Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы

Алгебра и логика, 43, N 1 (2004), 60—76

УДК 512.541

РАДИКАЛ ДЖЕКОБСОНА КОЛЬЦА ЭНДОМОРФИЗМОВ АБЕЛЕВОЙ ГРУППЫ∗) П. А. КРЫЛОВ

Одной из важных задач теории абелевых групп и их колец эндоморфизмов является исследование радикалов колец эндоморфизмов. В силу исключительно важной роли радикала Джекобсона в структурной теории колец, основное внимание уделялось именно этому радикалу. Р. С. Пирс [1] поставил проблему описания элементов из радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой p-группы в терминах их действия на группе. Он ввел идеал H(G) всех эндоморфизмов абелевой p-группы G, повышающих высоты элементов порядка p группы G, который оказался очень полезен при решении указанной проблемы. Изучение радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов p-группы в последующих статьях так или иначе касается связи между идеалом H(G) и радикалом (см., напр., [2—7]). По аналогии с примарным случаем в [8] определен идеал H(G) всех эндоморфизмов абелевой группы без кручения G, повышающих p-высоты ее элементов. С помощью этого идеала охарактеризован радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы без кручения конечного ранга, даны критерии его нильпотентности и равенства нулю. В [9] найдены условия совпадения радикала с идеалом H(G) и условия равенства нулю пересечения степеней радикала. В [8, 9] рассматривалось также строение факторкольца кольца эндоморфизмов по радикалу. Для групп бесконечного ранга ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 00-01-00876.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы

61

нет оснований надеяться на описание радикала Джекобсона кольца эндоморфизмов в общем случае. В [10] установлено, что радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов алгебраически компактной группы без кручения G совпадает с H(G). В [9] выделены довольно обширные классы групп без кручения с нильпотентным радикалом Джекобсона кольца эндоморфизмов. В настоящей статье вычисляется радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы без кручения G (теор. 2.3). Для группы G конечного ранга это сделано в [11]. Помимо периодических групп и групп без кручения третьим основным классом абелевых групп является класс смешанных групп. Согласно определению смешанная группа содержит как ненулевые элементы конечных порядков, так и элементы бесконечного порядка. Автору неизвестны работы, в которых затрагивались бы радикалы колец эндоморфизмов смешанных групп. В § 3 находится радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов группы из одного класса смешанных групп, который интенсивно изучался в последние годы (теор. 3.2). Рассматривается также факторкольцо кольца эндоморфизмов такой группы по радикалу, в частности, вопрос о том, когда оно регулярно в смысле Неймана (теор. 3.5). Все встречающие в статье группы — абелевы, через p обозначается некоторое простое число. Если G — группа, то E(G) — ее кольцо эндоморфизмов (иногда вместо E(G) пишем R). Для гомоморфизма α через α|A обозначается сужение α на подгруппе A. Пусть J(K) — радикал Джекобсона кольца K, N (K) — ниль-радикал, т. е. сумма всех ниль-идеалов кольца K. Используем без пояснений ряд известных свойств радикала Джекобсона. Групповые термины, примененные к кольцу, как обычно, относятся к его аддитивной группе; ⊕ — знак прямой суммы групп, идеалов или конечного числа колец. § 1. Вспомогательные результаты Рангом группы без кручения G называется мощность любой ее максимальной линейно независимой системы элементов. Группа G называ-

62

П. А. Крылов

ется однородной, если все ее ненулевые элементы имеют одинаковый тип [12, § 85]. Пусть π(G) = {p | pG 6= G}. Если π(G) — конечное множество, то говорят, что G — почти делимая группа. Через hp (x) обозначается pвысота элемента x ∈ G. Базис окрестностей нуля группы G в Z-адической топологии составляют подгруппы nG, n ∈ N . Для группы без кручения G положим H(G) = {α ∈ E(G) | αD = 0, где D — делимая часть группы G; x ∈ G − D, hp (x) < ∞ ⇒ hp (x) < hp (αx), p ∈ π(G)}. Понятно, что H(G) — идеал кольца E(G). Если G — редуцированная группа, то H(G) = {α ∈ E(G) | x ∈ G, hp (x) < ∞ ⇒ hp (x) < hp (αx), p ∈ π(G)}. Для удобства чтения и ссылок приведем главные результаты из [8]. Напомним, что псевдоцоколем SocG группы без кручения G называется сервантная подгруппа, порожденная семейством всех ее минимальных сервантных вполне характеристических подгрупп. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Пусть G — группа без кручения конечного ранга. Тогда 1) H(G) ⊆ J(E(G)) и идеал J(E(G))/H(G) нильпотентен; 2) радикал J(E(G)) нильпотентен в том и только том случае, если G не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых; 3) J(E(G)) = 0 в том и только том случае, если G = SocG и G не имеет ненулевых почти делимых квазислагаемых. В общем случае ни один из идеалов J(E(G)) и H(G) не содержится в другом. Рассмотрим соотношения между этими идеалами. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.2. Пусть G — редуцированная группа без кручения. Включение H(G) ⊆ J(E(G)) справедливо тогда и только тогда, когда выполняется условие (∗): для любых a ∈ G и α ∈ H(G) существует lim bn (предел в Zадической топологии), где bn = a + αa + . . . + αn−1 a. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть H(G) ⊆ J(E(G)). Элемент 1 − λ обратим в E(G) для любого λ ∈ H(G), т. е. 1 − λ является автоморфизмом группы G. Если теперь a ∈ G и α ∈ H(G), то выбе-

Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы

63

рем b ∈ G так, чтобы (1 − α)b = a. Имеем bn = a + αa + . . . . . . + αn−1 a = (1 − α)b + (α − α2 )b + . . . + (αn−1 − αn )b = (1 − αn )b, откуда T b − bn = αn b. Поскольку α ∈ H(G), то αn b ∈ pn G. Следовательно, p∈π(G)

b = lim bn и (∗) выполняется. Обратно, пусть (∗) выполняется. Достаточно показать, что элемент 1 − λ обратим в E(G) для всякого λ ∈ H(G). Если 0 6= x ∈ G, то hp (x) < ∞ для некоторого p. Тогда hp (x) < hp (λx) и hp ((1 − λ)x) = hp (x − λx) = = hp (x) < ∞, откуда (1 − λ)x 6= 0. Возьмем теперь некоторый элемент a ∈ G и положим b = lim bn , где bn = a + λa + . . . + λn−1 a. Имеем (1 − −λ)b = (1 − λ)(lim bn ) = lim (1 − λ)bn = lim (bn − λbn ) = lim (a − λn a) = T = a − lim λn a = a, так как λn a ∈ pn G, а значит, lim λn a = 0. Таким p∈π(G)

образом, (1 − λ)b = a. Значит, 1 − λ является автоморфизмом группы G, т. е. обратим в кольце E(G). Предложение доказано. Если G — группа без кручения, a ∈ G и α ∈ E(G), то через hαn a | n > > 0i и hαn a | n > 0i∗ обозначаются соответственно подгруппа и сервантная подгруппа, порожденные элементами a, αa, α2 a, . . . . СЛЕДСТВИЕ 1.3. Пусть L — односторонний идеал кольца эндоморфизмов редуцированной группы без кручения G, состоящий из эндоморфизмов α таких, что подгруппа hαn a | n > 0i имеет конечный ранг для любых a ∈ G и α ∈ L. Тогда H(G) ∩ L ⊆ J(E(G)). Из доказательства предложения 1.2 видно, что достаточно проверить условие (∗) для идеала H(G) ∩ L. Пусть a ∈ G и α ∈ H(G) ∩ L. Положим A = hαn a | n > 0i∗ . Группа A имеет конечный ранг, и α|A ∈ H(A). По предложению 1.1, H(A) ⊆ J(E(A)). Ввиду предложения 1.2 условие (∗) для идеала H(A) выполняется, т. е. существует lim bn в группе A, где bn = = a + αa + . . . + αn−1 a. Значит, в группе G существует lim bn , т. е. условие (∗) справедливо для H(G) ∩ L. Следствие доказано. Выделим один класс групп, для которых справедливо включение J(E(G)) ⊆ H(G). Группа без кручения G называется вполне транзитивной [13], если для любых ее элементов a, b 6= 0 таких, что hp (a) 6 hp (b) при всех p, существует ϕ ∈ E(G), переводящий a в b.

64

П. А. Крылов ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4. Если G — однородная вполне транзитив-

ная группа без кручения, то J(E(G)) ⊆ H(G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Группу G можно считать редуцированной. T pE(G). Радикал равен пересечению всех примитивТогда H(G) = p∈π(G)

ных идеалов кольца, поэтому достаточно доказать, что идеал pE(G) примитивен, т. е. существует точный простой E(G)/pE(G)-модуль для каждого p ∈ π(G). Зафиксируем некоторое q ∈ π(G) и покажем, что точный E(G)/qE(G)-модуль G/qG является простым. Для произвольных элементов x, y ∈ G − qG найдем эндоморфизм ϕ ∈ E(G) такой, что ϕx − y ∈ qG. Поскольку группа G однородна, существует целое число k 6= 0 такое, что hp (x) 6 hp (ky) для всех p ∈ π(G). При этом можно считать, что (k, q) = 1. Следовательно, ks + qt = 1, где s, t — целые числа. Поскольку hp (x) 6 hp (ksy), p ∈ π(G), то существует ϕ ∈ E(G) со свойством ϕx = ksy. Тогда ϕx − y = ksy − y = −qty ∈ qG, и предложение доказано. Группа без кручения, являющаяся прямой суммой групп ранга 1, называется вполне разложимой. Группа без кручения G называется сепарабельной, если каждое конечное подмножество элементов из G содержится в некотором вполне разложимом прямом слагаемом группы G (теория групп ранга 1, вполне разложимых и сепарабельных групп изложена в [12, §§ 85–87]). Однородная сепарабельная группа вполне транзитивна. Поэтому имеет место СЛЕДСТВИЕ 1.5. Для однородной сепарабельной группы G справедливо J(E(G)) ⊆ H(G). Рассмотрим еще один идеал кольца эндоморфизмов. Эндоморфизм α группы G называется поэлементно нильпотентным, если для всякого a ∈ G найдется n ∈ N (зависящее от a) такое, что αn a = 0. Обозначим через N (G) сумму всех идеалов кольца E(G), состоящих из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов группы G. Понятно, что N (E(G)) ⊆ N (G). ЛЕММА 1.6. Имеет место N (G) ⊆ J(E(G)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что каждый идеал L кольца E(G), состоящий из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов, содержится в

Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы

65

J(E(G)). Для этого проверим, что элемент 1 − α обратим в E(G) для любого α ∈ L. Допустим, (1−α)a = 0, где a ∈ G, и положим A = hαn a | n > > 0i. Тогда αA ⊆ A, α|A и 1−α|A — нильпотентный и обратимый элементы кольца E(A), поэтому a = 0. Пусть теперь b ∈ G и B = hαn b | n > 0i. Тогда α|B — нильпотентный, а 1 − α|B — обратимый элементы кольца E(B). Отсюда (1 − α)c = b для некоторого c ∈ B. Следовательно, 1 − α является автоморфизмом группы G и обратим в кольце E(G). ЛЕММА 1.7 [9]. Пусть группа G = A ⊕ B, e : G → A — проекция, i : A → G — вложение. 1) Если f ∈ J(E(G)), то ef i ∈ J(E(A)). 2) Если g ∈ J(E(A)), то эндоморфизм f группы G, совпадающий с g на A и аннулирующий B, лежит в J(E(G)).

§ 2. Случай вполне разложимой группы без кручения Общий тип всех ненулевых элементов однородной группы без кручения A назовем типом группы A и обозначим t(A) (см. § 1). В частности, это касается группы A ранга 1. Напомним, что вполне разложимые и сепарабельные группы без кручения определены в § 1. ЛЕММА 2.1. Пусть G — группа без кручения, G =

∞ L

Ai , где

i=1

Ai — группа ранга 1 и t(Ai ) 6 t(Ai+1 ), i > 1. Для любого α ∈ J(E(G)) существует m ∈ N такое, что αG ⊆ A1 ⊕ . . . ⊕ Am . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Предположим,

что

для

некоторого

α

∈

∈ J(E(G)) указанное число m не существует. Положим n0 = 1. Пусть индекс k1 — минимальный такой, что αA1 ⊆ A1 ⊕ . . . ⊕ Ak1 . По предположению существуют индексы n1 и k2 , для которых n1 , k2 > k1 и αAn1 ⊆ A1 ⊕ ⊕ . . . ⊕ Ak2 , причем k2 — минимальное число с таким свойством. Продолжая этот процесс, получим последовательность групп An0 , Ak1 , An1 , Ak2 , . . . . Определим эндоморфизм ϕ ∈ E(G), взяв в качестве ϕ|Aki некоторый ненулевой гомоморфизм Aki → Ani для всех i ∈ N и положив ϕAs = 0 для ∞ L Aki . Пусть j : B → G и e : G → B — влоs 6= ki . Образуем группу B = i=1

жение и проекция соответственно. По лемме 1.7, eαϕj ∈ J(E(B)). Однако

66

П. А. Крылов

элемент 1−eαϕj необратим в кольце E(B), что невозможно. Действительно, для каждого i ∈ N ограничение eαϕj на Aki является гомоморфизмом i i+1 L L Aks . Значит, для ненулевого элемента Aks и (eαϕj)Aki 6⊂ Aki → s=1

s=1

a ∈ Aki элемент (eαϕj)a имеет ненулевую компоненту в Aki+1 , откуда Ak1 6⊂ (1 − eαϕj)B, получаем противоречие. Лемма доказана. Для группы без кручения G определим идеал эндоморфизмов конечного ранга, F (G) = {α ∈ E(G) | αG имеет конечный ранг}. По следствию 1.3, H(G) ∩ F (G) ⊆ J(E(G)). СЛЕДСТВИЕ 2.2. Пусть G — однородная вполне разложимая группа без кручения. Тогда J(E(G)) = H(G) ∩ F (G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Одно включение, как уже отмечено, верно всегда. Пусть α ∈ J(E(G)). По следствию 1.5, α ∈ H(G). Проверим, что L α ∈ F (G). Предположим противное. Запишем G = Ai , где Ai — группы i∈J

ранга 1. Можно выбрать попарно различные слагаемые Ai1 , Ai2 , . . . так, L что αB ⊆ B, где B = Ain , причем ранг группы αB бесконечен. Поn>1

скольку α|B ∈ J(E(B)) (лемма 1.7), это невозможно в силу леммы 2.1. Значит, α ∈ F (G), и следствие доказано. Пусть G — вполне разложимая группа без кручения, T — множество типов всех ее прямых слагаемых ранга 1. Для данного типа t ∈ T обозначим через Bt сумму всех слагаемых ранга 1 и типа t в некотором фиксированном разложении группы G в прямую сумму групп ранга 1. L Можно записать каноническое разложение G = Bt . Слагаемые Bt одt∈T

