Плоскость и прямая в пространстве: Учебно-методическое пособие

Ф Е Д Е РАЛ Ь Н О Е АГ Е Н Т С Т В О П О О БРАЗО В АН И Ю В О РО Н Е Ж С К И Й Г О С У Д АРС Т В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РС И Т Е Т

П л оскост ь и пря м а я в прост ра нст ве У чебно-метод и ческоепособи епо специ альности «Хи ми я»020101 (011000).

В О РО Н Е Ж 2005

2 У тверж д ено нау чно-метод и чески м советом математи ческого ф аку льтета 22 сентября2005 год а П ротокол № 2

С остави тель П етрова Е .В .

У чебно-метод и ческоепособи епод готовлено на каф ед реу равнени й вчастны х прои звод ны х и теори и вероятностей математи ческого ф аку льтета В оронеж ского госу ни верси тета Рекоменд у етсяд лясту д ентов1 ку рса д невного отд елени я хи ми ческого ф аку льтета

3

1. П ря м оугол ь ны е коорди на т ы в прост ра нст ве П рямоу гольнаяси стема коорд и нат Oxyz в пространствеопред еляетсязад ани ем масш табной ед и ни цы и змерени яд ли н и трех пересекаю щ и хся вод ной точке O взаи мно перпенд и ку лярны х осей: Ox , Oy и Oz . Т очка O - н а ча лок оор дин а т , Ox - ос ь а бс цис с , Oy - ос ь ор дин а т , Oz - ос ь а пплик ат . П у сть M - прои звольнаяточка пространства. П ровед ем через точку M три плоскости , перпенд и ку лярны е коорд и натны м осям Ox , Oy и Oz . Т очки пересечени яплоскостей с осями обозначи м соответственно через M x , M y и M z . П рямоу гольны ми коорд и натами точки M назы ваю тсячи сла x = OM x , y = OM y , z = OM z , т.е. вели чи ны направленны х отрезков OM x , OM y , OM z ; при э том x назы ваетсяа бс цис с ой, y - ор дин а т ой, z - а пплик а т ой точки M . С и мвол M ( x; y; z ) обозначает, что точка M и мееткоорд и наты x, y, z . Т аки м образом, при вы бранной си стеме коорд и нат каж д ой точке M пространства соответству ет ед и нственная у порядоченная тройка чи сел ( x; y; z ) - ее прямоу гольны е коорд и наты и , обратно, каж д ой у порядоченной тройке чи сел ( x; y; z ) соответству ет, и при том од на, точка M в пространстве. П лоскости Oxy , Oyz , Oxz назы ваю тсяк оор дин а т н ы м и плос к ос т ям и. О ни д елятвсепространство на восемь частей, назы ваемы х ок т а н т а м и. Расстояни е меж д у д ву мяточками A ( x1; y1; z1 ) и B ( x2 ; y2 ; z2 ) опред еляетсяпо ф орму ле d=

( x2 − x1 )

2

+ ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) . 2

2

В частности , расстояни еточки M ( x; y; z ) отначала коорд и нат O опред еляетсяпо ф орму ле d = x2 + y 2 + z 2 . Е сли отрезок, концами которого слу ж ат точки

(

B ( x2 ; y2 ; z2 ) , разд елен точкой C x; y; z

)

A ( x1; y1; z1 )

и

в отнош ени и λ , то коорд и наты

точки C опред еляю тсяпо ф орму лам x + λ x2 y + λ y2 z + λ z2 x= 1 ; y= 1 ; z= 1 . 1+ λ 1+ λ 1+ λ В частности , коорд и наты серед и ны отрезка опред еляю тсяпо ф орму лам x +x y + y2 z +z x= 1 2; y= 1 ; z= 1 2 . 2 2 2

4 П ри мер 1. Д аны точки M 1 ( 2;4; −2 ) и M 2 ( −2;4;2 ) . Н а прямой M 1M 2 найти точку M , д елящ у ю отрезокM 1M 2 вотнош ени и λ = 3 . Реш ени е. В оспользу емсяф орму лами д елени яотрезка вд анном отнош ени и : x + λ x2 2 + 3 ( −2 ) y + λ y2 4 + 3 ⋅ 4 xM = 1 = = −1; yM = 1 = = 4; 1+ λ 1+ 3 1+ λ 1+ 3 z + λ z2 −2 + 3 ⋅ 2 zM = 1 = = 1. 1+ λ 1+ 3 С лед овательно, и скомаяточка M ( −1;4;1) . П ри мер 2. Н а оси Ox найти точку , равноу д аленну ю от точек A ( 2; −4;5 ) и B ( −3;2;7 ) . Реш ени е. П у сть M - и скомаяточка. Д лянее д олж но вы полнятьсяравенство AM = MB . Т аккакэ та точка леж и тна оси Ox , то еекоорд и наты ( x;0;0 ) , а потому и меем AM = ( x − 2 ) + ( −4 ) + 52 , MB = ( x + 3) + 22 + 7 2 . О тсю д а послевозвед ени явквад ратполу чаем 2 2 ( x − 2 ) + 41 = ( x + 3) + 53 , и ли 10 x = −17 , т.е. x = −1,7 . 2

2

2

Т аки м образом, и скомаяточка M ( −1,7;0;0 ) .

