Независимый Московский Университет Математический Колледж
I А.В. Чернавский
Полиэдры, симплексы и теория степени отобр...
37 downloads
190 Views
4MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Независимый Московский Университет Математический Колледж
I А.В. Чернавский
Полиэдры, симплексы и теория степени отображения
J
ЗДАТЕЛЬСТВО
мкнму
Настoщu бропцора со.цер*в'1' nepep~
_ДО- - .
ПОJщенные записи .аекциЙ, ПроЧИТ&l!НЫХ авторо'"
на
] курсе Maтeмa'1'lI'fecKoro KOJIJ1e,цJ11aHMY ВlleCeJUiем семестре 1993 го.ца 11 рамках Ос:вQJlЖlГО J()'рС."ВВ&.цеиие
11 '1'ОПo.lОГIlIO".
В••
НачнеК.Q того, гообраЗИА.
деииа
ЧТо проанализируем построеnие теории
ABYMP.pH~IX
мно-
Мы выделили ДМ (введем:это со~ращение для :экономии места)
~aK К4асс топологических
пространств,
удовдетворяющих локальному тре-
боваlfИIQ существоваlfИ$! базиса ··открытых нн')жесrв ГОtlеоморФныхоблё.С'1'ЯК плоекости ..( плюс некоторые
дополнительные топологические
требования,
которые сейчас для нас lfeBa)l(Hbl) .. Эfот класс играет большуюроль в аналиэе,· ·особеlfНО ко~пле~сном, где ДМ служат, Например, графиками многомеРНЫХО'1'ображений КQмплексноЙсферы в себя, оп;:>еделенны::многочленами О'1'двук переменных. ПервыЙвопрос, кt)торыЙ тут 50зникает, - :это классификация чЛеИОВэтого сеliеЙства ..пространств. Как о,:,с,ждеСТf\ИТЬ ИI1Икак различить две поверхности появившиеся в разных tleCTax тельства?·Дляреwения этой. заДачи б.ыливведены прежре всег(')
одного
доказа-
некоторые
У.онс-
ТРУI
ря.пИСЬ~Ы,.lIаоснОIS.г.океТРИЧI!СКJfХКОКСТJ:!УIсхемой: триаНГУ'nJlЦИJl
по.аиэдр_.
комплеl изучен:.!е пространств конструктивным •.
РиС.5.
пересечение триангуляций не есть триангудяция, но есть ялеmoчный Конпдвкс.
Две различные триангуляuии одного полиздра могут быть мМО со"даоованными между собой. поотому оказывается полезным переходит. КПОДРаз-
< ..
деленинм•. < ..•...•.• ОпреАедсние. Пусть 11. И3 L"
О сикn-
- i~ ,..
- 18."
лексами
иЗ
К. Эти пересечения образуют клеточное
чем они линейно отображаются на сим~леКСЫ'L".
набораПОД'М!fо*ествконечного множества М,
В силу
предыдущего мы
можемсимплициально подразделить этот клеточный кокплекс, вых вершин,
не )вводя но-
шинами. Такая схема реализуется'как
и, как и в предыдущей'теореме, f 6удет,линейно отоБРаЖать
симплексы :.>тогоподразделения К" на,СИМПЛCitксы L", можно обобщить на
ситуаци~,
'l'оrдаКОКПОЗИЦИJl q!
~ие остается тем же. снстему'рl-0тображений, 60е ~исло полиэдров.
Рассужде-'
схема
абстрактные ~ комплексы
Более тоге, можно триа~гулировать сразуцелу» если она напраелена, Т.е. для каждого полиэдра
имеется только одно "'го отображение, Для
в
ненаправленной сисТCitмы утверждение перестает
Нашусхему связи компрексов
ции,
мы автоматически ввели класс топo.nогических прост.,.
8
ли многообразие топологяческим полиэдром? ИGвестио, гладICИХмного06разиЙ.
сдруг,ОЙ стороны мо.мО llСЮта'"
о топологической характ.ризациикласса
Т.е.
,какоАсимnлексявляется
то они должны иметь изоморфныеподразделения.
лучаемое"з -
топo.norи".ских
триангуля-
Но понятие произкомплексы.
