Сравнение классов конечных структур

Алгебра и логика, 43, N 6 (2004), 666—701 УДК 510.53 СРАВНЕНИЕ КЛАССОВ КОНЕЧНЫХ СТРУКТУР У. КАЛВЕРТ, Д. КАММИНС, ДЖ. Ф...

Author: Калверт У. | Камминс Д. | Найт Дж. Ф.

2 downloads 140 Views 390KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Алгебра и логика, 43, N 6 (2004), 666—701

УДК 510.53

СРАВНЕНИЕ КЛАССОВ КОНЕЧНЫХ СТРУКТУР У. КАЛВЕРТ, Д. КАММИНС, ДЖ. Ф. НАЙТ, С. МИЛЛЕР § 1. Предварительные сведения Во многих разделах математики проводятся исследования по классификации семейств объектов с точностью до изоморфизма или другой важной эквивалентности в терминах относительно простых инвариантов. В дескриптивной теории множеств существует целый ряд работ, использующих понятие ”борелевского вложения“ для сравнения проблем классификации в различных классах структур: полях, графах, группах и др. [1—5]. В этих работах каждый класс состоит из структур одного и того же, как правило конечного, языка, имеющих один и тот же счетный носитель, например, ω. Для данного конечного языка L класс всех L-структур с носителем ω обладает естественной топологической структурой, а остальные рассматриваемые классы L-структур обычно являются борелевскими подклассами данных классов. Борелевским вложением одного класса K в другой K ′ называется борелевская функция из K в K ′ , которая корректно определена и является взаимно однозначной функцией на типах изоморфизма. Запись K ≤B K ′

означает, что такое вложение существует. Если K ≤B K ′ , то проблема классификации для K сводится к проблеме классификации для K ′ . Если

K ′ имеет хороший набор инвариантов, то можно с точностью до изоморфизма получить описание A ∈ K, определив соответствующую структуру

B ∈ K ′ и предъявив инварианты этой структуры. Если же хорошей клас-

сификации для K нет, то таким же свойством должен обладать и K ′ .

ПРИМЕР 1. В [1] дано описание вложения класса неориентированc Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2004

Сравнение классов конечных структур

667

ных графов в класс полей характеристики 0. Считается, что отношение смежности на неориентированном графе является антирефлексивным. Для неориентированного графа G соответствующее поле строится сначала путем определения алгебраически замкнутого поля характеристики 0 с базисом трансцендентности G, отождествленным с множеством элементов графа, а затем сужением до подполя, которое порождено алгебраически√ ми замыканиями одиночных элементов b ∈ G и элементами b1 + b2 , где b1 , b2 соединены ребром в G. Цель настоящей работы состоит в сравнении классов структур с помощью понятия вычислимого вложения, ≤c , которое, как и отношение ≤B , является частичным порядком на классах структур. Внимание будет сосредоточено в основном (но не исключительно) на классах конечных структур. В качестве эталона рассматриваются классы конечных простых полей, конечных линейных порядков, конечномерных векторных пространств над полем рациональных чисел, а также произвольных линейных порядков, эти классы образуют строго возрастающую цепь. Если ограничиться только классами конечных структур, то класс конечных линейных порядков будет расположен на вершине цепи вместе с классами конечных циклических групп и конечных неориентированных графов. Существует много несравнимых классов ниже класса конечных простых полей, а также между ним и классом конечных линейных порядков. Если рассмотреть классы, содержащие бесконечные структуры, то класс неориентированных графов будет лежать на вершине цепи. Вложение Фридмана–Стенли можно преобразовать в вычислимое вложение, показав тем самым, что класс полей характеристики 0 также лежит на вершине. Существует много несравнимых классов между классом конечных линейных порядков и классом конечномерных векторных пространств, а также между последним классом и классом всех линейных порядков. Далее в этом параграфе вводятся некоторые соглашения и определения. В § 2 обсуждаются различные естественные примеры классов и показывается, что любой класс конечных структур можно вычислимо вложить в класс конечных неориентированных графов, а последний, в свою

668

У. Калверт, Д. Камминс, Дж. Ф. Найт, С. Миллер

очередь, — в класс конечных линейных порядков. В § 3 характеризуются классы, вычислимо вложимые в конечные простые поля и в конечные линейные порядки. В § 4 показывается, что класс конечномерных векторных пространств над полем рациональных чисел лежит строго выше класса конечных линейных порядков. Используя понятия, связанные с иммунностью, строятся семейства из 2ℵ0 несравнимых классов в различных интервалах, а также приводятся примеры бесконечных возрастающих цепей классов. Наконец, в § 5 излагаются открытые проблемы. 1.1. Соглашения. Все рассматриваемые структуры имеют конечный предикатный язык и подмножество множества ω в качестве носителя. Все рассматриваемые классы состоят из структур одного языка. Более того, все классы замкнуты относительно изоморфизма (при условии, что все структуры имеют в качестве носителя подмножество множества ω). Иногда структура A отождествляется со своей атомной диаграммой D(A). Конечные последовательности, предложения и др. отождествляются со своими г¨еделевскими номерами. Таким образом, можно говорить, что структура вычислима, имея в виду, что множество кодов предложений из D(A) вычислимо. Все рассматриваемые конечные структуры вычислимы, но бесконечные структуры могут таковыми не быть. 1.2. Основные определения. Существует несколько возможных понятий вычислимого преобразования из одного класса структур в другой. Используемое здесь понятие является в точности равномерной сводимостью по перечислимости. Напомним, что для A, B ⊆ ω множество B сводимо по перечислимости к A, если существует вычислимо перечислимое (в.п.) множество Φ пар (α, b), где α — конечное подмножество в ω, и b ∈ ω, такое, что B = {b | (∃α ⊆ A) (α, b) ∈ Φ}. Для заданных Φ и A множество B единственно и обозначается Φ(A). (Подробнее о сводимости по перечислимости см. [6].) ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть K и K ′ — классы структур, Φ — в.п. множество пар (α, ϕ), где α — подмножество атомной диаграммы конечной


669

структуры в языке класса K, ϕ — атомное предложение или отрицание атомного предложения в языке класса K ′ . Будем говорить, что Φ является вычислимым преобразованием из K в K ′ , если для всех A ∈ K множество

Φ(D(A)) имеет вид D(B) для некоторого B ∈ K ′ . Можно использовать запись Φ(A) = B (отождествляя структуры с их атомными диаграммами). Заметим, что в данном определении значение D(B) зависит только от

входного множества D(A) и не зависит от порядка, в котором проверяются входные элементы. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Пусть K, K ′ — классы структур, Φ — вычислимое преобразование из K в K ′ . Если A, A′ ∈ K, где A ⊆ A′ , то Φ(A) ⊆ Φ(A′ ).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть B = Φ(A), B′ = Φ(A′ ). Если ϕ ∈ D(B),

то существует конечное множество α ⊆ D(A) такое, что (α, ϕ) ∈ Φ. По-

скольку α ⊆ D(A′ ), то ϕ ∈ D(B′ ). 2

Из предложения 1.1 следует: если K содержит бесконечную строго возрастающую (относительно порядка подструктурной вложенности) цепь структур, то таким же свойством обладает и K ′ . В общем случае справедливо СЛЕДСТВИЕ 1.2. Пусть K, K ′ — классы структур такие, что существует вычислимое преобразование из K в K ′ . Если K содержит строго возрастающую цепь структур, имеющую порядковый тип ρ, то таким же свойством обладает и K ′ . Нас будут интересовать вычислимые, сохраняющие изоморфизмы ′ преобразования, отображающие K/∼ =. = разнозначно в K /∼

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть K, K ′ – классы структур. Говорим, что существует вычислимое вложение K в K ′ (записываем K ≤c K ′ ), если

найдется вычислимое преобразование Φ из K в K ′ такое, что для всех A, A′ ∈ K имеет место A ∼ = Φ(A′ ). = A′ тогда и только тогда, когда Φ(A) ∼ Очевидно следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.3. Пусть K1 , K2 , K1′ , K2′ – классы структур такие, что K1′ ⊆ K1 и K2′ ⊇ K2 . Если K1 ≤c K2 с помощью Φ, то

