Сибирский математический журнал Май—июнь, 2001. Том 42, № 3
УДК 517.988.8
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ПРОЕКЦИОННО–РАЗНОСТНОГО МЕТОДА СО СХЕМОЙ КРАНКА ––– НИКОЛСОН ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В. В. Смагин Аннотация: В сепарабельном гильбертовом пространстве абстрактная параболическая задача решается приближенно проекционно-разностным методом. Дискретизация задачи по пространству проводится методом Галеркина, а по времени используется схема Кранка — Николсон. В условиях обобщенной разрешимости точной задачи в работе установлены эффективные энергетические оценки погрешности приближенных решений. Эти оценки позволяют получать порядок скорости сходимости приближенных решений к точному по времени вплоть до второго. Кроме того, эти оценки учитывают аппроксимационные свойства проекционных подпространств, что иллюстрируется на подпространствах типа конечных элементов. Библиогр. 10.
1. Основные предположения Пусть V и H — сепарабельные гильбертовы пространства такие, что V ⊂ H, а вложение плотно и непрерывно. Обозначим через V 0 пространство, двойственное V . Тогда, отождествляя H с его двойственным, получим V ⊂ H ⊂ V 0 . Под выражением вида (z, v) далее понимаем значение функционала z ∈ V 0 на элементе v ∈ V . В случае z ∈ H выражение (z, v) совпадает со скалярным произведением элементов z, v ∈ H. Норму элемента z в пространстве H обозначаем через kzk. Пусть для t ∈ [0, T ], где T < ∞, на u, v ∈ V определено семейство полуторалинейных симметричных форм a(t, u, v). Предположим также, что функция t → a(t, u, v) абсолютно непрерывна на [0, T ] и выполнены условия |a(t, u, v)| ≤ M1 kukV kvkV ,
(1)
δkuk2V
(2)
a(t, u, u) ≥ (δ > 0), ∂ a(t, u, v) ≤ M2 kukV kvkV . ∂t
(3)
Здесь и далее производные понимаются в обобщенном смысле. Форма a(t, u, v) порождает линейный ограниченный из V в V 0 оператор A(t), определяемый соотношением a(t, u, v) = (A(t)u, v). Из (1) следует оценка kA(t)ukV 0 ≤ M1 kukV . Для всех u ∈ V функция t → A(t)u ∈ V 0 дифференцируема и ∂a(t, u, v)/∂t = (A0 (t)u, v). Функция t → A0 (t)u ∈ V 0 измерима, и из (3) следует почти при всех t ∈ [0, T ] оценка kA0 (t)ukV 0 ≤ M2 kukV . Определим для t ∈ [0, T ] множество D[A(t)] = {u ∈ V | A(t)u ∈ H}. Заметим, что оператор A(t), рассматриваемый в H с областью определения c 2001 Смагин В. В.
Энергетические оценки погрешности
671
D[A(t)] ⊂ H, является самосопряженным и положительно определенным. При этом для операторов A1/2 (t) области определения D[A1/2 (t)] = V . Предположим существование гильбертова пространства E такого, что для t ∈ [0, T ] выполняется D[A(t)] ⊂ E ⊂ V , пространство V совпадает с интерполяционным пространством [E, H]1/2 (см. [1]) и для t ∈ [0, T ], u ∈ D[A(t)] выполняется оценка kukE ≤ dkA(t)uk. Предположим, что на V определены почти при всех t ∈ [0, T ] линейные операторы B(t) : V → H такие, что kB(t)uk ≤ M3 kukV
(u ∈ V ).
(4)
Считаем, что для u ∈ V функция t → B(t)u ∈ H измерима на [0, T ]. В описанных выше предположениях рассмотрим в пространстве H задачу u0 (t) + A(t)u(t) + B(t)u(t) = f (t),
u(0) = u0 ∈ V.
