Обратная фильтрация геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ

М.Т,Сильвиа Э. А. Робинсон

ОБРАТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ

Developments in Petroleum Science, 10

deconvolution off geophysical time series in the exploration ffor oil and natural gas M A N U E L T. S I L V I A Research Scientist United States Naval Underwater Systems Center, Newport, Rhode Island and

ENDERS A. ROBINSON Distinguished Professor of Mathematics and Geophysics University of Tulsa, Tulsa, Oklahoma Adjunct Professor of Electrical Engineering Northeastern University, Boston, Massachusetts Consultant Amoco Production Company, Tulsa, Oklahoma

E L S E V I E R S C I E N T I F I C PUBLISHING COMPANY Amsterdam— Oxford — New York 1979

М.Т Сильвиа Э.А.Робинсон

ОБРАТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ Перевод с английского В. Н. Л и с и н а под редакцией доктора технических наук О. Л. П о т а п о в а

МОСКВА «НЕДРА»

1983

УДК 550.834

Сильвиа М. Т., Робинсон Э. А. Обратная филь­ трация геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ. — Пер. с англ. М., Недра, 1983,447 с. Пер. изд.: Нидерланды, 1979. Рассмотрены вопросы распросгранения сейсмических волн согласно классическому подходу и подходу, разви­ ваемому авторами. Освещены теория метода, методика и техника работ. Описаны различные варианты обратной сейсмической фильтрации (сжатие сейсмических импуль­ сов, подавление многократных волн), повышающие разрешенность сейсмической записи. Обоснованы преиму­ щества кепстральной (гомоморфной) обратной фильтрации (деконволюции) при подавлении полнократных гюлн. Рассмотрен метод пространства состояний как средство соверщенствования обратной фильтрации. Для геофизиков, занимающихся разработкой и jiciлизацней цифровых методов обработки сейсморазведочпых данных. Табл. И , ил. 56, список лит.—112 назв.

@

Elsevier Scienllfic publishing company, I97f ® Перевод н» русский , 1904050000

'

036 142.^.82

043(01)—83

язык, и з д а 1 елbciiio«Недр.i»j

J 983

Mi иМЛКТОРА

I I I .uictiHi'Mbie в п р а к т и к е с е й с м о р а з в е д к и м е т о д ы а н а л и з а ф о р oKiii.i.i в источнике и с в я з а н н ы е с ними о б щ е п р и н я т ы е спосои и \шф\ш]юй ф и л ь т р а ц и и сейсмических з а п и с е й ( в р е м е н н ы х р я ii'i существу те ж е , что и в д р у г и х о б л а с т я х н а у к и и гехMiiiir (пинственна с е й с м о р а з в е д к е , п о ж а л у й , т о л ь к о п р о ц е д у р а i,Mj,.,Hiii(t ф и л ь т р а ц и и (или д е к о н в о л ю ц и и ) , о б е с п е ч и в а ю щ а я де|11 .и (.тфлцию с е й с м и ч е с к и х з а п и с е й и, с л е д о в а т е л ь н о , п о в ы ш е н и е ji.M|.Mii(4mocTH о д н о к р а т н ы х о т р а ж е н и й . (' »|1и'ствует много р а з л и ч н ы х п о д х о д о в к п р о б л е м е д е к о п в о ^к.иии сейсмических т р а с с . Н а п р и м е р , и з в е с т н ы й способ М . Ba­ li i m , основанный на применении о п е р а ц и и линейной о б р а т н о й (|.(т|||);пщи д л я п о д а в л е н и я р е в е р б е р а ц и и водного с л о я и преду14М)|И1иа10щий и с п о л ь з о в а н и е д е т е р м и н и с т и ч е с к и х ч а с т о т н ы х поожмП теории э л е к т р и ч е с к и х цепей. В о з м о ж е н т а к ж е с т а т и с т и 'tiiiiiiCi подход к о с у щ е с т в л е н и ю п р о ц е д у р ы д е к о н в о л ю ц и и , б а з и щнипиГк-я на т о м , что п о л е з н ы е о т р а ж е н и я с ч и т а ю т с я с л у ч а й ..мП н е к о р р е л и р о в а н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю , и на п р и м е н е н и и 4(и|11я;| н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в д л я о п р е д е л е н и я по сейсмическим ftiiiiiibiM л и н е й н ы х о п е р а т о р о в с ц е л ь ю о с у щ е с т в л е н и я п р е д с к а з ы »(.»1пм1('Г| д е к о н в о л ю ц и и . И м е н н о этот п о д х о д в п е р в ы е использо•iii/i '.•). Р о б и н с о н , п р е д л о ж и в ш и й свою с т а т и с т и ч е с к у ю м о д е л ь • |Ф(11.1, основанную н а о п е р а ц и и с в е р т к и . В в е д е н и е т а к о й модели .чцшидынается н е о б х о д и м о с т ь ю обработки больших массивов (иИсми'юской и н ф о р м а ц и и , т а к к а к т о л ь к о при этом у с л о в и и 'и\ yi.'i-Of

sfc — в о л н о в о е в о з д е й с т в и е ; ff^ — р е среды: - отражения; — п о м е х и ; Vft — с е й с м о г р а м м а

Приняв у к а з а н н ы е выше д о п у щ е н и я , л е г к о определить и з соот­ ношения (1.4-3) сумму свертки. В результате сейсмическая модель Iильно упрощается и можно у т в е р ж д а т ь , что сейсмограмма ук я в лж-тся суммой свертки импульса источника Sk с импульсной реак­ цией среды /ft и последовательности аддитивной помехи Пи. Уравнение (1.4-3) и р и с . 1-1 и з о б р а ж а ю т м о д е л ь , о с н о в а н н у ю iiii свертке, к о т о р а я х а р а к т е р н а д л я л и н е й н ы х , и н в а р и а н т н ы х во иремепи систем. В т а к о м в и д е м о д е л ь м е т о д а о т р а ж е н н ы х волн Гюлее у д о б н а д л я а н а л и з а , п о с к о л ь к у в н а ш е м р а с п о р я ж е н и и име­ н и я х о р о ш о р а з в и т ы й а н а л и т и ч е с к и й а п п а р а т , з а и м с т в о в а н н ы й из и'ории л и н е й н ы х систем. П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь fh п р е д с т а в л я е т соfinii просто п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь чисел, н е к о т о р ы м о б р а з о м с в я з а н ­ ных с к о э ф ф и ц и е н т а м и о т р а ж е н и я от г л у б и н н ы х с л о е в . О д н а из 1Л11ИНЫХ з а д а ч з а к л ю ч а е т с я в о т ы с к а н и и этой с в я з и . 15 СЕЙСМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОБИНСОНА

И данном р а з д е л е и з л а г а е т с я р а б о т а Э. Р о б и н с о н а [ 8 0 ' , в кото­ рой р а з в и т новый п о д х о д к геочЬизическому м о д е л и р о в а н и ю . И н т е |и'сио и в а ж н о р а с с м о т р е т ь э в о л ю ц и ю этого п о д х о д а , недостатки U еложности, п р и с у щ и е к л а с с и ч е с к и м д и н а м и ч е с к и м м о д е л я м , и простоту вычислений, которой х а р а к т е р и з у е т с я м о д е л ь Р о б и н с о н а . И еиоем о к о н ч а т е л ь н о м виде э т а м о д е л ь проста и, к а к следствие, II'I ко р а с с ч и т ы в а е т с я о б ы ч н ы м и в ы ч и с л и т е л ь н ы м и м е т о д а м и . Тем ие менее без п о н и м а н и я основных д о п у щ е н и й и физцческих 41

упрощений,! и с п о л ь з о в а н н ы х при е е р а з р а б о т к е , н е л ь з я п р а в и л ь н о о ц е н и т ь эту простоту. Д а л е е мы д а д и м «статистическую» интер­ п р е т а ц и ю сейсмической м о д е л и Р о б и н с о н а , ч т о б ы на ее основе глубже проникнуть в физический смысл теории деконволюции, к о т о р а я б у д е т и з л о ж е н а в гл. 4. 1.5.1. Передача волн в случае «глубинного» источника

|

Р а с с м о т р и м н е о д н о р о д н у ю систему ( о с а д о ч н ы е с л о и ) , ограничен ную двумя однородными бесконечными полупространствами — в о з д у ш н о й с р е д о й и п о р о д а м и ф у н д а м е н т а (см. рис. 1-2). В типич­ ной д л я сейсмологии ситуации, источник з е м л е т р я с е н и я находитс|,,

1

Воздушная среда

Осадочные слои

(Q)

^.Породы (pyndiшмента

\ • -

%

Рис. 1-2. Неоднородная среда, представленная в виде системы с распределенным параметрами, на которую воздействует глубинный источник (а), и скоростна •функция, изменяющаяся с глубиной непрерывно (б). ; — входной сигнал от глубинного источника; 2 — система с распределенными 3 — выходной сигнал -

параметравШГ у;1

на б о л ь ш о й глубине. К л а с с и ч е с к и й подход к о п р е д е л е н и ю реакции з е м н ы х недр на в о з б у ж д е н и е в с л у ч а е г л у б и н н о г о источника за­ к л ю ч а л с я в р е ш е н и и системы с о о т в е т с т в у ю щ и х дифсреренциал^.! ных у р а в н е н и й в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х , о п и с ы в а ю щ и х распрострЗ' нение упругих волн через з е м н ы е слои в в о з д у ш н о е пространств) при некоторых н а ч а л ь н ы х и г р а н и ч н ы х у с л о в и я х , поэтому з е м п ы | недра р а с с м а т р и в а л и с ь в к а ч е с т в е системы с р а с п р е д е л е н н ы м и п(' р а м е т р а м и . И с с л е д о в а н и я в к л а с с и ч е с к о й сейсмологии обычно ЗФ к л ю ч а ю т с я в поиске а н а л и т и ч е с к и х решений систем дифференцик* л ь н ы х у р а в н е н и й в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х ; з а и с к л ю ч е н и е м прг» стейших с л у ч а е в , эти р е ш е н и я к р а й н е т р у д н о находить. 'j; Р а с с м о т р и м идею м о д е л и р о в а н и я з е м н о й среды посредствШ! с и с т е м ы с с о с р е д о т о ч е н н ы м и п а р а м е т р а м и . Н а п р и м е р , м о ж н о зф менить п л а в н о е скоростное р а с п р е д е л е н и е , и з о б р а ж е н н о е на ри^ 1-2, с т у п е н ч а т ы м , т. е. с ч и т а т ь з е м н у ю среду многослойной т стемой с и з в е с т н ы м и д л я к а ж д о г о с л о я скоростью р а с п р о с т р а н » ния волн и глубиной з а л е г а н и я (рис. 1-3). Если в р е м я р а с п р о с т р а н е н и я с и г н а л а ч е р е з слой м а л о i]} с р а в н е н и ю с д л и т е л ь н о с т ь ю с и г н а л а , то п р е д п о л о ж е н и е о сосрс доточенных п а р а м е т р а х д е й с т в и т е л ь н о . Условию сосредоточен пости п а р а м е т р о в м о ж н о у д о в л е т в о р и т ь , р а з б и в с р е д у на мно

жсство слоев очень м а л о й мощности. С позиций теории линий передач и л и н е й н ы х схем н а рис. 1-2 и з о б р а ж е н а л и н и я передачи с р а с п р е д е л е н н ы м и п а р а м е т р а м и , а на р и с . 1-3 — л и н и я п е р е д а ч и е сосредоточенными п а р а м е т р а м и . М о д е л ь системы с сосредото­ ченными п а р а м е т р а м и с о д е р ж и т д и с к р е т н о е скоростное р а с п р е ­ деление, причем к а ж д о м у с к а ч к у скорости соответствует одна секция линии п е р е д а ч и . С л е д о в а т е л ь н о , систему с сосредоточениими п а р а м е т р а м и м о ж н о с м о д е л и р о в а т ь многосекционной л и ­ нией п е р е д а ч и . , h I

Воздушная

среда

>7

1 Породы фундамента 1 I'lic. 1-3. Многослойная среда, представленная в виде системы с сосредоточенными нпраметрами. Н|'11рерывная с к о р о с т н а я з а в и с и м о с т ь з а м е н е н а с т у п е н ч а т о й . / - в х о д н о й с и г н а л глубинного источника: 2 — о с а д о ч н ы е слои; имми п а р а м е т р а м и (N с л о е в ) ; 4 — в ы х о д н о й с и г н а л

3 — система с сосредоточен-

Если Предположить, что система, изображенная на рис. 1-3, линейная и инвариантная во времени,,. то сигналы на входе (Е^) И И1,1ходе (xk) д о л ж н ы удовлетворять линейному разностному уравнению Xk +

aiXk-i

+

-f- a^Xk-N

=

£*,

(1.5-1)

где коэффициенты а„ в ы п о л н я ю т роль оператора разностного урав­ нения, т. е. я в л я ю т с я постоянными параметрами нашей системы с сосредоточенными параметрами, обладающей N степенями свободы II соответствии с N слоями. ( К сведению читателя: символы, ис­ пользуемые в данном разделе, идентичны символам, которыми п о л ь юнался Э. Робинсон в своей работе [80]). В п о л ь з у о п и с а н и я системы с сосредоточенными п а р а м е т р а м и р.киюстным у р а в н е н и е м (1.5-1) свидетельствует то о б с т о я т е л ь СТ1Ю, ч т о р а з н о с т н ы е у р а в н е н и я л е г к о р е ш а ю т с я с п о м о щ ь ю цифровых в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш и н . Т а к и м о б р а з о м , т р у д н о с т ь поиска а н а л и т и ч е с к и х решений! в о л н о в ы х у р а в н е н и й с н и м а е т с я посредством численного р е ш е н и я у р а в н е н и я (1.5-1). И с х о д я из сэизических с о о б р а ж е н и й уравнение (1.5—1) они-, смвает устойчивую систему, т. е. к а ж д о м у ограниченному вход­ ному с и г н а л у соответствует ограниченный выходной. Определим z-преобразования Л а п л а с а последовательностей Xk и •» из соотношения (1.5-2) 43

Определение г-преобразования Л а п л а с а и его связь с обычным г-преобразованием даны в П р и л о ж е н и и ) . И с п о л ь з у я уравнение (1.5-2), получим 2-преобразование Лапласа обеих частей уравнения (1.5-1) в виде Xiz){\+a,z-^ra2Z^+

. . . ^--а^2^)

= Е{г)

или Х(г)

^ (Z)

1 1 + а,2 + Qgz^ +

(1.5-31 I (1.5-4;

... + а^г^'

у р а в н е н и е (1.5-4) — это передаточная ф у н к ц и я т а к называемо! «полюсной» модели линейной инвариантной во времени системы, так к а к в комплексной (конечной) г-плоскости эта ф у н к ц и я имее! полюсы, но не имеет н у л е й . Основанное на физических положения? утверждение, что модель с сосредоточенными параметрами пред ставляет собой устойчивую систему, эквивалентно математическом] условию, согласно которому передаточная ф у н к ц и я X ( z ) / £ ( г ) н( имеет полюсов внутри единичного к р у г а . (При использовании обыч ного г-преобразования условие устойчивости состоит в том, чт( X{z)/E{z) не имеет п о л ю с о в вне единичного к р у г а ) . Ссрормулирует это свойство через понятие оператора разностного у р а в н е н и я 1, ai 02, . . . а„. В результате 2-преобразования Л а п л а с а оператора 1 « 1 , йо, . . ., ам получаем знаменатель уравнения (1.5-4). Следова т е л ы ю , свойство передаточной функции X(z)lE{z) не иметь полю сов при [г' < 1 э к в и в а л е н т н о свойству \ + a\Z + a2Z^ +

. . . + aNZ^^ 4=Q, [z]
— с о о т в е т с т в е н н о п е р в о е , в т о р о е и т р е т ь е о д н о к р а т н о е о т р а ж е н и е ; 4 — п о в е р х н о с т н а ! .реверберации; 5 — поверхностная слоистая система; — с в о б о д н о е п р о с т р а н с т в о ; 7 — глубШ11 « а я слоистая система ,ji

сейсмическую запись и скрывают информацию, содержащуюся Ц «глубоких» о т р а ж е н и я х . 1 Выше было п о к а з а н о , что bk я в л я е т с я измеренной на поверЬ ности реакцией iV-слойной системы на восходящий единичный m't пульс, приложенный с н и з у . Е с л и п р е д п о л о ж и т ь , что слоистая сЬ стема пассивна, т. е. не содержит внутренних источников, то (i м о ж н о рассматривать как в з а и м н у ю л и н е й н у ю ц е п ь . Согласщ принципу взаимности приложенный к поверхности нисходящи! единичный импульс вызовет внизу р е а к ц и ю bk (рис. 1-9, а). Слщ довательно, если s/j — п р и л о ж е н н ы й к кровле поверхностной сл(Я* стой системы нисходящий волновой импульс источника, то на вЬ| ходе этой слоистой системы получаем свертку sk*bk. (рис. 1-9, П у с т ь с и г н а л Sk*bk с л у ж и т входным сигналом д л я глубинной слф истой системы. Сейчас м о ж н о применить случай в н у т р е н н и х п ф ' вичных отражений к глубинной слоистой системе. Получим, Ч1{1 в о с х о д я щ а я р е а к ц и я глубинной слоистой системы на нисходяще! воздействие Sk*bk равна Sk*bk*Sk, где Sk представляет собой по с л е д о в а т е л ь н о с т ь коэсрфициентов о т р а ж е н и я от глубинных слов (рис. 1-9, в). М о ж н о считать восходящий сигнал Sk*bk*Bk воздай 52

(твием на входе поверхностной слоистой системы и л и глубинным щточником. Таким образом, на выходе п о л н о й системы при н и с х о ­ дящем поверхностном воздействии имеем Xk ( р и с . 1-9, г ) , где x'k^Sk*

bk *Bk*

bk.

(1.5-27)

Если обозначить с л о ж н ы й в о л н о в о й импульс bk*bk*Sk, с о с т о я ­ щий из реверберации в поверхностном слое bk и в о л н о в о г о импульт

± 1^. 6

I'lic. 1-9. Принцип взаимности в случае поверхностной слоистой системы (а), |11':1кция поверхностной слоистой системы на нисходящее возбуждение (б), |1Гакция глубинной слоистой системы на нисходящее возбуждение S/^ * 6^ и соответствии с результатами, полученными для внутренних однократных отражений II полная реакция поверхностной и глубинной слоистых системы (г). — е д и н и ч н ы й и м п у л ь с ; bj^ — в о л н о в о й и м п у л ь с р е в е р б е р а ц и и ; Б — п о в е р х н о с т н а я с л о и с laii с и с т е м а , s, 'Л^ — м о щ н о с т и г и п о т е т и ч е с к и х и м п у л ь с н ы х и с т о ч н и к о в в о с х о д я щ и х в о л н

c;i источника Sk, образом:

то

полная x'k =

реакция Wk*ek.

