ウォルシュ解析 (数理科学セミナー)

数 理科 学

遠藤 靖 著

TDU

 東京電機大学出版局

R 〈日本複 写 権 セ ン ター 委託 出版物 ・特 別扱 い〉 本 書 の 無 断複 写 は,著 作権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じられ て い ます 。 本 書 は,日 本 複 写権 セ ン ター 「出版 物 の複 写 利 用 規程 」 で定 め る特 別 許 諾 を必要 とす る出版 物 です 。 本書 を複 写 され る場合 は,す で に 日本 複 写 権 セ ン ター と包括 契約 を され てい る方 も事 前 に 日本 複 写 権 セ ン タ ー(03-3401-2382)の 許 諾 を得 て くだ さい。

まえがき   本 書 はWalsh解析

の 基 礎 理 論 を中 心 に 工 学 等 へ の 応 用 を 意 図 して 理 工 系 の

学 部 学 生,院 生 お よび 研 究 者,技 術 者 を対 象 に書 か れ た もの で す.Walsh解析 はWalsh関

数 系 に よ るFourier解

れ る もの で あ り ます.Walsh関

析 の 一 分 野 で,Walsh‐Fourier解

数 系 は2値 関 数 系 で あ り,今 日の デ ジ タル 時 代

に ふ さわ し い もの とい え ます.こ れ まで にFourier解 あ り ます が,Walsh解析

析 と もよ ば

析 に 関 す る書 物 は数 多 く

に関 す る もの は 皆 無 で した.そ こで,多 少 と もWalsh

解析の 可 能 性 を実 感 した 著 者 は あ えて 浅 学 非 才 の 身 を省 み ず に筆 を執 る こ とに しま した.も と よ りWalsh解析

全 体 を網 羅 で き るは ず もな く,著 者 の興 味 本 位

の 内 容 とな っ た き らい が あ りま す.賢 明 な る先 輩 諸 兄 の ご批 判 を頂 け た ら と願 う もの で あ り ます.  振 り返 っ て み る とWalsh関

数 とか か わ っ て か れ これ13年

大 学 の 特 別 研 究 員 制 度 に よ り,1980年4月

に な り ます.中 央

か ら1年 間 訪 問 研 究 員 と して 慶 応 義

塾 大学 にお 世 話 に な っ た と きに 始 ま り ます.恩 師 で あ る 河 田 竜 夫 先 生(現 大 名 誉 教 授)の き ま した.セ

東工

主 宰 す る セ ミナ ー に後 輩 や 同 窓 生 に加 わ って 参 加 させ て い た だ ミナ ー で は各 自 が研 究 成 果 を発 表 して,先 生 や 参 加 者 の批 判 をあ

お ぎ,最 終 的 に は投 稿 論 文 に まで リフ ァ イ ン す る こ とが 行 わ れ ま した.さ す が にFourier解

析 の確 率 論 へ の応 用 に 関 す る テ ー マ が 中 心 とな りま した が,当 時 ,

私 は新 しい研 究 テ ー マ を摸 索 して い ま した の で,Walsh関 の 解 析 を試 み る こ と に し ま した.初 Walsh functions'と'The そ そ る もの で した.そ

数 系 に よ る確 率 過 程

め に手 に した論 文 はN.J.Fineの'On

generalized

Walsh functions'で,た

the

いへ ん興 味 を

の後,英 国 在 外 研 究 の 際 にNPLのJ.E.Gibbs博

士のも

とで タ イ ム ス ケ ー ル 問題 を手 掛 け な が ら博 士 の 提 案 したdyadic derivativeに つ い て 学 ぶ こ とが で き ま した .そ の縁 で,1989年 (dyadic derivativeに Butzer教

ユ ー ゴス ラ ヴィア で のIWGD

関 す る 国 際 会 議)に 参 加 して,Aachen工

科 大 学 のP .L.

授 や その 他 多 くの 学 者 と親 交 を結 ぶ こ とが で き ま した .主 催 者 の 一 人

で あ るNic大

学 のR.S.Stankovich博

士 に は,来 日 し た際 に 中 大 理 工 キ ャ ンパ

ス で講 義 も して も らい ま した.   この よ う にWalsh関

数 との か か わ りの 中 で 多 くの 研 究 者 と親 交 を 深 め る こ

とが で きた の は幸 せ で し た.こ

う した 感 謝 の 思 い もあ っ て,昨 年 は 「Walsh解

析 」と題 して 院 生 を対 象 に講 義 を始 め ま し た.そ の 後,F.Schipp他

著 の'Walsh

Series'の 発 刊 に刺 激 され て,講 義 ノ ー トに著 者 の これ まで の研 究 の 一 部 を加 え て 教 科 書 に す る こ と を決 意 し ま した.   多 くの皆 様 の お か げ で本 書 の 刊 行 が 実 現 し ま した.中 央 大 学 教 授 塩 見 弘 先 生 に は東 京 電 機 大 学 出 版 局 を紹 介 して い た だ き ま した.中 央 大 学 院 生 本 田忠 行 君 に はFWTの

プ ロ グ ラ ミン グ と図 の 作 成 の 手 伝 い を,慶 応 大 学 院 生 竹 内宏 行 君

に は原 稿 の 通 読 と校 正 の 手伝 い を お願 い し ま した.ま た 東 京 電 機 大 学 出版 局 の 市 村 恒二 氏 に は い ろ い ろ と ご無 理 を 申 し上 げ ま した.お 世 話 に な った 方 々 に改 め て厚 くお 礼 を 申 し上 げ ます.

  平成5年10月 遠 藤靖

目

次

第1章 

第2章

Walsh関

数

 1.1 

Rademacher関

 1.2 

Haar関

  1.3 

Walsh関

 1 数

  3

数

 6

数

 

  Walsh‐Fourier級

数

 17

  2.1 

Walsh‐Fourier級

  2.2 

W‐ 連 続 とD‐ 微 分

  21

  2.3 

連続率

  24

  2.4 

Paleyの

  2.5 

第3章

数

  19

補題

  27

Walsh‐Fourier級

数 の収 束 性

  31

  総和 法 とL2‐理論

 39

  3.1 

Fejer核

 41

  3.2 

総和 可能性

 46

  3.3 

Walsh‐Fourier級

  3.4 

第4章 

8

Parsevalの

数 のL2‐理

論

関係式

一般 化Walsh関

  4.1 

2進 群 と 指 標

  4.2 

指 標 群 とWalsh関

  4.3 

一般 化Walsh関

  48   51

数

  55  57

数 系 との 対 応 関係 数

  61   65

第5章 

Walsh‐Fourier変

換

  5.1  Walsh‐Fourier変

換

  5.2  Walsh‐Fourier変

換 の逆 公 式

  73   75   79

 5.3  Walsh‐Fourier‐Stieltjes級 数    5.4 

第6章 D‐

Walsh‐Fourier変

換 のL2‐ 理 論

  92

定 常 確 率 過 程

 6.1 D‐   6.2 

 99

定 常確率過程

Walsh調

  101

和 解析可能性

 

106

  6.3 D‐ 微 分 可 能 性

 112

  6.4 

線 形D‐ 過 程 とD‐ 定 常 過 程

 114

  6.5 

Wienerの

公 式 と大 数 の 法 則

  6.6 D‐ 定 常 過 程 のWalsh‐Fourier級

第7章

85

  数

  122

  6.7 

Walsh‐Fourier係

  6.8 

Walsh‐Fourier‐Stieltjes級 数

 133

  6.9 

近 似Walsh級

  138

  Walsh変換

数の同時分布

118

数

とFWT 

  7.1 

Walsh変換

  7.2 

Walsh関

  7.3 

Hadamard行

  7.4 

サ ン プ ル値 関 数 とサ ンプ ル ホー ル ド関 数

145   147

数 の順 序 づ け 列 に よ る方 法

  7.5 FWT    7.6 

  128

2次 元Walsh変換

 

149  153

  154 158   162

第8章

 デ ー タの 解析

 167

 

8.1 

共 分 散 関 数 と2進

 

8.2 

パ ワ ー ス ペ ク トル

 

8.3 

Walshス

 

8.4 

デ ジタ ル フ ィル ター

付

合成積

 169  

ペ ク トル とFourierス

ペ ク トル

171

  173  178

章

  185

 

1  位 相 空 間

 187

 

2  位 相 群

 188

 

3  測

度

 

4  確

率

 

5  Banach空

 

190

  194 間 とHilbert空

間

 196

参考 文 献

 201

索

 204

引

本 章 で はWalsh関 Walsh関 cher関

数 と そ の い く つ か の 性 質 に つ い て 述 べ る.1.1で

数 の も と に な っ たRademacher関

は,

数 を 導 入 し て,Radema

数 系 は 完 備 性 を 備 え て い な い こ と に 言 及 し,完 備 化 に よ っ てWalsh

関 数 系 が 得 ら れ る こ と を 述 べ る.1.2で は 完 備 で あ り,Walsh関 を 示 す.1.3で

は,Paleyに

な 性 質 に つ い て 考 え る.

はHaar関

数 系 がHaar関 よ るWalsh関

数 を定 義 し,Haar関

数系

数 の 線 形 結 合 に よ って 得 られ る こ と 数 の 定 義 を 述 べ,い

くつ か の 簡 単

1.1 

Rademacher関

  Rademacher関

数

値 周 期 関 数,ま

数(Rademacher functions)は

区 間[0,1)上

で 定 義 さ れ た2

た は そ の 関 数 系 の こ と で,創 案 者 のH.Rademacherの

名が つけ

ら れ て い る[29].   定 義 に 先 立 っ て 若 干 の 記 号 を 導 入 し よ う.ま

ず,

上 の2進 有理 数} と す る.各k∈N0に

対 し て2進

法 展 開(dyadic expansion)

(1.1) は 一 意 的 で あ る.こ で あ る.同

こ に,K∈N0は2K≦k＜2K+1を

み た す 数 で あ り,kj∈{0,1}

じ よ う にx∈[0,1)は

(1.2) の よ う に 展 開 で き る.こ  x∈[0,1)∩Q+の 場 合 は あ るj0∈Nに

こ で,xj∈{0,1}で

場 合 は 次 の2つ 対 して

(1) xj0=1 かつ xj=0(j＞j0) すなわ ち

また は (2) xj0=0 かつ xj=1(j＞j0) すなわち

あ る.

の 展 開 が 可 能 で あ る.す な わ ち2進

有理 数 の

  以 下 で は 特 に 断 りが な い 限 り(1)の

表 現 に 統 一 す る こ と に す る.

  関 数 φ を 次 の よ う に 定 義 す る.[0,1)の

と定 義 し,次 にR+の

を す る.k∈N0に

上 に

上 に 周 期1の 周 期 拡 張

対 し てRademacher関

数 φk(x)を

(1.3) と 定 義 す る.x∈[0,1)が(1.2)で

で あ る の で,k∈Nに

表 され て い る と き

対 して

(1.4) と表 す こ とが で き る.こ う.た

の と き,{φk(x):k∈N0}をRademacher関

数 系 とい

だ し,φ0(x)≡1.

  k=0∼5に {+1,−1}の

対 し てφkを

図1.1に

周 期 関 数 で あ る.ま

示 す.図

か ら も明 ら か な よ う に φkは2値

た

(1.5) も 容 易 に わ か る.h≠kの る と い う.(1.5)の (inner product)の い う)の2乗

と き 積 分 の 値 が0と

積 分 は 有 限 次 元 ベ ク トル 空 間 に お け る2つ 拡 張 で あ り,特

を 表 し て い る.し

にh=kの

た が っ て,積

準 化 さ れ て い る こ と を 示 し て い る.こ {φk(x):k∈N0}は   [0,1)上

な る こ と をφｈ と φkと は 直交 す の ベ ク トル の 内 積

と きベ ク トル の 長 さ(ノ 分 の 値 が1と

ル ム とも

い う こ と は 各 φkは 規

の こ と か らRademacher関

数 系

正 規 直交 系を な し て い る と い う.

の 関 数f(x)に

対 し て積 分

(1.6)

図 1.1 

が存 在 す る も の と し よ う.こ

Rademacher関

の と き,n∈N0に

数

対 して

(1.7) と お く と,fn(x)はf(x)の d1 ,…,dn-1に

よ い 近 似 に な っ て い る.す

な わ ち,任

意 の 実 数 列d0,

対 して

(1.8) とす る と き,残 差 平 方 和

(1.9) はgn(x)≡fn(x)の

と き最 小 値 を と る こ とが わ か る.

  そ れ で はgn(x)≡fn(x)と

し た と き,nを

小 さ くす る こ と が で き る の で あ ろ う か.こ 完 備(complete)と

十 分 大 き く す れ ば εnは い く ら で も の 問 い に 答 え る た め に は,関

数 系が

い う性 質 を み た し て い る こ と を 示 さ な け れ ば な ら な い.し

か し,残 念 な が らRademacher関 の 関 数cos2πxはx=1/2に 奇 関 数 で あ る.よ

任 意 のn∈N0に

と な る.し

 

Haar関

関 し て 偶 関 数 で あ る が,φk(x)はx=1/2に

っ て φk(x）cos2πxは

奇 関 数 と な り,k∈N0に

関 して 対 して

対 して

た が っ て,n∈N0に

と な り,εnはnを

1.2 

数 系 は 完 備 で は な い の で あ る.実 際,[0,1)上

対 して

大 き く し て も小 さ くす る こ と は で き な い.

Haar関

数

数(Haar functions)はn=0,1に

対 し

(1.10)

と 定 義 し,n=2,3,…とk=1,2,…,2n-1に

対 して

(1.11)

と定 義 す る.n=0∼2に

対 す るχn(k)を 図1.2に

関 数 系{χn(k):n∈N0,k=1,2,…,2n-1}は

示 す.こ う し て 定 義 さ れ たHaar

完 備 な 正 規 直交 系を な し て い る[20].

図1.2 

  Haar関

数 の 特 徴 は[0,1)の

年,関

れ て い る.こ れ はWavelets解

数

上 に 関 数 の 台 が 局在 す る こ と で あ る.し か も 同 一

周 期 を も つ 関 数χn(k)(k=1,2,…,2n-1)は い で 接 し て い る.近

Haar関

そ れ ぞ れ 互 い に そ の 台 が 重 な り合 わ な

数 の この よ うな性 質 を用 い て新 た な 解 析 法 が 考 案 さ 析 と よ ば れ,多 重 解 像 度 解 析 や 関 数 の も つ 特 異 性

の 起 き る 場 所 を 特 定 可 能 に す るSpectrum解 つ い て は 本 書 で は ふ れ な い が,興

析 と し て 利 用 さ れ て い る.こ

味 の あ る 読 者 は,例

れ に

え ば 文 献[6],[7],[38]

等 を 参 照 さ れ た い.  J.L.Walshは,Haar関 系を 定 義 し た[33].ま

数 の 線 形 結 合 に よ っ て 得 ら れ る 別 の 完 備 な 正 規 直交 ず,

(1.12)

と お き,次

にn∈Nとk=1,2,…,2n-1に

対 して

(1.13)

と定 義 す る.  容 易 に わ か る よ う に,Walsh関

数 列〓

Haar関

数 列〓

Haar関

数 列 に属 す る 関 数 はWalsh関

に 属 す る関 数 は

の線 形 結 合 で 一 意 的 に表 され る.ま た,逆 に 数 列 の 線 形 結 合 に よ っ て一 意 的 に表 さ

れ る.

1.3 

Walsh関

数

  前 節 で 述 べ た よ う に,Walsh関 る が,こ

こ で は 改 め てPaleyの

  k∈N0に

対 し て,Walsh関

数 はHaar関

数 の 線 形 結 合 に よ っ て定 義 で き

表 現 に よ っ て 定 義 す る[28]. 数 ψk(x)はx∈[0,1)の2進

法 展 開 が(1.2)で

表 さ

れ る とき

(1.14) と 定 義 す る.こ Walsh関

こ でkは(1.1)の

よ う に2進

数 の 集 合{ψk(x):k∈N0}をWalsh関

functions),あ

る い は 単 にWalsh関

法 展 開 さ れ て い る も の と す る. 数 系(the system of

数(Walsh functions)と

い う.1.2節

Walsh で定

義 し た〓

と こ の〓

とは番 号 の

付 け 方 に 相異 が あ る もの の 集 合 と し て は 等 し い こ と に 注 意 し よ う.k=0,1,…, 15の

ψk(x)を 図1.3に

  次 にWalsh関

示 し て お く.

数 の 性 質 に つ い て 考 え よ う.こ の た め に2進

加 法 と い う演 算 を

導 入 す る.   初 め に 集 合{0,1}の

上 に 定 義 す る.h,k∈{0,1}に

図1.3 

Walsh関

数(Paley順

対 し て2進

序)

加 法(dyadic

addition)〓

を

(1.15) と定 義 す る.こ

の 演 算 に 対 し て 以 下 の 性 質 が 成 り立 つ.

(1) 

h〓k=k〓h 

(対 称 律)

(2) 

(h〓k)〓m=h〓(k〓m) 

(3) 

任 意 のkに

対 し てk〓0=k 

(零 元 の 存 在)

(4) 

任 意 のkに

対 し てk〓k=0 

(逆 元 の 存 在)

し た が っ て({0,1},〓)は

(結 合 律)

可 換 群 で あ る.

  こ の 演 算 をN0と[0,1)の

上 に 拡 張 す る.ま

ず,h,k∈N0に

対 して

(1.16) と定 義 す る.こ こでhjやkjは

それ ぞれ2進

法 展 開 の第j桁

を表 して い る .す な

わち

と す る.し

た が っ て,h〓kは

そ れ ぞ れ を2進

1}上 の〓

演 算 を 行 っ て 得 ら れ る.(N0,〓)も

に[0,1)の

上 で 考 え よ う.x,y∈[0,1)の

と す る.こ

法 展 開 し て 対 応 す る 桁 ご と に{0, 可 換 群 で あ る こ と が わ か る.さ

そ れ ぞ れ の2進

ら

法展開 を

の とき

(1.17) と 定 義 す る.し た が っ て,[0,1)の 上 の〓

上 で も2進

演 算 を 行 う こ と で あ る.x〓yの

の 展 開,す

な わ ち 無 限 に0が

束 し た と お り で あ る.こ

展 開 し て,対 応 す る 桁 ご と に{0,1}

結 果 が2進

続 く展 開 を そ の2進

の こ と か らx,y,z∈[0,1)に

有 理 数 と な る 場 合 は有 限 項 法 展 開 とす る こ とは す で に約 対 して

は必 ず し も成 り立 た な い こ とに注 意 し よ う.   さ て,Walsh関 に 対 し て,定

数 の い く つ か の 性 質 に つ い て 考 え よ う.h,k∈N0とx∈[0,1) 義 によ り

とな る.右 辺 の値 は指 数 の偶奇 に よ っ て決 ま る の で,h1-j+k1-jを￨h1-j−k1-j￨ に置 き換 え て も その 値 は 変 わ らな い.よ っ て

(1.18) が 得 ら れ る.同

じ よ う に し て 次 式 も示 さ れ る.

  任 意 のk∈N0とx∈[0,1)と

に対 して

(1.19) (1.20) こ こ で(1.19)の

意 味 は,任

意 のx∈[0,1)に

成 り立 つ と い う こ と で あ る.証 れ ぞ れ2進

明 は(1.18)と

無 理 数 で,か つx〓yが2進

つ い て 考 え て み よ う.定

対 し て 可 算 個 のy∈[0,1)を

除 いて

ほ と ん ど 同 じ で あ る が,x,yが

そ

有理 数 と な る 場 合 が 問 題 と な る.こ れ に

義 に よ り

(1.21) と な る.一

方

(1.22) で あ る.と

こ ろ でx〓yは2進

と な る.他

方,仮

有理 数 と し た の で,あ

るN＞0に

対 して

定 よ り

と な り,(1.21)と(1.22)の

右 辺 は 必 ず し も 一 致 し な い.各x∈[0,1)に

対 し て,

x〓y が2進

有理 数 と な るy∈[0,1)の

  次 にLebesgue測

度 と2進

集 合 は 可 算 集 合 で あ る.

シ フ トに つ い て 述 べ て お こ う.E⊂[0,1)に

対 して

(1.23) をEの2進

シ フ ト(dyadic shift)と

い う.ま

た[0,1)上

の 関 数fに

対 して

(1.24) をfの2進 ￨E￨と

シ フ ト と い う.可測

書 く こ と に す る.以

Le besgue測

度 が2進

集 合E⊂[0,1)に

下 に2進

対 し て そ のLebesgue測

度 を

シ フ トが 保測 変 換 で あ る こ と,す

な わ ち

シ フ トに 関 し て 不 変 で あ る こ と を 示 そ う.

 定 理1.1y∈[0,1)と

す る.も

し集 合E⊂[0,1)が

可測 な ら ば,τy(E)も

可測 で

あ り,か つ

(1.25)  ま た,f∈L1[0,1)な

ら ば,τyf∈L1[0,1)か

つ

(1.26)   で あ る. 定 理1.1の

証 明]  あ るn∈N0に

展 開 を〓

と し,

と な る よ う にp∈N0を

対 し てI=[0,2-n)と

選 ぶ.そ

し て〓

と お く.こ の と きy=p・2-n〓zで

あ る.ま

お く.y∈[0,1)の2進

法

を

たx,z∈Iの

と きx〓z∈Iと

な る こ

とに注 意 す る と

(1.27) が 得 ら れ る.こ

れ よ り￨τy(I)￨=￨I￨が

つ こ と が わ か る.し と る 関 数)に

た が っ て,す

対 し て(1.26)が

す べ て の2進

べ て の2進

成 り 立 ち,結

区 間I(p,n)に

階 段 関 数(2進 局,す

対 し て 成 り立

区 間 の 上 で定 数 を

べ て のf∈L1[0,1)に

対 して

(1.26)が

示 さ れ る.特

 1.2節

でHaar関

に,f=1Eと

お く こ と に よ り￨τy(E)￨=￨E￨が

Rademacher関

数 とWalsh関 数 とWalsh関

  k∈N0,x∈[0,1)が

得 ら れ る.□

数 と の 関 係 に つ い て 述 べ た が,こ

こで

数 の 関 係 に つ い て 述 べ て お こ う.

そ れ ぞ れ(1.1),(1.2)で

表 さ れ て い る と き,Walsh関

数

ψk(x)は 定 義 に よ り

で あ る.ま

たRademacher関

で あ る.よ

って

数 の定義 によ り

(1.28) と な る.す か る.こ

な わ ち,Walsh関 の こ と か らWalsh関

示 さ れ る.ま

ず,正

数 はRademacher関

数 の 積 で 定 義 さ れ る こ とが わ

数 系{ψk(x):k∈N0}が

完 備 直交 系で あ る こ と が

規 直交 系で あ る こ と に つ い て は

(1.29) を 示 せ ば よ い.h=kの

場 合 は 明 ら か で あ ろ う.h〓kの

場 合 に つ い て は,与

式

が

のか た ち に帰 着 す る こ と と,α0,α1,…,αNが す べ て 偶 数 で あ る場 合 以 外 は0と な る こ とか ら明 らか で あ る.  次 に完 備 性 を 示 そ う.こ の た め に はす べ て のk∈N0に

対 して (1.30)

な ら ば,

(1.31) と な る こ と を 示 せ ば よ い.関 数 ψk(x)(0≦k＜2n)は で 一 定 値 を と る こ と に 注 意 し よ う.可

区 間[P・2-n,(p+1)・2-n)上

積 分 関 数f(X)∈L1[0,1)は

をみ た す も の と す る.こ

の とき

とお く と

(1.32) と な る.こ

こで

で あ る.{ψk(x):k∈N0}が

正 規 直交 系で あ る こ と よ り,行

は0で は な い.す

なわち行列

は 正 則 で あ る.よ

っ て(1.32)よ

列 式

り

(1.33) を 得 る.さ て連 続 関 数F(x)を

に よ っ て 定 義 す る と,(1.33)よ

と な る.よ

っ てF(x)は

{ψk(x):k∈N0}が

り

定 数 で あ る.こ

れ に よ り(1.31)が

示 さ れ,よ

っ て

完 備 で あ る こ とが 示 さ れ る.

 と こ ろ で(1.18)と(1.29)と

か ら

(1.34) が 得 られ る こ と に注 意 し よ う.

 本 節 の 終 わ りに補題 を示 して お こ う.k∈N0に

とお き,ま たn∈N0に

と お く.こ

対 して

対 し て2進 法 展 開 を〓

と して

の と き

 補題1.1

(1.35) 補題1.1の

証 明]  ま ず,Bn,k∩Bn,j=φ(k≠j)で

素 の 数 は〓

で あ る.ま

l∈n〓Ak で あ る か ら,l=n〓mと

と表 す こ とが で き る.よ

あ り,集 合〓の

た,l∈Bnな 表 さ れ る.こ

要

ら ば,n-k=1なるkに

対 して

こ でmは

って2進 加 法 の 定 義 に よ り

と な る.□  次 に

と お く.

 補題1.2 

k∈Nはk=2n+l(0≦l＜2n)と

表 さ れ る も の と す る.こ

の とき

(1.36) 補題1.2の 一定で ある

証 明]  ψk(x)はI(p,n+1)上 .よ

って

で 一 定 で あ り,ψl(x)はI(p,n)上

で

で あ るの で,ψk(x)=ψ2n(x)ψl(x)はI(2p,n+1)の は 異 符 号 を と る.し

上 とI(2p+1,n+1)の

上 で

たが って

よって

ま た ψ1(x)を 周 期 拡 張 し てR+上

で 定 義 し て お け ば,ψ2n(t)=ψ1(2nt)が

成 り立

つ ので

と な る.□

練習問題 1.  次 の 数 を2進  (1)

50

 (2)

0.8125

 (3)

3.5

2.  {0,1}上

の2進

法 展 開 し な さ い.

加 法〓

に 対 し て 結 合律

が 成 り 立 つ こ と を 示 せ.ま

律 が 成 立 し な い こ と を 示 せ. 3. x,y∈[0,2-n)に

対 し てx〓y∈[0,2-n)と

な る こ と を 示 せ.

たR+上

で 結合

本 章 で はWalsh‐Fourier級

数 と そ の 収 束 性 に つ い て 述 べ る.2.1で

Walsh‐Fourier係

数 を 定 義 し,Riemann‐Lebesgueの

た,2進

シ フ ト とWalsh‐Fourier係

合 成 積 や2進

及 す る.2.2で

数 との関係 につ いても 言

は,W‐ 連 続 性 とD‐ 微 分 を 定 義 し,Walsh関

を み た す こ と を 示 す.ま たD‐ 微 分 とWalsh‐Fourier係 2.3と2.4で

は,2.5で

準 備 を す る.特

に2.3で

核 に つ い て 述 べ る.2.5で い て 述 べ る.

数 が これ らの 性 質 数 と の 関 係 も 示 す.

述 べ るWalsh‐Fourier級

数 の収 束性 を示 す た めの

は 連 続 率 に つ い て 述 べ,2.4で は,Walsh‐Fourier級

は,

補題 を 示 す.ま

はWalsh‐Dirichlet

数 の い くつ か の 収 束 性 に つ

2.1 

walsh‐Fourier級

  関 数f∈L1[0,1)に

対 し て 変 換,

をfのWalsh‐Fourier係 係 数(Walsh

数(Walsh‐Fourier

coefficients)と

も い う.ま

をfのWalsh‐Fourier級 (Walsh

数

coefficients),ま た,級

数(Walsh‐Fourier

series)と

も い う.例

た は 単 にWalsh

数

series),ま

た は 単 にWalsh級

え ば,f(x)=x(x∈[0,1))のWalsh‐Fourier級

数 数

は

で あ る.   定 理2.1(Riemann‐Lebesgueの

補題) f∈L1[0,1)な

らば

(2.1) 定 理2.1の

証 明] Walsh多

のf∈L1[0,1)はWalsh多

と な るWalsh多

項式*)はL1[0,1)に 項式 で 近 似 さ れ る.す

項式〓

お い て稠 密 で あ る.よ っ て 任 意 な わ ち,任 意 の ε＞0に 対 し て

が 存 在 す る.ま

た,Walsh関

数系 は直

交系で あ る か ら,

*)Walsh多

項式 はWalsh関

数 の 有 限 項 の 線 形 結 合 で あ る.よ

い て跳 躍 点 を もつ 右 連 続 な階 段 関 数 で あ る.

って,Walsh多

項式 は2進

有理 数 に お

よ って

を 得 る.し

た がって

と な る.□ f ,g∈L1[0,1)に

対 して積 分

(2.2) を2進

合 成 積(dyadic

convolution)と

  定 理2.2 f,g∈L1[0,1)な

い う.

ら ば,f〓g∈L1[0,1)か

つ

(2.3) 定 理2.2の

と な

証 明]  (1.26)に

よ り

る の で,f〓g∈L1[0,1)は

ψn(x〓y)ψn(y)(a.a.y)で

を 得 る.さ

ら に(1.26)に

と な る の で,結

局(2.3)が

 定 理2.3 f∈L1[0,1)に  (1)   (2) 

明 あ る.よ

ら か で あ る.ま

た(1.19)よ

り,ψn(x)=

っ て

よ り

得 ら れ る.□ 対 して (n∈N0)  (m,n∈N0) 

(2.4) (2.5)

定 理2.3の

証 明]  (1.19)と(1.26)と

ま た,(1.18)に

に よ り

よ り

を得 る.□

2.2   fを[0,1)上

w‐ 連続 とD‐ 微分 で 定 義 さ れ た 複 素 数 値 関 数 と し,x∈[0,1)を

固 定 す る .任

意 の

ε＞0に 対 し て あ る δ＞0が 存 在 し て

と な る と き,fはxに 意 のx∈[0,1)に

お い てW‐

お い てW‐

連 続(W‐continuous)で

連 続 な ら ば,fは

あ る と い う .fが

任

単 にW‐ 連 続 で あ る と い う.不 等 式

(2.6) が成 り立 つ の で,連 続 関 数 はW‐ 連 続 で あ る.し か し,W‐ 連 続 で あ っ て も連 続 とは 限 らな い.   す べ て の2進 無 理 数 に お い て 連 続 で,す べ て の点 に お い て 右 連 続 な 関 数 はW ‐連 続 で あ る.Haar関

数,Rademacher関

数,Walsh関

数 はW‐ 連 続 で あ るが,

いず れ も連 続 で は な い.す べ て の2進 無 理 数 にお い て連 続 で,す べ て の 点 で 右

連 続,か つ す べ て の 点 で有 限 な 左 極 限 を もつ 関 数 の集 合 をCwと

す る.f∈Cwは

[0,1)上 で一 様W‐ 連 続 で あ る.   次 にn∈N0に

対 して

(2.7) と す る と き,極

限

(2.8) が 存 在 し て 有 限 な ら ば,fはxに で あ る と い う.ま

た,す

べ て のx∈[0,1)に

微 分 可 能 で あ る と い う.こ う[5],[18].高

お い てD‐ 微 分 可 能(dyadic differentiable) お い てD‐ 微 分 可 能 な ら ば,fはD‐

の と きf[1](x)をfのD‐

導 関 数(D‐derivative)と

い

次 のD‐ 導 関 数 は

(2.9) に よ っ て 定 義 す る.   ま た,f∈Lp[0,1)(1≦p＜ のと き〓

∞)に 対 し て,あ

るg∈Lp[0,1)が

と な る な ら ば,fは(Lp‐

(strongly D‐differentiable)で

あ る と い う.こ

強D‐ 導 関 数(strong D‐derivative)と

存 在 し て,n→

ノ ル ム の 意 味 で)強D‐ の と きd[1]f=df=gと

い う.高

∞

微 分可能 お い てfの

次 の導関 数は

(2.10) に よ っ て定 義 す る.定  定 理2.4 

Walsh関

義 か ら明 らか な よ うにD‐ 微 分 は線 形 作 用 素 で あ る. 数 はD‐ 微 分 可 能 で あ り,か

つ 強D‐ 微 分 可 能 で あ る .

