federalxnoe AgEntstwo po obrazowani` moskowskij invenerno { fizi~eskij institut (gosudarstwennyj uniwersitet)
s w {WEDENKO .
.
na~ala analiza funkcij kompleksnoj peremennoj rEKOMENDOWANO umo \qDERNYE FIZIKA I TEHNOLOGII" W KA^ESTWE U^EBNOGO POSOBIQ DLQ STUDENTOW WYSIH U^EBNYH ZAWEDENIJ
mOSKWA 2008
udk 517.53 (075) bbk 22.161.5Q7 { 34 { W E D E N K O s. w. nA^ALA ANALIZA FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ : m.: mifi, 2008. | 356 c. dANO SISTEMATI^ESKOE IZLOVENIE TOJ ^ASTI WUZOWSKOGO KURSA MATEMATI^ESKOGO ANALIZA , KOTORU@ W U^EBNYH PROGRAMMAH OBY^NO NAZYWA@T TEORIEJ FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ . tEKST SOPROWOVDAETSQ MNOGO^ISLENNYMI RISUNKAMI, WKL@^AET ZADA^I, UPRAVNENIQ, RAZBOR BOLXOGO ^ISLA PRIMEROW. aDRESOWAN STUDENTAM, IZU^A@]IM DANNYJ PREDMET KAK PO OBY^NOJ, TAK I UGLUBLENNOJ PROGRAMME. rECENZENT: KAND. FIZ.-MAT NAUK, DOCENT d. s. tELQKOWSKIJ iZDANIE PODGOTOWLENO W RAMKAH iNNOWACIONNOJ OB]EOBRAZOWATELXNOJ PROGRAMMY. ISBN 978-5-7262-1023-0
c mOSKOWSKIJ
INVENERNO - FIZI^ESKIJ INSTITUT (GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET), 2008
rEDAKTOR n. n. aNTONOWA pODPISANO W PE^ATX fORMAT 60841/16 pE^. L. 22,25 u^.-IZD. L. 22,5 iZD. N 1/33 tIRAV 150 \KZ. mOSKOWSKIJ INVENERNO - FIZI^ESKIJ INSTITUT (GOSUDARSTWENNYJ UNIWERSITET). 115409, mOSKWA, kAIRSKOE ., 31 tIPOGRAFIQ \tROWANT" G. tROICK mOSKOWSKOJ OBL.
3
pREDISLOWIE dANNAQ KNIGA NAPISANA NA OSNOWE LEKCIJ PO KURSU \tEORIQ FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ", MNOGOKRATNO ^ITAWIHSQ AWTOROM W mOSKOWSKOM INVENERNO - FIZI^ESKOM INSTITUTE, W SO^ETANII S OPYTOM PROWEDENIQ IM PRAKTI^ESKIH ZANQTIJ PO DANNOMU RAZDELU MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. pRI NAPISANII KNIGI AWTOR STAWIL PERED SOBOJ SLEDU@]IE OGRANI^ENIQ. 1. oBRA]AQSX (^TO NEIZBEVNO) K PONQTIQM I FAKTAM IZ PREDESTWU@]EGO KURSA DEJSTWITELXNOGO ANALIZA, IZBEGATX SSYLOK NA TE EGO RAZDELY, K TRADICIONNOMU IZLOVENI@ KOTORYH MOVNO WYSKAZATX PRETENZII. w ^ASTNOSTI, \TO OTNOSITSQ K RAZDELAM \kRIWOLINEJNYE INTEGRALY"1 I \nESOBSTWENNYE INTEGRALY S PARAMETROM"2. 2. wYDERVATX ROWNYJ UROWENX IZLOVENIQ, NE PRIBEGAQ K STAWEMU PRIWY^NYM W MATEMATI^ESKIH KURSAH PRIEMU \WYBORO^NOJ STROGOSTI". 3. oTDAWAQ DOLVNOE ROLI RISUNKOW3 W POQSNENII RASSUVDENIJ, OTKAZATXSQ OT ^REZMERNO RASPROSTRANIWEGOSQ (OSOBENNO PRI OPISANII DEJSTWIJ NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI) PRIEMA \RISUNO^NOJ ARGUMENTACII", KOGDA RISUNKI SLUVAT NE STOLXKO ILL@STRACIEJ LOGI^ESKIH DOWODOW, SKOLXKO SPOSOBOM \UPROSTITX" DOKAZATELXSTWA NEZAMETNOJ PODMENOJ (POSREDSTWOM \UDA^NOGO" RISUNKA) \NEUDOBNOGO" OB]EGO SLU^AQ BOLEE \UDOBNYM" ^ASTNYM .
kAVDYJ SLUATELX LEKCIJ PO ANALIZU WSPOMNIT TOROPLIWOSTX, S KOTOROJ WWODILISX PONQTIQ KONTURA I INTEGRALA PO KONTURU , A KAVDYJ SOWESTLIWYJ LEKTOR | ^UWSTWO NELOWKOSTI, ISPYTYWAEMOE IM PRI \WYWODE" FORMULY gRINA . 2 tRADICIONNYE TEOREMY \TOGO RAZDELA IME@T BOLEE VESTKIE USLOWIQ PO SRAWNENI@ S TEMI, KOTORYE PREDOSTAWLQ@T PRILOVENIQ (NAPRIMER, W RAMKAH PREOBRAZOWANIQ lAPLASA ). 3 w \TOJ KNIGE IH 133 STOIT OTMETITX, ^TO W IZLOVENIQH KLASSIKOW RISUNKI LIBO OTSUTSTWU@T (NAPRIMER, U kOI), LIBO KRAJNE REDKI. 1
4 4. oTKAZATXSQ OT SLOW I SLOWOSO^ETANIJ \O^EWIDNO", \LEGKO WIDETX", \NETRUDNO POKAZATX\, KOTORYE W MATEMATIKE DAWNO UTRATILI IZNA^ALXNYJ SMYSL I PREWRATILISX W UKAZATELI SLABYH MEST I PROBELOW W RASSUVDENIQH. 5. uSTANOWITX PO PERWOISTO^NIKAM PROISHOVDENIE OSNOWNYH PONQTIJ I FAKTOW TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, DAW TO^NYE SSYLKI.1 sTRUKTURNO KNIGA SOSTOIT IZ 20 GLAWOK (ILI SEKCIJ), NAZWANIQ KOTORYH MOGUT ZWU^ATX KAK WOPROSY, NA KOTORYE AWTOR STREMILSQ DATX PO WOZMOVNOSTI POLNYE (W RAMKAH ZADANNOGO OB_EMA KNIGI I \RUDICII AWTORA), NO NEPREMENNO WNQTNYE I ARGUMENTIROWANNYE OTWETY. sREDI WYWODIMYH UTWERVDENIJ , W KOTORYH KONCENTRIRU@TSQ \TI OTWETY, LIX NAIBOLEE FUNDAMENTALXNYE I IMENNYE SNABVENY TITULOM (\TEOREMA", \LEMMA", \KRITERIJ " I T. P.), UTWERVDENIQ VE \WTOROGO RQDA", NE TREBU@]IE ^ASTOGO K NIM OBRA]ENIQ, WYDELQ@TSQ W TEKSTE DWOJNOJ WERTIKALXNOJ ^ERTOJ. iSPOLXZOWANIEM DWUHUROWNEWOGO RIFTA MATERIAL RAZDELQETSQ NA OSNOWNOJ (PRIMERNO SOOTWETSTWU@]IJ PROGRAMME KURSA, PRINQTOJ W mifi) I DOPOLNITELXNYJ, W KOTORYJ WYNESENY WYHODQ]IE ZA RAMKI KURSA (NO PRIMYKA@]IE K NEMU) UTWERVDENIQ, OTDELXNYE DOKAZATELXSTWA (ILI IH FRAGMENTY), ISTORI^ESKIJ KOMMENTARIJ I WSQ^ESKIE PODROBNOSTI. zADA^I, RAZBIRAEMYE W KA^ESTWE PRIMEROW, WZQTY IZ POPULQRNYH ZADA^NIKOW, ZADA^I VE UPRAVNENIJ (PREDLAGAEMYE W KONCE KAVDOJ GLAWKI) W BOLXINSTWE SOSTAWLENY AWTOROM. |LEKTRONNYJ ADRES AWTORA |
[email protected] lXWINAQ IH DOLQ PRIHODITSQ NA RABOTY kOI, SOSTAWIWIE OSNOWU \TOJ TEORII, NO, K SOVALENI@, NE OFORMLENNYE IM W WIDE SISTEMATI^ESKI IZLOVENNOGO KURSA (PODOBNOGO EGO \kURSU ANALIZA" 26]), A OSTAWLENNYE W WIDE OTDELXNYH STATEJ, MEMUAROW I T. P., RAZOEDIHSQ PO MNOGO^ISLENNYM TOMAM EGO pOLNOGO SOBRANIQ SO^INENIJ 28]. 1
5
~TO NAZYWA@T KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTX@ I W ^EM EE OTLI^IE OT DEJSTWITELXNOJ I.
KOMPLEKSNAQ PLOSKOSTX C | \TO TO, ^EM STANOWITSQ DEJSTWITELXNAQ KOORDINATNAQ PLOSKOSTX R2 (S ee TRADICIONNYMI OSQMI x (ABSCISS) I y (ORDINAT) I \LEMENTAMI , MYSLIMYMI I KAK TO^KI , I KAK WEKTORY 1 ) PRI WWEDENII W NEJ (W DOPOLNENIE K UVE IME@]IMSQ OPERACIQM SLOVENIQ WEKTOROW I UMNOVENIQ IH NA DEJSTWITELXNYE ^ISLA ) OPERACII UMNOVENIQ WEKTORA NA WEKTOR PO PRAWILU: PROIZWEDENIE NENULEWOGO WEKTORA z NA NENULEWOJ WEKTOR w ESTX OBOZNA^AEMYJ zw WEKTOR (\TOJ VE PLOSKOSTI), DLINA ; KOTOROGO RAWNA PROIZWEDENI@ DLIN PEREMNOVAEMYH WEKTOROW jzwj = jzjjwj , A UGOL , KOTORYJ ON SOSTAWLQET S OSX@ ABSCISS , RAWEN SUMME UGLOW MEVDU \TOJ OSX@ I SOMNOVITELQMI (PRI OBY^NOM SOGLAENII S^ITATX POLOVITELXNYM OTS^ET UGLOW \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" RIS. 1)
rIS. 1 PROIZWEDENIEM zw WEKTOROW z I LEWOJ , S^ITAETSQ NULEWOJ WEKTOR . 1
oTKLADYWAEMYE OT L@BOJ TO^KI .
w, SREDI KOTORYH ESTX NU-
6 oT TRADICIONNYH SKALQRNOGO I WEKTORNOGO UMNOVENIJ WWODIMU@ OPERACI@ OTLI^AET TO, ^TO EE REZULXTAT ESTX WEKTOR , PRI^EM TOJ VE PLOSKoSTI , KAKOJ PRINADLEVAT SOMNOVITELI.
wOT PRQMYE SLEDSTWIQ DANNOGO PRAWILA PEREMNOVENIQ WEKTOROW . 1. sOBL@DA@TSQ PRIWY^NYE \ZAKONY" : zw = wz | PEREMESTITELXNYJ , (zw) = z (w ) | SO^ETATELXNYJ , (z + w) = z + w | RASPREDELITELXNYJ . 2. BYPOLNIMA OBRATNAQ K UMNOVENI@ OPERACIQ DELENIQ L@BOGO WEKTORA NA L@BOJ NENULEWOJ WEKTOR (KAK NA RIS. 1).
nA QZYKE ALGEBRY \TO OZNA^AET, ^TO PLOSKOSTX C QWLQETSQ POLEM , W TO WREMQ KAK PLOSKOSTX R2 ESTX LIX LINEJNOE PROSTRANSTWO (NAD POLEM R DEJSTWITELXNYH ^ISEL). nA WOPROS, MOVNO LI PREWRATITX W POLE KOORDINATNOE PROSTRANSTWo R3 , OTRICATELXNYJ OTWET DAET TEOREMA fROBENIUSA1 : WWESTI W PROSTRANSTWE Rn n > 1, OPERACI@ yMNOVENIQ WEKTORA NA WEKTOR c WYPOLNENIEM PEREMESTITELXNOGO, SO^ETATELXNOGO I RASPREDELITELXNOGO ZAKONOW I WOZMOVNOSTX@ DELENIQ NA NENULEWYE WEKTORY MOVNO LIX PRI n =2 (I IMENNO UKAZANNYM WYE SPOSOBOM).
dLQ L@BOGO NENULEWOGO WEKTORA z 2 C I n = 2 3 : : : OPREDELENY n ZNA^ENIJ KORNQ n-J STEPENI IZp z , OBOZNAn ^AEMYE (WSE WMESTE I KAVDYJpW OTDELXNOSTI p ) z . BSE ONI QWLQ@TSQ WEKTORAMI DLINY n jzj (ZDESX n jzj | ARIFMETI^ESKIJ KORENX IZ POLOVITELXNOGO ^ISLA jzj), OBRAZU@T DRUGpS DRUGOM UGLY , KRATNYE 2n , PRI^EM ODIN IZ WEKTOROW n z SOSTAWLQET S OSX@ ABSCISS UGOL , W n RAZ MENXIJ UGLA MEVDU \TOJ OSX@ pI WEKTOROM z . kAK SLEDSTWIE, KONCEWYE TO^KI WEKTOROW n z , OTLOVENNYH OT OB]EGO NA^ALA , 3.
fROBENIUS (Frobenius, Georg Ferdinand, 1849 {1917) | NEMECKIJ MATEMATIK. pOLNU@ FORMULIROWKU I DOKAZATELXSTWO USTANOWLENNOJ IM (W 1877 G.) TEOREMY MOVNO NAJTI, NAPRIMER, U l. q. oKUNEWA 14]. 1
7
OBRAZU@T WERINY PRAWILXNOGO n-UGOLXNIKA, WPISANNOGO W p n jz j (NA RIS. 2 IZOBRAVENY WEKTORY OKRUVNOSTX RADIUSA p p z z I 3 z PRI jzp jn> 1). dLQ NULEWOGO WEKTORA z EDINSTWENNYM ZNA^ENIEM z QWLQETSQ NULEWOJ WEKTOR .
rIS. 2
BEKTORY , KOLLINEARNYE OSI ABSCISS , WEDUT SEBQ PRI SLOVENII, WY^ITANII, UMNOVENII I DELENII KAK DEJSTWITELXNYE ^ISLA I POTOMU NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI MOGUT IMETX OB]IE S NIMI OBOZNA^ENIQ . w ^ASTNOSTI, NULEWOJ WEKTOR I EDINI^NYJ NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR OSI ABSCISS ZAPISYWA@TSQ KAK 0 I 1. 5. kWADRATY (REZULXTATY UMNOVENIJ NA SEBQ) NENULEWYH WEKTOROW , KOLLINEARNYH OSI ORDINAT , OKAZYWA@TSQ WEKTORAMI , KOLLINEARNYMI OSI ABSCISS , NO PROTIWOPOLOVNYMI EJ PO NAPRAWLENI@. w ^ASTNOSTI, EDINI^NYJ NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR OSI ORDINAT , KOTORYJ NA KOMPLEKSNOJ 1 PLOSKOSTI OBO4.
1
w OTLI^IE OT DEJSTWITELXNOJ.
8
ZNA^A@T1 i , OBLADAET SWOJSTWOM i2 = ;1. nENULEWYE WEKTORY, KOLLINEARNYE OSI ORDINAT , IME@T PO\TOMU PREDSTAWLENIE iy (S NENULEWYM y 2 R ) I WYPOLNQ@T ROLX KWADRATNYH KORNEJ IZ OTRICATELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL.
rIS. 3
|TI OBOZNA^ENIQ POZWOLQ@T ZAPISYWATX WEKTORY z 2 C W WIDE z = x + iy, GDE x I y | DEJSTWITELXNYE ^ISLA , KOTORYE ODNOWREMENNO MOVNO RASSMATRIWATX I KAK WEKTORY PLOSKOSTI C , KOLLINEARNYE OSI ABSCISS WEKTOR iy OBRETAET PRI \TOM SMYSL PROIZWEDENIQ WEKTOROW i I y (RIS. 3). wEKTORY z w : : : 2 C , ZAPISANNYE W WIDE SO^ETANIJ z = x+iy w = u+iv : : : , I ESTX KOMPLEKSNYe ^ISLA 2, PRAWILA SLOVENIQ , WY^ITANIQ , UMNOVENIQ I DELENIQ KOTORYH | S REZULXTATAMI W WIDE TAKIH VE SO^ETANIJ | OPREDELQ@TSQ PRAWILAMI WEKTORNOGO SLOVENIQ I WWEDENNOJ OPERACII WEKTORNOGO UMNOVENIQ (c. 5{6): iSKL@^AQ \LEKTROTEHNIKOW, OBOZNA^A@]IH EGO j , POSKOLXKU i ONI PRIWYKLI WOSPRINIMATX KAK WELI^INU TOKA . 2 lAT. complexio | SO^ETANIE . 1
9 (x + iy) (u + iv) = (x u)+ i (y v) (x + iy)(u + iv) = x(u + iv)+ iy(u + iv) = = xu + xiv + iyu + iyiv = (xu ; yv)+ i (xv + yu) x+iy = (x+iy)(u;iv) = xu+iyu;xiv;i2yv = u+iv (u+iv)(u;iv) u2+ivu;uiv;i2v2 +yv + i yu;xv (PRI USLOWII u+iv 6= 0). = xu 2 u + v2 u2+ v2 wOSPRINIMAQ KOMPLEKSNYE ^ISLA z = x+iy KAK WEKTORY PLOSKOSTI1 C IH, SLEDUQ gAUSSU2, ODNOWREMENNO PREDSTAW-
LQ@T SEBE I KAK TO^KI 3 \TOJ PLOSKOSTI | KONCEWYE TO^KI WEKTOROW , OTKLADYWAEMYH OT NA^ALA KOORDINAT .
rIS. 4 iRLANDSKIJ MATEMATIK gAMILXTON4, W MONOGRAFII KOTOROGO 35] OKON^ATELXNO OFORMILOSX PONQTIE WEKTORA 5, PREDLOVIL WOSPRINIMATX KOMPLEKSNYE ^ISLA KAK (UPORQDO^ENNYE ) PARY DEJSTWITELXNYH ^ISEL : 1 s^ITAQ, ^TO KAVDYJ IZ NIH MOVNO OTLOVITX OT L@BOJ EE TO^KI . 2 g AUSS (Gauss, Carl Friedrich, 1777{1855) | NEMECKIJ MATEMATIK. nA RIS. 4 | ZAIMSTWOWANNYJ IZ 33] (Bd. VIII, S. 105) FRAGMENT EGO ZAMETOK 1805 G. | ODNO IZ PERWYH IZOBRAVENIJ KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI . 3 iNOGDA NAZYWAQ KOMPLEKSNOE ^ISLO x + iy AFFIKSOM IZOBRAVA@]EJ EGO TO^KI (LAT. axus | PRIKREPLENNYJ). 4
Hamilton, William Rowan, 1805 {1865.
sOEDINIWEGO PONQTIQ DLINY I NAPRAWLENIQ I OPREDELQEMOGO gAMILXTONOM | W OTLI^IE OT RADIUSA{WEKTORA , WYRAVA@]EGO LIX DLINU , | KAK \VECTOR = VECTUM ; VEHEND" | PERENESENIE TO^KI IZ NA^ALXNOGO POLOVENIQ W KONE^NOE (LAT. veStor | NESU]IJ ). 5
10 p
\The more general expression of algebra, a1+ ;1 a2 , for any (so called) imaginary root of a quadratic or other equation, : : : interpreted as being a symbol of the number-couple which I had otherwise denoted by (a1 a2 ) : : : its multiplication by another number-couple is expressed by the formula (b1 b2 )(a1 a2 ) = (b1 a1 ; b2a2 b2 a1 + b1a2 )" (35], p. 12).
w REZULXTATE IROKO RASPROSTRANILOSX IMENNO TAKOE OPREDELENIE KOMPLEKSNYH ^ISEL | KAK UPORQDO^ENNYH PAR (a b) DEJSTWITELXNYH ^ISEL S OPERACIQMI IH SLOVENIQ I UMNOVENIQ PO FORMULAM: (a b)+(c d) = (a + c b + d) (a b)(c d) = (ac ; bd ad + bc). fORMALXNU@ BEZUPRE^NOSTX \TOGO OPREDELENIQ NESKOLXKO PORTIT WOZNIKA@]IJ TERMINOLOGI^ESKIJ KAZUS: POSKOLXKU TERMIN \KOMPLEKSNYE ^ISLA" OB_EDINQET ^ISLA DEJSTWITELXNYE I MNIMYE , PRINIMAQ DANNOE OPREDELENIE, PRIHODITSQ DELATX NE UKRAA@]IJ MATEMATIKU WYWOD: L@BOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO ESTX UPORQDO^ENNAQ PARA DEJSTWITELXNYH ^ISEL .
aLGEBRAI^ESKOE OPREDELENIE KOMPLEKSNYH ^ISEL , NE SWQZANNOE S IH NAGLQDNYM PREDSTAWLENIEM, MOVET BYTX DANO SLEDU@]IM OBRAZOM. sISTEMA KOMPLEKSNYH ^ISEL C ESTX REZULXTAT PRISOEDINENIQ K SISTEME DEJSTWITELXNYH ^ISEL R NE SODERVA]EGOSQ W NEJ \LEMENTA i, PO OPREDELENI@ OBLADA@]EGO SWOJSTWOM i2 = ;1. nA WOZNIKA@]IE W HODE \TOGO PRISOEDINENIQ 1 SO^ETANIQ a+ib (^ISEL a b 2 R I \LEMENTA i ), POLU^IWIE NAZWANIE KOMPLEKSNYH ^ISEL 2, RASPROSTRANQ@TSQ DEJSTWIQ SLOVENIQ , WY^ITANIQ , UMNOVENIQ I DELENIQ 3 S REZULXTATAMI (^TO SU]ESTWENNO ) W WIDE TAKIH VE SO^ETANIJ (c. 9).
sUDITX O TOM, KAKOJ SPOSOB WWEDENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL PREDPO^TITELXNEJ | ALGEBRAI^ESKIJ ILI GEOMETRI^ESKIJ , | SLEDUET S U^E1 t. E. RASPROSTRANENIQ NA \LEMENT i IME@]IHSQ W SISTEME R OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ S SOHRANENIEM IH PRIWY^NYH \ZAKONOW". 2 s WOZMOVNOSTX@ PERESTANOWOK W NIH SLAGAEMYH I SOMNOVITELEJ, ZAPISX@ a ; ib WMESTO a + i (;b) I SOKRA]ENIQMI a + i 0= a 0+ ib = ib. 3 pO TEM VE PRAWILAM, KAK ESLI BY \LEMENT i BYL DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ S DOPOLNITELXNYM SWOJSTWOM i2 = ;1.
11 TOM WYSKAZYWANIJ PO \TOMU POWODU ODNOGO IZ OSNOWOPOLOVNIKOW SOWREMENNOGO MATEMATI^ESKOGO ANALIZA FRANCUZSKOGO MATEMATIKA kOI1 . w SWOIH RABOTAH DO 1847 G. (NAPRIMER, \kURSE ANALIZA" 26] 1821 G.) ON PONIMAL KOMPLEKSNYE ^ISLA (NE UPOTREBLQQ, ODNAKO \TOT p TERMIN) KAK \MNIMYE WYRAVENIQ" (\expressions imaginaires")p a + b ;1, SOSTAWLENNYE IZ DWUH DEJSTWITELXNYH ^ISEL I SIMWOLA ;1, OBRA]ATXSQ p S KOTORYMI NADLEVIT PO OBY^NYM PRAWILAM ALGEBRY, OPERIRUQ c ;1 KAK S DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ , KWADRAT KOTOROJ RAWEN ;1. w 1847 G. ON, ODNAKO, NAPISAL SLEDU@]EE: \nO POSLE NOWYH I ZRELYH RAZMYLENIJ p NAILU^IM PUTEM MNE PREDSTAWLQETSQ POLNYJ OTKAZ OT SIMWOLA ;1 I ZAMENA TEORII MNIMYH WYRAVENIJ TEORIEJ WELI^IN, KOTORYE Q BUDU NAZYWATX GEOMETRI^ESKIMI : : : pROWEDEM W FIKSIROWANNOJ PLOSKOSTI ^EREZ FIKSIROWANNU@ TO^KU O, PRINQTU@ ZA NA^ALO , ILI POL@S , POLQRNU@ OSX OX : : : bUDEM NAZYWATX GEOMETRI^ESKOJ WELI^INOJ I OBOZNA^ATX rp RADIUS - WEKTOR OA, NAPRAWLENNYJ IZ O K A . eGO DLINA, OBOZNA^AEMAQ BUKWOJ r, BUDET NAZYWATXSQ ^ISLENNYM ZNA^ENIEM , ILI MODULEM GEOMETRI^ESKOJ WELI^INY rp UGOL p, UKAZYWA@]IJ NAPRAWLENIE RADIUSA - WEKTORA OA, | ARGUMENTOM , ILI AZIMUTOM \TOJ VE WELI^INY. dWE GEOMETRI^ESKIE WELI^INY BUDUT RAWNY MEVDU SOBOJ, KOGDA ONI BUDUT PREDSTAWLQTX ODIN I TOT VE RADIUS - WEKTOR."2 iSTORI^ESKI VE KOMPLEKSNYe ^ISLa WOZNIKLI WNE KAKIH-LIBO GEOMETRI^ESKIH ASSOCIACIJ. iH POQWLENIE W XVI W. BYLO WYZWANO OTKRYCauchy, Augustin-Louis, 1789{1857. w ORIGINALE: \Mais, apr es de nouvelles et m^ures re exions le meilleur parti p a prendre me para^t ^etre d'abandonner enti erement l'usage du signe ;1, et de remplacer la theorie des expressions imaginaire par la theorie des quantites que j'appellerai geometriques : : : Menons, dans un plan xe et par un point xe O pris pour origine ou p^ole , un axe polaire OX : : : Nous appellerons quantite geometrique , et nous designerons par la notation rp le rayon vecteur OA dirige de O vers A. La longueur de ce rayon, representee par la lettre r sera nommee la valeur numerique ou le module de la quantite geometrique rp l'angle p, qui indique la direction du rayon vecteur OA, sera l'argument ou l'azimut de cette m^eme quantite. Deux quantites geometriques seront egales entre elles, lorsqu'elles representeront le m^eme rayon vecteur." (28], ser. 1, t. II, p. 283 kOI PRAKTIKOWAL MNOGOKRATNU@ PUBLIKACI@ SWOIH REZULXTATOW, PO\TOMU SSYLKI NA NIH DOPUSKA@T WARIANTY). 1 2
12 TIEM ITALXQNSKIMI MATEMATIKAMI FORMULY KORNEJ NEPOLNOGO KUBI^ESKOGO URAWNENIQ z 3+pz +q =0, IME@]EJ (W SOWREMENNOJ ZAPISI) WID r r q; ; q; ; z = 3 ; q2 + q2 2 + p3 3 + 3 ; q2 ; q2 2 + p3 3 I IZWESTNOJ POD NAZWANIEM FORMULY kARDANO 1. oKAZALOSX, ^TO W SLU^AE URAWNENIQ S TREMQ RAZLI^NYMI DEJSTWITELXNYMI KORNQMI (NAPRIMER, z 3 ; z =0) W WY^ISLENIQ PO FORMULE kARDANO WOWLEKA@TSQ \NESU]ESTWU@]IE ^ISLA" | KWADRATNYE KORNI IZ OTRICATELXNYH ^ISEL . |TI \^ISLA" SO STRANNYM POSTOQNSTWOM WOZNIKALI W HODE WY^ISLENIJ, PRI^EM OKAZYWALOSX, ^TO ESLI DEJSTWOWATX S NIMI KAK S OBY^NYMI ^ISLAMI , TO NA KONE^NOM AGE ONI SOKRA]ALISX I ITOGOWYJ OTWET OKAZYWALSQ WERNYM. nE OSTAWALOSX DRUGOGO WYHODA KAK LEGALIZOWATX \TI DEJSTWIQ, ^TO I SDELAL ITALXQNSKIJ MATEMATIK I INVENER - GIDRAWLIK bOMBELLI2 W SWOEJ \aLGEBRE" (\L'Algebra"), IZDANNOJ W 1572 G. sUTX \TOJ LEGALIZACII SWODITSQ K PRISOEDINENI@ K SISTEME DEJSTWITELXNYH ^ISEL OTSUTSTWU@]EGO W NEJ KORNQ URAWNENIQ x2 + 1=0, SO WREMENEM POLU^IWEGO OBOZNA^ENIE i I NAZWANIE \MNIMOJ EDINICY"3. pOD PRISOEDINENIEM \MNIMOJ EDINICY" K SISTEME DEJSTWITELXNYH ^ISEL R PONIMAETSQ RASPROSTRANENIE NA \LEMENT i IME@]IHSQ W sArdano, Gerolamo, 1501{1576, ITALXQNSKIJ WRA^, FILOSOF, MATEMATIK I IZOBRETATELX (\KARDANNYJ WAL"), NE BYL AWTOROM DANNOJ FORMULY, NO PERWYM OPUBLIKOWAL EE W 1545 G. W TRAKTATE \wELIKOE ISKUSSTWO" (\Ars magna"). zABAWNYE PODROBNOSTI \TOJ ISTORII WMESTE S OPISANIEM VIZNI kARDANO MOVNO NAJTI W KNIGE 40], SODERVA]EJ TAKVE PEREWOD S LATINSKOGO EGO \kNIGI OB AZARTNYH IGRAH" (\Liber de Ludo Aleae") | PERWOGO W ISTORII U^EBNIKA PO TEORII WEROQTNOSTEJ . 1
Bombelli, Raaele, 1526{1573. tERMIN \MNIMYJ" W SMYSLE WOOBRAVAEMYJ (\imaginaire") WWEL W MATEMATIKU FRANCUZSKIJ MATEMATIK I FILOSOF dEKART (Descartes, ILI Cartesius, Rene, 1596{1650), UKAZAWIJ W SWOEJ \gEOMETRII" (WPERWYE IZDANNOJ W 1637 G.), ^TO \KORNI : : : NE WSEGDA BYWA@T DEJSTWITELXNYMI, NO INOGDA LIX WOOBRAVAEMYMI" (\les racines : : : ne sont pas toujours reelles, p mais quelquefois seulement imaginaires" 30], p. 63). sIMWOL i WMESTO ;1 WWEL (W 1777 G.) |JLER, ODNAKO AKTIWNO WNEDRQTX EGO NA^AL (S 1801 G.) gAUSS: \scribendo brevitatis caussa i pro quantitate imaginaria p ;1" (33], Bd. I, S. 414) WNEDRENIE POSTEPENNO:kOI, ; p LO NAPRIMER, DO 1847 G. PISAL ISKL@^ITELXNO ;1 TO^NEE, p ; 1 . 2 3
13 \TOJ SISTEME OPERACIJ SLOVENIQ I UMNOVENIQ S SOHRANENIEM PRIWY^NYH PERESTANOWO^NOGO , SO^ETATELXNOGO I RASPREDELITELXNOGO ZAKONOW I WOZMOVNOSTX@ WYPOLNENIQ OBRATNYH DEJSTWIJ WY^ITANIQ I DELENIQ . rEZULXTATY UMNOVENIQ \LEMENTA i NA NENULEWYE DEJSTWITELXNYE ^ISLA b, ZAPISYWAEMYE KAK ib ILI (WWIDU PERESTANOWO^NOGO ZAKONA ) bi, NAZYWA@T ^ISTO MNIMYMI ^ISLAMI . |TO I ESTX KWADRATNYE KORNI IZ OTRICATELXNYH ^ISEL : (ib)2 = (ib)(ib) = biib = b(;1)b = ;b2 . mNIMYMI VE ^ISLAMI NAZYWA@T REZULXTATY SLOVENIQ a + bi DEJSTWITELXNYH ^ISEL c ^ISTO MNIMYMI . mNIMYE ^ISLA WMESTE S DEJSTWITELXNYMI I SOSTAWLQ@T POLE C KOMPLEKSNYH ^ISEL (campus numerorum complexorum)1 | WSEWOZMOVNYH SO^ETANIJ a + bi a b 2 R , RACIONALXNYE OPERACII S KOTORYMI SOWERA@TSQ PO TEM VE PRAWILAM, KAK ESLI BY i BYLA DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ , S DOBAWLENIEM K NIM SWOJSTWA i2 = ;1, PRIWODQ]EGO K TOMU, ^TO REZULXTATAMI \TIH OPERACIJ OKAZYWA@TSQ TAKIE VE SO^ETANIQ (O ^EM UVE GOWORILOSX WYE). pO SWIDETELXSTWU kOI (28], ser. I, t. II, p. 282) PERWYM GEOMETRI^ESKU@ TRAKTOWKU KOMPLEKSNOGO ^ISLA DAL W 1786 G. \SKROMNYJ U^ENYJ G-N aNRI - dOMINIK tR@ELX" (\un savant modeste M. Henri-Dominique Truel"). oBY^NO VE IZOBRETATELQMI IZOBRAVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL W WIDE NAPRAWLENNYH OTREZKOW NA PLOSKOSTI NAZYWA@T ANGLIJSKOGO MATEMATIKA I RELIGIOZNOGO DEQTELQ wALLISA2 (O EGO TRAKTOWKE MNIMYH ^ISEL NIVE, W XV, S. 246), NORWEVSKOGO TOPOGRAFA wESSELQ3, PREDSTAWIWEGO W 1797 G. DOKLAD4 NA \TU TEMU W dATSKU@ KOROLEWSKU@ AKADEMI@ (nORWEGIQ TOGDA BYLA ^ASTX@ DATSKOGO KOROLEWSTWA) I FRANCUZSKOGO MATEMATIKA - L@BITELQ aRGANA5 , IMEQ W WIDU WYEDEE W 1806 G. PERWOE (ANONIMNOE) IZDANIE EGO KNIGI 21], ZNAKOMQSX S KOTOROJ, MOVNO OT^ETLIWO O]UTITX SEBQ PRISUTSTWU@]IM PRI ROVDENII PONQTIQ tERMIN WWEDEN gAUSSOM (33], Bd. II, S. 102) W 1837 G. pRAWILXNEE uOLLISA Wallis, John, 1616{1703 (PODROBNO OB \TOM UDIWITELXNOM ^ELOWEKE MOVNO PRO^ITATX W KNIGE dV. sKOTTA 42]). 1 2
3
Wessel, Caspar, 1745{1818.
k DWUHSOTLETI@ EGO OPUBLIKOWANIQ (W 1799 G. NA DATSKOM QZYKE) WYLO EGO ANGLIJSKOE IZDANIE 44], WKL@^A@]EE BIOGRAFI@ wESSELQ I PODROBNYJ ISTORI^ESKIJ O^ERK IZOBRAVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL. 5 Argand, Jean-Robert, 1768{1822 BYL RODOM IZ vENEWY, DERVAL KNIVNU@ LAWKU W pARIVE. 4
14 WEKTOR , SOEDINIWEGO W SEBE DLINU I NAPRAWLENIE . mOVNO LIX POVALETX TEH, KOGO ^REZMERNOE RASPROSTRANENIE W SOWREMENNOM OB]ESTWE NEZNANIQ FRANCUZSKOGO QZYKA LIAET \TOGO UDOWOLXSTWIQ. hOTQ DLQ aRGANA GLAWNYM BYLO GEOMETRI^ESKOE PREDSTAWLENIE KOMPLEKSNYH ^ISEL , A DLQ wESSELQ | pALGEBRAI^ESKIE OPERACII S NAPRAWLENIQMI , ONI OBA PREDSTAWILI ;1 \NAPRAWLENNYMI OTREZKAMI" (\lignes dirigees" U aRGANA), PERPENDIKULQRNYMI K NAPRAWLENI@ \POLOVITELXNOJ EDINICY\ +1, I OB]IM DLQ NIH BYLO PONIMANIE TOGO, ^TO UMNOVENIE NA WEKTOR SWODITSQ K POWOROTU W PLOSKOSTI \TOGO WEKTORA I \POLOVITELXNOJ EDINICY" NA UGOL, RAWNYJ UGLU MEVDU NIMI, I RASTQVENI@ S KO\FFICIENTOM, RAWNYM DLINE \TOGO WEKTORA . kAK UVE OTME^ALOSX (S. 9), IZOBRAVATX KOMPLEKSNYE ^ISLA NA PLOSKOSTI TO^KAMI (A NE NAPRAWLENNYMI OTREZKAMI ) NA^AL gAUSS.
dEJSTWITELXNYE ^ISLA x I y NAZYWA@T SOOTWETSTWENNO DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ ^ASTQMI KOMPLEKSNOGO ^ISLA z = x+iy c ISPOLXZOWANIEM OBOZNA^ENIJ x = Re z y = Im z. pRIMER. iZOBRAZITX NA PLOSKOSTI KOMPLEKSNYE ^ISLA z , UDOWLETWORQ@]IE DLQ DANNYH KOMPLEKSNYH ^ISEL z1 z2 SO;z1 =0 B) Re z;z1 =0. OTNOENIQM: a) Im zz; z2 z;z2
rIS. 5 z ;z1 z1 dOSTATO^NO ZAPISATX SOOTNOENIQ KAK a) zz ; ;z2 = I B) z ;z2 = i , GDE | DEJSTWITELXNOE ^ISLO, I ZAMETITX, ^TO SOGLASNO PRAWILU UMNOVENIQ WEKTOROW PLOSKOSTI C (S. 5) WEKTORY z ; z1 I z ; z2 SOOTWETSTWENNO a) KOLLINEARNY I B) PERPENDIKULQRNY , A POTOMU ^ISLA z
15 IZOBRAVA@TSQ TO^KAMI SOOTWETSTWENNO a) PRQMOJ , PROHODQ]EJ ^EREZ TO^KI, IZOBRAVA@]IE ^ISLA z1 z2 (RIS. 5, a), I B) OKRUVNOSTI , DLQ KOTOROJ \TI TO^KI SLUVAT KONCAMI DIAMETRA (W OBOIH SLU^AQH, TO^KA, IZOBRAVA@]AQ ^ISLO z2 , ISKL@^AETSQ RIS. 5, B).
HAZWANIQ DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ RASPROSTRANQ@T I NA KOORDINATNYE OSI PLOSKOSTI C , NO S ZAPISX@ IH \LEMENTOW UVE NE x I y (KAK NA PLOSKOSTI R 2 ), a x I iy.
pEREHODU NA PLOSKOSTI R 2 OT DEKARTOWYH KOORDINAT x y K POLQRNYM r ' SOOTWETSTWUET NA PLOSKOSTI C ZAPISX KOMPLEKSNYH ^ISEL z = x + iy 6= 0 W POLQRNOJ , ILI TRIGONOMETRI^ESKOJ , FORME z = r (cos ' + i sin '), W KOTOROJ r = jzj ESTX MODULX KOMPLEKSNOGO ^ISLA z | DLINa IZOBRAVA@]EGO EGO WEKTORA, A ' = arg z | ARGUMENT 1 | WYRAVAEMAQ DLINOJ DUGI EDINI^NOJ OKRUVNOSTI2 WELI^INA UGLA , OBRAZUEMOGO \TIM WEKTOROM S DEJSTWITELXNOJ OSX@ . s^ITA@T, ^TO j0j = 0, TOGDA KAK NI ARGUMENT , NI POLQRNAQ FORMA ^ISLA 0 NE OPREDELENY . p; ; ; nAPRIMER, 2 cos ; 4 +2k +i sin ; 4 +2k (PRI L@BOM WYBORE CELOGO ^ISLA k) ESTX POLQRNAQ FORMA ^ISLA 1 ; i .3
nAPRQMU@ WYTEKA@]AQ IZ PRAWILA UMNOVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL ;(S. 5) FORMULA mU
AWRA4 n r(cos ' + i sin ') = rn(cos n' + i sin n')
tERMINY MODULX I ARGUMENT WWELI SOOTWETSTWENNO aRGAN (21], p. 122) I kOI (28], ser. II, t. II, p. 38). 2 wZQTOJ SO ZNAKOM \PL@S" ILI \MINUS" SOOTWETSTWENNO OTS^ETU EE \PROTIW" ILI \PO HODU ^ASOWOJ STRELKI" I WY^ISLQEMOJ S TO^NOSTX@ DO CELOGO ^ISLA OBOROTOW p ;. 3 rAWENSTWO 1;i = 2 cos ;i sin TAKVE WERNO, ODNAKO EGO PRAWAQ 4 4 ^ASTX NE QWLQETSQ POLQRNOJ FORMOJ ^ISLA 1 ; i. 4 de Moivre, Abraham (1687{1754) | FRANCUZSKIJ MATEMATIK. o TOM, KAKIM SLOVNYM PUTEM WYWEL ON (W 1730 G.) NAZWANNU@ EGO IMENEM FORMULU , MOVNO PRO^ITATX W 19] NA S. 329{330 (PRIME^ANIE K x133). 1
16
LEVIT W OSNOWE PRAKTI^ESKOGO IZWLE^ENIQ KORNEJ IZ NENULEWYH KOMPLEKSNYH ^ISEL . a IMENNO , ESLI a 6= 0 I a = jaj(cos + i sin ), TO SOOTNOp n ENIE a = z, PO OPREDELENI@ RAWNOSILXNOE zn = a, W ZAPISI z = r(cos ' + i sin ') OZNA^AET, ^TO rn(cos n' + i sin n') = jaj(cos + i sin ), OTKUDA SLEDUET: p r = n jaj (ARIFMETI^ESKIJ KORENX) A ' = n + 2 nk (k 2 Z). |TO WOZWRA]AET K WYSKAZANNOMU NA S. 7 UTWERVDENI@: dLQ L@BOGO KOMPLEKSNOGO ^ISLA a 6= 0 SU]ESTWUET ROWNO n p n KOMPLEKSNYH ZNA^ENIJ a . iZOBRAVENNYE TO^KAMI PLOSKOSTI C , ONI OBRAZU@T WERINY PRAWILXNOGO n - UGOLXNIp n KA, WPISANNOGO W OKRUVNOSTX RADIUSA jaj pS CENTROM W NA^ALE KOORDINAT.1 eDINSTWENNOE ZNA^ENIE n 0 ESTX 0. p p pRIMERY. nAJTI: a) 6 ;1 B) 1 ; i.
rIS. 6
p tAK KAK i 6 = ;1, ODNIM IZ ZNA^ENIJ 6 ;1 QWLQETSQ i. wSE VE ONI IZOBRAVA@TSQ WERINAMI PRAWILXNOGO ESTIUGOLXNIKA , WPISANNOGO 1 |TO POZWOLQET PO ODNOMU NAJDENNOMU ZNA^ENI@ p n a NAJTI I WSE OSTALXNYE.
17 p W EDINI^NU@ OKRUVNOSTX: i 23 2i (RIS. 6, a). FORME ^ISLA 1;i (S.1_ 5)pPOZWOLQET p ;K POLQRNOJ ; ; ; ZAKL@^ITX ; ; : p pEREHOD 1 ; i = 4 2 cos ; 8 + k + i sin ; 8 + k = 4 2 cos ; 8 + i sin ; 8 (RIS. 6, B). iZWLEKATX KWADRATNYJ KORENX MOVNO I NE PRIBEGAQ ( K POLQRNOJ 2 2 p FORME ^ISLA: ZAPISX 1 ; i = x+iy PRIWODIT K SISTEME x ; y =1 2 xy = ;1 (S DEJSTWITELXNYMI ;xqy), REENIE KOTOROJ POZWOLQET POLU^ITX ZNAp2+1 qp2;1 p ^ENIQ 1 ; i W WIDE 2 ; i 2 .
kOMPLEKSNYE ^ISLA x+iy I x;iy NAZYWA@T SOPRQVEN NYMI 1, OBOZNA^AQ IH z I z . nA PLOSKOSTI C KOMPLEKSNOE SOPRQVENIE ESTX ZERKALXNOE OTRAVENIE OTNOSITELXNO DEJSTWITELXNOJ OSI (KAK NA RIS. 3) W ^ASTNOSTI: z = z z w = z w zw = z w wz = wz , z z = jzj2 21 (z + z ) = Re z 21i (z ; z ) = Im z jz j = jzj, arg z = ; arg z (S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO, KRATNOGO 2). ~TO KASAETSQ NERAWENSTW | SOOTNOENIJ \BOLXE" I \MENXE", TO ONI DLQ KOMPLEKSNYH ^ISEL (NE QWLQ@]IHSQ DEJSTWITELXNYMI ) NE OPREDELENY. iME@T MESTO, ODNAKO, SLEDU@]IE NERAWENSTWA DLQ MODULEJ KOMPLEKSNYH ^ISEL, WYRAVA@]IE IZWESTNYE SOOTNOENIQ MEVDU DLINAMI STORON SOOTWETSTWENNO a) L@BOGO I B) PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA , I PO \TOJ PRI^INE NAZY: WAEMYE NERAWENSTWAMI TREUGOLXNIKA A) jz + wj 6 jzj + jwj jzj;jwj 6 jz ; wj B) jRe zj 6 jzj jIm zj 6 jzj jzj 6 jRe zj + jIm zj. gLAWNOE PRI SOPOSTAWLENII DEJSTWITELXNOJ I KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTEJ | \TO IH GEOMETRI^ESKOE SOWPADENIE I AL1
Expressions imaginaires conjuguees U kOI W 26].
18
GEBRAI^ESKOE RAZLI^IE : ESLI W PLOSKOSTI R 2 WEKTORY MOVNO UMNOVATX I DELITX TOLXKO NA DEJSTWITELXNYE ^ISLA , TO W PLOSKOSTI C IH MOVNO SWERH TOGO UMNOVaTX I DELITX DRUG NA DRUGA. gEOMETRI^ESKOE SOWPADENIE PLOSKOSTEJ C I R 2 POZWOLQET SDELATX SLEDU@]IE WYWODY. 1. oKRESTNOSTX TO^KI z0 = x0+iy0 2 C ESTX TO VE SAMOE, ^TO OKRESTNOSTX SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI (x0 y0) 2 R 2 .
w SILU SPECIFIKI ANALIZA NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI W OKRESTNOSTX TO^KI z0 2 C PREDPO^TITELXNEE NE WKL@^ATX SAMU \TU TO^KU (\TO UPRO]AET BOLXINSTWO FORMULIROWOK I POZWOLQET IZBAWITXSQ OT NE SLIKOM IZQ]NYH SLOWOSO^ETANIJ TIPA \PROKOLOTAQ OKRESTNOSTX" I \OKRESTNOSTX S WYKOLOTOJ TO^KOJ").
CHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI fzng = fxn + iyng TO^EK PLOSKOSTI C K TO^KE z0 = x0 + iy0 2 C , OBOZNA^AEMAQ fzng ! z0 ILI lim zn = ;z0 I WYRAVAEMAQ FORMULOJ 8"> 0 9n0 8n n > n0 ) jzn ; z0j 0 9n0 8n8k ;n > n0 ) jzn ;zn+k j 0 9 > 0 8z ;0 < jz ; z0j < =) jf (z) ;w0j 0 9 > 0 8z 2 E ^ z 2 E ^ jz ; j < =) =) jf (z) ; f ()j 0 9 > 0 8z 8 2 E ^ z 2 E ^ jz ; j < =) =) jf (z) ; f ()j 0 9n08n 8k;n > n0 ) jn+1 + +n+kj n;n0 , I PO\TOMU jcn0 jn0 > jcnjn. iZ POSLEDNEGO NERAWENSTWA SLEDUET , ^TO PRI n>n 0 ; n ; n n n n 0 jcn jjz j = jcn j jz j= 6 jcn0 j jz j= , +1 ; +1 A TAK KAK RQD P jz j= n SHODITSQ, TO SHODITSQ I RQD P jcn jjz jn , n=n0+1 n=n0+1 A WMESTE S NIM ISHODNYJ STEPENNOJ RQD. eSLI VE jz j > r, TO IZ TOGO, ^TO n!lim+1 jcjnc;n j1 j = r, SLEDUET, ^TO DLQ WSEH n, BOLXIH NEKOTOROGO n0 , WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO jcjnc;nj1 j < jz j , A SLEDOWATELXNO, jcn j jcn +1j jcn;1j jcn0+10 j jcn00+2j jcnj < jzjn;n0 , I PO\TOMU jcn0 jjzjn0 < jcnjjzjn. +1
w SILU POSLEDNEGO NERAWENSTWA cn z n 9 0, T. E. DLQ RQDA P cn z n NE n=0 WYPOLNENO NEOBHODIMOE USLOWIE EGO SHODIMOSTI. Q.E.D. 1 pRI r =0 \TOT \KRUG" PUST , A PRI r =+1 ESTX WSQ PLOSKOSTX C . 2 tAKVE PRIWODIMOJ kOI W 26] (Chap. IX, p. 286{287). 3 |TOT PREDEL NE WSEGDA SU]ESTWUET, TOGDA KAK WERHNIJ PREDEL POp SLEDOWATELXNOSTI n jcn j SU]ESTWUET WSEGDA.
29
oPREDELQ@]U@ ROLX W ANALIZE NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI IGRA@T (KROME STEPENNYH ) OBOB]ENNYE STEPENNYE RQDY +P 1 +P 1 +P 1 cn(z ; z0 )n def = cn(z ; z0 )n + c;n(z ; z0 );n, n=;1 n=0 n=1 SOSTAWLENNYE, KAK SLEDUET IZ \TOJ ZAPISI, IZ DWUH RQDOW, PERWYJ IZ KOTORYH STEPENNOJ (PO STEPENQM z ;z0 ) S KRUGOM ;1 p SHODIMOSTI z 2 C : jz;z0 j r2 \TO \KOLXCO" PUSTO . 1 2
30
rIS. 8
dOKAZATELXSTWO. COWPADENIe RADIUSOW SHODIMOSTI 1 STE+P 1 +P 1 PENNYH RQDOW cnzn I cnnzn;1 ESTX SLEDSTWIE TOGO, ^TO n=1 n=1 WTOROJ IZ NIH SHODITSQ ILI RASHODITSQ WMESTE SO STEPENNYM +P 1 p p RQDOM cnnzn, A POSLEDOWATELXNOSTI n jcnj I n jncnj n=1 IME@T ODNI I TE VE PREDELXNYE TO^KI.
eSLI | PREDELXNAQ TO^KAnPERWOJ IZ NIH, T. E. PREDEL NEKOTO 1o n j ROJ EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI cnj , TO (TAK KAK n!lim+1n n1 = 1) 1 1 lim nj cnj nj = limcnj nj = , T. E. QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ I WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI. nAOBOROT, ESLI | PREDELXNAQ TO^KA WTOROJ POSLEDOWATELXNOSTI , T. E. PREDEL NEKOTOROJ EE PODPOSLEDOWA n 1 1o 1 1 ; n TELXNOSTI nk cnk nk , TO lim cnk nk = lim nk k nk cnk nk = , T. E. QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ PERWOJ POSLEDOWATELXNOSTI. 1
lIX \TU ^ASTX TEOREMY S^EL NEOBHODIMYM DOKAZYWATX kOI W
28], ser. II, t. XIII, p. 441{442.
31
rIS. 9 +P 1 pUSTX r | RADIUS SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA cnzn n=0 I z | L@BAQ TO^KA EGO KRUGA SHODIMOSTI , T. E. jzj 0, SU]ESTWUET TAKOE NATURALXNOE ^ISLO n0, ^TO 1 +P n;1 +(z +Mz )n;2 z + + (z +Mz )z n;2 + z n;1 6 c ( z + M z ) n n=n0 +1 6 P jcnjnn;1 k. j =1 |TO NERAWENSTWO W SO^ETANII S TEM, ^TO DLQ DOSTATO^NO BOLXIH n KAVDAQ IZk WELI^IN ja j : : : janj OKAZYWA+P 1 ;1 n;k+1 ETSQ MENXEJ ^ISLA " 2 jbj j , POZWOLQET ZAKL@^ITX: j =1
ja1jjbnj + + jan;kj j;bk+1j+ +jbnj+ ; +jan;k+1j jbkj+ +jbnj + + janj jb1j+ +jbnj < ; ;; +1 ; +1 < ja1j+ +jan;k j " 2 P jaj j + " 2 P jbj j jb1j+ +jbnj k. (eSLI BY PODSTAWn=1 LQEMYJ RQD SODERVAL NULEWU@ STEPENX z , TO W HODE WNENEGO SUMMIROWANIQ KO\FFICIENT PRI z k IZMENQLSQ BY S KAVDYM NOWYM SLAGAEMYM, I REZULXTAT PODSTANOWKI TAKOGO RQDA W RQD BYL BY NE OPREDELEN .) + 1 P sUMMA a(z ) STEPENNOGO RQDA an z n OPREDELENA I NEPRERYWNA (POn=1 SKOLXKU IMEET PROIZWODNU@ ) W KRUGE jz j < ra , PRI \TOM (TAK KAK a(0) = 0) SU]ESTWUET ^ISLO > 0 SO SWOJSTWOM: ja(z )j 0. tAK KAK STEPENNOJ RQD bn z IMEET TOT VE RADIUS SHOn=1 DIMOSTI r > 0 I NE SODERVIT NULEWOJ STEPENI z , A STEPENNOJ RQD 1 ; + 2 ; 3 + SHODITSQ PRI j j < 1 K (1+ );1, MOVNO PRIMENITX TEOREMU O PODSTANOWKE STEPENNOGO RQDA W STEPENNOJ RQD. a IMENNO, +1 ESLI STEPENNOJ RQD P bn z n PODSTAWITX (WMESTO ) W TOVDESTWO n=1 ; ; 1 + 1 ; + 2 ; 3 + 1 (WYPOLNQ@]EESQ PRI j j < 1), TO REZULXTATOM OKAVETSQ TOVDESTWO + 1 n +P 1 n +P 1 n2 +P1 n3 P bn z 1 ; bn z + bn z ; bn z + 1 ;
n=0
n=1
n=1
n=1
1 +P
bn z n < 1 ,
SPRAWEDLIWOE DLQ WSEH z c NASTOLXKO MALYM jz j, ^TO n=1 W KOTOROM WTOROJ SOMNOVITELX ESTX (W SILU UPOMQNUTOJ TEOREMY) STEPENNOJ RQD S NENULEWYM RADIUSOM SHODIMOSTI. kAK SLEDSTWIE, \TOT WTOROJ SOMNOVITELX , T. E. STEPENNOJ RQD +1 2 + 1 n + 1 + 1 n3 P P P P cn z = 1 ; bn z n + bn z n ; bn z + : : : , n=0 n=1 n=1 n=1 I ESTX TREBUEMYJ REZULXTAT DELENIQ STEPENNOGO RQDA 1+0z +0z 2+ : : : +1 +1 NA STEPENNOJ RQD P bn z n = 1 + P bn z n. Q.E.D. n=0
n=1
41
tEOREMA aBELQ.1 pUSTX ^ISLOWOJ RQD + 1 P
+ 1 P
n=0
cn SHODITSQ . tOGDA + 1 P
+ 1 P
cn z n SHODITSQ PRI jz j < 1 I zlim c z n = cn !1 n=0 n n=0 n=0 jzj 0 WYRAVAET PLO]ADX POD GIPERBOLOJ ). 2 zDESX ln jz j | OBY^NYJ (DEJSTWITELXNYJ) LOGARIFM POLOVITELXNOGO ^ISLA jz j.
