Эконометрика. Модель парной регрессии: Задания и методические указания

Камчатский государственный технический университет Кафедра высшей математики

ЭКОНОМЕТРИКА Модель парной регрессии Задания и методические указания для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного отделений

Петропавловск-Камчатский 2004

Батуев Э.Н., Сидорова А.С. Б 28

Эконометрика. Модель парной регрессии: Задания и методические указания для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного отделений. – ПетропавловскКамчатский: КамчатГТУ, 2004. – 23 с. Задания предназначены для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного отделений КамчатГТУ. Задания соответствуют базовым стандартам специальностей и программе, утвержденной Министерством образования Российской Федерации. Рекомендовано к изданию решением ученого совета КамчатГТУ (протокол № 8 от 23.04.2004 г.).

©КамчатГТУ, 2004 ©Батуев Э.Н., Сидорова А.С., 2004

2

Введение Модель парной регрессии является самой простой и вместе с тем исключительно важной для понимания предмета эконометрики. В работе приведены задания, методические указания и примеры решения задач расчетно-графической работы по данной теме. Задание 1) По наблюдаемым значениям показателя У для заданных значений фактора Х методом наименьших квадратов оценить параметры: 1.1. линейной модели yt = а + bxt + εt; 1.2. полиномиальной модели yt = a + bxt + с xt2 + εt; 1.3. показательной модели yt = e a +bx ⋅εt. 2) Построить на одном чертеже эмпирическую ломанную и полученные линии регрессии. 3) Для каждой модели вычислить среднюю ошибку аппроксимации в %, сравнить их. 4) Найти коэффициент детерминации. 5) Для линейной модели 5.1 найти коэффициент корреляции; 5.2 при уровне надежности γ проверить гипотезы о значимости параметров регрессии и линейного коэффициента корреляции. 6) Найти прогнозное значение У при среднем значении Х (для линейной модели). Оценить точность прогноза. Построить доверительный интервал при заданной надежности γ. t

Варианты выдаются преподавателем индивидуально, в противном случае студент выбирает вариант, номер которого совпадает с последней цифрой зачетной книжки.

3

Указания 1) 1.1. Предполагаем, что экономическая переменная У зависит от величины X. На основе статистических наблюдений требуется определить, какова эта зависимость. Так как величина У зависит не только от Х, но и от других факторов, и имеются неизбежные ошибки измерения, наблюдаемые значения yt всегда случайны. Поэтому зависимости У от Х описываются стохастической моделью, например, yt = а + bxt + εt, t = 1, 2, …, n, где xt – заданные значения фактора Х, yt - наблюдаемые значения У, εt – случайная составляющая, ошибка, t – номер наблюдения, a и b – неизвестные параметры. Естественные предположения: 1) M(εt) = 0, что означает M(yt) = а + bxt; 2) D(εt) = M (ε t2 ) = σ2 для всех t; 3) сov(εt, εs) = M(εt⋅εs) = 0, что означает, что ошибки разных наблюдений некоррелированы. Более того, в силу закона больших чисел, можно предположить, что εt ∼ N(0, σ2). Из теоремы Гаусса – Маркова следует, что при оценивании параметров линейной модели методом наименьших квадратов получаются состоятельные оценки, эффективные в классе линейных несмещенных оценок. Метод наименьших квадратов заключается в том, что параметры находятся из условия минимума суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений yt от модельных значений ˆyt , ˆyt вычисляются по модели. Фактически мы минимизируем выборочную дисперсию εt , что и обеспечивает эффективность полученных оценок. В случае простейшей линейной модели имеем: yt известны, тогда

yˆ t = а + bx при заданных x . Отсюда сумма отклонений имеет вид: t t

∑ e = ∑ ( y − a − bx ) . 2

2

t

t

t

Эта функция от переменных a и b имеет единственную точку минимума там, где ее частные производные обращаются в нуль. Вычисляя частные производные по a и b и приравнивая их к нулю, получаем систему нормальных уравнений для отыскания параметров модели. Опуская индексы суммирования, имеем: ⎧a 1 + b x = y ⎪ ⎨ 2 yx ⎪⎩a x + b x =

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

4

ˆ Решив систему, получаем оценки aˆ и b и модель в виде (по нашей выборке) y = aˆ + bˆ x + ε 2

1.2. В случае полиномиальной модели yt = a + bxt + с x t + εt сумма квадратов отклонений имеет вид

∑ e = ∑ (y − a − bx − cx ) 2

t

t

t

2 t

2

и система нормальных уравнений выглядит следующим образом: ⎧a 1 + b x + c x 2 = y ⎪ ⎪ 2 3 yx ⎨a x + b x + c x = ⎪ 3 yx 2 ⎪⎩a x 2 + b x + c x 4 = Решение этой системы доставляет нам точечные оценки параметров искомой модели aˆ ,bˆ и cˆ . 1.3. Показательную модель