Xk выразится

следующим (1.5-28)

Н а основе п р е д ы д у щ и х р а с с у ж д е н и й полагаем, что Wk — миним;1Льно-запаздывающ11Й волновой и м п у л ь с , а последовательность должна быть некоррелируемой во временном интервале от k д о k—L. Обобщим сейсмическую модель Робинсона д л я случая внешних ш'рвичных о т р а ж е н и й или «глубоких» отражений с н а л о ж е н и е м р е |и'|)берации в. поверхностном слое: 53

1) м о д е л ь основана на свертке x'k = Bk*Wk, причем —послеДО" вательность коэсрфициентов о т р а ж е н и я от глубинных отражающих г р а н и ц ; Wk = bk*bk*Sk — сложный волновой и м п у л ь с ; bk — импулье п а я р е а к ц и я поверхностного слоя, т. е. реверберация в поверхно стном слое; s* — волновой импульс источника; x'k — п о л е в а я сейсми­ ческая запись (временной р я д ) ; ;1 2) сложный волновой импульс Wk является м и н и м а л ь н о - з а п а з д » Бающим п р и условии, что Sk тоже минимально-запаздывающий; 3) коэсэ(1эициенты отражения некоррелируемы во временном ин­ тервале 'k, k-j-Lj сейсмозаписи. щ

Г" 1

j

1 1 1 L

5J

А

Рис. I-IO. Оператор деконволюции w'^^ для случая глубинных отражений с Hi* ложенными поверхностными реверберациями. ; А — сейсмическая модель Робинсона; В — операция деконволюции; ствие; — волновые импульсы реверберации поверхностного слоя; слоев (коэффициенты о т р а ж е н и я ) ;

— наблюденный временной

ряд

— н а ч а л ь н о е воздеЛ — реакция г л у б и н н й Й:

Известно, что а* — линейный оператор, сводящий bk к едншЩ ному и м п у л ь с у Аналогично Sk ' — линейный оператор, сводящий ц к единичному импульсу В г л . 4 будут рассмотрены условия С)» ществования s^' в свете наложенного на Sk у с л о в и я м и н и м а л ь н о е ^ ! запаздывания. Итак, i (ak*ak*sT^)

*Wk = bk,

где

(1.5-29) Wk ^ =

ak*ak*Sk

,.—1

(1.5-з|

В результате свертки wT^ с (1.5-28) имеем Wk ' * л:* = Sft,

(1.5-31)

существует, если s/, причем Wk минимально-запаздывающая функция. Следовательно, ш Г ' = flft * а* * ^ Г ' является оператором деконво­ люции, устраняющим из наблюденного временного ряда x'k поверх­ ностные реверберации (bk*bk) и влияние волнового импульса ис­ точника Sk. Схема этой процедуры изображена на р и с . 1-10. В сле­ дующей главе д л я обоснования изложенного подхода будет дано математическое представление слоистой модели среды.

1"лава 2 СЛОИСТАЯ М О Д Е Л Ь С Р Е Д Ы

.М. МИНИМАЛЬНАЯ ФАЗА И МИНИМАЛЬНОЕ 1ЛПАЗДЫВАНИЕ

При и с с л е д о в а н и и л и н е й н ы х систем ч а с т о п р и х о д и т с я и м е т ь д е л о с в а ж н ы м ф и з и ч е с к и м понятием « м и н и м а л ь н а я ф а з а » . Э т о п о н я т и е Шло в в е д е н о Г. У. Б о у д о м ]15] при изучении свойств систем с иости м и н и м а л ь н ы й . П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , не о б л а д а ю щ а я этим (noiicTBOM, н а з ы в а е т с я н е м и н и м а л ь и о - ф а з о в о й . 55

И с с л е д о в а в реакцию цифрового фильтра на цифровой ф а з о в р а щ а т е л ь е - ' " * , можно найти частотную х а р а к т е р и с т и к у qb^bTpa в по л о с е частот О < ш < ir. ( Б е з потери общности м о ж н о п р и н я т ь ин т е р в а л д и с к р е т и з а ц и и Д/ равным одной единице времени. Следова т е л ь н о . ш будет иметь размерность в р а д и а н а х на щаг дискретизации. Эта п р о ц е д у р а равнозначна определению значений передаточно] срункции срильтра д л я величин z на единичном круге, т. е. дл; 2 = е-'"". Аналогично частотный состав последовательности Xk нахо­ дится путем определения значений X{z) на единичном к р у г е , гди X(z = е-'™) = X{is>) — к о м п л е к с н а я переменная с абсолютной вели­ чиной Х(ч>) и аргументом (фазой) Ь(и>), которые связаны между собой соотнощением X ( u ) ) = X ( « ) ) >'»(•"). (2.1-1 Одно из в а ж н ы х свойств минимально-фазовой последовательности! з а к л ю ч а е т с я в том, что заданием модуля частотной характеристик! X (ш) в полосе О < U) < т: задается фазовая характеристика 6 (т\ и наоборот. Следовательно, м о д у л ь и фаза частотной характеристики минимально-сказовой последовательности сигналов с в я з а н ы межд} собой единственным образом. Б о л е е того, они образуют п а р у пре образований Гильберта. Понятие минимального з а п а з д ы в а н и я было введено Э. Робинсо' ном в 1954 г. ;80, 82J. Л ю б у ю причинную л и н е й н у ю систему можнС! описать величинами коэффициента усиления и з а п а з д ы в а н и я . Коэс> б и ц и е н т усиления есть мера увеличения или уменьщения абсолют­ ной величины сигнала на выходе системы по сравнению с абсолютно! его величиной на входе. З а п а з д ы в а н и е — мера временной з а д е р ж к а выходного сигнала системой по отношению к входному сигналу, В о з м о ж н о множество р а з л и ч н ы х причинных систем с одинаковыми коэср(]эициентами у с и л е н и я , но по-разному з а д е р ж и в а ю щ и х с и г н а л ы . Всегда существует возможность создания причинных систем с очеш большими з а д е р ж к а м и , так к а к нет теоретического ограничения щ увеличение з а п а з д ы в а н и я о т к л и к а по отношению к воздействию, Н о в то ж е время существует предел малости з а д е р ж к и , которую может вносить п р и ч и н н а я система. Этот факт объясняется тем, чтс причинной системе всегда требуется некоторое время, чтобы значимо о т к л и к н у т ь с я на воздействие. П о Робинсону, минимально-задержи­ в а ю щ а я — это т а к а я система, которая при з а д а н н о м коэффициента у с и л е н и я создает наименьшее запаздывание следствия от причинь: (отклика от в о з д е й с т в и я ) . П о н я т и е минимального з а п а з д ы в а н и я ( м * нимальной задержки) применимо к любым системам: в дискретной или непрерывном времени, о д н о к а н а л ь н ы м , м н о г о к а н а л ь н ы м ил>, многомерным. С н а ч а л а Р о б и н с о н р а с с м о т р е л к л а с с всех устойчивых причин­ н ы х систем с одним и тем ж е к о э ф ф и ц и е н т о м у с и л е н и я , т. е. обла^ д а ю щ и х о д и н а к о в ы м и а м п л и т у д н ы м и с п е к т р а м и . З а т е м он п о к а з а л , что, д л я того ч т о б ы система из д а н н о г о к л а с с а б ы л а минимально» з а д е р ж и в а ю щ е й , н е о б х о д и м о и д о с т а т о ч н о н а л и ч и е у нее следую^ ших 10 свойств. 56

J

1. З а п а з д ы в а н и е по б а з е ( о т р и ц а т е л ь н а я ч а с т ь ф а з о в о г о спектp;i, д е л е н н а я на частоту) м и н и м а л ь н о по всей полосе частот. 2. Групповое з а п а з д ы в а н и е ( о т р и ц а т е л ь н а я ч а с т ь п р о и з в о д н о й опзового с п е к т р а по частоте) м и н и м а л ь н о по всей полосе ч а с т о т . 3. З а п а з д ы в а н и е энергии ( с у м м а и л и и н т е г р а л з н а ч е н и й к в а д ­ рата м о д у л я импульсной р е а к ц и и системы, н а ч и н а я со в р е м е н и t) минимально. 4. З а п а з д ы в а н и е и н ф о р м а ц и и ( в р е м я п р о х о ж д е н и я и н ф о р м а ц и и "Т входа д о в ы х о д а ) м и н и м а л ь н о е . 5. З а п а з д ы в а н и е единичного и м п у л ь с а ( в р е м я п о я в л е н и я еди­ ничного и м п у л ь с а на в ы х о д е причинной о б р а т н о й системы) минимильное ( р а в н о е н у л ю ) . 6. З а п а з д ы в а н и е р а с п р о с т р а н е н и я (отношение в о л н о в о й энер1ИИ, н а х о д я щ е й с я в момент в р е м е н и t внутри системы, к в о л н о в о й |иергии, у ж е п р о ш е д ш е й через систему) м и н и м а л ь н о е . 7. О т с т а в а н и е по ф а з е ( о т р и ц а т е л ь н а я ч а с т ь ф а з о в о г о с п е к т р а ) минимальное. 8. Ч а с т и ч н а я э н е р г и я [ ч а с т и ч н а я с у м м а и л и и н т е г р а л з н а ч е н и й м о д р а т а модуля импульсной реакции системы вплоть до момента ирсмени t (или k )1 м а к с и м а л ь н а я . 9. О б р а т н а я система п р и ч и н н а я . 10. Н у л и г - п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а импульсной р е а к ц и и у сиI I C M в д и с к р е т н о м в р е м е н и л е ж а т вне единичного к р у г а , а у с и1тем в н е п р е р ы в н о м в р е м е н и — в левосторонней s-плоI кости. Теперь в ы р а з и м н е к о т о р ы е из этих свойств в м а т е м а т и ч е с к о й форме. П р и ч и н н а я система х а р а к т е р и з у е т с я односторонней им­ пульсной р е а к ц и е й , о б о з н а ч а е м о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю Он, г д е ||,, = 0 д л я k < 0 . Передаточную функцию системы определим к а к .• п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а и м п у л ь с н о й р е а к ц и и й к ' . Л(г)=

S

(2.1-4)

которое д л я причинных систем принимает вид

Л(2)=1]а^2*.

(2.1-5)

Располагая определением передаточной функции системы (2.1-5), получаем ч а с т о т н у ю х а р а к т е р и с т и к у причинной системы, приняв г = e-^"'.

Итак, подстановка г = е~'"' в уравнение (2.1-5) дает илрактеристику

частотную

оо

Л(е-'-)=

Sate-'"*.

(2.1-6)

fc=0

Уравнение (2.1-6) можно записать i;

А (е-'") = S а„ coi ш/г — i XI а* sin u>k ' k=0 k=Q

(2.1-7)

i

i

57

или в п о л я р н ы х координатах Л(е-'™) = ' Л ( е - ' ' " ) 1 ' е ' « И , где

(2.1-S

Л (е-'") — а м п л и т у д н ы й спектр г/ ~ \2 / ~ V-L f А (е-'"") = I, S ak cos «.^ + S а* sin шА:;

а 6((о) — ф а з о в ы й

(2.1-^

спектр:

- S

Oft

sin

1^

(ОЙ

6(«)) = t g - ' ^ = 5

.

(2.М|| •

*=o

I

При

записи амплитудного спектра мы будел4 часто вмес!) у п о т р е б л я т ь просто Л (u)) . \ В классе причинных последовательностей, в котором кажды! член класса, обозначаемый символами а*', а*', . . ., ctk, а*''"'*, . . 1 имеет одинаковый коэсюициент усиления Л(и)) , к а ж д ы й чле| класса обладает одинаковой полной энергией. Этот факт следу* I из соотношения П а р с е в а л я , согласно которому || д

(2.ы?:|

Л И :2du,=const,

\\ -

поскольку л (со) — о д и н и тот ж е Для к а ж д о г о члена класса. Г Предположим, что а!"' представляет собой минимально-запазд!'' вающий член класса, а а*/' — нем1шимально-запаздьшающий. K i смотря на т о что обе эти последовательности обладают одинаковс полной энергией, согласно свойству 8, частичная энергия минИ' мально-запаздывающей последовательности а*" превышает энергк! неминимально-запаздывающей последовательности а^'Т"^^А это значит [82:, что

i

\ат^>

i

^fl^f':^

' .

(2л-|

В таком случае энергия минимально-запаздывающей послед» вательности af' в наибольшей степени сконцентрирована в ее перв|) ncii части по с р а в н е н и ю с любой другой последовательностью 4' д а н н о г о к л а с с а . Д р у г и м и с л о в а м и , н а и б о л ь ш а я концентраиШ энергии в м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и про исходит к а к м о ж н о р а н ь ш е , и э н е р г и я з а п а з д ы в а е т ровно i l l столько, чтобы у д о в л е т в о р и т ь з а д а н н о м у а м п л и т у д н о м у спектру 58

По этой причине м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ у ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ч.ито н а з ы в а ю т п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю , « з а г р у ж е н н о й » в передiini части. Р а с п р е д е л е н и е энергии у м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й последовательности п р е и м у щ е с т в е н н о на р а н н и х в р е м е н а х я в л я (г) = 2

J -jL г.г^г -Ь (r,/•;2)^ + {r/ozf

Ч л е н в с к о б к а х представляет собой щийся при rir'oz писать в в и д е

\

< 1 или

^2,
= / - , . 1 ^ ь

^

волны лг^

(2.2-7)

в

можно

та

выразить

(2.2-8)

откуда со всей очевидностью сле­ дует, что отраженные волны я в л я штся сверткой запаздывающего ипютетического источника мощиш'тью Гх с проходящими волнами х\ '. Подстановка (2.2-5) ккт соотнощение

времени,

Воздушная среда к=1 к=2

II результате г-преобразования Лапласа у р а в н е н и я (2.2-7) имеем Х(«)(г) = (г,г)Х,;ix;^)((u);.

(2.2-|j

в то ж е время спектр отставания по фазе X i f ' р а в е н с у м й | с п е к т р а отставания по фазе последовательности коэсхэициентов О' р а ж е н и я О, г\ и спектра отставания по фазе п р о х о д я щ и х волн, т. li (2.2-Й

_ е ( « ) (ш) = U) -1-:—е(^) (ш):,.

Мы нашли ранее, что — 6(^)(u)) я в л я е т с я спектром минимальнок отставания по фазе. Несмотря на то, что в рассмотренном случЯ а м п л и т у д н ы й спектр последовательности x''k^ равен тому ж е сач.ощ коэффициенту у с и л е н и я , умноженному на весовой м н о ж и т е л ь , т. j. Воздушная среда к=0

к=1

к=2

к=3 3

2—

к=^/2

Породы (рундамента

|;

Рис. 2-7. Отраженные волны, вознй1|! шие в результате воздействия nncxii дящего единичного импульса 8^^ ч поверхности. / — однослойная среда; 2 — отраженй! в о л н а , н а б л ю д а е м а я у к р о в л и слоя 1

i Рис. 2-6. Характеристики спектров запаздывания по фазе.

!

/ — л и н е й н а я к о м п о н е н т а о т с т а в а н и я п о ф а з е ( ч и с т а я з а д е р ж к а ) ; 2 — полный спектр—8(^)((| ч т с т а в а н и я п о ф а з е . -S — с п е к т р м и н и м а л ь н о г о о т с т а в а н и я п о ф а з е — 6 ' ^ ) ( а ^

'|j

T i 11 X ' ^ ' (ш)\, спектр отставания по базе—6'^ (ш) отличается отспект])»' минимального отставания по фазе — 6'^'(со) на л и н е й н у ю фазовуш -задержку со. На рис. 2-6 изображен спектр отставания по фа|« —0"^'(со) д л я значений = — 1 и ' - , = 0 , 5 . Следовательно, допоЛ; иительное отставание по фазе о т р а ж е н н ы х волн может возникнуть юлико из-за воздействия последовательности коэффициентов отр|« ж е и и я , а не из-за р е в е р б е р а ц и и . Si 64

Мы получили в ы р а ж е н и е д л я о т р а ж е н н ы х волн xl , п р и н я в , что система, и з о б р а ж е н н а я на р и с . 2-1, линейна, инвариантна и с сосредоточенными параметрами, и использовав идею о гипотетиче­ ских источниках. Теперь попытаемся найти х*/", использовав иной подход, т. е. п р о а н а л и з и р о в а в все волны, в о з н и к а ю щ и е при возЛсйствии н и с х о д я щ и м единичным импульсом 8ft, не прибегая к идее о гипотетическом источнике. Последовательность о т р а ж е н н ы х волн, получающуюся в этом случае, обозначим д;'^' ( р и с . 2-7). Последовательность, в о з н и к а ю щ а я при воздействии единичным импульсом Ьк ( р и с . 2-7), имеет вид = r,8ft_, -h Н а й д я г-преобразование •получаем:

+ г? ( г о ) \ _ з +

rVobk-2

Лапласа

(2.2-15)

...

последовательности

X'^'(2) = r,2 + r ? r o / - f r ? ( r o r / 4 L

...

-

(2.2-15). (2.2-16)

ПЛИ (г)

=

г,г

; 1 +

r/oz

-Ь

{rir'ozY

(2.2-17)

. . , ] ,

410 э к в и в а л е н т н о с о о т н о щ е н и ю Х'^'(г)= . . ' - ^ i V

(2.2-18)-

! < < - ^ jVij

Т а к и м о б р а з о м , в ы р а ж е н и е (2.2-18) идентично соотношению {2.2-10), к о т о р о е б ы л о в ы в е д е н о путем з а м е н ы н и с х о д я щ е г о им­ пульса источника 6ft на в о с х о д я щ и й гипотетический источник силЫ\ ги В д а н н о м п р и м е р е , к а к и о ж и д а л о с ь , о б а п о д х о д а д а л и o;imi и тот ж е р е з у л ь т а т . .*,2.3. Отраженные волны при в о з б у ж д е н и и произвольным нисходящим импульсом источника, приложенным к поверхности Димспим источник в виде единичного импульса 8^ (рис. 2-7) на ./фоизвольный н и с х о д я щ и й источник Sft. Если обозначить результиftyionuie отраженные волны x^k\ то д а н н а я последовательность б у д е т адшша в ы р а ж е н и е м f

х ^ ' = A,sft_,

-i- r ' A h - 2

- f (r;)V^Sft_3

+

...

(2.2-19)

После 2-преобразования Л а п л а с а в ы р а ж е н и я (2.2-19) получим J

X'^\z)=^r,zS{z)

+ r',rVS{z)+{r',fr]z^S{z)^r.>.

(2.2-20)

•Ли ' Х'^'(2) = г , 2 5 ( 2 )

\ «

v.v

\ +

(г>,2| - f

{r',rxzf

. . ( 2 . 2 - 2 1 ) '65

У п р о с т и в (2.2-21), получаем: ^ « - й

= < Г ^ \

, ^ . < ^ .

