小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シリーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学技 術 の発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の発 展 の基 盤 には,数 学 の 知...
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小堀
憲
小松醇郎 福原満洲雄 編集
基 礎 数 学 シリーズ
編 集 の ことば 近 年 に お け る科 学技 術 の発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の発 展 の基 盤 には,数 学 の 知識 の応 用 もさ る こ と な が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的精 神 の浸 透 が大 きい.理 工 学 は じめ 医学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分野 で,数 学 の知 識 の み な らず 基 礎 的 な考 え方 の 素 養 が 必 要 な ので あ る.近 代 数 学 の理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 き を望 め な いで あ ろ う. 編 者 ら は,こ の よ う な事 実 を考 慮 し,数 学 の 各 分野 に お け る基 本 的知 識 を確 実 に伝 え る こ とを 目 的 と して 本 シ リーズ の 刊行 を企 画 した の で あ る. 上 の主 旨 に したが って 本 シ リー ズ で は,重 要 な 基礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の 考 え方 を平 易 に 理 解 で き る よ う解 説 して あ る.高 等学 校 の 数 学 に直 結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に 進 ん で 高 等 数 学 の理 解 へ の 大道 に容 易 に はい れ る よ う書 か れ て あ る. これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に 携 わ る人 た ちや 技 術 関係 の 人 々の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の 入 門 書 と して,ひ ろ く利 用 され る こ と を念 願 と して い る. この シ リー ズ は,読 者 を数 学 とい う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の 観 覚 に資 す る と と も に,つ ぎの 段 階 に す す む た め の 力 を 養 うに 役 立 つ こ と を意 図 した もの で あ る.
『基礎数 学 シ リー ズ10 無 限 級 数 入 門』 正誤 表
頁 29 35
行 ↑6
正
誤 ―s−
と
s−
と
問3
40
↑9
51
↑6
60
↓11
↑5 Γ(s)=sΓ(s−1)
Γ(s)=(s−1)Γ(s−1)
Γ(n)=n!
Γ(n)=(n−1)!
(ⅱ)
(ⅱ)
↓12
↓14
69
↓11
73
↓5
0≦t≦xG(n>N).こ す る.a=−
∞
れ は1/n(a1+…+an)→
の と き も 同 様.
問1.
∞
を 意 味 (以 上)
を 証 明 せ よ.
問2.
任 意 の ε>0に
対 し てaN. ゆ え に,と 1,n>N.し
く にm=N+1と
す る と│an−aN+1│Nな
対 し て,数
(1.5)
らば
列
ak,ak+1,ak+2,…
の 下 限 お よ び 上 限(コ
ー シ ー 列 の 有 界 性 か ら存 在 す る)を
そ れ ぞ れlk,mkと
らか に l1≦l2≦
す な わ ち,{lk},{mk}は も つ.そ
意 の ε>0に
コ ー シ ー 列 で あ る.
(十 分) 各 自 然 数kに
す る.明
す る と き,任
… ≦lk≦
… ≦mk≦
… ≦m2≦m1
有 界 な 単 調 数 列 で あ る か ら 定 理1.7に
よ り極 限値 を
れを
(1.6)
と す る と き λ=μ
で あ り,an→
え られ た 正 数 と し,δ=ε/3と
λ(n→ す る.コ
(1.7) │am−an│0に
ゆ え にk>Nな
am−
下 限 お よ び 上 限 で あ る か ら,amNな
らばanNな
で あ る か ら(ⅰ)が
とな る番 号Nが
対 して
あ る.い い か え る と,an>
た か だ か 有 限 個 しか な い.
(ⅱ) μ− ε0に
成 り立 つ.次
無 数 に あ る. らばmn0)
(ⅲ)
4.
