Теория матриц

П.Ланкастер ТЕОРИЯ МАТРИЦ Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», М., 1973, 280 с.

Книга предназначена быть основой для спецкурсов и справочным пособием для всех, интересующихся прикладными аспектами теории матриц. Ее можно рассматривать как хорошее дополнение к обычному курсу линейной алгебры (первые две главы — изложение линейной алгебры на матричном языке). Строгое изложение основ теории матриц сочетается в ней с обсуждением прикладных вопросов, отчасти классических, отчасти новых. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 Глава 1 Линейные пространства, алгебра матриц и линейные алгебраические уравнения 1.1. Связанные векторы в трехмерном пространстве 9 1.2. Пространства Rn и Cn 11 1.3. Внутренние произведения 14 1.4. Линейные комбинации 16 1.5. Матричная алгебра 17 1.6 Разбиения матриц 20 1.7. Вектор-столбцы и вектор-строки 23 1.8. Аннулируемое подпространство и область значений 25 1.9 Линейная зависимость и размерность 27 1.10. Свойства базисных векторов 32 1.11. Определение функции определителя 34 1.12. Свойства определителей 36 1.13. Присоединенная и обратная матрицы 39 1.14. Формула Бине — Коши 41 1.15. Ранг матрицы 44 1.16. Решение уравнений 48 1.17. Правило Крамера 51 Смешанные упражнения 52 Глава 2 Собственные значения и собственные векторы 2.1. Характеристическое уравнение 54 2.2. Кратность собственного значения 57 2.3. Собственные векторы 58 2.4. Преобразования подобия и простые матрицы 59 2.5. Спектральная теорема и многочлены от матриц 63 2.6. Ортогональные и квазиортогональные векторы 67 2.7. Ортонормированные системы 69 2.8. Специальные типы матриц 73 2.9. Эрмитовы матрицы 75

2.10. Унитарно подобные преобразования 2.11. Идемпотентные матрицы и проекции 2.12. Эрмитовы и квадратичные формы 2.13. Метод приведения Лагранжа 2.14. Определенные матрицы 2.15. Теория малых колебаний и одновременное приведение квадратичных форм 2.16. Колебания с внешними силами Смешанные упражнения Глава 3 Вариационный метод 3.1. Введение 3.2. Экстремальные собственные значения и отношение Релея 3.3. Свойство стационарности отношения Релея 3.4. Вариационное описание собственных значений 3.5. Задачи со связями 3.6. Теорема Куранта — Фишера 3.7. Приложения к теории малых колебаний Смешанные упражнения Глава 4 Минимальный многочлен и нормальные формы 4.1. Введение 4.2. Алгебра λ-матриц с 4.3. λ-матрицы с матричными аргументами 4.4. Аннулирующие многочлены 4.5. Приведенная присоединенная матрица и минимальный многочлен 4.6. Элементарные операции и эквивалентность λ-матриц 4.7. Приведение λ-матриц эквивалентными преобразованиями к простейшему виду 4.8. Эквивалентные преобразования матриц из Fnxn 4.9. Инвариантные многочлены и каноническая форма Смита 4.10. Подобие 4.11. Первая естественная нормальная форма 4.12. Элементарные делители над полем комплексных чисел 4.13. Вторая естественная нормальная форма и жорданова нормальная форма Смешанные упражнения Дополнение к главе 4 Глава 5 Функции от матриц 5.1. Введение 5 2 Интерполяционные многочлены 5 3. Определение функции от матрицы

79 82 85 90 93 98 102 103 106 106 108 110 111 113 118 120 121 122 125 128 132 134 137 140 140 143 144 146 149 153 154 156 156 158

5.4. Спектральное разложение для f(A) 5.5. Свойства компонентных матриц 5.6. Последовательности и ряды матриц 5.7. Свойства некоторых элементарных функций 5.8. Использование контурных интегралов 5.9. Приложения к решению дифференциальных уравнений Смешанные упражнения Глава 6 Нормы векторов и матриц 6.1. Матричные нормы 6.2. Векторные нормы 6.3. Индуцированные матричные нормы 6.4. Абсолютные векторные нормы 6.5. Нижние грани 6.6. Поле значений Глава 7 Теория возмущений и оценки для собственных значений 7.1 Возмущения в решении линейных уравнений 7.2. Теорема Гершгорина 7.3 Теорема Шура 7.4 Возмущение собственных значений простой матрицы 7.5. Аналитические возмущения 7.6. Возмущение компонентных матриц 7.7. Возмущение некратного собственного значения 7.8. Оценка коэффициентов возмущения 7.9. Возмущение кратного собственного значения 7.10. Редукционный процесс Глава 8 Прямые произведения, решение матричных уравнений и задачи устойчивости 8.1. Введение 8.2. Прямое произведение 8.3. Собственные значения составных матриц 8.4. Решение линейных матричных уравнений 8.5. Уравнение AX+XB=C 8.6. Коммутирующие матрицы 8.7. Теория устойчивости Ляпунова 8.8. Критерий Рауса — Гурвица Глава 9 Неотрицательные матрицы 9.1. Введение 9.2. Теорема Перрона — Фробениуса 9.3. Приводимые матрицы