(2.2-2

Ранее мы п о к а з а л и , что м н о ж и т е л ь 1/(1—r'or\z), с в я з а н н ы й ' проходящими волнами реверберации Д^', — минимально-запаздывак; щ н й . О т р а ж е н н ы е волны Xk'' не я в л я ю т с я минимально-запаздываМ! щими из-за присутствия произведения (г, z)S{z) в числителе cooi ношения (2.2-22). К р о м е того, импульс источника может соде|^ ж а т ь нули внутри единичного к р у г а . В этом с л у ч а е S{z) не буд*! м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й ф у н к ц и е й . Уравнение (2.2-22) указывас на то, что отраженные волны х**' м о ж н о считать сверткой импульА источника Sk, последовательности коэсэфициентов о т р а ж е н и я О, ( и п р о х о д я щ и х волн реверберации x'k^K Ф у н к ц и я х^Р — минимальщ з а п а з д ы в а ю щ а я (см. рис. 2-4). Е с л и предположить, что Sk так» минимально-запаздывающий импульс, о т р а ж е н н ы е волны буду сверткой последовательности коэффициентов о т р а ж е н и я О, r i с ш н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й волной Wk. Волновой импульс Wk — стЦ н а я волна, составленная из минимально-запаздывающего импулм источника Sk и минимально-запаздывающей реверберации х*/*. Н а я з ы к е теории линейных систем уравнение (2.2-9) или (2.2-!1 представляет собой передаточную ф у н к ц и ю однослойной систем» изображенной на рис. 2 - 1 . В частности, уравнение (2.2-9) — это1 преобразование Л а п л а с а импульсной реакции х*'^' этой системы, СВ' з ы в а ю щ е е импульс источника Sk с отраженными волнами x/f'. О д т \ , из-за последовательности коэ^юициентов о т р а ж е н и я передаточр ф у н к ц и я Х*^>(2) однослойной системы не я в л я е т с я м и н и м а л ь н о ^ п а з д ы в а ю щ е й . Из рис. 2-6 видно, что избыточное отставание]|; фазе I—б''^) (ш)5 создается и с к л ю ч и т е л ь н о последовательностью ко|| оициентов о т р а ж е н и я . Подобное избыточное отставание по ф|| характерно для сейсмограмм отраженных волн. Остальные o i т о р ы (волновой и м п у л ь с источника и р е в е р б е р а ц и я ) — минима|)| н о - з а п а з д ы в а ю щ и е . И з ф а к т а с в я з и всего избыточного з а п а з | | | в а н и я с п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я след|р физическое объяснение возможности получения коэффициен») о т р а ж е н и я п у т е м д е к о н в о л ю ц и и с е й с м о г р а м м о т р а ж е н н ы х в(^( Л и н и и п е р е д а ч и , з а п а з д ы в а н и е потоков в т р у б о п р о в о д а х , ]) с т а в а и и я при т р а н с п о р т и р о в к е , п о л у п р о в о д н и к о в а я ' д и ф ф у з и я Л л а д а ю т п е р е д а т о ч н ы м и ф у н к ц и я м и , с о д е р ж а щ и м и член г'", хар> т е р и з у ю щ и й з а п а з д ы в а н и е , в н о с и м о е э т и м и с и с т е м а м и . Успешно* а н а л и з а п о д о б н ы х систем з а в и с и т от в о з м о ж н о с т и в ы д е л е н и я с)| торов, с о з д а ю щ и х з а д е р ж к и . С позиции ф и з и ч е с к о й т е о р и и о д н о с л о й н а я м о д е л ь (см. рис. 1 п р е д с т а в л я е т собой и д е а л ь н у ю м о д е л ь слоистой с р е д ы и поде ные м н о г о с л о й н ы е м о д е л и в о б щ е м х а р а к т е р и з у ю т с л о и с т ы е н с | З е м л и . В с л у ч а е слоистой геологической м о д е л и коэффицией о т р а ж е н и я по а б с о л ю т н о й в е л и ч и н е р а в н ы или м е н ь ш е едини* 66

При п е р е д а ч е энергии от одной стороны слоистой м о д е л и к дру|()й сейсмический и м п у л ь с п р е т е р п е в а е т м н о г о ч и с л е н н ы е о т р а ж е ­ ния и п р е л о м л е н и я внутри слоев, что п р и в о д и т к его з а п а з д ы в а ­ нию и о с л а б л е н и ю . В р е з у л ь т а т е о к а з ы в а е т с я , что э н е р г и я р а с ­ пространяющейся в о л н ы Xk к о н ц е н т р и р у е т с я в ее н а ч а л е , а не II конце. П о с к о л ь к у именно это я в л я е т с я у с л о в и е м м и н и м а л ь н о с т и н ш а з д ы в а н и я п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , момшо о ж и д а т ь , что с и г н а л на в ы х о д е многослойной системы, з а р е г и с т р и р о в а н н ы й с м о м е н т а нгрвого в с т у п л е н и я , будет м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м , если им­ пульс и с т о ч н и к а Sft — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и й . П о н я т и е м и н и м а л ь н о г о з а п а з д ы в а н и я интересно интерпретинустся в теории п е р е д а ч и и н ф о р м а ц и и . Р а с с м о т р и м , н а п р и м е р , поIOK и н ф о р м а ц и и через систему. С и с т е м а м о ж е т у н и ч т о ж а т ь и н ф о р ­ мацию, п о с к о л ь к у поток и н ф о р м а ц и и , в ы х о д я щ и й из системы, меньше потока и н ф о р м а ц и и , в х о д я щ е г о в систему. В т а к о м с л у ч а е эго ч и с т а я п о т е р я инсэормации, не п о д д а ю щ а я с я в о с с т а н о в л е н и ю . И более б л а г о п р и я т н о м с л у ч а е , с и с т е м а не у н и ч т о ж а е т и н ф о р м а ­ цию, а л и ш ь з а д е р ж и в а е т ее на н е к о т о р о е в р е м я ( п о л н а я и н ф о р ­ мация, в ы х о д я щ а я из системы з а все в р е м я , р а в н а полной ин­ формации, в х о д я щ е й в систему, но в л ю б о й з а д а н н ы й м о м е н т ирсмени система у д е р ж и в а е т и н ф о р м а ц и ю , т. е. и н ф о р м а ц и я вош-lii в систему, но е щ е не в ы ш л а из н е е ) . Е с л и п о д о ж д а т ь д о с т а т о ч ­ но д л и т е л ь н о е в р е м я , то в конце концов получим з а д е р ж а н н у ю шкЬормацию на в ы х о д е системы. Х о т я это стоит отсрочки, м ы (плжны ж д а т ь и н ф о р м а ц и ю до тех пОр, пока система не будет т т о в а ее в ы д а т ь . Н а и б о л е е б л а г о п р и я т н а я с и т у а ц и я — слоистые з е м н ы е н е д р а , мнда система ни у н и ч т о ж а е т , ни з а д е р ж и в а е т и н ф о р м а ц и ю при инредаче. В этом с л у ч а е п о л н а я и н ф о р м а ц и я , в ы ш е д ш а я из систеч|,| до л ю б о г о з а д а н н о г о м о м е н т а , р а в н а полной и н ф о р м а ц и и , шнпсдшей в систему д о того ж е м о м е н т а в р е м е н и . С л е д о в а т е л ь н о , иодобная система не у т а и в а е т от нас н и к а к о й и н б о р м а ц и и , она просто п р е о б р а з у е т инсрормацию в д р у г у ю б о р м у без потери в р е ­ мени или с о д е р ж а н и я . Н е с о м н е н н о , это н а и б о л е е э ф о е к т и в н а я м и н и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ а я с и с т е м а , к о т о р а я о б е с п е ч и в а е т опти«||,||1,ную п е р е д а ч у и н ф о р м а ц и и . М и н и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ а я си• и'ма и з о м о р ф и ч н а по о т н о ш е н и ю к слоистым з е м н ы м н е д р а м при ••'•рсдаче инс'эормации от одной г р а н и ц ы к другой, если у с т р а н и т ь 'ии'тое з а п а з д ы в а н и е , в о з н и к а ю щ е е при р а с п р о с т р а н е н и и п р я м о й «млиы через слоистую среду в одном н а п р а в л е н и и . В ы я в л е н и е ммм'итва земной среды м и н и м а л ь н о з а д е р ж и в а т ь п р о х о д я щ у ю ин­ формацию с д е л а л о в о з м о ж н о й д е к о н в о л ю ц и ю сейсмозаписей. и ПРОХОДЯЩИЕ И ОТРАЖЕННЫЕ ВОЛНЫ « МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ И 1 л . 1 мы ввели понятие модели, о с н о в а н н о й н а с в е р т к е согласуется с д о п у щ е н и я м и (1-4-2). Б ы л о п о к а з а н о , что •сПемичёская запись представляет собой сигнал на выходе линей»'11орая

67

ной инвариантной во времени системы, о б л а д а ю щ е й импульсной реакцией (см. р и с . 1-1). Однако последовательность в таком виде не имеет физического смысла, так к а к мы е щ е не отождествили коэффициенты о т р а ж е н и я го, г,, га, . . . , Гм слоистой среды с пере­ даточной срункцией среды F{z), т. е . с z-преобразованием Лапласа последовательности Д . Н а п р и м е р , fi м о ж е т соответствовать ги /2 — в ы р а ж е н и ю ГоП - - (1 — г \ ) . Г2, /з — в ы р а ж е н и ю i^, r ^ l — Г2 (1 — г?) {2ГоГ I

г 1Г2)

и т. д., но в данный момент мы не располагаем такой зависимостьк Таким образом, надо с в я з а т ь /д. с коэффициентами о т р а ж е н и я г, г\. Го, .. ., гы, х а р а к т е р и з у ю щ и м и N слоев изучаемой глубинно! толщи. Н а ш а с л е д у ю щ а я задача состоит в отыскании такой слоисто:* модели среды, которая позволит по Воздушная среда лучить необходимые соотношения и (бесконечное полупространство) ^ придаст законченный ВИД модели, Слой1 J основанной на с в е р т к е . Слой? 2 М о д е л ь слоистой с р е д ы , р а с с м а т р и в а е м а я з д е с ь , это з н а к о м а я наи . " г о р и з о н т а л ь н о - с л о и с т а я у п р у г а я сре • слойТм и з у ч е н н а я р а н е е П. Гупийо ,! 36] I (Зесконечнов полупространство) Ж .

КюнецОМ

[54],

Э.

РобинСОНО»

Рис. 2-8. Слоистая модель среды.

[83, 85[ и многими д р у г и м и исслед о в а т е л я м и . К а ж д ы й слой однороД'

о_jV-границы

ИЫЙ И ИЗОТрОПНЫЙ; анаЛИЗу ПОДВеР'

раздела слоев

г а ю т с я плоские в о л н ы при нормалЬ' Н О М п а д е н и и . С л о и м о д е л и п р о н у м е р о в а н ы от к р о в л и к п о д о ш в ! слой О о б о з н а ч а е т бесконечное в о з д у ш н о е п о л у п р о с т р а н с т в о , а сл(|1 A ^ ' + l — э т о с а м ы й н и ж н и й слой, к о т о р ы й т а к ж е я в л я е т с я бесконеЦ! н ы м п о л у п р о с т р а н с т в о м . Н а п р и м е р , при морской с е й с м о р а з в е д и с л о е м 1 м о ж е т б ы т ь слой воды. И т а к , м о д е л ь с р е д ы состоит и з f слоев, N+1 г р а н и ц р а з д е л а и N-\-l к о э ф ф и ц и е н т о в отражения*) п р о п у с к а н и я ( р и с . 2-8). i О г р а н и ч и м с я р а с с м о т р е н и е м плоских волн, п а д а ю щ и х н о р м а ^ ! но к г о р и з о н т а л ь н ы м г р а н и ц а м р а з д е л а . С а м о в о л н о в о е движен:) м о ж е т и з м е р я т ь с я л ю б ы м числом с в я з а н н ы х м е ж д у собой величИ|1 в х о д я щ и х в у р а в н е н и е плоской в о л н ы , н а п р и м е р акустическ1|| д а в л е н и е м , с к о р о с т ь ю д в и ж е н и я ч а с т и ц среды или их ускорени^|( С е й с м о п р и е м н и к и д л я сухопутных р а б о т п р е о б р а з у ю т cKopoef д в и ж е н и я ч а с т и ц с р е д ы в э л е к т р и ч е с к о е н а п р я ж е н и е ; сейсмопр) емники д л я м о р с к и х р а б о т п р е в р а щ а ю т в э л е к т р и ч е с к о е напря5)|г н и е в а р и а ц и и а к у с т и ч е с к о г о д а в л е н и я . К а к а я б ы / в е л и ч и н а ни f п о л ь з о в а л а с ь , д л я к а ж д о й г р а н и ц ы м о ж н о о п р е д е л и т ь коэффиЦ)! епты отражения и пропускания. , Если нисходящий единичный импульс падает с в е р х у на гранив //, го коэ&)ициент о т р а ж е н и я равен результирующему восходящв|1 импульсу, отраженному от границы п, а коэффициент пропуская» in равен р е з у л ь т и р у ю щ е м у нисходящему импульсу, прошедшвк 68

I

с к в о з ь . г р а н и ц у п. Аналогично, если восходящий единичный импульс нядает снизу на границу п, то коэффициент о т р а ж е н и я г'„ равен результирующему нисходящему импульсу, отраженному от границы //, а коэфсрициент пропускания 4 — р е з у л ь т и р у ю щ е м у восходящему импульсу, прошедшему с к в о з ь г р а н и ц у п ( р и с . 2-9). Коэффициенты отражения и прохождения волн через к а к у ю либо г р а н и ц у з а в и с я т от х а р а к т е р и с т и ч е с к и х и м п е д а н с о в с о с е д н и х слоев. Эти к о э ф ф и ц и е н т ы и Другие с о о т н о ш е н и я , с л е д у ю щ и е и з граничных условий, и м е ю т в и д 2Р„

In = ! " ^ ' Г " " " ч - р ' ' Г " ' ^ " ^ - Р " Т ' + 'рс '

I'lic. 2-9. Схема, иллюстрирующая II прохождения волн на границе п. I. г — с о о т в е т с т в е н н о «нясгы о т р а ж е н и я ;

(„,

нисходящий и

согласованнссть

восходящий

— коэффициенты

1.2.....yv;

(2.3-1)

коэффициентов отражения

единичные импульсы;

г „ , / • „ — коэффи-

прохождения

|де рп — плотность п-го с л о я , а Сп — скорость распространения вол­ ны в слое п. Наш подход к изучению распространения волн в слоистой среде предполагает, что коэффициенты о т р а ж е н и я и п р о п у с к а н и я я в л я ю т с я нпиественными числами, причем /•„ [ < 1 и О < ^„ < 2. Д л я у п р о щ е н и я м а т е м а т и ч е с к и х в ы к л а д о к у д о б н о т а м , г д е неиОходимо, д о б а в л я т ь гипотетические (т. е. м а т е м а т и ч е с к и е , но не Гмиюгические) г р а н и ц ы р а з д е л а т а к , чтобы д в о й н о е в р е м я п р о б е 1(1 волны в к а ж д о м с л о е и м е л о о д н у и т у ж е величину. З а м е т и м , HI) двойное в р е м я п р о б е г а р а в н о 2d/c, г д е d — м о щ н о с т ь с л о я , а I •- скорость р а с п р о с т р а н е н и я в о л н ы в слое. Е с л и с и з м е н я е т с я о т 'mw к слою, н е о б х о д и м о и з м е н и т ь мощности слоев т а к , чтобы от(нииение d/c о с т а в а л о с ь п о с т о я н н ы м . Л ю б а я г и п о т е т и ч е с к а я г р а ­ ниц;! х а р а к т е р и з у е т с я н у л е в ы м к о э ф ф и ц и е н т о м о т р а ж е н и я и еди«Н'шым к о э ф ф и ц и е н т о м п р о п у с к а н и я . П р е д п о л о ж и м , что источник н а х о д и т с я п р я м о под нулевой гра­ ницей и и з л у ч а е т н и с х о д я щ и й единичный импульс, а с е й с м о п р и е м иик рсаг.ирует т о л ь к о на в о с х о д я щ е е волновое д в и ж е н и е и распо•iiDKeir т о ж е в первом с л о е с р а з у под нулевой г р а н и ц е й . П р и м е м з а Ив'шло временной к о о р д и н а т ы ( й = 0 ) в р е м я в з р ы в а , т. е. м о м е н т •1мГ)уждения источника. П р и с о б л ю д е н и и этих у с л о в и й о т р а ж е н или последовательность X k , з а р е г и с т р и р о в а н н а я с е й с м о п р и е м н и к о м , 69

б у д е т н а ч и н а т ь с я в момент в р е м е н и k=l, а л:о=0. И н т е р в а л в р ё мени м е ж д у о т с ч е т а м и п р и м е м р а в н ы м е д и н и ц е , т. е. двойному в р е м е н и пробега в слое. С л е д о в а т е л ь н о , при отсутствии слоев, т. ^, при н а л и ч и и н и ж е нулевой г р а н и ц ы бесконечного полупространсТ' ва, п о л у ч е н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь Xk д л я всех времен р а в н а ну' л ю . В с л у ч а е одного с л о я {п=1) (см. п р е д ы д у щ и й р а з д е л ) пере даточная функция имеет вид ы г,2

+

X{Z) S(z)

Е{г) Л (г) 5

(2)'

(2.3-21

где 8{г)—г-преобразование Л а п л а с а волнового импульса источи!' ка; Х ( г ) — 2 - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а сейсмограммы отраженнь!'! волн. \. Из (2.3-2) слэдует, что о т р а ж е н н у ю последовательность 4j можно смоделировать сигналом на выходе линейного, не зависяще^) от сдвига р е к у р с и в н о г о цифровог) к фильтра, описываемого разностным,! уравнениями: /

\

чух

п

Xk + a\Xk-\ = Sk или Xk + roriXk-i = riSk-i.

(2.3-|

Т а к и м путем п а р а м е т р ы передато^^' ной ф у н к ц и и F ( г ) и разностны» \ / у р а в н е н и й (2.3-3) п р и о б р е т а ю т с!рИ' зический с м ы с л : они я в л я ю т с я орунК' Рис. 2-10. Лучевая схема отражен­ ц и я м и коэ(]Ьфициентов отражения ных и проходящих волн у границ д в у х п о в е р х н о с т е й , ограничивающи» «, п— I, «-f-1. ft — н а б л ю д е н и е в м о м е н т в р е м е н и слой 1. Н и ж е м ы о б о б щ и м этот вывод, н а й д я и м п у л ь с н у ю реакций з е м н ы х недр д л я N слоев. П о с к о л ь к у Л/-слойная система возбул* дается е д и н и ч н ы м и м п у л ь с о м , то н а б л ю д а е м а я п о с л е д о в а т е л и ность Xft я в л я е т с я искомой импульсной р е а к ц и е й . Конечный резуль-' т а т будет р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й F (z) с п а р а м е т р а м и слоистой модели, и м е ю щ и м и о п р е д е л е н н ы й физический с м ы с л . Найдем в ы р а ж е н и я д л я передаточной функции Л^-слойной среди F W ( 2 ) , изучив с и т у а ц и ю у границы раздела п в момент времени Л после в о з б у ж д е н и я источника (рис. 2-10). Ч и т а т е л ь д о л ж е н помнит», что а н а л и з и р у е т с я случай нормального п а д е н и я волны на граниЩ, Обозначим ы*" в о с х о д я щ у ю волну, измеренную у кровли с л о я ' | ' в момент времени k, и d'""*"!' — uM/^vnuaiiiN/K^ nnnuif MOMonouuifu-. li I НИСХОДЯЩУЮ волну, измеренную I' J восходящ|(р кровли слоя rt-f 1 в момент времени k—1/2. Тогдг/ и нисходящие волны в соседних с л о я х (см. р и с . 2-10) будут связ|' пы соотношениями '|* \

/

где «["' — восходящая волна, измеренная у к р о в л и слоя п в момент иреадени k; — н и с х о д я щ а я волна, измеренная у кровли с л о я (1-1-1 в момент времени k — 1/2; di"l\ — н и с х о д я щ а я волна, изме^имшая у к р о в л и с л о я п в момент времени k— 1; u^^^j^ — восходящая волна, измеренная у кровли с л о я п + 1 в момент к - 1/2. Преобразование соотношений (2.3-4) дает

'

.

,

времени

(2.3-5)

При этом использовано уравнение/•„ = —г„ из (2.3-1). Н а й д я г-преобразование Л а п л а с а у р а в н е н и й (2.3-5), получаем: z^f/c+i) (г) - Л , [/(")(г) — ^ 2 D ( « ) (г); Z 2 D(«+'> (г) =

т f/"" (2) 1

,

4 zD(") (z)

(2.3-6)

,

Умножив (2.3-6) на 2 ^, имеем: [/('«-H)(z) = ^

D(«+i) (z) =

г;(«)(г)

^z 2

rZ^DW

(2);

(z) - г ^ 2 2 DC) (z).

