Интегральные преобразования и их приложения в механике сплошных сред: Рабочая программа дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Механико-математический факультет Кафедра механики сплошных сред

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе «

В.П. Гарькин »

2005 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Интегральные преобразования и их приложения в механике сплошных сред (блок «Дисциплины специализации»; раздел « »; основная образовательная программа специальности 010500 «механика»)

Самара - 2005 г.

Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования специальности 010500 «Механика» и типовой (примерной) программы дисциплины «Интегральные преобразования и их приложения», одобренной Советом УМО ВУЗов РФ.

Составитель рабочей программы: Лычев Сергей Александрович. Рецензент: Рабочая программа утверждена на заседании кафедры механики сплошных сред (протокол № от « » 2005 г.) Заведующий кафедрой «

»

2005 г.

Ю.Н. Радаев

2005 г.

В.И. Астафьев

2005 г.

Н.В. Соловова

СОГЛАСОВАНО Декан факультета «

»

СОГЛАСОВАНО Начальник методического отдела «

»

ОДОБРЕНО Председатель методической комиссии факультета «

»

2005 г.

И.А. Власова

1

1. Цель и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе, требования к уровню освоения содержания дисциплины 1.1. Цель и задачи изучения дисциплины Цель дисциплины– овладение методами интегральных преобразований для решения начально–краевых задач механики сплошных сред. Задачи дисциплины: • изложение базовых понятий теории гильбертовых пространств, применяемого формализма операционного исчисления, а также математического аппарата, необходимого для обоснования методов интегральных преобразований. • демонстрация процедур построения и обоснования решений начально–краевых задач операционными методами и методами интегральных преобразований; • изучение различных классов интегральных преобразований, в том числе классических интегральных преобразований (Фурье, Ханкеля, Меллина и др.), конечных интегральных преобразований, биортогональных интегральных преобразований. • обзор постановок и представлений решений прикладных задач математической физики и, в частности, механики сплошных сред.

1.2. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины В результате изучения дисциплины слушатели должны Иметь представление: о базовых понятиях теории гильбертовых пространств, технике операционного исчисления и алгоритмических процедурах методов интегральных преобразований. Знать: классические интегральные преобразования (Фурье, Ханкеля, Меллина, Лапласа, Контаровича– Лебедева, Меллера–Фока); специальные классы интегральных преобразований (конечные интегральные преобразования, биортогональные преобразования). Уметь: получать решения линейных начально–краевых задач механики сплошных сред в форме спектральных разложений (интегралов и рядов).

1.3. Связь с предшествующими дисциплинами Дисциплина основывается на знаниях, полученных слушателями при изучении дисциплин «Дифференциальные уравнения», «Дифференциальная геометрия и тензорный анализ», «Уравнения матаматической физики» и «Механика сплошных сред».

1.4. Связь с последующими дисциплинами Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины «Интегральные преобразования и их приложения в механике сплошных сред» используются студентами при выполнении курсовых и дипломных работ.

2

2. Содержание дисциплины 2.1. Объём дисциплины Дневная форма обучения, 8-й семестр - зачет, экзамен. Вид учебных занятий Всего часов аудиторных занятий Лекции Практические занятия (семинары) Лабораторные занятия Всего часов самостоятельной работы Подготовка к практическим занятиям Разработка творческого проекта Изучение тем, вынесенных на самостоятельную проработку (рефераты) Всего часов по дисциплине

Количество часов 102 50 52

102

2.2. Разделы дисциплины и виды занятий п/п

Название раздела дисциплины лекции

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Введение Интеграл Лебега Пространство L2 Разложения по системе функций Линейные функционалы и операторы Компактные операторы Неограниченные операторы Несамосопряженные операторы Интегральные преобразования Интегральная теорема Фурье Теорема Планшереля Преобразование Лапласа Операционное исчисление Преобразование Меллина Преобразование Ханкеля Преобразование Вейерштрасса Интегральные преобразования в комплексной области Конечные интегральные преобразования Биортогональные преобразования Решение начально-краевых задач теплопроводности Динамические задачи Гидродинамические задачи Двумерные задачи теории упругости Динамические задачи теории оболочек Задачи вязкоупругости

