Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы. ) Учебн. пособ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ...

Author: Аксёнов А.П.

3 downloads 167 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.П. Аксёнов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие

Санкт-Петербург 2000

УДК 517.38, 517.3821 Аксёнов А.П. Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 2000, 145 с. Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика». Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Интегралы, зависящие от параметра, собственные и несобственные», «Двойной интеграл», «Криволинейные интегралы первого и второго рода», «Вычисление площадей кривых поверхностей, заданных как явными, так и параметрическими уравнениями», «Эйлеровы интегралы (Бета-функция и Гамма-функция)». Разобрано большое количество примеров и задач (общим числом 47). Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия. Ил. 79. Библ. 4 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра §1. Определение интегралов, зависящих от параметров

a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d .

Пусть функция f ( x , y ) определена в прямоугольнике ( P ) =  b

Пусть при каждом закрепленном y из [c, d ] существует

∫ f ( x, y ) dx . Ясно, что a

каждому значению y из [c, d ] будет отвечать свое, вполне определенное знаb

чение этого интеграла. Следовательно,

∫ f ( x, y ) dx

представляет собой функ-

a

цию переменной (параметра) y , определенную в промежутке [c, d ] . Введем обозначение b

I ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] .

(1)

a

Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции f ( x , y ) , получить информацию о свойствах функции I ( y ) . Эти свойства, как будет показано ниже, имеют многообразные применения, в особенности при вычислении интегралов. Допустим еще, что при каждом закрепленном x из промежутка [a , b] сущеd

ствует

∫ f ( x, y ) dy . Тогда этот интеграл будет представлять собой функцию c

переменной (параметра) x , определенную в промежутке [a , b] . Обозначим ее

~

через I ( x ) , так что d

~ I ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy , x ∈[a, b] .

~ (1)

c

§2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть функция f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть y0 – любое из [c, d ] . Тогда b

lim

y → y0

∫ a

b

b

  f ( x , y ) dx = ∫  lim f ( x , y ) dx = ∫ f ( x , y0 ) dx .  y → y0  a

(1)

a

3

b

Отметим, что

∫ f ( x, y ) dx

существует для каждого значения y из [c, d ] ,

a

так как f ( x , y ) ∈ C([a, b]) при любом закрепленном y ∈[c, d ] . В частности, b

существует

∫ f ( x, y0 ) dx . a

Возьмем ε > 0 – любое. Выберем и закрепим любое y0 ∈[c, d ] .

По условию f ( x , y ) ∈ C( P ) , поэтому f ( x , y ) равномерно непрерывна в

( P ) (см. теорему Кантора) и, следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 , зависящее только от ε, такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) , ( x ′′, y ′′ ) из ( P ) , | x ′′ − x ′ | < δ , | y ′′ − y ′| < δ , оказывается для которых ε f ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) < . b−a Положим y ′ = y0 , y ′′ = y , где y – любое, но такое, что | y − y0 | < δ , y ∈[c, d ] , x ′ = x ′′ = x , где x – любое из [a, b] (| x ′′ − x ′ | = 0 < δ ). Тогда ε f ( x , y ) − f ( x , y0 ) < для любого x ∈[a, b], если | y − y0 | < δ , y ∈[c, d ] . b−a

Имеем:

b

b

b

∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ [ f ( x, y ) − f ( x, y0 )] dx a

b

∫

⇒

a

a

⇒

a

b

b

a

a

f ( x , y ) dx − ∫ f ( x , y0 ) dx ≤ ∫ f ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx
0 отвечает δ > 0 такое, что как только | y − y0 | < δ , b

y ∈[c, d ] , так сейчас же

b

∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx a

b

что

< ε . Последнее означает,

a

b

∫ f ( x, y0 ) dx = ylim ∫ f ( x, y ) dx . →y 0

a

a

Совершенно аналогично доказывается утверждение: если f ( x , y ) ∈ C( P ) и если x0 – любое из [a, b] , то d

lim

x → x0

4

∫ c

d

d

c

c

  f ( x , y ) dy = ∫  lim f ( x , y ) dy = ∫ f ( x0 , y ) dy .  x → x0 

§3. О непрерывности интеграла как функции параметра b

Теорема. Пусть f ( x , y ) ∈ C( P ) и I ( y ) =

y0 ∈[c, d ] и закрепим. В §2 было доказано, что

Возьмем любое

lim

y ∈[c, d ] . Тогда

a

I ( y ) = C([c, d ]) .

y → y0

∫ f ( x, y ) dx ,

b

b

a

a

∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx , то есть lim I ( y ) = I ( y0 ) .

y → y0

Последнее же означает, что функция I ( y ) непрерывна в точке y0 . Так как y0 –

любое из [c, d ] , то заключаем, что I ( y ) ∈ C([c, d ]) .

Замечание 1. Условие f ( x , y ) ∈ C( P ) является достаточным для непрерывности I ( y ) на [c, d ] , но оно не необходимо. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим

0 ≤ x ≤ 1, . y − 5 ≤ ≤ 5 . 

Пример. Пусть f ( x , y ) = sgn ( x − y ) в ( P ) =  y 5

I

y=x 1

x

5 −5

y

I = I ( y)

−5 Рис. 1.2

Рис. 1.1

Видим, что f ( x , y ) терпит разрыв в точках, принадлежащих прямой x = y (рис. 1.1). 1

∫

Пусть I ( y ) = sgn ( x − y ) dx . Имеем: 0 1

∫

1) если −5 ≤ y < 0 , то I ( y ) = 1 ⋅ dx = 1 . 0

5

y

∫

1

∫

2) если 0 ≤ y ≤ 1 , то I ( y ) = ( −1) ⋅ dx + 1 ⋅ dx = 1 − 2 y . 0 1

y

∫

3) если 1 < y ≤ 5 , то I ( y ) = ( −1) ⋅ dx = −1 . 0

Таким образом,

 1, I ( y ) =  1 − 2 y,  −1,

y ∈[−5, 0 ), y ∈[0, 1], y ∈(1, 5]

⇒

I ( y ) ∈ C([−5, 5]) (см.

рис. 1.2). Замечание 2. Совершенно аналогично доказывается теорема: Пусть d

~ ~ f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть I ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy , x ∈[a, b]. Тогда I ( x ) ∈ C([a , b]) . c

Следствие. Если

f ( x , y ) ∈ C( P ) , то одновременно

~ I ( x ) ∈ C([a , b]) и, следовательно, существуют одновременно d db   ∫ I ( y ) dy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx dy , c c a

I ( y ) ∈ C([c, d ]) ,

bd  ~  ∫ I ( x ) dx = ∫  ∫ f ( x, y ) dy dx . a a c db b d     f ( x , y ) dx  dy ,  f ( x , y ) dy  dx называются повторными интегра∫  ∫ ∫  ∫     c a a c лами от функции f ( x , y ) в ( P ) . b

§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть функция f ( x , y ) непрерывна в ( P ) и имеет там непрерывb

ную частную производную f y′ ( x , y ) . Пусть I ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx ,

y ∈[c, d ] . То-

a

гда: 1) функция I ( y ) имеет в промежутке [c, d ] производную I ′( y ) ; b

2) I ′( y ) =

∫ a

b ′ b f y′ ( x , y ) dx , то есть  ∫ f ( x , y ) dx  = ∫ f y′ ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] ; a y a

3) I ′( y ) ∈ C([c, d ]) . 6

–

Возьмем любую точку y0 ∈[c, d ] и закрепим. Дадим y0 приращение ∆y любое, но такое, что ∆y ≠ 0 и точка y0 + ∆ y ∈[c, d ] . Тогда b

b

a

a b

I ( y0 ) = ∫ f ( x , y0 ) dx , I ( y0 + ∆ y ) = ∫ f ( x , y0 + ∆ y ) dx , I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 ) dx . =∫ ∆y ∆y

(1)

a

По теореме Лагранжа f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 ) = f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) ∆ y ( 0 < θ < 1). Следовательно,

b

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ∫ f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) dx . ∆y

(2)

a

По условию, f y′ ( x , y ) ∈ C( P ) . Перейдем в (2) к пределу при ∆y → 0 . Приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим: b

b

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) lim = ∫ lim f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) dx = ∫ f y′ ( x , y0 ) dx ∆y ∆ y→0 ∆ y →0 a

a

b

⇒ I ′( y0 ) существует, причем I ′( y0 ) =

∫ f y′ ( x, y0 ) dx . Так как

y0 – любое из

a

[c, d ] , то заключаем, что I ′( y ) существует для любого y из [c, d ] , причем b

b

a

a

I ′( y ) = ∫ f y′ ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] . У нас f y′ ( x , y ) ∈ C( P ) , а I ′( y ) = ∫ f y′ ( x , y ) dx . А тогда по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра заключаем, что I ′( y ) ∈ C([c, d ]) . §5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла b

Теорема. Пусть функция bd

  f ( x , y ) dy  dx , т. е. I ( y ) dy = ∫ ∫  ∫   c a c d


f ( x , y ) ∈ C( P ) . Пусть

I ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx , a

db

bd       dx . f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy = ∫  ∫ ∫  ∫    c a ac

Докажем более общее равенство 7

b t

   dx , для любого t ∈[c, d ] . I ( y ) dy = f ( x , y ) dy (1) ∫ ∫  ∫   c a c Займемся сначала левой частью равенства (1). Так как f ( x , y ) ∈ C( P ) , то t

I ( y ) ∈ C([c, d ]) (см. теорему §3). Следовательно,

t

∫ I ( y ) dy

– интеграл с пере-

c

менным верхним пределом от непрерывной функции. А тогда по теореме Барроу

′ b t   I ( y ) dy  = I ( t ) = f ( x , t ) dx , t ∈[c, d ] . ∫ ∫  t c a

(2)

Займемся теперь правой частью равенства (1). Положим t

∫ f ( x, y ) dy = ϕ ( x, t ) .

(3)

c

Здесь в интеграле слева x выступает в роли параметра. Ясно, что функция

a ≤ x ≤ b, ϕ ( x , t ) определена в прямоугольнике ( P ) =  c ≤ t ≤ d . Покажем, что ϕ( x , t ) ∈ C( P ) . Для этого выберем и закрепим любую точку ( x , t ) ∈( P ) . Затем возьмем ∆ x и ∆ t – любые, но такие, что точка ( x + ∆ x , t + ∆ t ) ∈( P ) . Будем иметь t +∆ t

ϕ ( x + ∆ x, t + ∆ t ) − ϕ ( x, t ) =

∫ f ( x + ∆ x, y ) dy − ∫ f ( x, y ) dy = c

t

= ∫ [ f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y )] dy + c

t

t +∆ t

c

∫ f ( x + ∆ x, y ) dy .

(4)

t

Пусть ρ = ( ∆ x )2 + ( ∆ t )2 . Отметим, что ( ρ → 0 ) ⇔ (одновременно ∆ x , ∆ t → 0 ). Возьмем ε > 0 – любое. В силу непрерывности функции f ( x , y ) в ( P ) , f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) → 0 ⇒ взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, ρ→ 0 ( ∆ x →0 )

что f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) < t

ε , если ρ < δ . Тогда d −c

ε f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) dy < (t − c ) ≤ ε , [ ] ∫ d −c c

8

t

если ρ < δ . Последнее означает, что lim

ρ→ 0

∫ [ f ( x + ∆ x, y ) − f ( x, y )] dy = 0 . Так c

как f ( x , y ) ∈ C( P ) , то f ( x , y ) – ограниченная в ( P ) , т. е. существует число t +∆ t

M > 0 такое, что f ( x , y ) ≤ M в ( P ) . А тогда

∫ f ( x + ∆ x, y ) dy ≤ M ⋅ ∆ t

⇒

t

t +∆ t

0 . Теперь из (4) следует ∫ f ( x + ∆ x, y ) dy → ρ→ 0 t

( ∆ t →0 )

ϕ ( x + ∆ x, t + ∆ t ) − ϕ ( x, t ) → 0 . ρ→ 0

Последнее означает, что функция ϕ ( x , t ) непрерывна в точке ( x , t ) . У нас точка

( x , t ) – любая из ( P ) . Поэтому ϕ( x , t ) ∈ C( P ) . Из (3) находим: ϕ ′t ( x , t ) = f ( x , t ) . (5) По условию, f ( x , y ) ∈ C( P ) . Следовательно, ϕ ′t ( x , t ) ∈ C( P ) . Принимая во внимание (3), правую часть равенства (1) можно записать в виде b t

b  (6) ∫  ∫ f ( x, y ) dy dx = ∫ ϕ ( x, t ) dx . a c a В интеграле, стоящем в правой части (6), t выступает в роли параметра. Выше было показано, что функция ϕ ( x , t ) непрерывна в ( P ) и имеет там непрерывную частную производную ϕ ′t ( x , t ) . Но тогда по теореме о дифференцировании

по параметру под знаком интеграла

′ b ( 5) b b   ϕ ( x , t ) dx  = ϕ ′t ( x , t ) dx = f ( x , t ) dx , t ∈[c, d ] . ∫ ∫ ∫  a t a a

(7)

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке [c, d ] совпадающие производные (см. (2) и (7)). Следовательно, они различаются в этом промежутке лишь на постоянную величину, т. е. для любого t ∈[c, d ] b t b       dx + const . f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy (8) = ∫  ∫ ∫  ∫    c a ac Положим в (8) t = c . Получим 0 = 0 + const ⇒ const = 0 . Значит, будем иметь вместо (8) для любого t ∈[c, d ] t b b t       dx . = f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy (9) ∫  ∫ ∫  ∫    c a ac t

9

Положив в (9) t = d , получим db

bd       dx , f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy = ∫  ∫ ∫  ∫    c a ac

(10)

а это и требовалось установить. §6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра

y

x = α( y )

d

Пусть функция f ( x , y ) определена в

x = β( y )

(D ) y0 c

x β( y0 )

α( y0 )

области ( D ) , ограниченной линиями: y = c , y = d ( c < d ), x = α( y ) , x = β( y ) , где α( y ) и β( y ) – функции, непрерывные на промежутке [c, d ] и такие, что α( y ) ≤ β ( y ) , y ∈[c, d ] . Пусть при каждом закрепленном y из β( y )

[c, d ] существует

Рис. 1.3

∫ f ( x, y ) dx . Ясно, что

α( y )

каждому значению y из [c, d ] будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно, β( y )

∫ f ( x, y ) dx представляет собой функцию переменной (параметра)

y , опреде-

α( y )

ленную в промежутке [c, d ] . Станем обозначать β( y )

I( y) =

∫ f ( x, y ) dx,

y ∈[c, d ] .

(1)

α( y )

Теорема (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть β( y )

функция

f ( x , y ) ∈ C( D ) , и пусть I ( y ) =

I ( y ) ∈ C([c, d ]) . Выберем и закрепим л ю б о е y0 ∈[c, d ] . 1. Пусть α( y0 ) < β ( y0 ) .

∫ f ( x, y ) dx ,


α( y )

α ( y0 ) + β ( y 0 ) . Ясно, что α( y0 ) < γ < β ( y0 ) ⇒ 2 α( y0 ) − γ < 0 , β ( y0 ) − γ > 0 . Функции α ( y ) − γ и β ( y ) − γ – непрерывные на Положим

10

γ=

промежутке [c, d ] . Следовательно, по теореме о стабильности знака существует δ1 > 0 такое, что как только y − y0 < δ1 и y ∈[c, d ] , так сейчас же:

α( y ) − γ < 0 , β ( y ) − γ > 0 , т. е. α( y ) < γ < β ( y ) . Возьмем y из промежутка [c, d ] любое, но такое, чтобы было y − y0 < δ1 , и положим p = max{α( y ), α( y0 )} ; q = min{β ( y0 ), β( y )} . Ясно, что p < q . Имеем:

I ( y0 ) =

β( y0 )

p

q

β ( y0 )

α ( y0 )

α ( y0 )

p

q

I( y) =

∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx , β( y )

p

q

β( y )

α( y )

α( y )

p

q

∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx .

В этих соотношениях из четырех подчеркнутых интегралов два обязательно равны нулю (так как обязательно: либо p = α( y0 ) , либо p = α( y ) , и либо q = β( y0 ) , либо q = β( y ) ). Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое. Так как α( y ) и β( y ) непрерывны в точке y0 , то взятому ε > 0 отвечает δ 2 > 0 такое, что как только

y − y0 < δ 2 и y ∈[c, d ] , так сейчас же α( y ) − α( y0 ) < ε , β ( y ) − β ( y0 ) < ε . Отметим, что если брать на промежутке [c, d ] значения y , удовлетворяющие условию: y − y0 < min{δ1, δ 2 } , то справедливы приведенные выше выражения для I ( y0 ) и I ( y ) . Для таких y будем иметь: q

I ( y ) − I ( y0 ) = ∫ [ f ( x , y ) − f ( x , y0 )] dx + p

+

p

β( y )

p

β ( y0 )

α( y )

q

α ( y0 )

q

∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx . p

Рассмотрим, например,

∫ f ( x, y0 ) dx .

По условию f ( x , y ) ∈ C( D )

⇒

α ( y0 )

f ( x , y ) ограниченная в ( D ) , т. е. существует число M > 0 такое, что f ( x , y ) ≤ M всюду в ( D ) . Так как y ∈[c, d ] и y − y0 < min{δ1, δ 2 } , то p

p − α( y0 ) < ε . Следовательно,

∫ f ( x, y0 ) dx ≤ M ⋅ p − α( y0 ) < M ⋅ ε .

α ( y0 )

Такая же оценка верна и для каждого из трех оставшихся подчеркнутых ин11

тегралов. Поэтому q

I ( y ) − I ( y0 ) < ∫ f ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx + 2 M ⋅ ε . p

Так как ( D ) – ограниченное замкнутое множество и f ( x , y ) ∈ C( D ) , то

f ( x , y ) равномерно непрерывная в ( D ) . А тогда взятому ε > 0 отвечает δ 3 > 0 , зависящее только от ε , такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) , y ′′ − y ′ < δ 3 , будет ( x ′′, y ′′ ) из ( D ) , для которых x ′′ − x ′ < δ 3 , f ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) < ε . Положим δ = min{δ1, δ 2 , δ 3} , y ′ = y0 , y ′′ = y , где y ∈[c, d ] и удовлетворяет условию y − y0 < δ ; x ′ = x ′′ = x , где x – любое из [ p, q] . Тогда f ( x , y ) − f ( x , y0 ) < ε для всех x ∈[ p, q] . Следовательно, для y , удовлетворяющих условиям y − y0 < δ и y ∈[c, d ] , будет: q

∫

p

f ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx < ε ⋅ ( q − p ) , и потому I ( y ) − I ( y0 ) < ε ( q − p + 2 M ) . У нас функции α( y ), β ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ α( y ) и β( y ) – ограниченные в

[c, d ] ⇒ существует число K > 0 такое, что α( y ) ≤ K , β( y ) ≤ K для всех y ∈[c, d ] . А тогда q − p ≤ q + p ≤ 2 K . Значит, I ( y ) − I ( y0 ) < 2ε ⋅ ( K + M ) . (2) Отметим, что число 2ε ⋅ ( K + M ) сколь угодно мало вместе с ε . Так как для достижения неравенства (2) понадобилось лишь, чтобы было y − y0 < δ , y ∈[c, d ] , то заключаем, что функция I ( y ) непрерывна в точке y0 . 2. Пусть α( y0 ) = β ( y0 ) . В этом случае I ( y0 ) =

β( y0 )

∫ f ( x, y0 ) dx = 0 ;

α ( y0 )

Имеем

β( y )

I( y) =

∫ f ( x, y ) dx

α( y )

I ( y ) ≤ M ⋅ [β ( y ) − α( y )] . lim [β ( y ) − α( y )] = β ( y0 ) − α( y0 ) = 0 . А

y → y0

⇒ (3)

тогда

из

(3)

lim I ( y ) = 0 [ = I ( y0 )] . Видим, что и в этом случае установлена непрерыв-

y → y0

ность I ( y ) в точке y0 .

У нас y0 – любое из [c, d ] . Следовательно, I ( y ) ∈ C([c, d ]) . Теорема (о дифференцировании по параметру). Пусть функция f ( x , y )

непрерывна в ( D ) и имеет там непрерывную частную производную f y′ ( x , y ) . 12

Пусть функции α( y ), β ( y ) определены в промежутке [c, d ] и имеют там проβ( y)

изводные α ′( y ), β′( y ) . Пусть I ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx ,

y ∈[c, d ] . Тогда для любо-

α( y )

го y ∈[c, d ] существует I ′( y ) , причем β( y )

I ′( y ) =

∫ f y′ ( x, y ) dx + f (β ( y ), y ) ⋅ β′( y ) − f (α( y ), y ) ⋅ α ′( y ) .

(4)

α( y )

Выберем и закрепим любое y0 ∈[c, d ] . I. Пусть α( y0 ) < β ( y0 ) . При доказательстве предыдущей теоремы было отмечено, что в этом случае существует окрестность: uδ1 ( y0 ) такая, что для лю-

бого y ∈ uδ1 ( y0 ) будет: α( y ) < γ < β ( y ) . Дадим y0 приращение ∆y – любое,

но такое, что ∆y ≠ 0 и y0 + ∆ y ∈ uδ1 ( y0 ) . Будем иметь, следовательно,

α ( y0 + ∆ y ) < γ < β ( y0 + ∆ y ) . Положим p = max{α( y0 ), α( y0 + ∆ y )} ; q = min{β ( y0 ), β ( y0 + ∆ y )} . Могут реализоваться следующие случаи: 1) p = α( y0 ) , q = β( y0 ) ; 2) p = α( y0 ) , q = β( y0 + ∆ y ) ; 3) p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 ) ; 4) p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 + ∆ y ) . 1. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 ) , q = β( y0 ) . Имеем в этом случае β( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

I ( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx,

I ( y0 + ∆ y ) =

α ( y0 ) α ( y0 )

β ( y0 )

α ( y0 + ∆ y )

α ( y0 )

=

α ( y0 + ∆ y ) β( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx .

А тогда

β( y0 )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y 0 ) =

β ( y0 )

=

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =

β ( y0 + ∆ y )

α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

α ( y0 )

∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx − ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx .

α ( y0 )

По теореме Лагранжа f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 ) = f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y . По частному случаю теоремы о среднем для определенного интеграла β ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = f (c1, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] ,

β ( y0 )

13

где c1 ∈[β ( y0 ), β ( y0 + ∆y )] ⇒ c1 → β( y0 ) , если ∆y → 0 ; α ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] ,

α ( y0 )

где c2 ∈[α( y0 ), α( y0 + ∆y )] ⇒ c2 → α( y0 ) , если ∆y → 0 . Следовательно,

J ( y0 + ∆ y ) − J ( y0 ) = ∆y

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +

α ( y0 )

α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 ) β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 ) − f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ . ∆y ∆y Переходя к пределу при ∆y → 0 , получаем: + f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅

I ′( y 0 ) =

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .

(5)

α ( y0 )

2. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 ) , q = β( y0 + ∆ y ) . В этом случае β ( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

I ( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;

α ( y0 ) β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) =

β ( y0 )

α ( y0 ) α ( y0 )

β ( y0 + ∆ y ) β ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;

α ( y0 + ∆ y )

α ( y0 + ∆ y ) β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =

α ( y0 )

∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +

α ( y0 ) β( y0 + ∆ y )

α ( y0 + ∆ y )

β( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

α ( y0 )

α ( y0 )

+

∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx +

+ f ( c1, y0 ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ⇒ ∆y

β ( y0 + ∆ y )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +

α ( y0 )

β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 ) α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 ) − f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ ∆y ∆y Переходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим + f ( c1, y0 ) ⋅

14

I ′( y 0 ) =

β ( y0 )


(5)

α ( y0 )

3. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 ) . В этом случае α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

I ( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;

α ( y0 ) β ( y0 + ∆ y )

α ( y0 ) β( y0 )

α ( y0 + ∆ y ) β ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;

I ( y0 + ∆ y ) =

α ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =

α ( y0 + ∆ y ) β ( y0 )

β ( y0 )

∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +

α ( y0 + ∆ y ) α( y0 + ∆ y )

β( y 0 + ∆ y )

+

β ( y0 )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =

β( y 0 )

α( y0 )

β( y 0 )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx +

α( y0 + ∆ y )

+ f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ⇒ ∆y

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +

α ( y0 + ∆ y )

α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 ) β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 ) − f ( c2 , y0 ) ⋅ ∆y ∆y Переходя здесь к пределу при ∆y → 0 , получим + f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅

I ′( y 0 ) =

β ( y0 )


(5)

α ( y0 )

4. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 + ∆ y ) . В этом случае β ( y0 )

α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

α ( y0 )

α ( y0 )

α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ; β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) =

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;

α ( y0 + ∆ y ) β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =

∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +

α ( y0 + ∆ y )

15

β( y 0 + ∆ y )

+

α( y0 + ∆ y )

β( y 0 + ∆ y )

α( y0 )

α( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =

β( y 0 )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx +

+ f ( c1, y0 ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ⇒ ∆y

β ( y0 + ∆ y )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +

α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 ) α ( y 0 + ∆ y ) − α ( y0 ) − f ( c2 , y0 ) ⋅ ∆y ∆y Переходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим + f ( c1, y0 ) ⋅

I ′( y 0 ) =

β ( y0 )


(5)

α ( y0 )

II. Пусть α( y0 ) = β ( y0 ) . В этом случае I ( y0 ) =

β ( y0 )

∫ f ( x, y0 ) dx = 0

(как интеграл, у которого совпа-

α ( y0 )

дают

нижний

I ( y0 + ∆ y ) =

β ( y0 + ∆ y )

и

верхний

пределы

интегрирования);

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx . А тогда

α ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =

β ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =

α ( y0 + ∆ y )

= f ( c, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − α( y0 + ∆ y )] .

Здесь α( y0 + ∆ y ) ≤ c ≤ β ( y0 + ∆ y ) ⇒ c → α( y0 ) [ = β ( y0 )] . Имеем ∆ y →0

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ∆y (β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )) − (α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )) . = f ( c, y 0 + ∆ y ) ⋅ ∆y Переходя здесь к пределу при ∆y → 0 , находим: I ′( y0 ) = f (β( y0 ), y0 ) ⋅ [β′( y0 ) − α ′( y0 )] = f (α( y0 ), y0 ) ⋅ [β′( y0 ) − α ′( y0 )] , ибо α( y0 ) = β ( y0 ) . Последняя формула может быть записана также в виде I ′( y0 ) = f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) . (6) Легко видеть, что формула (6) является частным случаем формулы (5) (она получается из (5), если положить в (5) β ( y0 ) = α( y0 ) ). 16

Так как у нас y0 – любое, принадлежащее [c, d ] , то приходим к выводу, что I ′( y ) существует для любого y ∈[c, d ] и что β( y )

∫ f y′ ( x, y ) dx + f (β ( y ), y ) ⋅ β′( y ) − f (α( y ), y ) ⋅ α ′( y ) .

I ′( y ) =

α( y )

§7. Примеры к главе 1 1

1. Дано: I ( y ) =

∫

x 2 + y 2 dx . Найти lim I ( y ) . y →0

−1

Так как подынтегральная функция f ( x , y ) = x 2 + y 2 непрерывна на всей плоскости Oxy , то она непрерывна, в частности, в прямоугольнике

−1 ≤ x ≤ 1, (P ) =  где d > 0 – любое конечное число. По теореме §2 заключа− d ≤ y ≤ d , ем, что допустим предельный переход по параметру под знаком интеграла, когда y → 0 . Имеем 1

lim

y →0

∫

−1 0

2

2

x + y dx =

1

∫ lim y →0

2. Дано: I ( y ) =

∫

y

1

2

x + y dx =

−1 1

= ∫ − x dx + ∫ x dx = − −1 1+ y

2

0

2 0

x 2

−1

∫ x dx =

−1

+

2 1

x 2

=

0

1 1 + = 1. 2 2

dx . Найти lim I ( y ) . y →0 1 + x2 + y2

Здесь подынтегральная функция f ( x , y ) =

1 2

. Она непрерывна

1 + x + y2 на всей плоскости Oxy . Функции α( y ) = y , β( y ) = 1 + y непрерывны для всех y ∈( − ∞,+ ∞ ) . Следовательно, в частности, f ( x , y ) непрерывна в области  y ≤ x ≤ 1 + y, (D ) =  где d > 0 – любое конечное число, а функции − ≤ ≤ d y d ,  α( y ), β( y ) непрерывны на промежутке [−d , d ] . Видим, что выполнены условия теоремы о непрерывности интеграла как функции параметра (см. §6). По этой теореме I ( y ) ∈ C([− d , d ]) , а значит, I ( y ) непрерывна в точке y = 0 . Следовательно, lim I ( y ) = I ( 0 ) , т. е. y →0

17

1+ y

lim

y →0

∫

y

1

dx dx π 1 x = = = arctg . 0 4 1 + x 2 + y 2 ∫0 1 + x 2

1

xb − xa 3. Вычислить ∫ dx ( a > 0 , b > 0 ), применяя интегрирование по паln x 0

раметру под знаком интеграла. Отметим прежде всего, что данный интеграл – несобственный, Подынтегральная функция имеет две особые точки. Это – точки x = 0 и x = 1. Имеем:

xb − xa = 0 ⇒ подынтегральная функция в правой полуокрестноx →+0 ln x сти точки x = 0 – ограниченная. xb − xa bx b−1 − ax a −1 = lim = lim ( bx b − ax a ) = b − a – опреде2) lim 1x x →1− 0 ln x x →1− 0 x →1− 0 1) lim

ленное число. ⇒ подынтегральная функция в левой полуокрестности точки x = 1 – ограниченная. Положим

b a  x − x , x ∈( 0, 1);  ln x ~ f ( x ) =  0, x = 0;   b − a, x = 1.  ~ ~ Ясно, что f ( x ) ∈ C([0, 1]) ⇒ f ( x ) ∈ R([0, 1]) , а значит, данный интеграл 1

xb − xa ∫ ln x dx сходится. 0

b

∫

Введем в рассмотрение интеграл I ( x ) = x y dy ( a > 0 , b > 0 ), x ∈[0, 1] . a

Этот интеграл представляет собой функцию параметра x , определенную в промежутке [0, 1]. Здесь f ( x , y ) = x y определена и непрерывна в прямоугольнике

a ≤ y ≤ b, (P ) =  А тогда по теореме об интегрировании по параметру под зна0 ≤ x ≤ 1. ком интеграла (см. §5) имеем: b1   y     ∫ I ( x ) dx = ∫  ∫ x dy dx = ∫  ∫ x dx dy . a 0 0 0 a 1

18

1b

y

b

xy Так как I ( x ) = ∫ x y dy = ln x a

y =b

= y =a

xb − xa , то предыдущее равенство примет ln x

вид: b1  xb − xa y   dx = x dx ∫ ln x ∫  ∫  dy ⇒ 1

a 0 b

0

1

b

x =1

0

a

x =0

 x y +1  xb − xa ∫ ln x dx = ∫  y + 1

dy = ∫ a

y

4. Вычислить I ′( y ) , если I ( y ) =

dy y =b b +1 = ln ( y + 1) y = a = ln . y +1 a +1

2 2

− yx ∫ e dx . y

2

f ( x , y ) = e − yx , α( y ) = y , β( y ) = y 2 ; α( y ) ≤ β ( y ) , если y ∈( − ∞, 0] U [1, + ∞ ) ; α( y ) ≥ β ( y ) , если y ∈[0, 1] . Пусть d1 > 0 – любое конечное число; d 2 > 1 – любое конечное число. Введем в рассмотрение области 1 ≤ y ≤ d2 , − d1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1, D D ( ) ( ) = = ( D1 ) =    2 2 3 2 2 y x y y x y ; ; ≤ ≤ ≤ ≤ y ≤ x ≤ y .   В каждой из этих трех областей f ( x , y ) непрерывна и имеет непрерывную Здесь

2

f y′ ( x , y ) = − x 2e − yx . В каждом из промежутков: [−d1, 0] ; [0, 1]; [1, d2 ] существуют α ′( y ), β′( y ) , причем α ′( y ) = 1, β ′( y ) = 2 y . По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) заключаем, что для любого y ∈([− d1, 0] U [1, d2 ]) I ′( y ) существует и y2

2

5

3

I ′( y ) = − ∫ x 2e − yx dx + e − y ⋅ 2 y − e − y . y

~

Пусть теперь y – любое из промежутка [0, 1]. Имеем I ( y ) = − I ( y ) , где y

2 ~ I ( y ) = ∫ e − yx dx . По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) для

y2

y

2 3 5 ~ ~ любого y ∈[0, 1] I ′( y ) существует и I ′( y ) = − ∫ x 2e − yx dx + e − y − e − y ⋅ 2 y .

y2

Следовательно,

для

любого

y ∈[0, 1]

существует

I ′( y ) ,

причем

19

~ I ′( y ) = − I ′( y ) , т. е. I ′( y ) =

y

2

5

3

2 − yx −y −y ∫ x e dx + e ⋅ 2 y − e ⇒

y2 y2

2

5

3

⇒ I ′( y ) = − x 2e − yx dx + e − y ⋅ 2 y − e − y , y ∈[0, 1] .

∫

y

Глава 2. Двойные интегралы §1. Область и ее диаметр Предварительно напомним некоторые сведения, относящиеся к понятию кривой на плоскости. 1. Если ϕ( t ) и ψ( t ) – две функции, определенные и непрерывные на промежутке [a , b] , то множество точек плоскости

{(ϕ (t ), ψ( t ))} , t ∈[a, b], называ-

ется непрерывной кривой. 2. Если ϕ ( a ) = ϕ ( b ) и ψ ( a ) = ψ ( b ) , то непрерывная кривая называется замкнутой. 3. Замкнутая кривая называется самонепересекающейся, если две точки кривой (ϕ ( u ), ψ ( u )) и (ϕ ( v ), ψ ( v )) при u < v могут совпасть лишь тогда, когда u = a, v = b. 4. Замкнутая самонепересекающаяся кривая ( K ) делит плоскость на два связных множества ( D ) и ( G ) . (Любые две точки каждого их этих множеств можно соединить непрерывной кривой, не пересекающей ( K ) . Если же одна из этих точек принадлежит ( D ) , а другая – принадлежит ( G ) , то всякая соединяющая их непрерывная кривая пересекает ( K ) .) Точки, лежащие на ( K ) , не входят ни в ( D ) , ни в ( G ) . Одно из множеств ( D ) , ( G ) является ограниченным, а другое – нет. То из этих двух множеств, которое является ограниченным, будем называть областью, ограниченной контуром ( K ) . (У нас на рис. 2.1 ( D ) – область, ограниченная контуром ( K ) .) Если к точками области ( D ) присоединить точки контура ( K ) , то полученное множество будем называть замкну-

20

той областью, ограниченной контуром ( K ) , и обозначать через ( D ) . Отметим, что замкнутая область ( D ) есть ограниченное замкнутое множество. Определение. Пусть ( D ) – замкнутая область, ограниченная контуром ( K ) . Пусть M и N – любые две точки, лежащие на ( K ) . Пусть ρ( M , N ) – расстояние между точками M и N . Число d = sup {ρ ( M , N )} называется диа-

(K )

(G ) ( D)

Рис. 2.1. К определению понятия области

M ∈( K ) N ∈( K )

метром ( D ) . Теорема. На контуре ( K ) существуют две точки M 0 и N 0 такие, что ρ( M 0 , N 0 ) = d .