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ yt = e

a+b⋅xt

⋅ε t

приводим к линейной при помощи логарифмирования: ln yt = a + bxt+ lnεt Обозначим δt = lnεt, zt = ln yt; и получим линейную модель zt = a + bxt+δt. Оцениваем параметры методом наименьших квадратов и получаем параметры исходной модели:

yt = e

aˆ+bˆ⋅xt

2) Если соединить точки (xt, yt), мы получим эмпирическую ломаную – наблюдаемую зависимость У от Х. Графики полученных зависимостей ˆ ˆ y = aˆ + bˆx , y = aˆ + bˆx + cˆx 2 , y = e a+bx должны быть близки к эмпирической ломаной. 3) Простейший показатель степени отклонения модельных значений

yˆ t от наблюдаемых – средняя ошибка аппроксимации в %: A=

1 ⎛⎜ n ⎜⎝

∑ 5

yt − ˆy t ˆyt

⎞ ⎟ ⋅ 100% ⎟ ⎠

4) Доля дисперсии, объясненной регрессионным уравнением - коэффициент детерминации 2 ˆy t − y 2 R = 2 yt − y

∑( ∑(

) )

Этот показатель характеризует степень аппроксимации наблюдаемых данных нашей моделью, т.е. фактически качество модели. 5) Проанализируем решение нормальной системы для классической линейной модели: ⎧a 1 + b x = y ⎪ ⎨ 2 yx ⎪⎩a x + b x = По формулам Крамера получаем:

∑ ∑

Δ=

∑1 ∑ x ∑x ∑x

∑ ∑ ∑ ∑

2

=n

∑ x − (∑ x )

2

2

≠ 0,

так как вектор (х1, х2, ..., хn) не коллинеарен вектору из единиц (1, 1, ..., 1).

Δb =

∑ 1 ∑ y = n∑ yx − ∑ x ⋅ ∑ y . ∑ x ∑ yx ˆ

Отсюда получается точечная оценка параметра b : 1 1 1 yx − x⋅ y n yx − x⋅ y n Δ n n b bˆ = = = = 2 2 Δ 1 ⎛1 ⎞ n x2 − x 2 x −⎜ x⎟ n ⎝n ⎠

∑

∑ ∑ ∑ ∑ (∑ )

=

xy − x ⋅ y

=

∑

∑

∑

∑

cov ( x , y ) cov ( x , y ) S ( y ) = = ⋅ 2 S (x) S( x ) ⋅ S( y ) S( x )

x −x S( y ) S( y ) = ρв ⋅ , или bˆ = ρ в ⋅ , S( x ) S( x ) 2

2

где ρв – выборочный коэффициент корреляции Х и У; S(x) и S(y) выборочные средние квадратические отклонения Х и У. Далее, из первого уравнения находим точечную оценку свободного члена: 1 1 aˆ = y − bˆ ⋅ x = y − bˆ ⋅ x . n n

∑

∑

6

ˆ

Таким образом, оценки aˆ и b выражаются через параметры имеющейся выборки. Выборочный коэффициент корреляции характеризует наличие и тесноту линейной зависимости У от Х. Сводка формул: • Точечные оценки математического ожидания: 1 1 x= x, y = y. n n • Точечные оценки дисперсии: 2 2 1 ⎛1 ⎞ x⎟ x2 − ⎜ S 2( x ) = x2 − x = n ⎝n ⎠

∑

∑

∑

2

1 ⎛1 ⎞ y2 − ⎜ y⎟ n n ⎝ ⎠ Точечные оценки среднеквадратических отклонений Х и

∑

2

S 2( y ) = y2 − y =

•

∑

S( x ) = S ( x ) ;

∑

У:

S( y ) = S ( y )

2

2

•

Точечная оценка ковариации Х и У: 1 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ cov ( x , y ) = xy − x ⋅ y = yx − ⎜ x⎟⋅⎜ y⎟ n ⎝n ⎠ ⎝n ⎠ • Точечная оценка коэффициента корреляции: cov ( x , y ) ρв = S( x ) ⋅ S( y ) • Точечные оценки параметров линейной регрессии У на Х, коэффициенты линейной модели: S( y ) , aˆ = y − bˆ ⋅ x bˆ = ρ в ⋅ S( x )

∑

∑

∑

Тестируем нулевую гипотезу о значимости параметров a ,b и ρ xy . Нулевая гипотеза Н0: a ≠ 0 , конкурирующая гипотеза Н1: а=0. Используем критерий Стьюдента: наблюдаемое значение статистики t a =

aˆ , где ma = ma

∑ ( y − ˆy ) n−2

ратическая ошибка.

7

2

∑x n∑ ( x − x ) 2

⋅

2

− средняя квад-

Критическое значение статистики tкрит находим из таблицы квантилей распределения Стьюдента по заданному γ и числу степеней свободы k = n – 2 (таблица имеется в любом учебнике или справочнике по теории вероятностей и математической статистики). Обычно γ = 0,95 или γ = 0,99. Если вычисленное значение t a > t крит , то нулевая гипотеза принимается, т.е. параметр а значимо отличается от нуля, в противном случае а = 0. Аналогично проверяется гипотеза для параметров b и ρ xy .

