Цифровые фильтры: Учебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Анишин М.М.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Цифровые фильтры для студентов физического факультета по направлению Телекоммуникации

Ростов-на-Дону 2008 3

Методическое пособие разработано кандидатом технических наук, доцентом кафедры радиофизики Анишиным М.М.

Ответственный редактор

канд. физ.-мат. наук Е.Н. Сидоренко

Компьютерный набор и верстка

лаборантка Л.П. Радио

Печатается в соответствии с решением кафедры радиофизики физического факультета ЮФУ, протокол № 7 от 19.02.2008 г.

4

Учебно-методическое

пособие

“″Цифровые

фильтры”

составлено

в

соответствии с программой дисциплины ″Методы обработки сигналов″ для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлению ″Информационные технологии и системы связи″. Пособие состоит из выполнению двух лабораторных работ

методических указаний по

и краткой теоретической части для

каждой из работ. Лабораторная работа № 1 Исследование цифрового рекурсивного фильтра Цели работы: • Дать представление о дополнительном двоичном коде. •

Изучить назначение и некоторые характеристики аналогоцифрового преобразователя (АЦП).

• Изучить и экспериментально исследовать выполнение основных операций в цифровом фильтре (ЦФ). В ЦФ сигнал представлен в цифровом виде вместе с тем, большинство сигналов, с которыми приходится иметь дело в радиотехнике, являются непрерывными. Ведь сигнал отображает некоторый физический процесс, а почти все физические процессы непрерывны по своей природе. В то же время цифровой сигнал является дискретным и по времени, и по величине. Преобразование непрерывного сигнала в последовательность чисел, называемое аналогоцифровым преобразованием должно осуществляться без потери информации. Представление чисел в дополнительном двоичном коде Всем знакомая десятичная система счисления не единственная из тех, которые можно определить. На самом деле это лишь одна из немногих позиционных систем счисления по основанию. Она для изображения чисел использует 10 цифровых символов, её основание равно десяти. Например, число 536,4

можно

считать

сокращенным 5

изображением

полинома

5 ⋅ 10 2 + 3 ⋅ 101 + 6 ⋅ 10 0 + 4 ⋅ 10 −1 . Видно, что при сокращенной записи весовой коэффициент при каждой цифре зависит от её положения (позиции), отсюда и название подобных систем счисления. В общем виде в любой позиционной системе счисления по некоторому основанию b число

N = x i x i −1...x1x 0 можно считать обозначением полинома N = x i ⋅ b i + x i−1 ⋅ b i−1 + ... + x1 ⋅ b1 + x 0 ⋅ b 0 В цифровых устройствах чаще всего для изображения чисел используют двоичный код, где любое число записывается цепочкой из 0 и 1. Объясняется это, как известно, простотой физического представления всего лишь двух символов, обычно "0" соответствует наличие тока, высокий потенциал или замкнутое состояние ключа, а "1" - напротив, отсутствие тока, низкий потенциал или разомкнутый ключ. Итак, двоичный код x i x i −1 ...x 1 x 0 , где x = 0 или 1, соответствует десятичному числу N = x i ⋅ 2 t + x i −1 ⋅ 2 t −1 + ... + x 0 ⋅ 2 0 Как и в десятичной системе, старшинство (вес) разрядов возрастает справа налево. Во избежание ошибок в изображении числа с помощью индекса обычно указывают основание системы счисления. Как, например, в этом равенстве

1110 = 10112 .

При

работе

с

цифровыми

устройствами

часто

приходится переводить числа из одной системы счисления в другую. В случае необходимости преобразовать некоторое число из системы с некоторым основанием b1 в систему с другим основанием b 2 можно применить следующую процедуру: сначала преобразовать число из системы b1 в десятичную систему, а затем из десятичной в систему b 2 . Перевод в систему

с

основанием

10

выполняется

в

соответствии

с

выражением

N = x i ⋅ b i + ... + x 0 ⋅ b 0 , дальнейший переход к системе с основанием b 2 чуть 6

более сложен. Поясним его. Поскольку задача сводится к отысканию коэффициентов xi при различных степенях b 2 , запишем преобразуемое число в виде полинома N = x i ⋅ b i2 + x i −1 ⋅ b i2−1 + ... + x1 ⋅ b12 + x 0 ⋅ b 02 = x i ⋅ bi2 + x i −1 ⋅ bi2−1 + ... + x1 ⋅ b12 + x 0 Разделим обе части предыдущего выражения на b 2 . Получим целое частное N ′ = x i ⋅ b i2−1 + x i −1 ⋅ b i2−2 + ... + x1 ⋅ b 02 = x i ⋅ b i2−1 + x i−1 ⋅ b i2−2 + ... + x1 и остаток ⎛ N⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = x 0 ⎝ b2 ⎠ Таким образом, остаток равен младшей цифре числа в системе с основанием b 2 т.е. x 0 . Если процесс деления повторить для целого частного , получим новое целое частное N ′′ = x i b i2−2 + x i −1b i2−3 + ... + x 2 и новый остаток

⎛ N′ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = x1 ⎝ b2 ⎠ соответствующий следующей слева цифре числа с основанием системы b2 . Повторяя описанный процесс вплоть до нулевого частного, получим все цифры искомого числа x i . Поясним процедуру на примере перевода десятичного числа 52 в эквивалентную двоичную форму остаток 52 2