44
45
sOPOSTAWLENIE z 7! Ln z OPREDELQET PO\TOMU MNOGOZNA^NU@ FUNKCI@ 1 NA MNOVESTWE C rf0g, SOOTNOSQ]U@ KAVDOMU NENULEWOMU KOMPLEKSNOMU ^ISLU z BESKONE^NOE MNOVESTWO Ln z ZNA^ENIJ EGO LOGARIFMA 2 S OBOZNA^ENIEM ln z KAKOGO-TO ODNOGO IZ \TIH ZNA^ENIJ. fORMULXNO SWQZX LOGARIFMI^ESKOJ I \KSPONENCIALXNOJ FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ WYRAVA@T RAWENSTWA: exp(ln z ) = z DLQ L@BOGO NENULEWOGO z 2 C Ln(exp w) = w + i 2 k k 2 Z 3 DLQ L@BOGO w 2 C ln(exp w)= w + i 2 k k 2 Z 4 DLQ L@BOGO w 2 C .
w ZAPISI w = u + iv MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = Ln z PREDSTAWLQET SOBOJ LINEJNU@ KOMBINACI@ DWUH DEJSTWITELXNYH FUNKCII: u = ln jzj (ODNOZNA^NOJ ) I v = Arg z (MNOGOZNA^NOJ ). mNOGOZNA^NOSTX LOGARIFMA PO\TOMU NAPRQMU@ SWQZANA S MNOGOZNA^NOSTX@ ARGUMENTA . zAPISX SIMWOLOW Arg z Ln z (I DRUGIH MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ ) c ZAGLAWNOJ BUKWY SLUVIT UKAZU@]IM PRIZNAKOM IH MNOGOZNA^NOSTI . zAPISX VE arg z I ln z PODRAZUMEWAET PRI \TOM WYBOR IZ MNOVESTW Arg z I Ln z WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA I LOGARIFMA PEREMENNOJ z KAKIH-TO IH KONKRETNYH ZNA^ENIJ. tAK KAK Ln z = ln jzj + i Arg z, WYBOR ZNA^ENIQ arg z 2 Arg z ODNOWREMENNO OPREDELQeT SOOTWETSTWU@]EE ZNA^ENIE ln z = ln jzj + i arg z 2 Ln z.
w OPREDELENII |JLERA (19], x 9, S. 33) \MNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ TA, KOTORAQ PRI PODSTANOWKE WMESTO PEREMENNOGO ODNOGO KAKOGO UGODNO OPREDELENNOGO ZNA^ENIQ POLU^AET NESKOLXKO OPREDELENNYH ZNA^ENIJ". 2 zAPISX W = Ln z (WMESTO w = Ln z ) BYLA BY W \TOM SMYSLE BOLEE UMESTNA, ODNAKO ONA NE POLU^ILA RASPROSTRANENIQ . 3 pRAWILXNEE Ln(exp w ) = w + i 2 k : k 2 Z (\TO MNOVESTWO KOMPLEKSNYH ^ISEL). 4 w \TOM RAWENSTWE (W OTLI^IE OT PREDYDU]EGO) k ESTX KONKRETNOE CELOE ^ISLO, ZAWISQ]EE OT WYBORA ZNA^ENIQ ln(exp w) 2 Ln(exp w). 1
46
s U^ETOM \TOGO SOGLAENIQ IZ PRAWILA PEREMNOVENIQ KOMPLEKSNYH ^ISEL (I, c. 5) WYTEKAET WYPOLNENIE DLQ NENULEWYH z 2 C SOOTNOENIQ Arg (z )=Arg z+Arg 1 NAPROTIW, ^ISLOWOE RAWENSTWO arg(z )=arg z +arg SPRAWEDLIWO LIX S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO , KRATNOGO 2 . kAK SLEDSTWIE, SPRAWEDLIWY SOOTNOENIQ Ln(z ) = Ln z + Ln (W SMYSLE SOWPADENIQ MNOVESTW ) I ln(z ) = ln z +ln (PL@S SLAGAEMOE , KRATNOE 2 i). w KA^ESTWE ILL@STRACII MOVNO OTMETITX, ^TO 2Ln z Ln z 2, ODNAKO 2Ln z 6= Ln z 2 . |TO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO \LEMENTAMI MNOVESTWA 2Ln z QWLQ@TSQ ^ISLA 2 ln jz j + i (2 arg z +4k) k 2 Z, W TO WREMQ KAK MNOVESTWO Ln z 2 SOSTOIT IZ ^ISEL 2 ln jz j + i (2 arg z +2k) k 2 Z.
nAGLQDNO PREDSTAWITX DEJSTWIE MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =Ln z (A TAKVE OBRATNOJ K NEJ FUNKCII z = ew ) MOVNO NA DWUH \KZEMPLQRAH KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI : C z PEREMENNOJ z I C w PEREMENNOJ w = u + iv (RIS. 10). w ^ASTNOSTI: a) LU^ , WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM K DEJSTWITELXNOJ OSI 2 PRI OTOBRAVENII w = Ln z PEREHODIT W BESKONE^NYJ NABOR RAWNOOTSTOQ]IH GORIZONTALXNYH PRQMYH v = + 2 k k = 0 1 2 : : : , PRI WZAIMNO ODNOZNA^NOM SOOTWETSTWII MEVDU TO^KAMI LU^A I KAVDOJ OTDELXNO WZQTOJ PRQMOJ OBRATNOE OTOBRAVENIE z = ew WSE \TI PRQMYE PEREWODIT W UKAZANNYJ LU^ B) UGoL MEVDU DWUMQ TAKIMI LU^AMI (SOSTAWLENNYJ IZ PROMEVUTO^NYH LU^EJ ) PRI OTOBRAVENII w = Ln z PEREHODIT W NABOR PARALLELXNYH POLOS (IRINA KAVDOJ RAWNA RASTWORU UGLA ) OBRATNYM OTOBRAVENIEM z = ew KAVDAQ TAKAQ POLOSA (MYSLIMAQ SOSTAWLENNOJ IZ PARALLELXNYH PRQMYH ) pONIMAEMOGO KAK SOWPADENIE MNOVESTWA Arg (z ) WSEH ZNA^ENIJ ARGUMENTA ^ISLA z I MNOVESTWA Arg z+Arg SUMM WZQTYH PO ODNOMU WSEWOZMOVNYH ZNA^ENIJ ARGUMENTA ^ISLA z I ARGUMENTA ^ISLA . 2 tO^KI \TOGO LU^A IME@T WID z = r (cos + i sin ) 0 0 (I ; = exp b ln a WKUPE S SOOTNOENIarg a = 0) TOLXKO OPREDELENIE ab def QMI exp(a + b) = (exp a)(exp b) (II, c. 36) I exp 0 = 1 POZWOLQET DATX KOROTKIJ I WNQTNYJ WYWODOSNOWNYH SWOJSTW STEPENI : ; ; ; ab+c =exp (b + c) ln a =exp b ln a + exp c ln a = ab + ac ; b c ; ; ; a =exp c ln ab =exp c ln exp(b ln a) =exp cb ln a = abc ; ; exp(b ln a) exp 0 = 1 . = exp( a;b =exp ;b ln a =exp ;b ln a exp( b ln a ) b ln a) ab ; a0 =exp 0 ln a =1. gLQDQ NA TO, KAK AKKURATNO DELAET \TO NA S. 142 {146 SWOEGO U^EBNIKA 29] UVE UPOMINAWIJSQ (II, S. 36) DA kUNXQ, MOVNO LIX PORAVATXSQ, NASKOLXKO \TOT PORTUGALXSKIJ MATEMATIK, VIWIJ W XVIII W. I PREPODAWAWIJ W UNIWERSITETE G. kOIMBRA, WYIGRYWAET W SRAWNENII S NYNENIMI WUZOWSKIMI PROPAGANDISTAMI MATEMATI^ESKIH ZNANIJ. bOLXINSTWO IZ NIH, DOJDQ W SWOIH LEKCIQH (ILI U^EBNIKAH) DO OPREDELENIQ I SWOJSTW STEPENI S L@BYM POKAZATELEM, LIBO OTSYLA@T ZA NIMI W SREDN@@ KOLU (WARIANT: OBHODQTSQ BEZ OPREDELENIQ , A SWOJSTWA \WYNIMA@T IZ RUKAWA"), LIBO WYSTUPA@T S PROGRAMMOJ: \SNA^ALA OPREDELIM STEPENX ^ISLA S RACIONALXNYM POKAZATELEM, ZATEM, USTANOWIW EE SWOJSTWA, PEREJDEM K SLU^A@ L@BOGO POKAZATELQ etc.", KAKOWU@ PROGRAMMU TUT VE SWORA^IWA@T ILI PROWALIWA@T.
mNOGOZNA^NOSTX LOGARIFMA | GLAWNAQ PRI^INA IROKOGO RASPROSTRANENIQ QWLENIQ MNOGOZNA^NOSTI SREDI FUNK-
dANNOE OB]EE OPREDELENIE STEPENI IMEET EDINSTWENNOE ISKL@+ 1 zn P , A NE KAK ^ENIE: ez WSEGDA PONIMA@T IMENNO KAK exp z def = n=0 n! ; ; exp z Ln e =exp z (1+ i 2 k) =exp z exp(i 2 kz ) k 2 Z . 1
51
CIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, W ^ASTNOSTI, TEH IZ NIH, KOTORYE PRINQTO NAZYWATX \LEMENTARNYMI . k \LEMENTARNYM FUNKCIQM 1 KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ OTNOSQT2 TE I TOLXKO TE , FORMULXNYE WYRAVENIQ KOTORYH (^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY ) MOVNO POLU^ITX, KOMBINIRUQ (W KONE^NOM ^ISLE ) DEJSTWIQ SLOVENIQ , WY^ITANIQ , UMNOVENIQ , DELENIQ , WZQTIQ \KSPONENTY I LOGARIFMA .
|LEMENTARNYMI , K PRIMERU, QWLQ@TSQ ODNOZNA^NYE FUNKCII iz ;iz a) w = z 3 B) w = 21 z + z1 W) w = cos z = e +2e , A TAKVE OBRATNYE MNOGOZNA^NYMI : ; p ; ; K NIM, OKAZYWA@]IESQ p 1 1 2 k a 0) z = 3 w = exp 3 Ln w = exp 3 (ln w+i 2k) = 3 w cosp3 +i sin 2k 3 (PONIMATX \TO SLEDUET W TOM SMYSLE, ^TO WSE ZNA^ENIQ 3 w QWLQ@TSQ REZULXTATAMI UMNOVENIQ KAKOGO -TO ODNOGO IZ NIH, OBOZNA^AEMOGO TEM VE SIMWOLOM p3 w , NA WSEWOZMOVNYE KORNI 3-J STEPENI IZ ;1) p B 0) z = w + w2 ; 1 = w + exp 12 Ln (w2 ; 1) = ; ; p p = w + exp 21 ln(w2 ; 1)+ i 2k = w + w2 ; 1 eik = w w2 ; 1 p (W PERWOM RAWENSTWE PODRAZUMEWA@TSQ WSE ZNA^ENIQ w2 ; 1, a W DWUH POSLEDNIH | KAKOE-TO ODNO IZ NIH) iz ;iz def W 0) z = Arccos w () w = e +2e () e2iz ; 2weiz + 1 = 0 () p p ; () eiz = w + w2 ; 1 () z = ;i Ln w + w2 ; 1 W ^ASTNOSTI, DLQ DEJSTWITELXNYH p 2 ZNA^ENIJ wp= 2u 2 ; 1 1] (RIS. 13) ; Arccos w = ;i ln jw + w ; 1j + i Arg (w + w ; 1) = p p = ;i ln ju i 1 ; u2j + Arg (u i 1 ; u2) = = arccos u + 2k k = 0 1 2 : : : , GDE arccos u | OBY^NYJ (\KOLXNYJ") ARKKOSINUS ^ISLA u 2 ;1 1].
dLQ \LEMENTARNYH FUNKCIJ PRINQTA SLEDU@]AQ DOPOLNITELXNAQ KLASSIFIKACIQ.
iME@TSQ W WIDU QWNO ZADANNYE FUNKCII w = f (z). wSLED ZA kOI (28], ser. II, t. X, p. 19) I ANGLIJSKIM MATEMATIKOM gARDI (TO^NEE, hARDI Hardy, Godfrey Harold, 1877{1947 2] S. 7). 1 2
52
rIS. 13
rACIONALXNYMI1 FUNKCIQMI NAZYWA@T TE, KOTORYE WYRAVA@TSQ ^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY KONE^NYM ^ISLOM OPERACIJ SLOVENIQ , WY^ITANIQ , UMNOVENIQ I DELENIQ . l@BAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ PREDSTAWLQET SOBOJ LIBO MNOGO^LEN w = a0 zn + a1 zn;1 + + an (S DEJSTWITELXNYMI ILI MNIMYMI KO\FFICIENTAMI) | \TO TAK NAZYWAEMYE CELYE RACIONALXNYE FUNKCII , LIBO OTNOENIE MNOGOn n ; 1 + +a a z + a z ^LENOW : w = b00zm+b11zm;1+ +bmn . pRIMERAMI RACIONALXNYH FUNKCIJ QWLQ@TSQ LINEJNYE az +b FUNKCII . w = az + b I DROBNO - LINEJNYE w = cz +d aLGEBRAI^ESKIMI 2 FUNKCIQMI (ZADANNYMI QWNO ) S^ITA@TSQ TE, KOTORYE MOVNO WYRAZITX ^EREZ PEREMENNU@ I 1 lAT. ratio | S^ET, OTNOENIE, RAZUM. 2
vIWIJ W VIII{IX WW. MATEMATIK I ASTRONOM mOHAMMED BEN mUSA ALX -hOREZMI (T. E. IZ hIWY ), PRIGLAENNYJ W ^ISLE DRUGIH U^ENYH W bAGDAD EGO PRAWITELEM | SYNOM LEGENDARNOGO (\tYSQ^A I ODNA NO^X") gARUN ALX -rAIDA, NAPISAL RUKOWODSTWO PO REENI@ URAWNENIJ, W NAZWANII KOTOROGO | \kITAB ALX -DVABR WALX MUKABALA" | \ALX -DVABR" OBOZNA^AET OPERACI@ USTRANENIQ WY^ITAEMOGO PUTEM EGO PRIBAWLENIQ K OBEIM ^ASTQM URAWNENIQ. oBOGATIW W REZULXTATE MIR TERMINOM \ALGEBRA", \TOT AWTOR ODARIL EGO E]E I SLOWOM \ALGORITM": Algorothmi ESTX LATINSKAQ TRANSKRIPCIQ EGO IMENI ALX -hOREZMI .
53
KONSTANTY KONE^NYM ^ISLOM OPERACIJ SLOVENIQ , WY^ITANIQ , UMNOVENIQ , DELENIQ I IZWLE^ENIQ KORNEJ 1. w ^ASTNOSTI, L@BAQ RACIONALXNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ .
wOOB]E ALGEBRAI^ESKIMI FUNKCIQMI NAZYWA@T REENIQ w ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ p0 (z ) wk + p1 (z ) wk;1 + + pk;1 (z ) w + pk (z ) = 0 (S MNOGO^LENAMI W KA^ESTWE KO\FFICIENTOW ). zAPISX LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ PO STEPENQM z POKAZYWAET, ^TO FUNKCIQ, OBRATNAQ K ALGEBRAI^ESKOJ, SAMA QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ . uRAWNENIQM, RAZREIMYM W RADIKALAH 2, SOOTWETSTWU@T QWNYE , T._E. PREDSTAWIMYE W WIDE w = w(z ), ALGEBRAI^ESKIE FUNKCII , A NERAZREIMYM (TAKOWYE ESTX SREDI URAWNENIJ, NA^INAQ S 5-J STEPENI) | NEQWNYE . wOPROS O RAZREIMOSTI W RADIKALAH ALGEBRAI^ESKIH URAWNeNIJ STAL OTPRAWNOJ TO^KOJ TAK NAZYWAEMOJ TEORII gALUA 3. nEQWNYE ALGEBRAI^ESKIE FUNKCII NARAWNE S QWNYMI OTNOSQT K \LEMENTARNYM . ALGEBRAI^ESKIM FUNKCIQM (KOTORYE NE QWLQ@TSQ RACIONALXNYMI ) SWOJSTWENNA MNOGOZNA^NOSTX , PRI \TOM KAVDOMU ZNA^ENI@ PEREMENNOJ z MOVET SOOTWETSTWOWATX LIX KONE^NOE MNOVESTWO ZNA^ENIJ w ALGEBRAI^ESKOJ FUNKCII .
tRANSCENDENTNYMI 4 NAZYWA@T FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ ALGEBRAI^ESKIMI . pROSTEJIE SREDI \LEMENTARNYH TRANSCENDENTNYH FUNKCIJ | \TO \KSPONENTA I LOGARIFM .
dOKAZATELXSTWO TRANSCENDENTNOSTI (\NEALGEBRAI^NOSTI") FUNKCIJ w = ez I w = ln z MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W NEBOLXOJ KNIVKE g. gARDI 2]. wAVNEJIMI SREDI OB]IH SWOJSTW PERE^ISLENNYH KLASSOW FUNKCIJ QWLQ@TSQ SLEDU@]IE: 1 tO, ^TO IZWLE^ENIE KORNEJ NE SWODITSQ K ^ETYReM OSNOWNYM DEJSTWIQM , WYTEKAET IZ SU]ESTWOWANIQ IRRACIONALXNYH ^ISEL . 2 pOSREDSTWOM KOMBINACIJ (W KONE^NOM ^ISLE) ^ETYREH OSNOWNYH DEJSTWIJ I IZWLE^ENIQ KORNEJ . 3 gALU A (Galois, Evarist, 1811{1832) | TEMPERAMENTNYJ FRANCUZ, W 20 LET UBITYJ NA DU\LI, NO USPEWIJ IZMENITX HOD RAZWITIQ ALGEBRY I E]E POIZU^ATX INTEGRALY OT ALGEBRAI^ESKIH FUNKCIJ . 4 lAT. transcendo | WYHODITX ZA PREDELY .
54 A) PROIZWODNAQ FUNKCII, QWLQ@]EJSQ \LEMENTARNOJ (SOOTWETSTWENNO, RACIONALXNOJ, ALGEBRAI^ESKOJ ), WSEGDA ESTX FUNKCIQ \LEMENTARNAQ (SOOTWETSTWENNO, RACIONALXNAQ , ALGEBRAI^ESKAQ ) B) PERWOOBRAZNAQ PO OTNOENI@ K RACIONALXNOJ FUNKCII WSEGDA ESTX FUNKCIQ \LEMENTARNAQ W) PERWOOBRAZNAQ PO OTNOENI@ K ALGEBRAI^ESKOJ FUNKCII MOVET BYTX KAK \LEMENTARNOJ , TAK I NE\LEMENTARNOJ G) PERWOOBRAZNAQ PO OTNOENI@ K \LEMENTARNOJ TRANSCENDENTNOJ FUNKCII \KAK PRAWILO" NE QWLQETSQ \LEMENTARNOJ FUNKCIEJ. dOWODAMI W POLXZU PERWYH DWUH IZ \TIH UTWERVDENIJ SLUVAT OB]EIZWESTNYE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ I INTEGRIROWANIQ . oBOSNOWANIE UTWERVDENIJ W) I G) PRIWEDENO W UVE UPOMINAWEJSQ KNIVKE g. gARDI 2]. oSNOWNYe POSTAW]IKI NE\LEMENTARNYH FUNKCIJ | DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ I \NEBERU]IESQ" INTEGRALY . nEKOTORYE IZ NE\LEMENTARNYH FUNKCIJ IME@T SWOI NAZWANIQ I OB_EDINENY TERMINOM SPECIALXNYE FUNKCII (SREDI NIH NAIBOLEE NA SLUHU: INTEGRALXNYE SINUS I LOGARIFM , INTEGRAL WEROQTNOSTI , GAMMA- I BETA-FUNKCII , FUNKCII bESSELQ I lEVANDRA ).
pROILL@STRIROWATX TERMINOLOGI@ MOVNO NA PRIMERE STEPENNOJ FUNKCII w = za (S KOMPLEKSNYM POKAZATELEM a), OPREDELQEMOJ (DLQ PEREMENNOJ z 2 C z 6= 0) SOOTNOENIEM za = exp(a Ln z) (S U^ETOM WSEH ZNA^ENIJ LOGARIFMA ). 1. pUSTX POKAZATELX a ESTX NATURALXNOE ^ISLO (a = n). tAK KAK DLQ L@BOGO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ ln z 2 Ln z n z }| { ; exp(n ln z) = exp ln z + +ln z = ;z
n
}| ;
{
n
= exp(ln z) exp(ln z) = z z = zn , WELI^INA zn def = exp(n Ln z) IMEET EDINSTWENNOE ZNA^ENIE, SOWPADA@]EE S OBY^NYM PONIMANIEM zn KAK PROIZWEDENIQ n SOMNOVITELEJ, RAWNYH z. tAKIM OBRAZOM, STEPENNAQ FUNKCIQ w = zn S NATURALXNYM POKAZATELEM n QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ I PRI \TOM CELOJ RACIONALXNOJ . z }| {
55 2. pUSTX a ESTX CELOE OTRICATELXNOE ^ISLO (a = ;n). kAKOW BY NI BYL WYBOR KONKRETNOGO ZNA^ENIQ ln z 2 Ln z, n ln z ) exp 0 1 za = exp(;n ln z) = exp(;n ln z) exp( exp(n ln z ) = exp(n ln z ) = z n ; T. E. OPREDELENIE z;n = exp(;n ln z) SOGLASUETSQ S OBY^NYM, T. E. z;n =1=zn , W SILU ^EGO STEPENNAQ FUNKCIQ w = z;n (S CELYM OTRICATELXNYM POKAZATELEM) QWLQETSQ ODNOZNA^NOJ I RACIONALXNOJ (NO NE CELOJ RACIONALXNOJ ). ; 3. eSLI a ESTX RACIONALXNOE ^ISLO a = m n , TO ; an ; ; z = exp n Ln za = exp n Lnexp(a Ln z)] = ; ; = exp n (a Ln z + i 2k) = exp m Ln z = zm , W SILU ^EGO STEPENNAQ FUNKCIQ w = za PRI a = mn UDOWLETWORQET URAWNENI@ wn ;zm =0 ILI wnzm ;1=0 I POTOMU QWLQETSQ ALGEBRAI^ESKOJ . iZ cOOTNOENIJ VE ; ; ; exp a Ln z = exp a (ln z + i 2 k) = exp a ln z exp i 2nkm SLEDUET, ^TO DLQ POLU^ENIQ WSEH ZNA^ENIJ za = exp(a Ln z) DOSTATO^NO WZQTX KAKOE-LIBO ODNO IZ NIH za = exp(a ln z) I 2m UMNOVATX EGO NA CELYE STEPENI ^ISLA cos 2m n + i sin n . tAK KAK RAZLI^NYH SREDI NIH (ESLI DROBX mn NESOKRATIMA ) ROWNO n , STEPENNAQ FUNKCIQ w = za S NECELYM RACIONALXm NYM POKAZATELEM a = n QWLQETSQ n -ZNA^NOJ . ; pRI a = n1 NABOR n ZNA^ENIJ z n1 def = exp n1 Ln z SOWPADAET S NABOROM WSEH KORNEJ n-J STEPENI IZ z , T. E. z n1 = pn pz DLQ WSEH z 6= 0. rAZLI^IE SOSTOIT W TOM, ^TO ZAPISX w = n z (W 1 OTLI^IE OT w = z n ) DOPUSKAET TAKVE PODSTANOWKU OSOBYH p p n n ZNA^ENIJ z = 0 I z = 1 : 0=0, 1 = 1. 4. wO WSEH PRO^IH SLU^AQH, T. E. KOGDA a ESTX DEJSTWITELXNOE IRRACIONALXNOE ILI MNIMOE ^ISLO, STEPENNAQ
56
FUNKCIQ w = za QWLQETSQ TRANSCENDENTNOJ I K TOMU VE BESKONE^NOZNA^NOJ POSLEDNEE WYTEKAET IZ SOOTNOENIJ ; ; za = exp a Ln z = exp a (ln z + i 2k) = = exp(a ln z) exp(i 2ka) k = 0 1 2 : : : , S U^ETOM TOGO, ^TO WSE ^ISLA exp(i 2ka) k = 0 1 2 : : : , OKAZYWA@TSQ RAZLI^NYMI . eSLI a | DEJSTWITELXNOE IRRACIONALXNOE ^ISLO, TO DLQ L@BYH CELYH k1 6= k2 ^ISLO (k1;k2 ) a NE QWLQETSQ CELYM , A POTOMU WSE WEKTORY exp(i 2ka) k 2 Z , POPARNO OBRAZU@T UGLY, NE KRATNYE 2, T. E. IME@T RAZNYE NAPRAWLENIQ . ; eSLI a | MNIMOE ^ISLO Im a 6= 0 , TO W SILU SOOTNOENIJ ; ; exp(i 2ka) = exp Re(i 2ka) = exp (;Im a)2k WSE WEKTORY exp(i 2ka) k 2 Z , IME@T RAZNYE DLINY .
oTOBRAVENIQ , OSU]ESTWLQEMYE PROSTEJIMI STEPENNYMI FUNKCIQMI w = z2 I w = z;1 , PROILL@STRIROWANY NA RIS. 14. w ^ASTNOSTI: a) LU^ , WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM (K DEJSTWITELXNOJ OSI) B) DUGA OKRUVNOSTI RADIUSA r S CENTROM z =0 W) OTREZKI (PARALLELXNYE OSQM KOORDINAT), SOEDINQ@]IE TO^KU z =1 ; i S TO^KAMI z = ;i I z =1, WZAIMNO-ODNOZNA^NO PEREWODQTSQ FUNKCIEJ w = z2 W a 0) LU^ , WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM 2 B 0)1 DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA r2 S CENTROM w =0 W 0) OTREZKI PARABOL u = 41 v2 ; 1 2 I u =1 ; 14 v2, w PREDPOLOVENII, ^TO ISHODNAQ DUGA BYLA RASTWOROM, MENXIM . dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO TO^KI z = x ; i (0 6 x 6 1, PEREHODQT W 2 TO^KI w = x2 ; 1 ; i 2x, ILI (W ZAPISI w = u+iv ) uv == ;x2;x1 0 6 x 6 1, ^TO POSLE ISKL@^ENIQ x DAET u = 41 v2 ; 1 ;2 6 v 6 0. 1 2
57
58
A FUNKCIEJ w = z;1 SOOTWETSTWENNO W a 00) LU^ 1, WYHODQ]IJ IZ NA^ALA KOORDINAT POD UGLOM ; B 00) DUGU OKRUVNOSTI RADIUSA r;1 S CENTROM w; =0 00) DUGI (TO^NEE, ^ETWERTI) OKRUVNOSTEJ u2+ v;12 2= 41 2 W ; I u;12 2+ v2 = 14 . uPRAVNENIQ. 1. rEITX URAWNENIE (z + i)n + (z ; i)n = 0. (oTWET: z = ctg +2n k k = 0 1 : : : n ; 1.) q
y ; cos 2x 2. pROWERITX, ^TO j tg z j = ch2 ch2y + cos 2x z = x + iy . 3. nAJTI NEDOSTATOK W WYWODE |JLERA (WOSPROIZWEDENNOM NA c. 44) FORMULY LOGARIFMA KOMPLEKSNOGO ^ISLA. 4. dOKAZATX, ^TO iz A) Arctg z = 21i Ln 1+ 1;iz z 6= i B) WSE ZNA^ENIQ Arctg z QWLQ@TSQ DEJSTWITELXNYMI ^ISLAMI W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA z | DEJSTWITELXNOE ^ISLO ix W) Arctg x = 12 Arg 11+ ;ix I Arctg x = arctg x + k k 2 Z DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO x. 5. nAJTI OBRAZY PRQMOUGOLXNIKA S WERINAMI 1 1+i PRI OTOBRAVENII FUNKCIQMI: A) w = z 2 , B) w = z ;1, W) w = jz j, G) w = Arg z , p D) w = z. 6. wO ^TO FUNKCIQ w = z 2 PEREWODIT WETWI GIPERBOL x2 ; y2 = 1 I xy = 1, A DWUHZNA^NAQ FUNKCIQ w = pz | PRQMYE Re z = 1 I Im z = 1?
oBHODIMYJ W NAPRAWLENII, PROTIWOPOLOVNOM OBHODU ISHODNOGO LU^A . 2 dOSTATO^NO ZAMETITX, ^TO TO^KI z = x ; i 0 6 x 6 1, PEREHODQT 8 arctg xy (+2 k) ESLI x> 0 > > > <arcctg x (+2 k ) ESLI y> 0 y arg z = arg(x + iy) = > y (+2 k) ESLI x< 0 1 arctg > x > > :arcctg x (+2 k ) ESLI y< 0 1 y LIBO, POLAGAQ ODNIM IZ ZNA^ENIJ arg z0 , SOWERITX POWOROT PLOSKOSTI C NA UGOL ;, POLAGAQ ze = xe+i ye = ze;i =(x+iy)(cos ;i sin ), I PRIJTI K FORMULE ;x sin arg z = arctg xyee + = arctg xy cos cos +y sin + (+2 k ), SPRAWEDLIWOJ W POLUPLOSKOSTI fz = x + iy : Re(ze;i) > 0g (RIS. 17).
rIS. 17
zADA^A WYDELENIQ ODNOZNA^NYH WETWEJ ' = arg(z ; z0) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII ' = Arg(z ; z0) REAETSQ TO^NO TAK
wYBOROM ZNAKOW (PERED ) DOSTIGAETSQ POPARNOE SOGLASOWANIE ZNA^ENIJ L@BYH TREH IZ ^ETYREH STROK PRAWOJ ^ASTI W PERESE^ENIQH POLUPLOSKOSTEJ, ^TO SOOTWETSTWUET WYDELENI@ ODNOZNA^NOJ WETWI ' = arg z W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" WDOLX ODNOJ IZ ^ETYREH KOORDINATNYH POLUOSEJ. dOSTI^X POPARNOGO SOGLASOWANIQ ZNA^ENIJ WSEH ^ETYREH STROK NEWOZMOVNO , ^TO OTRAVAET NEWOZMOVNOSTX WYDELENIQ ODNOZNA^NOJ WETWI ' =arg z W PLOSKOSTI C BEZ \RAZREZA". 1
68
VE, NO UVE W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO LU^U c WERINOJ z0 (DOSTATO^NO PRINQTX z ; z0 ZA NOWU@ PEREMENNU@ ). wNIMANIE, UDELQEMOE NAHOVDENI@ ODNOZNA^NYH WETWEJ ARGUMENTA , OB_QSNQETSQ TEM, ^TO NA IH OSNOWE MOGUT BYTX WYRAVENY ODNOZNA^NYE WETWI BOLXINSTWA (ESLI NE WSEH) MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ. k PRIMERU, DLQ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ w = Ln(z ; z0) I w = (z ; z0)a (PRI NECELOM a) ODNOZNA^NYE WETWI IME@T SOOTWETSTWENNO WID w = ln(z ; z0) = ln jz ; z0 j + i arg(z ; z0) I w = ea ln(z;z0) = ea ln jz;z0jeia arg(z;z0) PERWYE RAZLI^A@TSQ SLAGAEMYMI i 2 k, A WTORYE | MNOVITELQMI 1 eia2k k = 1 2 : : : KAVDAQ OPREDELENA TAM, GDE MOVNO WYDELITX ODNOZNA^NU@ WETWX ' = arg(z ; z0) | NAPRIMER, W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U L , WYHODQ]EMU IZ TO^KI z0 .
rIS. 18 w SLU^AE DEJSTWITELXNOGO RACIONALXNOGO POKAZATELQ a SREDI NIH LIX KONE^NOE ^ISLO RAZLI^NYH , W SLU^AE VE IRRACIONALXNOGO ILI MNIMOGO | NAPROTIW, WSE ONI RAZLI^NY (III, c. 55{56). 1
69
w KAVDOJ VE TO^KE LU^A L \TI (OPREDELENNYE W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO \TOMU LU^U ) ODNOZNA^NYE WETWI w = ln(z ; z0) I w = ea ln(z;z0) TERPQT RAZRYW | IZ-ZA RAZLI^IQ (NA 2 ) PREDELXNYH ZNA^ENIJ arg(z ; z0) PO RAZNYE STORONY OT LU^A L (RIS. 18, a). kROME TOGO, k-KRATNYJ OBHOD TO^KI z WOKRUG TO^KI z0 , NEPRERYWNO IZMENQQ ZNA^ENIE arg(z ; z0), PRIDAET EMU PRIRA]ENIE 2 k, WSLEDSTWIE ^EGO K ODNOZNA^NYM WETWQM w = ln(z;z0) = ln jz;z0 j+i arg(z;z0) I w = ea ln(z;z0) = ea ln jz;z0jeia arg(z;z0) DOBAWLQETSQ, SOOTWETSTWENNO, SLAGAEMOE i 2k I MNOVITELX ei2k: PROISHODIT TO, ^TO NAZYWA@T WETWLENIEM | NEPRERYWNYJ PEREHOD K OT ODNOJ ODNOZNA^NOJ WETWI K DRUGOJ.1
~UTX BOLEE SLOVNYJ PRIMER ; WETWEJ p | NAHOVDENIE ODNOZNA^NYH DWUHZNA^NOJ FUNKCII w = z + z 2 ; 1, OBRATNOJ K pz = 12pw + w1 . oNI ZAWEDOMO OPREDELENY I IME@TpWID w = z + pz ; 1 z +1 TAM, GDE OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI w = z ; 1 I w = z +1, W ^ASTNOSTI, W PLOSKOSTI C S \RAZREZAMI" PO (L@BYM) DWUM LU^AM , WYHODQ]IM IZ TO^EK 1 I ;1 (RIS. 18, B). p pREDSTAWLENIE p ;2 VE DWUHZNA^NOJ FUNKCII w = z + z 2 ; 1 W WIDE w = z + z 1 ; z POZWOLQET WYDELITX (DWE) EE ODNOZNA^NYE WETWI W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO OTREZKU ;1 1]. dOSTATO^NO ZAMETITX, ; ^TO TAK KAK z 2= ;1 1] () 1;z ;2 2= (;1 0] ZNA^ENIQM z IZ PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO OTREZKU ;1 1] SOOTWETSTWU@T ZNA^ENIQ 1 ; z;2, PRINADLEVA]IE PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO LU^U (;1 0] (RIS. 19), PO\TOMU DLQ NIHpOPREDELENY DWE (RAZLI^A@]IESQ ZNAKOM) ODNOZNA^NYE WETWI wp = 1 ; z;2, A SLEDOWATELXNO, I DWE ODNOZNA^NYE WETWI w = z + z 1 ; z;2. kAK SLEDSTWIEp, 1 NE QWLQETSQ TO^KOJ WETWLENIQ DLQ DWUZNA^NOJ FUNKCII w = z + z 2 ; 1 . qWLENIE WETWLENIQ NAPOMINAET \NEZAMETNYJ" PEREHOD NA \DRUGU@ STORONU" LISTA m EBIUSA . \rAZREZANNYJ" POPEREK (ILI RASSMATRIWAEMYJ W OKRESTNOSTI L@BOJ IZ SWOIH TO^EK), ON IMEET DWE STORONY. pRI \SKLEIWANII" VE LISTA m EBIUSA RAZDELENIE EGO \STORON" NA DWE UTRA^IWAETSQ: NEPRERYWNYM PEREME]ENIEM MOVNO S ODNOJ IZ NIH PEREJTI NA DRUGU@, NE ZAMETIW PRI \TOM MOMENTA PEREHODA . 1
70
rIS. 19 rIMANOWU POWERHNOSTX \TOJ DWUHZNA^NOJ FUNKCII MOVNO PREDSTAWITX KAK DWA \KZEMPLQRA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI, \RAZREZANNOJ" LIBO PO L@BYM DWUM NEPERESEKA@]IMSQ LU^AM, WYHODQ]IM IZ TO^EK 1 (KAK NA RIS. 18, B), LIBO PO OTREZKU ;1 1], PRI^EM \TI DWA \KZEMPLQRA (DWA \LISTA") SOEDINENY \KREST-NAKREST" PROTIWOPOLOVNYMI \BEREGAMI" RAZREZOW (^TO, RAZUMEETSQ, W REALXNOJ MODELI OSU]ESTWITX NEWOZMOVNO). oBE TO^KI 1 QWLQ@TSQ TO^KAMI WETWLENIQ : OBHOD KAVDOJ IZ NIH SOPROWOVDAETSQ PEREHODOM S ODNOGO \LISTA" RIMANOWOJ POWERHNOSTI NA DRUGOJ. uPRAVNENIQ. 1. kAKIM STALO BY SOOTNOENIE MEVDU FUNKCIQMI w = ez I w = exp z PRI PONIMANII ez W SMYSLE OB]EGO OPREDELENIQ STEPENI (III, S. 50). 2. oB_QSNITX, PO^EMU TO^KI p 1 QWLQ@TSQ TO^KAMI WETWLENIQ DLQ DWUZNA^NOJ FUNKCII w = z + z 2 ; 1. p 3. pROWERITX, ^TO DLQ TREHZNA^NOJ FUNKCII w = 3 (z ; 1)(z ; 2) TO^KAMI q WETWLENIQ QWLQ@TSQ 1 2 I 1 , A DLQ TREHZNA^NOJ FUNKCII 1 w = 3 zz ; ;2 | TOLXKO TO^KI 1 I 2. 4. nAJTIpODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ w = Ln(1; z ) I w = (z ; 1) 3, WYRAZIW IH ^EREZ ODNOZNA^NYE WETWI ' = arg(z ; 1).
71
w ^EM SUTX PONQTIQ PROIZWODNOJ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ
V.
pROIZWODNAQ FUNKCII w = f (z) KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ W TO^KE z 2 C | \TO (KAK I W SLU^AE DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ) ^ISLO Mw = lim f (z +Mz) ; f (z) f 0(z) def = Mlim Mz z!0 Mz Mz!0 (W PREDPOLOVENII, ^TO \TOT PREDEL SU]ESTWUET). nAPRIMER: (z +Mz)2 ;z 2 = lim 2zMz +(Mz)2 = 2z a) (z 2)0 = lim Mz Mz Mz!0 Mz!0 +1 0 +1 B) P cnzn = P ncnzn;1 W L@BOJ TO^KE KRUGa SHODIMOSTI n=0 n=1 DANNOGO STEPENNOGO RQDA (II, c. 29) jz +Mz j2;jz j2 = lim (z +Mz )(z +Mz ); zz = W) (jzj2)0 = Mlim Mz Mz Mz!0 z!0 ( 0 ESLI z =0 Mz = = z + zMlim z!0 Mz NE SU]ESTWUET ESLI z 6= 0: sTANDARTNYM SPOSOBOM, KAK I W SLU^AE FUNKCIJ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ, WYWODQTSQ FORMULY PROIZWODNOJ SUMMY , RAZNOSTI , PROIZWEDENIQ I ^ASTNOGO : ; 0 f (z) g(z) = f 0(z) g0(z), ; f (z) g(z) 0 = f 0(z) g(z) + f (z) g0(z), f (z) 0 f 0 (z ) g(z );f (z ) g0(z ) g(z) =
g 2 (z )
,
A TAKVE PROIZWODNOJ SLOVNOJ FUNKCII ; 0 f ('(z) = f 0() '0(z), GDE = '(z).
wOT, K PRIMERU, WYWOD POSLEDNEJ: Mw () Mw = f 0 ( ) M + o;jM j M ! 0 f 0 () = Mlim !0 M
72 M () M = '0 (z)Mz + o jMz j Mz ! 0 '0 (z) = Mlim z!0 Mz ;
;
;
;
Mw = f 0 () '0 (z)Mz + o jMz j + o '0 (z)Mz + o jMz j = ; ; ; = f 0 () '0 (z)Mz + f 0 () o jMz j + o O jMz j = ; Mw = f 0 () '0 (z). = f 0 () '0 (z)Mz + o jMz j Mz ! 0 () Mlim z!0 Mz
nAPRIMER, WWODQ PEREMENNYE = z;z0 =(z;z0);1, MOVNO USTANOWITX FAKT SU]ESTWOWANIQ I FORMULU PROIZWODNOJ SUMMY OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA : 0 +1 0 0 +1 +1 P P P n n 0 n cn(z ; z0) = cn z + c;n z0 = n=;1 n =0 n =1 z +P 1 ; 1 +P 1 P = ncn(z ; z0)n;1 + ncn (z ; z0)n;1 = ncn(z ; z0)n;1 n=1 n=;1 n=;1 W TO^KAH EGO KOLXCA SHODIMOSTI z 2 C : < jz ; z0 j < r , ;1 p p n n GDE = n!lim jc j , A r = n!lim+1 jcnj (II, STR. 29). +1 ;n l@BAQ FUNKCIQ w = f (z) KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ ODNOWREMENNO QWLQETSQ FUNKCIEJ w = f (x + iy) = u(x y)+ iv(x y) DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH. pREDWARQQ WYQWLENIE ZAWISIMOSTI MEVDU PROIZWODNOJ f 0(z) I ^ASTNYMI PROIZWOD@u @v @f @u @v NYMI @f @x = @x + i @x I @y = @y + i @y , SLEDUET ZAMETITX: a) SU]ESTWOWANIe PROIZWODNOJ f 0 (z) W TO^KE z 2 C I DIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII w = f (z) W \TOJ TO^KE | \TO RAWNOSILXNYE TREBOWANIQ: lim Mw = f 0(z) () Mw = f 0(z) Mz + o(jMzj) Mz ! 0 Mz!0 Mz @f B) SU]ESTWOWANIE ^ASTNYH PROIZWODNYH @f @x , @y W TO^KE (x y) 2 R 2 NEOBHODIMO , NO NE DOSTATO^NO DLQ DIFFERENCIRUEMOSTI FUNKCII w = f (x +;iy) W \TOJ TO^KE | PREDSTAWIMOSTI EE PRIRA]ENIQ Mw = f (x+Mx)+i(y+iMy) ;f (x+iy) W WIDE
73
Mx ! 0 My ! 0 DOSTATO^NYM USLOWIEM DIFFERENCIRUEMOSTI QWLQETSQ NEPRERYWNOSTX ^ASTNYH PROIZWODNYH (W DANNOJ TO^KE). kRITERIJ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) IMELA PROIZWODNU@ f 0(z) W TO^KE z = x + iy 2 C , NEOBHODIMO I DOSTATO^NO , ^TOBY ONA KAK FUNKCIQ DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH w = f (x+iy)= u(x y)+iv(x y) W TO^KE (x y) 2 R2 1) BYLA DIFFERENCIRUEMOJ { rIMANA 2) UDOWLETWORQLA URAWNENI@ (USLOWI@ ) kOI ( @u @v @f + i @f =0, ILI (W \KWIWALENTNOJ ZAPISI ) @x = @y @u = ; @v @x @y @y @x PROIZWODNAQ FUNKCII PO z SWQZANA S ee ^ASTNYMI PROIZ@f WODNYMI PO x I y RAWENSTWAMI f 0(z)= @f @x = ;i @y . dOKAZATELXSTWO. wEKTORU PRIRA]ENIQ Mz =Mx + iMy 2 C 2 SOOTWETSTWUET WEKTOR PRIRA]ENIQ fMx Myg2 ( R , PRI \TOM jMzj = p(Mx)2 +(My)2 I Mz ! 0 () MMxy !! 00 NIVESLEDU@]IE UTWERVDENIQ PO\TOMU \KWIWALENTNY : @f My + o;p(Mx)2+(My)2 Mw = @f M x + @x @y
lim Mw = f 0(z) ; B) Mw = f 0(z)Mz + o jMzj Mz ! 0 ;p W) Mw = f 0(z)Mx + f 0(z) iMy + o (Mx)2 +(My)2
a)
(
Mz!0 Mz
(
Mx ! 0 My ! 0 G) FUNKCIQ w = f (x+iy) DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH x y @f 0 0 DIFFERENCIRUEMA , PRI^EM @f @x = f (z) @y = if (z). Q.E.D.
74 (
@u = @v
@x @y ISTORI^ESKI PRAuSLOWIQ (URAWNENIQ) kOI { rIMANA @u @v @y = ; @x WILXNEE NAZYWATX USLOWIQMI D'aLAMBERA { |JLERA , POSKOLXKU WPERWYE ONI POQWILISX NA S. 61 KNIGI D'aLAMBERA 1752 G. \o^ERK NOWOJ TEORII SOPROTIWLENIQ VIDKOSTEJ"1 (PODROBNEE O GIDROMEHANI^ESKOM SMYSLE \TIH USLOWIJ ^UTX NIVE, NA c. 83{85), A W RABOTE |JLERA 1777 G. 32] (NA c. 2{3 I 269{271) WPERWYE INTERPRETIRU@TSQ KAK USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ (HOTQ I LIX W PRILOVENII K NEPREDELENNOMU INTEGRIROWANI@ ). w RABOTAH kOI \TI USLOWIQ WSTRE^A@TSQ PO RAZNYM POWODAM (28], ser. I, t. XI, p. 303 ser. II, t. I, p. 462 ser. II, t. II, p. 233), NO OSOBOGO WNIMANIQ ON IM NE UDELQET. nAPROTIW, U rIMANA (W ZAPISI IH W WIDE ODNOGO URAWNENIQ) ONI LEVAT W OSNOWE EGO OPREDELENIQ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ: \nEZAWISIMOJ PEREMENNOJ WELI^INE Q NEIZMENNO DA@ W NASTOQ]EE WREMQ UVE OB]EIZWESTNOE, PRINADLEVA]EE gAUSSU, GEOMETRI^ESKOE ISTOLKOWANIE, W SILU KOTOROGO KOMPLEKSNAQ WELI^INA z = x + yi PREDSTAWLQETSQ TO^KOJ NEOGRANI^ENNOJ PLOSKOSTI S KOORDINATAMI x y Q BUDU ODNIMI I TEMI VE BUKWAMI OBOZNA^ATX KAK SAMI KOMPLEKSNYE WELI^INY, TAK I SOOTWETSTWU@]IE IM TO^KI. fUNKCIEJ OT KOMPLEKSNOJ WELI^INY z = x + yi Q S^ITA@ WSQKU@ WELI^INU w, KOTORAQ IZMENQETSQ WMESTE S NEJ PRI SOBL@DENII USLOWIQ @w i @w @x = @y , NE ZAWISIMO OT TOGO, KAK WYRAVAETSQ w ^EREZ x I y ." (15], S. 88). |TOMU USLOWI@ rIMAN DAL TAKOE TOLKOWANIE: ONO WYRAVAET NEZA@w dx + @w dy @x @y WISIMOSTX OTNOENIQ dw = dz dx + idy OT dz (rI], S. 50). dRUGU@ ZAPISX URAWNENIQ kOI { rIMANA POZWOLILO DATX WWEDENIE W 1927 G. AWSTRIJSKIM MATEMATIKOM wIRTINGEROM2 FORMALXNYH ^ASTNYH PROIZWODNYH @w I @w @z @z PO PEREMENNYM z = x+iy I z = x;iy. tAK KAK 1 1 x = 2 (z+z) a y = 2i (z;z), L@BAQ FUNKCIQ PEREMENNYH x y FORMALXNO QWLQETSQ FUNKCIEJ PEREMENNYH z z, I (OPQTX -TAKI FORMALXNO ) 1 d'Alembert, Jean Le Rond (Saint{Jean{le Rond | PARIVSKAQ CERKOWX, U KOTOROJ EGO, NEZAKONNOROVDENNOGO MLADENCA, OSTAWILA MATX), 1717{1783 | FRANCUZSKIJ MATEMATIK, MEHANIK, FILOSOF. oBLOVKA I RAZWOROT S. 60{61 EGO KNIGI WOSPROIZWEDENY (UMENXENNO) NA S. 75. 2
Wirtinger, Wilhelm, 1865 -1945 (Math. Annalen, Bd. 97, 1927, S. 357).
75
76 @f = 1; @f @z 2 @x
;i @f@y
@f = 1; @f + i @f . @z 2 @x @y w ITOGE, USLOWIE kOI { rIMANA PRINIMAET WID @f @z = 0, I EGO TOVDESTWENNOE WYPOLNENIE MOVNO ISTOLKOWATX KAK USLOWIE NEZAWISIMOS@f 0 TI FUNKCII OT PEREMENNOJ z W \TOM SLU^AE @f @z = @x = f (z), T.E. FORdf MALXNAQ ^ASTNAQ PROIZWODNAQ PO z SOWPADAET S OBY^NOJ : @f @z = dz .
w \TOM SMYSLE FUNKCIQMI KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = x+iy SLEDUET S^ITATX TOLXKO TE FUNKCII1 DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH x y, KOTORYE POSLE ZAMENY x = 2 (z + z) y = 21i (z ; z) OKAZYWA@TSQ NE ZAWISQ]IMI OT z. rAZUMEETSQ, \TI DOWODY NE SLIKOM OSNOWATELXNY | HOTQ BY PO@f TOMU, ^TO @f @z I @z NE QWLQ@TSQ ^ASTNYMI PROIZWODNYMI W OB]EPRINQTOM SMYSLE: BRATX PROIZWODNU@ PO ODNOJ IZ PEREMENNYH z z @f PRI FIKSIROWANNOJ DRUGOJ NEWOZMOVNO ! iMENNO PO\TOMU @f @z I @z | LIX FORMALXNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE (NAZYWAEMYE E]E SIMWOLAMI IS^ISLENIQ wIRTINGERA ).
pRIMERY. 1. fUNKCIQ w = z2 = (x + iy)2 = x2 ; y2 + i 2 xy W L@BOJ TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI IMEET NEPRERYWNYE @w ^ASTNYE PROIZWODNYE @w @x = 2 x + i 2 y @y = ;2 y + i 2 x, UDOW@w LETWORQ@]IE URAWNENI@ kOI { rIMANA @w @x + i @y = 0. pO\TOMU W L@BOJ2 TO^KE z = x + iy 2 C cU]ESTWUET PROIZWODNAQ +iy) = 2 x + i2 y = 2 z. (z2)0 = @ (x@x 2. fUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = jz j2 , W ZAPISI z = x + iy PRINIMA@]AQ WID w = x2 + y2, IMEET W L@BOJ TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI NEPRERYWNYE ^ASTNYE PRO@w IZWODNYE @w @x = 2x @y = 2 y , DLQ KOTORYH USLOWIE kOI { rIMANA WYPOLNQETSQ LIX PRI x =0 I y =0. |TO OZNA^AET, ( ; 0 ESLI z = 0 ^TO jzj2 0 = NE SU]ESTWUET ESLI z 6= 0: 3. iZ ZAPISI \KSPONENCIALXNOJ FUNKCII w = ez W WIDE w = ex+iy = ex(cos y + i sin y) SLEDUET, ^TO ee ^ASTNYE PROIZ@w x x WODNYE @w @x = e (cos y+i sin y) @y = e (; sin y+i cos y) W L@BOJ
77
TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI NEPRERYWNY I UDOWLETWORQ@w @T USLOWI@ @w @x + i @y = 0. pO\TOMU W L@BOJ TO^KE z 2 C x y + i sin y)= ez. SU]ESTWUET PROIZWODNAQ (ez)0 = @w @x = e (cos ( 0 ESLI x y = 0 4. fUNKCIQ w = f (z) = f (x + iy) = 1 ESLI x y 6= 0 IMEET W NA^ALE KOORDINAT ^ASTNYE PROIZWODNYE PO x I y, OBE RAWNYE NUL@ , A SLEDOWATELXNO, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ kOI { rIMANA. pRI \TOM PROIZWODNAQ (PO z) :f 0 (0) NE SU]ESTWUET: W NA^ALE KOORDINAT DANNAQ FUNKCIQ IMEET RAZRYW I POTOMU DIFFERENCIRUEMOJ NE QWLQETSQ. w NEKOTORYH SLU^AQH BOLEE UDOBNOJ OKAZYWAETSQ SLEDU@]AQ PEREFORMULIROWKA KRITERIQ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ S ZAMENOJ DEKARTOWYH KOORDINAT NA POLQRNYE . fUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) W OTLI^NOJ OT NULQ TO^KE; z 2 C W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA W ZAPISI w = f r(cos '+i sin ') \TA FUNKCIQ 1) DIFFERENCIRUEMA PO PEREMENNYM r = jz j ' =arg z @f @f 2) UDOWLETWORQET USLOWI@ kOI { rIMANA @r + ri @' =0 PROIZWODNAQ PO z SWQZANa S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PO i @f r I ' RAWENSTWaMI f 0(z) = zr @f @r = ; z @' . dOSTATO^NO PROWERITX, ^TO SFORMULIROWANNYE USLOWIQ \KWIWALENTNY USLOWIQM KRITERIQ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ (c. 73). tAK KAK FUNKCII x = r cos ' I y = r sin ' DIFFERENCIRUEMY PO r I ' p W KAVDOJ TO^KE KOORDINATNOJ PLOSKOSTI, A FUNKCII r = x2 + y2 I ' = arg z (IV, c. 67) DIFFERENCIRUEMY PO x I y W OTLI^NYH OT NA^ALA KOORDINAT TO^KAH \TOJ; PLOSKOSTI, DIFFERENCIRUEMOSTX PO r ' FUNK CII w = f r(cos ' + i sin ') W L@BOJ OTLI^NOJ OT NA^ALA
78
KOORDINAT TO^KE PLOSKOSTI R 2 RAWNOSILXNA EE DIFFERENCIRUEMOSTI (W \TOJ VE TO^KE, NO UVE PO x I y) KAK FUNKCII w = f (x+iy). rAWNOSILXNOSTX VE ZAPISI USLOWIQ kOI { rIMANA W DEKARTOWYH I POLQRNYH KOORDINATAH USTANAWLIWAETSQ ZAMENOJ PEREMENNYH : @f = @f cos ' + @f sin ' @f = @f (;r sin ') + @f r cos ' @r @x @y @' @x @y @f @f i @f SLEDOWATELXNO, @f @r + r @' = 0 () @x + i @y =0, PRI \TOM ;@f @f sin ' = r(cos ' + i sin ') @f = zf 0 (z). = r cos ' + r @f @r @x @y @x pRIMER. pRI L@BOM WYBORE ODNOZNA^NOJ WETWI LOGARIFMA w = ln z = ln jzj + i arg z ONA IMEET W OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI, GDE ONA OPREDELENA1, NEPRERYWNYE ^ASTNYE PRO1 @w @w i @w IZWODNYE @w @r = r @' = i, PRI \TOM @r + r @' 0 MOVNO 1 UTWERVDATX PO\TOMU, ^TO ln0 z = zr @w @r = z (W TEH TO^KAH z , GDE OPREDELENA ODNOZNA^NAQ WETWX w =ln z). kAK SLEDSTWIE, ODNOZNA^NYE WETWI w = z def = exp( ln z) ; def MNOGOZNA^NOJ (ESLI 2= Z) FUNKCII w = z = exp Ln z IME@T W; L@BOJ TO^KE z 2 C z 6= 0 PROIZWODNU@ 0 0 (z ) = exp( ln z) = exp0 ( ln z)( ln z)0 = z = z;1 . z
w NAGLQDNOM PREDSTAWLENII FUNKCIQ w = f (z) KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ ESTX OTOBRAVENIE , PEREWODQ]EE TO^KI z KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI C (ILI NEKOTOROJ EE ^ASTI) W TO^KI w DRUGOGO (ILI TOGO VE) \KZEMPLQRA \TOJ PLOSKOSTI . pRI LOKALXNOM IZU^ENII FUNKCII (W OKRESTNOSTI FIKSIROWANNOJ TO^KI z0 2 C ) UDOBNEE OPERIROWATX WEKTORAMI PRIRA]ENIQ Mz = z ; z0 I Mw = w0 ; w, S^ITAQ, ^TO ONI OTLOVENY SOOTWETSTWENNO OT TO^EK z0 I w0 = f (z0). wEKTOR
nAPRIMER, W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U, WYHODQ]EMU IZ NA^ALA KOORDINAT (IV, c. 68). 1
79
PRIRA]ENIQ FUNKCII Mw def = f (z0 +Mz);f (z) OKAZYWAETSQ PRI \TOM FUNKCIEJ WEKTORA PRIRA]ENIQ Mz, ^TO I OPREDELQET OTOBRAVENIE Mz 7! Mw. w ^ASTNOSTI, DLQ FUNKCII w = z2 Mz 7! Mw =2 z0Mz + (Mz)2 . eSLI FUNKCIQ w = f (z) IMEET W TO^KE z0 PROIZWODNU@ , Mw W WIDE NE RAWNU@ NUL@ , TO ZAPISX RAWENSTWA f 0(z0)= Mlim z!0 Mz ; 0 Mw = f (z0)Mz + o jMzj (PRI Mz ! 0) = f 0(z0) M z (W WYRAVAET TOT FAKT, ^TO DIFFERENCIAL dw def TO^KE z0) FUNKCII w = f (z) SOSTAWLQET GLAWNU@ LINEJNU@ ^ASTX OTOBRAVENIQ Mz 7! Mw 1, PREDSTAWLQQ SOBOJ POWOROT WEKTORA Mz NA UGOL arg f 0(z0) (S PERENOSOM NA^ALA WEKTORA IZ TO^KI z0 W TO^KU w0) I;IZMENENIE EGO DLINY W jf 0(z0)j RAZ. tAK KAK Mw ; dw = o jMzj , OTOBRAVENIE Mz 7! Mw SWODITSQ K UKAZANNOMU DEJSTWI@ S TO^NOSTX@ DO SLAGAEMOGO (WNOSQ]EGO ISKAVENIE), BESKONE^NO MALOGO PO SRAWNENI@ S jMzj PRI Mz ! 0. pO SUTI \TO OZNA^AET SLEDU@]EE. eSLI f 0(z0) 6= 0, TO PRI OTOBRAVENII POSREDSTWOM FUNKCII w = f (z) TREUGOLXNIK S WERINAMI z0 z1 z2 PEREHODIT | S TO^NOSTX@ DO BESKONE^NO MALOGO (OTNOSITELXNO DLIN STORON jz1 ; z0 j jz1 ; z0 j TREUGOLXNIKA) ISKAVENIQ | W PODOBNYJ EMU (S KO\FFICIENTOM PODOBIQ jf 0(z0)j) I ODINAKOWO ORIENTIROWANNYJ S NIM TREUGOLXNIK, POWERNUTYJ WOKRUG TO^KI w0 (POSLE PERENOSA W NEE WERINY z0 ) NA UGOL arg f 0(z0) (RIS. 20).
