mINISTERSTWO rOSSIJSKOJ fEDERACII PO SWQZI I INFORMATIZACII mOSKOWSKIJ TEHNI^ESKIJ UNIWERSITET SWQZI I INFORMATIKI nA PR...
14 downloads
239 Views
653KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
mINISTERSTWO rOSSIJSKOJ fEDERACII PO SWQZI I INFORMATIZACII mOSKOWSKIJ TEHNI^ESKIJ UNIWERSITET SWQZI I INFORMATIKI nA PRAWAH RUKOPISI lARION^IKOW rOMAN sERGEEWI^ udk 517.5 nEKOTORYE ANALOGI FORMULY pLANERELQ{rOTAHA DLQ KLASSI^ESKIH ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW sPECIALXNOSTX 01.01.01 { "mATEMATI^ESKIJ ANALIZ" dISSERTACIQ NA SOISKANIE U^ENOJ STEPENI KANDIDATA FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK nAU^NYJ RUKOWODITELX { DOKTOR FIZIKO{MATEMATI^ESKIH NAUK PROFESSOR p.k. sUETIN
mOSKWA-2003
wYRAVA@ GLUBOKU@ PRIZNATELXNOSTX WSEM, KTO POMOG PRI PODGOTOWKE DANNOJ RUKOPISI I SPOSOBSTWOWAL PRODWIVENI@ MOIH NAU^NYH POZNANIJ W OBLASTI ORGONALXNYH MNOGO^LENOW. oSOBU@ BLAGODARNOSTX HO^ETSQ WYRAZITX MOIM RODITELQM, sERGE@ mIHAJLOWI^U I wERE nIKITI^NE ZA MORALXNU@ PODDERVKU NAU^NOMU RUKOWODITEL@ PROFESSORU sUETINU pAWLU kONDRATXEWI^U ZA WOSPITATELXNU@ RABOTU NAU^NOMU RUKOWODITEL@ NA MEHMATE mgu PROFESSORU gAWRILOWU wALERIANU iWANOWI^U I PREPODAWATEL@ MEHMATA mgu sUBBOTINU aLEKSE@ wLADIMIROWI^U ZA ^UTKOE WNIMANIE K MOEJ DIPLOMNOJ RABOTE PROFESSORU aPTEKAREWU aLEKSANDRU iWANOWI^U, PROFESSORU oSILENKERU bORISU pETROWI^U I DOKTORU FIZIKO-MATEMATI^ESKIH NAUK sOROKINU wLADIMIRU nIKOLAEWI^U ZA SOGLASIE W NAPISANII OTZYWA NA DANNU@ RUKOPISX MOEMU PREPODAWATEL@ MATEMATIKI W KOLE hAKIMULLINU eWGENI@ rOBERTOWI^U ZA POMO]X W PODGOTOWKE K ZA]ITE DISSERTACII PROFESSORU lIWICU mIHAILU iSAAKOWI^U ZA POLEZNOE OB]ENIE NA MATEMATI^ESKIE TEMY REDAKCII VURNALA "mATEMATI^ESKIE ZAMETKI" BIBLIOTEKARQM mgu, mtusi, rgb I gpntb, KOTORYH S^ITA@ ZA SOAWTOROW \TOGO TRUDA, KOTORYJ BEZ IH POMO]I BYL BY NEWOZMOVEN. pUSTX PROSTQT MENQ MOI U^ITELQ KOLY N 693, MEHMATA mgu I mtusi MOI RODNYE W mOSKWE, hARXKOWE, bELGORODE, pARIVE, DRUGIH GORODAH I WESQH PROFESSORA I DOCENTY u^ENOGO sOWETA mgi|mA, GDE ZA]I]ALASX DISSERTACIONNAQ RABOTA | WSEH wAS TAK MNOGO, ^TO BO@SX KOGO-NIBUDX NE UPOMNITX. sPASIBO WSEM, KOGO ZABYL ZDESX OTMETITX I BEZ KOGO \TOT TRUD NE SOSTOQLSQ BY. aWTOR dANNAQ RABOTA PODDERVANA rffi, PROEKTY N 01-01-00051 I 0401-00192
2
sODERVANIE wWEDENIE
1 oSNOWNAQ LEMMA
3 26
2 fORMULA pLAN ERELQ{rOTAHA DLQ FUNKCIJ ~EBY EWA{|RMITA 36 3 aNALOG FORMULY pLAN ERELQ{rOTAHA DLQ MNOGO^LENOW qKOBI 56 4 nOWYJ ANALOG FORMULY pLAN ERELQ{rOTAHA DLQ MNOGO^LENOW ~EBY EWA{lAGERRA 74 5 wESOWYE OCENKI DLQ MNOGO^LENOW ~EBY EWA{|RMITA I ~EBY EWA{lAGERRA 93 zAKL@^ENIE
105
bIBLIOGRAFI^ESKIJ SPISOK ISPOLXZOWANNOJ LITERATURY 106
3
wWEDENIE
pUSTX NA INTERWALE (a b) OPREDELENA WESOWAQ FUNKCIQ h(x) 8]. tOGDA SU]ESTWUET SISTEMA ORTONORMIROWANNYH MNOGO^LENOW Bc0(x) Bc1(x) Bc2(x) : : : Bcn(x) : : : (1) T.E. TAKIH, DLQ KOTORYH WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ Zb a
h(x)Bcn(x)Bcm(x)dx = nm
GDE nm | SIMWOL kRONEKERA. w TEORII ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA FUNKCIQ h(x) UDOWLETWORQET DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ pIRSONA. tOGDA MNOGO^LENY (1) NAZYWA@TSQ KLASSI^ESKIMI 8].
oDNOJ IZ KL@^EWYH ZADA^, STOQ]IH NA PERESE^ENII TEORII ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW I TEORII SPECIALXNYH FUNKCIJ, QWLQETSQ ZADA^A WY^ISLENIQ ZNA^ENIQ MNOGO^LENA W PROIZWOLXNOJ TO^KE NA INTERWALE ORTOGONALXNOSTI. rEENIE DANNOGO WOPROSA IMEET SLEDU@]IE PRIMENENIQ: 1) ISSLEDOWANIE RAZLI^NYH WIDOW SHODIMOSTI RQDOW fURXE PO ORTOGONALXNYM MNOGO^LENAM: Zb 1 c X anBn(x) GDE an = h(x)f (x)Bcn(x)dx x 2 (a b) (2) n=0
a
2) WY^ISLENIE ZNA^ENIJ RQDA (2) W PROIZWOLXNOJ TO^KE NA INTERWALE (a b) 3) IZU^ENIE ASIMPTOTIKI KO\FFICIENTOW fURXE an 4) OPREDELENIE USLOWIJ OGRANI^ENNOSTI MNOGO^LENOW Bcn(x) W OTDELXNOJ TO^KE, ILI NA NEKOTOROM MNOVESTWE WNUTRI (a b), ILI NA WSEM SEGMENTE ORTOGONALXNOSTI.
4
wOZNIKAET ZADA^A OB ASIMPTOTI^ESKOM POWEDENII POSLEDOWATELXNOSTI (1) PRI WOZRASTANII NOMERA n. dLQ ISSLEDOWANIQ ASIMPTOTI^ESKIH SWOJSTW ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW PRIMENQ@TSQ RAZLI^NYE SPECIALXNYE METODY I PRIEMY 7]. aSIMPTOTI^ESKIE SWOJSTWA KLASSI^ESKIH ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW PODROBNO ISSLEDU@TSQ METODOM lIUWILLQ{sTEKLOWA, KOTORYJ NAZYWAETSQ TAKVE METODOM INTEGRO{DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. w SLU^AE, KOGDA DLQ ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW IME@T MESTO INTEGRALXNYE PREDSTAWLENIQ, PRIMENQETSQ METOD PEREWALA. mETOD dARBU OSNOWAN NA PROIZWODQ]IH FUNKCIQH. nAIBOLEE UNIWERSALXNYM QWLQETSQ METOD g. sEGE, KOTORYJ PRIMENQETSQ W SAMYH OB]IH SLU^AQH. k NASTOQ]EMU WREMENI S POMO]X@ \TIH I DRUGIH METODOW POLU^ENO MNOGO REZULXTATOW PO ASIMPTOTI^ESKIM SWOJSTWAM ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW. nAIBOLEE WAVNYE REZULXTATY POLU^ILI p. lAPLAS, gEJNE, mELER, dARBU, sTILTXES, hILXB, g. sEGE, fEJER, pERRON, pLANERELX, rOTAH, wATSON. bOLXAQ ^ASTX IH UTWERVDENIJ OTNOSITSQ K KLASSI^ESKIM ORTOGONALXNYM MNOGO^LENAM. w 1929{M GODU pLANERELX I rOTAH 17] S POMO]X@ METODA PEREWALA POLU^ILI NOWYE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ MNOGO^LENOW ~EBYEWA{|RMITA. sTANDARTIZOWANNYE MNOGO^LENY ~EBYEWA{ |RMITA MOGUT BYTX OPREDELENY PO FORMULE Hn(x) = (;1)nex2 (e;x2 )(n) (3) GDE n { STEPENX MNOGO^LENA. pLANERELX I rOTAH DOKAZALI SLEDU@]EE. tEOREMA 1. pUSTX " I ! { FIKSIROWANNYE POLOVITELXNYE
5
^ISLA. sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE SOOTNOENIQ: (a) PRI x = (2n + 1)1=2 cos ', " ' ; " x2 ; e 2 Hn(x) = 28n2 + 14 (n20!) 12 (n)1; 14 (sin '); 21 9 3 < = n 1 3 ; 1 :sin 4@ + A (sin 2' ; 2') + 5 + O(n ) (4) 2 4 4
x = (2n + 1)1=2 ch ' " ' ! 1 1 x2 ; ); 4 (sh '); 2 e 2 Hn(x) = 2 n2 ; 34 (n!) 21 (n 20 1 3 n 1 exp 4@ + A (2' ; sh 2')5 1 + O(n;1)] (5) 2 4 (c) PRI x = (2n + 1)1=2 ; 2;1=23;1=3n;1=6t, t { OGRANI^ENNOE (b) PRI
KOMPLEKSNOE ^ISLO,
( 2 !) x2 1 ;3 n+1 1 ;1 ; e 2 Hn(x) = 3 3 4 2 2 4 (n!) 2 n 12 A(t) + O n; 3
GDE
A(t) { FUNKCIQ |JRI, OPREDELQEMAQ PO FORMULE 3 3 x + 1 + 1 ; 3 x X ; x3 X + : A(t) = 3 3 3 =0 !; + 43 =0 !; + 32
(6) (7)
w FORMULAH (4){(6) OCENKA OSTATO^NOGO ^LENA RAWNOMERNA.
mNOGO^LENY (3) UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ 00 + (2n + 1 ; x2)y = 0: yxx (8) fORMULY (4), (5) I (6) HARAKTERIZU@T p POWEDENIE MNOGO^LENOW (3) WNE I WBLIZI TO^KI POWOROTA x = 2n + 1 DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ (8). sTANDARTIZOWANNYE MNOGO^LENY ~EBYEWA{lAGERRA MOGUT BYTX OPREDELENY PO FORMULE Ln(x ) = n1! exx; e;xxn+ (n)
6
GDE n { STEPENX MNOGO^LENA. w 1934-M GODU mEKLIN 15] PRIMENIL METOD PEREWALA, RASSMATRIWAQ DANNYE MNOGO^LENY W SLU^AE = 0. pOZDNEE g.sEGE RASSMOTREL SLU^AJ PROIZWOLXNOGO 7] I DOKAZAL NIVEPRIWODIMOE UTWERVDENIE. tEOREMA 2. pUSTX > ;1 2 R , " I ! { FIKSIROWANNYE POLOVITELXNYE ^ISLA. sPRAWEDLIWY SLEDU@]IE SOOTNOENIQ: (a) PRI x = (4n + 2 + 2) cos2 ', " ' 2 ; "n;1=2
e; x2 Ln(8x 2)0= (;1)n(1sin '); 21 x; 2 ; 41 n 2 ; 41 9 3 < = 1 + 1 3 A (sin 2' ; 2') + 5 + (nx); 2 O(1) (9) :sin 4@n + 2 4
x = (4n + 2 + 2) ch2 ' " ' ! e; x2 Ln(x ) = 21 (;1)n( sh '); 12 x; 2 ; 41 n 2 ; 41 1 3 20 + 1 A (2' ; sh 2')5 1 + O(n;1)] (10) exp 4@n + 2 (b) PRI
1=3 t, t { OGRANI^ENNOE KOMP(c) PRI x = 4n + 2 + 2 ; 2 23n LEKSNOE ^ISLO, ( 2 !) x 1 1 ;1 ; n ; 1 ; ; e 2 Ln(x ) = (;1) 2 3 3 3 n 3 A(t) + O n; 3 (11) GDE A(t) { FUNKCIQ |JRI (7). wO WSEH \TIH FORMULAH OCENKA OSTATO^NOGO ^LENA RAWNOMERNA.
w DALXNEJEM sKOWGOR 12, 19] I |RDEJI 11] POLU^ILI OBOB]ENIQ DLQ FORMUL (6) I (11). oRTONORMIROWANNYE MNOGO^LENY ~EBYEWA{|RMITA I ~EBYEWA{lAGERRA OPREDELQ@TSQ SOOTWETSTWENNO PO FORMULAM 8] d (x) = rHn (x) H n n!p2n
7
I
v u u c n Ln(x ) = (;1) uut
bYLO DOKAZANO SLEDU@]EE
n! L (x ): ;(n + + 1) n
tEOREMA 3. ( 19, 12, 10])
Hn((2n + 1)1=2x) = 10 13 20 1 1 1 = (2) 2 (2n + 1)n=2+1=6 exp 4@n + A @x2 ; A5 2 2 8 > < j 01j;1=2>Ai(;(2n + 1)2=3 1) + :
0g 19 2=3 > Ai( ; (2 n + 1)
) 1 C= B A> +O@ 2
n(1 + x )
RAWNOMERNO NA PROMEVUTKE PRI
n ! 1. zDESX
(12)
;1 < a x < 1
Z1 2 32 2 12 ( x ) = (1 ; t ) dt PRI a x 1
3 1 x
Zx 2 1 3 2 2 (; 1(x)) = (t ; 1) 2 dt PRI 1 x < 1 3 1
Ai(x) =
1 Z1
0
0 1 1 cos @ t3 + xtA dt
(13)
3
| INTEGRAL |JRI, 8 > < Ai(x) g Ai(x) = >: 2 2 1=2 j Ai(x)j + j Bi(x)j
ESLI ESLI
x0 x 0. tOGDA
(;1)n 0@ 1A1=2 Ln(x ) = n! ; 0 2 ; N= 2+1=2 N=4+1=6 ;N=4 ;(+1)=2 x=2 2 N e x 2 e 39 8 = < 1g :Ai(;N 2=3 2) + O 4 Ai( ;N 2=3 2)5 (16)
x
GDE
N = 4n + 2 + 2 t = x=N 0 < t < 1, 0 1 1 1
2(t) 02(t)]2 = 4 @ t ; 1A 8 2=3 > > < 34 arccos t1=2 ; (t ; t2)1=2 PRI 0 < t 1
2(t) = >> 3 2 1=2 2=3 : ; 4 (t ; t) ; arch t1=2 PRI t > 1
g (x) SPRAWEDLIWY (13){(15). Ai(x) I Ai pRIMENQQ IZWESTNYE SOOTNOENIQ 13, 12] 3 !# 1 ; 12 ; 41 ; 32 z 32 " Ai(z ) = z e 1 + O z; 2
A DLQ
2
z ! 1 ; < arg z <
1 3 !3 Ai(;z ) = ; z ; ; A + O z; 2 5 z > 0 z ! 1 3 4 K (12) I (16), POLU^IM FORMULY (4), (5) I (9), (10) SOOTWETSTWENNO S BOLEE TO^NYMI OBLASTQMI OPREDELENIQ I OCENKAMI OSTATO^NYH ^LENOW. w ^ASTNOSTI, IMEET MESTO SLEDU@]EE UTWERVDENIE 1 2
1 4
2 0 4cos @ 2 z 23
9
tEOREMA 5. 1) pUSTX 0 < =2. tOGDA
Hn((2n + 1)1=2 cos ) = 0 1 1 n 1 2 n + 1 = 2 2 (2n + 1) 2 sin; 2 exp @ cos 2 A 4 9 8 2 3 = < 2 n + 1 ; 1 ;3 5 4 (2 ; sin 2 ) ; + O(n ) : cos :
4
4
> 0. tOGDA Hn((2n + 1)1=2 ch ) = 3 2 1 n 2 n + 1 = (2 sh ); 2 (2n + 1) 2 exp 4 2 + e;2 5 42 13 0 2
41 + O @n;1 arsh;3 A5 :
2) pUSTX
3
nEDOSTATKOM TEOREM 1{5 QWLQETSQ OTSUTSTWIE ^ISLENNYH OCENOK NA OSTATO^NYE ^LENY. w DANNOJ DISSERTACIONNOJ RABOTE WYWODQTSQ FORMULY (4) I (5) I DA@TSQ ^ISLENNYE OCENKI NA OSTATO^NYE ^LENY. kROME TOGO, PRIWODQTSQ ANALOGI DLQ PROIZWODNYH OT PRAWYH ^ASTEJ (4) I (5) WMESTE S SOOTWETSTWU@]IMI ^ISLENNYMI OCENKAMI NA OSTATO^NYE ^LENY. mETODIKA POLU^ENIQ ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL, RASSMATRIWAEMYH W DANNOJ RABOTE, ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. kLASSI^ESKIE ORTOGONALXNYE MNOGO^LENY S TO^NOSTX@ DO NEKOTOROGO FUNKCIONALXNOGO MNOVITELQ UDOWLETWORQ@T DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ WIDA 00 ; Q(x )y = 0 yxx (17) GDE x PRINADLEVIT NEKOTOROMU PROMEVUTKU IZ R , { PARAMETR, ZAWISQ]IJ OT STEPENI MNOGO^LENA. uRAWNENIE (17) \KWIWALENTNO NEKOTOROJ SISTEME INTEGRALXNYH URAWNENIJ, K KOTOROJ MOVET BYTX PRIMENEN PRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ 4]. |TOT PRINCIP DAET ^ISLENNYE OCENKI DLQ SOBSTWENNYH FUNKCIJ INTEGRALXNOGO
10
OPERATORA, KOTORYE MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY DLQ OCENOK ^ASTNYH REENIJ y1 I y2 URAWNENIQ (17). pUSTX y1 I y2 LINEJNO NEZAWSIMY. l@BOE REENIE URAWNENIQ (17) SOGLASNO TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ PREDSTAWIMO W WIDE C1y1 +C2y2, GDE C1 C2 { KO\FFICIENTY 6]. |TO PREDSTAWLENIE S SOOTWETSTWU@]IM OBRAZOM PODOBRANNYMI KO\FFICIENTAMI C1 I C2 DAET ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ RASSMATRIWAEMYH MNOGO^LENOW. w PERWOJ GLAWE DA@TSQ OCENKI DLQ ^ASTNYH REENIJ URAWNENIQ (17). rASSMATRIWAETSQ SLU^AJ Q(x ) 6= 0 (Q(x ) = 0 ) x { TO^KA POWOROTA (17)). pUSTX 1 Q00(x ) 5 (Q0(x ))2 (x Q) = 8 (Q(x ))3=2 ; 32 (Q(x ))5=2
(x0 x ) =
Zx r x0
Q(t )dt
Zb
1(x Q) = j(t Q)jdt x
1() = (1 ; 21(a Q));1 GDE x 2 a b] 2 { MNOVESTWO PARAMETROW. lEMMA 1.1. pUSTX 8 2 Q(x ) { KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ, Q00(x ) NEPRERYWNA PRI x 2 a b] I Q(x ) 6= 0 x 2 a b]: p pUSTX NA a b] MOVNO WYDELITX WETWX Q, TAKU@, ^TO r <e Q(x ) 0 x 2 a b] (18) I WYPOLNENO USLOWIE
1(a Q) < 12 :
11
tOGDA 8 2 URAWNENIE (17) IMEET REENIE y (x PRI x 2 a b]
), TAKOE,^TO
jy(x ) ; Q;1=4(x ) exp(; (x0 x ))j 41()jQ(x )j;1=4 exp(;<e (x0 x ))1(x Q) (19) jy0(x ) + Q1=4(x ) exp(; (x0 x ))j jQ(x )j1=4 exp(;<e (x0 x ))(41()1(x Q) + 1 + jQ0(x )jjQ(x )j;3=2(1 + 41()1(x Q))): (20) 4 p
wETWX Q W FORMULAH (19), (20) WYBRANA W SOOTWETSTWII S (18), x0 2 a b]. p 4 wETWX Q WYBIRAETSQ IZ SOOTNOENIQ rq q4
Q = Q: zDESX VE FORMULIRUETSQ I DOKAZYWAETSQ ANALOG \TOJ LEMMY DLQ BESKONE^NOGO PROMEVUTKA. pUSTX x 2 1 +1), +Z1 2(x Q) = j(t Q)jdt x
2() = (1 ; 22(1 Q));1 iMEET MESTO
lEMMA 1.2. pUSTX 8 2 Q(x ) { KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ, PRI^EM
Q00(x ) NEPRERYWNA NA 1 +1) I Q(x ) 6= 0 x 2 1 +1):
pUSTX NA 1 +1) MOVNO WYDELITX WETWX FUNKCII KORNQ TAKU@, ^TO r Re Q(x ) 0 x 2 1 +1)
p
Q,
(21)
12
I WYPOLNENO USLOWIE
2(1 Q) < 21 .
tOGDA 8 2 URAWNENIE (17) IMEET REENIE y (x ), TAKOE, ^TO PRI x 2 1 +1) SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE OCENKI
jy(x ) ; Q;1=4(x ) exp(; (1 x ))j 42()jQ(x )j;1=4 exp(;Re (1 x ))2(x Q) (22)
I
jy0(x ) + Q1=4(x ) exp(; (1 x ))j jQ(x )j1=4 exp(;Re (1 x ))(42()2(x Q) + 1 + jQ0(x )jjQ(x )j;3=2(1 + 42()2(x Q))): (23) 4 p
wETWX S (21). wETWX
Q W FORMULAH (22), (23) WYBRANA W SOOTWETSTWII
p 4
Q WYBIRAETSQ IZ SOOTNOENIQ rq q4 Q = Q: wYEPRIWEDENNYE LEMMY QWLQ@TSQ RAZWITIEM METODA POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ, PRIMENQEMOGO W TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ 2]. wO WTOROJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ WOZMOVNOSTX PRIMENENIQ \TIH LEMM DLQ MNOGO^LENOW ~EBYEWA{|RMITA I, W ^ASTNOSTI, WYWODQTSQ FORMULY (4) I (5). dOKAZYWA@TSQ SLEDU@]IE TEOREMY. pUSTX A(s n) = 4(2n + 1 ;10ss2)3=2 ; 5s B (s n) = 2(2n + 1s; s2)3=2 :
13
tEOREMA 2.1. (sLU^AJ WIQH
n 2 s 0,
p jxj < 2n + 1.)
