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Bruno Poizat Universite Claude Bernard 43, boulevard du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne-cedex, France
[email protected]
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Bruno Poizat
COURS DE THEORIE DES MODELES
Une introduction a la Logique Mathematique contemporaine
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. 419 . 421 . 436 . 439 . 454 . 456
¢¥¤¥¨¥ ®áª®èë¥ ª¨£¨, çâ® ª ¬ ¯®áâ㯠îâ ¨§-§ ®ª¥ ®¤¥âë ¢ £«ï楢ãî á㯥஡«®¦ªã, ®¡®à®â¥ ª®â®à®© ¢¨¤¥ ¯®àâà¥â ã«ë¡ î饣®áï ¬®«®¤®£® 祫®¢¥ª ¢ £ «áâ㪥 { ¢â®à , ¯®¤ ®£® ¢ ¯®«®© 㯠ª®¢ª¥ ¯à¥á⨦ëå 㨢¥àá¨â¥â᪨å â¨âã«®¢; â ¬ ¢ë ©¤¥â¥ § ¬¥ç ¨¥, à áå¢ «¨¢ î饥 ¤®á⮨á⢠¨ 㨢¥àá «ì®¥ § 票¥ ¥£® ª¨£¨, ª®â®àãî ® ४®¬¥¤ã¥â ªã¯¨âì ¢á¥¬ ¡¥§ ¨áª«î票ï, ¨ ¢ ®á®¡¥®á⨠⥬, ªâ® ¨â¥à¥áã¥âáï ¯à¥¤¬¥â®¬, à áᬮâà¥ë¬ ¢ ¥©. ¥ ⮦¥ á«¥¤ã¥â ã¡¥¤¨âì ¢ á ¢ ¯®«¥§®á⨠¬®¥© ª¨£¨; ï çã á ãâ®ç¥¨ï ⮣®, ª®¬ã ¤à¥á®¢ íâ®â ªãàá : ® ¤à¥á®¢ ¬ ⥬ ⨪ ¬ . ¥£® ¯¨á « ¤ã¬ ï ® â¥å ¬®¨å ᮡà âìïå, ª®â®àë¥ ®¤ ¦¤ë ¨á¯ëâ «¨ çã¢á⢮ «î¡®¯ëâá⢠, ¨®£¤ ¤®¡à®¦¥« ⥫쮣®, ¯®à®© á¨á室¨â¥«ì®£®, ª ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¥ ¨, ª®â®àë¥ ¥ ᬮ£«¨ ©â¨ ¢ ¢¢®¤ëå ª¨£ å, áãé¥áâ¢ãîé¨å ¢ ¯à®¤ ¦¥, ¤®áâ â®ç®£® ¯®¡ã¦¤¥¨ï, § áâ ¢¨¢è¥£® ¨å £«ã¡®ª® ¯à®¨ªãâì ¢ ®¡« áâì í⮩ 㪨; ï å®â¥«, ç⮡ë á ¯¥à¢ëå áâà ¨æ í⮩ ª¨£¨ ®¨ 㧠«¨ á¢®î ¨§«î¡«¥ãî ¤¥ï⥫ì®áâì, á®áâ®ïéãî ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६. áâ à «áï ¨§¡¥£ âì § âïãâëå ç «, £à®¬®¦¤¥¨© ®¯à¥¤¥«¥¨©, ¬®â¨¢ 樨 ª®â®àëå ¡ã¤ãâ ïáë «¨èì ¬®£® ¯®§¦¥, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ «¥¬¬, «¨è¥ëå áãé¥á⢥®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ᮤ¥à¦ ¨ï, ª®â®àë¥ á¡¨¢ îâ á ⮫ªã ¥¨áªã襮£® ¢ í⮬ ¯à¥¤¬¥â¥ ç¨â ⥫ï â®ç® â ª ¦¥ ª ª ¨ ¡®«¥¥ ¢¥á®¬ë¥ ⥮६ë, ¨, ª®â®àë¥ ¥£® £«ã¡®ª® à §¤à ¦ îâ ª®£¤ ® ¯®¨¬ ¥â, çâ® ¯®«®¬ « £®«®¢ã «¨èì ¤ ⥬, çâ®¡ë ¯à®ïá¨âì ¥ª®â®àë¥ ¡ «ì®áâ¨. ¯ëâ «áï ¢¢®¤¨âì ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¡ê¥ªâ®¢ ⮫쪮 ®¤®¢à¥¬¥® á ¯®«ãç¥ë¬¨ ¯® ¨å ¯®¢®¤ã १ã«ìâ â ¬¨, ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ª ª ¬®¦® ¡ëáâ॥ ¯à¨©â¨ ª ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬, ª®â®àëå âॡ®¢ ⥫ìë© ç¨â â¥«ì ¯à¨§ ¥â ª ª ⥮६ã, ¯à¨¬¥à ⥮६ã 1.14, ¤®ª §ë¢ ¥¬ãî ¥áª®«ìª¨å áâà ¨æ å ¨ ã⢥ত îéãî, çâ® ¤¢¥ áç¥âë¥ 1-íª¢¨¢ «¥âë¥ áâàãªâãàë ïîâáï ¨§®¬®àä묨. ï å®â¥« ¯® ¬¥à¥ ¢®§¬®¦®á⨠¨««îáâà¨à®¢ âì ¬¥â®¤ë ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¯à¨¬¥à ¬¨, ¨á¯®«ì§ãî騬¨ ®¡é¥¯à¨ïâë¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¯®ïâ¨ï ( «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï ¨ â.¯. ) , ª®â®àë¥ á®áâ ¢«ïîâ ¯®¢á¥¤¥¢ë© ¬¨à ᮢ६¥®£® ¬ ⥬ ⨪ , ¨ ª®â®àë¥ ¤«ï ¥£® ïîâáï ¡®«¥¥ ¬®â¨¢¨àãî騬¨, 祬 âਢ¨ «ìë¥ ¯à¨¬¥àë, ª®â®àë¥ ®ç¥ì ç áâ® ¬®¦® ©â¨ ¢ ¢¢®¤ëå ª¨¦ª å ¯® «®£¨ª¥ ( "âਢ¨ «ìë©" §¤¥áì ¯®¨¬ ¥âáï ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥, çâ® ¢¯à®ç¥¬ ï¥âáï ¨ í⨬®«®£¨ç¥áª¨¬ á¬ëá«®¬ ) . ®áâ ¢«ïï íâ®â ªãàá ï ¤ã¬ « ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ® ¤à㣮© ª ⥣®à¨¨ ¬ ⥬ ⨪®¢ { ® ç¨ îé¨å ¬ ⥬ ⨪ å, áâ㤥â å è¨å 㨢¥àá¨â¥â®¢, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¡ã¤ã饥, ® ª®â®àë¥ ¥ ᬮ£«¨ ¥éñ § ïâì ¬¥áâ® ¯®¤ ᮫楬 㪨. ®§¬®¦®, ®¨ ©¤ãâ ¥ª®â®àë¥ ¯®¤ê¥¬ë ¥¬®¦ª® âàã¤ë¬¨ ¤«ï ¢®áå®ix
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¦¤¥¨ï; ®¨ ¤®«¦ë ¡ëâì ᯮª®©ë, íâ âà㤮áâì, ª®â®àãî ®¨ ¨á¯ëâë¢ î⠯ਠç⥨¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ⥪áâ ¨§ ¥§ ª®¬®© ¤«ï ¨å ®¡« áâ¨, ®, ª ª ¯à ¢¨«®, ᮤ¥à¦¨â ¯à®¡¥«ë, ¥ ¯à®¨á室ï⠮⠥¤®áâ ⪠¨â¥««¥ªâ : ®¯ëâë¥ ¬ ⥬ ⨪¨ ¨á¯ëâë¢ îâ â® ¦¥ á ¬®¥. ®«®¤ ï ¥¢®§¬ã⨬®áâì, ª®â®à ï ¨¬ ¯à¨áãé , ª®£¤ ®¨ ¯à¨áãâáâ¢ãîâ ¤®ª« ¤ å, ¢ëà ¦ ï ⥬ á ¬ë¬ ¢á¥ ¢¥è¨¥ ¯à¨§ ª¨ ᮢ¥à襮£® ¯®¨¬ ¨ï áâ , ¯¥à¢®®á®¢ë ª®â®à®£® ¨¬ ¥¨§¢¥áâë, ¯à®¨á室ïâ ¥ ¨§-§ ¯à¥¢®á室®© ¡ëáâà®âë ¬ëè«¥¨ï, ¨§-§ ®¡ëª®¢¥¨ï, á ª®â®àë¬ ®¨ ¯®á¥é îâ ª®««®ª¢¨ã¬ë ¨ ᥬ¨ àë. ¯à®ç¥¬, íâ ª¨£ ¤à¥á®¢ ¨¬¥® áâ㤥⠬, ¯®áª®«ìªã à¥çì ¨¤¥â ® ªãàá¥, ª®â®àë© ¡ë« á ¬®¬ ¤¥«¥ ¯à®ç¨â ¯® ç áâï¬ ¨ ¥áª®«ìª® à § ã஢¥ DEA1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ï ¥ ¤ã¬ î, çâ® íâ®â ªãàá ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«¥§ë¬ ¤«ï ç¨ î饣®, ¥ ¨¬¥î饣® ¨ª ª®© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ªã«ìâãàë, ¥á«¨ ⮫쪮 ® ¥ ï¥âáï ¯ ⮫®£¨ç¥áª¨ ®¤ à¥ë¬ : ç¨â â¥«ì ¤®«¦¥ ¡ëâì ã஢¥ ¡ ª « ¢à ¨«¨ ¬ £¨áâà â ¯® ¬ ⥬ ⨪¥ ; á ¬®¬ ¤¥«¥ 㦮 ®¯à¥¤¥«¥®¥ § ª®¬á⢮ á ®¡ëç묨 ᮣ« 襨ﬨ, ¬¥â®¤ ¬¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¯à¨ïâ묨 ¢ ᮢ६¥®© ¬ ⥬ ⨪¥, ª®â®àë¥ ª ª ¨ ¯®¢áî¤ã, ¯à¨¬¥ïîâáï ¢ í⮬ ªãàá¥, â ª¦¥ á ¯à¨¬¥à ¬¨ á«ã¦ 騬¨ ¤«ï ¨å ¨««îáâà 樨 ; à ¢ë¬ ®¡à §®¬, ¥®¡å®¤¨¬® ¨¬¥âì ¤®áâ â®ç® ïᮥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ® ª®¬¯ ªâëå ¯à®áâà á⢠å. ® í⮬㠯®¢®¤ã, ï ¢á¥ ¥éñ ¯®¬î ᥡï, § ïî饣® «¨æ®¬ ª ¤®áª¥, ¢ ®¤®© ¨§ ¬®¨å «¥ªæ¨© : "®§ì¬¥¬ ¯®ïáïî騩 ¯à¨¬¥à, ¯ãáâì K { «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ ¯®«¥ : : : " ¨ ¯®¢®à 稢 ïáì ª 㤨â®à¨¨, ¯® ¢¨¤ã ¬®¨å áâ㤥⮢ ï ¯®ï«, ç⮠ᢥ⠨á室ï騩 ¨§ í⮣® ¯à¨¬¥à ¡ë« ¡ë ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯à®ïáïî騬, ¥á«¨ ¡ë ®¨ § «¨ ® 祬 ¨¤¥â à¥çì.
᫨, â ª¨¬ ¦¥ ®¡à §®¬, ç¨ î騩 ç¨â â¥«ì § ¯ãâ ¥âáï ¢ ¯à¨¬¥à å, ª®â®àë¥ ¯à¥¤ § ç¥ë ¤«ï ⮣®, ç⮡ë 㪠§ë¢ âì ¥¬ã ¤®à®£ã, ® ¬®¦¥â ¨å ¯à®¯ãáâ¨âì, ¨«¨ ®¡à â¨âìáï ª ¡«¨¦ ©è¥¬ã ã祡¨ªã ¯® «£¥¡à¥ ¨«¨ ⮯®«®£¨¨, ¨«¨ ¯à®áâ® ®¡à â¨âìáï § ¯®¬®éìî ª ¡®«¥¥ ®¯ë⮬ã ⮢ à¨éã. ® § ¨áª«î票¥¬ ¯à¨¥¬«¥¬®£® ãà®¢ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ªã«ìâãàë, ¥ âॡã¥âáï ¨ª ª¨å ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨å § ¨© çâ®¡ë ¯à¨áâ㯨âì ª ç⥨î í⮣® ªãàá , ïî饣®áï ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¢¢®¤®© ª¨£®©, ª®â®à ï à áᬠâਢ ¥â ¬ ⥬ â¨ç¥áªãî «®£¨ªã á á ¬®£® ç « . ª®¥æ, ï ¤ã¬ « ® âà¥â쥩 ª ⥣®à¨¨ ç¨â ⥫¥© { ¬ ⥬ ⨪ å-á¯¥æ¨ «¨áâ å ¢ «®£¨ª¥. ०¤¥ ¢á¥£®, ¯®â®¬ã çâ® ¨¬ ¯à¨å®¤¨âáï ¯à¥¯®¤ ¢ âì íâ®â ¯à¥¤¬¥â ¨ ®¨ ¬®£ãâ, ¥á«¨ ©¤ã⠯ਥ¬«¥¬®©, ¯à¥¤«®¦¨âì ¬®î ª¨£ã ᢮¨¬ áâ㤥⠬ ª ª £¨¤, ¥á«¨ ®¨ ç¨â îâ ªãàá ¯® ⥬¥, à áᬠâਢ ¥¬®© §¤¥áì, ¨«¨ ª ª áá뫪ã, ¥á«¨ ®¨ ¯à¥¢ëè îâ íâ®â ã஢¥ì. â ª¦¥, (¨ §¤¥áì ï ¤®«¦¥ ¯à¨§ âìáï, çâ® ¯à®ï¢«ïî ¡®«ìèãî á ¬® ¤¥ï®áâì) ï ¢¥àî, çâ® ¬®ï ª¨£ ᬮ¦¥â ¤ âì ¥ª®â®àë¥ ®¢ë¥ § ¨ï ¤ ¦¥ ¯à®ä¥áᨮ «ìë¬ «®£¨ª ¬ ; á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥ñ ¢â®à ï ç áâì, á®áâ®ïé ï ¨§ £« ¢ á 11 ¯® 20 , âà ªâã¥â â®, ç⮠⥯¥àì §ë¢ ¥âáï "⥮ਥ© áâ ¡¨«ì®áâ¨" ; ¨¬¥® ¥ñ á¯¥æ¨ «¨áâë à áᬠâਢ îâ ª ª á¥à¤æ¥¢¨ã ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ¬¥® ã ¥ñ ¨¡®«ì訩 è á ¢ë©â¨ § â¥á®¢ âë¥ à ¬ª¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¨. ® íâ® ®¡ê¥¬ § ¨ï, ¢®§à áâ ª®â®à®£® ¯® áãé¥áâ¢ã ⮫쪮 ¤¥áïâì «¥â. à á¯à®áâà ï«áï ⮫쪮 ®£à ¨ç¥ë¬ â¨à ¦®¬ ¨ ¬®£¨¥ áç¨â îâ, ¯® à §ë¬ ¯à¨ç¨ ¬, ¥£® ®ç¥ì âàã¤ë¬ ; ¥ ¡ë«® ¤®áâ㯮© ª¨£¨, ¨§« £ î饩 íâã ⥮à¨î ¤®áâ â®ç® £«ã¡®ª®. 㡡ॢ¨ âãà ãà®¢ï ®¡à §®¢ ¨ï, ¯à¨ï⮣® ¢® à 樨, Dipl^ome d'E tudes Approfondies, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® 襩 ¬ £¨áâà âãॠ1
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¡«¨ª æ¨ï í⮣® ªãàá , å®ç¥â ¢®á¯®«¨âì íâ®â ¯à®¡¥«. ஬¥ ⮣®, ⥠¦¥ ¯à®ä¥áᨮ «ìë¥ «®£¨ª¨ ¯à¨£« è îâáï ª ¢¨¬ ⥫쮬㠨§ãç¥¨î ¯¥à¢ëå £« ¢, ¯®áª®«ìªã ï ¬¥à¥® ¢ë¡à « ¥®à¤¨ àë© ¯®¤å®¤ ª ®á®¢ ¬ «®£¨ª¨. ®ï⨥, ª®â®à®¥ ï ¢ë¡à « ¨á室ë¬, ¥áâì ¯®ï⨥ "祫®ª " ¢ á⨫¥ à ¨áá¥, ¥ ¯®ï⨥ ¢ë¯®«¨¬®á⨠ä®à¬ã«ë. ¯®áâ㯨« â ª, çâ®¡ë ¥ ¯®¢â®àïâì «¨è¨© à § â®, çâ® ¬®¦® ©â¨ ¯¥à¢ëå áâà ¨æ å ¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å ã祡¨ª®¢ ( ¨ ç áâ®, ª ᮦ «¥¨î, ¥ ⮫쪮 ¯¥à¢ëå áâà ¨æ å ; ï ¡ã¤ã ®å®â® ã¯à¥ª âì ¬®¨å ¯à¥¤è¥á⢥¨ª®¢, ª ª ¯à ¢¨«® ¨§-§ 㤮£® ¢¢¥¤¥¨ï ¢ ¯à¥¤¬¥â ) , â ª¦¥ ¯®â®¬ã, çâ® ï ¤ã¬ î íâ®â ¯®¤å®¤ ï¥âáï 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ìë¬ ¤«ï ¬ ⥬ ⨪ , ï ¤ ¬ ®¡êïá¥¨ï ¯®§¦¥ ¯® í⮬㠯®¢®¤ã. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®© ç¨â ⥫ì-«®£¨ª ¥ 㧠¥â ¨ç¥£® ®¢®£® ¨§ £« ¢ 1 { 10 , ª®â®àë¥ á®áâ ¢«ïîâ â®, çâ® ¬®¦® §¢ âì "ª« áá¨ç¥áª®©" ⥮ਥ© ¬®¤¥«¥©, ® ⮫쪮 ¥á«¨ ® 㦥 ¥ ®¡à â¨âáï ¢ ५¨£¨î à ¨áá¥. ¢¥àïª ã¤¨¢¨âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î í⮩ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¯®¤ ®á®¡ë¬ ®á¢¥é¥¨¥¬, á ¤à㣨¬¨ ¯à¨®à¨â¥â ¬¨ ; ¯®«¥§® áà ¢¨¢ âì ¨ ®æ¥¨¢ âì à §«¨çë¥ ¯®¤å®¤ë ª «î¡¨¬®¬ã ¯à¥¤¬¥âã. â® ¥á®¬¥® ¯®«¥§®, ¥á«¨ ® ¯à¥¯®¤ ¥â ¯à¥¤¬¥â, ¨ ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì à §¬ëè«ïâì ¤ ¯à¨à®¤®© ®¡ê¥ªâ®¢, ª®â®àë¥ ¥¬ã å®à®è® § ª®¬ë ¨ ®¨ ¢®§¬®¦® ®¡à¥âãâ ¥¬®£® ¤à㣨¥ ç¥àâë ¯®¤ ¤à㣨¬ 㣫®¬ §à¥¨ï. ¯à®ç¥¬, ç⥨¥ í⮩ ª¨£¨ âà㤮 ¡ã¤¥â ç¨ âì á 11-®© £« ¢ë, ¯®áª®«ìªã ï å®â¥« á®áâ ¢¨âì íâã ª¨£ã ¯® ¥¤¨®¬ã ¤¨¤ ªâ¨ç¥áª®¬ã § ¬ëá«ã, ª®â®àë© à §¢®à 稢 ¥âáï á á ¬®£® ç « ¤® ª®æ , á«¥¤ãï ¥áª®«ìª¨¬ ¯à ¢«ïî騬 ¨¤¥ï¬ ( ï ®áâ ¢«ïî á ¬®¬ã ç¨â â¥«î ¯à ¢® á㤨âì ᪮«ìª® íâ® ¬¥ 㤠«®áì) . ® í⮬㠯®¢®¤ã, ï § ¬¥â¨«, çâ® ¢ 訪 àëå ª¨£ å, ® ª®â®àëå à¥çì è« ¢ á ¬®¬ ç «¥, «î¡ïâ à¨á®¢ âì ¬¥¦¤ã ¯à¥¤¨á«®¢¨¥¬ ¨ ᮤ¥à¦ ¨¥¬ £à ä, ¯® ¢®§¬®¦®á⨠¥ ¯« àë©, 㪠§ë¢ îé¨å ¯®à冷ª, ¢ ª®â®à®¬ ¬®¦®, ¨«¨ 㦮 ç¨â âì à §«¨çë¥ £« ¢ë. ¢®§¤¥à¦ «áï ®â à¨á®¢ ¨ï â ª®£® £à ä , ª®â®àë© ¡ë« ¡ë §¤¥áì ¯à¨áª®à¡® «¨¥©ë¬, ¯®áª®«ìªã £« ¢ë í⮩ ª¨£¨ ¯¨á ë, çâ®¡ë ¨å ç¨â âì ¢ ¥áâ¥á⢥®¬ ¯®à浪¥ ¨å á«¥¤®¢ ¨ï ; ¨ ¤®¡ ¢«î, çâ® ¤«ï ª¨£¨ íâ® ¥ ï¥âáï ᫨誮¬ áâà ë¬ á¢®©á⢮¬. ¤®è¥« ⥯¥àì ¤® ᮤ¥à¦ ¨ï í⮩ ª¨£¨ ; ª ª ¢ë 㦥 ¯®ï«¨, à¥çì ¨¤¥â ® ¢¢¥¤¥¨¨ ¢ ¯à¥¤¬¥â ; çâ® íâ® § ¯à¥¤¬¥â ? ë § ¬¥â¨â¥, çâ® ¥£® §¢ ¨¥ { "ãàá ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©", ¥ "ãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¨" ; ®¤ ª®, ¯® ¬®¥¬ã, ¥£® ¯¥à¢ë¥ £« ¢ë ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®ç¨â ë ¢á直¬, ªâ® å®ç¥â ¯à¨®¡é¨âìáï ª ª ª®© ¡ë ¨ ¡ë«® ®¡« á⨠¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¨. â® ¯®â®¬ã, ç⮠⥮à¨ï ¬®¤¥«¥© ¢ «®£¨ª¥, ¨¬¥¥â ¯®ç⨠â®â ¦¥ áâ âãá, çâ® ¨ à¨ä¬¥â¨ª { á।¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ¤¨á樯«¨ : ⥮à¨ï ç¨á¥« ï¥âáï ¯à¥á⨦®© ¨ ®ç¥ì á¯¥æ¨ «¨§¨à®¢ ®© ¢¥â¢ìî ᮢ६¥®© ¬ ⥬ ⨪¨. ®âï ¥ ¡ë¢ ¥â ¬ ⥬ ⨪¨ ¡¥§ ç¨á¥«, ®¤ ª® ¬ ⥬ ⨪, 㬥î騩 ¡¥§®è¨¡®ç® áç¨â âì ¤® áâ ¨ ¤ ¦¥ ¤ «¥¥ ¥ ¬®¦¥â ⥬ ¥ ¬¥¥¥ à áᬠâਢ âìáï ª ª á¯¥æ¨ «¨áâ ¯® ⥮ਨ ç¨á¥«. ®¦® ᪠§ âì â ª¦¥, çâ® ®á®¢ë ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ( §¤¥áì £« ¢ë á 1-®© ¯® 10-î ) ®â®áïâáï ª ᥣ®¤ï襩 «®£¨ª¥ â ª ¦¥, ª ª à¨ä¬¥â¨ª ®â®á¨âáï ª ¬ ⥬ ⨪¥ ; ¤ «¥¥ ( £« ¢ë á 11-®© ¯® 20-î ) ⥮à¨ï ¬®¤¥«¥© ®¡®á®¡«ï¥âáï ª ª ¨ ⥮à¨ï ç¨á¥«. ¥®à¨ï ¬®¤¥«¥© ï¥âáï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, á ¬®© "¥«®£¨ç¥áª®©", ¥â¨¯¨ç®© ¢¥â¢ìî ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¨. â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¨ ®¤¨ «®£¨ª ¥ ¬®¦¥â ¨£®à¨à®¢ âì ¥ñ ä㤠¬¥â «ìë¥ ¤¢¨¦ã騥 ᨫë. ¥ 㦮, ®¤ ª®, ¨§ í⮣® ¤¥« âì ¢ë¢®¤, çâ® ¢á¥ «®£¨ª¨ ®¤¨ ª®¢® å®à®è® § -
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ª®¬ë á ¯®ïâ¨ï¬¨ ¨§ãç ¥¬ë¬¨ ¢ ¯¥à¢ëå ¤¥áï⨠£« ¢ å í⮩ ª¨£¨. ¥ ¢á¥ ¨å à áᬠâਢ îâ ®¤¨ ª®¢® ä㤠¬¥â «ì묨 ; ¬®¦® ¡ëâì ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ «¨¡¥à «ìë¬ ª®£¤ ¯®ï⨥ ¨¬¥ã¥âáï "®á®¢ë¬" : ¥ª®â®àë¥ ¢ª«îç îâ ⥮६㠮 à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ¯à®áâëå ç¨á¥« ¢ í«¥¬¥â àãî à¨ä¬¥â¨ªã, ¤à㣨¥ ¥ñ ®£à ¨ç¨¢ îâ ¯à®áâ묨 ᢮©á⢠¬¨ ¨ . ® á¨å ¯®à à¥çì § 室¨« ¤®áâ â®ç® ç áâ® ® ¬®¤¥«ïå, ¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë á¯à 訢 ¥â¥ ᥡï, ® 祬 ¨¤¥â à¥çì ? ¯à¨ª« ¤®© ¬ ⥬ ⨪¥ ¬®¤¥«ì ¥áâì ¡áâà ªâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥ª®â®à®© ®áï§ ¥¬®© ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨. ®£¨ª¨ ¦¥ ¨á¯®«ì§ãîâ á«®¢® "¬®¤¥«ì" ¯®ç⨠¢ ®¡à ⮬ á¬ëá«¥ : ¤«ï ¨å, ¬®¤¥«¨ ïîâáï ª®ªà¥â묨 ®¡ê¥ªâ ¬¨ ( ¥á«¨ ⮫쪮 ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ®¡ê¥ªâë ¬®£ãâ ¡ëâì â ª®¢ë¬¨ ) , ª®â®àë¥ ¨««îáâà¨àãîâ, ¨â¥à¯à¥â¨àãîâ ¥ª®â®àë¥ ¡áâà ªâë¥ ¨¤¥¨ ; ¯à¨¬¥à, ¢ë ª®¥ç® § ¥â¥ ª ª § ¯¨á âì ªá¨®¬ë, ¢ëà ¦ î騥, çâ® ¥ª®â®àë© § ª® ¡¨ ன ª®¬¯®§¨æ¨¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â £à㯯ã ; ¥á«¨ ¤ ® ¬®¦¥á⢮ ªá¨®¬, «®£¨ª §ë¢ ¥â ¥£® ⥮ਥ© : ¢ áâ®ï饬 á«ãç ¥, íâ® ¡ã¤¥â ⥮à¨ï £à㯯. ®¤¥«ì ⥮ਨ { íâ® áâàãªâãà , ª®â®à ï ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â ¢á¥ ªá¨®¬ë í⮩ ⥮ਨ. ®¤¥«ì ⥮ਨ £à㯯 ( ¡áâà ªâ®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥) , íâ® § ç¨â ¯à®áâ® ¯à®áâ® ¥ª®â®à ï £à㯯 (ª®ªà¥âë© ®¡ê¥ªâ) . â®¡ë ¯¨á âì ªá¨®¬ë, ¨á¯®«ì§ãîâáï ä®à¬ã«ë, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâﬨ ᨬ¢®«®¢, ¯®¤ç¨¥ëå ®¯à¥¤¥«¥ë¬ ¯à ¢¨« ¬ ¯®áâ஥¨ï ; ¢áñ â®, çâ® ª á ¥âáï ¬ ¨¯ã«ï権 á ä®à¬ã« ¬¨, «®£¨ª §ë¢ ¥â á¨â ªá¨á®¬ ; ¯®ï⨥ ¬®¤¥«¨ ®â®á¨âáï ª ¤à㣮© ®¡« áâ¨, ¯®áª®«ìªã ®® ¯à¥¤¯®« £ ¥â ®¯à¥¤¥«¥ãî ¨â¥à¯à¥â æ¨î ᨬ¢®«®¢, 䨣ãà¨àãîé¨å ¢ ä®à¬ã« å ( ¯à¨¬¥à, ᨬ¢®« ¡¨ ன äãªæ¨¨ ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï 㬮¦¥¨¥¬ ¢¯®«¥ ª®ªà¥â®© £à㯯ë) , ¯à¨¤ îéãî á¬ëá« í⨬ ä®à¬ã« ¬, ¯à¥¢à é ï ¨å ¢ ¨áâ¨ë¥ ¨ «®¦ë¥ á¥â¥æ¨¨ : «®£¨ª ᪠¦¥â, çâ® í⮠ᥬ â¨ç¥áª®¥ ¯®ï⨥. ¥®à¨ï ¬®¤¥«¥© ®ç¥ì ¬ «® § ¨¬ ¥âáï á¨â ªá¨á®¬, áãé®áâì í⮩ 㪨 ¤¥à¦¨âáï ᥬ â¨ç¥áª®¬ ã஢¥ ; á í⮩ â®çª¨ §à¥¨ï ® ¥áâì ¯à®â¨¢®¯®«®¦®áâì ⮬ã, çâ® §ë¢ ¥âáï ⥮à¥â¨ç¥áª®© ¨ä®à¬ ⨪®©, áãé¥á⢥®© ª®¬¯®¥â®© ª®â®à®© ï¥âáï «£®à¨â¬¨ç¥áª®¥ ¨§ã票¥ ï§ëª®¢, ïî饥áï £« ¢ë¬ ®¡à §®¬ á¨â ªá¨ç¥áª¨¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥¬. ®ïâ®, çâ® ¥áâ¥á⢥® ¯à¨áâ㯨âì ª «®£¨ª¥ ç¥à¥§ ⥮à¨î ¬®¤¥«¥©, ¯®áª®«ìªã ®¡ëç® ¢ ¬ ⥬ ⨪¥ ¤ îâ ¦¨¢®¬ã ᮤ¥à¦ ¨î ¯à¨®à¨â¥â ¤ ä®à¬ «ì묨 à áá㦤¥¨ï¬¨. ¤ ª® íâ®â ¬¥â®¤ ¯®§ ¨ï, ¤®áâ â®ç® ®¢, ¯®áª®«ìªã, ¤«ï è¨å ®â殢 ®¡ê¥ªâ®¬ «®£¨ª¨ ¡ë«® ¥ ¨§ã票¥ ⮣®, çâ® ¢ë¯®«ï¥âáï ¤ ®© áâàãªâãà¥, ¨§ã票¥ ⮣®, çâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á⨮ ("¬®¤¥«ìî" ª®â®à®£® ¡ë« ¥¤®á⨦¨¬ë© ¬¨à 襣® à §ã¬ ) , â ª¦¥ ᯮᮡ , á ¯®¬®éìî ª®â®à®£® ¬®¦® ¤®ª § âì â®, çâ® ¨á⨮ ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¨ ¤®«¦ë ¡ë«¨ § ¡®â¨âìáï ® ä®à¬ «¨§ 樨 ï§ëª , ¢ë¤¥«¨¢ ¢ ¦®¥ ¬¥á⮠ᨬ¢®«ã ¨¬¯«¨ª 樨, ¨£à î饬ã æ¥âà «ìãî à®«ì ¢ ¤¥¤ãªâ¨¢ëå á¨á⥬ å ; ªá¨®¬ ⨧ 樨, ä®à¬ «ìë¥ ¯à ¢¨« ¤«ï ¯à®¢¥¤¥¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠, "íä䥪⨢ë©" å à ªâ¥à ¥ª®â®àëå ¬¥â®¤®¢ { ¢®â ¢áñ, çâ® ¡ë«® ¢ æ¥âॠ¨å ¢¨¬ ¨ï. ®§¦¥ ®¨ ®â¤ «¨ ᥡ¥ ®âç¥â ¢ ⮬, çâ® ¯àï¬ ï â ª ¯à®¡«¥¬ã ¨á⨮á⨠¢ ¬ ⥬ ⨪¥ â «ª¨¢ ¥âáï ¥ª®â®àë¥ âà㤮áâ¨, ¨, çâ® «ãçè¥, ¢ ¯¥à¢®¥ ¢à¥¬ï, 㬥à¨âì ¬¡¨æ¨¨ ¨ ç âì á ç « á ¯®¯ë⮪ ª« áá¨ä¨ª 樨, áà ¢¥¨ï áâàãªâãà, ïîé¨åáï ¬®¤¥«ï¬¨ ®¤®© ¨ ⮩ ¦¥ ⥮ਨ T : íâ® ¨ ¥áâì ⥮à¨ï ¬®¤¥«¥©. ®¨ § ¬¥â¨«¨, çâ® â ª¨¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯à¨¢®¤¨â ª ¨-
®¤¥à¦ ¨¥
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â¥à¥áë¬ ¨ ᮢᥬ ¥âਢ¨ «ìë¬ à¥§ã«ìâ â ¬; ¢¯à®ç¥¬, ç¥áâ® £®¢®àï, â ¬ ®â «®£¨ª¨ ¬ «® çâ® ®áâ ¥âáï : ª ª ¢® ¬®£¨å à §¤¥« å ¬ ⥬ ⨪¨, ¯®¡ã¤¨â¥«ìë¥ ¬®â¨¢ë ¯®â¥à﫨áì ¨§ ¢¨¤ã ¨ ®¢ ï ®¡« áâì § ¨© à §¢¨« áì ¢â®®¬ë¬ ®¡à §®¬. ®¡ ¢¨¬, çâ® ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ª« ¤ë¢ îâáï ®£à ¨ç¥¨ï ï§ëª (¨«¨ ᪮॥ ¥£® ᥬ ⨪ã : ® ¤®«¦¥ ¡ëâì 䨨â àë¬ ¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ) ; íâ® ï¢ë© ¯à¨§ ª ¢â®®¬®á⨠í⮩ ¢¥â¢¨, ¯®áª®«ìªã ¥â ¨ª ª¨å «®£¨ç¥áª¨å ¯à¨ç¨ ¯à¥¤¯®ç⥨ï í⮣® ï§ëª ¤ ¤à㣨¬, â ª¦¥ âé¥â® áâ à âìáï ¥£® ®¡®á®¢ âì, ®¯¨à ïáì ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ ¥áâ¥á⢥ãî ¨âã¨æ¨î ; ¥á«¨ íâ® â ª, â® íâ® ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ¨§-§ â¥å¨ç¥áª¨å ¯à¨ç¨ ¯®â®¬ã, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë© ï§ëª ¥¤¨áâ¢¥ë© ¨«¨ ¯®ç⨠¥¤¨á⢥ë©, ¤®¯ã᪠î騩 ¯à¨«¨çãî ⥮à¨î ¬®¤¥«¥©. ᪠§ « "¨«¨ ¯®çâ¨" , ¯®â®¬ã çâ® ¥ª®â®àë¥ ¤ã¬ îâ, ¢®â 㦥 ¥áª®«ìª® «¥â, çâ® ¢áñ, çâ® ¬®¦® ¤®ª § âì ¢ "®¡ë箩" ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ¤®ª § ® ¨, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ®¢ë¥ ⥮६ë á«¥¤ã¥â ãá«®¦¨âì ¯à ¢¨« ¨£àë, ¯à¨¡¥£ ï ª à §®¢¨¤®áâï¬ ¡¥áª®¥çëå ï§ëª®¢, ¥®¡ëçëå ª¢ â®à®¢ ¨ â.¤. ; í⠮ਥâ æ¨ï, ¯à®â¨¢ ª®â®à®© ï ¢á¥£¤ í¥à£¨ç® ¡®à®«áï ¢ ¬¥àã ¬®¨å á« ¡ëå ¢®§¬®¦®á⥩, ¯®áª®«ìªã ï ¢¥àî, çâ® á ¬ ï ®¡ëç ï ⥮à¨ï ¬®¤¥«¥© ¯®ª § « á¥¡ï ¨áâ®ç¨ª®¬ £«ã¡®ª¨å १ã«ìâ ⮢, ®¡é¥§ 稬®áâì ª®â®àëå ¯à®áâ® ¯®âàïá ¥â ¨, çâ® ® ¢ í⮬ á¥¡ï ¥éñ ¥ ¨áç¥à¯ « ¨ , çâ® ¡¥á¯®«¥§® ¥ñ ¨áªãáá⢥® ãá«®¦ïâì. ª ¡ë â ¬ ¨ ¡ë«® á ⥯¥à¥è¨¬ ¯®«®¦¥¨¥¬ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ¥ñ ¯à®è«®¥ ®áâ ¢«ï¥â, ª ᮦ «¥¨î, ¬®£® ¯ï⥠¯¥à¢ëå áâà ¨æ å âà ¤¨æ¨®ëå ã祡¨ª®¢, ¯à¥â¥¤ãîé¨å ¢¢¥¤¥¨¥ ¢ íâã ⥮à¨î ç¥à¥§ à áᬮâ२ï, ¥ ¨¬¥î騥 ¨ç¥£® ®¡é¥£® á ¯®¢á¥¤¥¢®© ¯à ªâ¨ª®© ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ¬ ¢ë ©¤ñ⥠âã¬ ë¥ à áá㦤¥¨ï, ¥çñ⪨¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¥ ¤¥ª¢ âë¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¯à¨§ë¢ë ª ¯á¥¢¤®-¥áâ¥á⢥®© ¨âã¨æ¨¨, ®âà ¢«¥®© ¬¥â 䨧¨ç¥áª¨¬¨ ®â¡à®á ¬¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¨¬¥® ¬¥â 䨧¨ª ¢®¤¨â ¬ ⥬ ⨪ á ¬ë© ¨áâ¨ªâ¨¢ë© ã¦ á! «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®áª®«ìªã ï ¯¨á « ª¨£ã ¤«ï ¬ ⥬ ⨪ , â® ¨§¡à « ¤à㣮© ¯ãâì, çâ®¡ë ¥£® ¯®«®áâìî ã¡¥¤¨âì ¢ ⮬, çâ® «®£¨ª ï¥âáï ç áâìî ¬ ⥬ ⨪¨, ¥ ¬¥â 䨧¨ª¨ ; ¢®â ¯®ç¥¬ã ¢ ¯¥à¢®© £« ¢¥ ¥£® ãç â áà ¢¨¢ âì ¤¢¥ áâàãªâãàë ¯®á।á⢮¬ «®ª «ìëå ¨§®¬®à䨧¬®¢ ¯®¤®¡® ®« ¤ã à ¨áᥠ; §¤¥áì ¨çâ® ¥£® ¥ ¯®âॢ®¦¨â, ¢áñ ¯à®¨§®©¤¥â ¢ § ª®¬®© á।¥, ¢ ¯à¨¢ë箩 ¬ ¥à¥ à áá㦤¥¨ï.
᫨ áªàëâì ®â ¥£® §¢ ¨¥ ¨ ¯à¥¤¨á«®¢¨¥ í⮩ ª¨£¨, ® ¤ ¦¥ ¥ ¡ã¤¥â ¯®¤®§à¥¢ âì, çâ® ¥£® áâ à îâáï § â é¨âì ¢ ¬ãâë¥ â®¯¨ ¯à®ª«ï⮩ 㪨 ; ¥£® ¯®¤®§à¥¨ï ¯à®¡ã¤ïâáï ¢® ¢â®à®© ¨ âà¥â쥩 £« ¢ å, £¤¥ ® ¯®©¬¥â á¢ï§ì í⮣® 祫®ª á ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬¨ ¯®¤å®¤ï饣® ï§ëª ; ® ¡ã¤¥â 㦥 ᫨誮¬ ¯®§¤® ®âáâ㯠âì, ¯®áª®«ìªã ® ¯®çã¢áâ¢ã¥â, çâ® í⨠«¨£¢¨áâ¨ç¥áª¨¥ à áᬮâà¥¨ï ®á®¢ ë ¢ ¦®¬ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ ᮤ¥à¦ ¨¨. á¨á室¨â¥«ì® § ¬¥â¨â ¯®á¯¥è®áâì ¨ ¥ã¤®¢«¥â¢®à¨â¥«ì®áâì ¨§«®¦¥¨ï, £¤¥ ¥£® á ¬®£® ¨®£¤ ¯à®áïâ ¢®á¯®«¨âì ¯à®¡¥«. ¤¥áì ¨§¡¥£ îâ ¬¥«ìç ©è¨å ¯®¤à®¡®á⥩, ¦¥àâ¢ãï ᮢ¥à襮© áâண®áâìî ¤®ª § ⥫ìáâ¢. ®«ìª® ¢ íâ¨å £« ¢ å ï§ëª, ä®à¬ã«ë, ¯à¥¤«®¦¥¨ï, ®¤¨¬ á«®¢®¬ á¨â ªá¨á à áᬠâਢ îâáï ª ª ®¡ê¥ªâ ¨§ã票ï, ¢ ¤à㣨å { ª ª ¨««îáâà æ¨ï, ª ª ¥ª®â®à®¥ ¢¥è¥¥ ¯à®ï¢«¥¨¥ «®ª «ìëå ¨§®¬®à䨧¬®¢. â® ¢ë£®¤ë© ¤«ï á ᯮᮡ ¨§ã票ï, ¯®áª®«ìªã ® ¨§¡ ¢«ï¥â ®â ¤«¨ëå áªãà¯ã«ñ§ëå à áá㦤¥¨©, £à ¨ç é¨å á ¯¥¤ ⨧¬®¬, ¡¥§ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®©
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áãé®áâ¨, çâ® § £à®¬®¦¤ îâ ¯¥à¢ë¥ áâà ¨æë ã祡¨ª®¢, ᤥ« ¢è¨å ¨§ á¨â ªá¨á ᢮¤ë© § ¬®ª ¨å á®®à㦥¨ï. ®£¨ª, ¢®§¬®¦®, 㤨¢¨âáï í⮬㠯à¨áâà áâ¨î ¢â®à : ¯®ç¥¬ã á á ¬®£® ç « â ª ®â¤ «ïâìáï ®â "¨âã¨æ¨¨" ? ®â¢¥çã ⥬, çâ® íâ® ¥ â ª 㦠áâà ® ¤«ï ᮢ६¥®£® ¬ ⥬ ⨪ . ¨¬¥¥â ®¡ëª®¢¥¨¥ á ç « ®¯à¥¤¥«ïâì ¤®áâ â®ç® ¢ëçãàë¥ ®¡ê¥ªâë (¯®á¬®âà¨â¥, çâ® â ª®¥ â®çª ¨«¨ ªà¨¢ ï ¢ ã祡¨ª¥ ¯® «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ), ¢ ª®â®àëå ® ¯®á«¥ à §¬ëè«¥¨ï á 㤮¢®«ìá⢨¥¬ ®¡ à㦨¢ ¥â ¤¥ª¢ âë¥ ¢ëà ¦¥¨ï "¨âã¨â¨¢ëå" ¨«¨ ᪮॥ ¥ä®à¬ «ìëå ¯®ï⨩. ®-¢â®àëå, ¢â®à ¥ ¯à®ï¢¨« ¥¯à¨¬¨à¨¬ë© äà ¨áᥨ§¬, â ª ª ª ¥¬ã ¥ ¯à¥â¨â £®¢®à¨âì ® ä®à¬ã« å, ¢¥àãâìáï ª ¡®«¥¥ âà ¤¨æ¨®®¬ã ¨§«®¦¥¨î ç¨ ï á® ¢â®à®© £« ¢ë. ª®¥æ, á ¬® áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¡®«¥¥ ª« áá¨ç¥áª¨å ã祡¨ª®¢, ¯ãáâì ¤ ¦¥ § á«ã¦¨¢ îé¨å ªà¨â¨ª¨ ¯® ¥£® ¬¥¨î, ¤ ¥â ¥¬ã ¢®§¬®¦®áâì ¯à®ï¢¨âì ®à¨£¨ «ì®áâì (®à¨£¨ «ì®áâì ¥®¡å®¤¨¬ , ¥á«¨ ® å®ç¥â § ¨â¥à¥á®¢ âì ¯à®ä¥áᨮ «ìëå «®£¨ª®¢) , ¯®áª®«ìªã ç¨â ⥫ì à¥è¨â¥«ì® ¥ ¯¥à¥®áï騩 «®ª «ìë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë, ¬®¦¥â ¨§ãç¨âì «®£¨ªã ¢ ¤à㣮¬ ¬¥áâ¥, ¥ ¡à âìáï § íâ®â ªãàá. £« ¢¥ 4 ¢ë 㧠¥â¥, çâ® ¥ª®â®àë¥ ¯à®áâà á⢠ïîâáï ª®¬¯ ªâ묨 ¨ ©¤¥â¥ ¥ª®â®àë¥ á«¥¤á⢨ï í⮩ ª®¬¯ ªâ®áâ¨. â® ª á ¥âáï £« ¢ë 5 , ® ¯®¤¢®¤¨â ¨â®£ § ¨ï¬ ¯à¨®¡à¥â¥ë¬ ¤® ¥ñ. ¢ á ã¡¥¤¨â, çâ® "祫®çë©" ¬¥â®¤ ¥ ï¥âáï áâà ë¬ ¨ ¨áªãááâ¢¥ë¬ ¢¢¥¤¥¨¥¬ ¢ «®£¨ªã. ¯à®â¨¢, ® ¢ ¦ë© ¨ ¥§ ¬¥¨¬ë© ¨áâà㬥â ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. í⨠®ç¥ì ª®à®âª¨¥ ¯ïâì £« ¢ á®áâ ¢«ïîâ á ¬¨ ¯® ᥡ¥ ¬ «¥ìª¨© âà ªâ â ¢ãâਠªãàá , ¯®áª®«ìªã ®¨ 㦥 ᮤ¥à¦ ⠢ᥠáãé¥áâ¢¥ë¥ ¯®ïâ¨ï ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. á⠫쮥 ï¥âáï «¨èì ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ ãâ®ç¥ë¬ ¨å à §¢¨â¨¥¬. ª ç¥á⢥ ¨««îáâà 樨 ᮢ¥à襮 ®¢®© ¤«ï ¢ á 㪨 ¨, çâ®¡ë ¤ âì ¥¬®£® ¯«®â¨ ª ᪥«¥âã, ª®â®àë© ¢ ¬ ¯®ª § «¨, £« ¢ 6 ¯à¨¬¥ï¥â ¯à¨æ¨¯ë ª« áá¨ä¨ª 樨 ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ª «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¯à¨¬¥à ¬. ®£¤ ®¨ { ¥ á ¬ë¥ £«ï¤ë¥ ¨ ¥ á ¬ë¥ ¨§¢¥áâë¥. ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¨å à áᬮâà¥ë §¤¥áì ⮫쪮 ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¯à¨¬¥àë ¨ ª®âà¯à¨¬¥àë ¤«ï á«¥¤ãîé¨å £« ¢. ®£¨ª , ¨§£ ï ¨§ ¯¥à¢ëå £« ¢, ¢« áâ¢ã¥â ¢ ¯®«®© ¬¥à¥ ¢ £« ¢¥ 7, ¯®á¢ï饮© à¨ä¬¥â¨ª¥ (â ª §ë¢ ¥âáï ⥮à¨ï áâàãªâãàë, ®¡à §®¢ ®© âãà «ì묨 ç¨á« ¬¨ á® á«®¦¥¨¥¬ ¨ 㬮¦¥¨¥¬) ; íâ® ¥¤¨á⢥ ï £« ¢ ª¨£¨, ¤ îé ï ᢥ¤¥¨ï ® § ª®®á⨠¤®ª § ⥫ìá⢠¨ à áá㦤¥¨© ¢ ¬ ⥬ ⨪¥. ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ª ¦¥âáï, çâ® ® ¥¬®£® ¥ã¬¥áâ ¢ à ¡®â¥ ¯® ç¨á⮩ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ¢á¥-â ª¨ íâ £« ¢ ¢ª«îç¥ ¢ ª¨£ã ¯®â®¬ã, çâ® ¯®ïâ¨ï ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ ¥© ᫨誮¬ ª« áá¨ç¥áª¨¥ ¨ «¥¦ â ¢ ®á®¢¥ ᫨誮¬ ¬®£¨å ¢¥â¢¥© «®£¨ª¨, çâ® ¥«ì§ï ¨å ᮢ¥à襮 ¨£®à¨à®¢ âì. ¯à®ç¥¬, ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® ¨å ¬®¦® ¨§ãç âì ᥬ â¨ç¥áª¨, â.¥. ⥮à¥â¨ª®-¬®¤¥«ìë¬ á¯®á®¡®¬ : §¤¥áì à¨ä¬¥â¨ª ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¥ ᯨ᪮¬ ªá¨®¬, ¨§ã票¥¬ áâàãªâãàë ®¡à §®¢ ®© âãà «ì묨 ç¨á« ¬¨. ®£¨ª âãâ ¯à®ï¢«ï¥âáï £« ¢ë¬ ®¡à §®¬ ç¥à¥§ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯®ïâ¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¯®«ã祮£® à¨ä¬¥â¨§ 樥© ¬¥â®¤ ¥ª¨ , 㦥 ¢¢¥¤¥®£® ¢ £« ¢¥, ¯®á¢ï饮© ª®¬¯ ªâ®áâ¨. ¢â®à ¥ § å®â¥« ¥£® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ¥ä®à¬ «ì® ¡¥§ áá뫪¨ à¨ä¬¥â¨ç¥áªãî ª®¤¨à®¢ªã, â ª ¦¥ ª ª ¨ ¯®ïâ¨ï ४ãàᨢ®áâ¨, à §à¥è¨¬®áâ¨, ४ãàᨢ®© ªá¨®¬ ⨧ 樨 ⥮਩ ¨ â. ¤. : : : ,
®¤¥à¦ ¨¥
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¢®¯à¥ª¨ à á¯à®áâà ¥®©, ® ¤®ªã竨¢®© ¯à ªâ¨ª¥ ; à ¢ë¬ ®¡à §®¬ ® ¢®áá⠥⠯à®â¨¢ ç१¬¥à®£® ¨ ¨áªãáá⢥®£® ᬥ襨ï ४ãàᨢ®á⨠¨ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ¥à訮© £« ¢ë ï¥âáï, ®ç¥¢¨¤®, § ¬¥¨â ï ⥮६ ¥¤¥«ï, ® ª®â®à®© ¢á¥ ª®¥-çâ® á«ëè «¨, ® ¬ «®-ªâ® § ¥â â®çãî ä®à¬ã«¨à®¢ªã : â ª¦¥ ¢ë 㧠¥â¥ ª ª®¥ ¬¥áâ® ¢ ¥© § ¨¬ îâ ª®¤¨à®¢ª¨. ® ¯®¢®¤ã ®á®¢ ¬ ⥬ ⨪¨, ¡®«ì让 ¥¤®áâ ⮪ í⮣® ªãàá í⮠⥮à¨ï ¬®¦¥áâ¢. ¨â ⥫ì, ¢®§¬®¦® ¤¥ï¢è¨©áï ¯®«®¥ ®á¢¥é¥¨¥ í⮩ ®¡« á⨠¢ í⮬ ªãàᥠ«®£¨ª¨, ¡ã¤¥â 㤨¢«¥ : á ¯¥à¢ëå áâப ª¨£¨ ¥¬ã £®¢®àïâ ® ¬®¦¥á⢠å, ®¡ ®â®è¥¨ïå ¨ ¤ ¦¥ ®¡ ®à¤¨ « å á ⮩ ¦¥ ᢮¡®¤®© ¨ á ⮩ ¦¥ ¥â®ç®áâìî ª ª ¢ ®¡ëçëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å âà㤠å (ï å®çã ᪠§ âì : ¥«®£¨ç¥áª¨å) . ®à®© ¤ã¬ ¥âáï, çâ® ¡ë«® ¡ë ¡®«¥¥ ¯à¨¥¬«¥¬ë¬ ¤«ï 㬠§ 䨪á¨à®¢ âì ¯à ¢¨« ¨£àë, à ¬ª¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®©, ¯ãáâì ¤ ¦¥ «®£¨ç¥áª®©, ¤¥ï⥫ì®áâ¨. ⥬, ª ª 㦥 áâ «® âà ¤¨æ¨¥© ¢ â¥ç¥¨¥ ¯ï⨤¥áï⨠¨«¨ ¡®«ìè¥ «¥â, { ¯¥à¥¢®¤¨âì ¢áî ¬ ⥬ ⨪ã ï§ëª ¬®¦¥áâ¢, ç¨ âì ¢á¥ âà ªâ âë á ¨§«®¦¥¨ï ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢. ¥¬®£® à §¬ëè«¥¨ï ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® â ª ï â®çª §à¥¨ï ¨««î§®à ¨ áâண®áâì, ª®â®àãî ¢ë å®â¨â¥ §¤¥áì 㢨¤¥âì, ¥áª®«ìª® ®¡¬ 稢 . ª ®¡®á®¢ë¢ âì ãªã, ¯à¥¦¤¥ 祬 ¥î § ¨¬ âìáï, ª ª ®¯à ¢¤ë¢ âì ®¡« áâì § ¨© ¯à¥¦¤¥ 祬 ¥ñ ¨áá«¥¤®¢ âì ? ¨ªâ® ¥ § ¥â ¢ áãé®áâ¨, çâ® â ª®¥ ¬®¦¥á⢠¨ «®£¨ª¨, ¢¨¬ â¥«ì® ¨§ãç ¢è¨¥ ¨å ¡®«ìè¥ ¢á¥£®, § îâ ¥éñ ¬¥ìè¥, 祬 ¤à㣨¥. â®â ¯®¤å®¤, ¢ «ãç襬 á«ãç ¥, ¯à¨¢®¤¨â ª à §à ¡®âª¥ á¨áâ¥¬ë ªá¨®¬, çâ®¡ë ¤ âì ᯨ᮪ ᢮©áâ¢, ¯® ¯®¢®¤ã ª®â®àëå 㢥àï¥âáï, çâ® ¤®á⨣ãâ ®¡é¨© ª®á¥áãá á।¨ ¬ ⥬ ⨪®¢.
áâ¥á⢥® íâ® ¯à¨¤ ñâ § 票¥ ¤®£¬ë ¥ª®â®àë¬ ¢¥áì¬ ®â®á¨â¥«ìë¬ ¢¥é ¬ ; íâ® â ª¦¥ ¢ë¯ï稢 ¨¥ ª®¤¨à®¢ª¨ { å¨âà®á⨠{ ¢® ¢à¥¤ ¯®ïâ¨î, £«ã¡®ª®© ¨¤¥¥. ®®¡é¥ £®¢®àï, «®£¨ç¥ ᮢ¥à襮 ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë© ¯ãâì : ¨§ãç îâáï ®¡ëçë¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ¤¨á樯«¨ë { «£¥¡à , «¨§ ¨ § ⥬ á¯à®á¨âì á¥¡ï ¢ ª ª®© ¬®¦¥á⢥®© ⥮ਨ, ªá¨®¬ â¨ç¥áª®© ¨«¨ ¥â, ®¨ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ¯¥à¢ëå £« ¢ å ï ¡¥§¡®ï§¥® ®¡à é «áï ª ⥮à¥â¨ª®¬®¦¥áâ¢¥ë¬ ¯®ïâ¨ï¬ (£« ¢ë¬ ®¡à §®¬ ¨¤ãªæ¨¨ ¯® ¡¥áª®¥çë¬ ®à¤¨ « ¬) , ¥¨§¢¥áâëå ®¯à¥¤¥«¥®¬ã ªàã£ã ç¨â ⥫¥©. ¤¥îáì, çâ® íâ® ¨å ¯®¡ã¤¨â ¯®¯ëâ âìáï 㧠âì ¯à® ¨å ¡®«ìè¥. ⮫쪮 ⥯¥àì, ª®£¤ ¬ ã¦ë áç¥â® ¡¥áª®¥çë¥ à£ã¬¥âë ¨ à¨ä¬¥â¨ª ®à¤¨ «®¢, ï ¢¢®¦ã íâã £« ¢ã 8, ¨§ãç îéãî ®ç¥ì ¥ä®à¬ «ì® ⥮à¨î, (᪮॥ ¤ ¦¥ "¯à ªâ¨ªã") ¬®¦¥áâ¢. ¢¥àî, çâ® ¨¬¥® âãâ ¥ñ ¬¥áâ®, ¥ ¢ ¯à®«®£¥ ª¨£¨ : ï § î ¯® ®¯ëâã, çâ® áâ㤥âë ã¡¥£ îâ, ¥á«¨ ªãàá ç¨ ¥âáï á ¥¬®â¨¢¨à®¢ ®£® ¨§«®¦¥¨ï "⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢". ®¡ ¢¨¬, ç⮠⥮à¨ï ¬®¦¥áâ¢, ᮡá⢥® £®¢®àï, ï¥âáï ®ç¥ì á¯¥æ¨ «¨§¨à®¢ ®© ¢¥â¢ìî «®£¨ª¨, ª à áᬮâà¥¨î ª®â®à®© ¬ë ¢ í⮬ ªãàᥠ¥ ¯à¨áâ㯠¥¬ ; ¢ ¥© á ¡®«ì让 ¢¨àâ㮧®áâìî ¬ ¨¯ã«¨àãîâ á á¨á⥬ ¬¨ ªá¨®¬ ¨ ¬®¤¥«ï¬¨, ¨ ® ¨¬¥¥â ®ç¥ì ¬ «® ®¡é¥£® á § ïâ¨ï¬¨ ¢ á।¥© 誮«¥ ¯®¤ ⥬ ¦¥ §¢ ¨¥¬, á¢ï§ 묨 ¡®«ìè¥ á ª ª¨¬-⮠㬥¨¥¬, 祬 á ª ª®©â® ⥮ਥ©. ª ¦¥ ª ª ¨ ¬ «¥ìª¨¥ ¤¥â¨, ¬ë ¨â¥à¥á㥬áï ¢ í⮩ ª¨£¥ ¬®¦¥á⢠¬¨ ¥ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨å ¨§ãç¨âì (¨«¨ § ¤ ¢ âìáï ¢®¯à®á®¬ ®¡ ¨å áãé¥á⢮¢ ¨¨) , ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨¬¨ ¬ ¨¯ã«¨à®¢ âì, ¯®áª®«ìªã ¬ë ¦¨¢¥¬ á।¨ ¨å.
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®á«¥ £« ¢ë 8 , ª®â®à ï ¥ ᮤ¥à¦¨â ⥮à¨î ¬®¤¥«¥©, ç¨â ⥫ì 㧠¥â ¢ £« ¢¥ 9, ¯®á¢ï饮© áëé¥ë¬ ¬®¤¥«ï¬, ª ª ॠ«¨§®¢ âì ⨯ë ; ¢ £« ¢¥ 10 , ¯®á¢ï饮© ¯à®áâë¬ ¬®¤¥«ï¬, ® ãç¨âáï ¨å ®¯ã᪠âì. ª ï 㦥 ᪠§ «, í⨠¯¥à¢ë¥ ¤¥áïâì £« ¢ á®áâ ¢«ïîâ ¨§«®¦¥¨¥ "ª« áá¨ç¥áª®©" , ¨«¨ "í«¥¬¥â ன" ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, â.¥. ¡¥§ ¢¢¥¤¥¨ï ¯®ïâ¨ï áâ ¡¨«ì®áâ¨. ᢮¨¢è¨© íâã ¯¥à¢ãî ¯®«®¢¨ã, ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â ¯à¨áâ㯨âì ª ¨§ãç¥¨î «î¡®© ®¡« á⨠¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¨. 㤥⠧ ¬¥â®, çâ® ®â áâà ¨æë ª áâà ¨æ¥ ï áâ ®¢«îáì ¢á¥ á¢®¡®¤¥¥, ¬ ªá¨¬ «ì® ®£à ¨ç¨¢ ï ä®à¬ «¨§¬ ¢ ãé¥à¡ á¢ï饮© áâண®áâ¨. ⮠ï¥âáï ç áâìî ®¡¤ã¬ ®£® ¯« , ¯®áª®«ìªã ¯®¨á⨥ ¬ ⥬ ⨪ 㪠, ᪮॥ å®à®è® ¨á¯®«ì§ãîé ï ï§ëª, 祬 áâண ï, ¨ ᪮॥ ªà ⪠ï, 祬 ¯à®§à ç ï, ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ¤ãå ä®à¬¨àã¥âáï ⮫쪮 ¤¥ä®à¬¨àãïáì. ¥«ì í⮣® ªãàá ¡ã¤¥â ¤®á⨣ãâ ⮣¤ , ª®£¤ ç¨â â¥«ì ¡ã¤¥â çã¢á⢮¢ âì á¥¡ï ¥¯à¨ã¦¤¥® ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¢¬¥á⥠ᮠá⨫¥¬ ¥ñ ï§ëª , á ¥ñ ¥¤®¬®«¢ª ¬¨ ¨ ᮣ« 襨ﬨ â ª ¦¥, ª ª ¢ «î¡®© ¤à㣮© ¯à¨¢ë箩 ¥¬ã ®¡áâ ®¢ª¥. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¢ë à¥è¨«¨ ¨§ãç¨âì ¯®£«ã¡¦¥ ⥮à¨î ¬®¤¥«¥©, â® ¢ë ¯®¤å®¤¨â¥ ª 11-⮩ £« ¢¥ ® á«¥¤¨ª å, ª®â®à ï ¤ ¥â â ª §ë¢ ¥¬ë© "¯ ਦ᪨©" ¯®¤å®¤ ª ⥮ਨ áâ ¡¨«ì®áâ¨. ã¤ì⥠®ç¥ì ¢¨¬ ⥫ìë ª £« ¢¥ 12, ¢ ª®â®à®© ¨§ãç îâáï ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¨ ¢áñ â®, çâ® ¨å ®ªà㦠¥â. «¥¥ ¢ë ©¤¥â¥ £« ¢ã 13 , ¯®á¢ïé¥ãî ä㤠¬¥â «ì®¬ã ¯®à浪ã, ¥á®¬¥® ¡®«¥¥ à §¬¥à¥®©. â® ª á ¥âáï £« ¢ë 14, â® ® â ¬ ¯®¬¥é¥ ¥áª®«ìª® ¯à¥¦¤¥¢à¥¬¥®, çâ®¡ë ¢ë ¯®çã¢á⢮¢ «¨ § 票¥ £¨¯®â¥§ ® áâ ¡¨«ì®áâ¨, ¨ 㢨¤¥«¨, çâ® ®¨ áãé¥áâ¢¥ë ¢ ¯®áâ஥¨¥ áëé¥ëå ¬®¤¥«¥©. §-§ í⮣® ¯à¨¤¥âáï ¨®£¤ ®âª« ¤ë¢ âì ¡®«¥¥ ¯®§¤¨© áப ®ª®ç ⥫ìëå ¢¥àᨨ ¥ª®â®àëå ⥮६. â®¡ë ¨å ¯®«ãç¨â ¢ë ¤®«¦ë ®á¢®¨âì ¥éñ âਠ£« ¢ë ¡áâà ªâëå ¨áá«¥¤®¢ ¨© : ¯¥à¢ ï ¯®á¢ïé¥ ®â¢¥â¢«ï¥¬®á⨠¤ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢, ¢â®à ï { ᨫìë¬ â¨¯ ¬, ¨ âà¥âìï { à §«¨çë¬ ¢¨¤ ¬ à £®¢, ª®â®àë¥ § âà £¨¢ îâáï ¢ íâ¨å ª®â¥ªáâ å. áï ᮢ®ªã¯®áâì íâ¨å § ¨© ¯à¨¬¥ï¥âáï ¢ £« ¢¥ 18 ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥© ¨ ¢ £« ¢ å 19, 20 ¤«ï "⥮ਨ à §¬¥à®áâ¨" , â.¥. ¯® áãé¥áâ¢ã, ¤«ï ª« áá¨ä¨ª 樨 ¢á¥å ¬®¤¥«¥© â®â «ì® âà á楤¥â®© à §¬¥à®á⮩ ⥮ਨ. íâ¨å ¤¢ãå ¯®á«¥¤¨å £« ¢ å, ç¨â â¥«ì ®æ¥¨â ¬®éì ¨ ¤¥ª¢ â®áâì à §¢¨¢ ¥¬®© ⥮ਨ. ¥áâ® £®¢®àï, ® ¥© ¬®¦® £®¢®à¨âì ¬®£® ¡®«ìè¥, 祬 ¢ ¯®á«¥¤¨å ¤¢ãå £« ¢ å.
᫨ ï í⮣® ¥ ᤥ« «, ⮠⮫쪮 ¯®â®¬ã, çâ® å®â¥« á®åà ¨âì ®â®á¨â¥«ì® í«¥¬¥â àë© å à ªâ¥à í⮣® ªãàá , ¨ 㦮 ¦¥ ª®£¤ -¨¡ã¤ì ®áâ ®¢¨âìáï. ⮬㠦¥ ï ¥ ¬®£ã ᪠§ âì ¨ç¥£® ®à¨£¨ «ì®£® ¯® í⮬㠯®¢®¤ã, ç¨â ⥫ì, ¯à®ç¨â ¢è¨© ¬®î ª¨£ã ¤® ª®æ ¬®¦¥â ᢮¡®¤® ¯®£à㦠âìáï ¢ «¨â¥à âãàã ¯® íâ®¬ã ¯à ¢«¥¨î. ¥ á ¡¤¨« á¨á⥬ â¨ç¥áª¨ ª ¦¤ãî £« ¢ã á¥à¨¥© ã¯à ¦¥¨© ¯® ⥬¥. ë ©¤¥â¥ ⮫쪮 ¥áª®«ìª® «¥£ª¨å «¥¬¬ ¢ ç «¥ ªãàá , ®áâ ¢«¥ë¥ ç¨â â¥«î ¨§-§ £à®¬®§¤ª®á⨠¨å ¤®ª § ⥫ìáâ¢. ¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ áá뫪¨ ¨ ¨áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ¯®¬¥é¥ë ¢ ®â¤¥«ìë© ¯ à £à ä ª ¦¤®© £« ¢ë. â® ¯®â®¬ã, çâ® ¬¥ å®â¥«®áì ¯à¥¤«®¦¨âì ç¨â ⥫î ⥪áâ ¡¥§ àã襨ï 楫®áâ®áâ¨, â ª¦¥ ¨§-§ ãá«®¢¨©, ¢ ª®â®àëå ¡ë« ¯¨á íâ®â ªãàá, ¡¥§ ¥®¡å®¤¨¬ëå ¬ â¥à¨ «®¢ ¯®¤ à㪮©.
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xvii
á ¬®¬ ¤¥«¥, ï ¯¨á « áãé¥á⢥ãî ç áâì í⮣® ªãàá ¢® ¢à¥¬ï ®¤®£® ᪨⠨ï ç¥à¥§ ¤¨î, â ª çâ® ¢ ¬®¥¬ ᮧ ¨¨ ¬¥â®¤ ¥ª¨ ¥à §à뢮 á¢ï§ á® áâ ¤ ¬¨ ¤¨ª¨å á«®®¢, ª ª®â®àë¬ ï ¯à¨¡«¨§¨«áï, ¯®«§ ï ¢ ¡®«®âëå «ã£ å ¥à «ë ; í«¨¬¨ æ¨ï ¢®®¡à ¦ ¥¬ëå í«¥¬¥â®¢ { ᮠ᪮«ì¦¥¨¥¬ £à¨ä®¢ ¤ ®£à®¬ë¬¨ £¨¬ « ©áª¨¬¨ á®á ¬¨ ; ⥮६ ® £à ¨æ¥ { á ®¡ ¦¥ë¬¨ ⥫ ¬¨ ¦¥é¨-¬®à¨ , ª®â®àëå ¯ãâ¥è¥á⢥¨ª § ¬¥â¨« ¥®¦¨¤ ® âய¨ª¥ ¤¦ã£«¥© ¯à¥¦¤¥, 祬 ®¨ ãᯥ«¨ á¯àïâ âìáï ¯®¤ ãªàë⨥¬. á¬¥î «¨èì ¤¥ïâìáï, çâ® íâ ª¨£ ¢¥¤¥â ¬®¥£® ç¨â ⥫ï â ª¨¥ ¦¥ ¯à¨ïâë¥ ®¡à §ë. ⮫쪮 ¯®¦¥« î, çâ®¡ë ® áâ « ¤«ï ¥£® ⥬ ¦¥, 祬 ® ¡ë« ¤«ï ¬¥ï { ¯à¨ï⮩ á¯ãâ¨æ¥©.
« ¢ 1 «¥¬¥â àë¥ ª« ááë ®â®è¥¨© { Eh bien, mon prince, G^enes et Lucques ne sont plus que des apanages, des ¯®¬¥áâìï, de la famille Buonaparte. Non, je vous previens, que si vous ne me dites pas que nous avons la guerre, si vous vous permetez encore de pallier toutes les infamies, toutes les atrocites de cet Antichrist (ma parole, j'y crois), je ne vous connais plus, vous n'^etes plus ¬®© ¢¥àë© à ¡, comme vous dites. : : :
.. .
1.a ®ª «ìë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë ¬¥¦¤ã ®â®è¥¨ï¬¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 1.b ਬ¥àë : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 1.c ¥áª®¥çë© "祫®çë©" ¬¥â®¤ : : : : 11 1.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : : 14
1
2
« ¢ 1
1.a ®ª «ìë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë ¬¥¦¤ã ®â®è¥¨ï¬¨
᫨ E { ¬®¦¥á⢮ ¨ m { 楫®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì®¥ ç¨á«®, â® m- àë¬ ®â®è¥¨¥¬ E §ë¢ ¥âáï ¯®¤¬®¦¥á⢮ R ¤¥ª à⮢®© á⥯¥¨ E m . ®¦¥á⢮ E §®¢¥¬ ®á¨â¥«¥¬ í⮣® ®â®è¥¨ï.
᫨ m-ª a = (a1; : : :; am) ¨§ E m ¯à¨ ¤«¥¦¨â R , â® £®¢®àïâ, çâ® ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®â®è¥¨î R ; ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ a ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â R . ¨á«® m §ë¢ ¥âáï à®áâìî í⮣® ®â®è¥¨ï. §®¬®à䨧¬®¬ ¤¢ãå m- àëå (¤«ï ®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ m) ®â®è¥¨© R R0 ᮮ⢥âá⢥® E ¨ E 0 §ë¢ ¥âáï «î¡ ï ¡¨¥ªæ¨ï s ¬¥¦¤ã E ¨ E 0, â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡®© m-ª¨ a = (a1; : : :; am) ¨§ E ª®à⥦ sa = (sa1; : : :; sam) 㤮¢«¥â¢®àï¥â R0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a 㤮¢«¥â¢®àï¥â R .
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥ª®â®àë© ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã R ¨ R0 , â® £®¢®àïâ, çâ® í⨠®â®è¥¨ï ¨§®¬®àäë. 祢¨¤®, çâ® ®¡à ⮥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ª ¨§®¬®à䨧¬ã, â®ç® â ª ¦¥, ª ª ¨ ª®¬¯®§¨æ¨ï ¤¢ãå ¨§®¬®à䨧¬®¢, á ¬® ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬. £à ¨ç¥¨¥ m- ண® ®â®è¥¨ï R ¯®¤¬®¦¥á⢮ E 0 ¥£® ®á¨â¥«ï E ¥áâì, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, m- ஥ ®â®è¥¨¥ R0 E 0 , ®¡à §®¢ ®¥ m-ª ¬¨ ¨§ E 0 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨ R . ª ᨮ¨¬ £®¢®àïâ â ª¦¥, çâ® R0 { ®£à ¨ç¥¨¥ R ¨«¨, çâ® R { à áè¨à¥¨¥ R0 . «®¦¥¨¥¬ R0 ¢ R §ë¢ ¥âáï ¨§®¬®à䨧¬ R0 ¥ª®â®à®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ R . ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¬®é®áâì ®â®è¥¨ï ¥áâì ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¥£® ®á®¢®£® ¬®¦¥á⢠( ¥ ç¨á«® 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¥¬ã ª®à⥦¥©, ª ª ¬®¦® ¯®¤ã¬ âì) . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ®â®è¥¨¥ ª®¥ç®, ¥á«¨ â ª®¢ë¬ ï¥âáï ¥£® ®á¨â¥«ì. ä®à¬ æ¨î ® ª न « å ¨ ®à¤¨ « å ç¨â ⥫ì, ©¤¥â ¢ ç «¥ £« ¢ë 8 . ë ¢¢®¤¨¬ í⨠¯®ïâ¨ï ⮣¤ , ª®£¤ ¬ ¡ã¤ãâ ã¦ë ¡®«¥¥ â®çë¥ ¢ëç¨á«¥¨ï á ¡¥áª®¥ç묨 ¬®é®áâﬨ. ®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ R0 ¥áâì ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ª®¥ç묨 ®£à ¨ç¥¨ï¬¨ R ¨ R0 . «ï «®ª «ì®£® ¨§®¬®à䨧¬ s ç¥à¥§ Dom(s) ®¡®§ 稬 ¥£® ®¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ç¥à¥§ Im(s) { ¥£® ®¡à §.
᫨ R ¨ R0 ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ à®áâì, â® ¬®¦¥á⢮ S0(R; R0 ) «®ª «ìëå ¨§®¬®à䨧¬®¢ ¨§ R ¢ R0 ¢á¥£¤ ᮤ¥à¦¨â ¯ãá⮩ «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ? (¯®áª®«ìªã ¤«ï «î¡®£® m > 0 , áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥®¥ m- ஥ ®â®è¥¨¥ á ¯ãáâë¬ ®á¨â¥«¥¬ á ¬® ïî饥áï ¯ãáâë¬ ¬®¦¥á⢮¬) . ®§¬®¦®, ®® á®á⮨â ⮫쪮 ¨§ ¯®á«¥¤¥£®, ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ R { à¥ä«¥ªá¨¢®¥ ¡¨ ஥ (â.¥. ¤¢ã嬥á⮥) ®â®è¥¨¥, R0 { â¨à¥ä«¥ªá¨¢®¥ ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥. ¥¯¥àì ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® âãà «ìë¬ ç¨á« ¬ p ¬®¦¥á⢠Sp(R; R0 ) («®ª «ìëå) p-¨§®¬®à䨧¬®¢ ¨§ R ¢ R0 : ¯®áª®«ìªã ᥬ¥©á⢮ S0(R; R0 ) ®¯à¥¤¥«¥® ¢ëè¥, â® ¤®áâ â®ç® ®¡êïá¨âì ª ª ¯®áâநâì Sp+1(R; R0) ¯à¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨, çâ® S0(R; R0 ); : : :; Sp(R; R0) 㦥 ¯®áâ஥ë. ®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ s ¯à¨ ¤«¥¦¨â Sp+1(R; R0 ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¤¢ã¬ á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬ : { (祫®ª ¢¯¥à¥¤) ¤«ï «î¡®£® a ¨§ ®á¨â¥«ï E ®â®è¥¨ï R áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¤®«¦¥¨¥ t ®â®¡à ¦¥¨ï s (â.¥. Dom(s) Dom(t) ¨ s ¥áâì ®£à ¨ç¥¨¥ t Dom(s) ) , ®¯à¥¤¥«¥®¥ a , «¥¦ 饥 ¢ Sp(R; R0) ;
1.a
3
®ª «ìë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë
{ (祫®ª § ¤) ¤«ï «î¡®£® b ¨§ ®á¨â¥«ï E 0 ®â®è¥¨ï R0 , áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¤®«¦¥¨¥ t ®â®¡à ¦¥¨ï s , ®¡à § ª®â®à®£® ᮤ¥à¦¨â b , «¥¦ 饥 ¢ Sp(R; R0 ) . ª ª ª ¬®¦¥á⢠Sp ®¯à¥¤¥«¥ë ¨¤ãªæ¨¥© ¯® p , â® ¨§ã票¥ ¨å ᢮©á⢠¬®¦¥â ¡ëâì ᤥ« ® «¨èì ४ãàᨥ© ¯® í⮬ã âãà «ì®¬ã ç¨á«ã. ë ᮡ¨à ¥¬áï ¤®ª § âì ¥ª®â®àë¥ ¨§ ¨å. ªâ
᫨ p < q , â® ª ¦¤ë© q-¨§®¬®à䨧¬ ï¥âáï ¨ p-¨§®¬®à䨧¬®¬ (â.¥. Sp (R; R0 ) Sq (R; R0 ) ) . ®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® p Sp(R; R0) Sp+1(R; R0 ) ; íâ® ¢¥à® ¤«ï p = 0 , ¯®áª®«ìªã ª ¦¤ë© 1-¨§®¬®à䨧¬ ï¥âáï ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î «®ª «ìë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬. â ª, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® p = q + 1 ¨ ã⢥ত¥¨¥ ¨á⨮ ¤«ï q : ¥á«¨ s (p + 1)-¨§®¬®à䨧¬, â® ¤«ï «î¡®£® a ¨§ E ® ¨¬¥¥â ¯à®¤®«¦¥¨¥ a ïî饥áï p-¨§®¬®à䨧¬®¬, ª®â®à®¥ á«¥¤®¢ ⥫ì®, ï¥âáï (p ? 1)-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ ; â®ç® â ª ¦¥, ãá«®¢¨¥ 祫®ª ¢¯¥à¥¤ ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï ¢á¥å b ¨§ E 0 . ç¨â, s ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬.
ªâ î¡®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ p-¨§®¬®à䨧¬ á ¬® ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì s { p-¨§®¬®à䨧¬ ¨ s0 { ®£à ¨ç¥¨¥ s .
᫨
p = 0 , â® s0 { «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨ ¯®í⮬㠡㤥â 0-¨§®¬®à䨧¬®¬.
᫨ p = q + 1 , â® ¤«ï «î¡®£® a ¨§ E áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ t , ®¯à¥¤¥«¥ë© a ¯à®¤®«¦ î騩 s ¨ ïî騩áï q-¨§®¬®à䨧¬®¬. â®â t ¯à®¤®«¦ ¥â â ª¦¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ s0 . ª ª ª ¬ë ¨¬¥¥¬ «®£¨ç®¥ ãá«®¢¨¥ 祫®ª § ¤, â® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® s0 ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬.
áâ ¢«ï¥¬ ç¨â â¥«î ¯à®¢¥àªã ⮣®, çâ® ®¡à 饨¥ p-¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ ¥áâì p-¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R0 ¢ R ¨, ¥á«¨ t ¡ã¤¥â p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ R0 ¢ R00 , á Dom(t) = Im(s) , â® ª®¬¯®§¨æ¨ï s ¨ t ¥áâì p-¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ R00 . ªâ
᫨ s { ¨§®¬®à䨧¬ R R0 , â® «î¡®¥ ª®¥ç®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ s ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ R ¢ R0 ¤«ï «î¡®£® p . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì t { ª®¥ç®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ s . «ï p = 0 ®® ï¥âáï «®ª «ìë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬.
᫨ p = q +1 , â® ¤«ï «î¡®£® a ¨§ E ®£à ¨ç¥¨¥ s Dom(t) [fag ï¥âáï ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ q-¨§®¬®à䨧¬®¬; ⥠¦¥ à áá㦤¥¨ï ¯à®å®¤ïâ ¨ ¤«ï ®¡à ⮣® 祫®ª ¨, § ç¨â, t ¡ã¤¥â p¨§®¬®à䨧¬®¬.
R0
®ª «ìë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë, ª®â®àë¥ ¯à®¤®«¦ îâáï ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ïîâáï ¢ ¥ª®â®à®¬ த¥ âਢ¨ «ì묨 p-¨§®¬®à䨧¬ ¬¨; ¬ë 㢨¤¨¬ á।¨ ¨å ᮢ¥à襮 ¤à㣨¥, ¯®§¢®«ïî騥 áà ¢¨¢ âì ¥¨§®¬®àäë¥ ®â®è¥¨ï! ®¦¥á⢠Sp(R; R0 ) ®¡à §ãîâ ⥬ á ¬ë¬ ã¡ë¢ îéãî 楯ì :
S0(R; R0 ) S1(R; R0 ) Sp(R; R0) Sp+1(R; R0) : : : . ¯à¥¤®áâ ¢«ïî ᮢ ç¨â â¥«î ¯à®¢¥àªã ⮣®, çâ® ¥á«¨ Sp(R; R0) = Sp+1(R; R0 ) , â® ¤«ï ¢á¥å q > p , Sp(R; R0 ) = Sq (R; R0) , íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¢ ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ¬®¦¥á⢮
4
« ¢ 1
Sp(R; R0 ) { ¯ãá⮥! ®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ s ¨§ R ¢ R0 §ë¢ ¥âáï !-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨«¨ ¥éñ í«¥¬¥â àë¬ «®ª «ìë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬, ¥á«¨ ® ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬ ¤«ï «î¡®£® âãà «ì®£® p , ¨ ç¥à¥§ S! (R; R0 ) ®¡®§ 稬 ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å â ª¨å ¨§®¬®à䨧¬®¢: §¤¥áì ! ®¡®§ ç ¥â ¨¬¥ì訩 áç¥âë© ®à¤¨ «, ª®â®àë© ¨¤¥â ¥¯®á।á⢥® § ¢á¥¬¨ âãà «ì묨 ç¨á« ¬¨; ç¨â ⥫ì, ¥ ¨¬¥î騩 ᥩç á ¨ª ª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ®¡ ®à¤¨ « å, ¬®¦¥â à áᬠâਢ âì ¥£® ¯®ª ⮫쪮 ª ª ¯à®á⮥ 㤮¡®¥ ®¡®§ 票¥.
᫨ S! (R; R0) ¯ãáâ®, § ç¨â, Sp(R; R0 ) ¯ãáâ® ¤«ï ¥ª®â®à®£® p; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® p áãé¥áâ¢ã¥â p-¨§®¬®à䨧¬, â® S! (R; R0 ) ᮤ¥à¦¨â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¯ãá⮥ ®â®¡à ¦¥¨¥. ¢ á«ãç ï ¢®§¬®¦ë ¤«ï «®ª «ì®£® ¨§®¬®à䨧¬ s : s 2 Sp(R; R0); s 62 Sp+1(R; R0) ¤«ï ¥ª®â®à®£® p, ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® ¥£® à £ à ¨áá¥ à ¢¥ p; ¨ ç¥ s ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¢á¥¬ Sp(R; R0 ), ⮣¤ £®¢®àïâ, çâ® ¥£® à £ à ¨áᥠ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ !. ë ¢¢¥«¨ ¤® áâ®ï饣® ¬®¬¥â âà¨ à ¢®§ çëå ¢ëà ¦¥¨ï: " s 2 Sp(R; R0 ) " , "s { p-¨§®¬®à䨧¬" ¨ "à £ à ¨áᥠs ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ p ". ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ®¡®£ â¨âì è á«®¢ àì: ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ª®à⥦¨ í«¥¬¥â®¢ a = (a1; : : :; ak ) ¨§ ®á¨â¥«ï R ¨ b = (b1; : : :; bk ) ¨§ ®á¨â¥«ï R0 p-íª¢¨¢ «¥âë, ¥á«¨ ®¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ p-¨§®¬®à䨧¬¥. ¤à㣨å â¥à¬¨ å ¬®¦® ᪠§ âì, çâ® ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ à ¢¥á⢠¬: ai = aj () bi = bj ; ¨ ®â®¡à ¦¥¨¥ s , ®¯à¥¤¥«¥®¥ ª ª sa1 = b1; : : : ; sak = bk ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ R ¢ R0 . §ã¬¥¥âáï, à¥çì ¨¤ñâ ®¡ ®â®è¥¨¨ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, â.¥. à¥ä«¥ªá¨¢®¬, ᨬ¬¥âà¨ç®¬ ¨ âà §¨â¨¢®¬ ¡¨ ஬ ®â®è¥¨¨. ë ®¡®§ 稬 íâ®â ä ªâ ç¥à¥§ (a; R) p (b; R0) , £¤¥ 㪠§ ¨¥ ®â®è¥¨ï, ¤«ï ª®â®à®£® ¡¥àñâáï ª®à⥦ a , ï¥âáï ®á®¡¥® ¥®¡å®¤¨¬ë¬, ¥á«¨, ¯à¨¬¥à, R0 { à áè¨à¥¨¥ R , â ª ª ª ¢ í⮬ á«ãç ¥ a ¬®¦¥â ¡ëâì à áᬮâॠª ª ª®à⥦ ¨§ ®á¨â¥«ï R0 . ®£¤ ª®â¥ªáâ ¤®áâ â®ç® ïá¥, ¬®¦® ®£à ¨ç¨âìáï § ¯¨áìî a p b .
᫨ a ¨ b p-íª¢¨¢ «¥âë ¤«ï ¢á¥å p â® £®¢®àïâ, çâ® ®¨ !-íª¢¨¢ «¥âë ¨«¨, çâ® ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯.
᫨ ¯ãá⮥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ R ¢ R0 ¤«ï ¢á¥å p (çâ® à ¢®á¨«ì® ⮬ã, çâ® S! (R; R0) ¥ ¯ãáâ®), â® £®¢®àïâ, çâ® R ¨ R0 í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, ¨ ®¡®§ ç îâ R ! R0. ¡®«¥¥ ®¡é¨å â¥à¬¨ å, £®¢®àïâ, çâ® R ¨ R0 p-íª¢¨¢ «¥âë ¨ ¯¨èãâ R p R0, ¥á«¨ ? ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ R ¢ R0. ¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® R0 { à áè¨à¥¨¥ R ¨ ®á¨â¥«ì E ®â®è¥¨ï R { ¯®¤¬®¦¥á⢮ ®á¨â¥«ï E 0 ®â®è¥¨ï R0 . ª ¦¥¬, çâ® íâ® à áè¨à¥¨¥ í«¥¬¥â à®, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® a ¨§ E (a; R) ¨ (a; R0) ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯: ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨ ⮦¤¥á⢥®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥, ®£à ¨ç¥®¥ «î¡ãî ª®¥çãî ç áâì
, ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ R ¢ R0 ¤«ï «î¡®£® p. ®â ä ªâ, çâ® R0 { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ R ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ R R0 . í⮬ á«ãç ¥ â ª¦¥ £®¢®àïâ, çâ® R í«¥¬¥â ஥ á㦥¨¥ R0 §®¬®à䨧¬ R í«¥¬¥â ஥ á㦥¨¥ R0 §ë¢ ¥âáï í«¥¬¥â àë¬ ¢«®¦¥¨¥¬ R ¢ R0 .
áâ¥á⢥®, ¥á«¨ R í«¥¬¥â à® ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ R0 , â® R ¨ R0 í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë. ¥¯¥àì ¬®¦® ᤥ« âì ¯ ã§ã, ¯®áª®«ìªã ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ ¥áª®«ìª¨å áâà ¨æ å ¤¢ ®á®¢ëå ¯®ïâ¨ï ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, £« ¢®© ¤¥ï⥫ì®áâìî ª®â®-
1.b
5
ਬ¥àë
ன ï¥âáï ¨§ã票¥ ª« áá ®â®è¥¨©, í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âëå ¤ ®¬ã ®â®è¥¨î R , â ª¦¥ í«¥¬¥â àëå ¢«®¦¥¨© ®¤®£® ®â®è¥¨ï ¢ ¤à㣮¥ ¨§ í⮣® ª« áá .
¯à ¦¥¨¥ 1.1 ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ R ¨ R0 í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë,
â® ¤«ï «î¡®£® ª®à⥦ a í«¥¬¥â®¢ ¨§ ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï R ¨ ¤«ï «î¡®£® p , áãé¥áâ¢ã¥â ª®à⥦ b í«¥¬¥â®¢ ¨§ ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï R0 , â ª®©, çâ® (a; R) p (b; R0) .
¯à ¦¥¨¥ 1.2
᫨ a = (a1; : : : ; ak ) ; b = (b1; : : :; bl) , ⮣¤ ¨å á®ç«¥-
¥¨¥¬ §ë¢ ¥âáï ª®à⥦ a_b =def (a1; : : : ; ak ; b1 ; : : :; bl ) . ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ R0 { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ R ¨ a ¨§ ¡ §ë ®â®è¥¨ï R , b ¨§ ¡ §ë ®â®è¥¨ï R0 , â® ¤«ï «î¡®£® p ©¤¥âáï c ¨§ ¡ §ë ®â®è¥¨ï R, â ª®©, çâ® (a_ c; R) p (a_b; R0) .
1.b ਬ¥àë ਢ¨ «ìë¬ á«ãç ¥¬ í«¥¬¥â ன íª¢¨¢ «¥â®á⨠ï¥âáï ¨§®¬®àä®áâì. ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãîé ï ⥮६ íâ® ¥¤¨á⢥® ¢®§¬®¦ë© á«ãç © ¤«ï ª®¥çëå ®â®è¥¨©.
¥®à¥¬ 1.3
᫨ R { ª®¥ç®¥ ®â®è¥¨¥, ®¯à¥¤¥«¥®¥ p í«¥¬¥â å, â® «î¡®¥ (p + 1)-íª¢¨¢ «¥â®¥ ¥¬ã ®â®è¥¨¥ S ¥¬ã ¦¥ ¨§®¬®àä®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a1; : : :; ap ï¥âáï ¯®«ë¬ ᯨ᪮¬ ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï R . ª ª ª ? ï¥âáï (p + 1)-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¬¥¦¤ã R ¨ S , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¥£® ¯à®¤®«¦¥¨¥ S1 fa1g , ïî饥áï p¨§®¬®à䨧¬®¬. ®á«¥¤¥¥ ¨¬¥¥â ¯à®¤®«¦¥¨¥ s2 fa1; a2g , ïî饥áï (p ? 1)-¨§®¬®à䨧¬®¬. த®«¦ ï ¤ «ìè¥, ¯®«ã稬 1-¨§®¬®à䨧¬ s ¨§ R
¢ S , ®¯à¥¤¥«ñë© ¢á¥å â®çª å ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï R . ç¨â s ¢«®¦¥¨¥ R ¢ S .
᫨ ¡ë áãé¥á⢮¢ « í«¥¬¥â b ¢ ®á¨â¥«¥ ®â®è¥¨ï S , «¥¦ 騩 ¢¥ ®¡à § s , â® ¬ë ¥ ᬮ£«¨ ¡ë ¯à®¤®«¦¨âì s?1 ¤® «®ª «ì®£® ¨§®¬®à䨧¬ t ®¯à¥¤¥«¥®£® b , â ª ª ª t(b) ¤®«¦® ®â«¨ç âìáï ®â a1; : : : ; ap . ª á«¥¤á⢨¥, s { áîàꥪ⨢®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ¨, § ç¨â, ®® ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¬¥¦¤ã R ¨ S .
ç áâ®áâ¨, ª®¥ç®¥ ®â®è¥¨¥ ¥ ¨¬¥¥â í«¥¬¥â àëå à áè¨à¥¨© ªà®¬¥ á ¬®£® ᥡï. ¥¯¥àì à áᬮâਬ âãà «ì®¥ ç¨á«® m ¨ ¤¢ m- àëå ¯ãáâëå ®â®è¥¨ï R ¨ R0 , ᮮ⢥âá⢥® ®á¨â¥«ïå E ¨ E 0 . ç¨â, R ¨ R0 ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâáï ¨ª ª®© m-ª®© á ¨å ®á¨â¥«¥©; R ¨ R0 ¨§®¬®àäë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ E ¨ E 0 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢®¥ "ç¨á«® í«¥¬¥â®¢" ( íâ® ç¨á«® ¬®¦¥â ¡ëâì ª®¥çë¬ ¨«¨ ¡¥áª®¥çë¬; ¡®«¥¥ â®ç® £®¢®àïâ, çâ® ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ª न «). ® ⥮६¥ 1.3, ¥á«¨ ®¨ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë ¨ ®¤® ¨§ ¨å ª®¥ç®, â® ®¨ ¨§®¬®àäë; ¤®ª ¦¥¬, çâ®, ¯à®â¨¢, ¥á«¨ ®¡ ¡¥áª®¥çë, â® ®¨ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë (¢ í⮬ á«ãç ¥, ®¨ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¨§®¬®àäë,
6
« ¢ 1
¯à¨¬¥à, ¥á«¨ E { ¬®¦¥á⢮ âãà «ìëå ç¨á¥«, E 0 { ¬®¦¥á⢮ ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥«). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ «î¡®© «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ R0 ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¤«ï «î¡®£® p ( íâ® ¢«¥çñâ, çâ® ? ï¥âáï !-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ R ¢ R0 ! ) . «ï íâ¨å ®â®è¥¨©, «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¥áâì ¥çâ® ¨®¥, ª ª ¨ê¥ªæ¨ï ª®¥ç®© ç á⨠E ¢ E 0 ; ¯®ª ¦¥¬ ¯¥à¥å®¤ ®â p ª p + 1 .
᫨ ï ¤®¡ ¢«î ª Dom(s) í«¥¬¥â a , â® ¯®áª®«ìªã E 0 ¡¥áª®¥ç®, ¬®¦® ©â¨ ¢¥ Im(s) í«¥¬¥â b ¨ ¯à®¤®«¦ âì s ¤® t , ¯®« £ ï t(a) = b ; ¤®¢®¤ë ¤«ï "祫®ª § ¤" «®£¨çë. ®â ¦¥ १ã«ìâ â ®áâ ñâáï ¢ ᨫ¥, ¥á«¨ R ¨ R0 ᮢ¯ ¤ îâ á® ¢á¥¬¨ m-ª ¬¨ ᢮¨å ®á¨â¥«¥©. ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, á¨âã æ¨ï ᢮¤¨âáï ª ®¯à¥¤¥«¥¨î ¬®¦¥á⢠å E ¨ E 0 áâàãªâãàë, á¢ï§ ®© ⮫쪮 á à ¢¥á⢮¬. ¥¯¥àì ¨§ã稬, çãâì ¬¥¥¥ âਢ¨ «ìë© á«ãç © ã àëå ®â®è¥¨© ( â.¥. ®¤®¬¥áâëå). ª®¬ã ®â®è¥¨î R ®á¨â¥«¥ E , ¯à¨¯¨è¥¬ ᨬ¢®« (x; y), §ë¢ ¥¬ë© ¥£® å à ªâ¥à®¬, £¤¥ x ¯®« £ ¥âáï à ¢ë¬ ç¨á«ã í«¥¬¥â®¢ E 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å R , ¥á«¨ íâ® ç¨á«® ª®¥ç® ¨ ᨬ¢®«ã 1 ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, y à ¢® ç¨á«ã í«¥¬¥â®¢ E ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å R , ¥á«¨ íâ® ç¨á«® ª®¥ç® ¨ ᨬ¢®«ã 1 ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ !1 ®¡®§ ç ¥â ¨¬¥ì訩 ¥áçñâë© ª न «, â® áãé¥áâ¢ãîâ, á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , âਠã àëå ®â®è¥¨ï á å à ªâ¥à®¬ (1; 1) , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¤¥«¥¨ï¬ (!; !1) ; (!1; !) ; (!1; !1) .
¥®à¥¬ 1.4 ¢ ã àëå ®â®è¥¨ï R ¨ S í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë â®-
£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© å à ªâ¥à, ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ª ¦¤ë© «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ S ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¤«ï «î¡®£® p .
®ª § ⥫ìá⢮. ®, çâ® s { «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ S , § ç¨â, çâ® ¥á«¨ a 2 R , â® sa 2 S ¨ ¥á«¨ b 62 R , â® sb 62 S . ।¯®«®¦¨¬, çâ® å à ªâ¥à
R à ¢¥ (p; y) ¨ , çâ® S (p + 1)-íª¢¨¢ «¥â® R ¨ ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ a1; : : :; ap í«¥¬¥âë ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï R , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 R . ª ª ª ? (p + 1)¨§®¬®à䨧¬, â® ¯®á«¥ p è £®¢ ¯®«ã稬 1-¨§®¬®à䨧¬ s , ®¯à¥¤¥«¥ë© a1; : : :; ap . «¥¬¥âë sa1; : : :; sap 㤮¢«¥â¢®àïîâ S ¨ ¥¢®§¬®¦® ©â¨ ¤à㣮© í«¥¬¥â b ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï S , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 S , ¯®áª®«ìªã ¨ ç¥ ¥ ᬮ¦¥¬ ¯à®¤®«¦¨âì s?1 b . «¥¤®¢ ⥫ì®, å à ªâ¥à S ¨¬¥¥â ¢¨¤ (p; z). ¥¬ ¦¥ ᯮᮡ®¬ ¯®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¥á«¨ R ¨ S (q + 1)-íª¢¨¢ «¥âë ¨ å à ªâ¥à R ¨¬¥¥â ¢¨¤ (x; q) , â® â ª®© ¦¥ ¢¨¤ ¨¬¥¥â å à ªâ¥à S . â® ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¥á«¨ R ¨ S í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, â® ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© å à ªâ¥à. ¡à â®, ¯ãáâì ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© å à ªâ¥à ¨ s ï¥âáï «®ª «ìë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¨§ R ¢ S . ¥¯¥àì ¥á«¨, ¯à¨¬¥à, ¤®¡ ¢¨âì í«¥¬¥â a, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 R ª Dom(s), â® ¢á¥£¤ ¬®¦® ©â¨ ¨ ¤®¡ ¢¨âì ª Im(s) í«¥¬¥â b, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 S , ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥¨¥.
ç¨ ï á à®á⨠2 , § ¤ ç ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª« áᮢ í«¥¬¥â ன íª¢¨¢ «¥â®á⨠¤®á⨣ ¥â ᢮¥© ®¡é¥© á«®¦®áâ¨. ¤¥áì ¬®¦® ®¡á㤨âì ⮫쪮 ¥áª®«ìª® ¯à®áâëå á«ãç ¥¢ ¡¨ àëå ®â®è¥¨©. ¨ ஥ ®â®è¥¨¥ R §ë¢ ¥âáï à¥ä«¥ªá¨¢ë¬, ¥á«¨ ¥¬ã 㤮¢«¥â¢®àïî⠢ᥠ¯ àë (a; a) ¤«ï «î¡®£® a ¨§ ®á¨â¥«ï.
᫨ S 1-íª¢¨¢ «¥â® à¥ä«¥ªá¨¢®¬ã ®â®è¥¨î, â® ®® á ¬®
1.b
7
ਬ¥àë
à¥ä«¥ªá¨¢®, ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥á«¨ S ¥ ᮤ¥à¦¨â ¯ àã (b; b) , â® ¥¢®§¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ S ¢ R , ®¯à¥¤¥«¥ë© b . â®è¥¨¥ R §ë¢ ¥âáï ᨬ¬¥âà¨çë¬, ¥á«¨ ¢¬¥áâ¥ á ª ¦¤®© ¯ ன (a; b) , ᮤ¥à¦ 饩áï ¢ ¥¬, ®® ᮤ¥à¦¨â ¨ ¯ àã (b; a) ; ®® §ë¢ ¥âáï â¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ¥á«¨ ®® ¥ ᮤ¥à¦¨â ®¤®¢à¥¬¥® (a; b) ¨ (b; a) , ª®£¤ a ®â«¨ç¥ ®â b . áâ ¢«ï¥¬ ç¨â â¥«î ¯à®¢¥àªã ⮣®, çâ® ®â®è¥¨¥, 2-íª¢¨¢ «¥â®¥ ᨬ¬¥âà¨ç®¬ã (ᮮ⢥âá⢥® â¨á¨¬¬¥âà¨ç®¬ã) ®â®è¥¨î, á ¬® ï¥âáï â ª®¢ë¬. ® §ë¢ ¥âáï âà §¨â¨¢ë¬, ¥á«¨ ª ª ⮫쪮 (a; b) ¨ (b; c) 㤮¢«¥â¢®àïîâ R , ¥¬ã 㤮¢«¥â¢®àï¥â â ª¦¥ (a; c) . â®è¥¨¥ 3-íª¢¨¢ «¥â®¥ âà §¨â¨¢®¬ã ®â®è¥¨î á ¬® ï¥âáï âà §¨â¨¢ë¬. ª®¥æ, R §ë¢ ¥âáï â®â «ìë¬, ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å a ¨ b ¨§ ¥£® ®á¨â¥«ï, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤ ¨§ ¯ à (a; b) ¨ (b; a) ¯à¨ ¤«¥¦¨â R . â®è¥¨¥, 2-íª¢¨¢ «¥â®¥ â®â «ì®¬ã ®â®è¥¨î, â®â «ì®. ¦¤ë© § ¥â á ¯¥à¢®£® ªãàá 㨢¥àá¨â¥â , çâ® ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠íâ® à¥ä«¥ªá¨¢®¥, ᨬ¬¥âà¨ç®¥, âà §¨â¨¢®¥ ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥ ¨ çâ® ®â®è¥¨î íª¢¨¢ «¥â®á⨠®á¨â¥«¥ E ᮮ⢥âáâ¢ã¥â à §¡¨¥¨¥ ¬®¦¥á⢠E ¯®¯ à® ¤¨§êîªâë¥ ª« ááë. ë 㢨¤¥«¨, çâ® ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥, 3-íª¢¨¢ «¥â®¥ ®â®è¥¨î íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, á ¬® ï¥âáï ®â®è¥¨¥¬ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨. ®áâ â®ç® «¥£ª® å à ªâ¥à¨§®¢ âì ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, á ¯®¬®éìî ®¤®© "å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®© äãªæ¨¨", á¢ï§ ®© á ¨¬¨. ® íâ® { ¯à¥¤¬¥â ã¯à ¦¥¨ï 1.6 . ¦¥ ¤®¢®«ìáâ¢ãîáì ¯®¤à®¡ë¬ à áᬮâ२¥¬ ç á⮣® á«ãç ï : ¥®à¥¬ 1.5
᫨ R; R0 ¤¢ ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, â® ®¨ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë; ¨ «î¡®© «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã R ¨ R0 ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¤«ï «î¡®£® p . ¡à â®, ¥á«¨ R; R0 ¤¢ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âëå ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®á⨠¨ R á®á⮨⠨§ ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, â® â ª®¢ë¬ ï¥âáï ¨ R0 . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì s { «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ R0 , ¥á«¨ ¤®¡ ¢¨âì a ª ®¡« á⨠¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï, â® ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, ª®£àãí⥠a ¥ª®â®à®¬ã í«¥¬¥âã ¨§ Dom(s) ¯® ¬®¤ã«î R ¨«¨ ® «¥¦¨â ¢ ®¢®¬ ª« áá¥, ¢á¥£¤ ¬®¦® ¯à®¤®«¦¨âì s ¤® «®ª «ì®£® ¨§®¬®à䨧¬ , ®¯à¥¤¥«¥®£® a, ¯®áª®«ìªã R0 á®á⮨⠨§ ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥¨¥. ¡à â®, «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥á«¨ R ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ p ª« áᮢ ¨ R0 ¥¬ã p-íª¢¨¢ «¥â®, â® ®® â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ p ª« áᮢ.
᫨ ª ¦¤ë© ª« áá ®â®è¥¨ï R ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ p í«¥¬¥â®¢ ¨ R0 ¥¬ã píª¢¨¢ «¥â®, â® ®® ®¡« ¤ ¥â ⥬ ¦¥ ᢮©á⢮¬.
¯à ¦¥¨¥ 1.6 ª ¦¤ë¬ ®â®è¥¨¥¬ íª¢¨¢ «¥â®á⨠R á¢ï§ äãªæ¨ï fR , ª®â®à ï ç¨á«ã p ¯à¨¯¨áë¢ ¥â ç¨á«® p-í«¥¬¥âëå ª« áᮢ, ¥á«¨ ®® ª®¥ç®, ¨ ç¥ á¨¬¢®« 1 . ¯à¨¯¨áë¢ ¥â ᨬ¢®«ã 1 ç¨á«® ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, ¥á«¨ íâ® ç¨á«® ª®¥ç®, ¨ ç¥ á¨¬¢®« 1 .
1. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ fR(q ) = p ¨ R0 (p + q + 1)-íª¢¨¢ «¥â® R , â® fR0 (q) = p .
8
« ¢ 1
2. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ R ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ p ª« áᮢ, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ p í«¥¬¥â®¢, ¨ R0 p + q-íª¢¨¢ «¥â® R , â® ®® ¨¬¥¥â â ª®¥ ¦¥ ᢮©á⢮. 3. ãáâì Rp ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ¯®«ã祮¥ ¨§ R § ¬¥®© ª ¦¤®£® ª« áá ¬®é®áâ¨, ¥ ¬¥ì襩 p , p-í«¥¬¥âë© ª« áá ; ¤®ª ¦¨â¥, çâ® R ¨ Rp p-íª¢¨¢ «¥âë. 4. ®ª ¦¨â¥, çâ® R ¨ R0 í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ fR ¨ fR0 à ¢ë § ¨áª«î票¥¬, ¢®§¬®¦® ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¢ ⮬ á«ãç ¥ ª®£¤ ®¨ ¯à¨¨¬ îâ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® à § ¥ã«¥¢ë¥ § 票ï. 5. ।¯®«®¦¨¬, çâ® R ¨ R0 í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë ¨ R0 à áè¨à¥¨¥ R . ®ª ¦¨â¥, çâ® íâ® à áè¨à¥¨¥ í«¥¬¥â ஠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª ¦¤ë© ª®¥çë© ª« áá R0 , ᮤ¥à¦ 騩 í«¥¬¥â ¨§ ®á¨â¥«ï R ï¥âáï ª« áᮬ R .
᫨ ãç áâì ®â®è¥¨© íª¢¨¢ «¥â®á⨠«¥£ª® à¥è ¥âáï, â® ¯à®¡«¥¬ ª« áá¨ä¨ª 樨 楯¥© (à¥ä«¥ªá¨¢ë¥, â¨á¨¬¬¥âà¨çë¥, âà §¨â¨¢ë¥ ¨ â®â «ìë¥ ¡¨ àë¥ ®â®è¥¨ï; ¨å §ë¢ îâ â ª¦¥ «¨¥©ë¬¨ ¯®à浪 ¬¨ ) á â®ç®áâìî ¤® í«¥¬¥â ன íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ï¥âáï ¬®£® ¡®«¥¥ á«®¦®©, ¨ §¤¥áì ¬®¦® ¤ âì ⮫쪮 ¥ª®â®àë¥ ¯à®áâë¥, ® ⥬ ¥ ¬¥¥¥ ¯®ãç¨â¥«ìë¥, ç áâë¥ á«ãç ¨. ®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã 楯ﬨ ¥áâì ¯à®áâ® ¯à®áâ® ¢®§à áâ îé ï äãªæ¨ï : ¥á«¨ a < b , â® ®¡ï§ â¥«ì® sa < sb . ¥¯ì, ¨¬¥îé ï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ í«¥¬¥â , §ë¢ ¥âáï ¯«®â®© , ¥á«¨ ¬¥¦¤ã «î¡ë¬¨ ¥ñ ¤¢ã¬ï â®çª ¬¨ ¢á¥£¤ ©¤¥âáï âà¥âìï; £®¢®àïâ â ª¦¥, çâ® ® ¥ ¨¬¥¥â ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢, ¥á«¨ ® ¥ ¨¬¥¥â ¨ ¨¬¥ì襣® ¨ ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â®¢.
¥®à¥¬ 1.7 ¨ ஥ ®â®è¥¨¥, 3-íª¢¨¢ «¥â®¥ ¯«®â®© 楯¨ ¡¥§ ª®-
楢ëå í«¥¬¥â®¢, á ¬® ï¥âáï ¯«®â®© 楯ìî ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢; ®¡à â® ¤¢¥ ¯«®âë¥ æ¥¯¨ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª C ¨ C 0 í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, â ª ª ª «î¡®© «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ C ¢ C 0 ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì C { ¯«®â ï æ¥¯ì ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢. ë
§ ¥¬, çâ® ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥ C 0 , 3-íª¢¨¢ «¥â®¥ C , ï¥âáï 楯ìî.
᫨ 楯ì C 0 ¡ë« ¡ë ¥ ¯«®â®©, â® áãé¥á⢮¢ «¨ ¡ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ a ¨ b ¨§ C 0 . ãáâì s { 1-¨§®¬®à䨧¬ ¨§ C 0 ¢ C , ®¯à¥¤¥«¥ë© a ¨ b , ¯ãáâì c ¨§ C â ª®¢, çâ® s(a) < c < s(b) . ®£¤ ¥¢®§¬®¦® ¯à®¤®«¦¨âì s?1 c , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â £¨¯®â¥§¥.
᫨ 楯ì C 0 ¨¬¥« ¡ë ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â a , â® 1-¨§®¬®à䨧¬ s ¨§ C ¢ C 0 , ᮤ¥à¦ 騩 ¢ ᢮¥¬ ®¡à §¥ a , ¥ ᬮ£ ¡ë ¯à®¤®«¦ âìáï â®çª¥ b < s?1(a) , ç⮠ï¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬. «®£¨ç® ¯®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® C 0 ¥ ¨¬¥¥â ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â . ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® C ¨ C 0 { ¯«®âë¥ æ¥¯¨, ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢. ®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ s ¨§ C ¢ C 0 ®â®¡à ¦ ¥â a1 < < ak b1 < < bk .
᫨ ¤®¡ ¢¨¬, ¯à¨¬¥à, a ª ¯¥à¢®© 楯®çª¥, â® ¬®¦® ¢ë¡à âì
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9
b ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 ᥣ¬¥â¥ ¢â®à®© 楯¨, ª®â®àë© ¢á¥£¤ ¥¯ãáâ, â ª ª ª C 0 { ¯«®âë© ¯®à冷ª ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢. ç¨â, «î¡®© 0-¨§®¬®à䨧¬ ï¥âáï 1-¨§®¬®à䨧¬®¬. â® ¢«¥ç¥â, çâ® ª ¦¤ë© 0-¨§®¬®à䨧¬ ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¤«ï «î¡®£® âãà «ì®£® p . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ç áâ®áâ¨, 楯ì R ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥â 楯¨ Q à 樮 «ìëå ç¨á¥«. à®â¨¢®¯®«®¦®áâìî ª ¯«®âë¬ æ¥¯ï¬ ï¢«ïîâáï ¤¨áªà¥âë¥ æ¥¯¨, ª®â®àë¥ ¥ ᮤ¥à¦ â â®ç¥ª á£ã饨ï; ª ¦¤ë© í«¥¬¥â, ªà®¬¥ ¨¡®«ì襣®, ¨¬¥¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ï ( b §ë¢ ¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬ a ¨ a §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤è¥á⢥¨ª®¬ b , ¥á«¨ a < b ¨ ¬¥¦¤ã ¨¬¨ ¨ç¥£® ¥â) , ¨ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â, § ¨áª«î票¥¬ ¨¬¥ì襣®, ¨¬¥¥â ¯à¥¤è¥á⢥¨ª . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥, 3-íª¢¨¢ «¥â®¥ ¤¨áªà¥â®© 楯¨ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢ á ¬® ï¥âáï â ª®¢ë¬. 㤥⠤®ª § ® ¨ ®¡à ⮥, çâ® ¤¢¥ ¤¨áªà¥âë¥ æ¥¯¨ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢ ( ¯à¨¬¥à, 楯ì Z楫ëå ç¨á¥« ¨ 楯ì Z+ Z, ¯®«ãç¥ ï ¨§ ¤¢ãå ª®¯¨© Z, ¨¤ãé¨å ®¤ § ¤à㣮©) í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë. ãáâì a ¨ b ¢§ïâë ¨§ â ª®© 楯¨ ¨ a < b . ®« £ ¥¬ d(a; b) = q , ¥á«¨ áâண® ¬¥¦¤ã a ¨ b 室ïâáï q í«¥¬¥â®¢ ¨ d(a; b) = 1 ¥á«¨ â ª®¢ëå ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«®. ®£¤ d(a; b) = 0 ®§ ç ¥â, çâ® a ¨ b ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ í«¥¬¥âë. ¡¥é ë© à¥§ã«ìâ â ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ á«¥¤ãî饩 ⥮६ë, ª®â®à ï á।¨ ¯à®ç¨å ã⢥ত ¥â, çâ® ? ï¥âáï p-¨§®¬®à䨧¬®¬ ¤«ï «î¡®£® p . ¥®à¥¬ 1.8 ãáâì C ¨ C 0 { ¤¢¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¤¨áªà¥âë¥ æ¥¯¨ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢ ¨ a1 < < ak { ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨§ ¯¥à¢®©, b1 < < bk { ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨§ ¢â®à®© 楯¨. «ï ¨å p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë d(ai ; ai+1) ¨ d(bi ; bi+1 ) ¡ë«¨ à ¢ë¬¨ ¨«¨ ®¡ ¡ë«¨ 2p ? 1 ¤«ï «î¡®£® i; 1 i k ? 1. ®ª § ⥫ìá⢮. ஢¥¤¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® p . â® ®ç¥¢¨¤® ¤«ï p = 0 , ¯®áª®«ìªã ¯® ãá«®¢¨î â¥®à¥¬ë ®¡¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®¤¨ ª®¢® 㯮à冷ç¥ë. ®ª ¦¥¬ ¯¥à¥å®¤ ®â p ª p + 1 , ¨ á ç « , çâ® ¥á«¨ ¤¢¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠㤮¢«¥â¢®àïîâ ¯®áâ ¢«¥®¬ã ãá«®¢¨î, â® ®¨ p + 1íª¢¨¢ «¥âë. ®¡ ¢¨¬, ¯à¨¬¥à, a ª ¯¥à¢®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨. ।¯®«®¦¨¬ á ç « , çâ® a < a1 .
᫨ d(a; a1) = q , â® ¬®¦® ®â¢¥â¨âì â ª¨¬ í«¥¬¥â®¬ b < b1, çâ® d(b; b1) = q .
᫨ d(a; a1) = 1 ®â¢¥â¨¬ â ª¨¬ í«¥¬¥â®¬ b < b1 , çâ® d(b; b1) = 2p ? 1 . «®£¨ç® à áᬠâਢ ¥âáï á«ãç © a > ak . ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® ai < a < ai+1 , ¨ à áᬮâਬ ¤¢ á«ãç ï : (i) d(ai; ai+1) < 2p+1 ? 1 , ¢ í⮬ á«ãç ¥ d(ai; ai+1) = d(bi; bi+1) ¨ ®â¢¥ç ¥¬ â ª¨¬ b ; bi < b < bi+1 , çâ® d(ai; a) = d(bi; b) . (ii) d(ai; ai+1) 2p+1 ? 1 = (2p ? 1) + 1 + (2p ? 1) ; ¥á«¨ d(ai; a) = q < 2p ? 1 , ®â¢¥â¨¬ â ª¨¬ b , çâ® d(bi ; b) = q ¨ â ª ª ª d(bi ; bi+1) 2p+1 ? 1 , â® d(b; bi+1) 2p ? 1 . «®£¨ç®, ¥á«¨ d(a; ai+1) = q < 2p ? 1 , ®â¢¥â¨¬ â ª¨¬ b , çâ® d(b; bi+1) = q ; ¨ ¥á«¨ d(ai; a) 2p ? 1 ¨ d(a; ai+1) 2p ? 1 , â® ¬®¦® ®â¢¥â¨âì â ª¨¬ b , çâ® d(bi; b) 2p ? 1 ¨ d(b; bi+1) 2p ? 1 . ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ãá«®¢¨¥ ⥮६ë ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤¢¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¡ë«¨ (p + 1)-íª¢¨¢ «¥âë. áᬮâਬ âਠá«ãç ï
10
« ¢ 1
(i) d(ai; ai+1) 2p+1 ? 1 = (2p ? 1) + 1 + (2p ? 1) ; ¢ë¡¥à¥¬ a â ª¨¬, çâ® ai < a < ai=1 ; d(ai; a) 2p ? 1 ; d(a; ai+1) 2p ? 1 ; ¤®«¦¥ áãé¥á⢮¢ âì b ¬¥¦¤ã bi ¨ bi+1, â ª®©, çâ® (ai; a; ai+1) ¨ (bi; b; bi+1) ¡ë«¨ p-íª¢¨¢ «¥âë, § ç¨â, ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ d(bi; b) 2p ? 1 ; d(b; bi+1) 2p ? 1 ¨ d(bi; bi+1) 2p+1 ? 1 (ii) d(ai; ai+1 2p+1 ? 3 = (2p ? 2) + 1 + (2p ? 2) ; ¥á«¨ ai ¨ ai+1 ïîâáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì묨 í«¥¬¥â ¬¨, â® â ª®¢ë¬¨ ¤®«¦ë ¡ëâì ¨ bi; bi+1 , ¨ ç¥ ¬®¦® ©â¨ a ¬¥¦¤ã ai ¨ ai+1, â ª®©, çâ® d(ai; a) ¨ d(a; ai+1) ®¡ áâண® ¬¥ìè¥ 2p ? 1 . ®£¤ ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨, áãé¥áâ¢ã¥â b ¢ ¤à㣮© 楯¨ â ª®©, çâ® d(ai; a) = d(bi; b) ; d(a; ai+1) = d(b; bi+1) ¨ d(ai; ai+1) = d(bi; bi+1) . (iii) d(ai; ai+1) = 2p+1 ? 2 = (2p ? 2) + 1 + (2p ? 1) ; ¨â ª, áãé¥áâ¢ã¥â b ¬¥¦¤ã bi ¨ bi+1, â ª®©, çâ® d(bi; b) = 2p ? 2 ; d(b; bi+1) 2p ? 1 ¨ d(bi ; bi+1) 2p+1 ? 2 . ® á ¬®¬ ¤¥«¥ d(bi; bi+1) = 2p+1 ? 2 , ¯®áª®«ìªã ¨ ç¥ ¯® ¯¥à¢®¬ã á«ãç î, ¯à¨¬¥¥®¬ã ¢ ¤à㣮¬ ¯à ¢«¥¨¨ (®â bi ¤® ai ) , ¥á«¨ d(bi; bi+1) 2p+1 ? 1 , â® íâ® ¦¥ ¢¥à® ¨ ¤«ï d(ai; ai+1) .
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® à áè¨à¥¨¥ ¤¨áªà¥â®© 楯¨ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢ ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬, ¥á«¨ § 票¥ d á®åà ï¥âáï ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå í«¥¬¥â®¢ ¨§ ¬¥ì襩 楯¨; ¯à¨¬¥à, 楯ì Z 楫ëå ç¨á¥« ¨ 楯ì Z 楫ëå ç¨á¥« ¡¥§ ã«ï í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, ¯®áª®«ìªã ®¨ ¨§®¬®àäë; ®¤ ª® Z ¥ ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬ á㦥¨¥¬ Z , â ª ª ª ?1 ¨ 1 { ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ í«¥¬¥âë ¢ Z , ® ¥ ¢ Z . ¯à®â¨¢, à áè¨à¥¨ï ¯«®âëå 楯¥© ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢, ¨«¨ ®â®è¥¨© íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, ¨«¨ ã àëå ®â®è¥¨© á ®¤¨ ª®¢ë¬ å à ªâ¥à®¬, ¢á¥£¤ í«¥¬¥â àë, ¯®áª®«ìªã ¢ íâ¨å á«ãç ïå «®ª «ìë¥ ¨§®¬®à䨧¬ë ïîâáï í«¥¬¥â à묨.
¯à ¦¥¨¥ 1.9 ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤¢¥ ¯«®âë¥ æ¥¯¨ á ¨¬¥ì訬 í«¥¬¥-
⮬, ® ¡¥§ ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â (ᮮ⢥âá⢥® : á ¨¡®«ì訬 í«¥¬¥â®¬, ® ¡¥§ ¨¬¥ì襣®; á ¨¬¥ì訬 ¨ ¨¡®«ì訬 í«¥¬¥â ¬¨) í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë.
¯à ¦¥¨¥ 1.10 ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤¢¥ ¤¨áªà¥âë¥ æ¥¯¨ á ¨¬¥ì訬 í«¥-
¬¥â®¬ (® ®¡®§ ç ¥âáï ᨬ¢®«®¬ 0 ) , ® ¡¥§ ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â ( ¯à¨¬¥à, 楯ì ! âãà «ìëå ç¨á¥«) í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë. « áá¨ä¨æ¨àã©â¥ ¤¨áªà¥âë¥ æ¥¯¨ á â®ç®áâìî ¤® í«¥¬¥â ன íª¢¨¢ «¥â®áâ¨.
¯à ¦¥¨¥ 1.11 1)
᫨ C { 楯ì, â® ç¥à¥§ C ? ®¡®§ 稬 ®¡à âãî 楯ì,
£¤¥ a < b ¢ á¬ëá«¥ C ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ b < a ¢ á¬ëá«¥ C ? . ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ C ¨ C 0 í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, â® â ª®¢ë¬¨ ïîâáï ¨ C ? ; C 0? . 2)
᫨ C ¨ D { 楯¨ á ¤¨§êîªâ묨 ®á¨â¥«ï¬¨ (¥á«¨ íâ® ¥ â ª, â® ¬®¦® § ¬¥¨âì C ¨ D ¨å ¨§®¬®àä묨 ª®¯¨ï¬¨ á ¤¨§êîªâ묨 ®á¨â¥«ï¬¨) , 楯ì C + D ï¥âáï ®¡é¨¬ à áè¨à¥¨¥¬ C ¨ D , £¤¥ áç¨â ¥âáï, çâ®
1.c
¥áª®¥çë© "祫®çë©" ¬¥â®¤
11
ª ¦¤ë© í«¥¬¥â C ¬¥ìè¥ ª ¦¤®£® í«¥¬¥â ¨§ D . ®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ 楯¨ C ¨ C 0 í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë â ª ¦¥, ª ª ¨ D ¨ D0 , â® â ª®¢ë¬¨ ïîâáï C + D ¨ C 0 + D0 .
¯à ¦¥¨¥ 1.12 «ï ¤ ëå ¤¢ãå 楯¥© C ¨ D , «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨¬ ¯à®-
¨§¢¥¤¥¨¥¬ C D §ë¢ ¥âáï 楯ì, ®¯à¥¤¥«¥ ï ¤¥ª à⮢®¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨ ¨å ®á¨â¥«¥© ¨ â ª ï, çâ® (a; b) < (c; d) ¢ á¬ëá«¥ C D , ¥á«¨ b < d ¢ á¬ëá«¥ D , ¨«¨ b = d ¨ a < c ¢ á¬ëá«¥ C .
᫨ ®¡ ¬®¦¥á⢠C ¨ D ïîâáï ¬®¦¥á⢮¬ ¡ãª¢ àãá᪮£® «ä ¢¨â , â® íâ® ®¡ëçë© ¯®à冷ª à ᯮ«®¦¥¨ï á«®¢ ¨§ ¤¢ãå ¡ãª¢ ¢ ¢ «î¡®¬ á«®¢ ॠàãá᪮£® ï§ëª . 1) ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤¨áªà¥âë¥ æ¥¯¨ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª ¨ ⮫쪮 ®¨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ë ¢ ¢¨¤¥ Z C . «®£¨ç®, ⮫쪮 â¥, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â, ® ¥ ¨¬¥îâ ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â ¯à¥¤áâ ¢¨¬ë ¢ ¢¨¤¥ ! + Z C . 2) ®ª ¦¨â¥ çâ®, ¥á«¨ C ¨ C 0 , â®ç® â ª ¦¥ ª ª ¨ D ¨ D0 , í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, â® â ª®¢ë¬¨ ïîâáï C D ¨ C 0 D0 .
1.c ¥áª®¥çë© "祫®çë©" ¬¥â®¤ á ¥â ¨ª ª®© ¯à¨ç¨ë ®áâ ¢«¨¢ âìáï ! . ᯮ«ì§ãï "祫®ª" ¥éñ ®¤¨ à §, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¯®ï⨥ (! + 1)-¨§®¬®à䨧¬ , ¯®â®¬ (! + 2)¨§®¬®à䨧¬ ¨ â.¤., ¯®ª ¥ ¤®©¤¥¬ ¤® ! + ! ¨ ¤ «¥¥ ४ãàà¥â® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¯®ï⨥ -¨§®¬®à䨧¬ ¤«ï ¢á¥å ®à¤¨ «®¢ . ®ª ¬ ¥ 㦮 § âì ¬®£® ®¡ ®à¤¨ « å, § ¨áª«î票¥¬ ⮣®, çâ® ®¨ ïîâáï ®¡ê¥ªâ ¬¨, ¯à¨§¢ 묨 ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ¬®¬¥â®¢ ®¦¨¤ ¨ï. ¨ ¯®§¢®«ïîâ ¤¥« âì à áá㦤¥¨ï ¯® ¨¤ãªæ¨¨, â ª¦¥ ¯®áâ஥¨ï ¯® ¨¤ãªæ¨¨, ª®â®àë¥ á®¤¥à¦ â ¥ ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® íâ ¯®¢. ®á«¥ ¢á¥å âãà «ìëå ç¨á¥« ¨¤¥â ®à¤¨ « ! , ¯®â®¬ ! + 1; : : :; ! + n; : : : . ®á«¥ ¢á¥å ! + n ¨¤¥â ! + ! = ! 2; : : : ; ! n; : : : ¨ ¯®á«¥ ¢á¥å ! n ¨¤¥â ! ! ¨ â.¤. ®ª ¤®¢®«ìáâ¢ã¥¬áï § ¬¥ç ¨¥¬, çâ® ¨¬¥¥âáï ¤¢ ¢¨¤ ®à¤¨ «®¢ { ¯®á«¥¤®¢ ⥫¨, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤ + 1 , ¨ ¤à㣨¥, ª ª 0; !; ! n; ! !; : : : , ª®â®àë¥ §ë¢ îâáï ¯à¥¤¥«ì묨. ¯à¥¤¥«¨¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ᥬ¥©á⢮ S (R; R0) -¨§®¬®à䨧¬®¢ ¨§ R ¢ R0 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: { ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ìë©, â® s ¯à¨ ¤«¥¦¨â S (R; R0) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¯à¨ ¤«¥¦¨â S (R; R0) ¤«ï ¢á¥å , áâண® ¬¥ìè¨å 祬 . { ¥á«¨ = + 1 , â® s ¯à¨ ¤«¥¦¨â S (R; R0) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï ¤«ï «î¡®£® à áè¨à¥¨ï ®¡« á⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨«¨ ®¡« á⨠§ ç¥¨ï ®¤¨¬ í«¥¬¥â®¬ s ¯à®¤®«¦ ¥âáï íâ® à áè¨à¥¨¥ ¤® -¨§®¬®à䨧¬ ¨§ R ¢ R0 . ¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® -¨§®¬®à䨧¬ ï¥âáï -¨§®¬®à䨧¬®¬ ¤«ï «î¡®£® , ¬¥ì襣®, 祬 , § ç¨â, ¤«ï «®ª «ì®£® ¨§®¬®à䨧¬ ¢®§¬®¦ë ⮫쪮 ¤¢ á«ãç ï : { áãé¥áâ¢ã¥â , â ª®©, çâ® s 2 S (R; R0 ); s 62 S +1(R; R0 ) , ¢ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® s ¨¬¥¥â à £ à ¨áᥠ.
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« ¢ 1
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¯à ¦¥¨¥ 1.13 ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤¢ ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®á⨠1-íª-
¢¨¢ «¥âë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî äãªæ¨î.
¥®à¥¬ 1.14 ¢ áç¥âëå 1-íª¢¨¢ «¥âëå ®â®è¥¨ï ¨§®¬®àäë. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a1; : : : ; an; : : : ¨ b1; : : : ; bn; : : : { ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ®á¨â¥«¥© R ¨ R0 ᮮ⢥âá⢥®. ®áâந¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s0; s1; : : : ;sn; : : : 1-¨§®¬®à䨧¬®¢ ¨§ R ¢ R0 ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì t0; t1; : : : ; tn; : : : 1-¨§®¬®à䨧¬®¢ ¨§ R ¢ R0, â ª¨å, çâ® s0 = t0 = ?; sn+1 ®¯à¥¤¥«¥ an+1 ¨ ¯à®¤®«?1
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¯à¨¬¥à ¤¢ áç¥âëå ¯«®âëå ¯®à浪 ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª ¨§®¬®àäë; १ã«ìâ â ¥¢¥à¥ ¤«ï ¥áç¥âëå ¬®é®á⥩: ¯®à浪¨ R ¨ R + Q 1-íª¢¨¢ «¥âë, ® ¥ ¨§®¬®àäë. ¨«®á®ä¨ï ¢á¥£® í⮣® â®, çâ® ¤¢ 1-íª¢¨¢ «¥âëå ®â®è¥¨ï ¬®£® ¡®«ìè¥ ¯®å®¦¨ ¤à㣠¤à㣠祬 â¥, ª®â®àë¥ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë.
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« ¢ 1
1.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ¤® ®à â®à᪮¥ ¯à¥¤®áâ¥à¥¦¥¨¥ ¯¥à¥¤ ç «®¬ í⮣® ¯¥à¢®£® ¯à¨¬¥ç ¨ï: ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ª¨£ { íâ® ª¨£ ¥ ®¡ ¨áâ®à¨¨ 㪨, ¨ í⨠¯à¨¬¥ç ¨ï ¥ ¯à¥â¥¤ãîâ ¨ ¯®«®âã, ¨ ç¥âª®¥ ®âà ¦¥¨¥ § ஦¤¥¨ï ¨ ᮢ६¥ëå ⥤¥æ¨© ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¨. ¯à®â¨¢, ®¨ ¯à¨¢¥¤¥ë ¤«ï ⮣®, ç⮡ë á ¡¤¨âì ç¨â ⥫ï, ¦¥« î饣® 㧠âì ®âªã¤ ¢á¥ íâ® ¯à®¨§®è«®, ª ª¨¬¨-â® áá뫪 ¬¨ ¨ ¯®á®¢¥â®¢ âì ¥¬ã ¥ª®â®àë¥ âàã¤ë ® ⥬ å, ¯à®¤®«¦ îé¨å íâ®â ªãàá, ® ª®â®àë¥ §¤¥áì ¡ã¤ãâ ⮫쪮 á«¥£ª § ¤¥âë. §à ¡®âª «®£¨ª¨ á ¯®¬®éìî «®ª «ìëå ¨§®¬®à䨧¬®¢, á ãá«®¢¨ï¬¨ "祫®ª " ¯à¨ ¤«¥¦ â à ¨áá¥; ®¡ëç® ááë« îâáï [
, 1954 ], â ª¦¥ [
, 1953], ® í⨠१ã«ìâ âë ᮤ¥à¦ âáï ¢ ¥£® ¤¨áá¥àâ 樨, § é¨é¥®© ¥áª®«ìª® à ìè¥; ¨¡®«¥¥ ¤®áâ㯮¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¨¬¥¥âáï ¢ ¥£® ªãàᥠ[
, 1971/72/75 ], ç⥨¥ ª®â®à®£® ï áâ®ïâ¥«ì® à¥ª®¬¥¤ãî. ®, çâ® §ë¢ ¥âáï §¤¥áì p-¨§®¬®à䨧¬®¬, ®§ ç ¥â (p; p)-¨§®¬®à䨧¬ë à ¨áá¥, ¥£® ¯®ï⨥ (k; p)-¨§®¬®à䨧¬ ¯à¨§¢ ® ®å¢ â¨âì ¥ ⮫쪮 ª¢ â®àë© à £ ä®à¬ã«ë (á¬. £« ¢ã 2), ® â ª¦¥ ¥ñ "à £ ç¥à¥¤®¢ ¨ï". á뫪¨ ¯® ¯®¢®¤ã í«¥¬¥â ன íª¢¨¢ «¥â®á⨠¨ í«¥¬¥â ண® à áè¨à¥¨ï ¡ã¤ã⠯ਢ¥¤¥ë ¢ á«¥¤ãî饩 £« ¢¥. ਬ¥àë ¯ à £à ä 1.b ïîâáï á⮫쪮 í«¥¬¥â à묨, çâ® ¨å ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ç áâì 䮫쪫®à ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©; ¢®§¤¥à¦¨¬áï ®â ¢ëïᥨï ⮣®, ªâ® ¯¥à¢ë¬ ¨å ®å à ªâ¥à¨§®¢ « á â®ç®áâìî ¤® í«¥¬¥â ன íª¢¨¢ «¥â®áâ¨. ⬥⨬ «¨èì, çâ® á«ãç © ã àëå ®â®è¥¨© ¡ë« à §®¡à ¢ [
, 1919]. ।áâ ¢«¥¨¥ 祫®ª à ¨áᥠ¢ ä®à¬¥ ¨£àë ¤¢ãå «¨æ ®¡ï§ ® à¥ä®©åâã [
, 1961]; ® í⮠ᤥ« « ¯®á«¥ à ¨áᥠ¬®£® «¥â á¯ãáâï ¨ á ç¥âª®© áá뫪®© à ¡®âã ¯®á«¥¤¥£®. ¤ ª® íâ® ¥ ¯®¬¥è «® ¬®£¨¬ «®£¨ª ¬, ¥¢à®¯¥©áª¨¬ ¨ ¬¥à¨ª ᪨¬, ¯à¨¯¨á âì ⮫쪮 à¥ä®©åâã ¢â®àá⢮ "祫®ª " à ¨áá¥. ®ï⨥ ¯à®¨§¢®¤®£® ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠¥áâì ®â¯à ¢ ï â®çª ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢; ¨¬¥® ¤«ï í⮣® â®à ¨§®¡à¥« ®à¤¨ «ë; ¯® í⮬㠯®¢®¤ã ¬®¦® ª®áã«ìâ¨à®¢ âìáï ã ( [, 1982] áâà. 32 ¨ á«¥¤ãî騥 ) . ¥à¢®¥ á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ à áᬮâ२¥ ¡¥áª®¥çëå ï§ëª®¢ ¨ á¢ï§ ëå á ¨¬¨ ¡¥áª®¥çëå "祫®ª®¢" ¡ë«® ¯à¥¤¯à¨ïâ® í஫®¬ ௮¬ [, 1964]; ®âáî¤ ¯à®¨á室¨â ¢ëà ¦¥¨¥ "ᥬ¥©á⢮ ௠", ¯à¥¤«®¦¥®¥ à ¨áá¥. ¥®à¥¬ 1.14 ¯à¨¯¨áë¢ ¥âáï íã ª®ââã [, 1965]; ®¤ ª® § ¬¥â¨¬, çâ® ® ¯®ï¢¨« áì ®¤¨ ¤æ âì «¥â à ìè¥ ¢ [
, 1954]; ®¤®© ¨§ ¥ñ ¯à த¨â¥«ì¨æ ï¥âáï ⥮६ ¨§ [, 1895], ã⢥ত îé ï, çâ® á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ®¤¨ áç¥âë© ¯«®âë© «¨¥©ë© ¯®à冷ª ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª; íâ®â १ã«ìâ â ¡ë« ¤®ª § á ¯®¬®éìî "祫®ª " ã᤮à䮬 [, 1914].
« ¢ 2 §ëª ®¤®£® ®â®è¥¨ï C'est pour qui, le bon lolo? Pour le Poupousse a sa Dadame? Oh, que c'est bon le miammiam! L'avait faim le petit chat! Mais que tu est mimine! Tu fais des ronrons et des doudouces! : : : Madame Durand, professeur de Francais P.C.
2.a ®à¬ã«ë : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 2.b ¢ï§¨ á "祫®ª®¬" : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 24 2.c ®¤¥«¨ ¨ ⥮ਨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 25 2.d «¥¬¥â àë¥ à áè¨à¥¨ï, â¥áâ à᪮£®, ⥮६ ¥¢¥£¥©¬ : : : : : : : 27 2.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : : 29
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« ¢ 2
2.a ®à¬ã«ë ë ®¡êïᨫ¨ ¢® ¢¢¥¤¥¨¨ ¯®ç¥¬ã ï§ëª (â.¥. ä®à¬ã«ë) ¥ ¡ë« ¢¢¥¤¥ ª ª ç «ì®¥ ¯à¨¬¨â¨¢®¥ ¯®ï⨥. ¬¥® "祫®ª", ¨§«®¦¥ë© ¢ 1-®© £« ¢¥, ¤®áâ â®ç¥ ¤«ï íä䥪⨢®£® ¢ëà ¦¥¨ï ®á®¢ëå ¯®ï⨩ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. «ï ä â¨ç®£® äà ¨áᥨáâ í⨠ä®à¬ã«ë { áã騥 ¡¥§¤¥«ã誨, ¢ «ãç襬 á«ãç ¥ ® ¨å à áᬮâà¨â ª ª í¢à¨áâ¨ç¥áª®¥ ®¡« 票¥ ¤«ï «®ª «ìëå ¨§®¬®à䨧¬®¢. ®¦® ¯à®¢¥á⨠«®£¨î á ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥¬, ª®â®àë© ¢ í«¥¬¥â ஬ ªãàᥠ®¡ ¨â¥£à « å, ¢¢®¤¨â ¯à®áâà á⢮ L1 ¥¡¥£ ª ª ¯®¯®«¥¨¥, ¥ ¯®¬î 㦥, ª ª®£®-â® ®à¬¨à®¢ ®£® ¯à®áâà á⢠¨ ⮫쪮 ¢ ª®æ¥ ªãàá § ¬¥ç ¥â, ª ª ¡ë ¬¨¬®å®¤®¬, çâ® â®çª¨ L1 ᮮ⢥âáâ¢ãî⠨⥣à¨àã¥¬ë¬ äãªæ¨ï¬. ¥ ¯à¨¨¬ ï áâ®«ì ªà ©îî ¯®§¨æ¨î, ï ⥯¥àì ¡ã¤ã £®¢®à¨âì ® ä®à¬ã« å: ®¨ ¯®à®© â ª¦¥ 㤮¡ë, çâ®¡ë ¯®ïâì ïîâáï «¨ ¤¢ ®â®è¥¨ï í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥â묨 ¨«¨ ¥â! ®, â ª ª ª ä®à¬ã«ë ¤«ï á ¥ ïîâáï ¯¥à¢¨çë¬ ¯®ï⨥¬, ¯®§¢®«¨¬ ᥡ¥ ¨å ¡¥£«®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥, ¯à¥¥¡à¥£ ï ¬¥«ª¨¬¨ ¤¥â «ï¬¨, «¨è¥ë¬¨ ¢á类£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ᮤ¥à¦ ¨ï ¨ ¢ë§ë¢ î騬¨ ¯®«®¥ ®â¢à 饨¥ ç¨â ⥫¥© ¯¥à¢ëå áâà ¨æ ã祡¨ª®¢ ¯® «®£¨ª¥. â®¡ë ¯®áâநâì ï§ëª, ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® 㦮 ®¡§ ¢¥áâ¨áì " «ä ¢¨â®¬", â.¥. ᯨ᪮¬ ᨬ¢®«®¢; «î¡ ï ª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¨ ¯ãáâ ï, í«¥¬¥â®¢ «ä ¢¨â §ë¢ ¥âáï á«®¢®¬. ®®¡é¥, ¥ ¢á¥ á«®¢ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ®¤¨ ª®¢®£® ¨â¥à¥á ¨ ¨§ ¨å ¢ë¤¥«ïîâ ¥ª®â®àë¥, ¯®«ãç¥ë¥ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¥ëå ¯à ¢¨« ®¡à §®¢ ¨ï. ®§ì¬¥¬ ¯à®á⮩ ¯à¨¬¥à: «ä ¢¨â á®á⮨â ⮫쪮 ¨§ ¤¢ãå ᨬ¢®«®¢ ®âªàë¢ î饩 ᪮¡ª¨ { ( ¨ § ªàë¢ î饩 ᪮¡ª¨ { ) ; ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯® ¨¤ãªæ¨¨ ¬®¦¥á⢠P0; P1; : : :; Pn ; Pn+1 ; : : : á«®¢ ¢ í⮬ «ä ¢¨â¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ : { P0 á®á⮨⠨§ ¯ãá⮣® á«®¢ , { Pn+1 ®¡à §®¢ ¨§ á«®¢ ¢¨¤ (A) , £¤¥ A 2 Pn , ¨«¨ ¢¨¤ (A)(B ) , £¤¥ A ¨ B ¯à¨ ¤«¥¦ â ®¡ê¥¤¨¥¨î P0; P1; : : : ; Pn ¨ , ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ®¤® ¨§ ¨å ¯à¨ ¤«¥¦¨â Pn . ¡ê¥¤¨¥¨¥ P ¢á¥å Pn §ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ à ááâ ®¢®ª. ¥®à¥¬ 2.1 ¦¤ ï à ááâ ®¢ª «¨¡® ¯ãáâ , «¨¡® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¢ ¢¨¤¥ (A) , £¤¥ A { à ááâ ®¢ª , «¨¡® ¢ ¢¨¤¥ (A)(B ) , £¤¥ A ¨ B { à ááâ ®¢ª¨, ¨ í⨠âਠá«ãç ï ¨áª«îç îâ ¤à㣠¤à㣠. ®ª § ⥫ìá⢮. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î à ááâ ®¢ª ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ®¤®¬ ¨§ ¢ëè¥ãª § ëå ¢¨¤®¢; 㦮 ¯®ïâì, çâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥¤¨á⢥® ¨ çâ® á«ãç ¨ { ¢§ ¨¬®¨áª«îç î騥; ¤«ï ¯ãá⮩ à ááâ ®¢ª¨ íâ® ®ç¥¢¨¤®. §®¢¥¬ ¢¥á®¬ á«®¢ âãà «ì®¥ ç¨á«®, à ¢®¥ à §®á⨠ç¨á¥« ®âªàë¢ îé¨å ¨ § ªàë¢ îé¨å ᪮¡®ª ¯à¨áãâáâ¢ãîé¨å ¢ í⮬ á«®¢¥. ¤ãªæ¨¥© ¯® ¤«¨¥ á«®¢ (â.¥. ¯® ç¨á«ã ¥£® ᨬ¢®«®¢) «¥£ª® ¤®ª § âì, çâ® à ááâ ®¢ª¨ ¢á¥£¤ ¨¬¥îâ ã«¥¢®© ¢¥á ¨ çâ® ç «ìë© á¥£¬¥â à ááâ ®¢ª¨ ¨¬¥¥â ¥®âà¨æ ⥫ìë© ¢¥á. ¥©á⢨⥫ì®, à ááâ ®¢ª A ¥ã«¥¢®© ¤«¨ë ¨¬¥¥â ¢¨¤ (B ) ¨«¨ ¢¨¤ (B )(C ) , £¤¥ B ¨ C ¨¬¥îâ ¬¥ìèãî ¤«¨ã, 祬 A .
2.a
17
®à¬ã«ë
§ í⮣® á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ A { à ááâ ®¢ª , â® ¨ª ª®© ç «ìë© á¥£¬¥â (A) § ¨áª«î票¥¬ ? ¨ á ¬®£® (A) ¥ ï¥âáï à ááâ ®¢ª®©. ¥©á⢨⥫ì®, â ª®¥ á«®¢® ¨¬¥¥â áâண® ¯®«®¦¨â¥«ìë© ¢¥á ¨§-§ ¯¥à¢®© ®âªàë¢ î饩 ᪮¡ª¨. ¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ áä®à¬ã«¨à®¢ ë© à¥§ã«ìâ â.
᫨ (A) = (B ) , â® ïá®, çâ® A = B ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣®, ï¥âáï «¨ A à ááâ ®¢ª®© ¨«¨ ¥â. ।¯®«®¦¨¬, çâ® (A)(B ) = (C )(D) , £¤¥ A; B; C; D { à ááâ ®¢ª¨.
᫨ ¤«¨ A ¡ë« ¡ë áâண® ¬¥ìè¥, 祬 ¤«¨ C , â® à ááâ ®¢ª (A) ¡ë« ¡ë ᮡáâ¢¥ë¬ ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ à ááâ ®¢ª¨ (C ) , çâ® ¥¢®§¬®¦®; ¯® ᨬ¬¥âਨ A ¨ C ¤®«¦ë ¨¬¥âì ®¤¨ ª®¢ãî ¤«¨ã, § ç¨â, A = C; B = D .
᫨ ¡ë (A) à ¢ï«®áì á«®¢ã (B )(C ) , £¤¥ A; B; C à ááâ ®¢ª¨, â® (B ) ¡ë« ¡ë ᮡáâ¢¥ë¬ ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ (A) , çâ® ¥¢®§¬®¦®.
â ⥮६ ï¥âáï ã⢥ত¥¨¥¬ ®¡ "®¤®§ ç®á⨠ç⥨ï" ; ® £®¢®à¨â, çâ® à ááâ ®¢ª ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¯ã⥬ ¨§ ¯ãá⮩ à ááâ ®¢ª¨ á ¯®¬®éìî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ¯à¨¬¥¥¨© ¤¢ãå ¯à ¢¨«: "¨§ A ¯®«ãç¨âì (A)" , "¨§ A ¨ B ¯®«ãç¨âì (A)(B ) ". ®£¤ «¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¬®¦¥á⢠Pn ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï: ¥á«¨ A ¯à¨ ¤«¥¦¨â Pn , â® ç¨á«® n §ë¢ ¥âáï á«®¦®áâìî A ; ®® ®¯à¥¤¥«¥® ª®à४⮠¨ ¬®¦® § ª®® à áá㦤 âì ® à ááâ ®¢ª å ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¨å á«®¦®áâ¨. ¥¯¥àì ¢¢¥¤¥¬ ¢ëà ¦¥¨ï çãâì ¡®«¥¥ á«®¦ë¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ï§ëªã ®¤®£® m- ண® ®â®è¥¨ï. «ä ¢¨â ᮤ¥à¦¨â á«¥¤ãî騥 £à㯯ë ᨬ¢®«®¢: { ®âªàë¢ îé ï ᪮¡ª { ( , § ªàë¢ î饩 ᪮¡ª { ) ¨ § ¯ïâ ï , { r (ᨬ¢®« ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ®â®è¥¨ï), = (ᨬ¢®« à ¢¥á⢠) , { : (®âà¨æ ¨¥, "¥"), ^ (ª®êîªæ¨ï, "¨"), _ (¤¨§êîªæ¨ï, "¨«¨") : í⨠âਠᨬ¢®« §ë¢ îâáï á¢ï§ª ¬¨ ¨«¨ ¡ã«¥¢ë¬¨ ᨬ¢®« ¬¨ { 9 (ª¢ â®à áãé¥á⢮¢ ¨ï "áãé¥áâ¢ã¥â") , 8 (ª¢ â®à ¢á¥®¡é®áâ¨, "¤«ï ¢á¥å") ; ¥ª®â®àë¥ ¢¬¥áâ® ª¢ â®à £®¢®àïâ ª¢ â¨ä¨ª â®à . { ¨, ª®¥æ, áç¥âë© á¯¨á®ª ᨬ¢®«®¢, §ë¢ ¥¬ëå ¯¥à¥¬¥ë¬¨, v0; v1; : : :; vn; : : : . ª ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¬®¦¥á⢠F0; : : :; Fn; : : : á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ , { ¬®¦¥á⢮ F0 §ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ⮬ëå ä®à¬ã« , ¨«¨ ä®à¬ã« á«®¦®á⨠0 , ¨ ®® á®á⮨⠨§ á«®¢ ¢¨¤ x1 = x2 , £¤¥ x1 ¨ x2 { ¯¥à¥¬¥ë¥, à §«¨çë¥ ¨«¨ ®¤¨ ª®¢ë¥, ¨ á«®¢ ¢¨¤ r(x1; : : :; xm) , £¤¥ x1; : : :; xm ¯¥à¥¬¥ë¥, ¥ ®¡ï§ â¥«ì® à §«¨çë¥ (§¤¥áì, ç¨á«® m { 䨪á¨à®¢ ®¥: ®® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â à®á⨠®â®è¥¨ï, ® ª®â®à®¬ ¨¤¥â à¥çì) . { ¬®¦¥á⢮ Fn+1 , §ë¢ ¥¬®¥ ¬®¦¥á⢮¬ ä®à¬ã« á«®¦®á⨠n + 1 , á®á⮨⠨§ á«®¢ ¢¨¤ :(f ); (9x)(f ); (8x)(f ) , £¤¥ x { ¯¥à¥¬¥ ï ¨ f ¨§ Fn, â ª¦¥ á«®¢ (f ) ^ (g); (f ) _ (g) , £¤¥ f ¨ g ¯à¨ ¤«¥¦ â ®¡ê¥¤¨¥¨î F0; : : :; Fn ¨, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ®¤® ¨§ ¨å ¨§ Fn .
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« ¢ 2
¡ê¥¤¨¥¨¥ F ¢á¥å ¬®¦¥á⢠Fn §ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ä®à¬ã« . ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¢ ä®à¬ã«¥ áâ¥à¥âì ¢á¥ á¨¬¢®«ë ªà®¬¥ ᪮¡®ª, â® ¯®«ãç ¥¬ à ááâ ®¢ªã. § ®¤®§ ç®á⨠ç⥨ï à ááâ ®¢®ª ( ⥮६ 2.1 ) á«¥¤ã¥â ®¤®§ ç®áâì ç⥨ï ä®à¬ã« : ª ¦¤ ï ä®à¬ã« «¨¡® ⮬ , «¨¡® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¢ ¢¨¤¥ :(f ) ¨«¨ (9x)(f ) ¨«¨ (8x)(f ) ¨«¨ (f ) ^ (g) ¨«¨ (f ) _ (g) , £¤¥ f ¨ g { ä®à¬ã«ë, ¨ í⨠á«ãç ¨ ¢§ ¨¬® ¨áª«îç îâ ¤à㣠¤à㣠. ®¦¥á⢠Fn ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ¯®í⮬㠪 ¦¤ ï ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥ãî á«®¦®áâì , ¯®§¢®«ïîé ï ४ãàà¥âë¥ à áá㦤¥¨ï. ¯à¨¬¥à, ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬®¦¥á⢮ S (f ) ¯®¤ä®à¬ã« ä®à¬ã«ë f ¨¤ãªæ¨¥© ¯® á«®¦®á⨠: { ¥á«¨ f ⮬ , â® S (f ) = ff g ; { ¥á«¨ f = :(g) ¨«¨ f = (9x)(g) ¨«¨ f = (8x)(g) , £¤¥ g { ä®à¬ã« ¥¨§¡¥¦® ¬¥ì襩 á«®¦®áâ¨, 祬 f , â® S (f ) = S (g) [ ff g . { ¥á«¨ f = (g) ^ (h) ¨ f = (g) _ (h) , £¤¥ g ¨ h { ä®à¬ã«ë ¬¥ì襩 á«®¦®áâ¨, 祬 f , â® S (f ) = S (g) [ S (h) [ ff g . ⨠¯à ¢¨« ¢¯®«¥ ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ïîâ ¬®¦¥á⢮ S (f ) ¤«ï «î¡®© ä®à¬ã«ë f , ¯®áª®«ìªã ®¨ ¥£® ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤®§ ç® ¤«ï ä®à¬ã«ë ã«¥¢®© á«®¦®áâ¨, ¨ ®¨ ¯®§¢®«ïîâ ®¯à¥¤¥«¨âì S (f ) ¤«ï ª ¦¤®© f á«®¦®á⨠n + 1 ¯à¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨, çâ® S (g) ¨§¢¥áâ® ¤«ï «î¡®© g á«®¦®áâ¨, ¬¥ì襩 ¨«¨ à ¢®© n. â® { â®, çâ® §ë¢ ¥âáï ª®áâàãªæ¨¥© ¯® ¨¤ãªæ¨¨ (¥éñ £®¢®àïâ, ४ãàà¥â®), ¨ ¢¯à¥¤ì ¡ã¤¥¬ ¡®«¥¥ ªà ⪨, ª®£¤ ¯à®¢®¤¨¬ ¯®¤®¡ãî ª®áâàãªæ¨î. ª ¢¨¤®, ¯®¤ä®à¬ã« ¬¨ ä®à¬ã«ë f ïîâáï ⥠ä®à¬ã«ë, ª®â®àë¥ ¯®ï¢«ïîâáï ¢ ¯à®æ¥áᥠ¥ñ ®¡à §®¢ ¨ï ¨§ ⮬ëå ä®à¬ã«. ®ç® â ª ¦¥, ¨¤ãªæ¨¥© ¯® á«®¦®áâ¨, ®¯à¥¤¥«¨¬ ª¢ â®àë© à £ ä®à¬ã«ë : { ¥á«¨ f ⮬ , â® RQ(f ) = 0 ; { ¥á«¨ f = :(g) , â® RQ(f ) = RQ(g) ; { ¥á«¨ f = (g) ^ (h) ¨«¨ f = (g) _ (h) , â® RQ(f ) = max(RQ(g); RQ(h)) . { ¥á«¨ f = (9x)(g) ¨«¨ f = (8x)(g) , â® RQ(f ) = RQ(g) + 1 . ®à¬ã«ë á ã«¥¢ë¬ ª¢ â®àë¬ à £®¬, â.¥. â¥, ª®â®àë¥ ¥ ᮤ¥à¦ â ª¢ â®à®¢, §ë¢ îâáï ¡ã«¥¢ë¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ ¨«¨ ᢮¡®¤ë¬¨ ä®à¬ã« ¬¨. ª®¥æ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬®¦¥á⢮ ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå ä®à¬ã«ë : { ¥á«¨ f ⮬ , â® V L(f ) ᮢ¯ ¤ ¥â á® ¬®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ¯¥à¥¬¥ëå, ¯à¨áãâáâ¢ãîé¨å ¢ ä®à¬ã«¥ f ; { ¥á«¨ f = (g) ^ (h) ¨«¨ f = (g) _ (h) , â® V L(f ) = V L(g) [ V L(h) ; { ¥á«¨ f = :(g) , â® V L(f ) = V L(g) ; { ¥á«¨ f = (9x)(g) ¨«¨ f = (8x)(g) , â® V L(f ) ¯®«ãç ¥âáï ¨§ V L(g) ¢ë¡à áë¢ ¨¥¬ ¯¥à¥¬¥®© x , ¥á«¨ ® â ¬ ¯à¨áãâáâ¢ã¥â (ª®£¤ ¯¨è¥¬ (9x)(g) , â® ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® x ®¡ï§ â¥«ì® ¤ ¦¥ ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¢ § ¯¨á¨ g ) .
2.a
®à¬ã«ë
19
᫨ V L(f ) = ; , â® £®¢®àïâ, çâ® ä®à¬ã« f ¥áâì ¯à¥¤«®¦¥¨¥. ¥à¥¬¥ ï x , ª®â®à ï 室¨âáï ¢ ®¡« á⨠¤¥©áâ¢¨ï ª¢ â®à §ë¢ ¥âáï á¢ï§ ®©; ®¤ ¨ â ¦¥ ¯¥à¥¬¥ ï ¬®¦¥â ¢å®¤¨âì ¥áª®«ìª® à §, ¨ ᢮¡®¤® ¨ á¢ï§ ®, ¢ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ä®à¬ã«ã. ⬥⨬, çâ® §¤¥áì ᨬ¢®«ë ( ; =; ) ¨á¯®«ì§®¢ «¨áì ¤¢®ïª® : ª ª í«¥¬¥âë 襣® «ä ¢¨â ¨ â ª¦¥ ¤«ï ¢ëà ¦¥¨ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ä ªâ®¢ (ª ª ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ RQ(f ) = RQ(g) + 1 , ª®â®à®¥ ¥ ï¥âáï ä®à¬ã«®© ¢ 襬 á¬ëá«¥, ® ï¥âáï ᯮᮡ®¬ ¢ë᪠§ë¢ ¨ï 祣®-«¨¡® ¯® ¯®¢®¤ã ä®à¬ã« f ¨ g !) ¤¥¥¬áï, çâ® íâ® ¥ ¢ë§®¢¥â ¤ã襢ãî áã¬ïâ¨æã ã ç¨â ⥫ï. ® áâ®ï饣® ¢à¥¬¥¨, ¬ë ⮫쪮 áâந«¨ 楯®çªã ¢ëà ¦¥¨©, ¥ ¯à¨¤ ¢ ï ¨ª ª®£® á¬ëá« , ¨ª ª®© ¨â¥à¯à¥â 樨 訬 ä®à¬ã« ¬. ®¦® à §¢¨âì 楫ãî ⥮à¨î ® ä®à¬ «ì®¬ ï§ëª¥, ¢¢¥¤ï "¯à ¢¨« ®¡à §®¢ ¨ï", ¡®«¥¥ á«®¦ãî ¨«¨ ¡®«¥¥ ¨â¥à¥áãî "£à ¬¬ ⨪ã" ¤«ï è¨å ä®à¬ã«. â® ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¨¬¥¥â ¬®£® ¯à¨«®¦¥¨©, ® ¬ë ª ¥¬ã ¥ ¯à¨áâ㯨¬, ¯®áª®«ìªã ®® ¯®ç⨠¥ ¢ ¤ãå¥ â¥®à¨¨ ¬®¤¥«¥©. á¥, çâ® ª á ¥âáï ä®à¬ «ìëå ᯥªâ®¢ ï§ëª , §ë¢ ¥âáï á¨â ªá¨á®¬. ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¨â¥à¥áãîâáï ¢ ®á®¢®¬ ᥬ ⨪®©, â.¥. ¯à¨¤ ¨¥¬ á¬ëá« ä®à¬ «ìë¬ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬, ¨ ¯®â®¬ ¥ñ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥¬. ë 㢨¤¨¬, çâ® ¥ñ ᥬ ⨪ ¤®áâ â®ç® í«¥¬¥â à : ® á®á⮨⠢ ¯à¨¯¨áë¢ ¨¨ "§ ç¥¨ï ¨á⨮áâ¨", ¨á⨮© ¨«¨ «®¦®©, ä®à¬ã«¥. «ï í⮣®, á ç « 㦮 ãâ®ç¨âì, ª ª ®â®è¥¨¥ R ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ᨬ¢®«®¬ r , ¨ â ª¦¥, ¥á«¨ ä®à¬ã« ᮤ¥à¦¨â ᢮¡®¤ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥, ãâ®ç¨âì, ª ª¨¬¨ í«¥¬¥â ¬¨ ®á¨â¥«ï R ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï í⨠¯¥à¥¬¥ë¥. ®£¤ ¯¨è¥¬ ä®à¬ã«ã ¢ ¢¨¤¥ F (x) , £¤¥ x { n-ª ¯¥à¥¬¥ëå (x1; : : :; xn) , â® ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬, çâ® ¢á¥ ᢮¡®¤ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ f ¯à¨áãâáâ¢ãîâ á।¨ x1; : : :; xn , ®, ¢®§¬®¦®, ¥ ¢á¥ x1; : : :; xn «¥¦ â ¢ V L(f ) . â ª, à áᬮâਬ m- ஥ ®â®è¥¨¥ R , ä®à¬ã«ã f (x), n-ªã a = (a1; : : : ; an) í«¥¬¥â®¢ ®á¨â¥«ï R . ¤ãªæ¨¥© ¯® á«®¦®á⨠f ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢ëà ¦¥¨¥ " R 㤮¢«¥â¢®àï¥â f (a) ", ¥éñ £®¢®àïâ " f (a) ¨á⨮ ¤«ï R ", ¢ ®¡®§ 票¨ R ` f (a);. ¥áâ® £®¢®àï, f (a) ¥ ï¥âáï ä®à¬ã«®© 襣® ï§ëª : ¥á«¨ â®ç®, ®® ¯®«ãç ¥âáï ¨§ f (x) § ¬¥®© ᢮¡®¤ëå ¢å®¦¤¥¨© x1 a1; : : :; xn an . ç « ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® f (x) ⮬ : { ¥á«¨ f ¨¬¥¥â ¢¨¤ x = y , â® R ` a = b ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a ¨ b à ¢ë; { ¥á«¨ f ¨¬¥¥â ¢¨¤ r(x1; : : :; xn) , â® R ` r(a1; : : :; an) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ (a1; : : : ; an) 2 R . ¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ¨¤ãªæ¨¨ : { R ` :(f )(a) , ¥á«¨ R ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â (f )(a) , { R ` (f ) _ (g)(a) , ¥á«¨ R 㤮¢«¥â¢®àï¥â (f )(a) ¨«¨ R 㤮¢«¥â¢®àï¥â (g)(a) ("¨«¨" ¥ ¨áª«îç¨â¥«ì® : R ¬®¦¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ®¡¥ ä®à¬ã«ë ®¤®¢à¥¬¥®) , { R ` (f ) ^ (g)(a) , ¥á«¨ R 㤮¢«¥â¢®àï¥â (f )(a) ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â (g)(a) ,
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« ¢ 2
{ R ` (9x)(f )(a; x) , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â b ¨§ ®á¨â¥«ï R, â ª®©, çâ® R 㤮¢«¥â¢®àï¥â f (a; b) { R ` (8x)(f )(a; x) , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® b ¨§ ®á¨â¥«ï R; R ` f (a; b) . ¤® ¨§ £« ¢ëå ®¯ ᥨ© ¢â®à ¯à¨ ¯à¥¯®¤ ¢ ¨¨ ®á®¢ «®£¨ª¨, ª ª ¡ë ¥ ¯à¥¤áâ ¢¨âì á¯¥æ¨ «¨á⮢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¤ãà ª ¬¨! "¥ f " ¨á⨮, ¥á«¨ f ¥ ¨á⨮, "áãé¥áâ¢ã¥â x, â ª®©, çâ® f " ¨á⨮, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥ª®â®àë© x, â ª®©, çâ® : : : . 寧¨© ä®à¬ «¨§¬ ¤«ï ¢®á¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¢ ª®¥ç®¬ ¨â®£¥, §¤à ¢®£® á¬ëá« ! ¢á¥ ¦¥, ¯®ï⨥ ¨á⨮á⨠(¬®£®áâà ¤ «ì ï ¨á⨠!) ¤®«¦® ¥£® ¥á⨠; ¢ ç áâ®áâ¨, ¢ë ¤®«¦ë ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨á⨮á⨠¯à¥¤«®¦¥¨ï ¥¨§¡¥¦® âॡã¥â ¢ëïᥨï í⮣® ¤«ï ¥£® ¯®¤ä®à¬ã«, ª®â®àë¥ ¥ ïîâáï ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬¨. áñ à ¢® ª ¦¥âáï, çâ® ¥éñ ¥ ᮢᥬ ¢á¥ ªªãà â® ¤«ï ᮢ¥à襮© áâண®áâ¨, ¨ ¥ª®â®àë¥ ¬®¬¥âë ¤® ãâ®ç¨âì. â® { â®, çâ®, ª ª 㦥 ¡ë«® ᪠§ ®, ¯à¨ § ¯¨á¨ f (x) , £¤¥ (x) = (x1; : : : ; xn) , ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¢á¥ x1; : : :; xn ¯à¨áãâáâ¢ãîâ ¢ f ¢ ª ç¥á⢥ ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå; á x1 á¢ï§ ® a1, : : : , á xn á¢ï§ ® an ¨ ¥ª®â®àë¥ ¨§ íâ¨å ᮮ⢥âá⢨© ¬®£ãâ ¡ëâì ¥ã¦ë¬¨: ¢ë § ¬¥â¨â¥ (¢ ¯à¨æ¨¯¥, ¤«ï í⮣® ¤® ¯à®¢®¤¨âì ¨¤ãªæ¨î!), çâ® R ` f (a) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â â¥å ai , ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¥ª®â®àë¬ á¢®¡®¤ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬ f . ç¨â, ¥á«¨ y ®âáãâáâ¢ã¥â ¢ x , â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î (9y)(f (x)) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ª®à⥦®¬ a ¨§ R ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f (x) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¨¬, ¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ (8y)(f (x)) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¨¬. à㣮© á«ãç ©: (a; b) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«ã (f (x)) ^ (g(y)) , ¥á«¨ f (a) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï â ª ¦¥, ª ª ¨ g(b); ¤«ï áà ¢¥¨ï, a 㤮¢«¥â¢®àï¥â (f (x)) ^ (g(x)), ¥á«¨ f (a) ¨ g(a) 㤮¢«¥â¢®àïîâáï. ¤¥¥¬áï, çâ® í⨠¥áª®«ìª® § ¯ãâ ë¥ ®¡êïᥨï, â ª¦¥ ¢á¥ ®¡é¥¯à¨ïâë¥ «¨£¢¨áâ¨ç¥áª¨¥ ᮣ« è¥¨ï ¨ ®¡®§ 票ï, ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï §¤¥áì ¬®«ç «¨¢®, ¢ë§®¢ãâ ã ç¨â â¥«ï «¨èì ¥¤®«£ãî âॢ®£ã.
£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ çã¢á⢮ ãᯮª®¨âáï, ª ª ⮫쪮 ® 㢨¤¨â á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¢ë¯®«¨¬®áâìî ä®à¬ã« ¨ «®ª «ì묨 ¨§®¬®à䨧¬ ¬¨. ¢¥ ä®à¬ã«ë f (x) ¨ g(x) §ë¢ îâáï ᨮ¨¬ ¬¨ ¨«¨ íª¢¨¢ «¥â묨, ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥î⠢ᥣ¤ ®¤¨ ª®¢®¥ § 票¥: ¤«ï «î¡®£® ª®à⥦ a ¨ ¤«ï «î¡®£® ®â®è¥¨ï R R ` f (a) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ R ` g(a) . ¯à¨¬¥à, «¥£ª® ¢¨¤¥âì, ¢®§¢à é ïáì ª ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢ë¯®«¨¬®áâ¨, á«¥¤ãî騥 íª¢¨¢ «¥â®áâ¨: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
f (f ) _ (g) (f ) ^ (g) [(f ) ^ (g)] ^ (h) [(f ) _ (g)] _ (h) (f ) _ (g) (f ) ^ (g) f f
:[:(f )] :[:(f ) ^ :(g)] :[:(f ) _ :(g)] (f ) ^ [(g) ^ (h)] (f ) _ [(g) _ (h)] (g) _ (f ) (g) ^ (f ) (f ) _ (f ) (f ) ^ (f )
2.a
®à¬ã«ë
21
10) (f ) ^ [(g) _ (h)] [(f ) _ (g)] ^ [(f ) _ (h)] 11) (f ) _ [(g) ^ (h)] [(f ) ^ (g)] _ [(f ) ^ (h)] 12) (9x)(f ) :[(8x)(:(f ))] 13) (8x)(f ) :[(9x)(:(f ))] 14) (9x)[(f ) _ (g)] (9x)(f ) _ (9x)(g) 15) (8x)[(f ) ^ (g)] (8x)(f ) ^ (8x)(f ) 16)
᫨ x { ¯¥à¥¬¥ ï, ¥ ¢å®¤ïé ï ᢮¡®¤® ¢ g : (9x)((f ) ^ (g))
((9x)(f )) ^ (g)
17)
᫨ x { ¯¥à¥¬¥ ï, ¥ ¢å®¤ïé ï ᢮¡®¤® ¢ g : (8x)((f ) _ (g))
((8x)(f )) _ (g)
18)
᫨ y; z ¥ ¢áâà¥ç îâáï ¢ x : (9y)(f (x; y))
(9z)(f (x; z)) ;
£¤¥ f (x; z) { ä®à¬ã« , ¯®«ãç¥ ï ¨§ f (x; z) § ¬¥®© ª ¦¤®£® ᢮¡®¤®£® ¢å®¦¤¥¨ï y z . 19)
᫨ y; z ¥ ¢áâà¥ç îâáï ¢ x : (8y)(f (x; y))
(8z)(f (x; z)) :
®áª®«ìªã ¬ «® á¬ëá« à §«¨ç âì ¤¢¥ íª¢¨¢ «¥âë¥ ä®à¬ã«ë ¯® ®ç¥¢¨¤ë¬ ¯à¨ç¨ ¬, ¢¢¥¤¥¬ ¢ ¯à ªâ¨ªã ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ᮣ« è¥¨ï ® ᮪à 饨ïå, ª®â®àë¥ ¤¥« îâ 㤮¡ë¬ ç⥨¥ ¨ § ¯¨áì ä®à¬ã«: { ¯® ¯à ¢¨«ã 4 ( áá®æ¨ ⨢®áâì ¤¨§êîªæ¨¨) ¯¨è¥¬ (f ) _ (g) _ (h) ¢¬¥áâ® ((f ) _ (g)) _ (h) ¨«¨ ¢¬¥áâ® ¥ñ íª¢¨¢ «¥â , ¯®áª®«ìªã ¯®à冷ª, ¢ ª®â®à®¬ ¡¥àñâáï ¤¨§êîªæ¨ï ¥ ¢«¨ï¥â ¢ë¯®«¨¬®áâì. ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯¨á âì ¤¨§êîªæ¨î ä®à¬ã« f1; : : :; fn ¯¨èãâ (f1) _ _ (fn) ¨«¨ ¥éñ __ni=1 (fi) ; { â®ç® â ª ¦¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï § ¯¨á¨ (f1) ^ ^ (fn) ¨ ^ ni=1 (fi); { ¢¢¥¤ñ¬ § ¯¨áì (f ) ! (g) ª ª ᮪à 饨¥ ¤«ï (:(f )) _ (g) ; ç¨â ¥âáï " f ¢«¥çñâ g "; ¢ë¯®«¨¬®áâì (f ) ! (g) ®§ ç ¥â, çâ® «¨¡® f ¥ ¢ë¯®«ï¥âáï, «¨¡® g ¢ë¯®«ï¥âáï. ã¤ì⥠¢¨¬ ⥫ìë: (f ) ! (g) ä®à¬ã« , ª®â®à ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á⨮© ¨«¨ «®¦®©; ¯à®á⮩ ä ªâ § ¯¨á¨ í⮩ ä®à¬ã«ë ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥â ¨ª ª®© á¢ï§¨ ¬¥¦¤ã f ¨ g , ¢ ç áâ®áâ¨, ¥ £®¢®à¨â, çâ® f ¢«¥çñâ g : íâ® ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮫쪮, ¥á«¨ (f ) ! (g) ¨á⨠! 㦮 ®áâ¥à¥£ âìáï ¯á¨å®«®£¨ç¥áª¨å ¯®á«¥¤á⢨© ¯à®á⮣® ®¡ëç ï, ª®â®àë© § ª«îç ¥âáï ¢ ¬ ⥬ ⨪¥, ª ª ¨ ¢¥§¤¥, ¢ § ¯¨á¨ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ª®â®àë¥ à áᬠâਢ îâáï ª ª ¨áâ¨ë¥; { â ª¦¥ ¢¢®¤¨âáï ᨬ¢®« ¤¢®©®© ¨¬¯«¨ª 樨 (f ) $ (g) ª ª ᮪à 饨¥ ¤«ï ((f ) ! (g)) ^ ((g) ! (f )) ; { ¯® ¯à ¢¨«ã 2 (f ) _ (g) ¬®¦® ¡ë«® ¢¢¥á⨠ª ª ᮪à 饨¥ :((:f ) ^ (:g)), ¨ ¯® ¯à ¢¨«ã 13 ª¢ â®à 8 ¬®¦® ¡ë«® ¢¢¥á⨠ª ª ᮪à 饨¥ :9: ; á ¯à®â¨¢®¯®«®¦®© â®çª¨ §à¥¨ï, ¬®¦® ¡ë«® ®¡®à®â ¢¢¥á⨠! ª ª ¯¥à¢¨çë© á¨¬¢®«, ¤®¡ ¢«ïï ¯®¤å®¤ï騥 ¯à ¢¨« ¤«ï ¢ë¯®«¨¬®á⨠ä®à¬ã« , ¢ ª®â®àëå ® ¯®ï¢«ï¥âáï. ᥠíâ¨ á¯®á®¡ë ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¢ ®¡é¥¬ íª¢¨¢ «¥âë ¨ ¥ á⮨⠤®«£® ¨å ®¡á㦤 âì.
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« ¢ 2
{ ¤® á¨å ¬ë ¡ë«¨ ¥¬®£® ¥ãª«î¦¨ ᮠ᪮¡ª ¬¨: ¬ë ¨å ¢¢¥«¨ á ¨§¡ë⪮¬, çâ®¡ë ¯à®áâ® ¤®ª § âì ®¤®§ ç®áâì ç⥨ï. ¤ ª® ¯à ªâ¨ª¥ ᪮¡ª¨ 㡨à îâáï á ¯®¬®éìî à §¡¨¥¨ï ᨬ¢®«®¢ âਠ£à㯯ë: 1- ï £à㯯 á®á⮨⠨§ :; (9x); (8x) ; 2- ï { ¨§ ^; _ ; 3-ï { ¨§ !; $ ; ¨ ¯à¨¬¥ï¥¬ ª ¨¬ ¯à ¢¨« ¯à¨®à¨â¥â , ª®â®àë¥ á®¢¯ ¤ îâ á ⥬¨, çâ® ¯à¨¬¥ïîâáï ¤«ï ¢ëà ¦¥¨© í«¥¬¥â ன à¨ä¬¥â¨ª¨, £¤¥ 1- ï £à㯯 á®á⮨⠨§ ? , 2- ï { ¨§ + , 3-ï { ¨§ . áâ ¢«ïî ç¨â â¥«î § ¡®âã ® â®ç®© ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¯à ¢¨« ¯à¨®à¨â¥â ¨ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® ®¨ á®åà ïîâ ®¤®§ ç®áâì ç⥨ï.
ਬ¥à.
®ªà é¥ë© ¢¨¤
:f _ g :f ^ g (8x)f ! g (9x)(f $ g) f !g^h (f ! g ) ^ h
®«ë© ¢¨¤ (:(f )) _ (g) (:(f )) ^ (g) ((8x)(f )) ! (g) (9x)((f ) $ (g)) (f ) ! ((g) ^ (h)) ((f ) ! (g)) ^ (h)
{ ¨®£¤ ¡ã¤¥¬ ¯à¨¬¥ïâì (9!x) ¤«ï "áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© å"; § ç¨â, (9!x)f (x) ï¥âáï ᮪à 饨¥¬ (9x)f (x)^(8x)(8y)(f (x)^f (y) ! x = y). ª®¥æ, ¨¬¥¥âáï àï¤ á®£« 襨© ª á îé¨åáï ¡¨ àëå ®â®è¥¨©; ç áâ® ¯¨èãâ xry ¢¬¥áâ® r(x; y) , x r= y ¢¬¥áâ® :r(x; y) . ¯à¨¬¥à, x = y; x 6= y; x 2 y; x 62 y; x y; x 6 y; x y; x < y ¨ â.¤. ®£¤ ᨬ¢®«®¬ r ï¥âáï 2 , ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® ®â®è¥¨¥ ª®â®à®¥ ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â, ¯®å®¦¥ ¯à¨ ¤«¥¦®áâì ¬¥¦¤ã ¬®¦¥á⢠¬¨ (¬¨¬®å®¤®¬ § ¬¥â¨¬, çâ® ç áâ® ¯ãâ îâ ᨬ¢®« r ¨ ®â®è¥¨¥ R , ª®â®à®¥ ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â) , ª®£¤ í⮠ᨬ¢®« ¨«¨ , ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, çâ® à¥çì ¨¤ñâ ®¡ ®â®è¥¨¨ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨; ª®£¤ í⮠ᨬ¢®« , â® ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¥ª®â®àë© ¯®à冷ª (¨«¨, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, ¯à¥¤¯®à冷ª) . í⮬ ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ ¤¥¥¬áï, çâ® § ¯¨á¨ x y ¤«ï y x ¨ x < y ¤«ï x y ^ x 6= y å®à®è® § ª®¬ë ç¨â ⥫î. ®«ìè¨á⢮ ¢â®à®¢ ®âª §ë¢ îâáï ®â à áᬮâà¥¨ï ®â®è¥¨© á ¯ãáâë¬ ®á¨â¥«¥¬ ¨ £®¢®àïâ, çâ® ¤¢¥ ä®à¬ã«ë íª¢¨¢ «¥âë, ª ª ⮫쪮 ®¨ ¢ë¯®«ïîâáï ®¤¨å ¨ â¥å ¦¥ ª®à⥦ å, ¢§ïâëå á ¥¯ãá⮣® ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï. ¥á®¬¥®, íâ ¯®§¨æ¨ï ¯®« ¬ã¤à®áâ¨, «®¢ª® ¨§¡¥£ îé ï ¥ã¦ëå å«®¯®â, ® ® ¨ª ª ¥ ãáâà ¨¢ ¥â ¢â®à íâ¨å áâப: ¯ãá⮥ m- ஥ ®â®è¥¨¥ (á m > 0 ; ¯®§¤¥¥ 㧠¥¬ ᮣ« 襨ï, ª®â®àë¥ ¤®«¦ë ¯à¨ïâì ®â®á¨â¥«ì® ã«ì¬¥áâëå ®â®è¥¨©), ¯ãá⮩ «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬, ª®â®àë© ¡ë« ®â¯à ¢®© â®çª®© «î¡®£® "祫®ª ", ¨£à îâ ᫨誮¬ ¢ ¦ãî à®«ì ¢ ¥£® ¨§«®¦¥¨¨, ç⮡ë â ª ¯à®áâ® ¨å ®¡®©â¨. â ª, ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì §¤¥áì, çâ® ¤¢¥ ä®à¬ã«ë f (x) ¨ g(x) ïîâáï ¯®çâ¨ íª¢¨¢ «¥â묨 , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® a ¢§ï⮣® ¨§ ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï R á ¥¯ãáâë¬ ®á¨â¥«¥¬, R ` f (a) () R ` g(a) . ஡«¥¬ ¢ë¯®«¨¬®á⨠ä®à¬ã«ë ª®à⥦¥ ¤«ï ®â®è¥¨ï á ¯ãáâë¬ ®á¨â¥«¥¬ á⮨â ⮫쪮 ¤«ï ¯à¥¤«®¦¥¨©: ¥á«¨ f ¨ g ¨¬¥îâ ᢮¡®¤ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥, â® ®¨ íª¢¨¢ «¥âë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¨ ¯®çâ¨ íª¢¨¢ «¥âë. ®, ¥á«¨ ¢¨¬ â¥«ì® ¯à¨á¬®âਬáï ª ¯à ¢¨« ¬ ®¯à¥¤¥«ïî騬 ¢ë¯®«¨¬®áâì, ⮠㢨¤¨¬, çâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ç¨ î騥áï á 8 , ¢á¥£¤ ¨á⨮ ¤«ï ®â®è¥¨ï á ¯ãáâë¬ ®á¨â¥«¥¬, ¢ â® ¢à¥¬ï,
2.a
®à¬ã«ë
23
ª ª ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ç¨ î騥áï á 9 , ¢á¥£¤ «®¦® ¤«ï â ª®£® ®â®è¥¨ï, â ª¦¥, çâ® á«¥¤ãî騥 ¤¢¥ ¯®çâ¨ íª¢¨¢ «¥â®á⨠¥ ïîâáï íª¢¨¢ «¥â®áâﬨ: 20)
᫨ x ¥ ¢å®¤¨â ᢮¡®¤® ¢ f (9x)f f: 21)
᫨ x ¥ ¢å®¤¨â ᢮¡®¤® ¢ f (8x)f f; â ª¦¥ ¤¢¥ á«¥¤ãî騥, ª®â®àë¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ª®¬¡¨¨àãï 14), 15) á 20), 21) : 22)
᫨ x ¥ ¢å®¤¨â ᢮¡®¤® ¢ g (8x)(f ^ g) ((8x)f ) ^ g 23)
᫨ x ¥ ¢å®¤¨â ᢮¡®¤® ¢ g (9x)(f _ g) ((9x)f ) _ g ; ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â 16), 17), ®â®á¨â¥«ì® ª®â®àëå ç¨â ⥫ì ã¡¥¤¨âáï, çâ® ®¨ ¢¥àë ¤ ¦¥ ¤«ï ®â®è¥¨© á ¯ãáâë¬ ®á¨â¥«¥¬. ®á«¥¤¥¥ ¯®ï⨥ ¯¥à¥¤ § ¢¥à襨¥¬ í⮣® ¯ à £à ä : ä®à¬ã« §ë¢ ¥âáï ¯à¥¥ªá®© ¨«¨ £®¢®àïâ, çâ® ® ¢ ¯à¥¥ªá®© ä®à¬¥ , ¥á«¨ ¢á¥ ¥ñ ª¢ â®àë áâ®ïâ ¢¯¥à¥¤¨. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ f ¨ g ¡¥§ ª¢ â®à®¢, â® (8x)f ^ (9y)g ¥ ¯à¥¥ªá , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª (8x)(9y)(f ^ g) ¨ (9y)(8x)(f ^ g) ¯à¥¥ªáë; í⨠âਠä®à¬ã«ë ¯®çâ¨ íª¢¨¢ «¥âë, ¥á«¨ x ¥ ¢å®¤¨â ᢮¡®¤® ¢ g , y ¢ f . ਢ¥á⨠ä®à¬ã«ã ª ¯à¥¥ªá®© ä®à¬¥ ®§ ç ¥â ©â¨ ¯à¥¥ªáãî ä®à¬ã«ã, ¥© ¯®çâ¨ íª¢¨¢ «¥âãî. â® ¢á¥£¤ ¢®§¬®¦®, ¯®áª®«ìªã ¢¨¤®, çâ® ¨á¯®«ì§ãï íª¢¨¢ «¥â®á⨠14), 15), 22), 23) ¬®¦® ¯à®¯ãáâ¨âì ª¢ â®à ¢¯¥à¥¤, ¯¥à¥¥áï ¥£® ç¥à¥§ ^ ¨«¨ _ , ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå ¯¥à¥¨¬¥ã¥¬ ¥ª®â®àë¥ á¢ï§ ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥, çâ® ¬ ¯®§¢®«ïîâ 17) ¨ 18) ; ª®£¤ ¢áâà¥ç ¥âáï : , ¯à¨¬¥ï¥¬ ¯à ¢¨« 12) ¨ 13), çâ®¡ë ¯à®¯ãáâ¨âì ª¢ â®à ¢¯¥à¥¤. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¤ãªæ¨¥© ¯® á«®¦®á⨠¨§ í⮣® ¢ë¢®¤¨¬, çâ® ª ¦¤ ï ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¥ª®â®àãî ¯®çâ¨ íª¢¨¢ «¥âãî ¯à¥¥ªáãî ä®à¬ã. á ¬®¬ ¤¥«¥ ® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® â ª®¢ëå; ¨ 㦮 ᪠§ âì, çâ® ¯à¥¥ªá ï ä®à¬ã« , ¯®«ãç¥ ï á ¯®¬®éìî ¢ë襮¯¨á ®© ¯à®æ¥¤ãàë, ç áâ® ¡ë¢ ¥â å㦥 ¤«ï ç⥨ï, 祬 ®à¨£¨ «. ਢ¥¤¥¨¥ ª ¯à¥¥ªá®© ä®à¬¥ ï¥âáï ¥¨áç¥à¯ ¥¬ë¬ ¨áâ®ç¨ª®¬ ¨¤¨®â᪨å ã¯à ¦¥¨© ¤«ï ç¨ îé¨å «®£¨ª®¢ ( ¯à¨¬¥à, ¯à¨¢¥¤¨â¥ ª ¯à¥¥ªá®© ä®à¬¥ (9y)r(x; y) () (8x)r(x; x) ; ¥¤¨á⢥®¥ à §ã¬®¥ ¤¥©á⢨¥ ç¨ âì á § ¬¥ë ¤¢®©®© ¨¬¯«¨ª 樨 ¥£® ¨â¥à¯à¥â æ¨î, ¢ëà ¦¥ãî ç¥à¥§ :; ^; _ ) . ॥ªá ï ä®à¬ ®á®¡¥® ¢ ¦ ¤«ï ä®à¬ «ì®© à¨ä¬¥â¨ª¨ (á¬. £« ¢ã 7) . ®áª®«ìªã à¥çì ¨¤¥â ® âà㤮¥¬ª¨å ¢¥é å, «¨èì ®â¬¥â¨¬, çâ® «î¡ ï ä®à¬ã« ¨¬¥¥â íª¢¨¢ «¥âãî ¥© ¯à¥¥ªáãî ä®à¬ã«ã, â.¥. íª¢¨¢ «¥âãî ¤ ¦¥ ¤«ï ¯ãáâëå ®â®è¥¨©. â® ®ç¥¢¨¤® ¯à®¡«¥¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ᢮¡®¤ ï ¯¥à¥¬¥ ï; ¥á«¨ à¥çì ¨¤¥â ® ¯à¥¤«®¦¥¨¨, â® ¢¥è¨¢ ¥¬ ¯¥à¥¤ ¥£® ¯à¥¥ªá®©
24
« ¢ 2
ä®à¬®© ª¢ â®à 8 , ¥á«¨ ®® ¨á⨮ ¤«ï ¯ãá⮣® ®â®è¥¨ï, ¨ ª¢ â®à 9 , ¥á«¨ ®® «®¦® ¤«ï â ª®£® ®â®è¥¨ï! ã«¥¢ ç áâì ä®à¬ã«ë â ª¦¥ ¤®¯ã᪠¥â à §«¨çë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï; ¯à¨¬¥à, ¬®¦® ¥ñ ¯à¨¢¥á⨠ª "¤¨§êîªâ¨¢®© ä®à¬¥", § ¯¨áë¢ ï ª ª ¤¨§êîªæ¨î ª®êîªæ¨© ⮬ëå ä®à¬ã« ¨«¨ ¨å ®âà¨æ ¨© (¢®á¯®«ì§ã©â¥áì ¯à ¢¨« ¬¨ á 1) ¯® 11) ) .
2.b ¢ï§¨ á "祫®ª®¬" ¥ª®â®àë¥ ¯®ïâ¨ï ® ä®à¬ã« å § ¢¨áï⠮⠮¯à¥¤¥«¥¨ï, ® áãé¥áâ¢¥ë© ä ªâ, ª®â®àë© ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ®¯à¥¤¥«¥¨ï, á«¥¤ãî騩 :
¥®à¥¬ 2.2 (à ¨áá¥) ¢¥ n-ª¨ í«¥¬¥â®¢ a ¨ b ¨§ ¡ § m- àëå ®â®è¥¨© R ¨ S ïîâáï p-íª¢¨¢ «¥â묨 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ a ¢ R ¨ b ¢ S 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ï§ëª ®¤®£® m- ண® ®â®è¥¨ï, ª¢ â®àë© à £ ª®â®àëå ¥ ¯à¥¢ëè ¥â p . ®â ¥¯®á।áâ¢¥ë¥ á«¥¤á⢨ï ⥮६ë: ¤¢ m- àëå ®â®è¥¨ï í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë () ª®£¤ ¨å ¢ë¯®«ïîâáï ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï; ¥á«¨ R à áè¨à¥¨¥ S , â® íâ® à áè¨à¥¨¥ í«¥¬¥â à® () «î¡ ï n-ª ¨§ ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï S 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¢ S ¨ ¢ R ; ¤¢ ª®à⥦ ॠ«¨§ãîâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¢ ᢮¨å ®â®è¥¨ïå () ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬. ®ª § ⥫ìá⢮, ç áâì ¯¥à¢ ï. ç « ¤®ª ¦¥¬, çâ® ¥á«¨ ¨ a ¨ b p-íª¢¨¢ «¥âë, â® ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ª¢ â®à®£® à £ ¥ ¯à¥¢ëè î饣® p . ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¤¢ ª®à⥦ 0-íª¢¨¢ «¥âë, ¥á«¨ ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¡ã«¥¢ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ ⮬ëå ä®à¬ã« (¤¥©á⢨⥫ì®, ¨á⨮á⮥ § 票¥ ¡ã«¥¢®© ª®¬¡¨ 樨 § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¨á⨮áâëå § 票© ç«¥®¢ í⮩ ª®¬¡¨ 樨) . ®ª ¦¥¬ ¯¥à¥å®¤ ®â p ª p + 1 . ãáâì f (x; y) { ä®à¬ã« ª¢ â®à®£® à £ , ¥ ¯à¥¢ëè î饣® p , ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® a 㤮¢«¥â¢®àï¥â (9y)f (x; y) . ç¨â, áãé¥áâ¢ã¥â â ª®©, çâ® f (a; ) ¨á⨮. ஬¥ ⮣®, á ¤à㣮© áâ®à®ë áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â , â ª®©, çâ® a_ ¨ b_ p-íª¢¨¢ «¥âë. ® ¨¤ãªæ¨®®© £¨¯®â¥§¥ a_ ¨ b_ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ª¢ â®à®£® à £ ¥ ¢ëè¥ p . ç¨â, f (b; ) ¨á⨮ â ª ¦¥, ª ª ¨ (9y)f (b; y), ¨ b 㤮¢«¥â¢®àï¥â (9y)f (x; y) . ® ᨬ¬¥âਨ a ¨ b 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ä®à¬ã« ¬ ¢¨¤ (9y)f (x; y) , £¤¥ f ¨¬¥¥â ª¢ â®àë© à £ ¥ ¢ëè¥ p , ¨ â ª¦¥ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ª¢ â®à®£® à £ ¥ ¢ëè¥ p + 1 , ª®â®àë¥ íª¢¨¢ «¥âë ¡ã«¥¢ë¬ ª®¬¡¨ æ¨ï¬ ä®à¬ã« ¯à¥¤ë¤ã饣® ¢¨¤ .
®¥æ ¯¥à¢®© ç áâ¨.
â®¡ë ¤®ª § âì ®¡à ⮥, ¬ 㦠᫥¤ãîé ï «¥¬¬ :
¥¬¬ 2.3 ਠ䨪á¨à®¢ ®© à®á⨠m ®â®è¥¨ï, ¤«ï 䨪á¨à®¢ ëå âãà «ìëå ç¨á¥« n; p , áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® C (n; p) ª« áᮢ píª¢¨¢ «¥â®á⨠n-®ª.
2.c
®¤¥«¨ ¨ ⥮ਨ
25
®ª § ⥫ìá⢮ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® p . ãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® m- àëå ®â®è¥¨© ®¯à¥¤¥«¥ëå n í«¥¬¥â å a1; : : :; an (¥ ®¡ï§ â¥«ì® à §«¨çëå), § ç¨â, ç¨á«® ª« áᮢ 0-íª¢¨¢ «¥â®á⨠n-®ª ª®¥ç®. ®ª ¦¥¬ ¯¥à¥å®¤ ®â p ª p + 1 : ¤¢¥ n-ª¨ (p + 1)-íª¢¨¢ «¥âë, ¥á«¨ ª ¦¤ë© à § ª®£¤ ¤®¡ ¢«ï¥âáï ®¤¨ í«¥¬¥â ª ®¤®© ¨§ ¨å, â® ¬®¦® ®â¢¥â¨âì ¤®¡ ¢ª®© í«¥¬¥â ª ¤à㣮© n-ª¥ â ª, çâ®¡ë ¯®«ã稫¨áì p-íª¢¨¢ «¥âë¥ (n + 1)-ª¨. ç¨â, ª« áá (p + 1)-íª¢¨¢ «¥â®á⨠n-ª¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ª« áᮢ p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠(n + 1)-®ª, ª®â®àë¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¨§ ¥ñ ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ®¤®£® í«¥¬¥â : C (n; p + 1) 2C(n+1;p) . ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 2.2 , ç áâì ¢â®à ï. ë ⥯¥àì ¯®ª ¦¥¬
¨¤ãªæ¨¥© ¯® p , çâ® ª ¦¤®¬ã ª« ááã C p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠¬®¦¥â ¡ëâì ᮯ®áâ ¢«¥ ä®à¬ã« fC ª¢ â®à®£® à £ p, â ª ï, çâ® ¢á¥ ª®à⥦¨ ¨§ C ¨ ⮫쪮 ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ fC . «ï ¤ ®© n-ª¨ a = (a1; : : :; an) ¨ ¯¥à¥¬¥ëå x1; : : : ; xn áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬ëå ä®à¬ã« ®â n ¯¥à¥¬¥ëå x1; : : : ; xn . ãáâì fC { ª®êîªæ¨ï â¥å ¨§ ¨å, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâáï ª®à⥦®¬ a , ¨ ®âà¨æ ¨© ®áâ «ìëå ⮬ëå ä®à¬ã« ®â x1; : : :; xn ; ®ç¥¢¨¤®, çâ® fC å à ªâ¥à¨§ã¥â ª« áá 0-íª¢¨¢ «¥â®á⨠ª®à⥦ a . â®¡ë ¯¥à¥©â¨ ®â p ª p + 1 , ¤®¡ ¢¨¬ ª x ®¢ãî ¯¥à¥¬¥ãî y , ¨ ¢ë¯¨è¥¬ ¢á¥ ä®à¬ã«ë f1(x; y); : : :; fk (x; y) , ª®â®àë¥ å à ªâ¥à¨§ãîâ ª« ááë p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠n +1 í«¥¬¥â å (¯® «¥¬¬¥ íâ¨å ª« áᮢ ª®¥ç®¥ ç¨á«®) . ãáâì fC { ª®êîªæ¨ï ä®à¬ã« ¢¨¤ (9y)fi(x; y) ¨áâ¨ëå a , ¨ ®âà¨æ ¨© ä®à¬ã« â ª®£® ¢¨¤ , «®¦ëå a ; fC å à ªâ¥à¨§ã¥â ª« áá p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠ª®à⥦ a .
®¥æ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 2.2
ª á«¥¤á⢨¥ ª®¥ç®á⨠ç¨á« ª« áᮢ p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠¢ë¢®¤¨¬, çâ® á â®ç®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥â®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ä®à¬ã« ª¢ â®à®£® à £ p ®â ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå x1; : : : ; xn : â ª ï ä®à¬ã« íª¢¨¢ «¥â ¤¨§êîªæ¨¨ ä®à¬ã« ¢¨¤ fC . ®«ìª® ¡ã«¥¢ë ¨§¡ëâ®ç®á⨠¨ ¨§¡ëâ®ç®áâì ª¢ â®à®¢ ¨«¨ ¥éñ ¯¥à¥¨¬¥®¢ ¨¥ á¢ï§ ëå ¯¥à¥¬¥ëå ¯®à®¦¤ îâ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® â ª¨å ä®à¬ã«. ®à¬ã« f , å à ªâ¥à¨§ãîé ï ª« áá , ï¥âáï ᮢᥬ ¥ ¯à¥¥ªá®©; ¯à¨¢¥¤¥¨¥ ¥ñ ª ¯à¥¥ªá®¬ã ¢¨¤ã á¨«ì® ¯®¢ëᨫ® ¡ë ¥ñ ª¢ â®àë© à £. "祫®ç®¬" ¬¥â®¤¥ à ¨áᥠáâ à îâáï ®¡®à®â ¯à¨¢¥á⨠ä®à¬ã«ã ª ª ¬®¦® ¬¥¥¥ ¯à¥¥ªá®¬ã ¢¨¤ã.
2.c ®¤¥«¨ ¨ ⥮ਨ
᫨ ®â®è¥¨î R 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯à¥¤«®¦¥¨¥ f , â® £®¢®àïâ â ª¦¥, çâ® R ï¥âáï ¬®¤¥«ìî f ; R { ¬®¤¥«ì ¤ ®£® ¬®¦¥á⢠A ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¥á«¨ R { ¬®¤¥«ì ª ¦¤®£® ¨§ ¨å.
᫨ A ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì, â® £®¢®àïâ, çâ® A ᮢ¬¥áâ®. «¥¤á⢨¥ A , íâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¢ë¯®«¨¬®¥ ¢á¥å ¬®¤¥«ïå A ; ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ A ¥á®¢¬¥áâ® (â ª¦¥ £®¢®àïâ: ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®), â® ¢á类¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A , ¯®áª®«ìªã A ¥ ¨¬¥¥â ¬®¤¥«¥©. ¯à®â¨¢, ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮ A ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¢ ª ç¥á⢥ á«¥¤áâ¢¨ï ®¤®¢à¥¬¥® ¨ f ¨ :f .
« ¢ 2
26
®â ä ªâ, çâ® f á«¥¤á⢨¥ A , ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ A ` f ; ¥á«¨ A = fgg , â® ¯¨èãâ ¢®®¡é¥ g ` f ; ¨á¯®«ì§ã¥¬ë© ᨬ¢®« ᮢ¯ ¤ ¥â á ⥬, çâ® ®¡®§ ç ¥â ¢ë¯®«¨¬®áâì. ¥ ¤® ¯ãâ âì ` ¨ ! , ¨å ¢§ ¨¬®á¢ï§ì â ª®¢ g ` f () ? ` g ! f . ¥ª®â®àë¥ §ë¢ îâ ⥧¨á ¬¨, ¤à㣨¥ ⥮६ ¬¨ ¯à¥¤«®¦¥¨ï, á«¥¤ãî騥 ¨§ ? , â.¥. ¨áâ¨ë¥ ¤«ï ¢á¥å ®â®è¥¨©; â¨â¥§ { íâ® ®âà¨æ ¨¥ ⥧¨á , â.¥. ¯à¥¤«®¦¥¨¥, «®¦®¥ ¤«ï «î¡®£® ®â®è¥¨ï. ¥®à¨¥© §ë¢ ¥âáï ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ᮤ¥à¦ 饥 ¢á¥ ᢮¨ á«¥¤á⢨ï (¢ ï§ëª¥ ®¤®£® m- ண® ®â®è¥¨ï, £¤¥ m 䨪á¨à®¢ ®).
᫨ A { ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, â® ¬®¦¥á⢮ TA á«¥¤á⢨© ¨§ A ï¥âáï ⥮ਥ© ¯®à®¦¤¥®© A ; â ª¦¥ £®¢®àïâ, çâ® A { ¬®¦¥á⢮ ªá¨®¬ ¤«ï TA ¨«¨ ªá¨®¬ ⨧ æ¨ï ¤«ï TA . ¯à ªâ¨ª¥ ᬥ訢 îâ A ¨ TA ( ¯à¨¬¥à, ç áâ® £®¢®àïâ, çâ® A ¯®«® { ᬮâà¨â¥ çãâì ¨¦¥ { ¢¬¥á⮠⮣®, ç⮡ë ᪠§ âì TA ¯®« ) . «¥¬¥âë ⥮ਨ T §ë¢ îâáï ªá¨®¬ ¬¨ ¨«¨ ⥮६ ¬¨ T , ¯à¨ í⮬ à §«¨ç¨¥ ¬¥¦¤ã ªá¨®¬ ¬¨ ¨ ⥮६ ¬¨ ®á¨â ç¨áâ® ¯á¨å®«®£¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à (ᯨ᮪ ªá¨®¬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç «ìë¬ ¤ ë¬; ⥮६ { íâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®ª § ® ª ª á«¥¤á⢨¥ ªá¨®¬). ªá¨¬ «ì ï ®â®á¨â¥«ì® ®â®è¥¨ï ¢ª«îç¥¨ï ¬®¦¥á⢠⥮à¨ï §ë¢ ¥âáï ¯®«®© ⥮ਥ©. ¦¤ ï ⥮à¨ï T ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ¯®«®© ⥮ਨ : ¢®§ì¬¨â¥ ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T ¨ ¬®¦¥á⢮ TM ¯à¥¤«®¦¥¨© ¨áâ¨ëå M ; TM { ⮦¥ ⥮à¨ï, ⥮à¨ï ®â®è¥¨ï M , ¨ ® ¯®« , ¯®áª®«ìªã ¤«ï «î¡®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï f ® ᮤ¥à¦¨â «¨¡® f , «¨¡® :f : § ç¨â, ¥á«¨ f 62 TM , â® :f 2 TM ¨ TM [ ff g ¥á®¢¬¥áâ®. ®«®â ⥮ਨ ®§ ç ¥â, çâ® «î¡ë¥ ¤¢¥ ¥ñ ¬®¤¥«¨ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë; ¨«¨ ¥éñ, íâ® { â ª®¥ ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮ A ¯à¥¤«®¦¥¨©, çâ® ¤«ï «î¡®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï f; f ¨«¨ :f ¯à¨ ¤«¥¦¨â A. ª £®á¯®¤¨ ãथ1 , ¬ë 㦥 á ¬¨ ⮣® ¥ § ï, ¨§ã稫¨ ¥áª®«ìª® ¯®«ëå ⥮਩ ¢ à §¤¥«¥ 1.b , ª®â®àë¥ â¥¯¥àì ᮡ¨à ¥¬áï ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì. áᬮâਬ á ç « á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë: VV x 6= x : Ap = (9x1) : : : (9xp)1i<j j p i ãáâì ⥯¥àì ®â®è¥¨¥ R ®¯à¥¤¥«¥® p í«¥¬¥â å a1; : : :; ap ¨ ¯ãáâì f (x) ª®êîªæ¨ï ¢á¥å ⮬ëå ¨ ®âà¨æ ¨© ⮬ëå ä®à¬ã«, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨åáï ª®à⥦®¬ a ; ⥮à¨ï ®â®è¥¨ï R ªá¨®¬ ⨧¨àã¥âáï á«¥¤ãî饩 ¥¤¨á⢥®© ªá¨®¬®©: ((9x1) : : : (9xp)f (x1; : : : ; xp)) ^ :Ap+1 ; ¨ ® , ª ª ¬ë 㦥 § ¥¬, å à ªâ¥à¨§ã¥â ¥£® á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , «ï ªá¨®¬ ⨧ 樨 ⥮ਨ ¯ãá⮣® ã ண® ®â®è¥¨ï ¤ ¡¥áª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬, ¡¥àñ¬ (8x):R(x) ¨ ¡¥áª®¥çë© á¯¨á®ª ¢á¥å Ap . áâ ¢¨¬ ç¨â â¥«î § ¡®â㠪ᨮ¬ ⨧ 権 ¤àã£¨å ¯®«ëå ⥮਩ ã àëå ®â®è¥¨©. ëà §¨¬, çâ® R ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨: (8x)R(x; x) (8x)(8y)(R(x; y) ! R(y; x))
¥àá® ¦ ª®¬¥¤¨© ¢¥«¨ª®£® äà æã§áª®£® ¤à ¬ âã࣠.. ®«ì¥à "¨§ âய" ¨ "¥é ¨ ¢® ¤¢®àïá⢥" (¨¬¥¥âáï àãá᪨© ¯¥à¥¢®¤ á®ç¨¥¨© ®«ì¥à ) , ª®â®àë© ®ç¥ì 㤨¢¨«áï, 㧠¢ çâ® ¢áî ¦¨§ì £®¢®à¨« ¯à®§®©, á ¬ ¥ ¯®¤®§à¥¢ ï ®¡ í⮬. 1
2.d
«¥¬¥â àë¥ à áè¨à¥¨ï
27
(8x)(8y)(8y)(R(x; y) ^ R(y; z) ! R(x; z)) «ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëà §¨âì ¡¥áª®¥ç®áâì ç¨á« ª« áᮢ, âॡã¥âáï ¡¥áª®¥çë© á¯¨á®ª á«¥¤ãîé¨å ªá¨®¬ (®¤ ªá¨®¬ ¤«ï ª ¦¤®£® n) : VV :R(x ; x ) (9x1) : : : (9xn)1i<j i j n
¨ , à ¢ë¬ ®¡à §®¬, ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ªá¨®¬ ¤«ï ¢ëà ¦¥¨ï ⮣®, çâ® ª ¦¤ë© ª« áá ¡¥áª®¥ç¥: (8x)(8y1) : : : (8yn)(9z)(R(x; z) ^ 1VVinyi 6= z) : «¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë ¢ëà ¦ îâ, çâ® ®â®è¥¨¥ R { «¨¥©ë© ¯®à冷ª: (8x) x x ; (8x)(8y)(x y ^ y x ! x = y) ; (8x)(8y)(8z)(x y ^ y z ! x z) ; (8x)(8y)(x y _ y x) : ª ®¡ëç®, x < y á«ã¦¨â ᮪à 饨¥¬ ä®à¬ã«ë x y ^ x 6= y . ëà §¨¬, çâ® ¥â ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â : (8x)(9y) x < y ; çâ® ¥â ¨¬¥ì襣®: (8x)(9y) y < x ; çâ® ®â®è¥¨¥ ¥¯ãá⮥ : (9x)(x = x) ; çâ® ¯®à冷ª ¯«®âë©: (8x)(8y)(9z)(x < y ! (x < z ^ z < y)) : â®â ª®¥çë© á¯¨á®ª ªá¨®¬, ª®â®àëå ¬®¦® § ¬¥¨âì ®¤®© ¨å ª®êîªæ¨¥©, ¯®ào¦¤ ¥â (¨«¨, ¡®«¥¥ â®ç®: ªá¨®¬ ⨧¨àã¥â) ¯®«ãî ⥮à¨î ¯«®âëå «¨¥©ëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª. ¢ë¬ ®¡à §®¬, ¯®«ã稬 ¯®«ãî ⥮à¨î, § ¬¥ïï ªá¨®¬ã ¯«®â®á⨠ªá¨®¬ã ¤¨áªà¥â®áâ¨: (8x)(9y)(8z)(x < y ^ :(x < z ^ z < y))^
^((8x)(9y)(8z)(y < x ^ :(y < x ^ z < x)) : ¥, ªâ® ¥ ¤®¯ã᪠îâ ®â®è¥¨© á ¯ãáâë¬ ®á¨â¥«¥¬, à áᬠâਢ îâ (9x)(x = x) , â ª¦¥ ¥ñ á«¥¤áâ¢¨ï ª ª ⥧¨á. ë ¥ à §¤¥«ï¥¬ í⮣® (¥ ®ç¥ì «®£¨ç®£®) áâà å ¯ãáâ®âë.
2.d «¥¬¥â àë¥ à áè¨à¥¨ï : â¥áâ à᪮£®, ⥮६ ¥¢¥£¥©¬
᫨ ®â®è¥¨¥ S ï¥âáï à áè¨à¥¨¥¬ ®â®è¥¨ï R , â® í«¥¬¥â à®áâì í⮣® à áè¨à¥¨ï R ®§ ç ¥â, çâ® «î¡®© ª®à⥦ í«¥¬¥â®¢ ¨§ ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï R ("¬¥ì襥" ®â®è¥¨¥) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¢ R ¨ ¢ S ; í⮠᢮©á⢮ ¢ëà ¦ ¥âáï á«¥¤ãî饩 ®ç¥ì ¯®«¥§®© ⥮६®©, £¤¥, § ¬¥â¨¬, ¢ë¯®«¨¬®áâì ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï ®â®á¨â¥«ì® "¡®«ì襣®" ®â®è¥¨ï
28
« ¢ 2
¥®à¥¬ 2.4 (â¥áâ à᪮£®.)
᫨ S { à áè¨à¥¨¥ R , â® íâ® à áè¨à¥¨¥
í«¥¬¥â ஠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï «î¡®£® a ¨§ ®á¨â¥«ï ®â®è¥¨ï R ¨ «î¡®© ä®à¬ã«ë f (x; y ) , ¥á«¨ S ` (9y)f (a; y) , â® áãé¥áâ¢ã¥â b ¨§ ®á¨â¥«ï R , â ª®©, çâ® S ` f (a; b) . ®ª § ⥫ìá⢮. ¥®¡å®¤¨¬®áâì ®ç¥¢¨¤ . ®áâ â®ç®áâì ¤®ª ¦¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ª¢ â®à®¬ã à £ã p ä®à¬ã«ë f : ¥á«¨ a ¨§ ®á¨â¥«ï R , ⮣¤ S ` f (a) () R ` f (a) . â® ®ç¥¢¨¤® ¤«ï p = 0 , ¯®áª®«ìªã ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î á ¬®£® ¯®ïâ¨ï à áè¨à¥¨ï a 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¢ R ¨ S : ।¯®«®¦¨¬, çâ® f ¨¬¥¥â ¢¨¤ (9y)g(x; y) , £¤¥ ª¢ â®àë© à £ ä®à¬ã«ë g ¬¥ìè¥ p .
᫨ S ` (9y)g(a; y) , â® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î áãé¥áâ¢ã¥â b ¨§ ®á¨â¥«ï R, â ª®©, çâ® S ` g(a; b), ¨ ¯® ¨¤ãªæ¨®®¬ã ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î R ` g(a; b) , á«¥¤®¢ ⥫ì®, R ` (9y)g(a; y) .
᫨ S 6` (9y)g(a; y) , â® ¤«ï ¢á¥å b ¨§ ®á¨â¥«ï S ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¤«ï ¢á¥å b ¨§ ®á¨â¥«ï R ¨¬¥¥¬ S 6` g(a; b) : ® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ R 6` g(a; b) ; § ç¨â, R 6` (9y)g(a; y) . â® § ¢¥àè ¥â ¤®ª § ⥫ìá⢮, ¯®áª®«ìªã ä®à¬ã« ª¢ â®à®£® à £ p ï¥âáï ¡ã«¥¢®© ª®¬¡¨ 樥© ä®à¬ã« à áᬮâ८£® ¢¨¤ (9y)g(x; y) .
¥®à¥¬ 2.5 (⥮६ ¥¢¥£¥©¬ .) ¦¤®¥ ®â®è¥¨¥ R ¨¬¥¥â ª®¥ç-
®¥ ¨«¨ áçñ⮥ í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥; ¡®«¥¥ â®ç®, ¥á«¨ A { ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ®á¨â¥«ï R , â® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ R , ®á¨â¥«ì ª®â®à®£® ᮤ¥à¦¨â A ¨ à ¢®¬®é¥ A . ®ª § ⥫ìá⢮. ¥à¥áç¨â ¥¬ ¢á¥ ä®à¬ã«ë f (a; y) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ A : áãé¥áâ¢ã¥â áçñ⮥ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« f (x; y) ; ¢ ª ¦¤®© 㦮 § ¬¥¨âì x n-ª®© ¨§ A , ¨ â ª ª ª A ¡¥áª®¥ç®, â® áãé¥áâ¢ã¥â card(A) â ª¨å n-®ª (¯®áª®«ìªã, ¥á«¨ A ¡¥áª®¥ç®, â® ¬®¦¥á⢮ ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¨¬¥¥â âã ¦¥ ¬®é®áâì, çâ® ¨ A ); § ç¨â, áãé¥áâ¢ã¥â ! card(A) = card(A) ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A ( ¯®§¤¥¥ ¬ë ãâ®ç¨¬ íâã à¨ä¬¥â¨ªã ª न «®¢ ). «ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë â ª®© , çâ® R ` (9y)f (a; y) , ¤®¡ ¢«ï¥¬ ª A í«¥¬¥â b ¨§ ®á¨â¥«ï R, â ª®©, çâ® R ` f (a; b) ; ª ª ª 㦮 á ¬®¥ ¡®«ì襥 ¤®¡ ¢¨âì card(A) í«¥¬¥â®¢, â® ¯®«ã稬 ¢ ¨â®£¥ ¬®¦¥á⢮ A1, ᮤ¥à¦ 饥 A ¨ ¨¬¥î饥 âã ¦¥ ¬®é®áâì, çâ® ¨ A . ®¢â®à¨¬ íâã ®¯¥à æ¨î, § ¬¥¨¢ A A1 , ¯®«ã稬 ¬®¦¥á⢮ A2 ¨ â.¤. ãáâì B { ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¬®¦¥á⢠A; A1; A2; : : :; An; : : : : íâ® { ¬®¦¥á⢮ ¬®é®á⨠! card(A) = card(A) , ¨ ®£à ¨ç¥¨¥ R B 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ â¥áâ à᪮£®.
ë ¢¨¤¨¬, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ª ¦¤ ï ᮢ¬¥áâ ï ⥮à¨ï ï§ëª m- ண® ®â®è¥¨ï ¨¬¥¥â ª®¥çãî ¨«¨ áçñâãî ¬®¤¥«ì. ãáâì I { ®á¨â¥«ì «¨¥©®£® ¯®à浪 < ; 楯ìî à áè¨à¥¨©, ¨¤¥ªá¨à®¢ ®© ¬®¦¥á⢮¬ I , §ë¢ ¥âáï ᥬ¥©á⢮ ®â®è¥¨© Ri á ¡ §®© Ei; i 2 I , â ª®¥ çâ® Rj à áè¨à¥¨¥ Ri ¤«ï «î¡ëå i < j . ।¥«®¬ (¨¤ãªâ¨¢ë¬ !) 楯¨ à áè¨à¥¨© §ë¢ ¥âáï ¥¤¨á⢥®¥ ®â®è¥¨¥ R á ¡ §®© E = [Ei , ïî饥áï à áè¨à¥¨¥¬ ¢á¥å Ri : a 㤮¢«¥â¢®àï¥â R , ¥á«¨ ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® i ( á ¬®¬ ¤¥«¥, ª ª ⮫쪮 a ¯®¯ ¤ ¥â ¢ Ei ) a 㤮¢«¥â¢®àï¥â Ri . ç¥ì ç áâ® ¯à ªâ¨ª¥ < ¯®«ë© ¯®à冷ª ( ¯à¨¬¥à, ¯®à冷ª âãà «ìëå ç¨á¥« ! , ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 2.5) , â ª ª ª à áè¨à¥¨¥
2.e
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
29
áâà®ïâáï ®¤® § ¤à㣨¬; ® íâ® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ¥ 㦮 ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᫥¤ãî饩 ⥮६ë.
¥®à¥¬ 2.6
᫨ (Ri; i 2 I ) { 楯ì í«¥¬¥â àëå à áè¨à¥¨© ( â.¥. Ri Rj ¤«ï i < j ) , â® ¥ñ ¯à¥¤¥« R ¡ã¤¥â í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ ª ¦¤®£® Ri .
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ª¢ â®à®¬ã à £ã p ä®à¬ã«ë f , çâ® ¥á«¨ a ¨§ Ei , â® R ` f (a) () Ri ` f (a) . â® ®ç¥¢¨¤® ¤«ï p = 0. ãáâì f (x) = (9y)g(x; y) ¨ g ¨¬¥¥â ª¢ â®àë© à £ p .
᫨ R ` f (a) , â® áãé¥áâ¢ã¥â b ¨§ E , â ª®©, çâ® R ` g(a; b) . â®â b ¯à¨ ¤«¥¦¨â Ej ¤«ï ¥ª®â®à®£® j i , ¨ ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ Rj ` g(a; b) . ç¨â, Rj ` (9y)g(a; y) ¨, ¯®áª®«ìªã Rj ¥áâì í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ Ri , ¨¬¥¥¬ Ri ` (9y)g(a; y) .
᫨ R 6` f (a) , â® ¤«ï «î¡®£® b ¨§ E ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¤«ï «î¡®£® b ¨§ Ei R 6` g(a; b) , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ Ri 6` g(a; b) , çâ® ¢«¥çñâ Ri 6` f (a) .
2.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ¢®§¤¥à¦ãáì ®â ª®ªà¥âëå ááë«®ª ¯® ¯®¢®¤ã á¨â ªá¨á ¨ ¢á¥£® ⮣®, çâ® ¢®ªà㣠®¯à¥¤¥«¥¨ï ä®à¬ã«. á ¬®¬ ¤¥«¥ à¥çì ¨¤ñâ ® ¯®ï¢«¥¨¨ ᮢ६¥®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ᨬ¢®«¨§¬ { ¥¨¨, ¤ «¥ª® ¢ë室ï騬 § à ¬ª¨ áâ®ï饩 ª¨£¨. ¤ãªæ¨®®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯®«¨¬®á⨠ä®à¬ã«ë ª®à⥦®¬ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®© áâàãªâãॠ¯®ï¢¨«®áì ®ç¥ì ¯®§¤® «¨èì ¢ [-, 1957]. ¥ª®â®àë¥ à áᬠâਢ îâ íâã áâ âìî ª ª áâ¥à¦¥¢ãî à ¡®âã, ®¯à¥¤¥«¨¢èãî ¯®á«¥¤ãîéãî ®à¨¥â æ¨î «®£¨ª¨; ® ᪮॥ ¬®¦® £®¢®à¨âì ® ç¥âª®© § ¯¨á¨ ¨¤¥©, áãé¥á⢮¢ ¢è¨å ¤® í⮣® ¢ ¥ª®â®à®¬ ¡¥á¯®à浪¥.
᫨ ¢ ¢ë¤ îé¨åáï à ¡®â å, ¯¨á ëå § ¥áª®«ìª® ¤¥áï⨫¥â¨© ¤® í⮣® â ª¨¬¨ ¬ ⥬ ⨪ ¬¨, ª ª ª®«¥¬, ñ¤¥«ì ¨«¨ á ¬ à᪨©, ®â®áïé¨åáï ¡¥áᯮ஠ª ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ¥ ®¡êïá﫨 íâ® ¯®ï⨥ ¢ë¯®«¨¬®áâ¨, â® í⮠⮫쪮 ¯®â®¬ã, çâ® ¥£® à áᬠâਢ «¨ ª ª á ¬® ᮡ®© à §ã¬¥î騬áï. ® ¯®¢®¤ã ⥮६ë à ¨áá¥, ®âáë« ¥¬ ª ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¬ § ¬¥ç ¨ï¬ £« ¢ë 1. ¥ªá¨ª ¨§ 2.c ¢ ®á®¢®¬ § த¨« áì ¢ [-, 1957] ; ¯®ï⨥ "¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©" ¯®ï¢¨«®áì ¥éñ à ìè¥, ® ®® ®¡®§ ç «® ᪮॥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨§ ª®â®à®£® ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ¯®¬®éìî ä®à¬ «ì®£® ¢ë¢®¤ . í⮩ áâ âì¥ í«¥¬¥â àë¥ íª¢¨¢ «¥â®áâì ¨ à áè¨à¥¨¥ §ë¢ «¨áì " à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬¨" ¯® «®£¨¨ á à ¡®â ¬¨ ñ¤¥«ï, £¤¥ ä®à¬ã«ë ¡ë«¨ § ª®¤¨à®¢ ë ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ (á¬. £«. 7). ®áª®«ìªã íâ® ¯à¨« £ ⥫쮥 §¢ãç «® ¥áª®«ìª® áâà ®, ¥ª®â®à®¥ ¢à¥¬ï á¯ãáâï ¥£® § ¬¥¨«¨ ¡®«¥¥ 㤠çë© â¥à¬¨ { "í«¥¬¥â àë©". à ¨áᥠ¡¥§ãá¯¥è® ¯ëâ «áï ¯à¨¢¨âì "«®£¨ç¥áªãî íª¢¨¢ «¥â®áâì" ¨ "«®£¨ç¥áª®¥ à áè¨à¥¨¥" .
30
« ¢ 2
¤à¥¢®á⨠®â«¨ç «¨ ªá¨®¬ë ®â ¯®áâ㫠⮢; ªá¨®¬ë ¡ë«¨ «®£¨ç¥áª®© ¯à¨à®¤ë ¨ ¯à¨¬¥ï«¨áì ¤«ï ®¡®á®¢ ¨ï § ª®®á⨠ᯮᮡ®¢ à áá㦤¥¨ï; ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯®áâã« âë ¡ë«¨ à §®¢¨¤®áâﬨ ¯à¨¬¨â¨¢ëå ᢮©á⢠¢ë¤¥«¥ëå ®¡ê¥ªâ®¢ (â®ç¥ª, ¯àï¬ëå ¨ â.¤.) ¨§ã票ï. ª¨¬ ®¡à §®¬ â®, ç⮠ᥣ®¤ï §ë¢ ¥âáï " ªá¨®¬ ¬¨", ï¥âáï ᪮॥ "¯®áâã« â ¬¨". ¥áâ à᪮£® ¨ ⥮६ ® 楯ïå í«¥¬¥â àëå à áè¨à¥¨© ¨á室ïâ â ª¦¥ ¨§ [-, 1957]. â® ª á ¥âáï â¥®à¥¬ë ¥¢¥£¥©¬ , â® { ® ¯à த¨â¥«ì ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ®«¥¥ â®ç®, ¢ [
, 1915] ¡ë«® ¤®ª § ®, çâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¨¬¥î饥 ¬®¤¥«ì, ¨¬¥¥â ª®¥çãî ¨«¨ áçñâãî ¬®¤¥«ì; ¤«ï á«ãç ï, ª®£¤ A áçñâ®, ® ¯®ï¢¨« áì ¢ ¢ë襯ਢ¥¤¥®¬ ¢¨¤¥ ¢ [
, 1920].
« ¢ 3 áè¨à¥¨¥ ï§ëª , áâàãªâãàë En second lieu, les deux memoires sont courts et nullement proportionnes aux titres ; et puis il y a au moins autant de francais que d'algebre a tel point que l'imprimeur, quand on lui a porte les manuscrits, a cru de bonne foi que c'etait une introduction ... Il eut ete si facile encore de substituer successivement toutes les lettres de l'alphabet dans chaque equation, en les numerotant par ordre pour pouvoir reconnaitre a quelles combinaisons de lettres appartiennent les equations subsequentes ; ce qui eut multiplie inde niment le nombre d'equations, si l'on re echit qu'apres l'alphabet latin, il y a encore l'alphabet grec, que celui-ci epuise, il reste les caracreres allemands, que rien n'emp^eche de se servir des lettres syriaques, et au besoin des lettres chinoises! Il eut ete si facile de transformer dix fois chaque phrase, en ayant soin de faire preceder chaque transformation du mot solennel theoreme ... E.G.
3.a ã«ì⨮â®è¥¨ï, ५ïæ¨®ë¥ áâàãªâãàë : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 32 3.b ãªæ¨¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 33 3.c ®¢ ® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ : : : : : : : : : 36 3.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : : 37
31
32
« ¢ 3
,
3.a ã«ì⨮â®è¥¨ï, ५ïæ¨®ë¥ áâàãªâãàë ¬¥áâ® ®¤®£® ¥¤¨á⢥®£® ®â®è¥¨ï ¬®¦® à áᬠâਢ âì áâàãªâãàã, ®¡à §®¢ ãî ª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ®â®è¥¨© R1; : : :; Rk , à®á⨠ᮮ⢥âá⢥® m1; : : :; mk á ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ®á¨â¥«¥¬ ; â ª ï áâàãªâãà §ë¢ ¥âáï ¬ã«ì⨮â®è¥¨¥¬ , ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì à®á⥩ m1; : : :; mk ᨣ âãன (¥éñ £®¢®àïâ ⨯ ¯®¤®¡¨ï) ¬ã«ì⨮â®è¥¨ï. ਠ¤ ®¬ ¢â®à®¬ ¬ã«ì⨮â®è¥¨¨ (S1; : : :; Sk ) ⮩ ¦¥ ᨣ âãàë á ®á¨â¥«¥¬ F , ¨§®¬®à䨧¬®¬ (R1; : : : ; Rk ) (S1; : : : ; Sk ) §ë¢ ¥âáï ®â®¡à ¦¥¨¥ E F , ïî饥áï ¨§®¬®à䨧¬®¬ R1 S1; : : :; Rk , Sk . ª ¦¥ ª ª ¨ ¤«ï ®â®è¥¨© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®ï⨥ à áè¨à¥¨ï, ¢«®¦¥¨ï, «®ª «ì®£® ¨§®¬®à䨧¬ , p-¨§®¬®à䨧¬ ¨ â.¤. â® ª á ¥âáï ï§ëª ¬ã«ì⨮â®è¥¨ï, íâ®â à § 㦮 ¢¢¥á⨠k ᨬ¢®«®¢ ®â®è¥¨©, ¥ ®¤¨, à®á⨠m1 ¤«ï ®¡®§ 票ï R1; : : :; à®á⨠mk ¤«ï ®¡®§ 票ï Rk . ®¡à®á®¢¥áâë© ç¨â â¥«ì ¡¥§ âà㤠¯à®¢¥à¨â, çâ® ¢á¥ ⥮६ë, ¤®ª § ë¥ ¤® í⮣® ¤«ï ®â®è¥¨©, ¢¥àë ¨ ¤«ï ¬ã«ì⨮â®è¥¨©. â® ¥ ¡ë«® áâ®ï騬 ®¡®¡é¥¨¥¬; ⥯¥àì ᤥ« ¥¬ ¡®«¥¥ ⮪¨© è £, à áᬠâਢ ï ५ïæ¨®ë¥ áâàãªâãàë R , ®¡à §®¢ ë¥ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ª®¥çë¬ á¥¬¥©á⢮¬ ®â®è¥¨© Ri à®á⨠mi á ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ®á¨â¥«¥¬ E . ¯¨á®ª mi à®á⥩ ¡ã¤¥â §ë¢ âìáï ᨣ âãன ¨«¨ ⨯®¬ ¯®¤®¡¨ï áâàãªâãàë; ï§ëª, á¢ï§ ë© á ⨯®¬ ¯®¤®¡¨ï, ᮤ¥à¦¨â ¯® ®¤®¬ã ᨬ¢®«ã ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ª ¦¤®£® ®â®è¥¨ï. ª¨¬ ¦¥ ®¡à §®¬ ª ª ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯®ïâ¨ï à áè¨à¥¨ï, ®£à ¨ç¥¨ï, ¨§®¬®à䨧¬ , p-¨§®¬®à䨧¬ ¨ â.¯. ¬¥¦¤ã ५ï樮묨 áâàãªâãà ¬¨ ®¤®£® ⨯ ¯®¤®¡¨ï. ® §¤¥áì ¯®ï¢«ï¥âáï ®¤® áãé¥á⢥®¥ ¨§¬¥¥¨¥ : ¥á«¨ ¯¥à¢ ï ç áâì ⥮६ë à ¨áᥠ2.2 ®áâ ¥âáï ¢¥à®©, â.¥. ᮢ¥à襮 â®ç®, çâ® ¤¢ p-íª¢¨¢ «¥âëå ª®à⥦ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ª¢ â®à®£® à £ ¥ ¯à¥¢ëè î饣® p , â® ®¡à ⮥ 㦥 ¥«ì§ï ¤®ª § âì ¯® ⮩ ¯à®á⮩ ¯à¨ç¨¥, çâ® «¥¬¬ 2.3, ã⢥ত îé ï, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ª« áᮢ p-íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, «®¦ .
