М инист е рст в о о бразо в ания Р Ф В о ро не ж ск ий Го сунив е рсит е т Ф а куль т е т П р и кла д ной М а т е м а т ...
21 downloads
204 Views
295KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
М инист е рст в о о бразо в ания Р Ф В о ро не ж ск ий Го сунив е рсит е т Ф а куль т е т П р и кла д ной М а т е м а т и ки и нф ор м а т и ки и М е ха ни ки
Кафе дра т е о ре т иче ск о й и прик ладно й ме х аник и В В ЕД ЕН ИЕ В М СС М е т о диче ск ие ук азания к ре ш е нию задач по к урсу «М е х аник а Спло ш но й Сре ды» д л я сту д е нто в 3 и 4 ку рсо в д не в но го и в е че рне го о тд е л е ни й спе ци а л ьно сте й 010500 и 010200
Со ст ав ит е ли: А.Н . Спо рых ин, Ю .М . М яснянк ин, А.С. Че бо т аре в .
В о ро не ж
2
Анно т ация М ехан и ка сп л о ш н о й среды , со гл асн о го сударст в ен н о му о бразо в ат ел ьн о му ст ан дарт у в ы сш его п ро фесси о н ал ьн о го о бразо в ан и я, яв л яет сяо дн и м и з о сн о в н ы х курсо в дл я ст уден т о в сп еци ал ьн о ст и 010500 «механ и ка» и чи т ает ся в качест в е раздел а курса фи зи ки дл я ст уден т о в 4-го курса сп еци ал ьн о ст и 010200 «п ри кл адн ая мат емат и ка». В ы п ущен н ая М и н и ст ерст в о м п ро грамма курса «М ехан и ка сп л о ш н о й среды » реко мен дует и сп о л ьзо в ат ь в качест в е о сн о в н о го учебн и какн и ги Л .И . Седо в а«М ехан и касп л о ш н о й среды » т . 1,2. Одн ако у эт о го учебн и ка о т сут ст в ует задачн и к. Наст о ящее мет о ди ческо е п о со би е в кл ю чает крат кую т ео ри ю , задачи и мет о ди чески е указан и я к и х реш ен и ю п о раздел ам «Эл емен т ы т ен зо рн о го и счи сл ен и я», «Ки н емат и ка дефо рми руемо й среды », «Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Гран и чн ы е усл о в и я». Со де рж ание §1. Тен зо рн ы е о бо зн ачен и я. Ф и зи чески е ко мп о н ен т ы . §2. Кри в о л и н ейн ы е си ст емы ко о рди н ат . §3. Тен зо ры . Ко в ари ан т н аяп ро и зв о дн ая. §4. П еремен н ы е Эйл ераи Л агран жа. Ско ро ст ь, уско рен и е. §5. П ро и зв о дн ая п о в ремен и . В ы чи сл ен и е ко мп о н ен т уско рен и я в п еремен н ы х Эйл ера. §6. Л и н и и т о каи т раект о ри и . §7. Тен зо ры дефо рмаци й и ско ро ст ей дефо рмаци й. §8. Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Д екарт о в аси ст емако о рди н ат . §9. Нап ряжен н о е со ст о ян и е. Кри в о л и н ейн ы е си ст емы ко о рди н ат . §10. П ро ст ейш и е в и ды н ап ряжен н ы х со ст о ян и й. §11. Гран и чн ы е усл о в и я. §1. Те нзор ные об озна че ни я. Ф и зи че ски е ком поне нт ы. М ехан и касп л о ш н о й среды – о бш и рн ая част ь механ и ки , п о св ящен н ая дв и жен и ю газо о бразн ы х, жи дки х и т в ерды х дефо рми руемы х т ел . Гео мет ри чески е и фи зи чески е в ел и чи н ы , а т акже урав н ен и я, о п и сы в аю щи е дв и жен и я сп л о ш н о й среды , н е до л жн ы зав и сет ь о т си ст емы ко о рди н ат и ссл едо в ат ел я. Д л я эт о го урав н ен и я зап и сы в аю т ся в т ако й фо рме, чт о бы о н и бы л и сп рав едл и в ы в л ю бо й си ст еме ко о рди н ат . Осущест в л ен и е эт о й и деи в само м о бщем в и де п ри в о ди т к о бщему т ен зо рн о му и счи сл ен и ю . Тен зо р – о бъект н е зав и сящи й о т в ы бо ра си ст емы ко о рди н ат (п л о т н о ст ь, эн ерги я, ско ро ст ь, н ап ряжен и я, дефо рмаци и и т .п .). П ро ст о т а, аи н о гдаи самав о змо жн о ст ь реш ен и я ко н крет н ы х краев ы х задач М СС о п редел яет в в еден и е кри в о л и н ейн ы х си ст ем ко о рди н ат . Ко мп о н ен т ы т ен зо ро в в кри в о л и н ейн ы х ко о рди н ат ах н е и мею т о п редел ен н о го фи зи ческо го смы сл а (о н и зав и сят о т в в еден н о й си ст емы ко о рди н ат ), п о эт о му дл я ан ал и за п о л учен н ы х резул ьт ат о в п ерехо дят к т ак н азы в аемы м фи зи чески м ко мп о н ен т ам т ен зо ро в . Ф и зи чески е ко мп о н ен т ы , н ап ри мер в ект о ра, эт о его ко со уго л ьн ы е и л и о рт о го н ал ьн ы е п ро екци и н ао си ко в ари ан т н о го и л и ко н т рав ари ан т н о го бази са. В о рт о го н ал ьн ы х си ст емах ко о рди н ат в се фи зи чески е ко мп о н ен т ы со в п адаю т с о бы чн ы ми и яв л яю т ся п ро екци ями в ект о ро в н ао си бази са, п о эт о му о п редел ен и е
