Основы дискретной математики

Ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ ÐÔ

Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ýëåêòðîòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò ½ËÝÒÈ“

ÎÑÍÎÂÛ ÄÈÑÊÐÅÒÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî êóðñó ½ Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà“

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã Èçäàòåëüñòâî ÑÏá ÃÝÒÓ ½ËÝÒÈ“ 2002

ÓÄÊ 512 ÁÁÊ Â174 ÿ7 Ì19 Ìàëîâ Ñ.Â., Ïîçäíÿêîâ Ñ.Í., Ðûáèí Ñ.Â. Îñíîâû äèñêðåòíîé ìà òåìàòèêè: Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïî êóðñó "Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà". ÑÏá. Èç äàòåëüñòâî ÑÏá ÃÝÒÓ ½ËÝÒÈ“ , 2002, 72 ñ.

Îõâàòûâàåò êàê òðàäèöèîííûå ðàçäåëû äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè, òàê è ðÿä òåì, èíòåðåñ ê êîòîðûì âûðîñ áëàãîäàðÿ íîâûì ïðèëîæåíèÿì, ïîÿâèâ øèìñÿ çà ïîñëåäíåå äåñÿòèëåòèå â ñâÿçè ñ ðàçâèòèåì èíôîðìàöèîííûõ òåõ íîëîãèé. Ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ êàê äëÿ ñòóäåíòîâ äíåâíîé ôîðìû îáó÷åíèÿ, òàê è äëÿ âå÷åðíèõ è çàî÷íûõ ôàêóëüòåòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ.

Óòâåðæäåíî ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèì ñîâåòîì óíèâåðñèòåòà â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ

ISBN 5-7629

c

Ñ.-Ïá ÃÝÒÓ, 2002

 ó÷åáíîì ïîñîáèè ðàññìîòðåíî íåñêîëüêî êëàññè÷åñêèõ òåì êóðñà ìàòå ìàòèêè. ×àñòü ýòèõ òåì, òàêèõ êàê òåîðèÿ ãðàôîâ òðàäèöèîííî îòíîñèòñÿ ê êóðñó äèñêðåòíîé ìàòåìàòèêè, èíòåðñ ê äðóãèì îïðåäåëÿåòñÿ áóðíûì ðàçâèòèåì èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé. Ýòî èçáðàííûå âîïðîñû òåîðèè ÷èñåë (â òîì ÷èñëå, ñðàâíåíèÿ, ôóíêöèÿ Ýéëåðà, öåïíûå äðîáè, èãðàþùèå áîëüøóþ ðîëü â ñîâðåìåííîé êðèïòîãðàôèè) è âûñøåé àëãåáðû (â òîì ÷èñëå, àëãîðèòìû íàä öåëûìè ÷èñëàìè è ìíîãî÷ëåíàìè, ëåæàùèå â îñíî âå èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ êîìïüþòåðíîé àëãåáðû, è ýëåìåíòû òåîðèè êîäèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîíèìàíèÿ ïðîöåññîâ îáðàáîòêè èíôîðìà öèè). Îñíîâíûå ðàññóæäåíèÿ, ñîäåðæàùèå ãëàâíûå èäåè èçëàãàåìîãî ìàòåðè àëà, ïðèâîäÿòñÿ ïîëíîñòüþ, â òî æå âðåìÿ óòâåðæäåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ëèáî ñëèøêîì òðóäîåìêèìè äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (è íå íåñóùèå ïðèíöèïèàëüíî íîâûõ èäåé), ëèáî äóáëèðóþùèå óæå ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ, äàíû áåç äîêàçàòåëüñòâ (îíè îòìå÷åíû çíàêîì

✍)

èëè â ôîðìå óïðàæíåíèé.

1 Àðèôìåòèêà öåëûõ ÷èñåë 1.1

Äåëåíèå ñ îñòàòêîì

Òåîðåìà 1.1 (Î äåëèìîñòè ñ îñòàòêîì). b 6= 0

Äëÿ ëþáûõ

ñóùåñòâóþò, è ïðèòîì åäèíñòâåííûå

q, r ∈ Z ,

a, b ∈ Z,

òàêèå, ÷òî èìååò

ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå

0 6 r < |b|.

a = bq + r,

(1.1)

Äîêàçàòåëüñòâî. Óñòàíîâèì åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (1.1). Ïóñòü

a = bq + r = bq1 + r1 ,

0 6 r < |b|,

b(q − q1 ) = r1 − r. Íî |r1 − r| < |b|, òàêèì îáðàçîì q = q1 , r = r1 .

Òîãäà

×èñëî

q

|b(q − q1 )| > |b|.

â (1.1) íàçûâàåòñÿ öåëîé ÷àñòüþ äðîáè

Îïðåäåëåíèå 1.1. a k b),

à

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî

åñëè â ïðåäñòàâëåíèè (1.1) äëÿ

a, b

a

0 6 r1 < |b|.

a , b

äåëèòñÿ íà

îñòàòîê

r

Ïðîòèâîðå÷èå,

  a def 1 = q. b b

(è îáîçíà÷àòü êàê

ðàâåí íóëþ.

Ñôîðìóëèðóåì ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà äåëèìîñòè, âûòåêàþùèå íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ 1

Çíàêîì

def

=

áóäóò íà÷èíàòüñÿ îáîçíà÷åíèÿ

3

Òåîðåìà 1.2.

Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ

a k b, b k c, òîãäà a k c (òðàíçèòèâíîñòü äåëåíèÿ) 2. a , a , . . . ak k c, òîãäà äëÿ ëþáîãî íàáîðà λ1 , λ2 , . . . , λk ∈Z ñïðàâåäëèâî Pk 1 2 i=1 ai λi k c 3. a k b, òîãäà ±a k ±b ✍ 1.

Çàìå÷àíèå 1.1.

Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò â âîïðîñàõ äåëèìîñòè

îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

1.2

Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå è èõ ñâîéñòâà

Îïðåäåëåíèå 1.2. ak ,

òî ãîâîðÿò, ÷òî

a1 , a2 , . . . , ak , c ∈ Z. Åñëè c k a1 , c k a2 , . . . , c k îáùåå êðàòíîå a1 , a2 , . . . , ak . Íàèìåíüøåå ñðåäè

Ïóñòü

c

åñòü

âñåõ êðàòíûõ íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì è îáîçíà÷àåòñÿ

M (a1 , a2 , . . . , ak )

èëè

{a1 , a2 , . . . , ak }.

Çàìåòèì, ÷òî

max{a1 , a2 , . . . , ak } 6 M (a1 , a2 , . . . , ak ) 6 a1 a2 · · · ak Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîå êðàòíîå äåëèòñÿ íà íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå.

Îïðåäåëåíèå 1.3. Ïóñòü a1 , a2 , . . . , ak , d∈Z. Åñëè a1 k d, a2 k d, . . . , ak k d, òî ãîâîðÿò, ÷òî

d

åñòü îáùèé äåëèòåëü

a1 , a2 , . . . , ak .

Íàèáîëüøèé ñðåäè

âñåõ äåëèòåëåé íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì è îáîçíà÷àåòñÿ

D(a1 , a2 , . . . , ak )

èëè

(a1 , a2 , . . . , ak ).

