106
Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ. Ò. 9, ¹ 4, 2003 В.А. Куликов, А.С. Парахин
Компьютерная модель лабораторной работы «Опыты Резерфорда» В.А. Куликов, А.С. Парахин Курганский государственный университет Email:
[email protected] Описана созданная авторами компьютерная модель лабораторной работы «Опыты Резерфорда», позволяющая изучить явление рассеяние αчастиц ядрами атомов элементов, провести виртуальный эксперимент по проверке формул Резерфорда и оценке заряда и размеров ядер атомов рассеивающего материала.
Ââåäåíèå Физика – наука экспериментальная. Её основные законы сформулированы на основе наблюдений и экспериментов. Экспериментально проверяются и основные теоретические выводы физики. Невозможно переоценить роль физического эксперимента и в процессе преподавании физики, как в качестве лабораторных и учебноисследовательских работ, так и в качестве учебных демонстраций. Огромное обучающее и воспитывающее значение мог бы сыграть учебный лабораторный курс по фундаментальным (основополагающим) экспериментам в физике, таким как опыты Томсона по определению удельного заряда электрона, опыты Стюарта и Толмена, опыты Эйнштейна – де Гааза, опыты Фарадея по определению электрохимического эквивалента, опыты Резерфорда по зондированию внутреннего пространства атома и др. Однако, многие из этих экспериментов трудно, или даже, невозможно выполнить в условиях средней вузовской лаборатории. В то же время некоторые из такого рода экспериментов могут быть смоделированы на компьютере в виде численных лабораторных или демонстрационных работ. Разумеется, виртуальные лабораторные работы страдают многими недостатками, но это лучше, чем ничего и, кроме того, при правильном использовании и численные эксперименты могут сыграть свою положительную роль в обучении физике. К такого рода фундаментальным экспериментам физики, которые можно численно смоделировать на компьютере, относятся и опыты Резерфорда. Целью данной работы является описание компьютерной модели лабораторной работы по исследованию рассеяния aчастиц на ядрах тяжёлых атомов, которая разработана и используется на кафедре общей физики Курганского государственного университета в лаборатории атомной физики.
Компьютерная модель лабораторной работы «Опыты Резерфорда»
107
1. Описание модели. После запуска моделирующей программы на экране дисплея выводится пространственное изображение сферы с построенной на ней координатной сеткой (рисунок 1). Сетка представляет собой совокупность координатных линий: меридианов – координатных линий, соответствующих постоянному азимутальному углу, и параллелей, соответствующих постоянному полярному углу сферической системы координат. Цена деления координатной сетки по меридиану равна π/10 радиан на деление, по параллелям π/5 радиан на деление. В начале программы сфера изображена так, что к наблюдателю повёрнут полюс сферы, соответствующий углу θ = 0 , однако, определёнными командами (←↑→↓) сфера может быть установлена в любом положении. Эта сфера играет роль чувствительного экрана, на который попадают αчастицы, рассеянные ядрами атомов золотой фольги, установленной в центре сферы и изображённой в виде параллелограмма жёлтого цвета. Место попадания αчастиц отмечается кратковременной вспышкой.
θα = π
Рисунок 1. Исходный кадр компьютерной модели по рассеянию
частиц на ядрах атомов.
В модели предполагается, что источник aчастиц расположен вне сферы на полярной оси в направлении , а поток частиц направлен вдоль полярной оси под углом. Для моделирования случайного характера этого потока координаты
108
В.А. Куликов, А.С. Парахин
каждой αчастицы внутри поперечного сечения потока выбираются случайным образом, и по ним определяется прицельное расстояние и азимутальный угол плоскости, в которой летит aчастица. Таким образом достигается равномерность распределения частиц по площади поперечного сечения потока. После этого аналитически определяется траектория aчастицы в плоскости её движения и вычисляется точка пересечения траектории со сферой, моделирующей чувствительный экран. Эта точка и отмечается на экране кратковременной вспышкой.
Рисунок 2. Кадр модели для определения максимального угла рассеяния
частиц.