670


K1′ ≤c K2′ с помощью того же Φ. Чтобы проиллюстрировать, как на самом деле выглядит вычислимое вложение, вернемся к исходному примеру. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.4 (Фридман, Стенли). Если K — класс неориентированнных графов, K ′ — класс полей характеристики 0, то K ≤c K ′ . СХЕМА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. Опишем вычислимое вложение Φ. Пусть F — вычислимое алгебраически замкнутое поле характеристики 0 с вычислимой последовательностью (bk )k∈ω алгебраически независимых элементов. Для неориентированного графа G (носителем которого является подмножество в ω) через F(G) обозначается подполе поля F, порожденное элементами, лежащими в алгебраическом замыкании bk для некоp торого элемента графа k, или, иначе, имеющими вид bi + bj , где i, j — различные элементы графа, соединенные ребром. Пусть теперь Φ состоит из пар (α, ϕ), где α — атомная диаграмма некоторого конечного неориентированного графа G, а ϕ — предложение из атомной диаграммы F(G). Ясно, что Φ в.п. Для любого A ∈ K выполняется Φ(A) = F(A). Следовательно,

Φ является вычислимым преобразованием из K в K ′ . Преобразование Φ разнозначно на типах изоморфизма, для этого необходимо показать: если p i, j ∈ G не соединены ребром, то bi + bj отсутствует в F(G). 2

Обозначим через C множество всех классов структур, удовлетворяющих нашим соглашениям, а через FC — сужение этого множества до классов конечных структур. Отношение ≤c является частичным порядком на C (т. е. оно транзитивно и рефлексивно). Определение отношения эквивалентности ≡c вводится естественным образом: K ≡c K ′ тогда и только

тогда, когда K ≤c K ′ и K ′ ≤c K. Классы эквивалентности относительно

≡c будем называть c-степенями. Отношение ≤c на C индуцирует частичный порядок на c-степенях, который также обозначим через ≤c . Через C обозначается структура степеней (C/≡c , ≤c ), а через FC — сужение C до c-степеней, содержащих элементы FC. 1.3. Альтернативные определения. Эффективные преобразования между классами структур того или иного вида появляются во многих работах. Приведем лишь некоторые примеры. Во-первых, существуют


671

понятия, использующие интерпретацию, при которой носитель и основные отношения структуры A ∈ K определяются равномерным образом в соответствующей структуре B ∈ K ′ . Этот подход использовался для дока-

зательства неразрешимости определенных теорий (см., напр., [7, 8]). Иногда необходимо получить интерпретацию, действующую в обе стороны, как, например, в [9], при получении результатов о вычислимой размерности (число изоморфных представителей, которые не являются вычислимо изоморфными) и о спектре степеней (множество возможных степеней отношения в изоморфных копиях вычислимой структуры). Некоторые наши вычислимые вложения используют интерпретации, некоторые — нет. Другим видом используемых в связи с вычислимыми структурами эффективных преобразований являются частичные вычислимые функции, отображающие индексы вычислимых представителей одного класса K в индексы вычислимых представителей другого класса K ′ . Данный подход возникает, например, при доказательстве Π11 -полноты множества вычислимых индексов вычислимых вполне упорядоченных множеств (см. [6]). Позднее этот подход был использован в [10, 11] при изучении сложности отношения изоморфизма. В данной работе будут изучаться непосредственно структуры, а не индексы, кроме того, бесконечные структуры, рассматриваемые здесь, не обязательно вычислимы. Сформулируем два альтернативных понятия вычислимого преобразования, которые в процессе работы были отвергнуты. В определении 1′ сводимость по перечислимости (как было в определении 1) заменяется на тьюрингову сводимость. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1′ . Пусть K, K ′ — классы структур. Тогда Φ = = ϕe (вычислимый оператор, заданный оракульной машиной e) называется вычислимым преобразованием K в K ′ , если для всех A ∈ K функция D(A)

ϕe

является характеристической для множества D(B) при некотором

B ∈ K ′.

Определение 1′ эквивалентно определению 1, если все структуры

имеют в качестве носителя множество ω. Однако для большинства структур находятся числа, не лежащие в носителе. Определение 1′ заставляет

672


использовать информацию об этих числах, которая, по мнению авторов, не является структурной. Отличительной чертой еще одного альтернативного определения является то, что для данной входной структуры A выходная структура B зависит не только от D(A), но и от порядка обработки входной информации. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1′′ . Пусть K, K ′ — классы структур. Эффективным преобразованием K в K ′ называется частичная вычислимая функция f такая, что для любых A ∈ K и последовательности (αs )s∈ω конечных S множеств таких, что D(A) = αs , существует структура B ∈ K ′ , у коs

торой D(B) является объединением соответствующей последовательности (βs )s∈ω конечных множеств, где β0 = ∅ и βs+1 = f (βs , αs ) для всех s. Из определений 1′ и 1′′ очевидным образом получаются альтернативные версии определения 2, а также дальнейшие частичные порядки на C и FC. Используя определение 1′′ , строятся преобразования, которые сохраняют изоморфизмы (при дополнительных предположениях относительно глобальной структуры). Определение 1′′ может быть интересным с точки зрения теории вычислимости, особенно для классов бесконечных структур. Подобные предположения относительно глобальной структуры часто возникают в рассуждениях, показывающих, что множество индексов вычислимых копий различных структур является Σ11 -полным или Π0α -полным (см. [10, 11]). Определение 1 выбрано потому, что оно представляет более прямое вычислимое преобразование одной структуры в другую, основанное на локальной структуре. Предложение 1.1 кажется авторам интуитивно верным, однако оно оказывается ложным в случае альтернативных определений. 1.4. Подобные сводимости. Существует большое количество работ, посвященных решетке и степеням Медведева (см. [12—14]). В некотором смысле ситуация подобна описываемой здесь. В обоих случаях основными объектами являются классы, а сводимость переводит представителей одного класса в представители другого равномерно эффективным образом. Наше отношение сводимости является равномерной сводимостью по


673

перечислимости, в то время как медведевская сводимость является равномерной тьюринговой сводимостью. В [13, 15] разработан вариант решетки Медведева, основанный на сводимости по перечислимости. В решетке Медведева вершинами являются классы функций, в то время как здесь будут рассматриваться классы структур, замкнутые относительно изоморфизма. Кроме того, существенным отличием является то, что описываемые вычислимые свед´ения корректно определены и разнозначны на типах изоморфизма. В [16] доказано, что C не является решеткой. § 2. Примеры Рассмотрим некоторые естественные примеры классов структур. Если ограничиться классами конечных структур, то можно увидеть, что имеются две c-степени, включающие почти все естественные примеры классов конечных структур. Первая из них содержит класс P F конечных простых полей вместе с классом конечных циклических графов. Вторая содержит класс F LO конечных линейных порядков вместе с классами всех конечных неориентированных графов, всех конечных полей, конечных циклических групп и конечных простых групп. Докажем, что эти две c-степени различны. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. P F c F LO, т. е. P F ≤c F LO и F LO 6≤c 6≤c P F . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для проверки соотношения P F ≤c F LO построим вычислимое вложение Φ. Для каждого n через Ln обозначается обычный линейный порядок на первых n элементах натурального ряда. Пусть Φ — множество пар (α, ϕ) таких, что α является атомной диаграммой поля размера pn (n-ое простое число) для некоторого n, и ϕ ∈ D(Ln ).

Ясно, что данное множество пар в.п. Заметим, что для всех A, A′ ∈ P F , A ∼ = Φ(A′ ). Следовательно, P F = A′ тогда и только тогда, когда Φ(A) ∼ вычислимо вкладывается в F LO.

Допустим, что F LO ≤c P F . Пусть Φ — вычислимое вложение,

A, A′ — два неизоморфных представителя F LO. Предположим, что A имеет меньше элементов, чем A′ . Тогда A изоморфно подструктуре в A′ , мож-

674


но считать, что A ⊆ A′ . По предложению 1.1, Φ(A) ⊆ Φ(A′ ), а в силу опре-

деления 2, Φ(A) ≇ Φ(A′ ). Никакое простое поле не является подструктурой другого, неизоморфного простого поля, поэтому F LO c P F . 2