Çàìåòèì, ÷òî

1 6 D(a1 , a2 , . . . , ak ) 6 min{a1 , a2 , . . . , ak } d1 , d2 , . . . , dn îáùèå D(a1 , a2 , . . . , ak ) = M (d1 , d2 , . . . , dn ). Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè

äåëèòåëè

a1 , a2 , . . . , ak ,

òî

Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå äðóãîãî îïðåäåëå íèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ. Ââåäåì òåïåðü îäíî èç âàæíåéøèõ ïîíÿòèé òåîðèè äåëèìîñòè

Îïðåäåëåíèå 1.4. åñëè

×èñëà

a1 , a2 , . . . , ak

íàçûâàþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè,

D(a1 , a2 , . . . , ak ) = 1.

Óñòàíîâèì òåïåðü íåêîòîðûå ñâîéñòâà íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ è íàè ìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî.

Òåîðåìà 1.3. 1.

d=

Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå  a a óòâåðæäåíèÿ ak  1 2 , ,..., = 1. D(a1 , a2 , . . . , ak ) ⇔ D

d d 4

d

2.

d = D(a1 , a2 , . . . , ak )

3. Åñëè 4.

c

- îáùèé äåëèòåëü

ab = D(a, b)M (a, b).

Âîïðîñ î íàõîæäåíèè

D(a1 b, a2 b, . . . , ak b) = db. a a ak  d 1 2 , ,..., = . a1 , a2 , . . . , ak , òî D c c c c

òîãäà

D(a, b)

✍

áóäåò ðåøåí äàëåå.(ñì. ðàçäåë 2.1.) Ïðåäïî

ëîæèì, ÷òî èìååòñÿ ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì åãî âû÷èñëåíèÿ. Ïîñòàâèì âî

D(a1 , a2 , . . . , ak ). Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò ñëåäóþùàÿ

ïðîñ î âû÷èñëåíèè

Òåîðåìà 1.4. D(a1 , a2 , a3 ) = D(D(a1 , a2 ), a3 )) D(a1 , a2 ) = e, D(e, a3 ) = d. Òîãäà â ñèëó òðàíçèòèâíîñòè äåëèìîñòè (òåîðåìà 1.2) èìååì a1 , a2 k d, íî è a3 k d, ñëåäîâàòåëüíî d îáùèé äåëèòåëü a1 , a2 , a3 . Ïóñòü d1 ïðîèçâîëüíûé îáùèé äåëèòåëü a1 , a2 , a3 . Òîãäà e k d1 , ñëåäîâàòåëüíî d1 - îáùèé äåëèòåëü e, a3 . Òîãäà d k d1 è ñëåäîâàòåëüíî d = D(a1 , a2 , a3 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

Óïðàæíåíèå 1.1. 1.

ab k c

2. Åñëè

1.3

è

D(a, c) = 1,

D(a, c) = 1,

òîãäà

òî

b k c.

D(ab, c) = D(b, c)

Ïðîñòûå ÷èñëà

Îïðåäåëåíèå 1.5. |a|

Äîêàæèòå ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:

è íà

×èñëî

a

íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì åñëè äåëèòñÿ òîëüêî íà

±1.

Òåîðåìà 1.5. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäå íèÿ 1. Ëþáîå ÷èñëî 2.

ab k p

a∈Z

äåëèòñÿ íà

p

èëè íà ÷èñëî âçàèìíî ïðîñòîå ñ

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

akp

èëè

p.

b k p.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïðîâåñòè ñàìîñòîÿòåëüíî â êà÷åñòâå óïðàæíåíèÿ.

Ëåììà 1.1.

Ëþáîå

a ∈ Z, a 6= 1

èìååò ïî êðàéíåé ìåðå îäèí ïðîñòîé

äåëèòåëü.

d1 , d2 , . . . , dn âñå äåëèòåëè ÷èñëà a, êðîìå 1. Ïîëî æèì p = min{d1 , d2 , . . . , dn }. Åñëè áû p áûëî ñîñòàâíûì, òî åãî äåëèòåëü (ìåíüøèé, ÷åì ñàìî p) áûë áû äåëèòåëåì a. Ïðîòèâîðå÷èå ñ îïðåäåëåíèåì p. Ëåììà äîêàçàíà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

5

Òåîðåìà 1.6 (Îñíîâíàÿ òåîðåìå òåîðèè äåëèìîñòè). a∈Z

Ëþáîå ÷èñëî

ðàñêëàäûâàåòñÿ è òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì íà ïðîñòûå ñîìíîæè

òåëè. Ñîåäèíèâ îäèíàêîâûå ìíîæèòåëè â ñòåïåíè, ïîëó÷àåì

êàíîíè÷å

ñêîå ðàçëîæåíèå

a = pα q β r γ · · · ,

ãäå

p, q, r −

ïðîñòûå ÷èñëà,

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå 1.1 ëþáîå ÷èñëî

a

α, β, γ > 1.

(1.2)

èìååò ïðîñòîé äåëèòåëü

p.

pa1 . Åñëè a1 ñîñòàâíîå, òî âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 1.1 äëÿ a1 . Çàìåòèì, ÷òî a1 < a, ïîýòîìó íà íåêîòîðì øàãå ïîëó÷èì ak ïðîñòîå. Ïðåäñòàâèì åãî â âèäå

Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå

a = p1 p2 p3 · · · pk ,

ãäå

p 1 , p 2 , p3 · · · p k

- ïðîñòûå.

Îáúåäèíÿÿ îäèíàêîâûå ìíîæèòåëè â ñòåïåíè, ïðèõîäèì ê (1.2). Äîêàæåì òåïåðü åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (1.2). Ïóñòü èìååòñÿ äâà ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿ

a = p 1 p 2 p 3 · · · p k = q1 q 2 q3 · · · qn

(1.3)

p1 p2 p3 · · · pk k q1 . Ïî òåîðåìå 1.5 îäèí èç ñîìíîæèòåëåé ñëåâà äåëèòñÿ íà q1 . Ïóñòü, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, p1 k g1 . Íî p1 è q1 - ïðîñòûå ÷èñëà. Ïîýòîìó p1 = q1 . Òîãäà (1.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå: Òîãäà

p 2 p 3 · · · p k = q2 q3 · · · q n Ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó ïðèõîäèì ê åäèíñòâåííîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ (1.2).

1.4

Ðåøåòî Ýðàòîñôåíà. Ðàçëîæåíèå ÷èñëà íà ïðîñòûå

 ñâÿçè ñ ïîëó÷åííûì ïðåäñòàâëåíèåì (1.2) âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû äëÿ ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷: 1. Íàéòè âñå ïðîñòûå ÷èñëà â äàííîì èíòåðâàëå. 2. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà

a ∈ Z ïîëó÷èòü åãî ðàçëîæåíèå â âèäå (1.2).

Äëÿ ðåøåíèÿ ïåðâîé çàäà÷è ðàññìîòðèì àëãîðèòì, íîñÿùé íàçâàíèå

øåòî Ýðàòîñôåíà.