163 166 170 174 175 178 182 185 190 194 199 201 203 205 203 212 214 219 220 223 224 227 232

231 235 237 239 240 242 245 248 255 257 262

9.4. Примитивные и импримитивные матрицы 264 9.5. Стохастические матрицы 266 9.6. Цепи Маркова 268 Дополнение 1. Некоторые теоремы из анализа 271 Дополнение 2. Обобщенная обратная матрица 273 Дополнение 3. Рекомендации для дальнейшего чтения 277 Алфавитный указатель 278 АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ — сильно связный 256 Алгоритм деления 123 Гревил (Т. N. Е. Grevill) 278 Ассоциативность 10, 18 Гримшоу (М. Е. Grimshaw) 277 Базис 27 Делитель левый 123 Бак (R. С. Buck) 275 — общий 129 Беллман (R. Bellman) 279 — — наибольший (НОД) 129 Бендиксон (I. Bendixon) 213 — правый 123 Блок 21 — элементарный 147 Варга (R. S. Varga) 279 — — линейный 148 Вектор единичный 11 — — нелинейный 148 — нормального вида 101 Дельта кройекеровская 20 — нормированный 68 Диагональ главная 20 — нулевой 9 Дистрибутивность 18 — порядка п 14 Длина 10. 14, 15 — связанный 9 Дополнение алгебраическое 36 — собственный левый 58 Дополнения 82 — — ограниченный 112 — ортогональные 82, 112 — — правый 54 Зависимость линейная 27 Вектор-столбец 23 Задача общей интерполяции Эрмита Вектор-строка 23 157 Векторы биортогональные 67 Закон инерции Сильвестра 90 — квазибиортогональные 63, 68 Значение собственное 54 — квазиортогональные 68 — — ограниченное 112 — квазиортонормированные 68 — функции на спектре матрицы 159 — ортогональные 14, 67 — ортонормированные 67 — λ-матрицы левое 125 Вероятность условная 269 — — правое 125 Вид колебания 100 Индекс импримитивности 264 Возмущение линейное 227 — собственного значения 154 — относительное 203 — формы 90 Гамбургер (Н. L. Hamburger) 277 Интеграл от вектора 102 Гамильтон (W. R. Hamilton) 126 — — матрицы 176 Гантмахер Ф. Р. 279 — частный 181 Гармоника нормальная 101 Като (Т. Kato) 228, 232, 277 Грань нижняя матрицы 202 Квадрика центральная 92 Граф направлены и 256 Кели (A. Cayley) 126

Клетка жорданова 150 Комбинация линейная 16 Коммутативность 10, 18 Компонента матрицы 164 Координаты нормальные 101 Корень скрытый 147 Косинус направляющий 10 Коши (A. L. Cauchy) 116 Кратность геометрическая 58 — скрытого корня 149 — собственного значения 57 Критерий Грама 72 — Рауса —Гурвица 249 Курант (R. Courant) 111 Ляпунов А. М. 245—247, 249 Макдаффи (С. С. MacDuffee) 241, 277 Маркус (М. Marcus) 277 Матрица 17 — Вандермонда 39 — главная 41 — дефектная 61 — диагональная 20 — — каноническая 137 — единичная 19 — идемпотентная 65 — импримитивная 264 Матрица квадратная 17 — квазидиагональная 146 — кососимметрическая 74 — косоэрмитова 74 — многочленов 122 — неособая 40 — неотрицательная 255 — неприводимая 256 — нильпотентная 66 — нормальная 80 — нулевая 19 — обратная 40 — — обобщенная 273 — определенная 93 — — неотрицательно 93 — — положительно 93 — ортогональная 74

— особая 40 — перестановочная 87 — приводимая 255 — примитивная 265 — присоединенная 39 — — приведенная 129 — простая 61 — прямоугольная 17 — с доминирующей диагональю 211 — симметрическая 74 — скалярная 19 — сопровождающая 144, 252 — сопутствующая 64 — стохастическая 266 — транспонированная 17 — треугольная 39 — унитарная 74 — устойчивая 234, 245 — элементарная 136 — эрмитова 74, 228 Матрицы Гурвица 249 — коммутирующие 18 — подобные 59 — — ортогонально 78 — — унитарно 78 — соответствующие 18 Минк (Н. Mine) 277 Мииор 38, 41 — главный 41 Мирский (L. Mirsky) 277 Многочлен аннулирующий 128 — инвариантный 141 — Лагранжа 157 — минимальный 128 — неприводимый 129 — приведенный 128 — с матричным аргументом 64 — характеристический 54 Многочлены взаимно простые 129 Множество выпуклое 193 — замкнутое 271 — ограниченное 271 Монотонность абсолютной