3
фи зи чески х ко мп о н ен т в эт о м сл учае св о ди т ся к п ро ст о й н о рми ро в ке в ект о ро в бази са. П ри мер: п уст ь в о рт о го н ал ьн о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р в т о ро го ран га T = Ti j Э i Э j . Рассмо т ри м п ро и зв о л ьн ы й чл ен его суммы Ti j Эi Э j (п о i,j н е сумми ро в ат ь) Эi Э j j j j Ti Эi Э j = Ti Эi ⋅ Э j = Ti Эi ⋅ Э j е i е j , i Э Эj
где
е iе j
- еди н и чн ы е в ект о ры
(п о i,j н е сумми ро в ат ь) и н азы в ает сяфи зи ческо й ко мп о н ен т о й
j j Ti Эi ⋅ Э j = Ti g ii g jj
т ен зо раТ 1. Расш и фро в ат ь сл едую щи е в ы ражен и я: a i ; aij ; a ij ; aii ; aij ; ai x i ; a ij x j ; aij x i y j ; aij x i x j ; a ij x j = bi k
j
У казан и я. a i - т ри ко мп о н ен т ы a1 ; a 2 ; a3 ; 3
a ii = ∑ aii = a11 + a 22 + a 33 ; aij x i x j = i =1
3
∑a
i , j =1
ij
x i x j - кв адрат и чн аяфо рма;
a ij x = bi - си ст емат рёх урав н ен и й a i1 x1 + a i 2 x 2 + a i 3 x 3 = bi j
2. П о казат ь, чт о δ ii = 3; a ij δ kj = a ik ; ai δ ij = a j ; δ i j δ kj = δ ik ; δ i j δ kj δ ki = 3; δ i j δ ij = 3 ∂x i ∂y k j δ k = δ si ∂y j ∂x s
(x
i
(
= x i y1 , y 2 , y 3
))
0, есл и i ≠ j
У казан и я. δ i j = δ ii = δ 11 + δ 22 + δ 33 = 3; 1, есл и i = j aiδ ij = a1δ 1j + a2δ 2j + a3δ 3j = a j ;
3. П уст ь det aij = aij ;
∂x i ∂y k ∂y j ∂x s
δ kj =
∂x i ∂y k ∂y k ∂x s
=
∂xi ∂x s
= δ si
п о казат ь, чт о
а) δ ij = 1 ; б) aij brs = aij brs ; в ) есл и air bsi = bsr , т о a rs =
1 bi j
г) есл и aij = bi j = 0 п ри i ≠ j и air bsi = δ sr , т о aij =
1 п ри i ≠ j bj
У казан и я. а), б) п ро в еряю т сян еп о средст в ен н о в ы чи сл ен и ем о п редел и т ел ей. в ) a rs bi j = a rs bir = δ is = 1 4. Д о казат ь, чт о есл и а) aij = a ji , т о aij (b ij + b ji ) = 2aij b ij ; б) a ij = −a ji , т о aij (b ij + b ji ) = 0 ; в ) aij x i y j = bij x i y j дл яп ро и зв о л ьн ы х x i , y j , т о a ij = bij ; г) aij x i x j = bij x i x j дл яп ро и зв о л ьн ы х x i , т о ;
4
д) aij = −a ji , т о aij x i x j = 0 ; е) a ij x j = λx i дл яп ро и зв о л ьн ы х x i ,т о a ij = λδ i j У казан и я. а) aij b ji = a ji b ij = aij b ij ; в ) λx i = λδ ij x j , т о гда (a ij − λδ ij )x j = 0 ⇒ a ij = λδ ij г) и з п ро и зв еден и й x i x j н ужн о в ы дел и т ь н езав и си мы е a ij x i x j = aij x i x j + a ji x j x i + aij x i x j = (a ij + a ji )x i x j + aij x i x j
[i < j ]
[i < j ]
[i = j ]
§2. Кр и воли не йные си ст е м ы коор д и на т 1. П о казат ь, чт о а) Эi = g ii (п о i н е сумми ро в ат ь !) б) дл и н ы эл емен т арн ы х дуг в до л ь ко о рди н ат н ы х кри в ы х рав н ы dsi = g ii dxi (п о i н е сумми ро в ат ь !) в ) cos Θ ij =
g ij g ii g jj
(п о i, j н е сумми ро в ат ь !)
где Θ ij - угл ы между ко о рди н ат н ы ми кри в ы ми . У казан и я. а), б) в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й (ds )2 = gαβ dx α dx β в ) (Эi Э j ) = g ij = Эi Э j cos Θ ij (п о i, j н е сумми ро в ат ь !) 2. Д о казат ь, чт о о бъём п арал л ел еп и п еда, п о ст ро ен н о го н ав ект о рах бази са Э1 , Э2 , Э3 рав ен g . У казан и е. Объём п арал л ел еп и п едарав ен о п редел и т ел ю , со ст ав л ен н о му и з п ро екци й Эi н ао си декарт о в о й си ст емы ко о рди н ат . П ро и зв еден и е эт о го о п редел и т ел ян ао п редел и т ел ь с п ри ст ав л ен н ы ми ст ро ками и ст о л бцами эт о го о п редел и т ел ярав ен g. §3. Те нзор ы. Кова р и а нт на я пр ои звод на я 1. Д о казат ь, чт о а) есл и ко мп о н ен т ы т ен зо рарав н ы н ул ю в како й-л и бо си ст еме ко о рди н ат , т о о н и рав н ы н ул ю в л ю бо й си ст еме ко о рди н ат . б) си ммет ри яи ан т и си ммет ри яяв л яю т сяи н в ари ан т н ы ми св о йст в ами т ен зо ро в . в ) суммат ен зо ро в яв л яет сят ен зо ро м. г) у рав н ы х т ен зо ро в ко мп о н ен т ы рав н ы в л ю бы х си ст емах ко о рди н ат . д) дл и н ав ект о раяв л яет сяскал яро м. е) уго л между дв умяв ект о рами ест ь скал яр.