(5)
Считаем, что f ∈ L2 (0, T ; H). Тогда [2] задача (5) имеет единственное решение u(t) такое, что u(t) ∈ C([0, T ], V ) ∩ L2 (0, T, E); u0 (t), A(t)u(t) ∈ L2 (0, T, H); выполняются начальное условие и почти всюду на [0, T ] уравнение (5). Кроме того, справедлива оценка ZT ZT max ku(t)k2V + (ku0 (t)k2 + kA(t)u(t)k2 ) dt ≤ M ku0 k2V + kf (t)k2 dt. (6) 0≤t≤T
0
0
Такое решение u(t) далее называется обобщенным. Обратим внимание, что в [2] приводятся условия существования у (5) и более гладких решений. Отметим здесь также, что результаты настоящей работы формально справедливы и без предположения симметричности форм a(t, u, v). Конечно, при этом ссылки на обобщенную разрешимость задачи (5) следует заменить предположением о существовании решения соответствующей гладкости. Примеры модельных параболических задач, сводящихся к (5), можно найти в [1–3]. Отметим, что задача (5) является абстрактным аналогом начальнокраевых задач для параболических уравнений как с краевыми условиями Дирихле, так и с условиями Неймана, а также и со смешанными краевыми условиями. Кроме того, можно рассматривать задачи произвольного 2m (m ≥ 1) порядка по пространственным переменным. В работе [3] задача (5) решается приближенно проекционно-разностным методом с неявной схемой Эйлера по времени. В [3] получены эффективные энергетические оценки погрешности приближенных решений. Проекционноразностный метод со схемой Кранка — Николсон по времени позволяет, естественно при некоторых дополнительных минимальных условиях гладкости исходной задачи, получить оценки погрешности, обеспечивающие по времени более высокий, чем в [3], вплоть до второго, порядок скорости сходимости погрешности к нулю. Заметим, что для уравнения теплопроводности типа (5) с A(t) ≡ −∆, где ∆ — оператор Лапласа, и B(t) ≡ 0 в 3-мерном параллелепипеде и краевыми условиями Дирихле на границе проекционно-разностная схема Кранка — Николсон рассматривалась в [4, 5] для проекционных подпространств специального вида. В [4, 5] оценка погрешности со вторым порядком по времени установлена в L2 -норме по совокупности переменных. В [6] соответствующая L2 -оценка погрешности получена уже для уравнения типа (5) в произвольной области
672
В. В. Смагин
Ω ⊂ Rn и также с краевыми условиями Дирихле на границе. При этом в [6] A(t) ≡ A — симметричный эллиптический оператор второго порядка, не зависящий от t, и B(t) ≡ 0. В общем случае для задачи (5) общего вида L2 -оценки погрешности проекционно-разностного метода со схемой Кранка — Николсон по времени установлены в [7]. Кроме L2 -оценки в [6] приведена оценка погрешности и в более сильной норме, однако только с первым порядком по времени. Отметим, что справедливость подобной оценки следует из [8] для проекционноразностного метода с простейшей неявной схемой по времени и параболического уравнения (5) более общего вида, чем в [6]. Построение приближенной задачи проведем по методике, предложенной в [9] и примененной также в [7]. Через Vh , где h > 0, обозначим конечномерное подпространство пространства V . Определим на элементах uh ∈ Vh двойственную норму kuh kVh0 = sup |(uh , vh )|, где точная верхняя граница берется по всем vh ∈ Vh с kvh kV = 1. Очевидно, что kuh kVh0 ≤ kuh kV 0 . Пусть Ph — ортопроектор в пространстве H на Vh . В [10] показано, что оператор Ph допускает расширение по непрерывности до оператора P h : V 0 → Vh0 и kP h ukVh0 ≤ kukV 0 для u ∈ V 0 . Отметим для u ∈ V 0 , v ∈ H важное в приложениях соотношение (P h u, v) = (u, Ph v), полученное в [9]. Задаче (5) сопоставим разностную задачу в Vh : uhk − uhk−1 τ −1 + Akh + Bhk uhk + uhk−1 2−1 = fhk , (7) где k = 1, 2, . . . , N (N — натуральное число) и элемент uh0 ∈ Vh считаем заданным. В (7) τ N = T, Bhk
=τ
tk = kτ,
−1
Akh = P h [A(tk ) + A(tk−1 )]2−1 ,
Ztk Ph B(t) dt,
fhk
=τ
−1
tk−1
Ztk Ph f (t) dt.
