物理学 (理工学講座)

理工学講座

改訂物 理 学

青 野朋義 阿部陽

一

尾林見 郎 加 瀬邦夫 木 下 彬  共著

東京電機大学出版局

物

理

学

執筆 分担 第 １∼ ３ 章

尾 林 見 郎

第 ４∼ ６章

阿  部  陽  一

第 ７章

加  瀬  邦  夫

第 ８∼10章

木

第11∼15章

青

下 野

 彬 朋

義

は し が き

  この本 は,理 工 系 大 学 の教 養 課 程,一

般 教 育 科 目,自 然 科 学 分 野 の “物 理 学 ”

の教 科 書 と して 編 集 され た も ので あ る。１週 間 に１回,90分

の講 義 で,１ 年 間 で物

理 学 全般 を一 通 り終 わ らせ る とい う に と は なか な か 難 し く,多 くの大 学 は ２年 次 に “現代 物 理 学 ” そ の他 の名 称 で,専 で あ る。 そ れ で,に

門 基 礎 的 な物 理 学 の 科 目 を置 い て い る よ う

の大 学 の １年 次 で履 修 す る “物 理 学 ” の範 囲 を ど に ま で に し

た らよ い か とい う議 論 は,そ の 内 容 と と も に,執 筆 者 の 間 で 数 度 に わ た っ て検 討 され,古

め か し い形 で は あ るが,一 応 電 磁 気 学 まで と し,原 子 物 理 学 的 な章 は割

愛 した。 この 本 に続 く “現 代 物 理 学 ” は近 い将 来 に ま とめ られ る予 定 で あ る。   古 め か しい と言 え ば,こ の 本 の 体 裁 はB5判

で,学 生 諸 君 の 使 う大 学 ノ ー ト,

ま た は学 会 誌 や,科 学 雑 誌 と同 じ大 き さで あ る。 この 大 き さ ま で の本 で あれ ば, 学 生 諸 君 の鞄 の 中 で もそ ん な に違 和 感 は与 えず に す む。 標 準 的 な教 科 書 の大 き さ, A5判

を さ けた 一 つ の理 由 は,図

を な るべ く大 きな形 で 挿 入 し,図 か ら得 る情 報

量 を大 き く した い 配 慮 が あ っ た た め で あ る。 図 版 の製 作 に 関 し て は 出版 局 に多 く の注 文 を つ け,上 質 紙 を使 っ て あ る程 度 成 功 し た よ うに 思 う。   一 方,B5と

い う大 き さ に した に もか か わ らず,１ ペ ー ジあ た りの字 数 を,A5

判 の 本 と比 較 して,そ ん な に 多 くし な か っ た た め,頁 数 が 多 くな り,ち よ っ と贅 沢 な 本 が で き上 が っ た。 欧 米 に は,よ ス ペ ー ス を広 く取 っ た,こ

く こん な 本 が あ るが,日 本 規 格B5の

中 で,

ん な教 科 書 が １冊 くら い あ っ て も よ いか も しれ な い。

  さ て,肝 心 の 内容 で あ るが,数

人 の 執 筆 者 に よ る分 担 作 業 とい う もの は,な か

な か う ま くい か な い 。 古 典 的 物 理 学 の 範 ち ゅ うで も,物 理 現 象 を表 現 す る方 法 は 各 人 で 若 干 異 な る。 そ れ を他 の人 が別 な言 い まわ し に改 め る と,書 い た本 人 には 不 服 な部 分 が ど う して も出 て くる 。 そ れ で,文

章 的 な統 一 を 多 少 犠 牲 に して,各

章 を 担 当 し た執 筆 者 の 表 現 を尊 重 した 形 に な っ た 。 こ の教 科 書 を使 って 頂 く先 生

方 の御 理 解 を願 う次第 で あ る。 新 しい 本 を作 る と,ど た 方 は,ど

う して も多 少 の ミス は さ け られ な い 。 ミス を見 つ け られ

し ど し著 者 の ほ うに 申 し出 て 下 され ば幸 い で あ る。

1985年11月

青野朋 義

改訂 にあたって   この 「物 理 学 」 も上 梓 し てか ら ６年 に な っ た。 使 っ て み て,内 容 的 に多 少 不 満 が 残 る表 現 箇 所 も 目 につ くよ う に な っ た 。 な るべ く早 い 機 会 に改 訂版 を 出 そ う と, 執 筆 者 間 で の話 し合 い もあ り,今 回 よ うや く部 分 的 な 改 訂 を した版 を つ く る こ と に した 。 出 版 局 か らの 要 請 もあ っ て,こ の機 会 に本 の体 裁 を大 学 教 科 書 と して標 準 的 なA5判

に した。 図 は多 少 縮 少 され,ま た 頁 数 も多 くな っ た が,執 筆 者 等 が

最 初 に意 図 した “読 者 が 書 き込 め る本 ” と して の 体 裁 は まだ 残 っ て い る よ うに 思 え る。 この 改 訂 版 全 般 の 校 正 は,尾 林 見 郎 氏 が快 く引 き受 け て くだ さ った 。 厚 く お 礼 を申 し上 げ る。

1992年

１月

青 野 朋義

目    次

第 １章 質点の運動 1・1変変位 とベ ク トル                            １ 1・2 速度 と加速度                         ５ 1・3 運動 の ３法則                         ７ 1・4質質 点の運動 の例                             ９ 1・5平 平面 極 座 標 に よ る運 動 の 表 示                            12

1・6 接線加 速度 と法線加速度                 15 1・7相相対運 動                               16 演 習問題[１]                            21

第 ２章   仕 事 とエ ネ ル ギ ー 2・1仕 仕

事

 

 

 

 

 

 

 

23

2・2  エ ネ ル ギ ー                                          25

2・3万万有 引力                               31 2・4運 運動 量 と角 運 動 量                                    36

演 習問題[２]                            40

第 ３章 質点系および剛体の力学 3・1 質量 中心 の運動                        41

3・2質

質.点

系 の 角 運 動 量 と運 動 エ ネ ル ギ ー                    44

3・3剛 剛体 とそ の つ り合 い                                  47

3・4  剛体 に働 く力 の合成                     48 3・5  剛体 の 自由度                         52 3・6固 固定 軸 の まわ りの剛 体 の運 動                          54 3・7  慣 性 モ ー メ ン トの計 算                           56

