Пополнение линейно упорядоченных метабелевых групп

Алгебра и логика, 42, N 5 (2003), 542—565 УДК 512.54 ПОПОЛНЕНИЕ ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ ГРУПП∗) В. В. БЛУДОВ...

Author: Блудов В. В.

5 downloads 238 Views 266KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Алгебра и логика, 42, N 5 (2003), 542—565

УДК 512.54

ПОПОЛНЕНИЕ ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МЕТАБЕЛЕВЫХ ГРУПП∗) В. В. БЛУДОВ Введение

К настоящему времени не известно ни одного примера линейно упорядоченной группы, не вложимой в полную линейно упорядоченную группу, и в тоже время очень мало известно о линейно упорядоченных группах, вложимых в полные (G-полные) линейно упорядоченные группы. По существу имеется только теорема из [1] о пополнении нильпотентных групп без кручения, на основании которой доказывается существование пополнения для локально нильпотентных линейно упорядоченных групп (см. [2]). Для упорядочиваемых метабелевых групп теорема о пополнении (Gпополнении) получена в [3], однако там не рассматривался вопрос о пополнении линейно упорядоченных метабелевых групп с продолжением линейного порядка исходной группы на ее пополнение. Положительное решение этого вопроса приводится в настоящей работе (теор. 3.3.2 и следствие 3.3.3). При этом используется та же конструкция, что и в [3] — вложение в декартово сплетение. Однако при реализации этой конструкции для вложения линейно упорядоченных групп потребуется доказать существование в конечно порожденных линейно упорядоченных метабелевых группах конечной системы нормальных выпуклых подгрупп, удовлетворяющих групповым условиям упорядочиваемости (теор. 2.2.1). Отметим, ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 99-01-00335. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

Пополнение линейно упорядоченных метабелевых групп

543

что указанная теорема может также оказаться полезной при описании способов линейного упорядочения конечно порожденных метабелевых групп.

§ 1. Предварительные сведения и обозначения В основном используются стандартные обозначения, принятые в теории групп и теории упорядоченных групп (см. [2, 4—7]). Напомним некоторые из них: C(H) — централизатор подгруппы (подмножества) H, N(H) — нормализатор подгруппы H, TG — множество G-периодических элементов группы G, I(H) — изолятор подгруппы H. Предварительные сведения общего характера приводятся в п. 1.1, свойства выпуклых подгрупп линейно упорядоченных (л.у.) групп — в п. 1.2, определение и свойства сплетений — в п. 1.3, предварительные сведения о пополнениях л.у. — в п. 1.4. 1.1. Общие понятия. Элемент h группы G называется G-периодическим (или Γ-периодическим), если h1+g1 +...+gn = 1 для некоторых g1 , . . . , gn ∈ G. Если единица является единственным G-периодическим элементом группы G, то говорят, что группа не имеет G-кручения (Γкручения). Линейно упорядоченные группы не имеют Γ-кручения, а в таких группах для любых элементов a, b и целого n 6= 0 [an , b] = 1 влечет [a, b] = 1. Действительно, при n > 0 имеем: 1 = [an , b] = [a, b]a

(1.1) n−1 +...+a+1

= 1 влечет

[a, b] = 1; при n < 0 импликация получается аналогично. Рассуждениями, которые использовались в [8] (см. также [2, § 4, теор. 2] или [6, лемма 5.6.6]), доказывается следующее УТВЕРЖДЕНИЕ 1.1.1. Произведение полной подгруппы на изолятор коммутанта группы является изолированной подгруппой.

544

В. В. Блудов ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A — полная подгруппа группы G, и

xn = ag, a ∈ A, g ∈ I(G′ ). В подгруппе A найдем a1 с условием an1 = a и положим x = a1 x1 . Тогда xn = an1 xn1 h, где h ∈ G′ , следовательно, xn1 ∈ ∈ I(G′ ), x1 ∈ I(G′ ) и x ∈ A · I(G′ ). 2 УТВЕРЖДЕНИЕ 1.1.2 [3]. Множество TG G-периодических элементов метабелевой группы G образует нормальную подгруппу группы G, и фактор-группа G/TG не имеет G-кручения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1.3. Подгруппа H группы G называется G-полной, если для любых g1 , . . . , gn ∈ G и h ∈ H уравнение xg1 +...+gn = h

(1.2)

имеет решение в подгруппе H. G-полная группа G также называется Γполной. Последний термин будет использоваться для групп без имени или имеющих сложное имя. Непосредственно из определения 1.1.3 следует, что всякая строго изолированная подгруппа G-полной группы G является Γ-полной (и даже Gполной). 1.2. Свойства выпуклых подгрупп. Систему подгрупп группы G 1 < . . . < Hα < . . . < Hβ < Hβ+1 < . . . < G обозначим Σ(G). Если в системе Σ(G) имеется пара подгрупп Hβ < Hγ и между ними нет других подгрупп из Σ(G) (т. е. γ = β + 1), то говорят, что они образуют скачок и пишут Hβ ≺ Hγ . Следующие свойства выпуклых подгрупп известны как групповые условия упорядочиваемости и получены в [9—11] (см. также [2, 5, 6]) (здесь Σ(G) — система всех выпуклых подгрупп л.у. группы): O1. Σ(G) линейно упорядочена по включению, замкнута относительно сопряжения элементами группы G, а также теоретико-множественного объединения и пересечения любого семейства своих элементов. O2. Каждая подгруппа из Σ(G) строго изолирована в группе G. O3. Если Hα ≺ Hα+1 — скачок подгрупп системы Σ(G), то [Hα+1 , [NG (Hα ), NG (Hα )]] ≤ Hα .


545

O4. Если Hα ≺ Hα+1 — скачок подгрупп системы Σ(G), то Hα Hα+1 и фактор-группа Hα+1 /Hα абелева. Система подгрупп группы G называется инфраинвариантной, если она удовлетворяет условию O1, и разрешимой, если она удовлетворяет условию O4. Через S 3G обозначается наименьшая выпуклая подгруппа группы G, содержащая множество S. Поскольку система всех выпуклых подгрупп инфраинвариантна, то S 3G =

\

Hα

S≤Hα ∈Σ(G)

(т. е. S 3G равна пересечению всех выпуклых подгрупп группы G, содержащих S). Отсюда также следует, что для нормального множества S подгруппа S 3G нормальна в группе G. В дальнейшем наряду с S 3G будем употреблять выражение S 3 , если из контекста ясно, где рассматриваются выпуклые подгруппы. 1.3. Расширения и сплетения. Хорошо известно, что всякое расширение группы A с помощью группы B вкладывается в их полное сплетение A ≀ B ([12], см. также [2, 4]). В настоящей работе будем использовать обозначения для сплетения групп и формулировку теоремы вложения, принятые в [4]. Пусть A, B — группы, Fun(B, A) — декартово произведение изоморфных копий группы A, индексированных элементами группы B. Группа Fun(B, A) рассматривается как множество функций B → A с обычным умножением. Для каждого b ∈ B определяем функцию f 7→ f b на множестве Fun(B, A), полагая f b (x) = f (bx), x ∈ B.

