Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса: Методическое пособие

Ф а куль т ет пр и кла д ной м а т ем а ти ки и м е ха ни ки К аф е д р а д и ф ф ер е нци а ль ны х ур а в нени й Ф ун...

Author: Ларин А.А. | Половинкин И.П.

3 downloads 169 Views 197KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Ф а куль т ет пр и кла д ной м а т ем а ти ки и м е ха ни ки К аф е д р а д и ф ф ер е нци а ль ны х ур а в нени й

Ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е нени ем и и нт егр а лСт и лть е са .

М е тод и ческое пособи е д ля ст уд ент ов 2 кур са д нев ного отд еле ни я ф а куль те та ПМ М .

Соста в и те ли : А . А . Ла р и н, И . П. Полов и нки н

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ВВЕДЕНИ Е. В д а нном м ет од и че ском пособи и и з ла га ю тся основ ны е св ойств а ф ункци й с огр а ни че нны м и з м е не ни е м и и нте гр а ла Ст и лт ь е са. М ет од и ческое пособи е сост ои т и зд в ух па р а гр а ф ов , р а з би т ы х на пункт ы . В пер в ом па р а гр а ф е пр и в од и т ся опр е д е ле ни е ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е не ни е м и р а ссм а тр и в а ю т ся св ойств а та ки х ф ункци й. Уста на в ли в ае т ся кр и т ер и й д ля ф ункци й с огр а ни че нны м и з м е не ни ем , пр и в од и т ся пр и м ер не пр ер ы в ной ф ункци и , и м ею ще й не огр а ни че нное и з м е нени е . Вт ор ой па р а гр а ф полность ю посв яще н и зуче ни ю св ойств и нт е гр а ла Ст и лт ь е са .

1. Ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е нени ем и некот ор ы е и х св ойств а . 1.1. Опр е д еле ни е ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е не ни ем . Пуст ь ф ункци я f(x) опр ед еле на в некот ор ом коне чном пр ом ежут ке [a; b], a < b. Ра з обь ем отр езок [a; b] пр ои з в оль ны м обр а зом на ча ст и т очка м и д еле ни я a = x 0 < x1 < x 2 ... < x i < x i +1 < ... < x n = b

и соста в и м сум м у в и д а n −1

V = ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) .

(1.1.1)

i =0

Если м ноже ств о в сех сум м V в и д а (1.1.1) огр а ни че но св ер ху, т о гов ор ят, что ф ункци я f ( x) в пр ом е жут ке [a; b] и м е ет огр а ни че нное и з м ене ни е (и ли огр а ни че нную в ар и а ци ю ). Пр и э т ом т очную в ер хню ю гр а нь м ноже ст в а э т и х сум м на з ы в аю т полны м и з м е не ни ем (и ли полной в а р и а ци е й) ф ункци и в ука з а нном пр ом ежут ке и обознача ю т си м в олом

b

V f ( x) . Т а ки м

обр а зом ,

a

b

V f ( x) = sup{V } . a

Э т о понят и е пр и м е няю т и в случа е ф ункци и не огр а ни че нного и з м е не ни я. Т огд а по опр е д еле ни ю пола га ю т, чт о полное и з м е не ни е р а в но +∞ . Очев и д но, что в обои х случа ях м ожно та к в ы бр а ть после д ов а т ель ност ь р а з би е ни й τ n отр езка [a; b] , что чи слов а я после д ов а т ель ность {Vn } соотв е тст в ую щи х э т и м р а з би е ни ям сум м в и д а (1.1.1) буд е т и м е ть пр ед елом

b

V f ( x) . a

И ногд а ст а в и т ся в опр ос об огр а ни че нност и и з м е не ни я ф ункци и f(x) в бесконечном пр ом ежут ке. Ра ссм отр и м , на пр и м е р , пр ом е жут ок в и д а [a; ∞) (в д а ль не йш ем и з ложе ни и м ы буд ем огр а ни чи в а ть ся р а ссм отр е ни ем и м е нно та кого бе сконечного пр ом ежутка ). Г ов ор ят, чт о ф ункци я f(x) и м е е т огр а ни че нное и з м е не ни е в пр ом е жут ке [a; ∞ ) , если она яв ляет ся ф ункци е й с огр а ни че нны м и з м е не ни ем на лю бом от р ез-

2


A

ке в и д а [a; A], a < A, и полны е и з м е нени я V f ( x) огр а ни че ны в сов окупност и . Пр и a

э т ом пола га ю т

∞

A

V f ( x) = sup{V f ( x)}. A> a

a

a

Пр и м ер ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е не ни ем . Пуст ь на от р е з ке [a; b] з а д а на м онот онна я ф ункци я f(x). Т огд а д ля лю бого р а з би е ни я{xi}i=n отр езка [a; b] и м е ем i=0

n −1

V = ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) = i =0

n−1

∑ ( f (x i=0

i +1

) − f ( xi )) = f (b) − f ( a) .