3・8  剛体 の運動 の例                        60 演習問題[３]                        67

第 ４章

固 体 の 弾性

4・1  固体 の変形 の様子                          69 4・2  力 と変 形 の数 量 的取 り扱 い                             71 4・3  弾 性 の エ ネル ギ ー                                      78 4・4  た わ み とね じれ                                   79

4・5塑塑性変形                                    84 演習 問題[４]                        86

第 ５章

流 体 の運 動

5・1  静止流体 の力 学                       87 5・2運 運動す る流体 の力学                              94 演習問題[５]                           106

第 ６章

振 動 と波 動

6・1振 振

動

 

 

 

 

 

 

 

107

6・2波 波

動

 

 

 

 

 

 

 

119

6・3  い ろ い ろな 波 動                                      123 6・4波 波の 重 ね 合 わ せ                                   129

6・5 位相 速度 と群速度                    138 演習問題[６]                           139

第 ７章

光   学

7・1  フ ェル マ ー の 原 理                                    141 7・2光 光 の 反 射 と屈 折                                    144

7・3光光 の干渉                                       152 7・4光光 の回折                                          157 7・5偏 偏

 光

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  164

演習 問題[７]                            171

第 ８章  熱 力学 の第 １法 則 8・1温 温

 度

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  173

8・2準 準静的変 化                                 175 8・3  熱 力 学 の 第 １法 則                                   176

8・4状状 態変数 の性 質                           178 8・5  熱 エ ネ ル ギ ー                                        181

8・6 理想 気体 の比 熱                      184 8・7 力学 的仕事                                  187 演習 問題[８]                        195

第 ９章   カ ル ノ ー ・サ イ ク ル 9・1カ カ ル ノー ・サ イ クル の 定 性 的取 り扱 い                

197

9・2  カル ノ ー ・サ イ ク ル の 定 量 的 取 り扱 い                   205

演習問題[９]                           210

富早

第10章

熱 力 学 の 第 ２法 則

10・1変 変化 の 方 向                                          211 10・2実 実現 可 能 な サ イ ク ル と カル ノ ー ・サ イ クル             215 10・3  ク ラ ウ ジ ュス の不 等 式                               218 10・4エ 工 ン トロ ピー とそ の増 大 則                           222 10・5  自 由 エ ネ ル ギ ー と熱 力 学 的 関 係 式                       233

演習 問題[10]                           243

虫早

第11章

静 電 気

11・1  ク ー ロ ンの 法則                                       245 11・2  ガ ウ ス の法 則                                       246 11・3電 電

 位

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

249

11・4電 電気双極子                         251 11・5導 導

体

 

 

 

 

 

 

  253

11・6静 静電容量                                  254 11・7誘 誘 電 体                             256

演習問題[11]                       259

第12章  定 常電 流 12・1電 電

 流

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

261

12・2電 電 気 抵 抗                                            263 12・3電 電

 力

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   265

12・4  キル ヒホ ッ フの 法 則                                  266

12・5 接触電位差                         268 12・6熱 熱電効果                              269 12・7 電束電 流                               270 演習 問題[12]                           271

第13章   電 流 と磁 場 13・1  ロ ー レ ン ツカ                                     273 13・2  ビオ ・サ バ ー ル の法 則                                274 13・3  ガ ウ ス の 法 則                                        277 13・4磁 磁気 モ ー メ ン ト                                    278 13・5磁 磁

位

 

 

 

 

 

 

 

280

13・6    磁      磁 化                                       281

13・7磁 磁 性 体                             284 13・8磁 磁

荷

 

 

 

 

 

 

 

286

13・9ベ べ ク トル ・ポ テ ン シ ャル                           287 13・10  磁 気 回路                                          288

演習 問題 ［13］                       289

第14章   電磁 誘 導 と交流 14・1磁

磁場 に よ る起 電 力                                     291

14・2相 相互 誘 導 と 自己誘 導                                  294 14・3交 交

 流

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   295

14・4磁 磁場 の エ ネ ル ギ ー                                  298 14・5交 交流 のベ ク トル 表 示 と複 素 数 表 示                     299 14・6共

丘ノ 、

 振

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   301

演 習問題[14]                                 304

第15章

電 磁 波

15・1 変位電 流                       305 15・2  マ ク ス ウ ェル の 方程 式                               307

15・3電

磁 波                             309

15・4 導体 内 の電磁 波                             312 15・5  電 磁 波 の反 射,屈

折                                   314

演 習問題[15]                           318

付   録 付録1.  国 際単位 系 （SI)に つい て                 319 付録2.  簡単 な数 学 の公式                          322 付 録3.  年表                                    324

演 習問題 の解答                          326

索  引                        330

第 １章

質 点 の 運動

 物 体 の 運 動 は,一 般 に は,非 常 に複 雑 で,物 を伴 わ な い 回転 運 動,形

の 変 化 な ど が,普

を一 度 に 取 り扱 わ な い で,こ

の 章 で は,ま

体 全 体 の 並 進 運 動,形

通,同

の変化

時 に起 こ っ て い る.こ

れ ら

ず 問 題 を 制 限 して 取 り扱 う こ と に

し よ う. 物 体 の 動 く距 離 に 比 べ て 物 体 の 大 き さ が 非 常 に小 さ い場 合 に は,実 際 問 題 と して 物 体 を １つ の 点 と し て取 り扱 う こ とが で き る.   理 想 の場 合 と し て,物 体 が １点 に 集 中 した もの を 考 え て,こ

れ を質 点 と名

づ け る.質 点 の 運 動 は幾 何 学 的 な 点 の位 置 の 動 き と して 取 り扱 う こ とが で き る.

