Глава 7. Сферические функции 7.1. Определение полиномов Лежандра Сферические функции, как будет показано в разделе 7.7, ...
474 downloads
262 Views
720KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Глава 7. Сферические функции 7.1. Определение полиномов Лежандра Сферические функции, как будет показано в разделе 7.7, непосредственно появляются при решении уравнения Лапласа в сферических координатах. Однако прежде чем перейти к их определению, рассмотрим полиномы Лежандра, а также присоединенные функции Лежандра, являющиеся составными элементами сферических функций. Определим полиномы Лежандра Pn(cosθ) как коэффициенты разложения в ряд по степеням τ функции F (cosθ ) = (1 − 2τ cosθ + τ 2 ) −1/2 , (7.1.1) так что ∞ 1 (7.1.2) = ∑ Pn (cosθ )τ n . 1 − 2τ cosθ + τ 2 n = 0 Здесь 0 < τ < 1 и θ — вещественные величины, а F принято называть производящей функцией полиномов Лежандра. Ряд (7.1.2) сходится абсолютно для всех |τ| < 1. В самом деле, поскольку 2cosθ = exp(iθ ) + exp( −iθ ), где i 2 = −1, то, согласно (7.1.1), F = (1 − τ exp[iθ ])
−1/ 2
(1 − τ exp[−iθ ])
−1/ 2
.
При |τ| < 1 каждый сомножитель, а следовательно, и произведение можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Тейлора (Маклорена) по степеням τ. Для нахождения полиномов Лежандра в явной форме представим (7.1.1) в виде F ( x) = [1 − 2τ ( x − τ / 2)]
−1/ 2
,
x = cosθ .
Тогда на основании формулы бинома Ньютона будем иметь m
( 2m − 1)!! m ⎛ τ⎞ τ ⎜x− ⎟ , ⎝ m! 2⎠ m= 1 ∞
F ( x) = 1 + ∑
(7.1.3)
причем m
m τ⎞ m! ⎛ τ k x m− k . x − = ( −1) k k ⎜ ⎟ ∑ ⎝ ⎠ 2 2 (m − k )!k ! k =0
(7.1.4)
Подставляя (7.1.4) в (7.1.3), получим ∞
m
F ( x) = 1 + ∑ ∑ ( −1) k m= 1 k = 0
( 2m − 1)!! m− k m+ k x τ . 2 (m − k )! k ! k
(7.1.5)
Если вместо m ввести n = m + k, так что при изменении m от 1 до ∞ величина n также будет принимать все целые значения от 1 до ∞, в то время как целое число k = n − m будет уже изменятся от 0 до m* = E(n/2), где E(n/2) есть целая часть числа n/2 (поскольку k = m означает, что m = n − m, следовательно, m = n/2), то (7.1.5) можно представить в виде
182
Часть II. Аппарат специальных функций ∞
m∗
F ( x) = 1 + ∑ ∑ ( −1) k n =1 k = 0
( 2n − 2 k − 1)!! n− 2 k n x τ . 2 k ( n − 2 k )! k !
(7.1.6)
Учитывая, что, согласно (6.3.11), (6.3.13), ( 2n − 2k − 1)!! =
1⋅ 2 ⋅ 3K ( 2n − 2k ) ( 2n − 2k )! ( 2n − 2k ) ! = = n− k , 2 ⋅ 4K ( 2n − 2k ) ( 2n − 2k )!! 2 ( n − k ) !
из (7.1.6) окончательно получим ∞
F ( x) = ∑ Pn ( x)τ , n
(7.1.7)
n=0
где
Pn ( x) =
1 2n
E ( n/ 2 )
∑ (−1)
(2n − 2 k )! x n−2 k , (n − k )!(n − 2 k )! k !