( 26], 23]) pRI USLO-
0 12=3 s2 + @ 5 sA < 2n + 1
(24)
j(B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1j < 1
(25)
4
SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY: 1) v u u 2 d ; s = 2 e Hn(s) = ut 2 Kn p4 1 2 2n + 1 ; s " Zs r # 1 + " (n) n !
cos
0
GDE
2n + 1 ; 2d ;
8 r4 > < 2n2+1 Kn = >: r4 2nn PRI 2n+1 PRI
2
+ q1(s n)
1
1 + p(s n)
(26)
n = 2m n = 2m + 1:
8 1=(2n) > < (e ; 1)(e1=(4n) + 1)=2 PRI n = 2m j"1(n)j >: n;1 1 1=(4n) + 1)=2 ; 1 PRI n = 2m + 1 e (e
jp(s n)j (B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1 jq1(s n)j (B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1 PRI n = 2m jq1(s n)j (A(s n) + 1)2 ; 1 PRI n = 2m + 1: 2)
"
#0
d (s) e;s2=2H n "
v u u 4 2 p = ut Kn 2n + 1 ; s2
! # 1 + " (n) n 1 + q2(s n) (27) 2n + 1 ; 2d ; 2 1 + p(s n)
; sin
Zs r 0
14
jq2(s n)j (B (s n) + 1)2(A(s n) + 1)2 ; 1 PRI n = 2m jq2(s n)j (B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1 PRI n = 2m + 1: 3)
v u u 2 =2 d ; s se Hn(s) = ut 2 Kn;1 p4
p
2n 2 2n ; 1 ; s ! # 1 + " (n ; 1) " Zs r n 1 2 + q1(s n ; 1) ; ; sin 2n ; 1 ; d ; 2 1 + p ( s n ; 1) 0 v u u 4 2 p u t ; Kn 2n + 1 ; s2 " Zs r ! # 1 + " (n) n 1 2 ; sin 2n + 1 ; d ; + q2(s n) : (28) 2 1 + p ( s n ) 0 oBLASTX OPREDELENIQ FORMULY (28) OGRANI^ENA USLOWIQMI (24) I (25) S ZAMENOJ W NIH n NA n ; 1 (n 3). s POMO]X@ FORMULY 8]
d (;s) = (;1)nH d (s) H n n
(29)
FORMULY (26), (27) I (28) MOGUT BYTX WIDOIZMENENY DLQ OTRICATELXNYH s.
tEOREMA 2.2. (sLU^AJ
p
jxj > 2n + 1.) ( 24]) pRI n 1 SPRA-
WEDLIWY SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY: 2 d 1)e;s =2H n (s) =
=
(2)
1=2
p s 2
1 ;2 e s2 ; (2n + 1)
r4
s
;(2n+1)+ 2n2+1 ln
s+ps2;(2n+1) p
2n+1
1 + (s 2n + 1) (30) (1 + (+1 2n + 1))(1 + "2(n))
15
r
! GDE s 2 2n + 1 + (2(2n + 1)) +1 , A ^LENY (s 2n + 1), (+1 2n + 1) I "2(n) IGRA@T ROLX POGRENOSTEJ I DLQ NIH SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE: A) DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO n PREDEL 1=3
(+1 2n + 1) = s!lim (s 2n + 1) +1
SU]ESTWUET I KONE^EN B) WYPOLNENY OCENKI r 8 p21=2 > 2 > < (s2;)3=2;p21=2 GDE s 2 + (2)1=3 j(s )j >> 2p2 p : ;p2 GDE s 2
p ! 2
9
1 32(2n+1) (e 4n + 1) e j" (n)j ; 1:
2
2)
GDE
"
2
#0 2 =2 d ; s e Hn(s) s = r4 s+ps2;(2n+1) p 2 s ; (2n + 1) ; 2s s2;(2n+1)+ 2n2+1 ln p2n+1 e =; (2)1=2 1 + (s 2n + 1) (31) (1 + (+1 2n + 1))(1 + " (n)) r
!
2
s 2 (2n + 1) + (2(2n + 1))1=3 +1 I 2 3=2 p 1=2 ! 8 p21=2 1=2 > (s ;) +p2 2 > p p + > 3 = 2 1 = 2 3 = 2 2 2 (s ;) ; 2 2(s ;r ) (s2 ;)3=2 ; 21=2 ! > > p > 1=3 < GDE s 2 + (2) 2 j (s )j >> p p25(+;p2 2) > > > p > : GDE s 2:
pRIMENENIE IZWESTNOJ FORMULY 8, 7] p d d 0 Hn(s) = 2nHn;1(s) 8s 2 R
16
K (30) I (31) DAET NOWU@ ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU. oNA I FORMULY (30) I (31) S POMO]X@ FORMULY (29) MOGUT BYTX WIDOIZMENENY DLQ SLU^AQ OTRICATELXNYH s.
tRETXQ GLAWA OTWODITSQ DLQ MNOGO^LENOW qKOBI 8] (;1)n ; ; +n +n (n) Pn(x ) = n!2n (1 ; x) (1 + x) (1 ; x) (1 + x) x 2 (;1 1) > ;1 > ;1: (32) s POMO]X@ LEMMY 1.1 DOKAZYWAETSQ SLEDU@]AQ TEOREMA. 1 ; 2 ; 2 4 A= 4 B= 4 1 4
N = n + + 2 + 1 > ;1 > ;1 Q(cos
2 N ) = ; 64
3 A + B + N 275 sin2 cos2 2
I ( ) = I ( n ) =
Z r =2
2
jQ(cos N )jd':
tEOREMA 3.1. ( 22]) pUSTX 0 < " < =2. tOGDA 9n1 = n1("
(33)
),
8n n1 NA OTREZKE " ; "] SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY 0 1+1=2 0 1 +1=2
@sin A @cos A Pn(cos ) = 2 2 2 8 0 < 1 6 64C1(n) cos I ( ) + O @ = r4 :
jQ(cos N )j
1 1A9=
n3 +
93 8 0 1 < 1 = + C2(n) :sin I ( ) + O @ 3 A 775 n
(34)
17
20 1 0 1 66@ A+1=2 @ A +1=2 cos Pn(cos 4 sin
2
2
r4
= jQ(cos
30 )775
=
2 8 0 19 = < 66 N )j4C1(n) :; sin I ( ) + O @ n13 A +
8 93 0 1 < 1 = + C2(n) :cos I ( ) + O @ 3 A 775 n
GDE
C1(n) = 2;
2 + +1 6 64Pn(0 2
8 0, " 2 (0 =2), 9n2 = n2(" ) 8n n2
19
SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY 8 > 2N ( ) + '1( ) + '2( )] PRI > > > > 2N ( ) + 1( ) + 2( )] PRI > < I ( ) = >> N ; 2 PRI 2 = 2 = 1=4 > > 2N ( ) + '1( ) + 2( )] PRI > > : 2N ( ) + 1( ) + '2( )] PRI
2 + 2 < 1=2 2 + 2 > 1=2 2 + 2 = 1=2 jj > j j 2 + 2 = 1=2 jj < j j
2 " ; "]. oTME^AETSQ, ^TO W SLU^AQH MNOGO^LENOW ~EBYEWA I RODA ( = = ;1=2) I MNOGO^LENOW ~EBYEWA II RODA ( = = 1=2) FORMULA (34) PRIWODIT K OPREDELENIQM \TIH MNOGO^LENOW NA INTERWALE GDE
(;1 1):
I
Tn(x) = cos(n arccos x) x Un(x) = sin(np+ 1) arccos 1 ; x2
SOOTWETSTWENNO 8]. oTDELXNO RASSMATRIWAETSQ ^ASTNYJ SLU^AJ MNOGO^LENOW qKOBI | MNOGO^LENY lEVANDRA ( = = 0 W (32)). dLQ NIH OKAZYWAETSQ WOZMOVNYM WYWESTI QWNYE FORMULY DLQ KO\FFICIENTOW C1(n) I C2(n). pUSTX 0 0 121 j ; 2 j B@ 1 n( ) = 1 5 6 1 + 6 @n + 2 A CA 64 n + 2 sin
n( ) = 1 ;42n( )( ) n
1 0@ 1 1A;3 n( ) = n( ) + 8 sin3 n + 2 (1 + n( ))
20
tEOREMA 3.3. ( 25]) pRI USLOWIQH n ( ) < 1=2
n2I
jn( )j + jn( )j + jn( )n( )j < 1 GDE
2 (0 ), SPRAWEDLIWY FORMULY
v u u u2 1) (sin )1=2Pn(cos ) = t s4
1 1 2 + n + 1 2 2 4 sin r 0 " ! 1 2 sin2 ; j cos j 1 + (2 n + 1) B @cos sign ; ln r + 2 4 1 + (2n + 1)2 sin2 + j cos j r 1 2 ! # 2 1 + (2n + 1) sin n n 2n + 1 1 + "(n) + arctg ; ; + +Rn( )CA 2 (2n + 1)j cos j 4 2 2 1 + n( ) GDE
8 1=(2m) > (e ; 1) 1=(8m) 5=(8m) > 1 + 3e + e PRI n = 2m > < 1=(84m) 1=(2m) j"(n)j >> e (e ; 1) + 161m e1=(2m+1) + 3 > : e5=(8m) ; e1=(8m) + 1 PRI n = 2m + 1 8 > < n( )n( ) PRI n = 2m jRn( )j >: 2n( ( ) )++n(2 () )+PRI n = 2m + 1 n n
jn( )j n( ) + n( ) + n( )n( ) v v u 0 12 u u u u 4 2 1 1 0 u @ A t 2) (sin )1=2Pn(cos ) = t u 2 + n+ r4 sin 2 0 " ! 1 2 sin2 ; j cos j 1 + (2 n + 1) B + @; sin sign ; ln r
2 4 1 + (2n + 1)2 sin2 + j cos j r 1 1 + (2n + 1)2 sin2 n ! n # 2n + 1 1 + "(n) + arctg ; ; + +Sn( )CA 2 (2n + 1)j cos j 4 2 2 1 + n( )
21
GDE
8 > < 2n( ) + n2 ( ) PRI n = 2m jSn( )j >: ( ) + ( ) + ( ) ( ) PRI n n n n
n = 2m + 1 : w ^ETWERTOJ GLAWE RASSMATRIWAETSQ PRIMENENIE LEMMY 1.2 DLQ SLU^AQ MNOGO^LENOW ~EBYEWA{lAGERRA. dLQ NIH WYWODITSQ ASIMPTOTI^ESKAQ FORMULA, OPISYWA@]AQ POWEDENIE \TIH MNOGO^LENOW DLQ BOLXIH ZNA^ENIJ PEREMENNOJ. oBOZNA^IM # 8 " 3 3 > s 1 1 s 2 > + 43 ; 4 17 + (s2;)3=2 > 4(s2 ;)3=2 > > 1 > PRI j j > > < 23 3 2 E (s ) = >> 1 26 1 ; 2 3 3 3 75 + 3 64 4 75 648 + 2584s s 4 488 + 3 3 = 2 3 = 2 > 12675 4 65 > s2; 65 s2; 65 ( ( 64 ) 64 ) > > : PRI jj < 21
I1(s) =
p
E (+1 ) = s!lim E (s ) +1
p 2 D7(s ) ; ln 7(s ) + 1 ; ; D K ( (s2)) 7 2(72(s2) ; 1) 4 7(s2) ; 1 2 2
D = D(
1 0 1 ) = 2 ; 4 @ 2 ; A
7(t) = 7(t
4
v pD u u ; u ) = uut t ; +2pD
t;
r p 8 s > p y; ;pD > 1 +pD > > < 2 ; D ln r +;ppDD y+ s K (y) = >> s p +p D ! > D+ arctg y pD+ > : pD ; D;
2
2 ; 1=4 > 0 2 ; 1=4 < 0:
22
n1> 1 s2 > 65 64 = 4n + 2 + 2 E (s ) < tEOREMA 4.1. ( 27]) eSLI FORMULY 1)
1 2 ;1 6= ; 4 1=2, TO SPRAWEDLIWY 2
1 4
e;s2=2s+1=2Lcn(s2 ) = =8 D 1 1 s = =2 =4 r 2 e n!;( + n + 1) 4 s2 ; + 2;21=4 s 0p 1 D ; K (1)CA exp (;I (s)) 1 + (s ) exp B@ 1 2 1 + (+1 )
GDE
j(s )j
4E (s ) 4E (+1 ) j(+1 )j 1 ; 2E (s ) 1 ; 2E (+1 ) s
4 2 2;1=4 = 8 s ; + 2 s2 c (s2 ) = ; D r 2) e;s =2s+1=2L n s 2=2e=4 n!;( + n + 1) 1 0p D ; exp B@ K (1)CA exp (;I1(s)) 1 + (s )
#0
"
1 + (+1 )
2
GDE
j (s )j
2; 14 s ; s2 4E (s ) 1 1 + 2E (s + 1 ; 2E (s ) 2s s2 ; + 2; 41 !3=2 1 ; 2E (s s2 2
) : )
zAME^ANIE 4.1. pOLXZUQSX FORMULOJ 8]
0 p c Ln(s ) s = nLn;1(s + 1) > ;1 n 2 N (38) IZ TEOREMY 4.1 MOVNO POLU^ITX ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ L@BYH TAKIH, ^TO > ;1 I 6= ; 32 + m, GDE m 2 N . c
zAME^ANIE 4.2. fORMULA 8]
s
0 Ln(s ) s
c
= nLcn(s ) +
r
(n + )nLcn;1(s )
(39)
23
S ISPOLXZOWANIEM REZULXTATOW TEOREMY 4.1 DAET NOWYE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY.
zAME^ANIE 4.3. aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ ISKL@^ENNYH SLU^AEW = ; 32 + m, GDE m 2 N , MOGUT BYTX POLU^ENY S
POMO]X@ REZULXTATOW TEOREM 2.1 I 2.2, FORMUL (38) I (39) I FORMUL 8] d (x) = L c (x2 ;1=2) H 2n n d c 2 H 2n+1 (x) = xLn (x 1=2):
|TOT SLU^AJ ZAME^ATELEN TEM, ^TO W OTLI^IE OT DRUGIH PARAMETROW ZDESX IME@TSQ ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY W NA^ALE KOORDINAT.
w ZAKL@^ENIE GLAWY DAETSQ ASIMPTOTIKA DLQ KO\FFICIENTA K (1) WMESTE S ^ISLENNYMI OCENKAMI NA EE OSTATO^NYJ ^LEN. w STATXE 20] SFORMULIROWANY WOSEMX NEREENNYH ZADA^ IZ TEORII KLASSI^ESKIH ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW. tRI ZADA^I DLQ MNOGO^LENOW ~EBYEWA{|RMITA I ~EBYEWA{lAGERRA FORMULIRU@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: zADA^A 1. nAJTI POSLEDOWATELXNOSTX fAngn2N MAKSIMALXNOGO ROSTA TAKU@, ^TO WYPOLNENO NERAWENSTWO d (x) e;x2=2 C1 x 2 ;A A ]: H (40) n n n n1=4 zADA^A 2. nAJTI NAIMENXEE ! , DLQ KOTOROGO SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO d (x) H n ;x2=2 C2(! ) e 1=4 x 2 R : 1 + jxj! n zADA^A 3. nAJTI POSLEDOWATELXNOSTX fBngn2N MAKSIMALXNOGO ROSTA TAKU@, ^TO WYPOLNENO NERAWENSTWO C3() 1 ; x c + x 2 4 e 2 Ln(x ) n1=4 > ;1=2 x 2 0 Bn]: (41)
24
w ZADA^AH IMEETSQ W WIDU, ^TO C1 C2(!) C3() { NEKOTORYE KONSTANTY, NE ZAWISQ]IE OT n. |TI ZADA^I SWQZANY S WOPROSOM SHODIMOSTI W TO^KE NA PRQMOJ RQDA fURXE PO SOOTWETSTWU@]IM MNOGO^LENAM. pUSTX n X d (x) Sn(x f ) = ak (f )H (42) k k=1
{ ^ASTI^NAQ SUMMA RQDA fURXE f (x) PO MNOGO^LENAM ~EBYEWA|RMITA,
1 ;x2 d ak (f ) = e f (x)Hk (x)dx ;1 d (x)g . { KO\FFICIENT fURXE PO ORTONORMALXNOJ SISTEME fH n n2N tOGDA SPRAWEDLIWA FORMULA 8] v u u n + 1 u d d t a ( )H (x) ; a ( )H (x) f (x) ; S (x f ) = + Z
n
2
n x
n+1
n+1 x
n
(43)
GDE
f (t)
x(t) = f (xx) ; ;t { WSPOMOGATELXNAQ FUNKCIQ. eSLI DOKAZATX, ^TO PRI FIKSIROWANNOM x 2 R 0 d (x) = O @ H n
1
1 A
1
1 A
n1=4
0 an( x) = O @
(44)
(45) n1=4 TO, KAK WIDNO IZ FORMULY (43), MOVNO BUDET UTWERVDATX OB OGRANI^ENNOSTI W TO^KE x OSTATO^NOGO ^LENA RQDA fURXE (42). rEENIE ZADA^ 1 I 2 DALO BY OTWET NA WOPROS, PRI KAKIH x I f (x) WOZMOVNY SOOTWETSTWENNO NERAWENSTWA (44) I (45).