tk−1
Установим однозначную разрешимость задачи (7), т. е. обратимость в Vh оператора I + τ 2−1 Akh + Bhk . Действительно, пусть vh ∈ Vh таков, что vh + τ 2−1 (Akh + Bhk )vh = 0. Тогда kvh k2 + 4−1 τ [a(tk , vh , vh ) + a(tk−1 , vh , vh )] + 2−1
Ztk (B(t)vh , vh ) dt = 0.
tk−1
Воспользовавшись (2) и (4), для произвольного ε > 0 получим kvh k2 + 2−1 τ δkvh k2V ≤ 4−1 τ M3 εkvh k2V + ε−1 kvh k2 . Возьмем в последней оценке ε = 2δM3 −1 . При 0 < τ ≤ 8δM3 −2 имеем vh = 0 и, следовательнo, однозначную разрешимость задачи (7). 2. Базовая оценка погрешности Лемма 1. Для решения uhk задачи (7) справедлива оценка N X
h
uk − uhk−1 τ −1 2 0 + uhk + uhk−1 2−1 2 τ V V k=1
h
! N
h 2
h 2 X
k 2
fh 0 τ . (8) + max uk ≤ M u0 + V 1≤k≤N
k=1
h
Энергетические оценки погрешности
673
Доказательство. Умножим (7) скалярно в H на uhk +uhk−1 2−1 и от полученного тождества возьмем удвоенную вещественную часть. При этом заметим, что h
uk − uhk−1 uhk + uhk−1 1
uhk 2 − 1 uhk−1 2 + i Im uhk , uhk−1 , , = τ 2 2τ 2τ τ где i — мнимая единица. Таким образом, придем к соотношению
uh + uhk−1 uhk + uhk−1 1
uhk 2 − 1 uhk−1 2 + 2 Akh k , τ τ 2 2 h h h h h h k uk + uk−1 k uk + uk−1 uk + uk−1 , = 2 Re fh , − 2 Re Bh = I1 + I2 . (9) 2 2 2 Из (2) следует оценка
h
uk + uhk−1 2 uh + uhk−1 uhk + uhk−1
. , 2 Akh k ≥ 2δ
2 2 2 V Оценим слагаемые в правой части (9). Имеем
h
uk + uhk−1 2 1 k 2
.
I1 ≤ f 0 + ε1
ε1 h Vh 2 V
(10)
(11)
Из предположения (4) получаем
h
uk + uhk−1 uhk + uhk−1
I2 ≤ 2M3
2 2 V
h
2
uk + uhk−1 2
+ M3 uhk 2 + uhk−1 2 . (12) ≤ ε2
2 2ε2 V Положим в (11) и (12) ε1 = ε2 = 2−1 δ. Тогда тождество (9) и оценки (10)–(12) приводят к неравенству
h
u + uhk−1 2
1
uhk 2 − 1 uhk−1 2 + δ k
≤ c1 fhk 2 0 + c2 uhk 2 + uhk−1 2 . (13)
V h τ τ 2 V Умножим (13) на τ и просуммируем по k от 1 до m ≤ N . Получим
m h X
h 2
uk + uhk−1 2
τ
um + δ
2 V k=1
≤ c1
m m X X
k 2
h 2
fh 0 τ + 2c2
uk τ + (1 + c2 τ ) uh0 2 . (14) V k=1
h
k=1
Из (14) вытекает для всех m ≤ N неравенство N X
h 2
k 2
um ≤ c3 uh0 2 +
fh 0 τ V k=1
!
h
+ 2c2
m X
h 2
uk τ, k=1
являющееся дискретным аналогом интегрального неравенства Гронуолла — Беллмана. Отсюда для достаточно малых τ индукцией по m ≤ N приходим к оценке ! N
h 2
h 2 X
k 2
um ≤ c3 u0 +
fh 0 τ (1 − 2c2 τ )−m . k=1
Vh
674
В. В. Смагин
Заметим теперь, что при N → ∞ (1 − 2c2 τ )−m ≤ (1 − 2c2 τ )−N → exp{2c2 T }.