(1.3)

Непосредственно проверяется, что она будет автоморфизмом группы Fun(B, A). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3.1. Полупрямое произведение группы Fun(B, A) на группу B с помощью указанных выше автоморфизмов называется декартовым (или полным) сплетением групп A, B и обозначается A ≀ B.

546

В. В. Блудов

Подгруппа Fun(B, A) группы A ≀ B называется базой (или нижней подгруппой) сплетения, а подгруппа B — верхней группой сплетения. Теорему вложения приведем с доказательством, поскольку в дальнейшем нам понадобится формула (1.4). ТЕОРЕМА 1.3.2 ([4], теор. 6.2.8). Любое расширение группы A посредством группы B изоморфно вкладывается в декартово сплетение A ≀ B. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A G, G/A = B и s : B → G — функция, выбирающая представителей в смежных классах. Пусть W = A ≀ B. Определим отображение ϕs : G → W , полагая g ϕs = g¯fg , g ∈ G, где g¯ — смежный класс Ag, fg — элемент базы сплетения W , задаваемый с помощью формулы fg (b) = ((¯ g b)s )−1 gbs , b ∈ B.

(1.4)

Непосредственно проверяется, что ϕs — изоморфное вложение. 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3.3. Для элементов f из базы сплетения A ≀ B = = W , где A = A1 × A2 , определим условия: f (b) = f (bc) для любых b ∈ B, c ∈ I(B ′ ),

(1.5)

f (b1 )f (b2 )−1 ∈ A1 для любых b1 , b2 ∈ B.

(1.6)

Из определения следует, что множество элементов базы сплетения W , удовлетворяющих условиям (1.5) и (1.6), является нормальной подгруппой группы W . Обозначим ее через L(W ), а подгруппу B · L(W ) — через M(W ). Пусть даны группы A1 , A2 и A = A1 × A2 . Для элементов группы A, представленных в виде a = a1 · a2 , a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , используем обозначения

pr1 (a) = a1 , pr2 (a) = a2 . В этих обозначениях (1.6) равносильно условию pr2 (f (b1 )) = pr2 (f (b2 )) для любых f ∈ L(W ), b1 , b2 ∈ B.

(1.7)

УТВЕРЖДЕНИЕ 1.3.4. Пусть W = A ≀ B, где A = A1 × A2 — прямое произведение абелевых групп и B — метабелева группа. Тогда


547

группа M(W ) метабелева, [M(W ), M(W )] = B ′ × [B, L(W )] и pr2 (f (x)) = 1 для любых элементов f ∈ [B, L(W )], x ∈ B. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из условия (1.5) следует, что для любого c ∈ ∈ B ′ выполняется f c (b) = f (cb) = f (bcb ) = f (b), т. е. подгруппы B ′ и L(W ) перестановочны. Далее имеем [M(W ), M(W )] = [BL(W ), BL(W )] ≤ [B, BL(W )] · [B, BL(W ), L(W )] · [L(W ), BL(W )] ≤ [B, B] · [L(W ), B] ≤ [M(W ), M(W )], т. е. [M(W ), M(W )] = B ′ ·[B, L(W )]. Поскольку сплетение — это полупрямое произведение группы B на базу сплетения, а подгруппы B ′ и [B, L(W )] перестановочны, то B ′ ·[B, L(W )] = B ′ ×[B, L(W )]. Так как A и B ′ абелевы, таковыми являются и подгруппы L(W ) и B ′ × [B, L(W )] = [M(W ), M(W )], а значит, M(W ) метабелева. И наконец, если f ∈ [B, L(W )], то f = f1−b f1 , где f1 ∈ L(W ), откуда f (x) = f1−1 (bx)f1 (x) ∈ A1 и, по условию (1.7), pr2 (f (x)) = 1 для любого x ∈ B. 2 1.4. Пополнение упорядочиваемых групп. Имеют место УТВЕРЖДЕНИЕ 1.4.1 ([13], см. также [6]). Любая упорядочиваемая группа G с изолированной нормальной абелевой подгруппой A изоморфно вкладывается в группу G∗ с полной абелевой нормальной подгруппой A∗ , причем выполняются следующие условия: G∗ = GA∗ , A = G ∩ A∗ , G∗ /A∗ ∼ = G/A; любой линейный порядок группы G продолжается единственным образом до линейного порядка группы G∗ . УТВЕРЖДЕНИЕ 1.4.2. Декартово сплетение полных абелевых групп без кручения является Γ-полной группой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО этого утверждения формально содержится в [3], но там оно сформулировано в несколько более слабой формулировке. Поэтому приведем его, сделав необходимые для нашей цели уточнения. Пусть W = A ≀ B, где A и B — полные абелевы группы. Для доказательства W -полноты группы W достаточно установить, что для любых

548


f ∈ Fun(B, A) и b1 , . . . , bn ∈ B уравнение y b1 +...+bn = f

(1.8)

имеет решение в подгруппе Fun(B, A). Элементы b1 , . . . , bn содержатся в полной подгруппе B1 конечного ранга. Пусть c1 , . . . , cr — некоторый базис подгруппы B1 , в котором элементы b1 , . . . , bn имеют целочисленные координаты. Заменим b1 , . . . , bn в уравнении (1.8) на их выражения через c1 , . . . , cr , приведем подобные члены и получим m1,1

m1,r

y k1 c 1

...cr

ms,1

+...+ks c1

ms,r

...cr

= f.

(1.9)

Существование решения уравнения (1.9) докажем индукцией по r. При r = 0 уравнение принимает вид y k = f и имеет решение в полной абелевой группе Fun(B, A). Пусть r > 0. Считаем, что базисный элемент cr явно входит в уравнение (1.9) (т. е. встречается с ненулевым коэффициентом mj,i

m

mj,r в записи хотя бы одного слагаемого kj c1 j,1 . . . ci

mj,r

. . . cr

). Сопрягая,

если потребуется, уравнение (1.9) элементом cr , приведем его к виду m

y u0 +u1 cr +...+um cr = f, m

(1.10)

m

j,r−1 , u0 6= 0, um 6= 0 и m > 0. Для uj 6= 0 (по предпогде uj = kj c1 j,1 . . . cr−1

ложению индукции) в подгруппе Fun(B, A) имеются решения уравнения −1

y uj = h для любого h ∈ Fun(B, A), одно из которых обозначим через huj . Теперь индукцией по m определим решение уравнения (1.10). Пусть hcr i∗ — минимальное пополнение циклической подгруппы hcr i. Как известно [7, § 23], полные подгруппы абелевых групп выделяются в них прямыми множителями, поэтому B = hcr i∗ × B2 для подходящей подгруппы B2 . Пусть d ∈ B2 , и t — рациональное число. Положим y(ctr d) = 1 при 0 6 t < m, m−1

y(ctr d) = (f (ct−m d)y(ct−m d)−(u0 +u1 cr +...+um−1 cr r r

−(u1 +u2 cr +...+um cm−1 ) r

y(ctr d) = (f (ctr d)y(ct+1 r d)

) u−1 m

)

u−1 0

)

при m 6 t < m + 1, при − 1 6 t < 0.

