6.73 – 1-1, 2-3, 3-2; 6.74 – б; 6.75 – а, б; 6.76 – 1-3, 2-1, 3-2; 6.77 – а; 6.78 – е; 6.79 – b, c, a, c, c, b, b, b, c;...
146 downloads
520 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
6.73 – 1-1, 2-3, 3-2; 6.74 – б; 6.75 – а, б; 6.76 – 1-3, 2-1, 3-2; 6.77 – а; 6.78 – е; 6.79 – b, c, a, c, c, b, b, b, c; 6.80 – в; 6.81 – k, –k, i; 6.82 – 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 6.83 – кольцом; 6.84 – b, c, a, c, c, b, b, b, c; 6.85 – a, c, b, c, b, a, b, a, c; 6.86 – белева; 6.87 – -1, -1, -1; 6.88 – е; 6.89 – 1, 0; 6.90 – группой; 6.91 – б, а; 6.92 – G, H, H; 6.93 – в; 6.94 – б, езультат; 6.95 – е; 6.96 – б; 6.97 – б; 6.98 – а, ж; 6.99 – ж; 6.100 – кольцом. 7.1 – конъюнкции; 7.2 – 1; 7.3 – рмулой; 7.4 – ункции; 7.5 – само; 7.6 – n-1; 7.7 – 16; 7.8 – 256; 7.9 – n-3; 7.10 – квивалентными; 7.11 – войственной; 7.12 – 16; 7.13 – 65536; 7.14 – 256; 7.15 – б; 7.16 – истина; 7.17 – правда; 7.18 – претацией; 7.19 – 65536; 7.20 – n-5; 7.21 – f; 7.22 – в; 7.23 – истина; 7.24 – 1; 7.25 – 0; 7.26 – налитически; 7.27 – г; 7.28 – ложь; 7.29 – правда; 7.30 – стинности; 7.31 – д; 7.32 – в; 7.33 – мпликацией, квивалентностью; 7.34 – стинности; 7.35 – в; 7.36 –1, 1, 0, 0 ; 7.37 – 1-3, 2-2, 3-1, 4-4; 7.38 – а, б; 7.39 – д; 7.40 – г; 7.41 – 145; 7.42 – 99; 7.43 – 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0; 7.44 – 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0; 7.45 – 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0; 7.46 – в; 7.47 – г; 7.48 – з; 7.49 – е; 7.50 – д; 7.51 – ж; 7.52 – а; 7.53 – е; 7.54 – 0,0,0,1,1,1; 7.55 – 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; 7.56 – 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0; 7.57 – 1-2, 2-3, 3-1, 4-4; 7.58 – 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0; 7.59 – двойственную, г; 7.60 – ложь; 7.61 – б, а; 7.62 – 1-2, 2-4, 3-5, 4-1, 5-3; 7.63 – б; 7.64 – з; 7.65 – е; 7.66 – 1, 0, 0, 1, д; 7.67 – 1, 1, 0, 1, г; 7.68 – ложь, правда; 7.69 – 1, 0, 0, 0, а; 7.70 – 1, 1, 1, 0, б; 7.71 – ложь; 7.72 – б. 8.1 – 1; 8.2 – 0; 8.3 – 1, 1, 1; 8.4 – 0, 1, 0; 8.5 – 0, 0, 0; 8.6 – 1, 0; 8.7 – 1, 1; 8.8 – 0, 1; 8.9 – 0, 0; 8.10 – б; 8.11 – а; 8.12 – формой; 8.13 – КНФ; 8.14 – 1, 1, 0, 0; 8.15 – 1, 1, 0, 1; 8.16 – б; 8.17 – изъюнкции, онъюнкции; 8.18 – конъюнкцией; 8.19 – дизъюнкцией; 8.20 – 16; 8.21 – 4; 8.22 – 256; 8.23 – элементарных; 8.24 – 1, 0; 8.25 – СДНФ, туент; 8.26 – б; 8.27 – б; 8.28 – а, г; 8.29 – равильной; 8.30 – КНФ, г; 8.31 – олной; 8.32 – закона; 8.33 – ДНФ, а, б; 8.34 – 0, 0; 8.35 – 0, термом; 8.36 – авильной, олной; 8.37 – 0, 1; 8.38 – а, 1; 8.39 – в; 8.40 – термом, 1, 1; 8.41 – 1; 8.42 – б; 8.43 – закон; 8.44 – б; 8.45 – 0, 1, 1, б, 1; 8.46 – б; 8.47 – авильной, олной; 8.48 – закона; 8.49 – СКНФ, б, б; 8.50 – претации, претации; 8.51 – б; 8.52 – претации, претации; 8.53 – а; 8.54 – г; 8.55 – закон; 8.56 – закон; 8.57 – и; 8.58 – з; 8.59 – Моргана; 8.60 – Моргана, ротиворечия.
88
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ “ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ”
Н.В. Савченко, Е.В. Нефидова
СБОРНИК ТЕСТОВ к курсу “Основы дискретной математики” для студентов компьютерных специальностей
Утверждено Редакционно-издательским советом университета, протокол № 2 от 21.06.2007 г.
Харьков НТУ “ХПИ” 2007
ББК 22.176 С 13 УДК 519.1 Рецензенты: О.В. Серая, канд. техн. наук, доцент, Национальный технический университет “Харьковский политехнический институт”; В. Д. Породников, канд. физ.-мат. наук, доцент, Донецкий национальный университет
Збірник містить набір тестів для перевірки засвоєння навчального матеріалу, передбаченого програмою по дисципліні “Основи дискретної математики” та варіанти відповідей на запропоновані тести. Призначено для самостійної роботи студентів комп'ютерних спеціальностей втузів. С 13 Савченко Н.В., Нефидова Е.В. Зборник тестов к курсу “Основы дискретной математики ”, для студентов компьютерных специальностей – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2007. – 88 с. Сборник содержит набор тестов для проверки усвоения учебного материала, предусмотренного программой по дисциплине “Основы дискретной математики” с вариантами ответов на предложенные тесты. Предназначено для самостоятельной работы студентов компьютерных специальностей втузов. Ил. 3. Табл. 3. Библиогр. 8 назв. ББК 22.176 © Савченко Н.В., Нефидова Е.В., 2007 г.
2
эквивалентности; 4.21 – а; 4.22 – есконечное; 4.23 – с; 4.24 – S; 4.25 – континуум; 4.26 – думать; 4.27 – континуум; 4.28 – а; 4.29 – континуум; 4.30 – б; 4.31 – а; 4.32 – мощность; 4.33 – континуум; 4.34 – континуум; 4.35 – б; 4.36 – в; 4.37 – +, -; 4.38 – М; 4.39 – в; 4.40 – а, г; 4.41 – б, в; 4.42 – б, г; 4.43 – мощностью; 4.44 – антора; 4.45 – б; 4.46 – б; 4.47 – ернштейна; 4.48 – 0, 1; 4.49 – a, b; 4.50 – д; 4.51 – прямой; 4.52 – б; 4.53 – б, д; 4.54 – а; 4.55 – б; 4.56 – а, г; 4.57 – 1-2, 2-4, 3-3, 4-1; 4.58 – д, з; 4.59 – г; 4.60 – сфере; 4.61 – б; 4.62 – в; 4.63 – г; 4.64 – в; 4.65 – д; 4.66 – континуума; 4.67 – г; 4.68 – и . 5.1 – 9900; 5.2 – 2; 5.3 – 8; 5.4 – 120; 5.5 – n-k; 5.6 – A; 5.7 – ерестановкой; 5.8 – ерестановок; 5.9 – Паскаля; 5.10 – n; 5.11 – 900000; 5.12 – 28; 5.13 – 35; 5.14 – 70; 5.15 – ложения; 5.16 – б; 5.17 – n-k; 5.18 – P; 5.19 – 8; 5.20 – 0; 5.21 – 120; 5.22 – 180; 5.23 – 210; 5.24 – 13800; 5.25 – 11; 5.26 – очетаний; 5.27 – n-k; 5.28 – азмещением; 5.29 – n-k; 5.30 – 1190; 5.31 – 420; 5.32 – 60; 5.33 – 6; 5.34 – 1120; 5.35 – 47; 5.36 – 248831; 5.37 – E; 5.38 – p+q; 5.39 – 65; 5.40 – 3, 4, 1, 2; 5.41 – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; 5.42 – 2, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1; 5.43 – 3, 6, 1, 5, 2, 4; 5.44 – 65536; 5.45 – б; 5.46 – 720; 5.47 – 360; 5.48 – 1, 2, 3, 4, N, E; 5.49 – 24; 5.50 – 120; 5.51 – 3, 5, 1, 6, 4, 2; 5.52 – n; 5.53 – в; 5.54 – 24; 5.55 – 5, 4, 6, 2, 1, 3; 5.56 – бинаторикой; 5.57 – 1, 3, 4, 2; 5.58 – множения; 5.59 – 28; 5.60 – 24; 5.61 – б; 5.62 – в . 6.1 – единицей; 6.2 – оноид; 6.3 – белевой; 6.4 – иклической; 6.5 – 2; 6.6 – арной; 6.7 – унарными, бинарными; 6.8 – перандами; 6.9 – ператорами; 6.10 – алгеброй, алгеброй; 6.11 – одстановка; 6.12 – олем; 6.13 – а; 6.14 – b, a; 6.15 – а; 6.16 – кольцо; 6.17 – группа; 6.18 – единицей; 6.19 – а; 6.20 – а; 6.21 – елом; 6.22 – (a+b):(c-d); 6.23 – ((b+c)-a)^3; 6.24 – +^a2^b2; 6.25 – ейтральным; 6.26 – а; 6.27 – а; 6.28 – б; 6.29 – а; 6.30 – б; 6.31 – 2, 2, 6, 5; 6.32 – 0, 0, 0, 8; 6.33 – 0, 0, 0, 0; 6.34 – поле; 6.35 – кольцо; 6.36 – б; 6.37 – елителем; 6.38 – 3, 1, 2; 6.39 – 2; 6.40 – в; 6.41 – а; 6.42 – операцией; 6.43 – б; 6.44 – а; 6.45 – б; 6.46 – 2, 3, 1; 6.47 – нферсий, нферсий; 6.48 – x-ab+ab; 6.49 – ab-ab+x; 6.50 – a2^bc+x; 6.51 – (a+b+c)(c+d+e); 6.52 – (ab+c)^3; 6.53 – а; 6.54 – б; 6.55 – а; 6.56 – б; 6.57 – б; 6.58 – а, в; 6.59 – б, г; 6.60 – диницей; 6.61 – статок; 6.62 – статок; 6.63 – а; 6.64 – а; 6.65 – б; 6.66 – в; 6.67 – ейтральный; 6.68 – антора; 6.69 – б; 6.70 – 2, 2, 1; 6.71 –0, 2, 2, 1; 6.72 – в;
87
2.1 – оординатой, оординатой; 2.2 – рафом; 2.3 – равенство; 2.4 – б; 2.5 – 4; 2.6 – 16; 2.7 – б; 2.8 – атрицы; 2.9 – плоскостью; 2.10 – порядоченную; 2.11 – пределения, начений; 2.12 – актор; 2.13 – столбец; 2.14 – ефлексивно, имметрично; 2.15 – ефлексивно, ранзитивно; 2.16 – с, d; 2.17 – а; 2.18 – б; 2.19 – б; 2.20 – инарные; 2.21 – в; 2.22 – B, A; 2.23 – в, п; 2.24 – B, A; 2.25 – ниверсальное, ниверсальное; 2.26 – иагональное; 2.27 – х, у; 2.28 – 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0; 2.29 – а, а; 2.30 – а, б; 2.31 – б, а; 2.32 – фактор; 2.33 – лассами; 2.34 – а; 2.35 – а, б; 2.36 – д; 2.37 – б; 2.38 – б; 2.39 – ранспонирования; 2.40 – B, A; 2.41 – B; 2.42 – 1,2,3; 2.43 – 2, 2, 3; 2.44 – а; 2.45 – в; 2.46 – б; 2.47 – б; 2.48 – д; 2.49 – имметризация; 2.50 – 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1; 2.51 – 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1; 2.52 – 3; 2.53 – 4; 2.54 – д; 2.55 – а; 2.56 – г; 2.57 – д; 2.58 – бинарные; 2.59 – в; 2.60 – а; 2.61 – д; 2.62 – а, д; 2.63 – ж; 2.64 – а, б, г; 2.65 – б,д; 2.66 – д; 2.67 – б; 2.68 – в; 2.69 – г; 2.70 – 0; 2.71 – д; 2.72 – д; 2.73 – з; 2.74 – 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1; 2.75 – 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 2.76 – 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0; 2.77 – а, г, д, з; 2.78 – а, г, д, и; 2.79 – да, нет, нет; 2.80 – нет, нет, да; 2.81 – нет, да, нет; 2.82 – б, г, д, з; 2.83 – д; 2.84 – .
СОДЕРЖАНИЕ 0. 1.
2.
3.
4. 3.1 – множество; 3.2 – множество; 3.3 – орядка; 3.4 – инейного; 3.5 – порядоченным; 3.6 – порядоченным; 3.7 – b=c; 3.8 – 0, 1; 3.9 – 0, 1; 3.10 – e; 3.11 – cos(1); 3.12 – g, f; 3.13 – x, y; 3.14 – дуга; 3.15 – цепь; 3.16 – мост; 3.17 – б; 3.18 – а; 3.19 – биекцией; 3.20 – х; 3.21 – а; 3.22 – А; 3.23 – б; 3.24 – а; 3.25 – а; 3.26 – б; 3.27 – сюръекцией; 3.28 – б; 3.29 – в; 3.30 – 1, 0; 3.31 – б, в; 3.32 – астично; 3.33 – а, sup; 3.34 – б, inf; 3.35 – а; 3.36 – б; 3.37 – б; 3.38 – б; 3.39 – а; 3.40 – 0, 1, 0, 1, 0, 1; 3.41 – б; 3.42 – б, а; 3.43 – а, б; 3.44 – б; 3.45 – а, б; 3.46 – а, в; 3.47 – б, в; 3.48 – б; 3.49 – а, б, в; 3.50 – отношенье; 3.51 – г; 3.52 – б; 3.53 – отношение; 3.54 – д; 3.55 – отношение; 3.56 – А3, Б1, В2, Г5, Д4; 3.57 – 1-3, 2-2, 3-1; 3.58 – Х, Y; 3.59 – д; 3.60 – множество; 3.61 – з; 3.62 – множество; 3.63 – множество; 3.64 – множество; 3.65 – множество; 3.66 – множество . 4.1 – счетно; 4.2 – счетно; 4.3 – мощными; 4.4 – континуум; 4.5 – первыми; 4.6 – четное; 4.7 – счетно; 4.8 – счетно; 4.9 – счетно; 4.10 – счетно; 4.11 – б; 4.12 – б; 4.13 – с; 4.14 – континуум; 4.15 – континуум; 4.16 – континуум; 4.17 – счетно; 4.18 – одмножеству; 4.19 – квивалентное; 4.20 –
86
5. 6. 7.