1・1変 1.1

ベ ク 変位 変 位 と とベ ク トル トル

 物 体 が 運 動 す る と い う こ とは,そ の 物 体 の位 置 が 時 間 的 に 変 化 し て い くこ とで あ る.物 体 の位 置 を決 め る に は,基 準 に な る座 標 軸 を きめ な くて は な らな い.地 表 で の 運 動 は観 測 者 が 地 表 に静 止 して 見 て い る と,そ の位 置 の 変 わ り方 を は っ き りと認 め る こ とが で き る の で,地 球 上 で の物 体 の運 動 を論 ず る に は,地 球 に固 定 した座 標 軸 を基 準 にす る と都 合 が よい.一

方,太 陽 の まわ りの 地 球 の運 動 を論 ず

るに は,太 陽 に 固 定 し た座 標 軸 を 用 い る ほ うが 便 利 で あ る.   空 間 中 にお け る質 点 の 位 置 Ｐ を表 す に は,図1-1に

示 す よ う に,基 準 座 標 軸 の

原 点 Ｏ か らの相 対 的 位 置 と して表 示 す る.Ｏ か ら Ｐ に 引 い た線 分OPを き も考 慮 して 記 号OPで

Ｐ の位 置 を表 す こ と にす る と, OPは

用 い,向

位 置 ベ ク トル,と

い うベ ク トル を意 味 す る.位 置 の よ う に大 き さの ほか に,方 向 と向 き を含 ん だ 物 理 量 をベ ク トル 量 とい う.普 通,OPは,例

え ばrの

よ うに ゴ シ ッ ク活 字 で表 す

場 合 が 多 く,そ の 大 き さ だ け を示 す場 合 に は,￨ｒ￨か 細 字 の γの 記 号 を用 い る.

図1-1位

図 に お い て,質 と い う.こ

点 の 位 置 が Ｐ か らP'に

れ を ⊿rで 表 し,P'の

置 ベ ク トル と 変 位 ベ ク トル

移 っ た とす る と,PP'を

Ｏ に 対 す る 位 置 をr'と

と を ２辺 と す る 平 行 四 辺 形 の 対 角 線 と し て 与 え ら れ る.こ

変 位 ベ ク トル

す る と,r'は の操 作 を

r'=r+⊿r r'_ r十dr

と表 し,r'を 一般 に

ｒ と ⊿r

(1・1)

ｒ と ⊿rの ベ ク トル 和 ま た は合 成 と い う.

,ベ

ク トル Ａ,Ｂ が あ る と,

A+B=B+A A十B= が 成 り立 つ.こ

B十A

(1・2)

れ を 交 換 則 と い う.ま

が 反 対 な ベ ク トル を-Bと

表 し,Ａ

た,Ｂ と-Bと

と大 き さ お よ び 方 向 が 等 し く,向 を 合 成 し た も の をA-Bと

き

書 く.

つ ま り,

A-B=A+(-B) A-B= A+(一B) で あ る.３

(1・3)

つ の ベ ク トル Ａ,Ｂ,Ｃ

を 合 成 す る と き は,

A+(B+C) (A+B)+C=A+(B+C) (A十B)十C= が 成 り立 つ.こ   ま た,Ａ

(1・4)

れ を結 合 則 とい う.

と い う ベ ク トル に 任 意 の ス カ ラ ー ｍ を 掛 け る こ と が で き,積

と表 す.mAは, 

m＞0な

をmA

ら ば, Ａ と 同 じ 向 き で 大 き さ が Ａ の ｍ 倍 の ベ ク ト

ル,m＜0な

ら ば, Ａ と 逆 向 き で 大 き さ が￨ｍ￨倍

の ベ ク トル の 意 味 で あ る.ス

カ

ラ ー 量 ｍ,ｎ に 対 し て,

(m+n)A=mA+nAmA十nA (m+n)A=

(1・5)

m(A+B)=mA+mBmA十mB m(A+B)_

(1・6)

が成 り立 ち,こ れ を分 配 則 とい う.   大 き さ が １で あ る ベ ク トル ｓ を,そ

の 向 き の 単 位 ベ ク トル と い う.ベ

と ｓ と が 同 じ 方 向 の ベ ク トル で あ れ ば,A=±Asと とが 同 じ 向 き な ら ば+,逆 直 角 座 標 系 に お い て,各

向 き な ら-符

書 く こ と が で き る. Ａ と ｓ

号 を と る.図1-2の

に 基 本 ベ ク トル と呼 ぶ.ベ

の 正 射 影 を Ａ の ｘ,ｙ,ｚ成 分 と い い,(Ax,Ay, 

Az)で

図1-2基

表 す.

ク トル Ａ の ｘ,,ｙ,  ｚ軸 へ

表 す.

本 ベ ク トル

ク トル Ａ は,

A=Axi+Ayj+Azk A= Axl十 ノ1猷 ノ 十 ノ193 と表 す こ と が で き る.Ａ AZ+A  ￨A￨=√Ax2+Ay2+Az2 IA1=

と な る.ベ

よ う に,ｘ,  ｙ,ｚの

座 標 軸 の 正 方 向 に 向 か う単 位 ベ ク トル を(i,j,k)で

こ れ ら の 単 位 ベ ク トル を,特

こ れ ら を 用 い て,ベ

ク トル Ａ

(1・7)

の 大 き さ￨Ａ￨は, Zy+AZz

(1・8)

ク トル Ａ と ｘ,ｙ,ｚ軸 の 正 方 向 と の な す 角 を そ れ ぞ れ α,β,γ と す れ

ば,

(1・9)

と な り,(cosα,  一 般 に(ｌ

cosβ,  cosγ)は

ベ ク トル Ａ

の ｘ,  ｙ,  ｚ 軸 に 対 し て も っ 方 向 余 弦 で,

,ｍ, ｎ)と 表 さ れ る.式(1・8),式(1・9)か

ら, (1・10)

と な る.