Непосредственная проверка показывает, что так определенный элемент y удовлетворяет уравнению (1.10). 2


549

§ 2. Система нормальных выпуклых подгрупп В этом параграфе рассматриваются свойства системы нормальных выпуклых подгрупп метабелевых л.у. групп. Существование собственных нетривиальных нормальных выпуклых подгрупп в разрешимых неабелевых л.у. группах установил В. М. Копытов [14, см. также 6]. В случае метабелевых л.у групп нормальные выпуклые подгруппы образуют систему, удовлетворяющую групповым условиям упорядочиваемости (O1–O4), этот результат приводится в п. 2.2, а в п. 2.1 — вспомогательные сведения, связанные с коммутаторными соотношениями. 2.1. Коммутаторные соотношения. Обычно для элемента g и подгруппы A группы G через [g, A] обозначают подгруппу, порожденную множеством коммутаторов {[g, a] | a ∈ A}. В общем случае множество {[g, a] | a ∈ A} не является подгруппой, однако, если G — метабелева группа и A ≤ C(G′ ), то {[g, a] | a ∈ A} — нормальная подгруппа, обладающая рядом полезных свойств, которые приводятся ниже. ЛЕММА 2.1.1. Если A — нормальная подгруппа группы G и A ≤ ≤ C(G′ ), то для любых g, f ∈ G имеем: 1) {[g, a] | a ∈ A} = [g, A] и [g, A] G; 2) [gf, A] ≤ [g, A] · [f, A]; 3) [g −1 , A] = [g, A]; 4) [g f , A] = [g, A]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО базируется на стандартных коммутаторных −1

тождествах: [x, y] = [y, x]−1 , [xy, z] = [x, z]y [y, z], [x−1 , y] = [x, y]x . Пусть a, a1 , a2 ∈ A и g, f ∈ G. 1) Справедливы соотношения [g, a1 ][g, a2 ] = [g, a1 ][g, a2 ]a1 = [g, a2 a1 ] ∈ {[g, a] | a ∈ A}, [g, a]−1 = [g, a]−a

−1

= [g, a−1 ] ∈ {[g, a] | a ∈

∈ A}, следовательно, подмножество {[g, a] | a ∈ A} является подгруппой и поэтому совпадает с [g, A]. Далее, [g, a]f = [g f , af ] = [g[g, f ], af ] = = [g, af ][g,f ] [g, f, af ] = [g, af ] ∈ [g, A], и [g, A] — нормальная подгруппа. 2) С учетом доказанного выше [gf, a] = [g, a]f [f, a] ∈ [g, A] · [f, A].

550

В. В. Блудов 3) Верно [g −1 , a] = [g, a]−g

−1

∈ [g, A], откуда [g −1 , A] ≤ [g, A] и, в силу

произвола при выборе g ∈ G, выполняется [g, A] = [g −1 , A]. 4) Имеем [g f , a] = [g[g, f ], a] = [g, a][g,f ] [g, f, a] = [g, a] и, в силу произвола при выборе a ∈ A, справедливо [g f , A] = [g, A]. 2 ЛЕММА 2.1.2. Если A — нормальная подгруппа л.у. группы G и A ≤ C(G′ ), то для любых g, f ∈ G имеем: 1) [g, A]3 — нормальная выпуклая подгруппа группы G и g 6∈ [g, A]3 ; 2) [gf, A]3 ≤ max([g, A]3 , [f, A]3 ); 3) [g n , A]3 = [g, A]3 для любого целого n 6= 0; 4) [g f , A]3 = [g, A]3 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) По лемме 2.1.1, [g, A] — нормальная подгруппа, и из свойств выпуклых подгрупп следует, что подгруппа [g, A]3 нормальна. Покажем, что g 6∈ [g, A]3 . Пусть для определенности g > 1, n

тогда для любых целого n и a ∈ A имеем g a > 1 и [g, an ] > g −1 . При a ∈ A выполняется [g, an ] = [g, a]n , что вместе с предыдущим неравенством дает g > [a, g]n для любого целого n, откуда g ≫ [a, g]. Поэтому найдется выпуклая подгруппа, содержащая [g, A] и не содержащая g. 2) По лемме 2.1.1, [gf, A] ≤ [g, A] · [f, A], откуда [gf, A]3 ≤ [g, A]3 · ·[f, A]3 = max([g, A]3 , [f, A]3 ), поскольку выпуклые подгруппы образуют цепь. 3) По лемме 2.1.1 имеем [g −1 , A] = [g, A], и можно ограничиться положительными n. По свойству 2 доказываемой леммы [g n , A]3 ≤ [g, A]3 , с другой cтороны, [g n , a] = [g, a]g

n−1

· · · [g, a]g [g, a], откуда 1 ≤ |[g, a]| ≤

≤ |[g n , a]| и [g, A] ⊆ [g n , A]3 , что влечет [g, A]3 ≤ [g n , A]3 . 4) Следует из п. 4 леммы 2.1.1. 2 ЛЕММА 2.1.3. Пусть G — л.у. группа, A G, A ≤ C(G′ ) и NA (g) = {h ∈ G | [h, A]3 ≤ [g, A]3 }. Тогда для любых g, f ∈ G имеем: 1) G′ < NA (g); 2) NA (g) — изолированная нормальная подгруппа группы G;


551

3) [g, A]3 < [f, A]3 влечет NA (g) < NA (f ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) Следует из того, что [G′ , A] = 1. 2) По лемме 2.1.2, [h−1 , A]3 = [h, A]3 , [h1 h2 , A]3 ≤ max([h1 , A]3 , [h2 , A]3 ) ≤ [g, A]3 , и NA (g) — подгруппа. Подгруппа NA (g) нормальна (п. 1) и изолирована (п. 3 леммы 2.1.2). 3) Из определения подгруппы NA (g) следует, что Ng ≤ Nf , если [g, A]3 < [f, A]3 , но f ∈ NA (f ) и f 6∈ NA (g), поэтому NA (g) < NA (f ). 2 2.2. Теорема о нормальных выпуклых подгруппах. Докажем, что имеет место ТЕОРЕМА 2.2.1. Подсистема ΣN (G) всех нормальных выпуклых подгрупп метабелевой линейно упорядоченной группы удовлетворяет условиям O1–O4. Если, кроме того, ранг фактор-группы G/G′ конечен, то из системы ΣN (G) можно извлечь конечную подсистему ΣF (G), также удовлетворяющую O1–O4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверка условий O1, O2 для подсистемы ΣN (G) не вызывает сложностей. O3. Пусть Hα ≺ Hα+1 — скачок подгрупп системы ΣN (G), и g ∈ S ∈ Hα+1 . Положим Sα3 = [g, G′ ]3 . Являясь объединением нормальных g∈Hα+1

