Рекурсивные однородные булевы алгебры

Алгебра и логика, 40, N 2 (2001), 174-191

УДК 510.53+510.67+512.563

РЕКУРСИВНЫЕ

ОДНОРОДНЫЕ

Б У Л Е В Ы АЛГЕБРЫ*)

С, Ю- П О Д З О Р О В

Проблема характеризации рекурсивных однородных булевых алгебр поставлена С. С. Гончаровым на Международной конференции по теории рекурсии и теории сложности, проходившей в Казани летом 1997 г. В на­ стоящей статье получены одно необходимое и одно достаточное условия рекурсивное™ однородной булевой алгебры в терминах инвариантов Мо­ розова. Эти инварианты, впервые рассмотренные А.С.Морозовым в [1], характеризуют счетные однородные булевы алгебры с точностью до изо­ морфизма; им же дано описание разрешимых однородных булевых алгебр. Случай рекурсивных однородных булевых алгебр более сложен, чем случай разрешимых. Как будет видно из результатов этой работы, множе­ ство, характеризующее рекурсивную однородную булеву алгебру с беско­ нечной первой характеристикой, может даже не быть арифметическим (в разрешимом случае оно всегда лежит в классе П^ арифметической иерар­ хии), однако оно является гиперарифметическим и, более того, вычисли­ мым с оракулом для 0 ^ ' . Оценка сложности таких множеств дана автором в терминах иерархии Фейнера [2], упорядочивающей некоторый подкласс всех 0^^-вычислимых множеств. Эта иерархия является более тонкой, чем гиперарифметическая, однако ее, по-видимому, недостаточно для исчер­ пывающего описания всех рекурсивных однородных булевых алгебр. *) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь­ ных исследований, проект N 99-01-00485, и Федеральной целевой программы "Интегра­ ция".

©

Сибирский фонд алгебры и логики, 2001

Рекурсивные однородные булевы алгебры

175

В § 3 настоящей статьи используется техника работы с нормальными сегментами, впервые примененная Одинцовым и Селивановым [3] для опи­ сания арифметических булевых алгебр и развитая автором в [4]. Основные результаты, относящиеся к булевым алгебрам (в частности, из [1—3]), мож­ но найти в книге [5]. Будем придерживаться определений и обозначений, принятых в этой книге.

§ 1. Предварительные сведения Цель настоящей работы состоит в описании рекурсивных однород­ ных булевых алгебр в терминах инвариантов Морозова. Поэтому эти ин­ варианты для случая однородных булевых алгебр с конечной первой ха­ рактеристикой не рассматриваются — все такие алгебры разрешимы [1]. Под булевой алгеброй, если не оговорено противное, будем понимать счетную однородную булеву алгебру с бесконечной первой характеристи­ кой (определение элементарных характеристик булевых алгебр см. в [5, §2.2]). Типом однородности булевой алгебры 95 (см. [5, §2.3]) называется пара th(») = («,P>, гдер = (ро,Pi,P2i • • •) ~~ счетная последовательность элементов множества {0,2}, причем рп = 2 тогда и только тогда, когда ch(x) = (та,оо,0) для некоторого ж G 95, а а е {1,2,3} и 1) а = 1, если chi(x) < оо или chi(C(ar)) < со для любого х 6 95; 2) a = 2, если существует х G 95 такой, что chi(a;) = chi(C(x))

= ос,

но для булевых алгебр х и С(х) выполняется первый случай; 3) a = 3, если для любого х 6 95 такого, что chj(x) = оо, найдется у < ж, для которого chi(y) = оо и chi(a; \ у) = оо. Согласно [5, §2.3], булева алгебра определяется своим типом одно­ родности с точностью до изоморфизма. Отметим, что булева алгебра с типом однородности (1,р) рекурсивна тогда и только тогда, когда рекурсивна булева алгебра с типом однородно-

С, Ю. Подзоров

176

сти (2,р). Действительно, если th(21) = (1,р), a t h ( » ) = а + Ьп. Из определения следует, что $(ai,b) С Ф(а2,Ь) для а\ < а 2 и что ^ ( a b ^ i ) С Ф(а2,&2) дая bi < ^2 и произвольных ai, аг- Можно показать, что все эти включения строгие, за исключением случая Ф(ах, 0) = Ф(^2> 0) при a i , a 2 ^ 0 (подробнее см. [5, §3.1]). Введем еще несколько обозначений. Пусть Ф(+оо,Ь)= и * ( а > * ) >

Ф(-оо,Ь)=Р|Ф(а,Ь).