k
k =0
(7.1.8)
или Pn ( x) =
⎤ ( 2n)! ⎡ n n( n − 1) n− 2 n( n − 1)( n − 2)( n − 3) n− 4 x − x + x −K⎥. 2 ⎢ n 2( 2n − 1) 2 ⋅ 4 ⋅ ( 2n − 1)( 2n − 3) 2 ( n!) ⎣ ⎦
(7.1.9)
В частности,
P0 ( x) = 1, P3 ( x) =
P1 ( x) = x,
1 3 (5x − 3x), 2
1 (3x 2 − 1), 2 1 4 2 P4 ( x) = ( 35x − 30 x + 3). 8 P2 ( x) =
Таким образом, Pn являются полиномами относительно x = cosθ степени n. Из (7.1.8) следует, что Pn ( − x ) = ( −1) n Pn ( x ), (7.1.10) то есть при n = 2s (s = 0, 1, ...) полиномы Лежандра являются четными, а при n = 2s + 1 (s = 0, 1, ...) — нечетными функциями от переменной x. Если положить в (7.1.2) cosθ = 1, то поскольку ∞ 1 = ∑τ n , 1 − τ n=0
получим, с учетом (7.1.10),
Pn(1) = 1, Pn(−1) = (−1)n.
(7.1.11)
Полагая далее в (7.1.2) cosθ = 0 и учитывая, что
(1 + τ )
2 −1/ 2
∞
= ∑ ( −1) n n=0
(2n − 1)!! 2 n τ , 2 n n!
находим значения полиномов Лежандра при x = 0 P2 n (0) =
( −1) n (2n − 1)!! , 2n n !
P2 n+1 (0) = 0.
(7.1.12)
Глава 7. Сферические функции
183
И, наконец, покажем, что полиномы Лежандра могут быть определены также представлением 1 dn Pn ( x) = n ( x 2 − 1) n , (7.1.13) n 2 n! dx
[
]
которое принято называть формулой Родрига. Для этого воспользуемся биномиальным разложением
(x
2
)
n
− 1 = ∑ Cnk ( −1) k x 2 n−2 k , n
k =0
на основании которого находим dn ( x 2 − 1) n = n dx
[
] ∑ (−1) C (2n − 2k)(2n − 2k − 1)K[(2n − 2k − (n − 1)]x E ( n / 2)
k
k n
n− 2 k
.
(7.1.14)
k =0
Поэтому, учитывая, что Cnk =
n! ( 2n − 2k ) ! , (2n − 2k )K(n − 2k + 1) = , ( n − k )!k ! ( n − 2k ) !
непосредственно устанавливаем эквивалентность определений (7.1.13) и (7.1.8). 7.2. Рекуррентные соотношения
Если продифференцировать обе части (7.1.2) по τ, то, очевидно, будем иметь ∞
( x − τ )(1 − 2τx + τ 2 ) −3/2 = ∑ nPn ( x )τ n −1 .
(7.2.1)
n =1
Здесь x = cosθ. Учитывая, что, согласно (7.1.2), 2 −3/ 2
(1 − 2τx + τ )
⎛ ∞ n ⎞ 2 = ⎜ ∑ τ Pn ( x)⎟ (1 − 2τx + τ ) , ⎝ n=0 ⎠
из (7.2.1) получим ∞
∞
n=0
n =1
( x − τ ) ∑ Pn ( x )τ n =(1 − 2τx + τ 2 ) ∑ nPn ( x )τ n−1 . Приравнивая коэффициенты при τ в обеих частях полученного равенства, будем иметь xPn ( x) − Pn−1 ( x) = (n + 1) Pn+1 ( x ) − 2nxPn ( x ) + (n − 1) Pn−1 ( x ), n
или окончательно,
(n + 1) Pn+1 ( x ) = (2n + 1) xPn ( x ) − nPn−1 ( x ).
(7.2.2)
С другой стороны, после дифференцирования (7.1.2) по переменной x = cosθ, найдем
τ (1 − 2τx + τ )
2 −3/ 2
∞
= ∑ Pn′( x)τ n , n=0
184
Часть II. Аппарат специальных функций
или, с учетом (7.1.2), ∞
∞
n=0
n=0
τ ∑ Pn ( x)τ n =(1 − 2τx + τ 2 ) ∑ Pn′( x)τ n .
(7.2.3)
Приравнивая в последнем выражении коэффициенты при τ n+1 , получим следующее рекуррентное соотношение:
Pn ( x ) = Pn′+1 ( x ) − 2 xPn′( x ) + Pn′−1 ( x ).
