自身は反発する重力を通してだけ明らかにな るような物質で真空は満たされているということを意味し 真空エネルギー
ているのだろう.Ω パラメータに対する真空エネルギーの 示唆されている大きな寄与は,当然次のような疑問につな がる.かなりの量の風変わりな暗黒物質(たとえば WIMPs の形で)はそもそも必要なのかどうか.しかし,銀河の力 学面からの理解と暗黒物質温度のゆらぎの解釈から見ると,
Ωdm ≈ 0.23 に対応する古典的な非バリオン暗黒物質は必 要不可欠のように見える. このシナリオでは,宇宙の長期にわたる運命は,永久に 続く加速される膨張で特徴づけられる.Ω が 1 より大で期 ビッグクランチ
待されるビッグクランチは完全に排除されるように見える. 暗黒エネルギーの性質は本来未知であり,その長期にわたっ
13.3 問題
ての性質もわかっていない.したがって読者は驚かされるこ とを覚悟しなければならない.たとえば,暗黒エネルギー が非常に強力になって,知られている力では宇宙を支える ことができなくなる可能性もある.銀河団,銀河,惑星系, そしてついには原子までが引き裂かれる.そのような理論 では,宇宙の終末にビッグリップ(Big Rip,引き裂き)が ビッグリップ 起こる.そこでは宇宙のすべての物理的構造がバラバラに なってしまい,終焉になる.
13.3 問題 1. 天の川銀河の中心近傍で,赤外線と電波で天体が同定 されている.それは速い軌道速度で見えない中心の周 りを回転しているように見える.これらの天体の 1 つ は,銀河中心の周りを軌道速度 v ≈ 110 km/s で,約
2.5 pc の距離離れて,円運動している.円軌道にケプ ラーの力学(訳注:ニュートン力学と同じ)を使って, 銀河中心の質量を求めよ!
2. 運動エネルギー 1 GeV の WIMP(mW = 100 GeV) が静止している電子に移せる最大エネルギーはいく らか?
3. 質量の大きいニュートリノガスの古典論的と相対論的 フェルミエネルギーを導け.宇宙論的ニュートリノガ スのフェルミエネルギーとは何か?
4. アキシオンが存在すると,それらは冷たい暗黒物質と して振る舞うと思われる.銀河形成を成し遂げるには, それらは重力的に束縛される必要がある.すなわち,そ れらの速度はあまり大きくはなれない. 質量が 1 μeV のアキシオンの,半径 3 kpc で太陽質量 の 1010 倍の核を持つ原始銀河からの脱出速度を計算 せよ!
5. 球対称(高い異常性がない)の質量密度が (r) で,そ の全質量 Mt が有限であるとする.
(a) (r) による重力場における質量 m の 試験体のポテ ンシャルエネルギーを決めよ.力はニュートンの式
321
322
第 13 章 暗黒物質
で与えられるが,m の位置で与えられる半径を持つ 球内の質量 M (r) だけで決まる.
(b) 全体に質量が広がったポテンシャルエネルギーを計 算するための準備をする.r に置かれた質量 m の試 験体に対し半径 r の球外に質量は無いものとして, 試験体のポテンシャルエネルギーを計算せよ.次に
m を dM = M (r) dr と置き換え r の積分を行って, 球殻を連続的に加え合わせよ.部分積分することで, 全ポテンシャルエネルギーは
Epot = −
G 2
∞ 0
M 2 (r) dr r2
と書けることを示せ.
(c) 半径 R,質量 M の重い球殻,すなわち r < R のと き,M (r) = 0,r > R のとき M (r) = M のポテン シャルエネルギーを決めよ.
(d) 半径 R で一様な質量密度を持ち全質量 Mt のポテン シャルエネルギーを計算せよ. (この問題はやや難しく,技巧が必要
注 10 )
)
6. ニュートリノは銀河の力学に重要な役割を果たしてい るとして,銀河からの最大脱出速度をもとに,ニュー トリノ質量の下限 (13.17) はどのように出せるのか?
7. MACHO 探索の議論で,アインシュタインリングの半 径がディフレクターの質量の平方根で変わるという主 張がある.この依存性を導け.また次の場合について, リングの半径を決めよ.
• 星と地球との距離 = 55 kpc(大マゼラン星雲), • ディフレクターと地球との距離 = 10 kpc(ハロー), • ディフレクターのシュワルツシルト半径 = 3 km (太陽のシュワルツシルト半径に対応).
注 10
訳注:この問題,特に (b) について著者の了解を得て変更した.解答全 般は Siegen 大学の Tilo Stroh 博士と大阪大学名誉教授山崎修一郎氏 の手を煩わせた.
第 14 章
宇宙生命学
「最初に宇宙が創られた.これは多くの 人を大変怒らせたし,悪い動きと広く 見なされた」
Douglas Adams
我々の宇宙の物理的発展を考えることとは別にして,我々 の宇宙とは違った代わりの宇宙に思いを凝らすのもおもし ろい.すなわち,異なる宇宙での進化は異なる物理法則を 導き,物質の違った現れ方をし,あるいは生命の他の形に 導くかもしれない.アインシュタインはすでにそのような 考えについて思案しており,論理的単純さの必要性が宇宙 を構成する際,一体どれだけの自由度を残しているのかど うか,との疑問を提起している. 素粒子の標準模型にある数多くの自由パラメータは,安
自由パラメータ
定な原子核や原子,特に生命の発展にきわめて重要な炭素を 作ることができるように,それらの値を持っているように 見える
注 1)
.星の進化と惑星上の生命の進化の時間スケー
ルの一致もまた奇妙である.初期宇宙では水素とヘリウム
初期宇宙
がおもに作られた.一方,我々が知っているように,生物 は周期律表のすべての元素を必要とする.これら他の元素 は星の進化の途中や超新星爆発で供給される.半減期が 10 億年程度の長寿命の原始放射性元素(238 U,232 Th,40 K) は,生命の発展に特に重要と思われる.さらに,生命が住
生命の発展
むことができる惑星に液体の鉄核が発現できるために,超 新星爆発で十分な量の鉄が作り出されないといけない.こ れは磁場を作る上で欠くことができない.この磁場は太陽 や星からの風や宇宙放射からの致死量の放射から惑星上の 注 1
α 粒子は pp 融合過程で形成される.αα 衝突で 8 Be を形成すること ができるが,8 Be は非常に不安定で,自然界に存在しない.12 C にな るには,3 個の α 粒子の 3 重衝突が起これば,元素生成がうまくいく. これは一見非常にあり得ないように見える.自然の奇妙な風向で,この 反応は共鳴的に大きな断面積を持つ(この章の問題 2 も見よ).
宇宙放射
324
第 14 章 宇宙生命学
生命体を守る. 地球上で最古(3.9 × 109 年前)の堆積岩の中に細胞の化 地球上での生命体の年齢
石がある.バクテリアでさえ 3.5 × 109 年前には存在して いたことが知られている.もし生物の進化に極端に長い時 間スケールが必要だとすると,生命体のより高度の発展は 不可能であっただろうと想像される.というのは,星の燃 料は一般にわずか 1010 年しか続かないからである. 生命の起源は多くの論争がある問題である.地球を起源 とする理論に加えて,初期地球に地球外から有機物が運ば れてきたとの見方も有力になってきている.これらの問題
宇宙生物学
は宇宙生物学(bioastronomy)の枠組みの中で研究される. 電弱相互作用や強い相互作用の標準模型にあるたくさん の自由パラメータは,実際には少数のパラメータに減らす ことができる.それらの値は宇宙の宇宙生物学的発展に対し て,顕著な重要性を持つ.これら重要なパラメータの中に,
クォークの質量
u と d クォークの質量と両者の質量差がある.素粒子物理学 の実験で,u クォークの質量(≈ 5 MeV)は,d クォークの 質量(≈ 10 MeV)より小さいことを証明してきた.クォー ク udd から成る中性子は,したがって陽子(uud)より重く,
n → p + e− + ν¯e
(14.1)
に従い崩壊できる.他方,もし mu が md より重いとしよ 不安定な陽子?
う.陽子は中性子より重くなり,
p → n + e+ + νe
(14.2)
に従って崩壊するだろう.安定な元素は存在しなくなり, 我々が知っているような生命の発展する余地は無くなる. また一方,d クォークが 10 MeV よりはるかに重いとしよ 重水素の安定性
う.重水素(d = 2 H)は不安定になり,重い元素を作るこ とができなくなるだろう.これは星の中での元素合成は水 素が融合して重水素になる
p + p → d + e+ + νe
(14.3)
の反応から始まり,そして重い元素の生成には安定した重 水素が必要だからである.また,生命はこのような環境の 下では発現できないであろう.中性子の寿命の値もまた,原
325 始時代の化学やそれによって生命を作る機会に,重要な影 響を持つ(10.5 節も見よ).生命の発展が我々が知ってい る形になるように微調整されていると思われるパラメータ
微調整されたパラメータ
が他にもたくさんある. すべてのことを抱え込む万物の理論において,力の統一 の問題の 1 つは,重力の「弱さ」である.しかし,もし重
重力
力がはるかに強ければ,我々は短寿命のミニチュア宇宙に 住むことになろう.どの生きものも数センチメートルより 大きくは成長できないだろうし,生物進化をする時間もほ とんどないだろう. 我々は Ω = 1 の平坦な宇宙に住んでいるという事実も
˙ パラメータ
我々にとって重要だと思われる.もし,Ω が 1 よりはるか に大きければ,ずっと以前に宇宙は再びつぶれていて,生 命の発展も不可能であっただろう.この文脈で,反発する 重力を記述する宇宙定数の正確な値は,宇宙の発展に重要
宇宙定数
な役割を果たしている. 微視的スケールでの Λ の影響は,重力による引力と同じ ように,無視できることは注目すべきである.宇宙論で測 られた Λ の小さな値と量子場理論の真空エネルギーのきわ めて大きな値との間の食い違いは,宇宙を理解するための 重要な要素が未だ見つかっていないと,我々に告げている. もう 1 つのきわめて重要なパラメータは次元数である. 次元数 超弦理論は 11 次元で形式化でき,そのうち 7 次元はコンパ クト化されているため,我々は 3 次元空間と 1 次元時間に 住んでいるのは本当のことである.しかしたとえば,空間 の次元が 2 次元であれば,生命体はとてもあり得ない.何 が我々の境遇を選び出したのか? 星の中のエネルギー発生効率もまた,いろいろな化学元
エネルギー発生効率
素の生成に関して重要である.もしこの効率が我々が知っ ている値(0.7 %)よりもはるかに大きければ,星は生物進 化に必要な時間に比べ,はるかに短い時間でその燃料を使 い尽くしてしまうだろう. 素粒子物理学や宇宙論の標準模型でのパラメータの微調 整が,星や銀河や生命の発展に非常に重要であることが,明 らかにされてきた.もし,我々の世界を記述するパラメー タの幾つかが微調整されていないならば,我々の宇宙はひ
パラメータの微調整
326
第 14 章 宇宙生命学
どく違った性質を持つようになるだろう.これら違った性 質は,生命—我々が知っている形での—を発達させるよう なことはありそうもない.必然的に,物理学者はなぜパラ メータはそれらが持っている値にちょうどなったのかとい う疑問をただすことには慣れていないようだ.我々の宇宙 マルチバース
はマルチバース(multiverse:多くの宇宙)内にある大量
大量の宇宙
の宇宙に選択の効果が働いた結果選び出されたものである かもしれない.他の宇宙では物理法則が違った形でさえ存 在することも想像できる.生命体が発達できる条件を持つ 宇宙だけが,パラメータの特有性の疑問を持ち出すことが
人間原理
できる.この人間原理の考え方の帰結として,我々の宇宙 は特別であるとの神秘性は無くなる.まさに生命体が発達 できるような最も確からしい宇宙に我々は住んでいるので ある.
c Vladim´ ır Renˇ c´ ın
それにもかかわらず,素粒子論学者や宇宙論学者には万 物の理論が見つけられるという望みがある.万物の理論で は,すべての敏感なパラメータは実験で見出されてきた値 に一意的に決められる.そのような理論は,やがては時間 についてもまた,より深い理解が必要かもしれない.その ような理論を見出すことが,そしてまた実験的に証明され 宇宙論的素粒子物理学
ることが宇宙論的素粒子物理学(cosmoparticle physics) の終局の目標である. これはまさしく,アインシュタインが次のようにいった とき,その意図したことである. 「私が本当に興味を持って いるのは,神は別のやり方で世界を創造することができた のかどうか,すなわち,論理的単純さの必要性は一体何ら
14.1 問題
かの自由度を残すのかどうか,ということである」
14.1 問題 1. 地球上の重力場で人間の安定した最大の大きさを推定 せよ.もし重力の加速度が倍になったら,この結果は どうなるか? ヒント:人間の重さは典型的な大きさの 3 乗に比例す る.一方その強さは断面積によってのみ変わる.
2. 星の中で炭素を合成するための条件は何か? ヒント:この問題の詳しい定量的な解答は難しい.炭 素融合を成し遂げるためには,3 個のアルファ粒子をほ とんど同じ時間内に,同じ場所に持ってくる必要があ る.したがって,高いアルファ粒子密度とクーロンの 障壁を越えるだけの高温が必要である.そして断面積 が大きくないといけない.次のウェブページを調べよ.
http://en.wikipedia.org/wiki/ Triple_alpha_process, および http://xxx.lanl.gov/の
nucl-th/0010052. 3. 惑星が大気を持つかどうかは何が決めるのか? ヒント:ガスの原子あるいは分子は,もしそれらの平 均速度が惑星からの脱出速度より大きいと,大気から 失われることになる.
4. 長い有効距離を持つ,回転に対して不変な力:n 次元 の(非相対論的)2 体問題
注 2)
.
(a) 2 体間に働くそのような力 F は 2 つの点状の物体間 の距離にどのように依存するか?
3 次元のとき,力は表面とあるいは球の立体角とそ れぞれどのように依存しているか(「力の流れ」) を思い出せ.n 次元(超)球の(超)表面 sn (r) は
sn (r) = sn rg(n) と書ける.ここで,g(n) を決める 必要がある. 注 2
この問題は慣例ではない次元で議論する.それは手際を要し,数学的知 識を必要とする.
327
328
第 14 章 宇宙生命学
(b) 対応するポテンシャルエネルギーはどうなるか? ま た,有効なポテンシャル(遠心力の障壁を含む)は どのようになるか? 引力となって安定な軌道にな る条件を見つけよ.
(c) (場の強さ ∼ F を介した)場のエネルギー密度の導 入 w ∼ F 2 を考慮し,w を 2 つの半径 λ と Λ の範囲 内で積分せよ.n 次元の体積要素は dVn = sn (r) dr で与えられる.また (a) を参照せよ.λ → 0 とした とき,あるいは Λ → ∞ としたとき,n がどのよう なとき,この場のエネルギーが発散するか? もし 量子補正がこの発散を打ち消すとするならば,それ が適切になる制限はどうなるか?
第 15 章
今後の見通し
「私の最終目的は単純である.宇宙の完 全なる理解である.すなわち,宇宙はな ぜそのようにあるのか.そして,一体ど うして存在するのか」
Stephen Hawking
宇宙粒子物理学は宇宙線の分野から発展してきた.素粒
宇宙線
子物理学の面に関するかぎり,1960 年代から加速器実験が 優勢になってきて,この分野の先導的役割を果たすように なってきた.しかし,物理研究者は,地上の加速器で到達 できるエネルギーは,自然界の広い窓のごく一部でしかな いことを,実感してきている.そして加速器実験は重要な 宇宙物理的な問題や宇宙論的な問題の解答に必要なエネル ギーと決して対応することがないことも明らかになってき た.実際,最近では宇宙線物理が,標準模型を超えた物理を
標準模型を超えた物理
見出すことで,再び加速器物理をリードした.それはつま り,宇宙線実験の中で,ニュートリノ振動の証拠を見つけ たことであり,それはニュートリノ質量がゼロでないこと を必要とする. 電磁相互作用と弱相互作用は統一され,重心系のエネル ギーがほぼ 100 GeV,W ± や Z 質量のスケールで,共通 の電弱力となる.次の強相互作用と電弱相互作用の統一は 16
10
電弱スケール
GeV の GUT(大統一理論)スケールで行われ,これは GUT スケール
将来においても加速器実験で到達できる可能性を超える.重 力の量子効果が重要になるプランクスケール(≈ 1019 GeV) プランクスケール で起こるとされているすべての相互作用の統合については, 加速器実験の可能性はさらに低くなる. これらのエネルギーは宇宙線粒子のエネルギーの形でさ え決して到達できない.宇宙線粒子の今までに観測された 最高エネルギーは,拡大空気シャワー実験で測られたもの (3 × 1020 eV)であり,陽子–陽子衝突では約 800 TeV の質
330
第 15 章 今後の見通し
量中心エネルギーに相当する.これは 2008 年に完成する LHC
LHC(大型ハドロンコライダー)で達成しようとしている エネルギーの 60 倍である.しかし,このような高いエネ ルギーを持つ宇宙線粒子の割合は極端に低いことを考慮す る必要がある.一方,初期宇宙(< 10−35 s)では,GUT スケールやプランクスケールのエネルギーに対応する条件 が広く存在している.GUT やプランク時間の安定した残 骸の探索をすることで,すべてを取り入れた理論(TOE—
万物の理論
万物の理論)のモデルについての情報が得られるであろう. これらの遺物は,重い超対称性粒子,磁気モノポール,ア キシオン,原始ブラックホールのような風変わりな物体と して姿を見せるかもしれない.
c Claus Grupen
宇宙線の起源
すべての相互作用の統一とは別に,宇宙線の起源の問題 も未解決である.多くの宇宙加速器が知られているが(超 新星爆発,パルサー,活動銀河核,M87(?),· · · ),し かしどのように最高エネルギー(> 1020 eV)が生み出され
宇宙加速器
ているのかは,まったく明らかでない.これらの粒子の正 体についての疑問(陽子? 重い原子核? 光子? ニュート リノ? 新粒子?)でさえも答えられていない.活動銀河核, 特にブレーザーのようなものが粒子をそのような高いエネ ルギーまで加速できると推測されている.しかし,もし陽 子なり光子なりがこのような源で作られるなら,これらの 粒子は短い平均自由行程(λγp ≈ 10 Mpc,λγγ ≈ 10 kpc) を持つので,宇宙の中で探す範囲はかなり限られる.した がって,宇宙粒子物理学者のコミュニティーは,ニュート
331 リノ天文学で宇宙を探索できるのではないかと,楽天的に
ニュートリノ天文学
考えている.ここで,宇宙線ニュートリノは,宇宙のビー ム–ダンプ実験(beam-dump,訳注:一次ビームから二次 的に作られる)からパイオン崩壊を通した γ 線と同様な方 法で作られる.ニュートリノは磁場によって曲げられるこ ともないので,その源まで直接逆にたどれる.また,相互 作用によって減ることも吸収されることさえもない. えたいの知れないニュートリノは,宇宙で明らかに優位 を占める暗黒物質に対してわずかの寄与しか持たない.大 気ニュートリノのフレーバー成分の研究から,ミューオン ニュートリノに欠損が存在し,それは明らかに振動によっ てのみ説明できることが示された.そのようなニュートリ ノ振動はニュートリノの質量がゼロでないことを必要とし, それは素粒子物理が十分に確立していた標準模型をすでに 超えたことになる.26 の自由パラメータを持つ素粒子の標
標準模型を越えて
準模型は最後の答えにはなり得ないことは,かなり以前か らすでに明らかであった.しかし,標準模型の可能な拡張 についての最初のヒントは加速器実験からでなく,むしろ 宇宙線の研究からもたらされた. ニュートリノだけでは暗黒物質の問題を解くのに遠く及 ばない.新種の粒子(WIMPs,SUSY 粒子,アキシオン, クォークの塊,· · · )がどの程度見えない物質に寄与してい るのかは,調べなければならない問題として残されている. さらに,アインシュタインが実際には好まなかった宇宙定 数の問題がある.それに伴う真空エネルギー密度を通して, 宇宙の構造や膨張に重要なかかわりを,宇宙定数は持って
宇宙定数
いる.古典的なビッグバン模型の標準的シナリオでは,現 在観測されている宇宙の膨張は,重力の引力によって減速 されると思われていた.それどころか,遠い超新星爆発の ごく最近の観測は,膨張はギヤが変わって加速しているこ とを示している.宇宙定数は—現在でさえ—重要な役割を 演じていることがわかってきた.加速パラメータの時間依 存性の—異なる宇宙論的時代の膨張速度,すなわち距離の 調査を通しての— 詳しい測定は,前の時代より現在のほう が速い割合で,宇宙は膨張していることを示してきた. 宇宙論へのもう 1 つの入力は,素粒子物理実験からでな
加速パラメータ
332
第 15 章 今後の見通し
く,宇宙マイクロ波背景放射の詳細な観測によるものであ る.これらの実験結果は遠い超新星の調査研究と関連して, ˙ パラメータ
宇宙は平坦である,すなわち Ω パラメータは 1 に等しい,
バリオン質量
ことを示してきた.バリオン質量の低い存在量(約 4 %)と 暗黒物質もわずか約 23 % を与えて,後残りの大きな空き
暗黒エネルギー
(73 %)は暗黒エネルギーと推測されている.非加速器実 験からのこれらの結果は,宇宙論に主要な突破口を開いて きた.
宇宙の反物質
宇宙の反物質の存在の問題も,結局は解決されないまま である.加速器実験や宇宙線の研究から,バリオン数は破っ てはならない保存量であることはよく知られている.もし 1 個のバリオンが作られるなら,いつも同時に 1 個の反バリ オンが作られる.同様に各レプトンについて,反レプトン が作られる.宇宙粒子物理で測定された数少ない反粒子(p¯,
e+ )は,おそらく 2 次的起源である.ビッグバンでクォー クと反クォークの同量が作られたと仮定しなければならな いので,粒子と反粒子を不釣り合いにする仕組みが至急必 要になる.弱い相互作用では,パリティP や荷電共役 C が CP の破れ
破られているだけでなく,CP も破られているのは知られ ているので,CP の破れの効果によって,親粒子の崩壊で陽 子と反陽子に行く際不釣り合いを起こすことができる.そ の結果,陽子の数と反陽子の数はやや違った形で推移する.
pp ¯ 消滅
p 消滅の際,現在陽子とよんでいるごくわずかの粒子 続く p¯ が残される.仮に少しの CP の破れでも,この残された粒
p 消滅では,エネルギーのかな 子を見るには十分である.p¯ りの量が光子に変換されるので,観測された約 109 の γ/p 比(= nγ /np )は,陽子と反陽子の親粒子の崩壊性質での 物質優勢
わずかの差でさえ,宇宙の物質優勢を説明するのに十分で あることを示している.そのような非対称性の出所は,電 磁相互作用と強い相互作用を統一した大統一理論にあると されよう.そこでは,物質–反物質の非対称は,初期宇宙に
¯ 粒子の異なる崩壊の性 存在したとされる重い X 粒子と X ¯粒 質によって説明することができる.同数の X 粒子と X 子がクォーク,反クォーク,レプトンに崩壊する.もしバリ オン数やレプトン数の保存が破れているなら,クォークと 反クォークの数が異なることになり,それによって,観測
15.1 問題
されている宇宙の物質優勢を導くことができる. 原始時代の反物質が観測されないことは,宇宙が物質優
原始時代の反物質
勢であることの決定的な証明にはまだならない.もし物質 で作られた銀河と反物質で作られた「反銀河」が存在する とすれば,時折それらは互いに重力によって引き合うこと が予測される.これは強い放射を伴う劇的な消滅に至る.そ のような大変動のはっきりした信号は,e+ e− 消滅による
511 keV 線の放射であろう.そのような 511 keVγ 線が— 我々の銀河でもまた—観測されているのは事実であるが, それを物質と反物質の大量の消滅として理解するには,強 度が不十分である.他方,銀河のしっぽと反銀河のしっぽ が相互作用した消滅で作られる放射は,あまりにも大きな 放射圧を生じるため,銀河と反銀河は離れてしまって,本 当に巨大な目覚しい爆発的な放射は決して起こらないだろ うとも考えられる. 物質優勢を可能にする問題は,加速器実験だけでは答えら れそうにない.他方,初期宇宙は—少なくも原理的には— その答えを含むかもしれないような実験室を用意している. しかし,プランクの時代の理論から現代の理論までの間 隙を橋渡しする手段は未だ時空の霧の中に隠されている. 宇宙粒子物理学の枠組みの中での研究は,宇宙の創成か ら現在,そして未来までの状態をより深く理解する上で,重 要な道具であることを示している.
15.1 問題 1. 一般に,宇宙定数は真空エネルギーを表していると信 じられている.一方,場の量子論では,大きさが 120 桁大きい真空エネルギーが導かれる.この違いはアイ ンシュタインの一般相対性理論の適切な量子化によっ て解決できる.素粒子物理の標準理論(第 2 章を見よ) から始めて,真空エネルギーの項 v によって拡張され たフリードマン方程式(8.4 節を見よ)を用いて,宇宙 粒子物理学の測定値から得た宇宙定数と,場の量子論 から得た真空エネルギー間の不一致を解決せよ!
消滅による放射
333
第 16 章
用語集
「よい記号とは巧妙で示唆に富み,とき にはまるで生きた教師のように見える」
Bertrand Russell
A ある天体から放射される全光度.
絶対輝度(absolute brightness)
可能な最低の温度,0 ケルビン.そこでは,量子効果以外のすべ
絶対温度ゼロ(absolute zero)
ての運動は静止している(0 K= −273.15◦ C). 地球上,太陽系内,一次宇宙線内に存在する,安定した同位体の
存在量(abundance)
形での元素の百分率. エネルギー密度や負の圧力(すなわち宇宙定数による)に依存す
加速方程式(acceleration
る宇宙の加速を記述する方程式.
equation)
時間とともに変化する膨張率の大きさ.膨張率が増えていると, 加速パラメータ(acceleration 加速パラメータは正である.一般に,現在の膨張率は重力の引力 parameter) によって減る(負の加速パラメータ = 減速)と予想されていた. しかし,ごく最近の遠方の超新星の測定では膨張は加速されてい ることがわかり,この予想と相反する. 荷電粒子を高速まで加速するために用いられる装置.もちろん宇
加速器(accelerator)
宙加速器もある. 標準的にはコンパクトな物体の周りを回転しながら円盤状に落ち
降着円盤(accretion disk)
ていく塵やガスが蓄積したもの. 物質が放射から脱結合した後,原始バリオン流の音響振動パター
音響ピーク(acoustic peaks)
ンが CMB のパワースペクトルの構造として凍結されたもの. 明るい中心部分が活動銀河核である銀河.セイファート銀河,クェー
活動銀河(active galaxy)
サー,ブレーザーは活動銀河である.それらはおそらくブラック ホールによってエネルギーを得ている. ビッグバン模型ではハッブル定数の逆数は宇宙の年齢に等しい. 宇宙年齢(age of the universe) 宇宙年齢の現在の推定値は約 140 億年である.
336
第 16 章 用語集 活動銀河核(AGN)
Active Galactic Nucleus の略.物質が落ち込んでエネルギーを 得るブラックホールが中心にある.そしてこれらの AGN が,一 方向とその反対方向にジェットを放出すると考えるならば,いろ いろな AGN の型(セイファート銀河,とかげ座 BL 型天体,電 波クェーサー,電波銀河,クェーサー)は,地球からランダムな 方向で見た結果として理解できる.
空気シャワー・チェレンコフ技術 (air-shower Cherenkov
拡大空気シャワーを,それが大気中に作るチェレンコフ光で測定 する技術.
technique) アルファ崩壊(alpha decay)
AMANDA
α 粒子(ヘリウム 4 の原子核)を放出する原子核崩壊. 南極のミューオンとニュートリノ検出アレイ(Antarctic Muon
And Neutrino Detector Array).高エネルギー宇宙線ニュート リノを測定するための検出アレイ.
M31,局所的に群れを成す重要な銀河群の 1 つ.天の川銀河から Nebula) 700 kpc の距離にある.
アンドロメダ星雲(Andromeda
˚ ¨ ) オングストローム(Angstr om
10−10 m に等しい長さの単位.
消滅(annihilation) 粒子と反粒子が無くなる過程,たとえば
e+ e− → γγ .
人間原理(anthropic principle) 誰かがなぜ宇宙は今あるようにあるのだろうかと質問をするかも
しれない.もし我々の宇宙を記述する物理定数のあるものが微妙 に調整されて(finely tuned)いないならば,宇宙はまったく違っ た性質を持つであろう.基本パラメータが少しでも違っていたな らば,我々が現在知っている生命体の形で発展することは,およ そありそうもないと考えられる.したがって,もし宇宙が今と違 うなら,なぜ宇宙は今あるようにあるのだろうかというような質 問をしにやってくる人は誰も存在しないだろう.このような考え 方を人間原理という. 反重力(antigravitation) ゼロでない有限な宇宙定数の結果として生じる負の圧力によって
引き起こされる斥力的重力. 反物質(antimatter) 陽電子,反陽子や反ニュートリノ等の反粒子だけから成る物質.
反物質粒子と通常の物質粒子が出会うと,おもに γ 線となって消 滅する(たとえば,e+ e− → γγ ).
337 各素粒子に対して,質量は(訳注:スピンも)まったく同じであ
反粒子(antiparticles)
るが,他のすべての量子数は反対の値をとる粒子のこと.たとえ ば,電子の反粒子はプラスの単位電荷を持つ粒子で,陽電子とよ ばれる.ボソンも,すべての電荷量子数がゼロの場合を除いて, 反粒子を持つ.この特別な場合の例は光子,あるいはクォークと 対応する反クォークから成る複合ボソンである.これらの特殊な 例では,粒子と反粒子で区別が無く,それらは 1 つの同じ素粒子 になる. クォークの反粒子.
反クォーク(antiquark)
連星軌道で 2 つの星の距離が最大になる点.
遠星点(apastron)
惑星の軌道上,太陽から最も離れる点.
遠日点(aphelion)
地球の人工衛星の軌道上,地球から最も離れる点.
遠地点(apogee)
観測者から見える星の明るさ.等級の単位で測る.等級(magni-
見かけの等級(apparent
tude)を見よ.
magnitude)
異なる基礎的なパラメータ(異なる物理法則,異なるクォーク質
宇宙生命学(astrobiology)
量等)を持つ宇宙で,生命の形成や進化を考える研究分野. 地球と太陽の平均距離.1 AU ≈ 149,597,870 km.
天文単位(astronomical unit (AU))
大きな運動量で,クォークはついには閉じ込められなくなって, 漸近的自由(asymptotic freedom) 漸近的に自由粒子に近付くということ. 中性原子や原子核種の質量.原子の原子量(atomic weight)は
原子質量(atomic mass)
炭素 12 原子(訳注:原文は炭素 12 原子核になっている)の質量 を 12 に等しいとして測った原子の重さ.自然界にある元素で同 位体が 2 つ以上のときは,原子量は同位体の混合物の荷重平均に なる. 原子核の中の陽子の数.
原子番号(atomic number)
北極近く(北極光(aurora borealis))や南極近く(南極光(aurora
オーロラ(aurora)
australis))で見られる光で,地磁気の南極と北極周辺の極地に 近い大気上空での原子や分子の明るい発光現象である.オーロラ はエネルギーの大きい太陽からの宇宙線粒子が大気の上層に入っ てきて起こす発光過程が原因である. 先端 X 線宇宙物理学衛星(Advanced X-ray Astrophysics Fa-
cility).現在チャンドラ(Chandra)と名づけられている.
AXAF
338
第 16 章 用語集 アキシオン(axion) 強い相互作用の下で,CP の破れが観測されないことを説明する
ために,場の量子として導入された仮想的な擬スカラー粒子.
B 背景放射(background
宇宙背景放射(cosmic background radiation)を見よ.
radiation) バリオン起源(baryogenesis) 非常に初期の宇宙においては,原始クォークのスープからバリオ
ンが生成したというもの. バリオン–反バリオン非対称性
初期宇宙において,ある今のところ不明なバリオン数保存を破る
(baryon–antibaryon
過程によって作り出される非対称性(サハロフの条件(Sakharov asymmetry) conditions)を見よ).
バリオン数(baryon number)
3 つのクォークから成る強い相互作用を持つすべての粒子につい て,バリオン数 B は 1 である.クォーク自身はバリオン数 1/3. 他のすべての粒子に対して B = 0(訳注:反バリオンは B = −1).
バリオン(baryons) 陽子や中性子のように
BATSE
3 つのクォークから成る素粒子.
バーストと一時的な点源(探査)実験装置(Burst And Transient
Source Experiment).CGRO 衛星に搭載された. ビーム–ダンプ実験
もし高エネルギー粒子のビームを,十分に厚い標的内で止められ
(beam-dump experiment) るならば,強い相互作用や電磁相互作用を持つすべての粒子は吸
収される.ニュートリノのように中性で弱い相互作用しか持たな い粒子のみが脱出できる. ベータ崩壊(beta decay) 原子核の放射性崩壊の一種.原子核のベータ崩壊では,核内の中
性子が電子と反電子ニュートリノを放出して陽子に変わる.核内 の陽子が陽電子と電子ニュートリノを放出して中性子に変わると きは,前述の β − 崩壊と反対に,β + 崩壊とよばれる.電子捕獲 では,陽子と電子が反応して中性子と電子ニュートリノになるが (p + e− → n + νe ),これもベータ崩壊と考えられる. ベーテ–ブロッホの式
荷電粒子が物質中を通過する際の,電離作用や励起作用によるエ
(Bethe–Bloch formula) ネルギー損失を記述する式. ベーテ–ワイツゼッカーサイクル
炭素–窒素–酸素サイクル.重い星の中で起こる核融合過程で,炭
¨ (Bethe–Weizsacker cycle) 素を触媒として,水素が燃えてヘリウムになる(CNO サイクル). ベーテ–ワイツゼッカーの式
¨ (Bethe–Weizsacker formula)
液滴模型の枠内で原子核の結合エネルギーを記述する式.
339 すべての物質や光が 1 つの特異点から現れる宇宙の始めのこと. ビッグバン(Big Bang) 限りなく高い密度と温度の原始スープから始まった膨張する宇宙
ビッグバン理論(Big Bang
の理論.最初の瞬間はビッグバンとよばれる.この理論は時刻ゼ
theory)
ロについては何も触れていない. もし宇宙の物質密度が臨界密度より大きいと,現在観測されてい
ビッグクランチ(Big Crunch)
る膨張段階がひっくり返って収縮に向かい,ついには特異点となっ て終わるだろう.この特異点をビッグクランチとよぶ. 宇宙の最終的な運命についての宇宙論的仮説.宇宙は斥力的重力
ビッグリップ(Big Rip)
に対応する暗黒エネルギーを大量に持ち,長い行程を経て,それ が古典的な引力的重力にとにかく打ち勝つ.したがって,すべて の物質は最終的には引き離されることになる.銀河団中の銀河は 離れ,銀河中の重力はとても弱くなって,星をまとめておけなく なる.そしてまた,太陽系も重力的に束縛されなくなる.ついに は,ビッグリップで宇宙の全物理的構造が細かく切り裂かれて, 地球や原子そのものも破壊されることになる. 共通の質量中心の周りの軌道を回る 2 つの星.X 線連星は,一方
連星(binary stars)
の星が中性子星やブラックホールのようなつぶれた天体という特 殊な場合である.もう一方の通常の星から物体がはがされつぶれ た天体に落ちて,X 線あるいはガンマ線を出す. 原子核を個々の構成要素(陽子と中性子)に分解するのに要する
結合エネルギー(binding
エネルギー.
energy)
生命の起源の問題,たとえば有機物は地球外の源から運ばれたの
宇宙生物学(bioastronomy)
かどうかを扱う天文学の一科学分野.その手法は天文学で使われ ている分光学の方法で生物体分子を探すことである. 入ってくるすべての放射を吸収する仮説的物体.黒体の放射率は
黒体(blackbody)
その温度だけによる. 黒体から生じた放射.黒体は熱あるいは放射の完全な放射体であ
黒体放射(blackbody radiation)
り,また吸収体である.プランク分布(Planck distribution)も 見よ. すべての水素を使い果たした大質量の星は自己重力によってつぶ れ,数学的な特異点となる.ブラックホールの大きさは,事象の 地平面によって特徴づけられる.事象の地平面とは,重力が強す ぎて光ですら脱出できないような領域の半径のことである(シュ ワルツシルト半径(Schwarzschild radius)も見よ).
