Теория управления. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ. Учебн. пособ

3 Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ: Учебное пособие. – МГИЭМ. М., 2005, 63 с.

Часть 2 курса "ТАУ" Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ. Лекция 1. Квантование непрерывных сигналов. Как правило, в системе автоматического управления имеется квантование сигналов (особенно при цифровых технологиях). Квантование может быть: по уровню сигнала и по времени. Как только в состав САУ включается цифровой вычислитель, т.е. специализированная управляющая ЭВМ, или ЭВМ общего назначения (ПК со специальными цифро-аналоговыми контроллерами ввода/вывода), или микропроцессорное устройство автоматики, немедленно возникают два квантования - по уровню и по времени.

Рис. 1.1

Квантование непрерывного сигнала по времени и по уровню.

В результате квантования мы переходим от непрерывного сигнала к множеству значений в моменты квантования кТ. x(t) ⎯квант ⎯ ⎯→{~ x(kT)} , где T – шаг квантования по времени, x(kt) ≠ ~ x(kT) – есть квантованное по уровню значение. Квантование по времени КПВ и по уровню КПУ сказываются совершенно по-разному. В частности, если в системе имеется только квантование по времени – то она остаётся линейной, т.к. αx(kT) + βY(kT) = {αx(kT)}} + {βY(kT)}}

А квантование по уровню - нелинейная операция, поэтому системы, в которых учитывается эффект квантования по уровню должны рассматриваться как нелинейные. Система с квантованием только по времени – импульсная. Система с квантованием и по времени и по уровню – дискретная. Основные источники появления таких систем:

4 КПВ – следствие неизбежной дискретности работы ЭВМ. КПУ – наличие АЦП/ЦАП.

5 Сейчас в промышленных применениях в основном используются 1416-разрядные квантователи. Значительно реже 8 и 10- разрядные. 1. Квантование по уровню – это преобразование сигнала с помощью АЦП/ЦАП, когда диапазон изменения сигнала делится на ступени в зависимости от разрядности АЦП/ЦАП.

Квантование по уровню в АЦП.

Ступенчатая

линия

Рис. 1.2 описывает преобразование

непрерывной

~

величины х(t) в квантованную по уровню величину X (kT ) . δ =

x max − x min , где n – разрядность кода 2n

Оценим ошибку квантования при 8- и 16-разрядном АЦП/ЦАП: при 8-разрядном кодировании: δ 8 ≈ 0,4 ⋅ 10 −2 ( x max − x min ) при 16-разрядном кодировании: δ 16 ≈ 0,15 ⋅ 10 −4 ( x max − x min ) Важен также вопрос, связанный с представлением полученного кода. Для эффективности использования 16-разрядного кода надо использовать минимум 16-разрядную машину. Для использования 20-разрядного кода надо использовать либо 32разрядную машину, либо считывать за 2 такта 16-разрядные данные. ⇒ Разрядность микропроцессорного контроллера, быстродействие и погрешность преобразования связаны. Необходимо тщательно выбирать платформу реализации контроллера и увязывать её с выбираемыми типами цифровых преобразователей. Видно, что погрешность при 16-разрядном кодировании достаточно низка, по крайней мере, обычно существенно ниже погрешности других элементов системы, например, датчиков. Напрашивается вывод, что погрешностью 16 и более разрядного АЦП/ЦАП можно пренебречь, однако, это не всегда верно! Покажем, что и при достаточно малой погрешности АЦП/ЦАП ошибка может с течением времени накапливаться. Для примера рассмотрим некоторый блок, в котором обрабатывается сигнал с ПФ W(p).

6

Рис.1.4 t

y(t) = ∫ h(t − τ ) u (τ )dτ , 0

h(t) – весовая функция, соответствующая W(p). Пусть в результате АЦ преобразования, а также ошибок арифметики вычисления получаем: y(t) = y 0 (t ) + Δy (t ),

h(t ) = h0 (t ) + Δh( y ), u (t ) = u 0 (t ) + Δu (t ),

где y 0 , h0 , u 0 – истинные значения сигналов, – ошибки квантования по уровню, причем Δh, Δu Δ h (t − τ ) < δ h

не зависят от времени (оценки погрешности); Δ u (t ) < δ u Δy – ошибка вычисления сигнала, тогда t

t

t

t

t

0

0

0

0

0

y (t ) = ∫ (h0 + Δh)(u 0 + Δu )dτ = ∫ h0 u 0 dτ + ∫ h0 Δu dτ + ∫ Δhu 0 dτ + ∫ ΔhΔtdτ ,

Можно пренебречь, так как имеет 2 порядок малости

t

где ∫ h0 u 0 dτ = y 0 (t ) . 0

t

t

0

0

Δy (t ) = ∫ h0 Δu dτ + ∫ Δhu 0 dτ

Чтобы оценить абсолютное значение погрешности можно учесть оценки h0 и u 0 : h0 ≤ M h u0 ≤ M u Δy ≤ δ u M h ⋅ t + δ h M u ⋅ t

Очевидно далее, что в простейшем случае, когда h0=const, ∆u=const, ∆h=const и u0=const, накопленная погрешность может неограниченно возрастать с течением времени. На самом деле, погрешность частично компенсируется, т.к. меняется ее знак. Замечание 1. Повышение разрядности АЦП/ЦАП позволяет добиться требуемой точности, если не происходит недопустимого накопления погрешности. Замечание 2. Заметим, что в замкнутой САУ накопление погрешностей обычно бывает гораздо меньше, так как работает принцип ОС, для которого погрешность квантования - просто помеха.