Возьмем на контуре ( K ) точки M и N . Пусть M = (ϕ ( u ), ψ ( u)) ,

N = (ϕ ( v ), ψ ( v )) . Тогда ρ ( M , N ) = [ϕ ( v ) − ϕ ( u)] + [ ψ ( v ) − ψ ( u)] . Видим, что ρ( M , N ) есть функция аргументов u, v , определенная в квадрате a ≤ u ≤ b, (P ) =  и, очевидно, непрерывная в ( P ) . По второй теореме Вейерa ≤ v ≤ b, штрасса существует точка ( u0 , v0 ) ∈( P ) , в которой эта функция принимает свое наибольшее значение. Остается только положить M 0 = (ϕ ( u0 ), ψ ( u0 )) , N 0 = (ϕ ( v0 ), ψ ( v0 )) . (K) ( L) В главе 3 (см. §1) учебного по2

2

собия [4] дано определение площади области ( D ) , установлено необходимое и достаточное условие квадрируемости этой области. Там же введено понятие простой кривой и доказана теорема о простой Рис. 2.2. К обобщенной теореме кривой. Следствием этой теоремы о простой кривой явилось утверждение, что область ( D ) , ограниченная простым контуром, квадрируема. Отметим здесь, что теорема о простой кривой допускает обобщение, а именно: Обобщенная теорема о простой кривой. Пусть ( L ) – простая кривая, расположенная в области ( D ) , ограниченной простым контуром ( K ) . Разделим ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, 2, K , n . Пусть 21

Q – сумма площадей тех частичных областей ( Dk ) , которые имеют с ( L ) хотя бы одну общую точку. Тогда, если λ – наибольший из диаметров частичных областей ( Dk ) , то lim Q = 0 . λ→0

§2. Определение двойного интеграла Пусть функция f ( x , y ) задана в области ( D ) , ограниченной простым контуром ( K ) . Проделаем следующие операции. 1. Дробим ( D ) произвольной сетью простых кривых на n частичных областей ( D1 ), ( D2 ), K , ( Dn ) . Пусть площади этих частичных областей есть соответственно F1, F2 , K , Fn , а диаметры – d1, d2 , K , d n . Положим

λ = max {d k } ( λ – ранг дробления). k =1, n

2. В каждой частичной области ( Dk ) берем произвольную точку ( x k , y k ) и находим в ней значения функции f , т. е. находим f ( x k , yk ) . 3. Умножаем найденное значение функции на площадь соответствующей частичной области: f ( x k , y k ) ⋅ Fk , k = 1, 2, K , n . 4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму: n

σ = ∑ f ( x k , y k ) ⋅ Fk . k =1

Сумму σ будем называть интегральной суммой Римана. Отметим, что σ зависит, вообще говоря, как от способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , так и от выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) . 5. Измельчаем дробление так, чтобы λ → 0 , и ищем lim σ . Если существуλ →0

ет конечный предел I = lim σ и этот предел не зависит ни от способа дроблеλ→0

ния ( D ) на части ( Dk ) , k = 1, n , ни от выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) , то его называют двойным интегралом от функции f ( x , y ) по области ( D ) и обозначают символом

∫∫ f ( x, y ) dF

или

(D )

∫∫ f ( x, y ) dxdy .

(D )

Таким образом,

σ ∫∫ f ( x, y ) dF = λlim →0

(D )

22

n    f ( x , y ) dF = lim f ( x k , y k ) Fk  . ∑   ∫∫ λ→0 k =1  (D )

(1)

Замечание. Соотношение I = lim σ означает: любому числу ε > 0 отвечает λ→0

число δ > 0 такое, что для любого способа дробления ( D ) на части ( Dk ) , у ко-

торого ранг дробления λ < δ , будет: σ − I < ε , как бы ни были при этом выбраны точки ( x k , y k ) в ( Dk ) . Если у функции f ( x , y ) , определенной в ( D ) , существует

∫∫ f ( x, y ) dF ,

(D )

то будем говорить, что f ( x , y ) интегрируема в ( D ) и писать f ( x , y ) ∈ R( D ) ( f ( x , y ) принадлежит классу R в области ( D ) ). Установим теперь необходимое условие интегрируемости функции f ( x , y ) в области ( D ) . Теорема (об ограниченности функции f ( x , y ) , интегрируемой в ( D ) . Если функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , то f ( x , y ) – ограниченная в области ( D ) . По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) . Пусть I =

∫∫ f ( x, y ) dxdy . Но тогда любому

(D )

ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для любого способа дробления ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , независимо от способа выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) , ~ будет σ − I < ε . В частности, числу ε = 1 ( > 0) будет отвечать δ > 0 такое, что ~ для любого способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , независимо от способа выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) , будет σ − I < 1 . ~ Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , и закрепим его. (Тогда Fk , k = 1, n , будут определенными числами.) Для такого способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , независимо от способа выбора точек n

( x k , y k ) в ( Dk ) будем иметь

∑ f ( xk , yk )⋅ Fk − I < 1. k =1

Теперь выберем и закрепим точки ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , K , ( x n , y n ) соответственно в областях ( D2 ), ( D3 ), K , ( Dn ) (тогда f ( x2 , y2 ) , f ( x3 , y3 ) , K , f ( x n , yn ) будут определенными числами). Точку ( x1, y1 ) оставим свободной в

( D1 ) (т. е. точка ( x1, y1 ) может занимать любое положение в области ( D1 ) ). Будем иметь при любом положении точки ( x1, y1 ) в ( D1 ) : n

f ( x1, y1 ) ⋅ F1 + ∑ f ( x k , y k ) ⋅ Fk − I < 1. k =2

23

Положим I −

n

∑ f ( xk , yk ) ⋅ Fk = C

( C – определенное число, не зависящее от

k =2

выбора точки ( x1, y1 ) ). Предыдущее неравенство запишется теперь так:

f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C < 1 , точка ( x1, y1 ) ∈( D1 ) .

Имеем:

f ( x1, y1 ) ⋅ F1 = ( f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C ) + C ⇒ ⇒ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 ≤ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C + C ⇒ 1+ C ⇒ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 < 1 + C ⇒ f ( x1, y1 ) < . F1

Так как последнее неравенство верно для любого положения точки ( x1, y1 ) в

( D1 ) , то заключаем, что функция f ( x , y ) – ограниченная в ( D1 ) . Совершенно аналогично устанавливается ограниченность функции f ( x , y ) в областях ( D2 ), ( D3 ), K , ( Dn ) . Положим

M1 = sup{ f ( x , y ) } , M 2 = sup { f ( x , y ) } , K , M n = sup { f ( x , y ) } . ( D1 )

( Dn )

( D2 )

Пусть M = max{ M1, M 2 , K , M n } . Тогда f ( x , y ) ≤ M для любой точки ( x , y ) из ( D ) . А это и означает, что f ( x , y ) – ограниченная в ( D ) . Замечание. Доказанная теорема необратима, т. е. не всякая функция f ( x , y ) , заданная в ( D ) и ограниченная там, оказывается интегрируемой в

( D ) . Следовательно, ограниченность функции f ( x , y ) в области ( D ) является лишь необходимым условием интегрируемости этой функции в ( D ) . §3. Признаки интегрируемости функций Пусть ограниченная функция f ( x , y ) задана в области ( D ) , ограниченной простым контуром. На вопрос, существует или не существует

∫∫ f ( x, y ) dxdy , ответить, поль-

(D )

зуясь непосредственным определением двойного интеграла, удается сравнительно легко лишь в отдельных частных случаях. В связи с этим оказывается важным установление признаков интегрируемости функции f ( x , y ) в области

( D ) . Но признаки интегрируемости f ( x , y ) в ( D ) содержат понятия верхней и нижней сумм Дарбу. Поэтому необходимо ввести эти понятия.

24

Итак, пусть f ( x , y ) – ограниченная функция, определенная в области ( D ) . Разложим ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, n , и

положим M k = sup { f ( x , y )} ; mk = inf { f ( x , y )} . Отметим, что числа mk и ( Dk )

( Dk )

M k , k = 1, n , существуют, ибо множество

{ f ( x, y )} ,

ченное и сверху, и снизу. Составим суммы s =

n

( x , y ) ∈( Dk ) – ограни-

∑ mk Fk k =1

и S=

n

∑ M k Fk . Эти k =1

суммы называют соответственно нижней и верхней суммами Дарбу, отвечающими данному способу разбиения области ( D ) на части ( Dk ) . Отметим, что для закрепленного способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) суммы s и S – определенные числа. Если же способ разбиения изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа s и S . Отметим далее, что интегральные суммы Римана σ даже для закрепленного способа дробления ( D ) на части ( Dk ) принимают, вообще говоря, бесконечное множество значений (за счет различного выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) . Суммы Дарбу обладают следующими свойствами. 1. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления области ( D ) . Пусть {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому же способу дробления области ( D ) . Тогда для любой интегральной суммы Римана σ из {σ} будет: s ≤ σ ≤ S . 2. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления области ( D ) . Пусть {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому же способу дробления области ( D ) . Тогда s = inf {σ} , S = sup{σ} . 3. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие какомунибудь способу дробления области ( D ) . Добавим теперь еще одну простую кривую дробления (все прежние кривые дробления сохраняются). В результате у нас получится некоторый новый способ дробления области ( D ) . Пусть ~ s и

~ S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие этому новому способу дроб~ s ≥ s , т. е. что от ления области ( D ) . Справедливо утверждение, что S ≤ S , ~

добавления новых кривых дробления верхняя сумма Дарбу не увеличивается, а нижняя сумма Дарбу не уменьшается. 4. Выше было отмечено, что для закрепленного способа дробления области ( D ) нижняя и верхняя суммы Дарбу s и S суть определенные числа. Если же способ дробления области ( D ) изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа 25

s и S . Следовательно, как s , так и S принимают, вообще говоря, бесконечное множество значений. Пусть {s} – множество значений, принимаемых нижней суммой Дарбу, {S } – множество значений, принимаемых верхней суммой Дарбу. Справедливо утверждение: Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы Дарбу, т. е. для всякой s из {s} и для любой S из {S } оказывается s≤S. Видим, что перечисленные здесь свойства сумм Дарбу являются дословным повторением аналогичных свойств сумм Дарбу, установленных для функций f ( x ) , заданных на промежутке [a, b] (см. главу 1, §2 учебного пособия [4]) Следует отметить, что и доказательства этих свойств совершенно аналогичны прежним. Приступим теперь к установлению признаков интегрируемости. Теорема 1 (основной признак интегрируемости). Пусть функция f ( x , y ) – ограниченная, заданная в области ( D ) . Для того, чтобы f ( x , y ) ∈ R( D ) , необходимо и достаточно, чтобы было lim ( S − s ) = 0 (разности S − s составляλ→0

ются каждый раз из чисел s и S , отвечающих одному и тому же способу дробления области ( D ) ). Необходимость. Дано:

f ( x , y ) ∈ R( D ) , I =

∫∫ f ( x, y ) dF .

Доказать:

(D )

lim ( S − s ) = 0 .

λ→0

Возьмем ε > 0 – любое. По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒ взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого

λ < δ , для каждой σ из множества {σ} , отвечающих этому способу разбиения, ε будет σ − I < . Выберем и закрепим какой-нибудь способ разбиения ( D ) на 3 ε части ( Dk ) , у которого λ < δ . Будем иметь σ − I < , для любой σ из {σ} 3 (здесь {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ), или, что то же самое, ε ε I − < σ < I + , σ ∈{σ} . (1) 3 3 ε ε 1) Из соотношения (1) имеем, в частности, σ < I + , σ ∈{σ} ⇒ I + – 3 3 верхняя граница {σ} . Мы знаем, что S = sup{σ} . Поэтому 26

S≤I+

ε 3

(2)

( S – верхняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ). 2) Из соотношения (1) имеем также σ > I −

ε ε , σ ∈{σ} ⇒ I − – нижняя 3 3

граница {σ} . Мы знаем, что s = inf {σ} . Поэтому

s≥ I−

ε 3

(3)

( s – нижняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ). Из соотношений (2) и (3) следует, что

2 0 ≤ S − s ≤ ε. 3 Тогда 0 ≤ S − s < ε ⇒ S − s < ε . Последнее неравенство получено нами лишь в предположении, что λ < δ . Следовательно, lim ( S − s) = 0 . λ→ 0

Достаточность. Дано: lim ( S − s) = 0 . Доказать: f ( x , y ) ∈ R( D ) . λ→ 0

По условию, lim ( S − s ) = 0 . Это означает, что любому ε > 0 отвечает δ > 0 λ→ 0

такое, что для любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , оказывается S − s < ε , или S − s < ε (так как S − s ≥ 0 ). Рассмотрим множества {s}

и {S } . Выберем и закрепим любую S и {S } . Обозначим ее через S0 . По свойству 4) сумм Дарбу, имеем s ≤ S0 , s ∈{s} . Это означает, что {s} ограничено

сверху. Но тогда, как мы знаем, существует sup{s} . Пусть A = sup{s} ( A – оп-

ределенное число). Ясно, что s ≤ A , s ∈{s} . Ясно далее, что A ≤ S0 (так как A

– точная верхняя граница {s} , а S0 – просто верхняя граница этого множества).

У нас S0 – любая из {S } . Следовательно, A ≤ S , S ∈{S } . Таким образом, получили s≤ A≤ S . (4) Отметим, что в соотношении (4) s и S могут отвечать как различным, так и одному и тому же способу разбиения ( D ) на части ( Dk ) . Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk ) . Пусть {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому способу разбиения ( D ) , а s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу. Одновременно будут иметь место соотношения s ≤ σ ≤ S , σ ∈{σ}; s ≤ A ≤ S . 27

Тогда −( S − s ) ≤ σ − A ≤ ( S − s ) , σ ∈{σ} или σ − A ≤ ( S − s ) , σ ∈{σ} . Если брать любой способ разбиения ( D ) на части, у которого λ < δ , то будет S − s < ε , а значит, σ − A < ε, σ ∈{σ} . Последнее означает, что A = lim σ ⇒ f ( x , y ) ∈ R( D ) . λ→0

Замечание. Имеем n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

S − s = ∑ M k Fk − ∑ mk Fk = ∑ ( M k − mk ) Fk = ∑ ω k Fk . Здесь ω k = M k − mk – колебание функции f ( x , y ) в ( Dk ) . Теперь основной признак интегрируемости может быть сформулирован так. Пусть функция f ( x , y ) – ограниченная, заданная в области ( D ) . Для того, чтобы f ( x , y ) ∈ R( D ) , необходимо и достаточно, чтобы любому ε > 0 отвечало δ > 0 такое, что для любого способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , было бы n

∑ ω k Fk < ε . k =1

Теорема 2. Если f ( x , y ) ∈ C( D ) , то f ( x , y ) ∈ R( D ) (т. е. если функция

f ( x , y ) определена и непрерывна в ( D ) , то

∫∫ f ( x, y ) dxdy существует).

(D )

Возьмем ε > 0 – любое. По условию f ( x , y ) ∈ C( D ) . Так как ( D ) – ограниченное замкнутое множество, то по теореме Кантора f ( x , y ) равномерно непрерывна в ( D ) . Следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для

ε одноF временно для всех k = 1, n (см. следствие из теоремы Кантора; здесь F – площадь области ( D ) ). Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk ) ( k = 1, n ), у которого λ < δ . Будем иметь для такого способа разбиения ( D ) любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , будет ω k
0 – любое. По тео( D* ) реме о простой кривой линию ( L ) можно заключить внутрь ( L) многоугольной области ( D* ) , ( K* ) площадь которой меньше ε . Контур ( K* ) области ( D* ) есть замкнутая ломаная, звенья Рис. 2.3. К доказательству теоремы 3 которой параллельны координатным осям. ( L ) и ( K* ) не пересекаются.

y

x

Пусть ( D ) \ ( D* ) – область, остающаяся после удаления ( D* ) из ( D ) .

(Контур ( K* ) причисляем к области ( D ) \ ( D* ) ). Ясно, что f ( x , y ) – непрерывна в ( D ) \ ( D* ) .

Так как ( D ) \ ( D* ) – ограниченное замкнутое множество, то f ( x , y ) равно-

мерно непрерывна в ( D ) \ ( D* ) . Следовательно, взятому ε > 0 отвечает число

δ1 > 0 такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) ; ( x ′′, y ′′ ) из ( D ) \ ( D* ) , для которых ρ (( x ′, y ′ ); ( x ′′, y ′′ )) < δ будет f ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) < ε . Контур ( K* ) есть простая кривая. По обобщенной теореме о простой кривой, взятому ε > 0 отвечает δ 2 > 0 такое, что для любого способа дробления, у которого λ < δ 2 , сумма площадей тех частичных областей, которые задевают ( K* ) , будет меньше ε . Положим δ = min{δ1, δ 2 } . Разобьем область ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, n , так, чтобы оказалось λ < δ и составим разность сумм Дарбу S − s =

n

∑ ω k ⋅ Fk . k =1

Из областей ( D1 ) , ( D2 ) , K , ( Dn ) образуем три группы.

В группу I отнесем те из ( Dk ) , k = 1, n , которые лежат в ( D ) \ ( D* ) и не задевают контура ( K* ) .

29

В группу II отнесем те из ( Dk ) , k = 1, n , которые лежат в ( D* ) и не задевают контура ( K* ) . В группу III отнесем те ( Dk ) , которые задевают контур ( K* ) . n

Тогда и сумма

∑I

∑ ω k Fk

разобьется на три суммы

k =1

будет ω k < ε и поэтому

∑I, ∑II, ∑III . В сумме

∑I ω k Fk < ε ⋅ F . В суммах ∑II

и

∑III

будет

ω k ≤ Ω , где Ω – колебание функции f ( x , y ) в ( D ) (число Ω существует, ибо f ( x , y ) – ограниченная в ( D ) ). Так как суммы площадей областей ( Dk ) , попавших в группу II и в группу III меньше ε , то будем иметь: ∑II ω k Fk ≤ Ω ⋅ ∑II Fk < Ω ⋅ ε ,

∑III ω k Fk ≤ Ω ⋅ ∑III Fk < Ω ⋅ ε .

А тогда n

S − s = ∑ ω k Fk < ε( F + 2Ω )

(5)

k =1

(число ε( F + 2Ω ) сколь угодно мало вместе с ε ). Так как для достижения неравенства (5) нам потребовалось лишь чтобы было λ < δ , то заключаем, что lim ( S − s ) = 0 , а это означает, что f ( x , y ) ∈ R( D ) . λ→ 0

§4 Свойства двойных интегралов 1°.

∫∫ dF = F ( F

– площадь области ( D ) ).

(D )

В самом деле, здесь f ( x , y ) ≡ 1 всюду в ( D ) . Поэтому, взяв любое разбиение области ( D ) на части ( Dk ) , k = 1, n , и выбрав произвольно точки

( x k , y k ) в ( Dk ) , будем иметь f ( x1, y1 ) = 1 ; f ( x2 , y2 ) = 1 , f ( x3 , y3 ) = 1 , K , f ( x n , y n ) = 1 . Следовательно, n

n

n

σ = ∑ f ( x k , yk ) ⋅ Fk = ∑1 ⋅ Fk = ∑ Fk = F ⇒ k =1

k =1

k =1

lim σ = F .

λ→0

2°. Если f ( x , y ) ∈ R( D ) и α – произвольное число, то α f ( x , y ) ∈ R( D ) , причем

∫∫ α f ( x, y ) dF = α ⋅ ∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

30

(D )

Возьмем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( D ) на части ( Dk ) и составим интегральную сумму Римана для функции α f ( x , y ) . Будем иметь n

n

k =1

k =1

σ( α f ) = ∑ α f ( x k , yk ) Fk = α ∑ f ( x k , yk ) Fk = α ⋅ σ( F ) . По условию, f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒

∫∫ f ( x, y ) dF .

Но

тогда

(D )

lim σ ( f ) существует, конечный и равный

λ→0

lim σ( α f ) = α lim σ( f ) = α ∫∫ f ( x , y ) dF ,

λ→0

λ→0

lim σ( α f ) существует, конечный ⇒

λ→0

т. е.

(D )

∫∫ α f ( x, y ) dF существует, причем

(D )

∫∫ α f ( x, y ) dF = α ∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

(D )

3°. Если f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) , то причем

( f ( x, y ) ± g( x, y )) ∈ R( D ) ,

∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF ± ∫∫ g( x, y ) dF .

(D )

(D )

(D )

Берем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( D ) на части ( Dk ) и составляем интегральную сумму Римана для функции f ( x , y ) ± g( x , y ) . Будем иметь n

n

n

k =1

k =1

k =1

σ( f ± g ) = ∑ ( f ( x k , y k ) ± g( xk , yk )) Fk = ∑ f ( xk , yk ) Fk ± ∑ g( xk , yk ) Fk = = σ( f ) ± σ( g ) . По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) ⇒ существуют конечные lim σ( f ) и lim σ( g ) . Но тогда существует конечный lim σ( f ± g ) , причем λ→0

λ→0

λ→0

lim σ( f ± g ) = lim σ( f ) ± lim σ( g ) ⇒

λ→0

причем

λ→0

λ→0

∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dF

существует,

(D )

∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF ± ∫∫ g( x, y ) dF .

(D )

(D )

(D )

4°. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) . Если изменить значения функции f ( x , y ) вдоль какой-нибудь простой кривой ( L ) (с тем лишь условием, чтобы и измененная

31

функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в ( D ) и ее двойной интеграл по области ( D ) равен

∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

Если составить интегральные суммы Римана для измененной и исходной функций, то они могут разниться лишь теми слагаемыми, которые относятся к областям ( Dk ) , задевающим кривую ( L ) . Но, по обобщенной теореме о простой кривой, общая площадь этих областей стремится к нулю при λ → 0 , откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу, т. е. к I =

∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых. 5°. Если область ( D ) , в которой задана функция f ( x , y ) , разложена простой кривой ( L ) на две области ( D1 ) и ( D2 ) , то из интегрируемости функции

f ( x , y ) во всей области ( D ) следует ее интегрируемость в областях ( D1 ) и ( D2 ) , и обратно – из интегрируемости функции f ( x , y ) в обеих областях ( D1 ) и ( D2 ) вытекает ее интегрируемость в области ( D ) . При этом

∫∫ f ( x, y ) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF + ∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

( D1 )

(1)

( D2 )

Разложим области ( D1 ) и ( D2 ) произвольными сетями простых кривых на части; тем самым и ( D ) разложится на части ( D1 ), ( D2 ), K , ( Dn ) . Если

значком k ′ отметить частичные области, содержащиеся в ( D1 ) , а значком k ′′ – частичные области, содержащиеся в ( D2 ) , то n

∑ ω k Fk = ∑ ω k ′ Fk ′ + ∑ ω k ′′ Fk ′′ . k =1

1) Пусть функция f ( x , y ) ∈ R( D ) . Но тогда lim

λ→0

тельно, и подавно lim

λ→0

n

∑ ω k Fk = 0 , а, следоваk =1

∑ ω k ′ Fk ′ = 0 и λlim ∑ ω k ′′ Fk ′′ = 0 . Последнее означает, →0

что f ( x , y ) ∈ R( D1 ) и f ( x , y ) ∈ R( D2 ) .

2) Пусть теперь дано, что функция f ( x , y ) ∈ R( D1 ) и f ( x , y ) ∈ R( D2 ) . Но

тогда

lim ∑ ω k ′ Fk ′ = 0

λ→0

и

lim ∑ ω k ′′ Fk ′′ = 0 ,

λ→0

lim ∑ ω k Fk = 0 ⇒ f ( x , y ) ∈ R( D ) .

λ→0

32

а,

следовательно,

и

n

Однако нужно помнить, что

∑ ω k Fk

построена не для произвольного раз-

k =1

биения области ( D ) на части: ведь мы исходим из разложения порознь областей ( D1 ) и ( D2 ) . Чтобы от произвольного разложения области ( D ) перейти к разложению рассмотренного частного вида, нужно присоединить к линиям деления кривую ( L ) . Тогда соответствующие суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем частичным областям, которые задевают кривую ( L ) . Но по обобщенной теореме о простой кривой общая площадь этих областей стремится к нулю при λ → 0 и, следовательно, соответствующие суммы будут разниться на бесконечно малую величину. Значит, условие интегрируемости функции f ( x , y ) в ( D ) будет выполнено. Доказываемая формула (1) получается из равенства: n

∑ f ( xk , yk ) Fk = ∑ f ( xk ′ , yk ′ ) Fk ′ + ∑ f ( xk ′′ , yk ′′ ) Fk ′′ k =1

переходом в нем к пределу при λ → 0 . 6°. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) , и пусть всюду в ( D ) выполняется неравенство f ( x , y ) ≤ g( x , y ) . Тогда

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫ g( x, y ) dF .

(D )

(D )

Произвольной сетью простых кривых разобьем ( D ) на части ( Dk ) . В каждой частичной области ( Dk ) берем произвольную точку ( x k , y k ) . Ясно, что

f ( x k , y k ) ≤ g ( x k , yk ) , k = 1, n . Умножим обе части этого неравенства на Fk ( Fk > 0 ). Получим f ( x k , y k ) Fk ≤ g( x k , yk ) Fk . Просуммируем полученные неk от 1 до n. Будем иметь равенства по значку n

n

k =1

k =1

∑ f ( xk , yk ) Fk ≤ ∑ g( xk , yk ) Fk . Переходя здесь к пределу при λ → 0 , получим

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫ g( x, y ) dF .

(D )

(D )

7°. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и пусть всюду в ( D ) : m ≤ f ( x , y ) ≤ M . Тогда

m⋅ F ≤

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ M ⋅ F .

(D )

Это следует из свойств 6°, 2°, 1°.

33

8°. Теорема о среднем значении. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и пусть всюду в

( D ) : m ≤ f ( x , y ) ≤ M . Тогда: существует число µ, удовлетворяющее условию

∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F .

m ≤ µ ≤ M , такое, что будет

(D )

Выше (см. 7°) установлено, что в этом случае выполняется неравенство

mF ≤

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ MF .

Разделим все части этого неравенства на F

(D )

( F > 0 ): m ≤

1 F

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ M . Обозначим

(D )

m ≤ µ ≤ M ). Тогда

1 F

∫∫ f ( x, y ) dF = µ

(ясно, что

(D )

∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F , а это и требовалось установить.

(D )

9°. Частный случай теоремы о среднем значении. Если функция f ( x , y ) ∈ C( D ) , то в ( D ) обязательно найдется хотя бы одна точка ( ξ, η) такая, что будет:

∫∫ f ( x, y ) dF = f ( ξ, η) ⋅ F .

(D )

По условию f ( x , y ) ∈ C( D ) ⇒ по теореме Вейерштрасса f ( x , y ) достигает в ( D ) своего наименьшего m и наибольшего M значений. Так как f ( x , y ) ∈ C( D ) , то f ( x , y ) ∈ R( D ) . Тогда по теореме о среднем значении

∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F , где m ≤ µ ≤ M . Значения m и

M функция f ( x , y ) при-

(D )

нимает в ( D ) . Если же m < µ < M , то по теореме о промежуточном значении для функции f ( x , y ) ∈ C( D ) заключаем: в области ( D ) обязательно найдется хотя бы одна точка ( ξ, η) такая, что будет f ( ξ, η) = µ , а значит, и в этом случае

∫∫ f ( x, y ) dF = f ( ξ, η) ⋅ F .

(D )

10°. Если функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , то и функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , причем

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫

(D )

f ( x , y ) dF .

(D )

По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒

f ( x , y ) – ограниченная в ( D ) , т. е. существует число L > 0 такое, что f ( x , y ) ≤ L в ( D ) . Последнее означает, что 34

функция

f ( x, y )

– ограниченная в ( D ) . Следовательно, существуют

~ ~ = inf { f ( x , y ) } , M m = inf { f ( x , y )} , M = sup{ f ( x , y )} , m = sup{ f ( x , y ) } , а (D )

(D )

(D )

(D )

~ ~ ~ ( Ω – колебание функции значит, существуют Ω = M − m и Ω = M − m ~ ~ f ( x , y ) в ( D ) , а Ω – колебание f ( x , y ) в ( D ) ). Легко понять, что Ω ≤ Ω . Возьмем произвольное разбиение области ( D ) сетью простых кривых на ~ – колебание части ( Dk ) , k = 1, n . Пусть ω k – колебание f ( x , y ) в ( Dk ) , а ω k ~ ~ f ( x , y ) в ( Dk ) . Имеем 0 ≤ ω k ≤ ω k , k = 1, n ⇒ 0 ≤ ω k Fk ≤ ω k Fk , k = 1, n . Следовательно, n

n

~ F ≤ ω F . 0 ≤ ∑ω ∑ k k k k k =1

Так как f ( x , y ) ∈ R( D ) , то lim

λ→0

(2)

k =1

n

∑ ω k Fk = 0 . Тогда из (2) заключаем, что k =1

n

~ F = 0 . Последнее означает, что f ( x , y ) ∈ R( D ) . Имеем, далее, lim ∑ ω k k

λ→0

k =1

n

n

k =1

k =1

∑ f ( xk , yk ) Fk ≤ ∑ f ( xk , yk ) Fk , т. е. σ( f ) ≤ σ(| f |) . Переходя в последнем неравенстве к пределу при λ → 0 , получим

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫

(D )

f ( x , y ) dF .

(D )

35

§5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области Пусть

ограниченная

функция

f ( x, y )

задана

в

прямоугольнике

a ≤ x ≤ b, (P ) =  c ≤ y ≤ d .

1) Пусть при каждом закрепленном y из [c, d ] функция f ( x , y ) интегрируема на [a , b] , т. е. при каждом закрепленном y из [c, d ] существует b

b

∫ f ( x, y ) dx . Следовательно, ∫ f ( x, y ) dx a

мента

y,

представляет собой функцию аргу-

a

заданную

на

промежутке

[c, d ] .

Станем

обозначать

b

∫ f ( x, y ) dx = ϕ ( y ) ,

y ∈[c, d ] .

Допустим

теперь,

что

эта

функция

a

db

d b  ϕ( y ) ∈ R([c, d ]) . Тогда ∫ ϕ ( y ) dy = ∫  ∫ f ( x , y ) dx  dy = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx назы c ca c a вается повторным интегралом от функции f ( x , y ) в ( P ) . 2) Допустим еще, что при каждом закрепленном x из [a, b] существует d

d

∫ f ( x, y ) dy . Ясно, что каждому

x из [a, b] будет отвечать свое, вполне опре-

c

d

деленное значение интеграла

d

∫ f ( x, y ) dy . Следовательно, ∫ f ( x, y ) dy c

пред-

c

ставляет собой функцию аргумента x , определенную на промежутке [a, b] . d

Станем обозначать

∫ f ( x, y ) dy = ψ( x ) ,

x ∈[a, b]. Допустим, что эта функция

c

b d  ψ ( x ) ∈ R([a, b]) . Тогда ∫ ψ ( x ) dx = ∫  ∫ f ( x , y ) dy  dx = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy назы a ac a c вается еще одним повторным интегралом от функции f ( x , y ) в ( P ) . b

36

bd

Теорема 1. Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в прямоугольнике

(P ),

существуют

одновременно

Iдв. =

∫∫ f ( x, y ) dxdy

и

(P) d

b

c

a

Iповт. = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx , то они равны, т. е. Iдв. = Iповт ..

y

( Pik )

d y k +1 yk

c

x xi xi+1

a

b

Рис. 2.4. К вычислению двойного интеграла в случае прямоугольной области

Разобьем ( P ) отрезками прямых x = xi ( i = 0, 1, 2, K , n , x0 = a , x n = b ), y = y k ( k = 0, 1, 2, K , m , y0 = c , y m = d ), на частичные прямоугольники

 xi ≤ x ≤ xi +1, ( Pik ) =  Пусть  y k ≤ y ≤ yk +1. M ik = sup{ f ( x , y )} . Значит, если точка ( x , y ) ∈( Pik ) , то

( Pik ) ,

где

mik = inf { f ( x , y )} , ( Pik )

( Pik )

mik ≤ f ( x , y ) ≤ M ik . (1) Возьмем любое y из [ y k , y k +1 ] и закрепим его. Сделав это, проинтегрируем неравенство (1) по x от xi до xi +1 . Получим

mik ( xi +1 − xi ) ≤

xi +1

∫ f ( x, y ) dx ≤ Mik ( xi+1 − xi ) .

(2)

xi xi +1

Интеграл

∫ f ( x, y ) dx существует, так как существует по условию Iповт ., а это

xi

значит, что при любом закрепленном y из [c, d ] f ( x , y ) ∈ R([a, b]) ; тем более

f ( x , y ) ∈ R([ xi , xi +1 ]) . Просуммируем неравенства (2) по значку i от 0 до n −1

37

(во всех этих неравенствах считаем y одним и тем же, взятым из [ y k , y k +1 ] ). Будем иметь b

n −1

n −1

∑ mik ( xi+1 − xi ) ≤ ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∑ Mik ( xi+1 − xi ) . i=0

(3)

i=0

a

Проинтегрируем неравенство (3) по y от y k до y k +1 . Получим n−1

yk +1

i =0

yk

∑ mik( xi+1 − xi )( yk +1 − yk ) ≤ ∫

b

n−1

a

i =0

dy ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∑ Mik ( xi+1 − xi )( yk +1 − yk ) . (4)

Просуммируем неравенства (4) по значку k от 0 до m −1 . Будем иметь m−1n −1

d

b

k =0 i=0

c

a

y k +1 − y k ) ≤ ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx ≤ ∑ ∑ mik (1xi444 +1 − xi )( 2444 3

= Fik 144444244444 3

m−1n −1

=s

≤ ∑ ∑ M ik ( xi +1 − xi )( yk +1 − yk ) ⇔ s ≤ Iповт . ≤ S . 144424443 k =0 i=0 = Fik 144444244444 3 Так

как

s ≤ Iдв. ≤ S ,

=S

−( S − s ) ≤ Iповт . − Iдв. ≤ ( S − s ) ,

то

т. е.

