Избранные труды

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫ ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

И.В. СКРЫПНИК ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ

______________________

СЕРИЯ «ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ: МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА, КИБЕРНЕТИКА» Т. 1 ___________________________________

КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 2008

УДК 517.9 Первый том серии «Задачи и методы: математика, механика, кибернетика» составляют избранные работы И.В Скрыпника, в которых изложены его основные результаты в изучении следующих вопросов: A -гармонические формы на римановом пространстве, регулярность решений квазилинейных эллиптических уравнений высшего порядка, топологические методы исследования разрешимости нелинейных уравнений, квазилинейные уравнения высшего порядка с усиленной эллиптичностью, регулярность граничной точки для квазилинейных уравнений, поточечные оценки решений модельных нелинейных задач и усреднение нелинейных задач Дирихле в областях сложной структуры. Для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся в области теории дифференциальных уравнений в частных производных и нелинейного анализа. Перший том серії “Задачі і методи: математика, механіка, кібернетика” складають вибрані твори І.В. Скрипника, в яких викладено його основні результати у вивченні слідуючих питань: A -гармонічні форми на рімановому просторі, регулярність розв’язків квазілінійних еліптичних рівнянь вищого порядку, топологічні методи дослідження розв’язності нелінійних рівнянь, квазілінійні рівняння вищого порядку з підсиленою еліптичністю, регулярність межевої точки для квазілінійних рівнянь, поточкові оцінки розв’язків модельних нелінійних задач і усереднення нелінійних задач Діріхле в областях складної структури. Для наукових працівників, аспірантів і студентів, що спеціалізуються у галузі теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними і нелінійного аналізу.

Редакционная коллегия серии: Б.В. Базалий, И.Н. Гашененко, В.Я. Гутлянский, А.М. Ковалев (ответственный редактор), А.А. Ковалевский, В.А. Козловский, С.Я. Махно, В.И. Рязанов, А.Я. Савченко, В.Ю. Скобцов (ответственный секретарь), А.Ф. Тедеев, В.Н. Ткаченко, Н.С. Хапилова, Е.И. Харламова, А.Е. Шишков Ответственный редактор 1-го тома – А.А. Ковалевский Утверждено к печати ученым советом Института прикладной математики и механики НАН Украины

© Институт прикладной математики и механики НАН Украины, 2008

Этим томом открывается серия монографий «Задачи и методы: математика, механика, кибернетика», которые готовятся к изданию учеными Института прикладной математики и механики НАН Украины. Инициатором серии обобщающих монографий, охватывающих основные достижения ведущих специалистов Института в ряде важных направлений математики, механики и кибернетики, был выдающийся ученый, академик НАН Украины, в 1977–2005

гг.

директор

Института,

И.В. Скрыпник.

Внезапная

кончина

Игоря

Владимировича 2 февраля 2005 г. не позволила ему начать реализацию этого проекта. Но идея издания серии не забылась, была поддержана в Институте и уже начинает воплощаться в жизнь. Монографии

серии,

относящиеся

к

области

математики,

будут

посвящены

исследованию сингулярных решений нелинейных эллиптических и параболических уравнений, задачам со свободной границей, вопросам гармонического анализа, теории аппроксимации, геометрической и топологической теории отображений, а также предельным теоремам для решений стохастических уравнений. В монографиях по механике будут рассмотрены классические задачи динамики твердого тела, изучены движения гиростата и динамика систем связанных твердых тел, исследованы устойчивость и стабилизация динамических систем, прямые и обратные задачи управления и пространственные задачи механики горных пород. Наконец, в монографиях, относящихся к области кибернетики, будут представлены исследования,

связанные

с

математическим

моделированием,

идентификацией

и

управлением технологическими процессами, рассмотрены дискретные и эволюционные методы в теории конечных систем, а также динамические системы и их приложения в обработке информации. Начинается серия томом избранных трудов И.В. Скрыпника. Осуществление этого издания и открытие им данной серии – это не просто дань памяти автора идеи серии, ученого и руководителя, возглавлявшего Институт в течение долгого времени. Игорь Владимирович был ученым с большой буквы, обогатившим математику многими фундаментальными результатами. Несмотря на отнимавшую много сил и времени административную и организаторскую деятельность, он очень плодотворно и на высоком уровне работал сам и своим примером и поддержкой стимулировал работу коллег и учеников. Он возглавлял свою, хорошо известную в мире, школу по нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных и заботился о развитии других научных школ в Институте. Выдающиеся научные достижения И.В. Скрыпника приходятся на годы его работы в Институте прикладной математики и механики и составляют гордость Института. Многие из основных результатов ученого содержатся в работах, включенных в том его избранных трудов, который предлагается Вашему вниманию.

3

Игорь Владимирович Скрыпник И.В. Скрыпник родился 13 ноября 1940 г. в г. Жмеринке Винницкой области. Там же прошло его детство. После окончания средней школы он поступил во Львовский государственный университет им. И. Франко. В 1957–1962 гг. он – студент, а в 1962–1965 гг. – аспирант механико-математического факультета этого университета. Его учителем и научным руководителем был выдающийся математик Я.Б. Лопатинский. Общение с Лопатинским

сыграло

важную

роль

в

формировании

математических

интересов

И.В. Скрыпника и его становлении как ученого. В 1965 г. Игорь Владимирович защитил кандидатскую диссертацию « A -гармонические формы на римановых пространствах». В 1965–1967 гг. он работал ассистентом, старшим преподавателем и доцентом во Львовском университете. Дальнейшая научная и педагогическая деятельность И.В. Скрыпника была тесно связана с учреждениями Донецка, куда он переехал вслед за своим учителем в 1967 г. С того же времени и до конца своей жизни Игорь Владимирович работал в Институте прикладной математики и механики НАН Украины. В 1967–1974 гг. он – старший научный сотрудник института. В 1972 г. защитил докторскую диссертацию «Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка». В 1975–1977 гг. он работал заместителем директора института по научной работе. С сентября 1977 г. и до своей внезапной кончины 2 февраля 2005 г. И.В. Скрыпник – директор института. В 1979 г. избран член-корреспондентом, а в 1985 г. – действительным членом Национальной академии наук Украины. В 1993–2005 гг. он – академик-секретарь Отделения математики НАН Украины. И.В. Скрыпник обогатил математику многими фундаментальными результатами, и его научные достижения получили высокую оценку. Он – лауреат Государственной премии Украины в области науки и техники (1989), премий имени Н. Островского (1972), Н.М. Крылова (1992) и Н.Н. Боголюбова (2000) НАН Украины. В 1998 г. ему было присвоено почетное звание «Заслуженный деятель науки и техники Украины». Он был награжден орденом Дружбы народов (1986) и орденом Ярослава Мудрого V степени (2003). Первые научные работы ученого (1963–1966 гг.) были посвящены изучению

-

гармонических форм на римановых пространствах. В этих работах построена обобщенная теория де Рама–Ходжа для дифференциальных форм, удовлетворяющих эллиптическому уравнению высшего порядка. Затем И.В. Скрыпник переключился на исследование проблем теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Именно в этой теории ученый получил выдающиеся результаты, принесшие ему мировое признание.

4

Значительное

внимание

И.В. Скрыпник

уделил

исследованию

регулярности

обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений высшего порядка. Проблема регулярности решений нелинейных эллиптических уравнений была одной из ключевых проблем в теории дифференциальных уравнений на протяжении ХХ столетия. В частичной форме она была поставлена Д. Гильбертом в его девятнадцатой проблеме. К началу 70-х годов

прошлого

века

в

работах

Э. Де

Джорджи,

Ю. Мозера,

Дж. Серрина,

О.А. Ладыженской, Н.Н. Уральцевой и других авторов была полностью исследована регулярность решений квазилинейных дивергентных эллиптических решений второго порядка. Вместе с тем для уравнений высшего порядка эта проблема оставалась открытой. Более того, были построены контрпримеры (Э. Де Джорджи, Э. Джусти–М. Миранда, В.Г. Мазья), показавшие, что эллиптические уравнения высшего порядка существенно отличаются по свойствам решений от уравнений второго порядка. В работах И.В. Скрыпника впервые был дан ответ на следующий вопрос: какой минимальной дополнительной гладкостью должно обладать обобщенное решение уравнения высшего порядка для того, чтобы оно было классическим? Ответом является условие регулярности: половина порядка уравнения, а -оценки производных

, где

–

– число независимых переменных. Из этого результата и

-го порядка просто получается классическая гладкость любого

решения квазилинейного эллиптического уравнения произвольного порядка на плоскости. Другое направление исследований И.В. Скрыпника было связано с развитием топологических методов в теории нелинейных уравнений. В начале 60-х годов прошлого века в работах М.И. Вишика, Г. Минти, Ф. Браудера, Ж.-Л. Лионса и других математиков были созданы методы исследования разрешимости граничных задач для квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений произвольного порядка. Основой этих методов стала теория монотонных операторов. Дальнейшее их развитие и прогресс в исследовании нелинейных граничных задач были связаны с созданием теории степени операторов монотонного типа. В конце 60-х годов двадцатого столетия одновременно и независимо создаются теория степени

-собственных операторов Браудера–Петришина, значениями

которой являются последовательности целых чисел, и теория И.В. Скрыпника степени операторов класса α ) (класса

в современной терминологии), значениями которой

являются целые числа. Введение И.В. Скрыпником условия α ) и, независимо, Ф. Браудером условия имело определяющее значение для развития топологических методов в теории нелинейных граничных задач. Теория степени операторов класса α ) существенно расширила применение этих методов, берущих свое начало в классических работах Лерэ–Шаудера по степени 5

операторов вида «тождественный плюс вполне непрерывный». И.В. Скрыпник дал определение степени операторов класса α ) для сепарабельных и несепарабельных пространств, исследовал основные свойства степени и доказал аналог теоремы Хопфа, утверждающей,

что

степень

отображений

является

единственным

топологическим

инвариантом. Игорь Владимирович установил формулу для индекса критической точки и дал применение теории степени к разрешимости нелинейных операторных уравнений и нелинейных эллиптических граничных задач. Теория степени позволила решить задачи о существовании собственных чисел и точек бифуркации. Созданная И.В. Скрыпником в начале 70-х годов прошлого века теория степени операторов класса

нашли важные применения в изучении общих нелинейных

эллиптических уравнений с нелинейными граничными операторами, удовлетворяющими условию Лопатинского. И.В. Скрыпник предложил метод сведения общих нелинейных эллиптических граничных задач к операторным уравнениям с операторами класса

.

Такое сведение реализуется в пространствах Соболева, вложенных в пространства достаточно гладких функций, и основывается на априорных оценках решений линейных эллиптических задач. Теория степени операторов класса

дала возможность развить

топологические методы исследования существенно нелинейных параболических начальнокраевых задач. В конце 90-х годов прошлого столетия теория степени операторов монотонного типа получила дальнейшее развитие. Это было связано с изучением нелинейных задач с сильно растущими коэффициентами. В совместных работах И.В. Скрыпника и А. Картсатоса была введена степень для двух классов плотно заданных отображений. Первый класс является обобщением операторов класса

, и теория степени отображений этого класса

была применена для изучения нелинейных эллиптических задач с сильно растущими коэффициентами. Второй класс отображений – это сумма максимально монотонного оператора и оператора класса

, и теория степени отображений этого класса была

применена для изучения нелинейных параболических задач с сильно растущими коэффициентами. Было продолжено исследование индекса критической точки для плотно заданных операторов. Так, для операторов класса

было введено понятие линеаризации

и в терминах собственных чисел определенного линейного оператора получена формула индекса критической точки. Эти результаты нашли применение к нелинейным задачам с сильно растущими коэффициентами и задаче о точках бифуркации. И.В. Скрыпник ввел классы нелинейных эллиптических и параболических уравнений высокого порядка, у которых произвольные обобщенные решения непрерывны по Гельдеру. 6

Им также установлено необходимое условие регулярности граничной точки для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка. Это условие совпадает с установленным Р. Гарипи и В. Цимером достаточным условием регулярности граничной точки и, таким образом, результат И.В. Скрыпника приводит к критерию регулярности граничной точки. Позже результат Гарипи и Цимера был распространен ученым на введенный им класс квазилинейных уравнений высшего порядка с усиленной эллиптичностью. И.В. Скрыпник был одним из ведущих специалистов в мире по вопросам усреднения нелинейных граничных задач в областях сложной структуры. Исследование граничных задач в сильно неоднородных областях стало, начиная с 70-х годов прошлого века, одной из центральных проблем теории дифференциальных уравнений в частных производных. Важность изучения таких задач связана с моделированием многочисленных задач механики и физики в сильно неоднородных средах. В случае линейных уравнений эти задачи изучали Э. Де Джорджи, Э. Санчес-Паленсия, О.А. Олейник и другие для областей с периодической структурой и В.А. Марченко и Е.Я. Хруслов для областей, вообще говоря, непериодической структуры. И.В. Скрыпник создал метод исследования задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в областях с мелкозернистой границей. Метод был основан на новых поточечных априорных оценках решений задач в модельных областях. Эти оценки дали возможность ученому исследовать построенное им асимптотическое разложение решений рассматриваемых задач в последовательности перфорированных областей, установить сильную сходимость остаточного члена и построить соответствующую усредненную граничную задачу. Важно, что при этом была доказана сходимость по лебеговой мере градиентов решений. Указанные результаты были получены для областей как с объемным, так и с поверхностным распределением перфорации. Дальнейшее развитие предложенного метода дала возможность И.В. Скрыпнику перейти к исследованию усреднения задач Дирихле в областях с каналами и тонкими пустотами, а затем и областях с общей

перфорацией.

Метод

асимптотического

разложения,

разработанный

И.В. Скрыпником, развивался им и в работах по усреднению нелинейных параболических задач Коши–Дирихле. В последние десять лет своей жизни Игорь Владимирович был активно вовлечен в международное научное сотрудничество и вместе с известными зарубежными математиками получил целый ряд существенных результатов в интересовавших его направлениях исследований. Вместе с Дж. Даль Мазо он построил теорию усреднения задач Дирихле в общих перфорированных областях для нелинейных уравнений высокого порядка с усиленной

эллиптичностью.

Для

положительных 7

решений

таких

же

уравнений

И.В. Скрыпник совместно с Ф. Николози доказал неравенства Гарнака. Вместе с В.А. Лискевичем он получил новые результаты о существовании и несуществовании положительных решений во внешних областях для нелинейных эллиптических уравнений с коэффициентами из класса Като. Совместно с Г. Гаевским И.В. Скрыпник исследовал эллиптико-параболические задачи диффузионных процессов в электрически заряженных средах при условиях сильного вырождения диффузионного коэффициента и, как уже отмечалось выше, вместе с А. Картсатосом занимался развитием теории степени операторов монотонного типа и соответствующими приложениями. И.В. Скрыпник – автор более чем 200 научных публикаций. Среди них 5 монографий, одна из которых была опубликована на английском языке в Германии, а три переизданы на английском языке. Плодотворную научную работу Игорь Владимирович удачно соединял с активной педагогической деятельностью. На протяжении многих лет он читал основные и специальные курсы по теории дифференциальных уравнений в частных производных для студентов математического факультета Донецкого национального университета, отбирал способную молодежь и уделял значительное внимание ее научной подготовке через аспирантуру. Среди его учеников 4 доктора и 20 кандидатов физико-математических наук. В 1999–2004 гг. И.В. Скрыпник возглавлял кафедру дифференциальных уравнений ДонНУ. В личности Игоря Владимировича гармонично сочетались крупный математический талант, высокие качества учителя и большие организаторские способности. В 1979 г. по его инициативе в Институте прикладной математики и механики был создан отдел нелинейного анализа.

Как

руководитель

отдела

И.В. Скрыпник

приложил

много

усилий

для

формирования Донецкой математической школы по теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Эта школа и сегодня, после ухода из жизни ее несомненного лидера, сохраняет передовые позиции в Украине. Она имеет существенные научные достижения, известные во всем мире. Благодаря своим высоким профессиональным качествам, принципиальности и вместе с тем демократичности и человечности Игорь Владимирович заслуженно пользовался авторитетом и уважением широкой научной общественности. Под его руководством в Институте прикладной математики и механики НАН Украины приобрели развитие новые направления

фундаментальных и прикладных исследований, была создана опытно-

конструкторская база и существенно укреплен кадровый состав. На посту академикасекретаря Отделения математики НАН Украины И.В. Скрыпник уделял постоянное внимание развитию творческих связей математических коллективов академических учреждений и вузов, повышению международного авторитета украинской математической 8

науки. Возглавляя экспертный совет ВАК Украины по математике, он постоянно заботился о высоком уровне научных кадров. Длительное время И.В. Скрыпник возглавлял Украинское математическое общество. Он был ответственным редактором сборника «Нелинейные граничные задачи», членом редакционных коллегий журналов «Вісник Національної академії наук України”, “Доповіді Національної академії наук України”, “Український математичний журнал”, “Mathematical Physics, Analysis and Geometry”, “Abstract and Applied Analysis”, (USA) “Glasgow Mathematical Journal” (Great Britain) и членом редакционного совета журнала “У світі математики”. В 2004 г. по его инициативе был создан новый журнал – “Український математичний вісник” – с авторитетным международным редакционным советом. Издание этого журнала продолжается, его англоязычная версия распространяется Американским математическим обществом. И.В. Скрыпник был вдохновителем и организатором одних из наиболее авторитетных в странах СНГ традиционных конференций по нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных, которые регулярно, раз в два года, проводились Институтом прикладной математики и механики, начиная с 1979 г. Последние 15 лет эти конференции имеют международный статус, они проводятся с той же регулярностью, в них принимают участие многие известные зарубежные ученые-математики. Недавняя, пятнадцатая по счету, конференция из этой серии – международная конференция «Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных» (Ялта, Крым, Украина, 10–15 сентября 2007 г.) – была посвящена памяти Игоря Владимировича. В конференции приняли участие представители Украины, России, Беларуси, Казахстана, Грузии, Польши, Чехии, Словакии, Венгрии, Великобритании, Германии, Израиля, Италии, Франции, Швеции, Канады и США. Среди них было много крупных специалистов по теории дифференциальных уравнений, лично знавших И.В. Скрыпника и приехавших отдать дань памяти этого выдающегося ученого и замечательного человека.

9

On scientific contribution of I.V.Skrypnik Igor Vladimirovich Skrypnik, an extremely prolific mathematician, made many important contributions in the field of nonlinear partial differential equations. He treated a wide variety of problems for elliptic and parabolic equations. His work involved finding new estimates for solutions, proving existence and uniqueness results, and developing regularity theory for generalized solutions. He also studied solutions in domains with non-smooth boundaries and found sufficient conditions for "regular" boundary points extending the Wiener condition to nonlinear elliptic and parabolic equations. The books he wrote on nonlinear problems are extremely useful. They contain a wealth of information, and include many of his results up to 1990, in particular, his results on nonlinear higher order equations. They also treat domains with fine-grained boundary, and study homogenization in domains with holes. As a very useful tool in studying nonlinear problems, Professor Skrypnik introduced several extensions of topological degree theory to densely defined perturbations of maximal monotone operators, especially in order to treat nonlinear boundary conditions. He also presented possible applications to nonlinear functional analysis. One degree theory was used to define the index of isolated critical points, with applications to bifurcation theory. He obtained new results on removable singularities for nonlinear elliptic equations, and others on nonexistence of solutions of some elliptic inequalities. Another subject was the extension of Sobolev embedding theorems to Sobolev spaces with weights (the conditions on the weights are very sharp) and derivation of interpolation inequalities in such spaces. Professor Skrypnik's untimely death is a great loss to all who knew him as well as to nonlinear analysis.

Louis Nirenberg

10

А-ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФОРМЫ НА РИМАНОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ УЗАГАЛЬНЕНА ТЕОРЕМА ДЕ РАМА (Доповіді АН УРСР. – 1965. – № 1) Нехай M – n -вимірний дійсний аналітичний компактний рімановий простір (без краю) і нехай на ньому задано аналітичні тензори a ij1 Kiq (q = 0, K , m) , контраваріантні по верхніх індексах і коваріантні по нижньому. Розглядаємо оператори A p ( p = 0, K , n − 1) , які переводять форми степеня p в форми степеня p + 1 і задаються за формулою p +1

m

(A p α ) k1 K k p +1 = ∑ (−1) ν −1 Akν α k K kˆ 1

ν =1

ν K k p +1

, A j = ∑ a j1

i Kiq

q =0

∇ i1 L∇ iq .

Тут ∇ i – символ коваріантної похідної; індекси k1 , K , k p+1 при Aαp вказують, що мова йде про коефіцієнти форми

A αp

при

dx k1 ∧ K ∧ dx

k p +1

(аналогічно для

α ),

а

k1 , K , kˆν , K , k p +1

одержуються із k1 , K , k p +1 викресленням k ν . У виразі A j , як звичайно, мається на увазі сумування по індексах, які повторюються. Визначаємо ще оператори A p = (A p )′ A p + A p −1 (A p −1 )′ , де (A p )′ метрично спряжений до A p [1]. Припускаємо, що Ao – еліптичний оператор і A j – комутують. Форму α називаємо A -замкненою, якщо Aα = 0, β називаємо A -гомологічною нулю, якщо існує форма γ така, що на M виконується A γ = β . Нехай B p – пучок ростків форм класу C ∞ степеня p і C p – пучок ростків A -замкнених форм класу C ∞ і степеня p [2]. Має місце така лема. A –лема Пуанкаре. Послідовність 0 → C p → B p → C p +1 → 0 точна.

При доведенні використовуються ідеї [3]. За допомогою вказаної леми одержується така теорема. Узагальнена теорема де Рама. Фактор-група групи A -замкнених форм степеня p по підгрупі A -гомологічних нулю форм степеня p ізоморфна [ H p (M, R)]M , де H p (M, R) – p вимірна група когомологій простору M з дійсними коефіцієнтами. M – число A -замкнених форм нульового степеня. Двоїсте твердження має місце для оператора A′ .

11

Теорема. Фактор-група групи A′ -замкнених форм степеня

p

по підгрупі A′ -

гомологічних нулю форм степеня p ізоморфна [ H p (M, R)]M , де H p (M, R) – p -вимірна група гомологій M з дійсними коефіцієнтами. 1. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, 1956, стор. 166. 2. Чжэнь Шэн-шень, Комплексные многообразия, ИЛ, 1961, стор. 56. 3. Я. Б. Лопатинский, УМЖ, 2, 56 (1950).

12

A-ГАРМОНІЧНІ ФОРМИ НА КОМПАКТНОМУ РІМАНОВОМУ ПРОСТОРІ (Доповіді АН УРСР. – 1965. – № 2) Зробимо ті ж припущення відносно простору M , що і в [1]. Там же визначені оператори A p , (A p )′, A p , які ми будемо розглядати далі. Верхні індекси при цих операторах часто

опускаються. Спочатку будуємо параметрикс для рівняння Aϕ = 0 , після чого будуть застосовані методи інтегральних рівнянь. Виберемо деяке скінченне відкрите покриття {U i } простору M (таке, щоб U i було гомеоморфне відкритій n -вимірній сфері Ri ). Образ x ∈ U i в Ri при відповідному гомеоморфізмі позначаємо через xi . Нехай ri (x) – віддаль xi до границі Ri . Очевидно, що max ri ( x) ≥ 2ρ > 0 . Позначаємо g i ( yi ) = det ( g k ,l ( yi )) і відповідну їй функцію в U i через g i ( y ) ( g k ,l – компоненти метричного тензора).

Параметриксом називаємо таку подвійну форму: ω( x, y ) =

∑

ϕ i ( xi , y i ) ⋅ ϕ(ri ( y ))

i

∑

ϕ(ri ( y )) ⋅ g i ( y )

⋅ σ( x , y ) ⋅ α ( x , y ) .

i

Тут ϕi ( xi , yi ) – фундаментальний розв’язок рівняння A 0 u = 0 , яке розглядається в Ri , побудований Я.Б. Лопатинським в [2]. ϕ(x) – безмежно диференційовна функція на дійсній прямій, що дорівнює нулю при x ≤ ρ і одиниці при x ≥ 2ρ . σ( x, y ), α( x, y ) мають той самий зміст, що і в [3]. При цьому ω( x, y ) має порядок O(r 2 m−n lgr ) при 2m ≥ n і O(r 2 m−n ) при 2m < n , а форма q( x, y ) = − Ax ω( x, y ) має порядок O(r 1−n ) ( r – геодезична віддаль між x і y ). Лема. Має місце рівність A

∫ y

ω( x, y ) < ∗ ϕ( y ) = ϕ( x) − ∫ ϕ( x, y ) ∧ ∗ ϕ( y ) . y

Форму h називаємо A -гармонічною, якщо Ah = 0 . Теорема 1. Для того, щоб рівняння Aϕ = ψ ( ϕ, ψ – форми степеня p ) мало на M розв’язок, необхідно і достатньо, щоб ψ була ортогональна всім A -гармонічним формам степеня p . Теорема 2. В просторі форм на M існують лінійні оператори H , G , які задовольняють співвідношення: A H = H A = 0, A′H = HA′ = 0 , H 2 = H , AG = GA , A′G = GA′ , GH = HG = 0, AG = GA = 1 − H .

13

H

і G метрично самоспряжені. Метричне ядро [3] h( x, y ) оператора H належить класу C ∞ ,

метричне ядро g ( x, y) оператора G – класу C ∞ при x ≠ y і має при x = y ту саму особливість, що і ω( x, y) . Наслідок 1. Будь-який потік на M можна представити і притому єдиним чином у вигляді суми потока, A -гомологічного нулю, потока A′ -гомологічного нулю і A -гармонічної форми. Визначення потока див. в [3, гл. 3]. Оператори на потоках визначаються природно. Назвемо періодом A -замкненої форми α відносно будь-якого A′ -замкненого потока T значення (T , α) = T [* α] . Наслідок 2. (типу теореми Ходжа). На M існує A -гармонічна форма, яка має довільні наперед задані періоди відносно заданих A′ -замкнених потоків, ніяка лінійна комбінація яких не A′ -гомологічна нулю. Теорема 3. Векторний простір [ H p (M, R )] M

A -гармонічних

форм степеня

.

1. І.В. Скрипник, ДАН УРСР, 18 (1965). 2. Я. Б. Лопатинский, ДАН СССР, 71, 433 (1950). 3. Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, 1956, стор. 189.

14

p

ізоморфний

А-ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛЯ С ОСОБЕННОСТЯМИ (Украинский математический журнал. – 1965. – 17, № 4) В работе строятся A -гармонические поля второго и третьего рода. Изучается поведение A -гармонического

поля в окрестности изолированной особой точки. Дается обобщение

теоремы Римана–Роха. Изложение ведется для операторов A первого порядка. Однако при надлежащем видоизменении результаты пунктов 1–5 справедливы и для операторов A высшего порядка. Соответствующие результаты для гармонических полей получил Кодаира [1]. 1. Пусть M – действительное аналитическое ориентируемое риманово пространство размерности n (без границы), на котором заданы аналитические тензоры: ai – ковариантный и aij – смешанный. Рассматриваются операторы A p ( p = 0, K , n − 1) , переводящие формы степени p в формы степени p + 1 и задаваемые формулой: p +1

(A p α ) k1 , K , k p +1 = ∑ (−1) ν−1 Akν α k , K , kˆ 1

ν =1

∇j

ν,K,

k p +1

, Ai = aij ∇ j + ai ,

(1)

– символ ковариантной производной; индексы k1 , K , k p+1 при A p α указывают, что речь

идет о коэффициентах формы A p α при dx k1 ∧ K ∧ dx k p+1 (аналогично для α ), а k1 , K , kˆν , K , k p+1 получается из k1 , K , k p+1 вычеркиванием kν . Как обычно, предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Определим еще A p = (A p )′ A p + A p−1 (A p−1 )′ , где (A p )′ метрически сопряжен к A p (см. [3]). В дальнейшем предполагается перестановочность A j и эллиптичность A0 . Индексы при операторах A p , (A p )′, A p будут часто опускаться. 2. Обозначим через A* p оператор, получаемый по формуле (1) путем замены Ai на Ai* = −∇ j ⋅ aij + ai .

Лемма 1. На M существует и притом единственная функция v~ , удовлетворяющая A*0 v~ = 0 .

Пусть β n (u, v~ ) = u ⋅ v~ , здесь u – форма степени n . Лемма 2. Существуют формы β p (u, v~) степени p (0 ≤ p ≤ n − 1) , удовлетворяющие β p +1 (A p u , v~ ) = d β p (u , v~ )

(2)

и такие, что их коэффициенты являются билинейными формами относительно v~ и коэффициентов u ( u – форма степени p ).

15

Меняя ролями операторы A и A* получим формы β*p (v~, v) , обладающие аналогичными свойствами. u~ – решение уравнения A0u = 0 . В дальнейшем будут употребляться обозначения: {u , C} = ∫ β p (u , v~ ), [v, C ] = ∫ β*p (u~,∗v) . C

C

3. A -гармоническими полями будем называть формы, удовлетворяющие соотношениям Au = 0, A′u = 0 .

Под выражением « A -гармоническое поле ϕ имеет особенность θ » понимается следующее. Пусть заданы нигде не плотное компактное подмножество F многообразия M, G – его окрестность, и A -гармоническое регулярное в G − F поле Θ . Тогда ϕ имеет

особенность Θ , если ϕ – регулярно в M − F , и существует A -гармоническое в G поле W такое, что ϕ = Θ + W в G − F . Для простоты будем рассматривать случай, когда F содержится в достаточно малой геодезической сфере S (с границей Γ ), S ⊂ G . Тогда возможность построения поля с заданной особенностью Θ дается следующей теоремой существования. Теорема 1. Пусть степень Θ равна p . Тогда в случае 2 ≤ p ≤ n − 2 существует A гармоническое поле ϕ с особенностью Θ . В случае p = 1 или p = n − 1 для этого достаточно соответственно [Θ, Γ] = 0, {Θ, Γ} = 0.

(3)

Далее ϕ можно выбрать так, чтобы

∫

|| ϕ ||M−G < +∞ ,

(4)

ϕ ∧ ∗ζ ≡ (ϕ, ζ ) = 0

(5)

M

для произвольной формы ζ , равной нулю в G и удовлетворяющей A ζ = 0 . 4. В этом пункте определяются A -гармонические поля второго и третьего рода. Используя построенное Я.Б. Лопатинским фундаментальное решение [2], устанавливается существование двойной формы ω( x, ξ) , удовлетворяющей Ax ω( x, ξ) = 0 и такой, что для достаточно малой области G ⊂ M и для произвольной достаточно гладкой формы η с носителем в G имеет место η(ξ) = (Aη, Aω (⋅, ξ)) + (A′ η, A′ ω (⋅, ξ)).

Форма ω( x, ξ) определяется в окрестности диагонали произведения M × M и имеет порядок O(r 2−n ) при n > 2 и O(lg r ) при n = 2; r – геодезическое расстояние. Пусть C = C p – цепь, содержащаяся в достаточно малой геодезической сфере S . Определим u p−1 ( x) = {ω( x), ∆ C} . Можно выбрать в G ⊃ S регулярное поле f так, чтобы поле 16

Θ = f + A u p −1

было A -гармоническим. Применением теоремы 1 доказывается существование

A -гармонического

поля на M с особенностью Θ . При помощи разбиения произвольной

конечной цепи C на «малые» части устанавливается Теорема 2. Для каждой конечной цепи C = C p (1 ≤ p ≤ n − 1) в M существует одно и только одно поле e [C ] степени p , удовлетворяющее условиям (3), (4) и (e[C ], ζ ) = {ζ, C}, Aζ = 0

(6)

(e [C ], A′ ϕ) = 0,

(7)

|| e [C ]||1,G < +∞.

(8)

Поле e[C ] регулярное A -гармоническое в M − ∆C и имеет особенность в каждой точке ∆C .

Пусть e~ [C ] – аналогично получаемое поле для A∗ . Определим e ∗ [C ] = ∗ e~ [C ] . Если ∆C ≠ 0, e [C ]

и e∗ [C ] будем называть A -гармоническими полями третьего рода.

Пусть u ( x, ξ) = Aξ ω( x, ξ) . Посредством предельного перехода из только что рассмотренного случая получаем следующую теорему. Теорема 3. Для произвольного ξ и произвольных k1 , K , k p существует одно и только одно A -гармоническое поле ek1 Kk p ( x, ξ) , регулярное в M − ξ , удовлетворяющее (3), (4) и такое, что в G − ξ (9)

ek1 ,K,k p ( x, ξ) − (A u ) k1 ,K, k p ( x, ξ) = f k1 ,K,k p ( x); f k1Kk p ( x )

– голоморфное в некоторой окрестности G точки ξ поле.

Пусть ~ek1 ,K,k p ( x, ξ) – аналогично получаемое для оператора A∗ поле. Определяем ek∗1 ,K,k p ( x, ξ) = ∗ ~ek1 ,K,k p ( x, ξ) . Пару P r = (σ, ξ) , состоящую из тензора σ = σ λ1 , K , λ r ; q1 , K , qs −1 и точки ξ в M называем r полюсом порядка s , причем σ предполагается кососимметрическим по греческим индексам. Для произвольной формы ϕ степени r определяем (ϕ, P r ) = A -гармоническими

1 σ λ1 , K , λ r ; q1 , K , qs −1 ∇ q1 L∇ qs −1 ϕ λ1 , K , λ r (ξ) . r !( s − 1)!

полями второго рода называем e [ P] ( x) = (e ( x, ⋅), P) и e ∗ [ P] ( x) = (e ∗ ( x, ⋅), P) .

5. В этом пункте изучается поведение

A -гармонического

поля в окрестности

изолированной особой точки конечного порядка. Говорим, что регулярное при x ≠ x0 A 17

гармоническое поле ϕ( x, x0 ) имеет в точке x0 особую точку конечного порядка, если ϕ( x, x0 ) = O(r ( x, x0 ) − n −l +1 ) .

Наименьшее целое неотрицательное l , для которого имеет место

написанное соотношение, называем порядком особенности в точке x0 . Теорема 4. Пусть Θ( x, x0 ) A -гармоническое поле степени p и x0 его изолированная особая точка порядка l . В случае p = 1 или p = n − 1 соответственно предполагаем выполнение (3) (где под Γ надо понимать поверхность достаточно малой геодезической сферы с центром в x0 ). Тогда в окрестности точки x0 , Θ представляется в виде l

Θ = ∑ e[ Pm ] + Θ 0 ; m =1

Θ

– регулярное A -гармоническое поле, Pm – p -полюс порядка m . Если p = n − 1 и (3) не выполнено, то поле Θ1 = Θ − (−1) n {Θ, Γ} e ∗ [C ]

будет уже удовлетворять (3) и теорема 4 применима. Здесь C − 1 -цепь такая, что ∆ C = x0 − y0 , y0 – точка в окрестности x0 . Аналогично для p = 1.

6. Теорема 5. Для произвольного конечного цикла Z (10)

{e ∗ [C ], Z } = I ( Z , C ) .

Здесь I ( Z , C ) – индекс пересечения. С помощью этой теоремы устанавливается следующая теорема, которую следует рассматривать

как

обобщение

теоремы

Римана–Роха.

Предполагаем

сейчас,

что

многообразие M компактно. Теорема 6. Пусть на M p -полюсы P1 , K , Pr , Q1 , K , Qs , p -цепи C1 , K , Ct и n − p -цепи C1∗ , K , Cu∗

заданы так, что e [Q1 ],K, e [Qs ], e [ P1 ],K, e [ Pr ], e [C1 ],K, e [Ct ], e ∗ [C1∗ ],K, e ∗ [Cu∗ ] линейно

независимы по модулю H p ( H p – пространство A -гармонических форм степени p ). Числа M , N, b

определяются следующим образом.

M

– число линейно независимых

A-

гармонических полей e , удовлетворяющих: e ≡ 0 mod ( H p , e[ P1 ], K , e [ Pr ]), {e, Z p } = 0 для всех p мерных циклов

Zp

пространства

M, [e, Z n − p ] = 0

для всех

n − p -мерных

пространства M , {e, С k } = 0 (k = 1, K , t ), [e, Ci∗ ] = 0 (i = 1, K , u ), [e, Q j ] = 0 ( j = 1, K , s ) ; N

– число линейно независимых A -гармонических полей e′ , удовлетворяющих: (e′, Pj ) = 0 ( j = 1, K , r ), e′ ≡ 0 mod ( H p , e [Q1 ], K , e [Qs ], e [C1 ], K , e [Ct ], e∗ [C1∗ ], K , e ∗ [Cu∗ ] );

18

циклов

Z n− p

b

– p -мерное число Бетти многообразия M .

Тогда M = N − b + r − s − t − u.

1.

K. Kodaira, Harmonic fields in Riemannian manifolds (generalized potential theory), Annals of Math., 50, 1949, 587–665.

2.

Я. Б. Лопатинский, Функциональная система решений системы линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа, ДАН СССР, т. 71, № 3, 1950, 433–436.

3 . Ж. де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.

19

ПЕРИОДЫ A-ЗАМКНУТЫХ ФОРМ (Доклады Академии наук СССР. – 1965. – 160, № 4) В работе вводится понятие периодов A -замкнутых форм относительно циклов многообразия. Устанавливаются в терминах периодов результаты, обобщающие известные теоремы де Рама и Ходжа (см. [3]–[6]). Понятие периода имеет важное значение в ряде вопросов, связанных с

A -гармоническими

полями и формами, в частности, при

рассмотрении A -гармонических полей с особенностями. 1. Пусть M – вещественное аналитическое компактное риманово пространство размерности n (без границы), на котором заданы аналитические тензоры a ij1 , K , iq (q = 0, K , m) , контравариантные по верхним индексам и ковариантные по нижнему. Определяем операторы A p ( p = 0, K , n − 1) , переводящие формы степени p в формы степени p + 1 по формуле p +1

(A p α ) k1 , K , k p +1 = ∑ (−1) ν−1 Akν α k , K , kˆ ν =1

1

ν , K , k p +1

m

; A j = ∑ a j1

i , K , iq

q =0

∇ i1 L∇ iq .

Здесь ∇ i – символ ковариантной производной. Индексы при формах α, A αp указывают, что речь идет о соответствующих компонентах форм; k1 , K , kˆν , K , k p+1 получается из k1 , K , k p+1 вычеркиванием k ν . В A j ведется суммирование по повторяющимся индексам. Определяем еще A p = (A p )′ A p + A p −1 (A p−1 )′ , где (A p )′ метрически сопряжен к A p (см. [4]). Предполагается, что A0 – эллиптический оператор и A j перестановочны. Форму α называем A -замкнутой, если A α = 0 ; β называем A -гомологичной нулю, если существует на M такая форма γ , что A γ = β . Форму ϕ называем A -гармонической, если A ϕ = 0 ; ψ называем A -гармоническим полем, если A ψ = 0, A′ ψ = 0 . Имеет место следующая обобщенная теорема де Рама. Теорема 1. Фактор-группа H Ap (M) группы A -замкнутых форм степени p по подгруппе A -гомологичных

нулю форм степени p изоморфна [ H p (M, R)]M , где H p (M, R) – p -мерная

группа когомологий пространства M с вещественными коэффициентами. M – число линейно независимых A -замкнутых форм нулевой степени. 2. Здесь будут введены основные для дальнейшего формы β p (u, v~j ) и сформулировано предположение относительно них. Пусть A ∗ p = ∗ (A n− p )′ ∗−1 (относительно оператора ∗ см. [4]). На M существует M линейно независимых решений уравнения A ∗ 0 v = 0 , также для уравнения A 0 u = 0 . Обозначим эти решения соответственно через v~1 , K , v~M ; u~1 , K , u~M . 20

Лемма 1. Существуют формы β p (u, v~j ) (1 ≤ j ≤ M ) степени p (0 ≤ p ≤ n) такие, что для всех u степени p имеют место соотношения β n (u , v~j ) = u ⋅ v~j ; β p +1 (A p u, v~j ) = d β p (u , v~j ) ( p < n) .

При этом коэффициенты β p (u~, v j )

являются билинейными дифференциальными

выражениями относительно u, v~j ( d – внешний дифференциал). Пусть S ε1ε 2 : ε1 < rP,Q < ε 2 – геодезическое кольцо с центром в произвольной точке P ∈ M . В силу теоремы 1 группа HAn−1 ( S ε1 ,ε2 ) имеет M образующих uˆ1 , K , uˆ M . Будем предполагать, что det || Bij || ≠ 0, (β i , j ) Mj=1 ≠ (0, K, 0) ,

где Bi , j задаются формулой

∫

β n−1 (uˆ i , v~j ) (ε1 < ε < ε 2 ) и не зависят от ε , а β i, j – числа на M ,

rP ,Q =ε

равные β 0 (u~i , v~j ) . 3. Пусть K – некоторое симплициальное разбиение (см. [3]) многообразия M . Введем отображение Bi множества всех форм степени p на M в множестве цепей комплекса K : Bi (ϕ p ) = ∑ {ϕ p , C p }i C p ; {ϕ p , C p } j ≡ C

p

∫ C

β p (ϕ p , v~j ) .

p

Следующая теорема имеет основное значение: Теорема 2. Оператор Bϕ ≡ ( Bi ϕ) iM=1 устанавливает сформулированный в теореме 1 изоморфизм. Теперь можно ввести Определение. Периодами A -замкнутой формы ϕ относительно цикла Z многообразия M

называем числа {ϕ, Z }i , 1 ≤ i ≤ M . 4. Опираясь на результаты пункта 3, устанавливаются теоремы: Теорема 3. A -замкнутая форма с нулевыми периодами относительно всех циклов

многообразия A -гомологична нулю. Пусть Z jp ( j = 1, K , s ) – p -мерные циклы, никакая линейная комбинация которых не гомологична нулю. Тогда: Теорема 4. Существует A -замкнутая форма, имеющая произвольные наперед заданные периоды относительно циклов Z jp . Теорема 5. Существует A -гармоническая форма, имеющая произвольные наперед заданные периоды относительно циклов Z jp . Последняя однозначно определяется, если s равняется p -мерному числу Бетти. В случае оператора A , совпадающего с оператором внешнего дифференцирования, теоремы 3 и 4 получены де Рамом [5], а теорема 5 известна как теорема Ходжа [4], [6]. 21

5. В заключение укажем аналоги теоремы 3 и 4 для случая дифференциальных форм с фиксированным носителем. Эти результаты нужны при рассмотрении A -гармонических полей и форм на многообразии с краем (ср. [1], [2]). Носитель формы ϕ обозначим через ϕ . Пусть N – n -мерное подпространство M с границей B и Rip – базис относительных p -мерных циклов N (mod B) . Относительными периодами формы ϕ (ϕ ⊆ N) называем {ϕ, Rip } j . Теорема 3′ . A -замкнутая форма ϕ (ϕ ⊆ N) с нулевыми относительными периодами представима в виде ϕ = A ψ (ψ ⊆ N) . Теорема 4′ . Существует

A -замкнутая

форма θ (θ ⊆ N) , имеющая произвольные

наперед заданные относительные периоды.