Зато
каждогоиз
СкежвитеПерЬ, НМ,
по-
них последовательиостыо,зве~дных подразделений.
что два абсrpактных комплек~а кох6имаmoрно эквивалеНJI/-
если они имеют изоморфныекратные звездные подразделения. Tei>peMII
Александера утверждает, чт~ ДВl1аффинныхполиэдра рl-гомеоморфны, если
задача далеКIi\ОТПОЛl'fогоотвота. можно указать,
Если даны кахие-то
длядвух;' трианrУЛЯL\ИЙПолиэдра-существует общее подразделение,
IIOnpoС, наnptll•• р,
Б аффинном комплекс. име.тся схема граничных ОТно.ениЙ кеждусккп~ Лексами,
каждой из этих категорий имеется свое естественное отношение Мзо-
на них легко перенести Понятие звездного по'дразделения. Поэтому Полезно слеДУlOЩ8е утверждение принадлежащееДж.Алек~андеру:
ICа'l'егориитопологических полиэдров рассмаtривaIOТсяНеnpeрыВиые.
ПОЛliэдров.эта
ПР'"БО
Вольного подразде~е~ия не переносится на а6страктные
h(>JluэдРОlfТOnО-
лему триангулируемости кноr;ообразий можно сформулкров&тькак,'
вопрос
ТОПО,lОГИЧ.
комплексов. По определеииlO,два·полиэдрj'l рl-гонеоморфны, если •.•только
логическое пространство гомеоморфноеаффИнному" ПОЛIf~ДРУ .()т06puе~ия
и
топологические полиэдры
тело
еслн они ИИеютизоморфныетриангуляции.
а с другой к ФИнитизну.
которые им гомеоморфны:назовем IIIOlIологuческЩt
что это верно для
реапизаuия
полиэдры ~
- гомеОИОрфИзм"кусочнолинейныЙ в СJlучае их pl-реаЛ!olзации. Существенчтобы ОТНОlllениеpl-гомеОМОрфизмаможно был,) бы выразить ,на ЯЗЫI наретрегируакости
ку6ана
его границу,
K~ ИЭвеСТН~йтеореме оиеподви.нойточке. тато.спе~Й
лекции,
ноиыдокажем
которая ЭК8ивалентна шир~~
Она легко следует из резульее теперь,
ресек;;.IOТСЯ. Если хметрическое ПРОС'l'ранс'l'1!lO,а покptlТИ8 ОТkpъlто.,,',ТОле1'КО
с основным приекОм.
построить непр~рывное отображение х ,8 3ТОТПOnllэдр,прикс>торм.проб-
ДО14эаТlAkСТао' Напомним, что ретракцией MHQIt8CT8aна евоеподмножеотво не,ПОnВИ.И,ое ь м
раз зве-зды кажДОЙвеРШИRылежит!i coo'i'.etcTBYJO"eM~ИТ.ПОКРЫТИJl •• НапомниИ, что функция рл(х)"'р(х,А), rAe А": nOДKНOMCT80BX, ар •. метрика,
непрерывна,
кажДОГО
элемента
f1(x)",P(X,X\U1).
причем
в ТО"lиQCтииа эа••••JОражеНиR ,! тела Прс>ИЭ80льноrокомплекса I< в аП:
Затем поло-м:
Очевидно, что 0(" (Х)(1,' с
р-о
ПОlCрытия U1
fOорем.
чтобы познаКОМИТЬСR '
Г~e Vi ~а8рЩИМWK~
a~(x)
фуакций
Тогда
С
DaH~OIfY
QтреИИТСJl1( f •. обыЧНОМ oMwc'ne ..
совпадает
9
f
f(v1 )(11(х),
- барицент~ические ~оординатw комплекса 118ерlllинах и прииttме .•tьчении триангуляции ~
Тепер•• 8иес'tо k l1aс:ЮмотриктриаНГУЛЯЦИJOкуба,0& &МесТОа" его границу.
У нее,
,~ОеТИ I(а~ой
цравда. нет 1'лобал"кой линейной структуры, точ~и.ст,
еОЛИ Л8*"т .. 1)т.а ТОЧКА. '
чае "
лохал"н~я
линеАная структура,
.uy.•••• H .( п- 1) -грани. ~•• _,..