Заметим, что для доказательства F LO c P F использовалось только то, что F LO содержит два неизоморфных конечных линейных порядка. Аналогичное доказательство позволяет получить СЛЕДСТВИЕ 2.2. Если K — класс, содержащий два неизоморфных конечных линейных порядка, то K 6≤c P F . Итак, существует не менее двух различных c-степеней в FC. Большинство естественных примеров классов конечных структур попадают в одну из них, но прежде чем обсуждать эти примеры, докажем, что в случае классов конечных структур c-степень F LO является максимальным элементом в FC. ЛЕММА 2.3. Для любого класса K структур конечного предикатного языка выполняется K ≤c U G, где U G — класс неориентированных графов. Более того, если K состоит из конечных структур, то K ≤c F U G, где F U G — класс конечных неориентированных графов. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого конечного предикатного языка L опишем вычислимое вложение Φ класса всех L-структур в U G. Таким образом, для произвольного класса L-структур, чьи носители являются подмножествами натуральных чисел, Φ вкладывает данный класс в U G. Вложение Φ будет обладать следующим свойством: если A — конечная L-структура, то Φ(A) также конечна. Начнем с описания большого неориентированного графа G, который содержит конечные подграфы, представляющие возможные элементы L-структур, а также конечные подграфы, представляющие предложения R(a1 , . . . , ar ), которые могут появиться в атомных диаграммах L-структур. Граф G будет вычислимым. Подграфы, представляющие возможные элементы. Для каждого a ∈ ω в граф G добавим 3-цикл Ta так, чтобы все циклы Ta попарно не пересекались, и можно было эффективно переходить от a к Ta . Пусть

Сравнение классов конечных структур g(1)

u

J

u Ju

g(2)

675

g(3)

u

J

u Ju

u

J

u Ju

Рис. 1. Представление элементов 1, 2, 3

u g(1) "

"

"

J

u Ju

u u T TT u u Z g Z Zu ""bb " bu " b " u b "

g(2) u

J

u Ju

bu b

bbu g(3)

J

u Ju

Рис. 2. Представление R(1, 2, 3), где R соответствует 5

g(a) — наименьший элемент Ta . (На рис. 1 показаны T1 , T2 и T3 .) Подграфы, представляющие возможные атомные предложения. Сопоставим предикатным символам из L различные числа, большие трех. Если символу R сопоставлено число k, то для любого атомного предложения вида ρ = R(a1 , . . . , ar ) в G добавим подграф Gρ , состоящий из k-цикла вместе с некоторыми связывающими цепями. Обозначим через g наименьший элемент k-цикла. Свяжем g и g(a1 ) цепью длины 1, добавив только одно ребро. Свяжем g и g(a2 ) цепью длины 2, добавив еще промежуточную вершину, и в общем случае свяжем g с ai цепью длины i, добавив i − 1 промежуточную вершину. Все описанные при построении подграфа Gρ вершины различны, для различных ρ подграфы Gρ не пересекаются, за исключением, возможно, элементов g(a) в 3-циклах. Конструкция устроена так, что можно эффективно переходить от атомного предложения ρ к подграфу Gρ . (На рис. 2 приведен пример Gρ .) Граф G порожден двумя семействами подграфов, описанных выше.

676


Для каждой L-структуры A существует соответствующий граф G(A) ⊆ G, порожденный подграфами Ta , где a ∈ A, и Gρ , где ρ — предложение из D(A) вида R(a1 , . . . , an ). Заметим: если A конечна, то G(A) тоже конечен. Искомое вычислимое вложение Φ состоит из пар (α, ϕ) таких, что для некоторой конечной L-структуры A справедливо α = D(A) и ϕ ∈ D(G(A)). Действительно, множество Φ в.п.; для любой L-структуры A выполняется Φ(A) = G(A); если A ∼ = A′ , то Φ(A) ∼ = Φ(A′ ). Если же Φ(A) ∼ = Φ(A′ ), то 3-циклы из Φ(A) должны соответствовать 3-циклам из Φ(A′ ). Следовательно, изоморфизм из Φ(A) на Φ(A′ ) индуцирует взаимно однозначную функцию из A на A′ . Более того, если для некоторого атомного предложения ρ = R(a1 , . . . , ar ) 3-циклы из Φ(A), соответствующие a1 , . . . , ar , присоединены к подграфу Gρ , который показывает, что A |= R(a1 , . . . , ar ),

то соответствующие 3-циклы из Φ(A′ ) присоединены к копии Gρ , которая показывает, что A′ |= R(f (a1 ), . . . , f (ar )). Отсюда, A ∼ = A′ . Следовательно,

Φ является вычислимым вложением класса всех L-структур в U G. 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. 1) Вычислимой нумерацией класса K называется в.п. множество E пар (n, ϕ), где n ∈ ω, ϕ является атомным предложением или его отрицанием, и (а) для каждого n найдется An ∈ K такая, что {ϕ | (n, ϕ) ∈ E} = = D(An ), (б) для каждого A ∈ K существует n такой, что An ∼ = A. 2) Нумерация (An )n∈ω класса K называется фридберговой, если каждый тип изоморфизма из K представлен в списке только один раз (для нумераций можно использовать запись (An )n∈ω вместо E, показывая тем самым, что это действительно список). ЛЕММА 2.4. Существует вычислимая фридбергова нумерация (Gn )n∈ω класса F U G со следующим свойством: если G ∼ = Gn , = Gm и G′ ∼ где G′ — собственное расширение G, то m < n. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим частичный порядок на классе конечных неориентированных графов следующим образом. Один граф больше другого, если он имеет больше вершин. Если два графа имеют одинаковое число вершин, но один из них имеет больше ребер, чем другой, то граф


677

с большим числом ребер больше. Два графа назовем эквивалентными, если они имеют одинаковые число вершин и число ребер (эквивалентные графы не обязаны быть изоморфными). Для заданного числа вершин и числа ребер существует только конечное число различных способов расстановки ребер, поэтому любой класс эквивалентности относительно этого частичного порядка будет состоять лишь из конечного числа представителей. Поскольку число ребер графа ограничено числом пар вершин, содержащихся в графе, то для графов с заданным количеством вершин существует лишь конечное число классов эквивалентности. Чтобы построить фридбергову нумерацию, переберем классы эквивалентности в порядке возрастания и, находясь внутри очередного класса эквивалентности, выберем по одному представителю из каждого типа изоморфизма и добавим их в список. Поскольку для каждого класса эквивалентности существует лишь конечное число возможных расстановок ребер, описанная процедура эффективна. Каждый конечный неориентированный граф попадает в один из классов эквивалентности, значит, нумерация будет содержать каждый тип изоморфизма конечных неориентированных графов. Она является фридберговой, поскольку изоморфные элементы F U G находятся в одном классе эквивалентности, и для любого класса эквивалентности выбрано по одному представителю из каждого типа изоморфизма. 2 ТЕОРЕМА 2.5. Справедливо F U G ≡c F LO. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимо определить вычислимое вложение Φ класса F U G в F LO. Рассмотрим вычислимую фридбергову нумерацию (Gn )n∈ω для F U G со свойством из леммы 2.4. Для каждого n обозначим через Ln обычный линейный порядок на {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Пусть Φ — множество пар (α, ϕ) таких, что α является атомной диаграммой копии графа Gn и ϕ ∈ D(Ln ) для некоторого n. Очевидно, данное множество пар в.п. Для любого G ∈ F U G существует единственный n такой, что G ∼ = Gn . Тогда Φ(G) = Ln (по свойству из леммы 2.4 для выбранной нумерации m 6 n, если G′ ⊆ G, где G′ ∼ = Gm ). Отсюда, Φ корректно определено и

678


разнозначно на типах изоморфизма. Получаем F U G ≤c F LO. Справедливость F LO ≤c F U G прямо следует из леммы 2.3. 2 Итак, c-степень класса F LO расположена на вершине FC. Докажем теперь, что существуют другие c-степени (содержащие классы беконечных структур), лежащие выше F LO. ТЕОРЕМА 2.6. Класс F V S конечномерных векторных пространств над полем рациональных чисел лежит строго выше F LO, т. е. F LO c F V S. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Векторные пространства рассматриваются в языке L = {V, F, 0F , 1F , +F , ∗F , 0V, +V, ∗V}, где 0F , 1F , +F , ∗F — нуль, единица, сложение и умножение рациональных чисел, 0V, +V и ∗V — нулевой вектор, сложение векторов и умножение вектора на скаляр соответственно. Включение символов из поля в язык позволяет избежать включения отдельного символа для умножения на каждый из скаляров (общий подход). Таким образом, язык конечен; его можно превратить в предикатный, представив бинарные операции и константы как отношения. Проверим соотношение F LO ≤c F V S. Обозначим через V вычислимое векторное пространство над полем рациональных чисел с вычислимой последовательностью базисных элементов b1 , b2 , . . . . Через Vn обозначается подпространство V с базисом {b1 , . . . , bn }. В качестве Φ возьмем множество пар (α, ϕ) таких, что α является атомной диаграммой линейного порядка размера n и ϕ ∈ D(Vn ). Ясно, что Φ в.п. Заметим: для всех A, A′ ∈ F LO условие A ∼ = A′ выполняется тогда и только тогда, когда

Φ(A) ∼ = Φ(A′ ). При построении Φ используется только число элементов A,

поэтому любой элемент из данного типа изоморфизма класса F LO будет отображаться в один и тот же элемент класса F V S. Заметим, что любое конечное множество атомных предложений α в языке векторных пространств над полем рациональных чисел, обогащенном счетным числом новых константных символов, является подмножеством атомной диаграммы векторного пространства любой заданной конечной размерности. Если α описывает n независимых векторов в векторном пространстве V, то оно, очевидно, является подмножеством атом-


679

ных диаграмм векторных пространств размерности, большей n. С другой стороны, α является подмножеством атомных диаграмм векторных пространств размерности, меньшей n. Последнее верно, поскольку α конечно, а предложения, которые в нем содержатся, утверждают, что некоторые линейные комбинации из n векторов отличны от 0. Добавив предложение о том, что некоторая другая линейная комбинация двух векторов равна 0, можно расширить α до β, поэтому β будет подмножеством диаграммы векторного пространства V′ размерности n − 1.