Ðå

Îí ïîçâîëÿåò íàéòè âñå ïðîñòûå ÷èñëà â èíòåðâàëå

[1, N ]. Øàã 1: Âû÷åðêèâàåì âñå ÷èñëà êðàòíûå 2 (êàæäîå âòîðîå, êðîìå 2). Ïîëà ãàåì

p1 = 2, k = 1. 6

Øàã k+1: Ïîëàãàåì

pk−1 .

k =k+1

è

pk

- ïåðâîå íåâû÷åðêíóòîå ÷èñëî ïîñëå

Âû÷åðêèâàåì âñå ÷èñëà ñòîÿùèå íà ìåñòàõ êðàòíûõ

íåãî ñàìîãî. Ïîâòîðÿåì ýòîò øàã, ïîêà

Çàìå÷àíèå 1.2. ïðè ýòîì

p1 = 3.

pk ,

êðîìå

pk < N .

Äîñòàòî÷íî ðàáîòàòü òîëüêî ñ íå÷åòíûìè ÷èñëàìè, √ Àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáîòó, êàê òîëüêî

Ïðèìåð 1.1 (íà ðåøåòî Ýðàòîñôåíà).

Ïóñòü

N = 50.

pk >

N.

Òîãäà ïîñëå ðà

áîòû àëãîðèòìà ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ êàðòèíó (íà ìåñòå âû÷åðêíóòûõ ÷èñåë ñòîèò çíàê

∗

)

2 3 5 7 9 11 13 ∗ 17 19 ∗ 23 ∗ ∗ 29 31 ∗ ∗ 37 ∗ 41 43 ∗ 47 49 Âîçíèêàåò âîïðîñ î òîì, ñêîëüêî æå ïðîñòûõ ÷èñåë? Îòâåò áûë ïîëó÷åí åùå Åâêëèäîì:

Òåîðåìà 1.7 (Åâêëèä).

Ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì êîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë:

p3 . . . pk }.

Ïîëîæèì

ïîñòðîåííîå ÷èñëî

p = p1 p2 p3 · · · pk + 1.

p

{p1 , p2 ,

Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèì îáðàçîì

íå äåëèòñÿ íè íà îäíî èç

pi .

Òàêèì îáðàçîì ëèáî

ïðîñòîå, ëèáî èìååò ïðîñòîé äåëèòåëü áîëüøå ëþáîãî èç

pi .

p

Ïîëó÷åííîå

ïðîòèâîðå÷èå è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðåøåíèþ âòîðîé ïîñòàâëåííîé çàäà÷è: ðàçëîæåíèþ ÷èñ ëà

a íà ïðîñòûå ñîìíîæèòåëè â âèäå

ìà, íîñÿùåãî íàçâàíèå

(1.2). Íà÷íåì ñ ïðîñòåéøåãî àëãîðèò

ìåòîä ïðîáíûõ äåëèòåëåé. Èñïîëüçóåì ïîñëåäî

âàòåëüíîñòü ïðîáíûõ äåëèòåëåé - ïðîñòûõ ÷èñåë

2 = p0 < p 1 < p 2 < · · · < p k 6 def

= k = 0, 1, 2, . . .

√

a.

Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

- íîìåð òåêóùåãî äåëèòåëÿ

pk

(èç ïðîáíîé ïîñëåäîâà

òåëüíîñòè),

def

= i = 0, 1, 2, . . . - íîìåðà íàéäåíûõ äåëèòåëåé ÷èñëà a (áóäåì îáîçíà÷àòü èõ di ).

Øàã 1:

k = 0, i = 0

Øàã 2: (Ïðîâåðêà îêîí÷àíèÿ). Åñëè

a = 1,

òî àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáî

òó.

Øàã 3:

a = pk q + r

Øàã 4: Åñëè

r 6= 0

(òî åñòü

Øàã 5: (a äåëèòñÿ íà

pk ).

a

íå äåëèòñÿ íà

Ïîëàãàåì

pk ),

òî ïåðåõîäèì íà Øàã 6

di = pk , i = i + 1, a = q .

íà Øàã 2 7

Âîçâðàùàåìñÿ

Øàã 6: Åñëè Øàã 7:

a

q > pk ,

òî ïîëàãàåì

k =k+1

- ïðîñòîå ÷èñëî. Ïîëàãàåì

di = a.

è ïåðåõîäèì íà Øàã 3. Àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáîòó.

Ïðèìåð 1.2 (íà ìåòîä "ïðîáíûõ äåëèòåëåé"). Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðîáíûõ äåëèòåëåé

a = 6930. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, Ïîëîæèì

23, 29, 31} 1.

a = 2 · 3465, d0 = 2, i = 1, a = 3465

2.

a = 2 · 1732 + 1, k = 1

3.

a = 3 · 1155, d1 = 3, i = 2, a = 1155

4.

a = 3 · 385, d2 = 3, i = 3, a = 385

5.

a = 3 · 128 + 1, k = 2

6.

a = 5 · 77, d3 = 5, i = 4, a = 77

7.

a = 5 · 15 + 2, k = 3

8.

a = 7 · 11, d4 = 7, i = 5, a = 11

9.

a = 7 · 1 + 4, d5 = 11

a = 6930 = 2 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2 · 32 · 5 · 7 Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îïèñàííûé àëãîðèòì ýôôåêòèâíî ðàáîòàåò, íà íåáîëü øèõ ÷èñëàõ. Ïðè èõ óâåëè÷åíèè áûñòðî ðàñòåò ÷èñëî "õîëîñòûõ"äåëåíèé. Ðàññìîòðèì ñåé÷àñ àëãîðèòì, êîòîðûé èñïîëüçóÿ òîëüêî îïåðàöèè óìíî

æåíèÿ è ñëîæåíèÿ (áåç äåëåíèé) ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü ëþáîå ÷èñëî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ (íå îáÿçàòåëüíî ïðîñòûõ) ñîìíîæèòåëåé.

Àëãîðèòì Ôåðìà

Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èñõîäíîå ÷èñëî

a ÿâëåòñÿ ÷åòíûì.

Âûäåëèòü ñòåïåíè äâîéêè äîñòàòî÷íî ëåãêî (ñäâèãàìè âïðàâî äâîè÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÷èñëà). Áóäåì èñêàòü ïðåäñòàâëåíèå

a

â âèäå

a = x2 − y 2 = (x − y)(x + y) R(x, y) = x2 − y 2 − a. Íàøà çàäà÷à ïîî÷åðåäíî 1 äîáèòüñÿ ðàâåíñòà R(x, y) = 0. Çàìåòèì, ÷òî

Ââåäåì îáçíà÷åíèÿ: ÷èâàÿ

x

è

y

íà

R(x + 1, y) = (x − y + 1)(x + y + 1) = R(x, y) + 2x + 1 R(x, y + 1) = (x − y − 1)(x + y + 1) = R(x, y) − (2y + 1)

8

óâåëè

Rx = 2x + 1, Ry = 2y+1. Çàìåòèì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè x èëè y íà 1, Rx èëè Ry óâåëè÷è âàþòñÿ ñîîòâåòñâåííî íà 2. Äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ áóäåì ïðåäïîëàãàòü, √ a - îáîçíà÷èì åå ÷òî íàì èçâåñòíà ïðèáëèçèòåëüíàÿ îöåíêà öåëîé ÷àñòè ÷åðåç a ¯ ×òîáû ëèøíèé ðàç íå óìíîæàòü íà

Øàã 3:

R(x, y) 6 0,

ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:

Rx = 2¯ a + 1, Ry = 1, R(x, y) = a ¯2 − a

Øàã 1: (Èíèöèàëèçàöèÿ). Øàã 2: Åñëè

2

òî ïåðåéòè íà Øàã 4

R(x, y) = R(x, y) − Ry, Ry = Ry + 2.