25
w MONOGRAFII 8] DOKAZYWALOSX, ^TO (40) SPRAWEDLIWO PRI 0 11=3 An = @ 3 A (2n + 1)1=6
2 I DAWALASX OCENKA ! 5=2. dLQ MNOGO^LENOW ~EBYEWA{lAGERRA TAM VE 8] NERAWENSTWO (41) DOKAZYWALOSX DLQ Bn = n3=11. w DALXNEJEM BYLO DOKAZANO 14], ^TO 9n0 n0 > 0 g1 0 < g1 < 1 8n > n0 PRI Bn = 4g1n SPRAWEDLIWO (41). w KA^ESTWE SLEDSTWIQ IZ \TOGO REZULXTATA DOKAZYWALOSX , ^TO 9n1 n1 > 0 g2 0 < g2 < p 1 8n > n1 PRI An = g2 2n SPRAWEDLIWO (40). w PQTOJ GLAWE DAETSQ POLNOE REENIE ZADA^ 1{3 21]. dOKAZYWAETSQ SLEDU@]EE. tEOREMA 5.1. nERAWENSTWO (41) WYPOLNENO TOGDA I TOLXKO
TOGDA, KOGDA WYPOLNENO USLOWIE
lim n!+1
Bn < 4: n
sLEDSTWIE 5.1. nERAWENSTWO (40) WYPOLNENO TOGDA I TOLX-
KO TOGDA, KOGDA WYPOLNENO USLOWIE
p A n p < 2: lim n! +1 n w PQTOJ GLAWE TAKVE DOKAZYWAETSQ, ^TO ! = 1=3.
26
1 oSNOWNAQ LEMMA
dLQ WYWODA ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL NEOBHODIMO SFORMULIROWATX I DOKAZATX DWE LEMMY. |TI UTWERVDENIQ SODERVAT OCENKI DLQ PRIBLIVENNYH FORMUL REENIJ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA. oBLASTX OPREDELENIQ QWLQETSQ PROMEVUTKOM NA R . rASSMATRIWA@TSQ DWA SLU^AQ: KONE^NOGO OTREZKA I BESKONE^NOGO POLUOTREZKA. fAKTI^ESKI WYWODQTSQ TE VE FORMULY, ^TO I S POMO]X@ PERWOGO AGA wkb-METODA 9]. cENNOSTX \TIH PREDLOVENIJ ZAKL@^AETSQ W POLU^ENII NEPOSREDSTWENNYH OCENOK DLQ OSTATO^NYH ^LENOW ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL. rASSMOTRIM URAWNENIE 00 ; Q(x )y = 0 yxx (1.1) GDE y = y(x ) 2 { NEKOTOROE MNOVESTWO PARAMETROW (DALEE = R ILI N ). wWEDEM OBOZNA^ENIQ: 5 (Q0(x ))2 1 Q00(x ) (x Q) = 8 (Q(x ))3=2 ; 32 (Q(x ))5=2
(x0 x ) =
Zx r x0
Zb
Q(t )dt
1(x Q) = j(t Q)jdt x
(1.2) (1.3) (1.4)
1() = (1 ; 21(a Q));1: (1.5) sEJ^AS MY RASSMATRIWAEM SLU^AJ KONE^NOGO OTREZKA x 2 a b].
27
lEMMA 1.1. pUSTX 8 2 Q(x ) { KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNK-
Q00(x ) NEPRERYWNA PRI x 2 a b] I Q(x ) 6= 0 x 2 a b]: (1.6) p pUSTX NA a b] MOVNO WYDELITX WETWX Q, TAKU@, ^TO r <e Q(x ) 0 x 2 a b] (1.7) CIQ,
I WYPOLNENO USLOWIE
tOGDA 8 2 KOE,^TO PRI
1(a Q) < 12 :
URAWNENIE x 2 a b]
(1.1) IMEET REENIE
(1.8)
y(x ),
TA-
jy(x ) ; Q;1=4(x ) exp(; (x0 x ))j 41()jQ(x )j;1=4 exp(;<e (x0 x ))1(x Q) (1.9) jy0(x ) + Q1=4(x ) exp(; (x0 x ))j jQ(x )j1=4 exp(;<e (x0 x )) 41()1(x Q) + ! 1 0 ; 3=2 + jQ (x )jjQ(x )j (1 + 41()1(x Q)) : (1.10) 4 p
wETWX Q W FORMULAH (1.9), (1.10) WYBRANA W SOOTWETSTWII S (1.7), x0 2 a b]. p 4 wETWX Q WYBIRAETSQ IZ SOOTNOENIQ rq q4 Q = Q.
dLQ KOMPAKTNOSTI IZLOVENIQ W BOLXINSTWE SLU^AEW OBOZNA^ENIQ PEREMENNYH U FUNKCIJ OPUSKA@TSQ. nAPRIMER, WMESTO Q(x ) PIETSQ PROSTO Q, A WMESTO (x0 x ) { .
28
zAFIKSIRUEM 2 . sWEDEM URAWNENIE (1.1) K SISTEME PERWOGO PORQDKA 0 10 0 10 1 B@ y CA = B@ 0 1 CA B@ y CA : (1.11) y0 Q 0 y0 sDELAEM PREOBRAZOWANIE 0 1 0 1 B@ y CA = X (x) B@ v1 CA (1.12) y0 v2 GDE
dOKAZATELXSTWO.
0 X (x) = BB@ p
i]EM
1 0 1 1 1 1 1 C B C p 0 0 C A = @ e e A: Q Q Q ; 4Q ; Q ; 4Q a b 0 e1 e c d X ;1(x) = B@ ee ff CA, GDE 0 10 1 0 1 e e B@ 1 1 CA B@ c d CA = B@ 1 0 CA ae be ee ff 0 1
OTS@DA I
8 > < ce + ee = 1 > : ae ce + be ee = 0
8 > < ee = ae;ae eb ) >: e c = ; ae;eb eb
8 e f > < d+f =0 > : ae de + be ff = 1
8 f > < f = ; ae;1 eb ) >: de = 1 : ae;eb
tAKIM OBRAZOM, POLU^AEM 0p 1 1 0 e 0 Q b 1 CA = p1 BB pQ + 4Q0 1 CC X ;1(x) = ae ;1 be B@ ; ae ;1 2 Q @ Q ; 4QQ ;1 A I 0 1 0 1 v B@ 1 CA = X ;1(x) B@ y CA : (1.13) v2 y0
29
nAJDEM MATRICU A(x) TAKU@, ^TO 0 10 0 1 v B@ 1 CA = A(x) B@ v1 CA : (1.14) v2 v2 sNA^ALA WY^ISLIM PROIZWODNYE KOMPONENT MATRICY X ;1(x), POLAGAQ PO OPREDELENI@ X ;1(x) = (kij (x)) D(x) = (kij0 (x)) i = 1 2 j = 1 2: 0 0 110 0 Q 1=2 1 CCCC Q + = D(x) = BB@ 2Q11=2 BB@ 1=2 4QQ0 Q ; 4Q ;1 AA 0 1 0 Q 1=2 0 1 CC Q Q + = ; 3=2 BB@ 1=2 4QQ0 A+ 4Q Q ; 4Q ;1
0 1 B + 1=2 BB@ 2Q
1 2 1 2
1 00 Q;(Q0 )2 Q ; 1=2 0 Q Q + 4Q2 0 CCC 00 Q;(Q0 )2 A= Q ; 1=2 0 0 Q Q; 2
0 00 3(Q0 )2 BB 8QQ3=2 ; 16Q5=2 = B@ Q00 3(Q0)2 ; 8Q3=2 + 16Q5=2
4Q
0 ; 4QQ3=2 Q0 4Q3=2
1 CC CA :
iSPOLXZUQ FORMULY (1.11), (1.12), (1.13), (1.14), POLU^AEM 0 1 A(x) = D(x)X (x) + X ;1(x) B@ 0Q 10 CA X (x): s^ITAEM OTDELXNO KAVDOE SLAGAEMOE: 0 00 0 3(Q0 )2 Q BB 8Q3=2 ; 16Q5=2 ; 4QQ3=2 D(x)X (x) = B@ Q00 3(Q0)2 0 ; 8Q3=2 + 16Q5=2 4QQ3=2 0 1 1 1 BB@ Q1=2 ; Q0 ;Q1=2 ; Q0 CCA = 4Q 4Q
1 CC CA
30
1 Q00 ; (Q0)2 + Q0 C 4Q C 8Q3=2 8Q5=2 0 2 00 0 C A: (Q ) Q Q ; 8Q3=2 + 8Q5=2 ; 4Q 0 1 0 1 0 Q 1=2 Q + 1 CC X ;1(x) B@ 0Q 10 CA X (x) = 2Q11=2 BB@ 1=2 4QQ0 Q ; 4 Q ;1 A 1 0 10 1 1 B@ 0Q 10 CA BB@ Q1=2 ; Q0 ;Q1=2 ; Q0 CCA = 4Q 4Q 0 10 0 0 1 0 Q ; 1=2 Q Q 1 = 2 1 = 2 1 B 1 + 4Q3=2 Q CCC BB Q ; 4Q ;Q ; 4Q CC = BB@ A= 2 1 ; 4QQ30=2 ;Q;1=2 A @ Q Q 0 1 (Q0 )2 (Q0 )2 1=2 Q0 1=2 ;Q ( 2Q3=2 + 16Q3 ) CC 1 B Q (2 ; 3 ) C: = BB@ 1=2 Q160 Q (Q0)2 (Q0 )2 A 1=2 2 ;Q ( 2Q3=2 ; 16Q3 ) Q (;2 + 16Q3 ) 0 00 0 (Q0 )2 BB 8QQ3=2 ; 8Q5=2 ; 4QQ = B@ Q00 (Q0)2 Q0 ; 8Q3=2 + 8Q5=2 + 4Q
sKLADYWAQ, POLU^AEM: 00 0B 1 1 1C (Q0)2 0B ;1 ;1 1C Q A(x) = 8Q3=2 @ ;1 ;1 A + 8Q5=2 @ 1 1 A + 0 0B ;1 1 1C 1=2 0B 1 0 1C Q + @ 1 ;1 A + Q @ 0 ;1 A + 4Q 0 0B 0 ;1 1C (Q0)2 0B ;1 ;1 1C Q @ A= + @ ;1 0 A + 4Q 32Q5=2 1 1 0 1 0 1 0 Q = Q1=2 B@ 10 ;01 CA ; B@ 10 01 CA + 4Q 0 1 Q00 5(Q0)2 ! B@ 1 1 CA : + 3=2 ; 8Q 32Q5=2 ;1 ;1
31
sLEDOWATELXNO, ISPOLXZUQ (1.2) I (1.14), 0 10 0 0 1 0 1 0 Q v 1 0 1 0 B CA ; B@ CA + @ 1 CA = B@Q1=2 B@ v2 0 ;1 4Q 0 1 0 11 0 1 1 1 + (x Q) B@ ;1 ;1 CACA B@ vv1 CA : (1.15) 2
oPREDELIM uj , j = 1 2, IZ SOOTNOENIJ vj = Q;1=4(x ) exp(; (x0 x ))uj j = 1 2: (1.16) u^ITYWAQ OPREDELENIE (1.3), IZ DIFFERENCIROWANIQ FORMULY (1.16) SLEDUET: vj0 = (; 41 Q;5=4Q0 ; Q;1=4Q1=2) exp(; )uj + + Q;1=4 exp(; )u0j : (1.17) pODSTAWLQQ (1.16) I (1.17) W (1.15) I SOKRA]AQ NA Q;1=4 exp(; ), POLU^IM SISTEMU URAWNENIJ: 0 10 0 0 1 0 11 0 1 u 1 0 1 1 B CA + (x Q) B@ CACA B@ u1 CA : (1.18) @ 1 CA = B@2Q1=2 B@ u2 0 0 ;1 ; 1 u2 rASSMOTRIM SISTEMU INTEGRALXNYH URAWNENIJ: 8 Rx > > < u1(x ) = b exp(2 (t x )) (t Q)(u1(t ) + u2(t ))dt Rx > > u ( x ) = 1 ; (t Q)(u1(t ) + u2(t ))dt: : 2 b (1.19) dIFFERENCIRUQ PERWOE URAWNENIE, POLU^AEM, ISPOLXZUQ (1.3): q Zx 0 u1 = 2 Q exp(2 (t x ))(u1 + u2)dt + (u1 + u2) b
pODSTAWLQQ W POLU^ENNOE RAWENSTWO WMESTO INTEGRALA W PRAWOJ ^ASTI u1 (WOZMOVNOSTX TAKOJ PODSTANOWKI SLEDUET IZ PERWOGO URAWNENIQ SISTEMY (1.19)), POLU^IM NI ^TO INOE, KAK PERWOE URAWNENIE
32
SISTEMY (1.18). pRODIFFERENCIROWAW WTOROE URAWNENIE (1.19), MY POLU^IM WTOROE URAWNENIE SISTEMY (1.18). tAKIM OBRAZOM, L@BOE REENIE SISTEMY (1.19), NEPRERYWNOE NA a,b], QWLQETSQ REENIEM SISTEMY (1.18). mOVEM ZAPISATX (1.19) W OPERATORNOJ FORME U = U0 + U (1.20) GDE U = (u1 u2) , U0 = (0 1) I { INTEGRALXNYJ OPERATOR , : C (a b]) C (a b]) ! C (a b]) C (a b]): k URAWNENI@ (1.20) MOVNO PRIMENITX PRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ. rASSMOTRIM C (a b])C (a b]) { BANAHOWO PROSTRANSTWO WEKTORFUNKCIJ U (x) = (u1(x) u2(x)) S NORMOJ kU k = max ( max ju (x)j): i=12 x2ab] i
w PERWOM IZ URAWNENIJ (1.19) MY IMEEM t x ,TAK ^TO <e (t x ) 0 W SILU (1.7). sLEDOWATELXNO, DLQ U = (u1 u2) 2 C (a b]) C (a b]) POLU^AEM IZ (1.19) j( U )j (x )j 2kU k1(x Q) 8x 2 a b], j = 1 2: (1.21) iZ \TOJ OCENKI I (1.8) SLEDUET, ^TO k k < 1: pO\TOMU K URAWNENI@ (1.20) MOVNO PRIMENITX PRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ 4], I \TO URAWNENIE IMEET REENIE U = (u1 u2) TAKOE, ^TO kU k 1(), GDE 1() OPREDELQETSQ IZ (1.5). dEJSTWITELXNO, IZ (1.21): k U k 2kU k1 A DLQ NEPODWIVNOJ TO^KI U U = U0 + U
33
PO\TOMU, TAK KAK U0 = (0 1) kU k ; 1 kU ; U0k 2kU k1 T.E. kU k (1 ; 21);1: iZ RAWENSTWA uj = (U0 + U )j j = 1 2 I (1.21) POLU^AEM ju1(x )j 21()1(x Q) (1.22) ju2(x ) ; 1j 21()1(x Q): rEENIE U W SILU ZAME^ANIJ, SDELANNYH RANEE, QWLQETSQ REENIEM SISTEMY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ (1.18). iSPOLXZUQ ZAMENY (1.12) I (1.16), MOVEM POLU^ITX REENIE ISHODNOGO URAWNENIQ (1.11), DLQ KOTOROGO, W SILU TEH VE ZAMEN I NERAWENSTW (1.22), SPRAWEDLIWY OCENKI, PRIWODIMYE W LEMME. aNALOG \TOJ LEMMY SODERVITSQ W 2]. eGO SU]ESTWENNYM OTLI^IEM QWLQETSQ FORMULIROWKA DLQ INTERWALA (a,b). dLQ DOKAZATELXSTWA W \TOM SLU^AE SLEDUET ZAMENITX PROSTRANSTWO NEPRERYWNYH NA OTREZKE a b] FUNKCIJ C a b] NA PROSTRANSTWO NEPRERYWNYH I OGRANI^ENNYH NA INTERWALE (a b) FUNKCIJ M (a b). oCENKI, PODOBNYE PRIWEDENNYM W LEMME, IME@T MESTO I DLQ BESKONE^NOGO POLUINTERWALA 1 +1). pUSTX +Z1 2(x Q) = j(t Q)jdt (1.23) x
2() = (1 ; 22(1 Q));1: iMEET MESTO
(1.24)
34
lEMMA 1.2. pUSTX 8 2 Q(x ) { KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ, PRI^EM
Q00(x ) NEPRERYWNA NA 1 +1) I Q(x ) 6= 0 x 2 1 +1):
(1.25) p
pUSTX NA 1 +1) MOVNO WYDELITX WETWX FUNKCII KORNQ Q, TAKU@, ^TO r Re Q(x ) 0 x 2 1 +1) (1.26) I WYPOLNENO USLOWIE
2(1 Q) < 12 :
(1.27)
tOGDA 8 2 URAWNENIE (1.1) IMEET REENIE y (x ), TAKOE, ^TO PRI x 2 1 +1) SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE OCENKI
jy(x ) ; Q;1=4(x ) exp(; (1 x ))j 42()jQ(x )j;1=4 exp(;Re (1 x ))2(x Q) (1.28)
I
jy0(x ) + Q1=4(x ) exp(; (1 x ))j jQ(x )j1=4 exp(;Re (1 x ))(42()2(x Q) + 1 + jQ0(x )jjQ(x )j;3=2(1 + 42()2(x Q))): (1.29) 4 p
wETWX Q W FORMULAH (1.28), (1.29) WYBRANA W SOOTWETSTWII S (1.26). p 4 wETWX Q WYBIRAETSQ IZ SOOTNOENIQ rq q4
Q = Q: dOKAZATELXSTWO. pOLXZUQSX PREOBRAZOWANIQMI (1.12), (1.16), SWEDEM URAWNENIE (1.1) K SISTEME PERWOGO PORQDKA (1.18).
35
zAMENIM \TU SISTEMU SISTEMOJ INTEGRALXNYH URAWNENIJ 8 Rx > > u ( x ) = exp(2 (t x ))(t Q)(u1(t ) + u2(t ))dt 1 < +1 Rx > > u ( x ) = 1 ; (t Q)(u1(t ) + u2(t ))dt: : 2 +1 ILI W OPERATORNOJ FORME U = U0 + U (1.30) GDE U = (u1 u2) , U0 = (0 1) I -INTEGRALXNYJ OPERATOR , : Cb(1 +1)) Cb(1 +1)) ! Cb(1 +1)) Cb(1 +1)): tAK KAK Cb(1 +1)) Cb(1 +1)) { BANAHOWO PROSTRANSTWO WEKTOR-FUNKCIJ U (x) = (u1(x) u2(x)) S NORMOJ 0 1 @ max jui(x)jA kU k = max i=12 x21+1)
I WYPOLNENO USLOWIE
k k < 1 POLU^AEMOE ANALOGI^NO LEMME 1.1 IZ USLOWIQ (1.27), PRIMENQEM K SISTEME (1.30) PRINCIP SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ. pROWODQ TE VE RASSUVDENIQ ^TO I PRI DOKAZATELXSTWE LEMMY 1.1, S NEBOLXIMI IZMENENIQMI ( WMESTO 1 I 1 SLEDUET POSTAWITX 2 I 2), POLU^IM TREBUEMYE NERAWENSTWA (1.28) I (1.29).
36
2 fORMULA pLAN ERELQ{rOTAHA DLQ FUNKCIJ ~EBYEWA{|RMITA
mNOGO^LENY ~EBYEWA{|RMITA { \TO MNOVESTWO KLASSI^ESKIH ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW, OPREDELENNYH NA WSEJ ^ISLOWOJ PRQMOJ. |TOT FAKT GOWORIT O TOM, ^TO ZDESX MY IMEEM DELO S NAIBOLEE INTERESNYM I W TO VE WREMQ NAIBOLEE SLOVNYM SLU^AEM SREDI WSEH KLASSI^ESKIH ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW. pOLINOMY ~EBYEWA{|RMITA QWLQ@TSQ ORTOGONALXNYMI NA R 2 S WESOM e;s I OPREDELQ@TSQ PO FORMULE 8] nes2 (e;s2 )(n) ( ; 1) d (s) = r H n2N (2.1) n n!2np w TEORII FUNKCIJ I PRIKLADNYH ZADA^AH IROKOE PRIMENENIE d (s), IME@T TAK NAZYWAEMYE FUNKCII ~EBYEWA{|RMITA e;s2=2H n W TERMINAH KOTORYH BUDUT SFORMULIROWANY DALXNEJIE REZULXTATY. kAK IZWESTNO, \TI FUNKCII UDOWLETWORQ@T LINEJNOMU DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA 8] wss00 (s ) + ( ; s2)w(s ) = 0 = 2n + 1 (2.2) ^TO POZWOLQET GOWORITX O WOZMOVNOSTI PRIMENENIQ LEMM 1.1 I 1.2 GLAWY I. oKAZYWAETSQ, S IH POMO]X@ MOGUT BYTX POLU^ENY IZWESTNYE FORMULY pLANERELQ{rOTAHA, WYWEDENNYE E]E W 1929 GODU 17] I QWLQ@]IESQ ^ASTNYM SLU^AEM BOLEE OB]EGO REZULXTATA, PRIPISYWAEMOGO sKOWGORU 12], 19]. wAVNO ZAMETITX, ^TO 8] d (;s) (;1)nH d (s) 8s 2 R H (2: ) n n ^TO POZWOLQET RASSMATRIWATX MNOGO^LENY LIX NA POLUINTERWALE 0 +1), A ZATEM, S POMO]X@ DANNOJ FORMULY, RASPROSTRANITX REZULXTATY DLQ OTRICATELXNYH s.
