Алгебра и логика,, 39, N 1 (2000), 74—86
УДК 512.542
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С АБЕЛЕВЫМИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ ИНВОЛЮЦИЙ*) В...
4 downloads
142 Views
1MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика,, 39, N 1 (2000), 74—86
УДК 512.542
О БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С АБЕЛЕВЫМИ ЦЕНТРАЛИЗАТОРАМИ ИНВОЛЮЦИЙ*) В.Д.МАЗУРОВ Памяти Виктора Александровича Горбунова
Введение В работе указываются две характеризаций проективных линейных групп PGL2(P) над локально конечным полем Р характеристики 2, пер вая — в терминах групп подстановок, вторая — в терминах строения цен трализаторов инволюций. Одна из этих характеризаций используется для построения примеров бесконечных групп, распознаваемых по множеству порядков их элементов. Т Е О Р Е М А 1. Пусть G — трижды транзитивная группа, в кото рой стабилизатор двух точек коммутативен и не содержит
инволюций.
Тогда существует поле Р характеристики 2 такое, что группа G подоб на проективной линейной группе PGL2(P) в ее естественном
действии
на проекти&ной прямой Р U {оо}. С Л Е Д С Т В И Е 1. Пусть G — трижды транзитивная группа, в ко торой стабилизатор двух точек периодичен и не содержит
инволюций.
Если стабилизатор трех точек тривиален, то существует локально ко нечное поле Р характеристики 2 такое, что группа G подобна проектив ной линейной группе PGL/2{P) в ее естественном действии на проектив ной прямой. *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00550. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций
75
Следствие 1 обобщает хорошо известную теорему Цассенхауза [1] о конечных точно трижды транзитивных группах нечетной степени (см. так же [2, теор. XI.2.1]). В связи с теоремой 1 и ее следствием уместно задать ВОПРОС 1. Можно ли в теореме 1 ослабить условие ности стабилизатора двух точек до условия тривиальности
коммутатив трехточеч
ного стабилизатора? Инволюция t группы G называется конечной (в G), если для любо го элемента g £ G порядок коммутатора [t,g] — ttg конечен. Это условие эквивалентно тому, что для любой инволюции г 6 G порядок элемента U конечен. Как легко понять, в периодической группе каждая инволюция конечна. Следствие 1 используется при получении абстрактной характеризации групп PGL2(P): ТЕОРЕМА 2. Пусть G — группа, содержащая конечную инво люцию t, и пусть централизатор любой инволюции из G — абелева 2-группа. 1. Если централизатор Co(t) инволюции t в G содержит инволю цию, отличную от t, то выполняется одно из следующих условий: 1.1. Подгруппа Сс{Ъ) нормальна в G; 1.2. Подгруппа CG(£) элементарная абелева. 2. Если Со (t) ~ элементарная абелева группа, то выполняется одно из следующих условий: 2.1. Имеет место равенство G = A(t), где А — абелева периодиче ская подгруппа без инволюций и а1 = а"1 для любого элемента а & А; 2.2. G является расширением абелевой 2-группы посредством груп пы без инволюций; 2.3. Существует локально конечное поле Р характеристики два та кое, что группа G изоморфна
PGL2(P).
Для конечных групп эта теорема — частный случай результата Сузуки [3]. Конечный аналог второй части теоремы 2 был доказан впервые Брауэром, Сузуки и Уоллом [4] (см. также [2, теор. XI.2.7]) с использо ванием теории характеров. Позднее Голдшмидт [5] нашел элементарное
76
В. Д. Мазуров
доказательство, в котором по-прежнему использовалась конечность груп пы. Условие существования конечной инволюции в формулировке тео ремы опустить нельзя, как показывает пример свободного произведения PGL2(P) * -X", где Р — произвольное поле характеристики 2, а X — про извольная группа без кручения. С другой стороны, легко заметить, что в условиях теоремы 2 группы из п. 1 и 3 локально конечны, но существуют не локально конечные группы из п. 2. Например, естественное полупрямое произведение аддитивной группы Р произвольного поля характеристики 2 на мультипликативную группу поля, действующую на Р умножением в по ле, удовлетворяет условиям теоремы 2. ВОПРОС 2. Верно ли, что простая группа с абелевыми заторами инволюций, в которой есть конечная инволюция,
централи изоморфна
группе PGL 1,г = 1,2,..., и пусть L = PGL-2{P). Если существует натуральное число s такое, что 28 не делит mi ни для какого г = 1,2,..., mo L распознается по u{L), любая группа G с u(G) = u(L) изоморфна L. Во всех остальных
т.е. случа
ях существует бесконечно много попарно неизоморфных групп G таких, что
OJ(G)
= u(L).