Поэ т ом у f(x) и м е е т огр а ни ченное и з м ене ни е на от р езке [a; b] и b

V f ( x) =

f (b) − f (a ) .

a

Пр и м ер ф ункци и , и м е ю ще й не огр а ни че нное и з м е нени е . Пуст ь на отр ез ке [0; 1] з а д а на ф ункци я f(x) в и д а π   x cos , 0 < x ≤ 1, f ( x) =  2x 0, x = 0.

Ф и кси р уе м пр ои з в оль ное n ∈ N и в ы бер ем в ка че ств е точек д еле ни я отр езка

[0;1] точки

0
0 та ка я, чт о д ля лю бы х т оче к x, y и зотр езка [a; b] в ы полняе т ся нер ав е нств о f ( y ) − f ( x) ≤ L y − x . Т огд а ф ункци я f(x) и м е е т огр а ни ченную в а р и аци ю и спр ав е д ли в о нер а в е нство b

V f ( x ) ≤ L (b − a ) . a

Дока з а те ль ств о. Дока зат е ль ст в о э т ого ут в е р жд е ни я сле д уе т и зне р а в е нст в а n −1

n −1

i =0

i =0

V = ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤ L∑ ( xi +1 − xi ) = L(b − a ).

3. Пуст ь ф ункци я f(x) и м е е т огр а ни че нную пр ои з в од ную на отр е з ке [a; b], т . е . пуст ь f ' ( x) ≤ L д ля лю бого x ∈ [ a; b] , L = const. Т огд а f(x) и м е е т огр а ни че нную в а р и а ци ю на пр ом ежут ке [a; b]. Дока з а те ль ств о.Доста т очно пока з а т ь , чт о ф ункци я f(x) уд ов ле тв ор яет услов и ю Ли пш и ца . Пуст ь x и y – пр ои з в оль ны е т очки от р е з ка [a; b]. По те ор ем е Ла гр а нжа и м е ем : f ( y ) − f ( x ) = f '( x + θ ( y − x ))( y − x ),θ ∈ (0;1) Поэ т ом у f ( y ) − f ( x) ≤ L y − x , т. е. f(x) уд ов ле тв ор яе т услов и ю Ли пш и ца . 4. Пуст ь ф ункци я f(x) в коне чном пр ом ежут ке [a; b] (в бе сконе чном пр ом е жут ке [a; ∞ )) пр е д ста в и м а в в и д е и нт е гр ала с пер ем е нны м в ер хни м пр ед елом x

f ( x ) = C + ∫ ϕ (t ) dt , a

гд е ϕ(t) а бсолю т но и нте гр и р уе м а в р а ссм а т р и в а ем ом пр ом ежут ке. Т огд а f ( x) и м е ет в э т ом пр ом ежут ке огр а ни че нное и з м е не ни е, пр и э т ом b

b

V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt a

a

∞

   V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt . a a   ∞

Дока з а те ль ств о. Ра ссм от р и м сна ча ла конечны й пр ом ежуток [a; b] . Для лю бого е го р а з би е ни я и м е ем : n−1

n−1 xi +1

n−1 xi +1

b

i=0

i =0 xi

i =0 xi

a

V = ∑ f (xi+1 ) − f (xi ) = ∑ ∫ ϕ(t)dt ≤ ∑ ∫ ϕ(t) dt = ∫ ϕ(t) dt. Отсю д а сле д уе т, чт о ф ункци я f ( x) и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е и чт о b

b

a

a

V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt . 4


Ра ссм отр и м те пер ь случа й бе сконе чного пр ом ежут ка [a; ∞) . По уже д ока з а нном у д ля лю бого чи сла А > а ф ункци я f ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м ене ни е на отр ез ке [a; A] и в ы полняе тся нер ав е нств о A

A

∞

a

a

a

V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt ≤ ∫ ϕ (t ) dt . Отсю д а сле д уе т, чт о f ( x) и м е ет огр а ни че нную в а р и а ци ю на [a; ∞) и в ы полняе тся нер а в е нств о ∞

∞

a

a

V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt . 1.3. Св ойств а ф ункци й с огр а ни че нны м и з м е не ни ем . Б уд ем счи та т ь , чт о ф ункци и , р а ссм а тр и в а ем ы е ни же, опр ед елены на конечном пр ом е жут ке [a; b] . 1. Всяка я ф ункци я с огр а ни че нны м и з м е не ни ем огр а ни че на . Дока з а те ль ств о. Ф и кси р уе м пр ои з в оль ное чи сло x ∈ ( a; b] . Т огд а b