Говорят, что множество I C N принадлежит классу Ф(а, Ь), если характе­ ристическая функция множества X принадлежит этому классу. Заметим, что множество X вычислимо, если X Е Ф(а, 0) для а ^ 0, и является арифметическим, если X Е Ф(а,0) для a E Z. Для классов арифметической иерархии будем полагать Е° = П^ = = Eg = Ilg при п < 0, пусть, как обычно, Д£ = Е° Г) П°. Справедливо следующее

Рекурсивные однородные булевы алгебры

177

П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 1. Множество X С N принадлежит

классу

Ф(а,Ь) тогда и только тогда, когда существуют две вычислимые функ­ ции f и g из множества натуральных чисел в множество

предложений

языка рекурсивной арифметики, для которых 1) /(п) является И^+^^-предложением,

д(п) является

П°+Ьп+1-

предложением; 2) если п е X, то N (= f(n) и N |= д(п), если п £ X, то N ^ /(тг) и

NtMn). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Без ограничения общности можно считать, что а + Ьп ^ 0 для всех п. Действительно, при а < 0 и Ь = 0 утверждение очевидно. Если же а < 0 и Ь > 0, то рассмотрим fc € N, для которого а + Ьк ^ 0, и множество Хь — {п : п + к £ X}. Пусть мы доказали пред­ ложение для этого множества. Если X £ Ф(а,6), то существуют функции f(n) и д(п) с заданными свойствами, определенные для всех п ^ к; до­ определив их при n < fc, получим требуемое. Наоборот, если существуют две такие функции, то Xk £ Ф(а + 6&,fe) и, следовательно, X £ Ф(а,Ь). Пусть fug

{

— две функции, удовлетворяющие условиям 1 и 2. Пусть

N, если N И/(«)»

0

в противном случае

I N, если N (= #(п), и J3n = < I 0

в противном случае.

Тогда п £ X в том и только том случае, если п £ Ап и п £ JB„. Согласно сильной теореме об иерархии [6, § 14.5, теор. VIII], по п можно эффективно найти числа с и d, для которых A n = Wf "

и Вп = W^

. Тогда

по тг можно эффективно сконструировать машину Тьюринга с оракулом для 0( а + Ь п ), вычисляющую характеристическую функцию для Ап. Теперь ясно, как построить машину Тьюринга с оракулом для 0 ^ ) , вычисляющую Хх' по п строится машина Тьюринга, вычисляющая хАп 0(а+Ьп)^ В

не£

с

°РакУлом Для

заменяют вопрос о принадлежности оракулу числа т на

вопрос о принадлежности оракулу числа {а + Ьп, га) и подают число п на вход машины. Пусть, наоборот, X функция хх

£ Ф(а,Ь) и, кроме того, характеристическая

вычисляется машиной Тьюринга с оракулом для &(ш\ име-

С. Ю. Подзоров

178

ющей номер е. Пусть Ак = { ( ^ m )

: m

€ 0 ^ и / ^ к}. Тогда маши­

на Тьюринга с оракулом для Аа+Ьт имеющая номер е, правильно вы­ числяет значение Хх(п)-

Множество Аа+Ьп вычислимо с оракулом для

0(а+Ьп) ^ П р И Ч е м номер вычисляющей функции находится эффективно по п (для доказательства этого факта можно, например, привлечь сильную теорему об иерархии). П о е и п эффективно строится машина Тьюрин­ га с оракулом для 0( a + fen ), правильно вычисляющая Хх(х)

на

элементе

п. Пусть