ブラックホール(black hole)
340
第 16 章 用語集 ブレーザー(blazars)
BL 型天体(BL lacs)とクェーサー(Quasar)をまとめた語.光 学的スペクトルはほとんど特色を持たないこと以外は,とかげ座
BL 型天体やクェーサーと類似. 青方偏移(blueshift) たとえば,宇宙が収縮する間に,電磁波の波長がドップラー効果
によって短く観測されること. とかげ座 BL 型天体
幾つかの銀河の核にある変動する銀河系外天体で,その属する銀
(BL-Lacertae objects) 河全体より光が強い.BL は B 帯(≈
100 MHz)の電波が大きく
(loud)放出することを表している.lacerta=lizard(とかげ). ボロメーター(bolometer) 微量のエネルギー放出を測る感度のよい抵抗温度計.
温度と理想気体中の原子あるいは分子の運動エネルギーとの関係 constant) を記述する自然定数.
ボルツマン定数(Boltzmann
ボーズ–アインシュタイン分布
温度に依存するボソンのエネルギー分布.
(Bose–Einstein distribution)
~ の単位で測る(スピン s = 0, 1, 2, . . .).すべての素粒子はフェルミオンかボソンのどちらか
ボソン(boson) 整数スピンを持つ粒子.スピンは
である.ゲージボソンは基本的な相互作用ないし力と結びついて, フェルミオン間に働く.偶数個のフェルミオンから構成された(た とえば,クォーク,反クォークから成る)複合粒子もボソンである. ボトムクォーク(bottom quark)
b;5 番目のクォークフレーバー(もしクォークを質量の小さいほ うから順番に並べるなら)を持つクォーク.b クォークは電荷 − 13 e を持つ.
ブラーエ(Brahe) ティコ・ブラーエ(Tycho
Brahe)はデンマークの天文学者.彼の
正確な天文観測は惑星運動に関するケプラーの法則の根拠になっ た.超新星残骸 SNR 1572(ティコ)はブラーエの名をとってつ けられた. ブレイン(brane) 弦を高次元に一般化したもの.p ブレインは
p の空間次元を持つ
時空の存在物. 制動放射(bremsstrahlung) 荷電粒子が原子核のクーロン場によって減速される際の電磁波の
放出機構のこと.制動放射は電子や他のいかなる電荷のクーロン 場による荷電粒子の減速中にも放射される. 褐色矮星(brown dwarves) 低質量の星(
c なら,膨張はいずれ収縮に転じ(ビッグクラン チを見よ), < c なら,いつまでも膨張を続けることが予期さ れる. 原子核や素粒子が衝突してある反応を引き起こす面積.
断面積(cross section)
時空の曲率は宇宙の進化を決める.曲率ゼロの宇宙はユークリッ
曲率(curvature)
ド空間である.正の曲率は閉じた宇宙の特性を持ち,一方開いた 宇宙は負の曲率を持つ. 横向き磁場内の円軌道を行う荷電粒子の加速機構(訳注:加速は
サイクロトロン機構(cyclotron
交流電場で行う).
mechanism)
青色の超大恒星とブラックホールと考えられるコンパクトな天体
白鳥座 X1(Cygnus X1)
から成る X 線連星系. パルサーと伴星から成る,X 線やガンマ線を出す連星系.パルサー
白鳥座 X3(Cygnus X3)
はエネルギーが 1016 eV までのガンマ線を時折放出することがで きると思われる.
D 負の圧力を生むエネルギーの特別な形で,重力的に斥力である. 暗黒エネルギー(dark energy) それは空の空間の性質として現れる.暗黒エネルギーは,宇宙の エネルギー密度の約 70 % の寄与を持つと思われる.真空エネル ギー,宇宙定数そして軽い粒子のスカラー場(クインテセンスの ような)は,暗黒エネルギー候補の特別な形である. 未だ観測されていない光らない物質で,その存在は宇宙の力学か
暗黒物質(dark matter)
ら推測される.暗黒物質が何かは未解決の問題である. 太陽ニュートリノ測定の歴史的に最初の実験.
デイビスの実験 (Davis experiment)
粒子の量子力学的波長 λ:λ = h/p(p—運動量,h—プランク
ド・ブロイ波長(de Broglie
定数).
wavelength)
346
第 16 章 用語集 崩壊(decay)
1 つの粒子が消え,その代わりに違った複数個の粒子が現れる過 程.生成された粒子の質量の和は,もとの崩壊する粒子の質量よ りいつも小さい.
赤緯(declination) 天の赤道の上または下に天体がどれだけ離れているかの大きさ(度
で測る) ;地球の緯度と同様. 縮退圧(degeneracy pressure) パウリの排他律とハイゼンベルクの不確定性原理によって起こる
フェルミオンの縮退したガス内の圧力. 縮退した物質(degenerate
フェルミ気体(電子,中性子等)のことをいい,その安定性はパ
matter) ウリの排他律で保証される.縮退した粒子のガスでは,量子効果
が重要になる. 自由度(degrees of freedom) 自由に変わり得る(訳注:独立にとり得る)系内の値の数. 脱レプトン化(deleptonization) 超新星爆発の際,電子と陽子が一緒になり,中性子とニュートリ
ノを形成する過程(e− + p → n + νe ). 密度のゆらぎ(density
初期宇宙に存在した質量密度ないし放射密度の局所的な増減.銀
fluctuations) 河形成を導く. 重水素(deuterium) 水素原子核に中性子が
1 個加わった水素の同位体.
強い重力場に置かれた 1 つの物体の 2 つの異なる点に働く重力に gravitation) よる異なる力(訳注:距離が異なることで生じる).この力によっ
差動重力(differential
て物体が引き伸ばされる(訳注:地球の起潮力も月からの差動重 力による). 宇宙背景放射(CBR)内を地球が運動するため生ずる CBR 温度 anisotropy) の見かけの変化.
双極子異方性(dipole
ディスク(disk) すべての天体が天空に対して投影された,目に見える面. 距離はしご(distance ladder) 天文学的観測はしだいに遠方の対象物に行なわれつつあるが,そ
の距離を得るため天文学者は多くの手法(たとえば,赤方偏移, 標準光源,· · · )を使う.これらの手法を組み合わせて,はしごを 登るようにして距離を得ることから距離はしごとよばれる. ドメインウォール(domain wall) 初期宇宙に創られたかもしれない位相欠陥のうち
2 次元のもの.
ドップラー効果(Doppler effect) 光源と観測者の間の相対運動によって光の波長が変わる現象(訳
注:音の場合のほうがよく知られている). 二重パルサー(double pulsar)
2 つのパルサーから成る連星.一般相対性理論の予言として近日 点移動と重力波の放出によるエネルギー損失があるが,これらは 二重パルサー系の PSR1913+16 によって非常な正確さで確かめ られた.
347 d;2 番目のクォーク(もしクォークを質量の小さいほうから順番 に並べるなら).d クォークは電荷 − 13 e を持つ.
ダウンクォーク(down quark)
E 一次宇宙線の到来方向が地磁気によって非対称になる現象.一次
東西効果(east–west effect)
宇宙線粒子の大部分が正の電荷を持つこと(訳注:陽子)に関係 する. 高エネルギーガンマ線観測望遠鏡(Energetic Gamma Ray Tele-
EGRET
scope Experiment).CGRO 観測衛星に搭載された. 粒子の持つ電荷による相互作用.これには磁場の相互作用も含む. 電磁相互作用(electromagnetic interactions)
e;電荷を持った一番軽い粒子.電子が崩壊できるようなより軽
電子(electron)
く電荷を持つ粒子がないので,結果として完全に安定である.素 電荷を単位として電荷 −1 を持つ一番ありふれたレプトンである (訳注:原子の構成素粒子). 原子核崩壊の一種で,軌道電子の捕獲による.もし崩壊エネル
電子捕獲(electron capture)
ギーが電子質量の 2 倍より大きいと,陽電子発生も電子捕獲と競 争する. 電子とそれに伴う電子ニュートリノは電子(レプトン)数を +1
電子数(electron number)
と割り当てる.それらの反粒子は電子レプトン数を −1 とする. 他のすべての粒子は電子レプトン数を 0 とする.電子数は一般に 保存量であるが,ニュートリノ振動のときだけは保存しない.
eV;粒子のエネルギーや質量の単位.1 eV は電位差が 1 V で加
電子ボルト(electron volt)
速されるとき,電子(あるいはより一般的に単電荷粒子)が得る エネルギー. 素粒子の標準模型で,そこでは電磁相互作用と弱い相互作用が統
電弱理論(electroweak theory)
一されている. 渦巻状の腕がなく、でこぼこのない楕円状の銀河.
楕円銀河(elliptical galaxy)
J/cm3 あるいは eV/cm3 単位の放射密度.
エネルギー密度(energy
density)
暗黒物質探索実験(Exp´ erience pour la Recherche d’Objets
エロス(EROS)
Sombres).MACHO も見よ. 質量 M による重力場に逆らって,物体がそこから脱出するのに q 必要な最小の速度.M の中心からの距離 R のとき v = である.地球の場合は vE = 11.2 km/s となる.
2GM R
脱出速度(escape velocity)
348
第 16 章 用語集
事象の地平線(event horizon) ブラックホールの表面,事象の地平線内にある粒子や光は,ブラッ
クホールから逃げ出すことができない. 膨張モデル(expansion model) すべての銀河は互いに離れて飛んでいくとするモデル.膨張の様
子はどの銀河からでも同じに見える. 我々の宇宙は 3 次元の空間と 1 次元の時間を持つ.弦理論や超対 dimension) 称性理論では,一般に p の拡張された空間次元を持ち,これらの
拡張された次元(extended
あるものはコンパクト化される. 高エネルギー一次宇宙線粒子から大気中に大きな粒子カスケード shower(EAS)) が発生する現象.
拡大空気シャワー(extensive air
銀河系外放射(extragalactic
我々の銀河の外を起源とする放射.
radiation)
F 偽の真空(false vacuum) 対応する真空エネルギーがゼロでなくとも,ゼロの量子場で記述
される準安定状態.偽の真空が壊れるとき(訳注:真の真空に転 移する際),蓄えたエネルギーを原理的に放出できる. ファミリー(families) 素粒子の構成は
3 つのグループに分けられ,各グループはファミ
リーとして知られる.レプトン側には,電子,ミューオン,タウ ファミリーがある.そして対応して,クォークに 3 つのファミリー がある.LEP はレプトンと軽いニュートリノはわずか 3 つのファ ミリーしかないことを示した(訳注:ファミリー(family)より も,同じ意味で,世代(generation)のほうがよく使われる). フェルミ–ディラック分布
フェルミオンのエネルギー分布.温度依存性を持つ.
(Fermi–Dirac distribution)
自由なフェルミガス(たとえば,電子ガス,中性子ガス)につい energy) て,絶対温度ゼロでフェルミオンが占める最高のエネルギー.
フェルミエネルギー(Fermi
荷電粒子が衝撃波によって(一次過程)あるいは磁化した拡がっ mechanism) た雲によって(二次過程)加速される機構.
フェルミ機構(Fermi
~ の単位で測ったとき,半整数( 12 , 32 ,等)のスピン を持った粒子.この特別な角運動量を持つ 1 つの重要な帰結は,
フェルミオン(fermion) スピンを
フェルミオンはパウリの原理に従うことである.パウリの原理に よれば,同じ量子力学状態に同時に 2 個のフェルミオンは存在で きない.通常の物質の多くの特性はこの原理に基づいている.物 質の基礎構成要素すなわちクォークやレプトンとまったく同様, 電子,陽子,中性子—これらすべてフェルミオンである.
349 相互作用過程を,時空上に簡略に図で表したもの.必要な理論的
ファインマン図(Feynman
手段を用いて,断面積に移し変えられる.この本では時間座標は
diagrams)
水平に,空間座標は垂直にとっている.粒子は時空を前方に動き, 反粒子は後方に動く. 重い原子核をより軽い原子核に分割すること.原子力発電所では,
分裂(fission)
核分裂によってエネルギーを引き出す. 加速器からの粒子のビームを静止した標的に当てる実験.
固定標的実験(fixed-target
experiment)
星から出るいろいろなスペクトル範囲の短期的な放出現象.
フレア(flare)
古典的な宇宙論であれば,初期宇宙の Ω の値がごくわずかでも
平坦性問題(flatness problem)
1 からずれていれば,時間とともに拡大され,1 から大きくずれ てビッグクランチに達する.これに対比して,インフレーション 宇宙論では,初期宇宙がどんな Ω の値でも指数的に 1 の値に近 づいていき,現在観測されている値 Ω = 1.02 ± 0.02(訳注:
Ω = 1.011 ± 0.012,2008 年)を自然に説明できる.そのような 1 に非常に近い現在の値を得るには,古典的な宇宙論の場合,信 じ難いほど慎重な微調整が要求される(訳注:初期宇宙の Ω の値 が数 10 桁の正確さで 1 に等しい必要がある.第 12 章を見よ). このような微調整を要求する問題を平坦性問題という. フェルミオン(レプトンまたはクォーク)を粒子の世代(ファミ
フレーバー(flavour)
リー)に対して割り当てる名前(訳注:クォークは 3 世代,各世 代に 2 つのフレーバーで計 6 個のフレーバー名を持つ粒子から成 る.レプトンもこれとまったく同じで 6 個のフレーバー名を持つ 粒子から成る). 膨張率,圧力,密度に依存するエネルギー密度の時間変化を記述
流体方程式(fluid equation)
する方程式.古典的な熱力学を用いて導くことができる. 大きな拡大空気シャワーの測定のために,それから放射される大
フライズアイ(Fly’s Eye)
気中のシンチレーション光を測る粒子検出器. エネルギーと運動量の 3 成分から成る 4 元ベクトル.
4 元運動量(four-momentum)
4 つの成分を持つベクトル.たいていは第 1 成分を時間とし,3
4 元ベクトル(four-vector)
つの空間成分を加える. 衝突によって重い原子核が多数のより軽い原子核にばらばらにな
破砕(fragmentation)
ること. エネルギー密度に依存した宇宙の発展を表す微分方程式.一般相
フリードマン方程式
対論のアインシュタインの場の方程式から導かれる.驚くべきこ (Friedmann equation) とに,古典的な扱いでも同じ結果が出せる.
350
第 16 章 用語集
フリードマン–ルメートル宇宙 (Friedmann–Lemaˆıtre
負の(Ω < 1),正の(Ω > 1),あるいは平坦な(Ω = 1)空間 曲率を持つ標準ビッグバン模型で記述される宇宙.
universe) 基本粒子(fundamental
内部構造が観測されていない粒子.素粒子の標準模型では,クォー
particle) ク,レプトン,光子,グルーオン,W + ,W − ,Z ボソンが基本
粒子.その他のすべての粒子は基本粒子を合成したものである. 融合(fusion) 軽い元素(原子核)が結合してより重い元素(原子核)になるこ
と. (核)融合は星がエネルギーを作り出す手段である.
G 銀河団(galactic cluster) 空間的に限られた範囲内にある銀河の集団. 銀河ハロー(galactic halo) 銀河中心を取り囲んでいるおもに古い星から成る球状の範囲. 銀河磁場(galactic magnetic
我々の天の川銀河内の磁場.平均の強さ 3 μG = 3 × 10−10 テ
field) スラ.
座標系に対する座標変換.その系では力を受けない自由物体は等 transformation) 速直線運動をする.ただし,制限速度(光速)があることは,考
ガリレイ変換(Galilei
慮しない.速度の加法定理は特に速度が光速に近いとき,実験と 相いれない(訳注:1 つの座標系に対して,等速直線運動をする 座標系に変換,時刻は両者で同じとする). GALLEX 実験(GALLEX pp サイクルからの太陽ニュートリノを検出するための,グラン experiment) サッソー(イタリア)実験室でのガリウム実験. ガンマ線天文学
ガンマ線のエネルギー範囲(> 0.1 MeV)における天文学.
(gamma astronomy) ガンマ(線)バースター
一度だけ激しくガンマ線を出す銀河系外源.極超新星(ハイパーノ
(gamma burster) バ,hypernova)の爆発か中性子星同士の衝突が,ガンマ線バー
ストを生じる可能な候補である. ガンマ線(gamma rays) エネルギーが
≥ 0.1 MeV の範囲に対応する短波長の電磁波.
一般相対論の原理(等価原理) 運動の加速度と重力場にさらされて得る加速度は同等であると主 (general principle of relativity
張する原理.
(equivalent principle)) 一般相対論(general relativity) 重力に関してアインシュタインが一般に定式化したもの.時空が
その曲率を通して重力と関係する. 互いに呼応して加速し合う体系について,ニュートンの重力理論 of relativity) を一般化したもの.この理論では重力質量(重力から引き起こさ
一般相対性理論(general theory
れた)と慣性質量(加速に抵抗する質量)とは同等である.
351 ファミリーを作る 2 つのクォークと 2 つのレプトンの組.ファミ
世代(generation)
リーについての順番のパラメータはファミリー仲間の質量で決め る.第 1 世代(ファミリー)はアップとダウンクォーク,電子と電 子ニュートリノである.第 2 世代はチャームとストレンジクォー ク,ミューオンとそれに伴うニュートリノ.第 3 世代はトップと ボトムクォーク,タウ粒子とそのニュートリノから成る. ガンマ線広域宇宙望遠鏡(Gamma-ray Large Area Space Telescope).エネルギー範囲 10 keV–300 GeV の γ 線を測る.宇宙 での実験は 2005 年に打ち上げが予定されている(原著者注:2008 年 6 月に打ち上げられた.その後フェルミ・ガンマ線天文衛星 (Fermi Gamma-ray Space Telescope)と改名された).
GLAST
グルーオンの超対称性パートナー.
グルイーノ(gluino)
g;強い相互作用の担い手.カラー量子数が異なって互いに区別さ れる全部で 8 種類のグルーオンがある.
グルーオン(gluon)
強い,電磁,弱い相互作用を 1 つに統一した理論(GUT)と結
大統一(grand unification)
びつく理論. 星の中のガスや放射の圧力が内側に向かう重力の圧力に抗しきれ
重力崩壊(gravitational
ないときに,星が自身の重力によって崩壊すること.
collapse)
ある程度の大きさの密度のゆらぎがそれ自身の重力によって成長
重力不安定(gravitational
していく過程(訳注:銀河等を作る).
instability)
質量やエネルギーを持っていることによって,粒子間に働く相互
重力相互作用(gravitational
作用.静止質量のない粒子でもエネルギーを持つならば,エネル
interaction)
ギーは m = E/c2 に従って質量に相当するので,また重力相互 作用を受ける. 大きい質量による重力によって空間に作られた強いひずみが遠い
重力レンズ(gravitational lens)
所にある光源からの光をゆがめ,レンズのような役目をする効果. 対象源,ディフレクター(訳注:重力源),観測者の相対的位置 によって,源の像として多重の像,アーク状,あるいは環状が現 れる. 放射の過程で重力場の変化に伴い電磁波の波長が増大する現象(訳
重力による赤方偏移
注:重力場の強い場所から弱い場所へ光が通ると,そのエネルギー (gravitational redshift) の差の分だけ波長が伸びる). 重力子(グラビトン)の超対称性パートナー.
グラビティーノ(gravitino)
質量間の相互作用(訳注:重力相互作用)を媒介するスピン 2~ で
重力子(グラビトン)(graviton)
質量ゼロのボソン.
352
第 16 章 用語集 重力(gravity) 質量を持つ 2 つの物体に働く引力.2 つの素粒子間に働く重力は,
質量が小さいので無視できるほど小さい. 重力波(gravity waves) 加速された電荷が電磁波(光子)を放出するのと同様に,加速さ
れた質量が放出する波.重力波の量子は重力子(グラビトン)と よばれる. グレートウォール(Great Wall) 銀河の分布で見られる
100 Mpc の(訳注:壁状の)構造.
グライセン–ザツェピン–クズミ
超高エネルギーの陽子が宇宙背景放射の光子と相互作用し,Δ 共
ン(GZK)カットオフ
鳴状態を通してパイオンを作る.その陽子のしきいエネルギー.
(Greisen–Zatsepin–Kuzmin
(GZK) cutoff) GUT
大統一理論(Grand Unified Theory).強い,電磁,弱い相互 作用を統一した理論.
GUT 時代(GUT epoch) 宇宙の非常に初期の時代.そこでは強い,弱い,電磁の力は統一
されていて,同じ大きさを持つ. GUT スケール(GUT scale) 強い,電弱相互作用が 1 つの共通の力に併合されているエネル
ギースケールで,E ≈ 1016 GeV. 旋回半径(gyroradius) 磁場内で動く荷電粒子は磁力線の周りを旋回運動する.この軌道
の半径を旋回半径,またはラーモア半径ともいう.
H ハドロン(hadron) 強い相互作用を持つ構成子(クォークあるいはグルーオン)から
成る粒子.メソンやバリオンはハドロンである.これらのすべて の粒子は強い相互作用に関与する. ブラックホールの重力場エネルギーは粒子–反粒子対を作り出す radiation) ことを可能とする.たとえば,この過程が事象の地平線外で起こ
ホーキング放射(Hawking
るとき,そのうちの 1 つがブラックホールに吸収されて,もう一 方は脱出することができる.この量子過程で,脱出した粒子は系 のエネルギーを減らすので,ブラックホールは蒸発できる.この 現象をホーキング放射という.しかし,大きなブラックホールの 蒸発の時間スケールは宇宙の年齢をかなり超えてしまう. ホーキング温度(Hawking
ホーキング放射によって明らかにされるブラックホールの温度.
temperature) HEAO
高エネルギー天文観測衛星(High Energy Astronomy Obser-
vatory).X 線科学衛星.
353 粒子の位置と運動量は任意の精度で同時に決めることはできない ハイゼンベルクの不確定性原理 (Δx Δp ≥ ~/2)というもの.この不確定性関係はすべての相補 (Heisenberg’s uncertainty 的量についても適用される.たとえばエネルギーと時間の不確定 principle) 性関係. 太陽を中心とした,という意味(訳注:太陽の中心に観測者がい
太陽中心の(heliocentric)
るとして,たとえば緯度,経度を記述する). 太陽表面から始まり太陽系の境界まで広がる大きな領域.
太陽圏(heliosphere)
星を色–光度で表した図.大きい光度を持つ星は高温度の色,す
ヘルツシュプリング–ラッセル図 なわち青色のスペクトル範囲で強く輝くことで特徴づけられる. (HR 図)(Hertzsprung–Russell diagram)
標準模型の枠組みの中で自発的対称性の破れの機構によって,フェ ヒッグスボソン(Higgs boson) ルミオンに質量を与えるために予言されているヒッグス場の量子 として導入された仮想の粒子.スコットランド人の物理学者ヒッ グス(Peter Higgs)の名前をとってつけられた(訳注:現実に存 在しないという意味ではない.現在未発見であるが,この粒子の 発見は,たとえば LHC 実験の最重要課題である.LHC の項も 見よ). 自発的対称性の破れとよばれる過程で質量を生み出す原因とされ
ヒッグス場(Higgs field)
る仮想的なスカラー場. 我々の宇宙で観測できる範囲.観測可能な宇宙の半径は,ビッグ
地平線(horizon)
バン以来光が伝わってきた距離に対応する. 古典的宇宙論では天空で ≈ 2◦ 以上離れた 2 つの領域は,因果的
地平線問題(horizon problem)
に無関係のはずである.それにもかかわらず,それらの間で同じ 温度を持っていることが実験的に見出された.これを地平線問題 という.この問題は温度のゆらぎがならされている初期宇宙が指 数的膨張(訳注:インフレーション)をしたとして,無理なく説 明できる. 相対論的(訳注:速度が光速に近い)暗黒物質.ニュートリノは
熱い暗黒物質(hot dark matter)
この候補である.
X 線観測衛星 ROSAT の焦点面に置かれた高分解能撮像器(High Resolution Imager).
HRI
銀河の後退速度 v とその距離 r に関する比例定数,v = H r.最近
ハッブル定数
の測定によれば,ハッブル定数の値 H は約 70 (km/s)/Mpc(訳 (Hubble constant)H 注:2008 年,約 73 (km/s)/Mpc).ハッブル定数の逆数は宇宙 の年齢に相当する. 銀河の後退速度はその距離に比例するという法則.
ハッブルの法則(Hubble law)
354
第 16 章 用語集 直径 2.2 m の鏡を持つ人工衛星に搭載された宇宙望遠鏡(ハッブ telescope) ル宇宙望遠鏡(HST—Hubble Space Telescope)).
ハッブル望遠鏡(Hubble
水素燃焼(hydrogen burning)
4 つの水素核が 1 つのヘリウム核になる融合反応.2 つの陽子が融 合して重水素核,陽電子,電子ニュートリノになること(p + p → d + e+ + νe )から始まる.
I IMB
核子崩壊の探索とニュートリノ天文学のためのカリフォルニア 大アーバイン校・ミシガン大・ブルックヘブン研究所(Irvine–
Michigan–Brookhaven)の共同研究. 内側破裂(implosion) 内向きの激しい崩壊. 慣性(inertia) 物体が動いているとき,その軌道を変えるためには,それに力を
加えないといけないという性質. インフレーション(inflation) ビッグバン以後
10−38 s から始まり 10−36 s までの初期宇宙に,
宇宙の膨張に指数的段階があるとする仮説.現在観測されている 宇宙背景放射の等方性と一様性は,宇宙インフレーションによっ て理解される. 赤外奴隷(infrared slavery) 運動量が小さいとき(訳注:大きくとも),クォークはハドロン
内に閉じ込められているということ.クォークはハドロンの監獄 から脱出することはできない. 赤外線天文学
天体から放射される赤外線を見て調べる天文学.
(infrared astronomy) 相互作用(interaction) 粒子が崩壊するか,あるいは衝突の際,他の粒子の存在による力
に反応する過程. 相互作用長(interaction length)–
強い相互作用を持つ粒子が物質中で衝突を起こす特有の長さ.
星間物質(interstellar medium) 星の間の空間にあるガスや塵.
高エネルギー電子による低エネルギー光子との散乱.エネルギー Compton scattering) が移動する.
逆コンプトン散乱(inverse
電離(ionization) 原子内電子が光子あるいは荷電粒子によって解き放される,すな
わち光イオン化,衝突によるイオン化のこと. 異性核(isomers) 原子核の長寿命の励起状態.
355 (電磁効果は別として)同じ質量を持ったハドロンは,スピンとの
アイソスピン(isospin)
類推で,アイソスピンの多重項としてまとめられる.多重項の個々 のメンバーはアイソスピンの第 3 成分で表されると考える.核子
= + 12 ,I3 (n) = − 12 ), そしてパイオンはアイソスピン三重項(I = 1,I3 (π + ) = +1, I3 (π − ) = −1,I3 (π 0 ) = 0)である. はアイソスピン二重項(I =
1 ,I3 (p) 2
異なる質量を持ちながら同じ化学元素を示す定められた電荷を持
同位体(isotope)
つ原子核.化学元素は原子番号で決まる.したがって,同位体は 決まった数の陽子を持つが,中性子の数が変わる.
J 物質分布に不均一性があると,それがある臨界の質量を超えると, ジーンズ質量(Jeans mass) 重力による引力で成長し,宇宙の構造形成(たとえば銀河形成) の原因となる.この臨界の質量をジーンズ質量という. 電波銀河やクェーサーから現れる物質の細長い流れ.あるいは粒
ジェット(jets)
子–反粒子消滅による粒子の束.
K 宇宙や地球のニュートリノ測定のための,日本の神岡鉱山にある核
カミオカンデ(Kamiokande)
子崩壊実験(装置) (訳注:Kamioka Nucleon Decay Experiment. あるいは Kamioka Neutrino Detection Experiment ともいわ れる).
K;ストレンジクォークと反アップクォークまたは反ダウンクォー
ケーオン(kaon)
クからなるメソン.あるいは相応して,反ストレンジクォークと アップクォークまたはダウンクォークからなるメソン. キロパーセク(パーセク(parsec)を見よ).
kpc
L > 104 個の銀河の質量を持つ仮想的な超大複合集団.数億光年離
大アトラクター(large attractor)
れていて,局所銀河団(訳注:我々の銀河系も属する)はそれに 向かって動いているとの印象を与えている. 地磁気の場と荷電一次宇宙線との相互作用によって地磁気の極周
緯度効果(latitude effect)
辺の宇宙線強度が増す現象. 大電子–陽電子衝突型加速器(Large Electron–Positron Collider).LEP
CERN にある円周 27 km の e+ e− 蓄積型リングを持つ.
356
第 16 章 用語集
レプトン起源(leptogenesis) 初期宇宙のレプトン生成の理論. レプトン(lepton) 強い相互作用には関与しない基本的なフェルミオン.電荷を持つ
レプトンは電子(e),ミューオン(μ),タウ粒子(τ )とその反 粒子.電気的に中性なレプトンはそれらに関連したニュートリノ (νe ,νμ ,ντ )である. −
レプトン数(lepton number) レプトンフレーバーを記述する量子数.3 世代の荷電レプトン(e , −
−
μ ,τ )は,それぞれ異なる保存するレプトン数を持つ.一方, ニュートリノは振動するのが許されているので,その際はレプト ン数保存則は破れる. LHC
大型ハドロンコライダー(Large Hadron Collider).ジュネー ブの CERN にある.LHC では 2 つの陽子は質量中心系のエネ ルギー約 14 TeV で衝突する.2007 年に運転開始が予定されて いる(訳注:2008 年 9 月 10 日に最初の運転を行った).世界で 最高の質量中心系のエネルギーを持つ加速器になるだろう.LHC で,たとえば,基本フェルミオンの質量を与えるヒッグスボソン が存在するかどうか,その質量はいくらかといった素粒子物理の 幾つかの未解決問題を明らかにするのに役立つことが広く望まれ ている.
光年(light-year) 光が真空中を 1 年間に進む距離.1 ly
= 9.46×1015 m = 0.307 pc.
灯台模型(lighthouse model) 回転するパルサーからの光のフラッシュとしてパルサーを説明す
る模型. 大マゼラン星雲(LMC) 南の空に
170,000 光年(= b 52 kpc)離れた所にある不規則銀河.
(Large Magellanic Cloud) 局部(銀河)群(local group) 我々の天の川銀河を含めて,アンドロメダ星雲とマゼラン星雲か
らなる銀河の系.直径は約 500 万光年である. おとめ座超銀河団;銀河「天の川」はこれの一部.おとめ座銀河 supercluster) 団もこれに属している.広がりは約 30 Mpc である.
局部超(銀河)団(local
特殊相対性理論から導かれる,動いている物体は進行方向に縮ん contraction) で見える現象.
ローレンツ収縮(Lorentz
互いに直線的に一定の速度で動く座標系についての,運動学的変 transformation) 数(訳注:時空)の変換.真空中の光速が最大の速さである.
ローレンツ変換(Lorentz
光度(luminosity) 星や銀河の全範囲の波長についての光の放出量の合計.したがっ
て,絶対輝度に対応する.
357 等方的に放射されるとして,見かけの明るさとわかっているある
光度距離(luminosity distance)
いは推定した全光度を比べて求めた天体までの距離.光度がわかっ ていれば,その光源は標準光源として使える.
M おとめ座銀河団にある距離 11 Mpc の銀河.高エネルギー宇宙線
M87
の優れた源と考えられている. マッチョ.大質量のコンパクトなハロー天体(MAssive Compact
MACHO
Halo Object).我々の天の川銀河のハロー内で暗黒でコンパク トな物体を探すための実験.EROS も見よ. 我々の天の川銀河に一番近い銀河.小マゼラン星雲(SMC)と大
マゼラン星雲(Magellanic
マゼラン星雲(LMC)から成る.距離は 52 kpc.
Cloud)
原子番号 Z あるいは中性子数 N が魔法数 2,8,20,28,50,82, 魔法数(magic numbers) 126 をとる原子核は安定である.原子核の殻模型の枠内では,こ れら魔法の核子数は閉じた殻を形成する.陽子と中性子がともに 魔法数の原子核は,二重魔法核と名づけられる(訳注:たとえば 鉛の原子核). 極端に強い磁場(1011 テスラまで)を持つ中性子星の特別な種類. マグネター(magnetar) 突発的な γ 線バーストを放出する. 磁場の分離した源ないし極から成る仮想的な粒子(訳注:磁場の N 磁気モノポール(magnetic 極だけあるいは S 極だけを持つ粒子).大統一理論で予言される. monopole) 星や他の天体の相対的な明るさの尺度.強度 I1 と I2 を持つ 2
等級(magnitude)
つの星の明るさの差は等級 m1 − m2 = −2.5 log10 (I1 /I2 ) を通 して決められる.この尺度のゼロは,北極星の見かけの明るさが
2.12 等級になるように決めた(訳注:現在北極星は 3 つの星から 成るセファイド型変光星とされるので,一群の測光標準星を基準 とする).見かけの明るさの差が Δm = 2.5 ならば,強度の比は
10 : 1 となる.この尺度で惑星である金星は m = −4.4 等級とな る.肉眼で m = 6 等級まで見える.最も強力な望遠鏡で,28 等 級の星まで観測できる. ヘルツシュブルング–ラッセル図で主系列にある平均的な年齢の
主系列星(main-sequence star)
星(訳注:この図で左上から右下に広がる帯状の中に入る太陽を 含んだ大部分の恒星). 青と紫外線領域の光を放出し,明るい活動銀河核を持つ遠い銀河. マルカリアン銀河(Markarian galaxies) ≥TeV のガンマ線の源でもある.
358
第 16 章 用語集 質量(mass) 静止質量;粒子の静止質量
m0 は,孤立した自由粒子が静止した
状態で持つエネルギーを,光速の 2 乗で割って得られる質量であ る.素粒子物理学者が質量の名称を使ったとき,それはいつも粒 子の静止質量のことである. 質量数(mass number) 原子核内の中性子の数(N )と陽子の数(Z )の和(A). 物質–反物質非対称
初期宇宙のある未だ知られていないバリオン数を破る過程とレプ
(matter–antimatter
トン数を破る過程から引き起こされる非対称性のこと(サハロフ asymmetry) の条件(Sakharov conditions)を見よ).
物質振動(matter oscillation) 物質があることで共鳴的に増幅されるフレーバー振動.たとえば,
太陽内部では νe e− 相互作用で,太陽ニュートリノ(訳注:νe )が 抑制される. 物質–輻射対等
ビッグバンからほぼ 50,000 年後,放射のエネルギー密度が物質
(matter–radiation equality) のエネルギー密度より下がる瞬間のこと. メソン(meson) クォークと反クォークから成るハドロン. マイクロレンズ効果
明るい星への視線上にある小さな暗黒物体は光線を曲げることか
(microlensing) ら,この背景にある星の明るさを偏らせる現象.
