МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Н.Н. Дегтяренко
ВВЕДЕНИЕ...
20 downloads
608 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
Н.Н. Дегтяренко
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СИСТЕМ Рекомендовано УМО «Ядерные физика и технологии» в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Москва 2011
УДК 004.4:[530.145:620.3](075) ББК 32.973.26.-018.227+22.314я7+22.37я7 Д26 Дегтяренко Н.Н. Введение в физику неупорядоченных конденсированных систем: учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 228 c. В пособии приводятся принципы и физические основы явлений в неупорядоченных конденсированных системах, обусловленных наличием беспорядка той или иной природы. Основное внимание уделяется описанию моделей беспорядка и изменению свойств твердых тел при его появлении за счет большой концентрации дефектов структуры. Содержание книги базируется на изучении студентами дисциплин циклов ЕН и ОПД: математики, общей физики, теории упругости, квантовой механики, теории поля, статистической физики, теоретической физики твердого тела. Пособие рекомендовано для освоения студентами методов построения и моделирования свойств материалов. Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. О.В. Нагорнов Учебное пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ ISBN 978-5-7262-1509-9 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011 Редактор Т.В. Волвенкова Подписано к печати 15.12.2010 . Формат 60х84 1/16 Печ. л. 14,25. Уч.-изд. л. 14,0. Тираж 100 экз. Изд. № 1/4/2. Заказ № 27 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 115409, Москва Каширское ш., 31. ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42
ОГЛАВЛЕНИЕ= =
Введение=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKS= РАЗДЕЛ= N.= Неупорядоченная конденсированная система с высокой концентрацией дефектов=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9= NKNK= Основные примеры неупорядоченных конденсироJ ванных систем=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNP= NKOK= Некоторые экспериментальные данные по неупоряJ доченным системам=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNT= NKPK= Эргодическая= = теоремаK= Физически достоверный= объем=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKOO= РАЗДЕЛ=O.=Модели и метрика ячеистого беспорядка=KKKKKKKKKKKKPM= OKNK=Беспорядок замещенияKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKPM= OKOK=Магнитный беспорядокKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKPO= OKPK=«Ледовый»=беспорядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKP9= OK4K=Метрика ячеистого беспорядка=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4O= OKRK= Применение модели Изинга для различных неупоJ рядоченных систем ячеистого беспорядка=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK44= OKRKNK=Магнетики=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK44== OKRKOK=Сплавы=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4S= OKRKPK=Сегнетоэлектрики=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4T= OKSK=Дальний порядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK4T= OKTK= Размер и области упорядочения и упорядоченные= домены=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKRN= OK8K=Спектральный беспорядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKRS= OK9K=Термодинамика ячеистого беспорядка=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKR9= OKNMK=Ближний порядок и корреляции=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKSN= OKNNK=Подобие и группа перенормировки в теории критиJ ческих явленийKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKSS= РАЗДЕЛ= P.= Модели и метрика топологического беспорядкаKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKS9= PKNK=Беспорядок на уровне атомной структуры =KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKS9= PKOK=Размерность и порядокKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKTN= PKPK=Неупорядоченные линейные цепочки=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKTO= PKPKNK= Модель Кронига= –= Пенни для неупорядоченной= цепочки=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKT4=
P= =
PK4K= Приводимый и неприводимый топологический бесJ порядокKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKTR= PKRK=Физическая реализация одномерных систем=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKTS= PKSK=Дислокационный==беспорядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKT9= PKTK=Поликристаллический беспорядок=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK8M= PKTKNK=Атомные функции распределения=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK8N= PKTKOK=Аморфный или паракристаллический?==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK8S= PK8K= Жидкие кристаллыI= состоящие из несферических= молекул=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK88= PK9K=Беспорядок газового типа=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9M= РАЗДЕЛ= 4.= Модели и метрика континуального беспорядкаKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9O= 4KNK=Континуальные моделиKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9O= 4KOK=Однородные случайные поля=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK9P= 4KPK=Гауссовы случайные поля=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK98= РАЗДЕЛ=R.=Наблюдение беспорядка=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNM4= РАЗДЕЛ= S.= Возбуждения в неупорядоченных системах=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNNO= SKNK==Возбуждения в неупорядоченных системахKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNNO= SKOK=Возбуждения в одномерных системах==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNNT= SKPK=Фазовое представление=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNOO= SK4K= Запрещенные зоны в спектрах неупорядоченных= цепочек=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNOR= SKRK=Плотность состояний=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNO9= SKSK=Приближение локальной плотности=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNPN= SKTK= Квазиклассические электроны в случайном потенJ циальном рельефе=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNPS= РАЗДЕЛ=T.=Перколяция=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN4P= TKN=ВведениеK=Терминология=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN4P= TKOK=Задачи перколяции на регулярных решетках=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN4S= TKPK=Перколяция на решетке Бёте=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNRM= TK4K=Регулярные решетки:=плоские и пространственные=KKKKKKKKKKKKKNRP= TKRK=Пороги протекания для объемных решеток=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNRS= TKS=Оценка порога протекания задачи узлов=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNR8= TKTK=Задача координационных сфер=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNSP=
4= =
TK8K= Структура бесконечного кластераK= Модель ШкловJ ского=–=де ЖенаK==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNST= TK9K=Роль размеров системы=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNTN= TKNMK=Электропроводность вблизи порога протекания=KKKKKKKKKKKKKKKKNT4= TKNNK= Мощность скелета бесконечного кластера вблизи= порога протеканияK=Роль мертвых концов=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNTT= РАЗДЕЛ=8.=Теория прыжковой проводимости==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKNT9= 8KNK=Прыжковая проводимость=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN84= 8KOK= Концентрационная зависимость прыжковой провоJ димости=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN89= 8KPK=Температурная зависимость прыжковой проводимоJ сти=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN9N= РАЗДЕЛ=9.=Локализация и делокализация носителей.= Анализ с точки зрения перколяционного подхода=KKKKKKKKKKKKKKKKKN9R= 9KNK= Локализация электронов в неупорядоченных систеJ мах=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN9R= 9KOK=Узкие зоны и переход Мотта=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKN9S= 9KPK=Модель Андерсона=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKOMO= 9K4K= Связь плотности числа состояний с критерием локаJ лизации=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKOM4= РАЗДЕЛ=NM.=Гранулированные материалы=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKONN= NMKNK=Гранулированные материалы=KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKONN= NMKO==Кулоновская блокада и переход металл-изолятор=KKKKKKKKKKKKKKON9= Список литературы==KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKOOT=
R= =
ВВЕДЕНИЕ Высшей степенью пространственного порядка=Eкроме вакуJ умаF= является бесконечный кристаллK= Ансамбль идентичных атоJ мовI= заполняющих кристаллI= обладает трансляционной симметриJ ейK= Наличие беспорядка разрушает симметрию кристаллаI= т.еK= приводит к отсутствию трансляционной инвариантностиK= Последовательность построения и изучения физики=идеальJ ного твердого тела= EФИТТF= при наличии трансляционной симметJ рии обычно содержит три разделаK= NK= МетрикаI= которая определяется геометрией решетки= (ячейкой Вигнера-Зейтца=–=рисK=ВKNI=аFK=Полная метрика определяJ ется симметрией решетки=Eтеория группFK==Прямая решетка опредеJ ляет обратную решетку в=kJпространстве==и зону БрюэлленаK= OK= Термодинамические свойства твердого тела= – =это возJ бужденияI= связанные с малыми отклонениями от трансляционной= симметрии:= фононыI= электроныI= магноны и т.пKI= имеющие термоJ динамические= = функции распределенияK= = Спектр возбуждений= находится для электроновI=напримерI=в задаче Кронига-Пенни:== ( h k )2 = y ( r , k ) = u k × e ikr , ® e ( k ) = . 2m * Все значения вектора= k в обратном пространстве= = принадJ лежат зоне БрюэлленаK= Поверхность Ферми= –= энергетическая поJ верхность в= k-пространствеI= ограничивающая все занятые состояJ нияK= PK= Кинетические характеристики: =слабые отклонения от= равновесия=–=теплопроводностьI=электропроводностьK= В отсутствии дальнего порядка все представленияI=отталкиJ вающиеся от трансляционной симметрииI= должны разрушатьсяK= НапримерI= простейшая физическая картина= –= картина дифракции= = когерентных плоских волн= = на брэговских плоскостях кристалла= теряет смыслI= т.еK= при рассеянии волн с длиной волны порядка= межатомного расстояния вместо резких максимумов под опредеJ ленными углами==наблюдается фонK=Тем не менееI=остатки трансляJ
S= =
ционной симметрии дают о себе знать в виде размытых максимуJ мовK= Какие представления удается использовать при наличии= беспорядка?= Системы описываются вероятностными распределеJ ниямиI=но не произвольнымиK=Есть свои ограниченияK= N K= Поскольку рассматриваются конденсированные системыI= то большинство неупорядоченных систем имеют структуры близJ кие к плотной упаковкеK= Это следует из тогоI= что структуры строJ ятся из принципа геометрических ограничений атомов и химичеJ ских связейK=В результатеI=симметрии у полиэдра Вороного нетI=но= он имеет такой же объемI= как ячейка Вигнера–Зейтца= EрисK= ВKNFK= Число ближайших соседей= ZN остается приблизительно таким жеI= как у упорядоченных системK= =
=====
=
РисK=ВKNK=Ячейка Вигнера-Зейтца для идеальной решетки=EаFX= полиэдр Вороного=EбF=для неупорядоченной системы= sВЗ ≈=sВороногоI=wN ≈=w1Вороного= = O K= Любой конечный макрообъем твердого тела может быть= заменен другим объемом твердого телаK=На определенных расстояJ ниях плотность среды приблизительно постояннаK= Любой ограниJ ченный объем=ENMO= J=NMP= атомов=–=так называемый=физически предJ ставительный объемF=можно взять из любой части образцаK=СледоJ вательноI= исследуемая система является статистически однородJ
T= =
нойK= Трансляция на такое расстояние возможнаI= т.еK= импульс для= достаточно длинных волн=– достаточно хорошее квантовое числоK= Виды беспорядка в конденсированных системах:= Ячеистый беспорядок= – =возникает в той ситуацииI =когда= узлы решетки остаются в исходных положенияхI= но атомы в узлах= случайно замещаются атомами другого сортаK= Пример= –= сплав заJ мещенияK=Трансляция на вектор=l= дает попадание на узел решеткиI= но не обязательно на такой же атомK== Топологический беспорядок=–=сорт атомов может не менятьJ сяI= но атомы статически или динамически смещены из узлов реJ шеткиK= Пример=–= жидкостьK= Ближний порядок может иметь местоI= но дальнего порядка и трансляционной симметрии нетK= Континуальный беспорядок= – =такая модель возникает в= случаеI= если удается использовать континуальное представление о= веществеI=т.еKI=игнорировать атомную структуру веществаK==Пример== –==атмосфераI=океанI=флуктуации плотности которых имеют размерI= значительно больший межатомного расстоянияK=
8= =
РАЗДЕЛ=N= НЕУПОРЯДОЧЕННАЯ КОНДЕНСИРОВАННАЯ= СИСТЕМА С ВЫСОКОЙ КОНЦЕНТРАЦИЕЙ== ДЕФЕКТОВ= = Неупорядоченные системы можно определить следующим= образом:= макроскопическая система называется неупорядоченнойI= если в расположении частиц отсутствует дальний порядок= (отсутствие трансляционной симметрииFK= Следует заметитьI=что периодическое расположение атомов= в идеальном твердом теле приводит к периодическому потенциалу= для электроновK= Из этого следует второе определение:= неупорядоченной называется конденсированная системаI=в которой= потенциальная энергия носителей является= непериодической= функцией координатK= Нужно отметитьI=что:= - как правилоI= такие системы не находятся в термодинамичеJ ском равновесииX= - второе определение является общим в большей степениI= так= как существуют примерыI=когда работает только это определеJ ниеK= Система будет находиться в равновесии при условии миниJ мального значения свободной энергии= cmin K= При= q= ®= M= система= стремится к упорядоченному состояниюI=характеризующемуся миJ нимальным значением потенциальной энергии== r M =EрисKNKNFK=Этот= минимум можно назвать глобальнымK=Состояние системы в другом= минимуме с потенциальной энергией= rN называется локальным= минимумомK= Это состояние является метастабильнымK= Оно также= может быть упорядоченнымK= Примером может быть сравнение= между алмазной структурой=E rN F=и графитом=E r M F=для углеродаK== Как для глобального минимумаI=так и для локального можно= ввести понятия элементарных возбуждений= –= фононыI= электроныK= Эти возбуждения будут иметь разные свойстваK=Переход из одного=
9= =
состояния в другое происходит через изменение атомных конфигуJ рацийK=Переходная стадия обладает большей степенью беспорядкаI= чем в минимумахK= Такой переход иногда проходит в виде волны= переупорядоченияK= Изменения происходят в виде локальных переJ скоков отдельных атомовI=и потенциальная энергия системы станоJ вится случайной величиной конфигурационной координатыK= При= достаточно низкой температуре систему можно заморозить в таком= состоянииK=При этом система не является метастабильнойI=но время= релаксации= Eвремя жизниF= в таком состоянии может быть велико= (оно зависит от температуры и свойств самой системыFK=Примером= может быть аморфная фаза некоторых веществK=
= РисKNKNK= Глобальный и локальный минимумы потенциальной= энергии= –= r M и= rN соответственноK= Флуктуации потенциальной= энергии при перестройке конфигурации системы= Пусть разброс потенциальной энергии системыI=связанный с= нарушением дальнего порядка= Eт.еK= с нарушением периодичности= потенциалаFI=равен= Dt K= Если выполняются условия== ìq - для невырожденных систем I== ENKNF= Dt > x = m~x =rM I lI g -N соответствует условие малого= количества дефектов=EрисKNKOFK=
NR= =
= РисKNKOK=Соотношение между характерными длинамиI=соотJ ветствующее малой концентрации дефектов= ДействительноI=в таком случае в электронных характеристиJ ках системы в каждом акте рассеяния пробной частицы фигурирует= r r r только один центр рассеянияK= В выражении= s% ( r ) = v r - o в=
å ( i
i
)
сумме по=i реализуется только одно слагаемоеI= поскольку частица= (электронF=в каждый данный момент эффективно взаимодействует= только с одним ближайшим центромI= и это взаимодействие не заJ висит от расположения всех остальных центровK= Потенциальная= энергия электрона фактически оказывается неслучайнойI=несмотря= на случайный характер элементов структурыK=
{
}
OK=Рассмотрим условие= nd-N P Dbg I=то происходит поглощениеI=
с забросом электрона в зону проводимости и образованием дырки в= валентной зоне= EрисK =NK4FK =В случае идеальной структуры спектр= поглощения имеет вид резкой пороговой зависимостиK= В= неупорядоченном полупроводнике эта зависимость размываетсяK= OK=Фотоэлектронная эмиссия=Eвнешний фотоэффектFK=Это исJ пускание электронов твёрдыми телами или жидкостями под дейJ ствием электромагнитного излучения в вакуум или другую средуK== Напомним основные закономерности этого явления для идеJ ального полупроводника=Eзаконы фотоэффектаFK= - Количество эмитируемых электронов= Eвеличина фототокаF= пропорционально интенсивности падающего излученияK== - Для каждого вещества при определённом состоянии его поJ верхностиI= обусловливающем его работу выходаI= существует= длинноволновая граница фотоэффекта= –= lMI= за которой= Eпри===== l=[=lMF=фотоэффект не наблюдаетсяK=Длинноволновой границе= lM соответствует пороговая энергия фотонов=hnM=EnM=Z=сLlMFK= - Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно= возрастает с частотой=n падающего излучения и не зависит от= его интенсивности:=
N8= =