нородны и называются однородными компонентами группы G. Обозначим через F1 (G) левый идеал кольца E(G), образуемый эндоморфизмами α такими, что αBt имеет конечный ранг для всех t, причем αBt = 0, если компонента Bt не является почти делимой. Идеал F1 (G) удовлетворяет условию, сформулированному в следствии 1.3 для идеала L. Тогда H(G)∩F1 (G) ⊆ J(E(G)). Кроме того, N (G) ⊆ J(E(G)) согласно лемме 1.6. ТЕОРЕМА 2.3. Пусть G — вполне разложимая группа без кручения. Тогда J(E(G)) = (H(G) ∩ F1 (G)) + N (G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно проверить, что левая часть содер-

Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы жится в правой. Запишем каноническое разложение G =

L

67

Bt , и пусть

t∈T

et : G → Bt — проекции. Для произвольного эндоморфизма α ∈ J(E(G)) построим определенные эндоморфизмы µ и ν группы G так, что α = µ + ν. Укажем, как µ и ν действуют на элементах компонент Bt . Пусть b ∈ Bt и P αb = es αb, где почти все слагаемые es αb равны 0. Полагаем µb = et αb, а νb = αb − µb. Понятно, что µ, ν ∈ E(G) и α = µ + ν. По построению µBt ⊆ ⊆ Bt , и µ|Bt ∈ J(E(Bt )) в силу леммы 1.7. Значит, µ|Bt ∈ H(Bt )∩F (Bt ) для каждого t ∈ T (следствие 2.2). Тогда µ ∈ H(G) ∩ F1 (G). По следствию 1.3, µ ∈ J(E(G)). Поэтому ν ∈ J(E(G)). Покажем включение ν ∈ N (G). Достаточно убедиться, что идеал кольца E(G), порожденный ν, состоит из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов. Любой элемент β этого идеала равен конечной сумме P ϕi νψi , где ϕi , ψi ∈ E(G). Заметим, что β ∈ J(E(G)). Кроме того, из et νb = 0, где b ∈ Bt , следует et βb = 0. Требуется доказать, что для любого элемента a ∈ G существует n ∈ N со свойством β n a = 0. Это достаточно проверить для элементов a из всех компонент Bt . Пусть, напротив, для некоторого t нашелся элемент a ∈ Bt такой, что β n a 6= 0 при любом n > 1. Построим ориентированный граф со счетным числом вершин, которыми будут служить некоторые прямые слагаемые ранга 1 группы G. Для каждой компоненты Bs фиксируем некоторое ее разложение в прямую сумму групп ранга 1. Пусть A0 — сервантная подгруппа, порожденная элементом a. Считаем, что A0 является одним из прямых слагаемых в зафиксированном прямом разложении группы Bt . Все появляющиеся далее прямые слагаемые ранга 1 — это также некоторые из прямых слагаемых групп Bs в выбранных прямых разложениях. Группу A0 примем за одну из вершин графа. Пусть βA0 ⊆ A1 ⊕ . . . ⊕ Ak , где A1 , . . . , Ak — некоторые прямые слагаемые группы G ранга 1, причем подгруппа βA0 имеет ненулевую проекцию на каждое из слагаемых. Группы A1 , . . . , Ak считаем вершинами графа. Соединяем A0 стрелкой с каждой из Ai , i = 1, . . . , k. То же самое де(i)

(i)

лаем со всеми группами A1 , . . . , Ak . А именно, пусть βAi ⊆ A1 ⊕ . . . ⊕ Ami , (i)

(i)

где группы A1 , . . . , Ami имеют те же свойства, что и группы A1 , . . . , Ak . (i)

Соединяем вершину Ai стрелкой с каждой вершиной Aj , i = 1, . . . , k,

68

П. А. Крылов (i)

(i)

j = 1, . . . , mi . Некоторые из вершин A1 , . . . , Ak и A1 , . . . , Ami , i = 1, . . . , k, (i)

могут совпасть. Однако, в силу свойств эндоморфизма β, из Al = Aj , вы(i)

(i)

текает l 6= i. Могут также совпасть некоторые из вершин A1 , . . . , Ami , (i)

i = 1, . . . , k, при различных i. С каждой вершиной Aj , i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , mi , поступаем аналогичным образом. Продолжая бесконечно этот процесс выделения вершин графа, получим искомый граф. Из предположений об эндоморфизме β вытекает следующее обстоятельство. Если Av и Aw — две вершины графа, соединенные стрелкой, то t(Av ) < t(Aw ) и группа βAv обладает ненулевой проекцией на слагаемое Aw . Из β n a 6= 0, n ∈ N , следует, что граф имеет бесконечное число вершин. Выделим теперь из графа некоторые подграфы C1 , C2 , . . . . Положим C1 = A0 . Подграф, начинающийся с какой-то из вершин A1 , . . . , Ak , имеет бесконечное число вершин. Пусть это будет вершина Al (подграф, начинающийся с вершины Al , состоит из всех вершин Av таких, что существует путь из Al в Av ). Полагаем C2 = Al . Аналогично, существует номер (l)

m с тем свойством, что подграф, начинающийся с вершины Am , имеет (l)