1. G. F. D. Duff, Ann. Math., 56, 1, 115 (1952). 2. G. F. D. Duff, Spencer, Ann. Math., 56, 1, 128 (1952). 3. K. Kodaira, Ann. Math., 50, 3, 587 (1949). 4. Ж. Де Рам, Дифференцируемые многообразия, ИЛ, 1956. 5. G. de Rham, J. math. pures et appl., 10, 115 (1931). 6. W .V. D. Hodge, Proc. London Math. Soc., 41, 483 (1936).

22

РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА О РЕГУЛЯРНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА (Доклады Академии наук СССР. – 1972. – 203, № 1) Исследование разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений высшего порядка впервые было проведено в работах М.И.Вишика [1] и продолжено затем в работах Ф.Браудера, Ж.Лере, Ж.Лионса, Ю.А.Дубинского и др. (см., например, обзор [2]). При определенных предположениях доказано существование слабых решений для квазилинейных уравнений дивергентного вида. О гладкости полученных обобщенных решений известно мало. Морри [3] доказал, что решение является гладким вне локально компактного множества меры нуль. При ряде существенных ограничений плоский случай рассмотрел Нечас [4] (помимо естественных условий предполагается включение оператора в некоторое параметрическое семейство, условие дефинитности его вариации и др.). Известны примеры [5 – 7] регулярных вариационных задач, обобщенные решения которых не являются классическими, и показывающие, что уравнения высших порядков существенно отличаются по свойствам решений от уравнений второго порядка. В связи с этим возникает ряд вопросов для уравнений высшего порядка: определить минимальную гладкость обобщенного решения, обеспечивающую его классичность, выделить классы уравнений с регулярными решениями и др. Эти вопросы рассматриваются в настоящей работе. 1.

Здесь

строятся

аналогичные

указанным

в

[5–7]

примеры

регулярных

вариационных задач с негладкими обобщенными решениями. Эти примеры показывают, что полученные ниже результаты являются точными. Пусть n > 2, λ – произвольное число, удовлетворяющее неравенству 1 < λ < 2 − 1 2 n, ϕ(t ) – функция класса C ∞ на R 1 такая, что ϕ(t ) ≡ 1 при t >| λ |, ϕ(t ) ≡ 1 2 | λ | при t < 1 2 | λ | . Тогда функция u ( x) =| x | λ является обобщенным решением в шаре B = {x ∈ R n : | x |≤ 1 } уравнения Эйлера функционала 2 ⎧⎡ n ⎛ n ⎛ ⎞ ∂ 2u ⎤ ∂ ∂ ∂ 2u u u ⎪ − 2 ϕ (| ∇u |) + σ 1 δ ij ⎟ ⎥ + σ2 ∑ ⎜ J (u ) = ∫ ⎨⎢ ∑ ⎜ ⎜ ⎟ ∂x i ∂x j ⎥ i , j =1⎝ ∂x i ∂x j ⎢i , j =1⎜⎝ ∂x i ∂x j B ⎪⎣ ⎠ ⎦ ⎩

23

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎫ ⎪ ⎬ dx , ⎪⎭

где σ2 =

[(n + λ − 2)σ1 + λ − 1]⋅ [n + λ − 3 + σ1 (λ − 2)] . (2 − λ )(n + λ − 2)

Выбирая σ1 так, чтобы σ 2 было положительным, добьемся эллиптичности уравнения Эйлера функционала J (u ) . Сделаем несколько замечаний. 1) При λ , близком к единице, получаем пример негладкого решения регулярной вариационной задачи в случае n ≥ 3 . 2) При λ , близком к единице, произвольном q, 1 < q < 2 , и достаточно большом n , 1

получаем пример решения регулярной задачи, принадлежащего B q2+ 2 n , но не являющегося регулярным. Определение пространств B pr см., например, в [8]. 3). При λ , близком к нулю и отрицательном, имеем пример неограниченного решения при n ≥ 5 . 2. Сейчас будут указаны условия регулярности обобщенного решения у

∑ (−1) |α| D α Aα ( x, u,..., D m u ) = 0 .

(1)

|α | ≤ m

Здесь α = (α 1 ,..., α n ) , α i целые,

α1

⎛ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎟⎟ ...⎜ D u = ⎜⎜ ⎜ ∂x x ∂ ⎝ 1⎠ ⎝ n α

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

αn

{

}

D j u = D α u : | α |= j ,

u,

x = (x1 ,..., x n ) ∈

∈Ω ⊂ Rn .

Еще С.Н.Бернштейном (при m = 1 ) были выяснены условия, которые следует считать естественными при изучении регулярности решений. Это условие эллиптичности, которое для уравнения (1) будем писать в виде

∑ Aαβ ( x, ξ) η α ηβ ≥ C1 (1+ | ξ |) p − 2 ∑ η α2 ,

|α | =|β| = m

Здесь

|α | = m

Aαβ ( x, ξ) = ∂Aα ( x, ξ) / ∂ξ β , p ≥ 2, ξ = {ξ α : | α |≤ m}∈ R M

.

C1 > 0 ;

Естественными

(2) являются

гладкость Aα ( x, ξ) и оценки на рост функций Aα ( x, ξ) и их производных. Предполагаем, что функции Aα дифференцируемы по своим аргументам [1 2 n] + 1 раз и имеют место оценки с положительной постоянной C 2 при x ∈ Ω и ξ ∈ R M , | α |≤ m, | β | + | γ |≤ [1 2 n] + 1 : D xβ Dξγ Aα ( x, ξ) (1+ | ξ γ |) ≤ C 2 (1+ | ξ |) p −1 ,

(3)

где γ = {γ α : | α |≤ m}, Dξγ = ∏ (∂ / ∂ξ α ) γ α , ξ γ = ∏ ξ αγ α . |α |≤ m

|α |≤ m

Функция u ∈ W pm (Ω) называется обобщенным решением уравнения (1), если для o

произвольной v ∈ W mp (Ω) выполнено равенство Aα ( x, u ,..., D m u ) D α v dx = 0 . ∫ |α∑ |≤ m

Ω

24

Пусть Ω ′ – произвольная строго внутренняя подобласть области Ω , ξ( x) ∈ C 0∞ (Ω) и при x ∈ Ω ′ ξ( x) ≡ 1 . Теорема 1. Предположим, что выполнены условия (2), (3) и u (x) – такое обобщенное решение уравнения (1), что при | α |=| β |= m

(1+ | D u |) α

p−2

D β u ⋅ ξ ∈ B 2n / 2 (Ω) .

(4)

Тогда u ( x) ∈ C m (Ω ′) . Дальнейшее повышение гладкости u ( x) следует из результатов [9]. Отметим, что, как 1

1

показывает замечание 2), в условии (4) нельзя заменить B2 2 n на Bq 2 n при q < 2 . 3. Установим сейчас регулярность обобщенных решений в плоском случае ( n = 2 ) при выполнении только естественных условий. Теорема 2. Пусть n = 2 , выполнены условия (2), (3) предыдущего пункта и o

u ( x) ∈ W

m p

(Ω) – обобщенное решение уравнения (1).

Тогда u ( x) ∈ C m (Ω ′) для произвольной строго внутренней подобласти Ω ′ области Ω . Регулярность решения вблизи границы дает Теорема 3. Пусть n = 2 , ∂Ω ∈ C m,δ , δ > 0 , выполнены условия (2), (3) и п.2 и при x , принадлежащем некоторой окрестности ∂Ω , Aαβ ( x, ξ) = Aβα ( x, ξ) ,

| α |=| β |= m .

Тогда всякое обобщенное решение u (x) уравнения (1) принадлежит C m,λ ( Ω ) с некоторым λ > 0 . 4. Рассмотрим теперь вопрос о регулярности обобщенных решений уравнения

∑ (−1) |α| D α {a αβ ( x, u,..., D k u ) D β u} = 0

(5)

|α |,|β|≤ m

при k < m . Предполагаем, что ∂Ω ∈ C m , a αβ ( x, ξ ′) – непрерывные функции ( x, ξ ′) ∈ Ω × R N , ξ ′ = {ξ α : | α |≤ k }∈ R N и имеют место оценки с положительными k1 , k 2 :

∑ a αβ ( x, ξ ′) η α ηβ ≥ k1 ∑ η α2 ,

(6)

| a αβ ( x, ξ ′) |≤ k 2 ,

(7)

|α | =|β| = m

|α | = m

| α |, | β |≤ m .

Регулярность решений уравнения (5) дает o

Теорема 4. Пусть выполнены условия (6), (7) и u ( x) ∈ W m2 (Ω) – обобщенное решение уравнения (5). Тогда при n = 2(m − k )

u ( x) ∈ C m ( Ω ) .

25

Замечание 1) п.1 показывает, что при n < 2(m − k ) утверждение теоремы не имеет места. 5.

Укажем

в

заключение

условия

непрерывности

обобщенного

решения.

Рассматриваем решение уравнения (1), предполагая выполненными неравенства с C1 , C 2 > 0 :

∑

|α | = m

Aα ( x, ξ) ξ α ≥ C1

∑| ξα | p

|α | = m

Aα ( x, ξ) ≤ C 2 (1+ | ξ |) p −1 ,

−C 2 ,

(8)

| α |≤ m .

(9)

Предполагается, что гладкость ∂Ω обеспечивает применение теорем вложения для W pm (Ω) . Теорема 5. Если функции Aα ( x, ξ) измеримы и удовлетворяют неравенствам (8), (9), o

u ( x) ∈ W

m p

(Ω) – обобщенное решение уравнения (1) и n = mp , то u ∈ C (Ω ) .

Замечание 3) п.1 показывает, что утверждение теоремы не имеет места при n > mp . Отметим, что ограниченность u (x) в условиях теоремы 5 доказана в [10]. При mp > n утверждение теоремы 5 следует из теорем вложения. 1

М.И. Вишик. Тр. Московок. матем. общ., 12, 125 (1963).

23, № 1, 45 (1968).

3

6

Ю.А. Дубинський, УМН,

Ч.Б. Морр, Сборн. пер. Математика, 13, 3, 50 (1959).

Comm. Math. Univ. Carol, 9, 3, 365 (1968). 135 (1968).

2

5

4

I. Nečas,

E. De Ciorg, Boll. Un. Matem. Ital., Ser. 4, № 1,

E. Giusti, M. Mirand,. Boll. Un. Matem. Ital., Ser. 4, № 2, 219 (1968).

Мазь, Функ. Анализ, 2, в. 3, 53 (1968).

8

9

С. Агмон, А. Дуглис, Л. Ниренберг,

Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы, М., 1962.

26

В.Г.

С.М. Никольский, Приближение функций

многих переменных и теоремы вложения, М., 1969. Unione Mat. Haliana, 3, № 4, 607 (1970).

7

10

I. Frehs,. Boll.

О РЕГУЛЯРНОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ (Математическая физика. – 1972. – 11) Проблема регулярности обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений является одной из основных в современной теории дифференциальных уравнений. Полное решение проблемы получено для случая уравнений второго порядка в конце пятидесятых годов XX ст. усилиями ряда крупных математиков (см., например, [1]). Уравнения высшего порядка и системы существенно отличаются по свойствам решений от уравнений второго порядка. Это показали недавно построенные примеры В.Г.Мазья [2], Де Джорджи [3], Э.Джусти, М.Миранды [4]. В настоящее время известны только результаты, полученные для уравнений высшего порядка и систем Морри [5] и Нечасом [10]. Морри в общих предположениях доказана непрерывность некоторых производных в области с выкинутым локально компактным подмножеством меры нуль. И.Нечас доказал регулярность решений квазилинейных уравнений на плоскости при ряде существенных ограничений. Предполагается, что уравнение можно включить в параметрическое семейство специального вида. Делаются существенные ограничения на коэффициенты, обеспечивающие, например, единственность решения. В настоящей статье устанавливается регулярность решений уравнений внутри области при естественных условиях. После работ С.Н.Бернштейна естественными считаются условие эллиптичности и оценки на поведение коэффициентов и их производных. Отметим, что сделанные предположения могут быть ослаблены. Можно не требовать существование вторых производных от решений, а предполагать только принадлежность их к классу C 1,α , α > 0 . Можно ослабить предположения на рост коэффициентов. Получены подобные результаты и для некоторых неравномерно эллиптических уравнений. Предлагаемый метод позволил ответить на вопрос об априорной минимальной гладкости решения, позволяющей судить о его регулярности, в случае многомерных областей. § 1. Ограниченность производных порядка m Пусть u ∈ W 2mp (Ω), dim Ω = 2 , – обобщенное решение уравнения

27

∑ (−1) |α| D α {Aα ( x, Du )} = 0 ,

(1)

|α | ≤ m

o

т.е. для произвольной функции v ∈ W

m 2p

(Ω) выполняется интегральное тождество

∫ ∑ Aα ( x, Du) D

α

(2)

v dx = 0 .

Ω |α | ≤ m

{

Здесь пользуемся обычными мультииндексными обозначениями

}

Du = D α u : | α |≤ m .

Относительно гладкости области Ω никаких предположений не делается. Предполагается, участвующие

ниже

что в

для

функций

неравенствах

Aα ( x, ξ)

существуют

и

имеют

(3),

что

все

производные,

место

оценки

при

x ∈ Ω, ξ = {ξ α : | α |≤ m}∈ R M , m ≥ 2, 2 p > 1:

∑

|α | =|β| = m

Aαβ ( x, ξ) η α η β ≥ ν 0 (1+ | ξ |) 2 p − 2 2

∑

|α|,|β|,| γ |≤ m

Aαβγ ( x, ξ) (1+ | ξ |) 2 + ∑

∑ η α2 ,

|α| = m

∑ | Aαβi ( x, ξ) | (1+ | ξ |) +

i =1 |α|,|β|≤ m

2

+

∑ ∑ | Aαij ( x, ξ) |≤ µ 0 (1+ | ξ |) 2 p −1 ,

(3)

i , j =1 |α|≤ m

Aαβ ( x, ξ) =

∂Aα ( x, ξ) , ∂ξ β

Aαβγ ( x, ξ) =

Aαi ( x, ξ) =

∂ 2 Aα ( x, ξ) ∂ξ γ ∂ξ β

∂Aα ( x, ξ) , ∂x i

и т.д.

Здесь ν 0 , µ 0 – положительные постоянные. Пусть x0 – произвольная точка Ω , расстояние которой до границы области Ω d′ ⎫ , 1⎬ . Подставим в (2) ⎩m + 2 ⎭

обозначим через d ′ , и пусть d = min ⎧⎨

{[

}

2

⎛ ∆ p D α u ( x) ⎞ ⎟ , v = ∆ (− h) V p , 0 ( x) ∆ (h) u ξ ( x) , V p , α ( x) = 1 + ⎜⎜ m − |α | ⎟ ⎠ ⎝ h β

]

β

r

s

(4)

где r, s – положительные числа, значение которых будет указано ниже, ξ( x) ∈ C 0∞ (Ω) и носитель ξ содержится в B d1 ( x 0 ) – шаре радиуса d1 с центром в x 0 , d 1 ≤ 2d . Предположим, что для производных ξ выполнена оценка | D α ξ |≤ ( Kd )|α| при | α |≤ m . Здесь ∆β (h) – конечноразностный оператор. Пусть ei = (0,...,0,1,0,...,0) , где 1 стоит на

i -м месте, k -я

разность функции f в точке x в направлении ei с шагом h определяется формулой k

∆ki (h) f ( x) = ∑ (−1) i + k C kl f ( x + lhe i ) . i =0

Для произвольного мультииндекса α = (α 1 ,..., α n ) , α i ≥ 0 , целые определяем по формуле ∆α (h) f ( x) = ∆αl 1 (h)...∆αnn (h) f ( x) .

28

Произведя элементарные преобразования, получаем

∑ ∫ ∆β (h) Aα ( x, Du ) D α {[V p ,0 ( x)] ∆β (h) uξ s ( x)}dx = 0 . r

(5)

|α | ≤ m Ω

Укажем преобразование каждого из множителей, стоящих под знаком интеграла. Пусть β = ei + β ′ . Тогда 1

∆1i (h) Aα ( x, Du ) = ∫ 0

d Aα ( x + hte i , Du + t∆1i (h) Du ) dt = dt

1 ⎧ ⎫ = ∫ ⎨ ∑ Aα , γ ∆1i (h) D γ u + Aα ,i h ⎬ dt . 0 ⎩| γ |≤ m ⎭

(6)

Далее пользуемся легко проверяемым соотношением ∆α (h) ( fg ) =

∑ C µα,,νβ ∆β f ( x + µh) ∆α −β g ( x + νh) ,

(7)

µ ≤ α −β ν ≤β

где C µα,,νβ – положительны при всех значениях индексов, и преобразуем ∆Aαβ , ∆Aαi подобно (6): ∆β (h) Aα ( x, Du ) = R1 + 1

∑ C µ,β′ Aαγ ( x + thei + µh,

+∫

0 | γ|= m µ ≤ β′

(1 + t∆1i (h) Du ( x + µh)) dt ∆β (h) D γ u ,

(8)

где ⎧⎛ ⎞ ⎟ ⎪⎜ | R1 |≤ C ⎨⎜1 + ∑ | D γ u ( x + µh) | ⎟ ⎟ ⎪⎜ |µγ≤|=βm ⎠ ⎩⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + ⎜1 + ∑ | D γ u ( x + µh) | ⎟ ⎜ |µγ≤|=βm ⎟ ⎝ ⎠

Буквой m, p, ν 0 , µ 0 , u

C

2 p −3

2 p −1

h2 +

⎫ ⎪ ∑ ∑ | ∆ D u ( x + νh ) | ⎬ . |δ|≤ m i =1 ⎪ ν ≤ β′ ⎭ n

1 i

δ

2

(9)

в дальнейшем обозначаются постоянные, зависящие только от

C m −1 ( B2 d ( x0 ))

. Укажем теперь значение второго множителя подынтегрального

выражения в (5):

{[

}

]

D α V p ,0 ( x) r ∆β (h) uξ s ( x) =

=

[

2r V 0, 0 ( x ) h 2m

]

[

r −1

D α ∆ p (h) u ∆ p (h) u∆β (h uξ s ( x) +

]

+ V p ,0 ( x) r D α ∆ p (h)uξ s ( x) + R 2 ,

(10)

где для R2 имеет место оценка ⎡ (r + s) K ⎤ m ⎧ r γ β s−m | R 2 |≤ C ⎢ ⎥ ⎨ ∑ V p , 0 ( x ) | D ∆ (h) u | ξ ( x ) + d ⎣ ⎦ ⎩|γ|< m

[

29

]

(11)

+

m− ∑ ∑ [V p ,0 ( x)] r − m [V p ,β ( x)]

1 2

|δ| = m |β|,| γ | ≤ m

∆δ D γ u h m −| γ |

2

⎫⎪ ξ s − m ( x)⎬ . ⎪⎭

Теперь, подставляя (8), (10) в (5), суммируя по β, p, | β |=| p |= m , оценивая полученное выражение с помощью (3), (9), (11), получим

∑

I ∗ ( h) =

r [V0,γ ( x + µh)] p −1(∆β (h) D α u ( x)) 2 ξ s ( x)dx ≤ ∫ [V p ,0 ( x)] |γ∑ |= m

|α | =|β| =| p | = m Ω

µ ≤β

⎡ (r + s) K ⎤ ≤ C⎢ ⎥ ⎣ d ⎦ ~ V r ( x) =

2m

⎧ ∆ω D δ u ~ ⎪~ 4 V x h V x ( ) ( ) + ⎨ ∑ 2 r + p r + p − ∫ h m − | δ| | δ| ≤ m Ω⎪ | ω + δ| > m ⎩

4

⎫ ⎪ s−m ⎬ ξ ( x)dx , ⎪ ⎭

(12)

∑ ∑ [V p,α ( x)] r + ∑ ∑ [V0, γ ( x + µh)] r .

| p | = m |α | ≤ m

|β| =| γ | = m µ ≤ β

Предположим теперь, что при некоторых значениях r , s, H ≤ d2 конечен интеграл 2

2H

I = I r , s ( H , ς) = ∑

∑ ∫0 i =1 |α| =| γ | = m

[

dh m ∫ | ∆ i (h){ V0, γ ( x) h3 Ω

]

r− p 1 − 4 2

D α uς

s−2m 4

} | 2 dx ,

где ς ∈ C 0∞ (Ω) , sup ς ⊂ B 2 d ( x 0 ) , | D α ς |≤ ( dL )|α| , ς ≡ 1 на Bd1 +3mH ( x0 ) . Например, из оценки (см. [6], стр. 390, и [5]) I ≤C

∑ [V0, γ ( x)]

r + p−2 4

D α uς

|α | =| γ | = m

s −2m 4

W 21 (Ω)

следует конечность I при r ≤ p . В дальнейшем будет доказано, что интегралы I конечны при всех значениях r , s, H . Покажем сейчас, что при наших предположениях конечен интеграл r+ p ∑ ∫ [V0,α ( x)] ξ s − 2 m ( x)dx +

J = J r , s ( H , ξ) =

H

+ ∫0

|α| = m Ω

⎧ dh ~ ∆ω D δ u ⎪ V ( x ) ⎨ ∑ m − | δ| 3 ∫ r + p −2 h Ω ⎪||ωδ|+≤ δm|> m h ⎩

4

+

∑

|α | = m

⎫ ⎪ s −2m 1 4 α | ( t h ) D u | dt ( x)dx ∆ ⎬ξ α ∫ Iα ⎪ ⎭

и получим для него оценку. Укажем способ оценки одного из слагаемых в интеграле J , например, члена J1 =

∫ h3 ∫ [V p,α ( x)]

H 0

dh

γ + p −2

Ω

∆ω D δu 4 s −2 m ξ ( x)dx . h m −|δ|

Воспользуемся легко проверяемым соотношением ∆α (h) f ( x) = h |α| ∫ D α f ( x + t α h) dt , I α = { t1 ,..., t |α| : 0 ≤ t i ≤ 1 },

(13)

Iα

где для индекса α = (α 1 ,..., α n ) через t α обозначен вектор (t1 + ... + t α1 ,..., t |α|− α n +1 + ... + t |α| ) . Представим p = p ′ + p ′′, | p ′ |= m− | α |, ω = ω′ + ω′′, | ω′ |= m− | δ | , тогда

30

J1 ≤

[

H

dh V0,α ( x + µh + t p h) h 3 Ω∫

∑ ∫ ∫ ∫

µ≤ p′′ I p′ I ω′ 0

]

r + p−2

| ∆ω′′ D δ+ω′ ( x + τ ω h) |4 ξ s −2 m dx dt dτ ,

и обозначим x + µh + t p′ h = y . Функция η равна единице в шаре радиуса d 1 + mH с центром в x 0 . Тогда J1 ≤

H

∑ ∑ ∫ ∫ ∫0

|γ|= m

i

I p ′ I ω′

[

dh ⎧ ∫ ⎨ V 0, α ( y ) h3 Ω ⎩

]

r + p−2 4

| ∆1 (hi ) D γ u ( y ) | η

s−2m 4

4

( y )⎫⎬ dy dt dτ . ⎭

Здесь hi – вектор, зависящий от t , τ, | hi |≤ 2mh . Пользуясь соотношением вида (7), оцениваем последний интеграл через слагаемые вида J2 =

H

∫ ∫ ∫0

I p ′ I ω′

[

dh ⎧ 1 ∫ ∆ (hi ) ⎨⎩ V0,α ( y) h3 Ω

[

J 3 = ∫ V0,α ( y )

]

r + p−2

]

r + p−2 4

D γ u( y) η

s−2m 4

( y )⎫⎬ 4 dy dt dτ , ⎭

| D γ u ( y ) | 4 ς s − 2 m − 4 ( y ) dy .

Ω

Дальнейшие оценки основаны на следующих неравенствах, первое из которых имеется в [7], а доказательство второго можно провести аналогично доказательству леммы 2.4 работы [7] f

L4 ( Ω )

⎧ ⎪ ≤ C⎨ f ⎪⎩

L2 ( Ω )

H

−1

2

1 ⎡ 2 H dh ⎤ 2 ⎫⎪ m 2 + ∑ H ⎢ ∫0 ∫ | ∆ i (h) f | dx⎥ ⎬ , h3 Ω i =1 ⎦ ⎪⎭ ⎣

2

1 2

1

1

⎧H dh ⎫4 1 4 ⎨ ∫ 3 ∫ | ∆ (hi ) f ( x) | dx ⎬ ≤ C f ⎩0 h Ω ⎭

H

L2 ( Ω )

−1

⎧2 H dh ⎫2 + C ∑ ⎨ ∫ 3 ∫ | ∆mi (h) f ( x) | 2 dx ⎬ , i =1 ⎩ 0 h Ω ⎭ 2

(14)

0 < 2H ≤ d .

Неравенства (14) заведомо справедливы для f , если конечна правая часть (14) и если носитель f содержится в B 2 d ( x 0 ) . Применяя (14) для оценки интегралов J 2 , J 3 , получаем при соответствующем выборе f существование интегралов J 2 и оценку для него. Таким образом, получаем оценку для J : 4

⎛ rL ⎞ 1 ⎧ V 0,α ( x) J ≤ C⎜ ⎟ 2 ⎨∫ ∑ ⎝ d ⎠ H ⎩Ω | α | = m 2

+∑

2H

∑ ∫

i =1 |α| =| γ | = m

0

[

]

[

]

dh m⎧ ∫ ∆ i ⎨⎩ V0,α ( x) h3 Ω

r+ p 2

ς

s −2m−4 2

r + p−2 4

( x) dx +

γ

D u ( x) η

s−2m 4

2

Далее преобразуем последний интеграл, используя равенство (7): ⎛ rL ⎞ J ≤ C⎜ ⎟ ⎝d ⎠

2 m+ 4

1 ⎧ ⎨∑ H 2 ⎩|α|=m

∫ [V0,α ( x)]

r+ p 2

m

∑ ∑ ⎜⎜ ∫

s −2 m−4 2

( x) dx +

Ω

⎛ 2 H dh V ( x + khei ) 3 ∫ 0 ,α i =1 |α| =|γ| = m j ,k =1⎝ 0 h Ω 2

+∑

ς

[

31

]

r + p −2 2

| ∆mi D γ u ( x) |2 η

s−2 m 2

2

⎫⎪ ( x)⎫⎬ dx ⎬ . ⎭ ⎪⎭

( x) dx +

(15)

+

2H

∫ 0

[

dh V0,α ( x + khei ) h 3 Ω∫

2

]

r + p −4 2

γ

| ∆ ( jh) D u ( x ) | ς 1 i

4

s −6 m 2

⎞⎫⎪ ( x) dx ⎟⎟⎬ . ⎠⎪⎭

(16)

Обозначим второй интеграл справа через J 4 и сравним его с интегралом J5 =

2H

∫ 0

[

dh ∫ V α ( x) h3 Ω 0

] [V r− p 2

0,α

( x + khei )

]

p −1

| ∆mi D γ u ( x) | 2 η

s−2m 2

( x) dx ,

| J 4 − J 5 |≤| C ε( J 4 + J 5 ) +

+

C ε

2H

∫ 0

⎧⎪ m ⎫⎪ s − 2 m dh ~ β α 1 4 1 4 V ( x ) | ∆ ( kh ) D u ( x ) | + | ∆ ( t h ) D u | dt + − ⎨ ⎬ η 2 ( x) dx . r p 2 4 ∑ ∑ α i ∫ ∫ h3 Ω 2 ⎪⎩ k =1 |β|= m ⎪⎭ Iα

Применяя к J 5 неравенство (12), приходим к оценке ⎛ rL ⎞ J r , s ( H , ξ) ≤ C ⎜ ⎟ ⎝d ⎠

4+ 2m

⎡ (r + s ) K ⎤ ⎢ d ⎥ ⎣ ⎦

2m

1 2 J r s ( 2 H , ς) . H 2 2 , 2 −m H

(17)

I ∗ ( h)

Отметим, что из оценки (17), ограниченности интеграла ∫ 3 dh можно получить h 0 путем рассуждений подобных только что проделанным при оценке второго интеграла в (15) ограниченность интеграла I r , s ( H , ξ) . Выберем теперь последовательности rk , s k , H k , ξ k следующим образом: rk = 2 k ⋅ p ,

s k = 2 k (1 + 2m) − 2m ,

Hk =

d . 6m ⋅ 2 k

Пусть ϕ(t ) ∈ C 0∞ ( R 1 ) – функция, равная единице при t ≤ 1 и нулю – при t ≥ 2, 0 ≤ ϕ(t ) ≤ 1 , k −1 1⎞ ⎛ dk = d⎜ 2 − ∑ i ⎟. i =1 2 ⎠ ⎝

Определим ξ k ( x) = 1 при | x − x 0 |≤ d k и ⎛ 2 k +1 ⎞ (| x − x 0 | −d k )⎟⎟ . ξ k ( x) = ϕ⎜⎜1 + d ⎝ ⎠

Тогда функция ξk (x) имеет носитель в шаре радиуса d k + 2kd+1 с центром в x 0 . Функция ξ k −1 ( x)

равна единице при | x − x 0 |≤ d k −1 . Так как d k −1 = d k + 2 kd+1 + 3mH k , то получаем из (17)

неравенство Lk ≤ C

2 k (8 m +10 ) 2 ⋅ L k −1 , d 4m+6

(18)

где Lk = J rk ,sk ( H k , ξ k ) . Из (18) следует 1 rk

Lk

⎛ Z ≤ C ⎜⎜ 4 m0+ 6 ⎝d

Отметим, что L0 зависит только от ν 0 µ 0 , p, m, u

32

W pm ( Ω )

1

⎞p ⎟⎟ . ⎠

(19)

. Тогда из оценки (19) следует теорема.

Теорема 1. Пусть u (x) есть обобщенное решение из W 2mp (Ω) уравнения (1), 2 p > 1,

m≥2.

x ∈ Ω, ξ ∈ R M

Предположим, что функции Aα ( x, ξ) дважды дифференцируемы при и выполнены неравенства (3). Тогда для произвольной подобласти Ω ′

области Ω такой, что Ω′ ⊂ Ω, vrai max | D αu | при | α |= m оценивается постоянной, Ω′

зависящей лишь от ν 0 , µ 0 , p, m, u

и расстояния Ω ′ до ∂Ω .

W pm ( Ω )

§ 2. Непрерывность производных порядка m Сохраняем все предположения § 1. Пусть u – обобщенное решение уравнения и докажем непрерывность производных порядка m в произвольной внутренней точке x 0 области Ω . Пусть d – то же число, что и в § 1, и пусть в B 2 d ( x 0 ) выполнена оценка

∑ | Duα |≤ M .

|α | = m

Обозначим для произвольного R ≤ d , | α |= m ω1, α = ω1,α (2 R ) = ω α = ω 2,α − ω1,α ,

inf

x∈B2 R ( x0 )

D α u,

ω 2, α = ω 2 , α ( 2 R ) =

sup

D α u,

x∈B2 R ( x0 )

(20)

ω = ω(2 R) = sup ω α . |α | = m

Без ограничения общности можем предполагать, что (21)

inf ω1, α (2d ) ≥ 1 + ω(2d ) .

|α | = m

Этого всегда можно добиться, переходя от u к новой функции v : u = v + ∑ c α x α при |α | = m

надлежащем выборе c α . Пусть ⎧ ∆α u , если mes x ∈ B2 R ( x0 ) : D α u ( x ) < ω2,α − ω2 > 12 R 2 , ⎛ ∆ u ⎞ ⎪⎪ h m Ω α = Ω α ⎜⎜ m ⎟⎟ = ⎨ ⎝ h ⎠ ⎪ α 2 α ⎪⎩− 2ω2,α + ω + ∆hmu , если mes x ∈ B2 R ( x0 ) : D u ( x) < ω2,α − ω2 ≤ 12 R

{

α

}

{

}

Подставляем в (2)

[

]

v = ∆li (−h) ∆β (−h){∆li (h) W p′ Ωβ ξ s ( x)},

Wp =

ω

2 2, p

ω , − Ω 2p + η( R )

(22)

где ξ( x) ∈ C 0∞ (Ω) , носитель ξ(x) содержится в B R1 ( x0 ) , R1 < 2 R , для ξ(x) выполнены оценки ⎛K⎞ | D α ξ |≤ ⎜ ⎟ ⎝R⎠ η( R ) ≤ 1 .

|α |

при | α |≤ m; η( R) – положительная функция, вид которой будет указан ниже,

Получаем

∑ ∫ ∆1i (h) ∆β (h) Aα ( x, Du ) D α {∆1i (h) [W pr Ω β ]ξ s ( x)}dx = 0 . |α | ≤ m Ω

33

(23)

Для выражения ∆1i (h) ∆β (h) Aα ( x, Du ) пользуемся представлением, аналогичным (8), второй подынтегральный множитель представляем в виде

[

{

]

}

D α ∆1i (h) W pr Ω β ξ s ( x) = +

{

1 W pr,i ( x) ∆1i (h) ∆β (h) D α u ( x) ξ s ( x) + hm

2r r +1 ⎫ W p ( x) Ω p ( x)∆1i (h) ∆ p (h) D α u ( x) Ω β ξ s ( x) + R3 ⎬ , ω ⎭

(24)

где W pr,i ( x) = W pr ( x) + W pr ( x + hei ) , а для R3 имеет место оценка ⎛r+s⎞ | R3 |≤ C ⎜ ⎟ ⎝ ω ⎠

j ⎧ ⎛ K ⎞ ⎪ r + m +1 ∑ ⎜ R ⎟ ⎨W p ,i ( x) h j ⎠ ⎪ i =0 ⎝ ⎩

m +1 m

+ W pr,i+1

∆δ (h) D γ u ( x)

∑

2

+

h m −| γ |

| γ |< m |δ + γ | > m

⎫ ⎪ s −m δ γ ∆ | ( h ) D u ( x ) | ⎬ ξ ( x) . ∑ | γ |≤ m − i ⎪ |δ + γ | > m ⎭

(25)

Отсюда и из (23) при h ≤ R следует основное неравенство: 2

∑ i =1

⎛r+s⎞ ≤ C⎜ ⎟ ⎝ ω ⎠

∑

∫ W p , i ( x ) | ∆ i ( h) ∆ r

β

1

(h) D α u ( x) | 2 ξ s ( x) dx ≤

|α| =|β| =| p | = m Ω

2 ( m +1)

⎧ ⎪

2

K 2m ∑

∆δ (h) D γ u ( x)

∑ ∫ W pr,i+ 2m + 2 ( x)⎨ ∑ | γ |≤ m | p| = m

i =1

h m −| γ |

⎪|δ + γ|> m ⎩

Ω

4

4⎫ ⎛h⎞ ⎪ + ⎜ ⎟ ⎬ ξ s − 2 m ( x) dx. ⎝R⎠ ⎪ ⎭

(26)

Далее, аналогично изложенному выше доказательству сходимости интегралов I r , s ( H , ξ) ,

устанавливается сходимость интеграла 2

I = I r , s ( H , ξ) = ∑ i =1

∑ ∫ h3 ∫ | ∆mi (h) {[W0 ( x)] r Ω α ( D α u ) ξ s ( x)}|2 dx, | p| =|α| = m H 0

~ W p ( x) =

~

dh

Ω

ω ω22, p − Ω 2p ( D p u ) + η( R )

.

Укажем только на возникающие при этом отличия. При оценке W pr + 2 m + 2 пользуемся формулой (3) и неравенством Иенсена [8]. Получаем W pr + 2 m + 2 ( x) ≤

⎡

∫ ⎢⎢ ω 2

Ip

⎣

2, p

⎤ ω ⎥ − Ω ( D u ( x + t p h)) + η( R) ⎦⎥ 2 p

r + 2m + 2

p

dt .

При оценке H

J1 = ∫0

4

dh 1 ⎛h⎞ W pr,i+ 2 m+ 2 ( x) ξ s −2 m ( x)⎜ ⎟ dx ≤ 2 3 ∫ h Ω R ⎝ R⎠

∫ [W p ( x)] ~

r − 2 m−2

~ s−2 m ξ ( x) dx ,

Ω

~

где ξ ( x) ∈ C 0∞ (Ω) и равна единице в BR1+3mH ( x0 ) , пользуемся первым неравенством (14). Получим 2

⎛R⎞ ⎧ 1 J 1 ≤ C⎜ ⎟ ⎨ 2 ⎝ H ⎠ ⎩R

~ ∫ [W ( x)] p

Ω

r +2m+2 2

[

2 2H ~ s −22 m dh ⎧ ~ ξ ( x) dx + ∑ ∫ 3 ∫ ∆mi ⎨ W p ( x) ⎩ i =1 0 h Ω

Учитывая эти замечания, устанавливаем для интеграла 34

]

r +2m+2 4

2

~ s −42 m ⎫ 2 ⎫ ξ ( x)⎬ dx ⎬ . ⎭ ⎭

J r , s ( H , ξ) = 2 H

+∑ ∫ i =1 0

∑ ⎨ R 2 ∫ [W p ( x)] ⎧ 1

| p| = m

[

~

⎩

r + 2m+ 2

Ω

]

[

r +2m+2 dh ⎛ ~ + W p ,i ( x) ⎜ W p ( x) 3 ∫⎝ h Ω

+

ξ s − 2 m ( x) dx +

]

r + 2m+ 2

⎡ ∆ω D δ u ⎞⎟ ⎢ ∑ ⎠ ⎢|δ|≤ m h m − | δ| ⎢⎣|ω|+ δ > m

4

+

⎤

∑ ∫ | ∆1 (t α h) D α u | 4 dt ⎥ ξ s − 2 m dx ⎦

|α | = m

оценку ⎛r+s⎞ J r , s ( H , ξ) ≤ C ⎜ ⎟ ⎝ ω ⎠

2m + 2

⎛ rL ⎞ K 2m ⎜ ⎟ ⎝ω⎠

4+ 2m

2

~ ⎛R⎞ 2 ⎜ ⎟ J r + m, s − m (2 H , ξ ) . 2 2 H ⎝ ⎠

(27)

Выберем теперь rk = 2 k + 2m,

s k = 2 k (1 + 2m) − 2m,

при

ξ k ( x) = 1

Hk =

R , 6m ⋅ 2 k

k −1 1⎞ ⎛ | x − x 0 |≤ R ⎜ 2 − ∑ i ⎟ = R k , i =1 2 ⎠ ⎝

⎞ ⎛ 2 k +1 (| x − x 0 | − Rk )⎟⎟ ξ k ( x) = ϕ⎜⎜1 + R ⎠ ⎝

при

| x − x 0 |> R k ,

где ϕ – та же функция, что и в § 1. Получаем

{L }

1

2k

≤

C ⋅ L0 , ω 4m+6

(28)

L k = J rk , sk ( H , ξ k ) .

Теперь будет установлена ограниченность L0 при определенном выборе функции η(R ) .

~

Пользуясь тем, что W p ограничена на множестве, мера которого не меньше

1 2 R 2

(это

следует из выбора Ω p ), можно доказать неравенство 1 R2

⎧⎪ ~ 1 W p2 m + 2 ( x) dx ≤ C ⎨1 + 2m+4 ⎪⎩ [η( R)] B2 R ( x 0 )

∫

∫| ∇ D

B2 R ( x 0 )

p

⎫⎪ u | 2 dx ⎬ . ⎪⎭

Так что справедлива оценка L0 ≤ C

R

dh +∫ 3 0 h

⎧⎪

∑ ⎨⎪1 +

| p| = m

⎩

⎡ p 2 ⎢ ∫ | ∇ D u | dx + ⎢⎣ B2 R ( x0 )

1

[η( R)]

2m+ 4

⎛ ⎜ ∆ω D δ u ∑ ∫ ⎜ h m − | δ| B 2 R ( x 0 ) ⎜ | δ| ≤ m ⎝ | ω − δ| > m

4

+

∑

|α | = m

⎞ ⎤⎫ ⎟ ⎥⎪ ∫ | ∆ (t α h) D u | dt ⎟ dx ⎥ ⎬ . Iα ⎟ ⎥⎪ ⎠ ⎦⎭ 1

α

4

(29)

Выберем η(R) так, чтобы второе слагаемое в фигурной скобке формулы (29) равнялось единице. Отметим, что η(R) стремится к нулю при R , стремящемся к нулю. Тогда из оценки (28) следует для x ∈ B R ( x 0 ) при | p |= m ~ W p ( x) ≤

C ω

35

4m+6

.

Из последнего неравенства получаем, что при всех R ≤ d выполнена оценка ω( R) ≤ ω(2 R ) −

ω 4 m + 7 (2 R) + η( R) , C

(30)

из которой и следует, что ω( R) → 0 при R → 0 , т.е. непрерывность всех производных m -го порядка функции u в точке x 0 . В самом деле, если предположить, что ω( R) ≥ ω 0 > 0 при всех R > 0 , то из (30) имеем ω( R) ≤ θω(2 R) + η( R) ,

θ = 1−

ω 04 m + 6 < 1. C

Тогда 1 ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ ω⎜ n ⎟ ≤ θ n ω(d ) + η⎜ ⎟ , 1− θ ⎝ 2n ⎠ ⎝4 ⎠ ω( R) ≠ 0 неверно. Тем самым доказана теорема. т.е. предположение о том, что lim R →0

Теорема 2. Пусть u (x) есть обобщенное решение из W 2mp (Ω) уравнения (1), 2 p > 1, m ≥ 2 .