7

Рис. 1.5 Компенсация погрешности в замкнутой системе. В самом деле, в соответствии с принципом управления по отклонению, с помощью обратной связи происходит уменьшение любых отклонений выходной величины Y от задающего воздействия, вне зависимости от причины их возникновения (в том числе, из-за ошибок квантования по уровню). 2. Квантование по времени возникает в системе из-за того, что ввод и вывод информации в ЭВМ происходит с некоторой периодичностью и не чаще. Пусть T – период квантования по времени. При правильном проектирование САУ (с достаточной разрядностью по АЦП/ЦАП) КПУ чаще всего можно пренебречь, если учесть накопление погрешности, а КПВ необходимо учитывать. Как правило, не удается сделать скорость ввод/вывод информации до такой степени высокой, чтобы полностью пренебречь квантованием по времени. Поэтому важно иметь теорию расчёта САУ с учётом КПВ. Системы, в которых имеется только квантование по времени (КПВ), а квантованием по уровню (КПУ) можно пренебречь, называются импульсными в отличие от дискретных систем. Дискретные системы – нелинейные, их изучение представляет сложную задачу, ее лучше избегать, повышая разрядность квантования. Для импульсных систем имеется удобный математический аппарат.

8 Импульсные системы. Описание процесса квантования по времени. Реальный и идеальный квантователи.

Квантование как умножение на импульсную последовательность

Рис. 1.6 Рассмотрим процесс квантования по времени, как результат умножения k =0 исходной непрерывной функции на ∞ * f (t ) = f (t ) ∑1(t − Tk ) − 1(t − Tk − S )) специальную импульсную последоваk =0 тельность р(t) очень узких импульсов. Фактически мы рассматриваем квантование, как импульсную амплитудную модуляцию - АИМ. Замечание: если просто уменьшать ширину импульса, то в пределе энергия импульсов f *(t) будет уменьшаться, стремясь к 0. Чтобы не потерять энергию импульса дополнительно умножаем результат на 1/s. Обратим внимание на вершину импульса, она должна повторть форму функции, именно тогда такое квантование – линейная операция. При очень узком импульсе вершину можно взять плоской, как показано на рисунке, чем уже иимпульс, тем меньше ошибка при использовании импульсов с плоской вершиной. p(t ) =

∞

∑ (1(t − Tk ) − 1(t − Tk − S ))

9 • Лекция 2. Спектр квантованного сигнала. Вершина импульсов считается плоской, а сами импульсы достаточно узкими, в противном случае учет неплоской вершины импульса приводит к большим сложностям, хотя такой учёт возможен. Вычислим теперь спектр квантованного сигнала, т.е. выясним, что происходит со спектром при квантовании. Для этого вначале разложим p(t) в ряд Фурье: ∞

∑ Ck e

p (t ) =

jkω pt

k = −∞

⋅

1 S

(*)

2π T − ikω S T 1 1− e p − jkω p t C k = ∫ p(t )e dt = T 0 jkω p T

ωp =

Выразив экспоненту по формуле Эйлера и через половинные углы, получаем такую формулу: Ck =

S ⋅ T

sin( kω p S 2

kω p

S kω p S ) 2 ⋅ e− j 2

Подставим последнее выражение в (*) и получим: ∞

S p (t ) = ∑ ⋅ T ⋅ S k = −∞

sin(kω p kω p

(S/T – скважность импульсов р(t)) f * (t ) =

S 2

S S ) 2 ⋅ e − jkω p 2 + jkω pt

∞

∑C

k = −∞

k

f (t )e

jkω p t

⋅

1 S

Теперь можно найти спектр квантованного сигнала. Спектр f * (t ) : F * ( jω ) = Φ ( f * (t )) (преобразование Фурье) Теорема о преобразовании Фурье: Φ ( x(t ) ⋅ e

jkω p t

) = F ( jω − jkω p ) ,

Эта простая теорема называется ещё теоремой о сдвиге изображения в частотной области. Она показывает, что умножение оригинала на мнимую экспоненту приводит к сдвигу

10 преобразования Фурье в комплексной области на этот же самый показатель. В силу этой теоремы можем записать: F * ( jω ) =

∞

∑C

k = −∞

k

F ( jω − jkω p ) ⋅

1 S

(**)

Таким образом, вместо исходного спектра непрерывного сигнала получается спектр квантованного сигнала, состоящий из бесконечного числа компонентов. Рассмотрим характерные случаи. Пусть исходный сигнал f(t) есть гармонический с частотой ω 0 : f (t ) = sin ω 0 t

Линейчатый спектр

Рис. 2.1 Некоторые коэффициенты Ск могут быть обращены в ноль выбором скважности импульсов квантования. S C k = 0; sin(kω p ⋅ ) = 0 2 S kω p ⋅ = π ⋅ n 2

т.е. при некоторых соотношениях между частотой квантования и шириной импульсов квантования соответствующая гармоника может отсутствовать. Этим часто пользуются, если к спектру квантованного сигнала предъявляются дополнительные требования. Пусть теперь исходный сигнал имеет конечную ширину спектра (0 - ωc), или, в терминах обычной частоты: fmax < ωc / 2π . (2.1) Такой спектр должен встречаться чаще всего, и обычно известно, какова ширина спектра полезного сигнала. Однако, реально, спектр всё-таки не бывает жёстко ограниченным. Этому может мешать, например, наличие помех (шумов), в том числе, и от квантования.

11 Ограниченный спектр исходного сигнала

Рис. 2.2 Возможны два случая: 1. ωр > 2ωc частота квантования больше максимальной ширины спектра сигнала.

Бесконечный спектр квантованного сигнала

Исходный спектр Компоненты спектра не перекрываются

Рис. 2.3 Очевидно, что в этом случае отдельные составляющие спектра квантованного сигнала не пересекаются и явно отделены. 2. ωр < 2ωc частота квантования меньше максимальной ширины спектра сигнал.