  Ａ と は 別 の ベ ク トル Ｂ が あ り,Ａ OPQに

と Ｂ と の な す 角 を θ と す る と(図1-3),△

お い て,

図1-3２ つ のベ ク トルの な す角 と 方 向余 弦 との関 係

の 関 係 が あ る.こ

こ で,PQは

と表 す こ とが で き,OP=A, 

ベ ク ト ル 成 分(Ax, 

OQ=Bで

あ る か ら,

Ay,  Az),(Bx, 

By,  Bz)を

使 って

と な る.ベ

ク ト ル Ａ,Ｂ

の 方 向 余 弦 を(ｌ,ｍ,ｎ),(l',m',n')と

す れ ば,

cos  θ=ll'+mm'+nn' COSθ=〃 ノ十mm'十nn' 十mm' 十nn'

(1・11)

の関 係 が 成 り立 っ.

1・2  速 度 と加 速 度   一 般 的 な三 次 元 運 動 を す る質 点 に つ い て は,図1-4に

示 す よ う に,任 意 の 時 刻

ｔに位 置 ベ ク トル ｒで示 され る位 置 Ｐ に あ っ た質 点 が ⊿t時 間 後 に位 置 ベ ク トル r'で 示 され る位 置P'に

な っ た とす る と,質 点 の 変 位 はr-r=⊿rで

与 え られ る

変 位 ベ ク トル ⊿rで 示 され る.

図1-4速

度 ベ ク トル の 説 明

  変 位 ベ ク トル ⊿rを そ れ に 要 し た 時 間 ⊿tで 割 っ て 得 ら れ る ベ ク トル ⊿r/⊿tは, 時 刻 ｔ とt+⊿tの 決 め て も,選

間 の 平 均 速 度 を 表 す と考 え ら れ る.し

ぶ 時 間 間 隔 ⊿tに よ っ て,大

か し,⊿r/⊿tは

き さ も 方 向 も 変 わ る.そ

時 刻 ｔを

こ で,時

間間隔

⊿tを 十 分 小 さ く し た 極 限 と し て 得 ら れ る ベ ク トル

(1・12)

を作 り,こ れ で 点 Ｐ に お け る速 度 を定 義 す る.

  υ の 方 向 は 質 点 の 軌 道 の 接 線 方 向 に あ り,そ 点 が 軌 道 上 を 運 動 す る 速 さ υ に 等 し い.点 ｙ,ｚ)お よ び(x+⊿x,y+⊿y,z+⊿z)と で あ る か ら,速

の 大 き さ は,時

Ｐ お よ び 点P'の

す れ ば,⊿rの

度 υ の ｘ,ｙ,  ｚ成 分 は,次

刻 ｔに お い て,質 座 標 を そ れ ぞ れ(ｘ,

ｘ,ｙ,ｚ 成 分 は ⊿x,⊿y,⊿z

の よ う に 書 か れ る.

(1・13)

  す な わ ち,速 度 の ｘ,ｙ,  ｚ成 分 は,そ れ ぞ れ の座 標 軸 方 向 の質 点 の 正 射 影 が そ の 軸 上 を運 動 す る と きの速 さ に等 しい. ま た,速

度 の 大 き さ υ は,

(1・14)

と な る.た

だ し,⊿S=√

（ ⊿x)2+(⊿y)2+(⊿z)2は

接 近 し た 軌 道 上 の ２点 Ｐ,P'間 い ま,時

刻 ｔお よ びt+⊿tに

の 距 離 で あ る.速

し,そ

間 に お け る 速 度 の 変 化 は υ'-υ=⊿

る ベ ク トル を 考 え る と,こ

な わ ち十 分

度 は ま た 時 間 と と も に 変 化 す る.

お け る 質 点 の 位 置 を Ｐ お よ びP'と

度 を υ お よ び υ'と す れ ば,⊿t時 そ ・ で,Dυ/ ⊿tな

軌 道 曲 線 の 線 分,す

こで の速 υ で あ る.

れ は ⊿t時 間 の 速 度 変 化 ⊿υ と 同 じ 方

図1-5加

速度 ベ ク トル の説 明

向 お よ び 向 きを もち,￨

⊿ υ/⊿t￨の 大 き さ を も っ た ベ ク トル で あ る.変 位 の 時 間 的

変 化 か ら速 度 を定 義 した よ う に,速 度 の 時 間 的 変 化 の 割 合 と して, (1・15)

を 作 り,こ ay, azと

れ を 点 Ｐ に お け る 加 速 度 と定 義 す る.加

速 度 α の ｘ,ｙ,  ｚ 成 分 をax,

す れ ば,

(1・16)

加 速 度 の大 き さ ａ は, (1・17)

で 与 え ら れ る.

  加 速 度 はベ ク トル で あ るか ら,質 点 が 静 止 して い るか,ま

た は等 速 度 運 動 して

い る と きの ほ か は,す べ て加 速 度 を もっ て い る.運 動 が 一 直 線 上 の場 合 は,加 速 度 の 方 向 は直 線 の 方 向 と一 致 す るが,一 般 の 曲 線 運 動 の 場 合 は,加 速 度 の方 向 と 運 動 の 方 向 と は必 ず し も一 致 しな い.

1・3  運 動 の ３法 則   物 体 は どん な原 因 で 動 き始 め,そ か? 

の 結 果 と して ど ん な 運 動 を す る の で あ ろ う

これ が 力 学 の基 本 的 な 問 題 で あ る.し か し,実 際 に あ る物 体 の 運 動 に は,

い ろい ろ な形 や 大 きさ の違 い が あ り,か つ,運 動 を止 め よ う とす る摩 擦 な ど も働 くほ か に い ろい ろ の現 象 が 重 な り合 う こ とが 多 くて,簡 単 に きわ め難 い.し っ て,な

たが

る べ く対 象 を簡 単 化 す る と と もに,実 験 や 推 理 的 洞 察 に基 づ い て,こ

問 題 に 当 た らな けれ ば な ら な い.16世

紀 か ら17世 紀 へ か け,ガ

トン な ど に よ る巧 み な 実 験 や 理 論 の お か げで,現

の

リ レイ や ニ ュー

在 で は確 実 な 自然 法 則 と して す

べ て の人 に信 じ られ る よ うに な っ た運 動 に 関 す る ３つ の 法則 が あ る.