37
dALEE BUDUTpRASSMOTRENY DWA SLU^AQ: KONE^NOGO PROMEVUTKA p , KOGDA 0 s < , I POLUBESKONE^NOGO INTERWALA, KOGDA s > . w PERWOM SLU^AE DOKAVEM SLEDU@]U@ TEOREMU pUSTX A(s n) = 4(2n + 1 ;10ss2)3=2 ; 5s B (s n) = 2(2n + 1s; s2)3=2 : tEOREMA 2.1. pRI USLOWIQH n 2 s 0, 0 12=3 s2 + @ 5 sA < 2n + 1
(2.3)
j(B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1j < 1
(2.4)
4
SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY:
v u u 2 ; s = 2d 1) e Hn(s) = ut 2 Kn p4
1 2 2n + 1 ; s " Zs r ! # 1 + " (n) n 1 2 cos 2n + 1 ; d ; + q1(s n) (2.5) 2 1 + p ( s n ) 0
GDE
8 r4 > < 2n2+1 Kn = >: r4 2nn PRI PRI 2n+1
n = 2m n = 2m + 1
8 1=(2n) > < (e ; 1)(e1=(4n) + 1)=2 PRI n = 2m j"1(n)j >: n;1 1 1=(4n) e (e + 1)=2 ; 1 PRI n = 2m + 1
jp(s n)j (B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1 jq1(s n)j (B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1 PRI n = 2m
(2.6) (2.7)
38
jq1(s n)j (A(s n) + 1)2 ; 1 PRI n = 2m + 1: 2)
#0
"
d (s) e;s2=2H n s "
0
v u u 4 2 p u t = Kn 2n + 1 ; s2
! # 1 + " (n) n 1 2n + 1 ; d ; + q2(s n) (2.9) 2 1 + p(s n)
Zs r
; sin
(2.8)
2
jq2(s n)j (B (s n) + 1)2(A(s n) + 1)2 ; 1 PRI n = 2m jq2(s n)j (B (s n) + 1)(A(s n) + 1)2 ; 1 PRI n = 2m + 1: v u u 2 ; s = 2d 3) se Hn(s) = ut 2 Kn;1 p4
p
2n 2 2n ; 1 ; s " Zs r ! # 1 + " (n ; 1) n 1 ; sin 2n ; 1 ; 2d ; + q1(s n ; 1) ; 2 1 + p ( s n ; 1) 0 v u u 4 2 p u t ; Kn 2n + 1 ; s2 " Zs r ! # 1 + " (n) n 1 ; sin 2n + 1 ; 2d ; + q2(s n) (2.10) 2 1 + p ( s n ) 0 GDE n 3. oBLASTX OPREDELENIQ FORMULY (2.10) OGRANI^ENA USLOWIQMI (2.3) I (2.4) S ZAMENOJ W NIH n NA n ; 1. s POMO]X@ FORMULY (2: ) FORMULY (2.5), (2.9) I (2.10) MOGUT BYTX WIDOIZMENENY DLQ OTRICATELXNYH s.
sDELAEM ZAMENU PEREMENNOJ W (2.2) x = pfs1() , y(x ) = w(s ), GDE f1 = f1() { NEKOTORAQ FUNKCIQ OT PARAMETRA TAKAQ, ^TO DLQ 1() = 2=3(1 ; f1()) WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ lim () = +1 !+1 1 dOKAZATELXSTWO.
39
0 < 1() < 2=3 8 2 N :
iZ URAWNENIQ (2.2) POLU^AEM 2 00 (x ) ; 2f1()(f1()x2 ; 1)y(x ) = 0 x 2 6640 yxx
1 f1()
r
1 CC A:
rASSMOTRIM \TO URAWNENIE NA OTREZKE 0 1] I PRIMENIM K NEMU LEMMU 1.1. tAK KAK W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE Q(x ) = 2f1()(f1()x2 ; 1) < 0 8x 2 0 1] 8 2 N TO MOVNO WYDELITX DWE WETWI KORNQ p TAKIH p , ^TO WYPOLNENO p (1.7): PERWAQ UDOWLETWORQET USLOWI@ ;a = { a PRI a > 0 a { GLAW(m) p (b1) p(m) NAQ WETWX KORNQ, WTORAQ | ;a = ;{ a PRI a > 0. dALEE POD (b2 ) (m) ZNAKOM KORNQ BUDET PODRAZUMEWATXSQ GLAWNAQ WETWX, A WOZMOVNOSTX WYBORA ODNOJ IZ WETWEJ (b1) ILI (b2) BUDET OTME^ATXSQ ZNAKOM . iSPOLXZUQ OCENKI LEMMY, NESLOVNO POLU^ITX SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ DWUH ^ASTNYH REENIJ1 URAWNENIQ (2.2): 0 CC BB Zs r 1 2 B c ; dCCA (1 + 12(s )) w12(s ) = p4 exp B@{p 2 ;s f1() (2.11) r GDE s 2 0 f1()], 0. dLQ IH PROIZWODNYH SPRAWEDLIWO
wc10 2(s
0 1 BB CC Zs r p 4 2 2 B ; dCCA ) = { ; s exp B@{p f1()
(1 + 12(s )) (2.12) r GDE s 2 0 f1()], 0. iME@T MESTO OCENKI: 41(0 Q) j12(s )j 1 ; 21(0 Q)
40
0 1 0 41(0 Q) jQ j B@ 41(0 Q) CA j12(s )j + 1 + 1 ; 21(0 Q) 4jQj3=2 1 ; 21(0 Q) GDE 2s jQ0j 22f12()x = = jQj3=2 (2f1()(1 ; f1()x2))3=2 ( ; s2)3=2 Z1 f11=2() (; 3 f1()x2 ; 1 ) 8 4 Q) = 2 5 = (1 ; f1()x ) 2
5f11=2() 1(0 8 0 Z1 1 5f11=2() dx 3=2 : (2.13) 2 )5=2 (1 ; f ( ) x 1 8 1 () 0 oPREDELITELX wRONSKOGO REENIJ (2.11) IMEET WID:
W = {(2 + 1(s ) + 2(s ) + 2(s ) + 1(s ) + + 1(s )2(s ) + 2(s )1(s )): nEOBHODIMYM I DOSTATO^NYM USLOWIEM LINEJNOJ NEZAWISIMOSTI REENIJ (2.11) QWLQETSQ W 6= 0. nAJDEM 1 0 TAKOE, ^TO PRI 1: j1(s ) + 2(s ) + 2(s ) + 1(s ) + + 1(s )2(s ) + 2(s )1(s )j < 2: (2.14) wOSPOLXZUEMSQ TEM FAKTOM, ^TO L@BOE REENIE DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA PREDSTAWIMO W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII DWUH ^ASTNYH REENIJ 6]. i]EM ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU DLQ FUNKCIJ ~EBYEWA{|RMITA W WIDE d (s) = C (n)w c1(s 2n + 1) + C2(n)w c2(s 2n + 1): (2.15) e;s2=2H n 1 rASSMOTRIM SISTEMU DLQ NAHOVDENIQ KO\FFICIENTOW: 8 d (0) > c1(0 2n + 1) + C2(n)w c2(0 2n + 1) = H < C1(n)w n (2.16) d > 0 0 : C1(n)w c1(0 2n + 1) + C2(n)w c2(0 2n + 1) = Hn0 (0):
41
iZWESTNO, ^TO 8], 7]:
p
2m! d0 d (0) = (;1)m H 2m m!2m1=4 H2m(0) = 0
r
d d0 m (2m + 1)! H (0) = 0 H (0) = ( ; 1) 2m+1 2m+1 m!2m;1=21=4 m 2 f0g N : (2.17) d (0) I H d0 nAJDEM ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ H 2m 2m+1 (0). dLQ \TOGO PRIDETSQ WOSPOLXZOWATXSQ SLEDU@]IMI OCENKAMI: p m+1=2 ;m m! = 2m e (1 + r1(m)) GDE 0 < r1(m) < e1=(4m) ; 1
(2.18)
1 = 1 + r2(x) 0 < x < 1 GDE ; x < r2(x) < 0 (2.19) 1+x p 1 + x = 1 + r3(x) 0 < x < 1 GDE 0 < r3(x) < x=2: (2.20) pERWAQ IZ NIH | FORMULA sTIRLINGA 5], DWE DRUGIE | SLEDSTWIE TEOREMY OB OCENKE RQDA lEJBNICA, PRIMENENNOE K SOOTWETSTWU@]IM RQDAM tEJLORA. pOLXZUQSX IMI, POLU^IM r
(2)1=2(2m)2m+1=2e;2m(1 + r1(2m)) = 2m (2r)1=2mm+1=2e;m(1 + r1(m))2m1=4 1 + r1(2m) 21=4 21=4 m m = (;1) 1=2 (2m)1=4 1 + r1(m) = (;1) 1=2(2m)1=4 (1+a1(m)): (2.21) iZ (2.19) I (2.20) 1=(8m) r e ;1 1 + r1(2m) = 1 + r4(m) GDE 0 < r4(m) < 2 1 = 1 + r5(m) GDE 1 ; e1=(4m) < r5(m) < 0: 1 + r1(m) d H
(0) = (;1)m
42
zAMETIM, ^TO
e1=(8m) ; 1 < e1=(4m) ; 18m 2 N 2
SLEDOWATELXNO
ja1(m)j = jr4(m) + r5(m) + r4(m)r5(m)j maxfjr4(m)j jr5(m) + r4(m)r5(m)jg
1=(8m) e +1 : (2.22) ; 1) 2
(e d0 bOLEE PODROBNO OSTANOWIMSQ NA H 2m+1 (0). sPRAWEDLIWO 1=(4m)
0 1m 2 m + 1 @ A
2m
00 = B@@1 +
GDE SOGLASNO 5] IMEEM 0 > r6(n) =
1+1+
1
1 2!
1
1 1A2mCA1=2 1=2 = e (1 + r6(2m))1=2 2m
1;n + 1
;
+P 1 1+2+:::+(k 1) n k=2 k!
1 3!
1 ; n 1 ; n + ::: ; e
e
1
2
1 1 = ; : (2.24) e 2ne k=2 (k ; 2)! 2n wTOROE NERAWENSTWO W (2.24) DOKAZYWAETSQ METODOM MATEMATI^ESKOJ INDUKCII. iZ (2.23) SLEDUET 1m 0 2 m + 1 A = e1=2(1 + r7(m)) @ (2.25) 2m p GDE SOGLASNO FORMULE tEJLORA DLQ FUNKCII 1 + x W TO^KE x = 0 jr6(2m)j +X1 (2k ; 3)!! k 0 r7(m) = ; ; j r (2 m ) j 6 2 k=2 2k k ! 1 1 +1 : ; X jr6(2m)jk ; 2 k=1 8m + 2
;
=;
1
1
(2.23)
+X
43
iSPOLXZUQ (2.20) I (2.25), POLU^AEM 0 1m+1=2 2 m + 1 @ A = e1=2(1 + r8(m)) 2m 8 0 1 0 1 9 = s > 0: (2.29) nAJDEM TAKOE ", ^TO 23 > " > 0 I r s = (1 ; ;2=3+") I POLOVIM 1() = " = ;1=3( ; s2) 1 2m
=
44
r
pRI DANNOM 1() FORMULA (2.5) OPREDELENA NA OTREZKE 0 f1()] = 0 s]. nEOBHODIMYM USLOWIEM DLQ SPRAWEDLIWOSTI (2.5) QWLQETSQ USLOWIE (1.8) LEMMY 1.1, KOTOROE, SOGLASNO (2.13), MOVET BYTX ZAMENENO NA USLOWIE 5f11=2() 1 1(0 Q) 3=2 < 2 8 1 () ^TO \KWIWALENTNO (2.3). nETRUDNO DOKAZATX, ^TO IZ USLOWIQ (2.3) PRI n 2 SLEDUET LEWOE NERAWENSTWO W (2.29). e]E ODNIM NEOBHODIMYM USLOWIEM QWLQETSQ (2.14). iSPOLXZUQ OCENKI DLQ 12(s ) I 12(s ), MOVNO NALOVITX WMESTO NEGO USLOWIE (2.4). nERAWENSTWA (2.6)-(2.8) WYPOLNQ@TSQ I PRI s = 0. dLQ \TOGO DOSTATO^NO USMOTRETX W FORMULAH (2.11) I (2.12) SU]ESTWOWANIE PREDELOW lim (s s!0 i
) I slim !0i(s ) i = 1 2 PRI FIKSIROWANNOM . pERWAQ ^ASTX TEOREMY DOKAZANA POLNOSTX@. aNALOGI^NO (2.5) S POMO]X@ (2.12) WYWODITSQ FORMULA (2.9). oSTAETSQ DOKAZATX FORMULU (2.10). dIFFERENCIRUQ FUNKCII ~EBYEWA-|RMITA, POLU^IM " 2 #0 d (s) + e;s2=2H d0 (s): ; s = 2d e Hn(s) = ;se;s2=2H (2.30) n n s
iZWESTNO, ^TO 8], 7]:
p d d 0 Hn(s) = 2nHn;1(s):
pODSTAWLQQ (2.5), (2.31), (2.9) W (2.30), POLU^IM (2.10).
(2.31)
45
dLQ INTEGRALA W FORMULAH (2.5), (2.9) I (2.10) IMEET MESTO QWNOE WYRAVENIE. p zAME^ANIE 2.1. pRI 0 s , GDE > 0, 2 3 Zs r p s s ; 2d = 2 4arcsin p + ; s25 : 0 dLQ BESKONE^NOGO SLU^AQ SPRAWEDLIWA TEOREMA. tEOREMA 2.2. pRI n 1 SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY: 1)
d (s) = e;s2=2H n
1 ; r4 = e (2)1=2 s2 ; (2n + 1)
r
p
s ps2 (2n+1)+ 2n+1 ln s+ ps2;(2n+1) 2 2 2n+1
;
1 + (s 2n + 1) (2.32) (1 + (+1 2n + 1))(1 + "2(n))
! GDE s 2 2n + 1 + (2(2n + 1)) +1 , A ^LENY (s 2n + 1), (+1 2n + 1) I "2(n) IGRA@T ROLX POGRENOSTEJ I DLQ NIH SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE: A) DLQ KAVDOGO FIKSIROWANNOGO n PREDEL 1=3
(+1 2n + 1) = s!lim (s 2n + 1) +1
SU]ESTWUET I KONE^EN B) WYPOLNENY OCENKI 8 p =2 > 2 21p > < j(s )j >> (s22p;2)3=2; 21=2 : ;p2
r
1=3
s 2 + (2) p GDE s 2 GDE
p ! 2 (2.33)
9
1 32(2n+1) (e 4n + 1) e j" (n)j ; 1:
2
2
(2.34)
46
;s2=2 d 0 2) e Hn(s) s r4
=
s+ps2;(2n+1) p s ; (2n + 1) ; 2s s2;(2n+1)+ 2n2+1 ln p2n+1 e =; (2)1=2 1 + (s 2n + 1) (2.35) (1 + (+1 2n + 1))(1 + "2(n)) r ! 1=3 GDE s 2 (2n + 1) + (2(2n + 1)) +1 I 2 3=2 p 1=2 ! 8 p21=2 1=2 > (s ;) +p2 2 > p p + > 3 = 2 1 = 2 3 = 2 2 2 ( s ; ) ; 2 2( s ; ) ( 21=2 ! > r s2;)3=2; p > > < GDE s 2 + (2)1=3 2 j (s )j >> p2 5 + p p2) > > 2 ( ; > p > : GDE s 2: (2.36) 2
pRIMENENIE FORMUL (2.30) I (2.31) K (2.32) I (2.35) DAET NOWU@ ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU. oNA I FORMULY (2.32) I (2.35) MOGUT BYTX WIDOIZMENENY DLQ SLU^AQ OTRICATELXNYH s S POMO]X@ FORMULY (2: ).
wWEDEM WSPOMOGATELXNYE FUNKCII, KOTORYE BUDUT SLUVITX W DALXNEJEM PRI OCENKE OSTATO^NOGO ^LENA I OGRANI^ENII OBLASTI OPREDELENIQ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULY. pUSTX 2 : (0 +1) ! (0 +1) 2 = 2() lim () = +1 (2.37) !+1 2
dOKAZATELXSTWO.
f2() = 1 + ;2=3 2(): sDELAEM ZAMENU PEREMENNOJ W (2.2): x = r s y(x ) = w(s ): f2()
47
tOGDA
00 (x ) = wss00 (s )f2() yxx
; s2 = (1 ; f2()x2)
I POLU^IM 0 1 00 (x ) ; 2f2()(f2()x2 ; 1)y(x ) = 0 x 2 BB@ r 1 +1CCA : yxx f2()
(2.38)
k \TOMU URAWNENI@ PRIMENIM LEMMU 1.2. pOLOVIM Q(x ) = 2f2()(f2()x2 ; 1), I RASSMOTRIM (2.38) PRI x 2 1 +1). tOGDA Q(x ) > 0 TAK KAK f2() > 1. w KA^ESTWE WETWI KORNQ WYBIRAEM GLAWNU@ WETWX. w RASSMATRIWAEMOM SLU^AE, PRINIMAQ OBOZNA^ENIQ LEMMY, IMEEM 1=2 1 3 2 f 2 () (; 8 f2 ()x ; 4 ) (x Q) == (f ()x2 ; 1)5=2 2 1=2 +Z1 3 f ()t2 + 1 +Z 1 f 2 () 8 2 4 dt: 2(1 Q) = j(t Q)jdt = 2 5=2 1 (f2 ()t ; 1) 1 r pROWODQ ZAMENU 1 = f2()t W INTEGRALE, POLU^IM 1 +Z1 38 12 + 41 2(1 Q) = p ( 2 ; 1)5=2 d1 = f2() 1 0 1 CC 1 BBB 3 +Z1 1 1 5 +Z1 C: = B@ p d d 1+ 1C 2 2 3 = 2 5 = 2 A 8 f2() (1 ; 1) 8 pf () (1 ; 1) 2
48
zAMENA
2
v u u = ut1 ;
PRIWODIT K WIDU
2(1 Q) = GDE
1
12
0 1 2 1 1 Z Z 1 BB 3 1 5 1 ; 2 CC d + @ 8 xe() 22 2 8 xe() 24 d2A = 0 1 1 1 1 5 1 = B@ ; e + e 3 CA e 3 24 4x() 24x () 4x () v u u xe () = ut1 ;
(2.39)
1 f2() :
dLQ TOGO, ^TOBY MOVNO BYLO PRIMENITX LEMMU, NADO, ^TOBY WYRAVENIE (2.39) BYLO STROGO MENXE 1=2. nALOVIM USLOWIE: zAMETIM, ^TO
lim !+1
1 xe 3() = 0
(2.40)
p 1=2 p (1 + y) = (1 + 3y + 3y + y ) 1 + 3y + 3y + y3=2 8 p > < 1 + 2 3 + y 3=2 0y: 1 + (1 + 2p3)y3=2 PRI PRI y 1: oTS@DA, POLXZUQSX NERAWENSTWOM (1 + y)3=2 5 + 5y3=2 8y 0 3=2
POLU^IM
2
3 1=2
3=2 1 f (1 + ;2=3 2())3=2 5 5 2 ( ) = = : + 3=2 3=2 xe 3() (f2() ; 1)3=2 2 () 2 ()
49
pRI USLOWII (2.37) 92 TAKOE, ^TO 8 2 : 0 5 BB @
2(1 Q) 4
1
+
1 1 CC A
;1 > ;1
57
Q(cos
2 N ) = ; 64
3 A + B + N 275 sin2 cos2
I ( ) = I ( n ) = tEOREMA 3.1.