 (1) 

(2.11)

 (2) 

(2 .12)

定 理2.4の

証 明] r=1の

と な る.よ

って

場 合 を 示 す.j∈N0に

対 して

(2.13) を 得 る.両

辺 の 極 限 を と る こ とに よっ て

が 得 ら れ る.ま 0,1)よ

た(2.13)の

右 辺 は 大 き なnに

対 し て 一 定 の 値 を と る の で,ψk∈Lp[

り

を 得 る.□

 一般 にD‐ 微 分 可 能 で あ っ て もW‐ 連 続 と は限 らな い

.ま た,W‐ 連 続 で あ って

もD‐ 微 分 可能 とは 限 ら な い こ と に注 意 し な け れ ば な ら な い.  次 にWalsh係

数 と そ のD‐微 分 の 関 係 につ い て考 え よ う.

 定 理2.5 fはr回

強D‐ 微 分 可 能 と す る.こ の と き

(2.14) 定 理2.5の

証 明] Walsh係

数 は積 分 に よ っ て 定 義 され て い る の で,線

形変換

で あ る.よ っ て

したが ってfが

強D‐ 微 分 可 能 な らば,

と な る.ま

た(2.4)に

と な る.と

ころ で

よ り

で あ るの で

と な り,十

分 大 き いnに

対 し て 右 辺 は 一 定 値kf(k)を

と る.し

たが って

こ う してr=1の

2.3 

場 合 が 示 さ れ る.同 様 に してr＞1の

連続率

 Riemann‐Lebesgueの と も に0に

補題 に よ る と,Walsh係

収 束 す る が,収

of continuity)に  f(x)を

場 合 も示 され る.□

数 はパ ラ メ ー タの 値 の増 加 と

束 の 速 さ は わ か ら な い.こ

の 節 で は 連 続 率(modulus

よ る 収 束 の 速 さ に つ い て 考 え る.

区 間[0,1)上

で 定 義 さ れ た 関 数 と す る.各

δ＞0に 対 し て

(2.15) をfの2進

連 続 率(dyadic

modulus of

continuity)と

い う.ま

た

(2.16) をfの2進Lp‐

連 続 率(dyadic Lp

  あ る α＞0に 対 し て 定 数C＞0が

modulus of

continuity)と

い う.

存 在 して

(2.17) が 成 り 立 つ と き,fは orderα)を 1)と

は,詳

[0,1)を

α 次のW‐Lipschitz条

み た す と い い,f∈Lip(α,w)と し く い う とx∈[0,1)＼Q+に

除 く と い う 意 味 で あ る.定

件(W‐Lipschitz

condition of

表 す こ と に す る.こ

こ でa.a.y∈[0,

対 し てx〓y∈[0,1)∩Q+と

義 よ りf∈Lip(α,W)な

な るy∈

ら ば,

(2.18) と な る こ と に 注 意 し よ う.   定 理2.6(Walsh) f∈L1[0,1)に

対 して

(2.19)   定 理2.6の

証 明] k∈N0を

Walsh‐Fourier係

固 定 し て2n≦k＜2n+1を

数 の 線 形 性 と(2.4)に

よ り

み た すn∈N0を

と る.

と な る.nの

と な り,よ

選 び 方 に よ り ψk(2-(n+1))=−1で

あるか ら

って

を 得 る.□ f∈L1 [0,1)と

δ＞0と に 対 し て

(2.20) と な る.よ

 系

っ て 定 理2.6よ

り次 の系 を 得 る.

2.1

 (1) f∈Lp[0,1)(1＜p＜

∞)な

ら ば,

(2.21)  (2) fがW‐

連 続 な ら ば,

(2.22)  さ ら にf∈Lip(α,W)な

ら ば,(2.1８)よ

り,

(2.23)  次 にfが

強D‐ 微 分 可 能 な場 合 に つ い て 考 え よ う.

 定 理2.7 f∈L1[0,1)が

強D‐ 微 分 可 能 な ら ば,

(2.24) 定 理2.7の れ る.任

証 明]  固 定 し たk∈Nに 意 のg∈L1[0,1)に

対 して

対 し て2n≦k＜2n+1を

み た すn∈N0が

と

は 明 ら か で あ ろ う.よ

っ て(2.21)に

よ り

(2.25) を示 せ ば十 分 で あ る.そ

こで

と お き,y(0≦y＜2-n)を

固 定 して

と お く.こ

の と き

と な る こ と を 示 す.こ

の た め に は,Walsh関

数 系 は 完 備 で あ る の で,

(2.26) を 示 せ ば 十 分 で あ る.(2.4)に

と な る.一

方,(2.3),(2.4)お

と な る.と

こ ろで

よ り

よ び(2.14)に

で あるので

と な り(2.26)が

示 さ れ る.

  次 に(2.25)を

示 そ う.上

で 示 した こ とか ら

よ り

と な る.よ

って

を 得 る.さ

ら に 定 理3.2で

で あ る の で,結

2.4 

局(2.25)が

述 べ る ように

示 さ れ る.□

Paleyの

 f∈L1 [0,1)に

補題

対 し てWalsh‐Fourier級

数 の部 分 和 を

(2.27) と表 す こ とに す る.Walsh係

と な る.そ

数 の定義 よ り

こで

(2.28) と お き,Dn(x)をWalsh‐Dirichlet核(Walsh‐Dirichlet Dirichlet核

と す る.こ

と い う.た

kerne1)ま

た は単 に

だ し

の よ う に す る と,部

分 和 は(1.19)に

よ り

(2.29) と 表 さ れ,Walsh‐Fourier級 と が わ か る.な

お,上

数 の 収 束 性 にDirichlet核

式 右 辺 の 積 分 をDirichlet積

う.  そ こ で,ま

ずDirichlet核

に つ い て 述 べ よ う.

が 重 要 な役 割 を す る こ

分(Dirichlet

integral)と

い

 定 理2.8(Paleyの

補題) n∈N0に

対 して

(2.30)

定 理2.8の ら,[2-n,1)の

で あ り,直交

証 明]  0≦k＜2nな 上 でD2n(x)が0と

るkに

対 し て ψk(x)=1(0≦x＜2-n)で

な る こ と を 示 せ ば よ い.と

あ るか

こ ろが

性 よ り

よ っ てD2n(x)=0(x∈[2-n,1))と

な る.□

 定 理2.9 f∈L1[0,1)がx∈[0,1)に

お い てW‐ 連 続 な ら ば,

(2.31) 定 理2.9の

証 明]  Paleyの

仮 定 よ りfはx∈[0,1)に

補題 よ り

お い てW‐ 連 続 な の で,n→

∞の

と き 右 辺 は0に

す る.□

収束

 定 理2.10 n∈N0の2進

法 展 開を〓

とする.こ の とき

 (1) 

(2.32)

 (2) 

(2.33)

 (3) 

(2.34)

定 理2.10の

証 明]  0≦k＜2nに

対 し て,(1.28)に

より

(2.35) とな る の で

(2.36) と な り,(1)が

得 ら れ る.さ

らに

(2.37) も 得 ら れ る.補題1.1よ

り

ま た,

よ っ て(2)が

得 ら れ る.さ

ら に(2.37)を

代 入 す れ ば(3)が

示 さ れ る.□

 系 2.2

(2.38) 系2.2の

証 明] ￨Dn(x)￨≦nは

2-j≦x＜2-j+1なるj∈Nを

定 義 よ り明 らか.よ 選 ぶ.〓

っ て￨Dn(x)￨＜2/xを と し,(2.34)と(2.30)を

示 そ う. 適 用す

ると

と な る.ま

た2j＜2/xで

 つ い で にLebesgue定

あ る の で 系 が 得 ら れ る.□ 数(Lebesgue

constants)

(2.39)

に つ い て 述 べ て お こ う.   定 理2.11 

k∈Nが

 と表 され る とき

(2.40) 定 理2.11の

を 得 る.ま

証 明]  k=2n+l,0≦l＜2n(n,l∈N0)と

お く と,定

義 よ り

た

(2.41) で あ る か ら,Paleyの

補題 よ り

(2.42)

よって

こ の 式 を 繰 り返 し適 用 す る こ と に よ り(2.40)が  と こ ろ で,nj≧0,nj-1≧1,…,n1≧j−1で

で あ る.よ

って

と(2.40)と

か ら,

得 ら れ る.□

あ るか ら

(2.43) が 得 ら れ る.ま

たL2n=1(n∈N0)で

あ る こ と に 注 意 す る とL2n=O(1)が

得 ら

れ る.

2.5 

walsh‐Fourier級

  初 め にRiemann‐Lebesgueの   補題2.1 f∈L1[0,1)に

数の 収束性

補題 か ら 得 ら れ る 次 の 補題 を 示 そ う. 対 して

(2.44)  こ こに〓

とす る とき

(2.45) 補題2.1の

証 明]  ま ず,

に 注 意 し よ う.よ

っ てPaleyの

補題 に よ り

(2.46) と な る の で,す

べ て のk≧Mに

で あ る.し

た が っ て,(2.34)に

を 得 る.こ

こに

対 し てt〓IM(x)な

よ り

らば

g

k∈L1[0,1)で gk(n)→0と

あ る の で,Riemann‐Lebesgueの

補題

は,xの

数 のx∈[0,1)に

任 意 に 小 さ い近 傍 に お け るf(x)の

定 理2.12の

証 明] g∈L1[0,1)か

−δ,x+δ)と

つf(t)=g(t)(t∈(x−

す る こ と が で き る.こ

と な る.f−g∈L1[0,1)な な わ ちxに

δ,x+δ))と

す る.こ

十 分 大 き く と れ ば,IM(x)⊂(x

の と きf(t)=g(t)(t∈IM(x))と

の で,補題2.1に

よ り右 辺 はn→

お い てfとgのWalsh‐Fourier級

れ は 点xに

お ける振 舞 い

様 子 に の み 依 存 す る.

こ で δ＞0は 任 意 の 小 さ い 数 と す る.M∈N0を

散 す る.こ

∞ の と き

な っ て 補題 が 示 さ れ る.□

  定 理2.12 f∈L1[0,1)のWalsh‐Fourier級

る.す

に よ りn→

お け る.fのWalsh‐Fourier級

∞の

な り

と き0に

収束 す

数 は 同 時 に 収 束,ま

た は発

数 の 振 舞 い が,xの

任意 に

小 さ い 近 傍 に お け るfの

様 子 に の み 依 存 し て い る こ と を 示 し て い る.□

  以 上 の 理 由 に よ り,定

理2.12は

ば れ る.以 下Walsh‐Fourier級

局 所 原 理(the localization

 と お く.も

テ ス ト) f∈L1[0,1)の

しg∈L1[0,1)な

らば

証 明]  系2.2よ

り

 で あ る. 定 理2.13の

よ っ てM∈N0に

対 して

よ

数 が 収 束 す る た め の い くつ か の 条 件 に つ い て述

べ よ う.   定 理2.13  (Diniの

principle)と

とき

とな る.右 辺 第1項 → ∞の

と き0に

は〓

を使 った.第2項

収 束 す る .よ

  定 理2.14  (Dirichletの

っ て 補題2.1よ

はg(t)∈L1[0,1)よ

りM

り定 理 が 証 明 さ れ る.□

テ ス ト) fが[0,1)上

で 有 限 か つ 有 界変 分 で あ り,

x∈ [0,1)に お い てW‐ 連 続 な ら ば,

定 理2.14の の で,fは

証 明]  有 界変 分 の 関 数 は2つ

の単 調 増 加 関 数 の差 と し て表 され る

単 調 増 加 関 数 で あ る と仮 定 して証 明 し よ う.ま ず

と お き,

とお く.第2平

均 値 の定 理 に よ り,次 式 をみ た す ξ∈IM(x)が 存 在 す る.す な わ

ち,任 意 のn∈N0に

対 して

よ っ て十 分 大 き いM∈Nに

と な る.こ

対 して

こに

した が っ て,補題2.1に ,x,y∈[0,1)を

よ りΔ が 有 限 で あ る こ と を 示 せ ば よ い. n∈N0 固 定 す る.そ

し てn=2m+lか

つ0≦l＜2mを

みたす よ

う にm,l∈N0を

選 ぶ.こ

の とき

と表 さ れ るの で

と 表 す こ と が で き る.明

らか に

また

で あ り,補題1.2に

よ り

(2.47) と な っ て,

を 得 る.こ

れ よ りΔ ≦2が 示 さ れ る.□

 定 理2.15  (Dini‐Lipschitz) Fはx∈[0,1)に

お い てW‐ 連 続 で,か

つ

 な ら ば,

定 理2.15の

証 明]  k=2n+l(0≦l＜2n)に

対 し て,差

(2.48) を 考 え る.こ

こで

(2.49) を 適 用 し た.h＜2nに

また

対 し て ψh(2-(n+1))=1で

あるので

で あ る． よ っ て2進

シ フ トに関 して積 分 は不 変 で あ るか ら

(2.50) と な る.(2.48)と(2.50)と

の 和 を と る と

で あ る か ら,(2.43)を

適 用す る と

(2.51) を 得 る.よ

っ て 定 理2.9よ

 系2.3 

も しf∈L1[0,1)がf∈CWで,か

 な ら ば,[0,1)に

系2.3の

こ と か ら,結

つ

お いて一様 に

証 明] f∈CWな

(2.31)は[0,1)に

付

り結 果 が 得 ら れ る.□

らばfは[0,1)に

お い て 一 様W‐

お い て 一 様 に 成 立 す る.さ

ら に(2.51)はxに

果 は 明 ら か で あ る.□

記

1. f∈L1[0,1)に

 と 表 され る.特

対 し て(2.29)は

にS2nfの

場 合,Paleyの

補題 に よ り

連 続 で あ る の で, 依 存 して い な い

  で あ る.f∈L1[0,1)に

対 して

  で あ る か ら,f∈L1[0,1)な

 と な る こ と が わ か る.こ

らば

2.f∈L1(R+)と

れ は 定 理2.9よ

り 一 般 的 な 結 果 で あ る.

す る と,

 よ っ て 級 数

 は 区 間[0,1)の

上 でa.a.xに

 と お く と,M(x)∈L1[0,1)か も 区 間[0,1)の

 とす る とF(x)∈L1[0,1)か

お い て 収 束 す る.そ

つ 周 期1の 上 でa.a.xに

つ 周 期1の

こで

周 期 関 数 と な る.し お い て収 束 す る.そ

周 期 関 数 とな る .い

 と お く と,

 か つ

 で あ る.よ

って

 に お い て,N→

 を 得 る.ゆ

∞と す る とLebesgueの

え にF(x)はWalsh‐Fourier級

収 束定 理 に よ り

数

ま

こで

た が っ て 級 数〓

 に展 開 さ れ る.そ こで,も しF(x)のWalsh‐Fourier級 和 がF(0)に

数 がx=0で

収 束 し,そ の

等 しい な ら ば

 で あ る.よ

って

 が 成 立 す る.こ

れ はPoissonの

和 公 式 と よ ば れ て い る.

練習問題 1.  2進 無 理 数 に お い て 連 続 で,か

つ す べ て の 点 に お い て 右 連 続 な 関 数 はW‐ 連 続 で

 あ る こ と を 示 せ. 2. f∈CWは

一 様W‐連続

3. D‐ 微 分 可 能 でW‐連続

で あ る こ と を 示 せ. で な い例 を あ げ よ.ま た,逆

の 例 もあ げ よ.

4.  有 界 で な いW‐ 連 続 な例 を あ げ よ. 5.  次 の 式 を示 せ.  (1)  (2)  (3) 6. f∈L1[0,1)と

す る.こ

の とき

 とな る こ と を示 せ.ま

た,こ

の こ と よ りf(x)のW‐

 と な る こ と を示 せ.さ

ら に,f(x)が

一 様W‐ 連 続 な ら ば,上

あ る こ と を 示 せ. 7.  Walsh級

数〓

 と し,(C,1)和

の部 分 列 を

を

連続 点 にお いて

の収 束 は一 様 収 束 で

とす る.Walsh級

数S(x)が

あ る 関 数f∈L1[0,1)のWalsh‐Fourier級

た め の 必 要 十 分 条 件 は{σn(x)}がL1[0,1)でCauchy列

が 成 立 す る こ とで あ る.こ れ を 示 せ.

を つ くる こ と,す

数 である なわ ち

本 章 で はWalsh‐Fourier級 はCesaro平

均 とCesaro総

級 数 のCesaro平 たDirichlet核

和 可 能 性 の 定 義 を 述 べ,Walsh‐Fourier

均 がWalsh‐Fejer核 とFejer核

3.2で はWalsh‐Fourier級 びAbel総

数 の 総 和 法 とL2‐ 理 論 に つ い て 述 べ る.3.1で

を 用 い て 表 さ れ る こ と を 示 す.ま

と の 関 係 に も ふ れFejer核 数 のCesaro(ま

和 可 能 性 に つ い て 述 べ る.3.3で

空 間 に お け る 収 束 性 に つ い て 述 べ,3.4で の 定 理 を 示 す.

の 評 価 を与 え る.

た は(C,1))総

和 可能 性お よ

はWalsh‐Fourier級

数 のL2‐

はL2‐ 理 論 で 中 核 を な すParseval

3.1 

Fejer核

 級 数〓に

対 して 部 分 和 を〓

とお こ う.こ の と き

(3.1) を 級 数〓のCesaro平

な ら ば,級

均(Cesaro

means)ま

数〓akはAにCesaro総

た は(C,1)平

均 と い う .も

和 可 能(Cesaro summable)ま

し

た は(C ,1)

総 和 可 能 と い う.  不 等 式

(3.2) よ り,k→ ば,そ

∞の

と きAk→Aな

れ は(C,1)総

らば,σk→Aで

和 可 能 で あ る.し

級 数 が 収 束 し な い 場 合 に(C,1)総

あ る .す な わ ち,級

数が収束 すれ

か し 逆 は 必 ず し も成 り立 た な い .そ

こ で,

和 可 能 で あ るか 否 か が 問 題 とな る.

n∈Nに 対 し て,和

(3.3) をWalsh‐Fejer核(Walsh‐Fejer )と

い う.容

Kernels)ま

易 に わ か る よ う にDirichlet核

た は 単 にFejer核(Fejer

kernels

との 関 係 は

(3.4) と な る.す

な わ ち,Fejer核

べ た よ う に,Dirichlet核

はDirichlet核

の 算術 平 均 で 与 え られ る

.す

で に述

はWalsh‐Fourier級

数の収束性 について 重要 な役 を

は た し て い る.こ れ に 対 し て,Walsh‐Fejer核

は(C ,1)総 和 可 能 性 に つ い て 重 要

で あ る.

  2章 で 約 束 し た よ う に,fのWalsh‐Fourier級

数 を

その部分和 を

と表 す こ と に す る.同

じ よ う に(C,1)平

と表 す こ と に し よ う.さ

で あ り,2進

合 成 積〓

均 を

て

に関 して分 配 律 が 成 り立 つ こ とか ら,

(3.5) と表 す こ と が で き る.ま

たWalsh関

数 はD‐ 微 分 可 能 で あ る か ら, Dirichlet核

もD‐ 微 分 可 能 で あ り,

(3.6) と な る.よ

っ てFejer核

は

(3.7)

 この他 の 関 係 を ま と め て述 べ て お こ う.な お,記 述 を簡 単 にす る た め に変 数 を省 略 す る.   定 理3.1  (1)  0≦k＜2nな

るn,k∈N0に

対 して

(3.8)  (2) 〓

と し,

〓と す る と き,

(3.9)  (3)

(3.10)   特 に,  (4) 

2n-1≦m＜2n(n,m∈N)の

とき

(3.11)  (5)

(3.12) 定 理3.1の (1) 

証 明]

ま ず,

(3.13) よ り

と な る.右 D2nを (4) 

辺 に お い て,ψk(2-(n+1))=1(0≦k＜2n)か

ら得 られ る 関係

τ2-(n+1)D2n=

用 い た. 2n-1≦m＜2nで

あ る か ら,〓

上 式 に〓と(2.34)と

を 得 る.こ

こで

ψm(2-(j+1))}=m-jで

し た が っ てm≧2n-1よ

対 し て φi(2-(j+1))=1,お

あ るこ とより

と な る こ と に 注 意 し よ う.よ

(5) k∈N0を

って

を代 入 す る と

i≦jに 対 し てτ2-(j+1)D2i=D2i,i≠jに て(1/2){1−

と な り,よ

り(4)が

って

固 定 し て,(2)よ

得 ら れ る. り

よ びj∈N0に

対 し

であ る.ま

たPaleyの補題に

よ り〓

で あ り,(3)を

適用 する と

(3.14) し た が っ て,

を得 る.□   本 節 の 終 わ り に,前 章 の 定 理2.7の

証 明 の 中 で 用 い たW1(n)の 積 分 の評 価 を

示 して お こ う.   定 理3.2

(3.15) 定 理3.2の

証 明]  DkとKkの

と 表 さ れ る.し

を得 る.□

た が っ て,Paleyの

定義 によ り

補題 と(3.12)と

に よ り

3.2 

総和 可能性

  初 め にWalsh‐Fourier級

数 の(C,1)総

  定 理3.3 f∈L1[0,1)がx∈[0,1)に

和 可 能 性 に つ い て 述 べ よ う.

お い てW‐ 連 続 な ら ば,

(3.16) 定 理3.3の

ま た,容

証 明] 

(3.5)よ

り

易 にわか るよ うに

で あ る か ら,

(3.17) 右辺第2項 は (3.18) と表 さ れ る の で,補題2.1に 収 束 す る.ま

た(3.12)に

よ っ てn→

∞の

と き 任 意 のN∈N0に

対 し て0に

よっ て

(3.19) とな る.fはW‐

連 続 で あ るか らNを

十 分 大 き くす れ ば右 辺 は任 意 に小 さ くす

る こ とが で き る.□   定 理2.14と

定 理3.3と

を比 べ る と,算 術 平 均 に よ る平 均 化 に よっ て,(C,1)

総 和 法 で は有 界変 分 とい う条 件 が 除 か れ る こ とが わ か る.

 系3.1 

も しf∈CWな

らば,[0,1)に

お い て一様 に

(3.20)  と な る. 系 3.1の

証 明] f∈CWな

に(2.44)もx∈[0,1)に

らば,(3.19)の

右 辺 はx∈[0,1)に

依 存 し な い.さ

関 し て 一 様 収 束 で あ る.よ っ て(3 .18)も 一 様 に0に

収束

す る.□   次 に,Abe1総

和 可 能 性 に つ い て 述 べ よ う.級

￨r￨＜1で 収 束 し,か

な ら ば,Σakは   (C,1)総

 補題3.1の

和AにAbel総

級 数 Σakが(C,1)総

証 明]  Cauchyの

ここに

ま た,

で あ るか ら

と な る.こ

こで

対 し て,Σakrkは

つ

和 可 能 性 とAbel総

 補題3.1 

数 Σakに

和 可 能(Abel summable)で

あ る と い う.

和 可 能 性 との 間 に 次 の 関 係 が あ る.

和 可 能 な ら ば,Abel総

法 則 を2回

和 可 能 で あ る.

適用 す ることによって

ら

とお い た.仮

定 よ り任 意 の ε＞0に 対 し て,大

￨σk−s￨＜ ε と す る こ と が で き る.よ

き いNを

選 ん でk＞Ｎ

な ら ば,

って

とお くと き

また

ゆえに

  定 理3.3と

補題3.1に

よ り次 の系 が 得 ら れ る.

 系 3.2 f∈L1[0,1)がx∈[0,1)に Fourier級

数 はAbel総

 さ ら に系3.1と

様 にAbel総

3.3 

和 可 能 で あ る.す

補題3.1と

 系3.3  も しf∈CWな

連 続 な ら ば,fのWalsh‐

な わ ち,

に よ り次 の系 も 得 られ る.

らば,fのWalsh‐Fourier級

数 は[0,1)に

お い て一

和 可 能 で あ る.

Walsh‐Fourier級

  こ れ ま で はWalsh‐Fourier級 て き た.本

お い てW‐

数 の 各 点x∈[0,1)に

節 で はL2‐ ノ ル ム 収 束,す

な わ ち,n→

数 のL2‐ 理 論 お け る収 束 につ い て 述 べ ∞の

とき

に つ い て 考 え る.定

義 か ら わ か る よ う に,ノ

問 題 に し て い る の で は な く て,区 問 題 に す る.し

た が っ て,例

ム 収 束 す る 場 合 が あ る.こ ,g∈L2[0,1)に

間[0,1)上

ル ム 収 束 は 級 数 の各 点 で の収 束 を で平 均 的 に収 束 し て い る か 否 か を

え ば[0,1)上

の 可 算 個 の 点 で は 収 束 し な い が,ノ

こ でL2[0,1)空

間 の お さ らい を し て お こ う. f

ル

対 して

(3.21) をfとgの

内 積(inner

交 (orthogona1)す

product)と

い う.ま

た,(f,g)=0の

と き,fとgは

直

る と い う.

  定 義 か ら明 ら か な よ う に 次 の 性 質 が 成 り立 つ: (1) 

(3.22)

(2) 

(3.23)

(3) 

(3.24)

(4) 

(3.25)

 また

(3.26) をfのL2‐

ノ ル ム(norm)と

い う.以 後 特 に 断 りが な い か ぎ り,L2‐ ノ ル ム は‖ ・‖2

の 代 わ り に‖ ・‖ で 表 す こ と に す る.Schwarzの

不等式

か ら

(3.27) が 得 ら れ る.内

積 の 性 質 と(3.27)と

に よ り,ノ

ル ム に 対 し て 次 の 性 質 が 成 り立

つ: (1) 

(3.28)

(2) 

(3.29)

(3) 

(3.30)

な お,(3)は3角

不 等 式 と よ ば れ て い る.

  さ て,関 数 列{fn}(fn∈L2[0,1))がn,m→ ば,Cauchy列

∞ の と き,‖fn−fm‖ →0と

を な す と い う.{fn}がCauchy列

対 し て,n→

∞の

と き,‖fn−f‖ →0と

を な す と き,あ

る い はL2‐ 空 間 に お い て 収 束 す る と い い,

と表 す.こ

のfを

関 数 列{fn}の

1)の 中 に も つ な ら ば,空

収 束 極 限 と い う.Cauchy列

間L2[0,1)は

完 備(complete)で

定 義 さ れ た 完 備 な 空 間 をHilbert空 Hilbert空

るf∈L2[0,1)に

な る な ら ば,{fn}はfにL2‐

束 す る,あ

間(Hilbert

な るな ら

ノル ム で 収

が 収 束 極 限 をL2[0, あ る と い う.内

space)と

積 の

い う.L2[0,1)は

間 で あ る.

  ψn∈L2[0,1)は

明 ら か で あ る の で,(3.27)よ

り任 意 のf∈L2[0,1)に

対 して内

積

(3.31) が 定 義 さ れ る.我 々 は こ れ を(2.1)に 係 数,ま

た は 単 にWalsh係

な ら っ てL2‐ 空 間 に お け るWalsh‐Fourier

数 と い い,

(3.32) と表 す こ と に す る.級

数

(3.33) をL2‐ 空 間 に お け るWalsh‐Fourier級  定 理3.4 

数,ま

任 意 の 数 列(ak,k=0,1,…,n−1)に

た は 単 にWalah級

数 と い う.

対 して

(3.34) 定 理3.4の

証 明]  内積 の 性 質 とWalsh関

数 系 が 正 規 直交 系で あ る こ と よ り

また

と な る の で,

(3.35) を 得 る.よ

って左辺 は

(3.36) の と き に最 小 とな る.□   この定 理 はL2‐ 空 間 に お い てfのWalsh多 Fourier級

項式 に よ る近 似 式 の 中 でWalsh‐

数 が 最 も良 い 近 似 式 で あ る こ とを示 し て い る.

  定 理3.5  (Besselの

不 等 式) f∈L2[0,1)に

対 して

(3.37) 定 理3.5の

証 明]  (3.35)に(3.36)を

代入 す る と

となるので

が得 ら れ る.こ

こ でn→

∞ と す れ ば(3.37)が

3.4 

Parsevalの

示 さ れ る.□

関係 式

 定 理3.6  (Riesz‐Fisherの

定 理) 

数 列(ck,k∈N0)は

(3.38)  をみ たす とす る.こ の とき

 と す るf∈L2[0,1)が

存 在 し て,

(3.39) 定理3.6の

証 明]  部 分 和 を

と お き,m＜nに

と な る.よ f∈L 2[0

対 し てn→

っ てL2[0,1)は

∞,m→

完 備 で あ る か ら,n→

,1)が 存 在 す る.こ

と な る.よ

っ て(3.27)に

ゆ え に(f,ψk)=ckが   こ こ で,蛇

のfに

対 し て,n＞kの

よ り,n→

∞の

と き‖f−Sn‖ →0と

な る

とき

∞ の と き

示 さ れ る.□

足 な が らWalsh関

あ る こ と は,同

∞と す る と き

数 系 が 完 備 で あ る こ と と空 間L2[0,1)が

完 備 で

じ完備 とい う言 葉 を使 っ て い るが 異 な っ た概 念 で あ る こ と を注

意 し て お こ う.   定 理3.7 f∈L2[0,1)のWalsh‐Fourier級 束 す る.す

なわ ち

数 はL2‐ ノ ル ム の 意 味 でfに

収

(3.40)  さ らに (3.41)  が 成 り 立 つ.   (3.41)はParsevalの

等 式(Parseval's

(Parseval's

よ ば れ,Walsh関

relation)と

equation)ま

た はParsevalの

関係 式

数 系 が 完 備 で あ る こ と に よ っ てBes

selの 不 等 式 を精 密 化 した も の で あ る. 定 理3.7の

証 明] fのWalsh‐Fourier係

よ っ て 定 理3.6よ

り,あ

数ck=f(k)に

るg∈L2[0,1)が

対 し て 定 理3.5よ

り

存 在 して

(3.42) かつ

を み た す.し

たが って

と な り,Walsh関

数 系 が 完 備 で あ る こ とに よ り (3.43)

こ う し て(3.42)よ

り(3.40)が

得 ら れ る.次

に(3.35)に

お い て,akにCkを

代 入 す

る と

と な り,(3.40)に

よ り(3.41)が

得 ら れ る.□

  この 定 理 か ら,f∈L2のWalsh‐Fourier級

数 はL2‐ ノ ル ム の 意 味 でfに

収束

す る と い う こ と が わ か る.   同 じ よ う に し て,f,g∈L2[0,1)に

対 して

(3.44)

が成り 立 つ こ と もわ か る.こ

の 式 もParsevalの

等 式 と よ ば れ て い る.

練習問題 1.  Walsh‐Fejer核

が(3.4)で 表 され る こ と を示 せ.

2.  次 式 が 成 り立 つ こ と を 示 せ.  (1)  (2)

3. L2‐ ノ ル ム 収 束 を し,各 点 収 束 を しな い 関 数 列 の 例 を あ げ よ.

本 章 で はWalsh関 め4.1で

は2進

数 系 を 拡 張 し て一 般 化Walsh関 群 と そ の 指 標 群 に つ い て 述 べ,4.2で

関 数 系 が 自 然 な 対 応 で あ る こ と を 示 す.4.3で に 応 じ る か た ち でWalsh関 に よ り一 般 化Walsh関 の 性 質 に つ い て 述 べ る.

は2進

数 系 を 定 義 す る.こ の た は こ の 指 標 群 とWalsh 群 と指 標 群 を 拡 張 し,こ れ

数の 変 数 とパ ラメ ー タ の定 義域 を拡 張 す る こ と 数 を 定 義 す る.さ

ら に 一 般 化Walsh関

数 の いくつ か

 N

4.1 

2進 群 と指標

.J.Fineは1949年

に 「Walsh関

し た［15］.本節 で は ま ず2進

数 は2進

群 の 指 標 と対 応 す る 」 こ と を 指 適

群 と そ の 指 標 群 を 導 入 し,こ

れ ら の 構 造 と双 対 性 に

つ い て 述 べ る.   集 合{0,1}に2を

法(mod2)と

す る 加 法 と離 散 位 相 を 導 入 す る.す

なわち

(4.1) (4.2) こ う し て 得 ら れ た 位 相 群 をZ2で で あ る.Z2の 表 し て2進

表 す こ と に す る.Z2は

コ ン パ ク トなAbe1群

可 算 個 の 直 和 は や は り コ ン パ ク トなAbel群 群(dyadic

group)と

よ ぶ こ と に す る.す

と な り,こ れ をGと なわ ち

(4.3) 元x∈Gは

数列 (4.4)

で 表 され,Gの

ゼ ロ元 は

(4.5) で あ る.x=(xn,n∈N)とy=(yn,n∈N)に

対 して群 演 算 は

(4.6) に よ っ て定 義 さ れ る.任 意 のx∈Gに

対 して

(4.7) とな る の で,xそ

れ 自 身 が 逆 元 で あ る.