З а да ни я дл я са м ост оя т ел ь ного реш ени я 1. Д аны точки A ( 3;3;3) и B ( −1;5;7 ) . Н айти коорд и наты точек C и D , д елящ и х отрезок AB на три равны ечасти . 2. Д ан треу гольни к: A (1;2;3) , B ( 7;10;3) , C ( −1;3;1) . П оказать, что у гол A - ту пой. 3. Н айти коорд и наты центра тяж ести треу гольни ка с верш и нами A ( 2;3;4 ) , B ( 3;1;2 ) , C ( 4; −1;3) . 4. В каком отнош ени и точка M , равноу д аленнаяотточек A ( 3;1;4 ) и B ( −4;5;3) , разд ели т отрезок оси Oy от начала коорд и нат д о точки C ( 0;6;0 ) ? 5. Н а оси Oz найти точку , равноу д аленну ю от точек M ( 2;4;1) и N ( −3;2;5 ) . 6. Н а плоскости xOy найти точку , равноу д аленну ю от точек A (1; −1;5 ) , B ( 3;4;4 ) и C ( 4;6;1) .

5

2. П л оскост ь 1. У р а вн ен иеплос к ос т и в век т ор н ой фор м еи меетви д r ⋅n = p . Зд есь r = xi + yj + zk - рад и у с-вектор теку щ ей точки M ( x; y; z ) плоскости ; n = i cos α + j cos β + k cos γ - ед и ни чны й вектор, и мею щ и й направлени е перпенд и ку ляра, опу щ енного на плоскость и з начала коорд и нат; α , β , γ - у глы , образованны еэ ти м перпенд и ку ляром сосями коорд и нат; p - д ли на э того перпенд и ку ляра. П ри переход еккоорд и натам э то у равнени епри ни маетви д x cosα + y cos β + z cos γ − p = 0 (1) (н ор м а льн оеур а вн ен иеплос к ос т и) 2. У равнени евсякой плоскости мож етбы ть запи сано такж евви д е Ax + By + Cz + D = 0 , (2) 2 2 2 если A + B + C ≠ 0 (общ ее ур а вн ен ие). Зд есь A, B, C мож но рассматри вать каккоорд и наты некоторого вектора N = Ai + Bj + Ck , перпенд и ку лярного плоскости (н ор м а льн оговек т ор а плоскости ). Д ляпри вед ени яобщ его у равнени яплоскости кнормальному ви д у над о все члены у равнени яу множ и ть на норми ру ю щ и й множ и тель 1 µ = ± = ± A2 + B 2 + C 2 , (3) N гд е знакперед рад и калом проти вополож ен знаку свобод ного члена D в общ ем у равнени и плоскости . 3. Ч астны е слу чаи располож ени яплоскости , опред еляемой общ и м у равнени ем Ax + By + Cz + D = 0 : A = 0 ; параллельна оси Ox ; B = 0 ; параллельна оси Oy ; C = 0 ; параллельна оси Oz ; D = 0 ; проход и тчерез начало коорд и нат; A = B = 0 ; перпенд и ку лярна оси Oz (параллельна плоскости xOy ); A = C = 0 ; перпенд и ку лярна оси Oy (параллельна плоскости xOz ); B = C = 0 ; перпенд и ку лярна оси Ox (параллельна плоскости yOz ); A = D = 0 ; проход и тчерез ось Ox ; B = D = 0 ; проход и тчерез ось Oy ; C = D = 0 ; проход и тчерез ось Oz ; A = B = D = 0 ; совпад аетсплоскостью xOy ( z = 0 ); A = C = D = 0 ; совпад аетсплоскостью xOz ( y = 0 ); B = C = D = 0 ; совпад аетсплоскостью yOz ( x = 0 ). Е сли вобщ ем у равнени и плоскости коэ ф ф и ци ент D ≠ 0 , то, разд ели в всечлены у равнени яна − D , у равнени еплоскости мож но при вести кви д у

6 x y z + + =1 a b c

(4)

D D D , b = − , c = − ). Это у равнени е назы вается ур а вн ен ием A B C плос к ос т и в от р езк а х: в нем a, b, c - соответственно абсци сса, орд и ната и аппли ката точекпересечени яплоскости сосями Ox , Oy и Oz . 4. У гол ϕ м еж ду плос к ос т ям и A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 опред еляетсяпо ф орму ле A1 A2 + B1 B2 + C1C2 cos ϕ = . (5) A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 У с ловиепа р а ллельн ос т и плоскостей: A1 B1 C1 = = . (6) A2 B2 C2 У с ловиепер пен дик уляр н ос т и плоскостей: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 . (7) 5. Ра с с т оян ие от т очк и M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) до плос к ос т и, опред еляемой у равнени ем Ax + By + Cz + D = 0 , наход и тсяпо ф орму ле Ax0 + By0 + Cz0 + D . (8) d= A2 + B 2 + C 2 О но равно взятому по абсолю тной вели чи нерезу льтату под становки коорд и натточки в нормальное у равнени еплоскости ; знакрезу льтата э той под становки характери зу етвзаи мноерасполож ени еточки и начала коорд и нат относи тельно д анной плоскости : «плю с», если точка M 0 и начало коорд и нат располож ены по разны е стороны от плоскости , и «ми ну с», если они располож ены по од ну сторону отплоскости . 6. У р а вн ен ие плос к ос т и, пр оходящ ей чер ез т очк у M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) и пер пен дик уляр н ой век т ор у N = Ai + Bj + Ck , и меетви д A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 . (9) П ри прои звольны х значени ях A, B и C послед нее у равнени е опред еляет некотору ю плоскость, при над леж ащ у ю связкеплоскостей, проход ящ и х через точку M 0 . Е го поэ тому часто назы ваю тур а вн ен ием с в язк и плос к ос т ей. 7. У равнени е A1 x + B1 y + C1 z + D1 + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 (10) при прои звольном значени и λ опред еляет некотору ю плоскость, проход ящ у ю через пряму ю пересечени яплоскостей A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 (I) и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 , (II) т.е. некотору ю плоскость, при над леж ащ у ю пу чку плоскостей, проход ящ и х через э ту пряму ю (вси лу чего такоеу равнени ечасто назы ваю тур а вн ен ием пучк а плос к ос т ей). Е сли плоскости , опред еляемы е у равнени ями (I) и (II), (зд есь a = −