V = f (x) − f (a) + f (b) − f (x) ≤V f (x), a

откуд а сле д уе т, чт о b

f (x) = f (x) − f (a) + f (a) ≤ f (x) − f (a) + f (a) ≤ f (a) +V f (x). a

В си лу пр ои з в оль ност и x от сю д а сле д уе т, чт о f ( x) огр а ни че на . 2. Сум м а , р аз ность и пр ои з в е д е ни е д в ух ф ункци й f ( x) и g ( x) с огр а ни че нны м из м ене ни ем та кже яв ляю т ся ф ункци ям и с огр а ни че нны м и з м е не ни е м . i =n Дока з а те ль ств о. Пуст ь h( x) = f ( x) ± g ( x) и пуст ь { xi }i =0 - пр ои з в оль ное р а з би е ни е от р е з ка [a; b] . Для лю бого и нд екса i и м е е м : h( xi +1 ) − h( xi ) = ( f ( xi +1 ) ± g ( xi +1 )) − ( f ( xi ) ± g ( xi )) = ( f ( xi +1 ) − f ( xi )) ± ( g ( xi +1 ) − g ( xi )) ≤ ≤ f ( xi +1 ) − f ( xi ) + g ( xi +1 ) − g ( xi ) .

Поэ т ом у n −1

∑ h( x i =0

i +1

n −1

n −1

b

b

i =0

i =0

a

a

) − h( xi ) ≤ ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) + ∑ g ( xi +1 ) − g ( xi ) ≤ V f ( x) + V g ( x).

ке [a; b] и Отсю д а сле д уе т, чт о h( x) и м е ет огр а ни че нную в а р и а ци ю на от р е з b

b

b

a

a

a

V h( x ) ≤ V f ( x ) + V g ( x )

5


Пуст ь те пер ь h( x) = f ( x ) g ( x ) и пуст ь { xi }i= 0 - пр ои з в оль ное р а з би е ни е пр ом ежут ка [a; b] . Пуст ь , д а ле е, чи сла K и L та ков ы , что д ля лю бого x ∈ [a; b] в ы полняю т ся не р а в е нст в а f ( x) ≤ K , g ( x) ≤ L (см . св ойств о 1). Для лю бого и нд е кса i и м е ем : i=n

h( xi +1 ) − h( xi ) = f ( xi +1 ) g ( xi +1 ) − f ( xi ) g ( xi ) = = f ( xi +1 ) g ( xi +1 ) − f ( xi +1 ) g ( xi ) + f ( xi +1 ) g ( xi ) − f ( xi ) g ( xi ) = = f ( xi +1 ) ( g ( xi +1 ) − g ( xi ) ) + g ( xi )( f ( xi +1 ) − f ( xi )) ≤ ≤ K g ( xi +1 ) − g ( xi ) + L f ( xi +1 ) − f ( xi ) .

Поэ т ом у n −1

∑ h( x i =0

i +1

n−1

n −1

b

b

i=0

i=0

a

a

) − h( xi ) ≤ K ∑ g ( xi +1 ) − g ( xi ) + L∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤ K ⋅V g ( x) + L ⋅V f ( x).

Отсю д а сле д уе т, чт о h( x) и м е ет огр а ни че нную в а р и а ци ю и чт о b

b

b

a

a

a

V h( x) ≤ KV g ( x) + LV f ( x). 3. Если f ( x) и g ( x) е сть ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е не ни ем и , кр ом е т ого, g ( x) ≥ δ > 0 д ля лю бого x ∈ [a; b] , то и ча ст ное

f ( x) ест ь ф ункци я с огр а ни g ( x)

че нны м и з м е не ни е м . Дока з а те ль ств о. Дост а точно пока з а ть , чт о ф ункци я h( x) = 1/ g ( x) ест ь ф ункци я с огр а ни че нны м и з м е не ни е м . Пуст ь { xi }ii== 0n - пр ои з в оль ное р а з би е ни е отр ез ка [a; b] . Для лю бого и нд екса i в ер но нер ав е нств о h( xi +1 ) − h( xi ) =

g ( xi +1 ) − g ( xi ) g ( xi +1 ) − g ( xi ) 1 1 , − = ≤ g ( xi +1 ) g ( xi ) g ( xi +1 ) g ( xi ) δ2