極端に小さい(≈ μg)ブラックホール.初期宇宙に創られたかも holes) しれない.これら原始ブラックホールは星の崩壊あるいは蒸発の
ミニブラックホール(mini black
最終状態ではない. 見えない質量(missing mass) 宇宙構造で,重力によって他の物体に働いていて,存在するのに
違いない質量あるいはエネルギー.検出できる電磁波は放出しな い(暗黒物質(dark matter)を見よ).見えない質量という言 葉は,また多くの実験で扱う相対論的運動学でも使われる.ここ では,全エネルギーは質量中心系のエネルギーで完全に制約され ている.相互作用しないで検出器を素通りする粒子(ニュートリ ノや SUSY 粒子のような)の質量のこと.エネルギー,運動量は 他のすべての粒子を検出することで,復元できる. 宇宙模型(model of the
フリードマン–ルメートル宇宙(Friedmann–Lemaˆıtre universe)
universe) を見よ.
すべての大統一理論は観測に比して質量の大きい多数の磁気モノ problem) ポールを予想するという問題.モノポール生成の時期,インフレー
モノポール問題(monopole
ションによってモノポール密度は無視できる程度に薄められるで あろう.それによって問題は解決される. Mpc
メガ(100 万)パーセク(パーセク(parsec)を見よ).
359 ミケーエフ(Mikheyev),スミルノフ(Smirnov),ヴォルフェ MSW 効果(MSW effect) ンシュタイン(Wolfenstein)によって最初に提案された物質振 動のこと.物質振動(matter oscillation)を見よ. すべての相互作用を統一した超対称性弦理論(「超弦理論」).重
M 理論(M theory)
力の量子論を含む.最小の物体は p 次元の膜である.今やすべて の弦理論は,この 11 次元の理論に埋め込むことができるように 思われる.空間 10 次元のうち 7 次元はコンパクト化され,カラ ビ–ヤウ空間になる. 相互作用で創られる二次粒子の数.
多重度(multiplicity)
我々の宇宙は,ばらばらでまったく別の莫大な数の宇宙の中のたっ
マルチバース(multiverse)
た 1 つであるとする,仮想的な宇宙概念の拡張.
μ;荷電レプトンで第 2 世代に属する.電荷 −e を持つ.
ミューオン(muon)
ミューオン μ− とそれに伴うミューオンニュートリノはミューオ
ミューオン数(muon number)
ンレプトン数 +1 を持ち,それらの反粒子のミューオンレプトン 数は −1 である.他のすべての素粒子はミューオン数は 0 である. ミューオン数は—ニュートリノ振動を除いて—保存量である.
N 正の圧力がその場を通して重力を増すのと同様に,負の圧力は(た
負の圧力(negative pressure)
とえば,ばねのように)反発する重力を導く.暗黒エネルギーは, 負の有効な圧力による反発する重力のエネルギーの形を表す. 仮想中性ゲージボソンによって媒介される相互作用機構.
中性カレント(neutral current)
標準理論で中性ゲージボソンの超対称性パートナーをひとまとめ
ニュートラリーノ(neutralino)
にした言葉.すなわち,光子,グルーオン,Z ボソン,重力子, 中性ヒッグス粒子の超対称性パートナーであり,それぞれ,フォ ティーノ,グルイーノ,ジィーノ,グラビティーノ,ヒッグシーノ とよばれる. 電荷を持たないレプトン.弱い相互作用と重力相互作用しか持た ないので,検出は非常に難しい.3 種類の知られたニュートリノが あり,それらはすべて非常に軽い.これらのレプトンは,νe ,νμ , ντ であり,それぞれ電子,ミューオン,タウ粒子世代になる.す でに知られているこの 3 世代のニュートリノ以外に,軽いニュー トリノ(mν < 45 GeV/c2 )のさらなる世代は,LEP 実験で無 いことが示された.
ニュートリノ(neutrino)
360
第 16 章 用語集 真空中あるいは物質中でニュートリノのフレーバーが他のフレー oscillation) バーに変質する振動.
ニュートリノ振動(neutrino
真空中でニュートリノのフレーバーの振動.ニュートリノが質量 vacuum oscillation) を持ち,そして弱い相互作用の固有状態が異なる質量固有状態の
ニュートリノ真空振動(neutrino
重ね合わせであれば起こる. 中性子(neutron)
n;電荷ゼロのバリオン.2 つのダウンクォークと 1 つのアップ クォークがともにグルーオンで結ばれた内部構造を持つフェルミ オンである.原子核の中性部分を構成する.同じ化学元素の異な る同位元素は,原子核内の中性子の数が違うだけである.
中性子の崩壊(neutron decay) 中性子が陽子,電子,反電子ニュートリノに崩壊すること. 中性子の蒸発
1 個の中性子を放出する原子核の崩壊.
(neutron evaporation) 中性子星(neutron star) 主として中性子から成るきわめて高密度の星.超新星爆発の残骸
であり,そこでは残った星の重力による圧力が非常に大きいため, 電子と陽子が溶け合ってニュートリノと中性子になる(e− + p →
n + νe ).典型的な直径は 20 km である.もし重力による圧力が 中性子の縮退圧力より勝ると,つぶれてブラックホールになる. 外にいる観測者から見ると,ブラックホールは,わずか 3 つの性 theorem) 質:質量,電荷,角運動量しかわからないというもの.もし 2 つ
「脱毛」定理(‘no hair’
のブラックホールでこれら 3 つの性質が同じなら,それらは区別 がつかない. 新星(nova) 光度が急に増す(≈
106 倍)星.この星の爆発は超新星ほど激し
くない.同じ星で数回起こることもある. 原子核をその構成子にばらばらにするのに必要なエネルギー.≈ binding energy) 8 MeV/ 核子.
原子核結合エネルギー(nuclear
核分裂(nuclear fission) 原子核がほぼ同じ大きさの
2 つの原子核に分裂すること.多くの
場合,核分裂は非対称の破片になる.自発的に行われるか,ある いは核反応で起こされる. 核融合(nuclear fusion) 軽い元素が融合してより重い元素になること.融合原子炉では,
陽子が重水素を経て,ヘリウムに結合される.我々の太陽は融合 原子炉である.
O OGLE
光学的重力レンズ実験(Optical Gravitational Lens Experi-
ment).天の川銀河の銀河ハロー内の暗い星を探すことを目的と する.
361 もし宇宙が無限の大きさであり,一様であり,変化しないのなら
オルバースのパラドックス
ば,夜空は明るく輝くはずである,というパラドックス.どの方向 (Olbert’s paradox) を見ようとも,結局は星を見ることになるから.星の数は地球か らの距離の平方に比例して増え(訳注:距離を r とし,r ∼ r + dr の球殻内を考える),一方,強度は距離の平方に反比例する.し たがって,全空は太陽とほぼ同じくらい明るいはずである,とい うのが根拠(訳注:dr 中の明るさは一定になり,それを無限に加 えることになり,無限の明るさになる).このパラドックスは,宇 宙は無限でなく,一様でなく,無変化でないという事実から解決 される.また,はるか遠い星や銀河からの光は極端な赤方偏移を 示し,ときには見ることもできない. 無限に永久に膨張する宇宙で,フリードマン–ルメートル模型に
開いた宇宙(open universe)
より記述される.
1 つの物体(たとえば,人工衛星)が 2 番目の物体あるいは点の
軌道(orbit)
周りを動く道筋. 有向シンチレーションスペクトロメータ実験(Oriented Scintil-
OSSE
lation Spectroscopy Experiment).CGRO 観測衛星に搭載さ れた装置の一つ.
P 原子核のクーロン場での,光子によるフェルミオン–反フェルミオ
対生成(pair production)
ンの生成.対生成—多くの場合は電子–陽電子対生成—は電子あ るいは他のあらゆる荷電粒子のクーロン場でも起こる.
2 つの異なった場所から離れた天体を見たとき,それよりはるか
視差(parallax)
に遠い背景に対する見かけの位置のずれ. すべての空間座標を反転させたとき,波動関数がどう振る舞うか
パリティ(parity)
を決める性質.もし波動関数 ψ が ψ(r) = +ψ(−r) を満たすな らば(訳注:ここでの r は位置ベクトル),偶パリティといわれ る.一方,ψ(r) = −ψ(−r) ならば,波動関数は奇パリティであ る.実験的には波動関数の絶対値の 2 乗しか観測できない.もし パリティが保存されるなら,左と右を区別する基本的な方法はな い.電磁相互作用や強い相互作用ではパリティは保存するが,弱 い相互作用では保存しない. ;天体の距離を表すのに使う単位. パーセク(parsec) 秒角の視差(parallax second) 太陽の周りの地球軌道の平均半径(訳注:1 天文単位(astronomical
unit))が見込む角度が 1(アーク)秒の距離.1 pc = 3.086 × 1016 m = 3.26 光年.
362
第 16 章 用語集
粒子的地平線(particle horizon) 因果関係が保たれる最大の領域. パウリの原理(Pauli principle) フェルミオン(fermion)を見よ. 近星点(periastron) 二重星の系で,軌道を描く星がもう
1 つの星に最も接近する点.
近地点(perigee) 地球の周りを回る月や人工衛星が,地球に一番接近する点. 近日点(perihelion) 惑星,彗星,太陽の周りを回る人工衛星が,太陽に一番接近する点.
PETRA
Positron Electron Tandem Ring Accelerator(陽電子–電子タ ンデムリング加速器).ハンブルクの DESY 研究所にある電子– 陽電子蓄積リング.
ポッツァー極大(Pfotzer
一次宇宙線の大気中での相互作用で創られた二次粒子の強度が,
maximum) 高度約 15 km で最大になること. フォティーノ(photino) 光子の超対称性パートナー粒子. 光電効果(photoelectric effect) 光子によって原子内の電子が自由になる過程. 光子(photon) 電磁相互作用のゲージボソン(訳注:電磁波の量子化,フォトン). パイオン(pion)
π;一番軽いメソン.パイオンはアイソスピンの三重項を成し,そ のメンバーは電荷 +1,−1,0 を持つ.
温度 T の黒体放射を,プランクの放射法則に従って波長の関数と distribution) して表した強度分布.
プランク分布(Planck
プランク長(Planck length) 重力の量子的性質が見えてくる長さ,LPl −35
10
=
p
G~/c3 ≈ 1.62 ×
m.
プランク質量(Planck mass) 重力を含めたすべての力が統一理論によって記述できるようなエ
ネルギースケール;mPl = プランクの放射則(Planck’s
p ~c/G ≈ 1.22 × 1019 GeV/c2 .
黒体から放射されるエネルギー分布を与える法則.振動数に依存
radiation law) する放射密度は,黒体の温度に依存する.プランク分布(Planck
distribution)も参照. プランク張力(Planck tension) 弦理論の典型的な弦の張力. プランク時間(Planck time) 光子がプランク長に等しい距離を走る時間.tPl −44
5.39 × 10
=
p
G~/c5 ≈
s.
惑星状星雲(planetary nebula) ある種のきわめて熱い星から放出され広がったガスの殻. 陽電子(positron) 陽電子消滅 (positron annihilation)
e+ ;電子の反粒子. 陽電子が物質中で電子とともに消滅すること(e+ e− → γγ ).
363 初期宇宙の構造が成長している間,凍結されるようになった平均
パワースペクトル(power
密度からの差が存在する.それを初期宇宙の構造と結びつけ,そ
spectrum)
のゆらぎの強度の目安として記述したもの. 我々の銀河そしてそれを超えた所を起源とする粒子の放射.おも
一次宇宙線(primary cosmic
に,陽子と α 粒子から成るが,ウラン核まで存在する.
rays)
ミニブラックホール(mini black holes)を見よ.
原始ブラックホール(primordial
black holes)
ビッグバン後最初の 3 分間に起きた原子核生成.
原始核種合成(primordial
nucleosynthesis)
源から出る粒子.
原始粒子(primordial particles)
p;一般に最もよく知られているハドロンで,電荷 +1 のバリオ 陽子(proton) ン.2 つのアップクォークと 1 つのダウンクォークがグルーオン で結ばれて作られる.水素元素の核は陽子である.電荷 Z を持つ 原子核は Z 個の陽子を含む(訳注:Z は原子番号).したがって, 陽子数は元素の化学的性質を決める. 水素が融合して最後にはヘリウムになる原子核反応.pp サイクル
陽子–陽子連鎖(proton–proton
は我々の太陽のおもなエネルギー源である.
chain)
ガス雲が非常に密集した領域または集合体で,それから星が作ら
原始星(protostar)
れる. 我々の太陽から一番近い,距離 4.27 光年隣の恒星.
ケンタウルス座プロクシマ (Proxima Centauri)
空間反転で符号を変えるスカラー量.
擬スカラー(pseudoscalar)
位置敏感型比例計数管(Position Sensitive Proportional Counter). PSPC 観測衛星 ROSAT に搭載された. 異なるスペクトル領域(電波,光学的,X 線,ガンマ線)を放射
パルサー(pulsar)
する「脈動電波星」.特徴的な脈動放射をする回転している中性 子星.
Q はっきり区別され得る最小の単位量.それによって系のエネルギー とか角運動量のような一定の性質が変わる.プランク定数は物理 的作用の最小量であり,素電荷は観測できる自由粒子の持つ最小 の電荷である.
量子(quantum)
364
第 16 章 用語集
量子異常(quantum anomalies) 量子化やくりこみの過程で古典的な対称性が破れる現象. 量子色力学(quantum
QCD;クォークとグルーオンの強い相互作用の理論.
chromodynamics)
自由度が無限大の系に適用された量子力学の理論.粒子を生成し theory) たり消滅する過程も記述する.
場の量子論(quantum field
量子泡(quantum foam) 時空構造が超ミクロのスケールで泡の性質を持つこと. 量子重力論(quantum gravitation) 他の異なる型の相互作用と統一を目指す重力の量子論.
非常に小さい距離で成り立つ物理法則を記述する.おもな特徴は, mechanics) たとえば,電荷,エネルギー,角運動量等が量子とよばれる離散
量子力学(quantum
的な量になることである. クォーク(quark)
q;強い相互作用に従う基本的なフェルミオン.陽子の電荷を +1 としたとき,電荷 + 23 (アップ,チャーム,トップ)あるいは − 13 (ダウン,ストレンジ,ボトム)を持つ.
クェーサー(quasars) 準恒星電波源.銀河全体をより光らせ,したがってクェーサーを明
るい星のように見せる活動核を持ち,大きい赤方偏移を示す銀河. クインテセンス(quintessence) 暗黒エネルギーについてのスカラー場のモデル.クインテセンス
場のエネルギー密度は,宇宙定数とは対照的に時間とともに変わ る不均一な成分を表す.この成分は −1 < w < 0 を満たす負の圧 力を持つ.ここで,w ≡ P/ ,P と は,それぞれクインテセ ンス場の圧力とエネルギー密度である.クインテセンス場の崩壊 は時空にエネルギーを解き放ち,それによって宇宙膨張を促進す ることができよう.
R 放射線帯(radiation belt) 太陽風の粒子は地球磁場で捕えられる.それらはヴァン・アレン
帯を形成し, その中では荷電粒子が前後にらせん状になる.さら に電子と陽子に分かれる.この領域を放射線帯という.ヴァン・ アレン帯(Van Allen belt)も見よ. 放射時代(radiation era) ビッグバン後から
380,000 年まで,放射が優勢であった宇宙の
時期. 放射長(radiation length)X0
高エネルギーの電子やガンマ線が強度を弱める特有の長さ(訳注: 電子は制動放射で,ガンマ線は電子対発生で強度が弱まる).
365 光子が小さい塵や物質粒子によって吸収されたり,散乱されたり, 放射圧(radiation pressure) 原子によって吸収されたりしたときに,光子が及ぼす力. 電波領域の天文学.宇宙黒体放射の発見につながった.
電波天文学(radio astronomy)
電波領域で強い光度を持つ銀河.
電波銀河(radio galaxy)
プラスイオンによる電子の捕獲,しばしば輻射放出との関連で使
再結合(recombination)
われる. 中性原子とイオン化した原子が同数になる温度,3500 K.
再結合温度(recombination
主系列にある星が供給される水素を使い果たしてしまうと,その
赤色巨星(red giant)
temperature)
核は縮まり温度が増して,ヘリウム燃焼が始まる.このことは星 の光度を増すとともに膨張させる.このようにしてできた星を赤 色巨星といい,その直径はもともとの星の大きさに比べて大きく なる. 宇宙の膨張によるドップラー効果,あるいは強い重力場によって
赤方偏移(redshift)
電磁波の波長が増す現象.
z=
Δλ λ − λ0 = λ0 λ0
(z—赤方変位,λ0 —放出される波長,λ—観測される波長),
8 > >
> c+v : −1 c−v
,
古典論
,
相対論( v—膨張速度,c—光速)
.
異なる速度や加速度を持つ座標系からの同じ事象の観測の同等性
相対性原理(relativity principle)
を表す原理(訳注:すべての座標系で物理法則は同じ).他のど れよりもすぐれ,定性的に他と違った座標系は存在しない. 電荷は運ばないが,電荷を持つ構成子を含む物体間の相互作用. 残留相互作用(residual 陽子と中性子間の強い残留相互作用は,それらのクォークの強い interaction) チャージにより原子核を束縛する役目を果たす.1930 年代では, パイオンの交換を媒介して陽子と中性子が原子核内に束縛されて いると考えられていた. 孤立し静止した自由粒子のエネルギーを光速の 2 乗で割って定義
静止質量(rest mass)
された質量を粒子の静止質量という. 天空上のあらゆる天体の位置を示すのに,赤緯と一緒に使われる 座標.天の赤道に沿って,春分点から東向きに天体を通る時圏と の交点まで測った角度距離であり,天空上の経度である.
赤経(right ascension)
366
第 16 章 用語集
ロバートソン–ウォーカー計量
宇宙の等方で均一な時空を記述する計量.
(Robertson–Walker metric)
ROSAT
レントゲン衛星(ROentgen SATtellite).ドイツ–イギリス–ア メリカのレントゲン(X 線)観測衛星(1990 年打ち上げ).
R パリティ(R parity) 超対称性粒子を通常の粒子から区別する量子数.
S SAGE 実験(SAGE ソ連–アメリカのガリウム実験(Soviet–American Gallium Exexperiment) periment).pp サイクルからの太陽ニュートリノを測定すること
を目的とする. サハロフの条件(Sakharov
物質優勢の宇宙を創り出すため,最初にサハロフがまとめた必要
conditions) 条件.バリオン数保存を破る過程,C あるいは CP 対称性の破
れ,熱平衡からのずれの 3 つがある. SAS-2,SAS-3
小型天文衛星(Small Astronomy Satellite).NASA によって それぞれ 1972 年(SAS-2),1975 年(SAS-3)に打ち上げられ たガンマ線観測衛星.
スケール因子(scale factor) 宇宙膨張を記述するのに使うことのできる任意の距離.2 つの異
なる時代のスケール因子の比は,宇宙の大きさがどれだけ成長し たかを表す. シュワルツシルト半径
球形ブラックホールの事象の地平線,R = 2GM/c2 .
(Schwarzschild radius) シンチレーション(scintillation) 荷電粒子のエネルギー損失によって原子や分子が励起されて,光
の放出が起こる現象. 二次宇宙線(secondary cosmic
一次宇宙線が大気の原子核と相互作用して創られるいろいろな素
rays) 粒子の混ざったもの. スエレクトロン(selectron) 電子の超対称性パートナー粒子.
銀河の小さく分類された組の 1 つ.明るい中心核と目立たない渦 galaxy) 巻腕を持つ.赤外線の強い放射体であり,また電波源や X 線源と
セイファート銀河(Seyfert
しても検出できる.中心核はクェーサーのいろいろな特徴を持っ ている. SGR 天体(SGR objects) 軟ガンマ線レピーター(Soft Gamma-Ray Repeaters),γ バー
ストを繰り返し放出する天体のこと.おそらく極端に強い磁場を 持つ中性子星であろう(マグネター(magnetar)を見よ).
367 衝撃波の波面の先端.これを境として圧力,密度,温度が急激に
衝撃波フロント(shock front)
変化する. 圧縮性流体中を伝わり,高い圧力と温度を持つ非常に狭い領域. 衝撃波(shock wave) 衝撃波フロントの速度と粒子の速度が反対方向ならば,衝撃波フ ロントを通過する粒子は能率的に加速される. カスケード(cascade)ともいう.高エネルギー素粒子が相互作用
シャワー(shower)
して多数の新しい粒子を発生し,これらの粒子がさらに相互作用 して次々と粒子を作る.このようにして発生した粒子カスケード は(訳注:エネルギーが小さくなって)物質中に吸収されるよう になる.最初に引き起こした粒子のエネルギーは,粒子カスケー ド中で見られる粒子数から導ける.電磁シャワー(電子や光子か ら始まる)とハドロンシャワー(強い相互作用を持つ粒子,たと えば p,α,Fe,π ± ,· · · から始まる)は区別される. 無限大の曲率を持つ時空の範囲—時空の点.
特異点(singularity)
レプトンの超対称性パートナー粒子.
スレプトン(slepton)
小マゼラン星雲(Small Magellanic Cloud).大マゼラン星雲
SMC
(LMC)のすぐ近くにある銀河.
1987 年にあった大マゼラン星雲内での超新星爆発のこと.元の星 はサンデュリーク(Sanduleak)であった.
超新星 1987A(SN 1987A)
超新星/加速探査機(SuperNova/Acceleration Probe).暗黒
SNAP
エネルギーや暗黒物質の量に関係する加速している宇宙の特性を 測定する宇宙上の実験.提案されている SNAP 観測衛星は 2014 年の打ち上げが予定されている. サドバリーニュートリノ観測所(Sudbury Neutrino Observatory).カナダのサドバリーにある.
SNO
超新星残骸(SuperNova Remnant).超新星爆発後の残骸,ほ
SNR
とんどは回転する中性子星(パルサー). 太陽表面からのガスの激しい爆発のこと.
太陽フレア(solar flare)
太陽から流れ出る太陽粒子(電子と陽子)の流れ.
太陽風(solar wind)
ブラックホールに落ちる物体が,場所により重力が違うため伸ば される現象.
スパゲッティ化 (spaghettification)
368
第 16 章 用語集 破砕反応(spallation) 高エネルギー粒子による原子核の変換反応.そこでは— 核分裂
(fission)と違って—多くの核破片,α 粒子や中性子が作られる. 加速されていない慣性系に関する理論.この座標系すべてについ of relativity) て,物理法則は同一であり,真空中での光速 c は宇宙の至る所,
特殊相対性理論(special theory
一定であり,観測者の速さに無関係であるとする.速度の加法定 理は修正され,ガリレイ変換から導かれたものとは違ってくる. スピン(spin) 粒子固有の量子化された角運動量,~ を単位とする.ここで,~ h ,h 2π
=
はプランク定数である(ボソン(boson),フェルミオン
(fermion)も見よ). 自発的対称性の破れ
統一理論によって,高エネルギーで 1 つの相互作用として記述さ
(spontaneous symmetry
れていたものが,低エネルギー系で違った特性が出現すること(た breaking) とえば,弱い相互作用と電磁相互作用).
スクォーク(squark) クォークの超対称性パートナー. 標準光源(standard candle) 絶対光度がよくわかっている天体で,距離を決めるのに使うこと
ができる. 標準模型(Standard Model) 素粒子とその相互作用の理論.もともとは弱い相互作用と電磁相
互作用を統一して,電弱相互作用を記述した.もっと一般的な意 味では,弱い,電磁,強い相互作用を共通に記述したものとして 使われる. スターバースト銀河(starburst
渦巻銀河などに比べて高い率で星を形成する銀河.
galaxies) 星団(star cluster) 重力による引力で互いに束縛し合っている星の一団. 星震(star quake) 中性子星表面での震え.
宇宙のやや古いモデル.膨張によって作られた空の空間を埋める universe) ために物質が絶え間なく創られ,それによって密度は一定に保た
定常宇宙(steady-state
れるというもの(「一定状態の宇宙」). シュテファン–ボルツマンの法則
黒体から放射されるエネルギー量はその温度の 4 乗に比例すると
(Stefan–Boltzmann law) いう法則. 恒星風(stellar wind) 恒星の表面からのガスの噴出. 蓄積リング(storage ring) シンクロトロンであり,その真空パイプ内で粒子と反粒子が反対
方向に回転して蓄積される.通常束になって蓄積された粒子は, 相互作用点で正面衝突させるので,質量中心のエネルギーはビー ムエネルギーの 2 倍になる.粒子物理学やシンクロトロン放射光 の実験に使われる.
369 s クォークのストレンジネスは −1.ストレンジネスは強い相互
ストレンジネス(strangeness)
作用や電磁相互作用では保存するが,弱い相互作用では破られる. 弱い崩壊あるいは弱い相互作用では,ストレンジネスは 1 だけ変 化する.
s;3 番目のクォークフレーバー(もしクォークを質量の小さいほ うから順番に並べるなら).s クォークは電荷 − 13 e を持つ.
ストレンジクォーク(strange
弦理論の枠組みの中で既知の素粒子を表すもの.これらは基本の
弦(string)
quark)
弦の異なる励起状態で表される.弦の長さはプランクスケールで 与えられる. 重力の微視的理論を導入して,一般相対性理論を量子力学と統一
弦理論(string theory)
しようとする理論. ハドロンの構成子であるクォーク,反クォーク,グルーオン間を
強い相互作用(strong
結合させる相互作用.強い相互作用の残留相互作用として原子核
interaction)
の結合を行う. 太陽の黒点数が 11 年で増したり減ったりを繰り返すこと.
黒点サイクル(sunspot cycle)
太陽表面の乱れ.比較的暗い中心部分とそれを取り巻く薄暗い部
黒点(sunspots)
分となって現れる.黒点が暗く見えるのは熱エネルギーの一部が 磁場のエネルギーに変えられたからである. 銀河団(galactic cluster)を見よ.
超銀河団(supercluster)
おとめ座銀河団の周りに多くの銀河が集まって作られた,直径約
超銀河団面(supergalactic
30 Mpc の平面.
plane)
カミオカンデ検出器の後を継ぐ実験検出器(カミオカンデ(Kami
okande)を見よ).
スーパーカミオカンデ検出器 (Super-Kamiokande detector)
光の伝播時間が有限であることに関係して,幾何学的効果で見か
超光速の速さ(superluminal
け上,光の速さを超えたように見える現象.
speed)
銀河中心にあるブラックホールで,太陽の約 109 倍の質量を含む もの.
重力崩壊によって引き起こされる恒星の爆発.もし恒星が水素や
超重量ブラックホール (supermassive black hole)
超新星(supernova)
ヘリウムの供給を使い果たすと,自身の重力により崩壊する.超 新星爆発では,星の光度が短い期間約 109 倍増える.超新星爆発 後,残った星は中性子星かパルサーになる. 超新星爆発後の残骸.ほとんど中性子星かパルサーになる.
超新星残骸(supernova
remnant)
370
第 16 章 用語集 超対称性パートナー
通常の素粒子からスピンが 1/2 だけ違う素粒子.超対称性によっ
(superpartners) て通常の素粒子と対を成す. 超対称性(supersymmetry
各フェルミオンはボソンのパートナーを持ち,各ボソンはフェル
(SUSY)) ミオンのパートナーを持つという性質.これを記述した理論を超
対称性理論(Supersymmetric theories)という.このようにし て,素粒子の数は 2 倍になる.レプトンとクォークのボソン的パー トナーは,スレプトンとスクォークである.たとえば,光子,グ ルーオン,Z ,W のフェルミオン的パートナーはフォティーノ, グルイーノ,ジィーノ,ウィーノである.今までのところ,いかな る超対称性粒子も見つかっていない. 対称性の破れ(symmetry
系の対称性の量が減ること.通常,位相変換を伴う.
breaking) シンクロトロン(synchrotron) 円形の加速器.その中で荷電粒子は外部磁場と同調し,束となっ
て一定の半径の円周上を進んでいく.粒子を導く外部磁場を,加 速された粒子の増加しつつある運動量と同調させて軌道を安定さ せる. シンクロトロン放射
磁場中の加速された荷電粒子によって放射される電磁波.
(synchrotron radiation)
T タキオン(tachyon) 光速より速く動く粒子.その質量の
2 乗は負である.理論にそれ
が存在すると,一般に矛盾をもたらす. タウ粒子(tau)
タウ–レプトン数(tau-lepton
τ ;荷電レプトンの 3 番目のフレーバー(もしレプトンを質量の 小さいほうから順番に並べるなら)を持つ荷電レプトン.τ 粒子 は電荷 −e を運ぶ. タウ粒子のレプトンフレーバーを記述する量子数.τ − とそれに
number) 伴うタウニュートリノは,タウ–レプトン数は +1.反粒子 τ + と
ν¯τ のタウ–レプトン数は −1 である.他のすべての素粒子はタウ– レプトン数 0 を持つ.ニュートリノ振動以外は保存量である. 完成すれば,電弱相互作用,強い相互作用,重力相互作用の違う Everything(TOE)) 現象を統一的に記述することが可能となる究極の理論.
万物の理論(Theory of
高温で軽い元素が核融合し,より重い元素になる反応(たとえば, reaction) T ≈ 107 K での pp 融合).
熱核反応(thermonuclear
時間の遅れ(time dilatation
特殊相対論で説明される時間の伸び(訳注:運動する時計で測る
(dilation)) と,時間が遅れて観測される).
371 T 不変,あるいは単に時間反転ともいう.時間 t を −t に置き換
時間反転不変性(time-reversal
えても物理則が成り立つという性質.ケーオン崩壊の弱い相互作
invariance)
用で,CP の破れと同時に T の破れも起こる.荷電共役,パリ ティ変換,時間反転を連続して行う CP T 演算は,保存量と見な される. 秩序の乱れによって物質に生じる欠陥の一種.真空状態の相転移
位相欠陥(topological defect)
が一様でなかったとすると,磁気モノポール,宇宙紐,ドメイン ウォール,宇宙テクスチャーのような(訳注:それぞれ,点,1 次 元,2 次元,3 次元の)位相欠陥が初期宇宙で創られていたかも しれない.
t;6 番目のクォークフレーバー(もしクォークを質量の小さいほう トップクォーク(top quark) から順番に並べるなら)を持つクォーク.t クォークは電荷 + 23 e を 持つ.質量は金の原子核の質量と同程度である(≈ 175 GeV/c2 ). 3 個の α 粒子が融合して炭素原子核になる反応.そのような反応 トリプルアルファ反応 (triple-alpha process) には,高密度の α 粒子と大きな共鳴的断面積が必要である. 水素の同位体.水素原子核に 2 つの中性子が加わる.
トリチウム(tritium)
U ハイゼンベルクによって最初に定式化された量子力学の原理.1
不確定性関係(uncertainty
つの物体について,その位置 x と運動量 p を同時に正確に知るこ
relation)
とは不可能であるというもの.同じことが相補的な量であるエネ ルギーと時間についても成り立つ. すべてのものを取り込む 1 つの枠組みの中で,4 つの力すべてと
統一理論(Unified Theory)
物質すべてを記述しようとするような何らかの理論のこと(大統 一理論(GUT)も見よ).
u;1 番目のクォークフレーバー(もしクォークを質量の小さい ほうから順番に並べるなら)を持つクォーク.u クォークは電荷 + 23 e を持つ.
アップクォーク(up quark)
V 真空を記述するエネルギー状態が最低の量子場は,必ずしもエネ
真空のエネルギー密度(vacuum
ルギーがゼロになる必要はない.
energy density)
太陽風の低エネルギー粒子が,地球磁場によって捕えられ蓄えら
ヴァン・アレン帯(Van Allen
れた領域.地球の磁軸と直交するドーナツ状の分布を示す.
belt)
ベラ X1,ベラ(ほ(帆))星座にある超新星残骸.距離約 1500
ベラパルサー(Vela pulsar)
光年.ベラ超新星爆発は 6000 年前シュメール人によって観測さ れた.
372
第 16 章 用語集 光速(velocity of light) (c)光の速度.その値は長さの単位メートルの定義のもとになっ
ている.光が真空中を 1/299, 792, 458 秒間に進む距離が 1 メー トルである.真空中の光速は,すべての座標系で同じである. おとめ座銀河団(Virgo cluster) おとめ座の方向にある銀河の集まり. 仮想粒子(virtual particle) 中間過程でほんの短い瞬間だけ存在する粒子.仮想粒子について,
ローレンツ不変質量はその静止質量と一致しない.質量の 2 乗 が負になるものは空間的(space-like),正になるものは時間的 (time-like)とよばれる.仮想粒子はハイゼンベルクの不確定性 原理で許される時間だけ存在できる.
W W + , W ` ボソン(W + , 弱い相互作用を媒介する荷電ゲージ量子.これらの量子はいわゆ W ` boson) る荷電カレント過程に関与する.これらは関係する粒子の電荷が
変わる相互作用である. 波動関数(wave function) 量子力学が基礎をおく確率波(訳注:波動関数の絶対値の
2 乗が
確率になる). すべてのフェルミオンに働く相互作用.たとえば,ハドロンの崩 interaction) 壊である.素粒子や原子核のベータ崩壊を行う.荷電カレント相
弱い相互作用(weak
互作用ではクォークフレーバーが変わるが,一方中性カレント相 互作用ではクォークフレーバーは同じままである. 白色矮星(white dwarf) 核燃料のすべてかほとんどを使い果たした恒星で,ごく小さい大
きさにつぶれている.その安定性は,通常の恒星のように放射な いしガスの圧力で保たれているのではなく,電子ガスの縮退圧に よる.もし太陽質量の 1.4 倍以上の質量を持つと,この圧力が打 ち勝ち,つぶれて中性子星になる. WIMPs
弱相互作用しかない重い粒子(Weakly Interacting Massive Par-
ticles).暗黒物質の候補である. WMAP
ウイルキンソンマイクロ波異方性探査機(Wilkinson Microwave
Anisotropy Probe).宇宙背景放射の細かい構造を測定するため 2001 年打ち上げられた. ワームホール(wormhole) 宇宙のはるか離れた領域をつなぐ時空の通路として提案されたも
の.タイムトラベルの可能性を与えるが,まったくそのことを想 像できないわけではない.
373 圧力とエネルギー密度との比(w ≡ P/ ).宇宙定数一定の模型
wパラメータ(w parameter)
では,真空密度の圧力 P は,エネルギー密度を負にしたものと正 確に等しい,すなわち w = −1.これと対比して,クインテセン スモデルでは −1 < w < 0 とする.
X Y ボソン(Y boson)を見よ.
X ボソン(X boson)
ヨーロッパの X 線宇宙観測ミッション.X 線多重鏡(X-ray Multi-
XMM ニュートン
Mirror)は 3 つの望遠鏡から成る.ニュートン(Sir Issac New- (XMM-Newton) ton)の名誉にちなんで名づけられた. X 線領域(0.1 keV–100 keV)を観測する天文学の一分野.
X 線天文学(X-ray astronomy)
不規則に突然 X 線を噴出する X 線源.
X 線バースター(X-ray burster)
Y 観測されている宇宙におけるバリオン–反バリオン非対称性の説
Y ボソン(Y boson)
明に X ボソンとともに用いられる粒子.この説明には,とりわけ バリオン数を破る過程が必要である.ほぼ GUT スケールで存在 し,GUT エネルギースケール(≈ 1016 GeV)と同程度の質量を 持つ仮想的な重い X と Y ボソンによって,この物質–反物質非 対称性を生み出すことができるかもしれない.それらのクォーク と反クォーク,つまりバリオンと反バリオンへの崩壊が非対称で あればよい.X と Y ボソンのフェルミオン族との結合が,バリ オン数の破れを可能とする今のところ最も単純な考えである. ビッグバン以前の物質の状態につけられた名前.ガモフは,宇宙
アイレム(ylem)
の物質はもともと原始状態で存在していたと提案した.彼はそれ に新しい言葉 ‘ylem’ をつけた(ギリシャ語で,υ´λη「matter(物 質)」,中世のラテン語 hylem からは「wood(木)」で,生命の 原始的要素)を表している.ガモフの考えによれば,ビッグバン 直後に,この原始的な物質からすべての元素が創られた. 湯川秀樹が予言した,陽子と中性子間の結合を媒介すべき粒子. 湯川粒子(Yukawa particle) ミューオンが発見された後,当初はこの粒子だと間違えられた. その後,湯川粒子としてパイオンが発見されて,この状況が解決 された.