8.
Предисловие Тесты по теме “Элементы теории множеств. Часть 1.” Множество. Элемент множества. Способы задания множеств. Числовые множества. Отношения между множествами. Включение. Равенство. Строгое включение. Множество всех подмножеств данного множества. Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение. Свойства операций над множествами. Принцип двойственности. Тесты по теме “Элементы теории множеств. Часть 2.” Произведения множеств. Бинарные отношения. Представление отношения. Операции над отношениями. Композиция отношений. Общие свойства отношений. Отношение эквивалентности. Тесты по теме “Элементы теории множеств. Часть 3.” Отношение порядка. Отношение строгого порядка. Матрицы отношений порядка. Структуры упорядоченных множеств. Отображения. Функциональные отношения. Тесты по теме “Элементы теории множеств. Часть 4.” Эквивалентность множеств. Счетные множества. Несчетные множества. Теорема Кантора-Бернштейна. Понятие мощности множества. Кольцо множеств. Полукольцо множеств. Тесты по теме “Элементы комбинаторики” Общие правила комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания и треугольник Паскаля. Тесты по теме “Элементы абстрактной алгебры” Алгебраические операции. Группа. Кольцо. Поле. Тесты по теме “Булевы функции и преобразования. Часть 1.” Булевы переменные и функции. Способы задания булевых функций. Булевы алгебры. Булевы формулы и приоритет операций. Тесты по теме “Булевы функции и преобразования. Часть 2.” Переход от формулы к таблице истинности. Двойственность. Законы булевой алгебры. Список литературы Ответы
3
4 9
16
29
38
45 52 64
76 85 85
Посвящается Виннишину Я.Ф. (Киев), Сташенко М.А. (Луцк), Хобзею П.К. (Львов) – одноклассникам по КФМШИ при КГУ. Савченко Н.В. (Харьков)
ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящий сборник вошла часть тестовых заданий, предлагаемых студентам 2-го курса кафедры «Системы информации» факультета Компьютерных информационных технологий НТУ «ХПИ» при изучении курса «Основы дискретной математики». Практическая часть этого курса направлена на изучение студентами основ работы с дисретными структурами. Полный набор тестов хранится на сайте http://dl.kpi.kharkov.ua/techn/nvs3. Данный сайт создан с использованием виртуальной учебной среды “Веб-класс ХПИ” и выступает в качестве электронной поддержки обычных занятий. Данная технология позволяет использовать локальные и глобальные сети для одновременного параллельного тестирования всей учебной группы. Поскольку сайт размещен на портале НТУ “ХПИ”, тестирование возможно и через глобальную сеть Интернет в любой удобный момент времени для учащегося. В данной системе преподаватель имеет возможность в режиме онлайн редактировать содержимое базы тестовых вопросов, проводить анализ результатов тестирования, составлять рейтинговые таблицы, анализировать трудность вопросов. Для тестирования знаний используется подсистема Х-тесты виртуальной учебной среды. На сентябрь 2007 года база данных состоит из 639 карточек-вопросов, в среднем по 80 карточек на тест. Более подробная информация о структуре базы вопросов представлена в таблице 0.1. При каждом тестировании студентам предлагается случайным образом по 15 карточек из существующего на данный момент набора. Все ответы оцениваются одинаково: правильные – 1 балл, неправильные – 0 баллов. Следовательно, максимально возможная оценка за выполнение теста – 15 баллов. Разработанные тесты направлены не только на проверку уровня приобретенных студентами знаний, но и на развитие умений и навыков
4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Верещагин Н.К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств. М.: МЦНМО, 1999.– 128с . (vereshagin1.djvu, 336 КБ) 2. Винберг Э.Б. Начала алгебры. М.: МЦНМО, МК МНУ "УРСС", 1998.– 192 с. (Винберг.djvu, 1,12 МБ) 3. Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.–М.:Наука.Физматлит,2000.–544 с.–ISBN 502-015238-2 (Gorbatov.djvu, 4,23 МБ) 4. Ерусалимский Я.М.Дискретная математика: теория, задачи, приложения. 3-е издание.– М.:Вузовская книга,2000.– 280 с.–ISBN 5-89522-034-7 (erus.djvu, 2,51 МБ) 5. Новиков Ф.А.Дискретная математика для программистов.– СПб: Питер,2000.–304 с.:ил. (Novikov.djvu, 3,03 МБ) 6. Носов В.А.Комбинаторика и теория графов: Учебное пособие.–М.:МГТУ, 1999.– 116 с. (combgrap.pdf, 1,93 МБ) 7. Тарасевич Ю.Ю. Элементы дискретной математики для программистов.– Электроннное учебное пособие.– Астрахань:Астраханский государственный педагогический университет, 2002.(Dm10win.pdf, 624 КБ) 8. Эвнин А.Ю. Дискретная математика: Конспект лекций.–Челябинск: ЮУрГУ 1988.–176 с. (Evnin1.djvu, 3,85 МБ)
ОТВЕТЫ 1.1 – A,C; 1.2 – 2; 1.3 – 128; 1.4 – 4096; 1.5 – тождественны; 1.6 – подмножеством; 1.7 – 256; 1.8 – 65536; 1.9 – m,n; 1.10 – а; 1.11 – б; 1.12 – множество; 1.13 – букв; 1.14 – пересечению; 1.15 – объединению; 1.16 – множество, множеств; 1.17 – несобственными; 1.18 – Булеаном, В(А); 1.19 – 1, 1, 2, 3; 1.20 – объединением; 1.21 – а; 1.22 – б; 1.23 – в; 1.24 – г; 1.25 – д; 1.26 – 5, 11; 1.27 – д; 1.28 – а; 1.29 – б; 1.30 – в; 1.31 – б; 1.32 – в,д,е; 1.33 – а, ж; 1.34 – е; 1.35 – д; 1.36 – 1-2, 2-2, 3-3; 1.37 – 4; 1.38 – б; 1.39 – в; 1.40 – а; 1.41 – г; 1.42 – двойственности; 1.43 – з; 1.44 – г,е; 1.45 – д; 1.46 – в; 1.47 – и, й; 1.48 – е,ж; 1.49 – а; 1.50 – в; 1.51 – а, д; 1.52 – обращение, 38 .
85
8.59. Алгоритм перехода от произвольной формулы алгебры логики к СДНФ 1. Исключить константы, используя законы действий с константами. 2. Опустить знаки отрицания непосредственно на переменные, используя законы де _______. 3. Используя дистрибутивный закон, раскрыть скобки. К полученным элементарным конъюнкциям применить законы идемпотентности и противоречия, упростить их и привести подобные. Результатом выполнения указанных действий является получение ДНФ булевой функции. 4. Построить конституенты единицы функции введением в каждую элементарную конъюнкцию недостающих переменных, используя закон исключенного третьего. 5. С помощью дистрибутивного закона раскрыть скобки и привести подобные, используя закон идемпотентности. Полученная формула соответствует СДНФ функции.
84
8.60. Алгоритм перехода от произвольной формулы алгебры логики к СКНФ 1. Исключить константы, используя законы действий с константами. 2. Опустить знаки отрицания непосредственно на переменные, используя законы де _______. 3. Посредством использования дистрибутивного закона, привести функцию к виду конъюнкции элементарных дизъюнкций. К полученным элементарным дизъюнкциям применить законы идемпотентности и исключенного третьего, упростить их и привести подобные. Результатом выполнения указанных действий является получение КНФ булевой функции. 4. Построить конституенты нуля функции введением в каждую элементарную дизъюнкцию недостающих переменных, используя закон п_______. 5. С помощью дистрибутивного закона привести функцию к виду конъюнкции конституент нуля и упростить формулу, используя закон идемпотентности. Полученная формула является СКНФ функции.
использования современной компьютерной техники при решении задач, имеющих непосредственное отношение к инженерной практике. Таблица. 0.1 – Статистика базы тестов на июнь 2007 года. № п/п Название теста Количество карточек 1 Элементы теории множеств. Часть 1. 69 2 Элементы теории множеств. Часть 2. 101 3 Элементы теории множеств. Часть 3. 67 4 Элементы теории множеств. Часть 4. 68 5 Элементы комбинаторики 67 6 Элементы абстрактной алгебры 105 7 Булевы функции и преобразования. Часть 1. 89 8 Булевы функции и преобразования. Часть 2. 73 Всего 639 Студент проходит тестирование в ходе лабораторной работы, имея возможность выяснить все неясные моменты у преподавателя. Практика применения данной методики в осеннем семестре 2006 года показала необходимость тщательной подготовки учащихся для проведения такого тестирования. Таблица 0.2 дает представление о трудозатратах, необходимых для достижения студентами высоких результатов. В качестве пособия для подготовки к тестированию может служить этот сборник, где отобрано часть предлагаемых карточек. Этот набор охватывает тесты для всех лабораторных работ. На рис. 0.1 представлены зависимости процента правильных ответов после прохождения всех тестов для студентов с различным коэффициентом полезности тестовых заданий. Наличие протяженных горизонтальных участков на этих кривых говорит о том, что между студентами существовал значительный обмен информацией. На рис. 0.2 представлены зависимости процента правильных ответов после прохождения двух модульных тестов студентами учебных групп. В ходе модульного тестирования правильность ответа на конкретную карточку студенту не сообщалась.
5
Таблица 0.2 – Трудозатраты студентов при прохождении тестирования. Максимальное количество баллов равно 180 (8х15+2х30). № п/п
Фамилия, Имя
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
Березянко Анна Бубнов Дмитрий Василенко Анна Володина Ирина Галиченко Александр Горбунов Роман Гуляев Александр Давидовский Станислав Демьяненко Александр Ерецкая Ольга Китайник Влад Клубань Андрей Ковтун Дмитрий Костевич Валерия Кузьминский Антон Курило Владимир Литвинов Артем Масалов Александр Мосийчук Татьяна Нефидова Екатерина Пилипенко Светлана Полякова Марина Рыщенко Михаил Слись Александр Солярик Лилия Сыромятникова Виктория Тарасенко Дмитрий Терещенко Елена Топал Александр Трукова Ольга Филатов Ярослав Форкун Евгений Среднее
Общее количество набранных баллов 119 97 82 122 118 146 116 107 122 124 133 138 137 78 128 143 122 129 116 118 138 136 116 139 125 137 142 117 91 156 106 110 122
6
Общее количество тестирований
Полезность тестирования
34 17 13 11 39 30 30 22 26 62 57 127 36 26 133 27 115 12 44 94 20 43 36 69 13 39 59 16 12 82 17 22 43
0,13 0,07 0,07 0,02 0,02 0,10 0,14 0,05 0,11 0,28 0,23 0,30 0,40 0,19 0,43 0,08 0,53 0,02 0,22 0,35 0,02 0,15 0,12 0,31 0,01 0,09 0,26 0,04 0,06 0,24 0,08 0,12 0,16
К созвездиям иным, не ведая орбит, И этот мир тебе - лишь красный облак дыма, Где что-то жжет, поет, тревожит и горит! А. Блок Вставьте пропущенное слово.
8.57. Пусть x,y - булевы переменные. Тогда запись х у = у х; означает □ а) Ассоциативность конъюнкции □ б) Ассоциативность дизъюнкции □ в) Идемпотентность конъюнкции и дизъюнкции □ г) Закон противоречия □ д) Тождества с константами □ е) Закон исключенного третьего □ ж) Законы элиминации □ з) Коммутативность конъюнкции □ и) Коммутативность дизъюнкции □ й) Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции □ к) Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции □ л) Закон двойного отрицания □ м) Законы де Моргана
83
И в каждом сердце, в мысли каждой Свой произвол и свой _______... Над всей Европою дракон, Разинув пасть, томится жаждой... Кто нанесет ему удар?.. Не ведаем: над нашим станом, Как встарь, повита даль туманом, И пахнет гарью. Там - пожар. А. Блок Вставьте пропущенное слово. 8.58. Пусть x,y - булевы переменные. Тогда запись х у = у х; означает □ а) Ассоциативность конъюнкции □ б) Ассоциативность дизъюнкции □ в) Идемпотентность конъюнкции и дизъюнкции □ г) Закон противоречия □ д) Тождества с константами □ е) Закон исключенного третьего □ ж) Законы элиминации □ з) Коммутативность конъюнкции □ и) Коммутативность дизъюнкции □ й) Дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции □ к) Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции □ л) Закон двойного отрицания □ м) Законы де Моргана
функции равно □ а) 0 □ б) 1 2. Записать конституенты нуля вида х1'1 х2'2 ... хn'n, соответствующие выделенным интерпретациям. 3. Записав конъюнкцию конституент нуля, получить СКНФ функции. 8.53. Алгоритм перехода от таблицы истинности булевой функции к СДНФ 1. Выделить все интерпретации (1, 2, ..., n), на которых значение функции равно □ а) 0 □ б) 1 2. Записать конституенты единицы вида х11 х22 ... хnn, соответствующие отмеченным интерпретациям. 3. Получить СДНФ функции посредством соединения операцией дизъюнкции записанных конституент единицы. 8.55. Вот - мой восторг, мой страх в тот вечер в темном зале! Вот, бедная, зачем тревожусь за тебя! Вот чьи глаза меня так странно провожали, Еще не угадав, не зная... не любя! Сама себе _______- летишь, летишь ты мимо,
82
2. Значение конституенты единицы однозначно определяется номером соответствующей интер_______. 3. Конъюнкция любого числа различных конституент единицы функции равна □ а) единице □ б) нулю 8.54. Элементарная конъюнкция х22 ... хnn называется □ а) конституцией □ б) константой □ в) конструкцией □ г) конституентой □ д) конструктором □ е) конструктивизмом □ ж) констелляцией единицы (минтермом) функции f(x1, х2,..., хn), если f(1, 2, ..., n) = 1, то есть интерпретация, обращающая в единицу данную элементарную конъюнкцию, обращает в единицу и функцию f. 8.56. Кто меч скует? - Не знавший страха. А я беспомощен и слаб, Как все, как вы, - лишь умный раб, Из глины созданный и праха, И мир - он страшен для меня. Герой уж не разит свободно, Его рука - в руке народной, Стоит над миром столб огня,
Часть материала (книги в формате djvu, бесплатное программное обеспечение, электронный курс «Основы программирования на языке Паскаль» и др.) собраны на лазерном диске. Копия этого диска распространяется бесплатно. Каждый желающий может получить эту информацию, обратившись в Проблемную лабораторию дистанционного обучения НТУ «ХПИ», которая находится в вечернем корпусе (за электрокорпусом, 2-й этаж, левая сторона, комната 28, тел. (057) 70-76-382, интерактивный веб-сайт http://dl.kpi.kharkov.ua/techn/rle).