Øàã 4: (Ïðîâåðêà îêîí÷àíèÿ). Åñëè

Âîçâðàùàåìñÿ íà Øàã 2.

R(x, y) = 0,

òî àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò

ðàáîòó. Ïðè ýòîì

Rx − Ry a= · 2 Øàã 5:



 Rx + Ry −1 2

R(x, y) = R(x, y) + Rx, Rx = Rx + 2.

Ïðèìåð 1.3 (íà ìåòîä Ôåðìà).

Ïóñòü

1.

Rx = 29 Ry = 1 R(x, y) = −25

2.

Rx = 31 Ry = 1 R(x, y) = 4

3.

Rx = 31 Ry = 3 R(x, y) = 3

4.

Rx = 31 Ry = 5 R(x, y) = 0

Âîçâðàùàåìñÿ íà Øàã 2.

a = 221,

òîãäà

a ¯ = 14

a = 221 = 17 · 13 Êîìáèíèðóÿ ìåòîäû Ôåðìà è ïðîáíûõ äåëèòåëåé ìîæíî ïîñòðîèòü äîñòà òî÷íî ýôôåêòèâíûé àëãîðèòì äëÿ ðàçëîæåíèÿ ëþáîãî ÷èñëà

a íà ïðîñòûå

ñîìíîæèòåëè â âèäå (1.2).

1.5

Ïîçèöèîííàÿ çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Îïðåäåëåíèå 1.6. p-è÷íîé

Óïîðÿäî÷åííûé íàáîð

çàïèñüþ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà

ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ èëè ïðîñòî

(an an−1 ...a1 a0 )p

íàçûâàåòñÿ

s (ïðåäñòàâëåíèåì ÷èñëà s â p-è÷íîé

p-è÷íûì

÷èñëîì), åñëè

S = pn an + pn−1 an−1 + · · · + pa1 + a0 , ãäå

p

- íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1,

9

0 6 ak < p

è

an 6= 0.

Çàìå÷àíèå 1.3. ×èñëà ak

p-è÷íîé çàïèñè íàçûâàþòñÿ öèôðàìè è îáû÷ îòäåëüíûìè ñèìâîëàìè, íàïðèìåð 10 = A, 11 = B è

íî îáîçíà÷àþòñÿ

â

ò.ä.

Òåîðåìà 1.8. Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìååò åäèíñòâåííóþ p -è÷íóþ çàïèñü.

s èìååò äâå bm bm−1 ...b1 b0 . Òîãäà

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

an an−1 ...a1 a0

è

ðàçëè÷íûõ

p-è÷íûõ

çàïèñè:


s = pn an + pn−1 an−1 + · · · + pa1 + a0 = p pn−1 an + · · · + a1 + a0 = ps1 + a0 ,
= pm bm + pm−1 bm−1 + · · · + pb1 + b0 = p pm−1 bm + · · · + b1 + b0 = ps2 + b0 p

Òàê êàê ÷àñòíîå è îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà

a0 = b 0

è

s1 = pn−1 an + · · · + a1 = pm−1 bm + · · · + b1 = s2

Ïðèìåíÿÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ê

Çàìå÷àíèå 1.4.

îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî,

s1

è

s2 ,

ïîëó÷èì

a1 = b 1

è ò. ä.

Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ñïîñîáû ïîçèöèîííîé çàïèñè íà

òóðàëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ïðåäñòàâëåíèå èõ óïîðÿäî÷åííûìè íàáîðàìè öèôð.

Ïðèìåð 1.4 (Ôàêòîðèàëüíàÿ çàïèñü). s = (an an−1 · · · a1 )! ⇔ s = an n! + an−1 (n − 1)! + · · · + a1 · 1!, ãäå 0 6 ak 6 k, an 6= 0.

Óïðàæíåíèå 1.2.

Äîêàçàòü åäèíñòâåííîñòü ôàêòîðèàëüíîé çàïèñè íà

òóðàëüíûõ ÷èñåë.

1.6

Àëãîðèòìû àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé ñ p -è÷íûìè çàïèñÿìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Àëãîðèòìû ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ ñòîëáèêîì è äåëåíèÿ óãîëêîì äëÿ

p-è÷íûõ

çàïèñåé ÷èñåë ñîâïàäàþò ñ èçâåñòíûìè àëãîðèòìà

ìè äëÿ äåñÿòè÷íûõ çàïèñåé, åñëè çàìåíèòü òàáëèöû ñëîæåíèÿ (âû÷èòàíèÿ) è óìíîæåíèÿ (äåëåíèÿ).  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î âûïîëíåíèè îïåðàöèé â

p-è÷íîé

àðèôìåòèêå.

Ïðèìåð 1.5 (Òàáëèöû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ äëÿ 5-è÷íûõ ÷è ñåë).

10

(+)5

0

1

2

3

4

(×)5

0

1

2

3

4

0

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

10

1

0

1

2

3

4

2

2

3

4

10

11

2

0

2

4

11

13

3

3

4

10

11

12

3

0

3

11

14

22

4

4

10

11

12

13

4

0

4

13

22

31

Àëãîðèòì 1. Ñëîæåíèå p-è÷íûõ ÷èñåë a = (an · · · a0 )p è b = (bm · · · b0 )p . Ðåçóëüòàò  ÷èñëî

c = (ck · · · c0 )p .

n < m ÒÎ a ↔ b; n ↔ m;

ÅÑËÈ

(òåì ñàìûì äëèíà ÷èñëà

a

ñòàíåò íå ìåíüøå äëèíû

b)

KE

i : = 0;

s : = 0;

(i- íîìåð ðàçðÿäà, s- âåëè÷èíà ïåðåíîñà

i6m ci : = (ai + bi + s) mod p; s : = (ai + bi + s) ÷ p; i := i + 1

â ñòàðøèé ðàçðÿä)

ÖÈÊË-ÏÎÊÀ

(âû÷èñëåíèå î÷åðåäíîé ñ êîíöà öèôðû ðåçóëüòàòà) (âû÷èñëåíèå âåëè÷èíû ìåæðàçðÿäíîãî ïåðåíîñà) (ïåðåõîä ê ñëåäóþùåìó ðàçðÿäó)

ÊÖ

i6n ci : = (ai + s) mod p; s : = (ai + s) ÷ p; i := i + 1

(ïðîäîëæåíèå ñëîæåíèÿ ÷èñëa ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ

s > 0 ÒÎ cn+1 : = s

(ôîðìèðîâàíèå ñòàðøåãî ðàçðÿäà ðåçóëüòàòà,

ÖÈÊË-ÏÎÊÀ

ñòàðøåãî ðàçðÿäà ÷èñëà ìåíüøåé äëèíû)