5
У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й п рео бразо в ан и яко мп о н ен т т ен зо ро в ∂x α ∂y j ~ Ti j ... = i ...Tαβ ... β ∂y ∂x
2. В ы чи сл и т ь ко мп о н ен т ы g ij и g ij фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо рав ци л и н дри ческо й, сфери ческо й и п арабо л и ческо ци л и н дри ческо й (x = ξη; y = 12 (η 2 − ξ 2 ); z = z ) си ст емах ко о рди н ат . ∂x α ∂x β i j α =1 ∂y ∂y 3
У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й g ij = ∑
3. П ри усл о в и и п реды дущей задачи в ы чи сл и т ь си мв о л ы Кри ст о ффел я Гijα 1
∂g
∂g
∂g
У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й Гijα = g αs isj + jsi − ijs п редв ари т ел ьн о 2 ∂x ∂x ∂x п рео бразо в ав её дл яо рт о го н ал ьн ы х си ст ем ко о рди н ат . 4. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , Θ, z ) в т о чке M [2,3,5] задан ы т ен зо ры А и В св о и ми ко мп о н ен т ами 1 3 5 A = ( Aij ) = 7 2 8 ; 9 0 1
( )
B= B
ij
1 0 2 = 3 4 5 6 1 7
Найт и : а) Ai j ; Aij ; B ij ; Bij ; Bi j б) си ммет ри чн ую и ан т и си ммет ри чн ую част и эт и х т ен зо ро в в ) сумму и разн о ст ь эт и х т ен зо ро в У казан и е. а) в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул ами ai = g iα aα ; a i = g iα aα в ) п ри сл о жен и и т ен зо ро в и х ко мп о н ен т ы н ео бхо ди мо п ри в ест и к о дн о му и т о му же ст ро ен и ю и н дексо в 5. Найт и фи зи чески е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в A = aα Эα ; B = Bi j Эi Э j в ци л и н дри ческо й и сфери ческо й си ст емах ко о рди н ат Ф
У казан и е. aiФ = ai g ii ; Bi j = Bi j g ii g jj (п о i, j н е сумми ро в ат ь !) 6. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р A11 A = ( Aij ) = A12 0
A12 A22 0
0 0 A33
Найт и зако н п рео бразо в ан и яего ко мп о н ен т п ри п о в о ро т е си ст емы ко о рди н ат н а уго л Θ в о круг о си x3 . Найт и гео мет ри ческо е мест о т о чек M [ A11′ , A12′ ] в о сях A11′ , A12′ в зав и си мо ст и о т Θ . У казан и е. В фо рмул ах дл я A11′ и A12′ и скл ю чи т ь Θ . 7. Д о казат ь, чт о гл ав н ы е о си си ммет ри чн о го т ен зо рав т о ро го ран гаи его дев и ат о расо в п адаю т .
6
У казан и е. П уст ь a ij - ко мп о н ен т ы т ен зо ра, т о гда S i j = aij − aαα δ i j - ко мп о н ен т ы его дев и ат о ра. П ро дел ы в аяв ы кл адки , л егко п о казат ь, чт о гл ав н ы е н ап рав л ен и я т ен зо ро в А и S о п редел яю т сяи з о дн и х и т ех же урав н ен и й. 10 − 6 0 A = − 6 10 0 0 0 1
8. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат задан т ен зо р
Найт и гл ав н ы е зн ачен и яи гл ав н ы е н ап рав л ен и яв т о ро го т ен зо ра. У казан и е. Д л ян ахо жден и ягл ав н ы х н ап рав л ен и й и сп о л ьзо в ат ь ni ni = 1 9. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат (r , Θ, z ) задан о т ен зо рн о е п о л е cos Θ z r A = ( Aij ) = cos Θ r2 Θ z Θ Θz
Найт и ко в ари ан т н ы е п ро и зв о дн ы е его ко мп о н ен т . У казан и е. В о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й ∇ α Aij =
∂Aij ∂x
− Akj Гαki − Aik Гαkj
α
§4. П е р е м е нные Эйле р а и Л а гр а нжа . Скор ост ь , ускор е ни е . З ако н дв и жен и ясреды и меет в и д: x i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t ) i=1,2,3 (4.1) i З десь x - п ро ст ран ст в ен н ы е ко о рди н ат ы в си ст еме н абл ю дат ел я, ξ i - п арамет ры , и н ди в и дуал и зи рую щи е част и цу среды . В дал ьн ейш ем за п арамет ры ξ i п ри н и маю т ся ко о рди н ат ы част и ц в н ачал ьн ы й мо мен т в ремен и , т . е. ξ i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t 0 ) В ел и чи н ы ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , t ) н азы в аю т ся п еремен н ы ми Л агран жа, в ел и чи н ы ( x1 , x 2 , x 3 , t ) – п еремен н ы ми Эйл ера. ∂r Ско ро ст ь част и цы среды о п редел яет сяп о фо рмул е: v =