2
2
Z r =2
jQ(cos N )jd':
9n1 = n1(" ) 8n n1
NA OTREZKE
SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY 0 1+1=2 0 1 +1=2
@sin A @cos A Pn(cos ) = 2 2 2 8 0 19 < = 1 6 64C1(n) cos I ( ) + O @ 1 A + = r4 : n3
jQ(cos N )j
93 8 1 0 < 1 = + C2(n) :sin I ( ) + O @ 3 A 775 n
20 1+1=2 0 1 +1=2
66@ A @cos A Pn(cos 4 sin
2
2
r4
= jQ(cos
" ; "]
30 )775
=
2 8 0 19 < = 66 N )j4C1(n) :; sin I ( ) + O @ n13 A +
93 8 1 0 < 1 = + C2(n) :cos I ( ) + O @ 3 A 775 n
GDE
C1(n) = 2;
2 + +1 6 64Pn(0 2
8 0, " 2 (0 =2), > ;1, > ;1. pOLXZUQSX ZAME^ANIEM, SDELANNYM OTNOSITELXNO KORNEJ PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 2.1 (SM. ABZAC PERED FORMULOJ (2.11)), PRIMENQEM LEMMU 1.1 NA OTREZKE " ; "] K FORMULE (3.3). pUSTX n~ 0 = n~ 0(" ) TAKOE, ^TO 8n n~ 0 : Q(cos N ) < 0 PRI
2 " ; "]. pOLU^AEM DWA ^ASTNYH REENIQ URAWNENIQ (3.3) :
dOKAZATELXSTWO.
u12( ) = { r4 1 e 4 jQ(cos
0 1 r Z exp BB@{ jQ(cos ' N )jd'CCA N )j =2 (1 + 12( )) (3.8)
GDE j12( )j
41(" N Q) : 1 ; 21(" N Q)
fORMULY DLQ PROIZWODNYH IME@T WID u012( ) = r 4
= ;e{ 4 jQ(cos
(3.9)
0 1 r Z N )j exp BB@{ jQ(cos ' N )jd'CCA =2 (1 + 12( )) (3.10)
59
GDE
41(" N Q) + 1 ; 21(" N Q) 0 1 1 0 ;3=2 B@ 41(" N Q) CA + jQ jjQj 1+ : (3.11) 4 1 ; 21(" N Q) fORMULY (3.8){(3.11) IME@T MESTO PRI WYPOLNENII USLOWIQ (1.8). zAMETIM, ^TO 0 1 (" N Q) = O @ 13 A
j12( )j
n
A
1(" N
0 Q) = O @
1 1A
n3 PO\TOMU 9n0 = n0(" ) n0 n~ 0, TAKOE, ^TO 8n n0 USLOWIE (1.8) WYPOLNENO, I, SLEDOWATELXNO, SPRAWEDLIWY (3.8) I (3.10). pRI \TOM IZ (3.9) I (3.11) SLEDUET, ^TO OSTATO^NYE ^LENY IME@T OCENKI 12(
0 ) = O @
1 1A
0 ) = O @
1 1A
(3.12) n3 12( n3 RAWNOMERNO PO 2 " ; "]. oPREDELITELX wRONSKOGO REENIJ (3.8) IMEET WID u1( ) u2( ) W1 = u0 ( ) u0 ( ) = 1 2 = {(2 + 1( ) + 2( ) + 1( ) + 2( ) + + 1( )2( ) + 2( )1( )): w SILU (3.12) 9n1 = n1(" ) n1 n0 8n n1: W1 6= 0. pOLOVIM 8 ;{ { > > < v1( ) = e24 u1( ) + e 2 4 u2( ) (3.13) { ;{ > > : v2( ) = ; e 2 4 u1( ) ; e24 u2( ):
60
oPREDELITELX wRONSKOGO DLQ NOWOGO NABORA REENIJ RAWEN { ; { 4 4 1 e e W2 = 4 ;e;{ 4 ;e{ 4 W1 = ; {W2 1 : v1( ) I v2( ) { ^ASTNYE REENIQ URAWNENIQ (3.3), A PREOBRAZOWANIE (3.13) QWLQETSQ NEWYROVDENNYM. w SILU \TOGO 8n n1 v1( ) I v2( ) LINEJNO NEZAWISIMY. dLQ NIH IMEEM FORMULY 1 jQ(cos N )j
v1( ) = r4
I
2 0 66 BB Z r 4cos @ jQ(cos ' =2
1 jQ(cos N )j
1 N )jd'CCA + ^1(
3 )775
v2( ) = r4
2 0 66 BB Z r 4sin @ jQ(cos ' =2
1 N )jd'CCA + ^2(
3 )775
GDE DLQ OSTATO^NYH ^LENOW SPRAWEDLIWY OCENKI ANALOGI^NYE (3.12). pRIMENQQ IZWESTNU@ TEOREMU IZ TEORII DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ 6], MOVEM PREDSTAWITX FUNKCI@ (3.2) W WIDE LINEJNOJ KOMBINACII \TIH REENIJ u( ) = C1(n)v1( ) + C2(n)v2( ) (3.14) GDE KO\FFICIENTY MOVNO NAJTI IZ SLEDU@]EGO SOOTNOENIQ 8 + +1 > ; 2 > + C ( n ) v = 2 C ( n ) v 1 2 > 2 2 2 Pn(0 ) < 1 0 0 C 1 (n)v1 2 + C2 (n)v2 2 = > > + +1 + +3 > : = 2; 2 ( ; )Pn(0 ) ; 2; 2 Pn0 (0 ) (3.15)
61
KOTOROE SLEDUET IZ (3.14). pRIMENQQ FORMULY kRAMERA K (3.15), NAHODIM W TO^NOSTI FORMULY (3.6) I (3.7). dIFFERENCIRUQ RAWENSTWO (3.14), POLU^AEM (3.5). tEOREMA DOKAZANA. wY^ISLIM INTEGRAL I ( ), STOQ]IJ W ASIMPTOTI^ESKIH FORMULAH (3.4) I (3.5). dOKAVEM SLEDU@]EE UTWERVDENIE oBOZNA^IM t1 I t2 { KORNI MNOGO^LENA ;N 2t2 + 2(A ; B )t + 2(A + B ) + N 2 (3.16) PRI^EM t1 < t2. pUSTX v u u x(t) = ut tt2;;tt 1
( ) = arctg x(cos ) ; arctg x(0)
s 2 1+t2 1r 66 x(cos ) ; s ;1;t1 '1( ) = ; 4 ;(1 + t1)(1 + t2)4ln ; t2 x(cos ) + ;1+ 1;t1 s x(0) ; 1+t2 3 ;1;t1 77 s ; ln t2 5 x(0) + ;1+ 1;t1 s 2 t ; 1 2 1r 66 x(cos ) ; s 1;t1 '2( ) = 4 (1 ; t1)(t2 ; 1)4ln ; t ; 1 2 x(cos ) + 1;t 1 s x(0) ; t2;1 3 1;t s 1 775 ; ln x(0) + t12;;t1 1 r 2 v u u (1 + t1)(1 + t2) 66 1 + t1 u t arctg f 1( ) = ; x(cos )g ; 4
2
1 + t2
3 v u u 1 + t1 ; arctgfut x(0)g775
1 + t2
62
2( ) = ;
r
2 v u u (1 ; t1)(1 ; t2) 66 u 1 ; t1 x(cos )g ; 4arctgft
2
1 ; t2
3 v u u 1 ; t1 ; arctgfut x(0)g775:
1 ; t2
8" > 0, " 2 (0 =2), 9n2 = n2(" ) 8n n2, ^TO NA OTREZKE " ; "] SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY 8 > > 2N ( ) + '1( ) + '2( )] PRI 2 + 2 < 1=2 > > > 2N( ) + 1( ) + 2( )] PRI 2 + 2 > 1=2 > > > 2 2 > > < N ; 2 PRI = = 1=4 I ( ) = >> 2N ( ) + '1( ) + 2( )] (3.17) > > PRI 2 + 2 = 1=2 jj > j j > > > 2N ( ) + 1( ) + '2( )] > > > : PRI 2 + 2 = 1=2 jj < j j GDE 2 " ; "]. tEOREMA 3.2.
dOKAZATELXSTWO. v u Z u B A u u t 2 + 2 + N 2d = =2 sin 2 cos 2 v u Z u ;N 2 cos2 + 2(A ; B ) cos + 2(A + B ) + N 2 u t = d : 2 1 ; cos =2
dELAQ ZAMENU t = cos , POLU^IM r cos Z ;N 2t2 + 2(A ; B )t + 2(A + B ) + N 2 I ( ) = ; dt: 2 1 ; t cos =2 tAK KAK N 6= 0 PRI n 1, TO ;N 2t2 + 2(A ; B )t + 2(A + B ) + N 2
63
QWLQETSQ KWADRATNYM TREH^LENOM S DWUMQ RAZLI^NYMI KORNQMI r ; (A ; B )2 + 2N 2(A + B ) + N 4 ; (B ; A) t1 = t1(N ) = N2 r
(A ; B )2 + 2N 2(A + B ) + N 4 ; (B ; A)
t2 = t2(N ) = : N2 rASSMOTRIM PQTX RAZLI^NYH SLU^AEW: 1) A + B > 0 2) A + B < 0 3) A = B = 0 4) A + B = 0 B ; A > 0 5) A + B = 0 B ; A < 0. 9n2 = n2(" )8n n2 W WYEUKAZANNYH SLU^AQH SOOTWETSTWENNO WYPOLNENY SOOTNOENIQ 1) t1 < ;1 t2 > 1 2) ;1 < t1 < 0 0 < t2 < 1 3) t1 = ;1 t2 = 1 4) t1 < ;1 0 < t2 < 1 5) ;1 < t1 < 0 t2 > 1. s^ITAEM, ^TO n2 WYBRANO TAKIM OBRAZOM, ^TO t1 I t2 LEVAT WNE OTREZKA cos( ; ") cos "]. rASSMOTRIM PERWYJ SLU^AJ. r cos Z (t2 ; t)(t ; t1) I ( ) = ;N dt: (3.18) 2 1 ; t 0 zAMENA PEREMENNOJ r (t ; t)(t ; t ) (3.19) x = x(t) = 2 t ; t 1 1
64
DAET RAWENSTWO I ( ) = N (t2 ; t1)2
x(cos Z ) x(0)
2x2dx : (3.20) (x2 + 1)((t1 + 1)x2 + t2 + 1)((1 ; t1)x2 ; (t2 ; 1))
rAZLAGAQ DROBX POD INTEGRALOM (3.20) W SUMMU PROSTEJIH, POLU^IM
I ( ) = 2N
8 x(cos Z )> < 1 ; > 2+1 : x x(0)
1 1 ; (1 + t1)(1 + t2) + 2 (t1 + 1)x2 + t2 + 1 9 > = 1 1 dx: (3.21) + (1 ; t1)(t2 ; 1) 2 (1 ; t1)x2 ; (t2 ; 1) > |TO RAWENSTWO SPRAWEDLIWO I W SLU^AQH 2), 4), 5). iNTEGRIRUQ (3.21), POLU^IM (3.17) PRI j2 ; 1=4j + j 2 ; 1=4j 6= 0. sLU^AJ 3) RASSMATRIWAEM NEPOSREDSTWENNO
I ( ) =
Z
=2
! Nd = N ; 2 :
tEM SAMYM, TEOREMA DOKAZANA. rEZULXTATY PREDYDU]EJ GLAWY POZWOLQ@T NAZWATX FORMULY (3.4) I (3.5) ANALOGAMI FORMULY pLANERELQ{rOTAHA DLQ MNOGO^LENOW qKOBI I IH PROIZWODNYH. sLEDSTWIE 3.1. w SLU^AQH = = ;1=2 (MNOGO^LENY ~EBYEWA I RODA) I = = 1=2 (MNOGO^LENY ~EBYEWA II RODA) ANALOGOM FORMULY pLANERELQ{rOTAHA QWLQ@TSQ QWNYE FORMULY DLQ MNOGO^LENOW
Tn(x) = cos(n arccos x)
65
I
SOOTWETSTWENNO.
x Un(x) = sin(np+ 1) arccos 1 ; x2
nAIBOLEE INTERESNYM SLU^AEM QWLQETSQ = = 0 ( MNOGO^LENY lEVANDRA ). eGO SLEDUET RASSMOTRETX OTDELXNO. iZWESTNO, ^TO FUNKCIQ (1 ; x2)1=4 2 1=2 u ( ) = (sin ) Pn (cos ) = n!2n (x ; 1)n](n) jx=cos UDOWLETWORQET URAWNENI@ 2 0 12 3 u00 + 64 4 sin1 2 + @n + 12 A 75 u = 0 2 0 ]
(3.22)
(3.23)
8].
bUDEM ISSLEDOWATX NAE URAWNENIE NA OTREZKE " ; "], GDE 0 < " < =2. wY^ISLIM INTEGRAL, KOTORYJ WSTRE^AETSQ W OCENKAH, PRIWEDENNYH W LEMME 1.1. pOLAGAQ B = 2n + 1, IMEEM v u u u u t
v Z 1 1 uuut 1 2 = 2 2 + B d = 2 2 =2 sin =2 4 sin v u ! sin Z u 1 1 1 u t + B2 p = ( zAMENA y = sin ) = sign ; dy 2 2 2 2 y 1 ; y 1 v 2 u ! sin u Z 1 + B 2t dt 1 u 2 t = = ( zAMENA t = y ) = sign ; 4 2v 1 ; t t 1 u 2t u 1 + B u = ( zAMENA x(t) = t )= Z
0 12 1 + @n + A d
1;t
=
66
! x(sin Z 2 )
(B 2 + 1)x2 = sign ; dx = 2 ; 1)(x2 + B 2 ) 2 2( x +1 0 1 2 ! x(sin 2 Z ) B 1 1 B 1 CA dx = @ ; + 2 = sign ; 2 2 2(x p ; 1) 2(x + 1) x + B 2 +1 ! 1 2 sin2 ; j cos j 1 + B = sign ; ln p + 2 2 2 4 1 + B sinp + j cos j 1 + B 2 sin2 B ! B + arctg 2 B j cos j ; 4 :
w PREDPOSLEDNEM RAWENSTWE BYLO ISPOLXZOWANO RAZLOVENIE NA PROSTEJIE DROBI. dLQ RASSMATRIWAEMOGO ^ASTNOGO SLU^AQ IMEEM
Q = Q(
2 n) = ; 64
3
0 12 1 1 @ A 75 2 + n+ 4 sin 2
Q0 = Q0 ( n) = 2cos sin3 1 + 2 cos2 00 00 Q = Q ( n) = ; 2 sin4
(
3 0 0 121;5=2 2 5 1 1 1 n Q) = Q;5=2 4 8 Q00Q ; 32 Q025 = B@ 4 sin2 + @n + 2 A CA ! 2 3 1 2 2 2 66 (1 + 2 cos ) 1 + 4 n + 2 sin 5 cos2 777 6 64 ; = 64 sin6 128 sin6 75 12 ;5=2 0 1 1 A CA @ 2 + n+ 4 sin 2 1 2 1 2 2 2 2 ; cos + 8 n + 2 sin + 16 n + 2 cos2 sin2 : 128 sin6 0 = B@
1
67
zAMETIM, ^TO ( n Q) > 0 PRI 2 (0 ). fORMULY LEMMY OCENIWA@TSQ S POMO]X@ WELI^INY Z;" 1(" n Q) = j( n Q)jd " 0 1 1 B@ 1 0@ 1 1A2CA;5=2 + n+ 6 128 sin " 4 2 3 0 12 0 12 Z;" 2 1 1 642 ; cos2 + 8 @n + A sin2 + 4 @n + A sin2 2 75 d = 2 2 " 0 1 1 B@ 1 0@ 1 1A2CA;5=2 = + n+ 128 sin6 " 4 2 0 12 Z;" 3 cos 2 1 ; + 2 @n + A 3 ; 2 cos 2 ; cos 4 ] d = 2 2 " 2 0 0 121;5=2 1 1 = B@ + @n + A CA 4 2
3 2
( ; 2") +
sin 2" 2
1 2 2
+2 n+ 3( ; 2") + 2 sin 2" + 128 sin6 "
pOLXZUQSX NESLOVNYMI SOOTNOENIQMI sin 4" = sin 2" cos 2" sin 2" I sin 2" ; 2" 2 POLU^IM 0 121 0 ; 2" 1 1(" n Q) 5 B@2 + 12 @n + A CA : 2 128 sin6 " n + 12 rEENIQMI URAWNENIQ (3.23) SOGLASNO LEMME 1.1 BUDUT 1r
Z r
!