 部 分 集 合G0={x∈G:n→ す べ て のx∈Gに

∞の と きxn→0}はGの

対 してI0(x)=Gと

可 算 部 分 群 で あ る.

して,x∈Gとn∈Nに

対 して

(4.8) と 定 義 す る.In(x)はxを =(xn

,n∈N)∈Gに

含 むG上 対 して

の2進

区 間(dyadic

interval)と

い う.x

(4.9) と定 義 す る.こ

の とき

は 明 ら か で あ ろ う.ま

た

(4.10) で あ る.Z2上 ・￨はG上

に 通 常 の 積 演 算 を 導 入 す る こ と に よ り,Z2は の ノ ル ム で あ る .よ っ て 群Gは

体Z2上

体 を な す.こ

の と き￨

の ベ ク トル 空 間 と み な さ れ,

線 形 ノ ル ム 空 間 と な る.   各i∈Nに

対 し てxi=1；xn=0(n≠i）

す こ と に す る.こ の と きG0の もG0はGに

と な る 元(xn,n∈N)をei∈Gと

元 はei(i∈N)の

お い て稠 密 で あ る か ら,集

表

有 限 な 線 形 結 合 で 表 さ れ,し か

合e={ei:i∈N}は

線 形 ノル ム空 間

Gの 可 算 基 底 を な す.   次 にG上

に シ フ トに 関 し て 不 変 な 測 度,す

  ま ず,Z2上

な わ ちHaar測

度 を 導 入 す る.

に

をみ た す測 度 を定 義 す る.こ の と きZ2上 の 任 意 のBore1集

合Eに

対 して

(4.11) が 成 り立 つ.よ

っ て μ2はZ2上

の 基 準 化Haar測

を導 入 す る.こ の 直積 測 度 μ はG上 上 の 任 意 のBorel集

合Eに

度 で あ る .次 にG上

の 基 準 化Haar測

に 直積 測 度

度 で あ る.す な わ ち,G

対 して

(4.12) をみ た す(付 記1参 照).特

に2進 区 間In(x)に

対 して

で あ る.   さ てG上

の 指標 につ い て 考 え よ う.群G上

で あ っ て,条 件

の指 標 と は連 続 な 複 素 数 値 写 像

(4.13) (4.14) を み た すfの ∈Gに

こ と で あ る.G上

対 し てf(0)=1,か

で あ る.よ

っ てG上

  任 意 のx∈Gに

の 指 標 の 全 体 をGで

表 す こ と に す る.任 意 のf

つ

の 指 標 は ±1の 値 だ け を と る. 対 し て ρ0(x)=1と

お き,k∈Nとx=(xn,n∈N)∈Gと

に

対 して

(4.15) と お く.{In(0):n∈N}は0∈Gの る.さ

近 傍 系 を な す の で,ρkはG上

ら にρkは(4.13)と(4.14)を

  こ こ で 改 め て 整 数k∈N0の2進

み た す の でG上

義 よ り2k≦k＜2K+1に

で連続 で あ

の 指 標 で あ る.

法 展 開 の 表 し 方 に つ い て 整 理 し て お こ う.定

対 して

(4.16) と表 さ れ る.さ

ら にj＞Kに

対 し てk-j=0と

お く こ とに よ り

(4.17) と書 く こ と も で き る.   ま た(4.16)と(4.17)を

それ ぞれ 数 列

(4.18) (4.19) の よ うに 表 記 す る こ ともで き る.し た が っ て以 下 で は そ の つ ど状 況 に合 わ せ て 便 利 な表 現 を用 い る こ と に し よ う.   定 理4.1k∈N0に

対 して

(4.20)  と す る と き γk∈Gで る.こ

あ る.逆 にf∈Gな

こ でk=(k-j,j∈N0)2で

あ る.

らば,あ るk∈N0に

対 し てf=γkと

な

定 理4.1の

証 明]γkはρjの

ら,γk∈Gは

有 限乗 積(見

明 ら か で あ る.逆

に よ っ て 定 義 す る.fはG上 (ei)→f(0)=1と ら,あ

と な る.よ

こ ろ が 任 意 のx∈Gに

対 し てi＞Mの

っ てk=Σk-j・2jと

す る.数

で 連 続 で あ り,i→

な る.と

るM∈Nに

にf∈Gと

か け は 無 限乗 積 で あ る が)で

と きf(ei)=1,す

あ るか

列(k-i,i∈N0)2を

∞の

と きei→0で

あ る か ら,f

対 し て￨f(x)￨=1で な わ ちk1-i=0と

あ るか な る.よ

お くと

っ てGの

  さ てn,m∈N0に

可 算 基 底eの

上 でf=γkと

な る こ と が 示 さ れ る.□

対 して

(4.21) で あ る.こ

こ でn=(n-k,k∈N0)2,m=(m-k,k∈N0)2,ま

で あ る か ら,定

理4.1に

た

よ り

(4.22) を 得 る.よ っ てGは 同 型 で あ る.こ

積 演 算 に つ い てAbe1群

の同型写 像 は

で あ る.ま

たG0と(N0,〓)も

で あ る.こ

こ でxk=n-(k-1)(k∈N)で

  次 にG上

を な す.し か もGと(N0,〓)と

同 型 で,そ

の 同型 写 像 は

あ る.

に関係 ＜ を

〓か つ〓 な る関 係 に よ っ て定 義 す る.x≦yはx＜yま

た はx=yを

意 味 す る.x≦yの

は

と き￨x￨≦￨y￨で

あ る が,x＜yの

∈G0(x≠0)に

対 し て￨x￨=￨x*￨と

な る.例

と き 必 ず し も￨x￨＜y￨と な る 共 役 な 元x*∈Gが

え ば,x=(x1,x2,…,xm,1,0,0…)∈G0に

1,…)∈Gは￨x*￨=￨x￨と

つx=y*で

明 ら か で あ ろ う.ま

 本 節 で は2進 群 の指 標 群 とWalsh関 区間[0,1)と

た￨x￨=￨y￨の

あ る こ と も明 ら か で あ る.

指標群 とWalsh関

め2進 群Gと

存 在 し てx*＜xと

対 し てx*=(x1,x2,…,0,1,

対 し て￨x￨=￨ｘ*￨は

た はx∈G0か

4.2 

際,x

な る.

  す べ て のx∈G＼{0}に と き,x=yま

は な ら な い.実

数 系との対応 関係

数 系と が 対 応 す る こ と を述 べ る.こ の た

の対応 関係 か ら

(1)  G∼{ψn} (2)  Haar測

度 ∼Lebesgue測

度(dx∼dx)

(3)  G0∼D=[0,1)∩Q+ 等の 関 係 が 自然 な 方 法 で 導 か れ る こ と を見 る.   これ らの 関 係 に よ りWalsh解析 (1)  区間[0,1)上

でWalsh関

を行 う場 合 に, 数 に よ る方 法

と間 接 的 に (2)  G上

で 指 標 に よ る方 法

の いず れ の 方法 も可 能 で あ る こ とが わ か る.さ らにWalsh関

数 系の一般 化の可

能 性 を も与 え て い る こ とが わ か る.   た だ し,Gと[0,1)と

の対 応 関 係 に お い て,2進

有理 数 と対 応 す るG0に

属す

る元 の 共役 元 の扱 い に は注 意 を要 す る.   任 意 のx∈[0,1)に

対 して2進 法 展 開

(4.23) が 可 能 で あ る.2進

無 理x∈[0,1)＼Q+に

2進 有理 数x∈Q+に

対 し て は2つ

対 し て こ の 表 現 は 一 意 的 で あ る が, の 表 現 が あ る.す な わ ち,無 限 個 の0が

続 く

実 質 的 に 有 限 桁 の 表 現 と,無 限 に1が 続 く無 限 桁 の 表 現 とが あ る.例

にお い て,係

え ば,

数列 が

(4.24) (4.25) の よ うに2通

りあ る.我 々 は あ い まい さ を避 け るた め に 前 者 の 表 現 を選 択 す る

こ とに し よ う.   さ てG0の

とお き,写

元 の 共役 元(無 限 に1が 続 く元)の 全 体 を

像

を

に よ っ て 定 義 す る.写 像 λ は[0,1)か 写像 λ-1はG上

全 体 をC(G)と

す る.す で に 定 義 した よ うにCWは

無 理 数 に お い て連 続 で,[0,1)上

関 数g:[0,1)→Cの   写 像C(G)∋f→f。 か らCwの

の全 単射 で あ る.こ の と き逆

の ノル ム￨・￨であ る.

 連 続 なf:G→Cの て の2進

らG＼G0*へ

すべ

で 右 連 続 か つ(0,1)上 で 左 極 限 を もつ

全 体 で あ る. λ∈CWを

標 準 写 像 とよぶ こ と にす る.こ の写 像 はC(G)

上 へ の線 形 同 型 写 像 で あ る.f∈C(G)に

が 成 り立 つ こ と は明 らか で あ ろ う.ま たg∈CWに

対 し てg=f。 λ とお く と

対 してGの

上 でfを

に よ っ て 定 義 す る とfはGの

上 で 連 続 で あ る .さ

らに 定 義 か ら容 易 に わ か る

よ うに

(1) (2) が 示 さ れ,標

準 写 像 は 線 形 で あ る こ と もわ か る .

  こ の 標 準 写 像 は 指 標 群GをWalsh関 開 を(4.23)と ρk(x)の

す るx∈[0,1)に

定 義(4.15)と

数 系{ψn}の

対 し て,Rademacher関

上 に 写 す.実

際,2進

法 展

数 φk(x)の 定 義(1.4)と

を比 較 す る と

(4.26) かつ

(4.27) と な る.同

じ よ う に 指 標 γkとWalsh関

ら に(4.13)か

ら 次 の 性 質 が 導 か れ る.任

数 ψkと の 対 応 も 示 す こ と が で き る .さ 意 のk∈N0と

任 意 のx∈[0

,1)に 対 し

て

(4.28) で あ る.こ

れ を 示 そ う.定

義 と(4.13)と

に よ り

かつ

で あ る.よ

っ て,も

し λ(x〓y)=λ(x)〓

立 つ.こ の 式 は 各x∈[0,1)に いyと

λ(y)が 成 り立 つ な ら ば

対 し て 可 算 集 合{y∈[0,1):x〓y∈Q+}に

,(4.28)が

成 り 属 さな

に 対 し て 成 り立 つ.

 ま た(4.22)よ

り,m,n∈N0に

対 して

(4.29) と な る こ と も 明 ら か で あ ろ う.

 x∈ [0,1)を

含 む2進

区間 を

と定 義 す る.こ の と きG上

の2進

区 間 との 間 に次 の 関 係 が 成 り立 つ.

 任 意 のIn(x)に

対 し て かp・2-n≦￨x￨＜(p+1)・2-nを み た すp∈N0が

と な る.ま

意 のI(p,n)に

た,任

対 し てx∈I(p,n)と

存 在 して

する と

で あ る.   と こ ろ で μ(G0*)=0で

あ るか ら

(4.30) と な り,対 応 す る2進 [0,1)上

のLebesgue測

  次 に,群G上

区 間 の 測 度 は 等 し い.こ

の こ と よ りG上

のHaar測

度 と

度 が 写 像 λ を 通 し て 対 応 し て い る こ とが わ か る.

の シ フ ト と 区 間[0,1)上

f:G→Cとy∈Gと

の2進

シ フ ト に つ い て 考 え よ う.関

数

に対 し て

(4.31) をfのyに

よ る シ フ ト と い う.ま た 関 数f:[0,1)→Cとy∈[0,1)と

に対 して

(4.32) をfのyに

よ る2進

  集 合E∈[0,1)のyに

シ フ ト と い う. よ る2進

シ フ トを

(4.33) とす る.E∈[0,1)が す で に 定 理1.1で あ る.す

可 測 の と き,そ のLebesgue測 示 し た よ う に,Lebesgue測

な わ ち,2進

  最 後 に,上

度 を￨E￨と 度 は2進

書 く こ と に す る.

シ フ トに 関 し て 不 変 で

シ フ トは 保測 変 換 で あ る.

の 議 論 で 得 ら れ た 結 果 を ま と め て お こ う.

 定 理4.2  (1)  も しfがG上

で 定 義 さ れ た 可測 関 数 な ら ば,g=f。

で 定 義 さ れ る 可測 関 数 で あ る.逆 に,gが[0,1)の ば,

λは 区 間[0,1)の

上

上 で 定 義 さ れ た 可測 関 数 な ら

(4.34) とお くとき,fはGの (2) 

上で 定義 され る可測 関数 であ る.

も し,f∈L1(G)な

ら ば,g=f。

λ∈L1[0,1)で,か

つ

(4.35) 逆 に,g∈L1[0,1)な

ら ば,fを(4.34)で

定 義 す る と き,f∈L1(G)か

つ(4.35)が

成 り立 つ.   定 理4.2は て あ る)と (4.30)を

群G上 区 間[0,1)上

のHaar積

分((4.35)で

のLebesgue積

考 慮 し て 定 理1.1と

は μ(dx)の

代 わ り にdxと

分 と の 関 係 を 示 し て い る.こ

同 じ よ う に 証 明 で き る の で,読

書 い

の証 明 は

者の練習問題 とし

よ う.

4.3 

一 般 化Walsh関

数

  指 数 関 数 系{e2πixy:x,y∈R}は,整 {e2kπix:k∈Z,x∈[0,1)}の

数 を パ ラ メ ー タ とす る 指 数 関 数 系

自 然 な 拡 張 に な っ て い る こ と は よ く知 られ て い る.

本 節 で は こ れ ま で 述 べ て き たWalsh関 化Walah関

数 系{ψk(x)：k∈N0,x∈[0,1)}を

数 系{ψy(x):x,y∈R+}に

  関 数 ψk(x)の 定 義 域 を[0,1)か と し てx∈R1上

一 般

拡 張 す る. らR1に

拡 張 す る に は ψk(x)を 周 期1の

関数

に周 期 拡 張

を す れ ば よ い.   パ ラ メ ー タ の 拡 張 は ど う す れ ば よ い の だ ろ う か.そ (G,G)と([0,1),{ψk)と  N∈Zに

の ヒ ン トは 前 節 で 述 べ た

の 関 係 に あ る.

対 し て2進群GNをGと

同 じ よ う にZ2の

直積 に よ っ て 定 義 す る.

こ の と きx∈GNは

(4.36) と 表 す こ と に す る.し

た が っ てG=G1あ

る.次

に

(4.37)

と 定 義 す る.そ

う す る と 任 意 のx∈Fは

表 さ れ る.Fの

上 の 群 演 算〓

あ るN∈Zに

は(4.6)を

に 対 し てx=(xn,n∈Z),y=(yn,n∈Z)と

対 し て(4.36)の

拡 張 す れ ば よ い.す

ように

な わ ち,x,y∈F

表 されるので

(4.38) とす る.あ るNに

対 してn＜Nな

 部 分 集 合F0={x∈F:n→

らば￨xn−yn￨=0で

あ る こ と に注 意 し よ う.

∞ の ときxn→0}はFの

可 算 部 分 群 で あ る.さ ら

に2進 区 間 と ノル ム を そ れ ぞれ 次 の よ う に定 義 す る.x∈Fに

対 して

(4.39) (4.40) と定 義 す る.ま

た 各i∈Zに

Z)をei∈Fと

対 し てxi=1か

つxn=0(n≠i)と

書 く こ と に す る.こ の と き 集 合e={ei:i∈Z}はFの

を な す.Fの

上 の 指 標 の 全 体 は 群 を な し,こ

れ をFと

(character

group)と

  次 にF上

の 指 標 の ひ と つ の 表 現 に つ い て 述 べ よ う.

 定 理4.3 

な る 元(xn,n∈ 可算基底

表 し,群Fの

指 標 群

い う.

各 γ∈Fに

対 して 一 意 的 に存 在 す るy∈Fに

よって

(4.41)  と 表 さ れ る.こ

こに

(4.42)  逆 に,任 意 のy∈Fに 定 理4.3の

対 し て(4.41)に

証 明]  ま ず,各

γ∈FはFの

よ っ て 定 義 さ れ る γはFに 可 算 基 底eに

Z}に よ っ て 完 全 に 定 め ら れ る こ と に 注 意 し よ う.n→ の で,γ(en)→1.よ な り,各

っ て あ るM=M(γ)に

属 す る.

お け る 値{γ(ei):i∈ ∞ の と きen→0と

対 し てn≧M+1の

な る

と き γ(en)=1と

γ に対 して

(4.43) に よ り一 意 的 に定 ま る0ま n≦−Mの

と きyn=0で

た は1か

  任 意 のx∈Fに

ら な る 数 列(yn,n∈Z)が

対 して

あ る の で,y=(yn,n∈Z)∈Fと

存 在 す る.し か も な る.

と 表 すN∈Zが

存 在 す る.よ

っ て(4.43)に

よ り

(4.44) を 得 る.以

上 よ り(4.41)が

と に 依 存 し て 決 ま るNか   逆 は,任

意 のn∈Zに

示 さ れ る.(4.42)は らMま

証 明 か ら明 ら か な よ う にxと

γ

で の 有 限 項 の 和 で あ る こ と に 注 意 し よ う.

対 し てγn(x)=(−1)xnがFに

属 す る こ と か ら 明 らか

で あ ろ う.□   定 理4.3に

よ り各 γ∈Fに

対 し て 一 意 的 にy∈Fが

対 応 す る.よ っ てyが

明

らか な場 合 は

のよ う にyを

下 添 え 書 き す る こ と に し よ う.

 t,x,y∈Fに

対 して

(4.45) は 明 ら か で あ る.ま

た,γtは

指 標 で あ るか ら

(4.46) が 成 立 す る.  補題4.1 n∈N0に

対 して

と お く と き,

(4.47)

 左 辺 の収 束 は有 界 収 束 で あ る こ と に注 意 し よ う.補題 もで き るが,Walsh‐Dirichlet核

の証 明 は直 接 行 う こ と

との対 応 関 係 を使 っ て 示 す こ と もで き る.読 者

の 演 習 問 題 と し よ う.   さ て,写

像 λ:[0,1)→Gを

次 の よ う に 拡 張 す る.対

応関係

(4.48) に よ っ て 写 像 λ:R+→Fを で あ り,逆 写 像 λ-1はF上

定 義 す る.こ

の λ はR+か

らF＼F0*上

の ノ ル ム￨・￨で あ る.こ こ でFは

体Z2上

へ の 全 単射 の ベ ク トル

空 間 と み な さ れ て い る こ と に 注 意 し よ う.   こ の 写 像 λ に よ っ て 指 標 群Fか

ら 一 般 化Walsh関

数 系{ψy}を

定 義 す る こ

と に し よ う.   各y∈R+に

対 し て,(一

般 化)Walsh関

数 を

(4.49) と定 義 す る.指 標 との 関 係 は

(4.50) また は

(4.51) で あ る.   特 に,y=k∈N0の

と きは

(4.52) と な る の で,Walsh関

数 の 拡 張 に な っ て い る こ と が わ か る .ま

た 式(4.52)よ

x∈R+に 対 し て

が 成 り立 つ の で,周 期1の  定 理4.4 

任 意 のx,y∈R+に

周 期 拡 張 に な って い る. 対 して (1)〓  (4.53)

り

 (2)〓 

(4.54)

定 理4.4の (1) 

証 明]

定 義 よ り

と な る の で(1.14)に

(2) 

(4.53)よ

ま た(4.28)よ

で あ る.さ

よって

り

り任 意 のx∈R+に

対 して

ら に[x〓z]=[x]〓[z]で

あるか ら

(4.55) と な る.以

上 よ り再 び(4.53)を

 こ こ で(4.53)は

適 用 し て,(4.54)が

得 ら れ る.□

対称 性

(4.56) を 表 し て い る こ と に 注 意 し よ う.ま

た,(4.54)はWalsh関

数 の2進

加 法 的ベキ

法 則 と も よ ば れ る も の で あ る.   関 数f(x)はR+上

で 定 義 さ れ たC値

関 数 とす る.任 意 の ε＞0に 対 し て δ＞

0が 存 在 し て

(4.57) とな る と き,f(x)はx∈R+に 対 し てW-連

続 な ら ば,f(x)は

  ま た,λ(xi)〓 よ び,任

λ(xｊ)∈F/F0*を

お い てW‐ 単 にW‐

連 続 で あ る とい う.任 意 のx∈R+に 連 続 で あ る と い う.

み た す 任 意 の 数 列{xi∈R+,i=1,2,…,n}お

意 の 数 列{zi∈C,i=1,2,…n}に

対 し

(4.58) とな る と き,f(x)はW‐   Walsh関

正 定 符 号 関 数 とい う.

数 の 正 係 数 の 線 形 結 合 はW‐ 正 定 符 号 関 数 で あ る.こ の こ と は

Walsh関 数 ψｙ(x)につ い て 示 せ ば十 分 で あ ろ う.実 際,λ(xi)〓λ(xj)∈F＼F0*に 対 して

で あ る か ら,

(4.58)に

お い てn=1,x1=0,z1=1と

お く と

(4.59) を 得 る.   次 にn=2,x1=x,x2=0,z1=−1,z2=1と

お くと

す な わ ち,

(4.60) を 得 る.   さ λ(x)〓

ら に,n=3,x1=x,x2=x〓h,x3=0,z1=a,z2=−a,z3=1と λ(h)∈F＼F0*と

を得 る.こ こでaは

す る.こ

の と き(x〓h)〓x=hと

任 意 で あ る か ら,左 辺 をaの2次

お

き,

な る の で,

式 と考 え た場 合,判 別 式

は 正 で は な い.す な わ ち,

(4.61) とな る.   次 にR+上 の 関 数fと

で 定 義 さ れ た 関 数 に対 してD‐ 微 分 を定 義 し よ う.n∈NとR+上 に対 して

(4.62)

と お く と き,極

限

(4.63) が 存 在 し て 有 限 な ら ば,fはx∈R+に differentiable)ま x∈R +にお

た はW‐

け るD‐

derivative)と

お い てD‐

微 分 可 能(W‐differentiable)と

導 関 数(dyadic derivative)ま

い う.高

 f∈Lp(R+)(1≦p＜

いい,f[1](x)をfの た はW‐

導 関 数(W

次 の 導 関 数 は 低 次 の 導 関 数 か ら順 次 反 復 定 義 す る. ∞)に 対 し て あ るg∈Lp(R+)が

が 成 り立 つ と き,fは(Lp‐

ノ ル ム の 意 味 で)強D‐

differentiable)と

して

と 表 し て,fの

微 分 可 能(dyadic

い う.そ

強D‐ 導 関 数(strong

dyadic

存 在 して

微 分 可 能(strongly

derivative)と

dyadic

い う.

  本 節 の 最 後 に 次 の 定 理 を述 べ て お こ う.  定 理4.5 

Walsh関

数 ψy(x)はD‐微

分 可 能 で,か

つ

(4.64) 定 理4.5の

と な り,両

証 明] k=1の

辺 をn→

を得 る.□  証 明 の 中 で 収 束

場 合 に つ い て 証 明 す る.n∈Nとy∈R+に

∞ とす る こ とに よ り

対 して

は単 調 に増 加 してyに

付

収 束 す る こ とに注 意 し よ う.

記

1.  G1,G2,…

を コ ン パ ク トAbel群

 は コ ン パ ク トAbel群 さ れ たHaar測

はG上

の 列 と し,

で あ る.さ

度 と す る と,直

ら に,μ1,μ2,…

を そ れ ぞ れG1,G2,…

上 の基準 化

積測 度

の(基 準 化 さ れ た)Haar測

度 で あ る.

  これ は次 の よ う に証 明 す る こ とが で き る.ま ず,Tychonoffの コ ンパ ク トな 位 相 空 間 で あ る.次 にGが

定 理 に よ りGは

群 で あ る こ とは容 易 に 示 さ れ る.し た が

っ て 群 演 算 が 直積 位 相 に 関 して 連 続 で あ る こ と と,μ が シ フ トに 関 し て 不 変 で あ る こ と を示 せ ば よ い.各

μjはGjの

上 で シ フ トに 関 して 不 変 で あ る か ら,G上

す べ て の 可測 な筒 集 合 に つ い て シ フ ト不 変 で あ る.よ

の

っ て 結 局 群 演 算 が 直積 位 相

に 関 して 連 続 で あ る こ とを 示 せ ぼよ い ．

練習問題 1. Z2は

コ ンパ ク トなAbel群

で あ る こ と を示 せ.ま

た,通 常 の 積 演 算 を 導 入 す る こ

とに よ り体 を な す こ と を 示 せ. 2.  写 像 λ:R+→F＼F0*の

逆 写 像 λ-1はF上

の ノ ル ム で あ る こ と を示 せ.

3.  次 式 が 成 立 す る こ と を示 せ.

4.  定 理4.2を

証 明 せ よ.

5.  補題4.1を

証 明 せ よ.

6.  付 記 に述 べ たG上

の群 演 算 が 直積 位 相 に 関 し て連 続 で あ る こ と を示 せ.

本 章 で は 主 にWalsh‐Fourier変 が,Walsh‐Fourier‐Stleltjes級 Fourier変

換 のL1お

め に5.1でWalsh‐

換 を 定 義 し,Walsh‐Fourier変

Le besgueの

換 のRiemann‐

補題 や 一 様W‐ 連 続 性 等 に つ い て 述 べ る.ま

2進 シ フ ト と の 関 係 に つ い て もふれ る.5.2で 変 換 公 式 に つ い てWalsh‐Fourier級 W alsh‐Fourier‐Stieltjes級 Fourier‐Stieltjes級 W alsh‐Fourier変 Fourier変

よ びL2‐ 理 論 に つ い て 述 べ る

数 に も ふ れ る.初

合成 積や 換 の逆

数 の 収 束 性 を 用 い て 示 す.5.3で 数 を と り あ げ,Walsh級

換 のL2‐ 理 論 を 展 開 す る。L1に

ら にParsevalの

は

数 がWalsh‐

数 と な る た め の 必 要 十 分 条 件 を 示 す.5.4で

換 を 自 然 な 方 法 で 拡 張 し て,L2に

を 定 義 す る.さ

た,2進

はWalsh‐Fourier変

は

お け るWalsh‐

お け るWalsh‐Fourier変

公 式 等 に つ い て も 述 べ る.

換

5.1 

Walsh‐Fourier変

  本 節 で はWalsh関 定 義 し,そ

換

数 に よ るFourier変

換,す

な わ ちWalsh‐Fourier変

換 を

の 基 本 的 な 性 質 に つ い て 述 べ る.

  ま ず,Lebesgue測

度 はR+上

で2進

シ フ トに関 し て不 変 で あ る こ と に注 意 し

よ う.  定 理5.1 n∈N,y∈[0,2n)と ⊂ [0,2n)は

可測

す る.も

で あ り,か

し 集 合E⊂[0,2n)が

可測 な ら ば,τy(E)

つ

(5.1) で あ る.ま

た,f∈L1[0,2n)な

ら ば,τyf∈L1[0,2n)で,

(5.2) で あ る.

  この 定 理 の証 明 は定 理4.2の

証 明 とほ とん ど同 じで あ る の で,各

自証 明 を試

み られ た い.   定 理5.1か

ら,任

意 のy∈R+に

対 し て,f∈L1(R+)な

ら ば,

(5.3) が成 り立 つ こ とが わ か る.   関 数f∈L1(R+)に

対 して

(5.4) をfのWalah‐Fourier変 W alsh変換(Walsh 換 をWalsh変換

換(Walsh‐Fourier transform)と

い う .我

transform),あ

る い は 単 に

々 は 離 散 関 数 のWalsh‐Fourier変

と よ ぶ こ と に し よ う.

  ま ず,Walsh‐Fourier変

換 の 無 限 遠 方 点 に お け る振 舞 い に つ い て 述 べ よ う.

  定 理5.2  (Riemann‐Lebesgueの

補題)  関数f∈L1(R1)に

対 して

(5.5)

定 理5.2の

証 明]  積 分 を2つ に分 け て

と お く.f∈L1(R+)よ のy∈R+に

り,任 意 の ε＞0に 対 し てnを

十 分 大 き く と れ ば,す べ て

対 して

と す る こ と が で き る.ま

た,(4.53)に

よ り

とな るの で

を得 る.右 辺 の積 分 は

と 表 さ れ る.よ 2.1)に

よ り,yを

  ま た,関

っ てWalsh‐Fourier級

補題(定

理

十 分 大 き くす れ ば￨I1￨＜ ε/2と す る こ と が で き る.□

数fはR+上

で 非 常 に 素 直 な 性 質 を 備 え て い る.

  定 理5.3 f∈L1(R+)に 定 理5.3の

数 のRiemann‐Lebesgueの

対 し て,fはR+上

証 明]  任 意 のy,t∈R+に

で 一 様W‐ 連 続 で あ る. 対 して

と 表 す こ と が で き る の で,

と な る.limψt(x)=1とLebesgueの て 適 当 に δ＞0を 選 ん で0≦t＜ が で き る.こ

う し て,任

優 収 束 定 理 と に よ り,任 意 の ε＞0に 対 し δ の と き,上

意 のy∈R+と0≦t＜δ

式 右 辺 の 積 分 を ε以 下 と す る こ と とに対 して

と な り,￨y〓t−y￨≦tを   次 に2進

考 慮 す れ ば,定

理 が 証 明 さ れ る .□

合 成 積 に つ い て 考 え よ う.

  関 数f,ｇ∈L1(R+)の2進

はFubiniの

合 成 積(dyadic

convolution)

定理 に よ り

と な る の で,f〓g∈L1(R+)で   定 理5.4 

あ る.

も しf,g∈L1(R+)な

らば

(5.6) 定 理5.4の

(4.57)よ

証 明] Fubiniの

定 理 を適 用 して

り

と な る.よ

っ て(5.3)を

適 用 して

を得 る.□   2進 シ フ トに 関 して次 の 基 本 公 式 が成 立 す る.   定 理5.5 

も しf∈L1(R+)な

ら ば,  (1)  (5.7)

 (2) 

 証 明 は読 者 の 演 習 問 題 と しよ う.

(5 .8)

 定 理5.6 

も しf,g∈L1(R+)な

ら ば,

(5.9) 定 理5.6の

証 明] Fubiniの

  次 に,Walsh‐Fourier変

定 理 を適 用 して

換 のD‐ 導 関 数 に つ い て 述 べ よ う.関 数f∈L1(R+)に

対 して

と定 義 す る.こ の と き次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理5.7 

も しg∈L1(R1)な

ら ば,fはD-微

分 可 能 で,か

つ

(5.10) 定 理5.7の

証 明] x∈R+とn∈N0と

と お く と,n→

に対 して

∞ の と きan(x)→xと

な る.定

義 よ り

よ って

と 表 さ れ る.αn(x)/xはx=0に 値 は2￨g(x)￨以

下 で あ り,n→

お い て0と ∞ の と き0に

し て よ い.右 収 束 す る.し

辺 の被 積 分 関 数 の 絶 対 た が っ て,Lebesgue

の優 収 束 定 理 に よ り

とな る.□

 Walsh‐Fourier変 換 の強D‐ 微 分 に つ い て は 次 の 定 理 が成 り立 つ.  定 理5.8 

関 数f∈L1(R+)がL1-ノ

ル ム で 強D‐ 微 分 可 能 で あ る と す る.こ

の

とき

(5.11) 定 理5.8の

証 明]  定 義 よ り

右 辺 はn→

∞ の と き0に

ま た,n∈N0に

と な る.よ

収 束 す る.よ

って

対 して

っ てn→

5.2 

∞ と して 定 理 が 証 明 さ れ る.□

Walsh‐Fourier変

  関 数f∈L1(R+)のWalsh‐Fourier変

換 をf(y)と

換の逆公式 す る と き,逆

に

は成 り立 つ だ ろ うか.ま た 成 り立 つ た め に は どん な条 件 が み た され な け れ ば な らな い の か.こ

れ に つ い て考 え て み よ う.

 初 め に議 論 に 必 要 な い くつ か の準 備 を して お こ う.ま ず,

(5.12) と お く.

  補題5.1 (5.13) 補題5.1の

 補題

証 明]  定 義 と(4.53)に

よ り

よ りA=n∈N0,u∈[0,1)な

ら ば,

(5.14) と な る の で,JA(u)は2.4で   補題5.2 

定 義 し たDirichlet核

す べ て のk∈Nに

の 拡 張 で あ る.