Iповт . − Iдв. ≤ S − s . По условию, Iдв. существует ⇒ lim ( S − s ) = 0 . Следовательно, Iповт . − Iдв. = 0 ⇒ Iдв. = Iповт ..

λ→0

Замечание. Совершенно аналогично устанавливается: Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в прямоугольнике ( P ) , существуют одновременно Iдв. =

∫∫

(P)

~ Iдв. = Iповт ..

ϕ( y ) ∈ C([c, d ]) .

d

a

c

f ( x , y ) определена и непрерывна в

Теорема 2. Пусть функция

a ≤ x ≤ b, (P ) =  c ≤ y ≤ d .

b

~ f ( x , y ) dxdy и Iповт . = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy , то

b

Пусть

ϕ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx ,

y ∈[c, d ] . Тогда функция

a

Эта теорема была доказана ранее. См. главу 1, §3. О непрерывности интеграла как функции параметра. Замечание. Совершенно аналогично устанавливается справедливость утверждения: 38

d

Пусть f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть ψ( x ) =

∫ f ( x, y ) dy ,

x ∈[a, b]. Тогда функ-

c

ция ψ( x ) ∈ C([a, b]) .

Следствие. Если функция f ( x , y ) определена и непрерывна в ( P ) , то суd

b

b

d

c

a

a

c

~ ществуют Iповт . = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx и Iповт . = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy . b

Действительно,

в

этом

ϕ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx ∈ C([c, d ]) ,

случае

а

a

d

ψ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy ∈ C([a, b]) .


ϕ( y ) ∈ R([c, d ]) ;

c

d

b

c

a

~ ψ( x ) ∈ R([a, b]) , т. е. ∫ ϕ ( y ) dy = Iповт . и ∫ ψ( x ) dx = Iповт . существуют. Ранее (см. §3, теорема 2) было доказано, что если f ( x , y ) ∈ C( P ) , то

f ( x , y ) ∈ R( P ) , т. е. существует Iдв. =

∫∫ f ( x, y ) dxdy .

(P)

Таким образом, приходим к выводу: если f ( x , y ) ∈ C( P ) , то существуют

~

одновременно Iдв. , Iповт ., Iповт .. А тогда по теореме 1 настоящего параграфа, получаем, что Iдв. = Iповт ., т. е. d

b

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .

~ и Iдв. = Iповт ., т. е.

(P )

c

a

b

d

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy .

(P )

Пример 1. Вычислить I =

a

(5)

(6)

c

3 ≤ x ≤ 4, dxdy , где ( ) P =  ∫∫ ( x + y )2 1 ≤ y ≤ 2. (P ) 2

4

dxdy dx = ∫ dy ∫ По формуле (5) имеем ∫∫ . Находим сначала 2 2 (x + y) (x + y) (P ) 1 3 внутренний интеграл: 39

4

x =4

dx 1 1 1 ∫ ( x + y )2 = − x + y x = 3 = y + 3 − y + 4 . 3 А тогда 2

y =2

dxdy 5 4 25  1 − 1  dy = ln y + 3 = = ln − ln = ln . ∫∫ ( x + y )2 ∫  y + 3 y + 4 y + 4 y =1 6 5 24 (P ) 1 Пример 2. Вычислить I =

0 ≤ x ≤ 1, y dxdy , где ( ) P =  ∫∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 0 ≤ y ≤ 1. (P)

Здесь для вычисления I удобнее воспользоваться формулой (6), т. е. взять внешнее интегрирование по x , а внутреннее – по y . Будем иметь: 1

1

y dy . Находим внутренний интеграл: 2 2 32 + x + y ( 1 ) 0

I = ∫ dx ∫ 0

1

y dy 1 = − ∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 1 + x2 + y2 0 А тогда

y =1

1

=

2

x +1

y =0

−

1 2

x +2

.

x =1

1

 1 x + x2 +1 1  1+ 2 2+ 2 I =∫ − . = ln + ln 2 = ln  dx = ln 2 2 2 1 3 1 3 + +   x x 1 2 2 x + x + + + 0 x =0 Замечание. Если вычислять I по формуле (5), то квадратуры окажутся более сложными. В самом деле, будем иметь: I =

1

1

0

0

dx

∫ y dy ∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 . Нахо-

дим внутренний интеграл: x =1

1

dx

1

∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 = 1 + y 2 ⋅ 0

x 1 + x2 + y2

= x =0

1 1 ⋅ . 2 2 1+ y 2+ y

А тогда 1

2 + y2 −1

y =1

1 1 3 −1 1 2 −1 = = ln − ln = ln 2 2 2 2 2 2 + + 3 1 2 1 2 + y + 1 y =0 0 (1 + y ) 2 + y y dy

I=∫

1 = ln 2

40

( (

)( 3 + 1)( 3 −1

) = 1 ln ( 2 − 1) 2

2 +1

)(

3 −1

2

2

)

2 +1

2

= ln

2+ 2 . 1+ 3

§6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной области Пусть ограниченная функция f ( x , y ) задана в области ( D ) , ограy ниченной линиями: y = c , y = d d ( c < d ) и x = α( y ) ; x = β( y ) , где α( y ) , β( y ) – функции, непрерывные на промежутке [c, d ] и такие, что α( y ) ≤ β ( y ) , y ∈[c, d ] . c Определение. Пусть при каждом x = α( y ) закрепленном y из [c, d ] существует β( y)

∫

β( y)

f ( x , y ) dx . Тогда

α( y )

∫

(D ) x =β( y ) x

Рис. 2.5. К определению повторного интеграла от функции f ( x , y )

f ( x , y ) dx

α( y )

в области ( D )

представляет собой функцию аргумента y , определенную на промеβ( y )

= ϕ( y) , ∫ f ( x, y ) dx обозн .

жутке [c, d ] , т. е.

y ∈[c, d ] . Если эта функция ϕ( y )

α( y )

оказывается d

интегрируемой

[c, d ] ,

промежутке

то

β( y )

d

∫ ϕ ( y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx c

на

называется повторным интегралом от функции

α( y )

c

f ( x , y ) в области ( D ) . Теорема 1. Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в области ( D ) , существуют

одновременно

оба

интеграла:

Iдв. =

∫∫ f ( x, y ) dxdy

и

(D )

d

β( y )

c

α( y )

Iповт. = ∫ dy

∫ f ( x, y ) dx , то они равны, т. е. Iдв. = Iповт. .

По условию α( y ) и β( y ) – функции, непрерывные на [c, d ] . Значит, они – ограниченные на [c, d ] . Следовательно, найдутся числа a и b такие, что будет: a < α( y ) ≤ β ( y ) < b , y ∈[c, d ] . Построим прямоугольник

a ≤ x ≤ b, (P ) =  Ясно, что ( D ) ⊂ ( P ) . Введем в рассмотрение вспомогатель≤ ≤ . c y d  ную функцию g( x , y ) , определив ее в прямоугольнике ( P ) следующим образом: 41

y d

x =α( y )

 f ( x , y ) в ( D ), g( x, y ) =  0 в ( P ) \ ( D ). Покажем, что у функции g( x , y ) в ( P ) сущест-

x =β( y )

(D )

вуют

y c

оба

интеграла

* Iдв. =

∫∫ g( x, y ) dF

и

(P)

x

a

b

* Iповт.

Рис. 2.6. К доказательству теоремы 1

d

b

c

a

= ∫ dy ∫ g ( x , y ) dx .

g( x , y ) ∈ R( D ) , ибо в (D ) g( x, y ) ≡ f ( x, y ) . Кроме того, g( x , y ) ∈ R(( P ) \ ( D )) , ибо g( x , y ) = 0 всюду в ( P ) \ ( D ) , за исключением, быть может, множества точек, лежащих на двух простых кривых: x = α( y ) и x = β( y ) , y = [c, d ] (мы знаем, что существование и величина двойного инте1) Действительно,

грала не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функций вдоль конечного числа простых кривых). Значит, g( x , y ) ∈ R( P ) , т. е. * Iдв. =

∫∫ g( x, y ) dF существует. Имеем, далее,

(P)

* Iдв. =

∫∫ g( x, y ) dF = ∫∫ g( x, y ) dF + ∫∫ g( x, y ) dF =

(P )

(D )

( P )\( D )

1442443 =0

=

∫∫ f ( x, y ) dF + 0 = Iдв. .

(D )

Итак,

* Iдв.

существует, и * Iдв. = Iдв. .

(1)

* 2) Покажем теперь, что у функции g( x , y ) в ( P ) существует Iповт .. Для

этого возьмем любое y из [c, d ] и закрепим его. Имеем

[a, b] = [ a , α( y )] U [α( y ), β( y )] U [β( y ), b] . Функция g( x , y ) интегрируема по x на каждом из этих трех промежутков, ибо на [α( y ), β( y )] она совпадает с f ( x , y ) , а на остальных двух – g( x , y ) = 0 всюду за исключением, быть может, двух точек. Имеем, далее, b

α( y )

β( y )

b

β( y )

a

1a 4 4244 3

α( y )

β( y )

α( y )

∫ g( x, y ) dx = ∫ g( x, y ) dx + ∫ g( x, y ) dx + ∫ g( x, y ) dx = ∫ f ( x, y ) dx . =0

42

14 4244 3 =0

По условию, правая часть последнего равенства интегрируема на промежутке [c, d ] (по условию, Iповт . существует). Значит, интегрируема на промежутке

[c, d ] и левая часть этого равенства, т. е. существует Таким образом, показано, что

* Iповт . существует * Iповт . = Iповт ..

* Iповт .=

d

b

c

a

∫ dy ∫ g( x, y ) dx .

и что (2)

Так как у ограниченной функции g( x , y ) , заданной в прямоугольнике ( P ) , су* * и Iповт ществуют оба интеграла Iдв. ., то по теореме 1 предыдущего параграфа

заключаем, что * * Iдв. = Iповт ..

(3)

* * = Iдв. , Iповт У нас Iдв. . = Iповт .. Следовательно, Iдв. = Iповт. . β( y )

Теорема 2. Пусть функция f ( x , y ) ∈ C( D ) , и пусть ϕ ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx ,

α( y )

y ∈[c, d ] . Тогда ϕ( y ) ∈ C([c, d ]) .

Эта теорема была доказана ранее (см. гл. 1, §6, теорема о непрерывности интеграла как функции параметра). Следствие. Если функция f ( x , y ) ∈ C( D ) , то существует d

d

β( y )

c

c

α( y )

Iповт. = ∫ ϕ ( y ) dy = ∫ dy

∫ f ( x, y ) dx .

Ранее (см. §3, теорема 2) было доказано, что если f ( x , y ) ∈ C( D ) , то

f ( x , y ) ∈ R( D ) , т. е. существует Iдв. =

∫∫ f ( x, y ) dxdy . Таким образом, прихо-

(D )

дим к заключению: если f ( x , y ) ∈ C( D ) , то существуют одновременно Iдв. и

Iповт. . А тогда по теореме 1 настоящего параграфа приходим к выводу, что Iдв. = Iповт. , т. е. d

β( y )

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .

(D )

c

(4)

α( y )

Замечание 1. Если область ( D ) представляет собой криволинейную трапе-

~

~ ( x ) , y = β ( x ) , x ∈[a, b] и пряцию другого типа и ограничена кривыми y = α ~ ~( x ) и β ( x ) предполагаются непрерывмыми x = a , x = b , a < b (функции α 43

~ ~( x ) ≤ β ными на промежутке [a, b] и такими, что α ( x ) , x ∈[a, b]), то вместо формулы (4) придем к формуле ~ β( x )

b

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ~ ∫ f ( x, y ) dy .

(D )

(5)

α( x )

a

Разумеется, что при этом предполагается, что f ( x , y ) ∈ C( D ) , а, следователь-

~

b

~ β( x )

a

α( x )

∫∫ f ( x, y ) dxdy и Iповт . = ∫ dx ~ ∫ f ( x, y ) dy существуют.

но, Iдв. =

(D )

y

~ y = β( x )

d

y

~ y = β( x )

(D )

(D )

~( x ) y =α

x

a

c a

b

(D1)

γ

b

Замечание 2. Если контур области ( D ) пересекается лишь в двух точках как параллелями оси абсцисс, так и параллелями оси ординат (как, например, в случае, изображенном на рис. 2.8), то справедливы обе формулы (4) и (5). При этом, конечно, предполагается, что f ( x , y ) ∈ C( D ) . Функ-

(D3)

(D2)

x

Рис. 2.8. К замечанию 2

Рис. 2.7. К замечанию 1

y

~( x ) y =α

x

~ ~ ( x ), β α ( x ) ∈ C([a, b]) . α( y ), β ( y ) ∈ C([c, d ]) .

ции

Функции

Замечание 3. В случае более сложного контура область ( D ) обычно разлагается на конечное число частей рассмотренного типа (например, на рис. 2.9 область ( D ) рассекается прямой x = γ на три такие части: ( D1 ), ( D2 ), ( D3 ) ). Тогда и искомый двойной интеграл представляется суммой двойных интегралов, распространенных в отдельности на эти части: f ( x , y ) dF = f ( x , y ) dF + f ( x , y ) dF + f ( x , y ) dF . Рис. 2.9. К замечанию 3

∫∫

(D )

44

∫∫

( D1 )

∫∫

( D2 )

∫∫

( D3 )

§7. Примеры к главе 2 1. Вычислить I =

∫∫ ( x

2

+ y ) dxdy , где ( D ) – область, ограниченная двумя

(D ) 2

параболами: y = x 2 и y = x . Полезно сделать чертеж (хотя бы грубо), чтобы получить общее представление об области. Решая совместно уравнения парабол, находим точки их пересе1 чения: ( 0, 0) и (1, 1) . x = y2 Если внешнее интегрирование производить по y , то промежутком изменения y будет [0, 1]. Взяв про- y (D) извольное значение y из промежутка [0, 1], видим по

y

2

рисунку, что x изменяется от x = y до x = x= y

1

∫

дем иметь, следовательно, I = dy 0

y . Бу-

∫ (x

x= y

2

x

y = x2

O

1

Рис. 2.10. К примеру 1

+ y ) dx .

2

Вычисляем внутренний интеграл: x= y

x= y

 x3  1 32 4 32 1 6 32 1 6 3 3 ∫ (2x + y ) dx =  3 + yx 2 = 3 y + y − 3 y − y = 3 y − 3 y − y . x= y 2

x= y

Вычисляем теперь внешний интеграл: 1

4

∫  3 y 0

2. Вычислить I =

32

1 33 − y 6 − y 3  dy = .  3 140

x2 ∫∫ y 2 dxdy , где ( D ) – об(D )

y 2

ласть, ограниченная прямыми x = 2 , y = x и гиперболой xy = 1 . Наносим все эти три линии на рисунок 1 (рис. 2.11). Совместным решением уравнений легко получить, что прямая x = 2 пересекает 12 прямую y = x в точке ( 2, 2) , а гиперболу xy = 1

1 – в точке  2,  ; прямая же y = x и гипербола 

2

O

xy = 1 (в пределах первого квадранта, где и лежит рассматриваемая область) пересекаются в точке (1, 1) .

y=x

x=2

(D ) xy = 1 1

x 2


45

Если внешнее интегрирование производить по x , то промежуток изменения x будет [1, 2]. Взяв произвольное значение x из этого промежутка, видим по рисунку, что y изменяется от y = y=x

y=x

2

x2 I = ∫ dx ∫ dy . 2 y y =1 x 1

Но

1 до y = x . Будем иметь, следовательно, x

x2 x2 dy = − ∫ y2 y y =1 x

y=x

1 y= x

= x3 − x ,

так

что

2

9 I = ∫ ( x 3 − x ) dx = . 4 1

В то время как в примере 1 вычисление двойного интеграла по обеим формулам (4) или (5) представлялось одинаково простым, в примере 2 дело обстоит иначе: вычисление по формуле (4) здесь было бы сложнее. Тем не менее мы выполним его, ибо поучительно дать себе отчет в причине указанного обстоятельства. Прямая, параллельная оси Ox , пересекает контур области ( D ) в двух точках, так что формула (4) применима. Но кривая, ограничивающая нашу область слева, состоит из двух частей: куска гиперболы и куска прямой, которые определяются различными уравнениями. Иными словами, функция x = α( y ) зада-

1 ется различными формулами в различных частях промежутка  , 2 изменения  2



y . Именно,  1 , если y ∈  1 , 1,   2  α( y ) =  y  y , если y ∈[1, 2]. 1 Поэтому интегрирование по y следует разбить на два промежутка:  , 1 и  2 

[1, 2]. Следовательно, будем иметь: 1

x =2

2

x =2

x2 x2 I = ∫ dy ∫ dx + dy ∫ ∫ y 2 dx . 2 y x =1 y x= y 12 1 Так как x =2

x2 x3 ∫ y 2 dx = 3 y 2 x =1 y то

46

x =2 x=

1 y

8 1 = 2 − 5, 3y 3y

x =2

x2 x3 ∫ y 2 dx = 3 y 2 x= y

x =2

= x= y

y 8 − , 3y2 3

1

2  8  8 y 1  17 5 9 I = ∫  2 − 5  dy + ∫  2 −  dy = + = . 3 12 6 4 3y   3y  3y 12 1

С подобными обстоятельствами приходится считаться: из двух возможных путей вычисления двойного интеграла, естественно, выбирают более простой. 3. Вычислить I =

∫∫

4 x 2 − y 2 dxdy , где ( D ) –

y

(D )

область, ограниченная прямыми y = 0 , x = 1, y = x . 1 Если внешнее интегрирование производить по x , то промежуток изменения x будет [0, 1]. Взяв произвольное значение x из промежутка [0, 1], видим по рисунку, что y изменяется от y = 0 до y = x . Будем y=x

1

∫

иметь, следовательно, I = dx

∫

4 x 2 − y 2 dy . Вы-

x =1 (D)

O

x 1

y=0


y =0

0

y=x

числяем внутренний интеграл: y=x

∫

y =0

y=x

y y  3 π 2 4 x − y dy =  4 x 2 − y 2 + 2 x 2 arcsin  = + x . 2 x  y = 0  2 3  2 2

2

Вычисляем теперь внешний интеграл: 1

 3 π 2 1  3 π + . I = ∫ +  x dx =  3  2 3   2 3 0

В примере 3 вычисление I можно было вести и по формуле (4), т. е. производить внешнее интегрирование по y . Но в этом случае мы натолкнемся н а б о л е е т р у д н ы е к в а д р а т у р ы . Чтобы убедиться в этом, станем вычислять I 1

∫

по формуле (4). Имеем: I = dy 0

x =1

∫

4 x 2 − y 2 dx . Вычисляем внутренний инте-

x= y

грал: x =1

∫

x= y

(

)

x =1

 y2 1 2 2 2 2 4 x − y dx =  x 4 x − y − ln 2 x + 4 x 2 − y 2  = 2 2  x= y

(

)

 y2 y2 1 2 2 2 =  4− y − ln 2 + 4 − y − y 3 + ln 2 y + 3 y  . 2 2 2 

(

)

А тогда

47

(

)

1  ln 2 + 3 2 y 2 y 1  2 2 I = ∫  4 − y − 3y + y + ln  dy . 2  2 2 2 + 4 − y2  0  1

∫

 3

π

+  x 2 dx , Сопоставляя это выражения для I с ранее полученным: I =   2 3 0

видим, что вычисление I по формуле (5) предпочтительнее. Подобное обстоятельство следует учитывать при выборе формулы для вычисления двойного интеграла. Для приобретения навыков в расстановке пределов интегрирования в случае криволинейной области полезны следующие упражнения. Задача 1. Переменить порядок интегy рирования в повторном интеграле 8 y = 2− x

2

I= x = 2 y +1 x = −2 y + 1 −6

2

(D ) −2

−1

2

x

Рис. 2.13. К задаче 1

∫ dx ∫ f ( x, y ) dy .

−6

y=

x2 −1 4

Область интегрирования ( D ) определяется совместными неравенствами:

x2 −6 ≤ x ≤ 2 , − 1 ≤ y ≤ 2 − x . Изобразим 4 эту область ( D ) на рисунке. Из рис. 2.13

видим, что если брать внешнее интегрирование по y , то область ( D ) следует разбить на две области ( D1 ) и ( D2 ) лини-

y = 0 . Тогда: ( D1 ) будет определяться неравенствами: −1 ≤ y ≤ 0 , −2 y + 1 ≤ x ≤ 2 y + 1 , а ( D2 ) – неравенствами 0 ≤ y ≤ 8,

ей

−2 y + 1 ≤ x ≤ 2 − y . Будем иметь, следовательно, 0

x = 2 y +1

8

x = 2− y

−1

x =−2 y +1

0

x =−2 y +1

I = ∫ dy

∫ f ( x, y ) dx + ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .

Задача 2. Переменить порядок интегрирования в повторном интеграле 1

y =1− x 2

−1

y =− 1− x 2

I = ∫ dx

∫ f ( x, y ) dy .

Область интегрирования ( D ) определяется совместными неравенствами

−1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 .

48

y 1

x = − 1− y −1

x = 1− y 1

(D )

x

x = 1− y 2

x = − 1− y 2

−1 Рис. 2.14. К задаче 2

Изобразим область ( D ) на рисунке. Из рис. 2.14 видим, что если внешнее интегрирование производить по y , то область ( D ) следует разбить линией y = 0 на две области ( D1 ) и ( D2 ) . Область ( D1 ) определяется неравенствами:

−1 ≤ y ≤ 0 , − 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − y 2 , а область ( D2 ) – неравенствами 0 ≤ y ≤ 1 , − 1 − y ≤ x ≤ 1 − y . Следовательно, будем иметь 0

x = 1− y 2

1

x = 1− y

−1

x =− 1− y 2

0

x =− 1− y

I = ∫ dy

∫ f ( x, y ) dx + ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .

Задача 3. Переменить порядок интегрирования в повторном интеграле

I=

2a

y = 2 ax

0

y = 2ax − x 2

∫ dx

∫ f ( x, y ) dy ( a > 0 ).

Область интегрирования ( D ) определяется совместными неравенствами:

2ax − x 2 ≤ y ≤ 2ax . Изобразим область ( D ) на рисунке. Из рис. 2.15 видим, что если внешнее интегрирование производить по y , то область ( D ) следует разбить линией: y = a на три области: ( D1 ) , ( D2 ) , ( D3 ) . Область ( D1 ) определяется неравенствами:

0 ≤ x ≤ 2a ;

0 ≤ y ≤ a,

y2 ≤ x ≤ a − a2 − y2 ; 2a

область ( D2 ) – неравенствами:

0 ≤ y ≤ a , a + a 2 − y 2 ≤ x ≤ 2a ; область ( D3 ) – неравенствами

a ≤ y ≤ 2a ,

y2 ≤ x ≤ 2a . 2a 49

y 2a

y2 x= 2a

x = 2a

a

x = a + a 2− y 2

x = a − a 2− y 2

x a

2a


Следовательно, будем иметь: a

I = ∫ dy 0

x =a − a2 − y 2

a

x = 2a

2a

0

x =a + a2 − y 2

a

∫ f ( x, y ) dx + ∫ dy

x=

y2 2a

Задача 4. Вычислить I =

x = 2a

∫ f ( x, y ) dx + ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . x=

y2 2a

0 ≤ x ≤ π, cos( x + y ) dxdy , где ( D ) =  ∫∫ 0 ≤ y ≤ π. (D )

y

y = 3π − x 2

π

(D4)

π 2 (D2) y= π −x 2 (D1)

(D3) x π 2

π

3π 2

2π


Отметим прежде всего, что cos( x + y ) ≥ 0 в областях:

3π π π π − x ≤ y ≤ π  . ( D1 ) = 0 ≤ x ≤ ; 0 ≤ y ≤ − x  и ( D4 ) =  ≤ x ≤ π; 2 2 2 2    cos( x + y ) ≤ 0 в областях: 50

3π π π π − x  . ( D2 ) = 0 ≤ x ≤ ; − x ≤ y ≤ π  и ( D3 ) =  ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ 2 2 2 2    Имеем поэтому

I=

∫∫ cos( x + y ) dxdy = ∫∫ cos( x + y ) dxdy − ∫∫ cos( x + y ) dxdy −

(D )

( D1 )

−

( D2 )

∫∫ cos( x + y ) dxdy + ∫∫ cos( x + y ) dxdy =

( D3 ) π2 y = π 2− x

=

∫

dx

π

∫

dx

π2 π2

=

∫ sin ( x +

∫ cos( x + y ) dy − ∫

y =0 y = 3π 2 − x

0

−

( D4 ) π2

∫ sin ( x +

π2

y =0

π2

∫ sin ( x +

−

y=π y ) 3π dx y= −x 2

+ ∫ (1 + sin x ) dx + π2

2

x − y +2=0 ⇔

y = 3π 2 − x

y =π y ) π dx y= −x 2

π

−

∫ sin ( x +

π2

π2 π2

0

0

π2

π

π2

0

π2

∫ (1 − sin x ) dx = 2 ∫ dx + 2 ∫ dx = π + π = 2π . ∫∫ sgn( x

(D) 2

y

−

2

x2

( 2) ( 2) 2

{

{

{

}

− y 2 + 2) dxdy , где ( D ) = x 2 + y 2 ≤ 4 .

2

= 1 . Вет-

ви этой гиперболы являются линиями разрыва подынтегральной функции. Так как подынтегральная функция – ограниченная в ( D ) и непрерывная там всюду, за исключением точек, лежа- −2 щих на двух простых кривых, то двойной интеграл I существует. Пусть

( D1 ) = −1 ≤ x ≤ 1;

3π −x y ) y = 02 dx + y=

∫ (1 − sin x ) dx + ∫ (1 + sin x ) dx +

=

π

Задача 5. Вычислить I = 2

∫ cos( x + y ) dy =

dx

π2

0

π

y = π 2− x y=π

π

0

+

∫ cos( x + y ) dy −

dx

0

∫ cos( x + y ) dy + ∫

π y= −x y ) y = 02 dx

π

y =π

}

x2 + 2 ≤ y ≤ 4 − x2 ,

y

2 x −1

1

2

− 2 Рис. 2.17. К задаче 5

}

( D3 ) = −1 ≤ x ≤ 1; − 4 − x 2 ≤ y ≤ − x 2 + 2 , 51

{

}

( D2 ) = −2 ≤ x ≤ −1; − 4 − x 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 U

{

} 4 − x }.

U −1 ≤ x ≤ 1; − x 2 + 2 ≤ y ≤ x 2 + 2 U

{

U 1 ≤ x ≤ 2; − 4 − x 2 ≤ y ≤

2

Имеем в ( D1 ) U ( D3 ) : x 2 − y 2 + 2 < 0 , а в ( D2 ) : x 2 − y 2 + 2 > 0 . Мы знаем, что существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых. Поэтому

I=

∫∫ dxdy − ∫∫ dxdy − ∫∫ dxdy = FD

( D2 )

( D1 )

( D3 )

2

− FD1 − FD3 ,

где FD , FD , FD – площади областей ( D1 ) , ( D2 ) , ( D3 ) . Так как F( D ) = 4π , 1

2

3

F( D3 ) = F( D1 ) , то F( D2 ) = 4π − 2 F( D1 ) и, следовательно, I = 4π − 4 F( D1 ) . Так как область ( D1 ) симметрична относительно оси Oy , то 1

F( D1 ) = 2∫ dx 0

y = 4− x 2

∫ dy = 2∫ ( 2

y = x +2

1

)

4 − x 2 − x 2 + 2 dx =

0

(

)

x =1

2 4 x x x 2 = = 2 4 − x 2 + arcsin − x + 2 − ln x + x 2 + 2   x = 0  2 2 2 2 2  2π  3 π 2 3 + 2 ln = 2 + − − ln 1 + 3 + ln 2  = . 1+ 3  3  2 3 2

(

)

А тогда

I = 4π −

(

)

8π 2 4π − 8 ln = + 4 ln 2 + 3 . 3 1+ 3 3

Задача 6. Вычислить I =

∫∫

(D )

{

По определению функции E , имеем: если 0 ≤ y − x 2 < 1 , т. е. если x 2 ≤ y < 1 + x 2 , то E( y − x 2 ) = 0 ; если 1 ≤ y − x 2 < 2 , т. е. если 1 + x 2 ≤ y < 2 + x 2 , то E( y − x 2 ) = 1 ; если 2 ≤ y − x 2 < 3 , т. е. если 2 + x 2 ≤ y < 3 + x 2 , то E( y − x 2 ) = 2 ; если 3 ≤ y − x 2 < 4 , т. е. если 3 + x 2 ≤ y < 4 + x 2 , то E( y − x 2 ) = 3 .

52

}

E( y − x 2 ) dxdy , где ( D ) = x 2 ≤ y ≤ 4 .

Следовательно, E( y − x 2 ) = 0 в ( D1 ) ; 2

y

2

E( y − x ) = 1 в ( D2 ) ; E( y − x ) = 2 в

4 (D4) 3 (D3) 2 (D2) 1 (D1)

2

( D3 ) ; E( y − x ) = 3 в ( D4 ) . Видим, что

x = y −3

подынтегральная функция терпит разрыв x = y −2 на конечном числе простых кривых, лежащих в области ( D ) . В остальных точx = y −1 ках области ( D ) она непрерывная. Так x= y как подынтегральная функция еще и ограниченная в ( D ) , то двойной интеграл x −2 −1 I существует. Принимая во внимание, 1 2 32 что существование и величина двойного Рис. 2.18. К задаче 6 интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых, можем написать, что:

I=

∫∫ 0 ⋅ dxdy + ∫∫ 1⋅ dxdy + ∫∫

( D1 )

( D2 )

2 dxdy +

( D3 )

∫∫

3 dxdy ⇒

( D4 )

⇒ I = FD + 2 ⋅ FD + 3 ⋅ FD , где FD , FD , FD – площади областей ( D2 ) , 2

3

4

2

3

4

( D3 ) , ( D4 ) соответственно. Так как области ( D2 ) , ( D3 ) , ( D4 ) симметричны относительно оси Oy , то: 4

FD4 = 2∫ dy 4

FD3 = 2∫ dy 2

x = y −3

4

∫ dx = 2∫

3 x =0 x = y −2

∫ dx − FD

4

x =0

3 4

= 2∫

2

2 y − 3 dy = 2 ⋅ ( y − 3)3 2 3

y =4 y =3

4 = ; 3

4 2 y − 2 dy − = 2 ⋅ ( y − 2)3 2 3 3

(

y =4 y =2

−

4 = 3

)

4 4 4 = ⋅ 2 2 − = 2 2 −1 ; 3 3 3

4

x = y −1

1

x =0

FD2 = 2∫ dy

4

∫ dx − ( FD3 + FD4 ) = 2∫ y − 1 dy −

2 = 2 ⋅ ( y − 1)3 2 3

y =4 y =1

1

−

8 2 = 3

8 2 8 2 =4 3− . 3 3

А тогда

 4 4 4 8 2 + 2 ⋅ 2 2 −1 + 3 ⋅ = 4 3 − 3 2 + 4 . I = 4 3 −  3 3 3 3  

(

)

(

)

53

Глава 3. Криволинейные интегралы §1. Криволинейные интегралы первого рода 1°. Прежде чем дать определение криволинейного интеграла первого рода, рассмотрим следующую задачу. Имеется спрямляемая пространственная кривая ( l ) длины s . Пусть на ( l ) непрерывным образом распределена масса с плотностью ρ( x , y , z ) . (Средней плотностью дуги мы называем отношение ее массы к ее длине. Плотность ρ( x , y , z ) кривой ( l ) в точке ( x , y , z ) есть предел средней плотности бесконечно малой дуги, стягивающейся в упомянутую точку). Требуется найти массу m кривой ( l ) . Разбиваем кривую ( l ) точками z B= An A0 = A , A1 , A2 , K , An−1 , An = B An−1 произвольным образом на n частичных дуг Ak Ak +1 ( k = 0, 1, 2, K , n − 1) с длиAk +1 нами s0 , s1, s2 , K , sn −1 . Полагаем A= A0 Ak λ = max {sk } . Предполагаем частичy A1 A2 k = 0, n −1 ные дуги Ak Ak +1 столь малыми, что на Ak Ak +1 плотность распределения x массы ρ вдоль этой дуги можно приРис. 3.1. К задаче по определению массы ближенно считать постоянной, равной кривой ρ( xk , y k , z k ) , где точка ( x k , yk , z k ) – любая, принадлежащая Ak Ak +1 . Тогда масса ∆ mk частичной дуги Ak Ak +1 привой ( l ) будет приближенно выражаться формулой ∆ mk = ρ( x k , y k , z k ) ⋅ sk . Масса m всей кривой ( l ) будет выражаться приближенно суммой

(

(

m ≈ ρ ( x0 , y0 , z0 ) ⋅ s0 + ρ ( x1, y1, z1 ) ⋅ s1 + K + ρ ( x n −1, y n −1, z n −1 ) ⋅ sn −1 = n −1

= ∑ ρ( xk , y k , z k ) ⋅ sk . k =0

Интуитивно ясно, что чем мельче частичные дуги Ak Ak +1 , тем меньше ошибка, которую мы делаем, считая частичную дугу Ak Ak +1 однородной. Поэтому за массу m кривой ( l ) естественно принять: n −1

m = lim ∑ ρ ( xk , y k , z k ) ⋅ sk . λ→0

54

k =0

2°. Дадим теперь определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве расположена спрямляемая кривая ( l ) , имеющая концы в точках A и B , и пусть во всех точках кривой ( l ) определена функция f ( x , y , z ) . Проделаем следующие операции. 1. Разобьем кривую ( l ) точками A0 = A , A1 , A2 , K , An−1 , An = B , следующими друг за другом вдоль кривой ( l ) в направлении от A к B , на частичные дуги Ak Ak +1 . Пусть sk – длина Ak Ak +1 ( k = 0, 1, K , n − 1). Положим

(

λ = max {sk } ( λ – ранг дробления). k = 0, n −1

(

(

2. На каждой дуге Ak Ak +1 берем произвольную точку ( x k , y k , z k ) и вычисляем в ней значение функции f , т. е. находим f ( x k , y k , z k ) . 3. Умножаем найденное значение функции на длину соответствующей частичной дуги: f ( x k , y k , z k ) ⋅ sk , k = 0, 1, K , n − 1. 4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму

σ=

n −1

∑ f ( xk , yk , zk ) ⋅ sk .

k =0

Отметим, что значение суммы σ зависит, вообще говоря, как от способа разAk Ak +1 , k = 0, n − 1 , так и от выбора точки биения кривой ( l ) на части ( x k , yk , z k ) на Ak Ak +1 . 5. Измельчаем дробление так, чтобы λ → 0 , и ищем lim σ . Если существу-

(

(

λ →0

ет конечный предел I = lim σ и этот предел не зависит ни от способа разбиеλ→0

(

ния кривой ( l ) на части Ak Ak +1 , k = 0, n − 1 , ни от способа выбора точек ( x k , yk , z k ) на Ak Ak +1 , то его называют криволинейным интегралом первого рода от функции f ( x , y , z ) по кривой ( l ) и обозначают символом

(

∫ f ( x, y, z ) ds .