(2.3-7)

Запишем соотношения (2.3-7) в матричной форме: -^;(«-Ы)(г)^D ( z ) -(A2-fA,2) 72

z(r,r2 + z)Ylm}ii{z)

(г)' m'e{z)/

(2.3tl

Многочлен m\^l{z)= I + rirzz п р е д с т а в л я е т собой г-преобразбваiiiii' Л а п л а с а минимально-запаздывающей последовательности — 1, г,/'2, так к а к нули многочлена mT\{z) л е ж а т вне единичного u|iyra. I Заметим, что н у л ь функции т ' п (z) н а х о д и т с я в точке г = — \!{г\Г2)-

В общем с л у ч а е ;[Г|Г2]
к а к 1

—r\z

'm\\\z) (2.3-16JI [mi\>{z) 73

то уравнение (2.3-14) можно записать в виде -Г22

М(2)М(1) =

(2.3-Г'

mi^'(2) 2 V . ? ( z - ' ) •

Перемножив матрицы в (2.3-17), получим следующее рекуррен} ное соотношение: ,.(2) _ ^(1)/,N ,.,.„(1), (2.3-|

mi]^ (2) = -r2m . . . M < " ] = z ( l - r L , ) - z ( l - 4 _ 2 ) -

'

'

г(1-г\)

...

det[M(2)—-г-преобраювание Л а п л а с а последовательности Ыо'*, uY\ Ыг'*, . • •» « 1 " . регист­ рируемой сейсмоприемником, фактически она и есть импульсная (накция нашей системы. Таким образом, передаточная ф у н к ц и я Nспойной среды f W ( 2 ) р а в н а t / ' ' > ( 2 ) , т. е . соотношение (2.3-41) при­ нимает вид fW(2)

(2.3-42)"

=

где m\V (г) = - г Х Г " (г) -1- гт^Ц-'^ {г), / n ' , V ( z ) = l , mil\z)^-ru

N>2;

f ' ° ' ( z ) = 0.

Развернем срункцию i^(^'(2) д л я нескольких случаев. Если обо­ значить N число слоев, а FW{z) — 2-преобразование Л а п л а с а отра­ женных волн в Л/-СЛОЙНОЙ среде, то получим: 0 Я " ) (2) 1 Л ' ) (2) 2

0; 1 + ГоГ.Г (2.3-43)

F(2)(2)

3 Fi^){z)--

'•iZ + ('-2 + '-3Vi)^^ + /-3Z^ 1 + (''o'^i + ' • / г + '•2'"з) 2 -|-(''о''2 + ' • / з + ' +/0''1''2''3)2^ + ''0''3'^

77

к р о м е о т р а ж е н н о й энергии, достигшей сейсмоприемника, суще-^ ствуют энергии, прошедшие в воздушное пространство (нулевой слой) и в бесконечное полупространство (Л^-|-1)-го с л о я , поэтому, если производить измерения в воздухе, т. е. у подошвы нулевого слоя, о т р а ж е н н ы е волны в Л^-слойной системе м о ж н о определить и ка* последовательность |* tWo\tou\'\

toui'\

. . . . tWk^ . . . .

I

Определим п р о х о д я щ и е в о л н ы , которые проникают в ниж­ нее бесконечное полупространство [{N + 1)-й слой:, к а к последова­ тельность .(/V+1) ад/2-1,

,(N+1) ад/2 .

MN+1) ад/2+1.

4

Тогда, согласно ф о р м у л и р о в к е нашей задачи, г-преобразование Л а п ласа этой последовательности, обозначенное f'r"(z), будет иметь ви;^ (г) = Z)'"^-*-" (г), N>1. Если

измерения

(2.3-44)

п р о и з в о д я т с я в воздушном

слое,

то функцию

F'j^'{z) м о ж н о определить к а к г-преобразование Л а п л а с а последова­ тельности о т р а ж е н н ы х волн /о«о". ^'ou\^\ ^о^г", . - • /'o«i'\ . • . : / г ^ ( г ) = 4{/{z) m\f (z-')— :

Последнее соотношение Далее detlM<w 78

идентично

z^'mii' (г) 'y/^lf' (z->).

'

:

(2.3-49)

числителю дроби

в (2.3-48).

. М(г) имеет вид стандартного рекур.' сивного цифрового ф и л ь т р а , сигнал на выходе которого зависит как от н а с т о я щ и х и прошлых значений к а к входного, так и выходного сигнала. Если обозначить Xk свободный от помех сигнал на выходе фильтра, а Sk входной с и г н а л , то в ы р а ж е н и е (2.4-1) во временной области примет вид Xk -г

a f h k - i

= N

где

г\%к-1

+ -г

af^Xk-2

Ч-2

+ . . . +

+ . . . -г

a^N^Xk-N ^^N^Sk-N,

=

(2.4-2)

(N)

= Гогы и елг

=

гм.

в о б щ е м а н а л и з е систем устойчивость имеет первостепенное з н а ч е н и е . Р а з р а б о т а н ы а н а л и т и ч е с к и е и г р а ф и ч е с к и е способы о п р е д е л е н и я устойчивости л и н е й н ы х и н е л и н е й н ы х систем. О д н и из способов состоят просто в о т ы с к а н и и м е с т о п о л о ж е н и я п о л ю ­ сов в к о м п л е к с н о й плоскости, д р у г и е о п и р а ю т с я на более с л о ж н ы й а н а л и з к о м п л е к с н ы х п е р е м е н н ы х . Д л я н а ш и х целей д о с т а т о ч н о и м е т ь в в и д у основное о п р е д е л е н и е устойчивости, г л а с я щ е е , ч т о система устойчива, если всем о г р а н и ч е н н ы м в х о д н ы м в о з д е й с т ­ в и я м соответствуют о г р а н и ч е н н ы е о т к л и к и . Н а м известен т а к о й ф и з и ч е с к и й ф а к т , что з е м н ы е недра не могут с о з д а т ь н е о г р а н и ­ ченный о т к л и к на о г р а н и ч е н н о е воздействие. С л е д о в а т е л ь н о , судя по чисто ф и з и ч е с к и м ф а к т а м , п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь всегда огра­ н и ч е н н а я . О т с ю д а д е л а е м в ы в о д , что п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я /"^(z) п р е д с т а в л я е т собой у с т о й ч и в у ю систему. З н а м е н а т е л ь отношения (2.4-1) обычно называют характеристи­ ческим многочленом системы. В данном случае это — многочлен N

С комплексной переменной г . П у с т ь Л],

N>\,

.де Ф'о^* = 1. Используя это определение, получаем выражения 1 Л(')(2), Л(2)(г), Л(г), Л(*)(г):

(2.4-6) д л я многочле-

Л ' " ( г ) = 1-|-Ф',"г; Л ' ^ > ( г ) = 1 - Ь Ф Г г + Ф'2^;

Л'^> (2) = 1 - ь Ф^>г , L Г ф ^ . + , „ , , , , , 3 - 2^ + ф^)2^

(2.4-7)

ff

Воздушная среЗа Вода

+

f

Придонные осадки

+

Г^ГзГ2П +

[Фз*

+

Г4Г3Г1Г0 + Г4Г3Г2Г0 +

Г3Г2Г1Г0]

22 + '

Г4Г2Г1Г0] i

+

Z

ПЕСОК

J

А б с о л ю т н а я величина любого коэсЬсЬициента о т р а ж е н и я не может пре­ высить е д и н и ц у . Н а п р а к т и к е эти Рис. 2-14. Комбинация слоев, ко­ абсолютные величины, за исключ& торая может встретиться при мор­ нием коэф^эициента го, очень малы, ской сейсморазведке. обычно меньше 0,1 и л и 0,05. Напри­ 0—4 — с л о и и о т р а ж а ю щ и е г р а н и ц ы с мер, при морской сейсморазведке коэффициентами возможного о т р а ж е н и я г,- с о о т в е т с т в е н н о 0,99; 0,13; 0,03; 0,05; можно встретить с и т у а ц и ю , изобра­ « , 0 4 ( i = О, 1, 2, 3, 4) ж е н н у ю на р и с . 2-14. Заметны скач­ ки с о п р о т и в л е н и я в первых нескольких с л о я х , причем самый зна­ чительный с к а ч о к наблюдается на границе воздух — в о д а . Д л я в ы б р а н н ы х коэсюициентов о т р а ж е н и я Терригенныв отложения Породы фундамента

^

= 0,1361, = 0,0374, - 0,0547,

ф'4->

Г4Г3Г2Г1 Г4Г3Г1Г0 ГзГ2Г\Го

= 0,0078 X 10-3 = 0,2574 X 10-3 = 0,1930 X 10-3

Сумма

0,4582 X 10-3

ГАГ2Г\ГО

= 0,0594 X 10-3 = 0,1544 X 10-3

Сумма

0,2138 X 10-3

=^ 0,0396,

I %

С у д я п о у к а з а н н ы м выше величинам. Фг*' >

Г4ГЗГ2Г1

+ Г4Г3Г1Г0

Фз*^ >

Г4Г3Г2Г0

+

-}-

Г3Г2Г1Г0,

• щ

Г4Г2ГхГо.

в общем с л у ч а е Ф^^ — сумма произведений д в у х коэффициент» о т р а ж е н и я , которая больше суммы произведений четырех и бол* •коэффициентов о т р а ж е н и я . С л е д о в а т е л ь н о , с хорошим п р и б л и ж е н и е характеристический многочлен Л/-слойной системы можно выразиИв виде (2) = S а'Г'/^

1 - г ФГ'z + Ф Г г ' + . . .-гФ^^'Л

(2.4-8f N

где

функции

последовательной

корреляции

равны

Фт ^ = S''«''п-н. п=0

(/п>1, iV>l). Из (2.4-8) видно, что ф у н к ц и я пocJ^eдoвaтeльнoй корреляции 1, 'i'^', Фг^', . . ., Ф^^ имеет виД временной автокорреляционно^ последовательности. Единственное отличие ее состоит в том, ЧТ! «2

'I'll

равна единице, a не

2 J ''">

как

у

сэункции

автокорреляции.

п=0

Последовательность коэсзфициентов о т р а ж е н и я го, Гь . . . , гм предгшвляет собой у п о р я д о ч е н н у ю последовательность чисел, н и ж н и й индекс которых н а х о д и т с я в прямом соответствии с временем появ­ ления числа. Н а п р и м е р , коэффициент о т р а ж е н и я г? границы 7 соотметствует в р е м е н и в = 7 первичного о т р а ж е н и я от этой г р а н и ц ы .

Рис. 2-15. Последовательность г^, Гг, . . ., г^, изображенная в виде значений амплитуд (Лц, . . . , Г;^) однократных отражений (а, б, в) от границ раздела 1, 2 k, наблюдае­ мых в моменты времени kf

Итак, последовательность го, г\, . . . , г„ пронумерована в соответсткии с г л у б и н о й , .поскольду у слоистой модели нулевым слоем я в л я |Ц'я воздух, а п-й слой залегает г л у б ж е ( п — 1 ) - г о с л о я . Последокптельность чисел ги гг, . . . , г„ м о ж н о с ч и т а т ь последовательностью' 1ИЛ11ЧИН п е р в и ч н ы х о т р а ж е н и й на сейсмограмме (рис. 2-15). Заметим, 110 действительная амплитуда первичного о т р а ж е н и я от границы «момент времени k равна п р о и з в е д е н и ю ( / 1 / 2 . . . 4 - i ) ( ^ i ' 2 . . . ^*-i)^2-=.c KViii к поверхности п р и л о ж е н н и с х о д я щ и й единичный и м п у л ь с . Характеристический многочлен имеет т а к ж е физическую интер­ претацию. П о с к о л ь к у последовательность а!о\ а\^\ . . . , а!^' с в я з а н а t меличиной к о р р е л я ц и и м е ж д у коэсх)ициентами о т р а ж е н и я , она мр;1ктеризует конкретный географический участок. Следовательно, ииплюдаемая последовательность может с л у ж и т ь мерой упорядочениистп глубинного строения. В таком случае эта п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь (И'Иствительно х а р а к т е р и з у е т Л'-слойную систему. Определим многочлен £'2 - - Л4Г3Г1

- Ь ГзПГу,

2^ - f !Гз - } - ТАГ^ГХ

-Ь

Г4ГзЛ2] 2? ~ Г42\,

(2.4-12);

i где г\, Г2, TN — коэфсзициенты отражения. ' Итак, при малых коэффициентах отражения s'^^s^r^ поэтом)' числитель отношения (2.4-1) принимает вид выражения (2.4-12) Многочлен E^^>(z) обладает интересным свойством: он приближен»! равен г-преобразованию Лапласа последовательности, амплитуд! которой в точности равны коэффициентам отражения. Будем называТ!; £*^'(z) м н о г о ч л е н о м о т р а ж е н и й , а последовательность Ги Г2, . . . , r^v —последовательностью отражений^ Однако в отличие v характеристического многочлена Л ( 2 ) не мин» мально-запаздывающий, а, как правило, смешанно-запаздывающий,, т. е. его 2-преобразование Лапласа содержит нули (корни) как вну1' ри, так и вне единичного круга. В многочлене ^(^'(г) содержите^ необходимая для сейсморазведки инсюрмация — информация о K03()i оициентах отражения и соответствующих временных задержках. ' В случае модели с «малыми коэффициентами отражения» пер»; даточную функцию отражения f в многочлена E'-^\z) и м е ю т в и д единичного и м п у л ь с а . Итак, коэффициенты отражения можно считать некоррелиру1МЫМИ числами. Вместе с тем коэффициенты отражения — фикш р о в а н н ы е ( п о с т о я н н ы е ) в е л и ч и н ы , з а в и с я щ и е от в е щ е с т в е н ­ ного с о с т а в а г л у б и н н ы х слоев. М о ж н о л и в т а к о й с и т у а ц и и счишть к о э ф ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я случайными? Во-первых, к о э ф ф и ц и ­ енты о т р а ж е н и я геологических слоев в известном с м ы с л е не я в ииотся р е а л и з а ц и я м и с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а . Н а п р и м е р , о т р е з о к г^, (|, и,/"«-{-г,... . r f t + L не я в л я е т с я одной из р е а л и з а ц и й с л у ч а й н о г о про­ месса, но к о э ф ф и ц и е н т о т р а ж е н и я Ги м о ж н о с ч и т а т ь случайной переменной. В н а ш е м с л у ч а е т е р м и н « с л у ч а й н а я п е р е м е н н а я » не о з н а ч а ­ ем, что в е л и ч и н ы к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я точно неизвестны и могут быть н а й д е н ы в л ю б о й з а д а н н ы й момент посредством «ве­ роятностного» э к с п е р и м е н т а . С е й с м и ч е с к и е переменные ( к о э ф ф и ннеиты о т р а ж е н и я ) не с л у ч а й н ы с позиций частотной интерпрепщии вероятности, т а к к а к они ф и к с и р о в а н ы геологическим стро­ ением среды. К о э ф ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я ( « с л у ч а й н ы е п е р е м е н н ы е » ) I Корее подобны переменной, п р е д с т а в л я ю щ е й собой м и л л и а р д н о е ннелов записи ic=3,1415926..., к о т о р о е хотя и неизвестно, но предI гавляет собой о п р е д е л е н н о е , ф и к с и р о в а н н о е число. Т а к и м об|ипом, н а ш а и н т е р п р е т а ц и я с л о в а «случайный» с о о т в е т с т в о в а л а ;

85

бы р а с с у ж д е н и ю о р а с п р е д е л е н и и в е р о я т н о с т и м и л л и а р д н о г о чис­ л а в з а п и с и ч и с л а it и о т о м , к о р р е л и р у е м ы л и д в е соседние ц и ф р е в этой з а п и с и . А н а л о г и ч н о м о ж н о г о в о р и т ь о р а с п р е д е л е н и и вероятностей г л у б и н н о г о к о э ф ф и ц и е н т а о т р а ж е н и я и о к о р р е л и р у е м о с т и коэф­ ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я д в у х соседних г л у б и н н ы х г р а н и ц р а з д е л а Г е о ф и з и к - п р а к т и к имеет д е л о с р а з в е д к о й б о л ь ш и х р а й о н о в I) а н а л и з и р у е т м н о ж е с т в о з а п и с е й . Л ю б о е д о с т а т о ч н о б о л ь ш о е ко­ л и ч е с т в о д а н н ы х п р и о б р е т а е т с т а т и с т и ч е с к и й х а р а к т е р д а ж е в том с л у ч а е , к о г д а о т д е л ь н ы е ф р а г м е н т ы э т и х д а н н ы х по своей прш р о д е д е т е р м и н и р о в а н н ы е . Э . Р о б и н с о н ]80] и м е н н о в этом смыс­ л е р а с с м а т р и в а л коэсэфициенты о т р а ж е н и я к а к с л у ч а й н ы е пере^ м е н н ы е . П о с л е д н е е о б ъ я с н я е т т а к н а з ы в а е м у ю гипотезу случай» ных к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я . 2.4.3. Модель с малыми и случайными (некоррелируемыми) коэфоициентами

Ц

П р е д п о л а г а я , что абсолютные величины коэффициентов отражения намного меньше единицы, и, учитывая гипотезу о случайности от ражений по всему геологическому р а з р е з у , согласно которой упоря­ доченное множество коэсэсэициентов о т р а ж е н и я н е к о р р е л и р у е м о Ф*^*::* Ф Г ^ Ф Г ^ . . . ^ Ф ) Г 1 ~ Фл'' ^ О, многочлен FW (г) и з (2.4-13) упрощается д о F^^) (2) ^ Г , 2 - f Г 2 2 2 + . . . + rNZ"". (2.4- Щ Заметим, что (2.4-14) п р е д с т а в л я е т собой 2-преобразование Лгпласа последовательности о т р а ж е н и й > i , Г2, . . ., rw- Физически эг) ситуация в о з н и к а е т при наблюдении т о л ь к о первичных отражени в случае источника в виде нисходящего единичного импульса, во: бужденного вблизи земной поверхности (см. р и с . 2-15). П р и это^ наблюдается интересное явление возрастания амплитуды первичны) о т р а ж е н и й от (/1/2 • • • ^А) ... до г*. Иными словами, npj правильности гипотезы малых и случайных отражений в л и я н и е в с ^ междуслойных кратных оказывается только благоприятным. О н | у с и л и в а ю т п е р в и ч н ы е о т р а ж е н и я на с е й с м о г р а м м е д о макси­ м а л ь н ы х , о п р е д е л я е м ы х величиной г^, а к р а т н ы е в о л н ы делают н е з а м е т н ы м и . Во всей н а у к е , п о ж а л у й , не найти л у ч ш е г о примера, к о г д а б е с п о р я д о ч н о с т ь ( с л у ч а й н о с т ь ) приводит к столь прек­ расному результату. Э т о я в л е н и е имеет и п р а к т и ч е с к у ю ценность, т а к к а к в оф| новном б л а г о д а р я е м у б ы л и о т к р ы т ы все н е ф т я н ы е м е с т о р о ж д * ния в период с 1930 по 1960 г. В течение э т о г о времени (до поя в л е н и я ц и ф р о в о й о б р а б о т к и с и г н а л о в ) э ф ф е к т и в н о проинтер­ п р е т и р о в а н н ы м и м о г л и б ы т ь т о л ь к о те с е й с м о г р а м м ы , которы1| у д о в л е т в о р я л и д а н н о й м о д е л и , т а к к а к с е й с м о г р а м м ы с сильным фоном к р а т н ы х и р е в е р б е р а ц и и не п о д д а в а л и с ь т р а д и ц и о н н о ! сейсмической и н т е р п р е т а ц и и . Р а з б о р моделей будет п р о д о л ж е н в гл. 4.