∂t ξ i
З десь r - ради ус-в ект о р част и цы , и н дексы ξ
i
в н и зу указы в аю т н а т о , чт о
∂r берёт сяп ри фи кси ро в ан н ы х зн ачен и ях п арамет ро в ξ i . ∂t ∂r Ко мп о н ен т ы в ект о ра ско ро ст и v в бази се Эi = i о бо зн ачаю т ся через v i и ∂x i ∂x в ы чи сл яю т ся п о фо рмул ам: v i = (4.2) ∂t ξ i
п ро и зв о дн ая
∂u i
Е сл и в в ест и в ект о р п еремещен и ячаст и цы u = u i Эi , т о v i = ∂t ξ
(4.3) i
∂v У ско рен и е a т о чки сп л о ш н о й среды о п редел яет ся a = = a i Эi ∂t ξ i
З десь a - ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат i
∂v ∂ x уско рен и я a i будут рав н ы : a i = = 2 ∂t ∂t ξ i
2
i
i
(4.4)
7
П ерехо д о т п еремен н ы х Л агран жа к п еремен н ы м Эйл ера св язан с разреш ен и ем н еяв н ы х фун кци й (4.1). П ерехо д о т п еремен н ы х Эйл ерак п еремен н ы м Л агран жа п ри задан н о м п о л е ско ро ст ей св о ди т ся к реш ен и ю си ст емы о бы кн о в ен н ы х ∂x i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ) ∂t
ди фферен ци ал ьн ы х урав н ен и й
(4.5)
З адачи . П уст ь x i - о рт о го н ал ьн аядекарт о в аси ст емако о рди н ат с в ект о рами бази са Эi . 1. П о задан н о му п о л ю ско ро ст ей в п еремен н ы х Эйл ера н айт и зако н дв и жен и я, ко мп о н ен т ы ско ро ст и и уско рен и яв п еремен н ы х Л агран жа. a) v = Э1 б) v = α ( x1 Э1 + x 2 Э2 ) в ) v = − x 2 Э1 + x 1 Э 2 ; v = α ( − x 1 Э1 + x 2 Э 2 ); (α = const , t 0 = 0) 1 2 2. П уст ь v = 1 2 ξ Э1 + ξ Э2 sin t , t0 = 0 Найт и в ы ражен и е v в п еремен н ы х
(
)
Эйл ера.
От в ет : v =
sin t ( x1 Э1 + x 2 Э2 ) 3 − cos t x1 = ξ 1et + ξ 3 (et − 1),
−t 2 2 3 t 3. Д ан зако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды x = ξ + ξ (e − e ),
x3 = ξ 3
Оп редел и т ь: а) ко мп о н ен т ы в ект о рап еремещен и яв п еремен н ы х Эйл ераи Л агран жа; б) ко мп о н ен т ы в ект о ро в ско ро ст и и уско рен и я. Реш ен и е: В ы чи сл и м Я ко би ан ,
∂x i = e t ≠ 0; ∂ξ j
о бращая урав н ен и я дв и жен и я, п о л учаем
ξ 1 = x1e t + x 3 (et − 1), ξ 2 = x 2 + x 3 (e t − e − t ), . ξ =x 3
По
фо рмул е
u i = xi − ξ i
н ахо ди м
ко мп о н ен т ы
в ект о ра
3
u1 = (ξ 1 +ξ 3)(e t − 1), 2 3 t −t п еремещен и я в п еремен н ы х Л агран жа u = ξ (e − e ),
u = 0, 3
u1 = ( x1 − x 3 )(1 − e −t ), u 2 = x 3 (e t − e − t ), u 3 = 0.
v1 = (ξ 1 +ξ 3)e t , 2 3 t −t П о фо рмул е (4.3) н айдём: v = ξ (e + e ),
v 3 = 0,
и в п еремен н ы х Эйл ера
8
a1 = (ξ 1 +ξ 3)et , 2 3 t −t А п о (4.4) – ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я: a = ξ (e − e ),
4. Д ан зако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды :
a3 = 0
x1 = ξ 1, x2 = et (ξ 2 +ξ 3 ) / 2 + e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2, x3 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − et (ξ 2 −ξ 3 ) / 2.
о п редел и т ь ко мп о н ен т ы в ект о ро в : а) п еремещен и я, б) ско ро ст и , в ) уско рен и я. u1 = 0,
u1 = 0,
−t 2 t 2 2 2 3 3 t 2 −t 2 2 3 3 2 От в ет : u = e (ξ + ξ ) / 2 + e (ξ −ξ ) / 2 −ξ , u = x −e (x + x )/ 2−e (x − x ) / 2,
u3 = et (ξ 2 +ξ 3 ) / 2 − et (ξ 2 −ξ 3 ) / 2 −ξ 3.
u3 = x3 −e−t (x2 + x3) / 2 + et (x2 − x3) / 2.
v1 = 0,
a1 = 0,
v2 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2,
a2 = et (ξ 2 +ξ 3) / 2 +e−t (ξ 2 −ξ 3) / 2,
v3 = et (ξ 2 + ξ 3 ) / 2 − e−t (ξ 2 −ξ 3 ) / 2.
a3 = et (ξ 2 +ξ 3) / 2−e−t (ξ 2 −ξ 3) / 2.
5. Д ан о п о л е ско ро ст ей v1 = x1 /(1 + t ), v 2 = 2 x 2 /(1 + t ), v 3 = 3x 3 /(1 + t ). Оп редел и т ь зако н дв и жен и яи ко мп о н ен т ы в ект о ро в ско ро ст и и уско рен и я. У казан и е. П ро и н т егри ро в ат ь дан н ы е урав н ен и я, и сп о л ьзуя (4.5) п ри i 1 усл о в и и x = ξ п ри t = 0
От в ет :
x1 = ξ 1 (1 + t ),
v1 = ξ 1 ,
a1 = 0,
x 2 = ξ 2 (1 + t 2 ),
v 2 = 2ξ 2 (1 + t ),
a 2 = 2ξ 2 ,
x 3 = ξ 3 (1 + t 3 ).
v 3 = 3ξ 3 (1 + t ) 2 ,.
a 3 = 6ξ 3 (1 + t ).
