Алгебра и логики, 39, N 5 (2000), 595-601
УДК 512.565.7
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Р Е Ш Е Т О К ПОДАЛГЕБР СВОБОДНЫХ АЛГЕБР*) А. Г. ПИНУС, Г. Р О У З
При изучении многообразий универсальных алгебр естествен инте рес к изучению свойств свободных алгебр этих многообразий, в частно сти, к изучению тех свойств, которые выразимы в логике первого по рядка. Для любого многообразия V через Fy(X) обозначается У-алгебра, свободно порожденная в V множеством X. Напомним известный резуль тат о том, что для любого многообразия V и любых бесконечных мно жеств Х^У алгебры Fy(X),
Fy{Y) элементарно эквивалентны. Более то
го, если А" С У, то Fy(X)
является элементарной подалгеброй алгебры
Fy(Y). Достаточно показать, что для любой формулы Ф(#ь . . . , жп, у) ло гики первого порядка, любых а\,..., Fy(Y)
an E Fy(X)
и любого b 6 Fy(Y)
f= Ф(б&1,.. .,a n ,b) следует существование V 6 Fy(X),
го Fy(Y)
из
для которо
\= Ф ( а 1 , . . . , ariJb'). В самом деле, найдется конечное подмно
жество Х\ С X такое, что a i , . . . , a n входят в подалгебру, порожденную множеством Х\. Пусть ц> — некоторое отображение У на себя, оставля ющее Х\ на месте и такое, что продолжение ) = Эи(Ф(и)&1) < u&Vw(w jC u -> v < w)). В силу замеченного выше для любой подалгебры А алгебры SubFv{X)
Fy(X)
И Ф(Л) А = (а)
для некоторого ж 6 X. Здесь и далее (У) обозначает подалгебру рассма триваемой алгебры, порожденную множеством У. Если сигнатура многообразия V конечна, то для любого конечного множества X алгебра Су{Х,) х) конечно-порождена, В силу этого и заме ченного выше имеет место следующее утверждение: для любого многообразия V конечной сигнатуры со свойством исключения, $uhcFy(X),
для любых
конечных
множеств
X,
У
полурешетки
Sub c Fy(y) элементарно эквивалентны тогда и только то
гда, когда \Х\ = |У|. Точно так же заметим, что: для любого многообразия V со свойством исключения, для любых конечных множеств X, У решетки SnbFy(X),
SuhFv(Y)
элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда \Х\ = |У|. Для решеток подалгебр бесконечно порожденных свободных алгебр многообразий со свойством исключения ситуация неоднозначна. Прежде всего, укажем пример, когда все такие решетки элементарно эквивалент ны. Пусть сигнатура многообразия состоит из одной одноместной функции / , а нормальное многообразие V задается тождеством f(x) = f(y)- Тогда очевидно, что для любого множества X SubFv(*)SE),Ф(г>) сигнатуры те ории решеток. При этом, как отмечено выше, *(SubjFV(#)) = X, где Ф(£) = {х £ L | L \=. Щх)}. Фиксируем некоторое разбиение Go бесконечного множества X на двухэлементные подмножества. Через PartA обозначим решетку разбие ний множества X , а через PartX| > ©о ~ фильтр этой решетки, поро жденный разбиением во- Очевидно, что PartA ^ PartA" | > О 0 . Пусть теперь О G PartA | > QQ. Через Ъ® обозначим подалгебру
Элементарная эквивалентность решеток подалгебр алгебры Fy(X),
599
порожденную множеством
Се = {/(at, Sj) | »и Xj Е X, st- ^ Xj и ©(ж,-, я,-)} Заметим, что для произвольных различных х, у Е X подалгебра Ъ®П f)Fv(x^y)
непустая в том и только в том случае, если истинно отношение
©(#, у). Действительно, если ©(#, у), то /(ж, у) Е Ъ@ П Fy(#, у). Допустим теперь, что для некоторого t(x, у) Е Fy(x) у)Г)Ъ& имеет место -i@(#, у). То гда найдется терм q сигнатуры а, построенный из порождающих, которые входят в С©, такой, что на V истинно тождество t(x,y) = q. Таким образом, q = q(x}y,u)
= Л(/(ж, t*i),..., / ( у , и * ) , . . . , f{us, < ) , . . . ) ,
здесь Ui,ufj Е X и те элементы я, у, t^, w'-, которые входят в аргументы произвольного вхождения функции / в Л, попарно различны, но ©-экви валентны. Итак, на V истинно тождество Ч/О*» «i)> • • • 1 /(У» uk)j • • м /(w„ ^ ) , •..) = *(а, у). Подстановка вместо у элемента #, в силу идемпотентности V, влечет истинность на V равенства Ч / ( ж > w i)> • • • 1 /( ж 1 ? i *)> • • •» /( t t *> u e ) i • • •) = х-