(δ>0)
a0>0,a1>0,an+1=an+an−1(n=1,2,…)と
5. {bn}は
狭 義 の 単 調 増 加 列 でbn→
お く と き
∞
と す る.{an}は
とな る数 列 な らば
で あ る こ とを 証 明 せ よ.ま た こ れ を用 い て 次 式 を 示 せ. (kは 6. {an}は
有 界 な 数 列 で か つ2an≦an−1+an+1な
7. 次 の 関 係 を 証 明 せ よ. (ⅰ)
自 然 数)
ら ばan+1−an→0.
を 求 め よ.
(ⅱ) (ⅲ) an>0の (ⅳ)
{an},{bn}は
8. {an}は μ(λN
が え られ る.し た が って Ⅰ1に よ りそれ ぞ れ の 結 果 を うる.
(証終)
Ⅱ. そ れ 自身 に よ る判 定 法 Ⅱ1. 正 項 級 数 (1)
に お いて
あ る番 号Nよ
り大 き い す べ て のnに 対 して an1/n≦AN′
L=∞
の と き も(2)は
成 り立 つ.し
た が っ て Ⅱ1に よ り そ れ ぞ れ の 結 論
を うる.
(証終)
Ⅱ2. あ る 番 号Nよ
り大 き い す べ て のnに
対 して
(ⅰ)
な らば
は 収 束 す る.ま
たも し
(ⅱ)
な らば
は 発 散 す る.
証 明 に は Ⅰ2を 使 え ば よい((ⅰ)で し Ⅰ2のan,bnが
の と き,L1な
(ダ ラ ンベ ー ルの判 定法)
対 してx>logxで
あ るか ら
は発散す るか ら Ⅰ1に より
は発散す る. (以上)
は 収 束 す る.
例 題2.
解 ゆ え に 系Ⅱ2に Ⅱ3(定
よ り与 え られ た 級 数 は 収 束 す る.
理2.4)
f(x)(≧0)が
正 項 級 数
に 対 し,x≧Nで
あ っ てan=f(n)(n≧N)で
単 調 減 少 な連続函数
あ る と き,
が 有 限 な らば
(ⅰ) (ⅱ)
(以上)
は 収 束 す る.
ならば は発散する.
さ らに,(ⅰ),(ⅱ)い
と お く と き 数 列{ωm}は 証 明 f(x)は
ず れ の場 合 で も
収 束 し,そ
の 極 限 値 を ω と す る と0≦
ω ≦aN.
単 調 減 少 で あ る か ら 各 区 間[n,n+1](x≧N)に
おいて
an=f(n)≧f(x)≧f(n+1)=an+1,n≦x≦n+1.
した が っ て 積 分 の 性 質 か ら
(2.5)
こ の 不 等 式 をn=Nか え ると (2.6)
図1 こ こ でm→ 次 に ωmの
f(x)≧0で
∞
と す れ ば(ⅰ),(ⅱ)の
定 義 と(2.6)の
結 果 が え られ る.
最 初 の不 等 式 よ り
あ るか ら右 辺 は ≧0.す
な わ ち ωm≧0(m>N).
らmま
で加
ま た(2.6)の
後 の 不 等 式 よ り0≧
(2.7) さ らに
うる か ら
0≦ ωm+1≦aN,m>N
ωmの
定 義 と(2.5)に
す な わ ち{ωm}は limωm=ω
は α>1な
解 α ≦0の
よ り
単 調 減 少 で あ り,下
が 存 在 し,(2.7)よ
例 題3.
x≧1で
ωm+1− −aNを
り0≦
方 に 有 界 で あ る か ら 定 理1.7に ω≦aN.
らば 収 束 し,α ≦1な
と き は 明 ら か に 発 散 で あ る か ら α>0と
より (証終)
らば 発 散 す る. す る.f(x)=1/xα
は
単 調 減 少 な 連 続 函 数 で あ り,an=1/nα=f(n)(n≧1)
ゆ え にK→
∞
とす る と き
な らば な らば した が ってⅡ3に
より
は α ≦1な
らば 発 散,α>1な
らば 収 束 す る. (以上)
例 題4.