Глава 3 IОМОМОРФНЫЙ АНАЛИЗ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

1,1 ГОМОМОРФНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ II НАУКЕ И ТЕХНИКЕ

И 1л. 2 мы показали с в я з ь м е ж д у постоянными параметрами пере­ даточной сэункции отражений Я-'^'(г) и коэффициентами отражения ,V слоев, с л а г а ю щ и х р а з р е з . Эти соотношения зависели от типа , . | ( ) 1 ! С т о й модели среды и о т допущений при моделировании. Мы ппределили многочлен отражений £k+v

•••

«1111 элементом множества, поставленным в соответствие с упорядоченной парой (.1,. /'^) путем бинарной операции сложения. Заметим, что если взять другую 11|||||ядоченную пару, т. е. (6^^, а^^), то результат получится такой же, поскольку I а^, = -|-fc^,, согласно переместительному закону сложения. Однако, при Пниариой операции вычитания, т. е., если = — , упорядоченная пара (Яу;,, й^^) дне г результат, отличный от результата упорядоченной пары (6^,, а^.). Следова- i (c^iiiiii, понятие «упорядоченность» пар является важной частью определения 1^' П р и м е р 3.1-2. Пусть ф обозначает свертку, т. е. ф = *. Тогда a,j ф &^,= bi^= }^'Z'^_Q а^Ь^_^\ для k = 0, 1, 2, . . . Таким образом, aj^*6^— t/ii'MciiT множества всех действительных ограниченных причинных последователь87

ностей, поставленных в соответствие с упорядоченной парой (и^^, 6^,) посредством бинарной операции свертки. Поскольку свертка подчиняется переместительному закону, т. е. а^^ *fc^^= 6^^ * а^^, мы получим такой же результат и для упорядо­ ченной пары (й^, Of^). У с в о и в и д е ю б и н а р н о й о п е р а ц и и , р а с с м о т р и м о п р е д е л е н и е го­ моморфного преобразования. Определение 2. О т о б р а ж е н и е tp множества 5 с бинарной опера­ цией 0 на м н о ж е с т в о S' с бинарной о п е р а ц и е й ф ' будет гомо­ морфным преобразованием, если ?(ае&) =

?(«)Ф'т(6)

д л я всех элементов а и b множества S. А л г е б р а и ч е с к а я к о н ц е п ц и я гомоморсЬного п р е о б р а з о в а н и я яв­ ляется в математике основополагающей "39j. Она использовалась при и с с л е д о в а н и и т е х н и ч е с к и х систем 6 9 ] . Е с л и з а м е н и т ь слово «множество» словами «группа», «поле», «кольцо» или «алгебра», то п о л у ч а т с я а н а л о г и ч н ы е о п р е д е л е н и я г р у п п о в о г о гомоморсЬного п р е о б р а з о в а н и я , полевого гомоморфного преобразования и т. п. Р а с с м о т р и м н е с к о л ь к о п р и м е р о в г о м о м о р ф н ы х п р е о б р а з о ­ ваний. , П р и м е р 3.1-3. Возьмем множество S всех действительных ограниченных причинных последовательностей с бинарной операцией сложения, т. е. ф = 4-. Рассмотрим также линейное отображение Ij^, заданное выражением

которое определяет г-преобразование Лапласа (двустороннее). Для двух элементов и 6^, множества S

^

**

что определяет свойство сложения г-преобразования Лапласа и вообще любого линейного отображения. (К линейным отображениям относятся преобразования Лап­ ласа и Фурье, линейные операции дифференцирования и интегрирования). Отображе­ ние C L М О Ж Н О считать отображением множества S с бинарной операцией сложения на множестве S', состоящем из г-преобразований Лапласа всех вещественных ограниченных причинных последовательностей с бинарной операцией сложения ( I g ' =-|-)i В таком контексте удовлетворяет определению 2 и является гомоморфным пре­ образованием. Вообще свойство сложения любого линейного отображения есть гомоморфное преобразование. П р и м е р 3.1-4. Предположим, что множество S и отображение С,;^ опре­ делены, как и прежде, но над S производится бинарная операция свертки, Известно, что для двух элементов и множества S имеет место равенство

В этом случае можно считать отображением множества S с бинарной операцией свертки на множестве S', состоящем из г-преобразований Лаплас! всех действительных причинных и ограниченных последовательностей с бинарной операцией умножения, т. е. Vf) = •. Следовательно, удовлетворяет определению 2 и в данном контексте является гомоморфным преобразованием. Аналогично преобразования Лапласа и Фурье в непрерывном времени тоже отображают множества действительных ограниченных причинных функций времени с бинарной операцией свертки на множества преобразований Лапласа и Фурье этих функций 88

!• бинарной операцией умножения, в этом смысле преобразования Лапласа и Фурье |(|\10морфны. Однако следует всегда иметь в виду, что эти линейные отображения (преобразования) сами по себе негомоморфны. Они только считаются гомоморфными 11 смысле их воздействия на сигналы, образованные посредством некоей бинарной (шсрации и удовлетворяющие определению 2. Завершая последний пример, добавим, что обратное отображение ^^^^ опредсляемое как dz. где С обозначает проходимый по часовой стрелке круговой контур с радиусом 1.1ВИСЯЩИМ от области сходимости операции (• ) в комплексной г-плоскости, иоздействуя на г-преобразования Лапласа А (г) и В(г), дает следующий результат: с-1г

В(г)] = Alz) + B(z)

А(2)

+ В(2)

г-н-}

[В (г)];

[В (2)]. е ' [А (2)] * Рис. 3-1. г-преобразование Лапласа и его обращение ^2Г'(*)' браженные в виде гомоморфных пре­ образований Рис. 3-2. Натуральный логарифм I n ( ' ) и его обращение е х р ( - ) , изображен­ ные в виде гомоморфных преобразо­ ваний (пример 3.1-5)

A(2)-B(z) Afz)-B(z)

A(z)-B(z)

1iilA(z^+ln[B(z)j

TLn[Arz)]+ln[B('2)]

eip(-)

A(z).B(z)

Итак, по определению 2 и в свете предыдущих рассуждений о множествах S и S' обратное отображение также гомоморфно. На рис. 3-1 изображено ^-преобразование Лапласа в качестве гомоморфного. ( П р и м е р 3.1-5. Пусть S — множество всех минимально-запаздывающих /•преобразований Лапласа с бинарной операцией умножения, т. е. © = • . . Пусть лплее S' —множество всех аналитических логарифмов соответствующих преображтаний с бинарной операцией сложения ( ф ' = - f ) , причем оба множества опре/н-лены при | г | • < 1. В этих условиях натуральный логарифм In(•) является гомо мирфным преобразованием, поскольку In [А (г) . В (г) ] = In [А (г)] + In [В (z)] и определение 2 удовлетворено. Подобные отображения применимы во многих областях науки, так как ПИИ преобразуют умножение в сложение. В самом деле, способ построения так 1111 плваемых кривых Боуда, используемых при анализе частотных характеристик питейных систем, основан на подобном гомоморфном преобразшании, хотя его иикогда не объясняли столь абстрактно. Рассмотрим обратное отображение е*"* = ехр (•) множества S' на S: exp{lnf^(2)l+ 1п (В(г)Л = ехр {In [Л (г)]} • ехр {1п fB (г)]} = (г)-б (г). В этих условиях ехр ( . ) также представляет собой гомоморфное преобранш.пше (рис. 3-2). 89

Операции, рассмотренные в п р и в е д е н н ы х в ы ш е примерах, в п о л н е п р и в ы ч н ы д л я и н ж е н е р а , з а н и м а ю щ е г о с я о б р а б о т к о й сигна' л о в , но в а б с т р а к т н о м с м ы с л е они я в л я ю т с я г о м о м о р ф н ы м и пре^ о б р а з о в а н и я м и . О н и и г р а ю т с у щ е с т в е н н у ю р о л ь при разложени}! и ф а к т о р и з а ц и и с и г н а л о в и их с п е к т р о в . В п о с л е д у ю щ и х р а з д е л а х будет п о к а з а н а с в я з ь м е ж д у гом^? морфными преобразованиями и общей проблемой спектрально! факторизации. j ; 3.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

|

П р е д п о л о ж и м , что имеется п р о и з в о л ь н а я ф у н к ц и я спектральнс|| плотности мощности (энергии) Ф(си), где ш — н е п р е р ы в н а я перемеН' ная частоты, определенная на закрытом интервале —тс, я \ и изме* ряемая в р а д и а н а х на ш а г выборки. Ф у н к ц и я Ф((») произвольна в том смысле, что она не обязательно д о л ж н а быть рационально^! с])ункцией. Ч т о б ы быть р а з л о ж е н н о й на множители, один из которых явлЯ' ется причинной системой, срункция спектральной плотности мощности Ф(и)) д о л ж н а удовлетворять следующим условиям: 1) Ф(«)) — неотрицательная на и н т е р в а л е —к < со < тс; 2 ) Ф ((B) — ограниченная на интервале — те < w < тг; (3.2-1) 3 ) 1п'Ф(и))^ — ограниченная на интервале — ' ! г < ( о < т с . ^iЗадача спектральной сэакторизации состоит в отыскании такой причинной системы B{z), т . е . г-преобразования Л а п л а с а причинно|| последовательности bk, амплитудный спектр которой равен корню квадратному из спектра мощности: | В ( а ) ) | = [Ф(«>)р.

(3.2-|

Г. Ш е г ё )95i и А. К о л м о г о р о в [SOJ п о к а з а л и , что решение этой з а д а ч и м о ж н о н а й т и к л а с с и ч е с к и м м е т о д о м о п р е д е л е н и я пй» т е н ц и а л ь н о й ф у н к ц и и с з а д а н н ы м з н а ч е н и е м ее действительноЛ ч а с т и на е д и н и ч н о м круге. ^ К л а с с и ч е с к о е с о о т н о ш е н и е Ш в а р ц а из теории п о т е н ц и а л а [10% имеет вид i тс

—тс

где «о' — переменная интегрирования; г = г е - " " . Это соотнощение позволяет найти б у н к ц и ю F{z), действительная часть которой на единичном круге равна ReF(m). Соотношение Шварца следует из известного результата, полученного С. Пуассо­ ном в теории п о т е н ц и а л а . Ф у н к ц и я tnjB(u))j я в л я е т с я действительной частью с)ункциИ 1п5(т).

Далее RelnB(u)) = l n | 5 ( ( . . ) | = | ! п [ Ф ( ш ) ] .

(3.2-4)

Искомое решение н а х о д и т с я просто подстановками выражения |/21пФ(и)) вместо ЯеР(ш) и ф у н к ц и и In В (г) вместо F(z) в соотно­ шение Ш в а р ц а : 1С '"^(^) = ^ 1 г з 5 ^

1^1,

(3.2-7)

iiie абсолютное значение В (ш) ] — амплитудный или абсолютный 111,'ктр, а а р г у м е н т 6 (ш) — фазовый спектр. В р е з у л ь т а т е комплексиьи! логарифм спектра 1 " In В ( ш ) = In I В (со) I + /9 ( о ) ) , (3.2-8) I 1е д е й с т в и т е л ь н а я ч а с т ь я в л я е т с я л о г - а м п л и т у д н ы м и л и л о г йОеолютным с п е к т р о м , а м н и м а я ч а с т ь — ф а з о в ы м с п е к т р о м . Э. Р о б и н с о н з а т е м з а д а л с я в о п р о с о м : « Ч е м я в л я е т с я ф а з о иии спектр, в ы т е к а ю щ и й из с о о т н о ш е н и я Ш в а р ц а ? » Он п р и ш е л t. иыводу, что ф у н к ц и я — 0(со) есть не что иное, к а к м и н и м а л ь н о шрицательно-сзазовый с п е к т р или (что т о ж е с а м о е ) функция II(ill) — именно тот ф а з о в ы й с п е к т р , который д е л а е т п р и ч и н н у ю . шетему B(z) минимально-запаздывающей. 11сследуем п о д р о б н е е п о л у ч е н н ы е в ы в о д ы . П о й д е м в о б р а т н о м иниравлении и н а ч н е м с п р е д п о л о ж е н и я , что п р и ч и н н а я системи В(г) я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й . И з свойства 10 м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и х ф у н к ц и й , приведенного в р а з д е л е 2.1, 1 .'Н'лует, что

В ( 2 ) = ^ О,

|2|

i: I m

(3.2-12)

Рассмотрим действительную часть уравнения (3.2-12) 1п[В(ш)>Ро+Ре) S

'

(3.2-Щ

Ф у н к ц и я In в (со) представляет собой периодическую угловой частоты to и ее м о ж н о р а з л о ж и т ь в р я д Ф у р ь е :

сЬункци»

1п;В(ш)'=

S

.

*£

?'ke-^"''•

(3.2-11 jt:-;'

k=—оо

Отсюда следует, что я в л я ю т с я коэффициентами Ф у р ь е , которые можно вычислить по формуле Ф у р ь е - п р е о б р а з о в а н и я : Р; = ~

In : в (m) e^-Mu),

^; = о, ± 1, ± 2 , . . .

(3.2- i f

Действительную часть у р а в н е н и я (3.2-13) можно записать в виде

I n ' В (ю) 1 = Ро -Ь ' f 4e-^-^] - f S 4 е-'-*

(3.2- Щ •и»,

или l n ^ B ( m ) ' = |3o-,h

S

bie--*-f

S ^-б-'--^

(3.2-l| t

Р а з л о ж и в уравнение (3.2-14) в р я д , получаем: I n ! S (ш)

= . . . pise'"'

р 1 , е ' - - f [З; + ^[е-''^ + Р а е " ' " ' + . . .

(3.2-18)

Из уравнений (3.2-17) и (3.2-18) находим зависимость между коэффициентами |3* и [3^. Итак, если задан амплитудный спектр \В{и>)1, по сюрмуле (3.2-15) можно вычислить последовательность (3* и черея нее найти последовательность р*., используя с л е д у ю щ и е равенства!

Зо

^ = 0,

= Ро,

l3ft = 2p;, k=l, 2, 3, . . . . l3t = 0, A: = —1, —2, — 3 , . . .

'

(3.2-19)

Последовательность я в л я е т с я последовательностью коэффициriiTOB степенного р я д а , в который р а з л о ж е н а ф у н к ц и я In Б (г). Отиода можно найти требуемую м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ у ю систему /l(z), прибегнув к соотношению:

B(2) = e x p { l n 5 ( z ) } ,

(3.2-20)

которое м о ж н о записать т а к ж е в виде оо

S

во

6ftZ*

= exp 1 , получим: ,.

fc

!™ I ,

I

.

/

/ч ,

Ц

sin 10) (ю — Ш ш')| sill

s i n ( w — О)')

«1"^ ( " ' - " ' ) ^ == l - 2 c o s V - o ' ) - M

=

2[l-cos(a.-co')]-

(3.2-33) С помощью тригонометрических . ^ (ю — (u'\ l ~ 2 ~ j ~

тождеств

1

— COS ((О — О)')

2

'

Sin(u) — o)) = 2 s i n i — 2 — I ' ^ o s ) , (a> — a>'\ /o) — o)'\ / . Gtg(-^J| =

to/ —

m' \

c o s ( ^ ] | / s m | f

преобразуем уравнение (3.2-33) в следующее: i i m у г * - ' sin(ш — u)')й После подстановки Н«>) =

= V sin(u> — ш')

= -J-ctg

(3.2-34) в (3.2-31) получим I ctg

In , В (о.') do,'.

(3.2-34) iTv (3.2-35)1

где символ P означает, что интеграл принимает главное значени! Коши благодаря особенному пове:дению функции • ctg |(о) —(о')/2 при (u = o)'. Строгое изложение процесса отыскания приведенного выше предела и вывод б о р м у л ы (3.2-35) с позиций теории потен­ циала д а н ы в работе, [30[.

И т а к , окончательное выражение д л я минимально-отрицательно|'|лзового спектра —6 (ю) через амплитудный спектр В (ш) имеет в и д -в(ш) = 1 р через спектр мощности

fctgf:i:=i^)inS5(«)'):d")'.

(3.2-36)

Ф(а)) —

"

- « W = ^ ^ i ctgf5^)ln:0(«,'):d«.'. —It ^ / I'oBopHT, что функции In в (to) и — в ( ш ) о б р а з у ю т п а р у юьаний Г и л ь б е р т а . Н а к о н е ц , выведем соотношение Ш в а р ц а . Имеем ;

;, ; , I n [В (z): = f ; i3ftz* = Ро + 2 f plz*.

(3.2-37) преобра-

(3.2-38)

fc=0 ft=l

П р и н я в BO внимание уравнение (3.2-29) д л я Р ь

,

'

1 + 2 2

— I

В то ж е время имеет •

.

место

e'^'^z* In I В (ш') I do)',

= i

(3.2-39)

равенство

1 + 2 | ( Л ) ' = . | ± | ^ ,

Отсюда получаем соотношение

получаем:

> : < 1 .

(3.2.40)

Шварца

J

B^^yd^',

-г < 1,

(3.2-41)

—тс

которое превращается в уравнение (3.2-5), если сделать замену lnjB(o)); = 1/21пФ(-отрицательный антипричинный кепстр. Ранее мы получили соотношение между bk и 3ft в н е я в н о м виде, можно использовать д л я вычисления bk по [3ft (и наоборот) щ, уравнение (3.2-26)\ Попытаемся вывести соотношение между », н |3ft в явном виде, основываясь на понятии кепстра.

KiTopoe

Заменив в уравнении (3.2-25) 6ft на b'k, получим |: ' iMe

= 1.

\)}k+xz\

(3.3-15)

- J ( f e + 1)б;+,г* = у ; {k--y\)^k+xzK

(3.3-16)

+ 1)^*+'^* = S biz* ^ (/г -

' •

Перепишем уравнение 1

,

% B'{z) =

'

b'kzK

(3.3-15) в виде

•

•

' •

ft=0

1'аиее мы показали, что z-преобразование Л а п л а с а обратной подо вательности (б*)Г"' равно 1/JB'(Z). Используя это обстоятель­ ней, можно записать уравнение (3.3-16) в виде ii C L ( 6 ^ ~ ' • C L [ ( ^ + i)6;+i:i = c d ( ^ + О ^ - ч ; - ... (3-3-17) i Обратное z-преобразование Л а п л а с а , уравнения (3.3-17) дает

I г

•

?ft+,=^-i(6;)--y^~i)6;+,:,/г=о, ^

'

'

1,2(3.3-18) '

т

или

'

т)

=

= ^

( ь ; _ „ ) - ' . ^ = 0 . 1;2...,

(з.з:|

л=0

ЧТО в явном виде выражает спектр р* через миннмально-запаздь^Й ю щ у ю нормированную последовательность 6^. Рассмотрим следующие примеры: ... П р и м е р 3.3-2. Вспомним, что импульсная реакция однослойной сред» расомэтренная в разделе 2.2, имеет вид

[см.

уравнение (2.2-9) и рис. 2-5)].

Исключим, из этой реакции чистую задержку, обратившись к последовател ности О/,, чье г-преобразование Лапласа ,

-

Л(г) = г - ' х ^ « ' ( г ) = 1 ^ : ^ , | г Т < - ^ - - -

'

Ti

,

'

. ^'U

Переместив последовательность х^^^ вперед на одну единицу времени, | исключили

чистую

задержку

(линейную

фазовую

щую последовательности х^^К и тем самым запаздывающей последовательности

дали

составляющую), определение

прщ

минималк*

' которая не имеет нулей и полюв

а^^^хЗ

внутри круга, так как |''о''l обычно меньше единицу. В результате обратнй г-преобразования Лапласа выражения (2) имеем «б = г„--'Гог2; г2гЗ,_гЗ^^, Го^5. . . . .

.

Примем Го = 1 и Гх = 0,8. Пронормировав последовательность первый коэффициент равнялся 1, получаем: г ' = 1,0; - 0 , 8 ; 0.64; - 0 , 5 1 ; 0,41; - 0 , 3 3 ;

...,

С;

так, что1 .1 -- f(

где Oft = (l/ri) a j — нормированная последовательность. Теперь кепстр последовательности а^> имеющий вид временной последоватс/! ности «4 = 0,ai, . . . . можно найти с помощью рекуррентной формулы (3.2 Ь заменив на а^, а на а^. Проделав эту операцию, имеем: а.

-

-

•

=

а[ =

« 2 = « 2

—

1 — У " ! * * ! = 0 . 6 4 — 1 / 2 ( — 0 . в ) ( — 0 , 8 ) =0,32; 1

«3 = «3 «4 = а ;

-

"5 = «5

-

1

106

кепстр

=

г' 1^

2 — 3 « 2 « , = — 0,17; 2 — -^Ч0' 0'^' ^'0; °'0; С"^) Эта последовательность является антипричинной и минимально-опережающей tm-rp /C(a_ft)~' можно получить зеркальным отображением кепстра Д (а^),отноHo начала координат и последующей симметрией относительно отрицатель• il оси времени, т. е. / C ( a L ; ^ ) ~ ' =='—a_k- Отсюда г

^ ( а 1 д , ) - ' = . . . 0,06; —0,11; 0.17; —0,32; 0,8; 0,0; 0,0; 0.0; . . .