k \TOMU VE WYWODU MOVNO PRIJTI I ^UTX INYMI RASSUVDENIQMI. w;w0 pOSKOLXKU f 0 (z0) = zlim !z0 z ;z0 6= 0, TO PRI STREMLENII WERIN z1 z2 TREUGOLXNIKA K WERINE z0 WYPOLNQ@TSQ SLEDU@]IE SOOTNOENIQ1:
eSLI f 0 (z0) = 0, TO DIFFERENCIAL dw = f 0(z0)Mz , OSTAWAQSX LINEJNOJ , PERESTAET BYTX GLAWNOJ ^ASTX@ OTOBRAVENIQ Mz 7! Mw. 1 w OBOZNA^ENIQH z ;z =Mz z ;z =Mz w ;w =Mw w ;w =Mw . 1 0 1 2 0 2 1 0 1 2 0 2 1
80
rIS. 20
jMw1 j ! jf 0 (z )j jMw2 j ! jf 0 (z )j 0 0 jMz1 j jMz2 j arg MMwz11 ! arg f 0 ( z0 ) arg MMwz22 ! arg f 0( z0 ) I, KAK SLEDSTWIE, arg MMww21 ; arg MMzz12 ! 0. |TO OZNA^AET, ^TO W PREDELE PRI z1 z2 ! z0 SOOTWETSTWIE MEVDU TREUGOLXNIKAMI w0 w1 w2 I z0 z1 z2 OKAZYWAETSQ OTNOENIEM PODOBIQ (S KO\FFICIENTOM jf 0 ( z0 )j RIS. 21).
rIS. 21
81
sWOJSTWO OTOBRAVENIQ FUNKCIEJ w = f (z), IME@]EJ W TO^KE z0 NE RAWNU@ NUL@ PROIZWODNU@ f 0(z0), | PEREWODITX STQGIWA@]IESQ K TO^KE z0 TREUGOLXNIKI (I DRUGIE FIGURY) W FIGURY , W PREDELE IM PODOBNYE (I ODINAKOWO S NIMI ORIENTIROWANNYE ) | NAZYWA@T KONFORMNOSTX@1 OTOBRAVENIQ (W TO^KE z0 ). |KWIWALENTNO KONFORMNOSTX OTOBRAVENIQ w = f (z) (W TO^KE z0 ) OZNA^AET WYPOLNENIE SLEDU@]IH DWUH USLOWIJ. \COHRANENIE UGLOW" 2. pUSTX TO^KI z1 I z2 STREMQTSQ K TO^KE z0 TAK, ^TO arg Mz1 ! 1 , A arg Mz1 ! 2 (NAGLQDNO \TO SOOTWETSTWUET STREMLENI@ TO^EK z1 I z2 K TO^KE z0 WDOLX \LINIJ", IME@]IH W TO^KE z0 KASATELXNYE , WYHODQ]IE IZ NEE POD UGLAMI, SOOTWETSTWENNO, 1 I 2 K DEJSTWITELXNOJ OSI ). tOGDA (ESLI f 0( z0 ) 6= 0) ; ; arg Mw1 = arg MMwz11 Mz1 = arg MMwz11 + Mz1 ! arg f 0(z0)+ 1 , ; ; arg Mw2 = arg MMwz22 Mz2 = arg MMwz22 + Mz2 ! arg f 0(z0)+ 2 , IZ ^EGO SLEDUET WYWOD: PRI UKAZANNOM STREMLENII TO^EK z1 I z2 K TO^KE z0 TO^KI w1 = f (z1) I w2 = f (z2) STREMQTSQ K TO^KE w0 = f (z0) WDOLX \LINIJ", UGOL PERESE^ENIQ KOTORYH (W TO^KE w0) RAWEN UGLU PERESE^ENIQ (W TO^KE z0) \LINIJ", WDOLX KOTORYH STREMQTSQ K TO^KE z0 TO^KI z1 I z2 (PRI ODNOM I TOM VE NAPRAWLENII OTS^ETA UGLOW RIS. 22). sFORMULIROWANNOE SWOJSTWO OTMETIL gAUSS W RABOTE 1822 G. (33], Bd. IV, S. 189{216), OHARAKTERIZOWAW EGO KAK \PODOBIE W MALOM" (\in den kleinsten Theilen $ahnlich") S WKL@^ENIEM \TOGO TERMINA W SAMOE NAZWANIE RABOTY. pOZDNEE (W 1844 G.) ON NAZWAL \TO SWOJSTWO KONFORMNOSTX@ OTOBRAVENIQ (33], Bd. IV, S. 262) LAT. conformis | SHODNYJ, PODOBNYJ . 2 s WERINOJ W TO^KE z . CRAZU SLEDUET OTMETITX, ^TO ODNOGO \SO0 HRANENIQ UGLOW" W TO^KE z0 E]E NEDOSTATO^NO DLQ KONFORMNOSTI OTOBRAVENIQ W UKAZANNOJ TO^KE (PRIMER IZ UPRAVNENIQ 4 NA S. 87). 1
82
rIS. 22
jMwj = jf 0 (z)j 6= 0, RASTQVENIQ". eSLI Mlim z!0 jMz j TO KAKIM BY MALYM NI BYLO ^ISLO "> 0, NERAWENSTWA ; 0 jf (z)j;" jMzj < jMwj < (jf 0(z)j+ ") jMzj WYPOLNQ@TSQ DLQ WSEH WYHODQ]IH IZ TO^KI z0 NENULEWYH WEKTOROW Mz DOSTATO^NO MALOJ DLINY WNE ZAWISIMOSTI OT IH NAPRAWLENIJ . |TO OZNA^AET, ^TO W PREDELE PRI M z ! 0 OTOBRAVENIE Mz 7! Mw IZMENQET DLINY WEKTOROW Mz W ODNO I TO VE ^ISLO (jf 0(z0)j)1 RAZ. kAK SLEDSTWIE, PRI L@BOM STREMLENII TO^EK z1 z2 K TO^KE z0 S USLOWIEM, ^TO OTNOENIE DLIN WEKTOROW M z1 M z2 OSTAETSQ RAWNYM (ILI STREMITSQ K) NEKOTOROMU ^ISLU , OTNOENIE DLIN WEKTOROW Mw1 Mw2 STREMITSQ K TOMU-VE ^ISLU . \pOSTOQNSTWO
w ^ASTNOSTI, OKRUVNOSTX S CENTROM z0 DOSTATO^NO MALOGO RADIUSA r OTOBRAVENIEM w = f (z) PREOBRAZUETSQ W PODMNOVESTWO 2 KOLXCA S CENTROM w0 , OBA RADIUSA KOTOROGO (WNENIJ I WNUTRENNIJ ) \KWIWALENTNY jf 0 (z0)j r PRI r ! 0, A SLEDOWATELXNO, ^TO SU]ESTWENNO, IRINA
~ISLO jf 0 (z0)j IMEET PO\TOMU SMYSL KO\FFICIENTA LOKALXNOGO RASTQVENIQ W TO^KE z0 PRI OTOBRAVENII FUNKCIEJ w = f (z). 2 |TO PODMNOVESTWO (ESLI OTNOSITELXNO FUNKCII w = f (z) PREDPOLAGATX LIX SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ W TO^KE z0) NE OBQZANO BYTX \NEPRERYWNOJ LINIEJ". 1
83 \TOGO KOLXCA QWLQETSQ BESKONE^NO MALOJ BOLEE WYSOKOGO PORQDKA PO SREWNENIE@ S EGO RADIUSAMI PRI r ! 0 (RIS. 23).
rIS. 23
sWOJSTWO KONFORMNOSTI OTOBRAVENIQ w = f (z) (W TO^KAH, GDE f 0(z) 6= 0) I EGO NARUENIE (W TO^KAH, GDE f 0(z) = 0) ILL@STRIRUET NA PROSTYH PRIMERAH RIS. 14 (S. 57)1. w ^ASTNOSTI, PRI OTOBRAVENII w = z2 RASTWORY UGLOW, WYHODQ]IH IZ TO^KI 0, UWELI^IWA@TSQ W DWA RAZA, A WEKTORY Mz I Mz PEREHODQT W WEKTORY, RAZLI^A@]IESQ PO DLINE W 2 RAZ (HOTQ PRI \TOM KAVDAQ OKRUVNOSTX S CENTROM 0 PEREHODIT W OKRUVNOSTX ).
gIDROMEHANI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ pUSTX W NEKOTOROJ ^ASTI PROSTRANSTWA ZADANO WEKTORNOE POLE , PO SMYSLU QWLQ@]EESQ POLEM SKOROSTEJ ^ASTIC VIDKOSTI. pREDPOLAGAETSQ, ^TO A) POLE QWLQETSQ PLOSKOPARALLELXNYM : WSE WEKTORY PARALLELXNY FIKSIROWANNOJ PLOSKOSTI (PRINIMAEMOJ ZA PLOSKOSTX KOORDINAT x y ILI KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX PEREMENNOJ z = x + iy) I NE ZAWISQT OT RASSTOQNIQ DO \TOJ PLOSKOSTI 1 sLEDUET POD^ERKNUTX LOKALXNOSTX cWOJSTWA KONFORMNOSTI : QWLQQSX KONFORMNYM W OTDELXNO WZQTYH TO^KAH, OTOBRAVENIE w = f (z) MOVET SU]ESTWENNO IZMENITX FORMU FIGURY W CELOM (^TO I WIDNO NA RIS. 14).
84 B) PROEKCIQ NA UKAZANNU@ PLOSKOSTX TOJ ^ASTI PROSTRANSTWA, W KOTOROJ ZADANO POLE, QWLQETSQ ODNOSWQZNOJ OBLASTX@ 1 W) POLE2 QWLQETSQ BEZWIHREWYM I NE IMEET ISTO^NIKOW I STOKOW . pERWOE PREDPOLOVENIE POZWOLQET ZAPISATX POLE W WIDE v = fp qg, GDE p = p(x y) q = q(x y) | FUNKCII, IME@]IE NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE PO x I y W UPOMQNUTOJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI . pREDPOLOVENIE O TOM, ^TO WEKTORNOE POLE QWLQETSQ BEZWIHREWYM I NE IMEET ISTO^NIKOW (I STOKOW ), OZNA^AET WYPOLNENIE RAWENSTW @q @p @p @q @x = @y (rot v = 0) I @x = ; @y (div v =0). wWIDU ODNOSWQZNOSTI OBLASTI, GDE SPRAWEDLIWY \TI RAWENSTWA, IZ NIH WYWODITSQ3, SOOTWETSTWENNO, ^TO pdx + qdy = du, A ; qdx + pdy = dv DLQ NEKOTORYH FUNKCIJ4 u = u(x y) I v = v(x y). pERWU@ IZ NIH NAZYWA@T POTENCIALXNOJ FUNKCIEJ (SKOROSTI ), A WTORU@ | FUNKCIEJ TOKA . @u @v @v kAK SLEDSTWIE, @u @x = p, @y = q, @x = ;q, @y = p, W SILU ^EGO FUNKCII u = u(x y) I v = v(x y) UDOWLETWORQ@T URAWNENIQM kOI { rIMANA , A POTOMU | SOGLASNO USTANOWLENNOMU KRITERI@ SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ (S. 73) | PREDSTAWLQ@T SOBOJ, SOOTWETSTWENNO, DEJSTWITELXNU@ I MNIMU@ ^ASTI NEKOTOROJ FUNKCII w = f (z ) KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = x+iy, IME@]EJ (W KAVDOJ TO^KE UPOMQNUTOJ ODNOSWQZNOJ OBLASTI) PROIZWODNU@ f 0 (z )= @ (u@x+iv) = p ; iq. |TA FUNKCIQ w = f (z ) (OPREDELQEMAQ S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO KOMPLEKSNOGO SLAGAEMOGO ) NAZYWAETSQ KOMPLEKSNYM POTENCIALOM WEKTORNOGO POLQ v = fp qg : NA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI SWQZX MEVDU NIMI WYRAVAETSQ RAWENSTWOM f 0 (z ) = v. |KWIWALENTNO: MODULX PROIZWODNOJ KOMPLEKSNOGO POTENCIALA WYRAVAET ABSOL@TNU@ WELI^INU 1 pODROBNO PONQTIE ODNOSWQZNOJ OBLASTI OBSUVDAETSQ NIVE (X, S. 149{151), SUTX VE ODNOSWQZNOSTI SOSTOIT W TREBOWANII, ^TO ESLI GRANICA KAKOJ-LIBO PLOSKOJ FIGURY PRINADLEVIT OBLASTI , TO I SAMA \TA FIGURA PRINADLEVIT \TOJ OBLASTI . 2 eGO KOMPONENTY PREDPOLAGA@TSQ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYMI FUNKCIQMI TO^KI. 3 pRIMENENIEM FORMULY gRINA K MNOGOUGOLXNIKAM . 4 oPREDELQEMYH S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO . eSLI NE TREBOWATX ODNOSWQZNOSTI OBLASTI, TO \TI FUNKCII MOGUT OKAZATXSQ MNOGOZNA^NYMI .
85 SKOROSTI POTOKA, A EE ARGUMENT | WZQTYJ S OBRATNYM ZNAKOM UGOL MEVDU WEKTOROM SKOROSTI I OSX@ x. lINII TOKA 1 WEKTORNOGO POLQ v = fp qg | A \TO REENIQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ dxp = dyq (WEKTORY POLQ QWLQ@TSQ KASATELXNYMI K NIM) | IME@T WID v = const, TAK KAK W SILU \TOGO URAWNENIQ dv = ;qdx + pdy =0. eSLI v = v1 I v = v2 | DWE LINII TOKA , A y1 y2 OPREDELQ@TSQ (DLQ FIKSIROWANNOGO x) IZ URAWNENIJ v(x y1 ) = v1 v(x y2 ) = v2 , TO @v = p) (POSKOLXKU @y Ry2 (xy) Ry2 v2 ; v1 = v(x y2 ) ; v(x y1 ) = @v@y dy = p(x y) dy y1 y1 ESTX RASHOD (KOLI^ESTWO PROTEKA@]EJ W EDINICU WREMENI) VIDKOSTI ^EREZ WERTIKALX (S KOORDINATOJ x) MEVDU UROWNQMI y1 I y2 . oTYSKANIEM KOMPLEKSNOGO POTENCIALA (I ^EREZ NEGO RASPREDELENIQ SKOROSTEJ ) POTOKA VIDKOSTI ZANIMALSQ E]E d'aLAMBER (c. 75). o TOM, KAK EGO NAHODQT W TAK NAZYWAEMYH ZADA^AH NA OBTEKANIE , MOVNO PONQTX NA SLEDU@]EM PROSTEJEM PRIMERE.
rIS. 24 pUSTX PLOSKOPARALLELXNYJ POTOK VIDKOSTI | NASTOLXKO BOLXOJ GLUBINY , ^TO EE MOVNO S^ITATX BESKONE^NOJ , | WSTRE^AET PREPQTSTWIE W WIDE WERTIKALXNOGO OTREZKA WYSOTY h (RIS. 24, a).2 s^ITAQ, ^TO w PROSTRANSTWE IM OTWE^A@T CILINDRI^ESKIE POWERHNOSTI S OBRAZU@]IMI, PERPENDIKULQRNYMI PLOSKOSTI x y. 2 w PROSTRANSTWE \TOMU OTREZKU SOOTWETSTWUET PERPENDIKULQRNAQ PLOSKOSTI DNA I WEKTORU SKOROSTI POLOSA IRINOJ h. 1
86 SKOROSTX POTOKA WDALI OT PREPQTSTWIQ RAWNA v1 I NAPRAWLENA WDOLX OSI x, NAJTI KOMPLEKSNYJ POTENCIAL w = f (z) \TOGO POTOKA. pOSKOLXKU KAVDOJ ^ASTICE VIDKOSTI OTWE^AET SWOQ LINIQ TOKA , I GRANI^NOJ (v(x y)= v0 ) DLQ NIH QWLQETSQ OSX x S OTREZKOM-PREPQTSTWIEM , A WWIDU BESKONE^NOJ GLUBINY POTOKA RASHOD VIDKOSTI SLEDUET S^ITATX BESKONE^NYM , ISKOMAQ FUNKCIQ w = f (z) DOLVNA WZAIMNO ODNOZNA^NO OTOBRAVATX POLUPLOSKOSTX fz 2 C : Im z > 0g, \RAZREZANNU@" PO OTREZKU 0 ih], NA POLUPLOSKOSTX fw 2 C : Im w > v0 g2 PRI \TOM | TAK KAK KOMPLEKSNYJ POTENCIAL OPREDELQETSQ S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO | MOVNO S^ITATX v0 =0 (RIS. 24, B ).
rIS. 25 p oDNOJ IZ TAKIH FUNKCIJ QWLQETSQ w = z 2 + h2, DEJSTWIE KOTOROJ SWODITSQ K POSLEDOWATELXNOMU WYPOLNENI@ SLEDU@]IH (RIS. 25): A) = z 2 (LU^I PLOSKOSTI C z , WYHODQ]IE IZ TO^KI z =0 POD UGLAMI IZ PROMEVUTKA (0 ), ODIN IZ KOTORYH | WYHODQ]IJ POD UGLOM | NEPOLNYJ, PEREHODQT W LU^I , WYHODQ]IE IZ TO^KI =0 POD WDWOE 2 2 iLI NA POLUPLOSKOSTX fw 2 C : Im w 0 NA POLUPLOSw = az cz+d , OTOBRAVA@]AQ KOSTX Im w > 0 , TO^KI DEJSTWITELXNOJ OSI DOLVNa PEREWODITX W TO^KI DEJSTWITELXNOJ OSI. OTc@DA SLEDUET, ^TO (S TO^NOSTX@ DO OB]EGO NENULEWOGO MNOVITELQ) KO\FFICIENTY a b c d DOLVNY BYTX DEJSTWITELXNYMI . tREBOWANIE, ^TOBY ZNA^ENIQM z c Im z > 0 SOOTWETSTWOWALI ZNA^ENIQ w c Im w> 0, W ZAPISI z = x + iy OZNA^AET: iy)+b = (ad;bc) y PRI y> 0, T. E. a b > 0. 0 < Im ca((xx++iy c d )+d (cx+d)2 +(cy)2
100 ;
oTOBRAVA@]IE SWOJSTWA FyNKCII w = 12 z + z1 |TA FUNKCIQ (W OTE^ESTWENNOJ LITERATURE IMENUEMAQ FUNKCIEJ vUKOWSKOGO 1 ) NE QWLQETSQ DROBNO-LINEJNOJ , NO, OTLI^AQSX PO SWOJSTWAM, BLIZKA K NIM PO ROLI W PRAKTIKE KONFORMNYH OTOBRAVENIJ . ; rAZREIMOSTX URAWNENIQ w = 12 z + z1 OTNOSITELXNO z PRI L@BOM w 2 C GOWORIT O TOM, ^TO FUNKCIQ vUKOWSKOGO OTOBRAVAET PLOSKOSTX C NA WS@ PLOSKOSTX C ; (ZNA^ENIQM z =0 I z = 1 OTWE^AET w = 1). TAK KAK w0 = 12 1 ; z12 , KONFORMNOSTX \TOGO OTOBRAVENIQ GARANTIROWANA WO WSEH OTLI^NYH OT 0 I 1 TO^KAH z 2 C .2 B OTLI^IE ; 1 OT DROBNO-LINEJNYH , oTOBRAVENIE FUNKCIEJ 1 w = 2 z + z NE QWLQETSQ WZAIMNO-ODNOZNA^NYM : ZNA^ENIQM z = z1 z2, DLQ KOTORYH z1 z2 = 1, OTWE^AET ODNO I TO VE ZNA^ENIE w . pO -DRUGOMU \TO MOVNO WYRAZITX ; 1 SLOWAMI: OB1 RATNOJ PO OTNOENI@ K FUNKCII w = 2 z + z QWLQETSQ DWUp 2 ZNA^NAQ FUNKCIQ z = w+ w ; 1 (GDE I KAK MOVNO WYDELITX EE ODNOZNA^NYE WETWI , UKAZANO ; W1 IV NA c. 69). 1 sUTX OTOBRAVENIQ w = 2 z + z PROQSNITSQ, ESLI PROSLEDITX ZA OBRAZAMI TO^EK OKRUVNOSTEJ RADIUSOW r> 1 S CENTROM z = 0. zAPISX z = reit = r(cos t + i sin t) w = u + iv , PRIWODIT K SOOTNOENIQM ; ; u + iv = 21 reit + re1it = 12 r(cos t + i sin t)+ 1r (cos t ; i sin t) = ; ; = 12 r + 1r cos t + i 12 r ; 1r sin t, nIKOLAJ eGOROWI^ vUKOWSKIJ (1847 {1921) | ROSSIJSKIJ MEHANIK, DLQ KOTOROGO \TA FUNKCIQ POSLUVILA OTPRAWNYM PUNKTOM W RAZRABOTKE TEORII POD_EMNOJ SILY KRYLA SAMOLETA. 2 nA SAMOM DELE KONFORMNOSTX IMEET MESTO I W \OSOBYH" TO^KAH 0 I 1, ESLI PEREMENNYE z I w OTME^ATX NA SFERE rIMANA . 1
101
T. E. PARAMETRI^ESKOMU ZADANI@ \LLIPSOW PE; 1 NA ; PLOSKOSTI 1 1 1 REMENNOJ w = u+iv S POLUOSQMI 2 r + r I 2 r ; r | cOOTWETSTWENNO NA ee DEJSTWITELXNOJ I MNIMOJ OSQH (RIS. 31 STRELKI UKAZYWA@T NAPRAWLENIE DWIVENIQ TO^EK PRI WOZRASTANII PARAMETRA t).
rIS. 31
sOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI UKAZANNYH OKRUVNOSTEJ I \LLIPSOW QWLQETSQ WZAIMNO ODNOZNA^NYM , A W SOWOKUPNOSTI \TI \LLIPSY ZAPOLNQ@T WS@ PLOSKOSTX C ZA ISKL@^ENIEM OTREZKA ;1 1]. oBRAZ PLOSKOSTI (KAK C , TAK I C ) PEREMENNOJ z S \PROREHOJ" W WIDE KRUGA jzj 6 1 ESTX PO\TOMU WSQ PLOSKOSTX (SOOTWETSTWENNO C I C ) PEREMENNOJ
102
w c \RAZREZOM" PO OTREZKU ;1 1] (ZNA^ENI@ z = 1 SOOTWETSTWUET w = 1). ; zAMENA z NA z1 NE MENQET FUNKCII w = 12 z + z1 , NO PEREWODIT TO^KU 1 W TO^KU 0, a OKRUVNOSTI RADIUSOW r > 1 (S CENTROM z =0) | W KONCENTRI^ESKIE OKRUVNOSTI RADIUSOW 1r < 1, NO OBHODIMYE W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII: ZNA^ENIQM z = reit SOOTWETSTWU@T w = 1r e;it . wYWODY MOVNO OFORMITX W WIDE SLEDU@]EGO UTWERVDENIQ. ; fUNKCIQ w = 21 z + 1z , z 2 C , OSU]ESTWLQET WZAIMNOODNOZNA^NOE I KONFORMNOE 1 OTOBRAVENIE: KAK WNUTRENNOSTI OKRUVNOSTI z 2 C : jzj = 1 , TAK I EE WNENOSTI (WKL@^AQ 1), NA WS@ PLOSKOSTX C c \RAZREZOM" PO OTREZKU ;1 1] MNOVESTW jzj > 1 \ Im z > 0 I jzj 0 , A MNOVESTW jzj > 1 \ Im z < 0 I jzj < 1 \ Im z > 0 | NA POLUPLOSKOSTX Im w < 0 oBRATNYE OTOBRAVENIQ PROIZWODQT ODNOZNA^NYe WETWI p 2 OBRATNOJ FUNKCII z = w + w ; 1 (IV, c. 69). tAK; KAK PODSTANOWKA z = eit PREOBRAZUET SOOTNOENIE w = 21 z + z1; W w= cos t, OKRUVNOSTX z 2 C : jzj = 1 FUNKCIEJ w = 21 z + z1 PEREWODITSQ W DWAVDY PROHODIMYJ OTREZOK ;1 1]: SIMMETRI^NYE OTNOSITELXNO DEJSTWITELXNOJ OSI TO^KI z = eit I z = e;it \TOJ OKRUVNOSTI PEREHODQT W ODNU I TU VE TO^KU w 2 ;1 1]. HAGLQDNYM;STANOWITSQ NA 1 1 RUENIE KONFORMNOSTI OTOBRAVENIQ w = 2 z + z W TO^KAH z = 1. 1
w \NEOSOBYH" TO^KAH.
103 ;
sREDI PRO^EGO FUNKCIQ w = 12 z + z1 WKUPE S DROBNO-LINEJNYMI UPRO]AET IZU^ENIE OTOBRAVENIJ TRIGONOMETRI^ESKIMI (RAWNO KAK I GIPERBOLI^ESKIMI ) FUNKCIQMI. K PRIMERU, PREDSTAWLENIE w =cos z W WIDE KOMPOZICII ; z 7;! iz 7;! eiz 7;! 21 eiz + e1iz = cos z POZWOLQET NAGLQDNO PREDSTAWITX PREOBRAZOWANIE PRI \TOM OTOBRAVENII, NAPRIMER, \IZLOMANNOJ" POLOSY (RIS. 32).
rIS. 32
104 pODOBNYE PREDSTAWLENIQ OTOBRAVENIJ w = ch z I w = sin z SOOTWETSTWENNO NA ODIN AG; KORO^EI DLINNEE: ; z 7;! ez 7;! 12 ez + e1z = ch z , a sin z = cos 2 ; z W SLU^AE w =tg z FUNKCI@ vUKOWSKOGO SMENQET DROBNO-LINEJNAQ : eiz ;e;iz 2 iz z 7;! 2iz 7;! e2iz 7;! iee 2iz;+1i = eiz +2ei;iz = tg z . 2 uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO a) OTOBRAVENIE w = z1 RAWNOSILXNO POSLEDOWATELXNOMU WYPOLNENI@ (W L@BOM PORQDKE) DWUH PREOBRAZOWANIJ SIMMETRII : OTNOSITELXNO EDINI^NOJ OKRUVNOSTI I DEJSTWITELXNOJ OSI B) PREOBRAZOWANIE PODOBIQ w = z (S KO\FFICIENTOM > 0) SWODITSQ K DWUM PREOBRAZOWANIQM SIMMETRII OTNOSITELXNO OKRUVNOSTEJ S OB]IM CENTROM 0 W) POWOROT w = ei z NA UGOL (WOKRUG TO^KI 0) RAWNOSILEN DWUM PREOBRAZOWANIQM SIMMETRII OTNOSITELXNO PERESEKA@]IHSQ (W \TOJ TO^KE) PRQMYH G) SDWIG w = z + b NA WEKTOR b RAWNOSILEN DWUM PREOBRAZOWANIQM SIMMETRII OTNOSITELXNO PERPENDIKULQRNYH K WEKTORU b PRQMYH . nA OSNOWANII \TOGO PRIJTI K WYWODU: L@BOE DROBNO-LINEJNOE PREOBRAZOWANIE RAWNOSILXNO WYPOLNENI@ ^ETNOGO ^ISLA SIMMETRIJ (OTNOSITELXNO PRQMYH I OKRUVNOSTEJ ). +b 2. pROWERITX, ^TO DROBNO-LINEJNYE OTOBRAVENIQ w = az cz +d , SOOTWETSTWU@]IE WRA]ENIQM SFERY rIMANA, | \TO TE, KOTORYE IME@T WID w;w1 i z ;z1 1+w1 w = e 1+z1 z ILI (^TO \KWIWALENTNO) HARAKTERIZU@TSQ SOOTNO; ENIQMI ad = ; bc = ; cb = ad . uKAZANIQ: A) PRI TAKIH OTOBRAVENIQH PARY TO^EK z1 z2 c z1 z2 = ;1, KOTORYM PRI STEREOGRAFI^ESKOJ PROEKCII SOOTWETSTWU@T DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYE TO^KI SFERY rIMANA (I, UPRAVNENIE 6), PEREHODQT W PARY TO^EK w1 w2 S TAKIM VE SWOJSTWOM B) NEPODWIVNYE TO^KI TAKIH OTOBRAVENIJ SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO CENTRA SFERYrIMANA I QWLQ@TSQ TO^KAMI EE PERESE^ENIQ S OSX@ WRA]ENIQ SFERY. 3. pRIMENQQ PODSTANOWKU z = et ei ;1 < t < +1, NAJTI ; OBRAZY LU^EJ z 2 C : arg z = PRI OTOBRAVENII FUNKCIEJ w = 21 z + z1 .
105
kAKIE MNOVESTWA NA PLOSKOSTI C NAZYWA@T OBLASTQMI, A FUNKCII | ANALITI^ESKIMI fUNKCI@ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) NAZYWA@T ANALITI^ESKOJ 1 W TO^KE z 2 C , ESLI ONA IMEET PROIZWODNU@ NE TOLXKO W \TOJ TO^KE , NO I W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI (W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM W \TOJ TO^KE ). fUNKCI@, ANALITI^ESKU@ W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E C , NAZYWA@T ANALITI^ESKOJ NA \TOM MNOVESTWE, A ANALITI^ESKU@ W KAVDOJ TO^KE PLOSKOSTI C | CELOJ . VII .
tERMIN ANALITI^ESKIE FUNKCII IMEL HOVDENIE W MATEMATIKE E]E DO ZAROVDENIQ TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, ODNAKO WNQTNOGO SMYSLA ON NE IMEL. w ^ASTNOSTI, WHODQ W NAZWANIE MONOGRAFII lAGRANVA 37], ON NE WSTRE^AETSQ W EE TEKSTE. kOI (28], ser. 1, t. 12, p. 35, 228) WWEL SLEDU@]U@ TERMINOLOGI@: \fUNKCIQ DEJSTWITELXNOJ ILI MNIMOJ PEREMENNOJ z BUDET NAZYWATXSQ MONODROMNOJ , ESLI ONA NE PERESTAET BYTX NEPRERYWNOJ POKA NE OBRA]AETSQ W BESKONE^NOSTX ONA BUDET NAZYWATXSQ MONOGENNOJ , ESLI U NEE ESTX MONODROMNAQ PROIZWODNAQ. fUNKCIQ MOVET BYTX MONODROMNOJ I MONOGENNOJ TOLXKO DLQ ZNA^ENIJ z , SOOTWETSTWU@]IH WNUTRENNIM TO^KAM NEKOTOROJ OBLASTI . . . sINEKTI^ESKOJ Q NAZYWA@ FUNKCI@, KOTORAQ DLQ WSEH KONE^NYH ZNA^ENIJ PEREMENNOJ, OT KOTOROJ ONA ZAWISIT, QWLQETSQ NE TOLXKO MONODROMNOJ I MONOGENNOJ, NO I KONE^NOJ." 2 1 wARIANTY: GOLOMORFNOJ , REGULQRNOJ . gOWORQ, ^TO \ w = f (z) ESTX ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ " PODRAZUMEWA@T, ^TO W PLOSKOSTI C ESTX TO^KI, W KOTORYH DANNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ . 2 w ORIGINALE: \Une fonction de la variable r eelle ou imaginaire z sera dite monodrome , si elle ne cesse d'^etre continue qu'en devenant innie elle sera dite monogene , si elle a une derivee monodrome. Une fonction peut ^etre monodrome et monog ene, seulement pour les valeurs de z correspondantes aux points interieurs d'une certaine aire . . . J'app elle synectique une fonction qui, pour une valeur nie de la variable dont elle depend, est toujours, non seulement monodrome et monog ene, mais encore nie."
106 pROISHOVDENIE \TIH (KAK I DRUGIH WWODIMYH IM) TERMINOW kOI NE OB_QSNQL1, A IH TRAKTOWKA OKAZYWAETSQ NEDOSTATO^NO WNQTNOJ. w 1875 G. WO 2-M IZDANII MONOGRAFII bRIO I bUKE 23] (S. 14) TERMIN kOI SINEKTI^ESKAQ (FUNKCIQ) BYL WPERWYE ZAMENEN NA GOLOMORFNAQ 2 ON I WOEL W OBIHOD NARAWNE S TERMINOM ANALITI^ESKAQ 3, KOTORYM POLXZOWALSQ wEJERTRASS4 43] (Bd. I, S. 51 Bd. II, S. 77). mETAMORFOZA \TIH TERMINOW OTRAVENA, NAPRIMER, W KNIGE |. bORELQ 22]. nYNE MONOGENNOSTX5 PONIMA@T KAK SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ 5 (W TOM ILI INOM SMYSLE), A ANALITI^NOSTX5, GOLOMORFNOSTX5 I REGULQRNOSTX5 | KAK SINONIMY SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ f 0 (z) (W OBY^NOM SMYSLE) NE TOLXKO W TO^KE z0 , NO I W NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI , ILI, ^TO \KWIWALENTNO (II, S. 33 XII, S. 180), RAZLOVIMOSTI FUNKCII w = f (z) W RQD PO STEPENQM z ; z0 W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM z0 .
qWLQQSX ANALITI^ESKOJ W KAKOJ-LIBO TO^KE z 2 C , T. E. IMEQ PROIZWODNU@ W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM z , FUNKCIQ OKAZYWAETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEH TO^KAH \TOGO KRUGA (RIS. 33, a). wYWOD: DLQ L@BOJ FUNKCII MNOVESTWO WSEH TO^EK , W KOTORYH ONA QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , OTKRYTO .
rIS. 33 gRE^. oo& | ODIN, EDINSTWENNYJ oo& | BEG, MESTO DLQ BEGA
"o& | PROISHOVDENIE, ROD " & | SWQZNYJ, NEPRERYWNYJ . 2 t. E. PODOBNAQ CELOJ (GRE^. oo& | CELYJ o' | WID). 3 pODRAZUMEWA@]IM RAZLOVIMOSTX FUNKCII W STEPENNOJ RQD . 4 Weierstrass, Karl, 1815{1897, | NEMECKIJ MATEMATIK, OSNOWATELX (WMESTE S kOI I rIMANOM) TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ . 5 fUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) W TO^KE z 2 C . 0 1
107
tO, ^TO MNOVESTWO O C QWLQETSQ OTKRYTYM , OZNA^AET, ^TO WSE EGO TO^KI OKAZYWA@TSQ WNUTRENNIMI TO^KAMI \TOGO MNOVESTWA (KAVDAQ WHODIT W NEGO WMESTE S NEKOTOROJ OKRESTNOSTX@ ). sIMWOLI^ESKI \TO WYRAVAETSQ FORMULOJ ; 8z z 2 O =) 9 > 0 8 ; j ; zj < =) 2 O.1 iZ RAZBORA PRIMEROW W V NA STR. 71 SLEDUET: a) w = z 2 | CELAQ FUNKCIQ B) SUMMA STEPENNOGO RQDA S NENULEWYM RADIUSOM SHODIMOSTI r QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W KRUGE SHODIMOSTI \TOGO RQDA (a PRI r =+1 | CELOJ ). W) FUNKCIQ w = jzj2 (IME@]AQ PROIZWODNU@ W EDINSTWENNOJ TO^KE z =0) NE QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ . oTKRYTOE MNOVESTWO O C NAZYWA@T OBLASTX@ 2, ESLI DLQ L@BYH DWUH EGO TO^EK z1 z2 SU]ESTWUET SOEDINQ@]IJ IH PUTX W O | ZADANNAQ NA NEKOTOROM OTREZKE a b] R I NEPRERYWNAQ NA NEM FUNKCIQ z = z(t) SO SWOJSTWAMI: z(t) 2 O PRI t 2 a b] z(a)= z1 z(b)= z2 (RIS. 33, B ). nA SAMOM DELE SPRAWEDLIWO SLEDU@]EE UTWERVDENIE O SOEDINIMOSTI MEVDU SOBOJ TO^EK OBLASTI . l@BYE DWE TO^KI OBLASTI MOVNO SOEDINITX, NE WYHODQ ZA PREDELY \TOJ OBLASTI, LOMANOJ 3, PRI^EM MOVNO DOPOLNITELXNO POTREBOWATX, ^TOBY KAVDOE ZWENO \TOJ LOMANOJ BYLO PARALLELXNO ODNOJ IZ KOORDINATNYH OSEJ (RIS. 34). oBOZNA^ENIE OTKRYTYH MNOVESTW O | PO NA^ALXNOJ BUKWE FR. ouvert, ANGL. open I NEM. oen | OTKRYTYJ . pUSTOE MNOVESTWO ' OTKRYTO (DLQ NEGO ZNA^ENIE \TOJ FORMULY | ISTINA ), NO WSE UPOMINAEMYE NIVE OTKRYTYE MNOVESTWA PODRAZUMEWA@TSQ NEPUSTYMI . 1
2
dLQ OBOZNA^ENIQ OBLASTEJ ^A]E WSEGO ISPOLXZU@T BUKWY D I G
(NA^ALXNYE ANGL. domain I NEM. Gebiet | OBLASTX).
sOSTOQ]EJ IZ KONE^NOGO ^ISLA POSLEDOWATELXNO SOEDINENNYH PRQMOLINEJNYH OTREZKOW . 3
108
rIS. 34
dOKAZATELXSTWO (OT \PROTIWNOGO"). pUSTX D | OBLASTX, KAKIE-TO DWE TO^KI KOTOROGO NE SOEDINIMY (W PREDELAH \TOJ OBLASTI) LOMANOJ . nO | SOGLASNO OPREDELENI@ OBLASTI | DLQ \TIH TO^EK ESTX SOEDINQ@]IJ ; IH (W PREDELAH OBLASTI) PUTX z = z(t) t 2 a b]. tO^KA z a+2 b , SOOTWETSTWU@]AQ SEREDINE OTREZKA a b], OKAZYWAETSQ LIBO SOEDINIMOJ , LIBO NE SOEDINIMOJ S TO^KOJ z(a) LOMANOJ W PERWOM SLU^AE W KA^ESTWE a1 b1 ] WYBIRA@T OTREZOK a+2 b b], A WO WTOROM | OTREZOK a a+2 b ]. tAK ILI INA^E PUTX z = z(t) t 2 a1 b1 ], SOEDINQET TO^KI, NE SOEDINIMYE (W PREDELAH OBLASTI D) LOMANOJ . s OTREZKOM a1 b1 ] POSTUPA@T TAK VE: W SLU^AE SOEDINIMOSTI (W PREDELAH OBLASTI D) TO^KI z(a1 +2 b1 ) S TO^KOJ z(a1 ) LOMANOJ W KA^ESTWE a2 b2] BERUT OTREZOK a1 +2 b1 b], W SLU^AE VE IH NESOEDINIMOSTI POLAGA@T a2 b2 ] = a a1 +2 b1 ]. pOSLEDOWATELXNOE WYPOLNENIE \TOJ PROCEDURY PRIWODIT K STQGIWA@]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW a b] a1 b1 ] a2 b2] an bn ] , IME@]IH OB]U@ TO^KU . tAK KAK OBLASTX D | OTKRYTOE MNOVESTWO, TO^KA z( ) PRINADLEVIT OBLASTI D WMESTE S NEKOTORYM KRUGOM S CENTROM z( ), A ESLI U^ESTX, ^TO
109
fz(an)g! z( ) I fz(bn)g! z( ) (WWIDU NEPRERYWNOSTI FUNKCII z = z(t) NA OTREZKE a b]), TO SLEDUET WYWOD: OBE TO^KI z(an) z(bn) POPADA@T (PRI DOSTATO^NO BOLXOM n ) W UKAZANNYJ KRUG , PRI^EM | PO POSTROENI@ | \TI TO^KI NE SOEDINIMY (W PREDELAH OBLASTI D ) LOMANOJ . nO \TO PROTIWORE^IT \LEMENTARNOMU GEOMETRI^ESKOMU FAKTU: W PREDELAH KRUGA L@BYE DWE EGO TO^KI SOEDINIMY MEVDU SOBOJ LOMANOJ (SO ZWENXQMI, PARALLELXNYMI OSQM KOORDINAT). Q.E.D. zAME^ANIE. sOEDINIMOSTX TO^EK POSREDSTWOM LOMANOJ ESTX BOLEE SILXNOE TREBOWANIE, NEVELI IH SOEDINIMOSTX POSREDSTWOM PUTI : ESLI z0 z1 z2 : : : zn zn+1 | POSLEDOWATELXNYE WERINY LOMANOJ , SOEDINQ@]EJ TO^KI z0 zn+1 , TO 8 z0 + t (z1 ; z0 ) PRI 0 6 t 6 1 > > > < z = >z1 + (t ; 1)(z2 ; z1 ) PRI 1 6 t 6 2 t 2 0 n +1], : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : > > : zn + (t ; n)(zn+1 ; zn) PRI n 6 t 6 n +1 ESTX PUTX (OSU]ESTWLQ@]IJ OBHOD \TOJ LOMANOJ ), KOTORYJ SOEDINQET TO^KI z0 zn+1.
w MATEMATIKE RAZLI^A@T PONQTIQ SWQZNOGO I LINEJNOGO SWQZNOGO MNOVESTWA 1. mNOVESTWO E NAZYWA@T SWQZNYM , ESLI PRI L@BOM EGO RAZDELENII NA DWA (NEPUSTYH I NEPERESEKA@]IHSQ ) PODMNOVESTWA E0 E1 PO KRAJNEJ MERE ODNO IZ NIH SODERVIT (HOTQ BY ODNU ) PREDELXNU@ TO^KU DRUGOGO .2 mNOVESTWO E NAZYWA@T LINEJNO SWQZNYM , ESLI DLQ L@BYH DWUH EGO TO^EK z0 z1 SU]ESTWUET SOEDINQ@]IJ IH PUTX z = z (t) t 2 a b], PROHODQ]IJ PO MNOVESTWU E . 1 zDESX RE^X IDET O MNOVESTWAH NA PLOSKOSTI C , NO \TI PONQTIQ PRIMENIMY K MNOVESTWAM W KOORDINATNYH PROSTRANSTWAH Rn L@BOJ RAZMERNOSTI (I W BOLEE OB]IH PROSTRANSTWAH). 2 |KWIWALENTNO: NE SU]ESTWUET DWUH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW O0 O1 , OB_EDINENIE KOTORYH SODERVIT WSE MNOVESTWO E , A KAVDOE IZ NIH OTDELXNO | ^ASTX \TOGO MNOVESTWA.
110 l@BOE LINEJNO SWQZNOE MNOVESTWO QWLQETSQ SWQZNYM 1 OBRATNOE VE UTWERVDENIE (DLQ MNOVESTW, NE QWLQ@]IHSQ OTKRYTYMI ) NEWERNO (UPRAVNENIE 3). dLQ OTKRYTYH MNOVESTW O C PONQTIQ SWQZNOSTI , LINEJNOJ SWQZNOSTI I SWQZNOSTI POSREDSTWOM LOMANYH SOWPADA@T. dLQ PROWERKI \TOGO (S U^ETOM DOKAZANNOGO WYE) DOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO L@BYE DWE TO^KI SWQZNOGO OTKRYTOGO MNOVESTWA O MOVNO SOEDINITX LOMANOJ , NE WYHODQ]EJ ZA PREDELY \TOGO MNOVESTWA. eSLI BY \TO BYLO NE TAK, T. E. ESLI BY DLQ KAKIH-TO DWUH TO^EK z0 z1 2 O TAKOJ LOMANOJ NE SU]ESTWOWALO, TO MNOVESTWO O OKAZYWALOSX BY OB_EDINENIEM DWUH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH MNOVESTW O0 def = fz 2 O : z SOEDINIMA S z0 LOMANOJ W Og, O1 def = fz 2 O : z NE SOEDINIMA S z0 LOMANOJ W Og, NI ODNA TO^KA KAVDOGO IZ KOTORYH NE QWLQETSQ PREDELXNOJ DLQ DRUGOGO.
l@BOE OTKRYTOE MNOVESTWO O C QWLQETSQ LIBO OBLASTX@ , LIBO OB_EDINENIEM KONE^NOGO ILI BESKONE^NOGO2 ^ISLA NEPERESEKA@]IHSQ OBLASTEJ 3.
dLQ DOKAZATELXSTWA DOSTATO^NO RAZDELITX MNOVESTWO O NA PODMNOVESTWA, OTNOSQ TO^KI z1 z2 2 O K ODNOMU PODMNOVESTWU, ESLI \TI TO^KI SOEDINIMY W MNOVESTWE O LOMANOJ . pOLU^ENNYE MNOVESTWA OKAZYWA@TSQ OTKRYTYMI , LINEJNO SWQZNYMI , I NEPERESEKA@]IMISQ . 1 dOKAZATELXSTWO. pUSTX E = E E | L@BOE RAZDELENIE LINEJ0 1 NO SWQZNOGO MNOVESTWA E NA DWA (NEPERESEKA@]IHSQ) PODMNOVESTWA I z = z (t) t 2 a b] | PROHODQ]IJ PO MNOVESTWU E PUTX , SOEDINQ@]IJ KAKIE-TO TO^KI z0;2 E0 I z1 2 E1 . w KA^ESTWE a1 b1 ] ;WYBIRAETSQ OTREZOK a+2 b b], ESLI z a+2 b 2 E0 , I OTREZOK a a+2 b ], ESLI z a+2 b 2 E1 W TOM I DRUGOM SLU^AE z (a1) 2 E0 z (b1) 2 E1 . pOSLEDOWATELXNOE PRODOLVENIE \TOGO PROCESSA PRIWODIT K STQGIWA@]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW a b] a1 b1 ] a2 b2 ] an bn ] SO SWOJSTWOM: z (an) 2 E0 z (bn) 2 E1 n = 1 2 : : : eSLI | OB]AQ TO^KA \TIH OTREZKOW , TO z ( ) QWLQETSQ PREDELXNOJ TO^KOJ DLQ OBOIH MNOVESTW E0 E1 (WNE ZAWISIMOSTI OT TOGO, KOTOROMU IZ NIH ONA PRINADLEVIT). Q.E.D. 2 tO^NEE, S^ETNOGO . 3 |TO VE OTNOSITSQ K OTKRYTYM MNOVESTWAM O Rn .
111
sOPOSTAWLENIE POSLEDNEGO UTWERVDENIQ S OPREDELENIEM ANALITI^NOSKOJ FUNKCII (S. 105) I KRITERIEM SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ (V , c. 73, 77) POZWOLQET SDELATX SLEDU@]IE WYWODY. 1. l@BU@ ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ MOVNO S^ITATX TAKOWOJ W NEKOTOROJ OBLASTI .1 2. fUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA ONA IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) W KAVDOJ TO^KE \TOJ OBLASTI .2 3. dLQ TOGO ^TOBY FUNKCIQ w = f (z) BYLA ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C , DOSTATO^NO , ^TOBY KAK FUNKCIQ w = f (x+iy) DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH ONA IMELA W @f \TOJ OBLASTI NEPRERYWNYE ^ASTNYe PROIZWODNYe @f @x @y S @f WYPOLNENIEM USLOWIQ kOI { rIMANA @f @x + i @y = 0 (A W POLQRNYH KOORDINATAH | NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE @f @f S WYPOLNENIEM USLOWIQ @f + i @f =0). @r @' @r r @' kAK SLEDSTWIQ, SPRAWEDLIWY SLEDU@]IE UTWERVDENIQ. +P 1 +P 1 CUMMY RQDOW cn(z ;z0 )n I cn(z ;z0 )n | STEPENNOGO n=0 n=;1 I OBOB]ENNOGO STEPENNOGO | QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI SOOTWETSTWENNO W KRUGE I KOLXCE SHODIMOSTI \TIH RQDOW (V , S. 72). eSLI OTKRYTOE (c. 106) MNOVESTWO O WSEH TO^EK ANALITI^NOSTI FUNKCII w = f (z) NE QWLQETSQ OBLASTX@ , TO ONO OKAZYWAETSQ OB_EDINENIEM O = j Dj NEPERESEKA@]IHSQ OBLASTEJ , I FUNKCI@ w = f (z) UDOBNEE IZU^ATX OTDELXNO W KAVDOJ IZ NIH. 2 tOGDA KAK SU]ESTWOWANIE U FUNKCII PROIZWODNOJ W TO^KE I EE ANALITI^NOSTX W TO^KE | \TO RAZNYE TREBOWANIQ (PRIMER FUNKCII w = jz j2 NA S. 107). 1
112
|KSPONENCIALXNAQ FUNKCIQ w = exp x = ez (II, c. 36) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C (T. E. CELOJ ). oDNOZNA^NAQ WETWX LOGARIFMA w = ln z = ln r + i' QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W L@BOJ OBLASTI D C , GDE OPREDELENA ODNOZNA^NAQ WETWX ARGUMENTA ' = arg z (NAPRIMER, W PLOSKOSTI C c \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U , WYHODQ]EMU IZ TO^KI 0 V, c. 78). |LEMENTARNYE FUNKCII 1 (W SLU^AE IH MNOGOZNA^NOSTI | IH ODNOZNA^NYE WETWI ) QWLQ@TSQ ANALITI^ESKIMI W TEH OBLASTQH PLOSKOSTI C , GDE ONI OPREDELENY.
uSLOWIQ POSTOQNSTWA ANALITI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI. eSLI DLQ FUNKCII w = f (z), ANALITI^ESKOJ W OB-
LASTI D C , WYPOLNENO ODNO IZ USLOWIJ : 1) f 0 (z) 0 2) Re f (z) c 3) Im f (z) c 4) arg f (z) c 5) j f (z) j c (GDE c | NEKOTOROE DEJSTWITELXNOE ^ISLO ), TO \TA FUNKCIQ QWLQETSQ POSTOQNNOJ W OBLASTI D. dOKAZATELXSTWO. kAVDOE IZ \TIH PQTI USLOWIJ WLE^ET RAWENSTWO NUL@ (W KAVDOJ TO^KE OBLASTI D) ^ASTNYH PRO@u @v @v IZWODNYH @u @x @y @x @y FUNKCIJ u = Re f (x + iy) I v = Im f (x + iy). w PERWYH TREH SLU^AQH \TO WYTEKAET IZ @f USLOWIQ kOI { rIMANA @f @x + i @y =0 WKUPE S SOOTNOENIQMI @f @u @v @f @u @v f 0(z)= @f @x @x = @x + i @x @y = @y + i @y (V, c. 73). ~ETWERTYJ SLU^AJ SWODITSQ K TRETXEMU (UMNOVENIEM FUNK; CII NA ^ISLO e;ic): Im e;icf (z) =0. w PQTOM SLU^AE f (z) 0, ESLI c = 0, a ESLI c 6= 0, TO TOVDESTWO u2(x y) + v2 (x y) c2 WLE^ET WYPOLNENIE W KAVDOJ TO^KE (x y) 2 D RAWENSTW
T. E. WYRAVAEMYE ^EREZ PEREMENNU@ I KONSTANTY KOMBINACIQMI ^ETYREH OSNOWNYH DEJSTWIJ , \KSPONENTY I LOGARIFMA (III, c. 51). 1
113 (
@u u + @v v =0 @x @v v =0: @u u + @x @y @y
rASSMATRIWAQ \TI RAWENSTWA KAK ODNORODNU@ SISTEMU LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ , IME@]U@ NENULEWOE REENIE (u v), MOVNO UTWERVDATX, ^TO OPREDELITELX \TOJ SISTEMY RAWEN NUL@ W L@BOJ TO^KE (x y) 2 D, A SLEDOWATELXNO (c U^ETOM USLOWIJ kOI { rIMANA), RAWNY NUL@ W OBLASTI @u @v @v D WSE ^ASTNYE PROIZWODNYE @u @x @y @x @y . dLQ ZAWERENIQ DOKAZATELXSTWA OSTAETSQ WOSPOLXZOWATXSQ SWOJSTWOM SOEDINIMOSTI TO^EK OBLASTI POSREDSTWOM LOMANYH (S. 107): KAKOWY BY NI BYLI TO^KI z0 z1 2 D , SU]ESTWUET SOEDINQ@]AQ IH LOMANAQ L D , KAVDYJ IZ SOSTAWLQ@]IH OTREZKOW KOTOROJ PARALLELEN ODNOJ IZ OSEJ KOORDINAT (KAK NA RIS. 33, B ). nA KAVDOM IZ \TIH OTREZKOW ZNA^ENIQ u(x y) I v(x y) QWLQ@TSQ FUNKCIQMI TOLXKO ODNOJ PEREMENNOJ (x ILI y), PROIZWODNAQ PO KOTOROJ RAWNA NUL@ NA \TOM OTREZKE. wYWOD: FUNKCII u = u(x y) I v = v(x y) QWLQ@TSQ POSTOQNNYMI NA KAVDOM OTREZKE LOMANOJ , A SLEDOWATELXNO, f (z0)= f (z1), T. E. FUNKCIQ w = f (z) W L@BYH DWUH TO^KAH OBLASTI D PRINIMAET RAWNYE ZNA^ENIQ. Q.E.D. wOT PRQMOE SLEDSTWIE DOKAZANNYH USLOWIJ POSTOQNSTWA. wOSSTANOWLENIE ANALITI^ESKOJ FUNKCII PO EE DEJSTWITELXNOJ (MNIMOJ) ^ASTI ILI MODUL@ (ARGUMENTU) ANALITI^ESKAQ W OBLASTI D C FUNKCIQ w = f (z) WOSSTANAWLIWAETSQ 1 : a) S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO PO SWOEJ DEJSTWITELXNOJ (ILI MNIMOJ ) ^ASTI B) S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO MNOVITELQ PO SWOEMU MODUL@ (ILI ARGUMENTU , ESLI f (z) 6= 0 W OBLASTI D). 1
pO KRAJNEJ MERE W PRINCIPE.