7 параллельны , то пу чокплоскостей превращ аетсяв совоку пность плоскостей, параллельны х э ти м плоскостям. 8. У р а вн ен ие плос к ос т и, пр оходящ ей чер ез т р и за да н н ы е т очк и M 1 ( r1 ) , M 2 ( r2 ) , M 3 ( r3 ) (зд есь r1 = x1i + y1 j + z1k ; r2 = x2i + y2 j + z2k ; r3 = x3i + y3 j + z3k ), прощ е найти и з у слови я компланарности векторов r − r1 , r2 − r1 , r3 − r1 , гд е r = xi + yj + zk - рад и у с-вектор теку щ ей точки и скомой плоскости M : ( r − r1 )( r2 − r1 ) ( r3 − r1 ) = 0 , и ли вкоорд и натной ф орме: x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 . (11) x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1 9. Е сли плоскость опред елена тремяточками ( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) и ( x3 , y3 , z3 ) , то у равнени ееетакж епри метви д : x

y

z

x1

y1

z1 1

x2

y2

z2 1

x3

y3

z3 1

1 = 0.

(12)

Е сли четы ре точки ( x1 , y1 , z1 ) , ( x2 , y2 , z2 ) , ( x3 , y3 , z3 ) и ( x4 , y4 , z4 ) леж атв од ной плоскости , то меж д у и х коорд и натами су щ еству етслед у ю щ ее соотнош ени е: x1 y1 z1 1 x2 y2 z2 1 = 0. (13) x3 y3 z3 1 x4 y4 z4 1 Е сли э ти четы ре точки не леж ат в од ной плоскости , то объем тетраэ д ра, верш и нами которого они слу ж ат, вы чи сляетсяпо ф орму ле: x1 y1 z1 1 1 x2 y2 z2 1 V =± . (14) 6 x3 y3 z3 1 x4 y4 z4 1 при чем знакв правой части вы би раетсятак, чтобы резу льтат полу чи лся неотри цательны м (V>0). П ри мер 1. У равнени е плоскости 2 x + 3 y − 6 z + 21 = 0 при вести к нормальному ви д у . Реш ени е. Н аход и м норми ру ю щ и й множ и тель (которы й берем со знаком «ми ну с», поскольку D = 21 > 0 ):

8 1 =− . 7 22 + 32 + 62 И так, нормальноеу равнени езад анной плоскости и меетви д 2 3 6 − x − y + z −3= 0. 7 7 7 П ри мер 2. О пред ели ть расстояни еотточки M 0 ( 3;5; −8 ) д о плоскости 6 x − 3 y + 2 z − 28 = 0 . Реш ени е. И спользу яф орму лу (8) расстояни яотточки д о плоскости , наход и м 6 ⋅ 3 − 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ ( −8 ) − 28 41 = . d= 7 62 + 32 + 2 2 Т аккакрезу льтат под становки коорд и нат точки M 0 ( 3;5; −8 ) в норµ=−

1

мальное у равнени е плоскости отри цателен, то M 0 ( 3;5; −8 ) и начало коорд и натлеж атпо од ну сторону отзад анной плоскости . П ри мер 3. С остави ть у равнени е плоскости , проход ящ ей через точку M ( 2;3;5 ) и перпенд и ку лярной вектору N = 4i + 3 j + 2k . Реш ени е. Д остаточно воспользоватьсяу равнени ем (9) плоскости , проход ящ ей через д анну ю точку и перпенд и ку лярной д анному вектору : 4 ( x − 2 ) + 3 ( y − 3) + 2 ( z − 5 ) = 0 , т.е. 4 x + 3 y + 2 z − 27 = 0 . П ри мер 4. Н айти у равнени е плоскости , проход ящ ей через точку M ( 2;3; −1) параллельно плоскости 5 x − 3 y + 2 z − 10 = 0 . Реш ени е. Запи ш ем у равнени е (9) связки плоскостей, проход ящ и х через д анну ю точку : A ( x − 2 ) + B ( y − 3) + C ( z + 1) = 0 . Н ормальны й вектор и скомой плоскости совпад аетснормальны м вектором n = ( 5; −3;2 ) д анной плоскости ; след овательно, A = 5 , B = −3 , C = 2 и у равнени еи скомой плоскости при метви д 5 ( x − 2 ) − 3( y − 3) + 2 ( z + 1) = 0 , и ли 5 x − 3 y + 2 z + 1 = 0 . П ри мер 5. И з точки P ( 2;3; −5 ) на коорд и натны е оси опу щ ены перпенд и ку ляры . С остави ть у равнени еплоскости , проход ящ ей через и х основани я. Реш ени е. О сновани ями перпенд и ку ляров, опу щ енны х на коорд и натны е плоскости , слу ж ат след у ю щ и е точки M 1 ( 2;3;0 ) , M 2 ( 2;0; −5 ) , M 3 ( 0;3; −5 ) . и спользу ясоотнош ени е(11), запи ш ем у равнени еплоскости , проход ящ ей через точки M 1 ( 2;3;0 ) , M 2 ( 2;0; −5) , M 3 ( 0;3; −5 ) :