∑ ( y − ˆy ) ( n − 2 )⋅ ∑( x − x ) 2

mb =

2

, tb =

bˆ , если t b > t крит , то параметр b mb

значимо отличается от нуля.

ρ 1 − ρ в2 , t ρ = в , если t ρ > t крит , то параметр ρ xy значимо n−2 mρ отличается от нуля. mρ =

6) По модели вычисляем прогнозное значение для заданного хп = x . y п = aˆ + bˆ ⋅ x п Доверительный интервал прогноза имеет вид (уп - tкрит⋅my, уп + tкрит⋅my),

my = где параметров.

∑ ( y − yˆ) 2 ⋅ 1 + 1 + ( x п − x ) 2 n − m −1 n ∑ (x п − x) 2

8

, m = 2 – число

Пример Эмпирические данные: Х У

1 1,4

2 1,9

3 2,1

4 2,5

5 3,1

6 3,3

7 3,7

8 4,3

Построим эмпирическую ломанную – приближенный график зависимости У от Х.

У 4,8 4,5 4,2 3,9 3,6 3,3 3,0 2,7 2,4 2,1 1,8 1,5 1,2 0,9 0,6 0,3 0,0 1

2

3

4

5

6

7

8

Х

I Выбираем гипотезу: зависимость линейная. 1) Предлагаем модель yt = а + bxt + εt и оцениваем ее параметры методом наименьших квадратов. Имеем систему нормальных уравнений: ⎧a 1 + b x = y ⎪ ⎨ 2 yx ⎪⎩a x + b x = В нашем случае 1 = 1+ 1+ 1+ 1+1+1+ 1+ 1 = 8

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 ; ∑ y = 1,4 + 1,9 + 2,1 + 2,5 + 3,1 + 3,3 + 3,7 + 4 ,3 = 22,3 9

∑x

2

= 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 6 2 +72 + 82 = 1+ 4 + 9 + 16 + 25+ 36 + 49+ 64 = 204

∑ yx = 1,4 ⋅ 1 + 1,9 ⋅ 2 + 2,1 ⋅ 3 + 2,5 ⋅ 4 + 3,1 ⋅ 5 + 3,3 ⋅ 6 + 3,7 ⋅7 + 4 ,3 ⋅ 8 = = 1,4 + 3 ,8 + 6 ,3 + 10 + 15 ,5 + 19 ,8 + 25 ,9 + 34 ,4 = 117 ,10

Таким образом, получаем следующую систему уравнений: + 8 a 36 b = 22 ,3 ⋅ ( −4 ,5 ) ⎧ и прибавим ко второму ⎨ ⎩36 a + 204b = 117 ,10 ⎧8 a + 36 b = 22 ,3 ⎨ ⎩ 42b = 16 ,75

16 ,75 = 0 ,40 . Подставляя Из второго уравнения получаем, что bˆ = 42

ˆ найденное значение b в первое уравнение системы, находим аˆ : 8 а + 36 ⋅ 0 ,40 = 22 ,3 8 а = 22 ,3 − 14 ,4 8 а = 7 ,9 ⇒ аˆ = 0 ,99 Вывод: так как аˆ = 0 ,9 , bˆ = 0 ,40 , то модель принимает следующий вид: ˆy = 0,99 + 0,4х + ε. 2) Строим расчетную таблицу. Для нахождения ˆy i подставляем соответствующее значение х в уравнение ˆy = 0,99 + 0,4х

Х У

yˆ

ˆy1 = 0,99 + 0,4⋅1 = 1,39 ˆy 2 = 0,99 + 0,4⋅2 = 1,79 ˆy 3 = 0,99 + 0,4⋅3 = 2,19

ˆy 5 = 0,99 + 0,4⋅5 = 2,99 ˆy6 = 0,99 + 0,4⋅6 = 3,39 ˆy7 = 0,99 + 0,4⋅7 = 3,79

ˆy 4 = 0,99 + 0,4⋅4 = 2,59

ˆy 8 = 0,99 + 0,4⋅8 = 4,19

1 1,4 1,39

2 1,9 1,79

3 2,1 2,19

4 2,5 2,59

5 3,1 2,99

6 3,3 3,39

3) Находим остатки регрессии, т.е. отклонения: e 1 = y1 – ˆy1 = 1,4 – 1,39 = 0,01 e 2 = y2 – ˆy 2 = 1,9 – 1,79 = 0,11 e 3 = y3 – ˆy 3 = 2,1 – 2,19 = – 0,09 e 4 = y4 – ˆy 4 = 2,5 – 2,59 = – 0,09

10

7 3,7 3,79

8 4,3 4,19

e 5 = y5 – e6 = y6 – e7 = y7 – e8 = y8 –

ˆy 5 = 3,1 – 2,99 = 0,11 ˆy6 = 3,3 – 3,39 = – 0,09 ˆy7 = 3,7 – 3,79 = – 0,09 ˆy 8 = 4,3 – 4,19 = 0,11

()

Находим коэффициент аппроксимации A : 1⎛ y − ˆy ⎞⎟ 1⎛ ˆy , то A = ⎜ A = ⎜⎜ ⋅ 100 % , если e = y – ˆy ⎟⎠ n⎝ n ⎜⎝

∑

e ⎞

∑ ˆy ⎟⎟⎠ ⋅ 100% .