2 В результате оценка (8) установлена для max uhk . Теперь в правой части (14)
2 под знаком суммы можно оценить uh , что приведет к оценке k
!
N h N
h 2 X
uk + uhk−1 2
h 2 X
k 2
τ ≤ c u0 +
fh 0 τ . max uk +
Vh 1≤k≤N 2 V k=1
(15)
k=1
Оценка выражения uhk − uhk−1 τ −1 V 0 следует теперь из (7) и (15). h
Обратим внимание, что в случае B(t) ≡ 0 разрешимость задачи (7) и оценка решения (8) получаются без предположения малости τ . Далее через Qh обозначаем ортопроектор в пространстве V на Vh ⊂ V . Теорема 1. Пусть u(t) — обобщенное решение задачи (5), а uhk — решение задачи (7). Тогда справедлива оценка
N
2 X
u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−1 2
τ
− max Qh u(tk ) − uhk +
1≤k≤N 2 2 V k=1 T Z
2 ≤ M Qh u0 − uho + k(Qh − I)u(t)k2V dt 0
t
2 Zk
1 u(tk ) + u(tk−1 )
+ − u(t) dt
τ 2
k=1 t k−1 V
t
2
N Zk X
1 A(tk ) + A(tk−1 )
− A(t) u(t) dt +
τ 2
N X
k=1 t k−1
V0
2 N Ztk X
1 u(tk ) + u(tk−1 )
+ B(t)Qh − u(t) dt
τ 2
0 k=1 tk−1
V
N 1X k(Qh − I)[u(tk ) − u(tk−1 )]k2V 0 . (16) + τ k=1
Доказательство. Уравнение (5) интегрируем от tk−1 до tk , результат делим на τ и применяем проектор Ph . В результате получим тождество Qh [u(tk ) − u(tk−1 )]τ −1 + Akh Qh [u(tk ) + u(tk−1 )]2−1 Ztk 1 u(tk ) + u(tk−1 ) k k = fh + Ah Qh − Ph A(t)u(t) dt τ 2 tk−1
+ (Qh − Ph )[u(tk ) − u(tk−1 )]τ −1 −
1 τ
Ztk Ph B(t)u(t) dt. (17) tk−1
Энергетические оценки погрешности
675
Из (17) вычитаем (7). Для zkh = Qh u(tk ) − uhk получаем −1 −1 h h zkh − zk−1 τ + Akh + Bhk zkh + zk−1 2 Ztk 1 u(tk ) + u(tk−1 ) = Akh Qh − Ph A(t)u(t) dt τ 2 tk−1
1 + τ
Ztk u(tk ) + u(tk−1 ) Bhk Qh − Ph B(t)u(t) dt 2 tk−1
+ (Qh − Ph )[u(tk ) − u(tk−1 )]τ −1 = I1 + I2 + I3 . (18) Преобразуем слагаемые I1 и I2 в правой части (18). Имеем 1 I1 = τ
Ztk
Akh Qh
u(tk ) + u(tk−1 ) − u(t) dt 2
tk−1
Ztk
1 + τ
Akh (Qh
1 − I)u(t) dt + τ
tk−1
Ztk
k Ah − Ph A(t) u(t) dt. (19)
tk−1
Переходим к слагаемому 1 I2 = τ
Ztk
Ph B(t)Qh
tk−1
Ztk 1 u(tk ) + u(tk−1 ) − u(t) dt + Ph B(t)(Qh − I)u(t) dt. 2 τ (20) tk−1
Применим к (18), учитывая (19) и (20), оценку (8):
2 N h h
h 2 X
zk + zk−1
τ
max zk +
1≤k≤N 2 V k=1
2 Ztk N X
1 u(t ) + u(t ) 2 k k−1
Akh Qh ≤ M Qh u0 − uh0 + − u(t) dt
τ 2
0 k=1 tk−1
Vh
2
2
Ztk N N Ztk X
1 X 1 k k
+ Ah (Qh − I)u(t) dt + Ah − Ph A(t) u(t) dt
τ
0
0 τ k=1 k=1 tk−1
Vh
tk−1
Vh
2 N Ztk X
1 u(tk ) + u(tk−1 )
+ Ph B(t)Qh − u(t) dt