х11
Рис.0.1. Распределение правильных и неправильных ответов для различных студентов после прохождения всех тестов.
7
Рис.0.2. Распределение правильных и неправильных ответов для различных студентов после модульных тестирований.
Рис.03. Распределение правильных и неправильных ответов для 8 различных тестов. Только для двух тестов процент сложных карточек существенно завышен.
□ а) конъюнкция □ б) дизъюнкция берется по всем наборам значений (1, 2, ..., n), на которых f(1, 2, ..., n) = ___. 8.47. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) относительно переменных x1,..., хn называется конъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все элементарные дизъюнкции пр_______ и п_______ относительно переменных x1,..., хn. 8.49. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (сокращенно _______) функции называется формула, представленная в виде □ а) дизъюнкции □ б) конъюнкции конституент □ а) единицы □ б) нуля данной функции.
8.51. Алгоритм перехода от таблицы истинности булевой функции к СКНФ 1. Выделить все интерпретации (1, 2, ..., n), на которых значение
8
81
Запись означает, что □ а) дизъюнкция □ б) конъюнкция берется по всем возможным наборам значений (1, 2, ..., k). 8.48. В желтой жаркой Африке Не видать идиллий. Льют жираф с жирафихой Слезы крокодильи. Только горю не помочь Нет теперь _______. У жирафа вышла дочь Замуж за бизона. В. Высоцкий Вставьте пропущенное слово. 8.50. Конституента нуля обладает следующими свойствами: 1. Конституента нуля равна нулю только на соответствующей ей интер_______. 2. Конституента нуля однозначно определяется номером соответствующей ей интер_______. 3. Дизъюнкция любого числа различных конституент нуля функции равна □ а) 0 □ б) 1 8.52. Конституента единицы обладает следующими свойствами: 1. Конституента единицы равна единице только на соответствующей ей интер_______.
булевых nеременных, взятых с отрицанием или без него, в которой каждая переменная встречается □ а) не менее одного раза □ б) точно один раз □ в) не более одного раза 8.41. Любую булеву функцию f(х1, х2, ..., хn) можно представить в следующей форме: f(х1, х2, ..., хn) = i x'i f(x1,x2,..., xi-1, i, xi+1,..., xn) Запись i означает, что конъюнкция берется по двум возможным значениям i, то есть 0 и ___. Индекс i является фиксированным. 8.43. О вкусах не спорят, есть тысяча мнений, Я этот _______ на себе испытал. Ведь даже Эйнштейн, физический гений, Весьма относительно все понимал. В. Высоцкий Вставьте пропущенное слово. 8.45. Любую булеву функцию f(x1, х2, ..., хn) ___ можно nредставить в следующей форме: f(x1, х2, ..., хn) = Vf() = ___ x11 x22 ... xnn Запись Vf() = ___ означает, что
80
конституентой единицы (мин_______) функции f(x1, х2,..., хn), если f(1, 2, ..., n) = ___ , то есть интерпретация, обращающая в единицу данную элементарную конъюнкцию, обращает в _______ и функцию f. 8.42. Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция любого числа булевых переменных, взятых с отрицанием или без него, в которой каждая переменная встречается □ а) точно один раз □ б) не более одного раза □ в) не менее одного раза 8.44. Любую булеву функцию f(x1, х2, ..., xn) можно nредставить в следующей форме: f(x1, ...,xk,xk+1,..., xn) = V x11 x22 xkk f(1, ..., k,xk+1,..., xn) Это формулировка теоремы о □ а) конъюнктивном □ б) дизъюнктивном разложении булевой функции f(x1, х2, ..., xn) пo k nеременным. 8.46. Любую булеву функцию f(х1, х2, ..., хn) можно представить в следующей форме: f(х1, х2, ...,xk,xk+1,..., хn) = x1'1 x2'2 ... xk'k f(1, 2, ..., k, xk+1,..., xn).
1. ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ “ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. ЧАСТЬ 1.” Множество. Элемент множества. Способы задания множеств. Числовые множества. Отношения между множествами. Включение. Равенство. Строгое включение. Множество всех подмножеств данного множества. Операции над множествами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение. Свойства операций над множествами. Принцип двойственности.[1,4,5] 1.1. Отношение включения обладает свойством транзитивности: если А В и В С, то ____ ____ 1.3. Сколько подмножеств содержит множество дней недели Ответ (введите число):___ 1.5. Два множества А и В равны или _______, А=В, тогда и только тогда, когда каждый элемент А является элементом В и наоборот. 1.7. Пусть множество содержит 8 различных элементов. Количество различных подмножеств данного множества равно _______ 1.9. Множество целых чисел в диапазоне от m до n обозначают m..n и определяют как { kZ ¦ ___ k k ___} 1.11. Совпадают ли множества и {}? □ а) Да □ б) Нет 1.13. Загадка Черные, кривые, от рожденья все
1.2. Для конечного множества мощность булеана ¦2M¦ = ___|M| 1.4. Сколько подмножеств содержит множество месяцев года Ответ (введите число):___ 1.6. Если все элементы множества А входят в множество В, то А называется _______ множества В. 1.8. Пусть множество содержит 16 различных элементов. Количество различных подмножеств данного множества равно _______ 1.10. Совпадают ли множества {1,2,3} и {3,1,2}? □ а) Да □ б) Нет 1.12. Сделав это, они поймали великое _______ рыбы, и даже сеть у них порвалась. от Луки. Святое благовествование. 1.14. Для множеств справедливо правило:
9
немые. Ответ: Это множество _______ 1.15. Для множеств справедливо правило: Дополнение пересечения множеств равно сумме (_______) их дополнений. 1.17. Любое непустое множество А имеет, по крайней мере, два различных подмножества: само себя и пустое множество (А А и А.). Эти два подмножества называются _______ 1.19. Сколько элементов содержат следующие множества: {x} - ___ {{x}} - ___ {x,{x}} - ___ {{x},x,{x,{x}}} - ___ 1.21. Операция объединение множеств определяется как □ а) { x ¦ xA xB } □ б) { x ¦ xA xB } □ в) { x ¦ xA xB } □ г) { x ¦ (xA xB) (xA xB) □ д) { x ¦ xA } 1.23. Операция разность множеств определяется как □ а) { x ¦ xA xB } □ б) { x ¦ xA xB }
Дополнение суммы (объединение) множеств равно _______ их дополнений. 1.16. _______есть совокупность элементов, обладающих некоторыми общими свойствами и находящихся в некоторых отношениях между собой или элементами других _______ 1.18. Множество, элементами которого являются все подмножества множества А называют множеством подмножеств или _______. Обозначается оно обычно P(А) или _______. 1.20. Пусть А и В — произвольные множества, тогда суммой или _______ множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В 1.22. Операция пересечение множеств определяется как □ а) { x ¦ xA xB } □ б) { x ¦ xA xB } □ в) { x ¦ xA xB } □ г) { x ¦ (xA xB) (xA xB) □ д) { x ¦ xA } 1.24. Операция симметрическая разность множеств определяется как □ а) { x ¦ xA xB } □ б) { x ¦ xA xB }
10
если каждая из этих переменных входит в нее один и только один раз (быть может, под знаком отрицания). 8.33. Дизъюнктивной нормальной формой (сокращенно___) называется формула, представленная в виде □ а) дизъюнкции □ б) конъюнкции элементарных □ а) дизъюнкций □ б) конъюнкций 8.35. Элементарная дизъюнкция x1'1 x2'2 ... xn'n называется конституентой _______ (макс_______) функции f(x1, х2, ..., хn), если f(1, 2, ..., n) = ___, то есть интерпретация, обращающая в нуль данную элементарную дизъюнкцию, обращает в нуль и функцию f. 8.37. Для упрощения математических выкладок при дизъюнктивном разложении булевых функций используется вспомогательная функция, обладающая следующими свойствами х, В = {0,1}, х = x', если = ___ х = x, если = ___ 8.39. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция любого числа
79
И хватаюсь за диск телефона И набираю вечное 07. В. Высоцкий Вставьте пропущенное слово. 8.34. Любую булеву функцию f(x1, х2, ..., хn) 1 можно представить в следующей форме: f(x1, х2, ..., хn) = f()=___ x1'1 x2'2 ... xn'n В правой части конъюнкция берется nо всем наборам значений (1, 2, ..., n), на которых f(x1, х2, ..., хn) = ___. 8.36. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) относительно переменных x1,..., хn называется дизъюнктивная нормальная форма, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все элементарные конъюнкции пр_______ и п_______ относительно переменных x1,..., хn. 8.38. Любую булеву функцию f(x1, х2, ..., хn) можно nредставить в следующей форме: f(x1, х2, ..., хn) = V(i) xii f(x1, х2, ...,xi-1, i, xi+1,..., хn) Это формулировка теоремы о □ а) дизъюнктивном □ б) конъюнктивном разложении булевой функции f(x1, х2, ..., xn) пo ___ переменной. 8.40. Элементарная конъюнкция х11 х22 ... хnn называется
8.23. Молодо, зелено, древность в историю, Дряхлость в архивах пылится. Даешь эту общую, эту теорию, _______ частиц нам. В. Высоцкий 8.25. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (сокращенно ____) булевой функции называется формула, представленная в виде дизъюнкции кости_______ единицы данной функции. 8.27. Для каждой булевой функции f(x1, х2, ..., хn), не являющейся □ а) константой нуль □ б) константой единицей существует представление в виде СКНФ.
8.24. При дизъюнктивном разложении булевых функций используется вспомогательная функция, обладающая следующими свойствами х = ___, если x = х = ___, если x 8.26. Для каждой булевой функции f(x1, х2, ..., хn), не являющейся □ а) константой единицей □ б) константой нуль существует представление в виде СДНФ. 8.28. Какие из указанных элементарных конъюнкций являются правильными □ а) x1x'2x'3 □ б) x1x'3x'1 □ в) x2x'2x2x1 □ г) x1x'2x3x'4
8.29. Элементарная конъюнкция называется п_______, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая ее вхождения под знаком отрицания).
8.30. Конъюнктивной нормальной формой (сокращенно ______) называется формула, представленная в виде □ а) конъюнкции □ б) дизъюнкции □ в) элементарных конъюнкций □ г) элементарных дизъюнкций
8.31. Правильная элементарная конъюнкция называется п_______ относительно переменных x1,..., хn,
8.32. Для меня эта ночь вне _______, Я пишу по ночам больше тем.
78
□ в) { x ¦ xA xB } □ г) { x ¦ (xA xB) (xA xB) □ д) { x ¦ xA } 1.25. Операция дополнение множества определяется как □ а) { x ¦ xA xB } □ б) { x ¦ xA xB } □ в) { x ¦ xA xB } □ г) { x ¦ (xA xB) (xA xB) □ д){ x ¦ xA } 1.27. Множество всех подмножеств М называется булеаном и обозначается □ а) M2 □ б) M2 □ в) 2M □ г) 2M □ д) 2M □ е) M2 1.29. Отношение включения для множеств обладает свойством транзитивности, которое может быть записано в виде □ а) Для любого множества А:АА □ б) Для любых множеств А,В,С если АВ и ВС, то АС □ в) Для любых множеств А, В если АВ и ВВ, то А = В 1.31. Основоположником математической теории множеств является □ а) Андрей Колмогоров
□ в) { x ¦ xA xB } □ г) { x ¦ (xA xB) (xA xB) □ д) { x ¦ xA } 1.26. Множество может быть задано с помощью рекурсивной функции. Пусть φ1=1, φ2=2 φn=3φn-1+φn-1, n=3,4,... Определите φ3=___ φ4=___ 1.28. Отношение включения для множеств обладает свойством рефлексивности, которое может быть записано в виде □ а) Для любого множества А:АА □ б) Для любых множеств А,В,С если АВ и ВС, то АС □ в) Для любых множеств А, В если АВ и ВВ, то А = В 1.30. Отношение включения для множеств обладает свойством антисимметричности, которое может быть записано в виде □ а) Для любого множества А:АА □ б) Для любых множеств А,В,С если АВ и ВС, то АС □ в) Для любых множеств А, В если АВ и ВВ, то А = В 1.32. Дано множество D = {7, 13, 25, 34, 101, 112}. Какие из приведенных множеств являются подмножествами множества D?
11
□ б) Августус де Морган □ в) Эрнест Цермело □ г) Рихард Дедекинд □ д) Георг Кантор □ е) Джон Венн □ ж) Леонард Эйлер 1.33. Символ включения имеет вид □ а) □ б) □ в) □ г) □ д) □ е) □ ж) □ з) « □ и) 1.35. Для обозначения пустого множества используется символ □ а) □ б) □ в) ∆ □ г) ∞ □ д) □ е) □ ж) □ з) □ и) Q 1.37. Головоломка. Шли гурьбой: Теща с зятем Да муж с женой, Мать с дочерью,
□ а) {1, 7, 13}; □ б) (0, 1, 12}; □ в) {25, 112, 34}; □ г) {а, b, с, n}; □ д) {7, 13, 25, 34, 101, 112}. □ е) 1.34. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется □ а) мишурой □ б) незанятым □ в) свободным □ г) вакуольным □ д) овсюжным □ е) пустым □ ж) полым □ з) каре □ и) порожним 1.36. Чтобы задать множество, нужно указать, какие элементы ему принадлежат. Это можно сделать различными способами 1 2 3 M:={x ¦ x:=f} □ □ □ M:={a1,a2,..., ak} □ □ □ M:={x ¦ P(x)} □ □ □ 1. перечислением элементов 2. характеристическим предикатом 3. порождающей процедурой 1.38. На рисунке справа изображены круги Эйлера, иллюстрирующие следующую операцию над множествами А и В
12
интерпретаций, выгоднее строить □ а) СКНФ □ б) СДНФ
называется дизъюнктивной нормальной _______ (сокращенно ДНФ).
8.13. Всякая дизъюнкция элементарных конъюнкций называется конъюнктивной нормальной формой (сокращенно _______).
8.14. Пусть задана функция f(x, у, z) = ху z' f(0,0,0) = ___ f(0,1,0) = ___ f(0,0,1) = ___ f(0,1,1) = ___ 8.16. Две различные булевы функции □ а) могут □ б) не могут иметь одинаковые СДНФ или СКНФ.
