Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика

Министерство образования Российской Федерации Тамбовский государственный технический университет

РЯДЫ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методические разработки для студентов 2 курса заочного отделения

Тамбов • Издательство ТГТУ • 2002 УДК 517.537:511.37:519.22/25(07) ББК В17 я73-5 Н34 Утверждено Редакционно-издательским советом университета Рецензент Кандидат технических наук, доцент ТГТУ В. И. Галаев

Н34

Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-метод. разработки / Сост. А. Д. Нахман. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002. 32 с. Изложены основные теоретические сведения, типовые задачи (с образцами решений) и контрольные задания по курсу "Числовые и функциональные ряды. Элементы теории вероятностей и математической статистики". Предназначены для студентов 2 курса заочного отделения.

УДК 517.537:511.37:519.22/25(07) ББК В17 я73-5

 Тамбовский государственный

технический университет (ТГТУ), 2002

РЯДЫ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

• Издательство ТГТУ •

Учебное издание

РЯДЫ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА Учебно-методические разработки Составитель

НАХМАН Александр Давидович Редактор Т. М. Г л и н к и н а Компьютерное макетирование И. В. Е в с е е в о й Подписано к печати 16.12.2002 Гарнитура Тimes New Roman. Формат 60 × 84/16. Бумага газетная. Печать офсетная. Объем: 1,86 усл. печ. л.; 1,9 уч.-изд. л. Тираж 200 экз. С. 778 Издательско-полиграфический центр ТГТУ 392000, Тамбов, Советская, 106, к. 14

ВВЕДЕНИЕ Учебно-методические разработки содержат основные сведения по следующим разделам курса математики: "Числовые ряды", "Степенные ряды", "Ряды Фурье", "Элементы теории вероятностей и математической статистики". Предложены типовые задачи и образцы их решений, ознакомившись с которыми, следует приступать к выполнению контрольных заданий. Контрольные работы № 10, 11, 12 содержат по 5 заданий, номера которых определяет кафедра (в соответствии с учебным номером студента). I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 1°. Основные понятия. Пусть дана бесконечная числовая последовательность {an } . Числовым рядом называется формально составленная бесконечная сумма ∞

∑a

= a1 + a2 + ... + an + ... .

n

(1)

n =1

Ряд (1) называется сходящимся (и имеющим сумму S), если существует и конечен предел вида S = lim (a1 + a2 + ... + an ) , n→∞

и расходящимся в противном случае. 2°. Достаточный признак расходимости ряда. Если

lim an ≠ 0 ,

n→∞

то ряд (1) расходится. В случае же lim an = 0 ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся (его поведение зависит от вида последовательности {an } ).

n →∞

3°. "Обобщенный гармонический ряд" ∞

1

∑n n=1

p

=1+

1 1 + ... + p + ... 2p n

является сходящимся при р > 1 и расходящимся при р ≤ 1 . 4°. Достаточные признаки Даламбера и Коши сходимости рядов с положительными членами. Пусть дан ряд (1), в котором

a n > 0. Признак Даламбера. Если существует предел вида D = lim

n→∞

an+1 , an

то при D < 1 ряд – сходящийся, при D > 1 – расходящийся. Признак Коши. Если существует предел вида K = lim n an , n →∞

то при K < 1 ряд – сходящийся, при K > 1 – расходящийся. З а м е ч а н и е. В случаях D = 1 или K = 1 соответствующий признак ряда; требуется применить другие признаки. 5°. Признак сравнения знакоположительных рядов. Предположим,

не дает ответа на вопрос о сходимости что ряд ∞

∑b , b n

n

> 0 (n = 1, 2, ...)

(2)

n=1

имеет заранее известное поведение и существует предел вида

L = lim

n→∞

an . bn

Если L ≠ 0 и L ≠ ∞ , то поведение ряда такое же, как и ряда (2). З а м е ч а н и е. Ряд (2), определяющий поведение данного ряда, называют эталонным. Часто в качестве эталона выбирают обобщенный гармонический ряд. 6°. Достаточный интегральный признак (Коши) сходимости знакопо-ложительных рядов. Построим функцию f(x), заменив n на х в аналитическом выражении общего члена an. Если f(x) непрерывна и убывает на [1; + ∞ ) , то знакоположительный ряд является сходящимся в случае сходимости несобственного интеграла ∞

J=

∫ f ( x)dx , 1

(3)