Z 弱い相互作用の中性ボソン.電荷やフレーバーが変わらない弱い 相互作用のすべての過程を媒介する.
Z ボソン(Z boson)
374
第 16 章 用語集 ハイゼンベルクの不確定性関係によれば,ある限定された量子力 energy) 学系において,同時に一定の場所と一定の運動量を持つことは許
ゼロ点エネルギー(zero-point
されない.したがって,いかなる系も最低のエネルギー状態でさ えゼロでないエネルギーを持つ必要がある.このエネルギーをゼ ロ点エネルギーという.エネルギーをゼロとすると,ゼロ運動量 となり,位置が無限大の不確定になるからである.
第 17 章
解答
「いかなる問題も的確に説明することは,解答を得る上で 最も重要な第一歩である」
Edwin Bliss
17.1 第 1 章 1.(a) 遠心力は地球と人工衛星間の重力と釣り合うから mM⊕ mv 2 = G 2 ≈ mg . R⊕ R⊕ ここで,高度は低いことを考慮に入れて R ≈ R⊕ とした.したがって,
v≈
g R⊕ ≈ 7.9 km/s .
(b) 脱出速度は,全エネルギーが無限大の遠方でゼロの条件から, Etot =
1 mv 2 + Epot 2
で,ポテンシャルエネルギーは
Epot = −G
mM⊕ R⊕
だから,
mM⊕ 1 mv 2 = G ⇒ 2 R⊕
v=
2M⊕ G/R⊕ ≈ 11.2 km/s
を得る.
(c) 遠心力は地球と人工衛星間の重力と釣り合う.両者を等しいとおいて M⊕ v2 =G 2 . r r 速さ v と角速度 ω の関係から,
v 2 = r2 ω 2 = G
M⊕ r
⇒
r3 =
GM⊕ . ω2
静止衛星の周期 T⊕ = 1 日 = 86, 400 s と ω⊕ = 2π/T⊕ を考慮に入れて,
r=
3
GM⊕ T⊕2 ≈ 42, 241 km 4π 2
376
第 17 章 解答
を得る.したがって,地上からの高度は H = r − R⊕ = 35, 871 km. 静止衛星は赤道上にしか位置することができない.というのは,そこだけが遠心 力の方向が重力の方向と釣り合うことができるからである.いい換えると,静止 衛星の遠心力は,地球の回転軸に垂直に外向きに向いている.そして赤道面だけ で重力が遠心力と同一直線上になる.
2. 遠心力はローレンツ力と釣り合い, mv 2 = evB
⇒
p = eB
⇒
=
p . eB
陽子の運動エネルギー(1 MeV)はその質量(≈ 938 MeV)に比べて小さいので, エネルギー–運動量の関係は古典的な扱い E = p2 /2m0 としてよい.それから p =
√
2m0 Ekin が得られる.
そうすると曲がりの半径は
=
p = eB
√ 2m0 Ekin eB
次元解析:
p=eB, p
kg m s
すなわち
≈ 2888 m .
! m c = (pc)[J] s
= e[A s] B[T] [m] c[m s−1 ] ,
(pc) [J] × (1.6 × 10−19 )−1 = [As] B [T] [m] × 3 × 108 [ms−1 ] , (pc)[eV] = 3 × 108 B[T] [m] = 300 B [ガウス] [cm] =
(pc) [eV] cm = 2.888 × 105 cm . 300 B [ガウス]
3. 図 4.2 から,空気のような物質中のミューオンの平均エネルギー損失は,≈ 2 MeV/(g/cm2 ) である.この数値はまた (4.6) からも得られる.生成される高さ からの大気のコラム密度は,図 7.3 から読み取れる.約 980 g/cm2 である.最終的 に大気中の平均エネルギー損失は,
−
dE 2 2 Δx ≈ 2 MeV/(g/cm ) × 980 g/cm dx = 1.96 GeV .
4. 定義により(用語集,等級(magnitude)を見よ),2 つの星の強度 I1 , I2 と等級 m1 , m2 との差には,以下の関係が成り立つ: m1 − m2 = −2.5 log10 (I1 /I2 ) . したがって,
I1 /I2 = 10−0.4(m1 −m2 ) . そして,Δm = 1 から,I1 /I2 ≈ 0.398 あるいは,I2 ≈ 2.512 I1 となる.
377
17.1 第 1 章
5. N を天体を構成する原子数,μ を核子の質量,A を天体を構成する元素の質量数と する.もし
GM 2 >Nε R ならば,重力結合が優勢になる.ここで,ε は典型的な固体の結合エネルギー(原 子につき ≈ 1 eV)とする.1 程度の因子は無視する.均一な質量分布をしていると きの重力ポテンシャルには,因子 3/5 がかかるが(問題 13.5 を見よ),これを無視 する.天体の質量は M = N μ A なので,上の条件は以下のように書ける:
GM GM 2 = N μA>N ε R R
ε M > . R μAG
あるいは
M/R は書き直せて, 4 M = πR2 = R 3
4 π 3
1/3 (
4 π 3
2/3
2
R )*
2/3
1/3
=
+
4 π 3
1/3 M 2/3 1/3 .
M 2/3
そこで,
4 π 3
1/3 M 2/3 1/3 >
ε μAG
M>
あるいは
ε μAG
3/2
1
.
4 3 π
平均の密度は推定できて(ここでも,1 程度の因子は無視する.すなわち,球状の 分子について,重なり合うことの無い最適の配置方法の空間充填率が 74 % である のは無視する)
=
μ 4 3 3 πrB
.
ここで,rB = re /α2 はボーアの半径(rB = 0.529 × 10−10 m),re は古典電子半 径,α は微細構造定数である.これから,
M>
ε μAG
3/2
1 4 4 3 3 πμ/( 3 πrB )
=
ε μAG
3/2
3/2 rB 1 ε rB 3/2 . √ = 2 μ μ AG
数値として,
μ = 1.67 × 10−27 kg , ε = 1 eV = 1.6 × 10−19 J , G = 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 , A = 50 を入れると,
M > 4.58 × 1022 kg . このことは,我々の月は重力的に結合しているが,一方火星の衛星(フォボスやデ
378
第 17 章 解答
イモス)は,質量がずっと小さく,固体状態の効果によって,すなわち本質的には 電磁力で結合していることを意味している.
6. 特殊相対論では,赤方偏移は
λ − λ0 1+β −1 z= = λ0 1−β で与えられる.若い宇宙については一般相対論を基礎にした取り扱いがより適当で あるが,ここでは上の関係が適用できるとしよう.
z(β) を β あるいは v について解くと, (z + 1)2 − 1 (z + 1)2 − 1 ⇒ v = c=Hd, (z + 1)2 + 1 (z + 1)2 + 1 1 (z + 1)2 − 1 0.967 d ≈ . t= = 2 c H (z + 1) + 1 H
β=
宇宙の現在までの年齢は
1 H
だから,その年齢の ≈ 3.3 % のときにあった遠いクエー
サーを見ていることになる.
17.2 第 2 章 1.(a) レプトン数保存が破られている.許されない, (b) 可能, (c) 可能,いわゆる π 0 のダリッツ(Dalitz)崩壊, (d) 荷電とレプトン数保存が破られている.許されない, (e) 運動学的に許されない(mK − + mp > mΛ ), (f) 可能, (g) 可能, (h) 可能. 2. どのような不安定な素粒子も,たとえばミューオンについて「寿命」という意味は, あくまでも平均の意味と考えるべきである.いい換えれば,寿命 τ を持つ粒子は, それが作られた後正確に時間 τ で崩壊するわけではない.実際の寿命 t は確率密度 関数
f (t; τ ) dt =
1 −t e τ dt τ
に従って分布するランダムな数である.この関数は寿命 t が t と t + dt の間にある 確率を与える.t の平均値が τ に等しいことは容易に確かめられる.不安定な相対 論的粒子に対して,それが崩壊するまでの平均飛程距離は,速度 βc と寿命 γτ の積
βγcτ で与えられる.ミューオンでは,cτμ = 658.653 m.したがって,20 km の高
17.2 第 2 章
379
度から海水面まで到達するには l = 20 km,βγcτμ = l = 20 km で,βγ = l/cτμ と なる.βγ =
γ 2 − 1 から,γ 2 = (l/cτμ )2 + 1 を得る.
l/cτμ 1 であるので,最後に γ ≈ l/cτμ =
20 × 103 m ≈ 30.4 658.653 m
を得る.このとき,全エネルギーは
Eμ = γmμ c2 ≈ 3.2 GeV であり,運動エネルギーは
Eμkin = Eμ − mμ c2 ≈ 3.1 GeV となる.
3. クーロン力は Fクーロン =
(1.602 × 10−19 A s)2 1 q1 q2 1 ≈ 4πε0 r2 4π × 8.854 × 10−12 F m−1 (10−15 m)2
≈ 230.7 N となり,重力は
F重力 = G
m1 m2 r2
≈ 6.674 × 10−11
m3 (2.176 × 10−8 kg)2 kg s2 (10−15 m)2
≈ 31, 600 N となる.
4. エネルギー–運動量保存則から, q e+ + q e− = q f . ここで,qe+ ,qe− ,qf はそれぞれ陽電子,電子,終状態の 4 元運動量である.Z を 生成するには,最初の状態の不変質量の 2 乗が,必要な最終状態の不変質量の 2 乗 より小さくてはいけない:
(qe+ + qe− )2 ≥ m2Z . qe+ = (Ee+ , pe+ ),qe− = (me , 0) であるから, 2me (Ee+ + me ) ≥ m2Z より,
E e+ ≥
m2Z − me ≈ 8.1 × 1015 eV = 8.1 PeV 2me
380
第 17 章 解答
となる.
17.3 第 3 章 1. 問題 2.4 と同様に,反応 γ + γ → μ+ + μ− についてしきいエネルギーの条件は (qγ1 + qγ2 )2 ≥ (2mμ )2 . 光子について,qγ21 = qγ22 = 0.3 元運動量のなす角を π として,
(qγ1 + qγ2 )2 = 2(Eγ1 Eγ2 − pγ1 · pγ2 ) = 4Eγ1 Eγ2 . 最終的に,
(mμ c2 )2 ≈ 1.1 × 1019 eV Eγ2
E γ1 ≥ である.
2. 衝突する粒子数は,最初の粒子数から相互作用を受けなかった粒子数を引けばよい: ΔN = N0 − N = N0 (1 − e−x/λ ) . 薄い標的 x/λ 1 についてテイラー展開して,
ΔN = N0 (1 − (1 − x/λ + · · · )) =
N0 x = N 0 NA σN x . λ
数値を入れて
ΔN = 108 × 6.022 × 1023 g−1 × 10−24 cm2 × 0.1 g/cm2 ≈ 6 × 106 . 3. しきい値の条件は, (qν¯e + qp )2 ≥ (mn + me )2 . qν2¯e = 0 と qp = (mp , 0) を考慮して, m2p + 2Eν¯e mp ≥ (mn + me )2 . そして,
Eν¯e ≥
(mn + me )2 − m2p ≈ 1.8 MeV 2mp
が得られる.ここで,関与する粒子の質量として,mn = 939.565 MeV,mp =
938.272 MeV,me = 0.511 MeV を用いた.
17.4 第 4 章
4.
r
381
pb I @ 6 @s 標的(質量 A,電荷 Z ) b
z q
- 粒子の軌道 p
力F =
pb = =
zeZe r , r2 r
+∞
|F b | dt =
−∞
zZe2 βc
+∞
−∞
+∞ −∞
zZe2 b dx r2 r βc
b dx zZe2 √ = βcb ( x2 + b2 )3
p に垂直な運動量移行
+∞
−∞
(
d(x/b) x 2 3 1+ b )* + =2
2
=
2re me c 2zZe = zZ . βcb bβ
ここで,古典電子半径は re =
e2 . me c2
5. 前問で,横運動量移行は得られていて(z = 1), pb = 2 Z
re Z re me c = 2p 2 . bβ bβ
ここで,p = me v とした(古典的取り扱い).横運動量移行は pb = p sin ϑ で与え られる.
sin 2γ = 2 sin γ cos γ = 2 tan γ cos2 γ =
2 tan γ 1 + tan2 γ
であるから,ラザフォードの散乱式を用いて
pb = 2p
re Z/bβ 2 1 + (re Z/bβ 2 )2
を得る.
17.4 第 4 章 1. φ =
NA σA = NA σN , A
[NA ]
=
mol−1
[A]
=
g mol−1
[σA ]
=
cm2
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
⇒
[φ] = (g/cm )−1 . 2
2. エネルギーの相対的な分解能は作られた粒子数 N のゆらぎによる.W を粒子(対) を作るのに必要なエネルギーとすると,相対的なエネルギー分解能は,N = E/W
382
第 17 章 解答
より
√ ΔN 1 ΔE N W = = =√ = . E N N E N
ここで,E と ΔE は粒子のエネルギーとその不確定さである.
⎧ ⎪ (a) ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ (b) ΔE = ⎪ E (c) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ (d)
0
3. R = E
dE = dE/dx
10 % 5.5 %
.
1.9 % 3.2 × 10−4
E 0
1 b dE = ln 1 + E . a + bE b a
数値計算すると,
1 4.4 × 10−6 5 g g 10 R≈ ln 1 + ≈ 45, 193 4.4 × 10−6 2 cm2 cm2
あるいは,岩石の密度 rock = 2.5 g/cm3 を考慮に入れて,岩石中では R = 181 m.
4. チェレンコフ光の角度 θC は cos θC =
1 nβ
の関係で与えられる.運動量 p と β との関係から,
p = γm0 βc
⇒
β=
p γm0 c
そして
cos θC =
γm0 c . np
さらに,
c p2 + m20 c2 E np cos θC = γ= = m0 c m0 c2 m0 c2
したがって,
(np cos θC )2 = p2 + m20 c2 ⇒
p2 (n2 cos2 θC − 1) = m20 c2 .
すなわち,
m0 =
p 2 n cos2 θC − 1 . c
5. 熱エネルギーの変化を表す式から ΔQ = csp mΔT ,温度上昇は ΔT =
104 eV × 1.6 × 10−19 J/eV ΔQ = = 2 × 10−11 K . csp m 8 × 10−5 J/(g K) × 1 g
6. qγ + qe = qγ + qe
⇒
qγ − qγ = qe − qe
⇒
qγ2 + q γ − 2qγ qγ = −2(Eγ Eγ − pγ pγ ) = qe2 + qe2 − 2qe qe 2
⇒
17.5 第 5 章
−2Eγ Eγ (1 − cos θ) = 2m2e − 2Ee me
;
(pe = 0)
= −2me (Ee − me ) = −2me Eekin = −2me (Eγ − Eγ ) Eγ − Eγ Eγ Eγ = −1= (1 − cos θ) Eγ Eγ me Eγ = Eγ 1+
1 Eγ me (1
− cos θ)
=
383
⇒
⇒
1 . 1 + ε(1 − cos θ)
7. (4.13) から始める.θ = π の 後方散乱のとき,最大のエネルギーが移される: Eγ 1 , = Eγ 1 + 2ε Eemax = Eγ − Eγ = Eγ −
2ε2 Eγ 2ε = Eγ = me c2 . 1 + 2ε 1 + 2ε 1 + 2ε
(∗)
数値を入れると:Eemax = 478 keV(「コンプトンの端」).
ε → ∞ のとき,(∗) より Eemax = Eγ . θγ = π の場合は, Eγ = Eγ
1 1 + 2ε
その結果
Eγ =
me c2 me c2 ε = . 1 + 2ε 2 + 1/ε
ε 1 であれば,この分数は me c2 /2 に近づく. 8. 運動量:p = m v ;m = γ m0 ,ここで m0 は静止質量,γ = p = γ m0 β c
⇒
1 1 − β2
:
γβ = p/m0 c .
9. X 線領域では,屈折率 n = 1 であるので,光の分散は起こらず,したがってチェレ ンコフ放射は無い.
17.5 第 5 章 1.(a) 古典的な非相対論的な場合(v c),運動エネルギーは単に, 2 1 1 1 e2 R 2 B 2 eRB kin 2 E = m0 v = m0 = 2 2 m0 2 m0 になる.ここで,速度 v は遠心力はローレンツ力と釣り合うといういつもの要請 からわかり,
m0 v 2 = evB R
⇒
v=
eBR . m0
384
第 17 章 解答
(b) 相対論的な場合
⎛
⎞
E kin = γm0 c2 − m0 c2 = m0 c2 ⎝ e2 R2 B 2
=c
+
m20 c2
1 1−
v2 c2
− 1⎠ = c p2 + m20 c2 − m0 c2
− m0 c = ecRB 2
1+
m20 c2 − m0 c2 e2 R 2 B 2
≈ 5.95 × 107 eV . あるいは,最初から相対論的近似をすれば,
E kin = c
p2 + m20 c2 − m0 c2 ≈ cp = ecRB ≈ 6 × 107 eV .
2. 最初に星の中の電子数 Ne を求めよう: Ne = Mstar /mp = 10 M /mp ≈
2 × 1034 g ≈ 1.2 × 1058 . 1.67 × 10−24 g
ここで,星はおもに水素から成り(mp ≈ 1.67 × 10−24 g),そして電気的に中性で あり,そこで Ne = Np とした. パルサーの体積は
4 3 πr ≈ 4.19 × 1018 cm3 . 3 そして電子密度は n = 0.5 Ne /V ≈ 1.43 × 1039 /cm3 .そのとき,フェルミエネル V =
ギーは
EF = c(3π 2 n)1/3 ≈ 6.582×10−22 MeV s×3×1010
cm (3×3.14162 ×1.43×1039 )1/3 cm−1 s
≈ 688 MeV . 結果: 電子は陽子と一緒になり
e− + p → n + νe . この中性子は崩壊できない.というのは自由な中性子の崩壊で電子に移されるエネ ルギーの最大値はわずか ≈ 780 keV であるからである.たとえわずか 1 %の電子が 残されていようとも(n∗ = 0.01 n ⇒ EF ≈ 148 MeV),フェルミガス内のすべ てのエネルギー順位は占有されている.
3. 質量 M = 106 M のブラックホールの事象の地平面は, 2GM ≈ 2.96 × 109 m , c2 RS mp M mp M 1 G 2 dr = G = mp c2 ≈ 469 MeV ≈ 7.5 × 10−8 J . ΔE = − r RS 2 ∞ RS =
17.6 第 6 章
385
結果はブラックホールの質量に関係しない.しかし,この古典論による計算はこの 問題に適していなく,エネルギーを得るという考えをもたらすだけである.さらに, エネルギーの値は座標系に依存する.ブラックホール近傍では一般相対論で成り立 つ式だけを使うべきである.
4.(a) 角運動量 L=r×p
⇒
L ≈ mrv = mr2 ω
の保存から,r 2 ω は一定(質量の損失はないとして) : 2 2 R ω = RNS ωNS
⇒
ωNS =
R 2 ω ≈ 588 Hz . RNS
したがって,回転エネルギーは
12 2 2 MNS RNS ωNS ≈ 0.4 × 1030 kg × (5 × 104 )2 m2 × 5882 s−2 25 ≈ 0.35 × 1045 J .
Erot =
(b) 太陽は陽子からのみ(もちろん電子も加えて)成るものとする.4 つの陽子が融 合して He になり,26 MeV のエネルギーを放出するが,これは質量の ≈ 0.7 % が エネルギーに替わったことに相当する:
E = M c2 × 7 × 10−3 = 2 × 1030 kg × (3 × 108 )2 m2 /s2 × 7 × 10−3 = 1.26 × 1045 J . これは中性子星の回転エネルギーに匹敵する.
5. 双極子磁場は遠心力と釣り合う必要があり, mv 2 = evBguide . (∗) R (訳注:Bguide は荷電粒子の円軌道に沿った磁場).(5.38) 式から p = mv = 12 eRB (訳注:ここの B は軌道の円内の平均磁場).(∗) と比べて,
Bguide =
1 B (ヴィデレー(Wideroe)の条件). 2
17.6 第 6 章 6.1 節 1. C,O,Ne は偶–偶核,酸素は二重魔法核でもある.一方,Na は偶–奇,F は奇–偶, N は奇–奇であり,束縛が少ない.ベーテ–ワイツゼッカーの式で,対の効果を表す 項 δ で,偶–偶,偶–奇(奇–偶),奇–奇核の結合エネルギーの違いが与えられる.
m(Z, A) = Zmp + (A − Z)mn − av A + as A2/3 + aC
Z2 (Z − A/2)2 +δ + a a A A1/3
386
第 17 章 解答
av A — 体積項, as A2/3 — 表面積項, 2
aC AZ1/3 —クーロンの斥力, 2
aa (Z−A/2) — 非対称性項, A ⎧ −3/4 ⎪ 偶–偶のとき ⎪ ⎨ −ap A δ= 0 偶–奇/奇–偶のとき ⎪ ⎪ ⎩ +a A−3/4 奇–奇のとき
,δ — 対の効果を表す項 .
p
2. 図 7.9 より一次粒子の頻度は Φ ≈ 0.2 (cm2 s sr)−1 と推定される.地球の表面積は 2 S = 4πR⊕ ≈ 4π(6370 × 105 )2 cm2 ≈ 5.10 × 1018 cm2 .
地球の年齢は T = 4.5 × 109 年すなわち 1.42 × 1017 s.時間 T の間に,立体角 2π に蓄積される全電荷は,
Φ(x, t) dx dt ≈ 1.45 × 1035 × 2π ≈ 9.1 × 1035 個の陽子相当 = 1.5 × 1017 クーロン . それでもまだ,充電されていない.6.1 節で触れたように,一次粒子はおもに高エネ ルギー(典型的には > 1 GeV)粒子である.このような高エネルギー範囲では正電 荷の粒子が,実際には支配的である.もしすべてのエネルギーを考えると,正電荷 と負電荷の粒子は同量になる.我々の太陽も大量の陽子,電子,α 粒子を出す源で ある.すべてのエネルギーを考えるならば,全体では正電荷の過剰はない.このこ とは地上でのミューオンの正電荷過剰と対応していない.それは,ミューオンの場 合は,大気中で高エネルギー(すなわち,おもに正電荷)一次粒子によって始まっ たカスケード過程の結果であるからである.
3.(a) 一次宇宙線が横切る平均のコラム密度は ≈ 6 g/cm2 (6.1 節を見よ).相互作用 (3.57)より断面積と する割合 Φ は,
Φ = σ NA のように関係する.Φ[(6 g/cm2 )−1 ] ≈ 0.1 であり,衝突の相手を核子とすれば,
σ ≈ 0.1 × [(6g/cm2 )−1 ]/NA ≈ 2.8 × 10−26 cm2 = 28mb. (b) もし鉄–陽子断片の断面積が ≈ 28 mb ならば,鉄–空気核衝突の断面積は,次のよ
17.6 第 6 章
387
うに推定できる.σfrag (iron–air) ≈ 28 mb×Aα ,ここで,A ≈ 0.8 AN +0.2 AO =
11.2+3.2 = 14.4.α ≈ 0.75 として,σfrag (iron–air) ≈ 0.21 b∗ .地上まで到達する 確率は P = exp (−σNA d/A) = 1.7×10−4 ,ここで大気の厚さは d ≈ 1000 g/cm2 とした.
6.2 節 1. ニュートリノフラックス φν は反応の連鎖当たり,核融合過程 4p → 4 He + 2e+ + 2νe の数を 2 倍したもので与えられる:
φν
=
太陽定数 ×2 反応の連鎖当たり得るエネルギー
≈
1400 W/m × 2 ≈ 6.2 × 1010 cm−2 s−1 . 28.3 MeV × 1.6 × 10−13 J/MeV
2
2. (qνα + qe− )2 = (mα + mνe )2 , α = μ, τ ; mνα は小さいとして( me , mμ , mτ ) m2α − m2e ⇒ 2me = 10.92 GeV , α = τ : Eντ = 3.09 TeV
2Eνα me + m2e = m2α α = μ : Eνμ
⇒
E να =
を得る.太陽ニュートリノはこのような高エネルギーにならないので,ここに示さ れた反応を起こすことはできない.
3.(a) 相互作用する割合は R = σ N N A d A φν . ここで,σN は核子当たりの断面積,NA = 6.022 × 1023 g−1 はアボガドロ数,d は標的の面積密度,A は標的の面積,φν は太陽ニュートリノフラックスである.
d ≈ 15 g cm−2 ,A = 180 × 30 cm2 ,φν ≈ 7 × 1010 cm−2 s−1 ,σN = 10−45 cm2 を代入して,R = 3.41 × 10−6 s−1 = 107 年
−1
となる.
(b) 太陽ニュートリノの典型的なエネルギーは 100 keV,つまり 50 keV が電子に移さ れる.したがって,年間で電子に移されるエネルギーは
ΔE = 107 × 50 keV = 5.35 MeV = 0.86 × 10−12 J . (c) これまでの数値と人体の質量 81 kg を使うと,年間の線量当量は Hν = ∗
ΔE wR = 1.06 × 10−14 Sv . m
訳注:ここで用いた断面積は鉄核–空気核で鉄核がサブ鉄核になる断面積である.実際は鉄核–空気核衝突
の非弾性散乱の全断面積を用いる必要がある.これは上の断面積の約 10 倍となり P ≈ 10−38 となる.
388
第 17 章 解答
実際には,仮定した人体の質量に関係しない.太陽ニュートリノの自然線量当量 に対する寄与は
H=
Hν = 5.3 × 10−12 H0
となって,無視できるから.
4.(a) 電子ニュートリノの時間発展は, |νe ; t = cos θ e−iEν1 t |ν1 + sin θ e−iEν2 t |ν2 . これから
νμ |νe ; t = sin θ cos θ e−iEν2 t − e−iEν1 t が導かれる.それは,
(− sin θ|ν1 + cos θ|ν2 ) (cos θ e−iEν1 t |ν1 + sin θ e−iEν2 t |ν2 ) = − sin θ cos θ e−iEν1 t + sin θ cos θ e−iEν2 t による.ここで |ν1 ; |ν2 が直交状態であることを用いた. この関係の時間依存性の部分を複素共役を乗ずることで 2 乗すると,
e−iEν2 t − e−iEν1 t
+iEν t +iEν1 t 2 − e e = 1 − ei(Eν2 −Eν1 )t − ei(Eν1 −Eν2 )t + 1
= 2 − (ei(Eν2 −Eν1 )t + e−i(Eν2 −Eν1 )t ) = 2 − 2 cos[(Eν2 − Eν1 )t] = 2 (1 − cos [(Eν2 − Eν1 )t]) = 4 sin2 [(Eν2 − Eν1 )t/2] . 2 sin θ cos θ = sin 2θ を使うと,最終的に Pνe →νμ (t) = |νμ |νe ; t|2 = sin2 2θ sin2 [(Eν1 − Eν2 )t/2] となる.状態 |νe と |νμ は直交するので,Pνe →νe (t) = 1 − Pνe →νμ (t) である.質 量が小さい近似で,Eνi = p + m2i /2p + O(m4i ) から,Eν1 − Eν2 ≈ (m21 − m22 )/2p となる.
t = Eνi x/p で,mi Eνi とするから,運動量 p はニュートリノエネルギー Eν に等しい.最後に と c の正しいベキを補って,
Pνe →νe (x) = 1 − sin2 2θ sin2
1 x δm2 4c Eν
.
これが欲しかった関係式であり,ここで 1/4c = 1.27 × 109 eV−1 km−1 である.
(b) 地球の両側に N 個のミューオンニュートリノが作られる.上からのものは高さ 20 km で作られ,ほとんど振動する機会がない.一方,地球の全直径 12,000 km より大きい距離を通る下からのミューオンニュートリノは,N Pνμ →νμ (2RE ) が到 来するので,比は,
S = 0.54 =
N Pνμ →νμ (2RE ) = 1 − sin2 (1.27 × 12, 700 × δm2 ) N
17.6 第 6 章
389
(訳注:0.54 は実験値).δm2 について解いて,δm2 = 4.6 × 10−5 eV2 であり,
mντ ≈ 6.8 × 10−3 eV (訳注:νμ → νe とすると,太陽ニュートリノの観測結果 と矛盾するので νμ → ντ と考えられる).
(c) 意味が無い.レプトンフレーバーの固有状態の質量は質量演算子 M =
H 2 − p2
の量子力学的期待値である. (νμ ↔ ντ )の混合について, (νe ↔ νμ )の混合と同 様な混合角の定義を用いて,
mνμ = νμ |M |νμ = m1 cos2 θ + m2 sin2 θ , mντ = ντ |M |ντ = m1 sin2 θ + m2 cos2 θ . 最大の混合の場合(θ = 45◦ ,cos2 θ = sin2 θ = 1/2),
mνμ = mντ = (m1 + m2 )/2 となる.
6.3 節 1. I = I0 e−μx 個の光子が生き残り,I0 − I = I0 (1 − e−μx ) 個が吸収される.図 6.37 から μ = 0.2 cm−1 と読み取れ, 検出効率: η =
I0 (1 − e−μx ) = 1 − e−μx ≈ 0.45 = 45 % . I0
2. 明るさが持続している期間は,光がこの天体を横切る時間より短くなることは無い. 図 6.48 から Δt = 1 s⇒ 大きさ ≈ c Δt = 300, 000 km.
3. cos ϑ =
1 ; nβ
しきい値
β>
1 n
⇒
v>
c ; n
1 n m0 c2 = m0 c2 = √ m0 c2 , 2 1 n −1 1− 1 − n2 ⎧ ⎧ ⎨4.5 GeV 空気中 ⎨4.4 GeV 空気中 , Eμkin ≈ . Eμ ≈ ⎩160.3 MeV 水中 ⎩54.6 MeV 水中 Eμ = γm0 c2 =
1
β2
4. 放出される光子数: NE =
3 × 1027 W P ≈ 11 ≈ 1.873 × 1035 s−1 . hν 10 eV × 1.602 × 10−19 J/eV
A ≈ 1.79 × 10−41 . 4πR2 記録される光子数:NR = ΩNE ≈ 3.36 × 10−6 /s ≈ 106/年 . 立体角:Ω =
最小のフラックス:10/年 と仮定,Pmin ≈ P
Ω 10 ≈ 6.35 × 10−19 J/(cm2 s) . A 106
390
第 17 章 解答
5.(a) 等方的な放出を仮定すると,全仕事率は P = 4πr2 PS となる.ここで,r = 150 × 106 km は天文単位(太陽–地球間距離)である. P ≈ 3.96 × 1026 W となる.
(b) 106 年間で放出されたエネルギーは E = P × t ≈ 1.25 × 1040 J で,質量にする と m = E/c2 ≈ 1.39 × 1023 kg である.太陽質量との相対比は
f=
m ≈ 6.9 × 10−8 M
になる.
(c) 地球の有効面積は A = πR2 であるから,地球に 1 日当たり輸送されてくるエネ ルギーは E = πR2 PS t となる.これは質量にすると
m=
E ≈ 1.71 × 105 kg = 171 t c2
に相当する.
6.4 節 1. 振動数が [ν, ν +dν] の間に放出される仕事率は,波長 [λ, λ+dλ] に対応し,λ = c/ν , すなわち P (ν) dν = P (λ) dλ である.dν/dλ = −c/λ2 であるから,
P (λ) = P (ν)
ν3 1 dν dν ∼ hν/kT ∼ 5 hc/λkT . dλ e − 1 dλ λ (e − 1)
2. 星の光度はプランクの放射式を積分したものに比例する: ∞ ∞ 8πhν 3 1 dν . L∼ (ν, T ) dν = c3 ehν/kT − 1 0 0 x=
hν kT
として,⇒
3 ∞ 8π k 4 T 4 ∞ x3 dx 8π kT 1 kT 3 dx = 3 h x x L∼ 3 c h e −1 h c h3 0 ex − 1 0 4 4 8π k π = 3 3 T4 ∼ T4 . c h 15
さらに,光度は表面の大きさにもよる(∼ R2 ).これらからスケール則が成立:
L = L
R R
2
T T
4
.
a) R = 10 R , T = T
⇒
L = 100 L ,
b) R = R , T = 10 T
⇒
L = 10, 000 L .
17.6 第 6 章
391
3. 磁場を横切る電子の運動を記述すると, mv 2 = evB
p = eB .
⇒
高エネルギーでは cp ≈ E だから,
cp = ceB
⇒
B=
E . ce
ここで, は回転半径である.これから
P =
E2 e2 c3 cCγ E 4 Cγ E 2 2 2 2 = 2π c e 2π 2
が導かれる.パルサーの周り 1 周のエネルギー損失は
ΔE =
T
cCγ E 4 E4 2π/c = C γ 2π 2
P dτ = 0
= 8.85 × 10−5 ×
1012 GeV4 m GeV−3 = 88.5 GeV . 106 m
磁場は
B=
1012 eV × 1.6 × 10−19 J/eV E = ce 3 × 108 m/s × 1.6 × 10−19 A s × 106 m
= 0.0033 T = 33 ガウス . ˙ = F = evB のように関係する.全放射の 4. ローレンツ力は運動量変化の絶対値に |p| 仕事率は,粒子の運動(あるいは全)エネルギーから,E˙ kin = E˙ = −P によって得 られる.遠心力との関係から,この章の問題 3 も参照して,回転半径は = p/eB である.エネルギーについての微分方程式は 4
2
2e B 2 2 γ v E˙ = −P = − 3 m20 c3 となる.
(a) 一般に E = γm0 c2 が成り立つ.超相対論的極限では,v → c であるから, 2 e4 B 2 c3 2 e4 B 2 c3 2 2 E = −αE , α = . E˙ = − 3 (m0 c2 )4 3 (m0 c2 )4 この微分方程式の解は変数分離して得られる.
E E0
dE = −α E 2
t
dt
0
⇒
1 1 = −αt − E0 E
⇒
E=
E0 . 1 + αE0 t
これは E m0 c のときにだけ成り立つ(この条件は長い時間たつと成り立た 2
ない). 回転半径は E → pc として,
=
1 E0 0 E = = . ceB ceB 1 + αE0 t 1 + αceB0 t
392
第 17 章 解答
(b) 一般の(相対論的)場合,p2 = γ 2 m20 v 2 ,すなわち,γ 2 v 2 = p2 /m20 = (E 2 − m20 c4 )/m20 c2 となるから, 2 e4 B 2 c3 (E 2 − m20 c4 ) = −α(E 2 − m20 c4 ), E˙ = − 3 (m0 c2 )4 α は (a) と同じ.この解は (a) と同様に計算されて E t dE dt = −αt ⇒ 2 4 =− 2 E0 E − m0 c 0 E E 1 1 1 E − m0 c2 1 dE = − ln 2m0 c2 E0 E − m0 c2 E + m0 c2 2m0 c2 E + m0 c2 E =E0 2 m c2 1 1 1 + E00 1 1 + mE0 c ln =− − ln m0 c2 2 1 − mE0 c2 2 1 − mE0 c2 0 m0 c2 m0 c2 1 − arctanh arctanh = −αt . =− m0 c2 E E0 この方程式を E について解くと,
m0 c2 2 2 E= . = m0 c coth αm0 c t + arctanh 2 E0 tanh αm0 c2 t + arctanh mE00c
m0 c2
時間が大きく経過すると(非相対論的な枠組みになり),静止エネルギーに指数 的に近づく. この式から,回転半径は次のようになる.