2.3. Лекционный курс Тема 1. Введение 1.1. Краевые и начально–краевые задачи. 1.1. Представления решений в форме сумм и интегралов. Тема 1. Интеграл Лебега 2.1. Теорема Лебега о производной монотонной функции. 2.2. Функции с ограниченным изменением. 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Количество часов практические лабораторные занятия занятия 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 4 – – – – – 2 – 4 – 2 – 2 – 2 – 4 – 4 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 – 2 –

2.3. Интегралы Дарбу, Римана, Лебега. 2.4. Неравенства Шварца, Гёльдера и Минковского. Тема 3. Пространство L2 3.1. Пространство L2 . 3.2. Теорема Рисса-Фишера. 3.3. Сходимость в среднем. Слабая сходимость. 3.4. Сепарабельность. Тема 4. Разложения по системе функций 4.1. Ортонормированные системы. 4.2. Подпространства пространства L2 . Теорема о разложении. 4.3. Повторное интегрирование. Теорема Фубини. 4.4. L-измеримые функции. Теорема Егорова. 4.5. Интеграл Стильтьеса. Тема 5. Линейные функционалы и операторы 5.1. Линейные функционалы 5.2. Линейные операторы 5.3. Сопряженные операторы. 5.4. Обратный оператор. Резольвента. 5.5. Собственные значения и собственные функции оператора. Тема 6. Компактные операторы 6.1. Спектральное разложение оператора. 6.2. Самосопряженные вполне непрерывные операторы. 6.3. Теорема Гильберта-Шмидта. 6.4. Унитарные операторы. 6.5. Преобразование Фурье-Планшереля и Ватсона. Тема 7. Неограниченные операторы 7.1. Расширения симметрических операторов. Индексы дефекта. 7.2. Теоремы Фон Неймана. 7.3. Общая теория разложения по собственным функциям. 7.4. Формула Титчмарша-Крейна-Кодаира. Тема 8. Несамосопряженные операторы 8.1. Полярное представление ограниченного оператора. 8.2. s-числа оператора. 8.3. Теоремы о полноте системы корневых векторов

4

Тема 9. Интегральные преобразования 9.1. Классификация интегральных преобразований. 9.2. Ядра и трансформанты интегральных преобразований. 9.2. Общая схема решения начально-краевых задач с помощью интегральных преобразований. Тема 10. Интегральная теорема Фурье 10.1. Интегралы Дирихле. 10.2. Доказательство интегральной теоремы Фурье. 10.3. Формулы обращения для преобразования Фурье. 10.4. Теорема о свертках для преобразования Фурье. Тема 11. Теорема Планшереля 11.1. Функции Эрмита. 11.2. Производящая функция для функций Эрмита. 11.3. Полнота семейства функций Эрмита. 11.4. Теорема Парсеваля. Тема 12. Преобразование Лапласа 12.1. Формулы обращения для преобразования Лапласа. 12.2. Теорема о свертках для преобразования Лапласа. 12.3. Численное обращение преобразования Лапласа. Тема 13. Операционное исчисление 13.1. Теорема Титчмарша. 13.2. Операционный формализм. Тема 14. Преобразование Меллина 14.1. Формула обращения для преобразования Меллина. 14.2. Теорема о свертках для преобразования Меллина. Тема 15. Преобразование Ханкеля 15.1. Формула обращения для преобразования Ханкеля. 15.2. Теорема обращения для преобразования Ханкеля. 15.3. Теорема Парсеваля для трансформант Ханкеля. 15.4. Соотношения между трансформантами Ханкеля и трансформантами Фурье. 15.5. Дуальные интегральные уравнения. Тема 16. Преобразование Вейерштрасса 16.1. Оператор обращения. 16.2. Теорема единственности Тихонова. 16.3. Преобразование Вейерштрасса-Стильтьеса неубывающих функций.