τ 2
0 k=1 tk−1
Vh
2
N Ztk N X X
1 1
+ + Ph B(t)(Qh − I)u(t) dt kPh (Qh − I)[u(tk ) − u(tk−1 )]k2V 0
h τ
0 τ k=1 k=1 tk−1
Vh
=M
7 X i=1
Ii . (21)
676
В. В. Смагин
Оцениваем слагаемые Ii в правой части (21). При этом используем тот факт, что kP h kV 0 →Vh0 ≤ 1. Таким образом,
2
N Ztk X
A(tk ) + A(tk−1 ) 1
I4 ≤ − A(t) u(t) dt
, τ 2
0 k=1 tk−1
V
2 N Ztk
u(t ) + u(t ) 1 X k k−1
B(t)Qh I5 ≤ − u(t) dt
. τ 2
0 k=1 tk−1
V
Подобным же образом оцениваем и I7 . Воспользовавшись, кроме того, (1), получаем оценки
2 N Ztk
M12 X u(t ) + u(t ) k k−1
I2 ≤ − u(t) dt
, τ 2
k=1 tk−1
V
2
ZT N Ztk X
2 2
I3 ≤ (Qh − I)u(t) dt
≤ M1 k(Qh − I)u(t)kV dt. τ
k=1 M12
tk−1
V
0
Условие (4) и непрерывность вложения H ⊂ V 0 позволяют получить оценку
I6 ≤ cM32
ZT
k(Qh − I)u(t)k2V dt.
0
Для завершения доказательства оценки (16) осталось оценить погрешность:
N X
u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−1 2
τ
−
2 2 V
k=1
2
2 N Ztk N Ztk X
4 X u(t ) + u(t ) 4 k k−1
+
≤ − u(t) dt (I − Q )u(t) dt h
τ 2 τ
k=1 t k=1 t k−1 k−1 V V
t
2 k
2 N Z N h h X
zk + zk−1
u(tk ) + u(tk−1 ) 4 X
τ.
Q u(t) − dt + + 4 h
τ 2 2
V k=1 k=1 tk−1
V
Отсюда и из (21), учитывая оценки слагаемых Ii , приходим к окончательной оценке (16). Замечание 1. Справедлива оценка погрешности
2
2 max u(tk ) − uhk ≤ 2 max k(I − Qh )u(t)k2 + 2 max Qh u(tk ) − uhk . (22)
1≤t≤N
0≤t≤T
1≤k≤N
Энергетические оценки погрешности
677
3. Оценки погрешности с порядком скорости сходимости Теорема 2. Пусть u(t) — решение задачи (5) такое, что u0 ∈ L2 (0, T ; V ). Пусть uhk — решение задачи (7). Тогда справедлива оценка
N X
u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−1 2
h 2
τ
max u(tk ) − uk + −
1≤k≤N 2 2 V k=1 T Z
2 ≤ M Ph u0 − uh0 + τ 2 ku(t)k2V + ku0 (t)k2V dt + max k(Qh − I)u(t)k2 0≤t≤T 0 ZT + k(Qh − I)u(t)k2V + k(Qh − I)u0 (t)k2 dt . (23) 0
Доказательство. Оценим слагаемые Ii в правой части (16). Так как Ztk
Ztk 1 u(tk ) + u(tk−1 ) − u(t) dt = − (tk − 2t + tk−1 )u0 (t) dt, 2 2 tk−1
tk−1
для третьего слагаемого I3 получим
2
N Ztk
1 X 0
(tk − 2t + tk−1 )u (t) dt I3 =
4τ
k=1 t k−1 V t 2 T k Z N 2 Z τ τ X 0 ku (t)kV dt ≤ ku0 (t)k2V dt. (24) ≤ 4 4 k=1
tk−1
0
С учетом непрерывности вложения H ⊂ V 0 и условия (4) оцениваем
2 Ztk N X
u(tk ) + u(tk−1 )
I5 ≤ c − u(t)
dt
2 V
k=1 t
k−1
≤ cτ
2
Ztk N X
ku0 (t)k2V dt = cτ 2
k=1 t
ZT
ku0 (t)k2V dt.