9 x−2 y −3 z 0 −3 −5 = 0 , и ли 15 x + 10 y − 6 z − 60 = 0 . −2 0 −5 П ри мер 6. С остави ть у равнени е плоскости , проход ящ ей через точку A ( 5;4;3) и отсекаю щ ей равны еотрезки на осях коорд и нат. Реш ени е. И спользу яу равнени е (4) плоскости в отрезках, в котором a = b = c , и меем x y z + + = 1. a a a Коорд и наты точки A у д овлетворяю ту равнени ю и скомой плоскости , поэ тому вы полняетсяравенство 5 4 3 + + = 1 , отку д а a = 12 . a a a И так, полу чаем у равнени е x + y + z − 12 = 0 . П ри мер 7. С остави ть у равнени еплоскости , проход ящ ей через ли ни ю пересечени яплоскостей x + y + 5 z − 1 = 0 , 2 x + 3 y − z + 2 = 0 и через точку M ( 3;2;1) . Реш ени е. В оспользу емсяу равнени ем (10) пу чка плоскостей: x + y + 5z − 1 + λ ( 2 x + 3 y − z + 2) = 0 . Значени е λ опред еляем и з у слови я, что коорд и наты точки M у д овлетворяю тэ тому у равнени ю : 9 3 + 2 + 5 − 1 + λ ( 6 + 6 − 1 + 2 ) = 9 + 13λ = 0 , отку д а λ = − . 13 Т аки м образом, и скомоеу равнени еи меетви д 9 x + y + 5 z − 1 − ( 2 x + 3 y − z + 2 ) = 0 , и ли 5 x + 14 y − 74 z + 31 = 0 . 13 П ри мер 8. С остави ть у равнени еплоскости , проход ящ ей через ли ни ю пересечени яплоскостей x + 3 y + 5 z − 4 = 0 и x − y − 2 z + 7 = 0 и параллельной оси Oy . Реш ени е. В оспользу емсяу равнени ем пу чка плоскостей: x + 3 y + 5z − 4 + λ ( x − y − 2 z + 7 ) = 0 ; (1 + λ ) x + ( 3 − λ ) y + ( 5 − 2λ ) z + ( 7λ − 4 ) = 0 . Т аккаки скомаяплоскость параллельна оси орд и нат, то коэ ф ф и ци ент при y д олж ен бы ть равен ну лю : 3 − λ = 0 , т.е. λ = 3 . П од стави в найд енноезначени е λ ву равнени епу чка, полу чаем 4 x − z + 17 = 0 .

10 П ри мер 9. Н айти у равнени е плоскости , проход ящ ей через точки A ( 2; −1;4 ) и B ( 3;2; −1) перпенд и ку лярно плоскости x + y + 2 z − 3 = 0 . Реш ени е. В качестве нормального вектора N и скомой плоскости мож но взять вектор, перпенд и ку лярны й вектору AB = {1;3; −5} и нормальному вектору n = {1;1;2} д анной плоскости . П оэ тому за N при мем векторноепрои звед ени е AB и n : i j k N = AB × n = 1 3 −5 = 11i − 7 j − 2k . 1 1 2 О стаетсявоспользоватьсяу равнени ем плоскости , проход ящ ей через д анну ю точку (напри мер, A ) перпенд и ку лярно зад анному вектору N = {11; −7; −2} : 11( x − 2 ) − 7 ( y + 1) − 2 ( z − 4 ) = 0 , и ли 11x − 7 y − 2 z − 21 = 0 . П ри мер 10. С остави ть у равнени еплоскости , проход ящ ей через точку M ( 3; −1; −5 ) и перпенд и ку лярной плоскостям 3x − 2 y + 2 z + 7 = 0 и 5 x − 4 y + 3z + 1 = 0 . Реш ени е. О чеви д но, что вкачественормального вектора N и скомой плоскости мож но взять векторноепрои звед ени енормальны х векторов n1 = {3; −2;2} и n 2 = {5; −4;3} д анны х плоскостей: i j k 2 3 3 −2 −2 2 N = n1 × n 2 = 3 −2 2 = i +j +k = 2i + j − 2k . −4 3 3 5 5 −4 5 −4 3 Т еперь, и спользу яу равнени е плоскости , проход ящ ей через д анну ю точку M ( 3; −1; −5 ) перпенд и ку лярно вектору N = {2;1; −2} , полу чаем 2 ( x − 3) + ( y + 1) − 2 ( z + 5 ) = 0 , и ли 2 x + y − 2 z − 15 = 0 . З а да ни я дл я са м ост оя т ел ь ного реш ени я 1. П ри вести кнормальному ви д у у равнени яслед у ю щ и х плоскостей: а) x + y − z − 2 = 0 ; б) 3x + 5 y − 4 z + 7 = 0 . 2. Н айти расстояни е от точки M 0 (1;3; −2 ) д о плоскости 2 x − 3 y − 4 z + 12 = 0 . Какрасполож ена э та точка относи тельно плоскости ? 3. Н айти д ли ну перпенд и ку ляра, опу щ енного и з точки M 0 ( 2;3; −5 ) на плоскость 4 x − 2 y + 5 z − 12 = 0 .