Эта теорема отвечает положительно на вопрос Дена и Ши [6] о су ществовании бесконечной группы G, распознаваемой по u>(G). Отметим, что каждая группа G, распознаваемая по u>(G), будет периодической, по скольку для группы G, содержащей элемент бесконечного порядка, и про извольной группы X без кручения справедливо u(G) = OJ(G x X).
О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций
77
§ 1. Доказательство теоремы 1 Пусть М — множество, на котором действует группа G, и пусть оо — произвольный фиксированный элемент из М. По условию, стабилизатор Я = Goo точки оо действует дважды транзитивно на множестве М \ {оо}, и по [7] существует поле Р такое, что группа подстановок Н подобна аф финной группе поля Р . Иными словами, можно отождествить М с проек тивной прямой Р U {оо} так, что Я совпадет с группой дробно линейных
fa ()\ преобразований, соответствующих матрицам вида I
I. В частности,
\ь i) стабилизатор К = Goo,о изоморфен мультипликативной группе поля Р и действует регулярно на Р \ { 0 } . Следовательно, стабилизатор трех различ ных точек тривиален. Поскольку в К нет инволюций, характеристика поля Р четна. Так как группа G трижды транзитивна, G содержит подстановку s = (0,оо)(1) •••. Ясно, что s G NG(K),S2
оставляет неподвижными три
различные точки оо, 0,1, и поэтому s = 1. Пусть существует элемент к £ К, к ф 1 и такой, что ks = sk. Тогда , \ф\кф
M r 1 ф 1 и {lk)s = {ls)(ks) = l{sks) = Ifc. Аналогично, (lfc- 1 )^ =
= lfc" 1 . Следовательно, s оставляет неподвижными три различные точки и поэтому 5 = 1 , что неверно. Итак, CK(S) = 1. В силу коммутативности группы К для любого элемента к £ К верно равенство (к8к)* — кк8 = fc8fc, откуда к8 = к"1. Это означает, что (lk)s = (ls)ks = lfc* = lfc""1, т.е. s действует на М как дробно линейное преобразование, индуцированное матрицей Следовательно, (H,s) = PGLg £ G, содержит инволюцию. 4. Для любого нетривиального элемента к £ К выполняется равен ство CQ (к) = А'. 5. Для любой инволюции i $ Т выполняется равенство G =
NuNiT.
При этом смежные классы Niu, Niv для различных u,v £ Т различны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Зафиксируем инволюцию г £ G \ Г, она су ществует по лемме 6. Пусть v — инволюция из Г. По лемме 1 найдется инволюция c v , для которой vCv = t%, и по лемме 5 имеет место icv £ N. По ложим К = {хи = ic u |l ф и £ Г). По леммам б и 5 подгруппа К является г-инвариантной в N и N = ТК. Подгруппа Го = Г П К — характеристиче ская и поэтому будет г-инвариантной в К. Если Го ф 1, то % централизует в Го нетривиальный элемент и, по лемме 5, содержится в Г, что неверно.
О бесконечных группах с абелевыми централизаторами инволюций
81
Итак, То = 1. Покажем, что К = {хи\1фиьТ}.
(1)
Поскольку любой элемент хи является произведением двух инволюций и, следовательно, имеет конечный порядок, достаточно показать, что пра вая часть равенства (1) замкнута относительно умножения. Пусть щ v — нетривиальные элементы из Т. Если tXuXv = z = tXz, то xuxvxj1 l
= Г. Отсюда xuxvx~
£ Co(t) =
£ Го = 1 и x w x v = xz, что и требовалось для дока
зательства (1). В частности, К — периодическая группа. По (1) ъ инвертирует К и поэтому группа К абелева. Поскольку N = ТК, то, по леммам 5 и 6, К действует на Т при сопряжении как абелева периодическая группа регулярных автоморфизмов, транзитивная на множестве инволюций группы Г. Пусть Y — конечная подгруппа из К. Тогда (tjY) — конечная группа Фробениуса с дополнением У, и поэтому Y циклична. Таким образом, К — локально циклическая группа, и п. 1 верен. Очевидно, К = Сдг(^) для любого нетривиального элемента к £ К. Пусть j — инволюция из G\T
и х — нетривиальный элемент из Kj. Тогда
х = yfc, где v g T , 1фк £ К ~ К{. Ясно, что F = (v,fc)— конечная группа Фробениуса с дополнением (к) и ядром F П Т, содержащим v. Поэтому существует элемент и £ F П Г, для которого A;w = ufc = х. Отсюда ifj = = CN(X) = Сдг(&и) == i f . Итак, А",- и Kj сопряжены элементом из Г, и п. 2 доказан. Если д £ G \ N, то t9 £ Т, и по лемме 1 существует инволюция j £ (£, t9), для которой tw* = i. Значит, gj £ Т и д £ Tj. В частности, ]\Г