対 して

(5.15) 補題5.2の

証 明] Walsh関

数ψkは 周 期1の

周 期 関 数 で あ る か ら,

(5.16) で あ る.よ

っ てx∈[0,1)に

対 し て(5.15)を

  各k∈Nはk=2n+l(2n≦k＜2n+1,0≦l＜2n)と

  こ の と きψl(x)は

示 せ ば 十 分 で あ る. 表 さ れ る.よ

区 間I(p,n)=[p・2-n,(p+1)・2-n)(0≦p＜2n)の

数 を と る こ と に 注 意 し よ う.ま

た,

っ て,

上 で は定

で あ る か ら,

よっ て

し た が っ て,

と な る.p・2-nと(p+1)・2-nの

う ちxに

近 い ほ う の 値 を γnと す れ ば,

で あ る.□  と こ ろ で

かつ

と な る の で,k=2n+l(0≦l＜2n)に

対 して

(5.17) が 得 ら れ る.  補題5.3 q∈N0と

補題5.3の

す る.も

しx∈[q,q+1)か

証 明]  t〓x≧t−x＞t−(q+1)≧3t/4で

つt≧4(q+1)な

ら ば,

あ る か ら,

 さて,R+上

で 定 義 さ れ た 関 数fに

に よ り定 義 す る.さ

対 して,周 期1の

ら に,fq∈L1[0,1)のWalsh級

関 数fqを

数 の部 分 和 を

と お く.

  定 理5.9 

も しf(x)/(1+x)∈L1(R+)な

ら ば,区

間[q,q+1)に

お いて一様 に

こ こ に,

(5.18) 定 理5.9の

証 明]  初 め に(5.18)の

右 辺 の 積 分 がx∈[q,q+1)に

存 在 す る こ と に 注 意 し よ う.実 際,2M≧4(q+1)を JA(x)の

定 義 よ り￨JA(x〓t)￨≦Aで

[x〓t]≧t/2と

あ る.ま

な る の で,補題5.1お

対 し て一 様 に

み た す よ う にM∈Nを たt≧2Mの

よ び 補題5.2に

場 合 は 補題5.2に

選 ぶ. よ り

よ り

よって

と な り,SA(x)はx∈[q,q+1)に

対 し て 一 様 に 存 在 す る.

  次 に,

を 示 そ う.n=[A]と

 ま た,x∈[q,q+1)で の 特 性 関 数 で あ る.よ

お い て 補題5.1よ

り

あ る か ら,1[0,1)(x〓t)はtの って

関 数 と 見 な す と[q,q+1)

 次 に この 関 係 を使 っ て次 式 を評 価 しよ う.n∈Nに

と お く.こ こ で2M≧4(q+1)を 対 し て 補題5.3に

み た す よ う にM∈Nを

よ り[x〓t]≧t/2≧2で

し た が っ てSA(x)がx∈[q,q+1)に

で あ る.よ

選 ぶ.こ の と きt≧2Mに

あ る の で,Jn(x〓t)=0で

あ る.よ っ て

対 し て 一 様 に 存 在 す る こ とか ら,任 意 の ε

＞0に 対 し て 十 分 大 き いM∈Nを

とす る こ と が で き る.ま

対 して

と れ ば,

た

っ てRiemann‐Lebesgueの

補題 に よ り十 分 大 き いAに

対 し て￨I1￨＜

ε/2と す る こ と が で き る.□   次 に こ の 定 理 を 使 っ て2重  定 理5.10 

積 分 公 式 と よ ば れ る 逆 変 換 に つ い て 述 べ よ う.

も しf∈L1(R+)のWalsh‐Fourier級

数 がt=xに

お い てf(x)

に 収 束 す る な ら ば,

(5.19) 定 理5.10の

証 明]  ま ず,(5.19)の

右辺の積分 は

と 表 さ れ る こ と に 注 意 し よ う.よ

こ こ で,n=[A]と か る.実

際,定

L1 (R+)と のと き0に

お い た.右 理5.9に

す る と,t=xに

って

辺 第1項

はA→

∞の

と き0に

お い て 条 件f(x)/(1+x)∈L1(R+)の お け る 結 論 が 得 ら れ る.第2項

収 束 す る こ とが わ 代 わ り にf(x)∈

は 仮 定 に よ りn→

∞

収 束 す る.□

 と こ ろ で,(5.19)は

(5.20) と表 され る こ とか ら,2重  定 理5.11 f∈L1(R+)か

積 分 公 式 とよ ば れ る. つf∈L1(R+)と

す る.こ の と き,f(x)のW‐

連続 点 に

おい て

(5.21) 定 理5.11の

証 明]  任 意 のn∈N0に

と お く.(5.13)に

よ っ て,Paleyの

よ り

補題 に よ り

対 して

仮 定 よ り任 意 の ε＞0に 対 して十 分 大 き いn∈N0を

とす る こ とが で き る.よ   ま たf∈L1(R+)で

っ て,十

分 大 き いn∈N0に

選 ん で,

対 し てI1＜ ε/2と な る.

あ る か ら,任 意 の ε＞0に 対 し て 十 分 大 き いn∈N0を

選 ん

で

とす る こ とが で き る.   以 上 よ り,任 意 の ε＞0に 対 し て 十 分 大 き いn∈N0を

選 ん でI1+I2＜

ε とす る

こ と が で き る.□

5.3 

walsh‐Fourier‐Stieltjes級

数

 本 節 の 内容 は級 数 に 関 す る事 項 で あ るの で,本 来 な ら別 の 章 に設 け るの が よ い の で あ ろ う が,G∼[0,1)等

の対 応 関 係 に 言 及 す る都 合 上 こ こで 述 べ る こ と

にす る.   これ まで の お さ らい を含 め て記 号 の確 認 を して お こ う.   G上

で 定 義 され た 関 数fに

対 して,写 像 λに よっ て[0,1)上

に 関 数fを

(5.22) に よっ て 定 義 す る.  [0,1)上

で 定 義 さ れ た 関 数fに

対 し て,λ

の 逆 写 像 λ-1=￨・￨に よ っ てG上

に

関 数fを

(5.23) に よ っ て 定 義 す る.こ た はf∼fと

こ で,yはG＼G0*上

表 す こ と に す る.

を 動 く.こ

れ ら の 関 係 をf∼f,ま

  G上

の 測 度 はG0*の

部 分 集 合 に 対 し て0と

*の 部 分 集 合 に 対 し て0と

な る 通 常(usual)測

な る 異 例(unusual)測

度 の 和 に 一 意 的 に 分 割 さ れ る.

こ こ で 測 度 と は 実 数 値 有 限 符 号 測 度(real,finite,signed る.G上

の 通 常 測 度 と[0,1)上

常 測 度mに

度 と,G＼G0

の 測 度 は1-1対

measure)の

応 で あ る.す

こ とで あ

な わ ち,G上

の通

対 して

(5.24) に よ り[0,1)上

の 測 度mを

対 応 さ せ る.逆

に,[0,1)上

の 測 度mに

対 して

(5.25) に よ りG上

の 通 常 測 度 を対 応 させ る.

 指標 級 数 (5.26) がG上

のFourier‐Stieltjes級

の 係 数 がG上

の 測 度mに

数(Fourier‐Stieltjes

series)で

あ る と は,級

数

よ って 積 分

(5.27) で 表 さ れ る こ と で あ る.こ き級 数 をS=S(dm)と

の 積 分 はFourier‐Stieltjes積

表 す こ と に す る.同

分 と よ ば れ る.こ

様 に,Walsh級

の と

数

(5.28) がWalsh‐Fourier‐Stieltjes級 は,そ

の 係 数 が[0,1)上

数(Walsh‐Fourier‐Stieltjes

の 測 度mに

series)と

い うの

よ っ て積 分

(5.29) で 表 さ れ る こ と で あ る.こ の 積 分 はWalsh‐Fourier‐Stieltjes積 この と き,S=S(dm)と

表 し て,簡

単 にWalsh‐Stieltjes級

分 と よ ば れ る. 数 と よぶ こ と も あ

る.   も し,指 標 級 数SとWalsh級 ま た はS∼Sと

数Sと

表 す こ と に す る.

が す べ て 同 じ 係 数 を も つ な ら ば,S∼S

 これ ま で の議 論 か ら容 易 に 次 の 定 理 が 得 られ る.  定 理5.12  (1)  も しf∼fか

つm∼mな

ら ば,

(5.30)  (2) S(dm1)=S(dm2)な

ら ばm1=m2

 ま た,S(dm1)=S(dm2)な  (3) S=S(dm)か

ら ばm1=m2 つm∼mな

 (4) S(dm)∼S(dm)な

ら ばS(dm)∼S(dm)

ら ばm∼m

 次 の 定 理 は,三 角 級 数 の 場 合 に は よ く知 られ て い る.  定理5.13  指 数 級 数SがG上 要十分 条件 は級 数Sの(C,1)平

のWalsh‐Stieltjes級

数 であ る た め の 必

均

が

(5.31) を み た す こ と で あ る.

定 理5.12の

証 明] S=S(dm)な

と 表 さ れ る.こ

らば

こに

(5.32) は 指 標 のFejer核

と こ ろ で,Haar測 理3.1の(5)に

で あ る.Fubiniの

定理 に よ り

度 は シ フ ト に 関 し て 不 変 で あ る の で,定 よ り

理5.12の(1)と

定

した が っ て

逆 に(5.31)が 成 り立 つ とす る.G上

で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 の 全 体C(G)に

に よ り ノ ル ム を 導 入 す る とC(G)はBanach空

間 と な る.こ

のC(G)上

に線 形

汎 関 数Tnを

に よ り定 義 す る.仮 定 よ り

と な る.し

た が っ て,Banachの

す る 部 分 列{Tni}が

さ らに,C(G)上

選 べ る.す

定 理 に よ り,あ

る 有 界 線 形汎 関 数Tに

弱収 束

な わ ち,

の有 界 線 形汎 関 数TはG上

の あ る測 度mに

よって

と表 さ れ る の で,

と な る.こ

こ でf=γkと

お くこ とに よ り

よ っ てS=S(dm)を

得 る.□

  次 に 測 度m(あ

る い はm)の

Sの 部 分 和 をsn(x)と

す る.

点 測 度 に つ い て 述 べ よ う.Sの

部 分 和 をsn(x),

  定 理5.14  (1)  も しS=S(dm)な

ら ば,

(5.33)   (2) 

も しS=S(dm)な

ら ば,

(5.34) 定 理5.14の (1) 

証 明]

指 標 のDirichlet核

をDn(x)と

す る と き,

と表 さ れ る.右 辺 の 被 積 分 関 数 はDn∼Dnの ∞ の と き,x=yな

ら ば1に,x≠yな

関 係 と系2.2と ら ば0に

収 束 定 理 に よ り(5.33)が

得 られ る.

(2) m∼mと

理5.12の(3)と(5.33)を

お き,定

  定 理5.13と

定 理5.14よ

 系5.1Walsh級

に よ り有 界 で,n→

収 束 す る .よ

っ てLebesgueの

適用 す る と

り次 の系 が 得 られ る.

数SがWalsh‐Fourier‐Stieltjes級

数S=S(dm)

となる ための 必要 十分 条件 は

(5.35)  かつ (5.36) 系5.1の

証 明] S∼Sと

と な る.よ

っ て,定

条 件 で あ る.S=S(dm)と ∼mと

お く.定

理5.13に

理5.12の(1)に

よ り(5.35)はS=S(dm)と

な る た め に は 定 理5.12に

な る こ と と等 価 で あ る

.定

理5.14に

よ りmが

よ り

な る た め の 必 要十 分 よ り,mが

通 常 で,か

通常で あるの は

つm

と な る と き,か

つ そ の と き に 限 る.定 義(5.23)とWalsh関

数 が 左 極 限 を もつ こ

とよ り

こ こ で,yはG＼G0*の  さ て,今

上 を 動 く.□

度 は 正 の 測 度 を も つWalsh‐Fourier‐Stieltjes級

数 につ いて考 え よ

う.

 定 理5.15 Sが

正の 測度mを

任 意 のn∈N0に

もつS=S(dm)と

なる ため の必 要 十分 条 件 は,

対 して

(5.37)  かつ

 と な る.

定 理5.15の

証 明]  正 の 測 度mに

と表 さ れ る.k=2nに る.逆

に,(5.37)が

線 形汎 関 数Tに

対 し てDirichlet核

す る.こ

の とき

は 非 負 で あ る の で(5.37)は

成 り立 つ と す る.C(G)上

に よ り定 義 す る.仮

で あ る か ら,Tnは

対 し てS=S(dm)と

明 らか で あ

に 線 形汎 関 数Tnを

定 よ り

有 界 で あ る.よ

っ てBanachの

収 束 す る 部 分 列{Tni}を

も つ.す

定 理 に よ り,{Tn}は な わ ち,

あ る有 界

有 界 線 形汎 関 数 は あ る測 度mに

よって

と表 さ れ る の で,

と な る.上

式 に お い てf=γkと

が 得 ら れ る.ま

たf=1Aと

よ っ て,(5.37)に

よ りmは

 系5.2  級数Sが 任意 のn∈N0に

お くと

お くと

正 の 測 度 で あ る.□

正の 測度mを

も つS=S(dm)と

な る ため の 必要 十分 条件 は

対 して

(5.38)

かつ

(5.39) 系5.2の

証 明] S∼Sと

で あ る.こ

お く.こ

こ でyはG＼G0*の

定 理5.15よ

の とき

上 を 動 く.(5.38)よ

り(5.38)は,S=S(dm)か

つmが

り(5.37)が

得 ら れ る.よ

って

正の測度 で あるための必要十分

条 件 で あ る.  S=S(dm)と

な る た め に は,mが

証 明 と 同 じ よ う に し て(5.39)のmが

通 常 でm∼mと

な る こ と で あ る.系5.1の

通 常 で あ る こ と が 結 論 と し て 得 ら れ る.□

5.4 

walsh‐Fourier変

  こ れ ま で はf∈L1(R+)のWalsh‐Fourier変 はf∈L2(R+)のWalsh‐Fourier変

換 のL2‐ 理 論 換 に つ い て 述 べ て き た.本

換 を 考 え る.こ

L2 (R+)のWalsh‐Fourier変

の た め に,関

節 で

数f∈L1∩

換 の 拡 張 と し てf∈L2(R+)のWalsh‐Fourier変

換 を 導 入 す る.   こ こ で は,初 え,次

め に 天 下 り式 にf∈L2(R+)のWalsh‐Fourier変

に そ れ がf∈L1∩L2(R+)の

  k∈N0に

換 の 定 義 を与

拡 張 と な っ て い る こ と を 示 そ う.

対 して

(そ の他) と お く と,Ψk∈L1(R+)で (4.53)よ

あ る か ら,ΨkのWalsh‐Fourier変

換 が 定 義 で き る.

り

(そ の他) よ っ てk∈N0に

対 して

こ の 式 よ りΨkがWalsh‐Fourier変  さ て,k∈N0に

換 の 固 有 関 数 と な っ て い る こ と が わ か る.

対 して

と お き,n∈N,k∈N0,j∈{−1,+1}に

対 して

(その 他) と定 義 す る.こ は Ｌ2(R+)に

の よ う に 定 義 し た 関 数 系Ψ={Ψk,n,j:k,n∈N0.j∈{−1,+1}}

お い て 完 備 な 正 規 直交 系を な し て い る.正

定 義 よ り明 ら か で あ る.ま

規 直交 系で あ る こ と は

た

(その 他) よっ て

(5.40) と な り,こ

れ はΨk,n,jがWalsh‐Fourier変

る.   次 に 完 備 性 を 示 そ う.

かつ

と す る と,

換 の 固 有 関 数 で あ る こ と を示 して い

Walsh関

数 系{ψl,l∈N0は

よ っ て Ψ はL2(R+)に

各 区 間[k,k+1)に

お い て 完 備 で あ る か ら,

お い て 完 備 で あ る.

 さ て,f∈L2(R+)に

対 して

と お きfのΨ‐Fourier係

数 と よ ぶ.こ の 係 数 を 用 い てfの

Ψ‐Fourier級

数 を

(5.41) と 定 義 し よ う.実 Fourier変

は,後

で わ か る よ う に,こ

の 級 数 がf∈L2(R+)のWalsh‐

換 と な る べ き もの で あ る.

  定 理5.16 f∈L

2(R+)に 対 して 級 数(5.41)はL2‐

ノ ル ム で 収 束 し,

(5.42) かつ

(5.43) 定 理5.16の 証 明]  Ψ はL2(R+)に

は(3.40)と

同 じ よ う にL2‐ ノ ル ム で 収 束 す る こ と が わ か る.ま

よ っ て,Riesz‐Fisherの し,そ

お い て完 備 正 規 直交 系で あ る か ら,級 数

の 和 をFf(y)と

定 理(定

理3.6)に

よ り級 数(5.41)はL2‐

表 す と

を 得 る.   さ ら に,Ψ

が 正 規 直交 系で あ る こ と と(5.40)よ

り

た(5.40)に

よ り

ノル ム で収 束

  こ の 変 換Ffを,fのWalsh‐Fourier‐Plancherel変 ‐

Plancherel

transform)と

換(Walsh‐Fourier

い う.

 定 理5.17 f∈L2(R+)に

対 して

(5.44) 定 理5.17の 立つこ

一方

証 明]  定 理5.16に

とが わ か る.よ

,Fubiniの

よ り(5.41)はL2‐

ノル ムの意 味 で等号 が成 り

って

定理 に よ り

と表 さ れ る の で,Parseva1の

こ の 両 辺 をtに

等 式(3.44)に

よ り

関 し て 微 分 す る こ と に よ っ て(5 .44)が 得 ら れ る.□

  次 に,FfがWalsh‐Fourier変  定 理5.18 f∈L1∩L2(R+)の

換fの

拡 張 に な っ て い る こ と を 示 そ う.

とき

(5.45) 定 理5.18の

証 明]  任 意 のt,h∈R+に

で あ る か ら,Lebesgueの 序 を交 換 す る と

対 して

収 束 定 理 を適 用 し て(5 .44)の 右 辺 の 微 分 と積 分 の順

 さ ら に,次

の 定 理 が 成 り立 つ.

 定 理5.19 f∈L2(R+)とt∈R+に

対 して

(その他) と す る.こ

の とき

(5.46) 定 理5.19の

t→ ∞の

証 明] ft(x)∈L1∩L2(R+)で

と き,上

  こ う し て,我

式 右 辺 は0に

あ る か ら,定 理5.18と(5.42)に

よ り

収 束 す る.□

々 はf∈L2(R+)に

対 し てWalsh‐Fourier変

換 を次 の よ うに定

義 す る こ と が で き る:

(5.47) す な わ ち,f∈L2(R+)に と り,そ

対 し て,fをL2‐

のWalsh‐Fourier変

  こ の と き定 理5.19よ

換ftのL2‐

ノ ル ム で 近 似 す るft∈L1∩L2(R+)を ル ム 極 限 をfと

定 義 す る.

り

(5.48) と な る こ と は 明 ら か で あ ろ う.  さ ら に 定 理5.16に

よ り

(5.49) かつ (5.50) を 得 る.(5.49)はParseva1の Fourier変

等 式 と よ ば れ て い る.ま

換 の 逆 公 式 を 表 し て い る.

た,(5.50)はWalsh‐

  最 後 にParsevalの

等 式(5.49)を

 定 理5.20 f,9∈L2(R+)に

少 し 一 般 化 し よ う.

対 して

(5.51) 定 理5.20の

と す る.こ

証 明] 

ま ず 次 の こ と に 注 意 し よ う.F,G∈L2(R+)と

し

の とき

(5.52) が成 り立つ.実

と な る.両

際,

辺 に お い てt→

∞と

す る と右 辺 は0に

収 束 す る.よ

っ て(5 .52)が 成

り立 っ.   さ て,ft,ftを る.こ

定 理5.19で

の と き(5.52)を

ゆ え に(5.51)が

定 義 し た 関 数 と し,gt,gtを

適 用 して

示 さ れ る.□

こ れ に準 じて 定 義 す

付

記

1.  後 の 章 で 必 要 と な る次 の 命 題 を 示 し て お こ う.  関 数f(x)は

群Gの

上 で 定 義 され て い る.も

しf(x)が

 と 表 さ れ る な ら ば,

 こ こに αはG上

の全 変動 が有 限 な通常 測度 で あ り,

 証 明]  積分 の順 序 を交換 す る と

 と な る.と

 で あ る.し

ころで

か も任 意 のnに

対 し て有 界 で あ る の で,結 果 が 従 う.□

練習問題 1.  定 理5.1を 2. f∈L1(R+)と

証 明 せ よ. す る と き,次

の 式 を 示 せ(定

(1) (2) 3. f∈L1(R+)に

対 し て 次 の 式 を 示 せ.

ここで

(ヒ ン ト:定 4.  定 理5.12を

理2.6参

照)

証 明 せ よ.

理5.5).

本 章 ではWalsh解析 の応 用 と してD‐ 定 常確率 過程 に つ いて著 者 の 研究 を 中 心 に述 べ る.6.1で はD‐ 定常確 率 過程 を定義 して,い くつか の基 本 的な性 質 に つ い て述べ る.6.2ではD‐ 定 常確 率 過程 がWalsh関 数 によ るス ペ ク トル分 解 が できる か否 か,す なわ ちWalsh調

和 解析 可能性 につ いて述 べ る.Walsh

調和解析 が 可能 であ るD‐ 定常 確率 過程 はWalsh解析 の 手法 の 多 くが 適用 で き,そ の 諸性 質 につ いて言 及す る ことが可 能 となる.6.3で はD‐ 微分 可能 性 に つ いて その 条件 を与 える.6.4で は線 形D‐ 過程 を定 義 し,そ れが スペ ク トル密 度 関数 をも つD‐ 定常 確率 過程 のク ラス と一致す る こ とを示す.6.5で はD‐ 定 常確 率過 程の 大数 の法 則 とその一 般化 と もいえ るWienerの 公 式 を示 す.6.6 で はD‐ 定常 確率 過程 のWalsh‐Fourier級 数を 定義 し,級 数の 平均 収束性, 概収 束性,絶 対収束 性 につ いて述 べ る.ま た これ らの結 果か らD‐ 定常 確 率過程 がサ ン プルW‐ 連続 となる ための 十分 条件 を示す.6.7で はD‐ 定常 確率 過程 の 区間[0.2p)上 でのWalsh‐Fourier係 につ いて 述べ る.6.Bで

数 のp→ ∞ にお ける極 限の 同 時分布

は離 散 時間 のD‐ 定常 確 率過 程 のWalshス

ペ ク トル

分 解 が,見 方 を 変 え る と ス ペ ク トル ラ ン ダ ム 測 度 のWalsh‐Fourier ‐ Stieltjes係 数 とみ な せ る こと か ら,ス ペ ク トル ラ ンダ ム 測 度 がWalsh ‐ Fourier‐Stieltjes級 似Walsh級

数 を用 いて表 され る こ とを 示す.最 後 に6.9で は近

数 を定義 し,そ れが2乗平 均の 意味 で強 収束 す る ことを示 し,実

は近 似Walsh級 数 は 強収 束極 限のWalsh‐Fourier級 数 で あ る こ と を示 す.ま た近 似Walsh級 数 が絶対 収束 す るための 条件 も与 え る.

6.1 D‐

定常確率過程

 時 間 と と もに確 率 的 に変 化 す る現 象 の 多 くは確 率 過 程 に よ っ て表 現 す る こ と が で き る.例 え ば,水

に浮 遊 す る花 粉 は絶 えず その 位 置 を変 化 さ せ て い る.そ

れ は 数 多 くの 水 の分 子 が 花 粉 に衝 突 す る こ とに よ っ て起 き る現 象 で,発 見 者 に ちな ん で ブ ラ ウ ン運 動 と よば れ て い る.   ブ ラ ウ ン運 動 は確 率 過 程 で 表 現 されWiener過

程 とよ ば れ て い る.時 間 の 経

過 に つ れ て そ の確 率 法 則 が 変 化 す る場 合 は 非 定常 確 率 過 程 と よ ば れ,変 化 し な い場 合 は定常 確 率 過 程 と よば れ る.ブ

ラ ウ ン運 動 は定常 確 率 過 程 と し て扱 わ れ

るが,水 の 温 度 が 大 き く変 化 す る よ うな場 合 に は分 子 の運 動 に変 化 が 起 き るの で,非 定常 確 率 過 程 と して 扱 う必 要 もあ ろ う.   確 率 過 程 を規 定 す る確 率 法 則 が 時 間 に よ ら ず一 定 の場 合 は定常 確 率 過 程 とい う.ま た確 率 法則 そ の もの で は な くて,そ

の2次

まで の モ ー メ ン トが 時 間 と と

もに変 化 しな い場 合 を弱 定常 確 率 過 程 とい う.本 章 で は あ る種 の 弱 定常 確 率 過 程 に つ い て著 者 の 研 究 を中 心 に述 べ る[9]‐[14].   さて,確

率 空 間(Ω,B,P)の

{X(t,ω);t∈T,ω∈Ω}に 略 して{X(t);t∈T},ま

上 で 定 義 さ れ たC上

の値 を と る確 率 過 程

つ い て 考 え る.な お,以 下 で は確 率 パ ラ メ ー タ ω を省 た は簡 単 に{X(t)},X(t)な

モ ー メ ン トを もつ確 率過 程 を2次 過 程(2nd

ど と書 く こ とに す る.2次

order process)と

い う.2次

過程

に対 して 平均 値 関 数(mean function)

(6.1) と共 分 散 関 数(covariance function)

(6.2) が 定 義 で き る.   確 率 過 程{X(t);t∈T}をT=I+の

場 合 とT=R+の

とにす る.前 者 を離 散 パ ラ メー タ の 確 率 過 程,あ

場 合 に分 けて 考 え る こ

る い は確 率 系 列(stochastic

sequence)と

い い,後

(stochastic

process)と

 ま ず,離

者 を 連 続 パ ラ メ ー タ の 確 率 過 程,あ

る い は単 に確 率 過 程

いう.

散 パ ラ メ ー タ の 場 合 に つ い て 考 え て み よ う.

  2次 系 列{X(n);n∈I+}が

(6.3) かつ

(6.4) を み た す と きD‐ 定 常 系 列(dyadic

stationary

の た め にcov(n,m)=cov(X(n),X(m))と n〓 mに

の み 依 存 し て い る.し

sequence)と

い う.こ

こで 簡 単

お い た.D‐ 定 常 系 列 の 共 分 散 は"差" たが って

(6.5) に よ っ てI+の

上 に 関 数rを

定 義 で き る.容 易 に わ か る よ うに

(6.6) で あ る.   次 に 連 続 パ ラ メ ー タ の 場 合 に つ い て 述 べ よ う.2次 定 の 平 均 値 を も ち,共 き,X(t)はD‐

分 散 関 数cov(t,s)が"差"λ(t)〓

定 常 過 程(dyadic

で 定 義 さ れ た 写 像 で あ る.共

stationary

process)と

過 程{x(t);t∈R+}は

一

λ(s)の み に 依 存 す る と い う.こ こ で λ は(4.48)

分 散 関 数 に 対 し て 関r(t)を

(6.7) に よ っ て 定 義 す る.こ

の と きr(t)はR+上

で 矛 盾 な く定 義 さ れ る.実

際,写

像

(6.8) は 全射 で あ り,"差"λ(t)〓

λ(s)はF＼F0*に

属す と きt〓sに

依 存 す る か らで あ

る.   連 続 パ ラ メ ー タ の 場 合 は 離 散 パ ラ メ ー タ の 場 合 と異 な り,(6.4)の と ん ど 至 る と こ ろ で 成 り立 つ.実

関 係 は,ほ

際,D‐ 定 常 過 程 の 定 義 に よ り,t,s,u∈R+に

対 して

(6.9) な ら ば,

(6.10) が 成 り立 つ.す な わ ち,任 意 のt∈R+に し て(6.10)が   さ て,容

対 し てa.a.s∈R+とa.a.u∈R+と

に対

成 り立 つ. 易 に 示 され る よ う に

(6.11) で あ る.λ(ti)〓

λ(tj)∈F＼F0*を

,i=1,2,…,n}に

み た す 数 列{ti∈R+,i=1,2,…,n}と

数 列{z;∈C

対 して

(6.12) とな る.よ っ てr(t)はW‐

正 定 符 号 関 数 で あ る.

 D‐定 常 過 程{X(t);t∈R+}は

任 意 の ε＞0に 対 して δ＞0が 存 在 して

(6.13) とな る な らば,t∈R+に

お い て平 均W‐ 連 続 で あ る とい う.す べ て のt∈R+に

お い て平 均W‐ 連 続 で あ る な ら ば,単 に平 均W‐ 連 続 で あ る とい う.   補題6.1 D‐

定常 過 程{X(t);t∈R+}が

い て 右 連 続 で あ り,任 意 のt∈R+に

可測 で あ る な ら ば,r(t)はt=0に

お

対 して

(6.14)

補題6.1の FはR+上

証 明] X(t)=t(t,ω)はR+×Ω のBorel集

合 族 で あ る.容

よ っ てFubini‐Tonelliの て,ω∈Λ

に対 し

と な る.ω∈Λ

に対 して

で,F×B‐

可測 と す る.こ こ で

易 に わ か る よ うに

定 理 に よ りP(∧)=1なる

可測 集 合∧∈Bが

存 在 し

と お く と,L2(R+)の

関 数 は 常 にL2(R+)強

Z(h,ω)→0(ω∈Λ).ま Le besqueの

一 方

連 続 で あ る か ら,h→0+の

た,0≦Z(h,ω)≦4Y(ω)でEY(ω)＜

とき

∞ で あ る か ら,

収束定理 に よって

,

と な る か ら,Fubini‐Tonelliの

定 理 に よ り λ(t)〓 λ(h)∈F＼F0*な

るh∈R+に

して

と な る.こ

こでh→0+と

へ 収 束 す る .ゆ

え にtに

ま た λ(t)〓 λ(h)∈F＼F0*な

を得 る.□

す る と 右 辺 第1項

つ い て一 様 に

るhに

対 して

は0に

収 束 し,第2項

は

対

 補題6.1よ  定 理6.1 

り次 の定 理 は 明 らか で あ ろ う. 可測 なD‐ 定常 過 程{X(t);t∈R+}が

要 十 分 条 件 は,任

意 のt∈R+に

平 均W‐ 連 続 で あ る た め の 必

対 し て λ(t)〓λ(h)∈F0*な るh∈R+に

ついて

(6.15) とな る こと である.  次 にD‐ 定 常 過 程 の 平 均D‐ 微 分 に つ い て 考 え よ う.

(6.16) と お く.も

し極 限

(6.17) が存 在 す る な らば,す な わ ち 極 限limE￨dnX(t)￨2が 程 {X(t)}はt∈R+に X[1](t)と 表 す

.す

存 在 す るな ら ば,D‐ 定 常 過

お い て 平 均D‐ 微 分 可 能 で あ る と い う.こ

の と き極 限 を

な わ ち,

(6.18) と書 い て,t∈R+にお

け るX(t)の

平 均D‐ 導 関数 とい う.す べ てのt∈R+に

い て 平 均D‐ 微 分 可 能 で あ る な ら ば,単 い う.そ

して,{X[1](t)}を{X(t)}の

に{X(t)}は

お

平 均D‐ 微 分 可 能 で あ る と

平 均D‐ 導 関数 とい う.

  こ こでD‐ 定 常 過 程 の 一 例 を あ げ て お こ う. 例6.1] 

平 均 値 が0で 分 散 が1の 確 率 変 数 をYと

す る.x∈R+を

固 定 して,

(6.19) とお く.こ

の と き{X(t,ω);t∈R+}は

平 均W‐

連 続 で,平

均D‐ 微 分 可 能 なD

‐ 定 常 過 程 で あ る.   実 際,D‐

定 常 性 に つ い て は(4.50)と(4.46)と

と な る か ら 明 ら か で あ る.ま

たWalsh関

によ り

数 のD‐ 微 分 可 能 性(4.64)と

とに よ り

(6.20) が得 られ る.  本 節 の 最 後 に以 下 の約 束 を して お こ う.今 後 特 に こ とわ りが な い 限 り,D‐ 定 常 過 程(D‐ 定 常 系 列)は

も し,平 均 値 が0で

平 均 値 は0と 仮 定 す る.す なわ ち

な い場 合 は その 値 を差 し引 い た もの を考 え れ ば よい.す

わ ちD‐ 定 常 過 程 は定 義 に よ り平 均 値 は一 定 で あ るの で,そ れ をm0と

とお い てX1(t)を

6.2 

な

す るとき

扱 う こ と に す れ ば よ い で あ ろ う.