но 8 ОКр8СТ-
80 всяком слу-
Но м•• ХОТИМраССМОТреТЬ
f .ВИ'~ ..... 8uRtОfК9СТИ ЦQIPIОГОрrXю6PА3аgДЦО8tочки. Пуоть х - центр какой-4Иб Jn-1)..,г~и"" u •.. ее иалаJl .аРО8ая OikО симплексы даух старших ра:а-
(Вопрос: испольэовАЛИЛи МЫСИЛI>НУЮСВЯЗНОСТI> ".1) Пуоть (:М."'Н2 - непрерwвное.отображеиие псеадом:~огообразий и 9 - ~бая симnлициальная «ппpqксикация ( в н.которы:
К8" .с:имплекс611в "2· и рассмотри. все симплексw. отображаlOlIIмеСJl n Н" .негС)• Их р&.зиермостмn иn+ 1• Вели какой-либо (n+ 1)-симплекс 6 •••. отображен н.611,тоо~иовремеино
6"Н·,
та.
хах
aeplllКJoI
ун.го
И«ffеrо
• 00~лИ60симnпекс разкерн()(:'l'И.потображен сtlмnлеltсw
{д"
млиод"нf.
ото6ра*ены ровно Д8е n-Гр6ни
иа.дну 60Лl>l1Iе.·чеJ( у иа
таКQО'l'обра.ен"
б", н.
бr..
ЕСЛи"
то прикыаIoщи ••
б-
ка-
11.мну
(ОСТ.ОII(аЯОJf •• ,.ииа
-
D
должна перейти ., одну из вершин·Б на цепочки,
она лежит целиком внутри ~I
либо ведут от
МХС')
к· .ИХ1•
(См.
nepвoro вида рассмотрим два ее п-симплекса,
Возь"ем ориентирующийрепер ИХ! ВТQчке так,
Еспи
и мае' не
Остальные цепочки либо начинаются и кончаю1'СJfна однойи·
.той же компоненте края, цепочки
Поэтому прообраэ 6I'1распад •• тея
в которых чередуются симплексы размермости п+1 и П.
цепочка оказывается замкнутой, интересует.
!.
пер по цепоqке до BToPQro симплекса на крае. последний,вектор БУДеТ смотреть наружу.
pifO. 12.) Длll
лежаЩИеНа Kp~e.
oAHoro 1«113ТиХ СИI«Мекс:оа,
чтобы. последний вектор смотрел .,нутрьМХI.
Если пранести этоtре~ то,
Kfi.
Это значит.
леrко
видет.,
что если ориенти~
ровать эти симплексы соrласованно с ориентацией СОДержащейих. к~noненты
края,
то их степ~ни над 6А будут противоположны.
подсчете· степени f над
БА
29 -
висит-от·вЫборасимплициальной. аппроксимации.
~ 28 -
ЗНаЧИТ,
ДлЯ
31'01'0
ДOCTaT~HO
за-
будучи обе г,оиотопныки
М\ilТИ'1'Ь;чтодве~ИМl1лициальные аппроксимации, и, следовательно, остаданномуотображеНИIO'f, rOMoTOnHbl между собоЙ,
еТС1f~РИК':НН1'ьследующую ..теорему: Теорема... о' си!,плициаЛЬНQЙаnnрокСИМ~ЩИИв относительноМ варианте. 'пуст~данонепрерывноеотображение Hl1lieKI;ITOP~M подконпл~ксек
f:L"'M комплексов, симплициальное
в L.Существует
подразделение L'
комплекса лц Lr:>;"НОСUllleJlЬНО к, (т.е • J{e подразделяющеесимnл.ексыиз К) и т:::: : :: альное с11'ображение g: L' ...• M 1'омотопное f относительно К (т. е. кпри'~~~хtпереJ(с:ДЯТВf(t»,причем для каждой точки х из L образ XnPI4Bc~x tлеJЩ1'насииnлексе в М, содержащем(х). ....• я:сн~,ЧТО.Rа~ем.случае в качествеL мы ДОЛЖНЫ взять М1XI, чее;ТВ8М . :..М2' а в качеС1'ве 1ноt" •"т06раа8КИЯ,
которое иы и приие.