Emu O L OF m~x = hn - hn M K= Эти законы строго выполняются лишь при температуре=Т=Z=MКK= При= q= [M =К наблюдается фотоэффект и при= l= Y= lMI =но при этом= квантовый выход малK== В полупроводниках порог фотоэффекта определяется выраJ жением:= hnM ==Db g + c I==============================================ENKPF
где= Dbg = –= ширина запрещенной зоныI= c –= электронное сродствоI= равное высоте потенциального барьера на границе образца для= электронов проводимостиK= Величина= hnM иногда называется для= полупроводников фотоэлектрической работой выходаK== Для большинства чистых полупроводников= hnM = [ =PIR =эВI =и= фотоэффект наблюдается только в УФ-области спектраK=
= РисKNKRK= Квантовый выход в запрещенной области фотоJ эффекта= N= –= = чистый полупроводникI= O= –= = полупроводник= = с приJ месями= В неупорядоченном полупроводнике можно наблюдать фоJ тоэффектI=связанный с возбуждением электронов с уровней примеJ сейI= дефектов и поверхностных состоянийI= расположенных в заJ
N9= =
прещённой зонеI= при= hn =Y= hnM с небольшим квантовым выходом= (рисKNKRFK= PK=Статическая проводимость полупроводниковK== Для температурной зависимости проводимости неидеальных= полупроводников можно выделить четыре областиK= Во всех= случаях она имеет термоактивируемый характерI= но с разными= энергиями активацииK= PKNK=Если рассмотреть чистый полупроводникI=с запрещенной= зоной= DE g I= то следует отметить следующееK= При высоких= температурах основным процессом является заброс носителей= через запрещенную зонуK= В этом температурном интервале= проводимость имеет температурную зависимость:= -Db
O hq
g s » sNe I=======================ENK4F= определяемуюI= в основномI= температурной зависимостью= концентрации носителейK= PKOK= При комнатной температуре и более низкой= температурах= Eq= YY= DE g F= на первое место выходит наличие=
примесейI=которые создают локальные уровни в запрещенной зонеK= * P Если концентрация примесей мала= k d × EaÁ F N I= O c которое соответствует обычному утверждению:= в одномерной цеJ почке дельта-функций с мощностью= dM I разнесенных на расстояJ ния xM I= не существует стационарных состояний с энергией= c O = (показать самостоятельноFK= РазумеетсяI= здесь элементы матрицыI= переноса содержат пеJ риодическую функцию спектральной переменной= c K=СледовательJ ноI= областиI= в которых удовлетворяется условие=ESKOSFI= выступают= как промежутки между различными= разрешенными зонамиK= Из=
NO4= =
условия=ESKOSF=явствует такжеI=что эти запрещенные зоны сужаются= по мере роста= c K= =
S.4.=Запрещенные зоны в спектрах== неупорядоченных цепочек= = Неупорядоченная цепочка= математически характеризуется= случайной последовательностью неодинаковых матриц переноса= T à I= произведение которых= ESKNTF= описывает распространение возJ буждения= вдоль цепочкиK= Для каждой такой цепочки при помощи= численных расчетов можно= найти стационарные состоянияI= удоJ влетворяющие граничным условиям вида= ESKOPFK= Однако главная= задача состоит в отыскании спектрального распределения для анJ самбля цепочекI =в котором различные типы матриц переноса расJ пределены случайно с какими-то заранее заданными вероятностяJ миK= NK= Наиболее прост пример случайного бинарного сплаваI= в= котором матрицы переноса= T A и= T B =распределены вдоль цепочки= случайным образом с относительными концентрациями= c A =и= cB K= OK=Все типы одномерного=«пространственного»=беспорядка=–= «одномерное стекло»I=«одномерная жидкость»=и тK=дK=–=можно опиJ сать единым образомI=последовательно выбирая матрицы переноса=
{ }
x из множества= T( ) I= в котором задана функция распределения=
m ( x ) межатомных расстояний= xK= НапримерI= теория электронных= состояний в= «одномерном жидком= металле»= основывается на изуJ чении цепочкиI=матрицы переноса для которой даются выраженияJ ми аналогичными=ESKONFK=При этом элементы матриц зависят от выJ бора чисел= x à на каждом шагеK=
Как отмечалосьI= в спектре= периодической= цепочки имеется= запрещенная зонаI= если собственные значения матрицы переноса= вещественныK= Пусть условие возникновения запрещенной зоны= EORF= выполняетсяI= когда спектральная переменная= c= принадлежит=
NOR= =
области= L( ) ( c ) K=Для различных значений параметра= x I=(илиI=моJ жет бытьI=для разных типов атомовF=указанные области будут разJ нымиK= Допустим далееI =что все эти области в какой-то мере переJ x
{
x крываются:= существует область= L ( l ) I= общая для всех= L( ) ( l ) ==
при любых физически возможных значениях=x=Eили для всех сортов= атомов в сплавеFK= Тогда на каждом шаге вдоль любой неупорядоJ
{ }
x ченной цепочкиI= построенной из матриц= T( ) I= возбуждениеI= коJ
торому отвечает спектральная переменная= lI= лежащая в области= {
L ( l ) I=будет наталкиваться на матрицы перехода с=вещественными= собственными значениямиK=При этом вектор возбуждения=«застреJ {
вает»K=Таким образомI=область= L ( l ) оказывается запрещенной зоJ ной в спектре любой цепочкиK= В общем случае может быть доказана теорема:= любой облаJ сти спектраI= которой отвечают запрещенные зоны в спектрах= как беспримесной цепочки типа АI= так и беспримесной цепочки= типа ВI= соответствует и запрещенная зона в спектре решеткиI= построенной из произвольной смеси атомов А и ВK== НапримерI= частоты колебаний изотопически неупорядоченJ ного сплаваI =представляющего собой смесь легких= EMF =и тяжелых= атомов= ENF= с массами соответственно= j M и= jN K= НапримерI= для= беспримесных цепочек из атомов типа=EMFI=фононный спектр имеет= вид:= wO º l = O (Ф j M ) × (N - cos ObM ) K= ESKOTF= Здесь константа Ф=выражается через силовые постоянныеI= а= величине= ObM =можно сопоставить волновой вектор возбуждения=qK= NO
Максимальная частота= wm~x =в этой зоне равна= éë O ( Ф j M ) ùû I=она= лежит выше соответствующего предельного значения для бесприJ
NOS= =
месной цепочки атомов с массами= jN K=Тогда из доказанной выше= теоремы следует толькоI=что в смешанной цепочке запрещены чаJ стоты колебанийI= превышающие оба эти предельные значенияK= Иначе говоряI= не существует нормальных колебаний с частотойI= превышающей максимальную частоту колебаний периодической= цепочкиI=составленной из самых легких атомов смесиK= Эта общая теорема применима и к=жидкости Кронига=–=ПенJ ниI= в которой одинаковые дельтообразные пики потенциальной= энергии= di = dM отстоят друг от друга на разных расстояниях= xi K= ОказываетсяI= однакоI= что если отношение масс достаточно= великоI=то для некоторых волновых чисел возникают дополнительJ ные узкие запрещенные зоны в спектре фононовK=ДопустимI=прежJ де всегоI =что концентрация тяжелых атомов столь высокаI =что= априорная= вероятность встретить длинную непрерывную последоJ вательность легких атомов очень малаK= Исключим произвольно из= статистического ансамбля все цепочкиI=в которых подряд располоJ жены более=E p - N F=атома массы= j M K=ТогдаI=любую неупорядоченJ ную цепочку можно рассматривать как случайную совокупность= элементовI= выбранных из множества отрезков= { A ( s )} = переменной= длиныI=каждый из которых содержит один атом массы= jN =и=Es=JNF=
Z=MI=NI=OI=K=K=KI=EрJNF=атомов массы= j M K=Пусть= T( ) ( l ) =–=матрица пеJ реноса для такого отрезкаI=тогда в периодической цепочке из таких= s
отрезков возникнет запрещенная зона= L( ) ( l ) K Теорема утверждаJ етI= что в неупорядоченной цепочке также возникнет запрещенная= s
{
зона в области= L ( l ) I= которая является общей для всех областей= L( ) ( l ) =при= N £ s £ p K СледовательноI=запрещенная зона в спектре= рассмотренного ограниченного ансамбля неупорядоченных цепоJ чек может иметь вид как на рисKSKPK= s
NOT= =
= РисK=SKPK=Общие запрещенные зоны для сплавовI=не содержаJ щих более четырех легких атомовK=Отношение масс=–= jN j M = 4 = = Для совершенно неупорядоченной цепочкиI=в которой нельзя= полностью исключить вероятность обнаружения бесконечной поJ следовательности атомов только с массой= j M I=каждая из этих заJ прещенных зон должна быть в принципе бесконечно узкойK=Однако= более детальный анализ показываетI= что выше каждой исключенJ ной особой частоты лежит некоторая область настоящих уровнейI= соответствующих связанным=примесным модамK=Эти моды порожJ даются= «островками»= легких атомовI= отделенных друг от друга= «морем»=тяжелых атомовK=Островок из=р=легких атомов обладает=р= различными модамиK =Каждая из них уширяется в узкую зону за= счет взаимодействия=Eчерез тяжелые атомыF=с другими подобными= островками в цепочкеK=Результирующий колебательный спектр сиJ стемы представляет собой просто сумму всех таких вкладовK=ОднаJ коI= так как вероятность обнаружить цепочку с очень длинной неJ прерывной последовательностью легких атомов очень малаI= то= наблюдению доступно лишь несколько модI= лежащих непосредJ ственно под особой частотойK=Таким образомI=плотность состояний= в этой точке меняется почти скачком=EрисK=SK4FK=
NO8= =
= = = = = = = = = = = = = = = = РисK= SK4K= Спектр неупорядоченной цепочки при отношении= масс атомов в сплавеI=равном трем= = Физическая интерпретация этого явления в рамках представJ ления об=«островках»=примеси наводит на мысльI=что похожие эфJ фекты можно наблюдать и в энергетическом спектре электронов в= неупорядоченных одномерных сплавахI=компоненты которых резко= различныK=НапримерI=в модели Кронига=– Пенни это означаетI=что= «силы»= дельта-функций= dl должны быть достаточно большими и= достаточно сильно отличающимися друг от другаK== =
S.R.=Плотность состояний= = Фазовое представление лежит в основе математической теоJ рии= плотности состояний= N ( l ) = = для возбуждений в цепочкеK= По= определению= N ( l ) d l есть число дозволенных состояний= E«уровJ ней»F=в интервале=ElI=l=H=dlF=в расчете на единичную ячейку цепочJ киK=Сама функция= N ( l ) определяется как пределI=к которому стреJ
NO9= =
мится распределение уровней для одной цепочки при=k®=¥ или=Eв= неудобных случаяхF=как среднее по ансамблю таких цепочекK= Как отмечалосьI= новое стационарное состояние возникает= всякий разI=когда фаза= q k ( l ) удовлетворяет условию=ESKORFK=Тогда= по определению= N N ( l ) d l = lim ESKO8JNF= × [ q k El + d lF - q k ElF ] I= k ®¥ Opk или== N ¶q k El F N ( l ) d l = lim × K= ESKO8JOF= ¶l k ®¥ Opk Чтобы избавиться от вычисления производной от функцииI= которая может и не быть непрерывнойI= удобно ввести= интегральJ ную плотность состоянийW=
D El F =
l
N
× q k ElF I= ò N El¢Fd l¢ = klim ®¥ Opk
ESKO9F=
-¥
q k E-¥F = M K= = = = = = = = = = = = РисKSKRK= Интегральная плотность состояний в неупорядоJ ченной цепочкеI= в которой силовые постоянные распределены по= экспоненциальному закону= =
NPM= =
Дайсон рассмотрел модельI= в которой силовые постоянные= Fl Il+N I= фигурирующие в уравнении колебанийI= подчиняются эксJ поненциальному или гауссову распределениюK= В этом случае для= интегральной плотности состояний удается получить аналитичеJ ское решениеK =Для простоты изложения опустим выкладкиK =В реJ зультате получается плотность состояний с= «хвостом»I= простираJ ющимся в областьI =которая в упорядоченной системе была бы заJ прещена=EрисK=SKRFK== =
S.S.=Приближение локальной плотности= =
Если функция распределения= m ( x ) непрерывно зависит от= параметра беспорядка=xI=то спектр возбуждений можно найти приJ ближенноK=Если степень беспорядка не слишком великаI=то спектр= бесконечной цепочкиI= по-видимомуI= можно рассматривать как= сумму независимых вкладов от различных коротких отрезков цеJ почкиI=концентрации компонентов сплава в которых различныK=ТаJ ким образомI= концепция=«островков»I= уже позволившая дать качеJ ственную трактовку происхождения особых частот и запрещенных= областей энергии в бинарном сплавеI=обобщается на предмет полуJ количественного описания полного спектраK= Пусть требуется вычислить= EинтегральнуюF= плотность соJ стояний= a(λF= для неупорядоченной цепочкиI= в которой= среднее= межатомное расстояние равно= x¥ K= В самом грубом приближении= можно взять плотность состояний для=регулярной=цепочки с таким= же межатомным расстояниемI=тK=еK=принять:= D ( l ) » DM ( lX x¥ ) K= ESKPMF= Не следует думатьI=что такая оценка бесполезнаK=НапримерI=в= случае жидкости Кронига= – Пенни это приближение подскажет= намI=где искать главные=«разрешенные»=зоны и где могут быть заJ прещенные области энергииK== Выберем теперь случайным образом конечный отрезок расJ сматриваемой цепочкиI= состоящий из= i= ячеекK= Если среднее межJ
NPN= =
атомное расстояние в нем равно= xi I= то функция= DM ( lX xi ) дает= нам плотность состояний в идеальной цепочке с таким межатомJ ным расстояниемK= Будем далее рассматривать цепочку как послеJ довательность отрезков идеальной цепочкиK= Пусть длины этих отJ резков одинаковы и равны=iI=но средние межатомные расстояния в= них= xi случайно изменяются от отрезка к отрезкуI= и вероятность= реализации того или иного значения xi задается функцией распреJ
деления= mi ( xi ) K= Полученная таким путем плотность состояний= для всей совокупности отрезков называется=приближением локальJ ной плотности:= Di ( l ) = ò mi ( xi ) × DM ( lX xi ) × d xi K= ESKPNF= Эта аппроксимация дает гораздо более точные результатыI= чем простая формула=ESKPMFK=Если функция= m ( x ) достаточно регуJ лярнаI=а длина=i=не слишком малаI=то функция распределения расJ стояний= xi удовлетворяет центральной предельной теореме и= стремится к гауссовой форме:= ì i x -x Oü N ¥) ï ï ( i ESKPOF= mi ( xi ) = × exp íý I= O Opi × s Os ï ï î þ O где= s есть средний квадрат флуктуации межатомного расстояния= при переходе от отрезка к отрезкуK== Точная форма функции= DM ( lX x ) I= фигурирующей в формуле= ESKPMFI=зависит от конкретных свойств данной физической системыK= Особенно интересныI= однакоI= те области спектраI= которые лежат= вблизи точекI= соответствующих краям зон в идеальной цепочкеK= Согласно теории функцийI= эти края зон должны совпадать с= осоJ бенностями Ван ХоваK= Рассмотрим простую задачу для плотности числа колебаний= в регулярной решетке с периодом= aK= Пусть= g – жесткость связей= атомовI=имеющих массу=jK= Спектр колебаний определяется выраJ жением:=
NPO= =
w=O
ka O w g sin K= или== k = ~rcsin a wM М O
Тогда== w a ka d w = M cos dk K= O O O ka ka Но так какK= cos = N - sin O = N - w L wM I=то можно сказатьI= O O что= O dw N = dk I= O a wM N - w L wM
(
(
)
)
т.еK=находим якобиан перехода от интегрирования по пространству= æ dk ö K к интегрированию по=w: ç ÷ = k ( w ) K= è dw ø
= = РисK=SKSK==Графики плотности числа состояний и интегральJ ной плотности состояний в одномерных системах= = = Особенность Ван-Хова=EрисKSKSF:= N = k EwF = O a × wM O N - w L wM
(
NPP= =
)
(корневой характер плотности числа состояний в одномерных сиJ стемахI=в двухмерных системах=–==логарифмическая особенностьFK= ИтакI= в одномерной регулярной решетке интегральная плотJ ность состояний вблизи потолка первой зоны приближается к едиJ нице по закону== NO
DM ( l ) : N - ( lM - l )
===для= =l= Y l M X
DM ( l ) : 1===для= =l= [ l M K
==
ESKPPF=
Однако при изменении межатомного расстояния= xi = точка= l M I=соответствующая потолку указанной зоныI= должна сдвигаться= по какому-нибудь закону типа=
(
)
lС ( xi ) = l ¥ + a x i - x¥ + KKK I= ESKP4F= здесь= l ¥ = – =потолок данной зоны для среднего= Eпо всей цепочкеF =
межатомного расстояния= x¥ I=а коэффициент= a определяется конJ кретными параметрами моделиK=ПредположимI=что отклонения буJ дут малыI=поэтому оставим только линейный членK= Подставляя соотношения=ESKPOF=–=ESKP4F=в формулу=ESKPNFI=поJ лучаем выражение для интегральной плотности состояний в неупоJ рядоченной цепочкеK=ИтакI== ìï N - l - l )N O I l Y l M I= DM ( l ) = í ( M NI l [ lM ïî NO ì ïN - él + a ( xi - x¥ ) - l ùû D%i ( lI x n ) = í ë ¥ I= ïî N O NO D%i ( l ) : ò e- x éêN - ( a + bx ) ùú dx I= ë û
где====== x O = i ( xi - x¥ ) O I====== a = l¥ - l I== b = a Os K========ESKPRF= Os i Под интегралом в= ESKPRF= стоит произведение двух функций:= плавной и с острым пикомK= Для интегрирования используем метод=
NP4= =
перевала= –== в точке максимума плавная функция= fl ( x ) заменяется=
на= fl ( A) и выносится за интегралI=а резкая функция интегрируетсяK= НапримерI= достаточно далеко в запрещенной области энерJ гии= Eвыше= l ¥ F= обнаруживается экспоненциально затухающий= хвост плотности состоянийI=описываемый выражением вида=
D (l) : N - e
-
( l-l ¥ )O b
O
=N- e
-
( l-l¥ )O ×i O O
Os a
K=
ESKPSF=
= = = = = = = = = = = = = = = = РисK= SKTK= Сравнение интегральной плотности состояний в= модели= «жидкости»= Кронига= –= = ПенниI= вычисленной в приближеJ нии локальной плотности и путем расчета по методу МонтеJ Карло= = В действительности модель=«одномерной жидкости»=вряд ли= заслуживает столь утонченного расчетаI=хотя следует отметитьI=что= результаты таких вычислений совпадают с численными расчетами= по методу Монте-Карло=EрисK=SKTF=в пределах ошибкиK== Таким образомI= метод приближения локальной плотности= очень полезен как эвристическийI= полуколичественный подход к=
NPR= =
расчету спектра неупорядоченной системыK= Вместе с тем данный= подход по-видимому не может служить исходной точкой для строJ го определенного ряда последовательных приближенийI=сходящихJ ся к истинной плотности состоянийK=Это приближение совершенно= не годится для исследования= «патологических»= характеристик= спектра вроде особых запрещенных областей энергии в модели биJ нарного сплаваK= =