(7.2.4)
Подставляя Pn′( x ) после дифференцирования по переменной x (7.2.2) в (7.2.4), получим рекуррентное соотношение, связывающее значение полинома Лежандра Pn ( x ) с величинами производных по x от полиномов Лежандра соседних индексов:
(2n + 1) Pn ( x ) = Pn′+1 ( x ) − Pn′−1 ( x ).
(7.2.5)
Поскольку P0′ = 0, P1′= 1, , то, полагая последовательно в (7.2.5) n = 1, 2, ..., m и складывая почленно полученные равенства, будем иметь
1 + 3 P1 ( x) + 5 P2 ( x) +K+ (2m + 1) Pm ( x) = Pm′+1 ( x) + Pm′ ( x).
(7.2.6)
Если же из (7.2.2), после дифференцирования по x, и (7.2.4) исключить производную Pn′−1 , то получим еще одно рекуррентное соотношение
(n + 1) Pn ( x ) = Pn′+1 ( x) − xPn′( x).
(7.2.7)
Соотношения (7.2.2)-(7.2.7) позволяют по известным значениям P0 ( x ), P1 ( x ) и P0′( x ) , P1′( x) непосредственно вычислять полиномы Лежандра и их производные любого порядка n. Приведем еще одно рекуррентное соотношение, которое будет необходимо в дальнейшем. Умножим обе части (7.2.7) на x ≠ 0, а затем добавим к левой и правой частям получившегося равенства слагаемое Pn′( x ) , тогда ( x 2 − 1) Pn′ = xPn′+1 − Pn′ − x ( n + 1) Pn .
(7.2.8)
Но согласно (7.1.13) xPn′+1 − Pn′ =
2
n +1
[
]
1 n+2 n +1 n +1 n 2 2 xD ( x − 1) − 2( n + 1) D ( x − 1) . (n + 1)!
(7.2.9)
Здесь введено обозначение D k = d k / dx k (k = 0, 1, ...). Так как
[
]
xD n+ 2 ( x 2 − 1) n+1 = D xD n+1 ( x 2 − 1) n+1 − D n+1 ( x 2 − 1) n+1 = K =
[
]
= D n+1 xD( x 2 − 1) n+1 − ( n + 1) D n+1 ( x 2 − 1) n+1 ,
то правая часть (7.2.9) представима в виде 2
n +1
[
]
1 D n +1 ( n + 1)( x 2 − 1) n 2 x 2 − ( n + 1)( x 2 − 1) n +1 − 2( n + 1)( x 2 − 1) n , ( n + 1)!
Глава 7. Сферические функции
или, с учетом (7.1.13),
xPn′+1 ( x ) − Pn′( x ). = (n + 1) Pn+1 ( x ).
185
(7.2.10)
Таким образом, вместо (7.2.8) получим окончательно
( x 2 − 1) Pn′( x ) = (n + 1)[ Pn+1 ( x ) − xPn ( x)].
(7.2.11)
7.3. Дифференциальное уравнение Лежандра Дифференцируя по переменной x обе части (7.2.11), будем иметь ( x 2 − 1) Pn′′( x) + 2 xPn′ ( x ) − (n + 1)[Pn′+1 ( x ) − xPn′ ( x ) − Pn ( x)].
(7.3.1)
Учитывая (7.2.7), получим следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка для полинома Pn ( x ) : (1 − x 2 ) Pn′′( x ) − 2 xPn′ ( x ) + n( n + 1) Pn ( x ) = 0,
(7.3.2)
которое называется уравнением Лежандра. Легко видеть, что уравнению (7.3.2) можно придать и более компактную форму: dP ( x ) ⎤ d ⎡ (1 − x 2 ) n ⎥ + n(n + 1) Pn ( x ) = 0. (7.3.3) ⎢ dx ⎣ dx ⎦ Здесь x = cosθ, −1 ≤ x ≤ 1, n = 0, 1, ... Полином Лежандра Pn ( x ) является частным (полиномиальным) решением уравнения (7.3.3). Для нахождения второго частного решения Qn ( x ) дифференциального уравнения второго порядка (7.3.3) положим
Qn ( x ) = Pn ( x ) y( x ),
(7.3.4)
тогда для определения y получим следующее уравнение: ⎡ dP ( x) dy ⎤ d2y dy (1 − x 2 ) ⎢ Pn ( x) 2 + 2 n = 0. ⎥ − 2 xPn ( x) dx dx ⎦ dx dx ⎣
(7.3.5)
Обозначая через штрих дифференцирование по переменной x, уравнение (7.3.5) представим в виде: P ′( x ) y ′′ 2x +2 n − = 0, y′ Pn ( x ) 1 − x 2 или d [ln y ′] + 2d [ln Pn ( x )] + d [ln(1 − x 2 )] = 0. (7.3.6) После интегрирования (7.3.6) будем иметь
α0 dy , = 2 dx (1 − x )[ Pn ( x )]2 где α0 — постоянная интегрирования. Поэтому, обозначая еще одну постоянную интегрирования через α1, получим
186
Часть II. Аппарат специальных функций
y=∫
α 0 dx (1 − x 2 )[ Pn ( x )]2
+ α 1.