114
tRADICIONNYJ SPOSOB PRAKTI^ESKOGO WOSSTANOWLENIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z), NAPRIMER, PO EE DEJSTWITELXNOJ ^ASTI u = u(x y) SOSTOIT W 1) REENII | OTNOSITELXNO v = v (x y) PRI ZADANNOJ FUNKCII u = u(x y) | SISTEMY URAWNENIJ kOI { rIMANA ( @u @v @x = @y @u =; @v @y @x
(PRI \TOM FUNKCIQ v = v(x y) OPREDELQETSQ S
TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO ) I 2) POSLEDU@]EJ ZAPISI FUNKCII w = u(x y) + iv (x y) W WIDE w = f (z) (KAK FUNKCII NE DWUH DEJSTWITELXNYH , A ODNOJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = x + iy ).
tO, ^TO WTOROJ IZ \TIH PUNKTOW INOGDA TREBUET BOLXIH USILIJ, ^EM PERWYJ, WIDNO IZ PRIMERA u = ;2x4 ; 4x3 y + 12x2y2 + 4xy3 ; 2y4 : POLU^ITX PREDWARITELXNYJ OTWET w = ;2x4; 4x3y + 12x2y2+ 4xy3; 2y4 + i (x4; 8x3y ; 6x2y2+ 8xy3+ y4+ c) PRO]E, ^EM OKON^ATELXNYJ w =(i ; 2)z 4 + ic.
bOLEE IZQ]NYJ SPOSOB WOSSTANOWLENIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII PO EE DEJSTWITELXNOJ ^ASTI OPISYWAETSQ SLEDU@]IM UTWERVDENIEM. eSLI DEJSTWITELXNAQ ^ASTX u = u(x y) ANALITI^ESKOJ W OBLASTI D C FUNKCII w = f (z) ;DOPUSKAET PODSTANOW z z z z KU x = 2 , y = 2i (T. E. ZNA^ENIe u 2 , 2i OPREDELENO DLQ WSEH z 2 D , TO S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO ; f (z)=2 u 2z , 2zi W OBLASTI D. ;
dOKAZATELXSTWO. pUSTX fe(z) def = 2 u z2 , 2zi , GDE z = x + iy. tOGDA (WWIDU WYPOLNENIQ DLQ FUNKCII w = f (z) USLOWIJ kOI { rIMANA) @ fe = 2; @u 1 + @u 1 = @u ; i @u = @u + i @v , @x @x 2 @y 2i @x @y @x @x
115 @ fe = 2; @u i + @u i = i @u + @u = i @u @v . @y @x 2 @y 2i @x @y @x @x e e oTS@DA SLEDUET, ^TO @@xf + i @@xf 0, A PO\TOMU w = fe(z)
;
ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ W OBLASTI D c PROIZWODNOJ e ; @v z = f 0;z + i z = f 0 (z) + i fe0(z)= @@xf = @u @x @x x = 2 2i
ESTX
2
y = 2zi
; TAK KAK f (z);fe(z) 0 0, SLEDUET WYWOD: f (z);2 u 2z , 2zi c W OBLASTI D. Q.E.D. ; zAME^ANIE. tAK KAK Im f (z) = Re ;if (z) , FORMULA WOSSTANOWLENIQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w;= f (z) PO EE MNIMOJ ^ASTI v = v(x y) IMEET WID f (z)= 2 iv 2z , 2zi .
pRIMERY. 1. w RAZOBRANNOM WYE SLU^AE f (z) = (i ; 2)z 4, KOGDA u = ;2x4;; 4x3y +12 x2y2 +4xy3 ; 2y4, PODSTANOWKA x = z2 , y = 2zi DAET: ; z4 ; 4 z4 +12 z4 +4 z4 ; 2 z4 = (i ; 2)z 4. 2 u z2 , 2zi =2 ;2 16 16 i ;16 ;16 i 16 ; z z 2. pODSTANOWKU x = 2 , y = 2i FUNKCIQ u = x2 +x y2 = Re 1z NE DOPUSKAET (ZNAMENATELX OBRA]AETSQ W NULX ). OBOJTI \TO ZATRUDNENIE POZWOLQET PERENOS NA^ALA KOORDINAT (NAPRIMER, W TO^KU z =1) | ZAMENA z = ze; 1, ILI x = xe ; 1 y = ye, PRI KOTOROJ u = x2 +x y2 = (xe;xe1);21+ ye2 , TAK ^TO ; ;1 2 = ze;2 = z;1 = 1 ;1. 2 u 2ze , 2zei = ((ze=2)(;ze1)=2)2 +( ze=2i) ;ze+1 ;z z fUNKCI@ u = u(x y) DWUH DEJSTWITELXNYH PEREMENNYH NAZYWA@T GARMONI^ESKOJ W oBLASTI D R2, ESLI W \TOJ OBLASTI ONA IMEET NEPRERYWNYE ^ASTNYE PROIZWODNYE 2-GO PORQDKA I UDOWLETWORQET URAWNENI@ 2u 2u @ @ 1 lAPLASA @x2 + @y2 =0. ; @ ; @u w ZAPISI @x@ @u @x = @y ; @y \TO URAWNENIE WYRAVAET IZWESTNYJ @u @v @v KRITERIJ TOGO, ^TO ; @u @y dx + @x dy ESTX DIFFERENCIAL dv = @x dx+ @y dy fRANCUZSKIJ MATEMATIK, MEHANIK I ASTRONOM lAPLAS (Laplace, Pierre Simon, 1749 {1827) OPERIROWAL \TIM URAWNENIEM W SWOIH RABOTAH PO NEBESNOJ MEHANIKE. 1
116 NEKOTOROJ FUNKCII v = v(x y) (ESLI NE WO WSEJ OBLASTI D , TO PO KRAJNEJ MERE W OKRESTNOSTI KAVDOJ EE TO^KI). @v @u @v tAK KAK W \TOM SLU^AE @u @x = @y , a @y = ; @x , FUNKCIQ v = v(x y) TAKVE OKAZYWAETSQ GARMONI^ESKOJ (A FUNKCIQ w = u(x y) + iv(x y) | ANALITI^ESKOJ ) PO KRAJNEJ MERE W OKRESTNOSTI KAVDOJ TO^KI OBLASTI D.1 w SWQZI S \TIM FUNKCI@ v = v(x y) NAZYWA@T SOPRQVENNOJ GARMONI^ESKOJ PO OTNOENI@ K GARMONI^ESKOJ FUNKCII u = u(x y), A ; FORMULA v =2Im u z2 2zi POZWOLQET EE NAJTI (S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO ). uPRAVNENIQ. 1. oB_QSNITX, PO^EMU w =Re z+i Im z | ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ, A w =(Re z)2+ i (Im z)2 | NET. 2. nAJTI WSE ANALITI^ESKIE FUNKCII w = f (z), DEJSTWITELXNAQ I MNIMAQ ^ASTI KOTORYH u = u(x y) I v = v(x y) SWQZANY LINEJNYM SOOTNOENIEM au + bv = c (c POSTOQNNYMI a b c). 3. pROWERITX, ^TO GRAFIK FUNKCII y = sin x1 , x 2 R x = 6 0, DOPOLNENNYJ OTREZKOM ;1 1] OSI y , QWLQETSQ SWQZNYM , NO NE LINEJNO SWQZNYM MNOVESTWOM NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI R2 . 4. wOSSTANOWITX ANALITI^ESKU@ FUNKCI@ w = f (z) PO EE MNIMOJ y ^ASTI v = cos 2sh2 x+ch2 y . (oTWET: f (z)=tg z .) ; ; 5. wYWESTI FORMULU WOSSTANOWLENIQ f (z) = c exp 2 i' z2 , 2zi ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) PO EE ARGUMENTU ' = '(x y), z = x + iy. pROWERITX EE NA PRIMERE arg f (z)= x2 +2 xy ; y2. 6. pROWERIW,^TO u=ln(x2 + y2 + 2x + 1) | GARMONI^ESKAQ FUNKCIQ W OBLASTI R2 r (;1 0) , NAJTI DLQ NEE SOPRQVENNU@ GARMONI^ESKU@ FUNKCI@ I UBEDITXSQ, ^TO ONA MNOGOZNA^Na W UKAZANNOJ OBLASTI .
wO WSEJ OBLASTI D FUNKCII v = v(x y) I w = u(x y) + iv(x y) MOGUT OKAZATXSQ MNOGOZNA^NYMI . 1
117
kAK WWODITSQ INTEGRAL PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ
VIII .
iNTEGRAL FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ PO PRIRODE QWLQETSQ KONTURNYM , I POTOMU DATX EGO WNQTNOE OPREDELENIE MOVNO, LIX PRIDAW ^ETKIJ SMYSL PONQTIQM KONTURA (KUSO^NO-GLADKOGO ) NA PLOSKOSTI C I PUTI EGO OBHODA . nA^ATX PRI \TOM SLEDUET S PONQTIQ GLADKOJ DUGI . gLADKAQ DUGA L C | \TO OBRAZ NEKOTOROGO OTREZKA a b] R PRI WZAIMNO-ODNOZNA^NOM OTOBRAVENII EGO W PLOSKOSTX C KOMPLEKSNOZNA^NOJ FUNKCIEJ z = z(t) = x(t)+ iy(t) (RIS. 35), IME@]EJ NA \TOM OTREZKE NEPRERYWNU@ I NE RAWNU@ NUL@
[email protected] zNA^ENIQ z(a) z(b) NAZYWA@T PRI \TOM KONCEWYMI, A z(t) a < t < b, | WNUTRENNIMI TO^KAMI Rb Rbp GLADKOJ DUGI L. ~IcLO l(L) def = jz0 (t)j dt = (x0 (t))2 +(y0 (t))2 dt a a WYRAVAET DLINU \TOJ GLADKOJ DUGI 2
rIS. 35 1 w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO FUNKCIQ z = z (t) a 6 t 6 b, ZADAET PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L . nA DEJSTWITELXNOJ PLOSKOSTI R2 ( \TA VE GLADKAQ DUGA IMEET PARAMETRIZACI@ xy == yx((tt)) a 6 t 6 b. 2 sOGLASNO OPREDELENI@ IZ KURSA DEJSTWITELXNOGO ANALIZA.
118 nAGLQDNO, GLADKAQ DUGA | \TO PRQMOLINEJNYJ OTREZOK , PODWERGNUTYJ OBRATIMOJ GLADKOJ DEFORMACII | RASTQVENI@ I IZGIBU BEZ RAZRYWOW , IZLOMOW I SKLEIWANIJ . mATEMATI^ESKIM WYRAVENIEM TAKOGO SRAWNENIQ QWLQ@TSQ SLEDU@]IE UTWERVDENIQ. 1. fUNKCIQ z = z (t) t 2 a b], ZADA@]AQ PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L , IMEET NEPRERYWNU@ OBRATNU@ : t = t (z) z 2 L , OBLADA@]U@ NEPRERYWNOJ PROIZWODNOJ t0 (z ).1 2. w KAVDOJ TO^KE z 2 L GLADKAQ DUGA L IMEET KASATELXNU@ PRQMU@ L , NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR KOTOROJ QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ TO^KI KASANIQ . dOKAZATELXSTWa. 1. sU]ESTWOWANIE FUNKCII t = t (z) z 2 L , ESTX SLEDSTWIE WZAIMNO-oDNOZNA^NOSTI OTOBRAVENIQ z = z (t) t 2 a b]: RAZNYM TO^KAM t 2 a b] SOOTWETSTWU@T RAZNYE TO^KI z 2 L . fUNKCIQ t = t (z) z 2 L , NEPRERYWNA : DLQ L@BOJ POSLEDOWATELXNOSTI fzng TO^EK zn 2 L , SHODQ]EJSQ K TO^KE z0 2 L , SOOTWETSTWU@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX ftng TO^EK tn = t (zn) SHODITSQ K TO^KE t0 = t (z0). eSLI BY \TO BYLO NE TAK, TO U POSLEDOWATELXNOSTI ftng SU]ESTWOWALA BY PODPOSLEDOWATELXNOSTX ftnkg, SHODQ]AQSQ K NEKOTOROJ TO^KE e t 2 a b], OTLI^NOJ OT t0 . tEM SAMYM WOZNIKALO BY PROTIWORE^IE : ODNOWREMENNO fznkg ! z0 I fznkg = fz (tnk )g ! z (et) = 6 z0 .
rIS. 36 1 wELI^INY jz 0 (t)j I jt0 (z)j IME@T SMYSL KO\FFICIENTOW RASTQVENIQ (W TO^KAH t 2 a b] I z 2 L ) PRI DEFORMACII OTREZKA a b] W GLADKU@ DUGU L I OBRATNO.
119 Mt = lim Mz ;1 = z 0(t) ;1 | S U^ETOM TOGO, ^TO z 0 (t) 6= 0, t0 (z)= Mlim z!0 Mz Mt!0 Mt A Mz ! 0 () Mt ! 0 (NEPRERYWNOSTX FUNKCII t = t(z) I z = z (t)). 2. pRQMAQ L , PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU z0 = z (t0) W NAPRAWLENII NENULEWOGO WEKTORA z 0(t0), QWLQETSQ KASATELXNOJ K GLADKOJ DUGE L W TO^KE z0 : ESLI (z L) | RASSTOQNIE OT TO^KI z 2 L DOPRQMOJ L , TO ;
( z L ) (RIS. 36) zlim !z0 jz;z0j = 0, TAK KAK PRI t ! t0 KOGDA z ! z0 ;
z 2L
(zL)
;
jz(t);z(t );z0 (t )(t;t )j = o (t;t ) ! 0 0 . 6 jz;z j jz(t);z(t )j jz(t);z(t )j jz (t )j 0
0
0 0
0
0
0
0
wWIDU NEPRERYWNOSTI ZAWISIMOSTI z 0 (t) OT t 2 a b], A t OT z 2 L (P. 1), NAPRAWLQ@]IJ WEKTOR z 0(t (z0)) KASATELXNOJ PRQMOJ L OKAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ TO^KI KASANIQ z0 2 L. Q.E.D.
wOT NEKOTORYE PRIMERY GLADKIH DUG L C (WMESTE S IH PARAMETRIZACIQMI): 1) OTREZOK PRQMOJ ; , SOEDINQ@]IJ TO^KI z0 z1 2 C : z = z0 +(z1 ; z0) t ILI z = z1 +(z0 ; z1) t , t 2 0 1] 2) GRAFIK FUNKCII y = f (x) (ILI x = f (y)), IME@]EJ NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ NA OTREZKE a b] R : z = x + if (x) x 2 a b], (ILI z = f (y)+ iy y 2 a b] RIS. 37)
rIS. 37
DUGA OKRUVNOSTI fz 2 C : jz ; z0 j = rg MEVDU DWUMQ LU^AMI , WYHODQ]IMI IZ TO^KI z0 POD UGLAMI I K DEJSTWITELXNOJ OSI (0 < ; < 2): z = z0 + reit t 2 ]. 3)
120
pONQTIQ KONCEWOJ I WNUTRENNEJ TO^EK GLADKOJ DUGI L I ZNA^ENIE EE DLINY l(L) (S. 117) NE ZAWISQT OT WYBORA PARAMETRIZACII \TOJ GLADKOJ DUGI , T. E. PRISU]I SAMOJ \TOJ GLADKOJ DUGE .
dOKAZATELXSTWO. eSLI z = z (t) t 2 a b], I z = ( ) 2 ], | DWe PaRaMETRIZACII (ODNOJ I TOJ VE) GLADKOJ DUGI L , TO KOMPOZICIQ FUNKCIJ z = ( ) I t = t (z) (OBRATNOJ K z = z (t) S. 118, UTWERVDENIE 1) PRIWODIT K FUNKCII t = t ( ( )) S PROIZWODNOJ t0 = t0z 0 = (zt0 );1 0 , NE RAWNOJ NUL@ , A SLEDOWATELXNO, SOHRANQ@]EJ ZNAK NA OTREZKE ]. sOOTWETSTWIE $ t 2 ] t 2 a b] (RIS. 38) OKAZYWAETSQ PO\TOMU STROGO MONOTONNYM , TAK ^TO WNUTRENNIM I KONCEWYM TO^KAM OTREZKA ] OTWE^A@T, SOOTWETSTWENNO, WNUTRENNIE I KONCEWYE TO^KI OTREZKA a b], PRI \TOM LIBO () = z (a), A ( ) = z (b) (ESLI t0( ) > 0), LIBO ()= z (b), A ( )= z (a) (ESLI t0( ) < 0).
rIS. 38 ~TO KASAETSQ FORMULY DLINY l(L) GLADKOJ DUGI , TO W PERWOM SLU^AE (PRI t0( ) > 0) Rb 0 R R R jz (t)j dt = z 0(t ( ))t0( ) d = z 0(t ( )) t0( ) d = j 0 ( )j d , a A WO WTOROM (KOGDA t0( ) > 0) Rb 0 R R R jz (t)j dt = z 0 (t ( )) t0( ) d = ; z 0(t( ))t0( ) d = j 0 ( )j d . Q.E.D. a
pOD SOEDINENIEM DWUH GLADKIH DUG L1 L2 PONIMAETSQ NALI^IE U NIH OB]EJ KONCEWOJ TO^KI SOEDINENIE S^ITAETSQ
121
GLADKIM , ESLI SU]ESTWUET GLADKAQ DUGA L L1 L2 , DLQ KOTOROJ \TA OB]AQ KONCEWAQ TO^KA QWLQETSQ WNUTRENNEJ .1
rAZDELENIE GLADKOJ DUGI L PODRAZUMEWAET WYBOR KONE^NOGO ^ISLA EE WNUTRENNIH TO^EK, KAVDAQ IZ KOTORYH STANOWITSQ OB]EJ KONCEWOJ TO^KOJ ODNOJ IZ PAR OBRAZU@]IHSQ GLADKIH DUG (IME@]IH W \TOJ TO^KE GLADKoE SOEDINENIe ).
oRIENTIROWANNAQ GLADKAQ DUGA | \TO GLADKAQ DUGA L S UKAZANIEM, KAKAQ IZ DWUH EE KONCEWYH TO^EK PRINIMAETSQ ZA NA^ALXNU@ (A KAKAQ ZA KONE^NU@ ), I USTANOWLENIEM TEM SAMYM PORQDKA SLEDOWANIQ TO^EK \TOJ GLADKOJ DUGI 2. pEREHOD K PROTIWOPOLOVNOMU PORQDKU SLEDOWANIQ TO^EK ORIENTIROWANNOJ GLADKOJ DUGI L (OB_QWLENII EE NA^ALXNOJ TO^KI KONE^NOJ , A KONE^NOJ | NA^ALXNOJ ) OBOZNA^AETSQ ^ERTO^KOJ : L; . kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; | \TO LIBO ORIENTIROWANNAQ GLADKAQ DUGA (;= fLg), LIBO REZULXTAT POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ (; = fL1 : : : Lng) NESKOLXKIH ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG 3, NA^ALXNAQ TO^KA PERWOJ IZ KOTORYH S^ITAETSQ NA^ALXNOJ , A KONE^NAQ TO^KA POSLEDNEJ | KONE^NOJ TO^KOJ KONTURA ; W SLU^AE SOWPADENIQ NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^EK KONTURA EGO NAZYWAA@T ZAMKNUTYM . kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR NAZYWA@T GLADKIM , ESLI WSE SOEDINENIQ SOSTAWLQ@]IH EGO ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG (WKL@^AQ SOEDINENIE PERWOJ I POSLEDNEJ U ZAMKNUTOGO KONTURA) QWLQ@TSQ GLADKIMI .
PEZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ DWUH GLADKIH DUG NE OBQZATELXNO QWLQETSQ GLADKOJ DUGOJ . k PRIMERU, OKRUVNOSTX ESTX REZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ DWUH (ILI BOLXEGO ^ISLA) GLADKIH DUG . 2 eSLI z = z (t) t 2 a b] | KAKAQ-LIBO PARAMETRIZACIQ GLADKOJ DUGI L , TO PORQDOK SLEDOWANIQ TO^EK z 2 L SOOTWETSTWUET WOZRASTANI@ ILI UBYWANI@ t 2 a b]. 3 dLQ KRATKOSTI PROSTO DUG . pOD IH POSLEDOWATELXNYM SOEDINENIEM PONIMAETSQ, ^TO KONE^NAQ TO^KA DUGI L1 SOWPADAET S NA^ALXNOJ TO^KOJ DUGI L2 I T. D. 1
122 s^ITAETSQ, ^TO DWA RAZNYH NABORA POSLEDOWATELXNO SOEDINENNYH ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG L1 : : : Ln I L01 : : : L0m SOSTAWLQ@T ODIN I TOT VE KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ;, ESLI RAZBIENIEM I SOEDINENIEM SOSTAWLQ@]IH \TI NABORY SWODQTSQ DRUG K DRUGU (RIS. 39).
rIS. 39
pRIMERY. 1. oPERIRUQ ODNOJ GLADKOJ DUGOJ S DWUMQ PROTIWOPOLOVNYMI PORQDKAMI SLEDOWANIQ TO^EK , MOVNO SOSTAWITX BESKONE^No MNOGO RAZLI^NYH KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW 1 (NE RAZLI^IMYH KAK MNOVESTWA TO^EK RIS. 40, A): ;1 = fLg ;2 = fL;g ;3 = fL; Lg ;4 = fL L; Lg : : :
rIS. 40 1
kAK ZAMKNUTYH , TAK I NEZAMKNUTYH .
123 2. oKRUVNOSTX C C (L@BAQ) QWLQETSQ MNOVESTWOM TO^EK NEOBOZRIMOGO ^ISLA KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW 1, NO OBY^NO PODRAZUMEWA@T TOT2, KOTORYJ WYDELQET DOBAWLENIE: ODIN RAZ OBHODIMAQ (OT KAKOJ-TO TO^KI 3 ) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (\PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" RIS. 40, B ). pEREHOD K OBRATNOMU PORQDKU SLEDOWANIQ SOSTAWLQ@]IH DUG I TO^EK KAVDOJ IZ NIH PREOBRAZUET KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; = fL1 : : : Lng W PROTIWOPOLOVNO ORIENTIROWANNYJ ;;= fL;n : : : L;1 g. kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; = fL1 : : : Lng ESTX KONTUR BEZ SAMOPERESE^ENIJ, ESLI IZ SOSTAWLQ@]IH EGO DUG L@BYE DWE NESMEVNYE NE IME@T OB]IH TO^EK , A SMEVNYE IME@T OB]IMI LIX TO^KI IH SOEDINENIQ . kUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ;, WSE SOSTAWLQ@]IE DUGI KOTOROGO QWLQ@TSQ OTREZKAMI PRQMYH (ORIENTIROWANNYMI ), NAZYWA@T LOMANOJ (ORIENTIROWANNOJ RIS. 41, a), A PRI DOBAWO^NOM USLOWII ZAMKNUTOSTI I OTSUTSTWIQ SAMOPERESE^ENIJ | MNOGOUGOLXNIKOM (ORIENTIROWANNYM RIS. 41, B).
rIS. 41 nE WSE IZ KOTORYH ZAMKNUTYE I GLADKIE . zAMKNUTYJ GLADKIJ | REZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ NESKOLXKIH ORIENTIROWANNYH DUG OKRUVNOSTI C BEZ OB]IH WNUTRENNIH TO^EK. 3 z 2 C , SLUVA]EJ NA^ALXNOJ I KONE^NOJ DLQ \TOGO KONTURA . 1 1 2
124
pUTX : z = z(t) t 2 a b], T. E. NEPRERYWNAQ KOMPLEKSNOZNA^NAQ FUNKCIQ NA OTREZKE a b] 2 R (VII , S. 107) ESTX PUTX OBHODA KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; = fL1 : : : Lng, ESLI PRI WOZRASTANII t OT a DO b ZNA^ENIE z(t) \TOJ FUNKCII POO^EREDNO PROHODIT | W SOOTWETSTWII S IH PORQDKOM SLEDOWANIQ | WSE TO^KI WSEH SOSTAWLQ@]IH KONTUR ; DUG . pUTX : z = z(t) t 2 a b], S^ITAETSQ PUTEM KLASSA C 1, ESLI FUNKCIQ z = z(t) IMEET NA OTREZKE a b] NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ z0 (t).1 eSLI FUNKCIQ z = z(t) t 2 a b], ZADAET PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L (S. 117), TO \TA VE FUNKCIQ ZADAET PUTX (KLASSA C 1) OBHODA TOJ VE, NO UVE ORIENTIROWANNOJ GLADKOJ DUGI L (S NA^ALXNOJ TO^KOJ z(a)). oBRATNOE NEWERNO: PUTX KLASSA C 1 z = tjtj+it2 t 2 ;1 1], SOWERA@]IJ OBHOD DWUHZWENNOJ LOMANOJ (RIS. 42), NE QWLQETSQ PARAMETRIZACIEJ GLADKOJ DUGI.
rIS. 42 |TU PROIZWODNU@ OBOZNA^A@T TAKVE z_ (t), POSKOLXKU t OBY^NO INTERPRETIRU@T KAK WREMQ , A FUNKCI@ z = z (t) KAK ZAWISIMOSTX POLOVENIQ TO^KI OT WREMENI (W SLU^AE PUTI KLASSA C 1 | PRI USLOWII, ^TO SKOROSTX EE PEREME]ENIQ ESTX NEPRERYWNAQ FUNKCIQ WREMENI). C 1 | TRADICIONNAQ SOKRA]ENNAQ ZAPISX TREBOWANIQ SU]ESTWOWANIQ NEPRERYWNOJ (LAT. continuus) PROIZWODNOJ (PO KRAJNEJ MERE) 1-GO PORQDKA . 1
125
dLQ L@BOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; = fL1 : : : Lng cy]ESTWUET PUTX KLASSA C 1 EGO OBHODA. dOKAZATELXSTWO. pUSTX PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L1 ZADAET FUNKCIQ z = z1 ( ) 2 a1 b1 ]. mOVNO PRI \TOM S^ITATX, ^TO ORIENTACIQ (PORQDOK SLEDOWANIQ TO^EK) DUGI L1 SOOTWETSTWUET WOZRASTANI@ ZNA^ENIJ 2 a1 b1 ].1 zAMENA PEREMENNOJ = a1 +(b;1; a1) sin2 2t , t 2 0 ], POZWOLQET ZAKL@^ITX: FUNKCIQ z = z1 a1 +(b1; a1) sin2 2t t 2 0 ], ZADAET PUTX KLASSA C 1, OSU]ESTWLQ@]IJ OBHOD ORIENTIROWANNOJ GLADKOJ DUGI L1 (RIS. 43) SO SKOROSTX@ ; 0 z_ (t)= z1 a1 +(b1; a1) sin2 2t (b1; a1)sin 2t cos 2t , QWLQ@]EJSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ NA OTREZKE 0 6 t 6 , RAWNOJ NUL@ W EGO KONCEWYH TO^KAH .
rIS. 43
pOSKOLXKU \TI VE RASSUVDENIQ PRIMENIMY I K OSTALXNYM ORIENTIROWANNYM GLADKIM DUGAM W SOSTAWE KONTURA ;, TREBUEMYJ PUTX KLASSA C 1 EGO OBHODA (WKL@^AQ SLU^AJ ZAMKNUTOGO KONTURA) ZADAET FUNKCIQ z = z(t) t 2 0 n], GDE w PROTIWNOM SLU^AE \TOGO MOVNO DOBITXSQ PEREHODOM K PARAMETRIZACII L1 : z = z1(; ) 2 ;b1 ;a1 ]. 1
126 8 ; 2 t > z a +( b ; a ) sin 1 1 1 1 > 2 > > :2: :2: : : 2: : :2 : : : : :2 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : > > > : ; zn an +(bn; an) sin2 t;(n2;1) ESLI (n ; 1) 6 t 6 n : EE PROIZWODNAQ z_ (t) NEPRERYWNA NA OTREZKE 0 6 t 6 n, WKL@^AQ TO^KI t =0 : : : n (W NIH ONA RAWNA NUL@ ).1 Q.E.D. kAK UVE OTME^ALOSX (S. 122, PRIMER 1 ), KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ; I OBOZNA^AEMOE TEM VE SIMWOLOM (INOGDA SIMWOLOM j;j ) MNOVESTWO EGO TO^EK | \TO NE ODNO I TO VE. tOLXKO ^TO DOKAZANNOE UTWERVDENIE POZWOLQET SDELATX SLEDU@]IE OB]IE WYWODY KASATELXNO SWOJSTW \TOGO MNOVESTWA . mNOVESTWO TO^EK L@BOGO KUSO^NO -GLADKOGO KONTURA ; SWQZNO , OGRANI^ENO I ZAMKNUTO | W TOM SMYSLE, ^TO MNOVESTWO C r; (NE PRINADLEVA]IH EMU TO^EK) OTKRYTO .2
uQSNITX SOOTNOENIE MEVDU PONQTIQMI GLADKOJ DUGI , KUSO^NO GLADKOGO KONTURA I PUTI OBHODA KONTURA POMOGAET UPODOBLENIE: GLADKOJ DUGI | U^ASTKU DOROGI W SISTEME DOROVNOJ SETI (A EE ORIENTACII | WYBORU NAPRAWLENIQ DWIVENIQ PO \TOMU U^ASTKU) KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA | MARRUTNOMU ZADANI@ (UKAZANI@ POSLEDOWATELXNO PROHODIMYH DOROVNYH U^ASTKOW ) PUTI OBHODA KONTURA | WYPOLNENI@ (STROGO PO PREDPISANNOMU WREMENNOMU GRAFIKU ) POSTAWLENNOGO MARRUTNOGO ZADANIQ 3. pOSTROENNYJ PUTX NAGLQDNO MOVNO PREDSTAWITX KAK POO^EREDNYJ OBHOD GLADKIH DUG L1 : : : Ln S \OSTANOWKAMI" W TO^KAH IH SOEDINENIQ I \POWOROTOM RULQ", ESLI SOEDINENIE NE QWLQETSQ GLADKIM . 2 sWQZNOSTX \TOGO MNOVESTWA NAPRQMU@ WYTEKAET IZ SU]ESTWOWANIQ PUTI z = z (t) t 2 a b], OBHODA KONTURA ; EGO OGRANI^ENNOSTX | IZ TOGO, ^TO KONTUR ; NE WYHODIT ZA PREDELY KRUGA RADIUSA sup jz (t)j (S a6t6b CENTROM 0) ZAMKNUTOSTX | IZ TOGO, ^TO ESLI z0 2= ;, TO KRUG S CENTROM z0 NENULEWOGO RADIUSA a6inft6bjz (t) ; z0j NE SODERVIT TO^EK KONTURA ;. 3 pUTX KLASSA C 1 SOOTWETSTWUET DWIVENI@, PRI KOTOROM SKOROSTX QWLQETSQ NEPRERYWNOJ FUNKCIEJ WREMENI. 1
127
w OSNOWE OPREDELENIQ INTEGRALA FUNKCII PO KUSO^NO GLADKOMU KONTURU LEVIT PONQTIE INTEGRALA FUNKCII PO OTREZKU 1 PEREHODNYM VE SLUVIT PONQTIE INTEGRALA FUNKCII WDOLX PUTI (KLASSA C 1) NA PLOSKOSTI C , OPREDELQEMOGO SLEDU@]IM OBRAZOM. pUSTX : z = z(t) t 2 a b], | PUTX KLASSA C 1 NA PLOSKOSTI C (FUNKCIQ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ, IME@]AQ NEPRERYWNU@ PROIZWODNU@ z_ (t) NA OTREZKE a b]). s^ITAQ, ^TO \TOT PUTX PROHODIT PO MNOVESTWU , NA KOTOROM ZADANA FUNKCIQ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z), POLAGA@T R
Rb
f (z) dz def = f (z(t)) z_ (t) dt, a
PRI \TOM INTEGRAL W PRAWOJ ^ASTI ZAWEDOMO OPREDELEN, ESLI FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA NA MNOVESTWE TO^EK PUTI (TAK KAK W \TOM SLU^AE PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ OKAZYWAETSQ NEPRERYWNOJ NA OTREZKE a b]). iNTEGRAL FUNKCII PO KUSO^NO-GLADKOMU KONTURU ; PONIMA@T KAK EE INTEGRAL PO KAKOMU-LIBO PUTI : z = z(t), t 2 a b], KLASSA C 1, OBHODQ]EMU \TOT KONTUR 2 (RIS. 44): R
;
R
Rb
a
f (z) dz def = f (z) dz def = f (z (t)) z_ (t) dt .
w SLU^AE ZAMKNUTOGO KONTURA ; SIMWOL INTEGRALA ^ASTO Rb
s EGO OBY^NYM OPREDELENIEM (PO rIMANU), OBOZNA^ENIEM f (x) dx a I DOSTATO^NYM USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ W WIDE TREBOWANIQ NEPRERYWNOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII NA OTREZKE a b]. 2 tO, ^TO DLQ L@BOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ; OBHODQ]IJ EGO PUTX KLASSA C 1 SU]ESTWUET, UVE BYLO (S. 125), A TO, R USTANOWLENO R def ^TO OT WYBORA TAKOGO PUTI WELI^INA f (z) dz = f (z) dz NE ZAWISIT,
; DOKAZYWETSQ ^UTX NIVE. 1
128 H
(HOTQ I NE WSEGDA) SNABVA@T KRUVO^KOM: f (z) dz . ;
rIS. 44
iZ DANNOGO OPREDELENIQ WYTEKA@T SLEDU@]IE SWOJSTWA R WELI^INY f (z) dz . 1. 2.
;
R
R
R
lINEJNOSTX : (f (z) + g(z)) dz = f (z)dz + g(z)dz . ;
R
R
;
;1
;
R
;
aDDITIWNOSTX : f (z) dz = f (z) dz + + f (z) dz , ;m
ESLI
KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; ESTX REZULXTAT POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ KUSO^NO-GLADKIH KONTUROW ;1 : : : ;m .1
3.
R
R
f (z) dz = ; f (z) dz .
;;
; 4. zNA^ENIE f (z) dz NE ZAWISIT OT R
;
a) KONKRETNOGO PUTI (KLASSA C 1 ) OBHODA KONTURA ; B) PREDSTAWLENIQ KONTURA ; W WIDE POSLEDOWATELXNO SOEDINENNYH ORIENTIROWANNYH GLADKIH DUG (I WYBORA NA^ALXNOJ TO^KI KONTURA W SLU^AE EGO ZAMKNUTOSTI ).
w IH ROLI MOGUT WYSTUPATX, NAPRIMER, SOSTAWLQ@]IE KONTUR ; ORIENTIROWANNYE GLADKIE DUGI . 1
129
sWOJSTWA 1, 2 | SLEDSTWIQ LINEJNOSTI I ADDITIWNOSTI OBY^NOGO INTEGRALA (PO OTREZKU ). w ^ASTNOSTI, ESLI PUTX (KLASSA C 1 ) z = z(t), t 2 a b], OBHODIT KONTUR ;, A ZNA^ENIQ t1 : : : tm;1 2 (a b), OTWE^A@T KONE^NYM TO^KAM KONTUROW ;1 : : : ;m;1 (ONI VE NA^ALXNYE DLQ ;2 : : : ;m ), TO R
;
Rb
Rt1
Rb
a
Ra
R tm;1
;1
;m
f (z) dz = f (z (t)) z_ (t) dt = f (z (t)) z_ (t) dt + + f (z(t)) z_ (t) dt =
= f (z) dz + + f (z) dz .
sWOJSTWO 3 WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ESLI z = z (t) t 2 a b], | PUTX OBHODA KONTURA ;, TO z = z (;t) t 2 ;b ;a], | PUTX OBHODA KONTURA ;;, TAK ^TO (S ZAMENOJ PEREMENNOJ t = ; )1 R Rb Rb t=; ;
;
f (z(; )) z_ (; )(;1) d = ;a ;R a R = f (z(; )) z0(; ) d = ; f (z(;t)) z_ (;t) dt = ; f (z) dz. ;a ;b ;;
f (z) dz = f (z (t)) z_ (t) dt = a ;b R
pUNKT B) SWOJSTWA 4 WYTEKAET IZ SWOJSTWA 2 (ADDITIWNOSTI ), POZWOLQ@]EGO TAKVE PRI OBOSNOWANII PUNKTA A) S^ITATX KONTUR ; SOSTOQ]IM LIX IZ ODNOJ (ORIENTIROWANNOJ ) GLADKOJ DUGI L . pUSTX L : z = z (t) t 2 a b], | KAKAQ-LIBO PARAMETRIZACIQ \TOJ GLADKOJ DUGI (S. 117). |TU PARAMETRIZACI@ ODNOWREMENNO MOVNO RASSMATRIWATX I KAK KONKRETNYJ PUTX e (KLASSA C 1 ), OBHODQ]IJ LIBO KONTUR ; (ESLI DUGA L ORIENTIROWANA TAK, ^TO EE NA^ALXNOJ TO^KOJ QWLQETSQ z (a)), LIBO KONTUR ;; (ESLI NA^ALXNOJ SLUVIT TO^KA z (b)). sOOTWETSTWENNO \TIM DWUM SLU^AQM LIBO R R Rb f (z) dz = f (z) dz = f (z (t))z_ (t) dt, a ;
e LIBO R R R Rb Ra f (z) dz = ; f (z) dz = ; f (z) dz = ; f (z (t))z_ (t) dt = f (z (t))z_ (t) dt. ;
;;
e
a
b
eSLI S^ITATX, ^TO TO^KA NAD z OBOZNA^AET PROIZWODNU@ PO t, A TRIH | PO . 1
130 pUSTX TEPERX : z = ( ) 2 ], | KAKOJ-LIBO IZ PUTEJ (KLASSA C 1 ), OBHODQ]IH KONTUR ;. w SILU SWOJSTWA OBRATIMOSTI PARAMETRIZU@]EJ FUNKCII (UTWERVDENIE 1 NA S. 118) OPREDELENA FUNKCIQ ; t = t ( ( )) 2 ], S NEPRERYWNOJ PROIZWODNOJ t0 ( ) = 0 ( ) z_ (t) ;1, PRI^EM W PERWOM IZ OTME^ENNYH SLU^AEW t() = a t() = b, TOGDA KAK WO WTOROM t()= b t()= a. sOOTWETSTWENNO \TIM SLU^AQM R
;
R
;
Rb
R
R
Ra
a
R
R
b
f (z) dz = f (z (t))z_ (t) dt = f (z (t( )))z_ (t( )) t0 ( )d = f ( ( )) 0( ) d , f (z) dz = f (z (t))z_ (t) dt = f (z (t( )))z_ (t( )) t0 ( )d = f ( ( )) 0( ) d , R
R
^TO I DOKAZYWAET NEZAWISIMOSTX ZNA^ENIQ f (z) dz = f (z) dz OT WY
; BORA PUTI (KLASSA C 1 ) OBHODA KONTURA ;.R Q.E.D. zAME^ANIQ. 1. oPREDELENIE WELI^INY f (z) dz RASPROSTRANQETSQ ; NA SLU^AJ MNOGOZNA^NOJ PRODYNTEGRALXNOJ FUNKCII (S OBOZNA^ENIEM R F (z) dz ) PRI USLOWII, ^TO KONTUR ; DOPUSKAET RAZDELENIE NA U^ASTKI ; ;1 : : : ;m , NA KOTORYH OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z), PRODOLVA@]IE DRUG DRUGA (SOWPADA@]IE PO ZNA^ENIQM) W TO^KAH SOEDINENIQ \TIH U^ASTKOW: ;1 I ;2 : : : ;m;1 I ;m . w SLU^AE ZAMKNUTOGO KONTURA ; ODNOWREMENNOGO S \TIM SOWPADENIQ WETWEJ W TO^KE SOEDINENIQ U^ASTKOW ;m I ;1 (NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^KE KONTURA ;) OBY^NO NE PROISHODIT, W SILU ^EGO | W PROTIWOWES H SWOJSTWU 4, PUNKT B | NE ISKL@^ENA ZAWISIMOSTX ZNA^ENIQ F (z) dz ; OT WYBORA NA^ALXNOJ TO^KI KONTURA ; (KAK W PRIMERE 3 NIVE). R 2. w ZAPISI z = x + iy f (z) = u(x y)+ iv(x y) WELI^INA f (z) dz R
R
def
;
PRINIMAET WID u(x y) dx;v(x y) dy + i v(x y) dx+u(x y) dy | LINEJNOJ ; ; KOMBINACII KRIWOLINEJNYH INTEGRALOW 2-GO RODA (NA PLOSKOSTI R2 ).
pRIMERY. 1. pUSTX ;= fL1 L2g | DWUHZWENNAQ LOMANAQ , IDU]AQ IZ TO^KI ;1+i W TO^KU 1+i ^EREZ TO^KU 0 (RIS. 45, a). s U^ETOM SWOJSTW 2, 3 (S. 128) DLQ L@BOJ (NEPRERYWNOJ NA \TOJ LOMANOJ FUNKCII w = f (z)
131 R
;
R
R
R
L1
L2
L;1
R
f (z) dz = f (z) dz + f (z) dz = ; f (z) dz + f (z) dz, L2
A TAK KAK W KA^ESTWE PUTEJ OBHODA (KLASSA ORIENTIROWANNYH OTREZKOW L;1 L2 MOVNO WZQTX SOOTWETSTWENNO FUNKCII z =(;1+ i) t t 2 0 1], I z =(1+ i) t t 2 0 1], TO R R1 R1 f (z) dz = ; f ((;1+ i) t)(;1+ i) dt + f ((1+ i) t)(1+ i) dt 0 0 ; W ^ASTNOSTI, R R1 R1 zdz = ; (;1+ i)t (;1+ i) dt + (1+ i)t (1+ i) dt = 0. ;
0
C 1)
0
rIS. 45 2. pUSTX ; | OKRUVNOSTX RADIUSA 1 S CENTROM 0, ODNOKRATNO OBHODIMAQ OT EE TO^KI = ei W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (\PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI"). tAK KAK ZA PUTX OBHODA (KLASSA C 1 ) \TOGO ZAMKNUTOGO GLADKOGO KONTURA MOVNO WZQTX FUNKCI@ z = eit t 2 +2 ] (RIS. 45, B ), DLQ L@BOJ NEPRERYWNOJ NA ; FUNKCII w = f (z) +2 H R R2 f (z) dz = f (eit) ieit dt = f (eit) ieit dt 0 ; POSLEDNEE RAWENSTWO (A ONO WYTEKAET IZ 2-PERIODI^NOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII) ILL@STRIRUET NEZAWISIMOSTX
132
INTEGRALA PO ZAMKNUTOMU KONTURU ; OT WYBORA EGO NA^ALXNOJ TO^KI 1 (SLUVA]U@ OPRAWDANIEM ZAPISI jzj = 1 W KA^ESTWE SIMWOLA KONTURA ) W ^ASTNOSTI, H R2 Re zdz = cos t (cos t + i sin t) idt = i. jz j=1
0
pUSTX ; | TOT VE ZAMKNUTYJ GLADKIJ KONTUR , ^TO I W PRIMERE 2 (S TOJ VE NA^ALXNOJ TO^KOJ = ei I TEM VE PUTEM z = eit t 2 +2 ] EGO OBHODA . eSLI SREDI MNOVESTWA WSEH ZNA^ENIJ Ln = Ln ei WYBRANO i, TO PRI L@BOM WYBORE ^ISLA 2 ( +2 ), OTWE^A@]EM RAZDELENI@ KONTURA ; NA U^ASTKI ;1 (OT TO^KI ei DO TO^KI ei ) I ;2 (OT TO^KI ei DO TO^KI ei(+2) ), H R R R +2 R Ln zdz = ln zdz + ln zdz = + (0+ it)(eit)0dt = 3.
;
+2 R
;1
;2 t = +2 +2 R
it(eit )0dt = iteit ; ieit dt = 2 iei = 2 i t= ZNA^ENIE Ln zdz OKAZYWAETSQ2 ZAWISQ]IM OT TOGO, KAKAQ ; TO^KA ZAMKNUTOGO KONTURA ; WZQTA W KA^ESTWE NA^ALXNOJ . =
H
pOQSNENIE . wDOLX U^ASTKOW ;1 I ;2 INTEGRIRU@TSQ DWE RAZNYE WETWI LOGARIFMA , KOTORYE PRODOLVA@T DRUG DRUGA W TO^KE ei , NO NE SOWPADA@T W TO^KE = ei = ei(+2 ) : DLQ PERWOJ IZ NIHH ln = i, TOGDA KAK DLQ WTOROJ ln = i (+2 . zAWISIMOSTX ZNA^ENIQ Ln zdz OT ; WYBORA NA^ALXNOJ TO^KI ZAMKNUTOGO KONTURA ; OB_QSNQETSQ TEM, ^TO PRI ZAMENE EE DRUGOJ, 0 = ei ( < 0 < +2 ), NA SOEDINQ@]EJ ^0 IH DUGE ZNA^ENIQ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII BERUTSQ UVE S DRUGOJ EE WETWI | TOJ, DLQ KOTOROJ NA \TOJ DUGE ln z = it S +2 6 t 6 0+2 (A NE 6 t 6 0 ). 1 s. 128, SWOJSTWO 4, B . 2 kAK O TOM GOWORILOSX W ZAME^ANII 1 (S. 130). 0
133
oCENKA INTEGRALA PO KONTURU. 1eSLI jf (z)j 6 h NA KUSO^NO-GLADKOM KONTURE l(;) ), TO R ; (DLINY f (z) dz 6 h l(;). ;
dOKAZATELXSTWO . w SILU SWOJSTWA ADDITIWNOSTI (S. 128) DOSTATO^NO RASSMOTRETX SLU^AJ, KOGDA KONTUR ; SOSTOIT IZ ODNOJ (ORIENTIROWANNOJ) GLADKOJ DUGI L. tAK KAK FUNKCIQ z = z(t), t 2 a b], ZADA@]AQ PARAMETRIZACI@ (S. 117) \TOJ GLADKOJ DUGI , ODNOWREMENNO SLUVIT PUTEM (KLASSA C 1) OBHODA LIBO SAMOGO KONTURA ;, LIBO PROTIWOPOLOVNO ORIENTIROWANNOGO KONTURA ;;,2 R b R Rb f (z) dz = f (z (t)) z_ (t) dt6 jf (z (t))jjz_ (t)j dt 6 ;
a
a
Rb
6 h jz_ (t)j dt = h l(L) (S. 117). Q.E.D. a fORMULA nX@TONA { l EJBNICA.3 eSLI KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR ; RASPOLOVEN W OBLASTI D C , W KOTOROJ FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA I IMEET PERWOOBRAZNU@ '(z),4 TO R f (z) dz = '(z) ; '(z), ; GDE z I z | SOOTWETSTWENNO NA^ALXNAQ I KONE^NAQ TO^KI KONTURA ; W ^ASTNOSTI,HESLI \TOT KONTUR ZAMKNUT , TO f (z) dz =0. ;
pONIMAEMOJ KAK SUMMA DLIN SOSTAWLQ@]IH KONTUR ; GLADKIH DUG . ~TO ZAWISIT OT TOGO, KAK ORIENTIROWANA GLADKAQ DUGA L : KAKAQ IZ DWUH EE KONCEWYH TO^EK z (a) z (b) QWLQETSQ NA^ALXNOJ . 3 aNGLIJSKIJ MATEMATIK I FIZIK nX@ TON (Newton, Isaac, 1643 { 1727) I NEMECKIJ MATEMATIK I FILOSOF lEJBNIC (PRAWILXNEE lQJBNIC, Leibniz, Gottfried Wilhelm, 1646 {1716) OPERIROWALI EJ (W SLU^AE DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ) E]E DO OFORMLENIQ PONQTIQ INTEGRALA. 4 t. E. f (z)= '0 (z) W OBLASTI D . 1 2
134
dOKAZATELXSTWO . pUSTX z = z(t) t 2 a b], | L@BOJ PUTX (KLASSA C 1) OBHODA KONTURA ; (S. 125). sOGLASNO OPREDELENI@ KONTURNOGO INTEGRALA (S. 127) I KLASSI^ESKOJ FORMULE nX@TONA { lEJBNICA (DLQ INTEGRALA PO OTREZKU FUNKCII DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ) R R Rb Rb f (z) dz = '0 (z) dz def = '0((z(t)) z_ (t) dt = dtd '(z(t)) dt = a a ; ; = '(z(b)) ; '(z(a)) = '(z) ; '(z). Q.E.D. zAME^ANIE . pRAWU@ ^ASTX FORMULY nX@TONA { lEJBNICA (RAZNOSTX ZNA^ENIJ PERWOOBRAZNOJ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W KONE^NOJ I NA^ALXNOJ TO^KAH KONTURA) MOVNO TRAKTOWATX KAK PRIRA]ENIE PERWOOBRAZNOJ R WDOLX KONTURA ; S ZAPISX@ FORMULY W WIDE f (z) dz = M';. ;
uPRAVNENIQ. 1. pROWERITX, ^TO WZAIMNO ODNOZNA^NYJ OBRAZ L OTREZKA ;1 1] PRI OTOBRAVENII FUNKCIEJ z = t2+it3 NE QWLQETSQ GLADKOJ DUGOJ , HOTQ W KAVDOJ TO^KE z 2 L SU]ESTWUET KASATELXNAQ PRQMAQ K L , POLOVENIE KOTOROJ NEPRERYWNO ZAWISIT OT TO^KI KASANIQ . 2. dOKAZATX, ^TO L@BAQ GLADKAQ DUGA L C ESTX LIBO GRAFIK FUNKCII WIDA y = y(x) a 6 x 6 b, ILI x = x(y) c 6 y 6 d, LIBO REZULXTAT GLADKOGO SOEDINENIQ NESKOLXKIH TAKIH GRAFIKOW . (wOSPOLXZOWATXSQ TEM, ^TO ESLI FUNKCIQ z = z (t) = x(t)+ iy(t) t 2 a b], ZADAET PARAMETRIZACI@ GLADKOJ DUGI L, TO OTREZOK a b] DOPUSKAET RAZBIENIE NA KONE^NOE ^ISLO OTREZKOW, NA KAVDOM IZ KOTORYH HOTQ BY ODNA IZ PROIZWODNYH x0 (t) y0 (t) SOHRANQET ZNAK .) 3. dOKAZATX, ^TO OKRUVNOSTX NE QWLQETSQ GLADKOJ DUGOJ . (pRIJTI K PROTIWORE^I@ , PREDPOLOVIW, ^TO NEPRERYWNAQ NA OTREZKE FUNKCIQ z = z (t) WZAIMNO-ODNOZNA^NO OTOBRAVAET EGO NA OKRUVNOSTX .) 4. pOSTROITX PUTX KLASSA C 1 , OBHODQ]IJ DWUHZWENNU@ LOMANU@ , IZOBRAVENNU@ NA RIS. 45, A. 5. wYQSNITX, L@BOJ LI PUTX KLASSA C 1 QWLQETSQ PUTEM OBHODA NEKOTOROGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA . (oTWET: NET.) n 6. dOKAZATX, ^TO ESLI Re z 6 0, TO ez ; 1 ; 1!z ; ; zn! 6 jz jn+1 . (pRIMENITX INDUKCI@ PO n .)
135 IX .
~TO NAZYWA@T INDEKSOM ZAMKNUTOGO KONTURA I NA ^TO ON UKAZYWAET
wAVNYM DLQ DALXNEJEGO PRIMEROM PRIMENENIQ FORMULY nX@TONA (VIII , S. 133) SLUVIT WY^ISLENIE H { lEJBNICA dz 1 ZNA^ENIQ 2 i z;z0 , GDE ; | ZAMKNUTYJ KUSO^NO -GLADKIJ ; KONTUR ; NA PLOSKOSTI C , NE PROHODQ]IJ ^EREZ TO^KU z0 2 C . pRQMOE PRIMENENIE FORMULY nX@TONA { lEJBNICA ZDESX ZATRUDNENO TEM, ^TO PERWOOBRAZNYMI DLQ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII SLUVAT ODNOZNA^NYE WETWI w = ln(z ; z0) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = Ln(z ; z0) (V , S. 78), A WYDELITX KAKU@ -LIBO IZ NIH W OBLASTI , CELIKOM SODERVA]EJ KONTUR ;, MOVNO LIX DLQ OTDELXNYH WIDOW KONTUROW1. R w PODOBNYH SLU^AQH (KOGDA PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W f (z) dz IMEET \MNOGOZNA^NU@ PERWOOBRAZNU@" w = (z)) ; WYHOD SOSTOIT W RAZDELENII KONTURA ; NA U^ASTKI (KUSO^NOGLADKIE KONTURY ;1 : : : ;m), CELIKOM RASPOLOVENNYE W OBLASTQH (D1 : : : Dm), W KOTORYH MOVNO WYDELITX ODNOZNA^NYE WETWI (w = '1(z) : : : w = 'm(z)) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = (z) (RIS. 46). pOSLE \TOGO OSTAETSQ PRIMENITX FORMULU nX@TONA { lEJBNICA K KAVDOMU U^ASTKU ;1 : : : ;m I WOSPOLXZOWATXSQ SWOJSTWOMADDITIWNOSTI (VIII , S. 128): R f (z) dz = M'1;1 + + M'm;m . ; iZ SAMOGO \TOGO RAWENSTWA SLEDUET, ^TO EGO PRAWAQ ^ASTX NE ZAWISIT OT KONKRETNOGO RAZDELENIQ KONTURA ; NA U^ASTKI ;1 : : : ;m, RAWNO KAK OT WYBORA ODNOZNA^NYH WETWEJ w = '1(z) : : : w = 'm(z). eSLI VE \TI WETWI NEPRERYWNO nAPRIMER, NE PERESEKA@]IH NEKOTORYJ LU^ , WYHODQ]IJ IZ TO^KI z0 (IV, S. 68). 1
136
PRODOLVA@T DRUG DRUGA (SOWPADA@T W TO^KAH SOEDINENIQ U^ASTKOW ;1 S;2 : : : ;m;1 S;m), TO M'1;1 + + M'm;m = 'm (z) ; '1(z), (z | KONE^NAQ , A z | NA^ALXNAQ TO^KI KONTURA ;)1, ^TO POZWOLQET PRIDATX FORMULE nX@TONA { lEJBNICA WID R f (z) dz = M; , ; ESLI PRAWU@ ^ASTX PONIMATX IMENNO KAK 'm (z) ; '1(z) | SUMMARNOE PRIRA]ENIE PRODOLVA@]IH DRUG DRUGA WETWEJ \MNOGOZNA^NOJ PERWOOBRAZNOJ" WDOLX KONTURA ;.
rIS. 46 wOZMOVNOSTX UPOMQNUTOGO RAZDELENIQ KONTURA | PRI USLOWII, ^TO ON NE PROHODIT ^EREZ TO^KI WETWLENIQ (IV, S. 62) \RMNOGOZNA^NOJ PERWOOBRAZNOJ" w = )(z) PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W f (z) dz , | MOVNO ; DOKAZATX, RASSUVDAQ \OT PROTIWNOGO". pUSTX : z = z (t) t 2 a b], | PUTX (KLASSA C 1 ) OBHODA KONTURA ; (VIII, S. 125), I PUSTX OTREZOK a b] NELXZQ RAZDELITX NA KONE^NOE ^ISLO OTREZKOW a t1 ] : : : tm;1 b] S TEM, ^TOBY SOOTWETSTWU@]IE IM 1 pRI \TOM W SLU^AE z = z (ZAMKNUTOGO KONTURA) NE OBQZATELXNO 'm (z )= '1 (z).