(то есть в случае, если J – число). Если же интеграл (3) является расходящимся ( J = +∞ ), то ряд расходится. Если члены ряда нумеруются, начиная с n = l ( l > 1 ), то интеграл вида (3) берется по x ∈ [l; ∞ ) . 7°. Сравнительная характеристика признаков. При исследовании конкретного ряда следует удачно выбрать соответствующий признак. Здесь можно пользоваться следующими рекомендациями: 1) если члены ряда быстро убывают (растут), то бывает эффективен признак Даламбера; 2) если выражение для an имеет вид блока в степени, кратной n (так что легко извлекается корень n-й степени), то эффективен признак Коши; 3) если выражение для an содержит арифметические действия над степенными функциями, то при больших значениях n члены 1 ряда ведут себя как p , и, следовательно, в качестве эталона для сравнения выбирают обобщенный гармонический ряд с n соответствующим значением р . Обычно эффективен признак сравнения в предельной форме; 4) если для функции f(x), полученной при замене п на х в выражении an, достаточно легко вычисляется первообразная F(х) , то бывает эффективен интегральный признак. Указанные рекомендации не охватывают, естественно, все возможные случаи и служат лишь в качестве наводящих соображений. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ Исследовать сходимость ряда: ∞

а)

∞

(2n + 1)5 n ; n2 n =1

∑

б)

∑n n=1

2

n ; +2

∞

в)

1

∑ nlnn . n =3

Р е ш е н и е: а) Общий член знакоположительного ряда an =

(2n + 1)5 n n2

содержит множителем показательную функцию. Согласно п. 7°, целесообразно применить признак Даламбера (4°). Найдем an+1, взяв (n + 1) вместо n в аналитическом выражении для an: an+1 =

( 2(n + 1) + 1)5 n+1 (2n + 3)5 n+1 = . (n + 1) 2 (n + 1) 2

Теперь вычисляем соответствующий предел: 2

a (2n + 3)5n +1 (2n + 1)5n 2 n + 3  n  5 n +1 = = D = lim n +1 = lim : lim   n→∞ n → ∞ 2n + 1  n + 1  n → ∞ an (n + 1) 2 n2 5n 3 n = 5 lim 1 n →∞ 2+ n 2+

2

   1    = 5 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5 > 1. 2  1+ 1    n 

Имеем: D > 1; согласно признаку Даламбера, ряд расходится. б) Имеем, очевидно, ряд с положительными членами. При больших значениях n поведение общего члена an определяется старшими степенями n (см. п. 7°). Выбираем эталон для сравнения: ∞

∑n n=1

1 3/ 2

(поскольку an ≈

n 1 = 3 / 2 при n → ∞ ); n2 n

этот ряд – сходящийся p = 3 / 2 > 1 . Согласно признаку сравнения в предельной форме (п. 5°, б)) находим n n2 1 1 = = lim = 1. : lim n →∞ n 2 + 2 n 3 / 2 n →∞ n 2 + 2 n →∞ 2 1+ 2 n Поскольку L = 1, то есть L ≠ 0 , L ≠ ∞ , то поведение исходного ряда – такое же, как и эталонного. Итак, ряд сходится. 1 в) функция f ( x) = непрерывна при x ≥ 3 и убывает с ростом х (так как растет знаменатель дроби). Применяем xln x интегральный признак L = lim

∞

J=

∫ 3

∞

dx d ln x = = ln ln x xln x 3 ln x

∫

∞ 3

= ln(ln ∞) − ln(ln 3) = ln ∞ − ln(ln 3) = ∞ .

Несобственный интеграл оказался расходящимся; следовательно ряд – расходится. Перейдем к рассмотрению рядов с произвольными членами. 8°. Достаточный признак сходимости. Если дан ряд

∞

∑u

n

(un – произвольны, n = 1, 2, ...)

(4)

n =1

и если ряд из модулей ∞

∑

un

(5)

n =1

сходящийся, то и данный ряд (4) – сходящийся. Его сходимость в этом случае называется абсолютной (согласно этому определению сходимость ряда с положительными членами есть сходимость абсолютная ). Однако возможен случай, когда ряд (4) – сходящийся, тогда как соответствующий ряд из модулей (5) – расходится. Сходимость ряда (4) в этом случае называется условной. Возможен, конечно, и третий случай – ряд (4) – расходящийся. Исследование обычно начинают с рассмотрения ряда из модулей. В случае его сходимости делают вывод: данный ряд сходится абсолютно. Иначе (расходимость (8)) ряд (7) абсолютной сходимостью не обладает. Чтобы проверить, обладает ли он условной сходимостью (или расходится), следует обратиться к исследованию данного ряда (7). В случае "чередования знаков" его членов используют следующий результат. 9°. Достаточный призрак Лейбница сходимости знакочередуюшихся рядов. Пусть дан ряд ∞

∑ (−1)

n −1

un ,

un > 0,

n = 1, 2, ... .