(7.3.7)
Учитывая, что мы ищем частное решение уравнения (7.3.3), положим α0 = 1, α1 = 0, тогда, согласно (7.3.4), находим Qn ( x ) = Pn ( x ) ∫
dx . (1 − x )[ Pn ( x )]2
(7.3.8)
2
В результате общее решение уравнения (7.3.3) будет равно
C1 Pn ( x ) + C2 Qn ( x ), где C1 и C2 — произвольные постоянные. Определяемую выражением (7.3.8) функция Qn(x) принято называть функцией Лежандра второго рода. При x ∈(−1,1), учитывая явные выражения из раздела 7.1 для Pn ( x ) , из (7.3.8), в частности, получим x 1+ x 1 1+ x Q0 ( x) = ln , Q1 ( x) = ln − 1, 2 1− x 2 1− x 1 1+ x 3 (7.3.9) Q2 ( x) = (3x 2 − 1) ln − x, 4 1− x 2 1 1+ x 5 2 2 − x + . Q3 ( x) = (5x 2 − 3x) ln 4 1− x 2 3 7.4. Свойство ортогональности. Ряд Лежандра
Покажем, что в интервале (−1,1) полиномы Лежандра образуют ортогональную систему функций. Из (7.1.2) следует справедливость следующих разложений: ∞
(1 − 2ξx + ξ 2 ) −1/2 = ∑ Pn ( x )ξ n , n=0
∞
(1 − 2ηx + η 2 ) −1/2 = ∑ Pm ( x )η m ,
(7.4.1)
m= 0
которые сходятся абсолютно для всех x ∈[−1,1], если ⏐ξ⏐ 0) — следует нера2
b b ⎡b ⎤ венство Буняковского-Шварца ⎢ ∫ u ( x) v ( x)dx ⎥ ≤ ∫ u 2 ( x)dx ∫ v 2 ( x)dx, которое при u(x) ≡1 имеет вид a a ⎣a ⎦ 2
b ⎡b ⎤ v ( x ) dx ≤ ( b − a ) v 2 ( x)dx. ⎢∫ ⎥ ∫ a ⎦ ⎣a **) Ряд Лапласа можно обобщить и на случай кусочно непрерывных функций. При этом он будет обладать свойствами, аналогичными ряду Лежандра.
220
Часть II. Аппарат специальных функций
7.11. Разложение потенциала притяжения в ряд по сферическим функциям Пусть материальная точка P(x,y,z) единичной массы находится в ньютоновском поле тяготения некоторого тела T произвольной формы, жестко связанного с декартовой системой координат Oxyz. Предполагая, что плотность χ тела T является кусочно непрерывной функцией координат, а начало системы координат Oxyz выбрано в центре масс тела T, для потенциала притяжения или силовой функции тела T в точке P с координатами x, y, z будем иметь по определению выражение U = f ∫∫∫
χ ( x ′, y ′, z ′) dV Δ
(T)
(7.11.1)
,
где Δ = ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z ′) 2 есть расстояние точки P от текущей точки P′ ∈ T с координатами (x′,y′,z′), в которой локализован объем dV, f — гравитационная постоянная. Интеграл в (7.11.1) берется по всему объему, занимаемому притягивающим телом T. Если через r и r′ обозначить модули, соответственно, радиус-векторов точек P и P′, а через γ — угол, образованный этими радиус-векторами, то для Δ и γ получим (см. рис. 27) xx ′ + yy ′ + zz ′ (7.11.2) Δ = r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos γ , cos γ = . rr ′ z Δ
P' → r'
→ r
γ ϕ
O x
P
y
λ Рис. 27.