u12(n ) = { 4 4 exp { jQjd (1 + ) e jQj ;" IH PROIZWODNYE ! Z r r 4 0 { jQjd (1 + ) u12(n ) = ;e 4 jQj exp { ;"
sin 4" 2
:
68
GDE j j j j
41(" n Q) 1 ; 21(" n Q)
(3.24)
41(" n Q) 1 + jQ0jjQj;3=2 1 ; 21(" n Q) 4 0
1
41(" n Q) CA B@1 + : (3.25) 1 ; 21(" n Q) zDESX I DALEE DLQ UPRO]ENIQ POWESTWOWANIQ ^EREZ I (BEZ INDEKSOW) BUDUT OBOZNA^ATXSQ L@BYE OSTATO^NYE ^LENY, IME@]IE UKAZANNYE RAWNOMERNYE NA SEGMENTE OCENKI. oCENIM jQ0jjQj;3=2: 0 121;3=2 cos 0 1 1 jQ0jjQj;3=2 = 3 B@ 2 + @n + A CA 2 2 sin 4 sin 0 0 121;3=2 1 B@ 1 @ 1 A CA + n+ < 1
2 sin3 " 4
2
2 sin3 "
0 1;3 1 @n + A :
2
nEOBHODIMO, ^TOBY WYPOLNQLOSX USLOWIE LINEJNOJ NEZAWISIMOSTI POLU^ENNYH REENIJ. tOGDA, WZQW IH SOOTWETSTWU@]IE LINEJNYE KOMBINACII IH I IH PROIZWODNYH, POLU^IM ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ FUNKCII (3.22) I EE PROIZWODNOJ. oPREDELITELX wRONSKOGO IMEET WID: W = 2{(1 + )(1 + ): wMESTO USLOWIQ W 6= 0 BUDEM RASSMATRIWATX BOLEE SILXNOE j + + j < 1: (3.26) KOTOROE UPRO]AETSQ S POMO]X@ OCENOK (3.24), (3.25). pOLOVIM u( ) = C1(n)u1( ) + C2(n)u2( ): (3.27)
69
iMEETSQ SISTEMA DLQ OPREDELENIQ KO\FFICIENTOW: 8 > < C1(n)u1 2 + C2(n)u2 2 = Pn(0) (3.28) > 0 0 : C1(n)u1 2 + C2(n)u2 2 = ;Pn0 (0): iZWESTNO, ^TO 8] P2m+1(0) = 0 P2m(0) = (;1)m 22(2m(mm)!!)2 0m(0) = 0: P P20m+1(0) = (;1)m (2(mm!)+2221)! 2 m
dALEE NAM POTREBU@TSQ SLEDU@]IE FORMULY p m! = 2mm+1=2e;m(1 + r1(m)) GDE 0 < r1(m) < e1=(4m) ; 1
(3.29)
1 = 1 + r2(x) 0 < x < 1 GDE ; x < r2(x) < 0 1+x
(3.30)
(1 + x)p = 1 + r3(x) 0 < x < 1 0 < p < 1 GDE 0 < r3(x) < px: (3.31) pERWAQ IZ NIH | FORMULA sTIRLINGA 5], DWE DRUGIE | SLEDSTWIE IZ TEOREMY OB OCENKE RQDA lEJBNICA, PRIMENENNOE K SOOTWETSTWU@]IM RQDAM tEJLORA. pOLXZUQSX IMI MOVNO POLU^ITX SLEDU@]IE ASIMPTOTIKI. 21=21=2(2m)2m+1=2e;2m(1 + r1(2m)) m P2m(0) = (;1) 2m 1=2 1=2 m+1=2 ;m 2 = 2 2 m e (1 + r1(m)) m (;1) (;1)m = p (1 + r1(2m))(1 + r4(m)) = p (1 + r5(m)) (3.32)
GDE
m
m
1;e
1=(2m)
< ; 2r1(m) + r (m) < r4(m) < 0 2 1
70
jr5(m)j maxfjr1(2m)j jr4(m)j(1 + jr1(2m)j)g e1=(8m)(e1=(2m) ; 1): sLEDOWATELXNO, (;1)mP2m
v u 0 12 u u 41 1 u (0)t + @2m + A
4
2
=
v u 0 12 u u 41 1 u t + @2m + A =
(2m)! 22m(m!)2 4
v u u 2 = ut (1 + "(2m))
2
(e1=(2m) ; 1) 1=(8m) 5=(8m) GDE j"(2m)j 1 + 3e +e : (3.33) 4
aNALOGI^NO (;1)mP20m+1(0) s
1 (2m + 1)! s 1 = = 2m (m!)2 4 1 41 2 3 2 3 2 4 + 2m + 2 4 + 2m + 2 v u u2 = ut (1 + "(2m + 1))
GDE j"(2m + 1)j e1=(8m)(e1=(2m) ; 1) + 1 1=(2m+1) 5=(8m) 1=(8m) + e +3 e ;e + 1 m 2 N : (3.34) 16m
dEJSTWITELXNO, W SILU (3.32) (2m + 1)! 2m + 1 = p (1 + r5(m)) 22m(m!)2 m GDE jr5(m)j < e1=(8m)(e1=(2m) ; 1): (3.35) dALEE 1 = 41 3 2 + 2m + 2 4
s
71
1;1=4 CA 2
0 B@1 +
1 1 + = 2m + 1 2(2m + 1) 2m + 1 1 =p (1 + r6(m)) 2m + 1 GDE 41 (1 ; e1=(2m+1)) < r6(m) < 0 (3.36) SOGLASNO (3.30) I (3.31). kROME TOGO v 0 11=2 u u 2 m + 1 1 1 u t = @1 + A = 1 + r7(m) GDE 0 < r7(m) < 2m 2m 4m (3.37) SOGLASNO (3.31). oB_EDINQQ (3.35){(3.37), POLU^AEM (3.34). iSPOLXZUQ FORMULY kRAMERA DLQ SISTEMY (3.28), POLU^IM KO\FFICIENTY C1(n) C2(n). pODSTAWLQQ IH W FORMULU (3.27), POLU^IM ( S U^ETOM USLOWIJ (1.8) I (3.26) ) ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ MNOGO^LENOW lEVANDRA. dIFFERENCIRUQ (3.27), POLU^IM FORMULY DLQ IH PROIZWODNYH. dLQ OCENKI OSTATO^NYH ^LENOW POSTUPIM SLEDU@]IM OBRAZOM. w SLU^AE 2 (0 =2) POLAGAEM " = , A W SLU^AE 2 (=2 ) POLAGAEM " = ; . pRI = =2 FORMULY DLQ MNOGO^LENOW lEVANDRA SWODQTSQ K ZNA^ENIQM \TIH MNOGO^LENOW W NA^ALE KOORDINAT. oKON^ATELXNYJ REZULXTAT SFORMULIRUEM W WIDE TEOREMY. =p
pUSTX
1
0
1
0 12 1 j ; 2 j B@ n( ) = 1 5 6 1 + 6 @n + 2 A CA 64 n + 2 sin
n( ) = 1 ;42n( )( ) n
1 0@ 1 1A;3 n( ) = n( ) + 8 sin3 n + 2 (1 + n( ))
72
2 (0 ) n( ) < 1=2 n 2 I jn( )j + jn( )j + jn( )n( )j < 1
tEOREMA 3.3. pRI USLOWIQH
SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE FORMULY v u u 1 u2 1=2 1) (sin ) Pn(cos ) = t s4 1 2 + n + 1 2 2 4 sin r 0 " ! 1 2 sin2 ; j cos j 1 + (2 n + 1) B + @cos sign ; ln r
2 4 1 + (2n + 1)2 sin2 + j cos j r 1 1 + (2n + 1)2 sin2 n ! n # 2n + 1 1 + "(n) + arctg ; ; + +Rn( )CA 2 (2n + 1)j cos j 4 2 2 1 + n( ) GDE
8 1=(2m) > (e ; 1) 1=(8m) 5=(8m) > 1 + 3e + e PRI n = 2m > 4 < j"(n)j >> e1=(8m)(e1=(2m) ; 1) + 161m e1=(2m+1) + 3 > : e5=(8m) ; e1=(8m) + 1 PRI n = 2m + 1 8 > < n( )n( ) PRI n = 2m jRn( )j >: 2n( ( ) )++n(2 () )+PRI n = 2m + 1 n n
jn( )j n( ) + n( ) + n( )n( ) v v u 0 12 u u u u 4 2 1 1 0 u @ A t 2) (sin )1=2Pn(cos ) = t u 2 + n+ r4 sin 2 0 ! 1 " 2 sin2 ; j cos j 1 + (2 n + 1) B @; sin sign ; ln r +
2 4 1 + (2n + 1)2 sin2 + j cos j r 1 1 + (2n + 1)2 sin2 n ! n # 2n + 1 1 + "(n) + arctg ; ; + +Sn( )CA 2 (2n + 1)j cos j 4 2 2 1 + n( )
73
GDE
8 > < 2n( ) + n2 ( ) PRI n = 2m jSn( )j >: ( ) + ( ) + ( ) ( ) PRI n n n n
n = 2m + 1 :
74
4 nOWYJ ANALOG FORMULY pLAN ERELQ{rOTAHA DLQ MNOGO^LENOW ~EBY EWA{lAGERRA
e]E ODNIM WAVNYM SLU^AEM KLASSI^ESKIH ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW QWLQ@TSQ MNOGO^LENY ~EBYEWA{lAGERRA 8] ns; es ( ; 1) c Ln(s ) = r s+ne;s (n) n!;( + n + 1) n = 0 1 2 : : : > ;1 (4.1) GDE s 2 (0 1). Lcn(s ) { MNOGO^LENY, ORTONORMIROWANNYE S WESOWOJ FUNKCEJ h(s) = se;s: wSPOMOGATELXNAQ FUNKCIQ w = e;s2=2s+1=2Lcn(s2 ) UDOWLETWORQET DIFFERENCIALXNOMU URAWNENI@ 7] 0 1 1 2 ; wss00 + B@4n + 2 + 2 ; s2 + 4 s2 CA w = 0: (4.2) 1 ;2 2 rASSMOTRIM FUNKCI@ Q(s n ) = 4n + 2 + 2 ; s + 4 s2 . zAMETIM, ^TO W DANNOM SLU^AE NELXZQ WYWESTI ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU W OKRESTNOSTI TO^KI s = 0, KAK \TO DELALOSX DLQ MNOGO^LENOW ~EBYEWA{|RMITA, W SILU OSOBENNOSTI FUNKCII Q(s n ) W \TOJ TO^KE. iSKL@^ENIE SOSTAWLQET SLU^AJ jj = 1=2, A \TO KAK RAZ I ESTX RASSMOTRENNYE RANEE FUNKCII ~EBYEWA{|RMITA. pOPYTAEMSQ POLU^ITX REZULXTAT DLQ POLUINTERWALOW, SODERVA]IH 1. fIKSIRUEM PROIZWOLXNOE > ;1. wWEDEM WSPOMOGATELXNU@ FUNKCI@ f : R ! R TAKU@, ^TO f () > 1 8 2 R : pUSTX = 4n + 2 + 2. pROWEDEM W (4.2) ZAMENU PEREMENNOJ x =
75
pfs () , y(x ) = w(s ). tOGDA URAWNENIE PRIMET WID 2 ; 41 ! 00 2 2 yxx(x ) ; f () f ()x ; 1 + x22f () y(x ) = 0: (4.3) k \TOMU URAWNENI@ MOVNO PRIMENITX LEMMU 1.2 IZ GLAWY I. nEOBHODIMO PROWERITX WYPOLNENIE USLOWIJ, SFORMULIROWANNYH W LEMME. dLQ DANNOGO SLU^AQ 0 1 1 2 ; Q(x ) = 2f () B@f ()x2 ; 1 + x22f (4) CA : bUDEM RASSMATRIWATX (4.3) NA PROMEVUTKE 1 1) S USLOWIEM Q(x ) > 0: (4.4) dLQ WYPOLNENIQ (4.4) DOSTATO^NO, ^TOBY PRI n 1
f () > 65 : 64
uSLOWIE (1.26) LEMMY 1.2 WYPOLNQETSQ, ESLI W KA^ESTWE WETWI KORNQ WZQTX GLAWNU@ WETWX. iMEEM
(x Q) =
1 !5=2 2; 1 f 1=2() f ()x2 ; 1 + x22f (4) 2 1 2 ;4 3 1 9 6 2 2 4; f ()x ; f () + ; 8 4 4 x22 1 1 23 2 2 1 ; 3 ; ; 4 2 4 + 6 4 24 75: (4.5) 4 x f () 8 x f ()
2 ; 1 4
pUSTX 1. tOGDA WYRAVENIE W KWADRATNYH SKOBKAH W (4.5) STROGO MENXE NULQ. dLQ OCENKI 2(1 Q) SWERHU MOVEM BRATX TOLXKO OTRICATELXNYE ^LENY W (x Q).
76
rASSMOTRIM SLU^AJ jj > 1=2. 1 Z1 2(1 Q) f 1=2() (f ()x21; 1)5=2 1 3 2 1 2 ; 3 1 3 664 f 2()x2 + f () + 4 2 4 775 dx = 8 4 4 x f () 1 Z1 83 f 2()x2 + 14 f () = 1=2 f () 1 (f ()0x2 ; 1)51=2 dx + 3 1 A Z1 dx 2 @ + 3 3=2 ; : 4 f () 4 x4(f ()x2 ; 1)5=2 1
pERWOE SLAGAEMOE BYLO UVE RAZOBRANO PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 2.2. oNO MENXE WELI^INY 1
4xe 3()
GDE xe () OPREDELQETSQ PO FORMULE
v u u ex() = u t1 ;
1 f () :
zAMETIM, ^TO xe 3() ! 1. w INTEGRALE WTOROGO SLAGAEMOGO !1 POLOVIM r (4.6) 3 = f ()x: tOGDA ONO RAWNO 3 0@ 2 1 1A Z1 d3 : ; 43 4 pf () 34(32 ; 1)5=2 w DANNOM SLU^AE MY IMEEM DELO S BINOMINALXNYM DIFFERENCIALOM. sLEDUET PROWESTI ZAMENU
4
v u u = ut1 ;
1
32 :
77
wTOROE SLAGAEMOE W OCENKE 2(1 Q) RAWNO 2 3 3 0@ 2 1 1A 64 16 xe 3() e 3 1 75 ; 4 3 + 3 ; 3x() ; xe () + 3xe 3() : 43 tAKIM OBRAZOM, PRI jj > 1=2 3 0@ 2 1 1A " 16 xe 3() e 1 2(1 Q) 4xe 3() + 43 ; 4 3 + 3 ; 3x() ; 3 1 # 1 3 0@ 2 1 1A " 17 1 # ; e + e3 e3 + 3 ; + = x() 3x () 4x () 4 4 3 3xe 3() =
1
1
0 1" 1 @2 ; A 17 +
1 # xe 3() :
+ 4xe 3() 43 4 pUSTX jj < 1=2 I f () 65=64 + , GDE { NEKOTOROE POLOVITELXNOE ^ISLO, NE ZAWISQ]EE OT . iSPOLXZUQ ZAME^ANIE OB OCENKE 2(1 Q) SWERHU (SM. ABZAC POSLE FORMULY (4.5)), IMEEM 2(1 Q) f 1=12() "3 Z1 1 9 14 ; 2 # 1 2 2 dx = 5=2 f ()x + f () + 2 2 65 8 4 4 x 1 f ()x2 ; 64 1 Z1 83 f 2()x2 + 14 f () = 1=2 f () 1 f ()x2 ; 6564 5=2 dx + 9 41 ; 2 Z1 dx : + 3 1=2 4 f () 1 x2 f ()x2 ; 65 5=2 64
dELAQ ZAMENU (4.6), POLU^AEM W PERWOM SLAGAEMOM f 1=2() Z1 38 f ()x2 + 41 dx = 1 Z1 38 32 + 14 d = 1 f ()x2 ; 6564 5=2 pf () 32 ; 6564 5=2 3
78
=
GDE
3 2 77 1 666 3 Z1 d 323 Z1 d 3 3 = 64 p 3=2 + 5=2 775 = p 8 f () 32 ; 6564 512 f () 32 ; 65 64 0 11=21 0 65 = B@ zAMENA 5 = @1 ; 3;2A CA = 64 2 3 1 1 Z Z 1 1024 d5 2584 d5 77 = 664; 4225 ye() 52 + 4225 ye() 54 5 = 2 2 3 3 2584 1 75 1 64 2584 75 1 64 488 1024 1 12675 ; 4225 ye() + 12675 ye3() 12675 488 + ye3() v u u ye() = ut1 ;
65 : 64f ()
pOLXZUQSX TEMI VE ZAMENAMI, WO WTOROM SLAGAEMOM POLU^AEM dx 9 14 ; 2 1=2 Z1 f ( ) 5=2 = 65 4 3 2 2 1 f ()x f ()x ; 64 d3 9 14 ; 2 Z1 = = 4 3 pf () 32 32 ; 65 5=2 64 0 13 1 9 @ 64 A 4 ; 2 Z1 (1 ; 52)2 = 4 65 3 ye() 54 d5 = 2 3 9 0@ 64 1A3 14 ; 2 64 8 1 2 = + e3 ; e ; ye ()75 3 4 65 3 3y () y() 2 3 3 0@ 64 1A3 14 ; 2 64 1 75 4 65 3 8 + ye3() : tAKIM OBRAZOM, PRI jj < 1=2 IMEEM 3 3 2 2 1 64 2584 75 3 0@ 64 1A3 14 ; 2 64 1 75 2(1 Q) 12675 488 + ye3() + 4 65 3 8 + ye3() : 64 e3 tAK KAK f () 65=64 + , TO ye2() 65+64 , y () ! !1 1.
79
nA OSNOWANII PROWEDENNYH OCENOK PRI > ;1 0()8 0:
2 1 ; 4 1
90 =
2(1 Q) < 12 :
tOGDA URAWNENIE (4.3) SOGLASNO LEMME 1.2 IMEET REENIE y(x ) TAKOE, ^TO WYPOLNENY NERAWENSTWA, FIGURIRU@]IE W LEMME. iMEEM 2; 41 f ( ) x ; 2 x32f () jQ0(x )jjQ(x )j;3=2 = 1=2 f () f ()x2 ; 1 + 2; 14 !3=2 : x22f ()
(4.7)
oBOZNA^AQ
2 ; 14 A = A( ) = 2f () RASSMOTRIM PRI FIKSIROWANNYH I FUNKCI@ f ()x ; xA3 F (x) = 3=2 GDE x 1 f () > 65=64 > 4: A 2 f ()x ; 1 + x2 pRI RASSMATRIWAEMYH USLOWIQH ;2f 2()x2 ; f () + 10Af () x12 ; 3A x14 0 < 0: (4.8) Fx(x) = 1 5=2 2 f ()x ; 1 + A x2 sLEDOWATELXNO, FUNKCIQ F (x) DOSTIGAET MAKSIMUMA W KRAJNEJ LEWOJ TO^KE x = 1. iZ (4.7) SLEDUET 2; 14 f () ; 2f () 2 jQ0(x )jjQ(x )j;3=2 1=2 f () f () ; 1 + 2; 41 !3=2 : 2
f ()
80
aNALOGI^NO PRODELANNOMU W GLAWE II PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 2.2
v 0 u u u BB r u 4 u Q t @
1 v 0 1 u 1 u 2 CCA = uut4 f () B@s2 ; + ; 4 CA:
s f () 1 pfs () v u u
0 BB@1 r
s CC = f () A
Z
1
s2
0 1 2; 1 u u t2f () B@f ()t2 ; 1 + 2 2 4 CAdt = t f () v u 2; 1 Zs u u u 4 d t 2 ; + =
pf ()
2
OTKUDA DLQ REENIQ URAWNENIQ (4.2) POLU^AEM FORMULU 1 ! 2; 1 tf () s2 ; + 2 4 s
w(s ) = vuu4
1 0 v u 2; 1 CC BB Zs u u u 4 2 CC (1 + (s )) B t ; + d exp B@;p 2 A f () r 2 1 GDE s 2 f () +1) ; 4 1
j(s )j
A DLQ EE PROIZWODNOJ
w0(s
42(1 Q) 1 ; 22(1 Q)
v u u 2; 41 u 4 s2 ; + u ) = ;ut f () s2 0 1 v u 2; 1 BB CC Zs u u u 4 2 B CC (1 + (s )) t ; + exp B@;p d 2 A f () r 2 1 GDE s 2 f () +1) ; 4 1
81
j (s )j
1 1 42(1 Q) + 1 ; 22(1 Q) 2 f 1=2() 2 1 1 f () ; 2f;(4) 0B 4 (1 Q ) 2 CA : @ 1 + ! 1 ; 22(1 Q) 2; 14 3=2 f () ; 1 + 2f ()
u^ITYWAQ, ^TO FUNKCIQ e;s2=2s+1=2Lcn(s2 ) UDOWLETWORQET (4.2), KAK I PRI DOKAZATELXSTWE TEOREMY 2.2 SPRAWEDLIWO e;s2=2s+1=2Lcn(s2 ) = Cn()w(s ) 2 GDE Cn() | NEKOTORYJ KO\FFICIENT r , = 4n +2 +2 j ; 1=4j 1 2 6= 1=4 > ;1 n 1 s f (). sTARIJ KO\FFICIENT MNOGO^LENA Lcn(s2 ) RAWEN 8] 1 n!;( + n + 1)
r
SLEDOWATELXNO, PRI FIKSIROWANNYH n I SPRAWEDLIWA FORMULA r w(s ) n!;( + n + 1) 1 = slim Cn() !1 e;s2=2s2n++1=2 : ~TOBY NAJTI \TOT PREDEL, DOKAVEM SLEDU@]EE UTWERVDENIE. oBOZNA^IM
D = D(
1 0 1 ) = 2 ; 4 @ 2 ; A
4
7(t) = 7(t
v pD u u ; u ) = uut t ; +2pD t s; 2 1 4 2 2 s ; + ; 4 Z
I (s) = I (s f ) = p
f ()
d
82
r p 8 s > p y; ;pD > > 1 +pD > < 2 ; D ln r +;ppDD y+ s K (y) = > s p +p D ! > D+ arctg y pD+ > : pD ; D;
2 ; 1=4 > 0 2 ; 1=4 < 0:
uTWERVDENIE 4.1. pUSTX f () > 65=64
>4 0
;1. tOGDA p + 1 I (s) = D 2( 2 7; 1) ; 4 ln 7 ; 1 ; 7 7 7(s2) p r ; D ; K (7) s f (): (4.9) 2 (f ()) 7
dOKAZATELXSTWO. s 1 4 2 2 s ; + ; 4 Z
pf ()
s
d = (6 = 2) =
1 Zs ; 6 + ; = d6 = 2 f () 6 2
0 BB = BBBB7 @
Zs
2 6
1 4
1 62 ; 6 + 2 ; 41 CCCC r C= + 2;4(2; 14 ) C A
s
=
2
6 ;
2 2 7
dp7 pD ! = + D ; 2 2 2
7(f ()) (7 ; 1) 7 2 ; 2 = ( RAZLAGAQ DROBX NA PROSTEJIE ) =
= ;D
2 7( )
83
7Z(s2) 2 pD 64 =; 2 2
7(f ()) (7 ; 1)
p
; D 1 + ; 2 72 ; 1 p 3 ; D 1 p 75 + d : 2 72 ; ;+pDD 7 iNTEGRIROWANIE W \LEMENTARNYH FUNKCIQH DAET REZULXTAT. fIKSIRUEM n. iZ OPREDELENIQ 7(s2) WYTEKA@T FORMULY p p 0 1 p D + D1 2 2 7 (s ) ; 1 = s2 + D 2 s4 + O @ s16 A p 0 1 D 2 7(s ) = 1 + 2s2 + O @ s14 A 0 p 1;=4 0 0 11 D 1 (7(s2) ; 1);=4 = B@ CA s=2 @1 + O @ 2 AA : 2 s iMEEM 1 0 2 2 p s ( s ) 7 B@ D ; CA = lim 2 2 s!1 2(7 (s ) ; 1) 20 1 pD 1 2 2 BB 1 + 2s2 + O s4 s ; s CCC = ; p B = slim !1 @ 1 + + 2D + O 14 2 2 A 4 2s s I 2 ;=4 ;=4 slim !1(7(s ) + 1) = 2 : oBOZNA^IM ^EREZ I1(s) ZNA^ENIE INTEGRALA (4.9) NA WERHNEM PREDELE. pOLU^AEM ;2n;;1=2 s slim !1 s4 s2 ; + 2;1=4 exp(I (s) ; s2=2) = 1 s2
84
p ! D ; ; 2n;;1 2 s exp 2 K (7(s )) = slim ! 2 !; 4 = !1 p 7(s2) 2 exp D 2( 72(s2);1) ; s2
77((ss2))+1 ;1 p p ! ! ; D ; D ; 2n;;1 s exp 2 K (1) 2n++1 exp 2 K (1) = slim s = 22 e4 : ; ; !1 D82 2e 4 D8 tAKIM OBRAZOM, v u = 8 u D uuu =2 =4 t
r
f () 0B@ 7(f ()) + 1 1CA=4 Cn() = 2 e n!;(n + + 1) (f ()) ; 1 7 0 p (f ()) + B @ exp ; D 2 7 2(7 (f ()) ; 1) p 1 ; D K ( (f ())) ; K (1)]CA 1 + 7 2 1 + (+1 ) GDE (+1 ) = s!lim (s ): +1 tEPERX MOVEM SFORMULIROWATX OSNOWNOJ REZULXTAT. oBOZNA^IM # 8 " 3 3 > s s 1 1 2 > + 43 ; 4 17 + (s2;)3=2 > 4(s2 ;)3=2 > > 1 > PRI j j > > < 2 3 2 3 E (s ) = >> 1 26 1 ; 2 3 3 3 75 + 3 64 4 648 + 75 2584s s 4 488 + > 3 3 = 2 3 = 2 12675 4 65 > (s2; 6564 ) (s2; 6564 ) > > > : PRI jj < 21
I1(s) =
p
E (+1 ) = s!lim E (s ) +1
p 2 D7(s ) ; ln 7(s ) + 1 ; ; D K ( (s2)) 7 2(72(s2) ; 1) 4 7(s2) ; 1 2 2
A DLQ FUNKCIJ D = D( ) 7(t) = 7(t ) I K (y) SPRAWEDLIWY OBOZNA^ENIQ UTWERVDENIQ 4.1.