§5. П р ои звод на япо вр е м е ни . В ычи сле ни е ком поне нт ускор е ни я в пе р е м е нных Эйле р а . И н ди в и дуал ьн о й, субст ан ци о н н о й и л и п о л н о й п ро и зв о дн о й о т н еко т о ро й фун кци и , н ап ри мер, т емп ерат уры T, п о в ремен и t н азы в ает ся п ро и зв о дн ая ∂T , ко т о рая характ ери зует ∂t ξ i
и змен ен и е
т емп ерат уры
со
в ремен ем
и н ди в и дуал ьн о й част и цы среды . Он ачаст о о бо зн ачает ся си мв о л о м
дл я
dT . М ест н о й dt
и л и л о кал ьн о й п ро и зв о дн о й о т н еко т о ро й фун кци и , н ап ри мер, т емп ерат уры Т , п о ∂T
в ремен и t н азы в ает ся п ро и зв о дн ая ∂t i , ко т о рая характ ери зует и змен ен и е x
9
т емп ерат уры в еди н и цу в ремен и в дан н о й т о чке п ро ст ран ст в а ( x1 , x 2 , x 3 ) и о бо зн ачает сяси мв о л о м
∂T . ∂t
И н ди в и дуал ьн ая и мест н ая п ро и зв о дн ы е п о в ремен и св язан ы между со бо й со о т н о ш ен и ем: В ел и чи н а v i
∂T ∂x i
dT ∂T ∂T = + vi i ∂t dt ∂x
зав и си т
от
(5.1)
ско ро ст и
дв и жен и я част и цы
и
н азы в ает ся
ко н в ект и в н о й п ро и зв о дн о й п о в ремен и . Е сл и ко мп о н ен т ы ско ро ст и задан ы в п еремен н ы х Эйл ера, т о ко мп о н ен т ы уско рен и я мо жн о в ы чи сл и т ь, н е о п редел яя зако н дв и жен и я, п о фо рмул ам:
ak =
∂v k + vi∇i v k ∂t
(5.2)
где ∇ i - ко в ари ан т н аяп ро и зв о дн ая. В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат ak =
∂v k ∂v k ∂v k ∂v k + v1 1 + v 2 2 + v 3 3 ∂t ∂x ∂x ∂x
(5.3)
З адачи : 1. П уст ь x i декарт о в аси ст емако о рди н ат . П о задан н о му п о л ю ско ро ст ей в п еремен н ы х Эйл ерао п редел и т ь ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я 1 1 2 2 3 3 а) v = x t , v = x t , v = x t. У казан и е: в о сп о л ьзо в ат ьсяфо рмул о й (5.3), н ап ри мер: ∂v 1 ∂v 1 ∂v1 ∂v 1 + v 1 1 + v 2 2 + v 3 3 = x 1 + x 1tt + x 2 t 0 + x 3 t 0 = x 1 (1 + t 2 ) ∂t ∂x ∂x ∂x 1 1 2 2 3 3 б) v = x t , v = x t , v = x t. в ) v = ( x 1 ) 2 tЭ1 + x 2 t 2 Э2 + x1 x 3 tЭ3 a1 =
г) v1 = 4 x 3 − 3x 2 , v 2 = 3x1 , v 3 = −4 x1 . 2. П ро и н т егри ро в ат ь в ы ражен и е дл я ско ро ст и в задачах 1) и п о л учи т ь зако н дв и жен и я; п о н ему н айт и ко мп о н ен т ы уско рен и я в п еремен н ы х Л агран жа. П ерехо дя зат ем к п еремен н ы м Эйл ера, срав н и т ь резул ьт ат с резул ьт ат ами реш ен и язадач 1). 3. В ци л и н дри ческо й си ст еме ко о рди н ат ( ρ, Θ , z ) в Эйл еро в ы х п еремен н ы х задан о п о л е ско ро ст ей. Найт и т ен зо рн ы е ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и я а) v1 = (ρ + Θ)t ; v 2 = (t ) 2 ; v 3 = Θt + z б) v1 = 2ρΘ; v 2 = sin Θz; v 3 = t в ) v1 = cos t ; v 2 = (t ) 2 sin Θ; v 3 = (t ) 2 ; г) v1 = 3ρΘz, v 2 = t eΘ , v 3 = zt. У казан и е: ко н т рав ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы уско рен и я в ы чи сл и м п о фо рмул е (5.2), где ∆ i v k =
∂v k + v α Гαki , Гαki - си мв о л ы Кри ст о ффел я. i ∂x
Нап ри мер, дл язадачи 3а) a1 =
∂v 1 ∂v 1 ∂v 1 + v1 [ + v α Гα1 1 ] + v 2 [ + v α Гα1 2 ∂t ∂ρ ∂Θ
]+ v3[
∂v 1 + v α Гα1 3 ∂t
]
10
В ци л и н дри ческо й си ст еме рав н ы н ул ю , п о эт о му
g ij
1 0 = 0 ρ2 0 0
[
]
0 1 1 2 2 0 , Г22 = − ρ ; Г12 = Г21 = ρ 1
о ст ал ьн ы е Гijα
a 1 = ( ρ + Θ) 1 + Θ(t ) 2 + (t ) 3 (1 − ρ )
§6. Л и ни и т ока и т р а е кт ор и и . Л и н и ями т о кан азы в аю т сял и н и и , ко т о ры е характ ери зую т сят ем, чт о дл якаждо го дан н о го мо мен т ав ремен и t касат ел ьн ая к л и н и и т о кав л ю бо й её т о чке со в п адает п о н ап рав л ен и ю со ско ро ст ью . В сл учае п ро и зв о л ьн о го в ект о рн о го п о л я т аки е л и н и и н азы в аю т ся в ект о рн ы ми л и н и ями . Д и фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я л и н и й dx i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ), i = 1,2,3 (6.1) dλ З десь dλ- скал ярн ы й п арамет р, dx i - ко мп о н ен т ы эл емен т а dr , в зят о го в до л ь л и н и и т о ка, v i -ко мп о н ен т ы в ект о ра ско ро ст и . Д и фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я,
т о каи мею т в и д:
о п редел яю щи е зако н дв и жен и ячаст и ц среды , зап и сы в аю т сяв в и де: dx i = v i ( x1 , x 2 , x 3 , t ), dt
(6.2)
Л и н и и т о ка и т раект о ри и со в п адаю т друг с друго м в сл учае уст ан о в и в ш и хся дв и жен и й и н е со в п адаю т в сл учае н еуст ан о в и в ш и хсядв и жен и й. 1. Д л я п о л я ско ро ст ей задачи (§5 1.б) н айт и л и н и и т о каи т раект о ри и и до казат ь, чт о о н и со в п адаю т . П о фо рмул е(3.2) дл я дан н о го т ечен и я н айдём ди фферен ци ал ьн ы е урав н ен и я 1 2 dx 3 3 л и н и й т о ка dx 1 = dx 2 = x
2x
3x
i i И н т егри руя и х с учёт о м усл о в и й x = ξ , п ри t =0, п о л учаем урав н ен и я л и н и й 2
т о ка
2 x1 = x , ξ1 ξ2
3
3 x1 = x , ξ1 ξ3
3
3 x2 = x ξ2 ξ3
.