Предположим,

что

функции

Aα

дважды

дифференцируемы

и

удовлетворяют условиям (3). Тогда производные порядка m функции u (x) непрерывны в Ω.

Отсюда и из теоремы 11.4 работы [9] получаем гладкость производных порядка выше, чем m , при определенной гладкости Aα . Так что в наших предположениях, например, непрерывны производные порядка m + 1 . 1.

Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. “Наука”, М., 1964.

2.

Мазья В.Г.– Функциональный анализ и его приложения, 1968, 2, 3.

3.

De Ciorgi E. – Boll. Un. Mat. Ital., 1968, 1.

4.

Givsti E., Miranda M. – Boll. Un. Mat. Ital., 1968, 2.

5.

Morrey C.B. – J. Math. Mech., 1968, 17, 7.

6.

Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. «Наука». М. 1969.

7.

Ильин В.П. – Труды матем. инст. им. В.А.Стеклова, 1962, 66.

8.

Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. ИЛ, М, 1948.

9.

Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. ИЛ, М., 1962.

10. Necas I. – Comm. Math. Univ. Carol., 1968, 9, 3.

36

ПОВЕДЕНИЕ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ (Математическая физика. – 1972. – вып. 11) В работе [1] автором доказаны теоремы о регулярности внутри области обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравнений на плоскости. В настоящей статье изучаются свойства решений вблизи границы. Раньше И.Нечасом [2] устанавливалась регулярность решений вблизи границы при ряде дополнительных ограничений. Предполагалось, что уравнение можно включить в параметрическое семейство специального вида. Делался ряд существенных ограничений на коэффициенты, обеспечивающих в частности, единственность решения. o

Пусть u 0 ∈ W mp (Ω), m ≥ 2, p ≥ 2 , – обобщенное решение уравнения

∑ (−1) |α| D α Aα ( x, Du ) = ∑ (−1) |α| D α f α ,

|α | ≤ m

|α |≤ m

f α ∈ W p10 (Ω), p 0 > 2 ,

(1)

o

т. е. для произвольной η ∈ W mp (Ω) выполняется интегральное тождество Aα ( x, Du ) D α ηdx = ∫ ∑ f α D α ηdx . ∫ |α∑ |≤ m |α |≤ m

Ω

(2)

Ω

Здесь пользуемся обычными мультииндексными обозначениями Du = {D α u : | α |≤ m}. Будем считать, что внутри области Ω производные порядка m + 1 функции u 0 непрерывны. Граница S области Ω предполагается класса C m,δ , δ > 0 . Пусть Ω ′ – некоторая строго внутренняя подобласть области Ω , так что Ω ′ ⊂ Ω . Предполагается, что функции

Aα ( x, ξ)

при x ∈ Ω \ Ω ′, ξ = {ξ α : | α |≤ m}∈ R M

непрерывно дифференцируемы и

выполнены соотношения

∑

|α | =|β| = m

∑

|α|,|β|≤ m

Aαβ ( x, ξ)η α η β ≥ ν(1+ | ξ |)

| Aαβ ( x, ξ) | (1+ | ξ |) +

p−2

∑ η α2 ,

|α | = m

2

∑ ∑ | Aα ,i ( x, ξ) |≤ µ(1+ | ξ |) p−1 ,

|α|≤ m i =1

Aαβ ( x, ξ) = Aβα ( x, ξ)

при

(3)

| α |=| β |= m ,

где Aαβ ( x, ξ) =

∂Aα ( x, ξ) , ∂ξ β

Aαi ( x, ξ) =

∂Aα ( x, ξ) , ∂x i

а ν, µ – положительные постоянные. Обозначим в дальнейшем F = ∑ || f α || W p10 (Ω) , где f α – |α |≤ m

та же функция, что и в (1).

37

Лемма 1. Пусть Ω 0 – произвольная подобласть области Ω \ Ω ′ с границей класса и

C m ,δ

пусть

–

v( x) ∈ C m ( Ω 0 ) ∩ W 2m +1 (Ω 0 )

∑ (−1)|α| D α Aα ( x, Dv) = ∑ (−1)|α| D α g α , ∑ || g α ||W ′

|α|≤ m

p0 ( Ω 0 )

|α | ≤ m

|α|≤ m

обобщенное

решение

в

уравнения

Ω0 o

≤ F такое, что

v( x) ∈ ϕ( x) + W mp (Ω 0 ) ,

ϕ(x) ∈

∈ C m +1 (Ω 0 ) . Существуют q, 2 < q ≤ p 0 , зависящее только от ν, µ, p 0 , Ω 0 ; C1 , зависящие

только от ν, µ, F , || ϕ || C m +1 ( Ω 0 ) , Ω 0 , || v ||W pm ( Ω 0 ) такие, что имеет место оценка v

Wqm +1 ( Ω 0 )

≤ C1 .

Доказательство леммы 1 можно провести аналогично доказательству леммы 8.4 в работе [2]. Рассмотрим Ω, 0 ≤ t ≤1,

расширяющуюся

последовательность

подобластей

области

Ωt

такую, что при 0 ≤ t1 < t 2 ≤ 1 Ω ′ ⊂ Ω t1 ⊂ Ω t 2 ⊂ Ω t 2 ⊂ Ω, ∂Ω t ∈ C m,δ ,

mes (Ω \ Ω t ) → 0

при t → 1. Лемма 2. Существует t1 < 1 такое, что задача o

∑ (−1) |α| D α Aα ( x, Du ) = ∑ (−1) |α| D α g α ,

|α | ≤ m

u ∈ u0 + W

|α |≤ m

m p

~ (Ω t ) ,

(4)

~

в произвольной области Ω t = Ω \ Ω t , t ≥ t1 , имеет и притом единственное обобщенное решение при произвольных оценка u

~ W pm ( Ω t )

≤ C2

gα

таких, что ∑ g α |α | ≤ m

≤F.

~ W p′ 0 ( Ω t )

Кроме того, справедлива

, где C 2 – постоянная, зависящая только от F , ν, µ, p, u 0

W pm ( Ω )

.

~

Доказательство существования решения в области Ω t при t , близком к единице, можно провести обычными методами [3]. Если предположить существование двух различных решений u1 , u 2 задачи (4), то, подставляя в интегральное тождество η = u1 − u 2 и оценивая, приходим к противоречию. Аналогично доказывается следующая лемма. Лемма 3. Существует t 2 , t1 ≤ t 2 < 1 , такое, что задача

∑ (−1) |α| D α [Aαβ ( x, Dw) D β v ] = 0 ,

|α |,|β|≤ m

o

v ∈W

m p

~ (Ω t ) ~

имеет только нулевое решение v при произвольной функции w ∈ C m ( Ω t ) ,

w

~ W pm ( Ω t )

≤ C2 ,

t ≥ t2 .

Обозначим дальше через Ω 0 область Ω \ Ω t 2 и через ϕ ∈ C m +1 (Ω 0 ) такую функцию, что o

u0 − ϕ ∈W

m p

(Ω 0 ) ,

ϕ

W pm ( Ω 0 )

≤ u

W pm ( Ω 0 )

+1.

Введем оператор A : X → Y , X = W mp (Ω 0 ) ∩ W qm +1 (Ω 0 ) , Y = ⎡⎢W ⎣ o

o

38

m −1 q′

⎤ (Ω 0 ) ⎥ ⎦

*

равенством

Au , v =

∑ ∑ ∫ (−1) |γ| D γ Aβ+ γ ( x, Du ) D β v dx ,

v ∈Y * ,

| γ |≤1 |β|≤ m −1 Ω 0

где через h, v обозначено значение функционала h ∈ Y на элементе v . И пусть A′( w) – оператор из X в Y , определяемый равенством A′(W ) u , v = ∑

| γ | ≤1

∑ ∑ ∫ (−1) |γ| D γ [Aβ+ γ , p ( x, Dw) D p u ] D β v dx . |β|≤ m −1 | p |≤ m Ω0

Здесь w ∈ X . Лемма 4. При произвольной функции w ∈ X , для которой w W pm (Ω 0 ) ≤ C 2 , область значения оператора A′( w) плотна в Y . Достаточно доказать для любой функции ψ( x) ∈ C 0∞ Ω 0 ) существование функции u ∈ X такой, что

∑ ∫ Aαβ ( x, Dw) D β u D α η dx = ∑ ∫ D α ψ D α η dx |α| = m −1

|α|,|β|≤ m Ω 0

(5)

Ω0

при произвольной η ∈ C 0∞ (Ω 0 ) . Используя лемму 3, доказываем существование решения u ( x)

o

уравнения (5), принадлежащего W mr (Ω 0 ) с любым r > 1 . И дальше, обычным образом,

получаем включение u ∈ W qm +1 (Ω 0 ) . Введем множества

{

G = u∈X : u

Wqm +1 ( Ω 0 )

}

≤ C1 + 1 ,

{

R = h ∈Y : h

Y

}

≤F .

Очевидно, что функционал f , для которого f ,v = ∑

| γ |≤1

∑ ∫ (−1) |γ| D γ f β+ γ D β v dx , |β|≤ m −1

o

v ∈W

m −1 q′

(Ω 0 ) ,

Ω0

принадлежит R . Лемма 5. Множество AG ∩ R замкнуто в Y . Y h , то с помощью леммы 1 получим u n ∈ R . Можем Если u n ∈ G и Au n ∈ R , Au n ⎯⎯→

считать, что последовательность u n сходится в W pm к u~ ∈ G и, следовательно, Au n сходится o

в (W mp ) * к Au~ . Это приводит к Au~ = h . Лемма 6. Имеет место включение R ⊂ AG . Пусть h0 – произвольный элемент R . Из теоремы Эдельштейна [4] следует существование последовательности hn , сходящейся к h0 , и последовательности u n ∈ G таких, что hn − Au n = inf hn − Au . u∈G

Из леммы 4 аналогично [4] получаем Au n = hn . Отсюда следует, что леммы 5. 39

h0 = AG

в силу

Таким образом, для функционала f , определяемого равенством (8), существует функция u1 ∈ G такая, что Au1 = f . Из леммы 2 следует u 0 = u1 и, тем самым, доказано, что u 0 ∈ W qm +1 (Ω 0 ) . Следовательно, с некоторым λ > 0

u 0 ∈ C m,λ ( Ω 0 ) и справедлива следующая

теорема. Теорема. Пусть u 0 ( x) – обобщенное решение уравнения (1), имеющее непрерывные производные (m + 1) -го порядка внутри области Ω , и пусть для некоторой строго внутренней подобласти Ω ′ области Ω функции Aα ( x, ξ) непрерывно дифференцируемы для x ∈ Ω \ Ω ′, ξ ∈ R M и удовлетворяют условиям (3). Тогда существует положительное λ такое, что u ∈ C m,λ ( Ω ) . 1

И.В.Скрипник, Математическая физика (наст. сборник).

Carol., 1968, 9, 3.

3

2

I.Nečas, Comm. Math. Univ.

М.И.Вишик, Труды Моск. матем. общ.-ва, 1963, 12.

Функциональный анализ, 1969, 3, 2.

40

4

С.И.Похожаев,

ПРО НЕПЕРЕРВНІСТЬ УЗАГАЛЬНЕНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ ЕЛІПТИЧНИХ РІВНЯНЬ ВИЩОГО ПОРЯДКУ (Доповіді АН УРСР. Сер. А. – 1973, № 1) Відомий результат Де Джорджі [1] полягає в тому, що всякий узагальнений розв’язок еліптичного рівняння n

∂ ⎛ ∂u ⎜ a ij ( x) ⎜ ∂ xi j ⎝

∑ ∂x

i , j =1

⎞ ⎟=0 ⎟ ⎠

з вимірними обмеженими коефіцієнтами, який належить простору W 21 , задовольняє умову Гельдера. Існують приклади [2, 3], коли аналогічне твердження не має місця для рівнянь довільного порядку. В даній статті вказуються умови неперервності узагальнених розв’язків лінійних і квазілінійних еліптичних рівнянь вищого порядку. o

1. Нехай u ( x) ∈ W m2 (Ω) – узагальнений розв’язок рівняння

∑ (−1) |α| D α (a αβ ( x) D β u ) = 0 ,

(1)

|α |,|β|≤ m

o

тобто для довільної v ∈ W m2 (Ω) β α ∫ |α|,|∑β|≤ ma αβ ( x) D u ⋅ D v dx = 0 .

Ω

o

Тут Ω – обмежена область у R n така, що для простору W m2 (Ω) справедливі теореми вкладення С.Л.Соболєва, α = (α 1 ,..., α n ) ,

| α |= α 1 + ... + α n , α1

⎛ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎟⎟ ...⎜ D = ⎜⎜ ⎜ ∂x ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ n α

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

x = (x1 ,..., x n ) ,

αn

,

dx = dx1 ...dx n .

Припускаємо, що функції a αβ (x) вимірні, і з деякими додатними сталими C1 , C 2 виконуються нерівності

∑

| a αβ ( x) |≤ C1 , | α |, | β |≤ m ,

|α| =|β| = m

a αβ ( x) ξ α ξ β ≥ C 2

∑ ξ α2 .

|α | = m

За цих умов має місце o

Теорема 1. Нехай u ∈ W m2 (Ω) – узагальнений розв’язок рівняння (1) і n = 2m . Тоді u ∈ C (Ω) . u

C(Ω)

Через ⋅

оцінюється сталою, яка залежить тільки від m, C1 , C 2 , Ω і || u || m, 2 .

m, p

позначаємо норму в W pm (Ω) .

2. Розглянемо тепер квазілінійне рівняння дивергентного виду

∑ (−1) |α| D α Aα ( x, u,..., D m u ) = 0 ,

|α | ≤ m

41

(2)

де D k u = {D α u : | α |= k } . Узагальнені розв’язки розуміємо аналогічно лінійному випадку. Припускаємо, що Aα ( x, ξ) при ( x, ξ) ∈ Ω × R M , ξ = {ξ α : | α |≤ m}∈ R M – вимірні функції, і виконуються нерівності з додатними сталими C1 , C 2 , p > 1: | Aα ( x, ξ) |≤ C1 (1+ | ξ |) p −1 ,

∑

|α | = m

Aα ( x, ξ) ξ 0 C 2

∑ | ξα | p

|α| = m

⎛ ⎞ −C1 ⎜⎜1 + ∑ | ξ β | p ⎟⎟ . ⎝ |β|≤ m −1 ⎠

(3)

o

Теорема 2. Нехай n = mp , u ∈ W mp (Ω) – узагальнений розв’язок рівняння (2) і Aα – вимірні функції, які задовольняють умови (3). Тоді u ∈ C (Ω ) і u m, p, C1 , C 2 , Ω і u

m, p

c (Ω )

залежить тільки від

.

Зауваження. 1. Умови (3) можна записати у більш загальному вигляді. Наприклад, | Aα ( x, ξ) |≤ C1

∑ | ξβ |

pαβ

|β|≤ m

+ hα ( x ) ,

h α ∈ L pα ,

з відповідними p αβ , p α . 2. Можна побудувати приклади, які показують, що умову n = mp не можна послабити. А саме, для довільного ε > 0 можна вказати приклади розривних розв’язків рівняння (2), якщо n − mp > ε . 3. У випадку n − mp < 0 гельдеровість розв’язку u ( x) в умовах теореми 2 безпосередньо одержується з теорем вкладення. 4. Обмеженість розв’язку u ( x) в умовах теореми 2 доведено в [4]. 1. E. De Giorgy, Memorie delle Acc. Sci. Forino, Ser. 3, 3, 25 (1957). 2. E. De Giorgy, Boll. Un. Matem. Ital, Ser. 4, 1, 135 (1968). 3. В.Г.Мазья, Функц. анализ, 2, вып. 3, 53 (1968). 4. J.Frehse, Boll. Unione Mat. Haliana, 3, 607 (1970).

42

ПРО РЕГУЛЯРНІСТЬ УЗАГАЛЬНЕНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ КВАЗІЛІНІЙНИХ ЕЛІПТИЧНИХ РІВНЯНЬ НА ПЛОЩИНІ (Доповіді АН УРСР. Сер. А. – 1973, № 3) Квазілінійні еліптичні рівняння вищого порядку істотно відрізняються за своїми властивостями від рівнянь другого порядку. Це показали приклади, побудовані рядом авторів [1], в яких вказані необмежені розв’язки, якщо n – вимірність області – не менше п’яти. Нижче наводиться приклад негладкого розв’язку при n ≥ 3 . Випадок n = 2 при певних умовах розглянув Нечас [2]. Припускалось, що рівняння можна включити в параметричну сім’ю спеціального вигляду, робилось ряд істотних припущень на коефіцієнти рівняння. У даній статті одержана для n = 2 регулярність узагальнених розв’язків при природних умовах – еліптичності рівняння і оцінках на ріст відповідних похідних коефіцієнтів рівняння. 1 2

1. Нехай n > 2, ϕ(t ) – функція класу C ∞ на R 1 така, що ϕ(t ) ≡ 1 при t > , ϕ(t ) ≡ t
0, p ≥ 1 , называется замыкание множества бесконечно дифференцируемых финитных в R n функций но норме

|| u || B l =|| u || L p

n

n p (R )

+ || u || b l , || u || b l = ∑ p

p

i =1

m ⎧ ⎪ ∆k (h) ⎛⎜ ∂ ⎞⎟ u i ⎜ ∂x ⎟ ⎪ ⎝ i⎠ ⎪∞ ⎨∫ h 1+ p (l − m ) ⎪0 ⎪ ⎪ ⎩

1

p

Lp ( Rn )

⎫p ⎪ ⎪ ⎪ dh ⎬ , ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

(1.6)

где k, m – целые числа, удовлетворяющие условиям 0 ≤ m < l , k ≥ l − m . Известно, что выражения (1.6) при различных m, k дают эквивалентные нормы. Из теорем вложения [15] следует, что для u ∈ B lp ( R n ) существует обобщенная производная D α u и выполняется оценка

49

Dα

если

только

q > p, | α | ≤ l −

n n + p q

.

Lq ( R n )

≤ C{λ− δ || u || L

Здесь

q (R

n

)

(1.7)

+λε || u ||b l } , p

⎞ 1⎛ n n ε = 1 − ⎜⎜ − + | α | ⎟⎟ , δ = 1 − ε, λ l⎝p q ⎠

–

произвольное

положительное число. Лемма 1.3. Пусть f i (h) = ( f i1 (h), K , f in (h)) ∈ R n , i = 1, K , σ, f ij (h) – непрерывные функции, удовлетворяющие при h ≥ 0 условию | f ij (h) | ≤ K 0 h , и s – положительное число. Тогда при выполнении неравенств q > p, ε > 0, s ≤ lε, s < σ для u ∈ B1p ( R n ) имеет место оценка 1

s s ⎧ ∞ || ∆( f1 (h))K ∆( f σ (h)) D α u ||q n ⎫q −δ− ε− Lq ( R ) ⎪ ⎪ l l dh ≤ C { λ || u || + λ || u ||bl } ⎨∫ ⎬ 1+ qs Lp ( Rn ) p h ⎪⎩ 0 ⎪⎭

(1.8)

с постоянной C , зависящей только от p, q, l , s, σ, K 0 , n . Здесь ε, δ, λ – такие же, как и в (1.7). Доказательство

неравенства

(1.8)

можно

провести

аналогично

доказательству

неравенства (1.5) работы [19] и поэтому мы его опускаем. Нам понадобится одно неравенство для функций, принадлежащих пространству С.Л.Соболева W pm ( R n ) . Через BR ( x0 ) обозначаем шар радиуса R с центром в x0 . Лемма 1.4. Пусть f (x) – произвольная функция из Wn1 ( BR ( x0 )) и предположим, что для некоторого измеримого подмножества G ⊂ BR ( x0 ) выполнены неравенства mes G ≥ C ′ ⋅ R n , vrai max | f ( x) | ≤ C ′′ x∈G

с положительными постоянными С ′, С ′′ . Тогда ⎧⎪ ⎫⎪ | f ( x) |n dx ≤ C0 R n ⎨ ∫ | ∇f ( x) |n dx + 1⎬ ⎪⎩BR ( x0 ) ⎪⎭ BR ( x0 )

∫

(1.9)

с постоянной C0 , зависящей лишь от n, C ′, C ′′ . Здесь ⎛ ∂f ( x) ∂f ( x) ⎞ ⎟. ∇f ( x) = ⎜⎜ , L, ∂xn ⎟⎠ ⎝ ∂x1

Подобные неравенства имеются, например, в [2] и доказательство леммы 1.4 можно провести аналогично. Отметим еще несколько элементарных неравенств, которые будут использоваться в дальнейшем. 1) При произвольных векторах a, b ∈ R n , p ≥ 0 1

∫

(1+ | ta + (1 − t )b |) p dt ≥ C (1+ | a | + | b |) p

0

с положительной постоянной C , зависящей только от p . 50

(1.10)

2) Пусть N – число различных мультииндексов длины m и ⎧ T = ⎨τ = (τ γ :| γ |= m) ∈ R N : τ γ ≥ 0, ⎩

∑

| γ| = m

⎫ τ γ = 1⎬. ⎭

Тогда для любых неотрицательных чисел aα , любого β, | β |= m , и r > 0 1 C (r + 1) N

r

∑

|α| = m

a ≤∫ r α

T

⎞ ⎛ τ β ⎜⎜ ∑ τ α aα ⎟⎟ dτ ≤ C ∑ aαr |α| = m ⎠ ⎝ |α|=m

(1.11)

с положительной постоянной C , зависящей только от m, n . 3) При произвольных положительных a, b, ε и p > 1 справедливо неравенство Юнга p′

ab ≤

1 1 ⎛b⎞ p (εa ) p + ⎜ ⎟ , p ′ = . ′ p p ⎝ε⎠ p −1

(1.12)

Неравенство (1.12) хорошо известно, неравенства (1.10), (1.11) легко проверяются. § 2. Первое основное неравенство Здесь будет получена априорная оценка обобщенного решения уравнения (1.1). Будут рассматриваться обобщенные решения, удовлетворяющие условию (R), и поэтому условия на Aα будут формулироваться в более общем, чем обычно, виде. Предполагаем, что функции Aα ( x, ξ) непрерывно дифференцируемы по всем своим n⎞

⎛ n

аргументам до порядка ⎡⎢ ⎤⎥ + 1 при x ∈ Ω, ξ ∈ R M ⎜⎜ ⎡⎢ ⎤⎥ − целая часть ⎟⎟ и удовлетворяют при 2⎠ ⎣2⎦ ⎝⎣2⎦ n

x ∈ Ω, ξ ∈ R M , η ∈ R N

условиям с p ≥ 2 :

1) ⎛ ∑ Aαβ ( x, ξ) ηα ηβ ≥ C1 (| ξ′ |) ⎜⎜1 + ∑ | ξ γ |α| =|β| = m ⎝ | γ| = m

⎞ | ⎟⎟ ⎠

p −2

⋅

∑

|α| = m

ηα2 ;

(2.1)

n 2) при | δ | + s ≤ ⎡⎢ ⎤⎥ + 1, | β (i ) | ≤ m : ⎣2⎦

⎞

⎛

(δ) a) | Aαβ ( x, ξ) | ≤ C 2 (| ξ′ |) ⎜⎜1 + ∑ | ξ γ | ⎟⎟ (1) Kβ ( s )

⎝

| γ| = m

p1

(2.2)

⎠

с произвольным p1 < +∞ , если | δ |> 0 или | α | + | β (1) | + L + | β ( s ) | < ( s + 1) m ; б)

⎛ | Aαβ(1)Kβ( s ) ( x, ξ) | ≤ C2 (| ξ′ |) ⎜⎜1 + ∑ | ξ γ ⎝ | γ| = m

⎞ | ⎟⎟ ⎠

p2( s )

(2.3)

с p2( s ) = p − 2 при s = 1, p2( s ) = p − 3 при s > 1, если | δ |= 0, | α | = | β (1) | = K = | β ( s ) | = m . Здесь (δ) Aαβ ( x, ξ) ≡ Dxδ (1) Kβ( s )

51

∂ ∂ L Aα ( x, ξ) , ∂ξ β( s ) ∂ξ β(1)

( 0) Aαβ ≡ Aαβ ,

– положительные непрерывные функции, первая из которых невозрастающая, а вторая

C1 , C 2

неубывающая. Функции f α (x) , стоящие в правой части уравнения (0.1), без ограничения общности можем считать заданными в R n и предполагаем, что f a ∈ B2p0 ( R n ) с некоторым p0 >

n 2

.

Введем теперь понятие обобщенного решения уравнения (0.1). Функцию u ( x) , удовлетворяющую условию (R), назовем обобщенным решением уравнения (0.1) в области Ω,

если для произвольной v ∈ C0∞ (Ω) выполнено равенство Aα ( x, u , K , D m u ) D α v dx = ∫ ∑ ∫ |α∑ | ≤m |α| ≤ m

f α ( x) D α v dx .

(2.4)

Ω

Ω

В дальнейшем d – произвольное число, заключенное между нулем и единицей, и ⎧ ⎡n⎤ ⎫ m1 = max ⎨0, ⎢ ⎥ + 1 − m⎬ . 2 ⎩ ⎣ ⎦ ⎭

Пусть u (x) – удовлетворяющее условию (R) обобщенное решение уравнения (0.1); подставим в (2.4) (2.5)

v = τ β′ ∆β ( −h){[Wτ ( x, h)]r ∆β (h) u ψ s ( x)},

где ⎧ τ = {τ γ :| γ |= m} ∈ T ⊂ R N , T = ⎨τ : τ γ ≥ 0, ⎩

∑

| γ| = m

⎫ τ γ = 1⎬ , ⎭ 2

⎛ ∆γ (h)u ⎞ ⎟⎟ , Wτ ( x, h) = ∑ Vγ ( x, h)τ γ , Vγ ( x, h) = 1 + ⎜⎜ m | γ| = m ⎠ ⎝ h β

(2.6)

– произвольный мультииндекс длины m + m1 , β′ – произвольный мультииндекс длины m

такой, что β′ ≤ β, 0 < h < r ≥ 0, 2m ≤ s ≤ C0 (r + 1)

d , r, s 2(m + m1 )

– произвольные, удовлетворяющие неравенствам

числа, ψ ( x) – произвольная функция, принадлежащая C0∞ (Ω d ) ( Ω d –

подобласть области Ω , состоящая из всех тех точек, которые отстоят от границы Ω на расстояние, большее, чем d ). Предполагаем, что для функции ψ и ее производных выполнены оценки 0 ≤ ψ ( x) ≤ 1, | D α ψ | ≤ K |α| , | α | ≤ m .

(2.7)

Легко видеть, что для функции v , определяемой равенством (2.5), справедливо равенство (2.4). Используя (1.2), получим суммированием по β и интегрированием по τ :

∑ ∑ ∫ |β| = m + m |α| ≤ m 1

T

τβ′ ∫ ∆β (h) [ Aα ( x, u, K , D m u ) − f α ( x)] × Ω

× D α {[Wτ ( x, h)]r ∆β (h)u ⋅ ψ s ( x)} dx dτ = 0 .

52

(2.8)

Основное неравенство данного параграфа будет следовать из оценки формулы (2.8). Займемся преобразованием каждого из множителей, стоящих под знаком интеграла. ~ ~ n Лемма 2.1. Пусть с некоторым i0 β = ei0 + β, | β |= m + m1 − 1 . Тогда при 2 ≤ l ≤ ⎡⎢ ⎤⎥ + 1 имеет ⎣2⎦

место равенство ∆β (h) Aα ( x, u , K , D m u ) = 1

=∫ 0

∑

|β | ≤ m ~ µ≤ β

Cµβ Aαδ ( x + thei0 + µh, K , (1 + t∆ i0 ) D m u ( x + µh)) dt × l

× ∆β D δ u + ∑ k =2

i

k

∑ ∑ i =0

σ k ,i ∈Rk ,i

h k −i ∏ ∆ω (h) D δ u ( x + µ ( j ) h) × ( j)

( j)

j =1

1 1 ⎫ ⎧ ( κ) ( x + tρ h + νh, K , ∑ bµ (t ) D m u ( x + µh)⎬ dt1 K dt k , × ∫ L ∫ ⎨ Cσk ,i (t ) ∆λ Aαδ (1) Kδ( i ) µ ≤β−λ 0 0 ⎩ ⎭

(2.9)

где Cµβ – положительные постоянные, ∑~ Cµβ = 1, Cσk ,i , bµ – непрерывные функции, зависящие µ≤ β

только от m, n ; σ k ,i – следующий набор индексов: {λ, κ, δ (1) , K , δ (i ) , ρ, ν, ω(1) , K , ω(i ) , µ (1) , K , µ (i ) }

и множество Rk ,i определяется соотношениями: λ + ω(1) + K + ω(i ) + κ = β, | κ | = k − i, ω( j ) + µ ( j ) ≤ β , | δ ( j ) | ≤ m, | ρ |= k , ρ + λ + ν ≤ β ; λ = 0

при k < l .

Доказательство леммы проведем индукцией по l . При l = 2 (2.9) следует из равенства 1

∆ i0 (h) Aα ( x, u, K, D m u ) = ∫ 0

d Aα ( x + thei0 , K , (1 + t∆ i0 ) D m u ( x)) dt = dt

1 ⎧ = ∫ ⎨ ∑ Aαδ ( x + thei0 , K , (1 + t∆ i0 ) D m u ( x)) ∆ i0 D δ u ( x) + 0 ⎩|δ| ≤ m

⎫ + Aα( ei0 ) ( x + thei0 , K , (1 + t∆ i0 ) D m u ( x)) ⋅ h ⎬dt ⎭

и формулы (1.4): ∆β (h) Aα ( x, u,K , D m u ) = 1

=∫ 0

1

+∫ 0

∑

|δ| ≤ m

Cµβ Aαδ ( x + thei0 + µh, K , (1 + t∆ i0 ) D m u ( x + µh)) dt ⋅ ∆β D δ u +

⎧ ⎪ ⎨∑ ⎪|δ| ≤~m ⎩ γ ≤β γ

∑

µ ≤γ ~ γ ≤β − γ

δ

~

Cµβγ ∆β − γ Aαγ ( x + thei0 + µh, K , (1 + t∆ i0 ) D m u ( x + µh)) ×

~ β

× ∆ i0 ∆ D u ( x + νh ) + ∆ A

( ei0 ) α

⎫ ⎪ ( x + thei0 , K , (1 + t∆ i0 ) D u ( x)) h ⎬ dt . ⎪ ⎭ m

53

(2.10)

Применяя к последним двух слагаемым соотношение вида (2.10), получим (2.9) при l = 2 . Предполагая по индукции доказанной формулу (2.9) при l ≤ l0 , получим ее для l = l0 + 1 , пользуясь формулами (1.4), (2.10). Очевидно также, что в (2.9) можно добиться выполнения λ = 0 при k < l . В противном случае следует применить (2.10). Оценим второе слагаемое в правой части (2.9). Функция u (x) , обобщенное решение уравнения (0.1), предполагается удовлетворяющей условию (R) и, следовательно, принадлежит C m−1 ( Ω d ) . Обозначим || u ||C m−1 ( Ω d ) через M 0 , и пусть C1 = C1 ( M 0 ) , C2 = C2 ( M 0 ) , где 2

2

C1 (t ), C 2 (t ) – функции из (2.1)–(2.3).

В дальнейшем в оценках буквой C без всяких индексов будем обозначать все постоянные, зависящие только от m, n, p, p1 , C1 , C2 . Лемма 2.2. При | α | = m выполнено равенство ∆β (h) Aα ( x, u , K , D m u ) = 1

= R1 + ∫ 0

∑

|δ| ≤ m ~ µ≤ β

Cµβ Aαδ ( x + thei0 + µh, K , (1 + t∆ i0 ) D m u ( x + µh)) dt ∆β D δ u ,

(2.11)

где для R1 имеет место оценка в Ωd : p −3 ⎧⎡⎢ n ⎤⎥ +1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎪⎣ 2 ⎦ ⎟ γ | R1 | ≤ C ⎨ ∑ ∑ ⎜1 + ∑ | D u ( x + µh) | ⎟ × ⎟ ⎪ k =2 σk ∈Rk(1) ⎜ |µγ≤| =βm ⎝ ⎠ ⎩

k

×∏ | ∆

ω( j )

( h) D

δ( j )

u ( x + ν h) | + ( j)

⎡n⎤ ⎢ 2 ⎥ +1 k ⎣ ⎦

∑ ∑ k =2

j =1

h k −i ×

i =0

⎛ ⎞ i ( j) ( j) ⎜ ⎟ × ∑ ⎜1 + ∑ | D γ u ( x + µh) | p1 ⎟ ∏ | ∆ω (h) D δ u ( x + ν ( j ) h) | |γ| = m ⎟ j =1 σi ∈Rk( 2,i) ⎜ ⎝ µ ≤β ⎠

⎫ ⎪ ⎬. ⎪ ⎭

(2.12)

Здесь σ i = {ω(1) , K , ω(i ) ; δ (1) , K , δ (i ) ; ν (1) , K , ν (i ) }, k ⎧ ⎫ ⎡n⎤ Rk(1) = ⎨σ k :| δ (1) | = K = | δ ( k ) | = m, m + m1 ≥ ∑ | ω( j ) | ≥ ⎢ ⎥ + 1, ω( j ) + ν ( j ) ≤ β, | ω( j ) | > 0⎬ , ⎣2⎦ j =1 ⎩ ⎭

(2.13)

i i ⎧ ⎫ ⎡n⎤ Rk( 2,i) = ⎨σ i : k − i + ∑ (m − | δ ( j ) |) > 0, | δ ( j ) | ≤ m, ω( j ) + ν ( j ) ≤ β, m + m1 ≥ k − i + ∑ | ω( j ) | ≥ ⎢ ⎥ + 1, | ω( j ) | > 0 ⎬ . 2 ⎣ ⎦ j =1 j =1 ⎩ ⎭

Утверждение леммы 2.2 получается непосредственной оценкой из формулы (2.9) при ⎡n⎤ l = ⎢ ⎥ +1 ⎣2⎦

и применением неравенств (2.2), (2.3). Укажем теперь значение второго множителя

подынтегрального выражения в (2.8). Лемма 2.3. Имеет место равенство

54

D α {[Wτ ( x, h)]r ∆β (h) u ⋅ ψ s ( x)} = [Wτ ( x, h)]r ∆β (h) D α u ⋅ ψ s ( x) + +

2r h 2m

∑

| γ| = m

(2.14)

τ γ ⋅ [Wτ ( x, h)]r −1 ∆γ (h) D α u ⋅ ∆γ (h) u ⋅ ∆β (h) u ⋅ ψ s ( x) + R2 ,

где для R2 выполнена оценка: | R2 | ≤ C (r + 1) K m

m

|α|

∑

[Wτ ( x, h)]

l =0

r −1

(i )

∑ ∏

⋅

(i )

(0) ∆γ D α u ⋅ | ∆β D α u | ψ s −m . m h

2l

i =1 |γ ( i ) | = m α ( i ) . Существует n последовательность qi , i = 1, K , I , qi ≥ ⎡⎢ ⎤⎥ + 1 , зависящая только от m, n, такая, что для ⎣2⎦

произвольных чисел d , r , s , удовлетворяющих неравенствам 0 < d < 1, r ≥ 0, 2m ≤ s ≤ C0 (r + 1) , и произвольной функции ψ ∈ C0∞ (Ω d ) , удовлетворяющей условию (2.7), при 0 < h
1 индукцией по ⎝

2

| ω′′ | оценку

J 2 ≤ Cr 6 qi ∑ i

k ⎧ 1− 2 qi |ω′′| ⎛ ⎞ ⎪ ~ ~ ∑ ⎨⎜⎜ ∫ | ∆(l1 j )K∆(lk1 j ) D ρu ( x)ψ|mω′′| ( x) | k1 dx ⎟⎟ × |ρ| =|β| =|γ| = m ⎪ Ω ⎝ ⎠ k ≤ k1 ≤|ω′′| ⎩

θ ( r + r1 ) ⎡ × ⎢ ∫ (| ∆(l1 j )K ∆(lkj )([Vγ ( x)] 2 D β u ( x)) | × ⎢⎣Ω

×ψ

θ ( s − s1 ) 2 |ω′′|

k

( x))

×ψ

2 qi k

θ ( r + r1 ) ⎤ |ω′′| ⎡ dx ⎥ + ⎢ ∫ | ∆(l1 j )([Vγ ( x)] 2 D γ u ( x)) × ⎢⎣Ω ⎥⎦

θ ( s − s1 ) 2

1

( x) |4 qi

⎤ 2|ω′′| ⎡ ~ dx ⎥ ⎢ ∫ (| ∆( l1 j ) D ρ u × ⎥⎦ ⎣Ω

62

⎠

× ψ ( x) | m |ω′′|

4 qi

|ω′′|

~ ~ + ∑ | ∆ ( lij )K ∆( lλj ) D ρ uψ |mω′′| ( x) |

2 qi λ

λ =1

⎤ )dx ⎥ ⎦⎥

1−

1 2|ω′′|

⎫ ⎪ ⎬, ⎪ ⎭

(3.14)

~

~

где lkj , lkj – некоторые n -мерные векторы, | lkj |, | lkj | ≤ (2m )|ω′′| h, j пробегает конечную, зависящую лишь от m, n последовательность номеров. При дальнейшей оценке интеграла из правой части (3.14) будет применяться следующая Лемма 3.3. Пусть

–

l1 ,K, lλ

n -мерные

векторы,

| li | ≤ 2 k −1 m k h, q > 1 .

Тогда для

произвольной функции f (x)

∫ | ∆(l1 )K∆(lλ )[ f ( x)]ψ k ( x) | s

q

dx ≤

Ω

λ

≤ C∑

∑

ν =0 i1 ,K,iν

где суммирование по

( K k +λ sh) q ( λ −ν ) ∫ | ∆ (li1 )K ∆(liν ){ f ( x)ψ ks −+λλ+−νν ( x)} |q dx ,

i1 ,K, iν ,

(3.15)

Ω

распространяется по всем подпоследовательностям

последовательности 1,K, λ и постоянная C зависит от m, n, λ, q .

Доказательство (3.15) проводится индукцией по λ и при этом используется формула вида (1.3). Докажем (3.15) только при λ = 1 , так как дальнейшие рассуждения проводятся аналогично. Непосредственно проверяется, что ∆ (l1 ){ f ( x) ⋅ ψ ks ( x)} = ∆(l1 )[ f ( x)]⋅ ψ ks ( x) + s −1

1

+ f ( x + l1 ) ⋅ s ∫ [(1 + t∆(l1 ))ψ k ( x)] dt ⋅ ∆(l1 )ψ k ( x). 0

Отсюда следует:

∫ | ∆(l1 )[ f ( x)]⋅ ψ k ( x) | s

Ω

q

⎧ dx ≤ C ⎨ ∫ | ∆(l1 ){ f ( x) ⋅ ψ ks ( x)} |q dx + ⎩Ω

⎫ + ( sK k ⋅ h) q ∫ | f ( x + l1 )[ψ ks −1 ( x) + ψ ks −1 ( x + l1 )] |q dx ⎬. Ω ⎭

Делая в последнем интеграле замену x = y − l , получим в силу (3.14):

∫{| f ( x + l1 ) | [ψ k

s −1

Ω

( x) + ψ ks −1 ( x + l1 )]}q dx ≤ 2 q ∫ {| f ( x) | ⋅ψ ks −+11 ( x)}q dx , Ω

откуда следует (3.15) при λ = 1 . Из формул (3.3), (3.4), (3.14) и (3.15) теперь получаем, что при r > 1, θ(r + r1 ) > 1 интеграл H

J (1)

∫ h1+n dh 0

оценивается суммой членов вида k 1− 2 qθ

J ( 3)

2q ⎫⎪ ⎧⎪H dh = C (rK 2 m ) 8 m ⎨ ∫ 1+ n ∫ | h j1 ⋅ ∆(l1 )K ∆(li1 ){D βuψ λm1−ν1 ( x)} | k1 dx ⎬ ⎪⎭ ⎪⎩ 0 h Ω

63

×

k2

2q θ θ ⎫⎪ qθ ⎧⎪H dh ( r + r1 ) ( s − 2 s1 ) −ν 2 ~ ~ D β u ( x)ψ λ22 ( x)} | k2 dx ⎬ , × ⎨ ∫ 1+ n ∫ | h j2 ∆( l1 )K ∆( li2 ){[Vγ ( x)] 2 ⎪⎭ ⎪⎩ 0 h Ω

(3.16)

~

где | γ | = | β | = m, q > i1 + j1 = k1 ≥ k 2 = i2 + j2 ; λ1 , λ 2 ≤ 2m , ν1 , ν 2 < m , li , l j – n -мерные векторы, | li | , ~ | l j | ≤ 2 m −1 m m h, q

равняется qi , либо 2qi .

Дальнейшая оценка J (3) получается из леммы 1.3 и неравенства Гельдера (если ji ≠ 0, ki ).