Компоненты спектра квантованного сигнала перекрываются

Рис. 2.4

12 Очевидно, что в этом случае отдельные составляющие спектра квантованного сигнала пересекаются и не отделены друг от друга. Несмотря на то, что после квантования полезный сигнал рассматривается лишь в полосе частотой (-ωc … ωc ), именно в этой полосе частот появляются дополнительные составляющие, которые к тому же сдвинуты на величину никак не связанную с гармониками исходного сигнала, а зависящую от разности частотой квантования и частоты соответствующей гармоники. Для того чтобы заведомо можно было бы восстановить исходный сигнал из квантованного должно выполняться условие (1), которое называется теоремой Котельникова-Шеннона или импульсной теоремой. Иногда также эта теорема называется теоремой отсчётов. Теорема Котельникова - Шеннона: При выполнении условия (1), что возможно в условиях ограниченного спектра сигнала и достаточно высокой частоты квантования ωр > 2ωc (Т < 1/(2fmax), потери информации не происходит и она может быть полностью восстановлена. То есть из квантованного сигнала можно без потерь восстановить исходный непрерывный сигнал. Эта важнейшая теорема является теоретической основой всей цифровой обработки, хранения и передачи сигналов. Заметим также что невыполнение условия Котельникова (1) ещё не означает, что восстановление исходного сигнала заведомо невозможно! Теорема Котельникова - Шеннона не является необходимым условием. Например, если форма исходного сигнала заранее известна, то он обычно может быть восстановлен и из сложного спектра квантованного сигнала при невыполнении (1). Но это будет уже , скорее, задача обнаружения известного сигнала, а не восстановление абсолютно неизвестного сигнала с конечной шириной спектра. Снова отметим, что практически не бывает сигналов с конечной шириной спектра. Инженерное решение, применяемое в цифровой обработке сигналов, заключается в том, что ещё до квантования сигнала нужно ограничить полосу сигнала необходимой шириной, применяя фильтр предварительной обработки. Следует иметь ввиду, что такая фильтрация гораздо эффективнее фильтрации после квантования.

13

• Лекция 3. Идеальный квантователь. Спектр квантуемого сигнала должен быть ограничен. Идеальным квантователем называется квантователь с бесконечно S →0 . малой шириной импульса квантования: S ω c ⎭ спектра квантованного сигнала. Эта компонента с точностью до множителя 1/Т совпадает с исходным спектром. Однако, никакой реальный фильтр не может иметь такую П-образную частотную характеристику, мгновенно обращаюшуюся в ноль. Известно, с другой стороны, что для звена порядка n наклон ЛАЧХ

16 может составить максимально + − n20дб/дек. Из этих соображений, при использовании реальных фильтров не слишком высоких порядков выбирают ωр >> (2-10) ωс , чтобы соседние компоненты спектра квантованного сигнала отстояли друг от друга на значительное расстояние и было проще их отделить с помощью фильтра. Фильтры, кроме АЧХ, вносят фазовые искажения, поэтому задача построения фильтра является сложной. II способ. Обратим внимание, что при вводе/выводе сигнала в ЦВМ значение сигнала фиксируется на время Т. fˆ(t)

T 2T 3T

4T

5T

АЦП/ЦАП представлены адресами регистров,и в промежутках между чтением/записью данные сохраняютнеизменными. То же происходит и с вычисляемыми данными, хранящимися в рабочих переменных программ. Отметим также, что такая фиксация есть не что иное, как простейший слу-

t

Рис. 3.3 чай экстраполяции (0 порядка). Дадим описание устройства, осуществляющего экстраполяцию нулевого порядка, то есть фиксацию значения сигнала в течение времени Т: ∞ ) f (t ) = ∑ f (kT )[1(t − kT ) − 1(t − (k + 1)T )] k =0

Преобразование Лапласа такого экстраполированного сигнала: ∞ ) 1 − e −Tp F ( p ) = ∑ f (kT )e − kTp , p k =0

Назовем передаточной функцией фиксатора выражение: WФиксатора(р)=(1-e-Tp)/p

(3.2)

Видим, что при использовании фиксатора в качестве модели экстраполятора, помимо того, что это хорошо увязано с вводом/выводом в ЦВМ, получается замечательный результат: ) 1 − e −Tp ∞ F ( p) = • ∑ f (kT )e −kTp = Wфиксатора ( р ) • F * ( p ) p k =0

(3.3)

То есть фиксатор, на самом деле, является обычным динамическим звеном, описываемым передаточной функцией (правда, не дробно-рациональной,) в совокупности с идеальным квантователем.

17 f(t)

f*(t)

f^(t)

wФ (p) Рис. 3.4 Таким образом, при наличии фиксатора процесс квантования с фиксацией можно представить, как наличие идеального квантователя в совокупности с передаточной функцией фиксатора wФ (p). Рассмотрим частотную характеристику фиксатора и убедимся, что его действие практически подобно ФНЧ. Wфикс. ( jω ) =

− jωT

1− e jω

при

1 ω > ω, поэтому дробнорациональная физически реализуемая функция (порядок числителя меньше порядка знаменателя) W(jω+ jωp) → 0 при jωр >> jω. Это рассуждение хорошо соответствует здравому смыслу, подсказывающему, что при достаточно высокой частоте квантования поведение импульсной системы практически не отличается от исходной непрерывной. На этом замечании, кстати, основаны все цифровые методы хранения обработки и воспроизведения звуковой и видеоинформации. Практическая формула для вычисления импульсной передаточной функции для известного непрерывного блока W(р) с фиксатором: W(z) = Z(

W(p) 1 − z -1 z −1 W(p)) = ⋅ Z( ) p z p

Например, для инерционного звена имеем: W(z) = z − 1 ⋅ Z( z

W(p) k (1 − a ) )= . p z−a

22

•

Лекция 5.