Walsh調

和解析可能性

 本 節 で はD‐ 定 常 確 率 過 程 とそ の共 分 散 関 数 のWalsh関

数 に よ る ス ペ ク トル

分 解 に つ い て 述 べ る.こ の よ うな分 解 が で き る と き,D‐ 定 常 過 程 はWalsh調 解 析 可 能(Walsh‐harmonizable)で

和

あ る と い う.

  初 め に離 散 パ ラ メ ー タの 場 合 に つ い て 考 え よ う.  定 理6.2D‐

定常 系 列{X(n);n∈1+}の

共 分 散 関 数 が(Walsh)ス

ペ ク トル

表現

(6.21)  がで きる ため に は

(6.22)  が 成 り立つ ことが 必要十 分 である.こ こにFは   関 数FとFに は そ れ ぞ れ{X(n)}の

よ り定 義 さ れ る 測 度(こ

れ も 同 じ記 号Fで

ス ペ ク トル 分 布 関 数(spectral

ス ペ ク トル 測 度(spectral っ て 示 さ れ た が,後

実 数値 非減 少有 界関 数 であ る.

measure)と

よ ば れ る.こ

に 遠 藤[9]が 条 件(6.22)を

表 す こ と に す る)

distribution function)と の 定 理 は 初 め 永 井[26]に よ

付 加 し て よ り精 密 な も の と し た.

定 理6.2の

証 明]  部 分 和 をS2n(x)=Σr(k)ψk(x)と

お く.r(n)の

定 義 に より

(6.23) ま た,Fubini‐Tonelliの

定理 に よ り

(6.24) よ っ て系5.2を

適 用 して 証 明 が 終 わ る.□

 次 にD‐ 定 常 系 列 その もの の ス ペ ク トル 分 解 に つ い て 考 え よ う.   定 理6.3 D‐

定常 系 列{X(X);n∈1+}の

共 分 散 関 数 が(6.21)の

ように表され

る な ら ば,X(n)は

(6.25)  と 表 さ れ る.こ

こ に{ζ(x);x∈[0,1)}は

直交 増 分 を も つ 確 率 過 程 で

(6.26)  を み た す.逆

に,D‐

定 常 系 列 が(6.25)の

よ う に 表 さ れ る な ら ば,共 分 散 関 数 は

(6.21)の よ う に 表 さ れ る. 定 理6.3の

証 明]  前 半 は よ り 一般 的 な 定 理(Gikhman

系と み な す こ とが で き る.後

半 はr(n)の

and Skorokhod[19])の

定義 よ り

を得 る.□  確 率 過 程{ζ(n)}と これ に対 応 す る ラ ン ダ ム測 度(こ れ も ζで 表 す)は そ れぞ

れ {X(n)}の (spectral

ス ペ ク トル 過 程(spectral random

measure)と

process)と

ス ペ ク トル ラ ン ダ ム 測 度

よ ば れ る.

  次 に 連 続 パ ラ メ ー タ のD‐ 定 常 過 程 に つ い て 考 え よ う.   定 理6.4 

可測 なD‐ 定常 確 率 過 程{X(t);t∈R+}の

共 分 散 関 数 が(Walsh)

ス ペ ク トル 表 現

(6.27)  が で きる ため に は次の条 件(1)∼(3)が こにFは

み たさ れ る ことが必 要十分 で ある.こ

実数 値非 減少有 界関 数 であ る. 

(1)  {X(t)}は 平均W‐ 連続 であ る.  (2)  任意 のq∈Q+に  (3) 

各q∈Q+に

対 して極 限limEX(t)X(0)が

存 在 して有 限 である.

対 して

(6.28) 定 理6.4の

証 明]

〔十 分 性 〕(1)と

補題6.1に

よ りr(t)はW‐

連 続 で あ る.(2)に

q∈Q +に お い て 左 極 限 が 存 在 し て 有 限 の 値 を も つ r(t)はW‐

正 定 符 号 関 数 で あ る.よ

.ま た(6.12)で

よ りr(t)は 示 した よ う に

って

(6.29) に よ りF上 て,Bochnerの

に 定 義 さ れ る 関 数 ρ(t)は 連 続 で,か

つ 正 定 符 号 で あ る.し

た が っ

定 理[30]に よ っ て

(6.30) と表 す こ とが で き る.こ あ る.こ の積 分 を2分

こ に αはF上

の 一 意 的 に存 在 す る 非 負 値 有 限 測 度 で

して

(6.31) と表 し て,そ

れ ぞ れJ1とJ2を

評 価 し よ う.

 ま ず,J2を

考 え る.F上

のHaar測

度 は 通 常 で あ る の で,各n∈Nに

対 して

(6.32) と な る.こ

こで

で あ る.よ っ て(6.32)の 束 す る.5章

両 辺 に2-nを

乗 じ てn→

∞と

す る と(3)に

の 付 記 を 参 考 に す る と α({x})=0(x∈F0*)が

集 合 で あ る の で,結

局J2=0を

得 る.次

にF∼α

よ り0に

得 ら れ,F0*は

収

可算

とす る と

(6.33) こ う し て,

と な る.こ

こ でQ*={x*:x∈Q+}.さ

ら に(1)に

とな る.こ こで 極 限移 行 はS〓h∈R+＼Q*を の 等 式 はWalsh関

数 がW-連

よ り

み た すh∈R+に

つ い て行 う.最 後

続 で 有 界 で あ る こ とか ら正 当 化 さ れ る.

〔 必要性 〕 (1) 

(6.27)によ

した が って,Walsh関

り

数 は 一 様W-連

続 で あ る か ら(1)が

示 さ れ る.

(2) Walsh関

数 はR+上

の 任 意 の 点 に お い て 左 極 限 を も つ の で,t→q―

の

と き,

(3) 

ま ず,ρ ∼rか

る.こ

の とき

よ っ てq∈Q+に

つ α∼Fと

お く.こ

こ でrは(6.7)で

定 義 さ れ る関 数 とす

の で,補題4.1に

よ りn→

対 して

こ こ に,λ(q)=x*.内

側 の 積 分 はy≠xな

∞の

と き,

と な る.□   さ て,(6.27)は

(6.34) と書 く こ と も で き る.こ

れ よ り共 分 散 は 差λ(t)〓 λ(s)に 依 存 し て い る こ と が 明

らか で あ ろ う.   関 数FとFに

よ り定 義 さ れ る 測 度(こ

れ も同 じ記 号Fで

を そ れ ぞ れD‐ 定常 過 程 の ス ペ ク トル 分 布 関 数(spectral とス ペ ク トル 測 度(spectral

measure)と

表 す こ と に す る)

distribution function)

い う.(6.27)よ

り

(6.35) は明 らか で あ る.も し,ス ペ ク トル 測 度 がLebesgue測 るな ら ば,そ のRadon‐Nikodym導  FをR+上

関 数 は スペ ク トル 密 度 と よば れ る.

の 非 負 有 限測 度 とす る.こ の と きFを

D‐定 常 過 程 が 存 在 す る.

度 に 関 して 絶 対 連 続 で あ

そ の ス ペ ク トル測 度 とす る

例6.2]  確 率 測 度

を もつ 確 率 変 数 をYと

す る.Yと

を み た す確 率 変 数 をZと

は独 立 で,か

つ

す る.確 率過 程{X(t);t∈R+}を

(6.36) に よ っ て定 義 す る と

とな る.し た が って,X(t)の

共 分 散 関 数 は 調 和 解 析 可 能 で あ る.

 さ て,D‐ 定 常 過 程 の 調 和 可 能 性 に つ い て 述 べ よ う.   定 理6.5 {x(t);t∈R+}をD‐ ク トル 表 現(6.27)を

定 常 過 程 と す る.共

も つ な ら ば,X

(t)は(Walsh)ス

分 散 関 数 が(Walsh)ス

ペ

ペ ク トル 表 現

(6.37) を も つ.こ

こ に{ζ(x);x∈R+}は

直交 増 分 を も つ 確 率 過 程 で,

(6.38) を み た す.逆

に,X(t)が(6.37)の

よ う に表 さ れ る な ら ば,共 分 散 関 数 は(6.27)

の よ う に表 さ れ る.

定 理6.5の

証 明]

〔 十 分性〕   この 部 分 の証 明 は よ り一般 的 な命 題(文 る. 〔 必 要 性 〕  こ れ も明 ら か で あ る.実

かつ

際,

献[19]参 照)に

よ り示 さ れ

で あ る.□   例6.1で

与 え た 確 率 過 程{X(t);t∈R+}はWalsh調

の 過 程 は(6.19)の

和 解 析 可 能 で あ る.こ

よ う に ス ペ ク トル 表 現 さ れ,共

のよ う に表 され る.よ っ て明 らか に{X(t)}は

分散 関数 は

調 和 解 析 可 能 なD‐ 定 常 過 程 で あ

る.調 和 解 析 可 能 なD‐ 定 常 過 程 は そ の 表 現 に よ り各 種 の 解 析 が 容 易 に な る.次 節以 降 で はD‐ 定 常 過 程 の基 本 的 な 性 質 に つ い て 述 べ,確 率 的 な 解 析 を行 う こ と にす る.   定 理6.2と

定 理6.3と

の 関 係 お よび 定 理6.4と

よ う に,D‐ 定 常 過 程 が スペ ク トル 表 現(分 解)で

定 理6.5と

の 関 係 か らわ か る

き るの は,そ の 共 分 散 関 数 が

スペ ク トル 表 現 で き る と きで あ り,か つ そ の と き に限 る.し た が って,D‐ 定 常 過 程 か そ の 共 分 散 関 数 の い ず れ か 一 方 で もスペ ク トル 表 現 で き る な らば,D‐ 定 常 過 程 はWalsh調

和 解 析 可 能 で あ る と い う こ とに し よ う.

6.3 D‐

微分可能性

 本 節 で はWalsh調

和 解 析 可 能 なD‐ 定 常 過 程 のD‐ 微 分 可 能 性 に つ い て 述 べ

る.  D‐定 常 過 程{X(t);t∈R+}と (6.37),(6.27)で

そ の 共 分 散 関 数 の ス ペ ク トル表 現 は そ れ ぞ れ

与 え られ て い る もの と し よ う.

 定理6.6 D‐ 定常 過程{X(t)}がD‐

微 分可 能 であるの は,そ の スペ ク トル分 布

関数 が (6.39)  を み た す こ と で あ り,か つ そ の と き に 限 る.こ

の と き{X(t)}のD‐

導 関数 は

(0.40)  と表 さ れ る.

定 理6.6の

証 明]

〔十 分 性 〕

ス ペ ク トル 表 現 とWalsh関

数 の 性 質(4.54)に

よ り

(6.41) とな る.右 辺 の被 積 分 関 数 は定 理4.5に が らx2に 収 束 す る.よ

が 存 在 す る.し

続 い て 注意 した よ うに単 調 に増 加 しな

っ て仮 定 と単 調 収 束 定 理 とに よ り極 限

た が っ てD‐微 分 可 能 で あ る.

〔 必 要 性 〕D‐ 微 分 可 能 で あ る か ら(6.41)のn→ そ し て 右 辺 の 極 限 は(6.39)で

あ る.ま

∞の

と き の 極 限 が 存 在 す る.

た,

よ り(6.40)は 明 らか で あ る.□   高次 のD‐ 微 分 可 能 性 は 定 理 よ り容 易 に わ か る.す な わ ち{X(t)}がk回D ‐微 分 可能 で あ るた め の必 要 十 分 条 件 は

で あ り,そ の と きk回

のD‐ 導 関 数 は

と表 さ れ る.  系 6.1 D‐ 導 関 数{X[1](t)}の

共分散 関数 は

(6.42)  と表 される.こ こにDtはtに  こ の系 は 定 理6.6の

関 してＤ‐微分 を表す.

結 果 よ り直 接 得 ら れ る.

6.4 

線形D‐ 過程とD‐ 定常過程

 本 節 で はD‐ 定 常 過 程 に属 す る線 形D‐ 過 程 に つ い て述 べ る.  初 め に線 形D‐ 過 程 を 定 義 し よ う.R+上

のBorel集

合 族B(R+)の

上で定 義

され た 直交 ラ ン ダ ム測 度 を η と し,

(6.43)

を み た す も の とす る.関

数Φ∈L2(R+)に

対 して

(6.44) に よ り確 率 過 程{Y(t);t∈R+}を process)と

よ ぶ.こ

in the mean)の

こ で(6.44)の

定 義 し,こ

れ を線 形D‐ 過 程(linear

積 分 はL2(Ω)強

意 味 で 定 義 す る.す

収 束,す な わ ち2乗

dyadic 平 均(limit

なわち

(6.45) を み た すY(t)を のWalsh変換

積 分 の 値 と す る.さ をJAと

す る.す

 この 関 数 を使 っ てB(R+)上

て,有 界 な 集 合A∈B(R+)の

特 性 関 数1A

な わ ち,

に新 た に ラ ンダ ム 測 度 ξ を

(6.46) に よ っ て 定 義 す る.こ

の と きParsevalの

等式 に よ り

(6.47)

と な る の で,ξ

は 直交 ラ ン ダ ム 測 度 で あ る.

  関 数f∈L2(R+)と 対 し て,関

そ のL2の

意 味 で のWalsh‐Fourier変

換F∈L2(R+)と

に

係

が成 り立 つ こ と を示 そ う.ま ず 単 関 数

に 対 し て こ の 関 係 式 が 成 り 立 つ こ と を 示 す.こ (R+)に

こ にAk(k=1,2,…,n)はB

属 す る 有 界 で 互 い に 排反 な 集 合 で あ る.

 定 義 よ り

と な る.さ

ら に 単 関 数 の 対f,gに

対 して

が 成 り立 つ こ と は 容 易 に 示 さ れ る.よ っ て,単 関 数 の 集 合 はL2(R+)に 密 で あ る か ら,こ   さ て,(5.8)と

の 関 係 はL2(R+)の 同 様 に2進

お い て稠

上 に 拡 張 さ れ る.

シ フ ト とWalsh‐Fourier変

換 との 関 係 に よ り

(6.48) を 得 る.こ こで

とお くと

こ で,φ(x)はΦ(t)のL2の

意 味 で のWalsh‐Fourier変

換 で あ る.そ

と な る.こ

う し て(6.48)を

書 き直 す こ と に よ り

(6.49) を 得 る.さ

らに

は 明 ら か.こ

れ らの 結 果 を次 の 定 理 に ま とめ て お こ う.

 定 理6,7{Y(t);t∈R+}は(6.44)で

表 さ れ る 線 形D‐ 過 程 と す る.こ

Y(t)は ス ペ ク ト ル 密 度 関 数σ2￨φ(x)￨2を も つ(6.49)で

の とき

表 さ れ るD‐ 定 常 過 程 で

あ る.

  と こ ろ で(6.49)の

ζ はB(R+)の

上 で 定 義 さ れ た ラ ン ダ ム 測 度 で あ る が,改

めて

(6.50) と お く こ と に よ っ て,ζ(x)はR+上

で 定 義 さ れ た 直交 増 分 を も つ2次

の確 率 過

程 と な り,(6.49)は

と表 す こ とが で き る.逆 に,R+上 み た す 直交 ラ ンダ ム 測 度 をB(R+)の

の 直交 増 分 を もつ確 率過 程 に対 して(6 .50)を 上 に定 義 す る こ とが で き る.よ っ て,今 後

は直交 ラ ン ダ ム 測度 と それ に対 応 す る直交 増 分 を もつ確 率 過 程 は 同 一 視 す る こ とに して,同 一 の記 号 を用 い る こ と にす る.  次 に 定 理6.7の

逆 の命 題 が 成 立 す る こ と を示 そ う.

  定 理6.8{X(t);t∈R+}は の と き{X(t);t∈R+}は

定 理6.8の

ス ペ ク トル 密 度 関 数 を も つD‐ 定 常 過 程 と す る .こ 線 形D‐ 遇程 で あ る.

証 明]  仮 定 よ り

か つ

と表 さ れ る.こ

こ にf(x)は

み た す 可測 関 数 をh(x)と

ス ペ ク トル 密 度 関 数 で あ る.条 す る と,h∈L2(R+)で

件￨h(x)￨2=f(x)を

あ る.ラ ン ダ ム 測 度 ζ と直交 す

る ラ ン ダ ム 測 度 を ζ1と し,

を み た す も の と す る.そ

して

と お く.こ

こ に,h1(x)=0(h(x)≠0);=1(h(x)=0),ま

の と き0と

す る.そ

と な る.ラ

ンダ ム測 度 η を

う す る と

に よ っ て定 義 す る と

と ころ で

で あ る か ら,(6.48)と

同 じ よ うに して

た1/h(x)はh(h)=0

 

を 得 る.こ

の にHはhのL2の

 こ れ ら の 結 果 か ら,線

意 味 で のWalsh‐Fourier変 形D‐過

換 で あ る.□

程 の ク ラ ス は ス ペ ク トル 密 度 関 数 を も つD‐ 定

常 過 程 の ク ラ ス と 同 一 で あ る こ と が わ か る.離 散 パ ラ メ ー タ の 場 合 の 線 形D‐ 過 程 に つ い て はNagai[27]に

よ っ て 定 理6.7と

定 理6.8に

対 応 す る命題 が証 明 さ

れ て い る.

6.5 

Wienerの

公 式と大数 の法則

  本 節 で はD‐ 定 常 過 程{X(t);t∈R+}はWalsh調 と{X(t)}は

そ れ ぞ れ(6.27)と(6.37)で

  初 め に 弱 大 数 の 法 則(weak

law of

和 解 析 可 能 で,共

分散関 数

表 さ れ る も の と し よ う. large numbers)に

つ い て 述 べ よ う.

 定理6.9 D‐ 定常 週程 に対 して弱大 数の法 則が 成 り立つ.す なわ ち, (6.51) 定 理6.9の

証 明] 

T→ ∞の

とき

(6.52) は有 界 収 束 で あ るの で,

は 明 ら か で あ る.□   定 理6.9よ

り次 の系 が 得 ら れ る.

 系6.2 D‐ 定常 過 程 は 次 の 条 件(1)ま

た は(2)が

み た さ れ る と き,か つ そ の と

き に 限 り エ ル ゴ ー ド 的 で あ る. (1) 

(6.53)

 (2) 

(6.54)

 弱 大 数 の法 則 と関 連 して,Wienerの

公 式 に つ い て 考 え よ う.

 定 理6.10(Wienerの

公 式)  も しK(x)が

微 分 可 能 な 関 数 で,

(6.55)  をみ た し,導 関数K'(x)が 任意 の有 限 区間 の上 で可積 分な らば, (6.56)  こ こにCは  Wienerの

正 の定数 で ある. 公 式 は弱 大 数 の 法 則 の 一 般 化 とみ なす こ とが で き る.実 際,(6.56)

の 左 辺 の 積 分 は 変 数 変 換 を行 う こ とに よ っ て

と 表 す こ と が で き,さ

らに

(そ の 他) と お く こ と に よ っ て(6.51)が   定 理6.10の と に す る.た

得 ら れ る.

証 明 はKawata[22]の だ し,証

方 法 とほ とん ど同 じで あ る の で 省 略 す る こ

明 に 必 要 と な る 次 の 補題 を 示 し て お く.

  補題6,2

(6.57) ここで左 辺の極 限の存在 とその値 はS,Tの

極 限移 行 の仕 方 に はよ らな い こと

に注意 しよ う. 補題6.2の

証 明]  左 辺 の 積 分 は(6.27)に

よ り

と表 さ れ る.し た が っ て,右 辺 に お い てS,Tを と に よ り(6.57)が

それ ぞ れ独 立 に極 限 移 行 す る こ

示 さ れ る.□

 次 に 強 大 数 の 法 則 に 移 ろ う.   定 理6.11  (強大 数 の 法 則)  も し

(6.58)

  な ら ば,

(6.59)  こ こ で,F(0)=0を

仮 定 して い る.

  この 証 明 は 通 常 の 弱 定常 過 程 に 対 す るVerbitskaya[32]の が,D‐ 定 常 過 程 も し くはWalsh関

方 法 に 準 じて い る

教に 特 有 な 性 質 を適 用 す る箇 所 もあ るの で,

あ え て証 明 す る こ とに し よ う. 定 理6.11の

証 明]  まず,

(6.60) とお く.任 意 のT∈R+に

対 し てn≦T＜n+1を

み た す 整 数nを

選 んで

(6.61) を 得 る.Schwarzの

と な る の で,n→

不 等 式 を用 い て

∞の

と き(6.61)の

右 辺 第2項

は 確 率1で0に

収 束 す る.し

た

が って

(6.62) を 示 せ ば よ い.  任 意 のn∈Nは

一意的 に

と表 す こ と が で き る.よ

右辺第2項 以 降の各項 は

って

と表 さ れ て い る.   Borel‐Cantelliの す る と き(6.62)が

定 理 に よ っ て,任 意 の ε＞0に 対 し て 次 の2つ

の級 数 が 収 束

成 り立 つ こ と が わ か る:

(6.63) (6.64)   ま ず,(6.63)が

収 束 す る こ と を 示 そ う.Chebyshevの

不 等 式 を 適 用 し て,級

数

(6.65) が 収 束 す れ ば,(6.63)が

収 束 す る.容

易にわか るように

と な る.よ

よ り(6.65)が

収 束 す る.

っ て(6.58)に

 同 様 に し て,

(6.66) が 収 束 す れ ば,(6.64)が 対 して

よって

収 束 す る こ と が わ か る.定 義 よ りk＞pか

つq＜2k-Pに

こ れ よ り(6.66)は

と表 さ れ る.し

た が っ て(6.58)に

よ り(6.60)が

収 束 す る.□

  本 節 で は 連 続 パ ラ メ ー タ の 場 合 に つ い て 述 べ た が,離 散 パ ラ メ ー タ のD-定 系 列 に 対 し て も,弱

常

大 数 お よ び 強大 数 の法 則 に関 す る 同様 の 定 理 が 得 られ て い

る[11].

6.6

 D-定 常 過 程 のWalsh‐Fourier級

  本 節 で はD-定 常過 程 をWalsh‐Fourier級 て 述 べ る.Walsh調

和 解 析 可 能 なD-定

数

数 に展 開 し,級 数 の 収 束 性 に つ い

常 過 程 を{X(t);t∈R+｝

と して,R+上

の 任 意 の 有 限 区間 に お い て2乗 平 均 の意 味 で 可 積 分 で あ る と し よ う.す な わ ち 任 意 のp∈Nに

と す る.{X(t)}の

対 して

区 間[0,2p)上

で のWalsh‐Fourier係

数 を

(6.67) と 定 義 す る.こ

の と き,Walsh‐Fourier級

数 は

(6.68) で 表 さ れ る.  ま ず,Walsh‐Fourier係

数 の 性 質 に つ い て 考 え よ う.

補 題6.3

(1)

 (6.69)

(2)

 (6.70)

補 題6.3の

証 明]

(1) 

EX(t)=0よ

(2) 

X(t)の

と表 さ れ る.さ

り明 ら か で あ る. 表 現(6.37)よ

り

らに

(6.71) と(4.54)と

に よ り

と な る.ま

た(5.13)に

お い てA=2p,x∈[0,1)と

お くと

(そ の他) とな る の で

と な っ て証 明 が 終 わ る.□  補 題6.3よ

り次 の 定 理 が容 易 に証 明 され る.

 定 理6.12  (1)  (6.72)

 (2)

もし  (6.73)

 な ら ば,  (6.74)

定 理6.12の

証 明]

(1) 

補 題6.3よ

(2) 

(6.72)よ

り 明 ら か. り

  次 にX(t)のWalsh‐Fourier級 X(t)のWalsh‐Fourier級

数SX(t)の

平 均 収 束 性 に つ い て 述 べ よ う.

数 の 部 分 和 をSnX(t)と

す る.

す な わ ち,

(6.75) 定 理6.13 

X(t)のWalsh‐Fourier級

数 は 各t∈[0,2p)に

お い て平 均 収 束

する：

(6.76)  定 理 を証 明 す るた め に,次 の 補 題 を 示 して お こ う. 補 題6.4

(6.77) 補 題6.4の

証 明]  ま ず,n=2m(m∈N0)の

  Paleyの

補題 と

場 合 に つ い て 考 え よ う.

とに よ り

(6.78) 任 意 に 固 定 さ れ たx∈R+に

対 し て[x]＜2Nを

な ら ば,ψ ［x](t)=1(t∈[0,2-m))と (6.78)の

右 辺 は0と

  次 に,n∈Nに と お い て,(2.49)を

な る.よ

み た すN∈N0が っ て,十

存 在 し,m≧N

分 大 き いm∈Nに

対 して

な る.

対 し て2m≦n＜2m+1を 適 用す る と

み た すmが

存 在 す る.そ こ でn=2m+l

と な り,十

分 大 き いnに

  そ こ で,Ｉ2の

対 し てI1,は0と

な る.

評 価 を し よ う.k＜2mに

Dl(t〓2-(m+1))=Dl(t)さ

対 し て ψk(2-(m+1))=1で

ら に ψ2m(t〓2-(m+1))=−ψ2m(t)と

あ る か ら,

シ フ トに 関 す る 積 分

の 不 変 性 に注 意 す る と

(6.79) とな る.(6.79)の

十 分 大 き いmに =0と

左 辺 と右 辺 を 加 え る と

対 し て ψｘ(2-(m+1))=1で

定 理6.13の

の よ う なmに

対 し てI2

証 明]  定 義 よ り

よ っ て,(6.27)に

よ り

  上 式 右 辺 の 内 側 のDirichlet積 題6.4に

あ る の で,そ

な る .□

よ り,n→

∞ の と き0に

  次 に,Walsh‐Fourier級

分 は 任 意 のt,x∈R+に

対 し て 有 界 で あ り,補

収 束 す る.□

数SX(t)の

概 収 束 性 に つ い て 考 え よ う.

 定 理6.14 

もし

(6.80)  な ら ば,SX(t)は

 定 理6.14を   補 題6.5 

区 間[0,2p)上 の 至 る と こ ろ で 確 率1で

収 束 す る.

証 明 す る た め に次 の 補 題 を 引 用 し よ う. f∈L2[0,1)が

(6.81)  を み た す な ら ば,f(x)のWalsh‐Fourier級

数Sf(x)は[0,1)上

の 至 ると こ

ろ で 収 束 す る.   こ こ で は 補 題 の 証 明 は 省 略 す る が,興

味 の あ る 読 者 はPaleyま

た はYanoの

文 献[28],[35]を 参 照 し て ほ し い.

定 理6.14の

証 明]  定 理 を証 明 す る た め に は

(6.82) を 示 せ ば よ い.実

際,(6.82)が

成 り立 つ な ら ば,確

率1で

(6.83) が 成 り立 ち,よ   さ て,容

そ こ で,

っ て 補 題6.5か

易 にわか る ように

ら定 理 が 証 明 さ れ る.

と お く.￨ψh(x)−1｜ ≦2で

あ るか ら

ま た ψt(x)=1(tx＜1/2)に

注 意 して

と な る.□   こ の 節 の 終 わ り に,Walsh‐Fourier級数SX(t)の

絶対 収束 性 につ いて考 え

よ う.  定 理6.15 

もし

(8.84)  な ら ば,SX(t)は 定 理6.15の

任 意 のt∈[0,2p)に

証 明]  Cauchyの

定 理6.12の(2)に

よ り,右

お い て,確

率1で

絶 対 収 束 す る.

不 等 式 を適 用 して

〓. よっ て

辺 は

〓は確 率1で 収 束 す る.□  系6.3 

も し(6.84)が 成 り立 つ な ら ば,X(t)は

サ ン プ ルW-連

続 な 表 現(version

)を も つ. 系6.3の

証 明]  Walsh関

示 さ れ る.□

数 がW-連

続 で あ る こ と と定 理6.15と

に よ り,系

が

6.7  

Walsh‐Fourier係

数 の 同時 分 布

  本 節 で は調 和 可 能 なD-定

常 過 程{X(t);t∈R+｝

は スペ ク トル 密 度 を も つ と

仮 定 す る.こ の と き,6.3節

で 述 べ た よ う に,{X(t)}は

線 形D-過

程 で あ り,

(6.85) と表 さ れ る.こ

こ にΦ

は 実 数 値 関 数 で,Φ

∈L2(R+),か

つ η はβ(R+)上

の直

交 ラ ン ダ ム 測 度 で,

(6.86) を み た す.ま

た,{X(t)}の

共分散関 数 は

(6.87) と表 さ れ る.こ

こ に φ はΦ

のL2の

意 味 で のWalsh‐Fourier変

換 で あ る.す

な

わ ち,

(6.88)   区 間[0,2p)上 す る.こ

に お け るX(t)のWalsh‐Fourier係

の と き,p→

え よ う.こ

数Ckを(6.67)に

∞ と し た 場 合 の(C0,C1,…,Cn)の

よ り定 義

同 時 分 布 に つ い て考

の た め に い く つ か の 補 題 を 準 備 す る.

  補 題6.6  (1)  実 確 率 変 数XはEX=0,か

つ

(6.89)  と す る.こ

こ に σ(x)∈L2∩L3(R+)で,ξα(α

＞0)は 直 交 ラ ンダ ム 測 度 で

(6.90)  をみ たす もの とす る.こ の ときXの

特性 関数fα(u)は 小 さい α＞0に 対 して (6.91)

 と 表 さ れ る.  (2)  確 率 変 数X/α1/2は

α→ ∞ の と き,正

規 分布

 に法則 収束 す る.   こ の 補 題 はDoobら

に よ っ て 述 べ ら れ て い る が[8],こ

こ で はKawataの

文

献[23]を 参 考 に し て 証 明 し よ う. 補 題6.6の (1) 

証 明]

ま ず,σ(x)が

階 段 関 数 の 場 合 に つ い て 考 え よ う.0≦a0＜a1＜

… ＜anと

し,

(6.92) と お く.定

義 に よ り

(6.93) と こ ろ で,σ(x)∈L2(R+)で 列 が 存 在 し,σ(x)の る.そ

適 用 して

,

積 分 は(6.93)の

こ で,σ(x)にL2-ノ

と,Xの

一 方

あ る か ら,σ(x)にL2-ノ 右 辺 の2乗

ル ム で 収 束 す る階 段 関 数 の 平 均 収 束 極 限 と して 定 義 され

特 性 関 数 は(6.93)の

ル ム で 収 束 す る(6.92)の

か た ち の 階 段 関 数 列 を とる

右 辺 の 特 性 関 数 の 極 限 で あ る.よ

っ て,(6.90)を

で あ る か ら,(6.91)が (2) 

(6.91)よ

  補 題6.7 

示 さ れ る.

り明 ら か.□

実 数 値 関 数 σα(x)∈L2(R+)と,あ

る σ(x)∈L2∩L3(R+)に

対 して

(6.94)   が 成 り立 つ と す る.ξα はβ(R+)上 と す る.こ

の 直 交 ラ ン ダ ム 測 度 で,(6.90)を

み たす もの

の と き,

(6.95)   の 特 性 関 数 はα → ∞ の と き,任意

の 有 限 区 間 に お い て 分 布N(0,〓

σ2(x)dx)

の 特性 関数 に一様 に収束 する. 補 題6.7の

証 明]  ま ず,

と お く と,

と な り,右

辺 は(6.94)よ

と な る の で0に

り,α

→ ∞ の と き,

収 束 す る.一 方,E{exp(√−1Xαu)}は

N(0,〓 σ(x)dx)の特性

の 定 理 を 証 明 し よ う.