выпуклых подгрупп, Sα3 — также нормальная выпуклая подгруппа группы G. В метабелевых группах выполняется G′ ≤ C(G′ ), и по лемме 2.1.2, g 6∈ 6∈ [g, G′ ]3 , откуда [g, G′ ]3 < Hα+1 , и значит, [g, G′ ]3 ≤ Hα для всех g ∈ S ∈ Hα+1 . Следовательно, Sα3 ≤ Hα . Поскольку [Hα+1 , G′ ] ≤ [g, G′ ] ≤ g∈Hα+1

≤ Sα3 , то [Hα+1 , G′ ] ≤ Hα . O4. Рассмотрим гомоморфизм ϕ : G → G/Hα . На фактор-группе G/Hα зададим линейный порядок, индуцируя его с группы G. При таком упорядочении каждой нормальной выпуклой подгруппе группы G, содержащей Hα , однозначно соответствует нормальная выпуклая подгруппа ϕ фактор-группы G/Hα . Пусть Hα+1 — минимальная нормальная выпуклая

подгруппа фактор-группы G/Hα . Из справедливости условия O3 для сиϕ ϕ , (Gϕ )′ ]. , (G′ )ϕ ] = [Hα+1 стемы ΣN (G) группы G следует, что 1 = [Hα+1 ϕ По лемме 2.1.2, [g ϕ , Hα+1 ]3 — нормальная выпуклая подгруппа, и g ϕ

6∈

552


ϕ ϕ ϕ 6∈ [g ϕ , Hα+1 ]3 для любого g ϕ ∈ G/Hα . При g ϕ ∈ Hα+1 имеем [g ϕ , Hα+1 ]3 < ϕ ϕ ϕ . Поскольку ] = 1 в силу определения подгруппы Hα+1 , и [g ϕ , Hα+1 < Hα+1 ϕ ϕ ϕ ] = 1. , Hα+1 выбран произвольно, получаем [Hα+1 g ϕ ∈ Hα+1

Пусть теперь ранг G/G′ конечен. В системе ΣN (G) рассмотрим подсистему ΣS (G), составленную из подгрупп [g, G′ ]3 , g ∈ G, и покажем, что она конечна. Каждой подгруппе [g, G′ ]3 взаимно однозначно (по п. 3 леммы 2.1.3 и линейной упорядоченности выпуклых подгрупп относительно включения подмножеств) сопоставлена изолированная нормальная подгруппа NG′ (g). Поскольку G′ ≤ NG′ (g) для любого g ∈ G (п. 1 леммы 2.1.3), то каждой NG′ (g) взаимно однозначно сопоставляется ее образ N g (G′ ) в фактор-группе G = G/G′ . По лемме 2.1.3 (п. 3) подгруппы NG′ (g), а значит, и их образы N g (G′ ) образуют цепь изолированных подгрупп 1 = N 1 < N g1 < . . . < N gs−1 = G, длина s которой всегда ограничена рангом абелевой группы G. Так как подгруппы [g, G′ ]3 и N g (G′ ) находятся во взаимно однозначном соответствии, система подгрупп ΣS (G) конечна и имеет ту же длину s. Для упрощения формул в дальнейшем используем единообразные обозначения для подгрупп системы ΣS (G): S0 = 1, Si = [gi , G′ ]3 , Sk = G. Покажем, что ΣS (G) удовлетворяет условиям O1–O3. Первые два условия выполняются, поскольку ΣS (G) — конечная система нормальных подгрупп. O3. Пусть Si ≺ Si+1 — скачок системы ΣS (G), и g ∈ Si+1 . По лемме 2.1.2, g 6∈ [g, G′ ]3 , а так как [g, G′ ]3 — одна из подгрупп системы ΣS (G), то [g, G′ ]3 ≤ Si . Поскольку g ∈ Si+1 выбран произвольно, получаем [Si+1 , G′ ] ≤ Si , и условие O3 верно. O4. Это условие для системы ΣS (G) может не выполняться, поэтому нам потребуется уплотнить ΣS (G). Осуществим это индукцией по длине s. При s = 1 система ΣS (G) состоит из одного скачка 1 ≺ G и, в силу условия O3, G = C(G′ ). Снова по леммам 2.1.2 и 2.1.3, [g, G]3 G для любого g ∈ G, а подгруппам [g, G]3 взаимно однозначно сопоставляется цепь изолированных подгрупп N G/G′ (g), длина которой ограничена рангом фактор-группы


553

G/G′ . Поэтому система ΣF (G) = {[g, G]3 | g ∈ G} конечна. Поскольку g 6∈ [g, G]3 , факторы этой системы абелевы, и условие O4 выполняется. Пусть при s < k система ΣS (G) уплотняется до системы ΣF (G) с абелевыми факторами. Скачок S0 ≺ S1 уплотним (как и выше, полагая S1 вместо G) конечной системой ΣF1 (S1 ) = {[g, S1 ]3 | g ∈ S1 } с абелевыми факторами. Заметим при этом, что подгруппы [g, S1 ]3 нормальны (по лемме 2.1.2) не только в S1 , но и во всей группе G. Далее, в фактор-группе G/S13 образ системы ΣS (G) имеет длину, меньшую k, и потому уплотняется до конечной системы ΣF (G/S13 ) с абелевыми факторами. Теперь в качестве требуемой ΣF (G) возьмем полный прообраз системы ΣF (G/S13 ), дополненный посредством ΣF1 (S1 ). 2

§ 3. Вложение в Γ-полную группу Для пополнения метабелевых групп воспользуемся теоремой 2.2.1 и теоремой вложения в декартовы сплетения (теор. 1.3.2). Однако, если A — абелева группа и B — метабелева, то W = A ≀ B может оказаться трехступенно разрешимой, и поэтому нам придется найти в группе W подходящую метабелеву подгруппу, содержащую изоморфную копию исходной группы G. Сделаем это в случае, когда A – нормальная абелева полная подгруппа л.у. метабелевой группы G и [A, G′ ] = 1. В п. 3.1 строится система представителей смежных классов по абелевой нормальной выпуклой подгруппе, которая понадобится в п. 3.2 для определения вложения исходной группы в декартово сплетение. Основные результаты приводятся в п. 3.3. 3.1. Система представителей смежных классов. Пусть A — нормальная абелева полная подгруппа метабелевой л.у. группы G. Для определения системы представителей смежных классов по подгруппе A нам понадобятся следующие факты. В силу (1.1) и перестановочности подгрупп A и G′ , A перестановочна и с I(G′ ). Поэтому A · I(G′ ) — нормальная

554


абелева подгруппа группы G. В силу утверждения 1.1.1, A · I(G′ ) изолирована, и A1 = A ∩ I(G′ ) изолирована как пересечение изолированных подгрупп. Поэтому A1 полна (как изолированная подгруппа полной абелевой группы). Поскольку полные подгруппы абелевых групп выделяются в них прямыми сомножителями, то найдутся подгруппы A2 и A3 такие, что A = A1 × A2 и A · I(G′ ) = A × A3 .