137 U^ASTKI KONTURA ; | MEVDU TO^KAMI z (a) I z (t1) : : : z (tm;1) I z (b) | OKAZYWALISX W OBLASTQH, GDE OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI w = '(z) MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =)(z). rAZDELIW OTREZOK a b] POPOLAM, MOVNO UTWERVDATX, ^TO PO KRAJNEJ MERE ODIN IZ OTREZKOW a a+2 b ] a+2 b , b] (OBOZNA^AEMYJ DALEE a1 b1]) OBLADAET TEM VE SWOJSTWOM: EGO NELXZQ RAZDELITX NA KONE^NOE ^ISLO OTREZKOW S TEM, ^TOBY SOOTWETSTWU@]IE IM U^ASTKI KONTURA ; OKAZYWALISX W OBLASTQH, GDE OPREDELENY ODNOZNA^NYE WETWI MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =)(z). pRODOLVENIE \TOGO PROCESSA PRIWODIT K STQGIWA@]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW a b] a1 b1 ] an bn ] , KAVDYJ IZ KOTORYH OBLADAET UKAZANNYM SWOJSTWOM. pUSTX t^ | OB]AQ TO^KA \TIH OTREZKOW I z (t^) | SOOTWETSTWU@]AQ EJ TO^KA KONTURA ;. tAK KAK z (t^) NE QWLQETSQ TO^KOJ WETWLENIQ MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w =)(z), W NEKOTOROM KRUGE S CENTROM z (t^) OPREDELENA EE ODNOZNA^NAQ WETWX w = '(z). zDESX I ZAKL@^ENO PROTIWORE^IE : S ODNOJ STORONY, KAKOWO BY NI BYLO n , U^ASTOK KONTURA ;, SOOTWETSTWU@]IJ (PRI EGO OBHODE z = z (t), t 2 a b]) ZNA^ENIQM t OT an DO bn , PO POSTROENI@ NE MOVET CELIKOM RASPOLAGATXSQ W OBLASTI , GDE OPREDELENA ODNOZNA^NAQ WETWX w = '(z) S DRUGOJ STORONY, OTREZKI an bn ] STQGIWA@TSQ K TO^KE t^, A POTOMU SOOTWETSTWU@]IE IM U^ASTKI KONTURA ; (OTWE^A@]IE IZMENENI@ t OT an DO bn ) PRI DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIQH n CELIKOM OKAZYWA@TSQ W UPOMQNUTOM KRUGE (S CENTROM z (t^)), W KOTOROM OPREDELENA TAKAQ ODNOZNA^NAQ WETWX .
w RASSMATRIWAEMOM KONKRETNOM SLU^AE 1 H dz = 1 MLn(z;z ) = 1 M;ln jz;z j + iArg(z;z ) = 0 ; 2 i 0 0 ; 2 i z ;z0 2 i ;
= 21 MArg(z ; z0); 1. pOSLEDNEE WYRAVENIE | DELENNOE NA 2 SUMMARNOE PRI
RA]ENIE PRODOLVA@]IH DRUG DRUGA ODNOZNA^NYH WETWEJ ' =arg(z ; z0) | ESTX NI^TO INOE KAK SUMMARNOE ^ISLO OBO
Mln jz ; z0j; =ln jz ; z0j ; ln jz ; z0j =0, TAK KAK KONTUR ; ZAMKNUT (z = z), A FUNKCIQ w =ln jz ; z0j ODNOZNA^NA . 1
138
ROTOW 1 WEKTORA z ;z0 (WOKRUG TO^KI z0 ) PRI OBHODE TO^KI z WDOLX ZAMKNUTOGO KONTURA ;. |TO ^ISLO (A ONO ZAWEDOMO QWLQETSQ CELYM ) NAZYWA@T INDEKSOM (ZAMKNUTOGO ) KONTURA ; OTNOSITELXNO TO^KI z0 2 : H ind(; z0) def = 21i z;dzz0 . ;
zAPISX ind(; z0)= n QWLQETSQ, TAKIM OBRAZOM, FORMULXNYM WYRAVENIEM NAGLQDNOGO PREDSTAWLENIQ O TOM, ^TO ZAMKNUTYJ KONTUR ; OBHODIT TO^KU z0 (W OB]EJ SLOVNOSTI) n RAZ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (SOOTWETSTWENNO jnj RAZ W OTRICATELXNOM , ESLI n < 0 RIS. 47). pOLAGA@T def TAKVE ind(; 1) = ; ind(; 0): OBHOD TO^KI 0 ODNOWREMENNO S^ITAETSQ OBHODOM TO^KI 1 W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII.3
rIS. 47 oBOROTY \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" S^ITA@TSQ SO ZNAKOM \PL@S", A W PROTIWOPOLOVNOM NAPRAWLENII | SO ZNAKOM \MINUS". 2 iLI INDEKSOM TO^KI z OTNOSITELXNO KONTURA ;. 0 3 pRI^INY \TOGO WIDNY IZ RASSMOTRENIQ SFERY rIMANA (I, S. 21). 1
139 nAGLQDNO PONQTIE INDEKSA (OTNOSITELXNO TO^KI z0 2 C ) MOVNO OPREDELITX DLQ L@BOGO (NE PROHODQ]EGO ^EREZ \TU TO^KU) ZAMKNUTOGO PUTI : z = z (t) t 2 a b]1. a IMENNO, ind( z0 ) POLAGAETSQ RAWNYM ^ISLU OBOROTOW 2 WEKTORA z (t);z0 PRI WOZRASTANII t OT a DO b , PRI^EM W SLU^AE PUTI KLASSA C 1 WYPOLNQETSQ RAWENSTWO H ; Rb ind( z0 )= 21i z;dzz0 def = 21i zz(_t()t;) dtz0 .3 a
w SOOTWETSTWII S \TIM OPREDELENIEM INDEKS ZAMKNUTOGO KONTURA ; (OTNOSITELXNO KAKOJ-LIBO TO^KI z0 ) SOWPADAET S INDEKSOM L@BOGO PUTI , OSU]ESTWLQ@]EGO OBHOD \TOGO KONTURA . pONQTIE INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA (HOTQ I W DRUGIH TERMINAH I OBOZNA^ENIQH) WWEL kOI 28] (ser. I, t. 12, p. 222{224 ser. II, t. VI, p. 121). w SOOTWETSTWII S EGO PODHODOM ind(; z0 ) | \TO WZQTOE S KO\FRe(z ;z0) W TO^KAH OBRAFICIENTOM 12 ^ISLO PEREMEN ZNAKA 4 WELI^INY Im( z;z0) ]ENIQ EE W BESKONE^NOSTX PRI PEREME]ENII z WDOLX KONTURA ;.
oPERIRUQ INDEKSOM (I FORMULOJ nX@TONA { lEJBNICA), UDOBNO WY^ISLQTX INTEGRALY RACIONALXNYH FUNKCIJ | OTNOENIJ pq((zz)) MNOGO^LENOW | PO NE PROHODQ]IM ^EREZ \OSOBYE TO^KI" \TIH FUNKCIJ (KORNI ZNAMENATELEJ) ZAMKNUTYM KUSO^NO -GLADKIM KONTURAM. dOSTATO^NO WOSPOLXZOWATXSQ RAZLOVIMOSTX@ L@BOJ RACIONALXNOJ FUNKCII W SUMMU MNOGO^LENA I PROSTYH DROBEJ : p(z) = p (z) + A1 + + Ak + B1 + + Bm + 0 q(z) z ;a (z ;a)k z ;b (z ;b)m
+ zC;c + + (z;Ckc)n 1
zAMKNUTOSTX PUTI OZNA^AET SOWPADENIE EGO NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^EK: z (b)= z (a). 2 pRI POLOVITELXNOM IH OTS^ETE \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI". 3 eSLI NE QWLQETSQ PUTEM KLASSA C 1 , TO \TOT INTEGRAL MOVET POTERQTX SMYSL. 4 s SOGLAENIEM S^ITATX KAVDU@ PEREMENU ZNAKA S \MINUSA" NA \PL@S" ZA 1, A S \PL@SA" NA \MINUS" | ZA ;1. 1
140
ZDESX a b : : : c | KORNI MNOGO^LENA q(z) (ZNAMENATELQ), k m : : : n | KRATNOSTI \TIH KORNEJ, A A1 : : : Cn | KOMPLEKSNYE ^ISLA1 (O ^EM NIVE W XIV , c. 225{227). tAK KAK, ISKL@^AQ LIX DROBI zA;1a , zB;1b , : : : , zC;1c , WSE SLAGAEMYE RAZLOVENIQ IME@T W OBLASTI C r fa b : : : cg PERWOOBRAZNYE 2, PRIMENENIE FORMULY nX@TONA { lEJBNICA (VIII , c. 133) DAET: DLQ L@BOGO NE PROHODQ]EGO ^EREZ TO^KI a b : : : c ZAMKNUTOGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA ; C H p(z) H A H B H C 1 1 1 dz = dz + dz + + q(z) z ;a z ;b z ;c dz = ;
;
;
;
= 2i A1 ind(; a)+ B1 ind(; b)+ + C1 ind(; c) . ;
nAPRIMER, DLQ ZAMKNUTOGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA ;, IZOBRAVENNOGO NA RIS. 48, INDEKSY KOTOROGO OTNOSITELXNO TO^EK ;1 1 H0;RAWNY SOOTWETSTWENNO ;1 1;3, H dz 1 1 1 1 + 1 ; 3. = + ; dz = 2 i ; 2 z (z ;1) 2(z ;1) 2(z +1) z 2 2 ;
;
rIS. 48 1 2
oBY^NO NAHODIMYE METODOM ; A 0NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW. A 2 k PRIMERU, (z;a)2 = ; z;2a .
141
pEREHODQ K SWOJSTWAM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA KAK FUNKCII TO^KI, OTNOSITELXNO KOTOROJ ON WY^ISLQETSQ , UDOBH d 1 NEE WWESTI PEREOBOZNA^ENIE: ind(; z) = 2i ;z , z 2= ;. ; 1. ind (;; z ) = ; ind (; z ). 2. ind (; z ) = ind (;1 z ) + ind (;2 z ), ESLI ZAMKNUTYJ KONTUR ; RAZDELQETSQ NA ZAMKNUTYE KONTURY ;1 ;2 . oBA UTWERVDENIQ | PRQMYE SLEDSTWIQ SWOJSTW KONTURNYH INTEGRALOW (VIII , S. 128, SWOJSTWA 2, 3 ).
rIS. 49
dLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO -GLADKOGO KONTURA ; ZNA^ENIE ind (; z) POSTOQNNO W KAVDOJ OBLASTI D C , NE SODERVA]EJ TO^EK KONTURA ; (RIS. 49).
3.
dOKAZATELXSTWO. pUSTX z | L@BAQ TO^KA OBLASTI D , A K | KRUG RADIUSA S CENTROM z , PRINADLEVA]IJ \TOJ OBLASTI . dLQ L@BOGO NENULEWOGO \WEKTORA PRIRA]ENIQ" Mz 2 C c jMz j < 2 (RIS. 50)
142
;
ind(;z +Mz );ind(;z ) = 1 1 H d 1 H d Mz Mz 2i ;z;Mz 2i ;z = ; ; H H d H d 1 1 = 2i ( ;z;Mz)( ;z) = 2i ( ;z)2 + ( ;z;MMzd z)( ;z)2 , ; ; ;
PRI \TOM, POSKOLXKU j ; z j < , a j ; z ;Mz j < 2 , WTOROE SLAGAEMOE W SKOBKAH PO MODUL@ NE PREWOSHODIT WELI^INY jMz j ;3 2 l(;), GDE l(;) | DLINA KONTURA ; (VIII, c. 133, OCENKA INTEGRALA PO KONTURU ) I POTOMU STREMITSQ K NUL@ PRI Mz ! 0.
rIS. 50 |To DOKAZYWAET SU]ESTWOWANIE W L@BOJ TO^KE z 2 D PROIZWODNOJ ; ind(;z +Mz );ind(;z ) = 1 H d , ind(; z ) 0 def = Mlim Mz 2i ( ;z )2 z!0 ; RAWNOJ NUL@ W SILU FORMULY nX@TONA { lEJBNICA (VIII, c. 133). s U^ETOM PERWOGO IZ USLOWIJ POSTOQNSTWA ANALITI^ESKOJ FUNKCII W OBLASTI (VII, c. 112) ind(; z ) const W OBLASTI D . Q.E.D.
zNA^ENIE INDEKSA L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO -GLADKOGO KONTURA OTNOSITELXNO L@BOJ TO^KI z 2 C , LEVA]EJ WNE OKRUVNOSTI, SODERVA]EJ \TOT KONTUR, RAWNO NUL@ . 4.
dOKAZATELXSTWO. ESLI TO^KA z 2 C LEVIT WNE OKRUVNOSTI, WNUTRI KOTOROJ RASPOLOVEN KONTUR ;, TO WEKTOR ; z PRI OBHODE TO^KI WDOLX KONTURA ; NE SOWERAET NI ODNOGO OBOROTA. Q.E.D.
143
eSLI ZAMKNUTYJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ; NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ , TO DLQ L@BOJ EGO TO^KI KRUG DOSTATO^NO MALOGO RADIUSA S CENTROM W \TOJ TO^KE RAZDELQETSQ KONTUROM NA DWE OBLASTI , W KOTORYH ZNA^ENIQ ind(; z) RAZNQTSQ NA 1. 5.
dOKAZATELXSTWO. l@BOJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ; NA PLOSKOSTI PREDSTAWIM W WIDE REZULXTATA POSLEDOWATELXNOGO SOEDINENIQ GRAFIKOW FUNKCIJ (y = y(x) ILI x = x(y) VIII, UPRAVNENIE 2), W SILU ^EGO PRI OTSUTSTWII U NEGO SAMOPERESE^ENIJ ON DELIT WNUTRENNOSTX L@BOJ (DOSTATO^NO MALOJ) OKRUVNOSTI S CENTROM W PROIZWOLXNO WZQTOJ TO^KE 2 ; NA DWE OBLASTI , LEVA]IE \PO RAZNYE STORONY" OT NEGO. pUSTX C | TAKAQ OKRUVNOSTX I PUSTX TO^KI z1 I z2 LEVAT WNUTRI NEE \PO RAZNYE STORONY" OT KONTURA ; (RIS. 51, A). zAMENA ^ASTI KONTURA ; MEVDU TO^KAMI PERESE^ENIQ EGO S OKRUVNOSTX@ C DUGAMI C 0 I C 00 \TOJ OKRUVNOSTI , LEVA]IMI \PO RAZNYE STORONY" OT ; S TO^KAMI z1 I z2 , PREOBRAZUET KONTUR ; W ZAMKNUTYE KUSO^NO{GLADKIE KONTURY ;0 I ;00 (RIS. 51, B, W). w SILU SWOJSTWa 3 (c. 141) ind(;0 z1 ) = ind(;0 z2 ) ind(;00 z1) = ind(;00 z2 ) ind (;0 z1 ) = ind (; z1 ) ind (;00 z2 ) = ind (; z2 ).
C
rIS. 51
144 s DRUGOJ STORONY, W SILU SWOJSTW 1 { 2 ind (;0 zk ) ; ind (;00 zk ) = ind(C zk ) = 1 k = 1 2 OKRUVNOSTX C WOSPRINIMAETSQ ZDESX KAK KONTUR C 0 C 00 ; , A ZNAK ZAWISIT OT RASPOLOVENIQ TO^EK z1 I z2 PO OTNOENI@ K KONTURU ;: KAKAQ IZ NIH LEVIT \SLEWA", A KAKAQ | \SPRAWA" OT NEGO. COPOSTAWLENIE \TIH SOOTNOENIJ PRIWODIT K TREBUEMOMU ZAKL@^ENI@: ind (; z1 ) = ind (; z2 ) 1. Q.E.D.
(SWOJSTWO vORDANA)1 . zAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO -GLADKIJ KONTUR ; NA PLOSKOSTI C RAZDELQET EE NA DWE OBLASTI : OGRANI^ENNU@ WNUTRENN@@ , OBOZNA^AEMU@ int;, I NEOGRANI^ENNU@ WNEN@@ | ext;.2 oBLASTX ext; SOSTAWLQ@T WSE TE NE LEVA]IE NA KONTURE ; TO^KI z 2 C , DLQ KOTORYH ind(; z) = 0 DLQ WSEH VE TO^EK OBLASTI int; LIBO ind(; z) = 1 (KAK NA RIS. 52), LIBO ind(; z) = ;1 W PERWOM SLU^AE OBHOD KONTUROM ; OBLASTI int; S^ITA@T POLOVITELXNYM 3, A WO WTOROM | 6
OTRICATELXNYM .
dOKAZATELXSTWO. mNOVESTWO TO^EK z 2 C , NE LEVA]IH NA KONTURE ;, QWLQETSQ OTKRYTYM 4, A POTOMU RASPADAETSQ NA NEPERESEKA@]IESQ OBLASTI (VII, S. 110). fRANCUZSKIJ MATEMATIK vORDAN (Jordan, Camille, 1838{1922) W PERWOM TOME SWOEGO \kURSA ANALIZA" (\Cours d'Analyse de l'E cole Polytechnique") NA S. 91{98 (IZDANIQ 1909 G.) WPERWYE PREDSTAWIL SWOJSTWO ZAMKNUTOJ I NE PERESEKA@]EJ SEBQ KRIWOJ NA PLOSKOSTI RAZDELQTX EE NA DWE OBLASTI | WNUTRENN@@ I WNEN@@ | NE KAK \SAMOO^EWIDNYJ" FAKT, A KAK DOKAZYWAEMOE MATEMATI^ESKOE UTWERVDENIE, IZWESTNOE TEPERX KAK \TEOREMA vORDANA" (NEKOTOROE PREDSTAWLENIE O STEPENI EE \O^EWIDNOSTI" DAET RIS. 52). 2 oBOZNA^ENIQ OT LAT. interior | WNUTRENNIJ I exterior | WNENIJ. 3 nAGLQDNO \TO SOOTWETSTWUET TOMU, ^TO OBLASTX int; PRI OBHODE KONTURA ; OSTAETSQ OT NEGO \SLEWA". 4 eSLI z = z (t) t 2 a b], | PUTX OBHODA KONTURA ;, A z | NE 0 LEVA]AQ NA \TOM KONTURE TO^KA , TO = t2inf j z 0 ; z (t)j > 0 I KRUG ab] fz 2 C : jz ; z0j r I z 2 C : jz;z0 j >r | SOOTWETSTWENNO WKL@^A@]U@ I NE WKL@^A@]U@ TO^KU 1. gRANICEJ PERWOJ OBLASTI SLUVIT OKRUVNOSTX z 2 C : jz ; z0 j = r , A WTOROJ | \TA VE OKRUVNOSTX WMESTE S BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KOJ . uQSNITX \TO POMOGAET IZOBRAVENIE OBEIH OBLASTEJ NA SFERE rIMANA (RIS. 56).
rIS. 56
sLEDU@]EE SWOJSTWO ODNOSWQZNYH OBLASTEJ NA PLOSKOSTI C GOWORIT OB OTSUTSTWII U NIH \PROKOLOW" I \DYR".1 eSLI OBLASTX D C ODNOSWQZNa , TO KAKOW BY NI BYL RASPOLOVENNYJ W \TOJ OBLASTI ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO - GLADKIJ KONTUR ; , WNUTRENNQQ PO OTNOENI@ K NEMU OBLASTX int; TAKVE PRINADLEVIT OBLASTI D.
iNOGDA \TO SWOJSTWO PRINIMA@T ZA OPREDELENIE ODNOSWQZNOSTI OBLASTI NA PLOSKOSTI C (NO NE NA PLOSKOSTI C ). 1
151
dOKAZATELXSTWO . sOGLASNO SWOJSTWU vORDANA (IX , S. 144) ZAMKNUTYJ I NE IME@]IJ SAMOPERESE^ENIJ KUSO^NO - GLADKIJ KONTUR ; C RAZDELQET PLOSKOSTX C NA DWE OBLASTI : WNUTRENN@@ int; I WNEN@@ ext; (PO OTNOENI@ K \TOMU KONTURU). eSLI TAKOJ KONTUR ; PRINADLEVIT ODNOSWQZNOJ OBLASTI D, TO (WWIDU SWQZNOSTI EE GRANICY @D ) WOZMOVNY DWA WARIANTA: LIBO @D int;, LIBO @D ext;. pERWYJ WARIANT NEWOZMOVEN: W \TOM SLU^AE TO^KA 1 PRINADLEVALA BY OBLASTI D , TOGDA KAK PO USLOWI@ D C . oSTAETSQ WTOROJ WARIANT: int; D . Q.E.D. sLEDU@]EE UTWERVDENIE IGRAET CENTRALXNU@ ROLX W TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ. tEOREMA kOI. eSLI W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ , TO DLQ L@BOGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA ;, CELIKOM LEVA]EGO W OBLASTI R D, INTEGRAL f (z) dz ZAWISIT LIX OT NA^ALXNOJ I KONE^NOJ ; TO^EK \TOGO KONTURA1 I RAWEN NUL@ , ESLI KONTUR ; ZAMKNUT . uTWERVDENIE TEOREMY OSTAETSQ W SILE, ESLI W KONE^NOM ^ISLE TO^EK z1 : : : zk 2 D FUNKCIQ w = f (z) NE OPREDELENA 2, NO IMEET W \TIH TO^KAH KONE^NYE PREDELY 3. dOKAZATELXSTWO TEOREMY BUDET PROWEDENO PO SLEDU@]EJ SHEME. sNA^ALA (LEMMA 1 ) USTANAWLIWAETSQ RAWENSTWO NUL@ INTEGRALA PO L@BOMU (RASPOLOVENNOMU W OBLASTI D ) TREt. E. NE IZMENQETSQ PRI ZAMENE EGO DRUGIM (TAKVE RASPOLOVENNYM W OBLASTI D ), NO S TEMI VE NA^ALXNOJ I KONE^NOJ TO^KAMI. kONTUR ; PRI \TOM MOVET BYTX SKOLX UGODNO SLOVNO USTROENNYM | KAK KONTUR NA RIS. 52 (IX, S. 145) ILI IMETX BESKONE^NOE ^ISLO SAMOPERESE^ENIJ . 2 iLI EE ANALITI^NOSTX W NIH NE USTANOWLENA. 3 pOLAGAQ W \TOM SLU^AE f (z ) def j = zlim !zj f (z) j = 1 : : : k, FUNKCI@ w = f (z) MOVNO S^ITATX NEPRERYWNOJ WO WSEJ OBLASTI D , W SILU ^EGO DOPUSTIMO PROHOVDENIE KONTURA ; ^EREZ TO^KI z1 : : : zk . 1
152
UGOLXNIKU , ZATEM (LEMMA 2 ) | PO L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ , OTKUDA (LEMMA 3 ) WYWODITSQ FUNDAMENTALXNYJ FAKT: l@BAQ FUNKCIQ, ANALITI^ESKAQ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C , IMEET W \TOJ OBLASTI PERWOOBRAZNU@ , POSLE ^EGO OSTAETSQ PRIMENITX FORMULU nX@TONA { lEJBNICA (VIII , S. 133).
pERED FORMULIROWKOJ I DOKAZATELXSTWOM LEMM NESKOLXKO ZAME^ANIJ. 1. dOPU]ENIE UTRATY FUNKCIEJ ANALITI^NOSTI W KONE^NOM ^ISLE TO^EK (PRI USLOWII SU]ESTWOWANIQ W NIH KONE^NYH PREDELOW ) NE RAZ PRODEMONSTRIRUET SWO@ \FFEKTIWNOSTX W DALXNEJEM. 2. wPERWYE \TA TEOREMA S (TAK I NE WYPOLNENNYM) OBE]ANIEM SOOB]ITX EE DOKAZATELXSTWO WSTRE^AETSQ W PISXME gAUSSA K bESSEL@1, DATIROWANNOM 18 DEKABRQ 1811 G.: \q UTWERVDA@ TEPERX, ^TO INTEGRAL R 'xdx PO DWUM RAZNYM PUTQM WSEGDA SOHRANQET ODNO I TO VE ZNA^ENIE, ESLI NIGDE WNUTRI PROSTRANSTWA, ZAKL@^ENNOGO MEVDU PREDSTAWLQ@]IMI \TI PUTI LINIQMI, 'x NE RAWNO 1. |TO O^ENX KRASIWAQ TEOREMA, SOWSEM NE TRUDNOE DOKAZATELXSTWO KOTOROJ Q SOOB]U PRI SLU^AE."2 3. pERWOE OPUBLIKOWANNOE DOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY INTERESU@]IESQ MOGUT NAJTI NA S. 5{6 WYEDEGO W 1825 G. MEMUARA kOI 27]3. nA SAMOM DELE kOI TITULOM \TEOREMA" \TO UTWERVDENIE NE SNABDIL, A PREDSTAWIL EGO KAK p SLEDU@]EE NABL@DENIE: \pREDPOLOVIM TEPERX, ^TO FUNKCIQ f (x+y ;1) OSTAETSQ KONE^NOJ I NEPRERYWNOJ WSQKIJ RAZ, KOGDA x OSTAETSQ W PREDELAH MEVDU x0 X , A y MEVDU y0 Y . w \TOM SLU^AE LEGKO DOKAZATX, ^TO ZNA^ENIE INTEGRALA Bessel, Friedrich Wilhelm (1784{1846) | NEMECKIJ ASTRONOM I MATEMATIK (IZU^AL, W ^ASTNOSTI, FUNKCII, POZDNEE NAZWANNYER EGO IMENEM). 2 w ORIGINALE: \Ich behaupte nun, dass das Integral 'x dx nach 1
angen immer einerlei Werth erhalte, wenn zweien verschieden Uberg ange reprasentirenden Linien innerhalb des zwischen beiden die Uberg eingeschlossenen Flachenraumes nirgends 'x = 1 wird. Dies ist ein sehr schoner Lehrsatz, dessen eben nicht schweren Beweis ich bei einer schicklichen Gelegenheit geben werde." (33], Bd. VIII, S. 91). 3 iLI NA S. 44{45 EGO PEREPE^ATKI W 28] (s er. II, t. XV).
p;1 RT ; ; p p f ( z ) dz = '0 (t)+ ;1 0 (t) f '(t)+ ;1(t) dt p t0 x0 +y0 ;1
153
X +YR
NE ZAWISIT OT WIDA NEPRERYWNYH FUNKCIJ x(= '(t) y = (t) (PEREMEN)= x0 (t0 )= y0 " 1 NOJ t OT t0 DO T ), POD^INENNYH USLOWIQM ''((tT0)= X (T )= Y: oBOSNOWYWAQ \TO NABL@DENIE, kOI ISPOLXZUET PRIEM, IZWESTNYJ IZ WARIACIONNOGO IS^ISLENIQ : PRIDANIE FUNKCIQM x = '(t) y = (t) \PRIRA]ENIJ" PORQDKA " PRIWODIT K IZMENENI@ INTEGRALA NA WELI^INU PORQDKA "2 , A SLEDOWATELXNO, PEREHOD K FUNKCIQM x = 'e(t) y = e(t) ; ; ZA n AGOW (S \PRIRA]ENIQMI" n1 'e(t) ; '(t) n1 e(t) ; (t) KAVDYJ) DAET IZMENENIE INTEGRALA NA WELI^INU PORQDKA n1 , T. E. (W SILU PROIZWOLXNOSTI n ) RAWNU@ NUL@ . sU]ESTWENNO, ^TO WYDWIGAQ USLOWIE NEPRERYWNOSTI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, kOI W SWOIH RASSUVDENIQH NA SAMOM DELE OPERIRUET NEPRERYWNOSTX@ EE PROIZWODNOJ 2. 4. pERWOE DOKAZATELXSTWO TEOREMY kOI , NE TREBU@]EE (KAK W RASSUVDENIQH SAMOGO kOI) NEPRERYWNOSTI PROIZWODNOJ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, A OPIRA@]EESQ LIX NA EE SU]ESTWOWANIE , BYLO DANO W KONCE XIX W. FRANCUZSKIM MATEMATIKOM gURSA 3. sLEDUET, ODNAKO, ZAMETITX, ^TO U gURSA (KAK POROJ I U SOWREMENNYH AWTOROW) PONQTIE KONTURA OKAZYWAETSQ NEDOSTATO^NO WNQTNYM | S NAGLQDNYM PREDSTAWLENIEM EGO W WIDE \NE SLIKOM IZWILISTOJ LINII" (NE DOPUSKA@]EJ, NAPRIMER, TAKOGO \NEPRIQTNOGO" QWLENIQ, KAK BESKONE^NOE ^ISLO PERESE^ENIJ S NEKOTOROJ PRQMOJ4 ). 5. sREDI NAKOPIWIHSQ ZA PO^TI DWA WEKA DOKAZATELXSTW TEOREMY kOI NAIBOLEE POPULQRNOE, NO WMESTE S TEM I NAIMENEE UDOWLETWORIp 1 \Concevons maintenant que la fonction f (x + y ;1) reste nie et continue, toutes les fois que x reste comprise entre les limites x0 X , et y entre les limites y0 Y . Dans ce cas particulier, on prouvera facilement ..." 2 tO VE W OTNOENII ZADA@]IH OBHOD FUNKCIJ x = '(t) y = (t). Goursat, E duard (1858{1936): Acta Math., 1884, v. 4, p. 197{200 Trans.Amer.Math.Soc., 1900, v. 1, p. 14{16 5],(x 279, S. 66{69. 1 4 ~TO SWOJSTWENNO GRAFIKU FUNKCII y = x sin x ESLI 0 <x 6 1 0 ESLI x =0 QWLQ@]EMUSQ PRI > 2 GLADKOJ DUGOJ . 3
154 TELXNOE W SMYSLE ARGUMENTACII SOSTOIT W SOEDINENII FORMULY gRINA (IZ KURSA DEJSTWITELXNOGO ANALIZA) S USLOWIQMI kOI { rIMANA (V, SH. 73) PO SHEME H : H H f (z) dz = (u + iv)(dx + idy) = udx ; vdy + i vdx + udy = ;
;
;RR ; RR ; @v; @u @u ; @v dxdy = 0. =; + dxdy + i int;
@x @y
int;
@x @y
s^ITATX POLNOCENNYM \TO \DOKAZATELXSTWO" NE POZWOLQET NE TOLXKO NEOBHODIMOSTX DOPOLNITELXNO PREDPOLAGATX NEPRERYWNOSTX ^AST@u @v @v NYH PROIZWODNYH @u @x , @y , @x , @y , (ILI, ^TO TO VE SAMOE, PROIZWODNOJ @v f 0 (z)= @u @x + i @x PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII), NO I UZOSTX KLASSA DOPUSTIMYH KONTUROW INTEGRIROWANIQ ; | TEH, DLQ KOTORYH PRIMENENIE FORMULY gRINA MOVNO S^ITATX OBOSNOWANNYM 1.
lEMMA
OB INTEGRAL PO TREUGOLXNIK 0
eSLI FUNKCIQ w = f (z) IMEET PROIZWODNU@ f (z) WHL@BOJ TO^KE TREUGOLXNIKA 3 T C I WNUTRI NEGO, TO f (z) dz = 0. T uTWERVDENIE SOHRANQET SILU, ESLI W KONE^NOM ^ISLE TO^EK z1 : : : zk (NA ILI WNUTRI TREUGOLXNIKA) USLOWIE SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ ZAMENITX USLOWIEM SU]ESTWOWANIQ KONE^NYH PREDELOW zlim !zj f (z) j =1 : : : k. dOKAZATELXSTWO. pUSTX FUNKCIQ w = f (z) IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) WO WSEH TO^KAH (NA I WNUTRI ) TREUGOLX H NIKA T I PUSTX (WOPREKI ZAKL@^ENI@ LEMMY) f (z) dz = 1 (
e
2
y).
T 1 nE SEKRET, ^TO \WYWOD" FORMULY gRINA W KURSAH DEJSTWITELXNOGO ANALIZA QWLQETSQ, MQGKO GOWORQ, NESOWERENNYM: WMESTO DOKAZATELXSTWA PREDLAGAETSQ RAZBOR \NEPROBLEMNYH" ^ASTNYH SLU^AEW (S NEOSNOWATELXNYM UTWERVDENIEM O SWODIMOSTI K NIM OB]EGO ). 2 wPERWYE BYLA OPUBLIKOWANA W VURNALE Trans.Amer.Math.Soc. ZA 1901 G. (v. 2, p. 420) NEMECKIM MATEMATIKOM pRINGSHAJMOM (Prinsgheim, Alfred, 1850{1941).
zAMKNUTOJ TREHZWENNOJ LOMANOJ (NE IME@]EJ SAMOPERESE^ENIJ), ORIENTIROWANNOJ ODNIM IZ DWUH WOZMOVNYH SPOSOBOW. 3
155 = c > 0. sTORONY TREUGOLXNIKA T WMESTE S EGO SREDNIMI LINIQMI OBRAZU@T ^ETYRE TREUGOLXNIKA, SUMMA INTEGRALOW PO KOTORYM, ESLI S^ITATX, ^TO WSE TREUGOLXNIKI ORIENTIROWANY ODINAKOWO (NAPRIMER, \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" RIS. 57, a), RAWNA INTEGRALU PO ISHODNOMU TREUGOLXNIKU T .
rIS. 57
sREDI \TIH ^ETYREH TREUGOLXNIKOW, PERIMETR KAVDOGO IZ KOTORYH RAWEN POLOWINE PERIMETRA p ISHODNOGO TREUGOLXNIKA, ESTX MERE ODIN , OBOZNA^AEMYJ T1 , H PO KRAJNEJ c DLQ KOTOROGO f (z) dz > 4 . T1 |TI VE DEJSTWIQ S TREUGOLXNIKOM T1 PRIWODQT K TREH p UGOLXNIKU T2 PERIMETRA 22 , DLQ KOTOROGO f (z) dz > 4c2 , a T2 IH PRODOLVENIE | K POSLEDOWATELXNOSTI fTng TREUGOLXNIH p KOW Tn PERIMETROW 2n , DLQ KOTORYH f (z) dz > 4cn . tAK KAK Tn
PROEKCII TREUGOLXNIKOW Tn NA STORONY TREUGOLXNIKA T OBRAZU@T STQGIWA@]IESQ POSLEDOWATELXNOSTI WLOVENNYH OTREZKOW ,
156
SU]ESTWUET (EDINSTWENNAQ ) TO^KA z? (NE WYHODQ]AQ ZA PREDELY TREUGOLXNIKA T ), -OKRESTNOSTX KOTOROJ (DLQ SKOLX UGODNO MALOGO ^ISLA > 0) SODERVIT WSE TREUGOLXNIKI Tn , NA^INAQ S NEKOTOROGO (ZAWISQ]EGO OT ^ISLA ) NOMERA n0 (RIS. 57, B). f (z);f (z?) sU]ESTWOWANIe PROIZWODNOJ f 0(z?) = zlim !z? z;z? OZNA^AET, ^TO DLQ SKOLX UGODNO MALOGO ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO > 0, ^TO PRI 0 < jz ; z? j < WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO f (z);f (z?) ; f 0(z?) 0, ^TO NEWOZMOVNO PRI c > 0. pREDPOLOVENIE H f (z) dz = 6 0 OKAZYWAETSQ PO\TOMU LOVNYM. T pUSTX TEPERX FUNKCIQ w = f (z) IMEET PROIZWODNU@ f 0(z) WO WSEH TO^KAH TREUGOLXNIKA T (I WNUTRI NEGO) ZA ISKL@^ENIEM TO^EK z1 : : : zk , W KOTORYH, ODNAKO, SU]ESTWOWU@T KONE^NYE PREDELY lim f (z) j =1 : : : k . rAZDELQQ TREUGOLXNIK T OTREZKAMI z!zj H PRQMYH NA MENXIE TREUGOLXNIKI, ^ISLO f (z) dz MOVNO PREDT STAWITX KAK SUMMU INTEGRALOW PO TREUGOLXNIKAM, KAVDYJ IZ KOTORYH SODERVIT NE BOLEE ODNOJ IZ TO^EK z1 : : : zk I
157
LIX W ODNOJ IZ WERIN . iNTEGRAL VE PO KAVDOMU TAKOMU TREUGOLXNIKU W SWO@ O^EREDX MOVET BYTX PREDSTAWLEN KAK SUMMA TREH INTEGRALOW : PO DWUM TREUGOLXNIKAM, NE SODERVA]IM \TU TO^KU (A PO DOKAZANNOMU OBA \TI INTEGRALA RAWNY NUL@ ), I INTEGRALU PO TREUGOLXNIKU, PERIMETR KOTOROGO MOVNO S^ITATX SKOLX UGODNO MALYM , DLQ KOTOROGO UKAZANNAQ TO^KA QWLQETSQ WERINOJ . tAK KAK W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ (W SILU SU]ESTWOWANIQ KONE^NOGO PREDELA ) QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ , SUMMA \TIH TREH INTEGRALOW OKAZYWAETSQ (PO MODUL@)HSKOLX UGODNO MALOJ , A POTOMU RAWNOJ NUL@ . kAK SLEDSTWIE f (z) dz =0. Q.E.D. T
lEMMA OB INTEGRALAH PO ZAMKNUTYM LOMANYM 1.
eSLI FUNKCIQ w = f (z) W ODNOSWQZNOJHOBLASTI D C OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO EE INTEGRAL f (z) dz PO L@BOMU LET VA]EMU W OBLASTI D HTREUGOLXNIKU T RAWEN NUL@ , TO RAWEN NUL@ I EE INTEGRAL f (z) dz PO L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P P , LEVA]EJ W OBLASTI D . dOKAZATELXSTWO . kAKOWA BY NI BYLA ZAMKNUTAQ LOMANAQ H P D, ^ISLO f (z) dz ESTX LIBO INTEGRAL PO MNOGOUGOLXNIKU , 2 (
)
P
PRINADLEVA]EMU OBLASTI D (WWIDU ee ODNOSWQZNOSTI ) WMESTE SO SWOEJ WNUTRENNOSTX@ , LIBO SUMMA INTEGRALOW PO TAKIM MNOGOUGOLXNIKAM .
wOT DOKAZATELXSTWO \TOGO POSLEDNEGO UTWERVDENIQ. mOVNO S^ITATX, ^TO ZWENXQ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P D NE IME@T OB]IH OTREZKOW : W PROTIWNOM SLU^AE KAVDYJ IZ NIH PRI POWTORNOM EGO PROHOVDENII MOVNO ZAMENITX (NE WYHODQ ZA PREDELY OBLASTI D ) DWUHZWENNOJ LOMANOJ , ZWENXQ KOTOROJ NE PARALLELXNY OSTALXNYM 1 sKLONNYM PRINQTX \TU LEMMU BEZ DOKAZATELXSTWA STOIT OTWETITX NA WOPROS, ZA^EM W EE USLOWII TREBUETSQ ODNOSWQZNOSTX OBLASTI.
158 ZWENXQM LOMANOJ P (RIS. 58, A). sOGLASNO USLOWI@ LEMMY (RAWENSTWU NUL@ INTEGRALA H PO L@BOMU TREUGOLXNIKU ) PRI TAKOJ ZAMENE LOMANOJ P ZNA^ENIE f (z) dz OSTAETSQ NEIZMENNYM, oTSUTSTWIE VE OB]IH P OTREZKOW U ZWENXEW LOMANOJ P GARANTIRUET KONE^NOSTX ^ISLA TO^EK ee SAMOPERESE^ENIQ . eSLI U ZAMKNUTOJ LOMANOJ P WOOB]E NET TO^EK SAMOPERESE^ENIQ , TO \TA LOMANAQ ESTX MNOGOUGOLXNIK . eSLI VE U ZAMKNUTOJ LOMANOJ P ESTX TO^KI SAMOPERESE^ENIQ , TO PRINIMAQ L@BU@ EE TO^KU ZA NA^ALXNU@ , MOVNO UKAZATX POSLEDN@@ TO^KU z \TOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ IZ ^ISLA TEH, KOTORYE PRI EE OBHODE (OT WYBRANNOJ NA^ALXNOJ TO^KI) WSTRE^A@TSQ E]E ODIN RAZ.
rIS. 58
u^ASTOK ZAMKNUTOJ LOMANOJ P OT PREDPOSLEDNEGO DO POPROHOVDENIQ TO^KI z ESTX ZAMKNUTAQ LOMANAQ , NE IME@]AQ SAMOPERESE^ENIJ , T. E. MNOGOUGOLXNIK . oSTA@]AQSQ POSLE OTDELENIQ \TOGO MNOGOUGOLXNIKA ^ASTX ZAMKNUTOJ LOMANOJ P ESTX ZAMKNUTAQ LOMANAQ S MENXIM (^EM y P ) ^ISLOM ZWENXEW (RIS. 58, B), K KOTOROJ (ESLI ONA E]E NE OKAZYWAETSQ MNOGOUGOLXNIKOM ) MOVNO PRIMENITX UVE PROWEDENNYE RASSUVDENIQ. SLEDNEGO
159
dLQ DOKAZATELXSTWA LEMMY DOSTATATO^NO PO\TOMU DOKAH ZATX, ^TO f (z) dz =0 DLQ L@BOGO MNOGOUGOLXNIKA P D. P eSLI MNOGOUGOLXNIK P WYPUKLYJ (A \TO OZNA^AET, ^TO OGRANI^IWAEMAQ IM ^ASTX PLOSKOSTI S KAVDOJ H PAROJ TO^EK SODERVIT I OTREZOK , IH SOEDINQ@]IJ), TO f (z) dz = 0 KAK P SUMMA RAWNYH NUL@ (PO USLOWI@ LEMMY) INTEGRALOW PO PRINADLEVA]IM OBLASTI D TREUGOLXNIKAM , KOTORYE OBRAZU@T SO STORONAMI MNOGOUGOLXNIKA P OTREZKI PRQMYH , SOEDINQ@]IE PROIZWOLXNO WZQTU@ TO^KU z0 WNUTRI MNOGOUGOLXNIKA P c EGO WERINAMI (RIS. 59, a).
rIS. 59
eSLI VE MNOGOUGOLXNIK P NE QWLQETSQ WYPUKLYM , TO f (z) dz = 0 KAK SUMMA RAWNYH NUL@ (KAK TOLXKO ^TO BYLO P USTANOWLENO) INTEGRALOW PO WYPUKLYM MNOGOUGOLXNIKAM, OBRAZUEMYM STORONAMI MNOGOUGOLXNIKA P I IH PRODOLVENIQMI WNUTRX NEGO (RIS. 59, B). Q.E.D. lEMMA 3 (O SU]ESTWOWANII PERWOOBRAZNOJ). eSLI W OBLASTI1 D C FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ NEPRERYWNOJ , H
1
nE OBQZATELXNO ODNOSWQZNOJ .
160
I EE INTEGRAL PO L@BOJ ZAMKNUTOJ LOMANOJ P D RAWEN NUL@ , TO U \TOJ FUNKCII W OBLASTI D ESTX PERWOOBRAZNAQ FUNKCIQ: f (z)= '0(z) z 2 D.
rIS. 60
dOKAZATELXSTWO. dLQ FIKSIROWANNOJ TO^KI z1 I PEREdef R MENNOJ TO^KI z OBLASTI D PUSTX '(z) = f ( ) d , GDE Qz1!z
Qz1 !z | L@BAQ LOMANAQ , RASPOLOVENNAQ W OBLASTI D I WEDU]AQ IZ TO^KI z1 W TO^KU z (RIS. 60). fAKT SU]ESTWOWANIQ TAKOJ LOMANOJ WYTEKAET IZ SWOJSTWA LINEJNOJ SWQZNOSTI OBLASTEJ (VII, c. 107), A TO, ^TO ZNA^ENIE '(z) OPREDELENO DLQ KAVDOJ TO^KI z 2 D EDINSTWENNYM OBRAZOM (T. E. NE ZAWISIT OT WYBORA KONKRETNOJ LOMANOJ Qz1 !z D) | IZ USLOWIQ LEMMY1. oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO OPREDELQEMAQ RAeSLI Qe z1!z | L@BAQ DRUGAQ LOMANAQ , PRINADLEVA]AQ OBLASTI D I WEDU]AQ IZ TO^KI z1 W TO^KU z , TO REZULXTAT EE PRODOLVENIQ LOMANOJ (Qz1 !z); ESTX ZAMKNUTAQ LOMANAQ P D, INTEGRAL PO KOTOROJ, S ODNOJ STORONY, ESTX RAZNOSTX INTEGRALOW PO LOMANYM Qe z1 !z I Qz1 !z (VIII, S. 128, SWOJSTWA 2 I 3), A S DRUGOJ | RAWEN NUL@ PO USLOWI@ LEMMY. 1
161
WENSTWOM '(z) def =
R
f ( ) d FUNKCIQ W SAMOM DELE SLUVIT
Qz1 !z
PERWOOBRAZNOJ PO OTNOENI@ K PODYNTEGRALXNOJ1. tAK KAK FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA W OBLASTI D, DLQ PROIZWOLXNO WZQTYH TO^KI z 2 D I ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET KRUG S CENTROM z , W PREDELAH KOTOROGO ZNA^ENIQ \TOJ FUNKCII OTLI^A@TSQ OT EE ZNA^ENIQ W CENTRE DANNOGO KRUGA MENXE , ^EM NA ". eSLI | RADIUS \TOGO KRUGA, A Mz | L@BOE NENULEWOE KOMPLEKSNOE ^ISLO (\WEKTOR PRIRA]ENIQ") c jMzj < , TO PO OPREDELENI@ ZNA^ENIQ '(z) R R R '(z+Mz) ; '(z) = f ( ) d ; f ( ) d = f ( ) d , Qz1!z+Mz
Qz1 !z
Lz!z+Mz
GDE Lz!z+Mz | OTREZOK PRQMOJ S NA^ALXNOJ TO^KOJ z I KOR NE^NOJ z+Mz : TAK KAK ZNA^ENIE '(z+Mz) = f ( ) d NE Qz1!z+Mz
ZAWISIT OT WYBORA LOMANOJ Qz1 !z+Mz D , MOVNO S^ITATX, ^TO \TOJ LOMANOJ SLUVIT LOMANAQ Qz1!z , PRODOLVENNAQ OTREZKOM Lz!z+Mz . pOSKOLXKU = z + t M z t 2 0 1], | PUTX OBHODA \TOGO OTREZKA , 1 ;'(z+Mz) ; '(z ) = 1 R f ( ) d = 1 R1 f (z + tMz)Mzdt = Mz Mz Mz R1
Lz!z+Mz
0
= f (z + tMz) ; f (z) dt + f (z), 0 A TAK KAK f (z + tMz) ; f (z) 0 9 > 0 8z18z2 z12 D ^ z22 D ^ jz1 ; z2j < =) =) jf (z1);f (z2)j n0 NERAWENSTWO jfn (z);f (z)j < " OKAZYWAETSQ WYPOLNENNYM SRAZU DLQ WSEH TO^EK z 2 K .
sIMWOLI^ESKI DANNOE OPREDELENIE WYRAVAETSQ FORMULOJ ; 8z0 8r> 0 (z0 2 D ^ 8z (jz ; z0j6 r =) z 2 D)) =) =) 8"> 0 9n0 8n 8z (n > n0 ^ jz ; z0j6 r =) jfn (z ) ; f (z )j n0 (K ") I NERAWENSTWA jf (z) ;f ()j 6 jf (z); fn(z)j + jfn(z) ;fn()j + jfn() ;f ()j +1
oSNOWYWAQSX NA OPREDELENII wEJERTRASSA TOGO, ^TO RQD P fn (z) n=0 (T. E. POSLEDOWATELXNOSTX f0 (z) f0 (z)+ f1 (z) f0 (z)+ f1 (z)+ f2 (z) : : : ) FUNKCIJ SHODITSQ RAWNOMERNO W OKRESTNOSTI TO^KI a (\die Reihe convergire gleichmassig in der Nahe der Stelle a " 43], Bd. 2, S. 201{202). 2 pERWONA^ALXNYJ EE WARIANT BYL POLU^EN wEJERTRASSOM W 1841 G. 1
(43], Bd. 1, S. 73{74).
175
rIS. 65
PREDELXNAQ FUNKCIQ w = f (z) NEPRERYWNA W KRUGE K (A ZNA^IT, I NA OKRUVNOSTI C ), PO\TOMU DLQ USTANOWLENIQ ANALITI^NOSTI \TOJ FUNKCII W TO^KEH z0 DOSTATO^NO PROWERITX WYPOLNENIE RAWENSTWA f (z)= 21i f;(z) d WNUTRI OKRUVNOSTI C
C (S^ITAQ EE ODNOKRATNO OBHODIMOJ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII). w SILU INTEGRALXNOJ FORMULY kOI, PRIMENENNOJ K FUNKCIQM w = fn(z) W KRUGE K0 I TO^KAM z c jz ; z0 j < r ( r | RADIUS OKRUVNOSTI C ), A TAKVE WYPOLNQ@]EGOSQ DLQ WSEH TO^EK z 2 K PRI n > n0(K ") NERAWENSTWA jfn (z);f (z)j 0, sinppz = sin it = et ;e;t ;! +1. it 2t t!+1 z
dLQ L@BOJ ODNOZNA^NOJ WETWI w = pz, WYDELQEMOJ W PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" PO (L@BOMU) LU^U , WYHODQ]EMU IZ 3.
oSOBAQ TO^KA z = 1 QWLQETSQ DLQ NEE NEUSTRANIMOJ , TAK KAK W +1 SLU^AE WOZMOVNOSTI ANALITI^ESKOGO PRODOLVENIQ FUNKCII w = P z n n=0 IZ KRUGA fz 2 C : jz j < 1 W \TU TO^KU ONA OKAZYWALASX BY OGRANI^ENNOJ + 1 n P 1 PRI z ! 1, ^TO NEWERNO, POSKOLXKU zlim !1 z = zlim !1 1;z = 1. 1
jzj cn(z ; z0)n PRI 0 < jz ; z0j n=;1+P1 > cn z n PRI r< jzj < +1 ESLI z0 = 1: : n=;1 B OBOIH SLU^AQH (KAK z0 2 C , TAK I z0 = 1) RQD lORANA FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTI EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ
t. E. MNOVESTWO WIDA fz 2 C : 0 < jz ; z0 j < rg (PRI NEKOTOROM r 0 < r 6 +1), ESLI z0 2 C , I fz 2 C : r < jz j < +1g (PRI NEKOTOROM r > 0), ESLI z0 = 1. 2 |KWIWALENTNO: OSOBAQ TO^KA z ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) 0 S^ITAETSQ IZOLIROWANNOJ , ESLI W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 NET DRUGIH OSOBYH TO^EK \TOJ FUNKCII (W PROTIWNOM SLU^AE OSOBU@ TO^KU z0 NAZYWA@T NEIZOLIROWANNOJ ). 3 pRIMENENNOJ K KOLXCU WIDA fz 2 C : 0 < jz ; z j > 0 DLQ WSEH z IZ UKAZANNOJ OKRESTNOSTI TO^KI z0 ), MOVNO SDELATX WYWOD: FUNKCIQ w = f (z)1;w0 QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ I OGRANI^ENNOJ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 I POTOMU IMEET W \TOJ TO^KE (SOGLASNO UTWERVDENI@ NA S. 216) USTRANIMU@ OSOBENNOSTX, A SLEDOWATELXNO (PO TOMU VE UTWERVDENI@), KONE^NYJ PREDEL PRI z ! z0 . nO OTS@DA WYTEKAET, ^TO FUNKCIQ w = f (z) ; w0 (A SLEDOWATELXNO, I FUNKCIQ w = f (z)) IMEET KONE^NYJ 1 ILI BESKONE^NYJ 2 PREDEL PRI z ! z0 , ^TO NEWOZMOVNO, POSKOLXKU z0 | SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA FUNKCII w = f (z). w SLU^AE w0 = 1 RASSUVDENIE GORAZDO PRO]E: W L@BOJ OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ w = f (z) ZAWEDOMO QWLQETSQ NEOGRANI^ENNOJ 3 , T. E. SREDI EE ZNA^ENIJ ESTX \SKOLX UGODNO BLIZKIE K BESKONE^NOSTI". Q.E.D.
uSILENIEM TEOREMY kAZORATI { sOHOCKOGO { wEJERTRASSA QWLQETSQ SLEDU@]EE (BOLEE TRUDNOE DLQ DOKAZATELXSTWA4) UTWERVDENIE. TEOREMA pIK ARA5 w L@BOJ OKRESTNOSTI SU]ESTWENNO OSOBOJ TO^KI ANALITI^ESKAQ FUNKCIQ PRINIMAET L@BOE KOMPLEKSNOE ZNA^ENIE ZA WOZMOVNYM ISKL@^ENIEM LIX ODNOGO . 1 = 1 eSLI lim 6 0. z!z0 f (z);w0 1 2 eSLI lim z!z0 f (z);w0 =0. 3 iNA^E ONA IMELA BY W TO^KE z USTRANIMU@ OSOBENNOSTX (S. 216). 0 4 oNO ESTX, NAPRIMER, U a. i. mARKUEWI^A W 12] (S. 690{691).
Annales scienti#ques de l'E cole Normale Superieure, ser. II, t. 9, 1880, p. 165 Picard, E mile, 1856{1941, | FRANCUZSKIJ MATEMATIK. 5
222 sFORMULIROWANNU@ TEOREMU INOGDA NAZYWA@T \BOLXOJ TEOREMOJ pIKARA", SNABVAQ \PITETOM \MALAQ" TOT EE ^ASTNYJ SLU^AJ, KOGDA FUNKCIQ QWLQETSQ CELOJ (S SU]ESTWENNOJ OSOBOJ TO^KOJ 1).
wOT NESKOLXKO PRIMEROW KLASSIFIKACII IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK NA OSNOWE PRIWEDENNYH HARAKTERISTIK. 1. oSOBYE TO^KI FUNKCII w = ctg z , KOTORAQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ W PLOSKOSTI C S ISKL@^ENNYMI TO^KAMI k k 2 Z , | \TO UKAZANNYE TO^KI (WSE ONI IZOLIROWANNYE 1) I 1 (NEIZOLIROWANNAQ 2 ). pOSKOLXKU DLQ FUNKCII w = ctg1 z KAVDAQ TO^KA k QWLQETSQ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ1, A POSLE USTRANENIQ W NEJ OSOBENNOSTI (PUTEM ZAMENY ctg z NA tg z) | PROSTYM NULEM , DLQ ISHODNOJ FUNKCII w =ctg z TO^KI k k 2 Z , QWLQ@TSQ PROSTYMI POL@SAMI . pRI PEREHODE K FUNKCII w = ctg z ; z1 OSOBAQ TO^KA 0 OKAZYWAETSQ USTRANIMOJ , ^TO; WIDNO IZ RAZLOVENIQ ; z 1;z 2=2!+ ; z ;z 3=3!+ 1 z cos z ; sin z ctg z z = sin z = , z ;z 3=3!+ I (POSLE USTRANENIQ OSOBENNOSTI ) | NULEM 2-J KRATNOSTI . tO^KI VE k k Z k = 0, DLQ FUNKCII w = ctg z 1 (KAK
;
2
6
;z
I DLQ FUNKCII w = ctg z ) QWLQ@TSQ PROSTYMI POL@SAMI \TO WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO PROSTOGO, NO WESXMA POLEZNOGO W PRAKTIKE KLASSIFIKACII OSOBYH TO^EK UTWERVDENIQ | PRQMOGO SLEDSTWIQ TEOREMY lORANA (XII , S. 183). eSLI z0 QWLQETSQ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KOJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) I TO^KOJ ANALITI^NOSTI FUNKCII w = g(z), TO RQDY lORANA FUNKCIJ w = f (z) I w = f (z) g(z) W OKRESTNOSTI TO^KI z0 IME@T ODNU I TU VE GLAWNU@ ^ASTX . w {OKRESTNOSTI KAVDOJ IZ NIH NET DRUGIH OSOBYH TO^EK \TOJ FUNKCII. 2 w L@BOJ OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI ESTX TO^KI WIDA k . 1
223
dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = sin z21+1 OSOBYMI TO^KAMI QWLQ@TSQ i I 1 (WSE IZOLIROWANNYE ). tAK KAK PRI STREMLENII z K TO^KAM 1 i WDOLX MNIMOJ OSI (OT NA^ALA KOORDINAT ) WELI^INA z2+1 , WOZRASTAQ , PRINIMAET WSE 1DEJSTWITELXNYE ZNA^ENIQ OT 1 DO +1, FUNKCIQ w = sin z2+1 NE IMEET PREDELA PRI z ! i, A POTOMU OBE TO^KI i |1 SU]ESTWENNO OSOBYE DLQ \TOJ FUNKCII. tAK KAK zlim !1 sin z2+1 =0, OSOBAQ TO^KA 1 QWLQETSQ DLQ FUNKCII w = sin z21+1 USTRANIMOJ BOLEE TOGO, POSKOLXKU PRI ZAMENE z NA z1 FUNKCIQ w = sin z21+1 PEREHODIT W w = sin 1+zz2 (DLQ KOTOROJ NA^ALO KOORDINAT ESTX NULX KRATNOSTI 1), BESKONE^NOSTX QWLQETSQ (ZAME^ANIE NA S. 219) NULEM FUNKCII w =sin z21+1 KRATNOSTI 1. 1 3. dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w =exp z sin z1 OSOBYMI TO^KAMI QWLQ@TSQ: 1 1 , 21 , 31 , : : : (IZOLIROWANNYE ) I 0 (NEIZOLIROWANNAQ ). TAK KAK 1 = z 1 lim exp 1 z!1 !0 ; 3!1 3+ 5!1 5; = exp 1 = e, z sin z = exp lim OSOBAQ TO^KA 1 QWLQETSQ USTRANIMOJ PRI STREMLENII VE z K L@BOJ IZ TO^EK k1 , k = 1 2 : : : , S RAZNYH STORON WDOLX DEJSTWITELXNOJ OSI ZNA^ENIE FUNKCII STREMITSQ W ODNOM SLU^AE K 0, A W DRUGOM K +1 SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ NE IMEET PREDELA NI W ODNOJ IZ \TIH TO^EK, A POTOMU KAVDAQ IZ NIH | SU]ESTWENNO OSOBAQ . ctg z 4. dLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = cos z ;1 OSOBYMI QWLQ@TSQ TO^KI zk = k k = 0 1 2 : : : (WSE ONI IZOLIROWANNYE ) I 1 (NEIZOLIROWANNAQ ). tAK KAK DLQ FUNKCII z ;1) TO^KI z = k QWLQ@TSQ NULQMI w = ctg1 z = sin z(cos k cos z 2.
cos z ;1
224 (KRATNOSTI 1 DLQ NE^ETNYH k I KRATNOSTI 3 DLQ k ^ETNYH ), UKAZANNYE TO^KI OKAZYWA@TSQ DLQ FUNKCII w = cosctgz;z 1 POL@SAMI SOOTWETSTWU@]IH PORQDKOW . 2 2 5. oSOBYE TO^KI ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = zez++1 | \TO NULI ZNAMENATELQ , T. E. zk = i(2k;1) k =0 1 2 : : : (WSE IZOLIROWANNYE ) I 1 (NEIZOLIROWANNAQ ). pOSKOLXKU z 2+2 = (z +i)(z ;i) = (z ;z0)(z ;z1) = (z ;z0)(z ;z1) , + 1 +1 P n ez +1 1;ez;i(2k;1) 1 ; (z;nz!k) ; P (z;nz!k)n n=0 n=1 OSOBYE TO^KI zk PRI k =0 1 OKAZYWA@TSQ USTRANIMYMI , A PRI k = ;1 2 : : : | POL@SAMI 1-GO PORQDKA . 6. mNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ w = z +1pz IMEET W OKRESTNOSTI TO^KI z0 =1 DWE ODNOZNA^NYE ANALITI^ESKIE WETWI , p p OPREDELQEMYE SOOTWETSTWENNO ZNA^ENIQMI 1=1 I 1= ;1 TO^KA z0 =1 DLQ PERWOJ IZ NIH NE QWLQETSQ OSOBOJ , DLQ WTOROJ VE ONA SLUVIT POSKOLXKU DLQ POL@SOM 1-GO PORQDKA , 0 p 6= 0. \TOJ WETWI 11p = 1+ 1=0, a 11p z + z z =1 z + z z =1
iLL@STRIROWATX DANNYE WYE HARAKTERISTIKI IZOLIROWANNYH OSOBYH TO^EK MOGUT TAKVE SLEDU@]IE UTWERVDENIQ. eSLI DLQ CELOJ (T. E. ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C ) FUNKCII w = f (z) EDINSTWENNAQ EE OSOBAQ TO^KA 1 QWLQETSQ USTRANIMOJ , TO \TA FUNKCIQ ESTX POSTOQNNAQ , PRI \TOM f (z) zlim !1f (z). dOKAZATELXSTWO . l@BAQ CELAQ FUNKCIQ w = f (z) IMEET WO +P 1 WSEJ PLOSKOSTI C RAZLOVENIE tEJLORA f (z)= cnzn , ODNOn=0 WREMENNO QWLQ@]EESQ EE RAZLOVENIEM lORANA W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI . eSLI OSOBAQ TO^KA 1 \TOJ FUNKCII
225 +P 1 QWLQETSQ USTRANIMOJ , TO GLAWNAQ ^ASTX cnzn \TOGO RAZn=1 LOVENIQ DOLVNA OTSUTSTWOWATX, T. E. f (z)= c0 . Q.E.D. tEOREMA lIUWILLQ.1 sREDI CELYH FUNKCIJ OGRANI^ENNYMI QWLQ@TSQ LIX POSTOQNNYE . dOKAZATELXSTWO . eSLI CELAQ FUNKCIQ OGRANI^ENA , TO 1 QWLQETSQ DLQ NEE USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ (S. 216), A PO PREDYDU]EMU UTWERVDENI@ TAKAQ FUNKCIQ ESTX POSTOQNNAQ . Q.E.D.
tEOREMA O SU]ESTWOWANII KORNQ U MNOGO^LENA.1
l@BOJ MNOGO^LEN p(z) (STEPENI n > 1) IMEET KORENX z 2 C . dOKAZATELXSTWO . eSLI BY MNOGO^LEN p(z) STEPENI n > 1 NE OBRA]ALSQ W NULX NI W ODNOJ TO^KE z 2 C , TO FUNKCIQ w = p(1z) OKAZYWALASX BY CELOJ , PRI^EM | POSKOLXKU lim 1 =0 | IME@]EJ USTRANIMU@ OSOBENNOSTX W 1. |TO z!1 p(z) WOZMOVNO LIX ESLI \TA FUNKCIQ | POSTOQNNNAQ , PRI^EM 1 = lim 1 =0 | PROTIWORE^IE . p(z) z!1 p(z)
tEOREMA O RAZLOVENII PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBI NA PROSTYE. eSLI MNOGO^LENY p(z) I q(z) NE IME-
@T OB]IH NULEJ (KORNEJ ) I STEPENX PERWOGO MENXE STEPENI WTOROGO, TO OTNOENIE pq((zz)) | EGO W \TOM SLU^AE NAZYWA@T2 PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBX@ | PREDSTAWIMO, PRI^EM EDINSTWENNYM OBRAZOM, W WIDE p(z) = Ak + q(z) (z ;a)k
+ zA;a + (zB;mb)m + + zB;b + + (zC;nc)n + + zC;c , 1
1
1
1 2
uVE WSTRE^ALASX WYE (XIII, S. 197). sLEDUQ |JLERU 19], x38, c. 47.