Например, для второго множителя справа в (3.16) имеем при 0 < j2 < k 2 : J ( 4) =

2q

θ

θ

H

( r + r1 ) ( s − 2 s1 ) −ν 2 ~ ~ dh | h j2 ∆( l1 )K ∆( li2 ){Vγ ( x) 2 D β uψ λ22 ( x)} | k2 dx ≤ 1+ n ∫ h Ω

∫ 0

i2

j2

2q θ θ ⎫⎪ k2 ( r + r1 ) ( s − 2 s1 ) −ν 2 ⎧H h 2 q ⎫ k2 ⎧⎪ ~ ~ ≤ C ⎨ ∫ 1+ n ⎬ ⎨ ∫ | ∆ ( l1 )K ∆ ( li2 ){[Vγ ( x)] 2 D β uψ λ22 ( x)} | k2 dx ⎬ . ⎩ 0 h ⎭ ⎪⎩Ω ⎭⎪

n 2

Далее применяем ко второму множителю оценку (1.8) с λ = 1, l = , ρ = 2 . Все условия леммы 1.3 выполнены, так как в данном случае 2q 2q 2q 2 ⎛ n ni ⎞ i ≥ ≥ > 2, ε = 1 − ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ = 2 > 0 , i2 k2 k1 n ⎝ 2 2q ⎠ q nl s = 2 , s = ls, s < i2 , 2q

Выбирая значение k в (1.6) равным m + m1 , получаем: J

q ⎧ ⎤ k2 ⎪⎡ θ ( r + r1 ) θ ( s − 2 s1 ) − 2 ν 2 2 β ≤ C ⎨⎢ ∫ [Vγ ( x)] | D u ( x) | ψ λ2 ( x)dx ⎥ + ⎦ ⎪⎣Ω ⎩

( 4)

q ⎫ θ θ ⎡∞ dh ⎤ k2 ⎪ ( r + r1 ) ( s − 2 s1 ) −ν 2 m + m1 2 β + ∑ ⎢ ∫ 1+ n ∫ | ∆ i (h){[Vγ ( x)] 2 D u ( x)ψ λ22 ( x)} | dx ⎥ ⎬. i =1 ⎣ ⎢ 0 h Rn ⎥⎦ ⎪ ⎭ n

Здесь H

j ( 2 q −n ) 2 k2

мы включили в постоянную C , так как считаем H ≤ d ≤ 1 . Можем дальше ~

продолжить оценку с любым H ≤ d : J ( 4)

q ⎧ k2 ⎤ ⎪⎡ ~ −n ≤ C ⎨⎢ H ∫ [Vγ ( x)]θ( r + r1 ) | D βu ( x) |2 ψ θλ(2s −2 s1 )−2 ν 2 ( x)dx ⎥ + Ω ⎦ ⎪⎣ ⎩

q ⎫ ~ θ θ ⎡ H dh ⎤ k2 ⎪ ( r + r1 ) ( s − 2 s1 ) −ν 2 m + m1 β 2 2 2 + ∑ ⎢ ∫ 1+n ∫ | ∆ i (h){[Vγ ( x)] D u ( x )ψ λ 2 ( x)} | dx ⎥ ⎬. i =1 ⎢ ⎥⎦ ⎪ ⎣0 h Ω ⎭ n

(3.17)

Эта же оценка справедлива для J ( 4) при j2 = 0 (те же рассуждения, только без применения неравенства Гельдера) и при j2 = k 2 . В последнем случае J

( 4)

H

θ

θ

2q

( r + r1 ) ( s − 2 s1 ) −ν 2 h 2q ≤ C ∫ 1+n dh ⋅ ∫ | [Vγ ( x)] 2 D β u ( x) ψ λ22 ( x) | k2 dx 0 h Ω

64

и нужно применить ко второму интегралу оценку (1.7) при λ = 1, α = 0 . Легко проверить, что все условия при этом выполнены и для J ( 4) мы снова получим оценку (3.17). Аналогично оценивается первый множитель в (3.16). Для него имеет место оценка 2q

H

q

~ k dh j m −ν k 2m β ∫ h1+n ∫ | h 1 ∆(l1 )K∆(li1 ){D u ( x) ⋅ ψ λ1 1 ( x)} | 1 dx ≤ C{K 2m I 0 ( H )} 1 , 0 Ω

где ~ I 0 (H ) = n

~ H

i =1

0

+∑

∑

|β| = m

⎧ ~ −n 2 β ⎨ H ∫ | D u ( x) | ϕ 0 ( x)dx + Ω ⎩

⎫⎪ dh | ∆mi+ m1 (h){D β u ( x) ⋅ ϕ0 ( x)} |2 dx + 1⎬ , 1+ n ∫ h Ω ⎪⎭

∫

(3.18)

где ϕ0 ( x) – некоторая функция класса C0∞ (Ω) , равная единице в Ω d . Из (3.17) и (3.18) получаем оценку для J (3) и, следовательно, 1

H

1

~ 2q − ~ J (1) dh ≤ Cr 8 m K 28mm + 2 q ⋅ m {I 0 ( H )} θ {I r ,s ( H )} θ , 1+ n h

∫ 0

где q = max qi , i

~ I r ,s ( H )

2m

m

∑ ∑ ∑

|β| =|γ| = m λ =0 ν =0

n

~ H

i =1

0

+∑

dh

∫ h1+n ∫

⎧ ~ −n θ ( r + r ) +1 θ ( s − 2 s ) − 2 ν ⎨ H ∫ [Vγ ( x)] 1 ψ λ 1 ( x)dx + Ω ⎩ θ

| ∆mi+ m1 (h){[Vγ ( x)] 2

( r + r1 )

θ

D βu ( x)ψ λ2

( s − 2 s1 ) −ν

Ω

⎫⎪ ( x)} |2 dx ⎬. ⎪⎭

(3.19)

Мы показали, как оценивать одно из слагаемых, входящих в J r∗,s ( H , ψ) . Аналогично оценивается третье слагаемое в формуле (3.1) и член, соответствующий первому слагаемому в подынтегральном выражении формулы (2.16). Сделаем только замечание относительно последнего члена при p < 4 , так как в этом случае нельзя непосредственно получить для него оценку вида (2.3). Представим [W ( x + µh)]

p −4 2

[Vγ ( x, h)]r = [W ( x + µh)]

p −4 2

[Vγ ( x, h)]r −1 ×

× {Vγ ( x + µh) + [Vγ ( x, h) − Vγ ( x + µh)]}.

Отсюда, пользуясь очевидным неравенством 1

1

| Vγ ( x, h) − Vγ ( x + µh) | ≤ {[Vγ ( x, h)] 2 + [Vγ ( x + µh)] 2 } × ⎧⎪ ⎫⎪ × ⎨| ∆(µh) D γ u ( x) | + ∫ | ∆(t γ h) D γ u ( x) | dt ⎬ , ⎪⎩ ⎪⎭ Im

получаем: [W ( x + µh)]

p −4 2

[Vγ ( x, h)]r = C[W ( x + µh)]

65

p−4 2

[Vγ ( x, h)]r −1 ×

⎫⎪ ⎧⎪ × ⎨W ( x + µh)+ | ∆(µh) D γ u | 2 + ∫ | ∆(t γ h) D γ u | 2 dt ⎬ ⎪⎭ ⎪⎩ Im

и, следовательно, по неравенству Юнга [W ( x + µh)] ≤ C[W ( x + µh)]

p −4 2

p −2 2

2 qi

[Vγ ( x, h)]r | ∆ω D δu ( x) | |ω| ψ s −2 m ( x) ≤

2 ( qi +1) 2 qi ⎧⎪ ω δ ω δ |ω| + | ∆ D u | |ω| + [Vγ ( x, h)] ⎨| ∆ D u ( x) | ⎪⎩ r −1

⎫⎪ + | ∆(µh) D γ u |2( qi +1) + ∫ | ∆ (t γ h) D γ u ( x) |2( qi +1) dt ⎬ψ s −2 m ( x) . ⎪⎭ Im

Теперь уже в правой части все слагаемые подобны подынтегральной функции в J (1) и оценка интегралов от них проводится точно так же, как и для J (1) . Оставшиеся члены J r∗,s ( H , ψ) оцениваются одинаково и мы остановимся еще только на интеграле J (5) =

2 qi

H

dh ω δ p r +1 s −2 m |ω| ∫ h1+n ∫ [W ( x + µh)] [Vγ ( x, h)] | ∆ D u ( x) | ψ ( x)dx Ω 0

при | δ |< m, 1 ≤ | ω | ≤ qi . Возможны два случая: а) | ω | + | δ | ≤ m , б) | ω | + | δ | > m . В первом случае, представляя по формуле (1.5) ∆ω (h) D δ u ( x) = h|ω| ∫ D ω+δ u ( x + t ω h)dt I|ω|

и применяя неравенство Юнга, получим оценку J (5) ≤ C ∑ [Vγ ( x)] |γ| = m

где r2 = p + 1 +

qi . |ω|

r + r2

ψ1s −2 m ( x)dx ,

(3.20)

Применим к последнему интегралу неравенство Гельдера и воспользуемся

легко проверяемым соотношением [Vγ ( x)]

r+

1 2

≤ Cr{1 + [Vγ ( x)]r | D γ u ( x) |}.

Будем иметь: J

(5)

1 ⎧ 1− ⎡ ⎤ q1θ r3 ⎪ ≤ Cr ⎨1 + ∑ ⎢ ∫ [Vγ ( x)] ψ1 ( x)dx ⎥ × ⎦ ⎪ |γ|=m⎣Ω ⎩

1 ⎫ θ θ q1θ ⎡ ⎤ ( r + r1 ) ( s − 2 s1 ) ⎪ 2 q1 γ 2 2 × ⎢ ∫ ([Vγ ( x)] | D u ( x) | ψ1 ( x)) dx ⎥ ⎬ , ⎢⎣Ω ⎥⎦ ⎪ ⎭

(3.21)

1 qθ где q1 такое же, как в (2.16), r3 = ⎛⎜ r2 − r1 − ⎞⎟ 1 . Оба интеграла справа в (3.21) можно ⎝

θ ⎠ q1θ − 1

оценить по неравенству (1.7) и в результате придем к оценке 66

1

~ ~ J (5) ≤ Cr ⋅{I 0 ( H )}q′ {I r ,s ( H )} θ

(3.22)

с некоторым q′ , зависящим только от m, n, p, p . Если же в J (15) | ω + δ | > m , то оценим J (15) по неравенству Юнга: J (5) ≤

H

∫ 0

dh h1+ n

∫

Ω

p −2 ω δ ⎧⎪ r −1 ∆ D u ( x ) ⎨[W ( x + µh)] 2 [Vγ ( x, h)] h m −|δ| ⎪⎩

2 qi |ω+ δ|− m

~ ~ ⎫ + [W ( x + µh)] p [Vγ ( x, h)]r + r h 2 qi ⎬ψ s −2 m ( x) dx ⎭

| ω| 2| ω| p − 2 | ω + δ | −m ~ − ⋅ , r = −1 . с ~p = p ⋅

m− | δ |

m− | δ |

2

m− | δ |

Для первого слагаемого справа справедлива оценка (3.19), а второе слагаемое оценивается аналогично правой части (3.20), Таким образом, мы опять получим для J (5) оценку вида (3.22). Из оценок (3.19), (3.22), а также аналогично получающихся оценок для остальных слагаемых J r∗,s ( H , ψ) следует Теорема 3.1. Пусть ψ( x) – произвольная функция класса C0∞ (Ω d ) и последовательность ψ k (x)

такова, что выполнены условия (3.13). Существует θ , зависящее только от m, n и ~

меньшее единицы, такое, что для произвольной функции u (x) и произвольных r , s, H , удовлетворяющих условиям ~ ~ p ⎛ ⎞ I 0 ( H ) < −∞, I r ,s ( H ) < +∞, r ≥ 1, θ⎜ r + − 2 ⎟ > 1, 2 ⎝ ⎠ ~ ~ d d 4m ≤ s < C 0 r , 0 < H ≤ , 0 1. 2 ⎝ ⎠

67

(3.24)

При | r | ≤ C0 изменим J r∗,s ( H , ψ) в соответствии с тем, что роль основного неравенства играет в этом случае (2.22). Определим для | r | ≤ C0 величину J r∗,s ( H , ψ) =

H

∫ 0

1 J r ,s (h, ψ )dh + ∫ [W ( x)]r + p ψ s −2 m ( x) dx + h1+ n Ω

⎡ ⎤ 2 ( m + m1 + j ) p ⎢ ⎥ ⎡ m + m1 ⎧⎪ r + −2 ⎣ 2 ⎦ ω β ⎢ 2 | ∆ (h) D u ( x + νh) | |ω| + ∫ ⎨[W ( x, h)] ∑ ⎢ |ω∑ j = = 1 | 1 Ω⎪ ⎩ ⎢⎣|ν| ≤m+ m1 p

H

+

∑ ∫

|β| = m 0

dh h1+ n

+ ∫ | ∆(tβ h) D u ( x) | β

2 ( m + m1 + j )

Im

+W

p−2 2

⎤ p r + −2 dt ⎥⎥ + ∑ [W 2 ( x + µh) + ⎥⎦ |µ| ≤m+ m1

( x + µh)(W r −1 ( x) + W r −1 ( x, h)) + W

p−4 2

( x + µh)(W r ( x) + W r ( x, h))] ×

⎡ m+ m1 −1 ⎤⎫ 2 ( m + m1 ) ⎪ 2 ( m+ m1 ) ω β β |ω| ⎢ dt ⎥ ⎬ dx × ∑ | ∆ ( h ) D u ( x + νh ) | + ∫ | ∆(tβ h) D u ( x) | ⎢ |ω|=1 ⎥ Im ⎥⎦ ⎪⎭ ⎣⎢|ν| ≤m+ m1

(3.25)

и покажем, как оценивать входящие в J r∗,s ( H , ψ) члены при выполнении второго условия в (3.24). При r < 1 и оценке, например, интеграла J (1) =

∫

[W ( x + µh)]

p −2 2

[W ( x, h)]r −1

Ω

D α ∆ωu h m −|α|

2 qi |ω+ α|− m

ψ s −2 m ( x)dx

аналогично J (1) мы не можем, пользуясь неравенством Юнга, получить оценку вида (3.3). Поэтому представим [W ( x + µh)]

p −2 2

+ {[W ( x + µh)]

p

[W ( x, h)]r −1 = [W ( x + µh)] 2

p −2 2

− [W ( x, h)]

p −2 2

+r −2

+

}⋅[W ( x, h)]r −1

и оценим разность в фигурной скобке с помощью уже часто применявшегося приема: | [W ( x + µh)] =

1

∫ 0

p −2 2

− [W ( x, h)]

p −2 2

|=

d [tW ( x + µh) + (1 − t )W ( x, h)] dt

p −2 2

dt ≤

⎧⎪ ⎫⎪ ≤ C ∑ ⎨W 2 ( x + µh) + W 2 ( x + µh)⎬ × ⎪⎭ |α| = m ⎪ ⎩ ⎧⎪ ⎫⎪ × ⎨| ∆(µh) D α u ( x) | + ∫ | ∆ (t α h) D α u ( x) | dt ⎬. ⎪⎩ ⎪⎭ Im p −3

p −3

Отсюда и из (3.26) получаем: [W ( x + µh)]

p −2 2

p ⎧⎪ +r −2 [W ( x, h)]r −1 ≤ C ∑ ⎨[W ( x, h)] 2 + |α| = m ⎪ ⎩

68

(3.26)

p

+ [W ( x, h)] 2

+ [W ( x + µh)]

p −4 2

+ r −3

⎛ ⎞ ⎜ | ∆(µh) D α u ( x) |2 + | ∆(t α h) D α u ( x) |2 dt ⎟ + ∫ ⎜ ⎟ Im ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎫⎪ [W ( x, h)]r −1 ⎜ | ∆(µh) D α u ( x) |2 + ∫ | ∆(t α h) D α u ( x) |2 dt ⎟⎬. ⎜ ⎟⎪ Im ⎝ ⎠⎭

Продолжая аналогичную оценку для последнего слагаемого фигурной скобки, придем после ⎡ p⎤ ⎢ 2 ⎥ шагов к оценке: ⎣ ⎦ [W ( x + µh)] ≤ C [W ( x, h)]

⎡ p⎤ ⎢ ⎥ p + r −2 ⎣ 2 ⎦ 2

∑

j =0 |α| = m

p −3 2

[W ( x, h)]r −1 ≤

⎧⎪ ⎫⎪ α 2j α 2j ⎨| ∆(µh) D u ( x) | + ∫ | ∆(t α h) D u ( x) | dt ⎬ ⎪⎩ ⎪⎭ Im

и, следовательно, [W ( x + µh)]

≤ C [W ( x, h)]

⎡ p⎤ ⎢ ⎥ p +r −2 ⎣ 2 ⎦ 2

∑

j =0 |α| = m

+

∫

Im

p −2 2

[W ( x, h)]r −1

⎧ α ω ⎪D ∆ u ⎨ m −|α| ⎪ h ⎩

D α ∆ωu h m −|α|

2 ( qi + j ) |ω+ α|− m

2 qi |ω+ α|− m

≤

+ | ∆(µh) D α u ( x) |2( qi + j ) +

⎫⎪ | ∆(t α h) D α u ( x) |2( qi + j ) dt ⎬. ⎪⎭

(3.27)

Тем самым мы получим для J (1) оценку вида (3.3). Остальные оценки для J (1) получаются дословным повторением оценок J (1) . Аналогично оцениваются остальные входящие в J r∗,s ( H , ψ) члены. Можно считать, что возникающий при оценке этих членов показатель θ –

тот же, что и в теореме 3.1. Тем самым установлена Лемма 3.4. Пусть выполняются все предположения теоремы 3.1, кроме r ≥ 1 . Тогда при | r | ≤ C0 и 4m ≤ s ≤ C0 конечна величина J r∗,s ( H , ψ) и имеет место оценка 1

~ ~ ~ ~ J r∗,s ( H , ψ ) ≤ CK 2mm ( I 0 ( H )) q {I r ,s ( H )} θ ,

(3.28)

где сохранены все обозначения теоремы 3.1.

Отметим еще, что при r ≤ 1 оценка вида (3.28) справедлива также и в случае, если не выполнено второе неравенство из (3.24). На понадобится в дальнейшем случай такого r , для которого p 1 ⎛ ⎞ 0 ≤ θ⎜ r + − 2 ⎟ ≤ , 2 ⎝ ⎠ 8 N

где N – число мультииндексов длины m . Обозначим 69

(3.29)

~ I r ,s ( H ) =

2m

|β| = m λ =0 ν = 0

n

~ H

i =1

0

+∑

⎧ ~ −n θ ( r + r ) +1 θ ( s − 2 s ) − 2 ν ⎨ H ∫ [W ( x)] 1 ψ λ 1 ( x)dx + Ω ⎩

m

∑ ∑∑

∫

dh h1+ n

θ

∫

[| ∆mi+ m1 (h) ( D βu ( x)ψ λ2

( s − 2 s1 ) −ν

( x)) |2 +

Ω θ

+ | ∆mi+ m1 (h)([W ( x)] 2

( r + r1 )

θ

D β u ( x)ψ λ2

( s − 2 s1 ) −ν

⎫⎪ ( x)) |2 ]dx ⎬. ⎪⎭

Лемма 3.5. Пусть ψ( x), ψ k ( x), θ – те же, что в теореме 3.1. Для произвольной функции ~ u (x) и произвольных чисел r , s, H , удовлетворяющих условиям ~ ~ p 1 ⎛ ⎞ I 0 ( H ) < +∞, I r ,s ( H ) < +∞, | r | ≤ C0 , 0 ≤ θ⎜ r + − 2 ⎟ < , 2 ⎝ ⎠ 8 N ~ d d 4m ≤ s ≤ C 0 , 0 < H ≤ , 0 0, 4m < s ≤ C0 r , 0 < H ≤ 2 2(m + m1 )

r ≥ 1, r +

~

( m1 , m определены в §§ 2, 3) конечна величина J r∗,s ( H , ψ 2 m +1 ) . Тогда при 0 0. 2

(4.9)

Это легко увидеть из того, что ρ > r . В дальнейшем этот факт будет проверен при специальном выборе функций ψ( x), ψ k ( x) . Итак,

нам

нужно

доказать

ограниченность

J r∗,s ( H , ψ)

при

некотором

r,

удовлетворяющем (4.9). Отметим, что аналогично доказательству леммы 4.1, но, используя вместо основных неравенств оценки (2.22) и (3.28), можно установить следующее предложение. 73

Лемма 4.2. Пусть выполнены все предложения леммы 4.1, кроме r ≥ 1 . Тогда при | r | ≤ C 0 , 4m ≤ s ≤ C 0

имеет место оценка 1

~ ~ ~ ~ J ρ,σ ( H , ψ) ≤ CH −2 n K 2mˆm {I 0 ( H )}q {J r∗,s ( H , ψ 2 m +1 )} θ ,

(4.10)

где сохранены все обозначения формулы (4.1).

Точно так же из (2.22), (3.30) следует Лемма 4.3. Пусть u ( x), ψ( x), ψ k ( x) – те же функции, что в лемме 4.1. Предположим, ~

что для некоторых чисел r , s, H , удовлетворяющих условиям r ≤ 1, 0 ≤ r +

~ p d 1 −1 ≤ , 4m ≤ s ≤ C 0 , 0 < H ≤ , 2 2(m + m1 ) 8 N

~

конечна величина J r∗,s ( H , ψ 2 m +1 ) . Тогда при 0 < H ≤

d 2(m + m1 )

конечна величина J ρ∗,σ ( H , ψ) и имеет

место оценка 1

~ ~ ~ ~ J ρ∗,σ ( H , ψ) ≤ CH −2 n K 2mˆm {I 0 ( H )}q {J r∗,s ( H , ψ 2 m +1 )} θ ,

(4.11)

где ρ, σ определяются так же, как в лемме 4.1.

Теперь легко установить ограниченность ϕ ∈ C0∞ (Ω 2 d ) k0

J r∗,s ( H , ϕ)

для произвольной функции

для r , удовлетворяющего условиям (4.9). Отметим, что для произвольного числа ~

можно указать K , зависящее только от k 0 , и последовательность ϕi( k ) ( x), k = 1,K, k 0 ,

i = 0,K,2m + 1 ,

так, что ϕi( k ) ∈ C0∞ (Ω d ) и для произвольного y ∈ R n , | y | ≤ 2i −1 m i

d R

выполняются

условия: ϕi(−k1) ( x) ⋅ ϕi( k ) ( x + y ) ≡ ϕi(−k1) ( x), ϕ (0k +1) ( x) ≡ ϕ (2km) +1 ( x), ϕ (01) ( x) ≡ ϕ( x) , |α| ⎛ K~ ⎞ 0 ≤ ϕi( k ) ( x) ≤ 1, | D α ϕi( k ) ( x) | ≤ C ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝d⎠

(4.12)

при | α | ≤ m ,

где C – абсолютная константа. Лемма 4.4. Пусть u (x) – обобщенное решение уравнения (0.1), удовлетворяющее условию (R), и пусть выполнены условия (2.1)–(2.3). Существуют ~r , удовлетворяющее ~

условиям (4.9), и числа K , ~s , ν, λ , зависящие только от m, n, p , такие, что для произвольной функции ϕ ∈ C0∞ (Ω 2 d ) имеет место оценка I

∗ ~ r ,~ s

ν ⎛ K~ ⎞ ( H , ϕ) ≤ C ⎜⎜ ⎟⎟ {I 0 ( H )}λ ⎝d⎠

d K

при H = ~ .

74

(4.13)

Доказательство. Последовательность ϕi( k ) ( x) выберем так, чтобы удовлетворялись

условия (4.12), число k 0 укажем ниже. Выберем сначала r ( 0) = 1 − ~ d r = r 0 , s = s ( 0 ) , ψ = ϕ1( k0 ) , H = H = ~ K J r∗( 0 ) ,s ( 0 ) ( H , ϕ (2km0 +) 1 )

p 1 + , s ( 0 ) = 4m 2 8 N

. При

выполнены все предположения леммы 4.3. Ограниченность

следует из условия (R) и имеет место оценка (4.14)

J r∗( 0 ) ,s ( 0 ) ( H , ϕ (2km0 +) 1 ) ≤ C{I 0 ( H )}λ0

с некоторой зависящей лишь от m, n постоянной λ 0 . Оценка (4.14) получается из неравенства (3.27) и леммы 1.3. Из леммы 4.3 получаем ограниченность J r∗(1) ,s(1) ( H , ϕ(2km0 −+11) ) при p 1 1 + , s (1) = [ s ( 0 ) + 2( s1θ + m + m1 )] θ 2 8θ N

r (1) = 2 −

и оценку J

∗ r (1) , s (1)

(H , ϕ

( k0 −1) 2 m +1

ν1 ⎛ K~ ⎞ ⎟ ⎜ ) ≤ C ⎜ ⎟ {I 0 ( H )}λ1 ⎝d⎠

(4.15)

λ θ

с ν1 = 2n + mˆ , λ1 = q~ + . Значение r = r (1) уже удовлетворяет второму условию (4.9), и если r (1) ≥ 1 , то утверждение леммы доказано, что следует из неравенства J r∗,s ( H , ψ ) ≤ J r∗,s ( H , ψ )

при r ≥ 1.

(4.16) ~

d K

Если r (1) < 1 , то применим лемму 4.2 при r = r (1) , s = s (1) , ψ = ϕ1( k0 −1) , H = H = ~ . Тогда получим: J

∗ r ( 2 ) ,s( 2 )

(H , ϕ

( k0 − 2 ) 2 m +1

ν2 ⎛ K~ ⎞ ⎟ ⎜ ) ≤ C ⎜ ⎟ {I 0 ( H )}λ 2 , ⎝d⎠

(4.17)

где ν 2 = ν1 +

ν1 λ p 1⎛ 1 , λ 2 = q~ + 1 , r ( 2) = 2 − + ⎜⎜1 + θ θ 2 θ ⎝ 8θ N

⎞ ⎟⎟ , ⎠

1 s ( 2 ) = [ s (1) + 2( s1θ + m + m1 )]. θ

Если r ( 2) меньше единицы, то применяем снова лемму 4.2 и после j

шагов придем к

единице J

∗ r ( j ) ,s( j )

(H , ϕ

( k0 − j +1) 0

νj ⎛ K~ ⎞ λ ) ≤ C ⎜⎜ ⎟⎟ {I 0 ( H )} j , d ⎝ ⎠

где

75

(4.18)

r ( j)

1 1 ν j = ν1 − ν j −1 , λ j = q~ + λ j −1 , θ θ p 1 1 1 1 = 2 − + + 2 + L + j −1 + j , 2 θ θ θ θ 8 N 1 s ( j ) = [ s ( j −1) + 2( s1θ + m + m1 )]. θ

Теперь достаточно выбрать k0 так, чтобы r ( k0 −1) < 1, r ( k0 ) ≥ 1 и неравенства (4.16) и (4.17) при j = k0

завершат доказательство леммы. Основной результат параграфа дает Теорема 4.1. Пусть u (x) – обобщенное решение уравнения (0.1), удовлетворяющее

условию (R). Предположим, что функции Aα ( x, ξ) непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам до порядка ⎡⎢ ⎤⎥ + 1 при x ∈ Ω, ξ ∈ R M и удовлетворяют условиям (2.1)–(2.3), ⎣2⎦ n

f α ( x) ∈ B2p0 ( R n ), p0 >

n . Тогда для производной подобласти Ω′ области Ω такой, что Ω ′ ⊂ Ω , 2 vrai max | D α u ( x) |, | α |= m, x∈Ω′

оценивается постоянной, зависящей лишь от C0 , C1 , C2 n, m, p, p1 , || f α || B p0 , || uϕ0 || 2

m+

n

и d′ –

B2 2

расстояния Ω′ до границы области Ω . Здесь ϕ0 ( x) – произвольная функция класса C0∞ (Ω) , равная единице в Ω d , d =

d′ 4

.

Доказательство. Пусть g (t ) – произвольная функция класса C ∞ ( R1 ) , равная единице

при t ≥ 1 , нулю при t ≤ 0 , и пусть 0 ≤ g (t ) ≤ 1 . Определим при k = 1,2,K последовательности: ~ r 1 ⎞ ⎡p ⎤⎛ 1 +⎢ + − 2⎥ ⎜ k −1 − 1⎟ , k −1 θ ⎠ ⎣ 2 1− θ ⎦⎝ θ ~ 2( s1θ + m1 + m ) ⎛ 1 s ⎞ σ k = k −1 + ⎜ k −1 − 1⎟ , 1− θ θ θ ⎠ ⎝

ρk =

Hk =

θ k −2 d (1 − θ), ϕ k ( x) = M1

⎛ d − | x − x0 | g ⎜⎜ k −1k ⎝ θ ⋅ d (1 − θ) M 2

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

где M1 =

2 m +1

∑ j =0

~ 2 2 m ⋅ m 2 m +1 [(2m ) i + K ], d k = d (1 − θ + θ k ), M 2 = , M1

~ числа ~r , ~s , K указаны в лемме 4.4, θ – в теореме 3.1, m1 , m определены в §§ 2, 3, x0 ∈ Ω′ .

Мы получим рекуррентное соотношение для Lk = J ρ∗k ,σk ( H k , ϕ k ) ,

(4.19)

откуда выведем оценку для Lk и утверждение теоремы. Ограниченность L1 и оценка для L1 доказаны в лемме 4.4, причем ~r удовлетворяет условиям (4.9). Установим ограниченность всех Lk и оценку 76

~

1

Lk ≤ Cθ −kM 0 [ I 0 ( H 1 )]q Lkθ−1 .

(4.20)

Здесь q~ – то же, что в теореме 3.1, M 0 = 2n + 2mˆ + nq~, C – постоянная, зависящая только от m, n, p, p1 , C0 , C1 , C2 , || f α || B p0 2

.

Определим для i = 0,1,K,2m + 1 функцию ⎛ d − | x − x0 | ϕ k ,i ( x) = g ⎜ k −k1,i ⎜ θ d (1 − θ) M 2 ,i ⎝

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

где i ⎛ ~ θ k −1 ⎞ 2i −1 m i ⎟, M 2,i = . d k ,i = d ⎜⎜1 − θ + θ k + 2∑ [(2m ) j + K ] (1 − θ) M1 M 1 ⎟⎠ j =0 ⎝

Проверим, что для | y | ≤ 2i −1 m i H k (4.21)

ϕ k ,i −1 ( x) ⋅ ϕ k ,i ( x + y ) = ϕ k ,i −1 ( x) .

В самом деле, если ϕ k ,i −1 ( x) ≠ 0 , то | x − x0 | ≤ d k ,i −1 . Следовательно, | x + y − x0 | ≤ d k ,i −1 + 2i −1 m i < d k ,i −

θ k −2 d (1 − θ) < M1

2i −1 m i k −2 θ d (1 − θ) = d k ,i − M 2,i θ k −2 d (1 − θ) . M1

Таким образом, ϕ k ,i ( x + y ) = 1 , откуда следует (4.21). Отметим еще, что ϕ k ( x) ≤ ϕ k , 0 ( x), ϕ k , 2 m +1 ( x) = ϕ k −1 ( x), 0 ≤ ϕ k ,i ( x) ≤ 1, ⎞ ⎛K | D α ϕ k ,i ( x) | ≤ ⎜ θ −k ⎟ d ⎠ ⎝

|α|

с некоторой постоянной K , зависящей только от m, n, p . Мы получили, что при фиксированном k и i = 0,1,K,2m + 1 последовательность ϕ k ,i ( x) удовлетворяет условиям (3.13). Предполагая Lk −1 ограниченным, мы видим, что выполнены все предположения леммы 4.1 и рекуррентное соотношение (4.20) непосредственно следует из (4.1). Отметим только, что I 0 ( H k ) ≤ H k− n I 0 ( H1 ) . Индукцией по k из (4.20) устанавливается оценка Lk ≤ C

θ ( θ −k −1) 1− θ

d

− νθ −( k −1)

θ ( θ −k +1 −1) + λθ −( k −1) q~ 1− θ

{I 0 ( H 1 )}

θ

−M 0

θ − k +1 (1− θ ) 2

{ kθ ( k +1) − ( k +1) θ k +1}

где ν, λ – те же, что в лемме 4.4. При k = 1 оценка (4.22) следует из (4.13). Из (4.22) получаем при всех k = 1,2,K: {Lk }

1 ρk

≤ Ck ,

77

,

(4.22)

откуда, вспоминая выбор Lk и замечая, что все функции ϕ k (x) равны единице в Bd (1−θ) ( x0 ) – шаре радиуса d (1 − θ) с центром в x0 – имеем: 1

⎫⎪ ρk ⎧⎪ ρ ∗ ⎨ ∫ [Vγ ( x)] k dx ⎬ ≤ C , | γ |= m . ⎪⎭ ⎪⎩ Bd (1−θ ) ( x0 )

(4.23)

где C ∗ зависит только от C0 , C1 , C2 , m, n, p, p1 , d , || f α || B p0 , I 0 ( H1 ) . 2

Утверждение теоремы следует теперь из (4.23) и легко проверяемой оценки 1

⎧⎪ ⎫⎪ ρ k vrai max | D γ u ( x) | ≤ lim ⎨ ∫ [Vγ ( x)]ρ k dx ⎬ . k →∞ x∈Bd (1−θ ) ( x0 ) ⎪⎩ Bd (1−θ ) ( x0 ) ⎪⎭

§ 5. Непрерывность производных m -го порядка

В настоящем параграфе мы докажем непрерывность в Ω производных m -го порядка обобщенного решения u (x) уравнения (0.1), предполагая выполненными условия (2.1)–(2.3) и условие (R). Пусть x0 – произвольная точка Ω, d 0 – расстояние от x0 до границы Ω , и пусть ⎧d ⎫ d = min ⎨ 0 ,1⎬. ⎩2 ⎭

Согласно теореме 4.1 можно считать выполненной оценку vrai max

∑

| D α u ( x) | ≤ M ∗

x∈Bd ( x0 ) |α| = m

(5.1)

с некоторой постоянной M ∗ . Здесь и далее через BR ( x0 ) обозначен шар радиуса R с центром d 2

в x0 . Обозначим для произвольного R, R ≤ , | α |= m: ω1,α = ω1,α (R) = vrai min D α u ( x), x∈BR ( x0 )

ω2,α = ω2,α (R) = vrai max D α u ( x), x∈BR ( x0 )

ωα = ωα (R) = ω2,α − ω1,α , ω = ω( R) = sup ωα . |α| = m

Исключая тривиальный случай, считаем, что ω ≠ 0 . Без ограничения общности можем предполагать также, что inf ω1,α ( R) ≥ 1 + ω(d ) .

|α| = m

(5.2)

Этого всегда можем добиться, переходя от u (x) к новой функции v(x) по формуле u ( x ) = v( x ) +

∑

|α| = m

Cα x α

при надлежащем выборе постоянных cα . Непрерывность функций D α u (x) в точке x , будет следовать из неравенства вида ω( R(1 − θ)) ≤ τω( R) + η( R ) ,

78

(5.3)

справедливого при всех достаточно малых R с единой постоянной τ < 1, θ – то же, что и в §3, η(R) – некоторая функция, стремящаяся к нулю при R → 0, η( R) ≤ 1 .

Для доказательства (5.3) сначала получим оценку для функций ~ Vγ ( x ) =

ω , ω22,γ − Ω 2γ ( x) + η( R)

(5.4)

где Ω γ ( x) = Fγ ( D γ u ( x)), ⎧ Rn κn (γ) , ⎪⎪t , если mes GR > 2 Fγ (t ) = ⎨ n ⎪− 2ω + ω + t , если mes G ( γ ) ≤ R κ n , 2, γ R ⎪⎩ 2 ω⎫ ⎧ GR( γ ) = ⎨ x ∈ BR ( x0 ): D γ u ( x) < ω2,γ − ⎬ , 2⎭ ⎩ κ n – мера шара радиуса 1 в R n .

Идея введения подобных вспомогательных функций принадлежит Мозеру [21]. Метод ~

оценки функций Vτ ( x) аналогичен развитому выше методу оценки производных m -го порядка обобщенного решения уравнения (0.1). Снова будут получены соотношения, подобные первому и второму основным неравенствам. Начнем с вывода аналога первого основного неравенства. В интегральное тождество (2.4) подставим ~ v = ∆β (− h){[Vγ ( x, h)]r ∆β (h)u ⋅ ϕ s ( x)}

при | β |= m + m1 + 1, | γ |= m, 0 < h
0

при x ≠ 0 . Як видно з

прикладу 1, такі оператори існують у випадку рівномірно випуклих X, X*. Теорема 1. Поля A1 x + T1 x і A2 x + T2 x , які задовольняють умови § 1, не дорівнюють нулю

на S , гомотопні на S , якщо їх обертання однакові. Побудуємо аналогічно § 1 розширену послідовність просторів Fn . Існують проектори Pn : X → X

такі, що 111

при i < j, Pi X = Fi . Через Pi* позначимо спряжений до Pi оператор. Pi Pj = Pj Pi = Pi

Доведемо існування N такого, що при n ≥ N поля χ (n1) ( x, t ) = t [( I − Pn* ) A0 ( I − Pn ) x + Pn* ( Ai x + Ti x)] + (1 − t )[ Ai x + Ti x], i = 1, 2 ,

не перетворюються в нуль при x ∈ S , t ∈ [0,1] . Припустимо протилежне: існують послідовності xk ∈ S , t k ∈ [0,1] такі, що χ (n1k) ( xk , t k ) = 0 , nk → ∞ .

Можемо вважати послідовність xk слабо збіжною до x0 , t k збіжною до t 0 , T1 xk

збіжною сильно до h0 . Зауважимо, що t k < 1 . Для x ∈ F j при j < nk маємо A1 xk − A1 y, xk − y = −

tk ( I − Pn*k ) A0 ( I − Pnk ) xk , xk − y − 1 − tk

− T1 xk + A1 y, xk − y ≤ − T1 xk + A1 y, xk − y .

Користуючись міркуваннями, застосованими при доведенні леми § 1, одержимо A1 x0 + T1 x0 = 0 , x0 ∈ S , що неможливо.

Таким чином, доведено, що вихідні поля Ai x + Ti x гомотопні на S відповідно полям χ (Ni ) ( x,1) = ( I − PN* ) A0 ( I − PN ) x + PN* [ Ai x + Ti x], i = 1, 2 .

Із вищесказаного також ясно, що обертання полів N

Φ (Ni ) ( x) = ∑ Ai x + Ti x, u j u j

, i = 1, 2 .

i =1

на S N збігаються, відповідно, з обертаннями полів Ai x + Ti x і, отже, рівні між собою. За теоремою Хопфа, існує поле N

H N ( x , t ) = ∑ ci ( x , t ) u i

,

i =1

визначене, не дорівнює нулю на S N × [0,1] і таке, що ci ( x, 0) = A1 x + T1 x, ui , c1 ( x,1) = A2 x + T2 x, ui .

(5)

Застосовуючи теорему Урисона, продовжимо ci ( x, t ) на S × [0,1] неперервно так, щоб (5) виконувалося при x ∈ S . Нехай ще оператор PN* визначається рівністю N

PN* (ω) = ∑ ω, ui hi , ω ∈ X * . i =1

Тоді гомотопію полів χ (Ni ) ( x, 1) , i = 1, 2 , можна зобразити у такому вигляді: N

H ( x, t ) = ( I − PN* ) A0 ( I − PN ) x + ∑ ci ( x, t ) h i

.

i =1

Легко перевіряється, що виконані всі умови означення 2. Нехай цілком неперервний оператор Т визначено на всій області D і діє в X * . 112

Означення 3. Точку x0 ∈ D будемо називати критичною точкою поля Ax + Tx ,

якщо Ax0 + Tx0 = 0 . Нехай x0 ізольована критична точка поля Ax + Tx , тобто існує r0 таке, що в кулі Br0 ( x0 ) радіуса r0 з центром в точці x0 поле Ax + Tx має тільки одну критичну точку. Аналогічно доведенню леми 1 перевіряється, що обертання поля Ax + Tx на сферах радіуса ε з центром в x0 не залежить від ε при 0 < ε ≤ r0 .

S ε ( x0 )

Означення 4. Індексом ізольованої критичної точки x0 називаємо обертання поля Ax + Tx

на S r0 ( x0 ) .

Теорема 2. Припустимо, що поле Ax + Tx не дорівнює нулю на S і має в D лише

ізольовані критичні точки. Тоді критичних точок скінченне число і обертання поля Ax + Tx на S дорівнює сумі індексів всіх критичних точок в D . Припустимо спочатку від супротивного, що критичних точок безмежна кількість xi , i = 1, 2,... .

Можемо вважати, що xi слабо збігається до x0 , а Txi сильно збігається до h0 . Тоді Axi − Ax0 , xi − x0 = − Txi + Ax0 , xi − x0 → 0

і одержуємо сильну збіжність xi до x0 . Звідси випливає, що x0 – неізольована критична точка, що суперечить припущенню. Позначимо критичні точки через x1 ,..., xk і виберемо ε > 0 настільки малим, щоб кулі Bε ( x1 ),..., Bε ( xk )

k

попарно не перетинались. В області Dε = D \ U Bε ( xi ) поле Ax + Tx в нуль не i =1

перетворюється, і аналогічно доведенню леми 1 перевіряємо, що при досить великих п поле не перетворюється в нуль на Dε ∩ Fn . Твердження теореми тепер випливає із теореми

Φ n (x)

про алгебраїчне число нерухомих точок скінченновимірного векторного поля [7]. Із теореми випливає ознака існування розв'язку рівняння Ax + Tx = 0 , яка узагальнює ознаку Лере-Шаудера: Для того, щоб рівняння Ax + Tx = 0 було розв'язне в D досить, щоб обертання поля Ax + Tx

на S було відмінне від нуля.

Зауваження. Легко перевірити, що обертання поля Ax + Tx на S дорівнює одиниці,

якщо на S : Ax + Tx, x ≥ 0 . Звідси одержуємо розв'язність рівняння Ax + Tx = h з довільним h ∈ X * в кулі || x ||≤ R при досить великому R , якщо lim

|| x||→∞

Ax + Tx, x || x ||

= +∞ .

Остання умова припускається в роботах багатьох авторів [2–6]. Одною з ознак відмінності від нуля обертання поля може служити така теорема. 113

Теорема 3. Припустимо, що поле Ax + Tx задовольняє умови § 1, не перетворюється в

нуль на сфері S r (0) = {x :|| x ||= r} і для x ∈ S r (0) Ax + Tx A(− x) + T (− x) ≠ || Ax + Tx ||* || A(− x) + T (− x) ||*

.