(3.11)

Отсюда A · I(G′ ) = A1 × A2 × A3 и I(G′ ) = A1 × A3 ,

(3.12)

A · I(G′ ) = A2 · I(G′ ).

(3.13)

Рассмотрим гомоморфизмы G → G/A = B, g 7→ g¯, ϕ1 : G → G/I(G′ ) = B1 , ϕ2 : G → G/(A · I(G′ )) = G/(A2 · I(G′ )). Имеем 1 ∼ Aϕ1 = Aϕ 2 = A2 ,

(3.14)

1 Aϕ 2 — полная подгруппа абелевой группы B1 , и найдется B2 < B1 такая,

что 1 B1 = Aϕ 2 × B2 .

(3.15)

Из (3.14), (3.15) получаем ϕ−1 ϕ2

B2 1

= G ϕ2 ∼ = B2 .

(3.16)

Теорема о гомоморфизмах и (3.16) дают изоморфизм B2 ∼ = B/I(B ′ ), что позволяет нам в дальнейшем использовать обозначение B2 для факторгруппы B/I(B ′ ), из контекста будет ясно, когда идет речь о подгруппе B2 группы B1 , а когда — о фактор-группе B2 = B/I(B ′ ). Теперь определим представителей смежных классов подгруппы A в группе G. Сначала зафиксируем множество B2s тех представителей смежных классов подгруппы I(G′ ), которые при гомоморфизме ϕ1 отображаются на B2 . Из (3.16) следует, что B2s является полной системой представителей смежных классов подгруппы A·I(G′ ) в G. Затем, используя (3.11),


555

для смежных классов по подгруппе A в A · I(G′ ) представителями возьмем элементы из A3 . Теперь каждый g ∈ G однозначно представим в виде g = a(g)a3 (g)b(g),

(3.17)

где a(g) ∈ A, a3 (g) ∈ A3 и b(g) ∈ B2s . Поэтому множество A3 B2s = {h3 h2 | h2 ∈ B2s , h3 ∈ A3 } образует полную систему представителей смежных классов по подгруппе A в G. Однако в дальнейшем более удобной окажется система представителей B2s A3 = {h2 h3 | h2 ∈ B2s , h3 ∈ A3 }. ЛЕММА 3.1.1. Множество B2s A3 является полной системой представителей смежных классов по подгруппе A группы G и обладает свойствами: 1) представители, принадлежащие A3 , образуют подгруппу; 2) если g ∈ G и h ∈ A3 — представители смежных классов Ag и Ah, то gh является представителем смежного класса Agh; 3) если g и g1 — представители смежных классов Ag и Ag −1 соответственно, то gg1 ∈ A1 ; 4) если g1 , g2 — представители смежных классов Ag1 , Ag2 , а g3 — представитель смежного класса Ag1 g2 , то g1 g2 g3−1 ∈ A1 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из однозначности представления элементов группы G в виде (3.17) получаем g = a(g)a3 (g)b(g) = a(g)b(g)a3 (g)b(g) . Поскольку A · I(G′ ) нормальна и в силу разложения (3.11), a3 (g)b(g) = = a′ (g)a′3 (g), где a′ (g) ∈ A и a′3 (g) ∈ A3 . Так как A нормальна, справедливо a(g)a′ (g)b(g) = a′′ (g) ∈ A. Поэтому имеем следующее представление: g = a(g)b(g)a3 (g)b(g) = a(g)b(g)a′ (g)a′3 (g) = a′′ (g)b(g)a′3 (g), где a′′ (g) ∈ A, b(g) ∈ B2s и a′3 (g) ∈ A3 . Проверим его однозначность. Пусть aba3 = a′ b′ a′3 , a, a′ ∈ A, b, b′ ∈ B2s , a3 , a′3 ∈ A3 . Благодаря (3.16) при гомоморфизме ϕ2 наше равенство превращается в bϕ2 = (b′ )ϕ2 , но B2s также является и множеством представителей смежных классов по подгруппе A · I(G′ ), поэтому b = b′ и b−1 (a′ )−1 ab = a′3 a−1 3 . С учетом (3.11)

556


имеем a = a′ и a3 = a′3 . Тем самым, B2s A3 является полной системой представителей смежных классов по подгруппе A в G. Проверим свойства системы B2s A3 . 1) По построению A3 — подгруппа. 2) Запишем представитель g в виде bc, где b ∈ B2s и c ∈ A3 , тогда bch = = b(ch) ∈ B2s A3 и, значит, bch является представителем своего смежного класса. 3–4) Следуют из того, что множество B2s является по определению частью системы представителей смежных классов по подгруппе I(G′ ), а A3 ≤ I(G′ ) и, таким образом, элементы g −1 , g1 g2 отличаются от представителей своих смежных классов на элементы из A1 = A ∩ I(G′ ). 2 Представитель смежного класса g¯ = Ag из множества B2s A3 обозначим через g¯s . 3.2. Вложение в группу M(W ). Пусть A — нормальная абелева полная подгруппа метабелевой л.у. группы G, и B = G/A. Воспользуемся системой представителей смежных классов B2s A3 , определенных в п. 3.1, и по теореме 1.3.2 вложим группу G в декартово сплетение W = A ≀ B, ϕs : G → W, g ϕs = g¯ · fg ,

(3.18)

где g ∈ G, а fg — элемент базы сплетения W , определенный по формуле (1.4). ЛЕММА 3.2.1. Пусть ϕs : G → W — вложение, определенное в (3.18), тогда Gϕs ≤ M(W ). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно проверить свойства (1.5), (1.6) для элементов fg , определенных в (1.4). Сделаем одно уточнение к (1.4). Пусть g s и bs — представители смежных классов g¯ и b. Тогда g = ag s , где a ∈ A, g¯ = g s и b = bs . Кроме того, по свойству 4 леммы 3.1.1 представитель смежного класса Ag s bs имеет вид a(g s , bs )g s bs , где a(g s , bs ) ∈ A1 . Поэтому fg (b) = (¯ g b)s )−1 gbs = (a(g s , bs )g s bs )−1 ag s bs = (a(g s , bs )−1 a)g

s bs

,

(3.19)