(6)

n=1

Если (с ростом n) последовательность {un } – убывающая и lim un = 0 ,

(7)

n→∞

то ряд (6) сходится. Заметим, что: а) признак не указывает на характер сходимости (абсолютная или условная) ряда (4); б) если условие (7) не выполнено (см. п. 2°), то ряд (4) – расходящийся. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ Исследовать ряд на абсолютную (условную) сходимость: ∞

(−1) n−1

∑ 12 n=1

n +5

.

Р е ш е н и е. Имеем знакочередующийся ряд. Ряд из модулей имеет общий член an =

(−1) n 12 n + 5

=

1 12 n + 5

.

Применив признак сравнения в предельной форме (п. 7°, 5°) к полученному знакоположительному ряду, убеждаемся, что он расходится. .

Последовательность {an } , an =

1 12 n + 5

, убывает с ростом n (так как знаменатель дроби растет, а числитель постоянен) и lim an = lim

n→∞

n→∞ 12

1 n +5

=0.

Следовательно (согласно признаку Лейбница), ряд сходится. Поскольку абсолютной сходимостью он не обладает, то сходится условно. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

10°. Рассмотрим ряд вида ∞

∑a x n

n

= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ... ,

n −0

построенный по степенным функциям y = xn и заданной числовой последовательности

{an } ,

n = 0, 1, 2, ... . Он является

важнейшим представителем функциональных рядов. Точка х = х0 называется точкой сходимости, если соответствующий числовой ряд сходится. Областью сходимости степенного ряда, то есть совокупностью всех его точек сходимости, является интервал с центром в начале координат радиуса R ("радиус сходимости"), то есть (–R, R) либо [–R, R), (–R, R], [–R, R]. Вне этого интервала степенной ряд расходится. Заметим, что в интервале (-R, R ) степенной ряд сходится абсолютно. 11°. Рассмотрим задачу: функцию y = y(x), дифференцируемую сколь угодно много раз в точке х0 и некоторой ее окрестности (–R, R), представить в виде суммы степенного ряда:

y ( x) =

∞

∑a x , n

n

x ∈ ( − R, R ) .

n =0

Оказывается, что такое представление (разложение), если оно возможно, должно иметь вид y ( x) = y (0) +

y′(0) y′′(0) 2 y′′′(0) 3 y ( n ) (0) n x+ x + x + ... + x + ... . 1! 2! 3! n!

(8)

Разложение (8) называется рядом Маклорена. Для основных элементарных функций справедливы следующие представления в виде суммы соответствующих рядов Маклорена (параметр n в общем члене каждого ряда принимает значения 0, 1, 2, ...): ex = 1 + sin x = x −

x x2 x3 xn + + + ... + + ...; 1! 2! 3! n!

x3 x5 x7 x 2 n+1 + − + ... + (−1) n + ... ; 3! 5! 7! (2n + 1)!

cos x = 1 −

x2 x4 x6 x 2n + − + ... + ( −1) n + ... ; 2! 4! 6! ( 2n)!

1 = 1 − x + x 2 − ... + (−1) n x n + ...; 1+ x

ln(1 + x) = x −

x ∈ (−∞, ∞) ;

x ∈ (−∞; ∞) ; x ∈ (−∞; ∞) ;

x ∈ (−1; 1);

x 2 x3 x n+1 + − ... + (−1) n + ...; 2 3 n +1

x ∈ ( −1; 1] .

(9)

12°. Разложения Маклорена многих элементарных функций могут быть получены из указанных, если воспользоваться свойствами сходящихся рядов (одновременное умножение всех членов ряда и его суммы на число; одновременное сложение суммы ряда и любого из его членов с некоторым числом; почленное сложение рядов и др.). Кроме того, в интервале сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать степенные ряды. В частности, возможно почленное интегрирование ряда (8) по всему промежутку [a, b], целиком содержащемуся в соответствующем интервале значений х. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Разложить функцию в ряд Маклорена y=

x x  − ln 1 − . 2 2 

Р е ш е н и е. За основу, очевидно, следует взять разложение (9). Заменяя в нем х на − содержался в интервале

x , и при этом требуя, чтобы аргумент 2

(–1, 1], то есть –1 < −

x ≤ 1, или −2 ≤ x < 2, 2

получаем: 2

3

1 x  (−1) n  x  x x 1 x ln(1 − ) = − −  −  +  −  − ... + −  2 2 2 2 3 2  n +1  2 

n +1

+ ... .

 x x x    − ln1 −  , последовательно рассмотрим  − ln1 −   и 2  2   2  x Умножим обе части последнего разложения на (-1) и прибавим к обеим частям выражение : 2

Чтобы получить разложение функции

y=

x x x2 x3 x n+1 − ln(1 − ) = x + + + ... + + ... . 2 2 2 ⋅ 2 2 3 ⋅ 23 (n + 1) 2 n+1 Это соотношение справедливо при −2 ≤ x < 2 . 2.