ÊÖ ÅÑËÈ

åñëè äëèíà ðåçóëüòàòà áîëüøå äëèíû ñëàãàåìûõ)

KE

Àëãîðèòì 2à. Ðåçóëüòàò

Óìíîæåíèå ÷èñëà

a = (an · · · a0 )p

íà öèôðó

b = (b0 )p .

a · b = c = (cm · · · c0 )p . s := 0

0 ÄÎ n ci := (ai · bi + s) mod p;

ÖÈÊË ÏÎ

i

ÎÒ

s := (ai · bi + s) ÷ p

ÊÖ; ÅÑËÈ

s > 0,

ÒÎ

m := n + 1; cm := s

ÈÍÀ×Å

Àëãîðèòì 2b. Óìíîæåíèå ÷èñëà a = (an ...a0 )p ðàçðÿäîâ). Ðåçóëüòàò

m := n

íà ÷èñëî

k

ap = c = (cm · · · c0 )p .

m = n + k; ÖÈÊË ÏÎ ÖÈÊË ÏÎ

i i

ÎÒ ÎÒ

nÄÎ 0 ci+k := ak k − 1 ÄÎ 0 ci := 0;

11

ÊÖ ÊÖ

pk

(ñäâèã íà

k

Àëãîðèòì 2. Óìíîæåíèå p-è÷íûõ ÷èñåë a = (an · · · a0 )p b = (bk · · · b0 )p .

Ðåçóëüòàò

è

ab = c = (cm · · · c0 )p .

c := 0; ÖÈÊË ÏÎ

i

0

ÎÒ

ÄÎ

k

i

c := c + (abi )p ;

(ïîðàçðÿäíîå óìíîæåíèå ñî ñäâèãîì

ÊÖ

âûïîëíÿåòñÿ ïî àëãîðèòìàì 2à è 2b)

Çàäàíèå 1.1.

Íàïèñàòü àëãîðèòìû âû÷èòàíèÿ è äåëåíèÿ íàöåëî, îñíî

âûâàÿñü íà òàáëèöàõ âû÷èòàíèÿ è äåëåíèÿ

p-è÷íûõ

÷èñåë.

Çàäàíèå 1.2. Äëÿ äâîè÷íûõ ÷èñåë àëãîðèòìû àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ìîæíî óïðîñòèòü. Ñäåëàòü ýòî.

Çàäàíèå 1.3.

Ñôîðìóëèðîâàòü àëãîðèòìû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà

òóðàëüíûõ ÷èñåë â ôàêòîðèàëüíîé çàïèñè.

1.7

Àëãîðèòìû ïåðåâîäà p-è÷íîé çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â q -è÷íóþ

Ïåðâûé èç ýòèõ àëãîðèòìîâ èñïîëüçóåò

q -è÷íóþ.

p-è÷íóþ

àðèôìåòèêó, âòîðîé -

 îñíîâå ïåðâîãî àëãîðèòìà ëåæèò òà æå èäåÿ, ÷òî è â äîêàçà

òåëüñòâå åäèíñòâåííîñòè

Àëãîðèòì 1.

(bm · · · b0 )q

â

p-è÷íîé

çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.

Ïåðåâîä ÷èñåë èç

p-è÷íîé

p-è÷íîé

çàïèñè

(an · · · a0 )p

â

q -è÷íóþ

àðèôìåòèêå.

i := 0; a 6= 0 bi := a mod q; a := a ÷ q i := i + 1

ÖÈÊË-ÏÎÊÀ

(äåëåíèå

a

íà

q

âûïîëíÿåòñÿ âp-è÷íîé àðèôìåòèêå)

ÊÖ

m := i − 1 Âòîðîé àëãîðèòì îñíîâàí íà òàê íàçûâàåìîé ñõåìå Ãîðíåðà:

a = (an an−1 · · · a0 )p = an pn + an−1 pn−1 + · · · + a1 p + a0 = ((...((an p + an−1 )q p + an−2 )q p + · · · + a1 )q p + a0 )q .

Àëãîðèòì 2. (bm · · · b0 )q

â

Ïåðåâîä ÷èñåë èç

q -è÷íîé

p-è÷íîé (an · · · a0 )p

çàïèñè â

(1.4)

q -è÷íóþ

àðèôìåòèêå.

b := 0; i ÎÒ n b := bp + ai ;

ÖÈÊË ÏÎ

ÄÎ

0 (äåéñòâèÿ âûïîëíÿþòñÿ â

ÊÖ

12

q -è÷íîé

àðèôìåòèêå)

Çàìå÷àíèå 1.5.

Ïðè

p>q

ïðèìåíåíèå ïîñëåäíåãî àëãîðèòìà ïîäðàçóìå

âàåò ïðåäâàðèòåëüíûé ïåðåâîä âñåõ öèôð â ïðè

p b > 0.

Èäåÿ àëãîðèòìà Åâêëè

äà î÷åíü ïðîñòà: Åñëè

a = bq + r,

òîãäà

D(a, b) = D(a − bq, b) = D(b, r).

Òàêì îáðàçîì, äëÿ íàõîæäåíèÿ

D(a, b)

(2.1)

ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

äåéñòâèé, íàçûâàåìóþ êëàññè÷åñêèì àëãîðèòìîì Åâêëèäà:

 a = bq0 + r0 ,     b = r 0 q1 + r 1 ,    r = r q + r , 0 1 2 2  ···············     rk−2 = rk−1 qk + rk ,    rk−1 = rk qk+1 .

Çàìå÷àíèå 2.1.

(2.2)

Î÷åâèäíî, ÷òî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà

rk+1 = 0,

òàê êàê

r0 > r1 > r2 > · · · > rk > rk+1 = 0.

Ïðè ýòîì, â ñèëó (2.1):

D(a, b) = D(b, r0 ) = D(r0 , r1 ) = · · · = D(rk−2 , rk1 ) = D(rk−1 , rk ) = rk .

Ïðèìåð 2.1 (íà êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì Åâêëèäà). D(76501, 29719).

Íàéòè

Ñoãëàñíî (2.2) èìååì:

76501 = 29719 · 2 29719 = 17063 · 1 17063 = 12656 · 1 12656 = 4407 · 2 4407 = 3842 · 1 3842 = 565 · 6 565 = 452 · 1 452 = 113 · 4

+ + + + + + +

17063 12656 4407 3842 565 452 113

Ñõåìó (2.2) ëåãêî çàïèñàòü â âèäå àëãîðèòìà.

Øàã 1: (Ïðîâåðêà îêîí÷àíèÿ). Åñëè

b = 0,

òî

D(a, b) = a

è àëãîðèòì çà

êàí÷èâàåò ðàáîòó.

Øàã 2:

2.2

a = bq + r,

ïîëàãàåì

a = b, b = r .

Âîçâðàùàåìñÿ íà Øàã 1.