за.
ней же, то цепочки соеДИNЯIOЩИе pa3HWeIABH()KepH()ne-
{(х),
нак.требуется
отображенияки
М2 на сикПлИциальноа.
на М1ХО и МIХ1 совпадало
т.е.
заменяют
91
hl :Ll"'M2 (i~O и l),rAe подразделенияки Мl XiCOOT.B.
:М1Х[О, 3.J"'M2 СПОКоЩЫОДоказанной
иgl'
гокотопныки
симплициаЛЬ-i
им СИМI1ЛИЦИаЛЬНЫМИ
отображенияки
L1 получаютсякрат~ыми Пр~ зток
таковы,'
ЧТО образ того
построить
каждого
симплекса
симплекса. из MIXi,
симплициаЛhНУЮ гокотопию
ражениями 9 и h (индеКС
К,
в которой
нее кратным Ь.
Для
барицентрическим
юершин l( определнм
отрезок ции :
весь
на d6XI)
построение
ее границе
задано
в симплексе
9 (6).
б
Ф
симплексе
ка*дую границы
и h(vX1).
гомотопии~,
пираииду этой
построенн!>!е
~K, полученная
VXI,
.отображая
м',
внутрь
ч(6);
для
В резУЛ~Тате
, , ..что. двух
de9'.t' •• k.
При, deg9
аппроксимация
степеИЬЮ.Н,ОС1'~ькые~о)Кно OJI. на бll.с
~Э"ОJf~11Леltс() •.
Пусть
ра:tиыКМ ЗНАка"и.
ДокаЗАТЬ
'::.(1'.1(
распрОстна
ПОЛУЧИТСЯ
\
симплексов,.
с ПОСТ:"
ГОIIClТ~ПНИF,получимтребу-
JIID.
отображения
...тождественного
.a·"~НOCTM.,~~.~rSlr
ite,...•.••
неорнентируемо, (для
CIt4~у~
которых
мы
+1~-1).
должны
для лlOбого непрерыв.ного заменить
•• ~It",.ИJC~НО.
·1It8.~.ИИй:~Р." НАПОИН"М,
отображеНИJ1 псев-
что если·одно
,целые ЧИСЛа вычетами
из
них.
по моДулlO
z,
МЫ. "'Ч-.Н,СJC.Г9СЛед~
каждая
сикплексов,
пара
лежаЩИХ
наборы положисимплексов
(Н.помним,
р!11ща 1 или
1) • псевдомногообразия постоянному
не qтягиваеио,
ЧТо,
образ например,
равна
без
ну-
т .• , тождест-
Более'fОГО,
при егогокотonии ••
с
ч!
гомеоморФизма
r.oMoTonHoro
.ot'~АЖеНИ •..•К•.. ГОaiОТО.ПНО ·постоянному.
, ••• 't~>ПС~.АОItИОГоо6разм
в
отображающиеся
1 отобранных
~т06ра*ения
"'flс>л~~а,М.ЧТОnР@ВДOllliогооtWазие
~HH"
которые. f
отображающихся
отобранные из
ciтепеt{ьто*д~с~венного
..•...TaI<xa1C.C'1'eneHI\
,Еl
УТВIIРЖДение доказано.
, что ...степень
Jt~a~'tOK.TaJ(.);
отличаетс:и от 81 тем, что пара O~n,o_n (мы сохраняем за ними то же ОбознаЧение) становится симметричной относительно общей грани, симметричныеточки отображаlOТСЯ в одну точку в бn.
причем
попарно не пересекающихсядисков D~nc естественнымиотобраJl(ен~ями
Ь1 на D~, полученнымиКОМПОЭИЦиямисфернческих растяжений,6трlU •.. ЧТО· степень отображения над ВНу't'реииостыо p~BHa
..шш ..