Считая, что точка P лежит вне притягивающего тела (то есть r > r′ ), представим Δ−1 рядом по степеням отношения r′ ⁄r < 1. Поскольку −1/ 2
2 1 1⎡ ⎛ r′⎞ ⎛ r′⎞ ⎤ = ⎢1 − 2⎜ ⎟ cos γ + ⎜ ⎟ ⎥ , ⎝r⎠ ⎝r⎠ ⎥ Δ r ⎢⎣ ⎦ то, учитывая выражение для производящей функции (7.1.1) полиномов Лежандра Pn(x), согласно (7.1.2) находим следующее разложение для 1/Δ: n
1 1 ∞ ⎛ r′⎞ = ∑ ⎜ ⎟ Pn (cos γ ), Δ r n=0 ⎝ r ⎠
Глава 7. Сферические функции
221
подставляя которое в (7.11.1), с учетом того, что P0(cosγ) ≡ 1 (см. раздел 7.1), получим
U=
f r
∞ ⎡ 1 ⎢M + ∑ n ⎢⎣ n =1 r
⎤
n ∫∫∫ χr ′ Pn (cosγ )dV ⎥.
(7.11.3)
⎥⎦
(T)
Δ
Здесь M = ∫∫∫ χdV — масса тела T. (T)
Переходя к сферическим координатам (1.6.28): x = r cos λ cos ϕ , y = r sin λ cos ϕ , z = r sin ϕ , x ′ = r ′ cos λ ′ cos ϕ ′, y ′ = r ′ sin λ ′ cos ϕ ′, z ′ = r ′ sin ϕ ′,
(7.11.4)
из (7.11.2) для cosγ будем иметь выражение cos γ = sin ϕ sin ϕ ′ + cos ϕ cos ϕ ′ cos( λ − λ ′).
Но при n ≥ 1 согласно теореме сложения для полиномов Лежандра (7.9.19): Pn (cos γ ) = Pn (sin ϕ ) Pn (sin ϕ ′) +
{
( n − m)! ( m) Pn (sin ϕ )cos(mλ ) Pn( m) (sin ϕ ′)cos( mλ ′) + m=1 ( n + m)! n
+ 2∑
[
]
(7.11.5)
]}
[
+ Pn( m) (sin ϕ ) sin( mλ ) Pn( m) (sin ϕ ′) sin( mλ ′) .
Здесь было учтено, что
cos(mλ )cos(mλ ′) + sin(mλ ) sin(mλ ′) = cos[ m(λ − λ ′)].
Подставляя (7.11.5) в (7.11.3) и вводя следующие обозначения для безразмерных коэффициентов: 1 Jn = χr ′ n Pn (sin ϕ ′) dV , n ∫∫∫ Mr0 ( T ) Kn , m = Sn,m =
1 Mr0n
∫∫∫
2( n − m)! n ( m) χr ′ Pn (sin ϕ ′)cos( mλ ′) dV , ( n + m)!
1 Mr0n
∫∫∫
2( n − m)! n ( m) χr ′ Pn (sin ϕ ′) sin(mλ ′)dV , ( n + m)!
(T)
(T)
(7.11.6)
в которых M — масса тела T, r0 — средний экваториальный радиус (характерный размер) T, будем иметь fM U= r
n ∞ ⎪⎧ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ ⎜ ⎟ J n Pn (sin γ ) + ⎪⎩ n =1 ⎝ r ⎠
(7.11.7) ⎫ ⎪ ⎛r ⎞ + ∑ ∑ ⎜ 0 ⎟ Pn( m) (sin ϕ ) Kn,m cos( mλ ) + Sn,m sin( mλ ) ⎬ . ⎝ ⎠ ⎪⎭ n =1 m=1 r Как следует из (7.11.6), коэффициенты Jn, Kn,m и Sn,m (n = 1, 2, ...; m ≤ n) зависят от формы тела T и распределения масс внутри него. Рассмотрим некоторые из них. ∞
n
n
[
]
222
Часть II. Аппарат специальных функций
Так как, согласно результатам разделов 7.1 и 7.6, P1 (sin ϕ ′) = sin ϕ ′,
P1 (sin ϕ ′) = cos ϕ ′, (1)
то, полагая в (7.11.6) n = m = 1 и учитывая (7.11.4), находим 1 Mr0
J1 =
K1,1 = S1,1 =
z0
∫∫∫ z ′dM = r
,
0
(T )
x0
1 Mr0
∫∫∫ x ′dM = r
1 Mr0
∫∫∫ y ′dM = r
,
0
(T )
y0
.