,

.

,

(

0,001). 1

∫ 0

sin x 2 − x 2 dx . x6

Р е ш е н и е . Задачу можно решить по следующей схеме: а) воспользоваться разложением у = sin x, заменив в нем х на х2; б) прибавить (–х2) к обеим частям полученного разложения; 1 в) умножить обе части разложения на 6 (см. замечание ниже); x г) почленно проинтегрировать полученный ряд по отрезку [0; 1]; д) произвести приближенные вычисления. Последовательно имеем:

x x  y = − ln1 −  + .  2 2

( )

2 n +1

sin x 2 = x 2 −

x 6 x10 x14 x2 + − + ... + ( −1) n + ... ; x ∈ ( −∞; + ∞); 3! 5! 7! (2n + 1)!

sin x 2 − x 2 = −

x 6 x10 x14 x 4 n+2 + − + ... + ( −1) n + ... ; 3! 5! 7! (2n + 1)!

sin x 2 − x 2 1 x 4 x8 x 4 n−4 n = − + − + ... + ( − 1 ) + ... ; 3! 5! 7! ( 2n + 1)! x6 1

τ=

1

1

1

1

sin x 2 − x 2 1 x4 x8 x 4 n−4 dx = − dx + dx − dx + ... + (−1) n dx + ... . 6 x 3! 5! 7! (2n + 1)! 0 0 0 0 0

∫

∫

∫

∫

∫

Осталось вычислить интегралы: τ=−

1 1 1 1 + − + ... + ( −1) n + ... ; 3! 5 ⋅ 5! 9 ⋅ 7! (4n − 3)(2n + 1)! τ ≈ −0,167 + 0,002 − 0,000 = −0,165.

З а м е ч а н и е. В точке х = 0 значение функции y =

sin x 2 − x 2 x6

доопределяется суммой соответствующего

 1 нием  −  .  6 3. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y(x) задачи Коши

степенного ряда, то есть значе-

 y ′ = 1 + e − y + xy ;   y ( 0) = 0 .

Р е ш е н и е . Разложение в степенной ряд всякой (дифференцируемой сколь угодно много раз) функции (если это разложение возможно), должно иметь вид (8). Поэтому достаточно найти лишь его коэффициенты

an =

y ( n ) (0) , n!

то есть определить числа y (0), y′(0), y′′(0), y′′′(0) и т.д. Значение у(0) = 0 – дано; зависимость y′ от х и у известна:

y′ = 1 + e − y + xy . В точке х = 0 имеем:

y′(0) = 1 + e − y ( 0) + 0 ⋅ y (0) = 1 + e 0 = 2. Далее,

(

)

′ y ′′ = 1 + e − y + xy = 0 + e − y (− y )′ + x′y + xy′ = −e − y y ′ + y + xy ′ (использована формула дифференцирования сложной функции, поскольку у является функцией от х). Подставляя х = 0, у(0) = 0, y ′(0) = 2 , получаем:

y′′(0) = −e 0 ⋅ 2 + 0 + 0 = −2 . Осталось найти еще один ненулевой коэффициент. Имеем: y ′′′ = − e − y y ′ + y + xy ′ = − e − y (− y )′ y ′ + e − y ( − y ′)′ + y ′ + x′y ′ + x( y ′)′ =

(

) (

)

= e ( y ′) − e y ′′ + 2 y ′ + xy ′′ −y

2

−y

y′′′(0) = e 0 ⋅ 2 2 − e 0 (−2) + 2 ⋅ 2 + 0 = 10.

и

Подставляя найденные значения в разложение (13), получаем y ( x) = 2 x − x 2 + 13°. Рассмотрим теперь последовательность

{z }, n

5 3 x + ... . 3

n = 1, 2, ...

степенных функций переменного

z = x + yi

(где

x, y ∈ R, i = −1 ) и произвольную последовательность {an } комплексных чисел; n = 0, 2, ... Ряд вида 2

a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n + ... =

∞

∑a z n

n

n =0

называется степенным. При каждом значении z ряд обращается в числовой с комплексными членами, определение сходимости и суммы которого дается в точности так же, как в п. 1°. Областью сходимости степенного ряда является круг z < R некоторого радиуса R с центром в начале координат. Как оказывается, внутри этого круга он сходится абсолютно, вне круга – расходится,

возможны случаи круга сходимости "нулевого радиуса" (единственной точкой сходимости служит z0 = 0 ) и "бесконечного радиуса" (областью сходимости является вся комплексная плоскость). Радиус сходимости можно найти по одной из формул

1 1 или R = , D K где D и K – соответственно, числа Даламбера и Коши (см. п. 4°). R=