⎛ 0,01 0,11 − 0 ,09 − 0,09 0,11 − 0,09 ⎞ ⎜ + + + + + +⎟ 2,19 2,59 2,99 3,39 ⎟ 1 ⎜ 1,39 1,79 A= ⎜ ⎟ ⋅ 100% = 8 ⎜ − 0,09 0,11 ⎟ + + ⎟ ⎜ 3,79 4,19 ⎠ ⎝ 1 = (0,07 + 0,061+ 0,041+ 0,035 + 0,037 + 0,027 + 0,024 + 0,026) ⋅ 100% = 8 0,258 = ⋅ 100% = 0,032 ⋅ 100% = 3,2% 8 Вывод: ошибка аппроксимации незначительна, модель хорошо аппроксимирует наблюдения. 4) Найдем коэффициент детерминации R2:

∑ (ˆy − y ) = ∑ (y − y )

y=

2

R

2

2

, где y - выборочное среднее,

y=

1 ∑y n .

1 ⋅ 22,3 = 2,79 8 .

Для нашей модели получаем, что (1,39 − 2 ,79 )2 + (1,79 − 2 ,79 )2 + (2 ,59 − 2 ,79 )2 + R2 = (1,4 − 2 ,79 )2 + (1,9 − 2 ,79 )2 + (2 ,1 − 2 ,79 )2 + (2 ,5 − 2 ,79 )2 + + (2 ,99 − 2 ,79 ) + (3 ,39 − 2 ,79 ) + (3,79 − 2 ,79 ) + (4 ,19 − 2 ,79 ) 2

2

2

+ (3 ,1 − 2 ,79 ) + (3,3 − 2 ,79 ) + (3,7 − 2 ,79 ) + (4 ,3 − 2 ,79 ) 2

2

2

2

2

=

1,96 + 1 + 0 ,36 + 0 ,04 + 0 ,36 + 1,96 + 1 6 ,72 = ≈ 0 ,995 1,93 + 0 ,79 + 0 ,48 + 0 ,08 + 0 ,10 + 0 ,26 + 0 ,83 + 2 ,28 6 ,75 Вывод: коэффициент детерминации близок к 1, ⇒ модель хорошо аппроксимирует наблюдения. =

11

4) 5.1 Найдем коэффициент корреляции: 1 n 1 x2 = n

x=

1

∑ x ⇒ x = 8 ⋅ 36 = 4 ,5

∑x

⇒ x2 =

2

()

1 ⋅ 204 = 25 ,5 8

2

S x2 = x 2 − x ⇒ S x2 = 25 ,5 − ( 4 ,5 )2 = 25 ,5 − 20 ,25 = 5 ,25 ⇒ S x = 5 ,25 = = 2 ,29 1 1 y= y ⇒ y = ⋅ 22 ,3 = 2 ,79 n 8 1 1 y2 = y 2 ⇒ y 2 = ⋅ (1,4 2 + 1,9 + 2 ,12 + 2 ,5 2 + 3 ,12 + 3 ,3 2 + 3 ,7 2 + 4 ,3 2 ) = n 8 1 = ⋅ (1,96 + 3 ,61 + 4 ,41 + 6 ,25 + 9 ,61 + 10 ,89 + 13 ,69 + 18 ,49 ) = 8 1 = ⋅ 68 ,91 = 8 ,614 8

∑

∑

()

2

S y2 = y 2 − y ⇒ S y2 = 8 ,614 − ( 2,79 )2 = 8 ,614 − 7 ,784 = = 0 ,83 ⇒ S y = 0 ,83 = 0 ,91 cov ( x , y ) = xy − x ⋅ y , где xy =

cov ( x , y ) =

1 n

1

∑ xy ⇒ cov ( x , y ) = n ∑ xy − x ⋅ y

1 ⋅ 117 ,10 − 4 ,5 ⋅ 2 ,79 = 14 ,637 − 12 ,555 = 2 ,082 8

Коэффициент корреляции определяем по формуле;

ρ=

cov ( x , y ) 2 ,082 2 ,082 ⇒ρ = = ≈ 0 ,999 Sx ⋅ Sy 2 ,29 ⋅ 0 ,91 2 ,083

Вывод: коэффициент корреляции близок к единице. Это говорит о том, что имеется очень сильная линейная зависимость. 5.2 Проверим гипотезу о значимости параметров a, b и ρ. Проверку значимости параметров регрессии и коэффициента корреляции проведем по критерию Стьюдента путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки.

