Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 302—308
УДК 512.57
КОНЕЧНЫЕ
РЕШЕТКИ
КАК РЕШЕТКИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ
КОНГРУЭНЦИИ
КОНЕЧН...
11 downloads
201 Views
621KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 40, N 3 (2001), 302—308
УДК 512.57
КОНЕЧНЫЕ
РЕШЕТКИ
КАК РЕШЕТКИ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ
КОНГРУЭНЦИИ
КОНЕЧНЫХ УНАРОВ И АБЕЛЕВЫХ
ГРУПП
А. М. Н У Р А К У Н О В
Пусть R — квазимногообразие алгебр, А — произвольная алгебра. Конгруэнцию в £ Con А называют Л,-конгруэнцией, если А/в £ R. Мно жество СопцА всех R-конгруэнций алгебры А образует алгебраическую решетку относительно включения, его называют решеткой алгебры А. Решетку L называют решеткой относительных
И-конгруэнций конгруэнции,
если найдутся квазимногообразие алгебр R и алгебра А такие, что L изо морфна СопаА. Как известно, поставленная в [1] проблема IV.36 — «Вся кая ли конечная решетка изоморфна решетке конгруэнции конечной ал гебры?» — остается открытой. Покажем, что для решеток относительных конгруэнции она имеет положительное решение, а именно, любая конеч ная решетка изоморфна решетке относительных конгруэнции некоторого конечного унара и некоторой конечной абелевой группы.
§ 1. Основной результат Для алгебры А и элементов а, Ь Е А через 0(а, Ь) обозначим наимень шую конгруэнцию на А, содержащую пару (а, Ь). Пусть / — символ унарной операции, х — переменная. Положим f°(x) = ж, f*{x) = f{x) и / п + 1 (ж) = / ( / п ( я ) ) , п > 0. Аналогично, если А унар и a G А, то полагаем /°(а) = а, fl(a) п > 0. ©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2001
= /(а) и / п + 1 ( а ) = / ( / п ( а ) ) ,
Конечные решетки как решетки относительных конгруэнции
303
Л Е М М А 1. Пусть A = (a\ fn{a) = а) - унар (В = (Ъ \ Ьп = 1) абелева группа). Тогда решетка конгруэнции Con А (Соп23) изоморфна рететке делителей числа п, и любая конгруэнция в на А (на В) имеет вид d(x,fk(x))
(в(1,хк))
для некоторого к > 0, причем к делит п.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для групп доказательство очевидно, так как любая конгруэнция абелевой группы определяется некоторой подгруппой. Приведем доказательство для унаров. Пусть в £ СопА. Если в — нулевая конгруэнция, то в = 0(a,fn(a)).
Допустим, что (/ W (a), fs(a))
< s < п + 1. Тогда ( / m + n - w ( a ) , / s + n - w ( a ) ) = (aj8~m(a)) 6 в. Ясно, что (fm(a)1fs(a))
£ в, т
0 такие, что п = ro^i + + гг. Тогда (а, / п (а)) и (а, / г ° 5 1 (а)) 6 0, следовательно, (/ n (a), Г 0 * 1 (a)) £ в и ( a , / f l ( a ) ) = ( a , / n ~ r ° S l (а)) £ б. Далее, если г\ > 0, то найдутся такие r 2 < fi и <s2 > 0, что г 0 = rxs2 + г2 и (a,/ r 2 (a)) e 0. Продолжая, для некоторого г получаем (а, / п ( а ) ) £ 0, г,- > 0, r t + i = 0. Согласно алгоритму Евклида, Ti — наибольший общий делитель чисел $ — т и п. Применяя подобные рассуждения, можно доказать, что для любых 1
(a,/* (a)), •-. ,(a,/ fc *(a)) £ в имеем (a,/ fc (a)) £ 0, где к = н.о.д.(п, fcb . . . ...,**)• П Т Е О Р Е М А 1. Для любой конечной решетки L найдутся конеч но аксиоматизируемое локально конечное квазимногообразие унаров R и конечный унар А такие, что L изоморфна COIIRA. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть L = {а0, а ь . . . , а п }, где а 0 — наимень ший элемент в L, р 0 ~ 1 и X = {Ръ^2?«-- >Рп} ~~ множество первых п простых чисел. Рассмотрим отображение • -Р(-Х"), определенное по правилу