Фиктивный квантователь. Вся теория Z-преобразования (как и дискретного преобразования Лапласа) имеет дело со значениями функции только в моменты квантования и не дает никакой информации о промежуточных значениях функции. По этой причине вводится понятие фиктивного квантования. Если некоторые сигналы в системе рассматривать как импульсные, т.е. только в моменты квантования kT, то в ряде случаев удобно в различные части системы добавить фиктивные квантователи, которых нет в реальной системе, но наличие которых позволяет применить технику Z-преобразования. Ниже будет видно, что введение фиктивного квантования позволит корректно использовать импульсную передаточную функцию в сложной системе, состоящей из многих блоков. Пример с использованием Z-преобразования R С u(t)

y (t)

W ( p) =

1 RCp + 1

Рис. 5.1

Интересуясь лишь моментами квантования введем на выходе фиктивный квантователь с фиксатором. R С U(z)

kT Y(z)

Ф Y (z) *

Рис. 5.2 Y^(z)

Импульсная передаточная функция инерционного описывающего эту цепочку с учётом фиксатора: W ( z) =

1 z −1 • Z( )= ( RCp + 1) • p z

−T RC 1− e

z

−T RC −e

звена,

,

Пусть u(t) = 1(t) : U ( p) =

z ; z −1

Y ( z ) = W ( z )U ( z ) = Z (

1 z )= − ( RCp + 1) • p z −1

z z

−T RC −e

Здесь удобно пользоваться таблицами Z- преобразований. Вычислим через обратное Z-преобразование оригинал импульсной функции, значения которой в момент времени kT есть y(kT): kT/RC

y(kT) = Z-1{ Y(z) } = 1(kT) - e-

.

Результат очевиден преобразования.

и

23 иллюстрирует

технику

применения

Z-

Передаточная функция замкнутой системы U(t)

e(t)

Y(t) W(p)

(-)

Рис. 5.3

Yoc(t)

Woc(p)

В непрерывной системе:

W зс ( p) =

W ; 1 + WWоc

We( p) =

1 1 + WWоc

В импульсной системе не всегда можно вычислить передаточную функцию замкнутой системы по подобной формуле. Сама эта возможность связана с наличием и расположением квантователя. Рассмотрим некоторые возможные случаи расположения квантователей в системе. 1) Чисто импульсная система U(t)

e(z)

Y(z) W(z)

(-)

Рис. 5.4

Yoc(z)

W з.с. ( z ) =

Woc(z)

W ( z) ; 1 + W ( z )Woc ( z )

We ( z ) =

1 1 + W ( z )Woc ( z )

2) Система с аналоговым входным сигналом U(t)

e*

e(t)

Y(t)

Y(z)

W(p) (-)

Рис. 5.5

Yoc(t)

Woc(p)

y ( p ) = W ( p )e * e ( p ) = U ( p ) − W0 c ( p ) y ( p )

[

]

y * = [ y ] = W ( p )e * 1442443 *

*

операция квантования

y * = [U ( p)W ( p )] − [W ⋅ W0 c ] y * *

*

Раскрывать скобки нельзя, поэтому из последней формулы y * выразить через Wзс и U(p) нельзя. Результат квантования

24 произведения не обязательно равен произведению результатов квантования. В этом случае не получается формулы для передаточной функции замкнутой системы ! Если, однако, два блока разделены квантователем, то результирующая импульсная передаточная функция равна произведению импульсных ПФ отдельных блоков. Для этого также имеет смысл включать в состав системы фиктивные квантователи. 3) Следящая система Uзад(t)

e(t)

Y(t) W(p)

(-) Yoc(t)

Рис. 5.6

Импульсная система будет иметь точно такой же вид: Uзад(z)

e(z)

Y(z) W(z)

(-) Yoc(z)

Рис. 5.7

y * ( p) *

Uзад ( p )

=

W * ( p) *

1 + W ( p)

;

W з.с. =

W ( z) ; 1 + W ( z)

We =

1 1 + W ( z)

Таким образом, в практически важном случае следящей системы вид импульсной передаточной функции замкнутой системы не отличается от обычного. То же справедливо и для ПФ по ошибке.

25

•

Лекция 6. Устойчивость импульсной САУ. Критерий устойчивости. Устойчивость импульсной системы понимается также как и непрерывной, т.е. малое изменение поведения системы в моменты квантования при малом изменении начальных данных. Разница лишь в рассмотрении только моментов квантования. Аппарат дискретного преобразования Лапласа и Z-преобразования обладает следующей особенностью: так как берутся только моменты квантования, то можно пропустить, что система неустойчивая (принять неустойчивую систему за устойчивую). Если передаточная функция импульсной системы задана посредством дискретного преобразования Лапласа: Q(e pT ) b0e mpT +L+ bm−1e pT + bm Для исследования устойчивости в W * ( p) = = ; P(e pT ) a0e npT +L+ an−1e pT + an этом случае можно применить обычное требование к располоP(e pT ) = 0 жению корней характеристического 14243 характерис тическое уравнения в левой полуплоскости. уравнение Необходимое и достаточное условие устойчивости: Re pi < 0 (отрицательность всех вещественных характеристического уравнения).

корней

Сложности: решение характеристического уравнения, не имеющего вида полинома. Число корней этого уравнения бесконечно. Пример: устойчивость инерционного звена. W(p) = K/(T1p+1) c шагом квантования Т. Вычислим импульсную передаточную функцию W(z) и соответствующую дискретную передаточную функцию. W ( z) =

Kz z−e

P (e e

pT

pT

)=e

=e

pT = − pi = −

pT

−e

−T T1

−T T1

T + 2πjk T1

1 2π +j k T1 T

=0

−T T1

;

Ke pT

W ( p) = e

pT

−e

−T T1

Это характеристическое уравнение имеет бесконечное число корней, отличающихся на чисто мнимую величину. Понятно, однако, что звено устойчиво, поскольку все эти корни имеют отрицательную вещественную часть. Это, конечно, бывает не всегда, поэтому замкнутая устойчивая непрерывная система может стать неустойчивой при квантовании (переходе к импульсной системе).