Проверим соотношение F V S c F LO. Допустим, напротив, что су-

ществует Φ, доказывающее сводимость F V S ≤c F LO. Пусть V — векторное пространство из F V S размерности два и Φ(V) = L, где L — упорядочение по типу n. Существует конечное множество пар (α1 , ϕ1 ), . . . , (αr , ϕr ) S из Φ таких, что D(L) = {ϕ1 , . . . , ϕr }. Тогда α = αi является конеч16i6r

ным подмножеством D(V). Уже было замечено, что множество α является подмножеством атомной диаграммы векторного пространства над полем рациональных чисел V′ размерности один. Поскольку α ⊆ D(V′ ), то Φ(V′ )

должно быть линейным порядком L′ таким, что D(L) ⊆ D(L′ ). Следовательно, либо L′ ∼ = L, то Φ не является раз= L, либо L ⊂ L′ . Если L′ ∼ нозначным на типах изоморфизма. Если же L ⊂ L′ , то предложение 1.1

оказывается ложным для Φ. В любом случае приходим к противоречию. 2 Заметим, что в рассуждениях, проведенных при проверке соотношения F V S 6≤c F LO, вместо размерностей один и два можно использовать любые две различные размерности. СЛЕДСТВИЕ 2.7. Если K — класс, содержащий векторные пространства двух различных размерностей, то K 6≤c F LO. § 3. Общие характеристики Примеры классов, описанные в § 2, породили круг вопросов, связанных с возможностью определения ключевых характеристик этих классов, существенно влияющих на их расположение в исследуемой структуре. Мы стремились найти общие результаты, определяющие положение произвольного класса по отношению к эталонным, и затем использовать эти

680


результаты для построения новых примеров классов, заполняющих наш частичный порядок. Для краткости, c-степень, содержащую конечные простые поля, назовем типом I, а содержащую конечные линейные порядки и конечные неориентированные графы — типом II. В общем случае в силу леммы 2.3, все классы конечных структур вкладываются в класс типа II. Нас интересует, каким требованиям должен удовлетворять произвольный класс (возможно, бесконечных структур), чтобы быть вложенным в класс типа II. Также интересно, какие классы лежат над, а какие под классами типа I. 3.1. Классы типа I. Примеры из § 2 помогают понять, какие абстрактные условия необходимо наложить на класс структур K, чтобы выполнялось соотношение тип I ≤c K. Эти условия связаны с вычислимыми фридберговыми нумерациями (определенными в § 2). Хорошо известно, что существуют классы с вычислимой нумерацией, не имеющие вычислимой фридберговой нумерации (естественным примером является класс вычислимых линейных порядков). Ниже будет построен простой пример такого класса, состоящий из конечных структур. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Существует класс конечных структур K, который имеет вычислимую нумерацию, но не обладает вычислимой фридберговой нумерацией. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим класс K с вычислимой нумерацией E. Для каждого n множество {ϕ | (n, ϕ) ∈ E} должно быть диаграммой некоторой An ∈ K, а каждый элемент из K должен быть изомофным An для некоторого n. Для произвольного e введем требование Re , утверждающее, что We не является вычислимой фридберговой нумерацией класса K: она либо не является нумерацией для K, либо в ней повторяются типы изоморфизма. На каждом шаге s будем перечислять конечное подмножество множества E, пытаясь не нарушить первые s требований. Опишем стратегию для удовлетворения Re . Пусть C — e-цикл, C− — результат добавления к


681

C дополнительной вершины, связанной только с одной вершиной цикла. Пытаемся выполнить требование путем добавления в E пары (2e, ϕ) для всех ϕ ∈ D(C) и (2e + 1, ϕ) для всех ϕ ∈ D(C− ). Предположим, что на некотором шаге t для каких-то B ∼ = C, B− ∼ = C− и m, n выполяется {(m, ϕ) | ϕ ∈ D(B)} ∪ {(n, ϕ) | ϕ ∈ D(B− )} ⊆ We,t . Тогда добавляем в E все недостающие пары (2e, ϕ), где ϕ ∈ D(C− ). Таким образом, либо и C, и C− появляются в нумерации, пока их не удастся пе-

речислить в We , либо C− появляется дважды и если нумерация We фридбергова, то она содержит некоторое расширение цикла C, не лежащего в списке. Заметим, что на каждом шаге s мы начинаем построение, результат которого будет удовлетворять требованию Rs , а также следим за We,s и проверяем, не требует ли какое-нибудь Re , где e < s, нашего вмешательства. В итоге получаем класс K с вычислимой нумерацией E, не имеющий вычислимых фридберговых нумераций. 2 ТЕОРЕМА 3.2. Для любого класса K утверждение тип I ≤c K верно тогда и только тогда, когда существует бесконечная вычислимая фридбергова нумерация (An )n∈ω подкласса класса K. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что сводимость тип I ≤c K обеспечена вычислимым вложением Φ конечных простых полей в элементы K. Для каждого n ∈ ω эффективно породим простое поле размера pn (где pn — n-ое простое число) и в качестве выхода Φ на данном поле возьмем An . Тогда (An )n∈ω является бесконечной вычислимой фридберговой нумерацией подкласса K. Обратно, пусть (An )n∈ω — бесконечная вычислимая фридбергова нумерация подкласса K. Тогда сводимость тип I ≤c K обеспечивается вычислимым вложением Φ, отображающим простое поле размера pn в структуру An . Вложение Φ корректно определено и разнозначно на типах изоморфизма, поскольку нумерация подкласса K была фридберговой. 2 Итак, условия для класса K, при которых в него вкладывается класс типа I, определены. Обратная задача также представляет интерес.

682

У. Калверт, Д. Камминс, Дж. Ф. Найт, С. Миллер ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Будем говорить, что K обладает подструктур-

ным свойством, если нет структуры A1 ∈ K, изоморфной подструктуре структуры A2 ∈ K, исключая случай A1 ∼ = A2 . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Если K — класс структур и K ≤c тип I, то K обладает подструктурным свойством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Φ обеспечивает вложение и A1 ⊆ A2 — структуры, лежащие в K, причем Φ(A1 ) = B1 , Φ(A2 ) = B2 . В силу предложения 1.1, B1 ⊆ B2 . Из A1 ≇ A2 следует B1 ≇ B2 . 2 Утверждение, обратное предложению 3.3, неверно. Для вложения K в тип I недостаточно одного подструктурного свойства, поскольку неизоморфные структуры могут иметь общую подструктуру. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть A — структура в языке класса K, B ∈ K. A называется характеристической подструктурой B для класса K, если A является подструктурой B и для любого C ∈ K такого, что A изоморфна ∼ C. Когда данное условие верно, будем подструктуре C, выполняется B = использовать запись A ⊑ B. ТЕОРЕМА 3.4. Пусть K — класс структур. Следующие условия эквивалентны. 1. K ≤c тип I. 2. Существует вычислимо перечислимое множество S пар (A, n), где A — конечная структура в языке класса K, n ∈ ω, и (a) для всех B ∈ K существует пара (A, n) ∈ S такая, что A ⊆ B; (b) если (A, n), (A′ , n′ ) ∈ S, B, B′ ∈ K, A ⊆ B и A′ ⊆ B′ , то B ∼ = B′

тогда и только тогда, когда n = n′ .

3. Существует в.п. множество S∗ пар (ϕ, n), где ϕ — экзистенциальное предложение в языке класса K, n ∈ ω, и

(a) для каждого B ∈ K существует (ϕ, n) ∈ S∗ такая, что B |= ϕ; (b) если (ϕ, n), (ϕ′ , n′ ) ∈ S∗ , B, B′ ∈ K, B |= ϕ и B′ |= ϕ′ , то B ∼ = B′

тогда и только тогда, когда n = n′ .