11 4. Н айти у равнени еплоскости , проход ящ ей через точки P ( 2;0; −1) и Q (1; −1;3) и перпенд и ку лярной плоскости 3x + 2 y − z + 5 = 0 . 5. Н айти у равнени е плоскости , зная, что точка P ( 4; −3;12 ) слу ж и т основани ем перпенд и ку ляра, опу щ енного и з начала коорд и нат на э ту плоскость. 6. Н айти у равнени яплоскостей, проход ящ и х через оси коорд и нат перпенд и ку лярно плоскости 3x − 4 y + 5 z − 12 = 0 . 7. Н айти у равнени еплоскости , точки которой од и наково у д алены от точекP (1; −4;2 ) и Q ( 7;1; −5) . 8. В ы чи сли ть у гол меж д у плоскостями , проход ящ и ми через точку M (1; −1; −1) , од на и з которы х сод ерж и тось Ox , а д ру гая– ось Oz . 9. Н айти у равнени еплоскости , проход ящ ей через точку пересечени я плоскостей 2 x + 2 y + z − 7 = 0 , 2 x − y + 3z − 3 = 0 , 4 x + 5 y − 2 z − 12 = 0 и через точки M ( 0;3;0 ) и N (1;1;1) . 10. С остави ть у равнени е плоскости , проход ящ ей через ли ни ю пересечени я плоскостей x + 5 y + 9 z − 13 = 0 , 3x − y − 5 z + 1 = 0 и через точку M ( 0;2;1) . 11. С остави ть у равнени е плоскости , проход ящ ей через ли ни ю пересечени яплоскостей x + 2 y + 3 z − 5 = 0 и 3x − 2 y − z + 1 = 0 и отсекаю щ ей равны еотрезки на осях Ox и Oz . 12. С остави ть у равнени е плоскости , проход ящ ей через ли ни ю пересечени яплоскостей 2 x − y − 12 z − 3 = 0 и 3x + y − 7 z − 2 = 0 и перпенд и ку лярной плоскости x + 2 y + 5 z − 1 = 0 . 13. С остави ть у равнени е плоскости , проход ящ ей через точку M ( 0;2;1) и параллельной векторам a = i + j + k и b = i + j − k . 14. И звестны коорд и наты верш и н тетраэ д ра: A ( 0;0;2 ) , B ( 3;0;5 ) , C (1;1;0 ) и D ( 4;1;2 ) . С остави ть у равнени еего граней. 15. В ы чи сли ть объем тетраэ д ра, д анного впред ы д у щ ей зад аче. 16. П ровери ть, мож но ли провести плоскость через след у ю щ и ечеты реточки : ( 3;1;0 ) , ( 0;7;2 ) , ( −1;0; −5 ) и ( 4;1;5 ) .

3. П ря м а я 1. П рямаямож етбы ть зад ана ур а вн ен иям и двухплос к ос т ей A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, пересекаю щ и хсяпо э той прямой. 2. И склю чи в поочеред но x и y и з пред ы д у щ и х у равнени й, полу чи м у равнени я

12 x = az + c, y = bz + d . Зд есь прямаяопред елена двум я плос к ос т ям и, пр оецир ую щ им и ее н а плос к ос т и xOz и yOz . 3. У р а вн ен ия пр ям ой, пр оходящ ей чер ез дв е т очк и M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) и M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) , и мею тви д x − x1 y − y1 z − z1 = = . (1) x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 4. Т акназы ваемы ек а н он ичес к иеур а вн ен ия x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) l m n опред еляю т пряму ю , проход ящ у ю через точку M ( x1; y1; z1 ) и параллельну ю вектору s = li + mj + nk . В частности , э ти у равнени ямогу т бы ть запи саны вви д е x − x1 y − y1 z − z1 = = , cos α cos β cos γ гд е α , β и γ - у глы , образованны е прямой с осями коорд и нат. Н аправляю щ и екоси ну сы прямой наход ятсяпо ф орму лам l m n . (3) cos α = ,cos β = ,cos γ = 2 2 2 2 2 2 2 l +m +n l +m +n l + m2 + n2 5. О т канони чески х у равнени й прямой, ввод япараметр t , нетру д но перейти кпа р а м ет р ичес к им ур а вн ен иям :  x = lt + x1 ,  (4)  y = mt + y1 ,  z = nt + z . 1  6. У гол м еж ду двум я пр ям ы м и, зад анны ми и х канони чески ми у рав( x − x1 ) = ( y − y1 ) = ( z − z1 ) и ( x − x2 ) = ( y − y2 ) = ( z − z2 ) , опренени ями l1 m1 n1 l2 m2 n2 д еляетсяпо ф орму ле l1l2 + m1m2 + n1n2 cos ϕ = ; (5) l12 + m12 + n12 l22 + m22 + n22 ус лов иепа р а ллельн ос т и дв ухпр ям ы х: l1 m1 n1 = = ; (6) l2 m2 n2 ус лов иепер пен дик уляр н ос т и дв ухпр ям ы х: l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 . (7) 7. Н еобход и моеи д остаточноеу слови енахож д ени яд ву х прямы х, зад анны х и х канони чески ми у равнени ями , в од ной плоскости (ус ловие к ом пла н а р н ос т и двухпр ям ы х):