26 В частности, устойчивость импульсной системы зависит от выбора шага Т квантования по времени. Обычно при чрезмерном увеличении Т устойчивая импульсная система теряет устойчивость. Например, в чисто импульсной системе с инерционным объектом и интегратором в ООС: ( Кимп=(1- e-T/T1)Кнепр ) U(t)

e(z)

-T/T1

К/(z-e

Y(z)

)

(-) Yoc(z)

T/(z-1)

Рис. 6.1 нетрудно получить характеристическое уравнение: P(p)= e-2pT - (1+e-T/T1) e-pT + e-T/T1 + kT = 0: Необходимым и достаточным условием устойчивости корней этого уравнения является следующее: e-T/T1 + kT < 1. Видно, что с увеличением Т условие может быть нарушено. В то же время исходная непрерывная система имеет передаточную функцию: k T1 p + 1 W ( p) kp ; W з.с. ( p) = = = 2 k 1 + W ( p)Woc ( p) T p + p + k 1 1+ (T1 p + 1) p

Ясно, что эта система устойчива всегда при Т1 >0 и К>0. Необходимым и достаточным условием устойчивости в терминах Zпреобразования является следующее вытекающее из формулы z = e pT требование к корням характеристического уравнения P(z)=0: Необходимое и достаточное условие устойчивости: |zi| < 1 (все корни характеристического уравнения P(z)=0 лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости Z ). Практическое значение имеют критерии устойчивости, то есть способы проверки факта устойчивости без непосредственного решения характеристического уравнения. Также, как и в случае непрерывных систем, их можно разделить на алгебраические и частотные. • Прежде всего отметим, что вообще классические критерии устойчивости предназначены для проверки факта расположения корней в левой полуплоскости, значит, в принципе не подходят для Z преобразования • Алгебраические критерии устойчивости непосредственно неприменимы, так как характеристическое уравнение в

27 терминах дискретного преобразования Лапласа вообще не полиномиально. Критерий Гурвица, например, неприменим. • Частотные критерии применимы для импульсных систем, если пользоваться дискретным преобразованием Лапласа. При этом, например, эффективно применим критерий Найквиста. Чтобы использовать одновременно известные критерии устойчивости и преимущества Z - преобразования (полиномиальность всех выражений) применим следующий приём из теории функций комплексного переменного: с помощью дробнорациональной функции отобразим внутренность единичного круга в левую полуплоскость. Пользуемся здесь известным свойством такого отображения - сохранять вид дробно-рациональной функции. ω-преобразование – обладает требуемыми свойствами: ω=

2 z −1 ⋅ T z +1

z=

2 + Tω 2 − Tω

В плоскости ω для проверки устойчивости можем пользоваться всеми обычными критериями. Покажем, более того, что при достаточно малых значениях частоты jω в плоскости p мы получаем практически совпадающие с ним значение jω* в плоскости ω, т.е. частотные настоящие характеристики мало отличаются от частотных характеристик в плоскости ω. По крайней мере, они практически не отличаются при условии: ω 0, −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ∂ω ⎠ a =a*, π (a*) ∂ω ⎠ a =a*, ⎝ ∂a ⎝ ∂a cT 2 ω =ω *

ω =ω *

то есть, необходимое условие устойчивости выполнено. Конкретный вид автоколебаний исследуется другими методами решением соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений или моделированием на цифровой модели. При этом исследуются и достаточные условия наличия и устойчивости автоколебаний. Ниже приведён график переходных процессов в системе при φзад= 1 и параметрах системы: Т=0.3с.; С=1. X(t)

Переходные процессы в релейной следящей системе

t

Рис. 10.2 Отчётливо наблюдается устойчивые колебания при различных начальных условиях. Амплитуда этих колебаний около 0.2, период колебаний примерно равен 1.9с., что хорошо совпадает с результатами расчётов. Обращает на себя внимание тот факт, что амплитуда и форма установившегося колебания не зависит от начальных условий и является неотъемлемой частью переходного процесса в такой системе с реле. Выбором параметров (в том числе, самого реле) можно повлиять на амплитуду и период колебаний. В следующем примере попытаемся оценить точность, типичную для метода гармонической линеаризации.

43 Пример 2. Генератор треугольных колебаний. Рассмотрим схему, состоящую из компаратора с гистерезисом (электронный аналог реле с гистерезисом) и интегратора. Покажем, что в такой схеме возникают треугольные колебания на выходе интегратора и вычислим их амплитуду и частоту методом гармонической линеаризации.Ширина петли гистерезиса - b, x(t) -b 1 -1 амплитуда пере-1 b p ключения - 1. Интегратор - c инРис. 10.3 версией знака. Построим вполне очевидный график выходного сигнала х(t), предполагая, что начальное состояние интегратора равно 0 и начальное состояние реле равно (-1). x(t) b первая гармоника 0.81b Понятно, что период колебания Т = 4b, то есть ωточное* ≈ 1.57/b. -0.81b b 2b 3b 4b Амплитуда колебаний a* = b. -b Рис. 10.4 Вычислим ω* и а* методом гармонической линеаризации (10.2). Следует проверить, выполняется ли гипотеза фильтра. Очевидно, что частотная характеристика линейной части имеет слишком пологий вид с наклоном -20дб./дек. = -6дб./окт., поэтому надеяться, что результаты расчёта будут иметь очень высокую точность, не приходится. Тем не менее, продолжим: Q(jω)= 0; P(jω)= 1/ω; Подставим в (22):

q(a ) =

b2 4 4b 1 − 2 ; q' (a) = − 2 ; πa a πa

− ( j / ω *)(

4b b2 4 1− 2 − j ) = −1 πa * a* πa *2

Выделяя вещественную и мнимую части имеем: а* = b; ω*= 4/(πb)≈1.27/b. Сравнивая с точным значением: ω*≈0.81ωточное*. Таким образом, методом гармонической линеаризации совершенно точно определена амплитуда автоколебания, а при определении частоты имеется погрешность порядка 20%. Сравним эту погрешность с погрешностью, полученной при отбрасывании старших гармоник в треугольном колебании. Для этого достаточно в нашем случае сравнить амплитуду 1 гармоники с амплитудой всего колебания. Коэффициент Фурье bк для треугольного колебания имеет величину (см. справ.) bк =2b(Sin(πk/2))2/((πk/2))2. Откуда получаем, что амплитуда первой гармоники b1 ≈ 0.81, что хорошо согласуется с полученной погрешностью вычислений.