0
(T )
Здесь x0, y0, z0 — координаты центра масс тела T, dM = χdV. Следовательно, ввиду исходного предположения о том, что начало системы координат Oxyz совмещено с центром инерции тела T, имеем J 1 = K1,1 = S1,1 = 0 .
(7.11.8)
При n = 2, принимая во внимание, что (см. раздел 7.1) P2 (sin ϕ ′) =
3 2 1 sin ϕ ′ − 2 2
и учитывая представления (7.11.4), из (7.11.6) получим J2 =
1 2 Mr02
∫∫∫ χ (2 z ′
2
2
2
−x ′ − y ′ )dV
(7.11.9)
(T )
Если в двух последних выражениях (7.11.6) положить n = 2 и m = 1, то, поскольку (см. раздел 7.6) P2(1) (sin ϕ ′) = 3sin ϕ ′ cos ϕ ′, с учетом (7.11.4), будем иметь K2 ,1 =
1 Mr02
∫∫∫ χx ′z ′dV ,
S 2 ,1 =
(T )
1 Mr02
∫∫∫ χy ′z ′dV .
(7.11.10)
(T )
Полагая, наконец, в (7.11.6) n = m = 2 и учитывая, что P2( 2) = 3 cos 2 ϕ ′, легко находим K2 , 2 =
1 4 Mr02
∫∫∫ χ ( x ′ (T )
2
− y ′ 2 )dV ,
S2, 2 =
1 2 Mr02
∫∫∫ χx ′y ′dV .
(7.11.11)
(T )
Если обозначить через A, B, C главные центральные моменты инерции притягивающего тела T:
Глава 7. Сферические функции
A = ∫∫∫ χ ( y ′ 2 + z ′ 2 )dV , (T )
223
B = ∫∫∫ χ ( x ′ 2 + z ′ 2 )dV , C = ∫∫∫ χ ( x ′ 2 + y ′ 2 )dV , (7.11.12) (T )
(T )
а через D, E, F — произведения инерции (или центробежные моменты): D = ∫∫∫ χx ′y ′dV , (T )
E = ∫∫∫ χx ′z ′dV , (T )
F = ∫∫∫ χy ′z ′dV ,
(7.11.13)
(T )
то коэффициенты (7.11.9)-(7.11.11) представимы в следующем виде J2 =
A + B − 2C , 2 Mr02
E , Mr02
K 2 ,1 =
S 2 ,1 =
F , Mr02
K2 , 2 =
B− A , 4 Mr02
S2, 2 =
D . 2 Mr02
(7.11.14)
При этом с учетом (7.11.8) потенциал притяжения (7.11.7) можно представить следующим рядом по сферическим функциям fM U= r
n ∞ ⎧⎪ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ J n ⎜ ⎟ Pn (sin ϕ ) + ⎪⎩ n=2 ⎝ r ⎠ n ⎪⎫ ⎛ r0 ⎞ ( m) + ∑ ∑ ⎜ ⎟ Pn (sin ϕ ) Kn,m cos(mλ ) + Sn,m sin(mλ ) ⎬ ⎝ ⎠ ⎪⎭ n = 2 m =1 r
∞
n
[
(7.11.15)
]
или, согласно (7.6.1), fM U= r n
n ∞ ⎡ ⎤ ⎛ r0 ⎞ ⎢1 + ∑ ⎜ ⎟ Yn (ϕ, λ ) ⎥, ⎢⎣ n = 2 ⎝ r ⎠ ⎥⎦
[
]
где Yn (ϕ , λ ) = ∑ Pn( m) (sin ϕ ) An,m cos(mλ ) + Bn,m sin(mλ ) , An, 0 = J n , а при m = 1,n спраm= 0
ведливы равенства An,m = Kn,m и Bn,m = Sn,m . Если одна из осей координат, например, ось Oz совпадает с главной центральной осью инерции (характеризуемой главным моментом инерции C), так что произведения инерции E и F будут равны нулю, то в этом случае, согласно (7.11.14), K2,1 = S2,1 = 0.