(1)

( AB Если, в частности, кривая ( l ) лежит в плоскости Oxy , то функция f от координаты z не зависит, и вместо (1) появляется интеграл (2) ∫ f ( x, y ) ds . ( AB

Замечание 1. Из самого определения криволинейного интеграла первого рода вытекает следующее свойство:

∫ f ( x, y, z ) ds = ∫ f ( x, y, z ) ds ,

( AB

( BA

55

т. е. направление, которое может быть придано пути интегрирования, никакой роли не играет. В самом деле, ведь длина sk дуги Ak Ak +1 не зависит от того, какая из точек Ak и Ak +1 принята за начало и какая – за конец дуги. Замечание 2. Принимая во внимание определение криволинейного интеграла первого рода, можно заключить, что в задаче пункта 1° масса m кривой ( l )

(

определяется по формуле: m =

∫ ρ ( x, y, z ) ds .

( AB

3°. Теорема (о существовании и вычислении криволинейного интеграла первого рода по плоской кривой). 1. Пусть кривая

( AB задана уравнениями:  xy == ϕψ((tt),), t ∈[ p, q], где ϕ и ψ 

– функции, заданные на промежутке [ p, q] и имеющие там непрерывные производные ϕ ′( t ) , ψ ′( t ) . Пусть (ϕ ( p ), ψ ( p )) = A , (ϕ ( q ), ψ ( q )) = B . Пусть точки

(ϕ ( t ), ψ ( t ))

(

следуют друг за другом на AB именно в том порядке, в каком соответствующие значения t следуют друг за другом на [ p, q] . (Считаем AB незамкнутой и не имеющей кратных точек.) 2. Пусть функция f ( x , y ) задана на AB и непрерывна там. Тогда I =

(

(

∫ f ( x, y ) ds существует и выражается обыкновенным определен-

( AB

ным интегралом по формуле: q

2 2 ∫ f ( x, y ) ds = ∫ f (ϕ ( t ), ψ( t )) ⋅ (ϕ′( t )) + (ψ ′( t )) dt

( AB

( p < q) .

(3)

p

(подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла (3) должен быть меньше верхнего). Заметим сначала, что интеграл, стоящий в правой части (3), существует, ибо подынтегральная функция в нем непрерывна на промежутке [ p, q] . Напомним, что в условиях теоремы кривая AB спрямляема и ее длина s q

равна: s =

(

2 2 ϕ ( t ) + ψ ( t ) dt ′ ′ ( ) ( ) ∫

( p < q ). Составим сумму Римана σ для кри-

p

волинейного интеграла

∫ f ( x, y ) ds . Для этого надо разбить ( AB точками Ak

( AB на дуги Ak Ak +1 ( k = 0, n − 1 ). Такое разбиение можно осуществить, если раз[ p, q ] произвольным образом точками бить промежуток t0 = p < t1 < t2 < K < t n = q и положить Ak = (ϕ ( t k ), ψ ( t k )) , k = 0, n . Тогда 56

sk =

t k +1

2 2 ϕ ( t ) + ψ ( t ) dt , ′ ′ ( ) ( ) ∫

tk

k = 0, n − 1 .

(4)

(

Затем на каждой частичной дуге Ak Ak +1 нужно взять произвольную точку M k ( x k , y k ) . Это можно сделать так: на каждом частичном промежутке [t k , tk +1 ] взять произвольную точку θ k и положить xk = ϕ (θ k ) , y k = ψ ( θ k ) . Будем иметь тогда:

σ=

n −1

n −1

tk +1

k =0

k =0

tk

∑ f ( xk , yk ) sk = ∑ f (ϕ (θ k ), ψ(θ k )) ⋅ ∫ (ϕ′( t ))2 + (ψ ′( t ))2 dt .

По теореме о среднем для определенного интеграла (4)

sk =

t k +1

2 2 2 2 ϕ ( t ) + ψ ( t ) dt = ϕ ( τ ) + ψ ( τ ) ⋅ ( tk +1 − tk ) , ′ ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) k k ∫

tk

где τ k ∈[t k , t k +1 ] . Поэтому

σ=

n −1

2 2 ∑ f (ϕ (θk ), ψ (θ k )) ⋅ (ϕ′( τ k )) + ( ψ ′( τ k )) ⋅ ∆ tk .

k =0

Полученное выражение для σ сходно с суммой Римана для определенного интеграла, стоящего в правой части (3), но таковой не является, так как θ k и τ k , вообще говоря, различны. Составим сумму

σ* =

n −1

2 2 ∑ f (ϕ ( τ k ), ψ( τ k )) ⋅ (ϕ′( τ k )) + (ψ ′( τ k )) ⋅ ∆ tk .

k =0

Это уже настоящая сумма Римана для определенного интеграла, стоящего в правой части (3), т. е. для интеграла q

I* = ∫ f (ϕ ( t ), ψ ( t )) ⋅

(ϕ ′( t ))2 + ( ψ ′( t ))2 dt .

p

Было отмечено, что I* существует. Следовательно, σ* → I* при λ * → 0

( λ * = max {∆ t k } ). Заметим, что ( λ → 0 ) ⇔ ( λ * → 0 ) . Рассмотрим очевидk = 0, n −1

ное равенство

σ = σ* + ( σ − σ* ) .

(5) Из (5) видно, что теорема будет доказана, если показать, что lim ( σ − σ* ) = 0 . λ* →0

57

Имеем

σ − σ* =

n −1

∑ [ f (ϕ (θ k ), ψ(θk )) − f (ϕ ( τ k ), ψ( τ k ))] ⋅ sk .

k =0

Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое. Функция f (ϕ ( t ), ψ ( t )) ∈ C([ p, q]) , как суперпозиция непрерывных функций. Значит, она и равномерно непрерывна на промежутке [ p, q] ⇒ взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для любых двух точек t ′ и t ′′ из [ p, q] , для которых t ′′ − t ′ < δ , будет

f (ϕ ( t ′′ ), ψ ( t ′′ )) − f (ϕ ( t ′ ), ψ ( t ′ )) < ε . Возьмем любое разбиение промежутка [ p, q] на части [t k , t k +1 ] , у которого ранг дробления λ * < δ . Так как θ k и τ k ∈[t k , t k +1 ] , то θ k − τ k ≤ t k +1 − t k ≤ λ * < δ . Следовательно, для любого k = 0, n − 1 будем иметь:

f (ϕ ( θ k ), ψ (θ k )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k )) < ε . Поэтому, считая дробление промежутка [ p, q] таким, что λ * < δ , получим n −1

σ − σ* < ∑ ε ⋅ sk = ε ⋅ s (здесь s – длина k =0

( AB ). Так как для достижения нера-

венства σ − σ* < ε ⋅ s потребовалось лишь, чтобы было λ * < δ , то заключаем,

что lim ( σ − σ* ) = 0 , а значит, и lim ( σ − σ* ) = 0 . λ→0

λ* →0

Частные случаи. I. Пусть кривая AB дана явным уравнением: y = ϕ ( x ) , x ∈[a, b], a < b . Тогда: 1) если функция ϕ ( x ) имеет на промежутке [a, b] непрерывную производную ϕ ′( x ) и

(

2) если функция f ( x , y ) непрерывна на

∫

(

b

(AB, то ∫ f ( x, y ) ds существует, и ( AB

f ( x , y ) ds = ∫ f ( x , ϕ ( x )) 1 + (ϕ ′( x )) dx .

( AB

2

a

AB задана уравнением в полярных координатах: r = r ( ϕ ) , II. Пусть ϕ ∈[α, β] , α < β . Тогда: 1) если функция r( ϕ ) имеет на промежутке [α, β] непрерывную производную r ′( ϕ ) и 2) если функция f ( x , y ) непрерывна на

(AB, то ∫ f ( x, y ) ds существует, и ( AB

58

β

∫ f ( x, y ) ds = ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)

r 2 + ( rϕ′ )2 dϕ .

α

( AB

Замечание. Совершенно аналогично доказывается теорема о существовании и вычислении криволинейного интеграла первого рода по пространственной кривой. Теорема. 1. Пусть пространственная кривая AB задана уравнениями:

(

 x = ϕ ( t ),   y = ψ ( t ), t ∈[ p, q] и p < q  z = ω ( t ), 

(

(считаем AB незамкнутой и не имеющей кратных точек). 2. Пусть функции ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t ) имеют на промежутке [ p, q] непрерывные производные ϕ ′( t ), ψ ′( t ), ω ′( t ) .

(ϕ ( p ), ψ ( p ), ω ( p )) = A , (ϕ ( q ), ψ ( q ), ω ( q )) = B и точки (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) следуют друг за другом на ( AB именно в том порядке, в ка3. Пусть

ком соответствующие значения t следуют друг за другом на [ p, q] . Тогда, если функция f ( x , y , z ) непрерывна на

( AB , то

I=

∫ f ( x, y, z ) ds

( AB

существует и выражается через обыкновенный определенный интеграл по формуле: q

2 2 2 ∫ f ( x, y, z ) ds = ∫ f (ϕ ( t ), ψ( t ), ω ( t )) ⋅ (ϕ′(t )) + (ψ ′( t )) + (ω ′(t )) dt

( AB

( p < q) .

p

Примеры. 1. Вычислить I =

∫ (x

43

+y

43

y

) ds , где ( l ) – дуга

a

(l )

астроиды x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 . Вычисление I удобнее производить, взяв уравнение астроиды ( l ) в параметрической форме:

 x = a cos3 t , (l ) =  t ∈[0, 2π ] . 3  y = a sin t , Имеем xt′ = −3a cos2 t sin t ; yt′ = 3a sin 2 t cos t ;

x −a

a −a


ds = ( xt′ )2 + ( yt′ )2 = 9a 2 sin 2 t cos2 t ⋅ dt = 3a sin t cos t dt . Поэтому 59

2π

I=

∫a

43

(cos4 t + sin 4 t ) ⋅ 3a sin t cos t dt =

0

π π 2 5 5 = 3a (cos sin t + sin cos t ) dt − ∫ (cos5 sin t + sin 5 cos t ) dt + ∫ 0 π2  3π 2 2π  5 5 5 5 + ∫ (cos sin t + sin cos t ) dt − ∫ (cos sin t + sin cos t ) dt  ⇒  3π 2 π  π2 1  6 6 π ⇒ I = a 7 3 ( − cos6 t + sin 6 t ) + (cos t − sin t) +  2 π2 0 73 6 6 3π 2 6 6 2π  a 2 + 2 + 2 + 2] = 4a 7 3 . +( − cos t + sin t ) + (cos t − sin t ) = [  2 π 3π 2  y ϕ= π ϕ = 3π 4 2. Вычислить I = ∫ y ds , где ( l ) – дуга 4 7 3

−a ϕ=−

a 3π 4

x

ϕ=−π 4

(l ) 2 2

лемнискаты ( x 2 + y ) = a 2 ( x 2 − y 2 ) . Перейдем к полярным координатам:

 x = r cos ϕ, Тогда уравнение лемнискаты по sin . y r = ϕ  r = a cos 2ϕ . Имеем лучим в виде:


a2 r + ( rϕ′ ) = ; cos 2ϕ

sin 2ϕ rϕ′ = − a ; cos 2ϕ

2

2

a dϕ ; cos 2ϕ

ds = r 2 + ( rϕ′ )2 dϕ =

y = a cos 2ϕ ⋅ sin ϕ , y ds = a 2 sin ϕ dϕ . Поэтому − 3π 4 0 π π 4  I = a ∫ sin ϕ dϕ + ∫ sin ϕ dϕ − ∫ sin ϕ dϕ − ∫ sin ϕ dϕ  = 0  3π 4 −π −π 4   2

[

π4

π

− 3π 4

= a 2 − cos ϕ 0 − cos ϕ 3π 4 + cos ϕ − π 3. Вычислить I =

]

(

)

∫ ( x + y ) ds , где ( l ) – контур треугольника с вершинами в

(l )

точках O( 0, 0) , A(1, 0) , B( 0, 1) .

60

0

+ cos ϕ − π 4 = a 2 ⋅ 4 − 2 2 .

( l ) = ( l1 ) U ( l2 ) U ( l3 ) ;

I = ∫ ( x + y ) ds = (l )

y B( 0,1)

∫ ( x + y ) ds + ∫ ( x + y ) ds + ∫ ( x + y ) ds .

( l1 )

( l2 )

( l3 )

1) ( l1 ) = OA : y = 0 , x ∈[0, 1] ⇒

ds = 1 + ( y x′ )2 dx = dx ; 1

I1 =

∫ ( x + y ) ds = ∫ ( x + 0) dx =

( l1 )

( l2 )

( l3 )

0

2 1

x 2

0

O

1 = . 2

x ( l1 ) A(1,0 )


2) ( l2 ) = AB : y = 1 − x , x ∈[0, 1] ⇒ ds = 1 + ( y x′ )2 dx = 2 dx ;

I2 =

1

1

0

0

1

∫ ( x + y ) ds = ∫ ( x + 1 − x ) 2 dx = ∫ 2 dx = 2 x = 2 .

( l2 )

0

3) ( l3 ) = OB : x = 0 ; y ∈[0, 1] ⇒ ds = 1 + ( x ′y )2 dy = dy ; 1

1

0

0

y2 I3 = ∫ ( x + y ) ds = ∫ ( 0 + y ) dy = 2 ( l3 )

1 = . 2

Значит,

I = I1 + I2 + I3 = 4. Вычислить I =

1 1 + 2 + = 1+ 2 . 2 2

∫ z ds , где ( l ) – коническая винтовая линия:

(l )

 x = t cos t ,   y = t sin t , t ∈[0, t0 ] . z = t,  Имеем: xt′ = cos t − t sin t ; yt′ = sin t + t cos t ; zt′ = 1; ds = ( xt′ )2 + ( yt′ )2 + ( zt′ )2 dt = 2 + t 2 dt . Тогда t0

1 I = ∫ z ds = ∫ t 2 + t dt = ( 2 + t 2 )3 2 3 (l )

2

0

t0 0

=

(

)

1 ( 2 + t0 )3 2 − 23 2 . 2

x 2 + y 2 + z 2 = a2 , 5. Вычислить I = ∫ x ds , где ( l ) – окружность:   x + y + z = 0. (l ) 2

61

Плоскость x + y + z = 0 проходит через начало координат и пересекается со сферой x 2 + y 2 + z 2 = a 2 по окружности радиуса a . Таким образом, ( l ) – окружность радиуса a ⇒ длина ( l ) равна 2πa . Легко понять, что

∫x

(l )

2

ds =

∫y

(l )

2

ds =

∫z

2

ds . А тогда I =

(l )

∫x

2

ds =

(l )

1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ds . Заметим, ∫ 3 (l )

что на ( l ) , т. е. на окружности радиуса a с центром в точке O , подынтегральная функция равна a 2 . Следовательно, I =

a2 1 2 a ds = 3∫ 3 (l )

∫ ds . Но ∫ ds

(l )

равен

(l )

2πa 3 значению длины окружности ( l ) , т. е. 2πa . Поэтому I = . 3 §2. Криволинейные интегралы второго рода

B= An

1°. Определение. Пусть в пространстве дана непрерывAn−1 ная кривая AB . Пусть на AB задана функция f ( x , y , z ) . Выберем на AB Ak +1 какое-нибудь направление Ak ( x k , y k , z k ) (одно из двух возможных), например, от точки A к точке B . A= A0 A1 A2 y Проделаем следующие операции. O 1. Разбиваем AB точкаx ми A0 = A , A1 , A2 , K , An −1 , Рис. 3.5. К определению криволинейного An = B на n частичных дуг интеграла второго рода Ak Ak +1 , k = 0, 1, 2, K , n − 1. Точки Ak ( x k , y k , z k ) следуют друг за другом вдоль AB в направлении от

z

(

(

(

(

(

точки A к точке B . Пусть d k – диаметр и пусть λ = max {d k } .

(

( Ak Ak +1 ( dk =

sup

{ρ ( M , N )} ),

M ∈( Ak Ak +1 , N ∈( Ak Ak +1

k = 0, n −1

(

2. На каждой Ak Ak +1 берем произвольную точку ( x k , yk , z k ) и вычисляем в ней значение данной функции f ( x k , y k , z k ) . Соединим концы каждой частичной дуги хордой и придадим этим хордам направления соответствующих дуг. Получим направленную ломаную. Звенья этой ломаной есть векторы 62

→

→

 →

∆ l0 , ∆ l1, K , ∆ ln −1 . Спроектируем эти векторы на ось Ox . Получим числа  →

→

∆ x0 , ∆ x1, K , ∆ x n −1 ( ∆ xk = x k +1 − x k = пр Ox Ak Ak +1 = пр Ox ∆ lk ). Эти числа

могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. 3. Каждое вычисленное значение функции f ( x k , y k , z k ) → умножаем на проекцию соответствующего звена ломаной на ∆lk ось Ox . Получим f ( x k , y k , z k ) ⋅ ∆ x k , k = 0, 1, 2, K , n − 1. 4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму

Ak +1

n −1

σ = ∑ f ( x k , y k , z k ) ⋅ ∆ x k ( σ – интегральная сумма). k =0

(

(

5. Измельчаем дробление AB на части Ak Ak +1 так, чтобы λ → 0 , и ищем lim σ . Если существует конечный λ →0

I = lim σ и этот предел не зависит ни от способа разбиения λ→0

Ak Рис. 3.6. К определению криволинейного интеграла второго рода

( AB на части ( Ak Ak +1 , ни от выбора точки ( xk , yk , zk ) на ( Ak Ak +1 , то этот

предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции

f ( x , y , z ) по кривой

( AB (по x ) и обозначается ∫ f ( x, y, z ) dx . ( AB

Замечания. 1. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при перемене направления линии, по которой производится интегрирование, т. е.

∫ f ( x, y, z ) dx = − ∫ f ( x, y, z ) dx .

( AB

( BA → ломаной ∆ lk

Это ясно, ибо проекции звеньев на ось Ox существенно зависят от направления Ak Ak +1 и меняют знак с изменением этого направления на обратное.

(

→

2. Если звенья ∆ lk направленной ломаной проектировать на ось Oy , то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f ( x , y , z ) по AB (по y ):

(

n −1

∑ f ( xk , yk , zk ) ∆ yk . ∫ f ( x, y, z ) dy = λlim →0

( AB → ∆ lk

k =0

3. Если звенья направленной ломаной проектировать на ось Oz , то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f ( x , y , z ) по AB (по z ):

(

63

n −1

∑ f ( xk , yk , zk ) ∆ zk . ∫ f ( x, y, z ) dz = λlim →0 k =0 ( AB 4. Если на кривой ( AB определены три функции P( x , y , z ) , Q( x , y , z ) , R( x , y , z ) и если существуют интегралы ∫ P( x , y , z ) dx , ∫ Q( x , y , z ) dy , ( AB

( AB

∫ R( x, y, z ) dz , то их сумму называют криволинейным интегралом второго ро-

( AB

да («общего вида») и полагают

∫ P( x, y, z ) dx + Q( x, y, z ) dy + R( x, y, z ) dz =

=

( AB

∫ P( x, y, z ) dx + ∫ Q( x, y, z ) dy + ∫ R( x, y, z ) dz .

( AB

( AB

( AB

Здесь также изменение направления интегрирования меняет знак интеграла. 2°. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода. Теорема.

 x = ϕ ( t ),  1. Пусть кривая ( AB задана параметрическими уравнениями  y = ψ ( t ),  z = ω ( t ),  где ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t ) – функции, заданные и непрерывные на промежутке [a, b] . Кроме того, у функции ϕ( t ) на [a, b] существует непрерывная производная ϕ ′( t ) . Пусть (ϕ ( a ), ψ ( a ), ω ( a )) = A , (ϕ ( b), ψ ( b), ω ( b)) = B , причем A ≠ B , т. е. кривая ( AB – незамкнутая. Пусть точки (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) следуют друг за другом на ( AB именно в том порядке, в каком соответствующие значения t следуют друг за другом на [a, b] . 2. Пусть функция f ( x , y , z ) , заданная на ( AB , непрерывна там. Тогда I =

∫ f ( x, y, z ) dx

существует и выражается обыкновенным опреде-

( AB

ленным интегралом по формуле b

∫ f ( x, y, z ) dx = ∫ f (ϕ ( t ), ψ( t ), ω ( t )) ⋅ ϕ′( t ) dt .

( AB

64

a

(1)

Замечания. b

1. Интеграл I* =

∫ f (ϕ ( t ), ψ (t ), ω (t )) ⋅ ϕ′( t ) dt

существует, ибо подынте-

a

гральная функция в нем непрерывна на [a, b] . 2. Нижний предел в I* должен отвечать началу пути интегрирования в I , а верхний предел – концу пути интегрирования. Составим интегральную сумму σ для I . Для этого надо разбить AB точками Ak ( x k , y k , z k ) на частичные дуги Ak Ak +1 , k = 0, 1, 2, K , n − 1 ( A0 = A , An = B ). Такое разбиение можно осуществить, если разбить промежуток [a, b] произвольным образом точками t0 = a < t1 < t2 < K < t n = b и положить Ak (ϕ ( t k ), ψ ( t k ), ω ( t k )) , k = 0, 1, 2, K , n . Затем на каждой дуге Ak Ak +1 надо взять произвольную точку ( x k , y k , z k ) . Это можно сделать так: на каждом частичном промежутке [t k , t k +1 ] взять произвольную точку θ k и положить xk = ϕ (θ k ) , y k = ψ ( θ k ) , z k = ω (θ k ) . Тогда получим

(

(

(

σ=

n −1

n −1

k =0

k =0

∑ f ( xk , yk , zk )( xk +1 − xk ) = ∑ f (ϕ (θ k ), ψ(θk ), ω (θ k ))(ϕ ( tk +1 ) − ϕ (tk )) .

По формуле Лагранжа ϕ ( t k +1 ) − ϕ ( t k ) = ϕ ′( τ k )( t k +1 − t k ) , где τ k ∈[t k , t k +1 ] . Поэтому σ =

n −1

∑ f (ϕ (θk ), ψ(θ k ), ω (θ k )) ⋅ ϕ′( τ k )∆ tk . Видим, что эта сумма по-

k =0

хожа на интегральную сумму Римана для определенного интеграла I* , но таковой не является, ибо, вообще говоря, θ k ≠ τ k . Составим сумму σ* =

n −1

∑ f (ϕ ( τ k ), ψ( τ k ), ω ( τ k )) ⋅ ϕ′( τ k )∆ tk .

Это уже на-

k =0

стоящая интегральная сумма Римана для I* . Было отмечено выше, что интеграл I* существует, и потому σ* → I* при λ* → 0 ( λ* = max {∆ tk } ). Отметим, k = 0, n −1

что λ → 0 , если λ * → 0 . Рассмотрим очевидное равенство

σ = σ* + ( σ − σ* ) .

(2)

Из (2) видим, что теорема будет доказана, если показать, что lim ( σ − σ* ) = 0 . λ* →0 ( λ→0 )

65

Имеем

σ − σ* =

n −1

∑ [ f (ϕ (θ k ), ψ(θ k ), ω (θk )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k ))] ⋅ ϕ ′( τ k )∆ tk .

k =0

По условию ϕ ′( t ) ∈ C([a, b]) ⇒ ϕ ′( t ) – ограниченная в [a, b] , т. е. существует число M > 0 такое, что ϕ ′( t ) ≤ M для всех t ∈[a, b]. Поэтому n −1

σ − σ* ≤ M ⋅ ∑ f (ϕ ( θ k ), ψ (θ k ), ω (θ k )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k )) ⋅ ∆ t k . k =0

Функция f (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ∈ C([a, b]) как суперпозиция непрерывных функ-

ций ⇒ f (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) – равномерно непрерывная в [a, b] . Значит, всякому ε > 0 (сколь угодно малому) отвечает δ > 0 такое, что для любых двух точек t ′ и t ′′ из [a, b] , для которых t ′′ − t ′ < δ , будет

f (ϕ ( t ′′ ), ψ ( t ′′ ), ω ( t ′′ )) − f (ϕ ( t ′ ), ψ ( t ′ ), ω ( t ′ )) < ε . Возьмем дробление промежутка [a, b] на части [t k , t k +1 ] любым, но таким, чтоλ* < δ . У нас θ k и τ k ∈[t k , t k +1 ] . Следовательно, бы было θ k − τ k ≤ t k +1 − t k ≤ λ* < δ , для любого k = 0, 1, 2, K , n − 1. А тогда для любого k = 0, 1, 2, K , n − 1 будем иметь f (ϕ ( θ k ), ψ (θ k ), ω (θ k )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k )) < ε . Следовательно, σ − σ* < M

n −1

∑ ε ⋅ ∆ tk

⇒

k =0

σ − σ* < ε ⋅ M ⋅ ( b − a ) . (3) Отметим, что число ε ⋅ M ( b − a ) сколь угодно мало вместе с ε . Так как для достижения неравенства (3) потребовалось лишь, чтобы было λ * < δ , то заключаем, что lim ( σ − σ* ) = 0 , а значит, lim ( σ − σ* ) = 0 . λ→0

λ* →0

y

(

B

A O

a

x b

Рис. 3.7. К частному случаю I

Частные случаи. I. 1) Пусть кривая AB плоская, заданная явным уравнением y = ϕ( x ) , где функция ϕ( x ) , определенная и непрерывная на промежутке [a, b] , причем a – абсцисса точки A , а b – абсцисса точки B . 2) Пусть функция f ( x , y ) определена и непрерывна на кривой AB . Тогда

(

∫ f ( x, y ) dx существует, и

( AB

66

b

y

f ( x , y ) dx = ∫ f ( x , ϕ ( x )) dx .

∫ ( AB ( AB

B

a

II. Пусть – прямолинейный отрезок, расположенный в плоскости Oxy и перпендикулярный к оси

∫ f ( x, y ) dx существует для любой функции ( AB определенной на ( AB , причем

Ox . Тогда f ( x, y ) ,

∫ f ( x, y ) dx = 0 .

( AB

A

x O Рис. 3.8. К частному случаю II

3°. Механический смысл криволинейного интеz грала второго рода. r B Механический смысл криволинейного интеF(xk , yk , zk ) грала второго рода вытекает из решения следующей задачи. Ak +1 Задача. Материальная точка перемещается A по кривой AB из точки A в точку B под дейy Ak ствиемrпеременной по величине и направлению r силы F ( x , y , z ) . Требуется найти работу F на криволинейном пути AB . x Разбиваем путь AB на столь малые части Рис. 3.9. К решению задачи Ak Ak +1 , чтобы каждую такую часть можно

(

( (

(

r

было считать приближенно прямолинейной, а силу F ( x , y , z ) , в пределах этой части, считать r приближенно постоянной по величине и направлению. Тогда работа силы F ( x , y , z ) на элементарном участке Ak Ak +1 приближенно будет

(

r → равна: F ( xk , y k , z k ) ⋅ ∆ lk . Но r r r r F ( xk , y k , z k ) = Fx ( x k , y k , z k ) ⋅ i + Fy ( x k , yk , z k ) ⋅ j + Fz ( x k , yk , z k ) ⋅ k , r r r → ∆ lk = ∆ x k ⋅ i + ∆ y k ⋅ j + ∆ z k ⋅ k .

Поэтому

r → F ( xk , y k , z k ) ⋅ ∆ lk = Fx ( xk , y k , z k )∆ xk + Fy ( x k , y k , z k )∆ yk + Fz ( x k , y k , z k )∆ z k . r Следовательно, работа силы F на всем пути ( AB приближенно будет равна: n −1

∑ ( Fx ( xk , yk , zk )∆ xk + Fy ( xk , yk , zk )∆ yk + Fz ( xk , yk , zk )∆ zk ) .

(4)

k =0

Предел суммы (4) при λ → 0 будет давать точное значение работы силы r F ( x , y , z ) на пути AB . А этим пределом является

(

67

∫ Fx ( x, y, z ) dx + Fy ( x, y, z ) dy + Fz ( x, y, z ) dz .

( AB

Таким образом, всякий криволинейный интеграл второго рода:

∫ P( x, y, z ) dx + Q( x, y, z ) dy + R( x, y, z ) dz

( AB

можно истолковать как работу, которую производит сила с проекциями P, Q, R на оси Ox , Oy , Oz соответственно, по перемещению материальной точки по пути AB из точки A в точку B . Примеры на вычисление криволинейных интегралов второго рода. 1. Вычислить I = ( x + y ) dx + 2 z dy + xy dz , где AB – линия, заданная

(

(

∫ ( AB

x = t,  уравнениями  y = t 2 , причем точка A соответствует значению параметра z = 3 − t, 

t = 1, а точка B – значению параметра t = 2 . 2

2

2

I = ∫ ( t + t ) dt + ∫ 2(3 − t ) ⋅ 2t dt + ∫ t 3 ⋅ ( − dt ) = 2

1

1


∫ (x

2

1

2

2

35 . 4

2

+ y ) dx + ( x − y ) dy , где ( l ) – кривая, заданная

(l )

y 1 x 1

2


y = 2 − x , x ∈[1, 2] . I = I1 + I2 , где I1 =

∫ (x

2

уравнением: y = 1 − 1 − x , x ∈[0, 2] . Интегрирование вдоль ( l ) ведется в направлении, соответствующем возрастанию параметра. Имеем: y = 1 − (1 − x ) ⇒ y = x , x ∈[0, 1] ; y = 1 + (1 − x ) ⇒ y = 2 − x , x ∈[1, 2] ; ( l ) = ( l1 ) U ( l2 ) , где ( l1 ) : y = x , x ∈[0, 1] , ( l2 ) :

+ y 2 ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy , I2 =

( l1 )

На ( l1 ) : y = x , dy = dx , x ∈[0, 1] . Поэтому 1

∫ (x

2

+ y 2 ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy .

( l2 )

1

2 2 I1 = ∫ ( x + x ) dx + 0 ⋅ dx = x 3 = . 3 0 3 0

2

2

На ( l2 ) : y = 2 − x , x ∈[1, 2] ; dy = − dx . Поэтому 68

2

I2 = ∫ 1

[

2

]

2

2 2 x + ( 2 − x ) − x + ( 2 − x ) dx = 2∫ ( 2 − x ) dx = − ( 2 − x )3 = . 3 3 1 2

2

2

Следовательно, I =

4 . 3

3. Вычислить

I=

2

2

1

( x + y ) dx − ( x − y ) dy , ∫ 2 2 x y + (l )

где

(l )

–

окружность

x 2 + y 2 = a 2 , пробегаемая против хода стрелки часов. Перейдем к параметрическому заданию кривой ( l ) . Положим  x = a cos t , t ∈[0, 2π ], ⇒ dx = − a sin t dt ,  y = a sin t , dy = a cos t dt.  2π

2π

− a 2 (cos t + sin t )sin t − a 2 (cos t − sin t )cos t I= ∫ dt = − ∫ dt = −2π . 2 a 0 0 y 4. Вычислить I = ∫ arctg dy − dx , где OmA – отрезок параболы y = x 2 , x OmAnO

OnA – отрезок прямой y = x . I = I1 + I2 , где I1 =

( OmA :

2

∫

( OmA

, I2 =

∫

( AnO

.

y = x , x ∈[0, 1] , dy = 2 x dx . Поэтому

 u = arctg x , du = dx  I1 = ∫ arctg x ⋅ 2 x dx − dx =  1 + x2  = 2 x dx = dv , v = x 2  0   1

1 1 1 2  2  1 x π  − 1 = − ∫ dx + ∫ dx − 1 = 2 ⋅ π − 2 . =  x arctg x − ∫ dx 4 4 0 1 + x 2  1 + x2  0 0 0 y ( AnO : y = x , x изменяется от 1 до 0; dy = dx . По-

1 y=x

A

этому

0

0

π π I2 = ∫ (arctg1 − 1) dx = ∫  − 1 dx = 1 − . y = x2 4  4 m 1 1 x Значит, O 1 π π π Рис. 3.11. К примеру 4 I = 2  − 1 + 1 −  = − 1 .  4   4 4

n

69

∫(y


2

− z 2 ) dx + ( z 2 − x 2 ) dy + ( x 2 − y 2 ) dz , где ( l ) – кон-

(l )

тур, ограничивающий часть сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , пробегаемый так, что внешняя сторона этой поверхности осz тается слева. ( l2 )

1

( l3 )

I = I1 + I2 + I3 , где I1 =

∫

; I2 =

( l1 )

1 ( l1 )

1

x

∫

( l2 )

; I3 =

∫

.

( l3 )

( l1 ) : x 2 + y 2 = 1 (1-я четверть),

y

( l2 ) : y 2 + z 2 = 1 (1-я четверть), ( l3 ) : z 2 + x 2 = 1 (1-я четверть). Контур ( l1 ) расположен в плоскости Oxy . Следовательно, на ( l1 ) : z = 0 ; dz = 0 . Поэтому

Рис. 3.12. К примеру 5 0

x =0

1

  y3  x3  2 2 2 2 I1 = ∫ y dx − x dy = ∫ (1 − x ) dx − ∫ (1 − y ) dy =  x −  − y−  3 3   x =1 (l ) 1 0 1

y =1

= y =0

1 1 4 = −1 −  − 1 −  = − .  3  3 3 Контур ( l2 ) расположен в плоскости Oyz . Следовательно, на ( l2 ) : x = 0 , dx = 0 . I2 =

0

1

4 2 z dy − y dz = ( 1 − y ) dy − ( 1 − z ) dz = − . ∫ ∫ ∫ 3 2

2

( l2 )

2

1

0

Контур ( l3 ) расположен в плоскости Oxz . Следовательно, на ( l3 ) : y = 0 , dy = 0 .

I3 =

∫x

( l3 )

2

0

2

1

4 3

Таким образом, получаем I = − ⋅ 3 = −4 .