557

где a ∈ A и a(g s , bs ) ∈ A1 зависит только от g s , bs . Пусть b ∈ B и c ∈ I(B ′ ), тогда c ∈ A · I(G′ ) = A3 и cs ∈ A3 . По свойству 2 леммы 3.1.1, ((¯ g b)c)s = = (¯ g b)s cs и (bc)s = bs cs для любого c ∈ A3 . Поэтому fg (bc) = ((¯ g bc)s )−1 g(bc)s = ((¯ g b)s cs )−1 gbs cs = (cs )−1 fg (b)cs . Элементы fg (b) принадлежат A и потому перестановочны с cs ∈ A3 , откуда fg (bc) = fg (b) и (1.5) проверено. По формуле (3.19) fg (b1 )fg (b2 )−1 = (a(g s , bs1 )−1 a)g

s bs 1

(a−1 a(g s , bs2 ))g

s bs 2

∈ I(G′ ),

поскольку a(g s , bs1 ), a(g s , bs2 ) ∈ A1 ≤ I(G′ ). Кроме того, fg (b1 ), fg (b2 ) ∈ A. Следовательно, fg (b1 )fg (b2 )−1 ∈ A ∩ I(G′ ) и (1.6) имеет место. 2 ЛЕММА 3.2.2. Пусть ϕs : G → W — вложение, определенное в (3.18), и g 6∈ I(G′ ), тогда либо g¯ 6∈ I(B ′ ), либо pr2 (fg (1)) 6= 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g¯ ∈ I(B ′ ), тогда g¯n — произведение коммутаторов группы B. В группе G имеем g n ∈ A · I(G′ ). Учитывая, что подгруппа A · I(G′ ) изолирована, получаем g ∈ A · I(G′ ). Поэтому элемент g представим в виде g = a1 a2 a3 , где ai ∈ Ai и a3 — представитель смежного класса Ag. Поскольку g 6∈ I(G′ ), то a2 6= 1. Подсчитаем fg (1) по формуле (1.4): fg (1) = ((¯ a3 )s )−1 a1 a2 a3 = a−1 3 a1 a2 a3 = a1 a2 , откуда pr2 (fg (1)) = a2 6= 1. ЛЕММА 3.2.3. Для любой Γ-полной группы B и полной абелевой группы A = A1 × A2 подгруппа M(W ) сплетения W = A ≀ B является Γ-полной группой. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку A раскладывается в прямое произведение A1 ×A2 , то и L(W ) раскладывается в прямое произведение L1 ×L2 , где Li = {f ∈ L(W ) | f (b) ∈ Ai для любых b ∈ B}, i = 1, 2. Из условия (1.7) следует, что подгруппы L2 и A2 изоморфны, а L2 содержится в центре группы M(W ). Из условия (1.5) следует, что подгруппа L1 изоморфна декартовому произведению Fun(B2 , A1 ), где B2 = B/I(B ′ ). Причем для любой функции σ : B2 → B, выбирающей представителя ¯bσ смежного класса ¯b = I(B ′ )b, отображение γ : L1 → Fun(B2 , A1 ), определенное по

558


правилу f γ (¯b) = f (¯bσ ), где ¯b ∈ B2 ,

(3.20)

не зависит от σ и является требуемым изоморфизмом. Эти свойства подгрупп L1 и L2 позволяют задать изоморфное отображение группы M(W ) на строго изолированную подгруппу Γ-полной группы B × ×(B2 ≀ A1 ) × A2 . Таким образом, группа M(W ) является Γ-полной. Действительно, элементы группы M(W ) однозначно представимы в виде h = bf1 f2 , где b ∈ B, fi ∈ Li , i = 1, 2. Определим отображение η : M(W ) → B × (B2 ≀ A1 ) × A2 по правилу (bf1 f2 )η = b · ¯bf1γ · f2 (1), где ¯b = I(B ′ )b ∈ B2 .

(3.21)

Отображение η взаимно однозначно, поскольку элементы группы M(W ) однозначно представимы в виде h = bf1 f2 и имеют место изоморфиз∼ Fun(B2 , A1 ), L2 ∼ мы L1 = = A2 . Проверим, что η сохраняет операцию умножения. Согласно определению 1.3.1, b′ f1′ f2′ · bf1 f2 = b′ b(f1′ )b f1 (f2′ )b f2 . ¯σ

Условия (1.5), (1.6) и формула (1.3) дают (f1′ )b = (f1′ )b

и (f2′ )b = f2′ .

Поэтому ¯ (b′ f1′ f2′ · bf1 f2 )η = b′ b · ¯b′¯b(f1′ )γ b f1γ · f2′ (1)f2 (1) = (b′ f1′ f2′ )η · (bf1 f2 )η .

Теперь покажем, что подгруппа M(W )η строго изолирована в группе B × (B2 ≀ A1 ) × A2 . Пусть x = b · ¯b1 f · a и x1+g1 +...+gn ∈ M(W )η . Тогда b1+g1 +...+gn = ¯bn+1 = ¯bn+1 , и значит, ¯b = ¯b1 . Из определений (3.20), 1 (3.21) отображений γ и η получаем, что b · ¯bf · a ∈ M(W )η при любых f ∈ Fun(B2 , A1 ), a ∈ A2 . Следовательно, x = b · ¯b1 f · a ∈ M(W )η . По условию леммы подгруппы A1 , A2 и группа B являются Γ-полными, тогда B2 (как фактор-группа Γ-полной группы) и B2 ≀ A1 (по утвержд. 1.4.2) тоже будут Γ-полными. Следовательно, M(W ) — Γ-полная группа (как строго изолированная подгруппа Γ-полной группы). 2 3.3. Теорема вложения. Основная часть доказательства теоремы вложения относится к конечно порожденным группам. Этот случай рассматривается в лемме 3.3.1, которую (поскольку так удобнее проверять индуктивное предположение) формулируем для групп с конечной системой


559

нормальных выпуклых подгрупп. Для групп с произвольной системой порождающих теорема вложения (теор. 3.3.2) будет следовать из указанной леммы и теоретико-модельных свойств аксиоматизируемых классов. И наконец, в качестве следствия получается, что существует вложение упорядочиваемых метабелевых групп в Γ-полные группы с продолжением любого линейного порядка исходной группы на ее Γ-пополнение (следствие 3.3.3). ЛЕММА 3.3.1. Для всякой линейно упорядоченной метабелевой группы G с конечной системой нормальных выпуклых подгрупп, удовлетворяющей условиям O1–O4, существует изоморфное вложение ε : G → → G∗ в G∗ -полную линейно упорядоченную метабелеву группу G∗ , и при этом (1) исходный линейный порядок группы G продолжается до линейного порядка группы G∗ ; (2) I([G∗ , G∗ ]) ∩ Gε = I([Gε , Gε ]). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ΣG — конечная система нормальных выпуклых подгрупп группы G, удовлетворяющая условиям O1–O4, и пусть n — длина системы ΣG . Проведем индукцию по n. Если ΣG состоит из одного скачка, то G абелева, вкладывается в абелево минимальное пополнение G∗ с продолжением линейного порядка и удовлетворяет всем условиям леммы. Пусть система ΣG состоит из n (не менее двух) скачков, и 1 < A — первый скачок системы Σ. В силу утверждения 1.4.1 можно считать, что A — полная абелева группа. Система ΣB группы B = G/A состоит из n − 1 скачка и по предположению удовлетворяет условиям леммы. Поэтому найдутся метабелева л.у. группа B ∗ и вложение β : B → B ∗ , для последнего выполняются все условия доказываемой леммы. По лемме 3.2.1 группа G вкладывается в подгруппу M(W ) сплетения W = A ≀ B. Определим вложение α : M(W ) → A ≀ B ∗ = W ∗ по правилу: α : bf 7→ bα f α , где bα = b β ,

560


f α (b) =

 β −1    f (b1 ),   

если b ∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]), b = b1 c, b1 ∈ B β , c ∈ I([B ∗ , B ∗ ]),

(3.22)

pr2 (f (1)), если b ∈ B ∗ \ B β · I([B ∗ , B ∗ ]).