8.15. Пусть задана функция f(x, у, z) = ху z' f(1,0,0) = ___ f(1,1,0) = ___ f(1,0,1) = ___ f(1,1,1) = ___ 8.17. Для каждой булевой функции f(x1, х2, ..., хn) существует представление в виде формулы булевой алгебры, содержащей только операции д_______, к_______ и отрицания. 8.19. Формула х11 ... хnn, где = {1, ..., n} - какой-либо двоичный набор, а среди переменных xi могут быть совпадающие, называется элементарной _______. 8.21. Сколько имеется различных булевых функций от 2 переменных сохраняющих 0 (т.е. равных нулю на нулевой интепретации). Ответ (введите число):___.
77
8.18. Формула х11 ... хnn, где = {1, ..., n} - какой-либо двоичный набор, а среди переменных xi могут быть совпадающие, называется элементарной _______. 8.20. Сколько имеется различных булевых функций от 3 переменных сохраняющих 0 (т.е. равных нулю на нулевой интепретации). Ответ (введите число):___. 8.22. Сколько имеется различных булевых функций от 4 переменных сохраняющих 0 (т.е. равных нулю на нулевой интепретации). Ответ (введите число):___.
□ ж) 1*1=1 □ з) 0*0=0
8 ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ “БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ЧАСТЬ 2. ” Переход от формулы к таблице истинности. Двойственность. Законы булевой алгебры. [5,7,8] 8.1. Элементарной конъюнкцией, содержащей ноль nеременных, считается константа _______. 8.3. Элементарная конъюнкция х у z является конституентой единицы функции трех переменных f(x, у, z) на интерпретации (___,___,___). 8.5. Элементарная конъюнкция х' у' z' является конституентой единицы функции трех переменных f(x, у, z) на интерпретации (___,___,___). 8.7. Элементарная конъюнкция х у является конституентой единицы функции двух переменных f(x, у) на интерпретации: (___,___). 8.9. Элементарная конъюнкция х' у' является конституентой единицы функции двух переменных f(x, у) на интерпретации: (___,___).
8.11. Для функций, равных единице на большинстве
8.2. Элементарной дизъюнкцией, содержащей ноль переменных, считается константа ___ 8.4. Элементарная конъюнкция х' у z' является конституентой единицы функции трех переменных f(x, у, z) на интерпретации (___,___,___). 8.6. Элементарная конъюнкция х у' является конституентой единицы функции двух переменных f(x, у) на интерпретации: (___,___). 8.8. Элементарная конъюнкция х ' у является конституентой единицы функции двух переменных f(x, у) на интерпретации: (___,___). 8.10. Для функций, равных нулю на более чем половине интерпретаций, выгоднее строить □ а) СКНФ □ б) СДНФ 8.12. Всякая дизъюнкция элементарных конъюнкций
76
да бабушка с внучкой, Да дочь с отцом. Много ли всех? Сколько элементов в этом множестве? Ответ:___
1.39. На рисунке справа изображены круги Эйлера, иллюстрирующие следующую операцию над множествами А и В
□ а) A B □ б) A B □ в) A\B □ г) AB □ д) A 1.41. На рисунке справа изображены круги Эйлера, иллюстрирующие следующую операцию над множествами А и В
□ а) A B □ б) A B □ в) A\B
□ а) A B □ б) A B □ в) A\B □ г) AB □ д) A 1.40. На рисунке справа изображены круги Эйлера, иллюстрирующие следующую операцию над множествами А и В
□ а) A B □ б) A B □ в) A\B □ г) AB □ д) A 1.42. Из любого равенства, относящегося к системе подмножеств некоторого основного множества, совершенно автоматически может быть получено другое равенство путем замены всех рассматриваемых множеств их дополнениями, объединения множеств - их пересечением, а пересечений объединениями (суммами). Это принцип _______
13
□ г) AB □ д) A 1.43. Квантор принадлежности записывается следующим образом □ а) □ б) □ в) □ г) »
1.45. На рисунке справа изображены круги Эйлера, иллюстрирующие следующую операцию над множествами А и В
1.44. Для наглядного изображения соотношений между множествами используют так называемые □ а) ГОСТы 19.701-90 □ б) диаграммы Орра □ в) нотации Баркера □ г) круги Эйлера □ д) карты Константайна □ е) диаграммы Венна □ ж) нотации Гейна-Сарсона □ з) диаграммы Джексона □ и) нотации Йордана 1.46. На рисунке справа изображены круги Эйлера, иллюстрирующие следующую операцию над множествами А и В
□ а) A B □ б) A B □ в) A\B □ г) AB □ д) A □ е) B 1.47. Свойство операции над множествами называемое свойством единицы записывается в виде □ а) A A=A □ б) A B=A B
□ а) A B □ б) A B □ в) B □ г) A\B □ д) AB □ е) A 1.48. Свойство операции над множествами называемое законами де Моргана записывается в виде □ а) A=A □ б) A=
□ е) □ д)
□ ж) □ з) □ и) □ й) =
14
0 1 1 0 1 1 Это функция □ а) стрелка Пирса □ б) штрих Шеффера □ в) отрицание обратной импликации □ г) импликация □ д) эквивалентность □ е) тавтология □ ж) противоречие
0 0 0 1 1 0 1 1 Это функция □ а) стрелка Пирса □ б) штрих Шеффера □ в) отрицание обратной импликации □ г) импликация □ д) эквивалентность □ е) тавтология □ ж) противоречие
7.71. А все твоя проклятая родня... Мой дядя, что достался кабану, Когда был жив, предупреждал меня: Нельзя из людоедок брать жену. Не ссорь меня с общиной - это _______, Что будто к тебе кто-то пристает. Не клевещи на нашу молодежь, Она - надежда наша и оплот!
7.72. В 1910 году известный физик Эренфест (1880-1933), работавший в то время в Политехническом институте в Петербурге, указал на возможность применения алгебры логики при составлении схем цепей телефонных станций. Укажите какой логический закон иллюстрирует рисунок слева
Ну, что глядишь? тебя пока не бьют. Отдай топор, добром тебя прошу. И шкур не тронь, ведь люди засмеют. До трех считаю, после - задушу. В КАМЕННОМ ВЕКЕ. В. Высотский Вставьте пропущенное слово.
75
□ □ □ □ □ □
а) 1+0=1 б) 0+0=0 в) 0+1=1 г) 1+1=1 д) 0*1=0 е) 1*0=0
□ в) логики □ г) этимологии □ д) трюизма □ е) истинности □ ж) трансцендальности □ з) объективности □ и) двойственности булевой функции.
□ а) стрелка Пирса □ б) штрих Шеффера □ в) отрицание обратной импликации □ г) импликация □ д) эквивалентность □ е) тавтология □ ж) противоречие
7.67. Составьте таблицу истинности для булевой функции заданной следующей формулой f(x,y) = (x' y). Ответ: x y z 0 0 0 1 1 0 1 1 Это функция □ а) стрелка Пирса □ б) штрих Шеффера □ в) отрицание обратной импликации □ г) импликация □ д) эквивалентность □ е) тавтология □ ж) противоречие 7.69. Составьте таблицу истинности для булевой функции заданной следующей формулой f(x,y) = (x y') (x' y) (x' y'). Ответ: x y z 0 0
74
7.68. Жизнь - обман с чарующей тоскою, Оттого так и сильна она, Что своею грубою рукою Роковые пишет письмена. Я всегда, когда глаза закрою, Говорю: 'Лишь сердце потревожь, Жизнь - обман, но и она порою Украшает радостями _______. Обратись лицом к седому небу, По луне гадая о судьбе, Успокойся, смертный, и не требуй _______ той, что не нужна тебе'. Сергей Есенин Вставьте пропущенные слова. 7.70. Составьте таблицу истинности для булевой функции заданной следующей формулой f(x,y) = (x y') (x' y) (x' y'). Ответ: x y z
□ в) A (B C)=(A B) C □ г) A (BC)=(AB) (AC) □ д) (A B) A=A □ е) A =A □ ж) A = □ з) A =A □ и) A U=U □ й) A U=U 1.49. Свойство операции над множествами называемое идемпотентностью записывается в виде □ а) A A=A □ б) A B=A B □ в) A (BC)=(AB) C □ г) A (BC)=(AB) (AC) □ д) (AB) A=A □ е) A =A □ ж) A = □ з) A =A □ и) A U=U □ й) A U=U 1.51. Пусть А и В — произвольные множества, тогда суммой или объединением множеств А и В называют множество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В. Операция объединения в научной литературе обычно изображается следующим образом: □ а) C=AB
□ в) A =A □ г) AU=U □ д) AU=U □ е) (AB)=AB □ ж) (AB)=AB □ з) AA=U □ и) AA= □ й) A\B=AB 1.50. Через ¦А¦ обозначают количество элементов конечного множества А. Число ¦А¦ называют также □ а) размерностью □ б) весом □ в) мощностью □ г) силой □ д) тягой □ е) нагрузкой □ ж) светимостью □ з) числом Кантора □ д) зарядом множества. 1.52. Перечисленное ниже множество эпитетов {бесцеремонное, важное, вежливое, галантерейное, галантное, грубое, гуманное, деликатное, дурное, жестокое, ласковое, любезное, мягкое, надменное, нежное, недопустимое, нелюбезное, обходительное, плохое, простое, резкое, сдержанное, строгое, суровое, сухое, тактичное, теплое, товарищеское, тонкое, угловатое,
15
□ б) C=AB □ в) C=AB □ г) C=AB □ д) C=AB □ е) C=AB
утонченное, учтивое, холодное } относится к слову _______ Мощность этого множества равна ___
2. ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ “ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. ЧАСТЬ 2.” Произведения множеств. Бинарные отношения. Представление отношения. Операции над отношениями. Композиция отношений. Общие свойства отношений. Отношение эквивалентности. [1,3,4,5] 2.1. Элемент х в паре (x,y) называют первой к_______, а элемент у - второй к_______. 2.3. Предельным случаем отношения эквивалентности является тождественное _______.
2.2. Стрелочное представление отношений еще называется г_______ отношений. 2.4. Если ab, то пары (a,b) и (b,a) считаются □ а) равными □ б) не равными
2.5. Пусть А=[-3,-1], тогда A = { (x,y) ¦ x [-3,-1] и y [-3,-1]} и представляет собой квадрат, площадь которого равна ___ 2.7. Для прямого произведения множеств справедливо □ а) (AB) C = A (BC) □ б) (AB) C A x (BC)
2.6. Пусть А=[-3,1], тогда A = { (x,y) ¦ x [-3,1] и y [-3,1]} и представляет собой квадрат, площадь которого равна ___. 2.8. Конечное отношение можно представить в виде прямоугольной таблицы или м_______.
2.9. Множество R2 всевозможных пар вещественных чисел (элементов из R) называют также множеством точек плоскости
2.10. Под n-кой (кортеж длины n) понимают у_______ систему из n элементов, которую обозначают символом (а1, а2,..., аn) (i-я
2
2
16
(1, 1,..., 1)), а старшим – □ а) верхняя строка □ б) нижняя строка (значение функции на интерпретации (0, 0, ..., 0)). 7.63. Булева функция f, у которой таблица истинности имеет вид x y f 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 называется □ а) импликацией □ б) стрелкой Пирса □ в) штрихом Шеффера □ г) эквивалентностью □ д) конъюнкцией □ е) дизъюнкцией □ ж) обратной импликацией □ з) исключающим или
7.65. Булевы функции (х), которые зависят от одной переменной, приведены ниже в таблице х 0 1 2 3
Законы поглощения □ □ □ □ □ 1. (а + b)' = а' ∙ b'; (а ∙ b)' = а' + b'. 2. а + 1 = 1, а ∙ 0 = 0 3. а ∙ (а + b) = а + (а ∙ b) = а 4. а + а = а ∙ а = а 5. а = а'' 7.64. Булева функция f, у которой таблица истинности имеет вид x y f 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 называется □ а) импликацией □ б) стрелкой Пирса □ в) штрихом Шеффера □ г) эквивалентностью □ д) конъюнкцией □ е) дизъюнкцией □ ж) обратной импликацией □ з) исключающим или 7.66. Составьте таблицу истинности для булевой функции заданной следующей формулой f(x,y) = (x y) (x' y'). Ответ: x y z 0 0 0 1 1 0 1 1 Это функция
0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Эта таблица называется таблицей □ а) справедивости □ б) правдивости
73
1. а + (b ∙ с) = (а + b) ∙ (а + с), а ∙ (b + с) = (а ∙ b) + (а ∙ с) 2. а + (b + с) = (а + b) + с, а ∙ (b ∙ с) = (а ∙ b) ∙ с 3. а + b = b + а, а ∙ b = b ∙ а 4. а + 0 = а, а + а' = 1, а ∙ 1 = 1, а ∙ а' = 0
7.59. Для того, чтобы получить _____ формулу булевой, алгебры необходимо заменить в ней все конъюнкции на дизъюнкции, дизъюнкции на конъюнкции, 0 на 1, 1 на 0 и использовать скобки, где необходимо, чтобы порядок выполнения операций остался прежним. Это формулировка принципа □ а) дополнительности □ б) относительности □ в) подобия □ г) двойственности □ д) конгруэнтности 7.61. Каждой функции присваивается порядковый номер в виде натурального числа, двоичный код которого представляет собой столбец значений функции в таблице истинности. Младшим разрядом считается самая □ а) верхняя строка □ б) нижняя строка (значение функции на интерпретации
72
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
7.60. В эти желтые дни меж домами Мы встречаемся только на миг. Ты меня обжигаешь глазами И скрываешься в темный тупик... Но очей молчаливым пожаром Ты недаром меня обдаешь, И склоняюсь я тайно недаром Пред тобой, молчаливая _______! Ночи зимние бросят, быть может, Нас в безумный и дьявольский бал, И меня, наконец, уничтожит Твой разящий, твой взор, твой кинжал! А. Блок Вставьте пропущенное слово. 7.62. Установите соответствие для законов булевой алгебры 1 2 3 4 5 Законы идемпотентности □ □ □ □ □ Законы де Моргана (двойственности) □ □ □ □ □ Закон инволюции (двойного отрицания) □ □ □ □ □ Другие свойства единицы и нуля:
или просто _______. 2.11. Множество первых координат является областью о_______ отношения А; множество вторых координат - областью з_______ отношения А. 2.13. Найдем матрицу композиции С = В∙А . Строка i матрицы В умножается на ______ j матрицы А и результат записывается в клетку с номером ij 2.15. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно р_______, симметрично и т_______. 2.17. Для прямого произведения множеств справедливо □ а) (А1 А2) x В = (А1 x В) (А2 x В); □ б) (А1 А2) x В (А1 x В) (А2 x В);
компонента ai занимает i-е место). 2.12. Множество всех сечений отношения А называют ф_______ множеством множества У по отношению А. Оно обозначается У/А. 2.14. Бинарное отношение R на множестве А называется отношением эквивалентности, если оно р_______, с_______ и транзитивно. 2.16. Две пары (a,b) и (c,d) считаются равными (совпадающими), и это обозначают обычным знаком равенства (a,b) = (c,d) если и только если a = ___ и b = ___ 2.18. Для прямого произведения множеств справедливо □ а) (А1 А2) x В (А1 x В) (А2 x В); □ б) (А1 А2) x В = (А1 x В) (А2 x В);
2.19. Для прямого произведения множеств справедливо □ а) (А1 \ А2) В (А1 В) \ (А2 В); □ б) (А1 \ А2) В = (А1 В) \ (А2 В);
2.20. Родственные и другие отношения между людьми (быть отцом, матерью, братом, сестрой, другом, ровесником, старше, выше, моложе и др.) выступают как б_______ отношения.