5

Тема 17. Интегральные преобразования в комплексной области 17.1. Интеграл Фурье в комплексной области. 17.2. Преобразование Миттаг-Лефлера. Тема 18. Конечные интегральные преобразования 18.1. Интегральные преобразования вектор-функций, интегрируемых с квадратом 18.2. Алгоритмическая процедура метода конечных интегральных преобразований 18.3. Нормировка ядер операторов преобразований. Тема 19. Биортогональные преобразования 19.1. Биортогональные системы собственных функций. 19.2. Полнота биортогональной системы 19.3. Базисность 19.4. Построение преобразований с несимметричными ядрами. Тема 20. Решение начально-краевых задач теплопроводности 20.1. Теплопроводность при отсутствии источников 20.2. Поток тепла в цилиндре конечной длины. 20.3. Распространение температуры в случае движущихся точечных источников. Тема 21. Динамические задачи 21.1. Поперечные колебания струны 21.2. Колебания тяжелей нити 21.3. Поперечные колебания упругого стержня 21.4. Поперечные колебания тонкой мембраны 21.5. Вынужденные колебания круглой и прямоугольной пластин 21.6. Вынужденные колебания цилиндра и сферы Тема 22. Гидродинамические задачи 22.1. Безвихревое движение идеальной жидкости. 22.2. Поверхностные волны. 22.3. Медленное движение вязкой жидкости. 22.4. Движение жидкости под действием поверхностной нагрузки. Тема 23. Двумерные задачи теории упругости 23.1. Плоская задача теории упругости для бесконечной полосы. 23.2. Кручение и изгиб призмы, образованной пересечением двух цилиндров. 23.3. Плоская задача теории упругости для круговой луночки. 23.4. Плоская задача теории упругости для клина.

6

Тема 24. Динамические задачи теории оболочек 24.1. Нестационарная динамика цилиндрической оболочки. 24.2. Нестационарная динамика сферической оболочки. Тема 25. Задачи вязкоупругости 25.1. Применение преобразования Лапласа. Принцип соответствия Вольтерры. 25.2. Динамическая реакция вязкоупругого полупространства. 25.3. Несамосопряженные интегральные преобразования. 25.4. Динамическая реакция вращающегося вязкоупругого стержня.

7

2.4. Практические (семинарские) занятия п/п 1

Номер раздела 1

Количество часов 2

2

2

2

3

3

2

4

4

2

5

5

2

6

6

2

7

6

2

8 9

9 10

2 2

10

10

2

11

8

2

11

12

2

12 13 14 15 16 17

13 14 14 15 15 16

2 2 2 2 2 2

18 19 20 21

17 18 19 20

2 2 2 2

22 23

21 22

2 2

24 25

23 24

2 2

26

25

2

Тема практического занятия Формулировка краевых и начально–краевых задач. Представления решений в форме сумм и интегралов. Интегралы Дарбу, Римана, Лебега. Неравенства Шварца, Гёльдера и Минковского. Пространство L2 . Примеры сепарабельных и несепарабельных пространств. Ортонормированные системы. Биортогональные системы. Линейные функционалы. Линейные операторы. Сопряженные операторы. Обратный оператор. Резольвента. Собственные значения и собственные функции оператора. Спектральное разложение оператора. Самосопряженные вполне непрерывные операторы. Преобразование Фурье-Планшереля и Ватсона. Расширения симметрических операторов. Индексы дефекта. Общая теория разложения по собственным функциям. Формула Титчмарша-Крейна-Кодаира. Полярное представление ограниченного оператора. s-числа оператора. Решение начально-краевых задач с помощью интегральных преобразований. Преобразование Фурье. Функции Эрмита. Преобразование Ханкеля. Преобразование Меллина. Дуальные интегральные уравнения. Преобразование Вейерштрасса-Стильтьеса неубывающих функций. Преобразование Миттаг-Лефлера. Конечные интегральные преобразования. Биортогональные интегральные преобразования. Поток тепла в цилиндре конечной длины. Распространение температуры в случае движущихся точечных источников. Вынужденные колебания цилиндра и сферы. Движение жидкости под действием поверхностной нагрузки. Плоская задача теории упругости для клина. Нестационарная динамика сферической оболочки. Динамическая реакция вращающегося вязкоупругого стержня.

2.5. Лабораторный практикум Лабораторный практикум не предусмотрен.

3. Организация текущего и промежуточного контроля знаний Промежуточный контроль знаний проводится по результатам выполнения заданий на практических занятиях.

8

Итоговый контроль проводится в виде зачета и экзамена. Зачет ставится на основании выполнения заданий на практических занятиях. Экзаменационная оценка ставится на основании письменного и устного ответов по экзаменационному билету.