0
k−1
Оценим четвертое слагаемое в правой части (16). Получим
2 Ztk N X
A(tk ) + A(tk−1 )
I4 ≤ − A(t)
2
V →V
k=1 t
ku(t)k2V dt. 0
k−1
Заметим, что
2 Ztk
A(tk ) + A(tk−1 )
≤ τ − A(t) kA0 (s)k2V →V 0 ds ≤ τ 2 M22 .
2 0 V →V tk−1
(25)
678
В. В. Смагин
Таким образом, I4 ≤ τ
2
M22
ZT
ku(t)k2V dt.
0
Наконец, оцениваем
2
ZT Ztk N X
1 0 2 0
(Qh − I) u (t) dt I6 ≤
≤ c k(Qh − I)u (t)k dt.
τ
0 k=1 tk−1
0
V
Оценка (23) следует теперь из полученных оценок слагаемых Ii , оценки (22) и того, что
Qh u0 − uh0 ≤ max k(Qh − I)u(t)k + Ph u0 − uh0 . 0≤t≤T
Далее, покажем, что небольшая дополнительная гладкость по t операторов A(t) и B(t), а также точного решения u(t) задачи (5) позволяют увеличить скорость сходимости погрешности к нулю по τ на порядок. Пусть функция t → ∂a(t, u, v)/∂t для u, v ∈ V абсолютно непрерывна на [0, T ] и 2 ∂ (26) ∂t2 a(t, u, v) ≤ M4 kukV kvkV . В таком случае для u ∈ V функция t → A0 (t)u ∈ V 0 дифференцируема и (A00 (t)u, v) = ∂ 2 a(t, u, v)/∂t2 для u, v ∈ V . Функция t → A00 (t)u ∈ V 0 измерима, и из (26) для u ∈ V следует оценка kA00 (t)ukV 0 ≤ M4 kukV почти при всех t ∈ [0, T ]. Пусть операторы B(t) для u ∈ V и t, s ∈ [0, T ] удовлетворяют условию k[B(t) − B(s)]uk ≤ M5 |t − s|γ kukV
(0 < γ ≤ 1).
(27)
Теорема 3. Предположим, что форма a(t, u, v) и оператор B(t) удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Пусть u(t) — решение задачи (5) такое, что u00 ∈ Lp (0, T ; V ) для 1 ≤ p ≤ 2. Пусть uhk — решение задачи (7). Тогда справедлива оценка
N
X
u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−1 2
h
τ max u(tk ) − uk + −
1≤k≤N 2 2 V k=1
2 ≤ M Ph u0 − uh0 + max k(Qh − I)u(t)k2 0≤t≤T ZT [k(Qh −
+
I)u(t)k2V
0
2
+ k(Qh − I)u (t)k ] dt + τ
0
2γ+2
ZT
ku0 (t)k2V dt
0
T T 2/p Z Z + τ 5−2/p ku(t)k2V + ku0 (t)k2V dt + ku00 (t)kpV dt . (28) 0
0
Доказательство. Как и в теореме 2, необходимо оценить уже иначе слагаемые в правой части (16). Перед оценкой слагаемого I3 заметим, что Ztk Ztk u(tk ) + u(tk−1 ) 1 − u(t) dt = [τ 2 − (tk − 2t + tk−1 )2 ]u00 (t) dt. (29) 2 8 tk−1
tk−1
Энергетические оценки погрешности
679
В таком случае
2
N Ztk
1 X 2 2 00
.
