Алгебра и логика, 39, N 6 (2000), 662—692
УДК 512.552.32
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ТЕЛО МАКАР-ЛИМАНОВА П. С. КОЛЕСНИКОВ ...
10 downloads
168 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 39, N 6 (2000), 662—692
УДК 512.552.32
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТОЕ ТЕЛО МАКАР-ЛИМАНОВА П. С. КОЛЕСНИКОВ Введение
Понятие алгебраически замкнутого тела (алгебры Ли, группы) в смысле разрешимости произвольных уравнений было впервые предложе но Л.А.Бокутем [1—3]. До этого в [4] рассматривалось понятие алгебраически замкнутой группы в смысле разрешимости любого "совместного" уравнения (или системы уравнений). Это соответствует обычному теперь в теории моделей понятию алгебраически (экзистенциально) замкнутой группы (см., например, [5]). В частности, в [3] (работа является изложе нием доклада на конференции по универсальной алгебре, Варшава, 1965) были поставлены две проблемы: 1. Существуют ли алгебраически замкнутые тела? 2. Существуют ли алгебраически замкнутые группы? Положительным
ответом на первый вопрос является
пример
Л. Г. Макар-Лиманова [6]. Его результат (а он был доложен, в частности, на семинаре по теории колец в Новосибирске в 1977 г.) остается пока од ним из немногих фундаментальных результатов в (будущей) теории неком мутативных алгебраически замкнутых тел. Другим важным результатом является теорема Р. М.У. Вуда [7] о том, что тело кватернионов алгебра ически замкнуто в смысле Кона [8]. Интересно, что доказательство тео ремы [7], как и "основной теоремы алгебры", не является чисто алгебра ическим. Обзор П. М. Кона [8] намечает широкую программу исследова-
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
Алгебраически замкнутое тело Макар-Лим&нова,
663
ний алгебраически замкнутых в различных смыслах тел. Отметим, что не всякая ассоциативная алгебра вложима в алгебраически замкнутую в смы сле разрешимости произвольных уравнений. Например, ни в каком расши рении тела кватернионов не разрешимо так называемое "Metro-equation" ax — xa = 1 (его придумал П. М. Кон в парижском метро во время беседы с Ш.Амицуром, см. [9]). Отметим также результат Л. А. Бокутя [2], со гласно которому в случае алгебр Ли дело обстоит несколько проще: любая алгебра Ли вложима в алгебраически замкнутую в смысле разрешимости произвольных уравнений. Пока остается открытой проблема, поставлен ная в [8], о вложимости любого тела в алгебраически замкнутое в смысле существования собственных значений у любых квадратных матриц над этим телом. §1* Конструкция Построим некоммутативное тело А, удовлетворяющее условиям сле дующего определения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Тело А с центром F называется алгебраически залгкнутпым, если для любого S(x) Е А * F[#]\,4 существует элемент a € А такой, что S(a) = 0 (* означает свободное произведение). Пусть F — алгебраически замкнутое поле характеристики О, G — коммутативная группа, порожденная элементами 7) A l
а**1 г>Лг
а^2
где A,,/i, G Q, p»-, qi — символы некоторого счетного алфавита. Эта груп па изоморфна прямой сумме счетного числа аддитивных групп рацио нальных чисел Q. Определим лексикографический порядок на G, счи тая, что pi
• •• > 1. Обозначим
= (pj 1 , «?,...,«&">• Очевидно, Gn изо-
морфно G. По группе G и полю F построим множество рядов Мальцева—
664
П. С. Колесников
Неймана 21. Элементы а £ 21 имеют вид а= V
а(д)д, На С G вполне упорядочено, а(#) 6 ^ \ { 0 }
(множество Я а будем обозначать через suppa). Выберем подмножество А множества 21 следующим образом: А = {а Е 211 suppa С G(n(a))}Соответственно будем обозначать Ап = {a E A | suppa С G n } , A(nj = = {а£ А\ suppa С