85
tEOREMA 4.1. eSLI 65 64
n 1 > ;1 6=
1 4
2
, GDE = 4n + 2 + 2,
2 ; 1 4
1 s2 >
E (s ) < 21
TO SPRAWEDLIWY FORMULY 2 c (s2 ) = 1) e;s =2s+1=2L n =8 D 1 s = =2 =4 r 2 e n!;( + n + 1) 4
1 2 ;1=4 2 s ; + s2 0p 1 D ; K (1)CA exp (;I (s)) 1 + (s ) exp B@ 1 2 1 + (+1 )
GDE
j(s )j 2)
4E (s ) 4E (+1 ) j(+1 )j 1 ; 2E (s ) 1 ; 2E (+1 )
#0 2 =2 +1=2 c ; s 2 e s Ln(s ) s =
"
s
4 2 2;1=4 = 8 s ; + D s2 = ; =2 =4 r 2 e n!;( + n + 1) 0p 1 D ; exp B@ K (1)CA exp (;I1(s))
2
GDE
1 + (s ) 1 + (+1 )
2 s ; s;2 4 4E (s ) 1 1 + 2E (s ) j (s )j + : 1 ; 2E (s ) 2s s2 ; + 2; 41 !3=2 1 ; 2E (s ) 1
2
s2
zAME^ANIE 4.1. pOLXZUQSX FORMULOJ 8]
p Ln(s ) 0s = nLcn;1(s + 1) > ;1 n 2 N
c
(4.10)
IZ TEOREMY 4.1 MOVNO POLU^ITX ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ L@BYH TAKIH, ^TO > ;1 I 6= ; 32 + m, GDE m 2 N .
86
zAME^ANIE 4.2. fORMULA 8]
r 0 c (4.11) s Ln(s ) s = nLn(s ) + (n + )nLcn;1(s ) S ISPOLXZOWANIEM REZULXTATOW TEOREMY 4.1 DAET NOWYE ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY. c
zAME^ANIE 4.3. aSIMPTOTI^ESKIE FORMULY DLQ ISKL@^ENNYH SLU^AEW = ; 23 + m, GDE m 2 N , MOGUT BYTX POLU^ENY
S POMO]X@ REZULXTATOW TEOREM 2.1 I 2.2, FORMUL (4.10) I (4.11) I FORMUL 8]
d (x) = L c (x2 ;1=2) H 2n n d c 2 H 2n+1 (x) = xLn (x 1=2): |TOT SLU^AJ ZAME^ATELEN TEM, ^TO W OTLI^IE OT DRUGIH PARAMETROW ZDESX IME@TSQ ASIMPTOTI^ESKIE FORMULY W NA^ALE KOORDINAT.
zAME^ANIE 4.4. dOPUSTIMYE ZNA^ENIQ PARAMETRA W TEO
REME 4.1 MOVNO NESKOLXKO RASIRITX. oGRANI^ENIE 2 ; 14 1 ZDESX PRINQTO W SWQZI S O^EWIDNOSTX@ WOZNIKA@]IH W \TOM SLU^AE NERAWENSTW, KOTORYE W DANNOM TEKSTE PRIWODQTSQ NA SLOWAH (SM., NAPRIMER, NERAWENSTWO (4.8)).
w ZAKL@^ENIE GLAWY DOKAVEM UTWERVDENIE, S POMO]X@ KOTOROGO MOVNO SUDITX OB ASIMPTOTIKE KO\FFICIENTA K (1). 1 2 uTWERVDENIE 4.2. eSLI > ;1 0 < ; 4 1 = 4n + 2 + 2 n 1, TO 1) PRI 2 ; 14 > 0 2 K (1) = (;1) (1 + 1()) GDE 0 < 1() < 3(4 ; 6;22 + 2)
87
2) PRI
2 ; 14 < 0
2 1=2
2 ; K (1) = 1 : 1=2 (1 + 2()) GDE j2()j < 2 ; 1) ( 2 2 4 ; dOKAZATELXSTWO. dALEE WOSPOLXZUEMSQ RQDAMI tEJLORA LOGARIFMA I STEPENNOJ FUNKCII 2 3 x x ln(1 + x) = x ; + ; : : : (4.12) 2
(1 + x) = 1 + x +
1 4
3
( ; 1) x2 + ( ; 1)( ; 2) x3 + : : : : 2!
3!
(4.13)
sLEDU@]IE PQTX FORMUL QWLQ@TSQ SLEDSTWIEM (4.13):
1 = 1 + r1(x) GDE ; x < r1(x) < 0 PRI x 2 (0 1) 1+x
(4.14)
(1 + x)1=2 = 1 + r2(x) GDE 0 < r2(x) < x=2 PRI x 2 (0 1) (4.15) (1 + x)1=2 = 1 + r3(x) GDE ;
jxj < r (x) < 0 PRI x 2 (;1 0) 2(1 ; jxj) 3 (4.16)
x
1 ; (1 + x)1=2 = ; (1 + r4(x)) 2 GDE 0 < r4(x)
r5(x) > ; PRI x 2 (0 1): 2 4 (4.18)
88
~TOBY POLU^ITX OCENKI OSTATO^NYH ^LENOW W FORMULAH (4.14), (4.15) I (4.18), SLEDUET PRIMENITX K (4.13) PRIZNAK lEJBNICA SHODIMOSTI ZNAKO^EREDU@]EGOSQ RQDA 3]. dLQ WYWODA OCENOK OSTATO^NYH ^LENOW W FORMULAH (4.16) I (4.17) PRIMENQETSQ FORMULA SUMMY BESKONE^NO UBYWA@]EJ GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII. rASSMOTRIM SLU^AJ 2 ; 1=4 > 0. iMEEM r r p 2 2 ; pD = ; r ; (4 ; 1) = 1 ; r1 ; 422;1 = + D ; 2 ; (42 ; 1) 1 + 1 ; 422;1 1 42 ;1 1 2 (1 + " ( )) ; 1 2 =2 = 2 4 (1 + "3()) (4.19) 2(1 + "2()) GDE IZ (4.17) SLEDUET OCENKA 42 ;1 2 4 ;1 2 0 < "1() < 42;1 = 2 2( ; (42 ; 1)) 2 1 ; 2 (4.16) DAET 1 42 ; 1 ; 2 < " () < 0 4 ; (42 ; 1) 2 A 1 0 j " ( ) j CA ; 1 = 0 < "3() = (1 + "1()) B@1 + 2 1 ; j"2()j j" ()j j" ()j = "1() + 2 + "1() 2 1 ; j"2()j 1 ; j"2()j 1 (42 ; 1) 4 2 ; 1 4 + + 2 2( ; (42 ; 1)) 2 ; 45 (42 ; 1) 1 4 2 ; 1 (42 ; 1) 4 + 2 2( ; (42 ; 1)) 2 ; 54 (42 ; 1) 2 1 2 1 3 2 + 2 + 2 2 = 2 : ;4 ;5 ;4 ;5 ;5
89
sOGLASNO (4.15) I (4.19) IMEEM v p u u u ; u t pD
GDE
+ D
=
; 2
0 < "4()
;
1 4
; 2
2 : aNALOGI^NO TOMU, KAK BYLA POLU^ENA OCENKA DLQ "3(), WYWODIM OCENKU DLQ "12(): 1 2! 1 2! ; 4 4 ; 1 1 2 2 2 2 ; ; 1 2 ! + 4 2 1 2 ! = 0 < "12() < 4 2 + 1 ; 4 ;2 1 ; 4 ;2
2
1 2 2 ; ; 1 4 = 2 + 2 1 2 + 2 1 2 2 ; 4 ; ; 4 ; 0 12 3 0 1 1 1 1 1 1 1 2 @ ; 2 A 4 2 + 2 + 2 2 5 = @ ; 2 A 2 : 4 ;1 ;1 4 ;1 s POMO]X@ FORMUL (4.15) I (4.20) POLU^AEM v p u u u D+ = u tp (1 + "13()) (4.21) D ; 41 ; 21=2 1 4
; 2
1 4
91
GDE
0 1 1 0 < "13() < @ ; 2A
4
1 2 ; 1 :
sPRAWEDLIWO SLEDU@]EE NERAWENSTWO x ctg x < 1 8x 2 (0 ): (4.22) eGO MOVNO WYWESTI, ISPOLXZUQ RQDY tEJLORA DLQ KOSINUSA I SINUSA. dEJSTWITELXNO, 0 x cos x ; sin x = ; @ 1
1 1A 3 0@ 1 1 1A 5 ; x + ; x ; ::: 2! 3! 0 4! 5! 1 : : : + : : : (;1)n B@ (21n)! ; (2n 1+ 1)! CA x2n+1 + : : : < 0: pOLAGAQ W (4.22) x = arcctg y, IMEEM 1 0 < arcctg y < PRI y > 0
y
A, TAK KAK
arcctg y + arctg y = 8y 2 R 2
TO IMEEM 2 arctg x = (1 + r6(x)) GDE 0 > r6(x) > ; x 2 (0 +1): 2 x
iZ \TOJ FORMULY I (4.21) IMEEM GDE
0v 1 p u u Bu D + CC CA = arctg "14() = arctg BB@ut p D;
(1 + " ()) 15 2
1=2 < "14() 1 2 4 ;
(4.23)
92
0 > "15() > ;
2
1 4
;
pEREMNOVAQ (4.21) I (4.23), POLU^AEM
2 1=2
:
v 0v 1 p p u u u u u D + arctg BBBuut pD + CCC = u tp @ D ; A D;
1=2 (1 + "13()) (1 + "15()) = 1=2 (1 + "16()) 1 2 2 2 2 4 ; 4 ;
= 1
GDE
"16() = "13() + "15() + "13()"15(): u^ITYWAQ, ^TO "13() > 0, "15() < 0, MOVEM ZAPISATX TAKOE NERAWENSTWO: j"16()j max fj"15()j + j"13()"15()j j"13()jg : iZ \TOGO NERAWENSTWA I TOGO, ^TO 0 1 1 2 1=2 2 4 ; 1 2 @ ; A 1 > (4.24) 4 2 ; 1 8 > 4 POLU^IM WTORU@ ^ASTX UTWERVDENIQ. uTWERVDENIE 4.2 DOKAZANO POLNOSTX@.
93
5 wESOWYE OCENKI DLQ MNOGO^LENOW ~EBY EWA{|RMITA I ~EBY EWA{lAGERRA
|TA GLAWA POSWQ]ENA REENI@ TREH ZADA^ 20], O KOTORYH GOWORITSQ W ZAKL@^ITELXNOJ ^ASTI wWEDENIQ. pUSTX DANY POSLEDOWATELXNOSTI fangn2N I fbngn2N , an 2 R , bn 2 R . pIEM an bn ESLI an = bn(1 + o(1)) (PRI n ! +1 ). nAZOWEM POSLEDOWATELXNOSTX fBngn2N , Bn 2 R , Bn 0, DOPUSTIMOJ, ESLI 9C1 = C1() ;1=2: x=2+1=4 e;x=2 jLcn(x )j nC1=14 x 2 0 Bn] n 2 N : iZ REZULXTATA TEOREMY 4 wWEDENIQ I FORMULY DLQ FUNKCII |JRI 13, 12] 2 0 1 3 !3 1 ;1 3 2 ; Ai(;z ) = 2 z 4 4cos @ z 2 ; A + O z ; 2 5 z > 0 z ! 1 3
4
WYWODITSQ SLEDU@]AQ ASIMPTOTI^ESKAQ FORMULA 16]: x=2+1=4 e;x=2 Lcn(x ) = 0 11=2 N (2 ; sin 2 ) ; ! ! 2 B C ; 1=4 = @ A (N ; x) cos + Rn(x ) (5.1) 4 GDE > ;1 N = 4n + 2 + 2, = arccos(x1=2N ;1=2), A DLQ OSTATO^NOGO ^LENA SPRAWEDLIWY FORMULY N 1=4 x1=4 (N ; x)1=4 ! (5.2) Rn(x ) = O (N ; x)3=2 + N 3=4 x1=2 PRI 0,
94
I
3=4 (N ; x)1=4 ! N Rn(x ) = O (N ; x)3=2 x1=4 + N 1=4 x PRI ;1 < < 0,
(5.3)
OBE SPRAWEDLIWYE PRI 0 < x N ; 4. zAMETIM, ^TO WYRAVENIE (5.2) DLQ OSTATO^NOGO ^LENA Rn(x ) PRI 0 OTLI^AETSQ OT WYRAVENIQ (5.3) DLQ OSTATO^NOGO ^LENA Rn(x ) PRI ;1 < < 0 MNOVITELEM Nx11==22 . tAKIM OBRAZOM, OCENKU (5.3) MOVNO RASSMATRIWATX PRI L@BOM > ;1 W UKAZANNOJ OBLASTI OPREDELENIQ. lEMMA 5.1. pUSTX 2 (0 1). pOSLEDOWATELXNOSTX Bn = N GDE N = 4n + 2 + 2 (5.4) QWLQETSQ DOPUSTIMOJ.
w SILU RANEE POLU^ENNYH REZULXTATOW POSLE0 DOWATELXNOSTX fBngn2N Bn0 = 1 8n 2 N DOPUSTIMA (\TO SLEDUET IZ REZULXTATOW PARAGRAFA 3 GLAWY VI KNIGI 8] SM. TAKVE STATX@ 20]). tEPERX OCENIM FUNKCI@ x=2+1=4 e;x=2 Lcn(x ) NA OTREZKE 1 Bn]. iMEEM: N 3=4 + (N ; Bn)1=4 (1 ; )1=4 (N ; Bn)3=2 N 1=4 OTKUDA jRn(x )j (1 ; )1=4(1 + o(1)) PRI x 2 1 Bn] ;1=2: sLEDOWATELXNO, ISPOLXZUQ ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU (5.1), POLU^AEM: sup x=2+1=4 e;x=2 jLcn(x )j x21Bn ]
dOKAZATELXSTWO.
95
0 11=2 2 @ A
1 1=4 N 1=4 (1 ; )1=4 1 + (1 ; ) (1 + o(1)) 0 11=2 2 2 @ A 1=4 n (1 ; )1=4 (1 + o(1))(PRI n ! +1), ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX. lEMMA 5.2. pUSTX > ;1, g (n){ NEKOTORAQ WE]ESTWENNOZNA^NAQ FUNKCIQ TAKAQ, ^TO n! lim g(n) = 0 g(n) ;1, +1
Bn = N (1 + g(n)) GDE N = 4n + 2 + 2: tOGDA 9fxngn2N xn 2 0 Bn] 8n 2 N : 2+1=4 ;xn =2 c x= e jLn(xn )jn1=4 ! +1 PRI n ! +1: n dOKAZATELXSTWO. dOPUSTIM SNA^ALA, ^TO
(5.5)
1 ; < g(n) < 0 8n 2 N 2
(5.6)
2=3 lim j g ( n ) j n = +1 n!+1
(5.7)
jg(n)j
4
N n 3:
pOSTROIM POSLEDOWATELXNOSTX xn = N (1 + ng(n)) GDE n 2 1 2] n POKA NE OPREDELENO, I PUSTX
n = arccos(x1n=2N ;1=2): iZ OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO xn 2 (0 Bn]. tAK KAK 1 + ng(n) 1, TO lim = 0: n!+1 n
(5.8)
(5.9)
96
oBOZNA^IM
2 ) ; : F (N ) = N (2 ; sin 4 iSPOLXZUQ FORMULU tEJLORA DLQ SINUSA (2 )3 sin 2 = 2 ; + O( 5) ( ! 0) 3!