0= x0 7

26 2

0 = x1

13 2

1 = x2

6 2

0 = x3

3 2

1 = x4

1 2

1 = x5

0 Следовательно, 5210 = 110100 2 . Рассмотрение чисел до сих пор велось без учета их знака, т.е. число предполагалось положительным. Но очевидно, что при вычислениях не обойтись без отрицательных чисел. Поскольку вся информация в компьютере представляется в виде нулей и единиц, эти же символы используются для изображения знака числа. Напрашивающийся вариант - зарезервировать один разряд (старший) в качестве знакового и считать, что 0 соответствует положительным, а 1 -отрицательным

числам,

остальные

же

разряды

использовать для представления абсолютной величины числа в двоичной системе. Несмотря на естественность получившегося так называемого прямого кода, он редко применяется в цифровых устройствах. Чаще используется дополнительный код. В таблице 1 приведены в качестве примера десятичные числа со знаком и их представления в четырехразрядном прямом

и

дополнительных

кодах.

Старший

разряд

знаковый.

Точка,

отделяющая знаковый разряд, введена только для наглядности и не является частью кода. Положительные числа (0 в знаковом разряде) в дополнительном коде выглядят также, как и в прямом. Формирование дополнительного кода некоторого отрицательного числа можно представить как обращение кода соответствующего положительного числа. Для выполнения обращения необходимо заменить 0 и 1 в коде соответственно на 1 и 0 и затем прибавить к результату 1. Поясним процедуру обращения на примере получения 8

дополнительного кода числа (-6): код соответствующего положительного числа (+6) имеет вид 0.110. После замены 0 и 1 (это называется инвертированием кода) получается код 1.001. Добавление 1 приводит к коду, коду 1.010, изображающему (см. таблицу) десятичное число (-6). Заметим, что применив обращение к числу (6), получим двоичный код числа (+6). Преимущество дополнительного кода станет ясным при рассмотрении арифметических операций в ЦФ, чему посвящен следующий раздел. Таблица 1 Прямой и дополнительный код для десятичного числа Десятич.

Прямой Дополн.

число

код

код

+7

0.111

0.111

+6

0.110

0.110

+5

0.101

0.101

+4

0.100

0.100

+3

0.011

0.011

+2

0.010

0.010

+1

0.001

0.001

0

0.000 1.000

0.000

-1

1.001

1.111

-2

1.010

1.110

-3

1.011

1.101

-4

1.100

1.100

-5

1.101

1.011

-6

1.110

1.010

-7

1.111

1.001

-8

----

1.000 9

Двоичная арифметика

Номенклатура арифметических операций в ЦФ ограничена: сложение, вычитание и умножение. В таблице 2 даны правила сложения двух двоичных цифр, технически такое сложение выполняется уже знакомым одноразрядным полным сумматором (условное изображение дано на рисунке 1). Заметим, что при двоичном сложении 1+1 возникает бит переноса и что бит суммы при этом равен 0. Чтобы сложить пару многоразрядных двоичных чисел необходимо применить правило таблице 2 многократно, отправляясь от пары младших разрядов, так, как это делается при десятичном сложении. После сложения пары младших цифр и получения значения младшего разряда суммы S0 складывается следующая пара цифр (X1 и X2) с учетом переноса из младшего разряда. При этом получается значение следующего разряда суммы (S1) и, возможно, перенос С2. Описанный процесс повторяется нужное число раз. Пример поясняет сказанное, а рисунок 2 - устройство трехразрядного сумматора. Сложение чисел со знаками при использовании дополнительного кода реализуется просто сложением их кодов как положительных чисел, как только что рассмотрено. Возможный перенос из старшего разряда отбрасывается. В результате получается правильный результат (см. примеры ниже), т.е. правильное представление в дополнительном

коде

алгебраической

суммы

суммировались. Примеры (+6)= 0.110 (+3)= 0.011 +

+

(-4)=+1.100

(-6)=+1.010

(+2)=10.010 (-З)= 1.101

(-1)= 1.111

+ (-5)=+1.011 (-6)=11.010

перенос

перенос

игнорируется

игнорируется 10

чисел,

коды

которых

Вычитание в дополнительном коде заменяется сложением на основании очевидного соотношения X − Y = X + (− Y) . Необходимо только независимо от знака вычитаемого произвести обращение его кода, а затем сложить с вычитаемым с помощью того же многоразрядного сумматора (рисунок 2). Таким образом, в отличие от прямого кода нет необходимости в различных схемах для выполнения суммирования и вычитания. Пример (+6)= 0.110

=0.110

-(+3)=-0.011 обращение =+1.101 10.011=(+3) перенос игнорируется Таблица 2 Правило сложения двух двоичных чисел X и Y Х

Y

0

1

0

0

1

1

1

0 (формируется перенос)

X CM

S

Y Ci

Перенос из младшего разряда

Ci+1

Сумма Перенос в старший разряд

Рисунок 1 – Одноразрядный сумматор

11

Y2

X2

X1

Y1

Y0

CM2

CM0

CM1

C3

C2

X0

S3

C2

C1

0

S2

C0

C1

S0

S1

Рисунок 2 – Трехразрядный сумматор Аналого-цифровое преобразование

Превращение некоторого непрерывного сигнала S(t) (пусть это будет, напряжение, например) в достаточно точно соответствующую ему последовательность чисел поясняет блок схема АЦП и временные диаграммы на рисунке

3.

Преобразование

выполняется

в

два

этапа.

Сначала

сигнал

S(t) подвергается дискретизации по времени с помощью электронного

ключа

(рисунок 3а), замыкающегося через интервалы времени Т на очень короткое время

τ