Тоді обертання на S r (0) поля Ax + Tx – непарне число. Розглянемо гомотопію

t 1 [ Ax + Tx ] − [ A(− x) + T (− x)] . 1+ t 1+ t

Очевидно, виконані всі вимоги

визначення 2 і, отже, обертання Ax + Tx на S r (0) збігається з обертанням на S r (0) непарного поля 1 1 A1 x = [ Ax − A(− x)], T1 x = [Tx − T (− x)] . 2 2

В цьому випадку поле n

Φ (n1) ( x) = ∑ A1 x + T1 x, ui ui , x ∈ S n i =1

також непарне і його обертання непарне за теоремою Л.А.Люстерника – Л.Г.Шнірельмана – К.Борсука. [7]. § 3. Обчислення індексу критичної точки

Збережемо припущення § 1 відносно операторів А, Т, і нехай нуль – критична точка поля Ax + Tx , причому можемо вважати A0 = T 0 = 0 . Припустимо, що існують похідні Фреше операторів A, T в нулі (які позначимо через A' , T ' )

і виконуються умови:

1) A' x, x > 0 при x ≠ 0 ; 2) оператор L = −( A' ) −1T ': X → X визначений і цілком неперервний; 3) оператор T підпорядкований оператору A в такому сенсі: при досить малому ε слабе замикання множини 0 < || y || ≤ ε⎫ ⎧ y :t ( Ay + Ty ) + (1 − t )( A' y + T ' y ) = 0, σε = ⎨ x = ⎬ 0 ≤ t ≤1 ⎭ || y || ⎩

не містить нуля. Ця умова виконується для певних класів еліптичних операторів. При цих умовах справедлива така теорема. Теорема 4. Якщо рівняння A' x + T ' x = 0 має лише нульовий розв'язок, то нуль є

ізольованою критичною точкою поля Ax + Tx і індекс нуля дорівнює (−1) ν , де ν – сума кратностей характеристичних чисел оператора L , які лежать на інтервалі (0, 1). Перевіримо спочатку, що нуль – ізольована критична точка. Припустимо протилежне: 114

існує послідовність xn → 0 така, що Axn + Txn = 0 . З умови 3) випливає, що слаба границя z0 послідовності

відмінна від нуля. Переходячи до границі в рівності

z n =|| xn ||−1 xn

|| xn || −1 [ Ax n + Tx n ] = 0 ,

маємо A' z n → − T ' z 0 . Нехай y – довільний елемент X і t > 0 . Тоді 0
0 таке, що ψ ( x, t ) = (δ( x) + t ) ( Ax + Tx ) + (1 − t ) ( A' x + T ' x) = 0

при t ∈ [0,1] , 0 0 , б) δ 0 + t0 = 0 . 115

В першому випадку аналогічно доведенню леми 1 одержимо, що збіжність xk до x0 сильна і ψ( x0 , t 0 ) = 0 . Це суперечить лемі 4. В другому випадку покажемо спочатку що

x0 ≠ 0 .

Із (6) випливає існування

послідовності τ n ∈ [0,1] такої, що lim α n ≤ 0, α n = ( I − P * ) ( Axn + Txn ), xn − τ n L xn n →∞

.

Якщо x0 = 0 , то nlim Axn , xn ≤ 0 . Звідси і з припущень § 1 відносно оператора А →∞ одержуємо сильну збіжність хп до нуля, що неможливо. Для довільного y ∈ F j при j < nk маємо 0 < A' xk − A' y , xk − y → − T ' x0 + A' y , x0 − y

і далі звичайними міркуваннями одержимо A' x0 + T ' x0 = 0 , що суперечить припущенням теореми, бо x0 ≠ 0 . Нехай Π оператор проектування X на F , який визначається рівністю Π( f + r ) = f , f ∈ F , r ∈ R .

Лема 6. Існує N 2 таке, що при n ≥ N 2 поле ϕ (n2) ( x, t ) =

n 1 ⋅ ∑ δ( x) ( Ax + Tx) + t ( A' x + T ' x) + (1 − t )[− A' Πx + A' ( I − Π ) x], ui ui 1 + δ( x) i =1

не перетворюється в нуль при x ∈ S n, r , t ∈ [0,1] . Припускаємо ϕ (n2k ) ( xk , t k ) = 0 , nk → ∞

протилежне:

існують

послідовності

t k ∈ [0,1], xk ∈ S nk , r ,

такі,

що

і нехай t k , δ( xk ) збігаються відповідно до δ 0 , t 0 і xk слабо збігається до

x0 . Позначимо f 0 = Πx0 , r0 = ( I − Π ) x0 .

Якщо δ 0 = 0 , то, як і вище, одержимо x0 ≠ 0 і t 0 ( A' x0 + T ' x0 ) + (1 − t 0 )[− A' f 0 + A' r0 ] = 0 .

(7)

Застосувавши до (7) оператор P * , одержимо t0 ( A' f 0 + T ' f 0 ) − (1 − t 0 ) A' f 0 = 0 .

Це дає f 0 = 0 в силу визначення простору F . Діючи на (7) оператором I − P * , одержимо t 0 ( A' r0 + T ' r0 ) − (1 − t 0 ) A' r0 = 0 ,

звідки випливає r0 = 0 . Це суперечить нерівності x0 ≠ 0 . Нехай тепер δ 0 > 0 . Звичайно встановлюється сильна збіжність xk до x0 і рівність δ( x0 ) ( Ax0 + Tx0 ) + t 0 ( A' x0 + T ' x0 ) + (1 − t 0 )[− A' f 0 + A' r0 ] = 0 .

(8)

Покажемо, що вона неможлива. Застосовуючи до (8) оператор P * , маємо: δ( x0 ) P * ( Ax0 + Tx0 ) + t0 ( A' f 0 + T ' f 0 ) − (1 − t 0 ) A' f 0 = 0 .

116

(9)

Легко перевірити, що з деякою додатною сталою C1 для f ∈ F виконується нерівність || f || ≤ C1 min || t ( A' f + T ' f ) − (1 − t ) A' f ||* .

(10)

|| f 0 || ≤ C1C2 || P * ||⋅ δ( x0 ) ,

(11)

C2 = sup || Ax + Tx ||∗ .

(12)

0≤t ≤1

З (9) одержуємо

де || x|| ≤1

Застосовуючи до (8) оператор I − P * , маємо δ( x0 )( I − P * ) ( Ax0 + Tx0 ) + t 0 ( A' r0 + T ' r0 ) + (1 − t 0 ) A' r0 = 0 .

Звідси випливає ( I − P * )( Ax0 + Tx0 ), ( I − t0 L) r0 ≤ 0 .

Використовуючи (11), одержимо ( I − P * ) ( Ax0 + Tx0 ), ( I − t 0 L) x0 ≤ C1C22 C3 ⋅ || P * ||⋅|| I − P * ||⋅ δ( x0 ) ,

(13)

де Ñ3 = max || I − tL || .

(14)

0 ≤ t ≤1

Суперечність одержується із (13), якщо сталу С в формулі (6) визначити рівністю C = (2C1 C 22 C3 || P * ||⋅|| I − P * ||) −1 .

Тут C1 , C2 , C3 визначаються із (10), (12), (14). Цим закінчується доведення леми 6. Лема 7. N = max{N 2 , 2ν} . Поле ϕ(N2) ( x, 0) не перетворюється в нуль при x ∈ FN ∩ {0 < || x || ≤ r} .

Доведення аналогічне доведенню неможливості рівності (8). Закінчимо тепер доведення теореми 4. Із визначення 4 і лем 4–7 випливає, що індекс нуля поля Ax + Tx дорівнює обертанню поля ϕ(N2) ( x, 0) на сферах S N , ε = FN ∩ {|| x ||= ε } при 0 < ε ≤ r . Легко

перевірити, що при досить малому ε поле ϕ(N2) ( x, 0) на S N , ε гомотопне до поля N

ϕ (N3) ( x) = ∑ − A' Πx + A' ( I − Π ) x, ui ui

.

i =1

Обертання на S N , ε поля ϕ (N3) дорівнює (−1) ν , в чому можна переконатися, підраховуючи знак відповідного детермінанта. Це закінчує доведення теореми. Зауважимо на закінчення, що аналогічно М.А.Красносельському [7] поняття обертання поля можна застосувати до вивчення спектра і точок біфуркації рівняння Ax = λ Tx .

1. Лере Ж., Шаудер Ю., Топология и функциональные уравнения, т.1, № 3–4, 1946. 2. Вишик М.И. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму, Труды Моск. Матем. об-ва, вып. 12, 1963. 117

3. Browder F.E. Nonlinear elliptic boundary value problems, Bull. Amer. Math. Soc., 69, № 6, 1963, 862–674. 4. Browder F.E. Nonlinear elliptic boundary value problems, 2, Trans. Amer. Math. Soc., 117, № 2, 1965, 530–550. 5. Дубинский Ю.А. Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого порядка, УМН, т. 23, № 1, 1968. 6.

Качуровский Р.Н. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах, УМН, т. 23, № 2, 1968.

7. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, Гостехиздат, М, 1956. 8. Скрипник І.В. Про розв'язність нелінійних рівнянь з монотонними операторами, ДАН УРСР, серія А, № 1, 1970.

118

ОБЧИСЛЕННЯ ІНДЕКСУ КРИТИЧНОЇ ТОЧКИ (Доповіді АН УРСР.Cер. А. – 1972, № 6) 1. Нехай X – дійсний сепарабельний рефлексивний банаховий простір, X ∗ – до нього спряжений простір. В [1 – 2] визначається обертання поля Au + Tu , де A, T – нелінійні оператори з X в X ∗ такі, що T – цілком неперервний, A – неперервний, має напівобмежену варіацію, і для довільної послідовності u i ∈ X із слабкої збіжності u i до u 0 і рівності lim Au i − Au 0 , u i − u 0 = 0 i →∞

випливає сильна збіжність u i . Через h, u для h ∈ X ∗ , u ∈ X позначимо дію функціоналу h на елемент u . У даній роботі для поля Au + Tu вказується формула індексу критичної точки, яка узагальнює формулу Лере–Шаудера індексу нерухомої точки цілком неперервного векторного поля [3]. Даються застосування до нелінійних еліптичних задач. 2. Точку u 0 ∈ X називаємо критичною точкою поля Au + Tu , якщо Au 0 + Tu 0 = 0 . Індексом ізольованої критичної точки u 0 поля Au + Tu називаємо границю обертань цього поля на сферах радіуса ε з центром в u 0 , коли ε прямує до нуля. Нехай u 0 – критична точка поля Au + Tu . Можемо вважати, що u 0 = 0 і що A0 = T 0 = 0 . Припустимо, що існують похідні Фреше операторів A, T в нулі, які позначимо відповідно A′, T ′ , і припустимо, що виконуються такі умови: 1) A′u , u > 0 при u ≠ 0 ; 2) оператор L = −( A′) −1 T ′ : X → X є визначений і цілком неперервний; 3) оператор T підпорядкований оператору A в такому сенсі: при досить малому ε слабке замикання множини ⎧⎪ ⎫⎪ u σ ε = ⎨v = : t ( Au + Tu ) + (1 − t ) ( A′u + T ′u ) = 0, 0 < u ≤ ε, 0 ≤ t ≤ 1⎬ u ⎪⎩ ⎪⎭

не містить нуля. Тут ⋅ – норма в X . Число µ 0 називаємо характеристичним числом рівняння A′u + µT ′u = 0 ,

(1)

якщо при µ = µ 0 рівняння (1) має ненульовий розв’язок. Кратністю цього числа називаємо кратність характеристичного числа µ 0 оператора L . При виконанні умов 1) – 3) має місце 119

Теорема 1. Нехай одиниця – нехарактеристичне число рівняння (1). Тоді нуль – ізольована критична точка поля Au + Tu і її індекс дорівнює (-1)v, де v -- сума кратностей характеристичних чисел рівняння (1), які лежать на проміжку (0,1). 3. Аналогічно [4 – 5] формулу індексу можна застосувати до задачі про точки біфуркації рівняння Au + µTu = 0 .

(2)

Число µ 0 називаємо точкою біфуркації рівняння (2), якщо для довільного ε > 0 можна вказати u ε , µ ε такі, що Au ε + µ ε Tu ε = 0,

0 < u ε < ε,

µε − µ0 < ε.

Теорема 2. Для того, щоб число µ 0 було точкою біфуркації рівняння (2), необхідно, щоб воно було характеристичним числом рівняння (1). Всяке характеристичне число непарної кратності рівняння (1) є точкою біфуркації рівняння (2). 4. Тут вкажемо на можливі застосування теорем 1, 2. Нехай Ω – гладка обмежена область в n -вимірному евклідовому просторі R n , і оператори A, T визначаються на o

просторі X = W 1m (Ω), m ≥ 2 рівністю n ∂u ⎞ ∂v ⎛ Au, v = ∫ ∑ a i ⎜ x, u , ⎟ dx , ∂x ⎠ ∂x i ⎝ Ω i =1

∂u ⎞ ⎛ Tu , v = ∫ a⎜ x, u , ⎟ v dx, ∂x ⎠ Ω ⎝

o

u, v ∈ W 1m (Ω) ,

(3)

де x = (x1 ,..., x n ) ,

dx = dx1 ,..., dx n .

Припускаємо, що для x ∈ Ω, u ∈ R 1 , p = ( p1 ,..., p n ) ∈ R n виконуються такі умови: а) функції a i ( x, u, p) , i = 1,..., n неперервно диференційовані за x, u, p , функція a( x, u, p) неперервно диференційована за u, p ; б) мають місце оцінки C1 (1 + p )

m−2

n

⋅ ∑ ξ i2 ≤ i =1

⎛ ≤ C 2 ⎜⎜1 + u ⎝ n

⎡ ∂a i ( x, u , p )

∑⎢ i =1

⎣⎢

∂u

+

∂a i ( x, u , p ) ξi ξ j ≤ ∂p i i , j =1 n

∑

n n−m

⎞ + p ⎟⎟ ⎠

m−2

n

⋅ ∑ ξ i2 , i =1

∂a( x, u , p ) ⎤ α m ⎥ ≤ C 2 (1+ | u | 1 + | p | 1 ) , ∂p i ⎦⎥

∂a( x, u , p ) ≤ C 2 (1+ | u | α 2 + | p | m2 ) , ∂u

120

∂a i ( x, u, p) ≤ µ(| u |) (1+ | p |) m −1 , ∂x j

де C1 , C 2 – додатні числа,

µ

– додатна неперервна функція і

⎫ n(m + 2) ⎧ 2m m m max ⎨(α 1 + 1) , , , α 2 + 2⎬ ≤ . m − 1 m − m1 − 1 m − m 2 ⎭ 2(n − m) ⎩

У цих умовах поле Au + Tu задовольняє умови п. 1, і оператори A, T диференційовані за Фреше в кожній точці X . Можемо вважати, що

∂a i ( x,0,0) = 0 . В противному випадку запишемо поле Au + Tu у ∂u

вигляді A1u + T1u , де n ⎡ ∂u ⎞ ∂a ( x,0,0) ⎤ ∂v ⎛ ⋅ u⎥ A1u, v = ∫ ∑ ⎢a i ⎜ x, u, ⎟ − i dx . ∂x ⎠ ∂u ⎝ ⎦ ∂x i Ω i =1 ⎣

Теорема 3. Нехай A0 = T 0 = 0 , виконуються умови а), б), і рівняння A′u + T ′u = 0 має лише нульовий розв’язок. Тоді для поля Au + Tu , що визначається згідно з формулами (3), виконуються умови 1) – 3) п. 2, і індекс нуля цього поля можна обчислити за теоремою 1. При доведенні умови 2) використовуються теореми про регулярність розв’язків лінійних еліптичних рівнянь [6]. Доведення підпорядкованості оператора T оператору A базується на оцінках в W p1 (Ω) з досить великими p розв’язків рівняння t ( Au + Tu ) + (1 − t ) ( A′u + T ′u ) = 0 ,

t ∈ [0,1] .

Переформулювавши теорему 2 для випадку операторів A, T , які зараз розглядаються, одержуємо достатню умову існування точок біфуркації рівняння n

∂

∑ ∂x i =1

i

∂u ⎞ ∂u ⎞ ⎛ ⎛ a i ⎜ x, u , ⎟ = µ ⋅ a ⎜ x, u , ⎟ . ∂ ∂x ⎠ x ⎝ ⎠ ⎝

1. І.В. Скрипник, ДАН УРСР, сер. А, 32 (1970). 2. І.В. Скрипник, ДАН УРСР, сер. А, 989 (1971). 3. Ж. Лерэ и Ю. Шаудер, УМН, 1, 3 – 4, 75 (1946). 4. М.А. Красносельский., Топологические методы в теории нелинейных интеграль-ных уравнений, М., Гостехиздат, 1956, стор. 194. 5. І.В. Скрипник, ДАН УРСР, сер. А, 126 (1971). 6. А.И. Кошелев, УМН, 13, 4, 29 (1958).

121

О ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ОБЩИХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ (Доклады Академии наук СССР. – 1978. – 239, №3) В работе развиваются топологические методы исследования разрешимости задачи Дирихле для нелинейных эллиптических уравнений. Основываясь на полученном в [1] неравенстве коэрцитивности для пар линейных эллиптических операторов и на введенном в [2]

вращении векторных полей, связанных с обобщенными монотонными

отображениями, в статье определена топологическая характеристика для общих нелинейных эллиптических операторов. В отличие от [3, 4] развиваемые методы позволяют исследовать разрешимость задачи Дирихле для произвольных эллиптических уравнений при более общих предположениях и без предварительного сведения граничной задачи к операторному уравнению вида u + Tu = 0 с вполне непрерывным оператором T . 1. Далее Ω – ограниченная область в R n с бесконечно дифференцируемой границей, n0 = [n 2] + 1, m – произвольное натуральное число, M – число различных мультииндексов с n компонентами длины не большей чем m . Пусть функция F : Ω × R M → R 1 принадлежит пространству C l , l ≥ n0 , и удовлетворяет условию 1)

существует положительная непрерывная функция C : R M → R 1 такая, что при

x ∈ Ω, ξ = {ξ α : α ≤ m}∈ R M ,

η = (η1 ,..., η n ) ∈ R n

выполнено неравенство

Fα (x, ξ )η α ≥ C (ξ) ⋅ η

∑

α =2m

2m

,

где α = (α 1 ,..., α n ), η α = η1α1 ...η αn n ,

Обозначим через

X

F α ( x, ξ ) =

∂F ( x, ξ) ∂ξ α

.

банахово пространство W22 m+l (Ω) ∩ W& 2m (Ω)

и пусть

D

–

произвольная ограниченная область в X . Определим постоянные k1 , k 2 , k 3 , C равенствами k1 = sup u u∈ D

2m +l

,

2⎫ ⎧ 2 k 2 = sup ⎨max ∑ D α u ( x) ⎬, x ∈ Ω u∈ D ⎩ |α| ≤ 2 m ⎭

k 3 = F ( x , ξ)

C l ( Ω× B )

, C = min C (ξ); ξ∈B

здесь ⋅ 2 m+l – норма в W22m+l (Ω), B = {ξ ∈ R M : ξ ≤ k 2 }. Будет введено понятие вращения векторного поля F (u ) на границе ∂D области D в случае нелинейного оператора F : X → W2l (Ω) , определяемого равенством F (u ) = F ( x, u ,..., D 2 m u ) ,

122

{

D k u = D αu : α = k

} . При этом предполагается, что задача Дирихле F (x, u ,..., D u ) = 0, D u | = 0, α ≤ m − 1, α

2m

(1)

∂Ω

не имеет решений, принадлежащих ∂D . Рассмотрим семейство равномерно эллиптических операторов ⎧⎪ L= ⎨ Lv = ⎪⎩

∑ Fα ( x, v,..., D 2m v) D α :

α ≤2 m

⎫⎪ v∈ D⎬ . ⎪⎭

Из работы [1] следует существование вещественных бесконечно дифференцируемых в Ω функций k1 , k 2 , k 3 , C , Ω

и постоянной c , зависящих лишь от

bα ( x), α ≤ 2m, C βγ ( x), β , γ ≤ l ,

таких, что

и при

Cβγ ( x) = C γβ ( x)

u ∈ X , f ( x) ∈ W2l (Ω), Lv ∈ L

выполнены

неравенства

[Lν u, Mu ]l

≥ c −1 u

2 2m+l

2

− c u 0 , c −1 f

2 l

≤ [ f , f ]l ≤ c f

2 l

(2)

;

здесь

[ f , f ]l

=

∑ ∫ Cβγ ( x) D β f ⋅ D β , γ ≤l

γ

fdx, M =

∑ bα ( x) D α

(3)

α ≤2 m

Ω

и оператор M равномерно эллиптичен. Просто проверяется, что оператор M можно выбрать так, чтобы выполнялось условие (−1) m ∫ Mu ⋅ u dx ≥ c −1 u Ω

2 m

,

(4)

u ∈ X.

Определим теперь нелинейный оператор A : D → X ∗ равенством

[

]

(5)

< Au, ϕ >= F ( x, u,..., D 2 m u ), Mϕ l ,

где при h ∈ X ∗ , ϕ ∈ X через < h, ϕ > обозначено действие функционала h на элементе ϕ . Теорема 1. Определяемый равенством (5) оператор

A: D → X ∗

непрерывен,

ограничен и удовлетворяет условию α ) для произвольной последовательности u n ∈ D , слабо сходящейся к u0 , из lim < Au n , u n − u 0 >≤ 0

n →∞

следует сильная сходимость u n к u0 .

Ограниченность и непрерывность оператора A просто устанавливаются, проверка условия α ) основана на неравенстве (2). Из теоремы 1 и работы [2] следует, что для векторного поля Au определено вращение на ∂D , если F (u ) ≠ 0 при u ∈ ∂D . Независимость этого вращения от выбора функций bα ( x), Cβγ ( x) обеспечивает Теорема 2. Пусть bα(i ) ( x), α ≤ 2m, Cβγ(i ) ( x), β , γ ≤ l , i = 1,2, – бесконечно дифференци-

руемые в Ω функции, Cβγ(i ) ( x) = C γβ(i ) ( x) и пусть скалярные произведения [⋅,⋅] l(i ) , операторы M (i ) , A (i )

при i = 1,2 определены равенствами (3), (5) с заменой bα ( x), Cβγ ( x) на bα(i ) ( x), Cβγ(i ) ( x) . 123

Предположим, что F (u ) ≠ 0 при u ∈ ∂D и выполнены неравенства (2), (4) при замене M , [⋅,⋅] l на M (i ) , [⋅,⋅] l(i ) . Тогда вращения полей A (1) u и A ( 2) u на ∂D совпадают. Теорема 2 делает естественным Определение. Вращением векторного поля F (u ) на ∂D называется вращение на ∂D

векторного поля Au с оператором A , определяемым формулой (5). 2. Вращение поля F (u ) является гомотопическим инвариантом и обладает всеми

обычными свойствами вращения, что непосредственно следует из [2]. В частности, справедлив Принцип ненулевого вращения. Для того

чтобы задача (1) имела решение в

области D , достаточно, чтобы вращение поля F (u ) на ∂D было отличным от нуля. Просто переносятся на F (u ) достаточные признаки отличия от нуля вращения, формула индекса критической точки, признаки существования критической точки. Укажем только одно из возможных применений. Теорема 3. Пусть функция F ( x, ξ) удовлетворяет предположениям п.1. D –

произвольная ограниченная область в X , 0 ∈ D . Тогда при k ≥ c 2 задача F( x, u,..., D 2m u ) + (−1) m ku = 0,

D α u | ∂Ω = 0,

| α |≤ m − 1,

имеет, по крайней мере, одно решение в D . Здесь c – постоянная из неравенств (2), (4). 3. Вращение поля F (u ) на границе выпуклой области D можно определить и в том случае, если условие 1) заменить условием 1’) существует постоянная c такая, что для v ∈ N D выполнено неравенство

∑ Fα ( x, v,..., D 2 m v)ηα ≥ c | η |2m ;

α =2m

здесь N D – множество принадлежащих D решений задачи (1). При этом оператор M строится по семейству ⎧

L’= `Lv = ⎨

∑ Fα ( x, v,..., D 2m v) D α ;

⎩|α|≤ 2 m

⎫ v∈ ND ⎬. ⎭

Определяемый равенством (5) оператор A удовлетворяет в этом случае условию α 0) для произвольной последовательности u n ∈ D , слабо сходящейся к u0 , из Au n

0 lim < Au n , u n − u 0 >≤ 0 следует сильная сходимость u n к u 0 . n →∞

Проверяется, что определенное в работе [2] вращение векторного поля Au для операторов

A,

удовлетворяющих условию α ), можно распространить дословным 124

повторением рассуждений на операторы, удовлетворяющие условию α 0). Тем самым определено вращение Au на ∂D , а значит, и вращение поля F (u ) . И в этом случае просто проверяется для поля F (u ) выполнение основных свойств вращения. 4. Из сказанного в предыдущем пункте и результатов работы [2] просто получается Теорема 4. Пусть Ω – ограниченная область в R n с границей ∂Ω класса C ∞ , A : [0,1]× Ω × R M → R1 – функция класса C l , l ≥ n0 и выполнены условия:

а) существует положительная постоянная K такая, что для t ∈ [0,1], v ∈ X из A(t , x, v,..., D 2 m v) = 0

следует v

∑

|α| = 2 m

2 m+l

≤K

и

Aα (t , x, v,..., D 2 m v)η α ≥ K −1 | η | 2 m ,

Aα (t , x, ξ) =

∂A(t , x, ξ) ; ∂ξ α

б) A(0, x,−ξ) = − A(0, x, ξ) при x ∈ Ω, ξ ∈ R M .

Тогда задача A(1, x, u ,..., D 2 m u ) = 0, D α u |∂Ω = 0, | α |≤ m − 1 .

имеет, по крайней мере, одно решение в X . 5. Используя вращение векторного поля для операторов, рассмотренных в п.3, получено усиление результатов А.И.Бакельмана [5] о существовании гладкого в замкнутой области решения задачи Дирихле для уравнения Монжа-Ампера 2

⎛ ∂ 2u ∂ 2u ⎛ ∂ 2u ⎞ ∂u ∂u ⎞ ⎟ = ϕ⎜⎜ x, y, u , − ⎜⎜ , ⎟ 2 2 ⎟ x y ∂ ∂ ∂x ∂y ⎟⎠ ∂x ∂y ⎝ ⎝ ⎠

u | ∂Ω = g ( x, y ) .

(6)

Автором совместно с А.Е.Шишковым доказана классическая разрешимость задачи (6) без предположения ∂ϕ ∂u ≥ 0 .

1. И.В.Скрыпник, ДАН, 239, №2 (1978). 2. И.В.Скрыпник, Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка, Киев, «Наукова думка», 1973. 3. Жлере, Ю.Шаудер, УМН, т. 1, 3–4, 71 (1946). 4. F.E.Browder, Pacif. J. Math., v. 17, №1, 17 (1966). 5. И.Я.Бакельман, Геометрические методы решения эллиптических уравнений, М., «Наука», 1965.

125

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ (Доклады Академии наук СССР. – 1980. – 250, № 3) В данном сообщении устанавливается существование классического решения задачи Дирихле для общего нелинейного эллиптического уравнения в узкой полосе. В линейном случае соответствующий результат известен [1]. Отметим, что условие узости полосы не предполагает малости меры этой полосы, так что мера полосы может быть произвольной. 1. Через {Ω h , 0 < h ≤ 1} будем обозначать семейство областей в R n с бесконечно дифференцируемой границей таких, что: а) Ω h1 ⊂ Ω h2 при h1 < h2 ; б) существуют открытые покрытия {U i , i = 1,..., I } множества Ω1 и диффеоморфизмы ϕ i : U i ∩ Ω1 → R n

класса C ∞ , при которых

{

}

ϕ i (U i ∩ Ω h ) = S h = x ∈ R n : | x ′ |< 1, 0 ≤ x n ≤ h , x ′ = (x1 ,..., x n −1 ).

Пусть {ψ i ( x)}, i = 1,..., I , – подчиненное покрытию {U i } разбиение единицы. Обозначим при целых неотрицательных m, l , k и произвольном p > 1 через W p2 m,l ,k (Ω h ) замыкание множества бесконечно дифференцируемых в Ω h функций по норме u

I

p W p2 m , l , k

(Ωh )

= ∑ ψ i (ϕ i−1 ( y )) u (ϕ i−1 ( y )) i =1

p

, W p2 m , l , k ( S h )

где v( y )

p W p2 m , l , k ( S h )

=

⎧

k

∑ ∫ ⎨∑ | Dnj D α v( y) | p + ∑ |α| ≤ 2 m |β|≤ l j =0 Sh

′

⎩

⎫ | D β D α v( y ) | p ⎬dy. ⎭

Здесь использованы обычные мультииндексные обозначения, через ∑ ′ обозначено суммирование по всем тем мультииндексам, последняя координата которых равна нулю. Пространство C s ,r ,λ (Ω h ) при неотрицательных целых s, r и при λ , принадлежащем отрезку [0, 1], образуется замыканием множества бесконечно дифференцируемых в Ω h функций по норме u ( x)

C s ,r ,λ ( Ω h )

= max ψ i (ϕ i−1 ( y )) u (ϕ i−1 ( y ))

C s , r ,λ ( S h )

,

где v( y )

C s ,r ,λ ( Sh )

=

∑ ∑

|β| ≤ s |α|≤ r

′

D β D α v( y )

C o,λ ( Sh )

и ⋅ C o ,λ – обычная норма в пространстве функций, удовлетворяющих условию Гельдера с показателем λ .

126

2. Здесь формулируется ряд вспомогательных оценок для функций, принадлежащих определенным в предыдущем пункте пространствам. Зависимость оценок от

h

указывается явным образом. В дальнейшем буквой K без индекса будем обозначать постоянную, зависящую лишь от

и постоянных, характеризующих дифференци-

n, m, l

альные свойства функций ϕ i , ψ i , которые предполагаются фиксированными. o

Лемма 1. Для произвольной функции u ( x) ∈ W22 m,l ,0 (Ω h ) ∩ W 2m (Ω h ) при l ≥ n + 1, 0 ≤ λ < 1 2 справедлива оценка u ( x)

C 2 m −1, 2 , λ ( Ω h )

≤ Kh

1 −λ 2

u ( x ) W 2 m ,l , 0 ( Ω 2

.

h)

(1) o

Лемма 2. Для произвольной функции u ( x) ∈ W 22 m,l ,0 (Ω h ) ∩ W m2 (Ω h ) ∩ W 22l m,1,0 (Ω h )

при

произвольном положительном ε и 1 ≤ k ≤ l − 1 справедлива оценка 2l / k

u ( x)

≤ ε u ( x)

W(22ml ), k/ k, 0( Ω ) h

2 W22 m , l , 0 ( Ω h )

+ C ε(1) u ( x)

2l W22lm ,1, 0 ( Ω h )

(2)

с постоянной Cε(1) , зависящей от тех же параметров, что K , и от ε . o

Лемма 3. Для произвольной функции u ( x) ∈ W22 m,l ,0 ( S h ) ∩ W m2 ( S h ) , равной нулю при | x ′ | , близком к единице, при m < j < 2m, 2m − j ≤ k ≤ 2m + l − j , произвольном положительном числе ε , выполнена оценка ′

2

∑ ∫ |α| = k

′

2

∑ ∫ |α| = k −1

Dnj D α u dx ≤ ε

Sh

Dnj +1 D α u dx + C ε( 2)

Sh

′

∑ ∫ |α| = k +1

2

Dnj −1 D α u dx

(3)

Sh

с постоянной Cε( 2) , зависящей от тех же параметров, что и Cε(1) в (2). Лемма 4. Для произвольной функции u (x) , удовлетворяющей условиям леммы 3, выполнена оценка ′

∑ ∫ |α| = r

Sh

2

′

∑ ∫ |α| = r +1

Dns D α u dx ≤ ε

2

Dns D α u dx + C ε(3)

Sh

′

∑ ∫ |α| = r −1

2

Dns D α u dx .

(4)

Sh

Здесь r ≤ l − 1, s ≤ 2m и ε, C ε(3) аналогичны соответствующим постоянным в (3). 3. В данном пункте указывается коэрцитивная оценка для пар линейных эллиптических операторов в S h . Отличием этой оценки от полученных ранее автором в [2] является, с одной стороны, равномерность по h ∈ (0, 1] и, с другой стороны, специфический

выбор

функционального

пространства,

для

элементов

которого

устанавливается оценка. Результаты настоящего пункта служат основными как для получения оценок решения нелинейной задачи, так и для доказательства теоремы существования. Через £ 12,mλ ( A, B, S h ) обозначим при λ ∈ (0, 1], A, B > 0 семейство правильно эллиптических операторов L( x, D) = ∑ aα ( x) D α с коэффициентами aα ( x) ∈ C 1,λ ( S h ) , для которых |α|≤ 2 m

127

∑ a α ( x )ξ α ≥ A ξ

2m

|α| = 2 m

aα ( x)

при x ∈ S h , ξ ∈ R n ,

C1, λ ( S h )

≤B.

Теорема 1. Существуют постоянные C1 ,C 2 , зависящие лишь от A, B, m, n, λ, l такие, что при q > C1 , ρ > qC1 , произвольном операторе L( x, D) ∈ £ 12,mλ ( A, B, S h ) и произвольной o

функции u ( x) ∈ W22 m,l ,1 ( S h ) ∩ W 2m ( S h ) , равной нулю при | x ′ | , близких к единице, выполнена оценка ′

∫ {L( x, D) Dn u ⋅ M ( D) n u + ρ|∑ α| ≤ l 1

1

L( x, D) D α u ⋅ M ( D) D α u}dx ≥

sh

A A | D n2 m +1u | 2 dx + ρ ∫ ∫ 2 Sh 2 Sh

≥

′

+ C 2 ρq ∑

|α|≤ l

∑

′

|α| ≤ l

(5)

| D α D n2 m u | 2 dx +

′

∑ ∑ ∫ | D α D β D γ u |2 dx − C (ρ, q) ∫ ∑ | D α u |2 dx , |β| = m |γ| = m |α|≤ 2 m Sh

Sh

где M ( D) = Dn2 m + q[D12 + ... + Dn2−1 ] , C (ρ, q) – постоянная, зависящая от A, B, m, n, λ, ε, ρ, q . m

4. Число l дальше считается фиксированным, l ≥ n + 1 . Рассматривается разрешимость в W22 m,l ,1 (Ω h ) нелинейной задачи Дирихле F ( x, u ,..., D 2 m u ) = f ( x), x ∈ Ω h ;

(6)

D α u = 0, x ∈ ∂Ω h , | α |≤ m − 1 .

(7)

Предполагается, что функция F ( x, ξ) определена при x ∈ Ω1 ,

ξ = {ξ α : | α |≤ 2m} ∈ R M

,

имеет непрерывные производные по всем аргументам до порядка l ≥ n + 1 и с некоторой положительной постоянной ν при η = (η1 ,..., η n ) ∈ R n выполнено неравенство ∂F ( x, ξ) α η ≥ ν | η |2m . ∂ξ α |α| = 2 m

∑

Будем

считать,

W20,l ,1 (Ω1 ) ∩ C 1,λ ( Ω1 )

что

F ( x,0) = 0 ,

функция

f (x)

(8) принадлежит

пространству

и f

W20 , l ,1 ( Ω1 )

+ f

C1, λ ( Ω1 )

≤R.

Вначале будут получены априорные оценки решений параметрической задачи tF ( x, u,..., D 2 m u ) + (1 − t ) L0 u = tf ( x), D α u = 0,

где

L0 ( D) =

∑ aα D α

–

x ∈ ∂Ω h ,

фиксированный

(9)

x ∈ Ωh ;

| α |≤ m − 1 ,

эллиптический

(10) оператор

с

постоянными

|α| = 2 m

коэффициентами, для которого L0 (η) ≥ ν | η | 2 m при η ∈ R n . Укажем оценку решения задачи (9), (10), удовлетворяющего еще условию

128

u ( x)

C 2 m −1, 2 , λ ( Ω h )

≤1.

(11)

Для такого решения просто получается оценка u ( x)

(12)

≤C

C 2m (Ωh )

с постоянной C , зависящей от ν, R, g (1), m, n и функций ϕ i , ψ i . Здесь g (t ) = F ( x, ξ)

C l ( Ω1 × Bt )

,

{

Bt = ξ ∈ R M : | ξ |≤ t

}.

Теорема 2. Пусть u (x) – произвольное решение задачи (9), (10), удовлетворяющее

условию (11). Существует постоянная N , зависящая от m, n, l , ν, R, g (c), mes Ω1 и функций ϕ i , ψ i , такая, что u ( x)

W22 m ,l ,1 ( Ω h )

≤N

.

(13)

Доказательство основывается на теореме 1 и вспомогательных леммах п.1. 5. Существование решения задачи (6), (7) устанавливается топологическим методом, основанным на введенном в [3] понятии вращения определенных классов векторных полей. Обозначим D = {u ∈ X : u

через

W22m, l,1 (Ω h )

X

≤ N + 1} ,

банахово

пространство

o

W22 m,l ,1 (Ω h ) ∩ W 2m (Ω h )

и

пусть

где N определено в теореме 2. Перейдем при x ∈ U i ∩ Ω h от

переменных x к новым переменным y равенством x = ϕ i−1 ( y ) и обозначим через Fi , Li дифференциальные операторы, возникающие из F , L0 при указанной замене переменных. Рассмотрим семейство линейных операторов вида L( y, D y ) = t

∑ Fi ,α ( y, ui ,..., D y2m ui ) D yα + (1 − t ) Li ( y, D y )

|α|≤ 2 m

при u (x) ∈ D и являющихся решениями задачи (9), (10), u i ( y ) = u (ϕ i−1 ( y )) . Просто проверяется, что множество этих операторов содержится в некотором семействе

£ 12,mλ ( A, B, S h ) и поэтому по теореме 1 для рассматриваемого множества можно

определить оператор M (D) и постоянные ρ, q так, чтобы выполнялось неравенство (5). Ниже ρ, q считаются выбранными именно таким способом. Определим нелинейный оператор At : D → X ∗ равенством I

< At u , v >= ∑

∫

i =1 S h

ψ i2 ( y ) {D n1 [tFi ( y, u i ,..., D 2 m u i ) + (1 − t ) Li u i − tf i ( y )] D n1 Mv i +

(14)

′ + ρ ∑ D α [tFi ( y, u i ,..., D 2 m u i ) + (1 − t ) Li u i − tf i ( y )] D α Mvi }dy . |α|≤l

Теорема 3. Пусть u n – произвольная принадлежащая D последовательность

элементов такая, что: 129

а) последовательность u n слабо сходится в X к некоторому элементу u 0 ; б) последовательность Atn u n слабо сходится к нулю; < Atn u n , u n − u 0 >≤ 0 . в) nlim →∞

Тогда последовательность u n сильно сходится к u0 . Из теоремы 3 следует применимость принципа ненулевого вращения к доказательству разрешимости операторного уравнения A1u = 0 . Выбирая h так, чтобы Kh

1 −λ 2

( N + 1) ≤ 1 ,

получаем для произвольного решения u (x) задачи (9), (10), u (x) ∉ ∂D .

Отсюда следует 1 −λ Теорема 4. Пусть Kh 2 ( N + 1) ≤ 1 . Тогда задача Дирихле (6), (7) имеет решение, принадлежащее W22 m,l ,1 (Ω h ) . 1. В.А.Кондратьев, Тр. Московск. матем. общ-ва, т. 16, 293 (1967). 2. И.В.Скрыпник, ДАН, т. 239, № 2, 275 (1978). 3. И.В.Скрыпник, Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, в. 9, 131 (1976).

130

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С УСИЛЕННОЙ ЭЛЛИПТИЧНОСТЬЮ О КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С НЕПРЕРЫВНЫМИ ОБОБЩЕННЫМИ РЕШЕНИЯМИ (Дифференциальные уравнения. – 1978. – XIV, № 6) Известные контрпримеры [1, 2] показывают, что квазилинейные эллиптические уравнения дивергентного вида

∑

|α | ≤ m

(1)

(−1)|α| D α Aα ( x, u , K , D mu ) = 0

при m > 1 могут иметь неограниченные обобщенные решения, даже если Aα ( x, ξ) – аналитические функции своих аргументов, удовлетворяющие естественным условиям роста при | ξ |→ ∞ . Здесь x = ( x1 ,K, xn ), α = (α1 ,K, α n ) - вектор с неотрицательными целочисленными α1

компонентами, | α |= α1 + K + α n , При

⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ⎟ ⎟⎟ L ⎜ D = ⎜⎜ ⎜ ∂x ⎟ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ n⎠ α

исследовании ограниченности

и

αn

, D k u = {D α u :| α |= k} .

непрерывности

решения уравнения

(1)

накладываются ограничения на поведение функций Aα ( x, ξ) при | ξ |→ ∞ и предполагается выполнение неравенства

∑

|α| = m

Aα ( x, ξ)ξ α ≥ C1

∑

|α| = m

| ξ α | p −C 2

∑

|β|< m

| ξβ |

pβ

− f ( x)

(2)

при ξ α ∈ R1 , ξ = {ξ α :| α | ≤ m}, C1 > 0 и определенных условиях на pβ , f ( x) . В случае уравнений второго порядка (m = 1) ограниченность и гельдеровость обобщенных решений при условиях вида (2) доказаны О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой [3]. В работе [4] Фрезе показал ограниченность произвольного решения u ( x) ∈ W pm (Ω) уравнения (1) при n = mp . Автором [5, 6] при том же условии была получена непрерывность каждого обобщенного решения. Затем гельдеровость решения изучалась при близких предположениях в работах Видмана [7], В.А.Солонникова [8]. Уточнение предположений о показателях pβ , при которых каждое ограниченное решение непрерывно, сделано в работе Т.Г. Тодорова [9]. Во всех этих работах [4–9] предполагается при доказательстве ограниченности, непрерывности обобщенных решений выполнение условия n = mp либо достаточная малость разности n − mp . В данной работе выделен класс уравнений вида (1), все обобщенные решения которых удовлетворяют условию Гельдера без каких-либо предположений о зависимости между числами m, n, p . Выделенный класс уравнений характеризуется тем, что для него условие (2) 131

заменяется более сильным условием, но таким, которое надлежащим образом согласуется с соответствующим условием для уравнений второго порядка [3]. Приводятся примеры, показывающие существенность накладываемых условий. § 1. Формулировка результатов Дальше Ω - ограниченная область в n -мерном евклидовом пространстве R n , граница dΩ которой для простоты считается бесконечно дифференцируемой. Предположим, что m ≥ 2 , и с некоторыми положительными постоянными C1 , C 2 , C3 при p ≥ 2, q > mp, x ∈ Ω , ξ α ∈ R1

выполнены неравенства

∑

1≤ |α |≤ m

Aα ( x, ξ)ξ α ≥ C1

∑

|α| = m

| ξ α | p +C 2

| Aα ( x, ξ) | ≤ C3

∑

|β| ≤ m

∑

|α | =1

| ξβ |

| ξ α |q −C3

pαβ

∑

|α| ≠1, m

| ξ α | pα − f ( x) ,

+ f α ( x), | α | ≤ m.