Áèíàðíûé àëãîðèòì Åâêëèäà

Êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì Åâêëèäà íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì ñïîñî áîì äëÿ íàõîæäåíèÿ 14

íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ. Ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî áûë ïðåäëîæåí ñî âñåì èíîé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Ýòîò íîâûé àëãîðèòì íå òðåáóåò äåéñòâèé äåëåíèÿ. Îñíîâàíûé èñêëþ÷èòåëüíî íà îïåðàöèÿõ âû÷è òàíèÿ, îí ïðîâåðÿåò, ÿâëÿåòñÿ ëè ÷èñëî ÷åòíûì èëè íåò, è ñäâèãàåò âïðà âî äâîè÷íîå ïðåäñòàâëåíèÿ ÷åòíîãî ÷èñëà (äåëåíèå ïîïîëàì). Áèíàðíûé

D(a, b) îñíîâàí íà íåñêîëüêèõ ïîëîæèòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë a è b.   a b , . 1. a è b - ÷åòíû, òîãäà D(a, b) = 2D 2 2 a  2. a ÷åòíî è b - íå÷åòíî, òîãäà D(a, b) = D ,b . 2

àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ

3.

D(a, b) = D(a − b, b)

4. Åñëè 5.

ïðîñòûõ ñâîéñòâàõ

a

è

b

- ÷åòíû, òî

a−b

íå÷åòíî.

|a − b| < max{a, b}

Çàìå÷àíèå 2.2. Ñâîéñòâî 3 óæå èñïîëüçîâàëîñü â ñõåìå

(2.2) (cì. (2.1)).

Ðàññìîòðèì ðàáîòó àëãîðèòìà ïî øàãàì. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:

def

• k = •

tmp

ñ÷åò÷èê äëÿ ñòåïåíè äâîåê, âûäåëÿåìûõ ïî ñâîéñòâó 1.

def

=

ðàáî÷àÿ ïåðåìåííàÿ àëãîðèòìà.

Øàã 1: (Èíèöèàëèçàöèÿ).

k = k + 1, a = a/2, b = b/2. Ïîâòîðÿåì

k = 0.

Åñëè

a

è

b

- ÷åòíû, òîãäà ïîëàãàåì

ýòó ïðîöåäóðó, ïîêà îáà ÷èñëà ÷åòíû. (Èñïîëüçó

åì ñâîéñòâî 1 äëÿ "âûäàâëèâàíèÿ"èç

a, b

îáùåé ñòåïåíè äâîéêè.)

Øàã 2: (Ïðîäîëæåíèå èíèöèàëèçàöèè). Ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èõ ÷èñåë íå÷åòíî. Åñëè

a

- íå÷åòíî, òî ïîëàãàåì

Øàã 4.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå Øàã 3: (Äèõîòîìèÿ tmp).

tmp = −b

a, b

è ïåðåõîäèì íà

tmp = a.

tmp = tmp/2.

(Èñïîëüçóåì ñâîéñòâî 2).

Øàã 4: Åñëè tmp ÷åòíî, òî âåðíóòüñÿ íà Øàã 3.

a = tmp, èíà÷å b = −tmp. (Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 5 ìû çàìåíÿåì max{a, b} íà |a − b|. Ïðè ýòîì çíàê tmp îïðåäåëÿåò áîëüøåå èç ÷èñåë a, b. Ïî ñâîéñòâó 3 D(a, b) ïðè ýòîì íå èçìåíèòñÿ).

Øàã 5: (Ñìåíà ìàêñèìóìà). Åñëè

tmp > 0,

15

òî ïîëàãàåì

Øàã 6: (Âû÷èòàíèå).

tmp = a − b.

Åñëè

tmp 6= 0,

òî ïåðåõîäèì íà Øàã 3.

 ïðîòèâíîì ñëó÷àå àëãîðèòì çàêàí÷èâàåò ðàáîòó.

D(a, b) = a · 2k

Ïðèìåð 2.2 (íà áèíàðíûé àëãîðèòì Åâêëèäà).

Ðàññìîòðèì ðàáîòó

àëãîðèòìà ñ äàííûìè èç ïðèìåðà 2.1. 1.

a = 76501 b = 29719 tmp = −29719

2.

a = 76501 b = 29719 tmp = 46782 → 23391

3.

a = 23391 b = 29719 tmp = −6328 → −31684 → −1582 → −791

4.

a = 23391 b = 791

tmp = 22600 → 11300 → 5650 → 2825

5.

a = 2825

b = 791

tmp = 2034 → 1017

6.

a = 1017

b = 791

tmp = 226 → 113

7.

a = 113

b = 791

tmp = −678 → −339

8.

a = 113

b = 339

tmp = −226 → −113

9.

a = 113

b = 113

tmp = 0

D(76501, 29719) = 113

2.3

Ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå íàèáîëüøåãî îáùåãî äå ëèòåëÿ

Äåéñòâóÿ â ñõåìå (2.2) îáðàòíûì õîäîì ñíèçó ââåðõ ïîëó÷àåì ïðåäñòàâ ëåíèå

D(a, b)

÷åðåç

a, b.

rk = rk−2 − rk−1 qk = rk−2 − (rk−3 − rk−2 qk−1 )qk = −rk−3 qk + rk−2 (1 + qk qk−1 ) = −rk−3 qk + (rk−4 − rk3 qk−2 )(1 + qk qk−1 ) = rk−4 (1 + qk qk−1 ) + rk−3 (−qk − qk−2 (1 + qk qk−1 )) = · · · = ax + by Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâî

Óòâåðæäåíèå 2.1. Äëÿ ëþáûõ a, b ∈ Z óðàâíåíèå ax + by = D(a, b) âñåãäà èìååò ðåøåíèå.

16

Íåòðóäíî ïîëó÷èòü ðåêóðåíòíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

y0 = 0, Òîãäà

{yi }

y1 = 1,

x, y .

Ââåäåì

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

yi+1 = yi−1 − qk+1−i yi ,

i = 1, 2, · · · , k + 1

(2.3)

D(a, b) = ayk+1 + byk+2 .

Ïðèìåð 2.3.

Íàéäåì ëèíåéíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî

äåëèòåëÿ èç ïðèìåðà 2.1.

y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 0 1 −1 7 −8 23 −31 54 −139 Òàêèì îáðàçîì

2.4

76501 · 54 − 29719 · 139 = 113.

Ðàçëîæåíèå ÷èñëà â öåïíóþ(íåïðåðûâíóþ) äðîáü

Çàïèøåì ñõåìó (2.2) â âèäå:

a r0  = q +  0  b b     b r 1   = q1 +   r0  r0 ··· ·········   r rk k−2   = q +  k  rk−1 rk−1    r    k−1 = qk+1 rk

(2.4)

Èç (2.4) ïîëó÷àåì

1 1 1 a = q 0 + = q0 + = · · · = q0 + b b 1 1 q1 + q1 + r0 r0 1 q2 + r1 1 ··· + qk+1

Îïðåäåëåíèå 2.1.