В случае, когда все координатные оси совпадают с главными центральными осями инерции тела T, будет равен нулю также и коэффициент S2,2. Тогда 3 B− A ⎡ M A + B − 2C ⎤ 2 2 U ( r, ϕ , λ ) = f ⎢ + (3 sin ϕ − 1) + cos ϕ cos(2λ ) +... ⎥. 3 3 4 r 4r ⎣ r ⎦
Полученное разложение (7.11.15) для потенциала притяжения U заведомо сходится абсолютно и равномерно при r > r ∗, (7.11.16)
224
Часть II. Аппарат специальных функций
где r*— расстояние наиболее удаленной точки P поверхности притягивающего тела T от его центра масс *) . Поскольку в разделе 7.5 было показано, что Pn (cos γ ) ≤ 1, поэтому
(
)
при r ′ r ≤ q = r ∗ r < 1 остаточный член ряда (7.11.3), а следовательно, и ряда (7.11.15) ∞
Rk = f ∑ ∫∫∫ n= k ( T )
r ′n P (cos γ ) dM n +1 n r
удовлетворяет неравенству ∞
n
k
q fMq Rk ≤ fM ∑ = , r (1 − q) n= k r
правая часть которого стремится к нулю при k → ∞. 7.12. Потенциал притяжения Земли Выберем прямоугольную систему координат Oxyz, начало которой жестко связано с подвижным центром масс Земли. Пусть плоскость xy совпадает с экваториальной плоскостью, а ось Oz, являющаяся мгновенной осью вращения Земли, направлена в северный полюс. Будем считать также, что ось Oz пересекает гринвичский меридиан. Обозначая модуль радиус-вектора, широту и долготу произвольной внешней (вне тела Земли) точки P соответственно через r, ϕ и λ, так что x = r cos λ cos ϕ ,
y = r sin λ cos ϕ ,
z = r sin ϕ ,
(7.12.1)
согласно (7.11.15), при r > r* (где r* — модуль радиус-вектора наиболее удаленной точки земной поверхности) будем иметь следующее выражение для потенциала притяжения Земли fM U= r
n ∞ ⎪⎧ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ ⎜ ⎟ J n Pn (sin ϕ ) + ⎪⎩ n= 2 ⎝ r ⎠
⎫⎪ ⎛r ⎞ + ∑ ∑ ⎜ 0 ⎟ Pn( m) (sin ϕ ) An,m cos(mλ ) + Bn,m sin(mλ ) ⎬, ⎝ ⎠ ⎪⎭ n = 2 m=1 r ∞
n
n
[
(7.12.2)
]
в котором f — гравитационная постоянная, M и r0 — масса и средний экваториальный радиус Земли, причем fM = 3,9860 ⋅105 км3/с2, r0 = 6378,155 км, Pn и Pn( m) — полином и присоединенная функция Лежандра, определяемые (7.1.13), (7.6.1), безразмерные коэффициенты Jn, An,m и Bn,m зависят от формы Земли и распределения масс внутри нее **) . Если от присоединенных функций Pn( m) перейти к полностью нормированным функциям Лежандра pn( m) , определяемым (7.8.10), B
*)
Конкретная (полная) область сходимости для тела T произвольной конфигурации зависит от положения этого тела в пространстве, то есть от выбора используемой системы координат.
**)
Структурная модель Земли состоит из твердой массивной оболочки, покрытой гидросферой; внутри оболочки — полость, заполненная вязкой жидкостью (так называемый “слой Е”), а в центре полости — твердый сфероид (внутреннее ядро).