S.T.=Квазиклассические электроны= в случайном потенциальном рельефе= = В случае=плотного газа=центров=Eисточников=слабого=рассеяJ нияF= потенциальная энергия электрона в поле каждого центра хаJ рактеризуется радиусом действия= rp K=Последний достаточно велик= для тогоI= чтобы охватить много атомных сфер радиуса= rs I= однако= глубина ямы здесь недостаточна для образования связанного соJ стояния электронаK= Полная потенциальная энергия теперь предJ ставляет собой результат суперпозиции многих= перекрывающихся= вкладовI= и потому ведет себя подобно= гауссову случайному полюK= Будем считатьI=что среднее значение потенциальной энергии элекJ r трона в отдельном атоме равно нулю=–= V o = M K=ТогдаI=как и в=
( )
разделе= «континуальный беспорядок»I= можно рассматривать велиJ r чину= V o как непрерывную случайную функциюI=значения котоJ
( )
рой распределены с вероятностью= ìï V O üï N = P( V ) = exp íOý OpW îï O W þï
ESKPTF=
r относительно единого начала отсчета энергии V o
( )
= M K= r Исходя из формы атомных потенциальных ям= v Er F I= можно= найти ширину распределенияI= W K Она получается из соотношения:=
NPS= =
WO = u
O
r r r º k ò u* o × u o × do K=
( ) ( )
ESKP8F=
Вид потенциальной энергии электрона в поле отдельного= атома определяет также и автокорреляционную функцию:= r r r uG o + o¢ × u o¢ r I= ESKP9F= Г o = O u
( )
(
) ( )
с помощью которой можно найти бинарную функцию распределения= æ ö xNO + xO O - OxNxO GE o F ÷ ESK4MF= ç mO ExNX xO X o F = × exp NO ç ÷ ç ( Op ) p O éN - G O E o F ù ÷ ( Op) p O éëN - G O E oF ùû ë û ø è N
r и другие статистические характеристики поля= V o K==
( )
В выражении= ESKP9F= для нас существенно тоI= что функция= r GE o F удовлетворяет обычным предельным соотношениям и харакJ теризуется=длиной корреляции= i : rp : N gc I= ESK4MF= которая= i по порядку величины сравнима с= «радиусом действия»= каждого отдельного атомаK= Того же порядка будет и минимальная= длина волныI= соответствующая= спектральной области= M= Y= q= Y= qc = волновых чисел в фурье-представлении потенциальной энергииK= Рассмотрим теперь электрон с энергией=bI=перемещающийJ r ся в случайном поле= V o K Если= b ? W I=то электрон всегда проJ
( )
летает над горбами потенциального рельефаK=В этих условиях можJ но с достаточной точностью решить уравнение ШредингераI= расJ сматривая=s==как возмущениеI=искажающее волновые функции своJ бодных электроновK= Этот подходI= однакоI= неправомерен при более= r низких энергияхI= когда в некоторых областях величина= V o моJ
( )
жет фактически превосходить=bK=Если рассматривать электрон как= классическую=частицуI=то при движении его на=«высоте»=b=над=«реJ r льефом»= V o он не сможет проникнуть под вершиныI=оказавшиJ
( )
NPT= =
еся выше занимаемого им уровня= EрисK =SK8FK =Таким образомI =при= решении уравнения=Шредингера важную роль будет играть=топоJ r графия= случайной функции= V o I= и результаты его решения в=
( )
классическом предельном случае должныI= по принципу соответJ ствияI=согласовываться с ходом классических траекторийK=
РисK= SK8K= Квазиклассический электрон в случайном потенJ циале не способен проникнуть сквозь потенциальные барьеры= = Если на каждом отрезке классической траектории укладываJ ется много длин волн электронаI= то можно воспользоваться= кваJ зиклассическим приближением=для решения уравнения ШредингеJ раK= В рамках разумных допущений относительно вида функции= r GE o F можно показатьI= что характерный размер= «топографических= r деталей»= V o есть длина корреляции= iK= В типичной= «долине»= с=
( )
«энергетической глубиной»= W квазиклассическое приближение= оправданоI= когда= i= превосходит характерную длину волны де= h Бройля= D » I= тK= еKI= если воспользоваться атомными единиJ Om W цами= ( h = m = e = N) I=когда выполняется неравенство==
W iO ? N K= ESK4NF= В указанных условиях плотность состояний электрона с хоJ рошей точностью дается= приближением Томаса= –= ФермиW= в той= областиI=где потенциальная энергия электрона есть=sK=
NP8= =
Плотность числа состояний= электронов выражается следуJ ющим образом:= NO
k ( b IV ) : ( b - V ) K= СоответственноI= интегральная плотность состояний= выраJ жается следующим образом:= PO D ( b IV ) = NO éë O ( b -V ) ùû K= ESK4OF= Pp Учтем теперьI= что значения= V распределены с вероятностью= P ( V ) K= Поэтому интегральная плотность состояний с энергиейI= не= превышающей=bI=для системы в целом должна быть равна=
D Eb F =
b
N
PO ò éë O ( b - V )ùû × m ( V ) × d V K=
ESK4PF= Pp -¥ СоответственноI= в квазиклассическом предельном случае плотJ r ность состояний электрона в случайном гауссовом поле= V o даJ O
( )
ется выражением:= kqc E b F = p-R L O × W -N ×
b
ò
NL O
(b - V)
V2
F × d V K==ESK44F= O W O -¥ Поведение этой величины как функции энергии= Eее можно= выразить аналитически с помощью функции параболического циJ линдраF=изображено на рисK=SK9=сплошной кривойK=В области высоJ ких энергий= b ? W она приближается к обычной зависимостиI= характерной для свободных электронов=Eштриховая криваяFK= O NO kqc E b F » × b K= ESK4RF= O p Однако при энергиях ниже уровняI= принятого нами за нулеJ войI= плотность состояний не обращается в нульX= асимптотическиI= при= b = -W I=она описывается выражением:= æ VO ö WO -PL O ESK4SF= × exp ç kqc E b F » O × ( - b ) ÷ K= ç O WO ÷ Op è ø
NP9= =
× expE-
= = = = = = = = = = = = = = = = РисK= SK9K= Плотность состояний в приближении Томаса= –= Ферми для гауссова случайного потенциала= = Иначе говоряI= у плотности состояний появляется модифиJ цированный гауссов= хвостI= отвечающий электронным уровням в= глубоких потенциальных ямахK= В этом приближении кинетические характеристики электроJ нов в рассматриваемой системе определяются главным образом= темI= что классический электрон не способен проникнуть внутрь= r любой областиI=в которой потенциальная энергия= V o превосхоJ
( )
дит=bK== Интуитивно ясноI= что при переходе от низких энергий к боJ лее высоким топология=«дозволенных»=областей должна изменятьJ сяK=Представим себе=«рельеф»I=заливаемый водойK=Для малых энерJ гий= b заполнены лишь самые глубокие минимумыI= образующие= изолированные= «пруды»= или= «озера»= EрисKSKNMFK= При таких значеJ ниях энергииI=следовательноI=все классические или квазиклассичеJ ские электроны будут= локализованыK= Однако с подъемом уровня=
N4M= =
воды эти озера начнут разрастаться и смыкаться друг с другомI =в= конечном счетеI=образуя связный океанI=омывающий всю системуK==
=
=
РисK=SKNMK=Изоэнергетические контуры в случайном потенциале= (аFX=разрез АА потенциального рельефаI= на котором видны обJ ласти локализованных состояний=EбF= = Выше критического уровня= b = Vc в системе имеются= делоJ кализованные= электронные состоянияI= и она способна проводить= электрический ток по цепи дозволенных для движения каналовK= Задача об определении порогового значения= Vc для= протеJ кания по континууму= точно решается в случае пространства двух= r измеренийK= Поскольку потенциальная энергия= V o симметрична=
( )
по отношению к положительным и отрицательным отклонениям от= нулевого среднего значенияI= топология= «разрешенных»= областей= при энергии=b должна быть такой жеI=как и топология=«запрещенJ ных»=областей при энергии=–bK=
N4N= =
Аналогично решению=порога протекания= pc = N O в задаче о= протекании по узлам плоской сетки с треугольными ячейками= можно сказатьI= что одновременное протекание по областям обоих= указанных типов невозможноK=Таким образомI=уровень протекания= должен быть= Vc = M K=Это соответствует ситуацииI=в которой разреJ шенная область занимает точно половину всего объемаK== Это рассуждение не удается обобщить на случай трех измеJ ренийK= Но вполне правдоподобноI= что в континуальной модели= протекание становится возможнымI= когда= «разрешенные»= области= заполняют ту же= критическую долю объемаI= что и в случае регуJ лярных решетокI=составленных из шаровK=В дальнейшем будет поJ казаноI= что эта величина оказывается приблизительно одинаковой= для нескольких решеток различной структурыK=Кроме тогоI=гипотеJ за о томI=что для трехмерных случайных полей= hc » MKNR =========================================ESK4TF= согласуется с результатом численного расчета по методу МонтеJ КарлоK=Если теперь проинтегрировать распределение=ESK4SFI=выбрав= верхний предел интегрирования такI= чтобы объем разрешенных= областей под соответствующим уровнем составлял указанную доJ лю полного объемаI=то получим= Vc » -W K==================================ESK48F= Это соотношение дает приближенный рецепт определения порога= протекания в гауссовом случайном поле с дисперсией= WO K= Его= можно рассматривать и как оценку положения=края подвижности= для электронов в такой системеK=
=
N4O= =
РАЗДЕЛ=T=== ПЕРКОЛЯЦИЯ= =
T.N=Введение.=Терминология= = Термин= «перколяция»= использовался для противопоставлеJ ния диффузииK=Если в случае диффузии имеем дело со случайным= блужданием частицы в регулярной средеI= то в случае перколяции= речь идет о регулярном движении= EнапримерI= течении жидкости= или токаF =в случайной средеK =ОказалосьI =что перколяция является= удобной моделью для описания широкого класса явленийI=которые= принято называть критическимиK=В химии теория перколяции приJ меняется для описания процессов полимеризации или связывания= маленьких молекул в макромолекулы= EгелиFK= В биологии распроJ странение эпидемий можно описать с помощью модели связейK=Эта= же модель описывает пожар в лесуI=если вероятность передачи инJ фекции от больного животного к здоровому заменить на вероятJ ность распространения огня от горящего дерева к соседнемуK=КроJ ме тогоI= теория находит широкое применение для описания разJ личных неупорядоченных систем в химии и физике:= пористые и= аморфные материалыI=включая и тонкие пленкиX=неупорядоченные= ионные проводникиX=галактические структурыK==С другой стороныI= задача оказалась весьма интересной и с точки зрения чистой матеJ матикиK= Большинство результатов теории перколяции получено в реJ зультате компьютерного моделированияK= ВыяснилосьI= что теория= перколяции имеет точки соприкосновения с рядом новых и перJ спективных направлений наукиI= напримерI= перколяционные проJ цессы могут приводить к самоорганизации и образованию струкJ турK= ОбъектыI= которые образуются при перколяцииI= являются= фракталамиK= Несмотря на тоI=что в теории перколяции получен ряд строJ гих результатовI=а в ее применении достигнуты значительные успеJ хиI= она находится еще в процессе становленияI= многое еще предJ стоит понятьI=доказатьI=применитьK=
N4P= =
Слово= перколяция= (регсоl~tionF= означает протеканиеK= В русJ ской литературе можно встретить различные названия этой теории:= теория перколяции или теория протекания и даже теория просачиJ ванияK= ПожалуйI= наиболее распространенными задачами теории= перколяции являются= решеточные задачи: задача узлов и задача== связейK= Решеточные модели в первую очередь представляют интерес= с теоретической точки зренияI=именно для них доказан ряд строгих= утверждений и соотношенийK= К настоящему времени процессы= протекания на решетках изучены и поняты достаточно хорошоK== Рассмотрим бесконечную квадратную сеткуK==
= РисKTKNK=Задача узлов=EаF=и задача связей=EбF=на квадратJ ной решетке= Назовем точки пересечения линий=узлами=(в математических= работах их обычно называют=вершинамиI= в старых статьях можно= встретить термин=атомFK=Сами линии будем называть=связями=(маJ тематики используют термин=реброFK= В задаче связей ищут ответ на вопрос: =какую долю связей= нужно удалить=EперерезатьFI=чтобы сетка распалась на две части?=В= задаче узлов блокируют узлы= Eудаляют узелI= перерезают все вхоJ дящие в узел связиF= и ищутI= при какой доле блокированных узлов= сетка распадется=EрисK=TKNFK=ПонятноI=что квадратная сетка является= только одной из возможных моделейK=Можно рассматривать перкоJ
N44= =
ляцию на треугольнойI= шестиугольной сеткахI= деревьяхI= трехмерJ ных решеткахI= напримерI= кубическойI= в пространстве с размерноJ стью больше трехK=Сетка не обязательно должна быть регулярнойK= Рассматриваются процессы и на случайных решеткахK= Цепочка связанных объектовI= напримерI= черных квадратовI= называется в теории перколяции= кластерK= КластерI= соединяющий= две противоположные стороны системыI= называется= перколяционJ нымI=бесконечнымK==Изучение свойств бесконечного кластера=J еще= одна из задач теории перколяцииK=Ниже порога перколяции имеютJ ся только=кластеры конечного размераK= В теории перколяции расJ сматриваются также следующие вопросы=EрисKTKOF:= - структура субкритической и суперкритической фазX= - что происходит вблизи порога перколяцииX= - какова структура перколяционного кластераX= - каковы значения и свойства различных макроскопических веJ личинI=какI=напримерI=средний размер кластераX= - что происходит при изменении структуры решетки и размерJ ности пространстваK=
а==============================================б===========================================в= РисK= TKOK= Перколяционная задача узлов на квадратной решеткеW= = = = = = а=J= x Y xc X=б=J= x » xc X=в=J= x [ xc = В=континуальной перколяции=рассматриваются задачи жестJ ких и пересекающихся сфер или эллипсоидовI=положения которых= в пространстве не ограничены жесткими рамками периодической= решеткиK= ПустьI= напримерI= на проводящей плоскости вырезаны= круглые дырыI=центры которых распределены по плоскости хаотичеJ
N4R= =
скиK= При некоторой критической концентрации дыр проводящая= плоскость станет изоляторомK= Модели такого рода позволяют опиJ сатьI=напримерI=прыжковую проводимость в полупроводникахK=
T.O.=Задачи перколяции на регулярных решетках= = Пример=NK=NPT×NPT=решетка=EmhysKoevK=N9T4=ВатсонI=ЛисF= В этом эксперименте= EрисKTKPF= определялосьI= при каком коJ личестве светлых узлов прекратится протекание тока по системеK= На рисKTKP= блокированные узлы показаны черными кружкамиI= а= неблокированные= –= светлымиK= Черный узел означает разрыв конJ такта между четырьмя проволокамиI= которые связывают узелI= светлый узел сохраняет контактK=Через черные узлы электрический= ток не течет ни в каком направленииI=через светлые узлы ток течет= в любом направленииK= uc =
k св число неблокированных узлов = K= полное число узлов kм
= РисK= TKPK= Схема эксперимента Ватсона и ЛисаI= исходная= сеткаI= количество узлов на рисунке сильно уменьшено= EаFX= кусок= сетки с блокированными узлами=EбF=
N4S= =
ЗначениеI= вычисленное в результате нескольких испытанийI= оказалось равно u c » MIR9 K= ОднакоI= очевидноI= что на конечной реJ шетке значение порога= –=величина случайнаяK= НапримерI= на конечJ ной решетке всегда существует конечная вероятность появления миJ N нимального значения порога= Eдля решетки= NPT×NPT= u сmin = FI= NPT одна линия осталась неповрежденнойK= Можно сделать следующие выводы:== - в данной задаче порог был случайной величинойX== - необходимо усреднение по реализациям разрезанияK= - порог зависит от полного числа узлов системеK= Если система бесконечнаI=то предел= lim @ MIR9 оказывается= k ®¥
достоверной величинойK== Рассмотрим это на решетке=O×O=EрисKTK4FK= = = = = = = = = = = = = РисK=TK4K=Расчет сетки=O×OW=а=–=исходная сеткаX=б=–=блокироJ ван один узелX=вI=гI=д=–=блокированы два узла= В случае=вF=ток прерывается после тогоI=как блокирован треJ тий узелI=так что= xc = N 4 K=В случаях=гF=и=дF=ток прерывается после= тогоI=как блокирован второй узелI=так что= xc = N O K=Три случая=вFI=гF= и=дF=равновероятныK=
N4T= =
рога=
Легко понятьI=что в этой задаче вероятность реализации поJ равна= t ( xc = N 4 ) = N P I= а= xc = N 4 xc = N O = –=
t ( xc = N O ) = O P K=
Среднее значение вероятности: u c = å u ct ( u c ) = R L NO = MK4 I= дисперсия=J d EO ´ OF = O
åE
O
u c O - u c FX d O E u c F = NL TO K=
Пример= OK= Рассмотрим еще одну модель= –= магнетикK= На= рисKTKR==представлен разбавленный магнетик=Eатомы со спином буJ дем называть светлымиI=а без спинов=–=темнымиFK=Будем называть= два магнитных атома=связанными друг с другомI=если они стоят ряJ домI=или если они соединены цепочкой стоящих рядом магнитных= атомовK=На рисKTKR=магнитные атомы образуют один кластер из чеJ тырех атомовI=один кластер из двух атомов и пять кластеров из одJ ного атомаK= Границы кластеров показаны штриховыми линиямиK= Моменты разных кластеров могут быть направлены в разные стоJ роныK=
= РисK=TKRK=Кусок плоской решетки с магнитными=EсветлымиF=и= немагнитными=EтемнымиF=атомами= В нарисованной реализации системы протекания не будетK== kˆ светл ( k ) m ( u ) = lim K= k k ®¥
N48= =
Здесь= kˆ светл =–=количество светлых узловI=принадлежащих самому= k св большому кластеруK= По определению= u = K= ОчевидноI= что= k полн при=u=Z=N=вероятность существования бесконечного кластера равна= единице====mENF=Z=N=EрисKTKSFK=При определенной концентрации светJ лых узлов возникает бесконечный кластерI =т.еK =существует порог= u c K=Здесь следует отметить несколько моментовK= NK Существует порог= ucI= при котором возникает= = бесконечJ ный кластерK= OK ПредположимI=что= u c ~NK=ПричинI=по которым некоторый= узел не принадлежит бесконечному кластеруI=может быть две:= аF=если он темныйI=то вероятность такого события= tN : (N - u ) X= бF=если он светлыйI=то вокруг него должны быть только темные= z
узлыI=т.еK= tO : (N - u ) I= здесь=z=–=число ближайших соседейK= ПолJ ная вероятность событияI=что данный узел принадлежит бесконечJ ному кластеру:= mE u F = N - nE u F или= mE u F = N - EN - u F - EN - u F z » u K= PK При= u Y u c в системе существуют только конечные= кластерыK=Бесконечных кластеров нетK= 4K При= u = u c светлые узлы изолированыK= Кратность= кластера=К=»=NK= RK При= kполн ® ¥ = Eбесконечная системаF= справедливо= представление о достоверном значении порога протеканияI=тK=еK=это= значение не зависит от той последовательностиI= в которой= происходит случайная расстановка магнитных и немагнитных= атомов= Eсуществует маловероятная реализация прямого путиI= но= вероятность эта крайне малаFK =В конечной системе четко= определенного порога нетK=Есть область шириной= dE k F I=в которую= попадают пороги протекания при разных реализацияхK=Увеличение= размеров системы приводит к стягиванию этой критической= области в точку=
