Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова

Ж.Ла-Салль, С.Лефшец ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА Книга представляет собой изложение основ теории устойчивости по Ляпунову и его прямого метода, доступное инженерам. Весь необходимый для чтения книги математический аппарат, выходящий за пределы программы технического вуза, приводится в первой ее главе. Излагая прямой метод Ляпунова, авторы широко используют геометрические интерпретации и приводят примеры приложения полученных результатов к теории автоматического регулирования. Книга содержит и весьма интересный новый материал по распространению метода Ляпунова. Книга предназначена для математиков и инженеров, занимающихся вопросами устойчивости и автоматического регулирования. Она может быть использована студентами в качестве учебного пособия при изучении теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости и теории автоматического регулирования. Содержание Предисловие редактора перевода 5 Предисловие авторов 7 Глава I. Геометрические понятия: векторы матрицы 9 § 1. Пространства, расстояния, векторы 9 § 2. Матрицы и определители 12 § 3. Векторы и матрицы; квадратичные формы 18 § 4. Немного геометрии 25 Глава II. Дифференциальные уравнения 30 § 5. Общие сведения 30 § 6. Общие соображения об устойчивости 38 § 7. Устойчивость в автономных системах 40 § 8. Специальный класс функции 44 § 9. Теоремы Ляпунова об устойчивости 48 § 10. Устойчивость и теоремы Ляпунова для неавтономных систем 53 § 11. Обращение теорем Ляпунова 54 § 12. Несколько примеров 55 § 13. Область асимптотической устойчивости 72 § 14. Устойчивость по отношению к постоянным возмущениям 91 Глава III. Приложение теории Ляпунова к задаче автоматического 94 регулирования § 15. Общие замечания о задаче автоматического регулирования 94 § 16. Построение специальной функции Ляпунова 99 § 17. Соотношение между матрицами В и С 101 § 18. Решение проблемы регулирования 106 § 19. Регулирование в случае, когда характеристических корней равны нулю 110 § 20. Расчет управления 114 § 21. Приложение к одному важному случаю 122 § 22. Общее регулирование 127 Глава IV. Развитие метода Ляпунова 130

§ 23. Конечное время определения; устойчивость по Лагранжу 130 § 24. Предельная ограниченность 142 § 25. Практическая устойчивость 147 § 26. Вынужденные колебания; стационарные режимы 155 Литература 160 Алфавитный указатель 162 Алфавитный указатель Дирихле 70 Абсолютная асимптотическая Диагональная матрица 14 устойчивость 99 Дифференциальное уравнение - устойчивость 99, 129 второго порядка 30 Автономная система 34 Дифференцирование матриц 18 Автономные уравнения 31 Длина вектора 10 Айзерман М. А. 129, 161 Дополнение множества 131 Алгебраическое дополнение 16 Евклидово пространство 10 k-предельное множество 74 Единичная матрица 14 Андронов А. А. 135 Единственность решений Антосевич Г. дифференциального уравнения Асимптотическая устойчивость в 31—33 целом 43, 99 Жорданова клетка 103 - - дополнение теоремы Ляпунова 77 - форма 103 - - положения равновесия 41 Замкнутое множество 27 - - теорема Ляпунова 49 Зубов В.И. 5 - - условие 94 Инвариантное множество 75 - - уточненный критерий 75 Интегральная кривая 33 Беллман Р. 8, 160 Интегрирование матриц 18 Биркгоф Г.Д. 73 Йошизава 6, 130, 156, 157 "Близость" состояний системы 10 Карачаров К.А. 148 Бэсс Р. Э. 94 Качественная теория Ван-дер-Поля уравнение 31, 79, 136, дифференциальных уравнений, 151 основная задача 7 Векторный параллелограмм 10 Квадратичная форма 22 Вектор-столбец 18 Коддингтон Э.А. 36 - строка 18 Колебания установившиеся 155 - функция 11 Компактное множество 28 Векторы 9 Коши О. 32 Витт A.A. 135 Коши—Липшица теорема 32 Время определения конечное 130 Красовский Н, И. 5, 55, 161 Второй метод Ляпунова 8 Критический случай Гантмахер Ф. Р. 48, 69, 103, 129, 160, (характеристические корни 161 обращаются в нуль) 63 Гиперсфера 26 Кронекера символ 15 Главная матрица решений 37 Курош А. Г. 48 Градиент 11 Лагранж 31, 70 Граница открытого множества 28

Лаплас 32 Ла-Салль Ж. 5, 6, 130, 157 Левинсон Н. 36 Летов А. М. 94, 161 Лефшец С. 5, 6, 36 Линеаризация правой части 35 Линейно независимые вектор решения 36 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 36 Лурье А. И. 94, 99, 161 Льенара уравнения 77, 87, 140, 146 Ляпунов А. М. 5, 7, 8, 71, 161 Ляпунова второй метод 8 - первый метод 8 - теоремы 49—51 - функция 45, 54 - - специальная 46, 100 Малкин И. Г. 5, 54, 63, 91, 94, 161 Малкина теорема об устойчивости при постоянных возмущениях 92 Мальцев А. И. 103, 160 Массера И. 156 Матрица 12 - диагональная 14 - дифференцирование 18 - единичная 14 - интегрирование 18 - квадратная 14 - невырожденная 16 - неособая 16 - нормальная жорданова форма 103 - обратная 16 - отрицательно определенная 24 - подобная 20 - положительно определенная 24 - порядка n 14 Матрица, составленная из алгебраических дополнений 16 - транспонированная 13 - устойчивая 94 - фундаментальная 17