4.Технические средства обучения и контроля, использование ЭВМ • Для проведения вычислительных работ на практических занятиях требуется компьютерный класс с установленной программой "Mathematica 5.0".

5. Активные методы обучения (деловые игры, научные проекты) • Выполнение индивидуальных заданий с элементами исследования.

6. Материальное обеспечение дисциплины • Учебные классы.

7. Литература 7.1. Основная литература 1. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: Изд-во иностранной литературы, 1955. 667 с. Изложена общая теория бесконечных и конечных интегральных преобразований. Детально рассмотрены классические преобразования Фурье, Фурье-Бесселя, Ханкеля, Меллина. Автором введены конечные интегральные преобразования. Рассмотрено большое количество примеров и прикладных задач из области механики и теоретической физики 2. Трантер К. Интегральные преобразования в математической физике. М.: ГТТИ, 1956. 327 с. Компактное изложение алгоритмической процедуры бесконечных и конечных преобразований Фурье, преобразования Лапласа. Значительное количество примеров решения прикладных задач. 3. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. М.: Изд-во академии наук СССР, 1963. 365 с. Детально разобраны решения задач теории упругости с помощью интегральных преобразований Фурье, Бесселя, Ханкеля, Меллина, Конторовича-Лебедева. В этой книге содержится, по-видимому, наибольшее количество задач теории упругости, решенных в замкнутой форме с помощью интегральных преобразований. 4. Сеницкий Ю. Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1985. 176 с. Вводится и обосновывается алгоритмическая процедура конечных интегральных преобразований в классе вектор-функций, интегрируемых с квадратом. Подробно изложены решения методом конечных интегральных преобразований динамических задач для пластин и оболочек, неоднородного цилиндра. 5. Лыков А. B. Теория теплопроводности. М.: "Высшая школа 1967. 599 c. Приводятся решения задач теплопроводности с помощью конечных преобразований Фурье 6. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1-Т.3. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. Приведены основные сведения о рядах Фурье, сходимости рядов Фурье (признаки Дини, Липшица, Дирихле), теореме Таубера, эффекте Гиббса. 7. Уитеккер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т.1-Т.2. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1963. Даны основные сведения о рядах Фурье. Приведена исчерпывающая информация по специальным функциям, используемых в ядрах интегральных преобразований. 8. Кошляков Н. С., Глинер Э. Б., Смирнов М. М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: "Высшая школа 1970. 709 c. Подробно рассматриваются разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Вводятся конечные и бесконечные интегральные преобразования. 9

9. Харди Г. Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: ФИЗМАТГИЗ, 1959. 156 с. Изложены различные способы суммирования (Абеля, Фейера, и т. д.). Вводится понятие эффективного метода суммирования. 10. Наймарк M. А. Линейные дифференциальные операторы. М.:Наука. 1969. 526 c. Подробно изложена теория разложения по собственным функциям. Приведены общие представления для спектральных разложений для операторов с дискретным и непрерывным спектром, спектральное представление Крейна, обобщающее формулы разложений по собственным функциям. 11. Эдвардс Э. Ряды Фурье в современном изложении. Значительное внимание уделено вопросам сходимости рядов в банаховых пространствах и оценке скорости сходимости. 12. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965. 437 с. Систематически излагается теория несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. 13. Рисс Ф. Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 587 c. 14. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. M.: ФИЗМАТЛИТ, 1963. 262 с. Детально рассмотрены свойства ортогональности, базисности, полноты. 15. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966. 1063 с. 16. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. 570 c. Подробное изложение методов спектральных разложений с общих позиций функционального анализа 17. Хиршман И. И., Уиддер Д. B. Преобразования типа свертки. М.: Изд-во иностранной литературы, 1958. 312 с. 18. Микусинский Я. Операторное исчисление. М.:Изд-во иностранной литературы, 1956. 366 с.

7.2. Дополнительная литература 1. Джабаршян. Интегральные преобразования в комплексной области. Изложена общая теория интегральных преобразований в комплексной области. В числе прочих излагается обобщение несамосопряженного преобразования Ватсона.

7.3 Учебно-методические материалы по дисциплине ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ В РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЕ за

/

учебный год

В рабочую программу «Интегральные преобразования и их приложения в механике сплошных сред» для специальности вносятся следующие дополнения и изменения:

10