Изучение внутренних волн в стратифицированных средах: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Часть 2. Молекулярная физика

Новосибирск, 1988

3. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Лабораторная работа 3.8 ИЗУЧЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ Цель расчеты - знакомство с оптическими методами, наблюдение и исследование внутренних волн; определение частоты Вяйсяля - Брента из дисперсионного соотношения, фазовой скорости внутренних волн, оценка градиента плотности по высоте. Оборудование: рабочий объем - сосуд с жидкостью, имеющий линейное распределение плотности по высоте, теневой прибор, фотоаппарат, частотомер, источник низкочастотных колебаний, система заполнения. Для окружающей природы (атмосферы, океана) характерна устойчивая стратификация. Под стратификацией понимается изменение плотности с высотой. Плотность морской воды зависит от давления, температуры, солености относительного содержания массы растворенных солей. Изменение плотности по глубине океана составляет примерно 4 % и является следствием больших давлений порядка 108 Н/м2 , зарегистрированных на океанических глубинах, равных 10 км. Изменение температуры морской воды от точки замерзания 271 К до значений 300 К вызывает изменение плотности на 0,5 %. Изменения солености от 3,4 до 3,7 % вызывают увеличение плотности на 0,2 %. Произвольные возмущения в стратифицированной жидкости приводят к возникновению внутренних волн. Волновые движения имеют различную форму, а их наличием объясняется широкий круг явлений. Внутренние волны можно наблюдать на границе раздела послойно залитых жидкостей с различными плотностями. Такие волны подобны волнам на свободной поверхности воды, однако эти волны не являются наиболее характерными для волновых движений, происходящих в непрерывно стратифицированной среде. В непрерывно стратифицированной среде, где плотность изменяется плавно с высотой, энергия может переноситься под углом к горизонтали, а не только вдоль поверхностей постоянной плотности. В настоящей работе исследуются малые возмущения равновесного распределения плотности ρ(z), где z - ось координат, направленная так, что увеличение ρ0 отвечает уменьшению z. Среда с градиентом плотности по высоте характеризуется параметром Вяйсяля - Брента  dρ (z )  g ω 0 =  − − 0  , dz   ρ 0 (z ) 12

где g - ускорение свободного падения, ω0 имеет размерность частоты. Характерные периоды колебаний 2π ω 0 могут изменяться от нескольких минут до часов для больших глубин океана. Отметим, что частота ω0, постоянна, когда плотность по z измеряется по экспоненциальному закону ρ = ρ 0 e − z H , и ω 02 = g H , где Н - характерная высота. Экспоненциальное распределение часто применяется в

теоретических задачах для упрощения анализа. →

Введем вектор скорости g = (u , v ) , где u и v,- компоненты вектора в направлении оси x и z соответственно, и обозначим невозмущенные величины индексом 0, а отклонение от равновесия индексом 1. Тогда в случае двумерных движений уравнения для малых возмущений примут вид

ρ 0 (du1 dt ) = −(dρ1 dx ) , (1) ρ 0 (dv1 dt ) = −(dρ1 dz ) − ρ1 g , (2)

(dρ1

dx ) + v1 (dρ 0 dz ) = 0 , (3)

(du1

dx ) + (dv1 dz ) = 0 , (4)

сравнения (1) - (2) получены из уравнений Навье - Стокса в пренебрежении молекулярной вязкостью и с помощью процедуры линеаризации, т.е. пренебрежением du du конвективными членами типа u по сравнению с . dx dt Уравнение (3) характеризует несжимаемость жидкости и отсутствие диффузии. Уравнение (4) - равнение неразрывности. Система уравнений (1) - (4) является приближением Буссинеска, уравнения движения Эйлера и уравнения неразрывности. Для решения системы (1) - (4) введем функцию тока u1 = − разрешая ее относительно ϕ, получим

dϕ dϕ , v1 = ; dx dz

∇ 2ϕ!! − ω 02 g −1 dϕ!! dz + ω 02 d 2ϕ dx 2 = 0 , (5) Уравнение (5) было получено Лауэ и Лэмбом. Для экспоненциального распределения плотности, т.е. ω 02 = const , уравнение (5) имеет решение:

ϕ = const ⋅ exp(ω 02 z 2 g )exp(i (k1 x + k 2 z − ωt )) , (6) →

здесь k, и k1 компоненты волнового вектора K . Подставив (6) в (5), найдем дисперсионное соотношение:

(

)

ω 2 = ω 02 k12 k12 + k 22 + (ω 02 2g ) .

(

2

)

2

Если ω 02 2 g