2.21. Если исходное отношение А - < х больше у >, то обратное отношение А-1 есть
2.22. Пусть А и В два отношения на множестве М. Правило обращения для
17
□ а) < х меньше у > □ б) < y больше x > □ в) < y меньше x >
произведения этих отношений записывается в виде (А∙B)-1 = ___-1___-1
2.23. Пусть декартово произведение АВ = {(а, п), (а, р), (в, п), (в, р), (с, п), (с, р)}. Тогда множества А и В равны, соответственно, А = {а,___, с} В = { ___, р} 2.25. Полное (у_______) отношение Р = ХХ, которое имеет место для каждой пары (xi,хj) элементов х. Например, если х множество студентов группы, то отношение - у_______. 2.27. Пусть имеется отношение А, заданное на множестве Х У. Тогда обратное или симметричное отношение А-1 представляет собой подмножество множества У Х, образованное парами (у; х), для которых (___;___) А.
2.24. Пусть декартово произведение ВА = {(п, а), (р, а), (п, в), (р, в), (п, с), (р, с)}. Тогда множества А и В равны, соответственно, ___ = {п, р} ___ = {а, в, с} 2.26. Тождественное (д_______) отношение Е, равносильное свойству < равно > xi = хj, которое выполняется при i = j, т.е. на главной диагонали < делится без остатка > на множестве простых чисел без единицы. 2.28. Отношение R задано матрицей. Найдите симметричное отношение R-1 R R-1 1 1 1 1
2.29. Если в графе □ а) антисимметричного □ б) симметричного отношения есть дуга (a,b) то □ а) не должна □ б) должна быть дуга (b,a).
2.30. Граф, соответсвующий □ а) антирефлексивному □ б) рефлексивному отношению, □ а) в каждой вершине имеет петлю □ б) не имеет ни одной петли
18
таблицами □ а) справедивости □ б) правдивости □ в) логики □ г) этимологии □ д) трюизма □ е) истинности □ ж) трансцендальности □ з) объективности □ и) двойственности булевой функции. 7.55. Постройте таблицу истинности для тернарной булевой функции f(x,y,z) с порядковым номером 127. x y z f 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Двоичное представление десятичного числа 127 равно ___. 7.57. Установите соответствие для законов булевой алгебры 1 2 3 4 Коммутативность □ □ □ □ Дистрибутивность □ □ □ □ Ассоциативность □ □ □ □ Законы для нуля, единицы и отрицания
71
столбец значений функции в таблице истинности. Младшим разрядом считается самая нижняя строка (значение функции на интерпретации (___,___,…,___)), а старшим - верхняя строка (значение функции на интерпретации (___,___,…,___)). 7.56. Постройте таблицу истинности для тернарной булевой функции f(x,y,z) с порядковым номером 222. x y z f 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Двоичное представление десятичного числа 222 равно ___. 7.58. Составьте таблицу истинности для булевой функции заданной следующей формулой f(x,y,z) = (x z) (x' y z') (y' z) Ответ: x y z 0 0 0
□ а) 1+0=1 □ б) 0+0=0 □ в) 0+1=1 □ г) 1+1=1 □ д) 0*1=0 □ е) 1*0=0 □ ж) 1*1=1 □ з) 0*0=0
□ а) 1+0=1 □ б) 0+0=0 □ в) 0+1=1 □ г) 1+1=1 □ д) 0*1=0 □ е) 1*0=0 □ ж) 1*1=1 □ з) 0*0=0
7.52. Укажите какой логический закон иллюстрирует рисунок слева
7.51. Укажите какой логический закон иллюстрирует рисунок слева
□ а) 1+0=1 □ б) 0+0=0 □ в) 0+1=1 □ г) 1+1=1 □ д) 0*1=0 □ е) 1*0=0 □ ж) 1*1=1 □ з) 0*0=0
□ а) 1+0=1 □ б) 0+0=0 □ в) 0+1=1 □ г) 1+1=1 □ д) 0*1=0 □ е) 1*0=0 □ ж) 1*1=1 □ з) 0*0=0 7.53. Таблицы, в которых каждой интерпретации (то есть набору аргументов) функции поставлено в соответствие ее значение, называются
70
7.54. Каждой функции присваивается порядковый номер в виде натурального числа, двоичный код которого представляет собой
2.31. Граф, соответсвующий □ а) антирефлексивному □ б) рефлексивному отношению, □ а) в каждой вершине имеет петлю □ б) не имеет ни одной петли
2.32. Непересекающиеся подмножества, на которые разбивается множество М отношением эквивалентности, называется классами эквивалентности или _______ множеством.
2.33. Важнейшее значение эквивалентности состоит в том, что это отношение определяет признак, который допускает разбиение множества М на непересекающиеся подмножества, называемые к_______ эквивалентности. 2.35. Если граф □ а) транзитивного □ б) антитранзитивного отношения содержит дуги (a,b) и (b,c), то он □ а) не должен содержать □ б) должен содержать и замыкающую дугу (a,c).
2.34. Операция образования декартового произведения двух множеств. □ а) некоммутативна □ б) коммутативна
2.37. Отношение, которому не удовлетворяет ни одна пара элементов из Х, называется □ а) тривиальным □ б) пустым □ в) вульгарным □ г) простым □ д) дурного вкуса □ е) пошлым
2.36. Бинарное отношение конгруэнтно, подобно может быть отношением между □ а) между прямыми □ б) между плоскостями □ в) между числами □ г) между множествами □ д) между геометрическими фигурами 2.38. Если матрица отношения А состоит из одних нулей, то такое отношение называется □ а) полым □ б) пустым □ в) чахлым □ г) нулевым □ д) очковым □ е) ониксом
19
2.39. Переход от А к А-1 осуществляется взаимной перестановкой координат каждой упорядоченной пары (х;у). При этом область определения становится областью значений и наоборот. Матрица обратного отношения получается путем т_______ исходной матрицы. 2.41. Наглядное представление отношения в виде графа изображено на фрагменте □А □Б □В Рисунка
2.43. Бинарное отношение А наглядно представлено в виде следующего графика
Восстановите это отношение A = { (1,1), (1,___), (1,3), (2,___), (3,___) } 2.45. Бинарное отношение R на множестве А называется симметричным □ а) если для любого aA пара
2.40. Пусть даны три множества: Х, Y и Z и два отношения: А Х х У и В У Z. Тогда композиция отношений А и В есть отношение С, состоящее из всех тех пар (х, z) X x Z, для которых существует такой y Y, что пары (х, у) А и (у, z) В. Композицию С отношений А и В записывают в виде: С = ___. ___ 2.42. Бинарное отношение А наглядно представлено в виде следующего графа
Восстановите это отношение A = { (1,___), (1,2), (1,3), (2,___), (3,___) } 2.44. Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным □ а) если для любого aA пара (а,а) R □ б) если из того, что (a,b) R следует (b,a) R □ в) если из того, что (a,b) R и (b,с) R следует (a,с) R 2.46. Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным □ а) если для любого aA пара
20
7.45. Известно, что функции f(x, у, z) и g(x, у, z) самодвойственны. Восстановите таблицу истинности для этих функций. x y z f(x,y,z) g(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
7.46. Укажите какой логический закон иллюстрирует рисунок слева
7.47. Укажите какой логический закон иллюстрирует рисунок слева
7.48.Укажите какой логический закон иллюстрирует рисунок слева
□ а) 1+0=1 □ б) 0+0=0 □ в) 0+1=1 □ г) 1+1=1 □ д) 0*1=0 □ е) 1*0=0 □ ж) 1*1=1 □ з) 0*0=0
□ а) 1+0=1 □ б) 0+0=0 □ в) 0+1=1 □ г) 1+1=1 □ д) 0*1=0 □ е) 1*0=0 □ ж) 1*1=1 □ з) 0*0=0
□ а) 1+0=1 □ б) 0+0=0 □ в) 0+1=1 □ г) 1+1=1 □ д) 0*1=0 □ е) 1*0=0 □ ж) 1*1=1 □ з) 0*0=0
7.49. Укажите какой логический закон иллюстрирует рисунок слева
7.50.Укажите какой логический закон иллюстрирует рисунок слева
69
□ □ □ □ □ □
а) коалицией б) композицией в) традицией г) суперстратом д) суперпозицией е) диспозицией
7.41. Таблица истинности для тернарной булевой функции f(x,y,z) с порядковым номером ___ имеет вид. x y z f 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1
7.43. Известно, что функции f(x, у, z) и g(x, у, z) самодвойственны. Восстановите таблицу истинности для этих функций. x y z f(x,y,z) g(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
68
□ а) логической □ б) двухэлементной □ в) переключательной □ г) булевой □ д) де-моргана □ е) триггерной функцией. 7.42. Таблица истинности для тернарной булевой функции f(x,y,z) с порядковым номером ___ имеет вид. x y z f 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 7.44. Известно, что функции f(x, у, z) и g(x, у, z) самодвойственны. Восстановите таблицу истинности для этих функций. x y z f(x,y,z) g(x,y,z) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
(а,а) R □ б) если из того, что (a,b) R и (b,с) R следует (a,с) R □ в) если из того, что (a,b) R следует (b,a) R
(а,а) R □ б) если из того, что (a,b) R следует (b,a) R □ в) если из того, что (a,b) R и (b,с) R следует (a,с) R
2.47. Пусть А = [-1,2], В = [-2, 1], тогда АxВ = {(х,у) ¦ х [-1,2] и y [-2,1] } представляет собой квадрат изображенный на рисунке
□ а) справа □ б) слева 2.49. Так как отношение - это множество, то над ним можно выполнять все теоретико множественные операции: объединения, пересечения и т.д.. Кроме этого существуют две операции, специфические для отношений: а) обращение (с_______); в) композиция.
2.51. Отношения А и В заданы следующими матрицами
2.48. Бинарным отношением задается совокупность упорядоченных пар (х,у), которые являются элементами множества □ а) YX □ б) {X,Y} □ в) {Y,X} □ г) XY □ д) ХУ □ е) XY 2.50. Отношения А и В заданы следующими матрицами
Определите матрицу композиции C=B·A
2.52. Сколько элементов содержит фактор-множество множества М, изображенного на рисунке (отношения между
21
элементами представлены на рисунке в виде графа). Ответ: ___
Определите матрицу композиции C=B·A
2.53. Сколько элементов содержит фактор-множество множества М, изображенного на рисунке (отношения между элементами представлены на рисунке в виде графа). Ответ: ___
2.55. Произведением множеств ( □ а) декартовым □ б) эйлеровым □ в) канторовым □ г) прямым □ д) картезианским произведением) АВ есть множество всех упорядоченных пар элементов (а,в), из которых первый (а) - принадлежит множеству А, а второй (в) - множеству В.
2.54. Пусть R - отношение на множестве М. Композиция отношений R∙R-1 называется □ а) гармоникой □ б) модулем □ в) спектром □ г) лапласианом □ д) ядром □ д) якобианом отношения R и обозначается ker(R) 2.56. Если В = А, то АВ = АА = { (x,y) ¦ xA и yA }, т.е. АА множество всевозможных пар из множества А. Это множество пар обозначается также □ а) 2A □ б) A2 □ в) 2A □ г) A2 □ д) 2A □ е) A2
2.57. Множество всевозможных
2.58. _______отношения -
22
двухэлементная булева алгебра (В, , , ', , ~), В = {0,1}, в которой множество операций дополнено двумя бинарными операциями: и_______ (f13(x, у)) и э_______ ~ (f9(x, у)).
7.35. n-мерный булевый куб обозначается □ а) Bn □ б) nB □ в) Bn □ г) nB □ д) Nb □ е) bN □ ж) Nb □ з) bN 7.37. Если в булевой формуле отсутствуют скобки, то операции выполняются в следующей последовательности: 1 2 3 4 дизъюнкция □ □ □ □ конъюнкция □ □ □ □ отрицание □ □ □ □ импликация и □ □ □ □ эквивалентность 7.39. Прием получения новых функций путем подстановки значений одних функций вместо значений аргументов других функций называется
67
установить эквивалентность булевых формул состоит в следующем: для каждой формулы строится таблица и______, а затем полученные таблицы сравниваются, т.е. фактически для каждого набора переменных проверяется, равны ли на нем значения функций. 7.36. Постройте таблицу истинности для бинарной булевой функции f(x,y) с порядковым номером 12. x y f 0 0 0 1 1 0 1 1 Двоичное значение числа 12 равно ___. 7.38. Алгебраическая структура (В, , , ~), В = {0, 1}, где операция есть □ а) конъюнкция □ б) дизъюнкция есть □ а) конъюнкция □ б) дизъюнкция есть отрицание или инверсия, называется двухэлементной булевой алгеброй. 7.40. Функция, аргументы которой, равно как и сама функция, принимают значения из некоторого двухэлементного множества называется
7.25. Переменная xi в функции f(x1,x2,...,xn) называется несущественной (или фиктивной), если f(x1,x2,...,xi-1,___,xi+1,...,xn) = f(x1,x2,...,xi-1, 1, xi+1,...,xn) при любых значениях остальных переменных. 7.27. Эквивалентность булевых формул обозначается знаком □ а) ~ □ б) := □ в) □ г) = □ д)
7.26. Булевы функции могут быть заданы следующими способами: 1. С помощью таблицы истинности; 2. Порядковым номером, который имеет эта функция; 3. В виде формулы, т.е. а_______. 7.28 Все это было, было, было, Свершился дней круговорот. Какая _______, какая сила Тебя, прошедшее, вернет? А. Блок Вставьте пропущенное слово.