44

• Лекция 11. Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы Понятие "фазовое пространство" связано с процедурой перехода от нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка n к системе из n нелинейных дифференциальных уравнений1-го порядка. F (Y ( n ) , K , Y , U ( m ) , K , U ) = 0 , где Y (n ) – n-я производная, F() – нелинейная функция, Y ( n) = ϕ (Y ( n−1) K) – нелинейное дифференциальное уравнение k-го порядка относительно Y. Фазовое пространство нелинейной системы – это многомерное ⎛ x1 ⎞ Y (t ) = x1 (t ) ⎜ ⎟ векторное пространство, точки x ⎜ x2 ⎟ которого имеют координаты: x=⎜ ⎟ ⎧ x&1 (t ) = x2 (t ) M ⎪ x (t ) = x (t ) Фазовое пространство полностью ⎜ ⎟ ⎪ &2 3 ⎜x ⎟ ⎨ ⎝ n⎠ иллюстрирует решение данного K K K K K ⎪ ⎪⎩ x&n (t ) = ϕ ( xn−1 (t ), xn − 2 (t ),K) дифференциального уравнения. Эффективность этого понятия наиболее видна в двухмерном фазовом пространстве. Это хорошо согласуется со следующим, принятым в автоматике рассуждением: "Всякий переходный процесс может в первом приближении быть представлен в виде системы не сложнее 3-го порядка; система 2-го порядка описывает колебательность с затуханием и добавление 3-го порядка (в случае необходимости) усложняет процесс затухания". То есть часто бывает достаточно 2-го порядка. В случае когда фазовое пространство двухмерно, а этот случай часто встречается на практике, использование этого пространства становится очень наглядным и используется в двух видах: – обычное фазовое пространство, – расширеное фазовое пространство, когда добавляют координату t. Обычное фазовое пространство: Если правая часть дифференциального уравнения является дифференцируемой функцией и может быть разложена в ряд Тейлора, исследование фазового портрета (совокупности фазовых траекторий) на фазовой плоскости упрощается. Вид фазового портрета определяется наличием и типом особых точек. &x& = f ( x, x& ) , где f(…,…) – разложение в ряд Тейлора. x(0) = x0 ⎫ ⎬н. у. введём обозначение : x1 = x, и далее : x& (0) = x& 0 ⎭ ⎧ x&1 = x 2 ⎨ ⎩ x& 2 = f ( x1 , x 2 )

н. у. : x1 (0) = x0 ; x 2 (0) = x& 0 .

45 В более общем случае имеется система: ⎧ x&1 = Φ 1 ( x1 , x 2 ) ⎨ ⎩ x& 2 = Φ 2 ( x1 , x 2 )

(11.1)

Особой точкой системы (1) называется точка ее покоя: ⎧ x&1 = 0 ⎨ ⎩ x& 2 = 0

– точка покоя, «особая точка»

(11.2)

Фазовые траектории могут пересекаться только в особых точках. Вне особых точек фазовые траектории устроены просто и через каждую точку проходит единственная фазовая траектория, т.е. в окрестности неособой точки ничего интересного нет - множество практически параллельных траекторий. Чем меньше рассматриваемая окрестность точки, тем больше ход фазовых траекторий похож на расслоение Окрестность неособой точки параллельными линиями. Конечно, при увеличении окрестности выясняется, что все эти линии оказываются не прямыми, а изогнутыми, как множество меридианов на географической карте. Если найдены все особые точки изображения на фазовой плоскости, и для каждой из этих точек определено, как именно в ней пересекаются траектории, после этого фазовые траектории достраиваются почти автоматически. Тип особой точки определяется линеаризацией правой части уравнений в окрестности особой точки. Пусть у нас ( x1* , x 2* ) – особая точка, ⎧⎪Φ 1 ( x1* , x 2* ) = 0 ⎨ ⎪⎩Φ 2 ( x1* , x 2* ) = 0

(11.3)

Линеаризуем уравнение (11.1) в окрестности этой точки: ⎛ ∂Φ 1 ⎜ ⎛ x&1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ∂x1 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝ x& 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜ ∂Φ 2 ⎜ ∂x ⎝ 1

∂Φ 1 ∂x 2 ∂Φ 2 ∂x 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟& * ⎠ x1 = x1*

⎛ x − x1* ⎞ ⎟ + 0(...) ⋅ ⎜⎜ 1 *⎟ ⎝ x2 − x2 ⎠

x& 2 = x2

Перейдя к уравнениям в отклонениях, получаем: x& = Ax

⎧ ∂Φ ⎫ A= ⎨ 1⎬ ⎩ ∂x1 ⎭ x = x*

(11.4)

Т.к. замена базиса лишь поворачивает плоскость и изменяет масштаб вдоль осей, то замена базиса не меняет качественно картину особой точки. Удачным выбором базиса можно легко исследовать тип особой точки. Выберем базис таким образом, чтобы матрица привелась к диагональной форме (не только в двухмерном, но и в общем случае):

46 Заменим базис: x = Tz; x& = Tz& x& = Ax , тогда Tz& = Ax = ATz ; ⎛ λ1 ⎜ ⎜0 −1 T AT = ⎜ M ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝

0⎞ ⎟ O K K M ⎟ K λi K M ⎟ ⎟ K K O 0⎟ K K 0 λn ⎟⎠ 0

K K

z& = T −1ATz

В базисе собственных векторов приводим матрицу к диагональному виду.

Если матрица не обладает базисом собственных векторов, то вместо диагональной формы будет форма Жордана; построения несколько усложняются, мы, однако, ограничимся диагональным случаем. Вернёмся теперь к двухмерному случаю. Уравнение в новом базисе получаем такого вида: ⎛λ z& = ⎜⎜ 1 ⎝0

0⎞ ⎟ z , Замечание: собственные векторы матрицы A задают λ 2 ⎟⎠ направление осей z1 … z n .