᫨ § å®â¨¬ ᯠá⨠íâ® ®¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥, â® ¥®¡å®¤¨¬® ¢¢¥á⨠¡¥áª®¥çë¥ ª®êîªæ¨¨ ¨ ¤¨§êîªæ¨¨ ¢ è¨ ä®à¬ã«ë, ®¤¨¬ á«®¢®¬, ¢¢¥á⨠¨ä¨¨â àë© ï§ëª. ë ¥ áâ㯨¬ íâ®â ¯ãâì ¨ á®åà ¨¬ 䨨â àë© å à ªâ¥à ä®à¬ã«, á ª®â®àë¬ á¢ï§ ë ®ç¥ì áãé¥áâ¢¥ë¥ á¢®©á⢠ª®¬¯ ªâ®áâ¨, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ ¯®ª § ë ¢ á«¥¤ãî饩 £« ¢¥. â ª, ᪠¦¥¬ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î , çâ® ¤¢¥ áâàãªâãàë R ¨ J ®¤®© ᨣ âãàë í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, ¥á«¨ ¨å ¢ë¯®«ïîâáï ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï; ¨ ¥á«¨ J { à áè¨à¥¨¥ R , â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î íâ® à áè¨à¥¨¥ í«¥¬¥â à®, ¥á«¨ «î¡®© ª®à⥦ í«¥¬¥â®¢ ¨§ ®á¨â¥«ï R 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¢ R ¨ ¢ J . ª ¦¥ ¡ëâì, ¥á«¨ ¬ë ¤®à®¦¨¬ ®¡à 饨¥¬ ⥮६ë à ¨áᥠ¨ «®ª «ì묨 ¨§®¬®à䨧¬ ¬¨ ? ®¢®à¨¬, çâ® R1 ¥áâì ®¡¥¤¥¨¥ (¥ ¯ãâ âì á ®£à ¨ç¥¨¥¬) R , ¥á«¨ ® áâàãªâãà á ⮩ ¦¥ ¡ §®©, ¯®«ãç¥ ï ¨§ R áâ¨à ¨¥¬ ¥ª®â®àëå ®â®è¥¨©; â ª¦¥ £®¢®àïâ, çâ® R ®¡®£ 饨¥ { R1. ¡®£ 饨¥ ¯®«ãç ¥âáï à áè¨à¥¨¥¬ ï§ëª , à áè¨à¥¨¥ á ¬®© áâàãªâãàë { à áè¨à¥¨¥¬ ®á¨â¥«ï. â ª ª ª ¢ ä®à¬ã«ã ¢å®¤¨â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ᨣ-
3.b
ãªæ¨¨
33
âãàë, â® R ¨ J í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ª®¥ç®© ç á⨠ᨣ âãàë ¨å ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ®¡¥¤¥¨ï !-íª¢¨¢ «¥âë. ¬¥ç ¨¥. ®£¤ ¡ë¢ ¥â 㤮¡ë¬ à áᬮâ२¥ 0- àëå ®â®è¥¨©. ª ª ª ®â®¡à ¦¥¨¥ ¨§ X ¢ Y ᮯ®áâ ¢«ï¥â ª ¦¤®¬ã í«¥¬¥âã X ¥¤¨áâ¢¥ë© í«¥¬¥â ¨§ Y , ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ®â®¡à ¦¥¨¥ ? ¢ E , ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ⮣® E { ¯ãá⮥ ¨«¨ ¥â, á ¯ãáâë¬ £à 䨪®¬, â.¥. ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ã¥â 0-ª í«¥¬¥â®¢ E . ª á«¥¤á⢨¥, ¢á¥£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢ ã«ì àëå ®â®è¥¨ï á ¡ §®© E : f?g ¨ ? . ¥à¢®¥ ¬®¦® §¢ âì ¨á⨮©, ¢â®àãî «®¦ìî. ¯à®â¨¢, ¥á«¨ m > 0 , ¥ áãé¥áâ¢ã¥â m-®ª í«¥¬¥â®¢ ¯ãá⮣® ¬®¦¥á⢠, § ç¨â áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥®¥ m- ஥ ®â®è¥¨¥ á ¯ãá⮩ ¡ §®©, ª®â®à®¥ á ¬® ¥áâì ? (¨ ¬ë ç áâ® ¯®¢â®à﫨, çâ® ? ¥áâì ¢á¥£¤ «®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï m- à묨 ®â®è¥¨ï¬¨ ¯à¨ m > 0 ) . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ áâàãªâãॠᨬ¢®« ã«ì ண® ®â®è¥¨ï ¢á¥£¤ ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï «¨¡® ¨á⨮© «¨¡® «®¦ìî. ⨠ã«ì àë¥ ®â®è¥¨ï á ¬¨ ¯® ᥡ¥ ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¡®«ì讣® ¨â¥à¥á , ® ïîâáï ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¬ ¨áâà㬥⮬ ¨áç¨á«¥¨ï: ¥á«¨ ä®à¬ã« , ¨¬¥îé ï n ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¥ª®â®à®¥ n- ஥ ®â®è¥¨¥ ( ¬®¦¥á⢮ n-®ª, ¥© 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å), â® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â 0- ஥ ®â®è¥¨¥ { ¨áâ¨ã ¨«¨ «®¦ì.
3.b ãªæ¨¨
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J ` t1(a) = t2(a); ¥á«¨ t1(a) à ¢¥ t2(a) ; J ` r(t1(a); : : :; tn(a)); ¥á«¨ (t1(a); : : :; tn(a)) 2 rJ : «ï ä®à¬ã« ¡®«ì襩 á«®¦®á⨠¯®áâ㯠¥¬ â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ®¤®£® ®â®è¥¨ï. ë £®¢®à¨¬, çâ® áâàãªâãà J 0 ¥áâì ®£à ¨ç¥¨¥ ¨«¨ ¯®¤áâàãªâãà J , ¥á«¨ : { ¡ § E 0 áâàãªâãàë J 0 ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¡ §¥ E áâàãªâãàë J , { ¤«ï ª ¦¤®£® ª®áâ ⮣® ᨬ¢®« ci; cJi 0 = cJi 2 E 0 ,
3.b
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{ ¤«ï ª ¦¤®£®0 ᨬ¢®« äãªæ¨¨ fj ; E 0 { ¬®¦¥á⢮, § ¬ªã⮥ ®â®á¨â¥«ì® fjJ ¨ fjJ { ®£à ¨ç¥¨¥ fjJ E 0 , { ¤«ï ª ¦¤®£® ᨬ¢®« ®â®è¥¨ï rk ; rkJ 0 { ®£à ¨ç¥¨¥ rkJ E 0 . áè¨à¥¨¥ í«¥¬¥â à®, ¢ § ¯¨á¨ J 0 J , ¥á«¨ ª ¦¤ë© ª®à⥦ ¨§ ¬¥ì襩 áâàãªâãàë 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¢ ¬¥ì襩 ¨ ¡®«ì襩 áâàãªâãà å. ¡à ⨬ ¢¨¬ ¨¥ á«¥¤ãî騩 ä ªâ: ¥á«¨ ¬ë ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 ¯®ï⨥ £àã¯¯ë ¢¢¥¤ï ⮫쪮 ®¤ã ¡¨ àãî äãªæ¨î 㬮¦¥¨ï, â® ¯®¤áâàãªâãà £àã¯¯ë ¥ ¢á¥£¤ ï¥âáï ¯®¤£à㯯®©, íâ® ¯à®áâ® ¬®¦¥á⢮, § ¬ªã⮥ ®â®á¨â¥«ì® 㬮¦¥¨ï.
᫨ ¤®¯®«¨â¥«ì® ¢¢¥¤¥¬ ª®áâ âã ¤«ï ¥©âà «ì®£® í«¥¬¥â ¨ ã àãî äãªæ¨î ¤«ï ®¡à 饨ï, â® ¬ë ¯®«ã稬 ¥çâ® ¡®«¥¥ ¡®£ ⮥, ¯®áª®«ìªã ¬ë ¬¥ï¥¬ ¯®ï⨥ ¯®¤áâàãªâãàë, å®âï ¢ ï§ëª¥ á ®¤¨¬ ⮫쪮 㬮¦¥¨¥¬ ¨¬¥îâáï ᨮ¨¬ë: x = x2 ¤«ï x = 1 ¨ xy = xyxy ¤«ï x = y?1.
᫨ ¤ ® ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ®á¨â¥«ï áâàãªâãàë J , â® ¯®¤áâàãªâãன J , ¯®à®¦¤¥®© A , ï¥âáï ®£à ¨ç¥¨¥ J § ¬ëª ¨¥ A ®â®á¨â¥«ì® äãªæ¨© ¨§ J (¢ª«îç ï ª®áâ âë, à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ª ª 0-¬¥áâë¥ äãªæ¨¨). âàãªâãà §ë¢ ¥âáï ª®¥ç® ¯®à®¦¤¥®© ¨«¨ ª®¥ç®£® ⨯ , ¥á«¨ ® ®¡« ¤ ¥â ª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯®à®¦¤ îé¨å. §®¬®à䨧¬®¬ ¤¢ãå áâàãªâãà J ¨ J 0 ®¤®© ¨ ⮩ ¦¥ ᨣ âãàë §ë¢ ¥âáï ¡¨¥ªæ¨ï s ¬¥¦¤ã ¨å ®á¨â¥«ï¬¨ E ¨ E 0 , â ª ï, çâ® : { s(cJ ) = cJ 0 ¤«ï ª ¦¤®© ª®áâ âë c , { s(f J (s?1(b1); : : : ; s?1(bn))) = f J 0 (b1; : : :; bn) ¤«ï ª ¦¤®© äãªæ¨¨ f , { (a1; : : :; an) 2 rJ () (s(a1); : : : ; s(an)) 2 rJ 0 ¤«ï ª ¦¤®£® ®â®è¥¨ï r . ®ª «ìë© ¨§®¬®à䨧¬ ¨§ J J 0 ¥áâì ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ®£à ¨ç¥¨¥¬ ª®¥ç®£® ⨯ J ¨ ®£à ¨ç¥¨¥¬ ª®¥ç®£® ⨯ J 0 : ᪠§ âì, çâ® (a1; : : :; an) ¨ (b1; : : :; bn) «®ª «ì® ¨§®¬®àäë ¨«¨ 0-íª¢¨¢ «¥âë § ç¨â, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ ¯¥à¥¢®¤ï饥 a1 b1; : : :an bn , ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬, ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ¯®¤áâàãªâãà ¬¨, ¯®à®¦¤¥ë¬¨ í⨬¨ ª®à⥦ ¬¨; ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, a ¨ b 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ â®¬ë¬ ä®à¬ã« ¬. ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬, ª ª ¢ á«ãç ¥ ï§ëª ®¤®£® ®â®è¥¨ï, ¯®ï⨥ p-¨§®¬®à䨧¬ , £¤¥ p { âãà «ì®¥ ç¨á«® ¨«¨, ¢ ¡®«ì襩 ®¡é®áâ¨, ®à¤¨ «, ¨ â ª¦¥ ¡¥§ âà㤠¤®ª §ë¢ ¥âáï ®¡®¡é¥¨¥ ¯¥à¢®© ç á⨠⥮६ë à ¨áá¥, ¨¬¥®, çâ® ¤¢ p-íª¢¨¢ «¥âëå ª®à⥦ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ª¢ â®à®£® à £ ¥ ¢ëè¥ p . ç áâ®áâ¨, ¤¢ p-íª¢¨¢ «¥âëå ¨ ⥬ ¡®«¥¥ 1-íª¢¨¢ «¥âëå ª®à⥦ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯. â® ª á ¥âáï ®¡à ⮣® ã⢥ত¥¨ï, ª®â®à®¥ ®¯¨à ¥âáï «¥¬¬ã 2.3 ("ç¨á«® ª« áᮢ p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠ª®¥ç®") , ¥ñ ®¡®¡é¥¨¥ ¢¥à® «¨èì ¤«ï ᨣ âãàë, á®áâ®ï饩 ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ª®áâ â ¨ ®â®è¥¨©. á ¬®¬ ¤¥«¥, 㦥 ⮫쪮 ®¤ äãªæ¨ï ¥ã«¥¢®© à®á⨠¯®§¢®«ï¥â ®¡à §®¢ë¢ âì ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® â¥à¬®¢, ¨ § ç¨â, ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ⮬ëå ä®à¬ã«. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ § å®â¨¬ ¥á¬®âàï ¨ ç⮠ᢥáâ¨ í«¥¬¥â àãî íª¢¨¢ «¥â®áâì ª ª®¥ç®¬ã "祫®ªã" (çâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ¢ ®¯à¥-
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« ¢ 3
,
¤¥«¥ëå ¤¥«¨ª âëå á«ãç ïå) , ⮠㦮 á¯ãáâ¨âìáï ª®¥çãî ᨣ âãàã, ¨ § ¬¥¨âì ª ¦¤ãî n-¬¥áâãî äãªæ¨î ¥ñ £à 䨪®¬, ïî騬áï n + 1¬¥áâë¬ ®â®è¥¨¥¬. ਠí⮬ á®åà ï¥âáï í«¥¬¥â à ï íª¢¨¢ «¥â®áâì, ® ª®¥ç® ¬¥ï¥âáï ¯®ï⨥ ⮬®© ä®à¬ã«ë, ä®à¬ã«ë ª¢ â®à®£® à £ p; p-¨§®¬®à䨧¬ ¨ â.¤. ® ¢ ¡®«ìè¨á⢥ á«ãç ¥¢, ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥®¡å®¤¨¬ «¨èì ¯àï¬ ï ⥮६ à ¨áá¥, ª®â®à ï ¢á¥£¤ ¢¥à , ¨ ¤ ¦¥ ç é¥ ¯à¨¬¥ïîâáï «¨èì 1¨§®¬®à䨧¬ë (ᬮâà¨â¥ £« ¢ã 5) .
3.c ®¢ ® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ ª ª ª ¢¢¥¤¥ë¥ áâàãªâãàë ®¡®¡é îâ ®â®è¥¨ï ¨§ £« ¢ 1 ¨ 2 , ¬ 㦮 ¯®ïâì ª ª ®¡®¡é îâáï ¤®ª § ë¥ â ¬ ⥮६ë. â® ¬ë 㦥 ®¡á㤨«¨ ¤«ï "祫®ª " à ¨áá¥. ¥§ âà㤠¬®¦® ¯®ïâì, ç⮠⥮६ 1.14 ®áâ ¥âáï ¢ ᨫ¥: ¤¢¥ 1-íª¢¨¢ «¥âë¥ áâàãªâãàë á® áç¥â묨 ¡ § ¬¨ ¨§®¬®àäë. ª¢¨¢ «¥â®á⨠á 1) ¤® 21) ¨§ à §¤¥« 2.a ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥ â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯à¨¢¥¤¥¨¥ ª ¯à¥¥ªá®© ä®à¬¥, 楫¨ª®¬ § ¢¨áï饥 ®â ¨å. ¢ë¬ ®¡à §®¬ ¯¥à¥®áïâáï â ª¨¥ ¯®ïâ¨ï, ª ª ¬®¤¥«¨, á«¥¤á⢨ï, ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ⥮ਨ ¯®«®© ⥮ਨ (¯®ï⨥ ⥮ਨ ¨«¨ ¯®«®© ⥮ਨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®â®á¨â¥«ì® 䨪á¨à®¢ ®£® ï§ëª ) ¨ â.¯. ¨§ à §¤¥« 2.c. ¥áâ à᪮£® 2.4 , ⥮६ 2.6 ® 楯ïå í«¥¬¥â àëå à áè¨à¥¨© ¨§ à §¤¥« 2.d ®áâ îâáï ¢¥à묨; çâ® ª á ¥âáï â¥®à¥¬ë ¥¢¥£¥©¬ , â® ® âॡã¥â «¥£ª®£® ¢¨¤®¨§¬¥¥¨ï. ®é®áâìî ï§ëª L ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î §ë¢ ¥âáï ç¨á«® ¥£® ä®à¬ã« : ¥á«¨ L ᮤ¥à¦¨â ª®¥ç®¥ ¨«¨ áç¥â®¥ ¬®¦¥á⢮ ᨬ¢®«®¢ ª®áâ â, äãªæ¨© ¨ ®â®è¥¨©, â® íâ® { áç¥â ï ¬®é®áâì, ¢ § ¯¨á¨ card(L) = ! ; ¥á«¨ L ᮤ¥à¦¨â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® { â ª¨å ᨬ¢®«®¢, â® card(L) = { . ç¥ì ç áâ®, ¤«ï ⥮à¨ï T ¢ ï§ëª¥ L ¯¨èãâ ¡¥áæ¥à¥¬®® card(T ) ¢¬¥áâ® card(L) (â ª¨¬ ®¡à §®¬, card(T ) ¥áâì ç¨á«® ä®à¬ã« ï§ëª ⥮ਨ T , ¥ ç¨á«® ªá¨®¬, ãç áâ¢ãîé¨å ¢ ªá¨®¬ ⨧ 樨 T ; ¢¯à®ç¥¬, íâ® ¥ â ª 㦠¥§ ª®®, ¯®áª®«ìªã card(T ) ¥áâì ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠ç¨á«® ⥮६ ¢ T , ç¨á«® ⥧¨á®¢ ¢ L ᮢ¯ ¤ ¥â ¢ â®ç®á⨠á card(L) !) ¤®ª § ⥫ìá⢥ â¥®à¥¬ë ¥¢¥£¥©¬ ¤«ï ®¤®£® ®â®è¥¨ï, ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ â® ®¡áâ®ï⥫ìá⢮, çâ® ç¨á«® ä®à¬ã« ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢ áç¥â® ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ç¨á«® ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A à ¢® Max(card(A); !) ; ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ í⨬ ç¨á«®¬ ¡ã¤¥â Max(card(A); card(L)) ¨ â® ¦¥ á ¬®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤ ¥â á«¥¤ãîéãî ⥮६ã:
¥®à¥¬ 3.1 (¥¢¥£¥©¬.) ãáâì J { áâàãªâãà ¢ ï§ëª¥ L , ¨ ¯ãáâì A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ ®á¨â¥«ï í⮩ áâàãªâãàë. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ áâàãªâãàë J 0 , ®á¨â¥«ì ª®â®à®£® ᮤ¥à¦¨â A , ¬®é®á⨠¥ ¡®«¥¥ Max(card(A); card(L)) . ë ¢¨¤¨¬ ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ª ¦¤ ï ⥮à¨ï T ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠¥ ¡®«¥¥ 祬 card(T ) .
3.d
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3.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ¥ ¬®£ã ᪠§ âì çâ®-¨¡ã¤ì ¯® ¯®¢®¤ã í⮩ ª®à®âª®© £« ¢ë § ¨áª«î票¥¬ «¨èì ⮣®, çâ®, ª ª ã⢥ত îâ ¨áâ®à¨ª¨, ¯®ï¢«¥¨¥ áâàãªâãà ¢®á室¨â ª ।¥àã [ð
, 1895] ; á«®¢® "¬ã«ì⨮â®è¥¨¥" ¯à®¨á室¨â ¨§ [
, 1971/72/75 ] . «ï ®á⠫쮣® ®âáë« ¥¬ ª § ¬¥ç ¨ï¬ ¤¢ãå ¯à¥¤ë¤ãé¨å £« ¢.
« ¢ 4 ®¬¯ ªâ®áâì Et por l'achaison de celle bataille et de celle ghere nulo home ne pooit aler per chemin qui ne fust pris : et ce estoit deverc dont il estoient venu ; mes avant pooient il bien aler. Et adonc les deus frers distroient entr'aus "puis que nos ne poons retorner a Gostantinople con notre mercaandie, or alon avant por la voie dou levant ... M.P.
4.a «ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39 4.b ®¬¯ ªâ®áâì, ⥮६ ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ ⥮६ ®¡ ®¡é¥¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ : : : : : : : : : : : : 43 4.c ¥â®¤ ¥ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 48 4.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : : 53
38
4.a
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4.a «ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï á直© ¨§ãç î騩 ⮯®«®£¨î á«ëè « ® 䨫ìâà å : ¥á«¨ I { ¥¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮, ⮠䨫ìâ஬ §ë¢ ¥âáï ᥬ¥©á⢮ F ¯®¤¬®¦¥á⢠I , â ª®¥, çâ®: { I 2 F; ; 62 F , { ¥á«¨ X ¨ Y ¨§ F , â® X \ Y 2 F , { ¥á«¨ X 2 F ¨ X Y , â® Y 2 F . ਬ¥àë 䨫ìâ஢: { ᥬ¥©á⢮ FfAg ¯®¤¬®¦¥á⢠I , ᮤ¥à¦ é¨å ¥¯ãá⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A I; { ᥬ¥©á⢮, §ë¢ ¥¬®¥ 䨫ìâ஬ à¥è¥, ª®ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠I . ।¡ § 䨫ìâà B { ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬®¦¥á⢠I , ᮤ¥à¦ 饥áï ¢ ¥ª®â®à®¬ 䨫ìâà¥. â® ®§ ç ¥â, çâ® «î¡®¥ ª®¥ç®¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ í«¥¬¥â®¢ ¨§ B ¥ ¯ãáâ®. ¨«ìâà FB , ®¡à §®¢ ë© ¢á¥¬¨ ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ I , ᮤ¥à¦ 騬¨ ¥ª®â®à®¥ ª®¥ç®¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ í«¥¬¥â®¢ B , ¥áâì ¨¬¥ì訩 䨫ìâà, ᮤ¥à¦ 騩 B : íâ® { 䨫ìâà, ¯®à®¦¤ñë© á¥¬¥©á⢮¬ B .
᫨, ªà®¬¥ í⮣® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ «î¡ëå ¤¢ãå í«¥¬¥â®¢ B ¥áâì ᮢ í«¥¬¥â B , â® £®¢®àïâ, çâ® B { ¡ § 䨫ìâà : ⮣¤ FB { ᥬ¥©á⢮ ¯®¤¬®¦¥á⢠I , ᮤ¥à¦ é¨å ¥ª®â®àë© í«¥¬¥â B . ਬ¥àë ¡ § 䨫ìâ஢:
{ fAg , £¤¥ A 6= ;; A I , { ¯ãáâì J { ¬®¦¥á⢮, ¨ ¯ãáâì I { ¬®¦¥á⢮ ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠J ; ¤«ï «î¡®£® i 2 I ¯ãáâì Ii = fj : j 2 I; j ig , ¨ ¯ãáâì B { ᥬ¥©á⢮ ¢á¥å Ii ; â ª ª ª Ii \ Ij = Ii[j ; i 2 Ii â® § ¬ªãâ® ®â®á¨â¥«ì® ª®¥çëå ¯¥à¥á¥ç¥¨© ¨ ¥ ᮤ¥à¦ â ; , § ç¨â ®® ¥áâì ¡ § 䨫ìâà . ¨«ìâà FB ¨«¨ ¥£® ¡«¨§ª¨¥ த¨â¥«¨ ç áâ® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. «ìâà 䨫ìâà ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, ¥áâì ¬ ªá¨¬ «ìë© ä¨«ìâà.
¥®à¥¬ 4.1 ¨«ìâà F ¤ I ï¥âáï ã«ìâà 䨫ìâ஬ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠A I «¨¡® A , «¨¡® ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ I n A ᮤ¥à¦¨âáï ¢ F . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì F { ã«ìâà 䨫ìâà ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ A 62 F ; ¯® ¬ ªá¨¬ «ì®á⨠F , F [ fAg ¥ ï¥âáï ¯à¥¤¡ §®© 䨫ìâà ¨ áãé¥áâ¢ã¥â B ¨§ F , â ª®©, çâ® A \ B = ; ; ¨ â ª ª ª B I n A , â® I n A 2 F .
᫨ F { 䨫ìâà, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î, ¨ A 62 F , â® F [fAg ¥ ï¥âáï ¯à¥¤¡ §®© 䨫ìâà , ¯®áª®«ìªã I n A 2 F ¨ (I n A) \ A = ; . ç¨â, F { ã«ìâà 䨫ìâà.
40
« ¢ 4
¥®à¥¬ 4.2 ãáâì U { ã«ìâà 䨫ìâà ¤ I ; ¥á«¨ fA1; : : :; Ang { ª®¥ç®¥ ¯®ªàë⨥ I , â.¥. I = A1 [ : : :An â® ®¤® ¨§ Ai ¯à¨ ¤«¥¦¨â U , ¥á«¨, ᢥàå ⮣®, ¬®¦¥á⢠Ai ¯®¯ à® ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ⮠⮫쪮 ®¤® «¨èì Ai , ¯à¨ ¤«¥¦¨â U . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ Ai 62 U , â® I n Ai 2 U , ¨ ¥¢®§¬®¦®, çâ®¡ë ¢á¥ I n Ai ¡ë«¨ ¢ U , ¯®áª®«ìªã ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯ãáâ®. , ¥á«¨ Ai 2 U ¨ Aj 2 U , â® Ai \ Aj 6= ; . ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à®¢ ã«ìâà 䨫ìâ஢, ¬ ¯®ç⨠¥ç¥£® ¯à¥¤«®¦¨âì, ªà®¬¥ Ua { ᥬ¥©á⢠¢á¥å ¯®¤¬®¦¥á⢠I , ᮤ¥à¦ é¨å í«¥¬¥â a ¨§ I : í⨠ã«ìâà 䨫ìâàë §ë¢ îâáï £« ¢ë¬¨. «ï ¨å å à ªâ¥à®, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ «î¡®£® ¬®¦¥áâ¢ í«¥¬¥â®¢ ¨§ Ua, ¤ ¦¥ ¡¥áª®¥ç®£®, ᮢ ¯à¨ ¤«¥¦¨â Ua . ⨠ã«ìâà 䨫ìâàë, ®ç¥¢¨¤®, ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¨ª ª®£® ¨â¥à¥á . ® ⥮६¥ 4.2 , ¥á«¨ ã«ìâà 䨫ìâà ᮤ¥à¦¨â ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ A = fa1; : : : ; ang , â® ® £« ¢ë© : ¯à¨¬¥¨â¥ à §¡¨¥¨¥ I n A; fa1g; : : :; fang . ¥£« ¢ë¥ ã«ìâà 䨫ìâàë ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ⮫쪮 ¤ ¡¥áª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬ I , ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥£« ¢ë¬¨ ã«ìâà 䨫ìâà ¬¨ ïîâáï ¢ â®ç®á⨠⥠ã«ìâà 䨫ìâàë, ª®â®àë¥ á®¤¥à¦ â 䨫ìâà à¥è¥. à㤮áâì ¯à¨¢¥¤¥¨ï "£®" ¯à¨¬¥à ¥£« ¢®£® ã«ìâà 䨫ìâà ¡ã¤¥â ¯®ïâ «¨èì ç¨â ⥫î, ª®â®àë© ¡ã¤¥â 㣫㡫ïâìáï ¢ ⥮à¨î ¬®¦¥áâ¢. ¤ ¨§ ªá¨®¬ í⮩ ⥮ਨ, ïîé ïáï ®á« ¡«¥®© ¢¥àᨥ© ªá¨®¬ë ¢ë¡®à , â ª®¢ : ªá¨®¬ ã«ìâà 䨫ìâà . ¦¤ë© 䨫ìâà ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ ã«ìâà 䨫ìâà¥. ë ¤®¯ã᪠¥¬ íâ㠪ᨮ¬ã, ¯®¤â¢¥à¦¤ îéãî áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®£®ç¨á«¥ëå ã«ìâà 䨫ìâ஢; ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ "®¡ë箩" ¬ ⥬ ⨪¥. ë ®¡á㤨¬ ¥ñ § ª®®áâì, ª®£¤ ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ®¡ ®à¤¨ « å. ®«ì§ ã«ìâà 䨫ìâ஢ ¤«ï ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ®¨ ¯®§¢®«ïîâ áâநâì ®¢ë¥ áâàãªâãàë ¨§ ¯¥à¢® ç «ì® § ¤ ëå. ãáâì I { ¥¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮, U { ã«ìâà 䨫ìâà ¤ I . 롥६ ¤«ï ª ¦¤®£® i ¨§ I áâàãªâãàã Si á ¥¯ãáâë¬ ®á¨â¥«¥¬ Ei , ¨¬¥îéãî ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¯®¤®¡¨ï . ë ᮡ¨à ¥¬áï ®¯à¥¤¥«¨âì áâàãªâãàã S ⨯ ¯®¤®¡¨ï , §ë¢ ¥¬ãî ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ Si ¯® ã«ìâà 䨫ìâàã U ¨ ®¡®§ ç ¥¬ãî Q ç¥à¥§ S = Si=U . ०¤¥ ¢á¥£® ®¯à¥¤¥«¨¬ ¡ §ã E áâàãªâãàë; Q ¬ë à áᬮâਬ á«¥¤ãî饥 ®â®è¥¨¥ ¤ ¬®¦¥á⢮¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï Ei : £®¢®à¨¬, çâ® I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a = (: : :; ai; : : : ) ¨ I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì b = (: : :; bi; : : : ) à ¢ë ¯® ¬®¤ã«î U , ¥á«¨ fi : ai = big ¯à¨ ¤«¥¦¨â U . â® à ¢¥á⢮ ¯® ¬®¤ã«î U , ®ç¥¢¨¤®, à¥ä«¥ªá¨¢® ¨ ᨬ¬¥âà¨ç®; ®® âà §¨â¨¢®, ¯®áª®«ìªã fi : ai = cig fi : ai = big \ fi : bi = cig : ç¨â, íâ® { ®â®è¥¨¥ Q íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ¨ ¬ë ¢ ª ç¥á⢥ E ¢®§ì¬¥¬ ä ªâ®à¬®¦¥á⢮ E = Ei=U , â.¥. ¬®¦¥á⢮ ¥£® ª« áᮢ. ª¨¬ ®¡à §®¬, í«¥¬¥â®¬ ¬®¦¥á⢠E Q ï¥âáï ª« áá ¯® ¬®¤ã«î U ¥ª®â®à®© I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠a = (: : : ; ai; : : : ) ¨§ Ei ; ¯à ªâ¨ª¥ ¬ë ¥áâ¥á⢥®, å®âì ¨ ¥á¯à ¢¥¤«¨¢®, ®â®¦¤¥á⢫塞 a ¨ . ¥¯¥àì ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨â¥à¯à¥â æ¨î ᨬ¢®«®¢ ᨣ âãàë ¢ áâàãªâãॠS .
4.a
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41
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᫨ ¢ ¬ âà㤮 ¯®ïâì, 祬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â íâ® ¯®ï⨥,Qâ® ¬®¦¥â ¯®¬®çì á«¥¤ãî騩 ¯à¨¬¥à: ¯ãáâì Si ïîâáï £à㯯 ¬¨ Gi ¨ G = Gi , ¨ ¯ãáâì GU { ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ ¨§ G , à ¢ëå 1 ¯® ¬®¤ã«î U ; ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, (: : :; ai; : : : ) «¥¦¨â ¢ GU , ¥á«¨ fi : ai = 1g «¥¦¨â ¢ U ; GU { ®à¬ «ì ï ¯®¤£à㯯 ¢ G ¨ ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ £à㯯 Gi ¨§®¬®àä® G=GU . «¨ ¥éñ Si ïîâáï ª®«ìæ ¬¨ Q Ai; A = Ai; AU { ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ A , à ¢ëå ã«î ¯® ¬®¤ã«î U; AU { ¤¢ãáâ®à®¨© ¨¤¥ « ª®«ìæ A ¨ ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ª®«¥æ Ai ¨§®¬®àä® A=AU . «¥¤ãîé ï ⥮६ { á¬ëá« áãé¥á⢮¢ ¨ï ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨©1 .
¥®à¥¬ 4.3 (®áì) ãáâì U { ã«ìâà 䨫ìâà ¤ I , áâàãªâãàë Si ¨¤¥ª-
á¨à®¢ ë¥ í«¥¬¥â ¬¨ I , ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ᨣ âãàã ; ¯ãáâì f (x) { Q ä®à¬ã« ï§ëª , Q= ( 1 ; : : :; n ) { ª®à⥦ í«¥¬¥â®¢ ¨§ Si=U; a1 ; : : :; an { ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¨ ¨§ Si ¤«ï ª« áᮢ ( 1; : : : ; n ) ; ⮣¤ f ( 1 ; : : :; n ) ¨á⨠Q ¢ Si =U () fi : Si ` f (a1i; : : : ; ani )g ¯à¨ ¤«¥¦¨â U .
®ª § ⥫ìá⢮. ⢥ত¥¨¥ â¥®à¥¬ë ¢¥à® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ã«ìâà -
¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¥á«¨ f { ⮬ ï ä®à¬ã« . ®ª ¦¥¬ ®¡é¨© á«ãç © ¨¤ãªæ¨¥© ¯® á«®¦®á⨠ä®à¬ã«ë f . 1
ਬ. ¯¥à¥¢®¤ç¨ª : ¢â®à ¯¨è¥â, çâ® "Los" ¯à®¨§®á¨âáï ª ª "®è"
42
« ¢ 4
᫨ f (x) = :g(x) , â® ¬®¦¥á⢮ fi : Si ` f (a1i; : : :; ani)g { ¤®¯®«¥¨¥ ª fi : Si ` g(a1i; : : : ; ani)g.
᫨ ¯¥à¢®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¨ ¤«¥¦¨â U , â® ¢â®à®¥ { ¥â, ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ S 6` g( ) , § ç¨â S ` f ( ). ç¥, â ª ª ª U {
ã«ìâà 䨫ìâà, ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ { ¢â®à®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¨ ¤«¥¦¨â U , § ç¨â, ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ S ` g( ) ¨ S 6` f ( ) .
᫨ f (x) = g(x) ^ h(x) , â® fi : Si ` f (a1i; : : : ; ani)g = fi : Si ` g(a1i; : : : ; ani)g \ fi : Si ` h(a1i; : : : ; ani)g ¨ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ íâ¨å ¤¢ãå ¬®¦¥á⢠«¥¦¨â ¢ U () ®¡ ¬®¦¥á⢠«¥¦ â ¢ U (¨ ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨) () S ` g( ) ¨ S ` h( ) .
᫨ f (x) = Q (9y)g(x; y) , â® ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ á ç « , çâ® S ` f ( ) ; § ç¨â, áãé¥áâ¢ã¥â ¨§ Si=U , ¯à¥¤áâ ¢¨¬®¥ I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî b = f: : :; bi; : : : g ¨ â ª®¥, çâ® S ` g( ; ) ; ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ fi : Si ` g(a1i; : : : ; ani; bi)g «¥¦¨â ¢ U , ¢¬¥áâ¥ á ¨¬ ¥£® ¤¬®¦¥á⢮ fi : Si ` 9yg(a1i; : : :; ani; y)g. ¡à â®, ¥á«¨ ¬®¦¥á⢮ fi : Si ` 9yg(a1i; : : :; ani; y)g «¥¦¨â ¢ U , â® ¤«ï ª ¦¤®£® i 2 X ¬ë ¬®¦¥¬ ©â¨ bi, â ª®©, çâ® Si ` g(a1i; : : :; ani; bi) ; ¤«ï i ¢¥ X ¢ ª ç¥á⢥ bi ¡¥àñ¬ «î¡®© í«¥¬¥â ¨§ Ei ( ¬ë ¯à¥¤¯®«®¦¨«¨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, çâ® ¢á¥ áâàãªâãàë Si ¨¬¥îâ ¥¯ãáâãî ¡ §ã Ei ) ; ¯ãáâì { ª« áá ¯® ¬®¤ã«î U I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(: : :; bi; : : : ) ; ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¨¤ãªæ¨¨ S ` g( ; ) , § ç¨â, S ` 9yg( ; y) . ãªâë ¤«ï _ ¨ 8 ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î; ¢¯à®ç¥¬, ¬®¦® ¨å ¯à®áâ® § ¬¥¨âì ¡ã«¥¢®© ª®¬¡¨ 樥© :; ^; 9 .
Q ë ¢¨¤¨¬, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ f ¨á⨮ ¢ Si=U ¥á«¨ ¨ ⮫쪮,
¥á«¨ fi : Si ` f g ¯à¨ ¤«¥¦¨â U ; ç áâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® f "¨á⨮ ¯®ç⨠¤«ï ¢á¥å i ¯® ¬®¤ã«î U ¨«¨ "¬®¦¥á⢮ ¨¤¥ªá®¢, ¤«ï ª®â®àëå f «®¦®, ¨ç⮦® ¯® ¬®¤ã«î U ". ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢á¥ Si { ª®¯¨¨ ®¤®© ¨ ⮩ ¦¥ áâàãªâãàë S , ¨å ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ §ë¢ ¥âáï ã«ìâà á⥯¥ìî S ¯® U ¨ ®¡®§ ç ¥âáï S U ; ¥á«¨ í«¥¬¥âã a 2 S ¬ë ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ª« áá ¯® ¬®¤ã«î U ¤«ï I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, á®áâ®ï饩 ⮫쪮 ¨§ í«¥¬¥â®¢, à ¢ëå a , ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¢«®¦¥¨¥ S ¢ S U , §ë¢ ¥¬®¥ ª ®¨ç¥áª¨¬ ¤¨ £® «ìë¬ ¢«®¦¥¨¥¬ S ¢ S U ; ®ç¥ì ç áâ® S ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï ᮠ᢮¨¬ ®¡à §®¬ ¢ S U ¯à¨ í⮬ ¢ª«î票¨. ª ç¥á⢥ ¥¯®á।á⢥®£® á«¥¤á⢨ï â¥®à¥¬ë ®áï ¨¬¥¥¬, çâ® íâ® ª ®¨ç¥áª®¥ ¤¨ £® «ì®¥ ¢«®¦¥¨¥ í«¥¬¥â à® ¨ S U í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ S . ¨â â¥«ì § ¬¥â¨«, çâ® ¬ë ¤ «¨ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ⮫쪮 ¤«ï áâàãªâãà á ¥¯ãáâ묨 ¡ § ¬¨; ¥á«¨ ® ¥ å®ç¥â ¨áª«îç¨âì á«ãç © ¯ãáâëå ¡ § ¨ ¯à¨ í⮬ á®åà ¨âì ⥮६ã 4.3, ⮠㦮 ¯®áâ㯨âì â ª : { ¥á«¨ ¬®¦¥á⢮ J ¨¤¥ªá®¢ i â ª¨å, çâ® ¡ § Si ¥¯ãáâ , ¯à¨ ¤«¥¦¨â ã«ìâà 䨫ìâàã U , â® ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ V ã«ìâà 䨫ìâàQ ¤ J , ïî騩áï Q Sj =V ,á«¥¤®¬ U ¤ J , ¨ ¯®« £ ¥¬, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î Si=U à ¢ë¬ { ¨ ç¥, ¥á«¨ ¬®¦¥á⢮ ¨¤¥ªá®¢ Q i â ª¨å, çâ® ¡ § Si ¯ãáâ , ¯à¨ ¤«¥¦¨â ã«ìâà 䨫ìâàã, ⮣¤ Si=U ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¯ãáâãî ¡ §ã; äãªæ¨® «ìë¥ á¨¬¢®«ë, â ª¦¥ ᨬ¢®«ë ®â®è¥¨© ¯®«®¦¨â¥«ì®© à®áâ¨
4.b
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43
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4.b ®¬¯ ªâ®áâì, ⥮६ ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ , ⥮६ ®¡ ®¡é¥¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ 䨪á¨à㥬 ï§ëª L , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ᨣ âãॠ; ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï á ¡¤¨âì ¬®¦¥á⢮ J ¢á¥å ¯®«ëå ⥮਩ ¢ ï§ëª¥ L ⮯®«®£¨¥©: «î¡®¬ã ¯à¥¤«®¦¥¨î f í⮣® ï§ëª ¯®áâ ¢¨¬ ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ¬®¦¥á⢮ hf i ¢á¥å ¯®«ëå ⥮਩, ᮤ¥à¦ é¨å f ; â ª¨¬ ®¡à §®¬ T 2 hf i ®§ ç ¥â f 2 T ¨«¨ ¥éñ T ` f (ç¨â ¥âáï " f á«¥¤á⢨¥ T " ¨«¨ ¥éñ " f ¢ë¢®¤¨¬® ¨§ T "; çâ®¡ë ¥ §«®ã¯®âॡ«ïâì ᨬ¢®«®¬ 2 , ¬ë ®áâ ®¢¨¬áï ¯®á«¥¤¥¬ ®¡®§ 票¨). ª ª ª hf i\hgi = hf ^ gi ¬®¦¥á⢠hf i ®¡à §ãîâ ¡ §ã ⮯®«®£¨¨, ª®â®à®© ¬ë á ¡¦ ¥¬ J . ®¦¥á⢮ J á í⮩ ⮯®«®£¨¥© ®¡à §ã¥â ᥯ à ¡¥«ì®¥ ¯à®áâà á⢮; á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ T 6= T 0 , ¯®áª®«ìªã T; T 0 { ¯®«ë¥ ⥮ਨ, â® ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï f; T ` f; T 0 ` :f ¨ hf i ¨ h:f i { ¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ®ªà¥áâ®á⨠ᮮ⢥âá⢥® T ¨ T 0 . ª ª ª ¤®¯®«¥¨¥¬ ¤«ï hf i ¡ã¤¥â h:f i , ®âªàëâë¥ ¬®¦¥á⢠¨§ ¡ §ë ¡ã¤ãâ ®¤®¢à¥¬¥® § ªàëâ묨: J ¥áâì â ª §ë¢ ¥¬®¥ ¢¯®«¥ ¥á¢ï§®¥ ¯à®áâà á⢮ (¯à®áâà á⢮, ¤®¯ã᪠î饥 ¡ §ã ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¬®¦¥áâ¢); ª ª á«¥¤á⢨¥ ª ¦¤®¥ ¥¯ãá⮥ á¢ï§®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ J á®á⮨⠨§ ®¤®© â®çª¨. â ª, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î, ®âªàë⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ J ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¬®¦¥á⢠¢¨¤ hf i, § ¬ªã⮥ { ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ â ª®¢ëå. ¥¯ãáâë¥ § ¬ªãâë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠J ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¢ â®ç®á⨠¥¯®«ë¬ ⥮à¨ï¬ ¢ ï§ëª¥ L : ¥á«¨ F { ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¬®¦¥á⢠hfii , â® ¥¬ã áâ ¢¨âáï ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ⥮à¨ï , ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 ï ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬¨ hfii ; F ¥áâì ¢ â®ç®á⨠¬®¦¥á⢮ ¯®«ëå ⥮਩, ᮤ¥à¦ é¨å (§ ¬¥â¨¬, çâ® f ¢ë¢®¤¨¬® ¨§ A () ª ¦¤ ï ¯®« ï ⥮à¨ï, ᮤ¥à¦ é ï A , ᮤ¥à¦¨â f ). «¥¤ãîé ï ⥮६ ª®¬¯ ªâ®á⨠ï¥âáï ®¤®© ¨§ á ¬ëå áãé¥á⢥ëå ¤«ï ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©; ¢áñ ¡ë«® ᤥ« ® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®¡¥á¯¥ç¨âì 䨨âë© å à ªâ¥à ä®à¬ã«, ª®â®àë© ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â ¥ñ § ª®®áâì. ¥®à¥¬ 4.4 (ª®¬¯ ªâ®á⨠) à®áâà á⢮ J ¯®«ëå ⥮਩ ¢ ï§ëª¥ L ï¥âáï ¢¯®«¥ ¥á¢ï§ë¬ ª®¬¯ ªâ®¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ë 㦥 ¯®ª § «¨, çâ® J ᥯ à ¡¥«ì® ¨ ¢¯®«¥ ¥á¢ï§®. áâ ¥âáï ¯®ª § âì, çâ® «î¡®© ã«ìâà 䨫ìâà ¤ J á室¨âáï, â.¥. ï¥âáï ãâ®ç¥¨¥¬ 䨫ìâà ®ªà¥áâ®á⥩ ¥ª®â®à®© â®çª¨. «ï ª ¦¤®© T ¨§ J
44
« ¢ 4
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¢ë¡¥à¥¬ ¬®¤¥«ì MT ¤«ï T , ¨ ¯ãáâì { ⥮à¨ï ¬®¤¥«¨ MT =U ; ¥á«¨ A { ®ªà¥áâ®áâì ; A ᮤ¥à¦¨â ¥ª®â®à®¥ ¬®¦¥á⢮ hf i â ª®¥, çâ® ` f , â® ¯® ⥮६¥ ®áï fT : MT ` f g = hf i ¯à¨ ¤«¥¦¨â U , â ª ¦¥ ª ª ¨ A . ¯®«¥ ¥á¢ï§ë© ª®¬¯ ªâ ç áâ® §ë¢ îâ áâ®ã®¢áª¨¬ ¨«¨ ¯à®áâà á⢮¬ â®ã ; íâ® { á ¬®¥ ¥áâ¥á⢥®¥ ®¡®¡é¥¨¥ ¯®ïâ¨ï ª®¥ç®£® ¯à®áâà áâ¢ á ¤¨áªà¥â®© ⮯®«®£¨¥©. à㣠ï, ¬®¦¥â ¡ëâì, ¡®«¥¥ ¢ëà §¨â¥«ì ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ⥮६ë 4.4 { á«¥¤ãîé ï :
¥®à¥¬ 4.5 (ª®¬¯ ªâ®á⨠) «ï ᮢ¬¥áâ®á⨠¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠A ä®à¬ã« ¤®áâ â®ç ᮢ¬¥áâ®áâì ª ¦¤®© ª®¥ç®© ç á⨠A .
®ª § ⥫ìá⢮. ¥©á⢨⥫ì®, ¤«ï ᥯ à ¡¥«ì®£® ¯à®áâà á⢠ª®¬¯ ªâ®áâì íª¢¨¢ «¥â á«¥¤ãî饬ã ᢮©áâ¢ã : ¥á«¨ Fi { ᥬ¥©á⢮ § ¬ªãâëå ®ªà¥áâ®á⥩, ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ «î¡®£® ª®¥ç®£® ¯®¤á¥¬¥©á⢠ª®â®à®£® ¥¯ãáâ® (⮣¤ £®¢®àïâ, çâ® í⮠ᥬ¥©á⢮ § ¬ªãâëå ¨¬¥¥â "᢮©á⢮ ª®¥ç®£® ¯¥à¥á¥ç¥¨ï"), ⮣¤ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å Fi â ª¦¥ ¥¯ãáâ®; ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ¥áâ¥á⢥®, ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® Fi ¨§ ¡ §ë ¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ hfii . â® ¢ â®ç®á⨠â®, çâ® ã⢥ত ¥â ⥮६ . à㣮¥, ¡®«¥¥ ¯àאַ¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ : ¯ãáâì I { ¬®¦¥á⢮ ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠A ; ¬ë § ¥¬, çâ® ¤«ï i 2 I ¬®¦¥á⢠Ii = fj : j 2 I; i j g ®¡à §ãîâ ¡ §ã 䨫ìâà , ᮤ¥à¦ 饣®áï ¢ ¥ª®â®à®¬ ã«ìâà 䨫ìâॠU . «ï ª ¦¤®£® i ¨§ I , áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì Mi ¤«ï i . ¥¯¥àì á ¯®¬®éìî â¥®à¥¬ë ®áï «¥£ª® Q ¢¨¤¥âì, çâ® Mi=U ï¥âáï ¬®¤¥«ìî ¤«ï A .
¥®à¥¬ 4.6 1)
᫨ A { ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®¥ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«, â® áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç ï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ ï ç áâì A . 2)
᫨ f { á«¥¤á⢨¥ A , â® áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç ï ç áâì A , ¨§ ª®â®à®© á«¥¤ã¥â f . ®ª § ⥫ìá⢮. 1) íª¢¨¢ «¥â® ¯à¥¤ë¤ã饬ã ã⢥ত¥¨î; çâ®¡ë ¤®ª § âì 2), § ¬¥â¨¬, çâ® f { á«¥¤á⢨¥ A () A [ f:f g ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®.
®¦® ᪠§ âì, ç⮠⥮६ ª®¬¯ ªâ®á⨠室¨â ¯®áâ®ï®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©; §¤¥áì ¬ë 祬 á ¯®à §¨â¥«ìëå ¯à¨¬¥à®¢ í⮣® ¯à¨¬¥¥¨ï.
¥®à¥¬ 4.7 âªàëâ®-§ ¬ªãâ묨 ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ J ïîâáï ¬®¦¥á⢠¢¨¤ hf i , £¤¥ f { ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¨ ⮫쪮 ®¨. ®ª § ⥫ìá⢮. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ⮯®«®£¨¨ ¢ J ¬®¦¥á⢮ hf i ®¤®-
¢à¥¬¥® ®âªàëâ® ¨ § ¬ªãâ®. ¡à â®, ¯ãáâì A { ®âªàëâ®-§ ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ J . ®áª®«ìªã A ®âªàëâ®, ®® ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¥¯ãá⮣® ᥬ¥©á⢠¬®¦¥á⢠hfii (¤ ¦¥ ¥á«¨ A { ¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮, ¯®â®¬ã çâ® ; = hf ^ :f i ¤«ï «î¡®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï f ) ; ¨ â ª ª ª ®® § ¬ªãâ®, ⮠ï¥âáï ª®¬¯ ªâë¬, § ç¨â, ᮢ¯ ¤ ¥â á ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ª®¥ç®£® ¯®¤á¥¬¥©á⢠A = hf1i [ : : : hfn i = hf1 _ _ fni .
4.b
®¬¯ ªâ®áâì ¨ â¥®à¥¬ë ® à áè¨à¥¨ïå
45
¥®à¨ï (¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯®« ï) §ë¢ ¥âáï ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬®©, ¥á«¨ ® ®¡« ¤ ¥â ª®¥ç®© á¨á⥬®© ªá¨®¬, ¨«¨ â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ® ®¡« ¤ ¥â á¨á⥬®© á®áâ®ï饩 ¨§ ®¤®© ªá¨®¬ë (¢®§ì¬¨â¥ ª®êîªæ¨î ¯à¥¤ë¤ãé¨å). ç¨â, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ª®¥ç®- ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 ï ⥮à¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®âªàëâ®-§ ¬ªã⮬㠯®¤¬®¦¥áâ¢ã J : ª®¥ç ï ªá¨®¬ ⨧¨à㥬®áâì ¯®«®© ⥮ਨ ®§ ç ¥â, çâ® ® ¨§®«¨à®¢ ï â®çª ¢ J (¥á«¨ f ªá¨®¬ ⨧¨àã¥â T , â® T { ¥¤¨á⢥ ï â®çª hf i ) . ਬ¥àë ¯®«ëå, ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬ëå ⥮਩ : { ⥮à¨ï ª®¥ç®© áâàãªâãàë ¢ ª®¥ç®¬ ï§ëª¥, { ¢ ï§ëª¥ ®¤®£® ¡¨ ண® ®â®è¥¨ï, ⥮à¨ï ¯«®âëå «¨¥©ëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª. ¥©á⢨⥫ì®, ᯨ᪨ ªá¨®¬, ¤ ë¥ ¢ à §¤¥«¥ 2.c, ª®¥çë. ®â ®¤® ¨§ á«¥¤á⢨© â¥®à¥¬ë ª®¬¯ ªâ®á⨠: ¥á«¨ ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 , â® ¨§ «î¡®© ªá¨®¬ ⨧ 樨 ¬®¦® ¢ë¤¥«¨âì ª®¥çãî ªá¨®¬ ⨧ æ¨î . ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® , á ®¤®© áâ®à®ë, ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 ç¥à¥§ f , á ¤à㣮© { ç¥à¥§ ¬®¦¥á⢮ ªá¨®¬ gi ; f { á«¥¤á⢨¥ ¯à¥¤«®¦¥¨© gi , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠f á«¥¤ã¥â ¨§ ª®¥ç®© ç á⨠gi , ªá¨®¬ ⨧¨àãîé¨å . â® ¯®§¢®«ï¥â «¥£ª® ¯®ïâì, çâ® ¥ª®â®àë¥ â¥®à¨¨, ª®â®àë¥ ¬ë 㦥 ¨§ãç «¨, ¥ ïîâáï ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬묨; ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ï§ëª L ¥ ᮤ¥à¦¨â ¨ª ª¨å ᨬ¢®«®¢ ªà®¬¥ à ¢¥á⢠, â® à áᬮâਬ ªá¨®¬ë V V An = (9x1) : : : (9xn)0 ! , ¤®áâ â®ç® ãᮢ¥àè¥á⢮¢ âì ª®áâàãªæ¨î ¥ª¨ , ¢¢¥¤ï { ᨬ¢®«®¢ ª®áâ â ¢ ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ E0; : : : ; En; : : : .
®ª § ⥫ìá⢮ â¥®à¥¬ë ª®¬¯ ªâ®á⨠¬¥â®¤®¬ ¥ª¨ . â ª, ¯ãáâì
A { ¬®¦¥á⢮ ªá¨®¬ ¢ ï§ëª¥ L , ª ¦¤ ï ª®¥ç ï ç áâì ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì; 祬 á à §¡®à á«ãç ï ¯ãáâëå ¬®¤¥«¥©, ¯à®áï ᥢë襣® ¥ ®áâ ¢«ïâì ¡®«ìè¥ è¥¬ ¯ã⨠íâ® ¨§®¡à¥â¥¨¥ ì« . «ï í⮣®, ¤®¡ ¢¨¬ ª 襬ã ï§ëªã ª®áâ âë© á¨¬¢®« c ¨ ¯¥à¥¤¥« ¥¬ ¢á¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¨§ A â ª¨¬ ®¡à §®¬: § ¬¥¨¬ ª ¦¤ë© ª¢ â®à 9x (9x)(x 6= c)^ ¨ ª ¦¤ë© ª¢ â®à 8x (8x)(x = c)_ ; ¯ãáâì f 0 { ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¯®«ã祮¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨§ f ; f 0 ¢ëà ¦ ¥â ¯à®áâ®- ¯à®áâ®, çâ® í«¥¬¥âë, ®â«¨çë¥ ®â c , ®¡à §ãîâ áâàãªâãàã, 㤮¢«¥â¢®àïîéãî f : ¬®¤¥«ì ¤«ï f 0 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¬®¤¥«¨ f ¤®¡ ¢«¥¨¥¬
4.d
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
53
â®çª¨ c, ¬®¤¥«ì f ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¬®¤¥«¨ ¤«ï f 0 áâ¨à ¨¥¬ í⮩ â®çª¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® A ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì () ¬®¦¥á⢮ A0 ä®à¬ã« f 0 ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì, ª®â®à ï ®¡ï§ â¥«ì® ¥¯ãáâ ! ¥®¡å®¤¨¬ ¥éñ ®¤ ¬ ¨¯ã«ïæ¨ï, ç¨áâ® ¬¥â 䨧¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à ª®â®à®© § ª®¬ ®¯ë⮬ã ç¨â ⥫î: ¬ë ¬®¦¥¬ § ¬¥¨âì ¢á¥ á¨¬¢®«ë äãªæ¨© ¨§ L ¨å £à 䨪¨, ïî騥áï ᨬ¢®« ¬¨ ®â®è¥¨©, ¤®¡ ¢¨¢ ªá¨®¬ë ® ⮬, çâ® ®¨ £à 䨪¨ äãªæ¨©; â ª¦¥ ¬ë ¬®¦¥¬ § ¬¥¨âì ª®áâ âë ¨§ L ª ª ¨ c , ã à묨 ¯à¥¤¨ª â ¬¨ ¢¬¥áâ¥ á ªá¨®¬ ¬¨, ¢ëà ¦ î騬¨, çâ® ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâáï ¥¤¨á⢥묨 í«¥¬¥â ¬¨! ¨â®£¥ ¬ë ¯®«ã稬 ¬®¦¥á⢮ A00 ¯à¥¤«®¦¥¨© ¢ ç¨á⮠५ï樮®¬ ï§ëª¥, «î¡ ï ª®¥ç ï ç áâì ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ¥¯ãáâãî ¬®¤¥«ì. ਬ¥ïï ⥮६ã 4.17 , ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ª ¦¤ ï ª®¥ç ï ç áâì ¬®¦¥á⢠¯à¥¤«®¦¥¨© T (H ) [ (A00)H ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì, § ç¨â, ¯® 4.15 íâ® { ᮢ¬¥áâ ï ⥮à¨ï ¨ ᮢ ¯® 4.17 A00 ᮢ¬¥áâ® ¨, § ç¨â, A â ª¦¥ ᮢ¬¥áâ®.
4.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ਬ¥¥¨ï 䨫ìâ஢ ¨ ã«ìâà 䨫ìâ஢ ¢ ⮯®«®£¨¨ ¢¢¥¤¥ë ਠàâ ®¬ [, 1937, 1937a] ; ªá¨®¬ ã«ìâà 䨫ìâà ¡ë« ¢ë¢¥¤¥ ¨§ ªá¨®¬ë ¢ë¡®à à᪨¬ [, 1930]. ®áâ஥¨¥ ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨© ¢ ®¡é¥¬ ®¡ê¥¬¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ®áî [, 1955]; ® â ¬ ¤®ª § « ⥮६ã, ®áïéãî ⥯¥àì ¥£® ¨¬ï. ¤ ª® ¨§¢¥áâ® ¥áª®«ìª® á¯®à ¤¨ç¥áª¨å ¯à¨¬¥¥¨© ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨© ¤® ¥£®, ¢ ç áâ®á⨠[
, 1934], £¤¥ ã«ìâà á⥯¥ì, ®£à ¨ç¥ ï ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬¨ ®¡ê¥ªâ ¬¨, è« ¯à¨¬¥¥¨¥ ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ¥áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ à¨ä¬¥â¨ª¨. ¥®à¥¬ ®¡ ¨§®¬®àäëå ã«ìâà á⥯¥ïå ¡ë« á¨«ì® ¯®à ¥ ¢ [
, 1964]; § ¢¥àè î騩 㪮« ¡ë« ¥á¥ ¢ [
, 1971a ]. «ï ¢¢¥¤¥¨ï ¢ ⥮à¨î ¬®¤¥«¥© ç¥à¥§ ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ï ४®¬¥¤ãî [
-, 1969]. ¥®à¥¬ ª®¬¯ ªâ®á⨠¯®¤ ¢¨¤®¬ 4.5 ¨ 4.6 ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¥¤¥«î [ð
, 1930]; ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, ª ª ï 㦥 ®¡êïᨫ ¢ ç «¥ à §¤¥« 4.c, ¤«ï ¥¤¥«ï íâ ⥮६ ¡ë« ¯à®áâë¬ á«¥¤á⢨¥¬ (¬®¦® ¤ ¦¥ ᪠§ âì: ¥®¦¨¤ ë¬ á«¥¤á⢨¥¬, ¢ ¥ª®â®à®¬ த¥ { «î¡®¯ëâë¬ § ¬¥ç ¨¥¬) ¥£® "â¥®à¥¬ë ¯®«®âë" «®£¨ª¨, £¤¥ ® ¤®ª § «, çâ® ª®¥ç ï á¨á⥬ ¯à ¢¨« ¢ë¢®¤ ¤®áâ â®ç ¤«ï ¢ëà ¦¥¨ï ¯®ïâ¨ï á«¥¤á⢨ï (ᬮâà¨â¥ £« ¢ã 7). â® ¬®¦® ¡ë«® â®ç® â ª ¦¥ ¨§¢«¥çì ¨§ [, 1928] ¨«¨ ¨§ [
, 1934], £¤¥ ¡ë«¨ ¤®ª § ë १ã«ìâ âë ⮩ ¦¥ ¯à¨à®¤ë. â ¡¥¤ ï ⥮६ ª®¬¯ ªâ®á⨠¢®è« ç¥à¥§ ¬ «¥ìªãî ¤¢¥àì, ¨ ª ¦¥âáï, í⠮ਣ¨ «ì ï áªà®¬®áâì ¢áñ ¥éñ ¯à¨ç¨ï¥â ¥© ¢à¥¤ ¢ ã祡¨ª å ¯® «®£¨ª¥. ® ¬®¥¬ã ¬¥¨î, íâ®â १ã«ìâ â ¬®£® áãé¥á⢥¥¥ ¨ ¯¥à¢¨ç¥¥ (¨ § ç¨â, â ª¦¥ ¬¥¥¥ ¨§®é॥¥), 祬 ⥮६ ¯®«®âë ¥¤¥«ï, ¯®¤â¢¥à¦¤ îé ï, çâ® ¬®¦® ä®à¬ «¨§®¢ âì ¢ë¢®¤ ¢ ¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ ª ª ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥; ¢ë¢®¤¨âì ¥ñ ¨§ â¥®à¥¬ë ¯®«®âë { íâ® ¬¥â®¤¨ç¥áª ï ®è¨¡ª .
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, 1973], ª®â®à ï à áᬠâਢ « áì ¢ 70-¥ £®¤ë ª ª ¡¨¡«¨ï ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©; ® ç¨ ¥âáï á¨â ªá¨ç¥áª¨¬¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï¬¨, ¥ ¨¬¥î騬¨ ¨ç¥£® ®¡é¥£® á ⥬, çâ® ¨§« £ ¥âáï ¢ á«¥¤ãîé¨å £« ¢ å. â®â ¯®¤å®¤ { ¢ë¢®¤¨âì ª®¬¯ ªâ®áâì ¨§ ¢®§¬®¦®á⨠ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì ¯®ï⨥ ¢ë¢®¤ , ª ª ⮫쪮 ¯à¨¬¥ï¥âáï ª ¨áç¨á«¥¨î ¢ë᪠§ë¢ ¨©, ¤ ¥â á ¬®¥ áâà ®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ª®¬¯ ªâ®á⨠2! ! ª®© ¯®¤å®¤, ¥á®¬¥®, ¡®«¥¥ "«®£¨ç¥", ® ® ¨¬¥¥â ¥ã¤®¡á⢮ ¢ ⮬, çâ® á ç « § áâ ¢«ïîâ áâ㤥⠯ண«®â¨âì á¨á⥬ã ä®à¬ «ì®£® ¢ë¢®¤ , ¢ ª®¥ç®¬ áç¥â¥ ¤®áâ â®ç® ¯à®¨§¢®«ìãî, ª®â®àãî ¬®¦® ¡ã¤¥â ®¯à ¢¤ âì «¨èì ¯®á«¥, ¯®ª § ¢, çâ® ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᥬ â¨ç¥áª®¥ á«¥¤á⢨¥. ¥ § ¡ë¢ ©â¥, çâ® ä®à¬ «¨§¬ë ¨¬¥îâ ¯à ¢® ¦¨§ì ⮫쪮 ¯à¨ ¤¥ª¢ ⮬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ £« ¢ëå ¯®ï⨩. ¥®à¥¬ ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ 4.10, ®ç¥ì ¥ã¤ ç® §¢ ; ¯à¨¢¥¤¥®© §¤¥áì ¯®«®© ¢¥àᨥ© ® ®¡ï§ à᪮¬ã (ᬮâà¨â¥ [-, 1957]; ¥á®¬¥® íâ® ¥ á ¬ ï ¯¥à¢ ï áá뫪 ). ª ï ®¡êïᨫ ¢ § ¬¥ç ¨¨ ª £« ¢¥ 2, â¥®à¥¬ë ¥¢¥£¥©¬ 2.5 ¨ 3.1 ¬®£ãâ § ª®® ®á¨âì ¨¬ï ¥¢¥£¥©¬ ª®«¥¬ : ¥ª®â®àë¥ £®¢®àïâ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ "¢¨§". ª« ¤ à᪮£® § ª«îç ¥âáï ¢ ¯®¤ï⨨ ¬®é®áâ¨, ¢ ¯®áâ஥¨¨ ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ìè¨å ¬®¤¥«¥©. ®í⮬㠨®£¤ íâ® ã⢥ত¥¨¥ §ë¢ îâ ⥮६®© ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ "¢¢¥àå". ¥£¥¤ £« á¨â, çâ® ®à «ìä ª®«¥¬ ¤® ª®æ ᢮¥© ¦¨§¨ ¢®§¬ãé «áï á¢ï§ìî ᢮¥£® ¨¬¥¨ á ã⢥ত¥¨ï¬¨ â ª®£® த , à áᬠâਢ ï ¨å ª ª çãèì, ¯®áª®«ìªã ¯® ¥£® ¬¥¨î ¥áç¥âë¥ ¬®¦¥á⢠¡ë«¨ ॠ«ì® ¥áãé¥áâ¢ãî騬¨ 䨪æ¨ï¬¨. ®ï⨥ ¤¨ £à ¬¬ë á¨á⥬ â¨ç¥áª¨ ¨á¯®«ì§®¢ «®áì ¡à å ¬®¬ ®¡¨á®®¬ [, 1963]. ¥â®¤ ¥ª¨ , § ª«îç î騩áï ¢ ¯®áâ஥¨¨ ¬®¤¥«¥© ¨§ ª®áâ â, ãâ®çïï è £ § è £®¬ ®â®è¥¨¥ ¢ë¯®«¨¬®á⨠á।¨ ¨å, ¯®ï¢¨«áï ¢ [
, 1949].
« ¢ 5 ¥«®çë© ¬¥â®¤ ¢ ! - áëé¥ëå ¬®¤¥«ïå Le mechant go^ut du siecle en cela me fait peur; Nos peres, tous grossiers,l'avaient beacoup meilleur Et je prise bien moins tout ce que l'on admire Qu'une vieille chanson que je m'en vais vous dire :
: : : :: : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : : :: : : : : :: : :
La rime n'est pas riche et le style en est vieux : Mais ne voyez-vous pas que cela vaut bien mieux Que ces coli chets : : : J.B. P.
5.a à®áâà á⢮ ⨯®¢ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 56 5.b !- áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : 57 5.c «¨¬¨ æ¨ï ª¢ â®à®¢ : : : : : : : : : : : : : : : : 60 5.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : : 64
55
56
« ¢ 5
5.a à®áâà á⢮ ⨯®¢ ¢ í«¥¬¥â a ¨ b ¢ L-áâàãªâãà å (â.¥. ¢ áâàãªâãà å ⮣® ¦¥ ⨯ ¯®¤®¡¨ï, çâ® ¨ L ) ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, ¥á«¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨ ª®¢ë¬ ä®à¬ã« ¬ f (x) ¨§ L ; ⨯ í«¥¬¥â a ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥áâì ¬®¦¥á⢮ pa ä®à¬ã« f (x), ª®â®àë¬ ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â. â® â ª®¥ ⨯, ¥á«¨ ¥ ¯®« ï ⥮à¨ï ¢ ï§ëª¥ L(x) , ¯®«ãç¥ ï ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ª L ᨬ¢®« ª®áâ âë x ? «ï 㤮¡á⢠, ¬ë ®¡®§ ç ¥¬ §¤¥áì íâ®â ª®áâ âë© á¨¬¢®« ª ª ¯¥à¥¬¥ãî. «ï ¤ ®£® ï§ëª L §®¢ñ¬ ¯à®áâà á⢮¬ S0 ¢á¥å 0-⨯®¢ (¯®¤à §ã¬¥¢ ¥âáï, ï§ëª L) ¯à®áâà á⢮ J ¯®«ëå ⥮਩ ¢ ï§ëª¥ L ; ¯à®áâà á⢮ S1 ¢á¥å 1-⨯®¢ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®áâà á⢮¬ ¯®«ëå ⥮਩ ¢ ï§ëª¥ L [ fxg ; ¡ §®© ®âªàëâëå ¬®¦¥á⢠ïîâáï ¬®¦¥á⢠hf (x)i ¢á¥å ⨯®¢ p , ᮤ¥à¦ é¨å f (x) , £¤¥ f (x) { ä®à¬ã« á ¬®¥ ¡®«ì襥 á ®¤®© ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x ï§ëª L . ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ â ª¨¬ ¦¥ ®¡à §®¬ ¬®¦¥á⢮ Sn ¢á¥å n-⨯®¢ ¨«¨ ⨯®¢ n-®ª, ª ª ¬®¦¥á⢮ ¯®«ëå ⥮਩ ¢ L [ fx1; : : :; xng . ®¦® ¤ ¦¥ ®¯à¥¤¥«¨âì ¯à®áâà á⢮ SI ¢á¥å I -⨯®¢ ¤«ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠I , ¢¢¥¤ï ®¢ë© ª®áâ âë© á¨¬¢®« xi, §ë¢ ¥¬ë© "¯¥à¥¬¥®© ⨯ ", ¤«ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥â i ¨§ I ; ª ª ¬ë 㦥 ¢¨¤¥«¨ ¢ 4.b, ¢á¥ í⨠¯à®áâà á⢠{ ¢¯®«¥ ¥á¢ï§ë¥ ª®¬¯ ªâë. ®£®¢®à¨¬áï, çâ® ª®£¤ ¬ë £®¢®à¨¬ "⨯", ¥ ãâ®çïï ª ª®©, â® ¬ë ¯®¤ ¨¬ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬ 1-⨯; ¨ ®ç¥ì ç áâ® ¬ë ®£à ¨ç¨¢ ¥¬áï ¯à¨¢¥¤¥¨¥¬ १ã«ìâ ⮢ ¤«ï 1-⨯®¢, ª®â®àë¥ ¡¥§ âà㤠®¡®¡é îâáï n-â¨¯ë ¨ ¤ ¦¥ I -⨯ë.
᫨ T { ⥮à¨ï, â® ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ S1(T ); : : :; Sn(T ); : : : ¬®¦¥á⢮ ⨯®¢ í«¥¬¥â®¢ ¨ n-®ª ¨§ ¬®¤¥«¥© T ; â ª ª ª í⨠⨯ë { â¥, ç⮠㤮¢«¥â¢®àïî⠪ᨮ¬ ¬ T , ¬®¦¥á⢮ Sn (T ) § ¬ªãâ® ¢ Sn , § ç¨â, íâ® { ª®¬¯ ªâ. ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ íâ® ®¡®§ 票¥ ®á®¡¥® ⮣¤ , ª®£¤ T ¯®« , ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ S0(T ) ᢮¤¨âáï ª ®¤®© ¥¤¨á⢥®© â®çª¥. «ï ¤ ®© ¯®«®© ⥮ਨ T §®¢¥¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ¬®¤¥«¨ M ¤«ï T ; â® çâ® ¢ ¦® ¢ í⮬ ¯®ï⨨ { íâ® ¥ á⮫쪮 ¬®¦¥á⢮ A , ᪮«ìª® ä®à¬ã«ë, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâáï ¢ M ¥£® í«¥¬¥â ¬¨. 뤥«ï¥¬ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â A ª®áâ âë¬ á¨¬¢®«®¬ ¨ ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ T (A) ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨© â ª¨¬ ®¡à §®¬ ®¡®£ 饮£® ï§ëª L(A) , ¨áâ¨ëå ¢ M ; ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ § ¤ ¥âáï, ¡®«¥¥ â®ç®, ç¥à¥§ T (A) , ¥ ⮫쪮 «¨èì ç¥à¥§ A . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ N { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M ¨ A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ M , ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ A , à áᬠâਢ ¥¬®¥ á â®çª¨ §à¥¨ï M , ®áâ ¥âáï â ª®¢ë¬ ¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï á â®çª¨ §à¥¨ï N . «ï ¤ ®© ä®à¬ã«ë f (x; y) ï§ëª L ¤«ï T ¨ a ¢ A ¢ëà ¦¥¨¥ f (x; a) §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ A ; íâ® ¥ çâ® ¨®¥ ª ª ä®à¬ã« ï§ëª L(A) . ¥¯¥àì ¬ë §®¢¥¬ ⨯®¬ ¤ A ¯®«ãî ⥮à¨î ¢ ï§ëª¥ L(A) [ fxg, ᮤ¥à¦ éãî T (A). ¢ í«¥¬¥â ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¤ A , ¥á«¨ ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A : ®¨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥®¬ á¬ëá«¥ à ᯮ«®¦¥ë ®¤¨ ª®¢® ¯® ®â®è¥¨î ª A. ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ S1(T (A)) ¨«¨ ¯à®áâ® S1(A), ¥á«¨ ⥮à¨ï T ïá ¨§ ª®â¥ªáâ , ¬®¦¥á⢮ ⨯®¢ ¤ A. ® á ¡¦ ¥âáï, ª ª ®¡ëç®, ⮯®«®£¨¥© § ¤ ®© á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«, ¡ § ®âªàëâëå ¬®¦¥á⢠ª®â®à®© á®á⮨⠨§
5.b
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57
¬®¦¥á⢠¢¨¤ hf (x; a)i = fp : p ` f (x; a)g , ª®â®à ï ¯à¥¢à é ¥â ¥£® ¢® ¢¯®«¥ ¥á¢ï§ë© ª®¬¯ ªâ. ª¨¬ ¦¥ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯à®áâà á⢠Sn (A) ¨ SI (A) . í⮬ ª®â¥ªáâ¥, ª®£¤ T ¯®« , Sn (T ) áâ ®¢¨âáï Sn(;) : £®¢®àïâ, çâ® íâ® { â¨¯ë ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢.
éñ ¨å §ë¢ îâ ç¨áâ묨, ¨«¨ ¡á®«îâ묨 ⨯ ¬¨.
᫨ A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¬®¤¥«¨ M ¯®«®© ⥮ਨ T , ¨ ¥á«¨ p ¨§ S1(A), â® £®¢®àïâ, çâ® p ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M ¨«¨ ¥éñ M ॠ«¨§ã¥â p , ¥á«¨ ¢ M áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ⨯ p ; ¨ ç¥ £®¢®àïâ, çâ® M ®¯ã᪠¥â p. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ⨯ ᮢ¬¥áâ¥, ¥á«¨ ® ॠ«¨§ã¥âáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ x ¢ ¬®¤¥«¨ N ¤«ï T (A). ®áª®«ìªã íâ ¯®á«¥¤ïï ⥮à¨ï ¯®« ¢ ï§ëª¥ L(A) , ¯® «¥¬¬¥ 4.11 áâàãªâãàë M ¨ N ¨¬¥îâ ®¡é¥¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ ¢ ï§ëª¥ L(A) (â.¥. A ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ®¤¨ ª®¢® ¢ íâ¨å âà¥å áâàãªâãà å), â ª çâ® ª ¦¤ë© ⨯ p ¨§ S1(A) ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ॠ«¨§ã¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ M ; ® ¥áâ¥á⢥®, ¥á«¨ M ¥ ¤®áâ â®ç® ¡®£ â í«¥¬¥â ¬¨, ® ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯ãé¥ ¢ M . ë â ª¦¥ ¨á¯®«ì§ã¥¬, ª ᮦ «¥¨î, ¯®áª®«ìªã íâ® ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¯ãâ ¨æ¥, á«®¢® ॠ«¨§®¢ ® ¢ ¡á®«î⮬ á¬ëá«¥. ª ¦¥¬, ç⮠⨯ p 2 S1(A) ॠ«¨§®¢ , ¥á«¨ ® ॠ«¨§®¢ ¢ A , â.¥. ¥á«¨ ® ⨯ í«¥¬¥â a ¨§ A ¨«¨ ® ᮤ¥à¦¨â ä®à¬ã«ã x = a . ª ¯®ïâì ¤«ï ¤ ®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¬®¤¥«¨ M ¯®«®© ⥮ਨ T , çâ® ¥ª®â®à®¥ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A ¥áâì ⨯, â.¥. ᮢ¬¥áâ® ¨ ¯®«® ? ¥«¨ª âë¬ ï¢«ï¥âáï ®á®¡¥® ¯¥à¢®¥ ᢮©á⢮: ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« p á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A ᮢ¬¥á⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª ¦¤®¥ ª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ p ॠ«¨§ã¥âáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ ¢ M ; á ¬®¬ ¤¥«¥ ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠¤®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ª ¦¤ë© ª®¥çë© äà £¬¥â ff1(x; a); : : : ; fn(x; a)g ᮢ¬¥áâ¥, â.¥. ॠ«¨§ã¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ M . â® ®§ ç ¥â, çâ® T (A) ¢¬¥á⥠á (9x)(f1(x; a) ^ ^ fn (x; a)) ᮢ¬¥áâ , ¨ ¯®áª®«ìªã ¯®á«¥¤¥¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â L(A) , "ª®áâ â " x â ¬ § ª¢ ⮢ , ®® ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯®«®© ⥮ਨ T (A) ¢ L(A) , § ç¨â, ®® ¨á⨮ ¢ M , ïî饩áï ¬®¤¥«ìî T (A) , ¨ áãé¥áâ¢ã¥â x ¢ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 í⨬ ä®à¬ã« ¬ f1(x; a); : : :; fn (x; a) . ï§ëª¥ ⮯®«®£¨¨ íâ® §¢ãç¨â â ª: ¥á«¨ A { ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¨§ ¬®¤¥«¨ M ¯®«®© ⥮ਨ T , â® â¨¯ë ¨§ S1(A), ॠ«¨§ãî騥áï ¢ M , ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ S1(A). ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ hf (x; a)i { ®ªà¥áâ®áâì ⨯ p , â® íâ ä®à¬ã« 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ ¨§ M , ⨯ ª®â®à®£® «¥¦¨â ¢ í⮩ ®ªà¥áâ®áâ¨.
5.b
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®¤¥«ì M ¯®«®© ⥮ਨ T §ë¢ ¥âáï !- áë饮© (¬ë 㢨¤¨¬ ¯®§¤¥¥ ¡®«¥¥ ®¡é¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ {- áë饮© ¬®¤¥«¨ ¢ £« ¢¥ 9), ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ª®¥ç®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠a (ª®â®à®¥ ¬ë ®¡®§ 稬 ª ª ª®à⥦) ¢ M , ª ¦¤ë© ⨯ ¨§ S1(a) ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M . â¥à¥á ª !- áëé¥ë¬ ¬®¤¥«ï¬ ®¡êïáï¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ¤¢ã¬ï ⥮६ ¬¨ :
58
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®ª § ⥫ìá⢮. «ï ª ¦¤®£® p ¨§ S1(a) , £¤¥ a { ª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮
M , áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ Mp ¬®¤¥«¨ M , ॠ«¨§ãî饥 p; ¯® ⥮६¥ ®¡ ®¡é¥¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ 4.14, ¯à¨¬¥¥®© ª ⥮ਨ T (M ) (¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®¡à § M ¯à¨ ª ¦¤®¬ â ª®¬ à áè¨à¥¨¨ ¡ë« ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥), ¢á¥ í⨠Mp í«¥¬¥â à® ¢ª« ¤ë¢ îâáï ¢ ®¤® à áè¨à¥¨¥ M1 ¤«ï M , ª®â®à®¥ ॠ«¨§ã¥â â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢á¥ â¨¯ë ¤ ª®¥ç묨 ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ M . ®¢â®àïï ¯à®æ¥áá, ¯®«ãç ¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì M M1 Mn Mn+1 : : : í«¥¬¥â àëå à áè¨à¥¨©, â ªãî, çâ® ª ¦¤ë© ⨯ ¤ ª®¥çë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ Mn ॠ«¨§ã¥âáï ¢ Mn+1 . ®£¤ ¯à¥¤¥« N í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠à áè¨à¥¨© !- áëé¥.
¥®à¥¬ 5.2
᫨ ¤¢¥ !- áëé¥ë¥ áâàãªâãàë M ¨ N í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, â® ®¨ 1-íª¢¨¢ «¥âë: ¡®«¥¥ â®ç®, ¤¢ ª®à⥦ ®¤®£® ⨯ ( ¤ ; ), ®¤¨ ¢ M , ¤à㣮© ¢ N , ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ ¡¥áª®¥ç®¬ "祫®ª¥".
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a ¨§ M , b ¨§ N ®¤®£® ⨯ ; ¤®¡ ¢¨¬ ¯à¨¬¥à,
¨§ M ¨ ¯ãáâì p ⨯ ¤ a , (â.¥. ⨯ p ¨§ S1(a) , ª®â®àë© à¥ «¨§ã¥â ); à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ q ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ b, ¯®«ã祮¥ § ¬¥®© a b ¢ ª ¦¤®© ä®à¬ã«¥ f (x; a) ¨§ p ; q ᮢ¬¥áâ® : ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ f (x; a) ª®¥çë© äà £¬¥â p , â® M ` (9x)f (x; a) ¨, § ç¨â, ¯®áª®«ìªã a; b ®¤®£® ⨯ , N ` (9x)f (x; b), ¨ ª ¦¤ë© ª®¥çë© äà £¬¥â q ᮢ¬¥áâ¥. ஬¥ ⮣®, ¯®áª®«ìªã q ᮤ¥à¦¨â f (x; b) ¨«¨ :f (x; b) ¤«ï «î¡®© ä®à¬ã«ë f (x; b), q { ⨯ ¤ b. ª ª ª N !- áëé¥ , íâ®â ⨯ ॠ«¨§ã¥âáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ ¨§ N , ¨ a_ ¨ b_ , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬, ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë¥ â¨¯ë ¤ ; . ®¡ ¢«¥¨¥ ®¤®£® í«¥¬¥â ª b à áᬠâਢ ¥âáï «®£¨ç®.
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¥©á⢨⥫ì®, ¤«ï «î¡®£® b ¨§ N áãé¥áâ¢ã¥â a ¨§ M â ª®©, çâ® (M; a) ¨ (N; b) 1-íª¢¨¢ «¥âë; § ç¨â, a ¨ b ®¤®£® ⨯ . ãáâì q ¨§ S1(b) ¨ p { ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«, ¯®«ã祮¥ § ¬¥®© b a ¢ ä®à¬ã« å ¨§ q : â®ç® â ª ¦¥, ª ª ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¤®ª § ⥫ìá⢥, p { ⨯, ª®â®àë© à¥ «¨§ã¥âáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ ¨§ M ; áãé¥áâ¢ã¥â ¢ N â ª®©, çâ® a_ ¨ b_ 1-íª¢¨¢ «¥âë, § ç¨â, a_ ¨ b_ ®¤®£® ⨯ ¤ ;. â ª, ॠ«¨§ã¥â q .
¬¥ç ¨¥ 2
᫨ M !- áëé¥ , â® ¤«ï «î¡®£® a ¨§ M ¨ «î¡®£® p ¨§
Sn(a) p ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M .
®áâ â®ç® § ¬¥â¨âì, ç⮠ॠ«¨§®¢ âì ⨯ ¯ àë (a1; a2) { § ç¨â ॠ«¨§®¢ âì ⨯ a1 , ¯®â®¬ ⨯ a2 ¤ a1 ; ¨ ¤ «ìè¥ ¬®¦® ¨â¥à¨à®¢ âì íâã ¯à®æ¥¤ãàã.
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59
ç¨â, !- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ ¡á®«îâë¥ n-â¨¯ë ¤«ï ª ¦¤®£® n . ® íâ® ãá«®¢¨¥ ¥¤®áâ â®ç® ¤«ï !- áë饮á⨠¬®¤¥«¨. ¯à¨¬¥à, ¢®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ T ⥮à¨î ¤¨áªà¥â®£® ¯®à浪 ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª; ¡¥§ âà㤠¬®¦® ¯®ïâì, çâ® M !- áëé¥ () ® ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z C , £¤¥ C { ¯«®âë© «¨¥©ë© ¯®à冷ª ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ® ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ ç¨áâë¥ n-⨯ë () ® ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z C , £¤¥ C { ¡¥áª®¥çë© «¨¥©ë© ¯®à冷ª.
¬¥ç ¨¥ 3
᫨ T { ¯®« ï ⥮à¨ï ¨ M { ¥ñ !- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì, â® ª ¦¤ ï áç¥â ï ¬®¤¥«ì T í«¥¬¥â à® ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ M .
¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ N = fa0; a1 : : :; an; : : :; g , â® ¬®¦¥¬ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® à¥ «¨§®¢ âì ¢ M ⨯ a0 , ¯®â®¬ ⨯ a1 ¤ a0; : : : , ⨯ an+1 ¤ fa0; : : :; an; g ¨ â. ¤.
¬¥ç ¨¥ 4 ® ⥮६¥ 1.14 ¤¢¥ áç¥âë¥, í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë¥ ! áëé¥ë¥ áâàãªâãàë ¨§®¬®àäë.
ਠª ª¨å ãá«®¢¨ïå ¯®« ï ⥮à¨ï T ¤®¯ã᪠¥â (¥¤¨á⢥ãî) áç¥âãî, !- áëé¥ãî ¬®¤¥«ì ? â® ¨¬¥¥â ¬¥á⮠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Sn (T ) ª®¥ç® ¨«¨ áç¥â® ¤«ï «î¡®£® n (§¤¥áì ¬ë ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® T áç¥â ) . ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, íâ® ãá«®¢¨¥ ¥éñ ®§ ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® a ¨§ ¬®¤¥«¨ M ¤«ï T ¬®¦¥á⢮ S1(T ) áç¥â® (¯®áª®«ìªã b ¨ c ®¤®£® ⨯ ¤ a { § ç¨â a_ b ¨ a_ c ®¤®£® ⨯ ¤ ;); ®® ®ç¥¢¨¤® ¥®¡å®¤¨¬®, ¯®áª®«ìªã áç¥â ï ¬®¤¥«ì ॠ«¨§ã¥â «¨èì áç¥â®¥ ç¨á«® ⨯®¢. â®¡ë ¯®ïâì ¥£® ¤®áâ â®ç®áâì, ¯¥à¥¤¥« ¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 5.1 : ¯ãáâì A1 { áç¥â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ M1, ॠ«¨§ãî饥 ¢á¥ n-â¨¯ë ¤ ;; § ⥬ A2 { áç¥â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ M2 , ॠ«¨§ãî饥 ¢á¥ â¨¯ë ¤ ª®¥ç묨 ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ A1 (í⮠ᥬ¥©á⢮ ⨯®¢ á ¬®¬ ¤¥«¥ áç¥â®), ¨ â.¤. ®«®¦¨¬ A = [An; ª ª ª A 㤮¢«¥â¢®àï¥â â¥áâã à᪮£® 2.4, ®® í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ N ; § ç¨â, A { áç¥â ï ¬®¤¥«ì T ¨ ¯® ¯®áâ஥¨î ® áëé¥ . ¥¯¥àì, ª®£¤ ¬ë ¢¥à㫨áì ª «®ª «ìë¬ ¨§®¬®à䨧¬ ¬, á«¥¤ã¥â ᤥ« âì ®áâ ®¢ªã ¨ ®á¬®âà¥âìáï, ᤥ« âì çâ®-â® ¢à®¤¥ ®âç¥â 襩 ¯à¥¤ë¤ã饩 ¤¥ï⥫ì®áâ¨. ë ¢¢¥«¨ í«¥¬¥â àãî íª¢¨¢ «¥â®áâì ¬¥¦¤ã ®â®è¥¨ï¬¨ ç¥à¥§ "祫®ª" à ¨áá¥, ¥ñ ¯à®¨â¥à¯à¥â¨à®¢ «¨ ¢ â¥à¬¨ å ¢ë¯®«¨¬®á⨠ä®à¬ã«, ®¡®¡é¨«¨ ¤«ï áâàãªâãà, ¤®ª § «¨ ¥ñ ᢮©á⢮ ª®¬¯ ªâ®á⨠¨ ⥯¥àì ¢®§¢à é ¥¬áï ª "祫®ªã". ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ç áâ® áâ «ª¨¢ îâáï á â ª®©, ¯® áâ®ï饬ã ä㤠¬¥â «ì®©, ¯à®¡«¥¬®© : ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ ¬®¦¥á⢮¬ T ¯à¥¤«®¦¥¨© ¨ å®â¨¬ ¤®ª § âì, çâ® T { ¯®« ï ⥮à¨ï. ®¯ë⪠®¯¨á ¨ï ª« áᮢ p-íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ¯®¤®¡ ï ⮩, çâ® ¬ë ¤¥« «¨ ¢ £« ¢¥ 1 ¤«ï ¤¨áªà¥âëå ¯®à浪®¢, ç áâ® ¡ë¢ ¥â ªà ©¥ á«®¦®©. ®¯à¥¤¥«¥ëå á«ãç ïå 室ïâ «¨èì ¤®áâ â®çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠(ª®â®àëå å¢ â ¥â ¤«ï à¥è¥¨ï, ® íâ® ¥ ᫨誮¬ ¯à®áâ® ¨ ¥ ®ç¥ì ¯®«¥§®), ¨ âॡãîâáï ®£à ¨ç¥¨ï ¤«ï ï§ëª (®âáãâá⢨¥ äãªæ¨©, ª®¥ç®áâì ï§ëª ). ®«¥¥ ã¤ ç¥ á«¥¤ãî騩 ¯®¤å®¤: ¬ë ¤¥« ¥¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ® ⮬, ª ª¨¥ ¤®«¦ë ¡ëâì ⨯ë, § ⥬ à áᬠâਢ ¥¬ ¤¢¥ ¬®¤¥«¨ M ¨ N , ª®â®àë¥
60
« ¢ 5
¬®¦® áç¨â âì !- áëé¥ë¬¨ ¡« £®¤ àï ⥮६¥ 5.1, ¡¥à¥¬ a ¢ M ¨ b ¢ N , 㤮¢«¥â¢®àï騬¨ ãá«®¢¨ï¬ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ¨ ¯®áâ à ¥¬áï ãáâ ®¢¨âì ¡¥áª®¥çë© "祫®ª" ¬¥¦¤ã a ¨ b : ¯à¨¡ ¢¨¬ ª a ¨ ¯ëâ ¥¬áï ©â¨ ¢ N â ª®©, çâ® a_ ¨ b_ 㤮¢«¥â¢®à﫨 ¡ë 襬㠯।¯®«®¦¥¨î. ®â ä ªâ, çâ® N !- áëé¥ ã¦¥ ¤«ï áãé¥á⢮¢ ¨ï , ¯®áª®«ìªã ¬ë ⮫쪮 ¬®¦¥¬ ¤®ª § âì, çâ® ¨áª®¬®¥ ãá«®¢¨¥ ª®â®à®¥ 㦮 ॠ«¨§®¢ âì, ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬® ¢ N .
᫨ íâ® áà ¡ âë¢ ¥â, â® § ¤ ç à¥è¥ , ¨ ç¥ ¬ë § ¡ë«¨ ª ª®¥-â® ãá«®¢¨¥ ®¤®â¨¯®á⨠ª®à⥦¥© ¨«¨ T ¥ ¯®« . â®â ¬¥â®¤ "祫®ª " ¡ã¤¥â ¯à®¨««îáâà¨à®¢ ¢ ¯®á«¥¤ãîé¨å £« ¢ å.
áâ¥á⢥®, ¢ ª ¦¤®¬ ®â¤¥«ì®¬ á«ãç ¥ 㦮 ¯à®ï¢¨âì ¨§®¡à¥â ⥫ì®áâì, ç⮡ë ãáâ ®¢¨âì "祫®ª", ç áâ® ®¯¨à ïáì ä ªâë «£¥¡à ¨ç¥áª®© ¯à¨à®¤ë: ⥮à¨ï ¬®¤¥«¥© ¥ § ¨¬ ¥âáï ⮫쪮 ®ç¥¢¨¤ë¬¨ ¯à®¡«¥¬ ¬¨! ® ¢ë ¡ã¤¥â¥ 㤨¢«¥ë ®¡¨«¨¥¬ ¢¥é¥©, à ¡®â îé¨å ¯® í⮩ á奬¥ : "祫®ª" ¥ ⮫쪮 ᯮᮡ ¨§®é८£® ¢¢¥¤¥¨ï ¢ «®£¨ªã, ¯à®â¨¢, íää¥ªâ¨¢ë© ¬¥â®¤, ¯à¨¬¥ï¥¬ë© á¯¥æ¨ «¨áâ ¬¨ ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¥¦¥¤¥¢®.
5.c «¨¬¨ æ¨ï ª¢ â®à®¢ ç¥ì ç áâ® ¢ "祫®ç®¬" ¬¥â®¤¥ ¢ë¤¢¨£ ¥âáï ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ® ⮬, çâ® ¤¢ ª®à⥦ ®¤®£® ⨯ () ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¨§ ¬®¦¥á⢠F , ®âªã¤ ¨ ¯à®¨á室¨â ¨â¥à¥á ª á«¥¤ãî饩 ⥮६¥ :
¥®à¥¬ 5.3 ãáâì F { ¥¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« f (x) ï§ëª L (¢®§¬®¦-
®, ¥¯®«®©) ⥮ਨ T , ¨¬¥îé¨å ᢮¡®¤ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ x = (x1 ; : : :; xn), ¨ «î¡ë¥ ¤¢¥ n-ª¨ ¨§ ¬®¤¥«¥© T ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, ª ª ⮫쪮 ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¨§ F . ®£¤ ¤«ï «î¡®© ä®à¬ã«ë g (x) ¨§ L á í⨬¨ ¦¥ ᢮¡®¤ë¬¨ ¯¥à¥¬¥ë¬¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡ã«¥¢ ª®¬¡¨ æ¨ï f (x) ä®à¬ã« ¨§ F â ª ï, çâ® T ` (8x)(f (x) $ g(x)) .
¬¥ç ¨¥. ¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥ ®ç¥¢¨¤®. ®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ®âªàëâ®-§ ¬ªãâë¥ ¬®¦¥á⢠hgi ¢ Sn(T ); ¥á«¨ hgi = ;, â® hgi = hf ^ :f i, ¨ ¥á«¨ hgi = Sn (T ), â® hgi = hf _ :f i, £¤¥ f
{ ¯à®¨§¢®«ìë© í«¥¬¥â ¥¯ãá⮣® F ; à §®¡à ¢è¨áì á í⨬¨ âਢ¨ «ì묨 á«ãç ﬨ, à áᬮâਬ p ¢ hgi ¨ q ¢¥ ¥£®; â ª ª ª p ¨ q ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ F , â® p ` fp;q (x) ¨ q ` :fp;q (x) , £¤¥ fp;q { ä®à¬ã« ¢¨¤ ' ¨«¨ :' ¤«ï ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë ' ¨§ F . 䨪á¨à㥬 p ¨ ¡ã¤¥¬ ¢ àì¨à®¢ âì q ; ä®à¬ã«ë hfp;q i ¨ h:gi ®¡à §ãîâ § ¬ªã⮥ ᥬ¥©á⢮ á ®¡é¨¬ ¯ãáâë¬ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬; ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠®¤® ¨§ ¥£® ª®¥çëå ¯®¤á¥¬¥©á⢠¨¬¥¥â ¥¯ãá⮥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥; íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¤«ï ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë hp = fp;q1 ^ ^fp;qn ¨¬¥¥¬ p 2 hhpi hgi . ¥¯¥àì ¢ àì¨àãï p, ¯®«ãç ¥¬ ¯®ªàë⨥ ª®¬¯ ªâ hgi ®âªàëâ묨 ¬®¦¥á⢠¬¨ hhpi ¨, § ç¨â, ª®¥ç®¥ ç¨á«® á।¨ ¨å ¤®áâ â®ç® ¤«ï í⮣® ¯®ªàëâ¨ï; ¤¨§êîªæ¨ï â ª¨å hp ¡ã¤¥â íª¢¨¢ «¥â®© g ®â®á¨â¥«ì® ⥮ਨ T .
5.c
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61
á«ãç ¥, ª®£¤ ¤«ï «î¡®£® n > 0 ¬®¦® ¡à âì ¢ ª ç¥á⢥ F ᢮¡®¤ë¥ ä®à¬ã«ë, £®¢®àïâ, ç⮠⥮à¨ï T í«¨¬¨¨àã¥â ª¢ â®àë ¨«¨ ¥éñ ¤®¯ã᪠¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ë¯®«ïîâáï á«¥¤ãî騥 íª¢¨¢ «¥âë¥ ãá«®¢¨ï : { ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ëf (x) , £¤¥ x = (x1; : : : ; xn); n > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª¢ â®à ï ä®à¬ã« g(x) â ª ï, çâ® T ` (8x)(f (x) $ g(x)) , , { ¤«ï «î¡®£® n > 0 ¤¢¥ n-ª¨ ¨§ ¬®¤¥«¥© T , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬, ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯. ਬ¥à ¬¨ ⥮਩, ¤®¯ã᪠îé¨å í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢, á«ã¦ â : ⥮à¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠, ⥮à¨ï ®¤®£® ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, ⥮à¨ï ¯«®â®£® «¨¥©®£® ¯®à浪 ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª. ¥ª®â®àë¥ ¯à¥¥¡à¥£ îâ ãá«®¢¨¥¬ n > 0 ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢ ¨ ¥éñ âॡãîâ, çâ®¡ë ª ¦¤®¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¡ë«® íª¢¨¢ «¥â® ¡¥áª¢ â®à®¬ã ¯à¥¤«®¦¥¨î ¯® ¬®¤ã«î T . â® ¯à¥¤¯®« £ ¥â, ¥áâ¥á⢥®, çâ® ¬®¦¥á⢮ ¡¥áª¢ â®àëå ¯à¥¤«®¦¥¨© ¥¯ãáâ®, â.¥. ï§ëª ᮤ¥à¦¨â ª®áâ âë¥ á¨¬¢®«ë ¨«¨ ᨬ¢®«ë ã«ì àëå ®â®è¥¨©. ç¨â, ¢ áâண®¬ á¬ëá«¥, ®¨ ¥ áç¨â îâ, çâ® ¢ë襯ਢ¥¤¥ë¥ âਠ¯à¨¬¥à ¨¬¥îâ í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢. à㣨¥ ¤®¯ã᪠îâ íâã í«¨¬¨ æ¨î, ã⢥ত ï, çâ® ¨á⨮¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¤«ï íâ¨å (¯®«ëå) ⥮਩ íª¢¨¢ «¥â® ä®à¬ã«¥ x = x, ª®â®à ï ¨á⨠¤«ï «î¡®© ¨â¥à¯à¥â 樨 x, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª «®¦®¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â® x 6= x, â.¥. ®¨ ¤®¯ã᪠îâ íª¢¨¢ «¥â®áâì ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¨ ä®à¬ã«ë á ®¤®© ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®©! â® ¢á¥£¤ áâ ¢¨«® ¢ â㯨ª ¢â®à íâ¨å áâப (ª ª ¡ëâì, ¥á«¨ ¢á¥ ¬®¤¥«¨ ¯ãáâë?) , ª®â®àë© ¤®¢®«ìáâ¢ã¥âáï ¢ë襯ਢ¥¤¥ë¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ : ï ¤®«¦¥ ¥£® ¯à¨¤¥à¦¨¢ âìáï ¤«ï ª®à४â®á⨠⥮६, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ ¤®ª § ë ¯® ¯®¢®¤ã í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢. ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ¢ëè¥ ¯à¨¢¥¤¥ëå âà¥å ¯à¨¬¥à å ¥â ¡¥áª¢ â®àëå ¯à¥¤«®¦¥¨© ¨ «î¡ë¥ ¤¢¥ 0-ª¨ ¨§ ¬®¤¥«¥© T , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬, ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ : ¤¥©á⢨⥫ì®, ⨯ 0-ª¨ ¨§ ¬®¤¥«¨ M ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ⥮à¨ï M , â ª¦¥, ¯®áª®«ìªã T ¯®« , áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© â¨¯ 0-ª¨! (¬®âà¨â¥ 㬥á⮥ ¯à¥¤®áâ¥à¥¦¥¨¥ " F ¥¯ãáâ®" ¢ 5.3). ª¦¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ n > 0 (¥ ¡ã¤¥¬ «®¬ âì £®«®¢ã!) ¨ ¥á«¨ ¤¢¥ m + n-ª¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬, ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, ⮣¤ â® ¦¥ á ¬®¥ ¢¥à® ¨ ¤«ï n-®ª, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¬ë ¨§ n-ª¨ a ®¡à §ã¥¬ (m + n)-ªã a0, ¯®¢â®àïï m à § ¥ñ ¯®á«¥¤¨© í«¥¬¥â, â® ¯®ïâ®, ¯®áª®«ìªã ä®à¬ã« x = y ¡¥áª¢ â®à , çâ® a ¨ b 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬ () a0 ¨ b0 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬ () a0 ¨ b0 ®¤®£® ⨯ () a ¨ b ®¤®£® ⨯ . ãé¥áâ¢ã¥â ª ®¨ç¥áª¨© ᯮᮡ ¯®«ãç¥¨ï ¨§ ⥮ਨ T ï§ëª¥ L ⥮ਨ T 0 ¢ ®¡®£ 饮¬ ï§ëª¥ L0, ¨¬¥îéãî í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢. á ¬®¬ ¤¥«¥ ¬ë ¥£® 㦥 ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¯® ¯®¢®¤ã ¬¥â®¤ ¥ª¨ ¢ 4.c. §ëª L0 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ L ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ®¢®£® ᨬ¢®« ®â®è¥¨ï f 0(x) ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f (x) ï§ëª
62
« ¢ 5
L ¨ T 0 á®á⮨⠨§ ªá¨®¬ T ¨ ¥éñ ¨§ ªá¨®¬ ¢¨¤ (8x)(f (x) $ f 0(x)) . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì T 0 , ®¡¥¤¥ ï ¤® L , ¤ ¥â ¬®¤¥«ì T , ¬®¤¥«ì T ®¡®£ é ¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¤® ¬®¤¥«¨ T 0 : ¬®¤¥«¨ T ¨ ¬®¤¥«¨ T 0 { íâ® ®¤® ¨ â® ¦¥, á â®ç®áâìî ¤® ï§ëª . ¥®à¨ï T 0 í«¨¬¨¨àã¥â ª¢ â®àë, ¯®áª®«ìªã ª ¦¤ ï ä®à¬ã« g(x) ï§ëª L0 íª¢¨¢ «¥â ä®à¬ã«¥ f (x) ï§ëª L (¯®«ã祮© § ¬¥®© ª ¦¤®£® f 0 f ), ª®â®à ï, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, íª¢¨¢ «¥â ä®à¬ã«¥ f 0(x) , ª®â®à ï ¥ ¨¬¥¥â ª¢ â®à®¢. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬ çâ® à áè¨à¥¨¥ ¬®¤¥«¥© T í«¥¬¥â ஠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¨¬¥¥âáï à áè¨à¥¨¥ ¤«ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬®¤¥«¥© ⥮ਨ T 0. ª ª ª ¢á¥ í⨠ª®áâàãªæ¨¨ { ª ®¨ç¥áª¨¥, â® ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ «¨èì â¥å¨ç¥áª¨© ¨â¥à¥á. ®¢®àïâ, ç⮠⥮à¨ï ¬®¤¥«ì® ¯®« , ¥á«¨ ® ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬ : ¥á«¨ M ¨ N { ¬®¤¥«¨ T ¨ M { à áè¨à¥¨¥ N , â® íâ® à áè¨à¥¨¥ í«¥¬¥â à®. ®¤¥«ì® ¯®« ï ⥮à¨ï ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯®« ; ¯à®áâ® ¤¢¥ ¥ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë¥ ¬®¤¥«¨ ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¥£® à áè¨à¥¨ï. ®¥ç®, ¥á«¨ T í«¨¬¨¨àã¥â ª¢ â®àë, â® ® ¬®¤¥«ì® ¯®« , ¯®áª®«ìªã ¢ë¯®«¨¬®áâì ¡¥áª¢ â®àëå ä®à¬ã« á®åà ï¥âáï ¯à¨ à áè¨à¥¨ïå! §®¢¥¬ ¤¢¥ ⥮ਨ T1 ¨ T2 ®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ ï§ëª ª®¬¯ ì® ¬¨, ¥á«¨ ª ¦¤ãî ¬®¤¥«ì ®¤®© ¨§ ¨å ¬®¦® ¢«®¦¨âì (¥®¡ï§ â¥«ì® í«¥¬¥â à®!) ¢ ¥ª®â®àãî ¬®¤¥«ì ¤à㣮© ⥮ਨ; ¯®©¬¥¬ çâ® íâ® ®§ ç ¥â :
¥®à¥¬ 5.4 ¢¥ ⥮ਨ ïîâáï ª®¬¯ ì® ¬¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¨ ®¡« ¤ îâ ®¤¨¬¨ ¨ ⥬¨ ¦¥ 㨢¥àá «ì묨 á«¥¤á⢨ﬨ (¯à¥¤«®¦¥¨¥ { 㨢¥àá «ì®¥, ¥á«¨ ®® ¨¬¥¥â ¢¨¤ (8x1) : : : (8xn)f (x1; : : :; xn), £¤¥ f { ¡¥áª¢ â®à ï).
®ª § ⥫ìá⢮. ¨¢¥àá «ì®¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ f , ¨á⨮¥ ¢ áâàãªâãà¥, ¨á⨮ ¢ «î¡®¬ ¥ñ ®£à ¨ç¥¨¨; ¥á«¨ T1 ` f ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì T2 , ¥
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¥®à¨ï T ®¡« ¤ ¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¨¨¬ «ìë¬ ª®¬¯ ì®®¬ { ⥬, çâ® ®¡®§ ç ¥âáï T8 ¨ ªá¨®¬ ⨧¨àã¥âáï 㨢¥àá «ì묨 á«¥¤á⢨ﬨ T . â® ¯®§¢®«ï¥â ¤ã¬ âì, çâ® â¥à¬¨®«®£¨ï ¡ë« ¢ë¡à ¥ã¤ ç® : ¤ «ìè¥ ¡ã¤¥â ¥éñ å㦥. ®¢®àïâ, ç⮠⥮à¨ï T 0 { ¬®¤¥«ìë© ª®¬¯ ì® T ¥á«¨ ® ¥ñ ¬®¤¥«ì® ¯®«ë© ª®¬¯ ì®.
¥®à¥¬ 5.5 ¥®à¨ï ®¡« ¤ ¥â á ¬®¥ ¡®«ì襥 ®¤¨¬ ¬®¤¥«ìë¬ ª®¬¯ ì®®¬.
5.d
63
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì T1 ¨ T2 { ¬®¤¥«ìë¥ ª®¬¯ ì®ë ⥮ਨ T : § ç¨â, ®¨ ª®¬¯ ì®ë (¤ ¦¥ ¬®¤¥«ìë¥ ª®¬¯ ì®ë!). ãáâì M1 { ¬®¤¥«ì T1; ® ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¬®¤¥«ì N1 ¤«ï T2 , ª®â®à ï ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¬®¤¥«ì M2 ¤«ï T1 ¨ â.¤. ®«ãç ¥¬ 楯ì M1 N1 M2 N2 : : : Mn Nn Mn+1 : : : , ¯à¥¤¥« ª®â®à®© ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ P ; ¯®áª®«ìªã T1 (T2) ¬®¤¥«ì® ¯®« , 楯ì Mn (Nn ) í«¥¬¥â à ¨ P { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M1 (N1) . «¥¤®¢ ⥫ì®, M1, ª ª ¨ P , { ¬®¤¥«ì T2 ; ¯® ᨬ¬¥âਨ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® T1 ¨ T2 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¬®¤¥«¨, â.¥. T1 = T2 . T0
®¢®àïâ, ç⮠⥮à¨ï ¬®¤¥«ì®¥ ¯®¯®«¥¨¥ T , ¥á«¨ ® ¥ñ ¬®¤¥«ìë© ª®¬¯ ì® ¨, ªà®¬¥ í⮣® ¢ë¯®«ï¥âáï á«¥¤ãî饥 ãá«®¢¨¥: ¥á«¨ M { ¬®¤¥«ì T , ¢«®¦¥ ï á ®¤®© áâ®à®ë ¢ ¬®¤¥«ì M1 ⥮ਨ T 0, á ¤à㣮© { ¢ ¬®¤¥«ì M2 ⮩ ¦¥ T 0, ⮣¤ ª®à⥦ a ¨§ M 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¢ M1 ¨ M2 .
áâ¥á⢥®, ¬®¤¥«ì® ¯®« ï ⥮à¨ï ï¥âáï ᢮¨¬ ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬; ïá® ç⮠⥮à¨ï á í«¨¬¨ 樥© ª¢ â®à®¢ ï¥âáï ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬ ᢮¥£® «î¡®£® ª®¬¯ ì® . ¥®à¨ï ï¥âáï ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬ «î¡®£® ᢮¥£® ª®¬¯ ì® () ® ¬®¤¥«ì®¥ ¯®¯®«¥¨¥ T8 { á ¬®£® á« ¡®£® á।¨ ¨å.
¥®à¥¬ 5.6 ®¤¥«ì®¥ ¯®¯®«¥¨¥ 㨢¥àá «ì®© ⥮ਨ (â.¥. ªá¨®¬ â¨-
§¨à㥬®© 㨢¥àá «ì묨 ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬¨) ¤®¯ã᪠¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a ¨ b , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥á-
ª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬, ¢§ïâë ¨§ ¬®¤¥«¥© M1 ¨ M2 í⮩ ⥮ਨ T 0 , ¯ãáâì N1 ¨ N2 { ¯®¤áâàãªâãàë, ¯®à®¦¤¥ë¥ ª®à⥦ ¬¨ a ¨ b ᮮ⢥âá⢥® ¢ ¬®¤¥«ïå M1 ¨ M2 : ®¨ ¡ã¤ãâ ¨§®¬®àä묨 ¬®¤¥«ï¬¨ T8 , â.¥. T , § ç¨â ¨å ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¤¢ ¢«®¦¥¨ï ®¤®© ¨ ⮩ ¦¥ ¬®¤¥«¨ N ⥮ਨ T . ® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¬®¤¥«ì®£® ¯®¯®«¥¨ï a ¢ M1 ¨ b ¢ M2 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬, ¨ § ç¨â ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¢ T 0 .
¬¥â¨¬, ç⮠⥮à¨ï ¯«®â®£® «¨¥©®£® ¯®à浪 ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª ï¥âáï ¡¥§ ¢á类£® ᮬ¥¨ï ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬ ⥮ਨ «¨¥©®£® ¯®à浪 , ¨ ® ¤®«¦ í«¨¬¨¨à®¢ âì ª¢ â®àë! ®¤¥«ì®¥ ¯®¯®«¥¨¥ ï¥âáï ¥¨áç¥à¯ ¥¬®© ⥬®© ¤«ï ¡®«â㮢 ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ¢¨¤ïé¨å §¤¥áì ä㤠¬¥â «ìë© ¢ª« ¤ «®£¨ª¨ ¢ «£¥¡àã. ¨ «î¡ïâ ¨««îáâà¨à®¢ âì ᢮¨ ¨§«®¦¥¨ï, ¢áî¤ã ¯®¥¬®£ã, ¢á直¬¨ ¤¨ £à ¬¬ ¬¨ á® áâ५ª ¬¨, ª ª íâ® ¤¥« îâ à ¡®â î騥 ¢ ⥮ਨ ª ⥣®à¨©. «ï ¨å ¢ëà ¦¥¨¥ "í«¨¬¨ æ¨ï ª¢ â®à®¢" ï¥âáï § ª«¨ ¨¥¬ ¢®«è¥¡®© ᨫë. ¨å ®¯à ¢¤ ¨¥ ᪠¦¥¬, çâ® á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¨§ã票¥ ¬®¤¥«ì®£® ª®¬¯ ì® , ª®£¤ ® áãé¥áâ¢ã¥â, ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡ê¥ªâ®¬ ᮫¨¤®© ⥮ਨ. ¤¥áì ¬ë ¤®¢®«ìáâ¢ã¥¬áï ¥áª®«ìª¨¬¨ ⥮६ ¬¨ ¯à ªâ¨ç¥áª®£® ¨â¥à¥á , ¤®ª § 묨 ¢ 室¥ áâ®ï饣® ¨§«®¦¥¨ï.
64
« ¢ 5
5.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ®ïâ¨ï ⨯ ¨ {- áëé¥ëå ¬®¤¥«¥© ¡ë«¨ à §à ¡®â ë ¢ â¥ç¥¨¥ ¯ï⨤¥áïâëå £®¤®¢; ¯¥à¢®¥ á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¨¬¥¥âáï ¢ [-, 1962]. ¥à¬¨ "í«¨¬¨ æ¨ï ª¢ â®à®¢" ¯à¨ ¤«¥¦¨â à᪮¬ã [, 1935]. ®ïâ¨ï ¬®¤¥«ì®£® ¯®¯®«¥¨ï ¨ ¬®¤¥«ì®£® ª®¬¯ ì® ¨¤ãâ ®â . ®¡¨á® [, 1956a]
« ¢ 6 ««îáâà 樨 祫®ç®£® ¬¥â®¤ Lors fu li conseils des barons telx que il se hebergeroient entre le palais de Blaquerne et le chastel Buimont, qui ere une aba^ie close de murs. Et lors furent tendu li tref et li paveillon, et bien fu ere chose a regarder : que de Costantinoble, qui tenoit III liues de front par devers la terre, ne pot tote l'ost assegier que l'unes des portes. : : : Et mult estoient perillousement, que onques par tant poi de gent ne furent assegie tant de gent en nulle ville. J. de V.
6.a «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï : : : : : : 66 6.b ¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¯®«ï : : 72 6.c ã«¥¢ë «£¥¡àë : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 80 6.d «ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠: : : : : 87 6.e ®¤ã«¨, íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¬®¤ã«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92 6.f áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 100 65
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« ¢ 6
ïâì ¯à¨¬¥à®¢ í⮩ £« ¢ë ¨««îáâà¨àãîâ ¬¥â®¤, ®¯¨á ë© ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥; à ¢ë¬ ®¡à §®¬ ®¨ á«ã¦ â ª ª ¯à¨¬¥àë ¤«ï ¯®á«¥¤ãî饣® ¬ â¥à¨ « í⮣® ªãàá . ¢â®à ¥ ã⢥ত ¥â, çâ® íâ® á ¬ë¥ § ç¨â¥«ìë¥ ¨«¨ ¯«®¤®â¢®àë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¢ «£¥¡à¥, ¨«¨ ¢ ¤àã£¨å ¢¥â¢ïå ¬ ⥬ ⨪¨, ¨ ® ¯à¨§ ¥â, çâ® ¢ë¡à « ¨¬¥® ⥠á«ãç ¨, £¤¥ "祫®çë©" ¬¥â®¤ ¯à¨¬¥¨¬ ®á®¡¥® å®à®è®.
6.a «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï ®¤ ¯®«¥¬ ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ áâàãªâãàã c ¤¢ã¬ï ¡¨ à묨 ®¯¥à æ¨ï¬¨ á«®¦¥¨ï ¨ 㬮¦¥¨ï, ᮤ¥à¦ éãî ¢ë¤¥«¥ë¥ í«¥¬¥âë, ®¡®§ ç ¥¬ë¥ ç¥à¥§ 0 ¨ 1 , ¨ á ®â®¡à ¦¥¨¥¬ "¯¥à¥å®¤ ª ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¬ã" (x 7! ?x). ª¨¬ ®¡à §®¬, ï§ëª ¯®«ï (ç㤮¥ ¢ëà ¦¥¨¥!) á®á⮨⠨§ ¤¢ãå ᨬ¢®«®¢ ª®áâ â, ®¤®£® ᨬ¢®« ã ன äãªæ¨¨ ¨ ¤¢ãå ᨬ¢®«®¢ ¡¨ àëå äãªæ¨©. ®áâ ¢«ïî ç¨â â¥«î ªá¨®¬ ⨧ æ¨î ¯®ïâ¨ï ¯®«ï ¢ í⮬ ï§ëª¥, ¥ § ¡ë¢ ï ªá¨®¬ã 0 6= 1 ; ®â¬¥â¨¬, çâ® ¯®áª®«ìªã ®â®¡à ¦¥¨¥ x 7! x?1 ¥ ¢ª«î祮 ¢ ï§ëª, ¯®¤áâàãªâãà ¯®«ï ¥ ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â ¯®«¥¬, ª®«ì殬. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ª ¦¤®¬ã â¥à¬ã á ¯¥à¥¬¥ë¬¨ x1; : : :; xn ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¬®£®ç«¥ P (x1; : : :; xn) á 楫묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, ª®â®àë© ¬ë ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì ¡¥§ ᪮¡®ª, ¥ã¦ëå ¨§-§ § ª®®¢ áá®æ¨ ⨢®áâ¨. ⮬ ï ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¢¨¤ P (x) = Q(x) , £¤¥ P ¨ Q { â ª¨¥ ¬®£®ç«¥ë; ¥ñ ¢ë£®¤® § ¬¥¨âì P (x) ? Q(x) = 0 . â ª, â®¬ë¥ ä®à¬ã«ë ¨¬¥îâ ¢¨¤ P (x) = 0 , ¯® í⮩ ¯à¨ç¨¥ ¨å §ë¢ îâ à ¢¥á⢠¬¨ ¨«¨ ⮦¤¥á⢠¬¨, ¨å ®âà¨æ ¨ï ¢¨¤ P (x) 6= 0 { ¥à ¢¥á⢠¬¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¡¥áª¢ â®à ï ä®à¬ã« ï¥âáï ¡ã«¥¢®© ª®¬¡¨ 樥© à ¢¥áâ¢, ª®â®àãî ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ ¤¨§êîªæ¨¨ ª®êîªæ¨© à ¢¥á⢠¨ ¥à ¢¥áâ¢; ç áâ® ª®êîªæ¨î à ¢¥á⢠¨ ¥à ¢¥á⢠§ë¢ îâ á¨á⥬®© à ¢¥á⢠¨ ¥à ¢¥áâ¢. ª ¨§¢¥áâ® ª ¦¤®¬ã, ®â®¡à ¦¥¨¥ ª®«ìæ Z 楫ëå ç¨á¥« ¢ ¯®«¥ K , ª®â®à®¥ n ®â®¡à ¦ ¥â í«¥¬¥â 1 + 1 + + 1 ¯®«ï K , £¤¥ á㬬 á®á⮨⠨§ n ¥¤¨¨æ (¬®¦® ®¡®§ ç¨âì íâ®â í«¥¬¥â ç¥à¥§ n , ᨬ¢®« n ¥ ¢®á¨âáï, ç¥áâ® £®¢®àï, ¢ ï§ëª ¯®«¥©, í⮠᮪à 饨¥ ¤«ï 1+1+ +1), ï¥âáï £®¬®¬®à䨧¬®¬ ª®«¥æ. ®áª®«ìªã ¥£® ®¡à § { 楫®á⮥ ª®«ìæ®, ¥£® ï¤à® { ¯à®á⮩ ¨¤¥ «, ª®â®àë© à ¢¥ «¨¡® f0g , ¢ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® K å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®«ì, «¨¡® pZ , £¤¥ p { ¯à®á⮥ ç¨á«®, ⮣¤ £®¢®àïâ, çâ® K å à ªâ¥à¨á⨪¨ p . ®, çâ® K å à ªâ¥à¨á⨪¨ p , ¢ëà ¦ ¥âáï ¥¤¨á⢥®© ªá¨®¬®© p = 0; ⮣¤ ¬ë § ¥¬, çâ® K { à áè¨à¥¨¥ ¯®«ï Fp ¨§ p í«¥¬¥â®¢. â®¡ë ¢ëà §¨âì, çâ® K å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®«ì, ¥®¡å®¤¨¬® ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ªá¨®¬ : p 6= 0 ¤«ï ª ¦¤®£® p ; ¯®áª®«ìªã ª®¥ç®¥ ç¨á«® íâ¨å ªá¨®¬ ¥ ¢«¥ç¥â ¤à㣨¥, ⥮à¨ï ¯®«¥© å à ªâ¥à¨á⨪¨ p ¥ ï¥âáï ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬®© (ᬮâà¨â¥ à §¤¥« 4.b) ; § ¬¥â¨¬, ¬¥¦¤ã ¯à®ç¨¬, ç⮠ᮢ ¯® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, ¥á«¨ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ f ⥮ਨ ¯®«¥© ¨¬¥¥â ¬®¤¥«¨ å à ªâ¥à¨á⨪¨ p ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ìè¨å p (â.¥. ¤«ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠p), â® ® ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®«ì.
᫨ K å à ªâ¥à¨á⨪¨ ®«ì, â® ®® à áè¨à¥¨¥ Z , § ç¨â, â ª¦¥ à áè¨à¥¨¥ Q ¥£® ¯®«ï ç áâëå. «ï ¤ ®£® ¯®«ï k ¨ ¤¢ãå í«¥¬¥â®¢ a ¨ b ¨§ ¯®«¥©, à áè¨àïîé¨å k ,
6.a
«£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï
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¬ë £®¢®à¨¬, çâ® a ¨ b k-¯®¤®¡ë, ¥á«¨ ¯®«ï k(a) ¨ k(b) , ¯®à®¦¤¥ë¥ ¨¬¨, ¨§®¬®àäë ¤ k , â.¥. áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬, ®áâ ¢«ïî騩 k ¯®â®ç¥ç® ¥¯®¤¢¨¦ë¬ ¨ ¯¥à¥¢®¤ï騩 a b . ª ¯®ïâì, çâ® ¤¢ í«¥¬¥â â ª®¢ë ? áᬮâਬ ª ®¨ç¥áªãî áîàꥪæ¨î ª®«ìæ k[x] ¬®£®ç«¥®¢ ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ k ¢ ª®«ìæ® k[a], ¯®à®¦¤¥®¥ k ¨ a , á®áâ®ïéãî ¢ § ¬¥¥ ¯¥à¥¬¥®© x ¢ ª ¦¤®¬ ¬®£®ç«¥¥ a , ¨ ¥ñ ï¤à® Ia=k §ë¢ ¥âáï ¨¤¥ «®¬ ⮦¤¥á⢠¤«ï a ¤ k; ¯®áª®«ìªã k[a] 楫®áâ®, â® íâ® { ¯à®á⮩ ¨¤¥ « ¨, ®¡®à®â, ¥á«¨ I { ¯à®á⮩, â® ® ¨¤¥ « ⮦¤¥á⢠®¡à § x ¢ k[x]=I , ¢«®¦¥®£® ¢ ᢮ñ ¯®«¥ ç áâëå.
᫨ ¤¢ í«¥¬¥â ¯®¤®¡ë, â® ®¨ ®¡ã«ïîâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ãà ¢¥¨ï; ¨ Ia=k ®¯à¥¤¥«ï¥â k[a] , ¨§®¬®à䮥 k[x]=Ia=k , â ª¦¥ ¯®«¥ ç áâëå k(a) ª®«ìæ k[a]. « áá ¯®¤®¡¨ï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, íâ® ¯à®á⮩ ¨¤¥ «: ¤¢ í«¥¬¥â ¯®¤®¡ë ¤ k () ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ãà ¢¥¨ï¬ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¢ k , ¨«¨ ¥éñ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ᢮¡®¤ë¬ ä®à¬ã« ¬ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ k . ®«ìæ® k[x] ¥¢ª«¨¤®¢® ¨ ®¯¨á ¨¥ ¥£® ¨¤¥ «®¢ { «¥£ª®¥, ¯®áª®«ìªã ¢á¥ ®¨ £« ¢ë¥ : { ¥á«¨ Ia=k = 0 , â® £®¢®àïâ, çâ® a âà á楤¥â¥ ¤ k; k[a] ¨§®¬®àä® k[x] ¨ k(a) ¨§®¬®àä® ¯®«î k(x) à 樮 «ìëå äãªæ¨© ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¢ k , { ¨ ç¥ Ia=k ¯®à®¦¤ ¥âáï ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¬ ¬®£®ç«¥®¬ Pa=k { ¬¨¨¬ «ìë¬ ¬®£®ç«¥®¬ a ¤ k ; ¢ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® a «£¥¡à ¨ç¥ ¤ k , ¨ ⮣¤ k[a] = k(a) ' k[x]=Pa=k . ª¦¥ ¨§¢¥áâ®, çâ® ¯®«¥ k §ë¢ ¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¬, ¥á«¨ ª ¦¤ë© ¬®£®ç«¥ ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ®â«¨çë© ®â ª®áâ âë ¨ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ k ¨¬¥¥â ª®à¥ì ¢ k . â®¡ë ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì íâ® ¯®ï⨥ âॡã¥âáï ¡¥áª®¥çë© á¯¨á®ª ªá¨®¬ (®¤ ªá¨®¬ ¤«ï ª ¦¤®© ¢®§¬®¦®© á⥯¥¨ ¬®£®ç«¥ ) :
An (8y0) : : : (8yn?1)(9x)(xn + yn?1xn?1 + + y1x + y0 = 0): (
áâ¥á⢥®, xn { ᮪à 饨¥ ¤«ï x x x , ®§ ç î饣® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ n x-®¢: ¢ 襬 ï§ëª¥ ¥â ¨ª ª®£® ᨬ¢®« ¤«ï ¢®§¢¥¤¥¨ï ¢ á⥯¥ì).
¯à ¦¥¨¥ 6.1 1) «ï ª ¦¤®£® p ¯®áâன⥠«£¥¡à ¨ç¥áª¨ ¥§ ¬ªã⮥
¯®«¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ p , 㤮¢«¥â¢®àïî饥 A1; : : :; An (à ¡®â ©â¥ ¢ å®à®è® ¨§¢¥áâëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å à áè¨à¥¨ïå Fp ). 2) ®ª ¦¨â¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ 0 á í⨬¨ ¦¥ ᢮©á⢠¬¨.
¥¬¬ 6.2 «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ ¯®«¥ ¡¥áª®¥ç®. ®ª § ⥫ìá⢮. ®£®ç«¥ (x ? a1) : : : (x ? an) + 1 ¥ ¨¬¥¥â ª®à¥© ¢ ᯨ᪥ fa1; : : :; ang ¥¬¬ 6.3 ¦¤®¥ ¯®«¥ ¨¬¥¥â «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥.
68
« ¢ 6
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì k { è¥ ¯®«¥ ¨ K { à áè¨à¥¨¥ k ¨ P (x) { ®â«¨çë© ®â ª®áâ âë ¬®£®ç«¥ ¨§ k[x] ; ¥á«¨ Q(x) { ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¤¥«¨â¥«ì P (x) ¢ k[x] , â® k[x]=Q { à áè¨à¥¨¥ k , ¢ ª®â®à®¬ P (x) ¨¬¥¥â ª®à¥ì. ®á«¥ í⮣® ¬ë ¯®áâ㯠¥¬ â ª: ¯¥à¥ã¬¥à㥬 ¢á¥ ¬®£®ç«¥ë P á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ k ; ¥ã¤®¡á⢮ ¤«ï ç¨ îé¨å «®£¨ª®¢, § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¥á«¨ k ¥áç¥â®, â® ¬ë ¥ ᬮ¦¥¬ ¯à®ã¬¥à®¢ âì í⨠¬®£®ç«¥ë âãà «ì묨 ç¨á« ¬¨, ¤«ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬ë ®à¤¨ «ë. ¥ ¡ã¤¥¬ § ¤¥à¦¨¢ âìáï í⮬: 祬 á ¤®¡ ¢«¥¨ï ª®àï P0 , ¯®«ã稬 ¯®«¥ K0 , à áè¨àïî饥 k, ¢ ª®â®à®¬ P0 ¨¬¥¥â ª®à¥ì; § ⥬ ¯®áâந¬ à áè¨à¥¨¥ K1 ¯®«ï K0 , ¢ ª®â®à®¬ P1 ¨¬¥¥â ª®à¥ì ¨ â.¤. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¯®áâந¬ ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì K ¯®«¥© â ªãî, çâ® ¬®£®ç«¥ P ¨¬¥¥â ª®à¥ì ¢ K : ¯ãáâì L1 ¥áâì ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¢á¥å K . ®£¤ L1 { ¯®«¥, à áè¨àïî饥 k , ¢ ª®â®à®¬ ª ¦¤ë© ¯®«¨®¬ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ k ¨ ®â«¨çë© ®â ª®áâ âë ¨¬¥¥â ª®à¥ì.
᫨ ¢ë ¢ ¤ ë© ¬®¬¥â çã¢áâ¢ã¥â¥ ««¥à£¨î ª âà á䨨âë¬ ª®áâàãªæ¨ï¬, ¯à¥¤¯®ç¨â ï ª®¥çë¥ à¥ªãàà¥â®áâ¨, â® ¤«ï ª ¦¤®£® ª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠F = fP1; : : :; Pn g ¬®£®ç«¥®¢ ¨§ k[x] ¢ë ¬®¦¥â¥ ¯®áâநâì à áè¨à¥¨¥ LF ¯®«ï k , £¤¥ ª ¦¤ë© Pi ¨¬¥¥â ª®à¥ì; § ⥬ á®®¡à ¦¥¨ï ª®¬¯ ªâ®á⨠¤ ¤ã⠮祢¨¤®¥ áãé¥á⢮¢ ¨¥ L1 . ®¢â®àïï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¯®áâந¬ ¢®§à áâ îéãî 楯ì k = L0 L1 Ln Ln+1 : : : ¯®«¥©, â ªãî, çâ® ª ¦¤ë© ¬®£®ç«¥ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ Ln ¨¬¥¥â ª®à¥ì ¢ Ln+1 . ®«¥ L = [Ln ï¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¬.
¥®à¥¬ 6.4 ¥®à¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¤®¯ã᪠¥â í«¨¬¨ æ¨î
ª¢ â®à®¢: ® ï¥âáï ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬ ⥮ਨ ¯®«¥© ¨ â ª¦¥ ⥮ਨ 楫®áâëå ª®«¥æ. ¥®à¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¤ ®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¯®« .
®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ a ¨ b ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«ïå K
¨ L , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¡¥§ ª¢ â®à®¢; ¬ë å®â¨¬ ¯®ª § âì, çâ® a ¨ b ®¤®£® ⨯ ; ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì K ¨ L !- áëé¥ë¬¨, ¯®áª®«ìªã ¨ ç¥, ¬ë ¬®¦¥¬ § ¬¥¨âì K ¨ L ¨å !- áëé¥ë¥ í«¥¬¥â àë¥ à áè¨à¥¨ï, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ â ª¦¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâ묨, ¯®áª®«ìªã íâ® ¯®ï⨥ { í«¥¬¥â ஥. ¥¯¥àì ¬ë ¤®«¦ë ¯®ª § âì, çâ® a ¨ b 1-íª¢¨¢ «¥âë; § ¬¥â¨¬, çâ® K ¨ L ®¤®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, â ª ª ª ¯à¥¤«®¦¥¨ï p = 0 ¨ p 6= 0 ¡¥áª¢ â®àë¥; íâ® ®§ ç ¥â, á ¬®¬ ¤¥«¥, çâ® ª®«ìæ , ¯®à®¦¤¥ë¥ a ¨ b , ª ª ¨ ¯®«ï k ¨ h, ¯®à®¦¤¥ë¥ a ¨ b , ¨§®¬®àäë (íâ® { ®¡é¨© ä ªâ, çâ® a ¨ b 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ᢮¡®¤ë¬ ä®à¬ã« ¬ () ®¨ ¯®à®¦¤ îâ ¨§®¬®àäë¥ áâàãªâãàë!). ®¡ ¢¨¬ ⥯¥àì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥®áâ¨ í«¥¬¥â ª a ; ¥á«¨ «£¥¡à ¨ç¥ ¤ k , â® ¬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ P (x) , ¯à¥®¡à §®¢ ë© ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¯¥à¥¢®¤ï騬 a b , á⠥⠥¯à¨¢®¤¨¬ë¬ ¯®«¨®¬®¬ ¨§ h[x] , ª®â®àë© ¨¬¥¥â ª®à¥ì ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮬ ¯®«¥ L, ¨ k( ); k( ) ¨§®¬®àäë. ¥¯¥àì, ¥á«¨ âà á楤¥â¥ ¤ k, â® ¬ë ¤®«¦ë ¤®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢ L, âà á楤¥âë© ¤ h; ®¤ ª®, ¬®£®ç«¥ á⥯¥¨ n ¨¬¥¥â ¥ ¡®«¥¥ n ª®à¥© ¢ ¯®«¥ (¯®áª®«ìªã, ¥á«¨ a { ª®à¥ì P (x), â® x ? a ¤¥«¨â P (x)), § ç¨â, ¥á«¨ Q1(x); : : : ; Qs(x) 2 h[x], â® ¢ ᨫ㠡¥áª®¥ç®á⨠L («¥¬¬ 6.2),
6.a
69
«£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï
áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ¢ L , ¥ ïî騩áï ª®à¥¬ ¨ ®¤®£® ¨§ íâ¨å ¬®£®ç«¥®¢; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ä®à¬ã« Q(x) 6= 0 , ¤«ï Q(x) 2 h[x] ¨ Q 6= 0, ¡ã¤ãç¨ ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ë¬ ¢ L , ᮢ¬¥áâ® á ⥮ਥ© ¯®«ï L ; â ª ª ª L !- áë饮 ¨ ¢á¥ ¯ à ¬¥âàë íâ¨å ä®à¬ã« «¥¦ â ¢ b , ®® ॠ«¨§ã¥âáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ ¨§ L . â ª, ¬ë ¤®ª § «¨, ç⮠⥮à¨ï T «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© í«¨¬¨¨àã¥â ª¢ â®àë; § ç¨â, ® ï¥âáï ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬ ¢á¥å ᢮¨å ª®¬¯ ì®®¢, ¢ ç áâ®áâ¨, ⥮à¨ï T8 ¤«ï T ᮢ¯ ¤ ¥â á ⥮ਥ© 楫®áâëå ª®«¥æ; ¤¥©á⢨⥫ì®, á ®¤®© áâ®à®ë, ¢á¥ ¥ñ ªá¨®¬ë 㨢¥àá «ìë, á ¤à㣮© áâ®à®ë, ª ¦¤®¥ 楫®á⮥ ª®«ìæ® ¯®£à㦠¥âáï ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ ¯®«¥ (⥮à¨ï ¯®«¥© ¢ ï§ëª¥ (0; 1; ?; +; ) ¥ 㨢¥àá «ì : çâ®¡ë ¢ëà §¨âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ®¡à ⮣® í«¥¬¥â ¥®¡å®¤¨¬ 89- ªá¨®¬ ) . «ï ¯®á«¥¤¥£® ¯ãªâ , ; 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬ ¡¥§ ª¢ â®à®¢ ¢ K ¨ L () ®® ¯®à®¦¤ ¥â ¢ K ¨ L ¨§®¬®àäë¥ ¯®¤áâàãªâãàë; íâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® () å à ªâ¥à¨á⨪¨ K ¨ L ᮢ¯ ¤ îâ.
¬¥ç ¨¥.
1
ë ¨¬¥¥¬ ¯à¨¬¥à ¥¯®«®© ⥮ਨ, í«¨¬¨¨àãî饩 ª¢ â®àë; íâ® ¢ë§ë¢ ¥â ¥®¡å®¤¨¬®áâì ¯à¨áãâáâ¢¨ï ¢ ï§ëª¥ ª®áâ âëå ᨬ¢®«®¢ ¨«¨ 0- àëå ®â®è¥¨©, ¯®áª®«ìªã ¨ ç¥ ª®à⥦¨ ; ¢ ¤¢ãå L-áâàãªâãà å 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬ (¨«¨ ¥éñ : ¯®à®¦¤ îâ ¨§®¬®àäë¥ ¯®¤áâàãªâãàë) . 2 ª ª ª í«¨¬¨ æ¨ï ª¢ â®à®¢ ⮫쪮 «¨èì ¢®¯à®á ï§ëª , 㦮 ¡ëâì ®ç¥ì â®çë¬ ª®£¤ à¥çì ¨¤¥â ® ï§ëª¥, á«ã¦ 騬 ªá¨®¬ ⨧ 樨 ¨â¥à¥áãîé¨å á áâàãªâãà: §¤¥áì ¨¬ ¡ë« (0; 1; ?; +; ) ; ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ï§ëª (+; ) ¤®áâ â®ç¥ ¤«ï ªá¨®¬ ⨧ 樨 ¯®ïâ¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮣® ¯®«ï, â ª ª ª 0 ¨ 1 ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã« ¬¨ á ¯®¬®éìî á«®¦¥¨ï ¨ 㬮¦¥¨ï, ® ¥ ¤«ï í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢.
᫨, ¢ ¯à®â¨¢®¯®«®¦®áâì í⮬ã, ¬ë ¤®¡ ¢¨¬ ª (0; 1; ?; +; ) ᨬ¢®« ã ன äãªæ¨¨ i ¤«ï ®â®¡à ¦¥¨ï ¯¥à¥¢®¤ï饣® 0 0, «î¡®© ®â«¨çë© ®â ã«ï í«¥¬¥â ¥£® ®¡à âë©, â® í⨬ ¬®¤¨ä¨æ¨à㥬 ¯®ï⨥ ¯®¤áâàãªâãàë (ª®â®à ï ⥯¥àì áâ ®¢¨âáï ¯®¤¯®«¥¬, ¥ ¯®¤ª®«ì殬), ® ¬ë ¥ ¢¢®¤¨¬ ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠®¢ëå ä®à¬ã« ¡¥§ ª¢ â®à , ¯®áª®«ìªã ®â®è¥¨¥ y = i(x) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ï§ëª¥ (0; 1; ?; +; ) á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«®© ¡¥§ ª¢ â®à x = y = 0 _ xy = 1 . ª ¥¯®á।á⢥®¥ á«¥¤á⢨¥ ⥮६ë 6.4 ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ä㤠¬¥â «ìãî ⥮६㠫£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ:
¥®à¥¬ 6.5 (¨«ì¡¥àâ ® ã«ïå)
᫨ (ª®¥ç ï!) á¨á⥬ S à ¢¥á⢠¨ ¥à ¢¥á⢠®â ¬®£¨å ¯¥à¥¬¥ëå x1 ; : : :; xn á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ ¯®«ï k ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ¢ ¥ª®â®à®¬ ¯®«¥ K , à áè¨àïî饬 k , â® ® ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ¢ ¯à®¨§¢®«ì®¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮬ à áè¨à¥¨¨ k . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì L { «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ ¯®«¥, ᮤ¥à¦ 饥 k, ¨ K1 { «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥ K . ¬¥¥¬ K1 ` (9x)S (x) ¨ íâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¨¬¥¥â ¯ à ¬¥âàë ⮫쪮 ¨§ k , ¯®í⮬㠯® ᢮©áâ¢ã ¬®¤¥«ì®£® ¯®¯®«¥¨ï L ` (9x)S (x) .
70
« ¢ 6
¬¥ç ¨¥. ¯à¥¤¥«¥¨¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮣® ¯®«ï { íâ® ¯à ªâ¨ç¥áª¨
⥮६ ® ã«ïå ¤«ï á¨áâ¥¬ë ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©. ®à®è® ¨§¢¥áâ®, çâ® ¯®«¥ k ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ «ì®¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥ { ¥£® «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥, ª®â®à®¥ ¥¤¨á⢥® á â®ç®áâìî ¤® k-¨§®¬®à䨧¬ ; ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ¤®ª § âì íâ®â १ã«ìâ â, ®¡®¡é ï ¥£® ¢ à ¬ª å ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ãáâì A { ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¨§ ¬®¤¥«¨ M ¯®«®© ⥮ਨ T ; í«¥¬¥â a ¨§ M §ë¢ ¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¤ A , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« f (x) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A , ¢ë¯®«ïîé ïáï a ¨, ª®â®à ï 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï «¨èì ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥â®¢ ¨§ M (£®¢®àïâ, çâ® ä®à¬ã« f (x) «£¥¡à ¨§¨àã¥â a ) . ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ a «¥¦¨â ¢ A , â® ä®à¬ã« x = a ¥ñ «£¥¡à ¨§ã¥â.
᫨ A; B M , â® £®¢®àïâ, çâ® B «£¥¡à ¨ç® ¤ A , ¥á«¨ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â B «£¥¡à ¨ç¥ ¤ A ; ª®¥æ, ¥á«¨ ¢á¥ í«¥¬¥âë M , «£¥¡à ¨çë¥ ¤ A , ¯à¨ ¤«¥¦ â A , â® £®¢®àïâ, çâ® A «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâ® ¢ M . (ã¤ì⥠®áâ®à®¦ë: ¥ª®â®àë¥ £®à¥-á¯¥æ¨ «¨áâë ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¨á¯®«ì§ãîâ íâ®â â¥à¬¨ ¢ ᮢ¥à襮 ¤à㣮¬ á¬ëá«¥ ¢ á¢ï§¨ á ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬.)
¥¬¬ 6.6
᫨ A B C M; B «£¥¡à ¨ç® ¤ A ¨ C «£¥¡à ¨ç® ¤ B , â® C «£¥¡à ¨ç® ¤ A .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì c ¨§ C ¨ f (x; b1; : : : ; bm) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ B , «£¥¡à ¨§¨àãîé ï c ¤ B ¨ ¨¬¥îé ï ⮫쪮 n à¥è¥¨© ¢ M , ¨ f1(y); : : :; fm(y) { ä®à¬ã«ë á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A , «£¥¡à ¨§¨àãî騥 ᮮ⢥âá⢥® b1; : : :; bm ¤ A. ®£¤ ä®à¬ã« (9y ) : : : (9y )(f (y ) ^ : : :fm(ym) ^ VV x 6= x 1 ^ VV fm(x ;1y ;1: : : ; y )))) «£¥f (x; y1; : : :; ym) ^ :((9x0) : : : (9xn)(0i<j i 1 m j 0in n i ¡à ¨§¨àã¥â c ¤ A .
¤¨¬ ¨§ á«¥¤á⢨© «¥¬¬ë 6.6 ï¥âáï â®, çâ® ¬®¦¥á⢮ AM í«¥¬¥â®¢ ¨§ M , «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ¤ A , «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâ® ¢ M : íâ® { á ¬®¥ ¬ «¥ìª®¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ ¤¬®¦¥á⢮ A, ¨ ¥¤¨á⢥®¥ â ª®¥, «£¥¡à ¨ç®¥ ¤ A. ® §ë¢ ¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ § ¬ëª ¨¥¬ A ¢ M . á ¬®¬ ¤¥«¥ ®® ¥ § ¢¨á¨â ®â ¬®¤¥«¨ M , çâ® ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ï⨥ «£¥¡à ¨ç¥áª®£® § ¬ëª ¨ï A ¬®¦¥á⢠A ¡¥§ 㯮¬¨ ¨ï M ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì N { ¤àã£ ï ¬®¤¥«ì T , ᮤ¥à¦ é ï A , â.¥. ¬®¤¥«ì T (A) . ª ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ T (A) M ¨ N ¨¬¥îâ ®¡é¥¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ P ; ¥á«¨ f { «£¥¡à ¨ç¥áª ï ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ A , â® â®â ä ªâ, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â n í«¥¬¥â®¢ 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f , § ¯¨áë¢ ¥âáï ®¤¨¬ ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬, ¨áâ¨ë¬ ª ª ¢ M , â ª ¨ ¢ P ; íâ® ¢«¥ç¥â, çâ® ¢á¥ â ª¨¥ í«¥¬¥âë «¥¦ â 㦥 ¢ M ¨ ¥â ®¢®£® ¢ P . ç¨â, AP = AM ¨ ¯® ⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨¥ AP = AN .
᫨ ᪠§ âì ¡®«ìè¥, â® í«¥¬¥â àë¥ ¢«®¦¥¨ï M ¨ N ¢ P ¨¤ãæ¨àãîâ ¡¨¥ªæ¨î s ¬¥¦¤ã AM ¨ AN , ª®â®à ï ªà®¬¥ ⮣® á®åà ï¥â ¢ë¯®«¨¬®áâì ä®à¬ã«: ¥á«¨ a 2 AM , â® M ` g(a) () N ` g(sa) . ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® T { ⥮à¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¤ ®© å à ªâ¥à¨á⨪¨. ®£¤ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨áª«îç¨â¥«ìë© ä ªâ : ¤«ï «î¡®£® A M (M { ¬®¤¥«ì T , § ç¨â, «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ ¯®«¥) A á ¬® ï¥âáï ¬®¤¥«ìî T , â.¥. «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¬ ¯®«¥¬ (®¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ ¨£àã á«®¢!) .
6.b
¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¯®«ï
71
¥©á⢨⥫ì®, a + b; a; b; 0; 1; ?a; a?1 «£¥¡à ¨çë ¤ fa; bg, § ç¨â, A { ¯®«¥; ¨ ¥á«¨ P { ®â«¨çë© ®â ª®áâ âë ¬®£®ç«¥ ¨§ A[x] , ® ¨¬¥¥â ª®à¥ì ¢ M , ïî饩áï ¬®¤¥«ìî T , ¨ ¯®áª®«ìªã a «£¥¡à ¨§¨àã¥âáï ¤ A ä®à¬ã«®© P (x) = 0 , â® ® «¥¦¨â ¢ A ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, íâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¬®¦¥á⢮ { ¯®- áâ®ï饬㠫£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ (¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥, ¥ ⥮à¥â¨ª®-¬®¤¥«ì®¬!) ¯®«¥, â.¥. ¬®¤¥«ì T . ®¦¥á⢮ A ¥áâì â®, çâ® §ë¢ ¥âáï ¯à®á⮩ ¬®¤¥«ìî ¤ A : ¤«ï «î¡®© ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T , ᮤ¥à¦ 饩 A , áãé¥áâ¢ã¥â (í«¥¬¥â ஥) ¢«®¦¥¨¥ A ¢ M . ¨¬¥¥â ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ᢮©á⢮, çâ® ¢á¥ ¢«®¦¥¨ï A ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ®¡à § AM . â®, ®ç¥¢¨¤®, ¥¤¨á⢥ ï ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï A ¨ ¨¬¥îé ï ¤ ®¥ ᢮©á⢮ ¯à®áâ®âë, ¯®áª®«ìªã, ¥á«¨ A K ( A , â® K ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¬ ¯®«¥¬ (¨ ç¥ à áè¨à¥¨¥ K A ¡ë«® ¡ë í«¥¬¥â àë¬ ¨ AK = A ). ®áª®«ìªã ¢ë § ¥â¥ § ç ⪨ ⥮ਨ ¯®«¥©, ¬®¦¥â ¡ëâì ¡®«ìè¥, ¢ë ®¯à¥¤¥«¥® 㤨¢¨«¨áì ¥¯®á।á⢥®© ¬ ¥à¥, á ª®â®à®© ⥮à¥â¨ª ¬®¤¥«¥© ¡¥à¥âáï § ¯à®¡«¥¬ã : ¬ë ᬮ£«¨ à §¢¥àãâì ¯ ®à ¬ã ⥮ਨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¥ £®¢®àï ® á⥯¥¨ âà á楤¥â®áâ¨, ® ¡ §¥ âà á楤¥â®á⨠à áè¨à¥¨ï ¯®«ï.
áâ¥á⢥®, ¢ ¯®á«¥¤ãî饬 ¨§«®¦¥¨¨ ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¢ë å®à®è® § ª®¬ë á í⨬¨ ¯®ïâ¨ï¬¨: ¥á«¨ §¤¥áì ã ¢ á ¯à®¡¥«ë ¢ § ¨¨, â® § £«ï¨â¥ ¢ ¡«¨¦ ©è¨© ã祡¨ª ¯® í«¥¬¥â ன «£¥¡à¥1 . áâ â¨, çâ® § ¯à®áâà á⢠⨯®¢ ¡ã¤ãâ ᮮ⢥âá⢮¢ âì ⥮ਨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¤ ®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ? ®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥â஢ ¯®«¥ K (¯®áª®«ìªã, ¥á«¨ K { ¯®«¥, ¯®à®¦¤¥®¥ A , â® Sn (K ) ¨ Sn (A) ¨¤¥â¨çë). ®£¤ Sn(K ) { ¬®¦¥á⢮ ¯à®áâëå ¨¤¥ «®¢ ª®«ìæ K [x1; : : : ; xn] ¬®£®ç«¥®¢ ®â n ¯¥à¥¬¥ëå, á ¡¦¥®¥ ⮯®«®£¨¥©, ¯®à®¦¤¥®© ¡ §®© ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠¢¨¤ hP (x) = 0i = fI : I ` P = 0g = fI : P 2 I g. â® { â®, çâ® £¥®¬¥âàë §ë¢ îâ ª®áâàãªâ¨¢®© ⮯®«®£¨¥© ¥®¬¥âàë, ãâ®ç¥®áâì ª®â®àëå ®¡é¥¨§¢¥áâ , à ¡®â îâ ¢ ⮯®«®£¨¨ à¨á᪮£® Zn (K ), ®¯à¥¤¥«¥®© ⮬ ¦¥ ¬®¦¥á⢥ ¯à®áâëå ¨¤¥ «®¢, ¡ § § ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠ª®â®à®© ®¡à §®¢ ¨§ hP (x) = 0i , ¡ § ®âªàëâëå ¬®¦¥á⢠{ ¨§ hP (x) 6= 0i . â® ¥ ᥯ à ¡¥«ì®¥ ¯à®áâà á⢮, ¥â¥à®¢® (ª ¦¤ ï ã¡ë¢ îé ï æ¥¯ì § ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠áâ ¡¨«¨§¨àã¥âáï), á ¥¬®¦ª® ¥®¡ëç묨 ᢮©á⢠¬¨. ¥áâ¥á⢥®, ¯®áª®«ìªã ⮯®«®£¨ï Zn(K ) á« ¡¥¥, 祬 Sn(K ), ⥮६ë, ¤®ª § ë¥ ¯® ¯®¢®¤ã Zn (K ) , ¡®«¥¥ ⮪¨¥ ¨ ¡®«¥¥ ᯥæ¨ä¨çë¥, 祬 â¥®à¥¬ë ® Sn (K ) . ¥®à¥â¨ª¨ ¬®¤¥«¥©, ª ª «î¤¨ áªà®¬ë¥, ¯à¥¤¯®ç¨â îâ à ¡®â âì ¢® ¢¯®«¥ ¥á¢ï§®¬ ª®¬¯ ªâ¥, ¢ á ¬ëå ᨬ¯ â¨çëå á।¨ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å ¯à®áâà áâ¢, ¯®á«¥ ª®¥çëå ¤¨áªà¥âëå ¯à®áâà áâ¢.
¯à ¦¥¨¥ 6.7 ®à¬ «¨§ã©â¥ ⥮à¨î T «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¢ ï§ëª¥ (0; 1; +; ) ¨ ¤®ª ¦¨â¥, çâ® ® ¨¬¥¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢. ª®© ¡ã¤¥â ¡ã¤¥â ⥮à¨ï T8 ? 1
¨¬¥¥âáï ¢¢¨¤ã ã祡¨ª «£¥¡àë ¤«ï 1-£® ¨ 2-£® ªãàá 㨢¥àá¨â¥â®¢
72
« ¢ 6
6.b ¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¯®«ï ®£¤ «ã £®¢®à¨« ® ª®àïå ãà ¢¥¨ï, ® ¨¬¥« ¢¢¨¤ã ª®¬¯«¥ªáë¥ ç¨á« , ¨ ⮫쪮 á¯ãáâï ¤®«£®¥ ¢à¥¬ï ¯®á«¥ ¥£® «£¥¡à ¨áâë ç «¨ à áᬠâਢ âì ¤à㣨¥ ¯®«ï ªà®¬¥ ¯®¤¯®«¥© C : á ¬ ¯à¨à®¤ ®ç¥ì «î¡¥§® ¯à¥¤®áâ ¢¨« ¢ à ᯮà殮¨¥ ¬ ⥬ ⨪®¢ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ ¯®«¥. ( ¥ å®çã ᪠§ âì, çâ® íâ® ¯®«¥ ¡ë«® ¤ ® ¬ ⥬ ⨪ ¬ ¨§ ç «ì®, ª ª®¥-â® ¢à¥¬ï ®¨ ¯®âà ⨫¨ ¯®¨¬ ¨¥ "¬¨¬ëå à¥è¥¨©" ¨å ãà ¢¥¨©, å®çã «¨èì ᪠§ âì, çâ® ®¨ § «¨ ¥£® ¤ ¦¥ ¤® ¢®§¨ª®¢¥¨ï ¯®ïâ¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮣® ¯®«ï.) ® ª®£¤ à¥çì è« ¢ ª®æ¥ ¯à¥¤ë¤ã饣® á⮫¥â¨ï ® ¯®áâ஥¨¨ ⥮ਨ «®£¨ç®© ⥮ਨ «ã , ® ª á â¥«ì® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ⮫ªã«¨áì á«¥¤ãîéãî ¯à®¡«¥¬ã: ª ªãî ®¡« áâì á«¥¤ã¥â ¢ë¡à âì ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨¬¥âì ¤®áâ â®ç® à¥è¥¨© ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ? ®â íâ® ¢ ¦ë© ¢ª« ¤ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¢ «£¥¡àã, â ª ª ª ® á㬥« ®â¢¥â¨âì íâ®â ¢®¯à®á ¯®ï⨥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮣® ¯®«ï, ª®â®à®¥ ï¥âáï ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ⥬ ¦¥, çâ® «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï ¤«ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©, â.¥. ®¡« áâì, £¤¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ¨¬¥¥â á⮫쪮 à¥è¥¨© ᪮«ìª® ¬®¦® ®â ¨å ®¦¨¤ âì. ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¥áâ¥á⢥®£® ¯à¨¬¥à ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥©. ãáâì A { ª®¬¬ãâ ⨢®¥ ª®«ìæ®; ¯à®¨§¢®¤ ï { íâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ d ¬®¦¥á⢠A ¢ ᥡï, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡ëå x; y ¨§ A á¯à ¢¥¤«¨¢®
d(x + y) = dx + dy; d(xy) = xdy + ydx ¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ª®«ìæ® { íâ® ª®«ìæ® á ¯à®¨§¢®¤®©; ¥á«¨ ®® ï¥âáï ¯®«¥¬, â® £®¢®àïâ ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ ¯®«¥. «¥¬¥âë á ã«¥¢®© ¯à®¨§¢®¤®© §ë¢ îâáï ª®áâ â ¬¨; ®¨ ®¡à §ãîâ ¯®¤ª®«ìæ® A , ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â ¯®«¥¬, ¥á«¨ A ¯®«¥ (¨ ¢ ç áâ®áâ¨, d1 = 0 ) . ¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¥á«¨ A { 楫®á⮥ ª®«ìæ®, â® «î¡ ï ¯à®¨§¢®¤ ï A ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¥£® ¯®«¥ ç áâëå ¯® ¯à ¢¨«ã d(x=y) = (ydx ? xdy)=y2 . §ëª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¯®«¥© íâ® ï§ëª ¯®«ï, ®¡®£ é¥ë© ®¤¨¬ ᨬ¢®«®¬ ã ன äãªæ¨¨ ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ¯à®¨§¢®¤®© : (0; 1; ?; d; +; ) . ¤ ª®, ®¡ëç® ®¡®§ ç îâ dx ç¥à¥§ x0 , d(dx) ç¥à¥§ x00; : : :; d(d(: : : (dx) : : : )) ç¥à¥§ x(n) , £¤¥ n { ªà â®áâì ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï. ਬ¥àë ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¯®«¥© :
{ ¥á«¨ K { ¯®«¥, â® ¥£® ¯à¥¢à é îâ ¢ ¯®«¥ ª®áâ â, ¯®« £ ï ¯à®¨§¢®¤ãî ⮦¤¥áâ¢¥ë¬ ã«¥¬, { ¥á«¨ K { ¯®«¥, â® á ¡¦ îâ K (x) ä®à¬ «ì®© ¯à®¨§¢®¤®© @R(x)=@x à 樮 «ìëå äãªæ¨©, { ¯®«¥ ä®à¬ «ìëå á¥à¨© K ((x)) á ¥£® ®¡ë箩 ¯à®¨§¢®¤®©, { ¯®«¥ ¬¥à®¬®àäëå äãªæ¨© ¤ á¢ï§®© ®âªàë⮩ ®¡« áâìî ª®¬¯«¥ªá®© ¯«®áª®áâ¨.
6.b
¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¯®«ï
73
ç¨ ï á í⮣® ¬¥áâ , ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ⮫쪮 ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¯®«ï å à ªâ¥à¨á⨪¨ ã«ì. «ï ¤ ®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¯®«ï K ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ª®«ìæ® K [x]d ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¬®£®ç«¥®¢ ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ ¯®«ï K á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ª ª®«ìæ® ®® ª®«ìæ® K [x; x0; x00; : : :; x(n); : : : ] á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¯¥à¥¬¥ëå, ª®â®àë¥ ®¡®§ ç ¥¬ â ª: x = x(0); x0 = x(1); x00 = x(2); : : : ; x(n); x(n+1); : : : . ®áª®«ìªã, ª ¦¤®¥ ª®«ìæ® ¬®£®ç«¥®¢ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ ¯®«ï ä ªâ®à¨ «ì® , â® ª ¦¤ë© ¥£® í«¥¬¥â ®¤®§ ç® à §« £ ¥âáï ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå í«¥¬¥â®¢. ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¥¬ ¯à®¨§¢®¤ãî, ¯à®¤®«¦ ï ¯à®¨§¢®¤ãî K , â ª çâ® ¯à®¨§¢®¤ ï ®â x(n) ¥áâì x(n+1) . ¤à㣨å â¥à¬¨ å, ¥á«¨ P (x) «¥¦¨â ¢ K [x]d , â®
P (x)0 = P (x) +
X x(n+1) @P
@x(n) ; £¤¥ P { ¬®£®ç«¥, ¯®«ãç¥ë© ¨§ P , ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬ ¥£® ª®íää¨æ¨¥â®¢ (¥ § ¡ë¢ ©â¥ P : í«¥¬¥âë ¨§ K ¥ ïîâáï ®¡ï§ â¥«ì® ª®áâ â ¬¨!) ¨ £¤¥ @P=@x(n) ®¡®§ ç ¥â ç áâãî ¯à®¨§¢®¤ãî ¢ ®¡ë箬 á¬ëá«¥ ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥¬¥®© x(n) .
᫨ P { ¬®£®ç«¥, ¥ «¥¦ 騩 ¢ K (ï ¥ á¬¥î £®¢®à¨âì : ¬®£®ç«¥ ®â«¨çë© ®â ª®áâ âë!), â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥£® ¯®à冷ª { ¨¡®«ì襥 n, â ª®¥, çâ® x(n) ¢ ¥¬ ¯à¨áãâáâ¢ã¥â : ¯à¨¬¥à, ¬®£®ç«¥ P ¢â®à®£® ¯®à浪 { íâ® ¬®£®ç«¥ ®â x; x0; x00 ; ¬®£®ç«¥ ¯®à浪 0 { íâ® ¬®£®ç«¥ ®â x . ᮢ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥£® ᥯ à â ¥áâì S (P ) = @P=@x(n) , £¤¥ n { ¥£® ¯®à冷ª: ¨§-§ ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ , S (P ) ¢á¥£¤ ®â«¨ç¥ ®â ã«¥¢®£® ¬®£®ç«¥ . ª ¬ë ᤥ« «¨ ¢ á«ãç ¥ ¯®«¥©, ¤«ï ¤ ®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¯®«ï K ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¯®«ï L , à áè¨àïî饣® K , â ª¦¥ í«¥¬¥â a ¨§ L ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ©â¨ â®, çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥â á â®ç®áâìî ¤® K -¨§®¬®à䨧¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ K (a)d ¯®à®¦¤¥®¥ K ¨ a . «ï í⮣® à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨¥ K (x)d ¢ L , á®áâ®ï饥 ¢ § ¬¥¥ x a : ¥£® ®¡à § ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ª®«ì殬 ¯®à®¦¤¥ë¬ a ¨ K .
£® ï¤à® ¥áâì ¨¤¥ « Ia ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¤ K , ¢ë¯®«ïîé¨åáï a : íâ® { ¯à®á⮩ ¨¤¥ «, ¯®áª®«ìªã K [a]d 楫®áâ®, ¨ ® § ¬ªãâ ®â®á¨â¥«ì® ¯à®¨§¢®¤®© (¥á«¨ p 2 Ia , â® p0 2 Ia); ® §ë¢ ¥âáï ¯à®áâë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ¨¤¥ «®¬. ¤¥ « Ia ®¯à¥¤¥«ï¥â K (a)d á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , â ª ª ª ¯®á«¥¤¥¥ ¯®«¥ ï¥âáï ¯®«¥¬ ç áâëå ª®«ìæ K [a]d , á ¡¦¥®¥ ¥¤¨á⢥®© ¯à®¨§¢®¤®©, ¯à®¤®«¦ î饩 ¯à®¨§¢®¤ãî K [a]d. ®¡®à®â, ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à®¨§¢®«ìë© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ « I ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à®á⮥ à áè¨à¥¨¥ ¯®«ï K { ¯®«¥ ç áâëå ª®«ìæ K [x]d=I . ç¨â, ¬ 㦮 ¤ âì ®¯¨á ¨¥ ¯à®áâëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨¤¥ «®¢ K [x]d : íâ® { 楫ì á«¥¤ãîé¨å «¥¬¬. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ (P ) ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ «, ¯®à®¦¤¥ë© ¬®£®ç«¥®¬ P , ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¨¤¥ «®¬ ¢ ®¡ë箬 á¬ëá«¥, ¯®à®¦¤¥ë¬ P ¨ ¥£® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì묨 ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ P 0; P 00; : : :; P (n); : : : ; ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ I (P ) ¬®¦¥á⢮ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¬®£®ç«¥®¢ Q â ª¨å, çâ® ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® k S (P )k Q ¯à¨ ¤«¥¦¨â (P ); ⮣¤ I (P ) { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ «: ¥á«¨ S (P )k Q 2 (P ) , â® S (P )k Q0 + kS (P )0S (P )k?1 Q 2 (P ) ¨ S (P )k+1 Q0 2 (P ) .
74
« ¢ 6
¥¬¬ 6.8
᫨ P { ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬®£®ç«¥ ¯®à浪 n , â® (P ) ¥ ᮤ¥à¦¨â ¬®£®ç«¥®¢ ¯®à浪 , ¬¥ì襣®, 祬 n ; ¨ ¥á«¨ Q ¨¬¥¥â ¯®à冷ª n ¨ «¥¦¨â ¢ (P ) , â® P ¤¥«¨â Q . ®â ¦¥ १ã«ìâ â ¢¥à¥ ¨ ¤«ï I (P ) .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì Q 2 (P ) ¯®à浪 ¥ ¡®«ìè¥ n ¨ Q = A0P + A1P 0 +
+ Ak P (k); ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¢ P k à §, ¬ë ¯®«ã稬 à ¢¥á⢮ P (k) =
S (P )x(n+k) + Pk (x; : : : ; x(n+k?1)), £¤¥ Pk { ¬®£®ç«¥ ⮫쪮 ®â x; : : :; x(n+k?1) ; ¥á«¨ ¢ ¯®«¨®¬¨ «ì®¬ ⮦¤¥á⢥ Q = A0P + A1P 0 + + Ak P (k) ¬ë § ¬¥¨¬ ¥¨§¢¥á⮥ x(n+k) à 樮 «ìãî ¤à®¡ì ?Pk =S (P ) (S (P ) ¥ ã«ì!), ¬ë ¯®«ã稬 à ¢¥á⢮ ¬¥¦¤ã à 樮 «ì묨 ¤à®¡ï¬¨; «¥¢ ï ç áâì, ¥ ᮤ¥à¦ é ï x(n+k) , ¥ ¨§¬¥¨âáï ¨ 㬮¦ ï ®¡¥ ç á⨠ã¦ãî á⥯¥ì S (P ) , ¬ë ¨§¡ ¢¨¬áï ®â § ¬¥ ⥫¥© ¨ ¯®«ã稬 ¯®«¨®¬¨ «ì®¥ à ¢¥á⢮ â ª®£® ¢¨¤ : S (P )hQ = B0P + + Bk?1P (k?1): ®¢â®àïï íâã ¯à®æ¥¤ãàã k à §, ¬ë ¯®«ã稬 à ¢¥á⢮ S (P )m Q = AP . ¤ ª® á⥯¥ì x(n) ¢ S (P ) ¬¥ìè¥, 祬 ¥ñ á⥯¥ì ¢ P , ¨ P ¥ ¬®¦¥â ¤¥«¨âì S (P ) ; â ª ª ª ® ¥¯à¨¢®¤¨¬, ® ¤®«¦¥ ¤¥«¨âì Q . á«ãç ¥ ¨¤¥ « I (P ) P ¤¥«¨â S (P )m Q ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¤¥«¨â Q .
¯à ¦¥¨¥ 6.9 ®ª ¦¨â¥, çâ® ¤ ¦¥ ¥á«¨ P ¯à¨¢®¤¨¬ ¨ ¥£® ¯®à冷ª à ¢¥ n , â® (P ) ¥ ᮤ¥à¦¨â ¬®£®ç«¥®¢ ¯®à浪 , ¬¥ì襣® n. ¥¬¬ 6.10
᫨ P { ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬®£®ç«¥ ¯®à浪 n, â® I (P ) { ¯à®á⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ «.
®ª § ⥫ìá⢮. ª ¯®ïâì, çâ® Q «¥¦¨â ¢ I (P ) ?
᫨ ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ «¥¬¬ë 6.8 , ¬ë § ¬¥¨¬ x(n+k) ?Pk =S (P ) , ç¨ ï á á ¬®© ¢ëá襩
¯à®¨§¢®¤®© x , ¯à¨áãâáâ¢ãî饩 ¢ Q , § ⥬ 㬮¦ ï ¯®¤å®¤ïéãî á⥯¥ì S (P ) , çâ®¡ë ¨§¡ ¢¨âìáï ®â ¤à®¡®áâ¨, ¨ ¯®¢â®àïâì íâ®, â® ¢ ¨â®£¥ ¬ë ¯®«ã稬 ¬®£®ç«¥ Q1 ¯®à浪 ¥ ¡®«ìè¥ n, â ª®©, çâ® ¤«ï ¥ª®â®à®£® h ¬®£®ç«¥ë Q1 ¨ S (P )hQ ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î (P ) . «¥¤®¢ ⥫ì®, Q «¥¦¨â ¢ I (P ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® m S (P )mQ1 «¥¦¨â ¢ (P ) , íâ® ¢ª«î票¥ ®§ ç ¥â, çâ® P ¤¥«¨â Q1 . á«¥¤á⢨¥ í⮣®, ¥á«¨ UV 2 I (P ) , â® P ¤¥«¨â (UV )1 = U1V1 ¨«¨ ¥éñ, çâ® «¨¡® P ¤¥«¨â U1 , «¨¡® P ¤¥«¨â V1 .
¥¬¬ 6.11 ¦¤ë© ¯à®á⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ « ¨¬¥¥â ¢¨¤ I (P ) , £¤¥ P ¥¯à¨¢®¤¨¬.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì I { ¥ã«¥¢®© ¯à®á⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ «;
¢ë¡¥à¥¬ ¢ I ¥ã«¥¢ë¥ ¬®£®ç«¥ë ¬¨¨¬ «ì®£® ¯®à浪 n , § ⥬ á।¨ ¨å { ¬¨¨¬ «ì®© á⥯¥¨ ¯® x(n) ¨, ª®¥æ, á।¨ ¯®á«¥¤¨å { ¬®£®ç«¥ P ¬¨¨¬ «ì®© ®¡é¥© á⥯¥¨. ª ª ª I { ¯à®á⮩, ®ç¥¢¨¤®, P ¥¯à¨¢®¤¨¬: ï å®çã ¤®ª § âì, çâ® I = I (P ) . ãáâì Q «¥¦¨â ¢ I (P ) ¨ S (P )m Q 2 (P ) I ; ¬®£®ç«¥ S (P ) , ¨¬¥ï á⥯¥ì ¯® x(n) ¬¥ìè¥, 祬 á⥯¥ì P ¯® x(n), ¥ ¬®¦¥â ¯à¨ ¤«¥¦ âì I ; â ª ª ª I { ¯à®á⮩, Q ¯à¨ ¤«¥¦¨â I .
6.b
75
¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¯®«ï
ãáâì Q «¥¦¨â ¢ I ; á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ , ®¯¨á ®£® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬¥, 祬 á ®¡à §®¢ ¨ï ¬®£®ç«¥ Q1 ¯®à浪 n, â ª®£®, çâ® S (P )m Q ¨ Q1 ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î (P ) . áᬮâਬ Q1 ¨ P ª ª ¬®£®ç«¥ë ®â ¯¥à¥¬¥®© x(n) ¨ ¢ë¯®«¨¬ ¥¢ª«¨¤®¢® ¤¥«¥¨¥ Q1 P ; çâ®¡ë ¢ à ¢¥á⢥, ¯®«ã祮¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§¡ ¢¨âìáï ®â ¤à®¡¥©, 㦮 ¥£® 㬮¦¨âì ¥ª®â®àãî á⥯¥ì £« ¢®£® ª®íää¨æ¨¥â M ¢ P , ïî饣®áï ¬®£®ç«¥®¬ ®â x; : : :; x(n?1) , ¨ ¯®«ãç¨âì ¬®£®ç«¥ R1 á⥯¥¨ ¯® x(n), ¬¥ì襩, 祬 á⥯¥ì P ¯® x(n), â ª®©, çâ® M k Q1 = AP + R1 . ª ª ª Q1; P ¨ R1 «¥¦ â ¢ I ,â® ¤®«¦® ¡ëâì R1 = 0 ¯® ¬¨¨¬ «ì®á⨠¢ë¡®à P . ª ª ª P ¥ ¬®¦¥â ¤¥«¨âì ᢮© ª®íää¨æ¨¥â, P ¤¥«¨â Q1 , § ç¨â, Q «¥¦¨â ¢ I (P ) .
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¯à®á⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ « ®¯à¥¤¥«ï¥âáï "¬¨¨¬ «ìë¬ ¬®£®ç«¥®¬" P ; I (P ) ¢®®¡é¥ £®¢®àï ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â ¨ á ¨¤¥ «®¬, ¯®à®¦¤¥ë¬ P , ¨ ¤ ¦¥ á à ¤¨ª «ìë¬ (¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬) ¨¤¥ «®¬, ¯®à®¦¤¥ë¬ P , ¨ á¢ï§ì, ª®â®à ï ®¡ê¥¤¨ï¥â ¯à®á⮩ ¨¤¥ « á ¥£® ¬¨¨¬ «ìë¬ ¬®£®ç«¥®¬ ¡®«¥¥ ⮪ , 祬 ¢ á«ãç ¥ ®¡ëçëå ¯®«¥© (¯à®¡«¥¬ 宦¤¥¨ï ®¡à §ãîé¨å ¤«ï I (P ) ¢ ª ç¥á⢥ à ¤¨ª «ì®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¨¤¥ « §ë¢ ¥âáï "¯à®¡«¥¬®© ¨ââ " ; ¨§¢¥áâë «¨èì ¥ñ ®ç¥ì äà £¬¥â àë¥ à¥è¥¨ï). ⮡ë ã¯à®áâ¨âì ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ⥮६, ¤®£®¢®à¨¬áï, çâ® ¬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ ã«¥¢®£® ¨¤¥ « { ¬¨ä¨ç¥áª®¥ áãé¥á⢮ ¯®à浪 ! ¨ á ᥯ à ⮬ 1 . £®¬ à §¬¥à®á⨠¯à®á⮣® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¨¤¥ « I (P ) §ë¢ ¥âáï ¯®à冷ª RD(I (P )) ¥£® ¬¨¨¬ «ì®£® ¬®£®ç«¥ .
¥¬¬ 6.12 ⥯¥ì âà á楤¥â®á⨠à áè¨à¥¨ï ¯®«ï K (a)d=K à ¢ RD(Ia=k ) .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ Ia=K = 0 (¢ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® a ¤¨ää¥-
à¥æ¨ «ì® âà á楤¥â¥ ¤ K ) , â® a ¨ ¥£® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®¡à §ãîâ ¡ §ã âà á楤¥â®á⨠K (a)d=K . ç¥ ¯ãáâì n { ¨¡®«ì襥 âãà «ì®¥ ç¨á«®, â ª®¥, çâ® a; : : :; a(n?1) «£¥¡à ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ K : n { ¯®à冷ª ¬¨¨¬ «ì®£® ¬®£®ç«¥ P í«¥¬¥â a ¤ K . ®áª®«ìªã 0 = P (k)(a) = S (P )(a)a(n+k) + Pk (a; : : :; a(n+k?1)) ¨ S (P )(a) 6= 0 , â® a(n+k) ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¯à®¨§¢®¤ë¥ a ¨§è¥£® ¯®à浪 , ¨ a; : : :; a(n?1) ®¡à §ãîâ ¡ §ã âà á楤¥â®á⨠¤«ï K (a)d=K .
¥¬¬ 6.13 ãáâì P { ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¬®£®ç«¥ ¯®à浪 n ; ª ¦¤ë© ¯à®-
á⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ «, ᮤ¥à¦ 騩 P , ® ¥ à ¢ë© I (P ), ¨¬¥¥â à £ RD, ¬¥ì訩, 祬 n.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì I (Q) { ¯à®á⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ «, ᮤ¥à¦ 騩 P ¨ ¨¬¥î騩 à £ à §¬¥à®á⨠n. ¬¥¥¬ S (Q)mP 2 (Q) , ¯® «¥¬¬¥ 6.8 íâ® ®§ ç ¥â, çâ® Q ¤¥«¨â P ; â ª ª ª ®¨ { ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ¬®£®ç«¥ë, â® P = Q (á â®ç®áâìî ¤® ®¡à ⨬®£® í«¥¬¥â K ).
¥¯¥àì ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ¨áá«¥¤®¢ âì, çâ® ¯à®¨§®©¤¥â á 訬¨ ¨¤¥ « ¬¨ ¯à¨ à áè¨à¥¨¨ K L ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¯®«¥©; ¯à®á⮩ ¨¤¥ « J ¢ L[x]d
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« ¢ 6
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¥¬¬ 6.14 ãáâì K L { à áè¨à¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¯®«ï, P { ¥¯à¨-
¢®¤¨¬ë© ¬®£®ç«¥ ¢ K [x]d ¨ P1 { ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¤¥«¨â¥«ì P ¢ L[x]d . ®£¤ I (P1; L) { áë I (P; K ) .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì Q 2 K [x]d . ।¯®«®¦¨¬ á ç « , çâ® Q «¥¦¨â ¢ I (P; K ) ¨ S (P )mQ 2 (P ); ¯¥à¥©¤¥¬ ª L : P = AP1 , £¤¥ P1 ¥ ¤¥«¨â A, ¯®áª®«ìªã íâ® { ¯à®á⮩ ¤¥«¨â¥«ì P ; â ª ª ª S (P ) = AS (P1) + @A=@x(n)P1; S (P1)mAmQ 2 (P1) ¨ ¥éñ AmQ 2 I (P1; L) ; â ª ª ª A ¥ «¥¦¨â ¢ I (P1; L) («¥¬¬ 6.8) ¨ íâ®â ¨¤¥ « { ¯à®á⮩, â® Q 2 I (P1; L) . ¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® Q ¢ I (P1; L) ; ®áâ ¢ ïáì ¢ãâਠK , ¬ë ©¤¥¬ ¬®£®ç«¥ Q1 ¯®à浪 ¥ ¡®«ìè¥ n, â ª®©, çâ® S (P )m Q ¨ Q1 ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î (P ) ¨, § ç¨â, Q1 { í«¥¬¥â ¨§ I (P1; L) ; â ª ª ª ¥£® ¯®à冷ª ¥ ¯à¥¢ëè ¥â n , â® ® ¤¥«¨âáï P1 ¨ ¯®áª®«ìªã ¥£® ª®íää¨æ¨¥âë ¨§ K , â® ® ¤¥«¨âáï ¢á¥ í«¥¬¥âë, ᮯàï¦¥ë¥ á P1 ¢ K , â ª¦¥ ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ á¨«ã ¨å ¥¯à¨¢®¤¨¬®áâ¨; § ç¨â, Q1 ¤¥«¨âáï P , ®âªã¤ Q «¥¦¨â ¢ I (P; L).
ç áâ®áâ¨, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ª ¦¤ë© ¯à®á⮩ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ « ¨¬¥¥â á뮢¥© ¨ í⨠á뮢ìï á ⥬ ¦¥ à £®¬ RD , çâ® ®ç¥¢¨¤® ¯® «¥¬¬¥ 6.14, §ë¢ îâáï á뮢ìﬨ ¡¥§ ®âª«®¥¨ï. ¥¯¥àì ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¨áâ㯨âì ª ¯®ïâ¨î ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮣® ¯®«ï; ç⮡ë ã¯à®áâ¨âì ᥡ¥ ¦¨§ì, ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¥ã«¥¢ë¥ í«¥¬¥âë ¯®«ï K ª ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¬®£®ç«¥ë ¯®à浪 ?1 . ¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ K å à ªâ¥à¨á⨪¨ ã«ì §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¬, ¥á«¨ ®® ¨¬¥¥â á«¥¤ãî饥 ᢮©á⢮: ª ¦¤ ï á¨á⥬ , ®¡à §®¢ ï ¨§ ®¤®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¯®à浪 n 0 ¨ ®¤®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¥à ¢¥á⢠¯®à浪 m < n ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x ¨ á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ K , ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ¢ K . ¨ää¥à¥æ¨ «ì ï § ¬ªãâ®áâì
6.b
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¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¯®«ï ¢ëà ¦ ¥âáï á«¥¤ãî騬 ¡¥áª®¥çë¬ á¯¨áª®¬ ªá¨®¬ : (8y1 : : : yn)(8z1 : : : zm)(9x)(P (x) = 0 ^ Q(x) 6= 0) ; £¤¥ yi { ª®íää¨æ¨¥âë ¬®£®ç«¥ P ¯®à浪 n (®¤¨ ¨§ £« ¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ à ¢¥ 1 , çâ®¡ë £ à â¨à®¢ âì ¯®à冷ª n ¬®£®ç«¥ã), bj { ª®íää¨æ¨¥âë ¬®£®ç«¥ Q ¯®à浪 m < n (á ⥬¨ ¦¥ ãá«®¢¨ï¬¨): 㦮 ¯® ®¤®© ªá¨®¬¥ ¤«ï ª ¦¤®© ¢®§¬®¦®© ®¡é¥© á⥯¥¨ ¤«ï P ¨ Q . ç¨âë¢ ï ᮣ« 襨¥ ¯à¨ï⮥ ¢ëè¥, ¨¬¥¥¬ ᮢ¬¥áâãî á¨á⥬ã P (x) = 0 ^ 1 6= 0 , £¤¥ P (x) { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¬®£®ç«¥ ¯®à浪 0 , â.¥. ®¡ëçë© ¬®£®ç«¥, â ª çâ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥, ¢ ç áâ®áâ¨, «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâ®.
¥®à¥¬ 6.15 ¦¤®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì K { ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ ¨
(P0; Q0); : : :; (P ; Q ); : : : { ®à¤¨ «ì ï 㬥à æ¨ï ¢á¥å á¨á⥬ ®â ¤¢ãå ¬®£®ç«¥®¢ ¨§ K [x]d, £¤¥ ¯®à冷ª Q ¬¥ìè¥ ¯®à浪 P . ®¯ãá⨬, çâ® U0 { ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¤¥«¨â¥«ì P0 ¢ K [x]d ⮣® ¦¥ ¯®à浪 çâ® P0 ¨ K0 { à áè¨à¥¨¥ K , ᮤ¥à¦ 饥 í«¥¬¥â a0, â ª®©, çâ® Ia0=K = I (U0); ¯® «¥¬¬¥ 6.8 Q0 ¥ «¥¦¨â ¢ I (U0) ¨ a0 { à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë P0(x) = 0 ^ Q0(x) 6= 0. «¥¥ à áᬮâਬ ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¤¥«¨â¥«ì U1 ¤«ï P1 ¢ K0[x]d ⮣® ¦¥ ¯®à浪 çâ® ¨ P1 ¨ ¬ë ¤®¡ ¢«ï¥¬ í«¥¬¥â a1, ¨¤¥ « ⮦¤¥á⢠¤ K0 ª®â®à®£® à ¢¥ I (U1; K0) . ¯®¢â®àïï â ªãî ¯à®æ¥¤ãàã, ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ¬ë ¯®«ã稬 à áè¨à¥¨¥ L1 ¯®«ï K , ¢ ª®â®à®¬ ¢á¥ á¨á⥬ë á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ K ¨¬¥îâ à¥è¥¨¥; § ⥬ ¯®áâந¬ 楯®çªã K L1 Ln Ln+1 : : : , â ªãî, çâ® ¢á¥ á¨á⥬ë á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ Ln ¨¬¥îâ à¥è¥¨¥ ¢ Ln+1 . ।¥« ¯®«¥© Ln ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¬ à áè¨à¥¨¥¬ K .
¥®à¥¬ 6.16 ¥®à¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© (å à ªâ¥à¨á⨪¨
ã«ì) ¯®« ¨ ¨¬¥¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a ¨ b ¨§ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© K ¨ L , ª®â®àë¥ ¯à¥¤¯®« £ îâáï !- áëé¥ë¬¨ ¨ ¯ãáâì ®¨ ¯®à®¦¤ îâ ¨§®¬®àäë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¯®¤¯®«ï k ¨ h. ë ¤®«¦ë ¤®ª § âì, çâ® (K; a) ¨ (L; b) 1-¨§®¬®àäë. ( ¬¥ç ¨¥: ¢ 襬 ï§ëª¥ 㤮¢«¥â¢®àïâì ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ®§ ç ¥â ¯®à®¤¨âì ¨§®¬®àäë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ª®«ìæ , ¨ çâ® íª¢¨¢ «¥â®, ¯®à®¤¨âì ¨§®¬®àäë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¯®«ï). ®¡ ¢¨¬, ¯à¨¬¥à, ª a ; ¯ãáâì P { ¬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ ¤ k, ¨ Q { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¬®£®ç«¥, ¯®«ãç¥ë© ¯¥à¥®á®¬ P h ¨§®¬®à䨧¬®¬: Q â ª¦¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬; â ª ª ª L ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ®, â® ¤«ï ¤ ®£® ª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠Q1; : : :; Qs ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¬®£®ç«¥®¢, ®â«¨çëå ®â ã«ï ¨ ¨¬¥îé¨å ¬¥ì訩 ¯®à冷ª 祬 Q, áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ¨§ L, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 á¨á⥬¥ Q = 0 ^ Q1 Q2: : : Qs 6= 0. ® ª®¬¯ ªâ®á⨠¡ã¤¥â ᮢ¬¥áâë¬ á ⥮ਥ© L â ª¦¥ áãé¥á⢮¢ ¨¥ í«¥¬¥â , â ª®£®, çâ® Q( ) = 0 ¨ Qi( ) 6= 0 ¤«ï «î¡®£® ¬®£®ç«¥ Qi 6= 0 ¨§ h[x]d ¯®à浪 , ¬¥ì襣®, 祬
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¯®à冷ª Q ; â ª ª ª L !- áë饮, â ª®© áãé¥áâ¢ã¥â ¢ L . ® «¥¬¬¥ 6.13 I =h = I (Q; h) ¨ k( )d ¨ h( )d ¨§®¬®àäë.
¥®à¥¬ 6.17 (® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ã«ïå) ãáâì K { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì-
®¥ ¯®«¥ (å à ªâ¥à¨á⨪¨ ã«ì) ¨ S { (ª®¥ç ï) á¨á⥬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå à ¢¥á⢠¨ ¥à ¢¥á⢠®â ¬®£¨å ¯¥à¥¬¥ëå, ¨¬¥îé ï à¥è¥¨¥ ¢ ¥ª®â®à®¬ à áè¨à¥¨¨ L ¯®«ï K ; ⮣¤ S ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ¢ «î¡®¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮬ à áè¨à¥¨¨ K .
®ª § ⥫ìá⢮. â ⥮६ ¤®ª §ë¢ ¥âáï â ª ¦¥, ª ª ⥮६ 6.5.
¥¯¥àì ¢®§¨ª ¥â ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® § ¬ëª ¨ï ¤ ®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¯®«ï K , â.¥. ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮣® ¯®«ï K , â ª®£®, çâ® «î¡®¥ ¢«®¦¥¨¥ K ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥ ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® K . ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® K ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®¡« ¤ ¥â â ª¨¬ § ¬ëª ¨¥¬: íâ® ç áâë© á«ãç © ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥© ¤«ï â®â «ì® âà á楤¥âëå ⥮਩, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ ¢ ¯®á«¥¤ãî饬 ¨§ãç¥ë ®ç¥ì ¤¥â «ì® (ᬮâਠ£« ¢ã 18) . «ï ⥮ਨ T ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥©, ¯à®áâà á⢮ S1(K ) ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®áâà á⢮¬ ¯à®áâëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨¤¥ «®¢ ¢ K [x]d, ⮯®«®£¨ï ª®â®à®© ¯®à®¦¤ ¥âáï ¡ §¨á®¬ ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠¢¨¤ hP = 0i = fI : I 2 S1(K ) ¨ P 2 I g . ®£¤ ⨯ ¨§®«¨à®¢ ¢ í⮩ ⮯®«®£¨¨ ? (
éñ £®¢®àïâ, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¨¤¥ « ®£à ¨ç¥) . ¥¬¬ 6.13 ã⢥ত ¥â, çâ® hP = 0i ¨§®«¨àã¥â I (P ) ®â ⨯®¢, ¨¬¥îé¨å ¡®«ì訩 RD-à £ ¨, § ç¨â, ®ªà¥áâ®áâì, ¨§®«¨àãîéãî I (P ), ¬®¦® ¢ë¡à âì ¢ ¢¨¤¥ hP = 0 ^ Q1 6= 0 ^ ^ Qs 6= 0i, £¤¥ Qi ¨¬¥îâ ¬¥ì訩 ¯®à冷ª, 祬 P , ¨ ¥éñ, § ¬¥¨¢ Qi ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ Q, ¢ ¢¨¤¥ hP = 0 ^ Q 6= 0i . à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, I (P ) ¨§®«¨à®¢ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â Q, ¯®à冷ª ª®â®à®£® ¬¥ìè¥, 祬 ¯®à冷ª P , ¨ I (P ) { ¥¤¨áâ¢¥ë© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ¨¤¥ «, ᮤ¥à¦ 騩 P ¨ ¥ ᮤ¥à¦ 騩 Q . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î (¨ í⮠ᮣ« áã¥âáï á £« ¢®© 5) ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥ K ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ ¨§®«¨à®¢ ë¥ â¨¯ë ¤ K . ¥¬¬ 6.18 §®«¨à®¢ ë¥ â¨¯ë ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢ S1(K ) . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ K , ®¯à¥¤¥«ïîé ï ¥¯ãá⮥ ®âªàëâ®-§ ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ S1(K ), ¨ p ¨§ hf i , ¨¬¥î騩 ¬¨¨¬ «ìë© RD-à £ ¨ ¬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ P . ¨¯, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ä®à¬ã«¥ P = 0 ^ f , ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¬¥ì訩 RD-à £, 祬 ¯®à冷ª P , ¨ ®¡ï§ â¥«ì® á®¢¯ ¤ ¥â á p : íâ® ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮ ¨§®«¨àã¥â p.
â «¥¬¬ ¯®§¢®«ï¥â ¬ ¤®ª § âì, çâ® ª ¦¤®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ ®¡« ¤ ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ § ¬ëª ¨¥¬. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì K { â ª®¥ ¯®«¥ ¨ L { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥ K .
᫨ K ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ®, â® ®® ï¥âáï ᢮¨¬ § ¬ëª ¨¥¬, ¨ ç¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®«¨à®¢ ë© â¨¯ p 2 S1(K ) , ¥ ॠ«¨§ãî騩áï ¢ K : ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥ª®â®à ï
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᫨ K1 ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ®, â® ®áâ ®¢¨¬áï, ¨ ç¥ ©¤¥¬ a1 ¨§ L ? K1, ¨§®«¨à®¢ ®£® ⨯ ¤ K1, ¨ â.¤. த®«¦ ï â ª®© ¯à®æ¥áá, ¯®áâந¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a í«¥¬¥â®¢ ¨§ L, ¨¤¥ªá¨à®¢ ëå ®à¤¨ « ¬¨, â ªãî, çâ® a 62 K = K (fa g < )d ¨ ⨯ a ¤ K ¨§®«¨à®¢ . ¥¨§¡¥¦® ç¥à¥§ ¥ª®â®à®¥ (âà á䨨⮥) ç¨á«® è £®¢ íâ ª®áâàãªæ¨ï ®áâ ®¢¨âáï, ¯®áª®«ìªã ® à §¢®à 稢 ¥âáï ¢ãâਠL ¨ a ¥ ¯®¢â®àïîâáï. ç¨â, ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ¬ë ¯®«ã稬 ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥ K = K (fa g < )d ¤«ï ¥ª®â®à®£® . ã⢥ত î, çâ® K { ¯à®á⮥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥ ¤ K : ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ L1 { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¤¯®«¥ K , ⨯ a0 ¤ K , ª ª ¨§®«¨à®¢ ë©, ॠ«¨§ã¥âáï ¢ L1 ; íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¬®¦® ¢«®¦¨âì K1 ¢ L1 ; § ⥬ ॠ«¨§ã¥¬ ⨯ a1 ¤ K1 ¢ L1 ¨ â.¤. ; ¨â¥à¨àãï ¯à®æ¥¤ãàã, ¬ë ¢ª« ¤ë¢ ¥¬ K ¢ L1 , á«¥¤ãî騬 è £®¬ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à®¤®«¦¨âì íâ® ¢«®¦¥¨¥ a , ¯®áª®«ìªã ¥£® ⨯ ¤ K ¨§®«¨à®¢ . áâ ®¢¨¢ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® § ¬ëª ¨ï, § ¤ ¤¨¬áï ¢®¯à®á®¬ ®¡ ¥£® ¥¤¨á⢥®áâ¨. ¥©á⢨⥫ì®, K { ¥¤¨á⢥®¥ ¯à®á⮥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥ ¤ K , ® ¬ë ¢ ¤ ë© ¬®¬¥â ¤ «¥ª¨ ®â ¢®§¬®¦®á⨠¥£® ¤®ª § ⥫ìá⢠; ® âॡã¥â ¤®áâ â®ç® ⮪ãî â¥å¨ªã áâ ¡¨«ì®á⨠¨ ¡ã¤¥â ¯à¨¢¥¤¥® «¨èì ¢ £« ¢¥ 18. ¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ ¯ ⮫®£¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠, 祬 «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥ ¯®«¥©. ०¤¥ ¢á¥£®, ª ª®© ⨯ ¡ã¤¥â «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¢ á¬ëá«¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© ?
᫨ P { ¬®£®ç«¥ ¯®à浪 1 ¨ Q { ¬®£®ç«¥ ¬¥ì襣® ¯®à浪 , 祬 P , â® ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® á¨á⥬ P (x) = 0 ^ Q(x) 6= 0 ^ x 6= a1 ^ ^ x 6= an ¨¬¥¥â à¥è¥¨¥ ¢ ¢ «î¡®¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮬ ¯®«¥, ᮤ¥à¦ 饬 ¥£® ª®íää¨æ¨¥âë. ª á«¥¤á⢨¥, ¥¤¨á⢥묨 «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨ ⨯ ¬¨ ¡ã¤ãâ â¥, ã ª®â®àëå ¬¨¨¬ «ìë© ¬®£®ç«¥ ¯®à浪 0. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á«ãç ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥©, «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥ ¢ ⥮à¥â¨ª®-¬®¤¥«ì®¬ á¬ëá«¥ ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¯®«ï.
᫨, ¯à¨¬¥à, K { ¯®«¥ ª®áâ â, â® ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ ¬®£® ¡®«ìè¥ ç¥¬ «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥, ¯®áª®«ìªã «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® «î¡®© «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ¤ K í«¥¬¥â ï¥âáï ª®áâ ⮩. â® ¢«¥ç¥â, çâ® ¥á«¨ L { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥ K , â® ¤«ï ¥¤¨á⢥®á⨠®¡à § ¢«®¦¥¨ï K ¥â ¨ª ª¨å ®á®¢ ¨©. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì p { ¨§®«¨à®¢ ë© ¨ ¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨© ⨯ ¨§ S1(K ) ( ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ K { ¯®«¥ ª®áâ â, â® ä®à¬ã« x0 = 1 ¨§®«¨àã¥â ⨯ ¤ ¨¬) ; â ª ª ª p ¥ «£¥¡à ¨ç¥, ⮠⥮à¨ï, ï§ëª ª®â®à®© ᮤ¥à¦¨â { ®¢ëå ᨬ¢®«®¢ ª®áâ â, ¢ëà ¦ îé ï, çâ® íâ¨ í«¥¬¥âë { à §«¨çë¥ à¥ «¨§ 樨 p, ᮢ¬¥áâ . ª á«¥¤á⢨¥, K ¨¬¥¥â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥ L á { ॠ«¨§ æ¨ï¬¨ ⨯ p, £¤¥ { > jK j. ¤ ª®, ª ¦¤ ï ¨§ ¨å ¬®¦¥â ¡ëâì ¢§ïâ ª ª ¯¥à¢ë© í«¥¬¥â ¢ 㬥à 樨 ¥ª®â®à®© ª®¯¨¨ K , â ª çâ® ª ¦¤ ï ¨§ ¨å ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âáï ¢ ®¡à §¥ ¢«®¦¥¨ï K ; ®, â ª ª ª ¯® ⥮६¥ ¥¢¥-
80
« ¢ 6
£¥©¬ K ¨¬¥¥â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥ ¢ ᢮¥© ¬®é®áâ¨, card(K ) = card(K ) , â ª çâ® ¢«®¦¥¨¥ K ¢ L ¥ ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì ¨å ¢á¥å. ®«¥ K ¨¬¥¥â, ¥á«¨ K { ¯®«¥ ª®áâ â, ¥éñ ¡®«¥¥ ®§ ¤ 稢 î饥 ᢮©á⢮: áãé¥áâ¢ãîâ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¯®«ï, «¥¦ 騥 áâண® ¬¥¦¤ã K ¨ K .
áâ¥á⢥®, â ª ª ª ®¨ â ª¦¥ ¯à®áâë¥, ®¨ K -¨§®¬®àäë K : áãé¥áâ¢ã¥â ¥ áîàꥪ⨢®¥ K -¢«®¦¥¨¥ K ¢ K ! (£®¢®àïâ, çâ® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì, ¨¬¥îé ï â ª®¥ ᢮©á⢮, ¥ ¬¨¨¬ «ì ) . ®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ä ªâ ¨á¯®«ì§ã¥â «¥£ªãî ⥮à¨î ¬®¤¥«¥© ¨ ®¤¨ ®ç¥ì ¥¯à®á⮩ १ã«ìâ â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®© «£¥¡àë.
6.c ã«¥¢ë «£¥¡àë ã«¥¢ë¬ ª®«ì殬 §ë¢ ¥âáï áá®æ¨ ⨢®¥ ª®«ìæ® á ¥¤¨¨æ¥©, ¢ ª®â®à®¬ = x ¤«ï «î¡®£® x; § ç¨â, ¬ë ¨¬¥¥¬ â ª¦¥ (x + y)2 = x2 + xy + yx + y2 = x + xy + yx + y ¨ ªà®¬¥ í⮣® (x + y)2 = x + y ; ¯®í⮬ã xy + yx = 0 ¤«ï ¯à®¨§¢®«ìëå x; y ; x2 + x2 = 0, § ç¨â, x + x = 0 ¤«ï «î¡®£® x ¨«¨ x = ?x ; ®âáî¤ ¡ã«¥¢® ª®«ìæ® ¨¬¥¥â å à ªâ¥à¨á⨪ã 2 ¨, â ª ª ª xy = ?yx = yx , ®® ª®¬¬ãâ ⨢®. â®¡ë ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì íâ® ¯®ï⨥, ¬ë ¢¢®¤¨¬ ï§ëª, ᮤ¥à¦ 騩 ¤¢ ᨬ¢®« ª®áâ â 0 ¨ 1 , ¤¢ ᨬ¢®« ¡¨ àëå ®â®è¥¨© + ¨ ; ç¨â â¥«ì ¡¥§ âà㤠¯¨è¥â ¥áª®«ìª® 㨢¥àá «ìëå ªá¨®¬, ¢ëà ¦ îé¨å, çâ® A ¡ã«¥¢® ª®«ìæ®, ¥ § ¡ë¢ ï ¯à¨ í⮬ 0 6= 1 . ¡ã«¥¢®¬ ª®«ìæ¥ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¤¢¥ ¡¨ àë¥ ®¯¥à 樨 ^ ; _ ¨ ã àãî ®¯¥à æ¨î : á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ : x ^ y = x y , x _ y = x + y + xy; :x = 1 + x . ¨â â¥«ì «¥£ª® ã¡¥¤¨âáï, çâ® á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠¢ë¯®«ïîâáï ¤«ï ¢á¥å x; y ¨ z .
x2
{ (§ ª®ë ¤¥ ®à£ ¨«¨ ¤ã «ì®áâì) :(:x) = x, :(x ^ y) = :x _ :y; :(x _ y) = :x ^ :y , { x_x = x^x =x , { ( áá®æ¨ ⨢®áâì ^ ) (x ^ y) ^ z = x ^ (y ^ z) , { ( áá®æ¨ ⨢®áâì _ ) (x _ y) _ z = x _ (y _ z) , { (¤¨áâਡã⨢®áâì ^ ¤ _) x ^ (y _ z) = (x ^ y) _ (x ^ z) , { (¤¨áâਡã⨢®áâì _ ¤ ^) x _ (y ^ z) = (x _ y) ^ (x _ z) , { (ª®¬¬ãâ ⨢®áâì ^ ¨ _) x ^ y = y ^ x; x _ y = y _ x , { x ^ :x = 0; x _ :x = 1 , { x ^ 0 = 0; x _ 0 = x; x ^ 1 = x; x _ 1 = 1 , { 0 6= 1; :0 = 1; :1 = 0 .
6.c
ã«¥¢ë «£¥¡àë
81
âàãªâãà ¢ ï§ëª¥ 0; 1; :; ^; _; , 㤮¢«¥â¢®àïîé ï í⨬ 㨢¥àá «ìë¬ ªá¨®¬ ¬, §ë¢ ¥âáï ¡ã«¥¢®© «£¥¡à®© ; ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â ¯à®¢¥à¨âì ᮢ , çâ® ¢ ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥ ®â®è¥¨¥ x ^ y = x íª¢¨¢ «¥â® ®â®è¥¨î x _ y = y ¨, çâ® íâ® { (ç áâ¨çë©) ¯®à冷ª, ª®â®àë© ¬ë ®¡®§ 稬 x y ; ®â®á¨â¥«ì® ¥£® 0 ï¥âáï ¨¬¥ì訬, 1 ¨¡®«ì訬 í«¥¬¥â ¬¨. «ï í⮣® ¯®à浪 x _ y ¥áâì ¢¥àåïï £à ì x ¨ y , ¨ x ^ y ¨¦ïï £à ì: â ª¨¬ ®¡à §®¬, à¥çì ¨¤¥â ® à¥è¥âª¥ ¨ ¤ ¦¥ ® ¤¨áâਡã⨢®© à¥è¥âª¥ (㤮¢«¥â¢®àïî饩 ªá¨®¬ ¬ ¤¨áâਡã⨢®á⨠^ ¤ _ ¨ _ ¤ ^ ) ; ªà®¬¥ í⮣® ® á ¡¦¥ ®¯¥à 樥© ¤®¯®«¥¨ï : , ª®â®à ï ¯¥à¥áâ ¢«ï¥â ^ ¨ _, ¨¢®«î⨢ , â.¥. :(:x) = x, ¨ ¯¥à¥¢®à 稢 ¥â ¯®à冷ª: ¥á«¨ x y , â® :x :y ; ¢¤®¡ ¢®ª :x { ®¤®¢à¥¬¥® ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â y, â ª®©, çâ® x _ y = 1 ¨ ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥â y, â ª®©, çâ® x ^ y = 0 . ª á«¥¤á⢨¥, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¡ã«¥¢ «£¥¡à ¬®¦¥â ¡ëâì â ª¦¥ à áᬠâਢ âìáï ª ª ç áâ¨çë© ¯®à冷ª, §ë¢ ¥¬ë© ¡ã«¥¢ë¬ ¯®à浪®¬: ¢á¥ ®¯¥à 樨 0; 1; :; ^; _ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ç¥à¥§ íâ®â ¯®à冷ª. ¡ã«¥¢ë¬ ª®«ì殬 A ¬ë á¢ï§ «¨ ¥ª®â®àãî ¡ã«¥¢ã «£¥¡àã b(A); ®¡à ⮥ ï ®áâ ¢«ïî ç¨â â¥«î ¤«ï ¯à®¢¥àª¨: ¥á«¨ ¢ ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥ B ¬ë ¯®« £ ¥¬ x y = x ^ y; x + y = (x _ y) ^ (:x _ :y) , â® ¯®«ãç ¥¬ ¡ã«¥¢® ª®«ìæ® a(B ); ¨ ªà®¬¥ í⮣® a(b(A)) = A; b(a(B )) = B . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® á â®ç®áâìî ¤® ï§ëª ¡ã«¥¢ë ª®«ìæ ¨ ¡ã«¥¢ë «£¥¡àë ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ áâàãªâãàë, ¡ã«¥¢® ª®«ìæ® ª ®¨ç¥áª¨ ¯à¥®¡à §ã¥âáï ¢ ¡ã«¥¢ã «£¥¡àã ¨ ®¡®à®â, ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ ®¡¥¨å ¯à ¢«¥¨ïå ®áãé¥á⢫ïîâáï á ¯®¬®éìî ¡¥áª¢ â®àëå ä®à¬ã«. ¥á®¬¥®, çâ® ¢á¥, ® 祬 £®¢®à¨«®áì ¢ëè¥, ®¯¨à ¥âáï ¯à®áâë¥, ® ¥¬®£® ¤«¨ë¥ ¯à®¢¥àª¨ (¢ ®á®¡¥®áâ¨, ¯à®¢¥àª áá®æ¨ ⨢®á⨠+ ) , ¨ ¨¬¥® ¯®í⮬ã ï ®áâ ¢«ïî í⮠㤮¢®«ìá⢨¥ ç¨â ⥫î. ª ¯à¨¬¥à ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë ¬®¦® ¯à¨¢¥á⨠«£¥¡àã ¯®¤¬®¦¥á⢠¥¯ãá⮣® ¬®¦¥á⢠E , £¤¥ 0 = ;; 1 = E; :x { ¤®¯®«¥¨¥ x ¢ E; x _ y { ®¡ê¥¤¨¥¨¥ x ¨ y , x ^ y { ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨¥; ª ª ¡ã«¥¢® ª®«ìæ®, íâ® ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ª®¯¨© ¤¢ãåí«¥¬¥â®£® ¯®«ï Z=2Z(ïî饣®áï, ¢¯à®ç¥¬, ¨¬¥ì訬 ¡ã«¥¢ë¬ ª®«ì殬 á® á«®¦¥¨¥¬: 0 + 0 = 1 + 1 = 0; 0 + 1 = 1 ; ¨ 㬮¦¥¨¥¬ 0 0 = 0 1 = 0; 1 1 = 1 ), £¤¥ ª®¯¨¨ ¨¤¥ªá¨à®¢ ë í«¥¬¥â ¬¨ E ; ç⮡ë íâ® ¯®ïâì, ᮯ®áâ ¢¨¬ ª ¦¤®¬ã ¯®¤¬®¦¥áâ¢ã x ¢ E ¥£® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî äãªæ¨î, â.¥. äãªæ¨î ¨§ E ¢ ¬®¦¥á⢮ f0; 1g , ª®â®à ï ®â®¡à ¦ ¥â e ¢ 1 , ¥á«¨ e 2 x, ¨ ¢ 0 , ¥á«¨ e 62 x . §-§ í⮣® íâ ¡ã«¥¢ «£¥¡à ®¡®§ ç ¥âáï 2E . ®¤¬®¦¥á⢮ I ¡ã«¥¢®£® ª®«ìæ A §ë¢ ¥âáï ¨¤¥ «®¬ ¢ A , ¥á«¨ ®® ¨¤¥ « (¥âਢ¨ «ìë©, â.¥. ¥ ᮤ¥à¦ 騩 1) ¢ ®¡ë箬 ¤«ï ª®«¥æ á¬ëá«¥ : { ¥á«¨ x ¨ y ¨§ I , â® x + y «¥¦¨â ¢ I , { ¥á«¨ x «¥¦¨â ¢ I , â® x y «¥¦¨â ¢ I , { 1 62 I .
᫨ ¬ë ¯¥à¥©¤¥¬ ª ï§ëªã ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à, í⨠ãá«®¢¨ï ¯®á«¥ ¥ª®â®àëå ¬ ¨¯ã«ï権, ¢ë¯®«¥¨¥ ª®â®àëå ¬ë ᮢ ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î, ¯¥à¥¯¨èãâáï â ª : { ¥á«¨ x ¨ y ¨§ I , â® x _ y «¥¦¨â ¢ I ,
82
« ¢ 6
{ ¥á«¨ x 2 I ¨ y x , â® y 2 I , { 1 62 I . ¦¤ë© § ¥â, çâ® ®¡à § ª®«ìæ A ¯à¨ £®¬®¬®à䨧¬¥ f ¨§®¬®àä¥ ä ªâ®àã A ¯® ï¤àã f , ª®â®à®¥ ï¥âáï ¨¤¥ «®¬ ¨, çâ® ®¡à â® ¯® «î¡®¬ã ¨¤¥ «ã ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ä ªâ®à-ª®«ìæ® A=I . â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ®, ¢ ç áâ®áâ¨, ¤«ï ¡ã«¥¢ëå ª®«¥æ ¨ ¤«ï ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à, «£¥¡à B=I ¡ã¤¥â «£¥¡à®©, áá®æ¨¨à®¢ ®© ä ªâ®àã ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¡ã«¥¢®£® ª®«ìæ ¯® I . «ï ä ªâ®à A=I , í«¥¬¥â ¬¨ I ¡ã¤ãâ ¢ â®ç®áâ¨, â¥ í«¥¬¥âë, ª®â®àë¥ ®â®¡à ¦ îâáï ¢ 0 . ¡ã«¥¢®¬ ª®â¥ªáâ¥, ç é¥ ¯à¥¤¯®ç¨â îâ à áᬮâ२¥ í«¥¬¥â®¢, ®â®¡à ¦ îé¨åáï ¢ 1, ¨ §ë¢ îâ 䨫ìâ஬ ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ ¢¨¤ :x , £¤¥ x ¯à®¡¥£ ¥â ¥ª®â®àë© ¨¤¥ « (®¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥: 䨫ìâà ¥ ¤®¯®«¥¨¥ ª ¨¤¥ «ã, ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢, ¤®¯®«¥¨¥ ª®â®àëå ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¨¤¥ «ã!) ; â ª¨¬ ®¡à §®¬ 䨫ìâà å à ªâ¥à¨§ã¥âáï á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨ : { ¥á«¨ x ¨ y ¨§ F , â® x ^ y «¥¦¨â ¢ F , { ¥á«¨ x 2 F ¨ x y , â® y 2 F , { 0 62 F . áâ®, ª®£¤ £®¢®àïâ ® ä ªâ®à¥ ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë, 䨫ìâà ¨ ¨¤¥ «, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥¬ã, ®â®¦¤¥á⢫ïîâ. ®¦® § ¬¥â¨âì á«¥¤ãî饥: ¥á«¨ B ¡ã«¥¢ «£¥¡à , â® ¯®« £ ï 00 = 1; 10 = 0; :x0 = :x; x ^0 y = x _ y; x _0 y = x ^ y ; ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¬®¦¥á⢥ B ¤àã£ãî áâàãªâãàã B 0 ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë, §ë¢ ¥¬®© ¤ã «ì®© ª B ; ®â®¡à ¦¥¨¥ x 7! :x ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ B B 0 , 䨫ìâàë B 0 ¡ã¤ãâ ¨¤¥ « ¬¨ B , â ª çâ® ¥ª®â®àë¥ £®¢®àïâ "¤ã «ìë© ¨¤¥ «" ¢¬¥á⮠䨫ìâà . ¨«ìâàë ¤ I , à áᬮâà¥ë¥ ¬¨ ¢ à §¤¥«¥ 4.a ïîâáï 䨫ìâà ¬¨ ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë 2I . ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥ ¨¤¥ « ¯à®á⠥᫨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ® ¬ ªá¨¬ «¥, ¯®áª®«ìªã ¥¤¨á⢥®¥ 楫®á⮥ ¡ã«¥¢® ª®«ìæ® { íâ® ¤¢ãåí«¥¬¥â®¥ ¯®«¥ f0; 1g; ¨¤¥ « I ¢ B ¬ ªá¨¬ «¥ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ B=I = f0; 1g, â.¥. ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® x «¨¡® x, «¨¡® :x «¥¦¨â ¢ I . ¨«ìâà, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬ ªá¨¬ «ì®¬ã ¨¤¥ «ã §ë¢ ¥âáï ã«ìâà 䨫ìâ஬: ã«ìâà 䨫ìâàë { íâ® ¬ ªá¨¬ «ìë¥ ä¨«ìâàë F , à ¢ë¬ ®¡à §®¬ å à ªâ¥à¨§ãî騥áï á।¨ ¢á¥å 䨫ìâ஢ ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¤«ï «î¡®£® x «¨¡® x , «¨¡® :x 2 F , á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¦¥á⢮, á®áâ®ï饥 ¨§ ¤®¯®«¥¨© í«¥¬¥â®¢ ã«ìâà 䨫ìâà , { í⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥¬ã ¬ ªá¨¬ «ìë© ¨¤¥ «.
᫨ E { ¢¯®«¥ ¥á¢ï§®¥ ª®¬¯ ªâ®¥ ¯à®áâà á⢮ (â.¥. ®¡« ¤ î饥 ¡ §®© ®âªàëâëå ¬®¦¥áâ¢, ®¤®¢à¥¬¥® ïîé¨åáï § ¬ªãâ묨), â® ®âªàë⮧ ¬ªãâë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠E ®¡à §ãîâ ¡ã«¥¢ã ¯®¤ «£¥¡àã 2E . â®, á ¬®¬ ¤¥«¥, á ¬ë© ®¡é¨© ¢¨¤ ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãîé ï ⥮६ ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨. ¥®à¥¬ 6.19 (â®ã) ¦¤ ï ¡ã«¥¢ «£¥¡à ¨§®¬®àä «£¥¡à¥ ®âªàë⮧ ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠¢¯®«¥ ¥á¢ï§®£® ª®¬¯ ªâ®£® ¯à®áâà á⢠E , ª®â®à®¥ ªà®¬¥ ⮣®, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ®¤®§ ç® á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ .
6.c
83
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®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì E { ¬®¦¥á⢮ ¬ ªá¨¬ «ìëå ¨¤¥ «®¢ B , ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® x ¨§ B ¯®« £ ¥¬ hxi = fI : I 2 E ¨ x 2 I g ; § ¬¥â¨¬, çâ® h0i = E; h1i = ;; h:xi = E ? hxi ¨ hx ^ yi = hxi [ hyi , ¯®áª®«ìªã x ^ y = x y ¨ ¨¤¥ «ë { ¯à®áâë¥. ®£¤ hx_yi = hxi\hyi , ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¨¤¥ «, ᮤ¥à¦ 騩 x ¨ y, ᮤ¥à¦¨â ¨ x _ y ; ¥á«¨ ® ᮤ¥à¦¨â x _ y , â® ® ᮤ¥à¦¨â x ¨ y , ª®â®àë¥ ¬¥ìè¥ ¥£®. ç¨â, ¬®¦¥á⢠¢¨¤ hxi ®¡à §ãîâ ¯®¤ «£¥¡àã 2E ¨ ¯®à®¦¤ îâ ⮯®«®£¨î J E ; ¯®ª ¦¥¬, çâ® E áâ ®¢¨âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ª®¬¯ ªâë¬ ¯à®áâà á⢮¬ (ª®â®à®¥ ¢¯®«¥ ¥á¢ï§®, ¯®áª®«ìªã ª ¦¤®¥ ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮ ¨§ ¡ §ë ï¥âáï ®¤®¢à¥¬¥® § ¬ªãâë¬) ; E ᥯ à ¡¥«ì®, ¯®áª®«ìªã ¥á«¨ I 6= J , â® áãé¥áâ¢ã¥â x; x 2 I , ® x 62 J ; ⮣¤ :x 2 J ¨, § ç¨â, hxi ¨ h:xi { ¤¢¥ ®ªà¥áâ®á⨠®â¤¥«ïî騥 I ¨ J .
᫨ hxii { ᥬ¥©á⢮ § ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠¨§ ¡ §ë, ®¡« ¤ î饥 ᢮©á⢮¬ ª®¥ç®£® ¯¥à¥á¥ç¥¨ï, â® «î¡®¥ ª®¥ç®¥ ç¨á«® xi ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ ¨¤¥ «¥, â ª¦¥ 1 ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¨¤¥ «ã, ¯®à®¦¤¥®¬ã ¢á¥¬¨ xi , â.¥. ® ᮡáâ¢¥ë© ¨¤¥ « (®â«¨çë© ®â B ), ª®â®àë© á®¤¥à¦¨âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ ¬ ªá¨¬ «ì®¬ ¨¤¥ «¥ (ᬮâà¨â¥ à §¤¥« 8.b ®¡ ªá¨®¬¥ ¢ë¡®à ) . â®â ¨¤¥ « ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯¥à¥á¥ç¥¨î ¢á¥å hxii . ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¦¥á⢠¢¨¤ hxi ïîâáï ¥¤¨á⢥묨 ®âªàëâ®-§ ¬ªãâ묨 ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ E . ¥©á⢨⥫ì®, ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮ ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¬®¦¥á⢠¢¨¤ hxii ¨ ¥á«¨ ®® ª®¬¯ ªâ, ⮠ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« ¨§ ¨å. â ª, ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ áîàê¥ªâ¨¢ë© £®¬®¬®à䨧¬ B ¤ã «ìãî ª «£¥¡à¥ ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¯®¤¬®¦¥á⢠E . â® ¡ã¤¥â ï¤à®¬ ?
᫨ x «¥¦¨â ¢ ï¤à¥, â® hxi = E (â ª ª ª ã«¥¬ ¤ã «ì®© «£¥¡àë ¡ã¤¥â E , ¥ ; ) ; íâ® ®§ ç ¥â, çâ® x = 0 , ¯®áª®«ìªã ¥á«¨ x 6= 0 , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¬ ªá¨¬ «ìë© ¨¤¥ «, ᮤ¥à¦ 騩 :x ¨ ¥ ᮤ¥à¦ 騩 x . ç¨â íâ®â £®¬®¬®à䨧¬ ¡¨¥ªâ¨¢¥; ¢®®¡é¥-â® ¯à¥¤¯®ç¨â îâ à áᬠâਢ âì ¯à®áâà á⢮ E 0 ã«ìâà 䨫ìâ஢ B , á ¡¦¥®¥ ⮯®«®£¨¥©, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© á ¯®¬®éìî hxi = fF : F 2 E 0 ¨ x 2 F g = fF : F 2 E 0 ¨ :x 62 F g ; â ª ª ª B ¨ B 0 ¨§®¬®àäë, â® â ª¨¬¨ ¡ã¤ãâ E ¨ E 0 , ® íâ®â ¯ãâì { ¡®«¥¥ 㤮¡ë©, ¯®áª®«ìªã áà §ã ¯®«ãç îâ ¨§®¬®à䨧¬ «£¥¡àã ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¯®¤¬®¦¥á⢠E 0 : h0i = ;; h1i = E 0; hx ^ yi = hxi \ hyi hx _ yi = hxi [ hyi ; ¥ ¨§®¬®à䨧¬ ¥ñ ¤ã «ìãî «£¥¡àã. â® ¯à®áâà á⢮ ã«ìâà 䨫ìâ஢ B §ë¢ ¥âáï ¯à®áâà á⢮¬ â®ã B . ª¨¬ ®¡à §®¬, B ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ª «£¥¡à ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠᢮¥£® ¯à®áâà á⢠â®ã . ®ª ¦¥¬ ¥¤¨á⢥®áâì: ¥á«¨ E { ¢¯®«¥ ¥á¢ï§ë© ª®¬¯ ªâ, â® ã«ìâà 䨫ìâàë «£¥¡àë B ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¯®¤¬®¦¥á⢠E ¯® á室¨¬®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîâ â®çª ¬ E , ¨§®¬®à䮣® ¯à®áâà áâ¢ã â®ã B .
¬¥â¨¬, çâ® ¥¯ãáâë¥ § ¬ªãâë¥ ¬®¦¥á⢠¯à®áâà á⢠â®ã «£¥¡àë B ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¥ñ 䨫ìâà ¬: F 2 \hxii ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ F ᮤ¥à¦¨â 䨫ìâà ¯®à®¦¤¥ë© ¢á¥¬¨ xi . ª ª ª ª®¥ç ï ¡ã«¥¢ «£¥¡à ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ¯à®áâà á⢮ â®ã , íâ® ¯à®áâà á⢮ ¤¨áªà¥â® ¨ «£¥¡à ¨§®¬®àä ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥ ¢á¥å ¯®¤¬®¦¥á⢠¬®¦¥á⢠f0; 1; : : : ; n ? 1g.
84
« ¢ 6
¡ã«¥¢ë¬¨ «£¥¡à ¬¨ ¬ë áâ «ª¨¢ ¥¬áï ¯®¢áî¤ã ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ç é¥ ¢á¥£® ª ª á «£¥¡à®© ¯à¥¤«®¦¥¨© ¥ª®â®à®£® ï§ëª L , à áᬠâਢ ¥¬ëå ¯® ¬®¤ã«î íª¢¨¢ «¥â®á⨠(¤¢ ¯à¥¤«®¦¥¨ï íª¢¨¢ «¥âë, ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¬®¤¥«¨) . ¥®à¨ï í⮠䨫ìâà ¢ í⮩ «£¥¡à¥; ¥ñ áâ®ã®¢áª®¥ ¯à®áâà á⢮, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¡à §®¢ ® ¨§ ¯®«ëå ¢ í⮬ ï§ëª¥ ⥮਩. â «£¥¡à ®á¨â §¢ ¨¥ «£¥¡àë à᪮£®-¨¤¥¡ 㬠ï§ëª L .
᫨ ¬ë ¥ñ ä ªâ®à¨§ã¥¬ ¯® ⥮ਨ T , ¯®«ãç ¥¬ «£¥¡àã à᪮£®-¨¤¥¡ 㬠⥮ਨ T , ª®â®à ï ï¥âáï «£¥¡à®© ¯à¥¤«®¦¥¨© ¨§ L á â®ç®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥â®á⨠¯® ¬®¤ã«î T (¤¢ ¯à¥¤«®¦¥¨ï íª¢¨¢ «¥âë ¯® ¬®¤ã«î T , ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¬®¤¥«¨ á।¨ ¬®¤¥«¥© ¤«ï T ) ; ¥á«¨ T ¯®« , íâ «£¥¡à ᢮¤¨âáï ª ¤¢ã¬ í«¥¬¥â ¬, ã«î, ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ª« áᮬ ¯à¥¤«®¦¥¨© «®¦ëå ¤«ï T (:f 2 T ) , ¨ ª ¥¤¨¨æ¥, â.¥. ª« áá ¯à¥¤«®¦¥¨© ¨áâ¨ëå ¤«ï T (f 2 T ) . ¯®¬®éìî â¥å ¦¥ á®®¡à ¦¥¨©, ¬®¦® à áᬠâਢ âì «£¥¡à㠯।«®¦¥¨© ï§ëª L [ fxg ¨«¨ L [ fx1; : : : ; xng ; ¯à®áâà á⢮¬ â®ã í⮩ «£¥¡àë ¡ã¤¥â ¯à®áâà á⢮ ⨯®¢, ïîé¨åáï ¯®«ë¬¨ ⥮à¨ï¬¨ ¢ íâ¨å ï§ëª å. ®¦® ¯à¨áâ㯠âì ª ¨§ã票î ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ᯮᮡ®¬, à áᬠâਢ ï ¡ã«¥¢ë «£¥¡àë, á ¡¦¥ë¥ ®¯¥à æ¨ï¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª¢ â®à ¬; ¨å §ë¢ îâ ¯®«¨ ¤¨ç¥áª¨¬¨ «£¥¡à ¬¨ : ®¨ ¡áâà ªâë¥ íª¢¨¢ «¥âë «£¥¡àë ä®à¬ã« ¥ª®â®à®£® ï§ëª . ®£¤ ⥮६ ª®¬¯ ªâ®á⨠¤®ª §ë¢ ¥âáï á ¯®¬®éìî â¥®à¥¬ë ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¯®«¨ ¤¨ç¥áª¨å «£¥¡à, «®£ ⥮६ë 6.19 . â ®¡« áâì «®£¨ª¨, ¢ ª®â®àãî ¬ë ¥ ¡ã¤¥¬ ¯à®¨ª âì £«ã¡®ª®, §ë¢ ¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª®© «®£¨ª®©. ¥¯¥àì ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ¨§ãç âì ¥ª®â®àë¥ ¡ã«¥¢ë «£¥¡àë ª ª áâàãªâãàë, â.¥. ᤥ« âì ¨å ®¡ê¥ªâ ¬¨ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥ B 䨫ìâà F , ¯®à®¦¤¥ë© ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥â®¢ x1; : : : ; xn ¯®à®¦¤ ¥âáï â ª¦¥ ¨å ¨¦¥© £à ìî: § ç¨â, ® £« ¢ë©.
᫨ F { £« ¢ë© ã«ìâà 䨫ìâà, â® ¥£® ®¡à §ãî騩 ï¥âáï ¥ã«¥¢ë¬ ¬¨¨¬ «ìë¬ í«¥¬¥â®¬, â ª¨¥ í«¥¬¥âë §®¢ñ¬ ⮬ ¬¨. ®¢®àïâ, çâ® «£¥¡à ⮬ , ¥á«¨ ª ¦¤ë© ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â ¬ ¦®à¨àã¥â ¥ª®â®àë© â®¬. ¯à¨¬¥à, 2E ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, «î¡ ï ª®¥ç ï ¡ã«¥¢ «£¥¡à ⮬ . ⮬®áâì ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë ®§ ç ¥â â ª¦¥, çâ® ¨§®«¨à®¢ ë¥ â®çª¨ ¥ñ ¯à®áâà á⢠â®ã , ª®â®àë¥ ¢ â®ç®á⨠ᮢ¯ ¤ îâ á £« ¢ë¬¨ ã«ìâà 䨫ìâà ¬¨, ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮. ⮬®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥ B ¤¢ í«¥¬¥â à ¢ë ª ª ⮫쪮 ®¨ ¬ ¦®à¨àãîâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ⮬ë (¯®áª®«ìªã ⮣¤ (:x ^ y) _ (:y ^ x) { ã«ì), â ª çâ® B ®ª §ë¢ ¥âáï ¯®¤ «£¥¡à®© «£¥¡àë ¢á¥å ¯®¤¬®¦¥á⢠¬®¦¥á⢠¢á¥å ⮬®¢. ¯à®â¨¢®¯®«®¦®áâì â®¬ë¬ «£¥¡à ¬, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¡¥§ â®¬ë¥ «£¥¡àë, áâ®ã®¢áª®¥ ¯à®áâà á⢮ ª®â®àëå ¥ ᮤ¥à¦¨â ¨§®«¨à®¢ ëå â®ç¥ª. ⮬®áâì ¨«¨ ¡¥§ ⮬®áâì «£¥¡àë «¥£ª® ¢ëà ¦ ¥âáï á ¯®¬®éìî ªá¨®¬. ª ª ª ª ¦¤ ï ¡ã«¥¢ «£¥¡à ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ 2E , £¤¥ E { ¥ñ áâ®ã®¢áª®¥ ¯à®áâà á⢮, ⥮à¨ï ⮬ëå «£¥¡à ï¥âáï ª®¬¯ ì®®¬ ⥮ਨ ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à. â® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® â ª¦¥ ¤«ï ⥮ਨ ¡¥§ ⮬ëå ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à : ¢«®¦¨¬ B ¢ «£¥¡àã B1 = B B ¤¨ £® «ì®, ᮯ®áâ ¢«ïï í«¥¬¥âã x í«¥¬¥â (x; x) ; ¨ª ª®© í«¥¬¥â B ¥ ï¥âáï ⮬®¬ ¢ B1 , â ª ª ª ¥á«¨ (x; x) 6= (0; 0) , â® ® 室¨âáï áâண® ¢ëè¥ (x; 0) ; ¯®¢â®àïï íâã ¯à®æ¥¤ãàã ¯®áâந¬ 楯®çªã B B1 Bn Bn+1 : : : , â ªãî, çâ® ¨ª ª®© í«¥¬¥â Bn ¥ ï¥âáï
6.c
ã«¥¢ë «£¥¡àë
85
⮬®¬ ¢ Bn+1 : ¯à¥¤¥« «£¥¡à Bn ¡ã¤¥â ¡¥§ ⮬®© «£¥¡à®©. ⮬ ï ¡ã«¥¢ «£¥¡à , ¨¬¥îé ï «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬®¢ a1; : : :; an ª®¥ç : ¥á«¨ ¬ë ᮯ®áâ ¢¨¬ í«¥¬¥âã x í⮩ «£¥¡àë ¬®¦¥á⢮ ⮬®¢, ª®â®àë¥ ® ¬ ¦®à¨àã¥â, â® ¯®«ã稬 ¨§®¬®à䨧¬ B 2n . ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¡ã«¥¢ «£¥¡à , ¯®à®¦¤¥ ï ª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬ í«¥¬¥â®¢ x1; : : :; xn , ª®¥ç .