[τ − (t − 2t + t ) ]u (t) dt I3 ≤ k k−1
64τ
k=1 tk−1
2
V
2
2
Так как |τ − (tk − 2t + tk−1 ) | ≤ τ для t ∈ [tk−1 , tk ], получим t T 2/p 2/p Zk N 5−2/p Z τ 5−2/p X τ ku00 (t)kp dt . I3 ≤ ku00 (t)kpV dt ≤ V 64 64 k=1
tk−1
(30)
0
Оценим слагаемое I4 в (16). Для этого сделаем в нем некоторые преобразования: Ztk
A(tk ) + A(tk−1 ) − A(t) u(t) dt 2
tk−1
Ztk
1 = τ
Ztk A(tk ) + A(tk−1 ) − A(t) [u(t) − u(s)] ds dt 2 tk−1
tk−1
Ztk
1 + τ
Ztk A(tk ) + A(tk−1 ) u(s) ds. − A(t) dt 2 tk−1
tk−1
Таким образом, приходим к оценке
t
2
Zk
2
Ztk N X
2 A(tk ) + A(tk−1 )
− A(t) [u(t) − u(s)] ds I4 ≤ 2
dt
τ 2
V →V 0 k=1 t
tk−1
k−1
2 N Ztk X
2 A(tk ) + A(tk−1 )
+ 3 − A(t) dt
τ 2
k=1 tk−1
V →V
V
t
2
Zk
1 2
u(s) ds
= I4 + I4 .
0 tk−1
V
Оценивая I41 , воспользуемся оценкой (25). Получим I41
≤
2M22 τ 4
N Ztk X
ku
0
(s)k2V
ds =
k=1t k−1
2M22 τ 4
ZT
ku0 (s)k2V ds.
0
I42
При оценке заметим, что подобно (29)
t
Zk 2
A(t ) + A(t ) k k−1
− A(t) dt
2
tk−1 V →V 0
t
2
Zk
1 2 2 00 = [τ − (tk − 2t + tk−1 ) ]A (t) dt
64
tk−1
≤
V →V 0
Отсюда Ztk
N
I42 ≤
1 4 2X τ M4 32
k=1 t
k−1
ku(t)k2V dt =
1 4 2 τ M4 32
ZT 0
ku(t)k2V dt.
1 2 6 M τ . 64 4
680
В. В. Смагин
Переходим к оценке в (16) слагаемого I5 . Имеем
2 N Ztk X
u(tk ) + u(tk−1 ) 2
[B(t) − B(tk )]Qh I5 ≤ − u(t) dt
τ 2
k=1 t k−1
V0
2 Ztk N X
u(tk ) + u(tk−1 ) 2 1 2
B(tk )Qh + − u(t) dt
= I5 + I5 . τ 2
0 k=1 tk−1
V
Учитывая непрерывность вложения H ⊂ V 0 и оценку (27), получим I51
≤ cτ
2γ+2
ZT
ku0 (t)k2V dt.
0
При оценке слагаемого ками (4) и (30):
I52
пользуемся непрерывностью вложения H ⊂ V 0 , оцен-
T 2/p Z I52 ≤ cτ 5−2/p ku00 (t)kpV dt . 0
Оценку слагаемого I6 в (16) проведем, как и в теореме 2. Собирая оценки слагаемых Ii и (22), приходим к оценке (28). Замечание 2. В условиях теорем 2 и 3 можно установить подобные оценки для погрешности
2 N N X X
uh + uhk−1 2
u(tk−1/2 ) − u(tk ) + u(tk−1 ) τ
u(tk−1/2 ) − k
τ ≤2
2 2 V V k=1 k=1
N h h X u(tk ) + u(tk−1 ) uk + uk−1
2
τ. (31) +2 −
2 2 V k=1
Оценка второго слагаемого в правой части (31) уже установлена в (23) и (28). Поэтому достаточно проследить, что первое слагаемое в правой части (31) дает в соответствующих условиях тот же порядок по τ . Например, если выполнены условия теоремы 3, то из представления tk−1/2
u(tk ) + u(tk−1 ) u(tk−1/2 ) − = 2
Z
Ztk
00
(tk−1 − s)u (s) ds + tk−1
(s − tk )u00 (s) ds
tk−1/2
следует оценка T 2/p
2 Z N X
u(tk−1/2 ) − u(tk ) + u(tk−1 ) τ ≤ τ 5−2/p ku00 (s)kp ds . V
2
k=1
V
0
Замечание 3. Оценки погрешности (23), (28) и (22) позволяют получать порядок скорости сходимости и по пространственным переменным. В сходной ситуации это было продемонстрировано, например, в [3, 7]. Пусть подпространства Vh обладают аппроксимационным свойством, типичным для метода конечных элементов: k(I − Qh )vkV ≤ chkvkE (v ∈ E), (32)
Энергетические оценки погрешности
681
где константа c > 0 не зависит от v и h. Из (32) в условиях теоремы 2 следует оценка
N X
u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−1 2
h 2
τ max u(tk ) − uk + −