[１]  運動の第1法 [1] 運 動 の 第 １法 則 則   「力 を受 けな い物 体 は,静 止 し た ま まで あ るか,ま た は 等 速 度 運 動 を す る」.言 い換 え れ ば,物 体 は,現 在 の運 動 状 態 を保 持 し よ う とす る性 質,す

な わ ち慣 性 を

もっ て い る こ とを述 べ た もの で,慣 性 の 法 則 と も呼 ばれ る.物 理 的 にい う運 動 は, 常 に相 対 的 で あ る.つ

ま り,何 か あ る位 置 の基 準 に対 す る運 動 を考 え るわ け で あ

るか ら,運 動 の 記 述 に は座 標 系 が必 要 に な る.第 て も成 立 す る とい う法 則 で は な い.第

１法則 は,ど ん な座 標 系 に つ い

１法 則 の成 立 す る よ う な座 標 系 を,慣 性 座

標 系 ま た は慣 性 系 と呼 ぶ.

[２]運 運動の第2法 [2]運 [2] 動 の 第2法 第 ２法 則 則   「 物 体 の加 速 度 ａ は,物 体 の 受 け て い る力 Ｆ に比 例 し,物 体 の 質 量 ｍ に 反 比 例 す る」.こ こで,加 速 度 ａ も力 Ｆ もベ ク トル 量 で あ っ て,第

２法 則 は単 に ａ と

Ｆ の比 例 関 係 だ け で な く,両 者 の 向 きが 同 一 で あ る こ と も意 味 す る.ma=kF と書 き,比 例 定 数 ｋ を １ とす る よ う に力 Ｆ の単 位 を選 ぶ と,運 動 の 第 ２法 則 は, ma=F ma=

F

と な る.式(1・18)を

(1・18)

ニ ュ ー ト ン の 運 動 方 程 式 と い う.ｘ, ｙ,  ｚの 直 角 座 標 に分 け た

ａ と Ｆ の 成 分 を(ax, ay, az)お よ び(Ｘ,  ｙ,  Ｚ)と す る と,式(1・18)は

各成 分 ご と

に, max=X  max=X  max= と 表 さ れ る.も 分 をXi,Yi,Ziの

X  ,  ,

may=Y  may=Y  may=

Y 

,  ,

し 力 Ｆ がF1,  F2,… …,Fnの

maz=Z maz=

Z

(1・19)

よ う な ｎ 個 の 力 の 合 力 な ら, Fiの

よ う に 表 せ ば,

(1・20)

成

と な る.力

Ｆ あ る い は そ の 成 分 Ｘ,Ｙ, Ｚ が ｘ,  ｙ,  ｚ お よ び ｔの 関 数 と し て 知 れ る

と き は,こ

の 運 動 方 程 式 を 満 足 す る よ う なx(t),y(t),z(t)を

求 め る こ と が で き,

そ の 力 の 作 用 に よ る運 動 が 決 定 さ れ る.

  力 の 単 位     国 際 単 位 系(SI)で

は,「 長 さ 」,「質 量 」,「時 間 」の 単 位 と し て,そ

れ ぞれ 〔 ｍ 〕,〔kg〕,〔 ｓ〕 を 用 い る.こ 量1〔kg〕

の 物 体 に1〔m/s2〕

の 単 位 系 に お け る 力 の 単 位 は 〔Ｎ 〕 で,質

の 加 速 度 を 与 え る 力 と し て 定 義 さ れ て い る.

  「長 さ 」,「 質 量 」,「時 間 」 の 単 位 と し て,〔cm〕,〔 系 で は,力

の単 位 は

〔dyn〕( 105 dyn-1N)を

ｇ〕,〔ｓ〕 を 用 い るCGS単

位

用 い る.

[３]  運 動 の 第 ３法 則   「２っ の 物 体 Ａ と Ｂ が 力 を 及 ぼ し合 う と き,Ａ が Ｂ に 及 ぼ す 力 を Ｆ と す る と,こ の と き,Ｂ が Ａ に及 ぼ し て い る力 は-Fで

表 さ れ, Ｆ も-Fも

Ａ とＢ

を結 ぶ直 線 上 に あ る」.こ の法 則 は,作 用 ・反 作 用 の 法則 と も呼 ば れ,後 で 述 べ る よ う に,運 動 量 保 存 則 と相 補 的 な 関 係 に あ り,第 ２法 則 を前 提 とし て,運 動 量 保 存 則 か ら第 ３法 則 を,ま た 第 ３法則 か ら運 動 量 保 存 則 を 導 くこ とが で き る.

1・4質 [１]等

点 の運 動 の例 加速度運動

  ｘ 軸 上 を一 定 の 加 速 度 ａで 直 線 的 に 質 点 が 運 動 して い る場 合,質 点 の 変 位 ｘ を 適 当 な座 標 原 点 か ら定 めれ ば,ｘ は 時 間 ｔの関 数 で あ るか ら,運 動 方 程 式 は, (1・21)

と な り,質

点 に はmaの

力 が 働 い て い る こ と に な る.式(1・21)を

ｔで 積 分 す る と,

(1・22)

と表 さ れ る(ｂ は 積 分 定 数).さ

ら に,時

間 ｔで 積 分 し て,

(1・23)

が 得 られ る(ｃ は積 分 定 数).   こ の よ う に,式(1・21)の

よ う な ２階 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は,２

含 ん で い る.い

な わ ち 運 動 の 始 め に お い て,質

つ,質

ま,t=0す

点 はx0の

C=χ0で

位 置 に あ っ た と す れ ば,式(1・23)の

つ の積 分 定 数 を

点 の 速 度 を υ0と し,か

積 分 定 数 は,そ

れ ぞ れb=υ0,

な け れ ば な ら な い の で,

(1・24)

と な る.こ

れ が 運 動 方 程 式(1・21)の

解 で あ る.

  この よ うに 運 動 の始 め に お い て,２ つ の条 件 が 定 まっ て い る と,そ の後,一 定 の 加 速 度 ａで動 い て い く質 点 の位 置 は,時 間 と と も に刻 々 定 め られ て,運 動 は一 義 的 に決 っ て し ま う.運 動 方 程 式 の一 般 解 に入 っ て くる積 分 定 数 を決 め るた め の 条 件 を初 期 条 件 ま た は境 界 条 件 とい い,こ れ は運 動 の始 め だ け に 限 定 す る必 要 は な く,積 分 定 数 を定 め る もの で あれ ば よい.