13 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 l1 m1 n1 = 0 . (8) l2 m2 n2 Е сли вели чи ны l1 , m1 , n1 непропорци ональны вели чи нам l2 , m2 , n2 , то у казанное соотнош ени е являетсянеобход и мы м и д остаточны м у слови ем пересечени яд ву х прямы х впространстве. x − x1 y − y1 z − z1 = = 8. У гол м еж ду пр ям ой и плос к ос т ью l m n Ax + By + Cz + D = 0 опред еляетсяпо ф орму ле Al + Bm + Cn sin ϕ = ; (9) A2 + B 2 + C 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2 ус лов иепа р а ллельн ос т и пр ям ой и плос к ос т и: Al + Bm + Cn = 0 ; (10) ус лов иепер пен дик уляр н ос т и пр ям ой и плос к ос т и: A B C = = . (11) l m n 9. Д ля опред елени я т очк и пер ес ечен ия пр ям ой x − x0 y − y0 z − z0 = = с плос к ос т ью Ax + By + Cz + D = 0 ну ж но реш и ть l m n совместно и х у равнени я, д лячего след у ет воспользоватьсяпараметри чески ми у равнени ями прямой x = lt + x0 , y = mt + y0 , z = nt + z0 : а) если Al + Bm + Cn ≠ 0 , то прямаяпересекаетплоскость; б) если Al + Bm + Cn = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0 , то прямаяпараллельна плоскости ; в) если Al + Bm + Cn = 0 и Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , то прямаялеж и тв плоскости . П ри мер 1. У равнени япрямы х 2 x − y + 3z − 1 = 0 и 5 x + 4 y − z − 7 = 0 при вести кканони ческому ви д у . Реш ени е. 1 с пос об. И склю чи всначала y , а затем z , и меем 13 x + 11z − 11 = 0 и 17 x + 11y − 22 = 0 . Е сли разреш и ть каж д оеи з у равнени й относи тельно x , то полу чи м 11( y − 2 ) 11( z − 1) x y − 2 z −1 x= = = = , т.е. . −17 −13 −11 17 13 11 с пос об. Н айд ем вектор s = li + mj + nk , параллельны й и скомой прямой. Т аккакон д олж ен бы ть перпенд и ку лярен нормальны м векторам N1 = 2i − j + 3k и N 2 = 5i + 4 j − k зад анны х плоскостей, то за s мож но при нять векторноепрои звед ени евекторов N1 и N 2 :

14 i j k s = N1 × N 2 = 2 −1 3 = −11i + 17 j + 13k . 5 4 −1 Т аки м образом, l = −11; m = 17; n = 13 . В качестве точки M 1 ( x1; y1; z1 ) , через котору ю проход и т и скомая прямая, мож но взять точку пересечени яееслю бой и з коорд и натны х плоскостей, напри мер сплоскостью yOz . Т аккакпри э том x1 = 0 , то коорд и наты y1 и z1 э той точки опред еляю тсяи з си стемы у равнени й зад анны х плоскостей, если вни х полож и ть x = 0 : − y + 3 z − 1 = 0,  4 y − z − 7 = 0. Реш аяэ ту си стему , наход и м y1 = 2, z1 = 1 . И так, и скомаяпрямаяопред еляетсяу равнени ями x y − 2 z −1 = = . 13 −11 17 2 x + 3 y + 3 z − 9 = 0, П ри мер 2. П острои ть пряму ю  4 x + 2 y + z − 8 = 0. Реш ени е. И скому ю пряму ю мож но построи ть какли ни ю пересечени яплоскостей. Д ляэ того запи ш ем у равнени яэ ти х плоскостей вотрезках на осях: x y z x y z + + = 1 , + + = 1. 4,5 3 3 2 4 8 П острои вд анны еплоскости , полу чи м и скому ю пряму ю . z

y

x

15 П ри мер 3. И з начала коорд и нат опу сти ть перпенд и ку ляр на пряму ю x − 2 y −1 z − 3 = = . 2 3 1 Реш ени е. И спользу яу слови е (11) перпенд и ку лярности прямой и плоскости и полагая A = l , B = m, C = n, D = 0 , состави м у равнени е плоскости , проход ящ ей через начало коорд и нат и перпенд и ку лярной зад анной прямой. Это у равнени еи меетви д 2x + 3y + z = 0 . Н айд ем точку пересечени яэ той плоскости и д анной прямой. П араметри чески у равнени япрямой запи ш у тсятак: x = 2 t + 2, y = 3 t + 1, z = t + 3 . Д ляопред елени яt и меем у равнени е 5 2 ( 2t + 2 ) + 3 ( 3t + 1) + t + 3 = 0 , отку д а t = − . 7 Коорд и наты точки пересечени я 4 8 16  4 8 16  x = , y = − , z = , т.е. M  ; − ;  . 7 7 7 7 7 7  О стаетсясостави ть у равнени япрямой, проход ящ ей через начало коорд и нати через точку M ; и спользу ясоотнош ени я(1), полу чи м x y z x y z = . = = , и ли = 4 8 16 1 −2 4 − 7 7 7 x y z П ри мер 4. В у равнени ях прямой = = опред ели ть параметр n 2 −3 n x +1 y + 5 z так, чтобы э та прямаяпересеклась спрямой = = , и найти точку 3 2 1 и х пересечени я. Реш ени е. Д лянахож д ени япараметра n и спользу ем у слови е (8) пересечени я д ву х прямы х; полагаяx1 = −1, y1 = −5, z1 = 0, x2 = 0, y2 = 0, z2 = 0, l1 = 3, m1 = 2, n1 = 1, l2 = 2, m2 = −3, n2 = n , полу чи м 1 5 0 3 2 1 = 0 , и ли 2n + 10 + 3 − 15n = 0 , т.е. n = 1 . 2 −3 n Ч тобы найти коорд и наты точки пересечени япрямы х x y z x +1 y + 5 z = = и = = , 2 −3 1 3 2 1 вы рази м и з первы х у равнени й x и y через z : x = 2 z , y = −3z . П од ставляяэ ти значени явравенство