常 過 程X(t)は(6.85)で

ム 測 度 ηは(6.86),お

よ り正 規 分 布

関 数 に収 束 す る． □

  こ れ で 準 備 が で き た の で,次  定 理6.16 D-定

補 題6.6に

表 さ れ て い る も の と す る.直 交 ラ ン ダ

よび

(6.96)  を み た す も の と し,関 数Φ ∈L2(R+)は き[0,2p)上

で のX(t)のWalsh‐Fourier係

さ ら にΦ ∈L1∩L3(R+)と 数Ckの

組

す る.こ の と

(6.97)  の 同 時 分 布 はn→

∞ の と き,N(0,σ2)の

直積 分布

(6.98)  に 収 束 す る.こ

定 理6.16の

こ で,

証 明]  確 率 変 数(6.97)の 特 性 関 数 は

(6.99) と 表 す こ と が で き る.こ

こに

(6.100) (6.101) と お い た.  (6.85)を

使 って

と 書 き 直 す こ と が で き る.こ

はpに

こで

依 存 し な い こ と に 注 意 し よ う.よ

って

(6.102) か つ

(6.103) とお く と

(6.104) と な る.   仮 定(6.86)と(6.96)よ

り

ま た,

(そ の他) と す る と,h(υ)∈L2(R+),か

つ 有 界 で あ る か らh(υ)∈L3(R+)と

な る.

 最後 に (6.105) を 示 そ う.そ

う す れ ば,補 題6.7に

収 束 す る こ とが わ か る.す

よ り,Xpの

特 性 関 数 が(6.98)の

特性関数 に

な わ ち,(6.99)が

(6.106) に 収 束 す る.  さ て,

(6.107) と 表 す.こ

こ でgn(υ)=0(υ〓[0,1))と

定 義 す る.

 この よ うに す る とgn(υ)はWalsh関 有 界 で あ る.よ

っ てLebesgueの

数 の 線 形 結合 で あ る の で,W-連

続 かつ

優収束 定理 によ り

(6.108)

さ ら に,(6.108)に あ る.し

お け る 収 束 は,(6.107)が

た が っ て,(6.105)を

を 示 せ ば よ い.h(υ,p)は あ るK＞0に

一 様 有 界 で あ る の で,有

示 す た め に は,あ

一 様 有 界 で あ る の で,任

るA＞0に

界収束 で

対 して

意 に 固 定 し たA＞1に

対 して

ついて

 上 式右 辺の積分 は

と な り,p→

6.8  

∞ の と き0に

Walsh‐Fourier‐Stieltjes級

  本 節 で は(6.25)で I+}に

収 束 す る.□

表 さ れ るWalsh調

つ い て 考 え る.(6.25)は

Walsh‐Fourier‐Stieltjes係

和 解 析 可 能 なD-定

数 常 系 列{X(n);n∈

直 交 増 分 を も つ 確 率 過 程{ζ(x);x∈[0,1)}の

数 とみ な す こ とが で き る.す

な わ ち,

(6.109) は  

ζ(x)のWalsh‐Fourier‐Stieltjes級 Walsh‐Fourier‐Stieltjes級

数 と み な せ る. 数 の 部 分 和 を

(6.110) とお くと

かつ

と な る.Dirichlet核

の 定 義 よ りDk(x)/xは

一 様 有 界 で,か

つ

よ っ て次 の補 題 が 得 られ る.  補 題6.8

(6.111) こ こ に,

 この 補 題 よ り次 の 定 理 が 得 られ る.   定 理6.17

(6.112) 定 理6.17の

証 明]

で あるか ら

と な り,補

題6.8に

  我 々 は 定 理6.17に

よ り,n→

∞ の と き右 辺 は0に

収 束 す る.□

よ り ζ(x)のWalsh‐Fourier‐Stieltjes級

用 し て ζ(x)の 離 散 部 分 を 抽 出 す る こ とが で き る.そ の 連 続 な 部 分 に つ い て 考 え よ う.こ

こ で,次

数 の 部 分 和 を利 に 確 率 過 程 ζ(x)

の た め 確 率 変 数 の 級 数 に 関 す るTauberの

定 理 を述 べ る.   補 題6.9(Littlewood's 〓xnは,も

し そ れ が2乗

O(n-2)な ら ば,2乗

補 題6.9の

Tauberian

平 均 の 意 味 でAbel総

確 率 変 数 の 級 数

和 可 能 で あ り,か つE￨Xn￨2=

平 均 の 意 味 で 収 束 す る.

証 明]  仮 定 よ り,n∈Nに

とす る.こ の式 のrの

Theorem) 

対 し てE￨Xn￨2≦n-2と

代 わ り にrk(k∈N)を

し て よ い.さ

らに

代 入 して も よ い.し た が っ て定 数

項 を もた な い(有 限 次 の)多 項 式 Ｐ(r)に 対 して (6.113)   と こ ろ で 任 意 の ξ',ξ(0＜ ξ'＜ξ＜1)と

あ る δ＞0と に 対 し て 次 の(1)∼(3)

を み た す 多 項 式 が 存 在 す る こ とが わ か る［37］: (1) 

0≦P(r)≦1

(2) 

P(r)≦

(3) 

1−P(r)≦

  (r∈(0,1))

δr

  (r∈(0,ξ'))

  (r∈(ξ,1))

δ(1−r)

 そ こ で,r∈(0,1)に

対 して

と お く と,と

非 減 少 関 数 で あ り,r→1と

次 と る.明

も にrの

ら か にN＜N'か

す る と き,値1,2,3,…

を順

つ

(6.114)

(1)∼(3)を

み た す 多 項 式P(r)に

対 して

(6.115) を 得 る.こ

こ でSN=〓Xnで

あ る か ら,明

らか に

かつ

  任 意 に ε＞0を 固 定 す る.NとN'の と り,し 1/2に

か も,0と1と

定 義 に よ り,ξ と ξ'を 互 い に 十 分 近 く に

か ら 離 し て と る とlimsupB(r)≦

ε と な る (ξ と ξ'は

関 し て 対 称 に と る こ と が で き る).ξ と ξ'を 固 定 して,N(1−r),N'(1−r)

がr→1−

と す る と き,そ れ ぞ れ0で

十 分 小 さ く とれ ば,limsup￨A(r)｜ よ っ て(6.115)に

な い 有 限 の 値 に収 束 す る.よ

＜ ε,limsup￨B(r)￨＜

っ て δ＞0を

ε と す る こ と が で き る.

よ り

し た が っ て,(6.113)よ

 定 理6.18 x∈Q+ま

り

た はxはFの

連 続 点 な ら ば,

(6.116) 定 理6.18の r)と す る.す

証 明]  区 間[0,x)の

特 性 関 数 を1x(u)と

し,そ

のAbel和

を1x(u;

な わ ち,

(6.117) こ こ に,

任 意 のx∈Q+に

対 し て,1x(u)∈CWで

1x (u)のWalsh‐Fourier級

あ る か ら,系3.2と

数 は 一 様 にAbel総

補 題3.1に

よ り,

和 可 能 で あ る.す な わ ち,u∈[0,

1)に 関 し て 一 様 に

よ っ て,x∈Q+ま

一 方

,固

た はFの

定 し たr＜1に

か ら,x∈Q+ま

連 続 点x∈R+に

た はFの

す なわ ち,〓X(k)Jk(u)は2乗

で あ る.ま

た,(5.15)に

で あ る か ら,補

ゆ え に(6.116)が

題6.9に

対 して

対 し て 式(6.117)はu∈[0,1)に

た はFの

し た が っ て,x∈Q+ま

連 続 点x∈R+に

よ り

よ り

示 さ れ る.□

関 して 一 様 収 束 で あ る

対 して

連 続 点x∈R+に

対 して

平 均 の 意 味 でAbel総

和 可 能 で,そ の 和 は

6.9

 近 似Walsh級

  確 率 過 程{X(t);t∈R+｝

を 可 測D-定

数 常 過 程 と し,EX(t)=0(t∈R+)と

定 す る(こ の よ う に 仮 定 し て も一 般 性 は 失 わ れ な い).さ ク トル 表 現(6.27)が もの と す る.す

可 能 で あ り,{X(t)}は

仮

らに 共 分 散 関 数 は スペ

ス ペ ク トル 表 現(6.37)が

可能 であ る

な わ ち,

(6.118) い ま,p∈N0と

して

(6.119) と お く.こ

の と き{ξn;n∈N0}は

直 交 確 率 変 数 列 と な る.ま

た

かつ

(6.120) で あ る.こ

の と きWalsh級

数

(6.121) を{X(t)}の

近 似Walsh級

数(approximate

Walsh

series)と

い う.

 ζnの 直 交 性 に よ り

(6.122) と な る.よ る.よ

っ て 近 似Walsh級

っ てt∈R+に

数 はt∈R+に

関 し て 一 様 にL2(Ω)強

収 束 で あ

対 して

(6.123) が 定 義 さ れ る.X(t)∈L2(Ω)で

あ り

かつ

(6.124)   級 数 の か た ち か ら明 ら か な よ う にX(t)はR+× に よ り任 意 のtの

有 限 区 間 で 有 界 で あ る.し た が っ てFubini‐Tonelliの

ら確 率1でX(t)はtの な わ ち,任

Ω 可 測 で あ る.ま

関 数 と し て,任

意 のx∈R+に

意 の 有 限 区 間 で2乗

た(6.124) 定理 か

可 積 分 で あ る.す

対 して

さ らに

で あ る か ら,

(6.125)   級 数(6.123)はX(t)のWalsh‐Fourier級 に お け るWalsh‐Fourier係

で あ る.そ

こで

を 評 価 し よ う.さ

て,

数 は

数 で あ る.実

際,X(t)の[0,2p)上

右辺第2項 の中の積分 は

で あ る か ら,N＞nと よ り,N→

す る と 第2項

∞ の と き0に

は0で

収 束 す る.よ

あ る.ま た,右 辺 第1項 っ てS=0と

は 定 義(6.123)

な り

(6.126) す な わ ち,ζnはX(t)のWalsh‐Fourier係

 

X(t)の

数 で あ る.

共 分 散 を 求 め よ う.ま ず

で あ り,同

じ よ うに して

と な り,ζnの

直 交 性 と(6.120)か

ら

よって

(6.127)  以 上 よ り次 の 結 果 が 得 られ る.  定 理6.19 

X(t)の

近 似Walsh級

数(6.121)はX(t)にL2(Ω)強

1で(6.121)はX(t)のWalsh‐Fourier級 D- 定 常 過 程 で,そ

の 共 分 散 関 数 は(6.127)で

数 で あ る.さ 与 え ら れ,ス

収 束 し,確 率 ら に,X(t)は

可測

ペ ク トル 分 布 は

(6.128)

 で 与 え られ る.

 次 にX(t)とX(t)と   定 理6.20 

の直 接 的 な 関係 につ い て考 え よ う.

X(t)=Xp(t)と

す る と き,

(6.129)  こ こ に,log+2t=max(0,log2t)

定 理6.20の

証 明]  定 義 に よ り

よ っ て,(6.124)に

よ り

また,右 辺 の積 分 を変 数 変 換 す る と

とな る.ψt(x)=1(x＜2-ｐ,p＞log+2t+1)で

あ る の で,結

局

が 得 られ る.□   ま た,(6.129)か

ら,t∈R+を

固 定 す る とp→

∞ の と きXp(t)はX(t)へ

強収

束 す る こ とが わ か る.

 次 に近 似Walsh級

数 の 絶 対 収 束 性 に つ い て 考 え よ う.

 定理6.21  R+上 で定義 され た 非負 非減少 関数g(x)は (6.130)  をみ たす もの とす る.も し (6.131)

  な ら ば,近 似Walsh級

数 は 確 率1で

絶 対 収 束 す る.す

な わ ち,

(6.132) 定 理6.21の

証 明]  ま ず,次

式 が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.

(6.133) 実 際,g(x)が

 さ て,(6.132)を

非 減 少 で あ る こ と と,(6.130)と

によ り

示 す に は

(6.134) を 示 せ ば よ い.N∈Nと

と な り,(6.131)か

し,Cauchy‐Schwarzの

ら(6.134)が

  関 数〓 る.し

た が っ て 定 理6.21よ

不 等 式 と(6.133)と

に よ り

得 ら れ る.□

はR+上

で 非 負 非 減 少 で,か

り次 の 系 が 得 ら れ る.

つ(6.130)を

満足 す

 系6.4も

しあ る β＞0で

(6.135)  な ら ば,近 似Walsh級

数 は確率1で 絶対 収束 であ る.

本 章 で は 離 散 関 数 のWalsh‐Fourier変 ゴ リズ ム のFWT(fast

Walsh

換 を 定 義 し,そ の 効 率 的 な 計 算 アル

transform)に

つ い て述 べ る .7.1で

変 換 を 定 義 し,Parsevalの

は離

散 関 数 と そ のWalsh変

換,逆

る.7.2で

はWalsh関

数 列 は そ の 定 義 に よ り順 序 づ け が 異 な る こ と を 述 べ,

Walsh関

数 列 の い くつ か の 順 序 づ け に つ い て 述 ベ る.ま

徴 づ け る 繰 返 し数 と い う 概 念 を 導 入 す る.7.3で 順 序 づ け で あ るHadamard行

等 式 に も言 及す

たWalsh順

はWalsh関

序 を特

数 列の ひと つの

列 に よ る 方 法 に つ い て 述 べ る.7.4で

数 と 関 連 した サ ン プ ル 値 関 数 と サ ン プル ホ ー ル ド関 数 の 定 義 を 与 え,も る 連 続 変 数 の 上 で 定 義 さ れ た 関 数 と の 関 係,お Fourier係

数 の 関 係 を 示 す.7.5で

ズ ム で あ るFWTに 変 換 につ い て ふ れ る.

はWalsh変

よ びWalsh変

は離散 関 とにな

換 とWalsh‐

換 の 効 率 的な 計 算 アル ゴ リ

つ い て 述 べ る.最 後 に7 .6で2次

元Walsh変

換 とその逆

7.1

 

Walsh変

換

  こ れ ま で は も っ ぱ ら 連 続 変 数 の 関 数 を扱 っ て き た が,こ

こで は離 散 集 合 の 上

で 定 義 さ れ た 関 数 に つ い て 考 え る.   N∈Nと

し,有 限 集 合{0,1,…,N−1}の

値 関 数 を 次 数Nの

離 散 関 数(digital

以 下 で は 特 にN=2p(p∈N)と   次 数Nの

上 で 定 義 され た 実 数 値 また は複 素 数 function

of order

N)と

よ ぶ こ と に す る.

す る.

離 散 関 数fに

対 して

(7.1) をfのWalah変

換 と い う.

  a,b∈Cと

し,f,gを

そ れ ぞ れ 次 数Nの

離 散 関 数 とす る と き

(7.2) が成 り立 つ.よ

っ てWalsh変

  関 数fのWalsh変 でfに

換fは,定

換 は線 形 変 換 で あ る. 義 よ りや は り次 数Nの

離 散 関 数 で あ る.そ こ

対 して変 換

(7.3) を 定 義 す る.  

Walsh関

数 の定 義 よ り

(7.4) で あ る の で,(7.3)に(7.1)を

代 入 して 整 理 す る と

と な る.ま

たWalsh関

数 の直 交 性 に よ り

(7.5) と な る.よ

って

(7.6) を 得 る.(7.6)は

変 換(7.3)がWalsh変

こ で 以 下 で は(7.3)をWalsh変 そ の 逆 変 換 は 乗 数1/Nが  

Walsh関

換 の 逆 変 換 と よ ぶ こ と に し よ う.Walsh変

換 と

異 な る だ け で あ る.

数 の 対 称 性(7.4)と

と な り,Parsevalの

換 の 逆 変 換 で あ る こ と を 示 し て い る.そ

直 交 性(7.5)に

よ り

等式

(7.7) が 得 ら れ る.さ

らに

(7.8) も 示 さ れ る.こ   Parsevalの

こ にgはgのWalsh変 公 式 はWalsh変

と解 釈 す る こ と が で き る.し

換 の前後 において エネ ルギーが保存 されて い る た が っ て,￨f(k)￨2の

の は そ れ ら を 省 い て も,も と のf(j)に 予 想 さ れ る.こ

換 で あ る.

値 が 十 分 小 さい とみ なせ る も

大 きな 影 響 を及 ぼ さ な い で あ ろ う こ とが

の よ う に 相 対 的 に 小 さ な エ ネ ル ギ ー 成 分 を も つ 帯 域 を 除 い て,

信 号 の 帯 域 幅 を縮 小 す る と い う 考 え は デ ー タ 圧 縮(data ル タ ー 設 計 の 基 本 的 な 考 え 方 で あ る.

compression)や

フ ィ

7.2  

 

Walsh関

数の順序づ け

数 列 は そ の 定 義 の 仕 方 に よ っ て 順 序 づ け が 異 な る.こ

き たWalsh関 た は2進

Walsh関 数 列 はR.E.Paleyに

順 序(dyadic

よ る定 義 で,Paley順

order)と

れ まで 扱 って

序(Paley

よ ば れ て い る.そ

order)ま

も そ も,J.L.Walshは

Rademacher関

数 列 を 完 備 化 し てWalsh関

数 列 を 定 義 し た が,こ の と き の 順 序

は 区 間[0,1)上

で 関 数 の グ ラ フが 座 標 軸 を上 下 に横 切 る 回数 に 従 っ て番 号 づ け

られ て い る[33].三 角 関 数 に 限 ら ず 反 復 し て 交 互 に 変 化 す る 関 数 の 繰 返 し 率 を 表 す た め に,H.F.Harmuthは

繰 返 し数(sequency)を

単 位 時 間 あ た り に0と

交 差 す る 平 均 回 数 の1/2を

(zero per second)を

単 位 と す る.し

た が っ て,三

)は 繰 返 し 数 の 特 別 な 場 合 で あ る.こ はWalsh順

序(Walsh

order)ま

提 案 し た[21].す

な わ ち,

繰 返 し 数 と 定 義 し て,Zps 角 関 数 等 で い う 周 波 数(frequency

の 定 義 に よ りWalshに

た は 繰 返 し数 順 序(sequency

よる 関 数 列 order)と

よば

れ て い る.   こ の 節 で はPaley順

序 とWalsh順

序 に つ い て 述 べ,次

節 でHadamard順

序

に つ い て 述 べ る こ と に す る.   初 め に,Paley順

序 に よ るWalsh関

数 の定 義 に つ い て お さ ら い を し て お こ

う.   k∈N0(k＜2p)の2進

法展開 を

(7.9) と し,

と表 す こ と に し よ う.  ま た,x∈[0,1)の2進

法展 開 を

(7.10) と し,

と表 す こ と に す る.  こ の と き,定

義 に よ りPaley順

序 のWalsh関

数 は

(7.11) と表 さ れ る.こ

こに

(7.12) で あ る.(7.12)の

表 現 が 定 義(1.14)と

異 な る の は,kの

表 現(7 .9)が(1.1)と

異 な

数 の 定 義 に 移 ろ う.こ の 場 合,Walsh関

数

る か ら で あ る.   次 に 繰 返 し 数 順 序 に よ るWalsh関 をW(k,x)と

し て,

(7.13) と 定 義 す る.こ

こ に,kp+1=0と

して

(7.14)  変換 表7.1 

コ ー ドの 対応 表

(7.15) を

(7.16) に よ り定 義 す る と,(7.14)は

(7.17) と 表 さ れ る.g(k)=(gp,gp-1,…,g1)2は る.Grayコ

ー ドで は 相 前 後 す る 数 の コ ー ド は,必

と に 注 意 し よ う.N=16の [k,x]を

十 進 数kのGrayコ

表7.1に

場 合 に つ い て,2進

示 す.ま たN=8の

図7.1 

Paley順

ず1ビ

ッ トの み 変 化 す る こ

コ ー ド,Grayコ

場 合 のPaley順

序 のWalsh関

ー ドとよ ばれ て い

数(N=8の

序 とWalsh順

場 合)

ー ド,〈k ,x〉, 序 のWalsh

関 数 の グ ラ フ を そ れ ぞ れ 図7.1と   (7.12)と(7.14)を

図7.2に

比 較 し て,(7.15)を

示 す. 適用 す ると

(7.18) と な る.よ

っ てWalsh順

序 とPaley順

序 のWalsh関

数 は互 い に

(7.19) と い う 関 係 が あ る.

図7.2  Walsh順

序 のWalsh関

数(N=8の

場 合)

7.3

  Hadamard行

  要 素 が+1ま

た は−1を

行 列 をHadamard行

列 によ る 方 法

も つ 正 方 行 列 で,行(ま

列(Hadamard

matrix)と

た は 列)が い う.対

に お い て 直 交 性 を 損 な わ な い よ う に 行 の 交 換,列 の 要 素 の 符 号 を 変 え る こ とが で き る.そ 1で あ る よ う なHadamard行 Hadamard行

互 い に直 交 す る

称 なHadamard行

の 交 換,ま

こ で 第1行,第1列

た は1行

列 の すべて

の 要 素 が す べ て+

列 を 求 め る こ とが 可 能 とな る.こ の よ う な 行 列 を

列 の 標 準 型(normal

form)と

い う.以 下 で は 標 準 型 のHadamard

行 列 に つ い て 考 え る こ と に す る[1].   最 小 次 数 のHadamard行

列 は 次 数2で

あ る.す

な わ ち,

(7.20)  

Nを2の

べ キ 乗 に 限 る な ら ば,高

次 の 行 列 はKronecker積

に よ っ て再 帰 的

に

(7.21) に よ っ て 与 え ら れ る.Kronecker積 置 き 換 え る こ と に 相 当 す る.よ

は 行 列(こ の 場 合HN/2)の

要 素 を 行 列H2で

って

(7.22)

 さ ら にH8の

場合 は

(7.23)

と な る.

 変換 (7.24) を 逆順 序2進 とPaley順

法(bit‐reversed)変 序 のWalsh関

換 と い う こ と に す る.こ

の と き,HN(N=2p)

数 と の 間 に 次 の 関 係 が 成 り立 つ.

(7.25) こ の 関 係 はH2,H4,H8に

つ い て は容 易 に 確 か め る こ と が で き る.一

般 の場 合 に

つ い て の 証 明 は 省 略 す る.   Hadamard行

列 の 行 の 順 番 に 対 応 す る 順 序 をHadamard順

order),ま

た は 自 然 順 序(natural

  N=8の

場 合 のHadamard順

お,Hadamard順

7.4

序 のWalsh関 数 はH(k,x)と

い う. 数 の グ ラ フ を 図7.3に

示 す.な

表 す こ と に す る.

 サンプル値関数とサンプルホール ド関数

  区 間[0,1)上 fを2-n間

序 のWalsh関

order)と

序(Hadamard

で 定 義 さ れ た 関 数fを

隔 で サ ン プ リ ン グ す る.す

離 散 化 す る こ と を 考 え よ う.n∈Nと

し,

な わ ち,

(7.26)  このgnをfの

サ ンプ ル値 関 数 と よ ぶ こ とに す る(サ

ン プ ル 値 関 数 は離 散 関

図7.3 

数 で あ る).さ

Hadamard順

序 のWalsh関

数(N=8の

場 合)

らに サ ン プ ル値 を次 の サ ンプ ル 値 ま で保 持 す る関 数,す

なわち (7.27)

をfの サ ンプ ル ホー ル ド関 数 と よぶ こ と に し よ う.サ ン プル ホ ー ル ド関 数 は等 間 隔 の 区 間 の 上 で 一 定 の値 を と る階 段 関 数 で あ る.サ ホ ー ル ド関 数 の例 を それ ぞ れ 図7.4と

ンプ ル 値 関 数 とサ ンプ ル

図7 .5に 示 す.

  さて,離 散 関 数 で あ るサ ンプ ル値 関 数 のWalsh変 係 数 との 関 係 に つ い て考 えて み よ う.

換 と,も との 関 数 のWalsh‐Fourier

図7.4 

図7.5 

 定 理7.1 

fを[0,1)上

サ ンプ ル 値 関 数

サ ン プ ル ホ ー ル ド関 数

のRiemann積

分 可 能 な 関 数 と し,gnをfの

値 関 数 と す る.こ の と き,gnのWalsh変

サ ンプル

換は

(7.28)  を み た す.こ

こ にf(j)はfのWalsh‐Fourier係

数 で あ る.

定 理7.1の

証 明]  N=2nと

お き,j＜Nと

す る.仮

定 によ り

(7.29) と な る.{k/N,0≦k＜N}は (7.29)の

区 間[0,1)を

等 間 隔 に 分 割 す る 点 列 で あ る.よ

って

右 辺 は積 分

のRiemann和

で あ る.ゆ

え に(7.28)が

  こ の 定 理 はWalsh‐Fourier係

示 さ れ る.□

数 の 近 似 値 を サ ン プ ル 値 関 数 のWalsh変

換 に

よ っ て 求 め る こ とが で き る こ と を 示 し て い る.し か も サ ン プ リ ン グ 回 数Nを き くす れ ば,近

似 の 精 度 も上 が る こ と を 示 唆 し て い る.

  次 に サ ン プ ル ホ ー ル ド 関 数 のWalsh‐Fourier係 … ,2n−1に

大

数 を 求 め て み よ う.j=0,1,

対 して

で あ る の で,

(7.30) と な る.し

た が っ て,サ

値 関 数 のWalsh変

換 は 一 致 す る こ と が わ か る.

  さ ら に定 義 よ り

で あ る.ま

た(7.5)よ

ン プ ル ホ ー ル ド関 数 のWalsh‐Fourier係

り

数 とサ ンプ ル

(そ の 他) で あ るの で,結 局n∈Nに

対 して (7.31)

と な る.し

た が っ て サ ン プ ル ホ ー ル ド関 数fnは

分 和S2nfnと

7.5

そ のWalsh‐Fourier級

数 の部

一 致 す る こ と が わ か る.

  FWT

  本 節 で は7.1で

定 義 し た 離 散 関 数 のWalsh変

リ ズ ム に つ い て 述 べ る.こ

換 を効 率 的 に 実 行 す る ア ル ゴ

の ア ル ゴ リズ ム はFWT(fast

Walsh

transform)

と よ ば れ て い る[1].   初 め にN=23の  0≦j,k＜23の2進

と す る.こ

場 合 に つ い て 考 え,次

に そ れ を 一 般 化 す る こ と に し よ う.

法表 示 をそれぞれ

こで

 各j=(j3,j2,j1)2に

対 して

(7.32) と お く.Walsh関

数 の定義 よ り

(7.33) と表 さ れ る こ と に 注 意 し よ う.  ま た,離

散 関 数fのWalsh変

換 をfと

し て,各k=(k3,k2,k1)2に

対 して

(7.34)

と お く.こ

の と き

(7.35) と 表 さ れ る.  j2,j3,k3∈{0,1}に

対 し て

(7.36) と お く と,F1は(7.35)の

一 番 右 端 の和 を表 して い るの で

(7.37) と な る.ま

た,j3,k2,k3∈{0,1}に

対 して

(7.38) と お く と,(7.37)は

(7.39) と な る.さ

ら にk1,k2,k3∈{0,1}に

対 して

(7.40) と お く と,(7.39)は

(7.41) と な る.こ

う し てWalsh変

換

(7.42) が 得 ら れ る.こ

こ で(k1,k2,k3)2はk=(k3,k2,k1)2の

逆 順 序2進

数で あ る ことに

注 意 し よ う.   こ の 方 法 を 少 し詳 し く検 討 し て 一 般 化 し よ う.   N=23の

場 合,変 換 はlog2N=3ス

テ ッ プ に 分 け て 行 わ れ,各 ス テ ッ プ は 簡 単

な 和 と差 の 演 算 の み か ら な っ て い る.例

え ば,第1ス

テ ッ プ で は(7.36)よ

り

(7.43)

な る和 と差 で あ る.こ れ を シグ ナ ル フ ロ ー グ ラ フ(信 号 流 れ 線 図)で 示 す と図 7.6の

よ う に な る.

図7.6 

蝶(バ

タ フ ラ イ)

  こ の グ ラ フ は そ の 形 状 か ら 「蝶 」(Butterfly)と 純 な こ と に 加 え て,新 こ と が で き る.例 る.こ

え ば,F1(j3,j2,0)はF0(j3,j2,0)の

に 蝶 に よ り計 算 が 行 わ れ る.第3ス 流 れ を グ ラ フ で 示 す と 図7.7の

Walsh変

ら わ か る よ う に,第1ス

テ ッ プ と同 じ よ う

テ ッ プ も 同 様 で あ る.n=3の

場 合 の計 算 の

よ う に な る.

  以 上 の 考 察 か ら,一 般 にN=2nの

 

場 所 に 格 納 す る こ とが で き

よ ば れ て い る.

テ ッ プ に つ い て も(7.38)か

が わ か る.こ

は計 算 が単

し く求 め た 値 は も と の 対 応 す る 値 の 格 納 場 所 に 格 納 す る

の 性 質 は 適 所(in‐place)と

  第2ス

よ ば れ て い る.蝶

場 合,ス

テ ッ プ 数 はlog2N=nと

なる こと

の 場 合 の ア ル ゴ リ ズ ム を 示 そ う. 換 の ア ル ゴ リ ズ ム(N=2nの

場 合)

 (1)  ま ず

(7.44)   と お く.こ

こ にj=(jn,jn-1,…,j1)2で

 (2) ν=ν+1と

あ る.

し て す べ て の 組 合 せjn,jn-1,…,jn-ν,kn-ν+2,…,kn∈{0,1}に

対 して

(7.45)

(7.46)  を 計算 す る.

 (3) ν=nと

な る ま で(2)を

繰 り返 す.

 (4)  最 後 に

(7.47)  とお く.こ

こ にb(k)はkの

逆 順 序2進

数 で あ る.す

なわ ち

(7.48)   こ の ア ル ゴ リ ズ ム の 利 点 は,(7.47)の に よ っ て 行 わ れ て い る こ と で あ る.し が わ か る.実 が2n-1回

際,計

乗 数1/N以

算 量 は 各 ス テ ッ プ で(7.45)の

で 合 計N=2n回

で あ り,ス

図7.7 

外 は単 純 な加 減 算 の 繰 返 し

か も計 算 回 数 の 節 約 に も な っ て い る こ と 加 算 が2n-1回,(7.46)の

テ ッ プ 数 はlog2N=nで

Walsh変

換(n=3)

減算

あ る か ら全 体 で

Nlog2Nで

あ る.こ

れ に 対 し てWalsh変

と,(7.1)よ

り各jに

対 し てN項

例 え ばN=210の

場 合,FWTで

N2=1048576で,約

換 の定 義 式 か ら直 接 計 算 を 実 行 す る

の 積 和 を 行 い,全

体 で はN×N=N2で

はNlog2N=10240で

あ る.

あ る が,Walsh変

換 では

百 倍 の 計 算 量 と な る.

  こ の ア ル ゴ リ ズ ム は,初 考 案 さ れ たFFT(fast

めFourier変

Fourier

換 の た め にCooley‐Tukeyら

transform)と

に よって

よ ばれ る ア ル ゴ リズ ム とほ とん

ど 同 じ も の で あ る.   す で に 述 べ た よ う に,Walsh変

換 はWalsh関

順 序,Wa1sh順

序 等 が あ り,こ れ ら に 対 応 す る 計 算 も 同 じ ア

序,Hadamard順

ル ゴ リ ズ ム で 実 現 で き る.詳

し く はAhmed‐RaoやBeauchampの

献[1］,[3],[4]等を 参 考 に す る と よ い.最 7.8に

数 の 順 序 づ け に よ っ て,Paley

後 に,Walsh変

文

換 プ ロ グ ラ ム の 一 例 を図

示 し て お く.

7.6

  2次

元Walsh変

 画 像 等 の2次 元 デ ー タ を扱 う場 合,2変

換 数 のWalsh関

数 を 導入 す る と便 利 で

あ る.

(7.49) を2変

数Walsh関

数 と い う.2変

[0,1)×[0,1)=[0,1)2の

数Walsh関

数 列{ψi,j(x,y):(i,j)∈N20}は

上 で 完 備 な 正 規 直 交 系 で あ る こ と は1変

数 の場 合 と

同 じ よ う に し て 容 易 に わ か る.  p,q∈Nに

対 し,M=2p,N=2qと

の 上 で 定 義 さ れ た 関 数 を次 数(M,N)の   次 数(M,N)の

離 散 関 数f(i,j)に

す る.有 限 集 合{(i,j):0≦i＜M,0≦j＜N} 離 散 関 数 と い う. 対 して

(7.50)

図7.8  FWTプ

ログラム

をfの2変

数Walsh変

換 ま た は2次

換 は1次 元Walsh変

元Walsh変

換 と い う.2次

元Walsh変

換 と同 じ よ う に線 形 変 換 で あ る.