70

1

4 dz − z dx = ∫ (1 − z ) dz − ∫ (1 − x 2 ) dx = − . 3 2

0

§3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым. Формула Грина 1°. Станем рассматривать криволинейные интегралы второго рода вида

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy ,

(1)

(K )

где ( K ) – замкнутый самонепересекающийся контур, расположенный в плоскости Oxy . Если на контуре ( K ) выбрать какое-нибудь направление интегрирования, то оказывается безразличным, какую точку на ( K ) взять за начало (а значит, и конец) пути интегрирования. В самом деле, пусть A и B – любые две различные точки на ( K ) . Имеем:

∫ Pdx + Qdy =

∫ Pdx + Qdy +

∫ Pdx + Qdy =

( B II A ( AA ( AI B = ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy . ( B II A ( AI B ( BB

z

O

y II B

x

A I

(K )

Рис. 3.13. К определению положительного обхода контура ( K )

Замечание. Особенность обсуждаемого случая заключается в том, что указание начальной и (совпадающей с ней) конечной точки на этот раз не определяет направления интегрирования на ( K ) . Конечно, можно было бы в каждом случае указывать особо, какое именно направление имеется в виду. Но обычно поступают иначе, а именно: из двух возможных направлений одно принимается за положительное, другое – за отрицательное. Условимся за положительное направление обхода контура ( K ) принимать такое направление, когда наблюдатель (у которого направление от ног к голове совпадает с направлением оси Oz ), обходящий контур ( K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной ( K ) , слева от себя. Это соглашение относится к случаю правой системы координат. В дальнейшем интеграл (1), взятый по ( K ) в положительном направлении, будем обозначать символом:

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy .

(K )

71

2°. Формула Грина. I. Пусть ( D ) – область, ограниченная y y = ψ( x ) B′ замкнутым контуром ( K ) . Пусть ( K ) состоит из отрезков прямых: x = a , x = b A′ ( a < b ) и из кривых, заданных уравненияy = ϕ( x ) , x ∈[a, b]; y = ψ (x), ми: x ∈[a, b]. Предполагается, что ϕ( x ) и B A ψ( x ) непрерывны на [a, b] и такие, что y = ϕ( x ) x ϕ ( x ) < ψ ( x ) , x ∈[a, b]. Такую область a O b ( D ) будем называть областью типа I. Рис. 3.14. К выводу формулы Грина Пусть в ( D ) задана непрерывная функция

( D)

P( x , y ) , имеющая в ( D ) непрерывную частную производную двойной интеграл

I=

∂P . Рассмотрим ∂y

∂P

∫∫ ∂y dxdy .

(D )

Мы знаем, что этот двойной интеграл выражается через повторный интеграл следующим образом: b

y =ψ( x )

a

y =ϕ ( x )

I = ∫ dx

∫

∂P dy ⇒ ∂y

b

[

y=ψ( x )

]

I = ∫ P( x , y ) y = ϕ( x ) dx = a

b

b

b

a

a

a

= ∫ [ P( x , ψ ( x )) − P( x , ϕ ( x ))] dx = ∫ P( x , ψ ( x )) dx − ∫ P( x , ϕ ( x )) dx . Но b

∫ P( x, ψ( x )) dx = ∫ P( x, y ) dx = − ∫ P( x, y ) dx , a ( A′ B ′ ( B′A′ b

Поэтому

∫ P( x, ϕ ( x )) dx = ∫ P( x, y ) dx . a ( AB I = − ∫ P( x , y ) dx − ∫ P( x , y ) dx . Так как ∫ P( x, y ) dx = 0 ( B ′ A′ ( AB ( BB′

∫ P( x, y ) dx = 0 , то можем написать

( A′ A

I=−

∫ P dx − ∫ P dx − ∫ P dx − ∫ P dx = − ∫ P( x, y ) dx . ( AB ( BB′ ( B′A′ ( A′A (K )

Таким образом, получили 72

и

∂P ∫∫ ∂y dxdy = −

(D )

∫ P( x, y ) dx .

(2)

(K )

Замечание. Формула (2) установлена для области типа I, но она верна и тогда, когда область ( D ) прямыми, параллельными оси Oy , может быть разложена на конечное число областей типа I (рис. 3.15). В самом деле, для каждой области типа I, на которые разложена область ( D ) , пишем формулу (2), а затем складываем соответствующие части полученных соотношений. Так как криволинейные интегралы по вспомогательным прямым линиям равны нулю, то получим формулу (2), в которой ( D ) – вся область, а ( K ) – контур всей этой области.

y

y

(D3)

d

(D1)

A′

B′

x =α( y )

(D2 ) x

(D) A

c

x =β( y )

B

x

Рис. 3.16. К выводу формулы Грина

Рис. 3.15. К выводу формулы Грина

II. Пусть ( D ) – область, ограниченная замкнутым контуром ( K ) , и пусть теперь ( K ) состоит из отрезков прямых y = c , y = d ( c < d и из кривых, заданных уравнениями: x = α( y ) , x = β ( y ) , где α( y ) и β ( y ) – функции, непрерывные на [c, d ] и такие, что α( y ) < β ( y ) , y ∈[c, d ] (рис. 3.16). Такую область ( D ) будем называть областью типа II. Пусть в ( D ) задана непрерывная функция Q( x , y ) , имеющая в ( D ) непрерывную частную производную

∂Q . Рассмотрим двойной интеграл ∂x ∂Q dxdy . I = ∫∫ ∂x (D )

Мы знаем, что этот интеграл выражается через повторный интеграл следующим образом: d

x =β ( y )

c

x =α ( y ) d

I = ∫ dy

∫

∂Q dx ⇒ ∂x

d

[

x =β( y )

]

I = ∫ Q( x , y ) x =α ( y ) dy = c

d

= ∫ Q(β ( y ), y ) dy − ∫ Q(α( y ), y ) dy . c

c

73

Но d

∫ Q(β ( y ), y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy ; c ( BB′

d

Поэтому

∫ Q(α( y ), y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy = − ∫ Q( x, y ) dy . c ( AA′ ( A′A I = ∫ Q( x , y ) dy + ∫ Q( x , y ) dy . Так как ∫ Q( x, y ) dy = 0 ( BB′ ( A′ A ( AB

и

∫ Q( x, y ) dy = 0 , то можем написать

( B′A′

∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy . ( AB ( BB′ ( B′A′ ( A′A (K)

I=

Таким образом, получили:

∂Q ∫∫ ∂x dxdy =

(D )

∫ Q( x, y ) dy .

(3)

(K )

Замечание. Формула (3) верна и тогда, когда область ( D ) прямыми, параллельными оси Ox , разлагается на конечное число областей типа II. Это устанавливается совершенно аналогично тому, как это сделано в предыдущем замечании. Пусть область ( D ) такая, что она прямыми линиями, параллельными оси Oy , разлагается на конечное число областей типа I, а прямыми, параллельными оси Ox – на конечное число областей типа II. Пусть в ( D ) заданы функции

P( x , y ) , Q( x , y ) , непрерывные там вместе с частными производными

∂P и ∂y

∂Q . Тогда верны одновременно формулы (2) и (3). Вычитая из формулы (3) ∂x соответствующие части формулы (2), получим

 ∂Q

∂P 

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy .

(K )

(4)

(D )

(4) – формула Грина. Она преобразует криволинейный интеграл второго рода по замкнутому самонепересекающемуся контуру в двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром. Определение 1. 1. Область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром, называется односвязной.

74

2. Область, ограниченная замкнутым самонепересекающимся контуром ( K1 ) и ( n − 1) замкнутыми самонепересекающимися контурами ( K 2 ) , ( K3 ) , K , ( K n ) , лежащими внутри ( K1 ) и вне друг друга, называется n -связной. Теорема. Формула Грина

 ∂Q

∂P 

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy

(K )

(5)

(D )

верна и для многосвязной области, если под контуром ( K ) понимать объединение всех контуров ( K1 ) , ( K 2 ) , K , ( K n ) , ограничивающих область ( D ) , причем направление интегрирования такое, что наблюдатель, обходящий контур ( K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной ( K ) , слева от себя (система координат предполагается правой).

( K 3)

(K 2 )

(K )

(K1)

Односвязная область

Трехсвязная область

y ( K 3)

(K 2 ) A2

B2

A1

B3

B1

A3 (K1) x

Рис. 3.17. К выводу формулы Грина для многосвязных областей

Рассмотрим для простоты трехсвязную область ( D ) . Возьмем на ( K1 ) точки A1 и B1 ; на ( K 2 ) – точки A2 и B2 ; на ( K3 ) – точки A3 и B3 . Проведем линии: A1A2 ; B2 A3 ; B3 B1 . Тогда область ( D ) разобьется на две односвязные области. Написав формулу Грина для каждой из этих двух односвязных областей и сложив результаты, мы получим формулу (5). (По каждой вспомогательной кривой: A1A2 , B2 A3 , B3 B1 интегрирование ведется дважды в двух противоположных направлениях. Следовательно, криволинейные интегралы по вспомогательным кривым взаимно уничтожаются.)

(

(

(

(

(

(

75

§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования Пусть ( D ) – область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром ( K ) (значит, ( D ) – односвязная область). Пусть в ( D ) заданы две непрерывные функции P( x , y ) и Q( x , y ) . Будем говорить, что функции P( x , y ) и y Q( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « α », если ( K) криволинейный интеграл второго рода

(D)

A

∫ P dx + Q dy , ( AB ( AB , целиком

B

взятый по незамкнутому пути

лежащему в ( D ) , не зависит от формы пути (а зависит только от концов пути). Рис. 3.18. К определению Будем говорить, что функции P( x , y ) и интеграла, не зависящего от Q( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « β », если для формы пути л ю б о г о замкнутого самонепересекающегося контура ( C ) , целиком лежащего в ( D ) , оказывается: y

x

( K)

( D) I

∫ P dx + Q dy = 0 .

(C)

C

B

Лемма 1. Если функции P( x , y ) и Q( x , y ) обII x разуют в области ( D ) пару типа « α », то они образуют в ( D ) также и пару типа « β ». Рис. 3.19. К доказательству Пусть P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « α » в леммы 1 ( D ) . Возьмем в ( D ) любой замкнутый самонепересекающийся контур ( C ) . Выберем и закрепим на ( C ) любые две точки A и B . Эти точки разобьют ( C ) на две дуги: A I B и A II B . Имеем:

A

(

(

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy = ( A II B

C

=

(BI A

∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy .

( A II B

( AI B

У нас P и Q – пара типа « α » в ( D ) . Поэтому

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

( A II B

76

( AI B

(1)

y

А тогда из (1) следует, что

( K)

∫ P dx + Q dy = 0 . Так

C

как ( C ) – любой замкнутый самонепересекаюB I щийся контур, лежащий в ( D ) , то последнее ознаA чает, что P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в II x ( D) . Лемма 2. Если функции P( x , y ) и Q( x , y ) обРис. 3.20а. К доказательству леммы 2 разуют в области ( D ) пару типа « β », то они образуют в ( D ) также и пару типа « α ». Пусть P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) . Возьмем в ( D ) любые две точки A и B и соединим их двумя различными линиями: A I B и A II B , целиком лежащими в ( D ) . Лемма 2 будет доказана, если показать, что

(D)

(

(

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

( AI B

(2)

( A II B

Установим соотношение (2) в следующих двух простых случаях. 1) Линии A I B и A II B не имеют других общих точек, кроме точек A и B (см. рис. 3.20а). В этом случае наши линии образуют замкнутый самонепересекающийся контур. Так как функции P и Q – пара типа « β » в ( D ) , то

(

(

∫ P dx + Q dy = 0

y

⇒

( A II B I A

⇒

∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy = 0

⇒

∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy = 0

⇒

( A II B

⇒

( A II B

⇒

(D) A

(BI A

( AI B

II I

B III

x

Рис. 3.20б. К доказательству леммы 2

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

( A II B

(K)

( AI B

Видим, что соотношение (2) в этом случае установлено. 2) Линии A I B и A II B кроме точек A и B имеют еще и другие общие точки, но существует линия A III B , которая пересекается с ними только в точках A и B (см. рис. 3.20б). Тогда, по доказанному в случае 1), имеем:

(

(

(

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy,

( AI B

а значит, и

( A III B

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy ,

( A II B

( A III B

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

( AI B

( A II B

Видим, что соотношение (2) установлено и в этом случае. 77

3) В более сложных случаях утверждение леммы 2 B принимаем без доказательства. Рис. 3.20в – пример как I раз того случая, который не подходит ни к 1), ни к 2). A Следствие. Свойство пар функций иметь в области II ( D ) тип « α » равносильно свойству иметь тип « β ». Теорема. Пусть в о д н о с в я з н о й о б л а с т и ( D ) задаРис. 3.20в. К лемме 2 ны функции P( x , y ) и Q( x , y ) . Пусть P( x , y ) , Q( x , y )

∂P ∂Q и . ∂x ∂y Тогда для того, чтобы функции P( x , y ) и Q( x , y ) были парой типа « β » (а значит, и парой типа « α ») в ( D ) , необходимо и достаточно, чтобы всюду в ( D ) ∂P ∂Q . = было: ∂y ∂x Необходимость. Дано: P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) . Требу∂P ∂Q ется доказать, что всюду в ( D ) . = ∂y ∂x Рассуждаем от противного. Допустим, что соy (K) ∂P ∂Q выполняется не всюду в отношение = ∂y ∂x (D) M0 ( D ) . Но тогда в ( D ) имеется точка M 0 ( x0 , y0 ) (γδ)  ∂Q − ∂P  ≠ 0 . Пусть для опреде x такая, что   ∂x ∂y  ( • ) M непрерывны в ( D ) и имеют там непрерывные частные производные

Рис. 3.21. К доказательству теоремы

0

∂Q ∂P   ∂Q − ∂P  −  > 0 . Так как    ∂x ∂y   ∂x ∂y  ( • ) M

ленности 

0

– функция непрерывная в ( D ) , то по теореме о стабильности знака существует

∂Q ∂P − > 0 в uδ ( M 0 ) ( uδ ( M 0 ) – ∂x ∂y замкнутый круг радиуса δ с центром в точке M 0 ; ( γ δ ) – контур этого круга).  ∂Q − ∂P  ∈ C u ( M ) , то эта разность достигает в u ( M ) своего Так как   (δ 0) δ 0  ∂x ∂y  наименьшего m значения. Ясно, что m > 0 . uδ ( M 0 ) такая, что uδ ( M 0 ) ⊂ ( D ) и что

По формуле Грина имеем

∫ P dx + Q dy =

(γ δ)

78

∫∫

( uδ ( M 0 ))

 ∂Q − ∂P  dxdy ≥ m ⋅    ∂x ∂y 

∫∫ dxdy = m ⋅ πδ

( uδ ( M 0 ))

2

> 0,

а это невозможно, ибо P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) . Таким образом, предположение, что соотношение

∂P ∂Q = выполняется не всюду в ( D ) , ∂y ∂x

приводит к противоречию.

∂P ∂Q = всюду в ( D ) . Требуется доказать, что ∂y ∂x функции P( x , y ) и Q( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « β ». Возьмем л ю б о й замкнутый самонепересекающийся контур ( C ) , целиком лежащий в ( D ) . Пусть ( ∆ ) – область, ограниченная контуром ( C ) . По формуле Достаточность. Дано:

Грина имеем

 ∂Q

∂P 

∫ P dx + Q dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy = 0 ( ∆ ) 14243 =0 в ( ∆ )

C

∫ P dx + Q dy = 0

⇒

⇒

⇒ функции P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) .

C

y (K)

y

(∆) (C )

(K1)

(C ) (K2)

(D) x

x

Рис. 3.22. К доказательству теоремы

Рис. 3.23. К замечанию

Замечание. Важно подчеркнуть, что доказанное утверждение верно при условии, что область ( D ) – о д н о с в я з н а я . Действительно, если бы область ( D ) была, например, двухсвязной с внешним контуром ( K1 ) и внутренним контуром ( K 2 ) (см. рис. 3.23), то для контура ( C ) , охватывающего контур ( K 2 ) , мы имели бы:

∫ P dx + Q dy +

( C ), обл. слева

∫ P dx + Q dy =

( K 2 ), обл. слева

 ∂Q − ∂P  dxdy = 0, ∫∫  ∂x ∂y 

(∆)

∂Q ∂P − = 0 всюду в ( D ) , а значит, и в ( ∆ ) ( ( ∆ ) – область, ограниченная ∂x ∂y контурами ( C ) и ( K 2 ) ). Значит, ибо

∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy = 0

(C)

( K2 )

⇒

∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy = 0

(C)

⇒

( K2 )

79

⇒

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy

(C)

( ≠ 0 , вообще говоря).

( K2 )

Значит, P( x , y ) и Q( x , y ) не есть пара типа « β » в ( D ) .

y x , Q( x , y ) = − 2 . Эти функции опре2 x +y x + y2 делены и непрерывны на плоскости Oxy всюду, за исключением точки O( 0, 0) . Пример. Пусть P( x , y ) =

2

x2 − y2 ∂Q x2 − y2 ∂Q ∂P ∂P Имеем = = 2 ; = 2 ⇒ всюду на плоско2 2 2 2 ∂x ∂y ∂y ( x + y ) ∂x ( x + y ) сти Oxy , кроме точки O( 0, 0) . Значит, для любого замкнутого самонепересекающегося контура ( C ) , не охватывающего начала координат, будет: y dx − x dy P dx + Q dy = ∫ ∫ x2 + y2 = 0 , (C) (C) так как P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в области ( D ) , ограниченной контуром ( K ) (см. рис. 3.24).

y

y

( K) (D)

x

O

(C ) x

(C )

(K2)

R (K1)

Рис. 3.24. К примеру

Рис. 3.25. К примеру

Пусть ( C ) – окружность радиуса R с центром в точке O( 0, 0) . Вычислим

I=

y dx − x dy ∫ x 2 + y 2 . Параметрическими уравнениями ( C ) будут: (C)

 x = R cos t , t ∈[0, 2π ] .  y = R sin t ,  А тогда

2π

2π

− R2 sin 2 t − R2 cos2 t I= ∫ dt = − ∫ dt = −2π ( ≠ 0) . 2 R 0 0 P( x , y ) и Q( x , y ) в области ( D1 ) , ограниченной контуром ( K1 ) , не есть пара типа « β », ибо нарушена непрерывность в точке O( 0, 0) , расположенной внутри контура ( K1 ) . Если же выключить точку O( 0, 0) , окружив ее контуром 80

( K 2 ) (см. рис. 3.25), то условие непрерывности в области ( D2 ) , ограниченной контурами ( K1 ) и ( K 2 ) , будет иметь место, но нарушится односвязность. Дополнение.

Пусть

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy ( AB

выполнены

все

условия

теоремы,

по любому незамкнутому пути

а

значит,

( AB , целиком ле-

жащему в ( D ) , не зависит от формы пути, а зависит только от концов пути. Пусть функция u ( x , y ) определена в ( D ) и такая, что

P( x , y ) dx + Q( x , y ) dy = du ( x , y ) (т. е. выражение P dx + Q dy является полным дифференциалом функции u ( x , y ) ). Тогда

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = u ( x B , y B ) − u ( x A , y A ) ( AB

(здесь x A , y A – координаты точки A , а x B , y B – координаты точки B ). По условию P( x , y ) dx + Q( x , y ) dy = du ( x , y ) . Это значит, что

P( x , y ) =

∂u ( x , y ) ∂u ( x , y ) ; Q( x , y ) = . ∂y ∂x


I=

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy =

( AB

∫ ( AB

∂u ( x , y ) ∂u ( x , y ) dx + dy . ∂x ∂y

Для вычисления интеграла I введем параметрические уравнения

 x = ϕ ( t ),

( AB . Пусть

они такие:  t ∈[ p, q] , причем значению t = p отвечает точка A , а  y = ψ ( t ), значению t = q отвечает точка B . Будем иметь тогда q

 ∂u ( ϕ ( t ), ψ ( t )) ∂u (ϕ ( t ), ψ ( t )) I = ∫ ⋅ ϕ ′( t ) + ⋅ ψ ′( t ) dt . x y ∂ ∂   p  Заметив это, рассмотрим функцию f ( t ) = u (ϕ ( t ), ψ ( t )) . По правилу дифференцирования сложной функции, имеем

∂u (ϕ ( t ), ψ ( t )) ∂u ( ϕ ( t ), ψ ( t )) ⋅ ϕ ′( t ) + ⋅ ψ ′( t ) . ∂x ∂y Следовательно, предыдущее выражение для I принимает вид f ′( t ) =

q

I = ∫ f ′( t ) dt = f ( q ) − f ( p ) . p

81

Но f ( q ) = u (ϕ ( q ), ψ ( q )) = u ( x B , y B ) ; f ( p ) = u (ϕ ( p ), ψ ( p )) = u ( x A , y A ) (у нас

ϕ( p ) = x A , ψ ( p ) = y A , ϕ( q ) = x B , ψ( q ) = y B ). Поэтому I = u ( xB , yB ) − u ( x A , y A ) . Таким образом, для вычисления интеграла

∫ P dx + Q dy ( AB

нужно найти

функцию u ( x , y ) , первообразную для дифференциала P dx + Q dy и составить разность значений этой первообразной в конце и в начале пути интегрирования. Ясно, что это – аналог формулы Ньютона – Лейбница. Примеры к §4. 1. Вычислить I =

∫ ( x − y )( dx − dy ) , где ( AB – любая кривая, соединяю( AB

щая точки A(1, − 1) и B(1, 1) .

В этом случае P( x , y ) = x − y ; Q( x , y ) = y − x ⇒

∂P ∂Q = = −1 на всей ∂y ∂x

плоскости. Следовательно, в любой односвязной области, расположенной в плоскости Oxy , подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u ( x , y ) . Так как

(

)

1 ( x − y )( dx − dy ) = ( x − y ) ⋅ d ( x − y ) = d ( x − y )2 , 2 1 то такой функцией u ( x , y ) будет: u ( x , y ) = ( x − y )2 . Поэтому 2 ( x − y )2 I= 2 2. Вычислить I =

∫ (x ( AB

4

(1, 1)

(1, −1)

22 = 0− = −2 . 2

+ 4 xy 3 ) dx + ( 6 x 2 y 2 − 5 y 4 ) dy , где

( AB

– любая

кривая, соединяющая точки A( −2, − 1) и B(3, 0) .

∂P ∂Q = = 12 xy 2 ∂y ∂x на всей плоскости Oxy . Следовательно, I не за-

Здесь P( x , y ) = x 4 + 4 xy 3 ; Q( x , y ) = 6 x 2 y 2 − 5 y 4

y

⇒

висит от формы пути интегрирования, соединяю-

B x щего точки A и B . А раз так, то возьмем, напри3 мер, в качестве пути ( AB ломаную AC U CB C A −1 (см. рис. 3.26). Тогда Рис. 3.26. К примеру 2 I= ∫ = ∫ + ∫ ( = I1 + I2 ) .

−2

Имеем: 82

( AB ( AC ( CB

( AC = −2y≤=x−≤1 3 

⇒ dy = 0 .

Поэтому 3

3

 x5  I1 = ∫ = ∫ ( x − 4 x ) dx + 0 =  − 2 x 2  = 45 .  5  −2 ( AC −2

Имеем:

4

( CB = −1x≤ =y3≤ 0 

⇒ dx = 0 .

Поэтому

I2 =

∫ ( CB

0

= ∫ (54 y 2 − 5 y 4 ) dy = (18 y 3 − y 5 ) −1

0 −1

= 17 .

Следовательно, I = 45 + 17 = 62 .

 y2 y y y y  3. Вычислить I = ∫ 1 − 2 cos  dx +  sin + cos  dy , где ( AB – x  x x x ( AB  x любая кривая, соединяющая точки A(1, π ) и B( 2, π ) и не пересекающая ось Oy . Здесь y 2 A B y y y y y π P( x , y ) = 1 − 2 cos ; Q( x , y ) = sin + cos ; x x x x x 2y y y2 y ∂P ∂Q = = − 2 cos + 3 sin , x ≠ 0 . x x x ∂y ∂x x ∂P ∂Q x Видим, что P( x , y ) , Q( x , y ) , , определены и не∂y ∂x 1 2 прерывны на всей плоскости Oxy , кроме точек, лежащих Рис. 3.27. ∂P ∂Q К примеру 3 на оси Oy , и что для x ≠ 0 . Следовательно, I = ∂y ∂x не зависит от формы пути ( AB . Требуется только, чтобы ( AB не пересекала ось Oy . А раз так, то возьмем, например, в качестве ( AB прямолинейный отрезок, соединяющий точки A и B (см. рис. 3.27). Так как ( AB = 1 ≤y x=≤π2, ⇒ dy = 0 ,  то будем иметь 2

x =2  π2 π π   = 1+ π . I = ∫ 1 − 2 cos  dx + 0 =  x + π sin   x x  x =1  x 1

83

§5. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах 1°. Вычисление площади плоской фигуры при помощи криволинейного интеграла второго рода. Пусть ( K ) – простой, замкнутый самонепересекающийся контур, ограничивающий область ( D ) . 1) Пусть область ( D ) такая, что прямыми, параллельными оси Oy , она может быть разложена на конечное число областей типа I. Рассмотрим криволи-

нейный интеграл

∫ y dx (это – частный случай интеграла ∫ P dx + Q dy , когда

(K )

P≡ y, а

(K )

∫ y dx

Q ≡ 0 ). Преобразуя

по

формуле

Грина,

получим

(K )

∫ y dx = − ∫∫ dxdy = − FD

(K )

⇒

(D )

FD = −

∫ y dx .

(1)

(K)

2) Пусть теперь область ( D ) такая, что прямыми, параллельными оси Ox , ее можно разложить на конечное число областей типа II. Рассмотрим криволинейный интеграл

∫ x dy

(это – частный случай интеграла

(K )

P ≡ 0,

Q ≡ x ).

Преобразуя

∫ P dx + Q dy , когда

(K )

∫ x dy

по

формуле

Грина,

получим:

(K )

∫ x dy = ∫∫ dxdy = FD

(K )

⇒

(D )

FD =

∫ x dy .

(2)

(K )

3) Пусть, наконец, область ( D ) такая, что прямыми, параллельными оси Oy , она может быть разложена на конечное число областей типа I, а прямыми, параллельными оси Ox , – на конечное число областей типа II. Тогда будут верны одновременно формулы (1) и (2). Сложив соответствующие части этих формул, получим

2 FD =

∫ x dy − y dx

(K )

84

⇒ FD =

1 2

∫ x dy − y dx .

(K)

(3)

2°. Формула для площади плоской фигуры в криволинейных координатах. Пусть в плоскостях Oxy и Oξη расположены области ( D ) и ( ∆ ) с простыми контурами ( K D ) и ( K ∆ ) . Если дано правило, которое каждой точке ( ξ, η)

из ( ∆ ) сопоставляет о д н у и т о л ь к о о д н у точку ( x , y ) из ( D ) , причем каждая точка ( x , y ) из ( D ) оказывается сопоставленной о д н о й и т о л ь к о о д н о й точке из ( ∆ ) , то говорят, что между точками областей ( D ) и ( ∆ ) установлено взаимно-однозначное соответствие.

y

η (∆)

( D) (K D ) O

(K ∆ )

x

ξ

O

а) б) Рис. 3.28. К выводу формулы для площади в криволинейных координатах

Если ( ξ, η) и ( x , y ) есть взаимно-соответствующие точки, то

 x = x ( ξ, η),   y = y ( ξ, η).

(4)

Уравнения (4) есть уравнения преобразования ( ∆ ) в ( D ) . В силу взаимной однозначности соответствия между точками областей ( D ) и ( ∆ ) , система (4) однозначно разрешима относительно ξ и η . Поэтому

ξ = ξ( x , y ), (5)  ( x , y ). η = η  Впредь функции x( ξ, η) , y( ξ, η) будем считать непрерывными в ( ∆ ) , а функции ξ( x , y ) , η( x , y ) – непрерывными в ( D ) . Покажем, что тогда непрерывные кривые, лежащие, например, в ( ∆ ) , преобразуются в непрерывные кривые, лежащие в ( D ) . В самом деле, пусть ( λ ) – непрерывная кривая, лежащая в ( ∆ ) , и пусть ее ξ = α( t ), где α( t ) , β( t ) – функции, опрепараметрические уравнения такие:  η = β ( t ), деленные и непрерывные в промежутке [ p, q] . Тогда точки, соответствующие точкам кривой ( λ ) , имеют координаты: 85

 x = x (α( t ), β ( t )),   y = y (α( t ), β ( t )).

(6)

Так как правые части в уравнениях (6) есть функции непрерывные в промежутке [ p, q] , как суперпозиции непрерывных функций, то заключаем, что непрерывная кривая ( λ ) преобразуется в непрерывную же кривую ( l ) , лежащую в области ( D ) . Задача. Зная область ( ∆ ) и формулы преобразования области ( ∆ ) в область

x = x ( ξ, η), ( D ) :  найти площадь FD области ( D ) .  y = y ( ξ, η), Решать эту задачу будем при следующих предположениях. 1) Обе области ( ∆ ) и ( D ) прямыми, параллельными координатным осям, разлагаются на конечное число областей как типа I, так и типа II. 2) Контуру ( K ∆ ) соответствует контур ( K D ) , причем положительному обходу ( K ∆ ) соответствует определенный (положительный или отрицательный) обход ( K D ) . 3) Функции x( ξ, η) и y( ξ, η) имеют в ( ∆ ) непрерывные частные производ-

ные первого порядка xξ′ , x η′ , yξ′ , y η′ , а одна из этих функций имеет в ( ∆ ) непрерывные смешанные производные второго порядка. Пусть, например, в ( ∆ ) существуют и непрерывны yξη ′′ и y ηξ ′′ (⇒ y ηξ ′′ = yξη ′′ в ( ∆ ) ). 4) Определитель J ( ξ, η) =

xξ′ x η′ всюду в ( ∆ ) сохраняет знак ( J ( ξ, η) – yξ′ y η′

определитель Якоби, или якобиан). Решение. Мы знаем, что FD =

∫ x dy . Выразим этот криволинейный инте-

( KD )

грал через обыкновенный определенный интеграл. Пусть параметрические ξ = α( t ), уравнения контура ( K ∆ ) такие:  t ∈[ p, q] , где α( t ) , β( t ) – функции, η = β ( t ), определенные на [ p, q] и имеющие там непрерывные производные α ′( t ) , β′( t ) . Тогда параметрические уравнения контура ( K D ) будут такими:

 x = x (α( t ), β ( t )), t ∈[ p, q] .  α ( ), β ( ) , = y y t t ( )  Пусть для определенности изменению t от p до q соответствует положительный обход контура ( K D ) . Тогда 86

q

[

]

FD = ∫ x (α( t ), β ( t )) ⋅ yξ′ (α( t ), β ( t )) ⋅ α ′( t ) + yη′ (α( t ), β ( t )) ⋅ β′( t ) dt . p

(7)

Рассмотрим теперь следующий криволинейный интеграл второго рода по контуру ( K ∆ ) :

I=

∫ x(ξ, η) ⋅ [ yξ′ (ξ, η) dξ + yη′ (ξ, η) dη] .

(8)

( K∆ )

Чтобы выразить I обыкновенным определенным интегралом, нужно использовать параметрические уравнения контура ( K ∆ ) . Сделав это, мы придем в точности к интегралу, стоящему в правой части (7), если только положительный обход контура ( K D ) соответствует положительному обходу контура ( K ∆ ) . Если же положительный обход контура ( K D ) соответствует отрицательному обходу контура ( K ∆ ) , то мы получим интеграл стоящий в правой части (7), взятый со знаком «минус». Таким образом, FD = ± I . (9) Преобразуем интеграл I (см. (8)) по формуле Грина

∫ P( ξ, η) dξ + Q(ξ, η) dη =

( K∆ )

 ∂Q − ∂P  dξdη . ∫∫  ∂ξ ∂η

(∆)

У нас в I : P = x ( ξ, η) ⋅ yξ′ ( ξ, η) , Q = x ( ξ, η) ⋅ y η′ ( ξ, η) . Значит,

∂Q = xξ′ ⋅ y η′ + x ⋅ y ηξ ′′ ∂ξ ∂P = x η′ ⋅ yξ′ + x ⋅ yξη ′′ ∂η

⇒

∂Q ∂P − = xξ′ ⋅ y η′ − x η′ ⋅ yξ′ = J ( ξ, η) . ∂ξ ∂η

Поэтому

I=

∫∫ ( xξ′ ⋅ yη′ − xη′ ⋅ yξ′ ) dξdη = ∫∫ J (ξ, η) dξdη .

(∆)

(∆)

А, следовательно,

FD = ± ∫∫ J ( ξ, η) dξdη . (∆)

У нас по условию J ( ξ, η) всюду в ( ∆ ) сохраняет знак. Поэтому, принимая во внимание, что FD > 0 , можем написать

FD =

∫∫ J ( ξ, η) dξdη .

(10)

(∆)

Из рассуждений, проведенных выше, следует, что J ( ξ, η) > 0 тогда, когда положительный обход контура ( K D ) соответствует положительному обходу 87

контура ( K ∆ ) и что J ( ξ, η) < 0 тогда, когда положительный обход контура ( K D ) соответствует отрицательному обходу контура ( K ∆ ) . К двойному интегралу, стоящему в правой части (10), применим частный случай теоремы о среднем. Получим. FD = J ( ξ, η ) ⋅ F∆ , где ( ξ, η ) ∈( ∆ ) . (11) Из (11) находим

FD = J ( ξ, η ) . Станем сжимать область ( ∆ ) по всем направF∆

лениям в некоторую точку ( ξ, η) (тогда ( ξ, η ) → ( ξ, η) ). В силу непрерывности отображения область ( D ) будет при этом сжиматься в точку ( x , y ) , которая соответствует точке ( ξ, η) . Следовательно,

FD . F∆ →0 F∆

J ( ξ, η) = lim

Таким образом, модуль якобиана есть коэффициент искажения площадей при переходе из плоскости Oξη в плоскость Oxy . Замечание. Формула (10) остается верной и в том случае, когда взаимнооднозначное соответствие между точками областей ( D ) и ( ∆ ) нарушается на множестве точек, лежащих на конечном числе простых кривых. При этом предполагается, что якобиан J ( ξ, η) остается ограниченным всюду в ( ∆ ) . §6. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть между точками областей ( D ) и ( ∆ ) установлено взаимно-

 x = x ( ξ, η),

однозначное соответствие посредством формул  Считаем, что вы y = y ( ξ, η). полняются все условия, указанные при выводе формулы для площади плоской фигуры в криволинейных координатах. Пусть в области ( D ) задана непрерывная функция f ( x , y ) . Мы знаем, что тогда существует двойной интеграл I =

∫∫ f ( x, y ) dxdy . Требуется выразить

I

(D )

через некоторый двойной интеграл по области ( ∆ ) . Составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла I . Для этого произвольной сетью простых кривых нужно разбить область ( D ) на части ( D1 ) , ( D2 ) , K , ( Dn ) ; в каждой части ( Dk ) взять произвольную точку n

( x k , y k ) , и тогда σ = ∑ f ( x k , yk ) ⋅ FDk . k =1

88

Заметим, что, проводя в ( D ) сеть простых кривых, мы, в силу однозначности отображения, будем проводить также сеть простых кривых в области ( ∆ ) , так что ( ∆ ) разобьется на части ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) , K , ( ∆ n ) . По формуле для площади плоской фигуры в криволинейных координатах, имеем

FDk =

∫∫ J ( ξ, η) dξdη .