В проверке корректности нуждается только первая строчка определения f α (b). По предположению индукции, I([B ∗ , B ∗ ]) ∩ B β = I([B β , B β ]). Если b = b1 c1 = b2 c2 , b1 , b2 ∈ B β , c1 , c2 ∈ I([B ∗ , B ∗ ]), то c2 c−1 ∈ Bβ , и 1 β β значит, c2 c−1 1 ∈ I([B , B ]). В силу справедливости условия (1.5) в группе −1

−1

β ) = f (bβ ), и первая строчM(W ) справедливо f (b1β ) = f ((b2 c2 c−1 2 1 ) −1

ка корректна. Аналогично проверяется, что отображение α согласовано с операцией умножения в группе M(W ), а условия (1.5) и (1.6) гарантируют, что отображение α взаимно однозначно. Теперь проверим, что M(W )α ≤ M(W ∗ ). Условие (1.5) выполняется для f α (b) при b ∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]) по первой строчке определения (3.22), а при b 6∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]) — по второй (в этом случае bc 6∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ])). Для проверки условия (1.6) рассмотрим три случая: (1) b1 , b2 ∈ B β ·I([B ∗ , B ∗ ]), здесь условие (1.6) выполняется, поскольку оно справедливо в M(W ); (2) b1 , b2 6∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]), тогда f α (b1 )(f α (b2 ))−1 = 1; (3) b1 ∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]), b2 6∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]), тогда в силу справедливости условий (1.5), (1.7) в группе M(W ) и определения (3.22) имеем pr2 (f α (b1 )) = pr2 (f α (1)) = pr2 (f α (b2 )), и (1.6) справедливо. Теперь ϕs и α устанавливают вложение ϕs α : G → M(W ∗ ). По утверждению 1.3.4, M(W ∗ ) метабелева. Пусть T ∗ — множество Γ-периодических элементов группы M(W ∗ ). По утверждению 1.1.2 фактор-группа G∗ = = M(W ∗ )/T ∗ не имеет M(W ∗ )-кручения. Покажем, что G∗ удовлетворяет условиям доказываемой леммы. По индуктивному предположению B ∗ является B ∗ -полной и, по лемме 3.2.3, M(W ∗ ) будет M(W ∗ )-полной. Следовательно, G∗ (как фактор-группа группы M(W ∗ )) есть G∗ -полная группа. Проверим, что G изоморфно вкладывается в G∗ . Сначала покажем, что Gϕs α ∩ T ∗ = 1. Для этого установим немного более общий факт (он понадобится нам в дальнейшем), а именно: пусть Gϕs α упорядочена в соответствии с исходным линейным порядком группы G, тогда


561

для любых строго положительных элементов h1 , . . . , hn ∈ Gϕs α и любых g1 , . . . , gn ∈ M(W ∗ ) верно hg11 · . . . · hgnn 6= 1.

(3.23)

Группа M(W ∗ ) допускает естественный гомоморфизм на подгруппу B ∗ , при котором элементы h1 , . . . , hn переходят в положительные элементы этой подгруппы (поскольку A — выпуклая подгруппа группы G, B = G/A и вложение β продолжает порядок группы B на группу B ∗ ). Если (3.23) не выполняется, то h1 , . . . , hn ∈ L(W ∗ ) ∩ Gϕs α , и значит, h1 , . . . , hn ∈ Aϕs α . В этом случае (поскольку A абелева) можно считать, что все gi ∈ B ∗ . Далее, благодаря условию (1.6) без нарушения левой части неравенства (3.23) элементы gi можно заменять на любые элементы из соответствующих смежных классов I([B ∗ , B ∗ ])gi . Осуществим следующие замены. Выберем множество C представителей смежных классов по подгруппе B β ·I([B ∗ , B ∗ ]) группы B ∗ и представим gi в виде gi = di bi ci , di ∈ I([B ∗ , B ∗ ]), bi ∈ B α , ci ∈ C, и заменим gi на bi ci . Для каждого bi найдем подходящий fi ∈ L(W ∗ ), для которого fi bi ∈ Gϕs α . Теперь hg11 · . . . · hgnn = hf11 b1 c1 · . . . · hfnn bn cn , с другой стороны, hifi bi ci = (h′i )ci , где h′i = hifi bi — строго положительный элемент подгруппы Aϕs α . Поэтому можно считать, что все gi из левой части (3.23) принадлежат множеству C. Кроме того, соберем сомножители hgi i с одинаковыми gi в одно произведение, поэтому можно считать, что все gi из левой части (3.23) различны. Предположим, что hg11 · . . . · hgnn = 1, g g1−1

тогда h1 hg22 g1 −1 · . . . · hnn

(3.24) −gn g1−1

= 1 и h1 = h2−g2 g1 −1 · . . . · hn

. Смотрим на

h1 , . . . , hn , как на элементы базы сплетения, и в соответствии с (3.22) sα при b 6∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]). h1 (b) ∈ Aϕ 2

Для b ∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]) выполняется g2 g1−1 b, . . . , gn g1−1 b 6∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]). Поэтому и при b ∈ B β · I([B ∗ , B ∗ ]) имеем −g2 g1−1

h1 (b) = h2

−gn g1−1

(b) · . . . · hn

ϕs α −1 −1 −1 (b) = h−1 2 (g2 g1 b) · . . . · hn (gn g1 b) ∈ A2 ,

562


sα т. е. h1 (b) ∈ Aϕ при любых b ∈ B ∗ . А это вместе с условием (1.6) влечет 2

hg11 = h1 , аналогичное верно и для других hi , i = 2, . . . , n, т. е. hgi i = hi . Таким образом, hg11 · . . . · hgnn = h1 · . . . · hn > 1, и предположение (3.24) неверно, что и доказывает неравенство (3.23). Ввиду (3.23) при естественном гомоморфизме ν

: M(W ∗ ) →

→ M(W ∗ )/T ∗ = G∗ группа Gϕs α изоморфно отображается на подгруппу Gϕs αν группы G∗ . Положим ε = ϕs αν и получим, что ε : G → G∗ — изоморфное вложение. Неравенство (3.23) сохраняется при гомоморфизме ν (если hg11 · . . . . . . · hgnn = t ∈ T ∗ , то найдутся d1 , . . . , dm ∈ M(W ∗ ) такие, что td1 +...+dm = = 1, откуда следует (hg11 · . . . · hgnn )d1 +...+dm = 1, получаем противоречие с (3.23)). Поэтому нормальное замыкание в G∗ полугруппы положительных ∗