は 発 散 す る.
解 f(x)=1/xlogxはx≧2に
ゆえにⅡ3に より
お い て 単 調 減 少 で あ り,
は発散する.
例題5. 次の極限値が存在す る: (2.8)
解 定 理2.4をf(x)=1/x,N=1と
して 使 う と
(以上)
はm→
∞ の と き極 限 値 γ を も ち,0≦
(2.8)の
γ≦1.
極 限 値 γは オ イ レル の 定 数 と よ ば れ,計
(以上) 算 に よれ ば
γ=0.5772156… γは 有 理 数 か 無 理 数 か は 知 られ て い な い. 正 項 級 数 の収 束 判 定 法 と して,そ が,こ
の他応 用 上 重要 な ガ ウ ス の 判 定 法 が あ る
れ は の ち ほ ど述 べ る(4.3).
問1. 次 の級 数 の収束 発 散 を判 定せ よ. (ⅰ)
(ⅱ)
(ⅲ)
(ⅳ)
2.3 絶 対 収 束,条 1. 一 般 にanが
件 収束
定 符号 でな い 級数
に つ い て さ らに くわ し く し らべ
よ う.と くに 正 お よび 負 の 項 が 交 互 に 現 わ れ る級 数 を 交 項(ま
た は 交 代)級
数
とい う. 定 理2.5
{an}は
各 項anが
正 で あ る 単 調 減 少 列 で あ っ て,an→0な
ら
ば 交項 級 数 a1−a2+a3−a4+… は 収 束 し,そ の 和 をsと
す る と き,a1−a2≦s≦a1.
証 明 snを 最 初 のn項
の 和 とす る.そ
の と き 各nに
(ラ イプ ニ ッツの定 理) 対 して
s2n=s2n−2+a2n−1−a2n≧s2n−2
s2n+1=s2n−1−a2n+a2n+1≦s2n−1
で あ るか ら
ま た s2n+1=s2n+a2n+1≧s2n≧a1−a2 s2n≦s2n+1≦a1.
ゆ え に 単 調 減 少 列{s2n+1}は
下 方 に 有 界,単
調 増 加 列{s2n}は
上方 に 有 界 であ
る.し
た が って s2n+1→s≧a1−a2,s2n→s′
一 方s2
n−1−s2n=a2n→0で
≦a1,n→
∞
あ る か らs=s′,a1−a2≦s≦a1
(証 終)
例 題1.
これ は 上 の 定 理 の 条 件 を み た す 交 項 級 数 で あ る か ら収 束 し,そ の 和 をsと
す
ると (以 上) 次に 一 般 な 級 数 級数
に 対 し て,
が収 束 す る とき
定 理2.6
を そ の 絶 対 値 級 数 と い う.絶
対値
は 絶 対 収 束 す る と い う.
が 絶 対 収 束 す れ ば そ れ は 収 束 す る.そ
して
(2.9) が 成 り立 つ.た
だ しs+は
に 含 ま れ る 正 項 の 和,−s−
は 負 項 の和 を 表
わ す. 証明 (2.10)
an+=max(an,0),an−=max(−an,0)
と お く と,0≦an+,0≦an−,で
あ り
an=an+−an−,│an│=an++an− 第二式 よ り an+≦│an│,an−
ところが仮定に より
≦│an│
は収束す るか ら比較判定法に よ り正項級数
およ び は収束する.ゆ えに は収束し, と 書 く と き,
(証 終)
本 定 理 の 逆 は 成 立 し な い.例 が,そ
の絶対 値 級 数
え ば 例 題1の
級 数
は 収 束 する
は発散す るか ら絶対収束 でない.