(∆k )

Применяя к двойному интегралу, стоящему в правой части, частный случай теоремы о среднем, получим FD = J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ , где точка ( ξ k , ηk ) ∈( ∆ k ) . k

k

А тогда n

σ = ∑ f ( x k , y k ) ⋅ J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ . k

k =1

Было отмечено, что у нас двойной интеграл I существует. Следовательно, lim σ = I п р и л ю б о м в ы б о р е т о ч е к ( x k , y k ) в ( Dk ) . В частности, в качеλ→0

стве точек ( x k , y k ) можно взять точки, соответствующие точкам ( ξ k , ηk ) , т. е. положить xk = x ( ξ k , ηk ) , y k = y ( ξ k , ηk ) . При таком выборе точек ( x k , y k ) будем иметь: n

(

)

σ = ∑ f x ( ξ k , ηk ), y ( ξ k , ηk ) ⋅ J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ . k =1

k

Сумма, стоящая здесь в правой части, есть сумма Римана для двойного интеграла

I* =

∫∫ f ( x( ξ, η), y( ξ, η)) ⋅ J (ξ, η) dξdη ,

(∆)

причем I* существует, ибо подынтегральная функция в нем есть функция непрерывная в ( ∆ ) . Отметим, что, измельчая дробление в ( D ) , мы тем самым будем измельчать дробление и в ( ∆ ) , ибо функции, осуществляющие взаимно-однозначное отображение областей ( D ) и ( ∆ ) друг на друга, есть непрерывные функции. Но тогда σ → I* при λ → 0 . А так как σ → I при λ → 0 , то получаем I = I* , т. е.

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x( ξ, η), y( ξ, η)) ⋅ J (ξ, η) dξdη .

(D )

(1)

(∆)

x = r cos ϕ, Частный случай. Пусть  Тогда   y = r sin ϕ.

89

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r drdϕ . (∆)

(D )

Замечание. Формула (1) остается верной и тогда, когда взаимнооднозначное соответствие между точками областей ( D ) и ( ∆ ) нарушается на множестве точек, лежащих на конечном числе простых кривых. При этом предполагается, что якобиан J ( ξ, η) остается ограниченным всюду в ( ∆ ) . §7. Примеры к главе 3 +∞

Пример 1 (интеграл Эйлера). Вычислить I =

2

−x e ∫ dx (попутно будет до0

казана сходимость этого несобственного интеграла). Введем в рассмотрение функцию

y

f ( x, y ) = e− x

2

− y2

и области ( D1 ) , ( D2 ) , ( D3 ) , где:

( D1 ) – четверть круга: x 2 + y 2 ≤ R2 , лежащая в первой четверти;

x

0 ≤ x ≤ R, ( D2 ) – квадрат:  0 ≤ y ≤ R; ( D3 ) – четверть круга: x 2 + y 2 ≤ 2 R2 , лежащая в

RR 2 Рис. 3.29. К вычислению интеграла Эйлера

что f ( x , y ) > 0 следует: −x ∫∫ e

2

первой четверти. Ясно, что ( D1 ) ⊂ ( D2 ) ⊂ ( D3 ) . Отсюда и из того,

− y2

dxdy ≤

( D1 )

1442443 = I1

−x ∫∫ e

2

− y2

dxdy ≤

( D2 )

1442443 = I2

−x ∫∫ e

2

− y2

dxdy .

(2)

( D3 )

1442443 = I3

Выразим двойной интеграл I2 через повторный.

I2 =

∫∫ e

( D2 )

−x2 − y2

R

R

0

0

dxdy = ∫ dx ∫ e

−x2 − y2

R

dy = ∫ e 0

−x2

R

2

dx ∫ e− y dy = 0

2

 R − y2   R − x2   R − x2  =  ∫ e dy   ∫ e dx  =  ∫ e dx  .  0  0  0 Вычисление двойных интегралов I1, I3 будем производить, переходя к полярным координатам. Будем иметь

90

∫∫ e

I1 =

−x − y

( D1 ) R −r2

π = ∫e 2 0

I3 =

∫∫ e

− x2 − y2

2

2

dxdy =

∫∫ e

−r

2

π2

r drdϕ =

( ∆1 )

0

R

2 π π 2 r dr = ∫ e − r dr 2 = − e − r 4 4

0

π2

dxdy =

( D3 )

∫

R 2

∫

dϕ

0

e

−r2

0

∫

R

2

dϕ ∫ e− r r dr =

r= R r =0

0

=

π 2 r dr = − e− r 4

(

)

2 π 1 − e− R ; 4

r = 2R

=

r =0

(

)

2 π 1 − e −2 R . 4

Теперь неравенство (2) может быть записано в виде

(

π 1 − e− R 4

2

)

2

(

 R − x2  2 π ≤  ∫ e dx  ≤ 1 − e −2 R 4 0 

)⇒

R

⇒

2 2 2 π π 1 − e − R ≤ ∫ e − x dx ≤ 1 − e −2 R . 2 2

0

В этом неравенстве перейдем к пределу при R → + ∞ . Так как 2 π π , 1 − e− R → 2 R→+∞ 2

2 π π , 1 − e −2 R → 2 R→+∞ 2

то по теореме о сжатой переменной заключаем, что R

lim

R→+∞ +∞

Итак, получили +∞

вательно,

∫e 0

− x2

2

−x ∫ e dx = 0

π . 2

π dx = . Легко показать, что 2

0

π , а следо2

2

−x ∫ e dx =

−∞

2

−x ∫ e dx = π .

−∞

Пример 2. В интеграле I =

∫∫ f ( x, y ) dxdy

перей-

(D )

ти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования, если ( D ) – круг x 2 + y 2 ≤ ax ( a > 0 ). 2

2

a a x 2 + y 2 ≤ ax ⇔  x −  + y 2 ≤ ⇒ (D ) –  2 4 a a круг радиуса с центром в точке  , 0 . Положим 2  2

y

r = a cos ϕ ϕ a 2

x a


91

 x = r cos ϕ, Окружность x 2 + y 2 = ax в полярных координатах задается урав y = r sin ϕ.  π π нением r 2 = ar cosϕ ⇒ r = a cosϕ , ϕ ∈ − ,  . Якобиан J ( r , ϕ ) = r .  2 2  Если внешнее интегрирование производить по ϕ , то промежутком изменеπ π ния ϕ , будет − ,  . Взяв произвольное значение ϕ из промежутка  2 2  − π , π  , видим по рисунку 3.30, что r изменяется от r = 0 до r = a cosϕ . Бу 2 2  дем иметь, следовательно,

π2

I= y a ϕ = 3π 4

∫

r = a cos ϕ

dϕ

−π 2

r= a sin ϕ

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr .

r =0

Пример

ϕ= π 4 sin ϕ r =a cos2ϕ

I=

3.

∫∫ f ( x, y ) dxdy

В

интеграле

перейти к поляр-

(D )

ным координатам и расставить пределы интегрирования, если ( D ) – параболи-

− a ≤ x ≤ a, ческий сегмент  x 2 Рис. 3.31. К примеру 3  a ≤ y ≤ a. В полярных координатах отрезок прямой y = a , − a ≤ x ≤ a , определяется

−a

a

x

x2 π 3π  a  , ϕ∈ , , а кусок параболы y = , x ∈[− a, a ] , – уравнением: r = sin ϕ a  4 4  sin ϕ 0, π  U  3π , π  . Будем производить внешнее уравнением: r = a , ϕ ∈  4   4  cos2 ϕ π интегрирование по ϕ . Взяв произвольное значение ϕ из промежутка 0,  ,  4  sin ϕ видим по рисунку 3.31, что r изменяется от r = 0 до r = a . Взяв произcos2 ϕ π 3π вольное значение ϕ из промежутка  ,  , видим, что r изменяется от r = 0  4 4  3π a до r = . Взяв произвольное значение ϕ из промежутка  , π  , видим,  4  sin ϕ sin ϕ что r изменяется от r = 0 до r = a . Будем, следовательно, иметь cos2 ϕ 92

π 4

I = ∫ dϕ 0

r =a

sin ϕ cos2 ϕ

3π 4

r=

a sin ϕ

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr + ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr + π 4

r =0

π

+ ∫ dϕ 3π 4

r =a

sin ϕ cos 2 ϕ

r =0

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr .

r =0 1

1

∫ ∫

Пример 4. В интеграле I = dx f ( x , y ) dy перейти к полярным координа0

0

там и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке.

y

2

1 r = 1  ϕ = arcsin  sin ϕ  r

C

B

ϕ= π 4 1 r = 1  ϕ = arccos  cos ϕ  r

x

A

O

1

2


(D ) определяется соотношениями x = r cos ϕ, 0 ≤ x ≤ 1, ( D ) =  При замене  J (r, ϕ ) = r .  0 ≤ y ≤ 1.  y = r sin ϕ, y = 0,  ϕ = 0, Отрезок OA =  0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ r ≤ 1.    ϕ = π , x = 0,  Отрезок OB =  ⇒  2 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ r ≤ 1. r = 1 , ϕ = arccos 1 ,  x = 1, cos ϕ  Отрезок AC =  ⇒  ⇔  r π 0 ≤ y ≤ 1  1 ≤ r ≤ 2. 0 ≤ ϕ ≤  4 Область

интегрирования

93

r = 1 , ϕ = arcsin 1 ,  y = 1,  sin ϕ Отрезок BC =  ⇒  ⇔  r π π 0 ≤ x ≤ 1  1 ≤ r ≤ 2.  ≤ϕ≤ 2 4 I. Если внешнее интегрирование производить по ϕ , то будем иметь π 4

1 cos ϕ

π 2

r =0

π 4

r=

I = ∫ dϕ

r=

1 sin ϕ

∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr + ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr .

0

r =0

II. Будем производить теперь внешнее интегрирование по r . Взяв произвольное значение r из промежутка [0, 1], видим по рис. 3.32, что ϕ изменяется

[

]

π . Взяв произвольное значение r из промежутка 1, 2 , ви2 1 1 дим, что ϕ изменяется от ϕ = arccos до ϕ = arcsin . Будем иметь, следоваr r

от ϕ = 0 до ϕ =

тельно,

π 2

1

ϕ=

0

ϕ =0

I = ∫ dr

2

ϕ = arcsin

1 r

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dϕ + ∫ dr ∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dϕ . 1

y

ϕ = arccos

1 r

1

∫

Пример 5. В интеграле I = dx

2 B

1 C

0

y= x2

∫ f ( x, y ) dy

y =0

перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке. Область интегрирования ( D ) определяет-

 0 ≤ x ≤ 1, x ся соотношениями ( D ) =  2 Делаем 0 ≤ y ≤ x .  O 2 x = r cos ϕ, Рис. 3.33. К примеру 5 замену   y = r sin ϕ ⇒ J ( r , ϕ ) = r .  y = 0,  ϕ = 0, Отрезок OA =  0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ r ≤ 1.   r = 1 , ϕ = arccos 1 ,  = 1 , x  cos ϕ ⇒  ⇔  Отрезок AB =  r π 0 ≤ y ≤ 1  0 ≤ ϕ ≤  1 ≤ r ≤ 2.  4 A 1

94

r = sin ϕ ,  1 + 4r 2 − 1 2  y=x ,  ( OCB = 0 ≤ x ≤ 1 ⇒  cos ϕ ⇔ ϕ = arcsin 2r ,    0≤ϕ≤ π 0 ≤ r ≤ 2.  4 sin ϕ 0, π  ; , ϕ ∈ ( y = x 2 ⇒ r sin ϕ = r 2 cos2 ϕ ⇒ r =  4  cos2 ϕ 2

имеем также

−1 ± 1 + 4r 2 r sin ϕ = r (1 − sin ϕ ) ⇒ r sin ϕ + sin ϕ − r = 0 ⇒ sin ϕ = ⇒ 2r π так как sin ϕ ≥ 0 для ϕ ∈ 0,  ,  4  2

2

2

1 + 4r 2 − 1 1 + 4r 2 − 1 sin ϕ = ⇒ ϕ = arcsin , r ∈ 0, 2 . 2r 2r ϕ( r ) в точке r = 0 понимается в предельном смысле, ϕ( 0) = 0 . I. Будем производить внешнее интегрирование по ϕ . Взяв произвольное π значение ϕ из промежутка 0,  видим по рис. 3.33, что r изменяется от  4  sin ϕ 1 r= до r = . Поэтому будем иметь 2 cosϕ cos ϕ

[

π 4

r=

0

r=

I = ∫ dϕ

]

1 cos ϕ

∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr .

sin ϕ cos 2ϕ

II. Станем производить теперь внешнее интегрирование по r . Взяв произвольное значение r из промежутка [0, 1], видим по рис. 3.33, что ϕ изменяется

1 + 4r 2 − 1 . Взяв произвольное значение r из проме2r 1 жутка 1, 2 , видим по рис. 3.33, что ϕ изменяется от ϕ = arccos до r 1 + 4r 2 − 1 ϕ = arcsin . Следовательно, будем иметь 2r от ϕ = 0 до ϕ = arcsin

[

1

I = ∫ dr 0

]

ϕ = arcsin

1+ 4r 2 −1 2r

2

∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ ) r dϕ + ∫ dr

ϕ=0

1

ϕ = arcsin

1+ 4r 2 −1 2r

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dϕ . ϕ = arccos

1 r

95

Пример 6. Переменить порядок интегрирования в интеграле r = a sin 2ϕ

π2

I= y

π 1 r ϕ = − arcsin 2 2 2 a π ϕ= 4

∫ f (ϕ, r ) dr .

dϕ

r =0

0

2

Область интегрирования ( D ) определяет-

 0 ≤ ϕ ≤ π , 2 Из ся соотношениями: ( D ) =  0 ≤ r ≤ a sin 2ϕ . соотношения r = a sin 2ϕ ⇒ r 2 = a 2 sin 2ϕ

2

ϕ = 1 arcsin r 2 2 a x a

O

∫

sin 2ϕ =

⇒

r2 a2

⇒

2ϕ = arcsin

r2 a2

⇒

1 r2 ϕ = arcsin 2 , r ∈[0, a ] . Требуется произве2 a сти внешнее интегрирование по r . Возьмем произвольное значение r из промежутка [0, a ] . Из рис. 3.34 виРис. 3.34. К примеру 6

дим, что ϕ будет изменяться при этом r от значения ϕ = ния ϕ =

π 1 r2 − arcsin 2 . Следовательно, будем иметь 2 2 a a

I = ∫ dr 0

1 r2 arcsin 2 до значе2 a

π 1 r2 ϕ = − arcsin 2 2 2 a

∫ f ( ϕ , r ) dϕ .

1 r2 ϕ = arcsin 2 2 a

Пример 7. В двойном интеграле

∫∫ f ( x, y ) dxdy , где ( D ) – область, огра-

(D )

ниченная линиями:

x + y = a ( a > 0 ), x = 0 , y > 0 , сделать замену пере-

 x = u cos4 v , менных по формулам:  4  y = u sin v. При такой замене: x+ y= a 1) линия

(a > 0 )

перейдет

в

линию

u ⋅ cos2 v + u ⋅ sin 2 v = a ⇒ u = a ⇒ u = a (рис. 3.35, 3.36);  u sin 4 v = 0, y = 0, v = 0,  перейдет в линию  ⇒  2) линия   4 0 < u ≤ a; 0 < x ≤ a 0 < u cos v ≤ a 96

 v = π ,  u cos4 v = 0, ⇒  2  4 0 < u sin v ≤ a 0 < u ≤ a;  u cos4 v = 0, 4) точка O( 0, 0) перейдет в линию  ⇒ u = 0. 4  u sin v = 0 y v x = 0, 3) линия  0 < y ≤ a перейдет в линию 

a π2 (∆) x

(D )

u

a

O


J ( u, v ) =

a

O


4 3 xu′ x v′ = cos4 v −4u cos3 v sin v = 4u sin 3 v cos3 v . yu′ y v′ sin v 4u sin v cos v

Следовательно, a

v=π 2

0

v =0

I = 4∫ u du

∫ f ( u cos

4

v , u sin 4 v )sin 3 v cos3 v dv .

Пример 8. Произведя соответствующую замену переменных, свести двойной интеграл I =

∫∫ f ( x ⋅ y ) dxdy , где ( D ) – область, ограниченная линиями:

(D )

xy = 1 , xy = 2 , y = x , y = 4 x ( x > 0 , y > 0 ), к однократному. y v 4

4

y = 4x

3

(D )

2 1 1

2

3 y=x xy = 2 xy=1 x


(∆)

2 1 1

2

u


97

Делаем замену переменных:

 u  xy = u,  x = v , ⇒  ( u > 0 , v > 0 , ибо x > 0 , y > 0 ). y = v  x  y = uv При такой замене: 1) линия xy = 1 перейдет в линию u = 1 ; 2) линия xy = 2 перейдет в линию u = 2 ; 3) линия y = x перейдет в линию v = 1 ; 4) линия y = 4 x перейдет в линию v = 4 .

1 1 u − 32 x′ x′ 2v 1 = J ( u, v ) = u v = 2 uv . yu′ y v′ 2v 1 v 1 u 2 u 2 v Будем иметь, следовательно, 2

v =4

1

v =1

1 I = ∫ du 2

∫

dv 1 f ( u) = v 2

u= 2

∫ f ( u)[ln v ]

u=1

v =4 du = v =1

2

ln 2 ⋅ ∫ f ( u ) du . 1

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией ( x − y )2 + x 2 = a 2 ( a > 0 ).

v

x − y = u, Делаем замену переменных    x=v

⇒

 x = v , При такой замене линия ( x − y )2 + x 2 = a 2  (∆) u  y = v − u. a ( a > 0 ) переёдет в линию u2 + v 2 = a 2 . Это – окружность радиуса a с центром в точке ( 0, 0) . x′ x′ 0 1 = 1. J ( u, v ) = u v = −1 1 yu′ yv′ Рис. 3.39. К примеру 9 Искомая площадь F фигуры, ограниченной линией ( x − y )2 + x 2 = a 2 ( a > 0 ) будет равна

F=

∫∫ dxdy = ∫∫ J (u, v ) dudv = ∫∫ dudv = πa

(D )

(∆)

2

(кв. ед.).

(∆)

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ); x 2 + y 2 ≥ a 2 .

98

ϕ = 5π 6

y

ϕ= π 6

r =a

r =a 2cos 2ϕ x

a

a 2 ϕ=− π 6

ϕ = − 5π 6


x = r cos ϕ, Переходим к полярным координатам  В полярной системе  координат

линия

 y = r sin ϕ. 2 ( x 2 + y 2 ) = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) будет

иметь

уравнение:

r = a 2 cos 2ϕ (это – лемниската), а линия x 2 + y 2 = a 2 – уравнение r = a (это – окружность). Найдем точки пересечения этих линий. Для этого нужно решить систему:

r = a 2 cos 2ϕ , ⇒  r = a 

2 cos 2ϕ = 1 ⇒ cos 2ϕ =

π 1 5π ⇒ ϕ=± ; ϕ=± . 2 6 6

Принимая во внимание симметричность фигуры, станем вычислять площадь ее части, расположенной в первой четверти. Взяв произвольное значение ϕ из

π промежутка 0,  , видим из рис. 3.40, что r при этом ϕ изменяется от значе

6 

ния r = a до значения r = a 2 cos 2ϕ . Будем иметь, следовательно, π 6

r = a 2 cos 2ϕ

0

r =a

1 F = ∫ dϕ 4 ⇒ F=

π 6 2 r = a 2 cos 2ϕ

r ∫ r dr = ∫ 2 0

r =a

π 6

1 a2  3 π 2 2 dϕ = ∫ ( 2a cos 2ϕ − a ) dϕ =  − 2 2  2 6  0

3 3−π 2 ⋅ a (кв. ед.). 3

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y 2 = 2 px ;

y 2 = 2qx ; x 2 = 2ry ; x 2 = 2sy ( 0 < p < q ; 0 < r < s ).

99

v 2s

y

x 2 = 2 sy

x 2 = 2ry

(∆)

2

y = 2qx (D )

2r

y 2 = 2 px x

u

O

O 2p Рис. 3.41. К примеру 11

2q


Делаем замену переменных

 y2  x = u,  x = u1 3 ⋅ v 2 3 , ⇒   2 x  y = u2 3 ⋅ v1 3.  =v  y При такой замене: 1) ветвь параболы y 2 = 2 px перейдет в прямую линию u = 2 p ; 2) ветвь параболы y 2 = 2qx перейдет в прямую линию u = 2q ; 3) ветвь параболы x 2 = 2ry перейдет в прямую линию v = 2r ; 4) ветвь параболы x 2 = 2 sy перейдет в прямую линию v = 2 s .

1 −2 3 2 3 u v J ( u, v ) = 3 2 −1 3 1 3 u v 3

2 1 3 −1 3 u v 1 3 =− ⇒ 1 2 3 −2 3 3 u v 3

1 J ( u, v ) = . 3

Поэтому

F=

∫∫ dxdy =

(D )

∫∫

(∆)

1 J ( u, v ) dudv = 3

2q

∫

2p

2s

4 du ∫ dv = ( q − p )( s − r ) . 3 2r

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 2 x 3

2

2

2

y 3 y 3 x 3 ( l1 ):   +   = 1; ( l2 ):   +   = 4 ;  a  a  b  b x y x y ( l3 ): = ; ( l4 ): 8 = ( x > 0, y > 0) . a b a b 100

y 8b

( l4 )

( l3 ) arctg 2 π4

(D ) ( l1 ) a

b

(∆)

v

( l2 )

u 1

x

8

8a Рис. 3.44. К примеру 12


 x = au cos3 v , Делаем замену переменных  При такой замене: 3  y = bu sin v. 1) линия ( l1 ) перейдет в линию u2 3 = 1 ⇒ u = 1 ; 2) линия ( l2 ) перейдет в линию u2 3 = 4 ⇒ u = 8 ;

π ; 4 4) линия ( l4 ) перейдет в линию tg3 v = 8 ⇒ v = arctg 2 . 3 2 x′ x′ J ( u, v ) = u v = a cos3 v −3au cos2 v sin v = 3abu sin 2 v cos2 v . yu′ y v′ b sin v 3bu sin v cos v

3) линия ( l3 ) перейдет в линию tg3 v = 1 ⇒ v =

Имеем, следовательно,

F=

∫∫ dxdy = ∫∫ 3abu sin

v = arctg 2

2

2

v cos v dudv = 3ab

(∆)

(D )

3 ⋅ 63 = ab 2 189 = ab 8

v = arctg 2

∫

v=π 4

v =π 4

2

sin v cos v dv

v=π 4 v = arctg 2

v = arctg 2

∫ sin

∫

2

2

v cos2 v dv =

189 1 ab ⋅ 2 4

∫ sin

u=8

∫ u du =

u=1

2

2 v dv =

v=π 4

1 − cos 4v 189  π 1 v = arctg 2 dv = ab  arctg 2 −  − sin 4 v v = π 4  = 2 16 4 4  

189  1 ab (arctg 2 − arctg1) − sin ( 4 arctg 2 ) .   16 4 1 24 Так как arctg 2 − arctg1 = arctg , sin ( 4 arctg 2 ) = − , то 3 25 189  1 6 F= ab arctg +  (кв. ед.). 16  3 25 =

101

Глава 4. Вычисление площадей кривых поверхностей §1. Некоторые сведения из геометрии 1.°Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Определение. Касательной в точке N к пространственной кривой ( l ) называется предельное положение секущей, проходящей через точку N и какуюнибудь точку M этой кривой, когда точка M по кривой стремится к совпадению с точкой N . Пусть кривая ( l ) задана параметрическими уравнениями

 x = ϕ ( t ),  y = ψ ( t ), t ∈[ p, q] .  z = ω ( t ),

(1)

Предполагаем, что функции ϕ( t ) , ψ( t ) , ω ( t ) имеют в [ p, q] непрерывные производные M ϕ ′ ( t ) , ψ ′( t ) , ω ′ ( t ) . (l ) Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) соответствует N t0 , а точка значению параметра M ( x0 + ∆ x , y0 + ∆ y , z0 + ∆ z ) – значению паy раметра t0 + ∆ t , так что: x0 = ϕ ( t0 ) , y0 = ψ( t0 ) , z0 = ω ( t0 ) ; x0 + ∆ x = ϕ ( t0 + ∆ t ) , x y0 + ∆ y = ψ( t0 + ∆ t ) , z0 + ∆ z = ω ( t0 + ∆ t ) . Рис. 4.1. К определению касательной к пространственной Составляем уравнение секущей NM как уравнение прямой, проходящей через две точкривой ки:

z

(T )

x − x0 y − y0 z − z0 = = ( x0 + ∆ x ) − x0 ( y0 + ∆ y ) − y0 ( z0 + ∆ z ) − z 0

( x , y , z – текущие координаты), или

x − x0 y − y0 z − z0 = . = ϕ ( t0 + ∆ t ) − ϕ ( t0 ) ψ ( t0 + ∆ t ) − ψ ( t0 ) ω ( t0 + ∆ t ) − ω ( t0 ) Разделив знаменатели этих отношений на ∆ t и переходя к пределу при ∆ t → 0 , получим уравнение касательной к ( l ) в точке N . x − x0 y − y0 z − z 0 = . (2) = ϕ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′ ( t 0 ) r Из (2) видим, что вектор τ (ϕ ′( t0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t0 )) направлен по касательной к кривой ( l ) в точке N . 102

Замечание. Уравнения (2) теряют смысл, если ϕ ′( t0 ) = ψ ′( t0 ) = ω ′( t0 ) = 0 . В этом случае точка N называется особой. Если же хотя бы один из знаменателей в соотношении (2) не равен нулю, то точка N называется обыкновенной. В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные точки. Определение. Нормальной плоскостью к кривой ( l ) в точке N называется плоскость, проходящая через точку N п е р п е н д и к у л я р н о касательной к ( l ) в точке ( N ) . Найдем уравнение нормальной плоскости. Для этого берем уравнение связки плоскостей с центром в точке N ( x0 , y0 , z0 ) : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 . (3) По определению, нормальная плоскость перпендикулярна касательной к ( l ) в

точке N . Поэтому

A B C = = ( = k ) , k – обозначение общей веϕ ′ ( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′( t 0 )

личины этих отношений. А тогда

A = k ⋅ ϕ ′( t0 ), B = k ⋅ ψ ′( t0 ), C = k ⋅ ω ′( t0 ) . Подставив эти выражения для A , B и C в (3), получим уравнение нормальной плоскости к ( l ) в точке N : ϕ ′ ( t 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + ψ ′ ( t 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) + ω ′( t 0 ) ⋅ ( z − z 0 ) = 0 . (4) z

z N

N (l )

y x

Рис. 4.2. К определению нормальной плоскости к пространственной кривой

(l )

(l )

(s) y

x

Рис. 4.3. К определению касательной плоскости и нормали к поверхности

2°. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определение. Пусть дана поверхность ( s ) и пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) ∈( s ) . Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на ( s ) и проходящие через точку N . Проведем к этим кривым в точке N касательные прямые. Если геометрическим место этих касательных прямых оказывается плоскость, то она называется касательной плоскостью к поверхности ( s ) в точке N , а перпендикуляр к этой плоскости в точке N называется нормалью к поверхности ( s ) в точке N . Пусть данная поверхность ( s ) имеет уравнение F ( x, y, z ) = 0 . (5) 103

Предполагаем, что функция F ( x , y , z ) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Fx′, Fy′ , Fz′ в некоторой пространственной области. Точки поверхности ( s ) , в которых одновременно Fx′( x , y , z ) = 0 , Fy′ ( x , y , z ) = 0 ,

Fz′( x , y , z ) = 0 , называются особыми точками. Остальные точки поверхности ( s ) называются обыкновенными. Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) – обыкновенная точка поверхности ( s ) . Рассмотрим одну из кривых ( l ) , лежащую на ( s ) и проходящую через точку N ( x0 , y0 , z0 ) . Пусть параметрические уравнения этой кривой ( l ) такие:  x = ϕ ( t ),  y = ψ ( t ), t ∈[ p, q] ,  z = ω ( t ), где функции ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t ) определены и имеют непрерывные производные ϕ ′( t ), ψ ′( t ), ω ′( t ) в промежутке [ p, q] . Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) соответствует значению параметра t0 . Уравнение касательной к ( l ) в точке N ( x0 , y0 , z0 ) будет таким: x − x0 y − y0 z − z 0 . (6) = = ϕ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′ ( t 0 ) Мы докажем, что у данной поверхности ( s ) в точке N существует касательная плоскость, если покажем, что касательная прямая к л ю б о й к р и в о й ( l ) , проходящей через точку N , перпендикулярна к некоторой определенной прямой. Так как вся кривая ( l ) лежит на поверхности ( s ) , то при всех t ∈[ p, q] будет

F (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) = 0 . (7) Значит, (7) есть тождество относительно t . Продифференцируем это тождество по t . Получим Fx′(ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ϕ ′( t ) + Fy′ (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ψ ′( t ) + + Fz′(ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ω ′( t ) = 0 Положим в этом соотношении t = t0 . Получим Fx′( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ψ ′( t0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ω ′( t0 ) = 0 . (8)

Равенство (8) представляет собой условие перпендикулярности двух прямых, а именно, прямой (6) (т. е. касательной к ( l ) в точке N ) и прямой, имеющей уравнение

x − x0 y − y0 z − z0 = . (9) = Fx′( x0 , y0 , z0 ) Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) Fz′( x0 , y0 , z0 ) Ясно, что прямая (9) не зависит от выбора кривой ( l ) . Она зависит только от поверхности ( s ) и от положения точки N на ( s ) . Значит, касательная прямая к 104

л ю б о й к р и в о й ( l ) , лежащей на ( s ) и проходящей через точку N ( x0 , y0 , z0 ) перпендикулярна к одной и той же прямой (9). Следовательно, у поверхности ( s ) в точке N существует касательная плоскость. Нетрудно понять, что прямая (9) является нормалью к поверхности ( s ) в точке N . Выведем теперь уравнение касательной плоскости к ( s ) в точке N . Для этого возьмем уравнение связки плоскостей с центром в точке N : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 . (10) Так как касательная плоскость к ( s ) в точке N перпендикулярна нормали (9), то

~ A B C = = (= k ) , Fx′( x0 , y0 , z0 ) Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) Fz′( x0 , y0 , z0 )

~ k – обозначение общей величины этих отношений. А тогда ~ ~ ~ A = k ⋅ Fx′( x0 , y0 , z0 ), B = k ⋅ Fy′ ( x0 , y0 , z0 ), C = k ⋅ Fz′( x0 , y0 , z0 ) . Подставив эти выражения для A , B и C в (10), получим уравнение касательной плоскости к поверхности ( s ) в точке N : Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0 . (11) Частный случай. Пусть поверхность ( s ) задана явным уравнением: z = f ( x, y ) , (12) где f ( x , y ) – непрерывная вместе со своими частными производными p ( x , y ) = f x′( x , y ) и q( x , y ) = f y′ ( x , y ) . Отметим, что у такой поверхности все точки обыкновенные. В самом деле, запишем уравнение (12) в виде: f ( x , y ) − z = 0 . Это есть уравнение вида (5), где F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z . Поэтому Fx′( x , y , z ) = f x′( x , y ) , Fy′ ( x , y , z ) = f y′ ( x , y ) , Fz′ = −1 ( ≠ 0 ) . Уравнение касательной плоскости в точке N ( x0 , y0 , z0 ) к поверхности, заданной уравнением (12), будет таким: z − z0 = f x′( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y′ ( x0 , y0 )( y − y0 ) . (13) Уравнение нормали в точке N ( x0 , y0 , z0 ) к поверхности, заданной уравнением (12):

x − x0 y − y0 z − z0 = = . f x′( x0 , y0 ) f y′ ( x0 , y0 ) −1

(14)

Если α, β, γ – углы, которые нормаль к поверхности ( s ) образует с осями координат, то

105

cos α =

f x′ 2

± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ ) cos γ =

2

, cos β =

f y′ 2

± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ )

−1 2

± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ )

2

2

,

.

(15)

Выбор знака перед радикалом означает выбор определенного направления на нормали. Если нам нужно, например, то направление, которое составляет с осью Oz острый угол, то должно быть cos γ > 0 и, следовательно, в формулах (15) перед радикалом нужно взять знак минус. Замечание. Пусть кривая ( l ) задана пересечением двух поверхностей, т. е.