[２]放

物 運 動

  空 気 の 抵 抗 を無 視 す る と,一 様 な重 力 の働 く地 上 で任 意 の方 向 に投 げ出 され た 質 点 は,質 量 を ｍ,重 力 加 速 度 を ｇ と し て,鉛 直 下 方 に の みmgの が,水

平 方 向 に は 力 が 作 用 しな い.し

力 を受 け る

た が っ て,質 点 は 最 初 の速 度 を含 む鉛 直 平

面 内 で運 動 す る.   い ま,こ の 平 面 内 で 水 平 方 向 に ｘ軸,鉛

直 方 向 に ｙ軸 に とれ ば,運 動 方 程 式

は,

(1・25)

で,等 加 速 度 運 動 の 一 例 に過 ぎな い. 初 期 条 件 と し て,は

じ めt=0で

質 点 はx=0,y=0の

き さ υ0で ｘ 軸 と θ の 角 を な し て 放 射 さ れ た と す れ ば,

原 点 に あ り,初

速度 の大

図1-6  重力 場 で の 質点 の運 動

(1・26)

と な る.こ

の ２つ の 式 か ら ｔを 消 去 す る と,

(1・27)

とな り,軌 道 は放 物 線 を描 く.

[３]単

振

動

ｘ 軸 上 を 時 間 ｔ と と も に, (1・28)

に従 っ て運 動 す る質 点 を考 え る.こ の質 点 は,原 点(x=0)の

左 右 ±Aの

間 を周

期 的 に往 復 運 動 して い る.こ の よ うな 運 動 を単 振 動 と呼 ぶ.運 動 は 時 間 間 隔T= 2π/ ω ごと

繰 り返 さ れ る の で,Ｔ

を 周 期 とい う.ま た,そ

の 逆 数 υ=1/T=ω/2πは,

単 位 時 間 に運 動 の 繰 り返 さ れ る 回 数 に な る の で,こ れ を振 動 数 とい い,ω=2π を 角振 動 数 とい う.さ ら に,(ωt+α)を

振 動 の位 相,α を初 期 位 相 と呼 び,Ａ

振 動 の 振 れ 幅 を示 す 量 で あ る か ら振 幅 とい う.

υ は

単 振 動 の 速 度 お よび加 速 度 の 大 きさ υお よ び ａ は,式(1・28)を 微 分 して, (1・29)

さ ら に,微

分 し て, (1・30)

を得 る.式(1・30)に

よれ ば,単 振 動 の加 速 度 は常 に中 心 に 向 か う求 心 加 速 度 で あ

っ て,そ の 大 きさ は運 動 し て い る質 点 の 変 位 の大 き さ に比 例 して い る.こ の こ と か ら,あ る質 点 に 力 が働 き,そ の運 動 方 程 式 が, (ｍ は質 量,ｋ

は正 の定 数)

で 与 え ら れ る よ う な 質 点 の 運 動 を 考 え る と,ω2=k/mと

(1・31)

置 くこ とに よ っ て (1・32)

とな り,こ の質 点 の加 速 度 は単 振 動 の場 合 の加 速 度 と一 致 す る.し たが っ て,こ の運 動 は単 振 動 で あ り,式(1・31)お よび 式(1・32)の 形 は 単振 動 を示 す 運 動 方 程 式 で あ る.そ

こで,式(1・31)を 満 足 す る質 点 の運 動 は,こ の微 分 方 程 式 を解 くこ と

に よ り,

と な る.た た凋

だ し,こ

期 Ｔ は,T=2π

こ の Ａ お よ び α は 運 動 の 初 期 条 件 で 定 ま る 定 数 で あ る.ま √

ｍ/ ｋ で 与 え られ る．

1・5  平面 極座 標 に よ る運 動 の表 示   質 点 の 位 置 を表 す た め の座 標 系 と し て,ｘ, ｙ,  ｚ直 角 座 標 が よ く用 い られ る が, こ こで は,質 点 の 平 面 運 動 を二 次 元 の 極 座 標 を使 っ て表 して み る.図1-7の

よう

に,平 面 上 の １点 Ｐ の 位 置 を,原 点 か ら Ｐ へ 引 い た 動 径 の 長 さ γ と,動 径 が ｘ 軸 の 正 の 方 向 とな す 角 θで 表 し,θ は 反 時 計 回 り を正 の 向 き と決 め る と,Ｐ の位 置 は(γ,θ)で 一 義 的 に決 ま る.ｘ, ｙ座 標 との 関 係 は,

図1-7  平面 極座 標(γ,θ)の

x=γcos 

θ     y=γsinθ

表示法

(1・33)

(1・34)

で 与 え られ る.   図1-8の

よ う に,速

度 ベ ク トル υ を 動 径 方 向 と こ れ に 直 角 な 方 向 と に 分 解 し,

こ れ を(υ γ,υθ)とす る.図

か ら 明 ら か な よ う に,ｘ ,  ｙ 成 分(υx,υy)と(υ γ,υθ)との 関

係 は, υγ=υx 

υθ=-υx 

cos  θ+υy 

sin  θ

sin  θ+υy 

cos  θ

}

(1・35)

図1-8  ベ ク トル の直 角座 標 成 分 と 極 座標 成 分 との関係

と な る.一

方,式(1・33)を

時 間 ｔで 微 分 す る と,

(1・36)

で あ る の で,こ

れ を 式(1・35)に

υγ=dγ/dt,υ

θ=γ

代 入 す る と,次

の 関 係 が 得 ら れ る.