(2.5)

Âûðàæåíèå (2.5) íàçûâàåòñÿ öåïíîé èëè íåïðåðûâíîé

äðîáüþ. Äðîáè, âîçíèêàþùèå ïðè ðàçëîæåíèè (2.5) íàçûâàþòñÿ ïîäõîäÿùè ìè äðîáÿìè. Ïîñëåäíÿÿ ïîäõîäÿùàÿ äðîáü ðàâíà

qk+1

a/b.

×èñëà

q0 , q1 , q2 , · · · ,

íàçûâàþòñÿ çâåíüÿìè äðîáè. Áîëåå êîðîòêî (2.5) çàïèñûâàþò â âèäå

a = (q0 , q1 , g2 , · · · , qk+1 ) b 17

(2.6)

Çàìå÷àíèå 2.3. ÷àñòü äðîáè 1. Åñëè

a/b.

Çàìåòèì, ÷òî

q0

â ïðåäñòàâëåíèè (2.6) åñòü öåëàÿÿ

Òîãäà ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî

0 < a < b,

òî åñòü

a/b

- ïðàâèëüíàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ äðîáü, òî

ïðåäñòàâëåíèå (2.6) äëÿ íåå èìååò âèä

(0, q1 , g2 , · · · , qk+1 ).

a/b < 0, òî a/b = (−(K +1), q1 , g2 , · · · , qk+1 ), ãäå K äðîáè a/b.

2. Åñëè äðîáü ÷àñòü 3. Ëþáîå

a∈Z

ÿâëÿåòñÿ öåïíîé äðîáüþ ñ îäíèì çâåíîì

- öåëàÿ

(a).

Òàêèì îáðàçîì ñïðàâåäëèâà

Òåîðåìà 2.1. Äëÿ ëþáûõ a, b ∈ Z, b 6= 0 äðîáü a/b ìîæíî îäíèì è òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì ïðåäñòàâèòü â âèäå (2.6), ãäå âñå çâåíüÿ ïîëîæèòåëüíû è ïîñëåäíåå çâåíî

Çàìå÷àíèå 2.4.

qi

íà÷èíàÿ ñ

q1 ,

qk+1 > 1

qk+1 > 1 â òåîðåìå îáåñïå÷èâàåò åäèíñòâåí íîñòü ðàçëîæåíèÿ (2.6), òàê êàê (q0 , q1 , · · · , qk+1 ) = (q0 , q1 , · · · , qk+1 −1, 1). Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â ñõåìå (2.2) rk−1 = rk qk+1 , ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ( rk−1 = rk (qk+1 − 1) + rk rk = rk · 1

Ïðèìåð 2.4.

Óñëîâèå

Ðàññìîòðèì äðîáü èç ïðèìåðà 2.1. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû

ïðèìåðà 2.1 ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèÿ (2.5) è (2.6)

76501 =2+ 29719

1

= (2, 1, 1, 2, 1, 6, 1, 4)

1

1+

1

1+

1

2+

1

1+ 6+

1 1+

1 4

Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïðèâåñòè ïîëó÷èâøóþñÿ öåïíóþ äðîáü îáðàòíî ê îáû÷íîé, òî ïîëó÷èòñÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü:

18

76501 677 = . 29719 263

2.5

Ñâîéñòâà ïîäõîäÿùèõ äðîáåé è èõ âû÷èñëåíèå

Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ïîäõîäÿùèõ äðîáåé, îïðåäåëåííûõ â ïðåäûäó ùåì ðàçäåëå ïðè ðàçëîæåíèè (2.5)

def

δ0 = q0 ,

def

δ1 = q0 +

1 , q1

1

def

δ2 = q0 +

Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü

δk

··· ,

1 q1 + q2

÷åðåç

Pk

è

Qk

(2.7)

ñîîòâåòñòâåí

íî. Ïîëó÷èì ðåêóðåíòíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÷èñëèòåëåé

{Pk }

è çíàìåíàòåëåé

{Qk }.

Ïîëàãàÿ

P−1 = 1, Q−1 = 0

äàëåå

èìååì

q0 P0 = 1 Q0 1 q0 + q1 P0 + P−1 P1 q1 q 0 q1 + 1 δ1 = = = = 1 q1 + 0 q1 Q0 + Q−1 Q1

δ0 =

(ïîëàãàåì

P0 = q0 , Q0 = 1)

q2 P1 + P0 P2 = q2 Q1 + Q0 Q2 ························ Ps qs Ps−1 + Ps−2 = δs = qs Qs−1 + Qs−2 Qs δ2 =

Ñòàíîâÿòñÿ î÷åâèäíûìè ðåêóðåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ

Pk

è

( Ps = qs Ps−1 + Ps−2 Qs = qs Qs−1 + Qs−2

Ïðèìåð 2.5.

Qk : (2.8)

Ðàññìîòðèì äðîáü èç ïðèìåðà 2.1. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû

ïðèìåðà 2.1 ïîëó÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäõîäÿùèõ äðîáåé.

s qs Ps Qs

-1

0

1

2

3

1 0

2 1 1 2 1 6 1 4 2 3 5 13 18 121 139 677 1 1 2 5 7 47 54 263

19

4

5

6

7

Òàêèì îáðàçîì

δ0 = 2,

5 δ2 = , 2

δ1 = 3,

δ3 =

13 , 5

δ4 =

18 , 7

δ5 =

121 , 47

δ6 =

139 , 54

677 76501 = 263 29719

δ7 =

Óñòàíîâèì âàæíîå ñâîéñòâî ïîäõîäÿùèõ äðîáåé. Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü äâóõ ñîñåäíèõ ïîäõîäÿùèõ äðîáåé. Èìååì

Ps Ps−1 Ps Qs−1 − Ps−1 Qs hs − = = , ãäå Qs Qs−1 Qs Qs−1 Qs Qs−1 hs = Ps Qs−1 − Ps−1 Qs = (qs Ps−1 + Ps−2 )Qs−1 − (qs Qs−1 + Qs−2 )Ps−1 = −(Ps−1 Qs−2 − Ps−2 Qs−1 ) = −hs−1 .

δs − δs−1 =

Òàêèì îáðàçîì

s+1

hs = (−1)

hs = −hs−1 ,

íî

h0 = P0 Q−1 − P−1 Q0 = −1,

. Äîêàçàíà

Ëåììà 2.1.

Ps Ps−1 (−1)s+1 − = Qs Qs−1 Qs Qs−1

Ñëåäñòâèå 2.1. Ps , Qs

(2.9)

Ïîäõîäÿùèå äðîáè íåñîêðàòèìû.

Ps Qs−1 − Ps−1 Qs = (−1)s+1 , Òàêèì îáðàçîì D(Ps , Qs ) = 1.

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê äåëèòåëü

ñëåäîâàòåëüíî

ðàâåí 1.

Ñëåäñòâèå 2.2.

òî ëþáîé îáùèé

Ps Ps−1 =0 lim − s→∞ Qs Qs−1

(2.10)

qi ïîëîæè âñå Qs òàêæå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2.1 âñå çâåíüÿ öåïíîé äðîáè òåëüíû (êðîìå, áûòü ìîæåò

q0 ).

Òîãäà èç (2.8) ñëåäóåò, ÷òî

ïîëîæèòåëüíû è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

Qs

âîçðàñòàåò. Èç (2.9) ïîëó÷àåì òðå

áóåìîå.