В задаче (§5 1.б) бы л п о л учен зако н дв и жен и я x1 = ξ 1 (1 + t ), x 2 = ξ 2 (1 + t ) 2 , x 3 = ξ 3 (1 + t ) 3 . П о дан н о му зако н у дв и жен и я п о л учаем урав н ен и я т раект о ри и , ко т о ры е п о л н о ст ью со в п адаю т с урав н ен и ями л и н и й т о ка. 2. Д о казат ь, чт о п ри уст ан о в и в ш емсядв и жен и и (
∂v i = 0 ), л и н и и т о каи ∂t
т раект о ри и со в п адаю т . У казан и е: п ри мен и т ь фо рмул ы (6.1) и (6.2) 3. Д о казат ь, чт о дл я т ечен и я с задан н ы м п о л ем ско ро ст ей л и н и и т о ка и i т раект о ри и со в п адаю т : v i = x (1 + t ) v1 = ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 3 ; 2 1 3 1 2 2 4. Д о казат ь, чт о дл я п о л я ско ро ст ей v = −( x ) − x ( x ) ; л и н и и т о ка будут
яв л ят ьсяо кружн о ст ями .
v3 = 0
11
5. З ако н дв и жен и ясп л о ш н о й среды задан в в и де − Bλ sin [λ ( A + ωt )], x1 = A + e λ
− Bλ cos[λ ( A + ωt )], x 2 = − B − e λ
x3 = ξ 3
Оп редел и т ь в и д
т раект о ри и , в ел и чи н у ско ро ст и и н айт и св язь между ξ 1uξ 2 и ко н ст ан т ами А и В . От в ет : Окружн о ст ь ради уса R = e − Bλ sin λA, ξ 1 = A + e λ
− Bλ
λ
(v) 2 = (ω ) 2 e −2 Bλ
,
− Bλ cos Aλ. ξ 2 = − B − e λ
6. З ако н дв и жен и я сп л о ш н о й среды задан в декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат x1 = R (cos
kt 2 ) , 2
x2 =
R kt sin , 2 2
x 3 = R sin
kt 2
.
Оп редел и т ь т раект о ри и в сфери ческо й си ст еме ко о рди н ат . От в ет : Л и н и яп ересечен и ясферы ( x1 ) 2 + ( x 2 ) 2 + ( x 3 ) 2 = R 2 2
R R и ци л и н дра x1 − + ( x 2 ) 2 = 4 2
2
§7.Те нзор ы д е ф ор м а ци й и скор ост е й д е ф ор м а ци й. Тен зо ры в т о ро го ран га εˆ = ε ij Эˆ i Эˆ j uε ° = ε ij Э ° i Э ° j н азы в аю т ся т ен зо рами дефо рмаци й. Он и о т н есен ы к разн ы м бази сам : Э ° i - ко н т рав ари ан т н ы е в ект о ры бази са в н еко т о ро й т о чке М т ел а в мо мен т в ремен и t 0 , Эˆ i - ко н т рав ари ан т н ы е в ект о ры бази са в т о й же т о чке М в мо мен т в ремен и t , о ба т ен зо ра и мею т 1 2
о ди н ако в ы е ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы , ко т о ры е и мею т в и д: ε ij = ( gˆij − g ° ij ) (7.1) З десь gˆij и g ° ij - ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо ра g в мо мен т ы в ремен и
tи
t 0 со о т в ет ст в ен н о . Он и в ы чи сл яю т ся п о
gˆij = Эˆi Эˆ j ug ° ij = Э ° i Э ° j фо рмул ам: (7.2) Ко н т рав ари ан т н ы е и смеш ан н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в εˆ и ε ° н е со в п адаю т друг
с друго м и о бо зн ачаю т ся т аки м о бразо м: εˆij и εˆ. j ; ε°ij и ε °.i.j . С каждо й т о чко й дефо рми руемо й среды мо жн о св язат ь о рт о го н ал ьн ы й т ри эдр гл ав н ы х о сей т ен зо радефо рмаци й, ко т о ры й п ри дан н о м п еремещен и и о ст аёт сяо рт о го н ал ьн ы м и мо жет п еремещат ься, как т в ёрдо е т ел о , т .е. смещат ься п о ст уп ат ел ьн о и п о в о рачи в ат ься. Эл емен т ы dr в до л ь гл ав н ы х о сей в о в ремя дв и жен и я мо гут т о л ько сжи мат ьсяи л и раст яги в ат ься. В гл ав н ы х о сях о дн о в ремен н о п ри в о дят сяк ди аго н ал ьн о му в и ду мат ри цы : g °ij , gˆij , g °ij , gˆij , ε ij , ε .i.j , ε ij . С каждо й и н ди в и дуал ьн о й т о чко й дв и жущейся среды мо жн о св язат ь о бы чн ую о рт о го н ал ьн ую декарт о в у си ст ему ко о рди н ат ( S 01 , S 02 , S 03 ), н ап рав л ен н ую в до л ь гл ав н ы х о сей т ен зо радефо рмаци й. В п ро цессе дв и жен и я эт аси ст емако о рди н ат будет п ерехо ди т ь т акже в о бы чн ую о рт о го н ал ьн ую декарт о в у си ст ему ко о рди н ат ( S1 , S 2 , S3 ). Со о т в ет ст в ую щи е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й ε °.ii. = ε °i и εˆ.ii. = εˆi в i.