Вернемся венства
к
нашену определеннlOстепени,
точнее, к доказательству
ра-
степени ГОНОТОПНЫХ'отображениЙ. ДлЯ:ЭТ()ГQдоказат:ельства су-
щественнын было рассмотрение точек лиwьв QкреСТНОСтИПОЛНОГО "ро06раза ОДНОЙточки из обр~за. Действйтельно, сначаДамы бj)али симплиЦИanь.,. НУЮ
аппроксинацию отобра)f!ения~ а эаtемпрообраз
аппроксимация
одногосимплеl проверить что ;этиобластиобра"уют
пересекаIOТСЯТОЦ.'-
ко в общемКОНЦе101, а при n'"2 проще в случае,еслизтило~аныепересе_ каются, закенить часть однойизних до точки пересечения на час'1'ЬДру-
,..
(П-l)-мернОГо
ДОПOliнениек d-о-крестности образа сферы и в то же время пересекают образ шаfJа;че~(lР •.
ЛlOбыедве точки
дополнении могут быть соединены в нем конечнозвенной ломаной.
Соединим такой .Ломаной 101 с кажДОЙ,точкой а.l'
полиэдр"
43
сферы инекоторого
к
"ятся,
нулю
кокплсксвыпуклых
это
самостоятельно),
клеток.
диаметры их стре-
ПРI1приближении к сфере. Добааляяпри
необходимости новые
ТQЧКИ, леГkо ПОЛУЧИТЬ,что зти Клетки не будут пересекать образа Сферы.
С ПОМОЩЬ1ОКОНИЧ8СКОЙКОНСТРУКЦИИ ПРИМ8не}{ноЙ к хлеткам послеДова-
бы оно не пересекалось с новым образом шара; (Для:)того НУЖНО взять' окрестность дерева, гомеокорфную п-шару и достаточно' тесную, т.е. сдвигающуюся на него малык СДвИгом и не пересекаlOщуюобраэ Используя гомеоморфизмэтой окрестности сшарои построить ее
''1'-ЛЬКО80зрастаlOщей раз~ерности'МЫПОЛУЧИМтриангуляцию,
физм на границе,
,
себя, который придвинет пересечение ее с оБРазом шара к ее "освободив" ОТ этого пересечения дерево, Детали могут быть
оставлены ЧИТателю. окрестность ДОJlЖнабыть}{астолько тесной, ~ересекаться с образом сферы н проходить По тем. Же.кубам.
чтобы не
по, "оторым
роходит C~MOдерево.) Мы получаем после построенной деформацииноаое отображение Шара, которое по-прежнему будем обозначатьq, которое совпадает с дан,НЫКало.ением на, граничнойсфере, и ,для, ку60'в н'. ' " ' .,',' • лежащих а d-окрестности образа сферы•. кесодеРЖI1Т точехаi • Теперь а Каждом кубе хУбилья~а, который пересехается с НОВЫМ образом отображе}{ия q шара, проведем операция "аыметания": проехтируя' 3.
из точки а1'
сдвинеи все точки обра~а Ч,
попаВшие в этот" куб на
е-ГО
IIYD Э,ОТКОИПl18ХС,симплексы МИТ\>СЯХнул~при
точек,
если ,О.НИ каходятсяна
ClIWCIieнетрикипростраистаа
Rn),
ч·
По-прежнему сохраняем за новым отображением обозна-
Оно отобраJltает l8ap ТаК,
исходным 8Ложением,
него
что.награничной
сфере совпадает с,
образ лежит а объединенин d-окр-'стн~сти
015-
обычной сферы. расстоянии,
же
двумя
В частности,
на не••
ме}{ьшек HElKOTOpOro с>о (а
Теперь сдвинем каждую Берщину постро-
еЙКОЙтриаНГУl1ЯЦИИВодну из.ближаЙIIIИХТQчекqsП-l СКJlllлеJ(са••
о~ьмеилНнейноеотоБРaJIеииме его на
•
Для ПрОИЗ:З0ЛЬНОГО
8ЫПУКЛУЮ
оболочку 015-
р'эов.ершинs.("выпуклая 060лочка" опер.деляется как обычно, с замеН()йотреЭК0'8'н,"дуги большнх кругов. Она определе}{аОДНОЗНii\ЧНО,если .• еpiltииЫДОС'l'&ТОЧИО6лИЭJ'его ную структуру. шара,
Для каждой k-грани
кубильяжа,
линей-
i6раз
:lI!.W:Н.;
слеДУlOщееутвержденне: Если компахт К 11Rn разбивает аП,
то он не является ретрак-
том замыкания ни одной из ограниченных компонент своего дополнения. ДОjSазат@Дьqтво.Эаметим,ч'fо неограничемная компонента только одна, т. к. 'знебольшсtо
кы имеем теперь уже продолжеНИеретракциинаграиицуэтойграни
-
Докажексначал/!