ñ ⮬ ¬¨ ¡ã¤ãâ í«¥¬¥âë ¢¨¤ "1x1 ^ ^ "nxn, ¥ à ¢ë¥ ã«î, £¤¥ "i = "¨ç¥£®" ¨«¨ : . á ¬®¬ ¤¥«¥ «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ª ¦¤ë© ¥ã«¥¢®© í«¥¬¥â ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë, ¯®à®¦¤¥®© x1; : : :; xn, ï¥âáï ¢¥à奩 £à ìî í«¥¬¥â®¢ â ª®£® ¢¨¤ (¨á¯®«ì§ã©â¥ áá®æ¨ ⨢®áâì, ¤¨áâਡã⨢®áâì ¨ § ª®ë ¤¥ ®à£ , çâ®¡ë ¤®ª § âì, çâ® í«¥¬¥âë ®¯¨á ®£® ¢¨¤ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®¡à §ãîâ ¡ã«¥¢ã «£¥¡àã) . ç áâ®áâ¨, ᢮¡®¤ ï «£¥¡à , ¯®à®¦¤¥ ï n n 2 n í«¥¬¥â ¬¨, ¨¬¥¥â 2 ⮬®¢, § ç¨â ® ¨¬¥¥â 2 í«¥¬¥â®¢. «ï ª ¦¤®£® âãà «ì®£® n ¬ë à áᬮâਬ ä®à¬ã«ã An(x) , ¢ëà ¦ îéãî, çâ® x ¬ ¦®à¨àã¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ n ⮬®¢.
¥®à¥¬ 6.20 ¥®à¨ï ¡¥áª®¥çëå ⮬ëå ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à ¯®« ; ® í«¨¬¨¨àã¥â ª¢ â®àë ¢ ï§ëª¥ f0; 1; :; ^; _; A1; : : :; An; : : : g . . ®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¢ ¤¢ãå ¡¥áª®¥çëå ⮬ëå, !- áëé¥ëå
¡ã«¥¢ëå «£¥¡à å ª®à⥦¨ a ¢ ¯¥à¢®© ¨ b ¢® ¢â®à®©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬ ¢ë襮¯¨á ®£® ï§ëª . ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ "1a1 ^ ^ "nan ¬ ¦®à¨àã¥â ¢ â®ç®á⨠m ⮬®¢ (â.¥. 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ Am(x) ^ :Am+1(x) ) , â® í⮬㠦¥ ãá«®¢¨î 㤮¢«¥â¢®àï¥â "1b1 ^ ^ "nbn . ª ª ª «£¥¡à ⮬ , â® ¢ ç áâ®á⨠¤«ï m = 0 , íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ ®¤¨ ¨§ íâ¨å í«¥¬¥â®¢ { ã«ì, â® ¤à㣮© â ª¦¥ à ¢¥ ã«î. â® ãá«®¢¨¥ ¤®áâ â®ç® ¤«ï ⮣®, ç⮡ë a ¨ b ¯®à®¤¨«¨ ¨§®¬®àäë¥ ¯®¤ «£¥¡àë; ¥á«¨ "1a1 ^ ^ "nan ¬ ¦®à¨àã¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬®¢, â.¥. 㤮¢«¥â¢®àï¥â Am(x) ¤«ï ¢á¥å m 2 ! , â® â ª¨¬ ¦¥ ¡ã¤¥â ¨ "1b1 ^ ^ "nbn . ®¡ ¢¨¬ ª ª®à⥦ã a ; ¤«ï «î¡®© 楯®çª¨ " = ("1; : : : ; "n) ¯®« £ ¥¬ "a = "1a1 ^ ^ "n an , " = ^ "a , 0" = : ^ "a ; ¬ë à §«¨ç ¥¬ á«¥¤ãî騥 á«ãç ¨ : { ¥á«¨ "a ¬ ¦®à¨àã¥â ¢ â®ç®á⨠m ⮬®¢, â® " ¬ ¦®à¨àã¥â p , 0" ¬ ¦®à¨àã¥â q ⮬®¢ ¨ p + q = m ; ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î "b ¬ ¦®à¨àã¥â â ª¦¥ m ⮬®¢ ¨ ç¥à¥§ " ®¡®§ 稬 ¢¥àåîî £à ì p ¨§ ¨å, ç¥à¥§ "0 ®áâ «ìëå; " ^ "0 = 0 , " _ "0 = "b ; { ¥á«¨ "a ¬ ¦®à¨àã¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬®¢, ¢ â® ¢à¥¬ï ª®£¤ " ¬ ¦®à¨àã¥â ⮫쪮 p ¨§ ¨å, ¢®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ " ¢¥àåîî £à ì p ⮬®¢, 室ïé¨åáï ¯®¤ "b , ¢ ª ç¥á⢥ "0 { ¥ñ ®â®á¨â¥«ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥; «®£¨ç® ¯®áâ㯠¥¬, ¥á«¨ 0" ¬ ¦®à¨àã¥â ª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬®¢; { ¥á«¨ "a , " ¨ 0" ¬ ¦®à¨àãîâ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬®¢, ⮠㦮 à §¤¥«¨âì "b ¤¢ ¤¨§êîªâëå ªã᪠" ¨ "0 , ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¬ ¦®à¨àã¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬®¢. â® ¢®§¬®¦®, ¯®áª®«ìªã ¢ !- áë饮© ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥, ¥á«¨ a ¬ ¦®à¨àã¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬®¢, â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© b , çâ® a^b ¨ a^:b ¬ ¦®à¨àãîâ
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« ¢ 6
¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ⮬®¢. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ bn { ¢¥àåïï £à ì n ⮬®¢ ¯®¤ a , â® a ^ bn ¬ ¦®à¨àã¥â n ⮬®¢, a ^ :b { ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«®, ®âªã¤ ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠¨ !- áë饮á⨠᫥¤ã¥â १ã«ìâ â. ¥¯¥àì, çâ®¡ë ©â¨ í«¥¬¥â , â ª®©, çâ® a_ ¨ b_ 1-íª¢¨¢ «¥âë, ¤®áâ â®ç® ᪫¥¨âì ªãá®çª¨ ¨ ¢§ïâì ¢ ª ç¥á⢥ ¢¥àåîî £à ì ¢á¥å " (¤®¯®«¥¨¥ ª®â®à®£® ¥áâì ¢¥àåïï £à ì ¢á¥å "0 ) .
¥®à¥¬ 6.21 ¥®à¨ï ¡¥§ ⮬ëå ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à ¯®« ¨ ¨¬¥¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢ (¢ ï§ëª¥ 0; 1; :; ^; _ ) ; ® ï¥âáï ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬ ⥮ਨ ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à.
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬, çâ® ¤¢ ª®à⥦ a ¨ b ¢ ¯à®¨§¢®«ìëå ¤¢ãå
¡¥§ ⮬ëå ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à å, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¡¥áª¢ â®àë¬ ä®à¬ã« ¬, 1-íª¢¨¢ «¥âë. ã«¥¢ «£¥¡à ¯®à®¦¤¥ ï í«¥¬¥â ¬¨ a1; : : :; an ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ãá«®¢¨ï¬¨ ¢¨¤ "a = 0; a 6= 0 . ¤à㣮© áâ®à®ë, â ª ª ª «£¥¡à ¡¥§ ⮬ , â® «î¡®© í«¥¬¥â ¤¥«¨âáï ¤¢¥ ¥ã«¥¢ë¥ ç áâ¨. ®¡ ¢¨¬ ª a , ¥á«¨ " = 0 , â® ¯®« £ ¥¬ " = 0 .
᫨ 0" = 0 , â® ¯®« £ ¥¬ " = "b, ¨ ¥á«¨ " ¨ 0" { ¥ã«¥¢ë¥, â® à §¤¥«¨¬ "b ¤¢ ¥ã«¥¢ëå ªã᪠: "b = " _ "0 ; " ^ "0 = 0 . áâ ¥âáï ᪫¥¨âì ¢á¥ " .
ª ª ª ¤¢¥ ¡¥§ â®¬ë¥ ¡ã«¥¢ë «£¥¡àë ¢á¥£¤ 1-íª¢¨¢ «¥âë, â® ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ®¤ áç¥â ï ¡¥§ ⮬ ï ¡ã«¥¢ «£¥¡à (⥮६ 1.14) , ª®â®à ï, ¢¯à®ç¥¬, ï¥âáï ᢮¡®¤®© «£¥¡à®© ¯®à®¦¤¥®© áç¥âë¬ ç¨á«®¬ ®¡à §ãîé¨å; ç¥à¥§ ¤ã «ì®áâì â®ã (⥮६ 6.19) íâ® ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ®¤® ¢¯®«¥ ¥á¢ï§®¥ ª®¬¯ ªâ®¥ ¯à®áâà á⢮ ¡¥§ ¨§®«¨à®¢ ëå â®ç¥ª á® áç¥â®© ¡ §®© (íâ® ¤¨áª®â¨ã㬠â®à ) .
¥®à¥¬ 6.22 ¥®à¨ï ¡¥§ ⮬ëå ¡ã«¥¢ëå ª®«¥æ ¯®« ¨ ¤®¯ã᪠¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢ (¢ ï§ëª¥ 0; 1; :; ^; _ ) ; ® ï¥âáï ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬ ⥮ਨ ¡ã«¥¢ëå ª®«¥æ.
®ª § ⥫ìá⢮. ¯¥à 樨 ¡ã«¥¢ëå ª®«¥æ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ç¥à¥§ ®¯¥à 樨
¡ã«¥¢®© «£¥¡àë ¨ ®¡®à®â á ¯®¬®éìî ¡¥áª¢ â®àëå ä®à¬ã«.
¯®¬î, çâ® ¡ã«¥¢ ¯®à冷ª íâ® ¯®à冷ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥ª®â®à®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥. ®áª®«ìªã ®¯¥à 樨 ¢ ¥© ®¯à¥¤¥«¨¬ë ç¥à¥§ ¯®à冷ª, â® ¡ã«¥¢ë ¯®à浪¨ ïîâáï ¬®¤¥«ï¬¨ á«¥¤ãî饩 ⥮ਨ : ¢ëà ¦ ¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ¨¬¥ì訩 ¨ ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥âë, ¢¥à娥 ¨ ¨¦¨¥ £à ¨, ¤®¯®«¥¨¥ ¨ í⨠¯®ïâ¨ï 㤮¢«¥â¢®àïî⠪ᨮ¬ ¬ ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë. ã«¥¢ë ¯®à浪¨ ¡¥§ ⮬®¢ ïîâáï ¬®¤¥«ï¬¨ ¥ª®â®à®© ¯®«®© ⥮ਨ, ¯®áª®«ìªã ¬ë ¢ëà ¦ ¥¬ ¯®à冷ª ç¥à¥§ ¡ã«¥¢ë ®¯¥à 樨, ® ¥ ï¥âáï ¬®¤¥«ì® ¯®«®©, â ª ª ª ¢«®¦¥¨¥ ¯®à浪 ¥ á®åà ï¥â ¯®ïâ¨ï ¨¬¥ì襣® í«¥¬¥â , ¢¥à奩 £à ¨ ¨ â.¯. áè¨à¥¨¥ ¡¥§ ⮬ëå ¡ã«¥¢ëå ¯®à浪®¢ í«¥¬¥â à®, ⮫쪮 ¥á«¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¡ã«¥¢ë ®¯¥à 樨 á®åà ïîâáï.
6.d
«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà áâ¢
87
¥®à¨ï ¡ã«¥¢ëå ¯®à浪®¢ ï¥âáï ª®¬¯ ì®®¬ ⥮ਨ (ç áâ¨çëå) ¯®à浪®¢. ¥©á⢨⥫ì®, ¯®à冷ª I ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¯®à冷ª ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë 2I ¯à¨ ᮯ®áâ ¢«¥¨¨ ¬®¦¥á⢠Ia = fx : x ag á a , â ª ª ª Ia Ib () a b . ç áâ®áâ¨, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® «î¡®© áç¥âë© ç áâ¨çë© ¯®à冷ª ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ áç¥âãî ¡¥§ ⮬ãî ¡ã«¥¢ã «£¥¡àã. ª®¥æ § ¬¥â¨¬, ç⮠⥮à¨ï ç áâ¨ç®£® ¯®à浪 ®¡« ¤ ¥â ¬®¤¥«ìë¬ ¯®¯®«¥¨¥¬; à áᬮâਬ ç áâ¨çë© ¯®à冷ª, ®¯à¥¤¥«¥ë© n + 1 í«¥¬¥â å x1; : : :; xn; y . ¡®§ 稬 ç¥à¥§ f (x; y) ¤¨ £à ¬¬ã í⮣® ¯®à浪 , â.¥. ª®êîªæ¨î ä®à¬ã« ¢¨¤ u v; :(u v) , ¢ë¯®«ïîé¨åáï ¥¬. ¥à¥§ g(x) ®¡®§ 稬 ¤¨ £à ¬¬ã ®£à ¨ç¥¨ï í⮣® ¯®à浪 x1; : : : ; xn . ®¡ ¢¨¬ ª ⥮ਨ ç áâ¨çëå ¯®à浪®¢ ¢ ª ç¥á⢥ ªá¨®¬ ¢á¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï á«¥¤ãî饣® ¢¨¤ ¤«ï ª ¦¤®© ¢®§¬®¦®© ¯ àë (f; g) : (8x1) : : : (8xn)(9y)(g(x) ! f (x; y)) : ⮠ᮢ¬¥áâ ï ⥮à¨ï ¨, á ¬®¬ ¤¥«¥, íâ® ª®¬¯ ì® â¥®à¨¨ ç áâ¨çëå ¯®à浪®¢. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ I { ç áâ¨çë© ¯®à冷ª, A { ª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ I ¨ b { ®¢ë© í«¥¬¥â, â ª®©, çâ® ¯®à冷ª A [ fbg ¯à®¤®«¦ ¥â ¯®à冷ª A , â® ®¯à¥¤¥«ï¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¯®à冷ª I [ fbg, ¯à®¤®«¦ î騩 ®¤®¢à¥¬¥® ¯®à冷ª I ¨ A [ fbg : ¥á«¨ c 2 I , â® ¯®« £ ¥¬ c b , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â a ¢ A â ª®©, çâ® c a ¨ a b , ¨ ¯®« £ ¥¬ b c , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â a ¢ A â ª®©, çâ® b a ¨ a c . ë ¡¥§ âà㤠㡥¦¤ ¥¬áï, çâ® íâ® ç áâ¨çë© ¯®à冷ª. § í⮣® ¬ë ¢ë¢®¤¨¬, ᤥ« ¢ ! è £®¢ ¢ á奬¥ ¯®áâ஥¨ï, ª®â®à ï ⥯¥àì ¤®«¦ ¡ëâì å®à®è® § ª®¬ ç¨â ⥫î, çâ® «î¡®© ç áâ¨çë© ¯®à冷ª ¢«®¦¨¬ ¢ ¥ª®â®àãî ¬®¤¥«ì í⮩ ⥮ਨ T . ®ç⨠®ç¥¢¨¤®, çâ® ¤¢ ª®à⥦ ¨§ ¤¢ãå ¬®¤¥«¥© T , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ᢮¡®¤ë¬ ä®à¬ã« ¬, 1-íª¢¨¢ «¥âë. ª ª ª ¤¢¥ ¬®¤¥«¨ T ¢á¥£¤ 1-íª¢¨¢ «¥âë, áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ®¤ áç¥â ï ¬®¤¥«ì á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ .
6.d «ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠áᬮâਬ «¨¥©ë© ¯®à冷ª I á ¨¬¥ì訬 í«¥¬¥â®¬ 0, ¨ §®¢¥¬ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬ ¬®¦¥á⢮ E ¢¬¥áâ¥ á ®â®¡à ¦¥¨¥¬ d : E 2 ! I , 㤮¢«¥â¢®àïî饬 á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: { ¤«ï ¢á¥å x ¨ y ¨§ E d(x; y) = 0 () x = y { ¤«ï ¢á¥å x ¨ y ¨§ E d(x; y) = d(y; x) { ¤«ï ¢á¥å x ¨ y ¨§ E d(x; z) Max(d(x; y); d(y; z)) . 票¥ d(x; y) §ë¢ ¥âáï à ááâ®ï¨¥¬ ®â x ¤® y . à¥âì¥ ãá«®¢¨¥ ®á¨â §¢ ¨¥ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¥à ¢¥á⢠; ®® ®§ ç ¥â, çâ® ®â®è¥¨ï d(x; y) i ¨ d(x; y) < i ïîâáï ®â®è¥¨ï¬¨ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ¨ ®® ¢«¥çñâ, çâ® ¤ ë¥ âਠâ®çª¨ ®¡à §ãîâ «¨¡® à ¢®áâ®à®¨© âà¥ã£®«ì¨ª (d(x; y) =
88
« ¢ 6
d(y; z) = d(z; x)), «¨¡® "à ¢®¡¥¤à¥ë©" âà¥ã£®«ì¨ª, ¨¬¥î騩 ¤¢¥ à ¢®¢¥«¨ª¨¥ áâ®à®ë, £¤¥ âà¥âìï áâ®à® { á ¬ ï ¬¥ìè ï. ë ¤®£®¢®à¨¬áï §¤¥áì §ë¢ âì ¯à ¢¨«ìë¬ ¬®£®£à ¨ª®¬ ¬®¦¥á⢮ â®ç¥ª, à ¢®ã¤ «¥ëå ¤à㣠®â ¤à㣠. â®¡ë £®¢®à¨âì ®¡ í⮬ ¯®ï⨨ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠¬ë ¢¢¥¤ñ¬ ã àë© ¯à¥¤¨ª â I (u) ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ®á¨â¥«ï ¯®à浪 I , ª®áâ âë© á¨¬¢®« ¤«ï 0 , ᨬ¢®« ¡¨ ண® ®â®è¥¨ï ¤«ï ¯®à浪 I , ã àë© á¨¬¢®« E (u) ¤«ï ®¡®§ 票ï á ¬®£® ¯à®áâà á⢠E ¨ ᨬ¢®« äãªæ¨¨ ¤«ï ®¡®§ 票ï à ááâ®ï¨ï. ®á¨â¥«ì áâàãªâãàë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ¯à®áâà áâ¢ã, ®¡à §ã¥âáï á ®¤®© áâ®à®ë ¨§ I , á ¤à㣮© { ¨§ ¯à®áâà á⢠E , â ª çâ® ¢ë¯®«ïîâáï ¤¢ á«¥¤ãîé¨å ãá«®¢¨ï: (8u)(I (u) _ E (u); :(9u)(I (u) ^ E (u)) : â®¡ë ¥ ¯¨á âì I ¨ E ¯®¢áî¤ã, ¬ë à §«¨ç ¥¬ ¤¢ ¢¨¤ ¯¥à¥¬¥ëå: { ¯¥à¥¬¥ë¥ ¢¨¤ i; j; k; : : : ¤®«¦ë à áᬠâਢ âìáï ª ª ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 à ááâ®ï¨ï, â.¥. í«¥¬¥âë I , (9i)f (i) ¨ (8i)f (i) ¤®«¦ë à áᬠâਢ âìáï ª ª ᮪à é¥¨ï ¤«ï (9u)(I (u) ^ f (u)); (8u)(I (u) ! f (u)) : { ¯¥à¥¬¥ë¥ ¢¨¤ x; y; z; : : : ¤®«¦ë à áᬠâਢ âìáï ª ª ¯à¥¤áâ ¢«ïî騥 â®çª¨, â.¥. í«¥¬¥âë E , ¨ ä®à¬ã«ë (9x)f (x); (8x)f (x) { ᮪à é¥¨ï ¤«ï (9u)(E (u) ^ f (u)); (8u)(E (u) ! f (u)) : ®ï⨥ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠«¥£ª® (㨢¥àá «ì®) ªá¨®¬ ⨧¨àã¥âáï ¢ í⮬ ï§ëª¥. ë à áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ᯨ᮪ ªá¨®¬:
A0 (9x)(x = x) ; A1 (8i)(8x)(9y)(d(x; y) = i) ; A2 (8i)(8x1)(8x2)(9y)(d(x1; x2) = i ! d(x1; y) = d(x2; y) = i) ; : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : : VV d(x ; x ) = i ! VV d(x ; y ) = i) ; An (8i)(8x1) : : : (8xn)(9y)(1 < n 1 n : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :
B2 :(9i)(9x1)(9x2)(9x3)(d(x1; x2) = d(x2; x3) = d(x3; x1) = i 6= 0) ; : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : : Bn :(9i)(9x1) : : : (9xn+1)(i 6= 0 ^ 1 < VVn+1d(x ; x ) = i) : : : : : : :: : : : : :: : : : : : :: : : : : : :
6.d
«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà áâ¢
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«ï n 2 ªá¨®¬ An ¢ëà ¦ ¥â, çâ® ª ¦¤ë© ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®£à ¨ª á n ¢¥àè¨ ¬¨ ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ¯à ¢¨«ì®£® ¬®£®£à ¨ª á (n+1) ¢¥àè¨ ¬¨; ¯à®â¨¢, ªá¨®¬ Bn ¢ëà ¦ ¥â, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à ¢¨«ì®£® ¬®£®£à ¨ª á n + 1 ¢¥àè¨ ¬¨. «ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ §ë¢ ¥âáï ¡®£ âë¬, ¥á«¨ ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ ªá¨®¬ ¬ A0; : : :; An; : : : ; ¤«ï n 2 ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ §ë¢ ¥âáï n-¡®£ âë¬, ¥á«¨ ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬ ¬ A0; : : :; An?1; Bn . ¥¬¬ 6.23 ¦¤®¥ I -§ 箥 ¯à®áâà á⢮ ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ I -§ 箥 ¡®£ ⮥ ¯à®áâà á⢮; ª ¦¤®¥ I -§ 箥 ¯à®áâà á⢮ ¡¥§ ¯à ¢¨«ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á n + 1 ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ I -§ 箥 n-¡®£ ⮥ ¯à®áâà -
á⢮.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì E { I -§ 箥 ¯à®áâà á⢮; ¥á«¨ E { ¯ãá⮥, â® ¤®¡ ¢¨¬ ®¤ã â®çªã a ª E . á®, çâ® ¬®¦¥á⢮ fag á äãªæ¨¥© d(a; a) = 0
ï¥âáï ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬ ¨ ªá¨®¬ A0 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï. ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â a ¢ E ¨ ¥â í«¥¬¥â®¢ ¨§ E 室ïé¨åáï à ááâ®ï¨¨ i ®â a . ®£¤ ¤®¡ ¢¨¬ â®çªã b ª E ¨ ¯à®¤®«¦¨¬ à ááâ®ï¨¥ E ¤® E [ fbg : { d(a; b) = i , { ¥á«¨ c 2 E; c 6= a, ⮣¤ ®¡ï§ â¥«ì® d(a; c) 6= i ; ¥á«¨ d(a; c) < i , â® ¯®« £ ¥¬ d(b; c) = i ¨ ¥á«¨ d(a; c) > i , â® ¯®« £ ¥¬ d(b; c) = d(a; c) . ¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯®«ã稬 ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ à ááâ®ï¨¥ ¨ § ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ E [fbg ᮤ¥à¦¨â ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®£à ¨ª ¨§ n â®ç¥ª, â® â ª®© ¬®£®£à ¨ª ᮤ¥à¦¨â ¨ E (¥á«¨ íâ®â ¬®£®£à ¨ª ᮤ¥à¦¨â b , â® ® ¥ ᮤ¥à¦¨â a : § ¬¥¨¬ b a ). ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ n â®ç¥ª a1; : : :; an ¢
, à ¢®ã¤ «¥ëå ¤à㣠®â ¤à㣠à ááâ®ï¨¨ i , ® íâ®â ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®£à ¨ª ¥ à áè¨àï¥âáï; ⮣¤ ¬ë ¤®¡ ¢«ï¥¬ ª E â®çªã b ¢¬¥á⥠ᮠ᫥¤ãî騬¨ à ááâ®ï¨ï¬¨: d(a1; b) = = d(an; b) = i ; ¥á«¨ c ¢ E ®â«¨ç® ®â a1; : : : ; an , ⮣¤ ¤«ï ¥ª®â®à®£® am ¢¥à® ¥à ¢¥á⢮ d(am; c) 6= i .
᫨ d(c; am ) > i , â® ¢á¥ d(c; ah) à ¢ë ¬¥¦¤ã ᮡ®© ¨ ¯®« £ ¥¬ d(c; b) = d(c; an) .
᫨ ¯à®â¨¢ d(c; am) < i , â® ¢ í⮬ á«ãç ¥ d(c; ah) = i ¤«ï ¢á¥å h 6= m , ¨ ¬ë ¯®« £ ¥¬ d(c; b) = i . ஢¥àªã ⮣®, çâ® ¬ë ¯®«ã稫¨ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î. ¬¥â¨¬, çâ® i { ¬¨¨¬ «ì® ¢®§¬®¦®¥ à ááâ®ï¨¥ ®â b ¤® â®çª¨ ¨§ E . ®ª ¦¥¬, çâ® ¥á«¨ E ¥ ᮤ¥à¦¨â ¯à ¢¨«ì®£® ¬®£®£à ¨ª á n + 2 ¢¥àè¨ ¬¨, â® â ª®£® ¬®£®£à ¨ª ¥â ¨ ¢ E [fbg . ãáâì c1; : : :; cn+1 ; b ®¡à §ãîâ â ª®© ¬®£®£à ¨ª, ¤«¨ ॡ¥à ª®â®à®£® à ¢ j .
᫨ j > i , â® ¢á¥ d(cm ; ah) à ¢ë j , çâ® ¬ ¤ ¥â ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®£à ¨ª á n + 2 ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ E .
᫨ j = i, â® ¨§-§ ¬ ªá¨¬ «ì®á⨠¬®£®£à ¨ª a1; : : :; an ª ¦¤®¬ã ch ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥ª®â®àë© ak ¨ ⮫쪮 ®¤¨ â ª®©, çâ® d(ch ; ak) < i; â ª ª ª ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ch ¥¤¨¨æã ¡®«ìè¥, 祬 ¢ í⮬ ¬®£®£à ¨ª¥, ¨¬¥¥¬, ¯à¨¬¥à, d(c1; a1) < i; d(c2; a1) < i , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢¬¥á⥠á d(c1; c2) = i ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ¥à ¢¥áâ¢ã.
90
« ¢ 6
®á«¥ í⮣®, áâ àâãï ®â ¤ ®£® I -§ 箣® ¯à®áâà á⢠E ¨ ¤®¡ ¢«ïï ª ¥¬ã ¯® ®¤®¬ã â®çª¨, ¯®«ã稬 I -§ 箥 à áè¨à¥¨¥ â ª®¥, çâ® ª ¦¤ ï â®çª a ¨§ E ¨¬¥¥â 室ïéãîáï ®â ¥ñ à ááâ®ï¨¨ i â®çªã b ¢ E1 ¨ ª ¦¤ë© ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®£à ¨ª á n ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ E à áè¨àï¥âáï ¤® â ª®£® ¬®£®£à ¨ª á n + 1 ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ E1 . â¥à¨àãï íâ®â ¯à®æ¥áá, ¯®«ã稬 楯ì I -§ çëå ¯à®áâà á⢠E E1 En : : : , ¯à¥¤¥« ª®â®à®© ¡ã¤¥â ¡®£ âë¬.
᫨ ⥯¥àì E ¥ ¨¬¥¥â ¯à ¢¨«ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á (n + 1) ¢¥àè¨ ¬¨, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à®¤¥« âì â® ¦¥ á ¬®¥, à áè¨àïï ⮫쪮 ¯à ¢¨«ìë¥ ¬®£®£à ¨ª¨, ¨¬¥î騥 ¬¥ìè¥ n ¢¥àè¨, ¨, ᮣ« ᮠ襬㠧 ¬¥ç ¨î, ¥ ¢¢¥¤ï ¯à ¢¨«ìëå ¬®£®£à ¨ª®¢ á n + 1 ¢¥àè¨ ¬¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®£à㦠¥¬ E ¢ n-¡®£ ⮥ ¯à®áâà á⢮.
¥®à¨ï ¡®£ ⮣® ¯à®áâà á⢠, ¢ ç áâ®áâ¨, ᮤ¥à¦¨â ⥮à¨î ᢮¥£® ¯®à浪 . ë ¯®©¬¥¬, çâ® á ¬®¬ ¤¥«¥ ® ᢮¤¨âáï ª ¥© : ¥á«¨ ¯®à浪¨ I ¨ J í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, â® ¡®£ ⮥ I -§ 箥 ¯à®áâà á⢮ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥â® «î¡®¬ã ¡®£ ⮬ã J -§ 箬㠯à®áâà áâ¢ã. ¦¤®¬ã ª®à⥦ã (i; x) ®¡à §®¢ ®¬ã ¨§ n-ª¨ í«¥¬¥â®¢ I ¨ m-ª¨ í«¥¬¥â®¢ ¨§ E , ¬ë ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ (n + m(m ? 1)=2)-ªã, ®¡à §®¢ ãî ¨§ i ¨ ¯®¯ àëå à ááâ®ï¨© í«¥¬¥â®¢ x ; íâ®â ª®à⥦ ¡ã¤¥â §ë¢ âìáï ª®à⥦®¬ à ááâ®ï¨© ¤«ï (i; x) .
¥®à¥¬ 6.24 ¢ ¡®£ âëå ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà áâ¢ í«¥¬¥â à®
íª¢¨¢ «¥âë, ª ª ⮫쪮 â ª®¢ë¬¨ ¡ã¤ãâ ¨å ¯®à浪¨. áè¨à¥¨¥ ¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢ í«¥¬¥â à®, ª ª ⮫쪮 à áè¨à¥¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯®à浪®¢ í«¥¬¥â à®; ¡®«¥¥ â®ç®, ¤¢ ª®à⥦ ¨§ â ª¨å ¯à®áâà á⢠¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ¨å ª®à⥦¨ à ááâ®ï¨© ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¢ á¬ëá«¥ ⥮ਨ «¨¥©ëå ¯®à浪®¢. ®â ¦¥ १ã«ìâ â ¢¥à¥ ¨ ¤«ï n-¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢.
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ ¤ ë ¤¢ ¡®£ âëå ã«ìâà ¬¥-
âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà á⢠(I; E ) ¨ (J; F ) , ª®â®àë¥, ª ª ®¡ëç®, !- áëé¥ë. ®ª ¦¥¬, çâ® íâ® ¢«¥ç¥â !- áë饮áâì ¯®à浪®¢ I ¨ J (íâ® ç áâë© á«ãç © ®¡é¥£® १ã«ìâ â ® áâàãªâãà å, ®¤ ¨§ ª®â®àëå ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ¢ ¤à㣮©, ᬮâà¨ à §¤¥« 9.d) . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ a { ª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ I ¨ p { ⨯ ¤ a ¢ á¬ëá«¥ ⥮ਨ ¯®à浪 I , â® ® ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ ¢ ¥ª®â®à®© ã«ìâà á⥯¥¨ I U ¯®à浪 I ; { í«¥¬¥â â ª¦¥ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠(I; E )U : ¯ãáâì q { ¥£® ⨯ ¤ a ¢ á¬ëá«¥ ⥮ਨ í⮣® ¯à®áâà á⢠. ®áª®«ìªã (I; E ) !- áëé¥ , q ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ ¨§ I , ª®â®àë©, ¥á«¨ ®£à ¨ç¨âáï ï§ëª®¬ ¯®à浪 I , ॠ«¨§ã¥â p . «¥¥ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® I ¨ J ¢¤®¡ ¢®ª í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë ¨ à áᬮâਬ a ¢ (I; E ) , b ¢ (J; F ) â ª¨¥, çâ® ¨å ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ª®à⥦¨ à ááâ®ï¨© a0 ¨ b0 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¢ ï§ëª¥ ¯®à浪®¢. ¬ 㦮 ¤®ª § âì, çâ® a ¨ b 1-íª¢¨¢ «¥âë. ®¡ ¢¨¬, ¯à¨¬¥à, á«¥¢ , ¥á«¨ 2 I , â® ¤®áâ â®ç® ®â¢¥â¨âì â ª¨¬ ¢ J , çâ® ¥£® ⨯ ¤ b0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⨯㠤 a0 , çâ® ¢®§¬®¦® ¢ ᨫã !- áë饮á⨠J . ¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® «¥¦¨â ¢ E .
᫨ a ¥ ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥â®¢ ¨§ E , â® ®â¢¥ç ¥¬ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¨§ F ; ¨ ç¥ ¯ãáâì a ¨§ a, â ª®©, çâ® d( ; a) ¬¨¨¬ «ì®, ¨ b { â®çª , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï a ¢
6.d
91
«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà áâ¢
b .
᫨ d( ; a) ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â a0 , â® ¯ãáâì j ¨§ J , ⨯ ª®â®à®£® (¢ á¬ëá«¥ ⥮ਨ ¯®à浪®¢) ¤ b0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⨯ã d( ; a) ¤ a0 . ª ª ª F ¡®£ â®, â® áãé¥áâ¢ã¥â â®çª ¢ F , â ª ï, çâ® d( ; b) = j . «ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¥à ¢¥á⢮ ®¯à¥¤¥«¨â ¢á¥ à ááâ®ï¨ï ®â ¤® b ¨ ª®à⥦¨ a ¨ b ¨¬¥îâ ª®à⥦¨ à ááâ®ï¨© ®¤®£® ⨯ . ¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® d( ; a) «¥¦¨â ¢ a0 , ⮣¤ ¯ãáâì P { ¬ ªá¨¬ «ìë© ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®£à ¨ª ¢ a á ¤«¨®© ॡà d( ; a) , ᮤ¥à¦ 騩 â®çªã a (¢®§¬®¦®, çâ® P ᢥ¤¥âáï ª fag ) ; â ª ª ª d( ; a) ¬¨¨¬ «ì®, â® ¢á¥ à ááâ®ï¨ï ®â ¤® P à ¢ë d( ; a) , à ááâ®ï¨ï ®â ¤® ®áâ ¢è¨åáï â®ç¥ª a ®¯à¥¤¥«ïîâáï ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¥à ¢¥á⢮¬.
᫨ Q { ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®£à ¨ª ¢ b , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 P , ¤®áâ â®ç® ®â¢¥â¨âì í«¥¬¥â®¬ â ª¨¬, çâ® Q [ f g { ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®£à ¨ª, ¤«¨ ॡà d( ; b) ª®â®à®£® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â d( ; a) (¯®á«¥¤¥¥ 㦮 ⮫쪮 ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ P á®á⮨⠨§ ®¤®© ¢¥àè¨ë) . ® ¦¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ à ¡®â ¥â ¤«ï n-¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢: ¯à®áâ® â ¬ ¥ áâ «ª¨¢ ¥¬áï ¨ª®£¤ á ¯à ¢¨«ì묨 ¬®£®£à ¨ª ¬¨ ¨§ ¡®«¥¥, 祬 n â®ç¥ª.
à®á¬®âॢ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 6.24 ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤¢ ª®à⥦ a ¨ b ¢ ¤¢ãå ¡®£ âëå I -§ çëå ¯à®áâà á⢠å, ¨¬¥î騥 ®¤¨ ª®¢ë¥ ª®à⥦¨ à ááâ®ï¨©, 1-íª¢¨¢ «¥âë. ç¨â ¤¢ ¡®£ âëå I -§ çëå ¯à®áâà á⢠1íª¢¨¢ «¥âë ¤ I (â.¥. í«¥¬¥âë I ®áâ îâáï ¥¯®¤¢¨¦ë¬¨ ¢ ¯à®æ¥áᥠ"祫®ª " ). ª á«¥¤á⢨¥ ®âáî¤ ¯®«ã稬, çâ® ¥á«¨ I áç¥â¥, â® ¯® ⥮६¥ 1.14 á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ (¤ ¦¥ á â®ç®áâìî ¤® I -¨§®¬®à䨧¬ !) áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥®¥ áç¥â®¥ ¡®£ ⮥ n-§ 箥 ¯à®áâà á⢮. í⮬ á«ãç ¥ ¯® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ ª ¦¤®¥ ¡®£ ⮥ I -§ 箥 ¯à®áâà á⢮ ¨¬¥¥â í«¥¬¥â ஥ áç¥â®¥ I -§ 箥 ®£à ¨ç¥¨¥ ¨ ïá®, çâ® íâ® áç¥â®¥ ¡®£ ⮥ I -§ 箥 ¯à®áâà á⢮ ï¥âáï ¥¤¨á⢥®© ¯à®á⮩ ¬®¤¥«ìî ¤ ¬®¦¥á⢮¬ I ⥮ਨ ¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢. ë 㢨¤¨¬ ¢ à §¤¥«¥ 10.f , çâ® ¤«ï «î¡®£® ¯®à浪 I , ¤ ¦¥ ¥áç¥â®£®, áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®á⮥ I -§ 箥 ¡®£ ⮥ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, ® íâ® ¯à®á⮥ ¯à®áâà á⢮ ¥ ¢á¥£¤ ¥¤¨á⢥®. ¥ ¦¥ १ã«ìâ âë ¢¥àë ¤«ï n-¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢. ¯à¥¤¢¨¤¥¨¨ £« ¢ ® áâ ¡¨«ì®áâ¨, ¬ë å®â¨¬ ®¯¨á âì ⨯ë â®ç¥ª (â.¥. í«¥¬¥â®¢ ¯à®áâà á⢠, ® ¥ ¯®à浪 ) ¤ ¬®¤¥«ìî (I; E ) ⥮ਨ ¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ⥮ਨ ¤ ®£® ¯®à浪 . ® ⥮६¥ 6.24 ⨯ x ¤ (I; E ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⨯ ¬¨ ª®à⥦¥© ¤ I , ®¡à §®¢ ëå ¨§ d(x; a) , £¤¥ a ¯à®¡¥£ ¥â E . â® ¯®§¢®«ï¥â ª« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì ⨯ë ç¥âëॠ¢¨¤ : { ॠ«¨§®¢ ë¥ â¨¯ë : ⨯ í«¥¬¥â a ¨§ E , â.¥. áãé¥áâ¢ã¥â a ¨§ E â ª®©, çâ® d(x; a) = 0 . { ¤¨áâ æ¨®ë¥ â¨¯ë : áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â a ¨§ E , â ª®©, çâ® d(a; x) ¥ «¥¦¨â ¢ I (® «¥¦¨â ¢ ¥ª®â®à®¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ I !). ®£¤ ⨯ x ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ¨¥¬ a ¨ ⨯®¬ d(a; x) ¤ I . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ b ¨§ E ¨ d(a; b) < d(a; x) , â® d(b; x) = d(a; x), ¨ ¥á«¨ d(a; b) > d(a; x) , â® d(b; x) = d(a; b) . { ¯®«¨£® «ìë¥ â¨¯ë : ¢á¥ d(a; x) «¥¦ â ¢ I ¨ ¨¬¥¥âáï ¬¨¨¬ã¬ i . ãáâì ⮣¤ a { â ª®©, çâ® d(a; x) = i ¨ P { ¬ ªá¨¬ «ìë© ¯à ¢¨«ìë© ¬®£®-
92
« ¢ 6
£à ¨ª, ᮤ¥à¦ 騩 a ¨ ¨¬¥î騩 ¤«¨ã ॡ¥à i («¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥á«¨ Q { ¤à㣮© â ª®© ¬®£®£à ¨ª, â® áãé¥áâ¢ã¥â ª ®¨ç¥áª ï ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã P ¨ Q , ᮯ®áâ ¢«ïîé ï í«¥¬¥âã b ¨§ P ¥¤¨áâ¢¥ë© í«¥¬¥â b0 ¨§ Q â ª®©, çâ® d(b; b0) < i ) . ¨¯ x ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï a ¨ i : ¥á«¨ b ¨§ P , â® d(b; x) i ¨ á ¬®¬ ¤¥«¥ d(b; x) = i ¨§-§ ¬¨¨¬ «ì®á⨠i .
᫨ b 62 P , â® áãé¥áâ¢ã¥â c ¨§ P â ª®©, çâ® d(b; c) 6= i ¨ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¥à ¢¥á⢮ ®¯à¥¤¥«ï¥â d(b; x) . { ¯á¥¢¤®-¯à¥¤¥«ìë¥ â¨¯ë : ¢ í⮬ ®á⠢襬áï á«ãç ¥ ¢á¥ d(a; x) «¥¦ â ¢ I , ® ¬®¦¥á⢮ A í«¥¬¥â®¢ i ¨§ I , â ª¨å, çâ® d(x; ai) = i ¤«ï ¥ª®â®à®£® i , ¥ ¨¬¥¥â ¨¬¥ì襣® í«¥¬¥â . ®£¤ , á ¬®¬ ¤¥«¥ A { ª®æ¥¢®© ᥣ¬¥â I : ¥á«¨ i 2 A; i < j , â® ¡¥à¥¬ aj â ª®©, çâ® d(ai; aj ) = j ¨ ⮣¤ d(x; aj ) = j . ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ai { íâ® â®, çâ® §ë¢ ¥âáï ¯á¥¢¤®¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®è¨: ¥á«¨ i < j , â® ¨¬¥¥¬ d(ai; aj ) = j . ᥢ¤®¯à¥¤¥«®¬ â ª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¡ã¤¥â í«¥¬¥â (¥®¡ï§ â¥«ì® ¥¤¨á⢥ë©, ¥á«¨ 0 ¥ ¡ã¤¥â ¨¦¥© £à ìî A !), â ª®©, çâ® d( ; ai) = i ¤«ï ¢á¥å i ¨§ A . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¯á¥¢¤®¯à¥¤¥«ìë© â¨¯ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ A ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ai í«¥¬¥â®¢ ¨§ E , ª®â®à ï á室¨âáï ª x . â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥ ¤®«¦ ¨¬¥âì ¯á¥¢¤®¯à¥¤¥« a ¢ E , ¯®áª®«ìªã ¨ ç¥ d(x; a) ¡ã¤¥â ¬¥ìè¥ ¢á¥å i ¨§ A . ®¢®àïâ, çâ® ¯à®áâà á⢮ ¬ ªá¨¬ «ì® ¯®«® , ¥á«¨ ª ¦¤ ï ¯á¥¢¤®¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®è¨ ¢ ¥¬ ¨¬¥¥â ¯á¥¢¤®¯à¥¤¥«. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, ç⮠ॠ«¨§ãï ®¤¨ § ¤à㣨¬ ¢á¥ ¯á¥¢¤®¯à¥¤¥«ìë¥ â¨¯ë, ª ¦¤®¥ I -§ 箥 ¯à®áâà á⢮ ¬®¦® à áè¨à¨âì ¤® ¬ ªá¨¬ «ì® ¯®«®£® I -§ 箣® ¯à®áâà á⢠. ¤ â ª¨¬ ¯à®áâà á⢮¬ ¯á¥¢¤®¯à¥¤¥«ìëå ⨯®¢ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ¬¥â¨¬, ç⮠⮫쪮 ¤¨áâ æ¨®ë¥ â¨¯ë § áâ ¢«ïîâ à áè¨àïâìáï ¯®à冷ª I . ᥠ®áâ «ìë¥ ¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì ¢ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ (I; F ) ¤ (I; E ) . ª®¥æ, çâ® ª á ¥âáï n-¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢, á¨âã æ¨ï ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® ¯®å®¦ , § ¨áª«î票¥¬ ⮣®, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«¨£® «ìëå ⨯®¢.
6.e ®¤ã«¨, íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¬®¤ã«¨ «¥¢ë¬ A-¬®¤ã«¥¬ M ¤ ª®«ì殬 á ¥¤¨¨æ¥© A ¬ë á¢ï§ë¢ ¥¬ á«¥¤ãî騩 ï§ëª : { ᨬ¢®« ¡¨ ன äãªæ¨¨ ¤«ï ®¡®§ 票ï á«®¦¥¨ï ¢ M , { ᨬ¢®« ª®áâ âë ¤«ï ®¡®§ 票ï ã«ï ¢ M , { ¤«ï ª ¦¤®£® ¨§ A ᨬ¢®« ã ன äãªæ¨¨ ¤«ï ®¡®§ 票ï 㬮¦¥¨ï . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬ çâ® ª®«ìæ® ¥ ï¥âáï ¨§ãç ¥¬®© áâàãªâãன : ®® ï¥âáï ç áâìî ï§ëª . ¨â â¥«ì «¥£ª® ¢ë¯¨è¥â ª ª¨¥ 㨢¥àá «ìë¥
6.e
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®¤ã«¨
ªá¨®¬ë 㤮¢«¥â¢®àïîâáï A-¬®¤ã«ï¬¨.
᫨ A ï¥âáï ª®«ì殬 Z 楫ëå ç¨á¥«, â® Z-¬®¤ã«ì ¥ çâ® ¨®¥ ª ª ¡¥«¥¢ £à㯯 . í⮬ á«ãç ¥ ¬®¦® ®£à ¨ç¨âìáï ®¤¨¬ ᨬ¢®«®¬ ¤«ï á«®¦¥¨ï ¨ ®¤¨¬ ᨬ¢®«®¬ ¤«ï ¯à®â¨¢®¯®«®¦®£®, ¯®áª®«ìªã nx = x + + x . «ï «î¡®© ¯®«®© ⥮ਨ T A-¬®¤ã«¥©, ¬ë å®â¨¬ ®¯¨á âì â¨¯ë ¤ ¬®¤¥«ï¬¨ T . á¢ï§¨ á í⨬ ¬ ¯® ¤®¡¨âáï á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì®¥, ® ¢¯à®ç¥¬ ¯®«¥§®¥, ã⢥ত¥¨¥.
¥¬¬ 6.25 (. ¥©¬ ) ãáâì G { £à㯯 , ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¡¥«¥¢ , ¨ K1; : : :; Kn { ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯à ¢ëå ¨«¨ «¥¢ëå ᬥ¦ëå ª« áᮢ ¯® ¯®¤£à㯯 ¬ G, â ª®¥, çâ® G = K1 [ [ Kn , ⮣¤ G ¯®ªàë¢ ¥âáï ⥬¨ Ki , ª®â®àë¥
ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¯®¤£à㯯 ¬ ª®¥ç®£® ¨¤¥ªá ¢ G .
®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª Ha = aa?1Ha , â® ¢á¥ Ki ¨¬¥îâ ¢¨¤ aiHi ¤«ï
¥ª®â®àëå ¯®¤£à㯯 Hi ¢ G . ®ª ¦¥¬ «¥¬¬ã ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ç¨á«ã m â ª¨å ¯®¤£à㯯. «ï m = 1 íâ® ®ç¥¢¨¤®: ¥¤¨á⢥ ï ¢®¢«¥ç¥ ï ¯®¤£à㯯 ¨¬¥¥â ª®¥çë© ¨¤¥ªá. ®ª ¦¥¬ ¯¥à¥å®¤ ®â m ª m +1 . áᬮâਬ ª®¥ç®¥ ¬¨¨¬ «ì®¥ ᥬ¥©á⢮ ᬥ¦ëå ª« áᮢ, ¯®ªàë¢ îé¨å G, ¨ ¯ãáâì ç¨á«® ¢®¢«¥ç¥ëå ¯®¤£à㯯 à ¢® m +1 .
᫨ H { ®¤ ¨§ ¨å, â® ª ¦¤ë© ª« áá aH , ¥á«¨ ® ¥ ãç áâ¢ã¥â ¢ ¯®ªàë⨨, ¯®ªàë¢ ¥âáï ª« áá ¬¨ ¢¨¤ bH 0 á H 0 6= H . ®¬®¦¨¢ ¢á¥ í⨠ª« ááë á«¥¢ a?1 ¨ ¯à¨¬¥¨¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ¨¤ãªæ¨¨, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤«ï í⮣® ¯®ªàëâ¨ï ¤®áâ â®çë ⥠bH 0 , ã ª®â®àëå H \ H 0 ¨¬¥¥â ª®¥çë© ¨¤¥ªá ¢ H . § í⮣® ¬ë ¢ë¢®¤¨¬, çâ® ¯®áª®«ìªã ¯®ªàë⨥ ¬¨¨¬ «ì®, ¤«ï «î¡ëå ¢®¢«¥ç¥ëå ¯®¤£à㯯 H ¨ H 0 ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ H \ H 0 ¨¬¥¥â ª®¥çë© ¨¤¥ªá ¢ ®¡¥¨å ¯®¤£à㯯 å. ª á«¥¤á⢨¥, ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ L ¢á¥å Hi ï¥âáï ¯®¤£à㯯®© ª®¥ç®£® ¨¤¥ªá ¢ ª ¦¤®© ¨§ ¨å ¨ ª ¦¤ë© ᬥ¦ë© ª« áá ¯® Hi à §¡¨¢ ¥âáï ª®¥ç®¥ ç¨á«® ª« áᮢ ¯® L . § ¯¥à¢® ç «ì®£® ¯®ªàëâ¨ï ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¯®ªàë⨥ ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ᬥ¦ëå ª« áᮢ ¯® L , á«¥¤®¢ ⥫ì®, L ¨¬¥¥â ª®¥çë© ¨¤¥ªá ¢ G , ª ª ¨ ª ¦¤ ï Hi .
ë §ë¢ ¥¬ ¯à¨¬¨â¨¢®© ä®à¬ã«ã ¢¨¤ (9y1) : : : (9yn)(^ Ei(x; y)) , £¤¥ Ei(x; y) { à ¢¥á⢠, â.¥. ä®à¬ã«ë ¢¨¤ 1x1 + : : : m xm + 1y1 + : : : nyn = 0 á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ i ¨ j ¨§ A . ¬¥â¨¬, çâ® ª®êîªæ¨ï ¤¢ãå ¯à¨¬¨â¨¢ëå ä®à¬ã« íª¢¨¢ «¥â ¯à¨¬¨â¨¢®© ä®à¬ã«¥ (¢ë¥á¨â¥ ¢á¥ ª¢ â®àë ¢¯¥à¥¤, ¯®á«¥ ¯¥à¥¨¬¥®¢ ¨ï á¢ï§ ëå ¯¥à¥¬¥ëå â ª, çâ®¡ë ®¨ ¡ë«¨ à §ë¬¨ ã ¤¢ãå ä®à¬ã«) .
᫨ M { A-¬®¤ã«ì ¨ f (x) { ¯à¨¬¨â¨¢ ï ä®à¬ã« ®â n ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå, â® ª®à⥦¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¥©, ®¡à §ãîâ ¯®¤£à㯯ã, ª®â®àãî §ë¢ î⠯ਬ¨â¨¢®© ¢ M n ; ¬ë ®¡®§ 稬 íâã ¯®¤£à㯯ã ç¥à¥§ Gf (x) . §®¢¥¬ ¯à¨¬¨â¨¢®© ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M ä®à¬ã«ã f (x; a) ¯®«ãç¥ãî ¨§ ¯à¨¬¨â¨¢®© ä®à¬ã«ë f (x; x0) ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢ ¯®¤áâ ®¢ª®© ª®à⥦ í«¥¬¥â®¢ ¨§ M ¢¬¥áâ® x0 . ¬¥â¨¬, çâ® í«¥¬¥âë M n, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 f (x; a), ®¡à §ãîâ ᬥ¦ë© ª« áá ¯® ¯à¨¬¨â¨¢®© ¯®¤£à㯯¥ Gf (x;0) .
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« ¢ 6
¥®à¥¬ 6.26 ãáâì T { ¯®« ï ⥮à¨ï ¬®¤ã«¥© ¨ M { ¬®¤¥«ì T , ⮣¤
¤¢ ª®à⥦ ¨§ í«¥¬¥â ண® à áè¨à¥¨ï M ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¤ M ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¯à¨¬¨â¨¢ë¬ ä®à¬ã« ¬ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì N { !- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ⥮ਨ T (M ) ¨ a; b { ¤¢ ª®à⥦ , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ¯à¨¬¨â¨¢ë¬ ä®à¬ã« ¬ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M . ë ¤®«¦ë ¯®ª § âì, çâ® a ¨ b 1-íª¢¨¢ «¥âë. ®¡ ¢¨¬, ¯à¨¬¥à, í«¥¬¥â c ª a .
᫨ f (x; y) { ¯à¨¬¨â¨¢ ï ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M , ¢ë¯®«ïîé ïáï a_c , â® (9y)f (x; y) ¯à¨¬¨â¨¢ ¨ ¢ë¯®«ï¥âáï a . ç¨â, ® ¢ë¯®«ï¥âáï ¨ b . ª ª ª ª®êîªæ¨ï ª®¥ç®£® ç¨á« ¯à¨¬¨â¨¢ëå ä®à¬ã« ᮢ ¯à¨¬¨â¨¢ , â® ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å ä®à¬ã« f (b; y) , £¤¥ f (x; y) { ¯à¨¬¨â¨¢ ï ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M , ¢ë¯®«ïîé ïáï a_ c , ᮢ¬¥áâ® ¨ ¯® !- áë饮á⨠áãé¥áâ¢ã¥â d ¨§ N , â ª®©, çâ® b_d ¨å ¢á¥å 㤮¢«¥â¢®àï¥â. ç¨â ¬ë ¨¬¥¥¬ d, â ª®©, çâ® ¢á¥ ¯à¨¬¨â¨¢ë¥ ä®à¬ã«ë, ¨áâ¨ë¥ a_ c, ¨áâ¨ë â ª¦¥ b_d . ¬ 㦮 ©â¨ í«¥¬¥â e , ¨¬¥î騩 íâ® ¦¥ ᢮©á⢮ ¨ ªà®¬¥ í⮣® â ª®©, çâ® ª ¦¤ ï ¯à¨¬¨â¨¢ ï ä®à¬ã« , «®¦ ï a_ c , â ª¦¥ «®¦ b_ e !
᫨ f (m; x; y) { ¯à¨¬¨â¨¢ ï ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥â஬ m ¨§ M , ¨á⨠ï _ a c , â® ¬ë å®â¨¬, ç⮡ë e ¡ë« ª®£àãíâë¬ d ¯® ¬®¤ã«î Gf (0;0;y) . ãáâì ⥯¥àì g(m; x; y) { â ª ï ä®à¬ã« , «®¦ ï a_c .
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â f (m; x; y), ¨á⨠ï a_c, â ª ï, çâ® N ` :(9y)(f (a; y) ^ g(a; y)), ⮣¤ â® ¦¥ á ¬®¥ ¢¥à® ¯à¨ § ¬¥¥ a b , 㤮¢«¥â¢®àïî饣® ⥬ ¦¥ ¯à¨¬¨â¨¢ë¬ ä®à¬ã« ¬, ¨ ¬ ¨ç¥£® ¥ ¤® âॡ®¢ âì ®â e : ¯à®á⮥ ¢ë¯®«¥¨¥ ¨¬ f (b; y) § ¯à¥é ¥â ¢ë¯®«¥¨¥ ¨¬ g(b; y) . ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ Gg(0;0;y) \ Gf (0;0;y) ª®¥ç®£® ¨¤¥ªá n ¢ Gf (0;0;y) , â® ¯®ª ¦¥¬, ç⮠ᮢ ¥ ¤® âॡ®¢ âì ¨ç¥£® ®â e . ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª ¤¢¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¯®¤£àã¯¯ë ¢ M ®¯à¥¤¥«¨¬ë ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢, â® íâ® ¢ëà ¦ ¥âáï ¢ ⥮ਨ T ¬®¤ã«ï M . ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ u1; : : :; un ¢ M â ª¨¥, çâ® ª ¦¤ë© í«¥¬¥â Gf (0;0;y) ª®£àãí⥠®¤®¬ã ¨§ u1; : : : ; un ¨å ¯® ¬®¤ã«î Gf \Gg , â.¥. ᬥ¦ë© ª« áá ¯® ¯¥à¢®© ¯®¤£à㯯¥ à §¡¨¢ ¥âáï n ᬥ¦ëå ª« áᮢ ¯® ¬®¤ã«î ¢â®à®©. ç¨â, ¥á«¨ í«¥¬¥â c0 㤮¢«¥â¢®àï¥â g(a; y) ^ f (a; y) , â® c ¨ c0 ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î Gf ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© ui, â ª®©, çâ® c + ui ¨ c0 ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î Gg . ®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© ui , â ª®©, çâ® a_ c 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯à¨¬¨â¨¢®© ä®à¬ã«¥ g(x; y + ui) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ M .
᫨ a_ c ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â g(x; y) , â® íâ® ¯à®áâ® ¯®â®¬ã, çâ® ui ¥ «¥¦¨â ¢ Gg(0;0;y). ª ª ª b_ d 㤮¢«¥â¢®àï¥â ⮩ ¦¥ ä®à¬ã«¥, ¯à®á⮥ 㤮¢«¥â¢®à¥¨¥ g(x; y + ui) § ¯à¥é ¥â ¥¬ã ¢ë¯®«ïâì g(x; y) . ®á⠢襬áï á«ãç ¥, áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â dg , â ª®©, çâ® b_ dg 㤮¢«¥â¢®àï¥â g(m; x; y) ¨ ¬ë å®â¨¬, ç⮡ë e ¥ ¡ë« ª®£àãíâë¬ dg ¯® ¬®¤ã«î £à㯯ë Gg(0;0;y) . ®¤¢¥¤¥¬ ¨â®£ : ¬ë ¨¬¥¥¬ ᥬ¥©á⢮ Gf £à㯯 § ¬ªãâëå ®â®á¨â¥«ì® ª®¥çëå ¯¥à¥á¥ç¥¨© ¨ ¤à㣮¥ ᥬ¥©á⢮ Gg £à㯯, â ª¨å, çâ® Gg \ Gf ¢á¥£¤ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë© ¨¤¥ªá ¢ Gf . ë å®â¨¬, ç⮡ë e ¡ë« ª®£àãíâë¬ d ¯® ¬®¤ã«î ª ¦¤®© Gf ¨ ¥ ¡ë« ª®£àãíâë¬ dg ¯® ¬®¤ã«î Gg ¤«ï ª ¦¤®© Gg . ®£¤ ¯® «¥¬¬¥ 6.25 ª®¥ç®¥ ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ᬥ¦ëå ª« áᮢ ¯® Gg ¥ ¬®¦¥â
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¯®ªàëâì ª« áá ¯® ¬®¤ã«î Gf ¨ â®, ª 祬㠬ë áâ६¨¬áï, ᮢ¬¥áâ®. ¤ ª® ¢ ï§ëª¥ T (M ) ãá«®¢¨¥, ª®â®à®¥ ¬ë áâ à ¥¬áï ॠ«¨§®¢ âì, ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¢ë¯®«¨¬®áâì ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ⮫쪮 ¨§ b . ¥©á⢨⥫ì®, d ¨ dg ¢®¢«¥ç¥ë ⮫쪮 ç¥à¥§ ¨å ª« ááë ¨ ¢¬¥á⮠⮣®, ç⮡ë ᪠§ âì, ¢®¢«¥ª ï ¯ à ¬¥âà d, " x ª®£àãí⥠d ¯® ¬®¤ã«î Gf ", ¬®¦® ᪠§ âì " x «¥¦¨â ¢ ᬥ¦®¬ ª« áᥠ¯® Gf í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f ", â.¥. ¢®§¢à é ïáì ª 襩 ®â¯à ¢®© â®çª¥ " x 㤮¢«¥â¢®àï¥â f (b; x) " ! «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®áª®«ìªã N !- áëé¥ , â ª®© e ¢ N ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® áãé¥áâ¢ã¥â.
¥¯¥àì ¯®¯ëâ ¥¬áï ®¯¨á âì ¢ 㤮¡®© ¬ ¥à¥ â¨¯ë ®â ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¤ ¬®¤¥«ìî M ¤«ï T : ⨯ p í«¥¬¥â x ¤ M ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨¬¨â¨¢ë¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ f (x; a) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ a ¨§ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨áï x .
᫨ p ` f (x; a) , ⮣¤ M ` (9x)f (x; a) ¨ áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â af ¨§ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 íâã ä®à¬ã«ã, ¨ ª®â®àë©, § ç¨â,ª®£àãí⥠x ¯® ¬®¤ã«î Gf (x;0) . ਠ¤àã£¨å ®¡®§ 票ïå, íâ® ®§ ç ¥â, ç⮠⨯ p í«¥¬¥â x ¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª®£àãíâ®áâﬨ x a ( mod G) , £¤¥ a ¨§ M ¨ G { ¯à¨¬¨â¨¢ ï ¯®¤£à㯯 M , ª®â®àë¬ ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â (¯®áª®«ìªã G ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© ¡¥§ ¯ à ¬¥âà , â® x ? a 2 G ¥áâì ä®à¬ã« 襣® ï§ëª ) . §®¢¥¬ ᥬ¥©á⢮ F ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯 䨫ìâ஬ ¯®¤£à㯯, ¥á«¨ ¢ë¯®«ïîâáï á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï : { M ¯à¨ ¤«¥¦¨â F , { ¥á«¨ G ¨ H «¥¦ â ¢ F , â® ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ â ª¦¥ «¥¦¨â ¢ F , { ¥á«¨ G ¯à¨ ¤«¥¦¨â F ¨ G \ H ª®¥ç®£® ¨¤¥ªá ¢ G, â® H «¥¦¨â ¢ F . ¨¯ p ¨§ S1(M ) ®¯à¥¤¥«ï¥â 䨫ìâà Fp ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯 G â ª¨å, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â aG ¢ M , ª®£àãíâ®áâì ª®â®à®£® á x ¯® ¬®¤ã«î G ¢ë¢®¤¨¬ ¨§ p. ë ⮫쪮 çâ® ¯®ª § «¨, çâ® p ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ 묨 Fp ¨ aG (¨«¨, ¡®«¥¥ â®ç®, ¨å ᬥ¦ë¬¨ ª« áá ¬¨ ¯® G ).
áâ¥á⢥®, í«¥¬¥âë aG ¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ãá«®¢¨î ª®£¥à¥â®áâ¨: ¥á«¨ G G0 , ⮣¤ aG ¨ aG0 ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î G0 . ® íâ® ãá«®¢¨¥ ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®£à ¨ç¥¨¥¬ ¨ ª ¦¤ë© 䨫ìâà F ¨¬¥¥â ¢¨¤ Fp , ª ª®© ¡ë ¨ ¡ë« ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T . ¥©á⢨⥫ì®, ¯® «¥¬¬¥ 6.25 ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨© ¢ëà ¦ îé¨å, çâ® x «¥¦¨â ¢ ª ¦¤®© ¯®¤£à㯯¥ ¨§ F ¨ ¥ ª®£àãí⥠¨ á ª ª¨¬ í«¥¬¥â®¬ ¯® ¬®¤ã«î «î¡®© ¯à¨¬¨â¨¢®© ¯®¤£àã¯¯ë ¥ «¥¦ 饩 ¢ F , ᮢ¬¥áâ®. «®£¨ç®, ¥á«¨ p 2 S1(M ) ¨ Fp F 0 , â® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M ¨ áë q (ᬮâਠ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ à §¤¥«¥ 11.a) ⨯ p ¤ N â ª®©, çâ® Fq = F 0 . «ï í⮣® ॠ«¨§ã¥¬ ⨯ p í«¥¬¥â®¬ a ¨§ ¥ª®â®à®£® à áè¨à¥¨ï N ¨ ¢®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ q ⨯, ã⢥ত î騩, çâ® x ª®£àãíâ® a ¯® ¬®¤ã«î ª ¦¤®© G ¨§ F 0 ¨ ¥ ª®£àãíâ® ¨ª ª®¬ã í«¥¬¥âã N ¯® «î¡®© ¯à¨¬¨â¨¢®© ¯®¤£à㯯¥ ¢¥ F 0 . ¬¥â¨¬ ª®¥æ, çâ® ¥á«¨ p ¨§ S1(M ) ¨ M { í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ N , â® p ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®£® áë q ¤ N , â ª®£®, çâ® Fp = Fq . á ¬®¬ ¤¥«¥, â ª ª ª q ¥ ¤®¡ ¢«ï¥â ®¢ëå ª« áᮢ ª 㦥 ¨§¢¥áâë¬, ã á ¥â ¤à㣮£®
« ¢ 6
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¢ë¡®à . â®â áë §ë¢ ¥âáï á«¥¤¨ª®¬ ¨«¨ á뮬 ¡¥§ ®âª«®¥¨ï. à㣨¥, ª®â®àë¥ à áè¨àïîâ 䨫ìâà £à㯯, §ë¢ îâáï á뮢ìﬨ á ®âª«®¥¨¥¬. â® ¢â®à ï ¢áâà¥ç á ¯®ï⨥¬ ®âª«®¥¨ï2 (¯¥à¢ ï ¡ë« ¢ 6.b) ¨§¢¥é ¥â ® ᪮஬ ¨§ã票¨ áâ ¡¨«ì®á⨠¢ ®¡é¨å à ¬ª å, ç¨ ï á £« ¢ë 11. ०¤¥ 祬 ¯®«¥â¥âì ª â ª¨¬ ¢ëá®ç¥ë¬ ¢¥àè¨ ¬, ¬ ¥éñ 㦮 § ª®ç¨âì 㩬㠧¥¬ëå ¤¥«. ®ª çâ® ¬ë å®â¨¬ ©â¨ ãá«®¢¨¥, ¯à¨ ª®â®à®¬ ⥮à¨ï A-¬®¤ã«¥©, 㨢¥àá «ì ï ¢ ¤ ®¬ 㦥 ¬¨ ï§ëª¥, ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ìë© ª®¬¯ ì®. ०¤¥ 祬 ¯¥à¥©â¨ ª ®¡á㦤¥¨î, ¬ë å®â¨¬ ¥¬®£® à §¢¨âì ⥮à¨î ¬®¤¥«ìëå ª®¬¯ ì®®¢, ¤«ï ª®â®à®© ¬®¤ã«¨ á«ã¦ ⠯४à ᮩ ¨««îáâà 樥©. ãáâì M { áâàãªâãà ¨ N { à áè¨à¥¨¥ M . ë £®¢®à¨¬, çâ® M íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ® ¢ N , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® a ¨§ M ¨ ¤«ï «î¡®© ¡¥áª¢ â®à®© ä®à¬ã«ë f (x; y) ï§ëª M , ¥á«¨ N ` (9y)f (a; y) , â® M ` (9y)f (a; y) .
¥¬¬ 6.27 ®¤¥«ì M íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ ¢ N ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M1 ¬®¤¥«¨ M â ª®¥, çâ® M N M1 . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ M M1 , â® M íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ® ¢ M1 ¨, ⥬ ¡®«¥¥, ¢ N . ¡à â®, ¥á«¨ M íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ® ¢ N , â® ¢ë¤¥«¨¬ ª®áâ ⮩ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â N ¨ à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨© T (M ) [ D(N ) , £¤¥ T (M ) { ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨áâ¨ëå ¢ M , ¨ D(N ) { ¬®¦¥á⢮ ¡¥áª¢ â®àëå ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨áâ¨ëå ¢ N . â® ¬®¦¥á⢮ ᮢ¬¥áâ®, ¯®áª®«ìªã ¤«ï ª ¦¤®£® ¥£® ª®¥ç®£® äà £¬¥â ¬ë ¬®¦¥¬ ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª®áâ âë N n M í«¥¬¥â ¬¨ ¨§ M ; ®® ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì, ïîéãîáï ⥬, çâ® ¬ 㦮.
¥¬¬ 6.28
᫨ M íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ® ¢ N ¨ M1 í«¥¬¥â à® íª¢¨-
¢ «¥â M , â® áãé¥áâ¢ã¥â íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¢«®¦¥¨¥ M1 ¢ áâàãªâãàã N1 , í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âãî N .
®ª § ⥫ìá⢮. 1-ë© ¬¥â®¤ : ¤«ï ¥ª®â®à®£® ã«ìâà 䨫ìâà U ¬ë ¨¬¥¥¬ M1 M U N U = N1 ; ®áâ ¥âáï ¯à®¢¥à¨âì, çâ® M U , ª ª ¨ M1, íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ ¢ N U . 2-®© ¬¥â®¤ : ¯ãáâì T { ⥮à¨ï N ; ¢ë¤¥«¨¬ ª®áâ ⮩ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â M1 ¨ ¯ãáâì T1 { ¬®¦¥á⢮ 㨢¥àá «ìëå ¯à¥¤«®¦¥¨© ®¡®£ 饮£® ï§ëª , ¨áâ¨ëå ¢ M1 ; ¬®¦¥á⢮ T [ T1 ᮢ¬¥áâ®, ¯®áª®«ìªã N ¬®¦® ¯à¥¢à â¨âì ¢ ¬®¤¥«ì ¤«ï ª ¦¤®£® ¥£® ª®¥ç®£® äà £¬¥â , ¢ë¤¥«¨¢ ¥ª®â®àë¥ ª®áâ âë ¨§ M (â ª ª ª, ¥á«¨ M1 ` (8y)f (a; y), ⮣¤ M ` (9x)(8y)f (x; y)). ç¨â, íâ® ¬®¦¥á⢮ ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì , çâ® ¬ ¨ 㦮.
¥¯¥àì à áᬮâਬ 㨢¥àá «ìãî ⥮à¨î T8 ; ¬®¤¥«ì í⮩ ⥮ਨ §ë¢ ¥âáï íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮩ (á।¨ ¬®¤¥«¥© T8), ¥á«¨ ® ï¥âáï â ª®¢®© ¢ ª ¦¤®¬ ¥ñ à áè¨à¥¨¨, ïî騬áï ¬®¤¥«ìî T8 .
¥¬¬ 6.29 î¡ ï ¬®¤¥«ì T8 ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâãî. 2
ਬ¥ç ¨¥ ¯¥à¥¢®¤ç¨ª : ¢ àãá᪮© «¨â¥à âãॠç é¥ ¯à¨¬¥ï¥âáï â¥à¬¨ ®â¢¥â¢«¥¨¥.
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®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M { ¬®¤¥«ì T8 ; ¯à®ã¬¥à㥬 ä®à¬ã«ë f (x; a) ¡¥§ ª¢ â®à á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M ; ¥á«¨ f0 { ¯¥à¢ ï ä®à¬ã« ¨ ® ॠ«¨§ã¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ à áè¨à¥¨¨ M , ïî騬áï ¬®¤¥«ìî T8 , â® ¢ ª ç¥á⢥ M 0 ¡¥à¥¬ ®¤ã ¨§ ¨å, ¨ ç¥ ¯®« £ ¥¬ M 0 = M ; ¨ ¥á«¨ f1 ॠ«¨§ã¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ à áè¨à¥¨¨ M 0 ( ¡ã¤ì⥠¢¨¬ ⥫ìë: ¢®§¬®¦®, çâ® f1 ॠ«¨§ã¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ à áè¨à¥¨¨ M , ® ¨ ¢ ®¤®¬ à áè¨à¥¨¨ M 0 ), â® ¢ ª ç¥á⢥ M 1 ¡¥à¥¬ ®¤ã ¨§ ¨å ¨ â.¤. ®¢â®àïï íâã ¯à®æ¥¤ãàã, ¬ë ¯®«ã稬 à áè¨à¥¨¥ M1 ¬®¤¥«¨ M , ïî饥áï ¬®¤¥«ìî T8 (¯®áª®«ìªã ¢ë¯®«¨¬®áâì 㨢¥àá «ìëå ä®à¬ã« á®åà ï¥âáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã), â ªãî, çâ® ª ¦¤ ï ¡¥áª¢ â®à ï ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M , ॠ«¨§ãîé ïáï ¢ ¥ª®â®à®¬ à áè¨à¥¨¨ M1 , ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M1 . ¥©áâ¢ãï â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®áâந¬ 楯®çªã M M1 Mn : : : , ¯à¥¤¥« ª®â®à®© ¡ã¤¥â íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¬.
¥¬¬ 6.30 «¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮩ ¬®¤¥«¨ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ®.
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ M M1 ¨ M1 íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ ¨ ¥á«¨ M N { ¬®¤¥«ì T8 , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì T8 , à áè¨àïîé ï N ¨ M1 (â ª
ª ª ª ¦¤®¥ 㨢¥àá «ì®¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M , ¨á⨮¥ ¢ N , ¨á⨮ ¢ M , § ç¨â ®® ¨á⨮ â ª¦¥ ¢ M1 ; ¤à㣮¥ ®¡êïᥨ¥ { ¬®¦® ¢«®¦¨âì M1 ¢ ã«ìâà á⥯¥ì M , ¥ ᤢ¨£ ï M ). ç¨â, ¥á«¨ a 2 M; b 2 N ¨ f (x; y) { ä®à¬ã« ¡¥§ ª¢ â®à®¢, â ª ï, çâ® f (a; b) ¨á⨠(¢ N !), â® ® ¨á⨠¢ í⮬ ®¡é¥¬ à áè¨à¥¨¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, M1 ` (9y)f (a; y) ¨ M ` (9y)f (a; y) .
¥¬¬ 6.31
᫨ ª ¦¤®¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮩ ¬®¤¥«¨ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ®, â® ª ¦¤®¥ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ à áè¨à¥¨¥ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮩ ¬®¤¥«¨ í«¥¬¥â à®.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M ¨ N íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë ¨ M N . ® «¥¬¬¥ 6.27 áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M1 ¬®¤¥«¨ M , â ª®¥, çâ® M N M1 . «®£¨ç®, áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N1 ¬®¤¥«¨ N , â ª®¥, çâ® M N M1 N1 . ª ª ª ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î M1 ¨ N1 íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë, â® ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®¢â®àïâì íâã ¯à®æ¥¤ãàã ¨ ¯®áâநâì ¤¢¥ ᯫ¥â¥ë¥ í«¥¬¥â àë¥ æ¥¯¨ M N Mn Nn : : : , ®¡é¨© ¯à¥¤¥« P ª®â®àëå ¡ã¤¥â í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ ¨ M ¨ N . ।«®¦¥¨¥ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M ¨á⨮ ¢ N () ®® ¨á⨮ ¢ P () ®® ¨á⨮ ¢ N . ç¨â, N { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M .
¯à ¦¥¨¥ 6.32 ®à¬ã« §ë¢ ¥âáï 89-¯à¥¤«®¦¥¨¥¬, ¥á«¨ ®® ¨¬¥¥â ¢¨¤ (8y)(9x)f (y; x) , £¤¥ f (y; x) { ¡¥áª¢ â®à ï.
᫨ T { ⥮à¨ï, â® ç¥à¥§ T89 ®¡®§ ç ¥âáï ¬®¦¥á⢮ 89-¯à¥¤«®¦¥¨©, ¢ë¢®¤¨¬ëå ¨§ ¥ñ. ®ª ¦¨â¥,
çâ® ¥á«¨ M { ¬®¤¥«ì T89 , â® ® íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ ¢ ¥ª®â®à®©
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« ¢ 6
¬®¤¥«¨ T ¨ ¨¬¥¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥, ïî饥áï ¯à¥¤¥«®¬ ¬®¤¥«¥© T . ®ª ¦¨â¥, çâ® T ¤®¯ã᪠¥â ªá¨®¬ ⨧ æ¨î 89-¯à¥¤«®¦¥¨ï¬¨ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ª ¦¤ë© ¯à¥¤¥« ¬®¤¥«¥© T ï¥âáï ¬®¤¥«ìî T .
éñ ®¤® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ : ª« áá L-áâàãªâãà §ë¢ ¥âáï í«¥¬¥â àë¬, ¥á«¨ ® á®á⮨⠢ â®ç®á⨠¨§ ¬®¤¥«¥© ¥ª®â®à®© (¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯®«®©) ⥮ਨ T ¢ í⮬ ï§ëª¥. ¥®à¥¬ 6.33 ¨¢¥àá «ì ï ⥮à¨ï T8 ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ìë© ª®¬¯ ì® T ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª« áá ¥ñ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¬®¤¥«¥© í«¥¬¥â ॠ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ T { ¨å ⥮à¨ï. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¬®¤¥«¨ ïîâáï ª« áᮬ ¬®¤¥«¥© ⥮ਨ T , â® ¯® «¥¬¬¥ 6.29 T { ª®¬¯ ì® T8 ¨ ¯® «¥¬¬¥ 6.31 T ¬®¤¥«ì® ¯®« . ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ çâ® T8 ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ìë¬ ª®¬¯ ì®®¬ T .
᫨ M { ¬®¤¥«ì T , N { ¬®¤¥«ì T8 ¨ M N , ⮣¤ N ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¥ª®â®àãî ¬®¤¥«ì M1 ⥮ਨ T . ᨫ㠬®¤¥«ì®© ¯®«®âë T , à áè¨à¥¨¥ M M1 í«¥¬¥â à®, â ª çâ® M íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâ® ¢ M1 ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¢ N . ç¨â, ¢á¥ ¬®¤¥«¨ T íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë.
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6.f áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï «¨¬¨ æ¨ï ª¢ â®à®¢ ¤«ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© à áᬠâਢ ¥âáï ¢ ®¡é¥¬ ª ª ⥮६ à᪮£®, ¯®ï¢¨¢è ïáï ¢ [, 1951]. à®á⮠᪠¦¥¬, çâ® íâ® ¯¥à¥¢®¤ ᮢ६¥ë© ¦ ࣮ áâ ண® ¬¥â®¤ à¥è¥¨ï á¨áâ¥¬ë ¯®«¨®¬¨ «ìëå à ¢¥á⢠¨ ¥à ¢¥áâ¢ á ¯®¬®éìî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮣® ¨áª«îç¥¨ï ¯¥à¥¬¥ëå.
£® ¯à¨¬¥àë 室ïâ ç¨ ï á á ¬®£® ¯®ï¢«¥¨ï ¬ ⥬ ⨪¨ ¢ ¢¨«®¥ ¨ ® ¡ë« ®¡ê¥ªâ®¬ á¥à쥧®£® ⥮à¥â¨ç¥áª®£® ¨áá«¥¤®¢ ¨ï á® ¢à¥¬¥ ª¨â ©áª®£® á।¥¢¥ª®¢ìï (á¬. [, 1977]). í⮩ à ¡®â¥ à᪨© ¯®ª § « â ª¦¥ í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢ ¤«ï ¢¥é¥á⢥® § ¬ªãâëå ¯®«¥© (¢ ï§ëª¥ á ¯à¥¤¨ª ⮬ ). ⨠¯®á«¥¤¨¥ ®â®áïâáï ª ¢¥é¥á⢥® ¯®«ï¬ â ª ¦¥, ª ª «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï ª ¯®«ï¬, â.¥. 㤮¢«¥â¢®àïîâ «®£ã â¥®à¥¬ë ¨«ì¡¥àâ ® ã«ïå, ®âªã¤ ¯®ïâ®, çâ® íâ í«¨¬¨ æ¨ï ï¥âáï ä㤠¬¥â «ìë¬ ä ªâ®¬ ¤«ï ¢¥é¥á⢥®© £¥®¬¥âਨ { ¢¥é¥á⢥®£® «®£ «£¥¡à ¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ. ®«¥¥ § ç¨â¥«ìë© ãᯥå ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© { íâ® § ¬¥¨â ï ⥮६ ªá ¨ ®ç¥ [-
, 1966], ª®â®à ï ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥ëå ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå
6.f
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, 1956] ® ¬¥â®¤¥ ¨áª«îç¥¨ï ¢ á¨á⥬ å ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå à ¢¥á⢠¨ ¥à ¢¥áâ¢, § ¬¥â¨« çâ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¯®«ï 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥®¡å®¤¨¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï ¬®¤¥«ì®£® ¯®¯®«¥¨ï { ⮫쪮 çâ® ¢¢¥¤¥®£® ¨¬ ¯®ïâ¨ï, ®âªã¤ த¨«®áì ¯®ï⨥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥©. ।áâ ¢«¥ ï §¤¥áì ªà ©¥ í«¥£ â ï ªá¨®¬ ⨧ æ¨ï í⮣® ¯®ïâ¨ï ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¥®à «î¬ [, 1968]. ®¢à¥¬¥ ï ⥤¥æ¨ï «®£¨ª®¢ { íâ® ¢ë¢®¤ १ã«ìâ ⮢ ¥©¤¥¡¥à£ ®¡ í«¨¬¨ 樨 ¨ ᨮ¨¬®¢ â¥®à¥¬ë ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ã«ïå ¨§ ᢮©á⢠¬®¤¥«ì®© ¯®«®âë ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥©, ¥ ®¡®à®â. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® § ¬ëª ¨ï ïîâáï á«¥¤á⢨ﬨ ®¡é¥© â¥®à¥¬ë ® â®â «ì®© âà á楤¥â®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ. ¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ª®â¥ªáâ, ¥ ¯à¨®á¨â ¨ª ª¨å ã¯à®é¥¨© ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢮ íâ¨å ä ªâ®¢, ª®â®à®¥ § ©¬¥â ã á ¬®£® ¢à¥¬¥¨. ⨠१ã«ìâ âë â ª¦¥ à áᬠâਢ îâáï ª ª ¢ ¦¥©è¨© ¢ª« ¤ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¢ «£¥¡àã. ¥¬¨¨¬ «ì®áâì ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® § ¬ëª ¨ï ¡ë« ®¤®¢à¥¬¥® ¤®ª § ¢ à ¡®â å [, 1974] , [
, 1973] ¨ [
, 1974] . ® í⮬㠯®¢®¤ã ¬®¦¥â¥ ®¡à é âìáï ª [, 1983] ¨ áâ âìï¬ á®á¥¤áâ¢ãî騬 á ¥©. ¥®à¨ï ¬®¤¥«¥© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¯®¤ ¥âáï ¨§ãç¥¨î ¤®áâ â®ç® ¯«®å®, ¤® á¨å ¯®à ®áâ ¥âáï ®âªàëâë¬ ¢®¯à®á ® ª« áá¨ä¨ª 樨 ¥ñ áç¥âëå ¬®¤¥«¥©. ¥®à¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© å à ªâ¥à¨á⨪¨ p áãé¥áâ¢ã¥â, ® â¥å¨ç¥áª¨ ¡®«¥¥ á«®¦ . â® { ¬®¤¥«ìë© ª®¬¯ ì®, ® ¥ ¬®¤¥«ì®¥ ¯®¯®«¥¨¥ ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¯®«¥© å à ªâ¥à¨á⨪¨ p ; ® ®¯¨á í஫ 㤠[, 1973] . ã«¥¢ë «£¥¡àë ®¡ï§ ë ᢮¨¬ ¨¬¥¥¬ £«¨©áª®¬ã ¬ ⥬ ⨪㠦®à¤¦ã ã«î (1815 { 1864) ; ⥮६ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¤®ª § ¢ [ , 1936] . ⨠«£¥¡àë ¢áâà¥ç îâáï ¢ «®£¨ª¥ ¢¥§¤¥. «ï ¢¢¥¤¥¨ï ¢ «£¥¡à ¨ç¥áªãî «®£¨ªã ï ४®¬¥¤ãî ª¨£ã ¥«¥ë ᥢ®© [
, 1974] ¨ ¤«ï ¥ñ áâàãªâãண® ¨§ã票ï [, 1964]. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢á¥ ¯®¯®«¥¨ï ⥮ਨ ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à ®¯¨á ë. ®£ âë¥ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠¡ë«¨ ¯à¥¤«®¦¥ë ¬®© à áã § ¥«® [
, 1984] ¤«ï ¢ë¥¨ï áãé®á⨠⥮à¥â¨ª®-¬®¤¥«ìëå ¥¨©, § ¬¥ç¥ëå ¥î ¢ ⥮ਨ ®à¬¨à®¢ ëå ¯®«¥©; ®¨ ¤ î⠮⫨çë¥ ¯à¨¬¥àë
102
« ¢ 6
¨ ª®âà¯à¨¬¥àë ¤«ï ¨««îáâà 樨 ¬®£¨å ¢®¯à®á®¢ í⮣® ªãàá . ®¤ã«¨ ®¡à §ãîâ ¤®áâ â®ç® è¨à®ª¨© ª« áá áâàãªâãà, ⥮à¨ï ¬®¤¥«¥© ª®â®àëå ®á®¡¥® ¯à®áâ . ¥¬¬ 6.25 ¯à¨ ¤«¥¦¨â [
, 1952]. ¥®à¥¬ã 6.26 ¤®ª § « «ìâ¥à ãà [, 1976]. ®¦® ¤®ª § âì, ¢®¢«¥ª ï çãâì ¡®«ìè¥ «£¥¡àã, çâ® á ¬®¬ ¤¥«¥ áãé¥áâ¢ã¥â í«¨¬¨ æ¨ï ª¢ â®à®¢ ¤® ¡ã«¥¢ëå ª®¬¡¨ 権 ¯à¨¬¨â¨¢ëå ä®à¬ã« ¤ ¦¥ ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ¬®¤¥«¨ M . â®â १ã«ìâ â ¡ë« ¤®ª § § ¥áª®«ìª® «¥â à ìè¥ ¤®© ¬¥«¥¢®© ¤«ï ¡¥«¥¢ëå £à㯯 [
, 1955] . ®¦® ®¯¨á âì ¢á¥ â¥®à¨¨ ¡¥«¥¢ëå £à㯯 á ¯®¬®éìî ¨¢ ਠ⮢ ¬¥«¥¢®©. áá«¥¤®¢ ¨ï¬ íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¬®¤¥«¥© ¬ë ®¡ï§ ë ¡à å ¬ã ®¡¨á®ã [, 1971]. ®«¥¥ ¤¥â «ì® ® ¯à¨¬¥¥¨ïå ª «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ á¨âã æ¨ï¬ ¬®¦® ¯à®ç¨â âì ¢ [, 1977] ¨ ®á®¡¥® ¢ [
, 1976] . à® á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¬®¤¥«ìë¬ ª®¬¯ ì®®¬ ¨ ä®àᨣ®¬ ¯® ®¡¨á®ã ᬮâà¨â¥ [, 1971] ¨ [
-
, 1975] . ¥®à¥¬ 6.34 ¤®ª § ®«¥¬ ª«®ä®¬ ¨ ¡à¨¥«¥¬ ¡¡ 宬 [-, 1970/71 ] .
« ¢ 7 à¨ä¬¥â¨ª " " ; E
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7.a ãªæ¨ï á«¥¤®¢ ¨ï : : : : : : : : : : : : : : : : : : 104 7.b ®à冷ª : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 105 7.c 㬬 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 106 7.d 㬬 ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥: ª®¤¨à®¢ ¨¥ ª®¥çëå ¬®¦¥á⢠: : : 111 7.e ®¤¨à®¢ ¨¥ ä®à¬ã«, ⥮६ à᪮£® : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 7.f ¥à àå¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥á⢠: : : : : : : : : : 119 7.g ¥ª®â®àë¥ ªá¨®¬ë, ¬®¤¥«¨ äà £¬¥â®¢ à¨ä¬¥â¨ª¨ : : : : : : : : : : : : : 129 7.h ¥áâ ¤ àâë¥ ¬®¤¥«¨ ¢ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ : : : : : : : 135 7.i à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨© ¯¥à¥¢®¤ ¬¥â®¤ ¥ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 136 7.j ®ï⨥ ¤®ª § ⥫ìá⢠, à §à¥è¨¬ëå ⥮਩ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 140 7.k ¥®à¥¬ ¥¤¥«ï : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 145 7.l ¥¬®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨪樨 : : : 148 7.m áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 152 103
104
« ¢ 7
7.a ãªæ¨ï á«¥¤®¢ ¨ï í⮩ £« ¢¥ ¬ë ¨§ãç ¥¬ áâàãªâãàë, ®¡à §®¢ ë¥ å®à®è® ¨§¢¥áâ묨 ®â®è¥¨ï¬¨ ¨«¨ ®¯¥à æ¨ï¬¨, ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¬®¦¥á⢥ N , ®¡®§ ç ¥¬®© â ª¦¥ ! , âãà «ìëå ç¨á¥«. ë ç¨ ¥¬ á ¨§ã票¥¬ äãªæ¨¨ á«¥¤®¢ ¨ï ª®â®à ï ç¨á«ã x ᮯ®áâ ¢«ï¥â ç¨á«® x +1 ; ï§ëª ᮤ¥à¦¨â ᨬ¢®« s ¤«ï ®¡®§ 票ï í⮩ äãªæ¨¨, â ª¦¥ ᨬ¢®« ª®áâ âë 0 ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ¨¬¥ì襣® âãà «ì®£® ç¨á« . ëà ¦ ¥¬ ªá¨®¬ ¬¨, çâ® s ¨ê¥ªâ¨¢®, ¨ çâ® ª ¦¤ë© í«¥¬¥â, § ¨áª«î票¥¬ 0, ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬: (8x)(8y)(sx = sy ! x = y); (8x)sx 6= 0 (8x)(9y)(x = 0 _ x = sy) : ª¨¬¨ ¡ã¤ãâ ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ, ®¡à §®¢ ®© ¨§ íâ¨å âà¥å ªá¨®¬? ¨ ᮤ¥à¦ â ¢®-¯¥à¢ëå ®à¡¨âã ¤¥©á⢨ï s 0 : í⠮ࡨâ f0; s(0); : : : ; sn (0); : : : g ï¥âáï ª®¯¨¥© äãªæ¨¨ á«¥¤®¢ ¨ï âãà «ìëå ç¨á« å.
éñ ®¨ ¬®£ãâ ᮤ¥à¦ âì ª®¥çë¥, 横«¨ç¥áª¨¥ ®à¡¨âë ¨«¨ ¡¥áª®¥çë¥ ®à¡¨âë ª®¯¨¨ äãªæ¨¨ á«¥¤®¢ ¨ï (Z; s) 楫ëå ç¨á« å. ® è äãªæ¨ï á«¥¤®¢ ¨ï ¥ ᮤ¥à¦¨â 横«®¢ ¯®à浪 n , çâ® ¢ëà ¦ ¥âáï ªá¨®¬®© : :(9x1) : : : (9xn)(x2 = sx1 ^ ^ xn = xn?1 ^ x1 = sxn) : ¡®§ 稬 ç¥à¥§ S ⥮à¨î, ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ ãî í⨬ ¡¥áª®¥çë¬ á¯¨áª®¬ ªá¨®¬. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ® ¥ ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 : ¥á«¨ ¬ë ¢ëà §¨¬, çâ® ¥ ¨¬¥¥âáï 横«®¢ ¯®à浪 1; 2; : : : ; n , â® ¤®¯ã᪠¥¬ 横«ë ¯®à浪 n+1 . ã⢥ত î, çâ® íâ ⥮à¨ï ¯®« , â.¥. í⮠⥮à¨ï äãªæ¨¨ á«¥¤®¢ ¨ï, ¨ çâ® ® ¤®¯ã᪠¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢ (¢ ï§ëª¥ s; 0). ¥©á⢨⥫ì®, ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì S ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î (N; s) , ¢ ª®â®à®© ¬®¦® ¢ë¡¨à âì í«¥¬¥âë a1; : : : ; an , 㤠«¥ëå ¤à㣠®â ¤à㣠¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ì訥 à ááâ®ï¨ï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, á ⥮ਥ© í⮩ ¬®¤¥«¨ ᮢ¬¥áâ® ã⢥ত¥¨¥, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ a1; : : : ; an , ¥ 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¨ª ª¨¬ à ¢¥á⢠¬ ai = sk aj , ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¦¤ ï !- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì S ®¡à §®¢ ¨§ ª®¯¨¨ (N; s) ¨ ¨§ ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« ª®¯¨© (Z; s) ; ⮣¤ «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¢ ¤¢ãå â ª¨å ¬®¤¥«ïå, ¤¢ ª®à⥦ , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¡¥§ ª¢ â®à®¢, !-íª¢¨¢ «¥âë. ë ¬®£«¨ ¡ë â ª¦¥ ¯à®¢¥á⨠祫®ª à ¨áᥠ¢ á⨫¥ £« ¢ë 1: ¤® ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® § ¬¥¨âì äãªæ¨î á«¥¤®¢ ¨ï ¥ñ £à 䨪®¬, â® ¥áâì ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à (n; n + 1) , §ë¢ ¥¬ë¬ "¡¨ àë¬ ®â®è¥¨¥¬ á«¥¤®¢ ¨ï"; ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ª« áᮢ p-íª¢¨¢ «¥â®á⨠¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥ á«®¦®¥. ®¦® â ª¦¥ ¯®áâ㯠âì ¥¬®£® ¯®-¤à㣮¬ã, § ¬¥ç ï, çâ® á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ¨¬¥¥âáï ! áç¥âëå ¬®¤¥«¥© S , ᬮâàï ¯® ⮬ã ᪮«ìª® ª®¯¨© (Z;s) ® ¨¬¥¥â 0; 1; 2; : : : ; n; : : : ¨«¨ ! , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤«ï ª ¦¤®£® ¥áç¥â®£® ª न « ® ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥ãî ¬®¤¥«ì ¢ í⮩ ¬®é®áâ¨, â ª ª ª ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ®¤ ¢®§¬®¦®áâì ª®¯¨© (Z;s) . ¥®à¨ï, ª®â®à ï â ª ¦¥, ª ª S , ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥ãî ¬®¤¥«ì ¢ ¬®é®á⨠, §ë¢ ¥âáï -ª ⥣®à¨ç®©, ¨«¨ ¥é¥ ª ⥣®à¨ç®© ¢ .
7.b
105
®à冷ª
¥®à¥¬ 7.1
᫨ ⥮à¨ï T ¥ ¨¬¥¥â ª®¥çëå ¬®¤¥«¥©, ¨ ª ⥣®à¨ç ¢ ¬®é®á⨠jT j , â® ® ¯®« . ®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® T ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì , 㤮¢«¥â¢®àïîéãî f , ¨ ¤àã£ãî N , 㤮¢«¥â¢®àïîéãî :f . ®£¤ ¨ N ¡¥áª®¥çë, ¨ ¯® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ , ®¨ ¨¬¥îâ ᮮ⢥âá⢥® í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë¥ M1 ¨ N1 ¬®é®á⨠, ª®â®àë¥ ¤®«¦ë ¡ëâì ¨§®¬®àäë: íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.
ª¨¬ ®¡à §®¬, íâ ⥮६ â ª¦¥ ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® S ¯®« ; ¯à ªâ¨ª¥, ¥¥ ®¡« áâì ¯à¨¬¥¥¨ï £®à §¤® ¡®«¥¥ ®£à ¨ç¥ 祬 ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ¤ã¬ âì, â ª ª ª ç áâ® -ª ⥣®à¨ç®áâì ⥮ਨ ¬®¦® ¯®ïâì ⮫쪮 á ¯®¬®éìî 祫®ª , ª®â®àë© ¤ ¥â ¥¥ ¯®«®âã ¥¯®á।á⢥®. ¯à¨¬¥à, ¬ë ¬®£«¨ ¥¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì, çâ®¡ë ¯®ª § âì ¯®«®âã ⥮ਨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¤ ®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, § ï ⥮६ã ⥩¨æ ® ¡ §¥ âà á楤¥â®áâ¨, ¨ â ª¦¥, ª®¥ç®, ¥¤¨á⢥®áâì «£¥¡à ¨ç¥áª®£® § ¬ëª ¨ï, ¤®ª § ãî ¡¥§ ⥮à¨î ¬®¤¥«¥©! «ï ⮣®, çâ®¡ë ¤®ª § âì í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢, § ï, çâ® S ¯®« , ¤®áâ â®ç® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¢ ¥áç¥â®© ¬®¤¥«¨ S (¨ â ª¦¥ ¢ ¥£® !- áë饮© áç¥â®© ¬®¤¥«¨!) ¤¢ ª®à⥦ , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ᢮¡®¤ë¬ ä®à¬ã« ¬, ¯¥à¥¢®¤ïâáï ¢â®¬®à䨧¬®¬. § ¢á¥£® í⮣® § ª«îç ¥¬, ç⮠⥮à¨ï á«¥¤®¢ ¨ï ®ç¥ì ¯à®áâ ¨ ª« áá¨ä¨ª æ¨ï ¥£® ¬®¤¥«¥© ¥¯®á।á⢥ .
7.b ®à冷ª ®à冷ª (N; ) âãà «ìëå ç¨á¥« ¡ë« âé â¥«ì® ¨§ãç¥ ¢ ¯¥à¢®© £« ¢¥: ¥£® ⥮à¨ï ï¥âáï ⥮ਥ© ¤¨áªà¥â®£® ¯®à浪 á ¨¬¥ì訬 í«¥¬¥â®¬ ¨ ¡¥§ ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â , ¨ ¬ë § ¥¬ (á¬. ®¯¨á ¨¥ ⨯®¢ ¢ à §¤¥«¥ 1.b, ã¯à ¦¥¨¥ 1.10), çâ® ® ¨¬¥¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢, ¥á«¨ ¤®¡ ¢¨âì ª ï§ëªã ᨬ¢®« 0 ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ¨¬¥ì襣® í«¥¬¥â ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® 楫®£® n , ᨬ¢®« dn (x; y) ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ®â®è¥¨ï "¨¬¥¥âáï n í«¥¬¥â®¢ ¬¥¦¤ã x ¨ í«¥¬¥â®¬ y ". ¥¯¥àì, ª®£¤ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¥ª®â®àë© ®¯ëâ ¢ ®¡à 饨¨ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¥«®ª®¬, â®, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯®«ãî ⥮à¨î , ¨ çâ® ¯®à冷ª ¨ "à ááâ®ï¨ï", â ª¦¥ "à ááâ®ï¨¥ ¤® 0 ", ®¯¨áë¢ îâ ⨯ë, ¬®¦® ¢ëïá¨âì â ª : { ¬®¤¥«ï¬¨ ®¡á㦤 ¥¬®© ⥮ਨ ïîâáï 楯¨ ¢¨¤ N + Z C , £¤¥ C ï¥âáï ª ª®©-¨¡ã¤ì 楯ìî (§¤¥áì, ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ï, ¨¬¥¥âáï á¢ï§ì ¬¥¦¤ã à §«¨ç묨 ª®¯¨ï¬¨ Z : ®¨ ¤®«¦ë ¡ëâì 㯮à冷ç¥ë ®¤¨ ¯® ®â®è¥¨î ª ¤à㣨¬) ; { ¢ !- áë饮© ¬®¤¥«¨ í⮩ ⥮ਨ, 楯ì C ¯«®â ¡¥§ ª®æ®¢: ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ a < b ¨ d(a; b) = 1 , â® á ⥮ਥ© í⮩ ¬®¤¥«¨ ᮢ¬¥áâ® ã⢥ত¥¨¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â x , a < x < b, ¡¥áª®¥ç®¬ à ááâ®ï¨¨
106
« ¢ 7
ª ª ®â a , â ª ¨ ®â b ; ¨ çâ® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â y , y > b, ¡¥áª®¥ç®¬ à ááâ®ï¨¨ ®â b ; { ¢®§à áâ î騥 ª®à⥦¨ ¢ ¤¢ãå â ª¨å ¬®¤¥«ïå, ¨¬¥î騥 ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ à ááâ®ï¨ï, 1-íª¢¨¢ «¥âë. ¥®à¨ï ¯®à浪 âãà «ìëå ç¨á¥«, ª®â®à ï ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 , â ª¦¥ ¥ ¤®áâ ¢«ï¥â ¡®«ìè¨å ¯à®¡«¥¬: ¥ñ ¬®¤¥«¨ ïá® ®¯¨á ë ¢ëà ¦¥¨¥¬ N + Z C , ¥á«¨ ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ¯®ï⨥ 楯¨ ï¥âáï ïáë¬. ¡®«¥¥ á«®¦ , 祬 ⥮à¨ï á«¥¤®¢ ¨ï, ¢ á«¥¤ãî饬 â¥å¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥ : ®â®è¥¨¥ y = sx ¨â¥à¯à¥â¨à㥬® ä®à¬ã«®© x < y ^ (8z)(x z y ! x = z _ z = y) ; £®¢®àïâ â ª¦¥, çâ® á«¥¤®¢ ¨¥ ®¯à¥¤¥«¨¬® ç¥à¥§ ¯®à冷ª. ¦¤®¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ï§ëª¥ á«¥¤®¢ ¨ï ¬®¦® â ª¨¬ ®¡à §®¬ § ¬¥¨âì ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ ï§ëª¥ ¯®à浪 : § ¬¥ï¥¬ á«¥¤®¢ ¨¥ ¥£® ¯¥à¥¢®¤; â ª çâ® § ¨¥ ® ⥮ਨ ¯®à浪 ¢«¥ç¥â § ¨¥ ⥮ਨ á«¥¤®¢ ¨ï. ¦¤ ï ¬®¤¥«ì ⥮ਨ á«¥¤®¢ ¨ï ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ ¯®à浪 : ¤®áâ â®ç® 㯮à冷ç¨âì à §«¨çë¥ ª®¯¨¨ Z . â® { ®ç¥ì ।ª®¥ ¥¨¥.
7.c 㬬 ë à áᬠâਢ ¥¬ ⥯¥àì áâàãªâãàã, ®¡à §®¢ ãî ¡¨ ன ®¯¥à 樥© á㬬ë, ®¯à¥¤¥«¥®© 㨢¥àá㬥 âãà «ìëå ç¨á¥«; ® ¯®§¢®«ï¥â ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ¯®à冷ª, § ¬¥ïï ä®à¬ã«ã x y (9z)(x + z = y) . í⮬ á«ãç ¥, ¥ ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì ¯®à浪 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¬®¤¥«¨ á㬬ë: ¥á«¨ íâ ¬®¤¥«ì ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥â x , ¡®«ì訩 ¢á¥å ç¨á¥« ¢¨¤ 0; 1; 1+1; : : : ; 1+ +1; : : : (¢ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® x { ¥áâ ¤ àâë©), â® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® x + x ¡¥áª®¥ç®¬ à ááâ®ï¨¨ ®â x ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë 楯ì C ¥ ¨¬¥« ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â .
¯à ¦¥¨¥ 7.2 ç¥â ï ¬®¤¥«ì ¯®à浪 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ ¬®¤¥«¨ á㬬ë ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¨¬¥¥â ¢¨¤ ! ¨«¨ ! + Z Q , £¤¥ Q { 楯ì
à 樮 «ìëå ç¨á¥«.
ë ᮡ¨à ¥¬áï ⥯¥àì ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì ⥮à¨î áã¬¬ë ¨ ®¯¨á âì ¥ñ ⨯ë; ¤«ï ¯à®áâ®âë, ¬ë ¤®¡ ¢¨¬ ª ï§ëªã ¤¢ ᨬ¢®« ª®áâ âë ¤«ï ®¡®§ 票ï 0 ¨ 1 : íâ¨ í«¥¬¥âë ®¯à¥¤¥«¨¬ë ç¥à¥§ á㬬ã, x = 0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ x + x = x, x = 1 { ç¥à¥§ x 6= 0 ^ (8u)(8v)(u + v = x ! u = 0 _ v = 0) . ®£¤ , á㬬 㤮¢«¥â¢®àï¥â á«¥¤ãî騬 ªá¨®¬ ¬: 1. (8x)(8y)(x + y = y + x) ª®¬¬ãâ ⨢®áâì, 2. (8x)(8y)(8z)[(x + y) + z = x + (y + z)] áá®æ¨ ⨢®áâì, 3. (8x)(x + 0 = x) 4. (8x)(x + 1 6= x) 5. (8x)(8y)(x + y = 1 ! x = 0 _ x = 1)
7.c
㬬
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6. (8x)(8y)(9z)(x = y + z _ y = x + z) 7. (8x)(8y)(8u)(8v)(x = y + u ^ y = x + v ! x = y) . ⨠ªá¨®¬ë ¢ëà ¦ îâ, çâ® ®â®è¥¨¥ (9z)(x + z = y) ï¥âáï «¨¥©ë¬ ¯®à浪®¬ (âà §¨â¨¢ë¬ ¯® (2), à¥ä«¥ªá¨¢ë¬ ¯® (3), â¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ¯® (7), «¨¥©ë¬ (6)), ª®â®à®¥ ®âë¥ ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ ; ¯® (3) ¨ (1) ¨¬¥ì訬 í«¥¬¥â®¬ ï¥âáï 0, ¨ ¯® (4) ¨ (5) ¥£® ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬ ï¥âáï 1. ¨ ¢«¥ªãâ â ª¦¥, çâ® ª ¦¤®¥ ¥ã«¥¢®¥ x , ¡ã¤ãç¨ ¡®«ìè¥ ç¥¬ 0 , ¨¬¥¥â ¢¨¤ y + 1 ¨ x + 1 ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬ x : ¯® (4) x + 1 > x ¨, ¥á«¨ y > x , â® y = x + z á z 6= 0 , â ª¨¬ ®¡à §®¬, y = x +1+ t . ⬥⨬, çâ® ®¨ ¢«¥ªãâ â ª¦¥, çâ® ¥á«¨ x y , â® x + z y + z , ¨ ¥á«¨ x < y , â.¥. x + 1 y , â® x + z < y + z. ®¡à â®, à áᬠâਢ ï ¢á¥ á«ãç ¨ (x < y, x = y, x > y), ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ®¨ ¢«¥ªãâ á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠᮪à ⨬®áâ¨: x + z y + z ! x y , x+z = y+z ! x= y , x+z < y +z ! x < y . ¥¯¥àì ¯à¨¬¥¬ ᮣ« è¥¨ï ® ᮪à 饨ïå § ¯¨á¨: ¥á«¨ n { âãà «ì®¥ ç¨á«®, â® ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ n , ¢ ª ç¥á⢥ í⮣® ç¨á« , â¥à¬ 1+ +1, £¤¥ á㬬 ¡¥à¥âáï n à §; ¨ ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ nx â¥à¬ x+ +x, £¤¥ á㬬 ¡¥à¥âáï n à §; ¥ § ¡ë¢ ¥¬, çâ®, ª®£¤ ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ í⨠᮪à 饨ï, ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ 楫ëå ç¨á¥« ¥ ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¢ 襬 ï§ëª¥. ¬®¤¥«¨ ¤«ï ªá¨®¬ (1) { (7), í«¥¬¥âë ¢¨¤ 0; 1; 2; : : : ; n; : : : , ®¡à §ãîâ ç «ìë© á¥£¬¥â, ª®â®à®¬ á㬬 ¨§®¬®àä á㬬¥ âãà «ìëå ç¨á¥«; íâ¨ í«¥¬¥âë §ë¢ îâáï áâ ¤ àâ묨; ¬®¦® ¡¥§ ¯®¬¥å ®â®¦¤¥á⢫ïâì áâ ¤ à⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¬®¤¥«¨ á ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ âãà «ì묨 ç¨á« ¬¨; ¨å §ë¢ îâ ¨®£¤ â ª¦¥ áâ®ï騬¨ âãà «ì묨 ç¨á« ¬¨, ª®âà áâ® á ¥áâ ¤ àâ묨 í«¥¬¥â ¬¨ ¬®¤¥«¨, ª®â®àë¥, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¡®«ìè¥, 祬 ¢á¥ áâ ¤ àâë¥ í«¥¬¥âë; ¬®¤¥«ì á ¬ §ë¢ ¥âáï ¥áâ ¤ à⮩, ¥á«¨ ® ᮤ¥à¦¨â ¥áâ ¤ àâë© í«¥¬¥â; â ª¨¬ ®¡à §®¬, á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ ï áâ ¤ àâ ï ¬®¤¥«ì, á®áâ®ïé ï ¨§ áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«. 㬬 㤮¢«¥â¢®àï¥â â ª¦¥ ᢮©á⢠¬ ¥¢ª«¨¤®¢ ¤¥«¥¨ï, ª®â®àë¥ ¢ëà ¦ îâáï ¡¥áª®¥çë¬ á¯¨áª®¬ á«¥¤ãîé¨å ªá¨®¬ (®¤ ªá¨®¬ ¤«ï ª ¦¤®£® ¥ã«¥¢®£® (áâ ¤ à⮣®!) âãà «ì®£® ç¨á« n) : (8n ) (8x)(9y)(x = ny _ x = ny + 1 _ _ x = ny + (n ? 1)) , çâ® ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì â ª¦¥ ¢ ¢¨¤¥ (80n ) (8x)(9y)(9r)(x = ny + r ^ r < n) ¥¢®§¬®¦® § ¬¥¨âì ᯨ᮪ ªá¨®¬ (8) ¥¤¨á⢥®© ªá¨®¬®© â ª, ª ª ¯ëâ îâáï ¤¥« âì, 㨢¥àá «ì® ª¢ â¨ä¨æ¨àãï ¯® n : ¢ 襬 ï§ëª¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¥â, ny ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ᮪à 饨¥ ¤«ï y + + y . ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥ ®ç¥ì âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¯®à®¦¤¥ ï ªá¨®¬ ¬¨ 1; 2; : : : ; 7; 81 ; : : :; 8n ; : : : ⥮à¨ï ¥ ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 , â.¥. ª®¥ç®¥ ç¨á«® ªá¨®¬ ¥¢ª«¨¤®¢ ¤¥«¥¨ï ¨ª®£¤ ¥ ¬®¦¥â ¯®¢«¥çì ¢á¥ ®áâ «ìë¥. ª á«¥¤á⢨¥ íâ¨å ªá¨®¬, ¯®«ãç ¥¬ ¥¤¨á⢥®áâì ®áâ ⪠¨ ç á⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¤¥«¥¨ï: ¥á«¨ ny + r = nz + s, á r ¨ s ¬¥ìè¥ n , ⮣¤ y = z ¨ r = s ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¯à¨¬¥à z y; z = y + u , â® ny + r = ny + nu + s , ã¯à®é ï ¯®«ã稬 r = nu + s , â ª¨¬ ®¡à §®¬, nu r < n : ¥¤¨á⢥®¥ ç¨á«®, ¬¥ì襥 r , ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ nu ¥áâì 0 , â ª¨¬ ®¡à §®¬, u = 0 . ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ [x=n] "楫ãî ç áâì" ®â ¤¥«¥¨ï x n , â.¥. ¥¤¨áâ¢¥ë© y, â ª®¥, çâ®
108
« ¢ 7
x = ny + r á r < n ; r §ë¢ ¥âáï ®áâ ⪮¬ ®â ¤¥«¥¨ï x n . ¥®à¥¬ 7.3 ®¦¥á⢮ ªá¨®¬ 1; 2; : : : ; 7; 81; : : :; 8n ; : : : ®¡à §ã¥â ¯®«ãî â¥-
®à¨î á㬬ë âãà «ìëå ç¨á¥« ¨ ¤®¯ã᪠¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢ ¢ ï§ëª¥ 0; 1; ; +; [ =2]; : : : ; [ =n]; : : : . ®ª § ⥫ìá⢮. ï§ëª¥ ª®â®àë© ¬ë à áᬠâਢ ¥¬, ¢áïª ï ¯®¤áâàãªâãà ᮤ¥à¦¨â 0 ¨ 1 , ¨ § ¬ªãâ ®â®á¨â¥«ì® á«®¦¥¨ï ¨ äãªæ¨© [ =n] . ãáâì ¬ ¤ ë !- áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ M ¨ M 0 í⮩ ⥮ਨ, ª®à⥦¨ a ¨ b , ¯®à®¦¤ î騥 ¢ ¨å ¨§®¬®àäë¥ ¯®¤áâàãªâãàë A ¨ B : ¬ë ¤®«¦ë ¯®ª § âì çâ® a ¨ b 1-íª¢¨¢ «¥âë. (â® ¯®ª ¦¥â ¥éñ, ç⮠⥮à¨ï ¯®« , â ª ª ª ¯®¤áâàãªâãà , ¯®à®¦¤¥ ï ¯ãáâë¬ ¬®¦¥á⢮¬, ¢á¥£¤ ¨§®¬®àä á«®¦¥¨î áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«). ®¡ ¢¨¬ ¯à¨¬¥à í«¥¬¥â ª A ; ï ã⢥ত î çâ® ¯®¤áâàãªâãà , ¯®à®¦¤¥ ï A ¨ ®¡à §®¢ ¨§ í«¥¬¥â®¢ ¢¨¤ a + k[ =n] , £¤¥ a ¨§ A ¨ k ¨ n { âãà «ìë¥ ç¨á« . ¥©á⢨⥫ì®, 0 ¨ 1 ¨¬¥îâ â ª®© ¢¨¤; ª ª áç¨â âì á㬬ã a + k[ =n] ¨ b + h[ =m] ? ¤®, ®ç¥¢¨¤®, ¯à¨¢¥á⨠ª ®¡é¥¬ã § ¬¥ ⥫î : = n[ =n] + rn , = m[ =m] + rm , = nm[ =nm] + rnm , rnm = np + rn = mq + rm , ®âªã¤ [ =n] = m[ =nm] + p [ =m] = n[ =nm] + q ¨ ¨áª®¬ ï á㬬 à ¢ a + b + pk + qh + (km + hn)[ =nm] . ⬥⨬, çâ® ä®à¬ ¢ëà ¦¥¨ï § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ®áâ ⪮¢ ¯® ¬®¤ã«î n , m , nm . ª ¯®¤¥«¨âì a + k[ =n] m ?
᫨ a = m[a=m] + r, ⮣¤ a + k[ =n] = m([a=m] + k[ =mn]) + r + kp ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç á⮥ à ¢® [a=m] + k[ =nm] + [r + kp=m] , ¨ ᮢ ¢¨¤¨¬, çâ® íâ® ¢ëç¨á«¥¨¥ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ®áâ ⪮¢ . «¥¤®¢ ⥫ì®, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®«®áâìî áâàãªâãàã, ¯®à®¦¤¥ãî ¨ á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ®áâ ¥âáï ¢ëïá¨âì ª®£¤ a + k[ =n] b + h[ =m] ; (¨ ¢ ç áâ®áâ¨, ª®£¤ a + k[ =n] = b + h[ =m]) ; íâ® ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¥é¥ ¢ ¢¨¤¥ a + km[ =nm] + kp b + hn[ =nm] + hq , ¨ 㬮¦ ï ¤¢ ç¨á« nm ( ªá¨®¬ë ¢«¥ªãâ x y $ kx ky ) ¨ ¤®¡ ¢«ïï (km + hn)rnm ª ®¡¥¨¬ ç áâï¬, ¯®«ã稬 nma + nmkp + hnrnm + km nmb + nmhq + kmrnm + hn ; ª®â®à®¥ ï¥âáï ¥à ¢¥á⢮¬ ¢¨¤ a0 + k0 b0 + h0 , ᯮᮡ ¯®«ã票ï a0; b0; k0; h0 ¨§ ç «ìëå ¤ ëå a; b; k; h; m; n § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ®áâ ⪮¢ ¯® ¬®¤ã«î n , m , nm . ®¬ ¨¯ã«¨à㥬 ¥é¥ á í⨬ ¥à ¢¥á⢮¬, ª®â®à®¥ ¬ë ¯¥à¥¯¨è¥¬ ¡¥§ èâà¨å®¢, ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ çâ® k h ; § ¬¥ïï k k ? h ¯®«ã稬 : a + k b , ¨«¨ k[a=k] + r + k k[b=k] + s ; ¥á«¨ r s , â® íâ® íª¢¨¢ «¥â® ¥à ¢¥áâ¢ã [a=k]+ [b=k] ; ¥á«¨ r > s , â® íâ® íª¢¨¢ «¥â® ¥à ¢¥áâ¢ã [a=k]+ < [b=k] ; á«ãç © k < h à §¡¨à ¥âáï ¯®¤®¡ë¬ ᯮᮡ®¬. ¨â®£¥, á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ¯®¤áâàãªâãà , ¯®à®¦¤¥ ï A ¨ , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï :
7.c
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㬬
1) ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®áâ ⪮¢ ¯® ¬®¤ã«î n , 2) ¥à ¢¥á⢠¬¨ ¢¨¤ a + b; a + b , á a ¨ b ¢ , 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨áï í«¥¬¥â®¬ . ¡®§ 稬 ç¥à¥§ 1 ¬®¦¥á⢮, ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ à §®á⥩ ¯ à í«¥¬¥â®¢ ¨§ A , ¨ ç¥à¥§ B1 { ¬®¦¥á⢮, ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ à §®á⥩ ¯ à í«¥¬¥â®¢ ¨§ : ¨§®¬®à䨧¬ ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ¨§®¬®à䨧¬ 1 1 , á®åà ïî饣® ¯®à冷ª (â ª ª ª a ? b c ? d $ a + d c + b ; á ¬®¬ ¤¥«¥ 1 ¨ 1 { ¯®¤áâàãªâãàë, ª®â®àë¥ ¨§®¬®àäë). ¬ ¤® â ª¨¬ ®¡à §®¬ ©â¨ , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ⥬ ¦¥ ª®£àãíæ¨ï¬, çâ® ¨ , ¨ ®¯à¥¤¥«ïî騩 1 á¥ç¥¨¥, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ⮬ã, çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥â 1 ; à §«¨ç ¥¬ ¤¢ á«ãç ï: { 2 A1 ; â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ? b; ¡¥à¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî à §®áâì í«¥¬¥â®¢ , ¨ ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â â¥«î ¯à®¢¥àªã ⮣®, çâ® ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ®áâ ⮪ ¯® ¬®¤ã«î n çâ® ¨ { 62 A1 ; â ª ª ª 1 § ¬ªãâ® ®â®á¨â¥«ì® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ï ¨ ¯à¥¤è¥á⢥¨ª , ¥á«¨ a 2 A1 ¨ < , ⮣¤ + 1 < , ¨ ¥á«¨ b 2 A1 , < b, ⮣¤ < b ? 1 ; ¨ ¬ë å®â¨¬ ©â¨ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饬 á¥ç¥¨¨, 㤮¢«¥â¢®àï騩 ¤ ë¥ ª®£àãí樨, â.¥. 㤮¢«¥â¢®à¨âì ᯨ᮪ ä®à¬ã« : : :; a y; : : :y b; : : :y rn( mod n); : : : ; â ª ª ª ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«ïâì y ¯® ¬®¤ã«î n1; : : :; ns , ¤®áâ â®ç® ®¯à¥¤¥«¨âì ¥£® ¯® ¬®¤ã«î ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (í⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ªá¨®¬!), ª®¥ç ï á¨á⥬ , ¨§¢«¥ç¥ ï í⮣® ᯨ᪠, íª¢¨¢ «¥â â६ ãá«®¢¨ï¬ : a y; y b; y rn( mod n) ; ª®â®àë¬ ã¤®¢«¥â¢®àï¥â a, ¨«¨ + 1, ¨«¨ + 2 : : : ¨«¨ + (n ? 1)! . ⨠ãá«®¢¨ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ᮢ¬¥áâë á ⥮ਥ© M , ¨ ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠¨ !- áë饮á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¢ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¨¬ ¢á¥¬.
ãé¥áâ¢ã¥â ¡®«¥¥ ¥áâ¥áâ¢¥ë© á¯®á®¡ ªá¨®¬ ⨧ 樨 á㬬ë, á®áâ®ï騩 ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ ᢮©á⢠४ãàᨨ âãà «ìëå ç¨á¥«: ¥á«¨ ¯®¤¬®¦¥á⢮ âãà «ìëå ç¨á¥« ᮤ¥à¦¨â 0 , ¨ ¥á«¨ ¢¬¥áâ¥ á ª ¦¤ë¬ x ®® ᮤ¥à¦¨â x+1, ⮣¤ ®® ᮢ¯ ¤ ¥â 楫¨ª®¬ á N .
᫨ ¬ë ¢¢®¤¨¬ ¯¥à¥¬¥ãî X ¤«ï ¯®¤¬®¦¥á⢠N , íâ® ¯¨è¥âáï â ª: (8X )[(0 2 X ^ (8x)(x 2 X ! x + 1 2 X )] ! (8x)(x 2 X ) : ®«ìª® ¢®â íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ ï¥âáï à §à¥è¥®© ªá¨®¬®© ¢ 襬 ï§ëª¥; ¬ à §à¥è îâáï ª¢ â¨ä¨ª 樨 ¯® ¨¤¨¢¨¤ ¬ ®á¨â¥«ï à áᬠâਢ ¥¬®© áâàãªâãàë, ® ¥ ª¢ â¨ä¨ª 樨 ¯® ¥£® ¯®¤¬®¦¥á⢠¬; ¬ë ¬®¦¥¬ £®¢®à¨âì ® ¬®¦¥á⢥, ®¡ ®â®è¥¨¨, ® äãªæ¨¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¬ë ¨å ¢¢®¤¨¬ § à ¥¥ á¯¥æ¨ «ìë¬ á¨¬¢®«®¬. ¬¥® ¯® í⮩ ¯à¨ç¨¥ è ï§ëª §ë¢ ¥âáï ï§ëª®¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ; ï§ëª¨, ¢ ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ïîâ ª¢ â¨ä¨ª æ¨î â ª¦¥ ¯® ¯®¤¬®¦¥á⢠¬, ®â®è¥¨ï¬ ¨ â.¯., ¨¬¥ãîâáï ï§ëª ¬¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 ; ®¨ ¥ ¯®§¢®«ïîâ à §¢¨âì ⥮à¨î ¬®¤¥«¥© ¯®¤®¡® ⮩, çâ® ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãî饥 ã¯à ¦¥¨¥ :
110
« ¢ 7
¯à ¦¥¨¥ 7.4 ®ª ¦¨â¥, çâ® ï§ëª ¢â®à®£® ¯®à浪 ¥ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ª®¬¯ ªâ®á⨠(§ ¬¥âìâ¥, çâ® ¢ ï§ëª¥ ¢â®à®£® ¯®à浪 á㬬 , ¨«¨ ¤ ¦¥ á«¥¤®¢ ¨¥ âãà «ìëå ç¨á¥« å à ªâ¥à¨§ã¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ).
®, å®âï ¢ 襬 ï§ëª¥ ¥¢®§¬®¦® £®¢®à¨âì ¢® ¢á¥© ®¡é®á⨠® ¯®¤¬®¦¥á⢠å N , ¬®¦® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ à áᬠâਢ âì ⥠¨§ ¨å, ª®â®àë¥ ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à¬ã«®© f (x) ï§ëª á㬬ë, ¨ ᪠§ âì, çâ® ¥á«¨ 0 㤮¢«¥â¢®àï¥â f , ¨ ¥á«¨ ¢¬¥áâ¥ á ª ¦¤ë¬ x x + 1 â ª ¦¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â f , ⮣¤ ª ¦¤ë© x 㤮¢«¥â¢®àï¥â f . «ï í⮣® 㦮 ¤®¡ ¢¨âì ¯® ®¤®© ªá¨®¬¥ Af ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f ; ®, â ª ª ª ¢á¥ í⨠ªá¨®¬ë ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ¢¨¤, â® ¨®£¤ £®¢®àïâ, çâ® Af ï¥âáï á奬®© ªá¨®¬ : çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ªá¨®¬ë, ª®â®àë¥ ®¯¨áë¢ ¥â á奬 Af , ¤® § ¬¥¨âì f ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¢á¥¬¨ ä®à¬ã« ¬¨. ªá¨®¬ ⨪®© à¥á¡ãà£¥à §ë¢ îâáï á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë: (I ) (8x)(x + 1 6= 0) (II ) (8x)(8y)(x + 1 = y + 1 ! x = y) (III ) (8x)(x + 0 = x) (IV ) (8x)(8y)[x + (y + 1) = (x + y) + 1] (Vf ) (8x)f[f (x; 0) ^ (8y)(f (x; y) ! f (x; y + 1))] ! (8y)f (x; y)g : ¥ªãàá¨ï (¥é¥ £®¢®àïâ: ¨¤ãªæ¨ï) ï¥âáï ¤¢¨¦ã饩 ¨¤¥¥© í⮩ ªá¨®¬ ⨪¨, ª®â®à ï, ®ç¥¢¨¤®, ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï á㬬ë âãà «ìëå ç¨á¥«; ªá¨®¬ (IV) ®¡êïáï¥â ª ª ¬®¦® áç¨â âì x + y ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ç¨ ï á x +0 , x +1 , x + 2 , ¨ â.¤. ; ¨¬¥¥âáï ¯® ®¤®© ªá¨®¬¥ (Vf ) ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f ï§ëª (+; 0; 1) á n + 1 ᢮¡®¤ë¬¨ ¯¥à¥¬¥ë¬¨: í⠪ᨮ¬ §ë¢ ¥âáï ªá¨®¬®© ¨¤ãªæ¨¨, ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥¬¥®© x , ¢ ä®à¬ã«¥ f (x1; : : : ; xn; x) .
¥®à¥¬ 7.5 ªá¨®¬ ⨪ à¥á¡ãà£¥à ªá¨®¬ ⨧¨àã¥â ⥮à¨î á㬬ë âãà «ìëå ç¨á¥«.
®ª § ⥫ìá⢮. á®, çâ® í⨠ªá¨®¬ë ¨áâ¨ë ¤«ï á㬬ë âãà «ì-
ëå ç¨á¥«, ¨ ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯®«®âë í⮩ ⥮ਨ «ãçè¥ ¢á¥£® ¢ë¢¥á⨠¨§ ¨å ª ¦¤ãî ªá¨®¬ã ¯à¥¤ë¤ã饣® ᯨ᪠. ¥©á⢨⥫ì®, ªá¨®¬ ⨪ à¥á¡ãà£¥à ®¡ï§ ᢮¥© í«¥£ â®áâìî ᪮॥ ¬¥â 䨧¨ç¥áª®¬ã ¢¤®å®¢¥¨î, 祬 ¨âã¨æ¨¨ ® ⮬, ç⮠ï¥âáï ⨯ ¬¨. ë §¤¥áì ¯à®¤¥« ¥¬ íâ® ¡ëáâà®. (2) áá®æ¨ ⨢®áâì ¤®ª §ë¢ ¥âáï , ¨¤ãªæ¨¥© ¯® z : x + (y + 0) = x + y = (x + y) + 0 ;
x + (y + (z + 1)) = x + ((y + z) + 1) = (x + (y + z)) + l = = ((x + y) + z) + 1 = (x + y) + (z + 1) : (1) ®¬¬ãâ ⨢®áâì ¯®«ãç ¥âáï ¢ âਠíâ ¯ ; ¨¤ãªæ¨¥© ¯® x : 0 + x = x , ¨¤ãªæ¨¥© ¯® x : 1 + x = x + 1 , ¨¤ãªæ¨¥© ¯® y : x + y = y + x . (4) ¨¤ãªæ¨¥© ¯® x : 0 + 1 6= 0 ; x 6= x + 1 ¢«¥ç¥â x + 1 6= (x + 1) + 1
7.d
111
®¤¨à®¢ ¨¥ ª®¥çëå ¬®¦¥áâ¢
(5) ¨¤ãªæ¨¥© ¯® x ¯®ª §ë¢ ¥¬, çâ® ª ¦¤®¥ ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«® ¨¬¥¥â ¢¨¤ u +1 ; ¥á«¨ (u + 1) + y = 1 , 0 = u + y , ¨ ¨ u ¨ y ¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤ v + 1 , â ª¨¬ ®¡à §®¬, u = 0 ªá¨®¬ë (6) , (7) , (8n) ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î.
⬥⨬, çâ® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 7.5 ¨á¯®«ì§ãîâáï ⮫쪮 á« ¡ë¥ ¢¥àᨨ, ⥬ ¥ ¬¥¥¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«®, ªá¨®¬ ¨¤ãªæ¨¨.
ਬ¥à ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ áã¬¬ë ®§ì¬¨â¥ ¤¢¥ 㯮à冷ç¥ë¥ £à㯯ë : Z 楫ëå ç¨á¥« ¨ Q à 樮 «ìëå ç¨á¥«; á ¡¤¨â¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ £à㯯 Z Q «¥ª-
ᨪ®£à ä¨ç¥áª¨¬ ¯®à浪®¬. ®£¤ í«¥¬¥âë, ¡®«ì訥 祬 (0; 0) á®áâ ¢«ïîâ ¬®¤¥«ì ⥮ਨ á㬬ë âãà «ìëå ç¨á¥«. ¬¥ç ¨¥ . «ï ⥮ਨ á㬬ë, ç¨á«® ⨯®¢ ¤ ; ¥áâì 2! : ¨¬¥¥âáï ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® 2! ¢®§¬®¦®á⥩, çâ®¡ë ¢ë¡à âì ®áâ ⪨ ¯® ¬®¤ã«î n (ª®£¥à¥âë¬ á¯®á®¡®¬!) . «¥¤®¢ â¥«ì® íâ ⥮à¨ï ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì áç¥âãî !- áëé¥ãî ¬®¤¥«ì.
7.d 㬬 ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ : ª®¤¨à®¢ ¨¥ ª®¥çëå ¬®¦¥á⢠í⮣® ¬®¬¥â , ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨§ãç âì áâàãªâãàã, ®¡à §®¢ ãî ¨§ âãà «ìëå ç¨á¥« á á㬬®© ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬; ⥮à¨ï í⮩ áâàãªâãàë §ë¢ ¥âáï à¨ä¬¥â¨ª®©. ë ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ï§ëª ᮤ¥à¦¨â 0; 1; ; +; , å®âï 0; 1; ¥®¡ï§ ⥫ìë, â ª ª ª ®¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ë ç¥à¥§ á㬬ã; ⥬ ¥ ¬¥¥¥ 0 ¨ 1 ®ç¥ì 㤮¡ë, â ª ª ª ®¨ ¯®§¢®«ïîâ ¢ëà §¨âì ª ¦¤®¥ âãà «ì®¥ (áâ ¤ à⮥!) ç¨á«® â¥à¬®¬ n = 1 + + 1 ; ¨ á ¤à㣮© áâ®à®ë, ¯®à冷ª ¨£à ¥â â ªãî ä㤠¬¥â «ìãî à®«ì ¢ ª« áá¨ä¨ª 樨 ä®à¬ã« à¨ä¬¥â¨ª¨, çâ® ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¥£® ¢ë¤¥«ïâì á¯¥æ¨ «ìë¬ á¨¬¢®«®¬. ª ¦¥, ª ª ¨ ¤«ï á㬬ë, ¬ë §ë¢ ¥¬ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«ìî ¬®¤¥«ì N à¨ä¬¥â¨ª¨, ®¡à §®¢ ãî ¨§ áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«; â ª ª ª ª ¦¤ë© í«¥¬¥â áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ ¢ë¤¥«¥ â¥à¬®¬, ¥£® ¤¨ £à ¬¬ (¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¥ ⮫쪮 ¯à¥¤«®¦¥¨© ¡¥§ ª¢ â®à®¢, ª®â®àë¬ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ¥£® í«¥¬¥âë) ï¥âáï ç áâìî à¨ä¬¥â¨ª¨, ¨ ª ¦¤ ï ¥áâ ¤ àâ ï ¬®¤¥«ì ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨, ïî饩áï ¥¥ ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬. ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ à £à ä å, ¬ë ¨§ã稫¨ ¥ª®â®àë¥ ç áâ¨çë¥ áâàãªâãàë à¨ä¬¥â¨ª¨, ®¤ ¡®£ ç¥ ¤à㣮©, ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ « áì ¢ á«¥¤ãî饩. ë ᬮ£«¨ ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì ¨å ⥮ਨ, ¨ ®¯¨á âì ¥ª®â®àë¥ ¥áâ ¤ àâë¥ ¬®¤¥«¨: íâ® ¨§ã票¥ ®â á«ãç ï ª á«ãç î áâ ®¢¨«®áì ¢á¥ ¡®«¥¥ ¤¥«¨ª âë¬. á㬬®© ¬ ¡ë«® âà㤥¥, 祬 á ¯®à浪®¬ ¨«¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬, ® ¬ë ¢ë諨 ¨§ ¯®«®¦¥¨ï ¯®ç⨠⥬ ¦¥ ¯ã⥬, ¯à¥®¤®«¥¢ ®á«®¦¥¨ï ⮫쪮 â¥å¨ç¥áª®£® å à ªâ¥à . ® ¬ë ¯®©¬¥¬, çâ® á® á㬬®© ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¬ë ¤¥« ¥¬ ª ç¥á⢥ë©
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« ¢ 7
¯à릮ª ¨ ¬ë ¢å®¤¨¬ ¢ ®¢ãî ®¡« áâì; ¨ ⥯¥àì ¬ ¥ 㤠áâáï ¨ ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì à¨ä¬¥â¨ªã, ¨ áâநâì ¥áâ ¤ àâë¥ ¬®¤¥«¨, â ª ª ª ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® ¨¬¥îâáï ⥮à¥â¨ç¥áª¨¥ ¯à¥¯ïâáâ¢¨ï ¯à®â¨¢ íâ¨å ¯®¯ë⮪: à¨ä¬¥â¨ª ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¨ ªá¨®¬ ⨧ æ¨î, ¨ ¥áâ ¤ àâëå ¬®¤¥«¥© ⮩ ¦¥ ¯à¨à®¤ë, ¯à¨áã饩 ¨§ãç¥ë¬ ¤® í⮣® ç áâ¨çë¬ áâàãªâãà ¬; ª®¥ç®, ¬ ¤® ãâ®ç¨âì, çâ® ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ ¯®¤ "¯à¨à®¤®©" íâ¨å ®¡ê¥ªâ®¢. ë ¥é¥ ¥ £®â®¢ë ¤«ï í⮣® ¨ ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë «¨èì ¯®ª ¦¥¬, çâ® à¨ä¬¥â¨ª ᮤ¥à¦¨â ª®¤¨à®¢ ãî ¢ ¥© á ¬®© ª®¬¡¨ â®à¨ªã, ¨«¨ ⥮à¨î ª®¥çëå ¬®¦¥áâ¢. ª ª ª íâ® ª®¤¨à®¢ ¨¥ ®ç¥ì áãé¥á⢥® ¤«ï ¨§ãç¥¨ï ¬®¤¥«¥© à¨ä¬¥â¨ª¨ ¨ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®æ¥¨âì ¥ñ ¢ëà §¨â¥«ìãî ᨫã, ¥£® 㦮 å®à®è® ã᢮¨âì. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë å®â¨¬ ᪠§ âì "áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨§ 10 í«¥¬¥â®¢ â ª¨å, çâ® f " ; ¬ë ¤®«¦ë ⮫쪮 ¯¨á âì (9x1) : : : (9x10)f ; ¬ë ¬®¦¥¬ ¤¥« âì íâ® â ª¦¥ ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¨§ ¬¨««¨ à¤ í«¥¬¥â®¢ ; ® ª ª ᪠§ âì 襬 ï§ëª¥ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 "áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨§ x í«¥¬¥â®¢", £¤¥ x { ¯¥à¥¬¥ ï ? ®â âãâ-â® -äãªæ¨ï ¥¤¥«ï ¨ ¤ ¥â ¨áª®¬®¥ á।á⢮. ãªæ¨ï (u; v; w) ¥¤¥«ï ᮯ®áâ ¢«ï¥â â६ æ¥«ë¬ ç¨á« ¬ u; v; w ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì 楫ëå ç¨á¥« a0; : : : aw?1 ¤«¨ë w (¥á«¨ w = 0 , â® (u; v; w) { ¯ãáâ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì), ®¯à¥¤¥«¥ãî â ª¨¬ ®¡à §®¬: ai ï¥âáï ®áâ ⪮¬ ¥¢ª«¨¤®¢ ¤¥«¥¨ï u (i + 1)v + 1 .
¥®à¥¬ 7.6 ãªæ¨ï (u; v; w) ï¥âáï áîàꥪ樥© N3 ¢ ¬®¦¥á⢮ ª®¥çëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ í«¥¬¥â®¢ ¨§ N . ®ª § ⥫ìá⢮. âãà «ìë¥ ç¨á« 㤮¢«¥â¢®àïîâ ª¨â ©áª®© «¥¬¬¥:
¥á«¨ d0; : : :; dw?1 ¯®¯ à® ¢§ ¨¬® ¯à®áâë, â® ¤«ï ¤ ëå a0; : : :; aw?1 áãé¥áâ¢ã¥â âãà «ì®¥ u , ª®£àãí⮥ a0 ¯® ¬®¤ã«î d0 , : : : , ª®£àãí⮥ aw?1 ¯® ¬®¤ã«î dw?1 (çâ®¡ë ¤®ª § âì ª¨â ©áªãî «¥¬¬ã, ¯®ª ¦¨â¥, çâ® Z=d0 : : : dw?1 Z= Z=d0Z Z=dw?1Z: ¬ ®áâ ¥âáï ©â¨ u ¡®«ìè¥ a0; : : :; aw?1 (ç⮡ë í⨠âãà «ìë¥ ç¨á« ¡ë«¨ ®áâ ⪠¬¨ ¯® ¬®¤ã«î ¤«ï ¢á¥å (i + 1)v + 1)), â ª®¥, çâ®, ¥á«¨ i < j < w , â® (i + 1)v + 1 ¨ (j + 1)v + 1 ¡ë«¨ ¢§ ¨¬® ¯à®áâ묨. ®« £ ¥¬ v = n! , £¤¥ n ¡®«ìè¥ w; a0; : : : ; aw?1 ; ¥á«¨ p ï¥âáï ¯à®áâë¬ ®¡é¨¬ ¤¥«¨â¥«¥¬ (i + 1)n! + 1 ¨ (j + 1)n! + 1 , â® ® ¤¥«¨â â ª¦¥ (j ? i)n! ¨ ® ¤¥«¨â â ª¨¬ ®¡à §®¬ j ? i ¨«¨ n! , ¨ â ª ª ª j ? i ¤¥«¨â n! , ® ¤¥«¨â n! ; ® â ª ª ª p ¤¥«¨â (i + 1)n! + 1 , ® ¤®«¦¥ ¤¥«¨âì 1, íâ® ¡áãà¤.
¢¥â ¯à®¨ª ¢ à §ã¬ ç¨â ⥫ï: ¤«ï ⮣®, ç⮡ë ᪠§ âì "áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ã ª®â®à®© i-ë© ç«¥ : : : " ᪠¦¥¬ "áãé¥áâ¢ã¥â u; v; w â ª¨¥, çâ® ®áâ ⮪ ¤¥«¥¨ï u (i + 1)v + 1 : : : "; ¨ ¢á¥ íâ® { ï§ëª¥ à¨ä¬¥â¨ª¨, â ª ª ª ä®à¬ã« (9y)(a = yb + c ^ c < b) ¢ëà ¦ ¥â, çâ® c ï¥âáï ®áâ ⪮¬ ¤¥«¥¨ï a b. ª ç¥á⢥ ¨««îáâà 樨 ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ¯®ª § ⥫ìãî äãªæ¨î xy . ०¤¥ ¢á¥£® § ¬¥â¨¬, çâ® á㬬 ¯®«ãç ¥âáï ¨â¥à 樥© á«¥¤®¢ ¨ï, ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ { ¨â¥à 樥© á㬬ë, ¨ ¯®ª § ⥫ì ï äãªæ¨ï { ¨â¥à 樥© ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï : á㬬 { íâ® ¥¤¨á⢥ ï äãªæ¨ï f â ª ï, çâ® (8x)f (x; 0) = x ,
7.d
®¤¨à®¢ ¨¥ ª®¥çëå ¬®¦¥áâ¢
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(8x)(8y)f (x; y +1) = f (x; y)+1 ; ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ { íâ® ¥¤¨á⢥ ï äãªæ¨ï f â ª ï, çâ® (8x)f (x; 0) = 0 , (8x)(8y)f (x;y + 1) = f (x; y) + x ; ¯®ª § ⥫ì ï äãªæ¨ï { ¥¤¨á⢥ ï f â ª ï, çâ® (8x)f (x; 0) = 1 , (8x)(8y)f (x; y +1) = f (x; y) x . ® í⨠®¯à¥¤¥«¥¨ï, ᮤ¥à¦ 騥 ª¢ â¨ä¨ª æ¨î ¯® äãªæ¨¨ ("¥¤¨á⢥ ï äãªæ¨ï"), ¤«ï á § ¯à¥é¥ë. ¦¥âáï, çâ® £à ¤ æ¨ï áâàãªâãà áâ ®¢¨âáï ¢á¥ ¡®«¥¥ ¨ ¡®«¥¥ á«®¦®©: á«¥¤®¢ ¨¥, á㬬 , á㬬 ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥; § ¨¬ á«¥¤ã¥â áâàãªâãà : á㬬 , ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, ¯®ª § ⥫ì ï äãªæ¨ï. ¨ç¥£® ¯®¤®¡®£®, ¬ë 㪠¦¥¬ ä®à¬ã«ã ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ï§ëª áã¬¬ë ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ®¯à¥¤¥«ïî饣® £à 䨪 ¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨ { ®â®è¥¨¥ z = xy . ¢¥¤¥¬ ᮪à 饨¥: r(u; v) ®¡®§ ç ¥â ®áâ ⮪ ®â ¤¥«¥¨ï u v + 1 ; ¬ë 㦥 ®â¬¥â¨«¨, çâ® íâ äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ á㬬㠨 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥. è ä®à¬ã« f (x; y; z) , ®¯à¥¤¥«ïîé ï ®â®è¥¨¥ z = xy , á«¥¤ãîé ï: (9u)(9v)(r(u; v) = 1 ^ r(u; (y + 1)v) = z ^
^ (8i)(1 i y ! r(u; (i + 1)v) = x r(u; iv))) : ®ç¥¬ã íâ® â®, ç⮠㦮 ? ।¯®«®¦¨¬ çâ® x; y; z 㤮¢«¥â¢®àïîâ ä®à¬ã«¥; à áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì
a0 = r(u; v); : : :; ai = r(u; (i + 1)v); : : :; ay = r(u; (y + 1)v) ; â ª ª ª a0 = 1 , ¨ ai+1 = ai x , ®¡ï§ â¥«ì® ¯®«ã稬 ay = xy , ¨, ªáâ â¨, ä®à¬ã« ã⢥ত ¥â, çâ® z = ay ! ¡à â®, ¥á«¨ z = xy , â® ¯® ⥮६¥ 7.6 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0 = 1; : : : ; ai = xi; : : :; ay = xy ¨¬¥¥â ¢¨¤ (u; v; y +1) , ®âªã¤ á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ u ¨ v ¨ ä®à¬ã« ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ã¤®¢«¥â¢®àï¥âáï. ¤¥ï í⮣® ¤®ª § ⥫ìá⢠§ ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ४ãàᨥ© ¡« £®¤ àï äãªæ¨ï ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¥çâ® ¢ëà §¨¬®¥ ï§ëª¥ à¨ä¬¥â¨ª¨; ⥯¥àì ç¨â â¥«î ¯à¥¤« £ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì ç¥à¥§ á㬬㠨 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ «î¡ãî äãªæ¨î ¨§ N ¢ N , ª®â®à ï ¯à¨å®¤¨â ¥¬ã 㬠( ¯à¨¬¥à, âã, ª®â®à ï x ᮯ®áâ ¢«ï¥â x-®¥ ¯à®á⮥ ç¨á«®); ¥á«¨ ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå ® ¯®â¥à¯¨â ¥ã¤ çã, â® íâ® ¨§-§ ¥¤®áâ ⪠®¯ëâ ¢ ã¯à ¢«¥¨¨ äãªæ¨¥© ¨«¨, ¢®§¬®¦®, ã ¥£® ¡®«ì®¥ ¢®®¡à ¦¥¨¥; ¨ ç¥, ® ãáâ ®¢¨â, ¥áª®«ìª® ¥®¦¨¤ ® ¤«ï ᥡï, çâ® ª ¦¤ ï "¥áâ¥á⢥ ï" äãªæ¨ï ¨§ N ¢ N ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥. ®ª ¢á¥ íâ® ¢ë£«ï¤¨â ¥¬®£® ªãáâ à®, ¨ ⥯¥àì ¬ë ¯®ª ¦¥¬ ¬¥â®¤ ¡®«¥¥ á¨á⥬ â¨ç¥áª®£® ¨áá«¥¤®¢ ¨ï, á®áâ®ï騩 ¢ ¨â¥à¯à¥â 樨 "⥮ਨ ª®¥çëå ¬®¦¥áâ¢" (¨«¨ ª®¬¡¨ â®à¨ª¨) ¢ãâਠà¨ä¬¥â¨ª¨. á¥, ¨«¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ª ¦¤ë© ç¨â â¥«ì ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «¨â¥à âãàë § ¥â ª ª ¯¨á âì ç¨á« ¢ ¤¥áïâ¨ç®© á¨á⥬¥ áç¨á«¥¨ï ¯®á।á⢮¬ ¤¥áï⨠æ¨äà; ¨ ¢ë¯ã᪨ª¨ á।¥© 誮«ë § îâ â ª¦¥ ª ª ¯¨á âì ç¨á«® ¢ ¤¢®¨ç®© á¨á⥬¥ áç¨á«¥¨ï ¯®á।á⢮¬ ¤¢ãå æ¨äà 0 ¨ 1 : ®® á®á⮨⠢ ⮬, ç⮡ë P i ¥£® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ "i2 , á "i = 0 ¨«¨ 1 , ¯à¨ç¥¬ "i ¢á¥ 㫨 ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ®¬¥à . ë 㦤 ¥¬áï ¢ ¥áª®«ìª¨å í«¥¬¥â àëå «¥¬¬ å ® 㬥à 樨.
¥¬¬ 7.7 ¦¤®¥ ç¨á«® ®¡« ¤ ¥â ®¤¨¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ à §«®¦¥¨¥¬ ¢ ¤¢®¨ç®¬ ®á®¢ ¨¨.
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« ¢ 7
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬ á ç « ¥¤¨á⢥®áâì; ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ä®àP ¬ã«ã 0ik 2i = 1 + 2 + + 2kP= 2k+1 ?P1, ª®â®àãî «¥£ª® ¯®ª § âì ¨¤ãªæ¨¥© ¯® k ; ¨â ª, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® "i2i = i2i { ¤¢ à §«®¦¥¨ï ®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ ç¨á« ; "i ª ª ¨ i 㫨 ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ¬¥áâ , áãé¥áâ¢ã¥â ¨¡®«ì訩 ¨¤¥ªá k â ª®©, çâ® "k 6= k , ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à¨¬¥à, çâ® "k = 0; k = 1 ; ®â¡à áë¢ ï ¨¤¥ªá ¬, ¡®«ì訬 k , ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥á⢮: P0ik?1 "i2iâ®,= çâ® P0ᮮ⢥âáâ¢ã¥â i k 2 + 2 , ª®â®à®¥ ¥¢®§¬®¦®, â ª ª ª «¥¢ë© ç«¥ ik?1 i k ¬ ¦®à¨àã¥âáï 2 ? 1 . ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ª ¦¤®¥ ç¨á«® x ¨¬¥¥â âॡ㥬®¥ à §«®¦¥¨¥; ¬ë ¥ ¤¥« ¥¬ íâ® ¨¤ãªæ¨¥© ¯® x ¨§-§ ¯à®¡«¥¬ë á«®¦¥¨ï P á "§ ¯¨áìî ¢ 㬥". à®é¥ § ¬¥â¨âì, çâ® ¨¬¥îâáï 2k à §«¨çëå à §«®¦¥¨© 0ik?1 "i2i , ¢ ª®â®àëå ¢á¥ æ¨äàë ïîâáï ã«ï¬¨ ç¨ ï á k ; ¬ë 㦥 ¯®ï«¨, çâ® ç¨á« ,Pª®â®àë¥ ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ, ¢á¥ à §«¨çë¥, ¨ ®¨ ªà®¬¥ ⮣® ¬ ¦®à¨àãîâáï 0ik?1 2i = 2k ? 1 : íâ® { ¢á¥ ç¨á« ®â 0 ¤® 2k ? 1 .
¥¬¬ 7.8 ãªæ¨ï (x; i) , ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ¯ ॠ(x; i) (i + 1)-ãî æ¨äàã à §«®¦¥¨ï x ¢ ¤¢®¨ç®¬ ®á®¢ ¨¨, ®¯à¥¤¥«¨¬ ç¥à¥§ á㬬㠨 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥.
®ª § ⥫ìá⢮. â®è¥¨¥ y = (x; i) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã-
«®©, ª®â®à ï ¬®¦¥â ¢ëà ¦¥ ⮫쪮 ç¥à¥§ á㬬㠨 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, â ª ª ª, ª ª ¬ë 㦥 § ¥¬, ¯®ª § ⥫ì ï äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ ¨å: (9u)(9v)(9w)f[r(u; v) = 1 _ r(u; v) = 0] ^
^ (8j )[1 j w ! (r(u; jv) = r(u; (j + 1)v) _ 2j + r(u; jv) = = r(u; (j + 1)v))] ^ x = r(u; (w + 1)v) ^ (i > w ! y = 0) ^
^ (i = 0 ! y = r(u; v)) ^ (((1 i w) ^ r(u; iv) = r(u; (i + 1)v)) ! y = 0) ^ ^ [((1 i w) ^ r(u; iv) 6= r(u; (i + 1)v)) ! y = 1]g : â® { â®, çâ® ¤®, ¯®â®¬ã çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (u; v; w + 1) , ¯à¥¤áâ ¢«¥ ï âனª®© u; v; w + 1 , ¤ ¥â ¢ â®ç®á⨠ç áâ¨çë¥ á㬬ë à §«®¦¥¨ï x ¯® ®á®¢ ¨î ¤¢ .
ë ¢¢®¤¨¬ ⥯¥àì ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥ "¯à¨ ¤«¥¦®áâ¨" ¬¥¦¤ã 楫묨 ç¨á« ¬¨: £®¢®à¨¬, çâ® x 2 y, ¥á«¨ x + 1- ï æ¨äà à §«®¦¥¨ï y ¯® ®á®¢ ¨î ¤¢ à ¢ 1; ¥á«¨ ® à ¢ 0, â® x 62 y . ® «¥¬¬¥ 7.8 ®â®è¥¨¥ x 2 y ®¯à¥¤¥«¨¬® ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ä®à¬ã«®© (y; x) = 1. â® ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥¦®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥â ¬®¤¥«ì "⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢" á ®á¨â¥«¥¬ N; ®ç¥¢¨¤®, çâ®¡ë ¤ âì á¬ëá« í⮬ã ã⢥ত¥¨î, ¤® ¡ë«® ¡ë ãâ®ç¨âì ªá¨®¬ë í⮩ ⥮ਨ, 祣® ¢â®à íâ¨å áâப ¡á®«îâ® ¨§¡¥£ ¥â. 㤥⠯à®é¥, ¥á«¨ ç¨â ⥫ì ã¡¥¤¨âáï, çâ® âãà «ìë¥ ç¨á« , á ¡¦¥ë¥ í⮩ ¯à¨ ¤«¥¦®áâìî,
7.d
®¤¨à®¢ ¨¥ ª®¥çëå ¬®¦¥áâ¢
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¨¬¥îâ ä®à¬ «ìë¥ á¢®©á⢠¬®¦¥áâ¢, á ª®â®à묨 ®¨ ã¯à ¦ï«¨áì 誮«¥, ¨ ª®â®àë¥ ¢ â¥ç¥¨¥ ¢¥ª á«ã¦ â ¦¨§¥®© á।®© ¤«ï à §¢¨â¨ï ¬ ⥬ ⨪¨. ¯à¨¬¥à, ®¤¨¬ ¨§ ¯à¨æ¨¯®¢ í⮩ ⥮ਨ ¬®¦¥á⢠ï¥âáï ªá¨®¬ íªáâ¥á¨® «ì®áâ¨: "¤¢ ¬®¦¥á⢠, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ í«¥¬¥âë, à ¢ë"; ® §¤¥áì ¢ë¯®«ï¥âáï, â ª ª ª ¤¢ ç¨á« , ¨¬¥î騥 ®¤® ¨ â® ¦¥ à §«®¦¥¨¥ ¯® ®á®¢ ¨î ¤¢ , à ¢ë! ë ¨¬¥¥¬ ¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮, ïî饥áï ç¨á«®¬ 0; ¤«ï ¤ ëå ¤¢ãå ç¨á¥« a ¨ b , ¬ë ¬®¦¥¬ ®¡à §®¢ âì ¯ àã fa; bg , ª®â®à ï à ¢ ®¤®í«¥¬¥â®¬ã ¬®¦¥áâ¢ã fag = 2a , ¥á«¨ a = b , ¨ 2a + 2b , ¥á«¨ a ¨ b { à §«¨çë¥. ®®¡é¥, ¢ í⮩ ¬®¤¥«¨ ¤«ï ¤ ëå n à §«¨çëå ç¨á¥« a0; : : : ; an?1 ¬®¦® ®¡à §®¢ë¢ âì ¬®¦¥á⢮ fa0; : : : ; an?1g , ïî騩áï ç¨á«®¬ 2a0 + + 2an?1 .
᫨ x 2 y , â® x < y â ª ª ª i < 2i. ®í⮬ã è¥ ®â®è¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥¦®á⨠ä㤨஢ ®, â.¥. ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠x1; : : : ; xn á x1 2 x2 2 2 xn 2 x1 . ç áâ®áâ¨, í«¥¬¥âë a ¢á¥ áâண® ¬¥ìè¥ a. ¥¯¥àì «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥á«¨ ¨¬¥¥âáï ¤¢ ¬®¦¥á⢠a ¨ b , â® ¬®¦® ®¡à §®¢ë¢ âì ¨å ®¡ê¥¤¨¥¨¥, ᮢ¯ ¤ î饥 á ç¨á«®¬ a + b, ¥á«¨ a ¨ b ¤¨§êîªâë; ªá¨®¬ á㬬ë â ª¦¥ ¨á⨠: ¬®¦® ®¡à §®¢ë¢ âì ®¡ê¥¤¨¥¨¥ í«¥¬¥â®¢ a ; ª ª ¨ ªá¨®¬ ¬®¦¥á⢠¢á¥å ¯®¤¬®¦¥áâ¢: ¬®¦® ®¡à §®¢ âì ¬®¦¥á⢮ ç¨á¥«, ïîé¨åáï ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ a ; á奬 ªá¨®¬ § ¬¥é¥¨ï â ª¦¥ ¢¥à (íâ® ¯®á«¥¤¥¥ "⥬®¥" ã⢥ত¥¨¥ ¤à¥á®¢ ãç¥ë¬: ¥á«¨ ¬ ¥ å¢ â ¥â 㪨, ¨ ¥á«¨ ë å®â¨â¥ ¡«¨áâ âì ¢ ®¡é¥á⢥, ¯à®«¨á⠩⥠ã祡¨ª ¯® ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢). ¬®¤¥«¨ (N; 2) ¨¬¥îâáï ⮫쪮 ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠; §¤¥áì "ª®¥ç®áâì" { ¢¥è¥¥ ᢮©á⢮ ®â®á¨â¥«ì® ¬®¤¥«¨: ¤«ï ¤ ®£® ç¨á« a, ¬®¦¥á⢮ x, â ª¨å, çâ® x 2 a, ª®¥ç®; ª ª ¬ë § ¬¥â¨«¨, «î¡®¥ ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ç¨á¥« ¨¬¥¥â ¢¨¤ fx=x 2 ag. ¯à¥¤ë¤ã饩 äà §¥, á«®¢ "¬®¦¥á⢮", "ª®¥çë©" ¥®¡å®¤¨¬® ¯®¨¬ âì ¢ ¥áâ¥á⢥®¬, ¥ä®à¬ «ì®¬, ¨âã¨â¨¢®¬ á¬ëá«¥ (¥á«¨ áç¨â âì ¬®¦¥á⢠¥áâ¥á⢥묨 ®¡ê¥ªâ ¬¨, ® ª®â®àëå ¬®¦® ¨¬¥âì ¨âã¨æ¨î!), ¥ ¢ â¥å¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥ ¬®¤¥«¨ (N; 2); ® â ª¦¥ ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® íâ ¬®¤¥«ì 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬¥ "ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ ª®¥ç®" ¨«¨ ¥é¥ "¤«ï ª ¦¤®£® a áãé¥áâ¢ã¥â âãà «ì®¥ ç¨á«® n ¨ ¡¨¥ªæ¨ï n a". ª ¢ ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢, ¯à¥¤áâ ¢«ïîâáï âãà «ìë¥ ç¨á« ? ¨á«® 0 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ; ; 1 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï , ®¤®í«¥¬¥âë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ᮤ¥à¦ 騬 f;g , 2 ¥áâì f;; f;gg , ¨ â.¤.
᫨ n ®¡®§ ç ¥â ¬®¦¥á⢮, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饥 ç¨á«® n , â® n + 1 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï n [ fng . ª¨¬ ®¡à §®¬, âãà «ì®¥ ç¨á«® áâ ®¢¨âáï ¬®¦¥á⢮¬ ¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å ¥¬ã âãà «ìëå ç¨á¥«. ë ¢¨¤¨¬, çâ® âãà «ì®¥ ç¨á«® n âà §¨â¨¢® (¥á«¨ x 2 y ¨ y 2 n , ⮣¤ x 2 n), ¨ çâ® ®â®è¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥¦®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥â í«¥¬¥â å n (áâண¨©) «¨¥©ë© ¯®à冷ª: ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â ¯à®¢¥à¨âì ç⮠⮫쪮 í«¥¬¥âë ¢¨¤ n ¬®¤¥«¨ (N; 2) ®¡« ¤ îâ í⨬¨ ¤¢ã¬ï ᢮©á⢠¬¨; ®¨ á®áâ ¢«ïîâ ¬®¦¥á⢮ N ("¬®¦¥á⢮", ¥ ¯à¥¤áâ ¢¨¬®¥ ¢ ¬®¤¥«¨ (N; 2) !) âãà «ìë ç¨á¥« ¢ á¬ëá«¥ ¬®¤¥«¨ (N; 2) . ë 㦥 ®â¬¥â¨«¨, çâ® ¥á«¨ x ¨ y ¤¨§êîªâë ®â®á¨â¥«ì® 2 , x \ y = ; , â.¥. x ¨ y ¥ ¨¬¥îâ ®¡é¨å à §à冷¢, à ¢ëå 1, ⮣¤ x[y = x+y ; ¨ çâ® fxg = 2x ; ªà®¬¥ ⮣® x 62 x (â ª ª ª ¥á«¨ x 2 y , â® x < y ); á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®â®¡à ¦¥¨¥, ª®â®à®¥ x ᮯ®áâ ¢«ï¥â x ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ª®®¬ á«¥¤ãî饩 ¨¤ãªæ¨¨: 0 = 0 ,
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« ¢ 7
(x + 1) = x + 2x . è ç¨â â¥«ì ¥ ¡ã¤¥â ¡®«¥¥ 㤨¢«¥, 㧠¢, çâ® äãªæ¨ï y = x ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ä®à¬ã«®©: (9u)(9z)(r(u; v) = 0 ^ r(u; (x + 1)v) = y ^
^ (8i)(1 i x ! r(u; (i + 1)v) = r(u; iv) + 2r(u;iv))) :
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯¥à¥«®¦¨âì, ¯®á।á⢮¬ ®â®¡à ¦¥¨ï , ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«¨¬®, áâàãªâãàã N ¥£® ®¡à § N . â® ¬ë ¢ë¨£àë¢ ¥¬ ¯à¨ í⮬ ? ®, ç⮠⥯¥àì N ¢áï ¯®ªàëâ ª®¬¡¨ â®à¨ª®©, çâ® ¢á¥ â® çâ® ¡ã¤¥â £®¢®à¨âì ® ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠å N , ª®¥çëå ¬®¦¥áâ¢ å ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠N , ¨ â.¤. ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥® á ¯®¬®éìî 2 . â® â ª®¥ ¯ à (x; y) ? â® { ¬®¦¥á⢮ ffxg; fx; ygg ; â® â ª®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¬®¦¥á⢠x y ? â® { ¬®¦¥á⢮ ¯ à, ã ª®â®àëå ¯¥à¢ ï ª®®à¤¨ â ï¥âáï í«¥¬¥â®¬ x ¨ ¢â®à ï í«¥¬¥â y . â® â ª®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ x ¢ y ? â® { ¯®¤¬®¦¥á⢮ x y , ïî饥áï £à 䨪®¬ äãªæ¨¨. â® â ª®¥ ª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì í«¥¬¥â®¢ x ? â® { ®â®¡à ¦¥¨¥ n ¢ x ¤«ï ¥ª®â®à®£® n . ®à®ç¥, ¢á¥ ⥮à¥â¨ª®¬®¦¥áâ¢¥ë¥ ¯®ïâ¨ï, ¯à¨¬¥à ¡¨ ண® ®â®è¥¨ï x , £à㯯ë x ¨ â.¤., ª®â®àë¥ ¥ ¢ë室ïâ § à ¬ª¨ ª®¥çëå ¬®¦¥áâ¢, ¥¯®á।á⢥® ¯¥à¥¢®¤¨¬ë ¡« £®¤ àï ®â®è¥¨î 2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᢮©á⢠âãà «ìëå ç¨á¥« ã¦ë ª®¬¡¨ â®àë¥ ¯®ïâ¨ï, â® ¢¬¥á⮠⮣® çâ®¡ë ¨á¯®«ì§®¢ âì äãªæ¨î , ª®â®à ï ¡ë« ¯®«¥§®© â¥å¨ç¥áª®¬ íâ ¯¥ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®â®è¥¨ï 2 , ¬ë ¬®¦¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì è¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ , ç⮡ë ᢮¡®¤® à ¡®â âì á N ¢ 襩 ª®¬¡¨ â®à¨ª¥ (N; 2) , ¨ ¢¥àãâìáï ¢ N ®¡à âë¬ ®â®¡à ¦¥¨¥¬ ¨§ N ¢N. ¯à¨¬¥à, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ çâ® ¬ë å®â¨¬ ®¯à¥¤¥«¨âì äãªæ¨î y = px , ®â®¡à ¦ îéãî x x-®¥ ¯à®á⮥ ç¨á«®; ç¨â ⥫ì í⮠㬥¥â á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ , ª ª ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯à¨¬¥à å; ® ¬®¦® â ª¦¥ ¯¥à¥©â¨ ¢ N ¨ ¢ëà §¨âì, çâ® y { ¯à®á⮥ ç¨á«® (¢ á¬ëá«¥ N ), â ª®¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã x ¨ ¬®¦¥á⢮¬ ¯à®áâëå ç¨á¥«, ¬¥ìè¨å ç¨á« y . ¤¥áì, íª®®¬¨ï ¢à¥¬¥¨ ¥ ä â áâ¨ç¥áª ï; ® áâ ®¢¨âáï â ª®¢®© ¥á«¨ ¥®¡å®¤¨¬® ¢¢¥á⨠¬®¦¥á⢠¬®¦¥áâ¢, äãªæ¨©, ¨ â.¤. ¯à ¢«¥¨¥ äãªæ¨¥© , çâ®¡ë § ª®¤¨à®¢ âì ¢á¥ í⨠¯®ïâ¨ï, áâ ®¢¨âáï á«®¦®© ¬ ¨¯ã«ï樥©, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢ (N; 2) ¢á¥ ¯à®¨á室¨â ¥áâ¥á⢥® : ¤®áâ â®ç® ¢ëà §¨âì èã ¨âã¨æ¨î. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ç¨â ⥫î, ã ª®â®à®£® ¨âã¨æ¨ï ¥éñ ¥¤®áâ â®ç® áä®à¬¨à®¢ (¨«¨ ¨áª ¦¥ ⥮à¥â¨ª®-¬®¦¥á⢥®© ¯à ªâ¨ª®©, ¯à¨¢¥¤è¥© ª ¯®â¥à¥ ¤®¢¥à¨ï í⮬㠮â®è¥¨î 2) 㦮 ¢à¥¬ï ®â ¢à¥¬¥¨ ¯à®¢®¤¨âì â殮«ë¥, ® ¡®«¥¥ ®áï§ ¥¬ë¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠¯®á।á⢮¬ í⮩ äãªæ¨¨ : ¯®¨¬ ¨¥ § 票ï í⮣® ª®¤¨à®¢ ¨ï ª®¥çëå ¬®¦¥á⢠¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ®ç¥ì ¢ ¦®. ë § ª«î稬 íâ®â ¯ à £à ä ¥áª®«ìª¨¬¨ ⮪¨¬¨ à áᬮâ२ﬨ. ë ᥩç á à ¡®â «¨ ¢ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ N ; çâ® ¯à®¨§®©¤¥â, ¥á«¨ ¬ë § ¬¥¨¬ N ®¤® ¨§ ¥£® ¥áâ ¤ àâëå í«¥¬¥â àëå à áè¨à¥¨© N1 ? ®à¬ã« , ®¯à¥¤¥«ïîé ï ®â®è¥¨¥ 2 N ®¯à¥¤¥«ï¥â ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥ â ª¦¥ N1 , ª®â®à®¥ ¬ë ®¡®§ 稬 ⥬ ¦¥ ᨬ¢®«®¬, ¨ (N1; 2) ï¥âáï, ®ç¥¢¨¤®, í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ (N; 2) , â ª ª ª ª ¦¤®¥ ᢮©á⢮ 2 ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ á㬬㠨 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥.
7.e
®¤¨à®¢ ¨¥ ä®à¬ã«
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®¤¬®¦¥á⢠A ¨§ N1 , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®¦¥á⢠¬ ¢ á¬ëá«¥ í⮩ ª®¬¡¨ â®à¨ª¨, â® ¥áâì ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¨§ N1 , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¥ª®â®à®¬ã a ¨§ N1 â ª®¬ã, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® x ¨§ N1 , x 2 a ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x ¢ A , ¡ã¤ãâ §¢ âìáï "¬®¦¥á⢠¬¨, ª®¤¨à®¢ 묨 ¢ ¬®¤¥«¨ N1", ¨«¨ ¥é¥ "ª®¥ç묨 ¬®¦¥á⢠¬¨ ¢ á¬ëá«¥ N1 ". ᥠ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ª®¥çë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠N1 ª®¤¨àãîâáï â ª¨¬ ®¡à §®¬, â ª ª ª á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ï¥âáï ⥮६®© à¨ä¬¥â¨ª¨: (8x1) : : : (8xn)(9y)(8x)(x 2 y $ (x = x1 _ _ x = xn)) ; ® á«¥¤ãîé ï ªá¨®¬ â ª¦¥ ¨á⨠¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ª®â®à ï £®¢®à¨â, çâ® ¤«ï «î¡®£® x ᥣ¬¥â [0; x] § ª®¤¨à®¢ : (8x)(9y)(8z)(z 2 y $ z < x) : «¥¤®¢ ⥫ì®, á।¨ íâ¨å ª®¥çëå ¢ á¬ëá«¥ N1 ¬®¦¥áâ¢, 室ïâáï ¨ â¥, ã ª®â®àëå ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ x (¡®«¥¥ â®ç®, x) ¥áâ ¤ à⮥; ç¨â, à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ¢¥ ¬®¤¥«¨, ®¨ ¡¥áª®¥çë, ® çâ® ª á ¥âáï ᢮©áâ¢, ¢ëà §¨¬ëå 襬 ï§ëª¥, ®¨ ¢¥¤ãâ ᥡï â®ç® â ª ¦¥, ª ª ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠. ஬¥ ⮣®, ¬®¤¥«ì (N1; 2) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬¥ "ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ ª®¥ç®", â® ¥áâì "ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ 室¨âáï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨ á âãà «ìë¬ ç¨á«®¬" ! ®ï⨥ áâ ¤ à⮣® ¨«¨ ¥áâ ¤ à⮣® ç¨á« ®éã⨬® ⮫쪮 ¥á«¨ à áᬠâਢ âì èã ¬®¤¥«ì ¨§¢¥ ¨«¨ ¡®«¥¥ ¬®é®¬ ï§ëª¥. ¦¤ ï ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨ ¦¨¢¥â á ¬ëá«ìî, çâ® ® á®áâ ¢«¥ ¨§ áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«: ⮫쪮 ¢¥è¨© ¡«î¤ â¥«ì «¨è¥ í⮩ ¨««î§¨¨.
7.e ®¤¨à®¢ ¨¥ ä®à¬ã«, ⥮६ à᪮£® ª ª ª ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ ª®¬¡¨ â®à¨ª®©, ¬ë ¬®¦¥¬ ª®¤¨à®¢ âì ä®à¬ã«ë ï§ëª (0; 1; ; +; ) , â® ¥áâì ¨å ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ç¨á« ¬¨ ¨ â ª, çâ®¡ë ¬ ¨¯ã«ï樨 ä®à¬ã« å áâ ®¢¨«¨áì ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬¨ ®¯¥à æ¨ï¬¨ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥. ë å®â¨¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨ê¥ªâ¨¢® ᮯ®áâ ¢¨âì ª ¦¤®© ä®à¬ã«¥ ᢮© ª®¤; ¤«ï í⮣® á ç « 㯮à冷稬 ¢á¥ ᨬ¢®«ë ï§ëª : ᪮¡ª¨ (; ), «®£¨ç¥áª¨¥ ᨬ¢®«ë :; _; ^; 9; 8 ᨣ âãàë¥ á¨¬¢®«ë =; 0; 1; ; +; , ᨬ¢®«ë ¯¥à¥¬¥ëå x1; x2; x3 : : : , ¨ ¢ í⮬ ¯®à浪¥ ¨¬ ᮯ®áâ ¢¨¬ ç¨á« 0; 1; 2; 3; 4 : : : . «®¢® ï¥âáï ª®¥ç®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî a0; : : :; an íâ¨å ᨬ¢®«®¢; ¥£® ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì, ¯à¨¬¥à, ç¨á«®¬ p0ao+1 pann+1 , £¤¥ pi ®¡®§ ç ¥â i-®¥ ¯à®á⮥ ç¨á«®: ᨬ¢®«, ª®â®àë© å®¤¨âáï ¢ i-®¬ ¬¥áâ¥, { íâ® á⥯¥ì pi ¬¨ãá ®¤¨. ¨¤® áà §ã, çâ® ¬®¦¥á⢮ ª®¤®¢ á«®¢ «¥£ª® ®¯à¥¤¥«¨¬® ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥: íâ® ¬®¦¥á⢮ â ª¨å ç¨á¥« x , çâ® ¥á«¨ ¯à®á⮥ ç¨á«® p ¤¥«¨â x , â® ª ¦¤®¥ ¯à®á⮥ ç¨á«®, ¬¥ì襥 p, ¤¥«¨â x . ®«¥¥ á«®¦®, ® ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¬®¦¥á⢮ ª®¤®¢ ä®à¬ã« ¡« £®¤ àï äãªæ¨¨ . ®â ¯®ç¥¬ã ¬ë ®âª ¦¥¬áï ®â í⮣® ª®¤¨à®¢ ¨ï ¢ ¯®«ì§ã 襩 ª®¬¡¨ â®à¨ª¨ (N; 2) ; ¤¥©á⢨⥫ì®, á«®¢® ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥ ª ª ª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ᨬ¢®«®¢, â® ¥áâì ®â®¡à ¦¥¨¥ n ¢ ª®¥ç®e ¯®¤¬®¦¥á⢮ 襣®
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« ¢ 7
ᯨ᪠ᨬ¢®«®¢ ¨§ N (¬®¦® ¡à âì ¨ N ): íâ® ¥¯®á।á⢥® ¢ëà ¦ ¥âáï ¢ áâàãªâãॠ(N; 2) . «®¢ ïîâáï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ª®¥ç묨 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâﬨ ¢ á¬ëá«¥ (N; 2) . ª ®â«¨ç¨âì ä®à¬ã«ë ®â ¤à㣨å á«®¢? ¢®¤ï ᯨ᮪ ¨å ¯®¤ä®à¬ã«: á«®¢® m ï¥âáï ä®à¬ã«®©, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì m0; : : :; mn á«®¢, â ª ï, çâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¥áâì m ¨ ª ¦¤ ï mi «¨¡® ⮬ , «¨¡® ï¥âáï ª®êîªæ¨¥© ¨«¨ ¤¨§êîªæ¨¥© ¤¢ãå ¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å á«®¢ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, «¨¡® ï¥âáï ®âà¨æ ¨¥¬ ¨«¨ ª¢ â¨ä¨ª 樥© ¯à¥¤ë¤ã饣® á«®¢ . ᥠíâ® ¥¯®á।á⢥® ¢ëà §¨¬® ¢ (N; 2) ª ª ⮫쪮 ¯®ª ¦ãâ, ª ª ®¯à¥¤¥«ïîâáï â®¬ë¥ ä®à¬ã«ë: íâ® á«®¢ â ª®£®-â® ¨«¨ â ª®£® ¢¨¤ . ᥠ¯®ïâ¨ï ª®â®àë¥ ª á îâáï ä®à¬ã« ¨ ª®â®àë¥ ¥ ¢ë室ïâ § ª®¬¡¨ â®à¨ªã (â.¥. ª®â®àë¥ ¢ª«îç îâ ⮫쪮 ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠) ®¯à¥¤¥«¨¬ë ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥: íâ® ¯®¨¬ ¥âáï ¥¤¨®®¡à §® ¢ ¬®¤¥«¨ (N; 2) ; ¥á«¨ ¢ë ¥ å®â¨â¥ ¥ñ ¨á¯®«ì§®¢ âì, â® ¤® ¡ã¤¥â ª ¦¤ë© à § ¬ ¨¯ã«¨à®¢ âì äãªæ¨¥© . ¯à¨¬¥à äãªæ¨¨, ª®â®àë¥ ä®à¬ã«¥ ¨«¨, ¡®«¥¥ â®ç®, ¥ñ ª®¤ã, ᮯ®áâ ¢«ïîâ ¥ñ á«®¦®áâì, ¥ñ à £ ª¢ â¨ä¨ª 樨, ª®¤ ¬®¦¥á⢠¥ñ ¯®¤ä®à¬ã«, ª®¤ ¬®¦¥á⢠¥ñ ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå ¨ â.¤., ®¯à¥¤¥«¨¬ë. ç¨â, ¬®¦® ¢ëà §¨âì ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, çâ® ä®à¬ã« ï¥âáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬, â® ¥áâì ® ¥ ᮤ¥à¦¨â ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå. ® ª ª ®¯à¥¤¥«¨âì â®, çâ® ä®à¬ã« f (x) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ª®à⥦¥¬ a ? ¤ãªæ¨¥© ¯® á«®¦®á⨠f ? ®¥ç®, ® ¨¤ãªæ¨ï ¨¬¥¥â ¤¥«® á ¯ ன (f; A) , £¤¥ A ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ª®à⥦¥©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f . ª ª ª íâ® ¬®¦¥á⢮ A ¬®¦¥â ¡ëâì ¡¥áª®¥çë¬ ¨ ã¡¥¦ âì ¨§ 襩 ª®¬¡¨ â®à¨ª¨, â® ¥¯®ïâ®, ª ª ¯à®¢®¤¨âì íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¤ãªæ¨¥©. ¥¢®§¬®¦®áâì í⮣® ã⢥ত ¥âáï á«¥¤ãî饩 ⥮६®©, ª®â®à ï ¢ë¤¢¨ãâ ¢¯¥à¥¤, â ª ª ª ® ®ç¥ì â®ç® 㪠§ë¢ ¥â ¯à¥¤¥«ë ¢ëà §¨â¥«ì®© ᨫë à¨ä¬¥â¨ª¨:
¥®à¥¬ 7.9 ( à᪨©) ®¦¥á⢮ ª®¤®¢ ¯à¥¤«®¦¥¨©,¨áâ¨ëå ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ¥ ®¯à¥¤¥«¨¬® à¨ä¬¥â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«®©.
®ª § ⥫ìá⢮. â ª ¤®¯ãá⨬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« V (x) á ®¤®©
᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x , â ª ï, çâ® ç¨á« n , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¥©, ¡ë«¨ â®ç® ª®¤ ¬¨ ¨áâ¨ëå ¯à¥¤«®¦¥¨©. ®¦¥á⢮ A ª®¤®¢ ä®à¬ã« á ¥¤¨á⢥®© ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x ®¯à¥¤¥«¨¬®, â ª ¦¥ ª ª ¨ äãªæ¨ï ' , ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ¯ ॠ(n; m) , £¤¥ n ¢ A , ª®¤ ¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¯®«ã祮£® § ¬¥®© ¢ ä®à¬ã«¥ á ª®¤®¬ n ¯¥à¥¬¥®© x ç¨á«®¬ m . ®£¤ ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ V (x; y) ä®à¬ã«ã V ('(x; y)) ; ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® íâ ä®à¬ã« 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï â ª¨¬¨ ¯ à ¬¨ (n; m), çâ® n { ª®¤ ä®à¬ã«ë, ¨¬¥î饩 ¥¤¨á⢥ãî ᢮¡®¤ãî ¯¥à¥¬¥ãî x , â ª®©, çâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¯®«ã祮¥ ¨§ ¥ñ § ¬¥®© x m, ¡ë«® ¨áâ¨ë¬. ãáâì ⮣¤ n0 { ª®¤ ä®à¬ã«ë :V (x; x) ; ¬ë ¥ ᬮ¦¥¬ ¢ë©â¨ ¨§ á«¥¤ãî饩 ¤¨«¥¬¬ë : { ¥á«¨ V (n0; n0) ¨á⨮, â® :V (n0; n0) ¨á⨮ , { ¥á«¨ V (n0; n0) «®¦®, :V (n0; n0) «®¦®.
7.f
¥à àå¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥áâ¢
119
¬¥ç ¨¥. ë ¤®«¦ë ¡ë«¨ ¢ë¡à âì ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥®¥ ª®¤¨à®¢ ¨¥, ® ïá®, çâ® ¢ í⮬ ¢ë¡®à¥ ¨¬¥¥âáï ¡®«ì让 ¯à®¨§¢®«: ¥£® ¬®¦® ¬®¤¨ä¨æ¨à®¢ âì, ® áãé®áâì ®â í⮣® ¥ ¨§¬¥¨âáï; ¥®¡å®¤¨¬® ⮫쪮, çâ®¡ë ®® ¯®§¢®«¨«® à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨ ¢ëà §¨âì "®¡ëçë¥" ®¯¥à 樨 ä®à¬ã« å ( ¯à¨¬¥à § ¬¥ ¯¥à¥¬¥®© ¢¥«¨ç¨ë ª®áâ ⮩, ®âà¨æ ¨¥, ¨ â.¤.).
᫨ ç¥âë¥ ®¬¥à ᮯ®áâ ¢¨¬ ¨áâ¨ë¬ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬, ¥ç¥âë¥ ®¬¥à { «®¦ë¬ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬, â® ã á ¥â ¨ª ª¨å è ᮢ ¤®ª § âì ⥮६ã à᪮£®.
7.f ¥à àå¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥á⢠®¢®àïâ, çâ® ¯®¤¬®¦¥á⢮ Nn { à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥, ¥á«¨ ®® ®¡à §®¢ ® ¨§ n-®ª, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«¥ f (x) ¢ ï§ëª¥ à¨ä¬¥â¨ª¨; £®¢®àïâ ¥éñ, çâ® ¯®¤¬®¦¥á⢮ ®¯à¥¤¥«¨¬® ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥. ë ¯à¨áâ㯠¥¬ ª ª« áá¨ä¨ª 樨 à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ä®à¬ã« ¨ ¬®¦¥áâ¢, ª®â®àë¥ ®¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ, ¯® ç¨á«ã ª¢ â®à®¢ íâ¨å ä®à¬ã« ¢ ¯à¥¥ªá®© ä®à¬¥. ë 㦥 £®¢®à¨«¨ ¢ à §¤¥«¥ 2.a ® ¯à¨¢¥¤¥¨¨ ª ¯à¥¥ªá®© ä®à¬¥ ¢ ®¡é¨å ç¥àâ å; §¤¥áì ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ®¯à¥¤¥«¨âì á¯¥æ¨ «ìë¥ ¯à¥¥ªáë¥ ä®à¬ë ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ¢¢®¤ï ¯®ï⨥ "®£à ¨ç¥ëå ª¢ â¨ä¨ª 権". ä®à¬ã« å ¢¨¤ (9y)(y x ^ f (x; y)) ¨«¨ (8y)(y x ! f (x; y)) ᮠ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x 㪠§ ë¥ ª¢ â®àë §ë¢ îâáï ®£à ¨ç¥ë¬¨: çâ®¡ë ¯®ïâì ¨á⨠«¨ ä®à¬ã« n , ¤®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì ⮫쪮 ⥠y , ª®â®àë¥ ¬¥ìè¥ n ; ª ª ⮫쪮 ¨§¢¥áâ® n , 㦮 ᤥ« âì «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯à®¢¥à®ª; ¢¯®«¥ ¯®ïâ®, çâ® â ª®£® த ª¢ â¨ä¨ª 樨 £®à §¤® ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ ¯à¨à®¤ë, 祬 ¥®£à ¨ç¥ë¥ ª¢ â®àë, ¨ çâ® ¤«¥¦¨â ¨å à §«¨ç âì. â ª, ¢¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票ï: (9y x)f , (8y x)f ª ª ᮪à 饨ï (9y)(y x ^ f ) , (8y)(y x ! f ) ; ¢ ä®à¬ã« å (9y < x)f , (8y < x)f ¯¥à¥¬¥ ï x { ᢮¡®¤ ï, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ® ¥ ᢮¡®¤ ¢ f . ®à¬ã« §ë¢ ¥âáï 0-ä®à¬ã«®©, ¨«¨ ¥é¥ á ®£à ¨ç¥®© ª¢ â¨ä¨ª 樥©, ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® ª¢ â®àë ®£à ¨ç¥ë; â®ç® â ª ¦¥, ª ª ä®à¬ã« ¯à¨¢®¤¨âáï ª ¯à¥¥ªá®© ä®à¬¥, «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® 0-ä®à¬ã« íª¢¨¢ «¥â 0-ä®à¬ã«¥, ã ª®â®à®© ¢á¥ ª¢ â®àë áâ®ïâ ¢¯¥à¥¤¨. 1-ä®à¬ã« ¥áâì ä®à¬ã« , ¨¬¥îé ï ¢¨¤ (9x)f , £¤¥ f ¥áâì 0-ä®à¬ã« ; 1-ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¢¨¤ (8x)f ¤«ï ¥ª®â®à®© 0-ä®à¬ã«ë f . ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n ®¯à¥¤¥«¨¬ ª« ááë n - ¨ n-ä®à¬ã« ¤«ï n > 1 : n+1-ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¢¨¤ (9x)f , £¤¥ f ¥áâì n-ä®à¬ã« ; n+1-ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¢¨¤ (8x)f , £¤¥ f ¥áâì n ä®à¬ã« . ¤¥ªá n ®§ ç ¥â â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¯¥à¥¤ ä®à¬ã«®© ¨¬¥¥âáï n ª¢ â®à®¢, ¯®®ç¥à¥¤® 9 ¨ 8 ; ®§ ç ¥â çâ® ä®à¬ã« ç¨ ¥âáï á 9 , ¨ , çâ® ® ç¨ ¥âáï 8 .
¥®à¥¬ 7.10 à¨ä¬¥â¨ª¥, ª®êîªæ¨ï ¨«¨ ¤¨§êîªæ¨ï ¤¢ãå n - ä®à¬ã« íª¢¨¢ «¥â n -ä®à¬ã«¥; ®£à ¨ç¥ ï ª¢ â¨ä¨ª æ¨ï, ¨«¨ íª§¨áâ¥æ¨ «ì ï ª¢ â¨ä¨ª æ¨ï, ¯à¨¬¥¥ ï ª n -ä®à¬ã«¥ ¤ ¥â ä®à¬ã«ã, íª¢¨¢ «¥âãî n -ä®à¬ã«¥; ®âà¨æ ¨¥ n -ä®à¬ã«ë íª¢¨¢ «¥â n -ä®à¬ã«¥. ®êîªæ¨ï ¨«¨ ¤¨§êîªæ¨ï ¤¢ãå n-ä®à¬ã« íª¢¨¢ «¥â n-ä®à¬ã«¥; ®£à ¨ç¥ ï ª¢ â¨ä¨ª æ¨ï, ¨«¨ 㨢¥àá «ì ï ª¢ â¨ä¨ª æ¨ï, ¯à¨¬¥¥-
120
« ¢ 7
ï ª n-ä®à¬ã«¥, ¤ ¥â ä®à¬ã«ã, íª¢¨¢ «¥âãî n-ä®à¬ã«¥; ®âà¨æ ¨¥ nä®à¬ã«ë íª¢¨¢ «¥â n-ä®à¬ã«¥.
®ª § ⥫ìá⢮. ¤ãªæ¨¥© ¯® n: n+1 -ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¢¨¤ (9x)f , £¤¥ f ¥áâì 0- ¨«¨ n-ä®à¬ã« ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â § 票ï n; (9x)f ^ (9y)g , (9x)f _ (9y)g íª¢¨¢ «¥âë ᮮ⢥âá⢥® (9x)(9y)(f ^ g) , (9x)(9y)(f _ g) ,
¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¢ á«ãç ¥ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¨§¬¥ïîâáï ¨¬¥ á¢ï§ ëå ¯¥à¥¬¥ëå â ª, ç⮡ë x ¥ ¡ë« ᢮¡®¤®© ¢ g , y { ¢ f ; (9y)(9x)f íª¢¨¢ «¥â (9z)(9y z)(9x z)f . ®à¬ã« ¢¨¤ (9y u)(9x)f íª¢¨¢ «¥â ä®à¬ã«¥ (9z)(9y u)(9x z)f ; (8y u)(9x)f íª¢¨¢ «¥â (9z)(8y u)(9x z)f , ¤¥©á⢨⥫ì®, ª ¦¤®¬ã y, ¬¥ì襬ã, 祬 u, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â x , ¨ â ª ª ª íâ¨å x ª®¥ç®¥ ç¨á«®, ®¨ ¬ ¦®à¨àãîâáï ¥ª®â®àë¬ z . ª®¥æ :(9x)f íª¢¨¢ «¥â (8x):f . «ï n+1 à áá㦤¥¨ï «®£¨çë.
§ ⥮६ë 7.10 á«¥¤ã¥â, çâ® ª ¦¤ ï ä®à¬ã« íª¢¨¢ «¥â n - ¨«¨ nä®à¬ã«¥ ¤«ï ¥ª®â®à®£® n. 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ä®à¬ã« ¥áâì "n - ä®à¬ã«¥", ª®£¤ ® íª¢¨¢ «¥â , ®ç¥¢¨¤ë¬ ®¡à §®¬, n -ä®à¬ã«¥; ¯à¨¬¥à, ᪠¦¥¬, çâ® ®âà¨æ ¨¥ n -ä®à¬ã«ë ¥áâì n-ä®à¬ã« , å®âï, ä®à¬ «ì®, íâ® ¥ â ª; ᪠¦¥¬ â ª ¦¥, çâ® n -ä®à¬ã« ¥áâì â ª¦¥ n+1- ¨ n+1-ä®à¬ã« (ª¢ â¨ä¨æ¨àã©â¥ ¯® ¯¥à¥¬¥®©, ¥ ᮤ¥à¦ 饩áï ¢ ä®à¬ã«¥). ¥¯¥àì ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® A N k ¥áâì n -¬®¦¥á⢮, ¥á«¨ ®® ¨¬¥¥â n-®¯à¥¤¥«¥¨¥, â® ¥áâì ¥á«¨ ®® á®áâ ¢«¥® ¨§ ¬®¦¥á⢠ª®à⥦¥©, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¥ª®â®à®© n -ä®à¬ã«¥, ¨ çâ® ®® ¥áâì n{¬®¦¥á⢮, ¥á«¨ ¨¬¥¥â n-®¯à¥¤¥«¥¨¥.
áâ¥á⢥®, ¥á«¨ ¬®¦¥á⢮ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï n -ä®à¬ã«®© ¤«ï ¥ª®â®à®£® n, â® ¢®§¬®¦®, çâ® íâ ä®à¬ã« íª¢¨¢ «¥â £®à §¤® ¡®«¥¥ ¨§ª®© ä®à¬ã«¥ ¢ í⮩ ¨¥à à娨. n -¬®¦¥á⢮, ïî饥áï ®¤®¢à¥¬¥® n-¬®¦¥á⢮¬, §ë¢ ¥âáï n{ ¬®¦¥á⢮¬, â.¥. ¥á«¨ ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ { n -¬®¦¥á⢮. á ¥â n-ä®à¬ã«: § ¤ ¨¥ n-¬®¦¥á⢠{ íâ® § ¤ ¨¥ n -®¯à¥¤¥«¥¨ï í⮣® ¬®¦¥á⢠¨ n®¯à¥¤¥«¥¨ï í⮣® ¬®¦¥á⢠, íª¢¨¢ «¥âëå,á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥. « ááë n -¬®¦¥á⢠¨ n-ä®à¬ã« ¡ã¤¥¬ ç áâ® ®â®¦¤¥á⢫ïâì ¨ ®¡®§ ç âì ¯à®áâ® ç¥à¥§ n . «®£¨ç® ®¡®§ ç ¥¬ ª« áá n- ¨ n -¬®¦¥áâ¢. ª á«¥¤á⢨¥ ⥮६ë 7.10 ¤«ï ª« áᮢ n , n , n ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ¤¨ £à ¬¬ã ¢ª«î票©, ®¡®§ ç¥ëå áâ५ª ¬¨ : 1 ::: n ::: % % & % & % & 0 1 n n+1 % &: : : & % 2 &: : % & : n 1 ë 㢨¤¨¬, çâ® ª ¦¤®¥ ¨§ íâ¨å ¢ª«î票© áâண®¥, â® ¥áâì çâ® ¨¥à àå¨ï ¥ ®¡àë¢ ¥âáï á ¥ª®â®à®£® n . ªà âæ¥, ª« ááë n ïîâáï «£¥¡à ¬¨ ã«ï ®â®á¨â¥«ì® _; ^; :, § ¬ªãâ묨 ®â®á¨â¥«ì® ®£à ¨ç¥ëå ª¢ â¨ä¨ª 権; ª« ááë n ¨ n § ¬ªãâë ®â®á¨â¥«ì® _; ^ ¨ ®£à ¨ç¥ëå ª¢ â¨ä¨ª 権; ª« ááë n § ¬ªãâë ®â®á¨â¥«ì® 9 , ª« ááë n { ®â®á¨â¥«ì® 8 , ¤®¯®«¥¨¥ n -¬®¦¥á⢠¯à¨ ¤«¥¦¨â ª« ááã n, ¤®¯®«¥¨¥ n-¬®¦¥á⢠{ ª« ááã n . ⬥⨬ ¬¨¬®å®¤®¬, çâ® ¢ ⥮à¥â¨ª®-¬®¦¥á⢥ëå â¥à¬¨ å íª§¨áâ¥æ¨ «ì ï ª¢ â¨ä¨ª æ¨ï A §ë¢ ¥âáï ¯à®¥ªæ¨¥© A ¨§ !k+1 !k .
7.f
121
¥à àå¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥áâ¢
¤¥©á⢨⥫ì®á⨠®ª §ë¢ ¥âáï, ç⮡ë ãáâ ®¢¨âì íâã ¨¥à àå¨î ¢¢¥¤¥¨¥ ®£à ¨ç¥ëå ª¢ â®à®¢ ¥®¡ï§ ⥫ì®. §®¢¥¬ ¤¨®ä â®¢ë¬ ¬®¦¥á⢮, ®¯à¥¤¥«¨¬®¥ ä®à¬ã«®© ¢¨¤ (9y1) : : : (9yn)f , £¤¥ ç¨á«® ª¢ â®à®¢ 9 ¥®¡ï§ â¥«ì® à ¢® 1, f ï¥âáï ª®êîªæ¨¥© ãà ¢¥¨© P (x; y) = Q(x; y) , £¤¥ P ¨ Q { ¬®£®ç«¥ë c âãà «ì묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. ª ª ª â ª®¥ ãà ¢¥¨¥ ï¥âáï ä®à¬ã«®© ¡¥§ ª¢ â®à®¢, ïá®, çâ® ª ¦¤®¥ ¤¨®ä ⮢® ¬®¦¥á⢮ ¥áâì 1 , ® â ª ¦¥ ¨á⨮, çâ® ª ¦¤®¥ 1-¬®¦¥á⢮ ¤¨®ä ⮢®; í⮠⥮६ â¨ïᥢ¨ç , ª®â®à ï ¯®§¢®«ï¥â ®â¢¥â¨âì § ¬¥¨âãî ¯à®¡«¥¬ã ¨«ì¡¥àâ ; ï ¥ ¡ã¤ã §¤¥áì à áᬠâਢ âì íâã ⥮६ã. ०¤¥ 祬 ¯à®¤®«¦¨âì, ¬ë ¯à®¢¥¤¥¬ ¥áª®«ìª® ª« áá¨ç¥áª¨å ¬ ¨¯ã«ï権 ¬®¦¥á⢠å n ¨ n. ë £®¢®à¨¬, çâ® äãªæ¨ï ¨§ 0 !k ¢ !k0 ¥áâì n äãªæ¨ï, ¥á«¨ ¥ñ £à 䨪 ï¥âáï n-¯®¤¬®¦¥á⢮¬ ¢ !k+k ; §¤¥áì, äãªæ¨ï ¢áî¤ã ®¯à¥¤¥«¥ : ª ¦¤®¬ã x ¨§ ! k ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¤¨ ¨ ¥¤¨á⢥ë©00 y ¨§ 0 0 k k k ! .
᫨ f ï¥âáï äãªæ¨¥© ¨§ ! ¢ ! , 0 g 00{ äãªæ¨¥© ¨§ !k ¢ !k , ⮠᪫¥©ª®© f ¨ g §ë¢ ¥âáï äãªæ¨ï ¨§ ! k ¢ ! k +k , ª®â®à ï ª®à⥦ã0 x ᮯ®áâ ¢«ï¥â á®ç«¥¥¨¥ f (x)g(x) ; ¥á«¨ f ï¥âáï äãªæ¨¥© ¨§ !k ¢ !0 k , â® ¥ñ ª®®à¤¨ âë - ª®¬¯®§¨æ¨ï f á ®¤®© ¨§ k0 ª ®¨ç¥áª¨å ¯à®¥ªæ¨© ! k ¢ ! . ¥¬¬ 7.11 à 䨪 n -äãªæ¨¨ ¥áâì n-¬®¦¥á⢮; ª®¬¯®§¨æ¨ï ¤¢ãå n äãªæ¨© ï¥âáï â ª¦¥ n -äãªæ¨¥©; ®¡à 饨¥ n-¡¨¥ªæ¨¨ ¨ â ª¦¥ ᪫¥©ª ¤¢ãå n -äãªæ¨© ï¥âáï n -äãªæ¨¥©; ª®¥æ, äãªæ¨ï ¥áâì n -äãªæ¨ï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª ¦¤ ï ¨§ ¥ñ ª®®à¤¨ â ¥áâì n -äãªæ¨ï. ®ª § ⥫ìá⢮. ®áª®«ìªã f { ¢áî¤ã ®¯à¥¤¥«¥ ï äãªæ¨ï, ®â®è¥¨¥ y 6= f (x) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (9z)(z = f (x) ^ z 6= y) ¨§ ª« áá n , ¥á«¨ â ª®¢ ä®à¬ã« z = f (x) ; ¥á«¨ h { ª®¬¯®§¨æ¨ï f ¨ g , â® ®â®è¥¨¥ z = h(x) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ (9y)(z = g(y) ^ y = f (x)) ; ¡¨¥ªæ¨ï ¨ ®¡à ⮥ ¤«ï ¥ñ ®â®¡à ¦¥¨¥ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ £à 䨪 (¯®¬¥ï©â¥ ஫ﬨ x ¨ y). à ä ᪫¥©ª¨ h äãªæ¨© f ¨ g ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© y1 = f (x) ^ y2 = g(x) ; ª ®¨ç¥áª ï ¯à®¥ªæ¨ï !k ¥£® i-ãî ª®®à¤¨ âã ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 0ä®à¬ã«®© ¡¥§ ª¢ â®à y = xi, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ f ¥áâì n -äãªæ¨ï, â® â ª®¢ ¦¥ ¨ ¥ñ ª®¬¯®§¨æ¨ï á ¯à®¥ªæ¨¥©; ®¡à â®, «î¡ ï äãªæ¨ï f ï¥âáï ᪫¥©ª®© ᢮¨å ª®®à¤¨ â. ¥¬¬ 7.12 ãáâì f (x) { n-äãªæ¨ï; ¥á«¨ '(y) { n -ä®à¬ã« , â® â ª®¢ ¨ '(f (x)); ¨ ¥á«¨ '(y) { n -ä®à¬ã« , â® â ª®¢ ¨ '(f (x)). ®ª § ⥫ìá⢮. ®à¬ã« '(f (x)) ¬®¦¥â ¡ëâì § ¯¨á ¯® ¢ë¡®àã ª ª (9y)(y = f (x) ^ '(y)) ¨«¨ (8y)(y 6= f (x) _ '(y)) !
® ¦¥ á ¬®¥ ¬®¦® ᪠§ âì ¯®-¤à㣮¬ã: ¥¬¬ 7.13 à®®¡à § n -¬®¦¥á⢠®â®á¨â¥«ì® n -äãªæ¨¨ ï¥âáï n-¬®¦¥á⢮¬; ¯à®®¡à § n-¬®¦¥á⢠®â®á¨â¥«ì® n -äãªæ¨¨ ï¥âáï n -¬®¦¥á⢮¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ¯¨áë¢ ¥¬ x 2 f ?1(A) ¯® 襬㠦¥« ¨î ¢ ¢¨¤¥ (9y)(y = f (x) ^ y 2 A) ¨«¨ (8y)(y 6= f (x) _ y 2 A) .
122
« ¢ 7
¥¬¬ 7.14 ¡à § n-¬®¦¥á⢠¯à¨ n-äãªæ¨¨ ï¥âáï n -¬®¦¥á⢮¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ¯¨è¥¬ x 2 f (A) ¢ ¢¨¤¥ (9y)(x = f (y) ^ y 2 A) . à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¬®¦¥á⢠A ®â®¡à ¦ ¥â x 1 , ¥á«¨ x 2 A , ¨ ®â®¡à ¦ ¥â x 0, ¥á«¨ x 62 A . ¥¬¬ 7.15 n-¬®¦¥á⢠¨ ⮫쪮 ®¨ ¨¬¥îâ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî n äãªæ¨î.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f { å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï äãªæ¨ï A ; ¥á«¨ A 2 n , â® £à 䨪 f ®¯à¥¤¥«ï¥âáï n -ä®à¬ã«®©: (x 2 A ^ y = 1) _ (x 62 A ^ y = 0) ; ¨ ¥á«¨ f { n -äãªæ¨ï, A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© f (x) = 1 , ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© f (x) = 0 .
¥¬¬ 7.16 «ï «î¡ëå k ¨ h , áãé¥áâ¢ã¥â 1-¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã !k ¨ !h . ®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¡¨¥ªæ¨î f ¨§ ! ¢ ! ! , á®áâ®ïéãî ¢ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¨ !2 ¯® ¢®§à áâ ¨î x + y , § ⥬ ¯® ¢®§à áâ ¨î y : à §¡¨¢ ¥¬ ç¥â¢¥àâì ¯«®áª®á⨠! ! ®â१ª¨, ¯ à ««¥«ìë¥ ¢â®à®© ¤¨ £® «¨, ¯®¬¥é ¥¬ ¨å ¢¯à¨âëª ®¤¨ § ¤à㣨¬ ¨ ¯à®ã¬¥à㥬. n ¯¥à¢ëå ®â१ª å, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å x + y = 0 ; x + y = 1 ; : : :; x + y = i ; : : :; x + y = n ? 1 , ᮤ¥à¦¨âáï 1 + 2 + + n = n(n + 1)=2 ¯ à; á«¥¤®¢ ⥫ì®, äãªæ¨ï g , ®¡à â ï ª f , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© g(x; y) = (x + y)(x + y + 1)=2 + y ; g { 1-¡¨¥ªæ¨ï !2 ! (¥á«¨ ¢ á £¥®¬¥âà¨ï ¥ ã¡¥¦¤ ¥â, â® ¢ë ¬®¦¥â¥ ¢á¥£¤ ¤®ª §ë¢ âì ¡¨¥ªâ¨¢®áâì ¨¤ãªæ¨¥© ¯® x ¨ y), â ª ª ª ¥ñ £à 䨪 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 0-ä®à¬ã«®© 2z = (x + y)(x + y + 1) + 2y . ãªæ¨ï, ª®â®à ï (x1; : : :; xk ; xk+1) ᮯ®áâ ¢«ï¥â (x1; : : : ; g(xk ; xk+1)) , ï¥âáï 1-¡¨¥ªæ¨¥© !k+1 !k , ®âªã¤ á ¯®¬®éìî ª®¬¯®§¨æ¨¨ á«¥¤ã¥â ®¡é¨© १ã«ìâ â.
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ª ª ª ¬®¦® ᢥá⨠ª ! ¢á¥£¤ 1-¡¨¥ªæ¨¥©, á®åà ïî饩 ¨¥à àå¨î, ¢ ®á®¢®¬ £®¢®àïâ, ª®£¤ à¥çì ¨¤¥â ®¡ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥á⢠å, ⮫쪮 ® ¯®¤¬®¦¥á⢠å ! , ¨«¨ äãªæ¨ïå ¨§ ! ¢ ! : ¢¢¥¤¥¨¥ !k ¥ ï¥âáï ¡®«ì訬 ®¡®¡é¥¨¥¬. ¯à¨¬¥à, á ¯®¬®éìî ¡¨¥ªæ¨¨ ¨§ !2 ¢ ! ¤®ª ¦¥¬ á«¥¤ãîéãî «¥¬¬ã, ª®â®à ï ¡ã¤¥â ¯®«¥§ ¢¯®á«¥¤á⢨¨:
¥¬¬ 7.17 (à¨æ¨¯ n -¢ë¡®à ) ãáâì R(x; y) { ¡¨ ஥ n -®â®è¥¨¥
âãà «ìëå ç¨á« å, â ª®¥, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® x áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© y , çâ® (x; y) 㤮¢«¥â¢®àï¥â R. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â n -äãªæ¨ï f ¨§ ! ¢ !, â ª ï, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® x ¯ à (x; f (x)) 㤮¢«¥â¢®àï¥â R .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ¡ë ¬ë ¯®¯ëâ ¥¬áï ᮯ®áâ ¢¨âì x ¨¬¥ì襥 y, â ª®¥, çâ® N ` R(x; y) , â® çâ®¡ë ¢ëà ¦¥¨¥ "¤«ï ª ¦¤®£® z < y, (x; z) 62 R" ¡ë«® n-ä®à¬ã«®©, ¥®¡å®¤¨¬® n-®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤«ï R. ãçè¥ ¬ë ¯¥à¥¯¨è¥¬ R ¢ ¢¨¤¥ (9t)S (x; y; t) , £¤¥ S ¥áâì 0 ¨«¨ n?1 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â § 票ï n , ¨ ¡¥à¥¬ y ¨§ ¯ àë (y; t) á ¨¬¥ì訬 ®¬¥à®¬. ãáâì { ª ®¨ç¥áª ï 1¡¨¥ªæ¨ï !2 ! ¨ ¯ãáâì 1 ¨ 2 { ¤¢¥ 1-¯à®¥ªæ¨¨ ®¡à 饨ï : ¤«ï ª ¦¤®£®
7.f
123
¥à àå¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥áâ¢
x ¯ à (1(x); 2(x)) { ¥¤¨á⢥ ï â ª ï, çâ® x = (1(x); 2(x)); áᬮâਬ äãªæ¨î y = f (x) , £à 䨪 ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî饩 n -ä®à¬ã«®©: (9z)(S (x; 1(z); 2(z)) ^ (8u < z):S (x; 1(u); 2(u)) ^ y = 1(z)) :
¥¬¬ 7.18 ¥¯ãá⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ! ¥áâì n -¬®¦¥á⢮ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ®® ®¡à § n -®â®¡à ¦¥¨ï ¨§ ! ¢ ! ; ®® ¥áâì n -¬®¦¥á⢮ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ®® ®¡à § ¢®§à áâ î饣® n -®â®¡à ¦¥¨ï ¨§ ! ¢ ! .
®ª § ⥫ìá⢮. ®¦¥á⢮ ! ¢á¥å âãà «ìëå ç¨á¥« ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 0-
ä®à¬ã«®© x = x; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® 7.14 ®¡à § n-äãªæ¨¨ ¥áâì n -¬®¦¥á⢮. ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® A ᮤ¥à¦¨â a ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© (9y)f (x; y) , £¤¥ f ¨§ n?1 ¨«¨ 0 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â § 票ï n. áᬮâਬ äãªæ¨î g ¨§ !2 ¢ ! , ª®â®à ï ¯ àã (x; y) ®â®¡à ¦ ¥â x ¥á«¨ f (x; y) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï, ¨ ®â®¡à ¦ ¥â a ¨ ç¥; ¥ñ £à 䨪 z = g(x; y) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 0-ä®à¬ã«®© (f (x; y) ^ z = x) _ (:f (x; y) ^ z = a) , ¨ ®¡à § g ¥áâì ¢ â®ç®á⨠A ; ®áâ ¥âáï ¡à âì ª®¬¯®§¨æ¨î g á 1-¡¨¥ªæ¨¥© ! !2. ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® f { ¢®§à áâ îé ï n -äãªæ¨ï ¨§ !2 ¢ ! ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬ f (x + 1) f (x) ¤«ï ª ¦¤®£® x .
᫨ ¥ñ ®¡à § ª®¥ç¥, â® ¥áâì ¥á«¨ f ¯®áâ®ï ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ç¨á« , â® ® ¬®¦¥á⢮ fa0; : : :; asg, ®¯à¥¤¥«¨¬®¥ ä®à¬ã«®© x = a0 _ _ x = as ; ¨ ç¥ ¤®¯®«¥¨¥ ®¡à § f , ª®â®à®¥ ¥ ®£à ¨ç¥® ¢ ! , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî饩 n -ä®à¬ã«®© : x < f (0) _ (9y)(f (y) < x < f (y + 1)) ; § ç¨â, íâ®â ®¡à § ï¥âáï n-¬®¦¥á⢮¬. ãáâì f { ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ¥¯ãá⮣® ¬®¦¥á⢠A âãà «ìëå ç¨á¥«: f (0) ¥áâì ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â A, f (1) { ¥£® ¢â®à®© í«¥¬¥â, : : : , f (n) { ¥£® (n + 1)-ë© í«¥¬¥â (f (0) áç¨â ¥âáï ¯¥à¢ë¬, ¥ ã«¥¢ë¬ í«¥¬¥â®¬ !); ¥á«¨ A ¡¥áª®¥ç®, â® f { ¢®§à áâ îé ï ¨ê¥ªæ¨ï, ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã ! ¨ A ; ¥á«¨ A ª®¥ç®, â® ¤®£®¢®à¨¬áï, çâ® f ¯®¢â®àï¥â ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥â A : ¢ í⮬ ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥ £à 䨪 f ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî饩 0-ä®à¬ã«®©: (x = 0 ^ y = a0) _ _ (x = m ? 1 ^ y = am?1) _ (x m ^ y = am) ;
᫨ A { ¡¥áª®¥ç®¥ n-¬®¦¥á⢮, â® y = f (x) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî饩 n-ä®à¬ã«®©, £¤¥ äãªæ¨ï ¤®«¦ á«ã¦¨âì ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ª®¤¨à®¢ âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f (0) , f (1) , : : : ,f (x) : (9u)(9v)f[r(u; v) 2 A ^ ((8t v)(t < r(u; v) ! t 62 A)] ^
^ (8i x)(r(u; iv) 2 A ^ r(u; (i + 1)v) 2 A ^ r(u; iv) < r(u; (i + 1)v) ^ ^ ((8t y)(r(u; iv) < t < r(u; (i + 1)v) ! t 62 A))) ^ r(u; (x + 1)v) = yg; ¯®áª®«ìªã ®â®è¥¨ï w = r(u; v) , íª¢¨¢ «¥âë¥ w < v ^ (9z u)u = zv + w , ¨ ®â®è¥¨ï t 2 A , t 62 A ¢ëà §¨¬ë n -ä®à¬ã« ¬¨.
124
« ¢ 7
¥¬¬ 7.19
᫨ A ï¥âáï n -¯®¤¬®¦¥á⢮¬ ¢ ! ¨ ¥á«¨ f1; : : :; fs ï-
îâáï n -äãªæ¨ï¬¨ ¨§ ! mi ¢ ! , â® § ¬ëª ¨¥ A í⨬¨ äãªæ¨ï¬¨ ¥áâì â ª¦¥ n -¬®¦¥á⢮.
®ª § ⥫ìá⢮. «¥¬¥â í⮣® § ¬ëª ¨ï ¯®«ãç ¥âáï ¨§ í«¥¬¥â®¢ A
¨â¥à 樥© ª®¬¯®§¨æ¨© fi ; ¥á«¨ ¢ë¡¥à¥¬ ª ª®©-«¨¡® ᯮᮡ â ª®£® ¯®«ã票ï í«¥¬¥â a , â® ¯®«ãç ¥¬ ª®¥çãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0; : : : ; an á an = a, ¨ â ªãî, çâ® ª ¦¤ë© aj «¨¡® «¥¦¨â ¢ A , «¨¡® ¯®«ãç ¥âáï ª ª fi ®â ¯à¥¤ë¤ãé¨å í«¥¬¥â®¢: § ª®¤¨à㥬 íâã ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯®á।á⢮¬ äãªæ¨¨ .
¤¢ãå ¯à¥¤ë¤ãé¨å «¥¬¬ å, ¬ë § ª®¤¨à®¢ «¨ ४ãàá¨¢ë¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ ; ¯®©¬¥¬, çâ® â ª¨¥ ¤¥©áâ¢¨ï ¥ ¢ë¢®¤ïâ § ª« áá äãªæ¨© n (íâ® ¯®§¢®«ï¥â ¯®ïâì, çâ® ¢á¥ "®¡ëçë¥" äãªæ¨¨ «¥¦ â ¢ 1); ¡®«¥¥ â®ç®, ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® äãªæ¨ï f ¨§ !k+1 ¢ ! ®¯à¥¤¥«¥ ç¥à¥§ äãªæ¨î g ¨§ !k ¢ ! (g ¨¬¥¥â ®¤ã ¯¥à¥¬¥ãî ¬¥ìè¥, 祬 f ; ¥á«¨ n = 0 , â® íâ® ª®áâ â ) ¨ äãªæ¨î h ¨§ !k+2 ¢ ! ( h ¨¬¥¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¤ã ¯¥à¥¬¥ãî ¡®«ìè¥, 祬 f ) ¨¤ãªæ¨¥© (£®¢®àïâ â ª¦¥, ४ãàᨥ©) ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥¬¥®© y , ¥á«¨ f { äãªæ¨ï (®¡ï§ â¥«ì® ¥¤¨á⢥ ï), ®¯à¥¤¥«¥ ï á«¥¤ãî騬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ :
f (x1; : : : ; xk ; 0) = g(x1; : : :; xk ) ; f (x1; : : : ; xk ; y + 1) = h(x1; : : :; xk ; y; f (x1; : : :; xn; y)) : ãªæ¨ï g §ë¢ ¥âáï äãªæ¨¥© ç «ìëå ¤ ëå, à ¢®© f (x; 0) ; äãªæ¨ï h { äãªæ¨¥© ¯¥à¥å®¤ , ¯®§¢®«ïî饩 ¢ëç¨á«¨âì f (x; y + 1) § ï § 票¥ f (x; y) .
¥¬¬ 7.20
᫨ g ¨ h { n-äãªæ¨¨, â® äãªæ¨ï f , ®¯à¥¤¥«¥ ï ¨¤ãªæ¨¥© ç¥à¥§ ¨å, â ª¦¥ ï¥âáï n -äãªæ¨¥©.
®ª § ⥫ìá⢮. â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ®â®è¥¨¥ z = f (x1; : : :; xk ; y) , § ª®-
¤¨à㥬 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f (x; 0); f (x; 1); : : : ; f (x; y) á ¯®¬®éìî äãªæ¨¨ .
« áá 0 , á«ã¦ 騩 ç «®¬ ¨¥à à娨, ᮧ¤ ¨áªãáá⢥®, ¨ ¥£® í«¥¬¥âë âà㤮 å à ªâ¥à¨§ã¥¬ë; ¬®£®¥ ¥ ¨§¬¥¨«®áì ¡ë, ¥á«¨ à áᬠâਢ âì ª¢ â¨ä¨ª 樨 ⨯ (9y 2x), (8y 2x), ¨«¨ ¤ ¦¥ (9y 2x), (8y 2x ), ® ®¤ ª® í⨠®ç¥ì ¯à®áâë¥ ª¢ â¨ä¨ª 樨 ¢ë¢®¤ïâ § ª« áá 0 . ¯à®â¨¢, ¢¨¤®, çâ® ¥á«¨ f { n -äãªæ¨ï ¨ ' { ä®à¬ã« , â® ä®à¬ã«ã (9y f (x))' ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¯® ¢ë¡®àã (9z)(9y z)(z = f (x) ^ ') ¨«¨ (8z)(9y z)(z 6= f (x) _ ') , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª (8y f (x))' ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ¯® ¢ë¡®àã (9z)(8y z)(z = f (x) ^ ') ¨«¨ (8z)(8y z)(z 6= f (x) _ ') , â ª, çâ® ª¢ â¨ä¨ª 樨, ®£à ¨ç¥ë¥ n-äãªæ¨ï¬¨, ¥ ¢ë¢®¤ïâ § ª« áá n , ¨ § ª« áá n , ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, § ª« áá n . â ¤¥¦®áâì ª« áᮢ n , n , n ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®¨ ᮧ¤ îâ ®ç¥ì ¥áâ¥á⢥ãî ¨¥à àå¨î ¤«ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥áâ¢, ¨ ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ ª®æ¥ í⮣® ¯ à £à ä , çâ® ¡®«¥¥ ¢ë᮪®¥ ¬¥áâ® ¢ í⮩ ¨¥à à娨 ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ®§ ç ¥â ¡®«ìèãî á«®¦®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï.
7.f
¥à àå¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥áâ¢
125
ãªæ¨¨ ¨§ 1 §ë¢ îâáï â ª¦¥ ४ãàᨢ묨 äãªæ¨ï¬¨, â ª ª ª ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ४ãàᨥ© ï¥âáï ®¤¨¬ ¨§ £« ¢ëå ᯮᮡ®¢, ª®â®àë© ¯®§¢®«ï¥â ¨å ¯®«ãç¨âì; ¨®£¤ ¨å §ë¢ îâ â ª¦¥ íä䥪⨢® ¢ëç¨á«¨¬ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨, â ª ª ª ®¨ ïîâáï ¢ëà ¦¥¨¥¬ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å â¥à¬¨ å ¥¬®£® â㬠®© ¨¤¥¨ "äãªæ¨©, ¢ëç¨á«¨¬ëå ç¨áâ® ¬¥å ¨ç¥áª¨¬ ᯮᮡ®¬" (£®¢®àïâ â ª¦¥: ¢ëç¨á«¨¬ë© «£®à¨â¬®¬). ®¦¥á⢠1 , ïî騥áï ¨å ®¡à § ¬¨, §ë¢ îâáï ४ãàᨢ®, ¨«¨ ¥é¥ íä䥪⨢®, ¯¥à¥ç¨á«¨¬ë¬¨ ¬®¦¥á⢠¬¨; çâ® ª á ¥âáï 1-¬®¦¥áâ¢, ã ª®â®àëå å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ४ãàᨢ , ®¨ §ë¢ îâáï ४ãàᨢ묨 ¨«¨ ¥é¥ à §à¥è¨¬ë¬¨. ®¤ «£®à¨â¬®¬ ¤«ï ¬¥å ¨ç¥áª®£® ¢ëç¨á«¥¨ï äãªæ¨¨ f ¯®¨¬ îâ § ¤ ¨¥ ¯à®£à ¬¬ë ¨«¨ ᯨ᪠¨áâàãªæ¨©, ª®â®àãî ¢ëç¨á«¨â¥«ì, ç¨ ï á ¤ ®£® å , ®áãé¥á⢫ï¥â è £ § è £®¬, ®¡« ¤ î饥 á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬: ª ª®¢® ¡ë ¨ ¡ë«® ç¨á«® x , ¤ ®¥ ¢ ç «¥, ç¥à¥§ ¥ª®â®à®¥ ¢à¥¬ï ¢ëç¨á«¨â¥«ì ¯®«ãç¨â ¯à¨ª § ®áâ ®¢¨âìáï ¨ ¢ë¢®¤¨âì ç¨á«® f (x) . ëç¨á«¨â¥«ì, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì, ¯à¨¬¥à, ⥬, çâ® §ë¢ îâ ¢ ª®¬¬¥à樨 ª®¬¯ìîâ¥à®¬, ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ªãî á ¬®áâ®ï⥫ì®áâì, ¨ ¨ª ªãî ¨â¥««¥ªâã «ìãî ¨¨æ¨ ⨢ã: ® 㬥¥â ⮫쪮 ¯à¨¤¥à¦¨¢ âìáï ¨áâàãªæ¨© ¤ ®£® ᯨ᪠; ® ¢ í⮬ ç¨á⮠⥮à¥â¨ç¥áª®¬ ¯®¤å®¤¥ ª ¢ëç¨á«¨¬®á⨠¬ë ¥ § ¡®â¨¬áï ® ¢®§¬®¦®á⨠¢ë¯®«¥¨ï ¢ëç¨á«¥¨© ॠ«ìë¬ ¬¥å ¨ç¥áª¨¬ ãáâனá⢮¬ ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¬ë ¯à¥¥¡à¥£ ¥¬ ¢à¥¬¥¥¬ ¨ ¯à®áâà á⢮¬ ¥®¡å®¤¨¬ë¬¨ ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨©, «¨èì ¡ë ⮫쪮 ®¨ § ¢¥àè «¨áì. ®©¬¥¬ á ç « , çâ® 1-äãªæ¨ï f ¢¯®«¥ ¢ëç¨á«¨¬ áãé¥á⢮¬ á á ¬ë¬¨ ®£à ¨ç¥ë¬¨ ¨â¥««¥ªâã «ì묨 ¢®§¬®¦®áâﬨ, ® ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ¡¥á¯à¥¤¥«ìãî «î¡®¢ì ª ¢ëç¨á«¥¨ï¬ ᮢ¥à襮 ¨¤¨®â᪨å, ¬¥å ¨ç¥áª¨å ®¯¥à 権. â®è¥¨¥ y = f (x) ¨¬¥¥â ¢¨¤ (9z)'(x; y; z) , £¤¥ ' { 0-ä®à¬ã« ; ®¤ ª® ¯à®¢¥àª ¢ë¯®«¨¬®á⨠¡¥áª¢ â®à®© ä®à¬ã«ë'(x) ª®à⥦¥ a ¤®áâ㯮 «î¡®¬ã ã票ªã ç «ì®© 誮«ë: ¤®áâ â®ç® 㬥âì ᪫ ¤ë¢ âì, 㬮¦ âì ¨ ¢ëç¨â âì (¤«ï ¯à®¢¥àª¨: a b?)