(15)

Чтобы получить кепстр а^, не прибегая к рекуррентной формуле (3.2-26). •wiin действовать в соответствии : с определением кепстрального оператора К; 1,1., / C ( a ; ) = C 2 : ' o I n O C i . ( a ' f t ) : L

? .

1| ветствующими кепстрами для коэффициентов отражения = 1,0 и /-1^=0,8. ? М и н и м а л ь н о - о п е р е ж а ю щ и е (а, в) и с о о т в е т с т в у ю щ и е им м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и е (5,1 ф у н к ц и и ; а н т и п р и ч и н н ы е ( б , г) и о т в е ч а ю щ и е им п р и ч и н н ы е (е, з) ф у н к ц и и . Л д — норн»! рованная амплитуда последовательности

На рис. 3-4 изображены жены iпоследовательности а]^, a__j^, ( а ^ ] " ' ' (а_к\ ' и соотщ ствующие им кепстры k (с иЛ:{а1;^)-'-Изрис.З-4, а, 6. й , | Следует, что кепстр минимально-запаздывающей или минимально-опережающИг последовательности, т. е. или а_к, затухает со временем быстрее, чем исхол; Ная временная последовательность. Это явление можно объяснить наличием ЧЩ1 108

17/ в разложении функции In ( 1 + а г ) в степенной ряд (18). Из рис. 3-4, в, г, * , :i видно, что кепстр минимально-запаздывающей или минимально-опережающей конечной последовательности, т. е; ( а ^ ) " ' или ( а ^ ^ ^ ) ~ ' , является бесконечной (юс'лодовательностью. Этот факт можно также объяснить свойством разложения II рид (18) и тем обстоятельством, что логарифмическое гомоморфное преобразовамиг, содержащееся в кепстральном операторе, может иногда приводить к разло•ш'миям в бесконечный ряд. В примере 3.3-4 будет доказано, что кепстры после((пиательностей, имеющих рациональные z-преобразовання Лапласа, являются Лгеконечными последовательностями, но что не все кепстры бесконечны. П р и м е р 3.3-3. В данный момент кепстр представляется нам лишь абстракт(II.1M понятием, включающим групповое гомоморфное преобразование К и связан- име с ним математические свойства и операции. Тем не менее мы осознаем, что «гпстр имеет определенный смысл при разложении на множители спектра мощ­ ности Ф(ш), но остается неясным, каким образом он связан с временными рядами, (|'|тикающими при возбуждении среды импульсными источниками, и к а к можно *|11|1ективно использовать, кепстр, чтобы помочь геофизику в изучении глубин­ ного геологического строения, а точнее, в нахождении последовательности отра/м'пий О, ^1, Г2 . . . в Л?-слойной среде. В примере 3.3-2 мы рассмотрели однослойную модель среды (см. раздел 2-2) II устранили чистую задержку из импульсной реакции посредством опредеиния последовательности

= д:^:^\. Затем мы пронормировали

ю'рвый член последовательности кепстр К (flfe) =

так,

чтобы

равнялся единице, и можно было получать

либо с помощью рекуррентной формулы

(3.2 - 26), либо непо-

используя кепстральный оператор К [см. уравнение (3.3-13)]. Решим теперь практическую задачу извлечения известного волнового импульса

||1едственно

III сочника Ьд, из заданного нормированного временного ряда a ^ , = . l , а , , Cj, . . . I помощью кепстра. Если пропустить цеакцией

{al)'~\

то мы сможем

через линейный фильтр с

извлечь

волновой

импульс

импульсной

источника

8^,

ппскольку а\ * (aV)^' = ^'k' Следовательно, проблема заключается в том, чтобы сконструировать фильтр, имеющий импульсную реакцию ( а ^ ) " " ' . Подобный фильтр иногда называют об(пП'пым фильтром или оператором деконволюции. Классическое решение этой «плачи состоит в 2-преобразовании Лапласа временного ряда и получении • результате функции А' (г), нахождении функции, обратной А' (г), т; е. функции 1, и в последующем—в определении обратного г-преобразования Лапйиеа функции 1/Л'(г), т. е. последовательности ( а ^ ) ~ ' Решим ту же самую задачу с помощью кепстра. Вспомним, что кепстр после|||1Ительности

получается в результате

выполнения

следующих

операций:

* 8^) = К ( 4 ) + К (5ft) = «ft + О, где К (8^) = {0} — нулевая последоваН'ЛЬНОСТЬ. Как было показано выше, Д ' " ' ( —а,^) = а ^ Ч Таким образом, при решении мдичи с помощью кепстра нужно сначала найти кепстр К (а^) = aft нормированКиго временного ряда aj^, затем посредством

вычислить

симметричного отображения

обращение

последовательности

—«д, и, наконец, применив

обратный

кепстральный оператор (—с^,), получить ( 4 ) " " ' . Если внимательно изучить оба подхода к решению поставленной задачи, то скажется, что они идентичны в аспекте использования абстрактных математи'шеких операций. Чтобы уяснить этот момент, выпишем операции, используемые I каждом случае.

109

3.3.4. Классический подход

^ .

•

. т

(1). З а д а в ш и с ь множеством G действительных минимально-запаз­ д ы в а ю щ и х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й с б и н а р н о й о п е р а ц и е й свертки, р а с с м о т р и м г р у п п о в о е г о м о м о р ф н о е п р е о б р а з о в а н и е gz." * 8*) =

(ai)

• CL(8*) =

А'(z)

• 1.

Ф у н к ц и я C L я в л я е т с я г р у п п о в ы м , гомоморфным преобразованием, так к а к она отображает группу со сверткой ]0, *[ в группу с умножением ^G, -j. Здесь G' — множество всех минимально-запазды­ в а ю щ и х 2-преобразований Л а п л а с а с бинарной операцией умноже­ н и я . В техническом смысле мы просто вычислили 2-преобразование Л а п л а с а последовательности а^. (2) . П о с к о л ь к у ф у н к ц и я C L отобразила г р у п п у со сверткой в группу с умножением, любые математические операции, выполняе­ мые над упорядоченной парой [А'(z), IJ, будут бинарными опера­ циями умножения. По определению, обращение группы с умножением задается со­ отношением Л ' ( 2 ) • [ Л ' ( г ) ] ~ ' = I , где тождественным элементом в г р у п п е я в л я е т с я единица. В техническом смысле мы вычислили об­ р а щ е н и е функции А'(г), т.е. l/A'{z). (3) . Р а с п о л а г а я упорядоченной парой WA'(z), К, рассмотрим обратное групповое гомоморфное преобразование С ^ ' , которое отоб­ р а ж а е т ;G, •{ на IG, *;|: ^1'

: 5 ^ . I ]

=

C L - ' { ^ } * C L - { I } = K ) - * S .

' Отметим важное свойство группового гомоморфного преобразо­ в а н и я C L , з а к л ю ч а ю щ е е с я в том, что оно отображает тождествен­ ный элемент, группы '(G, *j, т. е. 8*, на тождественный элемент группы | G ' , -1, т . е. н а 1. Аналогично С Г ' отображает обратный элемент группы [G, •;, а именно ^А'{zy-^ = 1/А'(z), rfa обратный элемемент г р у п п ы ;G, * 1 , т . е. ( а * ) " ' . В техническом смысле мы просто вычислили обратное г-преобразование Лапласа сэункции 1М'(2).

И т а к , р а с с у ж д а я в а б с т р а к т н о м с м ы с л е , м ы постоянно исполь­ з о в а л и в т е х н и к е г о м о м о р ф н ы е п р е о б р а з о в а н и я . Д л я рассмотрен­ ных в ы ш е групп z - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а по существу является гомоморфным преобразованием. 3.3.5. Кепстровый

подход

(1). Р а с п о л а г а я группой jG, * ] , рассмотрим другое групповое гомоморс])ное преобразование, называемое кепстральным операто­ ром К. В этом случае К (al *bk) = K Ifi'k) + К (bk) = а* + О,

1де групповое гомоморфное преобразование К отображает группу II) сверткой [G, * ] на группу со сложением [G, + ] , причем G' — множество всех действительных причинных кепстров с бинарной шюрацией с л о ж е н и я . Этот ш а г аналогичен вычислению 2-преобрашвания Л а п л а с а последовательности a'k при классическом подходе. (2) . П о с к о л ь к у оператор К о т о б р а з и л г р у п п у со сверткой на ipynny со сложением, любые математические операции, выполняе­ мые нами над упорядоченной парой [ak, 0), б у д у т бинарными опера­ циями с л о ж е н и я . По определению, обращение группы со сложе­ нием равно

|де тождественный элемент этой г р у п п ы — н у л е в а я последовательместь О, а a i r ' = — [о-к]. Этот ш а г аналогичен вычислению обраще­ ния [А'{z)'\-^ в «комплексной» г-области, когда в подобном случае имчисляется аналогичное обращение в кепстральной области, кото­ рая по существу я в л я е т с я «действительной» временной областью. (3) . Р а с п о л а г а я упорядоченной парой ( — а ^ , 0), рассмотрим об­ ратный к е п с т р а л ь н ы й оператор / С - ' , который о т о б р а ж а е т [ С , -(-^ ма iG, ( - aft + 0) =

i-ak)

*

(0) = ia'k)-' * Sft.

Опять отмечаем важное свойство группового гомоморфного препбразования о т о б р а ж а т ь обратный элемент группы ]G, -|-; на об­ ратный элемент группы G, * ] , а тождественный элемент группы I ' ' ' . + } — на тождественный элемент группы ]0, *[. Этот ш а г ана­ логичен вычислению обратного г-преобразования Л а п л а с а о у н к ц и и 1/Л'(г). Независимо от того, к а к о й подход используется, с у т ь рассмот­ ренного выше примера з а к л ю ч а е т с я в следующем: а) при классическом подходе к обратной фильтрации или декон­ волюции мы синтезируем обратный фильтр ( а * ) " ' в комплексной /•плоскости, и с п о л ь з у я бинарную операцию умножения; б) при кепстровом подходе к обратной фильтрации или, деконАолюции мы синтезируем обратный фильтр (а*)""' в «действитель­ ном» временном представлении, используя бинарную операцию 1ложения. Б о л е е того, в обоих' с л у ч а я х волновой импульс источни­ ка Sft предполагается известным и равным минимально-запаздываю­ щему единичному и м п у л ь с у 8ft. Н а практике источник обычно бы«ает смешанного — з а п а з д ы в а ю щ е - о п е р е ж а ю щ е г о типа, т. е. имеет нули внутри и вне единичного к р у г а . Передаточная ф у н к ц и я Я ^ ' ( г ) и обще.м случае т о ж е запаздывающе-опережающего типа. Позднее Ml.: рассмотрим эти варианты в с в я з и с проблемой синтеза обратных IЩльтров и обсудим достоинства классического и кепстрового под­ золов. П р и м е р 3.3-4. Важным является класс последовательностей, имеющих рнцпональные г-преобразования Лапласа. В частности, нами показано, что пере111

даточную функцию функцией вида

Л^-слойной

среды можно

аппроксимировать

рационально!!

где Го. rf. Гг. • - - . — небольшие вещественные числа (группирующиеся вокруг нуля), представляющие собой коэффициенты отражения глубинных слоев, а коэ()фициенты Ф^*—функции последовательной корреляции, задаваемые выражением

Теперь уравнение (1) можно записать так:

f ( г )

=

1

+ ф(Л^) ^ ^ ф д а г-' + . . . + ф W)

J :

*

Исследуем кепстр a;f" нормированной импульсной реакции

iV-слойной

системы. При этом определим нормированную импульсную реакцию (а*)*^' =" i= г ~ ' f'j^x как имеющую единичную амплитуду в момент времени ^ = 0. Приня» (A'f^^(z) = (riz)"^F^^\z)

и Разложив (3) на множители, получим: (A'i^Hz)

=

>1оП(1+а,.г) П (1 + й-з) (1 + biz) П (1 + с.-г"') П U +

—N

i^t N

П (1 + /п,г) П (1 + V ) (1 + i=i »=1 где

1=1

t^i

N

N

П (1 +

П (1 + i=i

1=1

Л'

л?

о — Л'

W

+

ft>-') .

'

> [V

+ /.г"')

ns,ni^.p

1=1

»

,

1=1

| а , | < 1 , | Ь , | < 1 . | с , | < 1 . \.\\

О, mi действительные.

(7>

k Реверсно-обратная последовательность, связанная с (5), имеет своим г-преиЛразованием Лапласа функцию 1 / (1 -f a,-z~"', где О;' < 1. Вспомним, что кепстр репсрсно-обратной последовательности можно найти зеркальным отображением^ кепстра исходной минимально-запаздывающей последовательности (5) относительно ИИ чала координат с последующим отображением относительно отрицательной оси иремени. С учетом этой особенности кепстр, связанный с множителем 1/(14II обозначаемый а^, задается выражением 0^ = —

{In [ 1 + s^z]\

'

= ^ i z l l ! i L , k О постоянные кепстра а^, 6,-, /п,и III связаны с минимально-запаздывающей частью функции (Л')*^' (z), а при * •: О постоянные кепстра с,-, ft,-, s^. и связаны с минимально-опережающей частью рациональной функции (Л')'^* (г). В действительности постоянные — а 7 ' , , /),^') и (—&*•),""' являются нулями вне единичного круга, а — т т ' ,

—

'

" (—"^i*)"'—полюсами вне единичного круга. Таким образом, мы установили 'Низь между методом спектральной факторизации и кепстром. Форма временной реакции степенного ряда уравнения Колмогорова (форма • ••Петра) при k > О определяется минимально-запаздывающими полюсами и нулями. iia временная реакция соответствует коэффициентам [см. уравнение (3.2-45) т действительных сигналов] и содержит затухающие косинусные члены, причем шпень затухания и частота колебаний контролируются абсолютными величи1111МИ и аргументами минимально-запаздывающих полюсов и нулей. Следовательно, ч'мстр может служить индикатором минимально-опережающих, смешанных запаз11.||1ающе-опережающих и минимально-запаздывающих последовательностей. Если и'пстр существует только при k < О, то последовательность минимально-опере*|||ощая, если же кепстр существует только при * > О, значит, последователь"мсть минимально-запаздывающая. Мы убедились также в том, что «кепстральное» время и «реальное» время — nil одно и то же. В кепстральном времени всегда можно наблюдать одновременно ||||||П1лое и будущее, что не соответствует нашему пониманию реального времени. Ипчтому следует помнить, что кепстр как временная реакция не является функHiu'ii реального времени. З а в е р ш а я д а н н ы й р а з д е л , х о т е л о с ь бы п о д ч е р к н у т ь , что не все м'пстры — б е с к о н е ч н ы е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Н а п р и м е р , п о с л е д о шггельность 1; 1; 1/2; 1/6; 1/24; 1 / 1 2 0 , . . . , есть не что иное, к а к l/i'l при k = 0; 1; 2 , . . . . К е п с т р д а н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и р а в е н Л|, I, т. е. е д и н и ч н о м у и м п у л ь с у в м о м е н т в р е м е н и k=l. В то ж е ця'мя 2 - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а п у н к ц и и 1/fe! р а в н о е^, т. е. з а (н'домо н е р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и и . М о ж н о о ж и д а т ь , что и м п у л ь с ­ ные р е а к ц и и л и н е й н ы х и н в а р и а н т н ы х во в р е м е н и систем о б л а д а ю т йееконечными к е п с т р а м и , но ^при э т о м н а д о и м е т ь в в и д у , что никоторые в о л н о в ы е и м п у л ь с ы и с т о ч н и к а м о г у т не х а р а к т е р и з о «иться р а ц и о н а л ь н ы м и z - п р е о б р а з о в а н и я м и Л а п л а с а . Е с л и э т о т а к , ill м о ж е т о к а з а т ь с я , что к е п с т р ы н е к о т о р ы х в о л н о в ы х и м п у л ь с о в f

115

"1 и1;шчника будут конечными последовательностями, подобных i кепстру функции 1 / ^ "! :' : 1 I В любом случае мы надеемся, что понятия гомоморфных пр' 1, образований и спектральной Факторизации помогли осозна! I кепстр как осмысленную идею, используемую при обработке ci^ [ налов. Мы хотели показать инженеру, что он пользуется гош | морфными преобразованиями постояннЬ и что абстрактные ото \ ражения находят практическое применение, например, при разщ \ жении на множители спектра мощности процесса или при отобр I жении свертки на сложение и т. п. Независимо от того, как(1 i точки зрения придерживаться, самое главное — не забывать см^ ела термина «кепстр», т. е. того, что в результате этой трансфер j мации мы фактически разлагаем спектр наблюдаемого сигнале! на множители. . ' ' 1 В следующей главе мы свяжем кепстр и его возможности в ot i ношении спектральной факторизации с идеей деконволюции. ..

. ^. .

.....

-.

......

.

.

Ы J

г глава 4 ДЕКОНВОЛЮЦИЯ

4,1. ПРЕДСКАЗЫВАЮЩАЯ ДЕКОНВОЛЮЦИЯ

В предыдущих г л а в а х мы проследили эволюцию геофизических лоделей, рассмотрели статистические с о о б р а ж е н и я при их интер­ претации и п о к а з а л и в а ж н о с т ь понимания главного физического Процесса, описываемого моделью. С н а ч а л а мы рассмотрели сей­ смический метод о т р а ж е н н ы х волн, который был смоделирован с помощью свертки. П р и этом на входе линейной, инвариантной во времени системы с импульсной реакцией fk мы имели н а ч а л ь ­ ный волновой импульс Sft, а на выходе — свободные от помех отраженные волны Хк. М ы заметили, что подобные модели есть и в других о б л а с т я х науки, например в радиолокации и звуковой локации, где имеют д е л о с суперпозицией сигналов близкой фор­ мы, но с различными а м п л и т у д а м и и ф а з а м и . Геофизика-разведчика интересует глубинное геологическое строение, в частности коэффициенты о т р а ж е н и я . В модели, ос­ нованной на свертке, коэффициенты о т р а ж е н и я не поддаются наблюдению, т. е. отсутствует я в н а я зависимость м е ж д у н а б л ю ­ даемым геофизическим в р е м е н н й м рядом -и искомыми коэ(Ьфициентами о т р а ж е н и я . Это привело н а с к созданию слоистой мо­ дели с передаточной функцией Л ^ ' ( 2 ) в виде стандартного ре­ курсивного цифрового фильтра. Учтя физические с о о б р а ж е н и я и приближения, удалось получить передаточную функцию, содер­ ж а щ у ю коэффициенты о т р а ж е н и я в явном виде [см. уравнение (2.4-13)]. П е р е д а т о ч н а я Функция (2.4-13) справедлива, в слу­ чае м а л ы х коэффициентов о т р а ж е н и я , т. е. когда Гп < 0 , 1 . Более того, числитель в ы р а ж е н и я передаточной функции являет­ ся в точности 2-преобразованием Л а п л а с а последовательности коэффициентов о т р а ж е н и я О, г ь гг, г„ ]см. уравнение (2.4-12)], а з н а м е н а т е л ь — 2-преобразованием Л а п л а с а Функции последовательной корреляции коэффициентов о т р а ж е н и я ]см. уравнение (2.4-8)]. Уравнение (2.4-13) служит математиче­ ским обоснованием сейсмической модели Робинсона, описанной в р а з д е л е 1.5. . Итак, хорощо понимая физику слоистой модели, попытаемся найти последовательность коэффициентов отражения О, ги гг, . . . , % по свободному от помех наблюдаемому временному ряду, т. е. по наблюдаемой сейсмограмме отраженных волн x'k. При объяснении различных методов рещения этой з а д а ч и будем всегда рас­ с м а т р и в а т ь совместно физические модели и соответствующий им математический а п п а р а т . Хорошее понимание сризичеекой стороны д е л а позволит подобрать математический а п п а р а т , отвечающий 117

ф и з и ч е с к о й з а д а ч е , и не з а т е р я т ь с я в с а м и х м а т е м а т и ч е с к и е методах. | О п р е д е л е н и е д е к о н в о л ю ц и и . Д е к о н в о л ю д и я есть разлом жение наблюденного временного ряда, образованного свертко^ многочисленных с и г н а л о в , на его с о с т а в н ы е ч а с т и . Х о т я процесс свертки в к л ю ч а е т л и н е й н ы е п р е о б р а з о в а н и я , д е . к о н в о л ю ц и я не п р и н а д л е ж и т к к л а с с у л и н е й н ы х п р е о б р а з о в а н и й , т. е. с у щ е с т в у ю т н е л и н е й н ы е п р е о б р а з о в а н и я , р е а л и з у ю щ и е npoi цесс д е к о н в о л ю ц и и . Н а п о м н и м в к р а т ц е т е о р и ю с в е р т к и . Когда два ряда Л о р а н а V .