Метод построения фазовых траекторий Можно построить фазовые траектории двумя способами: 1. Параметрическое задание фазовой траектории; Решаем систему, находим z1(t), z2(t). Из начальной точки строим параметрическую кривую. 2. Нахождение прямой зависимости z2(z1) или, наоборот, z1(z2). Второй способ проще, т.к. порядок системы дифференциальных уравнений уменьшается на единицу, и получающееся уравнение первого порядка можно легко исследовать, часто и решить явно. Применим второй метод к нашей системе из двух уравнений: ⎧ dx1 ⎪⎪ dt = Φ 1 ( x1 , x 2 ) ⎨ ⎪ dx 2 = Φ ( x , x ) 2 1 2 ⎪⎩ dt

(11.5)

Разделим 2-ое уравнение на 1-ое: dx1 Φ1 ( x1 , x 2 ) Это- нелинейное уравнение 1-го (!) порядка. (11.6) = dx 2 Φ 2 ( x1 , x 2 )

Теперь этот способ применим окрестности особой точки: ⎧ z&1 = λ1 z1 ⎨ ⎩ z& 2 = λ2 z 2 dz 2 λ2 dz1 = ⋅ ; z2 λ1 z1

dz 2 λ 2 z 2 = ⋅ dz1 λ1 z1 z 2 = C | z1 |

к

результату

линеаризации

далее решаем, разделяя переменные: λ2 λ1

,

C − произвольная постоянная

Дальнейшее зависит от того, какие значения принимают λ1, λ2.

в

47

• Лекция 12. Прием определения направления стрелок. Если нужно определить направление стрелки в любой точке фазовой плоскости (то есть определить направление движения по фазовой траектории), то берется исходное уравнение и в правую часть подставляется искомая точка. В правой части получаются числа, которые являются производными. Если производная положительна, то соответствующая переменная возрастает со временем, если отрицательна, то убывает. Рассмотим возможные случаи. 1. Если λ1, λ2 - вещественные, то такая особая точка называется узлом. 1.а) λ1, λ2 – вещественные, причем λ10 X2

X1

Рис. 12.2 Получаем неустойчивый узел. Вдоль всех траекторий движение происходит от начала координат. 2.

λ1, λ2 – вещественные, причем λ1>0, λ2 0

(I и III квадрант)

(15.3)

⎧ x& = Ax + bu

Объект: ⎨

(15.4)

T ⎩y = C x

Требование: объект устойчив, то есть матрица А устойчива. Метод Лурье заключается в построении функции Ляпунова, причем предварительно делается замена переменных:

(x&, u& ) ⎯замена ⎯⎯→( z&, δ& ) z = Ax + bu

Относительно этой пары уравнений получаем: ⎧ z& = Az + bF (δ ) ⎨& T T ⎩δ = −C x& − rF (δ ) = −C z − rF (δ )

(15.5)

Последняя система уравнений является соединением линейной части и единственной нелинейности, поэтому функцию Ляпунова мы выбираем в форме (15.1): δ

L( z , δ ) = z T Pz + ∫ F (δ )dδ 0

По теореме Ляпунова вычисляем

dL . Путем сложных выкладок dt

получаем следующее неравенство: T

1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ r > ⎜ Pb + C ⎟ G −1 ⎜ Pb + C ⎟ , где G = − AT P + PA 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝

(15.6)

Решением этого неравенства должна быть положительно определенная симметричная матрица P. Замечание: как ни странно, сюда вообще не вошли параметры нелинейности, поэтому ясно, что Лурье получил очень сильные условия устойчивости для нелинейности любого вида в рамках ограничений. Замечание: Лурье также получил связь показателей качества переходного процесса через матрицу P. Таким образом, мы столкнулись со случаем, когда условия устойчивости не зависят от конкретного вида нелинейности и начальных условий. Устойчивость, не зависящая от начальных условий, называется устойчивостью в целом, не зависящая от конкретного вида нелинейности - абсолютной устойчивостью.

60

• Лекция 16. Абсолютная устойчивость нелинейных П'опова (Popov V.M., Румыния 1958г.).

систем.

Критерий

Подобно теореме Лурье критерий Попова позволяет установить устойчивость нелинейной системы сразу для целого класса нелинейности, лежащих в секторе. Пусть нелинейность F(x) удовлетворяет частному условию: F(x) kx F ( x) 0≤ ≤k F(x) x х (16.1) F (0) = 0 Рис. 16.1 То есть нелинейность не выходит за рамки сектора в 1 и 3 квадрантах, при этом её конкретный вид не имеет значения, например, она может иметь петли или быть сильно ломаной. F(x)

kx F(x) х

Понятно, что требования к виду нелинейности очень слабы, поэтому к данному классу нелинейностей относятся такие нелинейности, которые не поддаются обычным методам линеариза-

Рис. 16.2 ции вследствие недифференцируемости. Класс нелинейностей, умещающихся в секторе, очень широк, например, сюда относится большинство нелинейностей датчиков и приводов. С другой стороны, сюда не попадает, например, обычное реле с гистерезисом. Абсолютная устойчивость – это устойчивость для любой нелинейности внутри заданного сектора. Устойчивость в целом (пространстве) – это устойчивость при любом начальном условии. С другой стороны, устойчивость в целом является развитием вполне интуитивно понятной инженеру идеи: если график нелинейности F(x) зажат границами сектора Кх, то коэффициент усиления нелинейности не "превышает К", и если устойчива линейная система, в которой вместо F(x) стоит Кх, то должна быть устойчива и нелинейная система. Но для проверки устойчивости линейной системы можно использовать обычные критерии устойчивости, например, частотные. Именно частотный подход используется в критерии Попова.