226
GDE W ZNAMENATELQH PROSTYH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI a b : : : : : : c | NULI MNOGO^LENA q(z), A k m : : : n | KRATNOSTI \TIH NULEJ ^ISLITELQMI VE IH QWLQ@TSQ NEKOTORYE KOMPLEKSNYE ^ISLA (TRADICIONNO OBOZNA^AEMYE ZAGLAWNYMI BUKWAMI I OBY^NO NAHODIMYE METODOM NEOPREDELENNYH KO\FFICIENTOW | SRAWNENIEM LEWOJ I PRAWOJ ^ASTEJ RAWENSTWA POSLE PRIWEDENIQ SOSTAWLQ@]IH IH DROBEJ K OB]EMU ZNAMENATEL@). dOKAZATELXSTWO . eDINSTWENNOSTX UKAZANNOGO PREDSTAWLENIQ SLEDUET IZ TOGO, ^TO TO^KA a QWLQETSQ OSOBOJ LIX DLQ PERWOJ (WZQTOJ W KWADRATNYE SKOBKI) GRUPPY PROSTYH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI, W SILU ^EGO \TA GRUPPA PROSTYH DROBEJ SOSTAWLQET W TO^NOSTI GLAWNU@ ^ASTX RQDA lORANA SUMMY WSEH DROBEJ W PRAWOJ ^ASTI, A SLEDOWATELXNO, I FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTI TO^KI a . pO TEM VE SOOBRAVENIQM (zB;mb)m + + zB;1b ESTX W TO^NOSTI GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTI TO^KI b I T. D. pRAKTI^ESKI TAK VE DOKAZYWAETSQ SU]ESTWOWANIE UKAZANNOGO PREDSTAWLENIQ. tAK KAK TO^KI a b : : : c QWLQ@TSQ NULQMI (KRATNOSTEJ k m : : : n ) MNOGO^LENA p(z), ONI VE OKAZYWA@TSQ POL@SAMI (TEH VE PORQDKOW k m : : : n ) FUNKCII w = pq((zz)) . eSLI S^ITATX, ^TO (z;Aka)k + + zA;1a ESTX GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTI TO^KI a, TO ZAMENA W NEJ pq((zz)) NA pq((zz)) ; (z;Aka)k + + zA;1a , S ODNOJ STORONY, DELAET OSOBU@ TO^KU a USTRANIMOJ , A S DRUGOJ | OSTAWLQET NEIZMENNYMI GLAWNYE ^ASTI RQDOW lORANA FUNKCII w = pq((zz)) W OKRESTNOSTQH TO^EK b : : : c (UTWERVDENIE NA S. 222).
227
pOWTORENIE \TIH RASSUVDENIJ PRIMENITELXNO K TO^KAM b : : : c POZWOLQET SDELATX WYWOD: FUNKCIQ w = pq((zz)) ; (z;Aka)k + + zA;1a ; (zB;mb)m + + zB;1b ; ; (zC;nc)n + + zC;1c IMEET W PLOSKOSTI C LIX USTRANIMYE OSOBYE TO^KI, A POTOMU POSLE USTRANENIQ W NEJ OSOBENNOSTEJ OKAZYWAETSQ CELOJ . tAK KAK PRI z ! 1 \TA FUNKCIQ (SUMMA PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ) STREMITSQ K NUL@ , ONA (UTWERVDENIE NA c. 223) ESTX TOVDESTWENNYJ NULX . Q.E.D.
uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO OPREDELENIE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KI NA S. 212 \KWIWALENTNO DANNOMU W SNOSKE NA TOJ VE STRANICE. 2. oBOSNOWATX I PROILL@STRIROWATX PRIMERAMI SLEDU@]U@ TABLICU WOZMOVNYH OSOBENNOSTEJ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z)+g(z) W ZAWISIMOSTI OT WIDOW OSOBENNOSTEJ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ w = f (z) I w = g(z) W IH OB]EJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE . USTRANIMAQ OSOPOL@S BAQ TO^KA, NULX PORQDKA g KRATNOSTI k l USTRANIMAQ OSOUSTRANIMAQ, POL@S BAQ TO^KA, NULX NULX KRATNOSTI PORQDKA KRATNOSTI m > minfk mg1 l POL@S POL@S POL@S PORQDKA PORQDKA PORQDKA n n 6 maxfl ng2 SU]ESTWENNO SU]ESTWENNO SU]ESTWENNO OSOBAQ OSOBAQ OSOBAQ TO^KA TO^KA TO^KA f
SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA SU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA OSOBENNOSTX L@BOGO WIDA
tO^NEE, KRATNOSTI minfk mg, ESLI m 6= k, I KRATNOSTI > k, ESLI m = k. 2 tO^NEE, PORQDKA maxfl ng, ESLI n 6= l , I PORQDKA 6 l (WKL@^AQ SLU^AJ USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KI ), ESLI n = l. 1
228 3. zAPOLNITX PODOBNU@ TABLICU DLQ FUNKCII w = f (z) g(z). 4. dOKAZATX, ^TO NA GRANICE KRUGA SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA NEPREMENNO ESTX NEUSTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA EGO SUMMY . 5. pROWERITX RAWNOSILXNOSTX FORMULIROWOK TEOREMY kAZORATI { sOHOCKOGO { wEJERTRASSA NA S. 220 I DANNOJ W SNOSKE NA TOJ VE STRANICE. 6. kAKU@ OSOBENNOSTX IMEET FUNKCIQ w = ef (z) W TO^KE z0 , ESLI DLQ FUNKCII w = f (z) \TA TO^KA QWLQETSQ a) POL@SOM ? B) SU]ESTWENNO OSOBOJ ? 7. pROWERITX UTWERVDENIE TEOREMY pIKARA (S. 221) DLQ FUNKCIJ w = cos z1 , w = exp 1z . 8. pRIWESTI PRIMER MNOGOZNA^NOJ FUNKCII w = F (z), DLQ ODNOZNA^NYH WETWEJ KOTOROJ TO^KA z0 2 C BYLA BY OSOBOJ , PRI^EM DLQ ODNOJ WETWI | USTRANIMOJ , DLQ DRUGOJ | POL@SOM , DLQ TRETXEJ | SU]ESTWENNO OSOBOJ , DLQ ^ETWERTOJ | NEIZOLIROWANNOJ . p4 p4 z1;i sin p4 zz;+ii w = sin p2 , z0 =1. 4 z +1
229
~TO NAZYWA@T WY^ETAMI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ I KAK IMI OPERIRU@T XV.
wY^ETOM 1 ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) W EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^Ke z0 2 C NAZYWA@T OBOZNA^AEMYJ 2 res f (z) z=z0 KO\FFICIENT PRI (z ; z0 );1 W RAZLOVENII lORANA \TOJ +1 FUNKCII f (z) = P cn(z ; z0 )n W OKRESTNOSTI TO^KI z0 W n=;1 SLU^AE, ESLI \TA TO^KA KONE^NA : zres f (z) def = c;1 (z0 2 C ) =z0 WZQTYJ S MINUSOM KO\FFICIENT PRI z;1 W ee RAZLOVENII +P 1 lORANA f (z)= cnzn W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI , ESLI n=;1 z0 = 1 : zres f (z) def = ; c; 1 . =1 pONQTIE WY^ETA ANALITI^ESKOJ FUNKCII (PERWONA^ALXNO W EE POL@SE ) WWEL W 1826 G. kOI, WIDQ W NEM (W SLU^AE OBRA]ENIQ FUNKCII W BESKONE^NOSTX) NEKOTORU@ ANALOGI@ S PONQTIEM PROIZWODNOJ . wOT ^TO MOVNO PRO^ITATX NA S. 11 PERWOGO TOMA EGO \Exercices de Mathematiques" (= 28], ser. II, t. VI, p. 23), GDE WPERWYE POQWLQETSQ TERMIN WY^ET . \kOGDA NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ x PRIDAETSQ BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE ", FUNKCIQ f (x) \TOJ PEREMENNOJ SAMA POLU^AET, WOOB]E uSTOQWIJSQ PEREWOD TERMINA kOI le residu | OSTATOK PRI^INU WYBORA IMENNO \TOGO TERMINA DLQ WWODIMOGO IM PONQTIQ kOI W SWOIH RABOTAH NE OB_QSNIL. 2 w NASTOQ]EE WREMQ (NARQDU S WARIANTAMI \TOGO OBOZNA^ENIQ). pREDLOVENNOE kOI OBOZNA^ENIE WY^ETOW NA OSNOWE STILIZOWANNOJ BUKWY E | NA^ALXNOJ W NAZWANII OPERACII IZWLE^ENIQ WY^ETOW (Extraction des residus ) | NE PRIVILOSX. 1
230 GOWORQ, BESKONE^NO MALOE PRIRA]ENIE, PERWYJ ^LEN KOTOROGO PROPORCIONALEN ", I KONE^NYJ KO\FFICIENT PRI " W PRIRA]ENII FUNKCII ESTX TO, ^TO NAZYWA@T DIFFERENCIALXNYM KO\FFICIENTOM ... eSLI POSLE NAHOVDENIQ ZNA^ENIJ x, OBRA]A@]IH FUNKCI@ f (x) W BESKONE^NOSTX, PRIBAWITX K ODNOMU IZ \TIH ZNA^ENIJ, OBOZNA^EMOMU x1 , BESKONE^NO MALOE KOLI^ESTWO ", A ZATEM RAZLOVITX f (x1 + ") PO WOZRASTA@]IM STEPENQM \TOGO KOLI^ESTWA, TO PERWYE ^LENY RAZLOVENIQ BUDUT SODERVATX OTRICATELXNYE STEPENI ", I ODIN IZ NIH BUDET PROIZWEDENIEM 1" NA KONE^NYJ KO\FFICIENT, KOTORYJ MY BUDEM NAZYWATX WY^ETOM FUNKCII f (x) OTNOSITELXNO KONKRETNOGO ZNA^ENIQ x1 PEREMENNOJ x." 1 pRIMER. wY^ETY ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = z2z;1 W EE 1 , 1 , ;1: OSOBYH TO^KAH; 1 ;11 RAWNY SOOTWETSTWENNO 2 2 ;
; ; ;
;
z 1 1 1 1 1 z 2;1 = z ;1 1 z +1 = z ;1 1 2 1+(z ;1)=2 = ; ; 2 = z;1 1 1 12 1 z;2 1 + (z;221) z 1 < 2 1 = z = 1 ;1+ 1 = 1 ;1 1 z 2;1 z +1 z ;1 z +1 2 1+(z +1)=2 ; ; 1 1 1 1+ z +1 + (z +1)2 + = z+1 z +1 < 2 2 2 22
;
;
;
j;j
j j
w ORIGINALE: \Lorsqu'on attribue a une variable independante x un accroissement inniment petit ", une fonction f (x) de cette variable recoit elle-m^eme en general un accroissement inniment petit dont le premier terme est proportionnel a ", et le coecient ni de " dans l'accroissement de la fonction est ce qu'on nomme le coecient dierentiel... Si, apr es avoir cherche les valeurs de x qui rendent la fonction f (x) innie, on ajoute a l'une de ces valeurs, designee par x1 , la quantite inniment petite ", puis, que l'on developpe f (x1 + ") suivant les puissances ascendantes de la m^eme quantite, les premiers termes du developpement renfermeront des puissances negatives de ", et l'un d'eux sera le produit de 1" par un coecient, que nous appellerons le residu de la fonction f (x) relatif a la valeur particuli ere x1 de la variable x." 1
231 z = 1 1 = z ;1 ;1 + z ;2 + z ;4 + z ;1 z 1;z ;2 2
1 < jzj < +1.
kOMBINIRUQ DANNOE OPREDELENIE WY^ETA S FORMULOJ DLQ KO\FFICIENTA c;1 W RAZLOVENII lORANA (XII , S. 183), PRIHODQT K SLEDU@]EMU \KWIWALENTNOMU OPREDELENI@ WY^ETA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = fH(z) W EE IZOLIROWANNOJ OSOBOJ def 1 f ( z ) = 2i f (z) dz , GDE ; | L@BOJ ZAMKTO^KE z0 2 C : zres =z0 ; NUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR , LEVA]IJ W OKRESTNOSTI TO^KI z0 (NE cODERVA]EJ DRUGIH OSOBYH TO^EK FUNKCII) I ODIN RAZ OBHODQ]IJ TO^KU z0 W POLOVITELXNOM NAPRaWLENII (T. E. TAK, ^TO ind(; z0 )=1)1.
sLEDUET OTMETITX, ^TO WY^ET ANALITI^ESKOJ FUNKCII W EE KONE^NOJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE OPREDELQETSQ GLAWNOJ ^ASTX@ EE RQDA lORANA (W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI ), TOGDA KAK WY^ET W BESKONE^NOJ IZOLIROWANNOJ OSOBOJ TO^KE | EGO PRAWILXNOJ ^ASTX@ .
fORMULA WY^ETA W
[email protected] eSLI TO^KA z0 2 C
POL@S ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) PORQDKA 6 k , TO 1 lim (z ; z )k f (z) (k;1) res f ( z )= . 0 (k;1)! z!z0 z=z0
|
dOKAZATELXSTWO . w OKRESTNOSTI POL@SA z0 PORQDKA 6 k RAZLOVENIE lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII IMEET WID f (z) = (z;c;zk0)k + + zc;;z10 + c0 + c1(z ; z0) + c2 (z ; z0)2 + uMNOVENIE OBEIH ^ASTEJ \TOGO RAWENSTWA NA (z;z0)k , WZQTIE PROIZWODNOJ PORQDKA k;1 I PEREHOD K PREDELU PRI z ! z0 POSLEDOWATELXNO PRIWODQT K SLEDU@]IM SOOTNOENIQM: (z ; z0)kf (z) = c;k + + c;1(z ; z0)k;1 + c0 (z ; z0)k + w SLU^AE z0 = 1 \TO OZNA^AET, ^TO ind(; 0)= ;1 (IX, c. 138). kOI OPERIROWAL EJ E]E DO OFORMLENIQ PONQTIQ \WY^ET" (NAPRIMER, W RABOTE 1825 G.: 28], ser. II, t. II, p. 61). 1 2
232 (z ; z0)kf (z) (k;1) = 1 2(k;1)c;1 + 2kc0 (z ; z0) + kf (z) (k;1) = (k ; 1)! c;1. Q.E.D. lim ( z ; z ) 0 z !z0
wOT PRIMER PRIMENENIQ \TOJ FORMULY S PRIWLE^ENIEM
(DLQ SOKRA]ENIQ WY^ISLENIJ) OPERACIJ DELENIQ , UMNOVENIQ I PO^LENNOGO DIFFERENCIROWANIQ STEPENNYH RQDOW (II , S. 39, 34, 33): 00 1 k=3 1 1 z3 z 2 + ;1
res = lim = 1 ; 2! z!0 sin z (1;cos z) 2! 3! z=0 sin z (1;cos z)
;1 00 00 2 2 2
2!1 ; z4! + z=0= 21 1+ z3! + 2 + z3! + z=0= 21 .
eSLI z0 | POL@S 1-GO PORQDKA (PROSTOJ POL@S) FUNKCII w = f (z), TO FORMULA WY^ETA PRINIMAET WID res f ( z )= lim ( z ; z ) f ( z ) , 0 z=z0 z!z0 A W ^ASTNOMSLU^AE, KOGDA FUNKCIQ ZADANA KAK OTNOENIE f (z) = '((zz)) DWUH ANALITI^ESKIH W TO^KE z0 FUNKCIJ S '(z) = '(z0) , POSKOLXKU '(z0) 6= 0 (z0)=0 0(z0) 6= 0, zres =z0 (z) 0(z0)
;
' (z) (z ;z0) '(z) '(z0) lim (z z0) (z) = zlim z!z0 !z0 (z);(z0) = 0(z0) NAPRIMER:
1)
1
1
0 res =; z= sin z (1;cos z) sin z (1;cos z) z=
= ; 12
ESLI w = p2z;+2z+1 | ODNOZNA^NAQ WETWX , OPREDELQEp1= ;1, TO MAQ W OKRESTNOSTI TO^KI z =1 USLOWIEM 2)
p z +2 = p z +2 0 = zp;+2 res 1 z=1 2;z+1 ( 2;z+1) z=1
2 2;z
z=1
=6
p
(DLQ DRUGOJ ODNOZNA^NOJ WETWI | OPREDELQEMOJ USLOWIEM 1 = 1 | TO^KA z =1 NE QWLQETSQ OSOBOJ ).
233
tEOREM O WY^ETAH.1 eSLI FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ
ANALITI^ESKOJ W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA OSOBYH TO^EK z1 : : : zm 2 D, TO KAKOW BY NI BYL LEVA]IJ W OBLASTI D I NE PROHODQ]IJ ^EREZ \TI TO^KI ZAMKNUTYJ KUSO^NO-GLADKIJ KONTUR , SPRAWEDLIWO RAWENSTWO a
H
;
f (z) dz = 2i
m; P
j =1
res f (z) ind(; zj ) z=zj
W ^ASTNOSTI, ESLI KONTUR ; NE IMEET SAMOPERESE^ENIJ , I OBHOD IM WNUTRENNEJ PO OTNOENI@ K NEMU OBLASTI int; QWLQETSQ POLOVITELXNYM (KAK NA RIS. 81), TO H
;
f (z) dz = 2i
P
res f (z) .
zj2int; z=zj
rIS. 81 1
w PERWONA^ALXNOM WIDE
|
W SLU^AE PROSTYH POL@SOW FUNKCII
(I E]E DO OFORMLENIQ PONQTIQ \WY^ET") | SODERVITSQ W ZNAMENITOM MEMUARE kOI 1825 G. 27], p. 26 (=28], ser. II, t. XV, p. 59). w OB]EJ FORMULIROWKE WIDE BYLA POLU^ENA IM W 1831 G. (28], ser. I, t. XI, p. 307).
234 +P 1 dOKAZATELXSTWO. pUSTX f (z)= cn(z;z1)n | RAZLOVEn=;1 NIE DANNOJ FUNKCII W RQD lORANA W KRUGE S IZ_QTYM CENTROM z1 , NE WYHODQ]EM ZA PREDELY OBLASTI D I NE SODERVA]EM TO^EK z2 : : : zm (RIS. 81). ;1 P gLAWNAQ ^ASTX cn(z ; z1)n \TOGO RQDA (BEZ NEOTRIn=;1 CATELXNYH STEPENEJ z ;z1 ) SHODITSQ NE TOLXKO W UKAZANNOM KRUGE , NO I WO WSEJ PLOSKOSTI C S ISKL@^ENNOJ TO^KOJ z1 ;1 P (II , S. 29), WSLEDSTWIE ^EGO EE SUMMA g1(z) = cn(z ; z1)n n=;1 QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ FUNKCIEJ W OBLASTI C r fz1 g. sLEDUET WYWOD (XIV, UTWERVDENIE NA S. 222): ZAMENA f (z) NA f (z) ; g1 (z), USTRANQQ GLAWNU@ ^ASTX RQDA lORANA FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTI EE OSOBOJ TO^KI z1 , OSTAWLQET NEIZMENNYMI GLAWNYE ^ASTI RQDOW lORANA \TOJ FUNKCII W OKRESTNOSTQH PRO^IH EE OSOBYH TO^EK ( z2 : : : zm) I NE DOBAWLQET K NIM NOWYH . pOWTORENIE PROWEDENNYH RASSUVDENIJ POSLEDOWATELXNO DLQ TO^EK z2 : : : zm S OBOZNA^ENIEM g2(z) : : : gm (z) SUMM GLAWNYH ^ASTEJ RQDOW lORANA FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTQH \TIH TO^EK POZWOLQET ZAKL@^ITX: W ODNOSWQZNOJ OBLASTI D FUNKCIQ w = f (z) ; g1 (z) ; ; gm(z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ ZA ISKL@^ENIEM KONE^NOGO ^ISLA OSOBYH TO^EK z1 : : : zm , OKAZYWA@]IHSQ DLQ \TOJ FUNKCII USTRANIMYMI , I W KOTORYH, SLEDOWATELXNO, ONA IMEET KONE^NYE PREDELY . pRIMENQQ K FUNKCII w =f (z);g1(z);;gm (z) TEOREMU kOI (X , c. 151), MOVNO PRIJTI K PREDWARITELXNOMU WYWODU: DLQ L@BOGO ZAMKNUTOGO KUSO^NO-GLADKOGO KONTURA ;, RASPOLOVENNOGO W OBLASTI D I NE PROHODQ]EGO ^EREZ TO^KI z1 : : : zm ,
235 H
A POTOMU
H
;
;
f (z) ; g1(z) ; ; gm(z) dz =0,
H
H
;
;
f (z) dz = g1(z)dz + + gm(z)dz.
oSTAETSQ PRIMENITX K PERWOMU, A ZATEM I KO WSEM POSLEDU@]IM SLAGAEMYM W PRAWOJ ^ASTI POSLEDNEGO RAWENSTWA FORMULU nX@TONA { lEJBNICA (VIII , c. 133) I WOSPOLXZOWATXSQ OPREDELENIEM INDEKSA ZAMKNUTOGO KONTURA (IX , c. 138): H H P ;1 g1 (z) dz = cn(z ; z1)ndz = ; ; n=;1 H P ;2 n ; 1 = cn(z ; z1) + c;1(z ; z1) dz = ; n=;1 H P H ;2 (z;z1)n+1 0 = cn n+1 dz + zc;;z11 dz = ; nH=;1 ; c ; 1 f (z) ind(; z1 ), = 0 + z;z1 dz = 2i zres =z1 I, SLEDOWATELXNO, ; H m; P f (z) dz = 2i zres f ( z ) ind(; z ) . Q.E.D. j =zj j =1
;
TI a
k PRIMERU, WY^ISLENIE WY^ETOW NA S. 232 POZWOLQET NAJH
jz j=3 H
1 dz = i , sin z (1;cos z) = 2i zres =0 sin z (1;cos z)
1 = ;i sin z (1;cos z) = 2i k=;1 zres =k sin z (1;cos z) jz j=5 (PREDPOLAGAETSQ, ^TO KAVDAQ IZ OKRUVNOSTEJ | RADIUSOW 3 I 5 | ODNOKRATNO OBHODITSQ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII). dOSTATO^NO PRIMENITX TEOREMU O WY^ETAH K FUNKCII
dz
1 P
236
w = sin z(11;cos z) , BERQ W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D NE WS@ PLOSKOSTX C (W NEJ DANNAQ FUNKCIQ IMEET BESKONE^NOE ^ISLO OSOBYH TO^EK ), A KAKOJ-NIBUDX KRUG , SODERVA]IJ KONTURY INTEGRIROWANIQ (RIS. 82).
rIS. 82
dOPOLNENIEM K TEOREME O WY^ETAH SLUVIT SLEDU@]EE UTWERVDENIE, INOGDA UPRO]A@]EE EE PRIMENENIE. eSLI FUNKCIQ w = f (z) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ WO WSEJ PLOSKOSTI C , ISKL@^AQ KONE^NOE ^ISLO OSOBYH TO^EK m P res f (z) + zres f (z) = 0 . z1 : : : zm , TO z=zj =1 j =1
dOKAZATELXSTWO . eSLI ZA KONTUR ; WZQTX OKRUVNOSTX S CENTROM 0 RADIUSA r > maxfjz1j : : : jzmjg, ODNOKRATNO OBHODIMU@ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII, TO PRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH I OPREDELENIQ WY^ETA W BESKONE^NOSTI PRIWODIT K RAWENSTWAM : H m P 1 H f (z)dz , f (z) dz = 2i zres f ( z ) res f ( z ) = 2i =zj z=1 ;
j =1
SRAWNENIE KOTORYH DAET:
m P
;;
res f (z) = ;zres f (z). =1
j =1 z=zj
Q.E.D.
237
oPERIRUQ \TIM UTWERVDENIEM, ^ASTO POLXZU@TSQ TEM, ^TO ESLI ANALITI^ESKAQ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI FUNKCIQ w = f (z) LIBO QWLQETSQ ^ETNOJ , LIBO IMEET W BESKONE^NOSTI NULX KRATNOSTI k > 1, TO zres f (z) = 0: W OBOIH SLU=1 ; 1 ^AQH KO\FFICIENT PRI z W RAZLOVENII lORANA FUNKCII W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI RAWEN
[email protected] pUSTX, NAPRIMER, TREBUETSQ WY^ISLITX z4dz+1 , GDE KON; TUROM ; SLUVIT ODNOKRATNO OBHODIMYJ W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII \LLIPS fz = x+iy 2 C : x2 ;xy +y2 +x;y ;1=0g. oSOBYE TO^KI PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII | \TO z1 = p12 + pi2 , z2 = ; p12 + pi2 , z3 = ; p12 ; pi2 , z4 = p12 ; pi2 (KORNI 4 -J STEPENI IZ ;1), IZ KOTORYH z1 z2 z3 RASPOLOVENY WNUTRI , A z4 | WNE DANNOGO \LLIPSA 1. H 3 P 1 po TEOREMe O WY^ETAH z4dz+1 = 2i zres 4 +1 , TOGDA z = z j j =1 ; KAK DOPOLNENIe K NEJPOZWOLQETSOKRATITX WY^ISLENIQ : H dz 1 = ;2i 1 = (1p;i) z 4+1 = 2i ;zres 4z43 2 2 =z4 z 4 +1 ; (WY^ET FUNKCII W BESKONE^NOSTI RAWEN NUL@, TAK KAK \TA FUNKCIQ ^ETNAQ , I K TOMU VE BESKONE^OSTX QWLQETSQ DLQ NEE NULEM 4 -J KRATNOSTI ). pRIMEROM PRIMENENIQ TEOREMY O WY^ETAH K WY^ISLENI@ INTEGRALOW ODNOZNA^NYH WETWEJ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ MOH p VET SLUVITX WY^ISLENIE z z2dz+z+1 SOOTWETSTWENNO SLUjz j=r
^AQM 0 1 (PRI ODNOKRATNOM OBHODE OKRUVNOSTI W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII).
~TOBY W \TOM UBEDITXSQ, DOSTATO^NO OPREDELITX ZNAKI LEWOJ ^ASTI URAWNENIQ \LLIPSA PRI PODSTANOWKE W NEE x = p12 y = p12 . 1
238
w SLU^AE 0 1, TO z z 2+z +1 = 0 DLQ OBEIH ODNOjz j=r
ZNA^NYH WETWEJ PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII, WYDELQEMYH W ;2 z KOLXCE A = fz 2 C : 1 < jzj < +1g ZAPISX@ w = pz;2+z;1+1 ; ;1 2 D: PO TEOREME kOI DLQ KOLXCA (XII , POSKOLXKU z H p dz c. 178) z z 2 +z +1 NE ZAWISIT OT r > 1, A W SILU OCENKI jz j=r
KONTURNOGO INTEGRALA (VIII , c. 133)
H
jz j=r
;!
p dz z z 2+z +1 r!+1 0.
rAZLOVENIE MEROMORFNYH FUNKCIJ W RQDY PROSTYH DROBEJ mEROMORFNYMI 2 NAZYWA@T FUNKCII, ANALITI^ESKIE W PLOSKOSTI C ZA WOZMOVNYM ISKL@^ENIEM POL@SOW .3 eSLI DLQ z = x + iy 2 D ^ISLO z 2 + z +1 = x2 ; y2 + x +1 + i (2xy + y) QWLQETSQ DEJSTWITELXNYM , TO LIBO x = ; 21 , A SLEDOWATELXNO, y2 < 34 , LIBO y =0, PRI^EM W OBOIH SLU^AQH z 2 + z +1 = x2 ; y2 + x +1 > 0. 2 t. E. PODOBNYE DROBNYM : GRE^. " o& | ^ASTX, DOLQ o | WID. tERMIN WWEDEN WO 2-M IZDANII MONOGRAFII bRIO I bUKE 23] (p. 15). 3 eSLI CELYE (ANALITI^ESKIE WO WSEJ PLOSKOSTI C ) FUNKCII S^ITATX OBOB]ENIQMI MNOGO^LENOW , TO MEROMORFNYE FUNKCII SLEDUET RASSMATRIWATX KAK OBOB]ENIQ RACIONALXNYH . 1
239
eSLI MEROMORFNAQ FUNKCIQ w = f (z) IMEET LIX KONE^NOE ^ISLO POL@SOW z1 : : : zm , TO ONA PREDSTAWIMA W WIDE SUMMY CELOJ FUNKCII I PROSTYH DROBEJ . dOSTATO^NO ZAPISATX \TU FUNKCI@ W WIDE w = f (z) ; g1(z) ; ; gm(z) + g1(z) + + gm(z), GDE g1(z) : : : gm(z) | GLAWNYE ^ASTI EE RQDOW lORANA W OKRESTNOSTQH EE OSOBYH TO^EK (POL@SOW ) z1 : : : zm . pERWOE SLAGAEMOE (W KWADRATNYH SKOBKAH) IMEET W \TIH TO^KAH USTRANIMYE OSOBENNOSTI I (POSLE IH USTRANENIQ ) PREDSTAWLQET SOBOJ CELU@ FUNKCI@. dLQ MEROMORFNYH FUNKCIJ, IME@]IH BESKONE^NOE ^ISLO POL@SOW , kOI1 PREDLOVIL SPOSOB IH RAZLOVENIQ W RQDY RACIONALXNYH FUNKCIJ , W ^ASTNOSTI, PROSTYH DROBEJ . sPOSOB BAZIRUETSQ NA SLEDU@]EM UTWERVDENII. lEMMA. pUSTX g(z) = (z;c;zk0)k + + zc;;z10 | GLAWNAQ ^ASTX RQDA lORANA ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z) W OKRESTNOSTI EE POL@SA z0 (PORQDKA k), a | L@BAQ TO^KA, W KOTOROJ \TA FUNKCIQ QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ TOGDA f (z) = ; g (). res f (z) = f (), a zres =z0 z ; z= z ; dOKAZATELXSTWO . pERWOE RAWENSTWO | PRQMOE SLEDSTWIE FORMULY WY^ETA W POL@SE 1-GO PORQDKA (c. 232). pOLU^ITX WTOROE POZWOLQ@T RAZLOVENIQ FUNKCIJ w = f (z) I w = z;1 W RQDY lORANA W OKRESTNOSTI TO^KI z0 : f (z) = (z;c;zk0)k + + zc;;z10 + c0 + c1(z ; z0) + , 1 1 z ; = ; ;z0
; (z;;zz ) ; ; (z(;;zz)k);k ; ((z;;zz)k)k ; 0 2 0
1
0
0
0
0
+1
w RABOTE 1827 G. \Sur le developpement des fonctions d'une seule variable en fonctions rationnelles" (28], ser. II, t. VII, p. 324{344). 1
240
A IMENNO, WYDELIW IZ REZULXTATA PEREMNOVENIQ \TIH RQDOW KO\FFICIENT PRI (z ; z0);1, MOVNO ZAKL@^ITX, ^TO f (z) = ; c;k ; ; c;1 = ; g (). Q.E.D. res z ( ;z0)k ;z0 z=z0 ; sUTX SPOSOBA kOI RAZLOVENIQ MEROMORFNYH FUNKCIJ W RQDY PROSTYH DROBEJ WYRAVAET SLEDU@]EE UTWERVDENIE. pUSTX w = f (z) | MEROMORFNAQ FUNKCIQ S POL@SAMI z1 z2 : : : I PUSTX g1(z) g2(z) : : : | GLAWNYE ^ASTI EE RQDOW lORANA W OKRESTNOSTQH UKAZANNYH POL@SOW . dOPOLNITELXNO , ^TO SU]ESTWUET POSLEDOWATELX PREDPOLAGAETSQ NOSTX ;n ZAMKNUTYH KUSO^NO - GLADKIH KONTUROW BEZ SAMOPERESE^ENIJ SO SWOJSTWAMI: 1 KAVDYJ IZ KONTUROW ;n LEVIT WNUTRI SLEDU@]EGO 2 PRI n ! +1 RASSTOQNIE OT NA^ALA KOORDINAT DO BLIVAJEJ K NEMU TO^KI KONTURA ;n NEOGRANI^ENNO WOZRASTAET , PRI \TOM OTNOENIE DLINY KONTURA ;n K \TOMU RASSTOQNI@ OSTAETSQ OGRANI^ENNYM 3 WDOLX POSLEDOWATELXNOSTI KONTUROW ;n ZNA^ENIQ f (z) STREMQTSQ K NUL@ : sup jf (z)j n;! 0.1 ! + 1 z2;n tOGDA W OBLASTI C r fz1 z2 : : : g IMEET MESTO SLEDU@]EE RAZLOVENIE FUNKCII W RQD PROSTYH DROBEJ : +P 1 P f (z) = gj (z) def =n!lim gj (z) z 2 C z 6= z1 z2 : : : 2 + 1 j =1 zj 2int;n mEROMORFNYE FUNKCII S TAKIM SWOJSTWOM MOVNO RASSMATRIWATX KAK OBOB]ENIQ PRAWILXNYH RACIONALXNYH DROBEJ . +1 2 sLEDUET POD^ERKNUTX: SUMMA RQDA P g (z) PONIMAETSQ ZDESX NE j j =1 KAK PREDEL POSLEDOWATELXNOSTI ^ASTI^NYH SUMM (ON MOVET NE SU]ESTWOWATX), A KAK PREDEL EE PODPOSLEDOWATELXNOSTI PRI GRUPPIROWKE (WOZMOVNO, S PERESTANOWKOJ ) SLAGAEMYH PO PRINCIPU zj 2 int;n . 1
241
dOKAZATELXSTWO . pUSTX | L@BAQ OTLI^NAQ OT z1 z 2 : : : TO^KA PLOSKOSTI C , A n | NASTOLXKO BOLXOE NATURALXNOE ^ISLO, ^TO 2 int;n (SWOJSTWO 2 ). HpRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH K KONTURNOMU INTEGRALU zf;(z) dz W ODNOSWQZNOJ ;n OBLASTI int;n+1 (W SILU SWOJSTWA 2 SODERVA]EJ KONTUR ;n ) DAET W SO^ETANII S DOKAZANNOJ LEMMOJ : 1 H f (z ) dz = res f (z) + P res f (z) = f () ; P g (). j 2i z ; z= z ; zj2int;n z=zj z ; zj2int;n ;n oSTAETSQ PRIMENITX K LEWOJ ^ASTI RAWENSTWA OCENKU INTEGRALA (VIII , S. 133), IZ KOTOROJ S U^ETOM SWOJSTW 2 I 3 H WYTEKAET, ^TO 21i zf;(z) dz n;! !+10, A SLEDOWATELXNO, ;n +P 1 f () = gj () 2 C 6= z1 z2 : : : , j =1 P ESLI PRAWU@ ^ASTX PONIMATX KAK n!lim g (). Q.E.D. +1zj 2int;n j sU]ESTWENNO, ^TO IZLOVENNYJ SPOSOB RAZLOVENIQ PRIMENIM I K MEROMORFNYM FUNKCIQM w = f (z), UDOWLETWORQ@]IM BOLEE SLABOMU, NEVELI 3 , USLOWI@ 3e sup jz;mf (z)j ;! 0 PRI NEKOTOROM NATURALXNOM m n!+1 z2;n DOSTATO^NO PEREJTI K WSPOMOGATELXNOJ MEROMORFNOJ FUNK+1 CII w = z;mf (z), POLU^ITX EE RAZLOVENIE z;mf (z)= P gj (z) j =1 +P 1m W RQD PROSTYH DROBEJ I IZ NEGO RAZLOVENIE f (z)= z gk (z) k=1 ISHODNOJ MEROMORFNOJ FUNKCII W RQD RACIONALXNYH (S POSLEDU@]IM RAZLOVENIEM IH NA PROSTYE )1. bOLEE RASPROSTRANENNYJ PRIEM RAZLOVENIQ MEROMORFNYH FUNKCIJ SO SWOJSTWOM 3e, IZLOVEN W 4], GL. VI, x7 I 12], GL. IV, x7. 1
242
pRIMER. u MEROMORFNOJ FUNKCII w = ctg z POL@SAMI (1-GO PORQDKA ) SLUVAT TO^KI zj = j j = 0 1 2 : : : .
rIS. 83
eSLI ZA POSLEDOWATELXNOSTX ;n KONTUROW WZQTX POSLEDOWATELXNOSTX ODNOKRATNO OBHODIMYH W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII ; KWADRATOW ; ;n = z 2 C : jRe zj = n + 21 _jIm zj = n + 12 (RIS. 83), TO USLOWIQ 1 I 2 BUDyT ZAWEDOMO WYPOLNENY. oSTAETSQ (DLQ PROWERKI WYPOLNENIQ USLOWIQ 3 ) OCENITX WELI^INU jctg zj NA STORONAH \TIH KWADRATOW . pOSKOLXKU 2 x+iy) e;2y +e2y +2 cos 2x jctg zj2 = cos( sin(x+iy) = e;2y +e2y;2 cos 2x , ; NA \WERTIKALXNYH" STORONAH , T. E. PRI z = n + 12 + iy, jctg zj2 = ee;;22yy++ee22yy;+22 < 1, ; TOGDA KAK NA \GORIZONTALXNYH", T. E. PRI z = x i n + 21 , jctg zj2 6 ee;;(2(2nn+1)+1)++ee(2(2nn+1)+1);+22 n;! !+1 1. |TO OZNA^AET, ^TO FUNKCIQ w =ctgz OGRANI^EN a NA DAN NOJ POSLEDOWATELXNOSTI KONTUROW ;n I POTOMU (NE OBLADAQ SWOJSTWOM 3 ) UDOWLETWORQET USLOWI@ 3e S m =1.
243
pEREHOD K FUNKCII w = z;1ctg z , GLAWNYMI ^ASTQMI RQDOW lORANA KOTOROJ W OKRESTNOSTQH TO^EK: z0 = 0 | ee POL@SA 2-GO PORQDKA I zj = j j = 1 2 : : : , | ee POL@SOW 1-GO PORQDKA ) QWLQ@TSQ SOOTWETSTWENNO res ctg z res (z;1 ctg z ) 0 1 1 1 z =0 z =0 g0(z) = z2 + = cos z sin0 0 z 2 + 0 z = z 2 I res (z;1 ctg z ) z=j cos j 1 1 1 gj (z) = z;j = (z sin z )z0 =j z ;j = j z ;j , PRIWODIT K RAZLOVENIQM W OBLASTI C r f0 2 : : : g:
P 1 + P 1 1 = z;1ctg z = n!lim g ( z ) = lim +1zj 2int;n j n!+1 z 2 ;n6j 6nj z ;j j= 60 11 1 1 +P 1 = z2 + j z;j ; z+j j =1 +P 1 +P 1 ctg z = z1 + z2;2(zj )2 = z1 + z;1j + z+1j j =1 j =1
(\RASKRYTIE SKOBOK" W PRAWYH ^ASTQH OBOIH RAZLOVENIJ NE +P 1 +P 1 DOPUSKAETSQ : OBA RQDA z;1j I z+1j PO OTDELXNOSTI j =1 j =1 RASHODQTSQ !).
zAPISAW POSLEDNEE RAZLOVENIE W WIDE +P 1 1 1 , z 2 C z 6= 2 : : : ,1 ctg z ; z1 = + j =1 z ;j z +j MOVNO UTWERVDATX , ^TO ESLI TO^KA z OSTAETSQ W PREDELAH ; KRUGA RADIUSA r S CENTROM 0 T. E. jzj 6 r , TO DLQ L@BOGO (SKOLX UGODNO MALOGO) POLOVITELXNOGO ^ISLA " dLQ FUNKCII w = ctg z ; 1z OSOBAQ TO^KA z = 0 QWLQETSQ USTRANIMOJ , A POTOMU ZNA^ENIE z = 0 OKAZYWAETSQ DLQ \TOJ FUNKCII (PRI def 1 DOOPREDELENII ctg z ; z = 0) DOPUSTIMYM . 1
z=0
244
ctg z ;
n 1 1 P 1 z j =1 z ;j + z +j 6
;
1
+ P
+1
1 + 1 6 2 P 1 n0 (" L) . s U^ETOM OCENKI INTEGRALA (VIII , c. 133) IZ \TIH NERAWENSTW SLEDUET, ^TO R n R 1 P 1 ctg ; 1 d ; ;j + +j d < " l(L), j =1 L L 1 t. E. RQD DROBEJ W RAZLOVENII KOTANGENSA SHODITSQ RAWNOMERNO NA KAVDOM OGRANI^ENNOM MNOVESTWE OBLASTI C r 0 2 : : : .
245
A SLEDOWATELXNO, | W SILU WOZMOVNOSTI PEREHODA K PREDELU PRI " ! 0 (WLEKU]EMU STREMLENIE n K +1 ) | R n R 1 P 1 d . ctg ; 1 d = n!lim + ;j +j +1 j =1 L
L
pRIMENENIE K INTEGRALAM FORMULY nX@TONA { lEJBNICA
(SLU^AJ MNOGOZNA^NOJ PERWOOBRAZNOJ IX, c. 135) I POSLEDU@]EE POTENCIROWANIE DA@T : R ctg ; 1 d = MLn sin = ln sin L
R 1
1 d
;j + +j
L
L
= MLn( ; j)L+ MLn( + j)L=
2 ; ; = ln(z ;j) ; ln(;j) + ln(z +j) ; ln(j) = ln 1; jz
(ZNA^ENIQ LOGARIFMOW ZAWISQT OT WYBORA IH ODNOZNA^NYH WETWEJ WDOLX LOMANOJ L, NO IZMENENIQ SWODQTSQ K SLAGAEMYM , KRATNYM 2i, A POTOMU \IS^EZA@]IM" PRI POTENCIROWANII ) n z 2 sin z = expln sin z = exp lim P ln 1; j = z z n!+1 = n!lim exp +1
n P
j =1 z 2
ln 1; j j =1
= n!lim +1
n Q
j =1
2 1; jz .
wYWOD: IMEET MESTO RAZLOVENIE SINUSA W BESKONE^NOE PROIZWEDENIE 1 +Q 1 z 2 z z z z sin z = z 1; j = z 1; 1+ 1; 2 1+ 2 , j =1
SLEDSTWIEM KOTOROGO (PRI z = 2 ) QWLQETSQ FORMULA wALLISA = 22 4 4 6 6 2
1
13 35 57
def= n!lim+1 13325254(24n;2n1)2(2nn+1)
.
wYWEDENNOE |JLEROM (IZ DRUGIH SOOBRAVENIJ) W 19], GL. IX.
246 |TA FORMULA BYLA WYWEDENA wALLISOM1 W IZDANNOJ W 1656 G. \aRIFMETIKE BESKONE^NOSTEJ" (\Arithmetica In#nitorum") POSREDSTWOM CEPI R p PREOBRAZOWANIJ INTEGRALA W RAWENSTWE 4 = 01 1 ; x2 dx. o ROLI \TOGO AWTORA W RAZWITII MATEMATIKI GOWORIT UVE TO, ^TO IMENNO ON WWEL SIMWOL 1 (I, S. 22) I TERMIN \INTERPOLQCIQ" NAEL p ZNA^ENIE \LEMENTA (TO^NEE, DIFFERENCIALA ) DLINY GLADKOJ DUGI : dl = 1+(y 0(x))2 dx POKAZAL \REALXNOSTX" MNIMYH ^ISEL 2 I DAL KL@^ K IH GEOMETRI^ESKOJ TRAKTOWKE, PRIWEDQ W SWOEM IZDANNOM W 1685 G. \kURSE aLGEBRY" (\Treatise of Algebra") SLEDU@]IE RASSUVDENIQ: \These Imaginary Quantities (as they are commonly called) arising from the supposed root of a negative square (when they happen) are reputed to imply that the case proposed is Impossible . But suppose that we gain from the sea 10 acres, but that we lose 20. Our gain must be ;10 acres, or ;1600 square perches3. Now suppose this negative plain, ;1600 square perches, to be in the form of a square, must not this supposed square be supposed to have a side? And ifpso, what shallpthis side be? We cannot say that it is 40 or ;40, but it is ;1600, or 40 ;1, where p signies a mean proportional between a positive and a negative quantity". uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO MEROMORFNAQ FUNKCIQ QWLQETSQ RACIONALXNOJ W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA 1 QWLQETSQ DLQ NEE USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ ILI POL@SOM . 2. dOKAZATX, ^TO ESLI DLQ FUNKCII w = f (z) BESKONE^NOSTX QWLQETSQ a) USTRANIMOJ OSOBOJ TO^KOJ ILI B) POL@SOM PORQDKA 6 k, TO ; k+2 (k+1) ; 2 0 1 k a) zres f (z) = zlim f (z) = (;1) (k+1)! zlim (z) . =1 !1 z f (z) B) zres =1 !1 z f 3. oPIRAQSX NA TEOREMU wEJERTRASSA (XI, c. 174), POLU^ITX DIFFERENCIROWANIEM RAZLOVENIQ KOTANGENSA (c. 243) RAZLOVENIE + 1 P 1 1 (z ;j)2 , z 2 C z 6= 0 2 : : : sin2 z = j =;1
1 2
I, SNOSKA 2 NA S. 13.
w PROTIWOWES IH IZOBRETATELQM
|
ITALXQNSKIM MATEMATIKAM
XVI W. (I, S. 12), S^ITAWIM IH \FIKCIEJ". 3 aNGL. perch (EST ) | MERA DLINY (=5,03 M) square perch (KWADRATNYJ EST) | MERA PLO]ADI (=25,3 M2 ).
247
kAK, PRIMENQQ WY^ETY, WY^ISLQ@T INTEGRALY PO NEZAMKNUTYM KONTURAM
XVI .
iSPOLXZUQ DEMONSTRIRUEMYE NIVE PRIEMY, WY^ISLENIe KONTURNYH INTEGRALOW S POMO]X@ WY^ETOW MOVNO RASPROSTRANITX1 NA INTEGRALY PO NEZAMKNUTYM KONTURAM I PREVDE WSEGO | PO PROMEVUTKAM DEJSTWITELXNOJ OSI . sUTX \TIH PRIEMOW SOSTOIT W DOPOLNENII NEZAMKNUTYH KONTUROW DO ZAMKNUTYH S POSLEDU@]EJ OCENKOJ INTEGRALOW PO \ZAMYKA@]IM" GLADKIM DUGAM. sDELATX \TU OCENKU BOLEE EDINOOBRAZNOJ POZWOLQ@T SLEDU@]IE UTWERVDENIQ.
lEMMY OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ 2 .
pUSTX FUNKCIQ w = f (z) OBLADAET SWOJSTWAMI: R 1) INTEGRAL f (z) dz , GDE Cr | DUGa OKRUVNOSTI RACr DIUSA r S CENTROM 0 (RIS. 85), OPREDELEN DLQ DOSTATO^NO BOLXIH (SOOTWETSTWENNO DOSTATO^NO MALYH ) r> 0 1.
rIS. 85 iDEQ \TOGO RASPROSTRANENIQ WOSHODIT K MEMUARU kOI 27]. iMENNO DUGAMI OKRUVNOSTEJ OBY^NO DOPOLNQ@T NEZAMKNUTYE KONTURY S CELX@ PREOBRAZOWANIQ IH W ZAMKNUTYE . 1 2
248
z f (z) ! 0 PRI z !1 (SOOTWETSTWENNO z ! 0)1 R TOGDA f (z) dz ! 0 PRI r ! +1 (SOOTWETSTWENNO r ! 0)2. 2)
Cr
2. eSLI DLQ ANALITI^ESKOJ FUNKCII w = f (z)TO^KA z0 QWLQETSQ POL@SOM 1-GO PORQDKA , a GLADKIE DUGI L1 I L2 PERESEKA@TSQ W \TOJ RTO^KE POD UGLOM (0 6 6 2 RIS. 86), TO DLQ INTEGRALOW f (z) dz PO ZAKL@^ENNYM MEVDU L1 I L2
Cr
DUGAM Cr OKRUVNOSTEJ z 2 C : jz ; z0j = r (OBHODIMYM W POLOVITELXNOMRNAPRAWLENII), SPRAWEDLIWO PREDELXNOE SOOTNOENIE rlim f (z). !0 Crf (z)dz = izres =z0
rIS. 86
LEMMA vORDANA 3 pUSTX FUNKCIQ w = f (z) (NE
3 (
).
OBQZATELXNO ANALITI^ESKAQ ) OBLADAET SWOJSTWAMI:
pO KRAJNEJ MERE PO MNOVESTWU , SODERVA]EMU WSE DUGI Cr . nEZAWISIMO OT RASTWORA I NAPRAWLENIQ OBHODA DUG Cr . 3 pRIWEDENA WO 2-M TOME \kURSE ANALIZA" (\Cours d'Analyse de l'E cole Polytechnique") FRANCUZSKOGO MATEMATIKA vORDANA (Jordan, Camille, 1838 {1922): W IZDANII 1913 G. NA S. 331. 1 2
249 1)
R
DLQ POLOVITELXNOGO ^ISLA INTEGRAL f (z) eiz dz Cr
PO POLUOKRUVNOSTI Cr = z 2 C : jzj = r ^ 0 6 arg z 6 (RIS. 87, a) OPREDELEN DLQ DOSTATO^NO BOLXIH r> 0
rIS. 87 2)
lim f (z) = 0
z!1 Im z>0
R
TOGDA r!lim f (z) eiz dz = 0. +1 Cr
dOKAZATELXSTWa. 1 . w SILU WTOROGO IZ USLOWIJ LEMMY DLQ L@BOGO (SKOLX UGODNO MALOGO) ^ISLA " > 0 SU]ESTWUET NASTOLXKO BOLXOE NASTOLXKO MALOE ) ^ISLO (SOOTWETSTWENNO " r" > 0, ^TO z f (z) < 2 PRI jzj > r" (SOOTWETSTWENNO PRI 0 < jzj < r"). tOGDA SOGLASNO OCENKE INTEGRALA PO KONTURU
(VIII , c. 133) R R z f (z) dz < " 1 l(C ) 6 " 2r = " f (z) dz = r z 2 r 2r Cr Cr LIX TOLXKO r>r" (SOOTWETSTWENNO 0 0"SU]ESTWUET NASTOLXKO BOLXOE ^ISLO r" > 0, ^TO f (z) < PRI jzj > r" Im z > 0. pREDcTAWLENIE VE TO^EK z 2 Cr W WIDE z = reit = r(cos t + i sin t), t 2 0 ], POZWOLQET ZAPISATX PRI r > r": R R ; f (z)eiz dz = f reit eir(cos t+i sin t) reit idt 6 3.
0
Cr
6
R " ;r sin t R ; it ;r sin t R2 " ;r sin t f re e rdt < e rdt = 2 e rdt,
0
0
A SLEDOWATELXNO (TAK KAK sin t > 2 t PRI 1
pOSKOLXKU rlim !0(r ; r) = .