12

Определим средние ошибки по следующим формулам:

∑ ( y − ˆy )

а) m ˆ = a

2

n−2

∑ ( y − ˆy ) = ∑ e 2

2

∑x n∑ ( x − x ) 2

⋅

2

= 0 ,012 + 0 ,112 + ( −0 ,09 )2 + ( −0 ,09 )2 + ( 0 ,11 )2 + ( −0 ,09 )2 +

+ ( −0 ,09 )2 + ( 0 ,11 )2 = 0 ,001 + 0 ,0121 + 0 ,0081 + 0 ,0081 + 0 ,0121 + 0 ,0081 + + 0 ,0081 + 0 ,0121 = 0 ,0688

∑ (x − x )

2

= ( 1 − 4 ,5 ) 2 + ( 2 − 4 ,5 )2 + ( 3 − 4 ,5 )2 + ( 4 − 4 ,5 )2 + ( 5 − 4 ,5 )2 +

+ ( 6 − 4 ,5 ) 2 + ( 7 − 4 ,5 )2 + ( 8 − 4 ,5 )2 = 12 ,25 + 6 ,25 + 2 ,25 + 0 ,25 + + 0 ,25 + 2 ,25 + 6 ,25 + 12 ,25 = 42

0 ,0688 204 ⋅ = 0 ,011 ⋅ 0 ,607 = 0 ,006677 ≈ 0 ,006 = 0 ,082 8 − 2 8 ⋅ 42

mˆ = a

tˆ = a

aˆ 0 ,99 ⇒ tˆ = = 12 ,073 a 0 ,082 mˆ a

t

Вывод: при уровне надежности γ = 0,99 и при n =8, tкрит=4,032 aˆ > 4,032 (12,073 > 4,032), следовательно гипотеза принимается, параметр а в нашей модели значим.

∑

( y − ˆy )2 б) m ˆ = b ( n − 2 ) ( x − x )2 mˆ = b

tˆ = b

∑

0 ,0688 0 ,0688 = = 0 ,0002 = 0 ,016 6 ⋅ 42 252

bˆ 0 ,40 ⇒ tˆ = = 25 a 0 ,016 mˆ b

t

Вывод: при уровне надежности γ = 0,99 и при n =8, tкрит=4,032. aˆ > 4,032 (25 > 4,032), следовательно гипотеза принимается, параметр b в нашей модели значим. в) m ρ =

1 − ρ xy2 n−2

mρ =

1 − ( 0 ,99 )2 0 ,0199 = ≈ 0 ,003 ≈ 0 ,057 8−2 6

13

tρ =

ρ mρ

⇒ tρ =

0 ,999 ≈ 17 ,526 0 ,057

t

Вывод: при уровне надежности γ = 0,99 и при n =8, tкрит=4,032. aˆ > 4,032 (17,526 > 4,032), следовательно гипотеза принимается, параметр ρ в нашей модели значим. 6) Построим доверительный интервал. Доверительный интервал для yn (прогнозное) имеет следующий вид: (уп - tкрит⋅ m yn , уп + tкрит⋅ m yn ) а) Найдем yn: yn = aˆ + bˆ ⋅ x , где хn = х = 4,5. Следовательно, n

у = 0,99 + 0,4⋅4,5 = 2,79

my = б)

∑ ( y − yˆ) 2 ⋅ 1 + 1 + ( x п − x ) 2 n − m −1 n ∑ (x п − x) 2

(x − x) ∑ (x − x ) 2

, где

п

2

=0,

т.к. хn = x = 4,5.

( y − ˆy )

2

Таким образом, m y =

n − m −1

⋅ 1+

1 (m = 2 – число параметn

ров). 0 ,688 1 ⋅ 1 + = 0 ,01376 ⋅ 1,125 = 0 ,117 ⋅ 1,060 ≈ 0 ,124 8 8 − 2 −1 Следовательно, доверительный интервал принимает вид: (2,79 – 4,032⋅0,124; 2,79 + 4,032⋅0,124). Окончательно получаем следующий интервал: (2,29; 3,29). Вывод: с надежностью 0,99 данный интервал накрывает прогнозное значение уп, точность прогноза 0,5. my =

14

II Выбираем гипотезу: зависимость квадратичная. 2

1) Предлагаем модель yt = a + bxt + с x t + εt и оцениваем ее параметры методом наименьших квадратов. Имеем систему нормальных уравнений: ⎧a 1 + b x + c x 2 = y ⎪ ⎪ 2 3 yx ⎨a x + b x + c x = ⎪ 3 yx 2 ⎪⎩a x 2 + b x + c x 4 =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 = 8 ,∑ x = 36 ,∑ у = 22,3,∑ х = 204 ,∑ ух = 117 ,10 2

(эти значе-

ния были вычислены в первой части работы). Вычислим неизвестные параметры: x 3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 = 1296