2.6

Áåñêîíå÷íàÿ öåïíàÿ äðîáü è åå âû÷èñëåíèå

Ïîïðîáóåì òåïåðü ïðåäñòàâèòü â âèäå öåïíîé äðîáè ïðîèçâîëüíîå âåùå ñòâåííîå ÷èñëî. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáè ýòîò ïðîöåññ ñîâïà äàåò ñ (2.2). Ïóñòü

α ∈ R.

Èìååì

α = q 0 + η1 = q 0 +

1 , α1 20

α1 > 1,

q0 = [α]

1 , α2 > 1, q1 = [α1 ] α2 ·············································· 1 , αs−1 > 1, qs−2 = [αs−2 ] αs−2 = qs−2 + ηs−2 = qs−2 + αs−1 αs−1 = qs−1 + ηs−1 α1 = q1 + η2 = q1 +

Èç (2.11) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå

(2.12)

1

q1 +

1

q2 + ··· + α

â íåïðåðûâíóþ äðîáü:

1

α = q0 +

Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè

α

(2.11)

1 qs−1 + ηs−1

íå ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ, òî ïðîöåññ (2.11)

ìîæíî ïðîäîëæàòü áåñêîíå÷íî. Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì: 1. ×òî ïîíèìàòü ïîä òàêîé áåñêîíå÷íîé äðîáüþ. 2. Êàê åå ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿòü. Ïðåæäå, ÷åì îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû, ðàññìîòðèì ïðåäñòàâëå íèå (2.11) íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå

Ïðèìåð 2.6.

Ïóñòü

α=

√

28.

α=5+

1 α1 1

Èìååì

√

28 + 5 1 =3+ α2 28 − 5 √ 3 3 28 + 4 1 α2 = √ = =2+ α3 28 − 4 √ 4 4 28 + 4 1 α3 = √ = =3+ 3 α4 28 − 4 √ 3 1 α4 = √ = 28 + 5 = 10 + α5 28 − 5 α1 = √

Çàìåòèì, ÷òî

α5 = α1

=

è ìû âîçâðàùàåìñÿ ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ. Ïðîöåññ √

çàöèêëèâàåòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå

28

â âèäå áåñ

êîíå÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ñòðîãîå îáîñíîâàíèå ýòîìó ïðåäñòàâëåíèþ áóäåò äàíî íèæå. 21

Óñòàíîâèì òåïåðü íåêîòîðûå ñâîéñòâà ðàçëîæåíèÿ (2.11).

Òåîðåìà 2.2.

Òî÷íîå çíà÷åíèå ÷èñëà

α∈R

âñåãäà íàõîäèòñÿ ìåæäó ñî

ñåäíèìè ïîäõîäÿùèìè äðîáÿìè, ïðè÷åì îíî áëèæå ê ïîñëåäóþùåé, ÷åì ê ïðåäûäóùåé äðîáè. Äîêàçàòåëüñòâî. Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå ïîäõîäÿùåé äðîáè (2.7) íåòðóä íî ïîêàçàòü, ÷òî â (2.11) Èñêëþ÷åíèåì (â ñëó÷àå,

δs < α ïðè ÷åòíîì s è δs > α ïðè íå÷åòíîì s. êîãäà α - ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü è ïðîöåññ (2.11)

ñîîòâåòñòâåííî êîíå÷åí) ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïîñëåäíÿÿ ïîäõîäÿùàÿ äðîáü, êî òîðàÿ ðàâíà ñàìîìó ÷èñëó. Äåéñòâèòåëüíî,

ηs

δs

ïîëó÷àåòñÿ îòáðàñûâàíèåì

â (2.12). Î÷åâèäíî, ÷òî îò òàêîãî îòáðàñûâàíèÿ

 αs−1 óìåíüøèòüñÿ     α s−2 óâåëè÷èòüñÿ  αs−3 óìåíüøèòüñÿ   ················ · · Òàêèì îáðàçîì

α

ïðè íå÷åòíîì èíäåêñå

s

óìåíüøàåòñÿ, à ïðè ÷åòíîì óâå

ëè÷èâàåòñÿ. À ýòî è äîêàçûâàåò òåîðåìó. Ó÷èòûâàÿ òåîðåìó 2.2 è ñâîéñòâî (2.9) ïîëó÷àåì

Ñëåäñòâèå 2.3. |a − δs | 6

Çàìå÷àíèå 2.5. îíàëüíàÿ äðîáü, à

1 Qs Qs+1

Ðàâåíñòâî â (2.13) äîñòèãàåòñÿ òîëüêî êîãäà

δs

(2.13)

α

- ðàöè

- ïîñëåäíÿÿ ïîäõîäÿùàÿ äðîáü.

Ïåðåéäåì ê ôîðìàëüíîìó îïðåäåëåíèþ áåñêîíå÷íîé öåïíîé äðîáè. Ðàçî áüåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîäõîäÿùèõ äðîáåé íà äâå ïîäïîñëåäîâàòåëüíî ñòè ñ ÷åòíûìè è íå÷åòíûìè íîìåðàìè. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïîñëåäîâà òåëüíîñòü çíàìåíàòåëåé

{Qk }

âîçðàñòàåò. Ïðèìåíÿÿ (2.9) èìååì:

P2m P2m−1 1 P2m P2m+1 1 − = > − = > Q2m Q2m−1 Q2m Q2m−1 Q2m Q2m+1 Q2m Q2m+1 P2m+2 P2m+1 1 − = >0 Q2m+2 Q2m+1 Q2m+2 Q2m+1 Èç ïîñëåäíåé öåïî÷êè ðàâåíñòâ ïîëó÷àåì:

P2m−1 P2m+1 < , Q2m−1 Q2m+1 22

P2m P2m+2 > Q2m Q2m+2

 Òàêèì îáðàçîì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü

P2m+1 Q2m+1

 âîçðàñòàåò è ïî (2.9) îãðà

δ 2 ), ñëåäîâàòåëüíî èìååò ïðåäåë. Àíàëîãè÷íî ïîä P2m óáûâàåò è îãðàíè÷åíà ñíèçó (íàïðèìåð 0), ñëå Q2m

íè÷åíà ñâåðõó (íàïðèìåð

 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

äîâàòåëüíî òàêæå èìååò ïðåäåë. Â ñèëó (2.10) ýòè ïðåäåëû ñîâïàäàþò.

Îïðåäåëåíèå 2.2.

Áåñêîíå÷íîé öåïíîé äðîáüþ áóäåì íàçûâàòü ïðåäåë

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîäõîäÿùèõ äðîáåé. Ïåðåéäåì ê âîïðîñó âû÷èñëåíèÿ áåñêîíå÷íîé öåïíîé äðîáè.

Óòâåðæäåíèå 2.2.

Áåñêîíå÷íóþ öåïíóþ äðîáü ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ëþ

áîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè

ε.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî (2.13) è âîçðàñòàíèå ïîñëåäîâà òåëüíîñòè

{Qk }

ïîëó÷àåì îöåíêó

|α − δm |