2 E 2 − m20 c4 m0 c = coth2 αm0 c2 t + arctanh mE00c − 1 ceB eB m0 c/eB m0 c/eB = . = 2 m c sinh αm0 c2 t+arctanh E00 sinh αm0 c2 t+arctanh √ 2 2m02c 2 2
p = = eB
0 e B +m0 c
∗
5. 測定されるフラックス R = 源のフラックス R ×効率 ε×立体角 Ω; ε = 1 − e−μx = 1 − e−125×5.8×10 10−44 ,R∗ =
−3
≈ 51.6 % ,Ω =
104 cm2 ≈ 2.76× 4π(55 kpc)2
R ≈ 1.95 × 1040 /s . εΩ
6. 光子の静止している標的電子によるコンプトン散乱とは違って,この場合すべての 3 元運動量はゼロではない.4 元運動量 ki ,kf (光子)そして qi ,qf (電子)に対し て,ki − kf = qf − qi である.これを 2 乗して,ki kf = qi qf − m2e .一方 4 元運動量 保存を書き直して,qf = qi + ki − kf .qi を掛けて,qi qf − m2e = qi (ki − kf ) とな り,これから
ki kf = qi (ki − kf ) .
17.6 第 6 章
393
ϑ を ki と kf のなす角度とすると, ωi ωf (1 − cos ϑ) = Ei (ωi − ωf ) − |q i |(ωi cos ϕi − ωf cos ϕf ) . ωf について解くと, ωf = ωi
1−
1−
1 − (me /Ei )2 cos ϕi
1 − (me /Ei )2 cos ϕf + ωi (1 − cos ϑ)/Ei
.
これはここまで正確な式である.もし ωi /Ei と me /Ei の項を無視すると,問題で 与えた式が得られる.
7. 微分 dP/dν から始める. dP/dν ∼
h hν/kT x x 3ν 2 (ehν/kT − 1) − ν 3 kT e 2 3 (e − 1) − x e = ν . x 2 (e − 1) (ehν/kT − 1)2
条件 dP/dν = 0 から,
e−x = 1 −
hν x , x= 3 kT
となる.この指数方程式の近似解は x ≈ 2.8 であるから,プランク分布を最大にす る振動数,したがってエネルギーは
hνM ≈ 2.8 kT . このプランク分布を最大にする振動数と温度の比例関係はウィーンの変位法則と呼 ばれる.hνM = 50 keV のときの温度として,
T ≈ 2 × 108 K を得る.
6.5 節 GM mγ GM mγ H − = GM mγ ,H R に対して, R R+H R (H + R) GM GM HR g HR g ΔE H = 2 = 2 2 = 2 ≈ 2 H ≈ 3 × 10−12 E c R (H + R) R c H +R c H +R c
1. ΔE =
G 6 2 4 ω m r . c5 ω = 2π/年,m = 5.97 × 1024 kg,r = 1 AU として,
2.(a) P ≈
P ≈ 31W これは可視光線領域の太陽放射の約 8 · 10−26 であって,きわめてわずかの割合で ある.
394
第 17 章 解答
(b) ω = 103 s−1 ,m = 10 kg,r = 1 m として, P ≈ 2.7 × 10−33 W .
17.7 第 7 章 1. p =
mg N F = = 1.013 × 105 2 , A A m
p 1.013 × 105 kg m 2 2 = = ≈ 10, 326 kg/m ≈ 1.03 kg/cm . A g 9.81 m2 8.29 × 103 kg kg m 2 ≈ 845 2 = 84.5 g/cm . 2. p = p0 e−20/7.99 ≈ 82.9 hPa , ≈ A 9.81 m2 m 3. 地上でのミューオン微分スペクトルはパラメータで表されて, −γ N (E) dE ∼ E dE , γ = 3 ⇒ I(E) = N (E) dE ∼ E −2 と書ける.ここで,E → ∞ であれば,I(E) → 0 になる.大気の厚さは天頂角に よって
d(θ) =
d(0) cos θ
と変わる. 「低」エネルギー(E < 数 100 GeV)では,ミューオンのエネルギー損失 は一定( dE dx = a)
⇒ E ∼ d , I(θ) ∼ E −2 ∼ d−2 = I(0) cos2 θ . 4. N (> E, R) = A(aR)−γ ,(7.15) を参照, ΔN ΔN ΔR = −γAa−γ R−(γ+1) , = −γR−1 ΔR = −γ , ΔR N R 慣例的に
2
ΔR = 100 g/cm .
γ = 2(地上での積分スペクトルのベキ指数)とする: ΔN S 200 g/cm2 = = たとえば,100 m 水相当のとき, = 2 × 10−2 , N N R x 13.6 MeV x 1 + 0.038 ln 5. ϑr.m.s. = ([2] 参照) βcp X0 X0 ≈ 4.87 × 10−3 (1 + 0.27) ≈ 6.19 × 10−3 ≈ 0.35◦ . 6. 横広がりは a) 最初の相互作用の横運動量, b,c) 大気中と岩石中の多重散乱 によって起こる.
(a) pT ≈ 350 MeV/c ,ϑ =
350 MeV/c pT ≈ = 3.5 × 10−3 , p 100 GeV/c
17.7 第 7 章
平均の広がり:
395
Δx1 = ϑ h,ここで h は生成された高度(20 km),
Δx1 ≈ 70 m . (b) 大気中での多重散乱による角度は ϑair ≈ 6.90 × 10−4 (1 + 0.123) ≈ 7.75 × 10−4 ≈ 0.044◦ , Δx2 = 15.5 m . (c) 岩石中の多重散乱は, Δx3 ≈ 0.8 m . ⇒ Δx = Δx21 + Δx22 + Δx23 ≈ 72 m . 7. 本質的に地磁気によるカットオフは,それが大気によるカットオフを超えたとき影 響を及ぼす.これは緯度が 0◦ からおよそ 50◦ の間になる.その平均緯度は次のよ うに導き出せる.
50◦
λ cos4 λ dλ ◦ ≈ 18.4◦ . λ = 0 50◦ 4 λ dλ cos ◦ 0 これは地磁気の平均によるカットオフ E ≈ 12 GeV に対応する.場がゼロであれ ば,E ≥ 2 GeV であるすべての粒子は地上に到達する可能性がある.その強度は (ε = E/GeV)
N1 (> 2 GeV) = a 2
∞
∞ ε−2.7 dε = −(a/1.7) ε−1.7 2
= 0.181 a . 地磁気がある場合,緯度が 0◦ と 50◦ の間,E > E = 12 GeV の粒子だけが地上 に到達する:
N2 (> 12 GeV) ≈ 0.0086 a . これらの結果は影響を受ける地球の表面積と組み合わせないといけない.等方的に 入射するとして,ゼロの場のとき地上に到達する宇宙線の割合は地球の表面積に比 例して,
Φ1 = A N1 = 4πR2 N1 . 地磁気があるとき,地球の表面積の一部 0◦ ≤ λ ≤ 50◦ だけが影響される.問題と なる表面積は初等的な幾何学から計算されて,フラックスは
Φ2 = A(50◦ –90◦ ) N1 + A(0◦ –50◦ ) N2 .
396
第 17 章 解答
ここで
# " A(50◦ –90◦ ) = 2π (R cos 50◦ )2 + (R(1 − sin 50◦ ))2 そして
A(0◦ –50◦ ) = 4πR2 − A(50◦ –90◦ ) . この粗い推定で,Φ1 /Φ2 = 3.7,すなわち地磁気が反転しゼロを過ぎる時期の宇宙 線による放射の量は約 4 倍の強さになる.
8. 原理的には中性子は優れた候補である.なぜなら,それは中性であり宇宙線の源ま で逆にたどれるからである.不均一な磁場による軌道の歪みは無視してよい.唯一 の問題はその寿命 τ0 = 885.7 秒にある.エネルギー 1020 eV では,ローレンツ因子 によって寿命はかなり延びて,
τ = γτ0 =
1020 eV τ0 = 9.4 × 1013 s mn c2
⇒ 2.99 × 106 光年 = 0.916 Mpc . それでも源は非常に近くなければならず(λγp ≈ 10 Mpc と比べてみても),天の川 銀河近傍に,このような高エネルギーの点源があるという証拠はない.
17.8 第 8 章 1. 観測者から遠ざかる銀河の相対的運動によって,光子のエネルギーは見かけ上減る. 放出される光子のエネルギー(Eem )と観測されるエネルギー(Eobs )は,ローレ ンツ変換で関係づけられて,
Eem = γEobs + γβcpobs = γ(1 + β)Eobs . E = hν = hc/λ だから, 1 1 = γ(1 + β) ⇒ λobs = λem γ(1 + β) , λem λobs 1 λobs − λem = γ(1 + β) − 1 = (1 + β) − 1 z= λem 1 − β2 √ 1+β 1+β −1 −1= √ = 1−β (1 + β)(1 − β) を得る.β 1 であれば
z=
(1 + β)(1 + β) − 1 ≈ β.
2. 重力ポテンシャル内での軌道運動について,
17.8 第 8 章 2
mM mv =G 2 R R
397
1 1 mM mv 2 = G . 2 2 R
⇒
すなわち,Ekin = 12 Epot .ガス雲の運動エネルギーは,簡単に
M 3 kT . 2 μ
Ekin =
ポテンシャルエネルギーは積分することで得られる.半径 r の小さい球の質量は
m=
4 3 πr . 3
この体積を取り巻く球殻の質量は
dm = 4πr2 dr であり,この部分の重力ポテンシャルエネルギーは
G 4 3 Gm dm = πr 4πr2 dr r r 3 (4π)2 2 4 r G dr . = 3
dE =
したがって,ポテンシャルエネルギーは
R
Epot =
dE = 0
M=
4 3 3 πR
(4π)2 2 R5 G . 3 5
を用いれば,
Epot =
3 M2 G 5 R
が得られる. 上の Ekin と Epot の関係から,
2Ekin = 3kT
3 M2 M = G μ 5 R
,
R=
1 GM μ 5 kT
が得られ,それから
M=
4π 3 4π R = 3 3
3 3 3 3 1 G M μ 5 (kT )3
となり,最後に
M≈
kT μG
3/2
1 √ × 5.46
となる.もし Mcloud > M ならば,雲は不安定になり,つぶれる(訳注:星を生成 することになる).
3.
GM m mv 2 ≥ R R2
⇒
v2 ≥
GM . R
398
第 17 章 解答
密度は一定だから,M = 43 π R3 ,回転時間は
R Tr = 2πR/v = 2π √
√
√ R3/2 R 3π =√ . = 2π √ √ G GM G R3/2 4π 3
したがって = 一定 ならば,
v=
4π R G ∼ R . 3
この振る舞いは銀河中心からあまり遠くに離れていない銀河内の星の軌道速度に特 徴的なものである(図 1.17 あるいは図 13.3 を見よ).
4.
R˙ 2 k 8π 8π G ,R˙ 2 + k = GR2 . + 2 = 2 R R 3 3
この式を時間について微分して,
¨ = 8π G(R ˙ . ˙ 2 + 2RR) 2R˙ R 3 流体方程式からの ˙ を代入すると,
¨= 2R˙ R
˙ 8π ˙ − 3R ( + P )R2 ) G(2RR 3 R
が導かれる.これは加速度方程式
¨ = 4π G(2R − 3R − 3RP ) R 3
あるいは
¨ 4π R = − G( + 3P ) R 3
と同じである.
hν E = 2 , c2 c 重力ポテンシャル ΔU によるエネルギー損失:ΔE = mΔU ,
5. 光子の質量
m=
減少した光子のエネルギー:E = E − ΔE = hν −
ΔU Δν ΔU = 2 , , ν = ν 1 − 2 c ν c ΔU =
重力ポテンシャル:
GM Δν = ν Rc2
⇒
GM Rc2
シュワルツシルト半径
GM R
hν ΔU ⇒ c2
⇒
は無次元量,
RS =
2GM c2
を使って,
RS Δν = と書ける. ν 2R
しかし,この結果は事象の地平線から遠く離れた所でのみ成り立つ.一般相対論か
1 − RS /R − 1, (たとえば [9] を参照).
らの正確な結果は Δν/ν = z = 1/
17.8 第 8 章
6.
399
x 太陽 R y
光線
太陽表面での重力による加速:g = GM/R2 . 仮定:曲がりは本質的に太陽の直径 2R の間で起きる.光子は放物線をたどる:
y=
g 2 GM x2 t , x = ct ⇒ y(x) = . 2 2R2 c2
曲がり δ は x = 2R での y(x) の増加に相当し,
GM 2GM RS dy = 2 2 x ⇒ y (2R) = =δ. = dx R c Rc2 R R = 6.961 × 105 km,M = 1.9884 × 1030 kg ⇒ δ ≈ 4.24 × 10−6 ≈ 0.87 アーク秒, 1 アーク秒 = 1 . これはニュートン力学を使った古典的な結果である.一般相対性理論では δ ∗ = 2δ =
1.75 アーク秒 となる. この問題の解答は,代わりに問題 13.7 にしたがって計算してもよい.また,問題 3.4 も見るとよい.
7. 何もない空の空間にいる観測者は,振動数 ν0 の原子時計で時間を測るものとする.パ ルサー表面上に置かれたまったく同一の時計により発信する信号は振動数 ν = ν0 −Δν で空の空間にいる観測者に伝わる. ここで,
Δν ΔU GM = 2 = (この章の問題 8.5 参照) ⇒ ν0 c Rc2
ν0 − Δν GM fパルサー = =1− = 1 − ε. f空の空間 ν0 Rc2 パルサーについて,これから ε = 0.074,すなわちパルサー表面にある時計は重力ポ テンシャルの中にあって 7.4 % 遅れる.我々の太陽については,たとえば地球に関し て 2 × 10−6 の比率だけ遅れる.地球の表面にある時計は,どのような質量からも離 れた時計に比べて 1.06 × 10−8 だけ遅れる.地球の重力だけからの結果は 7 × 10−10 . おもな寄与は太陽の重力ポテンシャルに起因する.
8. 重力は M (r) dm GM (r) =− (r) dr 4πr2 ,内向きの力 2 r r2 GM (r) dF GM (r) dp =− dp = =− (r) dr , (r) . 4πr2 r2 dr r2
dF = −G
(∗)
400
第 17 章 解答
dm
dr
R
r M(r)
p(R) − p(r = 0) p dp ≈ = − .(∗) と比べ,r → R,(r) → 平均密度 と dr R R GM p 置き換えて, = . R R2
一方,
もし均一な密度 (r) = を仮定するならば,M (r) = を用いて,(∗) は直接積分できる.
4π 4π 3 dp r だから = − G2 r 3 dr 3
4π 2 R 1 GM 4π 2 R2 dp dr = G G = . p(0) = r dr = dr 3 3 2 2 R R 0 ⎧ ⎨ 1.3 × 1014 N/m2 太陽の場合 1 GM ≈ これから p = が導かれる. ⎩ 1.7 × 1011 N/m2 地球の場合 2 R
0
9. シュワルツシルト半径 ⎫ ⎬ RS = 2GM c2 ⇒ M = 43 πRS3 ⎭ = (a)
3 M 4π
3c6 3c6 = 2 3 2 32πG M 32πG3 M
1/3
M M
2GM = c2
⇒
2
≈ 1.8 × 1019
M ≈ 1011 M ⇒ ≈ 1.8 × 10−3 kg/m
(b) M = M ⇒ ≈ 1.8 × 1019 kg/m
3
M M
c2 2GM
2
3
kg , m3
3
. 3
(c) M = 1015 kg ⇒ ≈ 7.3 × 1049 kg/m GmM Gm 4 4 mv 2 = = 2 πR3 ⇒ v 2 = πGR2 ⇒ 10.(a) R R2 R 3 3 4 πG = 245 km/s, R = 20, 000 光年のとき. v=R 3 (b) R > 20, 000 光年のとき,軌道速度はケプラー運動の特徴を示し,
3M =. 4π
17.9 第 9 章
401
2
mM mv M ≈ G 2 ⇒ v2 ≈ G , R R R R M ≈ v 2 = 1.7 × 1041 kg = 8.6 × 1010 M . G (c) 宇宙での光子のエネルギー密度はおよそ 0.3 eV/cm3 である.臨界密度は c = 0.945 × 10−29 g/cm3 .エネルギー密度にすると,c c2 = 5.3 × 103 eV/cm3 とな り,光子 /c c2 ≈ 5 × 10−5 ,すなわち,光子は全体の Ω パラメータに対しごくわ ずかの割合しか寄与しない.
17.9 第 9 章 1. 非相対論的粒子のガスについて,理想気体の法則が成り立つ:P = nT .密度は = nm で与えられる.非相対論的粒子に対し,T m だから,P ≈ 0 とおける. P = 0 にした流体方程式は ˙ +
3R˙ =0 R
⇒
⇒
R3 = 定数
2. P = 0 とすると, ∼ 3 R0 = 0 R
1 R3
1 d 3 R = 0 R3 dt 1 ⇒ ∼ 3 . R (問題 9.1 を見よ).この関係は
のようにパラメータで書ける.フリードマン方程式は近似できて
k 8π R˙ 2 G + 2 = R2 R 3
⇒
R˙ 2 8π G . = R2 3
ここで,フリードマン方程式の左辺の第 2 項は初期宇宙で (∼
1 R3 )
に比べて小さい
ので,無視した.
R = A tp , R˙ = p A tp−1 とおいて,
3 R0 p2 A2 t2p t−2 p2 8π 8π R˙ 2 G G0 R03 A−3 t−3p = = = = 0 2 2 2p 2 R A t t 3 R 3
となる.左辺と右辺の t 依存性を比較すれば,
p=
2 3
⇒
R = A t2/3 .
この過程で比例定数 A は,自動的に決まり
A=
3 6πG0 R0 .
402
第 17 章 解答
3. 初期宇宙ではフリードマン方程式は近似できて, 8π π2 R˙ 2 G ; g∗ T 4 ⇒ = ここで = R2 3 30
R˙ 2 8π π 2 8π 3 4 G g Gg∗ T 4 . = T = ∗ R2 3 30 90
1 R˙ = H と G = 2 であるから, R mPl 8π 3 g∗ T 2 H= . 90 mPl 4. [G] = m3 s−2 kg−1 ,[c] = m s−1 ,[] = J s = kg m2 s−1 . ! G kg m2 s−1 m3 s−2 kg−1 以下の量を考えると, 3 = = m2 . c m3 s−3 G は長さの次元を持ち,これがプランク長である(訳注:次元解 したがって, c3 析でも答えが得られる).
5. 重い天体からの脱出速度は mM 1 mv 2 = G 2 R から計算できる.ここで,m は脱出する粒子の質量,M と R は重い天体の質量と 半径である.脱出速度に脱出する粒子の質量は入ってこない.もし脱出速度を光速 に等しいとおくと,たとえ光でも天体から脱出できない.v を c で置き換えると
c2 =
2GM R
または
R=
2GM . c2
これはシュワルツシルト半径である. (この問題では古典物理は適用できないにもか かわらず)ここでの古典的な取り扱いの結果は,一般相対論に基づいて正しく導か れた結果とたまたま一致する. シュワルツシルト半径の定義 RS =
4 RS =
6.
2GM によって計算すると c2
8.9 mm 地球について 2.95 km 太陽について
.
3 M GM 2 > kT , μ— 水素原子の質量, R 2 μ 1/3 3 kT 3M 3 kT R= M> , 2 μG 2 μG 4π 3 4 3 kT 3M M = πR3 だから: M 3 > , 3 2 μG 4π 3 3 kT 3 1 3 > ≈ 3.9 × 10−10 kg/m 4π M 2 2 μG
17.10 第 10 章
403
(k = 1.38 × 10−23 J/K,M = 2 × 1030 kg,μ = 1.67 × 10−27 kg).
7.
星
s 6@ v (Δt + dc1 ) = d γ@ @ @d d1 d2 @@ D 6 Δt D − d1 ??
??
観測者 時刻 t0
観測者 時刻 t0 + Δt
時刻 t0 で最初の観測が行われる.星は観測者から D 離れている.星は視線に対し て角度 γ で動く.Δt の間に観測者に d1 = d cos γ 近づく.最初の光線は余計に動 かねばならない.2 番目の測定に比べて光は Δt +
d1 c
早く放出されている.見かけ
の速度は
v Δt + dc1 sin γ d sin γ d1 d2 = = =v 1+ v = sin γ Δt Δt Δt cΔt v∗ v d2 cotγ sin γ = v 1+ cotγ sin γ = v sin γ + v ∗ cos γ . = v 1+ cΔt c c v v sin γ ,もし v が v ∗ について解いて: v ∗ 1 − cos γ = v sin γ , v ∗ = c 1 − vc cos γ 2 sin γ2 cos γ2 sin γ γ =c c に近づけば: v ∗ = c = c cot > c , 1 − cos γ 2 2 sin2 γ2 π 0 0 , Λ
13.6 eV の光子の数がバリオン数と同程度になる のは 13.6 eV の温度よりも著しく低いに違いない.さらに相互作用や電離は水素原 子の励起状態,H2 分子,H+ 2 イオンを通して何段階も経て起こすことができる.中 性原子と電離した原子が同数になる再結合温度は Trec ≈ 0.3 eV(3500 K)になるこ とがわかる.この時点で宇宙は電離したプラズマから本質的に水素やヘリウムの中 性ガスに変わる.
17.12 第 12 章 1. Λ 優勢に相当する k = 0 に対するフリードマン方程式は,問題 11.2 も参照して, H2 =
8πG ( + v ) . 3
ここで,
Λ=
8πG v c2
⇒
1 8πG . H 2 − Λc2 = 3 3
> 0 だから,不等式 1 H 2 − Λc2 ≥ 0 あるいは 3
Λ≤
3H 2 ≈ 2 × 10−56 cm−2 c2
が成り立つ.これは目に見える宇宙において,空間の曲率に何らかのはっきりした 影響を持つものが無いという事実のまさに反映である.目に見える平坦な宇宙の大 きさ 1028 cm は換算することができて,
Λ1 ≤ 10−56 cm−2 . 一方アインシュタインの相対性理論がプランクスケールまで適用できるとすると,
Λ2 ≈ (2Pl )−1 ≈ 1066 cm−2
17.12 第 12 章
409
と予測される.2 つの推定値の間には,桁数にして 122 の差がある.
2 つのシナリオに伴う質量密度は 1v
10−52 m−2 × 9 × 1016 m2 /s2 kg s2 Λ1 c2 ≈ 8πG 8π × 6.67 × 10−11 m3 3 3 −27 5.37 × 10 kg/m = 5.37 × 10−30 g/cm , Λ2 c2 3 3 ≈ 5.37 × 1095 kg/m = 5.37 × 1092 g/cm . 8πG
= ≈
2v
=
8πG 1 8πG ( + v ) ⇒ H 2 − Λc2 = 3 3 3 ˙ から出発し,H = R/R なので, ( = 一定 として) R˙ 1 2 8πG 1 2 8πG = Λc + ⇒ R = Ri exp Λc + t R 3 3 3 3
2. H 2 =
となり,膨張する宇宙を表す.
3. 平坦な宇宙について Λ 項で拡張されたフリードマン方程式は 1 8πG R˙ 2 . − Λc2 = 2 R 3 3 1 2 3 Λc
8πG 3
のとき,この方程式は簡単になって,
√ 1 2 1 1 2 Λc = Λ0 c (1 + αt) = a 1 + αt ここで a = Λ0 c2 , 3 3 3 √ 2 (1 + αt)3/2 + 定数 , ln R = a 1 + αt dt + 定数 = a 3α 2a (1 + αt)3/2 + 定数 . R = exp 3α R˙ = R
境界条件 R(t = 0) = Ri として,
R(t = 0) = exp
2a + 定数 3α
= Ri ⇒
2a 2a + 定数 = ln Ri ⇒ 定数 = ln Ri − , 3α 3α 2a 2a 2a R = Ri exp (1+αt)3/2 − = Ri exp [(1+αt)3/2 −1] 3α 3α 3α 1 Λ0 c2 . ここで a = 3 大きい t について,この結果は
R ∼ exp βt3/2
ここで
β=
√ 2a α 3
のような依存性を示す.
R0 4. = Rmr
t0 tmr
23
,ここで Rmr は物質–輻射対等の時刻 tmr = 50, 000 年 での宇宙
410
第 17 章 解答
の大きさである.現在の時刻 t0 = 140 億年とし,
R0 ≈ 4280 Rmr を得る.tmr のときの宇宙の大きさは
R0 ≈ 3.27 × 106 光年 4280 ≈ 3.09 × 1022 m .
Rmr ≈
より早い時期に外挿するには,t < tmr のときは宇宙は輻射優勢であるから,R ∼
√
とする必要がある:
Rmr = Rinfl
tmr tinfl
12
≈
50, 000 a 10−36 s
12
≈ 1.26 × 1024 .
同様に,インフレーションの終わりのときの宇宙の大きさは
Rinfl ≈
Rmr ≈ 2.45 cm . 1.26 × 1024
もしインフレーションが 10−32 s で終わるなら Rinfl ≈ 2.45 m となる.
17.13 第 13 章 1.
mM mv 2 =G 2 r r
⇒
M=
v2 r , G
(1.10×105 m/s)2 ×2.5×3.086×1016 m kg ≈ 1.4×1037 kg ≈ 7×106 M . 6.67×10−11 m3 s−2 2. 非相対論的な計算:pW − pW = pe ; M≈
p2 (pW − pW )2 p2 p2 p2 pW · pW p2W = W + = W + W + W − , 2mW 2mW 2me 2mW 2me 2me me 1 2pW · pW 1 1 1 2 2 − , + = pW − pW mW me me mW me me − mW mW pW · pW = p2W , mW + me mW + me 2 me −mW mW mW m2W 2 2 2 , pW ·pW + pW = pW + pW −2 mW +me mW +me mW +me (mW +me )2 2 mW m2e pW − pW = p2W . mW + me (mW + me )2
p2 W −2
中心衝突では
pW −
mW me pW = ±pW ⇒ mW + me mW + me
pW =
mW − me pW , mW + me
t
17.13 第 13 章
411
負の記号だけが物理的に意味があるから.
v12 1 2 2 kin mW (v1 − v1 ) = EW 1 − 2 = 2 v1 2 mW − me kin = EW 1− mW + me
ΔE
≈ 1 GeV × 2 × 10−5 = 20 keV . 3. ニュートリノを古典的なフェルミガスとして: EF =
p2 2 k 2 = , k — 波動ベクトル(波数). 2mν 2mν
量子化されたフェルミガスでは,ニュートリノガスが一辺 L の立方体に入れられて (T = 0 で)2 つのスピン状態 いるとして,2π/L につき 1 個の k ベクトルがある. があるから:
N =2
4 3 3 πkF
(2π/L)3
=V
1 3 k 3π 2 F
⇒
kF = (3π 2 n)1/3 .
ここで n = N/V は粒子密度
⇒ EF =
2 (3π 2 n)2/3 . 2mν
相対論的フェルミガスとして:
EF = pF c = kF c = c(3π 2 n)1/3 . 相対論的フェルミガスについて,たとえば cm3 当たりニュートリノ 300 個とすれば,
c = 197.3 MeV fm , EF = c (3π 2 × 300)1/3 cm−1 = 197.3 × 106 eV × 10−13 cm × 20.71 cm−1 ≈ 409 μeV . 4. v c と予想されるから,古典的な運動学が使えて: mM 1 2GM 2 mv = G ⇒ v= ⇒ 2 R R
v
≈
2 × 6.67 × 10−11 m3 kg−1 s−2 × 1010 × 2 × 1030 kg 3 × 103 × 3.086 × 1016 m
≈ 1.7 × 105 m/s , β
≈
5.66 × 10−4 .
アキシオンの質量は計算に入ってこない.すなわち,脱出速度は質量に無関係である.
412
第 17 章 解答
相対論的取り扱い (γ − 1)m0 c2 = Gγm0 M/R も同様な結果を導く:
v = βc =
2GM R
1−
GM . 2Rc2
この式は一般相対論に基づいていないので,適用には限界がある.
5. 球対称な質量分布.
r
(a) 球内の質量:M (r) =
r
(r ) dV = 4π 0
(r )r2 dr ,
0
(m)
質量 m のポテンシャルエネルギー:Epot (r) = Gm (m)
r ∞
M (r ) dr , r2
∂Epot (r) mM (r) = F = −G 証明:− . ∂r r2 (b) r > r のとき,ρcut (r ) = 0 すなわち M (r ) = M (r) r である場合の質量 m のポ M (r) 1 (m) テンシャルエネルギーは,Epot,cut (r) = GmM (r) . dr = −Gm 2 r r ∞ 付け加えた質量殻 dM = M (r) dr によって増加するポテンシャルエネルギーは,
m を dM で置き換えて dEpot = −GM (r) dr
M (r) . r
∞
M (r)M (r) dr; r 0 ∞ M 2 (r) G ∞ M 2 (r) 部分積分を行うことで, Epot = −G − dr; 2r 0 2 0 r2 G ∞ M 2 (r) 質量が有限なので,第 1 項はなくなり,Epot = − dr. 2 0 r2 (c) 球殻上の質量 M ,すなわち M (r < R) = 0 で M (r > R) = M : ∞ GM 2 ∞ 1 G M 2 G M2 (shell) . dr = = − Epot = − 2 2 2 r r=R 2 R R r (d) 均一な質量分布:M (r < R) = Mt r3 /R3 で M (r > R) = Mt の場合: R 3 Mt2 G Mt2 R 4 G Mt2 r5 G Mt2 (hom) (shell) = − G r dr + E = − − Epot = − pot 2 R6 0 2 R6 5 r=0 2 R 5 R (b) で r > r のとき,ρcut (r ) = 0 と取ったのは,自己エネルギーを 2 重に計算 全ポテンシャルエネルギーは: Epot = −G
するのを防ぐためである.
6. nmax mν =
m4ν vf3 . 3π 2 3
(*)
もし nmax mν を典型的な暗黒物質の密度程度(Ω = 0.3)とするならば,mν につ いて (*) を解き,
mν =
3π 2 3 nmax mν vf3
1/4 .
典型的な銀河の質量は M = 1011 M = 2×1041 kg と推定できる.半径を r = 20 kpc
17.14 第 14 章
413
として
vf = 2.11 × 105 m/s を得る.nmax mν = 0.3 c ≈ 3 × 10−30 g/cm3 として,
mν ≥ 1 eV となる.
7.
δ 地球 t ϑ R ディフレクター L1 L2 前に述べたように(問題 8.6 参照),δ =
星
s
2RS 2GMd であり,RS = . R c2
R ⇒ R = L1 δ , L1 2RS 2RS 2RS 4GMd = ⇒ δ= δ= = ∼ Md . R L1 δ L1 L1 c2 リングの半径 RE = L1 δ = 2L1 RS ,L1 = 10 kpc ≈ 10 × 103 × 3.26 × 3.15 × 107 s × 3 × 108 m s−1 ≈ 3.08 × 1020 m:RE ≈ 2 × 3.08 × 1020 m × 3000 m ≈ L2 L1 に対して:δ ≈ ϑ =
1.36 × 1012 m . アインシュタインリングに対しての開きの角度は:
γ = 2δ =
2RE = 8.8 × 10−9 = 0.0018 アーク秒 L1
⇒ 観測するのにはあまりにも小さい ⇒ 明るさのぶれだけが見える.
17.14 第 14 章 1. 人間の重さはその体積に比例する.いい換えれば大きさの 3 乗に比例する.人間の 「高さ」は「半径」の 20 倍とすると,
W = W0 R2 20 R . 人間の強さはその断面積に比例し,
S = S0 R 2 . 質量 100 kg の人は,半径 10 cm として,自分自身の重さは運ばねばならないが,そ れに加えておそらく 100 kg 運べるだろう:
414
第 17 章 解答
W0 =
100 kg kg = 5, 000 3 , 20 R3 m
S0 =
200 kg kg = 20, 000 2 . R2 m
この安定性の制限(重さ = 強さ)から,
5000
kg kg × 20 R3 = 20, 000 2 × R2 m3 m
となり,
Rmax =
1 m 5
⇒
Hmax = 4 m
が導かれる. もし重力が倍になると,強さは 100 kg であり,身体の質量は 50 kg (g ∗ = 2g だか ら,100 kg の「重さ」に対応). したがって,
V =
1 V0 2
1 0 Rmax (g ∗ = 2g) = √ , Rmax 3 2
⇒
Rmax (g ∗ = 2g) = 0.1587 m ⇒
Hmax (g ∗ = 2g) = 3.17 m .
2. 炭素はいわゆる三重アルファ過程で作られる.第 1 段階では αα 衝突で 8 Be が作ら れる: 4
He + 4 He →
8
Be + γ − 91.78 keV .
この段階で作られた 8 Be は不安定で,2.6 μs で崩壊しヘリウム核に戻ってしまう. したがって,それが崩壊する前に 8 Be と, 8
Be + 4 He →
12
C∗ + 7.367 MeV
の反応を引き起こすような高いヘリウム密度が必要となる. 励起状態 12 C∗ は不安定であるが,これら励起した炭素核のあるものは,崩壊する 前にすぐ γ 線を放出して安定になる.三重アルファ過程で放出される正味のエネル ギーは 7.275 MeV である. 極端に温度が高いときだけ(≈ 108 K)自然の成り行きとして,ヘリウムからの炭 素生成の非常に起こりにくい反応の障害を乗り越えられる.それはヘリウムの核融 合には,クーロン障壁に打ち勝つだけの高温が必要だからである.それに加えて三 重アルファ過程を可能にするには高密度のヘリウム核が必要である. 三重アルファ過程の反応率は α 粒子の数密度 Nα と α プラズマの温度 T に依存する:
σ(3α →12 C) ∼ Nα3
ε 1 Γγ . exp − 3 T kT
ここで,ε はパラメータ(≈ 0.4 MeV)である.T ≈ 1.5 × 109 K までの高温につい ては,指数の項が T 3 のベキの項より寄与が大きい.最大の断面積は以下のように
17.14 第 14 章
415
して得られる:
d 0= dT Tmax
ε ! 3 ε 1 ε = − ⇒ exp − + exp − T3 kT T4 kT 5 kT 3 ε 3k ≈ 1.5 × 109 K ⇒ σmax (3α →12 C) ∼ Nα3 = e−3 Γγ . 3k ε
Γγ は 12 C の第 1 励起状態への電磁崩壊幅である. 三重アルファ過程への条件は次のようにまとめられる:
• 高いプラズマ温度(≈ 108 K), • 高密度 α 粒子, • 大きい共鳴的な断面積 σ(3α). 3. 重力は脱出速度(vesc )を決め,温度は分子が動いているときの平均の速さ(vmol ) を決める.惑星が大気を保持できる条件は
vesc vmol . vesc は次のように得られる: 1 m M惑星 mv 2 = G ⇒ vesc = 2 R惑星
2GM惑星 /R惑星
( = 11.2 km/s 地球のとき).
vmol も計算できて, 1 3 mv 2 = kT ⇒ 2 2
vmol =
3kT /m ( = 517 m/s 地球の N2 に対して).
vesc = vmol とおくと, 2G
M惑星 3kT = R惑星 m
となる. 地球と同じ条件(T = 300 K,m = m(14 N2 ) = 4.65 × 10−23 g = 4.65 × 10−26 kg,
k = 1.38 × 10−23 J K−1 )にすると: 2G
M惑星 = 267, 097 J/kg ⇒ R惑星
M惑星 = 2 × 1015 kg/m . R惑星
M = 43 πR3 であり,地球と同じ密度 = 5.5 g/cm3 = 5, 500 kg/m3 として,
3M ≈ 0.035 m × 3 M/kg , R= 3 4π m kg M惑星 × 0.035 1/3 = 7.0 × 1013 kg2/3 ≈ 2 × 1015 3 m M惑星 kg
416
第 17 章 解答
を得る.結局
M惑星 ≈ 5.9 × 1020 kg となる.この推定値の結果は地球と同様な特性を持つとしたこととか,回転速度(→ 遠心力)のような他の効果を無視したことに強く影響される.