∑ ∑ x = 1 + 16 + 81 + 256 + 625 + 1296 + 2401 + 4096 = 8772 ∑ yx = 1,4 ⋅ 1 + 1,9 ⋅ 4 + 2,1 ⋅ 9 + 2,5 ⋅ 16 + 3,1 ⋅ 25 + 3,3 ⋅ 36 + 3,7 ⋅ 49 + 4 ,3 ⋅ 64 = 4

2

= 1,4 + 7 ,6 + 18 ,9 + 40 + 77 ,5 + 118 ,8 + 181,3 + 275 ,2 = 720 ,7

Получаем следующую систему уравнений: ⎧8 a + 36 b + 204 c = 22 ,3 ⎪ ⎨36 a + 204b + 1296 c = 117 ,10 ⎪204 a + 1296 b + 8772c = 720 ,7 ⎩ Решим данную систему методом Гаусса, для чего выпишем расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду. ⎛ 8 36 204 22 ,3 ⎞ ⎟ ⎜ 204 1296 117 ,10 ⎟ С 2 − 4 ,5 ⋅ С 1 ∼ ⎜ 36 ⎟ С − 25 ,5 ⋅ С 1 ⎜ ⎝ 204 1296 8772 720 ,7 ⎠ 3 ⎛ 8 ⎜ ⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ 0

36 42 378

204 22 ,3 ⎞ ⎟ 378 16 ,75 ⎟ ⎟ 3570 152 ,05 ⎟⎠ С

3

− 9С

2

⎛ 8 ⎜ ∼⎜ 0 ⎜⎜ ⎝ 0

36 42 0

204 22 ,3 ⎞ ⎟ 378 16 ,75 ⎟ ⎟ 168 1,3 ⎟⎠

В результате переходим к следующей системе уравнений:

15

⎧8 a + 36 b + 204 c = 22 ,3 ⎪ 42b + 378 c = 1 ⎨ ⎪ 168c = 1,3 ⎩ Последовательно выражая все неизвестные (начиная с переменной с), получаем следующие значения: aˆ = 1,112 , bˆ = 0 ,327 и cˆ = 0 ,008 . Параметр с = 0,008 говорит о том, что наша предполагаемая модель является почти прямой, т.е. маленьким отрезком параболы. Вывод: так как aˆ = 1,112 , bˆ = 0 ,327 , cˆ = 0 ,008 то модель принимает следующий вид: ˆy = 1,112 + 0,327x + 0,008х2 + ε.

2) Строим расчетную таблицу. Для нахождения ˆy i подставляем соответствующее значение х в уравнение ˆy = 1,112 + 0,327x + 0,008х2 ˆy1 = 1,112 + 0,327⋅1 + 0,008⋅12 = 1,447 ≈ 1,45 ˆy 2 = 1,112 + 0,327⋅2 + 0,008⋅22 = 1,798 ≈ 1,8 ˆy 3 = 1,112 + 0,327⋅3 + 0,008⋅32 = 2,165 ≈ 2,17 ˆy 4 = 1,112 + 0,327⋅4 + 0,008⋅42 = 2,548 ≈ 2,55 ˆy 5 = 1,112 + 0,327⋅5 + 0,008⋅52 = 2,947 ≈ 2,95 ˆy6 = 1,112 + 0,327⋅6 + 0,008⋅62 = 3,362 ≈ 3,36 ˆy7 = 1,112 + 0,327⋅7 + 0,008⋅72 = 3,793 ≈ 3,79 ˆy 8 = 1,112 + 0,327⋅8 + 0,008⋅82 = 4,24 Х У

yˆ

1 1,4 1,447

2 1,9 1,798

3 2,1 2,165

4 2,5 2,548

5 3,1 2,947

6 3,3 3,362

3) Находим остатки регрессии, т.е. отклонения: e 1 = y1 – ˆy1 = 1,4 – 1,447 = –0,047 e 2 = y2 – ˆy 2 = 1,9 –1,798 = 0,102 e 3 = y3 – ˆy 3 = 2,1 –2,548 = –0,065 e 4 = y4 – ˆy 4 = 2,5 – 2,548 = –0,048 e 5 = y5 – ˆy 5 = 3,1 –2,947 = 0,153 e6 = y6 – ˆy6 = 3,3 – 3,362 = –0,062

16

7 3,7 3,793

8 4,3 4,240

e7 = y7 – ˆy7 = 3,7 – 3,793 = –0,093 e8 = y8 – ˆy 8 = 4,3 – 4,24 = 0,06 Находим коэффициент аппроксимации A A=

1 ⎛⎜ n ⎜⎝

∑

y − ˆy ˆy

⎞ ⎟ ⋅ 100% ⎟ ⎠

⎛ − 0 ,047 0 ,102 − 0 ,065 − 0 ,048 0 ,153 ⎞ ⎜ + + + + +⎟ 1,798 2 ,165 2 ,548 2 ,947 ⎟ 1 ⎜ 1,447 A= ⎜ ⎟ ⋅ 100% = 8 ⎜ − 0 ,062 − 0 ,093 0 ,06 ⎟ ⎜ + 3,362 + 3 ,793 + 4 ,24 ⎟ ⎝ ⎠ 1 = (0 ,032 + 0 ,056 + 0 ,030 + 0 ,018 + 0 ,051 + 0 ,018 + 0 ,024 + 0 ,014 ) ⋅ 100% = 8 0 ,243 = ⋅ 100% = 0 ,030 ⋅ 100% = 3% 8

