Алгебра и логика, 42, N 6 (2003), 641—654
УДК 517.11:518.5
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ПРОЦЕССА Е. В. ГАЙЛИТ
В этой с...
5 downloads
174 Views
175KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Алгебра и логика, 42, N 6 (2003), 641—654
УДК 517.11:518.5
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ПРОЦЕССА Е. В. ГАЙЛИТ
В этой статье продолжаются начатые в [1, 2] исследования по машино-оракульному моделированию арифметики второго порядка. Описанный в указанных работах пульсирующий процесс моделируется с помощью оракулов так называемых автономных иерархий, в результате чего строится обобщенно конструктивная модель для фрагмента арифметики второго порядка [1]. Предполагается знакомство читателя с понятием вычислимости с частичными оракулами, все необходимые сведения содержатся в [3]. § 1. В качестве оракулов рассматриваются частичные числовые функции; если оракул не дает ответа, говорят, что машина застревает [3]. F вычислимость числовых функций и F -разрешимость числовых множеств определяются обычным образом; F -перечислимые множества — это области определения F -вычислимых функций. Напомним некоторые понятия и обозначения. Через B∗ (F ) обозначается множество геделевских номеров всех машин, вычисляющих с оракулом F всюду определенные функции (F -кодов этих функций), через T (F ) — множество F -кодов F -вычислимых деревьев с обрывом цепей. Для z ∈ T (F ) высоту соответствующего дерева обозначим |z|F (или просто |z|), супремум |z| — через |T (F )|.
c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003
642
Е. В. Гайлит Назовем F регулярным оракулом, если существует F -вычислимая
процедура, выделяющая элемент из каждого непустого F -перечислимого множества (равномерно по его F -коду). Машину, осуществляющую данную процедуру (или код этой машины), назовем регулятором оракула F . Нас интересуют регулярные оракулы с F -перечислимым множеством T (F ). Известно, что с такими оракулами вычислим функционал E (джамп): E(β) =
0, 1
если ∃t (β(t) = 0), в противном случае.
Вычислимость здесь понимается в том смысле, что значения E(β) F вычислимы для всех тотальных F -вычислимых β равномерно по их B∗ (F )кодам (аналогично определяется вычислимость любого функционала типа 2). Нам понадобится также функционал E1 (гипер-джамп): 0, если ∀η ∃t (β(η(t)) = 0), E1 (β) = 1 в противном случае, где η(t) = hη(0), . . . , η(t − 1)i. Если оракул F вычисляет E1 , то обрыв всех F -вычислимых цепей в некотором F -вычислимом дереве влечет обрыв всех цепей. Обозначим через Hβ,G (где β — тотальная функция, а G — функционал типа 2) оракул, который (при некотором естественном кодировании задаваемых ему вопросов) представляет минимальную частичную функцию такую, что β и G вычислимы с этим оракулом. Следуя [3], назовем Hβ,G клиниевским оракулом, релятивизованным к β, G. Определим функционал
E2 (β) =
0, 1
если β(0) принадлежит графику оракула Hβ,E1 , в противном случае.
Основным инструментом будет итерированная клиниевская вычислимость относительно функционалов G типа 2 (см. [4]), где в качестве G будут использоваться функционалы E1 и E2 . Соответствующие оракулы
643
Моделирование пульсирующего процесса
τ , τ 6 |ν|, где ν — ординальбудем обозначать, как правило, через Hν,G
ная нумерация (вообще говоря, многозначная), |ν| — ее длина, ν ↾ τ — начальный отрезок ν длины τ . Каждый такой оракул вычисляет функционал G (в том же смысле, что и клиниевский), т. е. является обобщением τ клиниевского оракула, отличие состоит в том, что Hν,G умеет разрешать σ (σ < τ ) равномерно предыдущие номерные множества Nνσ и графики Hν,G
по ν-номерам σ. Используя прием из [5] (см. также [4]), можно добиться, чтобы все оракулы стали регулярными. В дальнейшем это будет подразумеваться. Для сокращения записи итерированные клиниевские оракулы, релятивизованные к E1 , обозначаем Hντ , а оракулы, релятивизованные к E2 , — через Fντ . |ν|
Оракул Hν,G назовем замыкающим. Ординал τ 6 |ν| называется S ∗ σ τ ) = точкой насыщения ν относительно G, если B∗ (Hν,G B (Hν,G ). σ 0, а w — машина такая, что для каждого τ +n очередного τ его ν-номер вычисляется посредством w с оракулом Hν↾τ,G ,
который определяется следующим образом. Предполагается, что числа от 0 до n − 1 не присутствуют в нумерации ν и на шаге τ используются в τ +n качестве ”временных“ номеров для продолжения ν ↾ τ на n шагов; Hν↾τ,G
является замыкающим оракулом такой продолженной нумерации. Эффективность нумераций, построенных указанным способом, доказана в [6]. Наряду с автономными нумерациями нам понадобятся суперавтономные [7], отличие которых состоит в том, что иногда для порождения ν-номера τ разрешается пользоваться бесконечной экстраполяцией, т. е. нумерацию ν ↾ τ приходится продолжать на какое-то бесконечное число шагов, при этом ”временные“ номера порождаются, в свою очередь, авто-
644
Е. В. Гайлит
номной процедурой. При соблюдении определенных условий в результате получается эффективная нумерация. Когда при построении генератора для автономной или суперавтономной нумерации речь идет о порождении ν-номеров точек ненасыщения S ∗ σ τ )\ τ , можно использовать некоторые z ∈ B∗ (Hν,G B (Hτ,G ) (например, σ