S

akzK

S

B{z)=

I

п е р е м н о ж а ю т с я , то в о з н и к а е т н о в ы й р я д того ж е в и д а :

:

|

S CkZK ' ft=_« ^ связаны с коэфсэициентами а

С(2) = Л ( 2 ) В ( 2 ) = Новые коэффициенты и bk соотношением

с* р я д а

C(z)

со

Cft=

S

ak~„bn,

k = 0, ±1,

±2,

...

(4.1-11

Последовательность {Ck)l^ называется с в е р т к о й последователь| ностей {ak)l^ и {bk)-«.. Ч т о б ы получить аналог этой операции в не-| прерывном времени, н у ж н о перемножить два двусторонних интеграла Лапласа: , , , . , . s Л(8)= f

ait)e-'*dlt,

B(s)=

j

b{t)e-'tdL.'--'-

в результате перемножения получаем

C{s) = A{s)B(s)^

f

.

'/^ LI . '

;

c(t)e-4t.

где •л

с(/)= I

a(/-T)6(x)dx.

Д а н н а я комбинация функций настолько часто встречается в теории л и н е й н ы х систем, что ее м о ж н о с ч и т а т ь одной из наи­ более фундаментальных операций анализа. Прекрасно, что сейсмический м е т о д о т р а ж е н н ы х в о л н м о ж н о п р и е м л е м о а п п р о к с и ­ м и р о в а т ь м о д е л ь ю , основанной на свертке. Б о л е е того, п р е д с т а в ­ л е н и е д р у г и х физических (речь) или э к о н о м и ч е с к и х ( п р е д с к а з а ­ ние цен и о б ъ е м а п р о и з в о д с т в а , п р е д с к а з а н и е ц и к л о в д е л о в о й а к т и в н о с т и ) процессов в в и д е в р е м е н н ы х р я д о в ч а с т о у п р о щ а е т ­ ся путем линейной а п п р о к с и м а ц и и и з у ч а е м о г о процесса. Д а д и м ф о р м а л ь н о е описание л и н е й н о й системы. 118

Определение линейной системы. Система или процесс является просто предписанной связью между двумя величинами, обычно на­ зываемыми входным Sk и выходным Xk сигналами системы где стрелка означает, что входной сигнал Sk вызывает появление выходного сигнала Xk. Система называется л и н е й н о й тогда (и только тогда), когда она удовлетворяет двум теоремам: ., • . .s 1) теореме сложения (принцип суперпозиции): ' '

если 4 ' > - 4 " и si'>^xi'\

то

si»^-sf-4'^-г4^»;

2) теореме умножения: если Sk-^Xky то csk-^cxky где с — в общем случае комплексная постоянная. Система, не удовлетворяющая обеим теоремам, называется не­ л и н е й н о й с и с т е м о й . Система называется также и н в а р и а н т ­ н о й во времени или и н в а р и а н т н о й к сдвигу, если соотношение между Sk и Xk не зависит от времени, т. е. если Sk Xky то Sk-n Xk-n^

Располагая определениями свертки и линейной инвариантной к сдвигу системы, посмотрим, каким образом операция свертки ис­ пользуется при изучении линейных инвариантных систем. По опре­ делению, импульсная реакция Д линейной инвариантной к сдвигу системы является реакцией на единичный импульс 8*: Так как система инвариантна во времени, можно записать; .

bk-n

fk-n^

Из теоремы умножения следует, что

; •

- Из теоремы сложения {принципа суперпозиции) линейных систем 00

А

'

-

'

Л

=

—

о

00

о

Л=—оо

Но нам известно, что S f t =

S

.):'•••'•'•.•••

'

поэтому

П——оо

•

•

•

г.

.,

Sk-^Xk.

•••

1'

'

• •

Отсюда получаем . ;;

- ••

Xk=

^

Л=—00

Snfk^n

'

'

или, изменив нижний индекс на m = k — n, получим выражение оо

Xk=

]1

fmSk-m,

(4.1-2)

которое определяет све]ртку последовательностей Д и s^. 119

Итак, подав на вход линейной инвариантной к сдвигу системы! с импульсной реакцией Д сигнал s*, на выходе можно получить сигнал Xk посредством свертки (4.1-2). Познакомившись с операцией свертки, линейными инвариантными' к сдвигу системами и понятием деконволюции, рассмотрим метод предсказывающей деконволюции. ' П р е ж д е чем перейти непосредственно к математическим де­ т а л я м метода п р е д с к а з ы в а ю щ е й деконволюции, проследим исто­ рическую эволюцию этого понятия, п о к а з а в , к а к его р а з р а б о т к а б ы л а с в я з а н а с з а д а ч е й подавления реверберации в водном слое и кратных о т р а ж е н и й других типов. К а к отмечалось в гл. 1, сей­ смические методы, р а з р а б о т а н н ы е в 1930-х и н а ч а л е 1940-х годов, не были достаточно эффективны при р а з в е д к е во многих потенци­ ально нефтегазоносных р а й о н а х мира. В частности, они о к а з а ­ лись практически безрезультатными при р а з в е д к е морского ш е л ь ф а из-за реверберации в водном слое. Впервые с проблемой реверберации в водном слое столкнулись при сейсморазведочных р а б о т а х в Персидском з а л и в е и на озере М а р а к а й б о в Венесуэле в 40-х годах. И н т е р п р е т а т о р сейсморазведочных д а н н ы х заинтересован в извлечении полезного сигнала, представленного «глубокими» от­ р а ж е н и я м и от потенциально н е ф т е г а з с о д е р ж а щ и х слоев горных пород, из записи, осложненной огромным количеством помех (бесполезных кратных о т р а ж е н и й ) и шумов измерения. М о р с к и е сейсмограммы представляют собой зарегистрированную сейсмоприемниками реакцию водного и глубинных слоев на сейсмиче­ ское воздействие. Сейсмический источник при морской сейсмо­ р а з в е д к е (им может быть, например, пневматическая п у ш к а или 7—12 кг д и н а м и т а , взорванные в 1—2 м под поверхностью воды) создает возмущение, которое можно (в сейсмическом м а с ш т а б е времени) считать положительным импульсом д а в л е н и я '2Ъ\. Сейсмоприемники (в морской сейсморазведке это д а т ч и к и ' д а в ­ ления) преобразуют вариации д а в л е н и я в вариации электриче­ ского н а п р я ж е н и я , которые регистрируются в виде сейсмограммы. П р и морской сейсморазведке граница вода—воздух я в л я е т с я сильным плоским о т р а ж а т е л е м . В наших обозначениях коэффи­ циент о т р а ж е н и я от границы воЬдух—вода Го, поэтому к о э ф ф и ­ циент о т р а ж е н и я от границы вода—воздух будет — го. В слу­ чае плоской волны, п а д а ю щ е й на границу вода—воздух, поло­ ж и т е л ь н ы й избыток д а в л е н и я в п а д а ю щ е й волне о т р а ж а е т с я в виде отрицательного избытка д а в л е н и я , т. е. с ж а т и е о т р а ж а е т ­ ся р а з р е ж е н и е м . Во всех практических случаях можно считать, что коэффициент о т р а ж е н и я от границы р а з д е л а вода—воздух—Го равен приблизительно — 1, т. е. коэффициент о т р а ж е н и я от границы воздух—вода Г о = 1 . Во многих районах граница в о д а дно, т а к ж е является сильным , о т р а ж а т е л е м , поэтому образуется энергетическая ловушка в виде непоглощающей среды (водный с л о й ) , ограниченной двумя сильными с р а ж а ю щ и м и г р а н и ц а м и . 120

И м п у л ь с , в о з н и к ш и й в в о д н о м с л о е и л и в о ш е д ш и й в слой воды снизу, будет п о с л е д о в а т е л ь н о о т р а ж а т ь с я обеими г р а н и ц а м и с ин­ т е р в а л о м в р е м е н и , з а в и с я щ и м от скорости р а с п р о с т р а н е н и я упру­ гих волн в в о д е и от м о щ н о с т и водного с л о я . С к о р о с т ь з а т у х а н и я а м п л и т у д ы э н е р г и и , п о п а в ш е й в л о в у ш к у , з а в и с и т от величины коэффициента отражения дна. В результате полезные отражения от г л у б о к о з а л е г а ю щ и х с л о е в о к а з ы в а ю т с я с к р ы т ы м и р е в е р б е р а ­ циями в в о д н о м слое. К. Э. Б у р г и д р . '211 р а с с м о т р е л и п р о б л е м у р е в е р б е р а ц и и в водном с л о е с позиций теории в о л н о в о д а и п о п ы т а л и с ь т а к и м путем о б ъ я с н и т ь с и н у с о и д а л ь н ы й х а р а к т е р сейсмических т р а с с . В ] 1 0 Г с ц е л ь ю о б р а б о т к и сейсмических д а н н ы х , п о д в е р ж е н н ы х реверберации, использованы адаптивные линейные цифровые фильтры с изменяемым интервалом анализа сейсмозаписи. В этой р а б о т е б ы л о т а к ж е п о к а з а н о , что л ю б о й с т а т и с т и ч е с к и й п о д х о д к решению данной проблемы должен учитывать нестационарные процессы. В к а ч е с т в е п р и б л и ж е н н о г о м е т о д а а н а л и з а н е с т а ц и о ­ н а р н о г о я в л е н и я ( с е й с м о г р а м м ы ) а в т о р ы этой р а б о т ы п р е д л о ж и ­ ли р а з д е л я т ь з а п и с ь на т а к и е в р е м е н н ы е и н т е р в а л ы , в п р е д е л а х к о т о р ы х н а б л ю д а е м ы й п р о ц е с с б ы л бы п р и б л и з и т е л ь н о с т а ц и о ­ нарным. З а т е м д л я каждого интервала надо определять линей­ ный о п е р а т о р , о п т и м а л ь н ы й по п р и н ц и п у н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в , с п о м о щ ь ю которого п о д а в л я ю т с я р е в е р б е р а ц и о н н ы е к о м п о н е н т ы сейсмической т р а с с ы . Э. Р о б и н с о н о м [80] paccMotpeHbi с т а т и с т и ч е с к и е м о д е л и о б р а ­ ботки г е о ф и з и ч е с к и х с и г н а л о в и в в е д е н метод п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю ц и и , у с т р а н я ю щ и й н е ж е л а т е л ь н ы е сейсмические р е в е р ­ б е р а ц и и и д р у г и е т и п ы к р а т н ы х о т р а ж е н и й из сейсмических м а ­ териалов. Поскольку характер наблюденных данных нестацио­ н а р н ы й , на п р а к т и к е метод предсказывающей деконволюции а д а п т и р у ю т к д а н н ы м посредством р а з д е л е н и я з а п и с и на в р е м е н ­ ные и н т е р в а л ы . П о з д н е е М . Б а к у с '6] п о д о ш е л к я в л е н и ю ревер­ б е р а ц и и в в о д н о м слое, к а к к о п е р а ц и и л и н е й н о й ф и л ь т р а ц и и , и исследовал эффективность подавления реверберации в водном слое с п о м о щ ь ю о б р а т н о й ф и л ь т р а ц и и . О с н о в н о е р а з л и ч и е м е ж д у обратной Фильтрацией Б а к у с а и «статистическим» подходом Р о б и н с о н а з а к л ю ч а л о с ь в т о м , что М. Б а к у с и с п о л ь з о в а л детер­ министические ч а с т о т н ы е п о н я т и я теории э л е к т р и ч е с к и х цепей, а Э. Р о б и н с о н в ы д в и н у л гипотезу, что «полезные» г л у б о к и е от­ р а ж е н и я м о ж н о с ч и т а т ь с л у ч а й н о й н е к о р р е л и р у е м о й последо­ в а т е л ь н о с т ь ю , и и с п о л ь з о в а л способ н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в д л я о п р е д е л е н и я по сейсмическим д а н н ы м линейных о п е р а т о р о в , не­ обходимых д л я осуществления предсказывающей деконволюции. В настоящее время предсказывающая деконволюция широко п р и м е н я е т с я в ц и ф р о в ы х способах п о д а в л е н и я к р а т н ы х о т р а ж е ­ ний, с о д е р ж а щ и х с я в сейсмических в р е м е н н ы х р я д а х . Рассмот-, рим, к а к р а б о т а е т этот метод в с л у ч а е слоистой м о д е л и , в част­ ности п о к а ж е м , к а к и м путем м е т о д п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю 121

ции м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь д л я изучения глубинного геологическо го с т р о е н и я при р а з в е д к е на нефть и г а з . С у щ е с т в у е т много р а з л и ч н ы х п о д х о д о в к п р о б л е м е деконво; л ю ц и и сейсмических т р а с с . У к а ж д о г о из п о д х о д о в и м е ю т с я своц д о с т о и н с т в а . П р и о б щ е м а н а л и з е н а м х о т е л о с ь бы не ограничи в а т ь с я к а к и м - л и б о о д н и м п о д х о д о м , а иметь в о з м о ж н о с т ь исполь з о в а т ь все р а з н о о б р а з и е подходов. П р и л ю б о м способе д е к о н в о | л ю ц и и н е о б х о д и м о п о л ь з о в а т ь с я сейсмической м о д е л ь ю , включа» ю щ е й к а к известные, т а к и н е и з в е с т н ы е ф а к т о р ы . i М е т о д п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю ц и и б а з и р у е т с я на «стати] стической» сейсмической м о д е л и Р о б и н с о н а , п о д р о б н о р а с с м о т репной с ф и з и ч е с к о й точки з р е н и я в р а з д е л е 1.5 и м а т е м а т и ч е с к и о б о с н о в а н н о й в гл. 2. К а к м ы у б е д и л и с ь , с у щ е с т в у ю т д в а в а р и а н т » этой м о д е л и : в а р и а н т в н у т р е н н и х п е р в и ч н ы х о т р а ж е н и й и в а | риант внешних первичных отражений. { В а р и а н т в н у т р е н н и х первичных о т р а ж е н и й м о ж н о назват!^ с л у ч а е м р е в е р б е р а ц и и всей системы, к о г д а у ч и т ы в а ю т с я все i к р а т н ы е о т р а ж е н и я и п р е л о м л е н и я в н у т р и слоистой системы в1 рамках сделанных приближений. i К а к мы в и д е л и в р а з д е л е 1.5, э т а м о д е л ь х а р а к т е р и з у е т с я с л е ­ дующими признаками. , . 1. Это м о д е л ь , о с н о в а н н а я на с в е р т к е

где Sk — коэффициенты о т р а ж е н и я N отражающих границ всей си­ стемы; Wk — сложный волновой импульс вида bk*Sk; Ьд, — в о л н о в о й импульс системной реверберации; Sk — начальный волновой импульс (импульс источника); Xk— наблюдаемая сейсмозапись (временной ряд). П р и м е ч а н и е . Здесь мы опускаем верхний индекс у дс^ из раздела и с этого момента будем употреблять дг^.

1.5

2. С л о ж н ы й волновой и м п у л ь с Wk — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю ­ щ а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь . Это с л е д у е т из ф и з и ч е с к о г о ф а к т а , з а ­ к л ю ч а ю щ е г о с я в том, что bk — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ а я по­ с л е д о в а т е л ь н о с т ь , а Sh м о ж е т быть с д е л а н а п р и б л и з и т е л ь н о ми­ н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й , если п р и м е н и т ь с о о т в е т с т в у ю щ у ю ме­ тодику полевых работ. 3. Коэ(?ь\ (4.1-7) и приравнять ее к нулю. Можно показать, что гессова матрица функции Го является положительной определенной, что и требуется для минимума функции. Найдя решение системы называемых н о р ­ м а л ь н ы м и уравнений S fl«/?i_„ = 0,

l > \

(гдеао=1),

(4.1-8)

получим значения коэффициентов предсказывающего фильтра [—an] Г • 125

Исследуем б у н к ц и ю автокорреляции Г / п о с л е д о в а т е л ь н е е ^ ! п р е д с к а з а н и я вк. Если определить ф у н к ц и ю автокорреляции Г/ ч е | | X/EEE£{efteft_/} = 1 ^ - / , то п о л у ч и м : ' П =

Ti = E[etiek-i]

S п=0

S a„amRm+i-n m=0

•

. (4.1 f

или Г/ =

S

S (^nRm+!—n-

m=0

n=0

Г

j

1

I I I

3

i

Рис. 4-1. Схематическое изображение оператора ошибки предсказания { « л } ^ при а о = 1. / — линейный фильтр предсказания { — а „ — — Яг, . . . } : 2 — е д и н и ч н а я з а д е р ж к а ; З — о п е ­ р а т о р о ш и б к и п р е д с к а з а н и я { / , Oi Ог., • . . } • 4 _ некоррелируемая последовательность оши­ бок предсказания

В н у т р е н н я я сумма по / | уравнении (4.1-Ю) равна ну^ д л я m -1- / > 1, что следует j у р а в н е н и я (4.1-8). Е с л и в y p l нении (4.1-10) / > 1 , то Щ .-rfn)>], поскольку m>Oi внешней сумме уравней (4.1-10). Следовательно, Т/Щ для / > 1 , так как функй а в т о к о р р е л я ц и и Г, —симметрй ная с])ункция переменной / = Г _ , ) , получаем Г/ = 0

для

}Ф0.

(4.1-|

Таким образом, последовательность ошибки п р е д с к а з а н и я е^; н е к о р р е л и р у е м а я последовательность, т. е. она обладает р а в н о м е р 1 | (белой) спектральной плотностью мощности, поэтому линейнв « и л ь т р ошибки п р е д с к а з а н и я , характеризуемый коэффициент^ (а„)о"', где яо ^ 1, я в л я е т с я фильтром белого шума. П о с л е д о в а т е л | ность ошибки предсказания называется т а к ж е п р о ц е с с о м н о й ) ^ в в е д е н и й . Н а рис. 4-1 изображена схема отератора ошибки n p i | с к а з а н и я (а„)5°, у которогоЯо = 1- Ф у н к ц и я а в т о к о р р е л я ц и и с н у л е в | сдвигом Го х а р а к т е р и з у е т с р е д н ю ю мощность последовательн ошибки п р е д с к а з а н и я е^, поэтому д и с п е р с и ю ошибки предсказа: з а д а в а е м у ю уравнением (4.1-6), м о ж н о в ы р а з и т ь в виде Г = £ [ell =

S т-—0

а « S а„/?„_„.

(4.1-1

I

п=0

Подставив уравнение (4.1-8) в уравнение (4.1-12), п о л у ч и м с^ д у ю щ е е полезное в ы р а ж е н и е д л я дисперсии ошибки цредсказанч! во

•

Го = Оо S anR-r,

во

=

S anR-n

во

=

+

S anRn.

(4.1^

Итак, в случае линейного предсказания, основанного на конечном п р о ш л о м и известной ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и , пос довательность ошибки предсказания будет чисто случайной,);! ее ф у н к ц и я а в т о к о р р е л я ц и и и м е е т в и д единичного и м п у л ь с а , п | 126

цт значение автокорреляции при нулевом сдвиге определяется уравнением (4.1-13). Перейдем к решению нормальных уравнений (4.1-8). Нормальные уравнения справедливы только в случае Z > 1, т . е . оо

О, / > 1

(гдеао=1).