Вывод: ошибка аппроксимации незначительна, модель хорошо аппроксимирует наблюдения. III Выбираем гипотезу: зависимость экспоненциальная. 1) Предлагаем модель yt = e a +bx ⋅εt и оцениваем ее параметры методом наименьших квадратов. Прологарифмируем обе части уравнения: ln yt = a+ bxt + εt, где ln y = z (вводимый параметр). По параметрам а и b получили линейную модель относительно переменных x и ln yt.Тогда эмпирические данные примут вид: t

Х Z

1 ln 1,4 0,336

2 ln 1,9 0,641

3 ln 2,1 0,741

4 ln 2,5 0,916

5 ln 3,1 1,131

6 ln 3,3 1,193

Имеем систему нормальных уравнений:

∑ 1 + b∑ x = ∑ ln y ⇒ ⎧⎪⎨a∑ 1 + b∑ x = ∑ z ∑ x + b∑ x = ∑ ln yx ⎪⎩a∑ x + b∑ x = ∑ zx ∑ 1 = 8 ,∑ х = 36 ,∑ х = 204 ⎧a ⎪ ⎨ ⎪⎩a

2

2

2

17

7 ln 3,7 1,308

8 ln 4,3 1,458

∑ z = 0 ,336 + 0 ,641 + 0 ,741 + 0 ,916 + 1,131 + 1,193 + 1,308 + 1,458 = 7 ,724 ∑ zx = 0,336 ⋅ 1 + 0,641⋅ 2 + 0,741⋅ 3 + 0,916 ⋅ 4 + 1,131⋅ 5 + 1,193⋅ 6 + 1,308⋅7 + + 1,458 ⋅ 8 = 0,336 + 1,282 + 2,223 + 3,664 + 5,655 + 7 ,158 + +9,156 + 11,664 = = 41,138 Таким образом, получаем следующую систему уравнений: ⋅ ( −4 ,5 ) ⎧8 a + 36 b = 7 ,724 и прибавим ко второму ⎨ ⎩36 a + 204b = 41,138

⎧8 a + 36 b = 7 ,724 ⎨ ⎩ 42b = 6 ,38 6 ,38 = 0 ,151 . Подставляя Из второго уравнения получаем, что bˆ = 42

ˆ

найденное значение b в первое уравнение системы, находим аˆ : 8 а + 36 ⋅ 0 ,151 = 7 ,724 8 а = 7 ,724 − 5 ,436 8 а = 2 ,288 ⇒ аˆ = 0 ,286 Вывод: так как аˆ = 0 ,286 , bˆ = 0 ,151 , то модель принимает следующий вид: ˆy = e0,286+0,151x. 2) Строим расчетную таблицу. Для нахождения ˆy i подставляем соответствующее значение х в уравнение ˆy = e0,286+0,151x. ˆy1 = e0,286+0,151⋅1 = е0,437 =1,548 ˆy 2 = e0,286+0,151⋅2 = е0,588 =1,800 ˆy 3 = e0,286+0,151⋅3 = е0,739 =2,093 ˆy 4 = e0,286+0,151⋅4 = е0,89 =2,435 ˆy 5 = e0,286+0,151⋅5 = е1,041 =2,832 ˆy6 = e0,286+0,151⋅6 = е1,192 =3,293 ˆy7 = e0,286+0,151⋅7 = е1,343 =3,830 ˆy 8 = e0,286+0,151⋅8 = е1,494 =4,454

18

Х Z

yˆ

1 ln 1,4 0,336 1,548

2 ln 1,9 0,641 1,800

3 ln 2,1 0,741 2,093

4 ln 2,5 0,916 2,435

5 ln 3,1 1,131 2,832

6 ln 3,3 1,193 3,293

7 ln 3,7 1,308 3,830

8 ln 4,3 1,458 4,454

3) Находим остатки регрессии, т.е. отклонения: e 1 = y1 – e 2 = y2 – e 3 = y3 – e 4 = y4 – e 5 = y5 – e6 = y6 – e7 = y7 – e8 = y8 –

ˆy1 = 1,4 – 1,548 = –0,148 ˆy 2 = 1,9 –1,800 = 0,1 ˆy 3 = 2,1 –2,093 = 0,007 ˆy 4 = 2,5 – 2,435 = 0,065 ˆy 5 = 3,1 –2,832 = 0,268 ˆy6 = 3,3 – 3,293 = 0,007 ˆy7 = 3,7 – 3,830 = –0,13 ˆy 8 = 4,3 – 4,454 = –0,154