Найти круг сходимости степенного ряда: ∞

zn

∑ 2n + 3 . n =1

1 Р е ш е н и е. Запишем общий член ряда в виде zn ; 2n + 3 1 ; n = 1, 2, ... . Число Даламбера можно считать, что a0 = 0; an = 2n + 3

D = lim

n→∞

an+1 an

= lim

n→∞

1 1 2n + 1 : = lim = 1; 2 (n + 1) + 3 2n + 1 n→∞ 2n + 5

1 , т.е. R = 1 . Круг сходимости определяется неравенством z < 1 . D 14°. За основу определений основных элементарных функций комплексной переменной возьмем разложения в степенные ряды соответствующих функций действительного переменного, в котором формально "x" заменено на "z "; например, теперь R =

n+1 1 z2 z3 n z =z− + − ... + (− 1) + ... ; z < 1. 1+ z 2 3 n +1

(10)

Определенные соответствующими соотношениями функции служат примером так называемых аналитических функций комплексного переменного. Вообще, элементарная функция комплексного переменного называется аналитической в области G, если в каждой точке этой области существует ее производная (определение и правила дифференцирования формулируются точно так же, как для функции действительного переменного). Точка z 0 , в которой функция f (z ) неаналитична, называется ее особой 1 + z2 обладает особой точкой z0 = 0 ( в ней функция даже не определена). В общем случае z разложение по степеням z имеет вид

точкой. Например, функция

f (z ) = ... + c−m z −m + c−m+1 z −m+1 + ... + c−2 z −2 + c−1 z −1 +

∞

∑c z n

n

.

n =0

Члены с отрицательными степенями z образуют так называемую главную часть степенного ряда; при m > 0 (главная часть содержит какие-либо члены) точка z 0 = 0 служит особой точкой f (z ) . Если C− n ≠ 0, тогда как C− m = 0 (m > n ) , то z 0 называют полюсом n-го порядка. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ

Разложить в ряд по степеням z данную функцию комплексного переменного. Выяснить характер особой точки z = 0 .

f (z ) =

4 . z 2 (2 + z )

Р е ш е н и е . Воспользуемся базовым разложением (10). Для этого f (z ) запишем в соответствующем виде: f (z ) =

4 2 1 . = ⋅ z z  z2  1+ z ⋅ 2 1 +  2  2 2

Выбирая аргументом значение

z z z 0.

Р е ш е н и е. Имеем: 0, x ≤ −1;  f ( x) = F ′( x) = − 2 x, − 1 < x ≤ 0; 0, x > 0,  далее 0

0

2 2 M ( X ) = x(−2 x)dx = − x 3 = − ; 3 3 −1 −1

∫

0

2

2  2 D( X ) = x 2 (−2 x)dx −  −  =− x 4 3 4   −1

∫

0

− −1

4 1 = . 9 18

14°. Генеральная совокупность и выборка. Пусть имеется множество, состоящее из конечного (но достаточно большого) числа некоторых объектов и изучается количественный признак Х, так что каждый объект характеризуется одним из возможных значений xi величины Х. Такое множество назовем генеральной совокупностью; в свою очередь, совокупность из n случайно отобранных объектов назовем выборкой объема n. Пусть n1 объектов из выборки характеризуются значением х1, n2 объектов – значением х2, ..., nk объектов – значением xk . Числа х1, х2, ..., xk называются вариантами; соответственно, n1, n2, ..., nk – их частотами, а таблица, задающая соответствие между ними – вариационным рядом. ni , где n = n1 + n2 + ... + nk ; n

Относительными частотами значений xi называются соответствующие числа вида wi =

справедливо соотношение w1 + w2 + ... + wk = 1. 15°. Выборочная средняя xв есть среднее арифметическое всех наблюдаемых (в выборке) значений xi. Нетрудно установить, что: xв =

k

∑x w i

или

i

xв = x1

i =1

n n1 n + x2 2 + ... + xk k . n n n

(3)

Степень рассеяния значений хi относительно их средней xв характеризуется выборочной дисперсией Dв = ( x1 ) 2

n n1 n + ( x2 ) 2 2 + ... + ( xk ) 2 k − ( xв ) 2 . n n n

(4)

16°. Статистические оценки параметров распределения. Предположим, что нас интересует неизвестное значение θ некоторого параметра, характеризующего количественный признак Х генеральной совокупности. Проводятся эксперименты, в результате которых получаем соответствующие значения параметра θ∗, дающие некоторое представление о величине θ. Точечной оценкой параметра θ называют оценку, которая определяется одним числом (например, оценка среднего значения Х генеральной совокупности есть выборочная средняя). Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки θ по θ∗ называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство θ − θ∗ = γ . Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99; 0,995. Интервал (θ∗ – δ,