0 6 t 6 RIS. 87, B ), 0
2
251 R
R2 ; e;r 2 t 2 = f (z)eiz dz < 2 " e;r 2 t rdt = 2 r " 2 r t=0 0 Cr ; ; r = " 1 e 0 _ jzj < 1 (RIS. 89).
rIS. 89 BYBOR \TOJ OBLASTI OBUSLOWLEN TEM, ^TO PRI L@BOM z 2 D ZNA^ENIE 1+ z 2 NE WYHODIT ZA PREDELY PLOSKOSTI C c \RAZREZOM" OT NULQ WDOLX OTRICATELXNOJ ^ASTI DEJSTWITELXNOJ OSI , A SLEDOWATELXNO (IV, c. 68), W OBLASTI Dp OPREDELENY DWE (RAZLI^A@]IESQ p ZNAKOM) ODNOZNA^NYE WETWI w = 1+ z 2, DLQ ODNOJ IZ KOTORYH 1+02 = 1.
pRIMENENIE K INTEGRALU PO KONTURU ;r D TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233) S OBOZNA^ENIEM z1234 = p12 pi2 KORNEJ 4-J STEPENI IZ ;1 (KAK NA RIS. 89) DAET:
253 H
4 P dz 1 p = 2 i res ind(; z ) r j = 1+z 2(1+z 4) z=zj 1+z 2(1+z 4) j =1 ;r
p
p 1 = ; 2i zres + res p 1 = =z1 1+z 2 (1+z 4) z =z4 1+z 2 (1+z 4) z ; z z ; z 4 1 p p = ; 2i zlim !z4 1+z2(1+z4) = !z1 1+z2(1+z4) + zlim
= p2 p1;i1(1;i)
;
p
p
3 1+ 2 i p 1 4 1+i (1+i) = 2 Im(1+i) = i 2 .
oSTAETSQ ZAPISATX INTEGRAL PO ^ASTI ;r KONTURA ;r KAK RAZNOSTX INTEGRALOW PO ;r I Cr I PEREJTI K PREDELU PRI r ! +1, PRIMENIW LEMMU 1 (S. 247{248): R
R dz p dz = lim 1+z 2(1+z 4) r!+1 1+z 2(1+z 4) = ; ;r
p
H
p dz = r!lim +1 1+z 2(1+z 4) ; r
;
R
p
p
1+ 2 p dz = i 2 4 2 . 1+z (1+z ) Cr
sREDI WY^ISLQEMYH S PRIMENENIEM WY^ETOW INTEGRALOW FUNKCIJ DEJSTWITELXNOJ PEREMENNOJ (KAK SOBSTWENNYH , TAK I NESOBSTWENNYH ) WYDELQ@T NESKOLXKO KLASSI^ESKIH TIPOW. oDIN IZ NIH | INTEGRALY RACIONALXNYH KOMBINACIJ sin ' I cos ' (c KONSTANTAMI ), KOTORYE MOVNO WY^ISLQTX PEREHODOM K KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ z = ei'. dLQ NA^ALA R2 SOWSEM PROSTOJ PRIMER: I = cos2n'd' (n =1 2 : : : ). 0 dANNYJ INTEGRAL SLEDUET, PREDWARITELXNO ZAPISAW EGO R2 KAK 14 cos2n 'd', PREOBRAZOWATX W KONTURNYJ | WZQTYJ PO 0 OKRUVNOSTI C = z 2 C : jzj = 1 , ODNOKRATNO OBHODIMOJ (OT TO^KI z =1) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (RIS. 90):
254 R2 i' ;i'2n R2 i' ;i' 2n i' I = 14 e +2e d' = 22n1+2 (e +eiei') ie d' = 0 0
H ;1 2n (z +z;1)2n = 22n1+2 (z+ziz ) dz = 22n+1 zres = (n!)2(22n2n)!+1 . z =0
C
rIS. 90 R
' d', GDE a> 0. wOT BOLEE SLOVNYJ PRIMER: I = 1;cos 2 a sin ' ; pRI 0 1 | NESOBSTWENNYM , PRI^EM RASHODQ]IMSQ I PO\TOMU PONIMAEMYM W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ (KAK IMENNO | ^UTX NIVE). pUSTXi'WNA^ALE 0 < a < i'1. pRIMENENI e FORMUL |JLERA ;i' ;i' e + e e ; e cos ' = 2 , sin ' = 2i I PODSTANOWKA ei' = z PREOBRAZU@TINTEGRAL W KONTURNYJ | WZQTYJ PO OKRUV NOSTI C = z 2 C : jzj = 1 , ODNOKRATNO OBHODIMOJ (OT TO^KI z = ;1) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (RIS. 91): R
2
R (e2i' +2+e;2i') (e4i' +2e2i'+1) iei' d' = 2 i' ; 2 i' 4 i' ;2i' i' d' = ; 4+a(e ;2+e ) ; (ae ;(2a;4)e +a) ie H 4 z 2+1) dz = H (z 4 +2z 2+1) = (az4;(z(2+2 a;4)z 2+a)iz iaz (z ;z1)(z ;z2)(z ;z3)(z ;z4) dz ,
C
C
255 p p p ; i (1;p 1;a ) ; i (1+p 1;a ) i (1;p 1;a ) GDE z1 = , z2 = , z3 = , a a a p z4 = i (1+pa1;a ) , PRI \TOM jz1 j < 1 jz3j < 1 jz2 j > 1 jz4 j > 1.
rIS. 91
tAK KAK WY^ETY PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII W EE (LEVA]IH WNUTRI OKRUVNOSTIp C ) OSOBYH p1;a TO^KAH 0 z1 z3 RAW1 ; a 1 NY SOOTWETSTWENNO ia 2ia 2ia , PRIMENENIE TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233) POZWOLQ@T ZAKL@^ITX: ZNA^ENIE KONTURNOGO (A SLEDOWATELXNO p1;a, I ISHODNOGO) INTEGRALA W SLU^AE 1+ 0 1 INTEGRAL PONIMAETSQ KAK R
' d'def v.p. 1;cos = 2 ; a sin ' 2
def
= "lim j !0
R;"1 '2R;"2 '3R;"3 '4R;"4
'1
j =1234
= "lim j !0
j =1234
; R
L"1
+
+
+
+
R
'1 +"1 '2 +"2 '3 +"3 '4 +"4
R
R
R
L"2
L"3
L"4
+ + +
cos2 ' d' = 1;a sin2 '
(z 4 +2z 2+1) iaz (z ;z1)(z ;z2)(z ;z3)(z ;z4) dz ,
256
GDE '1 '2 '3 '4 | KORNI URAWNENIQ 1 ; a sin2' = 0 NA OTREZKE ; ], a L1" L2" L3" L4" | DUGI OKRUVNOSTI C S NA^ALXNYMI I KONE^NYMI , SOOTWETSTWENNO, ei('1 +"1) I ei('2 ;"2) , ei('2 +"2) I ei('3 ;"3) , ei('3 +"3) I ei('4;"4), ei('4 +"4) Ipei('1 ;"1) (MOVNO BRATX "1 = "2 = "3 = "4), PRI \TOM z1 = ; pa;a1;i = ei'1 , p
p
p
z2 = ap;a1;i = ei'2, z3 = ap;a1+i = ei'3, z4 = ; pa;a1;i = ei'4
(RIS. 92).
rIS. 92
pUSTX Cr1 Cr2 Cr3 Cr4 | DUGI OKRUVNOSTEJ S CENTRAMI z1 z2 z3 z4 , DOPOLNQ@]IE DUGI L1" L2" L3" L4" DO ZAMKNUTOGO KUSO^NO - GLADKOGO KONTURA ;", IZOBRAVENNOGO NA RIS. 93, a1. " rADIUS rj DUGI Crj RAWEN 2 sin 2j , PO\TOMU "j ! 0 () rj ! 0, j =1 2 3 4. 1
257
rIS. 93 H
z +1) pO TEOREME O WY^ETAH iaz (z;z1()(zz+2 dz RA; z 2)(z ;z3)(z ;z4) ;" WEN UMNOVENNOMU NA 2i WY^ETU PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII 1 W NULE . tAK KAK \TOT WY^ET RAWEN ia , ZNA^ENIEM INTEGRALA QWLQETSQ 2a . nAHOVDENIE VE WY^ETOW W TO^KAH z1 z2 z3 z4 pa;1 (A ONI RAWNY 2apa(pa;1i) I SOSTAWLQ@T W SUMME 0), A TAKVE PRIMENENIE K INTEGRALAM PO DUGAM Cr;1 Cr;2 Cr;3 Cr;4 LEMMY 2 (S. 248) S = (RIS. 93, B) DAET: R
4
' d'def v.p. 1;cos 2 a sin ' = ;
2
2
H
4 R P
(z +2z +1) = "lim + dz = 2a . iaz ( z ; z )( z ; z )( z ; z )( z ; z ) 1 2 3 4 ! 0 j " j =1Cr; j =1234 ; j 4
2
R
d' pO \TOJ VE SHEME WY^ISLQETSQ INTEGRAL 1;2a cos '+a2 ; (a 2 C a 6= 1)1. 1
pRI a = 1 ON PRINIMAET WID
R
d'
2' ;4 sin 2
ILI
R
d' ' 2 ;4 cos 2
I RAWEN +1.
258
eSLI jaj 6= 1, TO INTEGRAL QWLQETSQ SOBSTWENNYM I WY^ISLQETSQ PREOBRAZOWANIEM W KONTURNYJ | PO OKRUVNOSTI C = z 2 C : jzj = 1 , ODNOKRATNO OBHODIMOJ (OT TO^KI z = ;1) W POLOVITELXNOM NAPRAWLENII (KAK NA RIS. 91) | PEREHODOM K PEREMENNOJ z = ei': R
d'
R
d' 2 = 1;a (ei' +e;i')+a2 = 1 ; 2 a cos ' + a ; ; R iei'd' 1H 1 = ; = 1i ;ae2i'+(1+ 2 i' 2 ;(1+a2 )z +a dz = a ) e ; a i az ; C 8 ;2 2 = 2 2 ESLI jaj < 1 ;22 > = > 2 2 ; 2 ; 2 > : res1 az 2 ;(1+a2 )z +a = 2az ;(1+a2) 1 = a2 ;1 ESLI jaj > 1: z= a z= a
pRI jaj = 1 (a 6= 1) INTEGRAL OKAZYWAETSQ NESOBSTWENR R d' ;ei'd' NYM : 1;2a cos 2 = 2i' ;(1+a2) ei' +a (S \OSOBENNOSTQ' + a ae ; ; MI" W TEH TO^KAH ' 2 ; ], GDE ei' = a1 , T. E. '12 = arg a) I PONIMATX EGO PRIHODITSQ W SMYSLE GLAWNOGO ZNA^ENIQ , T. E. (ESLI S^ITATX, ^TO '1 < 0, A '2 > 0) KAK '1 ;"1 '2 ;"2 R R R ;ei' d' lim + + .1 2 i' "1 !0+0 ; '1 +"1 '2 +"2 ae ;(1+a2)ei' +a "2 !0+0 H wWODITSQ WSPOMOGATELXNYJ INTEGRAL ; 1i az2;(1+1 a2)z+a dz , ;" i' " GDE z = e , A ; | ZAMKNUTYJ KUSO^NO - GLADKIJ KONTUR, SHODNYJ S IZOBRAVENNYM NA RIS. 93, A, NO NE S ^ETYRXMQ, A LIX S DWUMQ OSOBYMI TO^KAMI 2 PODYNTEGRALXNOJ FUNK CII NA OKRUVNOSTI C = z 2 C : jzj = 1 . tO^NEE, KONTUR ;" 1 2
mOVNO BRATX "1 = "2 . a1 , ILI, ^TO TO VE SAMOE, ei'1 ei'2 .
259
SOSTOIT IZ DWUH (OBHODIMYH \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI") DUG \TOJ OKRUVNOSTI OT TO^KI ei('2 +"2) DO TO^KI ei('1 ;"1) (^EREZ TO^KU ;1) I OT TO^KI ei('1 +"1) DO TO^KI ei('2 ;"2) (^EREZ TO^KU 1), I DWUH (OBHODIMYH \PO HODU ^ASOWOJ STRELKI") DUG OKRUVNOSTEJ S CENTRAMI ei'1 I ei'2 , SOEDINQ@]IH TO^KU ei('1 ;"1) S TO^KOJ ei('1 +"1) I TO^KU ei('2 ;"2) S TO^KOJ ei('2 +"6).1 pOSKOLXKU WNUTRI KONTURA ;" NET OSOBYH TO^EK PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII,
; 1i H" az ;(1+dza )z+a = 0, ;
2
2
A POTOMU PRIMENENIE LEMMY 2 (S. 248) K DUGAM OKRUVNOSTEJ S CENTRAMI ei'1 I ei'2 , NO OBHODIMYM NE \PO ", A \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" (PRI \TOM = ), POZWOLQET ZAKL@^ITX: PRI jaj =1 (NO a 6= 1) '1 ;" '2 ;" R R R R ;ei'd' d' + + = v.p. 1;2a cos '+a2 ="!lim 2 i' 0+0 ; '1 +" '2 +" ae ;(1+a2)ei' +a ; H
dz = ; 1i "!lim 2 ;(1+a2 )z +a + az 0+0 " ;
1 + i zres + i res1 az2;(1+1 a2)z+a = =a az 2 ;(1+a2 )z +a z=
;
2)
a
= 1i 0 + 2az;i(1+a + 2az;i(1+a2) 1 = 0. z=a z= a
pROSTEJIJ TIP INTEGRALOW PO DEJSTWITELXNOJ OSI , WY^ISLQEMYH S POMO]X@ WY^ETOW , | INTEGRALY RACIONALXNYH FUNKCIJ , U KOTORYH STEPENX ^ISLITELQ PO KRAJNEJ MERE NA 2 EDINICY MENXE STEPENI ZNAMENATELQ. w KA^ESTWE PRIrAZUMEETSQ, W PREDPOLOVENII, ^TO POLOVITELXNYE ^ISLA "1 I "2 DOSTATO^NO MALY. nA RIS. 93, A | \TO LIBO PARA DUG Cr1 Cr4 , LIBO PARA DUG Cr2 Cr3 . 1
260 +R1 2 +R1 2 MEROW PRIWEDENY WY^ISLENIQ x4x+1 dx I v.p. x4x;1 dx.1 ;1 ;1 rASPROSTRANQQ PODYNTEGRALXNYE FUNKCII W KOMPLEKSNU@ PLOSKOSTX (POPROSTU ZAMENQQ DEJSTWITELXNU@ PEREMENNU@ x NA KOMPLEKSNU@ H z 2 z ), WWODQT H z 2WSPOMOGATELXNYE KONTURNYE INTEGRALY z4+1 dz I z4;1 dz | PO ZAMKNUTYM ;0r ;r 0 KUSO^NO - GLADKIM KONTURAM ;r I ;r , SOSTAWLENNYM IZ OTREZKOW
DEJSTWITELXNOJ OSI I POLUOKRUVNOSTEJ 2 (OBHODIMYx KAK UKAZANO NA RIS. 94 A, B ).
rIS. 94
oBA KONTURNYH INTEGRALA WY^ISLQ@TSQ PRIMENENIEM TEOREMY O WY^ETAH 3 : pERWYJ IZ \TIH NESOBSTWENNYH INTEGRALOW SHODITSQ , WTOROJ VE (IZ-ZA \OSOBENNOSTEJ" W TO^KAH 1) PRIHODITSQ PONIMATX W SMYSLE ;1R;r2 1;Rr3 Rr1 2 x GLAWNOGO ZNA^ENIQ | KAK r ! lim+1 + + x4 ;1 dx. 1
1 r2 !0+0 ;r1 ;1+r2 1+r3 r3 !0+0 Cr (RIS. 94, A) I Cr1 Cr2 Cr3 (RIS. 94, B ), POD^INENNYH
rADIUSOW USLOWIQM r> 1 r1 > 1 r2 < 1 r3 < 1. 3 i SPOSOBA WY^ISLENIQ WY^ETA W POL@SE 1-GO PORQDKA (XV, S. 232). 2
261 a)
H z2 z 4 +1 dz ;r
z + res z = = 2i zres =z1 z 4 +1 z =z2 z 4 +1 2
2
2 2 = 24i z11 + z12 = p2 , = 2i (z4z+1)0 + (z4z+1)0 z=z1 z=z2 1+ i ; 1+ i ( z1 = p2 , z2 = p2 | TE IZ KORNEJ z1 z2 z3 z4 URAWNENIQ z4 +1=0,1 KOTORYE LEVAT WNUTRI KONTURA ;r RIS. 94, A)
H 2 B) z4z;1 dz ;0r
z2 z 2 = 2i res 4 ;1 = 2i (z 4 ;1)0 = 2 . z z=i z=i
oSTAETSQ WYDELITX INTeGRALY PO OTREZKAM DEJSTWITELXNOJ OSI (POLAGAQ NA NIH z = x) I USTREMITX r I r1 K +1, A r2 I r3 K 0, PRIMENQQ K INTEGRALAM PO POLUOKRUVNOSTQM Cr I Cr1 PERWU@, A PO POLUOKRUVNOSTQM Cr;2 I Cr;3 WTORU@ IZ LEMM OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ (S. 247{248): x2 dx = H z 2 dz R z 2 dz p 4 +1 4 +1 x +1 z z 2 r ! + 1 ;r ;r Cr ;1R;r2 1; H z2 R z2 R r3 Rr1 x2 B) + + dx = dz 4 4 z ;1 z 4;1 dz + ;r1 ;1+r2 1+r3 x ;1 0 ;r Cr1 R z2 R z2 + z4;1 dz + z4;1 dzr !+1 2 + 1 Cr;3 Cr;2 r2 !0+0
a)
Rr
4
;
;!
; ;!
r3 !0+0 2 z + res z 2 = . + i zres 4 2 =;i z ;1 z =i z 4 ;1
+R1 2 +R1 2 sLEDOWATELXNO, x4x+1 dx = p2 , A v.p. x4x;1 dx = 2 . ;1 ;1 wOT E]E PRIMERY WY^ISLENIQ NESOBSTWENNYH INTEGRALOW SWEDENIEM IH K KONTURNYM I PRIMENENIEM LEMM OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ (S. 247{249). 1
qWLQ@]IHSQ POL@SAMI 1-GO PORQDKA PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII.
262 +R1
a cos bx dx, +R1x sin bx dx ( a 2 2 2 2 0 x +a 0 x +a
I b | POLOVITELXNYE ^ISLA). pOSKOLXKU WYPOLNQ@TSQ SOOTNOENIQ +R1 a cos bx dx = 1 +R1a cos bx dx = 1 Re +R1 aeibx dx , 2 2 2 ;1 x2 +a2 2 ;1x2 +a2 0 x +a +R1 x sin bx dx = 1 +R1x sin bx dx = 1 Im +R1 xeibx dx, 2 2 2 ;1 x2 +a2 2 ;1x2 +a2 0 x +a +R1 ibx +R1 ibx DOSTATO^NO WY^ISLITX INTEGRALY xae2 +a2 dx I xxe2 +a2 dx . ;1 H;1aeibz s \TOJ CELX@ WWODQTSQ KONTURNYE INTEGRALY z2+a2 dz I 1.
;r
H zeibz z 2 +a2 dz , ;r
GDE W OBOIH SLU^AQH ZAMKNUTYJ KONTUR ;r SOSTOIT IZ OTREZKA ;r r] DEJSTWITELXNOJ OSI I \WERHNEJ" POLUOKRUVNOSTI RADIUSA r S CENTROM 0 (OBHODIMOJ \PROTIW HODA ^ASOWOJ STRELKI" | KAK NA RIS. 94, A). tAK KAK PRI L@BOM (DOSTATO^NO BOLXOM) r WNUTRX KONTURA ;r POPADAET LIX OSOBAQ TO^KA z = ia PODYNTEGRALXNYH FUNKCIJ, IZ TEOREMY O WY^ETAH (XV, S. 233) SLEDUET, ^TOH ibz ae dz = 2i res aeibz = 2i aeibz = e;ab , 2 2 2 2
z +a 2z z=ia z=ia z +a ;r H zeibz zeibz = 2i iaeibz = ie;ab , dz = 2 i res z 2+a2 2z z=ia z=ia z 2+a2 ;r A POTOMU | S U^ETOM VE LEMMY vORDANA (S. 248{249) | H R r ibx +R1 ibx R ae dx = lim aeibz dz = e;ab , ae dx = lim 2 2 2 2 z 2 +a2 r!+1 ;r x +a r!+1 ;1x +a ;r Cr +R1 ibx xe dx = lim Rr xeibx dx = lim H R zeibz dz = ie;ab 2 2 z 2+a2 r!+1 ;r x2 +a2 r!+1 ;1x +a ;r Cr
; ;
263 +R1
a cos bx dx = +R1x sin bx dx = e;ab .1 2 2 2 2 2 0 x +a 0 x +a
KAK SLEDSTWIE
2 . pO TAKOJ VE SHEME WY^ISLQ@TSQ GLAWNYE ZNA^ENIQ RASHODQ]IHSQ (IZ-ZA \OSOBENNOSTI" W TO^KE a ) INTEGRALOW +R1 a cos bx dx I +R1x sin bx dx. wWODQTSQ KONTURNYE INTEGRALY x2 ;a2 x2 ;a2 0 0 H zeibz H aeibz 0 2 2 dz I 2 2 dz , GDE ;r | ZAMKNUTYJ KONTUR, IZOB-
;0r
z ;a
;0r
z ;a
RAVENNYJ NA RIS. 94, B , S TEM LIX OTLI^IEM, ^TO CENTRAMI POLUOKRUVNOSTEJ Cr2 I Cr3 SLUVAT TO^KI ;a I a | POL@SY (1-GO PORQDKA ) PODYNTEGRALXNYH FUNKCIJ, OKAZYWA@]IESQ WNE KONTURA ;r0 . s U^ETOM LEMM 2 I 3 (S. 248{249) ;a;r2 a;r3 +R1 aeibx R R Rr1 aeibx dx = v.p. x2 ;a2 dx def =r! lim+1 + + 1 ;1 ;r1 ;a+r2 a+r3 x2 ;a2 r2 ! 0 H R r3R! 0 R aeibz =r ! lim ; + + z 2;a2 dz = 0 ; 0 + 1 +1 0 ; C C C r1 r2 r2 r2 ! 0 r r3 ! 0 aeibz + i res aeibz = i ae;iab + i aeiab = ; sin ab, + izres ;2a 2a z=a z 2;a2 =;a z 2 ;a2 ;a;r2 a;r3 +R1 xeibx R R Rr1 def xeibx dx = v.p. x2 ;a2 dx = r ! lim+1 + + x2 ;a2 1 ;1 ; r ; a + r 1 2 a+r3 r2 ! 0 r3 ! 0 ibz ze zeibz = i ;ae;iab + i aeiab = cos ab + izres + i res 2 2 ;2a 2a z=a z 2 ;a2 =;a z ;a KAK SLEDSTWIE +R1a cos bx v.p.
0
sin ab, v.p.+R1x sin bx dx = cos ab .1 dx = ; 2 2 x2 ;a2 2 2 0 x ;a
sPOSOB WY^ISLENIQ \TIH INTEGRALOW S POMOX@ WY^ETOW (E]E DO POQWLENIQ TERMINA \WY^ET") BYL UKAZAN kOI W 27] (p. 63). 1
264 +R1px+i eix
dx, GDE POD KWADRATNYM KORNEM W ^ISLITELE 2 ;1 x +1 PODRAZUMEWA@TSQ ZNA^ENIQ p OSI TOJ ODNOp NA DEJSTWITELXNOJ ZNA^NOJ WETWI w = z + i,1 DLQ KOTOROJ 0+ i = e i4 . 3.
rIS. 95
wZQW W KA^ESTWE ODNOSWQZNOJ OBLASTI D C PLOSKOSTX C c \RAZREZOM" PO L@BOMU (NO NE PERESEKA@]EMU DEJSTWITELXNOJ OSI ) LU^U L OT TO^KI ;i DO 1 I PRIMENQQ TEOREMU O WY^ETAH K INTEGRALU PO ZAMKNUTOMU KONTURU ;r D, SOSTOQ]EMU IZ POLUOKRUVNOSTI Cr RADIUSA r > 1 I OTREZKA ;r r] (OBHODIMYH KAK UKAZANO NA RIS. 95, a), MOVNO ZAKL@^ITX:p p H z +i eiz z +i eiz = p2 e i4 e;1 = (1+ i)e;1. dz = 2 i res 2 z +1 z=i z 2+1 ;r
s DRUGOJ STORONY, H pz +i eiz z 2+1 dz ;r
p
eE MOVNO WYDELITX W PLOSKOSTI OT TO^KI ;i DO 1 (IV, c. 68). 1
p
i eix dx + R z +i eiz dz , = xx+2 +1 z 2 +1 ;r Cr Rr
C
S \RAZREZOM" PO L@BOMU LU^U
265
PRI^EM KO WTOROMU INTEGRALURWpPRAWOJ ^ASTI PRIMENIMA iz z + i e LEMMA vORDANA (S. 248{249): 0. wMESTE z 2+1 dz r;! ! +1 Cr \TI SOOTNOENIQ DA@T: p p +R1p x+i eix dx = lim Rr x+i eix dx = lim H z +i eiz dz = (1+i) . 2 z 2 +1 e r!+1;r x2 +1 r!+1 ;1 x +1 ;r ;Rr2 Rr1 +R1 i x def e ei x dx PRI L@4 . nAJTI v.p. dx = lim + r1 ! +1 ;r1 r2 x ;1 x r2 ! 0+0 BOM > 0 MOVNO ISHODQ IZ TOGO, ^TO DLQ ZAMKNUTOGO KONTURA ;r , SOSTOQ]EGO IZ OTREZKOW ;r1 ;r2 ] I r2 r1 ] I POLUOKRUVNOSTEJ Cr1 I Cr2 (OBHODIMYH KAK NA RIS. 95, B ), H ei z 1 z dz = 0 . oSTAETSQ PEREJTI K PREDELU PRI r1 ! +1 I ;r r2 ! 0 + 0 I PRIMENITX K INTEGRALAM PO POLUOKRUVNOSTQM Cr1 I Cr;2 SOOTWETSTWENNO LEMMU 3 I LEMMU 2 (S. 248{249): H +R1 i x R R ei z ei z = i . ; + dz = i res v.p. ex dx =r lim z z=0 z 1 !+1 ;1 r2 !0+0 ;r Cr1 Cr;2 tAK KAK +R1 +R1 i x v.p. e x dx = v.p. cos x+xi sin x dx = ;1 ;1 +R1 +R1 = v.p. cosxx dx + i sinxx dx ,2 ;1 ;1 +R1 +R1 SLEDUET WYWOD: sinxx dx = , a v.p. cosxx dx = 0. ;1 ;1 pO TEOREME kOI (XV, S. 151), PRIMENENNOJ K ODNOSWQZNOJ OBLASTI | PLOSKOSTI C S \RAZREZOM" OT 0 WNIZ PO MNIMOJ OSI (NE IZOBRAVENNOM NA RIS. 95, B ). 2 pOSLEDNIJ INTEGRAL SHODITSQ , I POTOMU SIMWOL v.p. PERED NIM MOVET BYTX OPU]EN. 1
266 +Ri1 pt R+ir pt e dp ,1 wY^ISLITX 21i v.p. pen+1 dp def = 21i r!lim n+1 p + 1 ;i1 ;ir t> 0, n = 0 1 2 : : : , POZWOLQET ZAMENA PEREMENNOJ z = p;i I WWEDENIE ZAMKNUTOGO KONTURA ;r , SOSTOQ]EGO IZ OTREZKA ;r r] I POLUOKRUVNOSTI Cr (OBHODIMYH KAK UKAZANO NA RIS. 96, B), S PRIMENENIEM TEOREMY O WY^ETAH , LEMMY vORDANA (S. 248{249) I FORMULY WY^ETA W POL@SE (XV, S. 231): 1 v.p.+Ri1 ept dp = 1 lim Rr et eitz i dz = 2i ;i1 pn+1 2i r!+1 ;r (+iz )n+1 H R eitz t et 2i res eitz = ; dz = = e2 r!lim n +1 (+iz ) 2 +1 z=i (+iz )n+1 5.
;r Cr
itz (z ;i )n+1 (n) e t 1 ;eitz (n) = tn . lim = e n +1 z=i n! n! z!i (+iz) n! in
= et i 1
rIS. 96 gLAWNOE ZNA^ENIE INTEGRALA PO PRQMOJ p 2 C : Re p = > 0 (RIS. 96, A) p | OBOZNA^ENIE KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ, PRINQTOE W OPERACIONNOM IS^ISLENII (XIX, S. 309). 1
267 6.
H
wY^ISLITX
+R1
x2 ln x dx 2 2 0 (x +1)
MOVNO PEREHODOM K INTEG-
ln z dz PO ZAMKNUTOMU KONTURU ; , IZOBRAVENRALU (zz2+1) r 2 ;r NOMU NA RIS. 95, B , PONIMAQ POD LOGARIFMOM EGO ODNOZNA^NU@ WETWX , OPREDELENNU@ W PLOSKOSTI C c \RAZREZOM" OT 0 WNIZ PO MNIMOJ OSI KAK ln z =ln jzj+i arg z ; 2 < arg z < 32 . pO HTEOREME O WY^ETAH z 2 ln z dz = 2i res z 2 ln z = 2i z 2 ln z 0 = + i 2 . (z 2 +1)2 (z +i)2 2 4 z=i (z 2 +1)2 2
z=i
;r
pRIMENENIE VE SWOJSTWA ADDITIWNOSTI INTEGRALA, ZAMENY x NA ;x W INTEGRALE PO OTREZKU ;r1 ;r2] (S U^ETOM TOGO, ^TO ln x = ln jxj + i DLQ x < 0) I, NAKONEC, LEMMY 1 (S. 247{248) DAET: H z 2 ln z (z 2 +1)2 dz = ;r ;Rr2 2 ln x H z 2 ln z Rr1 x2 ln x = (xx2 +1) dx + dx + 2 2 2 (z 2 +1)2 dz ;r r (x +1) 1
=
Rr1 x2(ln x+i)
2 2 r2 (x +1)
Cr2
2
+
H z 2 ln z (z 2 +1)2 dz
Cr1
=
H z 2 ln z H z 2 ln z 2 ln x dx + (xx2 +1) dx + dz + 2 (z 2 +1)2 (z 2 +1)2 dzr1!+1 r2 Cr1 Cr2 r !0 Rr1
;! 2
+1
+R1 x ln x dx + i R x dx . ;! 2 r !+1 0 (x +1) 0 (x +1)
r2 ! 0
1
2 2
2
2
2
H
2
ln z dz sRAWNENIE S NAJDENNYM WYE ZNA^ENIEM (zz2+1) 2 ;r +R1 2 ln x dx = (W KA^ESTWE \BESPOZWOLQET ZAKL@^ITX: (xx2 +1) 2 4 0 +R1 2 PLATNOGO PRILOVENIQ" POLU^ENO ZNA^ENIE (x2x+1)2 dx = 4 ). 0
2
268 +R1 ;1 pRI WY^ISLENII xx+b dx (0 0, TO \TOT INTEGRAL BERETSQ PO ZAMKNUTOMU KONTURU ;r , IZOBRAVENNOMU NA RIS. 97, A ,2 ODNAKO ^TOBY ARGUMENTIROWANNO PRIMENITX TEOREMU O WY^ETAH , NEOBHODIMO WNA^ALE PRIDATX SMYSL \TOMU INTEGRALU, T. E. RAZOBRATXSQ S ODNOZNA^NYMI WETWQMI .HdLQ;1\TOGO INTEGRAL LU^H zSTEPENI ;1 E PREDSTAWITX W WIDE z+b dz + zz+b dz , GDE ZAMKNUTYE ;00r ;0r KONTURY ;0r ;00r IZOBRAVENY NA RIS. 97, B .3
rIS. 97 iNTEGRAL SHODITSQ TOLXKO DLQ \TIH ZNA^ENIJ . nAPRAWLENIQ OBHODA OKRUVNOSTEJ Cr1 I Cr2 UKAZANY STRELKAMI, A IH RADIUSY UDOWLETWORQ@T NERAWENSTWAM r2 n0 MNOGO^LEN n zn P IMEET WNUTRI OKRUVNOSTI z 2 C : j z j = r STOLXKO k=0 n! VE NULEJ , SKOLXKO IH IMEET exp z , T. E. NI ODNOGO .
uPRAVNENIQ. 1. dOKAZATX, ^TO UTWERVDENIE TEOREMY rUE OSTAETSQ W SILE PRI ZAMENE W EE USLOWII NERAWENSTWA j'(z) ; (z)j < j(z)j NA j'(z) ; (z)j < j'(z)j + j(z)j (SNOSKA 2 NA S. 278). 2 4 2n 2. pUSTX n | ^ISLO KORNEJ MNOGO^LENA 1+ z3! + z5! + + (2nz +1)! W KRUGE z 2 C : jz j < 100 . nAJTI lim n .
285
kAKIE OB]IE PRINCIPY SWOJSTWENNY OTOBRAVENIQM ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI
XVIII .
nAGLQDNO PREDSTAWLQQ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ w = f (z) KAK OTOBRAVENIQ | WOOBRAVAEMYE SOOTNESENIQ (SOPOSTAWLENIQ ) TO^KAM z ODNOGO \KZEMPLQRA KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI (PLOSKOSTI C = C z PEREMENNOJ z) TO^EK w = f (z) DRUGOGO EE \KZEMPLQRA (PLOSKOSTI C = C w PEREMENNOJ w RIS. 106), PRINIMA@T SLEDU@]U@ TERMINOLOGI@ (I OBOZNA^ENIQ).
rIS. 106
zNA^ENIE FUNKCII w = f (z) W TO^KE z 2 C ESTX OBRAZ \TOJ TO^KI PRI OTOBRAVENII DANNOJ FUNKCIEJ. mNOVESTWO ZNA^ENIJ FUNKCII w = f (z), KOGDA z PROBEGAET TO ILI INOE MNOVESTWO E C (DOPUSTIMYH ZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII), ESTX OBRAZ \TOGO MNOVESTWA, OBOZNA^AEMYJ f (E): def f (E) = w 2 C : 9z (z 2 E ^ f (z)= w GOWORQT PRI \TOM, ^TO FUNKCIQ w = f (z) OTOBRAVAET MNOVESTWO E NA MNOVESTWO f (E) (KAK NA RIS. 106).
286
fUNKCI@ w = f (z) NAZYWA@T ODNOLISTNOJ NA MNOVESTWE E , ESLI ONA OTOBRAVAET MNOVESTWO E NA EGO OBRAZ f (E ) WZAIMNO - ODNOZNA^No , T. E. RAZNYM TO^KAM MNOVESTWA E SOOTWETSTWU@T RAZNYE TO^KI MNOVESTWA f (E): 8z 8 ;z 2 E ^ 2 E ^ z 6= =) f (z) 6= f (). pOMIMO SWOJSTWA KONFORMNOSTI | W TEH TO^KAH z , GDE f 0(z) 6= 0 (V, c. 81), | OTOBRAVENIQM , OSU]ESTWLQEMYM ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI w = f (z), PRISU]I I DRUGIE OB]IE SWOJSTWA, ILI, KAK PRINQTO GOWORITX, PRINCIPY. pRINCIP SOHRANENIQ OBLASTI. fUNKCIQ w = f (z), ANALITI^ESKAQ I NE QWLQ@]AQSQ POSTOQNNOJ W OBLASTI G C , OTOBRAVAET \TU OBLASTX NA OBLASTX .1 dOKAZATELXSTWO. tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO OBRAZ f (G) OBLASTI G ESTX OTKRYTOE MNOVESTWO I OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ L@BYH DWUH TO^EK w1 w2 2 f (G) W MNOVESTWE f (G) SU]ESTWUET SOEDINQ@]IJ IH PUTX (VII, c. 107). dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO f (G) OTKRYTO , ZNA^IT DOKAZATX, ^TO KAVDAQ EGO TO^KA QWLQETSQ WNUTRENNEJ , T. E. OBLADAET OKRESTNOSTX@ , PRINADLEVA]EJ \TOMU MNOVESTWU. pUSTX w0 | KAKAQ-LIBO TO^KA MNOVESTWA f (G), T. E. w0 = f (z0) DLQ NEKOTOROGO z0 2 G. w \TOM SLU^AE TO^KA z0 QWLQETSQ NULEM FUNKCII w = f (z) ; w0 , PRI^EM | WWIDU NEPOSTOQNSTWA \TOJ FUNKCII | EE IZOLIROWANNYM NULEM . |TO OZNA^AET (XIII , c. 200), ^TO SU]ESTWUET OKRESTNOSTX TO^KI z0 | KRUG K G S CENTROM z0 , GDE NET DRUGIH NULEJ FUNKCII w = f (z) ; w0. mOVNO UTWERVDATX PO\TOMU, ^TO ESLI C | OKRUVNOSTX S CENTROM z0 , SODERVA]AQSQ W KRUGE K (RIS. 107), TO ^ISLO = zinf 2C jf (z) ; w0j POLOVITELXNO . oBRAZ OBLASTI PRI OTOBRAVENII POSTOQNNOJ FUNKCIEJ SOSTOIT IZ ODNOJ TO^KI I POTOMU OBLASTX@ NE QWLQETSQ. 1
287
rIS. 107
dLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO w0 | WNUTRENNQQ TO^KA MNOVESTWA f (G), DOSTATO^NO POKAZATX, ^TO KRUG w 2 C : jw ; w0j < (ZATRIHOWAN NA RIS. 107) SODERVITSQ W OBRAZE KRUGA K | MNOVESTWe f (K) f (G). dOKAZYWAQ \TO \OT PROTIWNOGO", SLEDUET PREDPOLOVITX SU]ESTWOWANIE TO^KI we c jwe ; w0 j f , GDE f | POKAZATELX ROSTA FUNKCII-ORIGINALA = f (t) . Q.E.D. nAPRIMER, WYE BYLO USTANOWLENO, ^TO sint t : 21i ln pp;+ii , PO\TOMU sint 2t = 2 sin2t2t : 21i ln pp;+22ii . sME]ENIE IZOBRAVENIQ. eSLI f (t) : F (p), A | t KOMPLEKSNOE ^ISLO, TO F (p ; ) e f (t) (SME]ENIE IZOBRAVENIQ | ZAMENA PEREMENNOJ p NA p ; | SOOTWETSTWUET UMNOVENI@ ORIGINALA NA et ). +R1 dOKAZATELXSTWO. etf (t) : et f (t) e;ptdt = 0 +R1 = f (t)e;(p;)t dt = F (p ; ). Q.E.D. 0
k PRIMERU, ZAPISX p2;pp+1 = p1;22 +;2p32 S U^ETOM IZ(p; 2 ) + 2 OBRAVENIJ SINUSA I KOSINUSA (c. 315) POZWOLQET SDELATX WYp WOD: FUNKCIQ w = p2;pp+1 SLUVIT IZOBRAVENIEM FUNKCII p3 t; 3 1 ORIGINALA = e 2 cos 2 t + p3 sin 2 t . zAPAZDYWANIE ORIGINALA. eSLI f (t) : F (p),;Ap | POLOVITELXNOE ^ISLO, TO f (t) : F (p), TO f (t; ) : e F (p) (WKL@^ENI@ ORIGINALA S ZAPAZDYWANIEM SOOTWETSTWUET UMNOVENIE IZOBRAVENIQ NA e;p )1. 1
1
1
wMESTO f (t ; ) INOGDA ISPOLXZU@T ZAPISX f (t).
319
rIS. 126
dOKAZATELXSTWO. s U^ETOM TOGO, ^TO f (t; )=0 PRI t 0. s U^ETOM 0 l -PERIODI^NOSTI FUNKCII = f (t) DLQ L@BOGO TAKOGO p +R1 Rnl f (t) : f (t) e;ptdt =n!lim f (t) e;ptdt = +1 a)
0
Rl
=n!lim +1
0
0
f (t) e;pt dt + +
Rnl
(n;1) l
f (t) e;pt dt =
;pl + + e;(n;1) pl Rl f (t) e;pt dt = =n!lim 1 + e +1 ;
0
Rl ;npl Rl 1 ; e 1 ; pt =n!lim f (t) e dt = 1;e;pl f (t) e;ptdt +1 1;e;pl
(POSKOLXKU je;plj < 1).
0
0
Q.E.D.
rIS. 128
321
w ^ASTNOSTI, ESLI PREDSTAWLENNYE NA RIS. 127 ORIGINALY f (t)= t ; t1 ; t2 + t3 I g(t)= t ; t1 ;11 S^ITATX PERIODI^ESKI PRODOLVENNYMI (S PERIODAMI , SOOTWETSTWENNO, l =3 I l =1 RIS. 128), TO;pIH IZOBRAVENIQMI OKAVUTSQ, SOOTWETSTWENNO, ;p ;p (1;e )(1;e;2p) F (p) = (1;e;3p) p2 I G(p) = 1;(1e;e;;pe) p2p . iZOBRAVENIE SWERTKI. eSLI f (t) : F (p), a g(t) : G(p), Rt TO F (p) G(p) f ( ) g(t; ) d , T. E. yMNOVENI@ IZOBRAVENIJ 0 OTWE^AET SWERTKA ORIGINALOW 1. dOKAZATELXSTWO. pUSTX | NAIBOLXIJ IZ POKAZATELEJ ROSTA FUNKCIJ - ORIGINALOW = f (t) I = g(t), I PUSTX p | L@BOE KOMPLEKSNOE ^ISLO c Re p > . ;pOSKOLX Re p ; ( + ) t KU = ; 2 > 0, WYPOLNQ@TSQ OCENKI f (t) = O e I ( + ) t g(t) = O e , T. E. NERAWENSTWA jf (t)j 6 h1e(+)t I jg(t)j 6 h2 e(+)t t 2 0 +1), GDE h1 I h2 | NEKOTORYE POLOVITELXNYE POSTOQNNYE. dLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO ^ISLA b PUSTX P | PARALLELOGRAMM W PLOSKOSTI R 2 PEREMENNYH t I , ZADAWAEMYJ SOOTNOENIQMI = 0 = b = t = t ; b I RAZDELQEMYJ DIAGONALX@ (t = b) NA TREUGOLXNIKI T1 I T2 (RIS. 129). INTEGRALA (PO PARALLELOGRAMMU) RR pEREHOD OT DWOJNOGO f ( ) g(t ; ) e;pt dtd K POWTORNYM WKUPE SO SWOJSTWOM P
ADDITIWNOSTI DWOJNOGO INTEGRALA DAET, S ODNOJ STORONY,
wOOB]E SWERTKOJ FUNKCIJ = f (t) I = g(t) NA ^ISLOWOJ OSI NAZYWA@T FUNKCI@ , OBOZNA^AEMU@ SIMWOLOM f g I OPREDELQEMU@ SO+R1 OTNOENIEM (f g)(t) def = f ( )g(t ; ) d ;1 < t < +1, KOTOROE DLQ ;1 FUNKCIJ-ORIGINALOW PRINIMAET UKAZANNYJ WYE WID. CWERTKA OBLADAET SWOJSTWOM PERESTANOWO^NOSTI : f g = g f , ^TO PROWERQETSQ ZAMENOJ NA u = t ; . 1
322
rIS. 129 RR
P
Rb f ( ) g(t ; ) e;ptdtd =
0
Rb
R+b
f ( ) g(t ; ) e;pt dt d t;= =u
Rb
= f ( ) e;p d g(u) e;pudu b!;! F (p) G(p), +1 0
0
ARRS DRUGOJ | f ( ) g(t ; ) e;ptdtd = P
=
Rb Rt
0 0
RR f ( ) g(t ; ) d e;ptdt + f ( ) g(t ; ) e;pt dtd
T2
SO SLEDU@]EJ OCENKOJ DWOJNOGO INTEGRALA PO TREUGOLXNIKU T 2 : RR RR ; pt f ( ) g (t ; )e;ptdtd 6 6 f ( ) g ( t ; ) e dtd T2 RR T2 6 h1e(+) h2 e(+)(t;) e;Re ptdtd = RR
T2
0. = h1 h2 e(+;Re p)t dtd < b2 h1h2 e;b b!;! +1 T2
2
sOPOSTAWLENIE \TIH SOOTNOENIJ DAET:
323 Rt
0
f ( ) g(t ; ) d : RbRt
+R1Rt 0 0
f ( ) g(t ; ) d e;ptdt =
f ( ) g(t ; ) d e;ptdt = F (p) G(p). Q.E.D. 0 0 pRIMERY PRIMENENIQ: Rt ESLI f (t) : F (p), TO f ( ) d = (f 1)(t) : F p(p) (SWOJSTWO 0 INTEGRIROWANIQ ORIGINALA ) 1 Rt sin sin(t ; ) d = 1 Rtcos(2 ; t) ; cos t d = 2 (p +1)2 0 20 ; = 12 sin t ; t cos t . tEOREMA OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA. w TEH TO^KAH, GDE FUNKCIQ - ORIGINAL = f (t) IMEET PROIZWODNU@1, ONA WOSSTANAWLIWAETSQ PO SWOEMU IZOBRAVENI@ +R1 F (p) = f (t) e;pt dt POSREDSTWOM FORMULY OBRA]ENIQ 0 +Ri1 R+ir f (t) = 21i v.p. F (p) eptdp def = 21i r!lim F (p)eptdp , + 1 ;i1 ;ir W KOTOROJ | L@BOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO, B OLXEE POKAZATELQ ROSTA f FUNKCII - ORIGINALA , A INTEGRAL OT ; ir DO + ir BERETSQ PO PRQMOLINEJNOMU OTREZKU , PLOSKOSTI PEREMENNOJ p, SOEDINQ@]EMU \TI TO^KI. dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY MOVNO DATX, SOSLAWISX NA TEOREMU OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE 2, RASSUVDAQ SLEDU@]IM OBRAZOM. = b!lim +1
iLI, BUDU^I NEPRERYWNOJ , IMEET OBE ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE . rAZUMEETSQ, SSYLKA BUDET KORREKTNOJ, LIX ESLI NAZWANNAQ TEOREMA BYLA USWOENA W PREDESTWU@]EM KURSE DEJSTWITELXNOGO ANALIZA: W PROTIWNOM SLU^AE DOKAZATELXSTWO S TAKOJ SSYLKOJ OKAZYWAETSQ LIX NOMINALXNYM. 1 2
324
dLQ L@BOGO ^ISLA > f FUNKCIQ = f(t) def = e;t f (t) NA OSI ;1 f I > 0, MOVNO ZAPISATX: 1 nA SAMOM DELE TEOREMA OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA I TEOREMA OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ fURXE | \TO DWA WARIANTA ODNOJ I TOJ VE TEOREMY S PRAKTI^ESKI ODINAKOWYMI DOKAZATELXSTWAMI.
325 +i 1 R+ir F (p) ept0 dp = 1 R+ir +R1f (t) e;pt dt ept0 dp p== 2i;ir 2i;ir 0 Rr +R1 = 21 d f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) dt, ;r 0
PRI \TOM OCENKA f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) 6 he(f +)t e;(t;t0) 6 et0 he;t (GDE = ;f ), 2 WYTEKA@]IE IZ NEE SOOTNOENIQ Rr +R1 d f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) dt ! ;! 0, +1 ;r +R1 Rr
dt f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) d ! ;! 0, +1 ;r I, NAKONEC, WOZMOVNOSTX POMENQTX PORQDOK INTEGRIROWANIQ PO OTREZKAM 0 6 t 6 I ;r 6 6 r 1 PRIWODIT K SOOTNOENIQM
1 R+ir F (p) ept0 dp = 1 Rr d+R1f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) dt = 2i;ir 2 ;r 0 +R1 Rr +R1 = 21 dt f (t) e;(t;t0) e;i (t;t0) d = 1 f (t) e;(t;t0) sintr;(tt;0 t0) dt. ;r 0 0
wZQW SKOLX UGODNO MALOE ^ISLO "> 0, POSLEDNIJ INTEGRAL SLEDUET RAZBITX NA TRI: J1 | OT 0 DO t0 ; ", J2 | OT t0 ; " DO t0 + " I J3 | OT t0 + " DO +1, A ZATEM K INTEGRALAM J1 I J3 PRIMENITX IZWESTNU@ IZ KURSA DEJSTWITELXNOGO ANALIZA (NAPRIMER, 17], n 682) LEMMU Rb rIMANA, UTWERVDA@]U@, ^TO ESLI INTEGRAL g(t) dt SU]ESTWUET (KAK a SOBSTWENNYJ ILI KAK NESOBSTWENNYJ , NO ABSOL@TNO SHODQ]IJSQ ), TO Rb g(t) sin rtdt r!;! 0. +1 a pRIMENENIE \TOJ LEMMY DAET: t0R;" ;(t;t ) J1 = 1 f (t) et;t0 0 sin r(t;t0) dt r!;! 0 I (TO^NO TAK VE) J3 r! ;! 0. +1 +1 0
~TO KASAETSQ INTEGRALA J2 , TO EGO, W SWO@ O^EREDX, SLEDUET ZAPISATX W WIDE
nAPRIMER, NA OSNOWANII TEOREMY O PEREHODE OT DWOJNOGO INTEGRALA (PO PRQMOUGOLXNIKU ) K POWTORNYM . 1
326 1 t0R+" f (t) e;(t;t0) ;f (t0) sin r(t ; t ) dt + 1 t0R+" f (t0) sin r (t ; t ) dt 0 0 t0;" t;t0 t0;" t;t0
I PRIMENITX K PERWOMU INTEGRALU LEMMU rIMANA1, A WO WTOROM SDELATX +R1 PODSTANOWKU r(t;t0) = x (I WSPOMNITX, ^TO sinx x dx = XVI, c. 265): ;1
1 t0R+" f (t) e;(t;t0) ;f (t0)
sin r(t ; t0) dt r!;! 0, t0;" t;t0 +1 1 t0R+" f (t0) sin r(t ; t ) dt = f (t ) 1 Rr" sin x dx ;! f (t ), 0 0 t0;" t;t0 r!+1 0 ;r" x
A SLEDOWATELXNO, +R1 f (t0). J2 = 1 f (t) e;(t;t0) sintr;(tt;0 t0) dt r!;! +1 0 oB_EDINENIE POLU^ENNYH PREDELXNYH SOOTNOENIJ DLQ INTEGRALOW J1 J2 J3 DAET OKON^ATELXNO: +Ri1 1 1 R+ir F (p) ept0 dp = F (p) ept0 dp def = r!lim 2i v.p. 2 +1 i ;i1
1 = r!lim +1
;ir f (t) e;(t;t0) sin r(t;t0) dt =
+R1 0
;
t;t0
= r!lim J1 + J2 + J3 = f (t0). Q.E.D. +1
dLQ PRAKTI^ESKOGO WOSSTANOWLENIQ ORIGINALA PO EGO IZOBRAVENI@ TEOREMU OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA PRIMENQ@T SRAWNITELXNO REDKO (XVI , c. 266, PRIMER 5). ~A]E S \TOJ CELX@ ISPOLXZU@T2 SLEDU@]IE WYWODIMYE IZ NEE UTWERVDENIQ. iMENNO ZDESX ISPOLXZUETSQ SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ (ILI HOTQ BY ODNOSTORONNIH PROIZWODNYH ) U FUNKCII - ORIGINALA W TO^KE t0 : t0R+" ;(t;t ) PODYNTEGRALXNAQ FUNKCIQ W f (t) e t;t00 ;f (t0) dt IMEET W \TOM SLUt0;" ^AE W TO^KE t0 USTRANIMYJ RAZRYW (ILI VE RAZRYW 1-GO RODA ), ^TO OBESPE^IWAET SU]ESTWOWANIE DANNOGO INTEGRALA. 2 hOTQ, RAZUMEETSQ, NE TAK ^ASTO, KAK RAZNOJ STEPENI PODROBNOSTI SPRAWO^NYE TABLICY \ORIGINAL"{\IZOBRAVENIE" I (W PROSTYH SLU^AQH) IZLOVENNYE WYE SWOJSTWA PREOBRAZOWANIQ lAPLASA. 1
327
tEOREMY RAZLOVENIQ 1
. 1. eSLI ORIGINAL = f (t) IMEET SWOIM IZOBRAVENIEM (PO lAPLASU ) FUNKCI@, ANALITI^ESKU@ W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI , S RAZLOVENIEM +P 1 ak tk +P 1 k , TO f (t) = , t> 0. lORANA F (p) = pak+1 k=0 k! k=0 2. eSLI ORIGINAL = f (t) IMEET SWOIM IZOBRAVENIEM (PO lAPLASU ) RACIONALXNU@ FUNKCI@ S POL@SAMI p1 : : : pm, m ; pt t> 0. TO f (t) = P pres F ( p ) e j =1 =pj dOKAZATELXSTWA. B USLOWIQH OBOIH UTWERVDENIJ SU]ESTWUET POLOVITELXNOE ^ISLO S TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ WSEH DOSTATO^NO BOLXIH ZNA^ENIJ r> 0 ZAMKNUTYJ KONTUR ;r , SOSTOQ]IJ IZ OTREZKA PRQMOJ p 2 C : Re p = OT TO^KI ; ir DO TO^KI + ir I POLUOKRUVNOSTI Cr (DLQ KOTOROJ \TOT OTREZOK SLUVIT DIAMETROM RIS. 130), CELIKOM LEVIT W OKRESTNOSTI BESKONE^NOSTI , GDE FUNKCIQ - IZOBRAVENIE w = F (p) QWLQETSQ ANALITI^ESKOJ .
rIS. 130 \Expansion Theorem" | TAK NAZYWAL hEWISAJD SFORMULIROWANNYJ IM WARIANT WTOROJ IZ \TIH TEOREM (36], p. 126{131). 1
328
w SOOTWETSTWII S \KWIWALENTNYMI OPREDELENIQMI WY^ETA W BESKONE^NOSTI (XV, c. 229, 231) I TEOREMOJ O WY^ETAH (XV, c. 233) W USLOWIQH PERWOGO UTWERVDENIQ 1 H F (p) eptdp = ; res ;F (p) ept = 2i p=1 ;r
a a1 + a2 + 1+ pt + (pt)2 + = 0 = ;pres + p2 p3 1! 2! =1 p
= a0 + a1!1t + a2!2 t + 1 , 2
A W USLOWIQH WTOROGO | H m 1 pt dp = P res ;F (p) ept. F ( p ) e 2i p=pj ;r
j =1
s DRUGOJ STORONY, 1 H F (p) ept dp = 1 R+irF (p) ept dp + 1 R F (p)ept dp, 2i 2i;ir 2i Cr ;r p ; PRI \TOM WWEDENIE PEREMENNOJ zR= i PREOBRAZUET WTOROE t SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI W 2ei F (+iz) eitz dz | INTEGRAL Cr PO IZOBRAVENNOJ NA RIS. 96, B (XVI , S. 266) POLUOKRUVNOSTI Cr , K KOTOROMU PRI L@BOM t> 0 PRIMENIMA LEMMA vORDANA (XVI , c. 248{249) S = t I f (z)= F ( + iz)2 : 1 R F (p) eptdp = lim et R F ( + iz) eitz dz = 0, lim r!+1 2i r!+1 2i Cr
Cr
wZQTYJ SO ZNAKOM \MINUS" KO\FFICIENT PRI p;1 W PROIZWEDENII STOQ]IH W SKOBKAH ABSOL@TNO SHODQ]IHSQ RQDOW. 2 wYPOLNENIE USLOWIQ f (z) ;! 0 W SLU^AE PERWOGO UTWERVDENIQ z!1 +1 k , A W SLU^AE WTOROGO | WYTEKAET IZ PREDSTAWLENIQ F (p) = P pak+1 k=0 IZ TOGO, ^TO F (p) ESTX PRAWILXNAQ RACIONALXNAQ DROBX , POSKOLXKU F (p) Re ;! 0 (S. 311). p!+1 1
329
A SLEDOWATELXNO (S U^ETOM TEOREMY OBRA]ENIQ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA) DLQ WSEH TO^EK t > 0, W KOTORYH FUNKCIQ ORIGINAL IMEET PROIZWODNU@ f 0(t)1, 1 R+irF (p) ept dp = lim 1 H F (p) ept dp, f (t) = r!lim +1 2i;ir r!+1 2i ;r +P 1 ak tk A POTOMU f (t) = k! W USLOWIQH PERWOGO UTWERVDENIQ I m P
k=0 F (p) ept
;
W USLOWIQH WTOROGO . Q.E.D. zAME^ANIE. eSLI ZARANEE NE IZWESTNO , ^TO DANNAQ FUNKCIQ w = F (p) DEJSTWITELXNO SLUVIT IZOBRAVENIEM NEKOTOROGO ORIGINALA , TO NAJDENNU@ PO PRIWEDENNYM FORMULAM FUNKCI@ = f (t) SLEDUET RASSMATRIWATX LIX KAK \PREDPOLAGAEMYJ" ORIGINAL, TREBU@]IJ PROWERKI, ^TO W SAMOM +R1 DELE f (t) : F (p), T. E. f (t) e;ptdt = F (p). f (t) =
res
j =1 p=pj
0
pREDLAGAEMYE INOGDA DOSTATO^NYE PRIZNAKI TOGO, ^TO TA ILI INAQ FUNKCIQ w = F (p) SLUVIT IZOBRAVENIEM PO lAPLASU NEKOTOROJ FUNKCII = f (t), QWLQ@TSQ TIPI^NYMI PRIMERAMI \DISSERTACIONNYH" TEOREM - PUSTOCWETOW, BESPOLEZNYH W PLANE IH KONKRETNOGO PRIMENENIQ. sUDITX OB \TOM MOVNO PO IH FORMULIROWKAM (NAPRIMER, W 11], S. 404, TEOREMA 4): eSLI FUNKCIQ F (p) ANALITI^NA W POLUPLOSKOSTI Re p > s0 , STREMITSQ K NUL@ PRI jpj!1 W L@BOJ POLUPLOSKOSTI Re p > a>s0 RAWNOa+Ri1 MERNO OTNOSITELXNO arg p I INTEGRAL F (p) dp ABSOL@TNO SHODITa;i1
SQ, TO F (p) QWLQETSQ IZOBRAVENIEM FUNKCII f (t) = 21i
a+Ri1
eptF (p) dp.
a;i1
1 pRIMER. iZ RAZLOVENIQ DROBI (p2+1) 3 W RQD lORANA
iLI, BUDU^I W NIH NEPRERYWNOJ , IMEET W NIH ODNOSTORONNIE PROIZWODNYE . 1
330
1 (;1)j (j +2)(j +1) 1 = 1 1 +P = , (p2 +1)3 p6 (1+p;2)3 2 j =0 p6+3j
jpj > 1,
I PERWOJ IZ TEOREM RAZLOVENIQ MOVNO ZAKL@^ITX, ^TO 1 (;1)j (j +2)(j +1) 5+3j 1 1 +P t . 2 3 (p +1) 2 j =0 (5+3j)! gORAZDO BOLEE WNQTNYJ OTWET DAET WTORAQ IZ TEOREM RAZLOVENIQ: ept ept 1 2 +1)3 + res (p2 +1)3 = (p2 +1)3 res ( p p=i p=;i 00 pt pt 00 = 12 (pe+i)3 + 12 (pe;i)3 = ; 81 t2sin t ; 38 t cos t + 83 sin t. p=i p=;i |TOT VE REZULXTAT (PRIBLIZITELXNO S TEM VE OB_EMOM WY^ISLITELXNOJ RABOTY) MOVNO POLU^ITX, RAZLAGAQ DROBX 1 (p2 +1)3 NA PROSTYE (XIV, S. 225)
1 A B C D E F (p2 +1)3 = (p+i)3 + (p+i)2 + p+i + (p;i)3 + (p;i)2 + p;i S A = 81i , B = 163 , C = 163 i , D = 81i , E = 163 , F = 163 i
;
;
;
;
I OPERIRUQ ZATEM SWOJSTWOM DIFFERENCIROWANIQ IZOBRAVENIQ (S. 317). (
t 2= N uPRAVNENIQ. 1. pROWERITX, ^TO FUNKCIQ f (t) = e0t2 PRI PRI t 2 N IMEET BESKONE^NYJ PORQDOK ROSTA, NO EE IZOBRAVENIE PO lAPLASU OPREDELENO DLQ WSEH KOMPLEKSNYH ZNA^ENIJ p. H 2. pRIMENIW TEOREMU kOI K INTEGRALU eieze;pz dz PO PRQMOPb UGOLXNIKU Pb S WERINAMI 0 b b + i 2 , i 2 (b > 0), A ZATEM LEMMU vORDANA K EGO SOSTAWLQ@]EJ PO OTREZKU MEVDU TO^KAMI b I b + i 2 (PRI b ! +1 S PEREHODOM K PEREMENNOJ = ez ), DOKAZATX, ^TO t ie a) FUNKCIQ - ORIGINAL f (t)= e IMEET NULEWOJ POKAZATELX ROSTA B) EE IZOBRAVENIE PO lAPLASU OPREDELENO DLQ WSEH p c Re p> ;1.