  2次 元Walsh変

換 に対 して 変 換

(7.51) を 定 義 す る.こ

の 変 換 は(7.6)と

同 じように

(7.52) を み た し,2次

元Walsh変

  2次 元Walsh変

換 の 逆 変 換 で あ る こ と が わ か る.

換 は 形 式 的 に1次

得 ら れ る.(7.49)を(7.50)に

元Walsh変

換 を2回

繰 り返 す こ と に よ り

代 入す ると

(7.53) と な る.そ

こ で,初

め に1次

元Walsh変

換

(7.54) を行 い,次 に再 度1次 元Walsh変

換

(7.55) を 行 っ て2次

元Walsh変

換 が 得 ら れ る.

  2つ の 変 換(7.54),(7.55)をFWTに +log2N)で

あ る.こ

M=N=210の ×109で,そ

よ り 実 行 す る と,全 計 算 量 はMN(log2M

れ に 対 し 直 接 計 算 に よ る とMN(M+N)と

場 合FWTで

は2.1×107で

あ る の に 対 し,直

な る .例

え ば,

接 計 算 で は2 .15

の 違 い は 約 百 倍 で あ る.

  2次 元Walsh変

換 に つ い て もPersevalの

公式

(7.56) が成 り立 つ.  次 数(M,N)の

離 散 関 数 を1列 に順 べ 替 え て,次 数MNの1変

とみ な し てWalsh変

数の離散 関数

換 をす る こ と も可 能 で あ る［2].しか し,画 像 の よ うに座 標

の方 向 に意 味 が あ る よ う な場 合 に は,や は り2次 元Walsh変

換 の ほ うが 適 し て

い る.

 3次 元 以 上 のWalsh変

換 は,2次

元Walsh変

換 の一 般 化 に よ って 容 易 に 導

入 さ れ る こ と に 注 意 し よ う.

練習問題 1.  2変 数Walsh関

数 列{ψi,j(x,y):(i,j)∈N20}は

完備 な正規 直交 系 であ る こ とを示

せ. 2.  次 数(M,N)の2次

元 離 散 関 数f(i,j)の2次

き

 は 逆 変 換 で あ る.す

 で あ る こ と を 示 せ.

なわ ち

元Walsh変

換 をf(m,n)と

すると

Walsh解 析 によ るデ ー タの 解析 は,Fourier解 析 の 場 合 と同 様 に基本 的 に は スペク トル 分解 とそ の合成,共 分散 関数 およ び離散 ろ波(デ ジタル フ ィル タ リング)等 によ り構 成 される.し たが ってWalsh解

析 は,方 法 と しては通 常

のFourier解 析 と共 通点 が多 い.し か し,そ れぞ れの解 析 のも と になる関 数 の性 質 には大 きな相 異 が見 られ る.Fourier解 析 で は滑 らかな 関 数(指 数 関 数,三 角 関数)を 用 いる の に対 して,Walsh関

数 は2値 の み をその 値 と してと

る第1種 不連続 点 を もつ区分 的 に連 続な 関数 であ る.さ らに一 方 で指数 関数の (算術 加法 的)指 数法 則 に対 して,他 方Walsh関 数 では2進 加 法的 指数法 則 と でも いえ る法則 が成 り立 つ.こ う した違 い はそれ ぞれ の解析 の 特徴 でも あ り, 扱 う デー タに よ って は両 者の使 い分 けも 必要 であ ろ う.

8.1 

共分散関数と2進 合成積

  時 系 列 デ ー タ{xj;0≦j＜N}に

対 して

(8.1) を{xj}の

標 本 平 均(sample

mean,

sample

average)と

い う.ま

た

(8.2) を{xj}の

τ=0の

標 本 自 己 共 分 散 関 数(sample

と き,す

auto‐covariauce

function)と

い う.

な わち

(8.3) を{xj}の

標 本 分 散(sample

{yj;0≦j＜N}を

variance)と

い う. 

や は り時 系 列 デ ー タ と す る と き,

(8.4)

を{xj}と{yj}と

の 標 本 交 差 共 分 散 関 数(sample

cross‐covariance

function)

と い う.   ま た,

(8.5) を{xj}と{yj}と

の 合 成 積(convolution)と

  以 下 で はN=2p(p∈N)と

い う.

仮 定 す る.

(8.6) を{xj}の とい う.上

標 本2進

自 己 共 分 散 関 数(sample

式 に お い て0≦

τ〓j＜Nと

dyadic

auto‐covariance

な る こ と に 注 意 し よ う.ま

function) た,

(8.7) を{xj}と{yj}と

の 標 本2進

function)と

い う.さ

交 差 共 分 散 関 数(sample

dyadic

cross‐covariance 

ら に,

(8.8) を{xj}と{yj}と

の 標 本2進

系 列 デ ー タ{xj}と{yj}が

合 成 積(sample

dyadic

と も に 平 均 値 が0な

convolution)と

ら ば,2進

い う.時

交 差 共 分 散 関 数 と2進

合 成 積 は 一 致 す る.   さ て,時

系 列 デ ー タ{xj;0≦j＜N}は

Walsh変

換 が 定 義 で き る.す

次 数Nの

離 散 関 数 と み な せ る の で,

な わ ち,

(8.9)  またWalsh変

換の逆変換 によ り

(8.10) が 成 り 立 つ.(8.9)と(8.10)はPaley順 く,Walsh順

序 やHadamard順

  2進 合 成 積 とWalsh変   定 理8.1時

序 のWalsh関

数 に対 す る変 換 だ け で な

序 の 変 換 に つ い て も同 様 に 成 り立 つ.

換 の 関 係 に つ い て 考 え て み よ う.

系 列 デ ー タ{xj},{yj}に 対 して

(8.11) 定 理8.1の

証 明]  2進 合 成 積 とWalsh変

さ ら にWalsh関

数 の 性 質(1.18),(7.4)と

換 の定義 によ り

に よ り

8.2  

 パ ワー ス ペ ク トル

Walsh関

数 に よ るス ペ ク トル 解 析 につ い て考 え よ う.Parsevalの

は関 数(信 号)の パ ワー が 各Walsh関

数 の 成 分 に分 割 され る こ と を示 して い る.

そ こで 各 繰 返 し数 に 対 応 す るす べ て のWalsh関

数 のパ ワ ー 成 分 の 合 計 をそ の

繰 返 し数 の パ ワ ー スペ ク トル と考 え る こ とが で き る.Walsh順 数列 は繰 返 し数 の 増 加 に と もな って 順 序 づ け られ て い るの で,パ ル を 定 義 す る の に都 合 が 良 い.N=8の と三 角 関 数 の グ ラ フ を図8.1に

等 式(7.7)

序 のWalsh関 ワー ス ペ ク ト

場 合 につ い て比 較 の た め にWalsh関

示 す.繰 返 し数 と周 波 数 は その 定 義 か ら明 らか

な よ う に互 い に 対 応 して い る こ とが わ か る.ま た 三 角 関 数 のsin,cosに てWalsh関

数 にSAL,CALと

数

対応 し

名 づ け る こ と もあ る.

  時 系 列 デ ー タ{xj;0≦j＜N}のWalsh順

序 のWalsh変

換を

(8.12) と す る.こ

の と き,デ

ー タ{xj}のWalshパ

ワ ー ス ペ ク トル をPx(k)と

表 し,

(8.13)

と定 義 す る.  

Walsh順

序 とPaley順

(8.13)をPaley順

序 のWalsh関

序 のWalsh変

数 は(7.19)と

換で表 す と

い う 関 係 が あ る の で,

図8.1 

Walsh関

数 と 三 角 関 数(sequency&frequency)

(8.14)

と な る.   時 系 列 デ ー タ{xj;0≦j＜N}の2進 ≦ τ＜Nに

対 して

シ フ トを{yj;0≦j＜N}と

す る.こ

こ に0

(8.15) と す る.{yj}のWalsh順

で あ る.す

序 のWalsh変

換 は

で に示 した よ う に

(8.16) で あ る の で,

(8.17) と な る.と

ころ で

〓で あ るの で

(8.18) が 得 ら れ る.す

な わ ち,N=2pの

に 関 し て 不 変 で あ る.し

場 合Walshの

か しFourierパ

パ ワ ー ス ペ ク トル は2進

シフ ト

ワ ー ス ペ ク トル の よ う に 循 環 シ フ トに

関 し て は 不 変 で は な い.し た が っ て デ ー タ に 位 相 差 が 生 ず る とWalshパ

ワー ス

ペ ク トル に 少 な か ら ず 変 化 が 生 ず る こ と も あ る の で 注 意 を 要 す る .

8.3

  Walshス

  時 系 列 デ ー タ を扱 う場 合,理

ペク トルとFourierス

論 的 に は と もか く,実 際 問 題 と して は有 限 の長

さの デ ー タ を扱 う こ とに な る.よ のFourierパ

ペク トル

く知 られ て い る よ うに時 間 領 域 が 有界 な関 数

ワー ス ペ ク トル は そ の 周 波 数 帯域 は有 界 で あ り得 な い.こ の た め

に 窓 関 数 等 に工 夫 が 必 要 で あ る.こ れ に対 してWalshパ

ワー ス ペ ク トル で は有

限 長 の 時 系 列 デ ー タ に対 して,し か も そ の繰 返 し数 帯 域 が 有 界 で あ る こ と は可 能 で あ る.

  も ち ろ ん 正 弦 波 関 数 の よ う に 滑 ら か に 変 化 す る 関 数 のWalshパ トル はFourierパ が2の

ワ ー ス ペ ク トル に 比 較 し て よ り複 雑 で あ る.特

べ キ 乗 で な い と き に は 顕 著 で あ る(図8.2(a)(b)参

矩 形 波 の よ う な 不 連 続 点 を も つ 関 数 で は,Fourierパ Walshパ

照).こ

パ ワ ー ス ペ ク ト ル(1)

にその周波数 れ に対 し て

ワ ー ス ペ ク トル に 比 べ て

ワ ー ス ペ ク トル の ほ う が よ り単 純 で あ る(図8.2(c)(d)参

図8.2 

ワ ー スペ ク

照).

  ま た,前

節 で 述 べ た よ う に デ ー タ の 位 相 差(循

ー ス ペ ク トル へ の 影 響 は 少 な く な い(図8

環 シ フ ト)に よ るWalshパ

ワ

.3参 照).

  こ う し た 影 響 を 軽 減 す る た め に 各 シ フ トのWalshパ

ワ ー ス ペ ク トル を 求 め

て,こ れ ら を 平 均 す る こ と に よ り得 ら れ る 平 均Walshパ

ワ ー ス ペ ク トル も 提 案

さ れ て い る.

図8.2 

パ ワ ー ス ペ ク トル(2)

図8.3  正 弦 波 の 循 環 シ フ トに よ るWalsh変

  こ の よ う に,Walsh関

数 の特 徴 とし てPCM信

換

号 や モ ー ル ス信 号 等 の よ う な

離 散 デ ー タの 解 析 に は有 利 な点 が 多 く見 られ る(図8.4参

照).ま

た,地 震 波 や

打 診 検 査 の よ うな過 渡 的 ・衝 撃 的 現 象 や 脳 波 の 解 析 に も応 用 され て い る.本 書 で は これ ら に つ い て 述 べ る こ とは しな いが,興 味 の あ る読 者 はBeauchampの 本[3],［4］ に 参 考 文 献 が 載 っ て い る の で参 考 に して ほ し い.

図8.4 

PCM波

形 のWalshパ

ワ ー ス ペ ク トル とFourierパ

ワ ー ス ペ ク トル

8.4

 デ ジタル フ ィルター

  時 系 列 デ ー タ{xj;0≦j＜N}をN次

元 ベ ク トル(列

ベ ク トル)

(8.19) で 表 して信 号 ベ ク トル と よぶ こ とに す る.通 常 我 々 が 観 測 して 得 られ る デ ー タ に は ノ イ ズ(観 測 誤 差 等)が 付 加 され て い る.そ ズ をwjと

こ で信 号xjに

付加 され るノイ

し,ノ イズ ベ ク トル を

(8.20) と す る.こ

の と き観 測 ベ ク トル は

(8.21) と与 え ら れ る.   一 般 にyか

らxを

抽 出 す る こ と を フ ィ ル タ リ ン グ と い う.信 号 の パ ワ ー ス ペ

ク トル 分 布 が あ ら か じ め わ か っ て い る よ う な 場 合 はWalsh変 換)等

を 行 い,余

れ た デ ー タ は,余

分 な ス ペ ク トル を 除 い た う え で 逆 変 換 を行 う.こ 分 な ス ペ ク トル(ノ

に 近 い もの で あ る.こ ー)に

換(Fourier変

れ は,い

イ ズ 成 分 等)が

う して 得 ら

除かれて いるので真の値

ろ い ろ な 大 き さ の 粒 子 の 砂 を ふ る い(フ

ィル タ

か け て粒 の そ ろ っ た砂 を 得 る こ とに例 え る こ とが で き る で あ ろ う.

  以 下 で は 直 接 ス ペ ク トル を 使 わ な いWienerフ Wienerフ

ィ ル タ ー の ブ ロ ッ ク 線 図 を 図8.5に

  図 に お い てT=I(単 合 を 一 般 化Wienerフ よ ば れ,Aの

位 行 列)の

ィ ル タ ー に つ い て 述 べ る. 示 す.

と きWienerフ

ィ ル タ ー と い い,そ

ィ ル タ ー と い う こ と も あ る.行 列Aは

フ ィル タ ー 行 列 と

選 び 方 に よ っ て フ ィ ル タ ー の 性 能 が 左 右 さ れ る.す

図8.5 

Wienerフ

ィ ル タ ー

の 他 の場

な わ ち,推

定

量xが

で き るだ けxに

近 くな る よ う にAを

選 ぶ こ とが 問題 で あ る.

  さて,時 系列 デ ー タ はあ る確 率 過 程 の ひ とつ の 実 現 値 と考 え る こ とが で き る. 例 え ば サ イ コ ロ をN回

続 けて 振 って 得 られ た 目の 数 の 列 を想 像 す れ ば よ い だ

ろ う.ノ イ ズ も別 の あ る確 率 過 程 に従 っ て い る もの と し よ う.   観 測 ベ ク トルyの

期 待 値 をy=Eyと

し,共 分 散 行 列 を

(8.22) とす る.上 式 を展 開 して

(8.23) とな る.yの

行 列Tに

よ る変 換 を

(8.24) とす る.こ の と き変 換 され た ベ ク トルzの

共分 散行列 は

(8.25) で あ る.も

し変 換行 列Tが

直 交 行 列,す

なわ ち

(8.26) な ら ば,(8.25)は

(8.27) と表 さ れ る.   次 に フ ィ ル タ ー 行 列 を 求 め る こ と に し よ う.こ

の た め次 の仮 定 を設 け る こ と

に す る.   仮 定8.1

(8.28)

  仮 定8.2

(8.29)  仮 定1か

ら

(8.30) (8.31)

(8.32) (8.33) が 得 られ る.仮 定2は 信 号 と ノ イ ズ とが無 相 関 で あ る こ と を示 して い る.  信 号 ベ ク トルxの

推 定 量xの2乗

平均誤差 は

(8.34) で 与 え ら れ る.図8.5よ

り推 定 量xは

(8.35) で あ る の で,(8.35)を(8.34)に

代 入 し て 整 理 す る と,

(8.36) と な る.   さ て,ε

を 最 小 に す るAを

選 ぶ こ と に し よ う.こ

の ための必要条件 は

す な わ ち,

(8.37) で あ る.よ

っ て(8.24)を

代入 して

(8.38) を 得 る.ま

た,(8.21)と(8.31)∼(8.33)と

に よ り

(8.39) (8.40) と な る.よ

って

(8.41)  (8.39),(8.40)を(8.38)に

と な る.こ

代 入 し てAに

つ い て 解 く と

の 式 を整 理 す る と

(8.42) と な る.行

列A0を

最 適 フ ィ ル タ ー 行 列 と い う .ま

たArは

応 答 行 列 と い い,

(8.43)

で 与 え られ る.こ こで,行 列 Σx+Σwは

正 則 で あ る と仮 定 して い る.こ の と き

の2乗 平 均 誤 差 の値 を求 めて み よ う.こ の た め(8.34)を 書 き改 め て

(8.44) とす る.右 辺 を展 開 す る と

と な る.ま

た,(8.35)と(8.39)∼(8.41)と

に よ り

(8.45) (8.46) を得 る こ とか ら

(8.47) と な る.そ

こ で 最 適 フ ィ ル タ ー 行 列A0をAに

代入 す ると

(8.48) を 得 る.

 こ う して得 られ た 結 果 を定 理 に ま とめ て お こ う.  定 理8.2 

仮 定8.1お

(8.42)で 与 え ら れ,そ

よ び 仮 定8.2の

も と で,最 適Wienerフ

の と き の 最 小2乗

  こ こ で最 小値(8.48)は 直 交 変 換Tの

ィル ター行 列 は

平 均 誤 差 は(8.48)で 与 え ら れ る.

選 び 方 に は よ らな い こ と に注 意 し よ う.

  さ て,最 適 フ ィル タ ー を得 るた め に必 要 な 計 算 量 は はた して どの 程 度 な の で あ ろ うか.コ ン ピ ュー タで は和 に比 べ て 積 に 要 す る時 間 が圧 倒 的 に大 きい の で, 積 演 算 回 数 で 計 算 量 を推 定 して よ い で あ ろ う.一 般 に(8.35)に よ りxを め に は(N2+2N3)〓N3回

の 積 演 算 を行 う必 要 が あ り,Nが

て計 算 量 は激 増 す る こ とが わ か る.そ

こで,多

得 るた

大 き くな る に つ れ

少 最 適 性 を犠 牲 に し て も簡 便 な

計 算 法 が 必 要 とな る.   フ ィ ル タ ー 行 列Aが

対 角 行 列 の 場 合 を ス カ ラ ー フ ィ ル タ ー と い い,そ

い 場 合 を ベ ク トル フ ィ ル タ ー と い う.も ク トル 行 列 を 選 ぶ と,(8.42)で

し,Tと

し て 応 答 行 列Arの

得 られ る フ ィ ル タ ー 行 列A0は

最 適 ス カ ラ ー フ ィ ル タ ー が 得 ら れ る.こ

うで な

固 有値 ベ

対 角 行 列 と な り,

の 変 換TはKarhunen‐Loeve変

換

(KLT)と

よ ば れ て い る.こ

量 は(N+2N2)〓N2と が,こ

れ で もNが

  KLTは

の 場 合,(8.35)に

な る.ベ

対 角行 列 が 含 まれ て い るの で計 算

ク トル フ ィ ル タ ー に 比 べ る と 大 い に 改 善 さ れ る

大 き い 場 合 は 決 し て 少 な い 量 で は な い.

きな い.そ

応 答 行 列 に依 存 し て い る変 換 な の で,急 速 演 算 法 を用 い る こ とは で こで,急 速 演 算 が 可 能 な 変 換 を使 っ た ス カ ラ ー フ ィ ル タ ー を考 え よ

う.  ま ず,変

換 行 列 と し てHadamard行

列 を と る.す

な わ ち,

(8.49) そ し て,

(8.50) (8.51) と

(8.52) とお い て,行 列Adを

(8.53) と 定 義 す る.こ log2Nと

な る.よ

の と き(8.35)の っ てKLTの

計 算 量 はFWTを

用 い て(N+2Nlog2N)〓N

ス カ ラ ー フ ィ ル タ ー に比 べ て 急 速 演 算 の 効 果 が

現 れ て い る.   こ の 場 合 の2乗

平 均 誤 差 を 求 め て み よ う.(8.47)よ

り

(8.54) と こ ろで

で あ る.さ

ら にAdは

対角行列 で あるか ら

よっ て

(8.55) と な る.こ

のFWTフ

十 分 近 い こ と,す

ィ ル タ ー は 最 適 で は な い が 数 値 計 算 例 か ら εdが εminに な わ ちFWTフ

ィ ル タ ー が 準 最 適(suboptimal)フ

ィル ター

で あ る こ と が わ か る.   以 上 よ り,Wienerフ こ とが わ か る.そ

ィ ル タ ー の 計 算 量 は使 わ れ る直 交 行 列 に 依 存 し て い る

こ で,多

列 変 換 を 用 い てFWTを

少 最 適 性 を 犠 牲 に す る こ と に な る が,Hadamard行 適 用 す る こ と に よ り そ の 計 算 量 は 著 し く軽 減 で き る.

読 者 の 便 宜 の た め に,本

書 で用 い る 言 葉 や 記 号,お

よ び既 知 と し て い る 定 理 等

を ま と め て お く． 詳 し く は そ れ ぞ れ の 分 野 の 成 書 を 参 考 に さ れ た い.特

に,付

章 で 参 考 に し た 文 献 を 下 に あ げ て お く. [1]  河 田龍 夫 ：定 常 確 率 過 程,共

立 出 版,1985

[2]  コ ル モ ゴ ロ フ ・フ ォ ー ミ ン:函 [3]  ポ ン ト リ ャ ー ギ ソ:連 [4]  数 学 辞 典 第2版,岩 [5]  W.Rudin:Fourier Publishers,1960

数 解 析 の 基 礎 第2版,岩

続 群 論,上,下,岩

波 書 店,1962

波 書 店,1957,1958

波 書 店,1968 analysis

on

groups,

Interscience

1  位相空間  集 合S(≠

φ)の 部 分 集 合 の 族〓 は 次 の2条

(topology)と

件 を み た す と きS上

の位相

い う:

(1) (2)

  も し 位 相〓 (topological

がSの

上 で 定 義 さ れ て い る な ら ば,対(S,〓)は

space)と

よ ば れ る.以

後,混

位 相 空 間

乱 の お そ れ が な い 場 合 は 簡 単 にSを

位 相 空 間 と よ ぶ こ と に す る.  〓 の 要 素 を 開 集 合(open と い う.集 い,A°

合A⊂Sに

と 書 く．Aを

く.集 合BをAの

set)と

い い,そ

含 む 最 小 の 閉 集 合 をAの

ら ば,AはSに

可 算 集 合 がSに

お い て 稠 密 な ら ば,Sは

各 点p∈Sに

閉 包(closure)と

対 し て{p}が

い い ,Aと

書 い う.

あ る と い う.も

可 分(separab1e)で 孤 立 点(isolated

開 集 合 な ら ば,Sは

い

境 界(boundary)と

お い て 稠 密(dense)で

開 集 合 な ら ば,pはSの

set)

内 点 集 合(interior)と

余 集 合 と す る と き,A∩BはAの

  も しA=Sな

1点 集 合{p}が

れ ら の 補 集 合 を 閉 集 合(closed

含 ま れ る 最 大 の 開 集 合 をAの

しあ る

あ る と い う.も point)と

離 散 空 間(discrete

し

い う .も

し

space)と

い

う.   Ω を 位 相 空 間Sの

開 集 合 の 族 と す る.も

す る 集 合 の 和 集 合 で 表 さ れ る な ら ば,Ω ら ば,集

合Nはxの

点p1,p2(p1≠p2)に ば,SはHausdorff空   位 相 空 間Sの Xと

しSの

任 意 の 開 部 分 集 合 がΩ

を 基 底(base)と

近 傍(neighborhood)と

い う .も

い う.も しSに

任 意 の 部 分 集 合Xは,も

space)と しXの

しx∈N°

な

属 す る任 意 の2

対 し て そ れ ぞ れ の 近 傍 が 存 在 し てN1∩N2=φ 間(Hausdorff

に属

とな る な ら

い う. 開 集 合 と し てSの

の 積 集 合 に よ っ て 定 義 す る な ら ば 位 相 空 間 と な る .こ

う し てSか

開集合 と らXに

導 入 さ れ た 位 相 は,Sに

よ っ てXに

誘 導 さ れ た 相 対 位 相(relative

topology)

と よ ぶ.   位 相 空 間Sの

部 分 集 合Xに

こ と を 開 被 覆(open

対 し,そ の 和 集 合 がXを

covering)と

い う.位

相 空 間Sの

有 限 被 覆 を 部 分 集 合 と し て 含 む な ら ば,Sは う.部 分 集 合M⊂Sが

任 意 の 開 被 覆 が 必 ずSの

コ ンパ ク ト(compact)で

コ ン パ ク トで あ る と は,Mが

ト空 間 と な る こ と で あ る.位 相 空 間Sの 存 在 す る と き,Sは

含 む よ うな 開 集 合 族 の

ある とい

相 対 位 相 に関 して コ ンパ ク

任 意 の 点 に 対 し て コ ンパ ク トな 近 傍 が

局 所 コ ン パ ク ト(locally

compact)で

あ る と い う.コ

ク ト空 間 の 閉 部 分 集 合 は コ ン パ ク トで あ る.Hausdorff空 は 閉 集 合 で あ る.局 所 コ ン パ ク トHausdorff空

ンパ

間 の コ ンパ ク ト集 合

間 に お い て 各 点 は コ ン パ ク ト集

合 か らな る近 傍 基 底 を もつ ．   位 相 空 間Xか は,Yの

ら位 相 空 間Yの

任 意 の 開 集 合Eに

し 部 分 集 合M⊂Xが

中 へ の 写 像fが

連 続(continuous)で

対 し てf−1(E)がXの

コ ン パ ク トで,fが

あ る と

開 集 合 と な る こ と で あ る.も

連 続 な ら ば,f(M)は

コ ン パ ク トで あ

る.

2  位相群   ア ー ベ ル 群(可

換 群 ；Abelian

子 ＋ が 定 義 さ れ た 集 合Gで,以 (1) x+y=y+x 

ゼ ロ 元0がGに

(4) 

各 元x∈Gに

  以 後x+(−x)の  

Gの

+{x}の

group)と

は2項

演 算

下 の 性 質 を み た す も の を い う:

(x,y,z∈G) 存 在 し てx+0=x  逆 元−x∈Gが こ と をx−xと

部 分 集 合A,Bに 代 わ り にA+xと

  Gの 部 分 集 合Hが

commutative

(x,y∈G)

(2) x+(y+z)=(x+y)+z  (3) 

group,

(x∈G)

存 在 してx+(−x)=0 

(x∈G)

書 く こ と に す る.

対 し てA+B={a+b:a∈A,b∈B}と 書 き,Aのxに

す る.ま

よ る シ フ ト(shift)と

同 じ演 算 子 に よ り群 を なす と き,Gの

たA

い う.

部 分 群(subgroup)

と い ぅ.

  位 相 ア ー ベ ル 群(topological − dorff空

間Gの

がG×Gか

こ と で,写

らG上

Abelian

group;LCA

へ の 連 続 写 像 と な る も の の こ と で あ る.さ

ら にGの

局 所 コ ン パ ク トア ー ベ ル 群(locally

group)と

位 相

compact

い う.

  局 所 コ ン パ ク ト ア ー ベ ル 群Gの み た す と き,Gの

は ア ー ベ ル 群 を な すHaus

像

が 局 所 コ ン パ ク トな ら,Gは Abelian

group)と

上 で 定 義 さ れ たC値

指 標(character)と

関 数 φ は次 の 性 質 を

い う ：

(1)

(2)   (1),(2)に

お い てx=y=0と

い てy=−xと

す る と φ(−x)=φ(y)が

  Gの

連 続 な 指 標 の 全 体Γ

す る と φ(0)=1が

は2項

  群G上

関 数fが

任 意 の 列x1,x2,…,xn(xi∈G,n∈N)と し て,不

双 対 群(dual

代 わ り に(x,φ)と

で 定 義 さ れ たC値

ら に(2)に

お

演 算 を

に よ っ て 定 義 す れ ば 群 を な し,Gの 双 対 性 か ら,φ(x)の

得 ら れ る.さ

得 ら れ る.

group)と

い う.  GとΓ

の

書 く こ と も あ る. 正 定 符 号(positive-definite)で

あ る と は,

任 意 の 複 素 数 列cl,c2,…,cnと

に対

等式

が 成 立 す る こ とで あ る.   も しfが 正 定 符 号 な ら ば,次 の 関係 が 成 立 す る： (1)

(2) (3)   Gの

指 標 φ は 正 定 符 号 で あ る .実 際,任 意 のGの

要 素 の 列x1,x2,…,xnと

任

意 の 複 素 数 の 列c1,c2,…,cnと

に対 して

と な る か ら で あ る.

 正 定 符 号 関 数 に 関 す る次 のBochonerの Bochonerの

定 理   群Gの

定 理 は有 名 で あ る.

上 で 定 義 され た連 続 なC値

る た め の 必 要 十 分 な条 件 は,Γ

関 数fが

正 定符号 で あ

にお け る有 限 測 度 μ(E)(E∈B(Γ))が

存在 し

て

と書 け る.   Bochnerの Bochonerの

定 理 でG=Zの 定 理 と よ ぶ.一

3  測  集 合Xの

場 合 はHerglotzの

定 理 と よ び,G=Rの

般 の 場 合 の 証 明 はWeilに

場合 を

よ っ て 行 わ れ た.

度 部 分 集 合 の 族A(≠

φ)は

(1) (2) を み た す と き,加 (1),(2)よ

法 族,集

り

(3) が 得 ら れ る.ま

(4)

た

合 体,集

合 代 数(field,

algebra)な

ど と い う.条

件

で あ る.  Aの 可 算 個 の集 合 の 和 集 合 が 常 に またAに 属 す る と き,す な わ ち (5) が 成 立 す る と き,Aは 等 と い う.Bを1つ space)と にXが

σ-加 法 族,σ-集

合 代 数(σ-field,σ-algebra)

の σ-加 法 族 と す る と き,組(X,B)を

い う.Bに

可 測 空 間(measurable

属 す る 集 合 は 可 測 集 合(measurable

位 相 空 間 の 場 合,開

合 は ボ レ ル 集 合(Borel  B上

合 体,σ-集

set)と

よ ば れ る.特

集 合 全 体 を 含 む 最 小 の σ-加 法 族B(X)に

set)と

属 す る集

い う.

で 定 義 さ れ た 非 負 実 数 値 集 合 関 数 μ(E)(E∈B)が

条件

(1) (2) を み た す と き,μ 度 空 間(measure

を(X,B)上 space)と

  可 測 集 合E∈Bは う.E∈Bが 度(σ-finite

の 測 度(measure)と

い い,組(X,B,μ)を

測

い う.

μ(E)＜ ∞ の と き,有

限 測 度(finite measure)の

集 合 とい

有 限 測 度 の 集 合 の 可 算 個 の 和 集 合 で 表 さ れ る と き,Eはσ-有 meaasure)の

集 合 と い い,Xが

μ はσ-有 限 測 度(σ-finite

  測 度 空 間(X,B,μ)に

measure)と

お い て,BがBに

限測

σ-有 限 測 度 の 集 合 で あ る と き,

い う.

属 す る測 度0の 集 合 の す べ て の 部 分

集 合 を含 む とき,す な わ ち (3) を み た す と き,(X,B,μ)は

完 備(complete)で

あ る とい う.任 意 の測 度 空 間

は,測 度0の 集 合 の 部 分 集合 を す べ て つ け加 え る こ とに よ り完 備 測 度 空 間 に な る.  X上

で 定 義 され た実 数値 関 数fが

を み た す と き,B-可 乱 が な け れ ば,単

測 関 数(B-measurable に 可 測 関 数 と い う.複

function)と

い う.以

下,特

に混

素 数 値 関 数 の 実 数 部 お よび 虚 数 部 が そ

れ ぞ れ 可 測 関 数 の と き,複 素 数値 関 数 は可 測 関 数 とい う.   関 数fを

測 度 空 間(X,B,μ)で

定 義 され た 可 測 関 数 と し,測 度 μ に関 す る積

分を

と書 く.絶

対 値￨f(x)￨の

Lebesgueの

積 分 が 有 限 の と きfは

優 収 束 定 理   {fn(x),n∈N}を

測 関 数 列 と し,g(x)をX上

が 成 立 す る と す る.さ

す な わ ち 測 度0の

可 積 分(integrable)と

い う.

σ-有 限 測 度 空 間(X,B,μ)上

の可

の 可 積 分 関 数 とし て

らに

集 合 の上 を除 い て収 束 す る もの とす る と,f(x)は

可積分 とな

り

(i)   特 に μ(X)＜

∞,￨fn(x)￨≦M(定

と を 有 界 収 束 定 理(bounded

数)(x∈X,n∈N)の convergence

単 調 収 束 定 理(monotone

convergence

theorem)と

と き上 式 が 成 立 す る こ い う.

theorem){fn(x),n∈N}を

非 負 な可

測 関 数 の 非 減 少 列 と し,

とす る と,(i)が

成 立 す る.