F ( x , y , z ) = 0, Касательную прямую к этой кривой в точке системой  

Φ ( x , y , z ) = 0. N ( x0 , y0 , z0 ) можно получить как пересечение касательных плоскостей, проведенных к данным поверхностям в точке N . Следовательно, уравнение этой касательной прямой будет таким:

 Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0, (16)  Φ′x ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Φ′y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Φ′z ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0. §2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление 1°. Рассмотрим поверхность ( s ) , з а д а н н у ю я в н ы м у р а в н е н и е м z = f ( x, y ) , (1) где f ( x , y ) определена, непрерывна и Mk z имеет непрерывные частные производные ( s) f x′( x , y ) , f y′ ( x , y ) в области ( D ) , распо-

ложенной в плоскости Oxy и ограниченной простым контуром. Разобьем ( D ) произвольной сетью y простых кривых на части ( D1 ) , ( D2 ) , K , ( Dn ) с площадями F1, F2 , K , Fn . Рассмотрим цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны оси x (Dk ) Oz , а направляющими служат простые (D ) кривые, разбивающие на части ( D ) . Эти Рис. 4.4. К вычислению площади кривой поверхности цилиндрические поверхности переносят дробящую сеть с ( D ) на ( s ) . Поэтому поверхность ( s ) разобьется на части ( s1 ) , ( s2 ) , K , ( sn ) . На каждой части ( sk ) 106

берем произвольную точку M k ( xk , y k , z k ) и проводим в этих точках плоскости, касательные к поверхности ( s ) . Продолжим упомянутые выше цилиндрические поверхности до пересечения с построенными касательными плоскостями. Тогда на этих плоскостях вырежутся плоские области ( ~ s1 ) , ( ~ s2 ) , K , ( ~ sn ) . Пусть площади их будут: T1, T2 , K , Tn соответственно. Обозначим через λ ранг дробления области ( D ) . Покажем, что существует конечный предел n

s = lim ∑ Tk , не зависящий ни от выбора дробящей сети, ни от выбора точек λ→0

k =1

M k на ( sk ) . Этот предел и принимается за площадь s поверхности ( s ) . Заметим, что области ( Dk ) являются проекциями ( ~ sk ) на плоскость Oxy . Значит, площади их связаны так: Fk = Tk ⋅ cos ψ k , где ψ k – угол между плоскостью Oxy и плоскостью, касательной к поверхности ( s ) в точке M k . Но угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Поэтому ψ k = γ k , где γ k – угол между осью Oz и нормалью к поверхности ( s ) в точке M k . А тогда

cos ψ k = cos γ k =

1

(

)

1 + ( f x′( xk , yk )) + f y′ ( xk , yk ) 2

2

(заметим, что нам нужен положительный косинус). И, следовательно,

Tk =

(

n

⇒

)

2 Fk 2 = 1 + ( f x′( xk , y k )) + f y′ ( x k , y k ) ⋅ Fk ⇒ cos ψ k n

(

)

2

∑ Tk = ∑ 1 + ( f x′( xk , yk )) + f y′ ( xk , yk ) ⋅ Fk . k =1

2

k =1

(2)

Видим, что сумма (2) есть интегральная сумма Римана для двойного интеграла по области ( D ) от непрерывной в ( D ) функции

(

)

2

1 + ( f x′( x , y )) + f y′ ( x , y ) . 2

Значит, у суммы (2) существует при λ → 0 конечный предел, не зависящий ни от выбора дробящей сети области ( D ) , ни от выбора точек M k на ( sk ) , а это и требовалось доказать. Попутно установлено, что

s=

∫∫

(

)

2

1 + ( f x′( x , y )) + f y′ ( x , y ) dxdy . 2

(3)

(D )

Замечание. Формулу (3) для площади s кривой поверхности можно записать в виде:

s=

dxdy

∫∫ cos γ ,

(4)

(D )

107

где γ – острый угол между нормалью к поверхности ( s ) и осью Oz . Если на нормали к ( s ) направление не выбрано нужным образом, то вместо (4) следует писать

s=

dxdy

∫∫ cos γ .

(5)

(D )

2°. Случай, когда поверхность задана параметрическими уравнениями. Рассмотрим теперь поверхность ( s ) , заданную параметрическими уравнениями

 x = x ( u, v ),  y = y ( u, v ),  z = z ( u, v ),

(6)

где x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) есть функции, заданные в области ( ∆ ) плоскости Ouv , непрерывные там и имеющие непрерывные частные производные xu′ , xv′ , yu′ , y v′ , zu′ , z v′ . Составим матрицу

 xu′ yu′ zu′     x v′ y v′ z v′  и рассмотрим следующие определители, составленные из элементов этой матрицы:

A=

yu′ zu′ z′ x′ x′ y′ , B= u u, C= u u . y v′ z v′ z v′ x v′ x v′ y v′

Предположим, что один из этих трех определителей, например, C , всюду в ( ∆ ) отличен от нуля. ( C ≠ 0 всюду в ( ∆ ) ). Возьмем первые два уравнения из системы (6). При условии, что C ≠ 0 в

x = x ( u, v ), ( ∆ ) , система  однозначно разрешима относительно u и v , т. е.  y = y ( u, v ) u = u ( x , y ), причем функции u ( x , y ) , v ( x , y ) будут определены, непрерывны v = v ( x , y ),  и иметь непрерывные частные производные ux′ ( x , y ) , u′y ( x , y ) , v x′ ( x , y ) ,

v ′y ( x , y ) в некоторой области ( D ) плоскости Oxy (см. теорию функций, заданных неявно). Подставив выражения для u и v через x и y в соотношение z = z ( u, v ) из (6), получим z = z ( u ( x , y ), v ( x , y )) , т. е. z = f ( x , y ) . Отметим, что функция f ( x , y ) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные f x′( x , y ) , f y′ ( x , y ) в области ( D ) . Видим, таким образом, что поверхность ( s ) , заданная параметрическими уравнениями (6), пред108

ставляет собой поверхность как раз такого типа, который был рассмотрен выше в 1°. Было показано, что у такой поверхности есть площадь s , причем

s=

dxdy

∫∫ cos γ

(см. (5)). В двойном интеграле, выражающем площадь поверхно-

(D )

сти ( s ) , сделаем замену переменных, взяв в качестве новых переменных параметры

s=

∫∫

(∆)

 x = x ( u, v ), ( u, v ) ∈( ∆ ) .  y = y ( u, v ),  J ( u, v ) x′ x′ dudv . У нас J ( u, v ) = u v = C . Поэтому yu′ y v′ cos γ u

и

v,

т. е.

s=

положив

∫∫

(∆)

Получим

C dudv . cos γ

(7) z γ nr ( s ) В двойном интеграле (7) следует выразить cos γ через переменные u и v . Для этого (l2 ) на поверхности ( s ) выберем и закрепим N (l1) произвольную точку N ( x0 , y0 , z0 ) , соответствующую точке ( u0 , v0 ) ∈( ∆ ) . Провеr дем в этой точке нормаль n к поверхности y ( s ) . Пусть α, β, γ – углы, которые норr маль n образует с осями Ox , Oy и Oz со- x ответственно. Проведем на поверхности ( s ) Рис. 4.5. К вычислению площади через точку N кривую ( l1 ) : кривой поверхности, заданной

 x = x ( u, v0 ), ( l1 ) =  y = y ( u, v0 ),  z = z ( u, v0 )

параметрическими уравнениями

r

(это – линия, ибо параметр один). Вектор τ1( xu′ ( u0 , v0 ), yu′ ( u0 , v0 ), zu′ ( u0 , v0 )) направлен по касательной к ( l1 ) в точке N . Так как линия ( l1 ) лежит на поr r верхности ( s ) и проходит через точку N , то τ1 ⊥ n . Поэтому xu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β + zu′ ( u0 , v0 )cos γ = 0 ⇒ ⇒ xu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β = − zu′ ( u0 , v0 )cos γ . (8) Затем на поверхности ( s ) через точку N ( x0 , y0 , z0 ) проводим кривую

109

 x = x ( u0 , v ), ( l2 ) =  y = y ( u0 , v ),  z = z ( u0 , v ). r Вектор τ 2 ( xv′ ( u0 , v0 ), yv′ ( u0 , v0 ), z v′ ( u0 , v0 )) направлен по касательной к ( l2 ) в точке N . Так как ( l2 ) лежит на поверхности ( s ) и проходит через точку N , то r r τ 2 ⊥ n . Поэтому xv′ ( u0 , v0 )cos α + y v′ ( u0 , v0 )cos β + z v′ ( u0 , v0 )cos γ = 0 ⇒ ⇒ x v′ ( u0 , v0 )cos α + y v′ ( u0 , v0 )cos β = − z v′ ( u0 , v0 )cos γ . (9) Из системы

 xu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β = − zu′ ( u0 , v0 )cos γ ,   xv′ ( u0 , v0 )cos α + yv′ ( u0 , v0 )cos β = − z v′ ( u0 , v0 )cos γ найдем cosα и cosβ : − zu′ ( u0 , v0 )cos γ yu′ ( u0 , v0 ) z′ y′ − cos γ ⋅ u u − z v′ ( u0 , v0 )cos γ y v′ ( u0 , v0 ) z v′ y v′ A cos α = = = cos γ ; C C xu′ ( u0 , v0 ) yu′ ( u0 , v0 ) x v′ ( u0 , v0 ) y v′ ( u0 , v0 ) xu′ ( u0 , v0 ) − zu′ ( u0 , v0 )cos γ x′ z′ − cos γ ⋅ u u x ′ ( u , v ) − z v′ ( u0 , v0 )cos γ x v′ z v′ B = cos β = v 0 0 = cos γ . C C xu′ ( u0 , v0 ) yu′ ( u0 , v0 ) x v′ ( u0 , v0 ) y v′ ( u0 , v0 ) C cos γ = cos γ . Известно, Можем написать также, что C cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. А тогда C A2 + B 2 + C 2 2 . ⋅ cos γ = 1 ⇒ cos γ = 2 2 2 2 C A +B +C Подставляя это выражение для cos γ в (7), находим:

s=

∫∫

A2 + B2 + C 2 dudv .

что

(10)

(∆)

Замечание 1. Из формулы (10) для площади s поверхности видим, что на окончательном результате не отразилось, что отличен от нуля именно определитель C , а не A или B . Точно такое же выражение для s мы получили бы, предполагая, что в ( ∆ ) отличен от нуля либо определитель A , либо определитель B . Поэтому формула (10) верна и тогда, когда область ( ∆ ) разлагается на конечное число частей, в каждой из которых отличен от нуля хотя бы один из трех определителей: A, B, C . 110

Замечание 2. Положим

( xu′ )2 + ( yu′ )2 + ( zu′ )2 = E , ( x v′ )2 + ( y v′ )2 + ( z v′ )2 = G , xu′ xv′ + yu′ y v′ + zu′ z v′ = F ( E , G , F – это так называемые коэффициенты Гаусса). Легко проверить, что

A2 + B2 + C 2 = EG − F 2 . Поэтому s=

∫∫

EG − F 2 dudv .

(11)

(∆)

§3. Примеры к главе 4 Пример 1. Найти площадь s поверхности тела, ограниченного поверхностями: x 2 + z 2 = a 2 , y 2 + z 2 = a 2 .

y

z

y=x (D) O

a

a x

x

y

y=x Рис. 4.6. К примеру 1


На рис. 4.6 изображена часть интересующей нас поверхности, расположенная в первом октанте. Эта часть поверхности состоит из двух одинаковых по площади кусков. Один из этих кусков определяется уравнением

z = a 2 − x 2 и проектируется на плоскость Oxy в треугольник 0 ≤ x ≤ a, ( D ) =  Площадь ~ s этого куска поверхности можно определить по 0 ≤ y ≤ x. −x формуле: ~ s = ∫∫ 1 + ( z x′ )2 + ( z ′y )2 dxdy . Имеем: z x′ = , z ′y = 0 . Сле2 2 a −x (D ) довательно,

1 + ( z x′ )2 + ( z ′y )2 = 1 + А тогда

x2 a2 = . a2 − x2 a2 − x2 111

a

y=x

dx

~s = a ∫

2

a −x

0

a

∫ dy = a ∫

2

y =0

0

x dx 2

a −x

2

= −a a 2 − x 2

x =a x =0

= a2 .

1 s составляет лишь часть площади s , то находим Так как ~ 16

s = 16a 2 (кв. ед.). Пример 2. Найти площадь s части поверхности x 2 + y 2 = 2az , заключенной внутри цилиндра ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 xy (рис. 4.7).

x2 + y2 Поверхность z = – параболоид вращения. Ось Oz является осью 2a

симметрии

параболоида вращения. Цилиндрическая поверхность ( x + y ) = 2a xy – симметрична относительно плоскости y = x . Она пересекается с плоскостью Oxy по кривой, уравнение которой в полярных координа2

этого

2 2

2

тах имеет вид: r 2 = a 2 sin 2ϕ . Одна четвертая часть куска поверхности, вырезаемая цилиндром из параболоида вращения, проектируется на плоскость Oxy в область ( D ) , ограниченную линиями: ϕ =

π π и r = a sin 2ϕ , ϕ ∈ 0,  .  4  4

Имеем

y a2 + x2 + y2 x 2 2 z x′ = ; z ′y = ; ⇒ 1 + ( z x′ ) + ( z ′y ) = ⇒ a a a2 a2 + x2 + y2 1 + ( z x′ ) + ( z ′y ) = . a 2


s=

4 a

2

∫∫

a 2 + x 2 + y 2 dxdy .

(D )

Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам. Будем иметь

4 S= a

r = a sin 2ϕ

π4

∫

dϕ

r =0

0

4 = a2 3

∫

π4

∫( 0

4 a 2 + r 2 r dr = 3a

π4

∫

( a 2 + r 2 )3 2

0 π  4

r =0

dϕ =

4 π (1 + sin 2ϕ )3 2 − 1 dϕ = a 2  ∫ (sin ϕ + cos ϕ )3 dϕ −  = 3  4  0 

)

π4  4 2  π π 3  = a 2 2 ∫ sin  ϕ +  dϕ −  =  3  4 4   0

112

r = a sin 2ϕ

π4 4 2  π   π  π   2    = a 2 2 ∫  cos ϕ + − 1 d cos ϕ + − =   3  4  4 4    0

4 2 1 1  π a2  = a  2 2 − +  −  = ( 20 − 3π ) . (кв. ед.). 3   6 2 2 4 9 Пример 3. Найти площадь s части сферы, ограниченной двумя параллелями и двумя меридианами. Пусть ρ, ϕ, θ – сферические координаты точек пространства. Декартовы и сферические координаты точки пространства связаны соотношениями

z

θ2

 x = ρ cos ϕ cos θ,  y = ρ sin ϕ cos θ,  z = ρ sin θ.

ϕ1

Координаты любой точки сферы радиуса R будут такими:

 x = R cos ϕ cos θ,  y = R sin ϕ cos θ,  z = R sin θ.

θ1

y

ϕ2

x

Последние уравнения можно Рис. 4.8. К примеру 3 рассматривать как параметрические уравнения интересующего нас куска сферы, если ϕ ∈[ϕ1, ϕ 2 ] ; θ ∈[θ1, θ 2 ] . Имеем:

0   xϕ′ yϕ′ zϕ′   − R sin ϕ cos θ R cos ϕ cos θ  =  − R cos ϕ sin θ − R sin ϕ sin θ R cos θ .   xθ′ yθ′ zθ′ 

E = ( xϕ′ )2 + ( yϕ′ )2 + ( zϕ′ )2 = R2 cos2 θ, G = ( xθ′ )2 + ( yθ′ )2 + ( zθ′ )2 = R2 , EG − F 2 = R2 cos θ .

F = xϕ′ xθ′ + yϕ′ yθ′ + zϕ′ zθ′ = 0 ⇒ Следовательно,

s=

∫∫ R

2

cos θ dϕdθ = R

ϕ1 ≤ϕ ≤ ϕ 2 θ1 ≤θ≤θ 2 = R2 ( ϕ 2 − ϕ1 )(sin θ2

2

ϕ2

θ2

ϕ1

θ1

∫ dϕ ∫ cos θ dθ =

− sin θ1 ) (кв. ед.).

113

Пример 4. Найти площадь части поверхности тора

 x = ( b + a cos θ )cos ϕ,  y = ( b + a cos θ )sin ϕ, ( 0 < a ≤ b ) ,  z = a sin θ ограниченной двумя меридианами ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ 2 ( ϕ1 < ϕ 2 ) и двумя параллелями θ = θ1 , θ = θ 2 ( θ1 < θ2 ). Чему равна поверхность всего тора? y

x

C

O

a b


Найдем коэффициенты Гаусса данной поверхности. Имеем:

0   xϕ′ yϕ′ zϕ′   −( b + a cos θ )sin ϕ ( b + a cos θ )cos ϕ .  =  − a sin θ cos ϕ  − a sin θ sin ϕ a cos θ  xθ′ yθ′ zθ′  E = ( xϕ′ )2 + ( yϕ′ )2 + ( zϕ′ )2 = ( b + a cos θ )2 , G = ( xθ′ )2 + ( yθ′ )2 + ( zθ′ )2 = a 2 , EG − F 2 = a ( b + a cos θ ) .

F = xϕ′ xθ′ + yϕ′ yθ′ + zϕ′ zθ′ = 0 ⇒ s=

∫∫

ϕ2

θ2

ϕ1

θ1

EG − F 2 dϕdθ = a ∫ dϕ ∫ ( b + a cos θ ) dθ =

ϕ1 ≤ϕ ≤ ϕ 2 θ1 ≤θ≤θ 2

θ =θ

= a( ϕ 2 − ϕ1 ) ⋅ ( bθ + a sin θ ) θ =θ2 = 1

= a( ϕ 2 − ϕ1 ) ⋅ [b ( θ2 − θ1 ) + a (sin θ2 − sin θ1 )] (кв. ед.). Чтобы найти площадь поверхности всего тора, нужно в полученное выражение для s подставить значения: ϕ1 = 0 , ϕ 2 = 2π , θ1 = 0 , θ 2 = 2π . Получим

sполн . = 2πa ⋅ 2πb = 4π 2ab (кв. ед.)

114

Глава 5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра §1. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов

a ≤ x < +∞, Пусть при каждом c ≤ y ≤ d . 

Пусть функция f ( x , y ) задана в области 

+∞

закрепленном y из [c, d ] несобственный интеграл

сходится. То-

a

+∞

гда

∫ f ( x, y ) dx

∫ f ( x, y ) dx

будет представлять собою функцию переменной (параметра)

a

y , определенную в промежутке [c, d ] (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через I ( y ) , y ∈[c, d ] ). +∞

Утверждение, что несобственный интеграл

∫ f ( x, y ) dx

сходится при каж-

a

дом y из [c, d ] , означает следующее: при каждом закрепленном y из [c, d ] A

+∞

a

a

∫ f ( x, y ) dx → ∫ f ( x, y ) dx . A→+∞ Следовательно, +∞

0, ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx → A→+∞ a

+∞

A

a

или

0. ∫ f ( x, y ) dx → A→+∞ A

А это означает, что для каждого y из [c, d ] по любому ε > 0 можно указать +∞

число M > 0 такое, что как только A > M , так сейчас же

∫ f ( x, y ) dx < ε . A

Важно заметить, что число M > 0 выбирается по ε > 0 , и для каждого y из [c, d ] оно будет, вообще говоря, своим, то есть M зависит и от ε, и от y : M = M ( ε, y ) . Если же для любого ε > 0 можно указать число M > 0 , зависящее только от ε (то есть о д н о и т о ж е д л я в с е х y и з [c, d ] ), такое, что как только +∞

A > M , так сейчас же

∫ f ( x, y ) dx < ε сразу для всех

y из [c, d ] , то несобст-

A

115

+∞

венный интеграл

∫ f ( x, y ) dx

называется равномерно сходящимся относи-

a

тельно параметра y на [c, d ] . Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция f ( x , y ) опреде-

a ≤ x < b, ( a, b, c, d – конечные числа). . c ≤ y ≤ d 

лена в области 

b

Пусть при каждом y из [c, d ] несобственный интеграл

∫ f ( x, y ) dx сходитa

b

ся. Ясно, что тогда

∫ f ( x, y ) dx будет представлять собой функцию переменной a

(параметра) y , определенную в промежутке [c, d ] . b

Утверждение, что несобственный интеграл

∫ f ( x, y ) dx

сходится при каж-

a

дом y из [c, d ] , означает следующее. При каждом закрепленном y из [c, d ] β

b

∫ f ( x, y ) dx β→ ∫ f ( x, y ) dx →b−0 a

β

b

⇔

a

0 ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx β→ → b− 0 a

a

b

b

⇔

0 ∫ f ( x, y ) dx β→ →b−0

⇔

⇔

β

0 ∫ f ( x, y ) dx → γ →+0

b− γ

(здесь положено β = b − γ ⇒ γ = b − β ). А это означает, что для каждого y из [c, d ] по любому ε > 0 можно указать число δ > 0 такое, что как только b

0 < γ < δ , так сейчас же

∫ f ( x, y ) dx < ε .

b− γ

И здесь важно отметить, что число δ > 0 выбирается по ε > 0 , и для каждого y из [c, d ] оно будет, вообще говоря, своим, то есть δ зависит и от ε, и от y : δ = δ ( ε, y ) . Если же для любого ε > 0 можно указать число δ > 0 , зависящее только от ε (то есть одно и то же для всех y из [c, d ] ), такое, что как только 0 < γ < δ , b

так сейчас же

∫ f ( x, y ) dx < ε

b− γ

116

сразу для всех y из [c, d ] , то несобственный

b

интеграл

∫ f ( x, y ) dx

называется равномерно сходящимся относительно па-

a

раметра y на [c, d ] . §2. О непрерывности интеграла как функции параметра Теорема. Пусть

a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d ;

1) функция f ( x , y ) непрерывна в области  +∞

2)

∫ f ( x, y ) dx = I ( y ) сходится равномерно относительно

y на [c, d ] .

a

Тогда функция I ( y ) непрерывна на [c, d ] . Возьмем любое y0 из [c, d ] и закрепим его. Возьмем любое ε > 0 . +∞

По условию

∫ f ( x, y ) dx

сходится равномерно относительно y на [c, d ] ,

a

поэтому взятому ε > 0 отвечает число M > 0 , зависящее только от ε, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M , сразу для всех y ∈[c, d ] будет +∞

∫

A

ε f ( x , y ) dx < . 3

(1)

Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M . A

Положив ΨA ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx , неравенство (1) сразу для всех

y ∈[c, d ] можно

a

записать в виде: +∞

ε I ( y ) − ΨA ( y ) < . 3

(2)

A

+∞

a

A

[I ( y ) − ΨA ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y ) dx ]. a

Но ΨA ( y ) – собственный интеграл, зависящий от параметра y . По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что ΨA ( y ) ∈ C([c, d ]) , а значит, по теореме Кантора, ΨA ( y ) будет равномерно непрерывной на [c, d ] . Следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 , зависящее только от ε, такое, 117

что для любых двух точек y ′ и y ′′ из [c, d ] , для которых y ′′ − y ′ < δ , будет

ε ΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ ) < . 3

Для разности значений функции I ( y ) в точках y ′ и y ′′ имеем:

I ( y ′′ ) − I ( y ′ ) = [ I ( y ′′ ) − ΨA ( y ′′ )] + [ ΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ )] + [ ΨA ( y ′ ) − I ( y ′ )] ⇒ ⇒ I ( y ′′ ) − I ( y ′ ) ≤ I ( y ′′ ) − ΨA ( y ′′ ) + ΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ ) + ε ε ε + ΨA ( y ′ ) − I ( y ′ ) < + + = ε . 3 3 3 В частности, полагая y ′ = y0 , y ′′ = y , где y ∈[c, d ] – любое, но такое, что y − y0 < δ , будем иметь I ( y ) − I ( y0 ) < ε . Последнее означает, что функция I ( y ) непрерывна в точке y0 . Так как у нас точка y0 – любая из [c, d ] , то заключаем, что I ( y ) ∈ C([c, d ]) . §3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть

a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d ;

1) функция f ( x , y ) непрерывна в области  +∞

2)

∫ f ( x, y ) dx сходится равномерно относительно

y на [c, d ] .

a

Тогда справедливо равенство d  +∞

∫  ∫ c

a

+∞  d   f ( x , y ) dx  dy = ∫  ∫ f ( x , y ) dy  dx ,   a c

(1)

причем несобственный интеграл, стоящий в правой части (1), сходится. +∞

Возьмем любое ε > 0 . По условию

∫ f ( x, y ) dx

сходится равномерно от-

a

носительно y на [c, d ] , поэтому взятому ε > 0 отвечает число M > 0 , зависящее только от ε, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M , сразу для всех y ∈[c, d ] будет справедливо неравенство: +∞

ε

∫ f ( x, y ) dx < d − c . A

Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M .

118

A

Полагая, как и раньше, ΨA ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx , предыдущее неравенство сразу a

для всех y ∈[c, d ] можно записать в виде

ε . d −c ΨA ( y ) ∈ C([c, d ]) ,

I ( y ) − ΨA ( y )
a , и закрепим его. Затем возьмем любое B, удовлетворяющее условию B > A . Имеем при всех значениях y из [c, d ] : B

B

A

A

∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫

B

f ( x , y ) dx ≤ ∫ ϕ ( x ) dx . A

Отсюда в пределе при B → +∞ при всех значениях y из [c, d ] получаем 121

+∞

+∞

∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫ ϕ ( x ) dx . A

(1)

A

+∞

По условию,

∫ ϕ ( x ) dx сходится, поэтому a

A  +∞ 0 ⇔ ∫ ϕ ( x ) dx → ∫ ϕ ( x ) dx ⇔  ∫ ϕ ( x ) dx − ∫ ϕ ( x ) dx  → A→+∞ A→+∞  a a a a +∞

A

+∞

0. ∫ ϕ ( x ) dx → A→+∞ A

Последнее означает, что всякому ε > 0 отвечает число M > 0 такое, что как +∞

только A > M , так сейчас же

∫ ϕ ( x ) dx < ε . Отметим, что здесь M зависит A

+∞

только от ε. В силу (1), при A > M и подавно будет

∫ f ( x, y ) dx < ε сразу для A

+∞

всех y из [c, d ] . А это означает, что

∫ f ( x, y ) dx сходится равномерно относиa

тельно y на [c, d ] . Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, имеют место теоремы, совершенно аналогичные теоремам §2–§5. §6. Примеры к главе 5 Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем к вычислению интегралов. Пример 1. Рассмотрим интеграл +∞

I( y) =

∫e

−x

⋅ sin xy dx .

(1)

0

Имеем: +∞

∫e 0

x =+∞

−x

y e− x ⋅ sin xy dx = − ⋅ (sin xy + y cos xy ) = . 2 1 + y2 1 + y x =0

(2)

Используя равенство (2), найдем величины некоторых других интегралов. 1. Отметим, что интеграл I ( y ) сходится равномерно относительно y на 122

любом промежутке [c, d ] . В самом деле, имеем: e − x ⋅ sin xy ≤ e − x для любого +∞

y ∈[c, d ] и для всех x ∈[0, + ∞ ) ; интеграл

−x −x ∫ e dx = −e

0

x =+∞ x =0

= 1, т.е. схо-

дится, тогда по теореме §5 I ( y ) сходится равномерно относительно y на промежутке [c, d ] . Отметим еще, что функция f ( x , y ) = e − x sin xy непрерывна в области

0 ≤ x < +∞, Тогда по теореме §2 имеем:  ≤ ≤ c y d .  I ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R ([0, z ]) . (здесь положено c = 0 , d = z , где z – любое конечное). По теореме §3 +∞  z z  +∞   − x −x    ∫  ∫ e sin xy dx dy = ∫  ∫ e sin xy dy dx . 0 0 0 0 Следовательно, интегрируя обе части равенства (2) по y от 0 до z , будем иметь +∞  z

∫  ∫ e 0

z

Но

∫e

−x

sin xy dy = − e

−x

0

z  ydy . sin xy dy  dx = ∫ 2 1 y +  0

−x

0

cos xy x

y=z

= e− x

y =0

(3)

1 − cos xz (это равенство установлено x

для x ≠ 0 ; оно верно и при x = 0 , если в этой точке понимать его в предельном смысле: z

lim ∫ e

x→0

−x

0

z

sin xy dy = ∫ lim ( e − x sin xy ) dy = 0 ; 0

x →0

1 − cos xz 2 xz = lim e − x sin 2 = 0 ). 2 x x x→0 x →0 Тогда (3) для любого конечного z примет вид: lim e − x +∞

∫e

− x 1 − cos xz

x

0

2. Имеем:

0 ≤ x < +∞,  c ≤ y ≤ d .

1 dx = ln (1 + z 2 ) ,. 2

f y′ ( x , y ) = ( e − x sin xy )′y = xe − x cos xy +∞

+∞

∫ f y′ ( x, y ) dx = ∫ xe 0

−x

непрерывна в области

cos xy dx сходится равномерно относи-

0

123

тельно y на [c, d ] . В самом деле, xe − x cos xy ≤ xe − x для любого y ∈[c, d ] и +∞

−x −x ∫ xe dx = −( x + 1) e

x ∈[0, + ∞ ) ; +∞

0

∫ xe

−x

x =+∞ x =0

= 1,

т.е.

сходится.

Поэтому

cos xy dx сходится равномерно относительно y на промежутке [c, d ] .

0

Тогда по теореме §4

′ +∞ +∞  +∞ − x  − x  ∫ e sin xy dx  = ∫ ( e sin xy )′y dx = ∫ xe − x cos xy dx .    0 y 0 0

Дифференцируя по y обе части равенства (2), получим для любого конечного y +∞

∫ xe

−x

0

1 − y2 cos xy dx = . (1 + y 2 )2

Пример 2. Рассмотрим интеграл +∞

dx ∫ x 2 + y 2 , y ∈[c, d ], 0 где [c, d ] – любой, но такой, что 1 ≤ c < d . I( y) =

Имеем:

+∞

∫

0

(4)

x =+∞

dx 1 x π = = arctg , y ∈[c, d ] . 2 2 y y 2 y x +y x =0

(5)

И здесь, используя равенство (5), найдем величины еще некоторых интегралов. 1. Отметим, что интеграл I ( y ) сходится равномерно относительно y на

1 1 , ≤ x2 + y2 x2 + 1

промежутке [c, d ] . Действительно, имеем: +∞

x ∈[0, + ∞ ) ;

∫ 0

dx = arctg x x2 +1

x =+∞ x =0

=

y ∈[c, d ] и

π , т.е. сходится. Следовательно, I ( y ) 2

сходится равномерно относительно y на [c, d ] . Отметим еще, что функция

0 ≤ x < +∞, Тогда  c y d . ≤ ≤  124

f ( x, y ) =

1 непрерывна в области x + y2 2

I ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R ([1, z ]) (здесь положено c = 1, d = z , где z – любое конечное, z > 1). По теореме об интегрировании по параметру под знаком интеграла (см. §3) z  +∞

+∞  z  dy  dx    dy = ∫  ∫ x 2 + y 2  ∫  ∫ x 2 + y 2  dx . 1 0 0 1 Следовательно, интегрируя обе части равенства (5) по y от 1 до z , будем

иметь +∞  z

z  dy ∫  dx = ∫ π dy . 2 2  x +y  2y 1  1

∫ 0

(6)

1 z y=z arctg x − arctg x dy y 1 Но ∫ 2 = arctg = (это равенство установлено для 2 x x x x +y y =1 1 x ≠ 0 ; оно верно и при x = 0 , если в этой точке понимать его в предельном z

смысле: z

z z z  dy dy 1  1 1 lim ∫ 2 = ∫  lim 2 = 1− z ,  dy = ∫ 2 = − 2 2 y1 x→0 x + y y  x →0 x + y  1 1 1 ( z − 1) x ( z − 1) x z 1 arctg 2 arctg x − arctg x 2 x z + + z = 1 − 1 ). x lim = lim = lim x x x z x→0 x →0 x→0 Тогда (6) для любого конечного z ≥ 1 примет вид +∞ arctg z − arctg 1 x x dx = π ln z . x 2

∫ 0

2. Имеем:

 1 ′ 2y f y′ ( x , y ) =  2 = −  ( x 2 + y 2 )2  x + y2  y

0 ≤ x < +∞, (1 ≤ c < d ).  c ≤ y ≤ d

+∞

непрерывна в области

+∞

−2 y ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )2 dx сходится равномерно 0 0 относительно y на [c, d ] . В самом деле, для y ∈[c, d ] и x ∈[0, + ∞ )

−2 y 2d ≤ 2 ,а 2 2 2 (x + y ) ( x + 1)2

f y′ ( x , y ) dx =

+∞

2d

∫ ( x 2 + 1)2 dx сходится. Тогда по теореме о диффе0

ренцировании по параметру под знаком интеграла (см. §4)

125

′ +∞ ′ +∞  +∞ dx   1  −2 y ∫  = ∫ dx = dx .  ∫ 2 2 2 2 2  x2 + y2  +  x + y  x y ( )  0 y 0 y 0 Дифференцируя по y обе части равенства (5), получим +∞

−2 ∫ 0

откуда

+∞

∫ 0

y dx π =− 2, 2 2 2 (x + y ) 2y

dx π = , y ∈[c, d ] . 2 4 y3 ( x2 + y2 )

(7)

Аналогично обосновывается возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла левой части (7). Тогда, дифференцируя по y обе части равенства (7), находим +∞

∫ 0

−4 y 3π 1 dx = − ⋅ 4 , y ∈[c, d ] ⇒ 2 2 3 4 y (x + y )

+∞

dx

3π 1

∫ ( x 2 + y 2 )3 = 16 ⋅ y 5 ,

y ∈[c, d ] .

0

Пример 3. С помощью дифференцирования по параметру вычислить π2

I( y) =

∫ 0

ln

1 + y cos x dx ⋅ , | y| < 1 . 1 − y cos x cos x

(8)

Возьмем любую точку y0 ∈( −1, 1) . Всегда можно указать число γ 0 > 0 такое, что будет [−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ] ⊂ ( −1, 1) и точка y0 ∈( −1 + γ 0 , 1 − γ 0 ) .

−1 −1+γ 0

0

y0

1−γ0 1

y

 1 + y cos x  ⋅ 1 = 2 y конечен, то функция   1 − y cos x  cos x

Так как lim ln  π x→ −0 2

~ f ( x , y ), x ∈[0, π 2 ), y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ], f ( x , y ) =  x = π 2 , y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ]  2 y, 0 ≤ x ≤ π 2 , 1 + y cos x  1 , непрерывна в области  где f ( x , y ) = ln  ⋅  1 − y cos x  cos x  −1 + γ 0 ≤ y ≤ 1 − γ 0 , причем

π2

I( y) =

∫ 0

~ f ( x , y ) dx .

Последнее выражение для I ( y ) – собственный интеграл, зависящий от пара126

метра y .

~

Имеем: f y′ ( x , y ) =

2 непрерывна в области 1 − y 2 cos2 x

0 ≤ x ≤ π 2 ,   −1 + γ 0 ≤ y ≤ 1 − γ 0 .

По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, находим π2

I ′( y ) =

∫

0

+∞

=

∫

0

 tg x = t ⇒ x = arctg t ,  2 dx = dt 1 = 2 2 2 dx x = = ; cos   1 − y cos x 2 2  1+ t 1+ t 

2 dt 2 t arctg = ⋅ (1 − y 2 ) + t 2 1 − y2 1 − y2 y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ] .

В частности, существует I ′( y0 ) , причем I ′( y0 ) = любая из ( −1, 1) . Следовательно, I ′( y ) =

π

I( y) = ∫

1− y

2

π 1− y

2

t =+∞

= t =0

π 1−

y02

π 1− y

2

,

. У нас точка y0 –

, y ∈( −1, 1) . Тогда

dy = π ⋅ arcsin y + C , y ∈( −1, 1) .