1≤k≤N 2 2 V k=1 T Z
2 ku(t)k2E + ku0 (t)k2V dt ≤ M Ph u0 − uh0 + h2 0 ZT + τ2 ku(t)k2V + ku0 (t)k2V dt . (33) 0
Если же выполнены условия теоремы 3, то справедлива оценка
N
2 X
u(tk ) + u(tk−1 ) uhk + uhk−1 2
τ max u(tk ) − uhk + −
1≤k≤N 2 2 V k=1 T Z ZT
0 h 2 2 2 0 2 2γ+2
P u − u0 + h ku(t)kV + ku (t)kV dt + τ ku0 (t)k2V dt ≤M h 0
0
T 2/p T Z Z + τ 5−2/p ku(t)k2V + ku0 (t)k2V dt + ku00 (t)kpV dt . (34) 0
0
Необходимые подробности обоснования оценок (33) и (34) можно найти в [3]. Кроме того, при выводе (33) и (34) используется оценка [1, гл.1] max
0≤t≤T
ku(t)k2V
ZT ≤M
ku(t)k2E + ku0 (t)k2 dt.
0
Замечание 4. Результаты данной работы, как легко видеть, остаются справедливыми, если равномерную сетку по времени заменить произвольной 0 = t0 < t1 < · · · < tN = T . При этом в оценках погрешности, например (34), в левой части вместо τ следует писать τk = tk − tk−1 , а в правой части под τ надо понимать max τk . ЛИТЕРАТУРА 1. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 2. Смагин В. В. О разрешимости абстрактного параболического уравнения с оператором, область определения которого зависит от времени // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 5. С. 711–712. 3. Смагин В. В. Коэрцитивные оценки погрешностей проекционно-разностного метода для параболического уравнения с оператором, область определения которого зависит от времени // Сиб. мат. журн.. 1996. Т. 37, № 2. С. 406–418. 4. Злотник А. А., Туретаев И. Д. О точных оценках погрешности и оптимальности двухслойных экономичных методов решения уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272, № 6. С. 1306–1311. 5. Злотник А. А., Туретаев И. Д. Точные оценки погрешности некоторых двухслойных методов решения трехмерного уравнения теплопроводности // Мат. сб.. 1985. Т. 128, № 4. С. 530–544.
682
В. В. Смагин
6. Туретаев И. Д. Точные оценки градиента погрешности проекционно-разностных схем для параболических уравнений в произвольной области // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1986. Т. 26, № 11. С. 1748–1751. 7. Смагин В. В. Среднеквадратичные оценки погрешности проекционно-разностного метода для параболических уравнений // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2000. Т. 40, № 6. С. 908–919. 8. Смагин В. В. Оценки в сильных нормах погрешности проекционно-разностного метода приближенного решения абстрактного параболического уравнения // Мат. заметки. 1997. Т. 62, № 6. С. 898–909. 9. Смагин В. В. Оценки скорости сходимости проекционного и проекционно-разностного методов для слабо разрешимых параболических уравнений // Мат. сб.. 1997. Т. 188, № 3. С. 143–160. 10. Вайникко Г. М., Оя П. Э. О сходимости и быстроте сходимости метода Галеркина для абстрактных эволюционных уравнений // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 7. С. 1269–1277. Статья поступила 1 сентября 1998 г. Смагин Виктор Васильевич Воронежский гос. университет, математический факультет Университетская пл., 1, Воронеж 394693
[email protected] 