4. Существует вычислимая последовательность (ϕn )n∈ω , где каждое ϕi является вычислимым Σ1 -предложением, причем


683

(a) для всех B ∈ K найдется n такое, что B |= ϕn ; (b) если B, B′ ∈ K, B |= ϕn и B′ |= ϕn′ , то B ∼ = B′ тогда и только

тогда, когда n = n′ .

ЗАМЕЧАНИЕ. Пункт 2 теоремы утверждает, что A ⊑ B, если (A, n) ∈ S и A ⊆ B. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1 ⇒ 2. Без ограничения общности можно считать, что K ≤c P F . Пусть Φ обеспечивает вложение. Найдем (α1 , ϕ1 ), . . . , (αk , ϕk ) ∈ Φ такие, что {ϕ1 , . . . , ϕk } = D(F), где F ∼ = Fp , n

и существует конечная структура A в языке K со свойством ∪αi ⊆ D(A). Положим (A, n) ∈ S, тогда данное S будет искомым.

2 ⇒ 3. Превратим заданное S в требуемое S∗ следующим образом.

Как только перечислится (A, n) ∈ S, положим (ϕ, n) ∈ S∗ , где ϕ — естественное экзистенциальное предложение, утверждающее, что существуют элементы, образующие копию структуры A. 3 ⇒ 4. Доказывается непосредственно, если определить ϕn как дизъюнкцию экзистенциальных предложений ϕ таких, что (ϕ, n) лежит в заданном S ∗ . 4 ⇒ 1. Пусть (Bn )n∈ω — равномерно вычислимое семейство полей таких, что Bn ∼ = Fpn . В качестве Φ возьмем множество пар (α(~c), ϕ), где α(c) получается из дизъюнктивного члена (∃u) α(u) формулы ϕn заменой кортежа переменных u на кортеж констант из ω, ϕ ∈ D(Bn ). Тогда Φ обеспечивает сводимость K ≤c тип I. 2 В классах с вычислимыми нумерациями теорема 3.4 приобретает более простой вид. ТЕОРЕМА 3.5. Если класс K имеет вычислимую нумерацию, то эвивалентны следующие условия: 1. K ≤c тип I. 2. Существует вычислимая последовательность (Bn )n∈ω такая, что для всех n найдется A ∈ K со свойством Bn ⊑ A, и для всех A ∈ K существует единственный n такой, что Bn изоморфно подструктуре структуры A. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1 ⇒ 2. Зафиксируем множество пар E, обра-

684


зующих нумерацию класса K. Обозначим через Em структуру с диаграммой D(Em ) = {ϕ | (m, ϕ) ∈ E}. Пусть Φ — вычислимое вложение K в P F . Для каждого m найдем в Φ конечное множество пар вида (α1 , ϕ1 ), . . . , (αr , ϕr ) таких, что Em |= αk для 1 6 k 6 r и {ϕ1 , . . . , ϕr } = D(F), где F — конечное простое поле. Предположим, что F является новым полем, т. е. для всех k < m структура Φ(Ek ) не изоморфна F; тогда выберем конечную подструктуру B структуры Em , удовлетворяющую αk для 1 6 k 6 r, и добавим ее в качестве следующего элемента списка. Если поле F не является новым, не добавляем ничего. Последовательность (Bn )n∈ω полученных таким способом конечных структур обладает требуемыми свойствами. Для каждого A ∈ K существует первый m такой, что Em ∼ = A, и значит, в список добавлен подходящий B ⊑ Em . 2 ⇒ 1. Зафиксируем последовательность (Bn )n∈ω , как в п. 2, и в качестве S выберем множество, состоящее из пар (α, n), где α — атомная диаграмма копии структуры Bn . В силу теоремы 3.4 получаем K ≤c P F . 2 3.2. Классы типа II. Рассмотрим теперь вопрос, при каких условиях класс, состоящий, возможно, из бесконечных структур, вкладывается в класс типа II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6 (см. [17—19]). Вычислимой Σ1 -формулой называется в.п. дизъюнкция конечных экзистенциальных формул с фиксированным набором свободных переменных. Вычислимым Σ1 -предложением называется вычислимая Σ1 -формула без свободных переменных. ТЕОРЕМА 3.6. Пусть K — класс структур конечного предикатного языка L. Следующие условия эквивалентны. 1. K ≤c тип II. 2. Существует в.п. множество S пар (A, B), где A — конечная Lструктура, B — конечный линейный порядок и (a) для любого C ∈ K существует пара (A, B) ∈ S такая, что A ⊆ C

и (A, B) является достаточной для C, т. е. для (A′ , B′ ) ∈ S из A′ ⊆ C

следует B′ ⊆ B;


685

(b) если C, C′ ∈ K, пары (A, B), (A′ , B′ ) являются элементами S, достаточными для C, C′ соответственно, то C ∼ = C′ тогда и только тогда, когда B ∼ = B′ . 3. Существует вычислимая последовательность (ϕn )n∈ω вычислимых Σ1 -предложений такая, что (a) для всех A ∈ K существует некоторое n, при котором A |= |= ϕn & ¬ϕn+1 ; (b) для всех A ∈ K и всех n выполняется A |= ϕn+1 → ϕn ;

(c) если A, A′ ∈ K и A ≇ A′ , то существует n, при котором ϕn

истинно только в одной из структур A, A′ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1 ⇒ 2. Пусть существует некоторое Φ, обеспечивающее вложение. Определим S как множество пар (A, B), где A — конечная L-структура, B — конечный линейный порядок такие, что для D(B) = {ϕ1 , . . . , ϕk } найдутся пары (Ai , ϕi ) ∈ Φ со свойством Ai ⊆ A. Тогда S является в.п. множеством пар со свойствами, необходимыми для п. 2. 2 ⇒ 3. Рассмотрим заданное S и для каждого n обозначим через ϕn дизъюнкцию по всем парам (A, B) ∈ S таким, что B имеет порядковый тип, не меньший n, экзистенциальных предложений, утверждающих существование элементов, образующих копию структуры A. Получаем вычислимую последовательность вычислимых Σ1 -предложений с требуемыми свойствами. 3 ⇒ 1. Предположим, что существует вычислимая последовательность (ϕn )n∈ω вычислимых Σ1 -предложений, удовлетворяющих трем свойствам из п. 3. Пусть, как и раньше, Ln — обычное упорядочение на {0, 1, . . . , n − 1}. В качестве Φ возьмем множество пар (α, ϕ) таких, что для некоторого n 1) α = D(A) для некоторой конечной структуры A в языке класса K; 2) A |= ϕn ; 3) ϕ ∈ D(Ln ). Очевидно, что Φ в.п. Более того, K ≤c F LO посредством Φ. Заметим: если A ∈ K, то Φ(A) = Ln , где n — наибольшее такое, что A |= ϕn . 2

686

У. Калверт, Д. Камминс, Дж. Ф. Найт, С. Миллер Используя эти результаты, в § 4 будут построены новые примеры

классов, занимающих те места в рассматриваемом частичном порядке, которые не были заполнены предыдущими.

§ 4. Структура частичного порядка ≤c В этом параграфе рассматривается частичный порядок ≤c на FC (классы конечных структур) и C (все классы). Начнем с FC. На первый взгляд неочевидно, что FC имеет более одного ≡c -класса. Однако в предложении 2.1 показано, что их существует не меньше двух. На самом деле их намного больше, и частичный порядок (FC, ≤c ) не просто нетривиален, но имеет высокую сложность. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Будем говорить, что классы K и K ′ несравнимы, и использовать запись K ⊥ K ′ , если K c K ′ и K ′ c K. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Существует семейство классов (Kf )f ∈2ω такое, что для всех f ∈ 2ω выполняется Kf ≤c P F , а для различных f, g ∈ 2ω справедливо Kf ⊥ Kg .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обеспечим условие Kf ≤c P F , положив Kf ⊆ ⊆ P F (см. предлож. 1.3). Существует естественное взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и типами изоморфизма простых полей, а именно: пусть число n соответствует типу поля Fpn , тогда каждое множество A ⊆ ω соответствует классу KA ⊆ P F , состоящему из

полей типа Fpn , n ∈ A.

