О граничной эквивалентности колец и матричных колец над ними

Алгебра, и логика, 39, N 6 (2000), 693-710

УДК 510.53:512.55

О ГРАНИЧНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ КОЛЕЦ И МАТРИЧНЫХ КОЛЕЦ Н А Д НИМИ Ю. В. НАГРЕВЕЦКАЯ

Пусть Ън{А;сг) — граница разрешимости алгебраической системы {А; а) относительно иерархии Я , т.е. множество всех языков L £ Я , для которых £-теория системы (А; а) является И-критической [1]. Пусть, да­ лее, 5 и SA — схемная и схемно-альтернативная иерархии языков (см. [1]). Алгебраические системы (Aiioi)

и (А2',С2) называются Н-гранично эк­

вивалентными,

— Ън{А2',ог)- Это понятие, введенное

если

JB#(AI;O"I)

Ю.М. Важениным, интересно само по себе и весьма полезно при описа­ нии границ разрешимости. Пусть АпХп

— множество всех квадратных матриц порядка п над

множеством А. В [1—3] найдены границы разрешимости в иерархии SA колец Z и Ъпхп S5A(Z; RsXt.

и ото-

Ниже через х обозначается функция из

Z в {0,1}, действующая по правилу

{ Для {(tij)kxl

€ KnSlt\R)

1, если х ^ 0; 0, если х < 0.

полагаем n{(atij)kxl)

= otij • x(* - i) ' х{1 ~ Я- Д

ля

== (&ij)sxt, где а,,

произвольных (atJ)fcjl 3(а?)!/»сИ)с«) ^

( е п £ = хАхец А уеп = уАху

= хЛецу = у = еп)-

Пусть

где s ^ S 2 " - sn» ^ ^ *2 • • -'n- Если i2 n X n f= y>4(d, s, £), то существует базис В пространства F n , в котором эндоморфизмы c?t-, 5j, £,- представимы такими матрицами dj, s{, £-, что {d' x ,... , d^J - 3dn, di = е;,-, « б { 1 , . . ч п } , s,- = QftCii, £,• = a f ^ i i , г £ { 2 , . . . ,га},для некоторых a 1? a^» • • • »(ж)) (х - скалярная в Д п Х п матрица) . Действительно, пусть RnXn

[= у>(я). Тогда найдется базис В пространства

ri

F , в котором эндоморфизм х представим скалярной матрицей. Следова­ тельно, эндоморфизм х представим скалярной матрицей в любом базисе, а значит, х — скалярная в й " Х п матрица. Обратно, пусть х — скалярная матрица, х £ RnXn;

тогда, взяв в качестве d b . . . ,с?йп матрицы из Д п Х п ,

О граничной эквивалентности колец и матричных колец

701

для которых di = e»t, г € { 1 , . . . , п}, и {d b . . . , й^п} = 3dn, а в качестве s,-, U — матрицы ец, e t l , i , i € { 2 , . . . , п}, будем иметь RnXn

j=