61 Критерий Попова дает критерий абсолютной устойчивости в целом и формулировка его подобна критерию устойчивости Найквиста. Пусть линейная часть задана передаточной функцией W(p), нелинейная часть находится в секторе k. Пусть можно найти такое число q, что выполняется следующее частотное неравенство:

Re [1 + jq ω ] W ( jω ) +

1 >0 k

(16.2)

Тогда система является абсолютно устойчивой в целом и, кроме того: x(t ) → 0 при t → ∞ . Частотное неравенство (16.2) имеет геометрическую интерпретацию подобную критерию Найквиста. Раскроем выражение (16.2): Re{(1 + jqω )(Re W + j ImW )} = Re(Re W + jqω Re W + j ImW − qω ImW ) = Re W − qω ImW 1 То есть (16.2) фактически означает: Re W − qω ImW + > 0 (16.3) k

Если ввести модифицированный годограф: ~ W ( jω ) = Re W ( jω ) + jω ImW ( jω ) , (16.4) то частотное неравенство для модифицированного годографа получает вид: 1 Re W~ ( jω ) + > q Im W~ ( jω ) k

(16.5)

В самом деле, условие (16.5) просто означает, что модифицированный годограф должен находиться правее прямой, проходящей через точку (-1/к ; j0) с угловым коэффициентом q. на комплексной плоскости с координатами (Re W ; ImW ) . С другой стороны, выберем в качестве "нелинейности" границу сектора: F(x)=кx. Такая нелинейность входит в рассматриваемый класс, но при её наличии система линейна, и для неё, как для линейной, можно использовать необходимое и достаточное условие Найквиста. Это в данном случае означает, что обычная АФЧХ линейной части не должна "охватывать" точку -1/к. (т.к. W(jω)• К не должна "охватывать" точку -1.) • Следовательно, необходимым условием, дополнительным к критерию Попова, будет условие, чтобы обычный (немодифицированный) годограф линейной части не пересекал вещественную ось левее точки -1/к. • Отметим, что условие Попова - лишь достаточное, поэтому критерий позволяет отсеять неустойчивые системы.

62 На самом деле, возможны три характерных случая. Рассмотрим пример, в котором нелинейность заключена в секторе с К=1. Тогда для устойчивости прямая в критерии Попова должна проходить через точку -1 с некоторым наклоном наклоном q, и график модифицированного годографа должен быть целиком правее. Модифицированный годограф АФЧХ.

Немодифицированный годограф АФЧХ: W(jω).

Прямая Попова с наклон. q

Рис.16.3 Устойчивость, т.к. выполнены достаточные условия.

Рис.16.4 Неустойчивость, т.к. не выполнены необходимые условия для немодифицированного годографа W(jω). На рис.16.3 возможно провести через точку -1 прямую так, что годограф целиком оказывается справа. На рис.16.4 годограф немоди-фицированной АФЧХ линейной части пересекает вещественную ось левее точки -1/к = -1. На рис.16.5 невозможно провести Модифицированный годограф АФЧХ. прямую через точку -1 так, чтобы годограф оказался целиком правее, но это не значит, что система неустойчива. В этом случае требуется дополнительное исследование другими методами, отличными от критерия Прямая Попова с наклон. q Попова. Рис.16.5 Ничего нельзя утверждать на основе критерия Попова. 1. 2. 3. 4.

Правило применения критерия Попова На комплексной плоскости строим модифицированный годограф. Отмечаем точку -1/к, определяемую сектором нелинейности. Пытаемся провести через эту точку какую-нибудь прямую с наклоном q так, чтобы годограф оказался правее. Система будет абсолютно устойчивой, если это возможно. Учитываем, что критерий Попова – только достаточное условие.

63 Итак, необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости не совпадают. Чтобы сблизить необходимое и достаточное условия приходится накладывать более жесткие ограничения на нелинейность. Двигаясь по этому пути, можно получить много обобщений критерия Попова, в частности, при дополнительных ограничениях на нелинейность можно использовать не модифицированный, а обычный годограф АФЧХ. Если нелинейность удовлетворяет такому дополнительному условию: F ( x1 ) − F ( x2 ) ≤ k то есть, скорость возрастания нелинейности огра0≤ x1 − x2 ничена в каждой точке величиной к , то в этом случае вместо модифицированного годографа можно использовать обычный (критерий Чо-Нареандры). Подобных обобщений проделано великое множество, упомянем лишь одно, по-видимому, важнейшее. Это - так называемый круговой критерий, который позволяет исследовать устойчивость при нелинейностях в более сложном секторе и, кроме того, нестационарных. Имеются также обобщения критерия Попова на случаи других свойств линейной части, например, при наличии интеграторов. В заключение заметим, что метод гармонической линеаризации, понятие абсолютной устойчивости и методы её исследования а также методы исследования фазовой плоскости дают поистине мощнейший инструментарий анализа и синтеза сложных нелинейных систем автоматического управления.

64 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. А.А. Алексеев, Д.Х.Имаев, Н.Н. Кузьмин, В.Б. Яковлев Теория управления. СПбГ:, Издательство "ЛЭТИ" 1999, 434с. 2. Р.Дорф, Р.Бишоп. Современные М:,Юнимедиастайл 2002, 822с.

системы

управления.

ОГЛАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 1. Квантование непрерывного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . .3 ЛЕКЦИЯ 2. Спектр квантованного сигнала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 ЛЕКЦИЯ 3. Идеальный квантователь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 ЛЕКЦИЯ 4. Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование. 16 ЛЕКЦИЯ 5. Фиктивный квантователь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ЛЕКЦИЯ 6. Устойчивость импульсной САУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ЛЕКЦИЯ 7. Точность импульсных систем автоматического управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ЛЕКЦИЯ 8. Описание импульсной системы в пространстве состояний. Реализация импульсной передаточной функции.29 ЛЕКЦИЯ 9. Метод гармонической линеаризации. . . . . . . . . . . . . . . .33 ЛЕКЦИЯ 10. Автоколебания в нелинейной системе. . . . . . . . . . . . . .37 ЛЕКЦИЯ 11. Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 ЛЕКЦИЯ 12. Прием определения направления стрелок. . . . . . . . . . 45 ЛЕКЦИЯ 13. Пример построения фазового портрета с бесконечным числом особых точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 ЛЕКЦИЯ 14. (Продолжение темы лекции 13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 ЛЕКЦИЯ 15. Функция Ляпунова и ее использование для исследования устойчивости нелинейной системы. . . . . . . . . . . . 55 ЛЕКЦИЯ 16. Абсолютная устойчивость нелинейных систем. . . . . . 58 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62