Чтобы получить семейство (Kf )f ∈2ω несравнимых подклассов P F , построим семейство (Af )f ∈ω подмножеств ω с некоторыми специальными свойствами, связанными с иммунностью. Напомним, что множество A ⊆ ω имунно, если оно бесконечно и не имеет бесконечных в.п. подмножеств (см. [20]). Определим более сильное свойство для пар множеств. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Пусть X, A, B ⊆ ω. A и B называются Xбииммунными, если для любой X-вычислимой функции f с бесконечной областью значений существуют некоторые a ∈ A, f (a) ∈ / B, и b ∈ B,


687

f (b) ∈ / A. Будем говорить, что A и B бииммунны, если они X-биимунны для вычислимого X. Если A и B X-бииммунны, то ни одно из них не имеет бесконечных X-вычислимых подмножеств и ни одна частичная X-вычислимая функция не отображает одно из них в бесконечное подмножество другого. В некотором смысле, A и B являются X-иммунными по отношению друг к другу. Возьмем бииммунную пару множеств A, B, образуем классы KA , KB и получим пару несравнимых классов под P F . Нетрудно убедиться, что KA ⊥ KB . Предположим, KA ≤c KB посредством Φ. Можно преобразовать Φ в частичную вычислимую функцию f , отображающую A инъективно в B. Пусть (An )n∈ω — равномерно вычислимая последовательность полей такая, что An имет тип Fpn . Положим f (a) = b, если применив Φ ко входу Aa , получаем выход, описывающий поле типа Fpb . Для построения семейства классов (Kf )f ∈2ω , требуемых в предложении 4.1, достаточно построить семейство попарно бииммунных множеств (Af )f ∈2ω . ЛЕММА 4.2. Для любого множества X существует семейство (Af )f ∈2ω такое, что для любых различных f, g ∈ 2ω множества Af и Ag X-бииммунны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим множество Af по шагам. На шаге s каждому τ ∈ 2s сопоставим пару непересекающихся конечных множеств

Aτ , A∗τ таких, что Aν ⊆ Aτ и A∗ν ⊆ A∗τ при ν ⊆ τ . Для каждого f ∈ 2ω в качестве Af возьмем объединение множеств Aτ , τ ⊆ f . Введем требования Qe : для всех f ∈ 2ω имеет место |Af | > e;

Rhe,σi : для всех f, g ∈ 2ω , f ⊇ σˆ0, g ⊇ σˆ1, справедливо ϕX e [Af ] *

X * Ag и ϕX e [Ag ] * Af , если ran(ϕe ) бесконечно.

Образуем список, состоящий из данных требований, причем |σ| 6 s,

если требование s имеет вид Rhe,σi . На шаге s будем определять Aτ и A∗τ для всех τ длины s так, чтобы выполнялись первые s требований.

В начале конструкции полагаем A∅ = A∗∅ = ∅. На шаге s + 1 рассматриваем требование s. Если оно имеет вид Qe , то для каждого τ длины s выбираем число k, не принадлежащее Aτ ∪ A∗τ . Положим

688


Aτˆ0 = Aτˆ1 = Aτ ∪ {k}, A∗τˆ0 = A∗τˆ1 = A∗τ . Предположим, что требование s имеет вид Rhe,σi , где |σ| 6 s. Для каждого τ длины s включаем в Aτˆ0

и Aτˆ1 элементы множества Aτ , а в A∗τˆ0 и A∗τˆ1 — элементы множества

A∗τ . Остальные элементы добавляются следующим образом. Допустим, суX ′ ′ ′ ществуют k, k ′ , m, m′ такие, что ϕX e (k) = m, ϕe (m ) = k , где k 6= k ,

m 6= m′ и k, k ′ , m, m′ отсутствует во всех множествах Aτ , A∗τ для τ длины

′ ′ s. Если ran(ϕX e ) бесконечно, то такие k, k , m, m существуют. Для каждой

пары τ ⊇ σˆ0, τ ′ ⊇ σˆ1 уровня s добавляем k в множества Aτˆ0 и Aτˆ1 , а

m — в множества A∗τ ′ˆ0 и A∗τ ′ˆ1 . Аналогичным образом добавляются m′ в Aτ ′ˆ0 , Aτ ′ˆ1 и k ′ в A∗τˆ0 , A∗τˆ1 . Описание конструкции завершено. Ясно, что каждое из требований удовлетворено, и заключение леммы справедливо. Заметим, что работа конструкции может быть осуществлена при помощи ∆02 (X)-оракула, поэтому определение конечных множеств Aτ и A∗τ по τ ∈ 2 0 выполняется Kn ⊥ K. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Временно определим Kn как класс, состоящий из всех конечных простых полей и всех цепей длины j 6 2n (в ˆ из док-ва предэтом случае проще возвращаться к конструкции класса K лож. 4.4). В конце доказательства простые поля будут заменены на циклические графы. Из P F = K0 следует P F ≡c K0 . Для всех n справедливо Kn ≤c Kn+1 ,

так как Kn ⊆ Kn+1 (по предлож. 1.3); требуется доказать, что Kn+1 c Kn . Если Kn+1 ≤c Kn посредством вложения Φ, то Φ отображает не менее двух неизоморфных цепей в конечные простые поля. Можно считать, что одна

из этих цепей является подструктурой другой. Поскольку ни одно простое поле не может являться подструктурой другого, получаем противоречие со следствием 1.2. Таким образом, такого Φ нет и Kn c Kn+1 . Очевидно, Kn ≤c F LO для всех n в силу конечности структур из Kn (см. § 2). ˆ для всех n > 0. По следствию 1.2, Kn c K, ˆ Покажем, что Kn ⊥ K поскольку класс Kn содержит цепь структур длины, не меньшей двух, в то ˆ не имеет таких цепей. Осталось показать K ˆ c Kn . Допустим, время как K ˆ ≤c Kn при помощи вложения Φ = We . Напомним, что K ˆ строилась так, K ˆ и Φ не смог бы отобразить его в конеччтобы либо C2e+1 принадлежал K ˆ содержал два неизоморфных расширения C2e+1 , ное простое поле, либо K при этом Φ для обоих из них выдавал выход, содержащий диаграмму одного и того же конечного простого поля (и поэтому не мог отобразить эти расширения в конечные простые поля или цепи). Итак, Φ не может отобразить C2e+1 в конечное простое поле и должно отобразить его в одну из цепей класса Kn . Напомним, что существует бесконечно много различных индексов e′ для одного и того же в.п. множества Φ. Если Φ = We′ , то вышеизложенные рассуждения показывают, что Φ должно отобразить C2e′ +1 в одну из цепей класса Kn . Существует только конечное число типов изоморфизма цепей из Kn и Φ должно отобразить в них бесконечно много неизоморфных циклических графов, поэтому Φ не может быть разнозначным на типах изоморфизма. Таким ˆ c Kn . образом, K

692

У. Калверт, Д. Камминс, Дж. Ф. Найт, С. Миллер Теперь заменим конечные простые поля в каждом классе Kn на ко-

нечные циклические графы. В результате получим класс, вычислимо эквивалентный Kn , но уже удовлетворяющий соглашению, что все структуры одного класса имеют один и тот же конечный предикатный язык. Временное нарушение нашего соглашения о том, что все элементы класса имеют одинаковый язык, обосновывается тем, что такая же замена возможна в конструкции предложения 4.4 и в определении классов Kn . 2 Любой класс, состоящий из всех конечных цикличеких графов и бесконечного числа конечных цепей лежит строго выше Kn для любого n и ограничен сверху типом II. Классы такого вида будут использоваться для построения множества других несравнимых классов между цепью классов Kn и типом II. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.6. Пусть (Kn )n∈ω — такое же, как в предложении 4.5. Тогда существует семейство попарно несравнимых классов (Hf )f ∈2ω , лежащих над всеми Kn и под типом II. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим только два класса H, H ′ , каждый будет содержать все конечные циклические графы. Будем добавлять конечные цепи так, чтобы выполнялись требования Re : We не обеспечивает вложение H ≤c H ′ ; Re′ : We не обеспечивает вложение H ′ ≤c H.

Упорядочим список требований, и будем выполнять их в соответствии с этим порядком. Для Re стратегия состоит в следующем. Пусть Φ = We . Для более ранних требований и конечного множества элементов k уже определено, добавлять или нет цепи длины k в H, H ′ . Выберем n большее, чем любое из этих k. Тогда n является верхней гранью для числа цепей, уже попавших в H ′ . Добавим цепи в H так, чтобы существовала возрастающая последовательность L0 ⊆ . . . ⊆ Ln длины n + 1. Если Φ не отображает эти Li в возрастающую последовательность цепей, то требование выполняется (иначе получается противоречие со следствием 1.2). Если Φ отображает Li в возрастающую последовательность цепей, то по крайней мере одна из них уже не принадлежит H ′ (пусть это будет цепь длины m). Для выполнения требования стараемся, чтобы цепи длины m не


693

конечные порядки 4.6 . . . r b 4.4 r? r 4.5 r u простые поля r r r. . . 4.1 u r r r. . .