(1・37)

dθ/dt

  ｘ,ｙ 直 角 座 標 系 で は, υxと υyは そ れ ぞ れ 独 立 な 形 で 運 動 を 記 述 で き た が,極 座 標 表 示 で は υγ と υθと は 独 立 で は な く,υ θは γ と θ の 関 数 と な っ て い る.   次 に,加

速 度 ａ の 極 座 標 成 分(aγ,aθ)を 求 め て み る.式(1・36)を

さ ら に ｔで 微

分 す る と,

(1・38)

ま た,υ

の 場 合 と 同 様 に,極 aγ=ax 

aθ=-ax 

cos  θ+ay 

座 標 成 分 と ｘ,  ｙ 成 分 の 間 に は, sin  θ

Sinθ+ayCOSθ

の 関 係 が あ る の で,式(1・38)を

}

式(1・39)に

(1・39)

代 入 す る こ と に よ り,

(1・40)

と な る.

1・6  接 線加 速 度 と法 線 加速 度   加 速 度 は,直 角 成 分,極

座 標 成 分 の ほか に,接 線 成 分,法 線 成 分 に分 け て 取 り

扱 わ れ る こ と もあ る.こ れ は,束 縛 運 動 に関 す る運 動 方程 式 を考 え る場 合 に必 要 とな る に とが 多 い. 図1-9の

よ う に,質 点 が 軌 道PP'に

沿 っ て 運 動 し て お り,時 刻 ｔに 点 Ｐ に い た

図1-9接 線加速度 と 法線 加 速 度 の 説 明図

質 点 が ⊿t時 間 後 に 点P'の

位 置 に あ る と す る.Ｐ

とP'に

お い て軌 道 の 接 線 方 向

を 向 く単 位 ベ ク トル(接 線 ベ ク トル)を そ れ ぞ れ ｅ,e'と す れ ば,点 点の速度ベ ク

ト ルυ は ｅ と 同 じ 向 き で,大

υ=ds/dt 

Ｐ に お け る質

き さ はds/dtに 等 し い.

(1・41)

e

加 速 度 は,こ れ を微 分 して, (1・42)

と な る.こ し い.図1-9か

こ で,de／dsは 接 線 ベ ク トル の 軌 道 に沿 っ て の 変 化 率 で, ら わ か る よ う に, e'-eは

大 き さ は ⊿ θ に 等 し く,向

に 等

両 ベ ク トル の な す 角 ⊿θ が 小 さ け れ ば,

き は ｅ に ほ ぼ 垂 直 で あ る.

(1・43)

  Ｐ,P'か

ら ｅ とe'に

垂 直 な 線 を 引 き,そ

な す 角 が ⊿θ と な る.⊿Sが ρで 表 す と,⊿S=ρ

の 交 点 を Ｃ と す る と, PCとP'Cと

小 さ い 極 限 で は,PCとP'Cの

⊿θ で あ る か ら,

で,点

の

長 さ は 等 し く,こ

れを

Ｐ にお いて Ｃ の方 向 を向 く

法 線 方 向 の単 位 ベ ク トル(法 線 ベ ク トル)を ｎ と書 け ば, (1・44)

と 表 さ れ る.ρ

を 曲 率 半 径,Ｃ

を 曲 率 中 心 と い う.式(1・44)を

式(1・42)に

代 入す

れ ば,

(1・45)

とな る.こ の 式 は,加 速 度 ａ を接 線 方 向 の 成 分atと

法 線 方 向 の 成 分anに

分 けた

こ と を意 味 す る.

(1・46)

  atを 接 線 加 速 度,anを

法 線 加 速 度 と呼 ぶ.軌

道y=f(x)が

って 直 角 座 標 ｘ,ｙを用 い て 表 され て い る と き,  y=f(x)上

１つ の 平 面 内 に あ

の 任 意 の 点 に お け る曲

率 半 径 ρは,

(1・47)

で 与 え ら れ る.

1・7相   図1-10の r(t),O'座

対運動 よ う な 座 標 系 で,時 標 系 で はr'(t)で

刻 ｔに お け る 点 Ｐ の 位 置 は,Ｏ

表 さ れ る と し,Ｏ

座 標 系 か ら 見 てO'座

座 標 系 で は 標 系 の原点

図1-10ガ 図1-10

O'がr0(t)で

ガ リレイ変 リレイ変 換 換の の説 説明 明

表 さ れ る と す る と, (1・48)

と な る.

O'が

Ｏ に 対 し 一 定 速 度 υ0で 等 速 直 線 運 動 を し て い れ ば,r0(t)=υ0t+r0と

し

て,式(1・48)は, (1・49)

と書 け る.こ の よ う な座 標 変 換 を ガ リレ イ 変 換 と い う.式(1・49)の 両 辺 を時 間t で 微 分 す る と, (1・50)

と な る の で,υ

と υ'の ど ち ら か 一 方 が 一 定 な ら 他 方 も そ う な る か ら,一

系 で あ る な ら ば,他

方が慣性

もす べ て 慣 性 系 で あ る.

  しか し,慣 性 系 に対 し て加 速 度 を もっ て 並 進 運 動 して い る座 標 系 は,慣 性 系 で な く,も はや 運 動 の 法則 は そ の ま まで は成 立 しな い.式(1・48)を 時 間 ｔで ２回微 分 す る と,

(1・51)

慣 性 系 Ｏ に対 して座 標 系O'が 加 速 度 運 動 して い れ ば, 系 に お い て,物

体 に 働 く力 が Ｆ で あ れ ば,式(1・51)よ

で あ る.慣 性

り,

(1・52)

と な る.座 標 系O'で

は,Ｆ

以外 に

とい う見 か けの 力 が物 体 に働 い て い

る と考 えれ ば,慣 性 系 と同様 に運 動 を扱 え る.こ の 見 か けの 力 は,物 体 の質 量 ｍ に比 例 す る こ とか ら,慣 性 力 と呼 ば れ る.慣 性 力 対 し て もつ加 速 度

は,座

標 系O'が

Ｏ に

と は逆 向 きで あ る.こ の座 標 系 の よ う に,運 動 の 法 則 が

そ の ま ま で は成 り立 た ず,慣 性 力 が現 れ て くる座 標 系 を非 慣 性 系 とい う.   図1-11の よ う に,座 標 系 Ｏ を慣 性 系 と し,そ れ に 対 して 原 点 が 一 致 した ま ま 一 定 の 角 速 度 ω で 回転 す る座 標 系(回 転 座 標 系)O'を 考 え る .O'も 非 慣 性 系 で あ る.