бесконечное число вершин. Пусть C3 = Am . Далее выбираем подобным образом C4 , C5 , . . . . По построению графа сумма C всех групп Ci , i > 1, является прямой и служит прямым слагаемым для группы G. Кроме того, t(Ci ) < t(Ci+1 ) и подгруппа βCi имеет ненулевую проекцию на слагаемое Ci+1 , i > 1. Если e — проекция группы G на слагаемое C, то, по лемме 1.7, eβ|C ∈ J(E(C)). Для всякого i справедливо 0 6= (eβ)Ci ⊂ Ci+1 , но по лемме 2.1 такого эндоморфизма в радикале J(E(C)) нет. Значит, β — поэлементно нильпотентный эндоморфизм. Следовательно, ν ∈ N (G). Таким образом, α = µ + ν, где µ ∈ H(G) ∩ F1 (G), а ν ∈ N (G). Теорема доказана. Эндоморфизм µ из доказательства теоремы на самом деле лежит в Q произведении идеалов J(E(Bt )), где J(E(Bt )) = H(Bt )∩F (Bt ) согласно следствию 2.2.

t∈T

СЛЕДСТВИЕ 2.4. Для группы G из теоремы верно равенство Q J(E(G)) = (H(Bt ) ∩ F (Bt )) ⊕ N (G) (здесь ⊕ — прямая сумма групп). t∈T

Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы

69

СЛЕДСТВИЕ 2.5. Радикал кольца эндоморфизмов вполне разложимой группы G поэлементно нильпотентен тогда и только тогда, когда G не имеет почти делимых прямых слагаемых ранга 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что радикал J(E(G)) поэлементно нильпотентен, а группа G обладает разложением G = A ⊕ H, в котором A — почти делимая группа ранга 1. В силу предложения 1.1 и леммы 1.7 эндоморфизм α, действующий как умножение на число p1 . . . pk на слагаемом A и аннулирующий H, принадлежит J(E(G)), где {p1 , . . . , pk } = π(A). Такой α не является поэлементно нильпотентным эндоморфизмом. Обратно, пусть группа G не имеет почти делимых прямых слагаемых ранга 1. Как и в теореме 2.3 представим эндоморфизм α ∈ J(E(G)) в виде α = µ + ν. Из доказательства теоремы вытекает, что ν является поэлементно нильпотентным эндоморфизмом. Кроме того, µ|Bt ∈ H(Bt ) ∩ F (Bt ) для каждого t ∈ T . С другой стороны, H(Bt ) = 0, так как Bt не является почти делимой группой. Таким образом, µ = 0, α = ν, и α — поэлементно нильпотентный эндоморфизм. Будем говорить, что множество T типов всех прямых слагаемых ранга 1 сепарабельной (в частности, вполне разложимой) группы без кручения G удовлетворяет условию m-максимальности, где m — фиксированное натуральное число, если длина каждой возрастающей цепи элементов из T не превосходит m, причем m — минимальное число с таким свойством. СЛЕДСТВИЕ 2.6. Пусть G — вполне разложимая группа и множество T удовлетворяет условию m-максимальности. Тогда J(E(G)) = = (H(G) ∩ F1 (G)) + N (E(G)), причем N (E(G))m = 0, т. е. N (E(G)) — нильпотентный идеал. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сохраняем все обозначения теоремы 2.3. Возьмем некоторый идеал L кольца E(G), состоящий из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов, и пусть ν ∈ L. Можно убедиться, что для любых s, r ∈ T (s 6= r) и a ∈ Br справедливо t(a) < t(es νa) (здесь t(x) — тип элемента x ∈ G). Учитывая условие m-максимальности, получаем ν m = 0. Следовательно, ν m (a) = 0 для любого a ∈ G, т. е. ν m = 0. Значит, L ⊆ N (E(G)), N (G) = N (E(G)) и искомое равенство идеалов имеет ме-

70

П. А. Крылов

сто. Понятно также, что ν1 . . . νm = 0, если ν1 , . . . , νm ∈ N (E(G)). Значит, N (E(G))m = 0. В [9] показано, что ниль-радикал N (E(G)) для сепарабельной группы G нильпотентен тогда и только тогда, когда T удовлетворяет условию m-максимальности для некоторого m ∈ N . Это же равносильно нильпотентности идеала N (G). СЛЕДСТВИЕ 2.7 [11]. Если вполне разложимая группа G имеет конечный ранг, то J(E(G)) = H(G) + N (E(G)).