элементов P ε группы Gε определяет частичный порядок (P ε )G на G∗ , который продолжается до линейного порядка, поскольку G∗ — метабелева группа без G∗ -кручения и потому доупорядочиваема ([15], см. также [2, 6]). Проверим условие I([G∗ , G∗ ]) ∩ Gε = I([Gε , Gε ]). Пусть g ε ∈ I([G∗ , G∗ ]). Тогда (g ε )n ∈ [G∗ , G∗ ] и, возвращаясь в группу M(W ∗ ), получим (g εν−1 )n = (g ϕs α )n = ht, где h ∈ [M(W ∗ ), M(W ∗ )], t ∈ T ∗ . Найдем d1 , . . . , dm ∈ M(W ∗ ), для которых td1 +...+dm = 1. Тогда (ht)d1 +...+dm = h1 ∈ [M(W ∗ ), M(W ∗ )], (g ϕs α )n(d1 +...+dm ) = (g ϕs α )nm h2 и h2 ∈ [M(W ∗ ), M(W ∗ )], откуда (g ϕs α )nm ∈ [M(W ∗ ), M(W ∗ )]. По определению (3.22) (g ϕs α )nm = (¯ g β · fgα )nm = g¯nmβ · fgnmα f ′ , где f ′ ∈ [B ∗ , L(W ∗ )].


563

По утверждению 1.3.4 [M(W ∗ ), M(W ∗ )] = [B ∗ , B ∗ ] × [B ∗ , L(W ∗ )], откуда g¯nmβ ∈ [B ∗ , B ∗ ] и fgnmα ∈ [B ∗ , L(W ∗ )]. Следовательно, g¯β ∈ I([B ∗ , B ∗ ]) и pr2 (fgα (1)) = 1. По предположению индукции g¯ ∈ I(B ′ ), а ввиду (3.22), pr2 (fg (1)) = 1. По лемме 3.2.2, g ∈ I(G′ ) и, значит, g ε ∈ I([Gε , Gε ]). 2 ТЕОРЕМА 3.3.2. Всякая линейно упорядоченная метабелева группа G изоморфно вкладывается с продолжением исходного линейного порядка в Γ-полную линейно упорядоченную метабелеву группу G∗ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Γ-полные линейно упорядоченные метабелевы группы составляют аксиоматизируемый класс, поскольку являются пересечением аксиоматизируемых классов Γ-полных групп (определяемых формулами (1.2)), линейно упорядоченных групп (см. [2, 6]) и многообразия метабелевых групп. Из теоремы компактности следует (см. [16, § 8, п. 3, следствие 3] или [17, ч. 1, гл. 3, следствие 6.2]), что нашу теорему достаточно доказать для конечно порожденных групп. По теореме 2.2.1 конечно порожденная метабелева л.у. группа имеет конечную систему нормальных выпуклых подгрупп, удовлетворяющих условиям O1–O4, и по лемме 3.3.1 вкладывается в Γ-полную метабелеву л.у. группу. 2 СЛЕДСТВИЕ 3.3.3. Всякая упорядочиваемая метабелева группа G изоморфно вкладывается в Γ-полную упорядочиваемую метабелеву группу G∗ , и при этом любой линейный порядок группы G продолжается до подходящего линейного порядка группы G∗ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {Pi | i ∈ I} — множество всех линейных порядков группы G. Для каждого i ∈ I найдем, по теореме 3.3.2, вложение ϕi группы G в Γ-полную линейно упорядоченную метабелеву группу G∗i с продолжением порядка Pi . Через G∗ обозначается декартово

произведение групп G∗i , i ∈ I. Вложим группу G в диагональную подгруппу группы G∗ , т. е. положим g ϕ (i) = g ϕi . Декартово произведение

564


Γ-полных упорядочиваемых метабелевых групп также является таковым. Чтобы продолжить порядок Pi группы G на G∗ , вполне упорядочим множество I, начиная с элемента i, и упорядочим G∗ лексикографически, считая элемент g ∈ G∗ строго положительным, если положительна первая неединичная координата элемента g в декартовом произведении G∗ . При таком упорядочении декартова произведения на подгруппе Gϕ индуцируется порядок Pi . 2

ЛИТЕРАТУРА 1. А. И. Мальцев, Нильпотентные группы без кручения. Изв. АН СССР, сер. матем., 13, N 3 (1949), 201—212. 2. А. И. Кокорин, В. М. Копытов, Линейно упорядоченные группы, М., Наука, 1972. 3. В. В. Блудов, Н. Я. Медведев, О пополнении упорядочиваемых метабелевых групп, Алгебра и логика, 13, N 4 (1974), 369—373. 4. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Основы теории групп, М., Наука, 1996. 5. В. М. Копытов, Решеточно упорядоченные группы, М., Наука, 1984. 6. В. М. Копытов, Н. Я. Медведев, Правоупорядоченные группы (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (НИИ МИОО НГУ), 1996. 7. А. Г. Курош, Теория групп, М., Наука, 1967. 8. А. И. Кокорин, О доупорядочиваемых группах, Докл. АН СССР, 151, N 1 (1963), 31—33. 9. А. И. Мальцев, Об упорядоченных группах, Изв. АН СССР, сер. матем., 13, N 6 (1949), 473—482. 10. В. Д. Поддерюгин, Условие упорядочиваемости группы, Изв. АН СССР, сер. матем., 21, N 2 (1957), 199—208. 11. L. S. Rieger, On the ordered and cyclically ordered groups (I–III), V˘estn. Kral. ˘ Spole˘c Nauk, 6 (1946), 1—31, 1 (1947), 1—33, 1 (1948), 1—26. Cs. 12. L. Kaloujnine, M. Krasner, Produit complet des group de permutation et probl` em d’extension des groupes. I, II, Acta Sci. Math., 13 (1950), 208—230, 14 (1951), 39—66.


565

13. C. Fox, An embedding theorem for ordered groups. Bull. Aust. Math. Soc., 12, N 3 (1975), 321—335. 14. В. М. Копытов, О линейно упорядоченных разрешимых группах, Алгебра и логика, 12, N 6 (1973), 655—666. 15. А. И. Кокорин, К теории доупорядочиваемых групп, Алгебра и логика, 2, N 6 (1963), 15—20. 16. А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970. 17. Справочная книга по математической логике, ч. 1: Теория моделей, под ред. Дж. Барвайса, М., Наука, 1982.

Адрес автора: БЛУДОВ Василий Васильевич, РОССИЯ, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, Институт динамики систем и теории управления СО РАН. e-mail: [email protected]

Поступило 23 ноября 2001 г.

Пополнение линейно упорядоченных метабелевых групп

Recommend Documents