куба все точки лежат в одной
компоненте.
Допустим,
н может быть. еще на некоторую ее.часть, если эТа грань переСеК4ет d-окрестносТI> образа сферы. В таком случае мы приходик к такой задаче.
что 1болочкуобраза. F) .' .. Так как у нас имеетс;я тоЛЬко конечное ЧИСЛограней, на которые требуется продолжить ретракцию, мы получим продолжение на очередной ОС" тов. При этом новое продолжение ретракции не будетпокрывать полюса, поэтому инДукцию можно продолжить. Итак, преДПОJ'iоженне, что образ Сферывэвклидовом ет связное дополнение, край, Т.е.
северного
Но если нее
привело к возможности ретракции
шара на
v
его
к противоречию. Теорема ЖоРДана-Брауэрадоказана •
не
одна иэ точек нашей компоненты, не покрытая образок г,
можно спроектировать образ куба на его границу,
получится ретракция куба на его границу,
что,
то
В результате
как мы знаем, невозмож-
но. Лемкадоказана. ДoK,~aT.пЬCTBOтеоремм 3. 1 поля нормальных к сфере векторов, смотрящих наружу, равна}, а смотрящих внутрь (_l)n. . ШЩ. пол~касательных(ненулевых) векторов определяет отобрах:е-
(П-l)-грани
Отображение этой призмы легко прогомотопировать, не меняя на этих двух гранях,
сфера sn-l,
ЭТО еехторное
ля (чащеее.~аЗlllваlO'I.'индексом поля относительно начала).
построеНI1ИгомотопическоЙ
Можносчитать,
UKTOp.
КОТОpylO.укажетприложеиныЙв.неЙ ВеКТОР, если его перенести ларалпельно в ~аЧaJ1o.степенЬэтого отображения назовем степенью векторного по-
противоложнымиориентациями. КаждуlOпару можно "устранить"р~ссуждением подобнымтому, которое использовалосьпри
своего полного развития построения достаточно широ-
векторыиепрерЫВНО завиСЯТ от точек приложения) определяlOТнепрерывное
лежащейв одноЙ из двух покрытых'ком-
что продолженное отображение надзтой
длЯ
прозеденненулевой
Аппроксимируем одно из отображеНИЙДИСkасимплициальнымна прообрапонент. Мы можек считать,
требует
ких.раНОК("теории расслоений"). пуст •• в RЬвзятастандартная
степень каждого из двух продолженныхотображений будет равна НУЛIO. зе окрестности некоторой точки,
В заКЛlOчениемы отметим несколько фактов из очень большоЙтемы, KO~ торая
которое
Из этого легко .вывести,
"Общеевве-
дение в теорию иножеств и функций". Векториые поля и степ.и.
до отобр~-
.
ет замыкания двух компонент (одна компонента общая,
-
описаны, наприиер, в книге П.с.дЛександрова
Если л нечетно,
то на
СФеJ)еSn71. ие существует ненулевоrо поля касательных векторов. ДпЯ
так.:
П-3:JТУ'i'еорек:(оБЫЧно
НАЗЫВают"теоремой о еже", формулируя
.е
"е*О
иел~ЭЯпрнчеса'l'Ь". • ~(r.oepQJfa 06 антuпобах).
Если с:тепень отображения сфер" в
себ~ . не••••••• на, . то найдут:я. две диаметрально.ПРОТи80положные ТОЧКИ, ко'I'ор••еикеотдиаtiетрanьио
ПРОТИЗClпо~ожиые06разw. (Иначе отображение
rОКОТQП}fе>от06ражениlO,переводящемукаждую антиподальнуlO пару в 1'o,I