᫨ ¤ ë m; n; p , â® ¯à®¢¥àªã ¨á⨮á⨠¯à¥¤«®¦¥¨ï '(m; n; p) ¬®¦® ®áãé¥á⢨âì ¤¥¡¨«ìë¬ ¬¥â®¤®¬: â ª ª ª ¢á¥ ª¢ â®àë ®£à ¨ç¥ë ç¨á«®¬ max(m; n; p) , â® ¥®¡å®¤¨¬® ¯à®¢¥à¨âì «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® § 票© ¤«ï á¢ï§ ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¨ ¤®áâ â®ç® § ¯à®£à ¬¬¨à®¢ âì è ®¯¥à â®à â ª, çâ®¡ë ® ¯à®¢®¤¨« ¢á¥ ¨á¯ëâ ¨ï á ç¨á« ¬¨ ¬¥ì訬¨ max(m; n; p). 祢¨¤®, íâ®â «£®à¨â¬ ¥¯à ªâ¨ç¥: à®á⠢६¥¨ ¢ëç¨á«¥¨© ¢¬¥á⥠á 㢥«¨ç¥¨¥¬ ¤ ëå á®áâ à¨â ¡« £®à®¤®£® ¯à®£à ¬¬¨áâ , ® ® ᮢ¥à襮 㤮¢«¥â¢®àï¥â á, ¦¨¢ãé¨å ¢ à ¥ ®¡ê¥ªâ®¢, ª®â®àë¥ áãé¥áâ¢ãîâ ⮫쪮 ¢ ⥮ਨ. ¢®â ¨áâàãªæ¨¨, ª®â®àë¥ ¬ë ¤ ¥¬ 襬㠮¯¥à â®àã: ç¨ © á ¤ ®£® x ; 㬥àã© ¢á¥ ¯ àë (y; z) âãà «ìëå ç¨á¥« ¯®á।á⢮¬ ª ®¨ç¥áª®© 1-¡¨¥ªæ¨¨ !2 ! ; ¤«ï ª ¦¤®© ¯ àë (y; z) ¯à®¢¥àì ¨á⨮áâì ä®à¬ã«ë '(x; y; z) ; ®áâ ®¢¨áì ª ª ⮫쪮 âë ©¤¥èì â ª®¥ ¨á⨮¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥; ¢ë¢®¤¨ § 票¥ y ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¯ àë. çâ® áç¥â ®¡à ⮣® ã⢥ত¥¨ï? «ï í⮣® 㦮 ¯®à §¬ëè«ïâì ¥¬®£® ® ⮬, çâ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¬¥å ¨ç¥áª®© ¯à®æ¥¤ãன; 訬 ¨á¯®«¨â¥«¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëç¨á«¨â¥«ì á « á⨪®¬ ¨ ª à ¤ 讬, ¯¨èã騩 «¨á⥠¡ã¬ £¨, ¨«¨ ¡®«¥¥ ᮢ६¥®, ç¨â îé ï (¨ ¯¨èãé ï) £®«®¢ª á «¥â®©, à §¡¨â®© ï祩ª¨, ¬ £¨ç¥ë¥ ¨«¨ à §¬ £¨ç¥ë¥; ¥£® ¯à®£à ¬¬ á®á⮨⠨§ ᯨ᪠¨áâàãªæ¨© I0; : : :; In , ª ¦¤ ï ¨§ ª®â®àëå á«¥¤ãî饣® ⨯ : ¥á«¨ âë ®¡ à㦨« â®-â® ( ¯à¨¬¥à, ¯¥à¥¤ ⮡®© 室¨âáï ¬ £¨ç¥ ï ï祩-
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« ¢ 7
ª ), â® ®áãé¥áâ¢«ï© â ªãî-â® ®¯¥à æ¨î ( ¯à¨¬¥à, à §¬ £¨ç¨¢ © ï祩ªã, ¨«¨ ¯¥à¥¬¥é ©áï ®¤ã ï祩ªã «¥¢®, ¨«¨ ¯à ¢®, ¨ â.¤.) ¨ § ⥬ ¯¥à¥©¤¨ ª i-®© ¨áâàãªæ¨¨; ¨ ç¥ (ï祩ª ¯¥à¥¤ ⮡®© { ¥ ¬ £¨ç¥ ï) ®áãé¥áâ¢«ï© â ªãî-â® ®¯¥à æ¨î, ¨ ¯¥à¥©¤¨ ª j -®© ¨áâàãªæ¨¨. ë ¬®¦¥¬ § ª®¤¨à®¢ âì ç¨á«®¬, ¡« £®¤ àï 襩 ª®¬¡¨ â®à¨ª¥, á®áâ®ï¨¥ «¨á⠡㬠£¨, ¨«¨ ¬ £¨â®© «¥âë, ¯¥à¥¤ 訬 ®¯¥à â®à®¬ â ª ¦¥, ª ª ¨ ¨áâàãªæ¨î, ª®â®àãî ® ¤®«¦¥ ®áãé¥á⢨âì: íâ® ç¨á«®, ª®â®à®¥ §ë¢ îâ "íâ ¯®¬ ¢ëç¨á«¥¨ï", ª®¤¨àã¥â ¯®«®¦¥¨¥, £¤¥ 室¨âáï ®¯¥à â®à. ¤ ¨¥ ¯à®£à ¬¬ë ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª § ¤ ¨¥ "äãªæ¨¨ ¯¥à¥å®¤ ", ¯®§¢®«ïî饩 ¯¥à¥å®¤¨âì ®â íâ ¯ ª á«¥¤ãî饬ã íâ ¯ã. ®«¦® ¡ëâì ïá® ¢¢¨¤ã í«¥¬¥â à®á⨠â¥á⮢ ¨ ®¯¥à 権, ¢ë¯®«ï¥¬ëå 訬 ®¯¥à â®à®¬, çâ® íâ äãªæ¨ï ¯¥à¥å®¤ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì £à 䨪, ®¯à¥¤¥«¥ë© ä®à¬ã«®© á ª¢ â¨ä¨ª æ¨ï¬¨, ®£à ¨ç¥ë¬¨ ¥ ®ç¥ì áâà 让 ४ãàᨢ®© äãªæ¨¥©. íâ¨å ãá«®¢¨ïå, ¯® 7.20 äãªæ¨ï, ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ¯ ॠ(x; z) ª®¤ z-®£® íâ ¯ ¢ëç¨á«¥¨ï, ¯®«ã祮£® ®â ç «ì®£® ¤ ®£® x , á I0 ¢ ª ç¥á⢥ ç «ì®© ¨áâàãªæ¨¨, â ª¦¥ ४ãàᨢ . ãªæ¨ï y = f (x) , ¢ëç¨á«¥ ï í⨬ ᯮᮡ®¬, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 1-ä®à¬ã«®© : "áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ z, â ª®©, çâ® ®¯¥à â®à, ç¨ ï á ¤ ®£® x , ¯®á«¥ z íâ ¯®¢ ¯®«ã稫 ¯à¨ª § ®áâ ®¢¨âìáï, ¨ ¢ë¢®¤¨âì å". ¯®¬¨¬ ¨â¥à¯à¥â æ¨î ¥®£à ¨ç¥®£® íª§¨áâ¥æ¨ «ì®£® ª¢ â®à ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥: ® ¯® áã⨠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤«¨â¥«ì®á⨠¢ëç¨á«¥¨ï. ।ë¤ã騥 à áá㦤¥¨ï ¢ë£«ï¤¥«¨ ¡ë ¡®«¥¥ áâண¨¬¨, ¥á«¨ ¡ë ¬ë ¤ «¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ "¯à®æ¥¤ãà ¬¥å ¨ç¥áª¨å ¢ëç¨á«¥¨©"; ¯® í⮬㠯®¢®¤ã, ¢ë᪠§ë¢ ¨¥ "äãªæ¨ï ¢ëç¨á«¨¬ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® ४ãàᨢ " ¨§¢¥áâ ¯®¤ ¨¬¥¥¬ ⥧¨á ñàç : £®¢®àïâ ⥧¨á, ¥ ⥮६ ñàç , ¯®â®¬ã çâ®, ¢ ®âáãâá⢨¨ â®ç®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¢ëç¨á«¨¬®áâ¨, íâ® ¬¥¨¥, ¯à ¢¤®¯®¤®¡®áâì ª®â®à®£® ¬®¦¥¬ ¯®¤â¢¥à¦¤ âì ⮫쪮 à£ã¬¥â ¬¨ â ª®£® ¦¥ ⨯ , çâ® ¬ë ¬¥â¨«¨. â®â ⥧¨á ¯®¤¤¥à¦¨¢ ¥âáï ⥬, çâ® ¢á¥ ¬®£®ç¨á«¥ë¥ ä®à¬ «ìë¥ ¯®¤å®¤ë ª ¢ëç¨á«¨¬®á⨠(®¤¨ ¨§ ¨å ç¥à¥§ ¬ è¨ë ìîਣ , ª®â®àë¥ ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¡áâà ªâë¥ íª¢¨¢ «¥âë è¨å ª®¬¯ìîâ¥à®¢; ä ªâ¨ç¥áª¨, ®¨ ïîâáï ¨å ¢¥áì¬ ¤ «¥ª¨¬¨ ¯à த¨â¥«ï¬¨ ¨, ¢¯à®ç¥¬, ¨¬¥® ª®¬¯ìîâ¥àë ¤® ¡ë«® ¡ë ᪮॥ à áᬠâਢ âì ¢ ª ç¥á⢥ ª®ªà¥âëå ॠ«¨§ 権 ¬ è¨ ìîਣ , ¨§®¡à¥â¥ëå ¤® ª®¬¯ìîâ¥à®¢!), ¯à¥¤¯à¨ïâë¥ ¤® á¨å ¯®à, ®¯à¥¤¥«ïîâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ª« áá 1-äãªæ¨©. ஬¥ ⮣® íâ®â ⥧¨á ¥ ¡¥§ ¯®«ì§ë: ç áâ®, çâ®¡ë ©â¨ 1-ä®à¬ã«ã, ®¯à¥¤¥«ïîéãî £à 䨪 äãªæ¨¨, ª®¤¨àãîâ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ¥áâ¥áâ¢¥ë© á¯®á®¡ ¥ñ ¢ëç¨á«¥¨ï. ¤ ¦¥ ⥧¨á ñàç ¤®¯ã᪠¥â á«¥¤ãî饥 ãᨫ¥¨¥: "ª ¦¤ ï äãªæ¨ï ¨§ N ¢ N ¥áâì 1-äãªæ¨ï, ¥á«¨ ⮫쪮 ® ¥ ï¥âáï á¯¥æ¨ «ì® ¯®áâà®¥ë¬ ª®âà¯à¨¬¥à®¬"! ®â í⮠ᮢ¥à襮 ¯ à ¤®ªá «ì®¥ ¢ë᪠§ë¢ ¨¥, â ª ª ª ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 áç¥â®¥ ç¨á«® 1-äãªæ¨© (¥ ¡®«¥¥, 祬 ä®à¬ã«), ¨ ®¨ á®áâ ¢«ïîâ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ᮢᥬ ¥§ ç¨â¥«ì®¥ ¬®¦¥á⢮ á।¨ ¢á¥å äãªæ¨© ¨§ N ¢ N. ®, ®¤ ª®, ®¯ëâ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® äãªæ¨¨ ¨ ¬®¦¥á⢠, ª®â®àë¥ ¯®ï¢«ïîâáï "¥áâ¥á⢥®" ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ ª®â¥ªáâ¥, «¥¦ â ¢ ª« áᥠ1 , § ®ç¥ì ।ª¨¬¨ ¨áª«î票ﬨ ( ¯à¨¬¥à ¯à®¡«¥¬ ¨«ì¡¥àâ , à¥è¥ ï â¨ïᥢ¨ç¥¬), ¨ ªà®¬¥ ⮣®, íâ® ¤ ¦¥ «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï. ªâ¨ç¥áª¨, ¢á¥ äãªæ¨¨, ® ª®â®àëå ¬®¦¥â ¤ã¬ âì ®à¬ «ìë© ¬ ⥬ ⨪ ¯à¨ ¤«¥¦ â ª ¥é¥ ¡®«¥¥ ®£à ¨ç¥®¬ã ª« ááã { ª« áá㠯ਬ¨â¨¢® ४ãà-
7.f
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¥à àå¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥áâ¢
ᨢëå äãªæ¨©. â® { äãªæ¨¨, ª®â®àë¥ ¯®«ãç îâáï ¨§ äãªæ¨© x 7! 0, x 7! x; x 7! x + 1; : : :; (x1; : : :; xi; : : :xn) 7! xi; : : : ª®¬¯®§¨æ¨ï¬¨, ᪫¥©ª ¬¨ ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï¬¨ ४ãàᨥ©. â® { ¥ ®ç¥ì ¥áâ¥áâ¢¥ë© ª« áá äãªæ¨©, ¨ ¥á«¨ 1-äãªæ¨î ¢ ®¡é¥¬ «¥£ª® ¢ëâì (¯à¨ «¨ç¨¨ ¥¡®«ì讣® ®¯ëâ , ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ 室ïâ 1-ä®à¬ã«ã ¥ñ £à 䨪 ), â® ç áâ® âà㤮 ¤®ª § âì, çâ® ® ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ : ¥â ¤à㣮£® ᯮᮡ , ªà®¬¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮣® ¯®áâ஥¨ï, ç¨ ï á ¡ §¨áëå äãªæ¨©. ª ª ª í⨠äãªæ¨¨ ¨¬¥îâ ᢮©á⢠, ª á î騥áï ªá¨®¬ ⨧ 樨 à¨ä¬¥â¨ª¨, â ª¦¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à , ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® äãªæ¨ï «¥¬¬ë 7.8 ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ :
¥¬¬ 7.21 ãªæ¨ï (x; y) ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ . ®ª § ⥫ìá⢮. 1 ãªæ¨ï Min(1; x) ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ : Min(1; 0) = 0 , Min(1; x + 1) = 1 , 2 ®« £ ¥¬ x y = 0 ¥á«¨ y > x , x y = x ? y , ¥á«¨ x y ; äãªæ¨ï x 1 ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ : 0 1 = 0; (x + 1) 1 = x , 3 ãªæ¨ï x y ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ : x 0 = x; x (y + 1) = (x y ) 1 , 4 ãáâì f (x; y) { ç áâ¨ç ï á㬬 à §«®¦¥¨ï ¯® ®á®¢ ¨î 2 ç¨á« x ¤® y : ¥á«¨ x = " + "12 + + "k 2k , ⮣¤ f (x; y) = " + "12 + + "y 2y ; íâ® ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ ï äãªæ¨ï: f (0; y) = 0 ; f (x + 1; y) = f (x; y) + 1 , ¥á«¨ f (x; y) + 1 < 2y+1 , ¨ f (x + 1; y) = 0 ¥á«¨ f (x; y) + l = 2y+1 ; ¨«¨ ¥é¥ f (x + 1; y) = Min(1; 2y+1 (f (x; y) + 1)) (f (x; y) + 1) , ¨ äãªæ¨ï ¯¥à¥å®¤ ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ , â ª ª ª â ª®¢ë á㬬 , ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¨ ¯®ª § ⥫ì ï äãªæ¨ï. 5 ®£¤ (x; 0) = f (x; 0) , (x; y + 1) = Min(1; f (x; y + 1) f (x; y)) .
®á«¥ à áᬮâ२ï í⮣® ¯à¨¬¥à , ç¨â â¥«ì ¤®«¦¥ ¡ëâì ⥯¥àì ã¡¥¦¤¥ çâ® ¢á¥ ¢¢¥¤¥ë¥ ¢ à §¤¥«¥ 7.f äãªæ¨¨ ® ä®à¬ã« å (ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ä®à¬ã«¥ ¥ñ à £ ª¢ â¨ä¨ª 樨, ¨«¨ ª®¤ ¬®¦¥á⢠¥ñ ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¨ â.¤.), ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ª®â®àëå ४ãàá¨ï ¨£à « £« ¢ãî ஫ì, ४ãàá¨¢ë ¨ ¤ ¦¥ ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢë; ¨ çâ® â ª¨¥ ¬®¦¥á⢠, ª ª ¬®¦¥á⢠¯à¥¤«®¦¥¨©, ¬®¦¥á⢠n-¯à¥¤«®¦¥¨© ¨ â.¯., ¢á¥ «¥¦ â 1. â® ¬®¦® ¯à¨ïâì ⮫쪮 á«¥¯®© ¢¥à®© ¢ ®¡®¡é¥ë© ⥧¨á ñàç ¨«¨ ¯à®¢¥àª®© ª ¦¤®£® ®â¤¥«ì®£® á«ãç ï, ª®â®àãî ¬ë ®áâ ¢¨¬ ¯®¤®§à¨â¥«ì®¬ã ç¨â ⥫î. ®á«¥ í⮣®, ¬ë ¬®¦¥¬ ãâ®ç¨âì ⥮६ã à᪮£® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ :
¥®à¥¬ 7.22 ®¦¥á⢮ ª®¤®¢ n-¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨áâ¨ëå ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ï¥âáï n -¬®¦¥á⢮¬ ¢¥ n ; ¬®¦¥á⢮ ª®¤®¢ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨áâ¨ëå ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ï¥âáï n -¬®¦¥á⢮¬ ¢¥ n .
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« ¢ 7
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬ á ç « ¯®«®¦¨â¥«ìãî ç áâì ⥮६ë, ¨ ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£®, çâ® ¬®¦¥á⢮ ª®¤®¢ 0-¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨áâ¨ëå ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ¥áâì 1-¬®¦¥á⢮. ¥©á⢨⥫ì®, ¢ 0-ä®à¬ã«¥ f (a1; : : :; an) ¢á¥ á¢ï§ ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ®£à ¨ç¥ë ç¨á«®¬ max(a1; : : :; an), ¨ ¨á⨮áâì í⮣® ¯à¥¤«®¦¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¯ à ¬, ®¡à §®¢ ë¬ ¯®¤ä®à¬ã«®© g ¢ f ¨ ¬®¦¥á⢮¬ ª®à⥦¥© ®£à ¨ç¥ëå max(a1; : : : ; an) ¨ 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å g. ª ª ª ¬®¦¥á⢠⠪¨å ª®à⥦¥© ª®¥çë, ®¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ®¡ê¥ªâ ¬, ª®¤¨à®¢ ë¬ ¢ 襩 ª®¬¡¨ â®à¨ª¥, ¨ ¢ë᪠§ë¢ ¨¥ "x ï¥âáï ª®¤®¬ ¨á⨮£® 0-¯à¥¤«®¦¥¨ï" ¢ëà ¦ ¥âáï 1-ä®à¬ã«®©; â ª®¢® ¦¥ ¨ ¢ë᪠§ë¢ ¨¥ "x ï¥âáï ª®¤®¬ «®¦®£® 0-¯à¥¤«®¦¥¨ï" , â ª ª ª ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥,á®áâ®ï饥 ¢ ⮬, çâ®¡ë ¡à âì ®âà¨æ ¨¥ ä®à¬ã«ë ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ४ãàᨢ®© ®¯¥à 樨 ª®¤ å. ë᪠§ë¢ ¨¥ "x ¥ ï¥âáï ª®¤®¬ 0-¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¨«¨ ï¥âáï ª®¤®¬ «®¦®£® 0-¯à¥¤«®¦¥¨ï", â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥áâì 1-ä®à¬ã« ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¤®¯®«¥¨¥ 襣® ¬®¦¥á⢠. ®£¤ 1-¯à¥¤«®¦¥¨¥ (9x)f (x) , £¤¥ f ï¥âáï 0-ä®à¬ã«®©, ¨á⨮?
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â a, â ª®©, çâ® 0-¯à¥¤«®¦¥¨¥ f (a) ¨á⨮. ª ⮫쪮 § ¬¥â¨¬, çâ® äãªæ¨ï, ª®â®à ï ª®¤ã 0-ä®à¬ã«ë ᮠ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x ¨ ç¨á«ã a ᮯ®áâ ¢«ï¥â ª®¤ 0-¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¯®«ã祮£® § ¬¥®© x a ¢ ä®à¬ã«¥, ï¥âáï ४ãàᨢ®©, ¨ § ï çâ® ¨á⨮áâì 0-¯à¥¤«®¦¥¨ï ¢ëà ¦ ¥âáï 1-ä®à¬ã«®©, ¢¨¤¨¬, çâ® "áãé¥áâ¢ã¥â a â ª®©, çâ® f (a) ¨á⨮" ¥áâì 1-ä®à¬ã« . ª ª ª ¨áâ¨ë¥ 1-¯à¥¤«®¦¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ®âà¨æ ¨ï¬ «®¦ëå 1-¯à¥¤«®¦¥¨©, ®¨ ®¡à §ãîâ 1-¬®¦¥á⢮. ¤ãªæ¨¥© ¯® n , ¢¨¤¨¬ â®ç® â ª ¦¥, çâ® ¨áâ¨ë¥ n -¯à¥¤«®¦¥¨ï ®¡à §ãîâ ¬®¦¥á⢮, ®¯à¥¤¥«¥®¥ n -ä®à¬ã«®© V n (x) ; çâ® ¨áâ¨ë¥ n-¯à¥¤«®¦¥¨ï ®¡à §ãîâ ¬®¦¥á⢮, ®¯à¥¤¥«¥®¥ n-ä®à¬ã«®© V n(x) . «ï ®âà¨æ ⥫쮩 ç áâ¨, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â n-ä®à¬ã« V (x) , ®¯à¥¤¥«ïîé ï ¬®¦¥á⢮ ª®¤®¢ ¨áâ¨ëå n -¯à¥¤«®¦¥¨©. áᬮâਬ ä®à¬ã«ã V (x; y) = V ('(x; y)) , ®¯à¥¤¥«ïîéãî ¬®¦¥á⢮ ¯ à, ã ª®â®àëå ¯¥à¢ë© í«¥¬¥â ä®à¬ã« n á ®¤®© ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®©, â ª¨å, çâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¯®«ã祮¥ § ¬¥®© í⮩ ¯¥à¥¬¥®© y ¨á⨠; §¤¥áì ' { 1-äãªæ¨ï § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥®© ª®áâ âã. V (x; y) ¥áâì n-ä®à¬ã« ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ä®à¬ã« :V (x; x) íª¢¨¢ «¥â n-ä®à¬ã«¥ á ª®¤®¬ n0 ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ â® ¦¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, çâ® ¢ ⥮६¥ à᪮£®.
â ⥮६ ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢á¥ ¢ª«îç¥¨ï ¢¨¤ n n n+1, â ª¦¥ n n n+1 { áâண¨¥. ë ¢¨¤¨¬, çâ® ª ¦¤®¥ n -¬®¦¥á⢮ ¯®«ãç ¥âáï ¯à®áâ® ®â "n -¨á⨮áâ¨", ¬®¦¥á⢠, ®¯à¥¤¥«¥®£® ä®à¬ã«®© V n (x). â®¡ë ¯à®¢¥à¨âì, çâ® b ¯à¨ ¤«¥¦¨â a-®© n -ä®à¬ã«¥ (â.¥. ¬®¦¥áâ¢ã, ®¯à¥¤¥«¥®¬ã n -ä®à¬ã«®© á ª®¤®¬ a), ¤® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® '(a; b) 2 V n (x); ¯® í⮩ ¯à¨ç¨¥, íâ® ¬®¦¥á⢮ V n (x), ª®â®à®¥ á«®¦¥¥ ¢á¥å ¬®¦¥á⢠n , §ë¢ ¥âáï "n -㨢¥àá «ìë¬ ¬®¦¥á⢮¬". ®¦® â ª¦¥ ५ï⨢¨§¨à®¢ âì ¨¥à àå¨î ¨ ®¯à¥¤¥«ïâì ४ãàᨢ®áâì ¨«¨ n-¬®¦¥á⢠®â®á¨â¥«ì® ¬®¦¥á⢠A. ®£¤ ª ¦¤®¥ n -¬®¦¥á⢮ ४ãàᨢ® ¢ V n (x).
᫨ A ¨ B ¢§ ¨¬® ४ãàá¨¢ë ¯® ®â®è¥¨î ¤à㣠ª ¤àã£ã, â® £®¢®àïâ, çâ® ®¨ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ á⥯¥ì, ¨ ¨§ã票¥ íâ¨å á⥯¥¥©, ª®â®àë¥ ¬ë ⮫쪮 㯮¬¨ ¥¬, á®áâ ¢«ï¥â ⥮à¨î ४ãàᨢ®áâ¨.
7.g
ªá¨®¬ë äà £¬¥â®¢ à¨ä¬¥â¨ª¨
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7.g ¥ª®â®àë¥ ªá¨®¬ë, ¬®¤¥«¨ äà £¬¥â®¢ à¨ä¬¥â¨ª¨ ë ᮡ¨à ¥¬áï ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥ à áᬠâਢ âì ¥ª®â®àë¥ ªá¨®¬ë, ª®â®àë¬ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ á㬬 ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ âãà «ìëå ç¨á¥«, ¨ ¬ë ¯®©¬¥¬, ¢ ª ª®© ¬¥à¥ १ã«ìâ âë ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ à £à 䮢 ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥ ¤«ï áâàãªâãà, ïîé¨åáï ¬®¤¥«ï¬¨ ⮫쪮 ¥ª®â®à®£® äà £¬¥â à¨ä¬¥â¨ª¨. §®¢¥¬ ¬¨¨¬ «ì®© à¨ä¬¥â¨ª®© á«¥¤ãî饥 ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ªá¨®¬ A0 : (8x)(x + 1 6= 0) (8x)(8y)(x + 1 = y + 1 ! x = y) (8x)(0 x) (8x)(8y)(y x + 1 $ y x _ y = x + 1) (8x)(x = 0 _ :(x 0)) (8x)(8y)(x + 1 y $ x y ^ y 6= x) (8x)(x + 0 = x) (8x)(8y)[x + (y + 1) = (x + y) + 1] (8x)(x 0 = 0) (8x)(8y)[x (y + 1) = x y + x] ªá¨®¬ë A0 ®¯à¥¤¥«ïîâ ¯®¢¥¤¥¨¥ 0 ¯® ®â®è¥¨î ª à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬ ®¯¥à æ¨ï¬ â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯®¢¥¤¥¨¥ x +1 , ¯à¥¤¯®« £ ï § ¨¥ ¯®¢¥¤¥¨ï x. ë¡®à â ª®© á¨á⥬ë, ®¡à §®¢ ®© ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« 㨢¥àá «ìëå ªá¨®¬, ¥ ¡¥§ ¯à®¨§¢®« ; ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ¯à¨¬¥à ª®¬¬ãâ¨à®¢ âì ¯¥à¥¬¥ë¥ x ¨ y ¢ ªá¨®¬ å, ®¯¨áë¢ îé¨å á¢ï§¨ áã¬¬ë ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï á ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬. ¬®¤¥«¨ M á¨á⥬ë A0 ®â®¡à ¦¥¨¥ s(x) = x +1 ¨ê¥ªâ¨¢®; 0 «¥¦¨â ¢¥ ®¡à § s , ® â ¬ ¬®£ãâ ¡ëâì ¤à㣨¥ â®çª¨ ¥-¯®á«¥¤®¢ ⥫¨. «ï âãà «ì®£® ç¨á« n ®¡®§ 稬 ⥬ ¦¥ ᨬ¢®«®¬ n n-®£® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ï 0 ¢ M . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ªá¨®¬ë A0 £®¢®àïâ, çâ® í«¥¬¥âë, ¬¥ì訥 ¨«¨ à ¢ë¥ n, { íâ® 0; : : :; n?1; n, ¢á¥ í«¥¬¥âë M , § ¨áª«î票¥¬ 0; : : :; n?1, ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢ë n . ⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫¨ 0 ¡ã¤ãâ §ë¢ âìáï áâ ¤ àâ묨 ç¨á« ¬¨ (¨«¨ í«¥¬¥â ¬¨) ¬®¤¥«¨ M ; íâ® áâ ¤ à⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ M ï¥âáï ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬, ª ¦¤®¥ áâ ¤ à⮥ ç¨á«® ¬¥ìè¥ ª ¦¤®£® ¥áâ ¤ à⮣® ç¨á« (¥áâ¥á⢥®, íâ® ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ á«®¢ " ç «ìë© á¥£¬¥â" ¥¬®£® ¯à®â¨¢®§ ª®®, â ª ª ª ¥ ¬®¦¥¬ ¢ë¢¥á⨠¨§ A0 , çâ® ¥áâì ¯®à冷ª) ; ¨ ªà®¬¥ ⮣® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® íâ® áâ ¤ à⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ï¥âáï ®£à ¨ç¥¨¥¬ M , ¨§®¬®àäë¬ áâ®ï騬 âãà «ìë¬ ç¨á« ¬, á á㬬®© ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬. â® ¢«¥ç¥â, ¨ ï¥âáï ¯¥à¢®¯à¨ç¨®© áãé¥á⢮¢ ¨ï A0 , çâ® ª ¦¤®¥ 1-¯à¥¤«®¦¥¨¥ à¨ä¬¥â¨ª¨ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A0 . ® ¢ ®á⠫쮬 A0 ï¥âáï ç१¢ëç ©® á« ¡®© ⥮ਥ©, ¤®¯ã᪠î饩 ¥áâ ¤ àâë¥ ç¨á« á á ¬ë¬ ä â áâ¨ç¥áª¨¬ ¯®¢¥¤¥¨¥¬. ¤® ¨§ ।ª¨å ¥ 1-®£à ¨ç¥¨© â®, çâ® äãªæ¨ï á«¥¤®¢ ¨ï ¥ ¨¬¥¥â 横«®¢, â ª ª ª ¢ A0 ¬®¦® ¤®ª § âì , çâ®, ¥á«¨ n > 1 , â® (8x)(x x + n ^ :(x + n x)). ®â ¬®¤¥«ì, ®á¨â¥«ì ª®â®à®© á®á⮨⠨§ ¥ñ áâ ¤ à⮣® ¯®¤¬®¦¥á⢠0; 1; 2; : : : ¨ ¢â®à®© ª®¯¨¨ ! : 00; 10; 20; : : : ; ®â®è¥¨¥ x y ¢ë¯®«ï¥âáï á«¥¤ãîé¨å ¯ à å: ¢® ¢á¥å á«ãç ïå n m0 ; ¥á«¨ n ¬¥ìè¥ m , â® n0 m0 ; ¨ ¥á«¨ n + m ï¥âáï á㬬®© n ¨ m , â® n0 + m = (n + m)0; n0 + m0 = n + m0 = m0 ; ¥á«¨ n m ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ n ¨ m , â® n m0 = (n m)0; n0 m = n0 m0 = n0. ¤ ª®, ¥á«¨ ¬ë ¤®¡ ¢¨¬ ª A0 á«¥¤ãîéãî ªá¨®¬ã ¢â®à®£® ¯®à浪 : (8X )((0 2 X ^ (8x)(x 2 X ! x + 1 2 X )) ! (8x)(x 2 X )) ;
130
« ¢ 7
â® ¬®¦¥¬ ¯®ª § âì, çâ® ¬®¤¥«ì ᢮¤¨âáï ª ᢮¥¬ã áâ ¤ à⮬㠯®¤¬®¦¥áâ¢ã, â.¥. áâàãªâãà , ®¡à §®¢ ï á㬬®© ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«, å à ªâ¥à¨§ã¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ . â® ¡ë«® § ¬¥ç¥® ¢ ç «¥ í⮣® ¢¥ª ¨â «ìï᪨¬ ¬ ⥬ ⨪®¬ ¥ ®; ¯® í⮩ ¯à¨ç¨¥ §ë¢ îâ " à¨ä¬¥â¨ª®© ¥ ®" ¬®¦¥á⢮ ªá¨®¬, ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ A0 ¨ ¢á¥å á«¥¤ãîé¨å " ªá¨®¬ ¨¤ãªæ¨¨" (¯® ®¤®© ªá¨®¬¥ ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f ): I (f ) (8x)f[f (x; 0) ^ (8y)(f (x; y) ! f (x; y + 1))] ! (8y)f (x; y)g : â®â ᯨ᮪ ªá¨®¬ ®á®¢ë¢ ¥âáï ⮩ ¦¥ ¬¥â 䨧¨ª¥, çâ® ¨ ªá¨®¬ ⨪ à¥á¡ãࣥà (á¬. 7.c) ¤«ï á㬬ë âãà «ìëå ç¨á¥«. ª ª ª ¬ë ¥ ¨¬¥¥¬ ¯à ¢ ¢ëà ¦ âì ªá¨®¬ã ¨¤ãªæ¨¨, ¤¥©á⢨⥫ìãî ¤«ï ¢á¥å ¯®¤¬®¦¥á⢠¬®¤¥«¨, ¬ë ¤¥« ¥¬ íâ® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤«ï «î¡®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠, ¤®áâ㯮£® ¢ 襬 ï§ëª¥, â® ¥áâì ®¯à¥¤¥«¨¬®£® ä®à¬ã«®© à¨ä¬¥â¨ª¨.
᫨ ¬ë ¤®¡ ¢¨¬ ª A0 ªá¨®¬ë ¨¤ãªæ¨¨ ⮫쪮 ¤«ï ä®à¬ã« ¨§ 0 , n ¨«¨ n, â® £®¢®à¨¬ ᮮ⢥âá⢥® ® ⥮ਨ 0-¨¤ãªæ¨¨, n-¨¤ãªæ¨¨ ¨«¨ n-¨¤ãªæ¨¨. ⬥⨬ ¬¨¬®å®¤®¬, çâ® ªá¨®¬ 0-¨¤ãªæ¨¨ «¥¦¨â ®¤®¢à¥¬¥® ¢ 2 ¨ 2 , ªá¨®¬ n ¨«¨ n-¨¤ãªæ¨¨ ï¥âáï n+2 ? ¨ n+2¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ (§ ¬¥¨â¥ f ! g :f _ g ). ®¡ ¢«¥¨¥ ¥ª®â®àëå ªá¨®¬ ¨¤ãªæ¨¨ ¤¥« ¥â ¬®¦¥á⢮ A0 ¡®«¥¥ ®á¬ëá«¥ë¬; á I (y = 0 _ (9z y)y = z + 1) , ¬ë ¤®ª §ë¢ ¥¬, çâ® ª ¦¤®¥ ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«® ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬; ¬ë ¢¨¤¨¬ â ª¦¥, ¯à®á⮩ ¯à®¢¥àª®© ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 7.5, ç⮠⥮à¨ï á㬬ë ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ 0¨¤ãªæ¨¨ (¨ ¤ ¦¥ ª®¥ç®£® ç¨á« ªá¨®¬ 0-¨¤ãªæ¨¨, â ª ª ª ᢮©á⢠¥¢ª«¨¤®¢ ¤¥«¥¨ï ¤®ª §ë¢ îâáï á ¥¤¨á⢥®© ªá¨®¬®© ¨¤ãªæ¨¨, £®¢®àï饩 ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨). ë â ª¦¥ ¤®ª §ë¢ ¥¬ ¯à¨ ¯®¬®é¨ 0-¨¤ãªæ¨¨, çâ® (8x)(8y)(x y $ (9z)x + z = y) , ¨§ 祣® á«¥¤ã¥â, ç⮠⥮à¨ï ¯®à浪 ¯®«®áâìî ¢ë¢®¤¨âáï â ª¦¥ ¨§ 0-¨¤ãªæ¨¨. ਠ¯®¬®é¨ 0-¨¤ãªæ¨¨ ¤®ª §ë¢ îâ â ª¦¥, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ áá®æ¨ ⨢®, ª®¬¬ãâ ⨢® (¨ ¤ ¦¥ ¢¥à®, ç⮠⥮à¨ï ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, â.¥. ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨áâ¨ëå ¤«ï âãà «ìëå ç¨á¥« ¨ £®¢®àïé¨å ⮫쪮 ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¨, ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ 0-¨¤ãªæ¨¨) ¨ ¤¨áâਡã⨢® ¯® á«®¦¥¨î. ¤ ª® 0-¨¤ãªæ¨ï â ª¦¥ á« ¡ . ¯à¨¬¥à, ¨§ 0-¨¤ãªæ¨¨ ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠⥮६ã "¤«ï ª ¦¤®£® x, áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®á⮥ ç¨á«®, ª®â®à®¥ ¥ ¤¥«¨â x": ¤®ª §ë¢ ¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ä®à¬ã«¥ (8x0 x)(x0 1 _ (9y x)(9z x)(y 2 ^
^ (8u x)(8v x)(y = uv ! u = 1 _ v = l) ^ x0 = yz)) ; çâ® ª ¦¤®¥ ç¨á«® ¨¬¥¥â ¯à®á⮩ ¤¥«¨â¥«ì; ¯®â®¬ ¡¥à¥¬ ¯à®á⮩ ¤¥«¨â¥«ì x +1. ® ¯®§¢®«ï¥â «¨ 0-¨¤ãªæ¨ï ¤®ª § âì, çâ® "¤«ï ª ¦¤®£® x áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®á⮥ ç¨á«® ¡®«ìè¥ x", â.¥. ¡¥áª®¥ç®áâì ¬®¦¥á⢠¯à®áâëå ç¨á¥«, { í⮠ᥣ®¤ï ®âªàëâ ï ¯à®¡«¥¬ . ¡ëç® íâ®â í«¥¬¥â àë© ä ªâ ¤®ª §ë¢ îâ â ª: à áᬠâਢ îâ ¬®¦¥á⢮ ¯à®áâëå ç¨á¥« ¬¥ìè¨å x , ¨ ¡¥àãâ ¯à®á⮩ ¤¥«¨â¥«ì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ï ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. â®¡ë ¯à®¢¥á⨠íâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ä®à¬ «ì®, ¤® ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ª®¤ ¤«ï ¬®¦¥á⢠¯à®áâëå ç¨á¥« ¬¥ìè¨å ç¨á« x , çâ® ¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥âáï 0-¨¤ãªæ¨¥©.
7.g
ªá¨®¬ë äà £¬¥â®¢ à¨ä¬¥â¨ª¨
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ª ª ª ¯à¨ ¤«¥¦®áâì, x 2 y , ¥áâì 1-®â®è¥¨¥, ¤® ®¦¨¤ âì, çâ® 0¨¤ãªæ¨ï ¤®¯ã᪠¥â ¡áãम¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¤«ï ª®¬¡¨ â®à¨ª¨, ¯à¨á®¥¤¨¥®© ª à¨ä¬¥â¨ª¥. ¯à¨¬¥à, 0-¨¤ãªæ¨ï ¥ ¯®§¢®«ï¥â ¤®ª § âì, çâ® ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ª®¥ç®, ¨ ¤ ¦¥, çâ® ª ¦¤®¥ ®¤®í«¥¬¥â®¥ ¬®¦¥á⢮ ª®¤¨àã¥âáï: ¤¥©á⢨⥫ì®, «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ç «ìë© á¥£¬¥â ¬®¤¥«¨ à¨ä¬¥â¨ª¨, § ¬ªãâë© ®â®á¨â¥«ì® áã¬¬ë ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ï¥âáï ¬®¤¥«ìî 0-¨¤ãªæ¨¨; ¥á«¨ íâ®â ᥣ¬¥â ¥ § ¬ªãâ ®â®á¨â¥«ì® ®â®¡à ¦¥¨ï x 7! 2x , ©¤ãâáï ®¤®í«¥¬¥âë¥ ¬®¦¥á⢠¡¥§ ª®¤®¢; íâ®â ¬¥â®¤ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨«®¦¥ ª ¯à¥¤ë¤ã饩 ¯à®¡«¥¬¥, â ª ª ª ¨§¢¥áâ®, çâ® ¬¥¦¤ã x ¨ 2x ¢á¥£¤ ¨¬¥¥âáï ¯à®á⮥ ç¨á«®. ¯à®â¨¢, á«¥¤á⢨¥¬ 1-¨¤ãªæ¨¨ ï¥âáï : (8x1) : : : (8xn)(9x)(8y)[y 2 x $ (y = x1 _ _ y = xn )] ; §¤¥áì ¬®¦® ¤ ¦¥ ¤®ª § âì, çâ® ¤®¡ ¢¨¢ í«¥¬¥â ª ª®¤¨à®¢ ®¬ã ¬®¦¥áâ¢ã ¯®«ãç ¥¬ ᮢ ª®¤¨à®¢ ®¥ ¬®¦¥á⢮ : (8x)(8y)(9z)(8t)(t 2 z $ t 2 x _ t = y) : â® § áâ ¢«ï¥â ¤ã¬ âì, çâ® 1-¨¤ãªæ¨ï ï¥âáï ¤®áâ â®ç® ᨫ쮩 ⥮ਥ©, ¥ ¨áª ¦ îé ï èã ¨âã¨æ¨î ®¡ à¨ä¬¥â¨ª¥, ¨ ®áâ ⮪ í⮣® à §¤¥« ¡ã¤¥â ¯®á¢ïé¥ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ¯à¨¥¬«¥¬®á⨠í⮩ ⥮ਨ. ë ¥ñ ¡¥à¥¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ª ®á®¢ã ªá¨®¬ â¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ ª à¨ä¬¥â¨ª¥, ¥é¥ à § ®â¬¥ç ï ¬¥¦¤ã ¯à®ç¨¬, çâ® á¯¥æ¨ «¨áâë ¢ ¤ ®© ®¡« á⨠¥ñ à áᬠâਢ îâ ª ª ᫨誮¬ ᨫìãî ⥮à¨î. ¨ ¤®¢®«ìáâ¢ãîâáï ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ¥áª®«ìª¨å ªá¨®¬ ª 0-¨¤ãªæ¨¨, £ à â¨àãîé¨å å®à®è¥¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨, â® ¥áâì ª®¬¡¨ â®à¨ª¨, ¨ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® íâ á¨á⥬ ¤®áâ â®ç ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¢á¥å ®¡ëçëå à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ⥮६, â® ¥áâì ¢áñ ªà®¬¥ ¨áªãáá⢥ëå «®£¨ç¥áª¨å ª®âà¯à¨¬¥à®¢. ® ¯à¥¦¤¥ 祬 ¯à®¤®«¦¨âì, ᤥ« ¥¬ ¤¢ § ¬¥ç ¨ï ®¡ ªá¨®¬¥ ¨¤ãªæ¨¨. â㤥âë ¢á¥£¤ ®¡ à㦨¢ îâ á 㦠ᮬ, çâ® ® ¨¬¥¥â ¤¢ ¢¨¤ : á« ¡ ï ä®à¬ , ¤«ï ª®â®à®© ४ãàá¨ï ¤®«¦ ç¨ âìáï ®â 0 , ¨ ¯¥à¥å®¤¨âì ®â x ª x + 1 , â® çâ® ¬ë 㦥 ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ; ¨ ᨫì ï ä®à¬ , ¢ ª®â®à®© ¯¥à¥å®¤ï⠮⠢á¥å z áâண® ¬¥ìè¨å y ª y , â® ¥áâì : I 0(f ) (8x)f[(8y)((8z < y)f (x; z) ! f (x; y))] ! (8y)f (x; y)g : â®, ¤¥©á⢨⥫ì®, ¡®«¥¥ ᨫì ï ªá¨®¬ 祬 I (f ) , ¥á«¨ ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ A0 ¨ ¢¤®¡ ¢®ª ªá¨®¬®©, § ïî饩, çâ® ª ¦¤®¥ ¥ã«¥¢®¥ ç¨á«® ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬ : ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ 䨪á¨à®¢ ®¥ x 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯®á뫪ã I (f ) , â® ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥â â ª¦¥ ¯®á뫪ã I 0(f ), â ª ª ª A0 ®¡ï§ë¢ ¥â y < y + 1 . ® ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, â ª ª ª ¬ë 㦥 㢨¤¥«¨ ¯® ¯®¢®¤ã ¯à®áâëå ç¨á¥«, í⨠¤¢¥ à §®¢¨¤®á⨠¨¤ãªæ¨¨ íª¢¨¢ «¥âë, â ª ª ª I 0(f (x; y)) ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ I ((8z y)f (x; z)) .
áâì ¥é¥ ¤à㣮© ᯮᮡ ¢¢¥¤¥¨ï ¨¤ãªæ¨¨, ª®â®àë© ¢ëà ¦ ¥â â®, çâ® ª ¦¤®¥ ¥¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮ âãà «ìëå ç¨á¥« ¨¬¥¥â ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â, ¨«¨ ¥é¥ : I 00(f ) (8x)f(9y)f (x; y) ! (9y)[f (x; y)) ^ (8z < y):f (x; y)]g :
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« ¢ 7
¥§ âà㤠¢¨¤®, çâ® I 0(f ) ¨ I "(:f ) íª¢¨¢ «¥âë. â¥á®¬ தá⢥ á ªá¨®¬ ¬¨ ¨¤ãªæ¨¨ 室ïâáï ªá¨®¬ë ª®««¥ªæ¨¨, ¢ëà ¦ î騥, çâ® ç¨á« , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ä®à¬ã«¥ f (t) ¨ ¬¥ì訥 ¥ª®â®à®£® ç¨á« z , ®¡à §ãîâ ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢ á¬ëá«¥ ¬®¤¥«¨ :
C (f )
(8x)(8z)(9y)(8t)(t 2 y $ t z ^ f (x; t)) :
®£¤ ¨§ãç îâ ¬®¤¥«ì M ¤«ï A0 , ¯ëâ îâáï ¯®¢â®à¨âì ¥© â®, çâ® ¨§¢¥áâ® ¯à® áâ ¤ àâë¥ âãà «ìë¥ ç¨á« . ¯à¨¬¥à, ¯ëâ îâáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ª § ⥫ìãî äãªæ¨î, ¡¥àï âã ¦¥ ä®à¬ã«ã, ª®â®àãî ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï £à 䨪 ¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨ áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á« å. ஡«¥¬ ¢ ⮬, çâ® ¯à¨®à¨ ¥â ®á®¢ ¨©, çâ® ¢ M íâ ä®à¬ã« ®¯à¥¤¥«¨â £à 䨪 äãªæ¨¨; ¨ ¯à¨ ¯®«®¦¨â¥«ì®¬ ®â¢¥â¥, ¬®¦® ¥éñ ᮬ¥¢ âìáï ¢ ⮬, çâ® ¥á«¨ n { áâ ¤ à⮥ ç¨á«®, â® § 票¥ 2n ¢ M â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ¢ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨; ¨ ¤ ¦¥ ¥á«¨ ¨ íâ® ¨á⨮, â® ¥â ¥é¥ ®á®¢ ¨©, çâ®¡ë ®¡ëçë¥ á¢®©á⢠¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨ ¡ë«¨ ¨áâ¨ë ¢ M . áᬮâਬ äà £¬¥â T à¨ä¬¥â¨ª¨, ᮤ¥à¦ 饩 A0 , ¨«¨ ¤ ¦¥ ¯à®áâ® ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ãî ⥮à¨î ᮤ¥à¦ éãî A0 (â.¥. T ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì «®¦ë¥ ªá¨®¬ë ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«); ¯ãáâì f { äãªæ¨ï ¨§ ! ¢ ! , £à 䨪 ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï à¨ä¬¥â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«®© '(x; y) . ë £®¢®à¨¬ çâ® f { ¤®ª §ã¥¬ ï ¢ T ®¡é ï äãªæ¨ï ¥á«¨ ¨§ T á«¥¤ã¥â, çâ® ' ï¥âáï £à 䨪®¬ äãªæ¨¨ : (8x)(9!y)'(x; y) ; ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® f å®à®è ¤«ï T , ¥á«¨ ªà®¬¥ ⮣® ¤«ï ª ¦¤®£® áâ ¤ à⮣® n ¢¥à® T ` '(n; f (n)); ®ç¥¢¨¤®, íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¬®¦¥â ¢¢¥á⨠¢ § ¡«ã¦¤¥¨¥ : à¥çì ¨¤¥â ® ᢮©á⢠å ä®à¬ã«ë ' , ¥ äãªæ¨¨ f , ª®â®àãî ® ®¯à¥¤¥«ï¥â, â ª ª ª ¥ ¨¬¥¥âáï ®á®¢ ¨©, ¯® ª®â®à®¬ã ¤¢ ®¯à¥¤¥«¥¨ï f , íª¢¨¢ «¥âë¥ ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«, ®áâ îâáï â ª®¢ë¬¨ ¢® ¢á¥å ¬®¤¥«ïå T . «®£¨ç®, à áᬮâਬ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ¢ ! , ®¯à¥¤¥«¥®¥ ä®à¬ã«®© '(x) ; ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® A å®à®è® ¤«ï T ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® áâ ¤ à⮣® n á¯à ¢¥¤«¨¢® T ` '(n) , ¥á«¨ n 2 A , ¨ T ` :'(n) ¥á«¨ n 62 A .
᫨ A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï n-ä®à¬ã«®© ' ¨ n-ä®à¬ã«®© , â® £®¢®à¨¬ çâ® ®® n-¤®ª §ã¥¬® ¢ T , ¥á«¨ T ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â íª¢¨¢ «¥â®áâì ' ¨ , â.¥. T ` (8x)('(x) $ (x)). ®£¤ ¬ë à ¡®â ¥¬ ¢ ®á« ¡«¥®© à¨ä¬¥â¨ª¥, ¤® ¯®¤áâà 客 âì èã ¨âã¨æ¨î, ª®â®à ï á ¯®¡ã¦¤ ¥â à á¯à®áâà ïâì ¡¥§ ¯à®¢¥àª¨ ¥ª®â®àë¥ ®ç¥¢¨¤ë¥ ᢮©á⢠áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥« ¢á¥ ¬®¤¥«¨ à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ.
᫨ ¬ë å®â¨¬ ¯¥à¥¢¥á⨠¡¥§ ¨§¬¥¥¨ï १ã«ìâ âë, ¯®«ãç¥ë¥ ¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å à §¤¥« å, ¬ ¤® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ¢á¥ ¬®¦¥á⢠¨ äãªæ¨¨, ãç áâ¢ãî騥 ¢ ¬ ¨¯ã«ïæ¨ïå ª®¤®¢ ä®à¬ã« å®à®è¨¥; ¥á«¨ è ⥮à¨ï ᫨誮¬ á« ¡ ¤«ï í⮣®, â® ¤® íâ® ®á®§ ¢ âì ¨ ¡ëâì ®á®¡¥® ¡¤¨â¥«ìë¬. ¯à¨¬¥à, ¬ë ®â¬¥â¨«¨, çâ® ª¢ â¨ä¨ª æ¨ï, ®£à ¨ç¥ ï ४ãàᨢ®© äãªæ¨¥©, ¥ ¢ë¢®¤¨â § ª« ááë 1 ¨«¨ 1.
᫨, ᪠¦¥¬, ' ¨ y = f (x) áãâì 1-ä®à¬ã«ë, â® (8y f (x))'(x; y) íª¢¨¢ «¥â 1-ä®à¬ã«¥: ç⮡ë íâ® ®áâ «®áì ¨áâ¨ë¬ ¢ T , ¤® ¤®ª § âì, çâ® ¢ T y = f (x) ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¡éãî äãªæ¨î, íâ® ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¢ T ¬ë ¬®£«¨ § ¬¥¨âì y 6= f (x) 1-ä®à¬ã«®©. á® çâ® ¬®¦¥á⢠0 å®à®è¨ ¤«ï ¬¨¨¬ «ì®© à¨ä¬¥â¨ª¨ A0 : ¢ ¯à®¢¥àª¥ ä ªâ n 2 A ãç áâ¢ãîâ ⮫쪮 ç¨á« ¬¥ìè¥ n ; ¢¯à®ç¥¬, â® ¦¥ á ¬®¥
7.g
ªá¨®¬ë äà £¬¥â®¢ à¨ä¬¥â¨ª¨
133
¢¥à® ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® ¬®¦¥á⢠®¯à¥¤¥«¥®£® ä®à¬ã«®©, £¤¥ ª¢ â¨ä¨ª 樨 ®£à ¨ç¥ë ¬®£®ç«¥ ¬¨ ®â n . ¥¯¥àì § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© ⥮ਨ T , ᮤ¥à¦ 饩 A0 , ª ¦¤®¥ 1-¤®ª §ã¥¬®¥ ¬®¦¥á⢮ å®à®è¥¥. ¥©á⢨⥫ì®, ¬®¦¥á⢮ A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ¬®¤¥«¨ áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥« 1ä®à¬ã«®© '(x) ¨ â ª¦¥ 1-ä®à¬ã«®© (x), ¨ T ` (8x)('(x) $ (x)) . ãáâì M { ¬®¤¥«ì T , ¥á«¨ n { áâ ¤ à⮥ ç¨á«®, ¨ ¥á«¨ n 2 A, â® ! ` '(n) , â ª¨¬ ®¡à §®¬, M ` '(n) â ª ª ª ' 2 1 ¨ ! { ç «ìë© á¥£¬¥â M . ®ç® â ª ¦¥, ¥á«¨ n 62 A, â® M ` : (n) , ¨ â ª ª ª T ` (8x)('(x) $ (x)) , â® M ` :'(n). ¯à¨¬¥à, ¤®ª §ã¥¬® ४ãàᨢ ï äãªæ¨ï (â.¥. 1-ä®à¬ã« , ¯à® ª®â®àãî ¬®¦® ¤®ª § âì ¢ T , çâ® ® { £à 䨪 ®¡é¥© äãªæ¨¨) å®à®è . ª®© äà £¬¥â à¨ä¬¥â¨ª¨ ¬ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â, çâ® ®¡ëçë¥ äãªæ¨¨, ¨«¨ áãé¥áâ¢¥ë¥ ®â®è¥¨ï, ª®â®àë¥ ¯®ï¢«ïîâáï ¢ ª®¤¨à®¢ ¨¨ ª®¬¡¨ â®à¨ª¨ ¨«¨ ï§ëª å®à®è¨ ? ¤¨ ¯à¨¥¬«¥¬ë© äà £¬¥â { íâ® 1-¨¤ãªæ¨ï; ® ¯®§¢®«ï¥â ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¤®ª § âì ªá¨®¬ã, ¢ëà ¦ îéãî, çâ® ¥á«¨ A { ¬®¦¥á⢮, ª®¤¨à®¢ ®¥ äãªæ¨¥© , â® ¤«ï «î¡®£® a ¬®¦¥á⢮ A [ fag â ª¦¥ ª®¤¨àã¥âáï í⮩ äãªæ¨¥© ; íâ® ã¯à ¦¥¨¥ âॡã¥â âà㤮«î¡¨ï, ®á®¢ ®£® ª¨â ©áª®© «¥¬¬¥, ª®â®à®¥ ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î: ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¡ë ® ¥ ¡ë« ¤®ª §ã¥¬ ¯® 1-¨¤ãªæ¨¨, â® ¤® ¡ë«® ¡ë áà®ç® ¥ñ ¤®¡ ¢¨âì. ⮠᢮©á⢮ ¯®§¢®«ï¥â ®¡¥á¯¥ç¨âì, çâ® ¯®áâ஥¨ï ¯à®á⮩ ४ãàᨥ© å®à®è¨: ¥á«¨ ¬ë ¢§£«ï¥¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨ ¢ 7.d, â® ¢¨¤¨¬, çâ® 1-¨¤ãªæ¨¥© (¯® y) ¬®¦® ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï ¢á¥å x ¨ y áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© z â ª®©, çâ® z = xy ; áãé®áâì § ª«îç ¥âáï ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ áãé¥á⢮¢ ¨ï ª®¤ ¤«ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠x; x2; : : :; xy ; xy+1 ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¨§¢¥á⥠⮫쪮 ª®¤ x; x2; : : : ; xy ; ªà®¬¥ ⮣®, ¬ë ¬®¦¥¬ â ª¦¥ ¤®ª § âì í«¥¬¥â àë¥ á¢®©á⢠¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨ â ª¨¥, ª ª xu+v = xu xv , ¢ë¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ४ãàᨨ 1-ä®à¬ã« å. ®®¡é¥, ⥠¦¥ à áá㦤¥¨ï ¯®ª §ë¢ îâ, çâ® ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàá¨¢ë¥ äãªæ¨¨ { ¤®ª §ã¥¬® ®¡é¨¥ ¢ 1-¨¤ãªæ¨¨, ¨ ®¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª §ã¥¬® ४ãàá¨¢ë ¨ å®à®è¨ ¤«ï ¥ñ. ª ª ª ¬ë ¯à¥¤ãᬮâà¨â¥«ì® ¯à®¢¥à¨«¨ ¢ «¥¬¬¥ 7.21, çâ® äãªæ¨ï ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ , ⮠⥯¥àì ¢¨¤®, çâ® ª®¬¡¨ â®à¨ª ¨ è¥ ®â®è¥¨¥ 2 å®à®è¨ ¤«ï 1-¨¤ãªæ¨¨ : ¢ ®¤®© ¨§ ¥ñ ¬®¤¥«¥© M ©¤ãâáï "«®¦ë¥" ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠(â.¥. ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠¥áâ ¤ à⮩ ¬®é®áâ¨), ® áâ®ï騥 ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠áâ®ïé¨å ç¨á¥« (â.¥. ¬®¦¥á⢠áâ ¤ à⮩ ¬®é®áâ¨, ã ª®â®àëå ¢á¥ í«¥¬¥âë áâ ¤ àâë) £ à â¨à®¢ ® ¯®«ãç îâ â®â ¦¥ ª®¤ ¢ M , çâ® ¨ ¢ ! . â ª, ¥á«¨ ë ã¡¥¦¤¥ë çâ® "®¡ëçë¥" äãªæ¨¨ ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢë, ¬®¦¥á⢠, ¯à¨áãâáâ¢ãî騥 "¥áâ¥á⢥®" ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ ª®â¥ªáâ¥, ¨¬¥î⠯ਬ¨â¨¢® ४ãàᨢãî å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî äãªæ¨î, â® ë ⥯¥àì ¬®¦¥â¥ ¡ëâì ᯮª®©ë § ¤¥¦®áâì 1-¨¤ãªæ¨¨. ë ¬®¦¥¬ ⥯¥àì áà ¢¨âì à §«¨çë¥ ¢¨¤ë ªá¨®¬ ¨¤ãªæ¨¨, ª®â®àë¥ ¬ë ¢¢¥«¨:
¥®à¥¬ 7.23 ਠ«¨ç¨¨ 1-¨¤ãªæ¨¨, n -ª®««¥ªæ¨ï ¨ n-ª®««¥ªæ¨ï íª¢¨-
¢ «¥âë, n -ª®««¥ªæ¨ï ¢«¥ç¥â n - ¨ n -¨¤ãªæ¨î, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª n+1 ¨«¨ n+1 -¨¤ãªæ¨ï ¢«¥ç¥â n -ª®««¥ªæ¨î.
®ª § ⥫ìá⢮. ªá¨®¬ ª®««¥ªæ¨¨ C (f ) íª¢¨¢ «¥â ªá¨®¬¥ C (:f ) ;
134
« ¢ 7
¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ a ª®¤¨àã¥â ¬®¦¥á⢮ y â ª¨å, çâ® y z ^ f (z) , â®
fy j y z ^ :f (y)g = fy j y z ^ y 62 ag ; áãé¥á⢮¢ ¨¥ ª®¤ í⮣® ¯®á«¥¤¥£® ¬®¦¥á⢠¤®ª §ë¢ ¥âáï 1-¨¤ãªæ¨¥© ¯® z. ®£¤ n -ª®««¥ªæ¨ï ¯®§¢®«ï¥â ¤®ª § âì n ¨ n-¨¤ãªæ¨î, ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ¯à¨æ¨¯ , ¯® ª®â®à®¬ã ª ¦¤®¥ ª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ âãà «ìëå ç¨á¥« ¨¬¥¥â ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â, çâ® ¤®ª §ã¥¬® 1-¨¤ãªæ¨¥©. ª®¥æ, ¥á«¨ § ¬¥â¨¬, çâ® 2z+1 { ¬ ªá¨¬ «ìë© ª®¤ ¯®¤¬®¦¥á⢠ᥣ¬¥â [0; z] , â® ¢¨¤¨¬, çâ® ªá¨®¬ ª®««¥ªæ¨¨ ¤«ï f ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ä®à¬ã«¥: (9t 2z+1 )(8y z)(y 2 t $ f (y)) ; ïî饩áï ¯® ¢ë¡®àã n+1 ¨«¨ n+1, ¥á«¨ f ¥áâì n ¨«¨ n .
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¬®¤¥«¨ 1-¨¤ãªæ¨¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ å®à®è¥¥ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« á® áâ ¤ àâë¬ ª®¤®¬; ®¨ { áâ®ï騥 ä®à¬ã«ë, ª®¤ë ª®â®àëå ¢ëç¨á«ïîâáï ⥬ ¦¥ ᯮᮡ®¬, çâ® ¢ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨. â ¤ àâë¥ n -ä®à¬ã«ë ¢ M ïîâáï â ª®¢ë¬¨ ¨ ¢ á ¬®¬ ! ; ¨ ª®£¤ ¢ M ¬ë ®áãé¥á⢫塞 ®¯¥à æ¨î § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥®© áâ ¤ à⮩ ª®áâ ⮩, ¬ë ¤¥« ¥¬ â®ç® âã ¦¥ ®¯¥à æ¨î, çâ® ¨ ¢ ! : ¢á¥ íâ® ¯à®¨á室¨â ¨§-§ ⮣®, çâ® ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥ ª®¬¡¨ â®àë¥ ¬ ¨¯ã«ï樨 å®à®è¨, çâ® ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ®£® å à ªâ¥à äãªæ¨©, ãç áâ¢ãîé¨å ¢ ¨å. «¥¤®¢ ⥫ì®, ⥮६ à᪮£® ¬®¦¥â ®¡®¡é âìáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
¥®à¥¬ 7.24 ( à᪨©) ãáâì M { ¬®¤¥«ì 1-¨¤ãªæ¨¨; ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã«ë V (x), â ª®©, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® áâ ¤ à⮣® n M ` V (n) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ n ï¥âáï ª®¤®¬ ¨á⨮£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¢ M . ®ª § ⥫ìá⢮. ®¢â®à¨â¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 7.9, ¨á¯®«ì§ãï â®, çâ® äãªæ¨¨ § ¬¥ë å®à®è¨.
áâ¥á⢥®, ⥮६ à᪮£® ®áâ ¥âáï ¢¥à®© ¤«ï áâàãªâãàë, ᪠¦¥¬, ¢ ª®¥ç®¬ ï§ëª¥ (¥á«¨ ï§ëª áç¥â¥, â® ¤® ¤ âì ¥£® "íä䥪⨢®¥" ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥), ¢ ª®â®à®¬ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«ïâì ¬®¤¥«ì 1-¨¤ãªæ¨¨. 1-¨¤ãªæ¨ï â ª¦¥ ¥ ï¥âáï ¡á®«îâ® ¥®¡å®¤¨¬®© ¤«ï ⥮६ë à᪮£®; ® ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®ª § ¤«ï ¥é¥ ¡®«¥¥ á« ¡ëå äà £¬¥â®¢ à¨ä¬¥â¨ª¨. ® ¥á«¨ ¬ë à ¡®â ¥¬ ¢ ®ç¥ì á« ¡®© ⥮ਨ, â® ¤® ¯à¥¤¢¨¤¥âì ¢®§¬®¦ë© ¡à¥¤ ª®¤¨à®¢ ¨© ¨ ª®¬¡¨ â®à¨ª¨. ¥áâ ¤ àâë¥ ä®à¬ã«ë 㤮¢«¥â¢®àïîâ ä®à¬ «ìë¬ § ª® ¬, ®¯à¥¤¥«ïî騬 ¨áâ¨ë¥ ä®à¬ã«ë, ® ¥¢®§¬®¦® ¨¬ ¯à¨¤ âì á¬ëá«: ¨¬¥® ®¡ í⮬ £®¢®à¨â ⥮६ à᪮£®. ¯à®â¨¢, ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ n-¯à¥¤¨ª ⮬ V n , çâ®¡ë ¢ëà §¨âì ¨á⨮áâì n-ä®à¬ã«. ¥£ª® ¤®ª § âì 1-¨¤ãªæ¨¥©, ᮢ ¨§-§ ⮣®, çâ® äãªæ¨¨ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥®© ª®áâ ⮩ å®à®è , çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® áâ ¤ à⮣® m M ` V n (m) ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ m ï¥âáï ª®¤®¬ n-¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¨á⨮£® ¢ M (â® ¥ ®§ ç ¥â, çâ® V n å®à®è¥¥: n ¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¨áâ¨ë¥ ¢ !, ¨ â¥, çâ® ¨áâ¨ë ¢ M , ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ®¤¨ ¨ â¥
7.h
¥áâ ¤ àâë¥ ¬®¤¥«¨ à¨ä¬¥â¨ª¨
135
¦¥!). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨á¯®«ì§ãï íâ®â n -¯à¥¤¨ª â ¨á⨮áâ¨, ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ï⨥ ¢ë¯®«¨¬®á⨠¤«ï ¥áâ ¤ àâëå n -ä®à¬ã«, £¤¥ n { áâ ¤ àâë© ¨ 䨪á¨à®¢ ë©, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ ¥áâ ¤ à⮥ ç¨á«® ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå. ® ¤«ï ä®à¬ã« x á ¥áâ ¤ àâë¬ x íâ® ¡¥§ ¤¥¦®. â® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ⥬ ¦¥ ¬¥â®¤®¬, çâ® ¬®¤¥«¨ 1-¨¤ãªæ¨¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãᨫ¥¨î ⥮६ë à᪮£® (⥮६ 7.22), § ¯à¥é î騬 áãé¥á⢮¢ ¨¥ n-ä®à¬ã«ë, â ª®©, çâ® áâ ¤ àâë¥ ç¨á« , ª®â®àë¥ ¥© 㤮¢«¥â¢®àïîâ, ¡ë«¨ ª®¤ ¬¨ n-¯à¥¤«®¦¥¨©, «®¦ëå ¢ ¬®¤¥«¨.
7.h ¥áâ ¤ àâë¥ ¬®¤¥«¨ ¢ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¤®© ¨§ ¥áâ ¤ àâëå ¬®¤¥«¥© ⥮ਨ ¯®à浪 ï¥âáï ! + Z ; «¥£ª® 㯮à冷ç¨âì âãà «ìë¥ ç¨á« ¨§®¬®àä® ! + Z ¡¨ àë¬ 1-®â®è¥¨¥¬: ¤®áâ â®ç® ¯à¥¤áâ ¢¨âì í«¥¬¥â n ¨§ ! ç¥à¥§ 3n , í«¥¬¥â ?n; n 6= 0 , ¨§ Z ç¥à¥§ 3n ? 1 , ¨ í«¥¬¥â n ¨§ Z ç¥à¥§ 3n +1 . ë ¢¨¤¨¬ â ª ¦¥, çâ® ¬®¤¥«ì á㬬ë, ®¯¨á ï ¢ ª®æ¥ ¯ à £à ä 7.c , ¨§®¬®àä 1-®¯à¥¤¥«¥®© áâàãªâãॠáâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á« å.
᫨ ¬ë ¢¥à¨¬, çâ® 1-¬®¦¥á⢠{ "íä䥪⨢® ®¯¨á ë¥" ¬®¦¥á⢠, â® ¬ë "íä䥪⨢®" ¯®áâந«¨ ¥áâ ¤ àâë¥ ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ ¯®à浪 ¨ ⥮ਨ á㬬ë. ® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ , áãé¥áâ¢ãîâ áç¥âë¥ ¥áâ ¤ àâë¥ ¬®¤¥«¨ à¨ä¬¥â¨ª¨, ¬®¤¥«¨, ¤«ï ª®â®àëå ®á¨â¥«¥¬ ¬®¦¥â ¡ëâì !. ç «¥ à §¤¥« 7.d ï ᪠§ «, çâ® ï ¥ ¡ã¤ã ¥ñ ¯ëâ âìáï áâநâì "íä䥪⨢®"; ⥯¥àì ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® á㬬 ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢ â ª®© ¬®¤¥«¨ ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®¤®¢à¥¬¥® ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬¨ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â 1®¯à¥¤¥«¥¨ï; ¬ë ¬®¦¥¬ ¤ ¦¥ ãâ®ç¨âì ª ª®¬ ã஢¥ ¥áâ ¤ àâ ï ¬®¤¥«ì A0 , ®¯à¥¤¥«¨¬ ï ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ®¡ï§ â¥«ì® «¦¥â, â® ¥áâì 㤮¢«¥â¢®àï¥â n ¨«¨ n-¯à¥¤«®¦¥¨î, «®¦®¬ã ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥« (⥮६ 7.25). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ®â®¦¤¥á⢫¥¨¥ 1 á ¯®ï⨥¬ "íä䥪⨢ë©" ª ¦¥âáï ¢ ¬ ᮬ¨â¥«ìë¬, ë ¤®«¦ë ¯à¨§ âì, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¥áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ à¨ä¬¥â¨ª¨, ¨¬¥î饩 â ª®¥ ¦¥ ¯à®á⮥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥, çâ® í⨠¤¢¥ ¢ë襮¯¨á ë¥ áâàãªâãàë. â ª, à áᬮâਬ ¬®¤¥«ì M 1-¨¤ãªæ¨¨, ®¯à¥¤¥«¥ãî ¡ §¥ ! âãà «ìëå ç¨á¥«, ¢ ª®â®à®© á㬬 x +M y ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ x M y ¨¬¥îâ £à 䨪¨, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ä®à¬ã« ¬¨ ¨§ n , § ç¨â, â ª¦¥ ¨§ n , â ª ª ª à¥çì ¨¤¥â ®¡ ®¡é¨å äãªæ¨ïå. à㣨¥ ®¡ëçë¥ ®â®è¥¨ï ¨ äãªæ¨¨, ᮯ஢®¦¤ î騥 M , ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì â ª¦¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ¢®§¬®¦®, çãâì ¡®«¥¥ á«®¦ë¬¨ 祬 n . ¯à¨¬¥à, ¯®à冷ª M ¢ M , ®¯à¥¤¥«¥ë© n -ä®à¬ã«®© (9z)(x +M z = y) ¬®¦¥â ¡ëâì ¢¥ n . ¥©á⢨⥫ì®, ª¢ â®à ¢ ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®£à ¨ç¥ë¬ (¢ á¬ëá«¥ , ¥ M ) : ¥á«¨ y { ¥áâ ¤ à⮥, â® fz : z M yg { ¡¥áª®¥ç®¥ ¨, § ç¨â, ¥®£à ¨ç¥®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¢ ! ! ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ äãªæ¨¨ ¨§ «¥¬¬ë 7.8 äãªæ¨ï rM (u; v) ®áâ ¥âáï ¢ n , ® ª¢ â®à (8j ) â ª¦¥ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®£à ¨ç¥ë¬, â ª çâ® ¬®¦® ⮫쪮 ¤®ª § âì çâ® äãªæ¨ï 2 n+1 , x 2M y ¥áâì n+1-®â®è¥¨¥. á«¥-
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« ¢ 7
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«®¦¥¨¥ ¨§ n ¨«¨ ¨§ n , ¨á⨮ â ª¦¥ ¢ M .
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᫨ ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ V Mn (x) ä®à¬ã«ã, ¯®«ãç¥ãî § ¬¥®© ¢ V n(x) ᨬ¢®« + +M ¨ M , â® M ` V nM (mM ) , ! ` V Mn (mM ). ⬥⨬ ¬ «¥ìªãî ¤¢ãá¬ëá«¥®áâì ¢ ®¡®§ 票ïå: ᪠§ âì, çâ® M 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯à¥¤«®¦¥¨î V n(m), íâ® § ç¨â, çâ® ä®à¬ã« V n(x) 㤮¢«¥â¢®à¥ í«¥¬¥â®¬ mM ; íâ® ¢ë§¢ ® ⥬, çâ® ¬ë ᪫®ë ᬥ訢 âì ª®áâ âã á ᨬ¢®«®¬, ª®â®àë© ¥£® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ ï§ëª¥. ãáâì a { ¥áâ ¤ àâë© í«¥¬¥â ¢ M ; ¯® n-ª®««¥ªæ¨¨ áãé¥áâ¢ã¥â b, ª®â®àë© ¢ M ª®¤¨àã¥â fx j x a ^ V n(x)g; § ç¨â,
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7.i à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨© ¯¥à¥¢®¤ ¬¥â®¤ ¥ª¨ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ¬ë ¯®ï«¨ â®, çâ® ¤®áâ â®ç® á«®¦ë© ᯨ᮪ ªá¨®¬ ( ªá¨®¬ë ¥ ® ¯«îá ¬®¦¥á⢮ ¨áâ¨ëå ä®à¬ã« ¨§ n ¨«¨ ¨§ n) ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ᫨誮¬ ¯à®áâãî ¥áâ ¤ àâãî ¬®¤¥«ì. ¤¥áì, ¬ë à áᬮâਬ ®¡à âãî ¯à®¡«¥¬ã: ¤«ï ¤ ®£® ᯨ᪠ªá¨®¬, ©â¨ ¬¥â®¤, ¢ëïî騩
7.i
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¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ «¨ ® ¨«¨ ¥â, ¨ ¯à¨ ¯®«®¦¨â¥«ì®¬ ®â¢¥â¥ ¯®áâநâì â ª¦¥ ¥£® á ¬ãî ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì, ª®â®à ï ¢®§¬®¦ . «ï í⮣® ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ¢ëà §¨âì ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ¬¥â®¤ ¥ª¨ . â ª, ¬ë à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ A ªá¨®¬, ª®¥ç®¬ ¨«¨ áç¥â®¬ (ïá®, çâ® ¥áç¥âë© ï§ëª ¥¢®§¬®¦® § ª®¤¨à®¢ âì ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ !) ï§ëª¥ L. â®¡ë ¯à¨¬¥¨âì ¬¥â®¤ ¥ª¨ , ¬ë ᢥ¤¥¬ ¯à®¡«¥¬ã á ç « ª á«ãç î, ª®£¤ ï§ëª ¢ª«îç ¥â ⮫쪮 ᨬ¢®«ë ®â®è¥¨©, â® çâ® ¤¥« ¥âáï ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢ ï§ëª¥ L ᯨ᮪ r1; : : :; rn ; : : : ᨬ¢®«®¢ ®â®è¥¨©, ¨ ¬ë ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® äãªæ¨ï, ª®â®à ï n ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¬¥áâ®áâì rn , ४ãàᨢ (íâ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¬¨¨¬ «ì®¥ âॡ®¢ ¨¥; ¥á«¨ ï§ëª L ª®¥ç¥, â® ¯à®¡«¥¬ á ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ ï§ëª ¥â). ®¯®áâ ¢«ïï ª ¦¤®¬ã ᨬ¢®«ã ï§ëª ãá«®¢ë© ®¬¥à, ¬®¦® ª®¤¨à®¢ âì ¥£® ä®à¬ã«ë â ª, ç⮡ë à §«¨çë¥ "¥áâ¥á⢥ë¥" ¬ ¨¯ã«ï樨 á ä®à¬ã« ¬¨ ¢ëà ¦ «¨áì ४ãàᨢ묨 äãªæ¨ï¬¨, ª ª íâ® ¬ë ᤥ« «¨ ¤«ï ï§ëª à¨ä¬¥â¨ª¨. §ëª L ¯®à®¦¤ ¥â ï§ëª LH ¯¥à¥ç¨á«¥¨ï ¥ª¨ , á®áâ®ï騩 ¨§ ᯨ᪠ᨬ¢®«®¢ ª®áâ â aij ¨ ᨬ¢®«®¢ ®â®è¥¨ï f H ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f , á«ã¦ é¨å ¤«ï í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢; LH ª®¤¨àã¥âáï ⥬ ¦¥ ᯮᮡ®¬. ¥¯¥àì à áᬮâਬ ᯨ᮪ T (H ) áâàãªâãàëå ¯à¥¤«®¦¥¨© ï§ëª LH , ¤ ë© ¢ 4.c; â ª ª ª ¢á¥ ¯®£à㦠¥âáï ¢ íä䥪⨢®áâì á ¬®£® ¨§ª®£® ã஢ï, äãªæ¨ï, ª®â®à ï ᮯ®áâ ¢«ï¥â ä®à¬ã«¥ ¥ñ ᢨ¤¥â¥«ï, ४ãàᨢ , ¨ íâ® T (H ) ¥áâì 1¬®¦¥á⢮. ®áâ âë aij ¯à®ã¬¥à®¢ ë ! ! ; ® â ª ª ª ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ ४ãàᨢ®© ¡¨¥ªæ¨¥© ¬¥¦¤ã ! ! ¨ ! , ¬ë ¬®¦¥¬ ¨å ¯à®ã¬¥à®¢ âì ! : ¬®¦® £®¢®à¨âì " k ¯¥à¢ëå aij "; â ª¦¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®ã¬¥à®¢ ë ! ¢á¥ ᨬ¢®«ë f H á ¯®¬®éìî "äãªæ¨¨ ¯¥à¥ç¨á«¥¨ï" ¬®¦¥á⢠(á¬. «¥¬¬ã 7.18). ë §®¢¥¬ "¤¥à¥¢®¬ ¥ª¨ " á«¥¤ãî騩 ç áâ¨çë© ¯®à冷ª H : í«¥¬¥â®¬ H ¤«ï 䨪á¨à®¢ ®£® âãà «ì®£® k , §ë¢ î饣®áï ¥£® ¢ëá®â®©, ï¥âáï § ¤ ¨¥ ®£à ¨ç¥¨© k ¯¥à¢ëå ®â®è¥¨© f0H ; : : :; fkH?1 k ¯¥à¢ëå í«¥¬¥â®¢ aij (íâ®, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ãá«®¢¨© ¢¨¤ a 2 fiH ¨«¨ a 62 fiH , ᮤ¥à¦ 饣® ¤«ï ª ¦¤®£® ãá«®¢¨ï ¥£® á ¬® ¨«¨ ¥£® ®âà¨æ ¨¥, ® ¥ ®¡ , £¤¥ a ¯à®¡¥£ ¥â ¬®¦¥á⢮ ª®à⥦¥© ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¤«¨ë, ¡¥àãé¨åáï á।¨ k ¯¥à¢ëå aij ), ¨ ¢á¥å áâàãªâãàëå ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¢ ª®â®àëå ãç áâ¢ãîâ ⮫쪮 k ¯¥à¢ëå fiH ¨ k ¯¥à¢ëå aij (¥ § ¡ë¢ ¥¬, çâ® à¥çì ¨¤¥â ® ¯à¥¤«®¦¥¨ïå ¡¥§ ª¢ â®à®¢!). ë 㯮à冷稢 ¥¬ íâ® ¬®¦¥á⢮ ¢ª«î票¥¬ : p q, ¥á«¨ ª ¦¤®¥ ãá«®¢¨¥ ¨§ q ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¢ p ¨, § ç¨â, ¢ëá®â q ¥ ¬¥ìè¥ ¢ëá®âë p . á®, çâ® H â ª ¦¥, ª ª ¥£® ®â®è¥¨¥ ¯®à浪 , ¥áâì 1-¬®¦¥á⢮. ⬥⨬ â ª¦¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â äãªæ¨ï h(x), ४ãàᨢ ï ¨ «¥£ª® ¢ëç¨á«¨¬ ï (ª ª £®¢®àïâ ⥮à¥â¨ª¨ ç¨á¥«), ª®â®à ï ®£à ¨ç¨¢ ¥â ª®¤ë í«¥¬¥â®¢ H ¢ëá®âë ¥ ¡®«ìè¥ x. ஬¥ ⮣®, äãªæ¨ï, ª®â®à ï ä®à¬ã«¥ f ¢ L ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¥£® ¯¥à¥¢®¤ ¡¥§ ª¢ â®à f H , ४ãàᨢ (® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à®á⮩ ४ãàᨥ©); á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ A ¥áâì n -, n - ¨«¨ n-¬®¦¥á⢮, â® â ª®¢ ¦¥ ¨ ¥£® ®¡à § AH ®â í⮩ äãªæ¨¨; ¯®¬¨¬, çâ® ¥á«¨ e { ¯à¥¤«®¦¥¨¥, â® eH ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ᨬ¢®« ã«ì¬¥á⮣® ®â®è¥¨ï. ë §ë¢ ¥¬ ¤¥à¥¢®¬ ¥ª¨ , ¯à¨á®¥¤¨¥ë¬ ª A, ¯®¤¬®¦¥á⢮ H(A) ¢ H , ®¡à §®¢ ®¥ í«¥¬¥â ¬¨ 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨, ¥á«¨ ®¨ ¤®áâ â®ç®© ¢ëá®âë, ¯à¥¤«®¦¥¨ï AH ; í«¥¬¥â ¢ëá®âë k ¯à¨ ¤«¥¦¨â H(A), ¥á«¨ ® 㤮-
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« ¢ 7
¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ eH , ¨¬¥î騬 ®¬¥à ¬¥ìè¥ k ; ¯à¨ ¤«¥¦®áâì ª H(A) ¢ëà ¦ ¥âáï ä®à¬ã«®© " p 2 H ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® ᨬ¢®« f á ®¬¥à®¬ ¥ ¡®«ì訬 ¢ëá®âë p; f H 62 AH ¨«¨ f H ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¢ p "; ¬ë ¢¨¤¨¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® H(A) ¥áâì n-¬®¦¥á⢮, ¥á«¨ 2 n , ¨ n -¬®¦¥á⢮, ¥á«¨ 2 n , ¨ n¬®¦¥á⢮, ¥á«¨ 2 n . â® ¬®¦¥â ¯à®¨§®©â¨ ¢ í⮬ ¤¥à¥¢¥ ? ®§¬®¦ë ¤¢ á«ãç ï: { H(A) ¥ ¨¬¥¥â í«¥¬¥â ¢ëá®âë k ¤«ï ¥ª®â®à®£® k ; íâ® ®§ ç ¥â, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬, çâ® H(A) ª®¥ç®; ¯®áâ஥¨¥ ¤¥à¥¢ ¥ª¨ ®áâ ¢«¨¢ ¥âáï, â® ¥áâì, á«¥¤ãï ¢á¥¢®§¬®¦ë¬ ¢¥â¢ï¬, ¬ë 室¨¬ ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. â® ®§ ç ¥â, ª ª ¬ë ®â¬¥â¨«¨ ¢ à §¤¥«¥ 4.c, çâ® ¬®¦¥á⢮ A ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢® (¨«¨, ¡®«¥¥ â®ç®, 祬 ®® ¥ ¨¬¥¥â ¥¯ãáâãî ¬®¤¥«ì; ¬ë ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î 㤮¢®«ìá⢨¥ à¥è¥¨ï ¢®¯à®á : ¨¬¥¥â «¨ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨© ¯ãáâãî ¬®¤¥«ì! ). { ¨ ç¥, ¯®áâ஥¨¥ ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¢á¥£¤ ; ¬ë 㢨¤¨¬, ç⮠⮣¤ ¤¥à¥¢® p(A) ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çãî ¢¥â¢ì; ¢¥â¢ì ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮥 § ¤ ¨¥ ®£à ¨ç¥¨© áâàãªâãàë k ¯¥à¢ë¥ ª®áâ â, § ⥬ k + 1 ¯¥à¢ëå ª®áâ â, ¨ â.¤., 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬ ¥ª¨ . ª®æ¥ ¢¥â¢¨, ¯®«ãç îâ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ¥ª¨ ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«¨ A . ⨠§ ¬¥ç ¨ï ¬ ¯®§¢®«ïâ ¢ëà ¦ âì ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ᮢ¬¥áâ®áâì n ¬®¦¥á⢠¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨ ¤ ¦¥ ¢ á«ãç ¥ ᮢ¬¥áâ®á⨠¤ ¤ãâ ®¯à¥¤¥«¨¬ãî ¬®¤¥«ì ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥. ® çâ®¡ë ¨å ®¯à ¢¤ âì, ¤® á ç « ¤®ª § âì «¥¬¬ã ® ¤¥à¥¢ìïå: ¬ë §ë¢ ¥¬ §¤¥áì ¤¥à¥¢®¬ ç áâ¨ç® 㯮à冷祮¥ ¬®¦¥á⢮, á ¨¬¥ì訬 í«¥¬¥â®¬, ª®â®àë© §ë¢ ¥âáï ¥£® ª®à¥¬, ¨ â ª®¥, çâ® ¬¨®à âë ª ¦¤®£® í«¥¬¥â x ®¡à §ãîâ ª®¥çãî 楯ì, ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ª®â®à®© §ë¢ ¥âáï ¢ëá®â®© x ; ¢¥â¢ì ¤¥à¥¢ { íâ® ¥£® ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®¤æ¥¯ì. ¥à¥¢® §ë¢ ¥âáï ª®¥ç® ¢¥â¢ï騬áï ¥á«¨ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â ¢ëá®âë k ¨¬¥¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® (¢®§¬®¦® ã«ì) ¬ ¦®à â ¢ëá®âë k + 1 . ¥à¥¢® ¥ª¨ ¨¬¥¥â ®ç¥¢¨¤® ¢á¥ í⨠᢮©á⢠(¥£® ª®à¥ì { ¯ãáâ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì). ¥®à¥¬ 7.26 (¥¥è ñ¨£) ¦¤®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ¤¥à¥¢® á ª®¥çë¬ ¢¥â¢«¥¨¥¬ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çãî ¢¥â¢ì; ¡®«¥¥ â®ç®, ¥á«¨ íâ® n-¤¥à¥¢®, ¢ëá®â í«¥¬¥â®¢ ¤ ¥âáï n+1 -äãªæ¨¥©, ¨ ¥á«¨ ª®¤ë í«¥¬¥â®¢ ¢ëá®âë k ®£à ¨ç¥ë n+1 -äãªæ¨¥© ®â k , ⮣¤ ®® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çãî n+1-¢¥â¢ì. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì A { è¥ ¤¥à¥¢®, ¨ ¯ãáâì A { ¤¥à¥¢®, ®¡à §®¢ ®¥ í«¥¬¥â ¬¨ A, ¨¬¥î騬¨ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ¬ ¦®à â; A ᮤ¥à¦¨â ª®à¥ì A , ¨ â ª ª ª A ª®¥ç®£® ¢¥â¢«¥¨ï, ª ¦¤ë© í«¥¬¥â ¢ëá®âë k ¢ A (¢ëá®â ¢ A â ¦¥ á ¬ ï, çâ® ¨ ¢ A !) ¨¬¥¥â ¢ A ¬ ¦®à âã ¢ëá®âë k + 1 ; «î¡ ï ¢¥â¢ì A ï¥âáï ¡¥áª®¥ç®© ¢¥â¢ìî A . ¥à¥¢® A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî饩 ä®à¬ã«®© : p 2 A , ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® k, ¯à¥¢ëè î饣® ¢ëá®âã p , áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â q ¢ A ¢ëá®âë k , ¬ ¦®à¨àãî騩 p . ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¢¥â¢ì A , ¯®«ãç¥ãî ¢ë¡®à®¬ ª ¦¤®¬ è £¥ í«¥¬¥â á ¨¬¥ì訬 ª®¤®¬, á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: p 2 A ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì p0; p1; : : : ; pk , çìï ¤«¨ k ¥áâì ¢ëá®â p , â ª ï, çâ® p0 { ª®à¥ì A ¨ pi+1 { ¬ ¦®à â ¢ëá®âë i + 1 (íâ® ®£à ¨ç¨¢ ¥â ª¢ â¨ä¨ª æ¨î) í«¥¬¥â pi , ¨¬¥î騩 ¬¨¨¬ «ìë© ª®¤ ¢ A, ¤«ï ª ¦¤®£® i k, ¨ ª®¥æ, pk = p .
7.i
139
à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨© ¯¥à¥¢®¤ ¬¥â®¤ ¥ª¨
ਠ¯®á뫪 å ¢â®à®© ç á⨠⥮६ë, ª¢ â¨ä¨æ¨à®¢ âì ¯® í«¥¬¥â ¬ ¢ëá®âë ¬¥ì襩, 祬 ¢ëá®â p, § ç¨â ¤¥« âì ª¢ â¨ä¨ª æ¨î ®£à ¨ç¥ãî n+1-äãªæ¨¥©, â ª çâ® A â ª ¦¥, ª ª ¥£® ¢¥â¢ì, ¨¬¥¥â n+1-®¯à¥¤¥«¥¨¥.
¥®à¥¬ 7.27 ⢥ত¥¨¥, çâ® n -¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨© ¥á®¢¬¥áâ-
® ¢ëà ¦ ¥âáï n -¯à¥¤«®¦¥¨¥¬; ª ¦¤®¥ ᮢ¬¥á⮥ n -¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨© ¨¬¥¥â n+1 -¬®¤¥«ì.
¬¥ç ¨¥. ¥ ¯ã⠩⥠"n -¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©", çâ® ®§ ç ¥â ¬®-
¦¥á⢮ ª®¤®¢ ¯à¥¤«®¦¥¨©, á।¨ ª®â®àëå ª ¦¤ë© ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ì让 á«®¦®áâ¨, ¨ ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ï§ëª¥ à¨ä¬¥â¨ª¨, á "n -¯à¥¤«®¦¥¨¥¬" ¨«¨ "¬®¦¥á⢮¬ n-¯à¥¤«®¦¥¨©". ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì A { è¥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©. ª ª ª H(A) { ¯®¤¤¥à¥¢® ४ãàᨢ®£® H, ¢ëá®â ¢ H(A) ï¥âáï ४ãàᨢ®© äãªæ¨¥© ¨ ª¢ â¨ä¨ª 樨 ¯® í«¥¬¥â ¬ ¢ëá®âë ¬¥ìè¥ k ®£à ¨ç¥ë ४ãàᨢ®© äãªæ¨¥©. â®¡ë ¢ëà §¨âì ¥á®¢¬¥áâ®áâì A, ¤® ᪠§ âì, çâ® H(A) ª®¥ç®, ¨«¨ ¥éñ ®® ¥ ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥â ¢ëá®âë k ¤«ï ¥ª®â®à®£® k: "áãé¥áâ¢ã¥â k, â ª®¥, çâ® p 62 H(A) ¤«ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥â p ¨§ H ¢ëá®âë k".
᫨ A 2 n , â® H(A) 2 n ¨ ¥£® ¤®¯®«¥¨¥, ª ª ¨ ¯®á«¥¤¥¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¯à¨ ¤«¥¦¨â n . á«ãç ¥, ª®£¤ { ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®¥ n-¬®¦¥á⢮, ¤¥à¥¢® H(A) 2 n ¨ ¥£® ¢ëá®â 㤮¢«¥â¢®àï¥â £¨¯®â¥§¥ ⥮६ë 7.26. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çãî n+1-¢¥â¢ì. â ¢¥â¢ì ¯®à®¦¤ ¥â ¬®¤¥«ì ¤«ï A ¬®¦¥á⢥ ª®áâ â aij : çâ®¡ë ¯®ïâì, ç⮠⮬ ï ä®à¬ã« ¢ë¯®«¨¬ , ¤®áâ â®ç® ãáâ ®¢¨âì, çâ® ® ¯®ï¢«ï¥âáï ¢¥â¢¨ ª®£¤ ¤®; íâ® ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â n+1-áâàãªâãàã, § ¨áª«î票¥¬ ⮣®, çâ® à ¢¥á⢮ ¥ ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ¨áâ¨ë¬ à ¢¥á⢮¬, n+1-®â®è¥¨¥¬ íª¢¨¢ «¥â®á⨠. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¬®¤¥«ì á áâ®ï騬 à ¢¥á⢮¬, ®£à ¨ç¨¬áï í«¥¬¥â ¬¨ á ¨¬¥ì訬¨ ª®¤ ¬¨ ¢ ᢮¨å -ª« áá å, ®¯à¥¤¥«ïî騬¨áï n+1-ä®à¬ã«®© (8y < x)y 6 x .
᫨ ¬ë ¯®«ã稬 ª®¥çãî ¬®¤¥«ì ¨§ m í«¥¬¥â®¢, â® ¬®¦® ¨å ¯¥à¥¢¥á⨠m ¯¥à¢ëå âãà «ìëå ç¨á¥« ; ¨ ç¥ ¯®«ãç ¥¬ ¡¥áª®¥çãî ¬®¤¥«ì á n+1®á¨â¥«¥¬ ¨ n+1-®â®è¥¨ï¬¨, ®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ¥¬; ¯¥à¥¢¥¤ï áîàꥪ⨢® íâ® ¡¥áª®¥ç®¥ n+1-¬®¦¥á⢮ ! ¯®á।á⢮¬ ᢮¥© äãªæ¨¨ ¯¥à¥ç¨á«¥¨ï (á¬. «¥¬¬ã 7.18), ¯®«ãç ¥¬ n+1-¬®¤¥«ì á ®á¨â¥«¥¬ !.
¥áª®«ìª® ª®¬¬¥â ਥ¢ ®¡ í⮩ ¯®á«¥¤¥© ⥮६¥; ¢®-¯¥à¢ëå, ¥áâ¥á⢥® ¨áª âì -¬®¤¥«¨ ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ï¥âáï á¨á⥬®© ªá¨®¬ ï§ëª¥ L , à áè¨à¨¬ ï§ëª, ¤®¡ ¢«ïï ᨬ¢®« r0 ¤«ï ª ¦¤®£® ५ï樮®£® ®â®è¥¨ï ï§ëª L ¢¬¥áâ¥ á ªá¨®¬®© :r $ r0, ¨ ¯®«ã稬 ¬®¦¥á⢮ 0 ªá¨®¬, ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â âã ¦¥ á«®¦®áâì ¯® , ¨«¨ , çâ® ¨ ; ¨ - ¨«¨ -¬®¤¥«ì ¤«ï 0 ï¥âáï ⥬ ¦¥, çâ® -¬®¤¥«ì ¤«ï ! ®¦® ¯à®â¨¢ ¨â¥à¥á®¢ âìáï ¯®ç¥¬ã ⥮६ 7.27 ¤ ¥â n+1-¬®¤¥«ì ¤«ï n- ¨«¨ n-⥮ਨ, ¨ ¤ ¥â ⮫쪮 n+2-¬®¤¥«ì ¤«ï n-⥮ਨ. «îç ª í⮩ ᨬ¬¥âਨ ¬¥¦¤ã n ¨ n ¤ ¥âáï á«¥¤ãî饩 ⥮६®©, ª®â®à ï ¡ã¤¥â ¯à¨ïâ ãà ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫ﬨ ¨ ãâ¥à-®ä¨æ¥à ¬¨ â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢á¥¬¨ «¨æ ¬¨, ã ª®â®àëå £« ¢ ï § ¤ ç { ¯®¢â®àïâì ¡¥§ ãáâ «¨ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¢¥é¨.
140
« ¢ 7
¥®à¥¬ 7.28 (¯«¥® §¬ ) «ï ª ¦¤®£® n+1-¬®¦¥á⢠¯à¥¤«®¦¥¨© áãé¥áâ¢ã¥â n -¬®¦¥á⢮ (1 -¬®¦¥á⢮, ¥á«¨ n = 0) ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨¬¥î饥 ⥠¦¥ á«¥¤á⢨ï.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì { è¥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ®¯à¥¤¥«¥®¥ ä®à¬ã«®© (9y)f (x; y) , £¤¥ f { ä®à¬ã« ¨§ 0 ¨«¨ n ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â á«ãç ï; ¨¤¥ï § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬ , çâ®¡ë § ¬¥¨âì ¯ àã, ®¡à §®¢ ãî ä®à¬ã«®© x ¨ ç¨á«®¬ y , ä®à¬ã«®©, ¯®«ã祮© 2y ®âà¨æ ¨ï¬¨ x. ®«ãç ¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®¦¥á⢮ B , ¨¬¥î饥, ª ª ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, ⥠¦¥ á«¥¤á⢨ï, çâ® ¨ ; â ª ª ª ¤«ï ®¤®£® x ¨§ ¬®£ãâ áãé¥á⢮¢ âì ¥áª®«ìª® y , ä®à¬ã« x ¯®ï¢¨âáï ¬®£® à § ¯®¤ íª¢¨¢ «¥â®© ä®à¬®© ¢ B , ®âªã¤ ¨¬ï "â¥®à¥¬ë ¯«¥® §¬ ". ª«î票¥ z 2 B ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© : "áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤ä®à¬ã« x ¢ z ¨ 楫®¥ y ¬¥ì襩 á«®¦®á⨠祬 x , â ª¨¥, çâ® (x; y) 㤮¢«¥â¢®àï¥â f ¨ çâ® z ¯®«ãç ¥âáï 2y ®âà¨æ ¨¥¬ x"; â ª ª ª ª¢ â®àë ®£à ¨ç¥ë ४ãàᨢ묨 äãªæ¨ï¬¨, B ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¨¬¥¥â 㪠§ ãî á«®¦®áâì.
ë ¢¨¤¨¬ â ª¦¥, çâ® ¬¥â®¤ ¥ª¨ ¥ ¬®£ ¤ âì ⥮६ã, «ãçèãî 祬 7.27, â ª ª ª ¬ë ¬®¦¥¬ ¤¥ïâìáï ⮫쪮 â®, çâ® n-¤¥à¥¢® ¨¬¥¥â n-¢¥â¢ì (¯à¥¤áâ ¢ìâ¥, ¯à¨¬¥à, çâ® ®® á®á⮨⠨§ ¥¤¨á⢥®© ¢¥â¢¨!); ⥬ ¥ ¬¥¥¥, ª®âà¯à¨¬¥àë, ª®â®àë¥ ¬ë ¤ «¨ ¢ 7.25, ¥ ¤®ª §ë¢ îâ, çâ® ®æ¥ª ¨§ 7.27 { ¨«ãçè ï ¨§ ¢®§¬®¦ëå, â ª ª ª ®¨ £®¢®à¨«¨ ® n-⥮à¨ïå, ¥ ¨¬¥îé¨å n-¬®¤¥«¥©, ¨¬¥®: { ï§ëª á®á⮨⠨§ ᨬ¢®«®¢ 0; 1; ; +; ; 2; a ; { ¢ª«îç îâáï ªá¨®¬ë ¥ ® (1-ᯨ᮪) ¨ ªá¨®¬ ®¯à¥¤¥«ïîé ï 2 ç¥à¥§ á㬬㠨 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ; { ¢ª«îç ¥âáï â ª¦¥ 1-ᯨ᮪ ªá¨®¬ a n , ¢ëà ¦ îé¨å, çâ® í«¥¬¥â a ¥ áâ ¤ àâë© ; { ¤®¡ ¢«ï¥âáï n-ᯨ᮪ ªá¨®¬, ¯®«ãç¥ë© ¯«¥® §¬®¬, íª¢¨¢ «¥âë© á¯¨áªã ¨áâ¨ëå n-¯à¥¤«®¦¥¨© ; { ª®¥æ, ¢ª«îç ¥âáï n-ᯨ᮪ ¨áâ¨ëå n-¯à¥¤«®¦¥¨©. â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ë© n-ᯨ᮪ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¥ ¨¬¥î騩 n¬®¤¥«¨, ã¦ë çãâì ¡®«¥¥ ⮪¨¥ ¬¥â®¤ë, ª®â®àë¥ ¬ë ®áâ ¢¨¬ ¢ áâ®à®¥.
7.j ®ï⨥ ¤®ª § ⥫ìá⢠, à §à¥è¨¬ë¥ ⥮ਨ
᫨ x ¨ y { ¯à¥¤«®¦¥¨ï (â.¥. ª®¤ë ¯à¥¤«®¦¥¨©), â® x ` y § ç¨â, çâ® ¬®¦¥á⢮ fx; :yg ¥á®¢¬¥áâ®. ª ¬ë 㢨¤¥«¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯ à £à ä¥, ¬®¦¥á⢮ ¯ à (x; y) ¯à¥¤«®¦¥¨©, â ª¨å, çâ® y ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ x ®¯à¥¤¥«ï¥âáï 1-ä®à¬ã«®© Pr(x; y) ("y ¤®ª §ã¥¬® ¨§ x"). áâ â¨, çâ® ¬ë ¯®¨¬ ¥¬ ¯®¤ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬? ë â¥áâ¨à㥬 ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì fx; :yg ¬¥â®¤®¬
7.j
§à¥è¨¬ë¥ ⥮ਨ
141
¥ª¨ , ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® y ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ x, ⮣¤ , ª®£¤ ¬ë ¤®á⨣¥¬ ¢ëá®âë k, £¤¥ ¢¥â¢¨ ¤¥à¥¢ ®¡àë¢ îâáï, â.¥. ¯à¨¢®¤ïâ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. ®â íâ® âãà «ì®¥ k ¨ ¥áâì â ¥®£à ¨ç¥ ï ¯¥à¥¬¥ ï ¢ ¯à¥¤¨ª ⥠¤®ª § ⥫ìá⢠. ã⢥ত î, çâ® íâ® 1-®â®è¥¨¥ Pr(x; y) ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â 1 ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¬¨¨¬ «ì ï à¨ä¬¥â¨ª ï¥âáï ª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ªá¨®¬ A0 , ª®â®à®¥ ¬®¦® § ¬¥¨âì ®¤¨¬ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ { ¨å ª®êîªæ¨¥©; ¥á«¨ ¡ë ¤®ª §ã¥¬®áâì ¡ë« 1- ¯à¥¤¨ª ⮬, â® ¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¤®ª §ã¥¬ë¥ ¨§ A0 â ª ¦¥, ª ª ¨ 1-¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¤®ª §ã¥¬ë¥ ¨§ A0 , ®¡à §®¢ «¨ ¡ë 1¬®¦¥á⢠. ¤ ª® ª ¦¤®¥ 1-¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¨á⨮¥ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ { á«¥¤á⢨¥ A0 , ¨ ªà®¬¥ ⮣®, â ª ª ª A0 ¨á⨮ ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«, â® ®® ¥ ¬®¦¥â ¤®ª § âì ¨ç¥£® «®¦®£®. «¥¤®¢ ⥫ì®, 1-¯à¥¤«®¦¥¨ï, ïî騥áï á«¥¤á⢨ﬨ A0 , ¢ â®ç®á⨠â¥, çâ® ¨áâ¨ë ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ¨ ®¨ ®¡à §ãîâ 1-¬®¦¥á⢮, ¥ ïî饥áï 1-¬®¦¥á⢮¬. â®â ¯®á«¥¤¨© १ã«ìâ â ¯à®á¨â ¥ ¢®«®¢ âìáï ® ¡ã¤ã饬 襩 ¯à®ä¥áᨨ: â ª ª ª ¤®ª §ã¥¬®áâì ¥ 1-¯à¥¤¨ª â, ¥¢®§¬®¦® § ¯à®£à ¬¬¨à®¢ âì ª®¬¯ìîâ¥à â ª, çâ®¡ë ¤«ï «î¡®© ª®¥ç®© á¨áâ¥¬ë ªá¨®¬ x ¨ «î¡®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï y ® ¢ëïᨫ § ª®¥ç®¥ ¢à¥¬ï: ï¥âáï «¨ y á«¥¤á⢨¥¬ x. ª ï ¯à®£à ¬¬ ¤¥« « ¡ë ¡¥á¯®«¥§®© à ¡®âã ¬ ⥬ ⨪ ¨«¨, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ â¥å á।¨ ¨å, ªâ® ¢¥à¨â ¢ ¤®¡à®¤¥â¥«¨ ªá¨®¬ â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ !
᫨ A ï¥âáï n -¬®¦¥á⢮¬ ¯à¥¤«®¦¥¨©, â® ¥£® á«¥¤áâ¢¨ï ®¡à §ãîâ n-¬®¦¥á⢮: ¢ëà §¨¬, çâ® A [ f:yg ¥á®¢¬¥áâ® ¬¥â®¤®¬ ¥ª¨ , ¨«¨ ¥é¥, çâ® x ¤®ª §ã¥¬ ¨§ ª®êîªæ¨¨ ª®¥ç®£® ç¨á« í«¥¬¥â®¢ A.
᫨ A 2 n , â® ¥£® á«¥¤áâ¢¨ï ®¡à §ãîâ n+1 -¬®¦¥á⢮; ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ¤¥« âì «ãçè¥ ¨§-§ â¥®à¥¬ë ¯«¥® §¬ 7.28. ë § ¥¬ 㦥 ¤ ¢® (⥮६ à᪮£®), çâ® ¥ ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ¬®¦¥á⢮ ¥¥ ¨áâ¨ëå ¯à¥¤«®¦¥¨©.
᫨ ã á ¡ë« ¤¥¦¤ à¨ä¬¥â¨ç¥áªãî ªá¨®¬ ⨧ æ¨î, â® ¬ë ⥯¥àì ¯®¨¬ ¥¬, çâ® íâ ¤¥¦¤ ¯à á : ¥á«¨ ⥮à¨ï ¨¬¥¥â n - ªá¨®¬ ⨧ æ¨î, â® ® ¤®«¦ ¡ëâì n ¬®¦¥á⢮¬! ®£¤ ¬ë ¯à®¢®§£« è «¨ ªá¨®¬ ⨧ 樨 ¤«ï ¯®à浪 ¨«¨ á㬬ë âãà «ìëå ç¨á¥«, ¬ë ¯à¨¢®¤¨«¨ 1-ᯨ᪨ ªá¨®¬, â® ¥áâì ¬ 㤠¢ «¨áì ®ç¥ì ¯à®áâë¥ ªá¨®¬ ⨪¨. à¨ä¬¥â¨ª ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ªá¨®¬ ⨧ æ¨î â ª®£® ¢¨¤ , ¨ á ¬®¥ ¯à®á⮥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ à¨ä¬¥â¨ª¨, çâ® ¬ë ¬®¦¥¬ ¤ âì, á«¥¤ãî饥: "íâ® ¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¨áâ¨ë¥ ¤«ï áã¬¬ë ¨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«"! áâ ®¢¨¢, çâ® à¨ä¬¥â¨ª ¥ ® ¡®«¥¥ 祬 ¤®áâ â®ç ¤«ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¯®âॡ®á⥩ ®à¬ «ì®£® ¬ ⥬ ⨪ , ¨ ®¡¬ ãâë¥ áªàëâë¬ ¬¥â 䨧¨ç¥áª¨¬ ¢¤®å®¢¥¨¥¬ (ᯠ᫨, ª ª ¬®£«¨, ªá¨®¬ã ¨¤ãªæ¨¨ ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¯¥à¥¢®¤ï ¥ñ ¢ ï§ëª ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ), ¬ë ¬®£«¨ ¯®¢¥à¨âì ¢ ª ª®©-â® ¬®¬¥â, çâ® ® ¤®áâ â®ç ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì à¨ä¬¥â¨ªã. ¥¯¥àì ¬ë ¯®¨¬ ¥¬, çâ® ¡ë«¨ ®ç¥ì ¤ «¥ª¨ ®â ¨áâ¨ë, â ª ª ª íâ® { 1- ªá¨®¬ ⨪ (" ¡ëâì ªá¨®¬®© ¨¤ãªæ¨¨ " ¥áâì 1-᢮©á⢮); ⮫쪮 ®â⮣®, çâ® ® 1®¯à¥¤¥«¨¬ , ® ¥ ¬®¦¥â ¤®ª §ë¢ âì ¢á¥ ¨áâ¨ë¥ 1-¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¨ ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨ ¥ ® ¬®¦¥â «£ âì á ¬®¬ ¨§ª®¬ ã஢¥, ¢®§¬®¦®¬ ¤«ï ¬®¤¥«¨ A0 , â® ¥áâì 1 . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ®£à®¬®¥ à ááâ®ï¨¥ ®â¤¥«ï¥â â®, çâ® ¨á⨮ ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«, ¨ â®, çâ® ¤®ª §ã¥¬® ¯® ¥ ®, ¨«¨
142
« ¢ 7
¢ «î¡®© ªá¨®¬ â¨ç¥áª®© á¨á⥬¥, ®¯à¥¤¥«¨¬®© ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥. ।¨ª â ¤®ª §ã¥¬®áâ¨, ª®â®àë© ¡ë« ¢¢¥¤¥ ¢ í⮬ à §¤¥«¥, ¯®«®áâìî 㤮¢«¥â¢®àï¥â 㦤ë ⥮à¥â¨ª ¬®¤¥«¥©. ® ¢ ¢¥â¢¨ «®£¨ª¨, §ë¢ ¥¬®© "⥮ਥ© ¤®ª § ⥫ìáâ¢" ¨ ¯®á¢ï饮© ¯®ïâ¨î ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¯à¨ïâ® ¥£® «¨§¨à®¢ âì ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®: ª ª íâ® ¡ë«® ®¡êï᥮ ¢ ç «¥ à §¤¥« 4.c, ¤ ¥âáï ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯à ¢¨«, ¯®§¢®«ïîé¨å "¢ë¢®¤¨âì" ä®à¬ã«ã ¨§ ª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠¤à㣨å ä®à¬ã«; ¨§ íâ¨å ¯à ¢¨« ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¥á«¨ x ¢ë¢¥«¨ ¨§ A, â® ® ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A. £®¢®àïâ, çâ® x ¤®ª §ã¥¬® ¨§ ¬®¦¥á⢠A, ¥á«¨ ¥£® ¯®«ãç îâ ¨§ ª®¥ç®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìë¬ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ¯à ¢¨« ¢ë¢®¤ . á®, çâ® â ª ï ¤®ª §ã¥¬®áâì ¥áâì 1-¯à¥¤¨ª â.
éñ ¤® ¯®ª § âì, ¨ íâ® ¤¥« ¥âáï ¢ ®á®¢®¬ ¬¥â®¤®¬ ¡«¨§ª¨¬ ª ¬¥â®¤ã ¥ª¨ , çâ® ¥á«¨ x ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A, â® ® ¤®ª §ã¥¬ ¨§ A. â®â १ã«ìâ â, ¢ëà ¦ î騩 ¤¥ª¢ â®áâì á¨â ªá¨ç¥áª®£® ¯®ïâ¨ï (¤®ª §ã¥¬®áâ¨) ᥬ â¨ç¥áª®¬ã ¯®ïâ¨î (á«¥¤á⢨ï) §ë¢ ¥âáï "⥮६®© ¯®«®âë ¥¤¥«ï". â® «î¡®¯ëâ®, çâ® ® ¡ë« ¤®ª § ¥¤¥«¥¬ ¨ ¤à㣨¬¨ ¤® ïᮣ® ®á®§ ¨ï ¥¨ï ª®¬¯ ªâ®áâ¨; ¢¯à®ç¥¬, ª®¬¯ ªâ®áâì ¢ë¢®¤¨«¨ ¨§ í⮩ á ¬®© ⥮६ë, ãç¨âë¢ ï, çâ® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®á⨠A ãç áâ¢ãîâ ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ A. â® ¡ë«® ¢ ¤ãå¥ â®£® ¢à¥¬¥¨, ᥬ â¨ç¥áª¨¥ ¯®ïâ¨ï, â ª¨¥, ª ª "x ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A", â® ¥áâì "ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì A 㤮¢«¥â¢®àï¥â x", ¡ë«¨ ¯®¤ ¯®¤®§à¥¨¥¬, çâ® «®£¨ª¨ ¨áª «¨ ¡á®«îâãî ¨á⨮áâì ¢ ¬¨à¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å à áá㦤¥¨©, ¥ ¢ ª ª®©-â® ¬®¤¥«¨, ¨ ®¨ ¡ë«¨ ¢ ®á®¢®¬ 㢫¥ç¥ë íää¥ªâ¨¢ë¬ å à ªâ¥à®¬ ¯®ï⨩, ª®â®àë¥ ®¨ ¢¢®¤¨«¨. ® ¨¥à樨, ¨«¨ ¨§-§ 㢠¦¥¨ï ª ¨áâ®à¨¨, ã祡¨ª¨ â¨à ¦¨àãîâ íâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥, ¢¥áì¬ ç㦤®¥ ¤ãåã ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ª®â®à ï ®á®¢ë¢ ¥âáï ᥬ â¨ç¥áª¨å ¯®ïâ¨ïå. â® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ { áªã箥, ¥á«¨ ¥£® à áᬠâਢ âì ¢® ¢á¥å ¤¥â «ïå, ¨ ¥¯®ï⮥, ¥á«¨ ¨å ®¯ãáâ¨âì : ¢ ®¡¥¨å á«ãç ïå, ®® ®ª®ç â¥«ì® à §®ç à®¢ë¢ ¥â ª ¤¨¤ ⮢ ¢ «®£¨ª¨. íâ® ¬¥â®¤¨ç¥áª ï ®è¨¡ª , â ª ª ª ª®¬¯ ªâ®áâì ï¥âáï ¡®«¥¥ ä㤠¬¥â «ìë¬ á¢®©á⢮¬ 祬 1-å à ªâ¥à ¢ë¢®¤ : ¢á¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠¤¥ª¢ â®á⨠¢ë¢®¤¨¬®á⨠¯®ïâ¨î á«¥¤áâ¢¨ï ¨á¯®«ì§ãîâ, ç áâ® áªàëâ®, á室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ¢ ª®¬¯ ªâëå ¯à®áâà á⢠å. ¥ª®â®àë¥ £®¢®àïâ, ç⮠⥮à¨ï T (â.¥. ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨ § ¬ªã⮥ ®â®á¨â¥«ì® ¢ë¢®¤ ) ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 , ¥á«¨ T 2 1 ; â ª ª ª ¯® ⥮६¥ ¯«¥® §¬ 1-⥮à¨ï ï¥âáï ⥬ ¦¥, ç⮠⥮à¨ï, ¨¬¥îé ï 1 ªá¨®¬ ⨧ æ¨î, ®¨ í⨬ å®âïâ ᪠§ âì, çâ® íâ ⥮à¨ï ®¡« ¤ ¥â íä䥪⨢®© ªá¨®¬ ⨧ 樥© (íää¥ªâ¨¢ë© = 1). ®áª®«ìªã ª ¦¤ ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â, íä䥪⨢ãî ¨«¨ ¥â, ªá¨®¬ ⨧ æ¨î, â® ¢ í⮬ á«ãç ¥ «ãçè¥ áª § âì ४ãàᨢ® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 ï. ª®¥æ, T §ë¢ ¥âáï à §à¥è¨¬®©, ¥á«¨ ® ï¥âáï 1-⥮ਥ© (⥮à¨ï á ¬ , ¥ ®¤ ¨§ ¥ñ ªá¨®¬ ⨧ 権!): íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ ¬¥å ¨ç¥áª¨¬ ¬¥â®¤®¬, ¢ëïáïî騬 ¢¥à® «¨, çâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â T ¨«¨ ¥â.
áâ¥á⢥®, ¢á¥ íâ® ¯à¥¤¯®« £ ¥â, çâ® ¬ë § ª®¤¨à®¢ «¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ᯮᮡ®¬ ï§ëª T ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ®â ãâ®ç¥¨ï ª®â®à®£® ®¡ëç® ¢®§¤¥à¦¨¢ ¥¬áï, ®á®¡¥® ¥á«¨ íâ®â ï§ëª ª®¥ç¥. «¥¤ãî騩 ¯à®á⮩ १ã«ìâ â ¯®«¥§¥ :
¥¬¬ 7.29 ®« ï n-⥮à¨ï ï¥âáï n-⥮ਥ©.
7.j
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§à¥è¨¬ë¥ ⥮ਨ
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ T ¯®« , â® x 62 T ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ :x 2 T ¨ íâ® ¤ ¥â n -®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤®¯®«¥¨ï T .
«¥¤®¢ ⥫ì®, á«¥¤ãî騥 ¯®«ë¥ 1-⥮ਨ à §à¥è¨¬ë, ¤«ï ª®â®àëå ¬ë à ìè¥ ¤ «¨ íää¥ªâ¨¢ë¥ ªá¨®¬ ⨧ 樨: ¯«®âë© ¯®à冷ª ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª, ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, ⥮à¨ï á«¥¤®¢ ¨ï, ¯®à浪 ¨«¨ á㬬ë âãà «ìëå ç¨á¥«, «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï ¤ ®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë¥ ¯®«ï ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, ¨ â.¤.
¥¬¬ 7.30 ¥®à¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© à §à¥è¨¬ . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì T { íâ ⥮à¨ï, T 2 1 ; ¯à¥¤«®¦¥¨¥ x ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â T ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ :x ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ T [ f2 6= 0; 3 6= 0; : : : ; p 6= 0; : : : g ¨«¨ ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â p, â ª®¥, çâ® :x { á«¥¤á⢨¥ T [ fp = 0g; íâ® ¤ ¥â 1®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¤®¯®«¥¨ï T . (¥©á⢨⥫ì®, ¯® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, ¥á«¨ x ¥ ¢ T , â® áãé¥áâ¢ã¥â p, â ª®¥, çâ® :x { á«¥¤á⢨¥ T [ fp = 0g ).
ਬ¥à ⥮਩, ४ãàᨢ® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬ëå ¨ ¥à §à¥è¨¬ëå: A0 , ¨ ¯® ⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨¥ (¬®¦¥á⢮ ¥ñ 1-á«¥¤á⢨© ¥ à §à¥è¨¬®) ª ¦¤ ï 1-⥮à¨ï, ᮤ¥à¦ é ï A0. ¯®¬¨¬, çâ® A0 ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 . ®¡à®¦¥« ⥫¨ ¥ § ¡ë¢ î⠯।ã¯à¥¦¤ âì ® "¥íä䥪⨢®¬" å à ªâ¥à¥ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢ £« ¢ë 6, ¨á¯®«ì§ãîé¨å ¥ ä®à¬ «¨§ã¥¬ë¥ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ à£ã¬¥âë ª®¬¯ ªâ®áâ¨. ¨ á ¬¨ ¯à¥¤¯®ç¨â îâ âà㤮¥¬ª¨¥, ¨ £« ¢®¥, ¥ ®ç¥ì ¤¥¦ë¥ ¬¥â®¤ë, á®áâ®ï騥 ¢ ⮬, çâ®¡ë ¯®ª §ë¢ âì è £ § è £®¬, çâ® ä®à¬ã«ã f ¬®¦® § ¬¥¨âì ä®à¬ã«®© ¡¥§ ª¢ â®à®¢, çâ® ®¨ ¤¥« îâ ⥮à¥â¨ç¥áª¨ íä䥪⨢® ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â f . «¥¤ãî騩 १ã«ìâ â ¨¬ ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¡¥á¯®«¥§® á¥¡ï ¬ãç¨âì á ¯®áâ஥¨¥¬ ®¡ê¥ªâ (¯® á«ãç î «£®à¨â¬ í«¨¬¨ 樨), ª®£¤ ¬®¦® ¯®ïâì ®ç¥ì ¯à®áâ®, çâ® ® áãé¥áâ¢ã¥â: ¤¥©á⢨⥫ì®, ª ¦¤ ï 1-⥮à¨ï, í«¨¬¨¨àãîé ï ª¢ â®àë, í«¨¬¨¨àã¥â ¨å íä䥪⨢®.
¥¬¬ 7.31
᫨ T { n -⥮à¨ï, í«¨¬¨¨àãîé ï ª¢ â®àë, â® áãé¥áâ¢ã¥â n -äãªæ¨ï, ᮯ®áâ ¢«ïîé ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«¥ íª¢¨¢ «¥âãî ¥© ¯® ¬®¤ã«î T ä®à¬ã«ã ¡¥§ ª¢ â®à .
®ª § ⥫ìá⢮. ਬ¥ï¥¬ ¯à¨æ¨¯ n-¢ë¡®à («¥¬¬ 7.17) ª ¡¨ à®-
¬ã n -®â®è¥¨î, ®¡à §®¢ ®¬ã ¨§ ¯ à (f (x); g(x)) ä®à¬ã«, â ª¨å, çâ® g ¥ ¨¬¥¥â ª¢ â®à®¢ ¨ (8x)(f (x) $ g(x)) ¤®ª §ã¥¬ ¢ T.
®£ãâ ¥áâ¥á⢥® ¢®§à §¨âì ¯à®â¨¢ «£®à¨â¬®¢, ¯à¥¤«®¦¥ëå ¢ëè¥ã¯®¬ïãâ묨 १ã«ìâ â ¬¨, ¨§-§ ¨å 㦠ᮠ¥¯à ªâ¨ç®£® å à ªâ¥à .
᫨ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¯®«ãî ४ãàᨢ® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬ãî ⥮à¨î, «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï, ª®â®àë© ¬ë ¯à¥¤« £ ¥¬, ¢®¯à®á ® ⮬, çâ® «¥¦¨â «¨ f ¢ T ¨«¨ ¥â, á®á⮨⠢
144
« ¢ 7
¯¥à¥ç¨á«¥¨¨ ¢á¥å á«¥¤á⢨© T ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ¥ ¢áâà¥â¨¬ f ¨«¨ :f , ®á®¢ë¢ î騬áï á¨á⥬ â¨ç¥áª®¬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ëå ¤¥à¥¢ì¥¢ ¥ª¨ ! ®ç® â ª ¦¥ ¢ «£®à¨â¬¥ í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢ ¦¤ãâ ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ¥ ¯®ï¢¨âáï ä®à¬ã« ¡¥§ ª¢ â®à®¢, íª¢¨¢ «¥â ï f (x). ª®£® த «£®à¨â¬ë, £¤¥ ¦¤ãâ, ª®£¤ ¯à®¨§®©¤¥â ¥ª®â®à®¥ ¥¨¥, ¡¥§ ®æ¥ª¨ ¢®§¬®¦®£® ¢à¥¬¥¨ ®¦¨¤ ¨ï, ¡á®«îâ® ¥à¥ «¨áâ¨çë; ¢ë¯®«¥¨¥ â ª®© ¯à®£à ¬¬ë § ¨¬ ¥â â ª®¥ ä â áâ¨ç¥áª®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¢à¥¬¥¨, çâ® ®â ¨å ¢®«®áë £®«®¢¥ ¯à®£à ¬¬¨áâ ¢áâ î⠤롮¬! í⨠«£®à¨â¬ë ¬®£ãâ ¯®âॡ®¢ âì ¥ ⮫쪮 § ç¨â¥«ì®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¢à¥¬¥¨, â ª¦¥ ¡®«ì让 ®¡ê¥¬ ¯ ¬ï⨠¤«ï ¯à®¢¥¤¥¨ï íâ¨å à áç¥â®¢. á«ãç ¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥©, ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ ¡®«¥¥ íää¥ªâ¨¢ë¬ «£®à¨â¬®¬, ® ª®â®àë© áâ ®¢¨âáï â ª¦¥ ¡ëáâà® ¥¯à ªâ¨çë¬, ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮣® ¨áª«îç¥¨ï ¥¨§¢¥áâëå ¢ ¯®«¨®¬¨ «ìëå ãà ¢¥¨ïå ¨ ¥à ¢¥á⢠å, á«¥¤ãï ¬¥â®¤ã, ¨§¢¥á⮬ã á á ¬ëå â¨çëå ¢à¥¬¥. «ï ⥮à¥â¨ª ¬®¤¥«¥© íä䥪⨢ ï ª®áâàãªæ¨ï å®à®è¥£® «£®à¨â¬ í«¨¬¨ 樨 ¯à¥¤áâ ¢«ï« ¡ë ¨â¥à¥á ⮫쪮, ¥á«¨ ¡ë ® ¨¬¥« ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¬¥à¥¨¥ ¨¬ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï, 祣® ¥ ¡ë¢ ¥â ¨ª®£¤ . ¬¥® ¯®í⮬㠤®áâ â®ç® ¯à ᮥ ã¯à ¦¥¨¥ { ¯ëâ âìáï â®ç® ®æ¥¨âì ª®«¨ç¥á⢮ ¢à¥¬¥¨ ¨ ®¡ê¥¬ ¯ ¬ï⨠(¢ëç¨á«¥ëå ª ª äãªæ¨¨ ®â ¤«¨ë ¯à®¢¥à塞®© ä®à¬ã«ë f ), ¥®¡å®¤¨¬®¥ ¤«ï ¯à®¢¥àª¨ ¯à¨ ¤«¥¦®á⨠ª à §à¥è¨¬®© ⥮ਨ T . ¤ ª®, ¥á«¨ ¬ë ¨é¥¬ â®çë¥ ¢¥à娥 ®æ¥ª¨ í⮣® ¢à¥¬¥¨ ¨ í⮣® ¯à®áâà á⢠, ⮠ᮢ ¬¥â®¤ ª®¥ç®£® 祫®ª à ¨áᥠ¤ ¥â «ãç訥 १ã«ìâ âë, â ª ª ª ® ¯®§¢®«ï¥â ᢥá⨠¢ë¯®«¨¬®áâì ¯à¥¤«®¦¥¨ï f ¢ áâàãªâãॠS ª ¢ë¯®«¨¬®á⨠¯à¥¤«®¦¥¨ï f ¢ ª®¥ç®© ¯®¤áâàãªâãॠS . ãáâì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥®¡å®¤¨¬® â¥áâ¨à®¢ âì ¢ë¯®«¨¬®áâì ¯à¥¤«®¦¥¨ï f , ¢ áâàãªâãॠS ç¨á⮠५ï樮®£® ï§ëª , ¨ à £ ª¢ â¨ä¨ª 樨 f à ¢¥ k ; ¯ãáâì Ck { ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© ª« áᮢ (k ? 1)-íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ í«¥¬¥â®¢ S ; ¯ãáâì k?1 { ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, â ª®¥, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® a ¨§ k , ª ¦¤ë© ª« áá (k ? 2)-íª¢¨¢ «¥â®á⨠(a; x) ¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï (a; b), á b ¢ Ck?1 , ¨ â ª ¤ «¥¥: ®¯à¥¤¥«ï¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠Ck Ck?1 C1 . ë £®¢®à¨¬, çâ® ª¢ â®à ¢ f à £ i, ¥á«¨ i { à £ ª¢ â¨ä¨ª 樨 ä®à¬ã«ë, ª®â®à ï 室¨âáï ¯®¤ ®¡« áâìî ¥£® ¤¥©á⢨ï; ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï i-íª¢¨¢ «¥â®á⨠ïá® á«¥¤ã¥â, çâ® f ¨á⨮ ¢ S ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ â ¬ ¨á⨮ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ f , ¯®«ã祮¥ ५ï⨢¨§ 樥© ¯® Ci ª ¦¤®£® ª¢ â®à à £ i (§ ¬¥®© (9x (9x 2 Ci) ¨ (8x) (8x 2 Ci)). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ ®ç¥ì ¯à®áâë¬ ®¯¨á ¨¥¬ ª« áᮢ k-íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ª ª ¢ á«ãç ¥ ¤¨áªà¥â®£® ¯®à浪 à §¤¥« 1.b, ᢥ¤¥¬ ¢ë¯®«¨¬®áâì ¯à¥¤«®¦¥¨ï ª ¢ë¯®«¨¬®á⨠¯à¥¤«®¦¥¨© ¢ ª®¥çëå áâàãªâãà å ¥¡®«ìè¨å ¬®é®á⥩, çâ® ¢ ¡« £®¯à¨ïâëå á«ãç ïå ¤ ¥â å®à®è¨© «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï. ®§¬®¦®áâì ®áãé¥á⢫¥¨ï í⮣® «£®à¨â¬ á ¬ «® ¨â¥à¥áã¥â: ¥à §à¥è¨¬®áâì ¨«¨ à §à¥è¨¬®áâì ⥮ਨ ¥ á¢ï§ á® áâàãªâãà묨 ᢮©á⢠¬¨ ¥£® ¬®¤¥«¥©, ïîé¨åáï ¯à¥¤¬¥â®¬ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ® ¥ ¯à¨¢®á¨â ¨ç¥£® ¢ ¨§ã票¥ ४ãàᨢ®á⨠¨«¨ á«®¦®á⨠«£®à¨â¬®¢, ª®â®àë¥ ¢¬¥è¨¢ îâáï ¢ í⨠⥬ë ⮫쪮 àã⨮© â¥å¨ª®©.
᫨ ¬ë ᫨誮¬ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥¬ ⥮à¥â¨ª®¢ ¬®¤¥«¥© ª®â®àë¥, ¥ª®â®à®© ®âé î饩 ¢¥à®áâìî «®£¨-
7.k
¥®à¥¬ ¥¤¥«ï
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ç¥áª¨¬ ¯à®¨á宦¤¥¨¥¬ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, áç¨â îâ á¥¡ï ®¡ï§ 묨 ®â¬¥ç âì, çâ® â ª ï-â ⥮à¨ï £à㯯ë, ª®«ìæ , ¨ â.¤. à §à¥è¨¬ , íâ® ¯® ¡®«ì讬ã áç¥âã ¯®â®¬ã, ç⮠⥮à¨ï ¬®¤¥«¥© ¥ á㬥« ¢ëª®¢ âì ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨© ï§ëª, ç⮡ë ä®à¬ã«¨à®¢ âì ᢮¨ १ã«ìâ âë: ®¨ å®âïâ ᪠§ âì çâ® à áᬠâਢ ¥¬ ï ⥮à¨ï ¯à®áâ , çâ® ®¨ 㬥îâ ®¯¨áë¢ âì ¥ñ â¨¯ë ¨, ¬®¦¥â ¡ëâì, ª« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì ¥ñ ¬®¤¥«¨. â áâàãªâãà ï ¯à®áâ®â ¥ ¨¬¥¥â ¢ ¯à¨æ¨¯¥ ¨ç¥£® ®¡é¥£® á ४ãàᨢ®áâìî, ª®â®à ï ¨§¬¥àï¥â ¢ ¥ª®â®à®¬ á¬ëá«¥ á«®¦®áâì á¨áâ¥¬ë ªá¨®¬, ¥ ª« áᮢ áâàãªâãà. â á«®¦®áâì ¡®«¥¥ çã¢áâ¢¨â¥«ì ª® ¢á¥¢®§¬®¦ë¬ «¨£¢¨áâ¨ç¥áª¨¬ ¬ ¨¯ã«ïæ¨ï¬, ¡¥§ áâàãªâãàëå ¢®§¤¥©á⢨©. ¤ ª® ¯à ªâ¨ª¥ ª®áâ â¨àãîâ ç áâ®, çâ® «¥£ª® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 ï ⥮à¨ï áâàãªâãà® ¯à®áâ , ¨ ®¡®à®â, å®âï ¥âà㤮 ¯à¨¢¥á⨠{ íâ® ¤¥âáª ï ¨£à { ª®âà¯à¨¬¥àë. ⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ¯®ï⨥ ¤®ª §ã¥¬®áâ¨, ª ª®â®à®¬ã ¬ë ¯à¨¢ï§ «¨áì, ¥ ¢®á¯à®¨§¢®¤¨â ॠ«ì®¥ äãªæ¨®¨à®¢ ¨¥ ¬ë᫨ ¬ ⥬ ⨪ : çâ®¡ë ¤®ª § âì çâ®-â®, ® ¥ ¤¥« ¥â ¨ª®£¤ á¨á⥬ â¨ç¥áª®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯® ¤¥à¥¢ã ¥ª¨ ! â®¡ë ¤®ª § âì í⨬ ᯮᮡ®¬ ⥮६ã 7.5, £¤¥ ¯®ª § íª¢¨¢ «¥â®áâì ¤¢ãå á¨á⥬, ªá¨®¬ ⨧¨àãîé¨å á㬬ã âãà «ìëå ç¨á¥« (®¯¨à ïáì à£ã¬¥âë, à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ª ª ¯à¨¥¬«¥¬ë¥ ¤«ï «î¡®£® ¬ ⥬ ⨪ , ç⮡ë ã¡¥¤¨âì ç¨â ⥫ï, çâ® ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì ®¤®© á¨á⥬ë ï¥âáï ¬®¤¥«ìî ¤à㣮©), ¤® ¡ë«® ¡ë ¨á¯¨á âì æ¥«ë© â®¬. § ª«î票¥ ®â¬¥â¨¬, çâ® «£®à¨â¬ í«¨¬¨ 樨 ¥ ï¥âáï ®¡ï§ â¥«ì® à §à¥è î騬 «£®à¨â¬®¬: ¯à¥¤«®¦¥¨¥ f § ¬¥ï¥âáï ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ g ¡¥§ ª¢ â®à , ¥¬ã íª¢¨¢ «¥âë¬ ¯® ¬®¤ã«î T , ® à¥è¥¨¥ ¢®¯à®á ¯à¨ ¤«¥¦®á⨠g ⥮ਨ T { íâ® ¤àã£ ï ¯à®¡«¥¬ .
7.k ¥®à¥¬ ¥¤¥«ï ® ⥮६¥ à᪮£®, ¬ë § ¥¬, çâ® ¥á«¨ A ¥áâì n-äà £¬¥â à¨ä¬¥â¨ª¨, â® áãé¥áâ¢ã¥â n-¯à¥¤«®¦¥¨¥ à¨ä¬¥â¨ª¨, ¥ ïî饥áï á«¥¤á⢨¥¬ A : ¤¥©á⢨⥫ì®, n-á«¥¤áâ¢¨ï ¨§ A ®¡à §ãîâ n -¬®¦¥á⢮, ª®â®à®¥ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¬®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ¨áâ¨ëå n-¯à¥¤«®¦¥¨©. ¥®à¥¬ ¥¤¥«ï ¤ ¥â ¯à¨¬¥à â ª®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï. ë § ¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â n -ä®à¬ã« , ®¡®§ ç¥ ï PrA (x; y), ª®â®à ï ¢ë¯®«ï¥âáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ x ï¥âáï ª®¤®¬ ä®à¬ã«ë á ®¤®© ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®©, ¨ ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¯®«ã祮¥ § ¬¥®© í⮩ ¯¥à¥¬¥®© y ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A; ¬ë ®¡®§ 稬 n-ä®à¬ã«ã :PrA (x; x) ç¥à¥§ GA (x).
¥®à¥¬ 7.32 (¥à¢ ï ⥮६ ¥¤¥«ï)
᫨ A ï¥âáï n-äà £¬¥â®¬
à¨ä¬¥â¨ª¨, ¨ ¥á«¨ a ¥áâì ª®¤ ä®à¬ã«ë GA (x), â® n-¯à¥¤«®¦¥¨¥ GA (a) ¨á⨮ ¢ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ ¨ ¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A.
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® A ` GA (a). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ áâ®-
ï饬 ¬¨à¥ GA (a) ¤®ª §ã¥¬® ¨§ A ¨ ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥« Pr(a; a) ¨á⨮ â ª ¦¥, ª ª ¨ :GA (a), GA (a) «®¦®; â ª ª ª áâ®ï騥 âãà «ìë¥ ç¨á« 㤮¢«¥â¢®àïîâ A, ¢á¥ çâ® ¤®ª §ã¥¬® ¨§ A, ¨á⨮ ¢ áâ ¤ à⮩
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« ¢ 7
¬®¤¥«¨ : ¯®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, A 6` GA (a) ¨ ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥« PA (a; a) «®¦®, GA (a) ¨á⨮.
á«ãç ¥ 1-äà £¬¥â®¢ à¨ä¬¥â¨ª¨, ¥¤¥«ì § ¬¥ç ⥫ìë¬ ®¡à §®¬ 襫 £®à §¤® ¡®«¥¥ ¢®«ãîéãî ä®à¬ã ᢮¥© ⥮६ë. ë § ¥¬, çâ® ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì n -äà £¬¥â A à¨ä¬¥â¨ª¨ ¢ëà ¦ ¥âáï n-¯à¥¤«®¦¥¨¥¬, ª®â®à®¥ ¬ë ®¡®§ 稬 Cons(A) : á ¬®¬ ¤¥«¥ ¤®áâ â®ç® ¢ëà §¨âì, çâ® 0 6= 0 ¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A, ¨«¨ ¢ëà §¨âì, çâ® ¤¥à¥¢® ¥ª¨ , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 A , ¡¥áª®¥ç®.
¥®à¥¬ 7.33 (â®à ï ⥮६ ¥¤¥«ï)
᫨ A ï¥âáï 1-äà £¬¥â®¬ à¨ä¬¥â¨ª¨, ᮤ¥à¦ 騬 1 -¨¤ãªæ¨î (¨«¨ ¥çâ® à §ã¬® ¡«¨§ª®¥ ª 1 ¨¤ãªæ¨¨), â® Cons(A) ¨á⨮ ¢ áâ ¤ à⮩ ¬®¤¥«¨ ¨ ¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A.
®ª § ⥫ìá⢮. ®à¬ã« Cons(A) ¨á⨮ ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«, â ª ª ª A ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì ( áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«!) ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢. ë å®â¨¬ ¯®ª § âì çâ® GA (a) ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A [ fCons(A)g, ¨ ⮣¤ ¯® ¯¥à¢®© ⥮६¥ ¥¤¥«ï Cons(A) ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì á«¥¤á⢨¥¬ A . ।¯®«®¦¨¬, çâ® íâ® ¥ â ª ¨ çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¬®¤¥«ì N ¤«ï A [fCons(A)g, 㤮¢«¥â¢®àïîéãî :GA (a). ª ª ª N 㤮¢«¥â¢®àï¥â Cons(A), ® ¯®§¢®«ï¥â áâநâì ¬¥â®¤®¬ ¥ª¨ 2-áâàãªâãàã M , ïîéãîáï ¬®¤¥«ìî A, ¨«¨ â®ç¥¥ áâàãªâãàëå ¯à¥¤«®¦¥¨© ¥ª¨ (ª®â®àë¥ ¡¥§ ª¢ â®à®¢!) ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å A. ª ª ª N 㤮¢«¥â¢®àï¥â :GA (a) ¨ PrA(a; a), â® ¤®ª ¦¥¬, ᮢ ¬¥â®¤®¬ ¥ª¨ , çâ® GA (a) ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ¬®¤¥«ì M 㤮¢«¥â¢®àï¥â GA (a). ® M ï¥âáï ¬®¤¥«ìî A0, ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ N ®â®¡à ¦¥¨¥, ª®â®à®¥ x ᮯ®áâ ¢«ï¥â í«¥¬¥â xM , ïî騬áï x-ë¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬ ã«ï ¢ M (¥ § ¡ë¢ ¥¬, çâ® ¬®¤¥«ì N ¢¥à¨â, çâ® áâ®ï騥 âãà «ìë¥ ç¨á« { íâ® ® ; íâ® ¬ë, ª®â®àë¥ ¢¨¤¨¬ ¥ñ ¨§¢¥, ¥ à §¤¥«ï¥¬ íâã â®çªã §à¥¨ï). ¡à § N 0 ¬®¦¥á⢠N ¯à¨ í⮬ ®â®¡à ¦¥¨¨ ï¥âáï ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ M , íâ® â®, çâ® N áç¨â ¥â "áâ ¤ à⮩ ç áâìî" M . ® M 㤮¢«¥â¢®àï¥â 1¯à¥¤«®¦¥¨¥ GA (a), ª ª ¨ ¥£® ç «ìë© á¥£¬¥â N 0, ¨, § ç¨â, â ª¦¥ N , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â £¨¯®â¥§¥. ¤¥ ¯à¨¬¥ï¥âáï ¢ í⮬ ¤®ª § ⥫ìá⢥ £¨¯®â¥§ ® ⮬, çâ® A ᮤ¥à¦ « 1-¨¤ãªæ¨î ? ç « çâ®¡ë ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®¤¥«¨ M , â® ¥áâì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®© ¢¥â¢¨ ¢ ¡¥áª®¥ç®¬ ¤¥à¥¢¥ á ª®¥çë¬ ¢¥â¢«¥¨¥¬; § ⥬ ¤«ï ¤¥ª¢ â®á⨠¥ª®â®àëå ã⢥ত¥¨© ¢ ¬®¤¥«¨ N ॠ«ì®áâ¨: ¯à¨¬¥à, ª®£¤ N ã⢥ত ¥â, çâ® (áâ ¤ à⮥) ¯à¥¤«®¦¥¨¥ GA (a) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï M , ¤® ç⮡ë íâ® ¡ë«® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® â ª, çâ®¡ë § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå ª®áâ â ¬¨ ®áãé¥á⢫﫨áì ¯à ¢¨«ì®; ¤® â ª¦¥, çâ®¡ë ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¥ª¨ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 GA (a) ¢ N , ¢¥«¨ á¥¡ï ª®à४â®, ¨ ¢«¥ª«¨ ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® GA (a) ¤«ï M .
ë ª®áâ â¨à㥬, çâ® íâ ⥮६ ¥¤¥«ï, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ® ¥ ¯à¨¬¥ï¥â ¢ ¨£à¥ ®ç¥ì á«®¦ë© â¥å¨ç¥áª¨© ¯¯ à â, ¤®áâ â®ç ⮪ : ¯¥à¢ ï ⥮६
7.k
¥®à¥¬ ¥¤¥«ï
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¤®ª § ¢ ॠ«ì®¬ ¬¨à¥, â® ¥áâì ¢ áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á« å, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢â®à ï ¢®á¯à®¨§¢®¤¨â ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯¥à¢®© ¢ ¬®¤¥«¨ N . ® ¢à¥¬¥¥¬ ç¨ î騩 «®£¨ª ®æ¥¨â ¥ñ ªà á®âã, á ª ¦¤ë¬ ¤¥¬ ¢á¥ ¡®«ìè¥ ¨ ¡®«ìè¥; íâ® ®¤¨ ¨§ ।ª¨å ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å १ã«ìâ ⮢, çâ® ¨á¯ëâë¢ ¥èì ª ¦¤ë© à § ®¢®¥ 㤮¢®«ìá⢨¥ ¢®ááâ ¢«¨¢ ï ¥£® ¤®ª § ⥫ìá⢮ (¥á«¨ 㤠¥âáï !), ¯®á«¥ ⮣® ª ª ¥£® § ¡ë«. ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨ ¥ ®, ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨â ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®á⨠à¨ä¬¥â¨ª¨ ¥ ®!
áâ¥á⢥®, íâ® "¤®ª § ⥫ìá⢮" { ¥áâ ¤ à⮥, ¨ ¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨ç¥¬ã ¢ ॠ«ì®áâ¨: ã஢¥ì, £¤¥ ¢á¥ ¢¥â¢¨ ¤¥à¥¢ ¥ª¨ ®ª 稢 îâáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬, ï¥âáï ¥áâ ¤ àâë¬ ç¨á«®¬, ª®â®à®¥ ª®¥ç® ⮫쪮 ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¢ãâਠ®¡á㦤 ¥¬®© ¬®¤¥«¨. ®£¨ª ᯠᥠ, ® í⮠⥬ ¥ ¬¥¥¥ ¢¯¥ç â«ï¥â! â®¡ë ¨¬¥âì ¢¥àá¨î ¢â®à®© â¥®à¥¬ë ¤«ï n -äà £¬¥â A à¨ä¬¥â¨ª¨, ¤® ª ¥© ¤®¡ ¢¨âì çâ®-â®, àãè î饥 ¥¥ íáâ¥â¨ªã: §®¢¥¬ n-¨á⨮áâìî n-¬®¦¥á⢮ n-¯à¥¤«®¦¥¨©, ¨áâ¨ëå ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ¬®¦¥á⢮ ®¯à¥¤¥«¥®¥ n -ä®à¬ã«®© V n . ®£¤ ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ n , ã⢥ত î饥 ᮢ¬¥áâ®áâì A + n -¨á⨮áâì ¥ ¤®ª §ã¥¬ ¢ A ; ¥áâ¥á⢥®, ¬®¤¥«ì N ¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ⥬ ¦¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬ n , çâ® áâ ¤ àâ ï ¬®¤¥«ì: Cons(A + n -¨á⨮áâì) ®§ ç ¥â, çâ® N ¯®§¢®«ï¥â áâநâì ¬¥â®¤®¬ ¥ª¨ ¬®¤¥«ì M ¤«ï A , 㤮¢«¥â¢®àïîéãî ⥬ ¦¥ ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬ n , çâ® ¨ ® !
᫨ ¢ á«ãç ¥ 1 ¥ ¡ë«® ã¦¤ë ¢ í⮩ ¯à¥¤®áâ®à®¦®áâ¨, â® íâ® ¯®â®¬ã, çâ® ¬ë ᬮ£«¨ ¯¥à¥¢¥á⨠¢ N â®, çâ® A ¢«¥ç¥â n -¨á⨮áâì. ¤® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì çâ® A ᮤ¥à¦¨â çâ®-¨¡ã¤ì ¢à®¤¥ n -¨¤ãªæ¨¨, çâ®¡ë ¨¬¥âì èã ¢¥â¢ì ¢ ¤¥à¥¢¥, â ª¦¥ çâ®¡ë ¢ë¯®«¨¬®áâì n-¯à¥¤«®¦¥¨©, áâ ¤ àâëå ¢ N , ᮮ⢥âá⢮¢ «¨ 祬ã-¨¡ã¤ì à §ã¬®¬ã. ¥®à¥¬ ¥¤¥«ï ¥áâ¥á⢥® à á¯à®áâà ï¥âáï ⥮ਨ, ¯à¨¬¥à !-¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ë¥, ¯®§¢®«ïî騥 ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨, ¨«¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¥ ᫨誮¬ ¡¥§ã¬ãî ¬®¤¥«ì 0. ®¢®àïâ, çâ® T !-¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ ¥á«¨ ª ª ⮫쪮 T ` f (n) ¤«ï «î¡®£® áâ ¤ à⮣® n, â® (8x)f (x) ᮢ¬¥áâ á T ; ¨«¨ çâ® T !-¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« f (x) â ª ï, çâ® T ` (9x)f (x) ¨ T ` :f (n) ¤«ï «î¡®£® áâ ¤ à⮣® n. ¥®à¥¬ ¥¤¥«ï å®âï ¨¬¥¥â ¯®ç⨠祬 70-«¥â¨© ¢®§à áâ, ¢áñ ¥é¥ á¨«ì® ¢ ¬®¤¥ ¢ â¥å ¬¥áâ å, £¤¥ «î¡ïâ ¯®¡®«â âì. ® ¯à ¢¤¥ ᪠§ âì, í¯¨á⮬®«®£¨«î¡¨â¥«¨ ¥ ¢¨¤ïâ ¯®ç⨠¨ç¥£® ªà®¬¥ ä®à¨§¬ ¢¨¤ "¨ª ª ï ⥮à¨ï ¥ ¬®¦¥â ¤®ª § âì á ¬ ᢮î ᮡá⢥ãî ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì", ¨«¨ "¨ªâ® ¥ ¬®¦¥â ¤®ª § âì ᢮¥ ᮡá⢥®¥ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ", ¨ ⮫쪮 㤨¢«ïîâáï â¥å¨ç¥áª®© á⮩稢®áâìî ¬ ⥬ ⨪ , ¯®ª §ë¢ î饣® â ª áâ à â¥«ì® â®, çâ® ¤®«¦® ¡ëâì ®ç¥¢¨¤® ¯® §¤à ¢®¬ã á¬ëá«ã; ç१¢ëç ©® ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ë© §¤à ¢ë© á¬ëá«, â ª ª ª ⥠¦¥ «¨æ ¯à¨§ îâ ¢ ®¡é¥¬ ª à⥧¨ áªãî ªá¨®¬ã "ï ¤ã¬ î, § ç¨â ï áãé¥áâ¢ãî"! â® ¥¤®®æ¥ª í⮩ ⥮६ë ; á ç « ¯®â®¬ã, çâ® ® £®¢®à¨â á ¬®¬ ¤¥«¥ ¨ ® ¤®ª § ⥫ìá⢠å, ¨ ® ä®à¬ã« å, ® ª®¤ å (çâ® ¡ë ¨ £®¢®à¨«¨, ¢ èãâªã, «®£¨ª¨); ¥éñ ¯®â®¬ã, çâ® ®¡á㦤 ¥¬ ï ⥮à¨ï ¤®«¦ ¡ëâì ¨§ 1 (®«¦ë «¨ ¬ë ¢¥à¨âì ¢ â®, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ⮫쪮 " ªá¨®¬ ⨧¨à㥬ë¥" ⥮ਨ?), ¨«¨ å㤮© ª®¥æ ¨§ n . ® äà § "¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì à¨ä¬¥â¨ª¨ ¥ ¤®ª §ã¥¬ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥" ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ª®£® á¬ëá« , â ª ª ª ¯® ⥮६¥ à᪮£® ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì à¨ä¬¥â¨ª¨
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« ¢ 7
¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¨ª ª®¬ã ¯à¥¤«®¦¥¨î ï§ëª à¨ä¬¥â¨ª¨. ª ¦¤ ï í¯¨á⮬®«®£¨ç¥áª ï ¨â¥à¯à¥â æ¨ï í⮩ â¥®à¥¬ë ®á®¢ë¢ ¥âáï à¨áª®¢ ®¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ¥ñ § ª®®á⨠¨ § ª®®á⨠á¨â ªá¨á ¨ ᥬ ⨪¨ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© § 㧪¨¬¨ ¯à¥¤¥« ¬¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¨. ® ¥á®¬¥® ⮫쪮 ®¤®: ¯à¥¦¤¥ 祬 䨫®á®äá⢮¢ âì ¯® ¯®¢®¤ã í⮩ ⥮६ë, ¤«¥¦¨â § âì ¥ñ â®ç®¥ ã⢥ত¥¨¥ ¨, ¥á«¨ ¬®¦®, ¤®ª § ⥫ìá⢮ ; ¯à¨¬¥à, ¡¥á¯®«¥§® ¥ñ à á᪠§ë¢ âì áâ㤥⠬, ª®â®àë¥ ¥ á¯à ¢«ïîâáï á à §«®¦¥¨¥¬ ç¨á« ¯à®áâë¥ ¤¥«¨â¥«¨. ¤ ª® íâ® â®ç®, ç⮠⥮६ ¥¤¥«ï, â ª ¦¥ ¨ à᪮£®, ®á®¢ë¢ «¨áì, á â®ç®áâìî ¤® ª®¤¨à®¢ ¨ï, ¯à®á⮩ à£ã¬¥â { ¯ à ¤®ªá «£ã , ª®â®àë©, ®â ¢ï⮣® ¢« ¨ ¤® ¥àâà áᥫ , á«ã¦¨â ®á®¢ ¨¥¬ ¤«ï ¡¥áç¨á«¥ëå ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ 㤠çëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å èã⮪; ¨®£¤ ᥡï á¯à 訢 ¥èì, íâ¨ â¥®à¥¬ë ¥¤¥«ï, à᪮£® ¨«¨ Berloquin! á«ãç ¥ à᪮£®, ¨éãâ ä®à¬ã«ã ª®â®à ï £®¢®à¨â "ï «£ã"; ¢ á«ãç ¥ ¥¤¥«ï, ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«¥® ¡®«¥¥ â®®ª, ¨éãâ à£ã¬¥â, ¤®ª §ë¢ î騩 ᢮î ᮡá⢥ãî ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì. ®£¤ ¯à®¢®¤ïâ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ â ª®£® ⨯ , â® ãç¥ë¥ £®¢®àïâ, çâ® ¨á¯®«ì§®¢ «¨ " à£ã¬¥â ¤¨ £® «¨§ 樨". ¬¥® â ª®© à£ã¬¥â ¨á¯®«ì§®¢ « â®à, çâ®¡ë ¤®ª § âì, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨¨ ¬¥¦¤ã ¬®¦¥á⢮¬ ¨ ¬®¦¥á⢮¬ ¥£® ¯®¤¬®¦¥á⢠(á¬. £« ¢ã 8 ). ⨠à£ã¬¥âë ãç á⢮¢ «¨ áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¨ ¨§ã票¨ ¨¥à à娨 n ¨ n ®¯à¥¤¥«¨¬ëå ¬®¦¥á⢠¢ à¨ä¬¥â¨ª¥. ª ª ª íâ®â ¬¥â®¤ { ®ç¥ì ®¡é¨©, à£ã¬¥â ¤¨ £® «¨§ 樨 ¥¤¥«ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¨¬¥¥ ª «î¡®¬ã ï§ëªã (¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¨«¨ ¥â), ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ®â®è¥¨¥ ¤®ª §ã¥¬®áâ¨: «¨ç¨¥ 1 -¯à¥¤¨ª â ¤®ª §ã¥¬®á⨠ï¥âáï, ¢¬¥áâ¥ á ª®¬¯ ªâ®áâìî, ®á®¢ë¬ ᢮©á⢮¬ á¨â ªá¨á ¨ ᥬ ⨪¨, ¨§ãç ¥¬ëå ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©.
7.l ¥¬®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨪樨 à¨ä¬¥â¨ª , ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â â ª¨å ⥮਩, ª ª ⥮à¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥©, ç áâ® ¢¢®¤¨â á ¢ ᮬ¥¨ï. ë ¬®¦¥¬ â ¬ § ª®¤¨à®¢ âì è ï§ëª ¨ ¬¥å ¨§¬ë 襩 ¬ë᫨; ¬ â殮«® ¢ë¯®«ïâì à®«ì ¡«î¤ ⥫ï, ¢¥è¥£® ¨ ¡¥á¯à¨áâà á⮣®, ¨ ¬ë ¨á¯ëâë¢ ¥¬ á« ¤ªãî ¤à®¦ì ¯à¨ í⮩ ⮪®© ¨£à¥, á®áâ®ï饩 ¢ ⮬, çâ®¡ë ¤¥« âì ¢¨¤, çâ® ¬ë { ⮫쪮 ¢â®¬ â, ¬ ¨¯ã«¨àãî騩 襩 ¬®¤¥«ìî. ¯à¥¤¥«¥®, çâ® ¥ñ ¨§ã票¥ ¤ «® ¬ ¯®ïâì ¯à¥¤¥«ë è¨å ¢®§¬®¦®á⥩, ¨«¨ ¡®«¥¥ â®ç®, ¢®§¬®¦®á⥩ ªá¨®¬ â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ : ¬ë § ¥¬, ¯à¨¬¥à, çâ® ¥ ¬®¦¥¬ ªá¨®¬ ⨧¨à®¢ âì à¨ä¬¥â¨ªã ª®¤¨àã¥¬ë¬ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ᯮᮡ®¬. ® ¢à¥¬¥
¢ª«¨¤ , ¢¬¥áâ¥ á ¥©¡¨æ¥¬, § ⥬ á ©â奤®¬, áᥫ®¬ ¨ ¨«ì¡¥à⮬, ¬ ⥬ ⨪¨ ¬¥çâ «¨ à §à ¡®â âì á¨á⥬㠪ᨮ¬, ª®â®à ï 㤮¢«¥â¢®à¨« ¡ë ®ª®ç â¥«ì® ¨å ¯®âॡ®áâ¨: à § ¨ ¢á¥£¤ ã⢥नâì ᯨ᮪ ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¢¥é¥©, ¤®¯ãé¥ëå ª ª ¨áâ¨ë¥, â ª ¦¥, ª ª ᯨ᮪ ¤®¯ãé¥ëå ᯮᮡ®¢ ¤®ª § ⥫ìáâ¢, ¨ § ⥬ à §¢¨¢ âì ¬ ⥬ ⨪㠥 ¢ëå®¤ï ¨§ í⮩ á¨á⥬ë, ¨§ í⮣® "à ï". âì ¯à¨®à¨ ¢á¥ ¯à ¢¨« ¨£àë { íâ® ¡ë« , ¤«ï ¡®«ìè¨á⢠¬ ⥬ ⨪®¢ ¢ ç «¥ í⮣® ¢¥ª , ¥¤¨á⢥®©
7.l
¥¬®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨪樨
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£ à ⨥© áâண®áâ¨. â® ¡ë«® ¡ë ¢¯à®ç¥¬ ç¨áâ® ®â®á¨â¥«ì®© áâண®áâìî, â ª ª ª ® ®¯¨à « áì ¡ë ¤¥ª¢ â®áâì ¡ §®¢ëå ¯®ï⨩, ª®â®àë¥ ®á®¢ë¢ îâ ¢ë¡à ãî ªá¨®¬ â¨ç¥áªãî á¨á⥬ã: £®¢®àïâ ® ¬®¦¥áâ¢ å ¬ «¥ìª¨¬ ¤¥âï¬, ¨¬ ¤ î⠯ਬ¥àë ¬®¦¥áâ¢, ® ªâ® ¨¬ ᪠§ «, çâ® íâ® { ¬®¦¥á⢮? â®â ¯®¤å®¤ § áâ ¢«ï¥â ⮫쪮 ®â®¤¢¨ãâì ®á®¢®¯®« £ î騥 ¯à®¡«¥¬ë ¢ ¬ ⥬ ⨪¥ ª í⨬ ¡ §®¢ë¬ ¯®ïâ¨ï¬, çâ® ¢á¥ ¦¥ ã«ãçè ¥â ¨å ¨§ã票¥, ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ ¨å à¥è¥¨©. ¥®à¥¬ ¥¤¥«ï § áâ ¢«ï¥â ᮬ¥¢ âìáï ¢ ¯à¥¨¬ãé¥á⢥ â ª®£® ¬¥â®¤ , â ª ª ª ® ïᮠ㪠§ë¢ ¥â, çâ® ª ª®¢ ¡ë ¨ ¡ë« ¢ë¡à ï ªá¨®¬ ⨪ , ¤® ¡ã¤¥â ¨§ ¥ñ ¢ë©â¨. 祢¨¤ ï á« ¡®áâì ªá¨®¬ â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ ¢ ⮬, çâ® ¥á«¨ T ï¥âáï ⥮ਥ© (४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬®©; ® ªâ® ¯à¥¤«®¦¨â ¤àã£ãî á¨á⥬㠪ᨮ¬?), ᮤ¥à¦ 饩 ª ª ¬¨¨¬ã¬ à¨ä¬¥â¨ªã, â® ¥¢®§¬®¦® ¤®ª § âì ¢ T ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì T . ® ® { ¥é¥ ¡®«¥¥ ª â áâà®ä¨ç¥áª ï ¤«ï ᢮¨å áâ®à®¨ª®¢: ⥮६ ¥¤¥«ï ¯®§¢®«ï¥â áâநâì ⥮ਨ, ª®â®àë¥ ¤®ª §ë¢ îâ ᮡá⢥ãî ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì, ¨ ª®â®àë¥ ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ë! ¥©á⢨⥫ì®, ¥ ® + :Cons(¥ ®) ï¥âáï ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®© ⥮ਥ©, ¨ â ª ª ª §¤¥áì ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¥ ® ¥á®¢¬¥áâ , ⥬ ¡®«¥¥ ¤®ª §ë¢ ¥âáï çâ® ¥ ®+ :Cons(¥ ®) ¥á®¢¬¥áâ !
᫨ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ë 室¨â¥áì ¢ ¤ ®© ªá¨®¬ â¨ç¥áª®© á¨á⥬¥, ¨ çâ® á«ãç ©® ë ¤®ª ¦¥â¥ ¢ í⮩ á¨á⥬¥, çâ® íâ á¨á⥬ ¥á®¢¬¥áâ , â® íâ® ¥é¥ ¥ § ç¨â, çâ® ë ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¤®ª § «¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ¢ 襩 á¨á⥬ë. ®¦¥â ¡ëâì, ¯à®áâ® ë ¯à¨§ «¨ ª ª ªá¨®¬ã ᢮©á⢮, «®¦®¥ ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«. ¥®à¥¬ ¥¤¥«ï ¡ë« ¯à¥¤áâ ¢«¥ á ¯®«ë¬ ®á®¢ ¨¥¬ ᢮¨¬ ¢â®à®¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¤®ª § ⥫ìá⢠®ª®ç ⥫쮣® ¯à®¢ « ⮣®, çâ® ¨§¢¥áâ ¯®¤ ¨¬¥¥¬ "¯à®£à ¬¬ ¨«ì¡¥àâ ", ª®â®à ï ï¥âáï ¤¥¦¤®©, «¥«¥ï®© ¢ ç «¥ 20 ¢¥ª , ® ¢®§¬®¦®áâïå ªá¨®¬ â¨ç¥áª®£® ¬¥â®¤ . â® ¢à¥¬ï, ¥ª®â®àë¥ ¬ ⥬ ⨪¨ ¡à «¨ ¯®¤ ᮬ¥¨¥ § ª®®áâì ¡¥áª®¥çëå ¬¥â®¤®¢, ¤®ª § ⥫ìá⢠âà á䨨⮩ ¨¤ãªæ¨¥© â ª ¦¥, ª ª ¨ áãé¥á⢮¢ ¨¥ " ªâ㠫쮩 ¡¥áª®¥ç®áâ¨", á ª®â®à®© ª ª ¬¨¨¬ã¬ ¤®«¦ë ¡ë«¨ ®¡à é âìáï á ¯à¥¤®áâ®à®¦®áâìî. ¨«ì¡¥à⠤㬠«, çâ® § ®âáãâá⢨¥¬ ¨áç¥à¯ë¢ î饣® ®â¢¥â ¬¥â 䨧¨ç¥áª¨© ¢®¯à®á ® áâ®ï饬 áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¡¥áª®¥ç®£®, ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¯®ª § âì ¥£® ᮢ¬¥áâ®áâì: ¥á«¨ â ª, â® ¢á¥ ¡ë«¨ ¡ë ¤®¢®«ìë; ¤ ¦¥ ¥á«¨ ë ¥ ¢¥à¨â¥ ¢ ªâã «ìãî ¡¥áª®¥ç®áâì, ë ¤®«¦ë ¡ã¤¥â¥ ¤®¯ãáâ¨âì çâ® ¥ñ ¯à¨áãâá⢨¥ ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ¤®ª § ⥫ìáâ¢ å ¥ ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î (® å®â¥« â ª¦¥, ç⮡ë ãᯮª®¨âì ᢮¨å ®¯¯®¥â®¢, ¯®ª § âì çâ® â®, çâ® ¬ë ¬®¦¥¬ ¤®ª § âì ¨á¯®«ì§ãï ªâã «ìãî ¡¥áª®¥ç®áâì, ¨ çâ® ¥ ª á ¥âáï ¥ñ ¥¯®á।á⢥®, ¬®¦¥â ¡ëâì â ª¦¥ ¤®ª § ® ¨ ¡¥§ ¥ñ); ®, ç⮡ë à£ã¬¥â ¡ë« ¯®«®áâìî ã¡¥¤¨â¥«ìë¬, íâã ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ¤® ¡ë«® ¤®ª § âì ç¨á⮠䨨â¨áâ᪨¬¨ á।á⢠¬¨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ ⥬ ⨪¨ áâ à «¨áì, ¥á«¨ ¢ëà §¨âìáï åநç¥áª¨, ¯®ª § âì ç¨áâ® à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨ ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢; ¨«¨ ¡®«¥¥ â®ç®, ¤®ª § âì ¢ ªá¨®¬ ⨧¨à㥬®© à¨ä¬¥â¨ª¥ ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ªá¨®¬ â¨ç¥áª®© ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢. ® ⥮à¨ï ¬®¦¥á⢠¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨ ¨§ ¬®¦¥á⢠âãà «ìëå ç¨á¥«; ¨ ¥á«¨ ë ¥ á«ã¦¨â¥ ¯à¥¤¬¥â®¬ á¥à쥧®© 訧®ä२¨, ë ¤®«¦ë ¢ë¡à âì â ªãî ⥮à¨î ¬®¦¥áâ¢, ª®â®à ï ®å¢ âë¢ ¥â ¤®¯ãé¥ãî ¬¨ à¨ä¬¥â¨ªã. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ¢ 襩 ⥮ਨ ¬®¦¥á⢠¤®ª §ë¢ ¥â ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ¢ 襩 à¨ä¬¥â¨ª¨ ¨, á«¥¤®-
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¢ ⥫ì®, ¥ ¤®ª §ã¥¬ ¢ ¢ 襩 à¨ä¬¥â¨ª¥! ®ç⨠¥ 㤨¢¨â¥«ì® ¢¨¤¥âì ¢â®à®¢ ã祡¨ª®¢, ãáâ㯠îé¨å 㤮¡á⢠¬ ªá¨®¬ ⨪¨, ¯à¥¤¯®áë« ï ᢮¨¬ âà㤠¬ £« ¢ã 0 ¯à® "⥮à¨î ¬®¦¥áâ¢", ãáâ ¢«¨¢ ï ¯à ¢¨« ¨£àë ¤«ï ¯®á«¥¤ãî饣®; íâ® ãáâ㯪 ¢®§¬®¦®á⨠¯à¨®à®£®, ¤®£¬ â¨ç¥áª®£® ¨ ¥ ªà¨â¨ç¥áª®£® ¨§«®¦¥¨ï ᮤ¥à¦ ¨ï ª ª®©-⮠㪨 ¨ íâ® ãᯮª ¨¢ ¥â áâ㤥⮢, ª®â®àë¥ ®ç¥ì «î¡ïâ, çâ®¡ë ¨¬ ¢¤®«¡¨«¨ ¤¥¦ë¥ ¨áâ¨ë, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ¢ ¨å ®¨ ¨ç¥£® ¥ ¯®¨¬ îâ. ¯à®â¨¢, â® ç⮠㤨¢¨â¥«ì®, íâ® ¯à¨§ ë¥ ¬ ⥬ ⨪¨, ¯à¨¤¥à¦¨¢ î騥áï â ª®£® ®ç¥ì ä®à¬ «ì®£® ¢§£«ï¤ ¨ ¥ ᤥ« ¢è¨¥ ¢ë¢®¤ë ¨§ ¨§¢¥á⮩, ¨ 㦥 áâ ன, â¥®à¥¬ë ¥¤¥«ï. ¨¡®«¥¥ å à ªâ¥àë¬ ï¢«ï¥âáï ¨ª®« ãà¡ ª¨, ª®â®àë© ¯à¨ï«áï ¯¨á âì âà ªâ â ® ¬ ⥬ ⨪¥, ç¨ ï á á ¬ëå " ç «". â® { áâ à ï í横«®¯¥¤¨ç¥áª ï ¬¥çâ , ¯® ¬¥¨î ¢â®à í⮣® ªãàá , ª®â®àë© áç¨â ¥â, çâ® í横«®¯¥¤¨ï ¥ ï¥âáï ¡®«ìè¥ ¯®¤å®¤ï饩 ä®à¬®© ¢ëà ¦¥¨ï ã箩 ¬ë᫨ 襣® ¢à¥¬¥¨. ¥ª®â®àë¥ ã¤¨¢«ïîâáï ãà¡ ª¨, ¨«¨ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¥ª®â®àë¬ ¨§ ¥£® ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥©, áâ ¢ïé¨å â ª ¢ë᮪® ®á®¢ ¨ï ¬ ⥬ ⨪¨ ¨ â ª ¨§ª® «®£¨ª®¢. ® íâ® ¯®§¨æ¨ï, ¢ 楫®¬, «®£¨ç ï, â ª ª ª ¥á«¨ ªá¨®¬ë ïîâáï ®à ªã« ¬¨ ¨ ¥á«¨ áâண®áâì ï¥âáï ¯à¥¤¬¥â®¬ ªã«ìâ , â® ª®éãá⢥® ¤¥« âì ¨§ ¥ñ ¯®§¨â¨¢®¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨¥, ¨ ¤«¥¦¨â ®âáâà ¨âì ¡¥§ ¦ «®á⨠â¥å, ªâ® ¨¬¥¥â â ªãî ¯à¥â¥§¨î. ¥®à¥¬ë ¥¤¥«ï ¨ à᪮£® { ®ç¥ì ®âà¨æ ⥫ìë¥ à¥§ã«ìâ âë ® ¢®§¬®¦®áâïå ªá¨®¬ â¨ç¥áª®£® ¯®¤å®¤ . â® å®âï⠫ (¬ ⥬ ⨪¨)? â «®£¨ª®¢ ¥ ¦¤ã⠮ᮡëå ¯à®ïᥨ© ®¡ à¨ä¬¥â¨ª¥, ® ¬®¦® ¤¥ïâìáï â®, çâ® ª ª ⮫쪮 ⥮à¥â¨ª ç¨á¥« ¤®ª ¦¥â ¥ª®â®àë© £«ã¡®ª¨© à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â, «®£¨ª ¥¬¥¤«¥® á㬥¥â ¥¬ã ᪠§ âì, ï¥âáï «¨ íâ®â १ã«ìâ â á«¥¤á⢨¥¬ ¥ª®â®à®© ªá¨®¬ ⨪¨ ⨯ ¥ ®. ®â íâ® ¨ ¥áâì à ¡®â «®£¨ª ! ¡®â ¡¥§ ¤¥¦ ï, â ª ª ª ¬®¤¥«ì ¥ ® ¬®¦¥â «£ âì á ¬®¬ ¨§ª®¬ ã஢¥, â® ¥áâì 1 .
¤¨á⢥®¥, çâ® ¬®¦¥â ®â¢¥â¨âì «®£¨ª: çâ®¡ë ¡ëâì 㢥à¥ë¬, ç⮠१ã«ìâ â ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¥ ®, ¤® ¯à®¢¥á⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ¢ ¥ ®! ®£¤ § 祬 â ª «¥«¥ïâì ªá¨®¬ ⨪㠥 ®? ®â®¬ã çâ® ¬ë çãâì ¥ ¯®¢¥à¨«¨ ¢ ¯¥à¢®¥ ¢à¥¬ï, çâ® ® á®áâ ¢¨â ¯®«ãî ªá¨®¬ ⨪ã à¨ä¬¥â¨ª¨? ë ⥯¥àì à ᪠¨¢ ¥¬áï ¢ í⮩ ®è¨¡ª¥ ¬®«®¤®áâ¨. 祬 ®á®¢ë¢ ¥âáï è¥ ã¡¥¦¤¥¨¥, çâ® ¢áïª ï ®¡ëç ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª ï ⥮६ ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¢ ¥ ®, çâ® ª ¦¤ ï ¥áâ¥á⢥ ï äãªæ¨ï ¢¥¤¥â ᥡï å®à®è® ¢® ¢á¥å ¬®¤¥«ïå ¥ ®, ã¡¥¦¤¥¨¥, ª®â®à®¥ àãè ¥âáï ⮫쪮 ¥á«¨ í⮠ᤥ« ® á¯¥æ¨ «ì®? ¥®à¥¬ à᪮£® ¬ £®¢®à¨â, çâ® íâ® çã¢á⢮ ¨ 祬 ¥ ®á®¢ ®, ¥á«¨ ¥ â㬠®¬ ¯à¨æ¨¯¥, ª®â®àë© á«ã¦¨â â ª¦¥ ®¡®á®¢ ¨¥¬ "®¡®¡é¥®£® ⥧¨á ñàç ", ¨¬¥®, çâ® ¨¡®«¥¥ ç áâ® ¢áâà¥ç î騥áï ®¡ê¥ªâë ¨¬¥¥¥ ¢¥à®ïâë. ( 室¨â¥ «¨ ë ¢ ᡮਪ¥ ã¯à ¦¥¨© DEUG ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® à §àë¢ë¥ äãªæ¨¨ ? ¨«¨ ¯à¨¬¨â¨¢ë¥ ¥ ¢ëç¨á«¨¬ë¥ ç¥à¥§ í«¥¬¥â àë¥ äãªæ¨¨?) çâ® ª á ¥âáï ¬ë᫨ ® ⮬, çâ® å¨âàë© ®£ á ª ¦¥âáï ¯®¬¥á⨫ ¢ ¥áâ ¤ àâãî ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨, ¥ ïîéãîáï ¬®¦¥â ¡ëâì ¤ ¦¥ áâ®ï饩 à¨ä¬¥â¨ª®©, ® 祬 ¥áâ¥á⢥® ¬ë ¥ ¬®£«¨ ¡ë ®â¤ âì ᥡ¥ ®âç¥â, ® ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¯à®¤ãªâ®¬ § â㬠¨¢è¥£®áï à §ã¬ . â® { ¯®â¥àïâì ¨§ ¢¨¤ã, çâ® ï§ëª, § ª®¬ë© ⥮à¥â¨ªã ¬®¤¥«¥©, ¢ ®á®¢®¬ ¡ë« ¨á¯®«ì§®¢ ¨¬
7.m
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⮫쪮 ¯® â¥å¨ç¥áª®© ¯à¨ç¨¥, ¯®â®¬ã çâ® ® ¤ ¥â ¤®áâã¯ãî ⥮à¨î ¬®¤¥«¥© (ª®¬¯ ªâ®áâì, ®¯à¥¤¥«¨¬®áâì ¯®ïâ¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠, : : : ) ¨ ⮫쪮 ¨§-§ ¤¥ä®à¬ 樨 à §ã¬ ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ¬®¦® ᥡ¥ ¢ãè¨âì, çâ® íâ® ¥áâ¥á⢥ ï à ¬ª ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¬ë᫨ : ä ªâ¨ç¥áª¨, ¬ ⥬ ⨪ ¢ë室¨â ¨§ ¥ñ «¥£ª®. ª ï 㦥 ®¤ ¦¤ë ᪠§ «, «®£¨ª¨, ¨«¨ ᪮॥ ⥮à¥â¨ª¨ ¬®¤¥«¥©, ïîâáï ¯à®áâ묨 «î¤ì¬¨; ¢¢®¤¨âì í«¥¬¥â àãî íª¢¨¢ «¥â®áâì «®ª «ì묨 ¨§®¬®à䨧¬ ¬¨ { íâ® ¨§¡¥£ âì ¯®¤å®¤ ª ¢ë¯®«¨¬®áâ¨, ®âà ¢«¥®£® ¬¥â 䨧¨ç¥áª¨¬¨ ®áâ ⪠¬¨. ¨ ¢¥àïâ, çâ® âãà «ìë¥ ç¨á« , ª®â®à묨 ®¨ à ᯮ« £ îâ ïîâáï áâ®ï騬¨ ç¨á« ¬¨, ¨ çâ® ¬®¦¥á⢮ ¨áâ¨ëå ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ¯à¥¤«®¦¥¨© áãé¥áâ¢ã¥â, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ®® ¥ ¨¬¥¥â â ª®£® ¦¥ ¯à®á⮣® ®¯¨á ¨ï, ª ª ¬®¦¥á⢮ ç¥âëå ç¨á¥«; ⥮६ ¥¤¥«ï, ª®â®àãî ®¨ ¨§« £ îâ ¥ ¯àïç áªàëâë¥ â ¬ ª®¤¨à®¢ ¨ï, ç¥âª® ®¡êïáï¥âáï, ¤«ï ¨å, ª ª ᢮©á⢮ "«®¦ëå âãà «ìëå ç¨á¥«", ¨ ¨ª ª ¥ à áè âë¢ ¥â ¢ ¨å ¢¥àã ¢ ¨áâ¨ãî à¨ä¬¥â¨ªã. ¤¨¬ á«®¢®¬, ¨å áç áâì¥ ¢ ¥¬®£® ¨¢®© 䨫®á®ä¨¨, ª®â®à ï § ª«îç ¥âáï ¢ ®¤®© äà §¥: " ⥬ â¨ç¥áª¨¥ ®¡ê¥ªâë áãé¥áâ¢ãîâ, ¨å ®¯¨á ¨¥ ¯à¥å®¤ïé¥". â®¡ë § ¢¥àè¨âì ¯à¨ï⮩ ®â¥, ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ¢®©â¨ ¢ 䨪æ¨î. ¤ ¨§ § ¬¥¨âëå ⥮६ { í⮠⥮६ ¥à¬ ; ®¦¥â ¡ëâì, ® ¡ë« ¤®ª § ᢮¨¬ ¢â®à®¬, ® íâ®â ¯®á«¥¤¨© ¥ ®áâ ¢¨« ¨ç¥£® ¯à®ïáïî饣® ᢮¨¬ ¯®â®¬ª ¬, ¨ á â¥å ¯®à ⥮६ ¥ ¯®¤¤ ¥âáï ãᨫ¨ï¬ âëáïç ¬ ⥬ ⨪®¢. ä®à¬ã«¨àã¥âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬: (8x)(8y)(8z)(8t)(xt + yt = zt ! t 2 _ x y = 0) ;
᫨ § ¬¥¨âì ¯®ª § ⥫ìãî äãªæ¨î ¥ñ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ç¥à¥§ á㬬㠨 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, â® ¢¨¤¨¬, çâ® íâ® 1-¯à¥¤«®¦¥¨¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ®® «®¦®, â® ¥£® ®âà¨æ ¨¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ A0 (¨¬¥¥¬ áâ®ï騩 ª®âà¯à¨¬¥à, ¨ ¤®áâ â®ç® ®áãé¥á⢨âì ¢ëç¨á«¥¨ï!), á«ãç © { ¥¨â¥à¥áë©; ¬ë ¢ë¤¢¨£ ¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ £¨¯®â¥§ã, çâ® ®® ¨á⨮, ¨ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì, çâ® ¥á«¨ ¨ªâ® ¥ ᬮ£ ¥£® ¤®ª § âì ¤® áâ®ï饣® ¢à¥¬¥¨, ¬®¦¥â ¡ëâì íâ® ¨¬¥® ¯®â®¬ã, çâ® ®® ¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ªá¨®¬ ¥ ®. ®£¨ª, ã ª®â®à®£® á।á⢠¡®«¥¥ ®£à ¨ç¥ë 祬 ã ⥮à¥â¨ª ç¨á¥«, ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¡®«¥¥ áªà®¬®¥ ¬¥à¥¨¥, 祬 ®: ¢¬¥á⮠⮣®, çâ®¡ë ¯ëâ âìáï ¯®ª §ë¢ âì, ç⮠⥮६ ¥à¬ ¨á⨠, ® ¯®¯ëâ ¥âáï ⮫쪮 ¤®ª § âì çâ® ® ᮢ¬¥áâ . ª ª®© á¨á⥬¥ ªá¨®¬ ® ᮡ¨à ¥âáï ¯à®¢®¤¨âì ᢮¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮?
áâ¥á⢥®, ¢ ¥ ®, ïî饩áï 襩 á¨á⥬®© ®âáç¥â . ®, ¥á«¨ ¬®¤¥«ì N ¥ ® ã⢥ত ¥â, ç⮠⥮६ ¥à¬ ᮢ¬¥áâ á A0 , ® ¯®áâந⠬®¤¥«ì M â¥®à¥¬ë ¥à¬ , á ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ N 0 , ¨§®¬®àäë¬ N (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¢â®à®© â¥®à¥¬ë ¥¤¥«ï), ¨ ⮫쪮 ®â⮣®, ç⮠⥮६ ¥à¬ ¥áâì 1 , ® â ª¦¥ ¨á⨠¢ N 0 ¨ ¢ N : ¤®ª § âì ¢ ¥ ®, ç⮠⥮६ ¥à¬ ᮢ¬¥áâ á ¥ ® , { íâ® ¤®ª § âì ¢ ¥ ® , ç⮠⥮६ ¥à¬ ¨á⨠. ª®¢ ¡ë ¨ ¡ë« á¨á⥬ ªá¨®¬ A , ¤®¯ãé¥ëå «¥ìª¨¬ ¨ª®« , ® ¥ ¬®¦¥â ¤®ª § âì, ®áâ ¢ ïáì ¢ ᢮¥© á¨á⥬¥, ç⮠⥮६ ¥à¬ ᮢ¬¥áâ , ¥ ¯®ª §ë¢ ï ç⮠⥮६ ¥à¬ ¨á⨠(â.¥. á«¥¤á⢨¥ A ). ᥠíâ® £®¢®à¨â, çâ® «®£¨ª ¥ ¯à®¤¢¨£ ¥â ¨ ®¤¨ è £ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¡®«ì让 â¥®à¥¬ë ¥à¬ .
152
« ¢ 7
7.m áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ¥®à¥¬ 7.1 ® ¯®«®â¥ ª ⥣®à¨çëå ⥮਩ ¯®ï¢¨« áì ¢ [, 1954] ¨ [, 1954]. ªá¨®¬ ⨪ à¥á¡ãࣥà 7.5 ®¯¨á ¢ [
, 1930]; ¤«ï ⥮ਨ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï âãà «ìëå ç¨á« , ª®áã«ìâ¨àã©â¥áì ã [
, 1981]. ®âï ¤«ï á íâ® ¯àאַ¥ á«¥¤á⢨¥ â¥®à¥¬ë ª®¬¯ ªâ®áâ¨, áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¥áâ ¤ àâëå ¬®¤¥«¥© à¨ä¬¥â¨ª¨ ¡ë«® ¥¬®£® ®§ ¤ 稢 î騬 ¥¨¥¬ ¤«ï è¨å ®â殢; ®¤® ¨§ ¨å ¯¥à¢ëå ¯®ï¢«¥¨© ¡ë«® ¢ [
, 1934]. ®¤¨à®¢ ¨¥ ª®¬¡¨ â®à¨ª¨ ¨ ï§ëª ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ¢®á室ïâ ª [ð
, 1931]; è¥ ®â®è¥¨¥ 2 ®¯à¥¤¥«ï«®áì ¢ [
, 1937]. ¥®à¥¬ à᪮£® ¢ ¥£® § ¬¥¨â®© áâ âì¥ ®¡ ¨á⨮á⨠[, 1935]. ¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¥à à娨 à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥áâ¢, ª®â®à ï ¯ à ««¥«ì ¡®à¥«¥¢áª¨¬ ¨ «¨â¨ç¥áª¨¬ ¨¥à àå¨ï¬, ¢¢¥¤¥ë¬ ¯®«ïª ¬¨ ¨ ¤à㣨¬¨ á« ¢ï ¬¨ ¢ ¤¥áªà¨¯â¨¢ãî ⥮à¨î ¬®¦¥áâ¢, ®¡ï§ ® [, 1936]; ¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢ® äãªæ¨¨ ®¯à¥¤¥«ï«¨áì ¥¤¥«¥¬ [ð
, 1931], ¨ ®¡é¥à¥ªãàá¨¢ë¥ äãªæ¨¨ «¨¨ [, 1936]. ¥®à¥¬ â¨ïᥢ¨ç ®¯ã¡«¨ª®¢ ¢ [
, 1970]; ® ¯®¤¢®¤¨â ª®¥æ ¤«¨®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨ à ¡®â ® ¯à®¡«¥¬¥, ¯®áâ ¢«¥®© ¨«ì¡¥à⮬, ª®â®àë© á¯à 訢 «, áãé¥áâ¢ã¥â «¨ «£®à¨â¬, ¯®§¢®«ïî騩 ®¯à¥¤¥«¨âì, ¨¬¥¥â «¨ ¬®£®ç«¥ á ¥áª®«ìª¨¬¨ ¯¥à¥¬¥ë¬¨, á 楫묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ æ¥«ë© ª®à¥ì; ®â¢¥â "¥â", ¯® ⥮६¥ â¨ïᥢ¨ç , ª®â®à ï ¯à¥¢à é ¥â ४ãàá¨¢ë¬ á¯®á®¡®¬ 1-¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¢ ᨮ¨¬¨ç®¥ ¤¨®ä ⮢® ¯à¥¤«®¦¥¨¥. ¥§¨á ñàç ä®à¬ã«¨à®¢ «áï ¢ [ð, 1936]; ¬ è¨ë ìîਣ ®¡ï§ ë [, 1936] ¨ [, 1936]; á⥯¥¨ ४ãàᨢ®á⨠¨ n -㨢¥àá «ìëå á⥯¥¥© ¯®ï¢«ïîâáï ¢ [, 1948]. ª å®à®è¨© ¢¢®¤ë© ã祡¨ª ¯® ४ãàᨢ®áâ¨, ï ४®¬¥¤ãî [
, 1971]. ¥à¬¨ " à¨ä¬¥â¨ª ¥ ®" ¢®§¤ ¥â ¤®«¦®¥ "®à¬ã«ïàã ¬ ⥬ ⨪¨" ¦ã§¥¯¯¥ ¥ ® [
, 1895{08 ]; íâ ª¨£ , ª®â®à ï ¨¬¥« § ç¨â¥«ì®¥ ¢«¨ï¨¥ ᮢ६¥ë© ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨© ᨬ¢®«¨§¬, á®á⮨⠯® ¡®«ì襩 ç á⨠¨§ á¨á⥬ â¨ç¥áª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¡ §®¢ëå ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ¯®ï⨩, ¥ ¨§ " ªá¨®¬ ⨧ 樨" ¢ â¥å¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥, ª ª ¬ë íâ® ¯®¨¬ ¥¬ ᥣ®¤ï; ¢ â® ¢à¥¬ï, ¥ ¨¬¥«¨ ¨ª ª®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ® § ç¨â¥«ì®¬ à ááâ®ï¨¨, ª®â®à ï ®â¤¥«ï¥â á¨«ë ¢ëà ¦¥¨© ï§ëª ¢â®à®£® ¯®à浪 ¨ ï§ëª ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ®áâàãªæ¨¨ ¬®¤¥«¥© ¨§ à §¤¥«®¢ 7.h ¨ 7.i ïîâáï ç áâìî 䮫쪫®à «®£¨ª¨ 50-å £®¤®¢ ; ¬®¦® ¯à¨¬¥à ª®áã«ìâ¨à®¢ âìáï ã [
, 1960]; ¥ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¥áâ ¤ à⮩ ४ãàᨢ®© ¬®¤¥«¨ à¨ä¬¥â¨ª¨ ¥ ® ®¡ï§ ® [
, 1959]; ⥮६ «¥® §¬ ¤®«¦ ¨¬¥âì ᢮¥ ¯à®¨á宦¤¥¨¥ ¢ [
, 1957]. ®¬¡¨ â®à ï «¥¬¬ ¥¥è ñ¨£ ® ¤¥à¥¢ìïå ®ç¥¢¨¤® £®à §¤® áâ àè¥: [ð, 1927]. ª ¨ ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë § ª®¬¨âìáï á ᮢ६¥®© ⥮ਥ© ¬®¤¥«¥© à¨ä¬¥â¨ª¨, â ª ¨ ¤«ï ⮣®, ç⮡ë 㣫㡨âì ᢮¨ § ¨ï ® ¨å, ¢ë ©¤¥â¥ ¬ â¥à¨ « ¢ [
--
, 1982]. ¤¥ª¢ â®áâì ¯®ïâ¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠1 ᥬ ⨪¥ «®£¨ª¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¡ë« ¯®ª § [, 1928], [ð
, 1930] ¨ [
, 1934], á«¥¤ãï § ¬¥â® à §«¨çë¬ ¯®¤å®¤ ¬; §¤¥áì ¥ã¬¥áâ® à áᬠâਢ âì ¢«¨ï¨ï ª®â®àë¥
7.m
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
153
®¨ ®ª § «¨ ᮢ६¥ãî ⥮à¨î ¤®ª § ⥫ìá⢠. ⮡ë ᮡà âì ¬ â¥à¨ « ®¡ «£®à¨â¬¨ç¥áª®© á«®¦®á⨠¥ª®â®àëå «®£¨ç¥áª¨å ⥮਩, ®ç¥ì à¥è¨â¥«ìë© ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â ª®áã«ìâ¨à®¢ âìáï ã [
-, 1979]. ¢¥ â¥®à¥¬ë ¥¤¥«ï ¨§ [ð
, 1931] . ⢥ত¥¨¥ 7.33 ᮤ¥à¦¨â ¨£à¥¤¨¥â, ª®â®à®£® ñ¤¥«ì âé â¥«ì® ¨§¡¥£ «; ¢ 7.33 à¥çì ¨¤¥â ® ४ãàᨢëå äà £¬¥â å áâ®ï饩 à¨ä¬¥â¨ª¨; ñ¤¥«ì ¨ª®£¤ ¥ £®¢®à¨« ®¡ ¨á⨮áâ¨, ¨ ® ¢ë¯®«¨¬®á⨠¢ áâàãªâãà¥, ® ¢¥é å ¤®ª §ã¥¬ëå ¢ (४ãàᨢ®©) ⥮ਨ, ¨ ® áä®à¬ã«¨à®¢ « ᢮î ⥮६㠤«ï !-¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®© ⥮ਨ, ᮤ¥à¦ 饩 ªá¨®¬ë ¥ ® (ª®â®à ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì ¯à¥¤«®¦¥¨ï, «®¦ë¥ ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«); ¥£® १ã«ìâ âë § ⥬ ¡ë«¨ ®¡®¡é¥ë ®áá¥à®¬ ¤«ï ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ëå à áè¨à¥¨© ªá¨®¬ ¥ ®, ¤ ª®, ¢ ã祡¨ª¥ «®£¨ª¨, ¤«ï ª®â®à®£® £« ¢ë© á⠥ ¨áâ®à¨ï ¨¤¥©, ä®à¬ã«¨à®¢ª ⥮६ë ñ¤¥«ï ¢ ¢¨¤¥ 7.33 { ¥¤¨á⢥® ¢ ¦ ï.
« ¢ 8 न «ë ¨ ª न «ë
8.a ¯®«¥ 㯮à冷ç¥ë¥ ¬®¦¥á⢠: : 155 8.b ªá¨®¬ ¢ë¡®à : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 159 8.c न «ë : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 166 8.d ®ä¨ «ì®áâì : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 172 8.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 175
154
8.a
155
¯®«¥ 㯮à冷ç¥ë¥ ¬®¦¥áâ¢
â £« ¢ ®á¨â ¢á¯®¬®£ ⥫ìë© å à ªâ¥à ¤«ï ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ¯¨á ¤«ï 㤮¡á⢠ç¨â ⥫ï: ª ¦¤ë© à §, ¤® áâ®ï饣® ¢à¥¬¥¨, ª®£¤ ¢®¯à®áë ª á «¨áì "®à¤¨ «®¢", "âà á䨨⮩ ४ãàᨨ", ¥£® ¯à®á¨«¨ ¤®¯ãáâ¨âì ¯à¨£®¤®áâì ¤®ª § ⥫ìáâ¢, ¯à¥¤«®¦¥ëå ¯® «®£¨¨ á® áç¥âë¬ á«ãç ¥¬, ®¡¥é ï ¥¬ã ¡®«¥¥ £«ã¡®ª®¥ ¨§«®¦¥¨¥ ¢¯®á«¥¤á⢨¨. áâ « ¯®à ¤«ï í⮣® ¨§«®¦¥¨ï, â ª ª ª á® á«¥¤ãî饩 £« ¢ë ¬ ã¦ë ¡ã¤ãâ ¤®áâ â®ç® â®çë¥ à¥§ã«ìâ âë ®¡ " à¨ä¬¥â¨ª¥ ª न «®¢".
8.a ¯®«¥ 㯮à冷ç¥ë¥ ¬®¦¥á⢠®«ë© ¯®à冷ª (¨«¨ ¯®« ï 楯ì) { íâ® «¨¥©ë© ¯®à冷ª, ¢ ª®â®à®¬ ª ¦¤®¥ ¥ ¯ãá⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¨¬¥¥â ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â. ®¢®àïâ, çâ® ¬®¦¥á⢮ ¢¯®«¥ 㯮à冷祮, ¥á«¨ ®® á ¡¦¥® ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬. ¯à¨¬¥à, ¯ãá⮩ ¯®à冷ª, ª®¥çë© ¯®à冷ª, ¯®à冷ª ! âãà «ìëå ç¨á¥« ïîâáï ¯®«ë¬¨ ¯®à浪 ¬¨.
᫨ A ¨ B ï¥âáï ¯®«ë¬¨ ¯®à浪 ¬¨, â® â ª¨¬¨ ¦¥ ¡ã¤ãâ ¨ á㬬 A + B , ¨ «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ A B , çâ® ç¨â â¥«ì «¥£ª® ¯à®¢¥à¨â ¢ ª ç¥á⢥ ã¯à ¦¥¨ï. ¦¤ë© ¯®¤¯®à冷ª ¯®«®£® ¯®à浪 ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬. ¯®¬¨ ¥¬, çâ® ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ ¯®à浪 A §ë¢ ¥âáï ¥£® ¯®¤¬®¦¥á⢮ B , â ª®¥, çâ® ¥á«¨ a «¥¦¨â ¢ B , â® «î¡®© ¬¥ì訩 ¥£® í«¥¬¥â ¨§ A (¬¨®à â ¤«ï a) â ª¦¥ «¥¦¨â ¢ B .
᫨ ¬®¦¥á⢮ A ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬, â® ®® ¨¬¥¥â ¤¢ ¢¨¤ ç «ìëå ᥣ¬¥â®¢: á ¬ ¯®à冷ª A ¨ ç «ìë¥ á¥£¬¥âë ®¡®§ ç ¥¬ë¥ Aa , ïî騬¨áï ¬®¦¥á⢠¬¨ í«¥¬¥â®¢ A , áâண® ¬¥ìè¨å a ¤«ï ¥ª®â®à®£® a 2 A . ë ¢¨¤¨¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¯®«ë© ¯®à冷ª ¨§®¬®àä¥ ¬®¦¥áâ¢ã ᢮¨å ᮡá⢥ëå ç «ìëå ᥣ¬¥â®¢, 㯮à冷ç¥ëå ¯® ¢ª«î票î.
¥¬¬ 8.1 ãáâì A ¨ B { ¤¢ ¯®«ëå ¯®à浪 ¨ f ¨ g { ¤¢ ¨§®¬®à䨧¬ A ç «ìë¥ á¥£¬¥âë B . ®£¤ f = g .
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬ çâ® f ¨ g à §«¨çë. ®£¤ , ¯ãáâì a { ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â ¨§ A, â ª®©, çâ® f (a) 6= g(a) . ®¯ãá⨬, ¯à¨¬¥à, çâ® ¢ B f (a) < g(a) . ª ª ª g(A) ï¥âáï ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ B , â® ©¤¥âáï í«¥¬¥â c < a, â ª®©, çâ® g(c) = f (a) . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ¢ë¡®àã a ¢¥à® à ¢¥á⢮ f (c) = f (a) . à®â¨¢®à¥ç¨¥.
â «¥¬¬ ã⢥ত ¥â ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ¥á«¨ A ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬, ⮠⮦¤¥á⢥®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¨§®¬®à䨧¬®¬ A ç «ìë© á¥£¬¥â A , â.¥. A ¥ ¨§®¬®àä® ¨ ®¤®¬ã ¨§ ᢮¨å ᮡá⢥ëå ç «ìëå ᥣ¬¥â®¢.
¥¬¬ 8.2 ãáâì A ¨ B { ¤¢ ¯®«ëå ¯®à浪 . ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¨§®¬®à䨧¬ ®¤®£® ¨§ ¨å ç «ìë© á¥£¬¥â ¤à㣮£®.
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬ á ç « , çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® a ¨§ A , Aa
¨§®¬®àä® á®¡á⢥®¬ã ç «ì®¬ã ᥣ¬¥âã B . ® ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬¥ íâ®â
156
« ¢ 8
ç «ìë© á¥£¬¥â ¥¤¨á⢥¥, ¨ ¬ë ®¡®§ 稬 ¥£® ç¥à¥§ Bf (a) . ®£¤ «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ f ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¯®à浪 A ç «ìë© á¥£¬¥â B . ¡à â®, ¯ãáâì a { ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â A, â ª®©, çâ® Aa ¥ ¨§®¬®àä¥ á®¡á⢥®¬ã ç «ì®¬ã ᥣ¬¥âã B . «ï «î¡®£® b < a ᥣ¬¥â Ab ¨§®¬®àä¥ á®¡á⢥®¬ã ç «ì®¬ã ᥣ¬¥âã Bf (b) ¯®à浪 B . ë ¢¨¤¨¬, çâ® f ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ Aa ç «ìë© á¥£¬¥â B , ª®â®àë© ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î A ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ᮡá⢥ë¬. â®¡à ¦¥¨¥ f ï¥âáï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¬¥¦¤ã ¯®à浪 ¬¨ Aa ¨ B .
«ï ¤ ëå ¤¢ãå ¯®«ëå ¯®à浪®¢ A ¨ B ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® ®à¤¨ « A ¬¥ìè¥ ®à¤¨ « B , ¢ ®¡®§ 票¨ ord(A) ord(B ), ¥á«¨ A ¨§®¬®àä¥ ç «ì®¬ã ᥣ¬¥âã B . ¥ ¡ã¤¥¬ ᥩç á ¤ ¢ âì â®çë© á¬ëá« á«®¢ã "®à¤¨ «". ë à áᬠâਢ ¥¬ ord(A) < ord(B ) ¢ ª ç¥á⢥ £®â®¢®£® ¢ëà ¦¥¨ï â ª ¦¥, ª ª ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¯®ï⨥ n-¬¥à®£® ¯à®áâà á⢠¢ «£¥¡à¥, ¥ ᪠§ ¢ ¯¥à¢® ç «ì® ç¥¬ ï¥âáï à §¬¥à®áâì. á®, çâ® íâ® ®â®è¥¨¥ à¥ä«¥ªá¨¢®, âà §¨â¨¢®, ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨ç® ¢ á«¥¤ãî饬 á¬ëá«¥ : ¥á«¨ ord(A) ord(B ) ¨ ord(B ) ord(A) (¢ í⮬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® A ¨ B ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ®à¤¨ «), ⮣¤ A ¨ B ¨§®¬®àäë. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ f ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ A ç «ìë© á¥£¬¥â B , ¨ g { ¨§®¬®à䨧¬ B ç «ìë© á¥£¬¥â A , â® f g ¨ g f ïîâáï ⮦¤¥á⢥묨 ®â®¡à ¦¥¨ï¬¨. ஬¥ ⮣®, ¯® «¥¬¬¥ 8.2 ¤¢ ¯®«ëå ¯®à浪 ¢á¥£¤ áà ¢¨¬ë. ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ "®â®è¥¨¥ «¨¥©®£® ¯®à浪 ®à¤¨ « å". «ï ¤ ®£® ¯®«®£® ¯®à浪 A , ®à¤¨ «ë, áâண® ¬¥ì訥 í⮣® A , íâ® ®à¤¨ «ë ᮡá⢥ëå ç «ìëå ᥣ¬¥â®¢ A , ª®â®àë¥ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ â®çª ¬ A . ë ¢¨¤¨¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ®à¤¨ « ®â®¦¤¥á⢨¬ á ¬®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ®à¤¨ «®¢, ª®â®àë¥ áâண® ¬¥ìè¥ ¥£®, á ¡¦¥®£® ¨å ®â®è¥¨¥¬ ¥áâ¥á⢥®£® ¯®à浪 .
᫨ å®â¨â¥, ¬®¦® ¯®¤ ®à¤¨ «®¬ 㯮à冷祮£® ¬®¦¥á⢠A ¯®¨¬ âì ª« áá ¢á¥å ¯®«ëå ¯®à浪®¢, ª®â®àë¥ ¥¬ã ¨§®¬®àäë. ¤ ª®,¢®®¡é¥ â ª ¥ ¯®áâ㯠îâ, â ª ª ª áãé¥áâ¢ã¥â â¥å¨ç¥áª¨© ᯮᮡ ¢ ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢, á®áâ®ï騩 ¢ ¢ë¡®à¥ ¨áª«îç¨â¥«ì®£® í«¥¬¥â ¨§ í⮣® ª« áá { ®à¤¨ « ä® ¥©¬ 1, ª®â®àë© ï ᮡ¨à îáì ᥩç á ¢¢¥áâ¨. ®¦¥á⢮ §ë¢ ¥âáï âà §¨â¨¢ë¬, ¥á«¨ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â ï¥âáï ¥£® ¯®¤¬®¦¥á⢮¬: ¢ ¤à㣨å â¥à¬¨ å, a âà §¨â¨¢®, ¥á«¨ ª ¦¤ë© à §, ª®£¤ x 2 a ¨ y 2 x , ⮣¤ y 2 a . ¯à¨¬¥à ; âà §¨â¨¢®, â ª¦¥ ª ª f;g . ¡®«¥¥ ®¡é¨å â¥à¬¨ å, ¥á«¨ a âà §¨â¨¢®, â® a [ fag â ª¦¥ âà §¨â¨¢®. ®¢®àïâ, çâ® ¬®¦¥á⢮ a ï¥âáï ®à¤¨ «®¬ ä® ¥©¬ , ¥á«¨ ®® âà §¨â¨¢® ¨ ¥á«¨ ®â®è¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥¦®á⨠x 2 y ï¥âáï áâண¨¬ ¯®à浪®¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ¯®«®¬ã ¯®à浪ã a : x y ®§ ç ¥â, çâ® x 2 y _ x = y , x 2 y ®§ ç ¥â x y ^ x 6= y , ¨«¨ x < y . ¯à¨¬¥à ; ï¥âáï ®à¤¨ «®¬ ä® ¥©¬ , ª®â®àë© ¢ í⮬ ª®â¥ªá⥠«ãçè¥ ®¡®§ ç âì ç¥à¥§ 0 ; f;g { â ª¦¥ ®à¤¨ « ä® ¥©¬ : ¥£® ®¡®§ ç îâ 1 ; â ª¦¥ ª ª ¨ f;; f;gg , ®¡®§ ç ¥¬ë© 2 ; ¢®®¡é¥, ¥á«¨ a ï¥âáï ®à¤¨ «®¬ ä® ¥©¬ , â® â ª®¢ë¬ ï¥âáï ¨ 1
¦® ä® ¥©¬ { ®¤¨ ¨§ ®â殢 ⮬®© ¡®¬¡ë ; ® ¥ «¥¬¬ë 6.25
8.a
157
¯®«¥ 㯮à冷ç¥ë¥ ¬®¦¥áâ¢
a [ fag . ⬥⨬, çâ® í«¥¬¥â b ®à¤¨ « ä® ¥©¬ a á ¬ ï¥âáï ®à¤¨ «®¬ ä® ¥©¬ : b âà §¨â¨¢¥, â ª ª ª ®â®è¥¨¥ ¯à¨ ¤«¥¦®á⨠âà §¨â¨¢® ¬¥¦¤ã í«¥¬¥â ¬¨ a , ¨ (b; 2) ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬, â ª ª ª íâ® { ®£à ¨ç¥¨¥ (a; 2) . ç «ìë¥ á¥£¬¥âë ®à¤¨ « ä® ¥©¬ { ® á ¬ ¨ ¥£® ᮡáâ¢¥ë¥ ç «ìë¥ á¥£¬¥âë, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï â ª¦¥ ¥£® í«¥¬¥â ¬¨! ª«î票¥ a 2 a ¥¢®§¬®¦®, â ª ª ª ®â®è¥¨¥ x 2 y ï¥âáï áâண¨¬ ¯®à浪®¬.
¥¬¬ 8.3 §®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã ®à¤¨ « ¬¨ ä® ¥©¬ ï¥âáï ⮦¤¥áâ¢¥ë¬ ®â®¡à ¦¥¨¥¬: ¥á«¨ ¤¢ ®à¤¨ « ä® ¥©¬ ¨§®¬®àäë (â.e. ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ¯®à浪¨ ¨§®¬®àäë), â® ®¨ à ¢ë. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a ¨ b { è¨ ¤¢ ®à¤¨ « ä® ¥©¬ ¨ ¯ãáâì f ¥ ⮦¤¥áâ¢¥ë© ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã a ¨ b ¨ c { ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â â ª®©, çâ® f (c) = 6 c . §®¬®à䨧¬ f ®â®¡à ¦ ¥â ç «ìë© á¥£¬¥â í«¥¬¥â®¢ ¨§ a
áâண® ¬¥ìè¨å c , ç «ìë© á¥£¬¥â ¯®à浪 b , á®áâ®ï騩 ¨§ í«¥¬¥â®¢, áâண® ¬¥ìè¨å f (c) . «¥¤®¢ ⥫ì®, c ¨ f (c) ïîâáï ¤¢ã¬ï ¬®¦¥á⢠¬¨, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ í«¥¬¥âë, ª®â®àë¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ à ¢ë. à®â¨¢®à¥ç¨¥.
¥¬¬ 8.4 ¦¤ë© ¯®«ë© ¯®à冷ª ¨§®¬®àä¥ ¥ª®â®à®¬ã ®à¤¨ «ã ä® ¥©¬ .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì A { ¢¯®«¥ 㯮à冷祮¥ ¬®¦¥á⢮. ।¯®«®-
¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â x ¢ A â ª®©, çâ® Ax ¥ ¨§®¬®àä¥ ®à¤¨ «ã ä® ¥©¬ , ¨ ¯ãáâì a ¨¬¥ì訩 á।¨ ¨å. ®£¤ ¤«ï ª ¦¤®£® x < a ¯® «¥¬¬¥ 8.3 áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© ¨§®¬®à䨧¬, ¬¥¦¤ã Ax ¨ ®à¤¨ «®¬ ä® ¥©¬ x0 .
᫨ x < y < a , â® ®¡ï§ â¥«ì® x0 ï¥âáï ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ y0 ,ïî騬áï ®¡à §®¬ x ¯à¨ ¨§®¬®à䨧¬¥ ¬¥¦¤ã y ¨ y0 , ¨ ç¥ £®¢®àï x0 2 y0 . ®£¤ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ ¢¨¤ x0 ®¡à §ã¥â ®à¤¨ « ä® ¥©¬ , ¨ çâ® ®® ¨§®¬®àä® Ax . à®â¨¢®à¥ç¨¥. ë ¯®ï«¨, çâ® ª ¦¤ë© ᮡáâ¢¥ë© ç «ìë© á¥£¬¥â ¯®«®£® ¯®à浪 ¨§®¬®àä¥ ®à¤¨ «ã ä® ¥©¬ . «ï § ¢¥àè¥¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¤®áâ â®ç® ®â¬¥â¨âì, çâ® A ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ A + 1 { ¯®à浪 , ¯®«ã祮£® ¨§ ¥£® ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ â®çª¨ á¯à ¢ .
ª¨¬ ®¡à §®¬, ®à¤¨ «®¬ 㯮à冷祮£® ¬®¦¥á⢠A §ë¢ ¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë© ¨§®¬®àäë© ¥¬ã ®à¤¨ « ä® ¥©¬ . áâà¥ç îâáï áâ㤥âë, ª®â®àë¥ ¨á¯ëâë¢ îâ ««¥à£¨î ª ®à¤¨ « ¬, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬ ª ª "â¨¯ë ¯®«ëå ¯®à浪®¢", ¨ 室ïâ ¡®«¥¥ 㤮¡®¢ à¨¬ë¬ ¯®ï⨥ ®à¤¨ « ä® ¥©¬ . ®â ¢ ¬ áâà ®¥ ¯®á«¥¤á⢨¥ ¤®£¬ â¨ç¥áª®£® ®¡à §®¢ ¨ï, ª®â®à®¥ ¯ãâ ¥â ä®à¬ «¨§¬ á® áâண®áâìî ¨ ¢ë¤¢¨£ ¥â ¢¯¥à¥¤ â¥å¨ç¥áªãî å¨âà®áâì ¢ ãé¥à¡ ®á®¢®© ¨¤¥¥: ¤® ¨¬¥âì áâà ® ¨áª ¦¥ë© à §ã¬, çâ®¡ë ©â¨ ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ¯®ï⨥ âà §¨â¨¢®£® ¬®¦¥á⢠! न « ä® ¥©¬ ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ¬¥ìè¨å ¥£® ®à¤¨ «®¢ (ä® ¥©¬ ; ï ¥ ᮡ¨à îáì ¡®«ìè¥ â ᪠âì íâ® ¨¬ï ¯®¢áî¤ã).
£® í«¥¬¥âë
158
« ¢ 8
ïîâáï â ª¦¥ ¨ ¥£® ᮡá⢥묨 ç «ì묨 ᥣ¬¥â ¬¨.
áâ¥áâ¢¥ë© ¯®à冷ª, â® ¥áâì ¯à¨ ¤«¥¦®áâì ¨«¨ à ¢¥á⢮, ®¡à §ã¥â த ¯®«®£® ¯®à浪 ®à¤¨ « å. £®¢®àî "த", â ª ª ª ®à¤¨ «ë ®¡à §ãîâ ᫨誮¬ è¨à®ª¨© ª« áá çâ®¡ë ¡ëâì ¬®¦¥á⢮¬. ¡ëç® ¤ îâ â ª®¥ ®¡êïᥨ¥ : ¨ ç¥, ®¨ ¡ë ®¡à §®¢ «¨ ®à¤¨ «, ª®â®àë© ¡ë ¯à¨ ¤«¥¦ « á ¬®¬ã ᥡ¥ ¨, § ç¨â, ¡ë« ¡ë ¬¥ìè¥ á ¬®£® ᥡï, çâ® ¥¢®§¬®¦®. «ï ®à¤¨ «®¢ á¯à ¢¥¤«¨¢ á«¥¤ãî騩 ¯à¨æ¨¯ ¨¤ãªæ¨¨:
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ®à¤¨ «, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¥ª®â®à®¬ã ᢮©áâ¢ã P , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¨¬¥ì訩 â ª®© ®à¤¨ «. ãáâì, ¤¥©á⢨⥫ì®, a { ®à¤¨ «, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 P .
᫨ ® ¨¬¥ì訩, â® ¢á¥ ¤®ª § ®. ç¥, ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ a , ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ P , ¥ ¯ãáâ® ¨ § ç¨â ¨¬¥¥â ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â b , ª®â®àë© ã¤®¢«¥â¢®àï¥â ᢮©áâ¢ã P . â®â ¯à¨æ¨¯ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨§«®¦¥ â ª¦¥ ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:
᫨ ¤«ï ª ¦¤®£® ®à¤¨ « x â®â ä ªâ, çâ® ¢á¥ y < x 㤮¢«¥â¢®àïîâ ᢮©áâ¢ã P ¢«¥ç¥â, çâ® x â ª¦¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â P , ⮣¤ ¢á¥ ®à¤¨ «ë 㤮¢«¥â¢®àïîâ P .
᫨ ®à¤¨ « ¨¬¥¥â ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥â a , ® â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨¬¥¥â ¢¨¤ a [ fag , â® £®¢®àïâ, çâ® ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì; ¨ ç¥, £®¢®àïâ çâ® ® ¯à¥¤¥«ìë© . ।¥«ìë© ®à¤¨ « ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬, ¨«¨ ¥é¥ ¢¥à奩 £à ìî, ¢á¥å ¬¥ìè¨å ®à¤¨ «®¢2 . ¤®ª § ⥫ìáâ¢ å ¯® ¨¤ãªæ¨¨ ç áâ® á«ãç ¥âáï, ç⮠㦮 à áᬠâਢ âì ¤¢ á«ãç ï, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, çâ® ®¡á㦤 ¥¬ë© ®à¤¨ « ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì ¨«¨ ¯à¥¤¥«ìë©. §-§ ¯à¥¤¥«ìëå ®à¤¨ «®¢ ¨¤ãªæ¨ï ¥ ᢮¤¨âáï ª ª ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥, ª ¯¥à¥å®¤ã ®â ®à¤¨ « ª ᢮¥¬ã ¯®á«¥¤®¢ ⥫î (¥á«¨ ¯à¨¬¥ïâì ®¡®§ 票ï 7.g , â® I 0 ¨ I " ¥¤¨áâ¢¥ë¥ ã¤®¢«¥â¢®à¨â¥«ìë¥ ¢ ª®â¥ªá⥠®à¤¨ «®¢ ä®à¬ë ªá¨®¬ ¨¤ãªæ¨¨; ä®à¬ I ¥¢¥à ). न « §ë¢ ¥âáï ª®¥çë¬, ¥á«¨ ¢á¥ ¥ã«¥¢ë¥ ®à¤¨ «ë, ¬¥ì訥 ¨«¨ à ¢ë¥ ¥¬ã, ïîâáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ﬨ; ¯à¨¬¥à: ; , f;g , f;; f;gg ,... ë ã¡¥¦¤ ¥¬áï çâ® ¯®ï⨥ ª®¥ç®£® ®à¤¨ « ï¥âáï ¯¥à¥¢®¤®¬, ⥮à¥â¨ª®¬®¦¥áâ¢¥ë¥ â¥à¬¨ë, ¥ä®à¬ «ì®£® ¯®ïâ¨ï âãà «ì®£® ç¨á« . ¨¬¥ì訩 ¡¥áª®¥çë© ®à¤¨ «, ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¨¬¥ì訬 ¯à¥¤¥«ìë¬ ¥ã«¥¢ë¬ ®à¤¨ «®¬, ¨ ¯®à冷ª ª®â®à®£® ¨§®¬®àä¥ ¥áâ¥á⢥®¬ã ¯®à浪ã âãà «ìëå ç¨á¥« ®¡®§ ç ¥âáï ! ¨«¨ @0 . ¯à®ç¥¬, ®¡á㦤 ¥¬ë© ¨§®¬®à䨧¬ ï¥âáï ⮦¤¥áâ¢¥ë¬ ®â®¡à ¦¥¨¥¬, â ª ª ª, ¯® ᮣ« 襨î ä® ¥©¬ , ! ¥áâì ¬®¦¥á⢮ âãà «ìëå ç¨á¥«, ¨ ¥£® ¯®à冷ª ï¥âáï ¯®à浪®¬ âãà «ìëå ç¨á¥«. à㣮¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¨¤ãªæ¨¨ íâ® ¯®áâ஥¨ï âà á䨨⮩ ४ãàᨥ©. «ï ¤ ®£® ®à¤¨ « x ®¯¨áë¢ îâ ᯮᮡ ª®â®àë© ¯®§¢®«ï¥â áâநâì ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¥ë© ®¡ê¥ªâ Mx , ¯à¥¤¯®« £ ï,çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® y < x â ª®© My 㦥 ¯®áâ஥. â ª¨å à áá㦤¥¨ïå ®á®¢ë¬ è £®¬ ®â ¯à®â¨¢®£® ï¥âáï à áᬮâ२¥ ¨¬¥ì訩 ®à¤¨ « x , ¤«ï ª®â®à®£® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ®¡ê¥ªâ Mx . ®£¤ ¤®¢®«ìáâ¢ãîâáï ¯®áâ஥¨¥¬ ¤«ï x , ¬¥ìè¨å 䨪á¨à®¢ ®£® ®à¤¨ « a . ਬ¥àë â ª¨å ¯®áâ஥¨© âà á䨨⮩ ४ãàᨥ©, ¬ë 㢨¤¥«¨ ¨¬ ¨¥: «î¡®© ®à¤¨ «, ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì â ª ¨ ¯à¥¤¥«ìë©, ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ¬¥ìè¨å ®à¤¨ «®¢ 2
8.b
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ªá¨®¬ ¢ë¡®à
¢ 1.c ¤«ï ¯à®¨§¢®¤ëå ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠¨ ¤«ï -¨§®¬®à䨧¬®¢. ë ᮡ¨à ¥¬áï âà á䨨âãî ४ãàá¨î ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨ ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᫥¤ãî饣® ã⢥ত¥¨ï.
¥¬¬ 8.5 ãáâì A ¯®«ë© ¯®à冷ª, ¨ B ®£à ¨ç¥¨¥ (¥ ®¡ï§ â¥«ì® ç «ìë© á¥£¬¥â!) A . ®£¤ ord(B ) ord(A) . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ®à¤¨ « B , c ª®â®àë¬ ¬ë ¥£® ¬®¦¥¬ ®â®¦¤¥-
á⢨âì. áᬮâਬ äãªæ¨î f ¨§ ¢ A , ®¯à¥¤¥«¥ãî â ª®© ४ãàᨥ© : f (x) ¥áâì ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â A , ¡®«ì訩 ¢á¥å f (y) ¤«ï y < x , ¥á«¨ ® áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ ç¥, f (x) { ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â A . ¥£ª® ¢¨¤¥âì ¯® ¨¤ãªæ¨¨, çâ® f (x) x , â ª çâ® f (x) ¢á¥£¤ ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â A , ¡®«ì訩 ¢á¥å f (y) ¤«ï y < x . â®à®© á«ãç © ¡ë« ⮫쪮 ®à â®à᪮© ¯à¥¤®áâ®à®¦®áâìî, ç⮡ë äãªæ¨ï f ®¯à¥¤¥«ï« áì. â äãªæ¨ï ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ B ç «ìë© á¥£¬¥â A , ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ á ¬¨¬ A , ¤ ¦¥ ¥á«¨ B ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ A.
8.b ªá¨®¬ ¢ë¡®à ¥®à¥¬ 8.6 (¥à¬¥«®) ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ ¬®¦® ¢¯®«¥ 㯮à冷ç¨âì. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ¬®¦¥á⢮ A ¯ãáâ®, â® ®® ¢¯®«¥ 㯮à冷祮.
᫨ ®® ¥ ¯ãáâ®, â® ¨¬¥¥â í«¥¬¥â, ¯ãáâì a0 .
᫨ ¬®¦¥á⢮ A í⨬ ¥ ¨áç¥à¯ë¢ ¥âáï, â® ®® ¨¬¥¥â ¤à㣮© í«¥¬¥â a1 , ¯à®¤®«¦ ï ¯® ¨¤ãªæ¨¨ íâã ¯à®æ¥¤ãàã, ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ ª ¦¤®¬ã ®à¤¨ «ã í«¥¬¥â a ¨§ A ¤® â¥å ¯®à ¯®ª ¤«ï ¥ª®â®à®£® ®à¤¨ « ¬®¦¥á⢮ a ; < , ¥ ᮢ¯ ¤¥â 楫¨ª®¬ á A . ਠí⮬ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â a ¢ë¡¨à ¥âáï ®â«¨çë¬ ®â ¢á¥å ¯à¥¤ë¤ãé¨å. ®áâ஥¨¥ ¤®«¦® ®¡ï§ â¥«ì® ®áâ ®¢¨âìáï, â ª ª ª ®à¤¨ «ë ¯®«ëå ¯®à浪®¢, ª®â®àë¥ ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®¤¬®¦¥á⢥ A ®¡à §ãîâ ¬®¦¥á⢮, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ª« áá ¢á¥å ®à¤¨ «®¢ ¥ ®¡à §ã¥â ¬®¦¥á⢮. ®£¤ ¬ë ®áâ ®¢¨¬áï, â® ¯®«ã稬 ¯®«®¥ 㯮à冷票¥ ¬®¦¥á⢠A .
®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ ⥮६ë ï¥âáï, ª®¥ç®, ¬®è¥¨ç¥á⢮¬, â ª ª ª ª ¦¤ë© § ¥â, çâ® íâ ⥮६ íª¢¨¢ «¥â ªá¨®¬¥ ¢ë¡®à , ¨ çâ® ªá¨®¬ ¢ë¡®à ¥ ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ "¤à㣨å" ªá¨®¬ ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢. â® ¯®á«¥¤¥¥ ¢ë᪠§ë¢ ¨¥ ¨¬¥¥â ¤¥©á⢨⥫ìë© á¬ë᫠⮫쪮, ¥á«¨ ¬ë ãâ®ç¨¬ ¤à㣨¥ ªá¨®¬ë, â® ¥áâì ¥á«¨ ¢ë¡¥à¥¬ ä®à¬ «ìãî ⥮à¨î ¬®¦¥áâ¢, ¯à¨¬¥à, ⥮à¨î ¥à¬¥«®-४¥«ï ZF. ¤¥áì ¯®ï¢«ï¥âáï ¬¥â®¤¨ç¥áª ï ¯à®¡«¥¬ ; ¬ë ¬®£«¨ ¡ë, ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥, ¢ë¡à âì ªá¨®¬ â¨ç¥áªãî à ¬ªã, ¤ âì ¯à¨¬¥à ᯨ᪠ªá¨®¬ ¥ ®, ¨ à ¡®â âì ⮫쪮 ¢ãâਠí⮩ á¨á⥬ë. â® ¥ ¡ë«® ᤥ« ®, â ª ª ª ¢á¥£¤ ¯®¤ à㪮© ¨¬¥¥âáï ¥áâ¥á⢥ ï ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨, ¯®«ãç¥ ï ¨§ áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥«. ë ¢¥à¨¬ ¢ áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬®¦¥á⢠¨áâ¨ëå ¯à¥¤«®¦¥¨© ¤«ï áâ®ïé¨å âãà «ìëå ç¨á¥« , ¤ ¦¥ ¯®á«¥ ⮣® ª ª ®â¤ ¥¬ ᥡ¥
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« ¢ 8
®âç¥â, çâ® íâ® ¬®¦¥á⢮ ¨¬¥¥â ¤®áâ â®ç® á«®¦®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥. ¯®â®¬, ¯®á«¥ ®¯à¥¤¥«¥®© à ¡®âë, ¬ë ¯®ï«¨, çâ® ªá¨®¬ë ¥ ® á®áâ ¢«ïîâ ⮫쪮 ®ç¥ì á« ¡®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ ª í⮩ áâ®ï饩 à¨ä¬¥â¨ª¥.
áâ¥áâ¢¥ë© ¯®¤å®¤ ª à¨ä¬¥â¨ª¥ ï¥âáï á«¥¤ãî騬: "ë ¨¬¥¥¬ ç¨á« , ¨ ¯ëâ ¥¬áï ¨å ®¯¨á âì". ® ¬®¦¥á⢠, çâ® íâ® â ª®¥?
᫨ ¤«ï ¬®¦¥á⢠á¨âã æ¨ï ¤à㣠ï, â® íâ® ¯®â®¬ã, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¥áâ¥á⢥®© ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢. ⮠ï¥âáï áâ®ï騬¨ ¬®¦¥á⢠¬¨, ¢ áãé®áâ¨, ¨ªâ® ¥ § ¥â. ª, çâ® ¬ë 室¨¬áï ¢ ¥áª®«ìª® § âà㤨⥫쮬 ¯®«®¦¥¨¨. ¬ 㦮 § ¤ âì ᯨ᮪ à §ã¬ëå ªá¨®¬, ¢ ⮬ á¬ëá«¥, çâ®, ¥á«¨ ¡ë áâ®ï騥 ¬®¦¥á⢠áãé¥á⢮¢ «¨, ®¨ ¡ë 㤮¢«¥â¢®à﫨, ¢¥à®ïâ®, í⨬ ªá¨®¬ ¬ â®, çâ® ®ç¥¢¨¤® ®ç¥ì áã¡ê¥ªâ¨¢®, ¨ § ⥬ ¢ëïâì ¯®á«¥¤á⢨ï í⮩ ªá¨®¬ ⨪¨. ® ¯à®¡«¥¬ ¢ ⮬, çâ® íâ ⥮à¨ï ¬®¦¥áâ¢ á ª á ¥âáï ¥éñ ¡®«ìè¥ ç¥¬ à¨ä¬¥â¨ª , â ª ª ª ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ â¥à¬¨ å ¬®¦¥á⢠¢áî èã ¬ ⥬ ⨪ã, ¥ ⮫쪮 ª®¬¡¨ â®à¨ªã, ¨ çâ® ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¬¥¥¥ ä®à¬ «ìë¬ ã஢¥ íâã ¦¥ ⥮à¨î ¬®¦¥á⢠çâ®¡ë ¨§ãç¨âì ⥮à¨î ¬®¦¥áâ¢! ¥à¥¢®¤ ª ¦¤®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ¯®ïâ¨ï ï§ëª ¬®¦¥á⢠á⮫쪮 ¯àאַ© ¨ á⮫쪮 ¥áâ¥á⢥¥ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤«ï ¬ ⥬ ⨪ í⮣® ¢¥ª , çâ® ® á«ã¦¨â ¯®¤¢®¤ë¬ ª ¬¥¬ ¤«ï ç¨ î饣® «®£¨ª . «ãç ¥âáï ® ᬥ訢 ¥â ¯®ïâ¨ï, ¢ãâ२¥ ®â®á¨â¥«ì® ¬®¤¥«¨ ¨ â¥, çâ® ¢¥è¨¥: ª®£¤ ® ¨§ãç ¥â à¨ä¬¥â¨ªã, £¤¥ ¯¥à¥¢®¤ë ®áãé¥á⢫ïîâáï ¤®áâ â®ç® ¨áªãáá⢥묨 ª®¤¨à®¢ ¨ï¬¨, ® «ãçè¥ § é¨éñ ®â í⮩ ¥ïá®áâ¨. ®¦® ¤ âì à£ã¬¥â, ®¡êïáïî騩 ¥¢®§¬®¦®áâì áãé¥á⢮¢ ¨ï ¥áâ¥á⢥®©, ¡á®«îâ® ã¡¥¤¨â¥«ì®© ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢.
᫨ ¡ë ® áãé¥á⢮¢ « , â® ¡ë« ¡ë ¬®¦¥á⢮¬ M , á ¡¦¥ë¬ ¡¨ àë¬ ®â®è¥¨¥¬ ¯à¨ ¤«¥¦®áâ¨, ª®â®à®¥ ¡ë«® ¡ë çâ®{â® ¢à®¤¥ í«¥¬¥â ண® ®£à ¨ç¥¨ï ¬¨à , ¢ ª®â®à®¬ ¬ë ¦¨¢¥¬. ®, ¯®áª®«ìªã ¢ë¯®«¨¬®áâì ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¢ M «¥£ª® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢, â® ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨á⨮á⨠¢ãâਠí⮩ ⥮ਨ, çâ® ®¯à®¢¥à£ ¥âáï ⥮६®© à᪮£®. â®â à£ã¬¥â ¥ â ª ᨫñ: ¯à¨«®¦¥ë© ª à¨ä¬¥â¨ª¥, ® ¤®ª §ë¢ ¥â ¢á¥£® «¨èì, çâ® ¬®¦¥á⢮ âãà «ìëå ç¨á¥« ¡¥áª®¥ç®. ®ïâ®, çâ® íâ ¥áâ¥á⢥ ï "¬®¤¥«ì" ⥮ਨ ¬®¦¥á⢠¤®«¦ ¡ë« ¡ë ¡ëâì ¢ëá襣® ⨯ , çâ®{â® ¢à®¤¥ ¯à¥¤¥« ®¯à¥¤¥«ï¥¬ëå ¢¥é¥© ¢ í⮩ ⥮ਨ. á ¬®¬ ¤¥«¥ ZF ¨¬¥¥â ¬®¤¥«¨ í⮣® ⨯ { ¬®¤¥«¨ "ªã¬ã«ï⨢®© ¨¥à à娨", â ª çâ® ¬ £ à â¨à®¢ ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ZF, å®âï ¥áâ¥á⢥® ® ¥ ¤®ª §ã¥¬ ¢ ZF. ® â ª ª ª ¨ªâ® ¥ ¨¬¥¥â ïᮣ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï å®âï ¡ë ®¡ ®¤®© ¬®¤¥«¨ í⮣® ⨯ , ᯮᮡ®© á«ã¦¨âì ¡á®«îâë¬ ®à¨¥â¨à®¬ ¤«ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¬ë᫨, ¢®¯à®á § ¨ï, ¢¥à «¨ ªá¨®¬ ¢ë¡®à , ¥ ¨¬¥¥â ¡®«ì讣® á¬ëá« . ¯à®â¨¢, ¬ë ¥ ¡¥§ ᮬ¥¨ï ã⢥ত ¥¬ çâ® Cons(¥ ®) ¢¥à , å®âï ® ¥ ¤®ª §ã¥¬ ¢ á¨á⥬¥ ¥ ®.