Матричное дифференциальное уравнение 37 Минор 16 Множество 26 - допустимых состояний 149 - замкнутое 27 - инвариантное 75 - компактное 28 - ограниченное 27 - открытое 27 Модуль вектора 10 Начало координат 9 Невырожденная матрица 16 Нейтральные параметры 110 Немьщкий В.В. 160 Неограниченная продолжаемость решений 130 Неособая матрица 16 Непрерывная независимость решения от начальных данных 32 Неравенство Шварца 134 Неустойчивая траектория 7 Неустойчивость положения равновесия 41 - теорема Четаева 52 - теоремы Ляпунова 51 Неустойчивый узел 58 - фокус 59 Ньютон И. 30 Область 27 - асимптотической устойчивости 73 - существования 34 Обратная матрица 16 Обращение теорем Ляпунова 54 Обыкновенные дифференциальные уравнения 30 Ограниченное множество 27 Огурцов А.И. 90 Окамура 6, 130 ω-предельное множество 73 Определитель 15 Ортогональные преобразования 23 Особая точка системы 95 Открытое множество 27

- - граница 28 Отрицательно определенная квадратичная форма 24 Первый метод Ляпунова 8 Петровский И.Г. 160 Пилютик А.Г. 148 Плисе В.А. 90 Подобная матрица 20 Полная устойчивость 73, 85 Положение равновесия 34, 95 - - устойчивость 95 Положительно определенная квадратичная форма 24 - - функция 44, 53 Понтрягин Л.С. 34, 36, 130, 134, 160 Порядок матрицы 14 Практическая устойчивость 73, 147, 149 Предельно ограниченная система 144 Предельные множества 73 Предельный цикл 73 Преобразование векторов 20 - координат 19 Продолжаемость решений 130 Произведение матриц 13 Производная вектора 11 - функции в силу системы 45 - f(x(t),t) 12 Пространство евклидово 10 Пуанкаре А. 7 Разложение определителя по строке (столбцу) 16 Разность векторов 10 Ранг квадратичной формы 23 Расстояние между парой точек 10 - от точки до множества 142 Расчет управления 114 Регулирование в случае равных нулю характеристических корней 110 Регулятор 95 Седло 58 Сигнал 96 Сигнатура квадратичной формы 23

Сильная практическая устойчивость 151 Система из n дифференциальных уравнений 30 Скалярное произведение 9, 95 Сложение матриц 13 Собственные значения 17 Сопряженная система 37 Стационарный режим 155 Степанов В.В. 160 Стоккер Дж. 79 Столбец 12 Строка 12 Сумма векторов 9 Существование решений дифференциального уравнения 31—33 Сферическая область 26 Теорема Коши—Липшица 32 - Лагранжа—Дирихле об изолированном минимуме потенциальной энергии 70 - Ляпунова об асимптотической устойчивости 49 - - дополнение 77 - - об изолированном максимуме потенциальной энергии 71 - - об устойчивости 49 - Малкина об устойчивости при постоянных возмущениях 92 - Массера о существовании периодического решения 156 - о неустойчивости 133 - о сильной практической устойчивости 151 - о существовании единственного периодического решения 159 - об устойчивости по Лагранжу 138 - существования и единственности 32 - Четаева о неустойчивости 52 Теоремы Ляпунова для неавтономных систем 54 - - обращение 54

- - о неустойчивости (первая и вторая) 51 - о полной устойчивости 85, 86 - о предельной ограниченности 144 Топологическое соответствие 48 Топология 25 Точечное множество 26 - Траектория 34 - неустойчивая 7 - устойчивая 7 Транспонирование матрицы 13 Треффтц 157 Узел устойчивый 57 - неустойчивый 58 Умножение матрицы на число 13 Уравнение Ван-дер-Поля 31, 79, 136, 151 - Льенара 77, 87, 140, 146 Установившееся колебание 155 Устойчивая траектория 7 - матрица 94 Устойчивость 38 - абсолютная 99, 129 - - асимптотическая 99 - в автономной системе 40 - в зависимости от корней характеристического уравнения 60—62 - в неавтономных системах 54 - исследование по линейному приближению 60 - консервативной системы 69 - множества 142 - по Лагранжу 131 - полная 85 - положения равновесия 41, 95 - практическая 147, 149 - - сильная 151

- при наличии характеристических корней, положительных 61 - - равных нулю 63 Устойчивость при отрицательных характеристических корнях 61 - - постоянных возмущениях 91—93 - системы, имеющей первый интеграл 66 - теорема Ляпунова 49 - экстремальная 157 Устойчивый узел 57 - фокус 59 Фазовое пространство 34 Фокус устойчивый, неустойчивый 59 Формула дифференцирования f(x(t),t) 12 Фундаментальная матрица 37 - нормированная матрица 37 Функции Ляпунова 45, 54 - - специальные 46, 100 Функция вектора и скаляра 11 Хайкин С.Э. 135 Халмош П. 160 Хан В. 160 Характеристика регулятора 96 Характеристические корни 17 Характеристическое уравнение 17 - - подобных матриц 21 Центр 56 Цикл предельный 73 Чаша 46 Четаев Н.Г. 5, 54, 63, 71, 161 Четаева теорема 52 Шар 28 Шварца неравенство 134 Экстремальная устойчивость 157 Электрический контур 59 Якубович В.А. 94