一 般 に ,収 束 す る が 絶 対 収 束 しな い 級 数 は 条 件 収 束 す る と い わ れ る.条 件 収
束 す る 級 数 は 次 の 著 しい 性 質 を も つ: 定 理2.7
条 件 収 束 す る級 数 を
とす る と き,
に お け る項 の 順 序
を 適 当 に か え る とそ の 級 数 の 和 が 任 意 の 実 数 に 等 し い よ うに で き る. 証明
の 最 初 のn項
と お く とsn=sn+−sn−.
ゆ え にn→
∞
さ てAを
の 和 をsnと
し,(2.10)の
記 号 を用 い て
は 条 件収 束 す るか ら
の とき
任 意 の 実 数 と し,例
a1++a2++…
と 加 え て,は
え ばA>0と
し よ う.sn+→
∞
で あ る か ら,
じめ て ANに
あ っ て,任
意 の ε>0に
対 し て 番 号Nを,す
べての
対 して
(2.21) │smn−s│0に
対 して
(2.23) な るNを
│spq−s│N,q>N と る.仮
ゆ え に(2.23)に
これ は 定 理2.11の
定 お よ び 定 理1.6(ⅲ)よ
お い てq→
が 和sに
∞
り,q→
∞
な らば
とす る と
収 束 す る こ とを 示 して い る.
(証終)
条 件 に 各 行 の 収 束 が 必 要 で あ る こ と は,例(2.22)か
ら もわ か
る で あ ろ う. 定 理2.12 0に
二重 級 数
が 収 束 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任
対 し て 番 号Nを,p≧m>N,q≧n>Nな
る す べ て 組(p,q),(m,n)
に 対 して (2.24)
意 の ε>
│spq−smn│N,n>Nな
るN
を と れ ば よ い. 次 に 条 件 が 十 分 で あ る こ と を 示 す.snn=σnと q,m=nと
お い てp=
す ると
した が って 定 理1.8に ε>0に
書 き,(2.24)に
よ り{σn}は
収 束 す る.
とす る と,任
意の
対 して
と な るN1が
とれ る.ま
と な るN2が
あ る.そ
た 仮定 か ら
の と きN=max(N1,N2)と
お け ば,p>N,q>Nに
対 して
すなわちspq→ σ,p,q→∞.
(証終)
2. 二 重級数で応用上重要なのは これ か ら述べ る絶対収束 の場合であ る.二 重級数
が収束 のとき絶対収束 といわれ る.
定理2.13 (ⅰ)
が絶対収束す るな らば は収束す る.{amn}は
有界であ る.
(ⅱ)
証 明 (ⅰ) に よ り,任
と お く.
意 の ε>0に
対 し てp≧m≧N,q≧n>Nな
が 収 束 す る か ら定 理2.12 らば
│σpq− σmn│N1,q>N1
は 収 束 す る か ら そ の 和 を σ と す る と│σpq−
な るN2が
あ る.ゆ
え にN=max(N1,N2)と
σ│
お くと
き
(2.25)
tn≦ σpqN,q>N
したが って
は収束,す なわ ち
それ ゆえ定理2.8よ
り
は絶対収束す る.
の部分級数である各行の級数
お よび各列 の級数
は収束す る.と ころで(ⅰ)に
は収束 であ るか ら定理2.11に
よ り
より (証終)
(2.26)
なお, 和sを
は絶対収束であ ったか ら
もつ.し
たが って
る方法に よって も和sを
に おいて項の順序を か え て も
が絶対収束す るな らば(ⅱ)以
外 のい か な
もつ ことが同時に証 明されたわけである.
絶 対 収 束 の 判 定 法 と して, 定 理2.14 (2.27)
な らば
は 絶 対 収 束 す る.逆
証 明 (2.27)の
も正 しい.