¤¨áâ¢¥ë© à §ã¬ë© ¢®¯à®á, íâ® á¯à 訢 âì, ï¥âáï «¨ ® á«¥¤á⢨¥¬ ¤ ®© á¨áâ¥¬ë ªá¨®¬ ¨«¨ ¥â, ¨«¨ ᮢ¬¥áâ «¨ ® á í⮩ á¨á⥬®©. ¥©á⢨⥫ì®, ¯® ⥮६¥ ñ¤¥«ï, à áᬠâਢ ¥¬ë¥ á¨áâ¥¬ë ¥ ¬®£ãâ ¤®ª § âì ᮡá⢥ãî ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì. ® ®¨ ¬®£ãâ ¤®ª § âì ®â®á¨â¥«ìãî ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®áâì ªá¨®¬ë ¢ë¡®à . ®ª §ë¢ ¥¬ ¢ ZF, çâ® ¥á«¨ ZF ᮢ¬¥áâ , ⮣¤ ZF + ªá¨®¬ ¢ë¡®à ᮢ¬¥áâ , â ª ¦¥ ¢¯à®-
8.b
ªá¨®¬ ¢ë¡®à
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祬, ª ª ¨ ZF á ®âà¨æ ¨¥¬ ªá¨®¬ë ¢ë¡®à . ⨠¨ ¤à㣨¥ ¯à®¡«¥¬ë â ª®£® ⨯ , ¤ «¨ ⮫箪 à §¢¨â¨î ¯«®¤®â¢®à®© ¨ ®ç¥ì ᯥæ¨ä¨ç¥áª®© ®âà ᫨ «®£¨ª¨ "⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢", ª®â®à ï ¢ë室¨â 楫¨ª®¬ § à ¬ª¨ í⮣® âà㤠. ë ¬®£«¨ ¡ë ¢¯à®ç¥¬ áâ®ïâ¥«ì® á®¢¥â®¢ âì ç¨â ⥫î à áᬠâਢ âì ¥ñ ⮫쪮 ¯à¨®¡à¥âï ¯à®çë¥ § ¨ï ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ª®â®à ï ï¥âáï ®á®¢ ¨¥¬ «®£¨ª¨. ¤ ª®, â ª ª ª ¯®á«¥ â®à ¬ë ªã¯ ¥¬áï ¢ ¬®¦¥á⢠å, ¨å ¥«ì§ï ¨§¡¥¦ âì, ¨ ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï, ®áâ ¢ ïáì ¯® ¢®§¬®¦®á⨠¥ä®à¬ «ì묨, ¥¬®£® 㣫㡨âìáï ¢ ᢮©á⢠íâ¨å £¨¯®â¥â¨ç¥áª¨å ¬®¦¥áâ¢. â "¥ä®à¬ «ì ï ⥮à¨ï" { ¢ ¢ëá襩 á⥯¥¨ ⨮¬¨çë© ®¡ê¥ªâ, ⥬ ¥ ¬¥¥¥ ¨á¯ëâë¢ ¥â ᨫ쮥 ¢«¨ï¨¥ ªá¨®¬ ⨪¨ ¥à¬¥«®-४¥«ï, ¯®¤á¯ã¤ ï ¬¥â 䨧¨ç¥áª ï ¨¤¥ï ª®â®à®© á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¬®¦¥á⢠ïîâáï "¬ «¥ìª¨¬¨" ¯® ®â®è¥¨î ª ¬¨àã. ¯à¨¬¥à, ¤®¯®«¥¨¥ ¬®¦¥á⢠¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¬®¦¥á⢮¬. ¥®à¨ï ¬®¦¥áâ¢ à §¢¨¢ ¥âáï ®¡ëç® ¢ í⮩ ªá¨®¬ ⨪¥. ª § âì, çâ® íâ® ¥áâ¥á⢥ ï à ¬ª ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¬ë᫨, íâ® ®ç¥ì à¨áª®¢ ®. ¤ ª®, íâ® â®ç®, çâ® ® áâ ®¢¨âáï ¢á¥ ¡®«¥¥ ¨ ¡®«¥¥ â ª®¢®©, â ª ª ª ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ¯à ªâ¨ª , ¥¦¥¤¥¢ ï ⥮à¥â¨ª®-¬®¦¥á⢥ ï ª®æ¥¯æ¨ï ¬ ⥬ ⨪®¢ ¢á¥ ¡®«¥¥ ¨ ¡®«¥¥ ¨á¯ëâë¢ ¥â ¢«¨ï¨¥ ZF. ®¦® ¢¯à®ç¥¬ ¯®ïâì, çâ® £«ã¡®ª¨¥ ⥮६ë ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢, ¤®ª § ë¥ ¯® ¯®¢®¤ã ZF, ®áâ «¨áì ¡ë ¤¥©á⢨⥫ì묨 ¨ ¢ ¤à㣮© á¨á⥬¥. ।¨ íâ¨å ¤à㣨å á¨á⥬, ®â®á¨â¥«ìë© ãá¯¥å ¨¬¥«¨ { á¨á⥬ BG ¥¤¥«ï¥à ©á , ¯®å®¦ ï ZF, ¨ á¨á⥬ NF New Foundations ã © , ª®â®à ï ®á®¢ë¢ ¥âáï ᮢ¥à襮 ¤à㣮© ¨¤¥¥. ë ᮡ¨à ¥¬áï ⥯¥àì ¤®ª § âì íª¢¨¢ «¥â®áâì à §«¨çëå ª« áá¨ç¥áª¨å ä®à¬ ªá¨®¬ë ¢ë¡®à . ⮡ë ᤥ« âì íâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ᮢ¥à襮 áâண¨¬, ¤«¥¦ «® ¡ë ãâ®ç¨âì ª ª¨¥ ªá¨®¬ë ¤®¯ã᪠îâáï, ⮠祣® ¬ë ¥ ¤¥« ¥¬: ç¨â ⥫ì ã¡¥¤¨âáï, ç⮠᢮©á⢠¬®¦¥áâ¢, ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¥ä®à¬ «ì®, ¤®¯ãá⨬ë. 1. ªá¨®¬ ¢ë¡®à . «ï ª ¦¤®£® ¬®¦¥á⢠A , áãé¥áâ¢ã¥â äãªæ¨ï f ¨§ ¬®¦¥á⢠¥ ¯ãáâëå ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¢ A , ª®â®à ï ª ¦¤ë© ¥ ¯ãá⮩ í«¥¬¥â A ®â®¡à ¦ ¥â ¢ ®¤¨ ¨§ ᢮¨å í«¥¬¥â®¢ (£®¢®àïâ, çâ® f ï¥âáï äãªæ¨¥© ¢ë¡®à A ). 2. ªá¨®¬ ¢ë¡®à (2- ï ä®à¬ ). ãáâì R ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠A . ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¬®¦¥á⢮ B ¢ A , ª®â®à®¥ ᮤ¥à¦¨â ஢® ¯® ®¤®¬ã í«¥¬¥âã ¢ ª ¦¤®¬ ª« áá¥ à §¡¨¥¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® R . 3. ªá¨®¬ ¢ë¡®à (3-ï ä®à¬ ). ந§¢¥¤¥¨¥ ¥ ¯ãáâëå ¬®¦¥á⢠¥ ¯ãáâ®. 4. ªá¨®¬ ¥à¬¥«®. ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢¯®«¥ 㯮à冷祮. 5. ªá¨®¬ ã᤮àä . ç áâ¨ç®¬ ¯®à浪¥, ª ¦¤ ï 楯ì (â.e. ª ¦¤®¥ «¨¥©® 㯮à冷祮¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ í⮣® ç áâ¨ç®£® ¯®à浪 ) ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¬ ªá¨¬ «ì®© 楯¨. 6. ªá¨®¬ ãà ⮢᪮£®. ( ¯®¬¨ ¥¬ çâ® ç áâ¨çë© ¯®à冷ª §ë¢ ¥âáï ¨¤ãªâ¨¢ë¬, ¥á«¨ ª ¦¤ ï æ¥¯ì ¨¬¥¥â ¢ ¥¬ ¢¥àåîî £à ì). ç áâ¨ç®¬ ¥ ¯ãá⮬ ¨¤ãªâ¨¢®¬ ¯®à浪¥ ¨¬¥¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¬ ªá¨¬ «ìë© í«¥¬¥â.
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7. ªá¨®¬ ãà ⮢᪮£® (2- ï ä®à¬ ). ç áâ¨ç®¬ ¨¤ãªâ¨¢®¬ ¯®à浪¥ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â ¬ ¦®à¨àã¥âáï ¥ª®â®àë¬ ¬ ªá¨¬ «ìë¬ í«¥¬¥â®¬. ªá¨®¬ ãà ⮢᪮£® ¡®«¥¥ ¨§¢¥áâ ¯®¤ ¨¬¥¥¬ ªá¨®¬ë ®à , å®âï ¯®á«¥¤¨© ¢ë᪠§ « ¥ñ ¡®«¥¥ 祬 ç¥à¥§ 20 «¥â ¯®á«¥ ãà ⮢᪮£®. â® ®è¨¡®ç®¥ ¯à¨á¢®¥¨¥ ®¡ï§ ® íâ㧨 §¬ã ãà¡ ª¨, ¨á¯ëâë¢ ¢è¥¬ã ª í⮩ ªá¨®¬¥ ¯à¨áâà á⨥, ª®â®à ï ¯®§¢®«ï« (¥ ¢á¥£¤ ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ á¯®á®¡®¬) ¨§¡¥£ âì âà á䨨âëå ४ãàᨩ.
®ª § ⥫ìá⢮ (¨§¡ëâ®ç®¥).
1 () 2 1 =) 2 â ª ª ª äãªæ¨ï ¢ë¡®à f A ¢ë¤¥«ï¥â ¨§ ª ¦¤®£® ª« áá ¯® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«î, â® ¡¥à¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ B f -®¡à § ¬®¦¥á⢠ª« áᮢ R . â®¡ë ¯®ª § âì 2 =) 1 , à áᬮâਬ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¬®¦¥á⢠P (A) A , ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ ¯ à (X; x) â ª¨å, çâ® x 2 X (P (A) ®¡®§ ç ¥â ¬®¦¥á⢮ ¯®¤¬®¦¥á⢠A) ¨ í⮬ ¬®¦¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¨¬ ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠R "¨¬¥âì ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¯¥à¢ë¥ ª®®à¤¨ âë". ãáâì B ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«¥© ª« áᮢ ¯® ¬®¤ã«î R , áãé¥áâ¢ãî饥 ¯® ªá¨®¬¥ 2 . «¥¤ãîé ï äãªæ¨ï f ï¥âáï äãªæ¨¥© ¢ë¡®à A : ª ¦¤®¬ã ¥ ¯ãá⮬㠯®¤¬®¦¥áâ¢ã X ¢ A ᮯ®áâ ¢«ï¥âáï ª« áá ¯® ¬®¤ã«î R , ®¡à §®¢ ë© ¨§ ¯ à á ¯¥à¢®© ª®®à¤¨ ⮩ X , ¨ ¢ ª ç¥á⢥ f (X ) ¡¥àãâ ¢â®àãî ª®®à¤¨ âã ¥¤¨á⢥®£® í«¥¬¥â í⮣® ª« áá , «¥¦ 饣® ¢ B . 1 () 3 í⮬ á«ãç ¥ ᪠§ âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â äãªæ¨ï ¢ë¡®à § ç¨â ¯®ª § âì, çâ® ¤¥ª à⮢® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¥ ¯ãáâëå ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¥ ¯ãáâ®.
᫨ (: : :; Ai; : : : ) ï¥âáï ᥬ¥©á⢮¬ ¥ ¯ãáâëå ¬®¦¥áâ¢, â® ®£à ¨ç¥¨¥ äãªæ¨¨ ¢ë¡®à [Ai í⮠ᥬ¥©á⢮ ¨ ¥áâì í«¥¬¥â ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. 1 () 4
᫨ ¬®¦¥á⢮ A ¢¯®«¥ 㯮à冷祮, â® ®â®¡à ¦ ï ª ¦¤®¥ ¥ ¯ãá⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ᢮© ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â ®â®á¨â¥«ì® í⮣® ¯®«®£® ¯®à浪 , ¯®«ãç ¥¬ äãªæ¨î ¢ë¡®à . â®¡ë ¤®ª § âì ®¡à âãî ¨¬¯«¨ª æ¨î ¬ë ¯®¢â®à塞 ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 8.6, ¥¤®áâ ⮪ ª®â®à®© § ª«îç «áï ¢ ®âáãâá⢨¨ ¤¥©á⢨⥫쮣® ®¯¨á ¨ï a . ।¯®« £ ï, çâ® ¨§¢¥áâë ¢á¥ í«¥¬¥âë a ; < , ¬ë ⥯¥àì à ᯮ« £ ¥¬ äãªæ¨¥© ¢ë¡®à A , ª®â®à ï ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ®¤®§ ç® a ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â í«¥¬¥â®¢ a , £¤¥ < .
᫨ f: : :; a ; : : : g = A , â® ®áâ ¢«¨¢ ¥¬áï. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ a ï¥âáï § 票¥¬ f ¤®¯®«¥¨¨ ¢ A í⮣® ¬®¦¥á⢠. 6 () 7 ¨¤ãªâ¨¢®¬ ¯®à浪¥ ¬ ¦®à âë í«¥¬¥â®¢ ®¡à §ãîâ ¥ ¯ãá⮩ ¨¤ãªâ¨¢ë© ¯®à冷ª. 5 () 7 ¥¯¨ ç áâ¨ç®£® ¯®à浪 , 㯮à冷ç¥ë¥ ¯® ¢ª«î票î, ®¡à §ãîâ ¨¤ãªâ¨¢®¥ ¬®¦¥á⢮.
᫨ ¬ë à áᬮâਬ ¢ ¨¤ãªâ¨¢®¬ ¬®¦¥á⢥ ¬ ªá¨¬ «ìãî 楯ì C , ¯à®¤®«¦ îéãî æ¥¯ì ¨§ ®¤®£® í«¥¬¥â , íâ æ¥¯ì ¨¬¥¥â ¬ ¦®à âã b, ª®â®à ï ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¥ñ ¨¡®«ì訬 í«¥¬¥â®¬, ¨ ® ¬ ªá¨¬ «¥. 6 () 4
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ªá¨®¬ ¢ë¡®à
ãáâì A ¬®¦¥á⢮, ⮣¤ ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ B ¬®¦¥á⢮ ¯®«ëå ¯®à浪®¢, ®¯à¥¤¥«¥ëå ¯®¤¬®¦¥á⢠å A . â® ¬®¦¥á⢮ ¥ ¯ãáâ®, â ª ª ª ®® ᮤ¥à¦¨â ¯®«ë© ¯®à冷ª ; . ¯®à冷稢 ¥¬ B á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: a b , ¥á«¨ ï¥âáï ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ b . ¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® íâ® ¨¤ãªâ¨¢ë© ¯®à冷ª : æ¥¯ì ¬ ¦®à¨àã¥âáï ®¡é¨¬ à áè¨à¥¨¥¬ ª ¦¤®£® ¨§ ᢮¨å í«¥¬¥â®¢, ®¯à¥¤¥«¥®£® ®¡ê¥¤¨¥¨¨ ¨å ®á¨â¥«¥© (íâ® ®¡é¥¥ à áè¨à¥¨¥ ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬, ¢ ª®â®à®¬ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â ï¥âáï ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬). ãáâì ⮣¤ ¬ ªá¨¬ «ìë© í«¥¬¥â B . ã⢥ত î, ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á A . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ íâ® ¥ â ª, â® áãé¥á⢮¢ « ¡ë í«¥¬¥â x ¨§ A ¯®¬¨¬® ¡ §ë a . ®£¤ ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ¯à®¤®«¦¨âì ¯®à冷ª , ¯®« £ ï, çâ® x ¡®«ìè¥ ª ¦¤®£® í«¥¬¥â ®á¨â¥«ï a , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¬ ªá¨¬ «ì®á⨠. 1 () 7 ãáâì a ¯à®¨§¢®«ìë© í«¥¬¥â ¨§ A . ¯à¥¤¥«¨¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ®à¤¨ «ã ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a í«¥¬¥â®¢ ¨¤ãªâ¨¢®£® ¯®à浪 A , ¯à¥¤¯®« £ ï çâ® A á ¡¦¥ äãªæ¨¥© ¢ë¡®à . ®« £ ¥¬ a0 = a . «¥¥, ¥á«¨ = + 1 , ¨ a ¬ ªá¨¬ «¥, â® ®áâ ¢«¨¢ ¥¬áï.
᫨ íâ® ¥ â ª ¨«¨ ®à¤¨ « ¯à¥¤¥«¥, ⮠楯ì f 0; : : :; ; : : : g < ¨¬¥¥â ¥ ¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮ M â®çëå ¬ ¦®à â (¢ ¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥, ® ¥ ¨¬¥¥â ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â ). ®£¤ ¯®« £ ¥¬ alpha = f (M ) . ®áâ஥¨¥ ¤®«¦® ®áâ ®¢¨âìáï, â ª ª ª ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ®â®¡à §¨âì ¨ê¥ªâ¨¢® ª« áá ¢á¥å ®à¤¨ «®¢ ¢ ¬®¦¥á⢮. ®ïᨬ ¤«ï â¥å ªâ® § ¥â ZF , çâ® í⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ áå¥¬ë ªá¨®¬ § ¬¥é¥¨ï ¨ ⮣® ä ªâ , çâ® ®à¤¨ «ë ¥ ®¡à §ãîâ ¬®¦¥á⢮. áâ ®¢ª ®§ ç ¥â, çâ® ¬ë 諨 èã ¬ ªá¨¬ «ìãî ¬ ¦®à âã ¤«ï a .
ªá¨®¬ã ¢ë¡®à ¬ ⥬ ⨪¨ ¥ «î¡ïâ. ¨ ¥ñ ¯à¥¤¯®ç¨â î⠨ᯮ«ì§®¢ âì ¢ ä®à¬¥ ãà ⮢᪮£®-®à , ¯à¨¬¥à çâ®¡ë ¯®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¬ ªá¨¬ «ìëå ¨¤¥ «®¢ ¢ ª®«ìæ¥ á ¥¤¨¨æ¥©, â ª ª ª í⠪ᨮ¬ ¨¬ ª ¦¥âáï ¡®«¥¥ ¬ â¥à¨ «ì® ®áï§ ¥¬®©. ªá¨®¬®© ¢ë¡®à , ®¨ ¥ ¯®¨¬ îâ ⮣®, çâ® ¤® ¯®ª § âì. ª ª ª ®¨ ¨á¯ëâë¢ îâ ®â¢à 饨¥ ª ¯®áâ஥¨ï¬ âà á䨨⮩ ४ãàᨥ©, â® ®¨ áãîâ íâ㠪ᨮ¬ã ãà ⮢᪮£®-®à ªã¤ ¯®¯ «®, çâ® ç áâ® ¨å ®¡ï§ë¢ ¥â ª ªà®¡ â¨ç¥áª¨¬ âàîª ¬. ª®«ìª® ¨¬¥¥âáï ã祡¨ª®¢ «£¥¡àë, ª®â®àë¥ ¤«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢ â¥®à¥¬ë ® ⮬, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ ¡ §¨á ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠¡¥áª®¥ç®© à §¬¥à®á⨠¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢, ¨á¯®«ì§ãîâ ¥ñ ¢ ਠ⠤«ï ¯®¤¯à®áâà á⢠ª®¥ç®© à §¬¥à®áâ¨, ¢¬¥á⮠⮣®, çâ®¡ë ¯àאַ ¤®ª § âì âà á䨨âãî ¢¥àá¨î «¥¬¬ë ® § ¬¥¥! (¬. 19.11) . ªá¨®¬ã ¢ë¡®à ç áâ® ¯«®å® ¯®¨¬ îâ: çâ®¡ë ©â¨ í«¥¬¥â ¢ ¥¯ãá⮬ ¬®¦¥á⢥ ® ¥ 㦠! ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ íâ® ¬®¦¥á⢮ ¥ ¯ãá⮥, â® íâ® ¯®â®¬ã, çâ® ®® ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ í«¥¬¥â! ஡«¥¬ ¢ á«¥¤ãî饬: ¥á«¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ ᥬ¥©á⢮ ¬®¦¥áâ¢, ¯à® ª®â®à®¥ ¨¤¨¢¨¤ã «ì® § ¥¬, çâ® ª ¦¤®¥ ¥ ¯ãáâ®, â® ¨çâ® ¥ ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ äãªæ¨¨ ¢ë¡®à , ¢ ¥ª®â®à®¬ த¥ ¥¤¨®®¡à §®© ¨ ®¡é¥© ¯à®æ¥¤ãàë, ¯®ª §ë¢ î饩 çâ® ¢á¥ ®¨ ¥ ¯ãáâë¥. â® î á ¬¥¦¤ã ¯®ïâ¨ï¬¨ "ª ¦¤ë©" ¨ "¢á¥"!
᫨ ã ¢ á ««¥à£¨ï ª í⮩ ¬¥â 䨧¨ª¥, ¢ ¬ á«¥¤ã¥â ¯®âà㤨âáï ¤ ⥮ਥ© ¬®¦¥áâ¢, ¨ ¨§ãç¨âì ¤®ª § ⥫ìá⢮ (âà㤮¥) ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠ªá¨®¬ë ¢ë¡®à ®â ¤àã£¨å ªá¨®¬ ZF .
164
« ¢ 8
⮡ë à §êïá¨âì ¨¤¥¨ 襬ã ç¨â ⥫î, ¯®ª ¦¥¬ ¡¥§ ªá¨®¬ë ¢ë¡®à çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ª®¥ç®£® ç¨á« ¥ ¯ãáâëå ¬®¦¥á⢠¥ ¯ãáâ®: íâ® ¤®ª §ë¢ ¥âáï ४ãàᨥ© ¯® ç¨á«ã n . ® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨, ¬ë ¨¬¥¥¬ äãªæ¨î f á ®¡« áâìî ®¯à¥¤¥«¥¨ï [0; n ? 1] , ª®â®à ï i ᮯ®áâ ¢«ï¥â í«¥¬¥â ¨§ Ai . ª ª ª An ¥ ¯ãáâ®, â® ®® ¨¬¥¥â í«¥¬¥â a , ⮣¤ ¯à®¤®«¦¨¬ f , ¯®« £ ï f (n) = a . ªá¨®¬ ª®¥ç®£® ¢ë¡®à ¥ ï¥âáï á ¬®¬ ¤¥«¥ ªá¨®¬®©, í⮠⥮६ , ª®â®à ï ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨§ ¤àã£¨å ªá¨®¬. ¯à®â¨¢, áãé¥áâ¢ãî⠮᫠¡«¥ë¥ ä®à¬ë ªá¨®¬ë ¢ë¡®à , ª®â®àë¥ ¥ ¬®¦¥â ¢ë¢¥¤¥ë ¨§ ¨å; ¯à¨¬¥à®¬ ï¥âáï ªá¨®¬ áç¥â®£® ¢ë¡®à , ª®â®à ï ã⢥ত ¥â, çâ® ¥á«¨ A0; A1; : : :; An; : : : áç¥â ï ᮢ®ªã¯®áâì ¥ ¯ãáâëå ¬®¦¥áâ¢, â® ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¥ ¯ãáâ®. à㣮© ¯à¨¬¥à á«¥¤ãîé ï ªá¨®¬ § ¢¨á¨¬®£® ¢ë¡®à : ¯ãáâì A ¥¯ãáâoe ¬®¦¥á⢮, R ¡¨ àoe ®â®è¥¨¥ A â ª¨¥, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® ¨§ A áãé¥áâ¢ã¥â b ¨§ A â ª®©, çâ® ( ; b) 㤮¢«¥â¢®àï¥â R ; ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì an í«¥¬¥â®¢ A (â.e. ®â®¡à ¦¥¨¥ ! ¢ A) â ª ï, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® n (an; an+1) «¥¦¨â ¢ R . à ¢¨â¥ íâ® ã⢥ত¥¨¥ á 7.l7. â ¯®á«¥¤ïï ªá¨®¬ ¢ë¢®¤¨âáï «¥£ª®, ¥á«¨ ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ äãªæ¨¥© ¢ë¡®à A , ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ A ¢¯®«¥ 㯮à冷祮. ª¨¬ ®¡à §®¬, ® á«¥¤á⢨¥ ªá¨®¬ë ¢ë¡®à . ª ï ªá¨®¬ ¯®§¢®«ï¥â ¤®ª § âì ªá¨®¬ã áç¥â®£® ¢ë¡®à . ¥©á⢨⥫ì®, à áᬮâਬ ¡¨ ஥ ®â®è¥¨¥ R , ®¯à¥¤¥«¥®¥ ®¡ê¥¤¨¥¨¨ A ¬®¦¥á⢠An â ª¨¬ ®¡à §®¬ : (a; b) 㤮¢«¥â¢®àï¥â R ¥á«¨ ¤«ï ¥ª®â®à®£® 楫®£® n a ¢ An ¨ b ¢ An+1 . ⥮ਨ ¬®¦¥á⢠¤®ª § ® (íâ® âà㤮!), çâ® ® áâண® ᨫ쥥 祬 ªá¨®¬ áç¥â®£® ¢ë¡®à . ªá¨®¬ áç¥â®£® ¢ë¡®à ¯®áâ®ï® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ «¨§¥; ¥ñ ç áâ® «®¢ª® áªàë¢ îâ, çâ®¡ë ¥ á¥ïâì á¬ãâã ¢ ᮧ ¨¨ áâ㤥⮢, ¯à¥¤à ᯮ«®¦¥ëå ¤®¯ã᪠âì ¢á¥ ç⮠㣮¤®, ¨ ¯à®ä¥áá®à®¢, ¥ «î¡ïé¨å à áè âë¢ âì ®á®¢ ¨ï 㪨. ¯à¨¬¥à, çâ®¡ë ¯®ª § âì çâ® áç¥â®¥ ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¬®¦¥á⢠¬¥àë 0 á ¬® ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ¬¥àë 0 ¨á¯®«ì§ãîâ á«¥¤ãîéãî 楯®çªã à áá㦤¥¨©. ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ An ᮤ¥à¦¨âáï ¢P®âªàë⮬ P ¬®¦¥á⢥ On ¬¥àë ¬¥ì襩 "=2n+1 . ª¨¬ ®¡à §®¬ ([An) (On ) "=2n+1 = " . á â ª¨¬¨ ¢ëª« ¤ª ¬¨ ᮣ« á¥, ® § ¬¥â¨¬, çâ® §¤¥áì ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¡à âì ¤«ï ª ¦¤®£® n ®ªà¥áâ®áâì On á।¨ ¢á¥å â¥å, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î. ¢ ©â¥ ¡ã¤¥¬ ¡¥§ ¨««î§¨©: ¡¥§ ªá¨®¬ë ¢ë¡®à , ¬ë ¥ ᬮ¦¥¬ ¤ ¦¥ ¤®ª § âì, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ áç¥â®£® ᥬ¥©á⢠¬®¦¥á⢠An ¨¬¥îé¨å ª ¦¤®¥ ¯® ¤¢ í«¥¬¥â , ¥ ¯ãáâ®! ¤ ª®, ¥á«¨ A = f0; 1g , â® A! ¥ ¯ãáâ®, â ª ª ª ®® ᮤ¥à¦¨â ã«¥¢ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. ®¦¥â ¯®ª § âìáï, Q çâ® â ª ª ª ! ª ¦¤®¥ An 室¨âáï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨ á A, â® A 室¨âáï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨ á An ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ë ¤®ª ¦¥¬ ¥¯ãáâ®âã 㪠§ ®£® ¤¥ª à⮢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. â® { ®è¨¡ª , â ª ª ª ç⮡ë áâநâì â ªãî ¡¨¥ªæ¨î, ¤® ¤«ï ª ¦¤®£® n ¢ë¡à âì ®¤ã ¡¨¥ªæ¨î ¬¥¦¤ã A ¨ An á।¨ ¤¢ãå ¢®§¬®¦ëå. ª § ¬¥ç â¥«ì® áª § « ¥àâà áᥫ, íâ® { à §¨æ ¬¥¦¤ã ᥬ¥©á⢮¬ ¯ à ®áª®¢ ¨ ᥬ¥©á⢮¬ ¯ à ¡®â¨ª®¢: ¤«ï ¯®á«¥¤¥£® ¬ë ¨¬¥¥¬ äãªæ¨î ¢ë¡®à , ª®â®à ï á®á⮨⠢ ⮬ çâ®¡ë ¢á¥£¤ ¡à âì «¥¢ë© ¡®â¨®ª. ãé¥á⢮¢ ¨¥ ¯®«®£® ¯®à浪 ¬®¦¥á⢥ ¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥« ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡¥á¯¥ç¥® ⮫쪮 ªá¨®¬®©: íâ® { ¯à¥¤¬¥â ¢¥àë, ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ¥£® áç¨â âì "¥áâ¥á⢥ë¬". ® ¨¬¥¥â ¢¥áì¬ ¥¯à¨ïâë¥ ¯®á«¥¤áâ¢¨ï ¤«ï -
8.b
ªá¨®¬ ¢ë¡®à
165
«¨§ , â ª ª ª ¯à®¨§¢®¤¨â áâà ë¥ ¬®¦¥á⢠, ª®â®àëå ¬ë ¨ª®£¤ ¥ ¢áâà¥â¨¬, ª ª ¡ §¨á R , à áᬠâਢ ¥¬®£® ¢ ª ç¥á⢥ ¢¥ªâ®à®£® ¯à®áâà á⢠¤ Q , ¨«¨ ¥ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯® ¥¡¥£ã ¬®¦¥á⢮. ª¨¬ ®¡à §®¬, å®à®è¨© ¢ë¡®à (¥á«¨ ¬®¦® â ª ¢ëà §¨âìáï) ¤«ï ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® «¨§ ¤®¯ã᪠âì ªá¨®¬ã áç¥â®£® ¢ë¡®à , ¨«¨ § ¢¨á¨¬®£® ¢ë¡®à , ¨ ®âª«®¨âì ªá¨®¬ã ®¡é¥£® ¢ë¡®à , § ¬¥¨¢ ¥ñ ¯à®â¨¢ ¡®«¥¥ ¯à¨ïâ묨 ªá¨®¬ ¬¨, ª®â®àë¥ ¥© á¨«ì® ¯à®â¨¢®à¥ç â. â® ¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï ⮣®, ç⮡ë á®åà ¨âì 祫®¢¥ç¥áª®¥ «¨æ® «¨§ , ¥ ¢¢®¤ï íª§®â¨ç¥áª¨¥ ¬®¦¥á⢠(¥ ¡ã¤¥â ¨ª ª®£® ¨â¥à¥á ª ⥮ਨ ¬®¦¥á⢠¤¥©á⢨⥫ìëå ç¨á¥«, ¥á«¨ ¡ã¤¥â ¥¢¥à®, çâ® ®¡ê¥¤¨¥¨¥ áç¥â®£® ᥬ¥©á⢠¬®¦¥á⢠¬¥àë 0 ¨¬¥¥â ¬¥àã 0) . â®â ¢ë¡®à ¯®«®áâìî ¯à £¬ â¨ç¥áª¨©, â ª ª ª ¬¥â 䨧¨ç¥áª¨¥ ®á®¢ ¨ï, ª®â®àë¥ ¬®¦® ¤ ¢ âì ¤«ï ¯à¨ïâ¨ï ¨«¨ ®âª«®¥¨ï ªá¨®¬ë áç¥â®£® ¢ë¡®à , â ª¦¥ ¤¥©á⢨⥫ìë ¤«ï ªá¨®¬ë ®¡é¥£® ¢ë¡®à . «£¥¡à¥, â ª¦¥ ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, ª®â®à ï ¡«¨§ª ª «£¥¡à¥, ¯à®â¨¢ ¤®¯ã᪠î⠪ᨮ¬ã ¢ë¡®à . ¯®ç¥¬ã ¦¥? ®â®¬ã çâ® ® ã¯à®é ¥â ¦¨§ì. ᥠ¢¥ªâ®àë¥ ¯à®áâà á⢠¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¡ §¨á, ¯®«ï ¨¬¥îâ ¡ §¨á âà á楤¥â®áâ¨, ª®«ìæ á ¥¤¨¨æ¥© ¬ ªá¨¬ «ìë© ¨¬¥îâ ¨¤¥ «. ªá¨®¬ ¢ë¡®à ¡á®«îâ® ¥®¡å®¤¨¬ ¤«ï ¯¥à¢ëå £« ¢ í⮣® ªãàá . ë ä ªâ¨ç¥áª¨ ¥ñ ¨á¯®«ì§®¢ «¨ çâ®¡ë ¤®ª § âì ⥮६㠥¢¥£¥©¬ , £¤¥ ¨¬¥îâáï ¢ë¡®àë ai , «®¢ª® áªàëâë¥ ¢â®à®¬, ¤«ï â¥®à¥¬ë ª®¬¯ ªâ®á⨠¨ ¯à¨ ¯à¨¬¥¥¨¨ ã«ìâà 䨫ìâ஢, ¨ ¯à¨ ¯à¨¬¥¥¨¨ ¬¥â®¤ ¥ª¨ , ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®ïâ¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠,..., ª®à®ç¥, ® ¥®¡å®¤¨¬ ¯®ç⨠¢¥§¤¥.
᫨ ¡ë ¬ë ¥ñ ¥ ¯à¥¤¯®« £ «¨, â® ¬ ¤® ¡ë«® ¡ë ®âé âì ãá«®¢¨ï ⥮६, ãâ®çïï ª ¦¤ë© à §, çâ® ¥ª®â®àë¥ ¬®¦¥á⢠¢¯®«¥ 㯮à冷ç¥ë, ¨«¨ ®¯à¥¤¥«¥ë ®á®¡ë¬ ᯮᮡ®¬. â® ¯®«®áâìî ¡¥á¯®«¥§®¥ ®á«®¦¥¨¥, ¥ á¢ï§ ®¥ á ¯à¥¤¬¥â®¬ 襣® ¨§ã票ï. ¯à¨¬¥à, ¬ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ªá¨®¬ã ã«ìâà 䨫ìâà : ª ¦¤ë© 䨫ìâà ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ã«ìâà 䨫ìâà . ª ª ª 䨫ìâàë, 㯮à冷ç¥ë¥ ¢ª«î票¥¬, ®¡à §ãîâ ¨¤ãªâ¨¢®¥ ¬®¦¥á⢮ (®¡ê¥¤¨¥¨¥ 楯¨ 䨫ìâ஢ ï¥âáï 䨫ìâ஬, â ª ª ª ®® ¥ ᮤ¥à¦¨â ; ), íâ® ¯àאַ¥ á«¥¤á⢨¥ ªá¨®¬ë ¢ë¡®à . ⥮ਨ ¬®¦¥á⢠¤®ª § ®, çâ® ªá¨®¬ ã«ìâà 䨫ìâà áâண® á« ¡¥¥ 祬 ªá¨®¬ ¢ë¡®à . ªá¨®¬ ã«ìâà 䨫ìâà ¤®áâ â®ç , çâ®¡ë ¤®ª § âì ⥮६㠨宮¢ , ª®â®à ï ã⢥ত ¥â çâ® ª ¦¤®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ª®¬¯ ªâëå ¯à®áâà á⢠ª®¬¯ ªâ® (¢ äà æã§áª®© «¨â¥à âãॠ¯à¨ïâ® áç¨â âì, çâ® ª®¬¯ ªâ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ®â¤¥«¨¬®á⨠ã᤮àä ). ¯®áâ஥¨ïå ४ãàᨥ©, ª®â®àë¥ ¬ë ¯à®¢®¤¨«¨, è¥ ¯®¢¥¤¥¨¥ ¡ë«® ç á⮠⨯¨çë¬ ¤«ï â¥å, ªâ® ¤®¯ã᪠î⠪ᨮ¬ã ¢ë¡®à : ¬ë ®¯à¥¤¥«ï«¨ a ª ª í«¥¬¥â ¥ª®â®à®£® ¬®¦¥á⢠A , ¥ ãâ®çïï ª ª®£®. à®áâ® ¯®â®¬ã, çâ® ¯®¤à §ã¬¥¢ «¨, çâ® ¡¥à¥¬ â®, çâ® ¤ ® äãªæ¨¥© ¢ë¡®à , ¨ çâ® ¡¥á¯®«¥§® íâ® ¯®¢â®àïâì ¢á¥ ¢à¥¬ï. ¤¨¬ á«®¢®¬, ¢ í⮩ ª¨£¥, ªá¨®¬ ¢ë¡®à à áᬠâਢ ¥âáï ª ª ¢¥à ï.
166
« ¢ 8
8.c न «ë ¥®à¥¬ 8.7 ( â®à)
᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ê¥ªæ¨ï f ¨§ A ¢ B , ¨ ¨ê¥ªæ¨ï g ¨§ B ¢ A , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã A ¨ B . ®ª § ⥫ìá⢮. ë £®¢®à¨¬, çâ® í«¥¬¥â 2 A ¨«¨ b 2 B ¯¥à¢®£® ¢¨¤ , ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â á«¥¤ãî饥 ᢮©á⢮: ¥á«¨ ¯à¨¬¥à íâ® ¨§ A, â® ® ¢ ®¡à §¥ g ¨ g?1(a) ¢ ®¡à §¥ f , f ?1(g?1 (a)) ¢ ®¡à §¥ g , ¨ â.¤., â® ¥áâì ª®£¤ ¬ë ¯®¤¨¬ ¥¬áï ç¨ ï á í«¥¬¥â ¯® ¯à®®¡à § ¬, ¯®®ç¥à¥¤® ¨§ f ¨ ¨§ g , ¨ª®£¤ ¥ ®áâ ¢«¨¢ ¥¬áï. ë £®¢®à¨¬, çâ® ® ¢â®à®£® ¢¨¤ , ¥á«¨ ª®£¤ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®¤¨¬ ¥¬áï, â® ®áâ ®¢¨¬áï í«¥¬¥â¥ A , ª®â®àë© ¥ «¥¦¨â ¢ ®¡à §¥ g ¨, çâ® ® âà¥â쥣® ¢¨¤ , ¥á«¨ ¯®¤¨¬ ïáì ®áâ ®¢¨¬áï í«¥¬¥â¥ B , ª®â®àë© ¥ ¢ ®¡à §¥ f . áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨ï ' ¨§ A ¢ B , ¨ ¨§ ¢ A , ®¯à¥¤¥«¥ë¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ : - ¥á«¨ a ¯¥à¢®£® ¨«¨ ¢â®à®£® ¢¨¤ , â® '(a) = f (a) , â® '(a) = g?1(a) , - ¥á«¨ X - âà¥â쥣® ¢¨¤ , - ¥á«¨ b - ¯¥à¢®£® ¨«¨ âà¥â쥣® ¢¨¤ , â® (b) = f ?1(b) , - ¥á«¨ b - ¢â®à®£® ¢¨¤ , â® (b) = f ?1(b) . ª ª ª ' = IdB ; ' = IdA , â® ' ¨ ïîâáï ¤¢ã¬ï ¢§ ¨¬® ®¡à â묨 ¡¨¥ªæ¨ï¬¨. 2A
¡®§ 稬 ç¥à¥§ ¬®¦¥á⢮ ¯®¤¬®¦¥á⢠A . â® ¬®¦¥á⢮ ¬®¦® ®â®¦¤¥á⢨âì á ¬®¦¥á⢮¬ äãªæ¨© ¨§ A ¢ ¬®¦¥á⢮ 2 = fO; 1g ¥á«¨ ᮯ®áâ ¢¨âì ¯®¤¬®¦¥áâ¢ã ¢ A ¥£® å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áªãî äãªæ¨î. ¥®à¥¬ 8.8 (¥àè⥩) ª®¢® ¡ë ¨ ¡ë«® ¬®¦¥á⢮ A , ¥ áãé¥áâ¢ã¥â áîàꥪ樨 ¨§ A 2A . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f áîàꥪæ¨ï A 2A , ⮣¤ ¯®« £ ¥¬ X = fa : a 2 f (a)g . ª ª ª X «¥¦¨â ¢ ®¡à §¥ f , â® ¤«ï ¥ª®â®à®£® í«¥¬¥â a0 2 A ¡ã¤¥â X = f (a0) . ®£¤ , ¥á«¨ a0 62 X , â® a0 2 X , ¨ ¥á«¨ a0 2 X , â® a0 62 X . ®¡¥¨å á«ãç ïå ¨¬¥¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.
⬥⨬, çâ® í⨠¤¢¥ â¥®à¥¬ë ¤®ª § ë ¡¥§ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ªá¨®¬ë ¢ë¡®à . ë £®¢®à¨¬, çâ® ª न « ¬®¦¥á⢠A ¬¥ìè¥ ª न « ¬®¦¥á⢠B , ¢ ®¡®§ 票¨ card(A) card(B ), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ê¥ªæ¨ï A ¢ B (à áᬠâਢ ¥¬ ᥩç á card(A) card(B ) ¢ ª ç¥á⢥ £®â®¢®£® ¢ëà ¦¥¨ï). â® ®â®è¥¨¥  âà §¨â¨¢®: card(A) card(B ) ¨ card(B ) card(C ) ¢«¥ç¥â card(A) card(C ).
᫨ card(A) card(B ) ¨ card(B ) card(A), ⮣¤ £®¢®àïâ, çâ® A ¨ B ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ª न « ¤¥«® ¢ ⮬, ç⮠⮣¤ ¯® 8.7 áãé¥áâ¢ã¥â ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã A ¨ B . ® 8.8, ª न « 2A áâண® ¡®«ìè¥ ª न « A , â ª ª ª áãé¥áâ¢ã¥â ¨ê¥ªæ¨ï A ¢ 2A â , ª®â®à ï ª ¦¤ë© í«¥¬¥â a ¨§ A ®â®¡à ¦ ¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¤®í«¥¬¥â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ fag . ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ card(A) card(B ) ¨ A ¥ ¯ãáâ®, â® áãé¥áâ¢ã¥â áîàꥪæ¨ï g ¬®¦¥á⢠B A . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ f ¨ê¥ªæ¨ï A ¢ B ¨
8.c
न «ë
167
¯à®¨§¢®«ìë© í«¥¬¥â A , â® ¯®« £ ¥¬ g(b) = f ?1(b) , ¥á«¨ b ¢ ®¡à §¥ f , ¨ g(b) = a ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ . â® ¨¬¥® ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì® ¢á¥ â®, çâ® ¬®¦® ᪠§ âì ® ª न « å ¢ ®âáãâá⢨¨ ªá¨®¬ë ¢ë¡®à . ç áâ®áâ¨, ¥«ì§ï ¤®ª § âì, çâ® ¤¢ ª न « ¢á¥£¤ áà ¢¨¬ë ¨ çâ®, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â áîàꥪæ¨ï A B , â® card(A) card(B ) . í⮣® ¬®¬¥â , ¬ë à ¡®â ¥¬ á ªá¨®¬®© ¢ë¡®à .
᫨ f ï¥âáï áîàꥪ樥© A B , â® ª ¦¤ë© í«¥¬¥â b ¨§ B ¬ë ®â®¡à ¦ ¥¬, äãªæ¨¥© ¢ë¡®à A , ¥ª®â®àë© í«¥¬¥â ¨§ f ?1(b) . ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¨ê¥ªæ¨î B ¢ A , § ç¨â card(A) card(B ) .
᫨ A ¨ B ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ì묨 ¬®¦¥á⢠¬¨, â® ¨å ¬®¦® ¢¯®«¥ 㯮à冷ç¨âì, ¯¥à¢ë© ®à¤¨ «®¬ , ¢â®à®© ®à¤¨ «®¬ .
᫨ ï¥âáï ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ , â® ¨§ í⮣® ¯®«ãç ¥¬ ¨ê¥ªæ¨î A ¢ B , ¥á«¨ ¦¥ ï¥âáï ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ , â® ¯®«ãç ¥¬ ¨ê¥ªæ¨î B ¢ A . ª ª ª ¤¢ ®à¤¨ « ¢á¥£¤ áà ¢¨¬ë, â® ¢á¥£¤ ¨¬¥¥¬ card(A) card(B ) ¨«¨ card(B ) card(A) . न «®¬ ¬®¦¥á⢠§ë¢ ¥âáï ¨¬¥ì訩 ®à¤¨ « â ª®©, çâ® ®á¨â¥«¥ A áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«ë© ¯®à冷ª ⨯ . न « ¬®¦¥á⢠A ®¡®§ ç ¥âáï à ¢ë¬ ®¡à §®¬ ª ª card(A) ¨«¨ jAj . न «, íâ® ®à¤¨ « ä® ¥©¬ , ª®â®àë© ¥ ¬®¦¥â 室¨âáï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨, ¥ ®¡ï§ â¥«ì® à áâã饩, ¨ á ª ª¨¬ ¨§ ᢮¨å ᮡá⢥ëå ç «ìëå ᥣ¬¥â®¢. §-§ í⮣®, ª न «ë ¨®£¤ §ë¢ îâ ç «ì묨 ®à¤¨ « ¬¨. ¯à¨¬¥à 0,1,2,... ¨ ¢á¥ ª®¥çë¥ ®à¤¨ «ë ïîâáï ª न « ¬¨. न « ! ï¥âáï ª न «®¬, ! + 1 ¥ ï¥âáï ª न «®¬, â ª ª ª ® 室¨âáï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨ á ! (®â®¡à §¨â¥ ! 0 ¨ n n +1 ) . ®¦¥á⢮ ¨¬¥î饥 ª न « ! §ë¢ ¥âáï áç¥âë¬. ®£¤ , ¯® ª®â¥ªáâã, "áç¥âë©" ®§ ç ¥â "ª®¥çë© ¨«¨ áç¥âë©". ¨¬¥ì訩 ¥áç¥âë© ®à¤¨ « ï¥âáï ª न «®¬. ª ª ª card(! + 1) = ! ¨ ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ ®à¤¨ «ë ç¨ îâáï á ! , â® § ¬¥â¨¬, çâ® ¡¥áª®¥çë© ª न « ï¥âáï ¯à¥¤¥«ìë¬ ®à¤¨ «®¬: ¤®¡ ¢«¥¨¥ â®çª¨ ª ¡¥áª®¥ç®¬ã ¬®¦¥áâ¢ã ¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥â ¥£® ª न «.
᫨ ª न «, â® ç¥à¥§ + ®¡®§ 稬 ¨¬¥ì訩 ª न « áâண®, ¡®«ì訩 . न « + ç áâ® §ë¢ îâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬ ª न « . ¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥, çâ® ¥á«¨ ¡¥áª®¥ç®, â® + ¥ ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ®à¤¨ « . ® ⥮६¥ 8.8 + 2 , £¤¥ 2 ®¡®§ ç ¥â ª न « ¬®¦¥á⢠¯®¤¬®¦¥á⢠¬®¦¥á⢠ª न « . ®â¨ãã¬-£¨¯®â¥§ ï¥âáï á«¥¤ãî饩 ªá¨®¬®©: !+ = 2! . ¡®¡é¥ ï ª®â¨ãã¬-£¨¯®â¥§ ã⢥ত ¥â, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ª न « , ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ + = 2 . § ¥ñ á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï «î¡ëå ¡¥áª®¥çëå ¬®¦¥á⢠A; B , ¥á«¨ A ¢«®¦¨¬® ¢ B ¨ B ¢«®¦¨¬® ¢ 2A , â® A 室¨âáï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨ á B , ¨«¨ B 室¨âáï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨ á 2A . ¡®¡é¥ ï ª®â¨ãã¬-£¨¯®â¥§ ¢ í⮩ ¯®á«¥¤¥© ä®à¬¥ ¢«¥ç¥â ªá¨®¬ã ¢ë¡®à . â®â १ã«ìâ â ¯®«ãç¥ ¥à¯¨áª¨¬; ® ª®â¨ãã¬-£¨¯®â¥§ ¥§ ¢¨á¨¬ ®â ZF + ªá¨®¬ ¢ë¡®à (१ã«ìâ âë ¥¤¥«ï ¨ ®í ). ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ®¡ëç® ¥ ¯à¥¤¯®« £ îâ ª®â¨ã㬣¨¯®â¥§ã, ᫨誮¬ ã¯à®é îéãî à¨ä¬¥â¨ªã ª न «®¢. ¡ëç® áâ à îâáï ¤®ª § âì â¥®à¥¬ë ¡¥§ ¥¥; ¨ ¥á«¨ £¤¥-¨¡ã¤ì ¥ñ ¨á¯®«ì§ãîâ, â® ¢¯®á«¥¤á⢨¨ ¯ëâ îâáï ®â ¥ñ ®âª § âìáï.
168
« ¢ 8
¤ãªæ¨¥© ¯® ®à¤¨ «ã ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì @ â ª¨¬ ®¡à §®¬3: @ ï¥âáï ¨¬¥ì訬 ¡¥áª®¥çë¬ ª न «®¬ áâண® ¡®«ì訬 ª ¦¤®£® @ ¤«ï < . ª @0 = !; @1 = !+ (¨®£¤ ®¡®§ ç îâ â ª¦¥ ç¥à¥§ !1) ¨ â.¤. , @ ¥áâì " -ë© ¡¥áª®¥çë© ª न «". ë ¯®«ãç ¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨¤¥ªá æ¨î ¢á¥å ¡¥áª®¥çëå ª न «®¢ ®à¤¨ « ¬¨: á ¬®¬ ¤¥«¥ «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ª न « ¬¥ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ @ , â ª¨¬ ®¡à §®¬ ® ¨¬¥¥â ¢¨¤ @ , ¤«ï ¥ª®â®à®£® . ª ¦¥ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì i ª न «®¢4 : ¥á«¨ = + 1 , â® i = 2i ; i0 = ! , ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ìë© ¥ã«¥¢®© ®à¤¨ «, â® i ï¥âáï ¢¥à奩 £à ìî (¢ ª ç¥á⢥ ®à¤¨ « ¨«¨ ª न « íâ® ®¤® ¨ â® ¦¥) ª न «®¢ i , ¤«ï < . ¡®¡é¥ ï ª®â¨ãã¬-£¨¯®â¥§ ã⢥ত ¥â çâ® i = @ ¤«ï ª ¦¤®£® .
᫨, ¯à®â¨¢ ® ¥¢¥à , â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì i-®¢ ¯àë£ ¥â ç¥à¥§ ¥ª®â®àë¥ ª न «ë.
¥®à¥¬ 8.9
᫨ A ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, â® A A ¨ A ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨
â®â ¦¥ ª न «.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ª न « A , ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬®¦¥á⢥ ¯®à冷ª 0 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ (¥ § ¡ë¢ ¥¬, çâ® í«¥¬¥â ¬¨ ïîâáï
®à¤¨ «ë á ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ¯®à浪®¬) : ( ; )
«ï ¤ ®£® ¡¥áª®¥ç®£® ª न « , §®¢¥¬ Ded() ¨¬¥ì訩 ª न « â ª®©, çâ® ¨ª ª ï æ¥¯ì ª न « ¥ ¬®£« ¨¬¥âì à §«¨çëå á¥ç¥¨© (ᨬ¢®« Ded - ®â ä ¬¨«¨¨ ¥¤¥ª¨¤).
᫨ Ded() ï¥âáï ª न «®¬¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬, â® ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ ded() ¥£® ¯à¥¤è¥á⢥¨ª : ded()
8.d
®ä¨ «ì®áâì
171
ï¥âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ ªá¨¬ «ìë¬ ç¨á«®¬ á¥ç¥¨©, ª®â®àë¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì æ¥¯ì ª न « . «ï ¥ª®â®àëå , ded ¬®¦¥â ¥ áãé¥á⢮¢ âì. ª ª ª á¥ç¥¨¥ ¢ A ®¯à¥¤¥«¥® ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ ¢ A ïî騬áï ¥£® ¬¥ì訬 ª« áᮬ, â® Ded() (2 )+ , ¨ ¥á«¨ ded() áãé¥áâ¢ã¥â, â® ded() 2 . ª¨¬ ®¡à §®¬, á ¯®¬®éìî ⥮६ë 8.10, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®æ¥ª¨ (+)+ Ded() (2 )+; + ded() 2 : «ï = ! , ded() áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ à ¢¥ 2! , â ª ª ª 楯ì à 樮 «ìëå ç¨á¥« ¨¬¥¥â 2! á¥ç¥¨©. ¥áâ¥á⢥®, ¥á«¨ ¤®¯ã᪠âì ®¡®¡é¥ãî ª®â¨ã㬣¨¯®â¥§ã, â® ded() áãé¥áâ¢ã¥â ¢á¥£¤ ¨ à ¢¥ 2 . ® ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ Ded , ¢ ®âáãâá⢨¨ í⮩ £¨¯®â¥§ë, ï¥âáï ¯à¥¤¬¥â®¬ § ¡®âë á¯¥æ¨ «¨á⮢ ⥮ਨ ¬®¦¥áâ¢. ¥®à¥¬ 8.11 ( ã᤮àä)
᫨ A ï¥âáï ¡¥áª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ª à) (2 ¤¨ « , â® ¨¬¥îâáï 2 à §«¨çëå ã«ìâà 䨫ìâ஢ ¨§ ¯®¤¬®¦¥á⢠A . ®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª ã«ìâà 䨫ìâà A ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ¯®¤) (2 ¬®¦¥á⢠A, â® ¨å ¥ ¡®«¥¥ 祬 2 . ¬ 㦮 ¯®ª § âì, çâ® ¨å ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ á⮫쪮 ¦¥. ®¢®à¨¬, ç⮠ᥬ¥©á⢮ F ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¡ã«¥¢® ¥§ ¢¨á¨¬®, ¥á«¨ ®® á®áâ ¢«ï¥â ¡ §ã ᢮¡®¤®© «£¥¡àë ã«ï. â® ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ X1; : : : ; Xn; Y1; : : : ; Yn ïîâáï à §«¨ç묨 í«¥¬¥â ¬¨ F , â® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å Xi ¨ ¢á¥å ¤®¯®«¥¨© Yj ¢ A ¨ª®£¤ ¥ ¯ãáâ®.
᫨ F ï¥âáï ¡ã«¥¢® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ᥬ¥©á⢮¬, â® ª ¦¤®¬ã ¯®¤¬®¦¥áâ¢ã G ¢ F ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¡ § 䨫ìâà , ®¡à §®¢ ï ¨§ í«¥¬¥â®¢ G ¨ ¤®¯®«¥¨© í«¥¬¥â®¢ ¨§ F , ª®â®àë¥ ¥ «¥¦ â ¢ G . â ¡ § 䨫ìâà ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ã«ìâà 䨫ìâà UG .
᫨ G 6= G0 , ⮣¤ ®¡ï§ â¥«ì® UG 6= UG0 , ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¯à¨¬¥à X 2 G; X 62 G0 , ⮣¤ X ¢ UG ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¨¬¥® ¤®¯®«¥¨¥ ª X «¥¦¨â ¢ UG0 . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬ ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¡ã«¥¢® ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ᥬ¥©á⢮ ¨§ 2 ¯®¤¬®¦¥á⢠A . áᬮâਬ è¥ ¬®¦¥á⢮ A ª न « ¨ ¬®¦¥á⢮ B , ¤¨§êîªâ®¥ á A , ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ í«¥¬¥â®¢ b(F ; P1; : : : ; Pn ), ¨¤¥ªá¨à®¢ ëå, á ®¤®© áâ®à®ë, ª®¥çë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ F ¨§ A ¨ á ¤à㣮© áâ®à®ë, (ª®¥çë¬!) ¬®¦¥á⢮¬ P1; : : :; Pn ¯®¤¬®¦¥á⢠F . ª ª ª ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠A , ¨ ª ¦¤®¥ ¨§ ¨å ¨¬¥¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯®¤¬®¦¥áâ¢, â® B â ª¦¥ ¨¬¥¥â ª न « . ¦¤®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ X ¢ A ¬ë ®â®¡à ¦ ¥¬ ¨ê¥ªâ¨¢® ¯®¤¬®¦¥á⢮ X 0 ¢ A [ B , ®¯à¥¤¥«¥®¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬: { ¥á«¨ a ¢ A , â® a 2 X 0 () a 2 X { ¥á«¨ b ¢ B; b = b(F ; P1; : : : ; Pn ), â® b 2 X 0 () X \ F ®¤® ¨§ Pi . ã⢥ত î, ç⮠ᥬ¥©á⢮ X ᢮¡®¤®. ¥©áâ¢¨â¥«ì® à áᬮâਬ à §«¨çë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠X1; : : : ; Xn; Y1; : : : ; Yn ¨§ A .
᫨ ¤¢ ¬®¦¥á⢠®â«¨ç îâáï, íâ® § ç¨â, çâ® ¥ª®â®à ï â®çª ¯à¨ ¤«¥¦¨â ®¤®¬ã, ® ¥ ¤à㣮¬ã. ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ F ¢ A â ª®¥, çâ® á«¥¤ë P1; : : :; Pn ; Q1; : : : ; Qn íâ¨å ¬®¦¥á⢠F ¯®¯ à® à §«¨çë ¨ í«¥¬¥â b(F ; P1; : : :; Pn ) ¯à¨ ¤«¥¦¨â Xi0 , ® ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â Yi0 . ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¯®áâந«¨ ᥬ¥©á⢮ ¨§ 2 ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯®¤¬®¦¥á⢠A [ B . ª ª ª íâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¬®¦¥á⢮ ¨¬¥¥â ª न « , â® ¬ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¥£® ¯¥à¥¢¥á⨠¡¨¥ªæ¨¥© A , çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì âॡ㥬®¥ ᥬ¥©á⢮.
172
« ¢ 8
8.d ®ä¨ «ì®áâì ®ä¨ «ì®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ B 楯¨ A , íâ® ¯à®áâ® ¥ñ ¥ ®£à ¨ç¥®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ : ¤«ï ª ¦¤®£® ¨§ A , áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â b ¨§ B , ¡®«ì訩 ¨«¨ à ¢ë© a . ¥¯ì B §ë¢ ¥âáï ª®ä¨ «ì®© ª 楯¨ A , ¥á«¨ ® ¨§®¬®àä ¯®¤æ¥¯¨ ª®ä¨ «ì®© á A . â® ¯®ï⨥ ,®ç¥¢¨¤®, âà §¨â¨¢®: ¥á«¨ A ª®ä¨ «ì ª B ¨ B ª®ä¨ «ì ª C , ⮣¤ A ª®ä¨ «ì ª C . ¥®à¥¬ 8.12 ¦¤ ï æ¥¯ì ¨¬¥¥â ª®ä¨ «ì®¥ ¢¯®«¥ 㯮à冷祮¥ (®£à ¨ç¥¨¥¬ ¯®à浪 楯¨!) ¯®¤¬®¦¥á⢮. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì A 楯ì, ⮣¤ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì í«¥¬¥â®¢ A : ¥á«¨ 楯ì f: : :; a ; : : : g < ¥ ®£à ¨ç¥ , â® ®áâ ¢«¨¢ ¥¬áï, a ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï; ¨ ç¥ a ï¥âáï â®ç®© ¬ ¦®à ⮩ a , ¤«ï < . ®£¤ ¯à®æ¥áá § ª®ç¨âáï, ¯®áâந¬ ¯®¤æ¥¯ì, ¢¯®«¥ 㯮à冷ç¥ãî ¨ ¥ ®£à ¨ç¥ãî ¢ A .
ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®ä¨ «ì®áâìî A §ë¢ ¥âáï (¤à㣨¥ £®¢®àïâ: ä¨ «ìë© å à ªâ¥à A) ¨¬¥ì訩 ®à¤¨ «, ®¡®§ ç ¥¬ë© cof (A) , ª®ä¨ «ìë© ¢ A . ® âà §¨â¨¢®áâ¨, ®à¤¨ « < cof (A) ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ª®ä¨ «ìë¬ ¢ cof (A) , ¨ cof (A) à ¢¥ ᢮¥© ᮡá⢥®© ª®ä¨ «ì®áâ¨: ®à¤¨ «, ®¡« ¤ î騩 í⨬ ᢮©á⢮¬ §ë¢ ¥âáï, ॣã«ïàë¬. ¥¬¬ 8.13 ¦¤ë© ॣã«ïàë© ®à¤¨ « ï¥âáï ª न «®¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ª ¦¤ë© ¯®«ë© ¯®à冷ª A ®¡« ¤ ¥â ä¨ «ìë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬, 祩 ®à¤¨ « ¬¥ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ card(A) = . «ï í⮣® ¨¤¥ªá¨à㥬 A ®à¤¨ « ¬¨ ¨§ , 室ï饣®áï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨ á A . «¥¬¥âë A , â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥îâ ¢¨¤ a : 2 . ë à ᯮ« £ ¥¬ ¤¢ã¬ï ¯®«ë¬¨ ¯®à浪 ¬¨ A : ¯®à冷ª í«¥¬¥â®¢ A ¨ ¯®à冷ª ¨¤¥ªá®¢. ®¢â®à¨¬ ⥯¥àì ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬ë, áâà®ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì b ¨¤ãªæ¨¥© ¯® : { ¥á«¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fb g < , ¥ ®£à ¨ç¥ ¢ A , â® ®áâ ¢«¨¢ ¥¬áï ¨ í«¥¬¥â b ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï , { ¨ ç¥, ¢ ª ç¥á⢥ b ¡¥à¥¬ í«¥¬¥â a á ¬¨¨¬ «ìë¬ ¨¤¥ªá®¬ , ª®â®àë© ¡®«ìè¥ ¢á¥å b ; < ¨ ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ a .
᫨ ®áâ ®¢¨¬áï ¤® , â® ¯®«ã稬 ª®ä¨ «ì®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ®à¤¨ « < ; ¨ ç¥ ¯®«ã稬 ª®ä¨ «ì®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ®à¤¨ « .
⫨ç îâ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¤¢ த ª न «®¢: ॣã«ïàë¥ ª न «ë, ¨ ¤à㣨¥, ª®â®àë¥ §ë¢ îâáï ᨣã«ïà묨 ª न « ¬¨. ¯à¨¬¥à, ª®¥ç묨 ॣã«ïà묨 ª न « ¬¨ ïîâáï 0 (¯ãá⮩ ª®ä¨ «ì®áâ¨) ¨ 1 , ª®ä¨ «ì ï æ¥¯ì ª®â®à®£® ¨¬¥¥â ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥â; ®à¤¨ « ! ॣã«ïà¥. ¥®à¥¬ 8.14 न « 6= 2 ᨣã«ïॠ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ᥬ¥©á⢮ ᮤ¥à¦ 饥 ¬¥ìè¥ ç¥¬ ¬®¦¥áâ¢, ª न « ª ¦¤®£® ¨§ ª®â®àëå ¬¥ìè¥ ç¥¬ , ¨ ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ᥬ¥©á⢠¨¬¥¥â ª न « .
8.d
173
®ä¨ «ì®áâì
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ᨣã«ïà¥, â® ® ¨¬¥¥â ª®ä¨ «ì®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ¨¬¥î饥 ¬¥ì訩 ª न «. «ï ª ¦¤®£® ¨§ , ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ I = f : g (¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, I = + 1 !) . ® ®¯à¥¤¥«¥¨î I ï¥âáï ᮡáâ¢¥ë¬ ç «ìë¬ á¥£¬¥â®¬ , ª न « ª®â®à®£® ¬¥ìè¥ , § ¨áª«î票¥¬ á«ãç ï ª®£¤ ª®¥ç¥ ¨ ï¥âáï ¥£® ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥â®¬.
᫨ à ¢¥ 0 ¨«¨ 1 , â® ® ॣã«ïà¥, ¨ ªà¨â¥à¨© ¯à®¢¥à¥.
᫨ = n ª®¥ç¥ ¨ ¡®«ìè¥ 2 , â® n = (n ? 1) + 1 .
᫨ ¡¥áª®¥ç¥, â® = [ 2AI . ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® A = [i2I Ai ¨ = jAj; jAij < ; jI j < â ª, çâ® ª न « ¬®¦¥á⢠I ¬¨¨¬ «ìë© á â ª¨¬ ᢮©á⢮¬: A ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëà ¦¥® ª ª ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¬¥¥¥, 祬 ᢮¨å ¯®¤¬®¦¥á⢠¨¬¥îé¨å ª न « ¬¥ì訩 祬 . â®¡à §¨¬ ¯®«ë© ¯®à冷ª I . â® ¯®§¢®«ï¥â ¨¤¥ªá¨à®¢ âì ¬®¦¥á⢠Ai ç¥à¥§ . ®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¬®¦¥á⢠A ¤¨§êîªâë. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, § ¬¥¨¬ ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ A A ? [ < A . ë á ¡¦ ¥¬ ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ A ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬, ¯à¨¬¥à, ¯®à浪®¬ ¥£® ª न « . áᬮâਬ A "á㬬 àë©" ¯®«ë© ¯®à冷ª ¯®à浪®¢ [A . ç¨â ¥¬ < b , ¥á«¨ a 2 A ; b 2 A , £¤¥ < ¨«¨, ¥á«¨ a; b 2 A ¨ a < b ¢ á¬ëá«¥ A .
᫨ ª न « ª®¥ç¥, â® § ç¨â ¬®¦¥á⢮ A ª®¥ç® ¨ ¥£® ª न « ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ 2 (¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, = 2).
᫨ ¡¥áª®¥ç¥, â® ® ï¥âáï ¯à¥¤¥«ìë¬ ®à¤¨ «®¬, ¨ â ª ª ª ® ¬¨¨¬ «¥ á ®¡á㦤 ¥¬ë¬ ᢮©á⢮¬, â® ª ¦¤ë© ᮡáâ¢¥ë© ç «ìë© á¥£¬¥â á㬬 ண® ¯®«®£® ¯®à浪 ¬®¦¥á⢠A ¨¬¥¥â ª न « ¬¥ì訩 . ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®à冷ª [A ï¥âáï ®¡ï§ â¥«ì® ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬ . ®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì í«¥¬¥â®¢ ¬¨¨¬ «ìëå ¢ ª ¦¤®¬ A , ®à¤¨ « ª®â®à®© à ¢¥ , ª®ä¨ «ì ¢ .
®ª § ⥫ìá⢮ ¯à¥¤ë¤ã饩 â¥®à¥¬ë ¯®ª §ë¢ ¥â çâ® ¤¥©á⢨⥫ì®, ¤«ï ª ¦¤®£® ¡¥áª®¥ç®£® ª न « , cof () = ï¥âáï ¨¬¥ì訬 ª न «®¬ â ª¨¬, çâ® ¬®¦® ¢ëà §¨âì ª ª á㬬 ª न «®¢, ª ¦¤ë© ¨§ ª®â®àëå ¬¥ìè¥ . à ªâ¥à¨á⨪ ॣã«ïàëå ª न «®¢ ï¥âáï á«¥¤ãî饩 : ¯ãáâì A ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®¦¥áâ¢, ¨¤¥ªá¨à®¢ ëå . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ < , â® A A . ®£¤ ª ¦¤®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ [ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ cof () .
5
®â¥æ ¢â®à ⥮६ë 7.26 ® ¤¥à¥¢ìïå
8.e
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
175
8.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï §-§ ã⨫¨â ண® å à ªâ¥à í⮩ £« ¢ë, ¡¥á¯®«¥§® ¤ ¢ âì áá뫪¨ ¯® ¯®¢®¤ã १ã«ìâ ⮢. áñ, çâ® §¤¥áì 㯮¬¨ ¥âáï, ®ç¥ì ª« áá¨ç¥áª®¥. â® ¡ë«® ¡ë à ¡®â®©, ¥ ¨¬¥î饩 á¢ï§¨ á ⥬, çâ® ï ¯à¥¤¯à¨ï« §¤¥áì, â ª ª ª ¯à¥¤áâ ¢¨âì í¢®«îæ¨î "¥®à¨¨ ¬®¦¥áâ¢" ¢ â¥ç¥¨¥ ª®æ ¯à®è«®£® ¢¥ª , íâ®, ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, ®¯¨áë¢ âì ¯®ï¢«¥¨¥ ᮢ६¥®© ª®æ¥¯æ¨¨ ¬ ⥬ ⨪¨. «ï ¢á¥£® í⮣®, ï å®â¥« ¡ë ®£à ¨ç¨âìáï áá뫪®© [, 1982] . ¤¥« î ⥬ ¥ ¬¥¥¥ ®¤® ¨áª«î票¥ ¢ ¯®«ì§ã [
, 1977] , ç⥨¥ ª®â®à®£® ४®¬¥¤ãî ¤«ï â¥å, ªâ® å®ç¥â ¯®¤à®¡¥¥ à §®¡à âìáï á ªá¨®¬®© ¢ë¡®à .
« ¢ 9 áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ SATURABILITE sf. T. de chimie. Qualite de ce qui est saturable SATURABLE adj. Qui est suspectible de saturation SATURANT, ANTE adj. Qui a la propriete de saturer SATURATION (sa-tu-ra-sion) sf. T. de chimie 1 Le terme ou, les anites reciproques des deux principes d'un corps binaire etant satisfaites, aucun des deux principes n'est plus susceptible de s'unir avec une nouvelle quantite de l'autre : : : 2 Saturation du sol des cimetieres, condition qui provient de ce que, des cadavres nouveaux y etant sans cesse inhumes, avant que les cadavres plus anciens aient eu le temps de se consumer, le sol devient impropre a operer les changements qui constituent la putrefaction. E.L.
9.a ¥®à¥¬ ¢¥®¨ãá : : : : : : : : : : : : : : : : : : 178 9.b ®¬¯ ªâë¥, áëé¥ë¥, ®¤®à®¤ë¥, 㨢¥àá «ìë¥ ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 180 9.c «¥áâï騥 ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 185 9.d ¢®©á⢠á®åà ïî騥áï ¯à¨ ¨â¥à¯à¥â 樨 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 190 9.e ¥ªãàᨢ® áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 191 9.f áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 197 176
9.a
¥®à¥¬ ¢¥®¨ãá
177
¥¯¥àì ¬ë ¯à¨áâ㯠¥¬ ª ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¢ ¡ãª¢ «ì®¬ á¬ëá«¥. ç « ãâ®ç¨¬ ¥ª®â®àë¥ ®¡®§ 票ï, ª®â®àë¥ §¤¥áì ¡ã¤ãâ ¯à¨ïâë. ë à áᬠâਢ ¥¬ ⥮à¨î T , ª®â®à ï ¡ã¤¥â ¯®«®©, ¥á«¨ ¥ ®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, ¢ ï§ëª¥ L; ç¥à¥§ jT j ¨«¨ jLj ®¡®§ ç ¥âáï ¬®é®áâì ï§ëª , â® ¥áâì ç¨á«® ¥£® ä®à¬ã«, ® à ¢ !, ¥á«¨ L ᮤ¥à¦¨â ª®¥ç®¥ ¨«¨ áç¥â®¥ ç¨á«® ᨬ¢®«®¢ ®â®è¥¨©, äãªæ¨© ¨ ª®áâ â ¨ ® à ¢ {, ¥á«¨ L ᮤ¥à¦¨â { > ! ᨬ¢®«®¢.
᫨ T ¯®« ¨ ¨¬¥¥â ª®¥çãî ¬®¤¥«ì, â® ® ¡ã¤¥â ¥¥ ¥¤¨á⢥®© ¬®¤¥«ìî á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ . ®áª®«ìªã, íâ®â á«ãç © ¥ ®ç¥ì ¨â¥à¥á¥, ¬ë ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¢á¥ ¬®¤¥«¨ T ¡¥áª®¥çë. ¨¬¢®« ¬¨ M; N : : : ®¡®§ ç îâ ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ T ; ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ { íâ® ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«¨ T ; L(A) ®¡®§ ç ¥â ï§ëª, ¯®«ãç¥ë© ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ª L ᨬ¢®«®¢ ª®áâ â ¤«ï ®¡®§ ç¥¨ï ª ¦¤®£® í«¥¬¥â A; ¨ T (A) ®¡®§ ç ¥â ⥮à¨î, ®¡à §®¢ ãî ¨§ ¯à¥¤«®¦¥¨© ¢ L(A) , ¢ë¯®«ïîé¨åáï í«¥¬¥â å ¨§ A ¢ ¬®¤¥«¨ M , £¤¥ ®¨ ¢á¥ «¥¦ â. ¥®¡å®¤¨¬® ¯®ïâì, çâ® ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ § ¤ ¥âáï ¥ ¬®¦¥á⢮¬ A , ⥮ਥ© T (A) .
᫨ A M; M N (N { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M ), â® A ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï, ª ª ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢, á A, à áᬠâਢ ¥¬ë¬ ª ª ¯®¤¬®¦¥á⢮ N , ¯®áª®«ìªã T (A) á®åà ï¥âáï ¯à¨ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨.
᫨ M { ¬®¤¥«ì T , â® ¬®¤¥«ì T (M ) ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M (¢ ª®â®à®¬ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â M ¢ë¤¥«¥ ª®áâ ⮩).
᫨ A M , â® £®¢®àïâ, çâ® ¤¢ í«¥¬¥â x1 ¨ x2 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¤ A, ¥á«¨ ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ "ä®à¬ã« ¬ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A", â.¥. ä®à¬ã« ¬ ¨§ L(A); § ç¨â, ⨯ { íâ® ¯®« ï ⥮à¨ï ¢ ï§ëª¥ L(A [ fxg), ᮤ¥à¦ é ï T (A); «î¡®© ⨯ ¢ ª®æ¥ ª®æ®¢ ॠ«¨§ã¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ M . ®¦¥á⢮ ⨯®¢ ¤ A ®¡®§ ç ¥âáï ç¥à¥§ S1(A); ¬ë ¥£® á ¡¦ ¥¬ ⮯®«®£¨¥©, ®¯à¥¤¥«¥®© á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«: ®® áâ ®¢¨âáï ¢¯®«¥ ¥á¢ï§ë¬ ª®¬¯ ªâ®¬. ¯®¬¨¬, ç⮠⨯ë, ॠ«¨§ãî騥áï ¢ ¯à®¨§¢®«ì®© ¬®¤¥«¨, ᮤ¥à¦ 饩 A (â.¥. ¢ ¬®¤¥«¨ T (A)) ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ S1(A) : ᬮâà¨â¥ 5. ; ¨ çâ® ¥á«¨ A ᮤ¥à¦¨âáï ¢ B , â® ®£à ¨ç¥¨¥ S1(B ) S1(A) { ¥¯à¥à뢮¥ ®â®¡à ¦¥¨¥. «®£¨ç® ¬®¦® ¢¢®¤¨âì ¯à®áâà á⢠Sn(A) ⨯®¢ n-®ª, ¨«¨ n-⨯®¢, ¢§ï¢ n ¯¥à¥¬¥ëå x1; : : :; xn ¢¬¥áâ® ®¤®© x; ¨ ¤ ¦¥ ¯à®áâà á⢮ S (A) -⨯®¢, £¤¥ { ®à¤¨ «, ¢¢¥¤ï -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯¥à¥¬¥ëå, â® ¥áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fx ; g < ¯¥à¥¬¥ëå, ¨¤¥ªá¨à®¢ ëå ®à¤¨ «®¬ . ¥ª®â®àë¥ §ë¢ îâ "⨯®¬" ⥮à¨î, ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯®«ãî, ¢ L(A[fxg), §ë¢ ï "¯®«ë¬ ⨯®¬" í«¥¬¥â S1(A) ¨«¨ Sn (A); ¤«ï á ⨯ ¢á¥£¤ ¡ã¤¥â ¯®«ë¬, ¥á«¨ ¬ë ¥ ãâ®ç塞 "¥¯®«ë© ⨯"; "¥¯®«ë© ⨯" { íâ® § ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ S1(A).
᫨ A = ;, â® ¬ë ¯¨è¥¬ Sn (T ) ¢¬¥áâ® Sn (;). ¨¯ ¤ ; ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ⨯®¬ ¡¥§ ¯ à ¬¥âà , ç¨áâë¬ ¨«¨ ¡á®«îâë¬ â¨¯®¬, á«¥¤ãï ᢮¥¬ã áâ஥¨î. áâ® £®¢®àïâ "¬®¤¥«ì", ¥ ãâ®çïï ¥¥ ⥮à¨î; íâ® ¯®â®¬ã, çâ® ¬®¤¥«ì, ª®¥ç®, ï¥âáï ¬®¤¥«ìî ᢮¥© ᮡá⢥®© ⥮ਨ! ¨¬¢®«ë ; ; ; : : : ®¡®§ ç î⠮न «ë, {; ; ; : : : { ¡¥áª®¥çë¥ ª न «ë, â.¥. ç «ìë¥ ®à¤¨ «ë; card(A) ¨«¨ jAj ¥áâì ¬®é®áâì A.
178
« ¢ 9
9.a ¥®à¥¬ ¢¥®¨ãá
᫨ ¤¢ í«¥¬¥â a ¨ b ¬®¤¥«¨ M ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ ¥ª®â®à®¬ ¢â®¬®à䨧¬¥ s ¬®¤¥«¨ M (sa = b), ¨«¨ ¯à¨ ¢â®¬®à䨧¬¥ ¥ª®â®à®£® í«¥¬¥â ண® à áè¨à¥¨ï M , â® ®ç¥¢¨¤®, çâ® a ¨ b ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯. «¥¤ãîé ï ⥮६ ã⢥ত ¥â ®¡à ⮥: ¥®à¥¬ 9.1
᫨ ¤¢ í«¥¬¥â a ¨ b ¬®¤¥«¨ M ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, â® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M ¨ ¢â®¬®à䨧¬ s ¬®¤¥«¨ N â ª®©, çâ® s(a) = b . ®ª § ⥫ìá⢮. 㦮 ¤®ª § âì ᮢ¬¥áâ®áâì ¬®¦¥á⢠¯à¥¤«®¦¥¨© ¢ ï§ëª¥ L(M ) [fsg, á®áâ®ï饣® ¨§ T (M ), ä®à¬ã«ë s(a) = b, ªá¨®¬ë, ¢ëà ¦ î饩, çâ® s { ¡¨¥ªæ¨ï, ¨ ªá¨®¬, ¢ëà ¦ îé¨å, çâ® s á®åà ï¥â ¢á¥ ®â®è¥¨ï, äãªæ¨¨ ¨ ª®áâ âë áâàãªâãàë M . § ª®¬¯ ªâ®áâ¨, ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® ª ¦¤ë© ¥£® ª®¥çë© äà £¬¥â ᮢ¬¥áâ¥, â ª¦¥ ¬ë ¬®¦¥¬ ᢥá⨠¤®ª § ⥫ìá⢮ ª á«ãç î, ª®£¤ M { ª®¥ç ï ¨«¨ áç¥â ï ¬®¤¥«ì ¢ ª®¥ç®¬ ï§ëª¥, ª®â®àë© ¬®¦® ¯®« £ âì, ª ª íâ® ¬ë ç áâ® ¤¥« «¨, ç¨á⮠५ï樮ë¬. ®£¤ ¢¢¥¤¥¬ ¤«ï ª ¦¤®£® p 1 ®¢ë© ᨬ¢®« Ep(x1; : : : ; xp; y1; : : : ; yp) ¨ ᯨ᮪ ªá¨®¬, ᮤ¥à¦ 騩 T (M ) , ¨ ¢ëà ¦ î騩, çâ® Ep(x; y) ®¯à¥¤¥«ï¥â ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠p-ª å, ªá¨®¬ë (8x)(9y)E1(x; y); : : : ; (8x)(8y)(8u)(9v)(Ep(x; y) ! Ep+1(x; u; y; v)); : : : ¨ ª®¥æ, ¤«ï ª ¦¤®© ⮬®© ä®à¬ã«ë f (t; x) ¯¥à¢® ç «ì®£® ï§ëª , ªá¨®¬ë ¢¨¤ (8x)(8y)(Ep(x; y) ! (f (a; x) $ f (b; y))) : ⮠ᥬ¥©á⢮ ªá¨®¬ ᮢ¬¥áâ®, â ª ª ª ¥£® ª®¥çë© äà £¬¥â ¢®¢«¥ª ¥â ⮫쪮 p ᨬ¢®«®¢ E1; : : : ; Ep ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï ¥£® ¬®¤¥«ì á ®á¨â¥«¥¬ M , ¨â¥à¯à¥â¨àãï Ei(x; y) ç¥à¥§ ¬®¦¥á⢮ ª®à⥦¥© (x; y) ¤«¨ë 2i í«¥¬¥â®¢ M â ª¨å, çâ® a_x ¨ b_ y (p ? i)-íª¢¨¢ «¥âë (â.¥. 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¤® ª¢ â®à®£® à £ p ? i ) . 祢¨¤®, íâ® ¢®§¬®¦® ¯®â®¬ã, çâ® a ¨ b ®¤®£® ⨯ , â.¥. p-íª¢¨¢ «¥âë ¤«ï «î¡®£® p . â ª, íâ áç¥â ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â ª®¥çãî ¨«¨ áç¥âãî ¬®¤¥«ì N , ª®â®à ï, ¥á«¨ à áᬠâਢ âì ª ª L áâàãªâãàã, í«¥¬¥â à® à áè¨àï¥â M , ¯®áª®«ìªã ï¥âáï ¬®¤¥«ìî T (M ); ¨ ¥á«¨ c ¨ d { ª®à⥦¨ ¤«¨ë p ¨§ N , 㤮¢«¥â¢®àïî騥 Ep(x; y) , â® a_á ¨ b_d 1-íª¢¨¢ «¥âë ¢ á¬ëá«¥ ï§ëª L. ª á«¥¤á⢨¥ a ¨ b 1-íª¢¨¢ «¥âë ¢ L-áâàãªâãॠN . ® 1.14, ¯®áª®«ìªã N áç¥â , íâ® ®§ ç ¥â, çâ® (N; a) ¨ (N; b) ¨§®¬®àäë ¨«¨ ¥é¥, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢â®¬®à䨧¬ s ¬®¤¥«¨ N , â ª®©, çâ® s(a) = b .
᫨ A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¬®¤¥«¨ M , â® ¬ë §®¢¥¬ A- ¢â®¬®à䨧¬®¬ M ¢â®¬®à䨧¬ M , ®áâ ¢«ïî騩 ¥¯®¤¢¨¦ë¬ A ¯®â®ç¥ç®. ¬¥¨¢ ¢ ⥮६¥ 9.1 T T (A), ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤¢ í«¥¬¥â ¨§ M ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¤ A ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M , ¥ª®â®àë© A- ¢â®¬®à䨧¬ ª®â®à®£® ¯¥à¥¢®¤¨â ®¤¨ í«¥¬¥â ¤à㣮©. ®«¥¥ ⮣®,
9.a
179
¥®à¥¬ ¢¥®¨ãá
íâ® ¦¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®å®¤¨â ¤«ï n-⨯®¢ ¨, ¯® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, ¤«ï ⨯®¢ -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩. â ⥮६ , ¯à®ïáïîé ï ¯®ï⨥ ⨯ , ¯®§¢®«ï¥â â ª¦¥ ¤®ª § âì ¥ª®â®àë¥ à¥§ã«ìâ âë ®¡ ®¯à¥¤¥«¨¬®áâ¨, ¨§« £ ¥¬ë¥ ¨¦¥. ãáâì ¤ ë L-áâàãªâãà M ¨ n- ஥ ®â®è¥¨¥ r M , r §ë¢ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬ (â ª¦¥ £®¢®àïâ ¨â¥à¯à¥â¨à㥬®), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« f (x) ï§ëª L â ª ï, çâ® r á®á⮨⠢ â®ç®á⨠¨§ ª®à⥦¥© ¨§ M , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f ; ¢ ï§ëª¥ L(r) áâàãªâãà (M; r) 㤮¢«¥â¢®àï¥â (8x)(r(x) $ f (x)): ¤¥áì, ä®à¬ã« f ¥ ᮤ¥à¦¨â ¯ à ¬¥â஢ ¨§ M , ¥á«¨ ä®à¬ã« ᮤ¥à¦¨â ¯ à ¬¥âàë ¨§ M , â® ãâ®ç塞: r ®¯à¥¤¥«¨¬® á ¯ à ¬¥âà ¬¨. ®£¤ , ¥á«¨ (M 0; r0) { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ (M; r), ®â®è¥¨¥ r0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© f ¨ ¢ M 0 ; ¨ ®ç¥¢¨¤®, çâ® ª ¦¤ë© ¢â®¬®à䨧¬ áâàãªâãàë M 0 ï¥âáï ¢â®¬®à䨧¬®¬ ¨ ¤«ï r0. ¡à ⮥ â ª¦¥ ¢¥à®: ¥®à¥¬ 9.2 (¢¥®¨ãá)
᫨ ®â®è¥¨¥ r ®á¨â¥«¥ áâàãªâãàë M ¥ ®¯à¥¤¥«¨¬® ¢ M , â® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ (M 0 ; r0 ) áâàãªâãàë (M; r), â ª®¥, çâ® ¥ª®â®àë© ¢â®¬®à䨧¬ s ¬®¤¥«¨ M 0 ¥ á®åà ï¥â r0 . ®ª § ⥫ìá⢮. ç « ¤®ª ¦¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ (M1; r1) ¬®¤¥«¨ (M; r) ¢¬¥áâ¥ á ¤¢ã¬ï ª®à⥦ ¬¨ a ¨ b ®¤®£® ⨯ ¢ á¬ëá«¥ M1, ®¤¨ ¢ r1, ¤à㣮© ¢ :r1.
᫨ íâ® ¥ â ª, â® ¢ ⥮ਨ T (r) ⨯ n-ª¨, 㤮¢«¥â¢®àïî饩 r, § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥£® ®£à ¨ç¥¨ï ï§ëª L áâàãªâãàë M . â ª, ¯ãáâì p 2 Sn(T; r) ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® p ` r(x), { ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ï§ëª L, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨åáï ⨯®¬ p. ® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ` r(x) ¨ ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠¥ª®â®àë© ª®¥çë© äà £¬¥â , ª®â®àë© ¬®¦® § ¬¥¨âì ª®êîªæ¨î ¥£® ä®à¬ã«, ¤®áâ â®ç¥ ¤«ï ¢ë¢®¤ r : áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« fp(x) ï§ëª L, â ª ï, çâ® p ` fp(x) ¨ T (r) ` (8x)(fp(x) ! r(x) . ë ¯®ªà뫨 ®âªàëâ®-§ ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ hri ®âªàëâ묨 ¬®¦¥á⢠¬¨ hfpi . ® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, ª®¥ç®¥ ç¨á«® á।¨ ¨å, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ä®à¬ã« ¬ f1; : : : ; fm , ¤®áâ â®ç® ¤«ï í⮣® ¨ hri = hf1 _ _ fmi . ç¨â, T (r) ` (8x)(r(x) $ f1(x) _ _ fm(x)) , íâ® ¢ â®ç®á⨠®§ ç ¥â, çâ® r ®¯à¥¤¥«¨¬® ¢ M . ¥¯¥àì ¯®ª ¦¥¬, ᮢ¥à襮 «®£¨çë¬ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ⥮६ë 9.01 ᯮᮡ®¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ (M 0; r0) ¬®¤¥«¨ (M; r) (¨ ¥ ⮫쪮 í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M 0 ¬®¤¥«¨ M !), £¤¥ M 0 ¨¬¥¥â ¢â®¬®à䨧¬ s , ¯¥à¥¢®¤ï饩 a b, ¨ s ¥ ï¥âáï ¢â®¬®à䨧¬®¬ ¤«ï r0 .
ãáâì T { ⥮à¨ï, ¥®¡ï§ â¥«ì® ¯®« ï, ¢ ï§ëª¥ L(r), ¯®«ã祮¬ ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ª L ®¢®£® ᨬ¢®« ®â®è¥¨ï r. ®¢®àïâ, çâ® r ®¯à¥¤¥«ï¥âáï  ¢ T , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« f ï§ëª L â ª ï, çâ® T ` (8x)(f (x) $ r(x)) . â®è¥¨¥ r ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥ï¢®, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¬®¤¥«¨ M ¬®¦¥á⢠TL ¯à¥¤«®¦¥¨© ¨§ T ¢ ï§ëª¥ L (¥ § ¡ã¤ìâ¥, çâ® T § ¬ªãâ ®â®á¨â¥«ì® ¢ë¢®¤ ), áãé¥áâ¢ã¥â ¥ ¡®«¥¥ ®¤®£® ®â®è¥¨ï r ¡ §¥ M , â ª®£®, çâ® (M; r) { ¬®¤¥«ì T . á®, çâ® ï¢ ï ®¯à¥¤¥«¨¬®áâì ¢«¥ç¥â ¥ï¢ãî: ¢ á«ãç ¥ £® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì TL ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¬®¤¥«ì ¤«ï T , ¨â¥à¯à¥â¨àãï r ç¥à¥§ f (x), ¨ íâ® { ¥¤¨á⢥ ï ¢®§¬®¦®áâì. ¥®à¥¬ 9.3 (¥®à¥¬ ¥â ) ¥®à¨ï T ¢ ï§ëª¥ L(r) ®¯à¥¤¥«ï¥â ®â®è¥¨¥ r  á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ï§ëª L ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ® ¥£® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥ï¢®.
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« ¢ 9
®ª § ⥫ìá⢮. ç « ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ä®à¬ã«ë r1(x); : : :; rm(x) ï§ëª L â ª¨¥, çâ® T ` (8x)(r(x) $ r1(x)) _ _ (8x)(r(x) $ rm(x)) :
᫨ m = 1 , â® r  ®¯à¥¤¥«ï¥âáï. ।¯®«®¦¨¬, çâ® m 2 ¨ çâ® r ¥ï¢® ®¯à¥¤¥«¨¬®; à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢠ªá¨®¬ T1; : : :; Tm ¢ ï§ëª¥ L , ¯®«ãç¥ë¥ § ¬¥®© ¢áî¤ã ¢ T ®â®è¥¨ï r , ᮮ⢥âá⢥®, r1; : : :; rm . ® ¥ï¢®© ®¯à¥¤¥«¨¬®á⨠r ¬ë ¨¬¥¥¬ T1 [ T2 ` (8x)(r1(x) $ r2(x)) . ç¨â, ¯® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« f (r) ¨§ T â ª ï, çâ® f (r1) ^ f (r2) ` (8x)(r1(x) $ r2(x)) , £¤¥ f (r1) ¨ f (r2) ®¡®§ ç îâ â®, çâ® ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨ § ¬¥¥ ¢ f (r) ®â®è¥¨ï r r1 ¨ r2 ᮮ⢥âá⢥®. ®¢â®àïï íâ®â à£ã¬¥â ¤«ï ¤àã£¨å ¯ à ¬ë, ¢ ª®¥ç®¬ áç¥â¥, ©¤¥¬ ä®à¬ã«ã g(r) ¨§ T , â ªãî, çâ®: { ¢ ª ¦¤®© ¬®¤¥«¨ T ¯à¥¤«®¦¥¨¥ g(r1) _ _ g(rm ) ¨á⨮; { ¥á«¨ g(ri) ¨á⨮, â® ¥¤¨á⢥®© ¢®§¬®¦®© ¨â¥à¯à¥â 樥© ¤«ï r ï¥âáï ri : (8x)(r $ ri) ¨á⨮; { ¨ ®ç¥¢¨¤®, ¥á«¨ ¨¬¥¥¬ g(ri) ^ g(rj ) , â® ¬ë ¨¬¥¥¬ â ª¦¥ (8x)(ri $ rj ) ¨ V V ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® T ` (8x)(r(x) $ 1in(g(ri ) ! ri(x))) , ç⮠ï¥âáï ï¢ë¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ r . ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì (M; r) ⥮ਨ T , £¤¥ r ¥ ®¯à¥¤¥«¨¬® ¢ M á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë L ; ¯® ⥮६¥ ¢¥®¨ãá áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ (M 0; r0) ¬®¤¥«¨ (M; r) á ¢â®¬®à䨧¬®¬ s ¬®¤¥«¨ M 0 ᤢ¨£ î騬 r0 : (M 0; r0) ¨ (M 0; sr0) { ¤¢¥ ¬®¤¥«¨ T , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¥ï¢®© ®¯à¥¤¥«¨¬®á⨠r .
᫨ (M; r) { ª®¥ç ï áâàãªâãà , â® ® ¥ ¨¬¥¥â ᮡá⢥ëå í«¥¬¥â àëå à áè¨à¥¨©. ®£¤ ⥮६ ¢¥®¨ãá ã⢥ত ¥â, çâ® r á®åà ï¥âáï ¯à¨ ¢á¥å ¢â®¬®à䨧¬ å M ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®® ®¯à¥¤¥«¨¬® (¡¥§ ¯ à ¬¥â஢!) ¢ M . ®â íâ® ¨ ¥áâì ç áâë© á«ãç © ä㤠¬¥â «ì®© â¥®à¥¬ë ¨§ "¡áâà ªâ®© ⥮ਨ «ã " ઠà á¥à , ãáâ ®¢¨¢è¥£® ¤ã «ì®áâì ¬¥¦¤ã ¬®¦¥á⢠¬¨ ®â®è¥¨© § ¬ªãâëå ®â®á¨â¥«ì® "«®£¨ç¥áª¨å ®¯¥à 権" ¨ ¨å £à㯯 ¬¨ ¢â®¬®à䨧¬®¢; ¢ á«ãç ¥ ¬®¦¥áâ¢ á ¡¥áª®¥çë¬ ®á¨â¥«¥¬, ¤«ï í⮣® 㦮 ¢¢®¤¨âì ¨ä¨¨â àë¥ ï§ëª¨. ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ®, ¥á«¨ E { ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¨§ n í«¥¬¥â®¢ ¨ ¥á«¨ G { ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®¤£à㯯 £àã¯¯ë ¯¥à¥áâ ®¢®ª E , â® G { £à㯯 ¢â®¬®à䨧¬®¢ n- ண® ®â®è¥¨ï Ga = fb : b = sa; s 2 Gg ®à¡¨âë ¯® G n-ª¨ a, ¡¨¥ªâ¨¢® 㬥àãî饩 E .
9.b ®¬¯ ªâë¥, áëé¥ë¥, ®¤®à®¤ë¥, 㨢¥àá «ìë¥ ¬®¤¥«¨ ¥¯¥àì ¬ë ¢¢¥¤¥¬ àï¤ ®¯à¥¤¥«¥¨©; ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T §ë¢ ¥âáï {-ª®¬¯ ªâ®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¬®¦¥á⢠ä®à¬ã« f (a; x) ï§ëª L(M [ fxg)
9.b
®¤¥«¨ ª®¬¯ ªâë¥, áëé¥ë¥ ¨ ¯à.
181
ᮢ¬¥á⮣® á T (M ) ¨ ¨¬¥î饣® ¬®é®áâì ¬¥ìè¥ { , áãé¥áâ¢ã¥â x ¢ M â ª®©, çâ® (M; x) ¡ã¤¥â ¬®¤¥«ìî ¤«ï ¥£®; ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ª ¦¤ë© ¥¯®«ë© ⨯ (®, ¢®§¬®¦®, ¯®«ë©!) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M , ¨¬¥î騩 ªá¨®¬ ⨧ æ¨î ¯® ¬®¤ã«î T (M ) ¨§ ¬¥ìè¥, 祬 { ä®à¬ã«, ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M . ® ®¯à¥¤¥«¥¨î, «î¡ ï ¬®¤¥«ì !-ª®¬¯ ªâ : ¥á«¨ ff1(a1; x); : : :; fn (an; x)g ᮢ¬¥áâ® á T (M ) , â® íâ® § ç¨â M ` (9x)(f1(a1; x) ^ ^ fn(an; x)) . ®¤¥«ì §ë¢ ¥âáï {- áë饮©, ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¢ M , ¬®é®á⨠¬¥ìè¥ { , ª ¦¤ë© ⨯ ¨§ S1(A) ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M . ë ᮢ §¤¥áì ¢áâà¥ç ¥¬ ¯®ï⨥ !- áë饮© ¬®¤¥«¨ ¨§ £« ¢ë 5. á®, çâ® {- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì {-ª®¬¯ ªâ , ¥á«¨ ¥¯®«ë© ⨯ ¬®é®á⨠¬¥ìè¥ ç¥¬ { , â® ¯ à ¬¥âàë, ¢®¢«¥ç¥ë¥ ¢ ¥£® ä®à¬ã«ë, ®¡à §ãîâ ¬®¦¥á⢮ A ¬®é®á⨠¬¥ìè¥ { , ¨ ¯®¯®«ï¥âáï ¤® ¥ª®â®à®£® ⨯ p ¨§ S1(A) , ª®â®àë© à¥ «¨§ã¥âáï ¢ M í«¥¬¥â®¬, ⥬ ¡®«¥¥ ॠ«¨§ãî騬 . ¡à â®, ¥á«¨ { jT j+ , â® {-ª®¬¯ ªâ ï ¬®¤¥«ì {- áëé¥ , ¯®áª®«ìªã ç¨á«® ä®à¬ã« ï§ëª L(A [fxg) à ¢® Max(jAj; jT j) . ®ï⨥ {- áë饮© ¬®¤¥«¨ ¬®£® ¨â¥à¥á¥¥ 祬 ¯®ï⨥ {-ª®¬¯ ªâ®© ¬®¤¥«¨. ®¤¥«ì §ë¢ ¥âáï áë饮©, ¥á«¨ ® ª®¥ç ¨«¨ ¬®é®á⨠{ ¨ ï¥âáï { - áë饮©. ¬¥â¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠{ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì {+ -ª®¬¯ ªâ®©, ¯®áª®«ìªã ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« x 6= a , ¤«ï ¢á¥å a ¨§ M , ᮢ¬¥áâ®; § ç¨â, áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¬ ªá¨¬ «ì®© áë饮áâ¨, ª®â®àãî ¯®§¢®«ï¥â ¥ñ ¬®é®áâì. ®¤¥«ì M §ë¢ ¥âáï {-㨢¥àá «ì®©, ¥á«¨ «î¡ ï ¬®¤¥«ì T ¬®é®á⨠¥ ¡®«ìè¥ { ¨§®¬®àä í«¥¬¥â ஬㠮£à ¨ç¥¨î M . ®£¤ £®¢®àïâ, çâ® ¬®¤¥«ì 㨢¥àá «ì , ¥á«¨ ® 㨢¥àá «ì ¢ ᢮¥© ¬®é®áâ¨. ®¤¥«ì M {-(á« ¡®) ®¤®à®¤ , ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¨ B ¢ M ¬®é®á⥩ ¬¥ìè¥ { ¨ ®¤®£® ⨯ (A ¨ B ¯à®ã¬¥à®¢ ë ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ®à¤¨ «®¬ ¬¥ì訬 祬 { ¨ ¥á«¨ ¢ T (A) § ¬¥¨âì ª ¦¤ë© a b ⮣® ¦¥ ¨¤¥ªá , â® ¯®«ãç ¥¬ T (B )), ¤«ï «î¡®£® a ¨§ M áãé¥áâ¢ã¥â b ¨§ M â ª®©, çâ® A [fag ¨ B [fbg ¨¬¥¥â ®¤¨ ª®¢ë© ⨯. áâ® £®¢®àïâ ® (á« ¡®©) ®¤®à®¤®á⨠¢¬¥áâ® !-®¤®à®¤®áâ¨; â ª ª ª íâ® àãè ¥â ¯ à ««¥«ìë¥ á®£« è¥¨ï ¤«ï áëé¥ëå ¬®¤¥«¥©, ¬ë ¥£® ®â¢¥à£ ¥¬. ®¤¥«ì M {-á¨«ì® ®¤®à®¤ , ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå ¤¢ãå ¯®¤¬®¦¥á⢠(¨«¨ â®ç¥¥ -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩) A ¨ B ¢ M ®¤®£® ⨯ , ¬®é®á⨠¬¥ìè¥ { , áãé¥áâ¢ã¥â ¢â®¬®à䨧¬ s ¬®¤¥«¨ M , â ª®©, çâ® sA = B .
᫨ M {-á¨«ì® ®¤®à®¤ ï, â® ® {-®¤®à®¤ , ¯®áª®«ìªã A [ fag ¨ sA [ fsag ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯. ë ¢¨¤¨¬ â ª¦¥, çâ® ª®¥ç ï áâàãªâãà ¨¬¥¥â ¢á¥, ª ª¨¥ ¬ 㣮¤®, ᢮©á⢠áë饮áâ¨, 㨢¥àá «ì®á⨠¨, ¯® ⥮६¥ 9.1, ®¤®à®¤®áâ¨. ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ M {-ª®¬¯ ªâ , â® ª ¦¤ë© ¥¯®«ë© -⨯ ¨¬¥î騩 ¬¥ìè¥ ç¥¬ { ä®à¬ã«, £¤¥ { ®à¤¨ «, ¬¥ì訩 { , ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M . á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯ãáâì F { ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ¢¨¤ f (a; x 1 ; : : : ; x n ) , £¤¥ 1; : : :; n < , ᮢ¬¥á⮥ á T (M ) ¨ ¬®é®áâ¨, ¬¥ì襩 { .
᫨ ®® ª®¥ç®, â® ¬®¦® ¢§ïâì ª®êîªæ¨î ¥£® ä®à¬ã«, ¨ ¥á«¨ ®® ¡¥áª®¥ç®, â® ¬ë ¬®¦¥¬ § ¬ªãâì íâ® ¬®¦¥á⢮ ®â®á¨â¥«ì® ª®¥çëå ª®êîªæ¨©, çâ® ¥ ¯®¢ëè ¥â ¬®é®áâì. ®£¤ , ¯ãáâì F0 { ¬®¦¥á⢮, ¯®«ã祮¥ 9-ª¢ â¨ä¨ª 樥© ¢® ¢á¥å ä®à¬ã« å ¨§ F ¢á¥å ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå x , ªà®¬¥ x0 : ¯® {-ª®¬¯ ªâ®á⨠F0 ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ b0 ¨§ M . ãáâì F1 { ¬®¦¥á⢮, ¯®«ã祮¥ ¨§ F § ¬¥®© x0 b0 , ¨ ¯®â®¬ 9-ª¢ â¨ä¨ª 樥© ¯® ¢á¥¬ ¯¥à¥¬¥ë¬, ªà®¬¥ x1 :
182
« ¢ 9
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®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M ¨ N 1-íª¢¨¢ «¥âë, ¤«ï ª ¦¤®£® a ¨§ M áãé¥áâ¢ã¥â b ¨§ N â ª®©, çâ® (M; a) ¨ (N; b) 1-íª¢¨¢ «¥âë. ç¨â, a ¨ b ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¨ M ¨ N ॠ«¨§ãîâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ç¨áâë¥ â¨¯ë. ¡à â®, ¯ãáâì M ¨ N !-á« ¡® ®¤®à®¤ë ¨ ॠ«¨§ãîâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ç¨áâë¥ â¨¯ë. ãáâì a ¨ b ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, ¯¥à¢ë© ¨§ M , ¢â®à®© ¨§ N (â ª ª ª M ¨ N ¬®¤¥«¨ ¯®«®© ⥮ਨ T , â® ¬ë ¬®¦¥¬ ¤ ¦¥ ¡à âì a = b = ; ) . ®¡ ¢¨¬ c ª a , ⮣¤ áãé¥áâ¢ãîâ b0 ¨ d0 ¢ N â ª¨¥, çâ® a_c ¨ b0_ d0 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, ¯® ®¤®à®¤®á⨠N ©¤¥âáï â ª¦¥ í«¥¬¥â d â ª®©, çâ® b_ d ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯, çâ® ¨ a_c .
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183
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¨§ p ¯à¨ § ¬¥¥ ¢ ª ¦¤®© ¥£® ä®à¬ã«¥ ¯ à ¬¥â஢ ¨§ A ¨å ¤¢®©¨ª¨ ¨§ B . ª ª ª A ¨ B ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, â®, ¥á«¨ p ` f (x; a) , â® M ` (9x)f (x; a) ¨ M ` (9x)f (x; b) . ç¨â, q â ª¦¥ ï¥âáï ᮢ¬¥áâë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ä®à¬ã«. â® { ⨯ ¤ B , ª®â®àë© ¯® áë饮á⨠ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ b ¨§ M , ®âªã¤ ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¥ñ ®¤®à®¤®áâì. ãáâì ⥯¥àì M {-®¤®à®¤ ¨ {-㨢¥àá «ì . ãáâì A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ M , jAj < {, ¨ p { ⨯ ¤ A , ª®â®àë© à¥ «¨§ã¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ N í«¥¬¥â®¬ a. ® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ ¬ë ¬®¦¥¬ ॠ«¨§®¢ âì ⨯ A_a ¤ ; ¢ ¬®¤¥«¨ N ¬®é®áâ¨, ¥ ¯à¥¢®á室ï饩 {. ¡®§ 稬 ¥£® ॠ«¨§ æ¨î ¢ N ç¥à¥§ A0_a0 (á ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ §«®ã¯®âॡ«¥¨¥¬, ¯à®¤®«¦ ï 㬥à æ¨î A0 ¯®á«¥¤ãî騩 a0 ; íâ® ®¡®§ 票¥ ¡®«¥¥ ¨«¨ ¬¥¥¥ íª¢¨¢ «¥â® A0 [ fa0g, à §«¨ç¨¥ ï¥âáï ç¨áâ® ¯á¨å®«®£¨ç¥áª¨¬, ®® ¨á¯®«ì§®¢ «®áì ¤® í⮣®). ® {-㨢¥àá «ì®á⨠M ¬®¤¥«ì N ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï í«¥¬¥â à® ¢ M . ᨫã {-®¤®à®¤®á⨠M áãé¥áâ¢ã¥â a1 ¢ M â ª®©, çâ® A0_a0 ¨ A_a1 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, á«¥¤®¢ ⥫ì®, a1 ॠ«¨§ã¥â p.
¥®à¥¬ 9.7 ¢¥ áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ ®¤¨ ª®¢®© ¬®é®á⨠¯®«®© ⥮ਨ T ¨§®¬®àäë.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M = fa g jT j. ãáâì { ⥮à¨ï, ᮢ¬¥áâ ï á T (M ) , ¢ ï§ëª¥ L0 , ᮤ¥à¦ 饬 ⮫쪮 ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ A ¨§ M , jAj < {, ¨ ¤®¡ ¢«ïî饬 ª ï§ëªã L ⥮ਨ T ¬¥ìè¥, 祬 { ®¢ëå ᨬ¢®«®¢. ë ¯à®ã¬¥à㥬 M ᢮¨¬ ª न «®¬, M = fa0; : : : ; a ; : : : g max(jT j; jT 0j), â® ® å®à®è . á ¬®¬ ¤¥«¥ íâ® ®ç¥¢¨¤®, ¥á«¨ N ª®¥ç , ¯®áª®«ìªã ⮣¤ ® ¥¤¨á⢥ ï ¬®¤¥«ì T 0 ; ¥á«¨ ® ¡¥áª®¥ç , ⮠ᮢ¬¥áâ® ã⢥ত¥¨¥ ® ⮬, çâ® ®á¨â¥«¥ N ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®¤¥«ì M1 ⥮ਨ T , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¬®¤¥«ì N1 ª®â®à®© ¨§®¬®àä N . ª®¥æ, § ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ï§ëª¨ ᮤ¥à¦ â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᨬ¢®«®¢ ®â®è¥¨© ¨ äãªæ¨© ¨ ¥á«¨ T ª®¥ç® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 , â® â®â ¦¥ á ¬ë© à£ã¬¥â ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¡«¥áâïé ï N ¢á¥£¤ å®à®è .
9.e ¥ªãàᨢ® áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ ®ï⨥ ४ãàᨢ® áë饮© ¬®¤¥«¨ ï¥âáï £àã¡®© ᬥáìî ४ãàᨢ®á⨠¨ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©.
᫨ ¬ë §¤¥áì ¥£® ®¡á㦤 ¥¬, â® íâ® ¯®â®¬ã, çâ® ¢ á«ãç ¥ áç¥â®© ¬®¤¥«¨ íâ® ¯®ï⨥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯®ï⨥¬ ¡«¥áâï饩 ¬®¤¥«¨ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥¥â ⥠¦¥ ¥¤®áâ ⪨, â ª çâ® ¥ ¢®á¯à¨¨¬ ©â¥ íâ® ª ª 㤠çã; ª ⮬㠦¥, ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ä ªâ ï¥âáï å®à®è¥© â२஢ª®© ¯® ¯®áâ஥¨î ¬®¤¥«¥©. ë à áᬮâਬ ª®¥çë© ï§ëª L , â.¥. ᮤ¥à¦ 騩 «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᨬ¢®«®¢ ®â®è¥¨©, äãªæ¨© ¨ ª®áâ â; íâ® âॡ®¢ ¨¥ ª®¥ç®á⨠ï§ëª
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« ¢ 9
ï¥âáï áãé¥áâ¢¥ë¬ ¤«ï á«¥¤ãîé¨å ⥮६. â ª, ¯ãáâì M { L-áâàãªâãà ¨ ª®à⥦ a = (a1; : : :; an) ¯à¨ ¤«¥¦¨â M . ë ¬®¦¥¬ ᮯ®áâ ¢¨âì ª ¦¤®¬ã ¯¥à¢¨ç®¬ã ᨬ¢®«ã ï§ëª L(a1; : : : ; an; x) ¥ª®â®à®¥ âãà «ì®¥ ç¨á«® ¨ § ª®¤¨à®¢ âì ç¨á« ¬¨ ¯à¥¤«®¦¥¨ï í⮣® ï§ëª , ª ª íâ® ¬ë ¤¥« «¨ ¢ £« ¢¥ 7 ¤«ï ¯à¥¤«®¦¥¨© ï§ëª à¨ä¬¥â¨ª¨. ®¢®à¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì M ४ãàᨢ® áëé¥ , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ª®à⥦ a ¨§ M ¨ ¤«ï «î¡®£® ४ãàᨢ®£® ¬®¦¥á⢠ä®à¬ã« f (a; x) , ᮢ¬¥á⮣® á T (M ) , áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â x ¨§ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¢á¥¬ í⨠ä®à¬ã« ¬. ®¤ "४ãàá¨¢ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ä®à¬ã«" ¬ë, ª®¥ç®, ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥¬ "¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«, ¬®¦¥á⢮ ª®¤®¢ ª®â®àëå ४ãàᨢ®"; ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¨§¬¥¥¨¥ ª®¤®¢ a1; : : :; an , ¯à¨¬¥à, ¨å ¯¥à¥áâ ®¢ª , ¯à¨¢®¤¨â ª ४ãàᨢ®© ®¯¥à 樨 ª®¤ å ä®à¬ã« ¨ çâ® íâ® ¥ ¬¥ï¥â ४ãàá¨¢ë© ¨«¨ ¥à¥ªãàá¨¢ë© å à ªâ¥à à áᬠâਢ ¥¬ëå ¬®¦¥á⢠ä®à¬ã«. ª¦¥ § ¬¥â¨¬, çâ® ¯® ⥮६¥ 7.28 ® ¯«¥® §¬¥, ¡à âì ४ãàᨢ®¥ ¬®¦¥á⢮ ¨«¨ ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ¨ç¥£® ¥ ¬¥ï¥â ¢ í⮬ ¤¥«¥. ®ï⨥ ४ãàᨢ® áë饮© ¬®¤¥«¨ ï¥âáï ¡®«¥¥ ª®¢ àë¬, 祬 ®® ª ¦¥âáï: â®â ä ªâ, çâ® ¥ª®â®àë¥ à¥ªãàá¨¢ë¥ ¬®¦¥á⢠ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M ᮢ¬¥áâë ¨«¨ ¥â, ¯®§¢®«ï¥â ç áâ® ¢ ¬®¤¥«¨ M § ª®¤¨à®¢ âì ¨ä®à¬ æ¨î, ¢ë室ïéãî ¤ «¥ª® § à ¬ª¨ ४ãàᨢ®áâ¨. ¥ § ¡ã¤¥¬, ç⮠४ãàá¨¢ë¥ â¨¯ë, ª®â®àë¥ ¬ë ॠ«¨§ã¥¬, ïîâáï ¥¯®«ë¬¨ ⨯ ¬¨ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ a : ¢ £¨¯®â¥§¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï £®¢®à¨âáï, çâ® ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« f (a; x) ४ãàᨢ® ¨ ᮢ¬¥áâ® á T (a) , ® ¥ £®¢®à¨âáï, çâ® ®® ¯®«®.
¥¬¬ 9.20 ¥ªãàᨢ® áëé¥ ï ¬®¤¥«ì !-á« ¡® ®¤®à®¤ . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a ¨ b ®¤®£® ⨯ ¢ M , ª®â®à ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï
४ãàᨢ® áë饮©. ãáâì c «¥¦¨â ¢ M ; ¯®áª®«ìªã a ¨ b ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, â® ®¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ ¢¨¤ (9z)f (y; z) ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« f (a; c) ! f (b; x) , ïî饥áï ४ãàᨢë¬, ᮢ¬¥áâ®; § ç¨â, ®® 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï í«¥¬¥â®¬ d ¨§ M ¨ a_c ¨ b_ d ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯.
¥®à¥¬ 9.21 «ï ¤ ®£® ª®¥ç®£® ï§ëª L , ¡¥áª®¥çë¥ à¥ªãàᨢ® -
áëé¥ë¥ L-áâàãªâãàë ®¡à §ãî⠯ᥢ¤®í«¥¬¥â àë© ª« áá; ¡®«¥¥ â®ç®, áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤«®¦¥¨¥ f (R) ï§ëª L [ fRg â ª®¥, çâ® M ४ãàᨢ® áëé¥ â®£¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢ ¥© ¬®¦® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì R â ª, ç⮡ë 㤮¢«¥â¢®à¨âì f (R) .
®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª ª®¥ç®¥ ç¨á«® ®â®è¥¨© r1; : : :; rm ᮮ⢥â-
á⢥® à®á⥩ n1; : : : ; nm ¬®£ãâ ¡ëâì § ¬¥¥ë (¢ í⮬ ª®â¥ªáâ¥) ®¤® ®â®è¥¨¥ ¨å ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï R = r1 rm à®á⨠n1 + + nm , ¬ë ᥡ¥ ¯®§¢®«¨¬ ¤®¡ ¢«¥¨¥ ª L ª®¥ç®£® ç¨á« á«¥¤ãîé¨å ᨬ¢®«®¢ : { âਠᨬ¢®« ã àëå ®â®è¥¨© E (x); A(x); U (x) , { ¤¢¥ ã àë¥ äãªæ¨¨ y = i(x); y = (x) , { ç¥âëॠ¡¨ àë¥ äãªæ¨¨ z = x + y; z = xy; z = c(x; y); z = t(x; y) ,
9.e
¥ªãàᨢ® áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨
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{ ®¤¨ ᨬ¢®« ¡¨ ண® ®â®è¥¨ï Sat(x; y) . ।«®¦¥¨¥ f (R) ¯®«ãç ¥âáï ª ª ª®êîªæ¨ï á«¥¤ãîé¨å ¯à¥¤«®¦¥¨©, ª®â®àë¥ ï ®¯¨èã ¥ä®à¬ «ì® : 1) ë ã⢥ত ¥¬, çâ® E ("í«¥¬¥âë"), A (" à¨ä¬¥â¨ª ") ¨ U ("ª®à⥦¨") ¤¨§êîªâë ¨, çâ® i { ¡¨¥ªæ¨ï M E . â ¬ ¨¯ã«ïæ¨ï ¥ ï¥âáï ¥®¡å®¤¨¬®©; ® ¨¬¥¥â 楫ìî ¯à®ïᥨ¥ ª®áâàãªæ¨¨. 2) ë ã⢥ত ¥¬, çâ® á«®¦¥¨¥ ¨ 㬮¦¥¨¥, ®£à ¨ç¥ë¥ A , ®¡à §ãîâ ¬®¤¥«ì ¬¨¨¬ «ì®© à¨ä¬¥â¨ª¨, à áè¨à¥ãî ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ªá¨®¬, £ à â¨àãîé¨å ¢ëà §¨¬®áâì ®â®è¥¨ï 2 ¨ (¯à¨¬¨â¨¢® ४ãàᨢëå) äãªæ¨©, ãç áâ¢ãîé¨å ¢ ª®¤¨à®¢ª¥ ä®à¬ã« (¤®áâ â®ç® ¢ëà §¨âì, çâ® ¥ª®â®àë¥ äãªæ¨¨ ¢áî¤ã ®¯à¥¤¥«¥ë). 3) ãªæ¨ï ¤¥©áâ¢ã¥â ¨§ U ¢ A : ª®à⥦㠮 ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¥£® "¤«¨ã"; äãªæ¨ï c ®â®¡à ¦ ¥â A U ¢ E : ¥á«¨ n ¨§ A ¨ ¬¥ìè¥ ¤«¨ë u , â® c(n; u) ¡ã¤¥â §ë¢ âìáï "n-®© ª®®à¤¨ ⮩ u"; ¬ë ã⢥ত ¥¬, çâ® ¤¢ ª®à⥦ ®¤¨ ª®¢®© ¤«¨ë ¨ á ®¤¨ ª®¢ë¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨ à ¢ë, çâ® 0-ª (¯ãáâ ï) áãé¥áâ¢ã¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® ª®à⥦ u ¨ «î¡®£® í«¥¬¥â e ¨§ E ª®à⥦ u_ e áãé¥áâ¢ã¥â. â ¯®á«¥¤ïï ªá¨®¬ £ à â¨àã¥â, çâ® ¢á¥ áâ®ï騥 n-ª¨ í«¥¬¥â®¢ ¨§ E , £¤¥ n áâ ¤ àâ®, ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ U . 4) ª ª ª ï§ëª L ª®¥ç¥, ¬ë ¬®¦¥¬ § ª®¤¨à®¢ âì ¥£® ä®à¬ã«ë ¢ 襩 à¨ä¬¥â¨ª¥. ç¨â, ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ ¯®ï⨥¬ ä®à¬ã«ë f (x) ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢ ¨ ¢á¥¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¢®ªà㣠¥£®. ।¨ª â Sat , §ë¢ ¥¬ë© ¢ë¯®«¨¬®áâìî, ᮥ¤¨ï¥â ä®à¬ã«ã f á ª®à⥦®¬ u , ¤«¨ ª®â®à®£® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¨á«ã ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå f . ®¡ ¢¨¬ á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë, £¤¥ f ¨ g ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ä®à¬ã«ë ⮫쪮 ¨á室®£® ï§ëª (áãé¥á⢥®, çâ® ®¨ ¥ ᮤ¥à¦ â ¨ Sat ¨ t ) : - ¤«ï ª ¦¤®£® ¯¥à¢¨ç®£® ᨬ¢®« r ï§ëª L (¨å áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«®) (8e1) : : : (8en)(Sat(r(x); (e1; : : : ; en)) $ r(i?1(e1); : : : ; i?1(en))) ; (8f 2 L)(8u)(Sat(f; u) $ :Sat(:f; u)) ; (8f 2 L)(8g 2 L)(8u)(8v)(Sat(f ^ g; u_ v) $ (Sat(f; u) ^ Sat(g; v))) ; (8f 2 L)(8g 2 L)(8u)(8v)(Sat(f _ g; u_ v) $ (Sat(f; u) _ Sat(g; v))) ; (8f 2 L)(8u)(Sat((9x)f;u) $ (9e)Sat(f; u_e)) ; (8f 2 L)(8u)(Sat((8x)f;u) $ (8e)Sat(f; u_e)) : ë ¢¨¤¨¬, çâ® íâ®â ª®¥çë© á¯¨á®ª ªá¨®¬ ¢ë㦤 ¥â ¤«ï ª ¦¤®© áâ ¤ à⮩ ä®à¬ã«ë f (x) ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® áâ®ï饣® ª®à⥦ a ¨§ E , çâ® Sat(f (x); a) ¨á⨠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f (a) ¨á⨠¤«ï áâàãªâãàë ®¡à § M ¯à¨ i E .
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« ¢ 9
5) ¥®à¥¬ ® ¯«¥® §¬¥ 7.28 㧠ª®¨¢ ¥â § ¬¥ã 1-ᯨ᪠ªá¨®¬ 1ᯨ᮪, ïî騩áï ¤ ¦¥ ¬®¦¥á⢮¬, ®¯à¥¤¥«¥ë¬ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«®© á ®£à ¨ç¥ë¬¨ ª¢ â®à ¬¨ ®â ¤¢ãå ¨«¨ âà¥å äãªæ¨©, å®à®è¥áâì ª®â®à®© £ à â¨àã¥âáï 襩 ªá¨®¬ ⨪®©. ®¤¨àãï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ã«ë, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à®ã¬¥à®¢ âì í⨠¬®¦¥á⢠, ᪠¦¥¬ F0; : : :; Fn; : : : ; íâ®â ᯨ᮪ ¯à®áâ¨à ¥âáï § ¯à¥¤¥«ë áâ ¤ àâëå âãà «ìëå ç¨á¥«. ®á«¥¤ïï ªá¨®¬ ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®¢¥¤¥¨¥ "äãªæ¨¨-ᢨ¤¥â¥«ï" t ; ® ã⢥ত ¥â, çâ® ¤«ï «î¡ëå n , «î¡ëå m ¨ ¤«ï «î¡®£® ª®à⥦ a , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â b, â ª®©, çâ® ª®à⥦ a_b 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯¥à¢ë¬ m ä®à¬ã« ¬ f (x; y) ¯®¤å®¤ï饩 à®á⨠¨§ Fn , ⮣¤ t(n; a) ¥áâì íâ®â b. ¦®, çâ® m ¥ ãç áâ¢ã¥â ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ ᢨ¤¥â¥«ï. ¥¯¥àì è ᯨ᮪ ªá¨®¬ § ¢¥àè¥. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, ç⮠४ãàᨢ® áëé¥ ï ¬®¤¥«ì M ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¬®¤¥«ì f (R) . ë 祬 á ¢ë¡®à ¡¨¥ªæ¨¨ i ¬¥¦¤ã M ¨ ¥£® ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ E â ª¨¬, çâ® jM j = jM n E j . áç¥â®¬ ¯®¤¬®¦¥á⢥ A ¤®¯®«¥¨ï E ¬ë ¯®¬¥é ¥¬ áâ ¤ àâãî ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨ ¨ ª ¦¤®© ®á⠢襩áï â®çª¥ ¡¨¥ªâ¨¢ë¬ ®¡à §®¬ ᮯ®áâ ¢¨¬ n-ªã í«¥¬¥â®¢ ¨§ E ; äãªæ¨¨ ¤«¨ë ¨ ª®®à¤¨ âë ¨â¥à¯à¥â¨àãîâáï áâ ¤ àâë¬ ®¡à §®¬. «¥¥ ¬ë ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ¯à¥¤¨ª â Sat ª ª áâ®ïéãî ¢ë¯®«¨¬®áâì. «ï ᢨ¤¥â¥«ï ¬ë à §«¨ç ¥¬ ¤¢ á«ãç ï: { «¨¡® ¬®¦¥á⢮ Fn ¢¬¥á⥠á a ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà ®¯à¥¤¥«ï¥â ᮢ¬¥áâë© â¨¯; â ª ª ª ® ४ãàᨢ¥, â® ® ॠ«¨§ã¥âáï ¢ E ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬, ª®â®àë© ¬ë ¡¥à¥¬ ª ª ᢨ¤¥â¥«ï t(n; a) ; { ¨ ç¥, áãé¥áâ¢ã¥â ¨¡®«ì襥 m â ª®¥, çâ® ª®êîªæ¨ï ¯¥à¢ëå m ä®à¬ã« ¨§ Fn ¢¬¥á⥠á a ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà ¬®¦¥â ॠ«¨§®¢ âìáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ E : ¬ë ¡¥à¥¬ íâ®â í«¥¬¥â ᢨ¤¥â¥«¥¬. ।¯®«®¦¨¬ ®¡à ⮥, çâ® M ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¬®¤¥«ì f (R) ; ¬ë 㦥 § ¬¥â¨«¨, çâ® ¢ ⮬, çâ® ª á ¥âáï ä®à¬ã« áâ ¤ à⮩ á«®¦®á⨠¨ ª®à⥦¥© áâ ¤ à⮩ ¤«¨ë, è ªá¨®¬ ⨪ ¢ë㦤 ¥â ¯à¥¤¨ª â Sat ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì áâ®ïéãî ¢ë¯®«¨¬®áâì. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ m ¨ n áâ ¤ àâë, â® è ¬®¤¥«ì ¬®¦¥â ã⢥ত âì ⮫쪮 m 2 Fn ¨«¨ ⮫쪮 m 62 Fn ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ íâ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯®â®¬ã, çâ® Fn ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© á ª¢ â®à®¬, ®£à ¨ç¥ë¬ äãªæ¨ï¬¨, å®à®è¥áâì ª®â®à®© £ à â¨àã¥âáï f (R), ¨ è à¨ä¬¥â¨ª ¥ ¬®¦¥â «£ âì í⮬ ã஢¥. ãáâì ⥯¥àì a { áâ®ï騩 ª®à⥦ ¨§ E , n { áâ ¤ à⮥ ç¨á«®, ¨ à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« f (a; y) , £¤¥ f (x; y) ¯à®¡¥£ ¥â Fn . ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¢ áâ®ï饬 ¬¨à¥ ᮢ¬¥áâ®. ë à §«¨ç ¥¬ ¤¢ á«ãç ï: { ¬®¤¥«ì ã⢥ত ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® m áãé¥áâ¢ã¥â y , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¯¥à¢ë¬ m ä®à¬ã« ¬ ; ¢ í⮬ á«ãç ¥ t(n; a) ¥áâì ॠ«¨§ æ¨ï ; { ¬®¤¥«ì ã⢥ত ¥â, çâ® ¥á®¢¬¥áâ®, â® ¥áâì çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¨¡®«ì襥 m , ¤«ï ª®â®à®£® áãé¥áâ¢ã¥â y , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¯¥à¢ë¬ m ä®à¬ã« ¬ ; â ª ª ª ¢ ॠ«ì®á⨠ᮢ¬¥áâ®, â® ®¡ï§ â¥«ì® m { ¥áâ ¤ à⮥ ç¨á«®, ¨ t(n; a) ï¥âáï ᮢ ॠ«¨§ 樥© .
9.e
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¥ªãàᨢ® áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨
ª á«¥¤á⢨¥, M ॠ«¨§ã¥â ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¢á¥ ᮢ¬¥áâë¥ â¨¯ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 Fn . ® ⥮६¥ ® ¯«¥® §¬¥, ® ४ãàᨢ® áëé¥ .
¯à ¦¥¨¥ 9.22 áᬮâਬ ⥮à¨î T , ¥®¡ï§ â¥«ì® ¯®«ãî, ¢ ª®¥ç-
®¬ ï§ëª¥ L ¨ ¡¥§ ª®¥çëå ¬®¤¥«¥©. ®ª ¦¨â¥, çâ® T ४ãàᨢ® ªá¨®¬ ⨧¨à㥬 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤«®¦¥¨¥ f (R) â ª®¥, çâ® ¬®¤¥«ï¬¨ T ¡ã¤ãâ ¢ â®ç®á⨠®¡¥¤¥¨ï L ¬®¤¥«¥© f (R). «¥¤á⢨¥ 9.23 «¥áâïé ï ¬®¤¥«ì ४ãàᨢ® áëé¥ ; ªà®¬¥ ⮣®, ¥á«¨ f (R) ᮢ¬¥áâ® á T (M ), â® ¬ë ¬®¦¥¬ ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì R ¤ M â ª, ç⮡ë f (R) ¢ë¯®«¨«®áì ¨ (M; R) ¡ë« ४ãàᨢ® áë饮©. ®ª § ⥫ìá⢮.
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196
« ¢ 9
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᫨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ¯à¨¬¥à, çâ® ï§ëª ᮤ¥à¦¨â áç¥â®¥ ç¨á«® ª®áâ â a0; : : :; an; : : : ¨, à áᬮâਬ ¯®«ãî ⥮à¨î T , ã⢥ত îéãî, çâ® ¢á¥ an à §«¨çë, ⮠㢨¤¨¬, çâ® ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì T ¡«¥áâïé ; á ¬®¬ ¤¥«¥, ¯à¥¤«®¦¥¨¥ á ¤®¯®«¨â¥«ì묨 ᨬ¢®« ¬¨ ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 «¨èì ¯¥à¢ë¥ n í«¥¬¥â®¢ ¢ ai ¨ ®£à ¨ç¥¨¥ ¯à®¨§¢®«ì®© ¬®¤¥«¨ T ï§ëª, á®áâ®ï騩 ¨§ íâ¨å n ¯¥à¢ëå ª®áâ â ai , áë饮; ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì T ®¯ã᪠¥â ४ãàá¨¢ë© â¨¯, ã⢥ত î騩, çâ® x ®â«¨ç¥ ®â ¢á¥å an . â ⥮६ ¤®¯ã᪠¥â ®¡à 饨¥ ¢ áç¥â®¬ á«ãç ¥.
¥®à¥¬ 9.24
᫨ L ï§ëª, ᮤ¥à¦ 騩 «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᨬ¢®«®¢ ®â®è¥¨©, äãªæ¨© ¨ ª®áâ â, â® ª ¦¤ ï áç¥â ï ४ãàᨢ® áëé¥ ï L-áâàãªâãà ¡«¥áâïé .
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¯à¥¤«®¦¥¨¥, ᮤ¥à¦ 饥 ª®à⥦ a í«¥¬¥â®¢ ¨§ M ¨ ®¢ë¥ ᨬ¢®«ë r1; : : :; rm ¨ ᮢ¬¥á⮥ á T (M ) , â.¥. ¯® «¥¬¬¥ ® ¤¨§êîªâ®© ᮢ¬¥áâ®á⨠(9.10) ᮢ¬¥á⮥ á T (a) . ஢¥¤¥¬ ª®áâàãªæ¨î ¥ª¨ ¤«ï í⮣® ¯à¥¤«®¦¥¨ï, 楫¨ª®¬ ®áâ ¢ ïáì ¢ãâਠ¬®¤¥«¨ M . «ï í⮣® ¬ë ¤®¡ ¢¨¬ ª ï§ëªã L(a; r1; : : :; rm) ®¢ë¥ ᨬ¢®«ë bij ª®áâ â ¨ à áᬮâਬ â ª®¥ § 票¥ ᢨ¤¥â¥«¥©, çâ® ª ¦¤ ï ä®à¬ã« , ᮤ¥à¦ é ï ⮫쪮 ¯ à ¬¥âàë á® ¢â®àë¬ ¨¤¥ªá®¬, ¬¥ì訬 k , ¨¬¥¥â ᢮¥£® ᢨ¤¥â¥«ï á® ¢â®àë¬ ¨¤¥ªá®¬ k. áᬮâਬ ⥮à¨î, á®áâ®ïéãî ¨§ f (a; r1; : : : ; rm) , ¨§ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ®â®¦¤¥á⢫ïîé¨å n í«¥¬¥â®¢ ¨§ a á n ¯¥à¢ë¬¨ ¨§ bi;0 ¨ ¨§ ¯à¥¤«®¦¥¨© ¢¨¤ (9x)(g(b; x) ! g(b; bg(b;x))) ; £¤¥ bg(b;x) { ᢨ¤¥â¥«ì ¤«ï g(b; x). ¬¥â¨¬, çâ® íâ® ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ४ãàᨢ® ¨ ᮢ¬¥áâ® á T (a) . «ï ¯à®¢¥àª¨ ¢®§ì¬¨â¥ 㬥à æ¨î ¥ª¨ áç¥â®© ¬®¤¥«¨ T (a)[ff (a; r1; : : : ; rm)g . ª ®¡ëç®, ¬ë § ¬¥¨¬ 㬥à æ¨î í«¥¬¥â®¢ bij á ¯®¬®éìî ४ãàᨢ®© ¡¨¥ªæ¨¨ ! ! ! ¨ ®¨ áâ ãâ b0; : : : ; bn; : : : . «¥¤á⢨ï í⮣® ४ãàᨢ®£® ᥬ¥©á⢠¯à¥¤«®¦¥¨© ®¡à §ãîâ 1-¬®¦¥á⢮. ¢ë¬ ®¡à §®¬, 1-¬®¦¥á⢮¬ ¡ã¤ã⠢ᥠ¥£® á«¥¤á⢨ï, ¢ëà §¨¬ë¥ ¢ ï§ëª¥ L(a; b0). ª ª ª íâ® ¥¯®«ë©, ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬ë© ⨯ ¨ ᮢ¬¥áâë© á T (a) , â® ® ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ b00 . ç¨â ¬ë ¬®¦¥¬ ¢ë¡à âì ⨯ b0 ¤ a ¢ ï§ëª¥ L0 = L(r1; : : :; rm) â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¥£® ®£à ¨ç¥¨¥ ï§ëª L ¡ã¤¥â ⨯®¬ b00 ¤ a . ®í⮬㠬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® b0 ¥áâì b00 , í⮠ᢥ¤¥âáï ª «®¦¥¨î L0-áâàãªâãàë ¥ª®â®à®¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M . ®áª®«ìªã b0 ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª b00 , ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©, ª®â®àë¥ ¬ë ¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®à¨âì, f (a; r1; : : : ; rm) ¨ ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¥ª¨ , ¡ã¤¥â ¢á¥ ¥é¥ ४ãàá¨¢ë¬ ¨ ᮢ¬¥áâë¬ á T (a_ b00) . ®£¤ ¬®¦® ¯®¢â®àïâì ®¯¥à æ¨î, n-®¬ íâ ¯¥ ¬ë 㦥 ¢ë¡à «¨ b00; : : :; b0n?1 ¢ M â ª, çâ®¡ë ¬®¦¥á⢮, ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ f (a; r1; : : : ; rm) ¨ ¯à¥¤«®¦¥¨© ¥ª¨ , ¡ë«® ᮢ¬¥áâ® á T (a; b00; : : :; b0n?1) . ®¦¥á⢮ á«¥¤á⢨© ¢ ï§ëª¥ L(a; b00; : : :; b0n?1; bn) íâ¨å ¯à¥¤«®¦¥¨© ï¥âáï ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬ë¬ ¨
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197
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
ᮢ¬¥áâë¬ á T (a; b00; : : : ; b0n?1) , çâ® ¯®§¢®«ï¥â ¬ ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì bn ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ b0n ¨§ M . ஬¥ í⮣®, ¥á«¨ bn ¨¬¥¥â ¢¨¤ bi0 , â® ¬ë ¬®¦¥¬ ¥£® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ¯à®¨§¢®«ìë¬ í«¥¬¥â®¬ a ¨§ M . ¥©á⢨⥫ì®, ⨯ a ¤ a[fb00; : : : ; b0n?1g ᮢ¬¥á⥠á T (a; b00; : : :; b0n?1) [ff (a; r1; : : :; rm)g, ¯®áª®«ìªã, ¥á«¨ 9-ª¢ â¨ä¨æ¨à®¢ âì a ¢ ª®¥ç®¬ äà £¬¥â¥ í⮣® ⨯ , ¬ë ¯®«ã稬 á«¥¤á⢨¥ ¨§ T (a; b00; : : : ; b0n?1). ª ª ª ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¥ª¨ ᮢᥬ ¥ ¢«¨ïîâ bi0 , â® ¬®¦® ¡à âì 㬥à æ¨î ¥ª¨ ¬®¤¥«¨ f (a; r1; : : :; rm) [ T (a; b00; : : :; b0n?1 ; a) â ªãî, çâ® bi0 = a. ª á«¥¤á⢨¥, ¯® 室㠯à®æ¥¤ãàë á¨á⥬ â¨ç¥áª¨ ¯à®¨â¥à¯à¥â¨à㥬 í«¥¬¥âë bi0 ª ª ai . 㬥à 樨 ¥ª¨ ¬ë, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®ª®ç â¥«ì® ¯à®¨â¥à¯à¥â¨à®¢ «¨ ¢á¥ bij í«¥¬¥â ¬¨ ¨§ M ¨ ¥ ®áâ ¢¨«¨ ¢ áâ®à®¥ ¨ ®¤¨ í«¥¬¥â M . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¬ë «®¦¨«¨ M L0-áâàãªâãàã, ïîéãîáï ¬®¤¥«ìî ¯à¥¤«®¦¥¨ï f (a; r1; : : : ; rm).
9.f áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ¥®à¥¬ ¥â ¯®ï¢¨« áì ¢ [
, 1953], ⥮६ ¢¥®¨ãá { ¢ [
, 1959a]. ¥§ã«ìâ âë â ª®£® ¦ à á¨«ì® ¯à¨â¢ «¨ ª ᥡ¥ «®£¨ª®¢ 50-å £®¤®¢. ¡áâà ªâ ï ⥮à¨ï «ã 㢨¤¥« ᢥ⠢ [
, 1938], £¤¥, ªà®¬¥ ¢á¥£®, à á¥à ¤¥â «ì® ®¯¨á « £¨£ â᪨© «£®à¨â¬ í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢ ¤«ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¢ ®¤®¬ ¡¥áª®¥ç®¬ ï§ëª¥. áâ®à¨ï ¯®ïâ¨ï áëé¥ëå ¬®¤¥«¥© ¤®áâ â®ç® § ¯ãâ , ¥¥ ¯à¥¤ëáâ®à¨ï ¨¬¥¥âáï ¢ [, 1914], £¤¥ ®¯à¥¤¥«¥ë áëé¥ë¥ ¯«®âë¥ ¯®à浪¨; ¯®ïâ¨ï {-®¤®à®¤®á⨠¨ {-㨢¥àá «ì®áâ¨, ¯® ¢¨¤¨¬®¬ã, ¯à¨ ¤«¥¦¨â [, 1956] ¨ [, 1960], â ª¦¥, ¤«ï áç¥â®£® á«ãç ï, [
, 1954] ; ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥, ¥¤¨á⢥®áâì, ¡¥§ £ à ⨨ áãé¥á⢮¢ ¨ï, ¨ ®¤®à®¤®áâì áë饮© ¬®¤¥«¨ ¡ë«¨ ä ªâ ¬¨, ¯®«®áâìî ãáâ ®¢«¥ë¬¨ ¢® ¢à¥¬¥ [-, 1962]; ®¤®à®¤ë¥ ¬®¤¥«¨ ¨ ¨å ®¯¨á ¨¥ ç¥à¥§ n-⨯ë, ॠ«¨§ãî騥áï ¢ ¨å ¡ë«¨ ¨§ãç¥ë ¢ [
-, 1967]. ¥à¬¨ "¡«¥áâïé ï ¬®¤¥«ì" ¡ë« ¢¢¥¤¥ ¢ [-, 1976], ® ¯®ï⨥ ¡ë«® ¨§¢¥áâ® à ìè¥, ¢ ç áâ®áâ¨, [-
, 1973] ¯à¥¤« £ ¥â ç¨â â¥«î ¡«¥áâïé¥áâì áë饮© ¬®¤¥«¨ ª ª ã¯à ¦¥¨¥! ®£¤ £®¢®àïâ "५ï樮®-㨢¥àá «ì®áâì" ¢¬¥áâ® !-¡«¥áâïé¥áâ¨. ¥¬¬ 9.13 ® ¤¨§êîªâ®© ᮢ¬¥áâ®á⨠¢§ïâ ¨§ [, 1956]. ¥®à¥¬ 9.23 { 䮫쪫®à ï; ¯¥à¢®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ 9.24 ¡ë«® ¤ ® ¢ [
, 1972]; çâ® ª á ¥âáï ã¯à ¦¥¨ï 9.22, â® ®® ¢§ïâ® ¯àאַ ¨§ [
-, 1958]. ¢à¥¤®© áâ®à®¥ ४ãàᨢ®© áë饮á⨠¯®ç¨â ©â¥ ¢ [, 1984].
« ¢ 10 à®áâë¥ ¬®¤¥«¨ { Rzkd sdsd, bd sxod ! { Bah ! On s'y habitue : : : M.R.
10.a ¥®à¥¬ ®¡ ®¯ã᪠¨¨ ⨯®¢ : : : : : : : : 199 10.b à®áâë¥ ¬®¤¥«¨, â®¬ë¥ ¬®¤¥«¨: áç¥âë© á«ãç © : : : : : : : : : : : : : 201 10.c ¥®à¨¨ á ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ áç¥âëå ¬®¤¥«¥© : : : : : : : : : : : : : 204 10.d ®áâàã¨àã¥¬ë¥ ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : : : : 205 10.e ¨¨¬ «ìë¥ ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : 209 10.f ¥ ¥¤¨á⢥®áâì ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 211 10.g áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 217
198
10.a
¥®à¥¬ ®¡ ®¯ã᪠¨¨ ⨯®¢
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10.a ¥®à¥¬ ®¡ ®¯ã᪠¨¨ ⨯®¢ B ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥ ¬ë áâந«¨ á ¬ë¥ ¡®£ âë¥ ¬®¤¥«¨ ¯® ¢®§¬®¦®á⨠ॠ«¨§ 樨 ⨯®¢: ¢ áãé®áâ¨, ¬ë ¬ «ì£ ¬¨à®¢ «¨ áâàãªâãàë, ª®â஫¨àãï ª न « ⥮६®© ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ . ® ¬ë ¯®¨¬ ¥¬, çâ® ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ¤àã£¨å ¬®¤¥«¥©, ¤® ©â¨ â¥, ª®â®àë¥ ®¯ã᪠îâ ¥ª®â®àë¥ â¨¯ë, ¨ ¯®ïâì, ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå ¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì ª ª®©-⮠⨯, ¯à¨ í⮬ ®¯ãáª ï ¤à㣮©. «ï í⮣® ¬ë à ᯮ« £ ¥¬ ¢ ®á®¢®¬ ¤¢ã¬ï ¬¥â®¤ ¬¨. ®¤®¬ á«ãç ¥, £¤¥ ¥®¡å®¤¨¬ë £¨¯®â¥§ë ® áâ ¡¨«ì®áâ¨, ¬ë á¯à ¢«ï¥¬áï á ¯®«®¦¥¨¥¬ ¯®«®áâìî; ¨§ã票¥ áâ ¡¨«ìëå ⥮਩ ç¥âáï á«¥¤ãî饩 £« ¢¥ ¨ ¡ã¤¥â ¤«¨âìáï ¤® ª®æ ª¨£¨. à㣮© á«ãç ©, ª®â®àë© ¬ë ¨§ãç ¥¬ §¤¥áì, ¨ ª®â®àë© ®á®¢ë¢ ¥âáï ®¤®¬ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ᢮©á⢥, ¨¬¥¥â ®ç¥ì ®¡é¥¥ § 票¥, ® ¯à¨¬¥ï¥âáï ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢á¥ áç¥â®. ¯®¬¨ ¥¬, çâ® ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ⮯®«®£¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠E §ë¢ ¥âáï ¯«®âë¬, ¥á«¨ «î¡®¥ ¥¯ãá⮥ ®âªàëâë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ E ᮤ¥à¦¨â â®çªã A. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¤¢ãå, ¨ § ç¨â â ª¦¥ ª®¥ç®£® ç¨á« , ®âªàëâëå ¯«®âëå ¬®¦¥á⢠®âªàëâ® ¨ ¯«®â®. ®¢®àïâ, çâ® E ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ íà ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® áç¥â®£® ᥬ¥©á⢠O1 ; : : :; On ; : : : ®âªàëâëå ¯«®âëå ¬®¦¥áâ¢, ¨å ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ᮢ ¯«®â®, ¢ ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ E { ¥¯ãá⮥, â® ®® â ª¦¥ ¥¯ãá⮥. ®¤¬®¦¥á⢮ X â ª®£® ¯à®áâà á⢠§ë¢ ¥âáï ¦¨àë¬, ¨«¨ ª®â®é¨¬, ¥á«¨ ®® ᮤ¥à¦¨â áç¥â®¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ®âªàëâëå ¯«®âëå ¬®¦¥á⢠; ®® §ë¢ ¥âáï â®é¨¬ ¥á«¨ ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ ¦¨à®, â® ¥áâì ¥á«¨ ®® ᮤ¥à¦¨âáï ¢ áç¥â®¬ ®¡ê¥¤¨¥¨¨ § ¬ªãâëå ¬®¦¥áâ¢ á ¯ãáâ묨 ¢ãâ८áâﬨ. ç¨â, áç¥â®¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¦¨àëå ¬®¦¥á⢠¦¨à®, áç¥â®¥ ®¡ê¥¤¨¥¨¥ â®é¨å ¬®¦¥á⢮ â®é¥. ®£¤ ¬ë å®â¨¬ ¯®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ x ᮠ᢮©á⢮¬ P (x), ¬®¦® ¯®áâநâì ®¡ê¥ªâ x, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 P , ¨«¨ ¯®ª § âì, çâ® ¬®¦¥á⢮ x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å P , ¥ ¯ãáâ®: ®¤ ¨§ ¢®§¬®¦®á⥩ { ¯®ª § âì, çâ® íâ® ¬®¦¥á⢮ ï¥âáï ¦¨àë¬ ¢ ⮯®«®£¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà á⢥, ¨¬¥î饬 ᢮©á⢮ íà . ¥®à¥¬ 10.1 ®¬¯ ªâë¥ ¨ «®ª «ì® ª®¬¯ ªâë¥ ¯à®áâà á⢠(ª ¦¤ ï â®çª ¨¬¥¥â ¡ §ã ª®¬¯ ªâëå ®ªà¥áâ®á⥩) ¨¬¥îâ ᢮©á⢮ íà . ®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬ á ç « , çâ® «î¡®© ª®¬¯ ªâ E «®ª «ì® ª®¬¯ ªâ¥; ¯ãáâì a { â®çª E , ¨ ¯ãáâì O { ®âªàëâ ï ®ªà¥áâ®áâì a; â ª ª ª ¯à®áâà á⢮ ®â¤¥«¨¬®, â® ¤«ï ª ¦¤®© â®çª¨ b ¢¥ O áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàëâ ï ®ªà¥áâ®áâì Ub â®çª¨ a ¨ ®âªàëâ ï ®ªà¥áâ®áâì Vb â®çª¨ b, â ª¨¥, çâ® Ub \ Vb = ;; ¤®¯®«¥¨¥ O § ¬ªãâ®, § ç¨â ª®¬¯ ªâ® ¨ ¯®ªàë¢ ¥âáï ®âªàëâ묨 ¬®¦¥á⢠¬¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª®¥ç®¥ ç¨á«® á।¨ ¨å V1; :::; Vn ¤®áâ â®ç® ¤«ï í⮣® ¯®ªàëâ¨ï; ¤®¯®«¥¨¥ V1 [ ::: [ Vn , § ¬ªã⮥ ¨ ᮤ¥à¦ 饥áï ¢ O, ï¥âáï ®ªà¥áâ®áâìî a, â ª ª ª ®® ᮤ¥à¦¨â ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮ U1 \ \ Un . ãáâì â ª¨¬ ®¡à §®¬ E «®ª «ì® ª®¬¯ ªâ®; O1 ; : : : , On ; : : : { áç¥â ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®âªàëâëå ¯«®âëå ¯®¤¬®¦¥á⢠¢ E , ¨ U { ¥¯ãá⮥ ®âªàë⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¢ E : ¬ ¤® ©â¨ â®çªã, «¥¦ éãî ¢ U ¨ ¢ ª ¦¤®¬ On . ãáâì a1 { â®çª ¨§ U \ O1 , ª®â®à ï ï¥âáï ¥ñ ®ªà¥áâ®áâìî; a1 ¨¬¥¥â ª®¬¯ ªâãî ®ªà¥áâ®áâì K1 , ᮤ¥à¦ éãîáï ¢ U \ O1. ª¨¬ ®¡à §®¬, K1 ᮤ¥à¦¨â ®âªàë⮥ U1 , ᮤ¥à¦ 饥 a1 . ãáâì 2 { â®çª U1 \ O2 , ®¡« ¤ îé ï
200
« ¢ 10
ª®¬¯ ªâ®© ®ªà¥áâ®áâìî K2 U1 \ O2 , ¨ K2 ᮤ¥à¦¨â ®âªàëâãî ®ªà¥áâ®áâì U2 â®çª¨ 2 ¨ â.¤. , (n + 1)-®¬ íâ ¯¥ ¢ë¡¨à ¥âáï an+1 ¨§ Un \ On+1 , ¨¬¥îé ï ª®¬¯ ªâãî ®ªà¥áâ®áâì Kn+1 â®çª¨ an+1 , ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨â ®âªàëâãî ®ªà¥áâ®áâì Un+1 . ¥à¥á¥ç¥¨¥ ã¡ë¢ î饣® ᥬ¥©á⢠Kn ¥¯ãáâëå ª®¬¯ ªâ®¢ ¥¯ãáâ®, ¨ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ U ¨ ¢ ª ¦¤®© O.
áᬮâਬ ⥯¥àì ⥮à¨î T , ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯®«ãî, ® ¢ áç¥â®¬ ï§ëª¥. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ H (T ) ¨ §®¢¥¬ ¯à®áâà á⢮¬ ¯¥à¥ç¨á«¥¨© ¥ª¨ ¬®¤¥«¥© T á«¥¤ãî饥 ¯®¤¯à®áâà á⢮ S! (T ), ¨«¨ ᪮॥ S!! (T ) : ª ª ¢ à §¤¥«¥ 4.c, à áᬮâਬ ᨬ¢®«ë ¯¥à¥¬¥®© aij (®¡®§ ç¥ë¥ a, ¥ x, çâ®¡ë ¯¥à¥¤ âì ®â⥮ª), ¨ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ä®à¬ã« f (a; x) â ª¨å, çâ® ¥á«¨ E0 [ [ En , £¤¥ Ek = fa0k; : : :; ank ; : : : g , â® ä®à¬ã« f (a; x) ¨¬¥¥â ᢨ¤¥â¥«ï af (a;x) ¢ En+1 : íâ® § 票¥ ᢨ¤¥â¥«¥© § 䨪á¨à㥬 à § ¨ ¢á¥£¤ . à®áâà á⢮ ¥ª¨ { § ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ S!! (T ), ®¯à¥¤¥«¥®¥ ä®à¬ã« ¬¨ (9x)f (a; x) ! f (a; af (a;x)) : ¥á«¨ ä®à¬ã« f (a; x) ¨á⨠¤«ï ¥ª®â®à®£® x , ® ¨á⨠¤«ï ᢮¥£® ᢨ¤¥â¥«ï. ª ¢¨¤®, â®çª í⮣® ª®¬¯ ªâ®£® ¯à®áâà á⢠, § ¬ªã⮣® ¢ S!! (T ) , ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¥ç¨á«¥¨î ¥ª¨ ª®¥ç®© ¨«¨ áç¥â®© ¬®¤¥«¨ T ; ¬ ¥ 㦮 ¡®«ìè¥ ¢¢®¤¨âì f H ¤«ï í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢, â ª ª ª ¬ë § ¥¬ ⥯¥àì ⥮६㠪®¬¯ ªâ®áâ¨! ¤ãªæ¨¥© ¯® j ®¯à¥¤¥«¨¬ ¯ ª¥â P (aij ), ¯à¨á®¥¤¨¥ë© ª aij , á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: { ¥á«¨ j = 0 , â® P (ai0) = fai0g , { ¥á«¨ j 6= 0 , ⮣¤ aij { ᢨ¤¥â¥«ì ¥¤¨á⢥®© ä®à¬ã«ë f (a; x) , £¤¥ ¢â®àë¥ ¨¤¥ªáë ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ a ¬¥ìè¥ j ; ¯ ª¥â aij ï¥âáï ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¯ ª¥â®¢ í«¥¬¥â®¢ a ¥éñ ¯«îá aij . âáî¤ ïá®, çâ® ¢á¥£¤ P (aij ) { ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮. ¥¬¬ 10.2 ãáâì F { § ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ á ¯ãá⮩ ¢ãâ८áâìî ¢ Sn(T ), ®¯à¥¤¥«¥®¥ ä®à¬ã«®© fu (x); ⮣¤ , ª ª®¢ ¡ë ¨ ¡ë« ª®à⥦ a ¨§ aij , ä®à¬ã«ë fu (a) ®¯à¥¤¥«ïîâ § ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ á ¯ãá⮩ ¢ãâ८áâìî ¢ H (T ) . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì hg(b)i { ¥¯ãá⮥ ®âªàëâ®-§ ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ H (T ) : ¬ë ¤®«¦ë ¤®ª § âì, çâ® hg(b) \ ([h:fu (a)i) ᮤ¥à¦¨â â®çªã ¨§ H (T ). áᬮâਬ ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¯ ª¥â®¢ í«¥¬¥â®¢, ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¢ a ¨ b , ¨ ¯ãáâì c { ª®à⥦ ¨§ aij , ª®â®àë© ¥®¡å®¤¨¬® ¤®¡ ¢¨âì ª a ¨ b, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì íâ® ®¡ê¥¤¨¥¨¥. ãáâì F (a; b; c) { ª®êîªæ¨ï ä®à¬ã« g(b) ¨ (9x)f ( ; x) ! f ( ; af ( ;x)) ¤«ï ª ¦¤®£® ᢨ¤¥â¥«ï af ( ;x) , ¯à¨áãâáâ¢ãî饣® ¢ a_b_ c; íâ® ä®à¬ã« , ª®â®à ï ¨á¯®«ì§ã¥â ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥â஢ ⮫쪮 a_b_ c. ª ª ª hg(b)i\H (T ) ¥ ¯ãá⮥, ¬ë ¡¥à¥¬ ®ââ㤠®¤¨ í«¥¬¥â : ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ¥ª¨ ª®¥ç®© ¨«¨ áç¥â®© ¬®¤¥«¨ M ¤«ï T , ª®â®à ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ª ¦¤®© ¨§ ä®à¬ã« (9x)f ( ; x) ! f ( ; af ( ;x)). «¥¤®¢ ⥫ì®, M ` F (a; b; c) , M ` (9y)(9z)F (a; y; z) , ¨ ä®à¬ã« (9y)(9z)F (x; y; z) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥¯ãá⮥ ®âªàëâ®-§ ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ Sn (T ). «¥¥, íâ® ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮ ¥ ¬®¦¥â 楫¨ª®¬ ᮤ¥à¦ âìáï ¢ \hfu (x)i, ¨ áãé¥áâ¢ã¥â áç¥â ï ¬®¤¥«ì N ¤«ï T á ª®à⥦®¬ a0, 㤮¢«¥â¢®àïî騬 ä®à¬ã«¥ (9y)(9z)F (a0; y; z) ¨ ¥ 㤮¢«¥â¢®àïî騬 ¢á¥¬ fu ; ¯ãáâì b0 ¨ c0 ¢ N , â ª¨¥,
10.b
201
à®áâë¥ ¬®¤¥«¨, â®¬ë¥ ¬®¤¥«¨
çâ® N ` F (a0; b0; c0) : ⥯¥àì ¬®¦® ¡à âì ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ¥ª¨ N â ª, ç⮡ë í«¥¬¥âë ¨§ a0_ b0_ c0 ¨¬¥«¨ ⥠¦¥ ¨¤¥ªáë i; j , çâ® ¨¬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ a_b_c ; íâ® ¢®§¬®¦®, â ª ª ª ä®à¬ã« F ã⢥ত ¥â ¢ â®ç®á⨠â®, çâ® ¬®¦® ¡à âì aij ª ª ᢨ¤¥â¥«ï ¥®¡å®¤¨¬®© ä®à¬ã«ë. â® ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ¥ª¨ ï¥âáï â®çª®© H (T ), 㤮¢«¥â¢®àïî饩 g(b), ¨ ¥ 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ¢á¥¬ fu (a).
¥®à¥¬ 10.3 (®¡ ®¯ã᪠¨¨ ⨯®¢) ãáâì T { ⥮à¨ï, ¥ ®¡ï§ ⥫ì®
¯®« ï, áç¥â®£® ï§ëª ; ¯ãáâì An { â®é¥¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ Sn (T ) ¤«ï ª ¦¤®£® âãà «ì®£® n; ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì T , ®¯ã᪠îé ï ª ¦¤ë© ⨯ ª ¦¤®£® An .
®ª § ⥫ìá⢮. ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ An ᮤ¥à¦¨âáï ¢ áç¥â®¬ ®¡ê¥¤¨-
¥¨¨ § ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠Fnm(x) á ¯ãá⮩ ¢ãâ८áâìî ¢ Sn (T ). ® ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬¥ ª ¦¤ë© à §, ª®£¤ § ¬¥ï¥¬ ¢ Fnm ª®à⥦ x ª®à⥦®¬ ¯¥à¥¬¥ëå, ¢§ïâëå ¨§ ¯¥à¥ç¨á«¥¨ï ¥ª¨ , ¯®«ãç ¥¬ § ¬ªãâë¥ ¬®¦¥áâ¢ á ¯ãá⮩ ¢ãâ८áâìî ¢ H (T ). ᥠí⨠Fnm(a) ®¡à §ãîâ áç¥â®¥ ᥬ¥©á⢮ § ¬ªãâëå ¬®¦¥áâ¢ á ¯ãá⮩ ¢ãâ८áâìî ¨ ¨å ®¡ê¥¤¨¥¨¥ â®é¥¥; â ª ª ª H (T ) { ¥¯ãá⮩ ª®¬¯ ªâ, ¤®¯®«¥¨¥ í⮣® ®¡ê¥¤¨¥¨ï ¯«®â®, § ç¨â, ¥¯ãáâ®. â®çª í⮣® ¤®¯®«¥¨ï ï¥âáï ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥¬ ¥ª¨ ¬®¤¥«¨ T , ®¯ã᪠î饩 «î¡®© ⨯ ª ¦¤®£® An .
ਬ¥à®¬ § ¬ªã⮣® ¬®¦¥áâ¢ á ¯ãá⮩ ¢ãâ८áâìî ï¥âáï ¬®¦¥á⢮, á®áâ®ï饥 ¨§ ®¤®© ¥¨§®«¨à®¢ ®© â®çª¨: ¥á«¨ T áç¥â , â ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì T , çâ® ®¯ã᪠¥â íâ®â ⨯. ¯à®â¨¢, ¥á«¨ T ¯®« ¨ p { ¨§®«¨à®¢ ï â®çª , â® ® ï¥âáï ¥¤¨á⢥®©, 㤮¢«¥â¢®àïî饩 ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«¥ f (x), ¨ â ª ª ª T ` (9x)f (x), «î¡ ï ¬®¤¥«ì ॠ«¨§ã¥â p. ¯®¬¨¬, çâ® ¥á«¨ T ¯®« , â® n-⨯ë, ॠ«¨§®¢ ë¥ ¢ ¬®¤¥«¨ N ¤«ï T ®¡à §ãîâ, ¯«®â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ Sn (T ). ⥮६¥ ®¯ã᪠¨ï ⨯®¢, ¢á¥ áç¥â®, ª ª ï§ëª, â ª ¨ ¬®¤¥«ì, ª®â®à ï áâநâáï: íâ® ¢ë§¢ ® áç¥â®© ¯à¨à®¤®© ᢮©á⢠íà . ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ T { ⥮à¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, ⮠⨯ "x âà á楤¥â¥ ¤ Q ", ïî騩áï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¥¨§®«¨à®¢ ë¬ â¨¯®¬ S1(;) (®áâ «ìë¥ ¨§®«¨à®¢ ë ᢮¨¬ ¬¨¨¬ «ìë¬ ãà ¢¥¨¥¬ ¤ Q), ®¯ã᪠¥âáï ⮫쪮 ¢ ¥¤¨á⢥®© ¬®¤¥«¨ T , ïî饩áï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ § ¬ëª ¨¥¬ Q ; ¢á¥ ¥áç¥âë¥ ¬®¤¥«¨ ¥£® ॠ«¨§ãîâ.
10.b à®áâë¥ ¬®¤¥«¨, â®¬ë¥ ¬®¤¥«¨: áç¥âë© á«ãç © ë à áᬠâਢ ¥¬ §¤¥áì ¯®«ãî ⥮à¨î T . ®¤¬®¦¥á⢮ A ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T §ë¢ ¥âáï â®¬ë¬ (¯® 㬮«ç ¨î : ¤ ;), ¥á«¨ ⨯ «î¡®© n-ª¨ ¨§ A ¨§®«¨à®¢ ¢ Sn (T ); ¥á«¨ A B M , £®¢®àïâ, çâ® B ⮬® ¤ A , ¥á«¨ B ⮬® ¢ á¬ëá«¥ T (A) , â® ¥áâì ¥á«¨ ⨯ «î¡®£® ª®à⥦ b ¨§ B ¤ A ¨§®«¨à®¢ . ⬥⨬, çâ® A ⮬® ¤ A.
202
« ¢ 10
¥¬¬ 10.4 ¨¯ a_b ¨§®«¨à®¢ , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ⨯ a ¨§®«¨à®¢ ¨ ⨯
b ¤ a ¨§®«¨à®¢ .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f (x; y) { ä®à¬ã« , ¨§®«¨àãîé ï ⨯ a_b ; ⮣¤ ⨯ ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© (9y)f (x; y), ¨ ⨯ b ¤ a ¨§®«¨àã¥âáï ä®à¬ã«®©
f (a; y). ¡à â®, ¯ãáâì g(x) { ä®à¬ã« , ¨§®«¨àãîé ï ⨯ a , ¨ h(a; y) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ a, ¨§®«¨àãîé ï ⨯ b ¤ a, ⮣¤ ⨯ a_b ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© g(x) ^ h(x; y).
¬¥ç ¨¥. « ¢ë¬ à£ã¬¥â®¬ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ «¥¬¬ë ï¥âáï â®, çâ®
®â®¡à ¦¥¨¥, ª®â®à®¥ ⨯ã a_b ᮯ®áâ ¢«ï¥â ⨯ a, ï¥âáï ®âªàë⮩, ¥¯à¥à뢮© áîàꥪ樥© Sn+m (T ) Sn(T ). ¥¬¬ 10.5
᫨ A ⮬®, â® A ⮬® ¤ a ¤«ï ª ¦¤®£® ª®¥ç®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠a ¨§ A. ®ª § ⥫ìá⢮. ¨¯ a_b ¨§®«¨à®¢ , § ç¨â ⨯ b ¤ a ¨§®«¨à®¢ .
¥¬¬ 10.6
᫨ A B C , B ⮬® ¤ A ¨ C ⮬® ¤ B , ⮣¤ C ⮬® ¤ A .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì c C ¨ f (b; x) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ B , ¨§®«¨àãîé ï ⨯ c ¤ B ; ¯ãáâì g(a; y) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ A, ¨§®«¨àãîé ï ⨯ b ¤ A; ⨯ c ¤ A ¨§®«¨àã¥âáï ä®à¬ã«®© (9y)g(a; y) ^ f (y; x).
᫨ A B C , C ⮬® ¤ A ¨ B n A ¡¥áª®¥ç®, â® C ¥ ®¡ï§ ⥫ì®
⮬® ¤ B ; ¯à¨¬¥à, ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠(ï§ëª á®á⮨⠨§ à ¢¥á⢠) ⮬ ⮫쪮 ¤ ᢮¨¬¨ ª®¥ç묨 ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨. ¥®à¥¬ 10.7 ⮬ ï ¬®¤¥«ì !-á« ¡® ®¤®à®¤ ; ¤¢¥ â®¬ë¥ ¬®¤¥«¨ ®¤®© ¨ ⮩ ¦¥ ¯®«®© ⥮ਨ 1-íª¢¨¢ «¥âë. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a ¨ b ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯ ¢ ⮬®© ¬®¤¥«¨; ¤®¡ ¢«ï¥¬ ª a , ¨ ¯ãáâì f (x; y) { ä®à¬ã« , ¨§®«¨àãîé ï ⨯ a_ . ®à⥦ a 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ (9y)f (x; y) , § ç¨â, â ª®¢ ¦¥ ¨ b, ¨¬¥î騩 â®â ¦¥ ⨯, çâ® ¨ a, ¨ ¬®¦® ¢ ¬®¤¥«¨ ©â¨ , â ª®©, ç⮡ë a_ ¨ b_ ¨¬¥«¨ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯. ª ª ª T ¯®« , ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì T ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ ¥ñ ¨§®«¨à®¢ ë¥ â¨¯ë (â ª ª ª, ¥á«¨ hf (x)i ¥ ¯ãá⮥, T ` (9x)f (x)) , ¨ ¤¢¥ â®¬ë¥ ¬®¤¥«¨ T ॠ«¨§ãîâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ç¨áâë¥ â¨¯ë; ®¨, § ç¨â, 1-íª¢¨¢ «¥âë ¯® 9.4
®¢®àïâ, çâ® ¬®¤¥«ì ¯à®á⠥᫨ ® ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï í«¥¬¥â à® ¢ «î¡ãî ¬®¤¥«ì T ; ¥á«¨ A M ¨ M { ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì T (A), â® £®¢®àïâ, çâ® ® ¯à®áâ ¤ A. ¥®à¥¬ 10.8 ®« ï áç¥â ï ⥮à¨ï T ¨¬¥¥â ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â ⮬ãî ¬®¤¥«ì; ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ® ¨¬¥¥â á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ⮫쪮 ®¤ã ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì M , ª®â®à ï ï¥âáï ¥ñ ¥¤¨á⢥®© ⮬®© áç¥â®© ¬®¤¥«ìî ; íâ ¬®¤¥«ì ! -á¨«ì® ®¤®à®¤ ¨ ¯à®áâ ¤ ª ¦¤ë¬ ᢮¨¬ ª®¥çë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬.
10.c
203
¥®à¨¨ á ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ áç¥âëå ¬®¤¥«¥©
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ M ॠ«¨§ã¥â ¥ ¨§®«¨à®¢ ë© â¨¯ p , â® ¯® ⥮६¥ ®¡ ®¯ã᪠¨¨ ⨯®¢, áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì N ¤«ï T , ®¯ã᪠îé ï p , ¨ M ¥ ¬®¦¥â ¢ª« ¤ë¢ âìáï í«¥¬¥â à® ¢ N ¨ ¯®í⮬ã M ¥ ¯à®áâ .
᫨ M ¯à®áâ , â® § ç¨â ® ⮬ , ¨ áç¥â ¯®áª®«ìªã T ¨¬¥¥â áç¥âë¥ ¬®¤¥«¨; ¥á«¨ ã T ¥áâì ⮬ ï ¬®¤¥«ì, â® ¯® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ ® ¨¬¥¥â â ªãî ¦¥ áç¥âãî ¬®¤¥«ì. ®ª ¦¥¬, çâ® íâ ¬®¤¥«ì M ¨ ¯à®áâ . áᬮâਬ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ M ⨯ !: M = fao; : : :; an; : : : g ¨ ¯ãáâì N { ª ª ï-¨¡ã¤ì ¬®¤¥«ì T ; â ª ª ª ⨯ a0 ¨§®«¨à®¢ , ¥£® ¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì ¢ N ; ¯®á«¥ í⮣®, â ª ª ª ⨯ a1 ¤ a0 ¨§®«¨à®¢ («¥¬¬ 10.4), ¬®¦® â ª¦¥ ¥£® ॠ«¨§®¢ âì ¢ N , ¨ â.¤. ॠ«¨§ãï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® â¨¯ë an+1 ¤ fa0; : : : ; ang, ¯®«ãç îâ í«¥¬¥â ஥ ¢«®¦¥¨¥ M ¢ N . ¢¥ â®¬ë¥ áç¥âë¥ ¬®¤¥«¨, ¡ã¤ãç¨ 1-íª¢¨¢ «¥â묨, ¨§®¬®àäë; ¯® 9.5 ®¨ â ª¦¥ !-á¨«ì® ®¤®à®¤ë.
᫨ M ⮬ ¨ áç¥â , ® ®áâ ñâáï ⮬®© ¨ áç¥â®©, § ç¨â ¯à®á⮩, ¤ ª ¦¤ë¬ ¨§ ᢮¨å ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥áâ¢.
®§¬®¦®, çâ® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì M ¤«ï T ¨¬¥¥â ᮡáâ¢¥ë¥ í«¥¬¥â àë¥ ®£à ¨ç¥¨ï; ®ç¥¢¨¤®, â ª®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M { â ª¦¥ ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì T ; ¢ áç¥â®¬ á«ãç ¥, £¤¥ ¨¬¥¥âáï ¥¤¨á⢥®áâì ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨, N ¨§®¬®àä M .
᫨ A { ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ M , M ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¯à®áâ ¤ A; á ç « ¯®â®¬ã, çâ®, ¢®§¬®¦®, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤ A; ¥éñ ¯®â®¬ã, çâ® ¥á«¨ ® áãé¥áâ¢ã¥â, ᪠¦¥¬ N , â® N ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï í«¥¬¥â à® ¢ M , â ª¨¬ ®¡à §®¬, N { â ª¦¥ ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì T , ®, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ¨¬¥¥âáï ¥¤¨á⢥®áâì ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨, M ¨ N ¬®£ãâ ¡ëâì ¨§®¬®àä묨, ® ¥ ¡ëâì A-¨§®¬®àä묨.
¥®à¥¬ 10.9 ç¥â ï ¯®« ï ⥮à¨ï T ¨¬¥¥â ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì ¥á«¨ ¨ ⮫ì-
ª® ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® n ¨§®«¨à®¢ ë¥ â¨¯ë ¢ Sn (T ) ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¬®¦¥á⢮.
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ M ⮬ , ⮠⨯ë, ॠ«¨§®¢ ë¥ ¢ M ¨ ï-
î騥áï ¨§®«¨à®¢ 묨, ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¬®¦¥á⢮. ¡à â®, ¥á«¨ ¨§®«¨à®¢ ë¥ â¨¯ë ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¬®¦¥á⢮, ¤®¯®«¥¨¥ ª ¨¬ § ¬ªãâ® á ¯ãá⮩ ¢ãâ८áâìî, ª®â®à®¥ ¬®¦¥â ®¯ã᪠âìáï ¯® ⥮६¥ ®¡ ®¯ã᪠¨¨ ⨯®¢.
¥®à¥¬ 10.10
᫨ T ¯®« ï áç¥â ï ⥮à¨ï â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡®£® n Sn (T )
ª®¥ç® ¨«¨ áç¥â®, ⮣¤ ¤«ï ª ¦¤®£® ª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢ a , T ¨¬¥¥â ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì ¤ a .
®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª ⨯ b ¤ a ®¯à¥¤¥«¥ ⨯®¬ a_b , ª ¦¤®¥ Sn (a)
â ª¦¥ áç¥â®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®áâ â®ç® ¯®ïâì, çâ® ¢ áç¥â®¬ ª®¬¯ ªâ¥ ¨§®«¨à®¢ ë¥ â®çª¨ ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¬®¦¥á⢮; ®¤ ª® ¬®¦¥á⢮ ¥¨§®«¨à®¢ ëå â®ç¥ª ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ áç¥â®£® ç¨á« § ¬ªãâëå ¬®¦¥áâ¢ á ¯ãá⮩ ¢ãâ८áâìî; ¯® ⥮६¥ 10.1 ¥£® ¤®¯®«¥¨¥ ¯«®â®.
204
« ¢ 10
10.c ¥®à¨¨ á ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ áç¥âëå ¬®¤¥«¥© ®« ï áç¥â ï ⥮à¨ï T §ë¢ ¥âáï !-ª ⥣®à¨ç®© (¨«¨ @0-ª ⥣®à¨ç®©) ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ⮫쪮 ®¤ã áç¥âãî ¬®¤¥«ì; ⮣¤ ¯® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ ïá®, çâ® íâ áç¥â ï ¬®¤¥«ì { ¯à®áâ ï. ¥®à¥¬ 10.11 (ë««ì- ध¥¢áª®£®) ®« ï áç¥â ï ⥮à¨ï T !-ª ⥣®à¨ç , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® n ¬®¦¥á⢮ Sn(T ) ª®¥ç®. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ Sn (T ) ¡¥áª®¥ç® ¤«ï ¥ª®â®à®£® n, â® ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠®® ¥ ¬®¦¥â á®áâ®ïâì ⮫쪮 ¨§ ¨§®«¨à®¢ ëå â®ç¥ª; § ç¨â, ®® ᮤ¥à¦¨â ¥¨§®«¨à®¢ ë© â¨¯ p, ¨ T ¨¬¥¥â áç¥âãî ¬®¤¥«ì, ª®â®à ï ¥£® ॠ«¨§ã¥â, ¨ ¤àã£ãî, ª®â®à ï ¥£® ®¯ã᪠¥â: ® ¥ !-ª ⥣®à¨ç . ¡à â®, ¥á«¨ Sn(T ) ª®¥ç® ¤«ï «î¡®£® n, â® ®® ¤¨áªà¥â®, ¨ «î¡ ï ¬®¤¥«ì T ⮬ .
a_b
ª ª ª ⨯ ®¯à¥¤¥«¥ ⨯®¬ a ¨ ⨯®¬ b ¤ a, â® ãá«®¢¨¥ "Sn (T ) ª®¥ç® ¤«ï «î¡®£® n" íª¢¨¢ «¥â® ãá«®¢¨î "S1(a) ª®¥ç® ¤«ï ª ¦¤®£® ª®à⥦ ¯ à ¬¥â஢ a". â® ãá«®¢¨¥ ¬®¦® â ª¦¥ ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ âì â ª : ¤«ï «î¡®£® n ç¨á«® ä®à¬ã« f (x) ®â n ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå x1; : : : ; xn, à áᬮâà¥ë¥ á â®ç®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥â®á⨠¯® ¬®¤ã«î T , ª®¥ç®; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¬®¦¥á⢠¢¨¤ hf (x)i ª®¥ç®¥ ç¨á«® () Sn(T ) ª®¥ç®. ⬥⨬, çâ® ¤¢¥ ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¬®¤¥«¨ T ïîâáï 1-íª¢¨¢ «¥â묨, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® !-ª ⥣®à¨ç ; ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥ñ ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì ! áëé¥ . ਬ¥àë !-ª ⥣®à¨çëå ⥮਩: ⥮à¨ï ª®¥ç®© áâàãªâãàë, ⥮à¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠, ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®á⨠¨§ ¡¥áª®¥ç®£® ç¨á« ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, ¯«®â®£® ¯®à浪 ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢, ¡¥§ â®¬ë¥ ¡ã«¥¢ë «£¥¡àë. ª á«¥¤á⢨¥ 10.11, ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî騩, ¥¬®£® ¥®¦¨¤ ë© à¥§ã«ìâ â. ¥®à¥¬ 10.12
᫨ áâàãªâãà N ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ¢ !-ª ⥣®à¨ç®© áâàãªâãॠ(â.¥. ¥ñ ⥮à¨ï !-ª ⥣®à¨ç ), â® N â ª¦¥ ! -ª ⥣®à¨ç . ®ª § ⥫ìá⢮. ¨¯ ª®à⥦ ¢ á¬ëá«¥ N ®¯à¥¤¥«¥ ⨯®¬ ª®à⥦ ª®â®àë© ¥£® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢ M (á¬. à §¤¥« 9.d); ¤«ï ª ¦¤®£® n ç¨á«® n-⨯®¢ ¢ M ª®¥ç®, â®ç® â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ N .
í⮩ ¯®á«¥¤¥© ⥮६¥, ¨â¥à¯à¥â¨à㥬®áâì ®§ ç ¥â ¨â¥à¯à¥â¨à㥬®áâì ¡¥§ ¯ à ¬¥âà .
᫨ ¬ë å®â¨¬ ¤®ª § âì â ªãî ¦¥ ⥮६ã, à §à¥è ï ¯ à ¬¥âàë, ¤® çâ®¡ë ®¡é¥¥ ç¨á«® ¯ à ¬¥â஢, ãç áâ¢ãîé¨å ¢ ¨â¥à¯à¥â 樨 N ¢ M , ¡ë«® ª®¥çë¬, çâ®, ¯à¨¬¥à, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢á¥£¤ , ¥á«¨ ï§ëª N ª®¥ç¥ (¥á«¨ M !-ª ⥣®à¨ç , â® (M; a) â ª¦¥ !). ¥¢®§¬®¦®, çâ®¡ë ¯®« ï áç¥â ï ⥮à¨ï ¨¬¥« â®ç® ¤¢¥ áç¥âë¥ ¬®¤¥«¨ á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ª ª ã⢥ত ¥â á«¥¤ãîé ï ⥮६ : ¥®à¥¬ 10.13 ®« ï áç¥â ï ¥ !-ª ⥣®à¨ç ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ âਠáç¥âë¥ ¯®¯ à® ¥¨§®¬®àäë¥ ¬®¤¥«¨.
10.d
205
®áâàã¨àã¥¬ë¥ ¬®¤¥«¨
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨, ¤«ï ¥ª®â®à®£® n ¬®¦¥á⢮ Sn(T ) ¥áç¥â®, â® ¯®-
᪮«ìªã «î¡®© ⨯ ॠ«¨§ã¥âáï ¢ ¥ª®â®à®© áç¥â®© ¬®¤¥«¨ ¨ ª ¦¤ ï áç¥â ï ¬®¤¥«ì ¬®¦¥â ॠ«¨§®¢ âì ⮫쪮 áç¥â®¥ ç¨á«® ⨯®¢, T ¨¬¥¥â ¥áç¥â®¥ ç¨á«® áç¥âëå ¬®¤¥«¥©. ¤ ª®, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® n ¬®¦¥á⢮ Sn(T ) áç¥â®, â® T ¨¬¥¥â ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì M1 ¯® ⥮६¥ 10.10 , ¨ áç¥â®- áëé¥ãî ¬®¤¥«ì M2 ¯® ⥮६¥ 9.12 ; ¥á«¨ T ¥ !-ª ⥣®à¨ç , â® ¤«ï ¥ª®â®à®£® n ¬®¦¥á⢮ Sn(T ) ¡¥áª®¥ç® ¨ ᮤ¥à¦¨â ¥¨§®«¨à®¢ ãî â®çªã p, ª®â®à ï ®¯ã᪠¥âáï ¢ M1 ¨ ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M2 , á«¥¤®¢ â¥«ì® M1 ¨ M2 ¥ ¨§®¬®àäë. ãáâì a { ॠ«¨§ æ¨ï p ; â ª ª ª Sn (T ) ¡¥áª®¥ç® ¨ «î¡®© ⨯ ¤ ; ¨¬¥¥â à áè¨à¥¨¥ ¤ a, â® Sn(a) â ª¦¥ ¡¥áª®¥ç® ¨ ᮤ¥à¦¨â ¥ ¨§®«¨à®¢ ãî â®çªã; ᮢ ¯® ⥮६¥ 10.10, áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ a, ª®â®à ï ¥ ¯à®áâ , â ª ª ª ® ॠ«¨§ã¥â p, ¨ ¥ áëé¥ , â ª ª ª ® ⮬ ¤ a : íâ® è âà¥âìï ¬®¤¥«ì M3 .
ਬ¥à ¯®«®© ⥮ਨ á â६ï áç¥â묨 ¬®¤¥«ï¬¨: ï§ëª ᮤ¥à¦¨â ¡¨ àë© ¯à¥¤¨ª â ¨ áç¥âë© á¯¨á®ª ª®áâ â fa0; : : : ; an; : : : g ; ªá¨®¬ë ¢ëà ¦ îâ, çâ® { ¯«®â ï æ¥¯ì ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª, ¨ çâ® a0 < a1 < < an < an+1 < : : : . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® íâ ⥮à¨ï T ¯®« ¨ í«¨¬¨¨àã¥â ª¢ â®àë; ¥¤¨áâ¢¥ë© ¥ ¨§®«¨à®¢ ë© â¨¯ p ¨§ S1(T ) ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ä®à¬ã«ë x > an . ¬®¤¥«¨ M1 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì an ª®ä¨ «ì ; ¢ M2 ® ¬ ¦®à¨à®¢ , ® ¥ ¨¬¥¥â ¨¬¥ìèãî ¬ ¦®à âã; ¨ ¢ M3 ® ¨¬¥¥â ¨¬¥ìèãî ¬ ¦®à âã a : íâ® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ a. ¯®¬®éìî í⮣® ¯à¨¬¥à , ¬®¦® ¤®áâ â®ç® «¥£ª® ¯®áâநâì ¯®«ãî ⥮à¨î, ¨¬¥îéãî ஢® n áç¥âëå ¬®¤¥«¥© á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ¤«ï ª ¦¤®£® ª®¥ç®£® n > 3. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ ï§ëª L áç¥â¥, â® ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 2! L-áâàãªâãà á ®á¨â¥«¥¬ !. ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª ª ¦¤®¥ n- ஥ ®â®è¥¨¥ ï¥âáï ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ áç¥â®£® !n, ¨å ¨¬¥¥âáï 2! ; ª ¦¤®¬ã ᨬ¢®«ã ï§ëª ¤® § ç¨âì ®â®è¥¨¥, çâ® ¤ ¥â ®â®¡à ¦¥¨¥ ! ¢ 2! , ¨ (2! )! = 2!! = 2! . â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ¯®« ï áç¥â ï ⥮à¨ï ¬®¦¥â ¨¬¥âì ⮫쪮 á ¬®¥ ¡®«ì襥 2! áç¥âëå ¬®¤¥«¥©, ¨ ¬ë § ¥¬, çâ® íâ®â ¬ ªá¨¬ã¬ ¤®á⨣ ¥âáï (⥮à¨ï ¤¨áªà¥âëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå í«¥¬¥â®¢); ªà®¬¥ ⮣® ¥áâì â ª¨¥ (⥮à¨ï «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© ¤ ®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, ⥮à¨ï á«¥¤®¢ ¨ï 楫ëå ç¨á« å), çâ® ¨¬¥îâ â®ç® ! áç¥âëå ¬®¤¥«¥©. ।¯®«®¦¥¨¥ ®â ã⢥ত ¥â, çâ® ¯®« ï áç¥â ï ⥮à¨ï, ¨¬¥îé ï ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® áç¥âëå ¬®¤¥«¥© á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ¨¬¥¥â ¨å ! ¨«¨ 2! .
᫨ ¯à¨¨¬ âì ª®â¨ãã¬-£¨¯®â¥§ã, â® 2! = !+ , ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ áâ ®¢¨âáï ¥¨â¥à¥áë¬! ç¨â¥«ìë¬ à£ã¬¥â®¬ ¢ ¥£® ¯®«ì§ã ï¥âáï ⥮६ ®à«¨, ª®â®à ï ã⢥ত ¥â çâ® â ª ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â «¨¡® @0, «¨¡® @1, «¨¡® 2@0 ¬®¤¥«¥©; å®âï ®áâ ¥âáï ¨áª«îç¨âì ⮫쪮 @1 , ¢ á«ãç ¥ ª®£¤ ®® ¥ à ¢® 2@0 , ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ®â ï¥âáï ¢á¥ ¥éñ ®âªàë⮩ ¯à®¡«¥¬®©.
10.d ®áâàã¨àã¥¬ë¥ ¬®¤¥«¨ ®¢®àïâ, çâ® ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ A ª®áâàã¨à㥬®, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥£® ®à¤¨ «ì®¥ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ A = f: : :a ; : : : g, â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ⨯ a ¤
206
« ¢ 10
A =def fa g < ¨§®«¨à®¢ ; â ª®¥ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥, ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ¨ê¥ªâ¨¢®¥, §ë¢ ¥âáï ª®áâàãªæ¨¥© A. ®¢®àïâ, çâ® B ª®áâàã¨à㥬® ¤ A, ¥á«¨ ®® â ª®¢® ¢ á¬ëá«¥ T (A), â.¥. ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®à¤¨ «ì®¥ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ fb g ¬®¦¥á⢠B , â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® ⨯ b ¨§®«¨à®¢ ¤ A [ fb g < . í⮬ ¯®á«¥¤¥¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ A B , â® â ª ª ª í«¥¬¥âë A ¢ë¤¥«¥ë ¢ ï§ëª¥, ®¨ ¢¨àâã «ì® ¯à¨áãâáâ¢ãîâ ¢ ª ¦¤®¬ ¬®¦¥á⢥ ¯ à ¬¥â஢: ¨å ¤®¡ ¢«¥¨¥ ¥ ¬¥ï¥â ⨯ë; ®¨ â®¬ë ¤ ª ¦¤ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢. ® í⮩ ¯à¨ç¨¥ ¯à¨ ª®áâàãªæ¨¨ B ¤ A ®ç¥ì ç áâ® ¤®¢®«ìáâ¢ãîâáï ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥¬ â®ç¥ª B n A.
᫨ ¤®, â®çª¨ ¨§ A ¬®¦® ¢áâ ¢«ïâì ¥¢ ¦® ªã¤ , ¨ ¯®«ãç¨âì ª®áâàãªæ¨î ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á¬ëá«¥. «®£¨ç®, ¥á«¨ í«¥¬¥â a ¯à¨ ¤«¥¦¨â A , â® ¥£® ¬®¦® ¯¥à¥¯àë£ãâì, á®åà ïï ª®áâàãªæ¨î: ¥á«¨ ®áâ ¢¨¬ ⮫쪮 ¯¥à¢ë¥ á«ãç ¨ ¯®ï¢«¥¨ï í«¥¬¥â®¢ A ¢ ª®áâàãªæ¨¨, â® ¯®«ã稬 ¨ê¥ªâ¨¢ãî ª®áâàãªæ¨î. ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ A ª®áâàã¨à㥬®, â® ®® ⮬®; ç⮡ë íâ® ¯®ïâì, ¤®ª ¦¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® , çâ® A ⮬® ; ¥á«¨ ¯à¥¤¥«¥, â® A = [A , ¨ ª®à⥦ ¨§ A ï¥âáï ª®à⥦®¬ ¨§ ¥ª®â®à®£® A ; ¤«ï A +1 = A [ fa g : â ª ª ª A ⮬® ¨ A +1 ⮬® ¤ A , ã⢥ত¥¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ «¥¬¬ë 10.6 . ¥¬¬ 10.14
᫨ ¬®¦¥á⢮ A ª®áâàã¨à㥬®, â® ®® ª®áâàã¨à㥬® â ª¦¥ ¤ «î¡ë¬ ª®à⥦®¬ a ¨§ A; ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, ª ¦¤ ï ª®áâàãªæ¨ï A ¤ ; ï¥âáï ª®áâàãªæ¨¥© ¤ a. ®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª A ª®áâàã¨à㥬® ¤ A , ®® ⮬® ¤ A , ¨ ⨯ a_ a ¤ A ¨§®«¨à®¢ ; íâ® § ç¨â, ç⮠⨯ a ¤ A [ fag â ª¦¥ ¨§®«¨à®¢ («¥¬¬ 10.4).
ãáâì A { ª®áâàã¨à㥬®¥ ¬®¦¥á⢮; ¬ë ¢ë¡¥à¥¬ ¥ª®â®àãî ª®áâàãªæ¨î, ¨ ªà®¬¥ ⮣®, ¤«ï «î¡®£® ¬ë ¢ë¡¥à¥¬ ä®à¬ã«ã f (b ; x), ¨§®«¨àãîéãî ⨯ a ¤ A . «¥¬¥â b â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨§ A , ® á®áâ ¢«¥ ¨§ í«¥¬¥â®¢ a á ¨¤¥ªá ¬¨, ¬¥ì訬¨ 祬 . ®£¤ ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¯ ª¥â í«¥¬¥â a ª ª ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¯ ª¥â®¢ í«¥¬¥â®¢ ¨§ b ¨ ¯«îá a ; ¯®ïâ®, çâ® íâ®â ¯ ª¥â P ¤«ï a { ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, ¨ çâ® f (b ; x) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ P ¤«ï «î¡®£® a ¨§ P . ®¢®àïâ, çâ® ¯®¤¬®¦¥á⢮ C ¢ A § ¬ªãâ®, ¥á«¨ ¢¬¥áâ¥ á ª ¦¤ë¬ í«¥¬¥â®¬ ¢ C ᮤ¥à¦¨âáï ¥£® ¯ ª¥â; ¨ ç¥ £®¢®àï, C ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ ¯ ª¥â®¢. ¥¬¬ 10.15 ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ C ª®áâàã¨à㥬®£® ¬®¦¥á⢠A ª®áâàã¨à㥬®. ®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬, çâ® ¥á«¨ a 2 C , â® ¥£® ⨯ ¤ C = A \ C ¨§®«¨à®¢ .
£® ⨯ ¤ A ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© f (b ; x) : ¤¢ í«¥¬¥â , ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ í⮩ ä®à¬ã«¥, ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A , ¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¤ ª ¦¤ë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ A , ᮤ¥à¦ 騬 b . ª ª ª C ᮤ¥à¦¨â b , ®¡à §®¢ ë© ¨§ í«¥¬¥â®¢ C , ¨¤¥ªáë ª®â®àëå áâண® ¬¥ìè¥ , íâ ä®à¬ã« ¨§®«¨àã¥â â ª¦¥ ⨯ a ¤ C . ¤¥ªáë í«¥¬¥â®¢ a 2 C ®¡à §ãîâ ¢¯®«¥ 㯮à冷祮¥ ¬®¦¥á⢮; ¤®áâ â®ç® ¯¥à¥ã¬¥à®¢ âì C ¥£® ®à¤¨ «®¬, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ª®áâàãªæ¨î.
10.d
207
®áâàã¨àã¥¬ë¥ ¬®¤¥«¨
¥¬¬ 10.16
᫨ C { § ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ª®áâàã¨à㥬®£® ¬®¦¥á⢠A, ⮠⨯ C ( ¤ ;) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ f (b ; a ), ¤«ï a 2 C . ®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥â¨¬, çâ® ª ¦¤®¥ C = A \ C § ¬ªãâ®, ¨ ¯®ª ¦¥¬ ¨¤ãªæ¨¥©, çâ® ä®à¬ã«ë f (b ; a ), a 2 C , ®¯à¥¤¥«ïîâ ¥£® ¯®«ë© ⨯; ¥á«¨ = 0 , â® C0 = ; ¨ ¥£® { ⨯ ¯®«ë©, ¯®áª®«ìªã T ¯®« ; ¥á«¨ { ¯à¥¤¥«ìë© ¨ ¥ã«¥¢®©, ¯ãáâì g(c) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ C ; ⮣¤ ¢á¥ í«¥¬¥âë c «¥¦ â ¢ ¥ª®â®à®¬ C , < , ¨ ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ «¨¡® g(c), «¨¡® :g(c) ¢ë¢®¤¨âáï ¨§ f (b ; a ), a 2 C .
᫨ { ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì ¨ = + 1, ⮠⨯ C ®¯à¥¤¥«ï¥âáï f (b ; a ) , a 2 C , ⨯ a ( { ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥â ¢ !) ¤ C ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© f (b ; a ) .
¥¬¬ 10.17
᫨ C { § ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ª®áâàã¨à㥬®£® ¬®¦¥-
á⢠A (®â®á¨â¥«ì® ¤ ®© ª®áâàãªæ¨¨ A ¨ ¢ë¡®à 䨪á¨à®¢ ëå ¨§®«¨àãîé¨å ä®à¬ã«), â® A ª®áâàã¨à㥬® ¤ C , ¨ ª ¦¤®¥ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ A = f: : :b ; :::g, £¤¥ B = fa g < § ¬ªãâ® (®â®á¨â¥«ì® ª®áâàãªæ¨¨, ¢ë¡à ®© ¢ ç «¥) ¤«ï ª ¦¤®£® ¯à¥¤¥«ì®£® , ï¥âáï ª®áâàãªæ¨¥© A ¤ C .
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬ á ç « , çâ® A ⮬® ¤ C ; ¯ãáâì a { ª®¥ç-
®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A , ¨ ¯ãáâì a_b { ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¯ ª¥â®¢ í«¥¬¥â®¢ a ; ⮣¤ ¬®¦¥á⢮ C [ fa; bg § ¬ªãâ®, ¨ ¯® ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬¥, ⨯ a_b ¤ C ¨§®«¨à®¢ ª®êîªæ¨¥© ä®à¬ã« f (b ; a ), a 2 a [b ; ¨ â ª ª ª ⨯ a_b ¨§®«¨à®¢ ¤ C , ⨯ a ¤ C ¨§®«¨à®¢ . ®ª ¦¥¬, çâ® ª ¦¤®¥ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ª ª ¢ ãá«®¢¨¨ ¯à¥¤«®¦¥¨ï ï¥âáï ª®áâàãªæ¨¥© A ¤ C . î¡®© ®à¤¨ « ¨¬¥¥â ¢¨¤ + n , £¤¥ ¯à¥¤¥«¥ (à áᬮâà¨â¥ ¨¬¥ì訩 ®à¤¨ «, ¥ ¨¬¥î騩 â ª®© ¢¨¤ : ® ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨ ¯à¥¤¥«ìë¬, ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫¥¬); ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î B â ª ¦¥, ª ª ¨ B [ C , § ¬ªãâ® ¤«ï ¯à¥¤¥«ì®£® ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ⨯ (b ; b +1; : : :; b +n) ¤ B [ C ¨§®«¨à®¢ , çâ® ¢«¥ç¥â, ç⮠⨯ b +n ¤ B [ fb ; : : :; b +n?1g [ C = B +n [ C ¨§®«¨à®¢ . ®£¤ ïá®, çâ® ®à¨£¨ «ì ï ª®áâàãªæ¨ï ï¥âáï ª®áâàãªæ¨¥© A ¤ C .
®à «ì ¢á¥£® í⮣® ¢ ⮬, çâ® ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¤àã£ãî ª®áâàãªæ¨î A, ¥á«¨ ¥£® ¯¥à¥ã¬¥à®¢ë¢ ¥¬ ¥ à §ê¥¤¨ïï ¬ «¥ìª¨¥ ¯ ª¥âë. ë ¢¨¤¨¬, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ¥á«¨ ¬®¦¥á⢮ ¬®é®á⨠{ ª®áâàã¨à㥬®, â® ®® ¨¬¥¥â ª®áâàãªæ¨î ⨯ { : ¥á«¨ ®® ª®¥ç®, â® ª ¦¤®¥ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ï¥âáï ª®áâàãªæ¨¥©, ¨ ¥á«¨ ®® ¡¥áª®¥ç®, â® ®® ¨¬¥¥â { ¯ ª¥â®¢, ª®â®àë¥ ã¬¥à㥬 ®¤¨ § ¤à㣨¬. ¥ª®â®àë¥ ª®áâàã¨à㥬ãî ¬®¤¥«ì §ë¢ îâ áâண® ¯à®á⮩ ¬®¤¥«ìî; ¤¥«® ¢ ⮬, çâ® ª®áâàã¨à㥬 ï ¬®¤¥«ì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¯à®áâ : ¥á«¨ N { ¯à®¨§¢®«ì ï ¬®¤¥«ì T , â® â ª ª ª ⨯ a ¤ A ¢á¥£¤ ¨§®«¨à®¢ , ¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ¢á¥ íâ¨ â¨¯ë ¢ N . ® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ , ¬®é®áâì ª®áâàã¨à㥬®© ¬®¤¥«¨ (¤ ¦¥ «î¡®£® ª®áâàã¨à㥬®£® ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢), ¬¥ìè¥ ¨«¨ à ¢ jT j ; ª®áâàã¨à㥬 ï ¤ A ¬®¤¥«ì ¯à®áâ ¤ A ¨ ¨¬¥¥â ¬®é®áâì, ¬¥ìèãî ¨«¨ à ¢ãî Max(jAj; jT j) .
« ¢ 10
208
⬥⨬, çâ® ª ¦¤®¥ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ⨯ ! áç¥â®© ⮬®© ¬®¤¥«¨, ¨ ¢®®¡é¥, áç¥â®£® ⮬®£® ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢, ï¥âáï ª®áâàãªæ¨¥©. «¥¤ãîé ï ⥮६ ã⢥ত ¥â ¥¤¨á⢥®áâì ª®áâàã¨à㥬®© ¬®¤¥«¨, ¥á«¨ ® áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ íâ® ¡¥§ ¢á类£® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï ® ¬®é®á⨠⥮ਨ; ¬ë ¯®ª §ë¢ ¥¬ í⮠祫®ª®¬, ª®â®àë© ¤¥©áâ¢ã¥â ¥ ¯®í«¥¬¥â®, ¯ ª¥â § ¯ ª¥â®¬ â ª, ç⮡ë á®åà ïâì ⮬®áâì ¬®¤¥«¥© ª ¦¤®¬ íâ ¯¥.
¥®à¥¬ 10.18 (¥ááíà)
᫨ ¯®« ï ⥮à¨ï T ¨¬¥¥â ª®áâàã¨à㥬ãî ¬®-
¤¥«ì, â® ® ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥ãî â ªãî ¬®¤¥«ì á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ¨ íâ ¬®¤¥«ì !-á¨«ì® ®¤®à®¤ .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M ¨ N { ¤¢¥ ª®áâàã¨àã¥¬ë¥ ¬®¤¥«¨ T ; â ª ª ª
ª ¦¤ ï ¨§ ¨å, ª ª ¯à®áâ ï, ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¤àã£ãî, ®¨ ®¡ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ª न « { ; ¬ë § ¬¥â¨«¨, çâ® ¬®¦® ©â¨ ª®áâàãªæ¨¨ ¤«¨ë { , ¯¥à¥ç¨á«ïï ¯ ª¥âë ¥ à §ê¥¤¨ïï. ª¨¬ ®¡à §®¬, M = fa g a ¤«ï ª ¦¤®£® a ¨§ M .
¥¬¬ 11.8 ¨¯ p ¤ ¬®¤¥«ìî M à¨ä¬¥â¨ª¨ ï¥âáï ⨯®¬ ª®æ¥¢®£® à áè¨à¥¨ï, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f (x; y) ¨ «î¡®£® a ¨§ M ¬®¦¥á⢮ b ¨§ M â ª¨å, çâ® p ` f (x; b) ^ b a ª®¤¨àã¥âáï ¢ M (â.¥. ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢ á¬ëá«¥ M ).
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® p { ⨯ ª®æ¥¢®£® à áè¨à¥¨ï, ¨ ¯ãáâì N { ª®æ¥¢®¥ à áè¨à¥¨¥ M , ॠ«¨§ãî饥 p ¢ x; ¬®¦¥á⢮ fb : b a ^ f (x; b)g ï¥âáï ª®¥çë¬ ¢ á¬ëá«¥ N ; ®® ¨¬¥¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ N
ª®¤ c, çâ® ¥ ¡®«ìè¥ ¬ ªá¨¬ «ì®£® á।¨ ª®¤®¢ ¬®¦¥á⢠n-ª®à⥦¥© ¨§ N , ¬ ¦®à¨à®¢ ëå a: ¥á«¨ ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ d íâ® ¯®á«¥¤¥¥ ç¨á«®, â®, â ª ª ª M N , d { â® ¦¥ á ¬®¥ ¢ M , çâ® ¨ ¢ N . ª ª ª N ï¥âáï ª®æ¥¢ë¬ à áè¨à¥¨¥¬ M ¨ c d, ç¨á«® c «¥¦¨â ¢ M , ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, à áᬠâਢ ¥¬®¥ ¬®¦¥á⢮ ª®¤¨àã¥âáï ¢ M . ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® p ¨¬¥¥â í⮠᢮©á⢮; ¯ãáâì x { ॠ«¨§ æ¨ï p, b { ª®à⥦ ¨§ M , ¨ z = '(x; y) { ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ äãªæ¨ï; ¬ë ¤®«¦ë ¤®ª § âì, çâ® '(x; b) ¨«¨ ¢ M , ¨«¨ ¬ ¦®à¨àã¥â «î¡®© í«¥¬¥â M . â ª, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® '(x; b) ¬ ¦®à¨àã¥âáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ a ¨§ M ; ¯ãáâì ⮣¤ A { ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ ¨§ M , ª®â®àë¥ ¬¥ìè¥ '(x; b): â ª ª ª A ®£à ¨ç¥® í«¥¬¥â®¬ a, â® A ª®¤¨àã¥âáï ¢ M ; íâ® ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢ á¬ëá«¥ M ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®® ¨¬¥¥â ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥â c; â ª ª ª c + 1 â ª¦¥ ¢ M , â® íâ® ¢«¥çñâ c = '(x; b).
ë ¢¨¤¨¬, çâ® ®¯à¥¤¥«¨¬ë© ⨯ ï¥âáï ⨯®¬ ª®æ¥¢®£® à áè¨à¥¨ï: ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ b ¨§ M , â ª¨å, çâ® b a ¨ p ` f (x; b), ®¯à¥¤¥«¨¬® ¨ ®£à ¨ç¥® ¢ M ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, (¯® ªá¨®¬¥ ª®««¥ªæ¨¨) ®® ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢ á¬ëá«¥ M . ë ᮡ¨à ¥¬áï ⥯¥àì ¯®ª § âì, çâ® ®¯à¥¤¥«¨¬ë¥ ⨯ë áãé¥áâ¢ãîâ ¢ ¨§¡ë⪥: ¥®à¥¬ 11.9 ãáâì M { ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨ ¨ ¯ãáâì f (x; a) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ a ¨§ M , 㤮¢«¥â¢®àïîé ïáï ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ì訬¨ í«¥¬¥â ¬¨ M; ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ®¯à¥¤¥«¨¬ë© ¥®£à ¨ç¥ë© ⨯ ¤ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f (x; a). ®ª § ⥫ìá⢮. M ¬ë ¨¬¥¥¬ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ ä®à¬ã« fi(x; ai) á ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x, á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ai ¢ M , ¯®á।á⢮¬ í«¥¬¥â®¢ i ¨§ M ; ¬®¦®
226
« ¢ 11
¯®¯ëâ âìáï ®¯à¥¤¥«¨âì ¨¤ãªæ¨¥© ä®à¬ã«ã gi (x; ai) à ¢®© fi(x; ai), ¥á«¨ ä®à¬ã« f (x; a) ^ g0(x; ai) ^ ^ gi?1 (x; ai?1) ^ fi (x; ai) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ì訬¨ í«¥¬¥â ¬¨ ¢ M , ¨ à ¢®© :fi(x; ai) ¨ ç¥, ¨ ¡à âì ¢ ª ç¥á⢥ p ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å gi . ¥¤ ¢ ⮬, çâ® ¤«ï í⮣® ¬ ¥®¡å®¤¨¬® à¨ä¬¥â¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯®«¨¬®á⨠¢ M , § ¯à¥é¥®¥ ⥮६®© à᪮£®. ®íâ®¬ã ¬ë ¯®áâ㯠¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬. ãáâì F0 { ¬®¦¥á⢮, ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ f (x; a) ¨ ¢á¥å ä®à¬ã« x > b, b 2 M ; «î¡®© äà £¬¥â F0 , ª®¥çë© ¢ á¬ëá«¥ M , 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â®¬ M : ¤¥©á⢨⥫ì®, ⥠b, çâ® ¢áâà¥ç îâáï ¢ í⮬ äà £¬¥â¥, ®¡à §ãîâ ®£à ¨ç¥®¥ ¬®¦¥á⢮. ë ¯¥à¥ç¨á«ï¥¬ ⥯¥àì ¢á¥ 1-ä®à¬ã«ë á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M ᮠ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x: f0(x); f1(x); : : : ; fi(x); : : : ; ¨ ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® i ä®à¬ã«ã gi à ¢®© fi, ¥á«¨ ä®à¬ã« g0(x) ^ ^ gi?1 (x) ^ fi(x) (¥á«¨ i ¥áâ ¤ àâ¥, â® ª®êîªæ¨ï ¥áâ ¤ àâ® ª®¥ç !), 㢥«¨ç¥ ï «î¡®© ª®¥çë© äà £¬¥â F0 ¢ë¯®«ï¥âáï í«¥¬¥â®¬ M : â ª ª ª ä®à¬ã«ë ¨§ ®£à ¨ç¥®£® ª« áá n (§¤¥áì, 1), íâ® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¨¬¥¥â ¢¯®«¥ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨© á¬ëá«, ª®â®àë© ¢ëà §¨¬ ¢ M ; gi ¥áâì :fi ¨ ç¥. ãáâì F1 { ®¯à¥¤¥«¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢á¥å gi : ïá®, çâ® ª ¦¤®¥ ª®¥ç®¥ (¢ á¬ëá«¥ M ) ¯®¤¬®¦¥á⢮ F0 [ F1 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï í«¥¬¥â®¬ M . â® ¢«¥ç¥â, çâ®, à áᬮâ८¥ ¨§¢¥, áâ ¤ à⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ F0 [ F1 ï¥âáï ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® á®¢¬¥áâë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ä®à¬ã«, â ª ª ª ¨áâ¨ë¥ ª®¥çë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠M , ¡ã¤ãç¨ áâ ¤ à⮩ ¬®é®áâ¨, ª®¤¨àãîâáï ¢ M . ¬ë ¯à®¤®«¦ ¥¬; n-ë© íâ ¯ ¤«ï áâ ¤ à⮣® ç¨á« n á®á⮨⠢ ¯¥à¥ç¨á«¥¨¨ n -ä®à¬ã« ¨ ¢ â ª®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¬®¦¥á⢠Fn : ¥£® i-ë© í«¥¬¥â gi ¥áâì fi, ¥á«¨ ä®à¬ã« g0(x)^ ^gi?1 (x)^fi(x), 㢥«¨ç¥ ï «î¡®© ª®¥çë© äà £¬¥â F0 [ F1 [ [ Fn?1 ¢ë¯®«ï¥âáï í«¥¬¥â®¬ M , ¨ :fi ¨ ç¥. ¦¤®¥ Fn ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ä®à¬ã«, ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬ ¢ M . ãáâì ⮣¤ p { ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« áâ ¤ à⮩ á«®¦®á⨠(â.¥. áâ®ï騥 ä®à¬ã«ë) ¨§ [Fn ; p ᮢ¬¥áâ®, â ª ª ª ª ¦¤ë© ¨§ ¥£® áâ®ïé¨å ª®¥çëå äà £¬¥â®¢ ¢ë¯®«¨¬ ¢ M ; ®® ¯®«®¥, â ª ª ª fi ¨«¨ :fi 䨣ãà¨àã¥â ¢ p; â ª ª ª ®® ᮤ¥à¦¨â F0 , ®® ¥ ®£à ¨ç¥®¥ ¨ ᮤ¥à¦¨â ¯¥à¢® ç «ìãî ä®à¬ã«ã f (x; a); ¨ íâ® ®¯à¥¤¥«¨¬ë© ⨯: ¥á«¨ g(x; y) { ( áâ®ïé ï) n -ä®à¬ã« , â® ç⮡ë 㧠âì, ¢¥à® «¨ p ` g(x; a), ¤®áâ â®ç® ¢ëïá¨âì, «¥¦¨â «¨ g(x; a) ¢ Fn.
ª á«¥¤á⢨¥, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì à¨ä¬¥â¨ª¨ ¨¬¥¥â ᮡáâ¢¥ë¥ ª®æ¥¢ë¥ à áè¨à¥¨ï. ¤ ¦¥ ¥¬®£® ãâ®çïï íâã ⥮६ã, ¬®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¥á«¨ jM j = {, â® ® ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ {! ®¯à¥¤¥«¨¬ëå ¥®£à ¨ç¥ëå ⨯®¢, â ª¦¥ {! ª®æ¥¢ëå ¯®¯ à® ¥ M -¨§®¬®àäëå à áè¨à¥¨©. ª ï 㦥 ᪠§ «, í⨠१ã«ìâ âë ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥ ¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®£® à áè¨à¥¨ï à¨ä¬¥â¨ª¨ ¥ ®, â ª ª ª ¥á«¨ ¬®¤¥«ì â ª®© à¨ä¬¥â¨ª¨ ã⢥ত ¥â, çâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¨á⨮, â® ® ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥£® 㤮¢«¥â¢®àï¥â.
11.d â ¡¨«ìë¥ â¨¯ë ¨ ⥮ਨ ¨¯ p ¤ ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T §ë¢ ¥âáï áâ ¡¨«ìë¬, ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® á뮢ìï ¤ ¢á¥¬¨ í«¥¬¥â à묨 à áè¨à¥¨ï¬¨ M ®¯à¥¤¥«¨¬ë. ¥®à¨ï T -
11.d
227
â ¡¨«ìë¥ â¨¯ë ¨ ⥮ਨ
§ë¢ ¥âáï áâ ¡¨«ì®© ¥á«¨ «î¡®© ⨯ ¤ «î¡®© ¬®¤¥«ìî T áâ ¡¨«¥, ¨«¨ ¥é¥ «î¡®© ⨯ ¤ «î¡®© ¬®¤¥«ìî T ®¯à¥¤¥«¨¬.
¥®à¥¬ 11.10 ãáâì p { áâ ¡¨«ìë© â¨¯ ¨§ S1(M ) ¨ N { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M ¬®é®á⨠; ⮣¤ ç¨á«® á뮢¥© p ¤ N ¥ ¡®«ìè¥ jT j.
᫨ T áâ ¡¨«ì ¨ ¥á«¨ B ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢ ¬®é®á⨠¥ ¡®«ìè¥ , â® jS1 (A)j jT j. ®ª § ⥫ìá⢮. ¦¤ë© áë q ⨯ p ¤ N , ¡ã¤ãç¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬,
ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á«¥¤¨ª®¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï q1 ¤ í«¥¬¥â àë¬ ®£à ¨ç¥¨¥¬ N1 ¬®¤¥«¨ N ¬®é®á⨠jT j (⥮६ 11.6); ¨¬¥¥âáï jT j ¢®§¬®¦®á⥩ ¤«ï ¢ë¡®à N1 , ¨ ¥ ¡®«¥¥ 2jT j { ¤«ï ¢ë¡®à ⨯®¢ ¤ N1 , çâ® ¤ ¥â ¢ ¨â®£¥ ¢á¥£® jT j 2jT j = jT j ¢®§¬®¦®á⥩ ¤«ï q1 , â® ¥áâì ¨ ¤«ï q. «¨ ¥é¥ ¬®¦® à áá㦤 âì â ª: ¨¬¥¥âáï á⮫쪮 ⨯®¢ q ᪮«ìª® ¢®§¬®¦ëå ®¯à¥¤¥«¥¨©; ®¯à¥¤¥«¥¨¥, íâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ ¬®¦¥á⢠ä®à¬ã« f (x; y) ¢® ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ N , ç¨á«® ª®â®àëå maxf; jT jg; § ç¨â, ç¨á«® ¢®§¬®¦ëå ®¯à¥¤¥«¥¨© ¥ ¡®«ìè¥ maxfjT j; jT jjT jg = jT j. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¢â®à®© ç á⨠⥮६ë, ¢ª« ¤ë¢ ¥¬ A ¢ ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T ¬®é®á⨠maxf; jT jg; ª ¦¤ë© ⨯ ¤ A ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ⨯ ¤ M . â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤ A ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«ìè¥ â¨¯®¢, 祬 ¤ M , ç¨á«® ⨯®¢ ¤ M ¥ ¡®«ìè¥ ç¨á« ¢®§¬®¦ëå ®¯à¥¤¥«¥¨©, â® ¥áâì jT j.
¥®à¥¬ 11.11 ãáâì p { ¥áâ ¡¨«ìë© â¨¯ ¨§ S1(M ); ¤«ï ª ¦¤®£® ª न « max(jT j; jM j), áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨
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®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª p ¥áâ ¡¨«¥, ® ¨¬¥¥â ¥®¯à¥¤¥«¨¬®£® áë p0 ¤ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ M0 ¬®¤¥«¨ M , ¨ § ¬¥ïï ¢ á«ãç ¥ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠(M0; dp0 ) ®¤¨¬ ¨§ ¥¥ í«¥¬¥â àëå ®£à ¨ç¥¨©, ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® jM0j = . ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M0 , ¤ ª®â®àë¬ ¨¬¥îâáï ¤¢ à §«¨çëå á«¥¤¨ª q1 ¨ q2 ⨯ p0 ; q1 ` f (x; a), q2 ` :f (x; a) ¤«ï ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë f (x; y) ¨ a ¢ N . ®£¤ § ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® á«¥¤¨ª p0 ⨯ p0 ¤ ¬®¤¥«ìî M 0, áãé¥áâ¢ã¥â à áè¨à¥¨¥ N 0 ¬®¤¥«¨ M 0, ¤ ª®â®àë¬ ¨¬¥îâáï ¤¢ à §«¨çëå áë q1 ¨ q2 ⨯ p0, ïî騥áï á«¥¤¨ª ¬¨ p0 ( ¥ p0, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬ !), á q10 ` f (x; a0), q20 ` f (x; a0), ¤«ï ¥ª®â®à®£® a0 ¨§ N 0 ; ¤¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª p0 ¨¬¥¥â ª ª áë ¥ª®â®àãî ã«ìâà á⥯¥ì pU0 ⨯ p0, â® ¬®¦® ¡à âì q10 = q1U , q20 = q2U . ®£¤ ¬ë ¯®áâந¬ ¢®§à áâ îéãî ®à¤¨ «ìãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®¤¥«¥© M ⥮ਨ T , ¢¬¥áâ¥ á ª®à⥦ ¬¨ ¯ à ¬¥â஢ a , a 2 M +1 , ¤«ï ª ¦¤®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠2 2 , ¨ à §«¨çëå á«¥¤¨ª®¢ p ⨯ p0, p 2 S1(M ), â ª¨å, çâ® ¥á«¨ ï¥âáï ®£à ¨ç¥¨¥¬ , â® p ï¥âáï á뮬 p , á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:
228
« ¢ 11
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®¢®àïâ, ç⮠⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ¢ , £¤¥ { ¡¥áª®¥çë© ª न «, ¥á«¨ ¤ ª ¦¤ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢ ¬®é®áâ¨, ¥ ¡®«ì襩 , ® ¨¬¥¥â ¥ ¡®«¥¥ ⨯®¢. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯® ¤¢ã¬ ¯à¥¤ë¤ã騬 ⥮६ ¬ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ T ¥áâ ¡¨«ì , â® ® ¥áâ ¡¨«ì ¢® ¢á¥å , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¥á«¨ ® áâ ¡¨«ì , â® ® áâ ¡¨«ì ¢ ª ¦¤®© ¬®é®á⨠⠪®©, çâ® = jT j, â® ¥áâì ¢ ª ¦¤®¬ ª न «¥ ¢¨¤ jT j (â ª ª ª (jT j)jT j = jT jjT j = jT j). ç áâ®áâ¨, T áâ ¡¨«ì ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® áâ ¡¨«ì ¢ 2jT j. ë ¯®§¦¥ ®¯à¥¤¥«¨¬ ª ª¨¬¨ ¬®£ãâ ¡ëâì "ᯥªâàë áâ ¡¨«ì®áâ¨" (â.¥. ª« áá ª न «®¢, ¢ ª®â®àëå ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ) ¤«ï ⥮ਨ T . ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , â® ¤«ï «î¡®£® ¬®¦¥á⢠A ¯ à ¬¥â஢ T (A) â ª¦¥ áâ ¡¨«ì ; ¨ çâ® T ¨ T (A) áâ ¡¨«ìë ¢ ®¤¨å ¨ â¥å ¦¥ ª न « å jAj. ஬¥ ⮣®, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì ¢ , ¨ ¥á«¨ jAj , ⮣¤ Sn(A) : ¤¥©á⢨⥫ì®, ॠ«¨§®¢ âì ⨯ (a1; :::; an) ¤ A § ç¨â, çâ® á ç « ॠ«¨§®¢ âì ⨯ a1 ¤ A, § ⥬ ⨯ a2 ¤ A [fa1g,..., ¨, ª®¥æ, ⨯ an ¤ A [ fa1; : : :; an?1g ; â ª ª ª ª ¦¤ë© à § ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¢®§¬®¦®á⥩, â® ¢ ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬ ¥ ¡®«ìè¥ n = ¢®§¬®¦®á⥩. ®ïâ¨ï á«¥¤¨ª , ®¯à¥¤¥«¨¬ëå, áâ ¡¨«ìëå ⨯®¢, çâ® ¬ë ¯à¥¤áâ ¢¨«¨ ¤«ï 1-⨯®¢, çâ®¡ë ¥ ¢®§¨âìáï á ¨¤¥ªá ¬¨, ®¯à¥¤¥«ïîâáï ⥬ ¦¥ ᯮᮡ®¬ ¤«ï n-⨯®¢; «®£¨ ¢á¥å ⥮६, ª®â®àëå ¬ë ¤®ª § «¨, ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥. ë ¢¨¤¨¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì (â.¥. ¢á¥ 1-â¨¯ë ®¯à¥¤¥«¨¬ë), ⮣¤ ª ¦¤ë© n-⨯ ¤ ª ¦¤®© ¬®¤¥«ìî T ®¯à¥¤¥«¨¬ (¨ ç¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¥áâ ¡¨«ì®áâì ¢ ª ¦¤®¬ ¤«ï n-⨯®¢, ¯® «®£¨¨ 11.11). â ª¦¥, â ª ª ª ä®à¬ã« ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ëå ⨯ , -â¨¯ë ®¯à¥¤¥«¨-
11.e
229
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
¬ë; ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , ¨ jAj , ⮣¤ jS (A)j max(j j;jT j), çâ® ®£à ¨ç¨¢ ¥â ç¨á«® ¢®§¬®¦ëå ®¯à¥¤¥«¥¨© -⨯®¢ ¤ ¬®¤¥«ï¬¨ ¬®é®á⨠max(j j; jT j), ᮤ¥à¦ é¨å A. áᬮâਬ ⥯¥àì ä®à¬ã«ã f (x; y), ¯ à ¬¥âàë a , ¨¤¥ªá¨à®¢ ë¥ 2 2 , £¤¥ { 䨪á¨à®¢ ë© ®à¤¨ «, ¨ b , £¤¥ 2 2 , ¤«ï ª ¦¤®£® < ; ¯ãáâì D { ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«, ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ f (a ; b ), £¤¥ 2 2 , = , ( ) = 0, ¨ ¨§ :f (a ; b ) £¤¥ 2 2 , = , ( ) = 1. ®¢®àïâ, çâ® ä®à¬ã« f (x; y) ¨¬¥¥â ¢ T ᢮©á⢮ ¤¨å®â®¬¨¨, ¥á«¨ D! ᮢ¬¥áâ® á T ; ®â¬¥â¨¬, çâ® ª ¦¤ë© ª®¥çë© äà £¬¥â D ¬®¦¥â ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âìáï ¢ ®¤®¬ ¨§ Dn ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® n; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ f ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¤¨å®â®¬¨¨, â® ª ¦¤®¥ D ᮢ¬¥áâ®; ¨ ç⮡ë f ¨¬¥« í⮠᢮©á⢮ (¥®¡å®¤¨¬® ¨) ¤®áâ â®ç®, çâ® ª ¦¤®¥ Dn ¡ë«® ᮢ¬¥áâë¬, â® ¥áâì çâ® T ᮤ¥à¦ « ªá¨®¬ã, ¯®«ãç¥ãî íª§¨áâ¥æ¨ «ì®© ª¢ â¨ä¨ª 樥© ¯® a ¨ b ¯¥à¥¤ ª®êîªæ¨¥© ä®à¬ã« Dn , ¤«ï ª ¦¤®£® n.
¥®à¥¬ 11.12 ¥®à¨ï T ¥áâ ¡¨«ì ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¥ª®â®à ï ä®à¬ã« f (x; y) (£¤¥ x { ®¤¨®ç ï ¯¥à¥¬¥ ï) ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¤¨å®â®¬¨¨.
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ T ¥áâ ¡¨«ì , â® ¤¥à¥¢® ⨯®¢, ¯®áâ஥®¥ ¢
¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 11.11, ¯®ª §ë¢ ¥â ᢮©á⢮ ¤¨å®â®¬¨¨ ¤«ï ä®à¬ã«ë f (x; y). ।¯®«®¦¨¬, çâ® f ¨¬¥eâ í⮠᢮©á⢮; ¯ãáâì { ¡¥áª®¥çë© ª न «, ¨ ¯ãáâì { ¯¥à¢ë© ª न « â ª®©, çâ® > ; ¯ãáâì ⮣¤ D ॠ«¨§®¢ ® ¢ ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«¨ T : ¥á«¨ A ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ b , â® jAj , ¨ a , ç¨á«® ª®â®àëå ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ + , ¨¬¥îâ ¯®¯ à® à §«¨çë¥ â¨¯ë ¤ A. ¬¥¥¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥áâ ¡¨«ì®áâì ¢® ¢á¥å : T ¥áâ ¡¨«ì .
ë ¢¨¤¨¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ¥á«¨ ¨¬¥¥âáï ä®à¬ã« f (x; y) ᮠ᢮©á⢮¬ ¤¨å®â®¬¨¨, â® ¨¬¥¥âáï ä®à¬ã« g(x; y) á í⨬ ᢮©á⢮¬. ¥âà㤮 ¯®ïâì ¯®¤®¡ë¬ ᯮᮡ®¬, çâ® p ¥áâ ¡¨«¥, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¤«ï ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë f (x; y) ® ᮢ¬¥áâ¥ á ¬®¦¥á⢮¬ D! , ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 f (x; y) (¤®¡ ¢«ï¥¬ ª D! ¯à¥¤«®¦¥¨ï, ã⢥ত î騥, çâ® a ïîâáï ॠ«¨§ æ¨ï¬¨ p).
᫨ p áâ ¡¨«¥, â® ¥£® á«¥¤¨ª, â ª ¦¥ ¢¯à®ç¥¬ ª ª ¨ ª ¦¤ë© ¨§ ¥£® á뮢¥©, áâ ¡¨«¥. ¡à â®, ¥á«¨ p ¥áâ ¡¨«¥, â® ª ¦¤ë© á«¥¤¨ª q ⨯ p ¥áâ ¡¨«¥; ¤¥©á⢨⥫ì®, p ¨¬¥¥â áë r, ã ª®â®à®£® ¤¢ à §«¨çëå á«¥¤¨ª r1 ¨ r2 , ¨ ¤«ï ¥ª®â®à®£® ã«ìâà 䨫ìâà U , q ¨¬¥¥â ¢ ª ç¥á⢥ áë pU , ¨¬¥î饣® áë rU , ã ª®â®à®£® ¤¢ à §«¨çëå á«¥¤¨ª r1U ¨ r2U , ¨«¨ ¥é¥: q á«¥¤ã¥â ᢮©á⢮ ¤¨å®â®¬¨¨ ᢮¥£® ®âæ . ®á«¥¤¥¥ § ¬¥ç ¨¥: à áᬮâਬ ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T , ¥¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N , ¨ ä®à¬ã«ã f (x; b) á ¯ à ¬¥â஬ b ¨§ N . ®¦¥á⢮ A ª®à⥦¥© ¨§ M , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å í⮩ ä®à¬ã«¥, ¬®¦¥â, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M ; ®¤ ª® íâ® â ª, ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì : ⮣¤ ¬®¦® ©â¨ ä®à¬ã«ã g(x; a) c ¯ à ¬¥âà ¬¨ a ¨§ M , â ªãî, ç⮠⥠x ¨§ M , ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ f (x; b), ¡ë«¨ ⥬¨ ¦¥, ç⮠㤮¢«¥â¢®àïîâ g(x; a) (íâ® ¨çãâì ¥ § ç¨â, çâ® í⨠¤¢¥ ä®à¬ã«ë ¡ë«¨ íª¢¨¢ «¥âë: íâ® ¥¢¥à® ¤«ï x ¨§ N !); ¤¥©á⢨⥫ì®, íâ® ãá«®¢¨¥ (¤«ï «î¡ëå M , N , f (x; b)) à ¢®á¨«ì® áâ ¡¨«ì®áâ¨, â ª ª ª ®® ®§ ç ¥â, ç⮠⨯ b ¤ M ®¯à¥¤¥«¨¬.
230
« ¢ 11
11.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ¨§ã票¥ áâ ¡¨«ìëå ⥮਩, ª ª®â®à®¬ã ¬ë ⥯¥àì ¯à¨áâ㯨«¨, «®¦¥ ᨫìë© ®â¯¥ç ⮪ ®¤®© «¨ç®á⨠{ å à® ¥« å . ¨§«®¦¨« ¬ ááã ¢¯¥ç â«ïîé¨å १ã«ìâ ⮢ ® ª®áâàãªæ¨ïå ¬®¤¥«¥© ª ª áâ ¡¨«ìëå, â ª ¨ ¥áâ ¡¨«ìëå ¨ ⥮਩ ¢ ¬®ã¬¥â «ì®¬ âà㤥 [
, 1978], ¨ ᥩç á ¬ë á ¥â¥à¯¥¨¥¬ ®¦¨¤ ¥¬ ¥£® ¢â®à®¥ ¨§¤ ¨¥ á ¤®¯®«¥¨ï¬¨1 . "®ã¬¥â «ìë©" ¥ ®§ ç ¥â, çâ® íâ® ®ç¥ì ⮫áâ ï ª¨£ , çâ® íâ® { ¥®¡ëç ©® § ¢®à ¦¨¢ î騩 âàã¤, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騩 ¦¨¢®© ¯à¨¬¥à ¨§®¡à¥â ⥫ì᪮© ¬®é¨, ¨áª«îç¨â¥«ì® ¢¨àâ㮧®© â¥å¨ª¨ ¨ ä â áâ¨ç¥áª®£® ¢¤®å®¢¥¨ï. ® ¢àï¤ «¨ íâã ª¨£ã ¬®¦® ¯à¥¤« £ âì ¤¥¡îâ âã, ¤ ¦¥ ᯮᮡ®¬ã, â ª ª ª áâ¨«ì ¨§«®¦¥¨ï, ª®â®à®£® ¯à¨¤¥à¦¨¢ ¥âáï ¢â®à, ¤¥« ¥â ¥¥ ¯®ç⨠¥¤®áâ㯮© ¤ ¦¥ ¤«ï ®¯ë⮣® «®£¨ª . ®«ª®¢ ⥫¨ ¬ëá«¥© ¥« å «®¬ îâ £®«®¢ã ¤ £¨¯®â¥§ ¬¨ ¨ § ª«î票ﬨ ⥮६, ª®â®àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¢ ¥©. §ã票¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠¥ ®ç¥ì ¯®¬®£ ¥â ¯®â®¬ã, çâ® ®¨ ¥®¡ëç ©® £¥à¬¥â¨çë ¨«¨ ¯à®áâ® ®âáãâáâ¢ãîâ, ¢ëà ¦¥¨¥ "®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î" á믫¥âáï ¨§ ¯®¤ ¯¥à ¥« å á ¨¡®«ì襩 ç áâ®â®©. ª ç¥á⢥ ¨««îáâà 樨, áâà ¨æë 520 ¨ 521 ¨§ à §¤¥« ª¨£¨ "®¡ ¢«¥¨¥ ¯à¨ ª®à४âãà¥" ®áâ «¨áì â ©®© ¤«ï ¢â®à íâ¨å áâப, ª®â®àë© ¥ ¯®¨¬ ¥â, ª ªãî ç áâì ¥£® à ¡®âë â ª «î¡¥§® ¬¥ª ¥â ¥« å.