7.29. Новый на кобыле Едет к миру Спас. Наша вера - в силе. Наша _______ - в нас!' Сергей Есенин. Вставьте пропущенное слово. 7.31. n-мерный булевый куб содержит □ а) 2*n □ б) n2 □ в) 22n □ г) 22*n □ д) 2n □ е) 2n2 элементов слов. 7.33. Алгеброй логики называется
66
7.30. Булевы функции могут быть заданы следующими способами: 1. С помощью таблицы и_______; 2. Порядковым номером, который имеет эта функция; 3. В виде формулы, т.е. аналитически. 7.32. Количество всех возможных булевых функций f(x1,x2,...,xn) равно □ а) 2*n □ б) n2 □ в) 22n □ г) 22*n □ д) 2n □ е) 2n2 7.34. Один из способов
n-ок элементов из А: AA...A обозначается □ а) nA □ б) nA □ в) An □ г) nA □ д) An □ е) nA □ ж) An □ з) nA
отношения между элементами двух множеств. Они устанавливают соответствие элементов одного множества X элементам другого множества Y по некоторому признаку или свойству. Если между элементом xi X и элементом yj Y это свойство выполняется, то говорят, что xi и yj находятся между собой в отношении А: xiАyj.
2.59. Бинарное отношение равно, неравно, меньше, больше, не меньше, не больше, делит, делится на; может быть отношением между □ а) между прямыми □ б) между плоскостями □ в) между числами □ г) между множествами □ д) между геометрическими фигурами
2.60. Отношение R называется □ а) рефлексивным □ б) антирефлексивным □ в) симметричным □ г) антисимметричным □ д) транзитивным □ е) антитранзитивным □ ж) полным □ з) неполным на множестве M, если для всякого aM верно aRa (т.е. пара (a,a) R).
2.61. Два элемента, расположенные в определенном порядке, в математике называют □ а) связью □ б) кортежом □ в) вектором □ г) четой □ д) парой □ е) ярмом □ ж) упряжкой □ з) двойкой
2.62. Бинарное отношение параллельно, пересекается, перпендикулярно; может быть отношением между □ а) между прямыми □ б) между плоскостями □ в) между числами □ г) между множествами □ д) между плоскостями □ е) между геометрическими фигурами
23
□ и) блоком 2.63. Бинарное отношение предшествует, следует за может быть отношением между □ а) между прямыми □ б) между плоскостями □ в) между числами □ г) между множествами □ д) между плоскостями □ е) между геометрическими фигурами □ ж) между точками прямой 2.65. Пусть отношение А на XY задано следующей матрицей x2 x3 x1 XY y1 1 y2 1 1 y3 1 y4 1 y5 1 1 Сечение по х2 А(х2) содержит следующие элементы множества Y (укажите флажками) А(х2)= {□ y1; □ y2; □ y3; □ y4; □ y5 } 2.67. Отношение R называется □ а) рефлексивным □ б) антирефлексивным □ в) симметричным □ г) антисимметричным □ д) транзитивным □ е) антитранзитивным □ ж) полным
2.64. Пусть отношение А на XY задано следующей матрицей x2 x3 x1 XY y1 1 y2 1 1 y3 1 y4 1 y5 1 1 Сечение по х1 А(х1) содержит следующие элементы множества Y (укажите флажками) А(х1)= {□ y1; □ y2; □ y3; □ y4; □ y5 } 2.66. Если матрица отношения А состоит из одних единиц, то такое отношение называется □ а) тучным □ б) толстым □ в) жирным □ г) сытным □ д) полным □ е) плотным Сечение А по всем xi Х в этом случае одинаковы и тождественно равны множеству У. 2.68. Отношение R называется □ а) рефлексивным □ б) антирефлексивным □ в) симметричным □ г) антисимметричным □ д) транзитивным □ е) антитранзитивным □ ж) полным
24
число) ___. 7.14. Количество самодвойственных функций от 4 переменных равняется (введите число) ___. 7.16. _______всегда оказывается проще, чем можно было предположить. Р. Фейнман
7.13. Количество самодвойственных функций от 5 переменных равняется (введите число) ___. 7.15. Отрицание является самодвойственной функцией? □ а) Нет □ б) Да 7.17. _______не вышла бы из колодезя, если бы сырость не испортила ее зеркала. КОЗЬМА ПРУТКОВ Вставьте пропущенное слово. 7.19. Количество всех возможных булевых функций f(t,x,y,z) (t,x,y,z булевые переменные) равно (введите число):_______. 7.21. Если знак * обозначает двойственность булевой функции f то имеет место следующее соотношение (f*)* = ___
7.23. Говорят, что между двумя противоположными мнениями находится _______. Ни в коем случае! Между ними лежит проблема. И. Гете Вставьте пропущенное слово.
65
Вставьте пропущенное слово. 7.18. Для булевой функции f(x1,x2,...,xn) конкретное значение булевого набора (x1,x2,...,xn) называется интер_______ булевой функции. 7.20. Если булева функция f(x1,x2,...,xn) содержит пять фиктивных переменных то она фактически зависит от _______ переменных. 7.22. Представление булевой функции формулой □ а) об этом ничего нельзя сказать определенно □ б) единственно □ в) не единственно 7.24. Переменная xi в функции f(x1,x2,...,xn) называется несущественной (или фиктивной), если f(x1,x2,...,xi-1,0,xi+1,...,xn) = f(x1,x2,...,xi-1,___,xi+1,...,xn) при любых значениях остальных переменных.
5. ассоциативна: х (у z) = (х у) z для всех х, у, z R. 6. дистрибутивна по отношению к слева и справа: x (у z) = (x у) (x z), (х у) z = (х z) (у z) для всех х, у, z R.
ее строки и столбцы нумеруются элементами множества А, а элементом таблицы, стоящем на пересечении строки аi и столбца аj, является элемент ak= аi аk.
7 ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ “БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ЧАСТЬ 1. ” Булевы переменные и функции. Способы задания булевых функций. Булевы алгебры. Булевы формулы и приоритет операций. [5,7,8] 7.1. Дизъюнкция двойственна _______. 7.3. Булевы функции могут быть заданы аналитически, т.е. фо_______. 7.5. Функция, двойственная сама себе, т.е. f = f*, называется ______двойственной. 7.7. Количество всех возможных булевых функций y=f(a,b) (a,b булевые переменные) равно (введите число)___. 7.9. Если булева функция f(x1,x2,...,xn) содержит 3 фиктивных переменных то она фактически зависит от _______ переменных. 7.11. Функция f*(х1, ..., хn) называется д_______ к функции f(х1, ..., хn), если f*(х1, ..., хn) = f '(х'1, ..., х'n)
64
7.2. Функция 1 двойственна _______. 7.4. Булева формула - это выражение, содержащее булевы ф_______ и их суперпозиции. 7.6. Количество самодвойственных функций от n переменных равняется 22___ 7.8. Количество всех возможных булевых функций f(x,y,z) (x,y,z булевые переменные) равно (введите число):___. 7.10. Формулы, представляющие одну и ту же булеву функцию, называются э_______ или равносильными. 7.12. Количество самодвойственных функций от 3 переменных равняется (введите
□ з) неполным на множестве M, если ни для какого aM не выполняется отношение aRa. 2.69. Отношение R называется □ а) рефлексивным □ б) антирефлексивным □ в) симметричным □ г) антисимметричным □ д) транзитивным □ е) антитранзитивным □ ж) полным □ з) неполным на множестве M, если для несовпадающих элементов а и в элементов M из aRb не следует bRa. 2.71. Отношение R называется □ а) рефлексивным □ б) антирефлексивным □ в) симметричным □ г) антисимметричным □ д) транзитивным □ е) антитранзитивным □ ж) полным □ з) неполным на множестве M, если для любых трех элементов а, b и с, принадлежащих М, из aRb и bRс следует аRс.
2.73. Если матрица отношения А является квадратной и все элементы,
□ з) неполным на множестве M, если для каждой пары а и в элементов M из aRb следует bRa. 2.70. Конечное отношение можно представить в виде прямоугольной матрицы. Ее столбцы соответствуют первым координатам, а строки - вторым координатам. На пересечении i - го столбца и j - й строки ставится 1, если выполнено отношение xiАyj. Если отношение не выполнено, то в соответствующей клетке ставится ___ либо она остается пустой. Такая матрица содержит всю информацию об отношении А. 2.72. Ненулевые элементы i-го столбца, представляющие собой элементы yk Y, для которых выполняется отношение А называются □ а) периметром □ б) цезурой □ в) шурфом □ г) просекой □ д) сечением □ е) медианой □ ж) следом □ з) фактором □ и) разломом по xi отношения А. 2.74. Пусть заданы множества Х = { 2; 3 }; У = { 3; 4; 5; 6}.
25
кроме элементов главной диагонали, нулевые, то такое отношение называется □ а) равным □ б) прямым □ в) идентичным □ г) сходным □ д) параллельным □ е) однозначным □ ж) равносильным □ з) тождественным □ и) диагональным □ к) синонимичным
Определим отношение А - < делить нацело >. Представьте это отношение в виде таблицы x=32 x 1=2 XY
2.75. Пусть заданы множества Х = { 2; 3 }; Y = { 3; 4; 5; 6}. Определим отношение А - < равно >. Представьте это отношение в виде таблицы x2=3 x 1=2 XY
y1=3 y 2=4 y 3=5 y 4=6 На пересечении i - го столбца и j - й строки ставится 1, если выполнено отношение xiАyj. Если отношение не выполнено, то в соответствующей клетке ставится 0, либо она остается пустой. 2.76. Пусть заданы множества Х = { 2; 3 }; Y = { 2; 4; 8; 16}. Определим отношение А - < y равно 2x >. Представьте это отношение в виде таблицы x2=3 x 1=2 XY
y1=3 y 2=4 y 3=5 y 4=6 На пересечении i - го столбца и j - й строки ставится 1, если выполнено отношение xiАyj. Если отношение не выполнено, то в соответствующей клетке ставится 0, либо она остается пустой. 2.77. Отношение, 'a делится на b без остатка' на множестве М={2,4,8,16}, изображенное на рисунке ,
y1=2 y 2=4 y 3=8 y 4=16 На пересечении i - го столбца и j - й строки ставится 1, если выполнено отношение xiАyj. Если отношение не выполнено, то в соответствующей клетке ставится 0, либо она остается пустой. 2.78. Отношение, 'a делится на b без остатка' на множестве М={2,4,8,10}, изображенное на рисунке ,
26
6.97. Пара, состоящая из элементов i и k, называется правильной по отношению к подстановке А, если разности i - k и ai-ak имеют один и тот же знак; это начит: если i < k, то должно быть ai < ak; если же i > k, то должно быть ai > ak. В противном случае говорят, что наша пара неправильна в подстановке А или образует в ней □ а) дисторсию □ б) инверсию □ в) реверсию □ г) дисперсию □ д) конверсию □ е) интарсию □ ж) инвестицию □ з) диверсию 6.99. Бинарные операции, определенные на конечных множествах, удобнее задавать при помощи таблиц. Таблица, задающая некоторую бинарную операцию A на некотором множестве А, называется □ а) тавлями Моисеевыми □ б) плитой □ в) табелем □ г) доской-таблицей □ д) таблицей умножения □ е) матрицей □ ж) таблицей Кэли □ з) латинским квадратом □ и) магическим квадратом
63
6.98. Алгебраической структурой (кратко - структурой) называется множество вместе с заданными операциями, определенными и замкнутыми на этом множестве. Это множество называется □ а) носителем □ б) базой □ в) балансиром □ г) ростверком □ д) каркасом □ е) пьедесталом □ ж) основой □ з) сигнатурой □ и) твердыней □ й) оплотом алгебраической структуры. (Отметьте все правильные варианты) 6.100. _______(R, , ) называется множество R с определенными на нем бинарными операциями и , такими, что 1. ассоциативна: х (у z) = (х у) z для всех х, у, z R. 2. коммутативна: х у = у х для всех х, у R. 3. имеет единицу, которая называется нулем и обозначается 0: 0 х = х для всех х R. 4. Существует обратный элемент относительно для каждого x Д: (-х) х = х (-х) = 0 для всех х R.
□ б) мультипликативными
элемент множества Н.
6.93. Формы записи postfix и prefix имеют то преимущество, что не требуют □ а) знаков табуляции □ б) пробелов □ в) скобок □ г) запятых при определении порядка вычислений сложных выражений, и это делает их особенно удобными для автоматической обработки, они часто используются для представления выражений в памяти компьютера.
6.95. Конструкция вида (1 2 ... n ) (i1 i2 ... in) где все i1,i2,..., in различны и каждое из них есть одно из чисел 1,2,...,n называется □ а) установкой □ б) планировкой □ в) обрисовкой □ г) фокусировкой □ д) заготовкой □ е) подстановкой □ ж) подготовкой □ з) упаковкой □ и) штриховкой □ й) формовкой
62
6.94. Алгоритм вычисления значения выражения, записанного в форме postfix, выглядит так: 1) При просмотре записи □ а) справа налево □ б) слева направо выполняется первая найденная операция, которой непосредственно предшествует достаточное для нее количество операндов. 2) На место выполненной операции и использованных для этого операндов в строку записывается р_______ выполнения операции. 3) Возвращаемся к п.1. 6.96. Пусть заданы две структуры (,), (С, ) с операциями , одного nорядка n. Отображение : А С называется □ а) мономорфизмом □ б) гомоморфизмом □ в) эпиморфизмом □ г) изоморфизмом □ д) эндоморфизмом □ е) автоморфизмом из структуры (A, ) в структуру (С, ), если оно перестановочно с операциями в следующем смысле: · = - , где отображение : АnСn действует по правилу (а1, а2, ..., аn) = ( (а1), (а2), ..., (аn)), ai А.