  (X,A),(Y,B)を2つ

の 可 測 空 間 と す る.X×Yの

R ={A×B:A∈A とBの

,B∈B}を

直 積σ-加

法 族 と い う.次

度 空 間 と し,A×Bの

部 分 集 合 か らな る集 合 族

含 む 最 小 の σ-加 法 族 をA×Bと に(X,A,μ),(Y,B,ν)を

書 き,こ れ をA そ れ ぞ れ σ-有 限 測

上 に

を み た す 測 度 λ が 一 意 的 に 定 義 さ れ る.こ の λ を μ と λ と の 直 積 測 度(product measure)と

い い,λ=μ

×ν と 書 く.そ し て(X×Y,A×B,μ

×ν)を(X,A,μ)

と(Y,B,ν)と Tonelliの ×Y上

の 直 積 測 度 空 間(product

measure

定 理   (X,A,μ),(Y,B,ν)をσ-有

のR+∪{∞}値A×B-可 fy(x)=f(x,y)は

各 々 のY∈Yに

(2) 

fx=(y)=f(x,y)は

各 々 のx∈Xに

限 測 度 空 間 と す る.f(x,y)をX

対 しA-可 対 しB-可

(3) 〓

はB-可

測 で あ る．

(4) 〓

はA-可

測 で あ る.

λ=μ

Fubiniの ×Y上

×ν

(2) (3) (4) (5)

測 で あ る. 測 で あ る.

と お く と,

定 理   (X,A,μ),(Y,B,ν)を

のC値A×B-可

測 と し,積

σ-有 限 測 度 空 間 と す る.f(x,y)をX 分

の 中 の 少 な く と も1つ が 有 限 で あ る とす る と,

(1)

い う.

測 関 数 と す る と,

(1) 

(5) 

space)と

4  確 率   空 間Ω

の 部 分 集 合 か ら な る σ-加 法 族Fの

P(Ω)=1を

み た す と き,Pを

間(Ω,F,P)を space)と

事 象(event)と

元 で あ る と き,E(ω)を

space)と

い い,特

確 率 をP(E)ま

い い,測

い う.根

に 条 件E(ω)を

い い,事

象E(ω)の

お い て,任

意 のkと

元 事象

み た す ω の全 体

event)と

表 す.

度空

を 基 礎 空 間(basic

event)と

た はPr(E(ω))で

  有 限 事 象 列{En}(n=1,2,…,N)に ＜ik≦Nと

い う.Ω

確 率 事 象(probability

で は 確 率 事 象 の こ と を 単 に 事 象(event)と わ ち 事 象E(ω)の

measure)と

の 元 ω を 根 元 事 象(elementary

に 関 す る 条 件E(ω)を EがFの

確 率 測 度(probability

確 率 空 間(probability い い,Ω

上 で 定 義 さ れ た 非 負 値 測 度Pが

い う.確

率 論

起 こ る確 率 す な

任 意 の1≦i1＜i2＜

…

に対 して

が 成 り立 つ と き,En(n=1,2,…,N)は

互 い に 独 立(independent)で

い,列{En}を

独 立 事 象 列(sequence

無 限 族{Eλ}に

お い て,そ の 任 意 の 有 限 部 分 族 が 独 立 の と き,Eλ は 互 い に 独 立 で

あ る と い い,{Eλ}を Borel-Cantelliの

of independent

events)と

あ る とい い う .事

象の

独 立 事 象 の 族 と い う. 定 理   事 象 例{En;n∈N}に

お いて

(1) (2)  Enが 互 い に独 立 で,か つ  Ω で 定 義 さ れ たC値 )と

測 の と き,Xを

確 率 変 数(random

variable

い う.

  確 率 変 数Xの

をXの

関 数XがF-可

測 度Pに

よ るLebesque積

平 均 ま た は 平 均 値(mean),あ

分

る い は 期 待 値(expectation)と

い う.

 ￨

X-E(X)￨2が

をXの

積 分 可 能 な と き,

分 散(variance)と

)と

い い,√Var(X)をXの

分 散 が存 在 す れ ば,任 意 の ε＞0に 対 し て

が 成 り 立 つ.こ

れ をChebyshevの

  確 率 変 数 列{Xn;n∈N}の

,

almost

と き,XnはXに surely

convergent)と

不 等 式 と い う.

収 束 に つ い て 考 え よ う.

(1) P(limXn=X)=1の

ほ と ん ど 確 実 に 収 束(almost

convergent),ま

い い,limXn=Xa.s.な

た は 概 収 束(almost

(3) p＞0に

in probability)す

対 し,ｌiｍE(￨Xn-X￨p)=0が

収 束(convergence

in the mean

  磁 率 空 間(Ω,F,P)と 上 のC値 (Ω,F,P)上   Euclid空

空 間 と す る.μ(A)＜ 率 変 数 ζ(A,ω)が

る と い う. 成 り立 つ と き,XnはXにp次

与 え ら れ,各t∈Tに

process)と

σ-加 法 族 をAと

∞ を み た す 各 々 のA∈Aに

measure)と

対 し(Ω,F,P)

率 変 数 の 族{Xt;t∈T}を い う.

し,(RN,A,μ)を 対 し て(Ω,F,P)上

対 応 し て 次 の 条 件 を み た す と き,確

ラ ン ダ ム 測 度(random

平均

る と い う.

対 応 し て い る と き,確

の 確 率 過 程(stochastic 間RN(N≧1)の

everywhere

成 り立 つ と き,XnはX

of order p)す

実 数 の 集 合Tが

確 率 変数Xt(ω)が

certainly

ど と書 く.

任 意 の ε＞0に 対 し てlimP(￨Xn-X￨＞ε)=0が

に確 率 収 束(convergene

∈A}を

deviaction

い う.

 確 率 変 数Xの

(2) 

標 準 偏 差(standard

σ-有 限 な 測 度 のC値

確

率 変 数 の 族{ζ(A,ω):A

い う.

(1)  (2次 平 均 収 束)   い ま,A0をRNの(ai≦x＜bi)(1≦i≦N)と

い うか た ち の μ測 度 有 限 な半

開 区 間 の 有 限 個 の 和 を な す 集 合 族 と す る.族{ζ(A,ω):A∈A0}は(1)の

代 わ

りに

(2)

が 成 り 立 つ も の と す る.も し ζ(A)が2乗

可 積 分,す な わ ちE￨ζ(A)￨2＜

∞(A∈

A0)で,

(3) を み た す な ら ば,{ζ(A):A∈A0}は {ζ(A):A∈A}に (A∩B≠ random

可 算 加 法 性 を み た すC値

拡 張 で き る.こ

φ)と な る.こ measure)と

の と き 条 件(3)に

確 率 変 数 の族

よ りE(ζ(A)ζ(B)=0

の 条 件 を み た す も の を 直 交 ラ ン ダ ム 測 度(orthogonal

い う.こ

の と きf∈L2(RN,μ)に

対 し て 確 率 積 分(stochastic

integral)

が 定 義 さ れ,L2(Ω)の

内積 に つ い て

が 成 立 す る.

5 

Barlach空

間 とHilbert空

  集 合Xの

任 意 の2元x,yに

意 の 実 数(ま

た は 複 素 数)α

Xの

そ の 和 と よ ば れ るXの とXの

任 意 の 元xに

元 αxが 定 め ら れ て い る と す る.こ

立 つ と き,Xを

実 数(ま

ク トル 空 間(vector (1) 

(x+y)+z=x+(y+z)

(2) 

す べ て のx∈Xに

(3) 

任 意 のa∈Xに

元x+yが

定 め ら れ,任

対 して ス カ ラー 倍 と よ ば れ る

れ に つ い て 次 の 条 件(1)∼(8)が

た は 複 素 数)上

space)と

間

の 線 形 空 間(linear

space)ま

成 り た はベ

い う.  (x,y,z∈X)

対 し てx+0=0+x=xと 対 し てx+a=a+x=0と

な る ゼ ロ 元0が な る 元x=−a∈Xが

あ る. あ る.

(4) x＋y=y+x 

(x,y∈x)

(5) 

α(x+y)=αx+αy 

(6) 

(αβ)x=α(βx) 

(7) 

(α+β)x=αx+βx 

(8) 1x=x 

  実 数(ま

数(ま

た は 複 素 数)を

≧0  か つ  ‖x‖=0とx=0と

(3) ‖x+y‖

た は 複 素 数)α

元 を ベ ク トル と よ ぶ. 対 し て,実

space)と

数‖x‖ を 次 の 条 ノ ル ム(norm)

よ ぶ:

は 同等

に 対 し て‖ αx‖=｜α￨‖x‖

≦‖x‖+‖y‖

  ノ ル ム は,Euclid空

間 の ベ ク トルxの

離 ρ(x,y)=‖x-y‖ 書 い て,強

長 さ の 概 念 の 拡 張 で あ る.ノ

ル ム空 間

に よ っ て 距 離 空 間 と な り, lim‖xn-x‖=0を 収 束(strong

に 収 束 の 概 念 が 導 入 さ れ る.こ -xm‖=0の

各 元xに

ノ ル ム 空 間(normed ｌinear

実 数(ま

s-limxn=xと

ス カ ラ ー,Xの

み た さ れ る よ う に 対 応 さ せ た と き,‖x‖ をxの

と い い,Xを

Xは,距

(x∈X)

た は 複 素 数)上 の 線 形 空 間Xの

件(1)∼(3)が

(2) 

(x∈X)

(x∈X)

  こ の と き,実

(1) ‖x‖

(x,y∈x)

と きlim‖xn-x‖=0と

convergence)と

の と きXが

い う.こ

完 備 な ら ば,す

な るxがXに

れ に よ りX

な わ ち,lim‖xn

属 す な ら ば,XはBanach空

間 と い う.  ノ ル ム 空 間Xか

ら ノ ル ム 空 間Yの

と き線 形 変 換(linear

transformation)と

(1) 

T(x+y)=Tx+Ty 

(2) 

T(αx)=αTx 

  (α:ス

件 をみた す

い う:

カ ラ ー,x∈x)

の 条 件 を み た す と き有 界(founded)で

(3)  あ る実 数C∈Rに

よ り

の2条

(x,y∈x)

  線 形 変 換Tは,次

  こ の よ う なCの

中 へ の 写 像Tは,次

対 して‖Tx‖ ≦C‖x‖

最 小 値 をTの

ノ ル ム(norm)と

あ る と い う:

 (x∈x) い い,‖T‖

と書 く.定

義 に

  線 形 変 換Tは

連 続 な と き,か

つ そ の と き に 限 り有 界 で あ る.Xか

へ の 有 界 な 線 形 変 換 の 全 体 をL(X

,Y)と

空 間 で あ り,も

しYがBanach空

間 な ら ば,L(X,Y)はBanach空

特 にYがCの

と き,T∈L(X,C)は

そ し てL(X,C)はXの Banachの Kに

space)と

定 理   線 形 汎 関 数 の 列{Tn}⊂X*が

中

ノル ム 間 で あ る.

functional)と

い い,X*と

有 界 な ら ば ,す

い う.

書 く. な わ ち あ る実 数

対 して

な らば,あ

るT∈X*に

弱 収 束 す る部 分 列,す

と な る 部 分 列{Tni}⊂{Tn}が

  この 定 理 はX*が 収 束 は 強収 束,す   さ て,Hを

なわち

存 在 す る.

完 備 空 間 で あ る こ とか ら容 易 に示 され る.し か も部 分 列 の な わ ち ノ ル ム 収 束 で もあ る.

複 素 数 の 上 の 線 形 空 間 と し,各 対x,y∈Hに

(inner product)と Hは

書 く こ と に す る.L(X,Y)は

線 形 汎 関 数(linear

双 対 空 間(dual

らYの

よ ば れ る 複 素 数(x,y)が

内 積 空 間(inner

product

space)と

対 し てxとyの

内積

対 応 し て 次 の 条 件 を み た す と き, い う ：

(1) (2) (3) (4) (5)   内 積 空 間Hは‖x‖=(x,x)1/2と て 完 備 な ら ば,HはHilbert空   内 積 の 性 質(1)∼(4)よ

お く と,ノ ル ム 空 間 と な る.こ の ノ ル ム に 関 し 間(Hilbert りSchwarzの

space)と

い う.

不 等式

が 得 ら れ る.   元x,y∈Hが(x,y)=0の

と きxとyは

直 交 す る と い い,x⊥yで

表 す.

{xn}⊂Hが,(xi,xj)=0(i≠j)の

と き 直 交 系 と い う.さ

ら に‖xn‖=1(n∈N0)の

と き 正 規 直 交 系(ONS)と

い う.(x,xn)=0(n∈N0)な

ら ば つ ね にx=0の

{xn}は

い う.こ

完 備 正 規 直 交 系(CONS)

完 備(complete)と

の と き{xn}⊂Hを

と き,

と い う.   さ て{xn}⊂Hを のFourier係 x=〓(x

正 規 直 交 系 と す る.x∈Hに

数 と い い,級 ,xn)xnが

対 し て 内 積(x,xn),n∈N0をx

数〓(x,xn)XnをxのFourier級

成 り立 つ と き,正

数 と い う.等 式

規 直 交 系 に よ るxのFourier級

数 展 開

と い う.   正 規 直 交 系{xn}⊂Hに

関 して つ ぎ の 命題 は 同値 で あ る ：

(1) 

{xn}は

完 備 で あ る.

(2) 

Foureir級

数 展 開 ：任 意 のx∈Hに

(3) 

Parsevalの

等 式 ：任 意 のx∈Hに

(4) 

Riesz-Fischerの

等 式

対 し てx=〓(x,xn)xn. 対 し て‖x‖2=〓￨(x,xn)￨2.

：

  任 意 のx,y∈Hに

対 し て(x,y)=〓(xn,x)(y,xn).

 各 々 のy∈Hに

対 して写 像

はH*の

な わ ち 有 界 線 形 汎 関 数 で あ る.逆

要 素,す

てTx=(x,y)(x∈H)と よ っ てHは

な るy∈Hが

自 己 双 対 で あ る.

に,各

々 のT∈H*に

一 意 に 存 在 す る(Rieszの

対 し

表 現 定 理) .

参考文献 [1] 

N.Ahmed

and

Processing, [2] 

R.M.

[4] 

R.

Rao:Orthogonal

State

Heidelberg, BIFORE

for New

Digital

Signal

York,1975

transform,

Ph.

D.

dissertation,

Univ.,1971

K.G.

Beauchamp:Walsh

Press,

New

K.G.

Transforms

Berlin,

Bates:Multi-dimensional

Kansas [3] 

K.

Springer-Verlag,

Function

and

Their

Applications,

Academic

York,1975

Beauchamp:Applications

of

Walsh

and

related

functions,

and

concept

Academic

Press,1984 [5] 

P.L.

Butzer , Applic.

[6] 

C.K．

and

H.

J.

Wagner:Walsh

Chui:An

Introduction

[7] I.Daubechies:Ten

to

Lectures

[8] 

J.L.

[9] 

Y.Endow:Short

series

the

of

a derivative

Anal.3,29−46,1973

Doob:Stochastic

Wavelets,

on

Sequences

Processes,

in

Note

on

Terms

of

Wiley,

Spectral Walsh

Press,1992

SIAM,1992

John

the the

Academic

Wavelets,

New

York,1953

Representation Functions,

Bull.

of

Dyadic

Facul.

Sci.

Stationary Eng.

Chuo

Univ.24,207−210,1981 [10] 

Y.Endow:Analysis Walsh

[11] 

J.2nd [13] 

[14] 

theorems

Proc.

Their

Walsh

series.

Y.Endow:On

a

Condition

Stationary

Processes,

Rep.

Y.Endow:Wiener

N.J.

processes

J.2nd for

using

the

generalized

Ser.36,485−503,1984 Walsh-harmonizable

dyadic

stationary

Appl.20,157−167,1985 of

a dyadic

stationary

process,

Tohoku

Math.

Ser.38,501−512,1986 for Stat.

Formula

Processes, [15] 

stationary

Math.

limit Stoch.

Y.Endow:The

dyadic

Tohoku

Y.Endow:Some sequences,

[12] 

of

functions,

Fine:On

Rep. the

Dyadic Res.,

and

Stat.

Walsh

the Appl.

Appl.

Law

of

Res.,

functions,

Differentiability

of

Dyadic

JUSE,34(1),1−5,1987

Large

Numbers

for

Dyadic

Stationary

JUSE,35(2),1−6,1988

Trans.

Amer.

Math.

Soc.65,372−414,

1949 [16] 

N.J.

Fine:The

generalized

Walsh

functions,

Trans.

Amer.

Math.

Soc.69,

66−77,1950 [17] 

N.J.

Fine:Fourier-Stieltjes

series

of

Walsh

functions,

Trans.

Amer.

Math.

Soc.86,246−255,1957 [18] 

J.E.

Gibbs

and

M.

S.

Millard:Walsh

functions

as

solutions

of

a

logical

differential equation, [19] I.I.Gikhman

and

processes, [20] 

W.

B.

A.Haar:Zur

National

A.

V.

Physical

Lab.

U. K. DES

Skorokhod:Introduction

Saunders,

Theorie

to

the

Report

1,1969

theory

of

random

Philadelphia-London-Toronto,1969 der

orthogonalen

Funktionensysteme,

Math.

Annal.

69,331−371,1910 [21] 

H.F.

Harmuth:Transmission

2nd [22] 

Edn.

of

Springer-Verlag,

T.Kawata:Fourier Amer.

  [23]

Analysis

Math.

the

of

Fourier

[25] 

G.E.

nonstationary

series

Wahrscheinlichkeitstheorie T.Kawata:Fourier

by

Orthogonal

Functions,

stochastic

processes,

Trans.

Soc.118,276−302,1965

T.Kawata:On

  [24]

Information

Berlin,1972

of

Verw, Analysis

Morgenthaler:On

a

stationary

stochastic

process,

Z.

Geb.6,224−245,1966

in

Probability

Walsh-Fourier

Theory,

series,

Academic

Trans.

Press,1972

Amer.

Math.

Soc.84,

472−507,1957   [26]

T.Nagai:Dyadic Bull.

[27] 

stationary

Math.

T.Nagai:On

finite

, Bul1. [28] 

R.E.

Processes

and

their

models

of

spectral

representations,

Statist.17,65−73,1977

Math.

parametric

linear

dyadic

stationary

processes

Statist.19,45−53,1980

Paley:Aremarkable

set

of

orthogonal

functions,

Proc.

London

Math.

Soc.34,241−279,1932 [29] 

H.Rademacher:Einige Math.

[30] 

Satze

von

allgemeinen

Orthogonalfunktionen,

Annal.87,122−138,1992

W.Rudin:Fourier

Analysis

on

Groups,

Interscience

Pub.,

Wiley

and

Sons,

NewYork-London,1967 [31] 

F.Schipp,

and [32] I.N.

New

W.

R.

Wade

and

Verbitskaya:On applicable

P.

Simon:Walsh

series,

Adam

Hilger,

Bristol

York,1990

to

conditions

secondiｎ

order

for

stationary

the

strong

law

processes,

of

large

Theory

numbers

Prob.

to

Appl.

be

8,325

− 331,1964 [33] 

J.L.

Walsh:Aclosed

set

of

orthogonal

functions,

Ann.

J.

Math.55,5−24,

1923

[34] 

C.Watari:Mean

convergence

of

Walsh

Fourier

series,

Tohoku

Math.

J.16,

183−188,1964

[35] 

S.Yano:On

[36] 

K.Yoneda:On

Walsh-Fourier absolute

series, convergence

Tohoku

Math. of

J. Ser.2,3,223-242,1951

Walsh-Fourier

series,

Math-

Japonica,18,71-78,1973 [37] 

A.Zygmund:Trigonometric

series,

Cambridge

Univ.

Press,2nd

Edn.1968

[38]  C.K.チ

ュ ウ イ著,桜

版 局,1993([6]の

井 明,新 翻 訳)

井 勉 訳,ウ

ェ ー ブ レ ッ ト入 門,東

京 電機 大学 出

索

引 強収 束  

■あ 行 アベ ール 群   位相 

188

187

197

強 大 数 の法則

  119

共 分散 関 数   共 役元   62

101

強D-導 関 数

位 相 アベ ー ル群  

189

位 相 空 間   187 一般 化Walsh関 数系  

65

局 所 コ ン パ ク トア ベ ー ル 群

異例 測 度  

86

局所 原 理  

応答 行 列  

180

近似Walsh級 近傍   187

数 

149

繰返 し数 順 序  合 成積   孤立点 

10

138

59

繰返 し数  

開集合  187 概収束  195 概収束性  125 開被覆  188

  189

32

近傍 系 

■か行

可換 群  

 22,71

強D-微 分 可能   22,71 局所 コンパ ク ト  188

149

169 187

確率過程  確率空間  確率系列  確率事象 

102,195

確 率収 束  

195

確率測度 

194

最 適 フィル ター行 列   180 サ ンプ ル値 関 数   154

確 率 変数   可 算 基底  

194 58

サ ンプ ル ホー ル ド関 数   155 サ ンプ ルW-連 続   127

根 元事 象   194 コ ン パ ク ト  188

194 101

■さ行

194

可積分  192 可測空間  191 可測集合  191 可分  187 加法族  190 完備  5,50,191 基礎空間 期待値 基底 

境界 

自然順 序  

187

154

指標   58,189 指 標群   63,66 シ フ ト  188

 194

148

194

次 数(M,N)の 離 散 関 数   162 次 数Nの 離散 関 数   147

 194 187

逆 順 序2進 法 変 換   逆変換 

事 象 

弱 大 数 の法 則   集 合 体   190 154

集合代数 

118

190

準 最 適 フ ィル ター 

183

ス カ ラ ー フ ィル タ ー  

181

ス ペ ク トル 過 程  

108

ス ペ ク トル 測 度  

106,110

ス ペ ク トル 分 布 関 数   ス ペ ク トル 密 度  

2次 元Walsh変

106,110

110

ス ペ ク トル ラ ン ダ ム 測 度  

換  

2重 積 分 公 式  2進 階 段 関数  

108

2進 加 法  

9

2進 区 間  57 2進 群   57 2進 合 成積  

20

正規 直 交 系   4 正 定符 号   189

2進

絶対 収 束 性  

2進 法展 開  2進 有 理 数  

3 3

2進 連 続 率  

24

127

線形 汎 関 数  

シ フ ト 

88,198

2進Lp-連

149

続 率   24

2変 数Walsh変

線形 変 換   197 線 形D-過 程   114

ノ ル ム 

 169

標 本 自己 共分 散 関 数   169 標 本2進 交差 共 分 散 関数   170 192

標 本2進 合 成 積

  170

標 本2進 自己 共 分散 関数   標 本 分 散  169

187 49

標本平均 

直 交 ラ ンダ ム測 度   直 積 測度   192 直 積 測度 空 間   193 直 積 σ-加法族   通 常 測度  

部 分群   分散 

188 195

192 平 均   194 平 均収 束 性  

86

194

独 立事 象列  

169

196

平 均値   194

124

194

平 均値 関 数   101 平 均D-導 関 数   105 平 均D-微 分 可能  

■ な行 内積  

197

標 本 交 差 共分 散 関 数

体   58 単 調 収 束定 理  

独立 

197

標 準 型   153 標 準 偏 差   195

191

■た行

稠密  直交 

164

■は行

191

測度空間 

換 

ノル ム空 間  

相 対 位 相  188 双 対 空 間  198 双 対 群   189 測度 

12,64

2進 順 序  

線 形空 間   196 線形 ノル ム 空 間   58

164

84 12

平 均W-連 49,198

閉包  

続 

105

103

187

内積 空 間  198 内点 集 合   187

ベ ク トル 空 間  

ベ ク トル フ ィ ル タ ー  

181

2次 過 程  

ほ とん ど確 実 に収 束  

195

101

196

169

ボ レル集 合  

191

Fourier-Stieltjes級 Fubiniの

■や行

数 

定理  

Fubini-Tonelliの

有界 

定理 

有 限 測度  

192

Grayコ

ー ド 

Haar関

数

Haar測

度 

151

191

■ ら行 ラ ンダ ム測 度   離 散位 相   離 散 空間  

195

  6 58

Hadamard行

列 

Hadamard順

序 

Hausdorff空

57 187

153 154

間 

Hilbert空

離 散 パ ラ メー タ の確 率過 程  

間 

187

50,198

101 Karhunen-Loeve変

連続 

 

153

102 L2-空 間 に お け る Walsh-Fourier級

■ 英字

181

換 

Kronecker積

188

連 続パ ラ メー タ の確 率過 程   連 続 率  24

数  

50

数  

50

L2-空 間 に お け る

Abel群   57 Abel総 和可 能  

Walsh-Fourier係 L2-ノ ル ム   49

47

L2-ノ B-可 測 関 数  

191

Banach空

間 

Banachの

定理 

Bochonerの

88,197 190

定理 

(C,1)総

和可能 

(C,1)平

均 

41

Cesaro総

和可能 

Cesaro平

均 

Lebesgueの

優 収 束定 理  

41

序 

Paleyの

補題 

149 28

Parsevalの

関係式 

Parsevalの

等式 

53,97

Poissonの

和公式 

37

195

53

Rademacher関

数 

Rademacher関

数系 

102

Riemann-Lebesgueの

D-定 常 系 列  

102

Rieszの

22,71

D-微 分 可 能    

4 補題 

表 現定 理  

Riesz-Fisherの

199

定理  

52

32

Schwarzの

不等 式  

49,198

27

Dirichlet積

分 

Dirichletの

テ ス ト 

27

Tonelliの

定理 

193

33

W-正 定 符号 関 数   41

3

22,71

テ ス ト 

 

192

  195

Paley順

D-定 常 過 程  

Dirichlet核

29

41 不等式 

D-導 関 数  

48

数  

p次 平 均 収 束 194

41

Chebyshevの

ルム 収束  

Lebesgue定

198

定理 

Borel-Cantelliの

Fejer核

103

197

有 界 収束 定 理  

Diniの

86

193

W一 導 関 数  

71

70

19,75

W-微

分 可能  

W-連

続 

71

21,69

Walsh関

数 

Walsh関

数 系 

Walsh級

数 

19

Walsh係

数 

19

Walsh順

序 

149

Walsh調

和 解 析 可 能 

Walshパ

8 8

106

Walsh変

ワ ー ス ペ ク トル   換 

Walsh-Dirichlet核 Walsh-Fejer核

   

27

41

Walsh-Fourier-Plancherel変

換  

Walsh-Fourier-Stieltjes級

数  

Walsh-Fourier級

数 

19

Walsh-Fourer係

数 

19

Walsh-Fourer変

換 

75

Walsh-Stieltjes級

数 

Wienerの

119

Wienerフ

公式  

ィル ター 

W-Lipschitz条

171

75,147

件  

σ-加 法 族  

191

σ-集 合 体  

191

σ-集 合 代 数  

191

σ-有 限 測 度  

191

86 178

24

Ψ -Fourier級

数  

94

Ψ -Fourier係

数  

94

95 86



遠藤

靖

学 歴 

現 在

中央 大 学理 工 学 部 管理 工 学 科 卒業(1968)  慶 応 義 塾大 学 大 学 院理 工 学 研 究科 博 士 課程 修 了(1973)  工 学 博 士(1973)

 中央大学理工学部教授

数理 科 学 セ ミナー ウ ォル シ ュ解 析 1993年11月10日

  第1版1刷

発行

第1版2刷

発行

1995年12月20日 

著 者 遠 藤

靖

発行者 学校法人 東 京 電 機 大 学 代 表 者 廣 川 利 男 発行所 東 京 電 機 大 学 出 版 局 〒101 東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2 振 替 口座  00160-5-71715

印刷   三美 印 刷(株) 製 本   (株)徳 住製 本 所 装 丁   高橋 壮 一

〓

Endow

電 話  (03)5280-3433(営

業)

  (03)5280-3422(編

集)

Yasushi

Printed in Japan

*無 断 で転 載 す る こ とを禁 じ ます 。 *落 丁 ・乱 丁 本 はお取 替 えい た し ます。 ISBN4-501-61340-8 

R

1993

デー タ解 析 ・信号処 理関連 図書 数 理 科 学 セ ミナ ー ウ ェ ー ブ レ ッ

ト入 門

チ ャー ル ズK.チ ュ ウ イ著  桜 井／新 井 共 訳 A5判   306頁 フー リエ解析の欠点 を補 う強力 な手段 として,ウ ェー ブ レッ ト解析 が数学,物 理 の基礎研究か ら信号処理, 情報等の工学的 な応 用まで,あ らゆ る分野で話題で ある。その基 礎的知 識を与 える待望の入門書。

数理科学セ ミナー ウ ェー ヴ レ ッ トビギ ナ ー ズ ガ イ ド CD-ROM(Mathematicaプ

ロ グ ラ ム)付

榊原 進 著 A5判  242頁 理 工 系 大 学 高 学 年 の 教 科 書 と して,さ や デ ー タ解 析 エ ン ジニ ア を対 象 に,応 た ウ ェー ブ レ ッ トの 入 門 書。

らに 信 号 処理 用 を 目標 と し

情報科学セ ミナー ス プ ラ イ ン関 数 入 門

数 理科学 セ ミナー

桜 井 明 編 著 A5判  184頁

遠 藤 靖 著 A5判  218頁

任意 の点 を滑 らかに結ぶ 曲線 を描 くスプライ ン関数 は,デ ー タ解析や処 理,コ ンピュー タグラフ ィック に と幅広 い分野で活用 され ている。基礎 理論や初歩 的な性質 か ら応用までわ か りやす く解説 した。

ウォル シュ解析 は,PCM信 号 等の離散デー タの解 析 に最適 であ り,過 渡 的 ・衝 撃的 現象や脳波 等の解 析 に も応用 され ている。 このデジ タル時代 にふ さわ しい ウォル シュ解析 の基礎理 論 を解説 した。

ビギナーズ デ ジタル信号 処理

情 報 科 学 セ ミナ ー

中村 尚五 著 A5判  192頁 デ ジタル信 号処理 を入 門者に も分かる ようにていね いに解説 した シ リー ズ三 部作の第一弾。 デジタル信 号処理の基本概念 について,信 号を時間の世界で処 理す ることを中心に,て いねいに解説 した。

チ ャー ル ズK.チ ュ ウイ著  桜 井／新 井 共訳 A5判  210頁 80年 代以降,多 変数スプライ ン(マ ルチスプライン) の研究が本格化 し,め ざましい発展 をとげ大 きな分 野 となった。高次元のデータ処理や3次 元CAD等 の 応用に向けて,最 新の理論 を解説 した。

ウォル シュ解 析

マ ル チ ス プ ラ イ ン

ビギ ナー ズ

ビギナーズ

デ ジタル フー リエ変換

デ ジ タ ル フ ィル タ

中 村 尚 五 著 A5判  200頁

中 村 尚 五 著 A5判  192頁

フー リエ 変 換 を 用 い,周 波 数 の 世 界 に お け る信 号 処 理 を取 り上 げ る。DFT,FFTの 原 理 を詳 しく説 明 し た後,FFTの 応 用 例 を 解 説 した。 特 に 数 式 の展 開 は 工科 系 の 学 生 に も理解 で き る よ うに て い ね いに した。

デ ジ タル フ ィル タの 原 理 を理 解 し,読 者 が 必 要 に応 じて開 発 で き る こ と を 目標 に した。 具体 的 な シ ス テ ム を応 用 例 に あ げ.ソ フ トウ ェ ア とハー ドウェ ア を

ユーザーズ

プラクティス

デ ィジタル信号 処理

デ ジ タル 信 号 処 理

江原 義 郎 著 AB判  208頁 これか らデ ィジタル信号 処理 を学 ぼ うとする者,あ るいは現在,特 に この分 野の知識 な しに信号 の処理 を行ってい る信号処理 システムのユー ザーや エンジ ニアを対象 とした入 門書 である。

イ ブ ・トー マ ス／中村 尚五 著 A5判  216頁

含 め解 説 した 。

基本 となっている例題 を繰 り返 し演習する ことによ り,効率 よくデ ジタル信号処理 を学べ るように編集。 大学 の演 習のみ な らず,関 係 技術に携わるエンジニ アや 基礎知識 のある人向けの入門書である。

*定 価,図 書 目録のお問い合わせ ・ご要望は出版 局までお願 い致 します.

 D-54