(3) (4)

Здесь числа pα , pαβ определяются условием 1 | α | −1 1 m− | α | 1 = ⋅ + ⋅ pα m −1 p m − 1 q1 pα = q

при | α |= 1, q < p0


pα n n , tα > ⋅ q pα − 1 q

при | α | ≤ m .

(6)

Замечание 1. В связи с тем, что в работе изучается вопрос об ограниченности и гельдеровости обобщенного решения, естественно считать n > mp , так как при n < mp гельдеровость решения обеспечивают теоремы вложения в пространствах С.Л. Соболева, а при n = mp непрерывность решения известна [4–9]. По той же причине считаем q < n . При q=n

нужно сделать небольшие изменения в предположениях (5), (6) и доказательствах

следующих параграфов. При условиях (3)–(6) можно определить обобщенное решение уравнения (1) класса W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) .

А именно функцию u ( x) ∈ W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) называем обобщенным решением o m

o 1

уравнения (1), если для произвольной функции v( x) ∈ W p (Ω) ∩ W q (Ω) выполнено интегральное тождество

∑ ∫

|α| ≤ m Ω

Aα ( x, u , K , D m u ) D α v dx = 0 .

132

(7)

Из принадлежности u (x) пространству W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) следует D α u ∈ L pα (Ω) в силу интерполяционного неравенства Ниренберга-Гальярдо [10], и поэтому неравенства (3)–(6) обеспечивают существование интеграла в (7) при произвольных u ( x), v( x) ∈ W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) . o m

o 1

Замечание 2. Существование решения уравнения (1) класса W p (Ω) ∩ W q (Ω) или удовлетворяющего граничным условиям Неймана можно доказать при определенных предположениях о коэффициентах Aα , например, методами монотонных операторов (см. [6]). o m

Теорема 1. Пусть

o 1

u ( x ) ∈ W p ( Ω) ∩ W q ( Ω)

– обобщенное решение уравнения (1),

p ≥ 2, q > mp ,

и предположим, что выполнены условия (3)–(6). Тогда при некотором λ > 0

u ( x ) ∈ C 0 ,λ ( Ω )

и || u ||C 0,λ ( Ω ) оценивается постоянной C , зависящей только от || u || L p0 ( Ω ) , C1 , C2 , C3 ,

p, p0 , q, q1 , m, n, || f || Lt

1

(Ω)

, || f α || Lt

α

(Ω)

, Ω.

Если не предполагать, что u (x) удовлетворяет однородному условию Дирихле, то справедлива теорема о внутренней гладкости u (x) . Теорема 2. Пусть p ≥ 2, q > mp ,

u ( x) ∈ W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω)

– обобщенное решение уравнения (1),

и пусть выполнены условия (3)–(6). Тогда для произвольной внутренней

подобласти Ω′ области Ω u ( x) ∈ C 0,λ′ (Ω′) с некоторым λ′ > 0 и || u ||C 0,λ′ (Ω′) оценивается постоянной C ′ , зависящей от тех же параметров, что и постоянная C в теореме 1, и d ′ – расстояния Ω′ до границы области Ω . Замечание 3. Гладкость границы области Ω для справедливости теоремы 2 предполагать не нужно. Доказательство теорем 1, 2 будет дано в § 3–5. В § 3 будет доказана ограниченность максимума модуля обобщенного решения уравнения (1) и получена его оценка. Гельдеровость и оценки постоянной Гельдера будут получены для внутренней подобласти и вблизи границы соответственно в § 4, 5. Доказательство ограниченности обобщенного решения основано на получении равномерных оценок норм этого решения в Lr (Ω) либо Lr (Ω′) при r → ∞ . Доказательство гельдеровости решения основано на получении подобных оценок для некоторой вспомогательной функции, при выборе которой использовалась идея Ю. Мозера [11]. Во всех оценках § 3–5 все константы, зависящие от тех же параметров, что и постоянные C , C ′ в теоремах 1, 2, будут обозначаться соответственно через C и C ′ без дополнительных индексов.

133

§ 2. Примеры неограниченных решений Здесь будет показана на примерах существенность условий предыдущего параграфа. Покажем вначале, что теоремы 1, 2 неверны, если сохранить все предположения предыдущего параграфа, кроме q > mp , и заменить неравенство q > mp равенством q = mp . В приводимом ниже примере уравнение вида (1) при q = mp имеет неограниченное решение. В этом параграфе n > 4, Ω – шар радиуса единица с центром в начале координат. Непосредственные вычисления показывают, что функция u0 ( x) = ln | x | удовлетворяет при x ≠ 0 уравнению ∂2 ∂xk ∂xl

n

∑

k , l =1

+ σ2

⎧⎪ n ⎨∑ ⎪⎩i , j =1

⎞ ∂ 2u ⎛ x k xl ⎞ ⎛ xi x j ⎜⎜ + σ1δ lk ⎟⎟ ⎜⎜ 2 + σ1δ ij ⎟⎟ + 2 ⎝| x| ⎠ ⎝| x| ⎠ ∂xi ∂x j

n ∂ 2u ⎫ ∂ ⎡n ⎢∑ ⎬ − 2σ 3 ∑ ∂xk ∂xl ⎭ l =1 ∂xl ⎢ i =1 ⎣

⎛ ∂u ⎜ ⎜ ∂x ⎝ i

2 ⎞ ∂u ⎤ ⎟ ⎥ ⎟ ∂x ⎥ = 0 , l ⎠ ⎦

(8)

если постоянные σ1 , σ 2 , σ 3 удовлетворяют соотношению (9)

2σ 2 (n − 2) + 2σ 3 = [(n − 2)σ1 − 1] [n − 3 − 2σ1 ].

Элементарно проверяется, что u 0 ( x) ∈ W22 (Ω) ∩ W41 (Ω) и является обобщенным решением уравнения (8). Для уравнения (8) будут выполнены условия (3), (4) с p = 2, q = 4 , если выбрать постоянные σ 2 , σ 3 положительными. Проверяется, что можно так подобрать σ1 и достаточно малые положительные σ 2 , σ 3 , чтобы удовлетворялось равенство (9). Тем самым построен пример уравнения вида (1), имеющего неограниченное решение, и для которого выполнены все условия, кроме q > mp (сейчас q = mp = 4 ). Этот пример показывает, что условие q > mp нельзя ослабить для справедливости теорем 1, 2. Приводимый

ниже

пример

показывает,

что

теоремы 1,

2

перестают

быть

справедливыми, если в неравенстве (3) заменить постоянную C 2 неотрицательной функцией C 2 ( x) , обращающейся в нуль хотя бы в одной точке.

Пусть n > q > 4 . Проверяется, что при σ1 , σ 2 , σ 3 , удовлетворяющих (9), σ 2 , σ 3 > 0 , функция u 0 ( x) = ln | x | принадлежит пространству W22 (Ω) ∩ Wq1 (Ω) и является обобщенным решением уравнения n

∑

k ,l =1

∂2 ∂xk ∂xl n

− 2σ 3 ∑ l =1

⎧⎪ n ⎨∑ ⎪⎩i , j =1

∂ ∂xl

⎞ ∂ 2u ⎛ x k xl ⎞ ⎛ xi x j ∂ 2 u ⎫⎪ ⎜⎜ + σ1δ lk ⎟⎟ ⎜⎜ 2 + σ1δ ij ⎟⎟ + σ2 ⎬− 2 ∂xk ∂xl ⎭⎪ ⎝| x| ⎠ ⎝| x| ⎠ ∂xi ∂x j

⎧⎡ n ⎪⎢ ⎨ ∑ ⎪⎢⎣ i =1 ⎩

⎛ ∂u ⎜ ⎜ ∂x ⎝ i

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

q −1

|x|

2( q − 2)

⎫ ∂u ⎪ ⎬ = 0. ∂xl ⎪ ⎭

(10)

Этот пример показывает существенность условия C 2 > 0 . Замечание 4. Отметим, что указанные уравнения (8), (10) являются вариационными. 134

Замечание 5. Можно построить примеры уравнений вида (1) с бесконечно дифференцируемыми функциями Aα ( x, ξ) , имеющими неограниченные обобщенные решения, если нарушаются какие-либо условия предыдущего параграфа. Для этого, например, достаточно в уравнении (8) заменить выражения вида

x k xl ∂u ∂u выражением ⋅ f − 2 (| ∇ u |) , 2 ∂x k ∂xl | x|

где f (t ) – положительная бесконечно дифференцируемая неубывающая функция, равная t при t ≥ 1 и 1 / 2 при t ≤ 1 / 2 . § 3. Ограниченность обобщенного решения Здесь будет доказано, что при выполнении условий теорем 1, 2 обобщенное решение уравнения (1) ограничено и максимум модуля решения оценивается требуемым образом. Будет доказана o 1

o m

Лемма 1. Пусть u ( x) ∈ W p (Ω) ∩ W q (Ω) – обобщенное решение уравнения (1), p ≥ 2 , q > mp , и предположим, что выполнены условия (3)–(6). Тогда

vrai max | u ( x) | x∈Ω

оценивается

постоянной, зависящей от тех же параметров, что и константа C в теореме 1. Определим при N ≥ 2, t ∈ R1 неубывающую бесконечно дифференцируемую функцию ϕ N (t ) ,

равную t при | t |< N − 1 , N при t > N + 1 , − N при t < −( N + 1) и такую, что dl ϕ N (t ) ≤ C 0 dt l

при l ≤ m .

Здесь C0 – не зависящая от N абсолютная постоянная. Подставляя в интегральное тождество (7) функцию v = [1 + ϕ 2N (u )]k u, k ≥ 0

(11)

и оценивая возникающие при этом интегралы, получаем

∫

Ω

⎧ ⎫ [1 + ϕ 2N (u )]k ⎨ ∑ | D α u | p + ∑ | D α u | q ⎬ dx ≤ C (k + 1) m × |α| =1 ⎩|α|= m ⎭ ⎧ × ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k ⎨ ∑ | D α u | pα + | f ( x) | + | u | ⋅ | f 0 ( x) | + Ω ⎩|α|≠1,m +

m

|α|−1

∑ ∑

|α| = 2 |β| =1

⎞⎫⎪ ⎛ p | D β u ||α|/|β| ⎜⎜ ∑ | D γ u | αγ + | f α ( x) | ⎟⎟⎬ dx . ⎠⎪⎭ ⎝ | γ| ≤ m

(12)

Чтобы получить неравенство (12), достаточно заметить, что справедливо представление D α v = [1 + ϕ 2N (u )]k D α u + 2k [1 + ϕ 2N (u )]k −1 ϕ N (u ) ϕ′N (u ) uD α u + Rα ,

где Rα ≡ 0 при | α |= 1, Rα ≡ 0 при | α |> 1 на множестве E N +1 = {x ∈ Ω : | u ( x) | > N + 1} и выполнена оценка 135

| Rα | ≤ C (k + 1) |α| [1 + ϕ 2N (u )]

k−1

2

|α|−1

∑

|α|

| D β u | |β| .

|β| =1

При преобразовании подынтегрального выражения правой части (12) воспользуемся неравенством Юнга. Имеем с некоторым ν > 0 ν

β

|α|/|β|

|D u|

γ

|D u|

pαγ

⎡ (k + 1) m ⎤ ε pγ pβ γ β ≤ + + D u D u ( | | | | ) ⎢ ⎥ . (k + 1) m ⎣ ε ⎦

(13)

При этом пользуемся просто проверяемым неравенством pαγ |α| + < 1 при | α | ≥ 2, 1 ≤ | β | ≤ | α | −1, | γ | ≤ m . | β | pβ pγ

(14)

Применяя неравенство (13), получим из (12)

∫

Ω

⎧ ⎫ [1 + ϕ 2N (u )]k ⎨ ∑ | D α u | p + ∑ | D α u | q ⎬ dx ≤ C (1 + k ) λ × |α| =1 ⎩|α|=m ⎭ ⎧ ⎫ × ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k ⎨ ∑ | D α u | pα + F ( x)⎬ dx , Ω ⎩|α|≠1,m ⎭

(15)

где λ – зависящая лишь от pα положительная постоянная, F ( x) =| f ( x ) | + ∑ | f α ( x) | |α|≤ m

pα pα −1

при t > n / q .

+1, F ( x) ∈ Lt (Ω)

При дальнейшем преобразовании правой части (15) применяется Лемма 2. При 2 ≤ j ≤ m − 1 и произвольных k > 0, s > 0, 0 < δ < 1 выполнено неравенство (1 + k ) s

∫

[1 + ϕ 2N (u )]k

Ω

+δ

∫

Ω

∑

|α| = j

| D α u | pα dx ≤ C (k + 1) σ δ − µ ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k dx + Ω

⎫ ⎧ [1 + ϕ 2N (u )]k ⎨ ∑ | D α u | pα + ∑ | D α u | q ⎬ dx |α|=1 ⎭ ⎩|α|= j +1

(16)

с постоянными σ, µ , зависящими лишь от m, pα , s . Доказательство. Пусть | α |= j и представим α = β + γ , где | β |= j − 1, | γ |= 1 . Интегрируя по частям, имеем

∫

Ω

[1 + ϕ 2N (u )]k | D α u | pα dx = ∫ [1 − ϕ 2N (u )]k | D α u | pα − 2 D α u D γ D β u dx = Ω

= − ∫ {2k [1 + ϕ 2N (u )]k −1 ϕ N (u ) ϕ′N (u ) D γ (u ) | D α u | pα − 2 D α u + Ω

+ ( pα − 1) [1 + ϕ 2N (u )]k | D α u | pα − 2 D γ + α u} D β u dx .

(17)

Проверим вначале неравенство (16) при j = 2 . Для этого достаточно оценить по неравенству Юнга с ε > 0 члены, стоящие в правой части (17): | D γ u | D α u | pα −1 D β u | ≤

| D α u | pα − 2 | D α + γ u ⋅ D β u | ≤

(k + 1) σ1 ε pβ pα γ β α q (| | | | | | ) , D u D u D u + + + (k + 1) s +1 ε µ1

(18)

ε (k + 1) σ2 pα pα + γ α α+ γ β q D u D u D u + + + (| | | | | | ) . (k + 1) s ε µ2

(19)

136

Здесь µ1 , σ1 , µ 2 , σ 2 – определенные постоянные. Справедливость оценок (18), (19) следует из легко проверяемых при | α | = 2, | β | = | γ | = 1 неравенств p −1 1 1 + + α < 1, p γ pβ pα

pα − 2 1 1 + + < 1. pα p α + γ pβ

(20)

Из (17)-(19) при соответствующем выборе ε следует неравенство (16), если

j = 2.

Предположим по индукции, что неравенство (16) имеет место при j < j0 , и докажем его для j = j0 . Будем оценивать при | α |= j0 правую часть (17). Заметим, что первое неравенство (20)

справедливо при любых α, β, γ , удовлетворяющим соотношениям | α | ≥ 2, | β | = | α | −1, | γ |= 1 . Поэтому первое слагаемое подынтегрального выражения правой части (17) можно оценивать на основании (18). Для оценки второго слагаемого применим неравенство | D α u | pα − 2 | D α + γ u D β u | ≤

ε (k + 1) σ3 p pα pα + γ α α+γ + + (| D u | | D u | ) | D βu | β . µ3 s (k + 1) ε

(21)

При этом воспользовались неравенством Юнга и соотношением pα − 2 1 1 + + =1 pα p α + γ pβ

при 2 ≤ | α | ≤ m, | β | =| α | −1, | γ | = 1.

Оценивая при | α | = j0 правую часть (17) по неравенствам (18), (21), получим при ε > 0 (1 + k ) s

∑ ∫

|α | = j0 Ω

[1 + ϕ 2N (u )]k | D α u | pα dx ≤ C (k + 1) σ 4 ε − µ 4 ×

× ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k dx + C ε Ω

∫

Ω

⎧ [1 + ϕ 2N (u )]k ⎨ ∑ | D α u | pα + ⎩|α|= j0 +1

⎫ + ∑ | D α u |q ⎬ dx + C (k + 1) σ5 ε − µ 5 ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k ∑ | D α u | pα dx . |α| =1 |α| = j 0 −1 Ω ⎭

Для

оценки

последнего

интеграла

нужно

воспользоваться

(22) индуктивным

предположением и применить неравенство (16) при | α |= j0 − 1, s = σ 5 , δ = ε −µ5 +1 . Неравенство (16) при | α |= j0 получается теперь из (22) при соответствующем выборе ε . Тем самым лемма 2 доказана. Следствие 1. При сохранении условий леммы 2 справедливо неравенство (1 + k ) s ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k Ω

m −1

∑

| D α u | pα dx ≤ C (1 + k ) σ δ −µ

|α| = 2

∫

[1 + ϕ 2N (u )]k dx +

Ω

⎫ ⎧ + C δ ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k ⎨ ∑ | D α u | p + ∑ | D α u | q ⎬ dx . |α| =1 Ω ⎭ ⎩|α|= m

(23)

Оценка (23) получается суммированием по j неравенств (16). Применяя неравенство (23) к правой части (15), получаем при соответствующем выборе δ

∫

Ω

⎫ ⎧ [1 − ϕ 2N (u )]k ⎨ ∑ | D α u | p + ∑ | D α u | q ⎬ dx ≤ |α| =1 ⎭ ⎩|α|= m

137

≤ C (k + 1) τ ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k {| u | p0 + F ( x)} dx.

(24)

Ω

o m

o 1

Лемма 3. Пусть функция u ( x) ∈ W p (Ω) ∩ W q (Ω) удовлетворяет неравенству (24). Существует положительное число ν , зависящее только от t , p0 , q, m , такое, что при k > 0 справедливо неравенство

(25)

I N (k ) ≤ C (1 + k ) ν [ I N (θ k )]1 / θ ,

⎧q t n−q⎫ , ⋅ ⎬. ⎩ p0 t − 1 n ⎭

где I N (k ) = ∫ [1 + ϕ 2N (u )]k {| u | p0 + F ( x)} dx, θ = max ⎨ Ω

Доказательство. Для оценки I N (k ) воспользуемся неравенством Гельдера и теорией

вложения. Получим 1/ t

⎫ ⎧ I N (k ) ≤ ∫ | [1 + ϕ 2N (u )]k / p0 u | p0 dx + ⎨ ∫ [ F ( x)]t dx ⎬ Ω ⎭ ⎩Ω 1/ t′

⎫ ⎧ × ⎨ ∫ [1 + ϕ 2N (u )]kt ′ dx ⎬ ⎭ ⎩Ω

≤ C∑

|α| =1

⎫ ⎧ k/p q α 2 ⎨ ∫ | D ([1 + ϕ N (u )] 0 u ) | dx ⎬ ⎭ ⎩Ω

⎫ ⎧ + C ∑ ⎨ ∫ | D α [1 + ϕ 2N (u )]kt ′ / ρ |q dx ⎬ |α| =1 ⎩Ω ⎭

где t ′ =

× p0 / q

+

ρ / t ′q

,

t nq , ρ= . Простые вычисления показывают, что отсюда следует t −1 n−q 1/ θ

I N (k ) ≤ C (1 + k ) ρ1

∑

|α | =1

⎫ ⎧ kθ q α 2 ⎨ ∫ [1 + ϕ N (u )] | D u | dx ⎬ ⎭ ⎩Ω

(26)

c ρ1 = max { p0 , ρ / t ′} и положительной постоянной θ , определенной выше при формулировке леммы 3. Теперь оценка (25) – простое следствие неравенств (26), (24). Закончим доказательство леммы 1. Замечая, что p0 < nq /(n − q) , 0 < θ < 1 и постоянные C, ν

в (25) не зависят от N , устанавливаем из неравенства (25) сходимость при всех k ≥ 0

интегралов I (k ) = ∫ [1 + u 2 ]k {| u | p0 + F ( x)} dx Ω

и оценку I (k ) ≤ C (1 + k ) ν [ I (θk )]1 / θ .

(27)

Рассуждения, аналогичные проведенным в § 5 главы 1 книги [6], показывают, что из неравенства (27) следует существование постоянной M , зависящей только от известных параметров, входящих в условия (3)–(6), и Ω , такой, что при всех i = 1,2, ... выполнено неравенство θi

⎧ ⎛ ρ − p0 ⎞ ⎫ nq ⎛ ρ − p0 ⎞ . ≤ M I⎜ ⎟, ρ = ⎨I ⎜ i ⎟⎬ ′ ′ t n −q t ⋅ θ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎭ ⎩

138

Последнее неравенство обеспечивает ограниченность u ( x) и требуемую оценку для vrai max | u ( x ) | . Доказательство x∈Ω

Получение

в

Ω′

леммы 1 закончено.

оценки

максимума

модуля

решения

уравнения

(1),

не

удовлетворяющего нулевым условиям Дирихле, проводится аналогично доказательству леммы 1, только в интегральное тождество (7) нужно подставить функцию v( x) = [1 + ϕ 2N (u )]k u χ s ( x), k ≥ 0, 2m ≤ s ≤ C0 k ,

где ϕ N (t ) та же функция, что и выше, χ( x) ∈ C0∞ (Ω), χ( x) равна единице в Ω′ , C0 – некоторая абсолютная постоянная. Повторением с небольшими изменениями рассуждений этого параграфа доказывается Лемма 4. Пусть u ( x) ∈ W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) – обобщенное решение уравнения (1), p ≥ 2, q > mp , и предположим, что выполнены условия (3)–(6). Тогда для произвольной строго внутренней подобласти Ω′ области Ω vrai max | u ( x) | оценивается постоянной M ′ , зависящей от тех же x∈Ω′

параметров, что и константа C ′ в теореме 2. § 4. Гельдеровость обобщенного решения во внутренних подобластях

В настоящем параграфе будет доказана теорема 2. Пусть Ω′ – произвольная строго внутренняя подобласть области Ω . Из леммы 4 следует, что с некоторой постоянной M ′ выполнено неравенство vrai max | u ( x) | ≤ M ′ . x∈Ω′

Введем при x0 ∈ Ω' , R < d ′ / 4 обозначения ω1 (R) = vrai min u ( x), ω2 (R) = vrai max u ( x), ω( R) = ω2 (R) − ω1 (R) , x∈BR ( x0 )

x∈BR ( x0 )

где BR ( x0 ) – шар радиуса R с центром в точке x0 . Будет доказано, что с некоторой положительной постоянной θ1 < 1 , зависящей лишь от известных параметров и не зависящей от R , выполнено неравенство (28)

ω ( R ) ≤ θ1ω (2 R ) + R r .

Здесь и дальше r – положительное число, удовлетворяющее при | γ | ≤ m, | β | ≥ 2, 1 ≤ | α | R r и, следовательно, v0 ( x) ≥ 1 , в противном случае неравенство (28) выполнено. Подставим в интегральное тождество (7) функцию v( x) =

1 [v0 ( x)]k ψ s ( x) , (ω2 − u + R r ) q −1 x − x0 ⎞ ⎟, ψ 0 ( y ) ⎝ R ⎠

где k ≥ 0, 2m ≤ s ≤ C0 (k + 1), C0 - абсолютная константа, ψ( x) = ψ 0 ⎛⎜

(32) – фиксированная

бесконечно дифференцируемая функция, равная единице при | y | ≤ 1 и нулю при | y | ≥ 2 . Оценивая возникающие при этом интегралы, получаем

∫

Ω

⎫ ⎧ 1 [v0 ( x)]k ⎨ ∑ | D α u | p + ∑ | D α u | q ⎬ ψ s ( x) dx ≤ (ω 2 − u + R r ) q |α| =1 ⎭ ⎩|α|= m

≤ C ′(k + 1) ∫ [v0 ( x)]k Ω

+ C ′ (k + 1) m

⎫ ⎧ 1 p α ⎨ ∑ | D u | α + | f ( x ) |⎬ dx + (ω 2 − u + R r ) q ⎩|α|= 2 ⎭

∑ ∫ |α|≤ m

[v0 ( x)]k

Ω

⎧ ⎛ | D βu | ⎪ 1 × ⎨ |α| + ∑ ⎜⎜ r 1≤ |β| < |α |⎝ ω 2 − u + R ⎪⎩ R

1 × (ω 2 − u + R r ) q −1

|α| ⎫ ⎫ ⎞ |β| ⎪ ⎧ ⎟ ⎬ ⎨ ∑ | D γ u | pαγ + | f α ( x) |⎬ ψ s − m ( x) dx . ⎟ ⎠ ⎪ ⎩1≤ |γ| ≤ m ⎭ ⎭

(33)

Оценим дальше члены правой части по неравенству Юнга. Имеем при любом ε > 0 с некоторыми ν1 > 0, m1 > 0 и определенной зависящей от ε постоянной Cε 140

⎧ ⎫ ψ s −m ( x) 1 p ≤ | D γ u | αγ + | f α ( x) |⎬ r q −1 ⎨ ∑ |α| (ω 2 − u + R ) ⎩1≤ |γ| ≤ m ⎭ R ≤ Cε (1 + k ) ν1

pα ⎧ ⎫ ψ s − m1 ( x) 1 p +ε | D γ u | γ + | f α ( x) | pα −1 ⎬ ψ s ( x) dx , q r q ⎨ ∑ R (ω2 − u + R ) ⎩1≤ |γ| ≤ m ⎭

(34)

если s > m1 . Также по неравенству Юнга, возможность применения которого следует из (14), имеем с некоторыми ν 2 > 0, m2 > 0 при s ≥ m2 ⎧ ⎫ 1 p | D γ u | αγ + | f α ( x) |⎬ × r q −1 ⎨ ∑ (ω 2 − u + R ) ⎩1≤ | γ| ≤ m ⎭

⎛ | D βu | × ∑ ⎜⎜ r 1 ≤ |β| < |α| ⎝ ω 2 − u + R +

|α|

⎞ |β| s − m ψ s − m2 ( x ) ⎟ ψ ( x) ≤ Cε (1 + k ) ν 2 + ⎟ Rq ⎠

pα ⎫ s ⎧ ε pγ γ pα −1 | D u | | f ( x ) | + ⎬ ψ ( x) . ⎨ ∑ α r q (ω2 − u + R ) ⎩1≤ |γ| ≤ m ⎭

(35)

Из неравенств (33), (34), (35) получаем

∫

[v0 ( x)]k

Ω

⎫ ⎧ 1 | D α u | p + ∑ | D α u |q ⎬ ψ s ( x) dx ≤ r q ⎨ ∑ (ω 2 − u + R ) ⎩ | α | = m |α| =1 ⎭

⎧⎪ ⎡ ⎤ 1 ⎫⎪ 1 p ≤ C ′ (1 + k ) ν 3 ∫ [v0 ( x)]k ⎨ | D β u | β + F ( x)⎥ + q ⎬ ψ s − m3 ( x) dx , ∑ r q ⎢ ⎪⎩ (ω2 − u + R ) ⎣ 2 ≤ |β| ≤ m −1 Ω ⎦ R ⎪⎭

(36)

где функция F (x) такая же, как в (15), ν 3 , m3 – положительные постоянные, зависящие лишь от известных параметров, входящих в (3)–(6), s ≥ m3 . При дальнейших оценках правой части (36) используется Лемма 6. Существуют постоянные ν , µ, m , зависящие лишь от ν 3 , m3 , pα , такие, что при 2 ≤ j ≤ m − 1 , k > 0 , m ≤ s ≤ C0 (k + 1) , 0 < δ < 1 выполнено неравенство (1 + k ) ν 3

∫

[v0 ( x)]k

Ω

≤ C ′ (1 + k ) ν δ −µ

∫

1 (ω 2 − u + R r ) q

[v0 ( x)]k

Ω

∑

| D α u | pα ψ s − m3 ( x) dx ≤

|α| = j

ψ s − m ( x) dx + δ Rq

∫

Ω

[v0 ( x)]k

1 × (ω 2 − u + R r ) q

⎧ ⎫ × ⎨ ∑ | D α u | pα + ∑ | D α u | q ⎬ ψ s ( x ) dx . |α | =1 ⎩|α | = j +1 ⎭

(37)

Доказательство. Пусть 2 ≤ | α | ≤ m − 1 . Представляя, как и в (17), α = β + γ, | γ |= 1 ,

интегрируя по частям и оценивая, получаем

∫

[v0 ( x)]k

Ω

1 | D α u | pα ψ s − m3 ( x) dx ≤ (ω 2 − u + R r ) q

≤ C ′ (1 + k ) ∫ [v0 ( x)]k Ω

⎧ 1 | D γ u | ⋅ | D α u | pα −1 | D β u | × r q ⎨ (ω2 − u + R ) ⎩

141

×

ψ s −m3 ( x) + | D α u | pα −2 | D α+ γ u | ⋅| D β u | ψ s −m3 ( x) + ω2 − u + R r + | D α u | pα −1 | D β u |

ψ s −m3 −1 ( x) ⎫ ⎬ dx . R ⎭

(38)

Как и при доказательстве леммы 2, слагаемые в фигурной скобке оцениваются по неравенству Юнга. В частности, ко второму слагаемому применяются оценки (19), (21). Оценка первого слагаемого проводится аналогично (18) с использованием неравенств (20). Проверяется вначале неравенство (37) при j = 2 , а затем доказывается по индукции для 2 ≤ j ≤ m −1 .

Суммируя неравенство (37) по j и применяя получаемую оценку к правой части (36), имеем с некоторыми ν , m

∫

[v0 ( x)]k

Ω

⎧ ⎫ 1 | D α u | p + ∑ | D α u |q ⎬ ψ s ( x) dx ≤ r q ⎨∑ (ω2 − u + R ) ⎩|α|= m |α| =1 ⎭

≤ C ′ (k + 1) ν

∫

Ω

⎧ 1 ⎫ 1 F ( x ) + q ⎬ ψ s − m ( x) dx ≤ [v0 ( x)]k ⎨ r q ( u R ) R ⎭ ⎩ ω2 − + t −1

t ⎫t (k + 1) ν ⎧ ≤ C′ [v0k ( x) ⋅ ψ s −m ( x)] t −1 dx ⎬ . ⎨ n ∫ q− ⎭ R t ⎩Ω

(39)

Лемма 7. Пусть выполнены предположения теоремы 2, u ( x) ∈ W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω)

–

обобщенное решение уравнения (1), Существуют положительные числа ~ν, m~ , зависящие только от параметров из условий (3)–(6), такие, что при k > 0, m~ ≤ s ≤ C0 (k + 1) справедливо неравенство ~ ~ )]1 / θ , J (k , s ) ≤ C ′ (k + 1) ν [ J (kθ, sθ − m

(40)

где J (k , s) =

1 Rn

∫

[v0 ( x)]k ψ s ( x) dx , θ =

Ω

t n−q ⋅ . t −1 n

Доказательство. Из вложения Wq1 (Ω) → L nq (Ω) имеем n−q

C′ J (k , s) ≤ n R

⎧⎪ q ⎨(k + 1) ⎪⎩

∫

[v0 ( x)]

k

n−q n

[ ψ ( x)]

s

n−q −q n

Ω

n

⎡ 1 ⎢ r q ⎣ (ω 2 − u + R )

∑

|α | =1

1 ⎤ ⎪⎫ n − q | D α u |q + q ⎥ dx ⎬ . R ⎦ ⎪⎭

Оценка (40) следует теперь из (39) и неравенства Гельдера. Обозначим при i = 0, 1, 2, ... k i = qθ −i , si =

~ m [θ −i − 1], 1− θ

J i = K ( k i , si ) .

получаем i

~ θ1−i 1−θ 1−θ

J i ≤ [C ′ q ν ]

θ

~ ν θ1−i

1 {iθ i +1 − ( i +1) θ i +1} (1−θ )2

и, следовательно, при всех i = 0, 1, 2, K 142

J 0θ − i

Из неравенства (40)

1

1

(41)

{J i } ki ≤ C ′ J 0q .

Из неравенства (41) следует, что для доказательства леммы 5 достаточно проверить, что J0

оценивается постоянной, зависящей лишь от известных параметров. Используя первое

неравенство (30), аналогично лемме 4 гл. 1 [6] проверяется, что с некоторой абсолютной постоянной C1 выполнена оценка J0 ≤

1 Rn

⎧⎪ 1 [v0 ( x)]q dx ≤ C1 ⎨1 + n−1 ⎪⎩ R B2 R ( x0 )

∫

⎧⎪ ε ≤ C1 ⎨1 + n ⎪⎩ R

∫

[v0 ( x)]q dx +

B2 R ( x0 )

∫

[v0 ( x)]q−1

B2 R ( x0 )

Cε R n −q

1 ω2 − u + R r

1 r q B2 R ( x0 ) (ω2 − u + R )

∫

∑

|α| =1

∑

|α| =1

⎫⎪ | D α u ( x) | dx ⎬ ≤ ⎪⎭

⎫⎪ | D α u ( x) |q dx ⎬ . ⎪⎭

(42)

Ограниченность последнего интеграла следует из неравенства (39) при k = 0 , если вместо ψ ( x)

x − x0 ⎞ ⎟ , где ψ 0 ⎝ 2R ⎠

взять функцию ψ ( x) = ψ 0 ⎛⎜

была определена в начале параграфа.

Неравенство (42) обеспечивает ограниченность J 0 . Из сказанного выше следует, что лемма 5 и теорема 2 доказаны. § 5. Гельдеровость решения задачи Дирихле вблизи границы

В этом параграфе будет завершено доказательство теоремы 1. Пусть P0 – произвольная точка, принадлежащая ∂Ω , и будем считать, что ( x1 , K, xn ) – локальная система координат в точке P0 . Это означает, что координаты точки P0 нулевые и множества B1 ( P0 ) ∩ Ω , B1 ( P0 ) ∩ ∂Ω описываются соответственно соотношениями {xn ≥ 0, | x | ≤ 1}, {xn = 0, | x | ≤ 1} . Заметим, что условия (3)–(6) сохраняют свой вид при переходе к локальной системе координат. Определим в B1 (0) функцию uˆ ( x) равенством ⎧u ( x), uˆ ( x ) = ⎨ ⎩− u ( x ′,− x n ),

Из

включения

o m

o 1

если xn ≥ 0, если xn < 0, x ′ = ( x1 , K, x n−1 ).

u ( x ) ∈ W p (Ω ) ∩ W q ( Ω)

следует,

что

функция

uˆ ( x )

W pm ( B1 (0)) ∩ Wq1 ( B1 (0)) . Обозначим

ˆ 1 ( R) = vrai min uˆ ( x), ω ˆ 2 ( R) = vrai max uˆ ( x), ω ˆ ( R) = ω ˆ 2 ( R) − ω ˆ 1 ( R) , ω x∈BR ( 0 )

x∈BR ( 0 )

ˆ ( R) + ω ˆ 2 ( R) ⎫ ˆ ω ⎧ Gˆ1 ( R) = ⎨ x ∈ BR (0) : uˆ ( x) ≤ 1 ⎬ , G2 ( R ) = BR ( x0 ) \ Gˆ1 ( R) 2 ⎭ ⎩

и определим при x ∈ B2R (0) функции Wˆ k ( x) =

1 [v0 ( x)]k , ˆ ˆ 2 − Ω( x) + R r ) q −1 (ω

143

принадлежит

vˆ0 ( x) = 1 + ln

ˆ 2ω ˆ1 = ω ˆ 1 (2 R ), ω ˆ2 =ω ˆ 2 (2 R) , , ω ˆ ˆ 2 − Ω( x ) + R r ω

где k ≥ 0, r определяется теми же неравенствами, что и в предыдущем параграфе, ⎧ ⎪uˆ ( x), ˆ ( x) = ⎪⎨ Ω ⎪ω ˆ +ω ˆ −uˆ ( x), ⎪⎩ 2 1

1 2 1 mes Gˆ 2 (2 R) ≥ 2

если mes Gˆ 2 (2 R) ≥ mes B2 R (0), если

mes B2 R (0) .

Пусть ψ 0 ( y) – фиксированная бесконечно дифференцируемая функция, равная единице при | y | ≤ 1 , нулю при | y | ≥ 2 , и такая, что 0 ≤ ψ 0 ( y) ≤ 1 , ⎛ ∂ ψ 0 ( y ′, y n ) = ψ 0 ( y ′,− y n ), ⎜⎜ ⎝ ∂y n

k

⎞ ⎟⎟ ψ 0 ( y ) | yn =0 = 0, 0 < k ≤ m . ⎠

Подставим в интегральное тождество (7) функцию B2+R = B2 R (0) ∩ Ω

v( x) ,

равную нулю вне

и определяемую при x ∈ B2+R равенством v( x) = [Wˆ k ( x) − Wˆ k ( x′,− xn )] ψ s ( x) .

x Здесь ψ( x) = ψ 0 ⎛⎜ ⎞⎟ , s ≥ m , m – постоянная из (39). Имеем ⎝R⎠

∑

⎧⎪ m α s ⎨ ∫ Aα ( x, u , K , D u ) D [Wˆ k ( x) ⋅ ψ ( x)] dx − ⎪⎩B2+R

∫

⎫⎪ Aα ( x, u , K , D m u ) D α [Wˆ k ( x′,− xn ) ψ s ( x)] dx ⎬ = 0 ⎪⎭

|α| ≤ m

−

B2+R

(43)

и сделаем во втором интеграле замену xi = yi при i = 1, K , n − 1, xn = − yn . Получим −

∫

B2+R

=

∫

B2−R

Aα ( x, u , K , D m u ) D α [Wˆ k ( x′,− xn ) ⋅ ψ s ( x)] dx = ~ Aα ( y, uˆ , K , D ym uˆ ( y )) D yα [Wˆ k ( y ) ⋅ ψ s ( y )] dy ,

(44)

~

где B2−R = B2 R (0) \ B2+R , Aα ( y, ξ) = (−1) α n +1 Aα ( y ′,− y n , ξ ∗ ) и для ξ = {ξ y : | γ | ≤ m} ξ∗ = {(−1) γ n +1 ξ γ :| γ | ≤ m}. Из (43), (44) имеем

∑ ∫

aα ( x, uˆ , K , D m uˆ ) D α {Wˆ k ( x) ⋅ ψ s ( x)} dx = 0 ,

|α | ≤ m B 2 R ( 0 )

где ⎧⎪ Aα ( x, ξ) при xn ≥ 0, a α ( x, ξ) = ⎨ ~ ⎪⎩ Aα ( x, ξ) при xn < 0 .

Функции aα ( x, ξ) удовлетворяют всем тем же условиям, что и Aα ( x, ξ) , и тогда дословным повторением доказательства предыдущего параграфа устанавливается оценка

144

∫

[vˆ0 ( x)]k

B2 R ( 0 )

⎧ ⎫ 1 | D α uˆ | p p + ∑ | D α uˆ | q ⎬ ψ s ( x) dx ≤ r q ⎨∑ ˆ ˆ 2 − Ω( x) + R ) ⎩|α|= m (ω |α| =1 ⎭

⎧⎪ 1 1 ⎫⎪ Fˆ ( x) + q ⎬ ψ s − m ( x) dx , ≤ C (k + 1) ∫ [v0 ( x)] ⎨ r q ˆ ( x) + R ) ˆ 2 −Ω R ⎪⎭ ⎪⎩ (ω B2 R ( 0 ) ν

(45)

k

где ν , m те же постоянные, что и в (39), функция Fˆ ( x) равна F (x) при xn ≥ 0 и F ( x′,− xn ) при xn < 0 .

Из неравенства (45) точно так же, как в § 4, следует ограниченность функции vˆ0 ( x) в BR (0)

и гельдеровость u (x) в Ω .

1. Мазья В.Г. Функциональный анализ, 2, вып. 3, 1968. 2. Giusti E., Miranda M. Boll. Unione Mat. Haliana, ser. IV, № 2, 1968. 3. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., «Наука», 1964. 4. Freehse J. Boll. Unione Mat. Haliana, ser. IV, № 3, 1970. 5. Скрыпник И.В. Квазилинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Донецк. Изд-во Донецк. гос. ун-та, 1971. 6. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев, «Наукова думка», 1973. 7. Widman K. Manuscripta mathematica, v. 5, № 4, 1971. 8. Солонников В.А. Зап. науч. семинаров Ленинград. отд. Матем. ин-та АН СССР, 39, 1974. 9. Тодоров Т.Г. Вестник Ленинград. ун-та, № 19, 1974. 10. Nirenberg I. Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, ser. III, 13 1959. 11. Moser J. Comm. Pure and Appl. Math, 13, № 3, 1960.

145

ГЕЛЬДЕРОВОСТЬ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА (Доклады Академии наук. – 1993. – 329, № 6) Контрпримеры, известные для квазилинейных эллиптических уравнений высшего порядка [1, 2], показывают, что параболические уравнения вида ∂u + ∑ (−1)|α| D α Aα ( x, t , u ,..., D m u ) = 0 ∂t |α| ≤m

(1)

при m > 1 могут иметь неограниченные обобщенные решения (например, стационарные), даже если

Aα ( x, t , ξ)

– аналитические функции своих аргументов, удовлетворяющие

естественным условиям роста при | ξ | → ∞ . Здесь x = ( x1 ,..., xn ) , α = (α1 ,..., α n ) – вектор с неотрицательными целочисленными компонентами, | α | = α1 + ... + α n , α1

⎛ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎟⎟ L⎜⎜ D = ⎜⎜ x ∂ ⎝ 1⎠ ⎝ ∂xn α

αn

⎞ ⎟⎟ , D k u = {D α u : | α | = k}. ⎠

В данной работе впервые выделяется класс квазилинейных параболических уравнений высшего порядка, все обобщенные решения которых удовлетворяют условиям Гельдера. Соответствующий эллиптический аналог данного класса уравнений введен автором в [3]. Ограниченность обобщенных решений для рассматриваемых в настоящей работе уравнений доказана в [4]. Отметим, что построенные в работе [3] контрпримеры показывают существенность накладываемых ниже условий. В работе устанавливается принадлежность ограниченных решений уравнений (1) при определенных условиях классу Bq ,s (QT , M , γ, r , δ, b, κ) и гельдеровость функций из этого класса. Вводимый класс функций обобщает классы функций, соответствующие значениям q = 2, s = 1 в монографии О.А. Ладыженской , В.А. Солонникова, Н.Н. Уральцевой [5] и значению s = 1 , определенному Ди Бенедетто [6]. В работе установлена внутренняя гельдеровость решений, хотя соответствующий результат можно доказать и вплоть до границы при выполнении граничных условий Дирихле или Неймана. 1. Далее Ω – ограниченное открытое множество в n -мерном евклидовом пространстве Rn , n ≥ 1 .