Глава 7. Сферические функции
225 2(n − m)! ( m) Pn ( x), (n + m)!
pn( m) ( x) = 2n + 1
то из (7.12.2) получим часто встречающееся в литературе представление для потенциала притяжения Земли в виде fM U= r
n ∞ ⎧⎪ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ J n ⎜ ⎟ Pn (sin ϕ ) + ⎪⎩ n= 2 ⎝ r ⎠
⎫⎪ ⎛r ⎞ + ∑ ∑ ⎜ 0 ⎟ pn( m) (sin ϕ ) An∗,m cos(mλ ) + Bn∗,m sin(mλ ) ⎬, ⎝ ⎠ ⎪⎭ n = 2 m=1 r ∞
n
n
[
]
(7.12.3)
где An∗,m =
(n + m)! An,m , 2(n − m)! 1 + 2n
Bn∗,m =
( n + m)! Bn,m . 2( n − m)! 1 + 2n
Заменяя далее коэффициенты An∗,m и Bn∗,m на новые коэффициенты Jn,m и λ n,m по формулам
An∗,m = J n,m cos(mλ n,m ),
Bn∗,m = J n,m sin(mλ n,m ),
из (7.12.3) получим еще одно представление для потенциала притяжения: fM U= r
n ∞ ⎧⎪ ⎛ r0 ⎞ ⎨1 + ∑ ⎜ ⎟ J n Pn (sin ϕ ) + ⎪⎩ n= 2 ⎝ r ⎠
(7.12.4) ⎫ ⎪ ⎛r ⎞ + ∑ ∑ J n,m ⎜ 0 ⎟ Pn( m) (sin ϕ ) cos m( λ − λ n,m ) ⎬. ⎝r⎠ ⎪⎭ n = 2 m=1 Слагаемые в формулах (7.12.2)-(7.12.4), пропорциональные Jn, как уже отмечалось в разделе 7.7, называются зональными гармониками. Первые коэффициенты зональных гармоник для потенциала притяжения Земли, полученные по результатам наблюдений за движениями искусственных спутников Земли, имеют следующие величины: ∞
n
−6
n
[
−6
]
−6
−6
J2 = −1082,63⋅10 , J3 = 2,54⋅10 , J4 = 1,59 ⋅10 , J5 = 0,23⋅10 , −6
−6
−6
−6
J6 = −0,50⋅10 , J7 = 0,36⋅10 , J8 = 0,12⋅10 , J9 = 0,10⋅10 . Коэффициенты тессеральных гармоник — слагаемых в геопотенциале (7.12.3), пропорциональных An∗,m и Bn∗,m при n ≠ m, а также секториальных гармоник — при n = m до четвертого порядка включительно приведены в таблице 1. Таблица 1. Нормированные коэффициенты для геопотенциала притяжения n m ∗ An,m ⋅108
2 2 241,290
Bn∗,m ⋅108 −136,410
3 1 196,980
3 2 89,204
3 4 3 1 68,630 −52,989
4 2 33,024
4 3 98,943
4 4 −7,969
26,015 −63,468 143,040 −48,765
70,633
−15,467
33,928
226
Часть II. Аппарат специальных функций
Поскольку в системе координат Oxyz, в которой рассматривается геопотенциал, ось Oz выбирается совпадающей с мгновенной осью вращения Земли, то есть с соответствующей главной центральной осью инерции, то, как уже отмечалось в предыдущем разделе, A2∗,1 = B2∗,1 = 0. Так как первое слагаемое в выражениях (7.12.2)-(7.12.4) является потенциалом шара со сферическим распределением плотности, то все остальные слагаемые геопотенциала характеризуют отличие Земли от тела сферической структуры. Основным из этих слагаемых (основной гармоникой) является вторая зональная гармоника, которая определяет сжатие Земли у полюсов. Зональные гармоники нечетного порядка определяют, как очевидно из (7.11.14), асимметрию Земли относительно плоскости экватора, а тессеральные и секториальные гармоники характеризуют отличие Земли от тела, динамически симметричного относительно оси вращения. 7.13. Дополнения Основы теории сферических функций были заложены в конце XVIII столетия трудами П. С. Лапласа и А. М. Лежандра [30-33]. Лежандр в своем труде, посвященном исследованию притяжения однородных сфероидов, рассматривал полиномы, которые ныне носят его имя, как коэффициенты разложения функции вида (7.11.1)
(r
2
− 2 Rr cos γ + R 2
)
−1/ 2
в ряд по степеням 0