図1-11ｚ z軸 図1-11 軸 の まわ りに回 転 す る 回 転座 標 系 回転座標系   回 転 軸 を ｚ軸 と し,慣

性 系 に 対 す る 質 点 Ｐ の 座 標 を(ｘ,ｙ,  ｚ),運 動 系 に 対 す る

座 標 を(x',y', z')と す れ ば, t=０ で 一 致 し て い た と し て,

(1・53)

の 関係 が あ る.   ま た,質 る と,同

点 に 働 く力 Ｆ の Ｏ,O'系

に 対 す る成 分 を(Ｘ,Ｙ,  Ｚ),(X',  Y', Z')と す

様 に,

(1・54)

こ こで,慣 性 系 で の 運 動 方 程 式 は,

(1・55)

で あ る か ら,式(1・53),式(1・54)を

式(1・55)に

代 入 す る.す

な わ ち,式(1・53)か

ら,

に つ い て も,同

様 に 計 算 が で き,こ

れ と式(1・54),式(1・55)か

ら,

(1・56)

書 き 換 え る と,

(1・57)

こ こ で,

お よ び(X',Y',  Z')は,回

の 加 速 度 お よ び 力 の 成 分 で,式(1・57)か (X',Y')の

ほ か に,

転 座 標 系 か ら み た質 点

らみ る と,慣 性 系 と し て み た 場 合 の 力 お よ び(mω2x',mω2y')を

そ れ ぞ れx',

y'成 分 とす る慣 性 力 が働 く もの とす れ ば,回 転 座 標 系 で も運 動 方 程 式 は成 り立 つ.

  前 者 を コ リオ リの 力,後

者 を 遠 心 力 と い う.コ

リオ リ の 力 をF1',速

度 を υ'と

す れ れ ば,

  す な わ ち,(F1'・ は￨F1'￨=2mυ'ω

υ')=0と

な る か ら,コ

リ オ リの 力 は υ'に垂 直 で,そ

の大 きさ

で 与 え ら れ る 力 で あ る(図1-12).

図1-12  回転 座 標 系 で現 れ る見 か けの 力

演 習 問 題[１] １.２

点P,Qの

を 求 め よ.ま

位 置 ベ ク トル が,  i+3j-7k,5i-2j+4kで た,そ

３.高

先 き で 止 ま っ た.点

の加 速 度 で 動 い て い る.こ の 質 点 が 点 Ａ を過

Ａ に お け る 質 点 の 速 度 は い く ら か.

さ んの 屋 上 の端 か ら初 速 度 υ0でボ ー ル を投 げ,で

た い.投

ク ト ルPQ

の 大 き さ と 方 向 余 弦 は い く ら か.

２.１ つ の 質 点 が 一 直 線 上 を-2〔m/s2〕 ぎて16〔m〕

あ る と き,ベ

き る だ け遠 くの地 上 へ 届 か せ

げ 上 げ る 角 度 θ お よ び 到 達 距 離 ｘ を求 め よ.た

だ し,空 気 の 抵 抗 は な い も

の とす る.

４． ば ね の 一 端 を 固 定 し,下 端 に お も りを つ る す と き,そ の 単 位 質 量 の増 加 に つ き,ば ね の 伸 び は ｌの 割 合 で 増 加 す る とい う.い

ま,こ れ に 質 量 ｍ の お も りを つ け,つ

合 い の 位 置 か ら 少 し下 方 に 引 き下 げ て か ら放 す と,お ま た,そ

５.半

り

も り は 単 振 動 す る こ と を示 せ.

の 振 動 の 周 期 は い くら か.

径12〔 ㎝ 〕の 円 周 に 沿 っ て 動 く質 点 が あ る.あ

る 時 に.そ

の 速 さ が6〔 ㎝/s〕

で,3〔 ㎝/s2〕 の 割 合 で 速 さ が 増 し て い る とす れ ば,そ の と き の 質 点 の 加 速 度 は い く らか.

６.xy平

面 内 を運 動 す る 質 点 の 軌 道 がx=υt,y=-1/2gt2で

の 点 に お け る接 線 加 速 度atお

よ び 法 線 加 速 度anを

表 さ れ る.軌

求 め よ.た

る軌 道 の 接 線 は,ｘ 軸 と θの 角 度 を な す も の とす る.

趾

の任 意

だ し,そ の 点 に お け

第 ２章   仕 事 とエ ネ ル ギ ー

  「エ ネ ル ギ ー と は,仕 事 を す る能 力 で あ る.」 とい う定 義 は,ト マ ス ・ヤ ン グ に よ っ て 与 え られ た と い わ れ て い る.運 動 し て い る物 体 は 仕 事 をす る こ と が で き る.同 て,多

じ よ う に,高

い と こ ろ に あ る水 は,低

い位 置 に あ る と き と比 較 し

くの 仕 事 を 成 し得 る 状 態 に あ る と い え る.仕 事 は,状 態 が 変 化 した と

き に始 め て 認 め られ る が,我

々 は,物 体 の状 態 変 化 の 前 後 に お い て,物 体 の

有 す る エ ネ ル ギ ー を定 め る と,そ の 増 減 の大 き さか ら仕 事 の 大 き さ を 決 め る こ とが で き る よ う に な る.

2・1 2・

1

仕

事

  物 体 に力 Ｆ が 作 用 し,物 体 が ⊿rだ け変 位 した と き,そ の 力 が 物 体 に な す 仕 事 ⊿Wは,物

体 の動 い た 変 位 とそ の 方 向 に 有 効 な力 の成 分Fγ との 積 と し て 定 義 さ

れ る. 図2-1に

示 す よ う に,両 ⊿W=Fγ

と表 さ れ,0≦

者 の 間 の 角 を θ と す る と,

×￨⊿ γ￨=￨F￨￨⊿

γ￨cosθ

(2・1a)

θ1で た 凸 レ ン ズ(R1>0,R20,ま

た が っ て,式(7・24)か た 凹 レ ン ズ(R10)で

示 し はf