331 XX .
kAK OPERIRU@T PREOBRAZOWANIEM lAPLASA
tRADICIONNYM PRILOVENIEM PREOBRAZOWANIQ lAPLASA , ILI, KAK E]E GOWORQT, OPERACIONNOGO IS^ISLENIQ 1, QWLQETSQ REENIE \OPERACIONNYM METODOM" LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH (A TAKVE INTEGRALXNYH I INTEGRODIFFERENCIALXNYH) URAWNENIJ I SISTEM, WOZNIKA@]IH, W ^ASTNOSTI, PRI RAS^ETE \LEKTRI^ESKIH CEPEJ | ZANQTII, PODWIGEM BYWEGO SOTRUDNIKA TELEGRAFNOJ KOMPANII hEWISAJDA (XIX , SNOSKA 4 NA S. 309) K IZOBRETENI@ TOGO, ^TO STALI NAZYWATX OPERACIONNYM IS^ISLENIEM . oB]AQ SHEMA METODA WESXMA PROSTA I, ESLI ESTX OSNOWANIQ S^ITATX ISKOMYE (RAWNO KAK I ZADANNYE) FUNKCII ORIGINALAMI , SWODITSQ K SLEDU@]EMU: a) OT ISHODNOGO URAWNENIQ, PRIMENQQ K OBEIM EGO ^ASTQM PREOBRAZOWANIE lAPLASA I U^ITYWAQ IME@]IESQ (ILI DOPOLNITELXNO ZADAWAEMYE) NA^ALXNYE USLOWIQ , PEREHODQT K TAK NAZYWAEMOMU URAWNENI@ W IZOBRAVENIQH B) REAQ POLU^ENNOE URAWNENIE (A ONO, ESLI, K PRIMERU, ISHODNOE URAWNENIE BYLO DIFFERENCIALXNYM , OKAZYWAETSQ ALGEBRAI^ESKIM 2 ) NAHODQT IZOBRAVENIQ ISKOMYH FUNKCIJ W) PO NAJDENNYM IZOBRAVENIQM NAHODQT FUNKCII-ORIGINALY , ISPOLXZUQ IME@]IESQ SPRAWO^NYE TABLICY ILI INYE SPOSOBY WOSSTANOWLENIQ ORIGINALOW PO IH IZOBRAVENIQM . wOT NESKOLXKO PRIMEROW, ILL@STRIRU@]IH KAK SAMU \TU SHEMU, TAK I TIPOWYE PRIEMY EE REALIZACII. nA SAMOM DELE TERMIN OPERACIONNOE IS^ISLENIE IMEET BOLEE IROKIJ SMYSL: POMIMO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA ON OHWATYWAET WSE METODY SWEDENIQ DIFFERENCIALXNYH (I INTEGRALXNYH ) URAWNENIJ K ALGEBRAI^ESKIM . 2 iLI DIFFERENCIALXNYM , NO S MENXIM ^ISLOM PEREMENNYH. 1
332
nAJTI OB]EE REENIE URAWNENIQ x" + !2x = f (t), A DLQ SLU^AEW A) f (t) = cos t ( 6= !) I B) f (t) = cos !t NAJTI EGO ^ASTNYE REENIQ, OTWE^A@]IE NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIQM: x(0)=0 x_ (0)=0. dLQ NAHOVDENIQ OB]EGO REENIQ URAWNENIQ ZA NA^ALXNYE ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII BERUT PROIZWOLXNYE ^ISLA: x(0) = c1 x_ (0) = c2, POSLE ^EGO, POLAGAQ x(t) : X (p), a f (t) : F (p), PRIHODQT K URAWNENI@ W IZOBRAVENIQH : ; 2 p X (p) ; px(0) ; x_ (0) + !2 X (p) = F (p). w EGO REENII X (p) = pF2+(p!)2 + cp12p++!c22 PERWOE SLAGAEMOE ESTX Rt IZOBRAVENIE SWERTKI !1 f () sin !(t;) d , WTOROE VE | LI0 NEJNOJ KOMBINACII c1 cos !t + c2 !1 sin !t. wWIDU PROIZWOLXNOSTI ^ISEL c1 c2 (I WOZMOVNOSTI IH PEREOBOZNA^ENIQ) OB]IM REENIEM ISHODNOGO NEODNORODNOGO URAWNENIQ BUDET ; Rt x(t) = !1 f () sin !(t ; ) d + c1 cos !t + c2 sin !t , 0 T. E. (KAK I SLEDOWALO OVIDATX) SUMMA EGO ^ASTNOGO REENIQ (S NULEWYMI NA^ALXNYMI USLOWIQMI) I OB]EGO REENIQ SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAWNENIQ. w SLU^AE f (t) = cos t (I NULEWYH NA^ALXNYH USLOWIJ) REENIEM URAWNENIQ W IZOBRAVENIQH QWLQETSQ p p 1 X (p)= (p2 +2)(p2 +!2) = !2;2 p2+2 ; p2+p !2 PRI 6= ! I 0 X (p) = (p2+p!2)2 = ; 12 p2+1 !2 PRI = !, SOOTWETSTWENNO ^EMU ; x(t) = !2;1 2 cos t ; cos !t PRI 6= ! I x(t) = t 21! sin !t PRI = ! (REZONANSNYJ SLU^AJ). 1.
333 8 > <x_ = y
;z
rEITX SISTEMU URAWNENIJ >y_ = x + y S NA^ALXNYMI : z_ = x + z USLOWIQMI x(0)=1 y(0)=2 z(0)=3. 8 > pY ; 2= X + Y , : pZ ; 3= X + Z REAQ KOTORU@ (NAPRIMER, PO PRAWILU kRAMERA), MOVNO POLU^ITX OTWET W IZOBRAVENIQH : 2 2 X = p (pp;;21) , Y = 2pp(p;;p1);22 , Z = 3pp(p;;21)p ;2 2 RAZLOVENIE VE POLU^ENNYH DROBEJ NA PROSTYE X = 2p ; p ;1 1 , Y = ;p2 + p ;4 1 ; (p ;11)2 , Z = ;p2 + p ;5 1 ; (p ;11)2 PoZWOLQET POLU^ITX OKON^ATELXNYJ OTWET: x(t)=2 ; et y(t)= ;2 + 4 et ; tet z(t)= ;2 + 5 et ; tet . 3. nAJTI OB]EE REENIE URAWNENIQ t x" ; (1+ t) x_ + x = 0. s^ITAQ NA^ALXNYE ZNA^ENIQ x(0) x_ (0) PROIZWOLXNYMI ^ISLAMI, POLAGAQ x(t) : X (p) I POLXZUQSX SWOJSTWAMI DIFFERENCIROWANIQ ORIGINALA I IZOBRAVENIQ (XIX , c. 316{317), 1: MOVNO PEREJTI K URAWNENI@ W IZOBRAVENIQH ; 2 0 ; ; ; p X ; px(0) ; x_ (0) ; pX ; x(0) + pX ; x(0)0 + X = 0. zAPISX EGO W ;WIDE p2 ; p X 0 +(3 p;2)X = 2 x(0) I PRIMENENIE STANDARTNOJ SHEMY REENIQ LINEJNYH NEODNORODNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ 1-GO PORQDKA (METOD WARIACII PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ) PRIWODIT POSLEDOWATELXNO K SOOTNOENIQM: 2.
1
w KOTOROM TRIH OBOZNA^AET PROIZWODNU@ PO p.
334
X = p2(pC; 1) C = C (p) (p2 ; p) p2(Cp ; 1) = 2 x(0), ;
0
e C = x(0) p2 + C X = xp(0)2(pp ;+1)C = px;(0)1 + pC;e 1 ; pCe2 ; Cpe ; PEREHOD K ORIGINALU DAET: x(t) = x(0)+ Ce et ; Ce(t +1) ILI (POSLE PEREOBOZNA^ENIQ KONSTANT) x(t)= c1 et + c2(t +1). 4. nAJTI REENIE URAWNENIQ t x" +2 x_ + tx = sin t, UDOWLETWORQ@]EE NULEWYM NA^ALXNYM USLOWIQM: x(0)=0 x_ (0)=0. sOOTWETSTWU@]IM URAWNENIEM W IZOBRAVENIQH BUDET ;(p2X )0 + 2pX ; X 0 = p21+1 , 1 . s U^ETOM SWOJSTWA DIFFERENCIW SILU ^EGO X 0= ; ( p2+1) 2 ROWANIQ IZOBRAVENIQ (XIX , c. 317) I IZOBRAVENIQ SWERTKI (XIX , c. 321) POSLEDNEE RAWENSTWO POZWOLQET ZAKL@^ITX, ^TO ;tx(t) : ;Rt sin sin(t; )d = 21 Rt;cos t ; cos(2 ; t)d = 2
0
e
0
= 21 t cos t ; 14 sin(2 ;t)t =0 = 12 t cos t ; sin t , I OKON^ATELXNO x(t)= 12 sint t ; cos t . 5. rEITX INTEGRALXNOE URAWNENIE wOLXTERRY1 (TIPA Rt SWERTKI)2 x(t) = t + sin(t ; u) x(u) du. 0 pOLAGAQ x(t) : X (p) I WSPOMINAQ IZOBRAVENIE SWERTKI 2 , URAWNENIE MOVNO ZAPISATX W IZOBRAVENIQH : X (p)= p12 + p21+1 X (p) REENIE EGO I WOZWRA]ENIE K ORIGINALU DA@T:
X (p) = 1 2
1
p2 1; p21+1
;
= p12 + p14 , A SLEDOWATELXNO, x(t) = t + t6 . 3
wOLXTERRA (Volterra, Vito, 1860 {1940) | ITALXQNSKIJ MATEMATIK. XIX, S. 321.
335
rIS. 131
nAJTI WELI^INU TOKA ^EREZ KONDENSATOR W SHEME, IZOBRAVENNOJ NA RIS. 131, ESLI NA WHOD PODANO NAPRQVENIE u0 = 100 B, EMKOSTX KONDENSATORA C = 100 MKf, INDUKTIWNOSTX KATUKI L =29 4 MgN, SOPROTIWLENIE R =10 Om, A KL@^ WKL@^AETSQ W MOMENT WREMENI t =0. pUSTX iC = iC (t) I iL = iL (t) | TOKI SOOTWETSTWENNO ^EREZ KONDENSATOR I KATUKU , PRI \TOM iC (0) = iL(0) = 0. pOSKOLXKU NA^ALXNOE PADENIE NAPRQVENIQ NA KONDENSATORe RAWNQLOSX u0 , K MOMENTU WREMENI t ONO OKAZYWAETSQ ; Rt RAWNYM u0 + 1=C iC (t) dt, PADENIE VE NAPRQVENIQ NA KA0 TUKE RAWNO (PO ZAKONU lENCA) Li0L c U^ETOM ZAKONA oMA \TO PRIWODIT K SISTEME URAWNENIJ 8 t 0) POTENCIAL " = "(t) ZA \POLOVITELXNOE" NAPRAWLENIE TOKA i = i(x t) PRINIMAETSQ NAPRAWLENIE WOZRASTANIQ x (RIS. 133), PRI \TOM NA^ALXNYE ZNA^ENIQ POTENCIALA I TOKA S^ITA@TSQ NULEWYMI : u(x 0) = 0 i(x 0) = 0. pARAMETRAMI LINII SLUVAT OTNESENNYE K EDINICE DLINY LINII a) AKTIWNOE (OMI^ESKOE) SOPROTIWLENIE1 R B) INDUKTIWNOSTX2 L W) EMKOSTX3 C G) KO\FFICIENT POTERX4 G. zADA^U REITX W SLU^AE LG = RC | LINII \BEZ ISKAVENIJ" (SMYSL TERMINA WYQSNITSQ NIVE).
rIS. 133 zAWISQ]EE OT MATERIALA I SE^ENIQ PROWODA. kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU |ds SAMOINDUKCII I SKOROSTX@ IZMENENIQ TOKA. 3 kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU SKOPIWIMSQ ZARQDOM I POTENCIALOM (OBKLADKAMI \KONDENSATORA" SLUVAT PROWOD I \ZEMLQ" S OKRUVA@]IMI PROWOD PREDMETAMI). 4 kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI MEVDU POTOKOM STEKA@]EGO ^EREZ IZOLQCI@ ZARQDA I POTENCIALOM PROWODA. 1 2
339
pRIMENENIE ZAKONA oMA K U^ASTKU LINII OT x DO x+Mx PRIWODIT K SOOTNOENI@ u(x t) ; u(x+Mx t) = RMxi(x t) + LMxi0t (x t) (POD ZNA^ENIQMI TOKA I EGO PROIZWODNOJ PONIMA@TSQ IH USREDNENIQ NA U^ASTKE OT x DO x+Mx). dELENIE EGO PRAWOJ I LEWOJ ^ASTEJ NA Mx I USTREMLENIE Mx K NUL@ PRIWODIT K PERWOMU IZ TAK NAZYWAEMYH TELEGRAFNYH URAWNENIJ : u0x + Ri + Li0t = 0 . s DRUGOJ STORONY, SOSTAWLENIE BALLANSA ZARQDA ZA PROMEVUTOK WREMENI OT t DO t+Mt POZWOLQET ZAPISATX: ; i(x t) ; i(x+Mx t) Mt = ; = CMx u(x t+Mt) ; u(x t) + GMxu(x t)Mt (ZNA^ENIQ TOKA I POTENCIALA PONIMA@TSQ KAK USREDNENNYE SOOTWETSTWENNO PO WREMENI I/ILI KOORDINATE) DELENIE OBEIH ^ASTEJ RAWENSTWA NA Mx I Mt S POSLEDU@]IM USTREMLENIEM IH K NUL@ DA@T WTOROE TELEGRAFNOE URAWNENIE : i0x + Cu0t + Gu = 0 . iSKL@^ENIE TOKA IZ POLU^ENNOJ SISTEMY TELEGRAFNYH URAWNENIJ (WY^ITANIEM IZ PERWOGO URAWNENIQ, PRODIFFERENCIROWANNOGO PO x, WTOROGO URAWNENIQ, UMNOVENNOGO NA L I PRODIFFERENCIROWANNOGO PO t, S POSLEDU@]IM WYRAVENIEM i0x ^EREZ u I u0t IZ WTOROGO URAWNENIQ) PRIWODIT K TELEGRAFNOMU URAWNENI@ WTOROGO PORQDKA OTNOSITELXNO u: u00xx ; LCu00tt ; (LG + RC) u0t; RGu = 0: () s U^ETOM USLOWIJ u(x 0) = 0 i(x 0) = 0 (I WTOROGO TELEGRAFNOGO URAWNENIQ) WOZNIKAET ZADA^A kOI: NAJTI REENIE u = u(x t) URAWNENIQ (), UDOWLETWORQ@]EE NA^ALXNYM USLOWIQM u(x 0) = 0 u0t(x 0) = 0 I GRANI^NOMU USLOWI@ u(0 t) = "(t).
340
mETOD REENIQ \TOJ ZADA^I | PRIMENENIE PREOBRAZOWANIQ lAPLASA PO PEREMENNOJ t: +R1 +R1 u(x t) : U (x p) = u(x t) e;ptdt, "(t) : E (p) = "(t) e;ptdt, 0 0 0 ut(x t) : pU (x p) ; u(x 0) = pU (x p), u00tt (x t) : p2U (x p) ; pu(x 0) ; u0t(x 0) = p2U (x p), +R1 u00xx(x t) : u00xx(x t) e;ptdt = U 00(x p).1 0 sFORMULIROWANNAQ ZADA^A kOI DLQ URAWNENIQ W ^ASTNYH2 PROIZWODNYH (*) PEREHODIT PRI \TOM W KRAEWU@ ZADA^U d U ; ;LCp2 + (LG + RC)p + RGU = 0 U (0 p) = E (p) dx2 DLQ LINEJNOGO ODNORODNOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ S POSTOQNNYMI (PO OTNOENI@ K PEREMENNOJ x ) KO\FFICIENTAMI. w SLU^AE LG =;RCp KORNQMI p EGO HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ SLUVAT p LC + RG ,2 A POTOMU OB]EE REENIE DANNOGO DIFFERENCIALXNOGO pLC+pRG)x URAWNENIQ pLC+IMEET pRG) xWID p ; p ( ( U (x p) = c1e + c2 e , GDE c1 c2 | PROIZWOLXNYE KO\FFICIENTY (NE ZAWISQ]IE OT x, NO, WOZMOVNO, ZAWISQ]IE OT p). tAK KAK DOLVNO WYPOLNQTXSQ USLOWIE U (x p) Re;! 0 p!+1 (XIX , S. 311), A IZ DWUH \KSPONENT W PREDSTAWLENII U (x p) LIX WTORAQ STREMITSQ K NUL@ PRI Re p ! +1, KO\FFICIENT c1 DOLVEN RAWNQTXSQ NUL@ , IZ USLOWIQ VE U (0 p)= E (p)
pOSLEDNEE RAWENSTWO OZNA^AET WOZMOVNOSTX DIFFERENCIROWANIQ +R1 INTEGRALA u(x t) e;pt dt PO PARAMETRU x, DLQ OBOSNOWANIQ KOTOROGO 0 NET DOSTATO^NOJ INFORMACII O PODYNTEGRALXNOJ FUNKCII. zAMENOJ \TOGO OBOSNOWANIQ MOVET SLUVITX PRQMAQ PROWERKA OKON^ATELXNOGO REZULXTATA. 2 pRI LG = RC MNOGO^LEN 2-J STEPENI LCp2 + (LG + RC)p + RG p ; p PRINIMAET WID p LC + RG 2 . 1
341
SLEDUET, ^TO c2 = E (p). oSTAETSQ PRIMENITX K POLU^ENNOMU REENI@ W IZOBRAVENIQH p p p ; p U (x p) = E (p) e;(p LC + RG)x = e;p LC e;x RGE (p) SWOJSTWO ZAPAZDYWANIQ ORIGINALA , c. 318): pRG ; (XIX p ; x " t ; x LC . u(x t)= e wYWOD: W SLU^AE LG = RC PODAWAEMYJ NA WHOD1 SIGNAL (POTENCIAL ) "(t) RASPROSTRANQETSQ SO SKOROSTX@ pLC , PRI \TOM FORMA SIGNALA NE ISKAVAETSQ, A EGO AMPLITUDA (PO pRG x PRIHODU SIGNALA W TO^KU x ) UMENXAETSQ W e RAZ. pRILOVENIQ K RAZNOSTNYM URAWNENIQM. aNALOGAMI DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ , KOGDA W KA^ESTWE U^ASTWU@]IH W NIH FUNKCIJ WYSTUPA@T POSLEDOWATELXNOSTI , QWLQ@TSQ RAZNOSTNYE URAWNENIQ . k PRIMERU, LINEJNOE RAZNOSTNOE URAWNENIE k-GO PORQDKA S POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI IMEET WID xn+k + a1 xn+k;1 + + ak xn = bn n = 0 1 2 : : : , GDE a1 : : : ak | ZADANNYE ^ISLA , A fbng = b0 b1 b2 : : : | ZADANNAQ ^ISLOWAQ POSLEDOWATELXNOSTX .1 zADA^A kOI DLQ TAKOGO RAZNOSTNOGO URAWNENIQ IMEET SLEDU@]U@ FORMULIROWKU: NAJTI ^ISLOWU@ POSLEDOWATELXfAKTI^ESKI TAKOE RAZNOSTNOE URAWNENIE (A W SLU^AE, ESLI WSE bn =0, EGO NAZYWA@T ODNORODNYM ) ESTX BESKONE^NAQ SISTEMA LINEJNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ . rAZNOSTNYE URAWNENIQ ^ASTO WOZNIKA@T KAK DISKRETNYE PRIBLIVENIQ DIFFERENCIALXNYH, KOGDA FUNKCII ZAMENQ@T POSLEDOWATELXNOSTQMI IH ZNA^ENIJ W (OBY^NO RAWNOOTSTOQ]IH) TO^KAH ^ISLOWOJ OSI. nAPRIMER, SOOTWETSTWU@]IM RAZNOSTNYM URAWNENIEM (ODNORODNYM ) DLQ URAWNENIQ KOLEBANIQ MAQTNIKA x$ + !2 x =0 BUDET xn+2 ;2xn+1 +xn + !2x =0, ILI x + (h2 !2 ; 2)x + x = 0, n+1 n+2 n+1 n h2 GDE xn = x(nh) n = 0 1 2 : : : , | ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII PRI t = 0 h 2h 3h : : : 1
342
NOSTX fxng = x0 x1 x2 : : : , UDOWLETWORQ@]U@ DANNOMU RAZNOSTNOMU URAWNENI@ I IME@]U@ W KA^ESTWE NA^ALXNYH k \LEMENTOW ( x0 : : : xk;1) ZADANNYE k ^ISEL. tO, ^TO REENIE \TOJ ZADA^I (POSLEDOWATELXNOSTX fxng S \TIMI SWOJSTWAMI) SU]ESTWUET I QWLQETSQ EDINSTWENNYM , NAPRQMU@ WYTEKAET IZ WOZMOVNOSTI WY^ISLENIQ \LEMENTOW POSLEDOWATELXNOSTI fxng, NA^INAQ S xk , PO k PREDYDU]IM. iNTERES VE PREDSTAWLQET POLU^ENIE OB]EJ FORMULY \TIH \LEMENTOW. k ZADA^E kOI DLQ LINEJNOGO ODNORODNOGO RAZNOSTNOGO yRAWNENIQ (2-GO PORQDKA) PRIWODIT SLEDU@]AQ \zADA^A O KROLIKAH" IZ \kNIGI ABAKA" (\Liber abaci")1 ITALXQNSKOGO MATEMATIKA lEONARDO pIZANSKOGO, ILI fIBONA^^I2 w PERWYJ DENX QNWARQ W ZAGON POME]A@T PARU KROLIKOW, KOTORYE PROIZWODQT NOWU@ PARU KROLIKOW W PERWYJ DENX FEWRALQ I ZATEM W PERWYJ DENX KAVDOGO SLEDU@]EGO MESQCA. kAVDAQ NOWOROVDENNAQ PARA STANOWITSQ ZRELOJ UVE ^EREZ MESQC I ZATEM ^EREZ MESQC DAET VIZNX NOWOJ PARE KROLIKOW. sKOLXKO PAR KROLIKOW BUDET W ZAGONE ^EREZ GOD, T. E. ^EREZ 12 MESQCEW S NA^ALA RAZMNOVENIQ? oBOZNA^AQ xn n = 0 1 : : : 12, ^ISLO PAR KROLIKOW (ZRELYH) W PERWYJ DENX n-GO MESQCA (S^ITAQ x0 = 0), PRIHODQT K ZADA^E kOI DLQ ODNORODNOGO RAZNOSTNOGO URAWNENIQ 3 xn+2; xn+1; xn = 0 S NA^ALXNYMI USLOWIQMI x0 =0 x1 =1. pOSKOLXKU PREOBRAZOWANIE lAPLASA K POSLEDOWATELXNOSTQM NAPRQMU@ NE PRIMENIMO, EGO PRIWLE^ENIE K REENI@ 1 lAT. abacus | S^ETNAQ DOSKA W \TOJ WPERWYE WYEDEJ W 1202 G.
RUKOPISNOJ KNIGE BYLI IZLOVENY DOSTIVENIQ ARABSKIH MATEMATIKOW, I S NEE NA^ALSQ PEREHOD W eWROPE OT RIMSKIH CIFR K ARABSKIM. 2 Leonardo Pisano (Fibonacci | ZNA^IT SYN bONA^^O ) RODILSQ MEVDU 1170 I 1180 GG., UMER NE RANEE 1240 G. o EGO VIZNI, EGO WREMENI, EGO PUTEESTWIQH I KNIGAH O^ENX INTERESNO NAPISANO W 34]. 3 oB OGRANI^ENII n 6 12, RAZUMEETSQ, MOVNO ZABYTX.
343
RAZNOSTNYH URAWNENIJ ORGANIZU@T SLEDU@]IM OBRAZOM. oT POSLEDOWATELXNOSTEJ fxng = x0 x1 x2 : : : PEREHODQT K STUPEN^ATYM FUNKCIQM 8 > 0 ESLI t< 0 > > > > > <x0 ESLI 0 6 t< 1 def xe(t) = >x1 ESLI 1 6 t< 2 > > x2 ESLI 2 6 t< 3 > > >
:
I UVE K NIM, PREDPOLAGAQ, ^TO ONI QWLQ@TSQ ORIGINALAMI (XIX , c. 310)1 PRIMENQ@T PREOBRAZOWANIE lAPLASA : +R1 nR+1 xe(t) : Xe (p) = xe(t) e;pt dt =n!lim xe(t) e;ptdt = +1 0
0
;ptdt + x1 e;ptdt + + nR+1xn e; ptdt = =n!lim x e 0 +1 0 1 n 1 ;np ; ; p 1;e x + x e;p + + x e;np = 1;e;p +P =n!lim xn e . 0 1 n p +1 p R1
R2
n=0
oPUSKAQ OB]IJ DLQ IZOBRAVENIJ TAKIH STUPEN^ATYH ;p 1 ; e FUNKCIJ MNOVITELX p , OPREDELQ@T DISKRETNOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI fxng: fxng :D +P1xn e;np = x0 + x1e;p +x2 e;2p + x3 e;3p + , n=0
WOSPRINIMAQ EGO ISKL@^ITELXNO KAK SOKRA]ENNU@ ZAPISX OBY^NOGO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA SOOTWETSTWU@]EJ STUPEN^ATOJ FUNKCII 2. a \TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TO DLQ NEKOTOROGO ^ISLA WYPOLNQETSQ OCENKA xn = O(en ). 2 w OBOZNA^ENII ep = z DISKRETNOE PREOBRAZOWANIE lAPLaSA NAZYWA@T E]E Z -PREOBRAZOWANIEM . pODROBNEE OB \TOM | U g. d$E^A 6]. 1
344 nEKOTORYE, WPRO^EM, PREDPO^ITA@T OPERIROWATX DISKRETNYM PREOBRAZOWANIEM lAPLASA KAK OBY^NYM (INTEGRALXNYM), NO TOLXKO NE POSLEDOWATELXNOSTI fxng, A OBOB]ENNOJ FUNKCII (PSEWDOFUNKCII , RAS+ 1 P PREDELENIQ ) x (t) = xn (t ; n), GDE (t) | TAK NAZYWAEMAQ \DELXTA n=0 - FUNKCIQ" dIRAKA1 SO SLEDU@]IM FORMALXNYM PRAWILOM INTEGRIRO+R1 WANIQ EE PROIZWEDENIQ S \OBY^NOJ" FUNKCIEJ: f (t) (t ; a) dt = f (a). ;1 wWIDU \TOGO SWOJSTWA FORMALXNO +R1 + 1 + 1 D P P x (t) : xn (t ; n) e;ptdt = xn e;np fxng. n=0 0 n=0 pODROBNO OB \TOM PODHODE MOVNO PRO^ITATX U g. bREMERMANA 1].
tAK KAK PRI Re p > ln jqj +P 1 n ;np 1 , q e = 1+ qe;p +(qe;p)2 +(qe;p)3 + = 1;qe ;p n=0 SPRAWEDLIWA SLEDU@]AQ FORMULA DISKRETNOGO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA GEOMETRI^ESKOJ PROGRESSII : fqng :D +P1qn e;np = epe;p q . n=0
hOROIJ PRIMER PRIMENENIQ DISKRETNOGO PREOBRAZOWANIQ lAPLASA | OTYSKANIE FORMULY ^ISEL fIBONA^^I 2, T. E. REENIE RAZNOSTNOGO URAWNENIQ xn+2 ; xn+1 ; xn = 0 S NA^ALXNYMI USLOWIQMI x0 =0 x1 =1 (c. 342). pOLAGAQ fxng :D X (p) def= x0 + x1e;p + x2e;2p + x3e;3p + , MOVNO PRIJTI K SOOTNOENIQM hOTQ PRINQTO S^ITATX, ^TO EE WWEL ANGLIJSKIJ FIZIK dIRAK (TO^NEE, dIR\K Dirac Paul Adrien Maurice, 1902{1984), \TOJ \FUNKCIEJ" OPERIROWALI I DO NEGO | NAPRIMER, kOI W OPUBLIKOWANNOM W 1827 G. MEMUARE O RASPROSTRENENII WOLN (\Theorie de la propogation des ondes") 28], ser. I, t. I, p. 5{318 (KONKRETNO NA S. 28{29, 61, 63). 2 1 1 2 3 5 8 13 21 : : : (x = x = 1, A KAVDOE SLEDU@]EE ESTX 1 2 SUMMA DWUH PREDYDU]IH). 1
345
fxn+1g :D x1 + x2 e;p + x3 e;2p + x4 e;3p + = (X (p) ;x0)ep, fxn+2g :D x2 + x3e;p + x4e;2p + = (X (p); x0 ; x1e;p)e2p, TAK ^TO PEREHOD W RAZNOSTNOM URAWNENII xn+2;xn+1;xn = 0 K IZOBRAVENIQM (S U^ETOM NA^ALXNYH USLOWIJ x0 =0 x1 =1) PRIWODIT K URAWNENI@ (X(p) ; e;p)e2 p ; Xp (p)ep ; X(p) = 0, REENIEM KOTOROGO QWLQETSQ X (p) = e p;eep;1 . wOSSTANOWITX PO \TOMU REENI@ SAMU POSLEDOWATELXNOSTX fxng PRO]E 1 2
WSEGO PUTEM RAZLOVENIQ DROBI e2 p;ep;1 NA PROSTYE:
1 1 1 1 e2 p ;ep;1 = (ep ;q1)(ep ;q2) = q1 ;q2 ep;q1 ; ep ;q2 , A SLEDOWATELXNO, p ep = 1 ep ; ep , GDE q = 1 5 . 12 e2 p ;ep;1 q1 ;q2 ep;q1 ep ;q2 2 D p pOSKOLXKU fqng : epe;q , SLEDUET OKON^ATELXNYJ OTWET: p n p n xn = p15 1+2 5 ; 1;2 5 , n = 1 2 : : : | 1
TAK NAZYWAEMAQ FORMULA bIN E 1 ^ISEL fIBONA^^I .
kAK SLEDSTWIE, DLQ ^ISEL fIBONA^^I WYPOLNQETSQ (W PREDELE p PRI x 5;1 n ! +1) \BOVESTWENNAQ (ZOLOTAQ ) PROPORCIQ" 2 : xnn+1 n;! !+1 2 . uPRAVNENIQ. 1. nAJTI DISKRETNOE lAPLASA POSLE PREOBRAZOWANIE D ep DOWATELXNOSTI fng = 0 1 2 3 : : : oTWET: fng : (ep ;1)2 . 2. nAJTI FORMULU OB]EGO \LEMENTA POSLEDOWATELXNOSTI fxng, OPRExn +xn+1 (PRI PROIZWOLXNYH x I x ). 0 1 DELQEMOJ SOOTNOENIEM xn+2 = 2 x x 0 +2x1 n 0 ;x1 oTWET: xn = 3 +(;1) 32n;1 . Binet, Jacques (1786{1856) | FRANCUZSKIJ ASTRONOM I MATEMATIK. mENXAQ ^ASTX TAK OTNOSITSQ K BOLXEJ, KAK BOLXAQ K CELOMU. bOVESTWENNOJ NAZWAL \TU PROPORCI@ ITALXQNSKIJ MATEMATIK pA^OLI (Pacioli, Luca, 1445{1515) W KNIGE 41], WPERWYE WYEDEJ W 1509 G. S ILL@STRACIQMI PRIQTELQ pA^OLI | lEONARDO DA wIN^I (1452{1519). 1 2
346
pRILOVENIE. bUKWY DREWNEGRE^ESKOGO PISXMA
nAPISANIE
nAZWANIE
pEREDAWAEMYJ ZWUK
A ALXFA B BETA ; GAMMA %
DELXTA E " \ PSILON Z DZETA H \TA & TETA I IOTA K KAPPA ' LAMBDA M M@ (MI) N N@ (NI) ( KSI O o o MIKRON ) PI P RO * & (W KONCE SLOWA) SIGMA T TAU + I PSILON ' FI X HI , PSI - ! O MEGA
T] (S PRIDYHANIEM) I] K] L] M] N] KS] o] (KRATKOE) P] R] c] T] MEVDU I] I U] F] x] PS] o] (DOLGOE)
(" & | BOLXOJ, o& | MALYJ, o&
| GOLYJ, KRATKIJ)
a] B] G] D]
e] (KRATKOE) DZ] e] (DOLGOE)
347
sPISOK CITIROWANNOJ LITERATURY1 1. bREMERMAN g.
rASPREDELENIQ, KOMPLEKSNYE PEREMENNYE I PREOBRAZOWANIQ fURXE. m.: mIR, 1968. 2. gARDI g. iNTEGRIROWANIE \LEMENTARNYH FUNKCIJ. m.{ l.: onti, 1935.2 3. gILXBERT d., kON-fOSSEN s. nAGLQDNAQ GEOMETRIQ. M.: nAUKA, 1981.
4. gURWIC a.
tEORIQ ANALITI^ESKIH I \LLIPTI^ESKIH FUNKCIJ. m.{ l.: gtti, 1933.2 5. gURSA |. kURS MATEMATI^ESKOGO ANALIZA. t. II. m.{ l.: onti,
1936.2 6. dE^ g. rUKOWODSTWO K PRAKTI^ESKOMU PRIMENENI@ PREOBRAZOWANIQ lAPLASA. m.: nAUKA, 1965. 7. kARATEODORI k. kONFORMNOE OTOBRAVENIE. m.{ l.: onti, 1934.2 8. kARTAN a. |LEMENTARNAQ TEORIQ FUNKCIJ ODNOGO I NESKOLXKIH KOMPLEKSNYH PEREMENNYH. m.: il., 1963. 9. kOLXMAN |. bERNARD bOLXCANO. m.: iZD-WO an sssr, 1955. 10. kURANT r. gEOMETRI^ESKAQ TEORIQ FUNKCIJ KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ. m.{ l.: onti, 1934. 11. lAWRENTXEW m. a., {ABAT b. w. mETODY TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. m.{ l.: gittl, 1951. 12. mARKUEWI^ a. i. tEORIQ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ. m.{ l.: gittl, 1950. 13. mATWIEWSKAQ g. p. o^ERKI ISTORII TRIGONOMETRII. tAKENT: \fan", 1990.2 14. oKUNEW l. q. wYSAQ ALGEBRA. m.{ l.: gittl, 1949. 1 pOMIMO PRIWEDENNOJ W TEKSTE. dLQ SRAWNITELXNO REDKIH I ZARUBEVNYH IZDANIJ UKAZANO, GDE IH MOVNO NAJTI. 2 iMEETSQ W rOSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE.
348 15. rIMAN b. sO^INENIQ. m.{ l.: gittl, 1948. 16. tIT^MAR e. tEORIQ FUNKCIJ. m.{ l.: gittl, 1951. 17. fIHTENGOLXC g.m. kURS DIFFERENCIALXNOGO I INTEGRALXNO-
GO IS^ISLENIQ. t. III. m.: nAUKA, 1966. 18. fORD l. r. aWTOMORFNYE FUNKCII. m.{ l.: onti, 1936.1 19. |JLER l. wWEDENIE W ANALIZ BESKONE^NO MALYH. t. 1. m.{ l.: onti, 1936. 20. |JLER l. tRI STATXI PO MATEMATI^ESKOJ KARTOGRAFII. m.: gEODEZIZDAT, 1959.1
21. Argand R. Essai sur une maniere de representer les quantites
imaginaires dans les constructions geometriques. 2-me edition. Paris, 1874.1 22. Borel E. Lecons sur les fonctions monogenes uniformes d'une variable complexe. Paris, 1917.1 23. Briot et Bouquet. Theorie des fonctions elliptiques. 2-me edition. Paris, 1875.1 24. Carson J.R. Electric circuit theory and the operational calculus. New York{London, 1926.1 25. Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. V. I. Pavia, 1868.1 ,2 cole Royale Polytechnique. 26. Cauchy A.-L. Cours d'Analyse de l'E 2 Paris, 1821. 27. Cauchy A.-L. Memoire sur les integrales de!nies. Paris, 1825.1 28. Cauchy A.-L. "uvres completes. Ser. I { II. Paris, 1887{1974.1 ,2 29. da Cunha J.-A. Principes mathematiques. Bordeaux, 1811.1 30. Descartes R. La geometrie (nouvelle edition). Paris, 1927.2 31. Euler L. Opera omnia, series prima. V. VI. Lipsiae et Berolini, 1921.1 1 iMEETSQ W rOSSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE. 2 iMEETSQ W BIBLIOTEKE MEH.- MAT. F -TA mgu.
349 32. Euler L. Opera omnia, series prima. V. XIX. Turici, 1932.1 33. Gauss C. F. Werke. Gottingen, 1863{1933.2 34. Gies J., Gies F. Leonard of Pisa and the new mathematics of
the middle ages. New York, 1969.1 35. Hamilton W.R. Lectures on quaternions. London{Cambridge, 1853.2 36. Heaviside O. Electromagnetic theory. V. II. London, 1899.1 37. Lagrange. Theorie des fonctions analytiques. Paris, 1813.1 ,2 38. Maclaurin C. A treatise of #uxions. Edinburgh, 1742.2 39. Neumann C. Vorlesungen uber Riemann's Theorie der abelschen Integrale. Leipzig, 1865.1 40. Ore O. Cardano the gambling scholar. Prinston, N.-J., 1953.1 41. Pacioli L. De divina proportione. Milano, 1956.1 42. Scott J.F. The mathematical work of John Wallis. New York, 1981.1 43. Weierstrass K. Mathematische Werke. Berlin, 1894{1927.2 44. Wessel C. On the Analytical Representation of Direction. An Attempt Applied Chie#y to Solving Plane and Spherical Polygons. Copenhagen, 1999.2
1 2
iMEETSQ W rOSSIJSKOJ GOSUDARSTWENNOJ BIBLIOTEKE. iMEETSQ W BIBLIOTEKE MEH.- MAT. F -TA mgu.
350
pREDMETNYJ UKAZATELX
aBELQ TEOREMA 41
aLGEBRAI^ESKAQ FUNKCIQ 52{53 aNALITI^ESKAQ FUNKCIQ 105 aNALITI^ESKOE PRODOLVENIE 202 aNALITI^NOSTX 106 aRGUMENT KOMPLEKSNOGO ^ISLA 15 bERNULLI ^ISLA 192 bESKONE^NO UDALENNAQ TO^KA (BESKONE^NOSTX) 22 bINE FORMULA 345 \bOVESTWENNAQ PROPORCIQ" 345 wEJERTRASSA TEOREMA O POSLEDOWATELXNOSTQH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ 174 ; (kAZORATI { sOHOCKOGO) TEOREMA 220 wERHNIJ PREDEL 27 wETWLENIE 69 wETWLENIQ TO^KA 62 wETWX (ODNOZNA^NAQ) 61 wOSSTANOWLENIE ANALITI^ESKOJ FUNKCII PO EE DEJSTWITELXNOJ (MNIMOJ) ^ASTI 113{115 wY^ET 229 gAMMA-FUNKCIQ 315 gARMONI^ESKAQ FUNKCIQ 115 gIDROMEHANI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ 83 gIPERBOLI^ESKIE KOSINUS I SINUS 38
gLAWNOE ZNA^ENIE INTEGRALA 251 gLADKAQ DUGA 117 ; ; ORIENTIROWANNAQ 121 gLADKOE SOEDINENIE DUG 120{121
gOLOMORFNOSTX 106 gRANICA OBLASTI 149 dELENIE STEPENNYH RQDOW 39 dELXTA - FUNKCIQ (dIRAKA) 344 dISKRETNOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA 343 dIFFERENCIROWANIE IZOBRAVENIQ 317
; ORIGINALA 316 dIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII 72 dROBNO -LINEJNAQ FUNKCIQ, OTOBRAVENIE 89 vORDANA LEMMA 248{249 ; SWOJSTWO 144 vUKOWSKOGO FUNKCIQ 100 zAPAZDYWANIE ORIGINALA 318 \zOLOTAQ PROPORCIQ" 345 iZOBRAVENIE (PO lAPLASU) 309 ; PERIODI^ESKOGO ORIGINALA 320 ; SWERTKI 321 iZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA 212 iNDEKS ZAMKNUTOGO KONTURA 138 iNTEGRAL WDOLX PUTI (KLASSA C 1 ) 127
; (TIPA) kOI 166{167 ; PO KUSO^NO -GLADKOMU KONTURU 127
; lAPLASA 309 ; |JLERA 2-GO RODA 315 iNTEGRALA OCENKA 133 iNTEGRALY fRENELQ 273 iNTEGRALXNAQ FORMULA kOI 165 kAZORATI { sOHOCKOGO { wEJERTRASSA TEOREMA 220
351 kARDANO FORMULA 12 kARTA mERKATORA 48 kOLXCO SHODIMOSTI (OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA) 29 kOMPLEKSNAQ PLOSKOSTX 5 ; ; KONE^NAQ, RASIRENNAQ 22 kOMPLEKSNYE ^ISLA 8, 10 kOMPLEKSNYJ POTENCIAL 85 kONTUR (KUSO^NO -GLADKIJ, GLADKIJ, ZAMKNUTYJ) 121 kONFORMNOSTX OTOBRAVENIQ 81 kORENX IZ KOMPLEKSNOGO ^ISLA 6, kOI INTEGRAL 166 ; TEOREMA 151 ; INTEGRALXNAQ FORMULA ; NERAWENSTWA DLQ KO\FFICIENTOW tEJLORA I lORANA 194 ; FORMULA DLQ PROIZWODNYH 172 kOI { aDAMARA TEOREMA 27 kO\FFICIENT LOKALXNOGO RASTQVENIQ 82 kRATNOSTX (PORQDOK) NULQ 198 kRITERIJ kOI SHODIMOSTI ^ISLOWOJ SLEDOWATELXNOSTI 18 ; ; ; ^ISLOWOGO RQDA 25{26 ; SU]ESTWOWANIQ PROIZWODNOJ 73 kRUG SHODIMOSTI (STEPENNOGO RQDA) 28 \kRUGOWOE" SWOJSTWO DROBNO -LINEJNYH OTOBRAVENIJ 92 kUSO^NO -GLADKIJ KONTUR 121 ; ; BEZ SAMOPERESE^ENIJ 123 ; ; ZAMKNUTYJ 121 lAPLASA INTEGRAL 309 ; PREOBRAZOWANIE 309 ; ; DISKRETNOE 343 lEMMA vORDANA 248{249 ; O PROIZWODNOJ INTEGRALA PO
PARAMETRU 169 ; O SU]ESTWOWANII PERWOOBRAZNOJ 159{160 ; OB INTEGRALAH PO ZAMKNUTYM LOMANYM 157 ; OB INTEGRALE PO TREUGOLXNIKU 154
; {WARCA 306 lEMMY OB INTEGRALAH PO DUGAM OKRUVNOSTEJ 247{249 lIUWILLQ TEOREMA 176, 197, 225 lOGARIFM 43 lOMANAQ (ORIENTIROWANNAQ) 123 lORANA RAZLOVENIE, RQD 187 ; TEOREMA 183 mAKLORENA RAZLOVENIE, RQD 187 mERKATORA PROEKCIQ, KARTA 48 mNIMAQ ^ASTX ^ISLA 14 mNIMYE ^ISLA 13 mNOGOZNA^NAQ FUNKCIQ 45, 59 ; PERWOOBRAZNAQ 135 mNOVESTWO ZAMKNUTOE 126 ; LINEJNO SWQZNOE 109 ; OTKRYTOE 107 ; SWQZNOE ; SHODIMOSTI RQDA 26 ; TO^EK KONTURA 126 mODULX KOMPLEKSNOGO ^ISLA 15 mONOGENNOSTX 106 mORERY TEOREMA 173 mUAWRA FORMULA 15{16 nEIZOLIROWANNAQ OSOBAQ TO^KA 212 nEKASATELXNOE STREMLENIE K EDINI^NOJ OKRUVNOSTI 41 nEPODWIVNAQ TO^KA DROBNO -LINEJNOGO OTOBRAVENIQ 90 nEPRERYWNOSTX FUNKCII 19 nERAWENSTWA kOI DLQ KO\FFICI-
352 ENTOW tEJLORA I lORANA 194 ; TREUGOLXNIKA 17 nULI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ 198 oBLASTX 107 ; WNENQQ, WNUTRENNQQ 144 ; ZWEZDNAQ 162 ; ODNOSWQZNAQ 149 oBOB]ENNYJ STEPENNOJ RQD 29 oBRAZ TO^KI, MNOVESTWA 285 oGRANI^ENNOSTX FUNKCII 19 oDNOZNA^NYE WETWI 61 ; ; ARGUMENTA 65 ; ; LOGARIFMA, STEPENI 68 oKRESTNOSTX TO^KI 18 ; BESKONE^NOSTI 23 oRIGINAL 309 oRIENTIROWANNAQ GLADKAQ DUGA 121 ; LOMANAQ 123 oSOBAQ TO^KA (ANALITI^ESKOJ FUNKCII) 209 ; ; IZOLIROWANNAQ, NEIZOLIROWANNAQ 212 ; ; SU]ESTWENNO OSOBAQ 213, 220 ; ; USTRANIMAQ 209, 213, 216 oTOBRAVENIE 78, 285 ; DROBNO -LINEJNOE 89 ; KONFORMNOE 81{82 oCENKA INTEGRALA PO KONTURU 133 pERWOOBRAZNAQ 133 pEREDATO^NAQ FUNKCIQ 337 pIKARA TEOREMA 221 pLOSKOSTX KOMPLEKSNAQ 5 ; ; RASIRENNAQ 22 pOKAZATELX ROSTA ORIGINALA 311 pOL@S (FUNKCII) 213{216, 218 pOLQRNAQ (TRIGONOMETRI^ESKAQ) FORMA KOMPLEKSNOGO ^ISLA 15 pOSTOQNSTWO RASTQVENIQ 82
pORQDOK POL@SA 214 pOTENCIALXNAQ FUNKCIQ 84 pRAWILXNAQ TO^KA 211 pREDEL (FUNKCII) 18{19 pREOBRAZOWANIE lAPLASA 309 ; ; DISKRETNOE 343 pRINCIP ARGUMENTA 275 ; LOKALXNOJ ODNOLISTNOSTI 289 ; MAKSIMUMA MODULQ 288 ; NEPRERYWNOGO PRODOLVENIQ 292 ; SIMMETRII (rIMANA {{WARCA) 295
; SOOTWETSTWIQ GRANIC 291 ; SOHRANENIQ OBLASTI 286 pROEKCIQ mERKATORA 48 pROIZWODNAQ ODNOZNA^NYH WETWEJ LOGARIFMA, STEPENI 78 ; SUMMY OBOB]ENNOGO STEPENNOGO RQDA 72 ; SUMMY STEPENNOGO RQDA 29 ; FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ 71 pUTX (NA PLOSKOSTI C ) 107, 124 ; KLASSA C 1 124 ; OBHODA KONTURA 124 rAWNOMERNAQ NEPRERYWNOSTX (FUNKCII NA MNOVESTWE) 19 rAZLOVENIE MEROMORFNYH FUNKCIJ W RQDY PROSTYH DROBEJ 238 ; PRAWILXNOJ RACIONALXNOJ DROBI NA PROSTYE ; tEJLORA (mAKLORENA), lORANA 187
rAZNOSTNOE URAWNENIE 341 rASIRENNAQ KOMPLEKSNAQ PLOSKOSTX 22 rEGULQRNOSTX 106 rIMANA TEOREMA 308
353 rIMANOWA POWERHNOSTX 59, 300 ; ; ARGUMENTA, LOGARIFMA 60{61 ; ; KORNQ n-J STEPENI 63{64 ; ; OBRATNOJ K FUNKCII vUKOWSKOGO 70 rUE TEOREMA 278 rQD, EGO ^ASTI^NYE SUMMY, SHODIMOSTX, SUMMA 25 ; ; SUMMIROWANIE PO aBEL@ 42 ; lORANA 187 ; ; EGO GLAWNAQ I PRAWILXNAQ ^ASTI 213 ; tEJLORA (mAKLORENA) 33, 187 sWERTKA FUNKCIJ 321 sWOJSTWO EDINSTWENNOSTI RAZLOVENIJ tEJLORA I lORANA 188 ; vORDANA 144 ; IZOLIROWANNOSTI NULEJ ANALITI^ESKIH FUNKCIJ 200 ; KONFORMNOSTI 81 ; ; DROBNO -LINEJNOGO OTOBRAVENIQ 92 ; LINEJNOSTI PREOBRAZOWANIQ lAPLASA 315 ; PODOBIQ 318 ; SOHRANENIQ SIMMETRII (DROBNO -LINEJNOuj OTOBRAVENIQ 94 sWQZNOE MNOVESTWO 109 sISTEMA KOMPLEKSNYH ^ISEL 10 sOPRQVENNYE GARMONI^ESKIE FUNKCII 116 ; ^ISLA 17 sOHOCKOGO (kAZORATI { wEJERTRASSA) TEOREMA 220 sOHRANENIE UGLOW 81 sTEPENNOJ RQD 26 sTEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ 21 sUMMIRUEMOSTX RQDA PO aBEL@ 42
sU]ESTWENNO OSOBAQ TO^KA 213{215, 220
sFERA rIMANA (nEJMANA) 22 sHODIMOSTX POSLEDOWATELXNOSTI 18 ; ; FUNKCIJ, RAWNOMERNAQ WNUTRI OBLASTI 174 ; RQDA 25 tEJLORA RAZLOVENIE, RQD 187 ; TEOREMA 183, 195 tEOREMA aBELQ 41 ; ANALITI^NOSTI IZOBRAVENIQ 313 ; wEJERTRASSA O POSLEDOWATELXNOSTQH ANALITI^ESKIH FUNKCIJ 174 ; EDINSTWENNOSTI 201 ; ; OTOBRAVENIQ 305 ; kAZORATI { sOHOCKOGO { wEJERTRASSA 220 ; kOI 151 ; ; DLQ KOLXCA 178 ; ; O PEREMNOVENII RQDOW 34 ; ; OB INTEGRALE PO GRANICE ZWEZDNOJ OBLASTI 162 ; kOI { aDAMARA 27 ; lORANA 183 ; lIUWILLQ 176, 197, 225 ; mORERY 173 ; O WY^ETAH 233 ; O DELENII STEPENNYH RQDOW 39 ; O PEREMNOVENII STEPENNYH RQDOW 34 ; O PODSTANOWKE STEPENNOGO RQDA W STEPENNOJ RQD 38 ; O PROIZWODNOJ SUMMY STEPENNOGO RQDA 29 ; O PROIZWODNYH ANALITI^ESKOJ FUNKCII 172 ; O PROIZWODNYH INTEGRALA kO-
354 fORMULA bINE 345 I 168 ; O RAZLOVENII PRAWILXNOJ RA- ; kARDANO 12 CIONALXNOJ DROBI NA PROSTYE ; kOI DLQ PROIZWODNYH 172 ; mUAWRA 15{16 225 ; O SU]ESTWOWANII KORNQ U MNO- ; nX@ TONA { lEJBNICA 133 ; |JLERA 37 GO^LENA 197, 225 fRENELQ INTEGRALY 273 ; OB OBRATNOJ FUNKCII 302 ; OB OBRA]ENII PREOBRAZOWANIQ fROBENIUSA TEOREMA 6 fUNKCIQ ALGEBRAI^ESKAQ 52{53 lAPLASA 323 ; ANALITI^ESKAQ 105 ; pIKARA 221 ; GARMONI^ESKAQ 115 ; ; \BOLXAQ", \MALAQ" 222 ; ; SOPRQVENNAQ 116 ; rIMANA 308 ; GOLOMORFNAQ 105{106 ; rUE 278 ; SU]ESTWOWANIQ IZOBRAVENIQ 311 ; DROBNO { LINEJNAQ 52, 89 ; vUKOWSKOGO 100 ; tEJLORA 180, 195 ; LINEJNAQ 52, 89 ; fROBENIUSA 6 ; LOGARIFMI^ESKAQ 43 tEOREMY RAZLOVENIQ 327 ; MEROMORFNAQ 238 tO^KA WETWLENIQ MNOGOZNA^NOJ ; MONOGENNAQ 105 FUNKCII 62 ; MONODROMNAQ 105 ; ; KORNQ n-J STEPENI 63 ; OBRATNAQ 302 ; ; ARGUMENTA 66 ; NEPODWIVNAQ (DROBNO { LINEJ- ; ODNOLISTNAQ 286 ; PEREDATO^NAQ 337 NOGO OTOBRAVENIQ) 90 ; OSOBAQ (ANALITI^ESKOJ FUNK- ; RACIONALXNAQ 52 ; REGULQRNAQ 105 CII) 209 ; SINEKTI^ESKAQ 105 ; ; IZOLIROWANNAQ 212 ; STEPENNAQ 54 ; ; NEIZOLIROWANNAQ 212 ; TOKA 84 ; ; USTRANIMAQ 209, 213{216 ; SU]ESTWENNO OSOBAQ 213{215, ; TRANSCENDENTNAQ 53 ; CELAQ 105 220 RACIONALXNAQ 52 uSLOWIQ kOI { rIMANA (D'aLAM- ;; ;\KSPONENCIALXNAQ 36 BERA { |JLERA) 73{74 ; \LEMENTARNAQ 51 ; ; W POLQRNYH KOORDINATAH 77 uSLOWIQ POSTOQNSTWA ANALITI^ES- ~ISLA bERNULLI 192 ; KOMPLEKSNYE 8{10 KOJ FUNKCII W OBLASTI 112 ; MNIMYE, ^ISTO MNIMYE 13 uSTRANIMAQ OSOBAQ TO^KA 209, ; SOPRQVENNYE 17 213{216 ; fIBONA^^I 344 fIBONA^^I ^ISLA 344
355
oGLAWLENIE pREDISLOWIE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 I. ~TO NAZYWA@T KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTX@ I W ^EM EE OTLI^IE OT DEJSTWITELXNOJ : : : : : : : : : : : : : : 5 II. kAK OPERIRU@T SO STEPENNYMI RQDAMI : : : : : : : : : : : : : 25 III. kAKIE FUNKCII NAZYWA@T \LEMENTARNYMI I PO^EMU SREDI NIH ESTX MNOGOZNA^NYE : : : : : : : : : : : : 43 IV. ~TO NAZYWA@T ODNOZNA^NYMI WETWQMI I TO^KAMI WETWLENIQ MNOGOZNA^NYH FUNKCIJ : : : : : : 59 V. w ^EM SUTX PONQTIQ PROIZWODNOJ FUNKCII KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :71 VI. kAKIMI SWOJSTWAMI OBLADA@T OTOBRAVENIQ DROBNO -LINEJNYMI FUNKCIQMI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 89 VII. kAKIE MNOVESTWA NA PLOSKOSTI C NAZYWA@T OBLASTQMI, A FUNKCII | ANALITI^ESKIMI: : : : : : : : :105 VIII. kAK WWODITSQ INTEGRAL PO KOMPLEKSNOJ PEREMENNOJ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 117 IX. ~TO NAZYWA@T INDEKSOM ZAMKNUTOGO KONTURA I NA ^TO ON UKAZYWAET : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 135 X. kAKU@ OBLASTX NAZYWA@T ODNOSWQZNOJ I ^TO UTWERVDAET TEOREMA kOI : : : : : : : : : : : : : : : : : 149 XI. ~TO WYRAVAET INTEGRALXNAQ FORMULA kOI I KAKOWY SWOJSTWA INTEGRALA kOI : : : : : : : : : : : : : : : 165 XII. kAK OPERIRU@T TEOREMOJ I INTEGRALXNOJ FORMULOJ kOI I ^TO UTWERVDA@T TEOREMY tEJLORA I lORANA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 177 XIII. ~TO SLEDUET IZ TEOREMY tEJLORA : : : : : : : : : : : : : : : : : : 195 XIV. kAK WYDELQ@T I KLASSIFICIRU@T OSOBYE TO^KI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 209
356
~TO NAZYWA@T WY^ETAMI ANALITI^ESKIH FUNKCIJ I KAK IMI OPERIRU@T : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 229 XVI. kAK, PRIMENQQ WY^ETY, WY^ISLQ@T INTEGRALY PO NEZAMKNUTYM KONTURAM : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 247 XVII. w ^EM SOSTOIT PRINCIP ARGUMENTA I ^TO UTWERVDAET TEOREMA rUE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 275 XVIII. kAKIE OB]IE PRINCIPY SWOJSTWENNY OTOBRAVENIQM ANALITI^ESKIMI FUNKCIQMI : : : : : : : : : 285 XIX. ~TO TAKOE PREOBRAZOWANIE lAPLASA I KAKOWY EGO SWOJSTWA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 309 XX. kAK OPERIRU@T PREOBRAZOWANIEM lAPLASA : : : : : : : : : : : : 331 pRILOVENIE. bUKWY DREWNEGRE^ESKOGO PISXMA : : : : : : : :346 sPISOK CITIROWANNOJ LITERATURY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 347 pREDMETNYJ UKAZATELX : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 350 XV.