4.(a) 遠距離まで及ぶ 3 次元の力は重力と電磁気力であり,後者は非相対論的(静的)な 極限でクーロン力となる.力はそれぞれ質量(ニュートンの万有引力の法則)と 電荷(クーロンの法則)に比例する.2 つの物体間の距離を r とすると,2 つの力 は 1/r2 で変わる.3 次元球の表面積は 4πr2 であり,力は大雑把にいって物体が 互いに相手を見る立体角に比例する.n 次元球の表面積は(すでに述べた次元の 考察から)
sn (r) = sn rn−1 ,
すなわち
gn = n − 1
で与えられる.ここで,定数 sn は対応する単位球の表面積である.等方的で遠距 離まで及ぶ n 次元の 2 体間の力は,それゆえ
F (r) ∼
1 1 ∼ n−1 sn (r) r
のように変わる.
(b) 動径方向の力のポテンシャルは(引力については F · r < 0,n > 2) r r 1 dr 1 1 V (r) = F (r ) dr ∼ =− − n−2 n−1 n − 2 rn−2 r0 r0 r0 r 1 ∼ − n−2 + 定数 . r 質量 m の粒子が中心からの距離 r にあって,円軌道の速度が v であれば,角運動 量 L = rp = mvr を持つ(一般には r に垂直な速度成分を考える).そのとき, 遠心力は
Fc (r) =
L2 mv 2 = r mr3
で与えられる.ここで,最後の式は一般の運動でも成り立つし,L は中心力であ れば一定である.遠心力に対応するポテンシャルは,したがって
r
Vc (r) = − r0
Fc (r ) dr =
L2 + 定数 . 2mr2
有効なポテンシャルは V と Vc の和で,
Veff (r) = V (r) + Vc (r) = −
Cn L2 + + 定数 . n−2 r 2mr2
円軌道は有効な動径方向の力を消去することで起き,
17.15 第 15 章
0 = −Feff (r) =
(n − 2)Cn dVeff (r) L2 = − ⇒ dr rn−1 mr3
rorb =
mC˜n L2
417 1 n−4 .
˜n = (n − 2)Cn であり,n = 2 のときでも適用できる.安定な軌道はポ ここで C テンシャルを極小にすることで与えられる:
d2 Veff (r) (n − 1)C˜n 3L2 0< = − + dr2 rorb rn mr4
rorb
L2 = (4−n) m
L2 mC˜n
4 n−4
.
このようにして,n < 4 のときだけ安定な運動が可能となる.n ≥ 4 の場合は空 間的に束縛されないか,あるいは有限の時間内にやがては衝突してしまうかであ る.古典力学の本で議論しているように,円運動でない場合でも,ルンゲ–レンツ (Runge–Lenz)のベクトルで記述されている空間方向がニュートンの法則から保 存されていて(訳注:このベクトル自身が保存),これから「真の」楕円軌道が 導かれる.これは V ∼ 1/r のときの特有な形態である.n = 2 は対数ポテンシャ ルになって,対照的に運動はエルゴード的になる.つまりエネルギー的に到達可 能なすべての空間点はやがては軌道の点近くに戻ってくる.
(c) 動径方向の [λ, Λ] の間隔で,力の場のエネルギーは W = w(r) dVn
λ≤r≤Λ Λ
Λ
w(r)sn (r) dr ∼ sn
=
F 2 (r)rn−1 dr
λ
λ
と示せる.F (r) ∼ 1/r n−1 なので,
Λ
W ∼ λ
4 =
dr rn−1
(λ
−(n−2)
−(n−2)
−Λ
ln(Λ/λ)
,
n=2
)/(n − 2)
,
n>2
.
これはポテンシャルエネルギーと同様な式である.n > 2 のとき,Λ → ∞ の極 限で有限の結果を与えるが,一方 W は λ → 0 で発散する.n = 2 の場合は両方 の極限で発散する.量子の修正,ここではいわゆる自己エネルギー修正,は小さ い距離で意味のあるものとなるはずである.したがって,極限 λ → 0 は発散する かもしれないが,極限 Λ → ∞ は存在しなければならない.だからこの観点から
n > 2 次元は妥当であり,n = 3 のときが,発散の度合いを最小にする.
17.15 第 15 章 1. 答えは未だ無い.もしあなたがこの問題を首尾よく解いたならば,あなたはストッ クホルム行きの航空便を予約することになるでしょう.というのは,あなたが次の ノーベル物理学賞の受賞者になるからです.
付録 A
数学の付録
A.1 抜粋した公式 「あなたが数学で困難にあっても悩むこ とはありません.その宝庫はより重要 であると保証できるからです」
Albert Einstein
物理の問題の解答にはしばしば数学を必要とする.ほと んどの場合,自然は厳密な数学的取り扱いが許されるほど 優しくはできていない.多くの場合,近似は便宜的なもの ではなく,むしろ必要なものである.具体的な問題の一般 解は多くのことが要求され,ある場合は不可能でさえある からである. これらの近似でよく出てくるのはベキ級数であり,主導 項だけを取り上げたりする.これらに加えて微積分や統計 の基本的な知識が必要である.以下では最もよく使われる 数学の公式を手短に示す.
1. ベキ級数 二項展開:
二項展開
(1 ± x)m m(m−1) 2 m(m−1)(m−2) 3 x ± x +· · · 2! 3! m(m − 1) · · · (m − n + 1) n x + ··· . + (±1)n n!
= 1±mx+
m が正の整数のとき,この級数は有限になる.係数は m m(m − 1) · · · (m − n + 1) = . n! n m が正の整数でないときは,この級数は無限級数になり, |x| < 1 の場合収束する.この展開はしばしば他の複雑な式
二項係数
420
付録 A 数学の付録
を簡単にするのに役立つ. 二項展開の例
最もよく使われる二項展開の数例:
1 1 1 5 4 x ± ··· , (1 ± x)1/2 = 1 ± x − x2 ± x3 − 2 8 16 128 3 1 5 35 4 x ∓ ··· , (1 ± x)−1/2 = 1 ∓ x + x2 ∓ x3 + 2 8 16 128 (1 ± x)−1 = 1 ∓ x + x2 ∓ x3 + x4 ∓ · · · , (1 ± x)4 = 1 ± 4x + 6x2 ± 4x3 + x4 三角関数
有限 .
三角関数:
x5 x3 x2n+1 + − · · · + (−1)n ± ··· , 3! 5! (2n + 1)! x4 x2 x2n + − · · · + (−1)n ± ··· , cos x = 1 − 2! 4! (2n)! 1 2 17 7 π tan x = x + x3 + x5 + x + · · · , |x| < , 3 15 315 2 1 x x3 2x5 cot x = − − − − · · · , 0 < |x| < π . x 3 45 945 sin x = x −
指数関数
指数関数:
ex = 1 + 自然対数
x2 x3 xn x + + + ··· + + ··· . 1! 2! 3! n!
対数関数:
ln(1+x) = x−
x2 x 3 x 4 xn + − +· · ·+(−1)n+1 +· · · . 2 3 4 n
2. 不定積分 ベキ
一次関数のベキ
xn+1 (n = −1) , xn dx = n+1 dx = ln x , x
1 (ax + b)n+1 (n = −1) , (ax + b)n dx = a(n + 1) 1 dx = ln(ax + b) , ax + b a
A.1 抜粋した公式
ex dx = ex ,
指数関数
eax (ax − 1) , a2 eax 1 = ln , a 1 + eax
x eax dx =
dx 1 + eax
sin x dx = − cos x ,
三角関数
cos x dx = sin x , tan x dx = − ln | cos x| , ln x dx = x ln x − x .
自然対数
3. 特殊な定積分
π/2
cos x sin x dx = 0
∞
e
−ax2
0
0
∞
∞
0
∞
0
1 0
1 , 2
1 dx = 2
三角関数
π , a
ガウス関数
π2 x dx = , ex − 1 6 π2 x dx = , ex + 1 12
sin ax dx = x
4
指数関数
π 2
a > 0 のとき
− π2
a < 0 のとき
π2 ln x dx = . x−1 6
,
sin ax=x
対数関数
4. 確率分布 二項分布:
f (r, n, p) =
二項分布
n! pr q n−r , r!(n − r)!
421
422
付録 A 数学の付録
r = 0, 1, 2, . . . , n , 0 ≤ p ≤ 1 , q = 1 − p ; 平均: r = np , ポアソン分布
ポアソン分布:
μr e−μ , r = 0, 1, 2, . . . , μ > 0 ; r!
f (r, μ) =
平均: r = μ , ガウス(正規)分布
分散: σ 2 = npq .
分散: σ 2 = μ .
ガウス(正規)分布:
1 (x − μ)2 , σ>0; f (x, μ, σ ) = √ exp − 2σ 2 σ 2π 2
平均: x = μ , ランダウ分布
分散: σ 2 .
ランダウ分布の近似式:
1 1 −λ L(λ) = √ exp − (λ + e ) , 2 2π
ここで,λ は最確値からのずれである.
5. 誤差と誤差の伝播 平均値
n 個の独立した測定値の平均値 1 xi . n i=1 n
x = 分散
n 個の独立した測定値の分散 1 1 2 (xi − xi )2 = x − x2 . n i=1 n i=1 i n
s2 = 標準偏差
n
ここで,s は標準偏差とよばれる.平均値の標準偏差につ いての最善の推定量は
σ=√
s . n−1
(訳注:不偏標準偏差,あるいは標準誤差,通常誤差と言って いるのはこれを指す. )もし f (x, y, z) や σx ,σy ,σz が,そ 独立で相関の無い変数
れぞれ独立で無相関の変数の関数と標準偏差であるならば,
σf2
=
∂f ∂x
2
σx2
+
∂f ∂y
2
σy2
+
∂f ∂z
2 σz2 .
A.2 CMB の角変動についての数学
D(z) を真の値 z0 の周りの変数 z の分布関数(訳注:確率 密度関数)とする.そして期待値 z,標準偏差 σz としよ う.次の量
1−α=
z+δ
D(z) dz
z−δ
は測定値 z の周り ±δ の間に真の値 z0 の値が入る確率を
信頼区間
表す.すなわち測定値と ±δ の間に,真の値は 100(1−α) % で入る.もし D(z) がガウス分布ならば,
δ
1−α
1σ
68.27 %
2σ
95.45 %
3σ
99.73 %
.
実験分布では,最大値の半分での全値幅(full width at half 最大値の半分での全値幅
maximum(FWHM))Δz がよく使われ,簡単に測定さ れる.ガウス分布では,Δz は標準偏差と次のような関係 がある:
√ Δz(FWHM) = 2 2 ln 2 σz ≈ 2.355 σz .
A.2 CMB の角変動についての数学 「物理学が日夜どんどん進歩し,新しい 原理が発展すると,数学からの新たな 助けが必要になるだろう」
Francis Bacon
この付録では,CMB 温度の変化を到来方向の関数とし て記述するのに必要な数学を復習しよう.特に球面調和関 球面調和関数 数 Ylm (θ, φ) の重要な性質を幾つか集める.より詳しくは,
[46] のような物理のための数学の手法の標準的教科書に見 ることができる. 最初にこのような関数を宇宙粒子物理学に必要な形に集 めよう.ある量(ここでは温度)が方向の関数として測定 方向に依存 されたとしよう.ここで,標準的な極座標の角度 θ と φ で 方向が指定できる.たとえば,これを黒体放射の指向性の 測定に適用する.しかし,あらゆる方向について,個々の すべての測定を把握することはできない— あるいは少な
423
424
付録 A 数学の付録
くともとても実際的でない.むしろ,データをある関数に よってパラメータ表示し,そしてこの関数の一番重要な特 性が理解できるかどうかを見ることが望ましい. しかし,測られた温度を方向の関数として記述しようと 「周期関数」
したとき,θ と φ の簡単な多項式で表すわけにはいかない. これは明らかな連続条件,たとえば φ = 0 は φ = 2π と一 致しなければならない,を満たさないからである.展開す る基礎の関数として球面調和関数を使うことで,この条件 は自動的に考慮される. さて,球面調和関数はどのように定義されたかを思い出す
重要な微分方程式
必要がある.物理数学上の幾つかの重要な微分方程式(シュ レーディンガー,ヘルムホルツ,ラプラス)は
∇2 + v(r) ψ = 0
ナブラ演算子
(A.1)
の形で書ける.ここで,∇ は通常のナブラ演算子で,
∇ = ex
∂ ∂ ∂ + ey + ez ∂x ∂y ∂z
(A.2)
と定義される.また,v(r) は原点からの動径距離 r だけに 変数の分離
よる任意の関数である.極座標の変数で分離した解を
ψ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ) 角度部分
(A.3)
とおいてみる.これを (A.1) に入れ戻すと,角度部分につ いて,
d2 Φ = −m2 Φ , dφ2 (A.4) ! m2 d2 Θ cos θ dΘ Θ=0 + l(l + 1) − + dθ2 sin θ dθ sin2 θ が得られる.ここで,l = 0, 1, . . . と m = −l, . . . , l で,整 方位角の解
数値をとる.Φ についての解は,
1 Φ(φ) = √ eimφ 2π
(A.5)
天頂角の解
である.Θ についての解はルジャンドルの陪関数 Plm (cos θ)
球面調和関数
に比例する.2 つの角度部分の解の積は球面調和関数
Ylm (θ, φ) とよばれ, Ylm (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ)
2l+1 (l−m)! m P (cos θ) eimφ (A.6) = 4π (l+m)! l
A.2 CMB の角変動についての数学
425
と書ける.球面調和関数の幾つかを以下に与える:
1 Y00 (θ, φ) = √ , 4π 3 sin θ eiφ , Y11 (θ, φ) = − 8π 3 Y10 (θ, φ) = cos θ , 4π 15 Y22 (θ, φ) = sin2 θ e2iφ , 32π 15 Y21 (θ, φ) = − sin θ cos θ eiφ , 8π 5 Y20 (θ, φ) = (3 cos2 θ − 1) . 16π
(A.7) (A.8) (A.9) (A.10) (A.11) (A.12)
この解析で球面調和関数の重要な点は,それらは完全直 交関数系を成していることである,すなわち,どのような
完全直交関数系
任意関数 f (θ, φ) でも,ラプラス級数
ラプラス級数
f (θ, φ) =
∞
l
alm Ylm (θ, φ)
(A.13)
l=0 m=−l
として展開できる.係数 alm を決めるには直交関係
直交関係
sin θ dθ dφ Ylm (θ, φ)Yl∗ m (θ, φ) = δl l δm m (A.14)
を使う.(A.13) の両辺に Yl m を掛け,θ と φ について積 分してやると,
alm =
係数の計算 ∗ sin θ dθ dφ Ylm (θ, φ)f (θ, φ) .
(A.15)
そこで,いったん関数 f (θ, φ) を指定すれば,原理的にラプ ラス級数の係数は計算できる. 同じ球面調和関数は電荷分布からのポテンシャルの多重
多重極展開
極展開にも使われる.通常,術語はこの例からとってきて, 級数の各項は多重極モーメントとして引用される.l = 0 の 項は単極子,l = 1 の項は双極子,等々である.
CMB の温度ゆらぎを定量的に扱うには,ラプラス級数を CMB の温度ゆらぎについての ラプラス級数
使って次のようにする:
ΔT (θ, φ) = T (θ, φ) − T =
l l≥1 m=−l
alm Ylm (θ, φ) .
(A.16)
426
付録 A 数学の付録
ここで,T はすべての方向についての平均値である.和 は l = 0 からでなく,l = 1 から始める.それは作り方か ら l = 0 の項は平均温度を与え,それはすでに引かれてい るからである.文献によっては,ΔT の代わりに ΔT /T を展開しているものもある.これは同等の情報を与えるが, 係数が (A.16) の係数を T で割っただけ違ってくる. 有限級数:実際の制限
実際には,ある lmax までの係数 alm を最小自乗法のよ うな統計学で使うパラメータ推定の手法で決める.この手 順では測定した温度とその確からしさの情報を入力し,係 数 alm とその不確定性(誤差)の推定値を決定する. 係数 alm がいったん推定されると,角度についての系統 的なゆらぎの振幅は,以下のように定義することでまとめ られる: l 1 Cl = |alm |2 . 2l + 1
(A.17)
m=−l
角度パワースペクトル
数値 Cl の組は角度パワースペクトルとよばれる.Cl の値 は角度の分離
Δθ =
180◦ l
(A.18)
で見出された構造のレベルを表す.測定装置は,一般にあ る最小値の角度まで分解でき,これが最大の測定可能な l を与える.
付録 B
統計物理学からの結果: 初期宇宙の熱力学 「科学者達は慣性の法則や熱力学第 2 法 則について,あたかも天空の中にある 偉大な立法府があって,宇宙を支配する 規則を取り決めたかのように話をする」
Victor J. Stenger
この付録では初期宇宙を記述するのに必要となる統計物 理学や熱力学の幾つかの結果を思い出そう.最初にフェル ミ–ディラック分布とボーズ–アインシュタイン分布を運動
フェルミ–ディラック,ボーズ–ア
量空間の単位体積当たりの粒子数として書く:
インシュタイン分布
V 1 (B.1) . 3 (E−μ)/T (2π) e ±1 ここで,E = p2 + m2 はエネルギー,g は粒子の内部 f (p) = g
自由度数,V は系の体積,T は温度,μ は化学ポテンシャ 化学ポテンシャル ルである(ボルツマン定数 k はいつものように 1 とおく).
(B.1) のマイナス符号はボソンのときで,プラスはフェル ミオンのときである.これらの分布は粒子の数密度 n,エ ネルギー密度 ,圧力 P を求める際必要となる. 関係式のあるものは,統計力学の典型的な講義で学ぶ式 と違うかもしれない.これはおもに 2 つの理由による.第
1 に,非常に熱い初期宇宙の粒子は,一般に光速に近い速
相対論的扱い
度を持つから,エネルギーと運動量の間には相対論的関係 式 E 2 = p2 + m2 が必要である.第 2 に,温度が非常に高
変化する粒子数
+ −
いので,粒子は γγ ↔ e e のような反応によって,頻繁 に作られたり無くなったりする.これは系の粒子数が一般 に一定であると制限された低温系の物理とは対照的である. よく知られた例外は黒体放射である.そこでは温度がゼロ でないかぎり質量がゼロの光子は作られたり無くなったり するからである.相対論的粒子のガスについては n,,P の式は黒体放射のそれらの式と類似していることがわかる.
黒体放射
428
付録 B
統計物理学からの結果:初期宇宙の熱力学
B.1 統計力学の復習 「エネルギーと温度の間の一般的なつな がりは,確率の考えを入れることによっ てのみ確立される.2 つの系の間でエネ ルギーが移行しても確率が増えないと き,2 つの系は統計的に平衡である」
Max Planck
体積 V = L3 ,エネルギー U の系を考えよう.これはご く初期の宇宙の立方体とも考えられる.ここで考えている 温度は高いので粒子は頻繁に作られたり無くなったりする から,粒子数は一定しない.しばらくの間,ただ 1 種類の 粒子を考えよう.しかし,後で可能なすべての粒子を含む 場合に一般化する. 系は可能な非常に大きな数の微視的状態のうちのどの 1 基本的要請: エネルギーの等分配
つにあってもよい.統計力学の基本的要請は,課せられた 制限(体積,エネルギー)と矛盾しないすべての微視的状 態は等しく起こり得るということである.1 つの与えられ た微視的状態,たとえば N 粒子の波動関数 ψ(x1 , . . . , xN ) で系のすべてのことを特定するとしよう.しかしこれでは 知りたいことからはほど遠い.情報をもっとわかりやすい レベルまで引き下げるには,微視的状態から粒子の運動量 分布を決めてやればよい.すなわち,運動量空間における 各素体積 d3 p 内の粒子の期待数である. 同じ分布になるような多くの微視的状態があるだろうけ れども,1 つの分布が他の分布に比べて特に圧倒的に起こり やすいだろう.よい近似で,他のすべての分布は無視でき
平衡分布
て,この平衡分布が最も起こりやすいと見なされる.いっ たんそれがわかれば,それからエネルギー密度や圧力のよ うな他の必要な量を決めることができる. そこで,平衡分布を求めるために分布と矛盾のない微視 的状態の数を決める必要があり,それからそれが最大にな るものを探す.これは統計力学の標準的な参考書たとえば
[47] で扱われている手法である.ここではおもな道筋だけ を復習しよう. N 粒子波動関数
N 粒子系の波動関数は N 項の和であり,そのそれぞれは ψA (x) ∼ eipA ·x
(B.2)
B.1 統計力学の復習
429
の形を持つ 1 粒子の波動関数の N 項の積として表せると しよう.全波動関数はこのようにして,
ψ(x1 , . . . , xN ) 1 P (i, j, . . .)ψA (xi )ψB (xj ) · · · . =√ N!
(B.3)
ここで,和は座標 xi のすべて可能な入れ替えを含む.同一 ボソン粒子の系について,因子 P は 1 に等しい.一方同一
ボソンに対して対称化
フェルミオン粒子の系について,因子 P は粒子の座標の入
フェルミオンに対して反対称化
れ替えが偶数回ならプラス 1,奇数回ならマイナス 1 であ る.これより,どのような 2 つの粒子の座標を交換しても, ボソンであれば波動関数は対称になり,フェルミオンであ れば反対称になる.この結果,フェルミオン系で全波動関 数は,積の項の中に同じ 1 粒子波動関数が 1 回以上現れる とゼロになる.これはパウリの排他律である.
パウリの排他律
N 粒子シュレーディンガー方程式のほとんどの一般解は ψ が (B.3) のように積の形にはならないものの,弱く相互 作用する粒子系については,この形はよい近似で成り立つ だろう.初期宇宙のような高温系では (B.3) は成り立つと してよい. さらに 1 粒子波動関数は体積 V = L3 内で周期的な境 界条件に従うものとしよう.1 粒子波動関数に対する (B.2) 周期的境界条件:離散的運動量 の平面波の形で,運動量ベクトル p は勝手な値をとれなく なり
p=
2π (nx , ny , nz ) L
(B.4)
を満たさないといけないことになる.ここで,nx ,ny ,nz は整数である.このようにして,1 粒子状態の可能な運動量 は運動量空間で 2π/L だけ離れた立体格子点で与えられる. 一般に N が非常に大きくなると,与えられた N 粒子波 動関数に対して,1 粒子状態の可能な運動量ベクトルは運 動量空間である分布に従うであろう.すなわち,運動量空 間の各要素 d3 p にある 1 粒子状態の数 dN がわかるであろ う.そして,
運動量分布 3
f (p) =
d N d3 p
を運動量分布とよぼう.
(B.5)
430
付録 B
統計物理学からの結果:初期宇宙の熱力学
ある指定された分布 f (p) は異なった N 粒子波動関数の 数,すなわち異なる微視的状態の数から得られる.すべて の可能な微視的状態は同じように起こりやすいが,その状 態の圧倒的多数はたった 1 つの特別な f (p) に対応し,そ れは平衡状態の分布である.我々が見つけなければならな いものはこれである. この平衡運動量分布を求めるには,ある与えられた f (p) 微視的状態の数
についての微視的状態の数 t を決める必要がある.これを 行うのに,運動量空間を大きさ δ 3 p のセルに分けて考える.
i 番目のセルに入る粒子数は νi = f (pi ) δ 3 p .
(B.6)
セル内にある可能な 1 粒子運動量状態の数は,δ 3 p を運動 量空間の単位体積当たりの状態数 (2π/L)3 で割ったもので 1 粒子状態の総数
ある.それゆえ δ 3 p 内の 1 粒子状態の総数
γi = g 自由度数
注 1)
は
δ3 p (2π/L)3
(B.7)
である.ここで,g は粒子の内部自由度(たとえばスピン) を表す.スピン 1/2 の電子であれば g = 2 となる. 体積素片 δ 3 p は有効な状態当たりの運動量空間の体積
(2π/L)3 より大きいが,粒子の典型的な運動量に比べて小 さいとする.この近似の下で,すべての i についての数 νi の組は f (p) として同じ情報を含む. ボソン系では同じ運動量を持ち得る粒子数について制限
ボソン系
は無い.したがって,各 γi 状態にはゼロから νi 個の粒子 が入ることができる.νi 個の粒子を γi 個の状態に配る方法 の数は組合わせの標準的な問題である(たとえば,[47] を 見よ.訳注:γi 個から重複を許して νi 個取り出す重複組合 わせ).可能な配列の数は
(νi + γi − 1)! νi !(γi − 1)! 微視的状態の総数
(B.8)
となる.したがって,分布について微視的状態の総数は 注 1
多くの参考書では,粒子数を ni ,状態数を gi とおく.ここの付録で は,都合の悪いことに,これらの文字は後で違った意味で使う必要があ るので,ここでは代わりに νi と γi を使う.
B.1 統計力学の復習
tBE [f (p)] =
7 (νi + γi − 1)! νi !(γi − 1)!
i
≈
7 (νi + γi )! i
νi !γi !
. (B.9)
ここで,積は運動量空間のすべてのセルにわたって行われ る.この関係は同一のボソンの集まりに対して成り立つの で,(B.9) にある添え字 BE はボーズ–アインシュタイン
(Bose–Einstein) を表す. フェルミオンについて,全波動関数の反対称性は,与え
フェルミオン系
られた 1 粒子状態には多くてもたった 1 個しか入れないこ とを意味する.したがって,運動量空間の i 番目のセルの 中の γi 個の状態のそれぞれには 1 個入るか,1 個も入らな いかである.これは γi ≥ νi を意味する.γi 個の状態に νi 個の粒子をゼロか 1 個入れていく可能な場合の数は,組合 わせのもう 1 つの標準的な問題であって(訳注:γi から νi 取り出す組合わせ)
γi ! νi !(γi − νi )!
(B.10)
である.したがって,すべてのセルに対する組合わせの総 数は
微視的状態の総数
tFD [f (p)] =
7 i
γi ! . νi !(γi − νi )!
(B.11)
ここで添え字 FD はフェルミ–ディラック (Fermi–Dirac) を 表す. 微視的状態の数 t[f (p)] は天文学的数値ぐらい大きくな るので,その対数を扱うとより便利であり,さらに大きい
N について成り立つスターリングの近似式 ln N ! ≈ N ln N − N
(B.12)
を使うことができる.これからボソンとフェルミオンに対 して,それぞれ
(B.13) ln tBE [f (p)] ≈ [(νi + γi ) ln(νi + γi ) − νi ln νi − γi ln γi ] i
と
(B.14) ln tFD [f (p)] [γi ln γi − νi ln νi − (γi − νi ) ln(γi − νi )] ≈ i
微視的状態数の対数
431
432
付録 B
統計物理学からの結果:初期宇宙の熱力学
となる. 次の段階は ln t[f (p)] を最大にするような分布 f (p) を見 粒子が 2 種類以上
つけることである.しかし,これを行う前に,粒子が 2 種 類以上でも許されるように問題を一般化しておこう.粒子 の質量が温度に比べて小さいかぎり,粒子は絶えず作られ たり無くなったりする.このことは十分早い初期宇宙では, すべての種類の粒子について当てはまる.そこで分布関数
fa (p) の組を考えよう.ここで,添え字は a = e,μ,τ ,u, d,s,. . . で,粒子の種類につけたラベルである.この関数 の組はベクトル f ≡ (fe , fμ , fτ , fu , fd , . . .) と書ける. 分布の組 f (p) を求めるには,2 つの束縛条件の下で微 最大化 エネルギー保存
視的状態の総数 t[f (p)] を最大にする必要がある.第 1 に, すべての粒子のエネルギーの和は全エネルギー U に等しい ことが要請される.すなわち,
U=
Ea fa (p) d3 p
a
=
p2 + m2a fa (p) d3 p .
(B.15)
a
第 2 に,粒子は作られたり無くなったりしてもよいものの, 保存量
特定の量は保存される.系は保存量として,全電荷 Q(た とえばゼロ),バリオン数 B ,レプトン数 L を持つとしよ う.さらに熱平衡状態で系は種類 a について Na 個の粒子 があるとしよう.これらの要請は以下のように書ける:
Q=
Qa Na ,
(B.16)
Ba Na ,
(B.17)
La Na .
(B.18)
a
B=
a
L=
a
Na の値はきっちり決まったものでなく,全体の Q,B ,L が制約されているのに注意しよう.このようにして,最大 にしたい物理量は
φ(f (p), αQ , αB , αL , β) 3 Ea fa (p) d p ln ta [fa (p)] + β U − = a
a
Q−
+ αQ
Qa Na
a
L−
+ αL
+ αB
B−
B.1 統計力学の復習
Ba Na
a
(B.19)
La Na
a
と表せる.ここで,β ,αQ ,αB ,αL はラグランジュの乗
ラグランジュの乗数
数である.ラグランジュの乗数で φ を微分し,それをゼロと おけば対応する要請は満たされることが保証される.(B.19) を最大にする分布 f の組を求めるには,fa (pi ) = νai /δ 3 p と代入する.それから積分は和に変え,さらに
.
i
νai = Na
運動量積分の離散化
である.そして微視的状態の数はボソンについて (B.13) で, フェルミオンについて (B.14) で得られる.φ を νai につい て微分すると,
∂φ = ln(γai ± νai ) − ln νai − βEai ∂νai − αQ Qa − αB Ba − αL La
(B.20)
となる.ここで,γai = ga δ 3 p/(2π/L)3 は種類 a の粒子が セル i の中で取り得る状態数である.そしてこの節で導か れる式で,上の符号はボソンについてであり,下の符号は フェルミオンに対応している.(B.20) をゼロとおいて,νai について解くと
粒子数についての解
γai . (B.21) exp [αQ Qa + αB Ba + αL La + βEai ] ∓ 1
νai =
これを関数 fa (pi ) = νai /δ 3 p の形で書き直すと,
fa (p) =
ga (L/2π)3 . exp [αQ Qa + αB Ba + αL La + βEa ] ∓ 1 (B.22)
温度は
T = 1/β
温度の定義
(B.23)
で定義でき,これは通常の熱力学的温度の望ましい特質を すべて持っていることが示せる.さらに,種類 a の粒子に 関する化学ポテンシャルを
μa = −T (αQ Qa + αB Ba + αL La )
化学ポテンシャル
(B.24)
と定義できる.これは明白な方法で保存量のいろいろな組 を含むように修正することができる.ラグランジュの乗数
433
434
付録 B
統計物理学からの結果:初期宇宙の熱力学
は系に特定されている,すなわちすべての粒子について同 じであるものの,化学ポテンシャルは粒子の電荷,バリオ ン数,レプトン数に依存することに注意しよう.たとえば
a + b ↔ c + d という反応で (B.24) は μa + μb = μc + μd を意味する. ラグランジュの乗数をこのように修正した名前を使うこ 運動量分布の結果
とで,運動量分布の望みどおりの結果が得られる:
fa (p) =
ga (L/2π)3 . e(Ea −μa )/T ∓ 1
(B.25)
ここで,種類 a の粒子がボソンであればマイナス符号,フェ 内部自由度
ルミオンであればプラスにする.内部自由度の数 ga は,ス ピン J の粒子については通常 2J + 1 であるが,スピン以 外でもカラーのような他の自由度も含み得る.
B.2 数密度とエネルギー密度 「この銀河には 1011 個の星がある.そ れは莫大な数であった.しかしそれは
1,000 億でしかない.それは国の赤字よ りも小さい数字である! 我々はこのよ うな数値をかつては天文学的数値といっ てきたが,今や経済的数値とよぶべき
Richard P. Feynman
である」
(6.81),(B.1) で与えられたプランク分布から,すべての 粒子の種類について単位体積当たりの数とエネルギーを決 めることができる.関数 (B.25) は運動量空間の体積 d3 p 内 数密度n
にある種類 a の粒子数を与える.数密度 n は,運動量空間 すべてにわたってこれを積分し,体積 V = L3 で割ること で求められる.すなわち
1 n= V
g f (p) d p = (2π)3 3
d3 p e(E−μ)/T ± 1
. (B.26)
ここで,見やすいように粒子の種類を示す添え字は落とし た.被積分関数は E =
p2 + m2 を通して運動量の大き
さに依存するだけなので,要素 d3 p を半径 p,厚さ dp の球
4πp2 dp である.E 2 = p2 + m2 殻にとれる.つまり d3 p = n:エネルギー積分
より 2E dE = 2p dp となり,
n=
g 2π 2
∞
m
√
B.2 数密度とエネルギー密度
− dE e(E−μ)/T ± 1 E2
m2 E
(B.27)
と求まる.(B.27) の積分は,ある極限をとった場合だけし か,正確な計算ができない.粒子が相対論的な極限,すな
n:相対論的極限
わち T m でまた T μ であれば,
⎧ ζ(3) 3 ⎪ ⎪ ⎨ 2 gT π n= ⎪ 3 ⎪ ⎩ ζ(3) gT 3 4 π2
ボソンのとき,
(B.28) フェルミオンのとき.
ここで,ζ はリーマンのツェータ関数で,ζ(3) ≈ 1.20 206 . . . である.粒子物理学の単位では数密度はエネルギーの 3 乗 の次元を持つことに注意しよう.これを通常の単位体積当 たりの数にするには (c)3 ≈ (0.2 GeV fm)3 で割る必要が ある. 非相対論的極限(T m)では,(B.27) の積分をして
n=g
mT 2π
3/2
e−(m−μ)/T
n:非相対論的極限
(B.29)
となる.ここではフェルミ–ディラック分布もボーズ–アイ ンシュタイン分布も同じ結果が得られる.非相対論的粒子 について,粒子密度はいわゆるボルツマン因子とよばれる
e−m/T によって指数的に抑えられているのがわかる.これ は部屋の空気分子の密度が,非相対論的であるものの,こ の因子によってそのとおりに抑えられていないから,直感 に反しているように見えるかもしれない.ここで化学ポテ ンシャルが一般に温度に依存し,この依存性はすべての関 連ある量が正確に保存されるようにちょうどなっているこ とを考慮に入れなければならない.空気分子の場合,μ は 正確に T 3/2 e−m/T の因子と打ち消し合うように温度とと もに変わる. 超高温のとき,よい近似ですべての化学ポテンシャルは
超高温
ゼロとおける.粒子の総数はいかなる保存する量子数の正 味の値に比べても大きくなるだろうから,保存量の制約は 実際上何の役割も演じない. エネルギー密度 を求めるには,d3 p にある粒子数にエ ネルギーを掛けてすべての運動量について積分する.
エネルギー密度%
435
436
付録 B
統計物理学からの結果:初期宇宙の熱力学
g E d3 p 3 (E−μ)/T (2π) e ±1 ∞√ 2 g E − m2 E 2 dE = . 2 2π m e(E−μ)/T ± 1
=
(B.30)
n のときと同様,積分はある極限をとった場合だけしか,正 %:相対論的な極限
%:非相対論的な極限
確な計算ができない.相対論的な極限 T m では,
⎧ 2 π ⎪ 4 ⎪ ⎨ gT 30 = 2 ⎪ ⎪ ⎩ 7 π gT 4 8 30
ボソンのとき,
(B.31) フェルミオンのとき
となる.非相対論的な極限では
(B.32)
= mn であり,数密度 n は (B.29) で与えられている. 1 粒子当たりの平均エネルギー
数密度とエネルギー密度から 1 粒子当たりの平均エネル ギー E = /n が求まる.T m のとき,
E =
⎧ π4 ⎪ ⎪ ⎨ 30 ζ(3) T ≈ 2.701 T ⎪ ⎪ ⎩
7π 4 T ≈ 3.151 T 180 ζ(3)
ボソンのとき, フェルミオンのとき
(B.33) となる.非相対論的極限では,平均エネルギーは質量と運 動エネルギーの和で書けて,
3 E = m + T . 2
(B.34)
ここで低い T であれば,質量の項が効く.