4.3

r

r

r. . .

b? r u

единственный ∼ =-тип пустой класс

Рис. 3. Классы конечных структур

попадали в H ′ . Стратегия для Re′ аналогична, поэтому можно построить два несравнимых класса H, H ′ , лежащих над всеми Kn и под типом II. При выполнении любого из требований принимается только конечное число решений о том, какие цепи принадлежат данному классу, а какие нет. Следовательно, можно использовать ту же стратегию для построения семейства (Kf )f ∈2ω несравнимых классов: достаточно следовать описанию из доказательства леммы 4.2. 2 Все предыдущие результаты для классов конечных структур суммируются на рис. 3. Конечные порядки расположены на вершине вместе с конечными неориентированными графами. Конечные циклические группы и конечные простые группы расположены там же. Простые поля лежат строго ниже. Пустой класс находится в основании. Классы, состоящие из копий единственной конечной структуры, лежат выше него (где и классы, состоящие из копий единственной вычислимой структуры). Через 4.3, 4.6, 4.1 обозначаются классы из соответствующих предложений, а через 4.5 — цепь. Вопросительные знаки указывают те места, где наличие классов возможно. Конечно, ситуация существенно усложняется, если дополнительно рассмотреть классы, содержащие бесконечные структуры. Уже замечено, что класс F V S конечномерных векторных пространств над полем рациональных чисел расположен строго над типом II. Покажем, что под F V S

694


существуют классы, которые не лежат под типом II. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.7. Существует семейство классов (Kf )f ∈2ω такое, что для всех f ∈ 2ω выполняется Kf ≤c F V S, Kf несравнимо с

типами I и II, а для различных f, g ∈ 2ω справедливо Kf ⊥ Kg .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A, B ⊆ ω — пара ∆03 -бииммунных мно-

жеств, K, K ′ — классы векторных Q-пространств, чьи размерности являются элементами A, B соответственно. В силу предложения 1.3 справед-

ливо K, K ′ ≤c F V S. Покажем, что K, K ′ несравнимы с типами I и II. В силу следствия 2.7 любой класс, содержащий векторные пространства двух различных размерностей, не вкладывается в F LO. Следовательно, K, K ′ c F LO, откуда K, K ′ c P F . Пусть (An )n∈ω — равномерно вычислимая последовательность полей, где An ∼ = Fpn . Предположим, P F ≤c K посредством Φ, тогда Φ

можно преобразовать в ∆03 -функцию f , инъективно отображающую ω в A, положив f (n) равным размерности Φ(An ). Заметим, что отношение {(n, m) | dim(Φ(An )) > m} имеет сложность Σ02 . Отсюда следует, что f является ∆03 -функцией. Получаем противоречие со свойствами иммунности множества A. Следовательно, P F c K и P F c K ′ , т. е. F LO c K, K ′ . Покажем, что K ⊥ K ′ . Пусть (Vn )n∈ω — равномерно вычислимое семейство векторных пространств, где Vn имеет размерность n. Если K ≤c

≤c K ′ при помощи Φ, то построим частичную ∆03 -функцию f , инъективно

отображающую A в B, положив f (a) равным размерности Φ(Va ) (можно применить ∆03 -процедуру для определения размерности конечномерного векторного пространства). По лемме 4.2 существует семейство (Af )f ∈2ω попарно ∆03 -бииммунных множеств. Для каждого f ∈ 2ω через Kf обозначается класс векторных пространств, размерности которых принадлежат Af . Приведенные выше рассуждения показывают, что это семейство обладает всеми необходимыми свойствами. 2 Интервал между типом II и F V S допускает дальнейшее усложнение. Существуют ω-цепь с бесконечной антицепью над нею, целиком находящиеся в этом интервале.


695

ЛЕММА 4.8. Если K = F LO ∪ F V S, то K ≤c F V S. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть вычислимое вложение Φ отображает линейный порядок размера n в векторное пространство размерности 2n+1 и векторное пространство размерности n в пространство размерности 2n. Разобъем ω на три бесконечных вычислимых множества A, B, C и обозначим через f, g, h инъективные вычислимые функции, отображающие ω в A, B, C соответственно. Пусть α — конечное множество атомных предложений и отрицаний атомных предложений (предназначенное для включения в диаграмму векторного пространства над полем Q). Допустим, α описывает различные векторы n0 , . . . , nk , где n0 — нулевой вектор. Преобразуем g так, чтобы g(n0 ) = f (n0 ). Пусть α∗ состоит из предложений ϕ(f (n0 ), . . . , f (ni )) и ϕ(g(n0 ), g(n1 ), . . . , g(nk )), где ϕ(n0 , . . . , nk ) ∈ α, предложений, утверждающих, что f (ni ) + g(nj ) = h(hni , nj i) для i, j 6= 0, и предложений, выводимых из данных с помощью аксиом векторных пространств. Например, из предложения q · ni = nj , где i 6= 0 и q — ненулевое рациональное число, получаем предложение q · h(hni , ni i) = h(hnj , nj i). Возьмем в качестве Φ множество

пар (α, ϕ), где α такое, как описано выше, ϕ принадлежит множеству α∗ . 2

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.9. Существует последовательность классов (Jn )n∈ω такая, что F LO ≤c J0 c J1 c J2 . . . ≤c F V S. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определим Jn как класс, содержащий все конечные линейные порядки и рациональные векторные пространства размерности не более, чем 2n. При желании можно рассматривать эти структуры в одном языке, а именно в том, который позволяет отличать линейные порядки от векторных пространств. Ясно, что F LO = J0 . Из доказательства утверждения F V S c F LO (см. теор. 2.6) видно, что J1 c F LO. В силу предложения 1.3, Jn ≤c Jn+1 . Наконец, если Jn+1 ≤c Jn с помощью Φ, то Φ должно отображать не менее двух типов изоморфизма векторных пространств в типы изоморфизма линейных порядков, что невозможно. 2

696

У. Калверт, Д. Камминс, Дж. Ф. Найт, С. Миллер В предложении 4.6 для того, чтобы получить несравнимые классы,

лежащие строго между типами I и II, к классу всех конечных простых полей добавлялись линейные порядки с выбранными размерами. Получим аналогичным образом несравнимые классы над всеми Jn и под F V S. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.10. Пусть (Jn )n∈ω — такое же, как в предложении 4.9. Существуют попарно несравнимые классы (Gf )f ∈2ω такие, что для всех n ∈ ω и f ∈ 2ω справедливо Jn ≤c Gf ≤c F V S. (Тогда

Jn c Gf c F V S.)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Каждый класс Gn содержит все конечные линейные порядки. Будем добавлять векторные пространства специальных размерностей, удовлетворяющие требованиям Rhe,σi : для всех f ⊇ σˆ0, g ⊇ σˆ1 множество We не обеспечивает вложение Gf ≤c Gg ;

′ : для всех f ⊇ σˆ0, g ⊇ σˆ1 множество We не обеспечивает влоRhe,σi

жение Gg ≤c Gf . Упорядочим все требования в виде списка. На каждом шаге s для конечного множества пар (i, n) уже определено, добавлять ли векторное пространство размерности n в Gf , где f ⊇ τ и τ имеет длину s. Класс, соответствующий решениям, принятым к шагу s, обозначим через Gτ . В качестве Gf берем объединение множеств Gτ , τ ⊆ f . Выполняем требования в соответствии с принятым порядком. На шаге s + 1 рассматриваем требование s. Допустим, оно имеет вид Rhe,σi и Φ = We . Выберем n большее, чем размерность любого векторного пространства, рассмотренного на предыдущих шагах. Для всех τ ⊇ σˆ0 длины s+1 добавим в Gτ векторные пространства размерности n+i, i 6 n. Если Φ не отображает какое-нибудь из вновь добавленных векторных пространств в элемент из класса F LO ∪ F V S, то требование выполняется. Если же Φ отображает Gτ в F LO ∪ F V S, то, в силу рассуждений из теоремы 2.6 или следствия 2.7 и поскольку Gτ содержит векторные пространства хотя бы двух различных конечных размерностей, Φ не может отобразить произвольное векторное пространство из Gτ в конечный линейный порядок. Таким образом, Φ должно отображать одно из n + 1 нового векторного про-