θ∗ + δ) называют

доверительным интервалом. 17°. Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном σ. Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределен с плотностью

f ( x) =

1

−

( x −a )2 2 σ2

("нормальное σ 2π распределение"); здесь параметр а есть значение математического ожидания, σ – среднее квадратическое отклонение (для Х). Предположим, что среднее квадратическое отклонение σ этого распределения известно, и извлечена выборка объема n. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней xв с заданной надежностью γ. Пусть t – значение e

аргумента функции Лапласа Ф(t) (п. 7°), для которого γ = 2Ф(t). Тогда

Число

t

определяется

из

равенства

 δ   = 2Ф(t ) . P xв − a < t n   γ Ф(t ) = . Следовательно, 2

с

надежностью

 σ σ σ   xв − t  покрывает неизвестный параметр а; точность оценки есть δ = t . , xв + t n n n   ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка. Известен вариационный ряд хi

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

ni

10

25

40

15

10

γ

доверительный

интервал

Найти: а) выборочную среднюю xв ; б) выборочную дисперсию Dв. Р е ш е н и е. Объем выборки n = 10 + 25 + 40 + 15 + 10 = 100. а) По формуле (3) имеем xв = 1,1 ⋅

10 25 40 15 10 + 1,2 ⋅ + 1,3 ⋅ + 1,4 ⋅ + 1,5 ⋅ = 1,29. 100 100 100 100 100

б) Согласно (4) Dв = (1,1) 2 ⋅ 0,1 + (1,2) 2 ⋅ 0,25 + (1,3) 2 ⋅ 0,4 + (1,4) 2 ⋅ 0,15 + + (1,5) 2 ⋅ 0,1 − (1,29) 2 = 0,0319. 2. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с известным средним квадратичным отклонением σ = 4. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а по выборочной средней xв = 3,6 , если объем выборки 64 и задана надежность оценки γ = 0,95. Решение. δ=

1,96 ⋅ 4 64

Найдем t из соотношения

0,95 = 0,475 , соответствующее 2

Ф(t ) =

t = 1,96; точность оценки

= 0,98 . Следовательно, имеем доверительный интервал (3,6 – 0,98; 3,6 + 0,98), то есть 2,62 < a < 4,58.

III. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

10 1 # 10.

:

∞

1.

∞

1

∑ (5n + 1)

.

n

n =1

2. n

 7 1 n   1 +   . 6.  n   n =1  2  ∞

5.

∑ ∞

9.

∑ n =1

∑

10.

3. n

 2n + 1    . 7. n =1  2 + n 

∑



1

∑  4 + n 

∑

e1− n

∞

2 n −1 ⋅ n

n +1

n =1

∞

∞

8n + 1 3 n +1

∞

1 + 4n . 1+ 2 n n =1 8

∞

.

∑

4.

(1 + n )! . 2n

n =1

∞

∑ (n + 1)! .

∑ (9n + 1) 4

8.

n =1

1+ n

.

n =1

n

.

n =1

11 – 20. Исследовать сходимость числового ряда: ∞

11.

∑ 1+ n =1

∞

15.

∑n n =1

n +1

.

12.

∞

∑ sin n n=2

16.

n =1

n

.

20.

∑n n =1

.

2

2

∞

2n − 1

∑ 5n + 2 .

13.

14.

n =1

n+3 . n +1

∑ ∞

π

∞

π

∑ tg 3n n=1

1 . 3 + n +1

∞

19.

∞

1

∞

n =1

∞

n2 + 1 . 2 +2

∑n

17.

n =1

n+5 . 2 +5

∑n

18.

1

∑ 1+ n =1

n

.

1 . +n

21 – 30. С помощью интегрального признака сходимости исследовать сходимость числового ряда: ∞

21.

∑

∞

2

n e1− n .

22.

n =1

∞

25.

1

2

n=1

∞

28.

∑

∑ (n + 1)ln (n + 1) . n3 . 4 −1

∑ 5n n =1

∑ (n n =1

1 . 9 + n2 n =1

∑

ln (n + 1)

∞

3

n2 +1

27.

)

.

30.

∑n n =1

∑

1 3

1

∑ n ln n . 3

n=2

n =1

∞

3

24. ∞

.

n =1

∞

29.

23.

∑ 2(n + 1)

26.

∞

∞

1 +ln n . 2n n =1

1 + ln n

.

e 1− 2 2 n

n

.

31 – 40. Исследовать ряд на сходимость (абсолютная, условная или расходимость):

(− 1)n +1 .

∞

31.

∑n n=0

∞

35.

∑

(− 1)n

∞

n =1

n

36.

n2 + 1

n=0

2

+ 16

(− 1)n −1 ∑ n n =1 (n + 2 )

38.

∑ n (n + 1) .

.

(− 1)n + 3

∞

.