Предполагаем, что при ( x, t ) ∈ QT = Ω × (0, T ), ξ = {ξ γ :| γ | ≤ m} ∈ R N определены функции

Aα ( x, t , ξ), | α | ≤ m , ( x, t ) ∈ QT . m≥2

измеримые по ( x, t ) при всех ξ ∈ R N и непрерывные по ξ при почти всех

Здесь N – число различных мультииндексов α = (α1 ,..., α n ) таких, что | α | ≤ m . Пусть

и с некоторыми положительными постоянными C ′, C ′′ при p ≥ 2, q > mp , ( x, t ) ∈ QT , ξ ∈ R N

выполнены неравенства 146

∑

1≤ |α| ≤ m

Aα ( x, t , ξ)ξ α ≥ C ′ ∑ | ξ α | p +C ′ ∑ | ξ α |q −C ′′ |α| = m

|α| =1

| Aα ( x, t , ξ) | ≤ C ′′

∑

1≤ |β| ≤ m

| ξβ |

pαβ

∑

2≤ |α| ≤ m −1

| ξ α | pα − f ( x, t ) ,

+ f α ( x, t ) , | α | ≤ m .

(2) (3)

Можно вместо постоянных C ′, C ′′ в неравенствах (2), (3), допускать функции от ξ 0 , но ограничимся сформулированными условиями, так как дальше речь будет идти о свойствах фиксированного ограниченного решения. В (2), (3) числа pα , pαβ определяются условиями 1 | α | −1 1 m− | α | 1 = + при 1 < | α | ≤ m , pα m −1 p m − 1 q1

(4)

pα = q при | α | = 1, pαβ = pβ (1 − 1/ pα )

и число q1 удовлетворяет неравенству mp < q1 < q . В (2), (3) функции f ( x, t ), f α ( x, t ) таковы, что имеет место включение | f ( x, t ) | + ∑ | f α ( x, t ) | pα /( pα −1) ∈ Lρ0 ,r0 (QT ) ,

(5)

|α| ≤ m

где ρ 0 , r0 ≥ 1 и удовлетворяют условию 1 n + = 1 − κ1 , r0 qρ 0 ⎧⎛ q − 1 ⎞ ⎟, если n = 1, ⎪⎜⎜ 0, q ⎟⎠ ⎪⎝ ⎪ κ1 ∈ ⎨(0,1), если n > 1, ⎪ ⎪⎛⎜ q − n ,1⎞⎟, если 1 < n < q . ⎟ ⎪⎩⎜⎝ q ⎠

При этих условиях будет устанавливаться гельдеровость обобщенного решения уравнения (1). Под таким решением понимаем функцию u ( x, t ) ∈ V2m, p,1,q (QT ) = C (0, T ; L2 (Ω)) ∩ L p (0, T ;W pm (Ω)) ∩ L p (0, T ;W p1 (Ω)) ,

удовлетворяющую интегральному тождеству

∫

Ω

+

∑

|α| ≤ m o m,0

t

t2

u ( x, τ)ϕ( x, τ)dx t2 + ∫ 1

t1

∫

Ω

∂ϕ( x, τ) ⎧ + ⎨− u ( x, τ) ∂τ ⎩

⎫ Aα ( x, τ, u ( x, τ),..., D m u ( x, τ)) × D α ϕ( x, τ)⎬dxdτ = 0 ⎭

(7)

o 1, 0

для всех таких ϕ( x, τ) ∈ W p (QT ) ∩ W q (QT ) , что ∂ϕ( x, t ) ∈ L2 (QT ) ∂t

и для всех t1 , t 2 , 0 < t1 < t 2 < T . Будем предполагать ограниченность решения u ( x, t ) , т.е. с некоторой постоянной M выполнено неравенство 147

(8)

ess sup{| u ( x, t ) |:( x, t ) ∈ QT } ≤ M .

В этих условиях доказывается Теорема

1.

Пусть

u ( x, t ) ∈ V2m, p,1,q (QT )

–

обобщенное

решение

уравнения

(1),

удовлетворяющее неравенству (8), и предположим, что функции Aα ( x, t , ξ) удовлетворяют условиям (2)–(6). Тогда решение u ( x, t ) локально гельдерово в QT и для каждого цилиндра таково,

QR ( x0 , t 0 ) = B( x0 , R) × (t 0 − R q , t 0 )

что

существуют

QR ( x0 , t 0 ) ⊂ QT

постоянная

A,

зависящая только от M , постоянных в условиях (2)–(6) и расстояния от QR ( x0 , t0 ) до ΓT = ∂Ω × (0, T ) ∪ Ω × {0} ,

и постоянная α ∈ (0,1) , зависящая только от M и постоянных в

условиях (2)–(6), такие, что выполнено неравенство

(9)

ess osc{u ( x, t ) :( x, t ) ∈ QR ( x0 , t 0 )} ≤ AR α .

2. Утверждение теоремы будет следовать из принадлежности решения некоторому

специальному классу функций Bq ,s (QT , M , γ, r , δ, b, κ) . Будем

говорить,

Bq ,s (QT , M , γ, r , δ, b, κ) ,

что

измеримая

функция

u ( x, t ), ( x, t ) ∈ QT

принадлежит

классу

если u ( x, t ) ∈ V2,q (QT ) = C (0, T ; L2 (Ω)) ∩ Lq (0, T ;Wq1 (Ω)) , ess sup{u ( x, t ) : ( x, t ) ∈ QT } ≤ M

и для произвольных точек ( x0 , t 0 ) ∈ QT и положительных чисел R, θ , таких, что Q( R, θ) ≡ Q( x0 , t 0 ; R, θ) = B( x0 , R ) × (t 0 − θ, t 0 ) ⊂ Q( R, θ) ⊂ QT ,

и произвольной бесконечно дифференцируемой неубывающей на

R1

функции η(t )

справедливы неравенства sup

∫

t0 − θ ≤ t ≤t0 B ( x , R −σR ) 0

+

(u ( x, t ) − k ) ±s +1 ηq (t )dx + q

t0

∫

∫

(u ( x, τ) − k ) ±s −1

t0 −θ B ( x0 , R −σR )

∫

≤

B ( x0 , R )

+

∫∫

(u − k ) ±s +1 ηq (t )dx t =t

(u − k )

Q ( Rθ )

s +1 ±

0 −θ

∂u ( x, τ) q η (τ)dxdτ ≤ ∂x

⎧⎪ ⎛ 1 ⎞ q s + q −1 q + ⎨γ ⎜ ⎟ ∫∫ (u − k ) ± η (τ)dxdτ + R σ ⎠ Q[ Rθ] ⎪⎩ ⎝

⎡ t0 ⎤ dη(τ) dxdτ + ⎢ ∫ [mesA k , R± (τ)]r / ρ dτ⎥ η ( τ) dτ ⎢⎣t0 −θ ⎥⎦ q

s +1

⎡ ⎤ H± sup ⎢ln ± ⎥ dx ≤ ∫ H m (u ( x, t ) − k ) + ν ⎦ + t0 −θ ≤ t ≤t0 B ( x , R −σR ) ⎣ 0 s +1

≤

⎡ ⎤ H± ∫ ⎢ln H ± m (u ( x, t − θ) − k ) + ν ⎥ dx + 0 B ( x0 , R ) ⎣ ⎦+

148

q (1+ κ ) / r

⎫ ⎪ ⎬, ⎪⎭

(10)

⎛ 1 + γ⎜ ⎜ (σR ) q ⎝

s

⎡ ⎤ H± ln ∫∫ ⎢ H ± m (u − k ) + ν ⎥ × Q ( Rθ ) ⎣ ⎦+

±

× [ H m (u − k ) + ν]

q −2

1 dxdτ + b ν

⎡ ⎛ H± ⎢1 + ⎜⎜ ln ν ⎢⎣ ⎝

⎧⎪ t0 ⎫⎪ × ⎨ ∫ [mesAk±, R (τ)]r / ρ dτ⎬ ⎪⎩t0 −θ ⎪⎭

q (1+ κ ) / r

⎞ ⎟⎟ ⎠

s

⎤ ⎥× ⎥⎦

⎞ ⎟ ⎟⎟ . ⎠

(11)

Здесь s, γ, r , ρ, δ, b, κ, σ – заданные положительные числа, подчиняющиеся только ограничениям: κ, σ ∈ (0,1), b ≤ s, r , ρ > 1, 1 n n + = r ρq q 2

и возможные значения r , ρ ограничиваются условиями ⎧ ⎪ 2 ⎪(q, ∞], r ∈ [q , ∞) при n = 1, ⎪ ⎪⎡ nq ⎤ ρ ∈ ⎨⎢q, ⎥, r ∈ [q, ∞) при n > q > 1, ⎪⎣ n − q ⎦ ⎪ ⎛ 2 ⎪[q, ∞), r ∈ ⎜ q , ∞ ⎤⎥ при 1 < n ≤ q . ⎜N ⎪⎩ ⎦ ⎝

В (10), (11) также использованы следующие обозначения: (u ( x, t ) − k ) ± = max{± (u ( x, t ) − k ),0},

(12)

± k ,R

A (τ) = {x ∈ B( x0 , R ): ± (u ( x, t ) − k ) > 0}

и аналогично (12) понимается

⎡ ⎤ H± ⎢ln ± ⎥ . ⎣ H m (u − k ) + ν ⎦ +

В (10), (11)

k

– произвольное

вещественное число, подчиняющееся условию ess sup{(u ( x, t ) − k ) ± :( x, t ) ∈ Q( R, θ)} ≤ δ ,

и H ± , ν – такие положительные числа, что ess sup{(u ( x, t ) − k ) ± :( x, t ) ∈ Q( R, θ)} ≤ H ± ≤ δ , ν ≤ min {H ± ,1}.

Основную роль при доказательстве теоремы 1 играет Теорема 2. Пусть u ( x, t ) – произвольная функция из класса Bq ,s (QT , M , γ, r , δ, b, κ), q ≥ 2 . Тогда для каждого цилиндра QR ( x0 , t 0 ) = B( x0 .R) × (t0 − R0t 0 ) такого, что QR ( x0 , t0 ) ⊂ QT , выполнено неравенство ess osc{u ( x, t ):( x, t ) ∈ QR ( x0 , t 0 ) ≤ AR α ,

с положительными постоянными A, α , зависящими только от q, s, M , γ, r , δ, b, κ , и, кроме того, A

зависит еще от расстояния QR ( x0 , t 0 ) до ΓT .

149

3. Возможность применения теоремы 2 при доказательстве теоремы 1 обеспечивает Теорема 3. Каждое обобщенное решение уравнения (1), удовлетворяющее неравенству

(8), принадлежит классу Bq ,s (QT , M , γ, r , δ, b, κ) с постоянными s, γ, r , δ, b, κ , зависящими только от параметров в условиях (2)–(6).

1. Мазья В.Г. // Функционал. анализ. 1968. Т. 2. В. 3. С. 53–57. 2. Giusti E., Miranda M. // Boll. Uniune Math. Italiana. Ser. 4. 1963. V. 1, N. 2. P. 219–226. 3. Скрыпник И.В. // Дифференц. уравнения. 1978, Т. 14. № 6. С. 1104–1119. 4. Данилюк Г.И. Математическая физика. Сб. науч. Тр. Киев, 1975, № 17. С. 96–99. 5. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с. 6. Di Benedetto // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci. Ser. 4. 1986. V. 13. N. 3. P. 487–535.

150

REGULARITY OF SOLUTIONS OF HIGHER ORDER NONLINEAR ELLIPTIC AND PARABOLIC EQUATIONS (Nonlinear Analysis. – 1997. – 30, № 11)

1. Introduction The problem of the regularity of solutions of nonlinear elliptic equations stems from the nineteenth problem of Hilbert who asked whether all solutions of a regular variational problem are necessarily analytic functions. The complete answers on the problem of regularity for quasilinear elliptic and parabolic second order equations and a survey of the literature of second order nonlinear equations can be found in monographs of O.A. Ladyzhenskaya and N.N. Ural’tseva [1, 2]. At the end of the sixties examples were constructed (E. De Giorgi, E. Giusti and M. Miranda, V.G. Maz’ya) for higher order elliptic equations of divergent type showing that properties of solutions of these equations are principally different from properties of solutions of second order equations. This, the equation

∑

|α| ≤ m

(−1)|α| D α Aα ( x, u ,..., D m u ) = 0

(1.1)

under corresponding ellipticity condition and growth of coefficients Aα may have nonsmooth generalized solutions even for analytic functions Aα . A survey of results about regularity of solutions of the equation (1.1) (examples of irregular solutions, results of C.B. Morrey, E. Giusti, M. Giaquinta and G. Modica about partial regularity of generalized solutions, results of J. Neĉas and the author about full regularity of solutions in plane domain, results of J. Frehse, K.O. Widman, the author and V.A. Solonnikov on the boundedness and the continuity of generalized solutions under condition on dimension of domain, results of A.I. Koshelev and S.I. Chelkak on regularity of solutions under conditions of Cordes’s type) can be found in monograph of the author [3]. This paper is devoted to study of regularity of solutions for the equation (1.1) or corresponding parabolic equations under more strong as usually ellipticity or parabolicity conditions. Principal distinguish of these equations is some regularity of solutions without restriction on dimension of domain. This paper is organized as follows. In Section 2 we formulate main assumptions on nonlinear elliptic equations, results about boundedness and Holderity of solutions and we give counterexample showing that our assumptions are necessary. In Section 3 we formulate result on regularity of a boundary point for considered elliptic higher order equation. In Section 4 we formulate Harnack inequality for positive solution of the same equations. Point wise estimates for a potential function corresponding to higher order capacity and same applications are discussed in Section 5. In particular, we formulate exact condition for removable singularity at point for

151

nonlinear elliptic higher order equations. In Section 6 we consider Holderity of solutions of nonlinear parabolic equations.

2. High-order nonlinear elliptic equations with continuous generalized solutions Let Ω be a bounded open set in n -dimensional Euclidean space R n with a boundary ∂Ω . We will study the regularity of solutions of the equation (1.1) where x = ( x1 ,..., xn ) ∈ Ω, α = (α1 ,..., α n ) is a α1

vector with nonnegative integer – valued components | α |= α1 + ... + α n , D m u = {D α u : | α | = m} .

⎛ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎟⎟ L⎜⎜ D = ⎜⎜ ⎝ ∂x1 ⎠ ⎝ ∂xn α

⎞ ⎟⎟ ⎠

αn

,

In the investigation of the boundedness and the continuity of solutions of the

equation (1.1) it is assumed usually (see [3]) the ellipticity condition in the form

∑

|α| = m

Aα ( x, ξ)ξ α ≥ C1 ∑ | ξ α | p −C2 |α| = m

∑

|β| < m

| ξβ |

pβ

− f ( x)

(2.1)

for ξ α ∈ R1 , ξ = {ξ α : | α | ≤ m} where C1 > 0, pβ and f ( x) satisfy certain conditions. J. Frehse proved in [4] that any solution u ( x) ∈ W pm (Ω) of (1.1) with n = mp is bounded, the author had proved in [5] that every generalized solution is continuous under the same condition. Hölderity of solutions is followed from papers of K.O. Widman [76] and N. Meyers and A. Elcrat [7] if the difference n − mp is sufficiently small. We will assume that the functions aα ( x, ξ), | α | ≤ m are defined for x ∈ Ω, ξ = {ξ α : | α | ≤ m }, ξ α ∈ R1 and they are continuous functions with respect to ξ for almost every x ∈ Ω and they are measurable functions with respect to x for all ξ . In the paper [8] the author described a class of equations (1) all of whose generalized solutions satisfy Hölder’s condition without any assumption concerning the relation between m, n and p . This equations class is characterized by the fact that the condition (2.1) is replaced by a condition

∑

1≤|α| ≤ m

Aα ( x, ξ)ξ α ≥ C1 ∑ | ξ α | p +C1 ∑ | ξ α |q −C 2 |α| = m

|α| =1

∑

|α| ≠1,m

| ξ α | pα − f ( x)

(2.2)

where C1 ,C2 are positive constants, p ≥ 2, x ∈ Ω, ξ α ∈ R1 . Numbers pα are determined by the conditions 1 | α | −1 1 m− | α | 1 = ⋅ + ⋅ for 1 < | α | < m , pα m −1 p m − 1 q1 p0

(2.3)

and q1 satisfy inequalities q < p0


pα n n , tα > ⋅ for | α | ≤ m . q pα − 1 q

(2.8)

Since we wish to study the boundedness and the Hölder property of a generalized solution we naturally assume that n > mp because for n < mp a solution has the Hölder property by virtue of embedding theorems in Sobolev spaces and, for n = mp , it is known that a solution is continuous [5– 7]. For this reason we assume that q < n . For q = n we must make slight changes in our assumptions. Under conditions (2.2)–(2.8) we can define a generalized solution of the equation (1.1) in W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) . Namely, a function u ( x) ∈ W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) is understood to be a generalized solution o m

o 1

of (1.1) if for an arbitrary function v( x) ∈ W p (Ω) ∩ W q (Ω) it is valid integral identity

∑ ∫Ω

|α| ≤ m

Aα ( x, u ( x),..., D m u ( x)) D α v( x)dx = 0 .

(2.9)

Since u (x) is in W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) we have the inclusion D α u ( x) ∈ L pα (Ω) by virtue of the NirenbergGagliardo interpolation inequality [9]; hence, conditions, (2.2)–(2.8) ensure the existence of the integral in (2.9) if u ( x), v( x) ∈ W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) . Theorem 2.1. Assume that conditions (2.2)–(2.8) are fulfilled. Let u ( x) ∈ W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) be a generalized solution of the equation (1.1). Then for an arbitrary subdomain Ω′ such that Ω ′ ⊂ Ω u ( x) ∈ C 0,λ (Ω′) with some λ > 0 and || u ||C 0 ,λ ( Ω ) is bounded by a constant C ′ depending on Ω , || u || L p

0

(Ω)

, the known parameters and the distance from Ω′ to the boundary of Ω .

Theorem 2.2. Assume that conditions (2.2)–(2.8) are fulfilled and ∂Ω belongs to the class C m . o m

o 1

Let u ( x) ∈ W p (Ω) ∩ W q (Ω) be a generalized solution of the equation (1.1). Then for some λ 0 > 0 u ( x) ∈ C 0,λ0 ( Ω ) and || u ||C 0 ,λ 0 ( Ω )

is bounded by a constant C depending only on Ω , || u || L p0 ( Ω ) and

known parameters.

We understand in Theorems 2.1, 2.2 constants C1 , C 2 , p, p0 , q, q1 , m, n, || f || Lt1 (Ω ) , || f α || Ltα (Ω ) as known parameters. Theorems 2.1, 2.2 were proved in [8]. Here we give example showing that principal our

153

assumption q < mp is necessary. Let B be the unit ball with center at the origin and assume that n > 4.

Straightforward calculations show that u0 ( x) = ln | x | satisfies the equation n

∑

k ,l =1

∂2 ∂xk ∂xl

⎧⎪ n ⎨∑ ⎪⎩i , j =1

⎞ ∂ 2u ⎞ ⎛ xi x j ⎛ xk xl ∂ 2 u ⎫⎪ ⎜⎜ + σ2 + σ1δ ij ⎟⎟ + σ1δ lk ⎟⎟ ⎜⎜ ⎬− 2 2 ∂xk ∂xl ⎪⎭ ⎠⎝ | x | ⎝| x | ⎠ ∂xi ∂x j n

− 2σ 3 ∑ i =1

⎡ ∂ ⎢n ∑ ∂xi ⎢ j =1 ⎣

⎛ ∂u ⎜ ⎜ ∂x j ⎝

2 ⎞ ∂u ⎤ ⎟ ⎥=0 ⎟ ∂xi ⎥ ⎠ ⎦

(2.10)

if the constants σ1 ,σ 2 and σ 3 satisfy the relation (2.11)

2σ 2 (n − 2) + 2σ 3 = [(n − 2)σ1 − 1][n − 3 − 2σ1 ].

It may by verified that u ( x) ∈ W22 ( B) ∩ W21 ( B) and is a generalized solution on the equation (2.10). Conditions of type (2.2), (2.5)–(2.7) for the equation (2.10) are satisfied with p = 2 and q = 4 if σ 2 and σ 3 are positive constants. It can be verified that σ1 and sufficiently small σ 2 and σ 3 can be chosen so that (2.10) will be satisfied. Therefore this example shows that the condition q > mp cannot be weakened in Theorems 2.1, 2.2. There is the example of the equation of type (1) with infinitely differentiable functions Aα ( x, ξ) having unbounded generalized solutions by conditions (2.2), (2.5) if the inequality q > mp is violated. To show this it is sufficient to replace expressions of the form ∂u ∂u −2 ⋅ ⋅ f (| ∇u |) ∂xk ∂xl t

x k xl | x |2

in (2.10) by

where f (t ) is a nondecreasing positive infinitely differentiable function equal to

for t ≥ 1 and equal to

1 2

for t ≤

1 2

.

3. Regularity of a boundary point

In this Section we formulate a sufficient condition for the regularity of a boundary point for the equation (1.1). Beginning with Wiener’s fundamental results, conditions on the boundary of a domain ensuring continuity of a solution at a boundary point have been known for linear and nonlinear second order elliptic equations. For the equation of type (1.1) with m = 1 a sufficient condition for regularity of a boundary point was obtained under special conditions on the functions Aα

by Mazya and under general conditions by Gariepy and Ziemer [10]. Here analogous result is

given for the equation (1.1) with m > 1 under conditions of preceding Section. Let x0 be an arbitrary point belonging to ∂Ω . We define the regularity of a boundary point in a local version. We denote by B( x0 , R) the ball of radius R with center at x0 and we set Ω R = Ω ∩ B ( x0 , R ) .

154

Definition 3.1. A point x0 ∈ ∂Ω is called a regular boundary point of the domain Ω for the equation (1.1) if, for any R > 0 and any generalized solution u ( x) ∈ W pm (Ω R ) ∩ Wq1 (Ω R ) of the equation

(1.1) in domain Ω R and satisfying the condition o m

o 1

ϕ R ( x)[u ( x) − f ( x)] ∈ W p (Ω R ) ∩ W q (Ω R )

with a function f ( x) ∈ W pm′ (Ω R ) ∩ Wq1′ (Ω R ) for p′ =

n m

(3.1)

and q′ > n and an unfinitely differentiable

R function ϕ R ( x) equal to one in B⎛⎜ x0 , ⎞⎟ and to zero outside B( x0 , R) , there the equality ⎝

2⎠

lim

x → x0 , x∈Ω R

(3.2)

u ( x ) = f ( x0 )

is valid.

To formulate a condition for the regularity of a boundary point we recall the notion of the q capacity Cq . We denote by M(E ) the set of functions of the space C0∞ ( R n ) satisfying the condition ϕ( x) = 1

for x ∈ E .

Definition 3.2. The q -capacity of compact set E , denote by Cq (E ) , is the number q

Cq ( E ) = inf

∫

ϕ∈M( E ) R

n

∂ϕ( x) dx . ∂x

(3.3)

Theorem 3.1. Assume that conditions of Section 2 for functions Aα ( x, ξ) are satisfied. In order that a point x0 ∈ ∂Ω be a regular boundary point of the domain Ω for the equation (1.1) it is sufficient that 1

∫0

{C (B( x , t ) \ Ω)⋅t } q

0

1 q − n q −1

dt = ∞. t

(3.4)

This result was published in the paper [11] and it coincides with result of the paper [10] for m = 1.

From the equality (3.4) it is followed for example the regularity of the point x0 ∈ ∂Ω which

satisfies following condition: there exists a cone K with the top in the point x0 such that Ω ∩ K = {x0 } . Remark that even for a linear equation of fourth order a conical point may be

nonregular for large dimension of the domain – see the paper of V.G. Mazya and S.A. Nazarov [12]. This bespeaks the necessity of additional structural conditions in studying of Wiener regularity of a boundary points in the case of equations of higher order. In monograph [3] the author studied a necessary condition of regularity of a boundary point for second order nonlinear elliptic equations. It is possible to obtain such type results also for the higher order equations of type (1.1) under preceding conditions. Principal role belongs to point wise estimates for capacity potential which were proved in [3] for second order equation. Such type estimate for the equation (1.1) is contained in Section 5.

155

4. Harnack inequality for nonlinear elliptic higher order equations

Different applications of Harnack inequality for second order nonlinear elliptic equations are well known [13]. Here we formulate analog of Harnack inequality for higher order equation (1.1). We consider a solution u (x) of the equation (1.1) under conditions of Section 2. From Theorem 2.2 it is followed that for any subset Ω′ of Ω such that Ω ′ ⊂ Ω it is valid the inequality max{| u ( x) | : x ∈ Ω ′} ≤ M ′

(4.1)

with some constant M ′ depending only on Ω , norm of u (x) in L p0 (Ω) , known parameters and the distance from Ω′ to ∂Ω . The symbol max in (4.1) and further of course stands for essential supremum. We define numbers d , δ by equalities d=

⎧ q q − q1 ⎫ (m − 1) pq1 , δ = min ⎨ , ⎬ q1 − mp ⎩q + d q − p ⎭

(4.2)

and introduce a function ⎧⎪ pα −1 q − 1 k ( x0 , R ) = R δ + ⎨ R pα n tα ∑ || f α ( x) || Lt ( B ( x0 ,3 R )) + α 1≤ |α| ≤ m ⎪⎩ +R

n ( q − )(1− δ ) t

⎫⎪ || f 0 ( x) || Lt ( B ( x0 ,3 R )) ⎬ ⎪⎭

1 q

(4.3)

for x0 ∈ Ω, R ∈ (0,1) such that B( x0 ,3R) ⊂ Ω . Theorem 4.1. Assume that conditions of Section 2 for coefficients Aα ( x, ξ) are fulfilled. Let u ( x) ∈ Wm1 (Ω) ∩ Wq1 (Ω)

be a non-negative solution of the equation (1.1) in the ball B( x0 ,3R) ⊂ Ω for

some R ∈ (0,1) . Then the inequality max u ( x) ≤ H ⎧⎨ min u ( x) + k ( x0 , R)⎫⎬ ⎭ ⎩ x∈B ( x0 , R )

x∈B ( x0 , R )

(4.4)

holds with constant H depending only on n, m, p, q, q1 , p0 , C1 , C2 and with k ( x0 , R) defined by (4.3).

The Harnack inequality (4.4) can be extended without difficulty for arbitrary subdomain D of domain Ω . In particular, the following result holds. Theorem 4.2. Assume that conditions of Section 2 for coefficients Aα ( x, ξ) are satisfied and u ( x) ∈ Wm1 (Ω) ∩ Wq1 (Ω)

is a non-negative solution of the equation (1.1) in a connected open subset D

of domain Ω . Then for any open subset D′ of Ω such that D ′ ⊂ D the inequality ⎫ ⎧ max u ( x) ≤ H ′⎨ min u ( x) + k ( D)⎬ x∈D ′ ⎭ ⎩ x∈D ′

(4.5)

holds with constant H ′ depending only on sets D, D′, n, m, p, q, q1 , p0 , C1 , C2 and with k (D) defined by the equality.

156

1

⎫q ⎧ k ( D) = 1 + ⎨ ∑ || f α ( x) || Lt ( D ) + || f ( x) || Lt ( D ) ⎬ . α ⎭ ⎩|α| ≤ m

In standard way [13] it is possible to obtain that from Harnack inequality (4.4) it is followed local Hölder continuity of an arbitrary bounded solution of the equation (1.1). Also in standard way [14] it is possible to study the behavior of solutions of equation (1.1) at infinity. By using the Harnack inequality it is possible to study the behavior of solutions of the equations (1.1) near the singular point. This study is based on the point wise estimates of singular solutions analogous to the estimates of next Section. For second order equations results of such type are contained in [13].

5. Point Wise estimates for potential for higher order capacity

Point wise estimates of solutions of model boundary value problems for nonlinear second order equations play an important role by study many problems [3]: asymptotic behavior of sequence of solutions in perforated domains, necessary condition of regularity of a boundary point, removable singularity of solutions. In this Section we formulate results about analogous estimates for the model equation of type (1.1). Let F be a closed subset of domain Ω and assume that for some point x0 and numbers r, R includings F ⊂ B( x0 , r ) ⊂ B( x0 ,1) ⊂ B ( x0 ,2) ⊂ Ω ⊂ B( x0 , R)

(5.1)

holds. We assume that functions Aα ( x, ξ), 1 ≤ | α | ≤ m are defined for x ∈ Ω, ξ = {ξ α : | α | ≤ m}, ξ α ∈ R1 and satisfy next conditions: A1) functions Aα ( x, ξ) are continuous functions with respect to ξ for almost every x ∈ Ω and they are measurable functions of x for all ξ ; A2) there exists positive numbers C1 ,C2 such that for all values of x, ξ the inequalities

∑

1≤ |α| ≤ m

Aα ( x, ξ)ξ α ≥ C1

∑

|α| = m

| ξ α | p +C1 ∑ | ξ α |q ,

(5.2)

|α| =1

⎫ ⎧ p | Aα ( x, ξ) | ≤ C2 ⎨ ∑ | ξβ | αβ +1⎬ ⎭ ⎩ |β| ≤m

(5.3)

holds with p, q, pαβ satisfying conditions (2.3), (2.4), (2.6), (2.7). Let ψ(x) be a fixed function of class C0∞ (Ω) which is equal to one for x ∈ B( x0 ,1) and to zero for x ∉ B( x0 ,2) .

We introduce a solution of model boundary value problem

∑

1≤ |α| ≤ m

(−1)|α| D α Aα ( x, u,..., D m u ) = 0, x ∈ D = Ω \ F

157

(5.4)

o m

o 1

u ( x) − kψ( x) ∈ W p ( D) ∩ W q ( D)

(5.5)

where k is an arbitrary real number. It is simple to prove the existence of the solution of the boundary value problem (5.4), (5.5) by using theory of monotone operators if conditions A1, A2 are satisfied. We extend the solution u (x) of problem (5.4), (5.5) on Ω by equality u ( x) = k for x ∈ F . We evaluate u (x) in term of some capacity of set F which is connected with considered of equations. We define capacity C pm,,q1 ( F ) of set F by the equality C pm,,q1 ( F ) = inf

∫

{| D m ϕ( x) | p + | D1ϕ( x) |q }dx

(5.6)

Rn

where infimum is taken over all functions ϕ( x) ∈ C0∞ ( R n ) which are equal to one on F . Main estimate of solution u (x) is given in next Theorem which is proved in [15], Theorem 5.1. Assume that conditions A1, A2 (5.1) are satisfied and u (x) is the solution of the boundary value problem (5.4), (5,5). Then exist positive constants K , a, δ1 , δ 2 depending only on n, m, p, q, q1 , C1 , C2 , R

such that the inequality ess sup{| u ( x) | : x ∈ D \ B( x0 , ρ)}≤ 1 ⎧ m,1 ⎫ δ1 m ,1 ⎪⎡ C p ,q ( F ) ⎤ q −1 ⎡ C p ,q ( F ) ⎤ δ2 ⎪ ≤ K (1+ | k |) ⎨⎢ n−q ⎥ + ⎢ n−q ⎥ ρ ⎬ ⎪⎣⎢ ρ ⎪ ⎦⎥ ⎣⎢ ρ ⎦⎥ ⎩ ⎭ a

(5.7)

holds for 2r ≤ ρ ≤ R .

As model equation for considered class of equations can be the equation p ∑ D α (| D m u ( x) | p −2 D α u ) + (−1) m−1 q ∑ D α (| D1u |q −2 D α u ) = 0 . |α| = m

|α| =1

In this case from the estimate (5.7) it is followed a point wise estimate for potential function corresponding to capacity C pm,,q1 ( F ) . By using of the estimate of type (5.7) it is possible to obtain necessary condition of regularity of a boundary point for the equation (1.1). Also it is possible to study removable singularity of solutions. We formulate only one possible application. Theorem 5.2. Assume that functions Aα ( x, ξ) satisfy conditions of Section 2 and B( x0 ,2 R) ⊂ Ω for some x0 ∈ Ω, R ∈ R1 . Let u ( x) ∈ W pm,loc ( B′) ∩ Wq1,loc ( B′) be a solution of the equation (1.1) in B ′ = B ( x0 , 2 R ) \ { x0 }

such that n −q

lim M (ρ)ρ q −1 = 0 ρ →0

where M (ρ) = max {| u ( x) | :ρ ≤ | x − x0 | ≤ R}.

158

(5.8)

Then the singularity of u (x) in x0 is removable and u (x) is the solution of the equation (1.1) in B ( x0 , 2 R ) .

6. Hölder continuity of solutions of nonlinear parabolic higher order equations

Let Ω be a bounded open set in n -dimensional Euclidean space R n , n ≥ 1 . We will consider the regularity of solutions of the equation ∂u + ∂t

∑

|α| ≤ m

(−1)|α| D α Aα ( x, t , u ,..., D m u ) = 0, ( x, t ) ∈ Ω × (0, T ) .

(6.1)

We suppose that Aα ( x, t , ξ) are defined for ( x, t ) ∈ QT = Ω × (0, T ) , ξ = {ξ α :| α | ≤ m} , ξ α ∈ R1 and they are satisfied for all values of arguments next conditions: 1) Aα ( x, t , ξ) are measurable functions with respect to x, t for all ξ and they are continuous functions with respect to ξ for almost all values of x, t ; 2) the inequalities

∑

1≤ |α| ≤ m

Aα ( x, t , ξ)ξ α ≥ C1 ∑ | ξ α | p +C1 ∑ | ξ α |q −C2 |α| = m

|α| =1

| Aα ( x, t , ξ) | ≤ C 2 ∑ | ξβ |

pαβ

|β| ≤ m

∑

|α| ≠1, m

| ξ α | pα − f ( x, t ) ,

+ f α ( x, t ) , | α | ≤ m

(6.2) (6.3)

are valid with positive constants C1 , C2 , p ≥ 2 and pαβ satisfying conditions (2.6); pα is defined by (2.3), (2.7) if | α |> 0, q < p0
1, q ≤ n and k1 ∈ ⎜⎜ ,1⎟⎟ if 1 < n ≤ q . q ⎠ ⎝ q ⎠

A function u ( x, t ) ∈ V2m, p,1,q (QT ) = C (0, T ; L2 (Ω)) ∩ L p (0, T ;W pm (Ω)) ∩ Lq (0, T ;Wq1 (Ω))

is a solution of the equation (6.1) if it satisfies the integral inequality

∫

Ω

+

t

t2

u ( x, t )ϕ( x, t )dx t2 + ∫ 1

∑

|α| ≤ m

t1

∂ϕ( x, t ) ⎧ + ⎨− u ( x , t ) ∂t ⎩

∫

Ω

⎫ Aα ( x, t , u ( x, t ),..., D u ( x, t )⎬dxdt = 0 ⎭ m

159

(6.6)

for

all

o m ,1

ϕ( x, t ) ∈ V 2, p ,q (QT )

o m ,1

such

∂ϕ( x, t ) ∈ L2 (QT ) ∂t

that

and

for

all

t1 , t 2 ∈ (0, T ) .

Here

o 1

o m

V 2, p ,q (QT ) = C (0, T ; L2 (Ω)) ∩ L p (0, T ;W p (Ω)) ∩ Lq (0, T ;W q (Ω)) .

By using of the Mosers method it is possible to prove local boundedness of the solution u ( x, t ) or the boundedness of the solution of initial boundary value problem for the equation (6.1). For simplicity we will suppose that the estimate (6.7)

ess sup{| u ( x, t ) | :( x, t ) ∈ QT } ≤ M

is valid for some constant M . Theorem 6.1. Let u ( x, t ) ∈ V2m, p,1,q (QT ) be a generalized solution of the equation (6.1) satisfying the estimate (6.7) and let Aα ( x, t , ξ) satisfy the conditions 1), 2). Then u ( x, t ) is locally Hölder continuous in QT and for each cylinder QR ( x0 , t0 ) = B( x0 , R) × (t0 − R q , t0 ) such that QR ( x0 , t0 ) ⊂ QT there exists constants A and α ∈ (0,1) such that

(6.8)

ess osc{u ( x, t ) :( x, t ) ∈ QR ( x0 , t 0 )} ≤ AR α .

The constant α depends only on M , || F ( x, t ) || Lρ0 ,r0 (QT ) and on constants in conditions (6.2)–(6.5); the constant A depends only on the same parameters and on the distance from QR ( x0 , t 0 ) to ΓT = {∂Ω × (0, T )} ∪ {Ω × (0)} .

We formulate also result about smoothness of the solution of the equation (6.1) satisfying initial and Dirichlet boundary conditions o m ,1

u ( x, t ) − g ( x, t ) ∈ V 2, p ,q (QT )

(6.8)

u ( x,0) = u 0 ( x), x ∈ Ω

(6.9)

where g ( x, t ) is a function belonging to the space V2m, p,1,q (QT ) such that pα

∂g ( x, t ) G ( x, t ) = + ∑ | Aα ( x, g ( x, t ),..., D m g ( x, t ) | pα −1 ∈ Lρ0 ,r0 (QT ) ∂t |α| ≤ m

(6.10)

with the same ρ 0 , r0 as in (6.4). The boundary ∂Ω is assumed to satisfy the condition A) there exist numbers δ 0 ∈ (0,1) , R0 > 0 such that for every point x0 ∈ ∂Ω and every ball B ( x0 , R )

centered at x0 with radius R ≤ R0 the inequality meas(Ω ∩ B( x0 , R )) ≤ (1 − δ 0 ) measB( x0 , R)

holds. Theorem 6.2. Let u ( x, t ) ∈ V2m, p,1,q (QT ) be a generalized solution of the problem (6.1), (6.8), (6.9) and assume that conditions 1), 2), A), (6.10) and the inequality (6.7) are satisfied. Let u0 ( x) be

160

Hölder continuous on Ω, g ( x, t ) be Hölder continuous on ∂Ω × [0,T ] and u0 ( x) = g ( x,0) for x ∈ ∂Ω . Then u ( x, t ) is Hölder continuous on QT .

Theorem 6.1, 6.2 were proved in papers [16, 17]. 1. Ladyzhenskaya O.A. and Ural’tseva N.N. Linear and quasi- linear elliptic equations. 2nded., Nauka, Moscow, 1973. 2. Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Ural’tseva N.N. Linear and quasilinear equations of parabolic type, Trans. Math. Monographs, 23, Amer, Math. Soc., Providence, R.I., 23, 1968. 3. Skrypnik I.V. Methods for Analysis of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems, Trans. Math. Monographs, 139, Amer, Math. Soc., Providence, R.I., 139, 1994. 4. Frehse J. On the boundedness of weal solutions of higher order nonlinear elliptic partial differential equations, Boll. Un. Mat. Ital. (4) 3, no. 4, 607–627 (1970). 5. Skrypnik I.V. Nonlinear higher order elliptic equations, Naukova Dumka, Kiev, 1973. 6. Widman K.O. Hölder continuity of solutions of elliptic systems, Manuscripta Math, 5, 299– 309 (1971). 7. Meyers N.G. and Elcrat A. Some results on regularity for solutions of non-linear elliptic systems and quasi-regular functions, Duke Math. J. 42, 121–136 (1975). 8. Skrypnik I.V. On quasilinear elliptic equations of higher order with continuous generalized solutions, Diffenertsial’nye Uravneniya 14, no. 6, 1104–1119 (1978). 9. Nirenberg L. On elliptic partial differential equation, Ann. Scuola Norm. Super. Pisa, Ser. 3, 13, 115–162 (1959).

10. Gariepy R. and Ziemer W.P. A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic equations, Arch. Rational Mech. Anal. 67, 25–39 (1977). 11. Skrypnik I.V. A condition for regularity of a boundary point for higher order quasilinear elliptic equation, Soviet. Math. Dokl. 44, no. 2, 562–566 (1992). 12. Maz’ya V.G., Nazarov S.A. A top of cone can be nonregular by Wiener for fourth order elliptic equation, Math. Zametki 39, no. 1, 24–28 (1986). 13. Serrin G. Local behavior of solutions of quasi-linear elliptic equations, Acta Math. 111, 247–302 (1964). 14. Moser J. On Harnack’s Theorem for Elliptic Differential Equations, Comm. Pour Appl. Math. 14, 577–591 (1961). 15. Skrypnik I.V. Point wise estimates for potential for higher order capacity, Preprint SISSA, Trieste, 1996. 16. Skrypnik I.V. On higher order quasilinear parabolic equations with Hölder continuous solutions, Diffenertsial’nye Uravneniya 29, no. 3, 501–514 (1993). 161

17. Nicolosi F. and Skrypnik I.V. On the behavior near boundary of solutions of nonlinear parabolic higher order equations, Nonlinear Analysis, TMA, (1996).

162

РЕГУЛЯРНОСТЬ ГРАНИЧНОЙ ТОЧКИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ КРИТЕРИЙ РЕГУЛЯРНОСТИ ГРАНИЧНОЙ ТОЧКИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (Доклады Академии наук СССР. – 1984. - 274) В заметке устанавливается необходимое условие регулярности граничной точки для дивергентного квазилинейного эллиптического уравнения n

∑ i =1

∂u ⎞ ∂u ⎞ d ⎛ ⎛ ai ⎜ x , u , ⎟ = a 0 ⎜ x , u , ⎟ . ∂x ⎠ ∂x ⎠ dxi ⎝ ⎝

(1)

Критерий регулярности граничной точки для уравнения Лапласа найден Винером [1, 2]. В дальнейшем многими авторами (см. [3] и списки литературы в [4, 5]) доказано, что условие Винера является также необходимым и достаточным условием регулярности граничной точки для широких классов линейных эллиптических уравнений второго порядка. В частности, в [5] это утверждение доказано для дивергентных уравнений с измеримыми и ограниченными

коэффициентами.