N49= =
u c = lim ( u c ( k ) ) = MIR9 K= k ®¥
=
= = = = = = = РисKTKSK= Фрагмент плоской решетки с магнитными= EсветJ лыеF= и немагнитными= EтемныеF= атомами в случае большой конJ центрации магнитных атомовK=Все магнитные атомы за исключеJ нием атома В принадлежат одному кластеру и имеют одинаковое= направление магнитных моментов= SK Из обобщения результатов численного моделирования на= ` = dE k F I=здесь=k=J=число узлов в системеI= ЭВМ полученоI=что== kv O ν=–=индекс радиуса корреляцииI=С=Z=MKR4I=ν=Z=NKPK= TK Порог протекания является самоусредняющейся= величинойK= =
T.P.=Перколяция на решетке Бёте= = Рассмотрим решётку БётеI= представляющую собой= искусственную математическую модельI= для которой можно= получить точное решениеK= Решётка Бёте представляет собой= регулярное деревоI= одним из свойств её является тоI= что веточки= связей не пересекаются=EсмK=рисK=TKTFK=
NRM= =
Пусть= mEuF= –= вероятность принадлежности произвольного= узла бесконечному кластеруI= т.еK= это вероятность прохождения от= одного узла к произвольно выбранному другому по= неразрушенному путиK=Вероятность разрушения пути:= n ( u ) = N - m ( u ) K=
Причин невозможности уйти к бесконечному кластеру из= некоторого узла двеK= NKПроизвольно взятый узел принадлежит к категории темных= узловI=здесь вероятность попасть на темный узел:== t f E u F = N - u I=
где=Х=–=концентрация светлых=EнеповрежденныхF=узловK=
=
=
РисK=TKTK=Решётка Бёте с координационным числом=q=Z=PK= Светлые кружки=–=категория СI=темные=–=категория Т= = OK=Выбранный узел=–=светлыйI=но из него нельзя выйтиI= поскольку далее все каналы прерываются= t ¢ = ut I= q
где= t = éën ( x ) ùû –= вероятность перекрытия всех каналовK=ТогдаI= полная вероятность== n E u F = EN - u F + u × n q E u F I=или=
NRN= =
[N - mE u F]q u + mE u F - u = M K======================ETKNF= ОтметимI=что это уравнение всегда имеет одно тривиальное= решение= РEХF =Z =M =для любого= uK Рассмотрим решётки Бёте с= разными координационными числамиK= NK= Если= q= Z =NI = mE u F = M I= т.еK= бесконечный кластер в= одномерной решётке Бёте не возникаетI= поскольку один темный= узел перекрывает всю цепочкуK= OK= Если= q= Z =OI = mE u F = M и существует второе решение= mE u F = O - NL u I=т.еK=uc=Z=½=EрисKTK8FK= PK= Если= q ³ OI= то существует несколько нетривиальных= решенийI= но для анализа нужно отобрать только действительные= корниK=Рассмотрим область вблизи порогаI=т.кK=при этом=m малоI=то= справедливо разложение:= qE q - NF O EN - mF q » N - qm + m K= O Подставляя==это разложение в уравнение=ETKNFI=получим= q Eq - NF E u - N qF × O um O » qmu - m I============ m » K= u E q - NF O Из условияI= что на пороге протекания= mEuFZMI= следуетI= что= æ N ö Oq N порог равен= u c = K=Тогда:===== m ( u ) K= = ç u - ÷× x x ® c q q ø Eq - NF è Можно сделать вывод:=чем больше веточек=Eвеличина=qFI=тем= меньше порогI= т.еK= тем меньше нужно светлых неповрежденных= узловI=чтобы образовался бесконечный кластерK= =
NRO= =
PExF 1
K=
xc
1
x
=
РисK=TK8K==Качественный вид вероятности образования== бесконечного кластера для решетки Бете= =
T.4. Регулярные решетки:= плоские и пространственные= = Двухмерное пространство можно заполнить квадратнойI= шестиугольной и треугольной решеткой= EрисK= TK9FK= Может быть= поставлена задача узловK=
= РисK=TK9K=Плоские решеткиW=а=–=квадратнаяI=б=–= треугольнаяI=в=–=шестиугольная= = Можно также поставить задачу связейI= где рассматривается= разрушение связей по однойK=
NRP= =
= = = = = = = РисK=TKNMK=Фрагмент квадратной решетки с разорванными связями= На рисK= TKNM= изображены три кластера из двух связанных= узлов=ENI=OI=PFI=один кластер из четырех узлов=E4FI=один кластер из= шести узлов=ERF=и один кластер из десяти узлов=ESFK= Пусть= v= –= отношение количества правильных узлов к= полному числу узлов=kI=а== u=–=отношение количества правильных= связей к полному числу связей= jK =Тогда можно показатьI =что= m yз (v ) £ mсв ( u ) K = =В задаче связей существует также иерархия= соотношений:= m св ( u I q ) ³ mсв ( u I h ) ³ m св ( u I Ø ) I= Т h Ø Х св £ Х св £ u св K=
Смысл этих соотношений нетрудно понятьI= имея в виду= различное число связей у одного узла в квадратнойI=шестиугольной= или треугольной решеткахK= Значения порогов протекания для= плоских решеток приведены в таблK=TKNK== = Таблица=TKN=Пороги протекания для плоских решеток= Тип решетки= u св = u узельн = Треугольная= Квадратная= Шестиугольная=
MIPT4= MIR= MISRP=
NR4= =
MIR= MIR9= MIT=
= = = = = = = = РисK=TKNNK=Порог протекания в задаче связей всегда меньше= порога протекания задачи узлов= = = = = = = = = РисK=TKNOK=Функция= mk ( x ) для задачи связей на двухмерной= квадратной решеткеW=N=–=k=Z=SSTI=O=–=k=Z=NMMMI===P=–=k=Z=OMMMI== Q=–=k=Z=SMMMI=R=–=k=Z=∞= = Для квадратной и шестигранной решеток они получены= приближенными методамиK=Все остальные представляют собой реJ зультаты точных решенийK=Порог протекания в задаче связей всегда= меньше порога протекания задачи узлов= EсмK= рисKTKNNFK= Функция= распределения для решеток различного типа для решеток различJ ного типа представлены на рисK=TKNOJTKNPK=
NRR= =
= РисKTKNPK=Функция распределения в задаче о протекании по===узлам= для решеток различного типа=
=
T.R.=Пороги протекания для объемных решеток= Задачи связей и узлов ставятся для объемных решеток точно= так жеI =как для плоскихK =По-прежнему предполагаетсяI =что связи= имеются только между узламиI= являющимися ближайшими сосеJ дямиK== В таблK =TKO =дана сводка порогов протекания задач узлов и= связей для описанных выше объемных решетокK= Как уже говориJ лосьI=в трехмерном случае не существует ни одного точного решеJ нияK=Все результатыI=приведенные в таблK=TKO=получены различныJ ми приближенными методамиI=как правилоI=использующими ЭВМK== = Таблица==TKO=Пороги протекания для объемных решеток= Тип решетки= xу = xсв = Простая кубическая== Объемноцентрированная кубическая== Гранецентрированная кубическая== Типа алмаза== =
NRS= =
MIOR= MIN8= MINO= MIP9=
MIPN= MIOR= MIOM= MI4P=
Задача состоит в томI=чтобы используя данные таблKTKN=и=TKO= понятьI=почему для одних решеток пороги протекания сравнительJ но большиеI=а для других=–=маленькиеK=Начнем с задачи связейK== Если все связи= – =целыеI =то каждый узел связан с= z другими= узламиI=где число ближайших соседей=z сильно меняется от решетJ ки к решеткеK =При заданной доле целых связей= x каждый узел в= среднем связан с=zx другими узламиK= Попробуем проверить следуJ ющую гипотезу:= может ли величина= zxI= представляющая среднее= число узловI=с которыми связан каждый узелI=содержать информаJ циюI=достаточную для определения наличия в решетке протеканияK= ВозможноI= что никакой другой информации о свойствах решеткиI= кроме числа= zI =и не надоI =и протекание возникает у всех решеток= при одном и том же значении величины=zx?=ЯсноI=что эта гипотеза= не может быть точнойK= Но может бытьI= она справедлива приблиJ женно?== Проверить это очень простоK =Нужно для всех решеток с изJ вестными порогами протекания задачи связей вычислить произвеJ дение=zxсвK=Если оно окажется универсальнымI=т.еK=одинаковым для= всех решеток или хотя бы приближенно одинаковымI= значитI= выJ сказанная гипотеза верна или верна приближенноK== Соответствующие данные собраны в таблK =TKPK =ВидноI =что с= погрешностью меньше чем=NMBI=для плоских решеток справедлива= формула:= zxсв = O I=======================================================ETKOF= а для объемных решеток=–=
zxсв = NIR K===================================================ETKPF= =
Таким образомI=гипотеза об универсальности среднего числа= связей на узелI=требуемого для возникновения протеканияI=не являJ ется точнойI= но приближенно выполняетсяK= Если принять во вниJ маниеI=что как в группе плоских решетокI=так и в группе объемных= решеток каждая из величин=z и=xсв меняется по крайней мере в два= разаI=то точностьI=с которой в каждой группе величина=zxсв постоJ яннаI=следует признать высокойK== =
NRT= =
Таблица=TKP==Произведение= zxсв для разных решеток= Тип решетки= z= xсв = zxсв = Плоские решетки= Квадратная== 4= MIRM= OIM= Треугольная== S= MIPR= OIN= Шестиугольная== P= MISR= OIM= Объемные решетки= Простая кубическая== S= MIOR= NIR= Объемноцентрированная кубическая== 8= MIN8= NI4= Гранецентрированная кубическая== NO= MINO= NI4= Типа алмаза== 4= MIP9= NIS= =
ИтакI= чтобы приближенно оценить порог протекания задачи= связейI= достаточно знать число ближайших соседей и воспользоJ ваться формулой=ETKOF=в случае плоских решеток и формулой=ETKPF=в= случае объемных решетокK=Порог протекания задачи связей наибоJ лее чувствителен к числу ближайших соседей и значительно менее= чувствителен ко всем прочим свойствам решеток=EнапримерI=к чисJ лу вторых соседейI= т.еK= соседейI= следующих по удаленности от= данного узлаFK== Таким образомI= получен очень простой и относительно точJ ный способ оценки порогов протекания задачи связейI= пригодный= для любой решеткиK== =
T.S.=Оценка порога протекания задачи узлов= Разберем теперь схему такого же типа для задачи узловK = Естественно сначала испробовать предыдущий вариантI= т.еK= поJ смотретьI= как меняется от решетки к решетке величина= zxу Легко= убедитьсяI=что она меняется почти так жеI=как каждая из величин=z= и=xу по отдельностиK=Этому не следует удивляться:=в случае задачи= связей произведение=zxсв имеет четкий физический смысл=–=среднее= число целых связейI= приходящееся на один узелK= В случае задачи= узлов связь работаетI=если она соединяет два белых узла и не рабоJ
NR8= =
тает во всех прочих случаяхK= Поэтому произведение= zxу никакого= особого смысла не имеетK== Был предложен иной метод оценки порога протекания задачи= узловK= Идея состоит в томI= чтобы сопоставить каждому узлу опреJ деленную долю пространстваK= После этого утверждаетсяI= что проJ текание по белым узлам возникаетI=когда доля пространстваI=заняJ тая этими узламиI= превышает некоторое критическое значениеI= слабо зависящее от типа решеткиK== Вообразим вокруг каждого узла решетки шар= Eили круг в= случае плоской решеткиF=с радиусомI=равным половине расстояния= до ближайшего соседаK= При этом шары= EкругиFI= построенные воJ круг соседних узловI= касаются друг друга=EрисK= TKN4FK= Белому узлу= припишем белый шарI= а черному узлу= –= черныйK= Если два белых= узла связаны друг с другомI =то между ними есть путь по касаюJ щимся друг друга белым шарам= EрисK= TKN4FK= Поэтому возникновеJ ние протекания означает появление путей бесконечной длины по= касающимся друг друга белым шарамK==
= РисK=TKN4K=Построение касающихся друг друга окружностей в= случае шестиугольной решеткиK=Окружности имеют радиусI=равный= половине расстояния до ближайшего соседаK=Белым узлам= соответствует белаяI=а черным=–=черная окружностиK=Пути протекания= по белым окружностям показаны жирными линиями= =
NR9= =
Предположим теперьI= что протекание возникаетI= когда доля= полного объема=EплощадиFI=занимаемая белыми шарами=Eв плоском= случае кругамиFI=превысит некоторое критическое значениеI=не заJ висящее от типа решеткиK= Чтобы проверить это предположениеI= нужно вычислить доли объемаI= занимаемые белыми шарами при= = = = x=Z=xуI=для различных решеток с известным значением=xу и сравнить= их друг с другомK=Сначала необходимо сосчитать долю объемаI=заJ нимаемого белыми шарами при=x=Z=NI=т.еK=в случаеI=когда все шары= –=белыеK=Эту величину обозначают буквой=f и называют=коэффициJ ентом заполненияK= Коэффициент заполнения равен доле объемаI= занятой шарамиI= построенными вокруг каждого узла решетки и= имеющими радиусI= равный половине расстояния до ближайшего= соседаK== Коэффициент заполнения существенно зависит от типа реJ шеткиI=и для каждой решетки его нужно считать отдельноK=Чтобы= узнать долю объемаI=заполненного белыми шарами при=x=Y=NI=нужJ но умножить коэффициент заполнения на долю белых шаровI= т.еK= на= xK= Таким образомI= доля объемаI= заполненного белыми шарамиI= равна=fxK=На пороге протекания она равна=fxyK=Если предположение= об универсальности доли объемаI= при которой возникает протекаJ ниеI= правильноI= то величина=fxy должна быть одинаковой для всех= решетокK== Коэффициенты заполнения для различных решеток даны во= втором столбце таблK= TKPK= Чтобы представитьI= как они полученыI= вычислим величину= f для шестиугольной решеткиI= изображенной= на рисKTKN4K= pa O P Pa O p = » MISMR K= 4 4 P P Аналогично вычисляются коэффициенты заполнения и для= других решетокI =причемI =как видно из таблK =TK4I =они меняются в= широких пределахK== Произведения= fxy представлены в последнем столбце= таблKTK4K= ВидноI= что предположение о томI= что= fxy не зависит от= типа решеткиI= не выполняется точноK= Однако и в группе плоских= f =
NSM= =
решеток и в группе объемных решеток это произведение меняется= малоK= = Таблица=TK4K=Произведение=f·xy=для разных решеток=
Тип решетки= f= Плоские решетки= Квадратная== MIT9= Треугольная== MI9N= Шестиугольная== MISN= Объемные решетки= Простая кубическая== MIRO= Объемноцентрированная кубичеJ MIS8= ская== Гранецентрированная кубическая== MIT4= Типа алмаза== MIP4=
xy=
f·xy=
MIR9= MIRM= MITM=
MI4T= MI4S= MI4P=
MIPN=
MINS=
MIOR=
MINT=
MIOM= MI44=
MINR= MINS=
=
Отсюда следуетI=что с точностью порядка=NM=–=NRB=справедJ ливы формулы:== f·xy = 0,5 ETK4F для плоских решетокI=и== f·xy = 0,16 =ETKRF для объемных решетокK== Так как вычислить коэффициент заполнения= f сравнительно= простоI= формулы= ETK4F= и= ETKRF= дают возможность оценить порог= протекания задачи узлов для любой решеткиK== Легко понятьI=что критическая доля объемаI=заполненная беJ лыми шарамиI= при которой возникает протеканиеI= монотонно= уменьшается с увеличением размерности пространстваK= В одноJ мерном пространствеI=т.еK=в линейной цепочке узловI=протекание по= белым узлам невозможно при сколь угодно малой концентрации= черных узловK= Даже один черный узел запирает путь протеканияI= так как обойти его невозможноK= В плоской= EдвухмернойF= решетке= появляется возможность обхода черных узловI= а в трехмерной=
NSN= =
(объемнойF=решетке таких возможностей большеI=так как обходные= пути не ограничены плоскостьюK== Идея критического объема оказывается плодотворной не= только для решеточных задачK=Далее столкнемся с задачейI=в котоJ рой белые и черные шары вообще не находятся в узлах решеткиI=а= просто беспорядочно насыпаны в банкуK= Нас будет интересовать= вопрос о протекании по касающимся друг друга белым шарамK= ОказываетсяI= это протекание тоже возникаетI= когда объемI= заполJ ненный белыми шарамиI= составляет примерно= MINS= полного объеJ маK=Этот результат слабо меняетсяI=если шары отличаются друг от= друга радиусомK= Может быть рассмотрена задача о пространствеI= которое раскрашено случайным образом белой и черной краскойK= ОказываетсяI=что протекание по областям одного цвета возникает в= плоском случаеI= когда доля поверхностиI= выкрашенной этим цвеJ томI= точно равна= MIRI= а в трехмерном случаеI= когда доля объемаI= выкрашенного этим цветомI=примерно равна=MINSK== = Таблица=TKR=Пороги протекания= Тип решетки= Задача связей= Задача узлов= с с с w= u = wu = u = f = fu с = св
св
узл
узл
Плоские решетки= Квадратная= MIR= 4= OIM= MIR9= MIT9= MI4T= Шестиугольная== MISR= P= NI9R= MIT= MISN= MI4P= Треугольная= MIPR= S= OIN= MIR= MI9N= MI4S= Объемные решетки= ПК= MIOR= S= NIR= MIPN= MIRO= MINS= ОЦК= MIN8= 8= NI4= MKOR= MIS8= MINT= ГЦК= MIN4= NO= NI4= MIOM= MIT4= MINR= = Обобщенные результаты представлены в таблK =TKRK = Существуют некоторые приближенные интегралыI= зависящие от= типа задачи= Eзадача узлов или задача связейF= и от размерности=
NSO= =
пространстваK= Значения этих интегралов получены в множестве= с численных экспериментов:=================линейные=– f × u узл = N K= с плоские=– f × u узл = MIR = с объемные=– f × u узл = MINS ========================ETKSF=========
Гипотеза критического объема в задаче узлов позволяет= отказаться от регулярности решеткиK== =
T.T.=Задача координационных сфер= = Обобщение состоит в томI =что связь распространяется на= узлыI=расположенные не только в первой координационной сфереK= На рисK= TKNR= показан путь протекания по охватывающим= окружностямI= построенным на квадратной решеткеK= Взаимодействие учитывается на расстоянии втрое большемI= чем= между ближайшими соседямиK= Путь протекания показан ломаной= линиейK=Результаты были получены только путем расчетов на ЭВМ= (таблKTKSFK=
= РисKTKNRK= Путь протекания по охватывающим= окружностямI=построенным на квадратной решетке==
NSP= =
Таблица=TKSK======Пороги протекания для плоских решеток= Тип решетки= Z= u скс = wu кс = Шестиугольная однократная= Eсвязаны= узлы только первой координационной= P= MITMM= OINM= сферыF== Треугольная однократная=Eсвязаны узлы= S= MIRMM= PIMM= только первой координационной сферыF= Шестиугольная=NIOIP=Eсвязаны узлы перJ N войI= второй и третьей координационных= MIPMM= PIO8= O= сферF= Треугольная=NIOIP=Eсвязаны узлы первойI= N MIOOR= 4IMR= второй и третьей координационных сферF= 8= = Эти результаты могут быть обобщены на случай= w ® ¥ K= А= именно:= p × n × o O » 4IN = – = =условие на порог протеканияK =Если= o= увеличитсяI= то нужна меньшая плотность окружностейI= что бы= реализовать протекание=En=–=средняя плотность в единицу площади= поверхностиFK= = Таблица=TKTK=Пороги протекания для объемных решеток= Тип решетки= u скс = Z= wu кс = Типа алмаза=