B.3 状態方程式 「もし君の理論が熱力学第 2 法則と相 容れないなら,私は君に望みを与えら れない.そこには何も無く,最も深い屈 辱のうちに失敗するだけだろう」
Arthur Eddington
この付録の最後に状態方程式を導こう.すなわちエネル ギー密度 と圧力 P の関係である.これは R(t) についてフ
B.3 状態方程式
437
リードマン方程式を解くのに,加速方程式と流体方程式と の関連で必要となる. 必要な関係を得るのに幾つかの道筋がある.熱力学第 1 熱力学第 1 法則 法則
dU = T dS − P dV
(B.35)
から始めるのが一番わかりやすい.これは系の全エネルギー
U と,温度 T ,エントロピー S ,圧力 P ,体積 V の関係で ある.微小変化 dU はまた次のように書ける:
dU =
∂U ∂S
dS + V
∂U ∂V
dV .
(B.36)
S
ここで,添え字は偏微分を計算する際,一定に保つ量を示 す.式 (B.35) と (B.36) にある dV の係数を等しいとおい て,圧力は
P =−
∂U ∂V
圧力
(B.37)
. S
エントロピーは,単に微視的状態の総数 Ω の対数である
エントロピーと微視的状態の数
こと,そしてこの Ω はよい近似として平衡分布の微視的状 態の数 t[f (p)] で与えられることを思い出そう.すなわち
S = ln Ω ≈ ln t[f (p)] .
(B.38)
ここで注意すべき重要な点は,エントロピーは分布 f (p) に よって完全に決まることである.したがって,(∂U/∂V )S を計算する際にエントロピーを一定に保つには,V が変わっ ても分布 f (p) を一定のままだと単に見ればよい. 全エネルギー U は
全エネルギー
U=
E f (p) d3 p .
したがって,圧力は
P =−
∂U ∂V
=−
S
(B.39)
∂E f (p) d3 p ∂V
(B.40)
である.E の体積 V = L3 についての微分は
∂E ∂p ∂E ∂p ∂E = = ∂V ∂p ∂V ∂p ∂L
8
∂V (B.41) . ∂L ∂V /∂L = 3L2 であり,さらに E = p2 + m2 であるから, −1/2 1 2 p ∂E = p + m2 . 2p = ∂p 2 E
(B.42)
438
付録 B
統計物理学からの結果:初期宇宙の熱力学
(B.4) から p ∼ L−1 なので,∂p/∂L = −p/L. これらを (B.41) に代入して p −p 1 −p2 ∂E = . = ∂V E L 3L2 3EV 圧力の一般式
(B.43)
これを (B.40) に入れて圧力の一般式が与えられる:
P =
1 3V
p2 f (p) d3 p . E
(B.44)
相対論的極限では粒子の静止質量は無視できて,E =
p2 + m2 ≈ p.このとき式 (B.44) は 1 E f (p) d3 p P = 3V
(B.45)
となる.全エネルギー U は (B.39) から
E f (p) d3 p
U= 相対論的極限での圧力
(B.46)
で, = U/V だから,相対論的粒子のガスについての圧力 の最終結果は簡単で,
P =
. 3
(B.47)
これは黒体放射のよく知られた結果であるが,ここで T
m の相対論的極限ではどのような粒子であってもこれが成 り立つことが証明された. 非相対論的極限:理想気体の法則
非相対論的極限では,圧力は理想気体の法則
(B.48)
P = nT
で与えられる.しかしこの場合,エネルギー密度は単に =
mn であり,T m であれば P であるから,加速方 程式や流体方程式で P ≈ 0 と近似できる. 宇宙定数からの真空エネルギー 密度
最後に,宇宙定数からの真空エネルギー密度の場合を扱 う.すなわち,
v =
Λ . 8πG
(B.49)
もし U/V = v を定数とするなら,圧力は
P =− 負の圧力
∂U ∂V
=− S
U = −v . V
(B.50)
このようにして,真空のエネルギー密度は負の圧力をもた らす.
付録 C
赤道座標と銀河座標の定義
「天文学の技術上の言語では,星の多さ は,地球上の気候がおもに地理学的緯 度に依存するように,おもに銀緯に依 存し,銀経にはほとんどよらない」
Sir James Jeans
光を扱う天文学者はたいてい赤経や赤緯のような赤道座 標を好んで使う.一方宇宙物理学者は銀河座標をよく使う. 赤道座標系では,その中心は地球である.地球の赤道面
赤道座標
が基準面として採用される.この面は天球赤道とよばれる. もう 1 つの面があり,それは地球の周りを回る太陽の運動 で定義される.この面は天球赤道と 23.5 度の傾きを持つ. 太陽軌道のこの面は黄道面とよばれる.この 2 つの面は外
黄道面
周で 2 つの点で交わる.その 1 つは太陽が南から北へ通過 するときの天球赤道との交点で,春分点である. 春分点から天球赤道に沿って東向きに測った座標を赤経と 赤経 いい,通常 α で書く.天球赤道に対して垂直な距離は赤緯と
赤緯
名づけられ,δ と書く.赤経は 0 から 360 度,あるいはとき に—便宜上—0 から 24 時とされる.赤緯は −90 から +90 度と変わる(図 C.1 を見よ). これとは対照的に,銀河座標は我々の銀河に固定される. 銀河座標 天の北極
赤緯
G
天の赤道
黄道
春分点 赤経
D
図 C.1 赤道座標の赤経と赤緯の定義
440
付録 C
赤道座標と銀河座標の定義 星
r 太陽
b l
銀河面 銀河中心
図 C.2 銀河座標の銀緯と銀経の定義
銀経
球座標 (r, l, b) は太陽を中心におく.l は銀経,b は銀緯で
銀緯
ある.r は太陽から天体までの距離である.銀経 l は銀河中
太陽からの距離
心の方向と,星の方向を銀河面に投影した方向のなす角で ある.それは銀河中心の方向(l = 0 度)から数え,反銀河 中心(太陽から 180 度離れる)を通り銀河中心に戻る.銀 緯 b は +90(銀河面より上に垂直)から −90 度まで変わる (図 C.2).
付録 D
宇宙粒子物理学の重要な定数 注 1)
「世の中のことを知ろうと望む人は,それについて個々の
Heraclitus
細部まで知る必要がある」
相対的な 不確かさ (真空中の)光速 c
−11
6.67428 × 10
万有引力定数 G プランク定数 h
~ = h/2π プランク質量
p ~c/G
p
G~/c3 p プランク時間 G~/c5 プランク長
3
m kg
s
1.0 × 10−4
6.626 068 96 × 10−34 J s = 4.135 6672 × 10−15 eV s
5.0 × 10−8
1.054 571 628 × 10−34 J s = 6.582 118 99 × 10−16 eV s
5.0 × 10−8 2.5 × 10−8
2.176 44 × 10−8 kg = 1.220 89 × 1019 GeV/c2
5.0 × 10−5
1.616 252 × 10−35 m
5.0 × 10−5
5.391 24 × 10−44 s
5.0 × 10−5
1.602 176 487 × 10 e2 4πε0 ~c
定義
−1 −2
−19
素電荷 e
C
2.5 × 10−8
1/137.035 999 679
6.8 × 10−10
13.605 691 93 eV
2.5 × 10−8
電子の質量 me
9.109 382 15 × 10−31 kg = 0.510 998 910 MeV/c2
5.0 × 10−8 2.5 × 10−8
陽子の質量 mp
1.672 621 637 × 10−27 kg = 938.272 013 MeV/c2
5.0 × 10−8 2.5 × 10−8
中性子の質量 mn
1.674 927 211 × 10−27 kg = 939.565 346 MeV/c2
5 × 10−8 2.5 × 10−8
微細構造定数 α =
リュードベリエネルギー Ry
mn − mp
1.293 3321 MeV/c2
4 × 10−8
アボガドロ定数 NA
6.022 141 79 × 1023 mol−1
5.0 × 10−8
ボルツマン定数 k
1.380 650 4 × 10−23 J K−1 = 8.617 343 × 10−5 eV K−1
1.7 × 10−6
5.670 400 × 10−8 W m−2 K−4
7 × 10−6
シュテファン–ボルツマン定数 σ 電子ボルト,eV 標準大気圧,atm 重力の加速度(標準) g 注 1
299, 792, 458 m/s
1.602 176 487 × 10−19 J 101, 325 Pa 9.806 65 m s
−2
2.5 × 10−8 定義値 定義値
訳注:最近の Particle Data: C. Amsler et al., Phys. Letters B667, 1 (2008) をおもに参照した.
442 相対的な 不確かさ ハッブル定数 H0 ハッブル距離 c/H0
3H02 /8πG
銀河の密度 黒体放射の温度 黒体放射光子の数密度 天文単位,AU パーセク,pc(1 AU/1 arcsec) 光年,ly 太陽のシュワルツシルト 半径 : 2GM /c2 太陽の質量 M 太陽定数
1.1 %
4, 108 Mpc −29
1.001 × 10
4% 3
g/cm
≈ 8%
−3
≈ 0.02 Mpc
4 × 10−4
2.725 K 410.5 cm
−3
1.2 × 10−3
1.495 978 707 00 × 1011 m
2 × 10−11
3.085 677 6 × 1016 m
2 × 10−11
0.3066 pc = 0.9461 × 1016 m 2.953 250 077 0 km
1.0 × 10−4
1.988 4 × 10
1.0 × 10−4
30
kg
1, 360 W/m2
0.2 %
太陽光度 L
3.842 7 × 10
W
3.6 × 10−4
地球の質量 M⊕
5.972 2 × 1024 kg
1.0 × 10−4
地球の半径 R⊕
6.378 137 × 106 m
地球のシュワルツシルト 半径: 2GM⊕ /c2 銀河中心に対する 太陽系の速度
26
0.887 055 881 cm
1.4 × 10−4
220 km/s
9%
銀河中心から 太陽までの距離
8.0 kpc
6%
宇宙の物質密度 Ωm
0.27
注 2)
7%
宇宙のバリオン密度 Ωb
0.042 5
7%
0.23
10 %
宇宙の暗黒物質密度 Ωdm 宇宙の放射密度 Ωγ 宇宙のニュートリノ密度 Ων
−5
4.6 × 10
0.001 ≤ Ων ≤ 0.05
6% 95 % C.L.
宇宙の暗黒エネルギー密度 ΩΛ
0.73
4%
宇宙の全エネルギー密度 Ωtot (Ωtot ≡ Ω )
1.011
1.2 %
バリオンの数密度 nb バリオン対光子比 η ◦
0 C
注 2
4%
13.73 × 109 年
宇宙の年齢 t0 臨界密度 c =
73 km s−1 Mpc−1
訳注:すべてのデータの平均.
2.5 × 10−7 /cm3 −10
6.12 × 10
273.15 K
4% 3.1 %
引用文献 「参考文献は他のデータへの道標のようなものである」
Steve Cook
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444
引用文献
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写真提供 「五感を授けられて,人は周りの宇宙を探検し,そして冒 険的な科学に思いを寄せる」
Edwin Powell Hubble
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訳者あとがき 本書は Claus Grupen 著『Astroparticle Physics』(2005 年)の日本語版である.こ の英語版は 2000 年に発行されたドイツ語版『Astroteilchenphysik』を基にしている.し かし,単にドイツ語版を英訳しただけでなく,2000 年からの 5 年間にこの分野で大きな 発展を見た研究成果を取り入れたこと,宇宙論に関する重要な幾つかの話題を付け加え たこと,それぞれの章に問題とその解答を付けたこと等でドイツ語版の倍のページ数に なっている.
20 世紀以前の天文学は可視光によって天体を観測することであったが,20 世紀半ばに は宇宙から地球に入射する粒子は可視光を含めた広い範囲のエネルギーを持つ光子だけ でなく,いろいろな粒子があることが分かった.これらの粒子を用いて宇宙に存在する 対象物を観測する.それは超新星のような特定された天体もあれば,初期宇宙に関する ものまで多岐にわたる.そしてこれら「宇宙粒子物理学」に関する物理量の測定誤差は 高々数%以下(たとえば宇宙の年齢は 137.3±1.5 億年である)の精密科学になってきた. 本書の優れた特徴は,第一にこの広い分野を学ぶ際,基本的で必要な事項をもらさず 網羅していること.第二に学部 3 年生くらいですでに修得しているであろう熱力学,統 計力学,特殊相対性理論等の基礎知識があれば(一部必要事項は付録にある),重要な 式の導出は,演習問題の解答も含めて学生自身がフォローできるように書かれているこ とである.それによって十分な理解が得られ,オリジナルな論文を読む等,次のステッ プにつなげることができよう. 第三に教育的な図や図表,それに実験装置や科学衛星の写真が多く掲載され,理解を 助けるだけでなく親しみやすいようにしている.さらにドイツ語版にあるが英語版では 掲載されなかった風刺漫画をこの日本語版にもれなく復活させた.一服の清涼剤になる であろう.第四に多くの脇見出しと 40 頁にわたる術語解説があること.また日本語版に は独自にやや詳しい索引を付けた.これらもまた本書を読みやすくするとともに,読者 がこの分野の概略を知る上で役に立つであろう. 第五に英語版が発行されてから 3 年余経過しているため,この間の進捗についてはおも に訳者注として補足した.特に付録 D の宇宙粒子物理学の定数は 2008 年度版の Particle
Data を参照して最近の値に置き換えた.本文中も必要に応じて新しい数値にしている. 有効数字の最後の 1,2 桁が変わり,相対的不確かさがほぼ半分に減るなど,5 年間の実 験技術の進歩を表している.小林–益川理論,最初に「自発的対称性の破れ」や「弦理 論」を提唱された南部先生,この 3 氏が 2008 年ノーベル賞受賞という嬉しいニュース も注に加えた. 翻訳にあたって Grupen 教授からいただいた修正・加筆は勿論行った.さらに訳者が,
451 式や数値を章末の問題の解答も含めてチェックした際,出てきた疑問や誤りは著者に問 い合わせて確認して正している.なお,英語版のレビューに,Marcello Lissia: CERN
Courier, vol.46(1) (2006),及び 市村雅一:日本物理学会誌 vol.61, No.4, p.283 (2006) がある.
Grupen 教授は非常に優れた実験家であり, 『Particle Detectors』(Cambridge University Press (1996), 455pp.)の大著もある.宇宙線関係の実験から,CERN LEP の Aleph グループに参加.現在もレプトンや電波を使った宇宙粒子物理学の研究に携わっ ている.1980 年と 1985 年には東京大学宇宙線研究所の招聘教授として来日された.関 西にも来られ,訳者はそのおりの案内役を務めた.以来交友が続いている.訳者が論文 を書いたとき,英文のチェックをしばしばしてもらった. 彼は何事にも博識多才で,理論にも強くまた丁寧で凝り性である.掲載した風刺漫画 の内,幾つかはご本人が描いている.このようにして,素粒子の標準模型や相互作用か ら始まり,宇宙線の話,ビッグバンから宇宙初期から現在,将来にわたる宇宙のたどる 道まで,膨大な内容の本書が出来上がった.さらに大きな問題点,真空エネルギーと暗 黒物質のエネルギーを合わせると,全宇宙エネルギーの(96±3%)になるという.しか もこの両者が何ものであるかはまったく分かっていない.これを解決した人は,ストッ クホルムに招待されるでしょうと著者はいっている.この本などを出発点として,宇宙 粒子物理学を専攻する次世代の若い人々に期待したい. 最後に TEX 原稿や風刺漫画の原版をいただいたこと,そして何よりも訳者の質問に直 ちにしかも丁寧に答えていただいた Grupen 教授に改めて深く感謝します.問題の解答 の一部には Siegen 大学の Tilo Stroh 博士,大阪大学名誉教授山崎修一郎氏を煩わした. ここに改めてお礼を申し上げる.シュプリンガー・ジャパンには訳文の校訂,索引の作 成にあたって大変お世話になった.訳文が少しでも読みやすくなり,索引がより充実し たものになっているとすれば,彼らのおかげである.ここに感謝の意を表したい.
2009 年 3 月 小早川惠三
索 引 注 1) 「索引の付いていない文書は地図のない国のようなもので
Mike Unwalla
ある」
■数字・欧文先頭 Ia 型超新星 209, 294 2.7 ケルビン 14, 132, 298
3C134 183 3C273 123 3C66B 153 3 He 239 4 He 存在量 249 6 Li 239 —存在量 249 7 Li 239 —存在量 249 AGASA 95, 189 AGN 336, 活動銀河核 も見よ Air Watch 181 ALEPH 175 α 崩壊 336 AMANDA 122, 123, 336 AMANDA II 101 ANTARES 123, 312 ASTRO-E 149 astroparticle physics 1 AXAF 148, 337 0
B 崩壊 33, 313 BATSE 133, 137, 338 BBN 194, 239, 259 Boomerang 実験 271, 319, 320 b クォーク 27, ボトム(クォーク) も見よ CCD 144, 341 CCD カメラ 305 CDF 共同実験 18 CDMS 312 CERN 19, 341 CGRO 20, 133, 137, 190, 341 CKM 行列 キャビボ–小林–益川行列 を 見よ CMB 194, 257, 294, 宇宙マイクロ波背景 放射 も見よ —異方性 263, 269 —温度 234 —角度パワースペクトル 267 —予言 260 COBE(観測衛星) 14, 260, 263, 342 —角度分解能 266 注 1
COBRAS/SAMBA プロジェクト 272 COMPTEL 133, 343 COS-B 13, 343 CP —の破れ 235, 313, 332 —不変 344 CP T —対称性 33 —不変 344 CP 変換 33 —の破れ 33 CTIO 316 27, チャーム(クォーク) も c クォーク 見よ DAMA 312 Δ 共鳴状態 68, 94 Δ 励起状態 Δ 共鳴状態 を見よ DESY 18 D/H 比 250 DONUT 15 d クォーク 27, ダウン(クォーク) も見よ d クォーク 35 EAS 177 EGRET 133, 347 EROS 20, 304, 347 ESA 欧州宇宙機関 を見よ FWHM
423
GALLEX 15, 109, 350 γγ 過程 70 γ–γ 相互作用 99 ガンマ–ガンマ相互作用 を γγ 相互作用 見よ γ 線 ガンマ線 を見よ γ 線観測衛星 13 γ 線の線スペクトル 128 γ(線)バースト ガンマ線バースト を見よ γ バースター 17 GeV ガンマ線天文学 20 GLAST 135, 351 GRB ガンマ線バースト を見よ GUT 大統一理論 を見よ —時代 352 —スケール 228, 330, 352 —ボソン 228
太字のページは主な記載事項を示す.下線のページは用語集にあるページ.
453 GZK カットオフ 68, 94, 99, 183, 185 —しきいエネルギー 94, 183 GZK 球 186
pp ニュートリノ 108 PSPC 146, 363 PSR 1913+16 151
HEAO 146, 352 HERA 187 HESS 135 HiRes —実験 95, 189 —対 AGASA 95 HRI 高分解能撮像器 を見よ HST 316
QCD 量子色力学 を見よ QCD スケール 229
IceCube 122, 123, 312 IMB 2, 115, 354 INTEGRAL 135 JAXA 181 JEM-EUSO
181
K 0 崩壊 33 K2K 実験 105, 118 KamLAND 113, 118 Keck 316 kpc 355 Kr,Xe 検出器 60 Λ バリオン 10 Λ 崩壊 35 LEP 大型電子–陽電子コライダー を見よ LHC 310, 330, 356 LOPES 182 LSP —検出 310 M81 147 M87 2, 95, 123, 135, 186, 188, 330, 357 MACHO(実験) 20, 303, 304, 357 MAGIC 135 Maxima(実験) 271, 319, 320 Mpc 358 Mrk 421 123, 186 Mrk 501 123, 186 MSW 効果 111, 359 M 超弦理論 37, 38, 359 M 理論 M 超弦理論 と同じ NACHO 305 NaI シンチレーション計数管 NESTOR 123 N 粒子波動関数 428
129
OGLE 304, 360 Ω パラメータ 207, 269, 299, 317, 319, 332 —微調整 278 OSO-3 13 OSSE 133, 361 particle astrophysics 1 PETRA 362 π 0 崩壊 49, 127 —の光子スペクトル 50 Planck プロジェクト 272, 296
RHIC 229 r.m.s. 191 ROSAT 19, 366 R パリティ 310, 366 √ s 44 SAGE(実験) 15, 109, 366 SAS-2 13, 366 SAS-3 366 SDSS 292 s クォーク 35 SGR 天体 366 Σ ハイペロン 11 SN 1987A 2, 19, 114 SN 1993J 147 SNAP 367 SNO(実験) 21, 112, 367 SNR 367, 超新星残骸 も見よ SNR RX J1713.7-3946 135 SUGRA 超重力理論 を見よ superstring theory 超弦理論 を見よ supersymmetry 超対称性 を見よ SUSY 粒子 331 s クォーク 27 TeV ガンマ線点源 20 TeVγ 線天文学 63 TeV ニュートリノ天文学 63 TOE 36 t クォーク トップまたはトップクォーク を 見よ u クォーク V 粒子
アップクォーク を見よ
10
W ± ボソン 372 —の発見 18 WIMP(s) 20, 67, 188, 309, 331, 372 —検出 310 —数密度 311 —相互作用 311 —ハロー 312 —フラックス 312 WMAP 264, 265, 271, 289, 294, 320, 372 —角度分解能 266 w パラメータ 223, 283, 373 Ξ ハイペロン 11 XMM 19, 148 —ニュートン 149, 373 X 線 3, 125 —CCD 65 —エネルギースペクトル —検出器 144, 146 —入射方向 143
142
454
索 引
—による閃光 147 —の全反射 143 —望遠鏡 65, 143 —連星 176 X 線(観測)衛星 13, 146 X 線源 16, 136, 141, 147, 149 —の数 146 —の観測 143, 145 —のスペクトル 150 —の発見 19, 140 X 線天文衛星チャンドラ 19 X 線天文学 1, 124, 140, 373 X 線バースター 373 X ボソン 228, 373 Y ボソン
228, 373
Z バースト 309 Z (ボソン) 373 —共鳴状態 254 —の交換 31 —の全崩壊幅 26, 254 —の発見 18 ■ア行 アイソスピン 355 —2 重項 34 —3 重項 34 —多重度 34 アイレム 373 アインシュタイン(Einstein, A.)
5, 197, 203 —の関係式 41 —リング 6, 303 アインシュタイン観測衛星 13, 146 明るさの変動 303 アキシオン 314, 330, 331, 338 新しいインフレーション 287 熱い暗黒物質 307, 317, 353 アップ(クォーク) 16, 18, 31, 371 圧力 202, 427, 437 —波 320 アベル 754 149 アボガドロ数 53, 61 天の川銀河 2, 20, 98 —の中心 98 アームストロング(Armstrong, N.) 231 アール(Earl, J. A.) 12 アルヴァレ(Alvarez, L. W.) 7 アルファ(Alpher, R. A.) 260 アルファ磁気分光計 231 アルブレヒト(Albrecht, A) 286 アルメンテロス(Armenteros, R.) 11 アレイ 96 アンクル(くるぶし) 92, 94 暗黒エネルギー 20, 37, 208, 294, 297, 315, 332, 345 —密度 442 暗黒物質 20, 37, 195, 297, 315, 318, 345 —ニュートリノ 305 —密度 442 アンダーソン(Anderson, C. D.) 8, 9 アンドロメダ銀河 305 アンドロメダ星雲 6, 336
異性核 354 位相欠陥 73, 279, 371 一次 —光子 58 —電子 96 —陽子 96 —陽電子 96 —粒子 58, 68, 84, 95, 125, 161, 176, 184, 一次宇宙線 も見よ 一次宇宙線 7, 12, 89, 161, 363 —化学(元素)組成 12, 90, 97 —最高エネルギー 84, 184, 330 —積分スペクトル 86 —の異方性 98 —のエネルギースペクトル 84, 91 —の大気中での変形 163 —反陽子 96 一次フェルミ機構 78 位置敏感型比例計数管(PSPC) 146 一様性の宇宙 197 1 粒子波動関数 429 一般相対(性理)論 5, 17, 37, 200, 201, 350 —の原理 350 いて座 141 緯度効果 7, 355 異方性 98 因果関係 267, 276 因果的接触 290 インフラトン 286 —場 285 インフレーション 193, 230, 275, 282, 294, 354 —終わり 286, 287 —からの重力波 295 —期間 289 —時刻 295 —場 289 —始まり 289 ヴァン・アレン(Van Allen, J. A.) 7 —帯 7, 161, 371 ウィーノ 310 ウィルキンソン(Wilkinson, D. T.) 260 ウィルソン(Wilson, C. T. R.) 3 —霧箱 4 ウィルソン(Wilson, R. W.) 14, 260 ウィルチェック(Wilczek, F.) 19 ウェーバー(Weber, J.) 17 上向きミューオンニュートリノ 106 ウォラン(Wollan, E. O.) 12 ウォルター望遠鏡 143 ウォルフ–ライエ星 138 内側破裂 354 宇宙 —地理学的地図 266, 344 —定数 202, 203, 319, 331, 344, 438 —テクスチャー 344 —背景撮像器 271 —紐 73, 191, 344 —物理学 1 —放射 323 —放射線 4 —膨張 インフレーション を見よ 宇宙 X 線源 141
455 宇宙原理 197, 344 宇宙航空研究開発機構 181 宇宙考古学 222, 344 宇宙生物学 324, 339 宇宙生命学 323, 337 宇宙赤方偏移 344 宇宙線 4, 73, 344 —荷電粒子 7 —検出器 175 —ニュートリノ 59 —のエネルギー密度 81 —の加速機構 73, 77 —の起源 12, 73, 95, 97, 330 —発生源 125 —粒子 7, 73, 85, 139, 192, 329 宇宙の —一様性 197 —幾何学 269 —元素組成 343 —再崩壊 281 —時代 275 —質量密度 302, 308 —大規模構造 266, 297, 298, 306 —等方性 197 —年齢 335, 442 —発生論 344 —晴れ上がり 261 —不均一性 298 —膨張率 198 宇宙背景放射 14, 344, 宇宙マイクロ波背景 放射 も見よ 宇宙マイクロ波 257 宇宙マイクロ波背景放射 194, 197, 209, 257 —温度 220, 251 宇宙模型 358 宇宙粒子 57, 58 —の相互作用 58, 68 —の伝播 68 宇宙粒子物理学 1, 9, 20, 125, 329, 441 宇宙論 193, 228, 344 —の方程式 239 —パラメータ 257, 267, 271 宇宙論的制限 308 宇宙論的素粒子物理 (学) 228, 326, 344 ウフル 13, 145 海クォーク 30 ウルフ(Wulf,Th.) 4 運動量 42 —移行 55 —空間 429, 434 —の横成分 52 —分光計 168 —分布 429 —ベクトル 429 エアロビーロケット 145 エクスプロラー 1 号 7 エクソサット 13 エディントン(Eddington, A. S.) エネルギー —(> 1019 eV)粒子 182 —(> 1020 eV)粒子 183, 185 —運動量テンソル 202
5
—生成の比率 81 —積分 434 —測定 179 —等分配 428 —発生効率 325 —保存則 201 —密度 202, 218, 347, 427, 434, 435 エルスター(Elster, J.) 4 円軌道加速 75 遠星点 337 遠地点 337 エントロピー 204, 437 —保存 245 遠日点 337 欧州宇宙機関 272 大型電子–陽電子コライダー 18, 21, 26, 254, 309, 355 大型ハドロンコライダー LHC を見よ オキアリーニ(Occhialini, G. P. S.) 10 オージェ(Auger, P.-V.) 11 —実験 96, 179, 190 —電子 109 オッペンハイマー(Oppenheimer, J. R.) 11 おとめ座 —A 95 —銀河団 95, 190, 372 重いクォーク星 304 重い元素の形成 76 重いニュートリノ 309 重いレプトン 10 オルバースのパラドックス 361 オーロラ 3, 337 音響地平線 270 —距離 270 音響ピーク 269, 270, 335 オングストローム 336 温度 245, 427, 437 —地図 320 —と時間の関係 225 —とスケール因子の関係 223 —の均一性 276 —の定義 433 —ゆらぎ 268, 320, 425 ■カ行 ガイテル(Geitel, H.) 4 回転速度 300 —曲線 300 ガウス関数 421 ガウス分布 422 化学ポテンシャル 218, 342, 427, 433, 435 価クォーク 28 隠された量子数 30 拡散 X 線 149 拡散ニュートリノ 123 核子 34, 170, 240 —当たりの結合エネルギー 11 — –核子相互作用 97 —成分 170 —対光子比 247 —のアイソスピン 34 —の構成 25 —の質量 240, 247
456
索 引
—密度 241, 259 核子当たりの断面積 54 核相互作用による損失 62 拡大空気シャワー 11, 20, 132, 175, 177, 348 —縦方向の発達 179 —横方向の広がり 179 拡張された次元 348 角度 —距離 268 —パワースペクトル 264, 426 —分解能 144, 263, 266 —分離 264 角度差による温度変化 268 核との相互作用 62, 172 核分裂 360 殻モデル 91 核融合 11, 76, 360 —原子炉 107 —爆発 147 確率密度関数 423 核力 9 カシミア効果 203, 212, 341 可視領域 64 ガス雲 302 ガス検出器 60 かすめ入射 65 仮想 —光子 47 —度 47 —粒子 47, 372 —粒子–反粒子対 203 加速器 335 —実験 329 —物理 329 加速機構 73, 78 —のトップ–ダウンシナリオ 73 加速されつつある宇宙 21 加速的膨張 283, 316 加速パラメータ 208, 331, 335 加速方程式 205, 283, 335, 437 ガッサンディ(Gassendi, P.) 3 褐色星 304 褐色矮星 303, 340 活動銀河 335 活動銀河核 20, 73, 84, 119, 134, 149, 189, 330, 336 荷電カレント 31, 113, 120, 342 —相互作用 111 荷電共役 33, 313, 332, 342 荷電パイオン 10, 127, 163 荷電ヒッグシーノ 310 荷電粒子 60 —の等方性 98 カニ星雲 3, 13, 20, 123, 133, 135, 345 —パルサー 147 カブレラ(Cabrera, B) 281 カミオカンデ 15, 115, 117, 355 —実験 2 ガモフ(Gamow, G.) 14 カラー 30, 218, 342 —荷 29, 343 カラビ–ヤウ空間 38, 341 カリウム 40 121
ガリウム実験 109 ガリウムヒ素 145 ガリレイ変換 350 軽い原子核 184 —合成 240, 246 —存在量 250, 275, 295 軽い元素 108, 194 —存在量 240, 249, 254, 301 カールソン(Carlson, J. F.) 11 華麗な退場の問題 286 カロリメーター 60, 63, 179 カロリメトリー 63 換算光子エネルギー 65 慣性 354 慣性系 41 慣性モーメント 80 完全直交関数系 425 観測衛星 140 カント(Kant, I.) 3, 316 ガンマ–ガンマ相互作用 95, 99, 121, 132 ガンマ線 125, 128, 350 ガンマ線衛星 13 ガンマ線天文学 1, 124, 350 ガンマ線バースター 17, 350, ガンマ線バー スト も見よ ガンマ線バースト 137, 183, 350 幾何学的断面積 53 気球実験 4, 91, 140, 162, 319 擬スカラー 363 —粒子 314 キセノン 65 軌道 361 軌道速度 300 基本粒子 350 逆コンプトン散乱 66, 68, 84, 127, 134, 141, 158, 354 キャビボ(Cabibbo, N.) 35 —角 36 — –小林–益川行列 36 球座標 264 吸収係数 53 吸熱性核融合 76 球面調和関数 264, 423 共動体積 233 局所的 —超銀河団 98 —超クラスター 183 局部(銀河)群 190, 356 局部超(銀河)団 190, 356 曲率 345 曲率パラメータ 200, 206, 224, 277 距離はしご 346 銀緯 440 銀河 2, 146, 148, 198, 200, 298 —円盤 134 —核 2 —形成 15, 266, 316, 319 —磁場 99, 350 —塵 302 —中心 13, 123, 134, 440 —の質量密度 300 —ハロー 300, 302, 308, 350 —フィラメント 298
457 —密度 292 銀河系 —磁場 98 —内起源 92 —の年齢 81 銀河系外 20, 68, 123 —成分(起源) 93, 149, 184, 189 —天体 135, 183 —ニュートリノ 19, 119, 122, 188 —物質サンプル 89 —放射 93, 348 銀河座標 439 銀河団 146, 298, 342, 350 —内の力学 302, 317 銀河内の閉じ込め 185 銀経 440 近日点 362 近星点 151, 362 —移動 17 金属元素の少ない星 249 近地点 362 クインテセンス 22, 319, 364 空間的 48 —光子 48 空気シャワー 177 —到着時間の相関 183 空気シャワー・チェレンコフ技術 63, 91, 116, 130, 135, 336 空気チェレンコフ望遠鏡 20 空気の屈折率 130 クェーサー 13, 123, 189, 364 —の発見 13 クエロッツ(Queloz, D.) 22 クォーク 16, 18, 25, 27, 35, 193, 364 —質量 27, 324 —の塊 331 —のカラー 30, 342 —の閉じ込め 25, 35, 343 クォーク–グルーオンプラズマ 229 クォーク・パートン模型 25 クォークフレーバー 33 —の破れ 36 グース(Guth, A. H.) 285 クーパー結合 67 クーパー対 71 グライセン–ザツェピン–クズミンカットオフ 352, GZK カットオフ も見よ クライプトン 191 暗い星 302 グラショウ(Glashow, S.) 15 グラビティーノ 310, 351 グラビトン 重力子 を見よ グルイーノ 310, 351 グルーオン 18, 30, 193, 309, 351 —のカラー構成 30 クレイ(Clay, J.) 6 グレートウォール 298, 352 グロス(Gross, D. J.) 19 クンゼ(Kunze, P.) 10 蛍光 180 ケイ素 145 —半導体計数管
145
計量テンソル 201 ケーオン 10, 34, 163, 355 —崩壊 169, 171, 177, 313 激変星 147, 341 ゲージノ 310 結合エネルギー 11, 339 結晶 —カロリメーター 67, 129 —シンチレーター 129 結晶分光器 144 ケプラー(Kepler, J.) 114, 299 —運動 299 ゲミンガ 133 ゲルマン(Gell-Mann, M.) 16 弦 369 —理論 36, 369 原始 —宇宙線 89 —核種合成 363 —銀河 317 —星 363 —超対称性粒子 311 —ニュートリノ 306 312, 330, ミニブラッ —ブラックホール クホール も見よ —ヘリウム 27 —放射性元素 323 —粒子 363 原子核 —結合エネルギー 360 —の構成 25 —のベータ崩壊 31 原始時代の重水素 250 原子質量 337 原子番号 337 検出器 60, 70 検出効率 105 減衰距離 99 元素 —合成 249, 301, ビッグバン元素合成 も 見よ —生成 89 —組成 89, 90 減速パラメータ 208 ケンタウルス A 98, 341 ケンタウルス座プロクシマ 363 高エネルギー —一次宇宙線 97 —一次光子 58 —一次陽子 58, 69 —宇宙線 2, 13, 20, 68, 84, 97 —ガンマ線 97, 99, 136 —事例 95, 187 —電子 66 —ニュートリノ 84 高エネルギー物理 1 光子 1, 31, 60, 240, 362 —検出 58, 65, 129 — –光子相互作用 132 46, 47, ガンマ– —の電子–陽電子対生成 ガンマ相互作用 も見よ —の物質からの脱結合 261, 262 —平均自由行程 187
458
索 引
—密度 234 高次元空間 37 恒星風 368 光速 372, 441 降着円盤 83, 134, 147, 335 光電効果 57, 60, 66, 129, 144, 362 光電子増倍管 57, 60, 62, 66, 121, 131, 144, 180 光度 356 —曲線 136, 156 —距離 196, 209, 357 黄道面 439 光年 356, 442 高分解能撮像器(HRI) 146, 353 氷チェレンコフ計数管 121 国際宇宙ステーション 231 黒体 339 黒体ニュートリノ 119 黒体放射 14, 141, 257, 339, 427 —温度 14, 442 —光子 68, 69 —光子数密度 442 —スペクトル 142 —の非対称性 14 極超新星 138 黒点 74, 76, 369 —サイクル 369 小柴昌俊 15 固体検出器 70 固定標的実験 349 古典電子半径 61 古典力学近似 42 小林 誠 36 コペルニクス(Copernicus, N.) 299 固有状態 103 コライダー 342 コラム密度 89, 120, 140, 162, 188 ゴールデン(Golden, R. L.) 12 コールヘルスター(Kohlh¨ orster, W.) 4, 7 コロナ 343 コロナ放射 150 コーワン(Cowan, C. L.) 9 混合角(行列) 35, 104, 105, 112 コンパクト化 325, 343 コンプトン(Compton, A. H.) 8 —効果 343 —散乱 60, 65, 66, 129, 134 コンプトンガンマ線観測衛星 19, 133 コンプトン望遠鏡 66 ■サ行 サイクロトロン機構 74, 345 再結合 261, 262, 320, 365 —温度 262, 365 —時刻 262 —時代 262 最高エネルギー