векторной нормы 200 Независимость линейная 27 Неравенство Шварца 15, 44 Норма векторная 190 — — абсолютная 199 — Гёльдера 190. 192 — евклидова 189 — матричная 185 — — индуцированная 194 — — обобщенная 186 — спектральная 186 — Фробениуса 189 Нормы согласованные 191 Область значений матрицы 25 Оболочка выпуклая 193 Образ матрицы 25 Окрестность 271 Оператор самосопряженный 76 Операция бинарная 12 — — замкнутая 13 — элементарная левая 135 — — правая 135 Оси квадрики главные 93 Островский (А. М. Ostroweki) 277 Отношение Релея 106 — — обобщенное 109 —— эквивалентности 60 Пенроуз (R. A. Penrose) 276 Перестановка 34 Перлис (S. Perils) 277 Перрон (О. Perron) 262 Подпространства дополнительные 82 Подпространство 16 — аннулируемое 25 — собственное 16 Поле алгебраически замкнутое 55 — значений 203 Порядок матрицы 17 — минора 41 Последовательность матриц расходящаяся 170 — — сходящаяся 170 Правило параллелограмма 10

Преобразование 24, 60 — конгруэнтное 86 — подобия 59 — эквивалентное 135, 136 Проекция 15, 84 Произведение внешнее 24 — внутреннее 14, 24 — прямое 235 — скалярное 14 Производная вектора 99 — матрицы 99, 176 — определителя 52 Пространство бесконечномерное 28 — линейное 11 — —, натянутое на систему векторов 16 — —, порожденное системой векторов 16 — собственное левое 58 — — правое 58 — столбцов 25 Радиус спектральный 188 Разбиение 21 — квадратной матрицы симметричное 22 Разложение определителя по столбцу 36 — — — строке 36 — спектральное 163 Размерность 28 Райнхарт (R. F. Rinehart) 277 Ранг матрицы 46 — по минорам 46 — — столбцам 45 — — строкам 45 — формы 90 — λ-матрицы 140 Раус (Е. J. Routh) 116 Резольвента 176 Релей (Lord Raylegh) 116 Реллих (F. Rellich) 228 Рефлексивность подобия матриц 60 Решение нетривиальное 24

— приближенное в смысле наименьшего квадратичного отклонения 275 Решение тривиальное 24 Рудин (W. Rudin) 273 Ряд матриц 172 — — расходящийся 172 — — сходящийся 172 — Пюизье 220 Связь 112 Сегмент прямой 193 Сигнатура 90 Симметричность подобия матриц 60 След 56 Сложение векторов 13 Смит (Н. J. S. Smith) 141 Спектр матрицы 63 Стационарность отношения Релея 109 Степень λ-матрицы 122 Сумма векторов 10 — кронекеровская 238 — матриц 17 — прямая 82 Сфера единичная 106, 192 Теорема Аполлония 16 — Гершгорина 209 — Кели — Гамильтона 126 — Куранта — Фишера 115, 119 — о вычетах 176 — — параллелограмме 16 — об остатке 125 — Перрона — Фробениуса 259—261 — Пифагора 15 — спектральная 64 — Шура 212 Теплиц (О. Toeplitz) 79 Тождество Коши 44 — Якоби 183 Точка предельная 271 Транзитивность подобия матриц 60 Транспозиция 34 Угол 10, 67

Уилкинсон (J. H. Wilkinson) 277 Умножение матриц 17, 18 — на скаляр 13, 17 Уравнение неоднородное 24 — однородное 24 — характеристическое 24 Уравнения алгебраические линейные 24 Фаддеев Д. К. 277 Фаддеева В. Н. 277 Финкбейиер (D. Т. Finkbeiner) 277 Фишер (Е. Fischer) 111 Форма каноническая Смита 141 — квадратичная 86 — нормальная естественная вторая 150 — — — первая 146 — — жорданова 150 — эрмитова 85 Формула Бине — Коши 41, 47 — Лиувилля 183 — Орландо 249 Фробениус (G. Frobenius) 126, 141, 241, 261 Функция 12 — аддитивная 36 — аналитическая 175 — непрерывная 271 — однородная 36 —, определенная на спектре 159 — от матрицы 160 — целая 173 Халмош (P. R. Halmos) 277 Хаусхолдер (A. S. Householder) 277 Хирш (К. A. Hirsch) 213 Хон (F. Е. Hohn) 277 Цепь Маркова 270 — — однородная 270 Циркулянт 244 Частное левое 123 — правое 123 Частота собственная 100 Число условное 207

— — спектральное 207 Шар 193, 271 — единичный 193 Шнейдер (Н. Schneider) 277 Шур (I. Schur) 79, 212 Эквивалентность матриц 140 — λ-матриц 136

Элемент матрицы 17 n-ка чисел упорядоченная 9 p-норма 190 λ-матрица 122 — регулярная 122