12
эт и х си ст емах ко о рди н ат яв л яю т ся гл ав н ы ми ко мп о н ен т ами . Он и св язан ы между со бо й фо рмул о й: 2εˆi =
2ε ° i 1 + 2ε ° i
В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й н ет разн и цы между т ен зо рами ε ° и εˆ. Гл ав н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й яв л яю т ся ко рн ями т ак н азы в аемо го характ ери ст и ческо го урав н ен и я: λ3 − J 1 λ 2 + J 2 λ − J 3 = 0 (7.3) З десь λ – н еко т о ры й чи сл о в о й п арамет р, ко эффи ци ен т ы J1 , J 2 , J 3 - и н в ари ан т ы о т н о си т ел ьн о в ы бо ра си ст емы ко о рди н ат и о п редел яю т ся сл едую щи ми J 1 = ε 1 + ε 2 + ε 3 = ε αα
фо рмул ами :
J 2 = ε 1ε 2 + ε 2ε 3 + ε 3ε 1 =
[
1 α (ε α ) − ε αβ ε αβ 2
]
(7.4)
J 3 = ε 1ε 2 ε 3 = Det ε .ij.
Е сл и в в ест и в ект о р п еремещен и я w = r − r0 , где r и r0 - ради ус-в ект о ры о т н о си т ел ьн о си ст емы о т счёт а x1 , x 2 , x 3 о дн о й и т о й же т о чки М сп л о ш н о й среды в н ачал ьн ы й мо мен т в ремен и t 0 и в дан н ы й мо мен т t со о т в ет ст в ен н о , т о ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й о п редел яю т ся ε ij =
[
1 ∇° i w° j + ∇° j w° i + ∇° i w° k ∇° j w° k 2
]
(7.5)
З десь ∇°i w°j и ∇ˆi wˆ j - ко в ари ан т н ы е п ро и зв о дн ы е о т ко мп о н ен т в ект о ра п еремещен и я в н ачал ьн о м и акт уал ьн о м п ро ст ран ст в ах со о т в ет ст в ен н о . В декарт о в о й си ст еме ко о рди н ат , в сл учае беско н ечн о мал ы х п еремещен и й, ε ij и мею т в и д:
ε ij =
1 ∂w j ∂wi + 2 ∂x i ∂x j
(7.6)
Си ммет ри чн ы й т ен зо р в т о ро го ран га, ко мп о н ен т ы ко т о ро го о п редел яю т ся п о фо рмул ам:
eij =
[
1 ˆ ˆ vˆ ∇ i vˆj + ∇ j i 2
]
(7.7)
н азы в ает сят ен зо ро м ско ро ст ей дефо рмаци й. З адачи . 1. П о задан н о му зако н у дв и жен и яо т н о си т ел ьн о о рт о го н ал ьн о й декарт о в о й си ст емы ко о рди н ат x i о п редел и т ь: а) Ко мп о н ен т ы в ект о рауско рен и яв Л агран жев ы х и Эйл еро в ы х п еремен н ы х, б) Тран сфо рмаци ю п о в ремен и со п ут ст в ую щей си ст емы ко о рди н ат , в ) Ко эффи ци ен т ы о т н о си т ел ьн о го удл и н ен и я о т резко в н ап рав л ен н ы х в до л ь ко о рди н ат н ы х о сей н ачал ьн о го со ст о ян и я, г) Ко мп о н ен т ы в ект о рап еремещен и й в акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат , д) Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й и ско ро ст ей дефо рмаци й, гл ав н ы е зн ачен и яи гл ав н ы е н ап рав л ен и яэт и х т ен зо ро в , е) И ссл едо в ат ь сл учай беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й, ж) Найт и ско ро ст ь о т н о си т ел ьн о го и змен ен и яо бъёмав част и цах среды . (7.8) 1) x1 = ξ 1 ; x 2 = ξ 2 + Aξ 3 ; x3 = ξ 3 + Aξ 2 , где А =α t ,α -ко н ст ан т а, A < 1 2) x1 = ξ 1 ; x 2 = ξ 2 + ξ 1 (e −2t − 1); x 3 = ξ 3 + ξ 1 (e −3t − 1) ,
13
3) x1 = −ξ 1; x 2 = e t (ξ 2 + ξ 3 ); x 3 = ξ 2 e −t , 4) x1 = ξ 1 + sin 2t; x 2 = ξ 2 + ξ 1 cos 2t; x 3 = ξ 3 У казан и я. Рассмо т ри м реш ен и е н ап ри мере задачи 1): а) Обращён н ы й зако н дв и жен и я(7.8) и меет в и д: ξ 1 = x1 , ξ 2 =
Ко мп о н ен т ы
x 2 − Ax 3 A( x 3 − Ax 2 ) 3 , ξ = 1 − A2 1 − A2
в ект о ра п еремещен и я в