16 x +1 y + 5 2 z + 1 −3z + 5 = , и меем = , отку д а z = 1. 3 2 3 2 Знаяz , наход и м x = 2 z = 2 , y = −3 z = −3 . С лед овательно, M ( 2; −3;1) . П ри мер 5. С остави ть у равнени япрямой, проход ящ ей через точку M ( 3;2; −1) и пересекаю щ ей ось Ox под прямы м у глом. Реш ени е. Т ак как прямаяперпенд и ку лярна оси Ox и пересекает ее, то она проход и т через точку N ( 3;0;0 ) . С остави в у равнени япрямой, проход ящ ей через точки M и N , полу чаем x − 3 y − 2 z +1 = = , т.е. x = 3 . 0 1 −2 П ри мер 6. Д ана плоскость x + y − 2 z − 6 = 0 и вненееточка M (1;1;1) . Н айти точку N , си мметри чну ю точке M относи тельно д анной плоскости . Реш ени е. Запи ш ем у равнени ялю бой прямой, проход ящ ей через точку M : x −1 y −1 z −1 = = . l m n Коорд и наты {l ; m; n} направляю щ его вектора прямой, перпенд и ку лярной плоскости , мож но замени ть коорд и натами нормального вектора n = {1;1; −2} д анной плоскости . Т огд а у равнени яэ той прямой запи ш у тсяв ви д е x −1 y −1 z −1 = = . 1 1 −2 Н айд ем проекци ю точки M на д анну ю плоскость, реш и в совместно у равнени я x −1 y −1 z −1 x + y − 2 z − 6 = 0, = = . 1 1 −2 П ерепи ш ем у равнени япрямой вви д е x = t + 1, y = t + 1, z = −2t + 1. П од ставляяэ ти вы раж ени яд ля x , y и z в у равнени е плоскости , найд ем t = 1 , отку д а x = 2 , y = 2 , z = −1 . Коорд и наты си мметри чной точки найд у тсяи з ф орму л x + xN y + yN z + zN x= M , y= M , z= M , т.е. 2 2 2 1 + xN 1 + yN 1 + zN 2= , 2= , −1 = , отку д а 2 2 2 xN = 3, yN = 3, z N = −3 . С лед овательно, N ( 3;3; −3) .

17 x −1 y z +1 = = и вне нее точка M (1;1;1) . 2 3 −1 Н айти точку N , си мметри чну ю точке M относи тельно д анной прямой. Реш ени е. У равнени е плоскости , проеци ру ю щ ей точку M на д анну ю пряму ю , и меетви д A ( x − 1) + B ( y − 1) + C ( z − 1) = 0 . Коорд и наты нормального вектора { A; B; C} плоскости , перпенд и ку лярной прямой, замени м коорд и натами направляю щ его вектора {2;3; −1} д анной прямой; тогд а полу чи м 2 ( x − 1) + 3 ( y − 1) − ( z − 1) = 0 , и ли 2x + 3y − z − 4 = 0 . Н айд ем проекци ю точки M на пряму ю , д лячего совместно реш и м си стему у равнени й x −1 y z +1 2 x + 3 y − z − 4 = 0, = = . 2 3 −1 П араметри чески еу равнени яд анной прямой и мею тви д x = 2 t + 1 , y = 3 t , z = −t − 1 . 1 П од ставляяx , y и z ву равнени еплоскости , найд ем t = . О тсю д а 14 8 3 15 x= , y= , z=− . 7 14 14 Т огд а коорд и наты си мметри чной точки мож но найти , и спользу я ф орму лы д лякоорд и натсеред и ны отрезка, т.е. 15 1 + z N 8 1 + xN 3 1 + y N = = , ,− = , отку д а 14 2 14 2 7 2 9 4 22 xN = , y N = − , z N = − . 7 7 7  9 4 22  И так, N  ; − ; −  . 7 7 7  x +1 y −1 z − 2 П ри мер 8. Ч ерез пряму ю = = провести плоскость, па2 −1 3 x y + 2 z −3 раллельну ю прямой = = . −1 2 −3 Реш ени е. Запи ш ем у равнени япервой и з зад анны х прямы х с помощ ью у равнени й д ву х плоскостей, проеци ру ю щ и х еесоответственно на плоскости xOy и yOz : x +1 y −1 = , и ли x + 2 y − 1 = 0 ; 2 −1 П ри мер 7. Д ана прямая

18 y −1 z − 2 = , и ли 3 y + z − 5 = 0 . 3 −1 У равнени е пу чка плоскостей, проход ящ и х через э ту пряму ю , и меет ви д