4=
MI4ORM=
NITM=
ПК=N=
S=
MIPMTM=
NI84=
ОЦК=N=
8=
MIO4PM=
NI94=
ГЦК=N=
NO=
MIN9TR=
OIP4=
ПК=NIOIP=EGF=
OS=
MIM9TM=
OIRO=
ОЦК=NIOIP=EGF=
OS=
MIM9RM=
OI4T=
ГЦК=NIOIP=EGF= 4O= MIMSNM= OIRS= Примечание= EGF:= все сферы= NIOIP= = используются для связиI= следовательноI=число связей увеличиваетсяK=
NS4= =
В случае объемных решеток все также может быть обобщено= для= w ® ¥ K================== lim ( w × u c ) = B » OIT = w ®¥
Рассмотрим задачу о вложенных сферах=EрисKTKNSF= 4p P o k = OIT I= ETKTF= P где=o=–=радиус сферI=k=–=плотность центров в единице объема= Смысл соотношения в следующем:= число центровI= попадающих в= зону влияния должно достичь определенного значения= Eконкретно= OITFK= = = = = = = = = = = = = РисK= TKNSK= Пути протекания по охватывающим окружноJ стям= Eпоказаны ломаными линиямиI= точки= –= центры окружноJ стейF= = Сделаем следующие обобщенияK= NK=В случае произвольной формы вложенных объектов= 4p P o k c = OIT I======следовательноI= sNkl Z=OITK== P Условие образования бесконечного кластера выполняется с= хорошей точностьюK= МожноI= напримерI= заменить сферу оваломK= ОказываетсяI= интеграл сохраняется для всех выпуклых фигурK= Существенным является критическое заполнение объемаI= а чем= – =
NSR= =
не важноK= Когда концентрация достигнет критической величины= для объектов данного размераI=тогда появится протеканиеK= OK Можно ввести понятие= касающихся сфер= Eили= проводимость по белым сферамI=а черные сферы того же радиуса=–= диэлектрикиF=EрисKTKNTFK= = = = = = = = = = = = РисK=TKNTK=Смесь проводящих и непроводящих частиц= = Для= касающихся сфер критическим условием является= следующее:=== u c × f = MINS K==Если эффективный объем проводящих= Pa
шаров=~MINSI=возникает бесконечный кластерK= = Рассмотрим пример физической задачиK= Наличие примеси= создает в запрещенной зоне полупроводника локализованные= состоянияK= Как отмечалосьI= если атом помещается в среду с= диэлектрической проницаемостью= e I=то его боровский радиус:= -8 аБ* = MIRP ´ NM3 ´ e m I===где=e=»=NM=¸=NR=I=mG=»=MKNmeI= 1424 mG aБM
( )
æ *ö G bB = NPIS × ç m ÷ × N I= è m ø e т.еK= электрон примесного атома в среде имеет большой радиус= орбиты и небольшую энергию связиK=
NSS= =
При введении примесейI= они распределяются хаотическиK= Однако эксперимент показываетI= что при увеличении= концентрации примесей происходит переход к металлической= проводимостиI= т.еK= имеет место переход диэлектрик= –= металлK= ПокажемI =что в определенных условиях это т переход= соответствует образованию связанных примесей и создание= бесконечного кластераK= По бесконечному кластеру примесей= возможна проводимостьK= ДействительноI= эксперимент показалI= что переход= происходит при выполнении условия= nd ´ aБ*P Z= MIMOI= где= aБ*P = –= эффективный объемI=занимаемый волновой функцией примесиK= G
Пусть= e -Or / aБ =–=волновая функция=pJтипаI=где= a*B =–=большоеK= Концентрация примеси является заданной=EETKTFI=где=k-заданоFK= * ДалееI=пусть= rM = q ´ aB =–=необходимый эффективный радиус= перекрытия волновых функций примесных атомовI= достаточный= для переходов электрона с атома на атомI= тем самымI= создающих= бесконечный кластерK= Пусть выполняется соотношение= критического условия для трехмерного случай перекрывающихся= сферK= 4p k Or P = B = OKT I= ( ) P c M
тогда после подстановки= e Z= NM= ÷= NRI= m* = MIN × mM можно найти= параметр перекрытия=?хвостов?=волновых функций= q = NIS K= На этих= "хвостах"= волновых функций происходит= перекрытие и образование бесконечного кластераK= =
T.8.=Структура бесконечного кластера.= Модель Шкловского=–=де Жена= = Рассмотрим задачу узловI=допускаяI=что концентрация неблоJ кированных узлов немного выше пороговойI= так что существует= бесконечный кластерK=Он представляет собой бесконечные цепочки=
NST= =
из связанных друг с другом узловK= Если соединить все связанные= узлы бесконечного кластера отрезками прямыхI=то получится набор= пересекающихся друг с другом ломаных линий= EсмK= рисKTKN8I= где= показана одна такая линияFK= Структурой бесконечного кластера называют его геометрию= в масштабахI=гораздо большихI=чем период решеткиK=В таких масJ штабах изломыI=происходящие в отдельных узлах решеткиI=не восJ принимаются глазомI= и цепочка представляется плавно изогнутой= линиейK==
РисK=TKN8K=Фрагмент бесконечного кластера с мертвыми концами= = На рисK= TKN8= изображен небольшой фрагмент бесконечного= кластераK=На концах=A и=B кластер не кончается=–=он уходит налево= и направо на бесконечное расстояниеK= Введем теперь следующую= классификацию точек и линий бесконечного кластераK= Участки= бесконечного кластера делятся на=скелет и=мертвые концыK== СчитаетсяI=что точка принадлежит скелету бесконечного клаJ стераI=если по крайней мере два путиI=выходящие из нее в разные= стороныI=позволяют уйти на бесконечное расстояниеK=Такой точкой= являетсяI=напримерI=точка=С на рисKTKN8K=Из этой точки можно уйти= на бесконечное расстояниеI =двигаясь как в правуюI =так= = в левую= стороныK= Если только один путьI= выходящий из точкиI= ведет на= бесконечное расстояниеI= то эта точка принадлежит мертвому конJ цуK=НапримерI=из точки=a на рисK=TKN8=можно уйти на бесконечное=
NS8= =
расстояниеI= двигаясь только вверхK= Движение вниз приводит в туJ пикK=Поэтому считаетсяI=что точка=a лежит на мертвом концеK== Отбросим мысленно все мертвые концы и постараемся предJ ставить как устроен скелет бесконечного кластераK= Простейшая= модель скелета была предложена независимо друг от друга ШкловJ ским и де ЖеномK=Для плоской задачи эта модель представляет соJ бой нечто вроде очень большой рыболовной сетиI=старой и изрядно= потрепаннойK=Она уже потеряла строгую периодичностьI=ее веревки= не натянутыK =некоторые узлы в ней порваныI =другие съехали со= своего местаI=но тем не менее=«в среднем»=–=это сеть=EрисKTKN9FK==
РисK=TKN9K=Скелет бесконечного кластера= Характерный линейный размер ячейки этой сети=o называетJ ся=радиусом корреляции бесконечного кластераK=Он резко возрастаJ ет с приближением к порогу протекания:== l o= . ETK8F x - xc
n
Здесь=l=–=длинаI=равная по порядку величины периоду решеткиI==v=–= положительное числоI= которое называется= индексом радиуса корJ реляцииK= Таким образомI= по мере приближения к порогу протекаJ ния сетка становится все более и более редкойK== Существование обращающегося в бесконечность радиуса= корреляции является общим свойством всех критических явленийK= ТоI= что он обращается в бесконечность именно но степенному заJ кону= ETK8FI =не является строго доказаннымI =но лежит в основе соJ
NS9= =
временных представлений о критических явлениях иI=по-видимомуI= хорошо подтверждается экспериментальными даннымиK== Радиус корреляции имеет смысл и при=x=Y=xcI=т.еK=ниже пороJ гаK= В этой области он описывает= максимальный размер конечных= кластеровK= Если=x →=xc со стороны меньших значений=Ex=Y=xcFI= то= радиус корреляции тоже обращается в бесконечность по закону= ETKTFK=Это означаетI=что при подходе к порогу протекания снизу коJ нечные кластеры неограниченно увеличивают свои размеры и при======= x= Z= xc сливаются в бесконечный кластерK =Таким образомI =зависиJ мость=oExF=имеет видI=схематически показанный на рисKTKOMK== В случае объемных задач модель Шкловского=J=де Жена имеJ ет аналогичный видK= Она похожа на сильно испорченный провоJ лочный каркас трехмерной решеткиI= причем средняя длина одной= ячейки выражается формулой= ETK8FK= Следует только иметь в видуI= что численные значения индексов радиуса корреляции для плоских= и объемных задач разныеK=Рассмотрим теперьI=к каким следствиям= приводит представление о сеточной структуре бесконечного клаJ стераK== =
РисK= TKOMK= Зависимость радиуса корреляции от= xK= Показана= ширина критической области δ для квадрата=i=×=i=EсмK=следующий= разделF= =
NTM= =
T.9.=Роль размеров системы= Ранее подчеркивалосьI=что понятие порога протекания имеет= смысл лишь в бесконечной системеK= В конечной системе порог= протекания меняется от образца к образцуI=т.еK=является величиной= случайнойK= ОднакоI= значенияI= которые принимает эта случайная= величинаI= с подавляющей вероятностью попадают в некоторую= область с шириной= d ( η ) I= которая называется= критической облаJ стьюK=При увеличении числа узлов в системе= h ширина этой облаJ сти уменьшается по степенному законуI= так что при= h ® ¥ порог= протекания приобретает четкий смыслI= превращаясь из случайной= величины в величину достовернуюK== Рассмотрим эксперимент с экранной сеткойI= имеющей разJ меры=i=×=iI=схема которого изображена на рисKTKONK=ДопустимI=что= сделано много опытовI= использующих разные случайные последоJ вательности блокируемых узловI= результатом которых явился= набор порогов протеканияK=НапомнимI=что конфигурации блокироJ ванных узловI= полученные в разных опытахI= совершенно не похоJ жи друг на другаK== Удобный способ рассуждения состоит в следующемK=ВообраJ зим= бесконечную экранную сетку с заданной долей= x неблокироJ ванных узловK== ПредставимI= что на разные участки этой сетки накладываетJ ся:=квадратI=имеющий размеры=i=×=iI=и изучается протекание с леJ вой стороны этого квадрата на правую по неблокированным узламI= оказавшимся внутри этого квадрата=EрисKTKONFK=Накладывая квадрат= на разные участки бесконечной сеткиI=можно перебрать результаты= разных опытов с конечной сеткойK== В бесконечной экранной сетке протекание возникает точно= при=x=Z=xcI=ноI=как можно увидетьI=это совершенно не означаетI=что= при=x=[=xc обязательно есть протекание в квадрате=i=×=iK== При= x= [= xc в бесконечной системе существует бесконечный= кластерK=Изобразим его скелет в виде рыболовной сетиI=показанной= на рисKTKONK= Для дальнейшего крайне важно соотношение между=
NTN= =
радиусом корреляции=o и длиной квадрата=iK=Примем сначалаI=что= i значительно превосходит=oK=Тогда=EсмK=рисKTKONF=внутри квадрата= находится много ячеек сети бесконечного кластераI= который обесJ печивает протекание между сторонами квадратаK=Эти ячейки могут= иметь разные размерыI =в сети бесконечного кластера могут быть= большие дырыI= но если в квадрате в среднем должно быть много= ячеекI=то вероятность тогоI=что в кластере имеется дыра размером в= целый квадратI= ничтожно малаK= Поэтому делается следующий выJ вод:= ENF= Если= x= [= xcI= то порог протекания квадрата не может= находиться в области значений= xI= удовлетворяющей сильному неJ равенству=i=[[=oExFK=Эта область должна быть выше порогаK= Согласно формуле=ETK8F=при стремлении=x к=xc радиус корреJ ляции неограниченно возрастает и при каком-то значении= x неизJ бежно сравнивается с=iK=Теперь о протекании внутри квадрата ниJ чего определенного сказать нельзяK= Все зависит от конкретной= конфигурации блокированных узлов внутри негоK==
= РисK= TKONK= Большие кластерыI= заданные компьютером на= квадратной решетке при=p=Z=MIRPI=т.еK=ниже порога протекания по= узлам= E pcp = MIR9F K= Эти кластеры соединены в основном одноJ кратно= =
NTO= =
Пусть теперь= x= Y= xc и радиус корреляции значительно меньJ шеI=чем=iK=При=x=Y=xc и радиус корреляции представляет собой макJ симальную длину конечных кластеровK= Если= o= YY= iI =то не сущеJ ствует такого кластераI=который мог бы связать стороны квадратаK== Поэтому делается еще один определенный выводK== EOF= Если=x=Y=xcI=то порог протекания квадрата тоже не моJ жет находиться в области значений=xI=удовлетворяющей сильному= неравенству=i=?=oExFK=Эта область должна быть ниже порогаK= Если=x=Y=xc=I=но величина=x очень близка к=xcI=то радиус корJ реляции становится большеI= чем= iK =В этом случае о протекании в= квадрате нельзя сказать ничего определенногоK= В бесконечной сиJ стеме существуют конечные кластеры размераI=большегоI=чем=iI=но= внутри них есть дыры такого же размераI=и все зависит от конкретJ ной конфигурации блокированных узлов внутри квадратаK== Теперь можно оценить размер критической области в котоJ рой могут находиться значения порога протекания квадрата=i=×=iK= Согласно выводам=ENF и=EOF эта область должна определяться услоJ вием=i ≤=oK=Как видно из рисK=TKOMI=чем больше=iI=тем уже эта обJ ласть и тем теснее она прижата к порогу протекания для бесконечJ ной системыK=Ширина области==определяется условием=o(δF=Z=iK=С= помощью формулы=ETK8F=получаем= l dn =Z=i или== NL n
d = (l L i )
.
ETK9F
Внутри критической областиI=т.еK=при=|x=–=xc|=пороги протекаJ ния квадратов с длиной= i распределены однородноK= Точка= x= Z= xc= внутри этой области ничем не выделенаK=ДействительноI=это точкаI= в которой наступает протекание в бесконечной системеK=Но устаноJ витьI=есть такое протекание или нетI=работая с квадратом конечноJ го размераI=невозможноK=Если=i=Y=oI=то накладывая квадрат на разJ ные участки бесконечной сеткиI=нельзя сказатьI=существуют в этой= сетке только конечные кластеры или они уже слились и образуют= бесконечный кластерK= Изучение протекания в квадрате конечного= размера позволяет лишь определить ширину критической областиK==
NTP= =
В этом разделе обсуждались лишь плоские задачиK= Однако= все сказанное полностью переносится на задачи объемныеK= ШириJ на критической области для объемных задач также определяется= формулой=ETK9FK=Небольшая разница возникаетI= если выразить шиJ рину δ не через размер системы=iI= а через полное число узлов= h K= d
Дело в томI =что= h = ( i a ) I= где= a= – =период решеткиI =d= –= размерJ ность пространстваK=Поэтому согласно=ETK9F== d ( h ) = ` I======================================ETKNMF= hNL n где= `= –= численный коэффициентI= который не может быть опредеJ лен из столь простых соображенийK= Именно с помощью этой форJ мулыI= в результате исследования найденной на ЭВМ зависимости= d ( h) I=был впервые определен индекс радиуса корреляции плоской= задачиK=ОказалосьI=что= n O Z=NIPPK=Eчисло=O=–=индекс двухмерной сиJ стемыKF=Для трехмерных задач индекс= n иной:= nP =Z=MI8=÷=MI9K== =
T.NM.=Электропроводность вблизи порога протекания= =
Рассмотрим двухмерные или трехмерные сетки с блокироJ ванными узламиK= Как говорилось в начале главыI= электропроводJ ность таких сеток отлична от нуля при=x=[=xc и обращается в нуль= на пороге протекания=xcK=Экспериментальные данныеI=а также данJ ныеI= полученные с помощью расчета на ЭВМI= показываютI= что= удельная электропроводность сеток обращается в нуль по закону== t
s ( x ) = sM ( x - xc ) I===============================ETKNNF= где множитель= sM по порядку величины равен удельной электроJ проводности сетки без блокированных узловK=Величина=t называетJ ся=критическим индексом электропроводности и является предмеJ том очень тщательного изученияI= преимущественно с помощью= расчетов на ЭВМK=EВ одном из последних расчетовI=напримерI=исJ пользовалась квадратная сеткаI= имеющая= 8MM= ×= 8MM= узловKF= УстаJ
NT4= =
новленоI=что для двухмерных сеток= tO =Z=NKPI=а для трехмерных== tP = Z=NKS=÷=NKTK== Сеточная модель бесконечного кластера позволяет вывести= формулу=ETKNNF=и связать индекс=t с индексом радиуса корреляцииK= Электрический ток течет только по бесконечному кластеруI=причем= именно по его скелетуK=В мертвых концахI=прикрепленных к скелеJ ту лишь с одной стороныI=тока нетK=Если сделать электрический ток= достаточно сильнымI= так чтобы проволокаI= по которой он течетI= светиласьI= то в темноте скелет бесконечного кластера можно= наблюдать визуально освещенные каналы на темном фонеK= Вдали= от порога вся сетка светится более или менее равномерноI= вблизи= порога расстояние между освещенными каналами увеличивается иI= наконецI=на самом пороге свечение совсем прекращается=–=ток чеJ рез систему прервалсяK== Вычислим удельную электропроводность скелета бесконечJ ного кластераK=Следует иметь в видуI=что это вычисление не может= претендовать на правильный учет численных множителейK= Оно= позволяет лишь получить зависимость= s от=x=–=xcK=Эта зависимость= не изменитсяI=если мысленно заменить неправильную и нерегулярJ ную сеть идеальной сеткой с периодомI= равным= oK=
= РисK=TKOOK=К оценке проводимости скелета бесконечного кластера= = Рассмотрим сначала плоский случай=EрисKTKOOFK=Удельное соJ противление равно сопротивлению квадрата с единичной длинойK= Число проволочекI= пересекающих этот квадратI=равно=NLoI= где=o=–= расстояние между проволочкамиI= которое выражается формулой= ETKTFK=Обозначим сопротивление одной проволочкиI=имеющей едиJ
NTR= =
ничную длинуI= через= rM K= Все проволочки включены параллельноK= СледовательноI=удельное сопротивление= r r = M = rM × o I= NL o а удельная электропроводность== s = r-N = r-M N × o -N K========================ETKNOF==
Подставляя=ETK8FI=получим== n
s = sO ( x - xc ) I=========================ETKNPF= где= s O = r-M N × l -N K== В трехмерном случае нужно вычислить удельное сопротивJ ление проволочного каркасаI= изображающегоI= напримерI= простую= кубическую решетку с периодом=o=Eот типа решетки зависит лишь= численный коэффициентFK= Удельное сопротивление равно сопроJ тивлению кубика с единичной длиной ребраK= Число параллельно= соединенных проволочекI= проходящих через грань такого кубикаI= равно=NLoOK=Поэтому удельное сопротивление== rM r= = rM × o O ==============================ETKN4F= O (NL o ) и удельная электропроводность равна:=
s = rM-N × o -O = sP ( x - xc )
On
I=========================ETKNRF=