左 辺 を σnと す る.{σn}は
単 図4
調 増 加 で か つ 有 界 で あ る か ら極 限 値 σ=limσn が 存 在 す る.ε>0に え にp≧m>N,q≧n>Nな (2.28)
た だ し
対 し てNを
適 当 に と れ ばn≧Nな る(p,q),(m,n)に
0≦ σpq− σmn0)の
収束
3. 函 数 項 級 数
3.1 函 数 の 極 限 お よ び 連 続 性 函 数 に 関 す る若 干 の 定 義 お よび 性 質 を 想 い 出 し て お こ う. 1. 函 数y=f(x)がx=cの づ い た と き のf(x)の
近 くで 定 義 され て い る とす る.xがcに
極 限 値 がlで
近
あ る とい うの は
任 意 の 正 数 ε を 与 えた と き,そ れ に 対 して 正 数 δ を を み た す す べ て のxに
対 して
(3.1)
とな る よ うに え らぶ こ とが で き る こ と で あ る. こ の と き記 号 で ま た はx→cの と 書 く.(3.1)),にお
い て00を
与 え る と連 続 の 定 義 か ら,あ
る正数 δが あ
って
す な わ ちc−
δ<xNを
みた
(3.5)
で な け れ ば な ら な い.と
こ ろ が こ れ は 正 し く な い.実
任 意 の ε を 与 え る と きn>Nな
るnに
す な わ ち(3.5)は
成 立 し な い.し
(ⅲ) α>0の
と き 閉 区 間[δ,2π
際,00)と 単 調 減 少 列 でgn(x)→0.各gnは さ て2.3例
題4よ
ゆ え に 定 理3.7に
る
お く とgnは
定 数 ゆ え そ の 収 束 は 一 様 収 束 で あ る.
りx∈[δ,2π
− δ]に
より
対 して
は[δ,2π −δ]で 一 様 収 束 す る. (以上)
一 般 に
が 区 間Iで
収 束 し ,さ
らにIに
と って も そ の うえ で は 一 様 収 束 す る と ぎ と い う.上
の 例 題 で00)は
収 束 す る.
解 部分 積 分 法 に よ り
│cosx│≦1で
あ るか ら
ゆ えに
(a>0)は
れ ばsinx/xは[0,a]上
(x→0+)で
収 束 す る.
あ るこ と に 注 意 す
の 収 束 が わ か る.
で も 積 分 可 能 で あ り
に つ い て も 同 様.
(以 上)
注 意 (ⅰ)
は存 在 し な い.実
際00に
q→
∞
対 して
とす る と右 辺 の第 一 項 は → ∞,第
→ ∞(q→
∞).す
な わ ち
例 題2. 解 s≧1な
dxは
二 項 は 例 題1に
たが って 左 辺
は 収 束 し な い. (s>0)は
らばe−xxs−1は
よ り 有 限.し
任 意 のK>0に
収 束 す る. 対 し[0,K]で
連 続 で あ る か ら
存 在 す る.
0<s0に
と き左 辺 の積 分 は 上 方 に 有 界 で あ る.し と き単 調 増 加 す る.し
たが って
対 して
か もe−xxs−1>0で
あ るか ら そ
が 存 在 す る.次
にK→
∞
で あ る か らM(>K)を
と し よ う.s>0な
らば
十 分 大 に とれ ばx>Mに
対 して
す なわ ち した が っ て
ゆ え にKが
十 分 大 な らば 与 え られ た ε>0に
対 し て1/K1な
らば 部 分 積 分 法 に よ り
Γ(s)=sΓ(s−1)
が 示 さ れ る.と
くにnが
正 の 整 数 な らば Γ(1)=1ゆ
え
Γ(n)=n!
最 後 に 無 限 区 間 に お け る 項 別 積 分 の 定 理 に つ い て 述 べ る. 定 理3.12
{un(x)}は[a,∞)で
間[a′,X](X>a′>a)上 収 束 す る.(ⅱ)次
でunは
定 義 さ れ た 函 数 列 で(ⅰ)任 積 分 可 能 で かつ
意 の有 限 区 は一様
の い ず れ か が 収 束 す る.