(4.1-14)

п—О

Если последовательность Л/ удовлетворяет условиям ,

hi пока не определена д л я / < — 1 ;

ho = Io — дисперсия ошибки предсказания (4.1-13); Л; = 0 д л я / > 0 , ] то нормальные уравнения можно записать в виде

(4.1-15)

оо

S anRi-n •

= hi для всех целых / .

Определим г-преобразования Л(г)=

1)

Лапласа: S flnz"; п=0

I

S

RnZ"; [

Ф(г)= J

(4.1-16)

(4.1-17)

Л=—оо

Заметим, что Н{г) не имеет положительных степеней г . С учетом ^пpeoбpaзoвaний Лапласа (4.1-17) нормальные уравнения м о ж н о Мписать в виде гА{г)Ф(г) = Н{г). (4.1-18) Приняв во внимание рассуждения в главе 3 о спектральной Оакторизации, функцию Ф (г) можно разложить на множители слеЛующим образом: ^

-

.

ф(z) = aWlг)W*{z),

*

(4.1-19)

где функция (г) является минимально-задерживающим фильтром; | ' — положительная константа, делающая первый коэффициент wo )авным единице, м Далее W{z)=

"^wnz"

(где

(4.1-20)

шо=1).

га=0

I Поскольку мы имеем дело с вещественными коэффициентами, т. е. *я — последовательность вещественных чисел, получаем J

I

'

Г*^|: Л - " . -

(4.141, ' j Р е т р о с п е к т и в н о е предсказание (экстраполяция назад) з| (• чения Xk-n на основе п «будущих» значений х^-п-ьи Xk-n+2, Л )> ,

. \

Xft, обозначаемое

- •

'

• '

?»=1

определяется выражением

1

Н а рис. 4-2 изображены проьессы перспективного и ретроспек­ тивного предсказания. и Остаток предсказания п-го порядка Д"' и остаток ретроспекиЦ п-го порядка 6*"' для п> I определяются тождествами j (4.1-^i с начальными значениями / f * = л , б!"* s л:* для 1 < ^ < L , где L i общее число имеющихся отсчетов. • 134

г

На рис. 4-3 изображена схематическая диаграмма уравнения (j-56). Последовательности остаточного перспективного предсказа­ ния /Г* и ретроспективного предсказания (ретроспекции) fei"^ можно 111терпретировать соответственно как ошибки одношагового предска0Я и одношаговой ретроспекции. Другими словами, если ввести ^ределения п

j«iSS Xk—

Y

S

f^Xk-n—

— ошибка перспёктивного предсказания; (4.1-57)

um^Xk-m

am^Xk-n+m

ретроспекции,

—ошибка

m=l

,0 получим результаты, изображенft на рис. 4-3, только gn будет за(енено а\!^К В этой связи дисперсия уборки ошибок предсказания опре)елится выражением "^о'^—

S

(4.1-58)

1 дисперсия выборки ошибок ретро(пекции —как , . Г^*'^

'

S

^ — « k=n+l

^61"';1

(4.1-59)

-

в случае стационарности процес­ са Xk теоретические дисперсии оши8ок перспективного предсказания и ретроспекции равны между собой, Следовательно, можно объединить

' Рис. 4-3. Схема образования перспективной и ретроспективной остаточной последовательности

эти две

(г _ задержка в единицу времени)

выборочные дисперсии по-

средством общепринятого приема «атематической статистики, найдя их среднее арифметическое: . (4.1-60) или '

= ^ ( ^ : ^ = : ^ Д _

{[Д">]Ч[б1"Т}.

(4.1-61)

Г1одставив (4.1-56) в уравнение (4.1-61), получим = Щ^kXP'~'~^'^^'~''^'

+ [bU''-gnfr''Y\,

(4.1-62)

fAe

п>\. Коэффициент g n , минимизирующий среднюю выборочную диспер­ сию Го"' на п-и этапе, представляет собой коэффициент частичной 135

автокорреляции выборки, определяемый

выражением

J I

Обычно частичная автокорреляция выборки определяется 1[У отношение ковариации выборки к геометрическому среднему из | | J борочных дисперсий. О д н а к о в данном случае обе дисперсии HMt!|ji одно и то ж е значение, поэтому вместо геометрического исполь;'к ется их среднее арифметическое значение. После вычисления,| | i с помощью уравнения (4.1-63) м о ж н о использовать значение gl = а''п^ из уравнения (4.1-56), чтобы получить остатки Д"^ и Ь'к"^^ 'J предыдущим остаткам. j 11 П о к а мы нашли т о л ь к о последний коэффициент линейного пД |.| сказывающего фильтра а{,"'. О д н а к о решающей особенностью рей |. рентной формулы Топлица ''8 И я в л я е т с я то, что остальные коэЦ )• циенты линейного предсказывающего фильтра л-го порядка а^К 11' 1 < m < « — 1, можно найти по коэффициентам фильтра (п — i f i'l порядка, если известен последний коэбфициент л-го порядка б vl Р а с п о л а г а я коэффициентом ai"*, остальные коэффициенты ф и л ь | pi находят с помощью рекуррентного соотношения Т о п л и ц а : .| ,

а Г = а ) ; ? ~ ' ^ - а 1 Г > а < ; ^ ' . т = 1 , 2,

п-1

(4.1-i

(членов нет, если п — 1). И т а к , р а с п о л а г а я конечной з а п и с ь ю с т а ц и о н а р н о г о п р о ц с н у л е в ы м средним Xk при неизвестной ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц ^ ^ м о ж н о найти л и н е й н ы й п р е д с к а з ы в а ю щ и й ф и л ь т р , в о с п о л ь з о в | шись методом Б у р г а . В к р а т ц е э т а п р о ц е д у р а в ы г л я д и т следу! щим образом: л 1) з а д а ю т н а ч а л ь н ы е з н а ч е н и я |I Д°>=^*.

бГ=х,,

l {wk). (Wk): = (wk) • (wk) ^ (so, S i , о, . . — a s o , , . ... •J::

•.

;

r: =

—А^Ь О, . . .) х

• J^;

X (so, Sb о, . . . , —aso —asu 0, . . .) = 4-

5?

+ a^s? +

+ a^sg + a^?

= ( 5 o % ^ s ? ) ( l + a^ + a 4 . . . . ) = 4 l ^ ' .

... ;a^ ' < 1 .

(4.2-29)

Подставив (4.2-29) в (4.2-20), п о л 1 у ч и м выражение д л я оператора предсказания X: l=RjRo

= -a. •

•

•

(4.2-36)

Чтобы понять физический смысл д а н н о й процедуры, воздействуем этим оператором на сложный волновой импульс и предскажем будущее значение Wk+a' i:

,

.

teJk+a = >-Wk =—awk.

.

(4.2-3|

Это уравнение можно развернуть следующим образом: т+о, =^ —a(so, S , , О, . . ., =

OSQ, — a S u , О, . . ., a^so, a^s\, О, . . . ) =

—aSo, — a s i , О, . . . . a^So, a ^ S i , 0\,

. . . , —a^so,

—a^Si,

.

0,

(4.2-32) Ощибка предсказания ik+<x в момешт времени k-l<x по формуле Yft+» = t£)fc+a

т+а.

определяется, (4.2-33)

' Имея дело с подобными у р а в н е н и я м и ошибки предсказания, над1 быть осторожным. Ошибка п р е д с к а з а н и я ук+а и значение волнового; импульса соответствуют времени k. В момент времени k мы, естест-венно, не располагаем будущим значением Wk+a, поэтому д л я вы*числения Yfe+i н у ж н о подождать д о шаступления момента времени k-7-a.. Иначе говоря, чтобы вычислить ошибку предсказания, необ*ходимо «задержать» предсказанное зшачение. Н а рис. 4-6 изобра­ жена схема описанной процедуры. Оказывается, что задержанное п р е д с к а з а н н о е значение Wk есть не что иное, к а к концевое значение с л о ж н о г о волнового импульса Wk, поэтому в результате вычитаншя Wk—Wk концевое значение сложного волнового импульса компешсируется значением wk и в ка146

^ве ошибки п р е д с к а з а н и я ^хйчески . э т о т о и з и ч е с к и й ^разом.

получаем первое значение Wk. С х е результат получается следуюш.И1«

,ремя k " ' ' ^ 7' " " '1, 2, . . а — 1, а , а + 1, а + 2, . . / ^ожный волновой ^пульс Wk =So, Si, О, . . О , —aso, —as,, 0. . . . |редсказанное значение Шй+а = —aso, asu О, . . О , a^so, a^su О, . . . Задержанное п р е д с к а з а н , , ,се значение т = 0, О, О, . . . , О, —aso, —asi, О, . . . ошибка п р е д с к а з а н и я / р ' Wk~Wk = ^k=-=So, Si, о, О, О, О, О, . . .

^

\

•:

•

Рис. 4-6. Схема, иллюстрирующая временную процедуру, используемую для вы­ числения ошибки предсказания' при задержке а, равной шагу предсказания. ^ / - о п е р а т о р п р е д с к а з а н и я ; 2 — о п е р а т о р з а д е р ж к и н а а; 5 — о п е р а т о р о ш и б к и ния; 4 — о ш и б к а п р е д с к а з а н и я

•i

• -.i

г;-'.

^ f '••[

предсказа­

•i,":^'' • • •

Так к а к переднее значение с л о ж н о г о волнового импульса является предполагаемым волновым импульсом источника Sfe = So, Si, получаем с л е д у ю щ и й в а ж н ы й , р е з у л ь т а т , состояш.ий в т о м , ч т о ошибка п р е д с к а з а н и я ^fe с л о ж н о г о волнового импульса Wk равна волновому и м п у л ь с у источника Sk\ ^k==Sk=So, нли

'/

-••

si

:

;

7 ' (4.2-34)

•

>.•••••

ТА = ТО' Ть Т2> Тз. . . . = S o , Si, О, О, . . .

(4.2-35)

Ч е р е з г-преобразование Л а п л а с а о п е р а т о р ошибки предсказания: Можно выразить так, к а к п о к а з а н о н а р и с . 4-7. З д е с ь Г ( г ) — г - п р е ­ образование Л а п л а с а ошибки п р е д с к а з а н и я 7* волнового и м п у л ь -

I " ' " ' ' T { г ) = t ^ ^ k z ' ^ Согласно р и с . 4-7, получаем: V

T{z) = W{z):i

Т'

+ az%

'Г''.'//'.л , •/

^

е. г - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а Л (г) а-шагового оператора ^Предсказания ak имеет в и д A{z)=^l+az\ t

(4.2-36)

(4.2-37) ошибки (4.2-38) 147

•г В о временном п р е д с т г в л е н и и а-шаговый о п е р а т о р о ш и б к и П]л с к а з а н и я записывается следующим образом: ;V Uk = «1, . . « а , а „ + 1 , . . . = 1, 0. О, . . . , а, О, . . . (4.jL П о с к о л ь к у Wk ^ Sk*bky имеем

|f

Г(г)=.5(2)5(г). • , .

, ^

(4|:4.^

т а к что V{z)^W{2)A

(г) = [S (г) В (г)] • Л (г) = S (г) • В (г) А (г)].

(4:%,^

Н о , т а к к а к В (г) Л (г) = 1, .

Г(г)=.5(г).

(4.2-42)

\

1

ад! 1

^

2 'Л

л-а

Рис. 4-7. Схема получения г-преобразования Лапласа ошибки предсказания Г|2). / — оператор предсказания; 2 — оператор задержки; 3 — оператор ошибки предсказфнд

Т а к и м образом, м ы о п я т ь п о к а з а л и , ч т о о ш и б к а предсказания, в о з н и к а ю щ а я в процессе э к с т р а п о л я ц и и с л о ж н о г о в о л н о в о г о им­ п у л ь с а Wb р а в н а в о л н о в о м у и м п у л ь с у и с т о ч н и к а s^. Этот резуль­ т а т очень в а ж е н д л я п о н и м а н и я а - ш а г о в о й д е к о н в о л ю ц и и . О н гласит, что п р и в о з д е й с т в и и а - ш а г о в ы м о п е р а т о р о м ошибки предсказания uk н а с л о ж н ы й в о л н о в о й и м п у л ь с Wk п о л у ч а ю т в о л н о в о й импульс и с т о ч н и к а Sk: ^, (4.2-43)

ak*Wk = ^k = Sk.

^ В о з в р а щ а я с ь к ф и з и ч е с к о м у с о д е р ж а н и ю э т о й с и т у а ц и и , видим, что г - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а Л ( г ) = = 1--аг^ а - ш а г о в о г о оператора о и ш б к и п р е д с к а з а н и я ak р а в н о х а р а к т е р и с т и ч е с к о м у многочлену р а с с м а т р и в а е м о й р е в е р б е р и р у ю щ е й системы. П о д ы т о ж и м р е з у л ь т а т ы р а с с м о т р е н и я простого п р и м е р а ревербе­ р и р у ю щ е й системы, к о т о р а я о п и с ы в а е т с я х а р а к т е р и с т и ч е с к и м мно­ гочленом А (г) 1 — а^^. П о з а д а н н о й сейсмической записи Xk на­ ходим з н а ч е н и я ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и R o и Ra. З а т е м вычисляем коэффициент о п е р а т о р а п р е д с к а з а н и я l = R j R ^ = ^a. Следователь­ н о , о п е р а т о р ошибки п р е д с к а з а н и я ak = ао, a i , аг, . . й а = 1, О, О, а. В о з д е й с т в у я о п е р а т о р о м о ш и б к и п р е д с к а з а н и я на сейс­ м и ч е с к у ю з а п и с ь , получаем обратно с в е р н у т у ю з а п и с ь *. Г ; 1 ; 148

yk = ak*Xk=^ak*Wk*Bk=^

^к^Ч =

* e^.

(4.2-44)

Это означает, что обратно свернутая сейсмическая запись tjk равна свертке волнового импульса источника Sk с последовательностью коэффициентов о т р а ж е н и я е^: г/А = Sfe* Sfe = So, Si * ей = SoSjfe - г SiSft_i,

(4.2-45)

С л е д о в а т е л ь н о , п о д в е р г н у т а я д е к о н в о л ю ц и и з а п и с ь с о с т о и т из коэффициентов отражения, искаженных только волновым импуль­ сом источника. В с е в р е д н о е в о з д е й с т в и е к р а т н ы х о т р а ж е н и й иск­ лючено. Поскольку оператор ошибки предсказания превраш.ает (или н а г е о ф и з и ч е с к о м я з ы к е « с ж и м а е т » ) с л о ж н ы й в о л н о в о й и м ­ пульс в и м п у л ь с источника, о п е р а т о р о ш и б к и п р е д с к а з а н и я з а м е ­ няет к а ж д ы й с л о ж н ы й в о л н о в о й и м п у л ь с , с о д е р ж а щ и й с я в с е й с м и ­ ческой з а п и с и , н а в о л н о в о й и м п у л ь с источника. Т а к к а к и м п у л ь ^ источника к о р о ч е с л о ж н о г о в о л н о в о г о и м п у л ь с а , с е й с м и ч е с к а я р а з ­ решенность возрастает, а значит, увеличиваются наши в о з м о ж н о ­ сти п р а в и л ь н о в ы д е л я т ь п о л е з н ы е о т р а ж е н и я s i , ег, . . е л г . Д о с и х п о р мы п р е д п о л а г а л и , что в о л н о в о й и м п у л ь с источника Sfe=so, si я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м . Н о э т о с в о й с т в о мы н и к о г д а не и с п о л ь з о в а л и , и п о с у щ е с т в у нет н е о б х о д и м о с т и предполагать волновой импульс источника минимально-запазды­ вающим. Следовательно, вывод, что а-шаговый оператор ошибки предсказания «сжимает» сложный волновой импульс в им­ пульс и с т о ч н и к а , . с п р а в е д л и в д а ж е в т о м с л у ч а е , к о г д а и м п у л ь с источника н е м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и й . И т а к , м е т о д пред: с к а з ы в а ю щ е й деконволюции подавляет длиннопериодные кратные отражения и тем самым улучшает сей смическую р а з р е ш е н н о с т ь даже в случае, когда импульс и с т о ч н и к а не являет­ с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м . Н а э т о м мы з а в е р ­ шаем рассмотрение простого примера а-шаговой деконволюции реверберирующей системы с характеристическим многочленом

A(z) = \ + az''. П е р е й д е м к р а з в и т и ю о б щ е г о м а т е м а т и ч е с к о г о а п п а р а т а , не­ обходимого для осуществления а-шаговой деконволюции. 4.2.1о Л и н е й н о е п р е д с к а з а н и е н а п р о и з в о л ь н ы й интервал, основанное на бесконечном прошлом; функция автокорреляции известна ,

^

Задача состоит в том, чтобы отыскать н а и л у ч ш у ю с р е д н ю ю квадратическую оценку б у д у щ е г о значения Xk-^a. д е й с т в и т е л ь н о г о ста­ ционарного временного ряда с нулевым математическим о ж и д а н и е м Xk п о известному бесконечному прошлому . . . х ^ - г , Xk~\, Xk. Иначе г о в о р я , задача п р е д с к а з а н и я состоит в отыскании такого причинного предсказывающего фильтра Хо, At, Х2, . . к о т о р ы й . воздействуя на в х о д н о й сигналд:А,дает на выходе сигнал Xk~^a о б л а д а ю ­ щий минимальной д и с п е р с и е й ошибки предсказания: Го -

£ [{xk+.

— Xk^^f\>

(4.2-46) 149

Используя тот факт, что сигнал на выходе линейного предска;|| зывающего фильтра является сверткой коэффициентов фильтра XQ,; Xl, Х2, . . . с входным сигналом Xk, получаем: Г/

~ п=0 ^

Хк+а

\21

(4.2-4:|j 1„Хк—п

Минимум функции (4.2-47) находится путем дифференцирований по каждому из коэсхрициентов оператора и приравнивания получен^ ных производных к нулю: 2 Хк+а— L \

дк, или

I

п=0

l„E\xk-nXk-i)

=

Е

S ^пХк-п п=0

{xk+.Xk-i),

Xk—l

= 0

/ = О, 1 , 2 , . . .

(4.2-48)

(4.2-49)

Если обозначить i?m = •£ (-Хллгй-т) сэункцию автокорреляции при сдвиге т стационарного действительного временного ряда с нуле­ вым математическим ожиданием Хк, то уравнение (4.2-49) примет вид , , , S lnRi-n=Ri+^,

п=0

/ = 0, 1, 2, . . .

(4.2-50)

В результате мы получили бесконечную систему уравнений, н а ' зываемых н о р м а л ь н ы м и . Вид нормальных уравнений приводит к следующему важному заключению. Временной ряд Хк входит в эти уравнения единственно через свою срункцию автокорреляции RmФункция автокорреляции и спектр мощности стационарного вре­ менного ряда образуют пару преобразований Фурье, следовательно, чтобы решить задачу предсказания в случае стационарного времен­ ного ряда Хк, Достаточно знать его спектр мощности Ф(о)). Однако при двух различных стационарных временных рядах, обладающ.их одинаковым спектром мощности, мы получим одинаковые оптималь­ ные операторы предсказания с одинаковыми минимальными сред­ ними квадратическими погрешностями (или дисперсиями в случ1а8 стационарных временных рядов с нулевыми математическими ожсиданиями). Полностью недетерминированный стационарный времен­ ной ряд Хк с заданным спектром мощности Ф (ш) имеет бесконечнюе число причинных представлений вида Xk==Y.wb^n,

(4.2-51)

где ttift"— устойчивая причинная последовательность (волновой и:Мпульс); SA* — соответствующая чисто случайная последовательностгь. Пусть

150

Тогда единственное условие, наложенное на волновой импульс te)l , цтобы представление (4.2-51) имело место, запишется в виде Ф (ш) = = 117