Поверх сферы в центре экрана в виде круга малого радиуса изображён окуляр микроскопа, предназначенного для наблюдения за следами αчастиц по поверхности сферы и их подсчёта. Диаметр объектива микроскопа равен 0,02 м, радиус сферы равен 1 м, поэтому телесный угол, отвечающий объективу микроскопа относительно центра сферы равен 1,256⋅10 3 стерадиан. Чтобы удобнее было фиксировать попадание α частиц в микроскоп, в левом нижнем углу экрана приводится увеличенное изображение поля микроскопа, в котором выводятся изображения следов всех частиц, попавших в объектив микроскопа. Для более точного фиксирования угла, чем это позволяет координатная сетка на сфере, над изображением поля микроскопа выводится изображение угловой шкалы с нониусом, цена деления которого равна 10 угловых минут. При повороте сферы
Компьютерная модель лабораторной работы «Опыты Резерфорда»
109
соответственно смещается и угловая шкала. Изображение микроскопа при этом всегда остаётся в центре экрана. В процессе эксперимента необходимо фиксировать промежутки времени, в течение которых производилось экспонирование, с этой целью над изображением угловой шкалы выводится окно, в котором смоделирован секундомер с точностью 0,01 с. Запуск и остановка секундомера осуществляется одной и той же клавишей – “пробел”. В процессе работы программы на изображении сферы вспыхивают и гаснут следы αчастиц. Эти следы располагаются по сфере неравномерно. К полюсу сферы плотность следов попадания частиц возрастает и около полюса становится столь большой, что подсчитать количество попаданий в единицу времени бывает достаточно сложно. Чтобы облегчить этот подсчёт, в модели предусмотрено ослабление потока частиц в 1000, 100 и 10 раз путём нажатия клавиш F2, F3 и F4 соответственно. Коэффициент ослабления указывается в окне над изображением секундомера. В начале эксперимента необходимо определить мощность исходного потока частиц, т.е. количество частиц, проходящих через поперечное сечение потока за единицу времени. Для этого нужно убрать рассеивающую пластинку нажатием клавиши F1. После этого все частицы из потока попадают в микроскоп и могут быть зафиксированы. Подсчитав количество частиц, попавших в микроскоп за некоторое время, отсчитанное секундомером, можно определить мощность потока. Однако поток частиц столь велик, что без его ослабления подсчитать количество частиц даже за самый малый промежуток времени невозможно. Поэтому для определения мощности потока частиц его нужно ослабить в 1000 раз, а конечный результат умножить на 1000. Установка рассеивающей пластины осуществляется той же клавишей F1. Нажав клавишу F5, можно отключить режим гашения следов aчастиц, и тогда они будут постепенно заполнять всю сферу. Это необходимо при определении максимального угла отклонения αчастиц. 2. Ход выполнения работы. Для выполнения лабораторной работы студенты должны выполнить следующие задания. 1) Определить мощность исходного потока αчастиц. Для этого необходимо, удалив рассеивающую пластину, подсчитать число частиц, попадающих в микроскоп непосредственно от источника. При этом необходимо воспользоваться ослабителем потока, нажав клавишу F2. Дождавшись появления первой частицы, запустить секундомер нажатием клавиши “пробел”. Подсчитав определённое число частиц с появлением последней частицы, остановить секундомер. Количество
110
В.А. Куликов, А.С. Парахин
подсчитываемых частиц не должно быть слишком маленьким, это приводит к большой относительной погрешности результата. Для достаточной точности необходимо подсчитать около 100 частиц. При определении мощности потока частиц необходимо учесть, что, если число частиц, зафиксированных в микроскопе равно , то число временных интервалов между ними равно , и поэтому мощность потока будет равна: .