(α)
(β)
その とき (3.15) が 成 り立 つ. 証 明 un(x)≧0(n=1,2,…)の る も の と し, (3.16)
と お く.un(x)≧0で
あ るか ら
場 合 を 考 え る.ま
ず(α)の
級 数が 収 束 す
と こ ろ が(ⅰ)の
仮 定 か ら定 理3.11′
u(x)≧0ゆえa′
→aの
に よ って
と き
は 単 調 増 加 す る.し
た が って 極 限
値 が 存 在 し,
同 様 にX→
∞ の と き 極 限 値S′
を も つ:
(3.17)
一 方 ま た 容 易 に わ か る よ うに
(3.18)
こ こ でN→ (β)の (3.16)よ
∞
と す れ ばS≦S′.し
た が っ てS=S′.
積 分 が 収 束 す る 場 合 に は(3.18)よ り(3.17):S′
次 にun(x)が
≦Sを
りS≦S′1の
た だ し
細 は 略 す.
れ らを 引 け ば (証 終)
とき
は リ ー マ ン の ジ ィ ー タ 函 数 と よ ば れ る.
証 明 e−x0)ゆ
任 意 の 有 限 区 間[a,X](a>0)上
え2.1例
題1に
よ り
でe−x≦e−a0に
対 して
│zn+1│+│zn+2│+…+│zm│n>N な るNが
あ る(定
理5.4).と
ころ で
│zn+1+zn+2+…+zm│≦│zn+1│+│zn+2│+…+│zm│0と
し,
(ⅲ) │z2│≦2Rez が ともに収 束す るな らば
も収 束 す る.
5.3
複
素
函
数
1. 複 素 平 面 上 の 点z=x+iyに き そ の対 応 を
対 し て 一 つ の 複 素 数wが
対 応 して い る と
(5.19)
w=f(z)
と 表 わ し,こ
れ を 複 素(数 値)函 数 と い う.zは
定 め られ る か らwの
実 部,虚
(5.19′)
部 を そ れ ぞ れu,vと
u=φ(x,y),
と い う 二 つ の 実 変 数 の 函 数φ,ψ 複 素 函 数w=f(z)が zがE上
z∈Eに
v=ψ(x,y)
を 与 え た こ と と 同 じ こ と で あ る.
近 づ く と きf(z)が
で 定 義 さ れ て い る と す る.
あ る複 素 数
ε に 対 し て 適 当 な δ>0を
γ に 収 束 す る と い うの は
と れ ば0N.
関 係 す る.し
の 点 に 無 関 係 に え ら べ る な ら ば{fn(z)}はE上
か し も し そ の 際NがE
でf(z)に
一様収束する と
い う. 定 理3.4,3.5,3.6と 定 理5.9 ε>0に
ま っ た く 同 様 に し て 次 の 諸 定 理 が 証 明 さ れ る.
{fn(z)}がE上
で 一 様 収 束 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任
対 し て 適 当 な 番 号Nを
と る と きEの
│fm(z)−fn(z)│N,
n>N
が 成 り立 つ こ と で あ る. 定 理5.10
fn(z)がEで
る な ら ば,極 定 理5.9′ ε>0に
連 続 で{fn(z)}がE上
限 函 数f(z)はEで
がEで
対 し て 番 号Nを
でf(z)に
一 様収 束 す
連 続 で あ る. 一 様 収 束 す る た め の 必 要 十 分 条 件 は,任
適 当 に と れ ばEの
す べ て の 点zに
│fn+1(z)+…+fm(z)│n>N
が 成 り立 つ こ と で あ る. 定 理5.10′
fn(z)がEで
そ の 和f(z)はEで 定 理5.11
連続で
一 様 収 束 す る な らば,
連 続 で あ る. 正 項級 数
が 収 束 し, │fn(z)│≦Mn,
な らば
がEで
はEで
z∈E
絶 対 か つ 一 様 収 束 す る. (ワ イ エ ル ス トラ ス の 判 定 条 件)
例 題1.
複 素 幾 何級 数
│z│