Находим коэффициент аппроксимации A : A=

1 ⎛⎜ n ⎜⎝

∑

y − ˆy ˆy

⎞ ⎟ ⋅ 100% ⎟ ⎠

⎛ − 0 ,048 0 ,1 0 ,007 0 ,065 0 ,268 ⎞ ⎜ + + + + +⎟ 1,8 2 ,093 2 ,435 2 ,832 ⎟ 1 ⎜ 1,548 A= ⎜ ⎟ ⋅ 100% = 8 ⎜ + 0 ,007 + − 0 ,13 + − 0 ,154 ⎟ ⎜ 3 ,293 3,830 ⎟ 4 ,454 ⎝ ⎠ 1 = (0 ,095 + 0 ,055 + 0 ,003 + 0 ,026 + 0 ,094 + 0 ,002 + 0 ,033 + 0 ,034 ) ⋅ 100% = 8 0 ,342 = ⋅ 100% = 0 ,042 ⋅ 100% = 4 ,2% 8

Вывод: из всех трех моделей, наименьший коэффициент аппроксимации имеет полиномиальная модель, т.е. она наиболее приближена к нашей эмпирической ломанной.

19

IV Строим графики полученных линий регрессии и сравниваем их с эмпирической ломаной.

Y 4,8 4,6 4,4 4,2 4 3,8 3,6 3,4 3,2 3 2,8 2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

X 1

2

3

4

20

5

6

7

8

Вариант 1 Х У

1,2 2,4

2,0 2,9

2,8 3,9

3,6 4,2

4,2 5,0

4,8 6,1

5,6 6,5

6,2 7,3

2,9 4,0

3,8 4,4

4,7 4,6

5,6 6,1

6,5 6,5

7,4 7,3

2,9 5,1

3,6 5,4

4,3 6,1

5,0 6,4

5,7 7,1

6,7 7,5

3,7 5,2

4,5 5,3

5,3 5,7

6,1 5,8

6,9 6,1

7,7 6,3

3,1 6,3

3,8 6,4

4,5 6,9

5,2 7,0

5,9 7,4

6,6 7,5

4,3 4,9

5,2 4,3

6,1 4,2

7 3,8

7,9 3,7

8,8 3,2

2,5 6,1

3,1 5,6

3,7 5,8

4,3 5,1

4,9 5,2

5,5 4,6

2,7 6,8

3,5 5,0

4,3 5,9

5,1 5,3

5,9 5,2

6,7 4,5

2,9 7,3

3,6 6,7

4,3 6,5

5 5,8

5,7 5,7

6,4 5,0

3,6 7,7

4,4 6,7

5,2 6,5

6 5,6

6,8 5,3

7,6 4,5

Вариант 2 Х У

1,1 2,8

2,0 3,1

Вариант 3 Х У

1,5 4,2

2,2 4,4

Вариант 4 Х У

2,1 4,7

2,9 4,8

Вариант 5 Х У

1,7 5,7

2,4 5,9

Вариант 6 Х У

2,5 5,4

3,4 4,7

Вариант 7 Х У

1,3 6,6

1,9 6,2

Вариант 8 Х У

1,1 7,5

1,9 6,9

Вариант 9 Х У

1,5 8,3

2,2 7,4

Вариант 10 Х У

2,0 8,4

2,8 8,2

21

Двусторонние квантили распределения Стьюдента tα(n) α n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.20

0.40

0.50

0.60

0.80

0.325 0.289 0.277 0.271 0.267 0.265 0.263 0.262 0.261 0.260

0.727 0.617 0.584 0.569 0.559 0.553 0.549 0.546 0.543 0.542

1.000 0.816 0.765 0.741 0.727 0.718 0.711 0.706 0.703 0.700

1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879

3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372

0.90

0.95

6.314 12.706 2.920 4.303 2.353 3.182 2.132 2.776 2.015 2.571 4.943 2.447 1.895 2.365 1.860 2.306 1.833 2.262 1.812 2.228

0.98

0.99

31.821 6.956 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764

63.657 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169

Пример: пусть t – случайная величина, распределенная по закону Стьюдента с 5 степенями свободы. t0.95(5) = 2.571, т.е. P(-2.571 < t < 2.571) = = 0,92 (см. пятую строку, третий справа столбец таблицы).

22

Рекомендуемая литература

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 1998. 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. Пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 1998. 4. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. – М.: Дело, 2000.

23

Батуев Эрдэмто Николаевич Сидорова Александра Сергеевна

ЭКОНОМЕТРИКА Модель парной регрессии

Методические указания для студентов специальностей ФК, БУ, ПИ дневного и заочного отделений В авторской редакции Набор, верстка Сидорова А.С. Лицензия ИД №02187 от 30.06.00 г. Подписано в печать____ Формат 61*86/16. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman Усл. печ. л. ___ Тираж __ экз. Заказ № Редакционно-издательский отдел Камчатского государственного технического университета Отпечатано полиграфическим участком РИО КамчатГТУ 683003, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Ключевская, 35

24