.

n =1

.

n+3

n=0

∑n

34.

∞

n −1

(− 1)n + 2

∞

37.

(− 1)n

∑ (n + 3)

40.

∑ 1+ n =1

∑ (n − 1)! . ∞

⋅ n!

33.

n=2

.

(− 1)n +1

∞

.

(− 1)n −1

∞

.

n+8

∑2

∑

(− 1)n + 2

n =1

(− 1)n

n =1

39.

+5

2

∞

32.

41 – 50. Найти круг сходимости степенного ряда (z – комплексная переменная) и изобразить его на комплексной плоскости: ∞

41.

n =1

∞

46.

∞

zn

∑5 ∑4

n −1

.

42.

∞

n −1

n zn .

47.

n =1

43.

zn . n +1 n =1 n ⋅ 7

∑

∞

n zn

∑ n +1 .

44.

n =1

48.

∑n z

∞

2 n

. 45.

n =1

∞

zn

∑ (n + 1)(n + 2) . n =1

∞

49.

∞

2n z n . n =1 n

∑

2n z n

∑ n⋅7 n =1

n +1

zn

∑n

n

n =1

.

.

∞

50.

3n −1 z n . n2 n =1

∑

11 61 # 70. 0,5

51.

∫ 0

,

.

,

sh 2 x  et − e −t dx  sht = 2x 2  3 0,5

2

x2 53. sin dx . 2 0

∫ 1

57.

∫

(

e

−2x2

∫

54.

2

dx .

58.

0

∫

52.

0

)

ln 1 − 2 x 2 + 2 x 2 dx . x3 0

∫

x −1 2 dx . 2x2

2 cos

dx 3

x 2 dx . 4x

.

55.

∫ 0

sin

y = y (x )

61 # 70.

(

0,1

  . 

1+ x

0

0,001):

59.

0,5 2 x

∫ 0

e

−1 dx . 2x

0,5

56.

2 x dx

∫ 1 + 2x 2

60.

∫ cos 0

x2 dx . 3

 y ′ = x 2 + 9 y + e y + 4; 62.   y(0 ) = 0.

 y ′ = 11 + 2 y 2 + x 2 ; 63.   y(0 ) = 0.

 y ′ = 2e y + x + 3 y ; 64.   y(0 ) = 0.

 y ′ = 7cos x − 3 x + cos y + 7; 65.   y(0 ) = 0.

 y ′ = e x + 2 xy +sin x + 2; 66.   y(0 ) = 0.

 x2 + 5sin y + 4;  y′ = 67.  2  y(0 ) = 0. 

 x3 + e 2 x + 6 y;  y′ = 68.  3  y(0 ) = 0. 

 y ′ = 2 sin 2 x + 3e y + 1; 69.   y(0 ) = 0.

 y ′ = sin 2 x + 3sin y − 6; 70.   y(0 ) = 0.

z

.

z = 0.

71. f (z ) =

2 . z 1 − z2

72. f (z ) =

74. f (z ) =

1 . 2 z (1 + 2 z )

75.

(

)

.

:

 y ′ = x 2 + y 2 + 3x + 2; 61.   y(0 ) = 0.

71 # 80.

3

0

f (z ) =

1 −z e . 2z

73. f (z ) =

cos z − 1 . z3

cos 2 z . 2z

76. f (z ) =

ez −1 . z2

77. f (z ) =

sin 3 z . z4

78. f (z ) =

80. f (z ) =

e z − e− z . 2z 2

81 # 90.

f (x )

e z + e− z . 2z

79. f (z ) =

sin z − z . z5

(π, π) :

π + x , − π < x < 0;  81. f (x ) =  3  0, 0 < x < π. 

 0, − π < x < 0;  82. f (x ) =  2 x − 2π  3 , 0 < x < π. 

− 1, − π < x < 0; 83. f (x ) =  − 4, 0 < x < π.

π  0, − π < x < − ;  2 84. f (x ) =  π  − 1, − < x < π.  2

 3x  , − π < x < 0; 85. f (x ) =  2  0, 0 < x < π.

− 4 x, − π < x < 0; 86. f (x ) =   0, 0 < x < π.

0, − π < x < 0;  87. f (x ) =  x − 3 , 0 < x < π. 

π  − 5, − π < x < 2 ; 88. f (x ) =  0, π < x < π.  2

 0, − π < x < 0;  89. f (x ) =  π − x  4 , 0 < x < π.

π  2 , − π < x < 0; 90. f (x ) =   − 2 , 0 < x < π.  π

f (x )

91 # 100. 91. f (x ) =

8x , 3

92. f (x ) = −

(0, l ) ,

(− l, 0)

x ∈ (0, 2 ) # .

7 , 12

x ∈ (0, 4 ) # .