᫨ ¡ë å®â¥«®áì ᤥ« âì ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ áá뫪¨ ¯® í⮩ ⥬¥, «ãç訬 à¥è¥¨¥¬, ª®â®à®¥ ¡ë ᮥ¤¨¨«® 㤮¡á⢮ ¨ ¡¥§®¯ á®áâì, ¡ë«® ¡ë § ¬¥ç ¨¥, çâ® ¢á¥ १ã«ìâ âë ¨¬¥îâáï ¢ ï¢ë¬ ¨«¨ ¥ï¢®¬ ¢¨¤¥ ¢ ª¨£¥ ¥« å . ® ᢮¥© áâ®à®ë, ï ¨ å®çã ᤥ« âì íâ® § ¬¥ç ¨¥ ¤«ï áâà 客ª¨, ® ï ¨¬ ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîáì ¯® ¥áª®«ìª¨¬ ¯à¨ç¨ ¬. ¥à¢ ï { â®, çâ® íâ® à¥è¥¨¥ 㤮¡® ¤«ï ¢â®à , ® ¥ ¤«ï ç¨â ⥫ï! â®à ï ¯à¨ç¨ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¥« å ¥ áâ®ï« ã ¨á⮪®¢ ¨§ã票ï áâ ¡¨«ìëå ⥮਩, § ¯àë£ã« ¢ 㦥 ã室ï騩 ¯®¥§¤. ¥á¯à ¢¥¤«¨¢® áç¨â âì ¢á¥ â®, çâ® ¡ë«® ᤥ« ® ¤® ¥£® ⮫쪮 ¯à®«®£®¬ ¤«ï ¥£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. ¤¨ ¨§ â¥å, ª®£® ®¯à¥¤¥«¥® ¥«ì§ï à áᬠâਢ âì ª ª ¯à®á⮣® ¯à¥¤¢¥á⨪ ¥« å , { íâ® ©ª« ®à«¨.
£® áâ¥à¦¥¢ ï à ¡®â [, 1965] ᮧ¤ « , ç¨ ï ¯®ç⨠á ã«ï, áãé®áâì ¬¥â®¤®¢, ª®â®àë¥ ¡ë«¨ à §¢¨âë ¢¯®á«¥¤á⢨¨. ®à«¨, ¤®ª § ¢è¨© ¯¥à¢ãî áâàãªâãàãî ⥮६㠨 ¢ë¢¥¤è¨© ⥮à¨î ¬®¤¥«¥© ¨§ â㯨ª "®¡é¥£® ®á¥á ", ¨ ï¥âáï ®á®¢ ⥫¥¬ ⥮ਨ áâ ¡¨«ì®áâ¨, â® ¥áâì ᮢ६¥®© ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© . â®à¦¥¨¥ ¥« å ¢ íâã ®¡« áâì à §®ç ஢ «® ¥ª®â®à®¥ ç¨á«® å®à®è¨å ¬ ⥬ ⨪®¢, ª®â®àë¥ ã諨 ¨§ ¥¥; ¤à㣨¥ áâ à «¨áì â ¬ ¢ë¦¨âì; âà¥âì¨ { 室¨¢è¨¥áï ¢ ¥¢¥¤¥¨¨, § å®â¥«¨ ¢®©â¨ ¢ ¥ñ ¨, ¥ ¨¬¥ï ¢®§¬®¦®á⨠ª®ªãà¨à®¢ âì á ¥« 宬 ¢ ¥£® ¨§«î¡«¥®© ®¡« áâ¨, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ à §à ¡®â âì ⥠¥ñ ᯥªâë, ª®â®àë¥ ¥« å ¥é¥ ¥ à áᬮâ५. ¤¨ â ª®© ¯à¨¬¥à ¬ ¤ ¥â ¯®ï⨥ á«¥¤¨ª ; ¨¥«ì áª à §ë¢ « " á«¥¤¨ª®¬" ¨«¨ "áâ à訬 á뮬" à áè¨à¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨¬®£® ⨯ , ¯®«ã祮¥ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ¥£® ®¯à¥¤¥â®à®¥ ¨§¤ ¨¥: S. Shelah, Classi cation theory and the number of non-isomorphic models, North Holland, Amsterdam, 1990. 1
11.e
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
231
«¥¨ï [, 1973] , [, 1975] ; ®¡é¥¥ ¯®ï⨥ á«¥¤¨ª ¯®ï¢¨«®áì ¢ [, 1977] ¨ ¡ë«® ¨§«®¦¥® ¢ [-, 1979] ¢¬¥á⥠á å à ªâ¥à¨á⨪®© ®¯à¥¤¥«¨¬ëå ⨯®¢, ª ª ¨¬¥îé¨å ¥¤¨á⢥®£® á«¥¤¨ª . ¢¨¤¥â¥«¨, § á«ã¦¨¢ î騥 ¤®¢¥à¨ï, ¯®¤â¢¥à¦¤ îâ, çâ® ¯®ï⨥ ®¯à¥¤¥«¨¬®£® ⨯ ¡ë«® ¢¢¥¤¥® 㦥 ¢ 1968 £., ¨ ¥ ¥« 宬, ©¬®¬ ©ä¬ ®¬, ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ª®æ¥¢ëå à áè¨à¥¨© ¬®¤¥«¥© à¨ä¬¥â¨ª¨: ᬮâਠ[, 1976] . ©ä¬ , ¢ëà ¦¥¨¥ "⨯ ª®æ¥¢®£® à áè¨à¥¨ï" ¨¬¥¥â ¡®«¥¥ 㧪¨© á¬ë᫠祬 §¤¥áì. ¥à¬¨ "áâ ¡¨«ì®áâì ¢ " ¯à¨ ¤«¥¦¨â [, 1964], ¢ëà ¦¥¨¥ "áâ ¡¨«ì ï ⥮à¨ï" ¯®ï¢¨«®áì ¢ [
, 1969].
᫨ ¯¥à¢ë© â¥à¬¨ ¬®¦¥â ®¯à ¢¤ë¢ âìáï ⥬, çâ® ¬®é®áâì ¥ 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ¯ à ¬¥â஢ ª ⨯ ¬, â® ¢â®à®© ¥ ®ç¥ì 㤠ç¥, ® ® ⥯¥àì ¯à¨¦¨«áï. ª¢¨¢ «¥â®áâì áâ ¡¨«ì®á⨠¨ ᢮©á⢠®¯à¥¤¥«¨¬®á⨠⨯®¢ ¡ë« ¯®ª § ¢ [
, 1971b] ; â ¬ ¦¥ ¯à¨áãâáâ¢ã¥â, å®âì ¨ ¡¥§ á¯¥æ¨ «ì®£® §¢ ¨ï, ᢮©á⢮ ¤¨å®â®¬¨¨. ⬥⨬, ª®¥æ, ¤«ï «î¡¨â¥«¥© ªãà쥧®¢ , çâ® ¥ª®â®àë¥ ¬¥â®¤ë ⥮ਨ áâ ¡¨«ì®áâ¨, ª®â®àë¥ ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ¨á¯®«ì§®¢ âì, ¯®«¥§ë ¨ ¤«ï ¨§ãç¥¨ï ¡ 客ëå ¯à®áâà á⢠, ¨ çâ® ª®¬¡¨ â®à®¥ ᮤ¥à¦ ¨¥ ¥ª®â®àëå «¥¬¬ ¥« å ¡ë«® ¤ ¢® 㦥 ¨§¢¥áâ® ¨áá«¥¤®¢ â¥«ï¬ ¢ í⮩ ®¡« á⨠! ® í⮬㠯®¢®¤ã, ¬®¦® ª®áã«ìâ¨à®¢ âìáï ¢ [
, 1983].
« ¢ 12 á®¡ë¥ á뮢ìï, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ Un chant mysterieux tombe des astres d'or. A. R.
12.a á®¡ë¥ á뮢ìï : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 233 12.b ® á«¥¤¨ª¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 236 12.c ®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ : : : : : : : : : : 239 12.d ¢®©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠: : : : : : : : : : : : : 243 12.e ¥¤¥«¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 248 12.f ¤¨ ¯à¨¬¥à: ⥮ਨ ¯®à浪®¢ : : : : : : 256 12.g á®¡ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠: : : : : : : : : : 262 12.h ¥áâ ¡¨«ì®áâì ¨ ¯®à冷ª : : : : : : : : : : : 264 12.i ਫ®¦¥¨¥ : ⥮६ ¬á¥ï : : : : : : 267 12.j áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 269
232
12.a
233
á®¡ë¥ á뮢ìï
12.a á®¡ë¥ á뮢ìï ãáâì M { ¬®¤¥«ì T , p { ⨯ ¤ M ¨ N { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M , ª®â®à®¥ ¤«ï ¢á¥å n ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ â¨¯ë ¨§ Sn(M ); áë q ⨯ p ¤ N §ë¢ ¥âáï ®á®¡ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ä®à¬ã«ë f (x; y) ¨ «î¡ëå ª®à⥦¥© a ¨ b ¨§ N ®¤®£® ⨯ ¤ M , ¥á«¨ q ` f (x; a), ⮣¤ q ` f (x; b); ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, çâ® q ` f (x; a) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ⨯ a ¤ M . ®¢®àïâ â ª¦¥, ç⮠⨯ q M -®á®¡ë©, ¥á«¨ ® ®á®¡ë© áë ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï M ; ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¡¥áª®¥çë¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ q ¤ M §ë¢ îâ äãªæ¨î, ª®â®à ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«¥ f (x; y) ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¬®¦¥á⢮ ⨯®¢ ¤ M ª®à⥦¥© a ¨§ N , â ª¨å, çâ® q ` f (x; a) . ¡®«¥¥ ®¡é¨å â¥à¬¨ å, ¥á«¨ N ï¥âáï ª ª¨¬-¨¡ã¤ì í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ M (¨«¨ ¤ ¦¥ ¯à®áâ® ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢, ᮤ¥à¦ 騬 M ), ᪠¦¥¬, çâ® q ¨§ S1(N ) ï¥âáï ®á®¡ë¬ á뮬 p, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â áë q1 ⨯ q ¤ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N1 ¬®¤¥«¨ N , ॠ«¨§ãî騬 ¤«ï ¢á¥å n ¢á¥ n-â¨¯ë ¤ M , ¨ q1 { ®á®¡ë© ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á¬ëá«¥. 祢¨¤®, ¬®¦¥â áãé¥á⢮¢ âì ¥áª®«ìª® ¢®§¬®¦®á⥩ ¤«ï q1; ¨ ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ £®¢®à¨âì ® ¡¥áª®¥ç®¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ q, â ª ª ª ¢á¥ â¨¯ë ª®à⥦¥© ¯ à ¬¥â஢ ¬®£ãâ ¥é¥ ¥ ¯®ï¢«ïâìáï ¢ N . ë ¢¨¤¨¬ â ª¦¥, çâ® ¢ë襯ਢ¥¤¥®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ M -®á®¡ëå á뮢¥© áâ ®¢¨âáï ¡¥áá¬ëá«¥ë¬, ¥á«¨ ¬ë ¯®§¢®«¨¬ ¬®¤¥«¨ N ®¯ã᪠âì ¥ª®â®àë¥ â¨¯ë ¨§ Sn (M ); ¢®§ì¬¥¬ ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T ¡¥áª®¥çëå ¬®¦¥á⢠(ï§ëª ᢥ¤¥ ª à ¢¥áâ¢ã), ¨ ¯ãáâì p ¥ ॠ«¨§®¢ ë© â¨¯ ¤ M ; ¯ãáâì N { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M , ¯®«ã祮¥ ¨§ ¥ñ ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ¥¤¨á⢥®© â®çª¨ a. ë q ⨯ p, ॠ«¨§®¢ ë© í«¥¬¥â®¬ a ¨¬¥¥â â ª®¥ ᢮©á⢮, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f (x; y) ¨ ª ¦¤®£® b ¨§ N ¢ë¢®¤¨¬®áâì q ` f (x; b) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ⨯ b ¤ M ; ¤¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª ¥áâì í«¨¬¨ æ¨ï ª¢ â®à®¢, x = y, x 6= y { ¥¤¨áâ¢¥ë¥ ä®à¬ã«ë, ª®â®àë¥ ã¦® à áᬮâà¥âì, ¨ a { ¥¤¨á⢥ ï ॠ«¨§ æ¨ï p ¢ N . ®, ª®¥ç®, q ¥ ®á®¡ë© áë p: ª ª ⮫쪮 ¤®¡ ¢«ï¥âáï ¢â®à ï â®çª b, a ¨ b ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M ¨ ¥¤¨áâ¢¥ë© áë q1 ⨯ q 㦥 ¥ ®¡« ¤ ¥â í⨬ ᢮©á⢮¬. ¤¥« ¢ í⨠§ ¬¥ç ¨ï, 祬 á ¥áª®«ìª¨å «¥¬¬:
¥¬¬ 12.1 ¦¤ë© ⨯ p ï¥âáï ®á®¡ë¬ á뮬 á ¬®£® ᥡï. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì p 2 S1(M ) ¨ N ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ M . ¯®ª ¦ã, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â áë q ⨯ p ¤ N , â ª®©, çâ® q ` f (x; a)
§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ⨯ a ¤ M : ¡¥àï N ¤®áâ â®ç® áë饮©, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ १ã«ìâ â. áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ p, T (N ) ¨ ªá¨®¬ f (x; a) $ f (x; b) ¤«ï ¢á¥å a, b ®¤®£® ⨯ ¤ M ; ª®¥çë© äà £¬¥â í⮣® ᥬ¥©á⢠ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ª®¥çë© äà £¬¥â p , 㤮¢«¥â¢®àïî饣®áï í«¥¬¥â®¬ ¨§ M : ¥á«¨ ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì x ª ª , ¢á¥ ¤à㣨¥ ªá¨®¬ë 㤮¢«¥â¢®àïîâáï! «¥¤®¢ ⥫ì®, íâ® ¬®¦¥á⢮ ᮢ¬¥áâ®, ¨ «î¡®¥ ¥£® ¯®¯®«¥¨¥ ¤ ¥â ã¦ë© ⨯ q.
234
« ¢ 12
¥¬¬ 12.2 ãáâì p 2 S1(M ), q 2 S1(N ) { ®á®¡ë© áë p, ¨ P { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N ; ⮣¤ q ¨¬¥¥â M -®á®¡®£® áë ¤ P ; ªà®¬¥ ⮣®, ¥á«¨ N ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ n-â¨¯ë ¤ M , â® íâ®â M -®á®¡ë© áë { ¥¤¨á⢥ë©. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì N1 { à áè¨à¥¨¥ N , ॠ«¨§ãî饥 ¢á¥ n-â¨¯ë ¤ M , ¤ ª®â®àë¬ q ¨¬¥¥â M -®á®¡®£® áë q1. ¬ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡¥áª®¥ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ q1 çâ®¡ë ®¡à §®¢ âì ⨯ ¤ P : ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ff (x; a) : áãé¥áâ¢ã¥â a0 ¢ N1 ⮣® ¦¥ ⨯ ¤ M , çâ® a, â ª®©, çâ® q1 ` f (x; a0)g ᮢ¬¥áâ®, â ª ª ª «î¡®¥ ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¨§ P ¨¬¥¥â ⨯ ¤ M , ॠ«¨§ãî騩áï ¢ N1; í⨠ä®à¬ã«ë ®¯à¥¤¥«ïîâ, ®ç¥¢¨¤®, M -®á®¡ë© ⨯ r ¤ P , ïî騩áï á뮬 q.
᫨ N ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ n-â¨¯ë ¤ M , â® ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ®¤ ¢®§¬®¦®áâì ¤«ï ¡¥áª®¥ç®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï r.
¥à¥¤ ¬¨ ®âªàë¢ ¥âáï â ª®© ¯¥©§ ¦: ¥á«¨ ¬®¤¥«ì N ¥¤®áâ â®ç® áëé¥ , â® M -®á®¡ë¥ â¨¯ë ¬®£ãâ à §¢¥â¢«ïâìáï, ® ª ª ⮫쪮 N ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ â¨¯ë ¨§ Sn (M ), ¨¬¥¥âáï ¥¤¨á⢥®áâì M -®á®¡®£® à áè¨à¥¨ï. ¨¬¥î ¢ ¢¨¤ã ¨¬¥® íâ¨å "á«®¦¨¢è¨åáï" ®á®¡ëå á뮢¥©, ª®£¤ £®¢®àî ® ç¨á«¥ ®á®¡ëå á뮢¥© ⨯ .
¥¬¬ 12.3
᫨ jM j = jT j, â® ç¨á«® M -®á®¡ëå ⨯®¢ ¥ ¡®«ìè¥ 2(2 ). ®ª § ⥫ìá⢮. M -®á®¡ëå á뮢¥© ¥ ¡®«ìè¥ ç¥¬ ç¨á«® ¢®§¬®¦ëå ¡¥áª®¥çëå ®¯à¥¤¥«¥¨© ; ¡¥áª®¥ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ï¥âáï äãªæ¨¥©, ª®â®à ï ä®à¬ã«¥ ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¬®¦¥á⢮ ⨯®¢ ¤ M ; ¨¬¥¥âáï jT j ä®à¬ã«, ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«¥¥ 2 ⨯®¢ ¤ M , ¨ ç¨á«® ¡¥áª®¥çëå ®¯à¥¤¥«¥¨© ®£à ¨ç¥® ç¨á«®¬ ) jT j (2 (2 ) = 2(2jT j) = 2(2). ¥¯¥àì, ®¤ ¬ «¥ìª ï «¥¬¬ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©:
¥¬¬ 12.4 ãáâì ¬®¦¥á⢮ A ¯ à ¬¥â஢ ¨ ª®à⥦ b ¯ à ¬¥â஢ á®-
¤¥à¦ âáï ¢ ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T ; ¥á«¨ ¢ë¯®«¨¬®áâì ä®à¬ã«ë f (x; b) (¤«ï x ¨§ «î¡®£® í«¥¬¥â ண® à áè¨à¥¨ï M ) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ⨯ x ¤ A, ⮣¤ íâ ä®à¬ã« íª¢¨¢ «¥â ä®à¬ã«¥ g (x; a) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ a ¨§ A.
®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨¥ ®£à ¨ç¥¨ï S1(A [ fbg) S1(A); ¯® ¥¯à¥à뢮á⨠®¡à §ë ª®¬¯ ªâ®¢ hf (x; b)i ¨ h:f (x; b)i { ª®¬¯ ªâë,
§ ç¨â, § ¬ªãâë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠S1(A); ¨å ®¡ê¥¤¨¥¨¥ { ¢¥áì S1(A) 楫¨ª®¬; ¨ £¨¯®â¥§ ¬ £®¢®à¨â, çâ® í⨠¤¢ ®¡à § ¤¨§êîªâë, â® ¥áâì, çâ® ®¨ ïîâáï ¤®¯®«¥¨ï¬¨ ¤à㣠¤à㣠: § ç¨â, ®¨ ®¡ ïîâáï ®âªàë⮧ ¬ªãâ묨 ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ S1(A).
¥®à¥¬ 12.5 ãáâì p 2 S1(M ) ¨ q { ®á®¡ë© áë p ¤ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨-
२¥¬ N ¬®¤¥«¨ M , ¨¬¥î騬 á«¥¤ãî饥 ᢮©á⢮: ¤«ï ¢á¥å a ¨§ N , «î¡®© ⨯ ¤ M [ fag ॠ«¨§®¢ ¢ N ; ⮣¤ , ¥á«¨ q ®¯à¥¤¥«¨¬, â® p ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨ q ï¥âáï ¥£® á«¥¤¨ª®¬.
12.a
235
á®¡ë¥ á뮢ìï
®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ä®à¬ã«ã f (x; y) ¨ (䨨â ஥!) ®¯à¥¤¥«¥¨¥ d ⨯ q ¤«ï í⮩ ä®à¬ã«ë; df (y) ¨á¯®«ì§ã¥â ¯ à ¬¥âàë a ¨§ N , ®, ¯®áª®«ìªã «î¡®© n-⨯ ¤ M [ fag ॠ«¨§®¢ ¢ N ¨ q ï¥âáï M -®á®¡ë¬, â®â ä ªâ, çâ® y 㤮¢«¥â¢®àï¥â df (y) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ⨯ y ¤ M ; ¯® ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬¥ df (y) ¬®¦® § ¬¥¨âì ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M , ª®â®à ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¡ã¤¥â â ª¦¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ¤«ï p.
«¥¤á⢨¥ 12.6 â ¡¨«ìë© â¨¯ ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® ®á®¡®£® áë
{ ᢮¥£® á«¥¤¨ª .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì p { áâ ¡¨«ìë© â¨¯ ¤ M , q { ®á®¡ë© áë p ¤ N ¨ q1 { M -®á®¡ë© áë q ¤ ¬®¤¥«ìî N1, ¨¬¥î騩 ᢮©á⢮ áë饮á⨠ª ª ¢ £¨¯®â¥§¥ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६ë; â ª ª ª q1 ®¯à¥¤¥«¨¬, â® ® { á«¥¤¨ª p ¤ N1, ¨ q ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p ¤ N .
祢¨¤®, á«¥¤¨ª ®¯à¥¤¥«¨¬®£® ⨯ { ®á®¡ë©; ® ¥®¯à¥¤¥«¨¬ë© ⨯, ¨¬¥î騩 ¤ ¤®áâ â®ç® ¡®«ì让 ¬®¤¥«ìî ᪮«ìª® 㣮¤® á«¥¤¨ª®¢ (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 11.11), ¨¬¥¥â á।¨ ¨å ¥®á®¡ë¥; ¨«¨ ¥é¥, ¯® 11.7 (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮), ® ¨¬¥¥â ᨫ쮣® á«¥¤¨ª , ª®â®à®£® ¬®¦® ᤢ¨ãâì M ¢â®¬®à䨧¬®¬: íâ®â á«¥¤¨ª, ®ç¥¢¨¤®, ¥ M -®á®¡ë©. ⬥⨬ â ª¦¥ çâ® ®á®¡ë© áë ¥áâ ¡¨«ì®£® ⨯ ¥áâ ¡¨«¥; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ p ¨¬¥¥â áâ ¡¨«ì®£® ®á®¡®£® áë q, â® q ®¯à¥¤¥«¨¬ â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢á¥ ¥£® á뮢ìï, § ç¨â q { ¥¤¨áâ¢¥ë© á«¥¤¨ª p, ¨ ¬ë § ¥¬, ç⮠⮣¤ p áâ ¡¨«¥ ( á«¥¤¨ª ¥áâ ¡¨«ì®£® ⨯ ¥áâ ¡¨«¥: á¬. ª®¥æ 11.d). ®¥æ í⮣® ¯ à £à ä ¨¬¥¥â 楫ìî ¯à®ïᥨ¥ ¯®ïâ¨ï ®á®¡®£® áë ¨ ¥ ᮤ¥à¦¨â ¨ç¥£® áãé¥á⢥®£® ¤«ï ¯®á«¥¤ãî饣® ¬ â¥à¨ « . ¤¥« ¥¬ á«¥¤ãî饥 ᮣ« 襨¥: ¥á«¨ M A, â® q ¨§ S1(A) §®¢¥¬ M -®á®¡ë¬, ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â M -®á®¡®£® áë , ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á¬ëá«¥, ¤ ¬®¤¥«ìî N , ᮤ¥à¦ 饩 A.
¥¬¬ 12.7 ãáâì M { ¬®¤¥«ì T , jM j < ¨ N { í«¥¬¥â ஥ - áë饮¥ ¨ -á¨«ì® ®¤®à®¤®¥ à áè¨à¥¨¥ M ; ¯ãáâì A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ N , M A N , jAj < , ¨ ¯ãáâì p ¨ q { ¤¢ à §«¨çëå ⨯ ¨§ S1(A) , ¨¬¥î騥
®¤® ¨ â® ¦¥ ®£à ¨ç¥¨¥ M , ¨ p { M -®á®¡ë©. ãáâì X { ¯®¤¬®¦¥á⢮ N , ᮤ¥à¦ 饥 ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 p ¨§ N ¨ ¨ª ªãî ॠ«¨§ æ¨î q , ¨ Y { ¯®¤¬®¦¥á⢮ N , ᮤ¥à¦ 饥 ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 q ¨§ N ¨ ¨ª ªãî ॠ«¨§ æ¨î p; ⮣¤ ª ¦¤®¥ ¨§ X ¨ Y ¨¬¥îâ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ à §«¨çëå ®¡à §®¢ ¯à¨ M - ¢â®¬®à䨧¬ å N .
®ª § ⥫ìá⢮. 롥६ ¡¥áª®¥ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ d M -®á®¡®£® áë p ¤ N ; ¨¤ãªæ¨¥© ¯® < ¯®áâந¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a í«¥¬¥â®¢ N ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì A ¯®¤¬®¦¥á⢠N á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: A0 = A, a0 ï¥âáï ॠ«¨§ 樥© q; a ॠ«¨§ã¥â ¤ [ < A ⨯, ¯®«ãç¥ë© ¯à¨¬¥¥¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï d, â ª ª ª ⨯ a ¤ M ï¥âáï ®£à ¨ç¥¨¥¬ q ¤ M , áãé¥áâ¢ã¥â A ⮣® ¦¥ ⨯ ¤ M , çâ® ¨ A, â ª®¥, ç⮠⨯ a ¤ A ᮮ⢥âáâ¢ã¥â q (â.e. A a ¨ A0a0 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M ). ª ª ª N ¤®áâ â®ç® áëé¥ , íâ® ¯®áâ஥¨¥ ¬®¦® ¯à®¢®¤¨âì ¢ N , ¨ â ª ª ª ® ®¤®à®¤ ,
236
« ¢ 12
áãé¥áâ¢ã¥â M - ¢â®¬®à䨧¬ s ¬®¤¥«¨ N , ¯¥à¥¢®¤ï騩 A A ; ¥á«¨ < , â® a 2 s X , a 62 s X , a 2 s Y , a 62 s Y .
¥®à¥¬ 12.8 ãáâì M { ¬®¤¥«ì T , jM j < ¨ N { í«¥¬¥â ஥ - áëé¥-
®¥ ¨ -á¨«ì® ®¤®à®¤®¥ à áè¨à¥¨¥ M ; ¯ãáâì X ¯®¤¬®¦¥á⢮ N , ª®â®à®¥ ¬®¦® ᤢ¨ãâì M - ¢â®¬®à䨧¬®¬ N (â.e. ¯à¨ ¤«¥¦®áâì x ¬®¦¥áâ¢ã X ¥ § ¢¨á¨â ®â ⨯ x ¤ M ): ⮣¤ X ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ à §«¨çëå ®¡à §®¢ ¯à¨ M - ¢â®¬®à䨧¬ å N .
®ª § ⥫ìá⢮. 1-ë© á«ãç ©. ãé¥áâ¢ã¥â ¬®¦¥á⢮ A, M A N , jAj < , â ª®¥ çâ® ¯à¨ ¤«¥¦®áâì í«¥¬¥â ¬®¦¥áâ¢ã X § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â
¥£® ⨯ ¤ A; â ª ª ª X ¥ ¢ë¤¥à¦¨¢ ¥â ¢á¥ M - ¢â®¬®à䨧¬ë, í⠯ਠ¤«¥¦®áâì ¥ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥£® ⨯ ¤ M , ¨ áãé¥áâ¢ãîâ p ¨ q ¨§ S1(A), ¨¬¥î騥 ®¤® ¨ â® ¦¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ M ¨ â ª¨¥, çâ® X ᮤ¥à¦¨â ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 p, ® ¥ ᮤ¥à¦¨â ¨ ®¤ã ॠ«¨§ æ¨î q; ¬ë ¬®¦¥¬ ®ç¥¢¨¤® áç¨â âì, çâ® ®¤¨ ¨§ íâ¨å ⨯®¢ { ®á®¡ë©, ¨ ¯à¨¬¥¨âì 12.7. 2-®© á«ãç ©. ç¥, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®áâநâì ¤¢¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠a , b , < â ª, çâ® a ¨ b ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ â¨¯ë ¤ M [f: : :a : : : g < ¨ a 2 X , b 62 X . ® ®¤®à®¤®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¢â®¬®à䨧¬ s ¬®¤¥«¨ N , ®áâ ¢«ïî騩 ¥¯®¤¢¨¦ë¬ M ¨ a ¤«ï < ¨ ¯¥à¥¢®¤ï饥 a b ; ¨ ¤«ï < ¨¬¥¥¬ a 62 s X , a 2 s X .
¥®à¥¬ 12.9 ãáâì M { ¬®¤¥«ì T , jM j < ¨ N { í«¥¬¥â ஥ - áëé¥-
®¥ ¨ -á¨«ì® ®¤®à®¤®¥ à áè¨à¥¨¥ M ; ¥á«¨ ⨯ ¨§ S1(N ) ¥ M -®á®¡ë©, â® ® ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ à §«¨çëå ᮯà殮ëå ¥¬ã ⨯®¢ ®â®á¨â¥«ì® M - ¢â®¬®à䨧¬®¢ N .
®ª § ⥫ìá⢮. ®«ãç ¥âáï ®¡®¡é¥¨¥¬ 12.8 ¤«ï ¯®¤¬®¦¥á⢠X ¨§ N n .
祢¨¤®, ®á®¡ë© áë ¢ë¤¥à¦¨¢ ¥â M - ¢â®¬®à䨧¬ë; ⥮६ 12.9 ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â ®¡à ⮥ ¯à® í⮠᢮©á⢮: p ¨§ S1(N ) { M -®á®¡ë©, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ¤ ª ¦¤ë¬ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N ® ¨¬¥¥â áë , ¢ë¤¥à¦¨¢ î饣® ¢á¥ M - ¢â®¬®à䨧¬ë; ¨ ª®£¤ ® ¥ M -®á®¡ë©, ¬ë ¬®¦¥¬ ©â¨ ¥ª®â®à®¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N , ¤ ª®â®àë¬ ª ¦¤ë© áë ⨯ p ¨¬¥¥â ᪮«ìª® 㣮¤® ᮯà殮ëå ¥¬ã ⨯®¢ ®â®á¨â¥«ì® M - ¢â®¬®à䨧¬®¢ N .
12.b ® á«¥¤¨ª¨ ë § ¥¬, ç⮠⨯ p ¨§ S1(M ) ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ M : ª ¦¤ë© à § ª®£¤ p ` f (x; a), £¤¥ a 2 M , ⮣¤ , â ª ª ª T (M ) ` (9x)f (x; a), áãé¥áâ¢ã¥â b ¢ M , â ª®©, çâ® M ` f (b; a). â® ®§ ç ¥â, ç⮠⨯ë í«¥¬¥â®¢ M ®¡à §ãîâ ¯«®â®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢ S1(M ) (áâ â¨, í⮠᢮©á⢮ å à ªâ¥à¨§ã¥â ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¬®¤¥«ï¬¨, â ª ª ª ®® à ¢®á¨«ì® â¥áâã à᪮£®: á¬. à §¤¥« 5.a).
12.b
237
® á«¥¤¨ª¨
᫨ ⥯¥àì q ï¥âáï ⨯®¬ ¤ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N ¬®¤¥«¨ M , â® £®¢®àïâ, çâ® q ï¥âáï ª® á«¥¤¨ª®¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï p M , ¥á«¨ ® ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ M , â.¥. ¥á«¨ ® ¯à¨ ¤«¥¦¨â § ¬ëª ¨î ¢ S1(N ) ⨯®¢ í«¥¬¥â®¢ M ; ¨ ç¥ £®¢®àï, ª ¦¤ë© à §, ª®£¤ q ` f (x; a), a 2 N , áãé¥áâ¢ã¥â b ¢ M , â ª®©, çâ® N ` f (b; a). ®ç¥¬ã £®¢®àïâ ª® á«¥¤¨ª? ë ®¡®¡é¨¬ ¥¬®£® ¯®ï⨥ á«¥¤¨ª : ¥á«¨ M A ¨ p 2 S1(A), â® ¬ë £®¢®à¨¬, ¤ ¦¥ ¥á«¨ A ¥ ï¥âáï ¬®¤¥«ìî (® áãé¥á⢥®, çâ® M { ¬®¤¥«ì!), çâ® p á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M , ¥á«¨ ª ¦¤ë© à § ª®£¤ p ` f (x; a; b), a 2 M , b 2 A, áãé¥áâ¢ã¥â b0 ¢ M , â ª®©, çâ® p ` f (x; a; b0). ® ⥮६¥ 11.2 íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¤ ª ¦¤®© ¬®¤¥«ìî, ᮤ¥à¦ 饩 A, p ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® á«¥¤¨ª ¢ ®¡ë箬 á¬ëá«¥. ®ç® â ª ¦¥, ¬ë ®¡®¡é¨¬ ¯®ï⨥ ª® á«¥¤¨ª , £®¢®àï, çâ® p 2 S1(A) ª® á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M , ¥á«¨ ® ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ M . ç¥ì ᪮஠¬ë 㢨¤¨¬, çâ® íâ® ®§ ç ¥â à ¢ë¬ ®¡à §®¬, çâ® ® ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«¨, ᮤ¥à¦ 饩 A, ¢ ª ç¥á⢥ ª® á«¥¤¨ª ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï M . í⨠¯®ïâ¨ï ¨¬¥îâ á¬ëá« ¥ ⮫쪮 ¤«ï 1-⨯®¢, â ª¦¥ ¤«ï n-⨯®¢ ¨ ¤ ¦¥ ¤«ï -⨯®¢. ®á«¥ í⮣®, ¬ë § ¬¥â¨¬, çâ® â®, ç⮠⨯ a ¤ M [ fbg á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î N , § ç¨â, ç⮠⨯ b ¤ M [ fag ª® á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¢ ®¡¥¨å á«ãç ïå íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ª ¦¤ë© à § ª ª ⮫쪮 f (a; b) ¨á⨮, £¤¥ f (x; y) ï¥âáï ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M , â® áãé¥áâ¢ã¥â b0 ¢ M â ª®©, çâ® f (a; b0) ¨á⨮. ®ç® â ª¦¥, ¥á«¨ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ëå ⨯®¢ ¡¥áª®¥ç®, ⮠⨯ A ¤ M [ B á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î ¤ M () ⨯ B ¤ M [ A ª® á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M . ®ï⨥ ª® á«¥¤¨ª ¢ ¥ª®â®à®¬ த¥ ¤ã «ì® ¯®ïâ¨î á«¥¤¨ª : ®¡¬¥¨¢ îâáï ஫ﬨ ¯¥à¥¬¥ë¥ ⨯ ¨ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¯ à ¬¥â஢. â ¤¢®©á⢥®áâì ¯®§¢®«¨« ¡ë áíª®®¬¨âì ¥áª®«ìª® «¥¬¬, ª®â®àë¥ á¥©ç á ¯®á«¥¤ãîâ, ¯®áª®«ìªã ª ¦¤®¥ ᢮©á⢮ á«¥¤¨ª ¯¥à¥®á¨âáï ª® á«¥¤¨ª ; ¯à¨¬¥à, áãé¥á⢮¢ ¨¥ á«¥¤¨ª ¢«¥ç¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ ª® á«¥¤¨ª , â ª ª ª ¥á«¨ ⨯ë A ¨ B ¤ M ¨§¢¥áâë, â® ¯®¬¥é âì A_B ¯® ®â®è¥¨î ª M (â.e. ¤®¯®«¨âì ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ⨯ A ¨ ⨯ B ¤ M ¤® ¯®«®£® ⨯ ¤ M ) â ª, ç⮡ë ⨯ A ¤ M [ B á«¥¤®¢ « ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M , { íâ® à §¬¥é âì A ¨ B ®â®á¨â¥«ì® ¤à㣠¤à㣠¤ M â ª, ç⮡ë ⨯ B ¤ M [ A ª® á«¥¤®¢ « ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M ! ®, â ª ª ª íâ®â ᯮᮡ 㬮§ ª«î票© { ¥¬®£® ¡¥áá¬ëá«¥, ¨§«¨è¥á⢮ á ᮢᥬ ¥ ¯ã£ ¥â, ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ¤®ª § âì í⨠«¥¬¬ë: ¥¬¬ 12.10 ãáâì N { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M ¨ { ¥¯®«ë© ⨯ ¤ N (â.¥. § ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ ¢ S1 (N )), ª®â®àë© ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ M ; ⮣¤ ¤®¯®«ï¥âáï ¤® ¯®«®£® ⨯ p ¤ N , ª® á«¥¤ãî饣® ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M . ®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¢ S1(N ) § ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ M , ®¡à §®¢ ®¥ § ¬ëª ¨¥¬ ¢ S1(N ) ⨯®¢ í«¥¬¥â®¢ M , ¨ ®âªàëâ®-§ ¬ªãâë¥ ¬®¦¥á⢠, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ª®¥ç묨 äà £¬¥â ¬¨ ; ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î í⮠ᥬ¥©á⢮ § ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ª®¥ç®£® ¯¥à¥á¥ç¥¨ï; ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠¨å ®¡é¥¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¥ ¯ãáâ®.
238
« ¢ 12
¥¬¬ 12.11 ¦¤ë© ⨯ ( ¤ ¬®¤¥«ìî T ) ¨¬¥¥â ª® á«¥¤¨ª ; ¡®«¥¥ â®ç-
®, ¥á«¨ p ¨§ S1(M ), q ï¥âáï ª® á«¥¤¨ª®¬ p ¤ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N ¬®¤¥«¨ M ¨ P ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N , ⮣¤ q ¨¬¥¥â áë ¤ S1 (P ), ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ª® á«¥¤¨ª®¬ p.
®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ q ª ª ¥¯®«ë© ⨯ ¤ P , ¨ ¯à¨¬¥¨¬
¯à¥¤ë¤ãéãî «¥¬¬ã.
ª ª ª p { ᢮© ᮡáâ¢¥ë© ª® á«¥¤¨ª, «¥¬¬ ¢«¥ç¥â, çâ® ® ¨¬¥¥â ª® á«¥¤¨ª®¢ ¤ ª ¦¤ë¬ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥© ¬®¤¥«¨. à㣮© ®ç¥¢¨¤ë© १ã«ìâ â: ¥á«¨ p q r, ¨ ¥á«¨ r ï¥âáï ª® á«¥¤¨ª®¬ p, â® r ª® á«¥¤ã¥â q ¨ q ª® á«¥¤ã¥â p. ¥¬¬ 12.12
᫨ jM j = , â® ç¨á«® ⨯®¢, ª®â®àë¥ ª® á«¥¤ãîâ ᢮¨ ®£à ¨ç¥¨ï ¤ M , ¥ ¡®«ìè¥ 2(2 ) . ®ª § ⥫ìá⢮. S1(N ) â®çª ¨§ M ®¯à¥¤¥«¥ á«¥¤®¬ M 䨫ìâà ) (2 ᢮¨å ®ªà¥áâ®á⥩, ¨ ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«¥¥ 2 ¢®§¬®¦®á⥩ ¤«ï í⮣® ¬®¦¥á⢠¯®¤¬®¦¥á⢠M . ¢®â ®¦¨¤ ¥¬ë© ¢á¥¬¨ १ã«ìâ â:
¥®à¥¬ 12.13 ® á«¥¤¨ª ï¥âáï ®á®¡ë¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì p 2 S1(N ), q { ª® á«¥¤¨ª p ¤ N , ¨ N1 {
í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N , ॠ«¨§ãî饥 ¢á¥ â¨¯ë ¤ M ; ¯® 12.11 q ¨¬¥¥â áë q1 ¤ N1, ïî饣®áï ª® á«¥¤¨ª®¬ p; ¨ ¥á«¨ a ¨ b ¨§ N1 ¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M , â® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â x ¢ M , 㤮¢«¥â¢®àïî饣® f (x; a) ^ :f (x; b); á«¥¤®¢ ⥫ì®, q1 â ª ¦¥, ª ª ¨ q, ï¥âáï M -®á®¡ë¬.
⬥⨬, çâ® ®á®¡ë© ⨯ ¨§ 12.1 { ª® á«¥¤¨ª. ®§¢à é ¥¬áï ª 襬㠯ਬ¥àã, £¤¥ T { ⥮à¨ï ¯«®âëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª.
᫨ p { ॠ«¨§®¢ ë©, â® ® ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® áë ¤ N , ª®â®àë© ¡ã¤¥â ¥£® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á«¥¤¨ª®¬ ¨ ¥£® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®á®¡ë¬ á뮬.
᫨ p { ⨯ ¢¨¤ a+, â® ¥£® ¤¢ã¬ï ®á®¡ë¬¨ á뮢ìﬨ ¡ã¤ãâ ¥£® á«¥¤¨ª, ⨯ a+ ¤ N , ¨ ¥£® ª® á«¥¤¨ª, ¬ ¦®à¨àãî騩 ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 p ¢ N (¤à㣨¥ á뮢ìï q ⨯ p ¥®á®¡ë¥, â ª ª ª ¬®¦® ©â¨ ¢ N ¤¢¥ ॠ«¨§ 樨 b1 ¨ b2 ⨯ p, â ª¨¥, çâ® q ` b1 < x < b2); â®ç® â ª ¦¥, ¥á«¨ p ¨¬¥¥â ¢¨¤ a?, â® ® ¨¬¥¥â ¤¢ãå ®á®¡ëå á뮢¥© { á«¥¤¨ª , ¬ ¦®à¨àãî饣® ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 p ¢ N , ¨ ª® á«¥¤¨ª , ¬¨®à¨àã饣® ¨å ¢á¥å. àà 樮 «ìë© â¨¯ p ¨¬¥¥â â ª¦¥ ¤¢ãå ®á®¡ëå á뮢¥© { ª® á«¥¤¨ª®¢, ïîé¨åáï ®¤®¢à¥¬¥® á«¥¤¨ª ¬¨: ®¤¨ ¯à¨¬ëª ¥â ª M á¯à ¢ ¨ ¬¨®à¨àã¥â ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 p, ¤à㣮©, ª®â®àë© ¯à¨¬ëª ¥â á«¥¢ , ¬ ¦®à¨àã¥â ¢á¥ í⨠ॠ«¨§ 樨. ¨¯ +1 ¨¬¥¥â â ª¦¥ ¤¢ãå ®á®¡ëå á뮢¥© { á«¥¤¨ª ¨ ¥¤¨á⢥®£® ª® á«¥¤¨ª , ¬¨®à¨àã饣® ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 p ¢ M ; â®ç® â ª ¦¥ ⨯ ?1 ¨¬¥¥â ¤¢ãå ®á®¡ëå á뮢¥© { á«¥¤¨ª ¨ ª® á«¥¤¨ª . â®¡ë ¯®«ãç¨âì ®á®¡®£® áë , ¥ ïî饣®áï ¨ á«¥¤¨ª®¬ ¨ ¨ ª® á«¥¤¨ª®¬, à áᬮâਬ á«¥¤ãî騩 ¡¨â¨¯, ¨¬¥î騩 ᢮¨ ¤¢¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¢
12.c
®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨
239
®¤®¬ á¥ç¥¨¨ a+: p ` b < x1 < x2 < c ¤«ï ¢á¥å b a < c ¨§ M ; p ¨¬¥¥â âà¥å ®á®¡ëå á뮢¥© : p1, ¤«ï ª®â®à®£® ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 p ¢ N ¬¨®à¨à®¢ ë x2 ¨ ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p; p2 , ¤«ï ª®â®à®£® ¢á¥ ॠ«¨§ 樨 p ¢ N ¬¥ìè¥ x1 ¨ ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ª® á«¥¤¨ª®¬ p; ¨, ª®¥æ, p3 , ¤«ï ª®â®à®£® ¢á¥ í⨠ॠ«¨§ 樨 室ïâáï ¬¥¦¤ã x1 ¨ x2. â®â ⨯ p3, ïî騩áï á«¥¤¨ª®¬ á® áâ®à®ë x1 ¨ ª® á«¥¤¨ª®¬ á® áâ®à®ë x2, ¥ ï¥âáï ¨ á«¥¤¨ª®¬, ¨ ª® á«¥¤¨ª®¬ p; íâ®â ¯à¨¬¥à ¡¨â¨¯ «¥£ª® ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ¯à¨¬¥à 1-⨯ (à áᬮâà¨â¥ áâàãªâãàã, ®¡à §®¢ ãî 楯ìî Q Q ¨ á ¤¢ã¬ï ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ ¢ ï§ëª¥). ª ª ª ª® á«¥¤¨ª { ®á®¡ë©, â® ¯® á«¥¤á⢨î 12.6 áâ ¡¨«ìë© â¨¯ ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® ª® á«¥¤¨ª , ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¥£® á«¥¤¨ª®¬; ¥á«¨ ⨯ a ¤ M áâ ¡¨«¥, ⮠⨯ a ¤ M [fbg á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î ¤ M , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® ¥¬ã ª® á«¥¤ã¥â, â.¥. ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ⨯ b ¤ M [ fag á«¥¤ã¥â (¨«¨ ª® á«¥¤ã¥â!) ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î ¤ M . ®â íâ® ¨ ¥áâì ®ç¥ì ä㤠¬¥â «ì®¥ ᢮©á⢮, á¢ï§ ®¥ á® áâ ¡¨«ì®áâìî ¨ §ë¢ ¥¬®¥ "ᨬ¬¥âà¨ç®áâìî ®â¢¥â¢«¥¨ï", ¤®ª § ®¥ §¤¥áì ¤«ï ⨯®¢ ¤ ¬®¤¥«ìî N , ® ª®â®à®¥ ¯®§¤¥¥ ¡ã¤¥â ®¡®¡é¥® ¤«ï ⨯®¢ ¤ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢; ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , â® £®¢®àïâ, çâ® a ¨ b à ᯮ«®¦¥ë ¥§ ¢¨á¨¬®, ¨«¨ ¯à®áâ® ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M , ¥á«¨ ⨯ a ¤ M [ fbg á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M , «¨¡® ¥é¥ ¥á«¨ ⨯ b ¤ M [ fag á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M . ª¨¬ ®¡à §®¬, íâ® ¯®ï⨥ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, áãé¥á⢥®¥ ¢ ⥮ਨ áâ ¡¨«ì®áâ¨, ᨬ¬¥âà¨ç® ®â®á¨â¥«ì® a ¨ b. ⬥⨬ ª®¥æ, çâ® ¯®ç⨠®ç¥¢¨¤®, çâ® ¢ áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¥¤¨á⢥®áâì ª® á«¥¤¨ª : â®, ç⮠⨯ A ¤ M ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® ª® á«¥¤¨ª ¤ M [ B , § ç¨â, ç⮠⨯ B ¤ M ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® á«¥¤¨ª ¤ M [ A. «¨ ¥é¥: ⨯ p ¨§ S1(M ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ ¬¨ ¤ M ᢮¨å ®ªà¥áâ®á⥩ hf (x; a)i, ïîé¨åáï ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬¨ ¬®¦¥á⢠¬¨ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M ; ¥á«¨ T ¥áâ ¡¨«ì , N à áè¨àï¥â ¬®¤¥«ì M ¨ g(x; b) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ N , â® ¥¥ á«¥¤ M ¬®¦¥â ¡ëâì ®¢ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¨ 䨫ìâà ®ªà¥áâ®á⥩ p ¬®¦¥â à áè¨à¨âìáï ¤® ¤¢ãå ®¢ëå 䨫ìâ஢, ®¤¨ ¨§ ª®â®àëå ᮤ¥à¦¨â hg(x; b)i, ¤à㣮© h:g(x; b)i, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¥áª®«ìª¨å ª® á«¥¤¨ª®¢ ¤«ï p. ® íâ® ¥¢®§¬®¦®, ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , ¯®áª®«ìªã, ª ª ¬ë 㦥 ®â¬¥â¨«¨, ⨯ b ¤ M ®¯à¥¤¥«¨¬, á«¥¤ g(x; b) M ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢ M : ⨯ p ¨§ S1(M ) ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®£® ª® á«¥¤¨ª , â ª ª ª ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ¡®«ìè¥ à 䨨஢ âì 䨫ìâà á«¥¤®¢ ¥£® ®ªà¥áâ®á⥩ M . ® ¥áâ¥á⢥®, ¤® ¥é¥ ¤®ª § âì, çâ® ¢ áâ ¡¨«ì®¬ á«ãç ¥ íâ®â ¥¤¨áâ¢¥ë© ª® á«¥¤¨ª p ï¥âáï ¥£® á«¥¤¨ª®¬.
12.c ®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ai í«¥¬¥â®¢ ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T , ¨¤¥ªá¨à®¢ ãî «¨¥©® 㯮à冷ç¥ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ I ("¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì", ᮡá⢥® £®¢®àï, íâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ ! ¢ M ; §¤¥áì ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ íâ®â â¥à¬¨ ¢ çãâì ¡®«¥¥ ®¡é¥¬ á¬ëá«¥ ¨ ã á I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ï¥âáï ®â®¡à ¦¥-
240
« ¢ 12
¨¥¬ I ¢ M ). ⬥⨬ â ª¦¥, çâ® ¯®à冷ª I ¥ ¨¬¥¥â ¨ç¥£® ®¡é¥£® á ï§ëª®¬ L ⥮ਨ T . ë £®¢®à¨¬ çâ® íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥à §«¨ç¨¬ (®â®á¨â¥«ì® ¯®à浪 ) ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® âãà «ì®£® n ¨ «î¡ëå ¤¢ãå ¡®à®¢ i1 < < in ¨ j1 < < jn í«¥¬¥â®¢, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¤¢ã¬ï áâண® ¢®§à áâ î騬¨ n-ª ¬¨ ¨§ I , n-ª¨ (ai1 ; : : : ; ain ) ¨ (aj1 ; : : :; ajn ) ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯; ¨ ç¥ £®¢®àï, íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì 㤮¢«¥â¢®àï¥â ªá¨®¬ ¬ f (ai1 ; : : :; ain ) $ f (aj1 ; : : : ; ajn ) ª ¦¤ë© à § ª®£¤ i1 < < in ¨ j1 < < jn.
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12.c
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241
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᫨ ¢ë 室¨â¥ ¬®¤¥«ì N ᫨誮¬ £à®¬®§¤ª®©, â® ¬®¦¥â¥ ¤¥©á⢮¢ âì ¡®«¥¥ íª®®¬®, â ª ª ª ¤®áâ â®ç® § âì ⮫쪮 ¡¥áª®¥ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ p ¤ M : n + 1-®¬ íâ ¯¥, ॠ«¨§ã¥¬ í«¥¬¥â®¬ an+1 ⨯, ¯®«ãç¥ë© á ¯®¬®éìî í⮣® ¡¥áª®¥ç®£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤ A [ fa0; : : : ; ang; í«¥¬¥â an+1 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ f (x; a; a0; : : :; an), £¤¥ a 2 A, ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ª®à⥦ (a; a0; : : :; an) ¨¬¥¥â ¤ M ⨯, ¯®¤å®¤ï騩 ¡¥áª®¥ç®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î p ¤ M . ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ⨯ p ¨§ S1(M ) ®¯à¥¤¥«¨¬, â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¥£® á«¥¤¨ª ¯®«ãç ¥âáï ¯à¨¬¥¥¨¥¬ (䨨â ண®!) ®¯à¥¤¥«¥¨ï p: ॠ«¨§ã¥¬ í«¥¬¥â®¬ a0 ¥¤¨á⢥®£® á«¥¤¨ª p ¤ A, § ⥬ í«¥¬¥â®¬ a1 ¥¤¨á⢥®£® á«¥¤¨ª p ¤ A [ fa0g; : : : , í«¥¬¥â®¬ an+1 á«¥¤¨ª p ¤ A [ fa0; : : : ; ang ¨ â.¤.
᫨ p ï¥âáï áâ ¡¨«ìë¬ â¨¯®¬, â® ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ⨯ p, ¢¬¥áâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ á«¥¤¨ª p, â ª ª ª p ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® ®á®¡®£® áë , ïî饣®áï ¥£® á«¥¤¨ª®¬; ® ª®£¤ ⨯ ¨¬¥¥â ¥áª®«ìª¨å ®á®¡ëå á뮢¥©, â® ® ¬®¦¥â ¯®à®¤¨âì á⮫쪮 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ®à«¨, ᪮«ìª® ® ¨¬¥¥â ®á®¡ëå á뮢¥©, ¨ ¤® ãâ®ç¨âì, ® ª®â®à®¬ ¨§ ¨å ¨¤¥â à¥çì. ¥¨â¥à¥áë© á«ãç © ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨, íâ® ª®£¤ M -®á®¡ë© ⨯ ï¥âáï ⨯®¬ ¥ª®â®à®£® í«¥¬¥â ¨§ M : ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ⮫쪮 ¯®¢â®àï¥â íâ®â í«¥¬¥â. ç¥, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®¡à §®¢ ¨§ à §«¨çëå í«¥¬¥â®¢, ¯®áª®«ìªã ®á®¡ë© áë ¥ ॠ«¨§®¢ ®£® ⨯ â ª¦¥ ¥ ॠ«¨§®¢ (¥á«¨ p ï¥âáï ¥à¥ «¨§®¢ ë¬ â¨¯®¬ ¤ M , â® ¬®¦® ©â¨ ¥ª®â®à®¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M , £¤¥ ® ¨¬¥¥â ᪮«ìª® 㣮¤® ॠ«¨§ 権, ¨ ¥á«¨ a 6= b, â® ¥¢®§¬®¦® ¨¬¥âì q ` x = a ¨ q ` x = b !)
242
« ¢ 12
¥®à¥¬ 12.14 ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¤ A ®á®¡®£® ⨯ ï¥âáï A¥à §«¨ç¨¬®©.
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n, çâ® ¥á«¨ m0 < < mn , â®-
£¤ (a0; : : :; an) ¨ (am0 ; : : : ; amn ) ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A; ¥á«¨ f (a; a0; : : :; an) ¨á⨠, â® íâ® ¯®â®¬ã, çâ® (a; a0; : : : ; an?1) ¨¬¥¥â ¤ N ⨯, ¯®¤å®¤ï騩 ¡¥áª®¥ç®¬ã ®¯à¥¤¥«¥¨î p; â ª ª ª ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ (a; a0; : : : ; an?1) ¨ (a; am0 ; : : : ; amn?1 ) ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M , ä®à¬ã« f (a; am0 ; : : :; amn ) â ª¦¥ ¨á⨠.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ®á®¡ë¥ á뮢ìï ¯®§¢®«ïîâ ¯®à®¤¨âì ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨; ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ f (x) ï¥âáï ä®à¬ã«®©, 㤮¢«¥â¢®àïî饩áï ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥â®¢ ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T , â® ® ¨¬¥¥â ¢ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ N ¡¥áª®¥çãî ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (à §«¨çëå!) í«¥¬¥â®¢ : ¢®§ì¬¨â¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ M -®á®¡®£® áë ¥ ॠ«¨§®¢ ®£® ⨯ ¤ M , 㤮¢«¥â¢®àï饣® f (x).
¥®à¥¬ 12.15 ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¤ A áâ ¡¨«ì®£® ⨯ â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ ¤ A.
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬ á ç « , çâ® ¤«ï ¢á¥å i, (a0; : : : ; ai?1; ai; ai+1) ¨
(a0; : : :; ai?1; ai+1; ai) (¤¢ ¯®á«¥¤¨å í«¥¬¥â ¬¥ïîâáï ¬¥áâ ¬¨) ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A; ¤«ï í⮣®, à áᬮâਬ ¬®¤¥«ì N , ᮤ¥à¦ éãî A[fa0; : : : ; ai?1g, ¨ í«¥¬¥â a0i, ॠ«¨§ãî騩 á«¥¤¨ª q ⨯ p ¤ N , ¨ í«¥¬¥â ai+1, ॠ«¨§ãî騩 á«¥¤¨ª q ( â ª¦¥ ⨯ p) ¤ N [fa0ig; ïá®, çâ® (a0; : : :; ai?1; a0i; a0i+1) ¨ (a0; : : :; ai?1; ai; ai+1) ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A: à áᬮâà¨â¥, ¯à¨¬¥à, ®¯à¥¤¥«¥¨ï ⨯®¢. â ª, ⨯ (a0i; a0i+1) ¤ N ¯®«ãç¥ à¥ «¨§ 樥© á ç « q, § ⥬ ¥£® á«¥¤¨ª , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ⨯ (a0i+1; a0i) ¯®«ãç¥ à¥ «¨§ 樥© á ç « q, § ⥬ ¥£® ª® á«¥¤¨ª ; â ª ª ª ¤«ï áâ ¡¨«ì®£® ⨯ á«¥¤¨ª ¨ ª® á«¥¤¨ª ᮢ¯ ¤ îâ, (a0i; a0i+1) ¨ (a0i+1; a0i) ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ N , ®âªã¤ á«¥¤ã¥â § ª«î票¥ ⥮६ë. ®ª ¦¥¬ ⥯¥àì ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n > i + 1, çâ® (a0; : : : ; ai; ai+1; : : :; an) ¨ (a0; : : :; ai+1; ai; : : : ; an) ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A; ¥á«¨ an 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ f (a0; : : :; ai; ai+1; : : : ; an?1; x), â® ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â â ª¦¥ ä®à¬ã«¥ f (a0; : : :; ai+1; ai; : : :; an?1; x), â ª ª ª ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢ íâ¨å ä®à¬ã« ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A. ¥¯¥àì ⥮६ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® âà ᯮ§¨æ¨¨ ¤¢ãå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå í«¥¬¥â®¢ ¤®áâ â®çë ¤«ï ¯®à®¦¤¥¨ï £àã¯¯ë ¢á¥å ¯¥à¥áâ ®¢®ª n í«¥¬¥â®¢.
ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ ⮫쪮 !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ®á®¡®£® ⨯ , ® ¥áâ¥á⢥® ¬®¦® ¯à®¤®«¦ âì ¯®áâ஥¨¥ ¨ ®¯à¥¤¥«¨âì -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ í⮣® ⨯ ¤«ï ª ¦¤®£® ®à¤¨ « , ¨ ¤ ¦¥ ¥£® I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¤«ï ª ª®©-¨¡ã¤ì 楯¨ I . ¥çì ¨¤¥â ® ¥à §«¨ç¨¬ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâïå, ¯®¤®¡ëå !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨. ¯®á®¡ ¯®áâ஥¨ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨, ª®â®àë© ¡®«ìè¥ ¯®å®¦ â®, çâ® ¤¥« « ®à«¨, ï¥âáï á«¥¤ãî騬: à áᬮâਬ ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T ¨ í«¥¬¥â ஥ jAj+- áë饮¥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M , M A N ; ⥯¥àì,
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243
¢®©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨
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12.d ¢®©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠ãáâì, ª ª ¢á¥£¤ , T { ¯®« ï ⥮à¨ï; £®¢®àïâ, çâ® ä®à¬ã« f (x; y) ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ¥á«¨ ¢á¥ á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë In, £¤¥ x ¨¤¥ªá¨à®¢ ë ¬®¦¥á⢮¬ n = f0; : : : ; n ? 1g, y { ¬®¦¥á⢮¬ ¯®¤¬®¦¥á⢠n, ª®â®àë¬ ï¢«ï¥âáï 2n , ïîâáï á«¥¤á⢨ﬨ T : 9x0 : : : 9xi : : : 9xn?19y; : : : 9yw : : : 9y2n [iV2Vwf (xi; yw ) ^ iV62Vw:f (xi ; yw)] :
® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ ¨¤¥ªá¨à®¢ âì ai ª न «®¬ , bw ¬®¦¥á⢮¬ 2 ¯®¤¬®¦¥á⢠, ¬®¦¥á⢮ I, á®áâ®ï饥 ¨§ ä®à¬ã« f (ai; bw ), i 2 w, ¨ ä®à¬ã« :f (ai; bw ), i 62 w, ᮢ¬¥áâ® á T . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ai ¬®£ãâ à §¤¥«ïâìáï ª ª 㣮¤® ¯®á।á⢮¬ ä®à¬ã«ë f , çâ® ®¯à ¢¤ë¢ ¥â â¥à¬¨ "᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨". ¯à¨¬¥à, ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ä®à¬ã« "x ¤¥«¨â y" ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨: ¤®áâ â®ç® ¡à âì í«¥¬¥âë xi ¢§ ¨¬® ¯à®áâ묨. ª ¦¤®© ⥮ਨ T ¡¥áª®¥ç®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë, ä®à¬ã« x y ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â ª ª ª «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¢ â ª®© «£¥¡à¥ ¬®¦® ©â¨ ¥ã«¥¢ë¥ ¨ ¯®¯ à® ¤¨§êîªâë¥ í«¥¬¥âë x0; : : :; xn: ¢ ª ç¥á⢥ yw ¬®¦® ¡à âì ¢¥àåîî £à ì xi, i 2 w.
¥¬¬ 12.16 ¢®©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠ᨬ¬¥âà¨ç® ®â®á¨â¥«ì® x ¨ y: ¥á«¨ f (x; y) ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â® ä®à¬ã« g (x1; y1 ) = f (y1 ; x1) â ª¦¥ ¨¬¥¥â í⮠᢮©á⢮.
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª ¦¥¬, çâ® I2n (f ) ¢«¥ç¥â In(g); ¢ I2n , x ¨¤¥ªá¨à®¢ -
ë ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ w ¬®¦¥á⢠n, y { ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ W ¬®¦¥á⢠2n ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬: VV f (x ; y ) ^ VV :f (x ; y ) : w W w W w2W w62W ®áâ â®ç® ®áâ ¢¨âì ⮫쪮 ⥠W , ç⮠ïîâáï ã«ìâà 䨫ìâà ¬¨, ¨ ¥á«¨ Wi { (£« ¢ë©!) ã«ìâà 䨫ìâà, ¯®à®¦¤¥ë© i, â® w 2 Wi § ç¨â, çâ® i 2 w.
é¥ ®¤® ®¯à¥¤¥«¥¨¥: ¯ãáâì s = (: : : ai; : : : ) { I -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, £¤¥ I ï¥âáï 楯ìî n-®ª ¨§ ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T ; ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤¥«¨¬ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â b ¢ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ ¬®¤¥«¨ M ¨ ä®à¬ã« f (x; y) â ª¨¥, çâ® ¨¤¥ªáë â¥å ai, ç⮠㤮¢«¥â¢®àïîâ f (x; b), ®¡à §ãîâ ª®ä¨ «ì®¥ ¢ I ¬®¦¥á⢮ â ª ¦¥, ª ª ¨¤¥ªáë â¥å ai, ç⮠㤮¢«¥â¢®àïîâ :f (x; b). â®¡ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¡ë« ¤¥«¨¬®©, ¤®, ª®¥ç®, ç⮡ë 楯ì I ¡ë« ¡¥áª®¥ç®© ¨ ¤ ¦¥ ¡¥§ ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â .
244
« ¢ 12
᫨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s ¥¤¥«¨¬ , ¨ A ï¥âáï ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ í«¥¬¥â ண® à áè¨à¥¨ï M , â® ¯à¥¤¥«ìë¬ â¨¯®¬ s ¤ A §ë¢ ¥âáï ¬®¦¥á⢮ t(s=A) ä®à¬ã« f (x; b) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ b ¨§ A, 㤮¢«¥â¢®àïî騥áï ¢á¥¬¨ ai ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ¨¤¥ªá ; ¯®áª®«ìªã ®® ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬® ¢ s ¨ s ¥¤¥«¨¬ , íâ® ¯®«®¥, ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«, â.¥. ⨯.
᫨ ¢ s áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â a ¨¡®«ì襣® ¨¤¥ªá , â® íâ® ¯à®á⮠⨯ a ¤ A: á«ãç © { ¥¨â¥à¥áë©; ¨ ç¥, ¥á«¨ I ¥ ¨¬¥¥â ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â ¨ ¥á«¨ ¢á¥ ai { à §«¨çë¥, â® ¯à¥¤¥«ìë© â¨¯ ¤ ¬®¦¥á⢮¬ A ¥ ॠ«¨§ã¥âáï ¢ A. ⬥⨬, ç⮠᢮©á⢮ ¤¥«¨¬®á⨠¨«¨ ¥¤¥«¨¬®á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ï¥âáï ᢮©á⢮¬ ¥£® ⨯ ¤ ;. ¢ï§ì ᮠ᢮©á⢮¬ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¤ ¥âáï á«¥¤ãî饩 ⥮६®©:
¥®à¥¬ 12.17 ®à¬ã« f (x; y) ¨¬¥¥â ¢ T ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ª®à⥦¥© ai ⮩ ¦¥ ¤«¨ë, çâ® ¨ x, ¤¥«ïé ïáï ¤¢ ª®ä¨ «ìëå ¯®¤¬®¦¥á⢠¥ª®â®à®© ä®à¬ã«®© f (x; b).
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® f ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ¨
¯ãáâì M { ¬®¤¥«ì T , ᮤ¥à¦ é ï ॠ«¨§ æ¨î I! : A = fa0; : : :; an; : : : gn2! ; B = fb;; : : :; bw ; : : : gw22! ;
M ` f (an; bw ) ¥á«¨ n 2 w; M ` :f (an ; bw ) ¥á«¨ n 62 w : ãáâì U { ¥£« ¢ë© ã«ìâà 䨫ìâà ¯®¤¬®¦¥á⢠!, ¨ N { ¤®áâ â®ç® áë饮¥ à áè¨à¥¨¥ M ; ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ pU ⨯ ¤ N , ®¯à¥¤¥«¥ë© â ª¨¬ ®¡à §®¬ : pU ` g(x; c), £¤¥ c 2 N , ¥á«¨ fn : N ` f (an ; c)g 2 U ; ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® íâ®â ⨯ { M -®á®¡ë© ¨, â ª ª ª ® ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ A, ® ª® á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î M . âந¬ ⮣¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ⨯ pU ¤ M , ¯ãáâì a00; : : : ; a0n; : : : , £¤¥ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î a0n+1 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«¥ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M [fa00; : : :; a0ng ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ íâ ä®à¬ã« ¢ë¯®«ï¥âáï ¯®ç⨠¤«ï ¢á¥å ai ¯®-¬®¤ã«î U ; ¬ë ®â¬¥â¨¬, çâ® ¢¢¨¤ã ⮣®, çâ® ã«ìâà 䨫ìâà U { ¥£« ¢ë©, ¢á¥ a0i { à §«¨çë¥. ë § ¥¬, çâ® íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0n ¥à §«¨ç¨¬ , ¨ ᮡ¨à ¥¬áï ¯®ª § âì, çâ® ® ¤¥«¨¬ ᯮᮡ®¬, 㪠§ ë¬ ¢ £¨¯®â¥§¥ ⥮६ë. ã⢥ত î, çâ® ª ¦¤ ï ä®à¬ã« g(x0; : : : ; xn), 㤮¢«¥â¢®àïîé ïáï ª®à⥦®¬ (a00; : : :; a0n), 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï n-ª®© ª®à⥦¥© ai, ¨ ¤ ¦¥ ¯®¯ à® à §«¨çëå, ¯®áª®«ìªã ¬®¦® ¢ª«îç¨âì ¢ íâã ä®à¬ã«ã â®â ä ªâ, çâ® x0; : : :; xn à §«¨çë; ¤¥©á⢨⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â ain â ª®©, çâ® a00_ : : : _ a0n?1_ain 㤮¢«¥â¢®àï¥â g, § ⥬ ain?1 â ª®©, çâ® a00_ : : : _ a0n?2_ ain?1 _ ain 㤮¢«¥â¢®àï¥â g, ¨ â.¤. â® ¢«¥ç¥â, çâ® ª®à⥦ (a00; a01; : : :; a02n; a02n+1) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥:
9y[^ f (x2i; y) ^ ^ :f (x2i+1; y)] ; ¥©á⢨⥫ì®, ¢á¥ ª®à⥦¨, ®¡à §®¢ ë¥ ¨§ 2n + 1 à §«¨çëå í«¥¬¥â®¢ A , 㤮¢«¥â¢®àïîâ í⮩ ä®à¬ã«¥ : ¢®§ì¬¨â¥ ¢ ª ç¥á⢥ y ¯®¤å®¤ï騩 bw ; â ª
12.d
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¢®©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨
çâ® è ª®à⥦ ¥ ¬®¦¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì ®âà¨æ ¨î í⮩ ä®à¬ã«ë. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠áãé¥áâ¢ã¥â b â ª®©, çâ® f (a0n; b) ¨á⨠¤«ï ç¥âëå n ¨ «®¦ ¤«ï ¥ç¥âëå n, ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨¬¥¥â 㪠§ ®¥ ᢮©á⢮ ¤¥«¨¬®áâ¨. ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«¨¬ãî ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ai, ¨ ¯ãáâì íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤¥«¨âáï ä®à¬ã«®© f (x; b) ¤¢ ª®ä¨ «ìëå ¯®¤¬®¦¥á⢠. ç¨ ï á í«¥¬¥â a0, 㤮¢«¥â¢®àïî饣® f (x; b), ¢ë¡¥à¥¬ a1 ¡®«ì襣® ¨¤¥ªá , 㤮¢«¥â¢®àïî饣® :f (x; b), § ⥬ a2 ¡®«ì襣® ¨¤¥ªá , 㤮¢«¥â¢®àïî饣® f (x; b), ¨ â.¤. ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢ë¤¥«ï¥¬ ¨§ 襩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0; a1; : : : ; an; : : : , ª®â®à ï ®ç¥¢¨¤® â ª¦¥ ¥à §«¨ç¨¬ , â ªãî, çâ® f (an; b) ¨á⨠⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ n ç¥â®. ¥¯¥àì ï ã⢥ত î, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠w ®â१ª [0; n] ¢¥à á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« :
9yw[iV2Vwf (ai; yw) ^ iV62Vw:f (ai; yw )] : ¥©á⢨⥫ì®, ¢ë¡¥à¥¬ ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨¤¥ªá®¢ m0; : : : ; mi; : : : ; mn â ª, ç⮡ë mi ¡ë«® ç¥â® ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ i 2 w; ª®à⥦ am0 _ : : : _ amn 㤮¢«¥â¢®àï¥â í⮩ ä®à¬ã«¥: ¢®§ì¬¨â¥ yw = b; ¨, § ç¨â, ª®à⥦ a0_ : : : _an , ¨¬¥î騩 â®â ¦¥ ⨯, â ª¦¥ ¥© 㤮¢«¥â¢®àï¥â. «¥¤®¢ ⥫ì®, ä®à¬ã« f (x; y) ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨.
¯®¬¨¬ ¯à¨æ¨¯, ª®â®àë© ¨á¯®«ì§®¢ «áï ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¯¥à¢®© ç á⨠í⮩ ⥮६ë, ¨¬¥®, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ M -ª® á«¥¤¨ª ¨¬¥¥â ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ë© ⨯ ¢ M .
¥®à¥¬ 12.18
᫨ ¢ T ¨¬¥¥âáï ä®à¬ã« f (x; y) ᮠ᢮©á⢮¬ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â® áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« g (x; y) ᮠ᢮©á⢮¬ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨.
®ª § ⥫ìá⢮. â ª, ¯ãáâì ä®à¬ã« f (x1x; y) ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨-
ᨬ®áâ¨. ® ᨬ¬¥âਨ («¥¬¬ 12.16) ¨ ¯® ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥ ¬®¦® ©â¨ ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ª®à⥦¥© a0; : : : an; : : : , ¨ ª®à⥦ b_c â ª, ç⮡ë f (b; c; an) ¡ë« ¨á⨮© ª®£¤ n ç¥â®, ¨ «®¦®© ª®£¤ n ¥ç¥â®. ª ª ª ¬ë ¯ëâ ¥¬áï áâநâì â ªãî ä®à¬ã«ã, £¤¥ x ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ «ìãî ¤«¨ã, â® ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¨ª ª ï ä®à¬ã« g(c; z), ª ª®¢ ¡ë ¨ ¡ë« ¤«¨ k ª®à⥦ z, ¥ ¬®¦¥â à §¤¥«¨âì ¤¢ ª®ä¨ «ìëå ¯®¤¬®¦¥á⢠¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì k-ª®à⥦¥©: ¨ ç¥, ¬ë 諨 ¡ë ä®à¬ã«ã ᮠ᢮©á⢮¬ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ¨¬¥îéãî ¡®«¥¥ ª®à®âª¨© ª®à⥦ x, ¨ ¬®£«¨ ¡ë ¯à®¤®«¦¨âì á¯ãáª. ã⢥ত î, çâ® ¢ íâ¨å ãá«®¢¨ïå ¬®¦®, ªà®¬¥ ⮣®, ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® an ®¡à §ãîâ ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ c. «ï í⮣® ï ¯®ª ¦ã ¨¤ãªæ¨¥© ¯® m ᮢ¬¥áâ®áâì ⥮ਨ, ¢ª«îç î饩 á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë: { ªá¨®¬ë g(a0; : : :; an) $ g(ai0 ; : : :; ain ), £¤¥ i0 < < in, ¢ëà ¦ î騥, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì an ¥à §«¨ç¨¬ ¤ ; { ªá¨®¬ë f (b; c; a2n), :f (b; c; a2n+1)
246
« ¢ 12
{ ªá¨®¬ë, ã⢥ত î騥, çâ® ¡®à k ª®à⥦¥© ai ¢®§à áâ îé¨å ¨¤¥ªá®¢ ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯ ¤ c, çâ® ¨ a0 : : : ak?1 , ¤«ï ª ¦¤®£® k m. â ª, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¨¬¥¥¬ ¬®¤¥«ì íâ¨å ªá¨®¬ ¤«ï m; á ¯®¬®éìî íâ¨å ai ¬®¦® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ¦¤ë© ª®¥çë© äà £¬¥â á¨áâ¥¬ë ªá¨®¬ ¤«ï m + 1; ®âªã¤ ¡ã¤¥â á«¥¤®¢ âì ᮢ¬¥áâ®áâì í⮣® ¬®¦¥á⢠ªá¨®¬. ë ¯®áâ㯠¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.
᫨ ¬ë § 䨪á¨à㥬 ª®à⥦ ¨¤¥ªá®¢ i0; : : :; im?1, à ᯮ«®¦¥ëå ¢ ¢®§à áâ î饬 ¯®à浪¥, â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fai0 : : : aim?1 an : n > im?1g, ¥à §«¨ç¨¬ . ç¨â, ® ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à §à¥§ ¤¢ ª®ä¨ «ìëå ¯®¤¬®¦¥á⢠¥ª®â®à®© ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ c. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å n «¨¡® ¢á¥ an 㤮¢«¥â¢®àïîâ g(c; ai0 ; : : : ; aim?1 ; y), «¨¡® ¢á¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¥¥ ®âà¨æ ¨î. ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® íâ® ¯à®¨á室¨â ª ª ⮫쪮 n > im?1 ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¤®áâ â®ç® ¨§¢«¥çì ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ç¨ ¥¬ á A0 = fa0; : : ::am?1g; ¤®¡ ¢¨¬ an ª A0, £¤¥ n ¨¬¥¥â âã ¦¥ ç¥â®áâì, çâ® ¨ m, ç¨ ï á ª®â®à®£® ¨á⨮á⮥ § 票¥ g(c; a0; : : :; am?1; y) ®áâ ¥âáï ¯®áâ®ïë¬, ¨ ®¡à §ã¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬®¦¥á⢮ A1 ; § ⥬ ¤®¡ ¢«ï¥¬ ¥ª®â®àë© an , ¡®«ì襣® ¨¤¥ªá 祬 ã ª ¦¤®£® ¨§ í«¥¬¥â®¢ A1 ¨ ⮩ ¦¥ ç¥â®áâ¨, çâ® ¨ m +1, ¨ â ª®£®, çâ®¡ë ¬ë ¨¬¥«¨ ¯®áâ®ïá⢮ ¨á⨮áâëå § 票© ä®à¬ã« g ¤«ï ¢á¥å m-®ª ª®à⥦¥© ¨§ A1, ¨ â.¤. ®£¤ íâ ¯à®æ¥¤ãà § ¢¥àè¨âáï, ¤®áâ â®ç® ¯¥à¥ã¬¥à®¢ âì ¨§¢«¥ç¥ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. âã ¬ ¨¯ã«ïæ¨î, ª®â®àãî ¬ë ¯à®¤¥« «¨ ¤«ï ¥¤¨á⢥®© ä®à¬ã«ë g, ¬ë ¬®¦¥¬ â ª¦¥ ¯à®¤¥« âì ¤«ï ª®¥ç®£® ç¨á« ä®à¬ã« g1; : : :; gk , ¨ ⮣¤ , ¯® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ª ¦¤®© ¢®§à áâ î饩 m-ª¥ s = (i0; : : : ; im?1) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⨯ ps ¤ c, ª®â®àë© à¥ «¨§ã¥âáï ¢á¥¬¨ as_an , £¤¥ as ®¡®§ ç ¥â á®ç«¥¥¨¥ ai0 _ai1 _ : : : _ aim?1 , ª ª ⮫쪮 n > im?1 . ஬¥ ⮣®, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â a! , â ª®©, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0; : : :; an; : : :a! ¡ë« ¥à §«¨ç¨¬ ( ¤ ;), ¨ â ª®©, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© ¢®§à áâ î饩 m-ª¨ ¨¤¥ªá®¢ s asa! ॠ«¨§ã¥â ps ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¢ ª®¥ç®¬ äà £¬¥â¥ ⥮ਨ, ã⢥ত î饩 íâ®, a! ¬®¦¥â ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âìáï ª ª an, ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® n. ã⢥ত î, çâ® ¤«ï ¤ ®© ä®à¬ã«ë h(c; y0; : : : ; ym) áãé¥áâ¢ã¥â âãà «ì®¥ N â ª®¥, çâ® ¤«ï ⨯®¢ ps, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s, ã ª®â®à®© ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â ¡®«ìè¥ N , «¨¡® ¢á¥ ®¨ ᮤ¥à¦ â h, «¨¡® ¢á¥ ᮤ¥à¦ â :h. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¡ë íâ® ¡ë«® ¥ â ª, â® ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ©â¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s0 < s1 < < sn < : : : , £¤¥ si < sj ®§ ç ¥â, çâ® ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â si áâண® ¡®«ìè¥ ¨¡®«ì襣® í«¥¬¥â sj , â ªãî, ç⮠⨯ psn ᮤ¥à¦¨â h, ¥á«¨ n ç¥â®, ¨ :h, ¥á«¨ n ¥ç¥â®. ¤ ª® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì asn _a! ¥à §«¨ç¨¬ ¨ ® à §à¥§ ¥âáï ¤¢ ª®ä¨ «ìëå ¯®¤¬®¦¥á⢠ä®à¬ã«®© h , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â £¨¯®â¥§¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, áâ¥à¥¢ ç¥â®¥ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¢ ç «¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¨ ¯¥à¥ã¬¥à®¢ ¢ ¥ñ, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¢á¥ ⨯ë ps ᮤ¥à¦ â h ¨«¨ ¢á¥ ᮤ¥à¦ â :h; íâ® ¬®¦® ¯à®¤¥« âì â ª¦¥ ¤«ï ª®¥ç®£® ç¨á« h1; : : : ; hk ä®à¬ã«; ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¢á¥ ⨯ë ps à ¢ë; íâ® ¢ â®ç®á⨠â®, çâ® ¬ë å®â¥«¨ ¤®ª § âì. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0; : : : ;
12.d
247
¢®©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨
an; : : : ¥à §«¨ç¨¬ ¤ c, â.¥. çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì c_ a0; : : :; c_ an; : : : ¥à §«¨ç¨¬ ; ® à §¤¥«ï¥âáï ¤¢ ª®ä¨ «ìëå ¯®¤¬®¦¥á⢠ä®à¬ã«®© f (b; x; y). ®áâ â®ç® ¯à¨¡ ¢¨âì x ª ¯ à ¬¥âàã y, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ä®à¬ã«ã á ¥¤¨á⢥®© ¯¥à¥¬¥®© x1, ¨¬¥îéãî ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨.
ë £®¢®à¨¬, çâ® T ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ¥á«¨ ®¤ ¨§ ¥¥ ä®à¬ã« ¨¬¥¥â í⮠᢮©á⢮; ¯® ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥, íâ® ®§ ç ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« f (x; y), £¤¥ x { ¯¥à¥¬¥ ï, ¨¬¥îé ï ¢ T ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, T ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¤®¬ã ¨§ ¤¢ãå á«¥¤ãîé¨å íª¢¨¢ «¥âëå ãá«®¢¨©: { ª ¦¤ ï ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì í«¥¬¥â®¢ ¥¤¥«¨¬ ; { ª ¦¤ ï ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì n-®ª ¥¤¥«¨¬ ¤«ï «î¡®£® n.
᫨ T ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â® ® ¥áâ ¡¨«ì : ॠ«¨§ã¥¬ ¬®¦¥á⢮ I ¤«ï ᨬ¬¥âà¨ç®© ä®à¬ã«ë ª f , aw ¨¤¥ªá¨àãîâáï ¬®¦¥á⢮¬ 2 , bi { ¬®¦¥á⢮¬ ; ¢á¥ a ¨¬¥îâ à §«¨çë¥ â¨¯ë ¤ ¬®¦¥á⢮¬ B ¢á¥å bi, ¨¬¥î騬 ¬®é®á⨠. «¥¤®¢ ⥫ì®, íâ ⥮à¨ï ¥áâ ¡¨«ì ¢® ¢á¥å ¬®é®áâïå ; íâ® ¥áâ ¡¨«ì®áâì ¤ ¦¥ ¢ ¥ª®â®à®¬ த¥ ¬ ªá¨¬ «ì , â ª ª ª, ¥á«¨ > jT j, â® ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ¨¬¥âì ¡®«ìè¥ 2 ⨯®¢ ¤ ¬®¦¥á⢮¬ ¬®é®á⨠. ¨¬®å®¤®¬ ®â¬¥â¨¬, ç⮠⥮ਨ T ¨ T (A) ®¤®¢à¥¬¥® ¨¬¥îâ ¨«¨ ¥ ¨¬¥îâ ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¨ çâ®, ¥á«¨ T 0 ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ¢ T ¨ ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ⮣¤ T â ª¦¥ ¨¬¥¥â í⮠᢮©á⢮. ®á«¥ í⮣®, à áᬮâਬ ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠¥à §«¨ç¨¬ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩, ¤¥«¨¬ëå ¨, £« ¢ë¬ ®¡à §®¬, ¥¤¥«¨¬ëå. ç « ®â¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ s ï¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¤¥«¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî, â® ª ¦¤ ï ¯®¤®¡ ï ¥© ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¡¥§ ¨¡®«ì襣® ¨¤¥ªá ¤¥«¨¬ : ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ à §¡¨âì ¬®¦¥á⢮ ¨¤¥ªá®¢ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¤¢ ª®ä¨ «ìëå ¯®¤¬®¦¥á⢠X ¨ Y , â® áãé¥á⢮¢ ¨¥ í«¥¬¥â b, 㤮¢«¥â¢®àïî饣® f (ai; b) , ¥á«¨ i 2 X ¨ :f (ai; b) , ¥á«¨ i 2 Y ¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¢®, â ª ª ª ª ¦¤ë© ª®¥çë© äà £¬¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ⥮ਨ ¬®¦¥â ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âìáï ¯®á।á⢮¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s.
᫨ ¨áª«îç¨âì âਢ¨ «ìë© á«ãç © ¬®¦¥á⢠¨¤¥ªá®¢, ¨¬¥î饣® ¨¡®«ì訩 í«¥¬¥â, ¬ë ¢¨¤¨¬, ç⮠᢮©á⢮ ¤¥«¨¬®á⨠¨«¨ ¥¤¥«¨¬®á⨠¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠§ ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥¥ ¬®¦¥á⢠à¥ä®©åâ . áᬮâਬ ¥à §«¨ç¨¬ãî ¨ ¥¤¥«¨¬ãî !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s (â ª ¦¥, ª ª ¯® 室㠨§«®¦¥¨ï ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ⮫쪮 1-⨯ë, çâ®¡ë ¥ ãá«®¦ïâì ¯®¯ãáâã ®¡®§ 票ï, ¬ë ®£à ¨ç¨¬áï ®âë¥ ¥à §«¨ç¨¬ë¬¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâﬨ í«¥¬¥â®¢, ¥ ª®à⥦¥©).
᫨ f (x; b) { ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ b ¨§ í«¥¬¥â ண® à áè¨à¥¨ï ¬®¤¥«¨, ¨§ ª®â®à®© ¢§ïâ s, â® ¯®áª®«ìªã ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ®¬¥à n ¢á¥ an 㤮¢«¥â¢®àïîâ f (x; b), ¨«¨ ¢á¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ :f (x; b), íâ ä®à¬ã« à §¡¨¢ ¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᥣ¬¥â®¢ s1; : : :; sk , â ª¨å, çâ® í«¥¬¥âë ª ¦¤®£® ᥣ¬¥â ¤ îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ § 票¥ ¨á⨮á⨠¤«ï f (x; b) ¨ f (x; b) ¯à¨¨¬ ¥â ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¥ § ç¥¨ï ¨á⨮á⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå ᥣ¬¥â å. â® ç¨á«® k ¡ã¤¥â §ë¢ âìáï ç¨á«®¬ ç¥à¥¤®¢ ¨ï ä®à¬ã«ë f (x; b) s.
248
« ¢ 12
®ª ¦¥¬, çâ® íâ® ç¨á«® ç¥à¥¤®¢ ¨ï ¬ ¦®à¨à®¢ ® ¥§ ¢¨á¨¬® ®â b; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¡ë ¤«ï ª ¦¤®£® k áãé¥á⢮¢ « bk â ª®©, çâ® f (x; bk) ç¥à¥¤ã¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ k à §, â® ¬ë ¯®ª § «¨ ¡ë ᮢ¬¥áâ®áâì á ⨯®¬ s ¬®¦¥á⢠¯à¥¤«®¦¥¨© :f (a2n; b), :f (a2n+1; b), â.¥. ¤¥«¨¬®áâì s. §®¢¥¬ ç¨á«®¬ ç¥à¥¤®¢ ¨ï f (x; y) ¤ s ¬ ªá¨¬ã¬ ç¨á¥« ç¥à¥¤®¢ ¨© f (x; b) ¤ s.
᫨ f (x; y) ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â® íâ® ç¨á«® ç¥à¥¤®¢ ¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¬ ¦®à¨à®¢ ® ⮫쪮 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â f (x; y), ¥§ ¢¨á¨¬® ®â s ; ¥á«¨ íâ® ¡ë«® ¡ë ¥ â ª, â® ¬ë ¯®ª § «¨ ¡ë ᮢ¬¥áâ®áâì á T ⥮ਨ, ¢ëà ¦ î饩 çâ® s ï¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî, ¤¥«¨¬®© ä®à¬ã«®© f (x; y).
áâ¥á⢥®, ç¨á«® ç¥à¥¤®¢ ¨ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s, «¨èì ¡ë ⮫쪮 ® ¡ë« ¡¥áª®¥ç®©, § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥¥ ¬®¦¥á⢠à¥ä®©åâ : ¤à㣮© ¯®¤®¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, f (x; y) ¥ ç¥à¥¤ã¥âáï ¡®«ìè¥. ⮠⥯¥àì ¯à®¨á室¨â, ¥á«¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ ¨ ¥¤¥«¨¬ ? ®£¤ ï ã⢥ত î, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f (x; y), áãé¥áâ¢ã¥â ç¨á«® n â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å b, ¢á¥ í«¥¬¥âë s, § ¨áª«î票¥¬ ¥ ¡®«¥¥ n, 㤮¢«¥â¢®àïîâ f (x; b), ¨«¨ ¢á¥ í«¥¬¥âë s, § ¨áª«î票¥¬ ¥ ¡®«¥¥ n, 㤮¢«¥â¢®àïîâ :f (x; b); ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¡ë ¬ë ¨¬¥«¨ k í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; b), ¨ k í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å :f (x; b), â® ¯¥à¥ã¬¥à®¢ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (çâ® ¥ ¬¥ï¥â ¥¥ ⨯ ¨§-§ â®â «ì®© ¥à §«¨ç¨¬®áâ¨) § áâ ¢¨«¨ ¡ë ç¥à¥¤®¢ âìáï f (x; b), ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥, 2k à §. â ª, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¥á«¨ s ï¥âáï â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ë¬ ¨ ¥¤¥«¨¬ë¬ ¬®¦¥á⢮¬, â® ¥£® ¯à¥¤¥«ìë¬ â¨¯®¬ ¤ A ï¥âáï ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâáï ¢á¥¬¨ í«¥¬¥â ¬¨ s, § ¨áª«î票¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« ; ¨ ¥ª®â®àë¥ £®¢®àïâ ® á।¥¬ ⨯¥ ¤ A ¢¬¥áâ® ¯à¥¤¥«ì®£® ⨯ s ¤ A. ¥¬¬ 12.19
᫨ ¬®¤¥«ì M ᮤ¥à¦¨â â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬®¥ ¨ ¥¤¥«¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮ s (¨«¨ ¤ ¦¥ ¥á«¨ M ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ s !), á।¨© ⨯ s ¤ M ®¯à¥¤¥«¨¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì n âãà «ì®¥ ç¨á«® â ª®¥, çâ® ¤«ï ¢á¥å b ¢á¥ í«¥¬¥âë s, § ¨áª«î票¥¬ ¥ ¡®«¥¥ n, 㤮¢«¥â¢®àïîâ f (x; b), ¨«¨ ¢á¥, § ¨áª«î票¥¬ ¥ ¡®«¥¥ n, 㤮¢«¥â¢®àïîâ :f (x; b). ®£¤ ä®à¬ã« : g(y; a0; : : : ; a2n) = i in â ª®©, ç⮡ë f (b0; : : : ; bn?2; ain?1 ; ain ) ¡ë« ¨á⨮©, ¨ â.¤. ª®æ¥ ª®æ®¢, 室¨¬ in < in?1 < < i0 â ª¨¥, çâ® f (ai0 ; : : :; ain ) ¡ã¤¥â ¨á⨮©; ¥á«¨ ä®à¬ã« f ¥ ᮤ¥à¦¨â ¯ à ¬¥â஢ ¨§ M , â® â ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s ¥à §«¨ç¨¬ ¤ ;, íâ® § ç¨â, çâ® f (an ; : : :; a0) ¨á⨠. ª¨¬ ®¡à §®¬, (b0; : : :; bn) ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯, çâ® (an; : : : ; a0); ® â ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì bn â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ , (b0; : : :; bn) ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯, çâ® (bn; : : :; b0), ¨, § ç¨â, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠bn ¨ an ¯®¤®¡ë¥ ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®¤®£® ⨯ (®â¬¥â¨¬, çâ®, ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, (a0; : : : ; an; : : :; b0; : : : ; bn; : : : ) ï¥âáï ¥à §«¨ç¨¬ë¬ ¬®¦¥á⢮¬).
«¥¤á⢨¥ 12.24 ¥®à¨ï T áâ ¡¨«ì ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ª ¦¤ ï ¡¥áª®¥ç ï ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì í«¥¬¥â®¢ ¨§ ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T , â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ ¨ ¥¤¥«¨¬ .
12.e
251
¥¤¥«¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨
®ª § ⥫ìá⢮. ® 12.21, ¥á«¨ T ¥áâ ¡¨«ì , â® ® ¨¬¥¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨, ª®â®à ï «¨¡® ¤¥«¨¬ , «¨¡® ¥ â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ ; ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , â® ¯® ¤¢ã¬ ¯à¥¤ë¤ã騬 «¥¬¬ ¬, ¡¥áª®¥ç ï ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨§®¬®àä ¥ª®â®à®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨, á«¥¤®¢ â¥«ì® ® â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ ¨ ¥¤¥«¨¬ . ë ¬®¦¥¬ â ª¦¥ ¤®áâ â®ç® «¥£ª® ¤®ª § âì, çâ® ¥á«¨ ¡ë à ᯮ« £ «¨ ¥à §«¨ç¨¬®©, ® ¥ â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî, â® ¤«ï ª ¦¤®£® ª न « ¯®áâந«¨ ¡ë ¬®¦¥á⢮ A ¯ à ¬¥â஢ ¬®é®á⨠, ¯®à®¦¤ î饥 ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ á⮫쪮 ⨯®¢, ᪮«ìª® á¥ç¥¨© ¬®¦¥â ¨¬¥âì ¯®à冷ª ¬®é®á⨠: ⮣¤ ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ¥áâ ¡¨«ì®áâì à áᬠâਢ ¥¬®© ⥮ਨ ¢® ¢á¥å .
¥®à¥¬ 12.25 (®¡ ®¤®à®¤®© ®¯à¥¤¥«¨¬®áâ¨) ãáâì T { áâ ¡¨«ì ï ⥮à¨ï, f (x; y) { ä®à¬ã« ï§ëª T ¨ n { ¨¬¥ì襥 âãà «ì®¥ ç¨á«®, â ª®¥, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® ¥à §«¨ç¨¬®£® ¬®¦¥á⢠A ¨ ¢á¥å b, «¨¡® ¢á¥ í«¥¬¥âë A, § ¨áª«î票¥¬ ¥ ¡®«¥¥ n, 㤮¢«¥â¢®àïîâ f (x; b), «¨¡® ¢á¥, § ¨áª«î票¥¬ ¥ ¡®«¥¥ n, 㤮¢«¥â¢®àïîâ :f (x; b). ãáâì g(y ; z0; : : : ; z2n) ®¡®§ ç ¥â ä®à¬ã«ã WW f (zi0 ; y) ^ ^ f (zin ; y) : i 0, ¨¬¥îâ ¥¤¨á⢥®£® á«¥¤¨ª , ¥¤¨á⢥®£® ª® á«¥¤¨ª , ¥¤¨á⢥®£® ®á®¡®£® áë , ¨ çâ® ¡¥áª®¥çë¥ ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠n-®ª â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ë ¨ ¥¤¥«¨¬ë. ¥¯®á।á⢥® ¯® ᨬ¬¥âਨ ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¥¤¨á⢥®áâì ª® á«¥¤¨ª®¢ n-®ª ¤«ï ¢á¥å n
12.e
255
¥¤¥«¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨
íª¢¨¢ «¥â ¥¤¨á⢥®á⨠᫥¤¨ª®¢; ®, çâ® § ¬¥ ⥫ì®, ¥¤¨á⢥®áâì ª® á«¥¤¨ª ¤«ï 1-⨯®¢ ¤®áâ â®ç ¤«ï áâ ¡¨«ì®áâ¨. ë § ª«îç ¥¬ íâ®â à §¤¥« ¯®á«¥¤¨¬ १ã«ìâ ⮬, ¤®ª § ⥫ìá⢮ ª®â®à®£® ¨á¯®«ì§ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨.
¥®à¥¬ 12.30 ãáâì T { áâ ¡¨«ì ï ⥮à¨ï, p ¨ q { ¤¢ ⨯ ¤ ¬®¤¥«ìî
M ⥮ਨ T , ᮤ¥à¦ 騥 ä®à¬ã«ã f (x; a) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M , ¨ A ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ M , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å í⮩ ä®à¬ã«¥. ®£¤ ¥á«¨ p ¨ q ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ ®£à ¨ç¥¨¥ A, â® ®¨ à ¢ë.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì g(x; y) { ä®à¬ã« , ¨ ¯ãáâì d1 g(y) ¨ d2g(y) { á®-
®â¢¥âáâ¢ãî騥 ®¯à¥¤¥«¥¨ï p ¨ q ¤«ï g, ª®â®àë¥ ¯® ⥮६¥ 12.25 ¬®£ãâ ¡ëâì ¢§ïâë á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A; £¨¯®â¥§ £®¢®à¨â, çâ® í⨠¤¢ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ १ã«ìâ â ¤ A, â® ¥áâì çâ®: M ` 8y1 : : : 8ynff (y1; a) ^ : : : f (yn ; a) ! [d1g(y1; : : :; yn) $ d2g(y1; : : : ; yn)]g ¨ í⠪ᨮ¬ ®áâ ¥âáï ¨á⨮© ¢ ª ¦¤®¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ M . ®áâந¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ a0; : : :; an; : : : ⨯ p ¤ M , § ⥬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ b0; : : :; bn; : : : ⨯ q ¤ M ¨, ª®¥æ, ᬥè ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì c0; : : : ; cn; : : : , ¨á¯®«ì§ãï ç¥âëå è £ å ®¯à¥¤¥«¥¨¥ p, ¨ ¥ç¥âëå è £ å { ®¯à¥¤¥«¥¨¥ q. ª ª ª í⨠¤¢ ®¯à¥¤¥«¥¨ï á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A ¨ ¤ îâ ®¤¨ ª®¢ë¥ १ã«ìâ âë ¯ à ¬¥âà å, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; a), â® ¤®ª §ë¢ ¥¬ ᯮᮡ®¬, «®£¨çë¬ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã 12.25, çâ® í⨠âਠ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A . «¥¤®¢ ⥫ì®, â ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì c0; : : :; cn; : : : ¤®«¦ ¡ëâì ¥¤¥«¨¬®©, ¤®«¦® ¡ëâì p = q.
«¥¤á⢨¥ 12.31 (® à §¤¥«¥¨¨ ¯ à ¬¥â஢) ãáâì M { ¬®¤¥«ì áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ T , f (x) { ä®à¬ã« ¡¥§ ¯ à ¬¥âà ¨ g(x; b) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M ; ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« h(x; a), íª¢¨¢ «¥â ï f (x) ^ g(x; b) ¨ ã ª®â®à®© ¢á¥ ¯ à ¬¥âàë 㤮¢«¥â¢®àïîâ f (x).
®ª § ⥫ìá⢮. ® ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥ â®, ç⮠⨯ p ¨§ S1(M ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â f (x) ^ g(x; b) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ®£à ¨ç¥¨ï p ¬®¦¥á⢮ A í«¥¬¥â®¢ M , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x); § ª«î票¥ á«¥¤ã¥â ¨§ «¥¬¬ë 12.4.
᫨ ¢ á«¥¤á⢨¨ 12.31 ä®à¬ã« f (x) ¨¬¥¥â ¯ à ¬¥âàë c, â® ¬®¦® ¥é¥ ¯à¨¬¥¨âì íâ® á«¥¤á⢨¥ ª ⥮ਨ T (c), ª®â®à ï â ª¦¥ áâ ¡¨«ì ; ⥮६ â ª¦¥ ®áâ ¥âáï ¢ ᨫ¥, ¥á«¨ f ¨¬¥¥â ¥áª®«ìª® ᢮¡®¤ëå ¯¥à¥¬¥ëå, ¢¬¥áâ® ®¤®©. ª ¯à¨¬¥à ¯à¨«®¦¥¨ï, ¬ë ®â¬¥â¨¬, ç⮠⥮à¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ã«ì (á¬. à §¤¥« 6.b) áâ ¡¨«ì ¢ ª ¦¤®© ¬®é®á⨠; ¤¥©á⢨⥫ì®, ⨯®¢ ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«ìè¥, 祬 ¢®§¬®¦ëå ¬¨¨¬ «ìëå ¬®£®ç«¥®¢. ¥à¥¬ § f (x) ä®à¬ã«ã x0 = 0; ¥á«¨ C ï¥âáï ¯®«¥¬ ª®áâ â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮣® ¯®«ï K , â® ¢á¥, çâ® ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ C á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ K , ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥® á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§
256
« ¢ 12
C ; ¢ C ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 â®, çâ® ¬ë ¬®£«¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ ⥮ਨ ®¡ëçëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ C . ¬¥îâáï ⥮ਨ ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ª®â®àë¥ ¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ í⮩ ⥮६¥ à §¤¥«¥¨ï ¯ à ¬¥â஢. áᬮâਬ ⥮à¨î 楯¥© ¨ ¤®¡ ¢¨¬ ª ï§ëªã ᨬ¢®« ã ண® ®â®è¥¨ï R(x); çâ®¡ë £®¢®à¨âì ¡®«¥¥ ®¡à §®, í«¥¬¥âë, ª®â®àë¥ ã¤®¢«¥â¢®àïîâ R, §®¢¥¬ ¡¥«ë¬¨, í«¥¬¥âë, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 :R, { ç¥à묨. ãáâì T { ¬®¤¥«ì®¥ ¯®¯®«¥¨¥ í⮩ ⥮ਨ: ç¨â â¥«ì «¥£ª® ¯®©¬¥â, çâ® ®® áãé¥áâ¢ã¥â, ¨ , çâ® í⮠⥮à¨ï ®ªà è¥ëå 楯¥©, ¯«®âëå, ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª, â ª ï, çâ® ¬¥¦¤ã «î¡ë¬¨ ¤¢ã¬ï à §«¨ç묨 â®çª ¬¨ ¨¬¥¥âáï ¢á¥£¤ ¡¥« ï ¨ ç¥à ï â®çª¨. ë 㦥 ¢áâà¥â¨«¨ íâã ⥮à¨î ¢ ª®æ¥ 10.a. ª ¢áïª ï ⥮à¨ï ®ªà 襮© 楯¨, T ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥.
᫨ b { ¡¥« ï â®çª ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T , ¬®¦¥á⢮ ç¥àëå â®ç¥ª, ¬¥ìè¨å b, ¥ ¬®¦¥â ®¯à¥¤¥«¨âìáï ⮫쪮 á ç¥à묨 ¯ à ¬¥âà ¬¨; ¨ ç¥àë¥ â¨¯ë b? ¨ b+, ª®â®àë¥ à §«¨çë, ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ç¥àë¥ â®çª¨ ¬®¤¥«¨ M ; ®¨ ¥ ¬®£ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï ⮫쪮 á ç¥à묨 ¯ à ¬¥âà ¬¨.
12.f ¤¨ ¯à¨¬¥à : ⥮ਨ ¯®à浪®¢ ª ç¥á⢥ ¨««îáâà 樨 ⥮६ë 12.28, ¬ë ¯®ª ¦¥¬, çâ® æ¥¯ì ¥ ¨¬¥¥â ¨ª®£¤ ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. ⬥⨬, ç⮠⥮à¨ï ¡¥áª®¥ç®© 楯¨ ¥áâ ¡¨«ì : ¤¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª í«¥¬¥âë ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¤®«¦ë ¡ëâì 㯮à冷ç¥ë (¯®à浪®¬, ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¯®à浪®¬ ¥¥ ¨¤¥ªá®¢, ¨«¨ ¥¬ã ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬), ® ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬®©. «ï í⮣® ¬ 㦠⥮६ , ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨â áãé®áâì ⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¤«ï 楯¥©. «ï ¤ ®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠f1(x); : : :; fn (x) ä®à¬ã« ᮠ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®© x ï§ëª 楯¥© ¨ ¤¢ãå â®ç¥ª a < b 楯¨ C , ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ä®à¬ã« ॠ«¨§ã¥âáï ¬¥¦¤ã a ¨ b, ¥á«¨ ¬®¦® ©â¨ c1; : : :; cn ¢ C , c1 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f1(x); : : : , cn 㤮¢«¥â¢®àïî騩 fn(x), ¨ â ª¨¥, çâ® a < c1 < < cn < b.
¥®à¥¬ 12.32 (㡨) â®¡ë ¤¢¥ ¢®§à áâ î騥 n-ª¨ a1 < < an ¨§ 楯¨ C ¨ b1 < < bn ¨§ 楯¨ D ¨¬¥«¨ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯, ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç® çâ®¡ë ®¨ 㤮¢«¥â¢®à﫨 á«¥¤ãî騬 ãá«®¢¨ï¬: { ¤«ï ª ¦¤®£® i n, ai ¨ bi 㤮¢«¥â¢®àïîâ ®¤¨¬ ¨ ⥬ ¦¥ ä®à¬ã« ¬ , { ¤«ï ª ¦¤®£® i < n, ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ª®¥çë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ä®à¬ã« ॠ«¨§ãîâáï ¬¥¦¤ã ai ¨ ai+1 ¨ ¬¥¦¤ã bi ¨ bi+1.
®ª § ⥫ìá⢮. á«®¢¨¥, ®ç¥¢¨¤®, ¥®¡å®¤¨¬® (®® ¢«¥ç¥â, ç⮠楯¨ C
¨ D í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë). «ï ®¡à ⮣® ã⢥ত¥¨ï ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ç⮠楯¨ C ¨ D !- áëé¥ë, ¨ ¯®¯ëâ ¥¬áï ãáâ ®¢¨âì ¡¥áª®¥çë© ç¥«®ª ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ª®à⥦ ¬¨. ¤®¢®«ìáâ¢ãîáì á«ãç ¥¬ ¤®¡ ¢«¥¨ï ¨§ C .
12.f
¤¨ ¯à¨¬¥à : ⥮ਨ ¯®à浪®¢
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᫨ ¬¥ìè¥ ç¥¬ a1 , â® ¬ë à áᬮâਬ ä®à¬ã«ë f1(x); : : :; fk (x), 㤮¢«¥â¢®àïî騥áï , ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ä®à¬ã« s1; : : : ; sk , ॠ«¨§®¢ ë¥ ¬¥¦¤ã ¨ a1 , ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ä®à¬ã« t1; : : : ; tk, ®¯ãé¥ë¥ ¬¥¦¤ã ¨ a1 . ¥ª®â®à ï ä®à¬ã« ⨯ a1 £®¢®à¨â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â y ¬¥ìè¥ a1 , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¢á¥ fi , â ª®©, çâ® si ॠ«¨§ãîâáï ¬¥¦¤ã y ¨ a1 , ti ®¯ã᪠¥âáï ¬¥¦¤ã y ¨ a1 ; ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î, b1 㤮¢«¥â¢®àï¥â ⮩ ¦¥ ä®à¬ã«¥, ¨ ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠¨ !- áë饮á⨠áãé¥áâ¢ã¥â ¢ D â ª®£® ¦¥ ⨯ , çâ® , < b1 , â ª®©, çâ® ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ä®à¬ã« ॠ«¨§ãîâáï ¬¥¦¤ã ¨ a1 ¨ ¬¥¦¤ã ¨ b1 . ®áâ㯠¥¬ â®ç® â ª ¦¥, ¥á«¨ ¢ëè¥ an , ¨ ®áâ ¥âáï ®¡á㤨âì á«ãç © ª®£¤ 室¨âáï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì묨 ai , ¯à¨¬¥à ¬¥¦¤ã a1 ¨ a2 . ¤®¢«¥â¢®àïâì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ä®à¬ã« § ç¨â 㤮¢«¥â¢®àïâì ¨å ª®êîªæ¨î; ॠ«¨§®¢ âì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ª®¥çëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ä®à¬ã« § ç¨â ॠ«¨§®¢ âì ¥¤¨á⢥ãî, ¯®«ãç¥ãî ¨å ᬥ襨¥¬. «¥¤®¢ ⥫ì®, ª®¥çë© äà £¬¥â ¯®§¨æ¨¨, ¯à¥¤«®¦¥®£® ¬¥¦¤ã a1 ¨ a2, ª®â®àãî ¬ë å®â¨¬ ¢®á¯à®¨§¢¥á⨠á¯à ¢ , ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬: { ä®à¬ã« f (x), 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï , { ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s ä®à¬ã«, ॠ«¨§®¢ ï ¬¥¦¤ã a1 ¨ , ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì t ä®à¬ã«, ॠ«¨§®¢ ï ¬¥¦¤ã ¨ a2 ; s ¨ t ¬®£ãâ ¡ëâì ¯ãáâ묨 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâﬨ, { ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, ¢®§¬®¦® ¯ãá⮥, u1; : : : ; un , ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩, ®¯ãé¥ëå ¬¥¦¤ã a1 ¨ , ¨ ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, ¢®§¬®¦® ¯ãá⮥, v1; : : :; vm , ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩, ®¯ãé¥ëå ¬¥¦¤ã ¨ a2 . ஬¥ ⮣®, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ª ¦¤ ï ᮡá⢥ ï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì «î¡®© ¨§ ui ॠ«¨§ã¥âáï ¬¥¦¤ã a1 ¨ ¨ ¤ ¦¥ ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¢ s: ¨ ç¥, ¬ë ¡ë § ¬¥¨«¨ ui ¡®«¥¥ ª®à®âªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. ª ¦¥ ¤®¯ãá⨬, çâ® ª ¦¤ ï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¨§ vj 䨣ãà¨àã¥â ¢ t. ª®¥æ, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ ᢥàå ¢á¥£®, çâ® ª ¦¤ë© ui_f _ t ॠ«¨§ã¥âáï ¬¥¦¤ã a1 ¨ a2; ¥á«¨ ¡ë íâ® ¡ë«® ¥ â ª, â® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë â® ¦¥ á ¬®¥ ¬¥¦¤ã b1 ¨ b2 ¨ ¨ª ª ï ॠ«¨§ æ¨ï f _ t ¬¥¦¤ã b1 ¨ b2 ¥ ¬®£« ¡ë ¨¬¥âì ui á«¥¢ : ¨ ¬®¦® 㤠«¨âì ¨§ ᯨ᪠ui, ¢ëà ¦ îéãî «¨èì ¡¥á¯®«¥§®¥ ãá«®¢¨¥. ª ¦¥ ¬ë áç¨â ¥¬, çâ® ª ¦¤ë© ª®à⥦ s_f _ vj ॠ«¨§ã¥âáï ¬¥¦¤ã a1 ¨ a2. ®¯ãá⨬ á ç « , çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ui ¨ vj ; ⮣¤ ॠ«¨§ã¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s_ f _ t ¬¥¦¤ã b1 ¨ b2, ¨ ॠ«¨§ æ¨ï , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï f , 㤮¢«¥â¢®àï¥â âà¥¡ã¥¬ë¬ ãá«®¢¨ï¬. ⥬ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ui , ® ¥â vj ; ¯ãáâì A { ᥣ¬¥â ¯®à浪 C , ®¡à §®¢ ë© ¨§ y > a1 , â ª¨å, çâ® ¨ u1; : : :; ¨ un ¥ ॠ«¨§ãîâáï ¬¥¦¤ã a1 ¨ y; áãé¥áâ¢ã¥â â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¥ª®â®à ï ॠ«¨§ æ¨ï c_ ¨§ A 楯®çª¨ s_ f ; A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 á ¯ à ¬¥â஬ a1 ; ¯ãáâì, á ¯à®â¨¢®¯®«®¦®© áâ®à®ë, ᥣ¬¥â A0 ¯®«ãç¥ â¥¬ ¦¥ ᯮᮡ®¬, çâ® A, ¡¥àï íâ®â à § b1 ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà . ª ª ª a1 ¨ b1 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, áãé¥áâ¢ã¥â ॠ«¨§ æ¨ï c0_ ¨§ A0 楯®çª¨ s_ f ; ¨ â ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì u1_ f _ t ॠ«¨§ã¥âáï ¬¥¦¤ã b1 ¨ b2 , áãé¥áâ¢ã¥â ॠ«¨§ æ¨ï t, ª®â®à ï à ᯮ«®¦¥
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« ¢ 12
¯à ¢¥¥ ¢á¥£® A0 (A0, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ ¦®à¨à®¢ b2 !); á«¥¤®¢ ⥫ì®, í«¥¬¥â ®â¢¥ç ¥â 襬㠦¥« ¨î. áᬠâਢ ¥¬ ᨬ¬¥âà¨çë¬ á¯®á®¡®¬ á«ãç ©, ª®£¤ ¨¬¥îâáï vj , ® ¥ ui . ãáâì, ª®¥æ, áãé¥áâ¢ãîâ u ¨ v, ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ A ¨ A0 ª ª ¨ à ìè¥, â ª¦¥ B ¨ B 0 ᨬ¬¥âà¨çë¬ á¯®á®¡®¬: B { ¬®¦¥á⢮ â¥å y < a2 , â ª¨å, çâ® ¨ v1; : : : , ¨ vm ¥ ॠ«¨§ãîâáï ¬¥¦¤ã y ¨ a2 , B 0 { ¬®¦¥á⢮ â¥å y < b2 , â ª¨å, çâ® ¨ v1; : : : , ¨ vm ¥ ॠ«¨§ãîâáï ¬¥¦¤ã y ¨ b2 ; á ¬®¬ ¤¥«¥ ¤«ï ¥ª®â®à®© v, ª®â®àãî ¬®¦® áç¨â âì ¯¥à¢®©, B { ¬®¦¥á⢮ â¥å y < a2 â ª¨å, çâ® v = v1 ®¯ã᪠¥âáï ¬¥¦¤ã y ¨ a2 , ¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ â® ¦¥ á ¬®¥ ¤«ï B 0, â ª ª ª a2 ¨ b2 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ E ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ A ¨ B , ¨ ç¥à¥§ E 0 { ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ A0 ¨ B 0. ª ª ª ¨¬¥¥âáï ॠ«¨§ æ¨ï u1_f _ t ¬¥¦¤ã b1 ¨ b2, ©¤¥âáï ॠ«¨§ æ¨ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠t, ª®â®à ï áâண® ¬ ¦®à¨àã¥â A0; â®ç® â ª¦¥, â ª ª ª s_f _ v1 ॠ«¨§®¢ , ©¤¥âáï ॠ«¨§ æ¨ï s, ª®â®à ï áâண® ¬¨®à¨àã¥â B 0 ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ í«¥¬¥â ¨§ E 0, 㤮¢«¥â¢®àïî饣® f . ® ⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨¥ áãé¥áâ¢ã¥â ॠ«¨§ æ¨ï t ¬¥¦¤ã a1 ¨ a2, à ᯮ«®¦¥ ï ¯à ¢¥¥ ¢á¥£® A. ¥£¬¥â A n B ¥ ¯ãá⮩, â ª ª ª f _ v1 ॠ«¨§®¢ ¬¥¦¤ã a1 ¨ a2 ; í«¥¬¥â A n B ¨¬¥¥â ॠ«¨§ æ¨î v1 á¯à ¢ ®â ᥡï, ¨ ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¯¥à¢ ï ª®¬¯®¥â í⮩ ॠ«¨§ 樨 ¯à¨ ¤«¥¦ « A; ¥á«¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, g ®¡®§ ç ¥â ¯¥à¢ãî ä®à¬ã«ã v1 , â® íâ®â í«¥¬¥â ¨¬¥¥â ¢ A ॠ«¨§ æ¨î g á¯à ¢ ®â ᥡï. ¡à â®, ¥á«¨ í«¥¬¥â ¨§ A ¬ ¦®à¨à®¢ ¥ª®â®à®© ॠ«¨§ 樥© g ¢ A, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¬¥¦¤ã í⨬ í«¥¬¥â®¬ ¨ a2 ॠ«¨§ æ¨ï v1 : ¤¥©á⢨⥫ì®, ¨¬¥¥âáï ॠ«¨§ æ¨ï t ¬¥¦¤ã A ¨ a2 , ¨ t ᮤ¥à¦¨â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì w, ¯®«ãç¥ãî 㤠«¥¨¥¬ ¯¥à¢®© ª®¬¯®¥âë v1 . «¥¤®¢ ⥫ì®, E ®¯à¥¤¥«¨¬ ⮫쪮 á ¯ à ¬¥â஬ a1 : E ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ â¥å y ¨§ A, ¥ ¬ ¦®à¨à®¢ ëå áâண® ¨ª ª¨¬ í«¥¬¥â®¬ A, 㤮¢«¥â¢®àïî騬 g; ¯ãáâì E 00 { ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¬®¦¥á⢮, ®¯à¥¤¥«¨¬®¥ ¤ b1 . ª ª ª áãé¥áâ¢ã¥â ¥ª®â®à ï ॠ«¨§ æ¨ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠t ¬¥¦¤ã A0 ¨ b2 , ᮤ¥à¦ 饩 w, â® ïá®, çâ® í«¥¬¥â ¨§ A0 n E 00 ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â B 0 : E 0 ᮤ¥à¦¨âáï ¢ E 00.
᫨ ¡ë íâ® ¢ª«î票¥ ¡ë«® ᮡá⢥ë¬, ¬ë ¡ë 諨 ॠ«¨§ æ¨î v1 , 楫¨ª®¬ ¢ª«îç¥ãî ¬¥¦¤ã A0 ¨ b2 ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¤«ï ¥ª®â®à®© ui , ui_ v1 ॠ«¨§®¢ «áï ¡ë ¬¥¦¤ã b1 ¨ b2 , § ç¨â â ª¦¥ ¬¥¦¤ã a1 ¨ a2 , çâ® ¡áãम, â ª ª ª ¢á¥ í«¥¬¥âë, ¢ª«îç¥ë¥ ¬¥¦¤ã a1 ¨ a2 , ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, , ¡ã¤¥â ¨¬¥âì «¨¡® ui á«¥¢ ®â ᥡï, «¨¡® v1 á¯à ¢ ®â ᥡï. «¥¤®¢ ⥫ì®, E 00 = E 0; ¨ â ª ª ª áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ¨§ E , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f (x), a1 ¨ b1 ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© ⨯, â ª ª ª E 00 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤ b1 , E ¤ a1 , â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª¦¥ ¢ E 00, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f (x). á⠫쮥 ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ !- áë饮áâ¨.
¥®à¥¬ 㡨 ¤ ¥â ¯à®á⮥ ®¯¨á ¨¥ ⨯®¢ p ¤ ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ ¯®à浪 T (ï§ëª T á®á⮨â ⮫쪮 ¨§ ᨬ¢®« ¯®à浪 ).
᫨ ¬ë ¨áª«î稬 âਢ¨ «ìë© á«ãç ©, ª®£¤ p { ॠ«¨§®¢ ë©, â.¥. p ` x = a ¤«ï ¥ª®â®à®£® a ¨§ M ¨ p ®¯à¥¤¥«¥ § ¤ ¨¥¬ í⮣® a, â® p ¤¥«¨â ¬®¤¥«ì M ¤¢ ª« áá A = fa : a 2 M ¨ ; p ` x > ag ¨ B = fb : b 2 M ¨ p ` x < bg: íâ® à §¡¨¥¨¥
12.f
¤¨ ¯à¨¬¥à : ⥮ਨ ¯®à浪®¢
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(A; B ) ¬®¤¥«¨ M ¡ã¤¥â §ë¢ âìáï á¥ç¥¨¥¬, ®¯à¥¤¥«¥ë¬ p. ª ª ª p ⨯ ¤ ¬®¤¥«ìî, ® ¤®«¦¥ ¡ëâì ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ í⮩ ¬®¤¥«¨; ¥á«¨ ª ¦¤ë© ª®¥çë© äà £¬¥â p 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï í«¥¬¥â®¬ A, â® ¬ë £®¢®à¨¬, çâ® p ¢ë¯®«¨¬ á«¥¢ ; ¥á«¨ ª ¦¤ë© ª®¥çë© äà £¬¥â p ¢ë¯®«ï¥âáï í«¥¬¥â®¬ B , â® ¬ë £®¢®à¨¬ çâ® ® ¢ë¯®«¨¬ á¯à ¢ . ®®¡é¥, ⨯ ¢ë¯®«¨¬ á ¤¢ãå áâ®à®, íâ® ¥ ¯à®¨á室¨â ⮫쪮 ¥á«¨ ¥£® á¥ç¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨¬®, â® ¥áâì ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M â ª ï, çâ® A á®á⮨⠨§ í«¥¬¥â®¢ M , ª®â®àë¥ ¥© 㤮¢«¥â¢®àïîâ: ¢ í⮬ á«ãç ¥, ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ⮣®, 祬ã p 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®¯à¥¤¥«¥¨î A ¨«¨ ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥£® ¤®¯®«¥¨ï B , ® ¡ã¤¥â ¢ë¯®«¨¬ á«¥¢ ¨«¨ á¯à ¢ . ¤® á«¥¤á⢨¥ ⥮६ë 㡨 á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¥ ॠ«¨§®¢ ë© â¨¯ p ¨§ S1(M ), ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«¥ § ¤ ¨¥¬ ᢮¥£® ¡á®«î⮣® ⨯ (â.¥. ®£à ¨ç¥¨ï p ¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢), ᢮¥£® á¥ç¥¨ï ¨ ᢮¥© áâ®à®ë ¢ë¯®«¨¬®á⨠¢ á«ãç ¥ ª®£¤ ¥£® á¥ç¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨¬®. ¥©á⢨⥫ì®, ¤«ï ¤ ëå a ¨§ M ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s ä®à¬ã«, ¤®áâ â®ç® ¯®ïâì, çâ® í⨠ãá«®¢¨ï ¤®áâ â®çë ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ॠ«¨§ã¥âáï «¨ s ¬¥¦¤ã a ¨ x, ¨«¨ ¥â ; ¥á«¨, ¯à¨¬¥à, p ¢ë¯®«¨¬ á«¥¢ , â® íâ® ¡ã¤¥â â ª, ¥á«¨ s ॠ«¨§ã¥âáï ¬¥¦¤ã a ¨ b ¤«ï ¢á¥å b, ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å ¢ A. § í⮣® ¯®«ãç ¥¬ ª ª ¯¥à¢®¥ á«¥¤á⢨¥, çâ® ¤«ï ®¯à¥¤¥«¨¬®á⨠⨯ ¤®áâ â®ç® (¨, ª®¥ç®, ¥®¡å®¤¨¬®!), çâ®¡ë ¥£® á¥ç¥¨¥ ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬. ¥©á⢨⥫ì®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® á¥ç¥¨¥ p ¨§ S1(M ) ®¯à¥¤¥«¨¬®, ¨ ¯ãáâì q { á«¥¤¨ª p ¤ ®ç¥ì áëé¥ë¬ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N ¬®¤¥«¨ M ; â ª ª ª q { áë p, ¥£® ®£à ¨ç¥¨¥ ; ᮢ¯ ¤ ¥â á ®£à ¨ç¥¨¥¬ p; á¥ç¥¨¥ q ¨§¢¥áâ®, â ª ª ª íâ® á¥ç¥¨¥ (A0; B 0) ¤ N , ¨¬¥î饥 â® ¦¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥, çâ® á¥ç¥¨¥ (A; B ) ⨯ p ¤ M ; ¨ â ª ¦¥ ¨§¢¥áâ ¥£® áâ®à® ¢ë¯®«¨¬®áâ¨, â ª ª ª ¥á«¨, ¯à¨¬¥à, p ¢ë¯®«¨¬ ¢ A, â® ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®âà¨æ ¨î ä®à¬ã«ë, ®¯à¥¤¥«ïî饩 B , ¨ ¥£® áë q ¬®¦¥â ¢ë¯®«ïâáï ⮫쪮 ¢ A0. «¥¥ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ®¯à¥¤¥«¨¬ë© ⨯ p ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® ª® á«¥¤¨ª ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ¬ë ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ çâ® p ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨ ¢ë¯®«¨¬ á«¥¢ , â® ¬ë ¥ ¨¬¥¥¬ ¢ë¡®à ¨ ¤«ï á¥ç¥¨© ¥£® ª® á«¥¤¨ª q ¤ N , ¨ ¤«ï ¥£® áâ®à® ¢ë¯®«¨¬®áâ¨: â ª ª ª q ¤®«¦¥ ¡ëâì ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ M , ® ¤®«¦¥ ¡ëâì ¢ A, ¨ ¥£® á¥ç¥¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 á ¬ë¬ ªà ©¨¬ á«¥¢ { ⥬, çâ® ¨¦¥ ¢á¥å ॠ«¨§ 権 ¢ N á¥ç¥¨ï (A; B ). ë ¢¨¤¨¬, çâ® íâ®â ¥¤¨áâ¢¥ë© ª® á«¥¤¨ª p ®â«¨ç¥ ®â ¥£® ¥¤¨á⢥®£® á«¥¤¨ª , ª®â®àë© ¢ëè¥ ¢á¥å ॠ«¨§ 権 p ¢ N . ¥®¯à¥¤¥«¨¬ë© ⨯ ¨¬¥¥â â®ç® ¤¢ãå ª® á«¥¤¨ª®¢, ª® á«¥¤¨ª á«¥¢ , ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬®£® ¢ A, á¥ç¥¨¥ ª®â®à®£® ¨¦¥ ¢á¥å ॠ«¨§ 権 (A; B ) ¢ N , ¨ ª® á«¥¤¨ª á¯à ¢ , ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬®£® ¢ B , á¥ç¥¨¥ ª®â®à®£®, ¯à®â¨¢, ªà ©¥ ¯à ¢®¥ ¢®§¬®¦®¥, ¢ëè¥ ¨å ¢á¥å. «¥¤®¢ ⥫ì®, ⥮à¨ï ¯®à浪 ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â ª ª ª 1-⨯ ¬®¦¥â ¨¬¥âì á ¬®¥ ¡®«ì襥 ⮫쪮 ¤¢ãå ª® á«¥¤¨ª®¢ ë ¢¨¤¨¬ ¤ ¦¥, çâ® á«¥¤¨ª ¨ ª® á«¥¤¨ª ®¯à¥¤¥«¨¬®£® ⨯ ¨ ¤¢ ª® á«¥¤¨ª ¥®¯à¥¤¥«¨¬®£® ⨯ ïîâáï ¥¤¨á⢥묨 á«ãç ﬨ ®á®¡ëå á뮢¥©: ¤«ï ª ¦¤®£® ¤à㣮£® áë q ⨯ p ¤ N , ¬®¦® ©â¨ ¤¢¥ ॠ«¨§ 樨 a ¨ b ⨯ p â ª¨¥, çâ® q ` a < x < b; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¬®¦® ©â¨ a0 ¨ b0 ¢ N , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ä®à¬ã«¥, ®¯à¥¤¥«ïî饩 ¯®¤å®¤ï騩 ª« áá á¥ç¥¨ï
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« ¢ 12
p, ¥á«¨ ® ®¯à¥¤¥«¨¬, ¨ â ª¨å, çâ® q ` a0 < x < b0, ¨ N , ¡ã¤ãç¨ ¤®áâ â®ç® áë饮©, ᮤ¥à¦¨â ॠ«¨§ æ¨î a ®á®¡®£® áë á«¥¢ p ¤ M [ fa0g, ¨ ॠ«¨§ æ¨î b ®á®¡®£® áë á¯à ¢ p ¤ M [ fb0g. § ⥮६ë 㡨 ®ç¥ì «¥£ª® ¢ë¢¥á⨠᫥¤ãî饥: ¤«ï ⮣®, ç⮡ë ⨯ (a1; : : :; an) ¤ N ¡ë« ª® á«¥¤¨ª®¬, ¨«¨ ®á®¡ë¬ á뮬, ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï M , ¤®áâ â®ç® (¨ ¥®¡å®¤¨¬®!), çâ®¡ë ® ¡ë« â ª®¢ë¬ ¤«ï ⨯®¢ ª ¦¤®£® ¨§ ai ; ⮣¤ ¬ë ¢¨¤¨¬, ç⮠⨯ n-ª¨ ¥ ¬®¦¥â ¨ª®£¤ ¨¬¥âì ¡®«ìè¥ 2n ®á®¡ëå á뮢¥©, ¯à¨ç¥¬ ®á®¡ë¬ á뮢ìï¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ᬥᨠ᫥¤¨ª®¢ ¨ ª® á«¥¤¨ª®¢ 1-⨯®¢. ë ¢¨¤¨¬ â ª¦¥, çâ® «î¡®© ¥à¥ «¨§®¢ ë© áë ¥®¯à¥¤¥«¨¬®£® 1-⨯ ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ®á®¡¥® ¯à®á⮥ ®¯¨á ¨¥ á«¥¤¨ª®¢, ª® á«¥¤¨ª®¢ ¨ ®á®¡ëå á뮢¥©, ¯®«ã祮¥ ¢ á«ãç ¥ ⥮ਨ T ¯«®âëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª, ®á®¢ë¢ ¥âáï ᢮©á⢠å, ®¡é¨å ¤«ï ¢á¥å ¯®à浪®¢. ⥮६ 㡨 â ª ¦¥, ª ª ¢á¥ ¥¥ á«¥¤á⢨ï, ®¡®¡é ¥âáï ¥¯®á।áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¤«ï ®ªà è¥ëå 楯¥©, â® ¥áâì ¤«ï áâàãªâãà, ®¡à §®¢ ëå ¨§ ¯®à浪 ¨ ¥ª®â®à®£® ç¨á« , ª®¥ç®£® ¨«¨ ¡¥áª®¥ç®£®, ã àëå ®â®è¥¨©. §®¡à ¢è¨áì á 楯ﬨ, ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ⥯¥àì ®¯à¥¤¥«¨âì ª® á«¥¤¨ª®¢ ¤«ï ¡®£ âëå ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà áâ¢, ª®â®àë¥ â¥á® á¢ï§ ë á 楯ﬨ. â ª, à áᬮâਬ ⥮à¨î T 0 楯¨, ¨¬¥î饩 ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â, ®¡®§ ç¥ë© 0, ¨ ⥮à¨î T ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¡®£ âëå ®à¬¨à®¢ ëå ¯à®áâà á⢠M = (I; E ), £¤¥ I { ¬®¤¥«ì T . ¨¯ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à ááâ®ï¨ï¬ ¨ç¥£® ®¢®£® ¥ ¯à¨¢®áïâ: ¯® ⥮६¥ 6.24 ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¨å á«¥¤¨ª®¢, ª® á«¥¤¨ª®¢, ®á®¡ëå á뮢¥© ¤®áâ â®ç¥ ï§ëª ⥮ਨ T 0; ®í⮬㠢 ¤ «ì¥©è¥¬ à áᬠâਢ ¥¬ ⮫쪮 ⨯ë "â®ç¥ª", â.¥. í«¥¬¥â®¢ E . â ª, ¯ãáâì p { â ª®© ⨯ ¤ ¬®¤¥«ìî M = (I; E ) ⥮ਨ T , ¨ q { ª® á«¥¤¨ª p ¤ ¤®áâ â®ç® áëé¥ë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N = (J; F ) ¬®¤¥«¨ M . ãáâì ⮣¤ I (p) { ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ i ¨§ I , ¤«ï ª®â®àëå p ` d(x; a) = i ¤«ï ¥ª®â®à®£® a ¨§ E ; I (p) ï¥âáï ª®æ¥¢ë¬ ᥣ¬¥â®¬ I (¢®§¬®¦® ¯ãáâë¬), â ª ª ª ¥á«¨ i 2 I (p), i < j , â® â ª ª ª ¯à®áâà á⢮ ¡®£ â® áãé¥áâ¢ã¥â b ¨§ E , â ª®©, çâ® d(a; b) = j , ¨ p ` d(x; b) = j ¯® ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ¥à ¢¥áâ¢ã. J (q) ¤®«¦¥ ¡ëâì ª®æ¥¢ë¬ ᥣ¬¥â®¬ J , ¯®à®¦¤¥ë¬ I (p); ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ q ` d(x; b) = j , b 2 F , j 2 J , â® áãé¥áâ¢ã¥â a ¢ M , â® ¥áâì ¢ E , â ª®©, çâ® d(a; b) = j , ¨ ¯® ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ¥à ¢¥áâ¢ã j d(x; a) 2 I (p). ⬥⨢ íâ®, á ¯®¬®éìî ª« áá¨ä¨ª 樨 ⨯®¢, ª®â®àãî ¬ë ¯à®¤¥« «¨ ¢ à §¤¥«¥ 6.c, ¨ «¥£ª®£® «¨§ , ¤¥â «¨ ª®â®à®£®, ª ª ®¡ëç®, ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î, ¯à¨å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬㠮¯¨á ¨î ª® á«¥¤¨ª®¢: { ॠ«¨§®¢ ë© p; ¥£® ¥¤¨áâ¢¥ë© áë ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ª® á«¥¤¨ª®¬. { ¤¨áâ æ¨®ë© p; â ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â a ¢ M , â ª®©, çâ® d(x; a) ¥ ¢ I ; ¬ë § ¥¬, çâ® p ⮣¤ ®¯à¥¤¥«¥ í⨬ a ¨ ⨯®¬ d(x; a) ¤ I , ¢¥à娩 ª« áá á¥ç¥¨ï ª®â®à®£® ¡ã¤¥â I (p). ®£¤ q ï¥âáï ª® á«¥¤¨ª®¬ p, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® ¤¨áâ æ¨®ë© â¨¯, á¢ï§ ë© á ⥬ ¦¥ a, çâ® ¨ p, ¨ â ª®©, ç⮠⨯ d(x; a) ¤ J ª® á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î I . { ¯®«¨£® «ìë© p; íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ® ¥ ¤¨áâ æ¨®ë© ¨ I (p) ¨¬¥¥â ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â i; ¥á«¨ p ` d(x; a) = i, â® íâ® ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â p
12.f
¤¨ ¯à¨¬¥à : ⥮ਨ ¯®à浪®¢
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¯®«®áâìî á।¨ ¯®«¨£® «ìëå ⨯®¢, ã ª®â®àëå ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â ¨§ I (p) à ¢¥ i. ®£¤ p ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® ª® á«¥¤¨ª , ïî饣®áï ¢¯à®ç¥¬ â ª¦¥ ¥£® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á«¥¤¨ª®¬, ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¯®«¨£® «ìë¬ â¨¯®¬ ¤ N , á¢ï§ ë¬ á ⥬ ¦¥ a ¨ á ⥬ ¦¥ i. { ¯á¥¢¤®-¯à¥¤¥«ìë© p; â.¥. ⨯ p ¥ ¤¨áâ æ¨®ë© ¨ I (p) ¥ ¨¬¥¥â ¨¬¥ì襣® í«¥¬¥â ; ¥á«¨ ¢ë¡à âì ¤«ï ª ¦¤®£® i ¨§ I (p) â ª®© ai , çâ® p ` d(x; ai) = i, â® í⨠ãá«®¢¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâ p ª ª ¯á¥¢¤®-¯à¥¤¥« ¥ ¯á¥¢¤®á室ï饩áï ¯á¥¢¤®-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®è¨ ai.
᫨ à áè¨à¥¨¥ N 0 ¬®¤¥«¨ M ¥ ᮤ¥à¦¨â ¯á¥¢¤®-¯à¥¤¥« í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, â® p ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥®£® áë ¤ N 0. ® â ª ª ª ¬ë ¢§ï«¨ ¬®¤¥«ì N ¤®áâ â®ç® áë饮©, N ᮤ¥à¦¨â â ª®© ¯à¥¤¥«, ¨ ¬ë § 䨪á¨à㥬 ®¤¨ ¨§ ¨å, ¯ãáâì b. ®£¤ ¢¨¤®, çâ® q { ª® á«¥¤¨ª p, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ íâ® ¤¨áâ æ¨®ë© â¨¯, á¢ï§ ë© á b, â ª®©, ç⮠⨯ d(x; b) ¤ J ¨¬¥¥â J (q) ª ª ¢¥à娩 ª« áá ¨ ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ I (p). ª¨¬ ®¡à §®¬, ïá®, çâ® á¥ç¥¨¥ ⨯ d(x; b) ¤ J ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¥®, â ª ¦¥ ª ª ¨ ¥£® áâ®à® ¢ë¯®«¨¬®áâ¨, ® ¥£® ⨯ ¤ ; ®¯à¥¤¥«¥ ¥®¤®§ ç® (§ ¨áª«î票¥¬, ¥áâ¥á⢥®, á«ãç ï ª®£¤ ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f (x) ¡¥§ ¯ à ¬¥âà , «¨¡® ¢á¥ ¤®áâ â®ç® ¬ «¥ìª¨¥ í«¥¬¥âë I (p) 㤮¢«¥â¢®àïîâ f (x), ¨«¨ ¢á¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ :f ). ®â®¬ã çâ® d(x; b) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ à ¬¥â஬ b ¢ ¡®«ì让 ¬®¤¥«¨ N (b { «î¡®© ¨§ ¯à¥¤¥«®¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ai) ¨ çâ® ¨çâ® ¥£® ¥ á¢ï§ë¢ ¥â á ⨯®¬ p. ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮à¨ï ®à¬¨à®¢ ëå ¡®£ âëå ¯à®áâà á⢠¥ ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢮¬ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. ¥©á⢨⥫ì®, ॠ«¨§®¢ ë© ¨«¨ ¯®«¨£® «ìë© â¨¯ ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® ª® á«¥¤¨ª , ¤¨áâ æ¨®ë© â¨¯ { ®¤®£® ¨«¨ ¤¢ãå, ¯á¥¢¤®-¯à¥¤¥«ìë© â¨¯ { ¥ ¡®«¥¥ 2! , ¥ ¡®«¥¥ 祬 ç¨áâëå ⨯®¢ à ááâ®ï¨ï. ¥ ¦¥ १ã«ìâ âë ¢¥àë â ª¦¥ ¤«ï n-¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢, § ¨áª«î票¥¬ ⮣®, çâ® ®¨ ¥ ¨¬¥îâ ¯®«¨£® «ìëå ⨯®¢ ( ¤ ¬®¤¥«ï¬¨). íâ¨å ¯à¨¬¥à å ¥áâ ¡¨«ìëå ⥮਩ T ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ç¨á«® ª® á«¥¤¨ª®¢ ⨯ p ¨§ S1(M ) ®£à ¨ç¥® ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¬®é®á⨠¬®¤¥«¨ M . «ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ⥮à¨î ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, £¤¥ íâ® ¥ â ª, ¬ë ®¡®£ ⨬ áâàãªâãàã I , ¤®¡ ¢«ïï ¥£® ¯®à浪㠮¢ë¥ ᨬ¢®«ë ®â®è¥¨©, â ª, çâ®¡ë ¨¬¥âì ⥮à¨î T 0 ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ® ª®â®à ï ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ¡®«¥¥ 2! ⨯®¢ ¢ ¤ ®¬ á¥ç¥¨¨, á ¢ë¤¥«¥®© áâ®à®®© ¢ë¯®«¨¬®áâ¨; ¯ à ««¥«ìë© «¨§ ®áâ ¥âáï ¤¥©á⢨⥫ìë¬ ¤«ï ⥮ਨ T â ª¨å I -§ çëå ¡®£ âëå ¯à®áâà áâ¢, ª®â®à ï ¥ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â ª ª ª ¢ ¯á¥¢¤®-¯à¥¤¥«ì®¬ á«ãç ¥, ⨯ d(x; b) ¤ J ª® á«¥¤ã¥â ᢮¥¬ã ®£à ¨ç¥¨î I . ¯à¨¬¥à,à áᬮâਬ ¬®¤¥«ì®¥-¯®¯®«¥¨¥ ⥮ਨ ¤¢ãå ¯®à浪®¢ 1 ¨ 2 , ®¯à¥¤¥«¥ëå ®¤®¬ ¨ ⮬ ¦¥ ¬®¦¥á⢥: ¥£® ¤¥â «ì®¥ ®¯¨á ¨¥ { ã¯à ¦¥¨¥ ¤«ï ç¨â ⥫ï. â ⥮à¨ï T 0 ¨¬¥¥â í«¨¬¨ æ¨î ª¢ â®à®¢, ¨ ¥à¥ «¨§®¢ ë© â¨¯ ¤ ¥ñ ¬®¤¥«ìî I ®¯à¥¤¥«¥ § ¤ ¨¥¬ ¥£® á¥ç¥¨© (A1; B1) ®â®á¨â¥«ì® 1 ¨ (A2; B2) ®â®á¨â¥«ì® 2 , ª ¦¤®¥ ¨§ íâ¨å ¤¢ãå á¥ç¥¨© ¬®£ãâ ¡ëâì ¢ë¡à ë ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¤à㣮£®. T 0 ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â ª ª ª ⨯ ¨¬¥¥â ¥ ¡®«¥¥ ç¥âëà¥å ª® á«¥¤¨ª®¢; ªáâ â¨, ª ¦¤ë© ¥à¥ «¨§®¢ ë© â¨¯ ¨¬¥¥â â®ç® ç¥âëà¥å ®á®¡ëå á뮢¥©. «ï ⥮ਨ T 0, ¬ë ¢®§ì¬¥¬ 1 ¢ ª ç¥á⢥ ¯®à浪 à ááâ®ï¨©, 2 ª ª ¤®¯®«¨â¥«ìãî áâàãªâãàã. ®£¤
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« ¢ 12
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12.g á®¡ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠í⮬ ¯ à £à ä¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® T ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. ë § ¥¬, ç⮠⮣¤ M -®á®¡ë© ⨯ ®¯à¥¤¥«¥ ⨯®¬ ¤ M ᢮¥© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨. ¬ ¤® ®â¢¥â¨âì á«¥¤ãî騥 ¢®¯à®áë: ¯à¨ ª ª®¬ ãá«®¢¨¨ ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ M ¡ã¤¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ ®á®¡®£® ⨯ ? ª ª ©â¨ íâ®â ⨯, â® ¥áâì ¥£® ¡¥áª®¥ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥, § ï ¥£® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨? ¥áª®¥ç ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¥à §«¨ç¨¬ ï ¤ M (¨«¨ ᪮॥, ⨯ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¤ M ), ¡ã¤¥â §ë¢ âìáï M -®á®¡®©, ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â á«¥¤ãî饥 ᢮©á⢮: ¤«ï ¯à®¨§¢®«ìëå à §«¨çëå ª®¯¨© : : : ; si; : : : ¥¥ ॠ«¨§ 権, ¬®¦® ©â¨ í«¥¬¥â a, â ª®©, çâ® ª ¦¤ ï ¨§ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ si_ a ®áâ ¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¤ M , £¤¥ si_ a ®¡®§ ç ¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¯®«ãç¥ãî ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ a ¢ ª®¥æ si . ® ª®¬¯ ªâ®á⨠íâ® ¥é¥ ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ ª®¥ç®¥ ç¨á«® 0 s1; : : : ; s0n ॠ«¨§ 権 ª®¥çëå äà £¬¥â®¢ s, â® ¬®¦¥¬ ©â¨ a, â ª®©, çâ® ª ¦¤ ï ¨§ ¯à®¤®«¦¥ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ s01_ a; : : :; s0n_ a, ®áâ ¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¤ M : â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® í⮠᢮©á⢮ ¡ëâì M -®á®¡ë¬ § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¬®¦¥á⢠à¥ä®©åâ s ¤ M (â.e. ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨åáï ¢®§à áâ î騬¨ ª®à⥦ ¬¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨). ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠si_ a ¢á¥ ¯®¤®¡ë s, ¬®¦® ©â¨ a1 , § ⥬ a2 , : : : ,an, : : : , â ª¨¥, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a; a1; : : : ; an; : : : ¯à®¤®«¦ ¥â ¥à §«¨ç¨¬ë¬ ®¡à §®¬ ª ¦¤ë© ¨§ si . ¥®à¥¬ 12.33
᫨ T ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â® !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¥à §«¨ç¨¬ ï ¤ M , ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ M ®á®¡®£® ⨯ , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® M -®á®¡ ï. ®ª § ⥫ìá⢮. ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ®á®¡®£® ⨯ p ®á®¡ : ¤®áâ â®ç® ॠ«¨§®¢ âì í«¥¬¥â®¬ a ⨯, ¯®«ãç¥ë© ¡¥áª®¥çë¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ p ¤ ¬®¦¥á⢮¬, ᮤ¥à¦ 騬 M ¨ ®¡ê¥¤¨¥¨ï si. ¡à â®, à áᬮâਬ ®á®¡ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s ¤ M . ãáâì N ï¥âáï jM j+- áëé¥ë¬ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ M ¨ a { í«¥¬¥â, â ª®©, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© ª®¯¨¨ s0 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s ¢ N , s0_a ¥à §«¨ç¨¬ ¤ M . ã⢥ত î, ç⮠⨯ p í«¥¬¥â a ¤ N ¡ã¤¥â M -®á®¡ë¬. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì f (x; b) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ N , ¨ s1 { ª®¯¨ï s ¢ N â ª ï, çâ® ¥© f (x; b) ç¥à¥¤ã¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì® : â ª ª ª ® ¥ ¬®¦¥â ç¥à¥¤®¢ âìáï s1_a ¥é¥ à §, p ` f (x; b) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢á¥ í«¥¬¥âë s1 , ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ®¬¥à , 㤮¢«¥â¢®àïîâ f (x; b): ¤¥©á⢨⥫ì®, ¢á¥ â¨¯ë ª®¯¨© s ¤ M [ fbg ॠ«¨§®¢ ë ¢ N ; ¨ íâ® "ª®æ¥¢®¥" § 票¥ ¨á⨮áâ¨, ª®â®à®¥ ¯à¨¨¬ ¥â f (x; b) ª®¯¨¨ s, £¤¥ ® ç¥à¥¤ã¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì® (ª®â®à®¥ ¢á¥£¤ ®¤® ¨ â® ¦¥, â ª ª ª p ᮢ¬¥áâ¥!) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ⨯ b ¤ M .
12.g
263
á®¡ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨
®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® s ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ⨯ p; ¢«®¦¨¬ N [ fag ¢ jM j+- áëé¥ãî ¬®¤¥«ì N1 ¨ à áᬮâਬ â®çªã a1, ¯à®¤®«¦ îéãî ¤® M ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¢á¥ ª®¯¨¨ s ¢ N1, § ⥬ ¯®¢â®à塞 â ª ! à §: ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a; a1; a2; : : : ; an; : : : ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ p ¤ N ; â ª ª ª ® ¯à®¤®«¦ ¥â ª ¦¤ãî ª®¯¨î s ¢ N , íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯®¤®¡ s ¤ M ¨ ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯ ¤ M , çâ® s.
ë § ¯®¬¨¬ íâ®â ¬¥â®¤, ¯®§¢®«ïî騩 ©â¨ ¡¥áª®¥ç®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ p ¨áå®¤ï ¨§ s; ¤«ï ¤ ®© ä®à¬ã«ë f (x; b), ¯®¬¥é ¥¬ s ¯® ®â®è¥¨î ª b â ª, çâ®¡ë ® ç¥à¥¤®¢ « áì ¬ ªá¨¬ «ì®, ¨ ¡¥à¥¬ ª®æ¥¢®¥ § 票¥ ¨á⨮áâ¨. ®§¢à é ¥¬áï 襬㠪 ®¨ç¥áª®¬ã ¯à¨¬¥àã, £¤¥ T { ⥮à¨ï ¯«®âëå «¨¥©ëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª. ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ á«¥¤¨ª ⨯ a+ ï¥âáï ã¡ë¢ î饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî a0 > a1 > > an > : : : í«¥¬¥â®¢ ¨§ á¥ç¥¨ï a+; ¯ãáâì c { í«¥¬¥â ¨§ á¥ç¥¨ï a+ ¢ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ M ; ¥á«¨ c ¨¦¥ ¢á¥å ¨«¨ ¢ëè¥ ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ ¥ª®â®à®© ª®¯¨¨ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, â® ä®à¬ã« x < c ¥ ç¥à¥¤ã¥âáï ¥© ; çâ®¡ë ® ç¥à¥¤®¢ « áì ¬ ªá¨¬ «ì®, ¤® ¯®¬¥áâ¨âì c ¬¥¦¤ã an ¨ an+1 ¤«ï ¥ª®â®à®£® n, ¨ ¢ íâ®â á«ãç ¥ ª®æ¥¢®¥ § 票¥ ¨á⨮á⨠¤ ¥â ¨¬¥® x < c ¤«ï á«¥¤¨ª ⨯ a+ . â®¡ë ¯®«ãç¨âì ¥¤¨á⢥®£® M -®á®¡®£® áë p ¤ A ª ª ¯à¥¤¥« ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ p, ¥®¡å®¤¨¬® å®à®è® à ᯮ«®¦¨âì íâã ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®â®á¨â¥«ì® A. ® áâ ¡¨«ìë¥ â¨¯ë ®¡« ¤ îâ, ªà®¬¥ ¢á¥£® ¯à®ç¥£®, ®ç¥ì § ¬¥ç ⥫ìë¬ á¢®©á⢮¬: ¥§ ¢¨á¨¬® ®â à ᯮ«®¦¥¨ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ s ⨯ p ®â®á¨â¥«ì® A, á।¨© ⨯ s ¤ A ï¥âáï ¢á¥£¤ á«¥¤¨ª®¬ p!
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¬¥â஢, ᮤ¥à¦ 饥 M , ¨ s { ॠ«¨§ æ¨ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ p ¤ M ; ⮣¤ á।¨© ⨯ s ¤ A ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p. ë ¢¨¤¨¬, ¢ ç áâ®áâ¨, çâ® ¤¢¥ ª®¯¨¨ s1 ¨ s2 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ p ¤ î⠢ᥣ¤ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ á।¨© ⨯ ¤ A, ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¨å ⨯ ¤ A.
®ª § ⥫ìá⢮. ç¨ ¥¬ á® ¢á¯®¬®£ ⥫쮩 ª®áâàãªæ¨¨: ॠ«¨§ã¥¬ p í«¥¬¥â®¬ a2 à áè¨à¥¨ï M00 ¬®¤¥«¨ M , § ⥬ ॠ«¨§ã¥¬ í«¥¬¥â®¬ a01 ¬®¤¥«¨ M10 á«¥¤¨ª p ¤ M00 ¨ ¯®¢â®à塞 ! à §; ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a00; : : :; a0n; : : : , ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯ ¤ M , çâ® ¤ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ a0; : : :; an; : : : ⨯ p, ¯®í⮬㠤«ï í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠⠪¦¥ áãé¥áâ¢ãîâ ¬®¤¥«¨ Mn, M M0 M1 Mn : : : â ª¨¥, çâ® an ¢ Mn ¨ ॠ«¨§ã¥â á«¥¤¨ª p ¤ Mn?1 . ãáâì M! { ¯à¥¤¥« ¬®¤¥«¥© Mn , ¨ N { ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï M! ¨ A. á«¥¤¨ª q ⨯ p ¤ M! { á।¨© ⨯ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠a0; : : :; an; : : : ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, á।¨© ⨯ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¤ N , ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ª® á«¥¤¨ª®¬ q, ï¥âáï â ª¦¥ á«¥¤¨ª®¬ p ¨ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A.
¬¥ç ¨¥. ¥ ¢ë¢®¤¨â¥ ®è¨¡®ç® ¨§ 12.23 ¨ 12.33, çâ® ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , ¨ s1 , s2 ïîâáï ¤¢ã¬ï ¡¥áª®¥ç묨 ¥à §«¨ç¨¬ë¬¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâﬨ ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ ;, â® ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ á।¨©
264
« ¢ 12
⨯ ¤ ª ¦¤ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ A ¯ à ¬¥â஢; ¤«ï í⮣® ¥é¥ ¤®, ç⮡ë áãé¥á⢮¢ « â ª ï ¬®¤¥«ì M , çâ® s1 ¨ s2 ¨¬¥«¨ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M , çâ® ®§ ç ¥â, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ £« ¢¥ 16, çâ® s1 ¨ s2 ¨¬¥«¨ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯ ¤ ;; ¨ í⮣® ¢¯®«¥ ¤®áâ â®ç® (á¬. 16.c).
«¥¤á⢨¥ 12.35
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ¨ M ï¥âáï jT j+- áë饮©
¬®¤¥«ìî T , â® ª ¦¤ë© ⨯ p ¨§ S1(M ) ï¥âáï á।¨¬ ⨯®¬ (â®â «ì®) ¥à §«¨ç¨¬®© !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨ í«¥¬¥â®¢ ¨§ M .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p 2 S1(M ), â® áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M , jN j = jT j, â ª®¥, çâ® p á«¥¤ã¥â ᢮¥ ®£à ¨ç¥¨¥ q ¤ N (⥮६ 11.6); ¯® áë饮á⨠M ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î a0; : : :; an; : : : ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ⨯ q, ¤«ï ª®â®à®© p { ¯à¥¤¥«ìë© â¨¯.
12.h ¥áâ ¡¨«ì®áâì ¨ ¯®à冷ª áᬮâਬ ⥯¥àì ¥áª®«ìª® ª®¬¡¨ â®àëå ᢮©á⢠ä®à¬ã«, íª¢¨¢ «¥âëå áâ ¡¨«ì®áâ¨, ¨«¨ ¢¥à¥¥ ¥áâ ¡¨«ì®áâ¨. ãáâì ¢ ä®à¬ã«¥ f (x; y) ª®à⥦¨ ¯¥à¥¬¥ëå x ¨ y ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ãî ¤«¨ã n.
᫨ A { ¬®¦¥á⢮ n-®ª ai ¨§ ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T , ¨¤¥ªá¨à®¢ ëå 楯ìî I , â® £®¢®àïâ çâ® ä®à¬ã« f (x; y) 㯮à冷稢 ¥â ¬®¦¥á⢮ A ¥á«¨ M ` f (ai ; aj ) ª®£¤ i j , ¨ M ` :f (ai; aj ) ª®£¤ i > j .
᫨ f 㯮à冷稢 ¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, ¨«¨ ¤ ¦¥ ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ì訥 ª®¥çë¥ ¬®¦¥á⢠, â® ¯® ª®¬¯ ªâ®á⨠¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ® 㯮à冷稢 ¥â ¬®¦¥á⢠, ¨¤¥ªá¨à®¢ ë¥ «î¡®© 楯ìî I .
¥¬¬ 12.36
᫨ ä®à¬ã« f 㯮à冷稢 ¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ n-®ª,
â® ® 㯮à冷稢 ¥â ¡¥áª®¥çãî ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì n-®ª.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a0; : : :; an; : : : 㯮à冷ç¥ë ä®à¬ã«®© f , ¨ U {
¥£« ¢ë© ã«ìâà 䨫ìâà ¯®¤¬®¦¥á⢠!. 롥६ ¥ª®â®àãî ॠ«¨§ æ¨î b0; : : :; bn ; : : : ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ª® á«¥¤¨ª , ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® í⮬ã ã«ìâà 䨫ìâàã (á¬. ⥮६ã 12.17). ¥à §«¨ç¨¬ , ¨ ¥á«¨ g(bn; bm) ¢ë¯®«ï¥âáï ¤«ï n < m, â® áãé¥áâ¢ãîâ n0 ¨ m0, n0 > m0, â ª¨¥, çâ® ä®à¬ã« g(an0 ; am0 ) ¨á⨠. «¥¤®¢ ⥫ì®, ä®à¬ã« f 㯮à冷稢 ¥â ¯à®â¨¢®¯®«®¦® íâã ¥à §«¨ç¨¬ãî ¡¥áª®¥çãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì.
¥®à¥¬ 12.37 ¥®à¨ï T ¥áâ ¡¨«ì ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ¤«ï ¥ª®â®à®£® n ,
áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« (¡¥§ ¯ à ¬¥âà ), 㯮à冷稢 îé ï ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ n-®ª.
®ª § ⥫ìá⢮. ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, 㯮àï¤®ç¥ ï ä®à-
¬ã«®© f ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬®©; ¥á«¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬ f 㯮à冷稢 ¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, â® T ¥áâ ¡¨«ì (¬®¦® â ª¦¥ § ¬¥â¨âì, çâ® á ä®à¬ã«®©, 㯮à冷稢 î饩 ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, ¤«ï ª ¦¤®£® ª न « ¬®¦® ¯®áâநâì ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¬®é®á⨠, ¤ ª®â®àë¬
12.h
265
¥áâ ¡¨«ì®áâì ¨ ¯®à冷ª
áãé¥áâ¢ã¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ded() ⨯®¢, çâ® ¤ ¥â ¥áâ ¡¨«ì®áâì ¢ ª ¦¤®© ¬®é®áâ¨). ¡à â® ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® T ¥áâ ¡¨«ì , ¨ á ç « , çâ® ® ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨; ॠ«¨§ã¥¬ I! ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¨¬¥¥¬ (: : : an : : : ) ¨ (: : : bw : : : ), ¨§ ª®â®àëå ¬ë á®åà 塞 ⮫쪮 bm, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬®¦¥áâ¢ã m = f0; : : : ; m ? 1g. â ª, f (an ; bm) ¨á⨠, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ n < m. ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® ä®à¬ã« g(x1; x2; y1; y2) = f (x1; y2) 㯮à冷稢 ¥â ¬®¦¥á⢮ ª®à⥦¥© an_bn+1 .
᫨ ⥮à¨ï T ¥áâ ¡¨«ì ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0; : : :; an; : : : , ª®â®à ï ¥à §«¨ç¨¬ , ® ¥ â®â «ì®; «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â ä®à¬ã« f , â ª ï, çâ® ¢®§à áâ î騥 ª®à⥦¨ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î
f (x0; : : : ; xi; xi+1; : : :; xn ) ^ :f (x0; : : :; xi+1; xi; : : :; xn): த®«¦¨¬ íâã ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì § ! ¨ ¯®«®¦¨¬
g(x; y; a) = (x = y) _ f (a0; : : :; ai?1; x; y; a!; : : : ; a!+n?i?2 ): â ä®à¬ã« á ª®à⥦®¬ ¯ à ¬¥â஢ a 㯮à冷稢 ¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ai; : : : ; ai+m; : : : . ç¨â, ä®à¬ã« h(x1; x2; y1; y2) = g(x1; y1; y2) 㯮à冷稢 ¥â ¬®¦¥á⢮ ai+m_ a.
⬥⨬, çâ® ¢ í⮩ ⥮६¥ ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ¡à âì n = 1; ¢ ¯à¨¬¥à¥ ¥áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ, ¤ ®© ¯®á«¥ á«¥¤á⢨ï 12.21, ¨ª ª®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ ¥ 㯮à冷祮 ä®à¬ã«®©, ¨ ¤ ¦¥ ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨. ®£¤ ä®à¬ã« 㯮à冷稢 ¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ A, íâ® ¬®¦¥á⢮ ¢¯®«¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¥®¯à¥¤¥«¨¬ë¬; ¨ ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ᪠§ âì ¡á®«îâ® ¨ç¥£® ¯à® â®, çâ® ¤¥« ¥â íâ ä®à¬ã« ¢¥ ¬®¦¥á⢠A. ¥â ¨ª ª®£® ®á®¢ ¨ï, ç⮡ë íâ ä®à¬ã« ®¯à¥¤¥«¨« ¯®à冷ª ¢á¥å n-ª å ¬®¤¥«¨ M , ¨çâ® ¥ ¬¥è ¥â ⮬ã, çâ®¡ë ® ¨¬¥« 横«ë. ®¢®àïâ, çâ® ä®à¬ã« f (x; y) ®¯à¥¤¥«ï¥â ç áâ¨çë© ¯à¥¤¯®à冷ª, ¨«¨ ¥é¥ ç áâ¨ç® (¯à¥¤)㯮à冷稢 ¥â (n-ª¨) ¬®¤¥«¨ T , ¥á«¨ ® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯à¥¤¯®à冷ª M n :
T ` 8xf (x; x) ^ 8x8y8z[f (x; y) ^ f (y; z) ! f (x; z)] :
᫨ ¯¥à¥©â¨ ª ä ªâ®à-¬®¦¥áâ¢ã ¯® ®â®è¥¨î íª¢¨¢ «¥â®á⨠f (x; y) ^ f (y; x) ¯®«ãç îâ ç áâ¨çë© ¯®à冷ª, ®¯à¥¤¥«¥ë© ¬®¤¥«¨ 楫¨ª®¬.
᫨ ¤«ï ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«¨ íâ®â ¯®à冷ª ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çãî 楯ì, ¨«¨, çâ® â® ¦¥ á ¬®¥, ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®© ¬®¤¥«¨ ® ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®«ì® ¤«¨ë¥ ª®¥çë¥ æ¥¯¨, ïá®, çâ® ä®à¬ã« f (x; y) 㯮à冷稢 ¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮; ® í⮠᢮©á⢮ { £®à §¤® ¡®«¥¥ ᨫ쮥.
᫨ ä®à¬ã« f ¯à¥¤ã¯®à冷稢 ¥â á ¡¥áª®¥ç묨 楯ﬨ ⮫쪮 ¯®¤¬®¦¥á⢮ A, ®¯à¥¤¥«¨¬®¥ ä®à¬ã«®© (¡¥§ ¯ à ¬¥âà ), â® ¬®¦® ©â¨ ä®à¬ã«ã, ®¯à¥¤¥«ïîéãî ¯à¥¤¯®à冷ª ¬®¤¥«¨ 楫¨ª®¬, ¨§¬¥ïï f â ª, ç⮡ë í«¥¬¥â ¢¥ A ¡ë« ¥áà ¢¨¬ á® ¢á¥¬¨, § ¨áª«î票¥¬ á ¬®£® ᥡï.
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« ¢ 12
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®ª § ⥫ìá⢮. ë ¯®«ã稫¨ ¢ 12.37 ¡¥áª®¥çãî ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s = (a0; : : :; an; : : : ), 㯮à冷ç¥ãî ä®à¬ã«®© f (x; y; a), ¨á¯®«ì§ãî饩 ¯ à ¬¥âàë ¨§ ¯à®¤®«¦¥¨ï ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s; á«¥¤®¢ ⥫ì®, s ®áâ ¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¤ a. ª ª ª íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥¤¥«¨¬ , ¤«ï ¥ª®â®à®£® n á«¥¤ãî饥 ¯à¥¤«®¦¥¨¥, ¢ ª®â®à®¬ ¤«ï ¡®«ì襩 ïá®á⨠®¯ã᪠¥âáï ¯ à ¬¥âà a, ¨á⨮: :9xff (x; a0) ^ :f (x; a1) ^ ^ f (x; a2i) ^ :f (x; a2i+1) ^ : : : ^ f (x; a2n) ^ :f (x; a2n+1): ¯à®â¨¢:
9x[f (x; a0) ^ ^ f (x; an) ^ :f (x; an+1) ^ ^ :f (x; a2n+1)] ; ¤¥©á⢨⥫ì®, íâ® ¨á⨮ ¯à¨ x = an+1 ¤«ï ª®à⥦ a0 : : : anan+2 : : : a2n+2, ¨¬¥î饣® â®â ¦¥ ⨯ ¤ a, çâ® ¨ a0 : : :anan+1 : : :a2n+1. ª ª ª ª ¦¤ ï ¯¥à¥áâ ®¢ª 2n +2 í«¥¬¥â®¢ ¯®à®¦¤¥ âà ᯮ§¨æ¨ï¬¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå í«¥¬¥â®¢, â® ¬®¦® ©â¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì "0 : : :"2n+1 ᨬ¢®«®¢, à ¢ëå «¨¡® :, «¨¡® ¯ãá⮬ã ᨬ¢®«ã, ¢ª«îç î饩 n + 1 ᨬ¢®«®¢ ®âà¨æ ¨ï, ¨ ¨¤¥ªá i, â ª¨¥, çâ®: 9x["0f (x; a0) ^ ^ "if (x; ai) ^ "i+1f (x; ai+1) ^ ^ "2n+1f (x; a2n+1)] ;
:9x["0f (x; a0) ^ ^ "i+1f (x; ai) ^ "if (x; ai+1) ^ ^ "2n+1 f (x; a2n+1)] ; ¨, ª®¥ç®, ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë "i+1 ¡ë« ®â«¨çë¬ ®â "i. த®«¦¨¬ ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¢ ®¡ ¯à ¢«¥¨ï. ᤢ¨£ ï a0; : : :; ai?1 «¥¢® ¨ ai+2; : : :; a2n+1 ¯à ¢® ª ª®æ ¬ í⮣® ¯à®¤®«¦¥¨ï, ᯮᮡ®¬, «®£¨çë¬ â®¬ã, çâ® ¬ë ¯à¨¬¥¨«¨ ¢ 12.37, ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã g(x; y; b) c ¯ à ¬¥â஬ b, ¢ ª®â®àãî ¢ª«îç ¥âáï a, â ªãî, çâ® ¥á«¨ i < j , â® (9x)(:g(x; ai; b) ^ g(x; aj ; b)) ¨ :(9x)(g(x; ai; b) ^ :g(x; aj ; b)); íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ä®à¬ã«¥ g(x; ai; b) áâண® ¢å®¤¨â ¢ ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ x, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å g(x; aj ; b)), á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¥¤¯®à冷ª ®¯à¥¤¥«¥ë© ä®à¬ã«®©:
8x[g(x; y1; y2) ! g(x; z1; z2)] ; ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë¥ ¯®¤æ¥¯¨.
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12.i
®¡ ¢«¥¨¥: ⥮६ ¬á¥ï
267
¨á⨠, ¥á«¨ n m, ¨ «®¦ , ¥á«¨ n > m. â® ®§ ç ¥â, çâ® ä®à¬ã« g(x1; x2; y1; y2) = f (x1; y2) 㯮à冷稢 ¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮. ®à¬ã« f (x; y) ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ áâண®£® ¯®à浪 ¥á«¨ ¬®¦® ©â¨ bn , n 2 !, ¢ ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T , â ª¨¥, çâ® (9x)(:f (x; bn) ^ f (x; bm)) ¡ã¤¥â ¨á⨠, ¥á«¨ n < m, ¨ «®¦ , ¥á«¨ n > m; íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¯à¥¤¯®à冷ª, ®¯à¥¤¥«¥ë© ä®à¬ã«®© (8x)f (x; y) ! f (x; z), ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë¥ æ¥¯¨. ¢®©á⢮ ¯®à浪 , ª®â®à®¥ ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ 12.37, ¨ ᢮©á⢮ áâண®£® ¯®à浪 , çâ® ¯®ï¢«ï¥âáï ¢ 12.38, ¯¥à¥¢¥¤¥ë¥ 襫 客᪨© ï§ëª, §¢ãç â â ª : T ¥áâ ¡¨«ì , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¬®¦® ©â¨ ä®à¬ã«ã f (x; y), ¨¬¥îéãî ᢮©á⢮ ¯®à浪 , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¬®¦® ©â¨ ä®à¬ã«ã f (x; y), ¨¬¥îéãî ᢮©á⢮ áâண®£® ¯®à浪 ¨«¨ ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. í⮬ १ã«ìâ â¥, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â ¯à®¢¥àª ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ 12.34 ¨ 12.38, ©¤¥ ï ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¥¤¨á⢥ãî ¯¥à¥¬¥ãî x; ¬®¦® ¤®ª § âì, ¬®£® «¥£ç¥, 祬 ¢ á«ãç ¥ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, çâ® ¥á«¨ ¥ª®â®à ï ä®à¬ã« f (x; y) ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ áâண®£® ¯®à浪 , â® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¢ ï ¢ T , ã ª®â®à®© x á®á⮨â ⮫쪮 ¨§ ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©. ¥áª®¥ç ï æ¥¯ì ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ áâண®£® ¯®à浪 , ® ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨; ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯à¨¬¥à, ¤ ë© ¯®á«¥ á«¥¤á⢨ï 12.21, ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ® ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢠áâண®£® ¯®à浪 .
12.i ®¡ ¢«¥¨¥: ⥮६ ¬á¥ï ¡ã¤ã £®¢®à¨âì §¤¥áì ® ⥮६¥, ª®â®à ï âà ¤¨æ¨®® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©, çâ®¡ë ®¡à §®¢ âì ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨. ®¦® ¢¯®«¥ ®¡®©â¨áì ¡¥§ ¥£®, ¨ ® ¨£¤¥ ¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ í⮬ âà㤥. ® ç¨â ⥫ì, ¢¥à®ïâ®, ¥¥ ¢áâà¥â¨â ¢® ¢à¥¬ï çâ¥¨ï «¨â¥à âãàë, ª®£¤ ¥£® ¡ã¤ãâ ã¡¥¦¤ âì ¢ áãé¥á⢮¢ ¨¨ ¥à §«¨ç¨¬ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ¥ª®â®à®£® ¢¨¤ ⮫쪮 á® áá뫪®© " ⥮६㠬á¥ï". ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥¬ã ¥®¡å®¤¨¬® § âì ® 祬 ¨¤¥â à¥çì, ⥬ ¡®«¥¥, çâ® íâ® ä㤠¬¥â «ì ï ⥮६ ª®¬¡¨ â®à¨ª¨, ª®â®àãî ¨ª ª®© ¯®à冷çë© ç¥«®¢¥ª ¥ ¬®¦¥â ¨£®à¨à®¢ âì. ë à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ E , ¨ à §¡¨¥¨¥ P ¬®¦¥á⢠¯®¤¬®¦¥á⢠E ¨§ n í«¥¬¥â®¢ ª®¥ç®¥ ç¨á«® ª« áᮢ, ª®â®àë¥ §ë¢ îâ "梥⠬¨", çâ®¡ë ¢ëà ¦ âìáï ¡®«¥¥ ªà á®ç®; ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ¬®¦¥á⢠E §ë¢ ¥âáï ®¤®à®¤ë¬ ¤«ï P ¥á«¨ ¢á¥ ¥£® ¯®¤¬®¦¥á⢠¨§ n í«¥¬¥â®¢ ®ªà è¥ë ®¤¨¬ 梥⮬. ë ®á®¡® ®¡à é ¥¬ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® P à §¡¨¢ ¥â ¯®¤¬®¦¥á⢠¨§ n í«¥¬¥â®¢, ¥ n-®ª, ¨§ E .
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®ª § ⥫ìá⢮. ª®¬ã à §¡¨¥¨î, ¬ë ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ áâàãªâãàã, ¢¢®-
¤ï ᨬ¢®« n- ண® ®â®è¥¨ï ¤«ï ª ¦¤®£® 梥â , ᪠¦¥¬ R1; : : : Rk ; ¯ãáâì
268
« ¢ 12
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᫨ ¡ë ⥮६ ¡ë« «®¦®©, ¬ë ¡ë ¨¬¥«¨ ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ì訥 ª®¥çë¥ ¬®¤¥«¨ T [ f:Hm g; § ç¨â, ® ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¡¥áª®¥çãî ¬®¤¥«ì M . ãáâì p ¨§ S1(M ) { ¥à¥ «¨§®¢ ë© â¨¯ ¨ a0; : : : ; ai; : : : { ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ®á®¡®£® áë p ¢ ¥ª®â®à®¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ N ¬®¤¥«¨ M . ª ª ª íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥à §«¨ç¨¬ (®â®á¨â¥«ì® ¯®à浪 ), â® ®¡ï§ â¥«ì® ¢á¥ ¥¥ n-í«¥¬¥âë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠¡ã¤ãâ ®¤®£® 梥â , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® N ` :Hm .
¥®à¥¬ 12.40 ( ¬á¥©, ¡¥áª®¥çë© ¢ ਠâ)
᫨ E { ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮, â® ¤«ï «î¡®£® à §¡¨¥¨ï n-í«¥¬¥âëå ¯®¤¬®¦¥á⢠E ª®¥ç®¥ ç¨á«® 梥⮢ áãé¥áâ¢ã¥â ®¤®à®¤®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ E .
®ª § ⥫ìá⢮. ¤ãªæ¨¥© ¯® n; íâ® ®ç¥¢¨¤®, ¥á«¨ n = 1; ¤®ª ¦¥¬ è £
n + 1, ¯à¥¤¯®« £ ï ¤®ª § ë¬ è £ n. ®§ì¬¥¬ a0 ¨§ E ; ¬ë ¯®«ãç ¥¬ à §¡¨¥¨¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠w ¬®¦¥á⢠E n fa0g ¨§ n í«¥¬¥â®¢, ®ªà 訢 ï w 梥⮬ w [ fa0g; ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨, ¨¬¥¥âáï ®¤®à®¤®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A0 í⮣® ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠, 梥⠪®â®à®£® ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ c0. ⥬ ¢®§ì¬¥¬ a1 ¨§ A0, ¬ë ¤ ¥¬ ¯®¤¬®¦¥áâ¢ã w ¨§ n í«¥¬¥â®¢ A0 n fa1g 梥â w [ fa1g ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¤«ï í⮣® à §¡¨¥¨ï ¡¥áª®¥ç®¥ ®¤®à®¤®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A1 梥â c1. ®¢â®àïï íâã ¯à®æ¥¤ãàã ! à §, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¡¥áª®¥çãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì c0; : : : ; ci; : : : 梥⮢ ¨ áç¥â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A = fa0; : : : ; ai; : : : g ¬®¦¥á⢠E , â ª¨¥, çâ® ª ¦¤®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¨§ n + 1 í«¥¬¥â®¢, ¢ ª®â®à®¬ í«¥¬¥â®¬ ¨¬¥ì襣® ¨¤¥ªá ï¥âáï ai, ¯®«ãç ¥â 梥â ci; â ª ª ª 梥⮢ ª®¥ç®¥ ç¨á«®, ®¤¨ 梥⠯®¢â®àï¥âáï ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® à §, ¨ í«¥¬¥âë ai á ¨¤¥ªá ¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ í⮬ã 梥âã, ®¡à §ãîâ ®¤®à®¤®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ E .
¥áª®¥ç ï ⥮६ ¬á¥ï ï¥âáï "¡®«¥¥ ᨫ쮩", 祬 ª®¥ç ï ⥮६ ¬á¥ï. ¥©á⢨⥫ì®, ¡¥áª®¥ç ï ¢¥àá¨ï ª®¥ç®© â¥®à¥¬ë ¬á¥ï ã⢥ত ¥â ⮫쪮 áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ìè¨å ª®¥çëå ®¤®à®¤ëå ¯®¤¬®¦¥áâ¢. ®¥ç ï ⥮६ ¬á¥ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¤®ª § ª®¬¯ ªâ®áâìî, ª ª ¬ë ¨ ᤥ« «¨, ¨«¨ á ¯®¬®éìî ¡¥áª®¥ç®© â¥®à¥¬ë ¬á¥ï. ®¦® ¢¤®å®¢¨âìáï ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ í⮩ ¯®á«¥¤¥© â¥®à¥¬ë ¨ ¤®ª §ë¢ âì ª®¥çãî ⥮६㠬á¥ï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® n.
᫨ í⮠ᤥ« âì ¯®¤à®¡®, â® ¬®¦® ¯®ïâì, çâ® íâ ⥮६ , £®¢®àïé ï ⮫쪮 ® ª®¥çëå ¬®¦¥á⢠å, § ç¨â, ¨¬¥îé ï ª®¬¡¨ â®àë© å à ªâ¥à, ¤®ª §ã¥¬ ¢ à¨ä¬¥â¨ª¥ ¥ ®. ਬ¥à ¯à¨¬¥¥¨ï (¡¥áª®¥ç®©) â¥®à¥¬ë ¬á¥ï: ¡¥áª®¥çë© £à ä ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ «¨¡® ¢á¥ ¯®¯ à® á¢ï§ ëå, «¨¡® ¢á¥
12.j
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269
¯®¯ à® ¥ á¢ï§ ëå; ¡¥áª®¥çë© ç áâ¨çë© ¯®à冷ª ¨¬¥¥â «¨¡® ¡¥áª®¥çãî ¯®¤æ¥¯ì, «¨¡® ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¯®¯ à® ¥áà ¢¨¬ëå í«¥¬¥â®¢; ¡¥áª®¥ç®¥ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮ ᮤ¥à¦¨â «¨¡® ¡¥áª®¥çë© à ¢®áâ®à®¨© ¬®£®ã£®«ì¨ª, «¨¡® ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¡¥§ à ¢®áâ®à®¨å âà¥ã£®«ì¨ª®¢. ਬ¥à ¯à¨¬¥¥¨ï â¥®à¥¬ë ª®¥ç®£® ¬á¥ï: £à ä, ª®â®àë© ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ 6 í«¥¬¥â®¢, ᮤ¥à¦¨â âਠâ®çª¨, ª®â®àë¥ ¢á¥ á¢ï§ ë, ¨«¨ ¢á¥ ¥ á¢ï§ ë (â.¥. R(2; 3; 2) = 6; â®çë© ¯®¤áç¥â R(n; m; k) ¤ ¦¥ ¤«ï ¬ «¥ìª¨å § 票© n, ï¥âáï £®«®¢®«®¬ª®© ¤«ï ª®¬¡¨ â®à騪®¢). ®â ª ª ¥ª®â®àë¥ ¨á¯®«ì§ãîâ ⥮६㠬á¥ï çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¥à §«¨ç¨¬®áâ¨. ãáâì f (x) { ä®à¬ã« , 㤮¢«¥â¢®àïîé ïáï ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥â®¢; ¬ë ¤®¡ ¢«ï¥¬ a0; : : : ; an; : : : ª ï§ëªã, ¨ å®â¨¬ ¯®ª § âì ᮢ¬¥áâ®áâì ¬®¦¥á⢠¯à¥¤«®¦¥¨©, ®¡à §®¢ ®£® ¨§ f (x) ¨ ¨§ g(a0; : : : ; an) $ g(ai0 ; : : :; ain ) ¤«ï ¢á¥å i0 < < in . «ï í⮣®, ¯® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, ¤®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì ª®¥ç®¥ ç¨á«® g1; : : :; gk ä®à¬ã«, ¬¥áâ®á⥩ ᮮ⢥âá⢥® n1; : : : ; nk . ®£¤ à áᬮâਬ ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ a0; : : :; an; : : : ॠ«¨§ 権 f (x) ¢ ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«¨ T ; à §¡¨¢ ¥¬ n1-í«¥¬¥âë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¤¢ ª« áá : ¤«ï ¯¥à¢®£® ¡¥à¥¬ ⥠n1-í«¥¬¥âë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠, í«¥¬¥âë ª®â®àëå ¢ ¢®§à áâ î饬 ¯®à浪¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ g1 ; ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¤«ï ¢â®à®£® ¡¥à¥¬ â¥, ç⮠㤮¢«¥â¢®àïîâ :g1 . ® ¡¥áª®¥ç®© ⥮६¥ ¬á¥ï A ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ®¤®à®¤®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A1 ; ¯®¢â®àïï íâã ¯à®æ¥¤ãàã, ¢ë¤¥«¨¬ ¨§ A1 ¡¥áª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮, ª®â®à®¥ ®¤®à®¤® â ª¦¥ ¤«ï g2 , ¨ â.¤. ®£¤ ¬®¦¥á⢮ Ak , ª®â®à®¥ ¯®«ãç ¥âáï ¢ ª®æ¥, ®¤®à®¤® ¤«ï ¢á¥å g1; : : :; gk ; ¤®áâ â®ç® ¯¥à¥ã¬¥à®¢ âì ¥£® í«¥¬¥âë, ¢ ¢®§à áâ î饬 ¯®à浪¥, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¨áª®¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì. ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¡¥áª®¥çãî ⥮६㠬á¥ï, ª®â®à ï ¡®«¥¥ «¥£ª ¤«ï ¯à¨¬¥¥¨ï, ® ïá®, çâ® ª®£¤ ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ᮢ¬¥áâ®áâìî 祣®-¨¡ã¤ì, ¬ ¤®áâ â®ç ª®¥ç ï ¢¥àá¨ï. ë ¢¨¤¨¬, çâ® â ª ¦¥ ¯à®áâ® ¨ â ª ¦¥ ¯àאַ, ¡à âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ª® á«¥¤¨ª , ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¥ª®â®à®¬ã ã«ìâà 䨫ìâàã.
12.j áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï "á®¡ë© áë" ï¥âáï ¯¥à¥¢®¤®¬ â¥à¬¨ "non-splitting extension" ¥« å ; ᮤ¥à¦ ¨¥ 12.a ¡ë«® ¨§«®¦¥® ¢ [, 1981a], ¢ ç áâ®áâ¨, ¡ëáâ஥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ 12.6 { ¥¤¨á⢥®á⨠®á®¡®£® áë ¤«ï áâ ¡¨«ì®£® ⨯ . ® á«¥¤¨ª¨ ¯®ï¢¨«¨áì ¢ [, 1977], ¯®á«¥ ®¤®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï ᪠à . ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¢®á室ïâ [
-, 1956]; íª¢¨¢ «¥â®¥ ¯®ï⨥ "®â®è¥¨¥ á楯«ï¥¬®áâ¨" ¡ë«® ¨§ã祮 ¯à¥¦¤¥ [
, 1954]: à¥çì ¨¤¥â ®¡ ®â®è¥¨¨ R, ®á¨â¥«ì ª®â®à®£® ¬®¦¥â ¡ëâì 㯮àï¤®ç¥ ¢ ¢¨¤¥ ¯®à浪 C â ª, ç⮡ë R ®¯à¥¤¥«ï«áï ¯® C ä®à¬ã«®© ¡¥§ ª¢ â®à ; íâ® § ç¨â, çâ® ®á¨â¥«ì R ï¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ¤«ï R, ¥á«¨ ®£à ¨ç¨âìáï ä®à¬ã« ¬¨ ¡¥§ ª¢ â®à®¢. ®á।á⢮¬ ⥮-
270
« ¢ 12
à¥¬ë ¬á¥ï, à ¨áᥠ¯®ª §ë¢ ¥â íª¢¨¢ «¥â®áâì á楯«ï¥¬®á⨠¨ ¬®®¬®àä®áâ¨: ¯®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® âãà «ì®£® n ¢á¥ ®£à ¨ç¥¨ï R n-í«¥¬¥â®¥ ¬®¦¥á⢮ ¨§®¬®àäë; à áí ¯®ª § «, çâ® ¬®®¬®àä®áâì ¢ëà ¦ ¥âáï ¯®á।á⢮¬ ª®¥ç®£® ç¨á« ªá¨®¬ [, 1965]; ¥£® ⥮à¨ï "¯¥à¥áâ ¢«¥ëå 楯¥©" áâ ¢¨â á«¥¤ãîéãî ¯à®¡«¥¬ã: ᪮«ìª¨¬¨ ᯮᮡ ¬¨ ¬®¦® 㯮à冷ç¨âì I â ª, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì? ⠯஡«¥¬ à¥è¥ ¢ [
--
, 1977]. ç¨ ï á [, 1965], ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¬®¦¥á⢠¯à¨¬¥ïîâáï ¯®¢áî¤ã ¢ ¯®áâ஥¨ïå ¬®¤¥«¥© áâ ¡¨«ìëå ⥮਩, ®âªã¤ §¢ ¨¥ "¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨", ¤ ®¥ ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠M -®á®¡®£® ⨯ . ¢®©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¡ë«® ®¯à¥¤¥«¥® ¢ [
, 1971b]; ®® ¯®á«ã¦¨«® [
, 1976] ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨¨, ª®â®à ï, ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®© T , ᮯ®áâ ¢«ï¥â ¬®é®á⨠¬ ªá¨¬ «ì®¥ ç¨á«® ⨯®¢, ª®â®à®¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¤ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢ í⮩ ¬®é®áâ¨. ®ª § ⥫ìá⢮ 12.18 { ®à¨£¨ «ì®¥ (á¬. 12.e). à ªâ¥à¨á⨪ áâ ¡¨«ì®á⨠¥à §«¨ç¨¬ë¬¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâﬨ ï¥âáï ®á®¢®© à §à ¡®âª¨ ®â¢¥â¢«ï¥¬®á⨠¥« 宬 [
, 1978]; ⥮६ 12.28, å à ªâ¥à¨§ãîé ï ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¯® ç¨á«ã ª® á«¥¤¨ª®¢, ¡ë« ¤®ª § ¢ [, 1981a] ¯®á।á⢮¬ ª®¬¡¨ â®à®© «¥¬¬ë ®¡ ã«ìâà 䨫ìâà å; à£ã¬¥â, ¯à¨¢®¤¨¬ë© §¤¥áì, ª®â®àë© á®á⮨⠢ ⮬, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ®á®¡ë© â¨¯ ¯® ¥£® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨, ¯®ï¢¨«áï ¢ "¤®¡ ¢«¥¨¨ ¯à¨ ª®à४âãà¥" [
, 1980], § ¥áª®«ìª® ¬¥áï楢 ¤® ¢ë室 áâ âì¨, ª®â®àãî ® ¤¥« ¥â áá뫪ã! ªæ¥â "¥®à¥¬ã ® à §¤¥«¥¨ï ¯ à ¬¥â஢", 12.31, ¡ë« ᤥ« ¢ [, 1977]. ¥®à¥¬ â âìïåã 㡨 ¢§ïâ ¨§ [, 1974]; ®âáãâá⢨¥ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¤«ï 楯¥© ¡ë«® § ¬¥ç¥® ¢ [, 1981a], ® â®ç®¥ ç¨á«® ª® á«¥¤¨ª®¢ ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¥® «¨èì ¢ [
-, 1984]; «¨§ ª® á«¥¤¨ª®¢ ¢ á«ãç ¥ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà á⢠¢®á室¨â ª [
, 1981] , £¤¥ ¤®ª § ®, ¯à¨ ãá«®¢¨ïå ¯à¨¬¥¨¬®áâ¨ â¥®à¥¬ë ªá ¨ ®ç¥ , çâ® ®à¬¨à®¢ ®¥ ¯®«¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠⮫쪮 ¥á«¨ ¥£® ¯®«¥ ¢ëç¥â®¢ ¨«¨ ¥£® £à㯯 § 票© ¨¬¥¥â í⮠᢮©á⢮; £à㯯 ¡ë« í«¨¬¨¨à®¢ [
-, 1984], ª®â®àë¥ ¤®ª § «¨, çâ® ¡¥«¥¢ â®â «ì® 㯮àï¤®ç¥ ï £à㯯 ¥ ¨¬¥¥â ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨: ¨å à£ã¬¥â ®á®¢ë¢ ¥âáï ⥮६¥ í«¨¬¨ 樨 à¨ï ãॢ¨ç , ª®â®à ï ᢮¤¨â ⥮à¨î 㯮à冷祮© £àã¯¯ë ª ⥮ਨ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà áâ¢. ® [, 1982] ¤¥à¥¢® ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. á®¡ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¢®á室ïâ ª [, 1983]. ᥠª®¬¡¨ â®àë¥ á¢®©á⢠ä®à¬ã« à §¤¥« 12.h ¯à¨ ¤«¥¦ â [
, 1971b]; à §«¨çë¥ íª¢¨¢ «¥âë ¥áâ ¡¨«ì®á⨠ãáâ ®¢«¥ë §¤¥áì ¬¥â®¤ ¬¨, § ¬¥â® ®â«¨ç묨 ®â ¬¥â®¤®¢ ¥« å . ¬¥® [, 1975] ¯®ª § «, çâ® ¤«ï ᢮©á⢠áâண®£® ¯®à浪 ¬®¦® § ¬¥¨âì x x. àאַ© ¬¥â®¤ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ íª¢¨¢ «¥â®á⨠᢮©á⢠¯®à浪 ¨ ᢮©á⢠¤¨å®â®¬¨¨ ¨¬¥¥âáï ¢ [
, 1981]. à㣮¥ § ç¨â¥«ì®¥ ª®¬¡¨ â®à®¥ ᢮©á⢮ ¤«ï ä®à¬ã«ë, ª®â®à®¥ ¥ ¨§ã祮 ¢ í⮬ ªãàá¥, "᢮©á⢮ ª®¥ç®© ¯®ªàë¢ ¥¬®áâ¨" (" nite cover property"), ¡ë«® ®¯à¥¤¥«¥® ¢ [
, 1967], ¨ ¨§ã祮 [
, 1971b] ¨
12.j
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
271
[-
, 1980]; ¨§ [, 1983a] ¢ë ¯®©¬¥â¥, çâ® ®® ®§ ç ¥â ¤«ï ®¯à¥¤¥«¨¬®á⨠⨯®¢ áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ. ¥®à¥¬ ¬á¥ï, ª ª ¥¥ ª®¥ç ï ¢¥àá¨ï, â ª ¨ ¥¥ ¡¥áª®¥ç ï ¢¥àá¨ï, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ᢮¤ë¬ ª«î箬 ¤«ï ¡¥áç¨á«¥ëå ª®¬¡¨ â®àëå ª®áâàãªæ¨©, ¡ë« ¤®ª § ¢ ®à¨£¨ «¥ [
, 1929], çâ®¡ë ¤ âì «£®à¨â¬ à¥è¥¨ï ¯à®¡«¥¬ë ¨á⨮á⨠89-¯à¥¤«®¦¥¨© !
« ¢ 13 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª L'ordre fondamental est un moyen de comparer les types sur les modeles d'une theorie complete : : : il est surtout ecace dans le cas d'une theorie stable. B.P.
13.a 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª : : : : : : : : : : 273 13.b ¯¥ªâà áâ ¡¨«ì®á⨠: : : : : : : : : : : : : : : : : 277 13.c ¥ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥àë : : : : : : : : : : : : : : : : : : 281 13.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 284
272
13.a
273
㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª
13.a 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ï¥âáï á।á⢮¬ áà ¢¥¨ï ⨯®¢ ¤ ¬®¤¥«ï¬¨ ¯®«®© ⥮ਨ : ® ¨§¬¥àï¥â á⥯¥ì 㤠«¥®á⨠⨯ ®â ⮣®, çâ®¡ë ¡ëâì ॠ«¨§®¢ ë¬. â®â ¯®à冷ª ®á®¡¥® íä䥪⨢¥ ¢ á«ãç ¥ áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ. ®¢®àïâ, ç⮠⨯ p ¤ ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ä®à¬ã«ã ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢ f (x; y) , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â a ¢ M â ª®©, çâ® p ` f (x; a) . ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ, çâ® ® ®¯ã᪠¥â f (x; a). ¨¬ ¨¥: ¥á«¨ p ` 9yf (x; y) , â® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢ ª ¦¤®© ¬®¤¥«¨ ॠ«¨§ãî饩 p ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥ x , ©¤¥âáï í«¥¬¥â y , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f (x; y) . â® ¥ ®§ ç ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â 㦥 â ª®© í«¥¬¥â y ¢ ¬®¤¥«¨ M . ¯à¨¬¥à, ª ¦¤ë© ⨯ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«ã (9ã)(x = y) , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ⮫쪮 ⥠⨯ë, ª®â®àë¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ä®à¬ã«ã x = y ïîâáï ॠ«¨§®¢ 묨 ⨯ ¬¨. « áá ⨯ p ¤«ï ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ¥áâì ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«, ª®â®àë¥ ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â, ¨ ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ï¥âáï ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬ ¯®à浪®¬ ¤«ï ®â®è¥¨ï ¢ª«îç¥¨ï ¤«ï ª« áᮢ ⨯®¢. í⮬ ¯®à浪¥ p q ®§ ç ¥â, çâ® ª« áá ⨯ p ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ª« áᥠ⨯ q , â® ¥áâì ª ¦¤ ï ä®à¬ã« , ¯à¥¤áâ ¢«¥ ï ¢ p , ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¨ ¢ q . ç¨â ª ¦¤ë© à §, ª®£¤ p ` f (x; a) ¤«ï ¥ª®â®à®£® a ¢ M , áãé¥áâ¢ã¥â a0 ¢ N â ª®©, çâ® q ` f (x; a0) . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¬®é®áâì ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ¥ ¡®«¥¥ 2ITI ¨, çâ® ¥á«¨ q áë p , â® p q , ¥á«¨ q ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p , â® p ¨ q ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ª« áá, çâ® ®¡®§ ç ¥âáï p q . ¥©á⢨⥫ì®, ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î á«¥¤¨ª q ⨯ p, ⨯ q ¯à¨ ¤«¥¦ 騩 S1(M ) , ï¥âáï á뮬 ª®â®àë© ¥¬ã íª¢¨¢ «¥â¥, â® ¥áâì ¥ ï¥âáï áâண® ¬¥ì訬, ®â®á¨â¥«ì® ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 T (M ) . ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® ¥á«¨ p q ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥, â® ®¨ ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¯ãá⮥ ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ f (x) ï¥âáï ä®à¬ã«®© ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢ y , ⮠⨯ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â f (x) , ¥á«¨ ® ¥¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â.
᫨ ¡ë ¥ª®â®à ï ä®à¬ã« ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢ f (x) ¡ë« ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ q , ® ¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ p , â® :f (x) «¥¦ « ¡ë ¢ p ¨ § ç¨â ¨ ¢ q . «¥¤®¢ ⥫ì®, ⨯ q ᮤ¥à¦¨â f (x) ¨ :f (x) , çâ® ¥¢®§¬®¦®.
¥¬¬ 13.1
᫨ p ॠ«¨§®¢ ë© â¨¯, â® q íª¢¨¢ «¥â¥ p ¢ ä㤠¬¥-
⠫쮬 ¯®à浪¥ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ q ॠ«¨§®¢ ¨ ¨¬¥¥â â® ¦¥ á ¬®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ ; çâ® ¨ p .
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® p ॠ«¨§®¢ í«¥¬¥â®¬ a ¢ M .
᫨ q < p , â® q ॠ«¨§®¢ , â ª ª ª ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â x = y ¨ ¬ë § ¥¬, çâ® p ¨ q ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ ; . ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® q ॠ«¨§®¢ í«¥¬¥â®¬ b ¢ N , ¯à¨ í⮬ a ¨ b ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ ; .
᫨ p ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â f (x; y) , â® M ` 9yf (a; y), â ª¨¬ ®¡à §®¬ N ` 9yf (b; y) ¨ áãé¥áâ¢ã¥â y ¢ N 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f (b; y).
ª ª ª ª ¦¤ë© ⨯ ¨¬¥¥â ॠ«¨§®¢ ®£® áë , ¬ë ¢¨¤¨¬, ç⮠ॠ«¨§®¢ ë¥ â¨¯ë ïîâáï ¢ â®ç®á⨠¬¨¨¬ «ì묨 ⨯ ¬¨ ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬
274
« ¢ 13
¯®à浪¥, çâ® ª ¦¤ë© ⨯ ¬ ¦®à¨àã¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© ¬¨¨¬ «ìë© â¨¯. ¥©á⢨⥫ì®, ¤¢ ⨯ ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ ; ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥, ®¨ ¬ ¦®à¨àãîâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ¬¨¨¬ «ìë© â¨¯.
᫨ ¬ë ¢®§¢à ⨬áï ª ¯à¨¬¥àã ⥮ਨ T ¯«®âëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª, â® ¯®«ã稬 ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ¨§ ç¥âëà¥å í«¥¬¥â®¢: 1. ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â, ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ª« áᮬ ॠ«¨§®¢ ëå ⨯®¢ 2. ª« áá ⨯®¢ a+, a? ¨ ¨àà 樮 «ìëå ⨯®¢, ®¨ ¢á¥ íª¢¨¢ «¥âë : íâ®â ª« áá ¬ ¦®à¨àã¥â ¯à¥¤ë¤ã騩 3. ª« áá +1, ª®â®àë© ¬ ¦®à¨àã¥â ¯à¥¤ë¤ã騩 4. ª« áá ?1, ª®â®àë© ¬ ¦®à¨àã¥â ¢â®à®© ª« áá ¨ ¥áà ¢¨¬ á âà¥â쨬.
¥®à¥¬ 13.2 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ¯®«® ¢ á«¥¤ãî饬 á¬ëá«¥ : ª ¦¤ ï æ¥¯ì ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ «ìãî ¬ ¦®à âã (ïîéãîáï, ª®¥ç®, ¥ñ ¥¤¨á⢥®© ¢¥à奩 £à ìî) ¨ ¬ ªá¨¬ «ìãî ¬¨®à âã (ïîéãîáï ¥ñ ¥¤¨á⢥®© ¨¦¥© £à ìî).
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì pi 2 S1(Mi) æ¥¯ì ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥,
¨¤¥ªá¨à®¢ ï 楯ìî I .
᫨ i < j , â® pi < pj . ãáâì â ª¦¥ Fi ª« áá pi , â® ¥áâì ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«, ª®â®àë¥ íâ®â ⨯ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â. áè¨à¨¬ ï§ëª T , ¤®¡ ¢«ïï ª ¥¬ã ᨬ¢®« ã ண® ®â®è¥¨ï M (y) (ª®â®à®¥ ®¡®§ 稬 ¡®«¥¥ £«ï¤® y 2 M ) ¨ ᨬ¢®« ª®áâ âë x , ¨ à áᬮâਬ ᯨ᮪ ªá¨®¬, ¢ëà ¦ î騩, çâ® M í«¥¬¥â à ï ¯®¤áâàãªâãà ¬®áâà-¬®¤¥«¨, â® ¥áâì 㤮¢«¥â¢®àï¥â â¥áâã à᪮£®,
8yf[y 2 M ^ 9uf (u; y)] ! 9u[u 2 M ^ f (u; y)]g ; ¨ ç⮠⨯ x ¤ M ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¢á¥ ä®à¬ã«ë f ¨§ \Fi; 9y[y 2 M ^ f (x; y)] , ¨ ¢ â® ¦¥ ¢à¥¬ï ®¯ã᪠¥â ¢á¥ ä®à¬ã«ë g ¢¥ \Fi; 8y[y 2 M ! :g(x; y)]:
ã⢥ত î, çâ® íâ® ¬®¦¥á⢮ ᮢ¬¥áâ®. ¥©á⢨⥫ì®, ª ¦¤ë© ¨§ ¥£® ª®¥çëå äà £¬¥â®¢ ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ä®à¬ã« ¤«ï ®¯ã᪠¨ï, ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¬®¤¥«ì ¨â¥à¯à¥â¨àãï M ç¥à¥§ Mi , x ॠ«¨§ 樥© xi ⨯ pi ¢ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ Mi , ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® i . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ¢®§ì¬¥¬ ¬®¤¥«ì í⮩ ⥮ਨ, â® ª« áá ⨯ p í«¥¬¥â x ¤ M ᮢ¯ ¤ ¥â á \Fi , ¨ ® ï¥âáï ®ç¥¢¨¤® ¬¨¨¬ «ì®© ¬ ¦®à ⮩ Fi . ¥¯¥àì ¯®¢â®à塞 âã ¦¥ ª®áâàãªæ¨î, ® íâ®â à § á [Fi ¢¬¥áâ® \Fi ; ᮢ ¨¬¥¥¬ ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮, â ª ª ª ª®¥çë© äà £¬¥â à áᬠâਢ ¥¬®£® ¬®¦¥á⢠¯à¥¤«®¦¥¨© ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ä®à¬ã«, ª®â®àë¥ á«¥¤ã¥â ॠ«¨§®¢ âì, ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¬®¤¥«ì á ॠ«¨§ 樥© xi ⨯ pi ¤ Mi , ¤«ï ¤®áâ â®ç® ¬ «¥ìª®£® i . «¥¤®¢ â¥«ì® [Fi â ª¦¥ ï¥âáï ª« áᮬ ⨯®¢, ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì®© ¬¨®à ⮩ ¤ ®© 楯¨.
§®¢¥¬ ⮬®¬ ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ⨯, ¨«¨ ᪮॥ ª« áá ⨯®¢, ª®â®àë© ¥ ॠ«¨§®¢ , ® ª®â®àë© ¤®¯ã᪠¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥ãî áâணãî ¬¨®à âã, ᢮î ॠ«¨§ æ¨î.
13.a
275
㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª
¥¬¬ 13.3 ¦¤ë© ¥ ॠ«¨§®¢ ë© â¨¯ (â.e. ¥ ¬¨¨¬ «ìë© â¨¯) ¬ ¦®à¨àã¥â ¥ª®â®àë© â®¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì p â ª®© ⨯, ¨ C ¬ ªá¨¬ «ì ï æ¥¯ì ¥ ॠ«¨§®-
¢ ëå ⨯®¢, ¬¥ìè¨å p . ª ª ª ¨¦ïï £à ì C ®¯ã᪠¥â x = y (ᬮâà¨â¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६ë), â® ® ¥ ॠ«¨§®¢ ï, ¨ ¯®í⮬ã ï¥âáï ⮬®¬.
¥¬¬ 13.4 ¦¤ ï 楯ì ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ¨¬¥¥â ¯«®â®¥ ᥬ¥©-
á⢮ á¥ç¥¨© ¬®é®áâ¨, ¬¥ì襩 ¨«¨ à ¢®© ¬®é®á⨠T . ç áâ®á⨠¢¯®«¥ 㯮à冷祮¥, ¨«¨ ⨠¢¯®«¥ 㯮à冷祮¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ¨¬¥¥â ¬®é®áâì, ¬¥ìèãî ¨«¨ à ¢ãî jT j .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì C 楯ì ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 . ¦¤®©
ä®à¬ã«¥ f (x; y) ᮯ®áâ ¢«ï¥¬ á¥ç¥¨¥, ¢ ª®â®à®¬ ¢¥à娩 ª« áá ®¡à §®¢ ¨§ í«¥¬¥â®¢ C , ®¯ã᪠îé¨å f , ¨¦¨© ª« áá ¨§ â¥å, ª®â®àë¥ ¥ñ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ: í⮠ᥬ¥©á⢮ á¥ç¥¨© ®â¤¥«ï¥â â®çª¨ C . ¨á«® á¥ç¥¨© ¯®«®© 楯¨ à ¢® ᢮¥¬ã ª न «ã, â ª ª ª ¢á¥ ¢ëá訥 ª« ááë ¨¬¥îâ ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥â; â® ¦¥ á ¬®¥ ¢¥à® ¨ ¤«ï ¯®«ëå 楯¥© ®â®á¨â¥«ì® ®¡à ⮣® ¯®à浪 .
ë ¢¨¤¨¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ⥮ਨ T ¬®é®á⨠¯®¤ç¨ï¥âáï ¥ª®â®àë¬ ®£à ¨ç¥¨ï¬. ®â ¥éñ ®¤®: ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ᢥ¤¥ ª ¡¥áª®¥ç®¬ã ç¨á«ã ¬¨¨¬ «ìëå í«¥¬¥â®¢. â® ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï à áá㦤¥¨ï¬¨ ®â ¯à®â¨¢®£® «®£¨ç묨 ⥮६¥ 13.2 . ®áâàã¨àã¥âáï ¥à¥ «¨§®¢ ë© â¨¯ áâண® ¬¥ì訩 ¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. ¦¥âáï ¬ «®¢¥à®ïâë¬, çâ® ¯¥à¥ç¨á«¥ë¥ ¢ëè¥ã¯®¬ïãâë¥ ãá«®¢¨ï «¨áì ¤®áâ â®ç묨 ¤«ï ⮣®, ç⮡ë ç áâ¨çë© ¯®à冷ª ¡ë« ä㤠¬¥â «ìë¬, ® ¬ë ¥ § ¥¬ ¡®«ìè¥ ¯à® ¨å ¨ç¥£®. ¬ ¨§¢¥áâë ¥áª®«ìª® ¤®¯®«¨â¥«ìëå ®£à ¨ç¥¨©, ª®â®àë¬ ¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®àïâì ä㤠¬¥â «ìë¥ ¯®à浪¨ áâ ¡¨«ìëå ⥮਩, ® ¬ë ¥é¥ ®ç¥ì ¤ «¥ª¨ ®â ®â ¢®§¬®¦®á⨠®¯¨á ¨ï íâ¨å ¯®à浪®¢. à ⪮ ¨§ã稬 â®, çâ® ¯à®¨á室¨â á ã«ìâà á⥯¥ï¬¨ ⨯®¢:
¥®à¥¬ 13.5
᫨ p ¢ S1(M ) ¨ q ¢ S1(N ), â® p q ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ã«ìâà 䨫ìâà U ¨ ¢«®¦¥¨¥ M ¢ N U , ¯à¥¢à é î饥 qU ¢ áë p.
®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª qU ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ q , â® qU q .
᫨ â ª¨¬ ®¡à §®¬, qU ï¥âáï á뮬 p , â® p qU , § ç¨â p q, ¨ ãá«®¢¨¥ ¤®áâ â®ç®. ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® p q . ãáâì I ¬®¦¥á⢮ ¨ê¥ªæ¨© ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠M ¢ N .
᫨ p ` f (x; a), a 2 M , â® ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ If (x;a) ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ i ¨§ I , ®¯à¥¤¥«¥ëå a ¨ â ª¨å, çâ® q ` f (x; ia) . ª ª ª p q, â® ¢á¥ í⨠¬®¦¥á⢠¥ ¯ãáâë¥, ¨ ®¡à §ãîâ ¡ §ã 䨫ìâà , ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ã«ìâà 䨫ìâॠU ¯®¤¬®¦¥á⢠I . ¥¯¥àì à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨¥ M ¢ N U , ¯®« £ ï (sa)i = ia, ¥á«¨ i ®¯à¥¤¥«¥ a,¨ ¥¢ ¦® 祬ã à ¢® ¨ ç¥. â® ®â®¡à ¦¥¨¥ ï¥âáï í«¥¬¥â ன ¨ê¥ªæ¨¥© M ¢ N , â ª ª ª ¥á«¨ ä®à¬ã« f ¥ ᮤ¥à¦¨â ¯¥à¥¬¥ãî
276
« ¢ 13
x , ⮠᪠§ âì, çâ® p ` f (a), ¯à®áâ® § ç¨â, çâ® f (a) ¨á⨮ ¢ M . ® ¬®¤ã«î í⮣® ¢«®¦¥¨ï, qU ï¥âáï ⮣¤ á뮬 p .
§ í⮣® १ã«ìâ â ¬®¦® ¢ë¢¥á⨠⥮६ã 11.4, á ª®â®à®© ¯®«¥§® ¥£® áà ¢¨¢ âì: ¥á«¨ M N; p 2 S1(M ) , q 2 S1(N ) ¨ q ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p , â® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® q p ¤«ï ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 T (M ) . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® ⥮६¥ 13.5, áãé¥áâ¢ã¥â ã«ìâà 䨫ìâà U ¨ ¢«®¦¥¨¥, ®áâ ¢«ïî饥 ¥¯®¤¢¨¦ë¬ ¯®â®ç¥ç® M (ª ¦¤ë© í«¥¬¥â ª®â®à®© ¢ë¤¥«¥ ¢ ï§ëª¥), â.¥. ¢«®¦¥¨¥, ¯à®¤®«¦ î饥 ¤¨ £® «ì®¥ ª ®¨ç¥áª®¥ ¢«®¦¥¨¥ N ¢ M U , ª®â®à®¥ ¯à¥¢à é ¥â pU ¢ áë q . ë ¯¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª ®ç¥ì § ç¨â¥«ì®¬ã ¨ áãé¥á⢥®¬ã ᢮©áâ¢ã áâ ¡¨«ìëå ⨯®¢. ®®¡é¥ £®¢®àï, ç⮡ë q ¡ë« á«¥¤¨ª®¬ p , ¥¤®áâ â®ç® çâ®¡ë ® ¡ë« á뮬, íª¢¨¢ «¥âë¬ ¯® ä㤠¬¥â «ì®¬ã ¯®à浪ã T , â ª ª ª ¤® ãç¥áâì ¯ à ¬¥âàë ¬®¤¥«¨ M ⨯ p . ® íâ® ¥ â ª ¤«ï áâ ¡¨«ìëå ⨯®¢.
¥®à¥¬ 13.6 â ¡¨«ìë© â¨¯ ¤ ¬®¤¥«ìî T ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® íª¢¨¢ «¥â®£® ¯® ä㤠¬¥â «ì®¬ã ¯®à浪ã áë { ᢮¥£® á«¥¤¨ª .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p ¨¬¥¥â ¤¢ãå íª¢¨¢ «¥âëå á뮢¥© pl ¨ p2, ⮣¤ ¤«ï ¥ª®â®à®£® a ¡ã¤¥â pl ` f (xa), p2 ` :f (xa). ®£¤ ª ¦¤ë© ⨯ q , íª¢¨¢ «¥âë© â¨¯ã p , ¡ã¤¥â ¨¬¥âì á뮢¥© ¢¨¤ pU , § ⥬ pUl ¨ pU2 . ¨¯ q á ¬ à §¡¨¢ ¥âáï â ª¦¥ ¤¢ãå á뮢¥©, íª¢¨¢ «¥âëå p , ¨ ¬ë ª®áâàã¨à㥬 ¤¥à¥¢® ⨯®¢, ¤ î饥 ᢮©á⢮ ¤¨å®â®¬¨¨, ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 11.11 . â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â áâ ¡¨«ì®á⨠p .
¥®à¥¬ 13.7
᫨ p q ¨ p áâ ¡¨«¥, ⮣¤ q áâ ¡¨«¥. ç áâ®áâ¨,
áâ ¡¨«ì®áâì ï¥âáï ᢮©á⢮¬ ª« áá ⨯®¢: ¨«¨ ¢á¥ â¨¯ë ®¤®£® ⮣® ¦¥ ª« áá áâ ¡¨«ìë, ¨«¨ ¢á¥ ¥áâ ¡¨«ìë.
®ª § ⥫ìá⢮. ¥£ç¥ ¯®ª § âì, çâ® ¥á«¨ q ¥áâ ¡¨«¥, â® â ª®¢ ¨ p .
¥©á⢨⥫ì®, p ¨¬¥¥â áë ¢¨¤ qU , ïî饣®áï á«¥¤¨ª®¬ q ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥áâ ¡¨«ìë¬. «ìâ¥à â¨¢ë© à£ã¬¥â á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ¤«ï ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë, ⨯ q ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¤¨å®â®¬¨¨, â ª¦¥ ª ª ¨ p , ª ¦¤ë© ª®¥çë© äà £¬¥â ª®â®à®£® ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ¢ q .
᫨ (M; dà) ¨ (N; dq) í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, â® p ¨ q ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ®¤¨ ¨ ⥠¦¥ ä®à¬ã«ë. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ (M; dà) ` (9y)df (y), â® íâ® ¢¥à® â ª¦¥ ¤«ï (N; dq) . ¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥ ¨á⨮ ¤«ï áâ ¡¨«ìëå ⨯®¢.
¥®à¥¬ 13.8
᫨ ⨯ë p ¨§ S1(M ) ¨ q ¨§ S1(N ) áâ ¡¨«ìë ¨ íª¢¨¢ «¥âë
¯® ä㤠¬¥â «ì®¬ã ¯®à浪ã, â® (M; dp) ¨ (N; dq) í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë.
®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª p q, p ¨¬¥¥â áë ¢¨¤ qU ; â ª ª ª qU ï¥â-
áï á«¥¤¨ª®¬ q; p ¨ qU íª¢¨¢ «¥âë, ¨, ¯® 13.6 , qU ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬
13.b
277
¯¥ªâà áâ ¡¨«ì®áâ¨
p ; â ª ª ª ¤«ï áâ ¡¨«ì®£® ⨯ (¨«¨ ¤ ¦¥ ⮫쪮 ¤«ï ®¯à¥¤¥«¨¬®£®), á«¥¤¨ª ¨ ᨫìë© á«¥¤¨ª, íâ® ®¤® ¨ â® ¦¥, (N U ; dqU ) ï¥âáï ®¡é¨¬ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ (N; dq) ¨ (M; dp), ª®â®àë¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë.
᫨ ¢ë § ª®¬ë á १ã«ìâ ⮬ ¥« å , ã⢥ত î饣®, çâ® ¤¢¥ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë¥ áâàãªâãàë ¨¬¥îâ ¨§®¬®àäë¥ ã«ìâà á⥯¥¨, â® ¢¨¤¨â¥, çâ® ¤¢ áâ ¡¨«ìëå ⨯ ®¤®£® ª« áá ¨¬¥îâ ®¡éãî ã«ìâà á⥯¥ì. ë 㢨¤¨¬ ¢ £« ¢¥ 15 , ¢ ª ç¥á⢥ á«¥¤á⢨ï â¥®à¥¬ë ® £à ¨ 15.6 , çâ® ¨¬¥¥âáï ¤à㣮¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤«ï ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ: ¤ ¬¨¨¬ «ìë¬ í«¥¬¥â®¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ॠ«¨§ æ¨ï¬ ¤ ®£® ⨯ ¤ ;, ¨¬¥¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë© ª« áá, ª®â®àë© ¬ ¦®à¨àã¥â ¢á¥ ª« ááë, ᮤ¥à¦ 騥 íâ®â ⨯ ¤ ;. 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ⥮ਨ ¯«®âëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª ¥ ®¡« ¤ ¥â í⨬ ᢮©á⢮¬. ⬥⨬, çâ® ¤¢ áâ ¡¨«ìëå ⨯ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ª« áá ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ ; . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ p ¨ q íª¢¨¢ «¥âë, â® ®¨ ¨¬¥îâ á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ¥¤¨á⢥®£® ®¡é¥£® á«¥¤¨ª ; ¨ ¥á«¨ p 2 S1(M ), q 2 S1(N ), M ¨ N à ᯮ«®¦¥ë â ª, çâ® p ¨ q ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ s, â® ¬ë § ¥¬, çâ® á।¨© ⨯ ¤ ¬®¤¥«ìî, ᮤ¥à¦ 饩 ¬®¤¥«¨ M ¨ N , ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p , ¨ â ª¦¥ á«¥¤¨ª®¬ q . á«ãç ¥ ª®£¤ T áâ ¡¨«ì , â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥âáï ¡¨¥ªæ¨ï ¬¥¦¤ã ª« áá ¬¨ ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ¨ ⨯ ¬¨ ¤ ; ¥à §«¨ç¨¬ëå !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩, ª®â®àë¥ ¢á¥ ¬®£ãâ à áᬠâਢ âìáï ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨. ®«¥¥ â®ç®, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s ᮯ®áâ ¢«ïîâ ª« áá á।¥£® ⨯ ps ¤ ¬®¤¥«ìî M ᮤ¥à¦ 饩 s : ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ps ¯à®¤®«¦ ¥â s, â® ¥áâì ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯ çâ® ¨ s. ª®© ¯®à冷ª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬ ⨯ å ¥à §«¨ç¨¬ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩?
᫨ ps pt, â® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ pt ¬®¦¥â ¡ëâì à áᬮâॠª ª áë ps . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¬ë ¬®£«¨ ¯®¬¥áâ¨âì s ¨ t ®¤ã ¯® ®â®è¥¨î ª ¤à㣮© â ª, ç⮡ë á।¨© ⨯ t ¤ s ¡ë« â ª¦¥ á।¨¬ ⨯®¬ s ¤ s ¨ íâ® ãá«®¢¨¥ ¤®áâ â®ç®, ç⮡ë ps pt . ¨â â¥«ì ¯®©¬¥â íâ® «¥£ª®, ª®£¤ ® 㢨¤¨â, ¢ £« ¢¥ 15 , ⥮६㠮 £à ¨, ¨ ª®£¤ ® ¯®©¬¥â, çâ® ps ¥¤¨áâ¢¥ë© áë ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï s.
13.b ¯¥ªâà áâ ¡¨«ì®áâ¨ ë § ¥¬, çâ® ¥áâ ¡¨«ì ï ⥮à¨ï ¥áâ ¡¨«ì ¢ ª ¦¤®© ¡¥áª®¥ç®© ¬®é®á⨠. ¥¯¥àì ï ᮡ¨à îáì ¯®ª § âì, çâ® ª« áá ª न «®¢, ¢ ª®â®àëå áâ ¡¨«ì ï ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ®¯à¥¤¥«¥ ¤¢ã¬ï ¨¢ ਠ⠬¨ T , 0(T ) { ¨¬¥ì訬 ¡¥áª®¥çë¬ ª न «®¬ ¢ ª®â®à®¬ T áâ ¡¨«ì , ¨ (T ) { ¨¬¥ì訬 ¡¥áª®¥çë¬ ª न «®¬ â ª¨¬, çâ® ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ T ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ®à¤¨ «ì®©, áâண® ã¡ë¢ î饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, ¨¤¥ªá¨à®¢ ®© (T ) (¨ ç¥ £®¢®àï, ª ¦¤®¥ â¨-¢¯®«¥-㯮à冷祮¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ¨¬¥¥â áâண® ¬¥ìèãî ¬®é®áâì 祬 (T ).
278
« ¢ 13
¥¬¬ 13.9
᫨ ¤«ï < (T ) ¢¥à® > , ⮣¤ T ¥áâ ¡¨«ì ¢ . ®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢®¥, ¯ãáâì T áâ ¡¨«ì ¨ ¨-
¬¥ì訩 ª न « ¬¥ì訩 (T ) â ª®©, çâ® > . ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ T áãé¥áâ¢ã¥â ã¡ë¢ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì p0 > p1 > > p > : : : , £¤¥ 2 ¨ ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, ¤®¡ ¢«ïï ¥á«¨ 㦮 ¨¦¨¥ £à ¨, çâ® ¥á«¨ ¯à¥¤¥«¥, â® ª« áá ⨯ p ï¥âáï ¨¦¥© £à ìî ª« áᮢ ⨯®¢ p , < . ãáâì f (x; y) ä®à¬ã« , ¯à¥¤áâ ¢«¥ ï ¢ p +1 ¨ ®¯ãcª ¥¬ ï ¢ p . ᮡ¨à îáì áâநâì ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì N ¬®¤¥«¥© T ¨ ⨯ë q , £¤¥ 2 , â ª¨¥, çâ®: { ¥á«¨ ¯à¥¤¥«¥, â® N ¯à¥¤¥« ¬®¤¥«¥© N , < ; { ¥á«¨ 2 , â® q ï¥âáï ⨯®¬ ¤ N , ¨¬¥î騩 â®â ¦¥ ª« áá çâ® ¨ p , ¨ ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ìë©, â® q ¯à¥¤¥« q ¤«ï < ; { ¥á«¨ ï¥âáï à áè¨à¥¨¥¬ , â® q ï¥âáï á뮬 q ; { ¤«ï ª ¦¤®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠2 ¢ ¬®¤¥«¨ N +1 áãé¥áâ¢ãîâ ª®à⥦¨ au ¤«ï u 2 , â ª¨¥, çâ® qu ` f +1(x; au), ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª, ¥á«¨ v 6= u, â® qu ` :f +1(x; av ) . «ï ¯ãá⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¡¥à¥¬ ⨯ p0 = q; ¤ ¯à®¨§¢®«ì®© ¨á室®© ¬®¤¥«ìî M0 = N0. ª ª ª ¯à¥¤¥«ìëå íâ ¯ å ¬ë ¯à®áâ® ¡¥à¥¬ ¯à¥¤¥«ë, â® ¤®áâ â®ç® ®¡êïá¨âì, çâ® ï å®çã ᤥ« âì íâ ¯ å-¯®á«¥¤®¢ ⥫ïå. ª¨¬ ®¡à §®¬, ã ¬¥ï ¥áâì ¬®¤¥«ì N , ¨ ¤«ï ª ¦¤®© 2 ¬®© ⨯ q ¤ N , ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ª« áá çâ® ¨ p . ¨¯ q ¨¬¥¥â áë r, íª¢¨¢ «¥â®£® p +1, ¯à¨¬¥à ã«ìâà á⥯¥ì p +1, ¤ ¥ª®â®àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ P ¬®¤¥«¨ N . ãáâì b ॠ«¨§ æ¨ï r , ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â a ¢ P â ª®©, çâ® f +1(b; a) ¨á⨮. ë ॠ«¨§ã¥¬ -¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ⨯ P [fbg ¤ N : í⮠⨯ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¯¥à¥¬¥ëå, ® íâ® ¨çãâì ¥ ¯®¬¥è ¥â. ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯®«ãç ¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì P0 [fb0g; : : :; Pu [fbug; : : :; u 2 , â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ãî ¤ N . ®¦¥á⢮ Pu ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î au ª®à⥦ a, ¤«ï ª®â®à®© ¨¬¥¥¬ f +1(bu ; au). ¯à®â¨¢, ¥á«¨ u 6= v, â® ¯® ¯®áâ஥¨î ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨, ¥á«¨ v < u, ¨, ᮮ⢥âá⢥®, ¯® â®â «ì®© ¥à §«¨ç¨¬®áâ¨, ¨«¨ ¯® à ¢¥áâ¢ã ª® á«¥¤¨ª ¨ á«¥¤¨ª , ¥á«¨ u < v, ⨯ Pu [ fbug ¤ Pv [ fbv g á«¥¤ã¥â ᢮¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ N . ª¨¬ ®¡à §®¬ ⨯ bu ¤ Pv á«¥¤ã¥â ᢮¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ N , â® ¥áâì q , ¨ ª®â®à®¥ ®¯ã᪠¥â f +1(x; y) . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ â®ç®á⨠¢ë¯®«ï¥âáï :f +1(bu; av ). த¥« ¥¬ íâ® á® ¢á¥¬¨ ¨§ ¨ ¯®«ãç ¥¬ Pu , bu ¨ au . å¢ â¨¬ ¢á¥ Pu ¥ª®â®àë¬ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N +1 ¬®¤¥«¨ N , ᮤ¥à¦ 騬 â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢á¥ au, ¨ ¢®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ qu á«¥¤¨ª ¤ N +1 ⨯ bu ¤ Pu , 室ï饣®áï ¢ ª« áᥠp +1 . ª ⮫쪮 ¯à®¤¥« ¥¬ íâã ¯à®æ¥¤ãàã à §, â® ¯®«ãç ¥¬ ⨯®¢ q , 2 , ¤ ¬®¤¥«ìî N. â®¡ë ¯®¯ à® à §«¨ç¨âì í⨠⨯ë, ¤®áâ â®ç® ¨å ®£à ¨ç¨âì ¯ à ¬¥âàë a , ¤«ï 2 , < . ª ª ª ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î , ¥á«¨ < , â® j j = ¨ ç¨á«® â ª¨å ¯ à ¬¥â஢ = , çâ® ¤ ¥â ¥áâ ¡¨«ì®áâì ¢ .
13.b
279
¯¥ªâà áâ ¡¨«ì®áâ¨
¥¬¬ 13.10
᫨ 0 (T ), â® ¤«ï ª ¦¤®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠A ¬®é®á⨠¬®¤¥«¨ N ⥮ਨ T , áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ M ¬®¤¥«¨ N ¬®é®á⨠, ᮤ¥à¦ 饥 A.
®ª § ⥫ìá⢮. ®« £ ¥¬ A = A0 ¨ à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ A1 N , á®-
¤¥à¦ 饥 ¥ª®â®àãî ॠ«¨§ æ¨î ª ¦¤®£® ⨯ ¤ ª®¥çë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ A0, ॠ«¨§ãî饣®áï ¢ N . ¬¥¥âáï ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠A0, ª ¦¤®¥ ¨§ ¨å á ¬®¥ ¡®«ì襥 ¬®¦¥â ¤ âì ⮫쪮 0(T ) ⨯®¢. ¬¥¥¬ ⮫쪮 ⨯®¢, ª®â®àë¥ ã¦® ॠ«¨§®¢ âì, ¨ § ç¨â ¬®¦® áç¨â âì, çâ® ¬®¦¥á⢮ A1 ¨¬¥¥â ¬®é®áâì . ®§®¡®¢«ï¥¬ ¯à®æ¥¤ãàã á § ¬¥®© A0 A1, ¨ ¯®¢â®à塞 ¥ñ ! à §. ¡ê¥¤¨¥¨¥ M ¢á¥å An ¨¬¥¥â ¬®é®áâì ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â â¥áâã à᪮£®, íâ® ¨ ¥áâì í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¬®¤¥«¨ N .
¥®à¥¬ 13.11 (® ᯥªâॠáâ ¡¨«ì®áâ¨)
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì , â® T áâ ¡¨«ì ¢ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ 0 (T ) ¨ = ¤«ï ª ¦¤®£® < (T ) . ®ª § ⥫ìá⢮. á«®¢¨¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¯® «¥¬¬¥ 13.9. ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ®® ¢ë¯®«¥®. ë ¤®«¦ë ¯®ª § âì áâ ¡¨«ì®áâì ⥮ਨ T ¢ . ® «¥¬¬¥ 13.9, ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¬®é®á⨠¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ¬®¤¥«ì ⮩ ¦¥ ¬®é®áâ¨, ¯®í⮬㠬 ¤®áâ â®ç® ¯®¤áç¨â âì ç¨á«® ⨯®¢ 0(T ) , ¨ à áᬮâਬ = i + + : ª®ä¨ «ì®áâì , ¡ã¤ãç¨ à ¢ +, ॣã«ïà , ¯® «¥¬¬¥ ¥¨£ + > . ¯à®â¨¢, â ª ª ª «î¡ ï äãªæ¨ï ¨§ ¢ ®£à ¨ç¥ ¥ª®â®àë¬ i + , â® = . ç¥ £®¢®àï, T áâ ¡¨«ì ¢ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ + < (T ) , ïá® çâ® ª न « ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬ ª न «®¢-¯®á«¥¤®¢ ⥫¥©, áâண® ¬¥ìè¨å ¥£®. ⨠à áᬮâà¥¨ï ¨¬¥îâ ¢ ¦®¥ á«¥¤á⢨¥: ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ n(T ) ª न «, «®£¨çë© (T ), ® ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ä㤠¬¥â «ì®¬ã ¯®à浪ã n-®ª. ª¨¬ ®¡à §®¬, ® ¨¬¥ì訩 ¡¥áª®¥çë© ª न « â ª®©, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ n-®ª ¢ T ®à¤¨ «ì ï ã¡ë¢ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¨¤¥ªá¨à®¢ ï n(T ). ¥¬¬ 13.12
᫨ T áâ ¡¨«ì , â® (T ) = n(T ) ¤«ï «î¡®£® n. ®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª, á ®¤®© áâ®à®ë, ⨯ã a ¤ A ¬®¦® ᮯ®áâ ¢¨âì ⨯ ¤ A n-ª¨ (a; a; :::; a), á ¤à㣮© áâ®à®ë, ⨯ (a1; : : :; an) ¤ A ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⨯®¬ a1 ¤ A, § ⥬ ⨯®¬ a2 ¤ A [ fa1g; : : : , ⨯®¬ an ¤ A [ fa1; : : :; an?1g, â® T ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ᯥªâà áâ ¡¨«ì®á⨠¤«ï ᢮¨å ®¤®í«¥¬¥âëå ¬®¦¥áâ¢, çâ® ¨ ¤«ï ᢮¨å n-®ª.