где= sP = rM-N × l -O K== Следует обратить внимание на тоI= что удельная электропроJ водность= s в двухмерном и трехмерном случаях имеет разную= N размерностьK= В двухмерном случае она измеряется в Ом– I =а в= N N трехмерном=–=в Ом– ·см– K== Множители= sO и= sP по порядку величины представляют соJ бой удельные электропроводности двухмерной и трехмерной сеток= без блокированных узловK= ДействительноI= как видно из формул= ETKNOF=и=ETKN4FI= удельная электропроводность= sE xF превращается в= sO или в= sP при=o=Z=lI=т.еK=когда сетка бесконечного кластера совJ
NTS= =
падает с исходной сеткойI=на которой ставится задачаK=Таким обраJ зомI=величина= sM в формуле=ETKNNF=в двухмерном случае равна= sO I= а в трехмерном=–= sP K== Сравнивая формулы= ETKNOF= и= ETKNPF= с формулой= ETKNNFI= полуJ чаемI= что в двухмерном случае= t = n I= а в трехмерном= t = On K= ИсJ пользуя= n O = NIP и= nP = MIS ¸ MI9 I= получим= tO = NIP I= tP = NIS ¸ NI8 I= что очень близко к приведенным выше даннымK= Это совпадение= свидетельствует в пользу модели Шкловского=–=де ЖенаK== =
T.NN.=Мощность скелета бесконечного кластера= вблизи порога протекания.=Роль мертвых концов= Как и электропроводностьI= функция= mExFI= представляющая= долю узловI=принадлежащих бесконечному кластеруI=обращается в= нуль при= x= Z= xcK= Исследования показалиI= что вблизи порога эта= функция имеет вид== mE x F = aE x - xc Fb I==================================ETKNSF= где=a=–=численный коэффициент порядка единицыI=а= b =–=еще один= критический индексK= УстановленоI= что для двухмерных задач= bO = MIN4 I= а для трехмерных= bP = MI4 K= Эти результаты получены= главным образом с помощью ЭВМK== В функцию=mExF=дают вклад все узлы бесконечного кластера=–= и принадлежащие скелетуI= и принадлежащие мертвым концамK= С= помощью модели бесконечного кластера можно определитьI=каких= узлов большеK= Допустим сначалаI= что мертвых концов совсем нетI= и вычислим вклад в=mExF=от скелета бесконечного кластераK== В двухмерном случае на каждую ячейку бесконечного кластеJ ра приходится порядка=oLa узловI= принадлежащих скелетуI= где=a=–= период решетки=Eкак и в предыдущем разделеI=здесь делается оценJ каI=не претендующая на установление численных коэффициентовFK= Площадь ячейки порядка= o O иI=следовательноI=полное число всех=
NTT= =
узлов в ячейке порядка= o O a O K =Отсюда следуетI =что доля узловI = принадлежащих скелету бесконечного кластераI== n mск ( x ) : a : ( x - xc ) K=============================ETKNTF= o Здесь знак=«~»=означает равенство по порядку величины=Eбез= учета численных коэффициентов порядка единицыFK== В трехмерном случае на каждую ячейку бесконечного клаJ стера тоже приходится= EoLaF= узловI= принадлежащих скелетуI= но= полное число узлов в ячейке порядка=EoLaFPK=Поэтому в трехмерном= случае==
( )
O
On mск ( x ) : a : ( x - xc ) K==========================ETKN8F= o Сравнивая формулы= ETKNTF= и= ETKN8F= с формулами= ETKNPF= и= ETKNRFI=можно видетьI=что доля узловI=принадлежащих скелету бесJ конечного кластераI= по порядку величины совпадает с функцией=
t
s ( x ) sM = ( x - xc ) K== Сравнивая=ETKNTF=и=ETKN8F=с формулой=ETKNSFI=видимI=что== mск ( x ) m ( x) n -b On -b : ( x - xc ) O O =========и======== ск : ( x - xc ) P P = m ( x) m ( x) в двухмерном случае и трехмерном случаях соответственноK== ВспомнимI= что= n O = NIP I= а= nP » MI9 K= СледовательноI= n O - bO = NIO I=~= OnP - bP » NI 4 K=Таким образомI=и в двухмерномI=и в=
трехмерном случаях отношение= mск ( x ) m ( x ) быстро стремится к= нулю при=x →=xcK=Это значитI=что узлыI=образующие скелет бескоJ нечного кластераI= составляют ничтожную долю от полного числа= узловI= принадлежащих бесконечному кластеруK= Основная= «масса»= бесконечного кластера сосредоточена в мертвых концах и соверJ шенно бесполезна с точки зрения электропроводностиK= Поэтому= вблизи порога протекания= s ( x ) sM = m ( x ) K= Однако именно мертJ вые концы определяют спонтанную намагниченность ферромагнеJ тика с примесями вблизи порога протеканияK=
NT8= =
РАЗДЕЛ=8= ТЕОРИЯ ПРЫЖКОВОЙ ПРОВОДИМОСТИ== = Прыжковой проводимостью называют перенос тока за счет= перескоков носителей между локализованными состояниямиK= Это= явление можно наблюдать в полупроводниках с примесями и в= аморфных телахI= в которых она существует в большом= температурном интервале= EM= ÷= NM= КFI= в полупроводниках этот= температурный интервал= –= EM= ÷= N= КFK= Обычно рассматриваются= четыре температурных интервала для проводимости= полупроводниковK= NK= В чистом полупроводнике с запрещенной зоной= Dbg = удельная электропроводимость= = = = s » sNM × e
-
DE g O hq
I= что означает=
заброс через зонуK= OK=При комнатной температуре и более низких температурах=== ET= YY= Dbg F =эта часть не проявляетсяI =и на первое место выходит= наличие примесейI= которые создают локальные уровни в= запрещенной зонеK= Отдельный атом можно характеризовать= энергией ионизации= = и размером волновой функции внешнего= электрона== æ *ö æ ö -8 bGB = NPKS × ç m ÷ × N I======== аБG = MIRP ´ NM3 ´ e ç m ÷ I= 1424 * m e èm ø è ø M aБ
где= e » NM ¸ NR I= m* » MINme K= Если
концентрация
примесей
мала=
( )
k d aB*
P
примесное состояние сохраняет свою индивидуальностьK= æ -b ö s » s OM exp ç O ÷ I= è hq ø где= bO ~ MIN ¸ MIMN эВ=Eсотни градусовFK=
NT9= =
= N I= то=
Проводимость таких слаболегированных систем= осуществляется за счет заброса электрона в зону проводимости= (рисK8KNFK= =
= РисK8KNK= Проводимость за счет заброса электронов в зону= проводимости= = PK= При температурах= q= YY= bO такие процессы= «вымораживаются»=и существенным становится вклад от прыжков= электронов по примесямI= за счет малого конечного перекрытия= волновых функций примесных состояний=EрисK8KOFK= æ b ö Здесь= s = sPM exp ç - P ÷ I=где сомножитель= sPM очень сильно= è q ø зависит от концентрации примесей=kdK= Следует помнитьI= что необходимым условием прыжка= является наличие свободных мест на донорах= Eдва электрона на= узле= – невыгодноFK =При низких температурах это можно= обеспечить только компенсацией полупроводникаI= т.еK= присутствием некоторой части неосновных примесей= EнапримерI= акцепторовFK==
N8M= =
= РисK=8KOK==Прыжки электронов по примесямI=за счет малого= конечного перекрытия волновых функций примесных состояний= = В результате:= - возникает переход части электронов с донорных примесей= на акцепторные и освобождение части мест на первыхX= - появление положительно заряженных донорных примесей= и отрицательно заряженных акцепторныхK= Второй факторI= в силу дальнодействия кулоновских полей и= хаотичного расположения в пространстве как техI= так и другихI= приводит к возникновению флуктуирующего в пространстве поJ тенциала для донорных уровнейK= Создается разброс этих уровней= по энергииI= который значительно превышает малое расщепление= уровней соседних доноровI= связанное с перекрытием волновых= функций=EрисK8KPFK=На рисK=8KP=сплошная линия=–=зона проводимоJ стиI=штрих-пунктирная=–=уровень ФермиK=Короткие черточки изобJ ражают уровни доноровI=а темные кружки=–=занимающие их элекJ троныK= Справа изображена плотность состояний на донорных= уровняхK= Заполненные состояние заштрихованыK= Валентная зона и= акцепторные уровни не показаныK= Разброс примесных уровней= EрисK8K4F= по энергии= препятствует делокализации донорных электронов по примесям и= приводит к локализации состояния на отдельных донорахK=
N8N= =
Вследствие разброса уровней по энергии нужен захват или= испускание фонона для перескокаK =Этот факт отражается в= æ b ö выражении= s = sPM exp ç - P ÷ наличием термоактивационной= è q ø зависимости проводимостиK= sPM : d E k d F = –= сильная функция= концентрации примесейK= = = = = = = = = = = = = = = РисK= 8KPK= Энергетические схемы слабо и сильно компенсироJ ванных полупроводников в пренебрежении крупномасштабным= потенциальным рельефом=
РисK=8K4K=Перекрытие потенциалов примесных центров ведет= к разбросу энергий связанных состояний= =
N8O= =
На рис=8KR=представлена зависимость удельного сопротивлеJ ния от обратной температуры для= de =p-типа со степенью компенJ сации====К=Z=MI4K=для различных значений концентраций примесейK= ХарактерноI= что при изменении= = концентрация увеличивается в= O= разаI=а сопротивление изменилось в=NMM=разK= Концентрация= k уменьшаетсяI= следовательно расстояние= между примесями в среднем увеличиваетсяI= значит интеграл= перекрытия экспоненциально уменьшаетсяK= Тогда вероятность= перескока падаетI=а сопротивление растетK= = = = = = = = = = = = = = = = = РисK= 8KRK= Зависимость удельного сопротивления от темпеJ ратуры для=de=pJтипа со степенью компенсации====К=Z=MIQK== Концентрация акцепторов=N=–=NN=равны=Eв см=JPFW= N=–=TIR·NMNQX=O=–=NIQ·NMNRX=P=–=NIR·NMNRX=Q=–=OISS·NMNRX== R=–=PIS·NMNRX=S=–=QIU·NMNRX=T=–=TIO·NMNRX=U=–=VIM·NMNRX== V=–=NIQ·NMNSX=NM=–=OIQ·NMNSX=NN=–=PIR·NMNS= = 4K= В аморфных и органических полупроводниках об= электронных состоянияхI= по которым происходят прыжкиI= известно значительно меньшеI= чем в кристаллическихK= Эти= состояния связаны не с примесямиI=а с флуктуациями структуры и=
N8P= =
стехиометрического составаK= Но и для аморфныхI= и для= кристаллических конденсированных тел при температурах=T=Y=N=h= возникает==зависимость вида== Nü ì ï æ qM ö 4 ï s = s4M exp í- ç ÷ ý = ï èq ø ï î þ Мы покажемI=что третья и четвертая области проводимости= могут быть описаны в рамках перколяцииK= = 8.N.=Прыжковая проводимость= = Миллер и Абрахамсон показалиI= что задачу о прыжковой= проводимости можно свести к задаче о= случайной сетке= сопротивленийK== Напомним результатI= полученный для задачи= перекрывающихся сфер радиуса= oc= –= бесконечный кластер= возникает при выполнении условия===
4p × k × oc P ; OKTR K= P
Рассмотрим два уровня примесей=iI=àK= Разность энергий этих= уровней= ei - e à = q =–=температуры ДебаяK=Перескок происходит с= поглощением или испусканием одного фонона=EрисK8KSFK= =
= РисK=8KSK==Перескок носителя по примесным центрам= =
N84= =
=
Пусть N
волновая функция электрона имеет= pJтип:= æ r ö y i= exp ç - ÷ K== N è àG ø P * O O p a Число переходов с=ίJго узла на=àJй в единицу времени:= = = =поглощение ïü æ Orià ö ïì k Ee à - e i F= = = = = =® G ià : g ià × exp ç - G ÷ × f i × EN - f à F × í ý K= = = испускание=== == è a ø îï k Ee i - e à F + N ® þï æ Orià ö Здесь сомножитель= exp ç - G ÷ пропорционален интегралу= è a ø перекрытия волновых функций на узлахI=а число необходимых= фононов=~=kK== Для тогоI= чтобы произошел прыжокI= вероятность электрона= на= i-м уровне= = – = fi I= à-й уровень= должен быть пустымI= иначе= прыгать некудаI=т.еK=используется вероятность=–= EN - f à F K=В простом=
вариантеI=когда вырождение уровней равно=NLO= -N
é æe -mö ù fi = fM ( e ) = ê N exp ç i ÷ + Nú K= è q ø û ëO Нужно найти фононI=т.кK=электрон=должен изменить энергию=
на величину= e i - e à I= испустив или поглотив соответствующий= фонон= k=
N
ei -e à e q
K= -N
Рассмотрим два случаяK= r NK= Пусть электрическое поле= b = M K =Система находится в= равновесииI= что в соответствии с принципом детального= равновесия означаетI= что число переходов на= à-м уровне равно= числу переходов обратноI=i ↔=àK= Поскольку электрического поля нет=Eb=Z=MFI= число переходов= должно быть одинаковым:==Ei=Þ=àF=Z=Eà=Þ=iFK=
N8R= =
r малое электрическое поле= b ¹ M K= Ток= N предполагается малымI=тогда===== k = I= OK= Приложим
ei -e à e q
-N т.еK=при малых токах фононы остаются в равновесииI=а функция их= распределения невозмущеннаяI=т.еK=–=функция ПланкаK== r Наличие поля= b ¹ M приводит к двум изменениям в числе= переходов с=iJго узла на=àJй= Già :=
NF= изменяется энергия донорных уровней во внешнем= потенциальном поле= Eони находятся в разных пространственных= точкахFI=т.еK=меняется энергия участвующих в перескоке фононовX=в= rr планковском распределении добавляется слагаемое= ~ eErià = –= изменение разности энергий уровней= Eпоскольку температуры= малыI=то фононы соответствующей энергии нужно еще поискатьFX= OF= происходит также перераспределение электронов во= внешнем электрическом поле=–=функция распределения электронов= возмущаетсяI= поскольку происходит изменение их химического= потенциалаK= -N
é æ e - mi - dmi ö ù fi ( e ) = fM ( ei ) + dfi = êN + N exp ç i ÷ ú K= q è øû ë O ДействительноI=поскольку существует токI=то его возникноJ вение может быть обусловлено только нарушением баланса переJ ходов==между==состояниями= i « / à K= По определению= g = s × E K= Ток пропорционален разности= числа переходов:= r r g : e × éGià b - G ài b ù K= ë û Если использовать разложение по малым добавкамI= то полуJ чим= rr GMià g» × ebr + dmi - dm à K= q
( )
(
)
N8S= =
( )
rr Выражение= ebr + dmi - dm à можно рассматривать как разJ
ность электрохимических потенциалов=–=напряжениеK=Тогда сопроJ тивление между= i-м и= à-м узлами= Eс точки зрения электротехничеJ ской задачиF=равно= q oià = K= O M e Già Запишем это сопротивление в виде:= Orià eià oià = oiàM exp xià I=где= xià = + K= = = = = = = = E8KNF= q a*
( )
ДействительноI=
oià ~ N ~ GiàM æeà -mö N + exp ç q ø÷ æ æ ei - e à ö ö æ æ ei - m ö ö è ´ ´ : çN + exp ç exp ç ç ÷ - N÷ : ÷ ÷ ç q ø ÷ = æeà -mö è q øø è è è ø exp ç ÷ è q ø æ ei - m + e i - e à ö exp ç ÷I q (если пренебречь= è ø :
чем-то малымF
здесь температура=Т считается малым параметромK=Недостаток поJ лученного выражения заключается в его несимметричности отноJ сительно=iI=àK=Чтобы от этого избавитьсяI=в качестве меры разности= энергий берут симметричное по индексам выражение:= eià = N ei - m + e à - m + ei - e à K= O
(
)
( )
Итак:= oià = oiàM exp xià I=где= xià определено согласно формуле=E8KNFI= выражениемI=симметричным по= eià K=
N8T= =
В принципеI= локализованных примесных узлов многоI= они= разбросаны в пространствеK= У каждого узла своя реализация слуJ чайного потенциалаI=создаваемого заряженными примесями иI=слеJ довательноI=свой сдвиг по энергииK=У соседа может быть=«плохое»= окружениеI= которое сильно изменило энергетическое положение= его уровняI=а дальше в пространстве может оказаться примесьI=уроJ вень которой возмущен менееI= но==расстояние до него оказывается= большеK= Получена сетка сопротивлений= oià I= соединяющая узлы приJ месиK=Причем= oià меняется в чрезвычайно широком интервале знаJ ченийK= Неизвестное= Dm == может быть найдено из первого и второго= законов Кирхгофа=Eравенство входящих=–=выходящих токов в кажJ дый узел и равенство суммы электрохимических потенциалов по= любому замкнутому контуруFK= В слабо легированном полупроводнике среднее расстояние= можно оценить как= k d-N P I= что соответствует расстоянию между= примесями=»=S=–=NO=боровских радиусовK== -N
P a xià ~ k I==== M ~ N I= * a a* NMM при этом сопротивление из-за экспоненциальной зависимости отJ личается в=NMNO=JNMO4 разK=Это объясняет экспериментальный график= æ -N ö r ç k P ÷ =EрисK8KTFK= è ø Нужно произвести оценку в соответствии с теорией перколяJ цииK=Рассмотрим относительно большие температурыI=когда можно= eià Orià пренебречь= по сравнению с== величиной= K= Теперь условно= q a*
разорвем все сопротивления нашей системы и включим все= xià < x I=
N88= =
постепенно увеличивая величину=xK= Две точки=EцентраF= считаются= Orià eià связаннымиI=если= xià = + £ x K== q a*
= = РисK8KTK=Проводимость= sP =pJгермания с примесью галлия как= функция концентрации галлияK=Степень компенсации всех образцов= К=Z=MIQ= = При определенной концентрации примесей будет возможно= протекание по системеK= Существует критический уровень заливки= xc I=при котором будет наблюдаться проводимость по всей системеI= т.еK=образуется бесконечный кластерK=Можно провести аналогию с= повышением уровня воды до возникновения некоторого уровняI= когда все пруды=EсопротивлениеF=соединятся и создадут бесконечJ ный океан=EкластерFK= = 8.O.=Концентрационная зависимость= прыжковой проводимости= = Для третьего интервала температур проводимость имеет вид== æ -e ö s = sP exp ç P ÷ I= è q ø
N89= =
т.еK= это термоактивированная проводимостьK= ПредэкпоненциальJ ный множитель= sP имеет сильную концентрационную зависиJ мостьK=Для данной температурной области характерно тоI=что=Т отJ носительно великаI=т.еK=всегда можно найти фонон для прыжка= eià K= СледовательноI=основной вклад связан со слагаемым=
Orià
K= a* Данный= i-й узел связан со всеми другими узлами= àI= находяJ щимися внутри сферы некоторого радиуса=oI=описанной вокруг=i-го= узлаK= При некотором= o= Z= ocI как следует из= задачи о вложенных= сферах=EсмK= рисKTKNSFI= будет образовываться бесконечный кластерI= в котором каждый следующий узел лежит внутри сферыI= описанJ ной вокруг предыдущегоK=Тогда критическое значение параметра=x= O × oc K= Результат= определяется через критический радиус как= xc = a задачи о вложенных сферах:== 4p kocP = OITR I==т.еK=в радиусе влияJ P ния= oc должно быть=OITR=соседейI=или= -N
oc = MI8T k P K=
Отсюда= æ -O oc sP = sM exp ç è a
-N æ P ö -a k ÷ ==или== sP = sM exp çç * ø è a
ö ÷ I= ÷ ø
где= a = NIT4 K= Способы проверки следующие:= NK=ЭВМ и использование=NJго и=OJго законов КирхгофаI=точJ
( )
ное решение для сопротивления= oià = oM exp eià I=где= eià =–=случайJ ная величинаI==разбросанная в широком интервалеI=дает практичеJ ское совпадение результатовK= OK= Экспериментальные результаты для= pJde= –= германиевый= полупроводник=р-типаK=Здесь задача является частично перколяциJ
N9M= =
оннойI=связаны те узлыI=которые попадают в область влияния друJ гого узлаK= =