обладает свойствами □ а) рефлексивности □ б) антирефлексивности □ в) симметричности □ г) антисимметричности □ д) транзитивности □ ж) антитранзитивности □ з) полноты □ и) неполноты
обладает свойствами □ а) рефлексивности □ б) антирефлексивности □ в) симметричности □ г) антисимметричности □ д) транзитивности □ ж) антитранзитивности □ з) полноты □ и) неполноты
2.79. Является ли отношение, изображенное на рисунке в виде графа,
2.80. Является ли отношение, изображенное на рисунке в виде графа,
рефлексивным □ а) да □ б) нет антирефлексивным □ а) да □ б) нет ни рефлексивным ни антирефлексивным □ а) да □ б) нет
рефлексивным □ а) да □ б) нет антирефлексивным □ а) да □ б) нет ни рефлексивным ни антирефлексивным □ а) да □ б) нет
27
2.81. Является ли отношение, изображенное на рисунке в виде графа,
рефлексивным □ а) да □ б) нет антирефлексивным □ а) да □ б) нет ни рефлексивным ни антирефлексивным □ а) да □ б) нет 2.83. Пусть даны два множества Х = {2;3}; У = {3; 4; 5; 6}. Множество ХУ = {(2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6)}. Определим отношение А (=). Это свойство выполняется для пар в которых х = у. В этом случае множество А состоит из элементов (установите флажки): □ а) (2; 3) □ б) (2; 4) □ в) (2; 5) □ г) (2; 6) □ д) (3; 3) □ е) (3; 4)
2.82. Пусть даны два множества Х = {2;3}; У = {3; 4; 5; 6}. Множество ХУ = {(2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6)}. Определим отношение А - . Тогда это свойство выполняется для тех yj Y, которые без остатка делятся на xi X. В этом случае множество А состоит из элементов (установите флажки): □ а) (2; 3) □ б) (2; 4) □ в) (2; 5) □ г) (2; 6) □ д) (3; 3) □ е) (3; 4) □ ж) (3; 5) □ з) (3; 6) 2.84. Пусть даны два множества Х = {2;3}; У = {3; 4; 5; 6}. Множество ХУ = {(2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6)}. Определим отношение 3. Пусть А < отношение больше >(>). Это свойство выполняется для пар, в которых х > у. В этом случае множество А состоит из элементов (установите флажки): □ а) (2; 3) □ б) (2; 4) □ в) (2; 5) □ г) (2; 6) □ д) (3; 3) □ е) (3; 4)
28
где умножение гиперкомплексных единиц 1, i, j, k определено таблицей x 1 i j k 1 1 i j k i i k -j j j -k k k j -i
использовании □ а) очереди □ б) списка □ в) массива □ г) динамической памяти □ д) дерева □ е) стека □ ж) графа
6.89. В случаях, когда бинарная операция считается аналогичной умножению (*), единичный элемент обозначается ___, а обратный к элементу х элемент записывается в виде х-1. Когда бинарная операция считается аналогичной сложению (+), единичный элемент обозначается ___, а обратный к элементу х элемент записывается в виде -х. Обозначим обратный элемент к х как х'.
6.90. _______ называют множество G с бинарной операцией , замкнутой в G такой, что 1. ассоциативна: х (у z) = (х у) z для всех х, у, z G. 2. Существует элемент е G единица по отношению к : ех=хе = х для всех х G. 3. Каждому элементу х G соответствует обратный элемент х' & G по отношению к : х' х = х х' = е для всех х G. 6.92. Подмножество Н группы G тогда и только тогда является подгруппой группы ______, когда выполнены следующие условия: 1. Произведение двух элементов а и b из Н (в смысле умножения, определенного в G) есть элемент множества _______. 2. Нейтральный элемент группы G есть элемент множества _______. 3. Элемент, обратный к какомунибудь элементу множества Н, есть
6.91. Самые различные операции, в том числе операции над объектами, не являющимися числами, удобно записывать в виде умножения или в виде сложения. Все операции, записываемые как умножение, называют □ а) аддитивными □ б) мультипликативными а операции, записываемые в виде сложения, □ а) аддитивными
61
j k
j k
-1 -i
j
□ ж) (3; 5) □ з) (3; 6)
Вычитание Умножение Деление
-1
6.83. Множество М, в котором определены операции сложения и умножения, называется _______, если эти операции удовлетворяют следующим требованиям. 1. Относительно сложения М является коммутативной группой. 2. Умножение ассоциативно. 3. Умножение связано со сложением правым и левым дистрибутивными законами.
6.84. По графическому представлению группоида восстановите таблицу Кэли
6.85. По графическому представлению группоида восстановите таблицу Кэли
6.86. Группа называется моногенной, если каждый элемент этой группы может быть получен последовательным умножением (для мультипликативного закона) некоторого элемента, отличного от нейтрального, самого на себя (для аддитивного закона последовательным сложением с самим собой). Моногенная группа обязательно а_______.
T a b c
a
b
c
6.87. Кватернион гиперкомплексное число вида z = a · 1 + b·i + c·j + b·k,
T a b c
a
b
3. ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ “ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. ЧАСТЬ 3.” Отношение порядка. Отношение строгого порядка. Матрицы отношений порядка. Структуры упорядоченных множеств. Отображения. Функциональные отношения. [1,4,5]
c
6.88. Алгоритм преобразования выражения из постфиксной формы в инфиксную базируется на
60
□ ж) (3; 5) □ з) (3; 6)
3.1. Немецкое слово die Menge означает _______. 3.3. Антисимметричное транзитивное отношение называется отношением п_______. 3.5. Множество, на котором определено отношение частичного порядка, называется частично у_______. 3.7. Бинарное отношение между множествами является функцией, если из ab и aс следует что _______. 3.9. Пусть отображение fRxR определяется формулой f(x)=x2. Тогда f([0,1])=[__,__] 3.11. Пусть f(x)=ex, g(x)=cos(x). Определите значение суперпозиции этих функций gf в точке x0=0. (gg)(x0)=g(f(x0)) =___ 3.13. График функции y=f(x)
3.2. Французское слово ensemble означает _______. 3.4. Отношение полного порядка еще называется отношением л_______ порядка. 3.6. Множество, на котором определено отношение линейного (полного) порядка, называется линейно у_______. 3.8. Пусть отображение fRxR определяется формулой f(x)=x2. Тогда f([-1,0])=[__,__] 3.10. Пусть f(x)=ex, g(x)=cos(x). Определите значение суперпозиции этих функций fg в точке x0=0. (fg)(x0)=f(g(x0)) =___ 3.12. Если функции f и g имеют обратные, то справедливо соотношение (f∙g)-1 = ___-1 ∙ ___-1 3.14. Загадка.
29
представляет множество пар, таких что Гf = {(___,___): y=f(x)} 3.15. Загадка. Узловат Кузьма, Развязать нельзя. Ответ:_______. 3.17. Рефлексивное отношение порядка называется отношением □ а) строгого □ б) нестрогого порядка.
Встанет - выше лошади, Ляжет - ниже курицы. Ответ:_______. 3.16. Загадка Над бурливою рекой богатырь залег стальной. Ответ: Это _______. 3.18. Пусть f: A B. Тогда функция называется инъективной, или инъекцией □ а) если b=f(a1) и b=f(a2) a1=a2 □ б) если bB aA b=f(a);
3.19. Отображение ХY, которое является одновременно инъекцией и сюръекцией, называется взаимно однозначным отображением X на Y или _______. 3.21. Отображение f: N N по правилу f(n)=n+1 является □ а) инъективным □ б) сюръективным □ в) биективным
3.20. Пусть отображение f: XY является биективным. Тогда для обратной функции f-1 справедливо соотношение f-1(f(x))=___ 3.22. Пусть задано множество А={-1,0,1} на котором задана функция f соотношением хх3. Это отображение обладает следующим свойством А___
3.23. Префиксная форма задания функции имеет вид □ а) f: A → B □ б) b=f(a) □ в) afb
3.24. Антирефлексивное отношение порядка называется отношением □ а) строгого □ б) нестрогого порядка. 3.26. Отношению нестрогого порядка соответствуют матрицы, у которых главная диагональ заполнена
3.25. Матрица отношений строгого порядка отличается тем, что все элементы главной диагонали равны
30
□ б) универсальное множество U 6.77. Пусть на множестве А определены две бинарные операции и . Если для всех а, b, с А а (b с) = (а b) (а с), то говорят, что операция A обладает свойством □ а) дистрибутивности □ б) коммутативности □ в) ассоциативности по отношению к операции A.
6.79. По графическому представлению группоида восстановите таблицу Кэли
T a b c
a
b
2. между операндами 3. перед операндами 6.78. Множество операций алгебраической структуры называется □ а) ярлыком □ б) грамотой □ в) номером □ г) подписью □ д) рецептом □ е) сигнатурой □ ж) списком 6.80. Утверждение, что всякая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок является содержанием теоремы □ а) Кантора □ б) Бернштейна □ в) Кэли □ г) Адамара □ д) Абеля □ е) Галуа
c
6.81. Кватернион гиперкомплексное число вида z = a·1 + b·i + c·j + b·k, где умножение гиперкомплексных единиц 1, i, j, k определено таблицей x 1 i j k 1 1 i j k i i -1 -j
6.82. Отметьте знаком плюс (или единицей) группы для важнейших числовых множеств (т.е. знак в соответствующей клетке показывает, что множество с соответствующей операцией является группой) N N0 Z Q Сложение
59
полугруппой. Это утверждение □ а) ложно □ б) истинно □ в) об истинности или ложности этого утверждения ничего сказать нельзя
сложения для Z4 0 1 + 0 0 1 1 1 2 2 3 3 3 0
6.71. Составьте таблицу умножения для Z4 * 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 3 0 3
6.72. Универсальная алгебра с одной бинарной операцией называется □ а) группой □ б) полугруппой □ в) группоидом □ г) моноидом □ д) решеткой
3 0 3
2 3 0
3 3 1 1 2
6.73. Ниже операторы записаны в форме 1 2 3 infix □ □ □ prefix □ □ □ postfix □ □ □ 1. a+b 2. ab+ 3. +ab
6.74. Пусть дано множество А, на котором определена некоторая бинарная операция A . Если a b=b a для всех а, b А, то говорят, что бинарная операция на множестве А обладает свойством □ а) дистрибутивности □ б) коммутативности □ в) ассоциативности
6.75. В алгебре множеств для операции объединения единичным элементом является □ а) пустое множество □ б) универсальное множество U для операции пересечения единицей является □ а) пустое множество
6.76. Операции записывают одним из трех способов. Оператор ставится 1 2 3 infix □ □ □ prefix □ □ □ postfix □ □ □ 1. после операндов
58
□ а) 0 □ б) 1 3.27. На рисунке изображено отображение ХY,
которое является ___________. 3.29. Теорема. Отображение f: AB обратимо тогда и только тогда когда f является □ а) сюръекцией □ б) инъекцией □ в) биекцией 3.31. Отношение на булеане 2 является отношением □ а) строгого □ б) нестрогого □ в) частичного □ г) полного порядка. 3.33. Если множество мажорант имеет минимум, то этот элемент единственный. Его называют верхней гранью или □ а) супремумом □ б) инфинумом множества Q и обозначают ____Q. 3.35. Пусть ХМ подмножество упорядоченного множества с отношением порядка 1}является □ а) инъективным □ б) сюръективным □ в) биективным 3.30. Функция Дирихле D(x) определяется как ___ , если число х рациональное D(x)={ ___ , если число х иррациональное. 3.32. В общем случае может оказаться, что для некоторых пар (х,у) ни одно из соотношений ху и ух не имеет места. Такие элементы называются несравнимыми, а множество М называется ч_______ упорядоченным. 3.34. Если множество минорант имеет максимум, то этот элемент единственный. Его называют нижней гранью или □ а) супремумом □ б) инфинумом множества Q и обозначают ____Q 3.36. Пусть ХМ подмножество упорядоченного множества с отношением порядка □ б) □ в) □ г) < □ д) □ е) □ ж)
3.52. Обычно, отношение нестрогого порядка принято обозначать символом □ а) > □ б) □ в) □ г) < □ д) □ е) □ ж)
3.53. Как и полагается рядовому студенческому общежитию в Москве, общежитие студентовхимиков давно уже было заселено людьми, имеющими к химии довольно отдаленное _______. Студенты расползлись... На домик махнули рукой. Он стал считаться диким и исчез со всех планов... Его как будто бы и не было. А между тем он был, и в нем жили люди.
3.54. Если на множестве М задано отношение совершенно строгого порядка, то его элементы можно пронумеровать порядковыми числами 1, 2, ... , n, ..., то есть каждому числу i можно поставить в соответствие некоторый элемент хi М. Упорядоченное таким образом множество называется □ кортежем □ рядом логаэдом □ линией □ □ чередом □ строем □ градацией □ прогрессией □ вереницей последователь□
'Двенадцать стульев'. И.Ильф, Е. Петров (Вставьте пропущенное слово.)
□ 3.55. Альхен испугался. - Против пожара, - заявил он, - у нас все меры приняты. Есть даже огнетушитель 'Эклер'.
ность очередью
□
секвенцией
3.56. Пусть задана функция в виде таблицы у=g(x) 1 2 3 4 5 x Б В А Д Г
34
(2 3 1 ) количество инверсий равно (введите число): ___
□ а) справо налево □ б) с любого направления □ в) слева направо
6.41. Префиксную запись выражения следует читать □ а) справо налево □ б) с любого направления □ в) слева направо 6.43. Полугруппой называется алгебраическая структура с множеством-носителем А и бинарной операцией : А2 А, которая удовлетворяет только свойству □ а) дистрибутивности □ б) ассоциативности □ в) коммутативности 6.45. Множество всех биективных отображений множества {1,2,3} на себя является группой. Эта группа □ а) коммутативна □ б) некоммутативна. 6.47. Определение. Подстановка, содержащая четное число и _______, называется четной подстановкой; подстановка, содержащая нечетное число и _______, нечетной подстановкой. 6.49. Замените инфиксное выражение постфиксным (a-b)(a+b)
55
6.42. _______на множестве S называется функция f, которая является отображением вида SnS, n N, где S - декартово произведение S x S x...x S, в которое S входит n раз. 6.44. Любой столбец таблицы Кэли для операции конечной группы содержит □ а) все □ б) некоторые элементы группы.
6.46. Перемножьте подстановки A = (1 2 3) B = (1 2 3) (2 1 3) (3 2 1) AB = (1 2 3 ) (_ _ _ ) 6.48. Замените инфиксное выражение префиксным (a-b)(a+b) (умножение вводить с помощью знака x) Ответ: ___ 6.50. Замените инфиксное выражение постфиксным a^2(b+c)
6.27. Если операция неассоциативна, то порядок вычислений □ а) несуществен □ б) существен
6.28. Если операция ассоциативна, то порядок вычислений □ а) несуществен □ б) существен
6.29. На множестве действительных чисел R умножение □ а) дистрибутивно □ б) не дистрибутивно по отношению к сложению. 6.31. Вычислите 3 3 2 = ___ 4 4 2 = ___ 8 10 8 = ___ 9 12 8 = ___ 6.33. Вычислите 3 3 2 = ___ 4 4 2 = ___ 5 10 8 = ___ 6 12 8 = ___ 6.35. Поле (R, , ) - это коммутативное _______ с единицей 1 (отличной от 0), в котором каждый элемент а (отличный от 0) обратим по умножению.
6.30. На множестве действительных чисел R сложение □ а) дистрибутивно □ б) не дистрибутивно по отношению к умножению. 6.32. Вычислите 3 3 2 = ___ 4 4 2 = ___ 5 10 8 = ___ 7 12 8 = ___ 6.34. _______(R, , ) - это коммутативное кольцо с единицей 1 (отличной от 0), в котором каждый элемент а (отличный от 0) обратим по умножению.