—γ 135, 186 —の宇宙線 73, 84, 95, 184, 329 —の事例 95, 187, 329 —粒子 182, 190 最終散乱時 266, 267, 269, 276
最終散乱面 263, 268, 319 最小電離 61, 62 最小電離損失 173 最大混合 105, 106 さそり座 141, 145 佐藤勝彦 285 差動重力 346 サハロフ(Sakharov, A. D.) —の条件 235, 366 サラム(Salam, A.) 15 三角関数 420 3 体崩壊 51 サンデュリーク 114 サンドイッチ型カロリメーター 散乱角 48, 55, 66, 158, 175 残留相互作用 30, 365
234
66
ジィーノ 310 ジェシー(Jesse, W. P.) 12 ジェット 84, 95, 135, 138, 355 シェルトン(Shelton, I.) 114 四塩化エチレン 109 紫外線天文学 124 時間的 48 —光子 48 時間の遅れ 370 時間反転不変性 371 しきいエネルギー 43, 45, 68, 132 しきい計数管 RICH 60 磁気雲 78, 79 磁気鏡 7 磁気双極子 75, 192, 279 磁気モノポール 275, 279, 281, 291, 330, 357, モノポール も見よ 磁気モーメント 110 次元数 325 視差 361 事象の地平線 16, 134, 216, 348 指数関数 420 指数的膨張 285, 287, 291, 294, 314, インフ レーション も見よ 自然対数 420 自然放射能 311 下向きミューオンニュートリノ 106 実験室系 44, 52 実粒子 47 質量 358 —殻 47 —減衰係数 129 —数 358 —の階層(性) 21, 105, 112, 307 —の固有状態 36, 103 —の割合 248 —密度 300, 307 —ゆらぎ 318 質量中心(系) 44, 52 —のエネルギー 44 自発的対称性の破れ 21, 228 シャイン(Schein, M.) 12 弱相互作用しかない重い粒子 309, WIMP も見よ ジャコーニ(Giacconi, R.) 13, 145 シャワー 367 柔ガンマ線リピーター 139
459 周期関数 424 周期的境界条件 429 重心系 質量中心系 を見よ 重水素 18, 107, 113, 234, 239, 244, 246, 346 —安定性 324 —生成 247 —対水素比 250 —融合 107 自由度 346 —数 430 —の有効数 220 自由パラメータ 36, 178, 240, 323, 331 重陽子融合反応 259 自由粒子 25, 35, 155, 193 重力 5, 36, 325, 352 —効果 303 —相互作用 351 —(的)不安定 298, 351 —特異点 16 —による赤方偏移 351 —の加速度 441 —の弱さ 37 —崩壊 76, 80, 351 —レンズ 6, 13, 351 重力子 28, 351 重力波 352 —アンテナ 295 —エネルギー密度 295 —検出 295 —検出器 153 —相互作用 152 —天文学 150 —によるエネルギー損失 151 —の証拠 151 —の弱い相互作用 152 —の四重極特性 153 —背景 295 —放射 17 重力ポテンシャル 73, 82, 200, 206, 269 —ゆらぎ 320 縮退圧 346 縮退した物質 346 主系列星 357 シュテファン–ボルツマン —定数 143, 441 —法則 143, 218, 368 シュテルマー(St¨ ormer, C.) 7 シュレーディンガー方程式 424, 429 シュワルツ(Schwartz, M.) 15 シュワルツシルト(Schwarzschild, K.) 5, 16 —半径 216, 366 準安定状態 287 準恒星状電波源 13 準指数的膨張 294 準周期的 γ バースター 139 準星状電波源 134 春分点 439 小角度の異方性 265 衝撃波 367 —加速 76 —加速模型 85 —フロント 77, 85, 367
状態方程式 205, 222, 223, 436 —パラメータ 283 焦点面検出器 144 衝突係数 55, 303 小マゼラン星雲 367 消滅 336 消滅剤 144 初期宇宙 15, 201, 215, 268, 279, 298, 323, 333, 427 —の核合成 27 —の曲率 320 —の(全)エネルギー密度 219 —の相転移 279 —の特徴的温度 227 —の熱力学 217, 427 —の(不)均一性 298 ジョンソン(Johnson, T. H.) 7 事例の比率 58 真空中の光速 41 真空(の)エネルギー 194, 208, 210, 230, 271, 275, 282, 288, 314, 320, 325 20, 194, 202, 222, 271, 294, 314, —密度 319, 371, 438 シンクロトロン 370 —放射 126, 141, 182, 370 ジーンズ —質量 355 —の規準 212 新星 360 シンチレーション 366 —計数管 66, 129 —光 62, 180 シンチレーター 60 —実験 2 真の真空 287, 315 信頼区間 423 彗星の尾 11 水素燃焼 354 数密度 n 427, 434 スエレクトロン 366 スカラースペクトル指数 293 スカラー場 284 —の圧力 284 —のエネルギー密度 284 スクォーク 310, 368 スケール因子 199, 202, 223, 258, 262, 282, 285, 288, 366 —指数的増加 282 —比 269 スタインバーガー(Steinberger, J.) 15 スタインハート(Steinhardt,P. J.) 286 スターバースト銀河 368 スターリングの近似式 431 ストレンジ 16, 18 —クォーク 34, 369 —粒子 34 ストレンジネス 34, 369 スーパーカミオカンデ 21, 101, 106 —検出器 101, 369 —実験 102, 106, 110 スパゲッティ化 367 スピン 218, 368, 434 スプートニク 13
460
索 引
スペクテーター 31 —クォーク 35 スペクトロメーター 168 スムート(Smoot III, G. F.) 14 スレプトン 310, 367 スローン・デジタル・スカイ・サーベイ
292
星間物質 354 正規分布 422 星座 343 静止衛星 22 静止エネルギー 42 静止座標系 265 静止質量 41, 47, 365 青色超巨星 114 星震 368 星団 368 制動放射 60, 62, 126, 141, 172, 340 —確率 126, 179 —光子スペクトル 126 正のヘリシティー 33 セイファート銀河 366 生物進化 325 生物発光 121 青方偏移 127, 265, 340 赤緯 346, 439 赤外線天文学 124, 354 赤外奴隷 25, 354 赤経 365, 439 赤色巨星 6, 196, 365 赤色超巨星 114 赤道座標系 439 赤方偏移 6, 13, 195, 209, 250, 265, 316, 365 セグレ(Segr` e, E. G.) 12 世代 18, 26, 27, 31, 252, 351 絶対温度ゼロ 335 絶対輝度 335 絶対等級 210 セファイド変光星 341 ゼーマン効果 74 ゼロ点エネルギー 284, 374 全エネルギー 41, 81, 206, 258, 437 —密度 219, 245, 275, 282, 442 旋回半径 352 全吸収結晶検出器 66 漸近的自由 25, 337 漸近的自由性 19 全値幅 423 全電荷 432 全天調査 134 線量当量 155 双極子 —異方性 263, 265, 346 —項 265 —放射 152 双曲線面 143 相互作用 11, 25, 28, 30, 58, 60, 63, 94, 172, 329, 354 —過程 30, 60 —断面積 55, 94, 226 —長 53, 163, 354 —統合 329
—割合 226 相対性原理 365 相対論的 —運動学 41 —極限 50 —質量 41 —重イオン衝突型加速器 229 —増加 62 —フェルミオン 241 —フェルミオンガス 307 相対論的粒子 42, 64, 135, 217, 241, 427 —の全エネルギー 42 相転移 228 速度の熱分布 227 素粒子 8, 25 —間相互作用 28, 30 —の検出 57 —の標準模型 25 素粒子宇宙物理学 1 素粒子物理(学) 1, 3, 19, 57, 236, 254 —の保存則 34, 35 存在量 335 ■タ行 大アトラクター 355 大気チェレンコフ光 130 大気ニュートリノ 21, 101, 173 大気の頂上 89 大気標準圧 441 対称性の破れ 370 対数関数 420 体積 437 大統一 351 —理論 27, 221, 228, 352 大ブラックホール 213 大マゼラン星雲 2, 19, 99, 114, 136, 304,
356 太陽 —圏 353 —黒点 74 —黒点対による加速 75 —磁場 12 —定数 154 —風 11, 367 —プラズマ 11 —フレア 367 —変調 161 —モデル 21 太陽系 —化学(元素)組成 90 —軌道速度 300 太陽系外 —X 線 141 —惑星 22 太陽中心の 353 太陽ニュートリノ 1, 21, 107 —観測 15 —欠損 15 —入射方向 110 —の謎 109 タウニュートリノ 15, 31, 105, 112 —の質量 308 タウボーティス 22 タウ(粒子) 10, 26, 105, 370
461 — –レプトン数 370 ダウン 16, 18, ダウンクォーク も見よ ダウンクォーク 31, 347 楕円銀河 347 タキオン 370 多重極展開 264, 425 多重散乱 164, 179 多重線型比例計数箱 146 多重度 34, 169, 359 多芯比例計数箱 65 多層スパークチェンバー 129 脱結合 245, 261, ニュートリノ脱結合 も 見よ —温度 248, 263 脱出速度 22, 307, 311, 347 「脱毛」定理 360 脱レプトン化 346 タランチュラ星雲 114 炭素(核) 90, 115, 147, 186, 323 —サイクル 341 —融合 327 単チャネル電子増倍管 144 断熱膨張 204 断面積 53, 57, 345 チェレンコフ(Cherenkov, P. A.) 57 —円錐 64 —角度 131 —環 65 —検出器 131 —光 63, 102, 179 —効果 342 —望遠鏡 131 —放射 57, 60, 64, 130, 180 チェンバレン(Chamberlain, O.) 12 地下実験 182 地下の宇宙線 171 地下ミューオン 171 —横広がり 175 地球磁場 7, 12, 22, 161 蓄積リング 368 —型加速器 44 地磁気緯度 6 地磁気の反転 192 地上の宇宙線 167 地平線 353 —距離 263, 290 —問題 276, 289, 353 チャージ 341 チャージーノ 310 チャージの保存 342 チャドウィック(Chadwick, J.) 8 チャネルトロン 144 チャネル–プレート増倍管 146 チャーム(クォーク) 16, 18, 342 チャームメソン 16, 169 —セミレプトン崩壊 169 チャンドラ 148, 341 チャンドラセカール(Chandrasekhar, S.) 19 —限界 196 —質量 341 中間子 9 抽出検出器 179, 181
中性カレント 31, 113, 359 中性ケーオン 10 中性子 8, 139, 360 —寿命 324 —数 91 —対陽子比 240, 242, 244, 246 —の蒸発 360 —の電気双極子モーメント 313 —の付着 76 —のベータ崩壊 31 —崩壊 32, 245, 360, ベータ崩壊 も見よ 中性子星 9, 16, 73, 79, 147, 302, 360 —の安定性 9 —の誕生 76 中性子と陽子 —間の変換 239 —の質量差 242, 243 中性水素 261 中性パイオン 10, 127, 163 —生成 46 中性ヒッグシーノ 310 超銀河団 298, 369 —面 98, 369 超銀河面 2, 183, 190 超空洞 198, 298 超弦理論 37, 215, 325 超高温 435 超高速衝撃波 78 超光速の速さ 369 超弱相互作用 188 超重 GUT 粒子 191 超重量ブラックホール 369 超重力理論 38 超純粋な結晶 311 超新星 2, 12, 77, 115, 369 —宇宙論計画 316 —残骸 73, 146, 369 —による粒子加速 77, 189 —模型 19, 118 超新星 (SN)1987A 2, 19, 118, 136, 367 による光度曲線 136 超新星残骸 (SNR) 1572 147 超新星爆発 3, 12, 17, 21, 85, 93, 97, 138, 302, 330 —による重い元素生成 76, 128 超対称性 37, 195, 370 —パートナー 67, 128, 221, 310, 370 —粒子 20, 221, 228, 310, 330 —理論 309 超多重度 309 調和振動子 203 直接電子–陽電子対生成 172 対生成 60, 96, 127, 165, 177, 187, 361, 電 子–陽電子対生成 も見よ ツヴァイ(Zweig, G.) 16 ツェータ関数 435 ツビッキー(Zwicky F.) 299 冷たい暗黒物質 312, 317, 318, 342 冷たい銀河ガス雲 302 強い CP 問題 313, 314 強い相互作用 25, 33, 35, 58, 369
462
索 引
低温検出器 67, 71 低温検出技術 67 ティコ・ブラーエ(Brahe, T.) 147, 299, 340 定常(状態)宇宙 14, 368 定常状態モデル 14 ディスク 346 ディッケ(Dicke, R. H.) 260 デイビス(Davis, R.) 1 —実験 1, 109, 345 ディフレクター 303 テイラー(Taylor, J. H.) 17 ディラック(Dirac, P. A. M.) 8 ティン(Ting, S. C. C.) 16 鉄(核, 族) 58, 76, 91, 97, 115, 184, 323 —板分光計 168 —エネルギースペクトル 91 — –空気衝突断面積 58 —ニィー 93 テル・ハール(ter Haar, D.) 12 電荷 341, 432 —結合素子 145 転換電子 343 電子 3, 8, 9, 347 —数 347 —捕獲 347 — –ホール対 71 —ボルト 347, 441 電磁カスケード 11, 59, 64, 102, 130, 163, 177 —発達 178 電磁カロリメーター 66, 129 電子孔生成 60 電磁相互作用 25, 33, 35, 57, 58, 193, 329, 347 電子ニュートリノ 21, 101, 170 電磁波 152 電磁ポテンシャル 73 電弱 —スケール 228, 329 27, 36, 193, 212, 228, 324, —相互作用 329 —理論 15, 28, 347 電子–陽子散乱 47 電子–陽電子 —消滅 128 —対生成 46, 47, 62, 66, 129, 172 点状粒子 25 天頂角 54 電波銀河 365 電波天文学 124, 365 電波によるシャワー検出 181 天文単位 11, 337, 442 電離 60, 354 電離エネルギー 61 電離作用 172 トウ(つま先) 94 同位体 355 —偏移 250 統一理論 371, 大統一理論 も見よ 等価質量 42 等級 22, 210, 357 統計力学
—基本的要請 428 凍結する温度 243 東西効果 7, 347 同時放電 7 灯台模型 356 動的な定数 316 投入エネルギー 79 等方性の宇宙 197 動力学的真空 22 とかげ座 BL(型) 天体 189, 340 特異点 367 特殊相対性理論 5, 368 特性 X 線 109 閉じ込め クォークの閉じ込め を見よ 閉じた宇宙 206, 342 トップ 18 —クォーク 27, 371 トップ–ダウンシナリオ 73, 318 ドップラー効果 346 ド・ブロイ波長 345 トホーフト(t’Hooft, G.) 16 トマシーニ(Tomasini, G.) 11 トムソン —散乱 262 トムソン(Thomson, J. J.) 3 ドメインウォール 73, 191, 346 トリチウム 239, 371 —のベータ崩壊 116 トリプルアルファ反応 371 トンネル効果 286, 287 ■ナ行 内部自由度 218, 427, 434 ナブラ演算子 424 南極光 3 軟成分 163 南部陽一郎 21
ニィー(ひざ) 92, 94 丹生潔 16 二項係数 419 二項展開 419 二項分布 421 二次宇宙線 8, 163, 167, 171, 366 二次相互作用 12 二次フェルミ機構 78 二重の微分断面積 54 二重パルサー 346 二重比 102, 105 二次粒子 59, 62, 89, 163, 174, 184, 二次宇 宙線 も見よ —エネルギースペクトル 166 偽の真空 285, 314, 348 2 体崩壊 48 入射粒子 44, 53 ニュートラリーノ 128, 195, 310, 359 ニュートリノ 1, 9, 68, 164, 359 —親粒子 171 —温度 220, 245 — –核子断面積 59, 100 —仮説 9 —吸収線 308 —欠損 15, 105, 106, 太陽(ミューオン)
463 ニュートリノ欠損 も見よ
—検出(器) 59, 101, 111, 119, 121, 311 —混合 ニュートリノ振動 を見よ —混合行列 104 —磁気モーメント 110 —質量直接測定 306 —質量の制限 116, 117, 309 —寿命 19, 118 —真空振動 360 —数 116, 306 —数密度 241 —スペクトル 122, 308 —生成機構 120 —世代数 26, 241, 252, 253 —相互作用断面積 122, 188 —相互作用長 59 —脱結合 220, 244 —対 311 —天文学 9, 15, 100, 171, 331 —バースト 2, 19, 115 —ハロー 308 —フレーバー 27, 104, 112, 171, 254, 306 —フレーバー比 171 —望遠鏡 100, 121, 123, 174 —崩壊 111 —密度 442 —優勢 318 —離脱 244 ニュートリノ質量 15, 20, 27, 105, 117, 221, 306 —下限 306, 307 —上限 19, 116, 306, 307 —密度 307 —和の上限 306 ニュートリノ振動 15, 21, 27, 103, 329, 331, 360 —の長さ 104 ニュートン —観測台 148 —の重力 199 人間原理 326, 336 熱核反応 370 熱制動放射 142 ネッダーマイヤー(Neddermeyer, S. H.) 9 熱的 X 線 142 熱平衡 223, 226, 241, 307 —からのずれ 236 熱力学 217, 427 —第 1 法則 204, 437 —の方程式 239 熱量測定 311 ノックオン電子
110, 170
■ハ行 パイオン 10, 362 —アイソスピン 34 —光生成 68, 94, 99, 185 —寿命 101, 127 —スピン 32 —スペクトル 167 —多重度 169 —発見 10
—崩壊
15, 32, 84, 119, 163, 167, π 0 崩
壊 も見よ バイカル望遠鏡 123 ハイゼンベルグ(Heisenberg, W.) —の不確定性原理 353 ハイトラー(Heitler, W.) 11 ハイペロン 10 パウエル(Powell, C. F.) 10 パウリ(Pauli, W.) 9 —の原理 80, 362 —の排他律 9, 30, 429 バクサン 2, 115 白色矮星 147, 372 白鳥座 98
9
—X1 16, 345 —X3 13, 123, 133, 136, 176, 345 バーコフ(Birkhoff)の定理 200 破砕 349 破砕反応 91, 368 ハーシェル望遠鏡 22 パーセク 93, 361, 442 バックグラウンド 311 ハッブル(Hubble, E. P.) 6 —距離 290, 442 —ダイアグラム 210 —定数 198, 271, 353, 442 —パラメータ 198, 209 —望遠鏡 19, 316, 354 —法則 198, 353 —膨張 14, 195, 208, 223, 233, 268 バーテックス 59, 95, 175, 188 波動関数 372 バトラー(Butler, C. C.) 10 ハドロン 25, 30, 163, 193, 229, 352 —化 229 —カスケード 64, 84, 163, 167 —コライダー 21, 221 パートン 193 —模型 25 場の量子論 37, 203, 283, 364 場の理論 場の量子論 を見よ パラメータ 257, 271 —(微)調整 248, 325 バリオン 10, 29, 338 —起源 230, 236, 338 —対光子比 236, 247, 262, 271, 442, バ リオン数対光子数比 も見よ
—の割合 252 — –反バリオン非対称 338 —非対称 229, 230 —密度 235, 240, 250, 253, 442 バリオン数 34, 338, 432 —対光子数比 233, 240, 251, 267 —の破れ 235, 241 —保存 242 —密度 442 バリオン物質 297 —寄与 301 ハリソン–ゼルドヴィッチスペクトル 293 パリティ 33, 234, 361 —の破れ 33, 332 —変換 33 パール(Perl, M. L.) 10 パルサー 9, 73, 79, 120, 147, 151, 330, 363
464
索 引
—生成比率 81 —による粒子加速 82 —の回転エネルギー 81 —の回転軸 81 —の周期 80 —の半径 80 ハルス(Hulse, R. A.) 17 ハレー(Halley, E.) 3 ハロー 20, 銀河ハロー も見よ パワースペクトル 266, 269, 271, 292, 363 反 —銀河 333 —クォーク 18, 337 —原子核 97, 231 —重力 336 —電子ニュートリノ 102 —同時計数管 130 —ミューオンニュートリノ 102 —陽子 12, 163, 230, 241, 332 —粒子 8, 12, 18, 332, 337 バーン(b) 55 伴星 82, 120, 147, 176 反跳エネルギー 311 半導体 —計数管 65, 144 —検出器 60 —シリコン計数管 129 —ピクセル検出器 66, 149 反発する重力 319, 325 反物質 332, 336 —の消滅 241 —の星 97 万物の理論 36, 325, 330, 370 万有引力 299 —定数 38, 82, 441 ビアマン(Biermann, L.) 11 光らない —(暗黒)物質 302, 318 —ハロー物体 303 光天文学 1 光を超える速さ 237 光る物質密度 301 ピクセル 145 ピクセル–レンジング 305 微視的状態 428 —数 430, 433, 437 —数の対数 431 —総数 430, 437 飛跡検出用チェンバー 129 非相対論的物質 224 非弾性度 177 ビッグクランチ 194, 320, 339 ヒッグス(Higgs, P. W.) 21 —機構 21, 36, 286 —場 228, 235, 279, 284, 290, 353 —ボソン 309, 353 —粒子 21, ヒッグスボソン も見よ ビッグバン 14, 193, 249, 257, 295, 339 —核合成 234 —元素合成 194, 239, 257, 295 —ニュートリノ 119 —模型 14 —理論 14, 339
ビッグリップ 321, 339 非バリオン(暗黒)物質 297, 317, 320 ピーブルズ(Peebles, P. J. E.) 260 微分散乱断面積 54 微分断面積 54 微分方程式 424 ビームジェット 84 ビーム–ダンプ実験 331, 338 ヒューイッシュ(Hewish, A.) 9 標準 —宇宙模型 195, 203, 275 —岩石 63, 173 —光源 3, 136, 196, 316, 368 標準偏差 422 標準模型 16, 25, 36, 107, 221, 230, 235, 252, 285, 323, 329, 331, 368 —の自由なパラメータ 323 標的粒子 44, 53 開いた宇宙 206, 361 比例計数管 144 ファインマン(Feynman, R. P.) 30 —図 30, 111, 242, 349 ファノ効果 71 ファミリー 18, 27, 348 ファンデルメーア(van der Meer, S.) 19 フェルトマン(Veltman, M. J. G.) 16 フェルミ(Fermi, E.) 12 —エネルギー 9, 80, 348 —ガス 80 —(加速)機構 12, 78, 348 —定数 243 —の平坦域 62 フェルミオン 18, 28, 348, 427 フェルミ–ディラック分布 219, 348, 427 フォークト(Vogt, R.) 12 フォティーノ 310, 362 フォノン 284 フォルブッシュ(Forbush, S. E.) 11 不確定性関係 203, 371 不確定性原理 9, 26, 353, 不確定性関係 も 見よ 輻射優勢 225, 278, 288, 291 —時代 220, 225, 275, 291 2 つの衝撃波フロント 77 物質振動 111, 358 物質–反物質 —消滅 127 —非対称 332, 358 物質–輻射 —対等 358 —対等時期 258, 277, 291 物質密度 442 物質優勢 97, 136, 258, 268, 277, 288, 332 —宇宙 215, 257 —時代 225, 268, 275, 277 —R の時間依存性 259 —T の時間依存性 259 物理的距離 268 負の圧力 208, 223, 283, 319, 359, 438 負の曲率 270 負のヘリシティー 33 不変質量 42 普遍的な力 37
465 不毛のニュートリノ 112 フライアー(Freier, P.) 12 フライズアイ(実験) 62, 180, 349 —型検出器 181 —手法 62, 180 プラスチックシンチレータ 71 プラズマ 74, 147, 261, 268 —運動 74, 82 ブラックホール 5, 16, 73, 134, 147, 302, 339 —の蒸発 17 ブラット(Bradt, H. L.) 12 プランク(Planck, M. K. E. L.) 26 —エネルギー 211, 216 —エネルギー密度 227 —時間 193, 216, 227, 278, 362, 441 —時代 215 —質量 216, 362, 441 —スケール 212, 215, 330 —長 216, 362, 441 —張力 362 —定数 26, 124, 441 —の放射則 142, 362 —分布 68, 260, 362 フリードマン(Friedmann, H.) 145 —方程式 199, 200, 205, 224, 277, 282, 349 — –ルメートル宇宙 350 フレア 145, 349 ブレイン 38, 340 ブレーザー 134, 189, 330, 340 フレーバー 21, 27, 349 分解能 70 分散 422 分裂 349, 核分裂 も見よ 平均自由行程 58, 70, 95, 185, 262, 330 平均値 422 平衡状態 430 平衡分布 311, 428 平坦性問題 277, 278, 288, 349 平坦な宇宙 206, 271, 277, 306, 320 ベキ級数 419 冪(ベキ)則 86 ヘス(Hess, V. F.) 4 ペーターズ(Peters, B.) 12 ベータトロン 87 ベータ (β + , β − ) 崩壊 9, 15, 31, 52, 76, 108, 338 ベックレル(Becquerel, H.) 3 ベーテ(Bethe, H. A.) 11 — –ブロッホの式 60, 338 ベーテ–ワイツゼッカー —サイクル 338 —の式 338 ベト計数管 130 ベラ(帆座) 2 —X1 2, 13, 133 —超新星 2 —超新星残骸 123 —パルサー 2, 146, 371, ベラ X1 も見よ ヘリウム 3 107 —存在量 250
ヘリウム 4 108 —存在量 247, 249, 251 ヘリウム(核) 18, 76, 91, 107, 114, 147, 246 18, 240, 244, 253, ヘリウム 3, —存在量 ヘリウム 4 の存在量 も見よ ヘリシティー 32 —の不自然 32 —の保存 49, 171 ベリリウム 108 ベル(Bell, J.) 9 ヘルツシュプリング(Hertsprung, E.) 6 — –ラッセル図 6, 353 ヘルマン(Herman, R. C.) 260 ヘルムホルツ方程式 424 ペンジアス(Penzias, A.) 14, 260 変数分離 424 ポアソン統計 71 ポアソン分布 422 方位角 54 崩壊 346 —長 167 —の運動学 49 —幅 26, 309 —ブラックホールモデル 138 放射圧 365 放射時代 364 放射線荷重計数 155 放射線検出 57 放射線帯 7, 162, 364 放射長 13, 59, 62, 163, 364 放射能 3 放射密度 442 膨張モデル 348 膨張率 198, 225, 240, 245, 253, 289, 316 —と温度の関係 246 放物線面 143 ホーキング(Hawking, S.) 16 —温度 352 —放射 16, 352 星 —の元素合成 249 —の質量スペクトル 303 —の進化 6, 323 —の光の光子 70, 95, 121 ボーズ–アインシュタイン分布 219, 340, 427 ボソン 18, 28, 219, 310, 340, 427, 429 保存量 343, 432 北極光(オーロラ・ボリアリス) 3 ポッツァー(Pfotzer, G.) 11 —極大 11, 362 ボーテ(Bothe, W.) 7 ポテンシャルエネルギー 315 ボトム 18, ボトムクォーク も見よ ボトム–アップシナリオ 318 ボトムクォーク 340, b クォーク も見よ ホフマン(Hoffmann, G.) 6 —衝突 6 ホームステーク炭鉱 1 ポリッツァー(Politzer, H. D.) 19 ボルツマン(Boltzmann, L. E.) 142 —因子 435
466
索 引
—定数 142, 340, 427, 441 ホログラフィーの宇宙 37 ボロメーター 311, 340 ポンテコルボ(Pontecorvo, B.)
メソン 29, 358 メラン(Mairan, J. -J. d’Ortous de)
15
■マ行 マイクロレンズ 20, 303, 305, 358 マイヤー(Meyer, P.) 12 マイヨール(Mayor, M.) 22 マグネター 139, 357
—SGR-1900+14 139 マザー(Mather, J. C.) 14 益川 敏英 36 マゼラン星雲 139, 357 マックノート(McNaught, R.) 114 魔法数 91, 357 マリナー 2 号 11 マルカリアン(銀河) 20, 186, 357 —421 20, 135, Mrk421 も見よ —501 20, 135, Mrk501 も見よ マルチバース 326, 359 見かけの等級 210, 337 見かけの光の曲線 303 水チェレンコフ —計数管 65, 101, 110, 121, 179 —検出器 2, 102, 115, 水チェレンコフ計 数管 も見よ 見つからない質量 358 密度 —コントラスト 292 —パラメータ Ω パラメータ を見よ —補正 61 —ゆらぎ 265, 268, 287, 292, 346 ミニブラックホール 139, 213, 358 ミュアヘッド(Muirhead, H.) 10 ミューオン 9, 97, 120, 164, 167, 359 —エネルギー損失 62, 121, 172 —荷電比 169 —カロリメトリー 63 —質量 63 —シャワー 175, 182 —数 359 —スペクトル 102, 166, 168, 173 —束 175 —対発生 48 —天頂角分布 169, 174 —斜め方向 168, 173 —のエネルギー損失 62, 172 —の制動放射 120 —の電子対生成 120 —の発見 10 —飛程 172 —飛程のゆらぎ 173 —深さ–強度関係 173 ミューオンニュートリノ 21, 31, 101, 106, 120, 170, 245 —の欠損 102, 104, 306 ミューオン崩壊 31, 51, 101 —の電子スペクトラム 51 ミレニアム 22 無相関
422
3
木星 20 モノポール 191, 279 —安定 280 —エネルギー密度 280, 291 —項 265 —数密度 280, 291 —の探索 281 —問題 281, 290, 358 ■ヤ行 融合 109, 194, 324, 350, 核融合 も見よ 240, 自由度の有効数 も 有効な自由度数 見よ 湯川秀樹 9 湯川粒子 9, 373
陽子 8, 30, 34, 58, 74, 90, 163, 229, 363 — –空気核相互作用 101, 187 — –空気衝突の断面積 58 — –原子核相互作用 127 —構造関数 187 —スペクトル 166 —対ミューオン比 170 —地平線 182 — –電子再結合 320 —天文学 98 —ニィー 93, 97 — –反陽子消滅 128 — –反陽子対 311 — –反陽子対生成 45 —平均自由行程 58, 95, 185 陽子–陽子 —相互作用 127 —の非弾性散乱 58 —反応 107 —連鎖 363 陽電子 8, 12, 362 —消滅 244, 362 —の発見 8 4 元運動量 349 —ベクトル 46 —保存 48, 51 4 元ベクトル 46, 349 横運動量 164, 175, 184 弱い重力レンズ 305 弱い相互作用 18, 25, 33, 35, 58, 309, 332, 372 —断面積 243 —の固有状態 36, 103 四重極 —特性 153 —放射 152 —モーメント 159 ■ラ行 ライト(Wright, T.) 316 ライネス(Reines, F.) 9 ライマン α 線 250 ラグランジュの乗数 433
467 ラザフォード(Rutherford, E.) 4 —散乱 31, 55 ラス・カンパナス観測所 114 ラッセル(Russell, H. N.) 6 ラッテス(Lattes, C. M. G.) 10 ラビ(Rabi, I. I.) 10 ラプラス級数 264, 425 ラプラス方程式 424 ランダウ(Landau, L. D.) 9 —準位 81 —分布 62, 422 リジリティ 96 理想気体の法則 438 リチウム 18 — –6 (Li6 ) 239 — –7 (Li7 ) 108, 239 —対水素比 250 立体角 54 立体角要素 54 立体格子点 429 リッチテンソル 202 リヒター(Richter, B.) 16 粒子 28, 34, 42, 221, 素粒子 も見よ —加速 73, 81, 84 —検出 57, 60, 63 —ジェット 135, 139, 190 —相互作用 30, 58, 193, 226 —抽出 91, 132 —の同定 163 —のフラックス 54 粒子的地平線 267, 280, 362 粒子天文学 69, 98 流体方程式 204, 224, 349, 437 リュードベリエネルギー 441 量子 363 —泡 364 —異常 235, 364 —数 33 —ゆらぎ 203, 287, 298, 317 量子色力学 16, 25, 30, 313, 364 量子重力(論) 193, 211, 215, 364 量子力学 203, 286, 364 臨界 —温度 279
—物質密度 148 臨界密度 194, 207, 251, 260, 269, 275, 277, 299, 306, 345, 442 リンデ(Linde, A) 286 ルビア(Rubbia, C.)
19
励起 60 レーダーマン(Lederman, L. M.) 15, 18 レプトン(族) 18, 25, 164, 229, 332, 356 —起源 230, 356 — –クォーク対称性 35 —数 33, 230, 332, 356, 432 —世代 33 —フレーバー 21, 155 連星 82, 120, 147, 339 —からの X 線 147 —による粒子加速 82 —パルサー 134, 151 連星系 17, 82, 119 —の降着円盤 82 連続核融合過程 76 レントゲン(R¨ ontgen, W. C.) 3, 140 ロケット実験 140 ローサット 146 ロチェスター(Rochester, G. D.) 10 ロッシ(Rossi, B.) 8, 11 —曲線 8 ロバートソン–ウォーカー計量 202, 366 ロール(Roll, P. G.) 260 ローレンツ(Lorentz, A. L.) 42 —因子 42 —収縮 356 —不変性の破れ 186 —不変(量) 42, 44, 46 —変換 52, 186, 356 —力 7 ■ワ行 ワイツゼッカー(Weizs¨ acker, C. F.) ワインバーグ(Weinberg, S.) 15 惑星状星雲 362 ワームホール 372
11
著 者
クラウス・グルーペン
Prof. Dr. Claus Grupen University of Siegen Department of Physics Walter-Flex-Strasse 3 57068 Siegen Germany
訳 者
小早川 惠三(こばやかわ けいぞう) 1958 年大阪大学大学院理学研究科修了, 神戸大学教授を経て,福井工業大学教授, 現在神戸大学名誉教授.理学博士.
宇宙素粒子物理学 2009 年 4 月 22 日 初版発行 著 者 訳 者 発行者 発行所
クラウス・グルーペン 小早川 惠三 深田 良治 シュプリンガー・ジャパン株式会社 〒102-0073
東京都千代田区九段北 1 丁目 11 番 11 号 第 2 フナトビル
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ISBN 978-4-431-10019-5 C3042 c Springer 2009
Printed in Japan