8.P.=Температурная зависимость прыжковой= проводимости= = Температурная зависимость особенно существенно для= аморфных полупроводниковI= где уровни созданы не примесьюI= а= искажениями самой структурыK= = Температура такая низкаяI= что= eià Orià ³ I=т.еK=система настолько замороженаI=что фононов с необJ kq a ходимой энергии нетK=Теперь все определяется температурным слаJ гаемымI=но в первом приближенииI=поскольку=eià= разбросаны=Eиз-за= флуктуацийF=в некоторой полосеI= то всегда можно найти какие-то= узлы с малым отличием по энергииI=пусть и далекие друг от друга= (напримерI= с одинаковым окружением заряженных центровFK= Для= таких выделенных центров по-прежнему главным будет не темпеJ eià Orià ратурное слагаемое I=а= K== kq a NK=Таким образом можно отбросить вопрос разности уровней= и построить скелет по принципу=выделенных соседей= æ -O oi - o à ö s æ -OaNrs ö ÷I = 4p rsP I s ~ exp ç sià ~ exp ç ÷ I=где= aN = MI8T K= P ç ÷ k è a ø a* è
ø
OK=Пусть скелет бесконечного кластера будет как в=8KOK== æ Dià ö D ià ³ N K= fià ~ exp ç ÷ I= è hq ø q = = = = = =
N9N= =
= = ======= = = = = = РисK=8K8K=Система с прыжками переменной длины== = При высоких температурах=EрисK=8K8F=путь протекания может= проходить через центры с любыми примесными уровнямиK= При= низких температурах электрон может совершить прыжок только на= примесный уровень с той же энергиейK= На рисK= 8K8= это показано= кружкамиI=одинаково густо заштрихованнымиK=
= РисK=8K9K=Уровни энергий примесей== = Уровни энергий примесейI=показанные на рисK8K9==в интерваJ ле=DI=создают зону= = æ -Oars ö s ~ exp ç - b t ÷ K= a q è ø Это соответствует зависимости== æ e ö sP = sP ( k d ) exp ç - P ÷ I= è q ø но при более низких температурах это не такK=
N9O= =
Величина= t определяется количеством примесейI =так как= именно они определяют разброс энергетических уровней в энергеJ тическом пространствеK= k t ~ d ~ nd ~ rs-P I====где= rs ® nd K= s В бесконечном кластере= EсмK= подраздел= K8KOF= задействованы= не все примесные центрыI=а только теI=которые имеют небольшой= разброс по энергииK= Их концентрация= nd¢ I =т.еK =выбраны только те= примесиI= которые удобны= nd¢ ® rs¢ K=Такие примеси имеют разброс= D I=меньшийI=чем=t:= N D = gt ~ ndD ~ I= rs¢P r где= nd¢ = g × nd I= следовательно= rs¢ = s NL P K= Т.еK= в случае возможноJ g сти оптимизации по энергетической размазке= D проводимость= можно записать в виде== æ ö ç -Oar - N bt ÷ æ Oa r D b t g ö s s ~ exp ç g ÷ K= ÷ ===или== s ( g ) = exp ç * s g P ç a* q ÷ q ÷ { a3 ç 12 è ø ç ÷ c è d ø ИнтерпретацияW выбрали в физическом пространстве облаJ стиI= имеющие определенное выгодное окружение= (оптимальный= разброс по энергии и расстояниюFK= Функция= f ( g ) имеет минимум по параметру=g==
f ( g ) = -d g
-
N P
- c gI P
df æ d ö4 = M ®® g* = ç ÷ K dg è Pc ø
N9P= =
=
P æ Nö æ ars ö 4 t 4 ÷ ç P f g = ====== ® =========== s ~ exp - ç K============E8KOF= ç 4 è a* ÷ø q ÷ ç ÷ è ø Нужно найти соседа в многомерном пространствеI=оптимальJ ного и по энергииI=и по расстояниюK= = ПримечаниеW= оказывается в тонких пленках проводимость= также может иметь перколяционный характер= Eчерез скелет= кластераFI=поскольку их поверхность не сплошнаяI=а островковаяK=
( )
( ) *
=
N94= =
РАЗДЕЛ=9= ЛОКАЛИЗАЦИЯ И ДЕЛОКАЛИЗАЦИЯ== НОСИТЕЛЕЙ.=АНАЛИЗ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ== ПЕРКОЛЯЦИОННОГО ПОДХОДА= 9.N.=Локализация электронов в неупорядоченных= системах= Из эксперимента следует:= - при малой концентрации примесей состояние электрона=локаJ лизованоX= - при большой концентрации примесей состояние электрона=деJ локализованоX= Можно предположитьI=что при определенных концентрациях= примесей= nd* в примесной зоне появляется полоса энергийI=для коJ торой соответствующие состояния электронов делокализованыI=т.еK= наличие трансляционной симметрии не обязательноK= Будем рассматривать кристаллI= в который введена примесьI= создающая электронное состояние с энергией=bM внутри запрещенJ ной зоныK= При увеличении концентрации= nd плотность уровней с энерJ гией порядка= bM возрастает и при некоторой конечной концентраJ ции= nd* возникает примесная зонаI=имеющая конечную ширинуK= Если примеси расположены регулярноI= то можно использоJ вать результаты решенияI= напримерI= задачи Кронига-Пенни для= любой концентрации примесей:= - действительноI=возникает размытие уровня в зону шириной=tX= - состояниеI= принадлежащее этой зонеI= характеризуется волноJ r вым вектором= k и волновые функции близки к плоским волJ намI=тK=еK=делокализованыK= Однако качественно очевидноI= что если= nd малоI= то состояJ ние должны быть локализованыK=
N9R= =
Казалось быI= что причина локализации в хаотичном распоJ ложении примесейK= Если примеси расположены хаотичноI= то отJ r сутствует трансляционная симметрияI= следовательно= k = – плохое= квантовое число и зона не обладает стандартными свойствамиK=Это= значитI=что электронная волновая функция не расплывается по зоне= (центрамFI=т.еK=состояние оказывается локализованнымK= Переход от локализации к делокализацииI= происходящей при= изменении концентрации примесей=Eизменении энергииFI=называетJ ся переходом АндерсонаK== Учет сколь угодно слабых флуктуацийI= рассматриваемый в= одноэлектронном приближенииI–=переход АндерсенаK= Учет электрон-электронного взаимодействия в идеальных= периодических системах=–=переход МоттаK= =
9.O.=Узкие зоны и переход Мотта= = Из предыдущего ясноI= что задачи типа Кронига–Пенни не= описывают переход локализация=–=делокализацияK= ДействительноI= допустимI= что примесные атомы располагаJ ются периодически в матрице основного материалаK= Матрица= A= имеет период решетки= аI =и в нее внедрены примеси со своей реJ шеткой=BI=обладающей периодом=bK= Потенциал примесной подрешетки можно записать как= r s% ( r ) =
å u ( r - r à ) I=
àÎB
где суммирование идет по узлам подрешетки= BK= Пусть известны= волновые функции= jn и энергии= bn электронов на одном примесJ ном атомеI=находящемся в матрицеK= é hO ù D + u r - r à ú jn = bn jn K=======================E9KNF= êëê Om G ûú
(
)
N9S= =
Мы учли потенциал матрицы= AI =введя эффективную массу= носителей=mGK=ДействительноI= если атом помещается в среду с диJ электрической проницаемостью εI= то его боровский радиус увелиJ чивается в сотни раз== æ m ö -8 NM аБG = MIRP ´ ´ e 14243 ç * ÷ I= èm ø M aБ
где=e=»=NM=¸NRI=mG=»=MINmeK= Ограничимся случаемI=когда состояния=n невырожденыK= Для простоты будем считатьI= что= tI= ширина примесной зоJ ныI= меньше расстояния между уровнями= bn и будем рассматриJ вать энергетический интервал в окрестности одного из уровней= bn º eM K= Искомая волновая функция является решением электронной= задачи для подрешетки=B= é hO r ù D + s% ( r ) ú Y = E × Y K= êêë Om G úû и конструируется из волновых функций для примесного атома=E9KNF= r uur O Y = å a à × jEr - r=à FI = = = = =å a à = N K= à
à
Такое стандартное разложение по атомным волновым функJ циям= jn должно быть хорошим приближениемI= если радиус локаJ лизации волновых функций= j мал по сравнению с периодом подJ решетки= В= –= bMK= ДействительноI= основной вклад в энергию дают= области пространстваI=в которых волновая функция=Y великаI т.еK=в= сфере действия одного из примесных центровI= где и= «работает»= уравнение=E9KNFK= Значение коэффициентов= aà= следует искать из принципа миJ нимума полной энергии=bK ОтметимI=что среднее значение энергии= r uur не является квадратичной формой коэффициентов=aàI=т.кK= jE r - r à F I= соответствующие разным узламI=неортогональныK=
N9T= =
b = YG e Y = ò Y G -
hO
G
Om
D+
r
å u ( r - r à ) Yd t K=
àÎB
Подставляя= Y = å a k j ( r - rk ) и= Y = å al j ( r - rl ) I= с условием= *
*
G
нормировки получим=Eкак в методе сильной связиF:= G
ò Y × e ×Y×d t = b= G ò Y ×Y×d t
r r ìï
r r
r
r r üï
ò å ak j Er - rk F íïeM å al jEr - rl F + å al ëés% (r ) -u (r - rl )ûù jEr - rl Fýï d t * *
î
= k
l
òå
l r r * * r r ak × al ×j Er - rk F×jEr - rl F× d t
þ
= K
k Il
УчитываяI=что= å k Il
ak*
r r r r × al × ò j* Er - rk F × jE r - rl F × d t = k =–=число узлов=
подрешетки=BI=получим= *
å ak* × al × ò j b = eM +
k Il
r r r r r r r Er - rk F × ëés% ( r ) - u ( r - rl )ûù × jE r - rl F × d t
K= k В силу трансляционной симметрии подрешетки=В:= N b = eM + å ak* × ak +m × f m I=====================E9KOF= k k Im
где= eM = –= уровень примесного атома в матрицеI= fm = –= энергетичеJ ский интеграл перекрытия== r fm = ò j*m éës% - ue ùû je dr K= Выделяя в=E9KOF=слагаемое с=m=Z=MI=получим= N b = eM - ` + ak* × ak + m × f m K= å k k ImE m ¹MF
N98= =
ОчевидноI= что= fm
- b* :e a
= EпредполагаемI= что волновая функция= - r* e a
примесного атома имеет простейший вид= FK= Можно показатьI= что набор=ak минимизирует значение энергииI= если коэффициенты= имеют вид== r r a=k Z=k JNL O × expEi × k × rm F K= Тогда в приближении ближайших соседей по подрешетке= В= (кубическойFI=получим известный результат приближения сильной= связи:=
(
)
b = O f ( bM ) × cos k x bM + cos k y bM + cos k z bM I= т.еK=ширина подзоны= Db = O z f (bM ) K=В частности для простой кубиJ ческой решеткиI=где=z=Z=S=и для малых=k== b = S f ( bM ) - f ( b ) × k O × bO K= **
Введем обозначение= m
º
hO
O hk ) ( I=тогда=== b = K=
O f Mb OM Om** Величина= mGG играет роль эффективной массы электронов в= образовавшейся энергетической зоне для примесной подрешетки=BK= С ростом периода этой подрешетки=bM эффективная масса=mGG= эксJ поненциально растетK=Действительно== m=** :
N
expEbM L a* F
K==================E9KPF= f MbMO bMO При этомI=каким бы большим не было=bMI=состояние электроJ на в этой примесной зоне является модулированной плоской волJ нойI=и электрон остается делокализованнымK== ОтметимI=что зонаI=образованная примесямиI=заполнена не боJ лее чем наполовинуI=поскольку каждая примесь дает=Eили забираетF= один электронI= а каждый уровень дважды вырожден по спинуK= ТаJ ким образомI= получаетсяI= чтоI= если примеси действительно распоJ ложены периодическиI= то проводимость электронов в этой зоне меJ таллическая при сколь угодно малой концентрации примесейK= Z
N99= =
ЗаметимI= что при увеличении= bM ширина зоны будет уменьJ шаться==
(
)
Db = O z f ( bM ) : exp J bM= L a* I========================E9K4F=
и задача рассматривается как одноэлектронная для примесного= центраK= Именно в этом причина противоречия с вопросом о делоJ кализацииK= Одноэлектронное приближение хорошо работает при расчете= широких зон металлов и оказывается недопустимым в случае узких= зонK= Уже отмечалосьI= что волновая функция электрона= Y вблизи= каждого=à-го узла слабо отличается от узельной=jàK==Оценим ситуаJ циюI= когда на одном примесном центре находятся два электронаK= Энергия такого состояния порядка= r M » e O aБ* : MIN эВI= боровский= æ m ö -8 радиус:= аБ* = MIRP ´ NM3 ´ eç ÷ K= 1424 è m* ø M aБ
Если эта энергия меньше ширины зоныI=т.еK==
(
)
r M > t » Db » O z f ( bM ) : exp J bM= L a* K=
Пусть=bM великоK=На каждом узле примесной подрешетки разJ решены два уровня= bM и= bM +rM K=Если на узле один электронI=то из= этих двух уровней будет заполнен только нижнийK==
OMM= =
= РисK=9KNK=Электронные зоны в зависимости от периода приJ месной подрешетки=bMK= Слева от точки А=–= диэлектрикI= справа=–= металл= = При конечном значении= bM= оба уровня расплываются в зону= шириной порядка=fEbMFK=В всех зонах может быть не более=k элекJ троновI=посколькуI=напримерI=в нижней зоне на одном узле не моJ жет быть двух электроновK= Таким образомI= при достаточно больJ ших расстояниях между примесями= bM нижняя зона должна быть= полностью заполненаI=а верхняя=–=пустаK= При некотором значении= bMI которое определяется условием= fE bM* F= »= rMI= верхняя граница= нижней зоны пересечет нижнюю границу верхней= EрисK9KNFK= КачеJ ственноI=до этой точки система будет изоляторомI=после нее=–=меJ талломK= Существует переход в регулярной системе от локализованноJ го состояния в делокализованноеK=Это переход МоттаK== Более последовательное изучение такого перехода может= быть проведено в модели ХаббарадаK=ДействительноI=в рамках этоJ го приближения два электрона со спином=sI=находящиеся на одном= узлеI=отталкиваютсяK=Система описывается уравнением:=
OMN= =
µ= e
r f E mF × a +à Is × a à + mIs + M × å n +à Is ×n à Is I= O à Is à Im ¹ MIs
å
где= n à Is = a +à Is × a à Is =–=оператор заполнения состояния на=à-м уровне= со спином= sK= Последнее слагаемое описывает отталкивание элекJ троновI=имеющих разный спин и находящихся на одном узлеK== Модель Хаббарда допускает аналитическое решение только в= одномерном случаеK= Результатом этого решения является щель= между верхней и нижней зонойI= которое сохраняется при любых= значениях отношения=fEbMFL=rMI=т.еK=в одномерном случае всегда сиJ стема является изоляторомK=В двухJ=и трехмерном случаях возможJ ны численные решенияI=из которых следует==качественный резульJ татI=полученный вышеK==
9.P.=Модель Андерсона= = Разрушение порядкаI= как известноI= может осуществляться= разными способами:= - расположение узлов примесей=–= случайное положение атомов= {oà}X= - при правильном расположении узлов примесной решеткиI= но= энергетический уровень=eà для электрона на узлах=–=различный= (рисK9KOFK== = = РисK=9KOK=Потенциальные ямы в модели Андерсона= Такие задачи следует рассматривать в узельном приближеJ нииK=Основной гамильтониан имеет вид:= µ = e × a+ × a + e E9KRF= å à à à å f EmF × a +à × a à + m K= à
à Im ¹M
Энергии=eà считаются случайными величинамиI= между котоJ рыми нет корреляцийI=т.еK=значение=eà в=à-м узле не зависит от знаJ
OMO= =
чений в соседних узлахK=Распределение случайной величины=eà буJ дем предполагать равномерным в некотором энергетическом инJ тервале=t:= ìï N X= = = =e= = t O Основной вопрос:= является ли волновая функция локализоJ ванной в окрестности некоторого узла или распространяется на= всю системуK=Важно понять следующее:= - образуется ли когерентное состояниеI=являющееся суперпозиJ цией бесконечного числа узельных функций=jI=входящих с приJ мерно одинаковым весомI=которые простираются на макроJ скопическое расстояние=Eметаллическая проводимостьF= или== - узельные функции входят в суперпозицию с весомI=экспоненциJ ально убывающим по мере удаления от некоторого узлаK=Такое= состояние является локализованным вблизи этого узлаK=Если= все состояния локализованыI=то проводимость системы при= температуре=q=Z=M равна нулю=EдиэлектрикFK= Даже при всех представленных выше упрощениях модели= аналитического решения её нетK= Численный анализ дает следуюJ щую картинуK= NK Вблизи каждого узла примеси волновая функция похожа= на узельную=jI=коль скоро интеграл перекрытия=f малK== OK ДопустимI=в нулевой момент времени волновая функция= совпадает с узельной функцией=jiI=соответствующей узлу=iK=ПоJ скольку эта функция не является собственной функцией полного= гамильтониана системы=E9KNFI=то она будет меняться со временемK= O
Приходится решать нестационарную задачу и искать= Y Et F на=iJм= узле при больших временахK= PK Если состояния не локализованыI=то начальный волновой= пакет расплывается по всей системеI=поэтому в бесконечной систеJ
OMP= =
O
ме= lim Y Et F = M K=Если разброс уровней=e отсутствует=Eт.еK=t маJ t ®¥
лоFI=то расплывание происходит за= t = h L sb X= sb = O z × f EbM F K= 4K Если же состояния локализованыI=то расплывания начальJ ного волнового пакета не произойдет:=волновая функция приобреJ тает со временем некоторую конечную плотность на соседних узJ лах=E«хвосты»F=с экспоненциально малой амплитудой и будет соJ O
средоточена в одном и том же объеме= lim Y Et F ¹ M K= t ®¥
RK Определяющим фактором исхода таких численных экспеJ риментов является значение параметра=h=J=отношение:== h º t L sb = t L O z × f EbM F K=
9.4.=Связь плотности числа состояний с критерием= локализации= = Важнейшей характеристикой примесной зоны является плотJ ность числа состоянийK=Эта величина определяется как число уровJ нейI= попадающих в малый энергетический интервалI= отнесенная к= этому интервалу и к объему системыK= Следует иметь в видуI=что в макроскопической системе плотJ ность числа состояний является непрерывной функцией энергии в= некотором интервалеI=даже если речь идет о примесной зонеI=котоJ рая представляет собой набор дискретных уровнейK=Таким образомI= плотность числа состояний не содержит информациюI= позволяюJ щую отличить истинную зону от набора дискретных уровнейI= не= связанных друг с другом и случайно разбросанных в энергетичеJ ском пространствеK== Модель Андерсона содержит безразмерный параметр= –= отJ ношение= h º t L sb = t L O z × f EbM F I= здесь= f EbM F = –= интеграл переJ крытияI=t=–=ширина зоныK= Результат исследований=Eявляется ли данное состояние локаJ лизованным или нетF=состоит в следующем=Eкритерий АндерсонаF:=
OM4= =
- при больших значениях= h º t O z × f EbM F все состояния лоJ кализованыX= - существует критическое значение h* º tc O z × f EbM F I=при коJ тором в центре зоны впервые появляются нелокализованные= состоянияX= - при дальнейшем уменьшении==h=YYhG область делокализации= разрастаетсяI=захватывая практически всю зонуX= - все сказанное не относится к одномерным системам=–=локаJ лизация для них имеет место всегдаK= Для примера рассмотрим две одинаковые потенциальные= ямы на большом удалении друг от друга= EрисK9KPFK= Здесь= bN - bO : O × f E i F =–=интеграл перекрытия двух функцийK=Как ни веJ лико конечное значение=iI= электрон в равной степени в обоих соJ стояниях= YN = N ( jN + j O ) I= Y O = N ( jN - jO ) == O O принадлежит обеим ямам с одинаковой вероятностьюK= Характер= решения мало меняетсяI=если ямы исходно слабо различаютсяI=т.еK= если= eN - e O < O f E i F K= В обратном случаеI= eN - e O [ O f E i F =Eпервоначальный энергеJ тический сдвиг в ямахI= напримерI= обусловлен хаотическим потенJ циалом других примесейF=картина другая=EрисK9K4FK= Волновые функции имеют вид:= YN = `NjN + `OjO I=======Y O = `OjN + `NjO = В первой яме энергия== bf » eN X=волновая функция= y f » jN K= Во втоJ рой яме энергия== bff » eO X=волновая функция= y ff » jO K=ОбобществJ ление электронов здесь не происходитK= =