6.37. В циклической группе порядок элемента является д_______ порядка группы; всякая подгруппа циклической группы есть циклическая группа. 6.39. В подстановке P2= (1 2 3 )
6.38. Найдите обратную подстановку A= (1 2 3 ) A-1= (1 2 3 ) (2 3 1 ) (__ __ __)
54
6.36. Множество всех четных чисел является коммутативным кольцом □ а) с единицей □ б) без единицы
6.40. Постфиксную запись выражения следует читать
Инспектор, заглядывая по дороге в чуланчики, неохотно проследовал к огнетушителю. Красный жестяной конус, хотя и являлся единственным в доме предметом, имеющим _______ к пожарной охране, вызвал в инспекторе особое раздражение. - На толкучке покупали? 'Двенадцать стульев'. И.Ильф, Е. Петров (Вставьте пропущенное слово.) 3.57. Отношения строго порядка обозначаются символом ¦В¦ 4.37. Пусть А и В - конечные множества. Тогда имеет место равество (вставьте пропущенные знаки + и -) m(AB) = m(A) ___ m(B) ___ m(AB) 4.39. Множество F всех вещественных функций, заданных на сегменте [0,1], имеет мощность □ а) меньшую чем с (континуум) □ б) равную с □ в) большую чем с 4.41. Множество комплексов (n1 n2, ..,nk), состоящих из k натуральных чисел, □ а) несчетно □ б) счетно □ в) бесконечно □ г) конечно 4.43. «_______ данного множества А называется та общая идея, которая остается у нас, когда мы, мысля об этом множестве, отвлекаемся как от всех свойств его элементов, так и от их порядка». Г. Кантор
□ б) счетно 4.36. Множество всех подмножеств множества А имеет мощность □ а) меньшую, чем мощность А □ б) равную с мощностью А □ в) большую, чем мощность А 4.38. Если к бесконечному множеству М прибавить конечное или счетное множество А новых элементов, то это не изменит его мощности, т. е. M + A ~ ___ 4.40. Множество точек (х, у) плоскости, у которых обе координаты рациональны, □ а) счетно □ б) несчетно □ в) конечно □ г) бесконечно 4.42. Множество многочленов a n a0x +a1xn-1+...+an с целыми коэффициентами, □ а) несчетно □ б) счетно □ в) бесконечно □ г) конечно 4.44. Если A - конечное множество, то его мощность m(А). воспринимается как число элементов этого множества и выражается неотрицательным целым числом (кардинальным числом по терминологии Г.
40
5.47. Сколько различных ожерелий можно составить из семи бусин? Ответ (введите число):___ Подсказка: Ожерелье можно не только повернуть по кругу, но и перевернуть.
5.48. Перестановкой из N элементов называется упорядоченный набор из N различных чисел от 1 до N. Тождественная перестановка записывается в виде 1
5.49. Имеются три множества А={До, Ре, Соль, Си}, В={Ми, Фа}, С={Соль, Ля, До}, элементами которых являются ноты, выбранные в различных октавах. Сколько различных троек нот можно образовать, выбирая первую ноту из А, вторую из В, а третью из С? Ответ(введите число):___.
5.51. Восстановите перестановку F соответствующую ориентированному графу:
F= 1
2
3
4
5
6
5.53. Для биноминальных коэффициентов справедливо
49
2
3
4
… N … и обозначается буквой ___. 5.50. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов. Ответ (введите число):___ 5.52. Обобщенный бином Ньютона (полиномиальная формула) имеет вид (x1+x2+...+xk)n = n1n2…nk n!/(n1! n2!... nk!) x1 n1 x2 n2... xk nk, где суммирование выполняется по всем решениям уравнения n1+ n2+...+ nk = ___ в целых неотрицательных данных, nі ,i=1,2,...,k 5.54. В Стране Чудес есть три города (рисунок): А, Б и В. Из
выпуклом 13-угольнике? Ответ (введите число):___
1 2 3 4 2 3 4 1 Выполните операцию C=A2. Ответ C= 1 2 3 4
5.41. Пусть дана подстановка А= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 5 4 6 9 7 1 10 8 2 Выполните операцию С=А150. Ответ: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.42. Восстановите недостающие цифры в этом фрагменте треугольника Паскаля. 1 1 1 1 _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _
5.43. Пусть задана перестановка F= 1 2 3 4 5 6 3 5 1 6 4 2 -1 Определите F = 1 2 3 4 5 6
5.44. Ячейка памяти компьютера состоит из 16 бит (k). В каждом бите, как известно, можно записать 1 или 0. Сколько различных комбинаций чисел 1 и 0 может быть записано в ячейке? Ответ (введите число):___
т.е. F-1·F=E 5.45. На рисунке изображена
5.46. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг? Ответ (введите число):___
□ а) левая □ б) правая □ в) побочная диагональ треугольника Паскаля.
48
4.45. Взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата □ а) невозможно □ б) возможно (Г. Кантор писал Дедекинду по этому поводу: 'Я вижу это, но не верю этому') 4.47. Множества А и В таковы, что множество А эквивалентно подмножеству В' множества В и множество В эквивалентно подмножеству А' множества А, то множества А и В эквивалентны (равномощны). Это теорема Кантора-Б_______. 4.49. Всякий отрезок имеет мощность континуума. Равенства □ а) y = a + (b-a)x, 0 ≤ x ≤ 1 □ б) x = (y-a)/(b-a), __ ≤ y ≤ __ устанавливают взаимно однозначное соотвествие между токами отрезков [a,b] и [0,1], следовательно, отрезки эквивалентны. 4.51. На рисунке представлена иллюстрация утверждения, что множество точек интервала эквивалентно множеству точек _______
К_______). 4.46. Взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками куба □ а) невозможно □ б) возможно (Г. Кантор писал Дедекинду по этому поводу: 'Я вижу это, но не верю этому') 4.48. Всякий отрезок имеет мощность континуума. Равенства □ а) y = a + (b-a)x, __≤ x ≤__ □ б) x = (y-a)/(b-a), a ≤ y ≤ b устанавливают взаимно однозначное соотвествие между токами отрезков [a,b] и [0,1], следовательно, отрезки эквивалентны. 4.50. Мощность множества А обозначают следующим образом □ а) А* □ б) A+ □ в) power(А) □ г) pow(А) □ д) ¦A¦ □ е) capacity(А) □ ж) cap(А) 4.52. Эквивалентность множеств А и В обозначают следующим образом □ а) А* = В* □ б) ¦A¦ = ¦В¦ □ в) А+ = В+ □ г) power(А) = power(В) □ д) pow(А) = pow(В)
41
□ е) capacity(А) = capacity(В) □ ж) cap(А) = cap(В)
4.53. Эквивалентность множеств А и В обозначают следующим образом (отметьте все варианты) □ а) А* = В* □ б) ¦A¦ = ¦В¦ □ в) А+ = В+ □ г) power(А) = power(В) □ д) m(А) = m(В) □ е) pow(А) = pow(В) □ ж) capacity(А) = capacity(В) cap(А) = cap(В) 4.55. На рисунке изображена эквивалентность множеств
□ а) отрезков [AB] и [CD] □ б) отрезка [AB] и прямой □ в) отрезка [-/2; /2] и тангенсоиды □ г) девушек и юношей 4.57. Установите соответствие 1 2 3 4 (a,b) □ □ □ □ [a,b] □ □ □ □ [a,b) □ □ □ □ (a,b] □ □ □ □ 1. отрезок 2. полуинтервал 3. полуотрезок
4.54. На рисунке изображена эквивалентность множеств
Cnk = Cn_
элементов по k.
5.29. Число всевозможных размещений из n элементов по k
5.30. В одиннадцатом классе 35 учеников. Они обменялись фотографиями. Сколько всего фотографий было роздано. Ответ:___
обозначается символом
Аnk и
вычисляется по формуле
Аnk = n!/(___)!
□ а) отрезков [AB] и [CD] □ б) отрезка [AB] и прямой □ в) отрезка [-/2; /2] и тангенсоиды □ г) девушек и юношей 4.56. Множество алгебраических чисел □ а) счетно □ б) несчетно □ в) конечно □ г) бесконечно Напомним, что алгебраическим называется число, являющееся корнем многочлена с целыми коэффициентами. 4.58. Мощность множества А обозначают следующим образом (отметьте все варианты) □ а) А* □ б) A+ □ в) power(А) □ г) pow(А) □ д) ¦A¦
42
5.31. Пусть на карточках написаны буквы А,П,П,А,Р,А,Т. Сколько имеется различных расположений для этих семи букв? Ответ:___ 5.33. Три девочки: Юля, Зина и Таня - хотят поделить между собой мячик, сачок и куклу. Сколькими различными способами они могут это сделать? Ответ(введите число):___. 5.35. В магазине 'Все для чая' продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями? Ответ (введите число):___ 5.37. Перестановкой из N элементов называется упорядоченный набор из N различных чисел от 1 до N. Обратная перестановка F-1 удовлетворяет уравнению F-1·F = ___
5.39. Сколько диагоналей в
47
5.32. Сколько различных сообщений можно закодировать, меняя порядок 6 флажков: 2 красных, 3 синих и 1 зеленый? Ответ (введите число):___ 5.34. У одного студента есть 6 книг по математике, а у другого 8. Сколькими способами они могут обменять три книги одного на три книги другого. Ответ (введите число):___ 5.36. Пусть на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может сделано человеком, не знающим секретного слова? Ответ (введите число):___ 5.38. Имеются р дорог, ведущих от С-до D через А, и q дорог, ведущих от С до D через В (причем А к В не связаны дорогами). Сколько можно создать автобусных маршрутов, связывающих пункты D и С? Ответ:___. 5.40. Пусть дана подстановка
Ответ (введите число):___ 5.15. В комбинаторике правило с_______ можно записать в виде m {x¦ либо xА, либо xВ} = m(А) + m(B)
Ответ (введите число):___. 5.16. Порядок элементов в сочетании □ а) существенен □ б) несущественен
5.17. Формула для вычисления числа сочетаний из n элементов по k имеет вид
5.18. Число всевозможных сочетаний из n элементов по k можно вычислить по формуле
Cnk = n!/(k!·(___)!)
Cnk = Аnk / __ k
5.19. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную в слове 'паркет'. Ответ:___
5.20. Биноминальные коэффициенты обладают следующим свойством:
5.21. Сколько существует целочисленных решений уравнения x 1+x2+x3+x4=7? Ответ (введите число):___ 5.23. Чему равен коэффициент при члене x2y3z2 в выражении (x+y+z)7? Ответ (введите число):___.
5.22. Сколько различных буквосочетаний можно получить из букв слова капкан? Ответ (введите число):___ 5.24. В группе25 студентов. Сколькими способами в этой группе можно выбрать старосту, профорга и его заместителя. Ответ (введите число): ___. 5.26. Число k-элементных частей n-элементного множества
5.25. Имеются 5 кукол и 6 мячиков. Сколькими способами можно выбрать один предмет: либо куклу, либо мячик? Ответ (введите число): ___. 5.27. В каждой строке треугольника Паскаля числа, равноотстоящие от концов строки, равны, т.е.
46
Cn0 - Cn1 +...+ (-1)n Cnn =___
Cnk называется числом с________ из n элементов по k, а каждая такая часть - сочетанием из n элементов по k. 5.28. Упорядоченное kэлементное подмножество nэлементного множества (k≤n) называется р_______ из n
4. интервал
4.59. На рисунке изображена эквивалентность множеств
□ а) отрезков [AB] и [CD] □ б) отрезка [AB] и прямой □ в) отрезка [-/2; /2] и тангенсоиды □ г) девушек и юношей 4.61. На рисунке изображена ситуация
□ а) невероятный случай на танцах в студенческом общежитии □ б) эквивалентность множества девушек и юношей □ в) умение студентов танцевать вальс 4.63. На рисунке изображена схема для доказательства счетности множества
□ е) capacity(А) □ ж) cap(А) □ з) m(A) 4.60. Множество всех точек на расширенной комплексной плоскости эквивалентно множеству всех точек на _______. Биекцию z можно установить, например, с помощью стереографической проекции (смотри рисунок).
4.62. На рисунке изображена эквивалентность множеств
□ а) отрезков [AB] и [CD] □ б) отрезка [AB] и прямой □ в) отрезка [-/2; /2] и тангенсоиды □ г) девушек и юношей 4.64. На рисунке изображена схема для доказательства несчетности множества
43
□ а) целых □ б) комплексных □ в) вещественных □ г) рациональных □ д) действительных чисел. 4.65. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было □ а) упорядочить □ б) пересчитать □ в) взвесить □ г) раскрасить □ д) перенумеровать □ е) нацвечать □ ж) обмалевать т. е. представить в форме последовательности: A = {a1, a2, а3, ..., аn, ...}.
4.67. На рисунке изображен
□ а) треугольник Паскаля □ б) дерево решений
□ а) целых □ б) комплексных □ в) вещественных □ г) рациональных □ д) действительных чисел. 4.66. Г. Кантор выдвинул гипотезу, что между N и R не существует множества, промежуточного им по мощности (гипотеза _______). Долгое время не удавалось ни доказать, ни опровергнуть эту гипотезу. Лишь в начале шестидесятых годов профессор Стэнфордского университета (США) П. Коэн доказал независимость этой гипотезы (т. е. что ее нельзя ни доказать, ни опровергнуть на базе исходных предложений теории множеств). 4.68. Множество называется □ а) арифметическим □ б) натуральным □ в) калькулируемым □ г) расчетным □ д) вычислимым □ е) учетным □ ж) аккредитивным
44
□ в) юдоль □ г) канторовская дорога □ д) булевская дорога □ е) трафик □ ж) рокада □ з) бинарная орбита □ и) бинарная магистраль □ й) дерево игры
□ □ □ □
з) ажурным и) счетным й) нумеративным к) тьматмущим
□ л) балансным если его можно поставить во взаимно однозначное соответствие натуральному ряду N = {1, 2, ...}.
5. ТЕСТЫ ПО ТЕМЕ “ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ” Общие правила комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания и треугольник Паскаля. [5,6] 5.1. Вычислите 100!/98! = ___
5.2. Восстановите равенство 5 3
C = C34 + C4_ 5.3. Восстановите равенство 3∙С310 = ___ С210 5.5. Число сочетаний из n элементов по k равно числу сочетаний из n элементов по ___. 5.7. Упорядоченное n-элементное множество называется п_______ из n элементов. 5.9. Арифметический треугольник еще называют треугольником _______.
5.4. Вычислите число сочетаний С310= ____ 5.6. Число всевозможных размещений из n элементов по k обозначается символом
__ kn
5.8. Число всевозможных п_______ из n элементов обозначается символом Рn. 5.10. Восстановите комбинаторное равенство
Аn_ = Рn 5.11. Найти общее количество шестизначных чисел. Ответ (введите число):___ 5.13. Сколько членов имеется в выражении (a+2b+5c+d)4?
5.12. Сколько членов имеется в выражении (x+y+z)6? Ответ (введите число):___ 5.14. Сколько членов имеется в выражении (r+s+t+u+v)4?
45