(1)
2) Проверить формулу Резерфорда dN θ k2 sin4 = Dn , Ndω 2 4
(2)
где k=
2Ze 2 , 4πε o mv 2 1
(3)
D толщина рассеивающей пластинки, Z − заряд ядра, e − элементарный заряд, − масса αчастицы, её скорость, угол рассеяния соответственно и концентрация атомов рассеивающего материала. После запуска программы установить микроскоп в положение, соответствующее углу 2о 3о и подсчитать число частиц, попавших в микроскоп за единицу времени. Если поток частиц слишком велик, ослабить его в 1000, 100 или 10 раз, нажав соответствующую клавишу. А после подсчёта частиц умножить их число на множитель, соответствующий коэффициенту ослабления. Изменить угол рассеивания и повторить эксперимент. Показать, что ,
(4)
считая, что роль элемента телесного угла, использующегося в формуле, играет телесный угол, образованный объективом микроскопа относительно центра сферы и равный 1,256⋅103 стерадиан. 3) Проверить интегральную формулу Резерфорда. Формула (2) представляет собой, по сути дела, дифференциальную формулу Резерфорда, справедливую для достаточно малого телесного угла dω . Эту формулу удобно проверять для малых углов рассеяния, где мощность потока рассеянных частиц достаточно велика, и процесс их подсчёта не занимает много времени. Для
Компьютерная модель лабораторной работы «Опыты Резерфорда»
111
больших углов рассеяния мощность потока рассеянных частиц существенно уменьшается, и для подсчёта достаточного количества рассеянных частиц требуется неоправданно много времени. Для увеличения потока регистрируемых рассеянных частиц необходимо увеличить регистрирующую поверхность. В качестве такой поверхности можно выбрать площадь одной или нескольких клеток координатной сетки. Но в этом случае дифференциальная формула Резерфорда уже будет неверна, её нужно обобщить на случай конечного телесного угла рассеяния. Для определения числа частиц, рассеивающихся в телесный угол конечной величины, нужно проинтегрировать формулу (2) по телесному углу. Тогда получим:
Δ N = Δϕ NDn
k2 1 1 − ( ) θ θ + Δθ , 2 sin 2 sin 2 2 2
(5)
откуда находим формулу Резерфорда в интегральном виде, которую и можно проверить в эксперименте: 2θ 2 θ + Δθ Δ N sin 2 sin k2 2 = Dn N Δϕ sin2 θ + Δθ − sin 2 θ 2 .
2
(6)
2
Сравнивая формулы (2) и (6), можно заметить, что в дифференциальной формуле константа эксперимента должна быть в два раза меньше, чем в интегральной формуле. Выбрав одну или несколько клеток координатной сетки, нужно подсчитать количество частиц, попавших в выбранную область сферы за единицу времени. Для этого проще всего отключить режим гашения следов частиц и в момент запуска модели запустить и секундомер. Тогда сфера и вместе с ней выбранная её часть будут заполняться светлыми точками − изображением следов частиц. Когда в выбранной области накопится примерно около 100 частиц, нужно остановить секундомер, при этом остановится и модель, поэтому легко можно будет подсчитать число частиц, попавших в выбранную область. Изменить угол рассеяния, выбрав для подсчета другую область сферы. Повторить эксперимент несколько раз и проверить формулу (6). 4) Из заданий 2) и 3) определить параметр k, считая D = 5 ⋅ 10 −6 м, n = 5.91 ⋅ 10 28 м3. Из найденного параметра определить заряд ядра рассеивающих атомов, если энергия αчастиц равна 7,68 МэВ.
112
В.А. Куликов, А.С. Парахин
5) Запустить модель, повернуть сферу на 90о нажатием клавиши «←» и, отключив функцию гашения следов αчастиц, дождаться, когда сфера заполнится следами αчастиц почти полностью. В этом случае на сфере обозначится достаточно чётко граница между областью, куда частицы попадают и областью, куда частицы не попадают (рисунок 2). Эта граница соответствует максимальному углу отклонения αчастиц. Определив этот угол, оценить размеры ядра рассеивающих атомов по формуле:
rìèí = k
1 + sin sin
θ ìàêñ 2
θ ìàêñ
.
(7)
2
3. Результаты выполнения работы. При выполнении лабораторной работы получаются следующие результаты. В первом задании при коэффициенте ослабления потока 1000 за время
Δt = 84.65 с в поле зрения микроскопа попала 101 частица. Из этих данных определяется мощность потока aчастиц
с1. Данное число в
модели никакими условиями специально не ограничено и определяется только быстродействием компьютера. Для разных компьютеров оно может быть разным, но на окончательные результаты это не влияет. Результаты выполнения задания 2) сведены в таблицу 1.