93. f (x ) =

36 − 6 x , 5

94. f (x ) =

2x2 , 5

95. f (x ) =

2x − 1 , 3

x ∈ (0, 6 ) # . x ∈ (0, 1) # .  1 x ∈  0,  # .  2

96. f (x ) = x 2 − 4,

x ∈(0, 2) # .

97. f (x ) = 5 − 5x,

x ∈ (0, 1) # .

98. f (x ) = 4 x − 1,

 1 x ∈  0,  # .  4

99. f (x ) =

2x , 5

100. f (x ) =

:

x ∈ (0, 5) # .

1 − x2 , 2

x ∈ (0, 1) # .

Контрольная работа № 12 101. 102. 103. 104.

p = 0,8 .

, -

,

?

1 . 3

5. , .

, ,

?

? , , p1 = 0,9; p2 = 0,8;

p3 = 0,75.

,

?

105. 106.

#.

. ,

?

,

107.

4,

108.

,

p=

p1 = 0,6 ;

B#

1 . , 3

?

p=

.

109.

4 . , 5

p2 = 0,7 . ,

?

p1 = 0,7; p2 = 0,9; p3 = 0,6.

,,

?

.

,

?

110. Что вернее: выиграть у равносильного шахматиста три партии из шести, или четыре из восьми?

111 # 115.

λ. ,

,

t

?

111. λ = 5; t = 2;

112. λ = 4; t = 3;

114. λ = 3; t = 2;

115. λ = 1; t = 4 .

116 # 120.

113. λ = 2; t = 4;

, λ. ,

,

t

116. λ = 3; t = 4.

117. λ = 3; t = 5.

119. λ = 4; t = 6.

120. λ = 5; t = 3.

121 # 130.

() :

 0, x ≤ 2;  2  x − 4x + 4 121. F (x ) =  , 2 < x ≤ 4; 4   1, x > 4.

() :

118. λ = 2; t = 2.

f (x ) ( ); )

( ) F (x ) . : )

X

.

X; )

X

(0; 1) :

 0, x ≤ −1;  x 1 122. F (x ) =  + , −1 < x ≤ 3; 4 4  1, x > 3.

 0, x ≤ 1;  3  x − 3x 2 + 3x − 1 123. F (x ) =  , 1 < x ≤ 3; 8   1, x > 3.

 0, x ≤ 0;  2 x x 124. F (x ) =  + , 0 < x ≤ 3;  18 6  1, x > 3.  0, x ≤ 2;  2 1 126. F (x ) =  x − , 2 < x ≤ 7; 5 5  1, x > 7.

 0, x ≤ 3;  x −3 125. F (x ) =  , 3 < x ≤ 10;  7  1, x > 10.  0, x ≤ 1;  3 x − x 127. F (x ) =  , 1 < x ≤ 3;  24  1, x > 3.

 0,  2 x 128. F (x ) =    1,

 0, x ≤ −3;  x 3 129. F (x ) =  + , − 3 < x ≤ 3; 6 6  1, x > 3.

 0, x ≤ 0,5;  2  2x − x 130. F (x ) =  , 0,5 < x ≤ 2;  6  1, x > 2.

131 # 140.

.

xi

ni

.

- (

x ≤ 3; −x−6 , 3 < x ≤ 4; 6 x > 4.

):

131.

xi

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

ni

10

26

12

18

16

18

xi

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

ni

18

10

16

24

24

8

132.

133.

xi

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

ni

5

10

30

25

15

5

10

134.

xi

2,0

2,2

2,4

2,6

28

30

ni

26

15

12

18

16

13

xi

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

ni

10

18

24

24

8

16

135.

136.

xi

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

ni

15

5

40

25

4

8

3

137.

xi

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

ni

21

20

12

18

16

13

xi

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

ni

10

20

32

16

8

14

138.

139.

xi

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

ni

10

5

30

25

15

5

10

140.

xi

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

ni

20

13

12

16

15

24

141 # 150.

a

γ,

xв ,

n

141. xв = 30,28; σ = 2; n = 64; γ = 0,9. 142. xв = 65,88; σ = 4; n = 144; γ = 0,99. 143. xв = 25,24; σ = 8; n = 64; γ = 0,95. 144. xв = 39,14; σ = 9; n = 81; γ = 0,9. 145. xв = 58,85; σ = 3; n = 144; γ = 0,99. 146. xв = 40,88; σ = 4; n = 64; γ = 0,95. 147. xв = 82,51; σ = 11; n = 121; γ = 0,9. 148. xв = 32,29; σ = 3; n = 144; γ = 0,99. 149. xв = 26,84; σ = 6; n = 144; γ = 0,95. 150. xв = 19,86; σ = 2; n = 144; γ = 0,9 .

σ.