(*)
В силу того, что имеет место отношение ^0(аг,у), все элементы х.щ^и^
которые входят в аргументы произвольного вхождения функции
/ в левую часть равенства (*), попарно различны, и тем самым элементы /(ж, t i j ) , . . . , f(x,Uk),...,
/(м в , w j , . . . алгебры Fy{X) отличны от элемента
х. Тогда равенство (*) противоречит свойству исключения для многообра зия V. Поэтому для различных ж, у из X отношение @(#,у) выполняется в том и только в том случае, если подалгебра Во П JFV(x, у) непустая. В силу условия 2-конечности многообразия V фильтр, порожденный подалгеброй ({х) V (у)) Г) Б е в решетке SubFy (я, у), конечен, а в силу от меченного выше найдется некоторое натуральное к < |SubFy(#,y)| такое, что для любых различных х) у Е А' эквивалентны следующие условия:
600
А. Г. Пину с, Г. Роуз 1)в(х,у), 2)|[«&>V, гу) — формула элементарной теории решеток, утвер ждающая, что мощность интервала [(и V v) Л w, tz V г;] не превосходит &, Тогда для любых различных я, у Е X и любой в £ PartX| > во 0(х, у) , (У), Be). Пусть формула г/(гу) теории решеток утверждает, что отношение, за даваемое фюрмулой H(u,v,w)
на множестве X, которое выделяется в ре
шетке формулой Ф(?г), является отношением эквивалентности, входящим
в PartX| > в 0 . Тем самым элементарные формулы теории решеток Ф(«), TJ(W))
Go, 6 (ж, у, г)),
где предикат Е (я, у, г) утверждает, что элементы ж, у множества X экви валентны относительно разбиения z множества X. То есть, в элементарной теории решетки SubFy(X) интерпретируется и модель (X/Go, PartX/0o, £ (а,у,*)> £ (X,PartX, € (х,у,*)>. Хорошо известно (см., к примеру, [3, 4]), что элементарная эквива лентность моделей вида (X, PartX, € (ж, у, ^)), (У, Party, G (я, у, 2:)) равно сильна эквивалентности множеств Х) У в логике второго порядка. Таким образом, элементарная эквивалентность решеток SubFy(X), SubFv^Y) влечет эквивалентность множеств X, У в логике второго порядка. В свою очередь, эквивалентность в логике второго порядка множеств JT, У наряду с конечностью сигнатуры и конечной базируемостью мно гообразия V очевидным образом влечет элементарную эквивалентность решеток SubFy(X), SubFy(y). Теорема доказана. С Л Е Д С Т В И Е 1. Для любого конечно базируемого многообразия V решеток [многообразия полурешеток), для любых множеств X} У эле-
Элементарная эквивалентность
ментарная
эквивалентность
эквивалентности
решеток
подалгебр
решеток SnhFy(X),
множеств
601
S\ibFy(Y)
X, Y в логике второго
равносильна
порядка.
Напомним, что понятие директойда определено в работе [5]. С Л Е Д С Т В И Е 2. Для коммутативных
директойдов,
ная эквивалентность валентности
любого конечно базируемого для любых множеств
решеток
множеств
SuhFv(X),
многообразия
X, Y
элементар
SubjFV(Y) равносильна
X, Y в логике второго
экви
порядка.
ЛИТЕРАТУРА 1. A, CL Pinus, H.Rose,
Second order equivalence of cardinals: an algebraic
approach, to appear. 2. J.Freese,
J.Jezek,
J. B.Nation,
Free lattices (Math. Surv. Monogr., 42),
Providence, RI, Am. Math. Soc, 1995. 3. А. ППинус, Элементарная эквивалентность решеток разбиений, Сиб. матем. ж., 29, N 3 (1988), 211-212. 4. С. Naturman, H. Rose, Elementary equivalent pairs of algebras associated with sets, Algebra Univers., 28, N 3 (1991), 324-338. 5. J. Jezek, R. Quackenbush, Directoids: algebraic models of up-directed sets, Algebra Univers., 27, N 1 (1990), 49-69.
Адреса авторов:
Поступило 10 августа 1999 г. Окончательный вариант 20 октября 1999 г.
П И Н У С Александр Георгиевич,
ROSE Henry
РОССИЯ,
Department of mathematics
630099, г. Новосибирск,
к applied mathematics
ул. Революции, д . 10, кв. 15.
University of Cape Town
e-mail:
[email protected] Rondebosch 7701 SOUTH AFRICA e-mail:
[email protected] 