ë § ¥¬, ¯® «¥¬¬¥ 13.4, çâ® (T ) jT j+ . ஬¥ ⮣®, ª ª ®â¬¥ç¥®, (T ) 0 (T ) , ¨ ¯® ⥮६¥ 11.10) 0(T ) 2jT j . ¬¥¥âáï ¤àã£ ï ®æ¥ª : ¥á«¨ 0(T ) > jT j , ⮣¤ 0 (T ) 2! íâ® á«¥¤á⢨¥ á«¥¤ãî饩 ç¨á⮠⮯®«®£¨ç¥áª®©
«¥¬¬ë, ¯à¨¬¥¥®© ª ¯à®áâà á⢠¬ S1(A), jAj = jT j. ¥¬¬ 13.13 ¯®«¥ ¥á¢ï§ë© ª®¬¯ ªâ, ¨¬¥î騩 ¬®é®áâì áâண® ¡®«ìè¥ ç¨á« ᢮¨å ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¯®¤¬®¦¥áâ¢, ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ 2! â®ç¥ª. ®ª § ⥫ìá⢮. ¯®¬¨¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ à £ â®à ¨ ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®â ¯à®áâà á⢠E (á¬. à §¤¥« 1.c) ; E ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® .
᫨ ¯à¥¤¥«¥, â® E = \ < E . «ï ®à¤¨ « ¯®á«¥¤®¢ ⥫ï E +1 ¯®«ãç ¥âáï ¨§ E 㤠«¥¨¥¬ ¥£® ¨§®«¨à®¢ ëå â®ç¥ª . ®« £ ¥¬ R(a) = ¥á«¨ a 2 E nE +1, ¨ R(a) = 1 ¥á«¨ a «¥¦¨â ¢ ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ E1 ¢á¥å E .
13.c
281
¥ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥àë
᫨ E1 = ; , â® ª ¦¤ ï â®çª ¨¬¥¥â ®à¤¨ «ìë© à £ ¨ ®âªàë⮧ ¬ªãâãî ®ªà¥áâ®áâì, ¢ ª®â®à®© ® ¥¤¨á⢥ ï â®çª ¬ ªá¨¬ «ì®£® à £ . í⮬ á«ãç ¥ E ¥ ¨¬¥¥â ¡®«ìè¥ â®ç¥ª, 祬 ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¯®¤¬®¦¥áâ¢.
᫨ E1 6= ;, â® ®® ¥¯ãá⮥ áâ®ã®¢áª®¥ ¯à®áâà á⢮ ¡¥§ ¨§®«¨à®¢ ëå â®ç¥ª, ¨ ¨¬¥¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ 2! â®ç¥ª. ¥©á⢨⥫ì®, ª ¦¤®¥ ¥¯ãá⮥ ®âªàëâ®-§ ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ E1 à §¡¨¢ ¥âáï ¤¢ ¥¯ãáâëå ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¬®¦¥á⢠. ®£¤ ¯à¨¬¥ï¥¬ ¤¨å®â®¬¨î : ¤¥«¨¬ E1 ¤¢¥ ç áâ¨, § ⥬ ª ¦¤ãî ç áâì ᮢ ¤¢¥ ¨ â.¤., ¨ ¯®¢â®à塞 íâ® ! à §. ¦¤ ï ¨§ ¯®«ãç¥ëå 2! ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ¢«®¦¥ëå ª®¬¯ ªâ®¢ á室¨âáï.
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ jT j = !, â® 0(T ) = ! ¨«¨ 2! , (T ) = ! ¨«¨ !1 . ç¨â ¤«ï áç¥â®© ⥮ਨ ¢®§¬®¦ë ⮫쪮 á«¥¤ãî騥 ç¥âëॠᯥªâà áâ ¡¨«ì®áâ¨: { T ¥áâ ¡¨«ì : T ¥áâ ¡¨«ì ¢ ª ¦¤®¬ , { T áâ ¡¨«ì , ® ¥ á㯥àáâ ¡¨«ì : T áâ ¡¨«ì ¢ ! ¨ ¥áâ ¡¨«ì ¢ ¤àã£¨å ¬®é®áâïå , { T á㯥àáâ ¡¨«ì , ® ¥ !-áâ ¡¨«ì : T áâ ¡¨«ì ¢ 2! ¨ ¥áâ ¡¨«ì ¢ ¤àã£¨å ¬®é®áâïå , { T !-áâ ¡¨«ì (â ª¦¥ £®¢®àïâ : â®â «ì® âà á楤¥â ) , â® ¥áâì T áâ ¡¨«ì ¢ ª ¦¤®¬ .
13.c ¥ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥àë ë ¥ 室¨â¥ ᫨誮¬ ¡áâà ªâë¬ á®¤¥à¦ ¨¥ âà¥å ¯®á«¥¤¨å £« ¢? áâ㯨« ¬®¬¥â ¤«ï ¥£® ¯à®ïá¥¨ï ¥ª®â®à묨 ¯à¨¬¥à ¬¨ ¨ á®áâ ¢«¥¨ï ª â «®£ áâ ¡¨«ì®áâëå ᢮©á⢠⥮਩, ª®â®àë¥ ¢áâà¥ç îâáï ¯® 室ã í⮣® ªãàá . ª ®¡ëç®, ¤¥â «¨ ®áâ ¢«ï¥¬ ç¨â ⥫î. 1. ¥®à¨ï ª®¥ç®© áâàãªâãàë !-áâ ¡¨«ì . ª ª ª ª ¦¤ë© ⨯ ॠ«¨§®¢ , ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ®¡à §®¢ ¨§ ª®¥ç®£® ç¨á« ¥áà ¢¨¬ëå â®ç¥ª, ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ á®áâ®ïâ ⮫쪮 ¨§ ¯®¢â®à¥¨© ®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ í«¥¬¥â . 2. ¥®à¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠!-áâ ¡¨«ì . 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª á®á⮨⠨§ ¤¢ãå â®ç¥ª ॠ«¨§®¢ ®© ¨ ¥ ॠ«¨§®¢ ®©, ®¤ ¤ ¤à㣮©. 3. ®« ï ⥮à¨ï ¢ ï§ëª¥ ã àëå ®â®è¥¨© á㯥àáâ ¡¨«ì . ¨¯ ¤ ; ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⥬, çâ® ª ªãî ¨§ ä®à¬ã« R(x) ¨ :R(x) ® ᮤ¥à¦¨â ¤«ï ª ¦¤®£® ᨬ¢®« R .
᫨ p ¨¬¥¥â ⮫쪮 «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ॠ«¨§ 権, â® ® ¤ ¥â ⮫쪮 ®¤ã â®çªã ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ® ¤ ¥â ¤¢¥ â®çª¨, ॠ«¨§®¢ ãî, ¨ ¥ ॠ«¨§®¢ ãî, ®¤ã ¤ ¤à㣮©. ç¨â 0(T ) = jS1(;)j. 4. â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠c ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ ! - áâ ¡¨«ì®. 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª á®á⮨⠨§ âà¥å â®ç¥ª, à ᯮ«®¦¥ëå ¯® ¯®à浪ã :
282
« ¢ 13
1. ॠ«¨§®¢ ë©, 2. ®¯ã᪠¥â x = y , ® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â x ã , 3. ®¯ã᪠¥â x y . 5. «®âë© ¯®à冷ª ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª ¥áâ ¡¨«¥, ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®á⨠ª ª ¨ ¢á¥ 楯¨. 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ¡ë« 㦥 ®¯¨á . 6. ¨áªà¥âë© ¯®à冷ª ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª ¥áâ ¡¨«¥, ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª á®á⮨⠨§ ¤¢ãå â®ç¥ª, ॠ«¨§®¢ ®© ¨ ¥ ॠ«¨§®¢ ®©. ¦¤ë© ¥à¥ «¨§®¢ ë© áë ª ¦¤®£® ¥à¥ «¨§®¢ ®£® ⨯ ï¥âáï ¥£® á«¥¤¨ª®¬. 7. «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâë¥ ¯®«ï ¤ ®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ !-áâ ¡¨«ìë. ¨¯ë ¤ ; à §¤¥«ïîâáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¤ ¯à®áâë¬ ¯®«¥¬, ª®â®àë¥ ¤ îâ ! â®ç¥ª ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 , ª®â®àë¥ ¥áà ¢¨¬ë á® ¢á¥¬¨ ¤à㣨¬¨ ; ¨ âà á楤¥âë¥ ¤ ¯à®áâë¬ ¯®«¥¬, ª®â®àë¥ ¤ îâ ¤¢¥ â®çª¨, ॠ«¨§®¢ ãî ¨ ¥ ॠ«¨§®¢ ãî, ®¤ã ¤ ¤à㣮©. ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¤ M ¥à¥ «¨§®¢ ®£® ⨯ , íâ® ¬®¦¥á⢮ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ëå í«¥¬¥â®¢ ¤ M . 8. ¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥ ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ !-áâ ¡¨«ì®, â ª ª ª ⨯ë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ¬®£®ç«¥ ¬. 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ¤®áâ â®ç® á«®¦¥ ¨ ®ç¥ì ¯«®å® ¨§ãç¥. 9. ¥®à¨ï ¡¥áª®¥ç®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë ¥áâ ¡¨«ì , ᮠ᢮©á⢮¬ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¨ ᢮©á⢮¬ áâண®£® ¯®à浪 (®¡¥ ¤«ï ä®à¬ã«ë x y) . 10. ®£ âë¥, ¨«¨ n-¡®£ âë¥ ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà á⢠¥áâ ¡¨«ìë, ® ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®á⨠(á¬. 12.e) . 11. ¥®à¨ï á«¥¤®¢ ¨ï âãà «ìëå ç¨á« å !-áâ ¡¨«ì . 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª á®á⮨⠨§ ! â®ç¥ª, ¥áà ¢¨¬ëå á ¤à㣨¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ⨯ ¬ 0; 1; : : : ; n; : : : ¨ ¤¢ãå â®ç¥ª, à ᯮ«®¦¥ëå ®¤ ¤ ¤à㣮© : ¥áâ ¤ àâë© à¥ «¨§®¢ ë© ¨ ¥áâ ¤ àâë© ¥à¥ «¨§®¢ ë©. 12. ¥®à¨ï ¯®à浪 âãà «ìëå ç¨á« å ¥áâ ¡¨«ì , ¡¥§ ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª â®â ¦¥, çâ® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ¯à¨¬¥à¥. 13. ¥®à¨ï á«®¦¥¨ï âãà «ìëå ç¨á¥« ¥áâ ¡¨«ì . ®¦® ¯®ª § âì, çâ® ¥â ᢮©á⢠¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. 14. à¨ä¬¥â¨ª ¥áâ ¡¨«ì , ᮠ᢮©á⢮¬ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠(¤«ï ®â®è¥¨ï ¤¥«¨¬®á⨠¨«¨ ®â®è¥¨ï ¯à¨ ¤«¥¦®áâ¨) ¨ â ª¦¥ ᮠ᢮©á⢮¬ áâண®£® ¯®à浪 . 15. ¥®à¨¨, ¨â¥à¯à¥â¨àã¥¬ë¥ ¢ ¤à㣮© ⥮ਨ ⬥⨬, ç⮠ᮣ« á® ¯à¨æ¨¯ã, ¨§«®¦¥®¬ã ¢ 9.d, ¥á«¨ N ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ¢ áâàãªâãॠM á -áâ ¡¨«ì®© ⥮ਥ© T , £¤¥ ¯à¥¢®á室¨â ç¨á«® ¯ à ¬¥â஢, ãç áâ¢ãîé¨å ¢ í⮩ ¨â¥à¯à¥â 樨, ⮣¤ ⥮à¨ï T 0 ¬®¤¥«¨ N â ª¦¥ -áâ ¡¨«ì . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ (T 0) (T ) .
᫨ N ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ¢ M ¨ ¥¥ ⥮à¨ï T 0 ¨¬¥¥â ᢮©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¨«¨ áâண®£® ¯®à浪 ,
13.c
283
¥ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥àë
⮠⥮à¨ï T ¬®¤¥«¨ M ¨¬¥¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ᢮©á⢮: § ¬¥¨â¥ í«¥¬¥âë N ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬¨ ¨å ª®à⥦ ¬¨ ¨§ M , ä®à¬ã«ë N ¨å ¯¥à¥¢®¤®¬ ¢ M . 16. ®¤ã«¨
᫨ ¬ë â ª ¬®£® £®¢®à¨«¨ ® ¬®¤ã«ïå ¢ £« ¢¥ 6.e, â® £« ¢ë¬ ®¡à §®¬ ¨§-§ á«¥¤ãî饣® १ã«ìâ â :
¥®à¥¬ 13.14 ¥®à¨ï «î¡®£® ¬®¤ã«ï M , ¨ ¢ ç áâ®á⨠⥮à¨ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¡¥«¥¢®© £à㯯ë, áâ ¡¨«ì .
®ª § ⥫ìá⢮. ¨¯ p ¨§ S1(M ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ «¥¦ 騬¨ ¢ ¥¬ ¢¨¤ x a(modG) , £¤¥ a ¨§ M ¨ G ¯à¨¬¨â¨¢ ï ¯®¤£à㯯 M . â® á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 6.26 .
᫨ p ®¯ã᪠¥â ä®à¬ã«ã x y(modG) , â® ¢ ª ç¥á⢥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¡¥à¥¬ y = 6 y, ¥á«¨ ¤«ï ¥ª®â®à®£® a p ` x a(modG), â® ¢ ª ç¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¡¥à¥¬ y a(modG) . â ª, ª ¦¤ë© ⨯ ®¯à¥¤¥«¨¬.
ë ᮯ®áâ ¢¨«¨ ¢ 6.e ⨯ã p ¨§ S1(M ) 䨫ìâà ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯à¥¤áâ ¢¨¬ë¬ ¢ p ä®à¬ã« ¬ x y(modG) . ª ãáâ ®¢«¥®, ª ¦¤®¬ã 䨫ìâà㠯ਬ¨â¨¢ëå £à㯯 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ⨯ ¤ M . ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ q á«¥¤¨ª p ¤ N M , â® ® ¥ ¬®¦¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ¡®«ìè¥ ä®à¬ã«. ª¨¬ ®¡à §®¬ q ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á뮬 p, ¨¬¥î騬 â®â ¦¥ 䨫ìâà ¯®¤£à㯯, â ª ª ª ¬ë 㦥 ®â¬¥â¨«¨, çâ® íâ®â áë ¥¤¨á⢥ë©. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ¬ë 祬 á ⨯ p ¤ ¬®¤¥«ìî M0 ¨ ¡¥à¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥£® á뮢¥© p1; : : :; pn ; : : : ¤ ¬®¤¥«ï¬¨ M1; : : :; Mn ; : : : , ⮠㬥ì襨¥ ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¢ â®ç®á⨠à®áâã 䨫ìâ஢ ¯à¨¬¨â¨¢ëå £à㯯 F0; F1; : : :; Fn; : : : , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å p0 ; p1; : : :; pn ; : : : . ª¨¬ ®¡à §®¬ ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï, çâ® äà £¬¥â ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 , ®¡à §®¢ ®£® ª« áá ¬¨, 室ï騬¨áï ¨¦¥ ª« áá p0, ¥ çâ® ¨®¥ ª ª ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¥ ¯® ¢ª«î票î ᥬ¥©á⢮ 䨫ìâ஢ ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯 ᮤ¥à¦ é¨å F0 . ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à®â¨¢®¯®«®¦ë¬ ª ¯®à浪㠢ª«î票ï 䨫ìâ஢ ¯®¤£à㯯, â ª ª ª ¤® ¥é¥ ãç¨âë¢ âì ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ®£à ¨ç¥¨© ⨯®¢ ¤ ; . ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ p ⨯ x ¤ M ¨ ¥á«¨ a ¨§ M , ⮠⨯ a + p í«¥¬¥â a + x ¤ M ¨¬¥¥â â®â ¦¥ á ¬ë© ä¨«ìâà, çâ® ¨ p . â® ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¥ ¢ª«î票¥ 䨫ìâ஢ ¥áâì â®, çâ® §ë¢ ¥âáï áâà â¨ä¨æ¨à®¢ ë¬ ¯®à浪®¬, ¯®«ãç¥ë¬ à áᬮâ२¥¬ ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 "á â®ç®áâìî ¤® ᤢ¨£ í«¥¬¥â®¬ ¨§ M " . ë ¥ ᪠¦¥¬ ¨ç¥£® ¢ í⮬ âà㤥 ®¡ í⮬ áâà â¨ä¨æ¨à®¢ ®¬ ¯®à浪¥, § ¨áª«î票¥¬ ⮣®, çâ® íâ® ®ç¥ì 㤮¡®¥ á।á⢮ ¢ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ áâ ¡¨«ìëå £à㯯. áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, ª®£¥à¥â®¥ ª®«ìæ® A ¨ ⥮à¨î T ¥£® íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¬®¤ã«¥©.
᫨ p ¨§ S1(M ), â® (M; dp) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤¢ã¬ï á«¥¤ãî騬¨ ¨¤¥ « ¬¨ : I (p) = f : p ` x 2 M g , I0(p) = f : p ` x = 0g . ®¦¥á⢮ I (p) ®¯à¥¤¥«ï¥â 䨫ìâà ¯®¤£à㯯 ⨯ p, I0(p) ¥£® ⨯ ¤ ; . 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ï¥âáï á«¥¤ãî騬: p q ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ I0(p) = I0(q) ¨ I (p) I (q). ª ª ª ª ¦¤ë© ¨¤¥ « ¨¬¥¥â ¢¨¤ I (p), T á㯥àáâ ¡¨«ì ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ A ñâ¥à®¢®. í⮬ á«ãç ¥ ⥮à¨ï T ï¥âáï
284
« ¢ 13
jAj-áâ ¡¨«ì®©, â ª ª ª ⨯ ®¯à¥¤¥«¥ ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ãà ¢¥¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¡à §ãî騬 I (p) . ¡®«¥¥ ®¡é¨å â¥à¬¨ å, ᯥªâà áâ ¡¨«ì®á⨠¬®¤ã«ï M , ¨«¨ â®ç¥¥ ¥£® ⥮ਨ, § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥£® ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯: ¥®à¥¬ 13.15 ®¤ã«ì M á㯥àáâ ¡¨«¥ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ® ¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®© ã¡ë¢ î饩 楯¨ G0 G1 Gn : : : ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯, £¤¥ ª ¦¤ ï Gn+1 ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë© ¨¤¥ªá ¢ Gn .
᫨ ª®«ìæ® A áç¥â®, â® ®® !-áâ ¡¨«ì® ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ®® ¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çãî áâண® ã¡ë¢ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯.
®ª § ⥫ìá⢮. ¥à¢®¥ ãá«®¢¨¥ à ¢®á¨«ì® á㯥àáâ ¡¨«ì®á⨠âਢ¨-
«ìë¬ ®¡à §®¬, â ª ª ª ®® ®§ ç ¥â, çâ® ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®¥ç®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠áâண® ¢®§à áâ îé¨å 䨫ìâ஢ ¯à¨¬¨â¨¢ëå £à㯯.
᫨ ¢â®à®¥ ãá«®¢¨¥ ¢ë¯®«¥®, â® ª ¦¤ë© 䨫ìâà F ¨¬¥¥â ¬¨¨¬ «ìë© í«¥¬¥â G ¨ ⨯ p 䨫ìâà F ®¯à¥¤¥«¥ ãá«®¢¨¥¬ x a(modG) (¨ x 6 b(modH ) , ¤«ï ¢á¥å H 62 F !) ¨ ¬ë ¨¬¥¥â â ª¨¬ ®¡à §®¬ áâ ¡¨«ì®áâì ¢ ª ¦¤®¬ ª न «¥ .
᫨ ¯à®â¨¢ áãé¥áâ¢ã¥â áâண® ã¡ë¢ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì G0 : : :Gn : : : â ª¨å ¯®¤£à㯯, â® ª ¦¤ë© ª« áá ¯® ¬®¤ã«î Gn à §¤¥«ï¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ ª« áá ¯® ¬®¤ã«î Gn+1 , ¨ ¢ ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«¨ T ¬®¦® ©â¨ as, ¨¤¥ªá¨à®¢ ë¥ 2n , n 2 ! , ¨ b , ¨¤¥ªá¨à®¢ ë¥ 2! , â ª¨¥, çâ® ¥á«¨ s ï¥âáï ®£à ¨ç¥¨¥¬ , â® as b (modGn ) ¥á«¨ (n) = 1, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª as 6 b (modGn ) ¥á«¨ (n) = 0 . ¬¥¥âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬ 2! ⨯®¢ ¤ áç¥âë¬ ¬®¦¥á⢮¬ as.
¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ç¥à¥§ Zp ®¡®§ 稬 横«¨ç¥áªãî £à㯯㠨§ p í«¥¬¥â®¢, £¤¥ p ï¥âáï ¯à®áâë¬ ç¨á«®¬, â® á㬬 Zp(!) ! ª®¯¨© Zp !-áâ ¡¨«ì ; ¥¥ ¬®¦® à áᬠâਢ âì ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ª ª ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¤ ¯®«¥¬ ¨§ p í«¥¬¥â®¢, ¨ ¡¥áª®¥ç®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ ¤ ¯®«¥¬ K ¥áâì íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâë© K -¬®¤ã«ì. ®¤£à㯯 nZ £à㯯ë Z ¯à¨¬¨â¨¢ , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© 9y(x = ny) ; â ª ª ª ¢á¥ ¯®¤£à㯯ë Z ¨¬¥îâ ¢¨¤ nZ , íâ® ¢á¥ ¯à¨¬¨â¨¢ë¥ ¯®¤£à㯯ë. ç¨â £à㯯 Z á㯥àáâ ¡¨«ì ¨ ¥ !-áâ ¡¨«ì . ¬¥îâáï ¤¢ 䨫ìâà ¯à¨¬¨â¨¢ëå £à㯯: ®¤¨ ®¡à §®¢ ë© ¨§ ¢á¥å ¯à¨¬¨â¨¢ëå £à㯯, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ॠ«¨§®¢ ë¬ â¨¯ ¬, ¨ ¤à㣮© ¨§ ¢á¥å ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¥ã«¥¢ëå £à㯯, ª®â®àë© á®®â¢¥âáâ¢ã¥â ¥à¥ «¨§®¢ ë¬ â¨¯ ¬. ª ª ª £à㯯 Z m ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ¢ Z â® ® â ª¦¥ á㯥àáâ ¡¨«ì ; ¬ë ¢¨¤¨¬, à áᬠâਢ ï nZ m, çâ® ® ¥ !-áâ ¡¨«ì . ¯à®â¨¢, £à㯯 Z (!) ¥ á㯥àáâ ¡¨«ì .
13.d áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï 㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª { ª«îç \¯ ਦ᪮£® ¯®¤å®¤ ª áâ ¡¨«ì®áâ¨": [, 1977] , [-, 1979] . ⮡ë ãᯮª®¨âì â¥å ªâ® ¡ë 襫, çâ® ¢â®à ¤®¯ãá⨫ ¥áªà®¬®áâì §ë¢ ï "ä㤠¬¥â «ìë¬" ®¤® ¨§ ᢮¨å
13.d
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
285
¯®ï⨩, ï ®â¬¥çã, çâ® ® ¡ë« â ª §¢ ¯®â®¬ã, çâ® à £ U ᪠à (£« ¢ 17) ï¥âáï à £®¬ ä㤨஢ ¨ï í⮣® ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ! ª ⮫쪮 ç¨â ⥫ì ã᢮¨â £« ¢ë 15, 16 ¨ 17 í⮣® ªãàá , ® ©¤¥â ¢ [
, 1986] ¨ [, 1986] ¤à㣨¥ ᢥ¤¥¨ï ® ä㤠¬¥â «ìëå ¯®à浪 å á㯥àáâ ¡¨«ìëå ⥮਩. ¯¥ªâà áâ ¡¨«ì®á⨠¡ë« ®¯à¥¤¥«¥ ¯®ç⨠¨áª«îç¨â¥«ì® ¥« 宬: á¬. [
, 1978] , c. 506. ¥à¬¨ë "â®â «ì® âà á楤¥â ï" ¨ "á㯥àáâ ¡¨«ì ï" ¯®ï¢¨«¨áì ᮮ⢥âá⢥® ¢ [, 1965] ¨ [
, 1969] . ¢¥¤¥¨¥ ᢮©á⢠áâ ¡¨«ì®á⨠¬®¤ã«¥© ª ¯à¨áãâáâ¢¨î ¨«¨ ®âáãâá⢨î 楯¥© ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯 ¢®á室¨â ª [, 1979] ; ¯® ¯®¢®¤ã áâà â¨ä¨æ¨à®¢ ®£® ¯®à浪 á¬. [, 1981] ¨ [, 1983b] .
« ¢ 14 â ¡¨«ì®áâì ¨ áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ Yes, oh yes, Long Distance, I accept the charge, I'll pay Which loved one is calling me? I didn't hear you say Both are deep whithin my heart, her Mum and my Marie, It's so good to hear your voice from Memphis (Tennessee) C.E.B.
14.a ¥®à¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï : : : : : : : : : : : : : : 287 14.b ¥®à¥¬ë ¥áãé¥á⢮¢ ¨ï : : : : : : : : : : : 288 14.c «¥áâï騥 ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 290 14.d ®áâ â®ç® áëé¥ë¥ à áè¨à¥¨ï ¤ ®© ¬®¤¥«¨ : : : : : : : : : : 292 14.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 294 286
14.a
287
¥®à¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï
14.a ¥®à¥¬ áãé¥á⢮¢ ¨ï ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¬ë ¥ ¬®¦¥¬ ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ áëé¥ëå ¬®¤¥«¥©, â.¥. - áëé¥ëå ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠. «ï áâ ¡¨«ìëå ⥮਩ á¨âã æ¨ï ¤à㣠ï . 祬 á § ¬¥ç ¨ï: ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , ¨ f: : : ; ai; : : : g ï¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî, ª®â®à ï â ª¨¬ ®¡à §®¬ â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ ¨ ¥¤¥«¨¬ , â® ¤«ï ª ¦¤®£® ¯ à ¬¥âà b , ¢á¥ ai § ¨áª«î票¥¬ ¥ ¡®«¥¥ jT j ॠ«¨§ãîâ á।¨© ⨯ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¤ b . ¥©á⢨⥫ì®, ª ¦¤ ï ä®à¬ã« f (x; b) í«¨¬¨¨àã¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® íâ¨å ai . «¥¤ãîé ï «¥¬¬ ã⢥ত ¥â, çâ® ¤«ï í⮣® ᢮©á⢠¬®¦® § ¬¥¨âì jT j+ (T ) .
¥¬¬ 14.1
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì , s ï¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®-
¢ ⥫ì®áâìî, ¨ b n-ª ¯ à ¬¥â஢, â® ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¨§ s, ª®â®àë¥ ¥ ॠ«¨§ãîâ á।¨© ⨯ s ¤ b áâண® ¬¥ìè¥ (T ) .
®ª § ⥫ìá⢮. ë § ¥¬ ¯® ⥮६¥ 12.33 , çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s = fa0; : : :; a ; : : : g ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯ ¤ ; , çâ® ¨ ¥ª®â®à ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì
®à«¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ãîâ ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì M , ¬®¤¥«¥© ¨ ⨯ p ¤ M0 â ª¨¥, çâ® a ॠ«¨§ã¥â ¢ M +1 á«¥¤¨ª p ¤ M . ãáâì q ⨯ b ¤ M .
᫨ ⨯ a , ¤ M0 [ fbg ¥ ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p, ⮠⨯ a ¤ M [ fbg â ª¦¥ ¥ ï¥âáï â ª¨¬. ª ª ª ⨯ a ¤ M ï¥âáï ¯à®â¨¢ á«¥¤¨ª®¬ p , ⮠⨯ a ¤ Ma [ fbg ¥ á«¥¤ã¥â ᢮¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ M . ® ᨬ¬¥âਨ, ⨯ b ¤ M [ fa g ¥ á«¥¤ã¥â ᢮¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ M ¨ q +1 ¥ ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ q . ª ª ª ¯® «¥¬¬¥ 13.12 n(T ) = (T ) , â® íâ® ¯à®¨§®©¤¥â ¬¥ìè¥ ç¥¬ (T ) à §.
¥®à¥¬ 14.2
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ¢ , â® ® ¨¬¥¥â áëé¥ãî ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠.
®ª § ⥫ìá⢮. ® ⥮६¥ ® ᯥªâॠáâ ¡¨«ì®á⨠13.11, â ª ª ª T áâ ¡¨«ì ¢ , â® 0 (T ) ¨ cof () (T ) . ¥©á⢨⥫ì®, ¯® «¥¬¬¥ ñ¨£ ,
cof () áâண® ¡®«ìè¥ . ® «¥¬¬¥ 13.10, ¬ë § ¥¬, çâ® T ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì M0 ¬®é®á⨠. ª ª ª T áâ ¡¨«ì ¢ , â® ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ⨯®¢ ¤ í⮩ ¬®¤¥«ìî, ¨ ¢®¢ì ¯® «¥¬¬¥ 13.10, ¬ë ¬®¦¥¬ ॠ«¨§®¢ âì ¨å ¢á¥å ¢ ¥ª®â®à®¬ à áè¨à¥¨¨ M1 ¬®¤¥«¨ M0 ¬®é®á⨠. ®¢â®àïï íâã ¯à®æ¥¤ãàã à §, ¬ë ª®áâàã¨à㥬 ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®¤¥«¥© 襩 ⥮ਨ M , < , ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ¬®é®áâì , ¯à¨ç¥¬ M +1 ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ â¨¯ë ¨§ S1(M ) . ã⢥ত î, çâ® ¬®¤¥«ì M , ª®â®à ï ï¥âáï ¯à¥¤¥«®¬ ¢á¥å M ¨ ¨¬¥¥â ¬®é®áâì = áëé¥ . ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì A ¯®¤¬®¦¥á⢮ M ¬®é®á⨠< ¨ p ⨯ ¤ A. ¤® ¯®ª § âì, çâ® p ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M . ãáâì q ¯à®¨§¢®«ìë© áë p ¤ M ¨ q ®£à ¨ç¥¨¥ q M . ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥, ¨¬¥¥¬ q0 q1 q : : : , ¨ â ª ª ª ¢ ¥¬ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â áâண® ã¡ë¢ î饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à¤¨ «®¢ ª®ä¨ «ì®© , â® íâ® ®§ ç ¥â,
288
« ¢ 14
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᫨ > (T ) , â® ¯® «¥¬¬¥ 14.1, ¢á¥ í«¥¬¥âë í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, § ¨áª«î票¥¬ ¥ ¡®«¥¥ (T ) < , ॠ«¨§ãîâ p . ¥á«¨ = (T ) , â® cof () = (T ) ¨ ॣã«ïà¥. ® ¥á«¨ ॣã«ïà¥, â® ¬®¦® ¥ «®¬ âì £®«®¢ã, â ª ª ª A ᮤ¥à¦¨âáï ¢ M , ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¤®áâ â®ç® ¡®«ì讣® .
14.b ¥®à¥¬ë ¥áãé¥á⢮¢ ¨ï ¥®à¥¬ 14.3 ¥áâ ¡¨«ì ï ⥮à¨ï ¥ ¨¬¥¥â áë饮© ¬®¤¥«¨ ᨣã«ïன ¬®é®áâ¨.
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢, çâ® T ¥áâ ¡¨«ì ¨ ¨¬¥¥â -
áëé¥ãîS¬®¤¥«ì M ᨣã«ïன ¬®é®á⨠. ®£¤ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì M ¢ ¢¨¤¥ ! . ® ⥮६¥ 14.4 cof () (T ) . ¬¥â¨¬, çâ® ¨§ - áë饮á⨠M ¨ ¥à ¢¥á⢠> 0(T ) (T ) á«¥¤ã¥â, çâ® ª ¦¤ë© ⨯ ¤ M ï¥âáï á।¨¬ ⨯®¬ ¥à §«¨ç¨¬®© !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨ í«¥¬¥â®¢ ¨§ M ( á ¬®¬ ¤¥«¥, ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ £« ¢¥ 16, ¤«ï í⮣® ¤®áâ â®ç® ãá«®¢¨¥ (T )). ¥©á⢨⥫ì®, ª ª ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 13.11, ª ¦¤®¬ã ®â®¡à ¦¥¨î s ®à¤¨ « ¢ M , £¤¥ < (T ) , ¬ë ¬®¦¥¬
290
« ¢ 14
ᮯ®áâ ¢¨âì í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ Ms ¬®¤¥«¨ M ¬®é®á⨠max(j j; 0(T )) â ª, ç⮡ë Mt ¡ë«® à áè¨à¥¨¥¬ Ms , ¥á«¨ t ï¥âáï ¯à®¤®«¦¥¨¥¬ s . íâ¨å ãá«®¢¨ïå, â ª ª ª ¢ ä㤠¬¥â «ìë¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ T ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ã¡ë¢ î饩 ®à¤¨ «ì®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, ¨¤¥ªá¨à®¢ ®© (T ) , ª ¦¤ë© ⨯ p ¨§ S1(M ) ¤®«¦¥ ¡ëâì á«¥¤¨ª®¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï ps Ms , ¤«ï ¥ª®â®à®£® s . ª ª ª jMs j < , M ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ps , á।¨© ⨯ ª®â®à®© ¥áâì p . ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¥ ¡®«¥¥ ! ⨯®¢ ¤ M . ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª «î¡®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¬®é®á⨠¥ ¡®«ì襩 ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ M , ¥á«¨ ¬ë ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® T ¥áâ ¡¨«ì ¢ , â® ¥®¡å®¤¨¬® ç⮡ë ! > . ª ª ª ! ¥ ª®ä¨ «¥ ¢ , ®â®¡à ¦¥¨¥ ! ¢ P¨¬¥¥â ®£à ¨ç¥ë© ®¡à §: íâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ ! ¢ < . «¥¤®¢ â¥«ì® ! = , ¨ ç¥ ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì ! = . ®áª®«ìªã n = ¤«ï n 2 ! ¨ ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ áãé¥áâ¢ã¥â ã¡ë¢ îé ï !-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, â® ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ A ¬®é®á⨠⠪®¥, çâ® S1(A) ᮤ¥à¦¨â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ! ⨯®¢ (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë 13.9). ® ⨯ A ¤ ; ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M , ¬®¦® áç¨â âì çâ® ®® ¯®¤¬®¦¥á⢮ ¬®¤¥«¨ M , ¢ ª®â®à®© ¬®¦¥â ॠ«¨§®¢ âìáï ⮫쪮 ⨯®¢ ¤ A . ç¨â M ¥ áëé¥ , ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.
®§¤¥¥ ¬ë 㢨¤¨¬ ¢ ⥮६¥ 16.10, çâ® ¬®¦® «¥£ª® ã«ãçè¨âì íâã ⥮६ã, ãâ®çïï â® çâ® ¯à®¨§®©¤¥â ¬¥¦¤ã 0(T ) ¨ (T ). ¬¥â¨¬, ç⮠⥮६ 14.4 ã⢥ত ¥â, çâ® ¥á«¨ T ¨¬¥¥â áëé¥ãî ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠(T ) , â® íâ®â ª न « ॣã«ïà¥.
14.c «¥áâï騥 ¬®¤¥«¨ 祬 á® á«¥¤ãî饩 «¥¬¬ë ïî饩áï ãâ®ç¥¨¥¬ १ã«ìâ â , ª®â®àë© ¬ ⮫쪮, çâ® ¯®á«ã¦¨« ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ ⥮६ë 14.5. â «¥¬¬ ¢à¥¬¥ ï, â ª ª ª ¬ë 㢨¤¨¬ à §¤¥«¥ 16.c, ç⮠१ã«ìâ â ®áâ ¥âáï ¢ ᨫ¥ ¯à¨ ¥¤¨á⢥®¬ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ (T )- áë饮áâ¨, ¥á«¨ T ¥ á㯥àáâ ¡¨«ì .
¥¬¬ 14.6
᫨ T áâ ¡¨«ì ¨ > jT j ¨«¨ > 0(T ) , â® ª ¦¤ë© ⨯ p ¤ - áë饮© ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T ï¥âáï á।¨¬ ⨯®¬ ¡¥áª®¥ç®© ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨ í«¥¬¥â®¢ M .
®ª § ⥫ìá⢮. ª¦¥ ª ª ¢ ⥮६¥14.5, ¬ë ¯®áâந¬ ¬®¤¥«¨ Ms â ª, çâ®¡ë ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì Ms ¡ë« ¬®é®á⨠áâண® ¬¥ì襩 ¨ p ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï ps ¥ª®â®àãî Ms ¨ ¬®¤¥«ì M ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ⨯ ps . â® ¬®¦® ᤥ« âì ¯® ⥮६¥ ¥¢¥£¥©¬ , ¥á«¨ > jT j , ¨ ¯® «¥¬¬¥ 13.10 ¥á«¨ > 0(T ) .
«¥¤ãîé ï ⥮६ 㪠§ë¢ ¥â â®, çâ® ¡«¥áâï騥 ¬®¤¥«¨ áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ ¨¬¥îâ ⥤¥æ¨î ¡ëâì áëé¥ë¬¨. ë ã«ãç訬 íâã ⥮६㠢 16.c, § ¬¥ïï £¨¯®â¥§ã jT j+ ¨«¨ 0 (T )+- áë饮á⨠(T )- áë饮áâì.
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291
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¥®à¥¬ 14.7
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì , â® !1-¡«¥áâïé ï ¬®¤¥«ì T , ïîé ïáï jT j+ ¨«¨ 0 (T )+- áë饮©, áëé¥ . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M ¬®¤¥«ì ¨§ ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë ¬®é®á⨠, A
¯®¤¬®¦¥á⢮ M ¬®é®á⨠< , ¨ p ⨯ ¤ A . ¬ 㦮 ¤®ª § âì, çâ® ® ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M . ãáâì q áë p ¤ M . ª ª ª ¬®¤¥«ì M ¤®áâ â®ç® áëé¥ , q ï¥âáï á।¨¬ ⨯®¬ ¤ M ¥ª®â®à®© ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠a0; a1; : : : ; an; : : : í«¥¬¥â®¢ M . ¥¯¥àì ï ã⢥ত î, çâ® â ª ª ª M !1-¡«¥áâïé ï, â® íâ® ¥à §«¨ç¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥® ¢ M ¤® ¥à §«¨ç¨¬®£® ¬®¦¥á⢠¬®é®á⨠. ¥©á⢨⥫ì®, ¤®¡ ¢«ï¥¬ ª ï§ëªã ᨬ¢®« ã ண® ®â®è¥¨ï R(x) ¨ ᨬ¢®« ã ன äãªæ¨¨ f (x) ¨ à áᬮâਬ ªá¨®¬ë, ¢ëà ¦ î騥, çâ® f ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥© ¬¥¦¤ã ¬®¤¥«ìî ¨ ¥¥ í«¥¬¥â ¬¨, 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨ R , â ª¦¥ á«¥¤ãî騥 ªá¨®¬ë, ¢ëà ¦ î騥, çâ® R ï¥âáï ¥à §«¨ç¨¬ë¬ ¬®¦¥á⢮¬, ¯à®¤®«¦ î騬 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0; a1; : : :; an; : : : : 8x1 : : : 8xnf^^R(xi) ^ ^ xi 6= xj !
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, 1978] , á. 423, â ª ¦¥ ª ª ¨ «î¡®¯ëâ ï «¥¬¬ 14.8 ® 楯ïå áëé¥ëå ¬®¤¥«¥©, [
, 1978] , á. 8, § ª«î票¥ 1 { 13, £¤¥ ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¤®ª § âì ¢¥«¨ª®«¥¯¨¥ áë饮© ¬®¤¥«¨. ¬¥®
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, 1984] . â¥à¨ « à §¤¥« 14.d ᮤ¥à¦¨âáï ¢ [, 1983d] . ç¨á«¥ ¬®¤¥«¥© ¥áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ ª®áã«ìâ¨àã©â¥áì ¯®á«¥ ¯à®çâ¥¨ï £« ¢ë 18 ã [
, 1971] , ª®â®à ï ¥é¥ ¤®áâ â®ç® ¯®ïâ . ¥á㯥àáâ ¡¨«ì®¬ á«ãç ¥, âॡãî饬 ¡®«ìè¥ ¬ã¦¥á⢠ª®áã«ìâ¨àã©áï ¢ ª¨£¥ [
, 1978], £« ¢ VIII.
« ¢ 15 ⪫®¥¨¥ Deinde ibidem homo acutus, cum illud occurreret, si omnia deorsum e regione ferrentur et, ut dixi, ad lineam, nunquam fore ut atomus altera alteram posset attingere, itaque attulit rem commenticiam : declinare dixit atomum per paulum quo nihil posset eri minus ; ita eci ... M.T.C.
15.a ¥®à¥¬ ® £à ¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 297 15.b 뮢ìï á ®âª«®¥¨¥¬, á뮢ìï ¡¥§ ®âª«®¥¨ï : : : : : : : : : : : : : : 300 15.c à â®áâì : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 303 15.d â ¡¨«ìë¥ â¨¯ë ¢ ¥áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 305 15.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 306
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¥®à¥¬ ® £à ¨
297
¯à¥¤è¥áâ¢ãîé¨å £« ¢ å ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ á«¥¤¨ª®¢, ®á®¡ëå á뮢¥©, ª® á«¥¤¨ª®¢, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨, ¨ â.¤. ¤«ï ⨯ p, ®¯à¥¤¥«¥®£® ¤ ¬®¤¥«ìî ⥮ਨ T . ®, çâ® ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ M ï¥âáï ¬®¤¥«ìî T , ¥®¡å®¤¨¬® ¤«ï áãé¥á⢮¢ ¨ï íâ¨å ¯®ï⨩: ¬ë ¯®áâ®ï® ¨á¯®«ì§®¢ «¨ â®â ä ªâ, çâ® ¥á«¨ A ï¥âáï ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢, ᮤ¥à¦ 騬 M , â® ª ¦¤ ï ª®¥ç ï ¤¨ £à ¬¬ í«¥¬¥â®¢ A ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ M . «ï ⨯ p, ®¯à¥¤¥«¥®£® ¤ ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T , ¢ ®¡é¥¬ ¤®áâ â®ç® «¥£ª® ¢ë¤¥«¨âì ¥£® á뮢¥©, ¨¬¥îé¨å ¨â¥à¥áë¥ á¢®©á⢠, ¯®«¥§®áâì ª®â®àëå ¬ë 㢨¤¥«¨ ¢ £« ¢¥ 14. ® ç¨â â¥«ì ®â¬¥â¨« ªà®¡ â¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à ¥ª®â®àëå ¤®ª § ⥫ìáâ¢. ¥«® ¢ ⮬, çâ® á® á।á⢠¬¨, ª®â®à묨 ¬ë à ᯮ« £ «¨, ¬ ¯à¨å®¤¨«®áì, çâ® ¢ë£«ï¤¥«® ¥¬®£® ¨áªãáá⢥®, á¨á⥬ â¨ç¥áª¨ ¯®ªàë¢ âì è¨ ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢ ¬®¤¥«ï¬¨ T (¬®¤¥«¨ Ms ¨§ «¥¬¬ë 13.10 ¨ «¥¬¬ë 14.6; ¬®¤¥«¨ M ¢ 14.1, ¨ â.¤.); ¨ ¤ ¦¥ ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå, íâ® ¡ë«® ¥ ⮫쪮 ¢®¯à®á®¬ í«¥£ â®á⨠¨«¨ ¤¥ª¢ â®á⨠襣® ¬¥â®¤ ¢ ¤¥«¥, ® ¨ ¯à®áâ® ¥£® íä䥪⨢®áâ¨: ¬ë ¥ ᬮ£«¨ ¤®ª § âì â®, çâ® ¬ë å®â¥«¨ ¢ 14.c, ª®£¤ à¥çì è« ® ᫨誮¬ ¬ «¥ìª¨å ª न « å, çâ®¡ë ¯®áâநâì ¬®¤¥«¨ ¢ íâ¨å ª न « å. áâ㯨« ¬®¬¥â ¢¢¥¤¥¨ï áâ®ï饣® ®à㤨ï ⥮ਨ áâ ¡¨«ì®á⨠{ ¯®ïâ¨ï áë ¡¥§ ®âª«®¥¨ï ⨯ p ¤ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢ A, ª®â®à®¥ ®¡®¡é ¥â ¯®ï⨥ á«¥¤¨ª : ¥á«¨ A ï¥âáï ¬®¤¥«ìî T , â® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á뮬 ⨯ p ¡¥§ ®âª«®¥¨ï ï¥âáï ¥£® á«¥¤¨ª (⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î). â £« ¢ 14 ¯à¨¢®¤¨âáï ¥áª®«ìª® ¯à¥¦¤¥¢à¥¬¥® ¤«ï ⮣®, ç⮡ë ã¡¥¤¨âì ç¨â â¥«ï ¢ § 稬®á⨠¯à¥¤¯®«®¦¥¨© áâ ¡¨«ì®á⨠¨«¨ ¥áâ ¡¨«ì®áâ¨, áâ ®¢ïé¨åáï ä㤠¬¥â «ì묨 ¢ ª®áâàãªæ¨ïå ¬®¤¥«¥©, ¯à¥¦¤¥ 祬 ¥£® § áâ ¢«ïâì ¯à®£«®â¨âì ¥é¥ âਠ£« ¢ë ⥮à¥â¨ç¥áª¨å ¨áá«¥¤®¢ ¨© ® ⨯ å. â® ¥ ᮧ¤ ¥â ¡®«ì讣® ¥ã¤®¡á⢠, â ª ª ª ¬¥â®¤ë ¯®áâ஥¨ï áëé¥ëå ¬®¤¥«¥© { íâ® ¢á¥ â®, çâ® ®¯¨á ® ¬¨; ª®£¤ ç¨â â¥«ì ¯®«ãç¨â ®ª®ç ⥫ìãî ¢¥àá¨î «¥¬¬ë 14.6, ® ¯®«ãç¨â ¥¬¥¤«¥® ®ª®ç ⥫ìë¥ á«¥¤á⢨ï í⮩ «¥¬¬ë. ¯à®â¨¢, ¤«ï ¡®«¥¥ ⮪¨å ª®áâàãªæ¨©, â ª¨å, ª ª ¯®áâ஥¨¥ ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥©, ¬ ¡ã¤¥â ¥®¡å®¤¨¬ ¢¥áì àᥠ« â¥å¨ª¨ ®âª«®¥¨ï.
15.a ¥®à¥¬ ® £à ¨ ¥¬¬ 15.1 ãáâì M { ¬®¤¥«ì ⥮ਨ T ¨ F { ¥¯ãá⮥ § ¬ªã⮥ ¬®-
¦¥á⢮ S1 (M ). ®£¤ ¢ F ¨¬¥¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ¬ ªá¨¬ «ìë© â¨¯ ®â®á¨â¥«ì® ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 á।¨ ⨯®¢ ¨§ F .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì C { ¬ ªá¨¬ «ì ï ®â®á¨â¥«ì® ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 楯ì ⨯®¢ pi ¨§ F . ë ⮣¤ à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ï§ëª L(M ), ®¡®£ 饮£® ã àë¬ à¥«ïæ¨®ë¬ á¨¬¢®«®¬ M(y) ¨ ᨬ¢®«®¬ ª®áâ âë x, ᮤ¥à¦ 饥 T (M ) ¨ ã⢥ত î饥, çâ® M ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬ ®£à ¨ç¥¨¥¬ ¬¨à , ᮤ¥à¦ 饣® ª ¦¤ë© í«¥¬¥â M , x 㤮¢«¥â¢®àï¥â ª ¦¤ãî ä®à¬ã«ã F , ¨ çâ® ¥£® ⨯ ¤ M ®¯ã᪠¥â ª ¦¤ãî ä®à¬ã«ã L, ®¯ãé¥ãî ®¤¨¬ ¨§ pi . ë ¢¨¤¨¬, ª ª ¢ 13.2, çâ® íâ® ¬®¦¥á⢮ ¯à¥¤«®¦¥¨©
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ᮢ¬¥áâ®. ¥ «¨§ æ¨ï í⮣® ¬®¦¥á⢠¤ ¥â ⨯ q ¤ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N ¬®¤¥«¨ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¢á¥ ä®à¬ã«ë, ®¯à¥¤¥«ïî騥 F , ¨ ¬ ¦®à¨àãî騩 ¢á¥ pi ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥; ¥á«¨ p { ®£à ¨ç¥¨¥ q M , â® p q, ¨ p ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ â¨¯®¬ ¢ F .
§ ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¬¬ë ïá®, çâ® â¨¯ë § ¬ªã⮣® ¬®¦¥á⢠®¡à §ãîâ ®â®á¨â¥«ì® ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 ¨¤ãªâ¨¢®¥ ¬®¦¥á⢮.
᫨ p 2 S1(A) ¨ M { ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï A (â.¥ ¬®¤¥«ì ⥮ਨ T (A)), â® á뮢ìï p ¤ M ®¡à §ãîâ § ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ ¢ S1(M ); ¯à¥¤ë¤ãé ï «¥¬¬ ã⢥ত ¥â, çâ® íâ® § ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ ᮤ¥à¦¨â ¬ ªá¨¬ «ìë¥ â¨¯ë; ¬ë §®¢¥¬ £à ìî p ¤ M ª« áá ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ ®¤®£® â ª®£® ¬ ªá¨¬ «ì®£® áë ¤ M ⨯ p.
¥¬¬ 15.2
᫨ p 2 S1(A) ¨ M ¨ N { ¤¢¥ ¬®¤¥«¨, ᮤ¥à¦ 騥 A, â® £à ¨ p ¤ M ⥠¦¥, çâ® £à ¨ p ¤ N .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì { £à ì p ¤ M ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, p ¨¬¥¥â áë q ¨§ ª« áá , ¬ ªá¨¬ «ì®£® á।¨ á뮢¥© p ¤ M ; ¯ãáâì P { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ (¢ á¬ëá«¥ L(A) !), ®¡é¥¥ ¤«ï M ¨ N , ¨ q1 { á«¥¤¨ª q ¤ P á ®£à ¨ç¥¨¥¬ q2 ¤ N : â ª ª ª ª« áá q1 ᮢ¯ ¤ ¥â á ª« áᮬ q, ª« áá q2 ¢ëè¥ ¨«¨ à ¢¥ . ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠ª« ááë à ¢ë ¨ q2 ¬ ªá¨¬ «¥ á।¨ á뮢¥© p ¤ N ; ¨ ç¥, áãé¥á⢮¢ « ¡ë ⨯ q3 ¤ N á ª« áᮬ áâண® ¢ëè¥ ; íâ® ¡ë«® ¡ë â ª ¨ ¤«ï ª« áá á«¥¤¨ª q4 ⨯ q3 ¤ P , § ⥬ ¤«ï ª« áá ¥£® ®£à ¨ç¥¨ï q5 ¤ M : íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® { £à ì p ¤ M .
ª ª ª ¬®¦® ¥ ãâ®çïâì ¬®¤¥«ì, ¬ë ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì ®âë¥ ® £à ïå p.
᫨ p ¢ S1(A), A B , â® ¬ë §®¢¥¬ ¬ ªá¨¬ «ìë¬ á뮬 p ¤ B áë q ¤ B ⨯ p, ïî騩áï ®£à ¨ç¥¨¥¬ ¥ª®â®à®£® áë p ¤ ¬®¤¥«ìî M , ᮤ¥à¦ 饩 B , ª« áá ª®â®à®£® ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ ï¥âáï £à ìî p. ® ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬¥, ¥á«¨ B ï¥âáï ¬®¤¥«ìî T , â® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ª« áá q ï¥âáï £à ìî p; ¬ë ¢¨¤¨¬ â ª ¦¥ «¥£ª®, çâ® íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© ¬®¤¥«¨ M , ᮤ¥à¦ 饩 B , q ¨¬¥¥â áë ¤ M , ª« áá ª®â®à®£® ï¥âáï £à ìî p. ¦¤ë© ⨯ p ï¥âáï ®ç¥¢¨¤® ¬ ªá¨¬ «ìë¬ á뮬 á ¬®£® ᥡï, ¬ ªá¨¬ «ìë¥ á뮢ìï áãé¥áâ¢ãîâ ¯® á«¥¤ãî饩 «¥¬¬¥:
¥¬¬ 15.3 ãáâì A B C , p 2 S1(A) ¨ q { ¬ ªá¨¬ «ìë© áë ¤ B
⨯ p; ⮣¤ q ¨¬¥¥â áë r ¤ C , ª®â®àë© ï¢«ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ á뮬 p.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M { ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï B , ¨ q1 { áë q ¤ M ,
ª« áá ª®â®à®£® ï¥âáï £à ìî p; ¯ãáâì N { ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï ®¤®¢à¥¬¥® M ¨ C ; ¡¥à¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ r ®£à ¨ç¥¨¥ C á«¥¤¨ª q1 ¤ N .
ë ᨬ¬¥âਧ㥬 ⥯¥àì ¯®ï⨥ ¬ ªá¨¬ «ì®£® áë , á«¥¤ãï £¨¬ á⨪¥, å®à®è® § ª®¬®© ç¨â ⥫î, ®¢« ¤¥¢è¥¬ã ¢ ᮢ¥àè¥á⢥ ¯®ïâ¨ï¬¨ á«¥¤¨ª ¨ ª® á«¥¤¨ª : ¬ë £®¢®à¨¬, ç⮠⨯ a ¤ A [ fbg { ª®¬ ªá¨¬ «ì®¥ à áè¨à¥¨¥ ⨯ a ¤ A, ¥á«¨ ⨯ b ¤ A [ fag { ¬ ªá¨¬ «ì®¥ à áè¨à¥¨¥
15.a
299
¥®à¥¬ ® £à ¨
⨯ b ¤ A. ⮡ë å®à®è® ¯®¨¬ âì ®¯à¥¤¥«¥¨¥, ¢ ¦® ¯®ïâì ¢®â çâ®: ¤«ï ¤ ®£® A ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ A [ fbg, ᮤ¥à¦ 饥 A, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ⨯®¬ b ¤ A; ¤«ï ¤ ®£® ⨯ p ¤ A, ॠ«¨§®¢ ®£® ª®à⥦®¬ a, ¢ë¡¨à âì áë p ¤ A [ fbg { íâ® § ç¨â ¯®¯®«ïâì ⥮à¨î, á®áâ®ïéãî ¨§ ⨯ a ¤ A ¨ ⨯ b ¤ A ¤® ⨯ ab ¤ A; íâ® â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ¢ë¡¨à âì áë ¤ A [fag ⨯ b ¤ A, ᮣ« á® ¯à¨æ¨¯ã: ®¯à¥¤¥«¨âì a ®â®á¨â¥«ì® b ¤ A { íâ® § ç¨â ®¯à¥¤¥«¨âì b ®â®á¨â¥«ì® a ¤ A. âáî¤ ¨ á«¥¤ã¥â ¢®§¬®¦®áâì íâ¨å ®¯à¥¤¥«¥¨© ᨬ¬¥âਥ©; ¥áâ¥á⢥®, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ï⨥ ª®¬ ªá¨¬ «ì®£® áë 1-⨯ , ¤® à áᬮâà¥âì ¬ ªá¨¬ «ìë¥ á뮢ìï ⨯®¢ ¯ à ¬¥â஢, ¨¬¥îé¨å, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯¥à¥¬¥ëå, çâ® ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¨ª ª¨å âà㤮á⥩. § ¯à®á⮣® ä ªâ , çâ® ¬ ªá¨¬ «ìë¥ á뮢ìï áãé¥áâ¢ãîâ, á«¥¤ã¥â, çâ® ª®¬ ªá¨¬ «ìë¥ á뮢ìï â ª¦¥ áãé¥áâ¢ãîâ: ¢ë¡à âì a ¨ b â ª, ç⮡ë ⨯ a ¤ A [ fbg ¡ë« ª®¬ ªá¨¬ «ìë¬ à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A { íâ® ¢ë¡à âì ¨å â ª, ç⮡ë ⨯ b ¤ A [ fag ¡ë« ¬ ªá¨¬ «ìë¬ à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A.
¥¬¬ 15.4 ।¯®«®¦¨¬, çâ® T áâ ¡¨«ì ; ¯ãáâì p 2 S1(A), M { ¬®¤¥«ì
T , ᮤ¥à¦ é ï A, ¨ q { ª®¬ ªá¨¬ «ìë© áë ¤ M ⨯ p. ®£¤ q ¬ ¦®à¨àã¥â ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ ⥮ਨ T , ª ª ¨ ⥮ਨ T (A), ¢á¥å á뮢¥© ⨯ p ¤ ª ¦¤®© ¬®¤¥«ìî ⥮ਨ T .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì r { áë p ¤ ¬®¤¥«ìî N , ᮤ¥à¦ 饩 A, ॠ«¨§®¢ ë© í«¥¬¥â®¬ a; â ª ª ª ⨯ a ¤ A ¥áâì p, áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì M 0, A-¨§®¬®àä ï M , â ª ï, ç⮠⨯®¬ a ¤ M 0 ¡ã¤¥â ⨯ q0, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 q: íâ® ãá«®¢¨¥ á¢ï§ë¢ ¥â ⮫쪮 ⨯ M 0 ¤ A [fag, ïî騩áï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ á뮬 ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A. ® 15.3 íâ®â ⨯ à áè¨àï¥âáï ¤® ⨯ ¤ N [ fag á ⥬ ¦¥ ᢮©á⢮¬: ¬ë ¥£® ¨ ॠ«¨§ã¥¬. ¨¯ M 0 ¤ N [ fag, ¡ã¤ãç¨ ¬ ªá¨¬ «ìë¬ á뮬 ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A, ¡ã¤¥â â ª®¢ë¬ â ª¦¥ ¤«ï ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï N . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® 13.6 ⨯ M 0 N [ fag ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ ⨯ M 0 ¤ N ¨, ¯® ᨬ¬¥âਨ, ⨯ a ¤ N [ M 0 ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ ⨯ a ¤ N . â® ®§ ç ¥â, çâ® ¥á«¨ P { ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï ®¤®¢à¥¬¥® N ¨ M 0, â® á«¥¤¨ª ⨯ r ¤ P ï¥âáï á뮬 q0; â ª¨¬ ®¡à §®¬, r q0 ¢ ä㤠¬¥â «ìëå ¯®à浪 å ⥮਩ T ¨ T (A).
¥®à¥¬ 15.5 (¨¬¬¥âà¨ç®áâì ®âª«®¥¨ï)
᫨ T áâ ¡¨«ì ¨ p ¯à¨-
¤«¥¦¨â S1 (A), â® ¯®ïâ¨ï ¬ ªá¨¬ «ì®£® áë p ¨ ª®¬ ªá¨¬ «ì®£® áë p ᮢ¯ ¤ îâ; ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ª®¢ë© á¬ëá« ª ª ¢ T â ª ¨ ¢ T (A).
®ª § ⥫ìá⢮. ।ë¤ãé ï «¥¬¬ ã⢥ত ¥â, çâ® ª®¬ ªá¨¬ «ìë© áë ¬ ªá¨¬ «¥, ® ¯® ᨬ¬¥âਨ íâ® ¢«¥ç¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ «ìë© áë ª®¬ ªá¨¬ «¥: ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ ⨯ a ¤ A [ fbg { ¬ ªá¨¬ «ìë© áë ⨯ a ¤ A, â® íâ® ¯®â®¬ã, ç⮠⨯ b ¤ A [fag { ª®¬ ªá¨¬ «ìë©, § ç¨â, ¬ ªá¨¬ «ìë© áë ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A, ¨ ç⮠⨯ a ¤ A [ fbg { ª®¬ ªá¨¬ «ìë© áë ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A. â ᨬ¬¥âà¨ï ¢¥à ª ª ¤«ï T , â ª ¨ ¤«ï T (A);
300
®ç¥¢¨¤®, çâ® ¬ ªá¨¬ «ìë© áë ¢ á¬ëá«¥ T (A) ®áâ ¥âáï â ª®¢ë¬ ¨ ¢ á¬ëá«¥ T ; ¨ «¥¬¬ 15.4 ¢¤®¡ ¢®ª ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥â, çâ® ª®¬ ªá¨¬ «ìë© áë ¢ á¬ëá«¥ T ¬ ªá¨¬ «¥ ¢ á¬ëá«¥ T (A).
«¥¤á⢨¥ 15.6 (® £à ¨)
᫨ T áâ ¡¨«ì , â® ª ¦¤ë© ⨯ ¨¬¥¥â ⮫쪮 ®¤ã ¥¤¨á⢥ãî £à ì. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p 2 S1(A), â® £à ì ⨯ p ï¥âáï ª« áᮬ ¬ ª-
ᨬ «ì®£® áë p ¤ ¬®¤¥«ìî, ᮤ¥à¦ 饩 A; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¯® «¥¬¬¥ 15.4 ¢á¥ ®¨ íª¢¨¢ «¥âë.
ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ ⥮ਨ ¯«®âëå ¯®à浪®¢ ¡¥§ ª®æ¥¢ëå â®ç¥ª, ¥¤¨áâ¢¥ë© â¨¯ ¤ ; ¨¬¥¥â ¤¢¥ £à ¨, ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ª« áá ¬¨ +1 ¨ ?1. ª ¬ë 㦥 ®â¬¥â¨«¨, ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ ¨¬¥¥â ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ®£à ¨ç¥¨¥: ¤«ï ¤ ®£® ⨯ p ¤ ; ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ áãé¥áâ¢ã¥â ®¤¨ ¬ ªá¨¬ «ìë© ª« áá, ®£à ¨ç¥¨¥ ª®â®à®£® ; ¥áâì p; íâ® ª« áá £à ¨ p; â¨¯ë ¤ ¬®¤¥«ï¬¨ T , ®£à ¨ç¥¨¥ ª®â®àëå ; ¥áâì p, â ª¨¬ ®¡à §®¬, § ª«îç¥ë ¬¥¦¤ã £à ìî p ¨ ॠ«¨§ 樥© p
15.b 뮢ìï á ®âª«®¥¨¥¬, á뮢ìï ¡¥§ ®âª«®¥¨ï ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, ¢ í⮬ ¯ à £à ä¥, çâ® T áâ ¡¨«ì ; ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯®ï⨥ "¬ ªá¨¬ «ì®£® áë ", ª®â®à®¥ ¯®ï¢¨«®áì ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 à §¤¥«¥, á⮫쪮 ¢ ¦®, çâ® ¬ë ¤ ¤¨¬ ¥¬ã ¡®«¥¥ ¯®¤å®¤ï饥 ¨¬ï: ¬ë §®¢¥¬ íâ¨å á뮢¥© á뮢ìﬨ ¡¥§ ®âª«®¥¨ï ¨«¨ ¥®âª«®ïî騬¨áï á뮢ìﬨ. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ p 2 S1(A), A B ¨ q ï¥âáï á뮬 p ¤ B , â® £à ì ⨯ q ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 ¬¥ìè¥ ¨«¨ à ¢ £à ¨ ⨯ p; ¥á«¨ £à ì ⨯ q áâண® ¬¥ìè¥ £à ¨ ⨯ p, â® q ï¥âáï á뮬 á ®âª«®¥¨¥¬ ¨«¨ ®âª«®ïî騬áï á뮬 p; ¨ ç¥, p ¨ q ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ £à ì, ¨ q ï¥âáï á뮬 ¡¥§ ®âª«®¥¨ï ¨«¨ ¥®âª«®ïî騬áï á뮬 p. ®¢®àïâ â ª¦¥, çâ® q ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ¥á«¨ ® ®âª«®ïî饩áï áë ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A, çâ® q ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ¥á«¨ ® ï¥âáï ¥®âª«®ïî騬áï á뮬 ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A. ª ª ª ¢ë¤ î騬¨áï á뮢ìﬨ p ïîâáï ᪮॥ ¥£® á뮢ìï ¡¥§ ®âª«®¥¨ï, íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤ ¥â ç áâ® ¯à¥¤«®¦¥¨ï, ¯¥à¥¯®«¥ë¥ ¤¢®©ë¬¨ ®âà¨æ ¨ï¬¨: ¢ë çã¢áâ¢ã¥â¥ §¤¥áì á«¥¤ ¥« å ; ¥ ¯ãâ ©â¥ à §«¨çë¥ ¯à¨¬¥¥¨ï á«®¢ : ¥á«¨ A B ¨ p 2 S1(A), â® p ï¥âáï ⨯®¬ ¤ A; ® ¨¬¥¥â áë q ¤ B , ª®â®àë© ¬®¦¥â ®âª«®ïâìáï ¨«¨ ¥ ®âª«®ïâìáï ¤ A. ¥ § ¡ã¤ìâ¥, çâ® â¥à¬¨ë ®¡ "®âª«®¥¨¨" ¨á¯®«ì§ãîâáï ⮫쪮 ¢ áâ ¡¨«ì®¬ á«ãç ¥. ®¡ê¥¤¨ïî §¤¥áì ®á®¢ë¥ á¢®©á⢠í⮣® ¯®ïâ¨ï ®âª«®¥¨ï, ª®â®àë¥ ¬ë 㦥 ¤®ª § «¨, ¨ ¨å ®ç¥ì ¢ ¦® § ¯®¬¨âì:
15.b
301
뮢ìï á ®âª«®¥¨¥¬ ¨ ¡¥§ ®âª«®¥¨ï
{ (âà §¨â¨¢®áâì) ¥á«¨ q ï¥âáï á뮬 p ¨ r { á뮬 q, â® r ï¥âáï ¥®âª«®ïî騬áï á뮬 p, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ r ï¥âáï ¥®âª«®ïî騬áï á뮬 q ¨ q ¥®âª«®ïî騬áï á뮬 p (á«¥¤¨â¥ § £à ﬨ) ; { (ᨬ¬¥âà¨ç®áâì) ⨯ a ¤ A [ fbg i ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ⨯ b ¤ A [ fag ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A (15.5) ; { ¥á«¨ p ï¥âáï ⨯®¬ ¤ ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T , â® ¥£® ¥¤¨áâ¢¥ë© áë ¡¥§ ®âª«®¥¨ï ï¥âáï ¥£® á«¥¤¨ª®¬ (13.5) ; { ¥á«¨ à áᬮâਬ â¨¯ë ¤ ¬®¦¥á⢠¬¨ ¯ à ¬¥â஢ ᮤ¥à¦ é¨å A, â® ®âª«®¥¨¥ ¨¬¥¥â ®¤¨ ª®¢ë© á¬ëá« ¢ T , çâ® ¨ ¢ T (A) (15.5) . à㣮¥ § ç¨â¥«ì®¥ ᢮©á⢮ ®âª«®¥¨ï { íâ® ¥£® «®ª «ìë© å à ªâ¥à: ¥á«¨ ⨯ ®âª«®ï¥âáï, â® íâ® ¨§-§ ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë; ¡®«¥¥ â®ç®:
¥®à¥¬ 15.7
᫨ p 2 S1(A), A B ¨ q ï¥âáï ®âª«®ïî騬áï á뮬 p ¤ B , ⮣¤ q ` f (x; b) ¤«ï ¥ª®â®à®£® b ¨§ B ¨ ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë f (x; y), ®¯ã饮© £à ìî p.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì N { ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï B ; ®âª«®¥¨¥ q ®§ ç ¥â, çâ® ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«, ᮤ¥à¦ 饥 q, T (N ) ¨ ¢á¥ ä®à¬ã«ë :g(x; a), £¤¥ a ¢ N ¨ g ®¯ã᪠¥âáï £à ìî p, ¥á®¢¬¥áâ®. ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â ¥£® ª®¥çë© ¥á®¢¬¥áâë© äà £¬¥â, ¢ ª®â®àë© ¢å®¤¨â ⮫쪮 ª®¥çë© ª®à⥦ a í«¥¬¥â®¢ ¨§ N , ª®¥çë© äà £¬¥â h(z; b) ¥£® ⨯ ¤ B ¨ ª®¥ç®¥ ç¨á«® g1; : : :; gk ä®à¬ã«, ®¯ãé¥ëå £à ìî p, â ª¨¥, çâ® q 㤮¢«¥â¢®àï¥â f (x; b) = (9z)h(z; b) ^ (8z)(h(z; b) ! g1 (x; z) _ _ gk (x; z)) : á®, çâ® ä®à¬ã« f (x; y) ®¯ã᪠¥âáï £à ìî p.
«¥¤á⢨¥ 15.8 «ï ¢á¥å p ¨§ S1(A) áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¬®¦¥á⢮ B ¢ A ¬®é®áâ¨, áâண® ¬¥ì襩 (T ), â ª®¥, çâ® p ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ B .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p ®âª«®ï¥âáï ¤ B0 = ;, â® ® ᮤ¥à¦¨â ä®à¬ã«ã f1(x; a1), ®¯ã᪠¥¬ãî £à ìî p B0; ¥á«¨ p ®âª«®ï¥âáï ¤ B1 = a1, â® íâ® ¨§-§ ä®à¬ã«ë f2(x; a2), ®¯ã᪠¥¬®© £à ìî p B1, ¨ â.¤. ª ª ª ª ¦¤ë© à § £à ¨ áâண® ¢®§à áâ îâ, ¬ë ¤®«¦ë ®áâ ®¢¨âìáï, ¯à¥¦¤¥ 祬 ®¯¥à æ¨ï ¯®¢â®à¨âáï (T ) à §.
à㣮© ®ç¥ì ¢ ¦ë© १ã«ìâ â, ª®â®àë© ã¦® § ¯®¬¨âì, { á«¥¤ãî騩, ª®â®àë© á¢®¤¨â ¯®ï⨥ ®âª«®¥¨ï ¤«ï 2-⨯®¢ ª ®âª«®¥¨î 1-⨯®¢.
¥®à¥¬ 15.9
᫨ A B , ⮠⨯ ab ¤ B ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ⨯ a ¤ B ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A ¨ ⨯ b ¤ A [ fag ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A [ fag.
302
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ¬ë ᨬ¬¥âਧ㥬 ¤ A, â® ã⢥ত¥¨¥ ® ⮬, ç⮠⨯ ab ¤ B ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A, íª¢¨¢ «¥â® ä ªâã ® ⮬, ç⮠⨯ B ¤ A [ fa; bg ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A. ®á«¥¤¥¥, ¯® âà §¨â¨¢®áâ¨, íª¢¨¢ «¥â® ã⢥ত¥¨î ® ⮬, ç⮠⨯ B ¤ A [fa; bg ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A [fag, ¨ ç⮠⨯ B A [ fag ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A. ®¢ ᨬ¬¥âਧãï, ¯¥à¢ë© à § ¤ A [ fag, ¢â®à®© à § ¤ A, ¯®«ãç ¥¬ ¦¥« ¥¬ë© १ã«ìâ â.
â®â १ã«ìâ â «ãçè¥ ®¡êïáï¥â ¯®ç¥¬ã 2(T ) = (T ) (á¬. «¥¬¬ã 13.12): ¥á«¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ ®à¤¨ «ìãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®âª«®ïîé¨åáï ¡¨â¨¯®¢, â® ¯¥à¢ ï ¯¥à¥¬¥ ï ®âª«®ï¥âáï ¬¥¥¥ (T ) à §, ¨ ª ª ⮫쪮 ® ¯¥à¥á⠥⠮⪫®ïâìáï, ¢â®à ï ¯¥à¥¬¥ ï ®âª«®ï¥âáï ¬¥¥¥ (T ) à § ¤ ¯¥à¢®©. ⪫®¥¨¥ ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ï⨥ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨: a ¨ b ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ A, ¥á«¨ ⨯ a ¤ A [ fbg ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A; í⮠ᨬ¬¥âà¨ç®¥ ®â®è¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® a ¨ b. ®¢®àïâ, ç⮠ᥬ¥©á⢮ ai ¥§ ¢¨á¨¬® (¨«¨ ᢮¡®¤®) ¤ A, ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å i ⨯ ai ¤ A [ f: : : aj ; : : : gj 6=i ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A. ª ª ª ®âª«®¥¨¥ ¯à®¨á室¨â ¨§-§ ä®à¬ã«ë, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¡¥áª®¥ç®¥ ᥬ¥©á⢮ ¥§ ¢¨á¨¬®, ª ª ⮫쪮 ª ¦¤®¥ ª®¥ç®¥ ¯®¤á¥¬¥©á⢮ í⮣® ᥬ¥©á⢠⠪®¢®. ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à , ¥á«¨ ¬ë à áᬮâਬ ⥮à¨î T ¡¥áª®¥çëå ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà á⢠¤ ¯®«¥¬ K , â® ¥áâì ⥮à¨î íª§¨áâ¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå K -¬®¤ã«¥©, â® ¥ã«¥¢ë¥ í«¥¬¥âë ®¡à §ãîâ ᢮¡®¤®¥ ᥬ¥©á⢮ ¤ ;, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ®¨ «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë; ¤«ï ⥮ਨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥©, ¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ í«¥¬¥âë ¤ ¯à®áâë¬ ¯®«¥¬ ®¡à §ãîâ ᢮¡®¤®¥ ᥬ¥©á⢮, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ®¨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ í⨬ ¯à®áâë¬ ¯®«¥¬. ë ¢¨¤¨¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® íâ® ¯®ï⨥ ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨, ª®â®à®¥ ®¡®¡é ¥â ®ç¥ì ª« áá¨ç¥áª¨¥ ª®áâàãªæ¨¨ «£¥¡àë, ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ®£à®¬®¥ § 票¥ ¤«ï ª®áâàãªæ¨© ¨ ª« áá¨ä¨ª 権 ¬®¤¥«¥© áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ. ª £®á¯®¤¨ ãथ1 , ¬ë ¥ã¬¥«® ¯®¬ ¨¯ã«¨à㥬 ¢ â¥ç¥¨¥ ¥ª®â®à®£® ¢à¥¬¥¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¬®¦¥á⢠¬¨: ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠¥§ ¢¨á¨¬ë, ª ª ¯®ª §ë¢ ¥â á«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â (íâ® â ª¦¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ¨å â®â «ì®© ¥à §«¨ç¨¬®áâ¨).
¥®à¥¬ 15.10
᫨ ai ¨¤¥ªá¨à®¢ ë «¨¥©® 㯮à冷ç¥ë¬ ¬®¦¥á⢮¬
I , â® ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®¨ ®¡à §®¢ «¨ ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮ ¤ A, ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¤«ï ¢á¥å i ⨯ ai ¤ Ai = A [ faj ; gj ¡ã¤¥â ¬®¦¥á⢮ ¢¨¤ hxEa1i _ _ hxEan i. ® ⥮६¥ ª®¬¯ ªâ®á⨠(à §¤¥« 4.b), çâ®¡ë ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« xEiai ¡ë«® ᮢ¬¥áâë¬, ¤® çâ®¡ë ª ¦¤ë© ¨§ ¥£® ª®¥çëå äà £¬¥â®¢ ¡ë« â ª®¢ë¬; â ª¨¬ ®¡à §®¬, SF1(A) ï¥âáï ª®¬¯ ªâë¬ ¯à®áâà á⢮¬, ïî騬áï ¢¯®«¥ ¥á¢ï§ë¬. ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì M , á«ã¦ é ï ¤«ï ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï, ï¥âáï ⮫쪮 ¡¥á¯« âë¬ ¯à¨«®¦¥¨¥¬: ¥á«¨ ¨§¬¥¨¬ ¬®¤¥«ì, â® ®¯à¥¤¥«¨¬ â® ¦¥ ¯à®áâà á⢮.
᫨ A ᮤ¥à¦¨âáï ¢ B , â® à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨¥-®£à ¨ç¥¨¥ SF1(B ) ¢ SF1(A), á®áâ®ï饥 ¢ á®åà ¥¨¨ ⮫쪮 ®â®è¥¨© ª®¥çëå íª¢¨¢ «¥â®á⥩, ®¯à¥¤¥«¨¬ëå ¤ A.
᫨ M { ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï B , A B M , â® ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãîéãî ª®¬¬ãâ ⨢ãî ¤¨ £à ¬¬ã, £¤¥ áâ५ª¨ 㪠§ë¢ îâ ª ®¨ç¥áª¨¥ ®£à ¨ç¥¨ï:
SF1(A)
% S1(M ) = SF1(M ) ! SF1(B ) &
S 1 (B )
& S1(A) %
¦¤ ï ¨§ áâ५®ª ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© áîàꥪ樥©; ¯à¨¬¥à, çâ®¡ë ¯®ïâì, çâ® SF1(A) ! S1(A) ¥¯à¥à뢮, à áᬮâਬ ®âªàëâ®-§ ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ hf (x; a)i ¢ S1(A) ¨ ®â®è¥¨¥ E á ¤¢ã¬ï ª« áá ¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 í⮩ ä®à¬ã«¥, ¢¬¥á⥠á í«¥¬¥â®¬ b ¨§ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騬 í⮩ ä®à¬ã«¥: ¯à®®¡à §®¬ hf (x; a)i ¡ã¤¥â hxEbi.
¥¬¬ 16.4 «ï ¢á¥å A, ®â®¡à ¦¥¨¥ ®£à ¨ç¥¨ï SF1(A) S1(A) ®âªàë-
â®.
®ª § ⥫ìá⢮. ® ⥮६¥ ¢¥®¨ãá ¤¢ ᨫìëå ⨯ ᮮ⢥âáâ¢ã-
î騥 ®¤®¬ã ¨ ⮬㠦¥ ⨯㠤 A ᮯà殮ë A- ¢â®¬®à䨧¬®¬ ¢ ¤®áâ â®ç® áë饮© ¨ ®¤®à®¤®© ¬®¤¥«¨ M , ᮤ¥à¦ 饩 A; á«¥¤®¢ ⥫ì®, áãé¥áâ¢ã¥â £à㯯 G £®¬¥®¬®à䨧¬®¢ S1(A), â ª ï, çâ® ¤¢ í«¥¬¥â SF1(A) ᮯàï¦¥ë ¤¥©á⢨¥¬ G, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ â® ¦¥ ®£à ¨ç¥¨¥ S1(A); íâ® ¨ ¢«¥ç¥â १ã«ìâ â. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì O { ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮ ¢ SF1(A), ¨ F { ¥£® ¤®¯®«¥¨¥. ¤® ¯®ª § âì, çâ® ®¡à § O ¯à¨ ®£à ¨ç¥¨¨ ®âªàëâ. ã⢥ত î,
312
« ¢ 16
çâ® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ (F ), £¤¥ ¯à®¡¥£ ¥â G, ï¥âáï ¤®¯®«¥¨¥¬ (O). ¥©á⢨⥫ì®, ¢á¥ â®çª¨ ¨§ S1(A) ¨¬¥îâ ¢¨¤ (p), ¨ (p) = (q), ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ q ¨¬¥¥â ¢¨¤ (p); á«¥¤®¢ ⥫ì®, (p) 62 (O) § ç¨â, çâ® ª ¦¤ë© (p) ¢ F . ª ª ª ª ¦¤®¥ F ª®¬¯ ªâ®, â® â ª®¢ë ¨ ¨å ¯à®¥ªæ¨¨, ª®â®àë¥ § ¬ªãâë; ¨ á«¥¤®¢ ⥫ì®, (O) ®âªàëâ®.
á®, çâ® ¯®ï⨥ ᨫ쮣® ⨯ ®á®¡¥® ¯®«¥§® ¢ áâ ¡¨«ì®¬ á«ãç ¥:
¥¬¬ 16.5
᫨ T áâ ¡¨«ì ¨ A B , ⮣¤ â¨¯ë ¨§ S1(B ), ¥®âª«®ïî騥áï ¤ A, ®¡à §ãîâ § ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ S1 (B ).
®ª § ⥫ìá⢮. ë ¯à®áâ® ¯®ª ¦¥¬, ç⮠⨯ë, ª®â®àë¥ ®âª«®ïîâáï, ®¡à §ãîâ ®âªàë⮥ ¬®¦¥á⢮; ¯ãáâì ⨯ p ¤ B , ª®â®àë© à¥ «¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ a, ®âª«®ï¥âáï ¤ A; ¥á«¨ ® ®âª«®ï¥âáï, â® íâ® ¨§-§ ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë, ¨ § ç¨â áãé¥áâ¢ã¥â b ¢ B â ª®©, ç⮠⨯ a ¤ A [ fbg ®âª«®ï¥âáï ¤ A. ® ᨬ¬¥âਨ, ⨯ b ¤ A [ fag ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ¯® ⥮६¥ 15.7 íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¥ª®â®à ï ä®à¬ã« f (b; c; a), £¤¥ c 2 A, 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª f (x; y; z) ®¯ã᪠¥âáï £à ìî ⨯ b ¤ A; f (b; c; x) ï¥âáï ®ªà¥áâ®áâìî p, ¨ ¢á¥ ⨯ë í⮩ ä®à¬ã«ë ®âª«®ïîâáï ¤ ¬®¦¥á⢮¬ A.
¥¬¬ 16.6
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì , ¨ A M , £¤¥ M { ¬®¤¥«ì T , ⮣¤
®â®¡à ¦¥¨¥-®£à ¨ç¥¨¥ S1 (M ) SF1(A) ¨¤ãæ¨àã¥â £®¬¥®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã § ¬ªãâë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ⨯®¢ ¤ M , ¥®âª«®ïîé¨åáï ¤ A, ¨ SF1 (A).
®ª § ⥫ìá⢮. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ X ¬®¦¥á⢮ ⨯®¢ ¤ M , ¥®âª«®-
ïîé¨åáï ¤ A; ¯® 16.5 X ª®¬¯ ªâ® ¨ ¯® 16.2 ®£à ¨ç¥¨¥ ¨¤ãæ¨àã¥â ¥¯à¥àë¢ãî ¡¨¥ªæ¨î X SF1(A). ª ª ª à¥çì ¨¤¥â ® ª®¬¯ ªâ å, ®¡à ⮥ ¥© ®â®¡à ¦¥¨¥ â ª¦¥ ¥¯à¥à뢮 (¤¥©á⢨⥫ì®, ¥¯à¥à뢮¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ®¤®£® ª®¬¯ ªâ ¤à㣮© { § ¬ªã⮥; ¥á«¨ ®® ¡¨¥ªâ¨¢®¥, â® ®®, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®âªàë⮥, â® ¥áâì ®¡à ⮥ ª ¥¬ã { ¥¯à¥à뢮¥).
á«ãç ¥ ª®£¤ A ï¥âáï ¬®¤¥«ìî M0 ⥮ਨ T , ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ á«¥¤®¢ ¨ï ¥¯à¥à뢮 ¨ ®¡à é ¥â ®£à ¨ç¥¨¥: ®® ãáâ ¢«¨¢ ¥â £®¬¥®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã S1(M0) ¨ ¬®¦¥á⢮¬ ⨯®¢ ¤ M , á«¥¤ãîé¨å ¨«¨ ª® á«¥¤ãîé¨å ᢮¨¬ ®£à ¨ç¥¨ï¬ ¬®¤¥«ì M0.
«¥¤á⢨¥ 16.7 (¥®à¥¬ ®¡ ®âªàë⮬ ®â®¡à ¦¥¨¨)
᫨ T áâ ¡¨«ì ¨ A B , â® ®â®¡à ¦¥¨¥-®£à ¨ç¥¨¥ ¨¤ãæ¨àã¥â ¥¯à¥àë¢ãî ¨ ®âªàëâãî (â.¥. ®¡à § ®âªàë⮣® ¬®¦¥á⢠®âªàëâ) áîàꥪæ¨î § ¬ªã⮣® ¬®¦¥á⢠X , ®¡à §®¢ ®£® ¨§ ⨯®¢, ¥®âª«®ïîé¨åáï ¤ A, S1(A).
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M { ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï B , ¨ Y { § ¬ªã⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ S1(M ), ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ ⨯®¢, ¥®âª«®ïîé¨åáï ¤ A; ¥á«¨ O { ®âªàë⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ X , â® ¯® ¥¯à¥à뢮áâ¨, ¥£® ¯à®®¡à § ï¥âáï ®âªàëâë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ O0 ¢ Y ; ¨ ¯® 16.4 ¨ 16.6 ®¡à § O0 ¯à¨ ®£à ¨ç¥¨¨ S1(A) ®âªàëâ.
16.c
®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ᨫ쮣® ⨯
313
«¥¤ãî饥 á«¥¤á⢨¥ â¥®à¥¬ë ®¡ ®âªàë⮬ ®â®¡à ¦¥¨¨ ®ç¥ì ç áâ® ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ¯®áâ஥¨ïå ¬®¤¥«¥©:
¥®à¥¬ 16.8
᫨ T áâ ¡¨«ì , A B , p 2 S1(B ), p ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A ¨ p ¨§®«¨à®¢ ¢ S1 (B ), ⮣¤ ®£à ¨ç¥¨¥ p A ¨§®«¨à®¢ ® ¢ S1(A).
®ª § ⥫ìá⢮. ®¦¥á⢮ fpg ®âªàëâ® ¢ S1(B ): ¯à¨¬¥¨â¥ 16.7.
16.c ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ᨫ쮣® ⨯ ; ᮢ ® áëé¥ëå ¬®¤¥«ïå
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì , ¨ p 2 S1(A) ï¥âáï áâ 樮 àë¬ â¨¯®¬ (¡®«¥¥ ®¡é¥, ¥á«¨ p ï¥âáï áâ ¡¨«ìë¬ áâ 樮 àë¬ â¨¯®¬ ¢ ¥áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ), â® ¬ë ¬®¦¥¬ ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ⨯ p ¤ A â ª, ª ª íâ® ¤¥« ¥¬ 㦥 ¤ ¢® ª®£¤ A { ¬®¤¥«ì: p ॠ«¨§ãîâ í«¥¬¥â®¬ a0, § ⥬ ¥£® ¥¤¨á⢥®£® áë ¡¥§ ®âª«®¥¨ï ¤ A [ fa0g ॠ«¨§ãîâ í«¥¬¥â®¬ a1 ¨ â.¤. ª ¢á¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¢ áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ, íâ ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ A â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ ¨ ¥¤¥«¨¬ . áᬮâਬ, ¢ ¡®«ì襩 ®¡é®áâ¨, ¯à®¨§¢®«ìë© â¨¯ p ¨§ S1(A) ¨ ᨫìë© â¨¯ p ¨§ SF1(A), à áè¨àïî騩 p; ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® A ¢«®¦¥® ¢ ¡®«ìèãî ®ç¥ì áëé¥ãî ¬®¤¥«ì, çâ®¡ë ¯®ï⨥ ॠ«¨§ 樨 ᨫ쮣® ⨯ ¨¬¥«® á¬ëá«. ¯à¥¤¥«¨¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ᨫ쮣® ⨯ p : p ॠ«¨§ã¥â a0, § ⥬ ¥¤¨á⢥®¥ ¥®âª«®ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ p ¤ A [fa0g ¢ ᨫ쮬 ⨯¥ p ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ a1, : : : , ¥¤¨á⢥®¥ ¥®âª«®ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ p ¤ A [fa0; : : : ; ang ¢ ᨫ쮬 ⨯¥ p ॠ«¨§ãîâ í«¥¬¥â®¬ an+1 ¨ â.¤. ⬥⨬, çâ® ª ª ⮫쪮 ¯¥à¢ë© í«¥¬¥â a0 ¢ë¡à , â® í⮠᢮¤¨âáï ª ¯®áâ஥¨î ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ áâ 樮 ண® ⨯ í«¥¬¥â a1 ¤ A [ fa0g; ¬ë ॠ«¨§ã¥¬ ¤ A [ fa0; : : : ; ang ¥¤¨á⢥®¥ ¥®âª«®ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ p, ª®£àãí⮥ a0 ¯® ¬®¤ã«î ª ¦¤®£® ª®¥ç®£® ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ®¯à¥¤¥«¨¬®£® ¤ A. â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¥áâ¥á⢥®, â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬ ¨ ¥¤¥«¨¬ , ¨ ¥á«¨ A B , â® ¥ñ á।¨© ⨯ ¤ B ï¥âáï ¥ ¥®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ p, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ᨫ쮬ã ⨯ã p . ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì s { íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, ¨ M { ¬®¤¥«ì T , ᮤ¥à¦ é ï A, ¯à¨ç¥¬ M ¨ s ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ A; ⨯ s ¤ M ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ¯® ⥮६¥ 15.9 íâ® ¢«¥ç¥â, çâ® ¤«ï ¢á¥å n ⨯ an ¤ M [ fa0; : : : ; an?1g ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A [ fa0; : : :; ang ¨ ¥é¥, ¯® âà §¨â¨¢®áâ¨, ¤ A: ¯à¨ â ª®¬ ¢ë¡®à¥ M ¨ s, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s áâ ®¢¨âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¥¤¨á⢥®£® ¥®âª«®ïî饣®áï à áè¨à¥¨ï p ¤ M , ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ᨫ쮬ã ⨯ã p; § ª«î票¥ á«¥¤ã¥â ¨§ 12.33. ç¨â, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ s = fa0; : : :; an; : : : g ᨫ쮣® ⨯ ¤ A ï¥âáï ¬®¦¥á⢮¬, ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¨ ¥à §«¨ç¨¬ë¬ ¤ A. ¥©á⢨⥫ì-
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« ¢ 16
®, ¥á«¨ s ¥à §«¨ç¨¬ , â® ¢á¥ ¥£® í«¥¬¥âë ¯®¯ à® ª®£àãíâë, ¨«¨ ¢á¥ ¯®¯ à® ¥ ª®£àãíâë, ¯® ¬®¤ã«î ª ¦¤®£® ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®á⨠E , ®¯à¥¤¥«¨¬®£® á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A; ¥á«¨ E ¨¬¥¥â «¨èì ª®¥ç®¥ ç¨á«® ª« áᮢ, â® ®¨ ¢á¥ ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î E ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¨ ¢á¥ ¯®¯ ¤ îâ ¢ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯. ।¨© ⨯ â ª®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¤ B § ¢¨á¨â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ⮫쪮 ®â ⨯ B ¤ A, ¥ ®â ⨯ B ¤ A [ S . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ª ¦¤ãî ¡¥áª®¥çãî ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¤ ¬®¦¥á⢮¬ A, ¢ë¡à ®¬ã ¤«¥¦ 騬 ®¡à §®¬: ¯à®¤®«¦¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì (T ) à §; â ª ª ª £à ì ⨯ p í«¥¬¥â a ¤ A = f: : : ; a ; : : : g < ¥ ¬®¦¥â 㬥ìè âìáï (T ) à § ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥, ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ® ¡®«ìè¥ ¥ ®âª«®ï¥âáï, ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¤ A . 訡®ç® ¤ã¬ âì, çâ® ¤¢¥ ¡¥áª®¥çë¥ ¨ ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s ¨ t ¨¬¥îâ, ¤ ª ¦¤ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢, ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ á।¨© ⨯ ª ª ⮫쪮 ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯ ( ¤ ; ): ¥é¥ ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ®¨ ¬®£«¨ ¨¬¥âì ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯ ¤ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢, £¤¥ ª ¦¤ ï áâ ®¢¨âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨; ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ T ⥮à¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠, â® áãé¥áâ¢ã¥â ⮫쪮 ¥¤¨áâ¢¥ë© á¨«ìë© â¨¯ ¤ ;; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s, ¯®«ãç¥ ï ¯®¢â®à¥¨¥¬ í«¥¬¥â a, ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì t, ¯®«ãç¥ ï ¯®¢â®à¥¨¥¬ b, ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯; ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ á।¨© ⨯ ⮫쪮 ¥á«¨ a = b. í⨬ ¯®ï⨥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨, ¬ë ¬®¦¥¬ ¤ âì ª®¥æ ®ª®ç ⥫ìãî ¢¥àá¨î «¥¬¬ë 14.6 ¨ ¥¥ á«¥¤á⢨©.
¥¬¬ 16.9
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ¨ M { k(T )- áëé¥ ï ¨ !1- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì T , ⮣¤ ª ¦¤ë© ⨯ ¤ M ï¥âáï á।¨¬ ⨯®¬ ¡¥áª®¥ç®£® ¨ â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬®£® ¬®¦¥áâ¢ í«¥¬¥â®¢ ¨§ M . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p 2 S1(M ), â® ¯® 15.8 áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¤¬®¦¥á⢮
A ¬®¤¥«¨ M ¬®é®áâ¨, áâண® ¬¥ì襩 k(T ), â ª®¥, çâ® p ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A; ॠ«¨§ã¥¬ ¢ M í«¥¬¥â®¬ a0 ®£à ¨ç¥¨¥ ⨯ p A; § ⥬ í«¥¬¥â®¬ a1 ®£à ¨ç¥¨¥ p A [ a0 ¨ â.¤., ¯à®¤®«¦ ¥¬ ! + ! à §; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ãç ¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a0; : : :; an; : : : ; a!; : : : ; a!+n; : : : ¢ ¬®¤¥«¨ M , £¤¥ ai ॠ«¨§ã¥â ®£à ¨ç¥¨¥ p A [ faj gj 0, ¥ ª®£àãíâë a0 ¯® ¬®¤ã«î E ; ¨ ¥á«¨ a1 â ª¦¥ ¥ ª®£àãí⥠x ¯® ¬®¤ã«î E , â® ¢á¥ ai ; i > 1, ¥ «¥¦ â ¨ ¢ ª« áᥠa0, ¨ ¢ ª« áᥠa1. â® ¬®¦¥â â ª ¯®¢â®àïâìáï ⮫쪮 n à §, ¨ ¢¥àïª ¢á¥ ai ; i n, «¥¦ â ¢ ®¤®¬ ¨ ⮬ ¦¥ ª« áᥠE ¨ p ` x an (mod E ). «¥¤®¢ ⥫ì®, í«¥¬¥â a! , â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢á¥ á«¥¤ãî騥, «¥¦¨â ¢ ᨫ쮬 ⨯¥ p: ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ®£à ¨ç¥¨¥ p A [ a! áâ 樮 à®; ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a! ; : : :; a!+! ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨, ¤«ï ª®â®à®© p á।¨© ⨯.
á㯥àáâ ¡¨«ì®¬ á«ãç ¥, £¨¯®â¥§ k(T )- áë饮áâ¨, â® ¥áâì !- áë饮áâ¨, ¥¤®áâ â®ç ¤«ï «¥¬¬ë 16.9; ¯®¤å®¤ïé ï £¨¯®â¥§ , ¡®«¥¥ á« ¡ ï,
16.c
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®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ᨫ쮣® ⨯
祬 !1- áë饮áâì, ª®â®àãî ¬®¦® §ë¢ âì (! + ")- áë饮áâìî, ¨«¨ ¥é¥ @" - áë饮áâìî, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: M (!+")- áëé¥ , ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® ª®à⥦ a ¨§ M ª ¦¤ë© ᨫìë© â¨¯ ¤ a ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M ; ¥á«¨ ¢á¥ â¨¯ë ¨¬¥îâ ª®¥çãî ªà â®áâì, â® ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® (! + ") áë饮áâì à ¢®á¨«ì !- áë饮áâ¨. ®à §¬ëè«ï©â¥ ¤ á«¥¤ãî騬 ¯à¨¬¥à®¬: ï§ëª T á®á⮨⠨§ áç¥â®£® ç¨á« ᨬ¢®«®¢ ¡¨ àëå ®â®è¥¨© E0; E1; : : : ; En; : : : ; ªá¨®¬ë T ¢ëà ¦ îâ, çâ® ª ¦¤ë© ¯à¥¤¨ª â En ï¥âáï ®â®è¥¨¥¬ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, E0 âਢ¨ «ì® ¨ ª ¦¤®¥ En+1 ï¥âáï ãâ®ç¥¨¥¬ En , ª ¦¤ë© ª« áá ¯® ¬®¤ã«î En à §¡¨¢ ¥âáï â®ç® ¤¢ ª« áá ¯® ¬®¤ã«î En+1 (¨¬¥¥âáï â ª¨¬ ®¡à §®¬ 2n ª« áᮢ ¤«ï En ). ¥âà㤮 ¯®ïâì, çâ® T { ¯®« ï ⥮à¨ï á í«¨¬¨ 樥© ª¢ â®à®¢; í⮠⥮à¨ï á㯥àáâ ¡¨«ì , ¥¥ ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ᢮¤¨âáï ª ¤¢ã¬ â®çª ¬: ॠ«¨§®¢ ®© ¨ ¥ ॠ«¨§®¢ ë©. ¢ í«¥¬¥â ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯ ¤ ; ¥á«¨ ®¨ ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î ¢á¥å En : ¨¬¥¥âáï 2! ᨫìëå ⨯®¢; ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T !- áëé¥ , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å a ¨§ M ¢ M ¨¬¥¥âáï ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢, ¨¬¥îé¨å â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯, çâ® ¨ a: ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï áç¥â ï ¬®¤¥«ì, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¨¬¥ìè ï (! + ")- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ¨¬¥¥â ¬®é®áâì 2! . ®â ®ª®ç ⥫ì ï ¢¥àá¨ï ⥮६ë 14.5.
¥®à¥¬ 16.10
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ¨ k(T ); > !, ⮣¤ T ¨¬¥¥â áëé¥ãî ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® áâ ¡¨«ì ¢ .
®ª § ⥫ìá⢮. ë § ¥¬, ¯® 14.2, çâ® ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , â® ® ¨¬¥¥â áëé¥ãî ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠. «ï ®¡à ⮣® ã⢥ত¥¨ï, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ á ç « , çâ® T á㯥àáâ ¡¨«ì ; ¯ãáâì M { áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠; ¥á«¨ p 2 S1(M ), â® áãé¥áâ¢ã¥â ª®¥çë© ª®à⥦ a ¢ M , â ª®©, çâ® p ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ a, ¨ ¬ë 㢨¤¥«¨ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ «¥¬¬ë 16.9, çâ® M , ¡ã¤ãç¨ !1- áë饮©, ¡ã¤¥â (! + ") áëé¥ë©, çâ® â ¬ ¬®¦® ©â¨ ॠ«¨§ æ¨î a! ᨫ쮣® ⨯ p ¤ a: ¬ë ¢¨¤¨¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® ®£à ¨ç¥¨¥ p a_ a! áâ 樮 à®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¦¤ë© ⨯ p ¤ M ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¥®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï ¥ª®â®à®¥ ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ b ¯ à ¬¥â஢ ¨§ M . ª ª ª ¢á¥ â¨¯ë ¤ b ॠ«¨§®¢ ë ¢ M , â® ¨å ¥ ¡®«¥¥ . â ª, ¬ë ¨¬¥¥¬ ¢®§¬®¦®á⥩ ¤«ï ¢ë¡®à b ¨ ¢®§¬®¦®á⥩ ¤«ï ¢ë¡®à ®£à ¨ç¥¨ï p b, ¢ á㬬¥ ¢á¥£® = ¢®§¬®¦®á⥩ ¤«ï ¢ë¡®à p. ª ª ª ª ¦¤®¥ ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¬®é®á⨠¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ M , ¬ë ¨¬¥¥¬ áâ ¡¨«ì®áâì T ¢ . ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® T ¥ á㯥àáâ ¡¨«ì , k(T ) > !; ¯ãáâì M { áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠; ¯® «¥¬¬¥ 16.9 ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«¥¥ ! ⨯®¢ ¤ M ; ¥á«¨ ¡ë ¬ë ¨¬¥«¨ ¥áâ ¡¨«ì®áâì ¢ , â® ¬ë ¨¬¥«¨ ¡ë ! > , ¨ ®âáî¤ ¢ë¢®¤¨¬ âॡ㥬®¥ ã⢥ত¥¨¥ ª ª ¢ 14.5.
®â âਠ¯®ãç¨â¥«ìë¥ ¢¥é¨ ¤«ï § ¯®¬¨ ¨ï 14.5 ¨ 16.10, ¤«ï áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ T : { ¥á«¨ T ¨¬¥¥â áëé¥ãî ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠k(T ), â® íâ ¬®é®áâì ॣã«ïà ;
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16.d ®®¡à ¦ ¥¬ë¥ í«¥¬¥âë ¯à¨¢¥¤ã §¤¥áì ª®áâàãªæ¨î, ¯à¨¤ã¬ ãî ¥« 宬, ª®â®à ï á®á⮨⠢ ¢ë¤¥«¥¨¨ í«¥¬¥â®¢ áâàãªâãàë M , ¯à¨áãâáâ¢ãîé¨å â ¬ ¢¨àâã «ì®. ãáâì M { áâàãªâãà ⥮ਨ T ¢ ï§ëª¥ L; ï§ëª Leq ¯®«ãç ¥âáï ¨§ L ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ५ï樮®£® ¯à¥¤¨ª â ME ¤«ï ª ¦¤®£® ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®á⨠E (x; y) ¬¥¦¤ã n-ª ¬¨ M , ®¯à¥¤¥«¨¬®£® ä®à¬ã«®© L ¡¥§ ¯ à ¬¥â஢, â ª¦¥ ᨬ¢®« fE äãªæ¨¨ ¨§ (M=)n ¢ ME . âàãªâãà M eq , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï M , ï¥âáï ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î Leq -áâàãªâãன ¤«ï ª®â®à®© ME ®¡à §®¢ ¨§ ¬®¦¥á⢠ª« áᮢ n-®ª ¨§ M ¯® ¬®¤ã«î E (¥á«¨ E 6= E 0, â® ME ¨ ME0 ¤¨§êîªâë), ¨ äãªæ¨ï fE ¨§ (M=)n ¢ ME , â® ¥áâì äãªæ¨ï ¨§ M n ¢ ME , ᮯ®áâ ¢«ïîé ï n-ª¥ ¥¥ ª« áá ¯® ¬®¤ã«î E ; çâ® ª á ¥âáï ¤à㣨å ᨬ¢®«®¢ Leq , â¥å çâ® ¨§ L, ®¨ ¨â¥à¯à¥â¨àãîâáï ¢ M= â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ M ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ®â®¦¤¥á⢫塞 M ¨ M=, â ª çâ® M ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¨¬®© ¯®¤áâàãªâãàë ¢ M eq . ®¤¥«ì M eq ¥ ᮢᥬ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¢ M ¢ á¬ëá«¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï à §¤¥« 9.d, â ª ª ª ¥¥ ¡ § ¥ ®¡à §®¢ ¨§ ä ªâ®à-¬®¦¥á⢠M m á 䨪á¨à®¢ ë¬ m; ¥á«¨ ¡ë ¬ë à áᬠâਢ «¨ ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ®â®è¥¨© íª¢¨¢ «¥â®á⨠E1; : : : ; Ek ᮮ⢥âá⢥® n1-ª®à⥦ å, : : : , nk -ª®à⥦ å, â® ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî áâàãªâãàã ª ª ä ªâ®à-¬®¦¥á⢮ M m+k+1 , £¤¥ m ï¥âáï ¬ ªá¨¬ã¬®¬ á।¨ n1; : : : ; nk (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë 16.13); § ç¨â M eq ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ª ª ¥ª®â®àë© ¯à¥¤¥« ®¯à¥¤¥«¨¬ëå áâàãªâãà ¢ M. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, á ¯®¬®éìî 祫®ç®© ª®áâàãªæ¨¨, çâ® ¥á«¨ M ¨ N í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë, â® M eq ¨ N eq â ª¦¥ í«¥¬¥â à® íª¢¨¢ «¥âë; ¥á«¨ N í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M , â® N eq ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ M eq . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯®«®© ⥮ਨ T ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®« ï ⥮à¨ï T eq áâàãªâãà M eq , £¤¥ M ¯à®¡¥£ ¥â ª« áá ¬®¤¥«¥© T . ª¨¥ ¤à㣨¥ ¬®¤¥«¨ ¨¬¥¥â T eq ? ª ª ª ¬®¦¥á⢠ME ¯®¯ à® ¤¨§êîªâë ¨ ¨å ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«®, â® ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ¢¨¤ x 62 ME ᮢ¬¥áâ®; ¨ «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® íâ® ¯®«ë© ⨯, ª®â®àë© §®¢¥¬ â®çª®© ¢ ¡¥áª®¥ç®á⨠¨ ®¡®§ 稬 p1 .
᫨ N { ¬®¤¥«ì T eq , â® ¥£® N= ï¥âáï ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T , ¨ M eq ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬ ®£à ¨ç¥¨¥¬ N : N ¯à®áâ® ¯à®áâ® ¯®«ãç ¥â-
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« ¢ 16
áï ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ª M eq ¥ª®â®à®£® ç¨á« ॠ«¨§ 権 p1 , ®¡à §ãîé¨å â®â «ì® ¥à §«¨ç¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮, ¡¥§ á¢ï§¥© á M eq , ¥£® í«¥¬¥âë ¥ ¨¬¥îâ ¤àã£¨å ®â®è¥¨© ¬¥¦¤ã ᮡ®© ªà®¬¥ ⮣®, çâ®¡ë ¡ëâì à §«¨ç묨. ¤ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¬®¦¥á⢮¬ A ¯ à ¬¥â஢, p1 ¨¬¥¥â ¢ ª ç¥á⢥ á뮢¥© ᢮¨ ॠ«¨§®¢ ë¥ á뮢ìï ¨ ¥¤¨á⢥®£® ¥à¥ «¨§®¢ ®£® áë . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, ç⮠ᮮ⢥âá⢨¥, ª®â®à®¥ ¬®¤¥«¨ M ᮯ®áâ ¢«ï¥â M eq , ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥© ¬¥¦¤ã ¬®¤¥«ï¬¨ T ¨ ¬®¤¥«ï¬¨ T eq , ®¯ã᪠î騬¨ â®çªã ¢ ¡¥áª®¥ç®áâ¨.
᫨ ¬ë å®â¨¬, â® ¬®¦¥¬ ®£à ¨ç¨âìáï à áᬮâ२¥¬ ¬®¤¥«¥© ⮫쪮 â ª®£® ¢¨¤ , ® ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥ íâ® ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ ¬®¦¥á⢮, ¥©âà «ì®¥ ¨ ¯ à §¨â¨ç¥áª®¥, ॠ«¨§ 樨 ⨯®¢ ¥ ®ç¥ì ¬¥è ¥â.
áâ¥á⢥®, ª ¦¤®¥ ᢮©á⢮ M ¯¥à¥®á¨âáï M eq : ¯¥à¥å®¤ ®â M ª M eq á®åà ï¥â "⥮à¥â¨ª®-¬®¤¥«ìë¥" ᢮©á⢠. ¯à¨¬¥à, ¤¢¥ n-ª¨ ¨§ M= ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¢ M eq ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¢ M ; ¥á«¨ M -®¤®à®¤ , â® M eq â ª¦¥ -®¤®à®¤ ; ¥á«¨ M áëé¥ , â® M eq ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬ áë饮áâ¨: ¤«ï ¢á¥å A M eq ; jAj < , ¨ ¤«ï ¢á¥å p 2 S1(A), p1 6 p; p ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M eq : ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, ⨯, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ME ¥ ¨¬¥¥â ¨ª ª¨å á¢ï§¥© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ ⨯ p1 , ¨ áâ ®¢¨âáï ⨯®¬ n-ª¨ ¢ á¬ëá«¥ M . ®ç® â ª ¦¥ T eq ¨¬¥¥â ¯®å®¦¨¥ ᢮©á⢠á ⥮ਥ© T : T áâ ¡¨«ì ¢ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Teq áâ ¡¨«ì ¢ ; ¤¥©á⢨⥫ì®, á ®¤®© áâ®à®ë T ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ¢ T eq, á ¤à㣮© áâ®à®ë, ¥á«¨ A { ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¬®¤¥«¨ T eq , ⮠⨯ë S1(A), ªà®¬¥ â®çª¨ ¢ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ⨯ ¬ n-®ª ¢ á¬ëá«¥ T . ¤® â ª¦¥ ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯¥à¥å®¤ ®â T ª T eq ¥ ¢«¨ï¥â ᢮©á⢠®âª«®¥¨ï ⨯®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å M= : ¨å ä㤠¬¥â «ìë© ¯®à冷ª ¢ T eq ï¥âáï ä㤠¬¥â «ìë¬ ¯®à浪®¬ T (â ª ª ª ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ä®à¬ã«ã Leq ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¥£® ¯¥à¥¢®¤ L), ¨ ¥á«¨ T áâ ¡¨«ì , A B M , p 2 S1(B ), p ` M= (x), ⮣¤ p ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A ¢ T ¢ ⮬ ¨ ⮫쪮 ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ® ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A ¢ T eq. â¥à¥á ¨ ¯®«ì§ T eq á®á⮨â, ª ª ¬ë í⮠㢨¤¨¬, ¢ ¯à¨¤ ¨¨ ¥ª®â®à®£® ®á®¡®£® ᢮©á⢠¯ à ¬¥âà ¬ ä®à¬ã«ë f (x; a) ¨ ¢ ᮯ®áâ ¢«¥¨¨ ®¯à¥¤¥«¨¬®¬ã ⨯ã áâ®ï饣® ¬¨¨¬ «ì®£® ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢, ¥®¡å®¤¨¬®£® ¤«ï ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨ï. ०¤¥ ¢á¥£® ¤®ª ¦¥¬ á«¥¤ãîéãî «¥¬¬ã, ª®â®à ï ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¡¥á¯®«¥§® ¯®¢â®àïâì ª®áâàãªæ¨î eq ¤ T eq ¥ âண ï â®çªã ¢ ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ¥¬¬ 16.13 ãáâì F { ®â®è¥¨¥ ®¯à¥¤¥«¨¬®© íª¢¨¢ «¥â®á⨠¢ T eq ¤ ¬®¦¥á⢮¬ (ME1 [ [ MEk )n ; ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â ®¯à¥¤¥«¨¬®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ fF ¨§ (ME1 [ [ MEk )n ¢ M eq â ª®¥, çâ® ¤¢¥ n-ª¨ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ®¡à § ¯à¨ fF ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ®¨ ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î F . ®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, ç⮡ë ã¯à®áâ¨âì ®¡®§ 票ï, çâ® n = 1; E1 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤ n1-ª ¬¨, : : : , Ek ¤ nk -ª ¬¨; ¯ãáâì m { ¬ ªá¨¬ã¬ ç¨á¥« n1; : : :; nk . ë à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ A ª®à⥦¥© ¤«¨ë m+k +1 ¨§ M , (a0; : : : ; ak; b1; : : :; bm) 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ®¤®¬ã ¨ ¥¤¨á⢥®¬ã à ¢¥áâ¢ã ¢¨¤ a0 = ai: VV (a 6= a _ a 6= a ) ^ WW (a = a ) : 0 i 0 j 0 i 0
18.a ¥®à¥¬ ¥¤¨á⢥®á⨠: : : : : : : : : : : : : 351 18.b à®áâë¥ ¬®¤¥«¨ â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ : : : : : : : : : : : : : 352 18.c ¥®à¨ï «ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 357 18.d à®áâë¥ T +- áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ : : 364 18.e ®¤¥«¨ à¥ä®©åâ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 367 18.f ¥®à¥¬ ® ¤¢ãå ª न « å; !1 -ª ⥣®à¨çë¥ â¥®à¨¨ : : : : : : : : : : : : : : : 369 18.g áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 372 j
j
350
18.a
351
¥®à¥¬ ¥¤¨á⢥®áâ¨
18.a ¥®à¥¬ ¥¤¨á⢥®á⨠।«®¦¥¨¥ 18.1
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ¨ k(T ) !1 , â® ¤«ï ª ¦¤®-
£® ¬®¦¥á⢠A ¯ à ¬¥â஢, ¥á«¨ B ª®áâàã¨à㥬® ¤ A, ⮣¤ ª ¦¤®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ B , ᮤ¥à¦ 饥 A, â ª¦¥ ª®áâàã¨à㥬® ¤ A. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì fa g !1, ¨¬¥® â , çâ® á®á⮨⠨§ !1 ¢«®¦¥ëå ®â®è¥¨© íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ª®âà¯à¨¬¥à ª 18.12 . §ëª T ¢ª«îç ¥â ᨬ¢®« ¡¨ ண® ®â®è¥¨ï E ¤«ï ª ¦¤®£® áç¥â®£® ®à¤¨ « ; ¥¥ ªá¨®¬ë £®¢®àïâ, çâ® ª ¦¤®¥ E { ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ ¨ E { ¡®«¥¥ ⮪ ï íª¢¨¢ «¥â®áâì 祬 E ¤«ï < , ¨ ª ¦¤ë© ª« áá ¯® ¬®¤ã«î E à §¡¨¢ ¥âáï ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ª« áᮢ ¯® ¬®¤ã«î E .
᫨ ¬ë §®¢¥¬ à ááâ®ï¨¥¬ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï à §«¨ç묨 í«¥¬¥â ¬¨ a ¨ b ¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T ¨¬¥ì訩 ®à¤¨ « , â ª®©, çâ® a ¨ b ¥ ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î E , â® ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¬®¤¥«ì T { íâ® â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ¡®£ ⮥ I -§ 箥 ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, £¤¥ I { ®¡à 饨¥ 楯¨ !1 + 2 (¬¨¨¬ã¬ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ã«¥¢®¬ã à ááâ®ï¨î). ¥§ã«ìâ â á«¥¤ã¥â ¨§ áãé¥á⢮¢ ¨ï I § 箣® ª®áâàã¨à㥬®£® ¯à®áâà á⢠, ª®â®à®¥ ¥ ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¯à®áâë¬ I -§ çë¬ ¯à®áâà á⢮¬ («¥¬¬ 10.21, ⥮६ 10.26).
18.b à®áâë¥ ¬®¤¥«¨ â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ
᫨ ⥮à¨ï T â®â «ì® âà á楤¥â , â® ¯® 17.16 ¤«ï «î¡®£® A áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ A, ª®â®à ï ¥¤¨á⢥ ¯® 18.2. ®í⮬ã ⥮६ 18.5, ¯à¨¢®¤¨¬ ï ¨¦¥, ¢ í⮬ á«ãç ¥ ï¥âáï ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠¢â®àë¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ¥¤¨á⢥®á⨠¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨.
¥¬¬ 18.3 (T â®â «ì® âà á楤¥â .) à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ A ¥ ᮤ¥à¦¨â ¥áç¥â®£® ¥à §«¨ç¨¬®£® ¬®¦¥á⢠¤ A.
®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¥à §«¨ç¨¬ãî ¤ A ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤«¨ë !1 í«¥¬¥â®¢ fa g
®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ p ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® à § ¨, â ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥à §«¨ç¨¬ , áãé¥áâ¢ã¥â âãà «ì®¥ n, â ª®¥, çâ® ç¨ ï á pn á«¥¤ãî騥 â¨¯ë ¡®«ìè¥ ¥ ®âª«®ïîâáï. ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a , n ¥à §«¨ç¨¬ ¤ A [ fa0; : : :; an?1g, â® ¢á¥ í⨠a ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î ª ¦¤®£® ®¯à¥¤¥«¨¬®£® ®â®è¥¨ï ª®¥ç®© íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ í⮣® ¬®¦¥á⢠. «¥¤®¢ ⥫ì®, pn+1 { áâ 樮 àë© â¨¯ ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fa g n+1 ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ ⨯ pn+1 ¤ A [ fa0; : : :; an?1g. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤®¡ ¢¨¢ ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ a ª A (¨§¢¥áâ®, çâ® ¯à¨ í⮬ M ®áâ ¥âáï ¯à®á⮩ ¤ A [ fag), ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® è¥ ¬®¦¥á⢮ { ¥à §«¨ç¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ s ¤«¨ë !1 áâ 樮 ண® ⨯ p ¤ A.
18.b
353
à®áâë¥ ¬®¤¥«¨
祬 ¯®áâ஥¨¥ ¬®¤¥«¨ á ! ¯¥à¢ëå í«¥¬¥â®¢ s : a0; : : :; an; : : : (à¥çì ¨¤¥â, ª®¥ç®, ®¡ ⮬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨), ¨ ¤ «¥¥ ¡ã¤¥¬ ¯à®¤®«¦ âì ¤® â¥å ¯®à, ¯®ª ¥ ®áâ ¥âáï ¨§®«¨à®¢ ëå ⨯®¢ ¤«ï ॠ«¨§ 樨; ¢ ª®æ¥ ¬ë ¯®«ã稬 ¬®¤¥«ì M1 , A-¨§®¬®àäãî M . ®£¤ M1 ⮬ ¤ A [ fa0; : : :; an; : : : g ¯® ¯®áâ஥¨î ¨ ® ®¯ã᪠¥â ⨯ p! , ª®â®àë© ¡ã¤ãç¨ ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ë¬ ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠a0; : : :; an; : : : , ¥ ¨§®«¨à®¢ . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ M1 íâ® ¬®¦¥á⢮ a0; : : : ; an; : : : ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ ¥à §«¨ç¨¬ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¤ A. ª ª ª M1 ¨ M ïîâáï A-¨§®¬®àä묨, áãé¥áâ¢ã¥â áç¥â ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì t, ª®â®à ï ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ì®© ॠ«¨§ 樥© ¢ M ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ p. ¤ ª® ¬ë § ¥¬, çâ® ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ b ¯ à ¬¥â஢ ¬®¦¥â § áâ ¢¨âì ®âª«®ïâìáï ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¥§ ¢¨á¨¬®£® ¬®¦¥á⢠: ¥á«¨ tp(a =A [ fbg) ®âª«®ï¥âáï ¤ A, â® tp(a =A [ fbg [ fa g < ) ®âª«®ï¥âáï ¤ A [ fa g < , ¯® ᨬ¬¥âਨ tp(b=A [ fa g ) ®âª«®ï¥âáï ¤ A [ fa g < , ¨ íâ® ¯à®¨§®©¤¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® à § ¨§-§ á㯥àáâ ¡¨«ì®á⨠⨯ b ¤ A. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥ í«¥¬¥âë s, § ¨áª«î票¥¬ áç¥â®£® ç¨á« , ॠ«¨§ãîâ ¤ A [ t ¥®âª«®ïî饣®áï áë p. â® ®¯à®¢¥à£ ¥â ᢮©á⢮ ¬ ªá¨¬ «ì®á⨠t.
᫨ A ¨ B { ¤¢ ¯®¤¬®¦¥á⢠¬®¤¥«¨ M ⥮ਨ T , â® £®¢®à¨¬ çâ® B ï¥âáï A-®à¬ «ìë¬, ¥á«¨ ª ¦¤ë© à §, ª®£¤ b ¢ B , ª ¦¤ë© í«¥¬¥â b0 ¨§ M , ¨¬¥î騩 â®â ¦¥ ⨯ ¤ A, çâ® ¨ b, â ª¦¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â B ; ¢ ç áâ®áâ¨, íâ® ¢¥à® ¤«ï ¯®¤¬®¦¥á⢠M , ®¯à¥¤¥«¥®£® ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A. ¥¬¬ 18.4 (T â®â «ì® âà á楤¥â )
᫨ M ⮬ ¤ A, ¨ B ï¥âáï A-®à¬ «ìë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ M , ⮣¤ M ⮬ ¤ B . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì c «¥¦¨â ¢ M ¨ f (x; b) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ B [ A, ¢ë¯®«ïîé ïáï c ¨ ¨¬¥îé ï ¬¨¨¬ «ìë¥ à £ ®à«¨ ¨ á⥯¥ì ®à«¨.
᫨ RM (tp(c=B [ A)) = , â® tp(c=B [ A) { ¥¤¨áâ¢¥ë© â¨¯ ¤ B [ A à £ ®à«¨, ¡®«ì襣® ¨«¨ à ¢®£® , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f (x; b). ¨¯ b_c ¤ A ¨§®«¨à®¢ ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«®© g(c; b) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A. ã⢥ত î, çâ® ä®à¬ã« g(x; b) ¨§®«¨àã¥â ⨯ c ¤ B [ A. ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¢ «î¡®© ¬®¤¥«¨, ᮤ¥à¦ 饩 B [ A, ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ¢ M ¬®¦® ©â¨ ª®à⥦ c1, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 í⮩ ä®à¬ã«¥, ® ¨¬¥î騩 ⨯ ¤ B [ A, ®â«¨çë© ®â ⨯ c; c ¨ c1 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A [ fbg, ⨯ c1 ¤ B [ A ®âª«®ï¥âáï ¤ A [ fbg ¨ íâ® ¯à®¨á室¨â ¨§-§ ä®à¬ã«ë h(x; d; b) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A [ B , ¯à® ª®â®àãî ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ® ¤®áâ â®ç® ᨫì , çâ®¡ë ¨§®«¨à®¢ âì ⨯ d ¤ A [ fbg. ® â ª ª ª c ¨ c1 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A [ fbg; c 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ (9y)h(x; y; b) ¨ ¢ M áãé¥áâ¢ã¥â d1 , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 h(c; d1; b); â ª ª ª B ®à¬ «ì®, d1 «¥¦¨â ®¡ï§ â¥«ì® ¢ B ; ¨ â ª ª ª d1 ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯, çâ® d, ¤ A [ fbg, â® íâ ä®à¬ã« § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ⨯ c: ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.
¥®à¥¬ 18.5
᫨ ⥮à¨ï T â®â «ì® âà á楤¥â , â® ¯à®áâ ï ¬®-
¤¥«ì ¤ A ï¥âáï ¥¤¨á⢥®© ⮬®© ¬®¤¥«ìî ¤ A, ¥ ᮤ¥à¦ 饩 ¥áç¥â®£® ¥à §«¨ç¨¬®£® ¬®¦¥á⢠¤ A.
354
« ¢ 18
®ª § ⥫ìá⢮. ë 㦥 ¯®ï«¨, çâ® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ®¡« ¤ ¥â í⨬¨ ᢮©á⢠¬¨. áᬮâਬ ¬®¤¥«ì M , ⮬ãî ¤ A ¨ ¡¥§ ¥áç¥â®£® ¥à §«¨ç¨¬®£® ¬®¦¥á⢠. ®ª ¦¥¬, çâ® M ª®áâàã¨à㥬 ¤ A; ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® ¤® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¥á«¨ A B M ¨ ¬ 㤠«®áì ¯®áâநâì B , ¨ ¥á«¨ M ⮬ ¤ B , ⮣¤ ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ⥬ ¦¥ £¨¯®â¥§ ¬ ®â®á¨â¥«ì® B , ¨¬¥®, ¡ëâì ⮬®© ¨ ¥ ¨¬¥âì ¥áç¥â®£® ¥à §«¨ç¨¬®£® ¬®¦¥á⢠¤ B . ®ª ¦¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® à £ã ®à«¨ ä®à¬ã«ë f (x; a) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ a ¨§ A, çâ® ¬®¦® ¯®áâநâì ¬®¦¥á⢮ f M í«¥¬¥â®¢ M , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å í⮩ ä®à¬ã«¥; ¬ë ¯®áâந¬ ¯®«®áâìî èã ¬®¤¥«ì, ª®£¤ ¤®©¤¥¬ ¤® ä®à¬ã«ë x = x. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¯à¨ £¨¯®â¥§ å ⥮६ë, 㬥¥¬ áâநâì ¬®¦¥á⢠, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ä®à¬ã«®© à £ ®à«¨, áâண® ¬¥ì襣® .
᫨ ä®à¬ã« f (x; a) ¨¬¥¥â á⥯¥ì ®à«¨ 1, â® ® 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ áâ 樮 àë¬ â¨¯®¬ á RM , à ¢ë¬ , ¤«ï ª®â®à®£® ¯®áâந¬ ¢ M ¬ ªá¨¬ «ìãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨: ॠ«¨§ã¥¬ p, ¥á«¨ ¢®§¬®¦® í«¥¬¥â®¬ a0; § ⥬ í«¥¬¥â®¬ a1, ¥á«¨ íâ® ¢®§¬®¦®, á«¥¤¨ª p, ¨ â.¤. த®«¦ ¥¬ â ª, ¯®ª íâ® ¢®§¬®¦®. ® £¨¯®â¥§¥ íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ áç¥â , ¨ ¬®¦® ¥¥ ¯¥à¥ã¬¥à®¢ âì a0; : : : ; an; : : : ®¡é¥¬ á«ãç ¥, ¤¥« ¥¬ íâã ¦¥ ª®áâàãªæ¨î ¤«ï ª ¦¤®£® ¨§ ᨫìëå ⨯®¢, à áè¨àïîé¨å â¨¯ë ¤ A, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å íâã ä®à¬ã«ã ¨ ¨¬¥îé¨å à £ RM = : ¨å ç¨á«® ï¥âáï á⥯¥ìî ®à«¨ ä®à¬ã«ë f (x; a), ¨ ¬ë ¯®«ãç ¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¥à §«¨ç¨¬ëå ª®¥çëå (¢®§¬®¦® ¯ãáâëå!) ¨«¨ áç¥âëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩. ¡®§ 稬 ç¥à¥§ a0 ª®à⥦, ®¡à §®¢ ë© ¨§ ¯¥à¢ëå í«¥¬¥â®¢ íâ¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩, ç¥à¥§ an ª®à⥦, ®¡à §®¢ ë© ¨§ n-ëå í«¥¬¥â®¢ íâ¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩. ª ª ª í⨠¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à®¤®«¦¥ë í«¥¬¥â ¬¨ M , ¨§ í⮣® á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® a ¨§ f M áãé¥áâ¢ã¥â âãà «ì®¥ n, â ª®¥, çâ® a 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ à £ ®à«¨ áâண® ¬¥ìè¥ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A [ fa0; : : :; ang. ¤¥« ¢ íâ®, ç¨ ¥¬ ¯¥à¥ç¨á«ïâì ¢á¥ ä®à¬ã«ë gi , ¢«¥ªã騥 f , á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A ¨ á à £®¬ RM , áâண® ¬¥ì訬 . ® £¨¯®â¥§¥ ¬®¦® ¯®áâநâì ª ¦¤®¥ giM , ¨ ¯®¬¥é ï í⨠ª®áâàãªæ¨¨ ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ®¤ã § ¤à㣮©, ¯®«ãç ¥¬ ª®áâàãªæ¨î ®¡ê¥¤¨¥¨ï B0 íâ¨å giM . ª ª ª ®¡ê¥¤¨¥¨¥ giM ®à¬ «ì® ¤ A, â® ¯® 18.4 ¬®¤¥«ì ®áâ ¥âáï ⮬®© ¤ í⨬ ¬®¦¥á⢮¬. ⥬ ¤®¡ ¢«ï¥¬ a0 ª B0: ¬®¤¥«ì M ⮬ ¤ A [ B0 [ fa0g . ¥¯¥àì ¯à®ã¬¥à㥬 ä®à¬ã«ë á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ í⮣® ¬®¦¥á⢠, ¢«¥ªãé¨å f ¨ ¨¬¥îé¨å RM , áâண® ¬¥ì訩 , ¨ â ª ¦¥ ª®áâàã¨à㥬 ¨å ®¡ê¥¤¨¥¨¥ B1 . ®¢â®à塞 íâã ¯à®æ¥¤ãàã ! à §: ¢ ª®æ¥ ¯®«ãç ¥¬ ª®áâàãªæ¨î f M .
ª ¡ë«® 㦥 ᪠§ ®, ⥮६ 18.5 ï¥âáï ¢â®àë¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ ¥¤¨á⢥®á⨠¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¢ â®â «ì® âà á楤¥â®¬ á«ãç ¥, â ª ª ª ª ¦¤ ï ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì, ¢ª« ¤ë¢ ïáì ¢ ª®áâàã¨à㥬ãî ¬®¤¥«ì, ¤®«¦ 㤮¢«¥â¢®à¨âì £¨¯®â¥§¥ í⮩ ⥮६ë. ¥¯¥àì ¨§ã稬 ᢮©á⢠¬¨¨¬ «ì®© ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨, ¢á¥ ¥é¥ ¢ â®â «ì® âà á楤¥â®¬ á«ãç ¥. ãáâì B { ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢, ᮤ¥à¦ 饥 A ¨ ⮬®¥ ¤ A, ¨ ¯ãáâì p { ⨯ ¨§ S1(B ), ª®â®àë© ¬ë ॠ«¨§ã¥¬ í«¥¬¥â®¬ a; ¬ë £®¢®à¨¬, § ®âáãâá⢨¥¬ «ãç襣® â¥à¬¨ , çâ® p ⮬¥ ¤ A, ¥á«¨ B [ fag ⮬® ¤ A, â®
18.b
355
à®áâë¥ ¬®¤¥«¨
¥áâì ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® b ¨§ B ⨯ b_a ¤ A ¨§®«¨à®¢ ; ¯® âà §¨â¨¢®á⨠⮬®á⨠¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ B [ fag ⮬ â ª¦¥ ¤ A. ¥¬¬ 18.6
᫨ N { í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M , ¬®¤¥«¨ M ¨ N { â®¬ë¥ ¤ A, ¨ ¥á«¨ p ¢ S1(M ) { â®¬ë© ¤ A, â® â ª®¢ ¦¥ ¨ ¥£® á«¥¤¨ª q ¤ ¬®¤¥«ìî N . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a { ॠ«¨§ æ¨ï q, ¨ ¬®¦¥á⢮ b «¥¦¨â ¢ N : ¤® ¤®ª § âì, ç⮠⨯ a_b ¨§®«¨à®¢ ¤ A. ãáâì í«¥¬¥â c ¢ M â ª®©, çâ® p â ª ¦¥, ª ª ¨ q, ¥áâì ¥¤¨á⢥®¥ ¥®âª«®ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï c: ¬®¦® ¢§ïâì ¢ ª ç¥á⢥ c ¯ à ¬¥âàë ä®à¬ã«ë f (x; c), ¨§®«¨àãî饩 p ®â ⨯®¢ ¥ ¬¥ì襣® à £ ®à«¨ . ª ª ª ⨯ b ¤ A [ fcg ¨§®«¨à®¢ ¨ M ï¥âáï ¬®¤¥«ìî, â® ® ॠ«¨§ã¥âáï ª®à⥦®¬ b0 ¨§ M ; ¯® £¨¯®â¥§¥ ⨯ c_b0_ a ¤ A ¨§®«¨à®¢ ¨ íâ®â ⨯ â®â ¦¥, çâ® ¨ ⨯ c_b_ a ¤ A .
¥®à¥¬ 18.7 (T â®â «ì® âà á楤¥â .) à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ A ¬¨-
¨¬ «ì ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ® ¥ ᮤ¥à¦¨â ¡¥áª®¥ç®£® ¥à §«¨ç¨¬®£® ¬®¦¥á⢠¤ A; ¥á«¨ ® ¬¨¨¬ «ì , â® íâ® ¥¤¨á⢥ ï ¬®¤¥«ì, ⮬ ï ¤ A; ¨ ç¥, áãé¥áâ¢ãîâ â®¬ë¥ ¬®¤¥«¨ ¤ A ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ì让 ¬®é®áâ¨. ®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì M ᮤ¥à¦¨â áç¥â®¥ ¥à §«¨ç¨¬®¥ ¤ A ¬®¦¥á⢮ a0; a1; : : :; an; : : : . ¦¤ ï ä®à¬ã« ⨯ a0 ¤ A [ fa1; : : : ; an; : : : g 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ¢á¥¬¨ an, § ¨áª«î票¥¬ ª®¥ç®£® ç¨á« , â ª çâ® íâ®â ⨯ ¥ ¨§®«¨à®¢ ¨ a0 ¥ ¬®¦¥â «¥¦ âì ¢ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤ A [fa1; : : : ; an; : : : g ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ¥áîàꥪ⨢®¥ í«¥¬¥â ஥ A-¢«®¦¥¨¥ M ¢ ᥡï.
᫨ M ¥ ¬¨¨¬ «ì , ¨«¨ ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¤à㣨¥ â®¬ë¥ ¬®¤¥«¨, â® ® ¨¬¥¥â ᮡá⢥®¥ ⮬®¥ à áè¨à¥¨¥ N . ãáâì p { ⨯ ¤ M í«¥¬¥â ¨§ N , ª®â®àë© ¥ «¥¦¨â ¢ M . ® 18.6 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ a0; : : : ; an; : : : ⨯ p ⮬ ¤ A, ¨ ¤®«¦ ©â¨áì ¥¥ ª®¯¨ï ¢ M . ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ ¥¥ ¯à®¤®«¦¨âì, â® ¯®«ã稬 ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤«¨ë , ª®â®à ï ⮬ ¤ A â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî, ¯® âà §¨â¨¢®á⨠⮬®áâ¨.
¥¬¬ 18.8
᫨ A B C , C ⮬® ¤ A ¨ ⨯ p ¨§ S1(B ) ⮬¥ ¤
A, ⮣¤ p ¨¬¥¥â áë q ¤ C , ⮬®£® ¤ A. ®ª § ⥫ìá⢮. ®¦® § ¬¥¨âì C ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì N ¤ C , ª®â®à ï ⮬ ¤ A. â ¬®¤¥«ì N ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î ¬®¤¥«¨ M , ¯à®á⮩ ¤ B : ¯® 18.6 ¤®áâ â®ç® ¯®ª § âì, çâ® p ¨¬¥¥â ¤ M ⮬®£® áë ; § ⥬, ¤® ¡à âì ¥£® á«¥¤¨ª . ⮡ë íâ® ¯®ïâì, ⨯ p ॠ«¨§ã¥¬ í«¥¬¥â®¬ a ¨ à áᬮâਬ ¬®¤¥«ì Mp , ¯à®áâãî ¤ B [ fag, ª®â®à ï ¯® âà §¨â¨¢®áâ¨, ⮬ ¤ A ¨ ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î M : ⨯ a ¤ M ⮬¥ ¤ A (¨ ® ï¥âáï, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ®ç¥ì ®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ p !) .
356
« ¢ 18
«¥¤á⢨¥ 18.9
᫨ A B; B ⮬® ¤ A, ¨ ¥á«¨ pi â¨¯ë ¨§ S1(B ), ïî騥áï ⮬묨 ¤ A, â® áãé¥áâ¢ã¥â ¤¬®¦¥á⢮ C ¬®¦¥á⢠B , ⮬®¥ ¤ A, ¢ ª®â®à®¬ ॠ«¨§ãîâáï ¢á¥ í⨠⨯ë.
®ª § ⥫ìá⢮. ¥ «¨§ã¥¬ ¯¥à¢ë© ⨯, ¯ãáâì p0 , ¢ C0; ¯®â®¬ ¡¥à¥¬ ⮬®¥ à áè¨à¥¨¥ ¢â®à®£® ¤ C0 , ¯ãáâì íâ® ¡ã¤¥â p1 , ª®â®àë© à¥ «¨§ã¥¬ ¢ C1 ¨ â ª ¤ «¥¥.
¤¨ ¨§ ¢ ਠ⮢ á«¥¤á⢨ï 18.9 ï¥âáï á«¥¤ãî騬: ¥á«¨ Mi ïîâáï ⮬묨 ¬®¤¥«ï¬¨ ¤ A, â® ®¨ ¨¬¥îâ ®¡é¥¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M , ⮬®¥ ¤ A. â®â १ã«ìâ â ¯®å®¦ ⥮६ã 4.14 . ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ á«ãç ¥ â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ ¬®¦® ᮧ¤ âì 楫ãî ⥮à¨î ¬®¤¥«¥©, ®£à ¨ç¨¢ ïáì ⮬묨 ¬®¤¥«ï¬¨ ¤ A. â® ¡ã¤¥â ¨â¥à¥áë¬, ®ç¥¢¨¤®, ª®£¤ ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¥ ¬¨¨¬ «ì . ¯à¨¬¥à, ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ï⨥ {- ⮬® áë饮© ¬®¤¥«¨: íâ® ¬®¤¥«ì M ⮬ ï ¤ A ¨ â ª ï, çâ® ¤«ï «î¡®£® B; A B M; jB j < {, ª ¦¤ë© ⨯ ¤ B , ª®â®àë© A- ⮬¥, ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M . ® á«¥¤á⢨î 18.9 ª ¦¤ ï ⮬ ï ¬®¤¥«ì ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ {- ⮬® áëé¥ãî ¨ «¥£ª® ¢¨¤¥âì 祫®çë¬ ¬¥â®¤®¬, çâ® â ª ï ¬®¤¥«ì {-(á« ¡®)-®¤®à®¤ . ⮬ ï áë饮áâì ¡ã¤¥â ®§ ç âì ⮬ãî áë饮áâì ¢ ᢮¥© ¬®é®áâ¨: ¤«ï ª ¦¤®£® jT (A)j ¬®¦® ¯®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì A- ⮬® áë饮© ¬®¤¥«¨ ¬®é®á⨠, ª®¯¨àãï ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ áãé¥á⢮¢ ¨ï 14.2 ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠9.8 áëé¥ëå ¬®¤¥«¥©. ë ᮡ¨à ¥¬áï ⥯¥àì ¨§ãç¨âì ¥ª®â®àë© ¢¨¤ ï¤à , ¯®«ãç î饣®áï ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å A-¢«®¦¥¨© ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤ A ¢ ᥡï. ®¢®à¨¬, ç⮠⨯ p ¤ A ¨«¨ í«¥¬¥â, ॠ«¨§ãî騩 íâ®â ⨯, ⮬® «£¥¡à ¨ç¥ ¤ A, ¥á«¨ p ¨§®«¨à®¢ ¨ ¥á«¨ a ¥ ï¥âáï ç «®¬ ¨ª ª®© ¡¥áª®¥ç®© ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, ⮬®© ¤ A. ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ í«¥¬¥âë ¨¬¥îâ ¯® ®â®è¥¨î ª ª« ááã ⮬ëå ¬®¤¥«¥© ᢮©á⢠, ¯ à ««¥«ìë¥ á¢®©á⢠¬ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å í«¥¬¥â®¢ ¯® ®â®è¥¨î ª ª« ááã ¢á¥å ¬®¤¥«¥©. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¢®§ì¬¥¬ ¡®«ìèãî ®ç¥ì áëé¥ãî ¬®¤¥«ì N , ¨ ¥á«¨ M { ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ A, â® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å A-¢«®¦¥¨© M ¢ N ®¡à §®¢ ® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨ í«¥¬¥â ¬¨ ¤ A.
᫨ N ⮬ ¨ ¤ ¦¥ ¥ ⮬® áëé¥ , â® íâ® ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ®¡à §®¢ ® ¨§ ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨å í«¥¬¥â®¢: ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ í«¥¬¥â a ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¥¬ã, â® ¬ë ©¤¥¬ ¢ í⮩ ¬®¤¥«¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a; a1; : : :; an : : : ¥à §«¨ç¨¬ãî ¨ ⮬ãî, ¨ ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ A [fa1; : : : ; an : : : g ᮤ¥à¦ é ï ª®¯¨î M , ¥ ᮤ¥à¦¨â a; á ¤à㣮© áâ®à®ë, ¥á«¨ ¢®§¬®¦® ¢«®¦¨âì M ¢ N , ¥ ªàë¢ ï a, â® ª ª ¬ë 㦥 ®â¬¥â¨«¨, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ⨯ a ¤ M ⮬ ¤ A. ¤¨¬ á«®¢®¬, ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å A-¢«®¦¥¨© ¬®¤¥«¨ M , ¯à®á⮩ ¤ A, ¢ á¥¡ï ¨«¨ ¢ ª ªãî-¨¡ã¤ì ⮬ãî ¬®¤¥«ì ¤ A, ®¡à §®¢ ® ¨§ ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨å í«¥¬¥â®¢; ¬ë §®¢¥¬ ¬¨¨¬ «ìë¬ § ¬ëª ¨¥¬ A áâàãªâãàã, ®¡à §®¢ ãî ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨ í«¥¬¥â ¬¨ M . «î¡®© ⮬®© ¬®¤¥«¨ N ¤ A ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ í«¥¬¥âë ®¡à §ãîâ áâàãªâãàã ¨§®¬®àäãî í⮬㠬¨¨¬ «ì®¬ã § ¬ëª ¨î.
18.c
357
¥®à¨ï «ã
¥¬¬ 18.10
᫨ A B M , M ⮬® ¤ A, ª ª ¨ ¤ B , ¨ B 0 ¯®«ã祮
¨§ B ¤®¡ ¢«¥¨¥¬ ¨«¨ 㤠«¥¨¥¬ ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨å í«¥¬¥â®¢ ¤ A, ⮣¤ M ®áâ ¥âáï ⮬®© ¤ A [ B 0.
®ª § ⥫ìá⢮. 祬 á ¤®¡ ¢«¥¨ï ª B ¢á¥å ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨å
í«¥¬¥â®¢ ¨ ¯®«ã稬 ¬®¦¥á⢮ B1, ®à¬ «ì®¥ ¤ A; ¯® «¥¬¬¥ 18.4 , M ®áâ ¥âáï ⮬®© ¤ B1. ⥬ 㤠«¨¬ ¨§ B1, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì B 0, A- ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ í«¥¬¥âë. ãáâì a { ª®à⥦ ¨§ M , ⨯ ª®â®à®£® ¤ B1 ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© f (x; b); â ª ª ª ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ A [ B 0 ᮤ¥à¦¨â ®¡ï§ â¥«ì® â®¬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ í«¥¬¥âë ¤ A, ª®à⥦ b ¨¬¥¥â ⨯ ¤ A [ B 0, ¨§®«¨à®¢ ë© ä®à¬ã«®© g(y) (¢¯à®ç¥¬ í⮠᢮©á⢮ å à ªâ¥à¨§ã¥â ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ í«¥¬¥âë: íâ® â¥ í«¥¬¥âë, ⨯ ª®â®àëå ®áâ ¥âáï ¨§®«¨à®¢ ë¬ ¤ «î¡ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢ ⮬®© ¬®¤¥«¨) . «¥¤®¢ â¥«ì® ä®à¬ã« 9y[f (x; y) ^ g(y)] ¨§®«¨àã¥â ⨯ a ¤ A [ B 0.
àאַ¥ á«¥¤á⢨¥ «¥¬¬ë 18.10 { íâ® â®, çâ® ¥á«¨ ¢ ª®áâàãªæ¨¨ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ M ¤ A ¯®¬¥ïâì ¬¥áâ ¬¨ ⮬® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ í«¥¬¥âë, ⮣¤ ¯®«ãç ¥¬ ᮢ ª®áâàãªæ¨î M . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬®¦® ç¨ âì ¥¥ ª®áâàãªæ¨î ¯¥à¥ç¨á«ïï, ¥¢ ¦® ª ª, ¬¨¨¬ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ Amin ¬®¦¥á⢠A, â ª çâ® M ®áâ ¥âáï ¯à®á⮩ ¬®¤¥«ìî ¤ Amin â ª ¦¥, ª ª ¨ «î¡ë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ Amin . «¥¤®¢ ⥫ì®, ¬¨¨¬ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ Amin , ¨«¨ «î¡®£® ¯à®¬¥¦ãâ®ç®£® ¬®¦¥á⢠¬¥¦¤ã A ¨ Amin , ®áâ ¥âáï Amin : ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ a ¥ «¥¦¨â ¢ Amin , â® ¬®¦® ©â¨ ª®¯¨î ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤ A, ïîéãîáï â ª¦¥ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«ìî ¤ Amin , ¥ ᮤ¥à¦ éãî a; íâ® ®¯à ¢¤ë¢ ¥â â¥à¬¨ "§ ¬ëª ¨¥". § ¥¤¨á⢥®á⨠¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ á«¥¤ã¥â, çâ® Amin ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬ ®¤®à®¤®áâ¨: ¤¢ {-ª®à⥦ ¨§ Amin ®¤¨ ª®¢®£® ⨯ ¤ A ¯¥à¥¢®¤ïâáï ¤à㣠¤à㣠A- ¢â®¬®à䨧¬®¬ ¬®¤¥«¨ M ¯à®á⮩ ¤ A (
᫨ { > jT (A)j, â® í⨠{-ª®à⥦¨ ®ç¥¢¨¤® ¢ª«îç îâ ¡®«ì讥 ª®«¨ç¥á⢮ ¯®¢â®à¥¨©!). â® ª®âà áâ¨àã¥â á ⥬, çâ® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì !-®¤®à®¤ (â ª ª ª ® ®áâ ¥âáï ¯à®á⮩ ¤ A[fbg, £¤¥ b { ª®¥çë© ª®à⥦ ), ® ¥ !1-®¤®à®¤ , ¥á«¨ ® ¥ ¬¨¨¬ «ì , â ª ª ª A-¥à §«¨ç¨¬®¥ ¡¥áª®¥ç®¥ ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ¬®¦¥á⢮ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®â®¡à ¦¥® A- ¢â®¬®à䨧¬®¬ ®¤® ¨§ ᢮¨å ᮡá⢥ëå ¡¥áª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥áâ¢.
18.c ¥®à¨ï «ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ᮡ¨à îáì ¨««îáâà¨à®¢ âì §¤¥áì ¯à¥¤ë¤ã騥 à áᬮâà¥¨ï ¯à¨¬¥à®¬, § ¨¬á⢮¢ ë¬ ¨§ «£¥¡àë. â® ®ç¥ì áâ àë© ¯à¨¬¥à, â ª ª ª à¥çì ¨¤¥â ® "£à㯯¥ «ã ", ª®â®àãî ¬ ⥬ ⨪¨ ¯à®è«®£® ¢¥ª â ª¨¥ ª ª ¨ã¢¨««ì, ¨ª à, ¥áᨮ, ᮯ®áâ ¢«ï«¨ ¥ª®â®à®¬ã «¨¥©®¬ã ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î: íâ® «£¥¡à ¨ç¥áª ï £à㯯 ¬ âà¨æ, ¤¥©áâ¢ãîé ï à¥è¥¨ïå ãà ¢¥¨ï. §à¥è¨¬®áâì á¢ï§®© ª®¬¯®¥âë í⮩ £àã¯¯ë ®§ ç ¥â ¢®§¬®¦®áâì
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« ¢ 18
à¥è âì ãà ¢¥¨¥ ª ᪠¤®¬ ¯à®áâëå ᯮᮡ®¢ (¢§ï⨥ ¯à¨¬¨â¨¢ , ¢§ï⨥ ¯®ª § ⥫쮣® ¯à¨¬¨â¨¢ , «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨). ⮠ï¥âáï ¯ à ««¥«ìî á § ¬¥ç ⥫쮩 ⥮६®© «ã ® à §à¥è¨¬®á⨠«£¥¡à ¨ç¥áª¨å ãà ¢¥¨©.
áâ¥á⢥®, ª ª ¨ª ª®£® ¯®«ï ¥â ã «ã , â ª ¨ ¨ª ª®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¯®«ï ¥â 㠨㢨««ï (ª®â®àë© ¡ë« । ªâ®à®¬ § ¯¨á¥© «ã ); ¤«ï «ã ª®à¥ì ¬®£®ç«¥ ï¥âáï ª®¬¯«¥ªáë¬ ç¨á«®¬, ¤«ï ¨ã¢¨««ï à¥è¥¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï «¨â¨ç¥áª®© äãªæ¨¥©; ® ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨áª âì à¥è¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¢ K ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ § ¬ëª ¨¨ K . â ⥮à¨ï ¡ë« ®¡®¡é¥ ®«ç¨ë¬ ¥ª®â®àë¥, ç¥áâ® £®¢®àï, ¤®áâ â®ç® ®£à ¨ç¥ë¥, ¢¨¤ë ¥«¨¥©ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©. àã¯¯ë «ã , ª®â®àë¥ â®£¤ ¯®«ãç îâáï, ïîâáï á ¬ë¬¨ ®¡é¨¬¨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨ £à㯯 ¬¨, ¥ ⮫쪮 ää¨ë¬¨ £à㯯 ¬¨. ᥠíâ® ¯®«®áâìî 室¨âáï ¢ à ¬ª å ⥮ਨ T ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ (á¬. à §¤¥« 6.b); ª ª 㦥 ¡ë«® ®â¬¥ç¥®, ® ï¥âáï â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਥ©, â ª ª ª à £ RD (ª®â®àë© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ⮫쪮 ¤«ï 1-⨯®¢) ï¥âáï ª â®à®¢áª¨¬ à £®¬ ¨«¨, ¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, 1-⨯®¢ ¤ K ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«¥¥, 祬 ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¬®£®ç«¥®¢, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â áâ ¡¨«ì®áâì ¢® ¢á¥å . ®¦® ¤®áâ â®ç® «¥£ª® ¯®ïâì, çâ® RD ¥ ï¥âáï à £®¬ ®à«¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, «î¡®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ K (ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨: ¬ë íâ® ¥ ¡ã¤¥¬ ¡®«ìè¥ ¯®¢â®àïâì) ¨¬¥¥â ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì ¤ K , ª®â®àãî ®¡®§ 稬 Kdc ¨ §®¢¥¬ ¥£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ § ¬ëª ¨¥¬; «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥, çâ® ®¤® ¨ â® ¦¥ ¢ ⥮à¥â¨ª®-¬®¤¥«ì®¬ á¬ëá«¥ ¨ ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥, Kalg ¯®«ï K ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ãâਠí⮣® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® § ¬ëª ¨ï, â ª¦¥ ª ª ¨ ¥£® ¬¨¨¬ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ Kmin ; ¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ K Kalg Kmin Kdc .
᫨ K = C ï¥âáï ¯®«¥¬ ª®áâ â (â.¥. ¯à®¨§¢®¤ ï à ¢ ã«î K ) , â® ¬®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ C ¥ ¬¨¨¬ «ì®. ¥©á⢨⥫ì®, ç¨áâ® «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬¨ à£ã¬¥â ¬¨, ª®â®àë¥ ï §¤¥áì ¥ ¢®á¯à®¨§¢®¦ã, ¯®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯®¯ à® à §«¨çë¥ à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï x0 = x3 ? x2 , ¯ãáâì a0; : : : ; an; : : : , à ᯮ«®¦¥ë¥ ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ ¯®«¥ L, ¢á¥£¤ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ ª®áâ â ¬¨ í⮣® ¯®«ï. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤ C ¨¬¥¥âáï ¡¥áª®¥ç®¥, ⮬®¥ ¨ ¥à §«¨ç¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮, ïî饥áï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ ⨯ ¬¨¨¬ «ì®£® ãà ¢¥¨ï x0 = x3 ? x2. à ¢¥¨¥ x0 + x0=x = 1, ¨«¨ x0(x + 1) ? x = 0, â ª ¦¥ ¢¯à®ç¥¬ ª ª ¯®ç⨠¢á¥ ãà ¢¥¨ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 á ¯®áâ®ï묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨, ¨¬¥¥â â® ¦¥ ᢮©á⢮. ⮡ë ã¯à®áâ¨âì ¦¨§ì ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, ç⮠室¨¬áï ¤ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ¯®«¥¬ K , ¯®«¥ ª®áâ â ª®â®à®£® «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâ®; â ª ª ª ⨯ ª®áâ âë, âà á楤¥â®© ¤ K ¥ ¨§®«¨à®¢ (® ª®¥ç® ¢ë¯®«¨¬ ¢ C ) , ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ Kdc ¥ ᮤ¥à¦¨â ¤àã£¨å ª®áâ ⠪஬¥ â¥å, çâ® ¢ C . ®¢®à¨¬, çâ® ä®à¬ã« f (x) á ®¤®© ᢮¡®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ¨ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ K ï¥âáï ä®à¬ã«®© ®«ç¨ , ¥á«¨ ® ®¡« ¤ ¥â á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬: áãé¥áâ¢ã¥â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥ M , ᮤ¥à¦ 饥 K ¨ â ª®¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® a, 㤮¢«¥â¢®àïî饣® f , £¤¥ a ¡¥à¥âáï ¨§ ¥ª®â®à®£® à áè¨à¥¨ï
18.c
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¥®à¨ï «ã
M , ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ M (a)d ¯®à®¦¤ ¥âáï ¤ M ª®áâ â ¬¨. â® ¥é¥ ®§ ç ¥â, çâ® «î¡®© a, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f , 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯à¥¤«®¦¥¨î ¢¨¤ 9c[x = '(a; c)], £¤¥ ' { ®¯à¥¤¥«¨¬ ï ¢ T äãªæ¨ï (¢ ®á®¡ëå á«ãç ïå, à 樮 «ì ï ¤à®¡ì), a { ª®à⥦ ¯ à ¬¥â஢ ¨§ M , c { ª®à⥦ ª®áâ â. §-§ ª®¬¯ ªâ®á⨠¯à®áâà á⢠⨯®¢ S(M ), ¬®¦® ®£à ¨ç¨âìáï ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ â ª¨å äãªæ¨© '1; : : :; 'n , ®¯à¥¤¥«¨¬ëå á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¢ M , â ª çâ® áãé¥áâ¢ã¥â a ¢ M â ª®©, çâ® ª ¦¤®¥ à¥è¥¨¥ f 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥
9c1 : : : 9cnfc01 = 0 ^ ^ c0n = 0 ^ [x = '1(a; c) _ _ x = 'n (a; c)]g: §®¢¥¬ ä㤠¬¥â «ì®© á¨á⥬®© ¤«ï ä®à¬ã«ë f (x) ª®à⥦ a, ¯®§¢®«ïî騩 ¢ëà §¨âì à 樮 «ì® ¤ K í«¥¬¥âë, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 f (£®¢®à¨¬ "à¥è¥¨ï" f ) , á ¯®¬®éìî ª®áâ âëå ¯ à ¬¥â஢. ë ¢¨¤¨¬, ª¢ â¨ä¨æ¨àãï ¢ë襯ਢ¥¤¥ãî ä®à¬ã«ã, çâ® áãé¥á⢮¢ ¨¥ ä㤠¬¥â «ì®© á¨áâ¥¬ë ¢ëà ¦ ¥âáï ¥ª®â®àë¬ ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬, â ª çâ® ¥á«¨ f (x) { ä®à¬ã« ®«ç¨ , â® ® ¨¬¥¥â ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬㠢 «î¡®© ¬®¤¥«¨ (â.¥. ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮬ ¯®«¥), ᮤ¥à¦ 饩 K .
¥¬¬ 18.11
᫨ f (x) { ä®à¬ã« ®«ç¨ , â® ® ¨¬¥¥â ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬ã, ®¡à §®¢ ãî ¨§ í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì M { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥, ᮤ¥à¦ 饥 K ( ¯à¨¬¥à, ¥£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥), ¨ L { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥, ¯®à®¦¤¥®¥ ¯®«¥¬ K , ª®áâ â ¬¨ ¨§ M ¨ à¥è¥¨ï¬¨ f ¢ M . ãáâì a { à¥è¥¨¥ f ¨§ à áè¨à¥¨ï M ¨ c { ª®à⥦ ª®áâ â, â ª®©, çâ® a à 樮 «¥ ¤ M [ fcg. ¯®¬®éìî ¤®ª § ⥫ìá⢠, ¡á®«îâ® ¨¤¥â¨ç®£® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã â¥®à¥¬ë ® à §¤¥«¥¨¨ ¯ à ¬¥â஢ (á«¥¤á⢨¥ 12.31), ¬ë ¢¨¤¨¬, ç⮠⨯ c_a ¤ M ®¯à¥¤¥«¥ ᢮¨¬ ®£à ¨ç¥¨¥¬ L [fcg. «¥¤®¢ ⥫ì®, ⨯ a ¤ L [ fcg ¨¬¥¥â ⮫쪮 ¥¤¨á⢥®£® áë ¤ M [ fcg. ª ª ª íâ®â ¯®á«¥¤¨© { à 樮 «ìë©, â® â ª®¢ ¦¥ ¨ ¯¥à¢ë©. «¥¤®¢ ⥫ì®, a = '(c; c1; b), £¤¥ ' ï¥âáï K -®¯à¥¤¥«¨¬®© äãªæ¨¥©, c1 { ª®à⥦ ª®áâ â ¨§ L, b { ª®à⥦ à¥è¥¨© f ¢ M (â.¥. ¢ L). á⠫쮥 á«¥¤ã¥â ¯à®áâ® ¨§ ª®¬¯ ªâ®áâ¨.
¥¬¬ 18.12 ãáâì p { ⨯ ¨§ S1(K ), 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ä®à¬ã«¥ ®«ç¨
f (x), ¨ a { ॠ«¨§ æ¨ï ⨯ p; ⮣¤ p ¨§®«¨à®¢ , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ K (a)d, ¯®à®¦¤¥®¥ a ¤ K , ¥ ᮤ¥à¦¨â ¤àã£¨å ª®áâ â, § ¨áª«î票¥¬ â¥å, ç⮠㦥 «¥¦ â ¢ K , ¨ ⮣¤ ®® ¯®¤¯®«¥ ¬¨¨¬ «ì®£® § ¬ëª ¨ï K . ( ¯®¬¨¬, çâ® ¯® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î ¯®«¥ ª®áâ â K «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâ®) .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p ¨§®«¨à®¢ , â® ® ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ a ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® § ¬ëª ¨ï Kdc ¯®«ï K ; íâ® ¯®á«¥¤¥¥ ¥ ᮤ¥à¦¨â ®¢ëå ª®áâ â â ª ¦¥, ª ª ¨ K (a)d. ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ L { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮥ ¯®«¥ ¬¥¦¤ã K ¨ Kdc , â® ®® ᮤ¥à¦¨â ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬ã b ¤«ï f (x), ¨ a ¢ëà ¦ ¥âáï à 樮 «ì® ç¥à¥§ b ¨ ª®áâ âë¥ ¯ à ¬¥âàë, ª®â®àë¥ ¢á¥ ¯à¨ ¤«¥¦ â K . «¥¤®¢ ⥫ì®, a ¯à¨ ¤«¥¦¨â L.
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« ¢ 18
¡à â®, ¥á«¨ K (a)d ¥ ᮤ¥à¦¨â ®¢ëå ª®áâ â, â® ¥£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ L â ª¦¥ ¨å ¥ ᮤ¥à¦¨â. «®¦¨¬ Kdc ¢ L, ⮣¤ Kdc ᮤ¥à¦¨â ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬ã b ¤«ï f (x), ¨ a ¢ëà ¦ ¥âáï à 樮 «ì® ç¥à¥§ b ¨ ª®áâ âë¥ ¯ à ¬¥âàë, «¥¦ 騥 ¢ K . ª¨¬ ®¡à §®¬, a ®¡ï§ â¥«ì® ¯®¯ ¤ ¥â ¢ Kdc , ¨ ¥£® ⨯ p ¤ K ¨§®«¨à®¢ .
® ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬¥ «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¨ª ª®¥ ¥à ¢¥á⢮ p(x) 6= 0 ¥ ï¥âáï ä®à¬ã«®© ®«ç¨ . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ a ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® âà á楤¥â¥ (â.¥. ¥ 㫨àã¥â ¨ª ª®¥ ¥âਢ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥) ¤ K , ¥£® ⨯ ¤ K ¥ ¨§®«¨à®¢ ¨ ¯à®á⮩ à áç¥â ¯à®¨§¢®¤ëå ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ª ¦¤ ï ª®áâ â ¯®«ï K (a)d ¯à¨ ¤«¥¦¨â K . ë ¯®©¬¥¬ £«ã¡®ª¨© á¬ëá« í⮣® ¥¨ï ¢ á«¥¤ãî饩 £« ¢¥, ª®£¤ ¨§ã稬 ¯®ï⨥ ®à⮣® «ì®áâ¨. ¨¡®«¥¥ ª« áá¨ç¥áª¨© ¯à¨¬¥à ä®à¬ã«ë ®«ç¨ ¤ ¥âáï «¨¥©ë¬¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì묨 ãà ¢¥¨ï¬¨. «ï ¨å à áᬮâ२ï 祬 á ¬ «¥ìª®© «¥¬¬ë; ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î (xi; x0i; x00i ; : : :; x(in)) ïîâáï áâப ¬¨ ¢à®áª¨ ¨«¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï à®áª®£® W (x0 ; : : :; xn ) í«¥¬¥â®¢ x0; : : : ; xn.
¥¬¬ 18.13 W (a0; : : : ; an) à ¢¥ ã«î, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ a0; : : :; an «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë ¤ ¯®«¥¬ ª®áâ â.
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ c0a0 + + cnan = 0, â® ¡¥àï ¯à®¨§¢®¤ãî í⮣®
ãà ¢¥¨ï n à §, ¯®«ãç ¥¬ ¥âਢ¨ «ìãî á¢ï§ì ¬¥¦¤ã áâப ¬¨ ¢à®áª¨ , ª®â®àë©, â ª¨¬ ®¡à §®¬, à ¢¥ ã«î. ¡à ⮥ ®ç¥¢¨¤®, ¥á«¨ a0; : : :; an ¢á¥ ã«¥¢ë¥; ¨ ç¥, ©¤¥¬ ¨¤¥ªá i, â ª®©, çâ® W (a0; : : : ; ai) 6= 0 ¨ W (a0; : : : ; ai; ai+1) = 0; ¯®á«¥¤ïï áâப í⮣® ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ï¥âáï, â ª¨¬ ®¡à §®¬, «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© ¤à㣨å: ai+1 = b0a0 + + biai a0i+1 = b0a00 + + bia0i ::: ::: ::: (i+1) ai+1 = b0a(0i+1) + + bia(ii+1) : த¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¢ ª ¦¤®¥ ¨§ íâ¨å à ¢¥á⢠¨ ®â¨¬ ï ®â ¥£® á«¥¤ãî饥, ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® â ª ª ª W (a0; : : :; ai) ¥ã«¥¢®©, â® ª ¦¤ë© b0j ï¥âáï ã«¥¢ë¬.
«¥ìª¨© ª®¬¬¥â ਩ ® § 票¨ ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬¬ë: â®â ä ªâ, çâ® a0; : : :; an 㤮¢«¥â¢®àïîâ «¨¥©®© á¢ï§¨ á ª®áâ â묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¢ëà ¦ ¥âáï ¯®á।á⢮¬ ¥ª®â®à®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï. â® ª á ¥âáï ¢ë¯®«¨¬®á⨠í⮣® ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮬ ¯®«¥ M , ᮤ¥à¦ 饬 a0; : : :; an, ¬ë § ¥¬, çâ® ¯® í«¨¬¨ 樨 ª¢ â®à®¢ ®® íª¢¨¢ «¥â® ¯à¥¤«®¦¥¨î ¡¥§ ª¢ â®à®¢, ª®â®à®¥ ¬ë ¢¯à®ç¥¬ ®¯à¥¤¥«¨«¨: íâ® W (a0; : : :; an) = 0!
áâ¥á⢥®, ¢ë¯®«¨¬®áâì í⮣® ¯à¥¤«®¦¥¨ï ¥ § ¢¨á¨â ®â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮣® ¯®«ï, ¢ ª®â®à®¬ ¬ë 室¨¬áï. ¥¬¬ 18.13 ã⢥ত ¥â, ªà®¬¥ ⮣®, çâ® ® ¥ § ¢¨á¨â ®â ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ¯®«ï K , ᮤ¥à¦ 饣®, ª®¥ç®, a0; : : : ; an, ª®â®àëe ¬ë à áᬠâਢ ¥¬, ¨ çâ® íâ® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â® ¢® ¢á¥å á«ãç ïå W (a0; : : : ; an) = 0. â® á¢ï§ ® áãé¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ á ⥬
18.c
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¥®à¨ï «ã
ä ªâ®¬, çâ® ¢á¥ ¯®«ï "«¨¥©® § ¬ªãâë" ¢ ª ¦¤®¬ ¨§ ᢮¨å à áè¨à¥¨©, çâ® «î¡ ï ª®¥ç ï á¨á⥬ «¨¥©ëå ãà ¢¥¨© á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ K, ¨¬¥îé ï à¥è¥¨¥ ¢ à áè¨à¥¨¨ K , ¨¬¥¥â 㦥 à¥è¥¨¥ ¢ K : ¢á¯®¬¨â¥ "ä®à¬ã«ë à ¬¥à " ¢ 襩 î®áâ¨!
।«®¦¥¨¥ 18.14 ¦¤®¥ «¨¥©®¥ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ P (x) = x(n) + an?1x(n?1) + + a0x = 0 ï¥âáï ä®à¬ã«®© ®«ç¨ ; ¡®«¥¥ â®ç®, ¢á¥ à¥è¥¨ï í⮣® ãà ¢¥¨ï ïîâáï «¨¥©ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ á ª®áâ â묨 ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ n ¨§ ¨å.
®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ ¢«ïî ç¨â â¥«î § ¡®âã ® ¯à®¢¥àª¥ ⮣®, çâ® à¥-
襨ï í⮣® ãà ¢¥¨ï ®¡à §ãîâ ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ E ¤ ¯®«¥¬ ª®áâ â (¢¨¬ ¨¥: ª®íää¨æ¨¥âë ai ¥ ®¡ï§ ë ¡ëâì ª®áâ â ¬¨!).
᫨ ¬ë à áᬮâਬ n + 1 à¥è¥¨¥ b0; : : :; bn í⮣® ãà ¢¥¨ï, ⮠㢨¤¨¬, çâ® ¨¬¥¥âáï á¢ï§ì ¬¥¦¤ã á⮫¡æ ¬¨ ¢à®áª¨ ¨, § ç¨â, W (b0; : : : ; bn) = 0; á«¥¤®¢ ⥫ì®, b0; : : :; bn «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë ¤ ¯®«¥¬ ª®áâ â, ¨ à §¬¥à®áâì E ¥ ¬®¦® ¯à¥¢ëá¨âì n. ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠® à ¢ n ¨ ©¤¥âáï ¡ §¨á E , á®áâ ¢«ïî騩, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬㠤«ï P (x) = 0 ¢ ª ¦¤®¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮬ ¯®«¥, ᮤ¥à¦ 饬 ª®íää¨æ¨¥âë P : ¤¥©á⢨⥫ì®, ¢ á¨á⥬¥ P (x) = 0 ^ W (b0; : : :; bi; x) 6= 0; i < n ? 1, ¯®à冷ª ¥à ¢¥á⢠áâண® ¬¥ìè¥ ¯®à浪 ãà ¢¥¨ï.
¥®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¢¨¤ x(n) + an?1x(n?1) + + a0x = b ï-
¨¥©®¥ ¥âáï â ª¦¥ ä®à¬ã«®© ®«ç¨ : ¤®áâ â®ç® ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ âì ¢ ¥¬ ®¡¥ ç á⨠¨ á®áâ ¢¨âì «¨¥©ãî ª®¬¡¨ æ¨î ¤¢ãå ¯®«ãç¥ëå «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì «¨¥©®¥ ®¤®à®¤®¥ ãà ¢¥¨¥ ¯®à浪 n + 1, ïî饥áï á«¥¤á⢨¥¬ ¯¥à¢®£®. ¯à¨¬¥à ãà ¢¥¨¥ x0 = b, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢§ïâ¨î ¯à¨¬¨â¨¢ , ï¥âáï ä®à¬ã«®© ®«ç¨ . à㣮© ¨§¢¥áâë©, ® ¬¥¥¥ âਢ¨ «ìë© ¯à¨¬¥à ä®à¬ã«ë ®«ç¨ , ª®â®à ï ᮢ¥à襮 ¤à㣮© ¯à¨à®¤ë, 祬 «¨¥©ë¥ ãà ¢¥¨ï, ¤ ¥âáï ãà ¢¥¨¥¬ x02 = x3 + px + q, £¤¥ p ¨ q { ª®áâ âë, äãªæ¨¨ P ¥©¥àèâà áá . ë §®¢¥¬ à áè¨à¥¨¥¬ ®«ç¨ K , ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ä®à¬ã«¥ ®«ç¨ f (x), ¯®¤¯®«¥ L ¯®«ï Kmin , ¯®à®¦¤¥®¥ à¥è¥¨ï¬¨ f ¢ Kdc ; íâ® ¡ã¤¥â, à ¢ë¬ ®¡à §®¬, ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ¯®¤¯®«¥¬, ¯®à®¦¤¥ë¬ à¥è¥¨ï¬¨ f , ¢ «î¡®¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮬ à áè¨à¥¨¨ K , ¥ ᮤ¥à¦ 饬 ®¢ëå ª®áâ â. ®«ç¨ ¢¢¥« í⨠à áè¨à¥¨ï ¯®¤ ¨¬¥¥¬ "á¨«ì® ®à¬ «ìë¥ à áè¨à¥¨ï" § ¤®«£® ¤® ¯®ï¢«¥¨ï ¯®ïâ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮣® ¯®«ï, çâ®¡ë ¨¬¥âì ®á®¢ã ¤«ï ¥ª®â®à®© ⥮ਨ «ã ¤«ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ¤«ï ª®â®àëå áãé¥á⢥ ï ç áâì ⮣®, çâ® ª á ¥âáï «¨¥©ëå ãà ¢¥¨©, ¡ë« ¨§¢¥áâ ¢ ª®æ¥ ¯à®è«®£® ¢¥ª . ë ᮡ¨à ¥¬áï ¯¥à¥¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì íâã ⥮à¨î «ã ¢ ᢥ⥠⥮ਨ ¬®¤¥«¥©. ãáâì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, L=K { à áè¨à¥¨¥ ®«ç¨ ; ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ G(L=K ) ¨ §®¢¥¬ £à㯯®© «ã ¤«ï L=K , £à㯯㠢⮬®à䨧¬®¢ L, ®áâ ¢«ïîé¨å ¥¯®¤¢¨¦ë¬ ª ¦¤ë© í«¥¬¥â K . ¢¨¤ã ᢮©á⢠®¤®à®¤®á⨠Kmin íâ® â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ®£à ¨ç¥¨ï L K - ¢â®¬®à䨧¬®¢ Kdc .
362
« ¢ 18
¥à¢ë© íâ ¯ á®á⮨⠢ § ¬¥ç ¨¨ ® ⮬, çâ® G(L=K ) ï¥âáï ®¯à¥¤¥«¨¬®© £à㯯®© ¢ ⥮ਨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ⥫. ® «¥¬¬¥ 18.11 ä®à¬ã« ®«ç¨ f (x) ¨¬¥¥â ä㤠¬¥â «ìãî á¨á⥬ã b, ¯à¨ ¤«¥¦ éãî L. ãáâì g(y) { ä®à¬ã« , ¨§®«¨àãîé ï ⨯ b ¤ K . ¢â®¬®à䨧¬ s ¤«ï L=K ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«¥ ᢮¨¬ ¤¥©á⢨¥¬ b, â.¥. ᢮¨¬ ®¡à §®¬ sb, â ª ª ª ª ¦¤®¥ à¥è¥¨¥ f ¢ L ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ b ¨ ª®áâ âë, ¯à¨ ¤«¥¦ 騥 K . ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï b ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥â஢, ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì s ç¥à¥§ ¥£® ®¡à § y = sb, ïî騩áï ª ª¨¬-¨¡ã¤ì í«¥¬¥â®¬ L, 㤮¢«¥â¢®àïî騬 g(y). â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì èã £à㯯ã, ®áâ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¨âì § ª® 㬮¦¥¨ï y1 y2 = z, ®§ ç î騩, çâ® ¢â®¬®à䨧¬-¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ â¥å, çâ® ¯¥à¥¢®¤¨â b y2 ¨ çâ® ¯¥à¥¢®¤¨â b y1, ¥áâì â®, çâ® ¯¥à¥¢®¤¨â b z. ¤ ª®, ¬ë § ¥¬, çâ® ª ¦¤ë© ª®à⥦, ®¡à §®¢ ë© ¨§ à¥è¥¨© f , ¢ëà ¦ ¥âáï à 樮 «ì® ç¥à¥§ b ¨ ª®áâ âë¥ ¯ à ¬¥âàë, â® ¥áâì 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ (9c)fc0 = o ^ [y = R1(b; c) _ _ y = Rm (b; c)]g ; £¤¥ R1; : : :; Rm ª®à⥦¨ à 樮 «ìëå ¤à®¡¥© á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ K . ª ª ª ¢á¥ ª®áâ âë L ¯à¨ ¤«¥¦ â K , â® ¤«ï ⮣® çâ®¡ë ¢ëà §¨âì y1 y2 = z, ¤®áâ â®ç® ᪠§ âì, çâ® ¥á«¨ y1 = Ri(b; c), ⮣¤ z = Ri(y2; c), çâ® ¢ëà ¦ ¥âáï ¯®á।á⢮¬ ®¤®© ä®à¬ã«ë.
।«®¦¥¨¥ 18.15
᫨ L=K { à áè¨à¥¨¥ ®«ç¨ , â® ¨¬¥¥âáï á®®â-
¢¥âá⢨¥ «ã ¬¥¦¤ã ¯à®¬¥¦ãâ®ç묨 ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì묨 ¯®«ï¬¨, 室ï騬¨áï ¬¥¦¤ã K ¨ L, ¨ ¯®¤£à㯯 ¬¨ G(L=K ), ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬¨ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ L.
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ K L1 L, â® ¬ ¤® ¤®ª § âì, çâ® G(L=L1 ) ï¥âáï ®¯à¥¤¥«¨¬®© ¯®¤£à㯯®© G(L=K ). áᬮâਬ í«¥¬¥â a ¨§ L, ¨¬¥î騩 ¢¨¤ A = R(b), £¤¥ R { à 樮 «ì ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì ï ¤à®¡ì á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ K ; ¢ G(K=L) áâ ¡¨«¨§ â®à í«¥¬¥â a ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© R(y) = R(b). à㯯 G(L=L1 ) ï¥âáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¢á¥å G(L=K (a)d ), £¤¥ a ¯à®¡¥£ ¥â L1, ª®â®àë¥, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¯à¥¤¥«¨¬ë. ã⢥ত î, çâ® ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠G(L=L1 ) ¥áâì ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ª®¥ç®£® ç¨á« á।¨ ¨å, § ç¨â, ® á ¬ â ª¦¥ ®¯à¥¤¥«¨¬ . â® á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣® ä ªâ , çâ® G(L=K ) , ¡ã¤ãç¨ ®¯à¥¤¥«¨¬®© ¢ â®â «ì® âà á楤¥â®© áâàãªâãà¥, á ¬ â®â «ì® âà á楤¥â : «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¥á«¨ G ¨ H { ¤¢¥ ®¯à¥¤¥«¨¬ë¥ ¯®¤£à㯯ë â ª®© £àã¯¯ë ¨ H { ᮡá⢥ ï ¯®¤£à㯯 G, ⮣¤ à £ ®à«¨ H áâண® ¬¥ìè¥ à £ G, ¨«¨ á⥯¥ì ®à«¨ H áâண® ¬¥ìè¥ á⥯¥¨ G (¯®áª®«ìªã ¢á¥ ¯à ¢ë¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë G ¯® ¬®¤ã«î H ¯®¯ à® ¢§ ¨¬® ®â®¡à ¦ îâáï ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬¨ ¡¨¥ªæ¨ï¬¨, â® ®¨ ¢á¥ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ à £ ¨ ®¤ã ¨ âã ¦¥ á⥯¥ì ®à«¨) ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ â®â «ì® âà á楤¥â®© £à㯯¥ ª ¦¤ ï ã¡ë¢ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì G0 G1 Gn Gn+1 : : : ®¯à¥¤¥«¨¬ëå ¯®¤£à㯯 áâ ®¢¨âáï áâ 樮 ன ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ¨¤¥ªá , ¨ ª ¦¤®¥ ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ᥬ¥©á⢠®¯à¥¤¥«¨¬ëå ¯®¤£à㯯 ¥áâì ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ª®¥ç®£® ç¨á« á।¨ ¨å. ë ¤®ª § «¨ ®¤®¢à¥¬¥®, çâ® L1=K ª®¥ç® ¯®à®¦¤¥ , â ª ª ª ïá®, çâ® ¯® ®¤®à®¤®á⨠Kmin ¬®¦¥á⢮¬ ¨¢ ਠ⮢ £à㯯ë G(L=K (a0; : : : ; an)d) ï¥âáï á ¬® ¯®«¥ K (a0; : : :; an)d .
18.c
363
¥®à¨ï «ã
¡à â®, ¯ãáâì H { ¯®¤£à㯯 G(L=K ), ®¯à¥¤¥«¨¬ ï ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ h(y); H ï¥âáï, ®ç¥¢¨¤®, £à㯯®© ¢â®¬®à䨧¬®¢ L=K , á®åà ïîé¨å íâã ä®à¬ã«ã; â ª ª ª ¯® 16.21 ¨¬¥¥âáï í«¨¬¨ æ¨ï ¢®®¡à ¦ ¥¬ëå í«¥¬¥â®¢, â® íâ® £à㯯 «ã L=K (a), £¤¥ a { ª ®¨ç¥áª¨© ª®à⥦ ¯ à ¬¥â஢ ¤«ï h.
¨â â¥«ì § ¬¥â¨â, çâ® ¥á«¨ G(L=L1 ) ®à¬ «ì ¢ G(L=K ), ⮣¤ L1=K { à áè¨à¥¨¥ ®«ç¨ , ¨ ¥£® £à㯯®© «ã ï¥âáï G(L=K )=G(L=L1 ). â®ç¨¬ ¥¬®£® ¯à¨à®¤ã G(L=K ) ¨ ¥¥ ®¯à¥¤¥«¨¬ëå ¯®¤£à㯯. ë ¨á¯®«ì§®¢ «¨ ¯ à ¬¥âà b, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì G(L=K ) ª ª £à㯯㠯¥à¥áâ ®¢®ª L, ¡¥àï ¤«ï í⮣® í«¥¬¥âë, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 g(y). â®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì G(L=K ) ¢ ª ç¥á⢥ ¡áâà ªâ®© £à㯯ë, ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï á ç « ¨§¬¥¨âì íâ¨ í«¥¬¥âë â ª, çâ®¡ë ¬ ¨¯ã«¨à®¢ âì ⮫쪮 ª®áâ â ¬¨. ë § ¥¬, çâ® ª ¦¤ë© y à 樮 «ì® ¢ëà ¦ ¥âáï ª ª äãªæ¨¨ ®â ª®à⥦ ª®áâ â, y = R1(b; c) _ _ y = Rm (b; c); à áᬮâਬ ®¯à¥¤¥«¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮ A (n + 1)-ª®à⥦¥© ª®áâ â c_i, 1 i m, £¤¥ i = 1 + 1 + + 1 { á㬬 i ¥¤¨¨æ. í⮬ ¬®¦¥á⢥ à áᬮâਬ ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠E , ®¯à¥¤¥«¥®¥ â ª¨¬ ®¡à §®¬: c1_i E c2_ j ¥á«¨ Ri(b; c1) = Rj (b; c2); â ª ª ª ä ªâ®à-¬®¦¥á⢮ A=E 室¨âáï ¢ ¡¨¥ªæ¨¨ á ¨â¥à¯à¥â 樥© g(y) ¢ L, â® ¬ë ¬®¦¥¬ â㤠¯¥à¥¥á⨠áâàãªâãàã £à㯯ë G(L=K ). ®, íâ®â à §, ¬®¦¥á⢮ A á®áâ ¢«¥® ⮫쪮 ¨§ ª®áâ â, â ª çâ® ¯® ⥮६¥ ® à §¤¥«¥¨¨ ¯ à ¬¥â஢ («¥¤á⢨¥ 12.31 ) , ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®á⨠E ¨ § ª® 㬮¦¥¨ï £à㯯ë, ®¯à¥¤¥«¥®© A=E , ª®â®àãî ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨ ¨á¯®«ì§ãï b ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥â஢, ¢ á«ãç ¥ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¥é¥ ¤à㣨¥ ¯ à ¬¥âàë ¨§ K , ¬®£ãâ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥ë á ¯®¬®éìî ⮫쪮 ª®áâ âëå ¯ à ¬¥â஢ ¨§ Kdc , â® ¥áâì ¨§ K . ®£¤ G(L=K ) áâ ®¢¨âáï ®¯à¥¤¥«¨¬®© £à㯯®© ¢ ¯®«¥ ª®áâ â C ¯®«ï K , ¨ ¥¥ ¯®¤£à㯯ë, ®¯à¥¤¥«¨¬ë¥ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ L, á ¬®¬ ¤¥«¥ ®¯à¥¤¥«¨¬ë á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ C ! ¯à¥¤¥«¨¬ë© ®¡ê¥ªâ ¢ ⥮ਨ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªãâëå ¯®«¥© à á楨¢ ¥âáï £¥®¬¥âà ¬¨ ª ª ª®áâàãªâ¨¢ë©; «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ¬®£®®¡à §¨ï ïîâáï ®ç¥ì ᯥæ¨ä¨ç¥áª¨¬¨ ª®áâàãªâ¨¢ë¬¨ ®¡ê¥ªâ ¬¨, ® ¢ á«ãç ¥ £à㯯, ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¢ á«ãç ¥ ª®£¤ å à ªâ¥à¨á⨪ ¯®«ï à ¢ ã«î, ª®áâàãªâ¨¢ ï £à㯯 ¨«¨ «£¥¡à ¨ç¥áª ï £à㯯 { íâ® ®¤® ¨ â® ¦¥ á â®ç®áâìî ¤® ª®áâàãªâ¨¢®£® ¨§®¬®à䨧¬ . ª çâ® ª®£¤ L=K { à áè¨à¥¨¥ ®«ç¨ , G(L=K ) ï¥âáï, á ¬®¬ ¤¥«¥, «£¥¡à ¨ç¥áª®© £à㯯®© ¤ ¯®«¥¬ ª®áâ â C ¯®«ï K , ¨ ¯à®¬¥¦ãâ®çë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¯®«ï ¬¥¦¤ã K ¨ L ᮮ⢥âáâ¢ãîâ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¯®¤£à㯯 ¬ G(L=K ), ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ C.
᫨ ä®à¬ã« f (x) ï¥âáï «¨¥©ë¬ ãà ¢¥¨¥¬, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 à áè¨à¥¨¥ ®«ç¨ §ë¢ ¥âáï à áè¨à¥¨¥¬ ¨ª à -¥áᨮ; ¢ í⮬ á«ãç ¥, ¥£® £à㯯 «ã ï¥âáï £à㯯®© ¬ âà¨æ, â® ¥áâì ä䨮© «£¥¡à ¨ç¥áª®© £à㯯®© ¨ ¬®¦® ¤®ª § âì ®¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥: ¥á«¨ G(K=L) ää¨ , ⮣¤ K=L à áè¨à¥¨¥ ¨ª à -¥áᨮ. ¯à®â¨¢, ¢ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨ï äãªæ¨¨ ¥©¥àèâà áá , £à㯯®© «ã ï¥âáï ¡¥«¥¢® ¬®£®®¡à §¨¥. ª ª ª ïá®, çâ® ¤¨§êîªæ¨ï ¤¢ãå ä®à¬ã« ®«ç¨ ï¥âáï ᮢ ä®à¬ã«®© ®«ç¨ , â® ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®«¥ ¯®à®¦¤¥®¥ ¤¢ã¬ï à áè¨à¥¨ï¬¨ ®«ç¨ L1=K ¨ L2=K , ®¡ 室ï騥áï ¢ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬
364
« ¢ 18
§ ¬ëª ¨¨ Kdc ¯®«ï K , ï¥âáï ᮢ à áè¨à¥¨¥¬ ®«ç¨ K . ®£¤ १®® §ë¢ âì ®¡®«®çª®© ®«ç¨ ¯®¤¯®«¥ Kdc , ¯®à®¦¤¥®¥ ¤ K à¥è¥¨ï¬¨ ä®à¬ã« ®«ç¨ : íâ® ¯à¥¤¥« 䨫ìâàãî饣®áï ᥬ¥©á⢠à áè¨à¥¨© ®«ç¨ ¯®«ï K . ®¦® ¢¨¤¥âì â ª¦¥, çâ® ¯®«¥, ¯®à®¦¤¥®¥ ¤¢ã¬ï à áè¨à¥¨ï¬¨ ¨ª à ¥áᨮ, 室ï騬¨áï ¢ Kdc , á ¬® ï¥âáï à áè¨à¥¨¥¬ ¨ª à -¥áᨮ; ¨ ¬ë §®¢¥¬ ®¡®«®çª®© ¨ª à -¥áᨮ ¯®«ï K ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ¯®¤¯®«¥ Kdc , ¯®à®¦¤¥®¥ à¥è¥¨ï¬¨ «¨¥©ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨§ K . ë ¨¬¥¥¬ ⮣¤ á«¥¤ãî騥 ¢ª«î票ï: K Kalg K¨ª à?¥áᨮ K®«ç¨ Kmin Kdc : ë £®¢®à¨¬ ¥ ® § ¬ëª ¨¨, ®¡ ®¡®«®çª¥ ®«ç¨ , ¨«¨ ¨ª à -¥áᨮ, â ª ª ª í⨠¯®ïâ¨ï ¥ âà §¨â¨¢ë¥.
᫨ K { ¯®«¥ ª®áâ â, â® ¥£® ®¡®«®çª ®«ç¨ ï¥âáï ¤ ¦¥ ¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮩: ® ᮤ¥à¦¨â ¯à¨¬¨â¨¢ë à¥è¥¨© ãà ¢¥¨ï x0 = 1, ® ¥ ¨å ª¢ ¤à âë¥ ª®à¨ { à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨ï 2xx0 = 1 . «ï § ¢¥à襨ï í⮣® à §¤¥« ¤®¡ ¢¨¬, çâ® ¤¢¨¦ãé ï ᨫ í⮩ ⥮ਨ «ã ¨¬¥¥â ¬ «® ®¡é¥£® á ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ª®â¥ªá⮬. î¡ ï ä®à¬ã« à £ ¨ á⥯¥¨ ®à«¨ 1 (ç áâ® £®¢®àïâ, çâ® f "á¨«ì® ¬¨¨¬ «ì "), ¨«¨ ¤ ¦¥ «î¡®£® ¤à㣮£® à £ ¨ á⥯¥¨ ®à«¨, á¯®á®¡ë ¨£à âì à®«ì ª®áâ â. ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬, ¢ í⮬ á ¬®¬ ®¡é¥¬ á«ãç ¥, «®£ ä®à¬ã« ®«ç¨ ¨ ¯®«ãç ¥¬ ᮢ £àã¯¯ë ®¯à¥¤¥«¨¬ëå ¢â®¬®à䨧¬®¢. «ï í⮩ ⥮ਨ «ã ¤® ¡ã¤¥â, ®ç¥¢¨¤®, ¯à¨¡¥£ âì ¢ á«ãç ¥ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠ª ¢®®¡à ¦ ¥¬ë¬ í«¥¬¥â ¬.
18.d à®áâë¥
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¥®à¥¬ë áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨, ¯®ï¢¨¢è¨¥áï ¯® 室㠨§«®¦¥¨ï í⮣® ªãàá (£« ¢ë 10, 17.c, 18) ¨¬¥îâ á ¬®¬ ¤¥«¥ £®à §¤® ¡®«¥¥ ®¡éãî ®¡« áâì à á¯à®áâà ¥¨ï, ¢ë室ïéãî § à ¬ª¨, ¢ ª®â®àëå ®¨ ¡ë«¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥ë. ëïᨬ â®, çâ® á«ã¦¨â ¨å ¤¢¨¦ã饩 ᨫ®©: { ¯®ï⨥ ¨§®«¨à®¢ ®áâ¨, ⮬®á⨠¢¬¥á⥠á âà §¨â¨¢®áâìî ⮬®á⨠(«¥¬¬ 10.6); { ⥮६ ® ¯«®â®á⨠¨§®«¨à®¢ ëå ⨯®¢ (⥮६ 17.15) ; { ¢®§¬®¦®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯®ïâ¨ï § ¬ëª ¨ï ¬ «¥ìª¨¬¨ ¯ ª¥â ¬¨, ¥ ®¡ï§ â¥«ì® ª®¥ç묨, £ à â¨àãîé ï ¥¤¨á⢥®áâì ª®áâàã¨à㥬®© ¬®¤¥«¨ (⥮६ 10.18, ¨ à §¤¥« 10.f); { ¢®§¬®¦®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï ⨯®¢ ç¥à¥§ ¥ª®â®àë¥ ¨å ®£à ¨ç¥¨ï ¤ ¤®áâ â®ç® ¬ «¥ìª¨¬¨ ¬®¦¥á⢠¬¨ ®â®á¨â¥«ì® à §¬¥à®¢ ¯ ª¥â®¢ â ª, ç⮡ë ⥮६ 18.1 , £ à â¨àãîé ï, çâ® ª ¦¤®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ ª®áâàã¨à㥬®£® ¬®¦¥á⢠ª®áâàã¨à㥬®, ®áâ ¢ « áì ¢ ᨫ¥. ⬥⨬, çâ® ¢ 10.f , ¯® ¯®¢®¤ã ã«ìâà ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà áâ¢, ¬ë ᬮ£«¨ ¯à®¢¥á⨠íâã ¯à®£à ¬¬ã ¢ à ¬ª å ¥áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ. ⬥⨬ â ª¦¥, çâ®
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365
¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¥¤¨á⢥®áâ¨, ¬ 㦮 ®¡®¡é¨âì ⥮६ã 18.2, ¥ ⥮६ã 18.5, ª®â®à ï ᫨誮¬ á¨«ì® ®¯¨à ¥âáï áãé¥á⢮¢ ¨¥ à £ .
᫨ A { ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢, â® {- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì M , ᮤ¥à¦ é ï A, §ë¢ ¥âáï ¯à®á⮩ ¤ A (¥¤®¬®«¢ª : á।¨ {- áëé¥ëå ¬®¤¥«¥©, ᮤ¥à¦ é¨å A), ¥á«¨ M í«¥¬¥â à® ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢ ª ¦¤ãî { - áëé¥ãî ¬®¤¥«ì ⥮ਨ T (A). ë ᮡ¨à ¥¬áï ªà ⪮ ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì { - áë饮© ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® ¬®¦¥á⢠A ¯ à ¬¥â஢ ¢ áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ T , £¤¥ { { ॣã«ïàë© ª न «, áâண® ¡®«ì訩 jT j. áá㦤¥¨¥ á®á⮨⠢ ¢®ááâ ®¢«¥¨¨ ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ¨ï ¨ ¥¤¨á⢥®á⨠¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ. ¤® ¯®¬¨âì, ¢ ª ç¥á⢥ ®¡é¥§ 稬®£® ¯à¨æ¨¯ , çâ® ª®áâàãªæ¨¨, ª®â®àë¥ ã¤ «®áì ¯à®¢¥á⨠®â®á¨â¥«ì® ª« áá ¢á¥å ¬®¤¥«¥© â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ, ¬®¦® ¯à®¢¥á⨠¢ á«ãç ¥ áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ, ¥á«¨ ®£à ¨ç¨âìáï { áëé¥ë¬¨ ¬®¤¥«ï¬¨.
᫨ ⨯ p ¨§ S1(A), â® £®¢®àïâ, çâ® ® {-¨§®«¨à®¢ ë©, ¥á«¨ ® ®¯à¥¤¥«¥ ¬¥¥¥ { ä®à¬ã« ¬¨ f (x; a) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A (â.¥. ® ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ â¨¯®¬, 㤮¢«¥â¢®àïî騬 ¨¬ ¢á¥¬). ®¤¬®¦¥á⢮ X ¢ S1(A) §ë¢ ¥âáï {-¯«®âë¬, ¥á«¨ ®® ¨¬¥¥â á«¥¤ãî饥 ᢮©á⢮: ª ¦¤®¥ ¥¯ãá⮥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ S1(A), ïî饥áï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ ¬¥¥¥ 祬 { ®âªàëâ®-§ ¬ªãâëå ¯®¤¬®¦¥áâ¢, ᮤ¥à¦¨â â®çªã ¨§ X .
᫨ M { {- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì T (A) (¨«¨ ¤ ¦¥ ⮫쪮 {-ª®¬¯ ªâ ï; ® ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ⮫쪮 ¤®áâ â®ç® ¡®«ì訥 ª न «ë, ç⮡ë {-ª®¬¯ ªâ®áâì ¡ë« íª¢¨¢ «¥â {- áë饮áâ¨), â® ® ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ {-¨§®«¨à®¢ ë¥ â¨¯ë ⥮ਨ T (A). ®¢®à¨¬, çâ® {- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T (A) {ª®áâàã¨à㥬 , ¥á«¨ ¥¥ ¬®¦® ®à¤¨ «ì® ¯¥à¥ç¨á«¨âì M = fa g <jM j â ª, çâ®¡ë ¤«ï ª ¦¤®£® ⨯ a ¤ A = A [ fa g < ¡ë« {-¨§®«¨à®¢ ë¬. á®, çâ® {-ª®áâàã¨à㥬 ï ¬®¤¥«ì {-¯à®áâ ï (â.¥. ¯à®áâ ï á।¨ {- áëé¥ëå ¬®¤¥«¥©). â®¡ë ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ â ª®© ¬®¤¥«¨, ¬ ¤®áâ â®ç¥ «®£ ⥮६ë 17.15 :
¥®à¥¬ 18.16
᫨ ⥮à¨ï T áâ ¡¨«ì ¨ { jT j, ⮣¤ ¤«ï «î¡®£® A {-¨§®«¨à®¢ ë¥ â¨¯ë {-¯«®âë ¢ S1(A). ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì F { § ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ ¢ S1(A), ®¯à¥¤¥«¥®¥ ¬¥¥¥ { ä®à¬ã« ¬¨ gi(x; ai) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A. ¥à¥ç¨á«¨¬ ¢á¥ ä®à¬ã«ë
¡¥§ ¯ à ¬¥â஢ ï§ëª T , ¯ãáâì f (x; y) { í⮠ᯨ᮪, ¨ ¯®áâந¬ ¯® ¨¤ãªæ¨¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ä®à¬ã« h (x; a ) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¬ë ¡¥à¥¬ ¢ ª®êîªæ¨¨ gi ¨ h ; < , ⨯ p ¨§ S1(A) ¬¨¨¬ «ì®£® à £ ¤¨å®â®¬¨¨ R(p; f ; 2) ¨ ä®à¬ã«ã h (x; a ), ᮤ¥à¦ éãî íâ®â ⨯ ¨ ¨¬¥îéãî â®â ¦¥ à £ R( ; f ; 2), çâ® ¨ p ; ¯®áâ஥¨¥ ¥ ¡«®ª¨àã¥âáï, â ª ª ª ª ¦¤®¬ è £¥ ¯®«ãç ¥âáï ᮢ¬¥á⮥ ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã«: ¯à¥¤¥«ìëå è £ å, íâ® á«¥¤á⢨¥ ª®¬¯ ªâ®áâ¨. ® ®¯à¥¤¥«¥¨î R(p; f ; 2), ¤«ï ª ¦¤®£® a ¨§ A, ®¤ ¨§ ä®à¬ã« f (x; a) ¨ :f (x; a) ¥á®¢¬¥á⨬ á ª®êîªæ¨¥© gi ¨ h ; < , â® ¥áâì ¤à㣠ï ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ í⮩ ª®êîªæ¨¨; ¨ ç¥ £®¢®àï, ª®êîªæ¨ï gi ¨ h ¢«¥ç¥â f -¯®«ë© ⨯; ª®êîªæ¨ï gi ¨ ¢á¥å h {-¨§®«¨àã¥â ¯®«ë© ⨯.
366
« ¢ 18
᫨ A B , â® £®¢®à¨¬ çâ® B {- ⮬® ¤ A, ¥á«¨ ª ¦¤ë© ª®à⥦ ¤«¨ë, ¬¥ì襩 {, ¨§ B ¨¬¥¥â {-¨§®«¨à®¢ ë© â¨¯ ¤ A. ®â «®£ «¥¬¬ë 10.6 :
¥¬¬ 18.17
᫨ { ॣã«ïà¥, â® ¯®ï⨥ {- ⮬®á⨠âà §¨â¨¢®: ¥á«¨ A B C , B {- ⮬® ¤ A, C { - ⮬® ¤ B , ⮣¤ C {- ⮬® ¤ A.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a { -ª®à⥦, < {, ¨§¢«¥ç¥ë© ¨§ C ; ¥£® ⨯ ¤ B {-¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã« ¬¨ fi(x; bi), £¤¥ bi { ª®¥çë¥ ª®à⥦¨; ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® íâ® ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« § ¬ªãâ® ®â®á¨â¥«ì® ª®¥çëå ª®êîªæ¨©; ª ¦¤ë© bi ¨¬¥¥â ⨯ ¤ A, {-¨§®«¨à®¢ ë© ä®à¬ã« ¬¨ gij (y) á
¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ A, ª®â®àë¥, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, â ª¦¥ ®¡à §ãîâ ᥬ¥©á⢮, § ¬ªã⮥ ®â®á¨â¥«ì® ª®¥çëå ª®êîªæ¨©. ¨¯ a ®¯à¥¤¥«¥ ä®à¬ã« ¬¨ 9y[fi(x; y) ^ gij (y)] ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ a0 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ í⨬ ä®à¬ã« ¬, ⮠ᮢ¬¥áâ®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â B 0 â ª®£® ¦¥ ⨯ , çâ® B ¤ A â ª, ç⮡ë ⨯ a0 ¤ B 0 ¡ë« ⥬, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⨯ã a ¤ B .
᫨ { ॣã«ïà¥, â® íâ® ¬®¦¥á⢮ ä®à¬ã« ¨¬¥¥â ¬®é®áâì, áâண® ¬¥ìèãî {.
«¥¤®¢ ⥫ì®, {-ª®áâàã¨à㥬 ï ¬®¤¥«ì {- ⮬ ; çâ®¡ë ¯®ª § âì ¥¤¨á⢥®áâì ª®áâàã¨à㥬®© ¬®¤¥«¨ ®áâ ¥âáï ⮫쪮 ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ï⨥ § ¬ëª ¨ï, ¤¥« ï ¯ ª¥âë 㦥 ¥ ª®¥ç묨, ¬®é®áâ¨, áâண® ¬¥ì襩 {, ¨ ¬ë ¯à¨¬¥ï¥¬ 祫®çë© ¬¥â®¤ ¬¥¦¤ã § ¬ªãâ묨 ¬®¦¥á⢠¬¨. ë ¯®ï«¨ ¯à ¢¨«® ¨£àë: â®, çâ® ¡ë«® ¢®§¬®¦ë¬ á ª®¥ç묨 ¬®¦¥á⢠¬¨, áâ ®¢¨âáï ¢®§¬®¦ë¬ á ¬®¦¥á⢠¬¨ ¬®é®áâ¨, áâண® ¬¥ì襩 {, ¨ â®, çâ® ¡ë«® ¢®§¬®¦® á® áç¥â묨 ¬®¦¥á⢠¬¨, áâ ®¢¨âáï ¢®§¬®¦ë¬ á ¬®¦¥á⢠¬¨ ¬®é®á⨠{; ¢ ç áâ®áâ¨, «î¡®¥ {-¯¥à¥ç¨á«¥¨¥ {- ⮬®£® ¬®¦¥á⢠ï¥âáï ª®áâàãªæ¨¥©. ª ¬ë § ¥¬, ª ¦¤ë© ⨯ áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ ï¥âáï ¥®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¬®é®á⨠jT j (á«¥¤á⢨¥ 15.8); ªà®¬¥ ⮣®, ¥á«¨ A B; p 2 S1(A); q 2 S1(B ) ¨ q ï¥âáï ¥®âª«®ïî騬áï ¨ {-¨§®«¨à®¢ ë¬ á뮬 ⨯ p, ⮣¤ p á ¬ {-¨§®«¨à®¢ : íâ® ¯à®á⮥ á«¥¤á⢨¥ â¥®à¥¬ë ®¡ ®âªàë⮬ ®â®¡à ¦¥¨¨ (á«¥¤á⢨¥ 16.7). ⮣® ¤®áâ â®ç® ¤«ï ¯à¨á¯®á®¡«¥¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à¥¤«®¦¥¨ï 18.1 ª 襬ã á«ãç î, â ª çâ® ¥¤¨á⢥®áâì ¯à®á⮩ {- áë饮© ¬®¤¥«¨ ¤®ª § . ãé¥áâ¢ã¥â ¤®áâ â®ç® ¢¯¥ç â«ïî饥 ª®«¨ç¥á⢮ à §ëå ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥©, ¢å®¤ïé¨å ¢ íâã à ¬ªã, ¢á¥ ¯à¨¤ã¬ ë¥ ¥« 宬. «ï ¡®«ìè¨á⢠¨§ ¨å 㤠¥âáï ¤®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ ¨ ¥¤¨á⢥®áâì ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨, á«¥¤ãï à §¢¨â®© ¢ëè¥ á奬¥, ® ¨®£¤ íâ® â «ª¨¢ ¥âáï â¥å¨ç¥áª¨¥ âà㤮áâ¨. ¤® ¯®ï⨥, ¯à¨á¯®á®¡«¥®¥ ¤«ï á㯥àáâ ¡¨«ìëå ⥮਩, íâ® ¯®ï⨥ @" áë饮© ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨: ¬®¤¥«ì M §ë¢ ¥âáï @" - áë饮©, ¥á«¨ ¤«ï ª ¦¤®£® ª®¥ç®£® ª®à⥦ a ¨§ M ª ¦¤ë© ᨫìë© â¨¯ ¤ a ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M : ¥á«¨ ª ¦¤ë© ⨯ ¨¬¥¥â ª®¥çãî ªà â®áâì, â® íâ® â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ¯®ï⨥ @0 - áë饮áâ¨.
18.e
®¤¥«¨ à¥ä®©åâ
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18.e ®¤¥«¨ à¥ä®©åâ à®áâë¥ ¬®¤¥«¨, ª®â®àë¥ ¬ë à áᬮâ५¨, ¨¬¥îâ ¥áâ¥á⢥ãî å à ªâ¥à¨á⨪ã, ®ç¥ì ¯à¨ïâãî ¤«ï à §ã¬ : íâ® ¬®¤¥«¨, ®¡¢®« ª¨¢ î騥 A, ¤®¡ ¢«ïï ª ¥¬ã ¬¨¨¬ã¬ ¢®§¬®¦®£®. â®¡ë ¯®ª § âì áãé¥á⢮¢ ¨¥ â ª¨å ¬®¤¥«¥© ¨ ⥬ ¡®«¥¥ çâ®¡ë ¯®ª § âì ¨å ¥¤¨á⢥®áâì, ¬ ¡ë«¨ ¥®¡å®¤¨¬ë ᨫìë¥ £¨¯®â¥§ë áâ ¡¨«ì®áâ¨, ¯®§¢®«ïî騥 ¯®«®áâìî ã¯à ¢«ïâì ¨å ª®áâàãªæ¨¥©. ¥§ íâ¨å £¨¯®â¥§ ¯à¨å®¤¨âáï ¤®¢®«ìá⢮¢ âìáï ¡®«¥¥ ¯à¨¡«¨§¨â¥«ì묨 ¯®ïâ¨ï¬¨; ¥á«¨ ¥â ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥©, â® ¬®¦® ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¯®¯ëâ âìáï áâநâì ¬®¤¥«¨, ª®â®àë¥ ¥ ¤®¡ ¢«ïîâ ᫨誮¬ ¬®£®£® ª A. à ©¨© á«ãç © áãé¥á⢮¢ ¨ï ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥© { íâ® ª®£¤ T , ª ª ¢ á«ãç ¥ à¨ä¬¥â¨ª¨, ¨¬¥¥â äãªæ¨¨ ª®«¥¬ , ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ A ¥áâì ¥ çâ® ¨®¥, ª ª à 樮 «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ A: äãªæ¨ï '(y) §ë¢ ¥âáï äãªæ¨¥© ª®«¥¬ ¤«ï ä®à¬ã«ë ¡¥§ ¯ à ¬¥âà f (x; y), ¥á«¨ á«¥¤ãîé ï ªá¨®¬ «¥¦¨â ¢ T: 8y[9xf (x; y) ! f ('(y); y)] :
᫨ ⥮à¨ï T ¥ ®¡« ¤ ¥â äãªæ¨ï¬¨ ª®«¥¬ , â® ¨å ¬®¦® ¤®¡ ¢¨âì; 㢥«¨ç¨¢ ¥¬ ï§ëª T , ¢¢®¤ï ®¢ë© ᨬ¢®« äãªæ¨¨ 'f (y) ¤«ï ª ¦¤®© ä®à¬ã«ë f (x; y) ï§ëª T ; ®â¬¥â¨¬, çâ® ¤ «î¡®© ¬®¤¥«ìî T ¬®¦® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì 'f â ª, ç⮡ë 㤮¢«¥â¢®à¨âì ª ¦¤ãî ªá¨®¬ã 8y[9xf (x; y) ! f ('f (y); y)] ; £¤¥ 'f (b) ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª ¯®¤å®¤ï騩 í«¥¬¥â, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ä®à¬ã«ã f (x; b), ¥á«¨ â ª®¢ë¥ ¨¬¥îâáï, ¨ ¥¢ ¦® ª ª, ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. ¥¯¥àì à áᬮâਬ ¯®«ãî ⥮à¨î T ¢ í⮬ ®¡®£ 饮¬ ï§ëª¥, ᮤ¥à¦ 饬 T ¨ ¢á¥ í⨠®¢ë¥ ªá¨®¬ë; â ª ï ⥮à¨ï §ë¢ ¥âáï ᪮«¥¬¨§ 樥© T . ¥â ¥áâ¥á⢥®£® ¢ë¡®à ¤«ï í⮣® ¯®¯®«¥¨ï; ªà®¬¥ ⮣®, ᢮©á⢠áâ ¡¨«ì®á⨠¨«¨ ¬®£¨¥ ¤à㣨¥ ¤«ï ⥮ਨ T ¥ á«¥¤ãîâáï ⥮ਥ© T . ¥áâ® £®¢®àï, T ᪮«¥¬¨§¨àã¥â ⮫쪮 ä®à¬ã«ë ï§ëª T , çâ® ¤®áâ â®ç® ¤«ï è¨å 楫¥©; çâ®¡ë ¨¬¥âì ⥮à¨î á äãªæ¨ï¬¨ ª®«¥¬ , ¤® ¯®¢â®à¨âì ª®áâàãªæ¨î ! à §. â®¡ë ¯®áâநâì ¥çâ® ¢à®¤¥ ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥©, ¯®áâ㯠¥¬ â ª: á ç « ¡¥à¥¬ ¬®¦¥á⢮ A ¯ à ¬¥â஢ ¨§ ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«¨ T ; ¥£® ¬®¦® à áᬠâਢ âì, ® ¥ ª ®¨ç¥áª¨¬ ®¡à §®¬, ª ª ¬®¦¥á⢮ ¯ à ¬¥â஢ ¤«ï T , â ª ª ª ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì T ¨¬¥¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥, ª®â®à®¥ ¬®¦® ®¡®£ â¨âì ¤® ¬®¤¥«¨ T ; ⥯¥àì ¡¥à¥¬ § ¬ëª ¨¥ A äãªæ¨ï¬¨ ª®«¥¬ ¨§ ï§ëª T (íâ® §ë¢ ¥âáï ®¡®«®çª®© ª®«¥¬ A ) , § ⥬ § ¡ë¢ ¥¬ ¤®¡ ¢«¥ë¥ ᨬ¢®«ë: ¯®«ãç ¥¬ â ª¨¬ ®¡à §®¬ áâàãªâãàã M (A) ï§ëª T , ïîéãîáï ¬®¤¥«ìî T , â ª ª ª ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â â¥áâã à᪮£®. ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¢ ª®áâàãªæ¨¨ M (A) ¨¬¥îâáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ ᮢᥬ ¥ ª ®¨ç¥áª¨å íâ ¯ : ¢ë¡®à ᪮«¥¬¨§ 樨 T ¨ ¯®¯®«¥¨¥ ⥮ਨ A ¢ ®¢®¬ ï§ëª¥. ®£¤ ¬®¦¥á⢮ A ï¥âáï ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®â®á¨â¥«ì® ¤ ®£® ¯®à浪 ¤«ï ⥮ਨ T , â® £®¢®àïâ, çâ® M (A) ¬®¤¥«ì à¥ä®©åâ ; â ª ï ¬®¤¥«ì, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï âà¥¬ï ¢¥é ¬¨:
368
« ¢ 18
{ ¢ë¡®à®¬ T ; { ¬®¦¥á⢮¬ à¥ä®©åâ ¢ á¬ëá«¥ T ¤«ï ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠A (¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ⮫쪮 ¬®¦¥á⢠¡¥áª®¥çëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩); { ⨯®¬ ¨§®¬®à䨧¬ ¯®à浪 I ¨¤¥ªá®¢ í«¥¬¥â®¢ A. ¯à ªâ¨ª¥ ¬ë ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¤¢ ¯¥à¢ëå ¢ë¡®à 㦥 ᤥ« ë, â ª çâ® ¤®¢®«ìáâ¢ã¥¬áï ®¡®§ 票¥¬ M (I ) â ª®© ¬®¤¥«¨. ª ç¥á⢥ I ¬®¦® ¡à âì «î¡ãî 楯ì. á®, çâ® «î¡®© ¢â®¬®à䨧¬ I ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ¢â®¬®à䨧¬ M (I ), çâ® «î¡®© ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã I ¨ J ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ¬¥¦¤ã M (I ) ¨ M (J ), çâ® «î¡®¥ á®åà ïî饥 ¯®à冷ª ¢«®¦¥¨¥ I ¢ J ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¤® í«¥¬¥â ண® ¢«®¦¥¨ï M (I ) ¢ M (J ). ¥à¢® ç «ì®© 楫ìî í⮩ ª®áâàãªæ¨¨ ¡ë« ¯®áâ஥¨¥ ¬®¤¥«¨ T , ¨¬¥î饩 ¬®£® ¢â®¬®à䨧¬®¢. ¬ áâ¥à᪨ ¡ë« ¨á¯®«ì§®¢ ¥« 宬, çâ®¡ë ¤®ª § âì á«¥¤ãîéãî ⥮६ã:
¥®à¥¬ 18.18
᫨ ⥮à¨ï T ¥áâ ¡¨«ì , jT j, { ¥áç¥âë© ª न «, ⮣¤ T ¨¬¥¥â 2 ¯®¯ à® ¥ ¨§®¬®àäëå ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠. â®¡ë ¥¥ ¤®ª § âì, ¥« å à áᬠâਢ ¥â ¬®¤¥«¨ à¥ä®©åâ , ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¥à §«¨ç¨¬ë¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâï¬ (ª®à⥦¥©), 㯮à冷ç¥ëå ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«®© ï§ëª T : íâ® ¢®§¬®¦® ¯® «¥¬¬¥ 12.36 ; ® ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¥á«¨ 楯¨ I ¨ J ¤®áâ â®ç® à §«¨çë¥, â® ¬®¤¥«¨ M (I ) ¨ M (J ) ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ¨§®¬®àä묨; íâ® ¤ ¥â ¬ ªá¨¬ã¬ ¢®§¬®¦ëå ¬®¤¥«¥©, à ¢ë© 2. ஬¥ ⮣®, â®â ¦¥ ¥« å ¯à¥ãᯥ« ¢ ⮬, ç⮡ë à á¯à®áâà ¨âì ᢮© १ã«ìâ â ¥á㯥àáâ ¡¨«ìë¥ â¥®à¨¨, 楮© 㦠ᮠ᫮¦®£® ¤®ª § ⥫ìá⢠, áâà®ï ¬®¤¥«¨ à¥ä®©åâ ¢®ªà㣠"¥à §«¨ç¨¬ëå" ¬®¦¥áâ¢, ¨¤¥ªá¨à®¢ ëå 㦥 ¥ 楯ﬨ, ¤¥à¥¢ìﬨ, § ¯®«¥ë¬¨ ä®à¬ã« ¬¨ T.
¥®à¥¬ 18.19
᫨ ⥮à¨ï T ¥ á㯥àáâ ¡¨«ì ¨ > jT j, ⮣¤ T ¨¬¥¥â 2 ¯®¯ à® ¥ ¨§®¬®àäëå ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠.
¥ ¡ã¤ã §¤¥áì ¯à¨áâ㯠âì ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã íâ¨å ⥮६ ¨ ¥ ¯®â®¬ã, çâ® ¯à¥ã¬¥ìè î ¨å § 稬®áâì (®¨ ¤®«¦ë ¡ëâì ¢à¥§ ë ¢ ¯ ¬ïâì ª ¦¤®£® ⥮à¥â¨ª®-¬®¤¥«¨áâ , ¨ ¤ ¦¥ ª ¦¤®£® «£¥¡à ¨áâ ), ¯®â®¬ã, çâ® ¨å ¤®ª § ⥫ìá⢠á 㢫¥ªãâ ª ⮪®© ª®¬¡¨ â®à®© â¥å¨ª¥, ç㦤®© ¤ãåã í⮣® ªãàá , ¨ ¥é¥ ¯®â®¬ã, çâ® ï ¥á¯®á®¡¥ ¯à¥¤«®¦¨âì çã¢á⢨⥫ìë¥ ã¯à®é¥¨ï ª à£ã¬¥â ¬ ¥« å , ª®â®àë¥ ï á®è«îáì. ⬥⨬ ⥬ ¥ ¬¥¥¥, çâ® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¢ 14.11 ᮢᥬ ¤à㣨¬ ¬¥â®¤®¬ ç áâë© á«ãç © 18.18 . ë ¯à¨¬¥ï¥¬ ¬®¤¥«¨ à¥ä®©åâ ⮫쪮 ¤«ï ¯à¨¢®¤¨¬®£® ¨¦¥ १ã«ìâ â , ¥®¡å®¤¨¬®£® ¢ ¯®á«¥¤ãî饬 ¯ à £à ä¥:
¥¬¬ 18.20
᫨ M (I ) { ¬®¤¥«ì à¥ä®©åâ , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï ¯®«®¬ã ¯®à浪ã I , ¨ A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ M (I ), â® áãé¥áâ¢ã¥â ¥ ¡®«¥¥ jAj + jT j ⨯®¢ ¢ S1(A), ॠ«¨§ãîé¨åáï ¢ M (I ).
18.f
369
¥®à¥¬ ® ¤¢ãå ª न « å
®ª § ⥫ìá⢮. ë ᮡ¨à ¥¬áï áç¨â âì â¨¯ë ¤ A ¢ á¬ëá«¥ ⥮ਨ T ,
ॠ«¨§®¢ ëå ¢ M (I ); ª ¦¤ë© í«¥¬¥â a ¬®¦¥á⢠A ¨¬¥¥â ¢¨¤ '(b1; : : :; bn) , £¤¥ bi «¥¦¨â ¢ I , § ç¨â ©¤¥âáï ¯®¤¬®¦¥á⢮ B ¨¤¥ªá®¢ I , ª®¥ç®¥ ¨«¨ ⮩ ¦¥ ¬®é®áâ¨, çâ® A, à 樮 «ì®¥ § ¬ëª ¨¥ ª®â®à®£® ᮤ¥à¦¨â A. ®¤áç¨â ¥¬ â¨¯ë ¤ B , â ª ª ª «î¡ë¥ ¤¢ í«¥¬¥â , ¨¬¥î騥 ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ B , ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ A. «¥¬¥â c ¨§ M (I ) ¨¬¥¥â ¢¨¤ c = '(d1; : : :; dj ), £¤¥ dj ¯à¨ ¤«¥¦ â I ; ¥£® ⨯ ®¯à¥¤¥«¥ § ¤ ¨¥¬ ' ¨ ⨯ d ¤ B ; ¨¬¥¥âáï T ¢®§¬®¦®á⥩ ¤«ï ¢ë¡®à äãªæ¨¨ ', ïî饩áï ª®¬¯®§¨æ¨¥© äãªæ¨© ª®«¥¬ ; ¨§-§ ¥à §«¨ç¨¬®á⨠I ¢ á¬ëá«¥ T , ⨯ d ¤ B ®¯à¥¤¥«¥ á¥ç¥¨ï¬¨, ®¡à §®¢ 묨 ª ¦¤ë¬ ¨§ dj ¤ B ; â ª ª ª B ï¥âáï ¯®«ë¬ ¯®à浪®¬, ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 jB j + 1 á¥ç¥¨© ¤ B .
¯®¬¨¬, ç⮠⥮à¨ï T §ë¢ ¥âáï -ª ⥣®à¨ç®©, ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ⮫쪮 ¥¤¨á⢥ãî ¬®¤¥«ì ¢ ¬®é®á⨠.
«¥¤á⢨¥ 18.21
᫨ ⥮à¨ï T áç¥â ¨ ª ⥣®à¨ç ¢ ¥áç¥â®© ¬®é®á⨠, â® ® â®â «ì® âà á楤¥â .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ T ¥ !-áâ ¡¨«ì , â® ® ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì M ¬®é®á⨠, ᮤ¥à¦ éãî áç¥â®¥ ¬®¦¥á⢮ A, â ª®¥, çâ® M ॠ«¨§ã¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ @1 ⨯®¢ ¨§ S1(A); ¯® «¥¬¬¥ 18.20 íâ ¬®¤¥«ì ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨§®¬®àä ¬®¤¥«¨ à¥ä®©åâ M ().
18.f ¥®à¥¬ ® ¤¢ãå ª न « å ; !1-ª ⥣®à¨çë¥ â¥®à¨¨ í⮬ ¯ à £à ä¥ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਥ©; ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, 㦮¥ ᢮©á⢮ { áâ ¡¨«ì®áâì, ¨ á ¯®¬®éìî ¥áª®«ìª¨å â¥å¨ç¥áª¨å ¯®¯à ¢®ª, १ã«ìâ âë ®¡®¡é îâáï áâ ¡¨«ìë© á«ãç ©. ãáâì M { ¬®¤¥«ì ⥮ਨ T , f (x; b) { ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M ¨ p { ⨯ ¤ M . ®¢®à¨¬, çâ® p ®à⮣® «¥ ä®à¬ã«¥ f (x; b), ¥á«¨, ª®£¤ p ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ a, â® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì N ¤ M [ fag ¥ ᮤ¥à¦¨â í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; b), ªà®¬¥ â¥å, ç⮠㦥 ¢ M . ë ¨áª«îç ¥¬ ¨§ ®¡á㦤¥¨ï ॠ«¨§®¢ ë¥ â¨¯ë p, ®à⮣® «ìë¥ ª ¦¤®© ä®à¬ã«¥.
¥¬¬ 18.22 ªâ ®à⮣® «ì®á⨠p ª f (x; b) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥£® ª« á-
á ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ T (b); ¥á«¨ q ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p ¤ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N ¬®¤¥«¨ M , â® q ®à⮣® «¥ ª f (x; b), ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¥© ®à⮣® «¥ p.
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p ¥ ®à⮣® «¥ ª f (x; b), â® ©¤¥âáï c ¢ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤ M [ fag, c ¢¥ M , 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f (x; b); ⨯ c M [ fag
370
« ¢ 18
¨§®«¨à®¢ ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«®© g(x; a; d); â ª¨¬ ®¡à §®¬, áãé¥áâ¢ã¥â d ¢ M , â ª®©, çâ® p ᮤ¥à¦¨â (9y)[f (y; b) ^ g(y; x; d)], ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¨ ¤«ï ª ª®£® y ¨§ M ⨯ p ¥ ᮤ¥à¦¨â ä®à¬ã«ã f (y; b) ^ g(y; x; d). â® ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ ¢ë¯®«¨¬®áâì ¥ª®â®à®£® ¯à¥¤«®¦¥¨ï á ¯ à ¬¥â஬ b ¢ ¬®¤¥«¨ (M; dp) .
ன ®â §ë¢ ¥âáï ¬®¤¥«ì M ¨ ä®à¬ã« f (x; b) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M ¨ ᮡá⢥®¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M , ¥ ᮤ¥à¦ 饥 ®¢ëå í«¥¬¥â®¢ 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; b). ë ¨áª«îç ¥¬ ¨§ ®¡á㦤¥¨ï âਢ¨ «ìë© á«ãç ©, ª®£¤ f (x; b) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ⮫쪮 ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥â®¢.
᫨ áç¥â ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â ¬®¤¥«ì M ¬®é®á⨠á ä®à¬ã«®© f (x; b), 㤮¢«¥â¢®àïî饩áï { í«¥¬¥â ¬¨ M , £¤¥ { áâண® ¬¥ìè¥ , â® ¯®«ãç ¥¬ ¯ à㠮⠡¥àï í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ M N ¬®é®á⨠{, ᮤ¥à¦ 饥 b ¨ ¢á¥ íâ¨ í«¥¬¥âë.
।«®¦¥¨¥ 18.23 (¥®à¥¬ ¤¢ãå ª न «®¢ ¤«ï â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ)
᫨ ⥮à¨ï T â®â «ì® âà á楤¥â ¨ ¨¬¥¥â ¯ àã ®â á ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ä®à¬ã«®© f (x; b), â® ¤«ï «î¡ëå ¬®é®á⥩ { ¨ , £¤¥ jT j { , áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T (b) ¬®é®á⨠, ¢ ª®â®à®© ¨¬¥¥âáï â®ç® { í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; b).
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ¨¬¥¥âáï ¯ à ®â (N; M ), â® ©¤¥âáï ¥à¥ «¨§®¢ ë© â¨¯ p ¨§ S1(M ) ®à⮣® «ìë© ª f (x; b): ¢®§ì¬¨â¥ ⨯ «î¡®£® í«¥¬¥â ¨§ N n M . ® 18.22 室¨¬ â ª®© p ¤ ¬®¤¥«ìî M , ᮤ¥à¦ 饩 b, ⮩ ¦¥ ¬®é®áâ¨, çâ® ¨ T . 祬 á à áè¨à¥¨ï M ¤® ¬®¤¥«¨ M0 ¬®é®á⨠{, ᮤ¥à¦ 饩 { í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; b), çâ® ¤¥« ¥âáï ¯à®áâë¬ ¯à¨¬¥¥¨¥¬ â¥®à¥¬ë ¥¢¥£¥©¬ -ª®«¥¬ . ãáâì p0 { á«¥¤¨ª p ¤ M0, ॠ«¨§ãî騩áï í«¥¬¥â®¬ a0: ¢ ¬®¤¥«¨ M1, ¯à®á⮩ ¤ M0 [ fa0g, ¥â ®¢ëå í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; b); § ⥬ í«¥¬¥â®¬ a1 ॠ«¨§ã¥¬ á«¥¤¨ª p1 ⨯ p0 ¤ M1 ; ¢ ¬®¤¥«¨ M2 ¯à®á⮩ ¤ M1 [ fa1g â ª¦¥ ¥â ®¢ëå í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; b); § ⥬ ¯®¢â®à塞 à §, ¡¥àï ¯à¥¤¥«ë ¯à¥¤¥«ìëå è £ å. ®¤¥«ì M ¯®«ãç¥ ï ¢ ª®æ¥ ï¥âáï ⥬, çâ® ¨ 㦮, ® ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠¯à®áâ ¤ M0 ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ p0 (á¬. 20.a).