x + 2 y − 1 + λ ( 3 y + z − 5) = 0 , и ли x + ( 2 + 3λ ) y + λ z − (1 + 5λ ) = 0 . И спользу яу слови е параллельности прямой и плоскости , опред ели м λ так, чтобы соответству ю щ аяплоскость пу чка бы ла параллельна второй и з зад анны х прямы х. И меем −1 ⋅ 1 + 2 ( 2 + 3λ ) − 3λ = 0 , и ли 3λ + 3 = 0 , отку д а λ = −1. Т аки м образом, и скомаяплоскость опред еляетсяу равнени ем x − y − z + 4 = 0. x −1 y +1 z П ри мер 9. Н айти у равнени я проекци и прямой = = на 1 2 3 плоскость. Реш ени е. Запи ш ем у равнени язад анной прямой вви д еу равнени й д ву х плоскостей, проеци ру ю щ и х еесоответственно на плоскости xOy и xOz : x −1 y +1 = , и ли 2 x − y − 3 = 0 ; 1 2 x −1 z = , и ли 3 x − z − 3 = 0 . 1 3 У равнени епу чка плоскостей, проход ящ и х через д анну ю пряму ю , запи ш етсявви д е 2 x − y − 3 + λ ( 3 x − z − 3) = 0 , и ли ( 2 + 3λ ) x − y − λ z − 3(1 + λ ) = 0 . И спользу яу слови еперпенд и ку лярности плоскостей, вы берем и з э того пу чка плоскость, проеци ру ю щ у ю д анну ю пряму ю на зад анну ю плоскость. И меем 1 ⋅ ( 2 + 3λ ) + 1( −1) + 2 ( −λ ) = 0 , и ли λ + 1 = 0 , отку д а λ = −1 . И так, у равнени епроеци ру ю щ ей плоскости и меетви д 2 x − y − 3 + ( −1)( 3x − z − 3) = 0 , и ли x + y − z = 0. И скому ю проекци ю мож но опред ели ть какли ни ю пересечени яд ву х плоскостей – зад анной и проеци ру ю щ ей:  x + y + 2 z − 5 = 0,   x + y − z = 0. П ри вед яэ ти у равнени япрямой кканони ческому ви д у , окончательно полу чи м

19 5 5 5 x y− 3 z− 3 , т.е. z = . = = 1 −1 0 3

З а да ни я дл я са м ост оя т ел ь ного реш ени я 1. Н айти у равнени япроекци й прямой  x + 2 y + 3 z − 26 = 0,  3 x + y + 4 z − 14 = 0 на коорд и натны еплоскости . 2. П ри вести кканони ческому ви д у у равнени япрямой 2 x + 3 y − 16 z − 7 = 0,  3x + y − 17 z = 0. 3. В ы чи сли ть у глы , образованны есосями коорд и натпрямой  x − 2 y − 5 = 0,   x − 3 z + 8 = 0.

4. Н айти у равнени япрямой, проход ящ ей через точку P (1; −2;3) и образу ю щ ей сосями Ox и Oy у глы 45° и 60° . 5. Н айти у равнени япрямой, проход ящ ей через точку P ( 5; −1; −3) и параллельно прямой 2 x + 3 y + z − 6 = 0,  4 x − 5 y − z + 2 = 0. x −1 y − 2 z + 4 6. Н айти точку пересечени я прямы х = = и −1 5 2 x − 2 y − 5 z −1 = = . 2 −2 3 7. Д аны три послед овательны е верш и ны параллелограмма: A ( 3;0; −1) , B (1;2; −4 ) и C ( 0;7; −2 ) . Н айти у равнени ясторон AD и CD . 8. В ы чи сли ть у гол меж д у плоскостями , проход ящ и ми через точку M (1; −1; −1) , од на и з которы х сод ерж и тось Ox , а д ру гая– ось Oz . 9. Н айти параметри чески еу равнени япрямой, проход ящ ей через точки M ( 2; −5;1) и N ( −1;1;2 ) . 10. В ы чи сли ть расстояни е меж д у параллельны ми прямы ми x y − 3 z − 2 x − 3 y +1 z − 2 = = = = и . 1 2 1 1 2 1 11. Д аны точки A ( −1;2;3) и B ( 2; −3;1) . С остави ть у равнени япрямой, проход ящ ей через точку M ( 3; −1;2 ) и параллельной вектору AB . 12. Н айти у гол меж д у прямы ми

20 4 x − y − z + 12 = 0, 3 x − 2 y + 16 = 0, и   y − z − 2 = 0 3 x − z = 0. 13. С остави ть у равнени япрямой, проход ящ ей через точку M ( 0;2;1) и образу ю щ ей равны еу глы свекторами a = i + 2 j + 2k , b = 3j, c = 3k . 14. Н айти у равнени е плоскости , проход ящ ей через пряму ю x +1 y − 2 z = = и перпенд и ку лярной плоскости 3x + y − z + 2 = 0 . 3 −1 4 x y+3 z −2 = 15. Н айти у равнени япроекци и прямой = на плоскость 2 1 −2 2x + 3y − z − 5 = 0 .

21

О сновна я л и т ера т ура 1. Беклеми ш ев Д .В . Ку рс анали ти ческой геометри и и ли нейной алгебры : у чеб. / Д .В . Беклеми ш ев. – М . : В ы сш . ш к., 1998. – 319 с. 2. Д анко П .Е В ы сш аяматемати ка в у праж нени ях и зад ачах / П .Е . Д анко, А.Г . П опов, Т .Я . К ож евни кова. – М . : В ы сш . ш к., 1999. – Ч . 1. – 304 с. 3. Ш и пачев В .С . О сновы вы сш ей математи ки : у чеб. пособи е / В .С . Ш и пачев. – М . : В ы сш . ш к., 1998. – 479 с.

Д опол ни т ел ь на я л и т ера т ура 1. М и норски й В .П . С борни к зад ач по вы сш ей математи ке / В .П . М и норски й. – М . : Н ау ка, 1969. – 352 с. 2. Ц у берби ллер О .Н . Зад ачи и у праж нени япо анали ти ческой геометри и / О .Н . Ц у берби ллер. – М . : Н ау ка, 1966. – 336 с.

22 С одержа ни е 1. П рямоу гольны екоорд и наты впространстве.............................................. 3 2. П лоскость...................................................................................................... 5 3. П рямая. ....................................................................................................... 11 О сновнаяли терату ра ..................................................................................... 21

23

С остави тель П етрова Е лена В лад и ми ровна Ред актор Т и хоми рова О .А.