Компьютерная модель лабораторной работы «Опыты Резерфорда»
113
Как видно из таблицы, результаты эксперимента, представленные в четвёртой колонке, имеют максимальный разброс примерно 16 %, что можно считать вполне удовлетворительным, поскольку в реальных экспериментах Резерфорда этот разброс был равен примерно 30 %. При этом первые две строчки таблицы в расчёт не принимались. Эти строчки получены при малых углах рассеяния, где неравномерность распределения частиц по сфере существенна даже в пределах площади объектива микроскопа, что было заметно при подсчёте числа рассеянных частиц. Это значит, что для малых углов рассеяния телесный угол, образуемый объективом микроскопа относительно центра сферы, не достаточно мал и не может считаться элементом угла. Таким образом, в первых двух строчках погрешность складывается из случайной погрешности, обусловленной случайностью распределения рассеянных частиц и систематической погрешности, обусловленной конечными размерами регистрирующей площади. При других углах рассеяния распределение следов частиц по полю микроскопа было достаточно однородным. Результаты выполнения задания 3) сведены в таблицу 2. При этом Δθ =
π
10 Таблица 2. Результаты выполнения задания 3). Здесь введено обозначение:
.
2θ 2 θ + Δθ Δ N sin 2 sin 2 =Q . N Δϕ sin2 θ + Δθ − sin 2 θ
2
2
В первых строчках этой таблицы указан угол Δϕ = 2π. Это обусловлено тем, что сфера была повёрнута полюсом к наблюдателю, и первые 4 полосы были видны
114
В.А. Куликов, А.С. Парахин
полностью, пятая полоса была видна недостаточно хорошо, а шестая полоса не была видна совсем. Поэтому для видимых полностью полос угол выбирался максимальным, что уменьшало случайную погрешность результата. Полосы с номерами 5 и 6 исследовались, когда сфера была повёрнута на 90о, поэтому у этих полос были видны только по 4 клетки с общим угловым размером по 0,8π. Максимальный разброс данных четвёртого столбца этой таблицы составляет лишь 6 %. Это говорит о том, что формулу Резерфорда предпочтительнее проверять в интегральном, а не в дифференциальном виде. Усредняя результаты четвёртых колонок таблиц, предварительно умножив их для первой таблицы на 4, а для второй на 2, получим =6,825⋅105. Из этого параметра находим параметр k . Он будет равен 1,52⋅1014 (все величины приведены в единицах СИ). И, наконец, находим заряд ядра, он будет равен 81,06, что достаточно близко к истинному значению заряда ядра золота, отличие составляет лишь 2%. Если расчёты проводить только по второй таблице, то заряд ядра получится 79,8, что гораздо точнее совпадает с истинной величиной (79). Результаты выполнения последнего задания представлены на рисунке 2, из которого видно, что максимальный угол рассеяния частиц составляет примерно 0,67π, что для размера ядра по формуле (7) даёт rÿäðà = 3,27⋅1014 м, что также хорошо совпадает с размерами ядра атома золота.
Çàêëþ÷åíèå Таким образом, выполнение экспериментов по изучению рассеяния αчастиц с помощью компьютерной модели показывает, что, несмотря на виртуальный характер работы, нельзя сказать, что результаты экспериментов были полностью предсказуемы. Случайный характер распределения частиц привёл к наличию погрешности измерений, таким образом, что истинный результат можно было найти лишь путём усреднения. С другой стороны, усреднение по достаточно большому количеству рассеянных частиц позволяет уменьшить результирующую ошибку измерений до приемлемых величин, так что результаты численного эксперимента совпадают с выводами из формул Резерфорда. Опыт использования компьютерных лабораторных работ на кафедре общей физики Курганского государственного университета показывает положительное влияние таких работ на усваиваемость студентами освещаемого в них физического материала. В частности, работа по изучению рассеяния αчастиц с помощью компьютерной модели этого процесса помогает студентам глубже понять основы устройства микромира, его законы, приобрести навыки статистической обработки экспериментальных результатов.
Компьютерная модель лабораторной работы «Опыты Резерфорда»
Литература 1. Э.В. Шпольский. Атомная физика. Том 1. М., Наука 1974 г. 2. И.В. Савельев. Курс общей физики. Том 3. М., Наука 1973 г. 3. В. Акоста, К. Кован, Б. Грем. Основы современной физики. М., Просвещение 1981 г. 4. Б.И. Спасский. История физики. М., МГУ 1964 г.
115