OMR= =
L==¥
eN
eN = e O
e1
jN
2
jO
eO
L===const
E2 E1
E2 E1
y f = f= = O × ( jN + j O ) X y ff = f= = O × ( jN - j O ) X bN - bO = O × f
= РисK= 9KPK= Две квантовые потенциальные ямы при различном= взаимном расположении друг от друга= L===const
E1
E2
yf = ( `NjN + `O jO ) X= y ff= =( `NjN - `O jO ) K
= РисK9K4K==Две различные квантовые потенциальные ямы= Согласно изложенным выше результатам исследований моJ дели Андерсона при определенном значении параметра= h внутри= зоны шириной= t образуется энергетическая полоса шириной= D = (рисK9KRFK= Состояния принадлежащие= D называются= резонансно свяJ заннымиI=а не принадлежащие= D –=резонансно=несвязаннымиK= Резонансные узлы связаны друг с другомK=Это те узлыI=котоJ рые являются ближайшими соседями или соединяются друг с друJ
OMS= =
гом через резонансных соседейI= которые по цепочке являются= ближайшими соседямиK= Совокупность таких резонансных узлов образует кластер с= единой волновой функциейK= Квадрат волновой функции электрона= на узлах кластера:=одного порядка на всех узлах кластера и мал=–= вне этого кластераK= Выбросим из рассмотрения нерезонансные узлыK= Доля= резонансных узлов оценим как=g=Z= D LtI=предполагая равномерную= плотность уровней внутри зоныK= При малых значениях= g резонансных атомов малоI= они= располагаются малыми изолированными группамиK== При больших значениях= g резонансные узлы образуют= бесконечный кластерI =т.еK =образуются путиI =уходящие в= бесконечностьI= по которым исходный волновой пакет= расплываетсяK= Существует пороговое значение= gс= Z= D Ltс= для образования= бесконечного кластераK= ОчевидноI= что= gс= –= аналог порога= x c= соответствующей задачи перколяцииK==
= РисK=9KRK=Плотность состояний в модели АндерсонаK=ЛокалиJ зованные состояния заштрихованыK=Энергии Ес и=–ЕсI=отделяющие= области локализованных и делокализованных состоянийI=являются= порогами подвижности= =
OMT= =
Различие уровней энергии в модели Андерсона=EрисK9KSF=приJ водит к разделению узлов на несколько типовK= Если уровни энерJ гии электрона на узлах разных типов отличаются друг от друга боJ лееI=чем на величину γsI=то переход электрона между такими узлаJ ми невозможенK= Состояния локализованы или делокализованы в= зависимости от тогоI= возможно ли протекание по узлам данного= типаK= = = = = = = = РисK9KSK=Различие уровней энергии в модели Андерсона== = Если воспользоваться моделью де Жена для бесконечного= кластераI =то он состоит из скелета и мертвых концовK =Новая фаза= зарождается не как сплошностьI=а как одномерные ниточкиK=ИтакI= D nD = » u c K= tc n Это задача вложенных= сферI= а= Хc= –= доля резонансных узJ ловI==ЕN=–=ЕO=Z=OzfI=а резонансные узлы принадлежат ниточкам бесJ конечного кластераI= у которых число ближайших соседей= z= Z =OK = СледовательноI= D » O × z × f » 4 × f I=f=–=интеграл перекрытияK= tc » 4 I====================================E9KSF= f uc где=Хс=–=порог протекания по сетке данного типаK=
OM8= =
Если= t= Y=tc= I= т.еK= имеем примесную зонуI= плотную по конJ центрации уровнейI= то возникает делокализация электронного соJ стоянияK= Если наоборот=t=[=tc== (рыхлая зонаFI= то все состояния остаJ нутся локализованнымиK= ПроверимI= используя результаты численных экспериментов= для различных решетокK= В таблK9KN=представлены:=== Хс=–=результат= расчетов порогового значения образования бесконечного кластераX= tc –= результат оценок порога образования делокализованного= f электронного состояния из решений численных задачK= Можно видетьI= что численные значения двух последних= столбцов совпадают с точностью=NMJNRBK= Такой подход позволяет= утверждать следующееK= = Таблица=9KN=Результаты расчетов порога образования делокаJ лизованного электронного состояния= Тип решетки=
Хс=
4
uc
=
tc
f
=
OJмерная решетка= Шестиугольная=
MITM=
RIT=
4IP=
Квадратная решетка=
MIR9=
SI8=
SIN=
MIRM= 8IM= PJмерная решетка= Простая кубическая= MIPN= NOI9= Типа алмаза= MI4P= 9IP=
9I4=
Треугольная решетка=
N4I4= 8IM=
= Случайный потенциал приводит к разбросу уровней примесJ ных центровI=и в то же время примесные центры обладают опредеJ ленным перекрытием волновых= функцийK= Был рассмотрен случайI= когда эти две величины задаются независимо и заданыK= Если разброс больше определенной величиныI=то состояния= остаются локализованыK=Если меньше=–=происходит делокализацияK=
OM9= =
Плотная зона дает делокализациюI=в рыхлой=–=все состояния= локализованыK=Однако это модельI=где на самом деле и интеграл= перекрытия=f=и уширение=t связаныK=
ONM= =
РАЗДЕЛ=NM= ГРАНУЛИРОВАННЫЕ МАТЕРИАЛЫ= = NM.N.=Гранулированные материалы= = Все предыдущие разделы были посвящены в основном одJ нородным неупорядоченным конденсированным системамK= ГрануJ лированным будем называть неоднородный материалI= состоящий= из случайно расположенных мелких областей= EгранулF= с сущеJ ственно различной проводимостьюI=в пределе смесью областей меJ талла и изолятораK=Случайный потенциал в таком материале обязаJ тельно имеет характерные длиныI= существенно большие межатомJ ных расстоянийI=вплоть до макроскопическихK== Данный раздел является кратким изложением соответствуJ ющей главы==книги=xOzK==== Пусть=х=– доля пространства с размерностью=d=I=занятая меJ талломK= Сама по себе величина= x еще ни о чем не говоритK =ЯсноI = что проводимость материала с металлическими включениями в виJ де шариков или в виде тонких нитей совершенно различна при одJ ном и том же= xK= Морфология материалаI= под которой понимаем= здесь форму включенийI=зависит от множества факторов и чрезвыJ чайно разнообразнаK= В качестве примера на рисKNMKN= приведены= сделанные на сканирующем электронном микроскопе фотографии= пленок=fnI=напылявшихся на подложку=pilO при комнатной темпеJ ратуре= xTzK= fn= не смачивает поверхностьI= на которую происходит= напылениеK= Сначала попавшие на подложку атомыI= обладающие теплоJ вой энергиейI= двигаясь вдоль поверхностиI= собираются в маленьJ кие случайно разбросанные капельки=EрисKNMKNIаFK=При дальнейшем= напылении капельки растут иI= соприкасаясьI= сливаются в капли= большего диаметра=EрисKNMKNIбFK=Затем металлические области приJ обретают продолговатую формуK= По-видимомуI= при увеличении= площади контактов капель с подложкой в их центре возникают= участки с сильным сцеплениемK= При слиянии таких укрупненных= капель эти участки играют роль центров пиннинга для перемещаJ
ONN= =
ющейся массы веществаI= понижая симметрию образующихся меJ таллических областей= EрисKNMKNIвFK= НаконецI= на последней стадии= перед образованием сплошной пленкиI= когда относительная плоJ щадь зазоров= (1-x)= = между металлическими областями малаI= эти= зазоры приобретают форму относительно тонких ветвящихся нитей= (рисKNMKNIгFK=На это тоже есть свои причины в виде каких-то комбиJ наций законов смачивания и сцепления напыляемого материала с= подложкойI= но ограничимся констатацией этих морфологических= особенностей структурыK=
= РисKNMKNK==fnI=напыленный на=pil при комнатной температуре= O
xTzK=Микрофотографии различных стадий напыленияW=аI=бI=вI=г=EсмK= текстF= =
ONO= =
Разобьем=d-мерное пространство на элементарные объемы= ~= a и будем считатьI=что свойства среды внутри объема не меняютJ сяI=а свойства двух разных объемов независимы друг от другаK=Это= означает сведение пространственной задачи к задаче на решетке с= периодом= a и возможность использования простейших моделей= теории перколяцииK= Для структуры на рисKNMKNIа характерный масштаб= a меJ таллических капель порядка=MKMRm=I=на рисKNMKNIб он порядка=MKOm=K= ТоI=что вместе с долей=x металлического объема меняется масштабI= мало существенноK= Гораздо важнееI= что на рисKNMKNIв средний поJ перечный размер металлических областей==меньшеI=чем их средний= продольный размер= b»= (O¸P) =a= K= Это означаетI= что на квадратной= решетке с периодом порядка=a=(»=1m=) появилась корреляция между= свойствами=b/a соседних узловK= Математически уменьшение локальной симметрии струкJ туры описывается специфическими корреляторамиI=введение котоJ рых должно сильно усложнить картинуI= так что простейшие модеJ ли теории перколяции:= задача связей и задача узлов= – становятся= неприменимымиK=В этом одно из объяснений того экспериментальJ ного фактаI= что критическое значение= xc= Z= MK8O±MKMO= = относительJ ной площади покрытия индием поверхности= pilO= I= при которой= возникает перколяцияI=гораздо большеI=чем известные критические= значения для этих задачK=Вторая причина в потере симметрии межJ ду металлическими и неметаллическими областями:= если для= структур на рисKNMKNIа и=NMKNIб можно считатьI= что области между= каплями имеют тот же порядок величиныI=что и сами каплиI=то на= рисKNMKNIг изолирующие области явно гораздо уже металлическихK= При этомI=однакоI=они продолжают успешно справляться со своими= изолирующими функциямиK= Таким образомI=критическое значение сильно зависит от таJ ких физических факторовI= как коэффициент аккомодации падаюJ щих на поверхность атомовI=величины поверхностного натяженияI= сил сцепления и т.дK= Поэтому при напылении в тех же условиях= других металлов получаются другие значения=:=при напылении=pn= получилось=xc=Z=MK8S±MKMO==I=а=mb=–=xc===MKST±MKMOK== d
ONP= =
ЗамечаниеW Наряду с металлическими гранулами в изолиJ рующей матрицеI =можно представить себе и гранулы изолятора в= металлической матрицеK= НоI= употребляя термин= ?гранула?I= будем= подразумевать=?металлическая гранула?K=Кроме тогоI=как уже говоJ рилосьI=гранулированным называем также материал со структуройI= показанной на рисKNMKNIгI== в котором самих гранулI= строго говоряI= нетK== ======В системеI= представленной на рисKNMKNI роль изолятораI= раздеJ ляющего металлические гранулы=Eили наоборотI=соединяющего ихF== играет вакуумK=Но эту роль может играть и изоляторK=Если какие-то= металл и изолятор не растворяются друг в другеI= то они образуют= смесь мелких металлических и изолирующих областей= EгранулFK= Такая смесьI=получившая название керметаI=получаетсяI=напримерI= при совместном напылении обоих компонент на изолирующую= подложкуK= Масштаб образующейся структуры контролируется фиJ зико-химическими факторами в процессе напыленияX= в зависимоJ сти от нихI=а также от времени напыления и толщины пленки могут= получаться как двухJI= так и трехмерные структурыK= На рисKNMKO= представлена электронная фотография кермета= ^u=H=^lOlP в облаJ сти существования бесконечного металлического кластера= Eзнак= H= использован для тогоI= чтобы отличать такую гранулированную сиJ стему от системы= ?пленка= ^uI =напыленная на= ^l =l?FK =Здесь также= заметна разница в ширинах металлических и изолирующих облаJ стейK== Иногда удается сохранить сферическую форму гранул вплоть= до большой концентрации металлаK= Рис= NMKPI~= демонстрирует поJ лученную на просвечивающем электронном микроскопе структуру= пленки гранулированного= ^l=в матрице аморфного= de=при объемJ ной концентрации металла=xc=»=MKSSK=ВидноI=что металлически комJ понент материала состоит из сферических гранулK= Специальные= измерения позволили определить распределение гранул по диаметJ рам=EрисKNMKPIбF=– оно оказалось довольно узкимK=
ON4= =
= РисK= NMKOK= Гранулированная пленка= EкерметF= состава= Au= H= AlOlPK=Темные области=–=металлK=Светлая линия=J=перколяционный= путь=Eлиния токаF=xUz = = = Во всех упомянутых выше системах на каком-то этапе увеJ личения относительного объема металла у материала появляется= конечная проводимостьI=т.еK=происходит переход металл–изоляторK= Такой переход часто называют перколяционнымX=это название неJ явно подразумеваетI=что в основе такого перехода лежат чисто геоJ метрические факторыI =так что он является чисто классическим и= макроскопическимK= ДействительноI= перколяционные законы инваJ риантны относительно масштабаI= так что можно себе представить= перколяциюI= напримерI= в системе металлических шариков от подJ шипниковI= случайным образом расположенных на плоскости и заJ фиксированных застывшим парафиномK= =
ONR= =
= РисKNMKPK== Пленка гранулированного= Al= в матрице аморфного= deK=Металл=–=светлые областиI=концентрация металла=–=SSB=xVz = = = Но если среди характерных длин в системе есть и достаточно маJ лыеI=то могут появиться и оказаться определяющими и специфичеJ ские физические факторыK= Будем интересоваться именно такими= системамиK= С другой стороныI= если все характерные длины слишJ ком малыI= порядка межатомныхI= то возвращаемся к однородно= разупорядоченному материалуK= Границы между различными класJ сами разупорядоченных систем зависят от тогоI= какими физичеJ скими свойствами интересуютсяK= ======Поясним это примеромI=используя важный количественный паJ раметр гранулированной системы:=величину размерного расщеплеJ ния= = de между размерно квантованными уровнями электронов= внутри гранул=EрисKNMK4F=
de = N L E g c a P F ,==============================ENMKNF=
ONS= =
где= g c – плотность состояний на ферми-уровне в массивном меJ таллеFK=Для оценок можно считатьI=что de » NMh =h=при=~Z=RMÅK== =
= РисKNMK4K= = Размерное квантование уровней электронов= внутри гранул = Если массивный металл= – это сверхпроводник с критичеJ ской температурой= qc и сверхпроводящей щелью= DI= то соотношеJ ние==
de » D = qc ==============================ENMKOF= определяет минимальный размер изолированной гранулы= asc= I =для= которой имеет смысл понятие сверхпроводящего состоянияK=Если=a= >=asc=I=то сверхпроводящий переход в гранулах происходит при той= же температуреI =что и в массивном металлеI =а тоI =как ведет себя= весь материал в целомI= зависит от силы взаимодействия между= грануламиK=Именно так ведут себя тонкие пленки=mbI=напылявшиеJ ся на зеркальную поверхность=pilO=– смK= рисKNMKRбK= При обратном= неравенстве материал с точки зрения сверхпроводящего перехода= является однородно упорядоченнымI=температура определяется его= средними характеристиками и может плавно меняться вместе с ниJ миK=Пленки=mbI=напылявшиеся в другомI=внешне похожем экспериJ
ONT= =
=
ментеI= на поверхность= pilOI= демонстрируют корреляцию между= температурой и сопротивлением пленки=EрисKNMKRFK==
=
РисK=NMKRK=К критерию гранулярности=xNMz= = = Для нормального металла критерий гранулярности иной и= зависит от температурыK=Соотношение=
de » qc =============================ENMKPF= определяет минимальный размер гранулыI= для которой сохраняет= смысл понятие делокализованного электронаK=Если в интервал тепJ лового размытия попадает только один электронный уровеньI= то= вообще говоря правильнее его считать локализованнымI= а величиJ ну=a=– размером волновой функцииI=т.еK=длиной локализацииK=УмоJ зрительно можно представить себе два типа эволюции гранулироJ ванных системK= Первый тип обусловлен изменением величины= xK= РисK= NMKN= –= NMKP = =иллюстрируют именно такие системыK =Переход= металл–изолятор в таких системах имеет как бы перколяционную= основуK= Поскольку вместе с== x меняется средняя концентрация деJ локализованных электронов в материалеI=уместно также вспомнить=
ON8= =
и о переходе МоттаK =Другой тип эволюции выглядит так: =при доJ статочно большом фиксированном= x меняются свойства барьеров= между грануламиI =напримерI =их высотаK =Здесь тоже можно сфорJ мулировать критерий кроссовера от гранулированной к однородно= разупорядоченной системеK= Это можно сделать на основе сравнеJ ния расщепления= de с интегралом перекрытия волновых функций= электронов соседних гранулI= который количественно описывает= эффективность изолирующих барьеровK=В связи с таким типом эвоJ люции уместно вспомнить о переходе АндерсонаK== На практике произвести такое разделение очень трудноI=но= условно можно считатьI= что в следующем разделе будут рассматJ риваться системы первого типаI= а в последнем= – системы второго= типаK== =
NM.O.=Кулоновская блокада и переход металлизолятор= ======На рисKNMKSI~=приведены зависимости сопротивления от= относительной концентрации металла в керметах системы= ^uH^lOlP=EсмK=рисKNMKOFI=измеренные при двух существенно разных= температурахK== На графике явно видны две области концентраций== xK=Область== N ³ x ³ MK4 является металлической:=сопротивление= r = сравнительно малоI= сравнительно слабо зависит от температуры и= постепенно растет с уменьшением= = xX= где-то вблизи значения= x = xc » MKP8 ==находится граница двух областейX=наконецI= для диJ электрической области характерен очень резкий рост сопротивлеJ ния с уменьшением==x= и очень сильная температурная зависимость= rEq F K=
ON9= =
= РисK= NMKSK= Переход металл–изоляторK= Зависимость сопротивJ ления гранулированных пленок от концентрации металла=x ОбраJ = K=
тите внимание на шкалу на оси ординатW=диапазон изменения соJ противления больше=NO=порядков=xUz= =
Аналогичный график= rEq F в другой системеI=kiHpilO=I=приJ веден на рисKNMKSIбK= Качественно система ведет себя так жеK= В= частностиI= и здесь вблизи критического значения= xc производная= функции rEq F меняет знакK= Однако само критическое значение= xc= другоеK= О подобном разнобое значений на островковых пленках= уже упоминалосьK= ======Стандартное описание в терминах перколяционной моJ дели предполагаетI=что при концентрациях=x=>=xc линии тока целиJ ком проходят внутри металлического кластераI =а при= x =< =xc ток= должен хотя бы частично проходить через изоляторK=Тогда темпеJ ратурную зависимость= rEq F в области= x =< =xc должны были бы= определять свойства изолятораK= Но это верно лишь отчастиK= =
OOM= =
======На рисKNMKT=приведены температурные зависимости материалов= гранулированных систем= ^uH^lOlP и= kiHpilO в изолирующем реJ жимеI=т.еK=при=x=