(9)

Здесь C – постоянная интегрирования. Из (8) видим, что I( 0) = 0 . Положив теперь в обеих частях равенства (9) y = 0 , получим 0 = 0 + C , откуда C = 0 . Таким образом, окончательно получаем I ( y ) = π ⋅ arcsin y , y ∈( −1, 1) . (10) Пример 4. С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл +∞

2

I ( y ) = ∫ e − αx ⋅ cos xy dx , α > 0 .

(11)

0

Имеем:

0 ≤ x < +∞, где [c, d ] – c ≤ y ≤ d , 

2

1) f ( x , y ) = e −αx ⋅ cos xy непрерывна в области 

любой промежуток, и имеет там непрерывную частную производную 2

f y′ ( x , y ) = − xe − αx ⋅ sin xy . +∞

2) Интеграл I ( y ) =

2

− αx ∫ e ⋅ cos xy dx ( α > 0 ) сходится (и даже равномерно 0

относительно y на промежутке [c, d ] ). 127

+∞

3) Интеграл

∫

0

+∞

2

f y′ ( x , y ) dx = − ∫ xe − αx ⋅ sin xy dx сходится равномерно отно-

сительно y на промежутке [c, d ] .

0

2

2

В самом деле, f y′ ( x , y ) = − xe − αx ⋅ sin xy ≤ xe − αx для любого y ∈[c, d ] и для всех x ∈[0, + ∞ ) , а интеграл +∞

∫ xe

− αx 2

0

1 dx = − 2α

+∞

∫e

− αx 2

0

1 − αx 2 d ( −αx ) = − e 2α 2

x =+∞ x =0

=

1 , 2α

т.е. сходится. По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла +∞

I ′( y ) = − ∫ xe 0

− αx 2

⇒  u = sin xy ⋅ sin xy dx =  2  dv = − xe − αx dx ⇒  +∞

du = y cos xy dx , 1 − αx 2  = v= e  2α 

x =+∞ y y 1 − αx 2 − αx 2 = e ⋅ sin xy − e ⋅ cos xy dx = − I( y). ∫ 2α 2α 2α x =0 0 44 144424443 1 42444 3 =0

=I( y)

Итак, получили уравнение

I ′( y ) = −

y ⋅ I( y) , 2α

(12)

которое является обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим

I( y) = C ⋅ e где С – постоянная интегрирования. Из (11) видим, что

I ( 0) =

+∞

y2 4α ,

−

(13)

2

− αx ∫ e dx .

(14)

0

Если в (14) сделать замену t = α ⋅ x , то получим

1 I ( 0) = α

+∞

2

−t ∫ e dt . 0

В главе 3 (см. §7) было получено

+∞ 0

I( 0) = 128

2

−t ∫ e dt =

π . Следовательно, 2

1 π . Положив теперь в обеих частях равенства (13) y = 0 , получим 2 α

C=

1 π . Таким образом, окончательно будем иметь 2 α I( y) =

1 π ⋅e 2 α

−

y2 4α .

(15)

Глава 6. Эйлеровы интегралы §1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция) Так называется интеграл вида 1

Β( a , b) = ∫ x a −1 ⋅ (1 − x )b−1 dx .

(1)

0

Этот интеграл собственный, если одновременно a ≥ 1 , b ≥ 1 . Если же хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то интеграл (1) – несобственный. Покажем, что интеграл (1) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0 . Видим, что подынтегральная функция в (1) имеет, вообще говоря, две особые точки: x = 0 и x = 1. Поэтому представляем (1) в виде: 12

Β( a , b ) =

∫x

a −1

⋅ (1 − x )

b−1

1

dx +

∫x

a −1

⋅ (1 − x )b−1 dx = I1 + I2 .

0 44 2 1 42444 3 11 4442444 3 = I1

= I2

12

Рассмотрим интеграл I1 =

∫x

a −1

⋅ (1 − x )b−1 dx . Он – несобственный при

0

a < 1 . Особая точка x = 0 . Запишем подынтегральную функцию в виде b−1 1 a −1 b−1 (1 − x ) f ( x ) = x ⋅ (1 − x ) = и введем функцию g ( x ) = 1−α . Так как 1− α x x f (x) lim = lim(1 − x )b−1 = 1 при любом b (конечный, ≠ 0 ), то интегралы x→0 g( x ) x →0 12

∫ f ( x ) dx

0 12

12

и

∫ g( x ) dx

сходятся

или

расходятся

одновременно.

Но

0

12

dx ∫ x1−α сходится лишь тогда, когда 1 − a < 1, то есть когда a > 0 . 0 0 Следовательно, I1 сходится при любом b и лишь при a > 0 .

∫ g( x ) dx =

129

1

Рассмотрим I2 =

b

∫x

a −1

⋅ (1 − x )b−1 dx . Он – не-

12

собственный при b < 1. Особая точка x = 1. Подынтегральная функция a

f ( x ) = x a −1 ⋅ (1 − x )b−1 =

g~ ( x ) =

Положим Рис. 6.1. К определению

Бета-функции

x a −1 . 1− b (1 − x )

1 . 1− b (1 − x )

Имеем

f (x) lim ~ = lim x a −1 = 1 при любом a (конечный, x →1 g ( x ) x →1 1

≠ 0 ). Значит,

∫ f ( x ) dx

12 1

1

1

и

dx

∫ g~( x ) dx = ∫ (1 − x )1−b

расходятся одновременно. Но

12

∫ g~( x ) dx сходятся или

12

сходится лишь тогда,

12

когда 1 − b < 1 , то есть когда b > 0 . Следовательно, I2 сходится при любом a и лишь при b > 0 . Вывод: Β( a, b ) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0 . Значит,

0 < a < + ∞, – область определения функции Β( a, b ) (рис. 6.1).  0 < < + ∞ b  Установим некоторые свойства Бета-функции Β( a, b ) . 1. Положим в (1) x = 1 − t . Тогда 1

Β ( a , b) = ∫ t b−1(1 − t )a −1 dt = Β ( b, a ) . 0

Видим, что Бета-функция – симметричная функция. 2. Пусть b > 1. Применяя формулу интегрирования по частям, находим 1

Β( a , b) = ∫ x

a −1

(1 − x )

0

b −1

1

dx = ∫ (1 − x ) 0

1

1

b −1

 xa  d  =  a

xa b −1 α = (1 − x )b −1 + x (1 − x )b − 2 dx . ∫ a a 0 0 144244 3 a

Так как x = x 130

a −1

−x

a −1

=0

(1 − x ) , то будем иметь

(2)

1

1

b − 1 a −1 b − 1 a −1 Β ( a, b) = x (1 − x )b − 2 dx − x (1 − x )b −1 dx = ∫ ∫ a a 0 0 44 144 42444 3 1 42444 3 = Β ( a , b −1)

= откуда

= Β( a ,b )

b −1 b −1 Β ( a, b − 1) − Β ( a, b) , a a Β ( a, b) =

b −1 Β ( a, b − 1) . a + b −1

(3)

a −1 Β ( a − 1, b) . a + b −1

(4)

Так как функция Β( a, b ) – симметричная, то при a > 1 будет справедлива формула

Β ( a, b) =

Формулы (3) и (4) можно применять для «уменьшения» аргументов, чтобы сделать их, например, меньше единицы. Если b = n , где n – натуральное, >1, то, применяя формулу (3) повторно, получим:

Β ( a, n ) =

n −1 n −1 n−2 Β ( a, n − 1) = ⋅ Β ( a, n − 2) = K = a + n −1 a + n −1 a + n − 2 n −1 n−2 n−3 1 ⋅ = ⋅ ⋅K⋅ Β( a, 1) . a + n −1 a + n − 2 a + n − 3 a +1

1

xa Но Β( a , 1) = ∫ x a −1dx = a 0

1

= 0

Β ( a , n ) = Β ( n, a ) =

1 . Поэтому a

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ K ⋅ ( n − 2) ⋅ ( n − 1) . a ( a + 1)( a + 2 ) K ( a + n − 2)( a + n − 1)

Если еще и a = m , где m – натуральное, то будем иметь

( n − 1)! ( m − 1)!( n − 1)! = . m ( m + 1)( m + 2 ) K ( m + n − 2)( m + n − 1) ( m + n − 1)! 3. Получим для функции Β( a, b ) другое аналитическое выражение. Для этоy x 1 (⇒ y = ). Тогда 1 − x = , го в (1) сделаем замену, положив x = 1+ y 1− x 1+ y dy dx = и, следовательно, (1 + y )2 Β( m, n ) =

+∞

+∞

y α −1 dy y a −1 1 Β ( a, b) = ∫ ⋅ ⋅ = ∫ dy . (5) b−1 a +b α −1 2 1 1 1 1 ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) + + + + 0 0 4. Отметим без доказательства, что если b = 1 − a и если еще 0 < a < 1 (а значит, и 0 < b < 1), то 131

Β( a , 1− a ) =

π sin πa

(6)

Соотношение (6) будет установлено позже (в теории функций комплексного переменного). §2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция) Так называется интеграл вида

+∞

Γ( a ) =

∫x

a −1

⋅ e − x dx .

(1)

0

Покажем, что интеграл (1) сходится при a > 0 . Для этого представим его в виде +∞

∫x

a −1

0

−x

1

⋅ e dx = ∫ x

a −1 − x

+∞

e dx +

∫x

a −1 − x

e dx .

0 4243 1 1 4243 1 = I2

= I1

1

Рассмотрим I1 = x a −1e − x dx . Отметим, что I1 – собственный интеграл, ес-

∫

0

ли a ≥ 1 , и несобственный, если a < 1 (особая точка x = 0 ). Подынтегральная функция

f (x) = x

a −1 − x

e

e− x = 1− a . x

f (x) lim = lim e − x = 1 (конечный, ≠ 0 ). Значит, x→0 g( x ) x→0 1

ся или расходятся одновременно. Но когда 1 − a < 1, то есть когда a > 0 . +∞

Рассмотрим I2 =

∫x

g( x ) =

Положим 1

1

x1− a

.

1

∫ f ( x ) dx и ∫ g( x ) dx 0 1

сходят-

0

dx

∫ g( x ) dx = ∫ x1−α 0

Имеем

сходится лишь тогда,

0

a −1 − x

e dx .

1

x a +1 Так как при любом a lim = 0 , то существует число k > 1 такое, что x →+∞ e x x a +1 как только x ≥ k , так сейчас же будет, например, x < 1 . Но тогда при x ≥ k e x a −1 1 будет < 2 при любом a . Известно, что ex x 132

+∞

∫ k

dx сходится. Значит, и x2

+∞

∫x

a −1 − x

e dx сходится при любом a . Следовательно, сходится при любом a и

k

несобственный интеграл I2 . Общий вывод: интеграл (1) сходится, если a > 0 , и расходится, если a ≤ 0 . Областью определения функции Γ( a ) является промежуток ( 0, + ∞ ) . Установим некоторые свойства функции Γ( a ) . 1. Γ( a ) > 0 , a ∈( 0, +∞ ) . Это следует из выражения (1) для Γ( a ) . 2. Рассмотрим произведение a Γ( a ) . Имеем: +∞

a Γ( a ) = a ∫ x

+∞

a −1 − x

e dx = a

0

∫

0

 xa  e d  .  a −x

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

 xa a Γ ( a ) = a e − x ⋅ a  1 424 3

+∞ 0

=0

откуда

 a −x  x e dx ∫  , 0 1 424 3

1 + a

+∞

= Γ ( a +1)

Γ ( a + 1) = a ⋅ Γ ( a ) .

(2) Равенство (2) выражает так называемое основное свойство Гамма-функции. Пользуясь (2), получим при натуральном n и положительном a ( 0 < a < 1 )

Γ ( n + a ) = ( n + a − 1) Γ ( n + a − 1) = ( n + a − 1)( n + a − 2 ) Γ ( n + a − 2) = K = = ( n + a − 1)( n + a − 2 )( n + a − 3) ⋅ K ⋅ a Γ ( a ) . (3) Таким образом, значение Гамма-функции от аргумента n + a , большего единицы, можно выразить через значение Гамма-функции от аргумента a ,

меньшего единицы. Поэтому таблица значений Гамма-функции обычно дается лишь для значений аргумента между нулем и единицей. В частности, если в формуле (3) взять a = 1 и принять во внимание, что +∞

Γ(1) =

−x −x ∫ e dx = −e 0

+∞ 0

= 1 , то получим

Γ( n + 1) = n ( n − 1)( n − 2 ) K 2 ⋅1 = n !.

Таким образом, на Гамма-функцию можно смотреть как на обобщение понятия факториала натурального числа: Гамма-функция является продолжением функции a!, определенной только для целых положительных a = 1, 2, 3, K , на всю полуось a > 0 вещественных чисел. 3. Покажем, что между Бета-функцией и Гамма-функцией существует следующая связь: 133

Β ( a, b) =

Γ( a ) ⋅ Γ( b) . Γ ( a + b)

+∞

∫x

Для этого рассмотрим Γ( a + b ) =

(4)

a + b−1 − x

e dx . Сделаем в интеграле заме-

0

ну переменной, положив x = (1 + u ) z , где u – произвольное положительное число. Получим Γ( a + b ) = (1 + u )

a +b

Γ( a + b ) = (1 + u)a + b

+∞

∫z

0 +∞

∫z

a + b−1 − (1+ u ) z

e

a + b−1 − (1+ u ) z

e

dz , откуда

dz .

0

Умножим обе части последнего равенства на ua−1 и проинтегрируем по u от 0 до +∞ : +∞

Γ( a + b ) ∫

0

+∞

Но

∫

0

ua −1 du = (1 + u )a + b

+∞  +∞

∫ 0

  ∫ z b ( uz )a −1 e − z e − uz dz  du .    0 

ua −1 du = Β ( a, b) (см. §1, формула (5)). Следовательно, предыдущее a +b (1 + u )

соотношение может быть записано в виде

Γ( a + b) ⋅ Β ( a, b) =

+∞  +∞

∫

0

  ∫ z b ( uz )a −1 e − z e − uz dz  du .    0 

В повторном интеграле, стоящем в правой части, переменим порядок интегрирования. Здесь следует отметить, что мы (при определенных условиях) установили право переставлять два интеграла, из которых лишь один распространен на бесконечный промежуток. Оправдывать такую перестановку в случае, когда оба интеграла берутся по бесконечному промежутку, значительно сложнее. Обоснование возможности перемены порядка интегрирования в нашем повторном интеграле интересующийся может найти в книге Л.Д. Кудрявцева «Курс математического анализа», т. 2, 1981. Поменяв порядок интегрирования, получаем +∞

 +∞  Γ ( a + b ) ⋅ Β ( a, b) = ∫ z e  ∫ ( uz )a −1 e− uz z du dz .  0  0 Во внутреннем интеграле делаем замену uz = v :

134

b−1 − z 

+∞

Γ( a + b) ⋅ Β ( a, b) = ∫ z

+∞  +∞ a −1 − v  b −1 − z   ∫ ( v ) e dv  dz = ∫ z e Γ ( a ) dz = Γ ( a ) ⋅ Γ ( b) ,  0  0

b −1 − z 

e

0

откуда

Γ( a ) ⋅ Γ( b) . Γ ( a + b) Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a ) В частности, Β ( a , 1 − a ) = = Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a ) . Если 0 < a < 1 , то отΓ (1) Β ( a, b) =

сюда получаем:

Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a ) =

π . sin πa

(5)

Формула (5) носит название формулы дополнения.

1 Пусть a = 1 2 . Из формулы (5) находим Γ 2   =  2

π = π и, следоваsin ( π 2)

тельно,

1 Γ   = π .  2

(6)

Пользуясь соотношениями (3) и (6), получаем для любого n ∈ N

1 1 3 5 1 1 Γ  n +  =  n −   n −   n −  K Γ   =  2  2  2  2 2  2 ( 2 n − 1)( 2n − 3)( 2n − 5)K3 ⋅ 1 ( 2n − 1)!! = ⋅ π = ⋅ π. n n 2 2 4. Функция Γ( a ) непрерывна на промежутке ( 0, + ∞ ) . Возьмем любую точку a0 > 0 . Всегда можно указать промежуток [c, d ] ( 0 < c < d < +∞ ) такой, что будет: c < a0 < d . Представим Γ( a ) в виде: +∞

Γ( a ) =

∫x

1

a −1 − x

e dx = ∫ x

0

a −1 − x

+∞

e dx +

∫x

a −1 − x

e dx = I1( a ) + I2 ( a ) .

0 4243 1 1 4243 1 = I1 ( a )

= I2 ( a )

1

Рассмотрим I1( a ) = x a −1e − x dx . Имеем:

∫ 0

0 < x ≤ 1, c ≤ a ≤ d ;

1) f ( x , a ) = x a −1e − x непрерывна в области  1

2)

1

∫ f ( x, a ) dx = ∫ x 0

a −1 − x

e dx сходится равномерно относительно a на про-

0

135

межутке [c, d ] . В самом деле, для 0 < x ≤ 1 : x a ≤ x c ⇒ умножив обе части этого неравенст-

e− x ( > 0) , получим: x a −1e − x ≤ x c −1e − x (для 0 < x ≤ 1 и для c ≤ a ≤ d ). Но ва на x 1

интеграл

∫x

c −1 − x

e dx сходится, если c > 0 . А тогда по признаку равномерной

0

сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, интеграл 1

I1( a ) = ∫ x a −1e − x dx сходится равномерно относительно a на [c, d ] . Следова0

тельно, функция I1( a ) непрерывна на [c, d ] ⇒ I1( a ) непрерывна в точке a0 . +∞

∫x

Рассмотрим I2 ( a ) =

a −1 − x

e dx .

1

Имеем:

1 ≤ x < +∞, c ≤ a ≤ d ;

1) f ( x , a ) = x a −1e − x непрерывна в области  +∞

2)

+∞

∫ f ( x, a ) dx = ∫ x 1

промежутке [c, d ] .

a −1 − x

e dx сходится равномерно относительно a на

1

В самом деле, для 1 ≤ x < + ∞ : x a ≤ x d ⇒ x a −1e − x ≤ x d −1e − x . Так как ин+∞

теграл

∫x

+∞

d −1 − x

e dx сходится для любого конечного d , то I2 ( a ) =

1

∫x

a −1 − x

e dx

1

сходится равномерно относительно a на [c, d ] . Следовательно, функция I2 ( a ) непрерывна на [c, d ] , в частности, I2 ( a ) непрерывна в точке a0 . Так как I1( a ) и I2 ( a ) непрерывны в точке a0 , то Γ( a ) = I1( a ) + I2 ( a ) непрерывна в точке a0 . У нас a0 – любая на промежутке ( 0, + ∞ ) . Значит, Γ( a ) непрерывна на промежутке ( 0, + ∞ ) . 5. Γ( a ) ~ 1 a при a → +0 . В самом деле, запишем соотношение (2) в виде

Γ ( a + 1) =

Γ(a ) 1a

и перейдем к пределу при a → +0 . В силу непрерывности Гамма-функции в

Γ( a ) = 1, а это ознаa →+0 1 a

интервале ( 0, +∞ ) lim Γ ( a + 1) = Γ (1) = 1. Значит, и lim a →+0

136

1 при a → +0 , то есть при приближении a к +0 Γ( a ) ведет a себя как эквивалентная ей бесконечно большая положительная величина 1 a . 6. Функция Γ( a ) имеет в интервале ( 0, +∞ ) производные всех порядков, чает, что Γ( a ) ~

причем

Γ

(n)

+∞

∫x

(a ) =

a −1 − x

e (ln x )n dx .

(7)

0

Установим существование первой производной функции Γ( a ) и равенство +∞

∫x

Γ ′( a ) =

a −1 − x

e

ln x dx .

(8)

0

Возьмем любую точку a 0 > 0 . Всегда можно указать промежуток [c, d ] ( 0 < c < d < +∞ ) такой, что будет c < a 0 < d . Имеем: 1) f ( x , a ) = x a −1e − x

0 < x < +∞,  c ≤ a ≤ d .

+∞

+∞

2)

∫ f ( x, a ) dx = ∫ x 0

и

f a′( x , a ) = x a −1e − x ln x

a −1 − x

e dx сходится в промежутке [c, d ] .

0 +∞

3) Покажем, что

+∞

∫ f a′( x, a ) dx = ∫ x 0

носительно a на промежутке [c, d ] . Имеем +∞

1

∫ f a′( x, a ) dx = ∫ x 0

Рассмотрим

a −1 − x

∫x

a −1 − x

e

e

ln x dx сходится равномерно от-

0

a −1 − x

e

+∞

ln x dx +

0

1

непрерывны в области

∫x

a −1 − x

e

ln x dx .

1

ln x dx .

0

Так как 0 < x ≤ 1 , c ≤ a ≤ d , то x a −1e − x ≤ x c −1e − x (см. пункт 4) 1 −x 1 −x x a −4 e24 ln3x ≥ 1 x c −4 e24 ln3x , ибо ln x ≤ 0 для x ∈( 0, 1] . А тогда 1 ≤0

≤0 a −1 − x

x Так как e

−x

e

⇒

c −1 − x ln x ≤ x c −1e − x ln x = − e 4ln 1x4 42 4 3x .

< 1 для x ∈( 0, 1] , то x

a −1 − x

e

ln x ≤ − x

c −1

≥0

ln x . Имеем: 137

1

−∫ x 0

c −1

 u = ln x ⇒ du = dx  1 x =1 1 1 dx c x  = − x ln x ln x dx =  + ∫ 1− c . 1 c  c c −1 x3 =0 c 0 x dv = x dx ⇒ v = x 1 4 4 2 44  c  =0 1

Мы знаем, что

dx

∫ x1−c

сходится, если 1 − c < 1, т. е. если c > 0 . Следовательно,

0

по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от 1

параметра, заключаем, что интеграл носительно a на промежутке [c, d ] .

∫x

a −1 − x

e

ln x dx сходится равномерно от-

0

+∞

a −1 − x x ∫ e ln x dx .

Рассмотрим теперь

1

Для

1≤ x < +∞,

c≤a≤d

имеем:

x a −1e − x ≤ x d −1e − x

x a −1e − x ln x ≤ x d −1e − x ln x , ибо ln x ≥ 0 для x ∈[1, + ∞ ) . ln x ln x x d −1e − x ln x = x d e− x . Так как lim = 0 , то существует точка x x →+∞ x ln x такая, что для x≥~ x: < 1 и, следовательно, для x x

d −1 − x

e

d −x

ln x < x e

+∞

. Так как

+∞

сходится интеграл

∫~ x

∫~ x

e

Имеем:

~ x ( > 1) x≥~ x:

d −x

e dx сходится при любом конечном d , то

x

d −1 − x

⇒

+∞

ln x dx , а значит, сходится

∫x

d −1 − x

e

ln x dx . А то-

1

x

гда по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, завися+∞

щих от параметра, заключаем, что

∫x

a −1 − x

e

ln x dx сходится равномерно отно-

1

сительно a на промежутке [c, d ] . Таким образом, окончательно приходим к +∞

выводу, что интеграл

∫x 0

a −1 − x

e

ln x dx сходится равномерно относительно a

на промежутке [c, d ] . Значит, Γ′( a ) существует для любого a ∈[c, d ] , в частности, существует Γ′( a 0 ) . Так как точка a 0 – любая ( a 0 > 0 ), то заключаем: Γ′( a ) существует 138

+∞

для a ∈( 0, +∞ ) , причем Γ ′( a ) =

∫x

a −1 − x

e

ln x dx . Формула (8) доказана.

0

Доказательство равенства (7) проводится с помощью аналогичных оценок по индукции. Теперь мы в состоянии составить себе представление о характере поведения Гамма-функции в интервале ( 0 ; +∞ ) . +∞

Имеем

Γ ′′( a ) =

∫x

a −1 − x

e (ln x )2 dx .

Ясно,

что

0

Γ ′′( a ) > 0 и поэтому Γ ′( a ) строго возрастает в ( 0 ; +∞ ) . Так как Γ (1) = Γ ( 2) = 1 , то по теореме Ролля в интервале (1, 2) лежит точка c такая, что Γ ′( c ) = 0 . Следовательно, Γ ′( a ) < 0 при 0 < a < c и Γ ′( a ) > 0 при c < a < +∞ . Значит, сама функция Γ( a ) строго убывает в интервале ( 0, c ) и строго возрастает в интервале ( c, +∞ ) . При этом lim Γ ( a ) = +∞ и lim Γ ( a ) = lim Γ ( n ) = +∞ . В точке a →+0

a →+∞

n→+∞

a = c функция Γ( a ) достигает своего наименьшего значения. Можно показать, что c ≈ 1462 . ; Γ( c ) ≈ 0.886 .

y 5 4

y = Γ(a)

3 2 1

a 1 2

3 4

5

Рис. 6.2. График функции y = Γ( a ) при a > 0

График Гамма-функции представлен на рис. 6.2. Замечание 1. Пользуясь основным свойством (2) Гамма-функции и опираясь на определение (1) этой функции при п о л о ж и т е л ь н ы х значениях аргумента a , можно о п р е д е л и т ь Гамма-функцию и для о т р и ц а т е л ь н ы х значений аргумента. В самом деле, запишем формулу (2) в виде

Γ( a ) =

Γ ( a +1) . a

(9)

Из (9) видим, что зная значение Гамма-функции при каком-нибудь значении аргумента, можно вычислить ее значение при аргументе, уменьшенном на единицу. Для этого нужно прежнее значение функции разделить на уменьшенное значение аргумента. Если взять a , удовлетворяющее неравенствам −1 < a < 0 , то в правой части (9) Γ( a +1) будет функцией от положительного аргумента, значение которой определено формулой (1), а в левой части (9) Γ( a ) будет функцией от отрицательного аргумента. За значение Γ( a ) при a из промежутка ( −1, 0 ) п р и н и м а е м значение

Γ( a +1) в соответствии с формулой (9). Так, например, a

139

1 1 Γ  − + 1 Γ    2   2 1 Γ  −  = = = −2 π .  2 1 1 − − 2 2 Если теперь взять a , удовлетворяющее неравенствам −2 < a < −1, то правая часть формулы (9) будет содержать значения Гамма-функции при аргументах из промежутка ( −1, 0 ) , уже определенные нами выше. Это дает возможность по формуле (9) определить значения Γ( a ) при −2 < a < −1. В силу этого определения будем иметь, например:

1 3 Γ  − + 1 Γ  −   2   2  −2 π 4 3 π. Γ  −  = = = =  2 3 3 3 3 − − − 2 2 2

Определив теперь значения Гамма-функции в промежутке ( −2, − 1) , мы, пользуясь формулой (9), сможем определить ее значения в промежутке ( −3, − 2) , и т. д. Так мы можем определить значения Гамма-функции при любых отрицательных не целых значениях аргумента a . Выше было отмечено, что Γ ( +0) = lim Γ ( a ) = +∞ . Из формулы (9) нахоa →+0

дим, что

Γ ( a + 1) = −∞ . a a →−0

Γ ( −0 ) = lim

y

5 4 3

−5

−4

y = Γ(a)

2 1 −3 −2 −1 0 −1

a 1 2

3 4

5

−2 −3

Рис. 6.3. График функции y = Γ( a )

Пользуясь этой же формулой (9), находим, что 140

Γ ( a + 1) Γ ( +0) = −∞ , = −1 a a →−1+ 0 Γ ( a + 1) Γ ( −0 ) = +∞ , Γ ( −1 − 0) = lim = −1 a a →−1− 0 Γ ( a + 1) Γ ( −1 + 0 ) = +∞ , Γ ( −2 + 0) = lim = −2 a a →−2+ 0 Γ ( a + 1) Γ ( −1 − 0) = −∞ Γ ( −2 − 0) = lim = −2 a a →−2− 0 Γ ( −1 + 0) = lim

и т. д. Обычно это выражают словами так: Гамма-функция при нуле и при целых отрицательных значениях аргумента обращается в бесконечность (см. рис. 6.3). Замечание 2. Введенная в этом параграфе неэлементарная функция Γ( a ) играет в математике важную роль. Для функции Γ( a ) составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями – показательной, тригонометрическими и т. д. Оказывается, что определенные интегралы различных типов могут быть выражены через Гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов. Даже если функция имеет первообразную, являющуюся элементарной функцией, интеграл от этой функции зачастую целесообразно вычислять, используя Гамма-функцию. §3. Примеры к главе 6 1

Пример 1. Вычислить I = x a −1(1 − x c )b−1 dx ( a > 0 , b > 0 , c > 0 ).

∫ 0

c

Положим x = t ⇒ cx

I=

1 a −1 1− c t c t c (1 − t )b−1 dt

1 c∫ 0

1 dx = dt ⇒ dx = t c

c−1

=

1 a 1 c −1 t (1 − t )b−1 dt

c∫

0

1− c c dt .

Тогда

a Γ   ⋅ Γ ( b) 1 a 1  c = Β  , b = ⋅ . c c  c a   Γ  + b c 

Важно подчеркнуть, что здесь a, b, c – любые вещественные положительные числа, а значит, вообще говоря, неопределенный интеграл

∫x

a −1

(1 − x c )b−1 dx является неэлементарной функцией. Известно, что даже в

случае, когда a, b, c – рациональные числа, этот неопределенный интеграл является элементарной функцией лишь тогда, когда по крайней мере одно из чисел b ,

a a , + b – целое. c c 141

π2

∫ sin

Пример 2. Вычислить I =

a −1

x ⋅ cosb−1 x dx ( a > 0 , b > 0 ).

0

Запишем этот интеграл в виде

1 I= 2 1 = 2

π2

π2

∫ sin

a −2

x ⋅ cosb− 2 x ⋅ 2 sin x cos x dx =

0

∫ (sin

2

x

)

a −2 2

(

2

⋅ cos x

)

b− 2 2

⋅ 2 sin x cos x dx .

0

2

Положим sin x = t ⇒ 2sin x cos x dx = dt . Тогда

I=

1 a −1 t2 ⋅

1 2∫

(1 − t )

b −1 2 dt

0

a b Γ   ⋅ Γ      2 2 1 a b 1 = Β  ,  = . 2  2 2 2 a + b    Γ  2 

В частности, при b = 1 будем иметь

1 a a Γ   ⋅ Γ   Γ    2 1  2   2 π = ⋅ I = ∫ sin a −1 x dx = . 2 2 1 + 1 a + a       Γ Γ 0  2   2  Важно подчеркнуть, что и в этом примере a, b – любые вещественные поπ2

ложительные числа, а значит, неопределенный интеграл

∫ sin

a −1

x ⋅ cosb−1 x dx

является, вообще говоря, неэлементарной функцией. +∞

Пример 3. Вычислить I = π

Положим x = t ⇒ x =

dx

∫ 1+ xπ .

0 1 π t

1

1 −1 и dx = t π dt . Следовательно, π

1 I= π +∞

Мы знаем, что Β( a , b ) =

∫ 0

+∞ 1 π −1

∫ 0

t dt . 1+ t

t a −1 dt . Значит, в нашем примере (1 + t )a + b

 1 − 1 = a − 1,  π 1 = a + b, 142

1 1 и b = 1 − . Имеем, таким образом, π π 1 1 1 1 π 1 I = Β  , 1 −  = ⋅ = π π π π sin 1 1 sin  π ⋅   π π , если 0 < a < 1 ). (так как Β( a , 1− a ) = sin πa откуда a =

+∞

Пример 4. Вычислить I = 3

Положим x = t ⇒ x =

x ln x

∫ 1 + x 3 dx .

0 1 t3,

2

1 1 − dx = t 3 dt и ln x = ln t . Тогда 3 3

I= Введем

в

рассмотрение

1 9

+∞ −

∫ 0

t

1 3 ln t

1+ t

dt .

Β( a , 1 − a ) =

0

t

∫ 1 + t dt

( 0 < a < 1 ).

Имеем

0

+∞ a −1

∫

+∞ a −1

t π . Продифференцируем обе части последнего равенства по a . dt = 1+ t sin πa

Получим

+∞ a −1

∫

0

t

2 ⋅ ln t cos πa dt = − π 2 ⋅ 2 , откуда при a = находим 1+ t 3 sin πa +∞ −

∫

t

0

Тогда I =

1 2 2 2 2 ⋅ π = π . 9 3 27

1 3 ⋅ ln t

1+ t

2π 3 = 2 π2 . dt = − π ⋅ 2π 3 sin 2 3 2

cos

Литература 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. – М.: Физматгиз, 1959. 2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. – М.–Л.: Физматгиз, 1960. 3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 2. – М.: Высшая школа, 1981. 4. Аксёнов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999. 143

ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.............3 §1. Определение интегралов, зависящих от параметра ...............................................3 §2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла....................................................................................................................3 §3. О непрерывности интеграла как функции параметра............................................5 §4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла................................6 §5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла .....................................7 §6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра .................................10 §7. Примеры к главе 1 ...................................................................................................17 ГЛАВА 2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ................................................................................20 §1. Область и ее диаметр...............................................................................................20 §2. Определение двойного интеграла..........................................................................22 §3. Признаки интегрируемости функций....................................................................24 §4. Свойства двойных интегралов ...............................................................................30 §5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области ..................36 §6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной области..................41 §7. Примеры к главе 2 ...................................................................................................45 ГЛАВА 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................54 §1. Криволинейные интегралы первого рода .............................................................54 §2. Криволинейные интегралы второго рода..............................................................62 §3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым. Формула Грина........................................................................................................70 §4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования .......................................................................................................75 §5. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах.................................83 §6. Замена переменных в двойном интеграле.............................................................88 §7. Примеры к главе 3 ...................................................................................................90 ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ....................102 §1. Некоторые сведения из геометрии ......................................................................102 §2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление .....................106 §3. Примеры к главе 4 .................................................................................................111 ГЛАВА 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ...115 §1. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов ...............115 §2. О непрерывности интеграла как функции параметра........................................117 §3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла .................................118 §4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла............................120 §5. Признак равномерной сходимости несобственных интегралов .......................121 §6. Примеры к главе 5 .................................................................................................122 ГЛАВА 6. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ ............................................................................129 §1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция) .................................................129 §2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция) ..............................................132 §3. Примеры к главе 6 .................................................................................................141 Литература ..........................................................................................................................143 144

Аксёнов Анатолий Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы) Учебное пособие

Лицензия ЛР № 065394 от 08.09.97 Подписано в печать . .00. Формат 60×84 1/16. Объем п.л. Тираж . Заказ № . Отпечатано в издательстве «НЕСТОР» 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы. ) Учебн. пособ

Recommend Documents