§ 3. Случай смешанной группы Если G — группа, то через Gp обозначается ее p-компонента, т. е. наибольшая подгруппа в G, являющаяся p-группой, через T (G) — периодическая часть группы G, т. е. совокупность всех ее элементов конечного L порядка, T (G) = Gp . p

В последнее время стали детально исследоваться смешанные группы, расположенные между суммой и произведением своих p-компонент (см., напр., [14—20]). Дадим точное определение таких групп. Редуцированную смешанную группу G с бесконечным числом ненулевых p-компонент называют sp-группой, если естественное вложение L Q Gp → G продолжается до сервантного вложения G → Gp (здесь и даp

p

лее подразумевается, что p пробегает множество всех простых чисел, для L Q которых Gp 6= 0). Таким образом, можно считать, что Gp ⊂ G ⊆ Gp p p Q для sp-группы G, причем G сервантна в Gp (это равносильно делимости p

фактор-группы G/T (G)). Пусть G — sp-группа, V = G/T (G), R = E(G), Rp = E(Gp ), Rt = Hom(G, T (G)), S = R/Rt . Для каждого p имеем G = Gp ⊕ Bp , где Bp — дополнительное слагаемое (оно определяется однозначно), pBp = Bp и E(G) = E(Gp )⊕E(Bp ). Пусть V — Q-пространство, а S — Q-алгебра. Если фактор-группа G/T (G) имеет конечный ранг, то V и S конечномерны.

Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы

71

Наибольшее внимание привлекают самомалые sp-группы G такие, что ранг фактор-группы G/T (G) конечен. Группа G называется само∞ L Gi (Gi ∼ малой, если образ всякого гомоморфизма G → = G, i > 1) i=1

содержится в сумме конечного числа слагаемых Gi . Различные свойства самомалых групп приведены в [21]. ЛЕММА 3.1 [14, 15]. Если G — самомалая sp-группа с факторL группой G/T (G) конечного ранга, то Rt = Rp и каждая p-компонента p

Gp является конечной p-группой. Пусть G — p-группа. Напомним определение идеала Пирса H(G) = {α ∈ E(G) | h(x) < ∞ ⇒ h(x) < h(αx) для всякого элемента x порядка p} (h(x) — высота элемента x в p-группе G). Заметим (см. [1]), что J(E(G)) ⊆ ⊆ H(G). Для sp-группы введем аналог идеала H(G) для p-группы или группы без кручения G. Если G — sp-группа, то положим H(G) = {α ∈ E(G) | α|Gp ∈ H(Gp ) для каждого p}, где H(Gp ) — идеал Пирса для p-группы Gp . Поскольку E(G) = E(Gp ) ⊕ ⊕ E(Bp ) и J(E(Gp )) ⊆ H(Gp ), то J(E(G)) ⊆ H(G). Заметим: если G — самомалая sp-группа с фактор-группой G/T (G) конечного ранга, то Gp — конечная группа (лемма 3.1), а J(E(Gp )) = H(Gp ) (см. [1]). ТЕОРЕМА 3.2. Если G — самомалая sp-группа, причем факторгруппа G/T (G) имеет конечный ранг, то J(E(G)) = N (E(G)) = H(G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть α ∈ J(R). Тогда α + Rt ∈ J(S). Поскольку S — конечномерная Q-алгебра, то αk ∈ Rt для некоторого k ∈ N . L По лемме 3.1, Rt = Rp . Поэтому можно считать, что G = B ⊕ C, где p

B — прямая сумма конечного числа некоторых p-компонент Gp , C — дополнительное слагаемое, причем αk C = 0, а (α|B)k ∈ J(E(B)). Поскольку кольцо E(B) конечно, получаем αkm = 0, где m ∈ N , а α — нильпотентный элемент. Следовательно, J(E(G)) = N (E(G)).

72

П. А. Крылов Уже замечено, что J(E(G)) ⊆ H(G). Чтобы доказать обратное вклю-

чение, возьмем некоторый α ∈ H(G). Для каждого p имеем αp ∈ H(Gp ) = = J(Rp ), где αp — ограничение α на Gp . Тогда 1 − αp является обратимым элементом кольца E(Gp ) и автоморфизмом группы Gp . В таком случае β = 1 − α — мономорфизм группы G и левый неделитель нуля в E(G). Допустим, что β¯δ¯ = 0 для некоторого δ ∈ R (черта обозначает смежный класс относительно Rt ). Тогда βδ ∈ Rt . Запишем G = B ⊕ C, где B — сумма конечного числа p-компонент Gp , C — дополнительное слагаемое и βδC = 0. Можно выбрать δ так, чтобы δB = 0. Тогда βδ = 0, откуда δ = 0 и δ¯ = 0. Следовательно, 1 − α ¯ — левый неделитель нуля в S и обратимый элемент (поскольку S конечномерно). Существует γ ∈ R со свойством (1 − α ¯ )¯ γ = γ¯ (1 − α ¯ ) = 1 в кольце S. Можно так подобрать разложение G = B ⊕ C (B — сумма конечного числа некоторых p-компонент Gp ), что (1−α)γ = γ(1−α) = 1 на дополнительном слагаемом C. Тогда сужение (1 − α)|C является автоморфизмом группы C. Поскольку 1 − αp будет автоморфизмом группы Gp при любом p, то 1−α — автоморфизм группы G и обратимый элемент кольца E(G). Так как H(G) — идеал в E(G), то H(G) ⊆ J(E(G)) и эти идеалы равны. Теорема доказана. Пусть A — конечная p-группа. Наименьшее натуральное число m со свойством pm A = 0 называется экспонентой e(A) группы A. В [5] доказано, что индекс нильпотентности (там он назывался длиной Леви) идеала J(E(A)) не превосходит 2e(A) − 1. Опираясь на это, из доказательства теоремы вытекает СЛЕДСТВИЕ 3.3. Радикал J(E(G)) для группы G из теоремы 3.2 нильпотентен тогда и только тогда, когда множество экспонент всех групп Gp имеет точную верхнюю грань. Группа, равная прямой сумме циклических групп простых порядков, называется элементарной; sp-группа G называется элементарной, если ее периодическая часть — элементарная группа [20]. Кольцо K назовем (элементарным) sp-кольцом, если его аддитивная группа является (элементарной) sp-группой (это несколько уже понятия sp-кольца, введен-

Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы

73

ного в [18]). Если K — sp-кольцо, то имеют место сервантные вложения L Q Kp ⊂ K ⊆ Kp , где Kp — p-кольцо (т. е. его аддитивная группа являp

p

ется p-группой). Кольцо E(G) для sp-группы G, у которой порядки всех элементов каждой p-компоненты Gp ограничены в совокупности, будет sp-кольцом. Редуцированное регулярное кольцо будет элементарным spкольцом [12, теор. 124.1]. ЛЕММА 3.4. Редуцированное кольцо K является регулярным тогда и только тогда, когда K — элементарное sp-кольцо, а фактор-кольцо K/T (K) и кольца Kp для всех p регулярны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Н е о б х о д и м о с т ь. Как было указано, K — элементарное sp-кольцо. Остается заметить, что фактор-кольцо регулярного кольца всегда регулярно. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть x ∈ K. Найдутся элементы a ∈ K и c ∈ ∈ T (K) такие, что xax = x+c. Пусть K = L⊕M , где M — сумма конечного числа некоторых p-компонент Kp , причем c ∈ M , L — дополнительное слагаемое. Запишем x = x1 + x2 , a = a1 + a2 , где x1 , a1 ∈ L, x2 , a2 ∈ M . Тогда x1 a1 x1 = x1 (учитывая, что LM = M L = 0). По условию M является регулярным кольцом, поэтому x2 bx2 = x2 для некоторого b ∈ M . Как легко видеть, x(a1 + b)x = x, значит, кольцо R регулярно. Лемма доказана. Пусть G — некоторая sp-группа, J — идеал кольца E(G) такой, что Rt ⊆ J и J/Rt = J(R/Rt ) = J(S). Очевидно, J(R) ⊆ J и, следовательно, J(R) + Rt ⊆ J. ТЕОРЕМА 3.5. Пусть G — самомалая sp-группа такая, что фактор-группа G/T (G) имеет конечный ранг. Тогда E(G)/J(E(G)) — элементарное sp-кольцо; оно регулярно в том и только том случае, если J(R) + Rt = J. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для всякого p имеем R = Rp ⊕ Kp , где Rp — конечное p-кольцо и pKp = Kp . Следовательно, J(R) = J(Rp ) ⊕ J(Kp ) и R/J(R) = Rp /J(Rp ) ⊕ Kp /J(Kp ), причем p(Kp /J(Kp )) = Kp /J(Kp ). Из [19, лемма 1.1] вытекает, что R/J(R) — sp-кольцо. Поскольку pRp ⊆ ⊆ H(Ap ) = J(Rp ) (см. [1]), то Rp /J(Rp ) — элементарное p-кольцо. Следо-

74

П. А. Крылов

вательно, R/J(R) — элементарное sp-кольцо. Установим равенство T (R/J(R)) = (J(R) + Rt )/J(R). Из Rt =

L

Rp

p

(лемма 3.1) следует, что правая часть рассматриваемого равенства лежит в левой. Пусть теперь mα ∈ J(R), где α ∈ R, m ∈ N . Существует разложение G = B ⊕ C, в котором B — прямая сумма конечного числа некоторых p-компонент Gp , C — дополнительное слагаемое, причем mC = C. Для колец эндоморфизмов получаем E(G) = E(B) ⊕ E(C). Если α = β + γ — представление относительно этого разложения, то δ = mγ ∈ J(E(C)). Ввиду mC = C существует эндоморфизм 1/m ∈ E(C). Отсюда γ = (1/m)δ ∈ J(E(C)) ⊆ J(R). Итак, α = γ + β ∈ J(R) + Rt , и указанное равенство справедливо. Все кольца Rp конечны, поэтому кольца Rp /J(Rp ) регулярны. На основании первой части доказательства и леммы 3.4, кольца R/J(R) и (R/J(R))/T (R/J(R)) регулярны или нет одновременно. Последнее из них, учитывая полученное выше равенство, изоморфно кольцу R/(J(R) + Rt ). Это кольцо является конечномерной Q-алгеброй, поэтому его регулярность равносильна его полупростоте. Радикал кольца R/(J(R) + Rt ) равен J/(J(R) + Rt ), и его полупростота равносильна тому, что J(R) + Rt = J. Теорема доказана. Полупростота кольца E(A), где A — p-группа, равносильна элементарности группы A. Отсюда полупростота кольца E(G), где G — sp-группа, равносильна тому, что G — элементарная sp-группа. В [14] (см. также [16]) для самомалой sp-группы G с фактор-группой G/T (G) конечного ранга доказано, что кольцо E(G) регулярно тогда и только тогда, когда G — элементарная sp-группа, а S — полупростая алгебра. Можно считать, что теорема 3.5 обобщает этот результат. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.6. Пусть G — самомалая sp-группа такая, что фактор-группа G/T (G) имеет конечный ранг. Равенство J(R)+Rt = = J выполняется в каждом из следующих случаев: 1) S — полупростая алгебра; 2) G — моногенная sp-группа.

Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы

75

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) В этом случае J = Rt , поэтому J(R) + L + Rt = J. Заметим, что здесь J(R) = J(Rp ). p

2) Так как G — моногенная группа, каждая p-компонента Gp — циклическая группа [18]. Кольцо R для такой группы коммутативно, следовательно, радикал J(R) совпадает с множеством всех нильпотентных элементов кольца R. Если α ∈ J, то αk ∈ Rt при некотором k. Пусть G = B ⊕ C, где B — сумма конечного числа p-компонент Gp , C — дополнительное слагаемое и αk ∈ E(B). Пусть α = β + γ, где β ∈ E(B), γ ∈ E(C). Тогда γ k = 0 и γ ∈ J(R). Значит, α = γ + β ∈ J(R) + Rt и J = J(R) + Rt .

ЛИТЕРАТУРА 1. R. S. Pierce, Homomorphisms of primary abelian groups, Topics in Abelian groups, Chicago, 1963, 215—310. 2. А. В. Михалев, Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей, в сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. 12 (Итоги науки и техники), М., ВИНИТИ, 1974, 51—76. 3. В. Т. Марков, А. В. Михалев, Л. А. Скорняков, А. А. Туганбаев, Кольца эндоморфизмов модулей и структуры подмодулей, в сб.: Алгебра. Топология. Геометрия. 21 (Итоги науки и техники), М., ВИНИТИ, 1983, 183—254. 4. М. Dugas, Оn the Jacobson radical of some endomorphism rings, Proc. Am. Math. Soc., 102, N 4 (1988), 823—826. 5. C. E. Praeger, P. Schultz, The Loewy length of the Jacobson radical of a bounded endomorphism ring, in: Abelian groups and noncommutative rings: coll. papers mem. R. B. Warfield (Contemp. Math., 130), 1992, 349—360. 6. J. Hausen, C. E. Praeger, P. Schultz, Most abelian p-groups are determined by the Jacobson radical of their endomorphism rings, Math. Z., 216, N 3 (1994), 431—436. 7. J. Hausen, J. A. Johnson, Determining abelian p-groups by the Jacobson radical of their endomorphism rings, J. Algebra, 174, N 1 (1995), 217—224. 8. П. А. Крылов, Радикалы колец эндоморфизмов абелевых групп без кручения, Матем. сб., 95, N 2 (1974), 214—228. 9. П. А. Крылов, Радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов абелевой группы без кручения, Абелевы группы и модули, Томск, N 11-12 (1994), 99—120.

76

П. А. Крылов 10. П. А. Крылов, Суммы автоморфизмов абелевых групп и радикал Джекобсона кольца эндоморфизмов, Изв. Вузов. Матем., 1976, N 4, 56—66. 11. A. Mader, P. Schultz, Endomorphism rings and automorphism groups of almost completely decomposable groups, Commun. Algebra, 28, N 1 (2000), 51—68. 12. Л. Фукс, Бесконечные абелевы группы, т. 2, М., Мир, 1977. 13. П. А. Крылов, Вполне транзитивные абелевы группы без кручения, Алгебра и логика, 29, N 5 (1990), 549—560. 14. S. Glaz, W. Wickless, Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups, Commun. Algebra, 22, N 4 (1994), 1161—1176. 15. U. F. Albrecht, H. P. Goeters, W. Wickless, The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules, Rocky Mt. J. Math., 25, N 2 (1995), 569—590. 16. U. Albrecht, Mixed abelian groups with Artinian quasi-endomorphism ring, Commun. Algebra, 25, N 11 (1997), 3497—3511. 17. A. Fomin, W. Wickless, Self-small mixed abelian groups G with G/T (G) finite rank divisible, Commun. Algebra, 26, N 11 (1998), 3563—3580. 18. П. А. Крылов, Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов, Фунд. и прикл. матем., 6, N 3 (2000), 793—812. 19. П. А. Крылов, Е. Г. Пахомова, Е. И. Подберезина, Об одном классе смешанных абелевых групп, Вестник ТГУ, 269 (2000), 29—34. 20. П. А. Крылов, Е. Г. Пахомова, Абелевы группы и регулярные модули, Матем. заметки, 69, N 3 (2001), 402—411. 21. D. M. Arnold, C. E. Murley, Abelian groups A, such that Hom(A, −) preserves direct sums of copies of A, Pac. J. Math., 56, N 1 (1975), 7—20.

Поступило 4 января 2002 г. Адрес автора: КРЫЛОВ Петр Андреевич, пр. Мира, д. 3, кв. 60, г. Томск, 634057, РОССИЯ. e-mail: [email protected]