со о т в ет ст в ен н о рав н ы : u1 = 0, u 2 =
(7.9)
п еремен н ы х
Эйл ера и
Л агран жа
A( x − Ax ) A( x − Ax ) , u3 = 2 1− A 1 − A2 3
2
2
3
(7.10)
u1 = 0; u 2 = Aξ 3 ; u 3 = Aξ 2 ,
(7.11) П о фо рмул ам (4.3) в ы чи сл яем ко мп о н ен т ы ско ро ст и в п еремен н ы х Л агран жа и v1 = 0; v 2 = αξ 3 ; v 3 = αξ 2 , Эйл ера. (7.12) v1 = 0,
v2 =
α ( x 3 − αtx 2 ) , 1 − A2
v3 =
α ( x 2 − αtx 3 ) 1 − A2
(7.13)
Ко мп о н ен т ы уско рен и ямо жн о п о л учи т ь, т ак как си ст емако о рди н ат x i декарт о в а, п о со о т н о ш ен и ям (4.4) и л и (5.3) п о л учаем: a i = 0 б) В ы чи сл и м ко мп о н ен т ы фун дамен т ал ьн о го мет ри ческо го т ен зо рав акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат ∂xα ∂xα , g ij = i j α =1 ∂ξ ∂ξ
1 0 0 2 2A gˆij = 0 1 + A 0 2 A 1 + A2
3
∑
о т куда
(7.14)
Так как gˆij н е зав и си т о т ξ i , т о акт уал ьн ая си ст емако о рди н ат будет декарт о в о й, н о уже ко со уго л ьн о й ( gˆ23 = 2 A ≠ 0 , п о эт о му уго л между о сями ξ 2 и ξ 3 н е о ст ан ет ся п рямы м). Оси ξ 2 и ξ 3 будут т акже раст яги в ат ься, т ак как gˆ11 = gˆ22 ≠ 1 в ) Эл емен т арн ы е дл и н ы дуг ко о рди н ат н ы х о сей в ы чи сл яю т ся п о фо рмул ам [2] ( ds i ) 2 = g ii (dξ i ) 2 . В н аш ем сл учае g ° ii = 1, gˆii дан ы со о т н о ш ен и ями (7.14), и меем ds01 = dξ 1; ds1 = dξ 1;
ds02 = dξ 2 ;
ds03 = dξ 3 ;
ds2 = 1 + A 2 dξ 2 ;
(7.15)
ds3 = 1 + A2 dξ 1
Ко эффи ци ен т ы о т н о си т ел ьн ы х удл и н ен и й п о о п редел ен и ю рав н ы : li =
(dsi − ds 0i ) , ds 0i
l1 = 0; l2 = l3 = 1 + ( A) 2 − 1
т о гдап о л учаем:
(7.16)
г) Так как u = u i Эi = uˆα Эˆα яв л яет ся в ект о ро м, т о п о фо рмул ам п рео бразо в ан и я ∂ξ i α u и со о т н о ш ен и й (7.9) и (7.11) будем и мет ь: ∂x α A(ξ 3 − Aξ 2 ) A(ξ 2 − Aξ 3 ) 3 ˆ uˆ1 = 0, uˆ2 = , u = 1 − A2 1 − A2
ко мп о н ен т в ект о ро в uˆi =
(7.17)
д) Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ро в дефо рмаци й в ы чи сл и м п о фо рмул ам (7.1) и (7.14). Так как g °ij = δ ij , где δ ij - си мв о л ы Кро н еккера, т о п о (7.1) п о л учи м: ε11 = ε12 = ε13 = 0; ε 22 = ε 33 = ( A)
2
2
; ε 33 = A
(7.18)
14
П ро в ерьт е эт о т резул ьт ат п о фо рмул ам (7.5) и фо рмул ам (7.11), (7.17). Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы т ен зо ра ско ро ст ей дефо рмаци й н айдём и з фо рмул ы (7.7). Так как со п ут ст в ую щаяси ст емако о рди н ат декарт о в а, т о (7.7) п ри мет в и д: 1 1 ∂vˆj ∂vˆ (7.19) ∇ i vˆj + ∇ j vˆi = i + ij 2 2 ∂ξ ∂ξ Ко в ари ан т н ы е ко мп о н ен т ы в ект о ра v в акт уал ьн о й си ст еме ко о рди н ат н ахо ди м и з ∂x α (7.20) (7.12), (7.8) vˆi = i vα , п о л учаем: vˆ1 = 0; vˆ2 = α (ξ 3 + Aξ 2 ); vˆ3 = α (ξ 2 + Aξ 3 ) , ∂ξ eij =
[
]
П о дст ав л яя(7.20) в (7.19), будем и мет ь eˆ11 = eˆ12 = eˆ13 = 0, eˆ22 = eˆ33 = α 2t , eˆ23 = α (7.21) В си ст еме ко о рди н ат н абл ю дат ел я x i ко мп о н ен т ы eij о п редел яю т ся п о фо рмул ам п рео бразо в ан и я ко в ари ан т н ы х
ко мп о н ен т
т ен зо ро в
eij =
∂ξ α ∂ξ β eˆαβ ∂x i ∂x j
или
н еп о средст в ен н о и з (7.7), (7.13) е) В сл учае беско н ечн о мал ы х дефо рмаци й и з о т н о ш ен и й (7.18) сл едует , чт о А яв л яет сяв ел и чи н о й п ерв о го п о рядкамал о ст и , п о эт о му (α