।«®¦¥¨¥ 18.24 ãáâì ⥮à¨ï T â®â «ì® âà á楤¥â , ¨ ª न-
« áâண® ¡®«ìè¥, 祬 ¬®é®áâì T . ®£¤ T -ª ⥣®à¨ç , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ® ¥ ¨¬¥¥â ¯ à ®â .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ T ¨¬¥¥â ¯ à㠮⠤«ï ä®à¬ã«ë f (x; b), â® ¯® 18.23 ¬®¦® áâநâì ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T ¬®é®á⨠, ᮤ¥à¦ éãî ⮫쪮 jT j
í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; b); íâ ¬®¤¥«ì ¥ ¨§®¬®àä áë饮© ¬®¤¥«¨ ¬®é®á⨠. ¨«ì® ¬¨¨¬ «ì®© ä®à¬ã«®© §ë¢ îâ ä®à¬ã«ã f (x; a) à £ ®à«¨ 1 ¨ á⥯¥¨ ®à«¨ 1; íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®© ä®à¬ã«ë g(x; b) ®¤ ¨§ ä®à¬ã« g(x; b) ^ f (x; a) ¨«¨ :g(x; b) ^ f (x; a) (¨ ⮫쪮 ®¤ !) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥â®¢; â ª ª ª £¤¥-â® ¤®«¦ë áãé¥á⢮¢ âì ⨯ë à £
18.f
371
¥®à¥¬ ® ¤¢ãå ª न « å
®à«¨ 1, â ª ï ä®à¬ã« áãé¥áâ¢ã¥â. ®ª ¦¥¬ á ç « , çâ® ®âáãâá⢨¥ ¯ à ®â ®¡ï§ë¢ ¥â áãé¥á⢮¢ ¨¥ á¨«ì® ¬¨¨¬ «ì®© ä®à¬ã«ë á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ M0 ⥮ਨ T . ⬥⨬, çâ® á ª ¦¤®© ä®à¬ã«®© f (x; y) áá®æ¨¨à®¢ ® âãà «ì®¥ ç¨á«® n, â ª®¥, çâ® ¤«ï a, ª ª ⮫쪮 ¨¬¥¥âáï n í«¥¬¥â®¢, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; a), â® ¨å ©¤¥âáï ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® (¤à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨ ¬®¦® ¢ëà ¦ âì ¥ª®â®àë¬ ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ a ä ªâ, çâ® ä®à¬ã« f (x; a) { ¥ «£¥¡à ¨ç¥áª ï); ¨ ç¥, ¤«ï ª ¦¤®£® n 襫áï ¡ë ª®à⥦ an ¢ ¬®¤¥«¨ Mn ⥮ਨ T , â ª®©, çâ® f (x; an) 㤮¢«¥â¢®àï¥âáï ª®¥çë¬ ç¨á«®¬, ® ¡®«ì訬, 祬 n, í«¥¬¥â®¢ Mn ; ᮡá⢥®¥ à áè¨à¥¨¥ Nn ¬®¤¥«¨ Mn ¥ ¬®¦¥â, ®ç¥¢¨¤®, ᮤ¥à¦ âì ®¢ë¥ í«¥¬¥âë, 㤮¢«¥â¢®àïî騥 í⮩ «£¥¡à ¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¥; ⮣¤ ã«ìâà ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ íâ¨å ¬®¤¥«¥© ¤ ¥â ä®à¬ã«ã f (x; a) á ¢¥«¨ª®«¥¯®© ¯ ன ®â (N; M ). ¥¯¥àì à áᬮâਬ, ¤ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«ìî M0, ä®à¬ã«ã f (x; a) à £ â®à 1 ¨ á⥯¥¨ â®à 1; ¥á«¨ íâ ä®à¬ã« ¨¬¥« ¡ë à £ ®à«¨ ¨«¨ á⥯¥ì ®à«¨ ¢ëè¥ 1, â® ¬ë ¬®£«¨ ¡ë ¥¥ à §¤¥«¨âì ¤¢¥ ¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¥ ä®à¬ã«ë g(x; b) ¨ h(x; c), á ¯ à ¬¥âà ¬¨ b ¨ c ¢ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ M0; â ª ª ª ¬ë ¬®¦¥¬ ¢ëà ¦ âì ¥ «£¥¡à ¨ç®áâì íâ¨å ä®à¬ã« ¯à¥¤«®¦¥¨¥¬ ® ¯ à ¬¥âà å, ¬ë ¡ë 諨 b0 ¨ c0 ¢ M0, ¨¬¥î騥 â® ¦¥ ᢮©á⢮: íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î à £ â®à . «¥¤®¢ ⥫ì®, f (x; a) á¨«ì® ¬¨¨¬ «ì . 䨪á¨à㥬 á¨«ì® ¬¨¨¬ «ìãî ä®à¬ã«ã f (x; a) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ M0. ãáâì M { ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠; â ª ª ª ⨯ a ¤ ; ¨§®«¨à®¢ , â® ® ॠ«¨§ã¥âáï ¢ M ª®à⥦®¬, ª®â®àë© ¬ë ®¡®§ 稬 â ª¦¥ ç¥à¥§ a; ¥á«¨ ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ A ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ M , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f (x; a), ®âáãâá⢨¥ ¯ àë ®â ¤«ï f (x; a) ¢ë㦤 ¥â M ¡ëâì ¯à®á⮩, ¨ ¤ ¦¥ ¬¨¨¬ «ì®©, ¤ a_ A; ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ p ⨯ ¤ a à £ ®à«¨ 1, 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f (x; a) ; ¯ãáâì B { ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¬®¦¥á⢮ ॠ«¨§ 権 p: â ª ª ª A ᮤ¥à¦¨âáï ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ § ¬ëª ¨¨ a_ B , M ¯à®áâ ¤ í⨬ ¬®¦¥á⢮¬; ¨§ ¬®é®áâëå á®®¡à ¦¥¨© ¥®¡å®¤¨¬®, ç⮡ë B ¡ë« ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ ⨯ p ¤«¨ë , çâ® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯®«®áâìî ⨯ a_ B , § ç¨â, â ª ¦¥ ¨ ⨯ M .
«¥¤á⢨¥ 18.25 (¥®à¥¬ ®à«¨)
᫨ ⥮à¨ï T áç¥â ¨ ª ⥣®à¨ç ¢ ¥áç¥â®© ¬®é®áâ¨, â® ® ª ⥣®à¨ç ¢ ª ¦¤®© ¥áç¥â®© ¬®é®áâ¨. ®ª § ⥫ìá⢮. ® 18.21 ⥮à¨ï T !-áâ ¡¨«ì .
⨠⥮ਨ §ë¢ îâáï ®ç¥ì ¯à®áâ® @1 -ª ⥣®à¨ç묨, ¨«¨ !1 -ª ⥣®à¨ç묨 ; ¡ã¤ì⥠®áâ®à®¦ë ¢ ⮬, ç⮠⥮à¨ï, ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ï ¢ @1-ª ⥣®à¨ç®© ⥮ਨ, á ¬ â ª®¢®©, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¥ ï¥âáï (¢®¯à¥ª¨ ⮬ã, çâ® íâ® ¯à®å®¤¨â á !-ª ⥣®à¨ç®áâìî); ¯à¨¬¥à, ¢®§ì¬¨â¥ áâàãªâãàã ¨«¨ ï§ëª, ¢ª«îç î騩 ã àë© ¯à¥¤¨ª â A(x), 㤮¢«¥â¢®àïî騩áï ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ í«¥¬¥â®¢, ¨ ¡¨¥ªæ¨î s ¬¥¦¤ã A ¨ ¥£® ¤®¯®«¥¨¥¬. !1-ª ⥣®à¨ç ; § ¡ã¤ì⥠s ¨ ¢ë ©¤¥â¥ âਠ¬®¤¥«¨ T ¬®é®á⨠@1. ª 㦥 ç áâ® ¤¥« «®áì ¢ í⮬ ªãàá¥, ï ¤®ª § « ⥮६ã 18.25 ¯à¥¦¤¥¢à¥¬¥®; ® , ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®áâ¨, á«¥¤á⢨¥ ¡®«¥¥ â®ç®© â¥®à¥¬ë ¨§ à §¤¥«
372
« ¢ 18
20.b .
᫨ ï ¥¥ ¢ë¤¢¨ã« ¢¯¥à¥¤, â® íâ® ¯à¥¦¤¥ ¢á¥£® ¯®â®¬ã, çâ® ® ¥ âॡã¥â ᫨誮¬ á«®¦®£® â¥å¨ç¥áª®£® àᥠ« ª ª â®â, ª®â®àë© ç¨â â¥«ì ¤®«¦¥ ¯¥à¥¢ à¨âì ¢ ¤¢ãå á«¥¤ãîé¨å £« ¢ å, â ª¦¥ ¨§ 㢠¦¥¨ï ª ¨áâ®à¨¨. â® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥ ®ç¥ì ®â«¨ç ¥âáï ®â ®à¨£¨ «ì®£® ¤®ª § ⥫ìá⢠©ª« ®à«¨, ïî饣®áï â®çª®© ®âáç¥â ¨§ã票ï áâ ¡¨«ì®áâ¨, â® ¥áâì ᮢ६¥®© ⥮ਨ ¬®¤¥«¥©.
18.g áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï à ᨢ®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥¤¨á⢥®á⨠¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨, ¢ 18.2 ¨§ [
, 1979]; ¢â®à®¥, 18.5, à áᬠâਢ î饥 ¤«¨ë ¥à §«¨ç¨¬ëå ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩, ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå ¢ ¬®¤¥«¨, { ¡®«¥¥ áâ ஥: [
, 1972]; ª®¥æ 18.b ¢§ïâ ¨§ [, 1981b]. §ã票¥ ⥮ਨ «ã -®«ç¨ ¢ ᢥ⥠⥮ਨ ¬®¤¥«¥© ¡ë«® ᤥ« ® ¢ [, 1983c]. «ï ááë«®ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¯®«ï ᬮâਠ¯à¨¬¥ç ¨ï ª £« ¢ ¬ 6 ¨ 10 . à®áâë¥ jT j+- áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨ ïîâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ ¯ï⨠£« ¢ëå ¢¨¤®¢ ¯à®áâëå ¬®¤¥«¥©, ¯à¨¤ã¬ ëå ¥« 宬 ¢ [
, 1978]; ¯®«®¦¥¨¥ á â¥å ¯®à ®á«®¦¨«®áì. ãªæ¨¨ ª®«¥¬ ¢®á室ïâ ª [
, 1920], ¬®¤¥«¨ à¥ä®©åâ ª [
-, 1956], ¢¬¥áâ¥ á ¤®ª § ⥫ìá⢮¬ 18.20 ; ®¨ ¯®§¢®«¨«¨ ¥« åã ¯®áâநâì ¬®£® ¬®¤¥«¥© ¤«ï ¥áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ, [
, 1971], [
, 1978]; ¤«ï ¤à㣮£® ¯®¤å®¤ ª ¯à®¡«¥¬¥, á¬. [-
, 1983]. ¥®à¥¬ 18.23 ¨§ [, 1965]. àë ®â ¯®ï¢¨«¨áì ¢ [, 1965]; ¢¯®á«¥¤á⢨¨, ⥮à¥â¨ª®¢ ¬®¤¥«¥©, ª ¦¥âáï, ®å¢ ⨫® 㦥 çâ®-â® ¢à®¤¥ ¡¥è¥á⢠¯à¨¢ï§ë¢ âì ᢮¨ ¨¬¥ ª "⥮६ ¬ ¤¢ãå ª न «®¢" (®¤¨ ¤«ï ¬®¤¥«¨, ®¤¨ ¤«ï ä®à¬ã«ë), ®âªã¤ ¥¢¥à®ï⮥ ¬®£®®¡à §¨¥ ⥮६ â ª®£® த à á梥«® ¢ ª®æ¥ è¥á⨤¥áïâëå £®¤®¢. ª ï 㦥 ᪠§ « ¨ ¯®¢â®à¨«, ⥮६ ®à«¨ 18.25 ï¥âáï 訬 ¢â®àë¬ à®¦¤¥¨¥¬ [, 1965]; ® ®â¢¥â¨« ®¤® ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¥ ®áï. ®¦® ¢ ¥© í«¨¬¨¨à®¢ âì £¨¯®â¥§ã "T áç¥â " (â.¥. ¥á«¨ T ª ⥣®à¨ç ¢ ¬®é®á⨠áâண® ¡®«ì襩 ¬®é®á⨠T , â® ® ª ⥣®à¨ç ¢® ¢á¥å â ª¨å ¬®é®áâïå); íâ® ¡ë«® ᤥ« ® ¢ ¥áª®«ìª® íâ ¯®¢, [, 1964], [
, 1969], [
, 1969]; á¬. [
, 1978] , á. 469 ¨ á. 512. áïª ï !1-ª ⥣®à¨ç ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â ª®¥çë© à £ ®à«¨, ¨, ª ª®¢ ¡ë ¨ ¡ë« à áᬠâਢ ¥¬ ï ¬®¤¥«ì, à £ ®à«¨ ⨯ à ¢¥ ¥£® à £ã â®à [, 1973]; ® â ª¦¥ à ¢¥ ¥£® à £ã ᪠à [, 1978]. ¥®à¥¬ ®à«¨ ®¡á㦤 ¥âáï ¢ ª¨£¥ [, 1972], ¯à¥¤áâ ¢«ïî饩 £«ï¤ë© âàã¤, ᥣ®¤ï ãáâ ॢ訩, ® ª®â®àë© ¡ë« ®ç¥ì ¯®«¥§ë¬ ¢ ᢮¥ ¢à¥¬ï ¨ ç⥨¥ ª®â®à®£® ¯®ª ¦¥âáï ¯à¨ïâë¬ ®â¤ë宬 ¤«ï ç¨â ⥫ï, ª®â®àë© á®¡¨à ¥âáï ¯à¨áâ㯨âì ª ¨§ãç¥¨î ¯®á«¥¤¨å ¤¢ãå £« ¢ áâ®ï饩 ª¨£¨.
« ¢ 19 â ¡¨«ì®áâì, ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¨ ¢¥á Si vous voulez simpli er, evitez de compliquer, car ce n'est pas en compliquant que vous simpli erez. (Essai sur la vulgarisation) M.T.
19.a ¥à §«¨ç¨¬ë¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠: 374 19.b ¥à ¢¥á⢠᪠à : : : : : : : : : : : : : : : : : 376 19.c ¥á á㯥àáâ ¡¨«ì®£® ⨯ : : : : : : : : : : 380 19.d ¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¨ ¯®£«®é¥¨¥ : : : : : : : : 384 19.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 393
373
374
« ¢ 19
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19.b
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᫨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ªà â®áâì p ª®¥ç , â® ç¥à¥§ ª®¥ç®¥ ç¨á«® è £®¢ ¯®«ãç ¥¬ ¬®à«¨¥¢áªãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ A 0+n ; ¨ ç¥, ¢®§¬®¦® ¯®âॡã¥âáï ! è £®¢, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ᨫìë© â¨¯, ® ¥ ¡®«ìè¥, ª ª¨¬ ¡ë ¨ ¡ë«® ç¨á«® ª« áᮢ E , ª®â®àë¥ ã¦® à áᬮâà¥âì, ¨ ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì áâ ®¢¨âáï ¬®à«¨¥¢áª®© ¤ A 0+! , ¥á«¨ ®¤ ª® ã ¥¥ ®áâ ãâáï ¥é¥ í«¥¬¥âë ! á«ãç ¥ ª®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì,ªà®¬¥ ⮣®, ¥à §«¨ç¨¬ , ®¡ï§ â¥«ì® a 0 ¨ a 0+1 ¡ã¤ãâ ª®£àãíâë ¯® ¬®¤ã«î E , â ª ª ª ¨ ç¥ E ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ª« áᮢ; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ í⮬ á«ãç ¥, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì áâ ®¢¨âáï áâ 樮 ன á è £ , á«¥¤ãî饣® § 0 . ç¨ ï á £« ¢ë 14 ¬ë ¯®«ì§ã¥¬áï ⥬ ä ªâ®¬, çâ® ¡®«ìè¨á⢮ í«¥¬¥â®¢ ¤«¨®© ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ॠ«¨§ãîâ á।¨© ⨯ ¤ b í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠(á¬. «¥¬¬ã 14.1) ; ®¡®¡é¨¬ í⮠᢮©á⢮, ¯®ª §ë¢ ï, çâ® ª®à⥦ b ¬®¦¥â § áâ ¢¨âì ®âª«®ïâìáï «¨èì ¥¡®«ì讥 ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ ¥§ ¢¨á¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨. ¥¬¬ 19.1 ãáâì a0; : : :; a ; : : : { ¥§ ¢¨á¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ª®à⥦¥© ¤ A; ¤«ï ¤ ®£® b , ç¨á«® ¨¤¥ªá®¢ , â ª¨å, ç⮠⨯ a ¤ A [ fbg ®âª«®ï¥âáï ¤ A, áâண® ¬¥ìè¥ k (T ) ; ®® ª®¥ç®, ¥á«¨ tp(b=A) á㯥àáâ ¡¨«¥. ®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª tp(a =A ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A, â® tp(a =A [ fbg) ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® ®âª«®ï¥âáï ¤ A , ¨ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨, ¯® ᨬ¬¥âà¨ç®áâ¨, tp(b=A [ fa g = tp(b=A +1) ®âª«®ï¥âáï ¤ A ; íâ® ¯à®¨á室¨â ¬¥ìè¥ k(T ) à §, ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠¬¥ìè¥, 祬 ª न «, ®£à ¨ç¨¢ î騩 ã¡ë¢ î騥 ®à¤¨ «ìë¥ æ¥¯¨ ¨¦¥ £à ¨ tp(b=A) ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥.
᫨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, 㡥६ ¨§ 襣® ¥§ ¢¨á¨¬®£® ¬®¦¥á⢠®£à ¨ç¥®¥ ç¨á«® íâ¨å a , ⨯ ª®â®àëå ¤ A [fbg ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ⮠㢨¤¨¬ çâ® ¬®¦¥á⢮, ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ b (¥£® ¤® ¯®áâ ¢¨âì ¯¥à¢ë¬) ¨ ¤à㣨å a , ¥§ ¢¨á¨¬® ¤ A. «¥¤ãî騩 ä ªâ â ª¦¥ ï¥âáï ¥¯®á।áâ¢¥ë¬ á«¥¤á⢨¥¬ í⮩ «¥¬¬ë: ¢ ¥§ ¢¨á¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¨¬¥¥âáï áâண® ¬¥ìè¥, 祬 k(T ), ª®à⥦¥© a , â ª¨å, çâ® tp(a =A [ fbg) ®âª«®ï¥âáï ¤ A.
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â ¥áâ¥á⢥ ï á㬬 ª®¬¬ãâ ⨢ , áá®æ¨ ⨢ ¨ ᮪à ⨬ : ¢á¥ í⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¥¤¨á⢥®áâ¨ à §«®¦¥¨ï â®à . ¯®§¢®«ï¥â ¤¥« âì ४ãàá¨î ®¤®¢à¥¬¥® ¯® ¤¢ã¬ ¯¥à¥¬¥ë¬: ¥á«¨ 0 ¨ 0 ¨ å®âï ¡ë ®¤® ¨§ íâ¨å ¤¢ãå ¥à ¢¥á⢠{ áâண®¥, ⮣¤ < 0 0. â®¡ë £®¢®à¨âì ® ¥à ¦¨à®¢ ëå ⨯ å, ¤®¡ ¢¨¬ ª ®à¤¨ « ¬ ᨬ¢®« 1 , á ᮣ« 襨ﬨ + 1 = 1 + = 1 . áï íâ à¨ä¬¥â¨ª ¬ ¯®á«ã¦¨â ¢ á«¥¤ãî饩 ⥮६¥, ¯®§¢®«ïî饩 ®æ¥¨âì, ¢ ¥ª®â®àëå á«ãç ïå â®ç® ¯®¤áç¨â âì U -à £ n-ª¨ ç¥à¥§ U -à £¨ ⨯®¢ í«¥¬¥â®¢. ¤® ¯®¤ç¥àªãâì â®â ä ªâ, çâ® ¨¬¥® à £ U áª à ¤¥«¥ í⨬ ᢮©á⢮¬, ¥ ª ª®© «¨¡® ¤à㣮© à £. ¡®§ ç ¥¬ ç¥à¥§ tp(a=A) ⨯ a ¤ A, ç¥à¥§ RU (a=A) ¥£® à £ ᪠à .
¥®à¥¬ 19.4 (¥à ¢¥á⢮ ᪠à ) RU (b=A [ fag) + RU (a=A) RU (a_b=A) RU (b=A [ fag) RU (a=A) ®ª § ⥫ìá⢮. 祬 á ¯¥à¢®£® ¥à ¢¥á⢠, ¨ ¤®ª ¦¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® , çâ® ¥á«¨ RU (a=A) , â® RU (b=A [ fag) + RU (a_b=A) .
᫨ = 0 , â® ¤®ª §ë¢ ¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ®à¤¨ «ã , çâ® ¥à ¢¥á⢮ RU (b=A [fag) ¢«¥ç¥â RU (a_b=A) . ¥â ¯à®¡«¥¬, ¥á«¨ { ¯à¥¤¥«ìë© ®à¤¨ «, ¥á«¨ ¦¥ RU (b=A [ fag) + 1 ¨ tp(b=A [ fag) { ¥áâ ¡¨«ìë©, â® ¢¨¤¨¬ ç¥à¥§ ¯®¤áç¥â ç¨á« ⨯®¢, çâ® tp(a_b=A) { â ª¦¥ ¥áâ ¡¨«ìë©; ¨ ç¥ tp(b=A [ fag) ¨¬¥¥â ®âª«®ïî饣®áï áë á RU ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ . ®£¤ ¬®¦® ©â¨ ¬®¦¥á⢮ B A, â ª®¥, çâ® RU (b=B [ fag) ¨ tp(b=B [ fag) ®âª«®ï¥âáï ¤ A; ¯® ⥮६¥ 15.9 tp(a_b=B ) ¥áâ ¡¨«¥ ¨«¨ ®âª«®ï¥âáï ¤ A ¨ ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ ¨¬¥¥â RU ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ , ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â § ª«î票¥. ¥â ¯à®¡«¥¬ â ª¦¥ ¤«ï «î¡®£® ®à¤¨ « , ¯à¥¤¥«ì®£® ¨ ¥ã«¥¢®£®.
᫨ RU (a=A) + 1, â® ¨«¨ tp(a=A) ¥áâ ¡¨«¥ ¨ ⮣¤ â®ç® â ª¨¬ ¦¥ ï¥âáï ¨ tp(a_b=A), ¨«¨ ® ¨¬¥¥â ¥®âª«®ïî饣®áï áë á RU ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ . ®£¤ 室¨¬ ¬®¦¥á⢮ B A, â ª®¥, çâ® RU (a=B ) , tp(a=B ) ®âª«®ï¥âáï ¤ A; à ᯮ« £ ¥¬ B ¯® ®â®è¥¨î ª b â ª, ç⮡ë ⨯ b ¤
19.b
379
¥à ¢¥á⢠᪠à
B [ fag ¥ ®âª«®ï«áï ¤ A [fag (¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, ç⮠⨯ b ¤ A [ fag { áâ ¡¨«ìë©, â ª ª ª ¨ ç¥ â¨¯ a_b ¤ A ¡ã¤¥â ¥áâ ¡¨«ìë¬); ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ RU (b=B [ fag) + RU (a_b=B ). ª«î票¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® RU (b=B [ fag) = RU (b=A_ fag) ¨ ¨§ ⮣®, çâ® tp(a_b=B ) ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ¯® ⥮६¥ 15.9. ¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ ¢â®à®¥ ¥à ¢¥á⢮; ®® ®ç¥¢¨¤®, ¥á«¨ ®¤¨ ¨§ ç«¥®¢ ¯à ¢®© áâ®à®ë ¡¥áª®¥ç¥; ¥á«¨ tp(a_b=A) ¥áâ ¡¨«¥, â® ç¥à¥§ ¯®¤áç¥â ç¨á« ⨯®¢ ¢¨¤¨¬, ª ª 㦥 ¡ë«® ®â¬¥ç¥®, çâ® tp(a=A) ¨«¨ tp(b=A [fag) ¥áâ ¡¨«¥. ¤à㣨å á«ãç ïå ¤®ª §ë¢ ¥¬ ¨¤ãªæ¨¥© ¯® , çâ® ¥á«¨ RU (a_b=A) ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ , ⮠⮦¥ á ¬®¥ ¢¥à® ¨ ¤«ï ¢â®à®£® ç«¥ ¥à ¢¥á⢠; íâ® ïá®, ¥á«¨ { ¯à¥¤¥«ìë© ®à¤¨ «.
᫨ RU (a_b=A) + 1 , â® áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¦¥á⢮ B A â ª®¥, çâ® RU (a_b=B ) ¨ tp(a_b=B ) ®âª«®ï¥âáï ¤ A ; ¯® ⥮६¥ 15.9 , tp(a=B ) ®âª«®ï¥âáï ¤ A ¨«¨ tp(b=B [ fag) ®âª«®ï¥âáï ¤ . ® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ RU (b=B [ fag) RU (a=B ) ; § ª«î票¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® RU (a=B ) RU (a=A) , RU (b=B [ fag) RU (b=A [ fag) ¨ çâ® ®¤® ¨§ íâ¨å ¥à ¢¥á⢠{ áâண®¥.
¥à ¢¥á⢠᪠à áâ ®¢ïâáï à ¢¥á⢠¬¨ ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ RU ª®¥çë, ¨«¨ ¢ ¡®«ì襩 ®¡é®áâ¨, ª®£¤ ¢á¥ RU ¨¬¥îâ ¢¨¤ ! n , ¤«ï ®¤®£® ⮣® ¦¥ . â® ª á ¥âáï ®¡é¥£® á«ãç ï, ¯®«¥§® ¡ã¤¥â à §¬ëè«ïâì ¤ á«¥¤ãî騬 ¯à¨¬¥à®¬: T ï¥âáï ⥮ਥ© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, í«¥¬¥â a ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® âà á楤¥â¥ ¤ A, b ï¥âáï ¯à®¨§¢®¤®© ®â a : RU (b=A [ fag) + RU (a=A) = 0 + ! = !
RU (a=A [ fbg) + RU (b=A) = 1 + ! = ! RU (a_b=A) = ! RU (b=A [ fag) RU (a=A) = 0 ! = ! RU (a=A [ fbg) RU (b=A) = 1 ! = ! : ¥®à¥¬ 19.5
᫨ tp(a=A) ¨ tp(b=A) áâ ¡¨«ìë ¨ ¥á«¨ a ¨ b ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ A , ⮣¤ RU (a_b=A) = RU (a=A) RU (b=A) : ®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª RU (b=A [ fag) = RU (b=A) , â® ¤®áâ â®ç® ¯®ïâì, çâ® RU (a_b=A) RU (a=A) RU (b=A) . ® ⥮६¥ 19.4 íâ® ¢¥à®, ¥á«¨ ®¤¨ ¨§ à £®¢ RU à ¢¥ 1 ; ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥, ¨¤ãªæ¨¥© ¯® ¤®ª §ë¢ ¥¬, çâ® ¥á«¨ RU (a=A) ¨ RU (b=A) , ⮣¤ RU (a_b=A) ; ¤¥©á⢨⥫ì®, à áᬮâਬ 0 < ; áãé¥áâ¢ã¥â ¬®¦¥á⢮ B A â ª®¥, çâ® RU (a=B ) = 0 ; ªà®¬¥ ⮣®, ¬®¦® ¢ë¡à âì B â ª, ç⮠⨯ b ¤ B [ fag ¥ ®âª«®ï«áï ¤ A [ fag â ª ¦¥, ª ª ¤ A. ®à⥦¨ a ¨ b ⮣¤ ¡ã¤ãâ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¤ B ¨ ¯® ¨¤ãªæ¨®®© £¨¯®â¥§¥ RU (a_b=B ) 0 . ª ª ª tp(a=B ) ®âª«®ï¥âáï ¤ A, tp(a_b=B ) â ª¦¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A. âáî¤ RU (a_b=A) > 0 ¨ ¯®í⮬ã RU (a_b=A) .
380
« ¢ 19
,
¥®à¥¬ 19.6
᫨ tp(a=A [fbg) á㯥àáâ ¡¨«¥ ¨ RU (a=A) RU (a=A [fbg) , â® RU (b=A) RU (b=A [ fag) + . ®ª § ⥫ìá⢮. ¤ãªæ¨¥© ¯® RU (a=A [ fbg) ; ¤«ï ¤ ®£® < ¢ë¡¨à ¥¬ B , à áè¨àïî饥 A, â ª®¥, çâ® tp(a=B ) ®âª«®ï«áï ¤ A, ¨ â ª, ç⮡ë RU (a=B ) RU (a=A [fbg) ; ¤¥©á⢨⥫ì®, ¯® 12.33 ¨ 15.13 ¢ ª ç¥á⢥
B ¬®¦® ¡à âì äà £¬¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ¥ª®â®à®£® áë tp(a=A), ¨ ⮣¤ ⨯ B ¤ A ¡ã¤¥â áâ ¡¨«ìë¬. ᯮ« £ ¥¬ B â ª, ç⮡ë tp(b=B [fag) ¥ ®âª«®ï«áï ¤ A [ fag, ¨ à §«¨ç ¥¬ ¤¢ á«ãç ï: (i) tp(b=B ) ®âª«®ï¥âáï ¤ A; RU (b=A) ¡¥áª®¥ç¥ ¨«¨ áâண® ¡®«ìè¥ RU (b=B ) ; ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ RU (b=B ) RU (b=B [ fag) + RU (b=A [ fag) + . (ii) tp(b=B ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A; ¯® ᨬ¬¥âਨ ⨯ B ¤ A [ fbg ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ® ¯à®â¨¢ ⨯ B ¤ A [ fag ®âª«®ï¥âáï ¤ A, â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¥®¡å®¤¨¬® (á«¥¤¨â¥ § £à ﬨ), ç⮠⨯ B ¤ A [ fa; bg ®âª«®ï¥âáï ¤ A [ fbg , â® ¥áâì RU (a=B [ fbg) < RU (a=A [ fbg) , ®âªã¤ RU (b=B ) RU (a=B [ fbg) ( + 1) ¨ ¯® £¨¯®â¥§¥ ¨¤ãªæ¨¨ RU (b=A) = RU (b=B ) RU (b=B [ fag) + + 1 = RU (b=A [ fag) + + 1 . ®¡¥¨å á«ãç ïå RU (b=A) > RU (b=A [ fag) + + 1 , ®âªã¤ १ã«ìâ â á«¥¤ã¥â ¯® ¥¯à¥à뢮á⨠á㬬ë á¯à ¢ .
«¥¤á⢨¥ 19.7 (¥¬¬ ᨬ¬¥âਨ ᪠à )
᫨ tp(a=A[fbg) á㯥àáâ ¡¨«¥ ¨ RU (a=A) RU (A [fbg)+ ! n , â® RU (b=A) RU (b=A [fag) + ! n . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ = 0 , â® RU (a=A [ fbg) + n = RU (a=A [ fbg) n ; ¨ ç¥ ! n ¯à¥¤¥«¥ ¨ ¤«ï ¢á¥å , áâண® ¬¥ìè¨å ¥£®, RU (a=A [fbg)+ ! n > RU (a=A [ fbg) ; १ã«ìâ â á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६ë. ¥¬¬ã áª à ¤«¥¦¨â ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª ãᨫ¥¨¥ ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ ®âª«®¥¨ï: ¥á«¨ b § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ⨯ a ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ! n à §, ⮣¤ a § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ⨯ b ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ! n à §.
19.c ¥á á㯥àáâ ¡¨«ì®£® ⨯ áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ X í«¥¬¥â®¢ ¨«¨ ª®à⥦¥© ¨§ ¬®¤¥«¨ M áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ T . á«¥¤á⢨¥ 䨨â¨áâ᪮£® å à ªâ¥à ®âª«®¥¨ï, áãé¥áâ¢ãîâ ¬ ªá¨¬ «ì® ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¬®¦¥á⢠( ¤ ; ¨«¨ ¤ 䨪á¨à®¢ ë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢ A ) ¨§ X : â ª®¥ ¬®¦¥á⢮ §®¢¥¬ ¡ §®© X .
᫨, ¯à¨¬¥à, X á®áâ ¢«¥® ¨§ ॠ«¨§ 権 ⨯ p ¢ ¬®¤¥«¨ M , ¨ ¥á«¨ ¬ë ᬮ¦¥¬ ¤®ª § âì, çâ® ¤¢¥ ¡ §ë ¢á¥£¤ ¨¬¥îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢, ⮣¤ ¯®«ã稬 ¨¢ ਠâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬®¤¥«¨ M , ¥ª®â®àë© ª न «, ª®â®àë© §®¢¥¬ à §¬¥à®áâìî X . ஡«¥¬ ¢ ⮬, çâ® ¤¢¥ à §«¨çë¥ ¡ §ë, ¢®®¡é¥
19.c
381
¥á á㯥àáâ ¡¨«ì®£® ⨯
£®¢®àï, ¥ ®¡ï§ ë ¨¬¥âì ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ª न «; ç⮡ë â ª®© ä ªâ ¨¬¥« ¬¥áâ®, ¥®¡å®¤¨¬® à ᯮ« £ âì «®£®¬ «¥¬¬ë ® § ¬¥¥ ® ¡ §¨á å ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢, £¤¥ ®¤¨ í«¥¬¥â ¥ª®â®à®£® ¡ §¨á § ¬¥ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ í«¥¬¥â®¬ ¤à㣮£® ¡ §¨á . ®â âãâ ¨ ¢¢®¤¨âáï ¯®ï⨥ ¢¥á ; ¢ á«ãç ¥ ¢¥ªâ®àëå ¯à®áâà áâ¢, í«¥¬¥âë, ¨«¨ ᪮॥ ¨å ⨯ë, ¨¬¥îâ ¥¤¨¨çë© ¢¥á; ¥á«¨ í«¥¬¥â ¨¬¥¥â ⨯ ¢¥á n, â® ¢ ¯®¤å®¤ï饩 ¢¥àᨨ «¥¬¬ë ® § ¬¥¥ ® ᬮ¦¥â § ¬¥¨âì ¤® n í«¥¬¥â®¢. ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ T { ⥮à¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠¨ X = f(a; b); (a; c); (b; d)g , £¤¥ a; b; c; d { à §«¨çë¥ í«¥¬¥âë, â® ¨¬¥¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¡ § f(a; b)g ¨ f(a; c); (b; d)g : íâ® ¢ë§¢ ® ⥬ ä ªâ®¬, ç⮠⨯ (a; b) ¨¬¥¥â ¢¥á ¤¢ (¨ í⨠¯ àë áâ ®¢ïâáï í«¥¬¥â ¬¨ ¢ T eq ). ¥á ⨯ ¥áâì â®, çâ® ¬¥è ¥â ª न « ¬ ¡ § ¢ë©â¨ § ¯à¥¤¥«ë ¥ª®â®àëå £à ¨æ. ãáâì ⨯ p «¥¦¨â ¢ S1(A) ; £®¢®à¨¬, çâ® ¢¥á p áâண® ¬¥ìè¥ {, ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å ¬®¦¥á⢠B , ᮤ¥à¦ é¨å A, ¨ ¢á¥å a , ॠ«¨§ãîé¨å ¥®â¢¥â¢«ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ p ¤ B , ¢ ª ¦¤®© ¥§ ¢¨á¨¬®© ¤ B ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s ¬®¦® 㤠«¨âì ¬¥ìè¥ { í«¥¬¥â®¢ ¨§ s â ª, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s0 , ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¤ B [ fag . ¥á p ¡ã¤¥â ¬ ªá¨¬ã¬®¬ ª न «®¢ { , ¥á«¨ ® áãé¥áâ¢ã¥â, ¤«ï ª®â®àëå ¢¥á p ¥ áâண® ¬¥ìè¥ { ; á í⨬ ᮣ« 襨¥¬ ¢®§¬®¦®, ç⮠⨯ ¨¬¥¥â ¢¥á áâண® ¬¥ìè¥ ! ¨ ¥ ¨¬¥¥â ª®¥ç®£® ¢¥á ; ¢ ¯à¨¬¥¥¨ïå ¬ë £« ¢ë¬ ®¡à §®¬ à áᬮâਬ â¨¯ë ª®¥ç®£® ¢¥á . ¥á å à ªâ¥à¨§ã¥âáï â ª¦¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¥¬¬ 19.8 ¥á ⨯ p ¬¥ìè¥ {, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å B , à áè¨àïîé¨å A, ª ¦¤®© ¥§ ¢¨á¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s ¤ B ¨ ¢á¥å a, ॠ«¨§ãîé¨å ¥®â¢¥â¢«ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ p ¤ B , ¨¬¥¥âáï ¬¥ìè¥ { í«¥¬¥â®¢ ¨§ s, ⨯ ª®â®àëå ¤ B [ fag ®âª«®ï¥âáï ¤ B . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ¢¥á p ¬¥ìè¥ { , â® ªà¨â¥à¨© ¯®¤â¢¥à¦¤ ¥âáï, â ª ª ª ¢á¥ â ª¨¥ í«¥¬¥âë ¤®«¦ë ¡ëâì 㤠«¥ë, çâ®¡ë ®¡à §®¢ âì s0. ¡à â®, à áᬮâਬ B; a; s, â ª¨¥, ª ª ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ ¢¥á ¨ ¯ãáâì s0 { ¬ ªá¨¬ «ì ï ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s, ¥§ ¢¨á¨¬ ï ¤ B [ fag; ¯®« £ ¥¬ B 0 = B [ s0, ⮣¤ ⨯ a ¤ B 0 ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ B , ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® b 2 s ? s0, ⨯ b ¤ B 0 [ fag ®âª«®ï¥âáï ¤ B 0.
«¥¬¥â ¢¥á 0, ª®â®àë© ¥ ¬®¦¥â ¨ç¥£® § áâ ¢¨âì ®âª«®ïâìáï, ¤ ¦¥ á ¬®£® ᥡï, ï¥âáï «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬; ¥£® ¬®¦® ¯®¢â®àïâì ᪮«ìª® 㣮¤® ¢ ¥§ ¢¨á¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨. ® í⮩ âਢ¨ «ì®© ¯à¨ç¨¥, ª®£¤ áç¨â ¥¬ ¡ §ë, â® ¨áª«îç ¥¬ íâ¨ í«¥¬¥âë ¨§ ®¡á㦤¥¨ï. ® «¥¬¬¥ 19.2 ¬ë ¯®¨¬ ¥¬, çâ® ¢¥á p áâண® ¬¥ìè¥ (T ) ¨ ¤ ¦¥ ª न « , ª®â®àë© ®£à ¨ç¨¢ ¥â ¤«¨ã ®à¤¨ «ìëå ã¡ë¢ îé¨å ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ ¨¦¥ p . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ a0; : : : ; a ; : : : ®¡®§ ç ¥â ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, â® ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ a , ¤«ï ª®â®àëå ⨯ a ¤ B [fag ®âª«®ï¥âáï ¤ B , ¬¥ìè¥ (T ), ¨ ¥á«¨ 㤠«¨âì í⨠a , â® ¯®«ãç ¥¬ ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ B [ fag . ¥¬ ¥ ¬¥¥¥, ¥ ¤® ¨§ í⮣® § ª«îç âì, çâ® ¢¥á ï¥âáï ¬ ªá¨¬ «ìë¬ ç¨á«®¬, ᪮«ìª® a ¬®¦¥â § áâ ¢¨âì ®âª«®ïâìáï p ; íâ® ç¨á«®, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ¡®«ìè¥ ¢¥á . ®§ì¬¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à ⥮à¨î T ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨, a0 { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® âà á楤¥âë© í«¥¬¥â, a1 {
382
« ¢ 19
,
âà á楤¥â ï ª®áâ â ; «¥£ª® ¢¨¤¥âì, á ¯®¬®éìî ¯®¤áç¥â á⥯¥¨ âà á楤¥â®á⨠¤ Q ¯®«ï Q(a0; a1)d , çâ® a0 ¨ a1 ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë ;, ¨ íâ® ¡ã¤¥â á«¥¤á⢨¥¬ ®¡é¥£® १ã«ìâ â , ¤®ª § ®£® ¢ 19.15; ¯®« £ ¥¬ a = a0 + a1 . «¥¬¥â a § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï p0 , â ª ª ª a0 = a00 ¨ ® § áâ ¢«ï¥â â ª¦¥ ®âª«®ïâìáï p1 , ª®â®àë© ¥ ॠ«¨§®¢ ; ®¤ ª® ⨯ a , ¨¬¥ï à £ ! , ¨¬¥¥â ¢¥á 1 . ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® «¥¬¬ ® § ¬¥¥ à ¡®â ¥â, ¨ § ç¨â, a ¨ a0 , ¨«¨ a ¨ a1 ¥§ ¢¨á¨¬ë.
᫨ ⨯ ¨¬¥¥â à £ RU , à ¢ë© n , â® ® ¬®¦¥â § áâ ¢¨âì ®âª«®ïâìáï p ⮫쪮 n à §, ¨ ¥£® ¢¥á ¬ ¦®à¨à®¢ ç¨á«®¬ n ; ® ª ª ⮫쪮 ¥£® RU à £ à ¢¥ ! , â® ® ¬®¦¥â § áâ ¢¨âì ®âª«®ïâìáï p ¯à®¨§¢®«ì® ¡®«ì讥 ª®¥ç®¥ ç¨á«® à §, çâ® «¥£ª® ¯®¨¬ ¥âáï ¢¨¤®¨§¬¥¥¨¥¬ ¢ë襯ਢ¥¤¥®£® ¯à¨¬¥à . ᥠíâ® £®¢®à¨âáï ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì à áᬮâ२ï á«¥¤ãî饩 â¥®à¥¬ë ª ª âਢ¨ «ì®áâì.
¥®à¥¬ 19.9 á㯥àáâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ ª ¦¤ë© ⨯ (í«¥¬¥â ¨«¨ ª®à⥦ ) ¨¬¥¥â ª®¥çë© ¢¥á.
᫨ RU (p) = ! 1 n1 + + ! m nm ï¥âáï à §«®¦¥¨¥¬ â®à U -à £ ⨯ p , â® ¢¥á p ¬ ¦®à¨à®¢ ç¨á«®¬ n1 + + nm. ®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s = (a0; : : :; a ; : : : ) , ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¤ B , ¨ ॠ«¨§ æ¨î a ¥®âª«®ïî饣®áï à áè¨à¥¨ï p ¤ B . áᬮâਬ ¨¤¥ªá , â ª®©, ç⮠⨯ a ¤ B [ fag ®âª«®ï¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ! 1 à § ¤ B ; íâ® ®§ ç ¥â, çâ® RU (a=B ) ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®© ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ! 1 ¢ ᢮¥¬ à §«®¦¥¨¨ â®à ¨ çâ® ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ! 1 ¢ RU (a=B +1 ) áâண® ¬¥ìè¥ ¥£®. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«¥¥ n1 â ª¨å í«¥¬¥â®¢. ®â६ ¢á¥ íâ¨ í«¥¬¥âë ¨§ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠s ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì s0 = (a00; : : :; a0 ; : : : ). ¨¯ a0 ¤ B = B [ fa g < ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ B 0 = B [ fa0 g < ; çâ® ª á ¥âáï à £ U ⨯ a0 ¤ B 0 [ fag , â® ® ¡®«ìè¥ à £ ⨯ a0 ¤ B [ fag : a § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï p0 ¬¥ìè¥, 祬 p ! ª ª ª ¯® «¥¬¬¥ ᨬ¬¥âਨ ᪠à a ¥ ¬®¦¥â § áâ ¢¨âì ⨯ a0 ¤ B ®âª«®ïâìáï ! 1 à §, â® ® ¥ ¤¥« ¥â í⮣® â ª¦¥ á ⨯®¬ a0 ¤ B 0 . ®£¤ ¬ë à áᬮâਬ ¨¤¥ªáë, ¤«ï ª®â®àëå íâ®â ⨯ ®âª«®ï¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ! 2 à §, ⮠㢨¤¨¬, çâ® ¨å ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¡®«ìè¥ n2 . ®¢ à áá㦤 ¥¬ ¯® ᨬ¬¥âਨ: ¤¥©á⢨⥫ì®, ¢ à £¥ U ⨯ a , ¢¥¤ã騩 ª®íää¨æ¨¥â ¥ ¨§¬¥ï¥âáï, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª á«¥¤ãî騩, ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ! 2 , 㬥ìè ¥âáï ª ¦¤ë© à § ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¥¤¨¨æã. ®â६ ⮣¤ ¢á¥ íâ¨ í«¥¬¥âë, ¨ ¯®¢â®à塞 íâã ®¯¥à æ¨î m à §.
⬥⨬, çâ® íâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¨á¯®«ì§®¢ «® ¥ ⮫쪮 á㯥àáâ ¡¨«ì®áâì p, â ª¦¥ á㯥àáâ ¡¨«ì®áâì í«¥¬¥â®¢ ¥§ ¢¨á¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨. à ¢¨â¥ á«¥¤ãîéãî «¥¬¬ã á 19.5. ¥¬¬ 19.10
᫨ a ¨ b ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ A , â® ¢¥á tp(a_b=A) à ¢¥ á㬬¥ ¢¥á®¢ tp(a=A) ¨ tp(b=A) . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ¨¬¥¥¬ ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì, â® áâ¨à ¥¬ ¬¥ìè¥ í«¥¬¥â®¢, 祬 ¢¥á ⨯ tp(a=A), çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¥§ ¢¨á¨¬ãî
19.c
383
¥á á㯥àáâ ¡¨«ì®£® ⨯
¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ A [fag, § ⥬ ¬¥ìè¥ í«¥¬¥â®¢, 祬 ¢¥á tp(b=A), çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ A [ fa; bg. «ï ®¡à ⮣® ã⢥ত¥¨ï ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¢â®à®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢¥á, ¤ ®¥ «¥¬¬®© 19.8 : ¬ë ¬®¦¥¬ ©â¨ â ª¨¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ a , ç¨á«® ª®â®àëå à ¢® ¢¥áã tp(a) , çâ® a § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ⨯ ª ¦¤®£® ¨§ ¨å; â ª¦¥ ¬ë 室¨¬ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ b ç¨á«® ª®â®àëå à ¢® ¢¥áã tp(b) , çâ® b § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ⨯ ª ¦¤®£® ¨§ ¨å; à ᯮ«®¦¨¬ fa; : : :; a ; : : : g ¨ fb; : : :; b ; : : : g ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ®¡à §®¬.
¥®à¥¬ 19.11 (® § ¬¥¥) ãáâì A M , X { ¯®¤¬®¦¥á⢮ (¨«¨ ¬®¦¥-
á⢮ ª®à⥦¥©) M , ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ í«¥¬¥â®¢, ⨯ ª®â®àëå ¤ A ¨¬¥¥â ¢¥á 1 ; ⮣¤ «î¡ë¥ ¤¢¥ ¡ §ë (â.¥. ¬ ªá¨¬ «ì® ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠) X ¤ A ¨¬¥î⠢ᥣ¤ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ¬®é®áâì.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì B ¨ C { ¤¢¥ ¡ §ë ¢ X ¨ â ª¨¥, çâ® jB j jC j ; ¯¥à¥ç¨á«¨¬ B , B = fb0; : : : ; b ; : : : g, ¨ ¯®« £ ¥¬ B = fb g < . âந¬ ¨¤ãªæ¨¥© ã¡ë¢ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì C ¯®¤¬®¦¥á⢠C , â ªãî, çâ® B [ C ¥§ ¢¨á¨¬ . ®« £ ¥¬ C = [ < C ¤«ï ¢á¥å ¯à¥¤¥«ìëå ®à¤¨ «®¢ , ¨ çâ®
C +1 ¡ë« ¯®«ãç¥ ã¤ «¥¨¥¬ ¥ ¡®«¥¥ ®¤®© â®çª¨ ¨§ C . 祬 á C = C 0 ; â ª ª ª tp(b0=A) ¨¬¥¥â ¢¥á 1 ¯®«ã稬 C 1, 㤠«ïï ¥ ¡®«¥¥ ®¤®£® í«¥¬¥â ¨§ C 0 â ª, çâ®¡ë ¬®¦¥á⢮ C 1 [ fb0g ¡ë«® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¤ A . ®¦® 㤠«¨âì í«¥¬¥â ¨§ C 1 â ª, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì C 2 â ª®¥, çâ® ¬®¦¥á⢮ C 2 [ fb0; b1g ¡ã¤¥â ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¤ A, ¨ â.¤. ®£¤ ¯®ïâ®, çâ® ¤¥« âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìëå è £ å. ¯à¥¤¥«ìëå è £ å ¢á¥ ¨¤¥â ª ª ¯® ¬ á«ã, ¯®â®¬ã çâ® ª ¦¤®¥ ª®¥ç®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ B [ C ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ B [ C á < . ®£¤ ¯à®æ¥áá § ª®ç¨âáï, â® ¤®«¦ë 㦥 ¨áç¥à¯ âìáï ¢á¥ í«¥¬¥âë C , â ª ª ª ¨ ç¥ B ¥ ¡ë« ¡ë ¬ ªá¨¬ «ì® ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¬®¦¥á⢮¬; â ª¨¬ ®¡à §®¬, jB j = jC j.
¥®à¥¬ 19.12 ãáâì A M { ¨ X ¯®¤¬®¦¥á⢮ M , ®¡à §®¢ ®¥ ¨§ í«¥¬¥â®¢, ¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ¤ A ¨ ¨¬¥îé¨å ¤ A ⨯ á ¢¥á®¬ áâண® ¬¥ì訬 { , £¤¥ { { ॣã«ïàë© ª न «. ®£¤ ¥á«¨ A ¨¬¥¥â ¡ §ã ¬®é®áâ¨, ¡®«ì襩 ¨«¨ à ¢®© {, â® ¢á¥ ¥£® ¡ §ë ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ¬®é®áâì. ®ª § ⥫ìá⢮. ë ¯®¢â®à塞 â® ¦¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮, çâ® ¢ 19.11 , 㤠«ïï íâ®â à § ¨§ C ª ¦¤®¬ è £¥ ç¨á«® í«¥¬¥â®¢ áâண® ¬¥ìè¥ { ; ¥á«¨ jC j = { , â® § ª«î票¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ॣã«ïà®á⨠{ ; ¥á«¨ C > { , â® ¬®¦® ¯àאַ 㤠«ïâì { í«¥¬¥â®¢ ª ¦¤®¬ íâ ¯¥.
® ᮢ¥à襮 â ª®© ¦¥ ¯à¨ç¨¥, ¥á«¨ ¢á¥ í«¥¬¥âë X ¨¬¥îâ ¢¥á ¥ ¡®«¥¥ n ¨ ¥á«¨ B ¨ C ¤¢¥ ¡ §ë X , â® (1=n) jB j jC j n B . § ª«î票¥ ®â¬¥â¨¬, çâ® à §¬¥à®á⨠¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥ë ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ, ª ª ⮫쪮 ®¨ ¢ëè¥ jT j+ ; ®¨ ¢¯®«¥ ®¯à¥¤¥«¥ë ¤«ï á㯥àáâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ, ª ª ⮫쪮 ®¨ ¡¥áª®¥çë; ¨ ¥á«¨ ®¨ ª®¥çë ¨ ¢¥á ®£à ¨ç¥, â® ®¨ ¬®£ãâ ª®«¥¡ âìáï ⮫쪮 ¢ ®¯à¥¤¥«¥ëå ¯à¥¤¥« å.
384
« ¢ 19
,
â®¡ë ¨««îáâà¨à®¢ âì ¯®ï⨥ ¢¥á , ¤®ª ¦¥¬ á«¥¤ãîéãî ⥮६ã : ¥®à¥¬ 19.13
᫨ T áç¥â , á㯥àáâ ¡¨«ì ¨ ¥ !-ª ⥣®à¨ç , â® ® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯®¯ à® ¥¨§®¬®àäëå áç¥âëå ¬®¤¥«¥©. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ T ¨¬¥¥â ¬¥¥¥ 2! áç¥âëå ¬®¤¥«¥©, â® ¤ ª ¦¤®© n-ª®© ¯ à ¬¥â஢ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì (á¬. ⥮६ã 10.10 ¨ 10.c); ¥á«¨ T ¥ !-ª ⥣®à¨ç , â® áãé¥áâ¢ã¥â ª®à⥦ a, ⨯ p ª®â®à®£® ¤ ; ¥ ¨§®«¨à®¢ ; ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ k ¥£® ¢¥á, ç¥à¥§ Mn ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì ¤ ª®à⥦®¬ an , ®¡à §®¢ ®¬ ¨§ (k + 1)n ¥§ ¢¨á¨¬ëå ॠ«¨§ 権 p. ®¤¥«¨ Mn ¯®¯ à® ¥ ¨§®¬®àäë, â ª ª ª Mn+1 ¥ ¬®¦¥â í«¥¬¥â à® ¢ª« ¤ë¢ âìáï ¢ Mn ; ¨ ç¥, ª ¦¤ë© á®áâ ¢«ïî騩 ª®à⥦ ¨§ an+1 ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¨§®«¨à®¢ ë© â¨¯ ¤ an , ® ¥ ¨§®«¨à®¢ ë© â¨¯ ¤ ;; ¯® ⥮६¥ ®¡ ®âªàë⮬ ®â®¡à ¦¥¨¨ íâ®â ⨯ ®âª«®ï¥âáï ¤ ;, çâ® ¥¢®§¬®¦®, â ª ª ª ¢¥á ⨯ an ¤ ; à ¢¥ k(k + 1)n , çâ® áâண® ¬¥ìè¥ (k + 1)n+1 .
19.d ¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¨ ¯®£«®é¥¨¥
᫨ p ¨ q { ¤¢ ⨯ ¤ A , â® £®¢®à¨¬, çâ® ®¨ á« ¡® ®à⮣® «ìë, ¥á«¨ ª ¦¤ë© à § ª®£¤ a ॠ«¨§ã¥â p ¨ b ॠ«¨§ã¥â q , ⮣¤ a ¨ b ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ A; p ¨ q ®à⮣® «ìë, ¥á«¨ ª ¦¤ë© à § ª®£¤ B ᮤ¥à¦¨â A ¨ p0 ¨ q0 { ¥®â¢¥â¢«ïî騥áï á뮢ìï p ¨ q ¤ B , ⮣¤ p0 ¨ q0 á« ¡® ®à⮣® «ìë.
᫨ A ï¥âáï ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T (ª®â®à ï ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï áâ ¡¨«ì®©), á« ¡ ï ®à⮣® «ì®áâì ®§ ç ¥â, çâ® ®¡ê¥¤¨¥¨¥ p(x1) ¨ q(x2) ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥¤¨áâ¢¥ë© ¯®«ë© ⨯ ¤ M ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå; ¢ á«ãç ¥ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢, íâ® ¢¥à® ¥á«¨ ®¤¨ ¨§ ⨯®¢ áâ 樮 à¥. ¯à¥¤¥«¥¨¥ â ª¦¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« ª®£¤ p ï¥âáï ⨯®¬ n-ª¨, q ⨯®¬ m-ª¨. ¥¬¬ 19.14 ãáâì M N { ¤¢¥ ¬®¤¥«¨ T , p ¨ q { ¤¢ ⨯ ¤ M , p0 ¨ q0 { ¨å á«¥¤¨ª¨ ¤ N ; ¥á«¨ p0 ¨ q0 á« ¡® ®à⮣® «ìë, â® p ¨ q â ª¦¥ á« ¡® ®à⮣® «ìë; ¥á«¨ M jT j+- áëé¥ ¨ p ¨ q á« ¡® ®à⮣® «ìë, p0 ¨ q0 â ª¦¥ á« ¡® ®à⮣® «ìë. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ a ॠ«¨§ã¥â p ¨ b ॠ«¨§ã¥â q ¨ § ¢¨á¨¬ë ¤ M , â® ¯®¬¥é ¥¬ N â ª, ç⮡ë ⨯ a_b ¤ N ¥ ®âª«®ï«áï ¤ M ; í«¥¬¥âë a ¨ b § ¢¨á¨¬ë ¤ N ¨ ॠ«¨§ãîâ ᮮ⢥âá⢥® p0 ¨ q0, ª®â®àë¥ ¥ ®à⮣® «ìë.
᫨, ®¡à â®, p0 ¨ q0 ¥ (á« ¡®) ®à⮣® «ìë, â® ¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì p0 í«¥¬¥â®¬ a ¨ q0 í«¥¬¥â®¬ b, ¢¬¥á⥠á í«¥¬¥â®¬ c ¢ N â ª, çâ®¡ë ¢ë¯®«ï« áì ä®à¬ã« f (a; b; c) , ¥ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ï ¨ ¢ p0 , ¨ ¢ q0 ; ¥á«¨ M jT j+- áëé¥ , â® ¬®¦® ©â¨ c0 ¢ M , ¨¬¥î騩 â®â ¦¥ ⨯, çâ® ¨ c, ¤ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢, á«ã¦ é¨å ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï p ¨ q, ª®â®àë¥ ¥ á« ¡® ®à⮣® «ìë.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤ ¤®áâ â®ç® áë饮© ¬®¤¥«ìî, ®à⮣® «ì®áâì ¨ á« ¡ ï ®à⮣® «ì®áâì ïîâáï ¤¢ã¬ï íª¢¨¢ «¥â묨 ¯®ïâ¨ï¬¨. ë ¢¢¥«¨ ¢ 18.f ¯®ï⨥ ⨯ p, ®à⮣® «ì®£® ä®à¬ã«¥ f ; ¢ 20.a ¡ã¤¥â ¯®ª § ®, çâ® ¨§ í⮣® á«¥¤ã¥â, çâ® p ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯ã, 㤮¢«¥â¢®àïî饬ã f .
19.d
¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¨ ¯®£«®é¥¨¥
385
« ¡ ï ®à⮣® «ì®áâì ï¥âáï á ¬®¬ ¤¥«¥ ®ç¥ì á« ¡ë¬ ¯®ï⨥¬, ª®£¤ à áᬠâਢ ¥âáï â¨¯ë ¤ ¯à®¨§¢®«ìë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ¯ à ¬¥â஢; ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ T ⥮à¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªãâëå ¯®«¥© ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¨ C ¯®«¥ ª®áâ â, ⮠⨯ p ¬¨¨¬ «ì®£® ãà ¢¥¨ï x0 = 0 á« ¡® ®à⮣® «¥ ⨯ã q ¬¨¨¬ «ì®£® ãà ¢¥¨ï x0 = 1 ; ® ®¨ 㦥 ¥ â ª¨¥, ª ª ⮫쪮 ¡ §®¢®¥ ¯®«¥ ᮤ¥à¦¨â ¯à¨¬¨â¨¢ ¨§ 1 . ¡®«¥¥ § 稬 , ª®£¤ à áᬠâਢ ¥âáï â¨¯ë ¤ ¬®¤¥«ï¬¨ T ; ¥á«¨ T â®â «ì® âà á楤¥â , â® ¯®ª ¦¥¬, çâ® ® ¯¥à¥¤ ¥âáï ¯® á«¥¤áâ¢ã, â® ¥áâì çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ® à ¢®á¨«ì ®à⮣® «ì®áâ¨. ® ¢ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ íâ® ¥ â ª; ¢®â ®ç¥ì ¯à®á⮩ ª®âà¯à¨¬¥à: T ï¥âáï ⥮ਥ© £à㯯ë Z ; ¥¤¨áâ¢¥ë¥ ¯®¤£à㯯ë nZ ïîâáï â ª¦¥ ¥¥ ¥¤¨á⢥묨 ®¯à¥¤¥«¨¬ë¬¨ ¯®¤£à㯯 ¬¨, ¨ ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ¤¢ 䨫ìâà ¢®§¬®¦ëå ¯®¤£à㯯 (á¬. 13.c ¯à¨¬¥à 16): 䨫ìâà ॠ«¨§®¢ ëå ⨯®¢, ª®â®àë© á®¤¥à¦¨â 0, ¨ 䨫ìâà ¯®¤£à㯯 nZ , ¤«ï n 6= 0; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¦¤ë© ¥ ॠ«¨§®¢ ë© â¨¯ ¨¬¥¥â U -à £, à ¢ë© 1, ¨ ®¯à¥¤¥«¥ § ¤ ¨¥¬ ¥£® ª« áá ¯® ¬®¤ã«î nZ ¤«ï ª ¦¤®£® n , â.¥. ᢮¨¬ ᨫìë¬ â¨¯®¬ ¤ ;; ¨¬¥¥âáï 2! ¥à¥ «¨§®¢ ëå ⨯®¢ ¤ ª ¦¤®© ¬®¤¥«ìî T . ¨¯ à £ ®¤¨ ¬®¦¥â ®âª«®ïâìáï ⮫쪮 áâ ®¢ïáì «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬; ¥á«¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, p ¨ q { ¤¢ ⨯ ¤ M ¨ p ¥ ॠ«¨§®¢ ¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®¬ § ¬ëª ¨¨ M [fbg , £¤¥ b ॠ«¨§ã¥â q, ⮣¤ p ¨ q á« ¡® ®à⮣® «ìë; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ M áç¥â , p á« ¡® ®à⮣® «¥ ª® ¢á¥¬ ¥à¥ «¨§®¢ ë¬ â¨¯ ¬, § ¨áª«î票¥¬ áç¥â®£® ç¨á« ; ®â¬¥â¨¬ ¬¨¬®å®¤®¬, çâ® ¥á«¨ T ï¥âáï ⥮ਥ© á U -à £®¬ à ¢ë¬ 1, â® ª ¦¤®¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨ § ¬ªã⮥ ¬®¦¥á⢮ ᮤ¥à¦ 饥 ¬®¤¥«ì T , 㤮¢«¥â¢®àï¥â â¥áâã à᪮£® ¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬ á ¬® ï¥âáï ¬®¤¥«ìî T . ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® M ï¥âáï ¬®¤¥«ìî T , ॠ«¨§ãî饩 ¢á¥ ᨫìë¥ â¨¯ë ¤ ;, ¯à¨¬¥à, !1- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì; ¥á«¨ p ¥ ॠ«¨§®¢ ë©, ¨ a ॠ«¨§ã¥â ¢ M ¥£® ᨫìë© â¨¯ ¤ ;, â® x ? a ï¥âáï ¥à¥ «¨§®¢ ë¬ â¨¯®¬, ¤¥«¨¬ë¬ ¢á¥ n. ¤ â ª®© ¬®¤¥«ìî, ¤¢ ¥à¥ «¨§®¢ ëå ⨯ ¯¥à¥¢®¤ïâáï ¤à㣠¤à㣠ᤢ¨£®¬ á ¯®¬®éìî í«¥¬¥â M , ¨ á«¥¤®¢ ⥫ì®, ®¨ ¥ ®à⮣® «ìë. ¥¬¬ ᨬ¬¥âਨ áª à ¯®§¢®«ï¥â ¤®ª § âì ®à⮣® «ì®áâì ¥ª®â®àëå á㯥àáâ ¡¨«ìëå ⨯®¢ :
¥®à¥¬ 19.15
᫨ p ¨ q á㯥àáâ ¡¨«ìë ¨ ¥ ®à⮣® «ìë, â® ®¨ ¨¬¥îâ ¥ª®â®àë© ®¡é¨© ¨¤¥ªá i , ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¥ã«¥¢®¬ã ª®íää¨æ¨¥âã ¨§ à §«®¦¥¨ï â®à ¨å à £ U ; ¢ ç áâ®áâ¨, ⨯, ¨¬¥î騩 RU -à £ ! , ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯ã á® áâண® ¬¥ì訬 à £®¬ RU . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p ¨ q ¥ ®à⮣® «ìë, â® ¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì ¨å ¨«¨ ¥ª®â®àë¥ ¨å ¥®â¢¥â¢«ïî騥áï à áè¨à¥¨ï í«¥¬¥â ¬¨ a ¨ b, § ¢¨á¨¬ë¬¨ ¤ ¬®¦¥á⢮¬ A. ãáâì ! { ¨¡®«ìè ï á⥯¥ì !, â ª ï, ç⮠⨯ a ¤ A [ fbg ®âª«®ï¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ! à § ¤ A. ®£¤ ¯¥à¥å®¤¨¬ ®â à §«®¦¥¨ï â®à RU (a=A) ª à §«®¦¥¨î RU (a=A [ fbg), ª®íää¨æ¨¥â, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ! , ¤®«¦¥ 㬥ìè¨âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¥¤¨¨æã, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ª®íää¨æ¨¥âë ¢ëá襣® ¯®à浪 , 祬 ! , ®áâ îâáï ¥¨§¬¥ë¬¨. ® «¥¬¬¥ ᨬ¬¥âਨ ᪠à â® ¦¥ á ¬®¥ ¥¨¥ ¯à®¨á室¨â ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥
386
« ¢ 19
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®â RU (b=A) ª RU (b=A [fag). «¥¤®¢ ⥫ì®, ! ¨¬¥¥â ¥ã«¥¢®© ª®íää¨æ¨¥â ª ª ¢ RU (a=A), â ª ¨ ¢ RU (b=A).
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«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â ¬®£® ¬¥¥¥ ®ç¥¢¨¤¥. ¥®à¥¬ 19.17 ¥£ã«ïàë© â¨¯ ¨¬¥¥â ¢¥á 1 . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a ॠ«¨§ã¥â ⨯ p ¨§ Sm(M ) ¨ (b; c) ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª (a; b) ¨ (a; c) § ¢¨á¨¬ë; ¬ë ¤®«¦ë ¯®ª § âì, çâ® p ¥à¥£ã«ïà¥. ãáâì q { ᨫìë© â¨¯ a ¤ M [ fbg; ॠ«¨§ã¥¬ í«¥¬¥â®¬ a1 ¥®â¢¥â¢«ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ q ¤ M [fa; b; cg, § ⥬ í«¥¬¥â®¬ a2 { ¥®â¢¥â¢«ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ q ¤ M [fa; a1; b; cg, ¨ â.¤. ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fa1; a2; : : :; an; : : : g ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ ⨯ q ¤ M [ fa; b; cg, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª fa; a1; a2; : : : ; an; : : : g ï¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ q ¤ M [ fbg . ãé¥áâ¢ã¥â âãà «ì®¥ n, § ç¨â â ª¦¥ ¨¬¥ì襥 âãà «ì®¥ n, â ª®¥, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fa; a1; : : :; ang ¥ ¡ë« ¥§ ¢¨á¨¬®© ¤ M ; ¨ ç¥ fa; a1; : : : ; an; : : : g ¡ã¤¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî ®à«¨ p ¤ M , ¨ ¥£® á।¨© ⨯ ¤ M [ fbg , â.¥. q, ¤®«¦¥ ¡ë« ¡ë ¡ëâì á«¥¤¨ª®¬ p, çâ® ¥ ¢¥à®. ® ¯®áâ஥¨î tp(a1_ : : : _ an=M [ fa; b; cg) â®ç® â ª ¦¥, ª ª ¨ tp(a1_ : : : _ an=M [ fb; cg), ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M [ fbg ; ¯® ᨬ¬¥âਨ tp(c=M [ fa1; : : :; an; bg) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M [ fbg ¨ ¥ ®âª«®ï¥âáï â ª¦¥ ¤ M , â ª ª ª b ¨ c ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M . âáî¤ § ª«îç ¥¬, çâ® c ¨ a1; : : :; an ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M . ® ¬¨¨¬ «ì®á⨠n ¨ ¥à §«¨ç¨¬®á⨠a; a1; : : :; an ¤ M [ fbg ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a1; : : :; an ¥§ ¢¨á¨¬ ¤ M . ®£¤ ® ¤ M ®¡à §ã¥â ç «® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ ⨯ p ¤ M . ª ª ª ® ¥ ®âª«®ï¥âáï, â® ¤ M [ fag ® ï¥âáï ç «®¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ á«¥¤¨ª p .
19.d
387
¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¨ ¯®£«®é¥¨¥
ª¨¬ ®¡à §®¬, tp(a1=M [fa2; : : :; an; cg) ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p; tp(a=M [ fa2; : : :; an; cg) ¥ ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p, â ª ª ª a ¨ c § ¢¨á¨¬ë ¤ M . ¨¯ tp(a1=M [ fa; a2; : : : ; an; cg) ¥ ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p , â ª ª ª a; a1; : : :; an § ¢¨á¨¬ë ¤ M ¨ tp(a1=M [fa; a2; : : :; ang) ¥ ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p . ç¥ £®¢®àï, a ¨ a1 § ¢¨á¨¬ë ¤ M [ fa2; : : :; an; cg ¨ ¬ë 諨 ®âª«®ïî饣®áï áë p , ¥ ®à⮣® «ì®£® á«¥¤¨ªã p .
᫨ ⨯ë p ¨ q ®à⮣® «ìë, â® ¯®¤¬®¦¥á⢠¬®¤¥«¥©, á¢ï§ ëå ᮮ⢥âá⢥® á p ¨ á q ¬®£ãâ ¢ ¥ª®â®à®¬ த¥ ¡ëâì ¯®áâà®¥ë ¢â®®¬®. ®, çâ® ¤®¡ ¢«ï¥âáï á® áâ®à®ë p, ¥ ¢«¨ï¥â â®, çâ® ®â®á¨âáï ª q. ¥¯¥àì ¢¢¥¤¥¬ ¯à®â¨¢®¯®«®¦®¥ ¯®ï⨥, ®§ ç î饥, çâ® ¢á¥ çâ® ¨á室¨â ®â q, ®¯à¥¤¥«¥® ⥬, çâ® ¨á室¨â ®â p . áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ A ¨ ª®à⥦¨ a; b. ®¢®à¨¬, çâ® a á« ¡® ¯®£«®é ¥â b ¤ A , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® c, â ª®£®, çâ® tp(c=A [ fbg) ®âª«®ï¥âáï ¤ A, tp(c=A[fag) â ª¦¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A ; ¨ ç¥ £®¢®àï, ¢á¥ â®, çâ® § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï b, â ª¦¥ § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï a. ®¢®à¨¬, çâ® a ¯®£«®é ¥â b ¤ A, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® B , ᮤ¥à¦ 饣® A, ª ª ⮫쪮 tp(a_b=B ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A, ⮣¤ a á« ¡® ¯®£«®é ¥â b ¤ B . ®ç⨠®ç¥¢¨¤®, çâ® ¯®£«®é¥¨¥ ¢«¥ç¥â á« ¡®¥ ¯®£«®é¥¨¥ ¨ çâ® ¥á«¨ tp(a_b=B ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ A ¨ a ¥ ¯®£«®é ¥â b ¤ A , â® ® ¥£® ¥ ¯®£«®é ¥â â ª¦¥ ¤ B : à áᬠâਢ ï í«¥¬¥â c , § ¢¨á¨¬ë© ®â b, ® ¥§ ¢¨á¨¬ë© ®â a ¤ A, à ᯮ«®¦¨¬ ¥£® ¥®â¢¥â¢«ïî騬áï ®¡à §®¬, ¨ â.¤. á«¥¤ãî饩 «¥¬¬¥ ¯à®ïáï¥âáï ®¤ ¦£ãç ï ¯à®¡«¥¬ á«¥¤®¢ ¨ï.
¥¬¬ 19.18 ¤ jT j+- áë饮© ¬®¤¥«ìî M ¯®£«®é¥¨¥ ¨ á« ¡®¥ ¯®£«®é¥-
¨¥ íª¢¨¢ «¥âë; ¥á«¨ N ï¥âáï í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ M ¨ tp(a_b=N ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M , ⮣¤ a ¯®£«®é ¥â b ¤ M , ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ® ¥£® ¯®£«®é ¥â ¤ N .
®ª § ⥫ìá⢮. áâ ¥âáï ¯®ïâì ¥âਢ¨ «ì®¥ ¯à ¢«¥¨¥; ¥á«¨ a ¥ ¯®£«®é ¥â b ¤ N , â® ©¤¥âáï c, â ª®©, çâ® a ¨ c ¡ã¤ãâ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨, b ¨ c { § ¢¨á¨¬ë¬¨ ¤ N ; ¯ãáâì A { ¯®¤¬®¦¥á⢮ M ¬®é®á⨠jT j, â ª®¥, çâ® tp(a_b=M ) ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¥®â¢¥â¢«ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï A; ¯ãáâì C { ¯®¤¬®¦¥á⢮ N ¬®é®á⨠jT j, â ª®¥, çâ® tp(c) { ¥¤¨á⢥®¥ ¥®â¢¥â¢«ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï C . á«¥¤á⢨¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï ® áë饮á⨠M , ¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì ¢ ª ç¥á⢥ ¬®¦¥á⢠C 0 ¢ M ⨯ C ¤ A; ¨ ¯¥à¥¢®¤ï â㤠®¯à¥¤¥«¥¨¥ tp(c=C ), ¯®«ãç ¥¬ ª®à⥦ c0 , ¥§ ¢¨á¨¬ë© ®â a ¨ § ¢¨á¨¬ë© ®â b ¤ M .
®á«¥ í⮣® £®¢®à¨¬, ç⮠⨯ p ¬®é¥¥, 祬 q, ¨«¨ D-¬ ¦®à¨àã¥â q, ¢ ®¡®§ 票¨ p D q (D ¤«ï ¯®£«®é¥¨ï), ¥á«¨ ¢®§¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì p ª®à⥦®¬ a ¨ q ª®à⥦®¬ b â ª, çâ® a ¯®£«®é ¥â b ; ¬ë ¢á¥ ᤥ« «¨ ¤«ï ⮣®, ç⮡ë íâ® ¯®ï⨥ á®åà ¨«®áì ¯à¨ á«¥¤®¢ ¨¨ ¨ çâ®¡ë ¤«ï áà ¢¥¨ï ¤¢ãå ⨯®¢ ¡ë«® ¤®áâ â®ç® ¯®¤¨¬ âìáï ¤® ¥ª®â®à®© áë饮© ¬®¤¥«¨. ⬥⨬, çâ® íâ® ¯®ï⨥ âà §¨â¨¢®: ¥á«¨ p ¬ ¦®à¨àã¥â q ¨ q ¬ ¦®à¨àã¥â r , ⮣¤ p ¬ ¦®à¨àã¥â r ; ¤«ï í⮣® ¯®¤¨¬ îâáï ¯® á«¥¤áâ¢ã ¤® ®ç¥ì áë饮© ¬®¤¥«¨, ॠ«¨§ãîâ ⨯ë p, q, r ª®à⥦ ¬¨ a, b ¨ c â ª,
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« ¢ 19
,
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¥¬¬ 19.19
᫨ ⨯ p ¬®é¥¥, 祬 q, â® ¥£® ¢¥á ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢¥ ¢¥áã q , ¥á«¨ p áâண® ¬®é¥¥, 祬 q, â® ¢¥á ⨯ p (¢¥á ⨯ q) + 1. ®ª § ⥫ìá⢮. ®¤¨¬ ¥¬áï ¤® ¤®áâ â®ç® áë饮© ¬®¤¥«¨ M ,
ॠ«¨§ã¥¬ í«¥¬¥â®¬ a ⨯ p , í«¥¬¥â®¬ b ⨯ q â ª, ç⮡ë a ¯®£«®é « b ; ¬®¦® ©â¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì b1; : : : ; bk á ¤«¨®© à ¢®© ¢¥áã tp(b=M ) ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¤ M â ªãî, çâ® b § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ª ¦¤ë© bi («¥¬¬ 19.8) ; ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® i í«¥¬¥âë a ¨ bi § ¢¨á¨¬ë ¤ M .
᫨, ªà®¬¥ ⮣®, b ¥ ¯®£«®é ¥â a, â® ¬®¦® ©â¨ c, § ¢¨áï騩 ®â a ¨ ¥ § ¢¨áï騩 ®â b ¤ M ; ⮣¤ , ¯®¬¥é ¥¬ b1; : : :; bk , ¢ë¡à ëå ª ª ¢ëè¥ â ª, ç⮡ë tp(b1_ : : : _bk =M [ fa; b; cg) ¥ ®âª«®ï«áï ¤ M [ fbg ; ⨯ c ¤ M [ fb; b1; : : : ; bk g ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M [ fbg , ¨ § ç¨â ¨ ¤ M , â ª çâ® c ¨ b1_ : : : _bk ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M . ª ª ª a § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ⨯ ª ¦¤®£® ¨§ ¨å, ¢¥á p à ¢¥ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ k + 1 .
¤¥©á⢨⥫ì®á⨠¤®ª § ® ¡®«ìè¥, 祬 ¢ ãá«®¢¨¨ «¥¬¬ë; ¥á«¨ ¬ë à ¡®â ¥¬ ¢ ®ç¥ì áë饮© ¬®¤¥«¨ M , â® ¥á«¨ a ¯®£«®é ¥â b ¨ ¥á«¨ ¢¥á ª ¦¤®£® ¨§ ⨯®¢ tp(a=M ) ¨ tp(b=M ) ª®¥ç¥ ¨ ®¨ à ¢ë, ⮣¤ b ¯®£«®é ¥â a .
¥¬¬ 19.20 ¢ ⨯ ¢¥á 1 ¨«¨ ®à⮣® «ìë, ¨«¨ D-íª¢¨¢ «¥âë; ⨯ ¢¥á 1 ¬¨¨¬ «¥ ¤«ï ¯®à浪 D , ¨ D-¬¨®à¨àã¥â ª ¦¤ë© ¥ ®à⮣® «ìë© ¥¬ã ⨯.
®ª § ⥫ìá⢮. ë à ᯮ« £ ¥¬áï ¤ ®ç¥ì áë饮© ¬®¤¥«ìî M ; ¯ãáâì p ¨¬¥¥â ¢¥á 1 ¨ ॠ«¨§®¢ í«¥¬¥â®¬ a, ¨ q ॠ«¨§®¢ í«¥¬¥â®¬ b, a ¨ b § ¢¨á¨¬ë ¤ M ; ¥á«¨ ⨯ c ¤ M [fag ®âª«®ï¥âáï ¤ M , ⮣¤ ⨯ c ¤
19.d
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¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¨ ¯®£«®é¥¨¥
M [ fbg ¤®«¦¥ â ª¦¥ ®âª«®ïâìáï ¤ M ; ¨ ç¥, b ¨ c ¡ã¤ãâ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¤ M ¨ a ¡ë § áâ ¢¨« ®âª«®ïâìáï ¨å ®¡¥¨å ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, p ¨¬¥« ¡ë ¢¥á ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¤¢ .
¥¬¬ 19.21 ãáâì M { ¬®¤¥«ì ⥮ਨ T , a ¨ b § ¢¨á¨¬ë ¤ M ; ⮣¤
áãé¥áâ¢ã¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M , â ª®¥, çâ® tp(a=N ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M , b ¥ «¥¦¨â ¢ N ¨ a ¯®£«®é ¥â b ¤ N .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ a ¯®£«®é ¥â b ¤ M , íâ® ¯à¥ªà á®; ¨ ç¥ ¥
®â¢¥â¢«ïïáì ¯®¤¨¬ ¥¬áï ¤® ¤®áâ â®ç® áë饮© ¬®¤¥«¨ M0 ¨ 室¨¬ í«¥¬¥â c1, â ª®©, çâ® a ¨ c1 ¡ã¤ãâ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¤ M0 , b ¨ c1 ¡ã¤ãâ § ¢¨á¨¬ë ¤ M0 . ãáâì ⮣¤ M1 { ¤®áâ â®ç® áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ᮤ¥à¦ é ï M0 ¨ c1 ¨ à ᯮ«®¦¥ ï â ª, ç⮡ë ⨯ a_b ¤ M1 ¥ ®âª«®ï«áï ¤ M0 [ c1 ; ®â¬¥â¨¬, çâ® tp(a=M1) ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ tp(a=M ), tp(b=M1) ®âª«®ï¥âáï ¤ M ; ⨯ a ¤ M1 [ fbg ®âª«®ï¥âáï ¤ M , â ª ª ª 㦥 ⨯ a ¤ M [ fbg ®âª«®ï¥âáï ¤ M ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, a ¨ b § ¢¨á¨¬ë ¤ M1 . â® ¢«¥ç¥â, çâ® b ¥ «¥¦¨â ¢ M1 .
᫨ a ¯®£«®é ¥â b ¤ M1 , â® ®áâ ®¢¨¬áï; ¨ ç¥, ¢®§®¡®¢«ï¥¬ ¯à®æ¥¤ãàã ¢¢®¤ï c2 ¨ M2 , ¨ â.¤. ¯à¥¤¥«ìëå è £ å «¥£ª® ¯à®¤®«¦ âì, ¡¥àï ¯à¥¤¥«ë. ë ¤®«¦ë ®áâ ®¢¨âìáï ¤® ª न « (T ) , â ª ª ª ⨯ b ®âª«®ï¥âáï ª ¦¤®¬ è £¥.
«¥¤á⢨¥ 19.22
᫨ ⨯ë p ¨ q ¥ ®à⮣® «ìë, â® q ¨¬¥¥â ¥à¥ «¨§®¢ ®£® áë , ¬¥¥¥ ¬®é®£®, 祬 á«¥¤¨ª ⨯ p .
®ª § ⥫ìá⢮. â® ¯à®áâ® ¯¥à¥¢®¤ ¢ ¤à㣨¥ â¥à¬¨ë ¯à¥¤ë¤ã饩 «¥¬-
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«¥¤á⢨¥ 19.23
᫨ ⥮à¨ï T á㯥àáâ ¡¨«ì , â® ª ¦¤ë© ¥à¥ «¨§®¢ -
ë© â¨¯ ¤ ¤®áâ â®ç® áë饮© ¬®¤¥«ìî ¬®é¥¥, 祬 ¥ª®â®àë© à¥£ã«ïàë© â¨¯ (¨ ¤ ¦¥ ⨯, ®à⮣® «ìë© ª® ¢á¥¬ ⨯ ¬ á ¬¥ì訬 RU ) .
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì q { ¥à¥ «¨§®¢ ë© â¨¯ ¬¨¨¬ «ì®£® à £ U , ª®â®àë© á« ¡¥¥ 祬 p ; ¯® «¥¬¬¥ 19.22 ¨ ⮬ã, çâ® ¬ë 室¨¬áï ¤ ¤®áâ â®ç® áë饮© ¬®¤¥«ìî M , ¯®§¢®«ïî饩 á¯ãáâ¨âì M ¢á¥, çâ® ¯®«ãç ¥âáï ¢ ¥ª®â®à®¬ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨ M , q ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯ã á® áâண® ¬¥ì訬 à £®¬ RU ; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ® ॣã«ïà¥.
¥®à¥¬ 19.24
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(i) p ¨¬¥¥â ¢¥á 1 , (ii) p D-¬¨¨¬ «¥ ,
390
« ¢ 19
,
(iii) p D-íª¢¨¢ «¥â¥ ¥ª®â®à®¬ã ॣã«ï஬ã ⨯ã, (iv) p D-íª¢¨¢ «¥â¥ ¢®®¡à ¦ ¥¬®¬ã ⨯ã (â.¥. ⨯㠢 á¬ëá«¥ T eq ) à £ U ¢¨¤ ! .
®ª § ⥫ìá⢮. ¦¤®¥ ã⢥ত¥¨¥ ï¥âáï ¥¯®á।áâ¢¥ë¬ á«¥¤-
á⢨¥¬ ⮣®, çâ® ¥¬ã ¯à¥¤è¥áâ¢ã¥â, § ¨áª«î票¥¬ ¯ãªâ (iv). ® 19.15 ⨯ U -à £ ! ॣã«ïà¥; ¤«ï ®¡à ⮣® ã⢥ত¥¨ï, ¬ë à ᯮ« £ ¥¬áï ¢ T eq , ¨ à áᬮâਬ D-¬¨¨¬ «ìë© â¨¯ q ¨ ⨯ p , ¬¨¨¬ «ì®£® à £ U á।¨ ⨯®¢ D-íª¢¨¢ «¥âëå q ; ¯® 19.23 p ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯㠬¥ì襣® U -à £ ; ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ¯®ª § âì, çâ® ¥£® à £ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ! , ¤¢ã¬ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì묨 ¯à¨¬¥¥¨ï¬¨ ¥à ¢¥á⢠᪠à 19.4 , ¥ § ¡ë¢ ï, çâ® ¢ T eq ª ¦¤ë© ⨯ ¨¬¥¥â ª ®¨ç¥áª®¥ ¬®¦¥á⢮ ®¯à¥¤¥«¥¨ï (á¬. 16.d). ।¯®«®¦¨¬, â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ® RU (p) = ! k + ; 0 < < ! ; â ª ª ª ¬ë à áᬠâਢ ¥¬ ¨¬¥® à £ U , p ¨¬¥¥â áë p0 à £ ! k, ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ª®â®à®£® ¬ë ®¡®§ 稬 a0; : : :; an; : : : ; ¯® á㯥àáâ ¡¨«ì®á⨠á।¨© ⨯ í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ ®¤¨¬ ¨§ ᢮¨å ª®¥çëå äà £¬¥â®¢. áᬮâਬ ¨¬¥ì襥 n, â ª®¥, çâ® RU (an =M [ fa0; : : :; an?1g) à ¢¥ ! k ; â ª ª ª p0 ®¯à¥¤¥«¨¬ ¤ M [ fa0; : : :; ang) , ¥£® ª ®¨ç¥áª®¥ ¬®¦¥á⢮ ®¯à¥¤¥«¥¨ï A à 樮 «ì® ¤ í⨬ ¬®¦¥á⢮¬, RU (A=M [ fa0; : : :; ang) = 0.
᫨ ¢ á á¬ãé ¥â ª®à⥦ ¡¥áª®¥ç®© ¤«¨ë, â® ¢ë ¬®¦¥â¥ § ¬¥â¨âì, çâ® ¯® á㯥àáâ ¡¨«ì®á⨠p ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ ª®¥çë¬ ¯®¤¬®¦¥á⢮¬ A, «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥ ª®â®à®£® ¥áâì A. ®£¤ ®æ¥¨¢ ¥¬ U -à £ ¬®¦¥á⢠A_ a0_ : : : _ an ¯®á।á⢮¬ ¥à ¢¥á⢠᪠à : RU (A=M [ fan; : : : ; a0g) RU (an =M [ fan?1; : : :; a0g) RU (a0 =M ) = = 0 ! k (! k + ) RU (A_ an_ : : : _ a0=M ) ;
RU (an=M [ fA; an?1; : : : ; a0g) + + RU (a0=M [ A) + RU (A=M ) = = ! k + + ! k + RU (A=M ) RU (an _ : : : _an_ A=M ) : ª ª ª ¢ ¤¢ãå ç«¥ å ¯®«ã祮£® ¥à ¢¥á⢠£« ¢®© ª®¬¯®¥â®© ï¥âáï ! (k(n + 1)) , â® ¤®«¦® ¡ëâì RU (A=M ) < ! < RU (p) ; íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, â ª ª ª A ᬮ£ § áâ ¢¨âì ®âª«®ïâìáï p , ¯®«ã稢 ¨§ ¥£® p0 . ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® RU (p) = ! k , á k 2 ; à áᬮâਬ íâ®â à § áë p0 ⨯ p à £ U à ¢®£® ! (k ? 1). ¤¥« ¥¬ â® ¦¥ á ¬®¥ ¨ íâ®â à § ¯®«ãç îâáï â ª¨¥ ¥à ¢¥á⢠, ¥á«¨ ¬ë ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ m ¯®á«¥¤¨© ¨¤¥ªá ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨, £¤¥ à £ à ¢¥ ! k : 0 ! (k ? 1) (! (k ? 1) + m+1) ! k ! k
RU (A_ an_ : : : _ a0=M ) ; ! (k ? 1) + + ! (k ? 1) + RU (A=M ) RU (an _ : : : _ a0_ A=M ) ;
19.d
391
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âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ¥à ¢¥á⢮
! (n + 1)(k ? 1) + RU (A=M ) ! ((k ? 1)(n ? m ? 1) + (m + 1)k) + ; íâ® ¬ ¤ ¥â RU (A=M ) ¢ ¢¨¤¥ ! (m + 1) + ; < ! . ® ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® m = 0 , â® ¥áâì çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®âª«®ï¥âáï ç¨ ï á a1 ; ¥á«¨ ¡ë íâ® ¡ë«® ¥ â ª, â® ¬ë ¡ë § ¬¥¨«¨ p ¥£® á«¥¤¨ª®¬ ¤ ¥ª®â®à®© ¬®¤¥«ìî N , ᮤ¥à¦ 饩 M [ fa0; : : :; am?1g ; ¨«¨ ¥é¥, ¬®¦® áç¨â âì ¢á¥ RU ¤ M [fa0; : : : ; am?1g ¢¬¥áâ® M ; ¯®á«¥ í⮣® ¯®«ãç ¥¬ à £ U ¤«ï A áâண® ¬¥ìè¥ à £ p, çâ® ¤ ¥â â® ¦¥ á ¬®¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.
®â ®ç¥ì ¯à®á⮥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ 19.24(iv), ¯®«®áâìî ¥£® ãâ®çïî饥; íâ® ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¢¤®å®¢«ï¥âáï ®¤¨¬ १ã«ìâ ⮬ ⨢¥ ¨ª«¥à 1 . ¥¬¬ .
᫨ RU (p) = ! 1 n1 + + ! k nk á 1 > > k , ⮣¤ p ¥ ®à⮣® «¥ ¥ª®â®à®¬ã (¢®®¡à ¦ ¥¬®¬ã) ⨯ã á U -à £®¬ ! k . ®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® p ⨯ ¤ M . ®£¤ ® ¨¬¥¥â à áè¨à¥¨¥ ¤ ¬®¤¥«ìî M1 á U -à £®¬ ! 1 n1 + + ! k (nk ? 1) , ª®â®à®¥ ॠ«¨§ã¥¬ í«¥¬¥â®¬ a. ãáâì A { ª ®¨ç¥áª®¥ ¬®¦¥á⢮ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ⨯ tp(a=M1 ). ª ª ª A § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ⨯ p , â® ¤®«¦® ¡ëâì RU (A=M ) k ! ¨ ¬ë ©¤¥¬ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M â ª®¥, çâ® RU (A=N ) = ! k . ¨¯ tp(A=M ) ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¨¬¥¥â à £ U , â ª ª ª A { «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥ ª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠¯ à ¬¥â஢. ᯮ«®¦¨¬ N ¨ a ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ®¡à §®¬ ¤ M _ A. ¨¯ a ¤ N _ A ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M _A. ª ª ª ¬®¦¥á⢮ A { ª ®¨ç¥áª®¥ ¤«ï tp(a=N _ A), ¨ ¥ ᮤ¥à¦¨âáï ¢ N , â® tp(a=N _ A) ®âª«®ï¥âáï ¤ N . ® «¥¬¬¥ ® ᨬ¬¥âਨ ᪠à , íâ® ®âª«®¥¨¥ ¤®«¦® ¯®¨§¨âì ¥¤¨¨æã ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ ! k ¢ RU (a), â® ¥áâì RU (a=N ) ! 1 n1 + + ! k nk , ¨ â ª ª ª RU (a=N ) RU (a=M ), â® á ¬®¬ ¤¥«¥ ¨¬¥¥¬ à ¢¥á⢮. ¨¯ tp(a=N ) ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ tp(a=M ) ¨ ¥ ®à⮣® «¥ tp(A=N ).
«ï ¤ ëå ⨯®¢ p1 ; : : :; pn ¤ ¬®¤¥«ìî M §®¢¥¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ íâ¨å ⨯®¢ ⨯ ª®à⥦ a1_ : : : _an , £¤¥ a1; : : :; an ïîâáï ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ॠ«¨§ æ¨ï¬¨ ¤ M , ᮮ⢥âá⢥® p1; : : :; pn ; ¯® ᨬ¬¥âà¨ç®á⨠®âª«®¥¨ï, íâ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ "ª®¬¬ãâ ⨢®", ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ á â®ç®áâìî ¤® Díª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ¨ áá®æ¨ ⨢®.
¥®à¥¬ 19.25 ãáâì T { á㯥àáâ ¡¨«ì ï ⥮à¨ï ¨ M { ¬®¤¥«ì T ; ª ¦¤ë©
⨯ ¨§ Sm (M ) D-íª¢¨¢ «¥â¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ª®¥ç®£® ç¨á« D-¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢, íâ® ç¨á«® à ¢® ¢¥áã ®¡á㦤 ¥¬®£® ⨯ . ஬¥ ⮣®, íâ® à §«®¦¥¨¥ ¥¤¨á⢥® á â®ç®áâìî ¤® ¯¥à¥áâ ®¢ª¨ ᮬ®¦¨â¥«¥©: çâ®¡ë ®¯¨á âì D-¯®à冷ª ⨯®¢ ª®¥çëå ª®à⥦¥© ¤ M , ®¡à §ã¥¬ ¢á¥ ª®¬¬ãâ â¨¢ë¥ ¬®®¬ë ®â áâ®«ìª¨å ¥¨§¢¥áâëå, ᪮«ìª® ¨¬¥¥âáï ª« áᮢ D¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢ ¤ M ¨ ®¡ê塞, çâ® ¬®®¬ ¬¥ìè¥, 祬 ¬®®¬ 0, ¥á«¨ ª ¦¤ ï ç áâ¨ç ï á⥯¥ì ¬¥ìè¥ á®®â¢¥âáâ¢ãî饩 ç áâ¨ç®© á⥯¥¨ 0 . 1
ਬ. ¯¥à¥¢®¤ç¨ª : ¤®¡ ¢«¥® ¨§ Post scriptum äà æã§áª®£® ¨§¤ ¨ï.
392
« ¢ 19
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®ª § ⥫ìá⢮. ¥ «¨§ã¥¬ ⨯ q í«¥¬¥â®¬ b ¨ à áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a1; : : :; ak ¬ ªá¨¬ «ì®© ¤«¨ë ॠ«¨§ãî饩 ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ p1 pk
D-¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢, â ª¨å, çâ® ª ¦¤ë© ai § ¢¨á¨â ®â b ¤ M ; ⮣¤ k ¬ ¦®à¨à®¢ ® ¢¥á®¬ q. ª ª ª ¬ë 室¨¬áï ¤ ¤®áâ â®ç® áë饮© ¬®¤¥«ìî, â® çâ®¡ë ¯à®¢¥à¨âì ¯®£«®é¥¨¥ , ¤®áâ â®ç® ¯®ïâì íâ® ¤«ï D-¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢ (á«¥¤á⢨¥ 19.23); ⮣¤ ¤®ª ¦¥¬, çâ® a1; : : :; an ¯®£«®é ¥â b ¤ M ; ¨ ç¥, ¬ë ¡ë 諨 ak+1 , § ¢¨á¨¬ë© ®â b ¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë© ®â a1_ : : : _ak , á D-¬¨¨¬ «ìë¬ â¨¯®¬ tp(ak+1=M ): íâ® ®¯à®¢¥à£ ¥â ¬ ªá¨¬ «ì®áâì k. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¯® 19.19 k ï¥âáï ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¢¥á®¬ q , ¨ b ¯®£«®é ¥â â ª¦¥ a1_ : : : _ak . ¨¯ q D-íª¢¨¢ «¥â¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î p1 pk . à㯯¨àãï íª¢¨¢ «¥âë¥ pi , ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥¨¥ q ¢ ¢¨¤¥ pn1 1 pnmm , ¨ ®® ¥¤¨á⢥®; ¤¥©á⢨⥫ì®, «¥£ª® ¢¨¤¥âì, ¨á¯®«ì§ãï ¯®¯ àãî ®à⮣® «ì®áâì pi , á®åà ïîéãîáï ¯à¨ á«¥¤®¢ ¨¨, çâ® pni i ï¥âáï ¨¡®«ì襩 á⥯¥ìî pi , ïî饩áï ¡®«¥¥ á« ¡®©, 祬 q. ¯¨á ¨¥ ¯®à浪 ¯®«ãç ¥âáï ⮣¤ ¥¬¥¤«¥®.
®ª ¦¥¬ ª®¥æ ¯®á«¥¤¨© १ã«ìâ â, ¯®ª §ë¢ î騩, çâ® ¯®à冷ª D ¨¬¥¥â ¨¬¥® â® § 票¥, ª®â®à®¥ ¥¬ã ¯à¨¯¨áë¢ ¥âáï:
¥®à¥¬ 19.26 ãáâì M { jT j+- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ⥮ਨ T , p ¨ q { ¤¢ ⨯ ¤ M ; ⮣¤ p ¬®é¥¥, 祬 q, ¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨ ª ¦¤®¥ jT j+- áë饮¥ à áè¨à¥¨¥ M ॠ«¨§ãî饥 p, ॠ«¨§ã¥â â ª¦¥ q .
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬ á ç « , çâ® p ¬®é¥¥, 祬 q; ⮣¤ ॠ«¨§ã¥¬ ¯¥à¢ë© ⨯ í«¥¬¥â®¬ a, ¢â®à®© í«¥¬¥â®¬ b â ª, ç⮡ë a ¯®£«®é « b ¤ M .
᫨ M0 { ®£à ¨ç¥¨¥ M ¬®é®á⨠jT j, â ª®¥, çâ® tp(a_b=M ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M0 , â® a ¯®£«®é ¥â ¨, § ç¨â, á« ¡® ¯®£«®é ¥â b ¤ M0 . ¥¯¥àì, ¥á«¨ N { jT j+- áëé¥ ï ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ é ï M ¨ a, â® ® ॠ«¨§ã¥â ª®à⥦®¬ b0 ⨯ b ¤ M0 [ fbarag. ª ª ª a ¨ M ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M0 , ¨ ¤ í⮩ ¬®¤¥«ìî a ¯®£«®é ¥â b0 , â® b0 ¨ M ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M0 ¨ b0 ॠ«¨§ã¥â ¤ M á«¥¤¨ª tp(b0=M0), â® ¥áâì q. ¡à â®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® q ॠ«¨§ã¥âáï ª®à⥦®¬ b ¢ ¯à®á⮩ jT j+ áë饮© ¬®¤¥«¨ ¤ M ¨ ॠ«¨§ 樥© a ⨯ p; íâ® ®§ ç ¥â, ç⮠⨯ b ¤ M [ fag ï¥âáï jT j+-¨§®«¨à®¢ ë¬, ¯®á।á⢮¬ jT j ä®à¬ã« fi(b; a) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M ; ¤®ª ¦¥¬, çâ® íâ® ¢«¥ç¥â, çâ® a ¯®£«®é ¥â b. ç¥, ¬®¦® ©â¨ c, ¥§ ¢¨á¨¬ë© ®â a ¤ M ¨ 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ä®à¬ã«¥ g(c; b), § áâ ¢«ïî饩 ¥£® ®âª«®ïâìáï, â® ¥áâì ¨§®«¨àãî騩 ®â M . «¥¬¥â c 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ 9y[g(c; y) ^ fi (y; a)]. ãáâì M0 { ¬®¤¥«ì ¬ «¥ìª®© ¬®é®áâ¨, ¯®§¢®«ïîé ï ®¯à¥¤¥«¨âì ⨯ a ¤ M , ¨ c0 { í«¥¬¥â M , ॠ«¨§ãî騩 tp(c=M0) : c0 â ª¦¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ª ¦¤ãî ¨§ íâ¨å ä®à¬ã«; á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬®¦® £¤¥-â® ©â¨ b0, â ª®©, çâ® g(c0; b0) ¨ ¢á¥ fi(b0; a) ¡ã¤ãâ ¨áâ¨ë¬¨. «¥¬¥â b0 ¨¬¥¥â, â ª¨¬ ®¡à §®¬, â®â ¦¥ á ¬ë© â¨¯, çâ® b, ¤ M [ fag, ¨ § ç¨â, ¯®«ãç ¥¬ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ á ⥬, çâ® ¨ª ª®© ª®à⥦ í«¥¬¥â®¢ ¨§ M ¥ ¬®¦¥â 㤮¢«¥â¢®àïâì g(x; b0).
19.e
áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï
393
¡à â¨â¥ ¢¨¬ ¨¥ â®, çâ® ¤ ¦¥ ¥á«¨ è ¬®¤¥«ì M ®ç¥ì áëé¥ , ¥á«¨ a ¯®£«®é ¥â b, ⮣¤ ⨯ b ¤ M [ fag ¥ ®¡ï§ â¥«ì® jT j+-¨§®«¨à®¢ ; íâ® ¯®â®¬ã, çâ® å®âï ¯®ï⨥ ¯®£«®é¥¨ï âà §¨â¨¢®, ¢ â® ¦¥ ¢à¥¬ï ¯®ï⨥ ¨§®«¨à®¢ ®á⨠⠪®¢ë¬ ¥ ï¥âáï: ¥á«¨ b jT j+-¨§®«¨à®¢ ¤ a ¨ c { ¤ b, ⮣¤ c ¥ ®¡ï§ â¥«ì® â ª®¢ ¤ a. â® ¥ ª®ä«¨ªâã¥â á âà §¨â¨¢®áâìî ⮬®áâ¨, ª®â®à ï ã⢥ত ¥â, çâ® ¥á«¨ tp(b=a) ¨§®«¨à®¢ â ª ¦¥, ª ª ¨ tp(c=a_b), ⮣¤ tp(c=a) ¨§®«¨à®¢ . ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ T { ⥮à¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® § ¬ªã⮣® ¯®«ï ã«¥¢®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¨ ¥á«¨ a1 ¨ a2 ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì® âà á楤¥âë ¤ M ¨ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ¯à®¨§¢®¤ãî a, â® ª ¦¤ë© ¯®£«®é ¥â ¤à㣮£®, ¨ ⨯ a ¤ M [ fa1g â ª ¦¥, ª ª ¨ ¤ M [ fa2g, ¨§®«¨à®¢ , â ª ¦¥, ª ª ¨ ⨯ë a1 ¨ a2 ¤ M [ fag. ¯à®â¨¢, ⨯ a1 ¤ M [ fa2g ¥ ¨§®«¨à®¢ , ¨ ¤ ¦¥ ¥ jT j+-¨§®«¨à®¢ ª®£¤ M jT j+- áëé¥ , ¥á«¨ ª®áâ â a1 ? a2 ¥ «¥¦¨â ¢ M .
19.e áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï ¥à ¢¥áâ¢ áª à ¨ ¥£® «¥¬¬ ᨬ¬¥âਨ ¯®ï¢¨«¨áì ¢ [, 1976]; ® â ¬ ¬ ¦®à¨àã¥â ¢¥á á㯥àáâ ¡¨«ì®£® ⨯ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ª®íää¨æ¨¥â®¢ à §«®¦¥¨ï â®à ¥£® à £ U ¨ § ¬¥ï¥â ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ á㬬®© ¢ [, 1984] . ®ïâ¨ï ¢¥á , ॣã«ïà®áâ¨, ®à⮣® «ì®á⨠¨ â.¤. ¯à¨ ¤«¥¦ â ¥« åã [
, 1978]. ¥®à¥¬ 19.13 ® áç¥âëå ¬®¤¥«ïå á㯥àáâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ ¯®ï¢¨« áì ¢ [, 1973], ® ¤ ®¥ §¤¥áì ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ᪠àã; ¥¨§¢¥áâ®, ®áâ ¥âáï «¨ १ã«ìâ â ¢¥àë¬ ¯à¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨ ⮫쪮 áâ ¡¨«ì®áâ¨. ¥§ã«ìâ âë à §¤¥« 19.d â ª¦¥ ¯à¨ ¤«¥¦ â ᪠àã, ª®â®àë© ¢¢¥« ¯®ï⨥ ¯®£«®é¥¨ï (¤®¬¨ 樨) ¨ D-¯®à浪 ¢ [, 1982] , ¨ ¨á¯®«ì§®¢ « ¬¥â®¤ë 19.d ¬®£®ªà â®, ¢ ç áâ®á⨠¤«ï 19.21, 19.24, 19.25 ; ¨§«®¦¥¨¥ ®¤ ª® ã¯à®é¥® ®ç¥ì ¡ëáâàë¬ ¢¢¥¤¥¨¥¬ ¢¥á . ®®¡à ¦ ¥¬ ï å à ªâ¥à¨á⨪ ॣã«ïண® ⨯ 19.24 (iv), ¯®ï¢¨« áì ¢ [, 1984] . ந§¢¥¤¥¨¥ ⨯®¢ ï¥âáï « ᪠஢᪮© ¢¥àᨥ© ᨬ¬¥âà¨ç®á⨠®âª«®¥¨ï.
« ¢ 20 §¬¥à®áâì ¢ ¬®¤¥«ïå â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ In fact, after the appearance of the author's abstract (6), SHELAH informed me that he had been familiar with our theorem for a long time and pointed out the terse statement in (16) where he announces that ... A.H.L.
20.a ®à冷ª 㤨{¥©á«¥à : : : : : : : : : : : 395 20.b ¨¯ë ¨ ⥮ਨ á à §¬¥à®áâﬨ : : : : : 403 20.c « áá¨ä¨ª æ¨ï ¬®¤¥«¥© à §¬¥à®á⮩ ⥮ਨ : : : : : : : : : : : : : : : : 410 20.d DOP : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 416 20.e «ã¡¨ ¨ ®á®¢®© ᪠箪 : : : : : : : : : : 418 20.f áâ®à¨ç¥áª¨¥ ¨ ¡¨¡«¨®£à ä¨ç¥áª¨¥ ¯à¨¬¥ç ¨ï : : : : : : : : : : : : 419 394
20.a
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395
20.a ®à冷ª 㤨{¥©á«¥à áî¤ã ¢ í⮩ £« ¢¥, ᨬ¢®« T ®¡®§ ç ¥â â®â «ì® âà á楤¥âãî ⥮à¨î. ®£¤ íâ® ®£à ¨ç¥¨¥ ᤥ« ® ⮫쪮 «¨èì ¤«ï ⮣®, ç⮡ë ã¯à®áâ¨âì ¦¨§ì, â ª ª ª ¢ë¤¢¨£ ¥¬ë¥ à£ã¬¥âë ç áâ® ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥ ¢ à ¬ª å áâ ¡¨«ì®© ¨«¨ á㯥àáâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ, ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® à áᬠâਢ îâáï ⮫쪮 ¤®áâ â®ç® áëé¥ë¥ ¬®¤¥«¨. ¤à㣨å á«ãç ïå ¯à®â¨¢, è à ¡®â ¥é¥ ¡®«¥¥ ãá«®¦¨âáï. ª ª ª ¬ë ¯à®ï¢«ï¥¬ ¡®«ì讥 ç¥á⮫¥ ¨ ¤®¯ã᪠¥¬ ¤®áâ â®ç® ᨫìãî £¨¯®â¥§ã ® â®â «ì®© âà á楤¥â®áâ¨, â® ¯®¯ëâ ¥¬áï ª« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì ¢á¥ ¬®¤¥«¨ ⥮ਨ T , ª®£¤ íâ® ¢®§¬®¦®, ¥ ⮫쪮 ⥠ª®â®àë¥ ¤®áâ â®ç® áëé¥ë. ।á⢠, ª®â®àë¥ ¬ ¡ã¤ãâ á«ã¦¨âì ¤«ï à¥è¥¨ï í⮩ § ¤ ç¨, ¥ ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢á¥£¤ â ª®¥ ¯à®á⮥ ¯®¢¥¤¥¨¥, çâ® ¬®¦® ¡ë«® ¤¥ïâìáï. ¨¯¨çë© á«ãç © å®à®è¥£® ¯®¢¥¤¥¨ï, í⮠⥮६ ® à §«®¦¥¨¨ ॣã«ïàë¥ â¨¯ë 19.25 ®â®á¨â¥«ì® D-¯®à浪 ; ⥮६ 19.26 ïá® ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® íâ®â ¯®à冷ª ¨¬¥î騩 â ª¨¥ ¯à¥¢®áå®¤ë¥ á¢®©á⢠, ï¥âáï ¤¥ª¢ âë¬ á।á⢮¬ ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ¨«¨ ¨§ã票ï, ¤®áâ â®ç® áëé¥ëå ¬®¤¥«¥©, ¨¬¥® @" - áëé¥ëå, â® ¥áâì !- áëé¥ëå ¬®¤¥«¥© ¢ â®â «ì® âà á楤¥â®¬ á«ãç ¥. ¢®¤¨¬ ⥯¥àì ¯®à冷ª R ¥é¥ §ë¢ ¥¬ë© ¯®à浪®¬ RK , ïî騩áï «®£®¬ ¯®à浪 D ¯à¨ ®âáãâá⢨¨ áë饮á⨠äãªæ¨®¨àãî騩 ¤«ï ¢á¥å ¬®¤¥«¥©, ¨ ª®â®àë© ¥£® ¤®áâ â®ç® ¯®å®¦ ¨, ⥬ ¥ ¬¥¥¥, ¥ ï¥âáï ¥¬ã ¨¤¥â¨çë¬. ª ¦¥ ª ª D-¯®à冷ª á㯥àáâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ, ¯®áâà®¥ë© à¥£ã«ïàëå ⨯ å, íâ®â ¯®à冷ª R áâநâáï á¨«ì® à¥£ã«ïàëå ⨯ å, ª®â®àë¥ áãé¥áâ¢ãîâ ¢ ᨫã â®â «ì®© âà á楤¥â®áâ¨. ® ¤® ᪠§ âì, çâ® ¥£® ¯®«®¦¥¨¥ ᮢᥬ ¥ ¡ã¤¥â â ª¨¬ ¦¥ å®à®è¨¬. ®¡ ¢¨¬ á á ¬®£® ç « , ç⮡ë ç¨â ⥫ì íª®®¬ï騩 ᢮¨ á¨«ë ¨ 室ï騩 ¨§«®¦¥¨¥ í⮣® ¯ à £à ä â ª¦¥ ª ª ¨ ¯ à £à ä 19.d, ¥¬®£® ¡¥áá¬ëá«¥ë¬, ¬®¦¥â ¨å ç¨â âì ¯à®áâ® ¯® ¤¨ £® «¨, á®á।®â®ç¨¢ ᢮¥ ¢¨¬ ¨¥ á¨«ì® à¥£ã«ïàëå ⨯ å: ¨¬¥® ®¨ ¯®«¥§ë ¢ ª®áâàãªæ¨ïå ª á îé¨åáï ª« áá¨ä¨ª 樨 ¬®¤¥«¥©. í⮬ ¯ à £à ä¥, à áᬮâਬ ¢ ®á®¢®¬ ¯®«ë¥ â¨¯ë ¤ ¬®¤¥«ï¬¨ T .
᫨ p ¢ Sn (M ) ¨ q ¢ Sm(M ) , ⮠᪠¦¥¬, çâ® p ¢ëè¥ q ®â®á¨â¥«ì® ¯®à浪 R (ᨬ¢®« R ®§ ç ¥â "ॠ«¨§ 樨") ¤ M , ¢ ®¡®§ 票¨ p R q , ¥á«¨ ª ¦¤®¥ í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M , ॠ«¨§ãî饥 p ॠ«¨§ã¥â q . ¢¨¤ã áãé¥á⢮¢ ¨ï ¤«ï ¢á¥å a ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ M (a) ¤ M [ f g íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¢®§¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì p ª®à⥦®¬ a ¨ q ª®à⥦®¬ b â ª, ç⮡ë ⨯ b ¤ M ( ) ¡ë« ¨§®«¨à®¢ . á®, çâ® ¬ë ¨¬¥¥¬ ¤¥«® á ç áâ¨çë¬ ¯®à浪®¬ ¨«¨ â®ç¥¥, ¯à¥¤¯®à浪®¬.
᫨ p R q ¨ q R p , ⮠᪠¦¥¬, çâ® p ¨ q R-íª¢¨¢ «¥âë. ¥ª®â®àë¥ §ë¢ îâ ¯®à冷ª R ¯®à浪®¬ 㤨 -¥©á«¥à . ª íâ® ¤¥« «®áì ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 £« ¢¥, ¨áª«îç ¥¬ ॠ«¨§®¢ ë¥ â¨¯ë ¨§ ®¡á㦤¥¨ï (¢ ç áâ®áâ¨, ª®£¤ £®¢®à¨¬ ® R-¬¨¨¬ «ìëå ⨯ å) . ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®à冷ª R , ®¯à¥¤¥«¥ë© ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T ; ª®£¤ ¬®¤¥«ì ¨§¬¥ï¥âáï, ¯®ï¢«ïî騥áï à §«¨çë¥ ¯®à浪¨ R ¥ ¡¥§ ¢§ ¨¬®á¢ï§¨ ¬¥¦¤ã ¨¬¨, â ª ª ª à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ᢮©á⢠¯¥à¥¤ îâáï ¯® á«¥¤¨î, ª ª íâ® ¡ã¤¥â ãáâ ®¢«¥® ¯®§¤¥¥. ¯à¨ïâ묨 á®-
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« ¢ 20
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᫨ ¤®¡ ¢¨âì ª M ®¢ë© ª« áá â ª, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì !- áëé¥ãî ¬®¤¥«ì, â® ¤® ¡ã¤¥â à ᯮ«®¦¨âì ®¡ï§ â¥«ì® ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® ª®¯¨© Z ¢ í⮬ ª« áá¥. ç¨â p ¨ q D-íª¢¨¢ «¥âë. ¥çì ¨¤¥â ® ¤¢ãå ⨯ å ¢¥á 1 , ª®â®àë¥ ¤ ¦¥ ॣã«ïàë RU (p) = 1; RU (q) = 2 . ¯à®â¨¢, ¤ ¦¥ ¥á«¨ M ®ç¥ì áëé¥ , p ¬¨®à¨àã¥â q áâண® ®â®á¨â¥«ì® ¯®à浪 R , â ª ª ª çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì «î¡ãî ¬®¤¥«ì T ॠ«¨§ãîéãî p ¬®¦® ¤®¡ ¢¨âì ª« áá, ᮤ¥à¦ 騩 ⮫쪮 ¥¤¨á⢥ãî ª®¯¨î Z .
¥¬¬ 20.1 ãáâì N í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ ¬®¤¥«¨ M , p ¨ q ¤¢ ⨯ ¤ M ¨ p0 ; q 0 ¨å ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á«¥¤¨ª¨ ¤ N . ®£¤ , ¥á«¨ p R q , â® p0 R q 0 . ¡à ⮥ ã⢥ত¥¨¥ ¨á⨮, ¥á«¨ M ! - áëé¥ . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì a ॠ«¨§ã¥â p ¨ p0 , b ॠ«¨§ã¥â q . ¨¯ b ¤ M [ f g ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© f (x; a; c) , £¤¥ c ¨§ M ; ï ã⢥ত î, çâ® íâ
ä®à¬ã« ¨§®«¨àã¥â â ª¦¥ ¥ª®â®àë© â¨¯ ¤ N , ª®â®àë© ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 á«¥¤¨ª®¬ q0 ⨯ q (¢®§ì¬¨â¥ ¥®âª«®ïî騩áï b ) . ç¥, ¬®¦® ¡ë«® ©â¨ d ¢ N , ¨ ä®à¬ã«ã g(x; a; d) â ª¨¥, çâ® g(x; a; d) ^ f (x; a; c) â ª¦¥ ª ª ¨ :g(x; a; d) ^ f (x; a; c) ¡ë«¨ ®¡¥ ᮢ¬¥áâ묨, ¨ ç¥ £®¢®àï p0 ` 9y[f (y; x; c) ^ g(y; x; d)] ^ 9z[f (z; x; c) ^ :g(z; x; d)] ; ª ª ª p0 ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p , â® ¬®¦® ©â¨ ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠d1 ¢ M â ª®©, ç⮡ë íâ® ¡ë«® â ª¦¥ ¨á⨮ ª®£¤ d § ¬¥ï¥âáï d1 , çâ® ®¯à®¢¥à£ ¥â ¨§®«¨àãî饥 ᢮©á⢮ f (x; a; c) . «ï ®¡à ⮣® ã⢥ত¥¨ï, ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì N !- áë饮©. áᬮâਬ í«¥¬¥â a ॠ«¨§ãî騩 p0 ¨ b ॠ«¨§ãî騩 q , ⨯ b ¤ N [ fag ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© f (x; a; c0) . ë § ¥¬, çâ® p ¨ q ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¤ ª®¥ç묨 ¯®¤¬®¦¥á⢠¬¨ A ¨ B ¬®¤¥«¨ M ; â ª ª ª íâ ¯®á«¥¤ïï !- áëé¥ , â® ¬®¦® ©â¨ c ¢ M ॠ«¨§ãî騩 ¤ A [ B â®â ¦¥ ⨯, çâ® ¨ c ; ⮣¤ ïá®, çâ® f (x; a; c) ¨§®«¨àã¥â ⨯ ¤ M [ fag , ®£à ¨ç¥¨¥ ª®â®à®£® M ¥áâì q .
20.a
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®à冷ª 㤨{¥©á«¥à
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¥¬¬ 20.2 ãáâì M ¬®¤¥«ì ⥮ਨ T .
᫨ ⨯ b ¤ M [fag ¨§®«¨à®¢ ,
⮣¤ a á« ¡® ¯®£«®é ¥â b ¤ M (¥á«¨ b ¨ c ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M , â® a ¨ c â ª¦¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ ¨¬) . ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì c § ¢¨á¨â ®â b ¤ M , ⮣¤ ©¤¥âáï ä®à¬ã« f (x; b) á ¤®¯®«¨â¥«ì묨 ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M , ª®â®à ï ¨§®«¨àã¥â c ®â í«¥¬¥â®¢ M . ãáâì g(y; a) ä®à¬ã« ¨§®«¨àãî騩 ⨯ b ¤ M [ fag. ¨¯ c ¤ M [ fag 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ 9y[f (x; y) ^ g(y; a)] .
᫨ ® ¥ ®âª«®ï¥âáï, â® íâ ä®à¬ã« ¡ã¤¥â ¢ë¯®«¨¬ ¢ M ¨ ¬®¦® ¡ë«® ©â¨ c ¢ M ¨ £¤¥-â® b0 â ª¨¥, çâ® ä®à¬ã« f (c0; b0) ^ g(b0; a) ¡ë« ¨á⨮©. ª ª ª b ¨ b0 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M [ f g , â® ä®à¬ã« f (c0; b) â ª¦¥ ¨á⨠. â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® f (x; b) ¥ ¢ë¯®«¨¬ ¢ M .
⬥⨬ á«¥¤ãî騩 ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ¥¬®£® áâà ë© ä ªâ : ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® tp(a_b=N ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M ¨ tp(a=N [fbg) ¨§®«¨à®¢ , ⮣¤ tp(b=N [fag) â ª¦¥ ¨§®«¨à®¢ ¨ ¥á«¨ a á« ¡® ¯®£«®é ¥â b ¤ N , â® ® ¥£® ¯®£«®é ¥â â ª¦¥ ¤ M . ¥©áâ¢¨â¥«ì® ¨§-§ 20.1, ¨¬¥¥âáï ᨫ쮥 ¯®£«®é¥¨¥ ¯à¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå «¥¬¬ë 20.2.
«¥¤á⢨¥ 20.3
᫨ ⨯ p ¬ ¦®à¨àã¥â ⨯ q ¢ ¯®à浪¥ R , â® ® ¥£® ¬ ¦®à¨àã¥â â ª¦¥ ®â®á¨â¥«ì® ¯®à浪 D .
®ª § ⥫ìá⢮. ®¤¨¬ ¥¬áï ¤® ¤®áâ â®ç® áë饮© ¬®¤¥«¨ ¯®
20.1, § ⥬ ¨á¯®«ì§ã¥¬ 20.2.
«¥¤á⢨¥ 20.4
᫨ ⨯ë p ¨ q (á« ¡®) ®à⮣® «ìë, â® ®¨ ¥ ¨¬¥îâ
®¡é¨å R-¬¨®à â.
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ p ¨ q ¨¬¥îâ ®¡éãî R-¬¨®à âã (¥ ॠ«¨§®¢ ãî!) , â® ¬®¦® ¨å ॠ«¨§®¢ âì ª®à⥦ ¬¨ a ¨ b â ª, ç⮡ë áãé¥á⢮¢ « í«¥¬¥â c , ⨯ ª®â®à®£® ¤ M [ fag â ª ¦¥ ª ª ¨ ¤ M [ fbg ¨§®«¨à®¢ . ®£¤ a ¯®£«®é ¥â c ¤ M ¨ â ª ª ª b ¨ c § ¢¨á¨¬ë, â® a ¨ b â ª¦¥ § ¢¨á¨¬ë.
«¥¤á⢨¥ 20.5
᫨ p R q ¨ p (á« ¡®) ®à⮣® «¥ r , ⮣¤ r ¨ q
(á« ¡®) ®à⮣® «ìë; (á« ¡ ï) ®à⮣® «ì®áâì ¨¢ ਠ⠮â®á¨â¥«ì® D-íª¢¨¢ «¥â®áâ¨. ®ª § ⥫ìá⢮. ¥ «¨§ã¥¬ ⨯ p ª®à⥦®¬ a ¨ q ª®à⥦®¬ b â ª, ç⮡ë ⨯ b ¤ M [ fag ¡ë« ¨§®«¨à®¢ ë¬ ; ¨ª ª ï ॠ«¨§ æ¨ï c ⨯ r ¥ ¬®¦¥â ®âª«®ïâìáï ¨§-§ a , â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥ ¬®¦¥â ®âª«®ïâìáï â ª¦¥ ¨§§ b . ª ª ª a ¯®£«®é ¥â b , â® íâ® ¤ ¥â १ã«ìâ âë ®â®á¨â¥«ì® á« ¡®© ®à⮣® «ì®áâ¨, ¤«ï ¢ ਠâ á ᨫ쮩 ®à⮣® «ì®áâìî ¨á¯®«ì§ã¥¬ 20.1.
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« ¢ 20
«¥¤á⢨¥ 20.6
᫨ a ¨ b ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M , ¨ ¬®¤¥«¨ N1; N2 ⮬ë ᮮ⢥âá⢥® ¤ M [ fag ¨ ¤ M [ fbg , ⮣¤ ®¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M , ¢ ç áâ®á⨠N1 \ N2 = M . ®ª § ⥫ìá⢮. ® 20.2 , N1 ¨ b ¥§ ¢¨á¨¬ë, § ⥬ â ª¦¥ N1 ¨ N2 ¥§ ¢¨á¨¬ë . «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¢â®à®£® ã⢥ত¥¨ï ¬®¦® § ¬¥â¨âì, çâ® ¥á«¨ c ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â M , â® tà(á=M [ fcg) ®âª«®ï¥âáï ¤ M !
«¥¤á⢨¥ 20.7 ãáâì a0; : : : ; a ; : : : ¥§ ¢¨á¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ M ¨ fM g ¢®§à áâ îé ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®¤¥«¥©, ¯®áâ஥ ï â ª, çâ® : { M0 = M , ¨ ¤«ï ¯à¥¤¥«ì®£® M = [ < M { M +1 ¯à®áâ ¤ M [ fa g . ®£¤ ¤«ï ª ¦¤®£® ¬®¤¥«ì M ¯à®áâ ¤ M [ fa0; : : : ; a ; : : : g < . ®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç® ¢«®¦¨âì ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® ª ¦¤ãî ¬®¤¥«ì M ; , ¢ ¬®¤¥«ì N ¯à®áâãî ¤ M [fa0; : : :; a ; : : : g < . ¯à¥¤¥«ìëå
íâ ¯ å, íâ® ¯à®¨á室¨â á ¬® ᮡ®© ¨ ª ª ⮫쪮 ¢«®¦¨« áì M , § ¬¥â¨¬, ç⮠⨯ a ¤ M ï¥âáï ®¡ï§ â¥«ì® á«¥¤¨ª®¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï M . «¥¤®¢ â¥«ì® ¯®¤¬®¤¥«ì N , ª®â®à ï ¯à®áâ ¤ M [ fa g ®¡ï§ â¥«ì® ¨§®¬®àä M +1 .
«¥ìª¨© ª®¬¬¥â ਩ ª á«¥¤á⢨î 20.7 : ¥á«¨ ¢§ïâì á ç « ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì M1 ¤ M [ fag , § ⥬ ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì M2 ¤ M1 [ fbg , â® ¯®«ã稬 ¬®¤¥«ì ¢ª« ¤ë¢ îéãîáï ¨ â ª¨¬ ®¡à §®¬, M -¨§®¬®àäãî ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ N ¤ M [fa; bg . ஡«¥¬ ¢ ⮬, çâ® íâ ª®áâàãªæ¨ï ¥ ¨¬¥¥â ¨ç¥£® ª ®¨ç¥áª®£®, áãé¥áâ¢ã¥â ¬®£® ᯮᮡ®¢ ¢«®¦¥¨© M1 ¢ N ¨ ¥ ¢á¥£¤ ¯®«ãç ¥¬ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ b ¤ M1 . ¯à®â¨¢, ª ®¨ç¥áª ï ¥á«¨ a ¨ b ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M . ¯®¬¨¬ ⥯¥àì ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯®ïâ¨ï ⨯ p ¨§ Sn (M ) , ®à⮣® «ì®£® ä®à¬ã«¥ f (x; b) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ b ¨§ M : p ®à⮣® «¥ f ¥á«¨, ¢ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ M (a) ¤ M [ fag , £¤¥ a ॠ«¨§ã¥â p , ¢á¥ ª®à⥦¨ 㤮¢«¥â¢®àï騥 f (x; b) ¯à¨ ¤«¥¦ â M . ª ¯®ª § ® ¢ 18.12 í⮠᢮©á⢮ ¯¥à¥¤ ¥âáï ¯® á«¥¤áâ¢ã. ® ¯à ¢¤¥ £®¢®àï, íâ® à §®¡à ® ⮫쪮 ¤«ï 1-⨯®¢ ¨ ä®à¬ã« á ®¤®© ¯¥à¥¬¥®©, ç⮠ï¥âáï ®¡ëç® ¢ ¦¥©è¨¬ á«ãç ¥¬ ¨ ¯à®á⮩ ¨£à®© § ¯¨á¨ ä®à¬ã« ¯¥à¥¢®¤¨âáï ®¡é¨© á«ãç ©.
¥¬¬ 20.8 ¨¯ p ®à⮣® «¥ ä®à¬ã«¥ f (x; a) ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ® ®à⮣® «¥ ¢á¥¬ ¥ ॠ«¨§®¢ ë¬ â¨¯ ¬ q ¨§ Sm (M ) , ᮤ¥à¦ 騬 íâã ä®à¬ã«ã.
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® p ®à⮣® «¥ f , ॠ«¨§ã¥¬ ¥£® ª®à-
⥦®¬ a , ¨ ª®à⥦®¬ b ॠ«¨§ã¥¬ ⨯ q ᮤ¥à¦ 騩 ä®à¬ã«ã f .
᫨ g(x; c) ï¥âáï ä®à¬ã«®© ⨯ b ¤ M (a) , â® ¬®¦® ©â¨ ¢ M (a) ª®à⥦ 㤮¢«¥â¢®àïî騩 g(x; c) ^ f (x) . ª®© ª®à⥦ «¥¦¨â ®¡ï§ â¥«ì® ¢ M ¨ ⨯ b ¤
20.a
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®à冷ª 㤨{¥©á«¥à
M (a) ª® á«¥¤ã¥â ᢮¥ ®£à ¨ç¥¨¥ M . â® ¤ ¥â á« ¡ãî ®à⮣® «ì®áâì p ¨ q , â ª¦¥ ¨å ᨫìãî ®à⮣® «ì®áâì, â ª ª ª á«¥¤¨ª p ®áâ ¥âáï ®à⮣® «ìë¬ ª f .
᫨, ®¡à â®, p ¥ ®à⮣® «¥ f , â® ® R-¬ ¦®à¨àã¥â ¥ ॠ«¨§®¢ ë© â¨¯ 㤮¢«¥â¢®àïî騩 f ¨ ¥¬ã ¥ ®à⮣® «¥.
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¥¬¬ 20.10 ãáâì N í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M ¨ f ä®à¬ã« á ¯ à ¬¥-
âà ¬¨ ¨§ M , p ⨯ ¤ M ¨ p0 ¥£® á«¥¤¨ª ¤ N . ®£¤ p ï¥âáï f -ॣã«ïàë¬ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ p0 ï¥âáï f -ॣã«ïàë¬. ®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬ p ¥ f -ॣã«ïà¥, ⮣¤ ©¤¥âáï í«¥¬¥â ¨§ M (a) ¥ «¥¦ 騩 ¢ M , ⨯ ª®â®à®£® ¤ M ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© g(x; a; b) â ª®©, çâ® g ¢«¥ç¥â f ¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¢ á p . «¥¤®¢ â¥«ì® ©¤¥âáï ä®à¬ã« h â ª ï, çâ® p ` 9y[g(y; x; b) ^ f (y) ^ h(x; b) ^ :h(y; b)] ; ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¥ áãé¥áâ¢ã¥â c ¨§ M â ª®£®, çâ® p ` g(c; x; b) . â á¨âã æ¨ï ¯¥à¥®á¨âáï ¯® ¢ë¯®«¨¬®á⨠ª®à⥦®¬ b ¥ª®â®à®© ä®à¬ã«ë ¬®¤¥«¨ (M; dp) , ¨á¯®«ì§ãî騩 ª ª ¯ à ¬¥âàë â¥, ª®â®àë¥ ¢å®¤ïâ ¢ f .
¤¨¬ ¨§ á«¥¤á⢨© «¥¬¬ë 20.10 ï¥âáï â®, çâ® á¨«ì® à¥£ã«ïàë© â¨¯ ॣã«ïà¥.
400
« ¢ 20
।«®¦¥¨¥ 20.11 á直© f -ॣã«ïàë© â¨¯ R-¬¨¨¬ «¥ ¨ R-¬¨®à¨àã¥â
ª ¦¤ë© ⨯ ¥ á« ¡® ®à⮣® «ìë© ¥¬ã. ¦¤ë© ⨯ ¬ ¦®à¨àã¥â ®â®á¨â¥«ì® ¯®à浪 R ¥ª®â®àë© á¨«ì® à¥£ã«ïàë© â¨¯, R-¬¨¨¬ «ì묨 ïîâáï ⨯ë D-íª¢¨¢ «¥âë¥ ¥ª®â®à®¬ã f -ॣã«ï஬㠨 ¤ ¦¥ ⨯ã, ª®â®àë© ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯ã áâண® ¬¥ì襣® à £ ®à«¨.
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ⨯ p ï¥âáï f -ॣã«ïàë¬, q ¬¥ìè¥ p ®â®á¨â¥«ì® ¯®à浪 R , ¨«¨ ¤ ¦¥ ⮫쪮 ¥ ®à⮣® «¥ p .
᫨ ॠ«¨§®¢ âì q í«¥¬¥â®¬ b § ¢¨á¨¬ë¬ ®â a , â® ¬ë ã⢥ত ¥¬, çâ® p ¤®«¦¥ ¡ëâì ॠ«¨§®¢ ¢ M (b) . ãáâì, ¤¥©á⢨⥫ì®, F ¬®¦¥á⢮ í«¥¬¥â®¢ M (b) , 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å f . ª ¨§¢¥á⮠⨯ a ¤ M (b) ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¥®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï M [ F , ª®â®à®¥ ⮣¤ ®âª«®ï¥âáï ¤ M . ª ª ª p á¨«ì® ®à⮣® «¥ «î¡®¬ã ¤à㣮¬ã ⨯ã 㤮¢«¥â¢®àïî饬ã f , â® F ®¡ï§ â¥«ì® á®¤¥à¦¨â ॠ«¨§ æ¨î p . ãáâì ⥯¥àì p ¯à®¨§¢®«ìë© â¨¯ ¨ à áᬮâਬ í«¥¬¥â b ¨§ M (a) ? M ¨¬¥î騩 ¤ M ⨯ ¬¨¨¬ «ì®£® à £ ®à«¨. ®à¬ã« g á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M ¨¬¥îé ï à £ ®à«¨ áâண® ¬¥ìè¥, 祬 à £ ⨯ q ª®à⥦ b ¤ M ¥ ¬®¦¥â à á⨠¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â M ª M (b) , ª®â®à ï ¢å®¤¨â ¢ M (a) . ¨¯ q ®à⮣® «¥ g ¨ § ç¨â q ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯ã áâண® ¬¥ì襣® à £ ®à«¨. f -ॣã«ïॠ¤«ï ¢á类© ä®à¬ã«ë f , ¨§®«¨àãî饩 ¥£® ®â ⨯®¢ ⮣® ¦¥ à £ ®à«¨.
।«®¦¥¨¥ 20.12 î¡ë¥ ¤¢ R-¬¨¨¬ «ìëå ⨯ p ¨ q «¨¡® ®à⮣®-
«ìë «¨¡® R-íª¢¨¢ «¥âë. «ï ¤¢ãå â ª¨å ⨯®¢ á« ¡ ï ®à⮣® «ì®áâì â ª ¦¥, ª ª ¨ R-íª¢¨¢ «¥â®áâì ¯¥à¥¤ ¥âáï ¯® á«¥¤áâ¢ã.
®ª § ⥫ìá⢮. 롥६ ⨯ p1 R-íª¢¨¢ «¥âë© p ¨ q1 R-íª¢¨¢ «¥âë© q , ®¡ ¬¨¨¬ «ì®£® à £ ®à«¨. ¦¤ë© ¨§ ¨å ®à⮣® «¥ «î¡®¬ã ⨯ã á ¬¥ì訬 RM , ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à¨¬¥à, çâ® RM (p1 ) RM (q1 ) ¨ ¯ãáâì f ä®à¬ã« ¨§®«¨àãîé ï q1 ®â ⨯®¢ ⮣® ¦¥ à £ ®à«¨.
᫨ p1 ¨ q1 ¥ á« ¡® ®à⮣® «ìë, â® ¯à¨ ॠ«¨§ 樨 p1 § áâ ¢«ï¥â à á⨠f ¨ ® ¬®¦¥â í⮠ᤥ« âì ⮫쪮 ¤®¡ ¢«ïï ॠ«¨§ æ¨î q , § ç¨â p ¨ q R-íª¢¨¢ «¥âë. ®£« á® á«¥¤á⢨î 20.5 ⨯ë p1 ¨ q1 á« ¡® ®à⮣® «ìë ⮫쪮 ¥á«¨ â ª®¢ë p ¨ q ¨ íâ® ¯à®¨á室¨â ⮫쪮 ¥á«¨ p ®à⮣® «¥ f , ç⮠ï¥âáï ᢮©á⢮¬ ¯¥à¥¤ ¢ ¥¬ë¬ ¯® á«¥¤áâ¢ã.
¥¬¬ 20.13 (¨««í©)
᫨ ⨯ p = tp(a=M ) ï¥âáï f -ॣã«ïàë¬, b 62 M ¨ tp(b=M [ fag) ¨§®«¨à®¢ , â® tp(a=M [ fbg) ¨§®«¨à®¢ . ®ª § ⥫ìá⢮. á®, çâ® tp(b=M [ fag) ®âª«®ï¥âáï ¤ M . ®£¤ ¯ãáâì g(x; b) ä®à¬ã« ¨§®«¨àãîé ï a ®â í«¥¬¥â®¢ M . ®©¬¥¬, çâ® «î¡®© í«¥¬¥â 㤮¢«¥â¢®àïî騩 í⮩ ä®à¬ã«¥ ¨¬¥¥â ¤ M ⨯ p .
᫨ íâ® ¥ â ª, â® ¬®¦® ©â¨ ä®à¬ã«ã h(x) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M â ªãî, çâ® p ` h(x) ¨ 9x[h(x) ^ g(x; b)] ¡ë« ¨á⨠. ç¨â ¬®¦® ¡ë«® ©â¨ â ª®© x ¢ M (b) . ® íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® å®âï M (b) ¢å®¤¨â ¢ M (a) , ¢á¥ í«¥¬¥âë M (b) 㤮¢«¥â¢®àïî騥 g ¨ ¥ «¥¦ 騥 ¢ M ¨¬¥îâ ⨯ p .
20.a
401
®à冷ª 㤨{¥©á«¥à
íâ¨å ãá«®¢¨ïå ä®à¬ã« g(x; b) ^ k(x; b) , £¤¥ ä®à¬ã« k(a; y) ¨§®«¨àã¥â ⨯ b ¤ M (a) , ¨§®«¨àã¥â ⨯ a ¤ M [ fbg . ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ a0 㤮¢«¥â¢®àï¥â í⮩ ä®à¬ã«¥, â® a0 ¨ a ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M ¨ ¯®í⮬ã a0_b ¨ a_b ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M .
«¥¤á⢨¥ 20.14
᫨ ⨯ tp(a=M ) ï¥âáï R-¬¨¨¬ «ìë¬, â® ¬®¤¥«ì N ¨§®¬®àä M (a) ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ¢á¥ ¬®¤¥«¨ N 0 6= M â ª¨¥, çâ® M N 0 N ¡ã¤ãâ M -¨§®¬®àä묨 N . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ N ¨¬¥¥â 㪠§ ®¥ ᢮©á⢮, â® à áᬮâਬ í«¥¬¥â a ¨§ N ? M ¨¬¥î騩 ¬¨¨¬ «ìë© à £ ®à«¨ ¤ M . ®£¤ tp(a=M )
á¨«ì® à¥£ã«ïॠ¨ N ¨§®¬®àä M (a) . «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠®¡à ⮣® ã⢥ত¥¨ï á ç « ®â¬¥â¨¬, çâ® M (a) ¥ ᮤ¥à¦¨â ¥áç¥âãî ¥à §«¨ç¨¬ãî ¤ M ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì b0; : : : ; b ; : : : ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ç¨ ï á ¥ª®â®à®£® ç¨á« n ¯®¤¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì bn+1; : : :; b ; : : : áâ « ¡ë ¬®à«¨¥¢áª®© ¤ M [ fa; b0; : : :; bng . â® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® ¬®¤¥«ì M (a) ¡ã¤ãç¨ ¯à®á⮩ â ª¦¥ ¤ í⨬ ¬®¦¥á⢮¬ ¥ ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì ¥áç¥âãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥à §«¨ç¨¬ãî ¤ í⨬ ¯®á«¥¤¨¬ («¥¬¬ 18.3) . ãáâì ⮣¤ í«¥¬¥â b «¥¦¨â ¢ N ? N 0 , ¯® «¥¬¬¥ ¨««íï N , â ª¦¥ N 0 ïîâáï ⮬묨 ¤ M [ fbg . ª ª ª ®¨ ¥ ᮤ¥à¦ â ¥áç¥âãî ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤ M [ fbg íâ® ¤¢¥ ª®¯¨¨ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤ M [ fbg .
«¥¤á⢨¥ 20.15
᫨ ⨯ë tp(a=M ) ¨ tp(b=M ) ïîâáï R-¬¨¨¬ «ì묨,
â® ®¨ R-íª¢¨¢ «¥âë ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ¬®¤¥«¨ M (a) ¨ Mb M -¨§®¬®àäë.
®ª § ⥫ìá⢮. ®¤¥«¨ M (a) ¨ M (b) ¢ª« ¤ë¢ îâáï ®¤ ¢ ¤àã£ãî, á«¥¤®¢ â¥«ì® § ª«î票¥ á«¥¤ã¥â ¨§ 20.14 .
¥¨§¢¥áâ® ®áâ ¥âáï «¨ á«¥¤á⢨¥ 20.15 ¢¥àë¬ ¡¥§ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï R-¬¨¨¬ «ì®á⨠⨯®¢.
«¥¤á⢨¥ 20.16 ãáâì N í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ ¬®¤¥«¨ M , p ⨯ ¤
M ¨ p0 ¥£® á«¥¤¨ª ¤ N . ®£¤ p R-¬¨¨¬ «¥ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ â ª®¢ë¬ ï¥âáï p0 .
®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ⨯ p R-¬¨¨¬ «¥, â® ® R-íª¢¨¢ «¥â¥ ᨫì-
® ॣã«ï஬ã ⨯㠨 í⮠᢮©á⢮ á®åà ï¥âáï ¯® á«¥¤áâ¢ã.
᫨ ⨯ p0 R-¬¨¨¬ «ìë©, ⮠ॠ«¨§ã¥¬ ¥£® í«¥¬¥â®¬ a . ®¤¥«ì N (a) ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î M (a) ¨ ¯® 20.2 , tp(M (a)=N ) á«¥¤ã¥â ᢮¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¤ M . ®§ì¬¥¬ «î¡®© í«¥¬¥â b ¨§ M (a) ? M , â ª ª ª ¥£® ⨯ ¥ ®âª«®ï¥âáï, â® b ¥ «¥¦¨â ¢ N ¨ ¯® «¥¬¬¥ ¨««íï ⨯ a ¤ N [ fbg ¨§®«¨à®¢ . á«¥¤á⢨¥ ¥®âª«®ï¥¬®á⨠tp(a_ b=N ) ¤ M tp(a=N [ fbg) ¥áâì ¥®âª«®ïî饥áï à áè¨à¥¨¥ tp(a=M [ fbg) ¨ íâ®â ¯®á«¥¤¨© ¨§®«¨à®¢ ¯® ⥮६¥ ®¡ ®âªàë⮬ ®â®¡à ¦¥¨¨. â® ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® tp(a=M ) ¨ tp(b=M ) R-íª¢¨¢ «¥âë ¨ § ç¨â tp(a=M )
402
« ¢ 20
R-íª¢¨¢ «¥â¥ ª ¦¤®¬ã ⨯ã, ª®â®àë© R-¬¥ìè¥ ¥£® ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ® R-¬¨¨¬ «ìë©.
à®ïᨢ ᢮©á⢠R-¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢, ¯®¯ëâ ¥¬áï ¤ âì ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ äà £¬¥â ஥ ®¯¨á ¨¥ ¯®à浪 R ¯®á।á⢮¬ íâ¨å ¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢. 祬 á «¥£ª®© «¥¬¬ë: ¥¬¬ 20.17 ¨¯ p ¨§ Sn(M ) ¬ ¦®à¨àã¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¯®¯ à® ¥íª¢¨¢ «¥âëå R-¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢. ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ ⨯ q ¬ ¦®à¨àã¥â p1; : : :; pn , ª®â®àë¥ R-¬¨¨¬ «ìë, ⮠ॠ«¨§ã¥¬ q ª®à⥦®¬ b . ¬®¤¥«¨ M (b) ¨¬¥îâáï ॠ«¨§ 樨 a1; : : :; an íâ¨å ⨯®¢, ª®â®àë¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M ¢¢¨¤ã ᨫ쮩 ®à⮣® «ì®á⨠⨯®¢ pi . ª ª ª b § áâ ¢«ï¥â ®âª«®ïâìáï ⨯ ª ¦¤®£® í«¥¬¥â ai , â® ¨å ¥ ¡®«¥¥ 祬 ¢¥á q .
¬¥ç ¨¥. ¨¬ ⥫ìë© ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â ¡ëâì § ¬¥â¨« çâ®-â®
áâà ®¥ ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ «¥¬¬ë 20.17. ¬¥¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ï, çâ® pi ¯®¯ à® á¨«ì® ®à⮣® «ìë, ¨á¯®«ì§ã¥¬ â®, çâ® ª ¦¤ë© ¨§ ¨å ®à⮣® «¥ ¬®¦¥áâ¢ã ®áâ «ìëå. â® ¥ ®è¨¡ª à áá㦤¥¨ï, á«¥¤á⢨¥ ¯¥à¥å®¤ ᨫ쮩 ®à⮣® «ì®á⨠¯® á«¥¤áâ¢ã. ¢¥¤¥¬ ⥯¥àì ᯮᮡ à §«®¦¥¨ï ⨯ ॣã«ïàë¥ â¨¯ë, ª®â®àë© §®¢¥¬ à §«®¦¥¨¥¬ áª à ¨ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ¥ «¨§ã¥¬ ⨯ q í«¥¬¥â®¬ b ¨ à áᬮâਬ ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì M (b) ¤ M [ fbg . í⮩ ¬®¤¥«¨ ¢®§ì¬¥¬ í«¥¬¥â a1 , ⨯ ª®â®à®£® p1 ï¥âáï R-¬¨¨¬ «ìë¬ ¤ M . ª« ¤ë¢ ¥¬ ¬®¤¥«ì M1 = M (a1) ¢ M (b) , ¥á«¨ b «¥¦¨â ¢ M1 , â® ®áâ ¢«¨¢ ¥¬áï. ç¥, à áᬮâਬ í«¥¬¥â a2 ⨯ p2 R-¬¨¨¬ «ì®£® ¤ M1 ¨ ¢ª« ¤ë¢ ¥¬ M2 = M1(a2) ¢ M (b) ¨ â.¤. ª®¢ ¡ë ¨ ¡ë« ᯮᮡ í⮣® ¯®áâ஥¨ï, ®¡ï§ â¥«ì® ®áâ ¢«¨¢ ¥¬áï ç¥à¥§ ª®¥ç®¥ ç¨á«® è £®¢, â ª ª ª ª ¦¤®¬ è £¥ ⨯ b ®âª«®ï¥âáï. ®â íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ⨯®¢ p1 ; : : :; àn ¨ §ë¢ ¥âáï à §«®¦¥¨¥¬ ᪠à .
᫨ ¬®¦® ¢ë¡¨à âì ai ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨ ¤ M , ⮣¤ ¯® 20.7 M (a1; : : :; an) ¡ã¤¥â â ª¦¥ ¬®¤¥«ìî M (b) . ¨¯ b ¡ã¤¥â R-íª¢¨¢ «¥â¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î á¨«ì® à¥£ã«ïàëå ⨯®¢ p1 pn ¨ ¥£® ¢¥á ¡ã¤¥â à ¢ë¬ n . ® íâ® à §«®¦¥¨¥ ¥ ¨¬¥¥â ¢®®¡é¥ £®¢®àï âã ¦¥ ¯à¨à®¤ã, ª®â®à ï ¤ ¢ 19.25 . ®-¯¥à¢ëå, ¯®â®¬ã çâ® ¤ ¦¥ ª®£¤ íâ® ¢®§¬®¦®, ¨çâ® ¥ ®¡ï§ë¢ ¥â ai ¡ëâì ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨, ¥â ¨ç¥£® ª ®¨ç¥áª®£® ¢ ¢ë¡®à¥ ¢«®¦¥¨ï M1 ¢ M (b) ¨ ¢®®¡é¥ £®¢®àï, ç¨á«® n ¡ã¤¥â ¡®«ìè¥ ¢¥á q . ®-¢â®àëå, ¯®â®¬ã çâ® ¢®®¡é¥ £®¢®àï ¥¢®§¬®¦® ¢ë¡à âì í⨠ai ¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨, ¥¢®§¬®¦® ¢ë¡à âì p2 ¥®âª«®ïî騬áï ¤ M , ª ª ïá® ¯®ª §ë¢ ¥â ¯à¨¬¥à, ¤ ë© ¢ ç «¥ í⮣® ¯ à £à ä . â ª®¬ ¢¨¤¥, ª ª ¬ë ®¯à¥¤¥«¨«¨, íâ® à §«®¦¥¨¥ ¥ ®¡ï§ë¢ ¥â ¤ ¦¥ ⨯ b ¤ M ¡ëâì R-íª¢¨¢ «¥âë¬ â¨¯ã a1_ : : : _ an ¤ M . ⮡ë íâ® ¡ë«® â ª, ª®¥ç® ¤®áâ â®ç® ¢ë¡à âì an = b ¯®á«¥¤¥¬ è £¥! â®¡ë ¨§¡¥¦ âì ¥¯à¨ïâëå ¥®¦¨¤ ®á⥩, ¥¬®£® ãᨫ¨¬ íâ® à §«®¦¥¨¥, § ¬¥ïï a1; : : : ; an ª®à⥦ ¬¨ a1; : : :; an ¨å ᮤ¥à¦ 騬¨ ¨ â ª¨¬¨, ç⮠⨯ ai ¤ Mi?1 ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M [ fai?1g . «ï í⮣® ¯à¥®¡à §ã¥¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ç¨ ï á ª®æ , ¯®« £ ï b_ an = an ¨ ¢®§ì¬¥¬ an?1 ¨§ Mn?1
20.b
403
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ᮤ¥à¦ 騩 an?1 â ª®©, ç⮠⨯ an ¤ Mn?1 ¡ë« ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¥®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï M [ fan?1g . ⥬ ¡¥à¥¬ an?2 ¨§ Mn?2 ᮤ¥à¦ 騩 an?2 â ª®©, ç⮠⨯ an?1 ¤ Mn?2 ¡ë« ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¥®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ ®£à ¨ç¥¨ï M [ fan?2g ¨ â.¤. ਠí⮬ ¯®«ãç ¥¬ ¡ èî ¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢ ¢ ª ᪠¤¥, â ª ª ª ⨯ë ai ¨ ai ¤ Mi?1 R-íª¢¨¢ «¥âë. â® à §«®¦¥¨¥ ¯®«¥§®, çâ®¡ë ¤®ª § âì á«¥¤ãîéãî ⥮६ã: ¥®à¥¬ 20.18 â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ T , ¤¢ ⨯ ¤ ¬®¤¥«ï¬¨ ®à⮣® «ìë ª ª ⮫쪮 ®¨ á« ¡® ®à⮣® «ìë: á« ¡ ï ®à⮣® «ì®áâì ¯¥à¥å®¤¨â ¯® á«¥¤áâ¢ã. ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì p ¨ q ¤¢ á« ¡® ®à⮣® «ìëå ⨯ ¤ M . ç «¥ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® p R-¬¨¨¬ «¥. ®£¤ ¢¢®¤¨¬ à §«®¦¥¨¥ ᪠à a1_ : : : _ an ⨯ q , á an ॠ«¨§ãî騬 q ãᨫ¥®¥ â ª, ç⮡ë ⨯ ai+1 ¤ M ¥ ®âª«®ï«áï ¤ M [ fa1; : : :; aig . ®£¤ q R-íª¢¨¢ «¥â¥ ⨯ã a1_ : : : _ an ¤ M ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 á«¥¤¨ª¨ íâ¨å ⨯®¢ ¤ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N ¬®¤¥«¨ M â ª¦¥ R-íª¢¨¢ «¥âë. ¥ «¨§ã¥¬ á«¥¤¨ª ¢â®à®£® ⨯ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¯ãáâì a01 ॠ«¨§ æ¨ï á«¥¤¨ª tp(a1=M ) ¨ N1 ï¥âáï ¬®¤¥«ìî N (a01) ᮤ¥à¦ 饩 M1 = M (a0) . ¥ «¨§ã¥¬ ª®à⥦®¬ a02 á«¥¤¨ª ¤ N1 ⨯ tp(a2=M1 ) , çâ® ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¢«®¦¥¨ï M1 ¢ N1 , â ª ª ª à¥çì ¨¤¥â ® ¥¤¨á⢥®¬ ¥®âª«®ïî饬áï à áè¨à¥¨¨ tp(a2=M [ fa1g) ¨ ¯à®¤®«¦ ¥¬ ¢ ⮬ ¦¥ ¤ãå¥. ª ª ª p ¨ q á« ¡® ®à⮣® «ìë, ॠ«¨§ æ¨ï p ¥ ¬®¦¥â § áâ ¢¨âì ®âª«®ïâìáï tp(a1_ : : : _ an=M ) . âáî¤ p á« ¡® ®à⮣® «¥ tp(a1=M ) ¨ § ⥬ á«¥¤¨ª p ¤ M1 ïî騩áï ¢¯à®ç¥¬ ¥£® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ à áè¨à¥¨¥¬ ¤ í⮩ ¬®¤¥«ìî, á« ¡® ®à⮣® «¥ tp(a2=M1 ) ¨ â.¤. á«¥¤¨ª p ¤ ¬®¤¥«ìî Mi ¢á¥£¤ á« ¡® ®à⮣® «¥ tp(a2=M1 . ® ¯à¥¤«®¦¥¨î 19.12 , â ª ª ª à¥çì ¨¤¥â ® R-¬¨¨¬ «ìëå ⨯ å, í⨠᫠¡ë¥ ®à⮣® «ì®á⨠¯¥à¥å®¤ïâ ¯® á«¥¤áâ¢ã ¨ § ç¨â ®¨ á¨«ì® ®à⮣® «ìë. ãáâì ⥯¥àì a ॠ«¨§ã¥â á«¥¤¨ª p ¤ N . «¥¬¥âë a ¨ a1 â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ N ¨ â®ç® â ª ¦¥ ᮣ« á® á«¥¤á⢨ï 20.6 ¥§ ¢¨á¨¬ë a ¨ N1 . ¨¯ tp(a=N1 ) ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p . ª¦¥ í«¥¬¥âë a ¨ a2 ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ N1 ¨ tp(a=N2 ) ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ p , ¨ â.¤. ª¨¬ ®¡à §®¬ ⨯ë tp(a=N ) ¨ tp(a1_ : : : _ an=N ) á« ¡® ®à⮣® «ìë, ®âªã¤ ¨ á«¥¤ã¥â § ª«î票¥. ç¨â ⥮६ ¢¥à , ¥á«¨ ®¤¨ ¨§ ⨯®¢ R-¬¨¨¬ «¥. â®¡ë ¤®ª § âì ®¡é¨© á«ãç ©, ᮢ ¯à®¢®¤¨¬ «®£¨ç®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮, à §« £ ï q ⥬ ¦¥ ¬¥â®¤®¬.
20.b ¨¯ë ¨ à §¬¥à®áâë¥ â¥®à¨¨ áᬮâਬ ⥯¥àì R-¬¨¨¬ «ìë© â¨¯ p ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T . ª ª ª ¢áñ, çâ® ¬ë ᮡ¨à ¥¬áï ᪠§ âì, á®åà ï¥âáï ¯à¨ R-íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, â®
404
« ¢ 20
¬®¦® ¢á¥£¤ ¡à âì ⨯ p á¨«ì® à¥£ã«ïàë¬ ¨ à áᬠâਢ âì ⨯ í«¥¬¥â ¢¬¥á⮠⨯ ª®à⥦ . ¨¯ p ®¯à¥¤¥«¨¬ ¤ ª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬ a ¯ à ¬¥â஢; ¯à¨¬¥à, ¬®¦® ¡à âì ¢ ª ç¥á⢥ a ª®à⥦ ¯ à ¬¥â஢ ä®à¬ã«ë f (x; a) , ª®â®à ï ¥£® ¨§®«¨àã¥â ®â ⨯®¢ ⮣® ¦¥ à £ ®à«¨: ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠ïá®, çâ® â®, çâ® p 㤮¢«¥â¢®àï¥â g(x; b) § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ⨯ b ¤ a (íâ® ¯à®¨á室¨â ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ RM (p) = RM (g(x; b) ^ f (x; a)) ) ¨ çâ® dg(y) ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¡à á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ a .
᫨ ¥®¡å®¤¨¬®, ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ¢ T eq , £¤¥ ©¤¥âáï á â®ç®áâìî ¤® à 樮 «ì®á⨠ª ®¨ç¥áª¨© ¯ à ¬¥âà a , ª®â®àë© ¯®§¢®«ï¥â ®¯à¥¤¥«¨âì p . â®¡ë ¯à¨¡ ¢¨âì ¯ ä®á í⮬㠯 à ¬¥âàã, ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ pa è ⨯ ¨ ¥á«¨ a0 í«¥¬¥â ¬®¤¥«¨ M eq , ॠ«¨§ãî騩 â®â ¦¥ ⨯ ¤ ; , çâ® ¨ a , â® ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ p0a ⨯, ¯®«ãç¥ë© § ¬¥®© a a0 ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ p . ª ¦¥¬, ç⮠⨯ pa (ª®â®àë© ¯®¬¨ ¥¬ R-¬¨¨¬ «¥) à §¬¥à®áâ¥, ¥á«¨ ª ª®¢ ¡ë ¨ ¡ë« ¬®¤¥«ì M , ¢ ª®â®à®© a ¨ b ॠ«¨§ãîâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯ ¤ ; , â® pa ¨ pa0 R-íª¢¨¢ «¥âë. ¬¥ç ¨¥. ®¢®àï, çâ® pa ¨ qb ®à⮣® «ìë ¨«¨, ¯à®â¨¢, R-íª¢¨¢ «¥âë, ¢®§¤¥à¦¨¬áï ®â ãâ®ç¥¨ï ¬®¤¥«¨ M ¤«ï ¯®à浪 R . ®¦® ¢§ïâì ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì ¤ a_b ¨«¨ «î¡ãî ¬®¤¥«ì, ᮤ¥à¦ éãî a ¨ b , â ª ª ª ®à⮣® «ì®áâì ¯¥à¥¤ ¥âáï ¯® á«¥¤áâ¢ã.
¥¬¬ 20.19
᫨ ⨯ pa ¥ à §¬¥à®áâë© ¨ a0; : : :; a ; : : : ®¡à §ãîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ॠ«¨§ 権 ⨯ a , ¥§ ¢¨á¨¬ãî ¨ ¥à §«¨ç¨¬ãî ¤ ; , ⮣¤ ⨯ë pa ®à⮣® «ìë.
®ª § ⥫ìá⢮. ® ¥à §«¨ç¨¬®áâ¨, ⨯ë pa ¨«¨ ¢á¥ R-íª¢¨¢ «¥âë,
¨«¨ ¢á¥ ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë (â.¥. ª ¦¤ë© ®à⮣® «¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î ®áâ «ìëå!) . ¯à®ç¥¬ ïá®, â ª ª ª ¢á¥ a ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯, ¤«ï ª®â®à®£® ®¨ á®áâ ¢«ïîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨, çâ® ¥á«¨ pa à §¬¥à®áâ¥, â® ¢á¥ pa R-íª¢¨¢ «¥âë. ।¯®«®¦¨¬ ⮣¤ , ç⮠⨯ pa ¥ à §¬¥à®áâë© ¨ ¢®§ì¬¥¬ í«¥¬¥âë b1 ¨ b2 ⮣® ¦¥ ⨯ , çâ® ¨ a ¨¬¥îé¨å ®¤¨ ª®¢ë© ᨫìë© â¨¯ ¨ â ª¨¥, çâ® pb1 ¨ pb2 ®à⮣® «ìë (â.¥. ¥ R-íª¢¨¢ «¥âë) . áᬮâਬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì a00; : : : ; a0 ; : : : ॠ«¨§ 権 ⨯ a ¢ í⮬ ᨫ쮬 ⨯¥ ¨ ⨯ ª®â®àëå ¤ b1; b2 ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ ; . ®£¤ b1; a00; : : : ; a0 ; : : : ¨ b2; a00; : : :; a0 ; : : : ïîâáï ¤¢ã¬ï ª®¯¨ï¬¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®à«¨ í⮣® ᨫ쮣® ⨯ ¨ ®¨ ¥à §«¨ç¨¬ë. ª ª ª pa0 ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¤®¢à¥¬¥® R-íª¢¨¢ «¥âë¬ pb1 ¨ pb2 , ª®â®àë¥ ¥ R-íª¢¨¢ «¥âë, ®¨ ¤®«¦ë ¡ëâì ®à⮣® «ì묨. ®ç® â ª¨¬¨ ¦¥ ¤®«¦ë ¡ëâì pa , â ª ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¯ à ¬¥â஢ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯.
â®â «ì® âà á楤¥â®© ⥮ਨ ª ¦¤ë© ⨯ ¨¬¥¥â ª®¥çãî ªà â®áâì ¨ à áè¨àï¥âáï ⮫쪮 ¤® ª®¥ç®£® ç¨á« ᨫìëå ⨯®¢. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¥á«¨ ⨯ pa à §¬¥à®áâ¥, â® ® ¨¬¥¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᮯà殮ëå ⨯®¢ ïîé¨åáï ¯®¯ à® ®à⮣® «ì묨.
᫨ pa ¥ à §¬¥à®áâë©, â® ® ¨¬¥¥â ¨å ᪮«ìª® 㣮¤®. ®¦® ®å à ªâ¥à¨§®¢ âì à §¬¥à®áâ®áâì â ª¦¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: p à §¬¥à®á⥠¥á«¨ ¨ ⮫쪮 ¥á«¨, ¤ ª ¦¤®© ¬®¤¥«ìî M ⥮ਨ T ¨¬¥-
20.b
¨¯ë ¨ à §¬¥à®áâë¥ â¥®à¨¨
405
¥âáï ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ⨯®¢ íª¢¨¢ «¥âëå p ®â®á¨â¥«ì® ä㤠¬¥â «ì®£® ¯®à浪 , ª®â®àë¥ ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë. ¥©á⢨⥫ì®, ⨯ íª¢¨¢ «¥âë© pa ¨¬¥¥â ¢¨¤ pa0 , â ª ª ª ¢ T eq ¬®¦® ®å à ªâ¥à¨§®¢ âì a ª ª ¥¤¨áâ¢¥ë© í«¥¬¥â 㤮¢«¥â¢®àïî騩 ¥ª®â®à®¬ã ¯à¥¤«®¦¥¨î ¬®¤¥«¨ (M eq ; dp) . ç¨â ¤¢ ⨯ íª¢¨¢ «¥âë ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ ª ®¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë ®¤®£® ⨯ ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®¤®£® ¢¨¤ . ®¯ãâ® ®â¬¥â¨¬, çâ® R-¬¨¨¬ «ì®áâì p § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ¥£® ª« áá ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥. ®áª®«ìªã íâ å à ªâ¥à¨á⨪ ¥ § ¢¨á¨â ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠®â ¯ à ¬¥âà a , ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì à §¬¥à®áâ®áâì ¨á¯®«ì§ãï «î¡®© í«¥¬¥â a ¯®§¢®«ïî騩 ®¯à¥¤¥«¨âì p , ¢ ⮬ ç¨á«¥ ¥ ïî騩áï ª ®¨ç¥áª¨¬. ª®© í«¥¬¥â a ©¤¥âáï ¢ «î¡®© ¬®¤¥«¨ (M; dà0) , £¤¥ p0 íª¢¨¢ «¥â¥ p ¢ ä㤠¬¥â «ì®¬ ¯®à浪¥, «¨èì ¡ë ⮫쪮 ® ¡ë« ¤®áâ â®ç® áë饮©. áâ â¨, ¬®¦® ¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¯®ï⨥ à §¬¥à®áâ®á⨠¤«ï ¯à®¨§¢®«ìëå ⨯®¢: ¥á«¨ ¬ë ®£à ¨ç¨«¨áì R-¬¨¨¬ «ìë¬ â¨¯®¬, â® íâ® ¯®â®¬ã, ç⮠⮫쪮 ®¨ §¤¥áì ¨á¯®«ì§ãîâáï. ®§¢à é ïáì ª R-¬¨¨¬ «ìë¬ â¨¯ ¬, «¥£ª® ¯®ïâì. çâ® ¥á«¨ ⨯ pa R-íª¢¨¢ «¥â¥ qb , â® ª ¦¤ë© pa0 íª¢¨¢ «¥â¥ ¥ª®â®à®¬ã qb â ª, çâ® íâ® ¯®ï⨥ à §¬¥à®áâ®á⨠¯¥à¥¤ ¥âáï ¯® R-íª¢¨¢ «¥â®áâ¨. ª ¦¥¬, ç⮠⥮à¨ï T à §¬¥à®áâ , ¥á«¨ ¢á¥ ¥¥ R-¬¨¨¬ «ìë¥ â¨¯ë à §¬¥à®áâë. ¨á«® R-ª« áᮢ R-¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢ (¢ ¯à¨æ¨¯¥ ¤ !- áë饮© ¬®¤¥«ìî, ® á¬. 20.31 ¢ ¤ «ì¥©è¥¬) ¡ã¤¥â §ë¢ âìáï ç¨á«®¬ à §¬¥à®á⥩ ⥮ਨ T . ¯à¨¬¥à, !1-ª ⥣®à¨ç ï ⥮à¨ï T à §¬¥à®áâ ¨ ¨¬¥¥â à §¬¥à®áâì 1 . ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª ¥â ¯ à ®â , ¨ª ª®© ⨯ ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ®à⮣® «ìë¬ ä®à¬ã«¥ â ª, çâ® ¢á¥ R-¬¨¨¬ «ìë¥ â¨¯ë íª¢¨¢ «¥âë. ®ç® â ª¦¥, ¢á¥ â®â «ì® âà á楤¥âë¥ ¬®¤ã«¨ à §¬¥à®áâë, ¨ ¤ ¦¥ ¨¬¥î⠮ᮡ¥® ¯à®á⮥ ᢮©á⢮ à §¬¥à®áâ®áâ¨: ª ¦¤ë© ⨯ R-íª¢¨¢ «¥â¥ ⨯ã, ®¯à¥¤¥«¨¬®¬ã ¡¥§ ¯ à ¬¥âà . ¥©á⢨⥫ì®, ¢ â®â «ì® âà á楤¥â®© £à㯯¥ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®¥ç®© áâண® ã¡ë¢ î騩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠®¯à¥¤¥«¨¬ëå ¯®¤£à㯯, â ª ª ª ª ¦¤®¬ è £¥ ã¡ë¢ ¥â «¨¡® à £ ®à«¨, «¨¡® á⥯¥ì ®à«¨ ®¡á㦤 ¥¬ëå £à㯯. ¥©áâ¢¨â¥«ì® ¢á¥ ᬥ¦ë¥ ª« ááë ¯® ¯®¤£à㯯¥ ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ à £ ¨ ®¤ã ¨ âã ¦¥ á⥯¥ì ®à«¨. «¥¤®¢ ⥫ì®, ª ¦¤ë© 䨫ìâà ¯à¨¬¨â¨¢ëå ¯®¤£à㯯 (á¬. 13.c , ¯à¨¬¥à 16) £« ¢ë©, ª ¦¤®¬ã p ¨§ S1(M ) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯à¨¬¨â¨¢ ï £à㯯 G ¨ í«¥¬¥â a ¨§ M â ª¨¥, çâ® p ªá¨®¬ ⨧¨àã¥âáï ä®à¬ã«®© x ? a 2 G ¨ x ? b 6 inH ¤«ï ª ¦¤®£® b ¨§ M ¨ ª ¦¤®© ¯à¨¬¨â¨¢®© ᮡá⢥®© ¯®¤£à㯯ë H ¢ G . ¨¯ q í«¥¬¥â x ? a , ª®â®àë© R-íª¢¨¢ «¥â¥ p , ®¯à¥¤¥«¨¬ ¡¥§ ¯ à ¬¥âà . ¯à®â¨¢, ⥮à¨ï ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ ¥ à §¬¥à®áâ : ¥á«¨ pa ¥ ॠ«¨§®¢ ë© â¨¯ ã⢥ত î騩, çâ® x ¢ ª« áá¥ í«¥¬¥â a (ª ®¨ç¥áª¨© ¯ à ¬¥âà ï¥âáï ⮣¤ ª« áᮬ í«¥¬¥â a), ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® ¤¢ à §«¨çëå ⨯ pa ®à⮣® «ìë. ⬥⨬, çâ® íâ ⥮à¨ï ¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ¢ ⥮ਨ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠. ®§ì¬¥¬ ¯ àë (a; b) á ¡¦¥ë¥ ®â®è¥¨¥¬ "¨¬¥âì ®¤¨ ª®¢ãî ¯¥à¢ãî ª®®à¤¨ âã" ¨ ⥮à¨ï ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥á⢠¨â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ¢ ª ¦¤®© ⥮ਨ (¥ ¨¬¥î饩 ª®¥ç®© ¬®¤¥«¨). «¥¤®¢ ⥫ì®, í⮠᢮©á⢮ à §¬¥à®áâ®á⨠¥ ¯¥à¥¤ ¥âáï ¯® ¨â¥à¯à¥â¨à㥬®áâ¨, ¨ ¢ ®¤®¬ ¯à ¢«¥¨¨, ¨ ¢ ¤à㣮¬.
¥®à¥¬ 20.20
᫨ ⨯ pa ¥ à §¬¥à®áâë©, a ¨ A ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ ; ¨ M
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« ¢ 20
ᮤ¥à¦ é ï ¨å ¬®¤¥«ì, â® pa ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯㠤 M , ¥ ®âª«®ïî饬ãáï ¤ A . ®ª § ⥫ìá⢮. 祬 á à áè¨à¥¨ï A ¤® !- áë饮© ¬®¤¥«¨ N , ¥§ ¢¨á¨¬®© ®â a ¤ ; . â® ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª à áè¨à¥¨î ¬®¤¥«¨ M , ® íâ® ¥ ¨¬¥¥â § 票ï, â ª ª ª ®à⮣® «ì®áâì ¯¥à¥¤ ¥âáï ¯® á«¥¤áâ¢ã. ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® qb R pa , £¤¥ b «¥¦¨â ¢ N . ª ª ª N ¤®áâ â®ç® áëé¥ , ¢ ¥© ©¤¥âáï a1 ¨¬¥î騩 â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯, çâ® a ¤ b ¨ ᮢ ¯®â®¬ã, çâ® N !- áëé¥ qb0 R p0a1 . ⨠¤¢ ⨯ 㪠§ë¢ îâ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 à áè¨à¥¨ï qb ¨ pa ¤ N . áᬠâਢ ¥¬ë© ¯®à冷ª R ®¯à¥¤¥«¥ í⮩ ¬®¤¥«ìî N ¨ â ª¦¥ ¢ N ©¤¥âáï a2 ॠ«¨§ãî騩 ᨫìë© â¨¯ a ¤ b_a1 , ¨ qb0 R p0a2 , ¨ â ª ¤ «¥¥. «¥¤®¢ ⥫ì®, qb0 ¬ ¦®à¨àã¥â p0a1 ; : : : ; p0an ; : : : , ® íâ® ¥¢®§¬®¦®, â ª ª ª pa ¥ à §¬¥à®áâë© ¨ a1; : : :; an; : : : ®¡à §ãîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ¤ ; , ⮠⨯ë pan ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë.
§ ¤®ª § ®© ⥮६ë, ç áâ®áâ¨, «¥£ª® ¯®ïâì çâ® ¥á«¨ ⨯ pa R-¬¨¨¬ «ìë©, ¥ à §¬¥à®áâë© ¨ a1; a2 ¥§ ¢¨á¨¬ë, ⮣¤ pa1 ¨ pa2 ®à⮣® «ìë. ®â®èë© ç¨â â¥«ì ¬®¦¥â ¡ëâì ®¡¥á¯®ª®¥ ⥬, çâ® ¢ 20.19 ¨ ¢ 20.20 ¬ 㦠¡ë« ¥§ ¢¨á¨¬®áâì ¨¬¥® ¤ ; . ®¦® ¥áâ¥á⢥® ¤®¡ ¢¨âì ¬®¦¥á⢮ A ¯ à ¬¥â஢ ¢ ï§ëª, ¨ ã⢥ত âì íâ¨ â¥®à¥¬ë ®â®á¨â¥«ì® ⥮ਨ T (A) , ® ¤® ®â¬¥â¨âì, çâ® à §¬¥à®áâ®áâì ¢ á¬ëá«¥ T ¬®¦¥â ¨§¬¥¨âì § 票¥ ¢ á¬ëá«¥ T (A) ! áᬮâਬ ⥯¥àì á¨«ì® à¥£ã«ïàë© â¨¯ pa ¤ ¬®¤¥«ìî M ¨ ¯®¤¬®¦¥á⢮ A ¢ M ᮤ¥à¦ 饥 a . §®¢¥¬ ¡ §®© ⨯ pa ¤ A ¢ ¬®¤¥«¨ M ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ¬®¦¥á⢮ B ॠ«¨§ 権 ®£à ¨ç¥¨ï pa A ¢ ¬®¤¥«¨ M ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ¤ A. ¥ ã¯ã᪠©â¥ ¨§ ¢¨¤ , çâ® pa ®¡®§ ç ¥â ⨯ ¤ ¬®¤¥«ìî, ª®â®àãî ¬ë ç áâ® ¥ 㯮¬¨ ¥¬, ïî騩áï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¥®âª«®ïî騬áï à áè¨à¥¨¥¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï a . ª ª ª pa ॣã«ïॠ¨ ¨¬¥¥â ¢¥á 1 , ¢á¥ í⨠¡ §ë ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ¬®é®áâì, ª®â®à ï §ë¢ ¥âáï à §¬¥à®áâìî pa ¤ A ¢ M . ¤ «ì¥©è¥¬, ª®£¤ ᪠¦¥¬, çâ® pa á¨«ì® à¥£ã«ïà¥, â® ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® pa ï¥âáï f -ॣã«ïàë¬ ¤«ï ä®à¬ã«ë f á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ a .
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M0 ¢ª« ¤ë¢ ¥âáï ¢® ¢á¥ ¬®¤¥«¨, ª®â®àë¥ ¬ë à áᬮâਬ ¨ â ª ª ª T à §¬¥à®áâ , ® ï¥âáï ¨å ®á®¢®©, â ª ª ª ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ ᨫìë¥ â¨¯ë ¤ ; . ¬¥îâáï ¬®£® ᯮᮡ®¢ ¢«®¦¥¨ï M0 ¢ M ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¡ §ë ¬®£ãâ ¨¬¥âì à §«¨çë¥ à §¬¥à®áâ¨. «î¡®¬ á«ãç ¥, ¤«ï áë饮© ¬®¤¥«¨ ¬®é®á⨠¥â ¢ë¡®à : ¢á¥ à §¬¥à®á⨠¤®«¦ë ¡ëâì à ¢ë , ª ª®¢® ¡ë ¨ ¡ë«® ¢«®¦¥¨¥ M0 . ®ç® â ª¦¥, ¥á«¨ M - áëé¥ , â® ¢á¥ à §¬¥à®á⨠¤®«¦ë ¡ëâì ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ , ª ª®¢® ¡ë ¨ ¡ë«® ¢«®¦¥¨¥ M0 ¢ M . ®ª ¦¥¬ ®¡à â®, çâ® ¥á«¨ ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¢«®¦¥¨ï M0 ¢ M ¢á¥ à §¬¥à®áâ¨ à ¢ë ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ , ⮣¤ M - áëé¥ . â® ¤®ª ¦¥â ⥮६ã, â ª ª ª à §¬¥à®á⨠¬®£ãâ ⮫쪮 à á⨠¯à¨ í«¥¬¥â ஬ à áè¨à¥¨¨. ¥©á⢨⥫ì®, à áᬮâਬ ¬®¦¥á⢮ A ¬®é®á⨠¬¥ì襩 ᮤ¥à¦ 饥áï ¢ M . ãáâì N í«¥¬¥â ஥ ®£à ¨ç¥¨¥ M ¬®é®á⨠ᮤ¥à¦ 饥 A , M0 ¨ í«¥¬¥â®¢ ¢ ª ¦¤®¬ ¯®¤¬®¦¥á⢥ ¡ §ë, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¥ª®â®à®¬ã pa . ( ª¨å pa ¨¬¥¥âáï ¥ ¡®«¥¥ jT j , â.¥. ¥ ¡®«¥¥ 祬 ⨯®¢ ¤ M0) . ¦¤ ï ¨§ à §¬¥à®á⥩ ¤ M0 í⮩ ¬®¤¥«¨ N à ¢ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ¨ ¥ ¡®«ìè¥ , ïî饩áï ¥£® ¬®é®áâìî. ç¨â N áëé¥ ï ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠, ª®â®à ï ॠ«¨§ã¥â ¢á¥ â¨¯ë ¤ A .
20.c « áá¨ä¨ª æ¨ï ¬®¤¥«¥© à §¬¥à®á⮩ ⥮ਨ «ï ¡®«¥¥ â®çëå १ã«ìâ ⮢ ¯® áà ¢¥¨î á ¯à¥¤ë¤ã騬 à §¤¥«®¬, ¬ 㦮 § 䨪á¨à®¢ âì è㠮ᮢã; á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ ⥮à¨ï T à §¬¥à®áâ , â® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì M0 ¬®¦¥â á«ã¦¨âì ®á®¢®© ¢® ¢á¥å ¬®¤¥«ïå: í⮠ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¤¢ãå á«¥¤ãîé¨å «¥¬¬.
¥¬¬ 20.30 ¨«ì® ॣã«ïàë© â¨¯ p ï¥âáï à §¬¥à®áâë¬ ¥á«¨ ¨ ⮫쪮, ¥á«¨ ® ¥ ®à⮣® «¥ ⨯ã q ¥ ®âª«®ïî饬ãáï ¤ ; . ®ª § ⥫ìá⢮.
᫨ q ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ ; , â® ¢ T eq ¥£® ª ®¨ç¥áª®¥ ¬®¦¥á⢮ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦¥â ¨¬¥âì ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᮯà殮ëå, â ª ª ª q=; ¨¬¥¥â ª®¥çãî ªà â®áâì. â® ¥é¥ ®§ ç ¥â, çâ® q ®¯à¥¤¥«¨¬ ¤ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ § ¬ëª ¨¥¬ ; ¢ M eq .
᫨ pa ¬¥ìè¥ ¢ ¯®à浪¥ R 祬 q , â® â ª¨¬¨ ¦¥ ¡ã¤ã⠢ᥠpai , £¤¥ a; ai ॠ«¨§ãîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ᨫ쮣® ⨯ a ¤ ; . ¥©á⢨⥫ì®, ¢ T eq ¨¬¥âì ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯
20.c
411
« áá¨ä¨ª æ¨ï ¬®¤¥«¥© à §¬¥à®á⮩ ⥮ਨ
¤ ; ®§ ç ¥â â® ¦¥ á ¬®¥, çâ® ¨¬¥âì ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ § ¬ëª ¨¥¬ ; . ª ª ª q ¨¬¥¥â ª®¥çë© ¢¥á, ⮠⨯ë pai ¥ ¬®£ãâ ¡ëâì ®à⮣® «ì묨 ¨ § ç¨â pa à §¬¥à®áâ¥. ¡à â® ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® p ¨§ S1(M ) à §¬¥à®áâë©. áᬮâਬ ¬®¤¥«ì 0 M ⮣® ¦¥ ᨫ쮣® ⨯ , çâ® ¨ M ¤ ; , ¯à¨ç¥¬ M ¨ M 0 ¥§ ¢¨á¨¬ë. ãáâì p0 ⨯ ¤ M 0 ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ⨯ã p : ¬ë § ¥¬, çâ® ª®£¤ ¯®¤¨¬¥¬áï ¤® ¬®¤¥«¨ ᮤ¥à¦ 饩 M ¨ M 0 , ⨯ë p ¨ p0 ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì R-íª¢¨¢ «¥âë¥ á«¥¤¨ª¨. ãáâì N ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ [ 0 [ fb0g , £¤¥ b0 ॠ«¨§ã¥â á«¥¤¨ª p ¤ ¬®¤¥«ìî [0 , ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨â ª®¯¨î N0 ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤ [ 0 . íâ¨å ãá«®¢¨ïå á«¥¤¨ª p ¤ N0 ॠ«¨§ã¥âáï í«¥¬¥â®¬ b ¨§ N . ® ¯®áâ஥¨î, ⨯ M 0_ b0 ¤ M ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ ; . ª ª ª b «¥¦¨â ¢ N , b ¨ N § ¢¨á¨¬ë ¤ M . â® ®§ ç ¥â, çâ® b ¨ M 0_ b0 § ¢¨á¨¬ë ¤ M . ® á«¥¤á⢨î 20.5, â ª ª ª N ¯à®áâ ¤ [ 0 [ fb0g . «¥¤®¢ â¥«ì® p ¥ ®à⮣® «¥ ⨯㠤 M ¥ª®â®à®£® ª®¥ç®£® ª®à⥦ ¨§ M 0 [ fb0g , â® ¥áâì ⨯ã, ª®â®àë© ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ ; .
¥¬¬ 20.31
᫨ M0 M ¨ p ï¥âáï R-¬¨¨¬ «ìë¬, à §¬¥à®áâë¬ â¨¯®¬ ¨§ S1 (M ) , â® ® R-íª¢¨¢ «¥â¥ ⨯ã, ¥ ®âª«®ïî饬ãáï ¤ M0 . ®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥¨¢ p ®¤¨¬ ¨§ ¥£® á«¥¤¨ª®¢, ¬®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® ¬®¤¥«ì M ®ç¥ì áëé¥ . áᬮâਬ ¬®¤¥«ì M (a) ¯à®áâãî ¤ M [ fag , £¤¥ a ॠ«¨§ã¥â p . ãáâì b1 â®çª ¨§ M (a) ? M ¢ë¡¨à ¥¬ ï â ª, ç⮡ë ⨯ RM (b1=M0) ¡ë« ¬¨¨¬ «¥. ©¤¥¬ ä®à¬ã«ã f (x) á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M0 ¨§®«¨àãîéãî tp(b1=M0 ) ®â ⨯®¢ ⮣® ¦¥ à £ ®à«¨. ⬥⨬, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ í«¥¬¥â ¨§ M (a) ? M 㤮¢«¥â¢®àïî騥 f ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯ ¤ M . ¬¥â¨¬, çâ® q1 = tà(b1=M ) ï¥âáï R-¬¨¨¬ «ìë¬ â¨¯®¬, R-íª¢¨¢ «¥âë¬ p . ãáâì M1 ¬®¤¥«ì ¥¡®«ì让 ¬®é®áâ¨, ¯à®¬¥¦ãâ®ç ï ¬¥¦¤ã M0 ¨ M â ª ï, çâ® q1 ï¥âáï á«¥¤¨ª®¬ ᢮¥£® ®£à ¨ç¥¨ï M1 . ª ª ª M ®ç¥ì áëé¥ , ¢ ¥© ¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ M1; : : : ; Mn; : : : ⨯ M1 ¤ M .
© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì q1; : : :; qn; : : : ⨯®¢, ª®â®àë¥ á®¯à殮ë á q1 ¤ M0 . § «¥¬¬ë 20.30 á«¥¤ã¥â, çâ® p R-¬ ¦®à¨à®¢ ⨯®¬ r , ¥ ®âª«®ïî騬áï ¤ ; . R-¬ ¦®à¨àã¥â â ª¦¥ q1 ¨, â ª ª ª p ®¯à¥¤¥«¨¬ á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ M0 , ® R-¬ ¦®à¨àã¥â ¢á¥ qn . ª ª ª r ¨¬¥¥â ª®¥çë© ¢¥á, ¥¢®§¬®¦® ç⮡ë qn ¡ë«¨ ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë. ç¨â ¢á¥ ®¨ R-íª¢¨¢ «¥âë.
᫨ ⮣¤ M3 ®¡®§ ç ¥â ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì ¤ M1 [ M2 , â® ¬®¦® ©â¨ ॠ«¨§ æ¨î á«¥¤¨ª ¤ M3 ®£à ¨ç¥¨ï q2 M2 , ¨¬¥î騩 ⨯ ¤ M3 [ fb1g ¨§®«¨à®¢ ë© ä®à¬ã«®© '(y; b1; d) .
£® ⨯ ¤ M1 [ M2 [ fb1g , ®ç¥¢¨¤®, ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© (9z)['(y; b1; z) ^ (z)] , £¤¥ (z) ¨§®«¨àã¥â ⨯ d ¤ M1 [ M2 ¨ ª®â®à ï ¨§®«¨àã¥â â ª¦¥ ¥£® ⨯ ¤ M1 [ M2 [ b1 . ª ª ª b1 ¨ M2 ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M1 (á«¥¤á⢨¥ 20.6) , â® ¯® ⥮६¥ ®¡ ®âªàë⮬ ®â®¡à ¦¥¨¨, ⨯ b2 ¤ M1 [ M2 [ b1 ®âª«®ï¥âáï ¤ M2 ¨ â ª ª ª ¯®«®¦¥¨¥ ᨬ¬¥âà¨ç®, â® b1 ¨ M2_b2 § ¢¨á¨¬ë ¤ M1 ¨ ¬®¦® ©â¨ ¨á⨮¥ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ g(c1; b1; c2; b2) á c1 ¢ M1 ¨ c2 ¢ M2 , ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª g(c1; b1; c; b) á c ¨ b ¢ M1 ¢á¥£¤ «®¦®. ᥠ¡ã¤¥â â®ç® â ª¨¬ ¦¥ ¨ ¥á«¨ c ¨ b ¢ M , â ª ª ª tp(b1=M ) á«¥¤ã¥â tp(b1=M1 ) .
412
« ¢ 20
®ª ¦¥¬, çâ® ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠q1 ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ M0 , â® ¥áâì q1 = q2, çâ® à¥è ¥â è㠯஡«¥¬ã.
᫨ ¡ë íâ® ¡ë«® ¥ â ª, 諨áì ¡ë ¯ à ¬¥âàë ¨§ M2 , ª®â®àë¥ ¬®¦® ¤®¡ ¢¨âì ª 襬ã c2 ¨ ¯à¥¤«®¦¥¨¥ h(b2; c2) ¨á⨮¥ ¤«ï b2 , £¤¥ ä®à¬ã« h(x; y) ®¯ã᪠¥âáï ⨯®¬ tp(b2=M0 ) , ª®â®àë© ¥ çâ® ¨®¥ ª ª tp(b1=M0) . ®£¤
f (b2) ^ g(c1; b1; c2; b2) ^ h(b2; c2)
9ã[f (y) ^ g(c1; b1; c2; y) ^ h(y; c2)] : ¤ ª® ¯® ¯®áâ஥¨î c1_ b1 ¨ c2 ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M0 ¨ ¬®¦® ©â¨ c ¢ M0 â ª®©, çâ®
9ã[f (y) ^ g(c1; b1; c; y) ^ h(y; c)] : ¤¨ â ª®© y ¤®«¦¥ ⮣¤ áãé¥á⢮¢ âì ¢ M (a) = M (b1) . ª ª ª ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ g(c1; b1; c; y) , â® ¥ ¬®¦¥â «¥¦ âì ¢ M 0 . ª®¥æ, â ª ª ª y 㤮¢«¥â¢®àï¥â ä®à¬ã«¥ h(y; c) , â® ® ¥ ¨¬¥¥â â®â ¦¥ ⨯ ¤ M0 , çâ® ¨ b1 , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ®¯à¥¤¥«¥¨î ä®à¬ã«ë f .
¥à¥è¥ë© ¢®¯à®á: ¢á¥£¤ «¨ R-¬¨¨¬ «ìë©, à §¬¥à®áâë© â¨¯ Ríª¢¨¢ «¥â¥ ⨯ã, ¥ ®âª«®ïî饬ãáï ¤ ; . â® ¬®£® ¡ë ã¯à®á⨫® § ¤ çã, ª®â®à ï ¤ «¥¥ ¯®á«¥¤ã¥â. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ T à §¬¥à®áâ , íâ® ¡ë ®§ ç «®, çâ® ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ¢ T eq «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥ ; ¬®£«® ¡ë ¯®á«ã¦¨âì ®á®¢®© ¢ «î¡®© ¬®¤¥«¨. ⠮ᮢ ¡ë« ¡ë ¯®«®áâìî ª ®¨ç¥áª®©, â ª ª ª ® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â 㨪 «ì®¬ã ¬®¦¥áâ¢ã ®¯à¥¤¥«¥®¬ã ¢ ª ¦¤®© ¬®¤¥«¨ M . ¥¬¬ 20.31 ¯®§¢®«ï¥â ¬ ¢ à §¬¥à®á⮬ á«ãç ¥ ¢ ª ç¥á⢥ ®á®¢ë ¡à âì ⮫쪮 ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì M0 , ¢ª« ¤ë¢ îéãîáï ¢ ª ¦¤ãî ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T , ® ª ᮦ «¥¨î ¬®£¨¬¨ ᯮᮡ ¬¨. ç¨ ï á í⮣® ¬®¬¥â ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® T à §¬¥à®áâ . «¥¤®¢ â¥«ì® ª ¦¤ë© R-¬¨¨¬ «ìë© ª« áá ¨¬¥¥â ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï pa ¢ S1(M0) , £¤¥ ⨯ a ¤ ; ¨§®«¨à®¢ . 롥६ ¤«ï ã¯à®é¥¨ï â ª¨¥ pa ¤«ï ª ¦¤®£® R¬¨¨¬ «ì®£® ª« áá , å®âï á ¬®¬ ¤¥«¥ १ã«ìâ âë ¥ ¡ã¤ãâ § ¢¨á¥âì ®â í⮣® ¢ë¡®à . ¢â®¬®à䨧¬ë ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ M0 ¨¤ãæ¨àãîâ ¤ R-¬¨¨¬ «ì묨 ª« áá ¬¨ £à㯯ã G ¯¥à¥áâ ®¢®ª, §ë¢ ¥¬ãî £à㯯®© ®à¨¥â 樨. ª ª ª ª« áá pa ¬®¦¥â ¨¬¥âì ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᮯà殮ëå ¯® G , ¬ ¦®à¨à®¢ ®¥ ç¨á«®¬ ᨫìëå ⨯®¢ à áè¨àïîé¨å tp(a=;) . ¦¤ ï ®à¡¨â G ª®¥ç ¨ G ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¯à®¥ªâ¨¢®¬ ¯à¥¤¥«¥ ᢮¨å ®£à ¨ç¥¨© ª®¥çë¥ ®¡ê¥¤¨¥¨ï ᢮¨å ®à¡¨â: «¥£ª® ¢¨¤¥âì, ¯® ª®¬¯ ªâ®áâ¨, çâ® G à ¢ 楫¨ª®¬ í⮬㠯஥ªâ¨¢®¬ã ¯à¥¤¥«ã, çâ® G ¯à®ª®¥ç ï £à㯯 . â® ¢ ¤¥©á⢨⥫ì®á⨠®¡à § £àã¯¯ë ¢â®¬®à䨧¬®¢ «£¥¡à ¨ç¥áª®£® § ¬ëª ¨ï ; ¢ M eq , â ª ª ª ª« áá ®¡à § pa § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â ⮣®, çâ® ¯à®¨á室¨â á ᨫìë¬ â¨¯®¬ a ! ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¨¢ ਠâ, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ª ¦¤®© ¬®¤¥«¨ M , ª®â®àë© §®¢¥¬ ¥ñ ¬®â¨¢®¬. í⮩ 楫ìî, 祬 á ¢ë¡®à ¢«®¦¥¨ï M0 ¢ M ¨ ®¯à¥¤¥«¨¬ ¬®â¨¢ M ®â®á¨â¥«ì® í⮣® ¢«®¦¥¨ï â ª: íâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®¬ã R-¬¨¨¬ «ì®¬ã ª« ááã ¥ª®â®àë© ª न «;
20.c
« áá¨ä¨ª æ¨ï ¬®¤¥«¥© à §¬¥à®á⮩ ⥮ਨ
413
§«®ã¯®âॡ«ïï ï§ëª®¬, ¥á«¨ ⨯ pa R-¬¨¨¬ «¥ ¢ S1(M0) , â® ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ (pa ) § 票¥ äãªæ¨¨ ¤«ï ¥£® ª« áá . ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤«ï ª ¦¤®£® pa 2 S1(M0) â ª: { (pa) ï¥âáï à §¬¥à®áâìî pa ¤ a ¢ M ¥á«¨ íâ à §¬¥à®áâì ¡¥áª®¥ç , { ¨ ç¥, pa ⨯ ¯¥à¢®£® த (á¬. ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯®á«¥ 20.25) ¨ ¢ ª ç¥á⢥ (pa) ¡¥à¥¬ à §¨æã ¬¥¦¤ã à §¬¥à®áâìî pa ¤ a ¢ M ¨ à §¬¥à®á⨠pa ¤ a ¢ M0 , à ¢ãî ¥é¥ à §¬¥à®á⨠pa ¤ M0 ¢ M . ¤à㣨å â¥à¬¨ å, (pa) ¢á¥£¤ à ¢¥ à §¬¥à®á⨠pa ¤ M0 ¢ M , § ¨áª«î票¥¬ á«ãç ï, ª®£¤ pa ¢â®à®£® த ¨ íâ à §¬¥à®áâì ª®¥ç , ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¯®« £ îâ (pa ) = !. á®, çâ® ¥á«¨ ⨯ë pa ¨ qb «¥¦ â ¢ S1(M ) ¨ R-íª¢¨¢ «¥âë, â® ®¨ ¤ îâ ®¤® ¨ â® ¦¥ § 票¥ ¤«ï äãªæ¨¨-¬®â¨¢ . ®©¬¥¬, çâ® ¯à®¨§®©¤¥â ¥á«¨ ¢®§ì¬¥¬ ¤à㣮¥ ¢«®¦¥¨¥ M00 ¬®¤¥«¨ M0 ¢ M . ãé¥áâ¢ã¥â ¢â®¬®à䨧¬ M00 â ª®©, çâ® M0 ¨ M00 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯. ⮡ë íâ® ¯®ïâì, «ãçè¥ ¯¥à¥©â¨ ¢ M eq ¨ â ¬ à áᬠâਢ âì «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ § ¬ëª ¨¥ A ¯ãá⮣® ¬®¦¥á⢠¢ M0 , ª®â®à®¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¬®¦¥á⢠ï¥âáï ⥬ ¦¥, çâ® A0 ¢ M00 , § ⥬ ¯¥à¥áâ ¢¨âì A0 â ª, ç⮡ë A ¨ A0 ¨¬¥«¨ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯. á®, çâ® «î¡®© ¢â®¬®à䨧¬ A0 à áè¨àï¥âáï ¤® ¢â®¬®à䨧¬ M00 . ®á«¥ í⮣® ¬®â¨¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 M0 ¯®¤¥©áâ¢ã¥¬ ¯¥à¥áâ ®¢ª®© £àã¯¯ë ®à¨¥â 樨. ª ⮫쪮 í⮠ᤥ« ®, ¤¢ ¬®â¨¢ ᮢ¯ ¤ãâ ¯® «¥¬¬¥ 20.26.
᫨ pa0 ᮮ⢥âáâ¢ã¥â pa ¯à¨ í⮬ ¤¥©á⢨¨, â® a ¨ a0 ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ᨫìë© â¨¯. ¤à㣨å â¥à¬¨ å ¬®¦® ᪠§ âì, çâ® ¬®â¨¢ M ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ®à¨¥â 樨, ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¢«®¦¥¨ï M0 ¢ M . ®«ãç¥ áâ®ï騩 ¨¢ ਠ⠬®¤¥«¨. ª¨¥ ¬®â¨¢ë ¢®§¬®¦ë? á®, çâ® ¢¢¨¤ã ®à⮣® «ì®á⨠pa , ¬®¦® ¢ë¡à âì (pa ) ¥§ ¢¨á¨¬® ®â ¤à㣨å, ¥¤¨á⢥®¥ ®£à ¨ç¥¨¥ ¡à âì (pa) = ! , ¥á«¨ ⨯ pa ¢â®à®£® த . ¥©á⢨⥫ì®, ¢§ï¢ M ¯à®á⮩ ¤ M0 ¨ ¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâﬨ ¯®¤å®¤ïé¨å ¤«¨, ¯®«ãç ¥¬ ¬®¤¥«ì M ¨¬¥îéãî ¦¥« ë© ¬®â¨¢. ç¨â ¨¬¥¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ á⮫쪮 ¬®¤¥«¥© ᪮«ìª® ¬®â¨¢®¢, çâ® ¬ ¯®§¢®«ï¥â 㦥 ¨å ¯®¤áç¨â âì:
¥®à¥¬ 20.32
᫨ ⥮à¨ï T à §¬¥à®áâ , á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ à §¬¥à®á⥩ ¨ @ ï¥âáï ¥áç¥âë¬ ª न «®¬ ¡®«ì訬 ¨«¨ à ¢ë¬ ¬®é®á⨠jT j , â® T ¨¬¥¥â ¢ â®ç®á⨠j + 1j ¯®¯ à® ¥ ¨§®¬®àäëå ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠@ . ®ª § ⥫ìá⢮. ®¤¥«ì M ⥮ਨ T , à áᬠâਢ ¥¬ ï ª ª à áè¨à¥¨¥
M0 , ®¯à¥¤¥«¥ § ¤ ¨¥¬ à §¬¥à®á⥩ ª ¦¤®£® pa ¤ M0 («¥¬¬ 20.28) .
᫨ M ¨¬¥¥â ¬®é®á⨠@ , â® ª ¦¤ ï à §¬¥à®áâì ¥ ¡®«ìè¥ @ , ¨ íâ® ¤ ¥â ⮫쪮 (! + + 1) ¢®§¬®¦®á⥩.
᫨ ª®¥ç¥, â®
j! + + 1j = ! 2 = 2 :
᫨ ¡¥áª®¥ç¥, â® j! + + 1j = j + 1j = j j . ç¨â ¨¬¥¥âáï j + 1j à áè¨à¥¨© M0 ¬®é®á⨠@ , ¯®¯ à® ¥ M0-¨§®¬®àäëå. ¤¥áì ¬®¦¥â ¡ëâì
414
« ¢ 20
¥áª®«ìª® ᯮᮡ®¢ ¢«®¦¥¨ï M0 ¢ M , ® ¢ «î¡®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥¬ ¥ ¡®«ìè¥
j + 1j ¬®¤¥«¥© T ¬®é®á⨠@ .
â®¡ë ¯®áâநâì ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ j + 1j ¬®¤¥«¥© , à áᬮâਬ ¬®â¨¢ë ¨¢ ਠâë¥ ®â®á¨â¥«ì® £àã¯¯ë ®à¨¥â 樨, ª®â®àë¥ ¨¬¥îâ ⮫쪮 ¡¥áª®¥çë¥ à §¬¥à®áâ¨, ¬¥ì訥 祬 @ ¨ ®¤ à ¢ ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ @ . ¦¤®¬ã ¨§ íâ¨å ¬®â¨¢®¢ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤ ¬®¤¥«ì. ª ª ª ª ¦¤ë© R-¬¨¨¬ «ìë© ª« áá ¨¬¥¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ᮯà殮ëå, ¨¬¥îâáï ª®¥çëå ¯ ª¥â®¢ ᮯà殮ëå ª« áᮢ ¨ ¤«ï ª ¦¤®£® ¨§ íâ¨å ¯ ª¥â®¢ ¬ë ¤®«¦ë ¢ë¡à âì ¥ª®â®àãî à §¬¥à®áâì, ¥§ ¢¨á¨¬® ®â à §¬¥à®á⥩ ¢ë¡à ëå ¤«ï ¤àã£¨å ¯ ª¥â®¢: â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç¨á«® íâ¨å ¬®â¨¢®¢ à ¢® j + 1j .
¥¬¬ 20.33
᫨ ⥮à¨ï T à §¬¥à®áâ ¨ ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ¨«¨ áç¥â®¥
ç¨á«® à §¬¥à®á⥩, â® ¥¥ ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì M0 ¨¬¥¥â í«¥¬¥â ஥ à áè¨à¥¨¥ M1 ¨§®¬®à䮥 ¥© ¨ â ª®¥, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® ⨯ pa ¢â®à®£® த ¨§ S1(M0), à §¬¥à®áâì pa ¤ M0 ¢ M1 ¡¥áª®¥ç (áç¥â ) .
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, ç⮠⨯ pa ¨¬¥¥â ¢â®à®© த ¨ ¯ãáâì a0; : : :; an; : : : ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¥§ ¢¨á¨¬ëå ॠ«¨§ 権 ®£à ¨ç¥¨ï pa a . ãáâì M00 ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ fa; a1; : : :; an; : : : g , ᮤ¥à¦ é ïáï ¢ M0 . ®©¬¥¬, ç⮠⨯ a0 ¤ M00 ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ a . ®¯ãá⨬, çâ® b ¢ M00 ¨¬¥¥â ¥£® ⨯ ¤ fa; a1; : : :; an; : : : g ¨ ¨§®«¨à®¢ ä®à¬ã«®© á ¯ à ¬¥âà ¬¨ ¨§ ¥ª®â®à®£® ¯®¤¬®¦¥á⢠fa; a1; : : :; amg . ® ¥à §«¨ç¨¬®á⨠¢á¥ í«¥¬¥âë an; n > m ¨¬¥îâ ¤ í⨬ ¬®¦¥á⢮¬ â®â ¦¥ ⨯, çâ® ¨ a0 , â ª ª ª ¢ë¯®«¨¬®áâì f (b; an) ¬®¦¥â § ¢¨á¥âì ⮫쪮 ®â ⨯ an ¤ fa; a1; : : : ; amg . «¥¤®¢ â¥«ì® a0 ॠ«¨§ã¥â ¤ M00 á।¨© ⨯ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠fa1; : : : ; an; : : : g.
᫨ ¯à®¤¥« ¥¬ íâ® ¢ ¤à㣮¬ ¯à ¢«¥¨¨, ¨ ॠ«¨§ã¥¬ pa í«¥¬¥â®¬ a0 , ⮠㢨¤¨¬, çâ® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¤ M0 [fag ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¥ª®â®à®© ª®¯¨¨ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨, ª®â®à ï ¥© â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¨§®¬®àä . ®¦® ¯®¢â®à¨âì â ªãî ¯à®æ¥¤ãàã ¨ ¯®«ãç ¥¬ ¬®¤¥«ì M0(a0; : : : ; an) ¨§®¬®àäãî M0 , £¤¥ fa0; : : :; ang ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ॠ«¨§ 樨 ⨯ pa . ®¤¥«ì ¯®«ãç¥ ï ¢ ¯à¥¤¥«¥, ¥á«¨ ¯®¢â®à¨âì ¯à®æ¥¤ãàã ! à §, ⮬ ¤ ; . ¥ ᮤ¥à¦¨â ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤«¨ë @1 , â ª ª ª ï¥âáï ®¡ê¥¤¨¥¨¥¬ áç¥â®© ¢®§à áâ î饩 ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¬®¤¥«¥©, ª®â®àë¥ â ª¨å ¥ ᮤ¥à¦ â. ç¨â, à¥çì ¨¤¥â ¥é¥ ®¡ ®¤®© ª®¯¨¨ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨. à®ã¬¥à㥬 ⮣¤ ª« ááë R-¬¨¨¬ «ìëå ⨯®¢, ¯ãáâì íâ® ¡ã¤¥â ᯨ᮪ p1; : : :; pn ; : : : . ®¦® ¯®áâநâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¬®¤¥«¥© M0 N1 Nn : : : ; ¨§®¬®àäëå ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ M0 . §¬¥à®áâì ⨯ pn ¤ M0 ¢ Nn ¡ã¤¥â ¡¥áª®¥ç®©. ।¥« M1 ¬®¤¥«¥© Nn ï¥âáï áç¥â®© ⮬®© ¬®¤¥«ìî ¨ ¡¥§ ¥à §«¨ç¨¬®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¤«¨ë @1 ®â¢¥ç ¥â è ¢®¯à®á.
¥¬¬ 20.33 ®áâ ¥âáï ¢¥à®©, ¤ ¦¥ ¥á«¨ ç¨á«® à §¬¥à®á⥩ ¥áç¥â®, çâ® ¯®§¢®«ï¥â ª« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì ¬®¤¥«¨ à §¬¥à®á⮩ ⥮ਨ ¯à®¨§¢®«ì®© ¬®é®áâ¨. ¥©á⢨⥫ì®, ॠ«¨§ã¥¬ ¤ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«ìî M0 ⥮ਨ T áç¥â®¥
20.c
415
« áá¨ä¨ª æ¨ï ¬®¤¥«¥© à §¬¥à®á⮩ ⥮ਨ
ç¨á«® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ॠ«¨§ 権 ª ¦¤®£® ⨯ ¢â®à®£® த . ⥬ ¢®§ì¬¥¬ ¯à®áâãî ¬®¤¥«ì M1 ¤ ¢á¥¬ í⨬. ª ¯®ª § ® ¢ ¤®ª § ⥫ìá⢥ 20.33 í⮠⮬ ï ¬®¤¥«ì. ¥ ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âì ¥à §«¨ç¨¬ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¤«¨ë @1 , â ª ª ª ¨ ç¥ ¥ª®â®àë© à¥£ã«ïàë© â¨¯ ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢ ¥© à §¬¥à®áâì ¯® ¬¥ì襩 ¬¥à¥ @1 . ç¨â M1 ª®¯¨ï ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨.
«¥¤á⢨¥ 20.34
᫨ ⥮à¨ï T à §¬¥à®áâ ¨ ¨¬¥¥â ª®¥ç®¥ ¨«¨ áç¥â®¥ ç¨á«® à §¬¥à®á⥩ (¢ ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ T áç¥â ), â® ª ¦¤ ï ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T å à ªâ¥à¨§ã¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ ᢮¨¬ ¬®â¨¢®¬, ®¯à¥¤¥«¥ë¬ á â®ç®áâìî ¤® ®à¨¥â 樨; ç¨á«® ¬®¤¥«¥© ᮢ¯ ¤ ¥â á ç¨á«®¬ íâ¨å ¬®â¨¢®¢.
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® § ¤ ¬®â¨¢ ¬®¤¥«¨ M á â®ç®áâìî
¤® ®à¨¥â 樨, ¨ à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¢«®¦¥¨¥ M0 ¢ M . ¥©áâ¢ãï ¥¥ ¢â®¬®à䨧¬®¬, ¯à¨¢®¤¨¬ ¬®â¨¢ ª å®à®è¥© ®à¨¥â 樨. ®á«¥ í⮣®, § ¬¥¨¬ M0 ®¤¨¬ ¨§ ¥¥ í«¥¬¥â àëå ®£à ¨ç¥¨© M00 â ª, çâ®¡ë ¤«ï ª ¦¤®£® ⨯ p ¢â®à®£® த à §¬¥à®áâì p ¤ M00 ¢ M0 ¡ë« ¡¥áª®¥ç®©. ª ª ª ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ®áâ ¥âáï â ª®¢®© ¤ ª®¥çë¬ ¬®¦¥á⢮¬ ᢮¨å ¯ à ¬¥â஢, â® ¥áâ¥á⢥® à §¬¥à®á⨠⨯®¢ ¯¥à¢®£® த ¥ ¨§¬¥ïîâáï. ®£¤ ¤«ï ª ¦¤®£® R-¬¨¨¬ «ì®£® ⨯ p ¨§ S1(M00 ) ¥£® à §¬¥à®áâì ¤ M00 ¢ M ï¥âáï ç¨á«®¬, § ¤ ¢ ¥¬ë¬ ¬®â¨¢®¬. â® ®¯à¥¤¥«ï¥â ¢á¥ M á â®ç®áâìî ¤® M00 -¨§®¬®à䨧¬ , ¨ § ç¨â â ª¦¥ á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ !
å à ªâ¥à¨§ 樥© ¬®¤¥«¥© ¯®«ã祮© ¢ á«¥¤á⢨¨ 20.34 ¬®¦® ¤ ¦¥ ãâ®ç¨âì ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå M ¬®¦® ¢«®¦¨âì í«¥¬¥â à® ¢ N : ¤«ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¡ë«® ¢®§¬®¦® ¢ë¡à âì ®à¨¥â 樨 ¬®â¨¢®¢ M ¨ N â ª, çâ®¡ë ª ¦¤ ï à §¬¥à®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ï ¢ ¯¥à¢®© ¡ë« ¬¥ìè¥ á®®â¢¥âáâ¢ãî饩 à §¬¥à®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥®© ¢® ¢â®à®©. ®¦® â ª¦¥ ãâ®ç¨âì, ¯à¨ ª ª¨å ãá«®¢¨ïå ¬®¤¥«ì M ¨¬¥¥â ᮡáâ¢¥ë¥ í«¥¬¥â àë¥ ®£à ¨ç¥¨ï, ¨§®¬®àäë¥ ¥© ¦¥. â® ¯à®¨á室¨â ª ª ⮫쪮 ®¤ ¨§ à §¬¥à®á⥩ ¡¥áª®¥ç ¨, ¢ ç áâ®áâ¨, ª ª ⮫쪮 ¨¬¥îâáï â¨¯ë ¢â®à®£® த (íâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¯à®áâ ï ¬®¤¥«ì ¥ ¬¨¨¬ «ì ) .
᫨ ¢á¥ R-¬¨¨¬ «ìë¥ â¨¯ë ¯à®â¨¢ ¯¥à¢®£® த , â® ¬®¤¥«ì 祩 ¬®â¨¢ ¯à¨¨¬ ¥â ⮫쪮 ª®¥çë¥ § 票ï, ¥ ¬®¦¥â áâண® í«¥¬¥â à® ¢ª« ¤ë¢ âìáï ¢ ᥡï. ਠ£¨¯®â¥§ å á«¥¤á⢨ï 20.34, çâ®¡ë ¯®¤áç¨â âì ¬®¤¥«¨ ¤®áâ â®ç® ¯®¤áç¨â âì ¬®â¨¢ë. ¡ê¥¤¨¨¬ १ã«ìâ âë í⮣® ¯ à £à ä ¤«ï !-áâ ¡¨«ì®© áç¥â®© ⥮ਨ T . 1. T à §¬¥à®áâ , á ¥¤¨á⢥®© à §¬¥à®áâìî (£®¢®àïâ: ®¤®¬¥à ) . ®£¤ ⥮à¨ï T !1-ª ⥣®à¨ç , â ª ª ª ¢ ¬®¤¥«¨ ¬®é®á⨠@1 , à §¬¥à®áâì ¬®¦¥â ¡ëâì ⮫쪮 .
᫨ ¥¥ ¬¨¨¬ «ìë© â¨¯ ¨¬¥¥â ¢â®à®© த, â® ® â ª¦¥ !-ª ⥣®à¨ç .
᫨ ® ¨¬¥¥â ¯¥à¢ë© த, â® ® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® áç¥âëå ¬®¤¥«¥© M0; : : :; Mn ; : : :; M! , ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §«¨çë¬ ¢®§¬®¦ë¬ à §¬¥à®áâï¬. 2. T à §¬¥à®áâë©, á ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ à §¬¥à®á⥩ (£®¢®àïâ: ⥮à¨ï ª®¥ç®¬¥à ) . ®â¨¢ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®¤¥«ï¬ ¬®é®á⨠â¥, à §¬¥à®á⨠ª®â®àëå ¥ ¡®«¥¥ ¨ å®âï ¡ë ®¤ à ¢ , ¥á«¨ > ! .
416
« ¢ 20
᫨ T ï¥âáï !-ª ⥣®à¨ç®©, â® § ç¨â ¢á¥ â¨¯ë ¨¬¥îâ ¢â®à®© த ¨ ⮫쪮 ¡¥áª®¥çë¥ à §¬¥à®á⨠¬®£ãâ ¡ëâì ¢ ¬®â¨¢ å ¨ ¨å ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® áâண® ¡®«ì襥 1 , ¤ ¦¥ ¥á«¨ áç¨â âì á â®ç®áâìî ¤® ®à¨¥â 樨 ¬®â¨¢ë ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬®¤¥«ï¬ ¬®é®á⨠@n . â® ç¨á«® «¥£ª® ¢ëç¨á«ï¥âáï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â £àã¯¯ë ®à¨¥â 樨. ¯à¨¬¥à, ¢ á ¬®¬ ¥¡« £®¯à¨ï⮬ á«ãç ¥ ¤¢ãå à §¬¥à®á⥩ ¬¥ïîé¨åáï ¬¥áâ ¬¨ ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ £à㯯ë G , ¨¬¥¥¬ n +1 ¬®¤¥«ì ¬®é®á⨠@n .
᫨ ! , â® ¨¬¥¥âáï j j ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠@ .
᫨ ¯à®â¨¢ T ¥ !-ª ⥣®à¨ç , â® ¨¬¥¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ⨯ ¯¥à¢®£® த ¤®¯ã᪠î騩 ª®¥çãî à §¬¥à®áâì ¨ ¨¬¥¥âáï j! + j ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠@ (¢ª«îç ï @0 ) . 3. T à §¬¥à®áâ ¨ ¨¬¥¥â ! à §¬¥à®á⥩. ®¦® ¯®ïâì, ® íâ® âà㤮, çâ® T ¥ ï¥âáï !-ª ⥣®à¨ç®© ¨ ¢á¥£¤ ¨¬¥¥âáï ¯® ªà ©¥© ¬¥à¥ ®¤¨ ⨯ ¢â®à®£® த . ¨á«® ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠@ ¤«ï > 0 à ¢® j + 1j! . ¨á«® áç¥âëå ¬®¤¥«¥© à ¢® ! , ¥á«¨ ¨¬¥¥âáï ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ª« áᮢ ¯¥à¢®£® த ¨ 2! ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. 4. T ¥ à §¬¥à®áâ , ⮣¤ ç¨á«® ¥¥ ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠@ ¡®«ìè¥ ¨«¨ à ¢® j! + j ᮣ« á® 20.27 . â® ¯à¥¤«®¦¥¨¥ ¢¥à®, ® â¥àï¥â § 票¥, ª®£¤ = 0 . «ï ⥮ਨ T ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®áâ¨ á ¡¥áª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¡¥áª®¥çëå ª« áᮢ, ç¨á«® ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠@ à ¢® ¢ â®ç®á⨠j! + j . ⬥⨬, çâ® ¥á«¨ T â®â «ì® âà á楤¥â (çâ®, ¢ í⮬ ª®â¥ªáâ¥, ¥¢ ¦®), ¥ !1-ª ⥣®à¨ç ¨ ¨¬¥¥â ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠, ⮣¤ íâ® ¥áâì @n ¨ T !-ª ⥣®à¨ç . § ª«î票¨ í⮣® ¯ à £à ä ¬®¦® ᪠§ âì, çâ® ¬®£® âà㤥¥ ¯® áâ®ï饬㠪« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì ¬®¤¥«¨ ¨¢ ਠ⠬¨, 祬 ⮫쪮 ¯®¤áç¨â âì ¨å ç¨á«®. ®£® «¥¬¬ ¤¢ãå ¯®á«¥¤¨å ¯ à £à 䮢 ¢®¢«¥ª«¨ ç¨â â¥«ï ®ç¥ì ᪮«ì§ª¨¥ ᪫®ë. ஬¥ ⮣®, ¤«ï ¨¡®«¥¥ ¤¥«¨ª âëå á।¨ ¨å, ¥¨§¢¥áâë ¯à¨¬¥àë, £¤¥ ®¨ ¡ë«¨ ¡ë ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® ¥®¡å®¤¨¬ë ¨ ¢¯®«¥ ¢®§¬®¦®, å®âï íâ® ¬ «®¢¥à®ïâ®, çâ® ªâ®-â® á㬥¥â ª®£¤ -¨¡ã¤ì ¨å § ¬¥¨âì áâàãªâãà묨 ¯à¥¤«®¦¥¨ï¬¨, ®¤®¢à¥¬¥® ¡®«¥¥ ¯à®áâ묨 ¨ ¡®«¥¥ ¬®é묨. ª ï ®â¬¥ç « ¬¨¬®å®¤®¬, ¬®© ç¨â â¥«ì ¥ ¡ã¤¥â 㤨¢«¥ 㧠¢, çâ® ®¨ ⢮२¥ ®ç¥ì å¨âண® 㬠¨¥«ï ᪠à .
20.d DOP «ï à §¬¥à®á⮩ ⥮ਨ, ª« áá¨ä¨ª æ¨ï ¯à®å®¤¨â å®à®è®; ¢ ¤à㣨å á«ãç ïå, ¬®¦® ¯®¯ëâ âìáï à §«®¦¨âì ¯®áâ஥¨¥ ¬®¤¥«¥© ¢ ª ᪠¤ë ॠ«¨§ 権 ॣã«ïàëå ⨯®¢. ¬¥îâáï á«ãç ¨, £¤¥ íâ® ¡¥§ ¤¥¦®, â ª ª ª ॣã«ïàë¥ â¨¯ë ¯®ï¢«ïîâáï ¢à®¤¥ ¨®âªã¤ : ⮣¤ £®¢®àïâ, ç⮠⥮à¨ï T ¨¬¥¥â DOP . ०¤¥ 祬 ®¡êïáïâì ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®, çâ® íâ® â ª®¥, ï ¯à¨¢¥¤ã ¯à¨¬¥à ⥮ਨ á DOP . áᬮâਬ ¤¢ ®â®è¥¨ï íª¢¨¢ «¥â®á⨠E ¨ F , ª« ááë ¯¥à¢®£® ¨§ ¨å §ë¢ îâáï "áâப ¬¨", ¢â®à®£® "á⮫¡æ ¬¨" . ªá¨®¬ë ⥮ਨ T ã⢥ত îâ, çâ® ¨¬¥¥âáï ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® áâப ¨ ¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«®
20.d
DOP
417
á⮫¡æ®¢ ¨ çâ® ª ¦¤ ï áâப ¯¥à¥á¥ª ¥â ª ¦¤ë© á⮫¡¥æ ¢ ¡¥áª®¥ç®¬ ç¨á«¥ â®ç¥ª. á®, çâ® T ¯®« ¨ í«¨¬¨¨àã¥â ª¢ â®àë. ¨â¥à¯à¥â¨à㥬 ¢ ⥮ਨ à ¢¥áâ¢ á ¯®¬®éìî â஥ª (a; b; c) : £®¢®à¨¬, çâ® ¤¢¥ âனª¨ «¥¦ â ®¤¨ ª®¢®© áâப¥, ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ¯¥à¢ãî ª®®à¤¨ âã ¨, çâ® ®¨ «¥¦ â ¢ ®¤¨ ª®¢®¬ á⮫¡æ¥, ¥á«¨ ®¨ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ âã ¦¥ ¢â®àãî ª®®à¤¨ âã (íâ® ¤®ª §ë¢ ¥â, çâ® DOP ¥ ¯¥à¥¤ ¥âáï, ¨ ¢ ®¤®¬ ¯à ¢«¥¨¨, ¨ ¢ ¤à㣮¬ ¯à¨ ¨â¥à¯à¥â 樨) . ¥®à¨ï T !-ª ⥣®à¨ç ¨ ¥¥ ¬®¤¥«¨ «¥£ª® ª« áá¨ä¨æ¨à®¢ âì, ¤®áâ â®ç® ãâ®ç¨âì, çâ® ¨¬¥¥âáï ¢ ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ª ¦¤®© áâப¨ ¨ ª ¦¤®£® á⮫¡æ (ª ª ⮫쪮 ç¨á«® áâப ¨ á⮫¡æ®¢ ãáâ ®¢«¥ë). ¨¬¥¥â ¨å ¬ ªá¨¬ «ì® ¢®§¬®¦®¥ ç¨á«® ¢ ª ¦¤®© ¥áç¥â®© ¬®é®á⨠, â® ¥áâì 2 , â ª ¦¥ ª ª ¨ ¡¨ àëå ®â®è¥¨©, á â®ç®áâìî ¤® ¨§®¬®à䨧¬ , ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï ¬®¦¥á⢠¬¨ ¬®é®á⨠(¬®¦® ¨£à âì áç¥âëå ¨ ¥áç¥âëå ¯¥à¥á¥ç¥¨ïå). ¥à¥©¤¥¬ ª ®¯à¥¤¥«¥¨î: à áᬮâਬ ¬®¤¥«ì M ⥮ਨ T , ¥ª®â®à®¥ à áè¨à¥¨¥ N ¬®¤¥«¨ M ᮤ¥à¦ 饥 ¤¢ ª®à⥦ a ¨ b ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¤ M ¨ á¨«ì® à¥£ã«ïàë© â¨¯ pa_b ¨§ S1(N ) . «¥¤®¢ â¥«ì® ¬®¤¥«¨ M1 ¨ M2 ¯à®áâë¥ á®®â¢¥âá⢥® ¤ M [ fag ¨ M [ fbg ¨ ¢«®¦¥ë¥ ¢ N , ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M . ®£¤ ᪠¦¥¬, çâ® T ¨¬¥¥â DOP ¥á«¨ ¢®§¬®¦® ॠ«¨§®¢ âì íâ® ¯®«®¦¥¨¥ â ª, ç⮡ë pa_b ¡ë« ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯ã, ¥ ®âª«®ïî饬ãáï ¤ M1 ¨ ª ¦¤®¬ ⨯ã, ¥ ®âª«®ïî饬ãáï ¤ M2 .
᫨ ⥯¥àì § ¬¥¨âì M1 ¤®áâ â®ç® áëé¥ë¬ í«¥¬¥â àë¬ à áè¨à¥¨¥¬ N1 â ª, ç⮡ë N1 ¨ M2 ¡ë«¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë ¤ M . ®£¤ pa_b ¡ã¤¥â ᮢ ®à⮣® «¥ ª ¦¤®¬ã ⨯ã, ®¯à¥¤¥«¨¬®¬ã ¤ N1 : ç¨â â¥«ì ¯à¨£« è ¥âáï à áᬮâ२¥ í⮣®, ª ª â¥å¨ç¥áª®© ¤¥â «¨.
᫨ ¢®§ì¬¥¬ a0_b0 ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ®â a_b ¤ M , â® a_b ¨ a_b ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯. ®£¤ ¬®¦® ¤®¡ ¢«ïâì b0 á® áâ®à®ë N1 , ¨ ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® pa_b ¨ pa_b0 ®à⮣® «ìë. ® ⮩ ¦¥ ¯à¨ç¨¥, pa0 _b ¨ pa_b ®à⮣® «ìë. «¥¤®¢ â¥«ì® á¨âã æ¨ï â ª®¢ : ¥á«¨ : : : ; ai_bi; : : : ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ®à«¨ ⨯ a_b , â® ¢á¥ ai ¨ bj ¥§ ¢¨á¨¬ë ¨ ¢á¥ ai_bj ¨¬¥îâ ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ⨯. ¦¤®© â ª®© ¯ ॠᮮ⢥âáâ¢ã¥â ⨯ pij , ¨ pij ®à⮣® «¥ phk ª ª ⮫쪮 i 6= h ¨«¨ j 6= k . ¨¯ë pij ®ç¥¢¨¤® ¥ à §¬¥à®áâë, á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯® 10.23 à §¬¥à®áâì pij ¤ ai_bj ¢ ¬®¤¥«¨ N ¯à®á⮩ ¤ ¬®¦¥á⢮¬ ¢á¥å ai ¨ bj â ¦¥ á ¬ ï, çâ® ¨ ¢ ¯à®á⮩ ¬®¤¥«¨ ¤ ai_bj , â® ¥áâì ¥ ¡®«¥¥ 祬 áç¥â . ®¦® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® tp(a_b=M ) ¥ ®âª«®ï¥âáï ¤ ; , ¤®¡ ¢¨¢ ª ï§ëªã ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠ª®¥çë© ª®à⥦. ª ª ª pij ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë, â® ¬®¦® 㢥«¨ç¨âì ª ª 㣮¤® à §¬¥à®áâì ®¤®£® ¨§ ¨å ¥ âண ï à §¬¥à®á⨠¤à㣨å.
᫨ ⮣¤ 㯮à冷ç¨âì ¯à®¨§¢®«ìë¬ á¯®á®¡®¬ ¬®¦¥á⢮ I ¨¤¥ªá®¢, â® ¬®¦® ¯®áâநâì ¬®¤¥«ì N , ¢ ª®â®à®© à §¬¥à®áâì pij ï¥âáï @1 ¥á«¨ i > j ¨ @0 ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. â® ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâì ®¯à¥¤¥«¨âì «®£ ᢮©á⢠¯®à浪 ¤«ï í«¥¬¥â®¢ ai_bj ¨£à ï à §¬¥à®áâïå, ® ⥯¥àì ⮫쪮 ¥ ¯®á।á⢮¬ ä®à¬ã«ë. â® ®¡êïáï¥â âਠ¨¨æ¨ « D.O.P., ®âªã¤ ¢®§¨ª«® á«®¢® DOP { ᮪à 饨¥ ¤«ï "dimensional order property".
᫨ ⥮à¨ï T ¨¬¥¥â DOP , â® ® ¨¬¥¥â 2 ¬®¤¥«¥© ¬®é®á⨠¤«ï ¢á¥å ¥áç¥âëå , ¡®«ìè¨å ¨«¨ à ¢ëå j T j . â®â १ã«ìâ â ¡ë« ¡ë ¤«ï á ¤®áâã¯ë¬, ¥á«¨ ¡ë ¬ë 㦥 ¤®ª § «¨, çâ® ¥áâ ¡¨«ì ï ⥮à¨ï ¨¬¥¥â â® ¦¥
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« ¢ 20
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, 1978] , ¤«ï ®áâ «ìëå í⮠ᮤ¥à¦¨âáï ¢ [
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, 1983] . ¤ ª®, à §¬¥à®áâë© á«ãç © ¡ë« ¢ ®á®¢®¬ ¨§¢¥áâ¥ å« ã, ª®â®àë© à¨¬. ¯¥à¥¢®¤ç¨ª : ¥« å, à¥è¨¢ ä㤠¬¥â «ìãî ¯à®¡«¥¬ã ª« áá¨ä¨ª 樨 ¬®¤¥«¥©, ®¡ê« ®¡ í⮬, ®¯ã¡«¨ª®¢ ¢ ¢ 1981 £®¤ã ªà âªãî § ¬¥âªã ¢ ¯®«-áâà ¨çª¨ ¢ Notices AMS ¯®¤ §¢ ¨¥¬ "®ç¥¬ã ï áç á⫨¢". à ¡®â¥ [
, 1983] ¯à®¢¥¤¥ ª« áá¨ä¨ª æ¨ï ¬®¤¥«¥© !-áâ ¡¨«ì®© ⥮ਨ ¨¦¥ ®á®¢®£® áª çª , ® ¢®-¯¥à¢ëå íâ à ¡®â § ¯®§¤ « , ¢®-¢â®àëå íâ® ª®¥ç® ¡®«¥¥ ç áâë© á«ãç © १ã«ìâ â ¥« å . 1
420
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, 1993]
Ne jetons pas les morceaux De nos coeurs aux pourceaux Perdons pas notre latin Au pro t des pantins Parlons pas la langue des Dieux Pour les balourds, les fesse-mathieu Les paltoquets ni les bobeches Les foutriquets ni les pimb^eches Ni pour la femme : : : G.B.
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