697

странства в векторное пространство размерности больше, чем n. Выполняем требование, не допуская векторные пространства данной размерности попасть в Gν для всех ν ⊇ σˆ1 длины s + 1. 2 Существуют другие классы, не лежащие под F V S. Конечно, любой класс вложим в класс бесконечных графов, но кроме этого, существует возрастающая последовательность классов, не лежащая под F V S. Для каждого ординала α < ω1 обозначим через LOα множество полных порядков, чей порядковый тип меньше α. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.11. Если α < β < ω1 , то LOα c LOβ . Кроме этого, для ω < α имеет место LOα 6≤c F V S.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если α < β, то, по предложению 1.3, LOα ≤c

≤c LOβ . В LOα найдутся представители порядковых типов, образующие

цепь структур длины α. Тогда в силу следствия 1.2 из α < β, LOβ LOα и α > ω следует LOα c F V S. 2

Этого результата достаточно для доказательства того, что класс бесконечных линейных порядков не лежит под классом конечномерных векторных пространств. Однако справедливо ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.12. Если LO — класс линейных порядков (возможно бесконечных), F V S — класс конечномерных векторных Qпространств, то F V S ≤c LO. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем стремиться к тому, чтобы каждое векторное пространство V соответствовало подструктуре линейного порядка ω · η, в которой для каждого n 6 dim(V) содержится плотное подмножество копий конечного линейного порядка размера n, а также плотное подмножество копий ω. Если удастся описать вычислимое преобразование, которое ведет себя таким образом, то оно будет корректно определено и инъективно на типах изоморфизма. Пусть B — лексикографическое упорядочение на множестве Q × ω.

Разобьем Q вычислимым образом на плотные подмножества Q~a , соответствующие конечным последовательностям ~a натуральных чисел. Для заданного конечного множества α атомных предложений и отрицаний атом-

698


u

линейные порядки

4.12 4.10 4.7 r

r

r. . .

u векторные пространства r r r...

b? r 4.9 rr r r r u u u

4.11 конечные порядки простые поля пустой класс

Рис. 4. Классы с бесконечными структурами

ных предложений, описывающих n-ку векторов ~a, обозначим через α∗ множество предложений, описывающее сужение B до множества Q~a × ω, если

из формул множества α вытекает, что ~a зависимы, и Q~a × n в противном случае. Тогда Φ состоит из пар (α, ϕ), где ϕ ∈ α∗ . 2

Итак, в случае включения классов с бесконечными структурами ситуация выглядит как на рис. 4. Неориентированные графы расположены на вершине. Линейные порядки находятся там же. В [1] получено борелевское вложение неориентированных графов в линейные порядки, которое может быть преобразовано в вычислимое вложение.∗) Конечномерные векторные пространства над Q лежат строго ниже линейных порядков, и конечные линейные порядки располагаются строго ниже векторных пространств. Обозначения 4.7, 4.10 и др., соответствуют доказанным предложениям. § 5. Проблемы В данном параграфе формулируется несколько открытых проблем. В первой из них говорится о c-степенях, представляющих естественные классы. Все естественные классы конечных структур, рассмотренные здесь, ∗)

Обращение доказывается в [21] вместе с результатом о том, что нет вычислимого

вложения неориентированных графов в линейные порядки, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям конечности и однородности.


699

лежат в одной из двух c-степеней, c-степени естественных классов с бесконечными структурами линейно упорядочены. ПРОБЛЕМА 1. Существует ли естественный класс K, состоящий из конечных структур с бесконечным числом различных типов изоморфизма, такой, что K не является вычислимо эквивалентным ни конечным простым полям, ни конечным линейным порядкам? В частности, существует ли естественный пример класса, лежащего строго между ними? ПРОБЛЕМА 2. Существует ли пара естественных классов K, K ′ таких, что K ⊥ K ′ ? Полученные результаты характеризуют классы, вычислимо вложимые в конечные простые поля и в конечные линейные порядки. Для классов, вложимых в конечномерные векторные пространства над Q, можно сформулировать необходимые условия, но у нас нет их характеризации. ПРОБЛЕМА 3. Охарактеризовать классы K такие, что K ≤c F V S. Не установлено, в чем состоит содержательное различие между используемым здесь определением ≤c и двумя упомянутыми альтернативными определениями. Можно показать, что частичное упорядочение, полученное из определения 1′′ , отличается от ≤c . Но о частичном упорядо-

чении, полученным из определения 1′ , ничего не известно.

ПРОБЛЕМА 4. Верно ли, что для любых классов структур K, K ′ утверждение K ≤c K ′ имеет место тогда и только тогда, когда существует

вычислимый оператор Φ = ϕe такой, как в определении 1′ , отображаюD(A)

щий A ∈ K в B ∈ K ′ , причем ϕe

= χD(B) , и являющийся корректно

определенным и разнозначным на типах изоморфизма?

ЛИТЕРАТУРА 1. H. Friedman, L. Stanley, A Borel reducibility theory for classes of countable structures, J. Symb. Log., 54, N 3 (1989), 894—914. 2. H. Becker, A. S. Kechris, The descriptive set theory of Polish group actions (Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., 232), Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1996.

700

У. Калверт, Д. Камминс, Дж. Ф. Найт, С. Миллер 3. G. Hjorth, Classification and orbit equivalence relations (Math. Surv. Monogr., 75), Providence, RI, Am. Math. Soc., 2000. 4. G. Hjorth, A. S. Kechris, Recent developments in the theory of Borel reducibility, Fundam. Math., 170, N 1-2 (2001), 21—52. 5. G. Hjorth, A. S. Kechris, Analytic equivalence relations and Ulm-type classifications, J. Symb. Log., 60, N 4 (1995), 1273—1300. 6. H. Rogers, Theory of recursive functions and effective computability, MIT Press, 1987. 7. M. O. Rabin, D. Scott, The undecidability of some simple theories, preprint. 8. A. Nies, Undecidable fragments of elementary theories, Algebra Univers., 35, N 1 (1996), 8—33. 9. D. Hirschfeldt, B. Khoussainov, R. Shore, A. M. Slinko, Degree spectra and computable dimensions in algebraic structures, Ann. Pure Appl. Logic, 115, N 1-3 (2002), 71—113.

10. W. Calvert, The isomorphism problem for classes of computable fields, to appear in Arch. Math. Logic. 11. W. Calvert, The isomorphism problem for computable Abelian p-groups of bounded length, preprint. 12. Ю. Т. Медведев, Степени трудности массовых проблем, Докл. АН СССР, 104, N 4 (1955), 501—504. 13. A. Sorbi, Some remarks on the algebraic structure of the Medvedev lattice, J. Symb. Log., 55, N 2 (1990), 831—853. 14. S. Simpson, S. Binns, Embeddings into the Medvedev and Muchnik lattices of Π01 classes, preprint. 15. Е. З. Дымент, О некоторых свойствах решетки Медведева, Матем. сб., 101(143), N 3(11) (1976), 360—379. 16. J. F. Knight, Algebraic structure of classes under computable embedding, in preparation. 17. C. J. Ash, A. Nerode, Intrinsically recursive relations, in: J. N. Crossley (ed.), Aspects of effective algebra, Proc. conf., 1979, Monash Univ., Clayton, Aust., Upside Down A Book Co., Steel’s Creek, 1981, 26—41. 18. V. S. Harizanov, Some effects of Ash–Nerode and other decidability conditions on degree spectra, Ann. Pure Appl. Logic, 55, N 1 (1991), 51—65.


701

19. C. J. Ash, J. F. Knight, Computable structures and the hyperarithmetical hierarchy (Stud. Logic Found. Math., 144), Amsterdam, Elsevier Science, 2000. 20. R. I. Soare, Recursively enumerable sets and degrees (Perspect. Math. Log., Omega Series), Berlin a. o., Springer-Verlag, 1987. 21. D. Cummins, senior thesis, University of Notre Dame, in preparation.

Поступило 20 октября 2003 г. Адреса авторов: CALVERT, Wesley, Mathematics Department, University of Notre Dame, 255 Hurley, Notre Dame, Indiana 46556, USA. e-mail: [email protected] CUMMINS, Desmond, Mathematics Department, University of Illinois at Urbana-Champaign, 273 Altgeld Hall MC-382, 1409 W. Green Street, Urbana, Illinois 61801, USA. e-mail:[email protected] KNIGHT, Julia F., Mathematics Department, University of Notre Dame, 255 Hurley, Notre Dame, Indiana 46556, USA. e-mail: [email protected] MILLER, Sara, Mathematics Department, University of Notre Dame, 255 Hurley, Notre Dame, Indiana 46556, USA. e-mail: [email protected]

Сравнение классов конечных структур

Recommend Documents