Для

квазилинейных

уравнений

известны

только

достаточные условия, полученные для некоторых модельных уравнений в [6] и для общих уравнений вида (1) в [7]. Если Wm1 (Ω) – энергетическое пространство для уравнения (1), то устанавливаемые в работе необходимые условия регулярности граничной точки совпадают при 1 < m ≤ 2 с достаточными условиями работы [7], и, тем самым, мы получаем в этом случае критерий регулярности граничной точки, совпадающий при m = 2 с критерием Винера. Из результатов работы следует также новое доказательство приведенного в [7] условия регулярности граничной точки для дивергентных линейных уравнений с разрывными коэффициентами. 1. Пусть Ω – ограниченное открытое множество в R n . Везде дальше функции ai ( x, u, p) , i = 0,1,..., n , предполагаются определенными при

x ∈ Ω, u ∈ R 1 , p ∈ R n

и удовлетворяющими

условиям: а) для почти всех u ∈ R1 , p ∈ R n ai ( x, u, p)

x∈Ω

функции ai ( x, u, p)

непрерывны по u, p

и для всех

– измеримые функции x ; ai ( x,0,0) = 0 ;

б) с положительными постоянными ν, µ выполнены неравенства

163

(2)

n

∑ i =1

[ai ( x, u , p) − ai ( x, v, q )] ( pi − qi ) ≥ ν | p − q |m −µ | u − v |m , | ai ( x, u , p ) − ai ( x, v, q) | ≤ µ{| p − q |

m −1

+| u − v |

m −1

(3)

},

если 1 < m ≤ 2 , и n

∑ i =1

[ai ( x, u , p) − ai ( x, v, q)] ( pi − qi ) ≥

≥ ν (1 + | p | + | q |) m−2 | p − q |2 −µw| u − v |2 ,

(4)

| ai ( x, u , p) − ai ( x, v, q) | ≤ µw{| p − q | + | u − v |},

если 2 < m < n . Здесь w = {1+ | u | + | v | + | p | + | q |}m−2 , x ∈ Ω, u, v ∈ R1 , p, q ∈ R n . При выполнении этих условий для любой функции f ( x) ∈ Wm1 (Ω) и подобласти Ω′ ⊂ Ω достаточно малой меры существует обобщенное решение u ( x) ∈ Wm1 (Ω′) уравнения (1), o 1

удовлетворяющее условию u ( x) − f ( x) ∈ W m (Ω′) (см. [8]). Разрешимость же задачи Дирихле в Ω условия а), б), вообще говоря, не обеспечивают. В связи с этим более целесообразно формулировать определение регулярности граничной точки в локальном варианте. Заметим также, что сформулированные условия на функции ai ( x, u, p) не обеспечивают выполнение принципа максимума для уравнения (1). Это существенно отличает данную работу от других (см. [1–5]), в которых доказательство опиралось на принцип максимума. Пусть x0 – произвольная точка в ∂Ω – границе области Ω . Обозначим через B( x0 , R) шар радиуса R с центром в x0 , и пусть Ω R = Ω ∩ B( x0 , R), ϕ R ( x) – неотрицательная функция класса C0∞ ( B( x0 , R)) , равная единице в B( x0 , R / 2) . Определение. Будем говорить, что x0 – регулярная граничная точка области Ω для уравнения (1), если существует R > 0 такое, что для всякого определенного в Ω R обобщенного решения u ( x) ∈ Wm1 (Ω R ) уравнения (1), удовлетворяющего условию o 1

ϕ R ( x) [u ( x) − f ( x)]∈ W m (Ω R )

(5)

с функцией f ( x) ∈ C ( Ω R ) ∩ Wm1 (Ω R ) , выполнено равенство lim

x → x0 , x∈Ω R

(6)

u ( x ) = f ( x0 ) .

Для формулировки условий регулярности введем еще понятие m -емкости Cm (см. [5] при m = 2 и [6] в случае произвольного m ). Определим ее для произвольного множества E ⊂ B( x0 ,1 / 2)

равенством m

Cm ( E ) = inf ϕ

∂ϕ dx, B ( x0 ,1) ∂x

∫

где нижняя грань берется по функциям ϕ ∈ C0∞ ( B( x0 ,1)) , равным единице на E .

164

(7)

Теорема 1. Пусть 1 < m ≤ 2 . Для того чтобы точка x0 ∈ ∂Ω была регулярной точкой области Ω для уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы 0, 5

∫

{Cm ( B( x0 , t ) \ Ω) ⋅ t m−n }1 /( m−1)

0

dt = ∞. t

(8)

Теорема 2. Пусть 2 < m < n . Для того чтобы точка x0 была регулярной точкой области Ω для уравнения (1), необходимо, чтобы при ε = (m − 2)n / m выполнялось равенство 0, 5

∫

{Cm ( B( x0 , t ) \ Ω) ⋅ t m−n }1 /( m−1+ε )

0

dt = ∞. t

(9)

Замечание. Достаточность условия (8) для регулярности граничной точки доказана при m > 1 в работе Гарипи и Цимера [7].

Отметим, что при m = 2 условие (8) эквивалентно критерию Винера и поэтому из теоремы 1 непосредственно следует Теорема 3. Для того чтобы точка x0 ∈ ∂Ω была регулярной точкой области Ω для уравнения (1) при m = 2 , необходимо и достаточно, чтобы эта точка была регулярной точкой области Ω для уравнения Лапласа. 2. Укажем основные моменты доказательства необходимости условия (8) для того, чтобы точка x0 была регулярной. В случае m > 2 доказательство технически усложняется. Отметим вначале, что равенство (8) эквивалентно условию ∞

∑ k =1

{2 k ( n−m ) ⋅ C m ( Ek )}1 /( m−1) = ∞, Ek = B( x0 ,2 −k ) \ Ω .

(10)

Определим для множества E ⊂ B( x0 , R / 2) функцию u ( x, E ) как решение уравнения (1) в B( x0 , R) \ E , удовлетворяющее

условию o 1

u ( x, E ) − ϕ R ( x ) ∈ W m ( B ( x0 , R ) \ E ) ,

(11)

где ϕ R (x) –та же функция, что и в (5). Число R выбирается достаточно малым, в частности таким, чтобы обеспечивалось существование функции u ( x, E ) . Выбор числа R зависит только от m, n, ν, µ . Основой доказательства является получение оценок функций u k ( x) = u ( x, Ek ) при k > k 0 = 1 − log 2 R .

Лемма 1. Последовательность функций u k ( x) равномерно ограничена и удовлетворяет неравенствам M k = max {| u k ( x) | : 4 ⋅ 2 − k ≤ | x − x0 | ≤ R} ≤ C1{[ 2 k ( n−m ) ⋅ C m ( Ek )]1 /( m−1) + 2 − k },

(12)

min {| u k ( x) | : | x − x0 | ≤ 2 − k } ≤ C 2 {2 k ( n−m ) ⋅ C m ( Ek ) + 2 − km }1 / m

(13)

с постоянными C1 , C2 , зависящими лишь от m, n, µ, ν . 165

Неравенство (13) просто следует из определения

m -емкости.

Доказательство

неравенства (12) основывается на развитом в [9] методе оценки емкостных потенциалов. Лемма 2. Пусть δ k ( x) = u k ( x) − u k +1 ( x) . Существует постоянная C3 , зависящая лишь от m, n, µ, ν ,

такая, что при k > k 0 выполнена оценка max {| δ k ( x) | : | x − x0 | ≤ 2 − ( k + 4 ) } ≤ C3{[2 k ( n−m ) ⋅ C m ( Ek ) + 2 − km ]1 /( m−1) + 2 − k }.

(14)

Доказательство неравенства (14) распадается на несколько этапов. Вначале методом Мозера устанавливается оценка

∫

µ mj+1 = max {| δ k ( x) | : x ∈ B ( x0 , ρ j +1 )}m ≤ C ⋅ 2 ( k + j ) n

| δ k ( x) |m dx ,

(15)

B ( x0 ,ρ j ) −j

где ρ j = 2 − ( k +4)(1+2 ) . Для дальнейшей оценки введем vk ( x) = u ( x, Fk ) , где Fk = Ek \ B( x0 ,2 − ( k +1) ) , и функции ψ k ( x) ∈ C0∞ ( B( x0 , R)) , подчиненные условиям: ∂ψ k ≤ C0 ⋅ 2 k , ∂x ⎧⎪1 при x ∈ B ( x0 ,2 − ( k −1) ) \ B ( x0 ,2 − ( k + 2) ), ψ k ( x) = ⎨ ⎪⎩0 при x ∈ B ( x0 ,2 −( k −2 ) ) \ B( x0 ,2 −( k +3) ) .

Здесь

u ( x, E )

– определенное условием (11) решение уравнения (1). Пусть еще

[δ k ( x)]µ j = min{max [δ k ( x),−µ j ], µ j } f ± ( x) =

1

2

и

для

произвольной

функции

f (x)

обозначим

{ f ( x)± | f ( x) |} .

Используя аналог леммы Пуанкаре, можно оценить интеграл в правой части неравенства (15)

∫

B ( x0 ,ρ j )

2

| δ k ( x) |m dx ≤ C ⋅ 2 −km ∑ s =1

m

∂ (s) ∫ ∂x Qk j ( x) dx , B ( x0 , R )

(16)

где Qkj(1) ( x) = {[δ k ( x)]µ j − µ j ψ k ( x)vk ( x)}+ , Qkj( 2 ) ( x) = {[δ k ( x)]µ j + µ j ψ k ( x)vk ( x)}.

Дальнейшая оценка основывается на неравенстве m

∂ ( s) −k ∫ ∂x Qkj ( x) dx ≤ C[µ j +1 + 2 ] ⋅ Cm ( Ek ), s = 1,2, B ( x0 , R )

(17)

получаемом при M k ≤ µ j ≤ 1 при подстановке в соответствующее уравнению (1) интегральное тождество функций Qkj( s ) ( x) . При µ j +1 ≥ 1 неравенство (17) просто следует из интегральных градиентов u k (x) в vk (x) . Таким образом, если при всех j ≥ 1 µ j ≤ M k , то из (15)–(17) получаем 166

µ mj+1 ≤ C ⋅ 2 jn ⋅ 2 ( n−m ) k ⋅ [µ j + 2 − k ] ⋅ Cm ( Ek ) ,

откуда получается (14). Если же при некотором j0 µ j0 < M k , то (14) следует из (12). 3. Оценки предыдущего пункта приводят к определению решения уравнения (1), не удовлетворяющего равенству (6), как только не выполнено условие (8). Пусть сходится интеграл в левой части равенства (8). Тогда можно выбрать k1 , чтобы ∞

∑

k = k1

(18)

{[ 2 k ( n−m ) Cm ( E k ) + 2 −km ]1/( m−1) + 2 −k } ≤ (2C3 ) −1 ,

где C3 – постоянная в неравенстве (14). Искомым решением, имеющим разрыв в точке x0 , будем u k1 ( x) . Для любого δ > 0 существует точка xδ ∈ B( x0 , δ) такая, что | u k1 ( xδ ) | < 1 2 . Это следует при k2

соответствующем выборе k 2 = k 2 (δ) из (13), (14), (18) и представления u k1 ( x) = ∑ δ k ( x) + u k2 +1 ( x) . k = k1

4. Аналогичные теоремам 1 – 3 утверждения справедливы и при m = n . В этом случае изменится только вид условий (8), (9). 1. Wiener N. – J. Math. and Phys., 1924, vol. 3, p. 127–146. 2. Wiener N. – Ibid., p. 24–51. 3. Олейник О.А. – Матем. сб., 1949, т. 24 (66), № 1, с. 3–14. 4. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. 287 с. 5. Литтман У., Стампакья Г., Вайнберг Г.Ф. – Сб. пер. Математика, 1965, т. 9, № 2, с. 72–97. 6. Мазья В.Г. – Вестн. ЛГУ, 1970, № 13, вып. 3, с. 42–55. 7. Gariepy R., Ziemer M.P. – Arch. Rat. Mech. Anal, 1977, vol. 67, № 1, p. 25–39. 8. Скрыпник И.В. Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка. Киев: Наукова думка, 1973. 219 с. 9. Скрыпник И.В. В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. № 14 (Зап. научн. семин. ЛОМИ, т. 115). Л.: Наука, 1982, с. 236–250.

167

РЕГУЛЯРНОСТЬ ГРАНИЧНОЙ ТОЧКИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА (Труды Математического института АН СССР. – 1991. – 200) 1. В работе устанавливается достаточное условие регулярности граничной точки для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений дивергентного вида

∑ (− 1)

|α |

|α | ≤ m

(

)

D α Aα x, u,..., D m u = 0 .

(1)

Решение вопроса об условии на границу области, обеспечивающем непрерывность гармонической функции в граничной точке, принадлежит Винеру. В дальнейшем, полученные им результаты распространялись на различные классы линейных эллиптических уравнений второго порядка. Ссылки на соответствующие работы имеются, например, в монографии [1]. При определенных значениях размерности области получены аналоги условия Винера для полигармонического уравнения [2]. Для уравнений вида (1) второго порядка (при m = 1 ) достаточное условие регулярности граничной точки получено при специальных предположениях относительно функций Aα В.Г.Мазьей, а затем в общей ситуации Гарипи и Цимером (см. [3]). Для тех же уравнений необходимое условие регулярности граничной точки получено автором в [4]. Переход от уравнений второго порядка к уравнениям высшего порядка связан с принципиальными качественными особенностями. Напомним (см., например, [5]), что при естественных условиях роста Aα ( x, ξ ) при | ξ | → ∞ и сколь угодно высокой гладкости этих функций уравнение вида (1) при m > 1 может иметь неограниченные или разрывные решения. Также известно, что даже для линейного уравнения четвертого порядка коническая точка может быть нерегулярной при большой размерности области – пример В.Г.Мазьи и С.А.Назарова в [6]. Это говорит о необходимости дополнительных структурных условий при изучении регулярности по Винеру граничных точек в случае уравнений высшего порядка. В данной работе результат Гарипи и Цимера распространяется на введенный автором в [7] класс квазилинейных эллиптических уравнений высшего порядка. Особенностью этих уравнений является усиленное условие эллиптичности, при котором энергетическим пространством является пространство W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) с определенными условиями на m, p, q . 2. Дальше Ω – ограниченная область в n -мерном евклидовом пространстве R n с границей ∂Ω . Предполагаем:

168

ξ = {ξ α :| α | ≤ m}∈ R M

а) функции Aα ( x, ξ ) определены при x ∈ Ω, мультииндексов m ≥ 2,

p ≥ 2,

q > mp

α = (α1 ,..., α n )

длины не

большей, чем

m)

( M – число различных и удовлетворяют

при

неравенствам

∑

1≤|α |≤ m

Aα ( x, ξ )ξ α ≥ v

∑

|α | = m

| ξα | p + v ∑ | ξα |q − µ

Aα ( x, ξ ) ≤ µ

|α | =1

∑

|β | ≤ m

| ξβ |

pαβ

∑

1 ; q

tα =

pα t при | α | ≤ m . pα −1

(4)

При указанных условиях можно определить обобщенное решение уравнения (1) из пространства W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) . А именно, функция u ( x) ∈W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) называется обобщенным o m

o 1

решением уравнения (1), если для произвольной функции ϕ ( x) ∈W p (Ω) ∩ W q (Ω) выполнено интегральное тождество

∑ ∫ Aα (x, u,..., D m u ) D α ϕ ( x)dx = 0 .

(5)

|α | ≤ m Ω

Из принадлежности u (x) пространству W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) следует D α u ( x) ∈ L pα (Ω) в силу интерполяционного неравенства Ниренберга-Гальярдо и поэтому условия (2) – (4) обеспечивают существование интеграла в (5) при произвольных u ( x), ϕ ( x) ∈W pm (Ω) ∩ Wq1 (Ω) . В работе [6] доказана при условиях а) – в) ограниченность и гельдеровость обобщенного решения уравнения (1). Там же приведены примеры, показывающие невозможность ослабить накладываемые предположения. Пусть x 0 - произвольная точка, принадлежащая ∂Ω ; сформулируем в локальном варианте определение регулярности граничной точки. Обозначим через B(x 0 , R ) шар радиуса R с центром в x 0 и пусть Ω R = Ω ∩ B(x 0 , R ) .

169

Определение 1. Будем говорить, что x 0 - регулярная граничная точка области Ω для уравнения (1), если для всякого R > 0 и произвольного, определенного в Ω R , обобщенного решения u ( x) ∈W pm (Ω R ) ∩ Wq1 (Ω R ) уравнения (1), удовлетворяющего условию o m

o 1

ϕ R ( x)[u ( x) − f ( x)]∈W p (Ω R ) ∩ W q (Ω R )

(6)

с функцией f ( x) ∈W pm′ (Ω R ) ∩ Wq1′ (Ω R ) при p ′ = n m, q ′ > n и бесконечно дифференцируемой функцией ϕ R (x) , равной единице в B(x 0 , R 2) , нулю вне B(x 0 , R ) , выполнено равенство lim

x → x0 , x∈Ω R

u ( x) = f (x 0 ) .

(7)

Для формулировки условия регулярности граничной точки напомним еще понятие емкости C q . Обозначим через M (E ) множество функций пространства C 0∞ (B(x 0 , 1)) , удовлетворяющих условию u ( x) ≥ 1 при x∈ E . Определение 2. Будем называть q -емкостью множества E∈ B(x 0 ,1 2) следующее число q

∂ϕ ∫ ∂x dx . ϕ∈M( E ) B ( x0 ,1)

C q ( E ) = inf

Основной результат статьи Теорема 1. Предположим, что выполнены условия а) – в). Для того чтобы точка x 0 ∈ ∂Ω

была регулярной граничной точкой области Ω для уравнения (1), достаточно, чтобы

∫ {C q (B(x 0 , t ) \ Ω )t

1/ 2

}

q − n 1 /( q −1)

0

dt =∞ . t

(8)

Доказательству теоремы, которое дается в дальнейшем в пункте 6, предшествует в следующих трех пунктах получение предварительных оценок решения. Нам нужно будет доказать непрерывность произвольного решения u (x) уравнения (1), определенного в Ω R и удовлетворяющего условию (6) с некоторой функцией f (x) , как только выполнено условие (8). В силу условия на f (x) функция v( x) = u ( x) − f ( x)

также будет решением уравнения вида (1),

удовлетворяющего условиям а) – в). Поэтому в дальнейшем достаточно вести все рассмотрения при f ( x) = 0 . 3. Итак, пусть u (x) – решение уравнения (1) в Ω R с некоторым R ∈ (0, 1] , удовлетворяющее условию (6) при f ( x) = 0 . Аналогично [6] можно доказать, что u (x) ограничена в B(x 0 , R 2) ,

доопределяя при этом вне Ω функцию u (x) нулем.

Обозначим m( ρ ) = vrai max{| u ( x) | : x ∈ B(x 0 , ρ )} при ρ ≤ R 2 и определим при λ ∈ (0, 1] функции v + ( x, ρ, λ),

v _( x, ρ, λ )

равенством v ± ( x, ρ, λ ) =

1 m(ρ) m u ( x) + ρ

170

λ

, x ∈ B(x 0 , ρ) .

(9)

В дальнейшем H = h( x )

Lt ( Ω )

∑

α |≤ m

hα ( x)

pα ( pα −1) Ltα ( Ω )

.

(10)

Теорема 2. Существуют положительные числа K 1 , σ 0 , λ 0 , зависящие только от m, n, p, p 0 , q, q1 , t , ν , µ , H ,

такие, что при ρ ≤ R 2 , 0 < λ ≤ λ 0 справедлива оценка −σ ∫ [v + ( x, ρ, λ) + v _( x, ρ, λ)]

0

B ( x0 , ρ 2 )

⎡ ⎤ ⎛ρ⎞ dx ≤ K 1ρ n ⎢m(ρ) − m⎜ ⎟ + ρ λ ⎥ ⎝4⎠ ⎣ ⎦

σ0

.

(11)

Доказательство. Определим при y∈ B(x 0 , ρ 2) , 0 < r ≤ ρ 2 ψ r ( x, y ) = g (| x − y | / r ) , где g (t ) – бесконечно дифференцируемая на R 1 функция, равная единице при t ≤ 1 2 и нулю при t ≥ 1 . Проверяется, что при произвольном вещественном k и s ≥ m определяемая равенством

{

}

ϕ ( x) = v +k −1 ( x, ρ , λ ) − v −k −1 ( x, ρ , λ ) ψ rs ( x, y ) o m

(12)

o 1

функция ϕ (x) принадлежит пространству W p (Ω R ) ∩ W q (Ω R ) . Имеем D α ϕ ( x ) = (k − 1) {v +k ( x, ρ , λ ) + v −k ( x, ρ , λ )}D α u ( x)ψ rs ( x, y ) + Rα ,

(13)

где для Rα справедлива оценка k −1

k −1

| Rα | ≤ C1 (| k | + s ) {v + ( x, ρ , λ ) + v − ( x, ρ , λ )}× m

|α | |β | ⎧ ⎛ D β u ( x) | ⎞ 1 ⎫⎪ s − m ⎪ ⎟ + × ⎨ ∑ ⎜⎜ ⎬ψ r ( x, y ) . λ ⎟ r |α| ⎪ ⎪⎩0 0, k ∈ R , s ≥ m 2τ , 0 < λ ≤ λ 2 ,0 < δ < 1 справедлива оценка

(| k | + | k − 1 | −1 + s ) σ ∫ [v +k + v −k ] ∑ | D α u | pα ψ rs −τ ( x, y )dx ≤ |α | = j

Ω

≤ C 4 (| k | + | k − 1 | −1 + s ) m2σ δ − m3

1 rq

∫

[v +k − q + v −k − q ]ψ rs − m2τ ( x, y )dx +

Ω

k k ⎧ α p α q⎫ s + δ ∫ [v + + v − ] ⎨ ∑ | D | α + ∑ | D u | ⎬ψ r ( x, y )dx . |α | =1 Ω ⎭ ⎩|α|= j +1

Доказательство.

Пусть

| D α u | pα = | D ε u | pα − 2 D α uD β +γ u

∫

Ω

|α |= j

и

α = β +γ ,

где

| β | = j − 1,

(18) | γ | =1 .

Представляя

в нижеследующем интеграле и интегрируя по частям, имеем

v +k | D α u | pα ψ rs − τ ( x, y )dx = − ∫ {( p α − 1)v +k | D α u | pα − 2 D α + γ uψ rs − τ ( x, y ) + kv +k +1 D γ u × Ω

× | D α u | pα − 2 D α uψ rs −τ ( x, y ) + ( s − τ )v +k | D α u | pα − 2 D α uψ rs −τ −1 ( x,y ) D γ ψ r ( x, y )}D β udx .

(19)

Докажем вначале неравенство (18) при j = 2 . Для этого оценим по неравенству Юнга слагаемые в правой части (19), замечая, что при | α | = 2, | β | = | γ | = 1 справедливы оценки 1 1 + + ( p α − 1) p α < 1, ( p α − 2) p α + 1 ( p α + γ ) + 1 pβ < 1 . p γ pβ

(20)

Имеем в итоге

∫

v +k | D α u | pα ψ rs − τ ( x, y )dx ≤

Ω

⎧⎪ ε p ≤ ∫ v +k ⎨ [| D α u | pα + | D β u | q + | D γ u | q + | D α + γ u | α + γ ]ψ rs ( x, y ) + −1 σ ⎪⎩ (| k | + | k − 1 | + s ) Ω −1

+ C 5 (| k | + | k − 1 | + s )

σµ1

}

ε − µ 2 [ ρ − λµ 3 ψ rs −τµ 3 ( x, y ) + r − µ 4 ψ rs −τµ 4 ( x, y )] dx

172

(21)

с произвольным положительным числом ε , положительными, зависящими лишь от m, p, q, q1 числами µ1 ,..., µ 4 , причем µ 4 < q . Из (21) следует возможность выбора чисел λ(21) , m2(1) , m3(1) таких, что для s ≥ m2(1) , 0 < λ ≤ λ(21) справедлива для j = 2 оценка (18). Предположим по индукции существование положительных чисел λ(2j0 −1) , m 2( j0 −1) , m3( j0 −1) , зависящих лишь от m, p, q, q1 таких, что справедливо утверждение леммы 1 при 2 ≤ j ≤ j 0 с λ 2 = λ(2j0 −1) , m 2 = m 2( j0 −1) , m3 = m3( j0 −1) . И докажем оценку (18) для j = j 0 + 1 .

При | α | > 2, | β | = | α | − 1, | γ | = 1 выполняются первое из неравенств в (20) и равенство ( pα − 2) pα + 1 ( pα + β ) + 1 p β = 1 .

(22)

Снова оцениваем по неравенству Юнга слагаемые правой части (19). При этом возникает отличие в оценке первого слагаемого в фигурной скобке в (19), связанное с заменой второго неравенства в (20) равенством (22). Получаем при | α | = j 0 + 1, | β | = j 0 , | γ | = 1 : (| k | + | k − 1 | −1 + s ) σ ∫ v +k | D α u | pα ψ rs −τ ( x, y )dx ≤ Ω

≤ ∫ v +k {ε [| D α u | pα + | D β u |

pβ

+ | Dγ u |

+ | D α +γ u |

pγ

pα + γ

]ψ rs ( x, y ) +

Ω

+ C 6 (| k | + | k − 1 | −1 + s ) σµ 5 ε − µ 6 [ ρ − λµ 7 ψ rs −τµ 7 ( x, y ) + r − µ8 ψ rs −τµ8 ( x, y )]}dx + + C 7 (| k | + | k − 1 | −1 + s ) σµ 9 ε − µ10 ∫ v +k | D β u |

pβ

ψ rs −τµ11 ( x, y )dx ,

(23)

Ω

где µ 5 ,..., µ11 - положительные, зависящие лишь от m, p, q, q1 числа и µ 8 < q . Считая 0 < λ ≤ λ(2j0 −1) , s ≥ m 2( j0 −1) µ 11 τ , оценим последнее слагаемое в (23) по неравенству (18) при j = j 0 , используя индуктивное предположение. И далее из (23) при соответствующем ε следует возможность выбора λ(2j0 ) , m 2( j0 ) , m3( j0 ) , обеспечивающего оценку (18), что и заканчи-

вает доказательство леммы 1. Суммируя неравенство (18) по j , получаем Следствие 1. При сохранении условий леммы 1 справедливо неравенство (| k | + | k − 1 | + s ) σ

∫

∑

[v +k + v −k ]

1 m 4 , 0 < λ ≤ λ 0 :

∫

Ω

⎧ k k α p α q⎫ s [v + ( x, ρ , λ ) + v − ( x, ρ , λ )]⎨ ∑ | D u | + ∑ | D u | ⎬ψ ( x)dx ≤ |α | =1 ⎩|α|= m ⎭ −1

≤ C14 (| k | + | k − 1 | + s )

1

m4

×ψ

ρ

q−n t

s − m4

( x)]

⎧ k −q k −q ⎨ ∫ [(v + ( x, ρ , λ ) + v − ( x, ρ , λ )) × ⎩Ω t ( t −1)

где ψ ( x) = ψ 2−1 ρ ( x) .

174

dx

}

( t −1) t

,

(29)

Оценка (28) будет получена из (29) на основании итерационного процесса Мозеровского типа. Применяя теорему вложения и обозначая кратко v ± ( x, ρ , λ ) через v ± , имеем в силу (29) и неравенства Гельдера

∫

Ω

q ⎧⎪ ⎫⎪ ∂ k k s ( n − q ) nq [v + v ]ψ ( x)dx ≤ C15 ⎨ ∫ [(v + + v − )ψ ( x)] dx ⎬ ⎪⎩Ω ∂x ⎪⎭ k +

k −

≤ C16 (| k | + s )

+ (v

n (n−q)

s

nq ( n − q )

k (n−q ) n +

[

≤

q

⎧ k (n−q) n+ q k ( n − q ) n + q ∂u ) ψ s ( n − q ) n ( x) + + v− ⎨ ∫ (v + ∂ x ⎩Ω

+v

−1

k (n−q ) n −

≤ C1 (| k | + | k − 1 | + s )

m5

ρ

)

1

ρq

ψ

s (n−q ) n−q

− ( q − n t )( n ( n − q )

⎤ ⎫⎪ ( x)⎥ dx ⎬ ⎦⎥ ⎪⎭

n (n−q)

≤

⎫ ⎧ kθ kθ sθ − m6 ( x)dx ⎬ ⎨ ∫ [v + + v − ]ψ ⎭ ⎩Ω

1θ

,

(30)

где θ = t (n − q) ((t − 1) n) и m5 , m6 – положительные постоянные, зависящие лишь от m, n, p, q, q1 . Отметим, что в силу условий q < n, t > n q выполнено неравенство 0 < θ 0 множество Eε = {x ∈ B ( x 0 , ρ 4) :| u ( x) | > m( ρ 4) − ε }

имеет положительную меру и, следовательно, положительна мера одного из множеств +

−

Eε , Eε

, где 175

Eε± = {x ∈ B ( x 0 , ρ 4) : ± u ( x) > m( ρ 4) − ε } .

Пусть mes Eε+ > 0 . Тогда при x ∈ Eε+ 1

σ

v + 0 ( x, ρ , λ ) >

m( ρ ) − m( ρ 4) + ε + ρ

λ

,

и, тем самым, σ

1

σ

v + 0 ( x, ρ , λ ) + v − 0 ( x, ρ , λ ) >

m( ρ ) − m( ρ 4) + ε + ρ

λ

.

(36)

Аналогично получается последнее неравенство при x ∈ Eε− . Из неравенства (36) при x∈ Eε следует, что vrai max{ v + 0 ( x, ρ , λ ) + v − 0 ( x, ρ , λ )} ≥ σ

1

σ

x∈B(x 0 , ρ 4 )

m( ρ ) − m( ρ 4) + ρ

λ

.

(37)

Теперь неравенство (11) является непосредственным следствием оценок (26), (28), (37). Тем самым доказана теорема 2 с постоянными σ 0 , λ 0 , определенными соответственно в леммах 3, 2. 4. Теорема 3. Пусть ε ∈(0,1) . Существует положительное число K 2 (ε ) , зависящее только от ε , m, n, p, p 0 , q, q1 , t , ν , µ , H , такое, что при 0 < σ ≤ (n − ε ) (q − 1) (n − q), 0 < λ ≤ λ 0 , ρ ≤ R 2 справедлива оценка

∫

B ( x0 , ρ

⎡ ⎤ ⎛ρ⎞ [v + ( x, ρ , λ ) + v − ( x, ρ , λ )] dx ≤ K 2 (ε ) ρ ⎢m( ρ ) − m⎜ ⎟ + ρ λ ⎥ ⎝4⎠ ⎣ ⎦ 4) −σ

n

σ

.

(38)

Здесь λ 0 - число, определенное в теореме 2. Доказательство. Для заданного положительного ε вернемся к подстановке (12) в интегральное тождество (5) при y = x0 , r = ρ 2 ,

1+

q −1 ε ≤ k ≤ q, n

⎛ n−q ⎛ m ⎞ m ⎞ q −1 . ⎜ q + 6 ⎟ ≤ s ≤ ⎜⎜ q + 6 ⎟⎟ θ ⎠ n ⎝ 1 − θ ⎠ σ 0θ ⎝

(39)

Через C1 (ε ), C 2 (ε ),... будем обозначать постоянные, зависящие от тех же параметров, что и C1 , C 2 ,...

выше, и еще дополнительно от ε .

Пользуясь тем, что сейчас k − 1 ≥ (q − 1) ε n , получим, что справедливо неравенство, получающееся заменой в (15) выражений v +k ( x, ρ , λ ) + v −k ( x, ρ , λ ) и v +k −1 ( x, υ , λ ) + v −k −1 ( x, ρ , λ ) соответственно выражениями [v + ( x, ρ , λ ) + v − ( x, ρ , λ )] k и [v + ( x, ρ , λ ) + v − ( x, ρ , λ )] k −1 . Рассуждая, как и выше, получим вместо (17) неравенство

∫

Ω

k⎧ α p α q⎫ s (v + + v − ) ⎨ ∑ | D u | + ∑ | D u | ⎬ψ ( x)dx ≤ |α | =1 ⎭ ⎩|α|= m

⎧⎪ ⎫⎪ ⎡ ⎤ 1 ≤ C1 (ε ) ∫ ⎨(v + + v − ) k ⎢ ∑ | D α u | pα + H ( x)⎥+ q (v + + v − ) k − q ⎬ψ s − m1 ( x)dx . ⎪⎭ Ω ⎪ ⎣1 k 0 , ( x, t ) ∈ Qk = Dk × (0, T ) , Dk = B \ Ek функцию u k ( x, t ) как решение

уравнения (0.1) в Qk , удовлетворяющее условиям u k ( x, t ) = h( x) λ k (t )

при

( x, t ) ∈ ∂ Dk × (0, T ) ,

(1.12)

u k ( x, 0) = 0

при

x ∈ Dk .

(1.13)

Доопределим функцию u k ( x, t ) на B × (0, T ) , полагая ее равной λ k (t ) при ( x, t ) ∈ Ek × (0, T ) . Используя стандартный метод Мозера, можно доказать, что с некоторой, зависящей лишь от n , ν1 , ν 2 и T , постоянной M выполнена оценка | u k ( x, t ) | ≤ M

при

( x, t ) ∈ B × (0, T ) .

Отметим просто проверяемую оценку нормы функции u k ( x, t ) в V2 (Q) .

185

(1.14)

Лемма 1.1. Существует постоянная K1 , зависящая только от n , ν1 , ν 2 , T , такая, что для функции u k ( x, t ) справедлива оценка || u k ( x, t ) ||V22 (Qk ) ≤ K1 2 −2 k C ( Ek ) .

(1.15)

Доказательство. Можно показать, что при h > 0 , 0 < τ < T − h справедливо интегральное тождество τ

⎧⎪ ∂

0 Dk

⎪⎩

n

⎡ ⎛

∂ u k ⎞ ⎤ ∂ ψ ( x, t ) ⎡ ⎛ ∂u ⎟⎟⎥ − ⎢a0 ⎜⎜ x, t , u k , k ∂x ⎠⎦⎥ ( h ) ∂ x j ⎣⎢ ⎝

⎢a j ⎜⎜ x, t , u k , ∫ ∫ ⎨ ∂ t [u k ( x, t ) ]( h) ψ( x, t ) + ∑ ∂x j =1 ⎢ ⎣ ⎝

⎫⎪ ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ψ ( x, t )⎬ dx dt = 0 ⎠⎦⎥ ( h ) ⎪⎭

(1.16)

o

для произвольной функции ψ( x, t ) ∈ V21, 0 (Qk ) . В (1.16) использовано обозначение [v( x, t )]( h ) =

1 t +h v( x, s ) ds h ∫t

(1.17)

для усреднения по t . Подставим в (1.16) вместо ψ( x, t ) функцию ψ ( x, t ) = [u k ( x, t )]( h ) − ϕ( x) [λ k (t )]( h ) ,

(1.18)

где ϕ( x) ∈ M k ( Ek ) . Возможность такой подстановки, последующий предельный переход по h , а также соответствующие предельные переходы в дальнейших доказательствах работы следуют из свойств усреднения по t (см. [1, § 4, глава 2]). В равенстве, получающемся из (1.16) подстановкой (1.18), интегрируем по частям в слагаемых, содержащих

∂ [u k ( x, t )]( h ) , ∂t

переходим к пределу при h → 0 и оцениваем, используя

условия (1.1). В итоге имеем τ

2 ∫ u k ( x, τ) dx + ∫

Dk

⎧τ ⎛ dλ k (t ) ⎪ ≤ C1 ⎨∫ ∫ ⎜⎜1 + dt ⎪⎩ 0 Dk ⎝

2

∫

0 Dk

∂ u k ( x, t ) dx dt ≤ ∂x

⎡ ⎞ 2 ∂ ϕ( x) ⎟⎟ u k ( x, t ) dx dt + ∫ ⎢ϕ 2 ( x) + 2 −2 k ∂x ⎠ Dk ⎢ ⎣

2

(1.19)

⎤ ⎫⎪ ⎥ dx ⎬. ⎥⎦ ⎪ ⎭

В (1.19) и далее на протяжении всей работы через Ci , i = 1, 2, ... , обозначаем постоянные, зависящие лишь от n , ν1 , ν 2 , T . Используя неравенства Пуанкаре и Гронуолла, получаем из (1.19)

∫u

Dk

2 k

τ

( x, τ) dx + ∫

2

∫

0 Dk

2

∂ u k ( x, t ) ∂ ϕ( x) dx dt ≤ C 2 2 −2 k ∫ dx ∂x ∂x Dk

при τ ≤ T . Отсюда в силу (1.11) следует оценка (1.15). Замечание

1.1.

Можно

доказать,

что

определенная

выше

функция

u k ( x, t )

неотрицательна. Для этого достаточно подставить в (1.16) ψ ( x, t ) = min {[u k ( x, t )]( h) , 0} и провести

186

такие же рассуждения, как при доказательстве леммы 1.1. Так же получается, что u k ( x, t ) ≡ 0 при t ≤ t 0 − 2 −1−2 k . В следующих параграфах будут доказаны априорные оценки функций u k ( x, t ) , u k ( x, t ) − u k +1 ( x, t )

на которых основано доказательство теоремы 1.1.

Теорема 1.2. Предположим, что выполнены условия 1), 2) для функций a j ( x, t , u, p) . Тогда существует постоянная M 1 , зависящая лишь от

n , ν1 , ν 2 , T , такая, что для

решения u k ( x, t ) задачи (0.1), (1.12), (1.13) при | x − x0 |2 + | t − t 0 |≥ 2 −2( k −2) справедлива оценка ⎫⎪ ⎧⎪ 2 −2 k C ( E k ) u k ( x, t ) ≤ M 1 ⎨ + | x − x0 |2 + | t − t 0 |⎬ . n ⎪⎭ ⎪⎩ (| x − x0 | + | t − t 0 | )

(1.20)

Теорема 1.3. Предположим, что выполнены условия теоремы 1.2. Тогда с зависящей лишь от n , ν1 , ν 2 , T постоянной M 2 при | x − x0 |≤ 2 − k −4 , | t − t 0 |≤ 2 −2( k + 4) оценка

{

| u k ( x, t ) − u k +1 ( x, t ) |≤ M 2 2 k ( n−2 ) C ( Ek ) + 2 −2 k

}.

(1.21)

Особенностью оценок (1.20), (1.21) при сравнении их с известными оценками решений квазилинейных параболических уравнений (в частности, из монографии [1]), является их локальный характер. Он выражается в мажорировании в (1.20) решения u k ( x, t ) функцией точки и в мажорировании в (1.21) разности u k ( x, t ) − u k +1 ( x, t ) вблизи точки ( x0 , t 0 ) . Отметим также неулучшаемость оценок (1.20), (1.21), в чем можно убедиться в случае линейных уравнений. При доказательстве теоремы 1.1 еще понадобится Лемма 1.2. Существует постоянная K 2 , зависящая лишь от n , ν1 , ν 2 , T , такая, что при k > k 0 справедлива оценка m(k ) = vrai min {u k ( x, t ) : | x − x0 |≤ 2 − ( k +5) , | t − t 0 |≤ 2 −2 ( k +5) } ≤ K 2 {2 k ( n−2) C ( Ek )}1 / 2 .

Доказательство. Обозначим

τ(k ) = 2 −2 ( k +5) ,

⎧ u ( x, t ) ⎫ , 1⎬ . u~k ( x, t ) = min ⎨ k ⎩ m( k ) ⎭

(1.22)

Из определения

емкости получаем t0 + τ ( k )

∫ ∫

t0 − τ ( k ) B

∂ u~k ( x, t ) dx dt ≥ C3 2 −2 k C B ( x0 , 2 −( k +5) ) . ∂x 2

(

)

(1.23)

Заметим, что C (B( x0 , 2 − ( k +5) ) ) ≥ C4 2 − k ( n−2) , и в силу (1.15) имеем t0 + τ ( k )

∫ ∫

t0 − τ ( k ) B

∂ u~k ( x, t ) dx dt ≤ C5 [m(k )]−2 ⋅ 2 −2 k C ( Ek ) . ∂x 2

Теперь (1.22) непосредственно следует из неравенств (1.23), (1.24). Используя приведенные оценки, можно доказать теорему 1.1.

187

(1.24)

Доказательство теоремы 1.1. Укажем решение уравнения (0.1) в Q , удовлетворяющее условию (1.7) с функцией f ( x, t ) ∈ C (Q ) ∩ W21 (Q) и разрывное в точке ( x0 , t 0 ) , как только не выполнено равенство (1.9). Итак, предполагаем ограниченность интеграла в левой части (1.9). Проверяется (см. [6]), что в этом случае ∞

∑ 2 k ( n−2) C ( Ek ) < ∞ .

(1.25)

k =1

Следовательно, можно выбрать номер k1 так, чтобы 1 ∑ { 2 k ( n− 2 ) C ( E k ) + 2 −2 k } < 4 M , ∞

k = k1

(1.26)

2

где M 2 – постоянная из теоремы 1.3. Покажем, что искомым, разрывным в ( x0 , t 0 ) , решением уравнения (0.1) может служить функция u k1 ( x, t ) , определенная выше как решение задачи (0.1), (1.12), (1.13) при k = k1 . Соответствующую функцию f ( x, t ) из условия (1.7) можно сейчас полагать равной единице. Пусть δ – произвольное положительное число. В силу сходимости ряда в (1.25) и оценки (1.22) имеем m(k ) → 0 при k → ∞ . Следовательно, по заданному числу δ можно выбрать номер k 2 = k 2 (δ) и точку ( xδ , t δ ) ∈ Q так, чтобы выполнялись неравенства u k 2 ( xδ , t δ )