POLU^AEM
0
1
3
B F (N ) = ; 4 + N @ 3 + O( 5)CA ( ! 0):
pOLXZUQSX SOOTNOENIEM
r
arccos y = arcsin 1 ; y2 SPRAWEDLIWYM PRI y 2 0 1], POLU^AEM, ^TO r
r
(5.10)
r
arccos (1 + g(n)) = arcsin ;g(n) ;g(n) GDE \KWIWALENTNOSTX SPRAWEDLIWA W SILU USLOWIQ n!lim+1g(n) = 0.
aNALOGI^NO
r
r
arccos 1 + 2g(n) ;2g(n): pOLXZUQSX ASIMPTOTI^ESKIM RAZLOVENIEM (5.10), POLU^AEM: r
r
F (N arccos 1 + 2g(n)) ; F (N arccos 1 + g(n)) = N 3=2 3=2 = (;2g(n)) ; (;g(n)) (1 + o(1)) +
3 N 3=2 5=2 + O N (;g(n)) = (2 ; 1)(;g(n))3=2(1 + o(1)) 3 (n ! +1): (5.11) iZ USLOWIQ (5.7) WYTEKAET, ^TO 3=2 lim N ( ; g ( n )) = +1 n!+1
97
OTKUDA SLEDUET, ^TO GLAWNYJ ^LEN ASIMPTOTIKI (5.11) STREMITSQ K +1, A, ZNA^IT, I WSE WYRAVENIE STREMITSQ K +1 PRI n ! +1. tOGDA 9n0 2 N 8nr n0 : r jF (N arccos 1 + 2g(n)) ; F (N arccos 1 + g(n))j > 2: r w SILU NEPRERYWNOSTI FUNKCII F (N arccos 1 + tg(n)) PO PEREMENNOJ t 2 1 2] PRI FIKSIROWANNOM PARAMETRE n, GDE n n0, POLXZUQSX TEOREMOJ bOLXCANO O PROMEVUTO^NYH ZNA^ENIQH, POLU^AEM, ^TO 9n 2 1 2] I 9hn 2 Z: r F (N arccos 1 + ng(n)) = 2hn + 4 pOLOVIM n = 1 PRI n = 1 ::: n0 ; 1. tEPERX, KOGDA POSLEDOWATELXNOSTX fxngn2N OPREDELENA POLNOSTX@, DOKAVEM WYPOLNIMOSTX USLOWIQ (5.5). w SILU USLOWIQ (5.8) MOVEM WOSPOLXZOWATXSQ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULOJ (5.1) NA PROMEVUTKE (0 Bn] PRI n 3, PREDWARITELXNO PEREPISAW EE W WIDE: 2 (N cos2 )=2+1=4 e;N cos =2 Lcn(N cos2 ) = 0 11=2 2 = B@ CA
1 N 1=4 sin1=2
0 B@cos F (N
) + 0 11 1=2 3=4 1=4 N N sin CACA = + O B@ 3=2+1=4 3 + N sin cos1=2 N 5=4 cos2
0 0 11=2 1 2 B@cos F (N ) + = B@ CA 0 N 1=4 sin1=2 11 1=2 sin
1 CACA + O B@ + 3 1=2 2
N sin cos N cos
zAMETIM, ^TO W SILU (5.9) I
n 3: (5.12)
cos n 1 r
r
sin n n = arccos 1 + ng(n) ;ng(n)
98
OTKUDA N sin3 n cos1=2 n N n3 4n(;ng(n))3=2 n!!+1 +1 W SILU USLOWIQ (5.7). pODSTAWLQQ W ASIMPTOTI^ESKU@ FORMULU (5.12) POSLEDOWATELXNOSTX fxngn2N , POLU^AEM: 0 11=2 1 B@ 2 CA 2+1=4 ;xn =2 c x= e L ( x ) n n n N 1=4 sin1=2 n cos F (N n) 0 11=2 ! 2 1 B C @ A 1=2 1=4 n+ 2 n (;ng(n))1=4 cos 2h 4 p
1
2 1 2 (;g(n))1=4n1=4
1=2n1=4 OTKUDA SLEDUET (5.5) DLQ FUNKCII g(n), UDOWLETWORQ@]EJ USLOWIQM (5.6){(5.8). wOZXMEM TEPERX PROIZWOLXNU@ WE]ESTWENNOZNA^NU@ FUNKCI@ g(n) TAKU@, ^TO lim g(n) = 0: n!+1 tOGDA 1 4 9n00 8n n00 : jg(n)j + 1=2 < : N 2 fUNKCIQ 8 00 > < ;jg (n)j ; 41=2 PRI n n N ge (n) = >: 1 PRI 1 n < n00 ;3 UDOWLETWORQET USLOWIQM (5.6){(5.8) (S ZAMENOJ FUNKCII g(n) NA FUNKCI@ ge (n)) I n!lim+1ge (n) = 0. oTMETIM, ^TO ;1 < ge (n) < g(n) 8n n00 I W SILU DOKAZANNOGO 9fxngn2N : xn 2 0 N (1 + ge (n))] 0 N (1 + g(n))] PRI n n00 TAK ^TO WYPOLNENO (5.5). tEM SAMYM, LEMMA DOKAZANA POLNOSTX@.
99
zAME^ANIE 5.1. zAMENIW W FORMULIROWKE LEMMY 5.2 USLOWIE
lim g(n) = 0
n!+1
NA USLOWIE
lim g(n) = 0 n! +1
MOVNO UKAZATX TAKU@ POSLEDOWATELXNOSTX n1 < n2 < : : : < nk < : : : nk 2 N I fxnk gk2N , xnk 2 0 Bnk ], ^TO 1=4 2+1=4 ;xnk =2 c x= e j L ( x ) j n n n k ! +1 PRI k ! +1: nk k
n3
< Bn N f Bn = >: BN ESLI n ESLI Bn < N:
tOGDA 0 Bfn] 0 Bn] I n!lim+1 BNen = 1: w SILU ZAME^ANIQ 5.1 9fxnk gk2N , xnk 2 0 Bfnk ]: 2+1=4 ;xnk =2 c x= e jLn(xnk )jn1k=4 ! +1 PRI k ! +1: (5.14) nk dOPUSKAQ, ^TO 9C2 = const: x=2+1=4 e;x=2 jLcn(x )jn1=4 C2 8x 2 0 Bn] 8n 2 N PRIHODIM K PROTIWORE^I@ S (5.14). dOSTATO^NOSTX.
100
pUSTX n!lim+1 BNn < 1: tOGDA DLQ NEKOTOROGO " 2 (0 1) 9m 8n
m:
Bn < (1 ; ")N: (5.15) pRI FIKSIROWANNOM n FUNKCIQ x=2+1=4 e;x=2 Lcn(x ) ;1=2 n 2 N OGRANI^ENA NA R , SLEDOWATELXNO, PRI FIKSIROWANNOM ;1=2 WSE TAKIE FUNKCII OT n = 1 DO n = m ; 1 MOVNO OGRANI^ITX W SOWOKUPNOSTI ODNOJ KONSTANTOJ, T.E. 9C3 = const: x=2+1=4 e;x=2 jLcn(x )j C3 8x 2 R n = 1 ::: m ; 1: (5.16) tAK KAK POSLEDOWATELXNOSTX f(1 ; ")N gn2N QWLQETSQ DOPUSTIMOJ SOGLASNO LEMME 5.1, TO, OTME^AQ NERAWENSTWO (5.15), POLU^AEM, ^TO 9C4 = const: x=2+1=4 e;x=2 jLcn(x )j nC1=44 8x 2 0 Bn] n m: (5.17) iZ (5.16) I (5.17) SLEDUET DOPUSTIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fBngn2N . zAME^ANIE 5.2. uSLOWIE (5.13) \KWIWALENTNO USLOWI@
Bn < 4: n sTANDARTIZOWANNYE MNOGO^LENY ~EBYEWA-|RMITA WYRAVA@TSQ ^EREZ STANDARTIZOWANNYE MNOGO^LENY ~EBYEWA-lAGERRA PO FORMULAM 8], 7] H2n(x) = (;1)nn!22nLn(x2 ;1=2) lim n!+1
H2n+1(x) = (;1)nn!22n+1xLn(x2 1=2): |TI RAWENSTWA MOVNO PEREPISATX DLQ ORTONORMIROWANNYH MNOGO^LENOW, ISPOLXZUQ FORMULY 8] d (x) = r 1 H p Hn(x) n 2 N n n n! 2
101
v u u c n Ln(x ) = (;1) uut
pOLU^AEM
n! L (x ) > ;1 n 2 N : ;(n + + 1) n
d (x) = L c (x2 ;1=2) H 2n n
(5.18)
d c 2 H (5.19) 2n+1 (x) = xLn (x 1=2): dOMNOVAQ OBE ^ASTI KAVDOGO IZ RAWENSTW NA e;x2=2, WYWODIM SLEDSTWIE IZ KRITERIQ DOPUSTIMOSTI
sLEDSTWIE 5.1.
0 1 1 2 =2 d ; x sup e Hn(x) = O @ n1=4 A x2;An An]
(5.20)
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
2 A n < 4 lim n!+1 n 2
GDE
]{ ZNAK CELOJ ^ASTI, ILI, ^TO \KWIWALENTNO, p A n p < 2: lim n! +1
n tEOREMA 5.1 I SLEDSTWIE 5.1 POLNOSTX@ REA@T ZADA^I 1 I 3, SFORMULIROWANNYE W ZAKL@^ITELXNOJ ^ASTI wWEDENIQ (SM. TAKVE 20]).
oTWETOM NA ZADA^U 2 IZ wWEDENIQ QWLQETSQ SLEDU@]AQ TEOREMA.
tEOREMA 5.2.
d 2 =2 Hn (s) ; s e 1 + jsj!
0 = O@
1 A RAWNOMERNO PO 1=4
1
n
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
! 31 :
s2R
(5.21)
102
dOKAZATELXSTWO. dOSTATO^NO d ^ETNOSTI FUNKCII Hn(s) 8]. nEOBHODIMOSTX.
RASSMOTRETX SLU^AJ s 0 W SILU
dOPUSTIM, ^TO DLQ NEKOTOROGO ! > 09C5 = C5(!) TAKOE, ^TO d 2 =2 Hn (s) ; s e 1 + jsj! nC1=54 s 0: (5.22) wOZXMEM PROIZWOLXNOE l 2 (0 2=3). tOGDA 9n0 = n0(l)8n n0: 1 1 4 < I nl 2 nl 4n + 1 : 1
pOLAGAQ W LEMME 5.2
8 1 > < g(n) = >: ;;n1l
GDE n n0 GDE 1 n n0 ; 1 3 STROIM POSLEDOWATELXNOSTI NEOTRICATELXNYH ^ISEL frng, ftng TAKIE, ^TO rn 4n + 1 tn 4n + 3, p 0 1 1 e;rn=2Lcn @rn ; 2 A 1=22 1=4 nl=4;1=4 GDE n 2 1 2] 2 n 0 1 1A 1=2 ;tn =2 c @ tn e Ln tn
2
p 2
l=4;1=4 GDE 2 1 2]: n n 1=4
21=2n
tAKIE POSLEDOWATELXNOSTI MOVNO POSTROITX, ESLI ISPOLXZOWATX RASSUVDENIQ, PRIWEDENNYE W NA^ALE DOKAZATELXSTWA LEMMY 5.2. dALEE OPREDELIM NOWYE POSLEDOWATELXNOSTI fsng, fng PO FORMULAM p s2n = prn s2n+1 = tn 2n = n 2n+1 = n: w SILU (5.18) I (5.19) IMEEM p !l=4;1=4 n 2 2 d (s ) e;sn=2H GDE n 2 1 2] n n 1=4 2 1 = 2 2 n
103
p
p
s2m 4m + 1 s2m+1 4m + 3, OTKUDA SLEDUET, ^TO n !1=2 p sn 2n + 1 2 2 I d n !l=4;1=4;!=2 1 2 =2 Hn (sn ) ; s e n 1 + js j! 1=2 1=4 1=2+! 2 : n n 2 dLQ TOGO, ^TOBY BYLO WYPOLNENO (5.22), NEOBHODIMO, ^TOBY WYPOLNQLOSX USLOWIE l ;! 0 4
ILI
2
! 2l : pO USLOWI@ l 2 (0 2=3), T.E. MY MOVEM WYBRATX l = 2=3 ; , GDE > 0, SKOLX UGODNO MALO. sLEDOWATELXNO, ! 13 ; 2 : pRI ! 0 POLU^AEM TREBUEMOE NERAWENSTWO. dOSTATO^NOSTX.
pUSTX ! 1=3. iZ TEOREM 3 I 5, SFORMULIROWANNYH WO wWEDENII, DLQ ORTONORMIROWANNYH MNOGO^LENOW ~EBYEWA{|RMITA POLU^A@TSQ OCENKI 10] 0 1 1 2 =2 d ; s e Hn(s) = O @ n1=12 A s 0 (5.23) 0 d (s) = O @ e;s = H n
1
1 A
1 0 s (2n + 1)1=2: 2
(5.24) n1=4 |TI VE FORMULY MOVNO WYWESTI S POMO]X@ TEOREMY 2 wWEDENIQ I TEOREM 2.1 I 2.2. tOGDA IZ (5.23) SLEDUET, ^TO 9C6: d C6 C6 s > 1 (2n + 1)1=2 2 =2 Hn (s) ; s e 1 + jsj! n1=12+ !=2 n1=4 2 2 2
104
A IZ (5.24) SLEDUET, ^TO 9C7: d 2 =2 Hn (s) ; s e 1 + jsj! nC1=74 0 s 21 (2n + 1)1=2: |TI OCENKI DOKAZYWA@T DOSTATO^NOSTX USLOWIQ TEOREMY.
105
zAKL@^ENIE
w DANNOJ RABOTE NA PRIMERE KLASSI^ESKIH ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW RASSMOTREN ODIN IZ WOZMOVNYH SPOSOBOW PRIMENENIQ PRINCIPA SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ W TEORII SPECIALXNYH FUNKCIJ. oKAZALOSX WOZMOVNYM POLU^ENIE FORMUL pLANERELQ{rOTAHA DLQ MNOGO^LENOW ~EBYEWA{|RMITA I NOWYH ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL DLQ KLASSI^ESKIH ORTOGONALXNYH MNOGO^LENOW. kROME TOGO, \TI FORMULY DANY S ^ISLENNYMI OCENKAMI NA OSTATO^NYE ^LENY, ^TO OBUSLAWLIWAET IH WY^ISLITELXNU@ CENNOSTX. rABOTA MOVET BYTX PRODOLVENA W SLEDU@]IH NAPRAWLENIQH: 1) pRIMENENIE METODA K DRUGIM SPECIALXNYM FUNKCIQM. 2) rASSMOTRENIE WTOROGO AGA METODA POSLEDOWATELXNYH PRIBLIVENIJ. 3) pRIMENENIE POLU^ENNYH FORMUL DLQ OCENOK KO\FFICIENTOW RQDOW fURXE PO KLASSI^ESKIM ORTOGONALXNYM MNOGO^LENAM. 4) uTO^NENIE OCENOK W LEMME m.w. fEDOR@KA. 5) uLU^ENIE OCENOK OSTATO^NYH ^LENOW POLU^ENNYH ASIMPTOTI^ESKIH FORMUL (NAPRIMER, S POMO]X@ PRIMENENIQ BOLEE TO^NYH OCENOK OSTATO^NYH ^LENOW W RQDAH tEJLORA \LEMENTARNYH FUNKCIJ ILI W FORMULE sTIRLINGA 18]). aWTOR WYRAVAET GLUBOKU@ BLAGODARNOSTX SWOEMU NAU^NOMU RUKOWODITEL@ PROFESSORU pAWLU kONDRATXEWI^U sUETINU ZA POLEZNYE ZAME^ANIQ I SOZDANIE BLAGOPRIQTNOJ NAU^NOJ ATMOSFERY W PROCESSE RABOTY.
106
bIBLIOGRAFI^ESKIJ SPISOK ISPOLXZOWANNOJ LITERATURY
1] bOGOL@BOW a.n., kRAWCOW w.w. zADA^I PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. { m.: iZD-WO mgu, 1998. { 350 S. 2] wAZOW w. aSIMPTOTI^ESKIE RAZLOVENIQ REENIJ OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. { m.: mIR, 1968. { 464 S. 3] kAMYNIN l.i. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. tOM 2. { m.: iZD-WO mgu, 1995. { 624 S. 4] kOLMOGOROW a.n., fOMIN s.w. |LEMENTY TEORII FUNKCIJ I FUNKCIONALXNOGO ANALIZA. { 3-E IZD. { m.: nAUKA, 1972. { 496 S. 5] nIKOLXSKIJ C.m. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. tOM 1. { m.: nAUKA, 1973. { 432 S. 6] pETROWSKIJ i.g. lEKCII PO TEORII OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. { m.: iZD-WO mgu, 1984. 7] sEGE g. oRTOGONALXNYE MNOGO^LENY. { m.: fIZMATGIZ, 1962. { 500 S. 8] sUETIN p.k. kLASSI^ESKIE ORTOGONALXNYE MNOGO^LENY. { 2-E IZD. { m.: nAUKA, 1979. 9] fEDOR@K m.w. aSIMPTOTI^ESKIE METODY DLQ LINEJNYH OBYKNOWENNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ. { m.: nAUKA, 1983. { 352 S. 10] Askey R., Wainger S. Mean convergence of expansions in Laguerre and Hermite series// Amer. J. Math. { 1965. { Vol. 87. { Pp. 695{ 708. 11] Erdelyi A. Asymptotic forms for Laguerre polynomials// J. Indian Math. Soc. { 1960. { Vol. 24. { Pp. 235{250.
107
12] Erdelyi A. Asymptotic solutions of di!erential equations with transition points or singularities// Journal of Math. Phys. { 1960. { Vol. 1. { N 1. { Pp. 16{26. 13] Je!reys H., Je!reys B. Methods of mathematical physics. { 3d ed. { Cambridge, Univ.press, 1972. { 718 p. 14] Igashov S.Yu. Asymptotic approximation and weight estimate for the Laguerre polynomials// Integral Transforms and Special Functions. { 1999. { Vol. 8. { N 3-4. { Pp. 209-216. 15] Moecklin E. Asymptotische Entwicklungen der Laguerreschen Polynome// Commentarii Math. Helvetici. { 1934. { Vol. 7. { Pp. 24-46. 16] Muckenhoupt B. Mean convergence of Hermite and Laguerre series. I// Trans. Amer. Math. Soc. { feb. 1970. { Vol. 147. { Pp. 419-431. 17] Plancherel M., Rotach W. Sur. les valeurs asymptotiques n des polynomes d'Hermite Hn(x) = (;1)nex2=2 dxd n e;x2=2// Commentarii Math. Helvetici. { 1929. { Vol. 1. { Pp. 227-254. 18] Reinhard M. On Stirling's formula. { Amer. Math. Mon. { 2002. { Vol. 109. { N 4. { Pp. 388{390. 19] Scovgaard H. Asymptotic forms of Hermite polynomials// Technical Report 18, Contract Nonr-220(11). { Department of Mathematics, California Institute of Technology. { 1959. 20] Suetin P.K. The weight estimates for classical orthogonal polynomials// Integral Transforms and Special Functions. { 1994. { Vol. 2. { N. 3. { Pp. 239-242. 21] lARION^IKOW r.s. wESOWAQ OCENKA MNOGO^LENOW ~EBYEWA{ lAGERRA NA RASIRQ@]IHSQ SEGMENTAH// mIKRO\LEKTRONIKA
108
I INFORMATIKA { 2001. wOSXMAQ WSEROSSIJSKAQ MEVWUZOWSKAQ NAUNO{TEHNI^ESKAQ KONFERENCIQ STUDENTOW I ASPIRANTOW. { m.: mi|t, 2001. { s. 145. 22] lARION^IKOW r.s. oB ODNOJ NOWOJ ASIMPTOTI^ESKOJ FORMULE DLQ MNOGO^LENOW qKOBI// tRUDY XXIII kONFERENCII MOLODYH U^ENYH MEHANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu (9{ 14 APRELQ 2001 G.) { m.: mEH.{MAT. mgu, 2001. { s. 229{232. 23] lARION^IKOW r.s. aNALOG FORMULY pLANERELQ-rOTAHA DLQ PROIZWODNYH FUNKCIJ ~EBYEWA-|RMITA// X MEVDUNARODNAQ KONFERENCIQ "mATEMATIKA.|KONOMIKA.oBRAZOWANIE". II MEVDUNARODNYJ SIMPOZIUM "rQDY fURXE I IH PRILOVENIQ". tEZISY DOKLADOW. { rOSTOW{NA{dONU: siw, 2002. { s. 33. 24] lARION^IKOW r.s. fORMULA pLANERELQ-rOTAHA DLQ FUNKCIJ ~EBYEWA-|RMITA NA SUVA@]IHSQ K BESKONE^NOSTI POLUINTERWALAH// mATEMATI^ESKIE ZAMETKI. { 2002. { tOM 72. { wYP. 1. { s. 74-83. 25] lARION^IKOW r.s. aSIMPTOTI^ESKAQ FORMULA DLQ MNOGO^LENOW lEVANDRA// mATERIALY X mEVDUNARODNOJ NAU^NOJ KOFERENCII STUDENTOW, ASPIRANTOW I MOLODYH U^ENYH "lOMONOSOW", 15-18 APRELQ 2003 G. { m.: iZD-WO mgu, 2003. { s. 305. 26] lARION^IKOW r.s. fORMULA pLANERELQ{rOTAHA W OBLASTI, SODERVA]EJ NA^ALO KOORDINAT, I EE ANALOG DLQ PROIZWODNYH FUNKCIJ ~EBYEWA{|RMITA// mATEMATI^ESKIE ZAMETKI. { 2004. {
27] lARION^IKOW r.s. nOWYJ ANALOG FORMULY pLANERELQ{ rOTAHA DLQ MNOGO^LENOW ~EBYEWA{lAGERRA// iNTEGRALXNYE PREOBRAZOWANIQ I SPECIALXNYE FUNKCII. iNFORMACIONNYJ B@LLETENX. { 2004. { tOM 4. { N 1. { C. 32-41.