поэ т ом у n −1

∑ h( x i =0

i +1

) − h( xi ) ≤

1 δ2

n −1

∑ g(x

i +1

i=0

) − g ( xi ) ≤

1 b g ( x). δ 2 Va

Отсю д а сле д уе т, чт о ф ункци я h( x) и м ее т огр а ни че нное и з м е не ни е. 4. Пуст ь ф ункци я f ( x) опр ед еле на на отр езке [a; b] и c ∈ (a; b) . Если f ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м ене ни е на от р езке [a; b] , то она и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е и в кажд ом и зпр ом ежут ков [a; c] и [c; b] , и обр а т но. Пр и э т ом b

c

b

a

a

c

V f ( x) = V f ( x) + V f ( x) . 6


Дока з а те ль ств о. Пуст ь f ( x) и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е на отр езке [a; b] . Разобь ем отр ез ки [a; c] и [c; b] на част и т очка м и д е ле ни я a = y0 < y1 < ... < ym = c и c = z0 < z1 < ... < zn = b, соотв ет ств е нно. Пр и э т ом т очки д еле ни я y0 , y1 ,..., ym , z1 ,..., zn обр азую т не кот ор ое р а з би е ни е отр ез ка [a; b] . Для ка жд ого и зпр ом е жут ков [a; c] и [c; b] соста в и м сум м ы : V1 = ∑ f ( yk +1 ) − f ( yk ) , k

V2 = ∑ f ( zl +1 ) − f ( zl ) . l

Т огд а соотв ет ств ую ща я сум м а д ля от р е з ка [a; b] буд е т V = V1 + V2 . Т а ки м обр а з ом , b

V1 + V2 ≤ V f ( x)

(1.3.1)

a

Поэ т ом у b

Vi ≤ V f ( x), i = 1, 2. a

Отсю д а след ует , что f ( x) и м е ет огр а ни че нную в ар и а ци ю на ка жд ом и зот р е з би ени й отр ез ков [a; c] и ков [a; c] и [c; b] . Вы би р ая т е пер ь после д ов а т ель ност и р а з ом , чт обы д ля чи слов ы х после д ов а т ель ност е й V1n и V2n сум м в и [c; b] та ки м обр а з д а (1.1.1) в ы полняли сь услов и я c

b

a

c

V1n → V f ( x), V2n → V f ( x), n → ∞ ,

и знер а в е нств а (1.3.1) получи м , чт о c

b

b

a

c

a

V f ( x) + V f ( x) ≤ V f ( x).

(1.3.2)

Пуст ь те пер ь f ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м е нени е на ка жд ом и зотр ез ков [a; c] и [c; b] . Рассм от р и м пр ои з в оль ное р а з би е ни е { xi } отр ез ка [a; b] , и пуст ь V сум м а в и д а (1.1.1) д ля э т ого р а з би е ни я. Если т очка c сов па д а ет с од ной и зт оче к x p , т о, и споль з уя пр ежни е обозна че ни я, получа е м c

b

a

c

V = V1 + V2 ≤ V f ( x ) + V f ( x).

Если же т очка c не в ход и т в соста в точе к д еле ни я, т о м ы е е д ополни т ель но в в ед ем . Пуст ь V ' - сум м а , отв еча ю ща я э т ом у нов ом у р а з би е ни ю . Т огд а V ' ≥ V . Вт ех же обоз на че ни ях и м е ем c

b

a

c

V ≤ V ' = V1 + V2 ≤ V f ( x) + V f ( x).

И т а к, в лю бом случа е в ер но нер а в е нст в о c

b

a

c

V ≤ V f ( x) + V f ( x).

(1.3.3)

И з(1.3.3) сле д уе т, чт о ф ункци я f ( x) и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е на [a; b] и в ер но нер а в е нств о 7


b

c

b

a

a

c

V f ( x) ≤ V f ( x) +V f ( x).

(1.3.4)

И з(1.3.2) и (1.3.4) сле д уе т, чт о b

c

b

a

a

c

V f ( x) = V f ( x) +V f ( x). 5. Если на отр е з ке [a; b] ф ункци я f ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м е нени е, то пр и x

x ∈ [a; b] полное и з м е не ни е g ( x) = V f (t ) ( g (a) = 0 ) буд ет в оз р а ст а ю ще й (и огр а ни a

ченной) ф ункци е й от x . Дока з а те ль ств о. Для лю бы х д в ух т очек x ' и x '' та ки х, чт о a ≤ x ' < x '' ≤ b , в ер но соотнош е ни е x''

x'

x''

a

a

x'

V f (t ) = V f (t ) + V f (t ) , и зкот ор ого след ует , что x''

g ( x '') − g ( x ') = V f (t ) ≥ 0. . x'

З а м еча ни е. Изсв ойств а 5 сле д уе т, чт о в случа е бесконечного пр ом ежутка [a; ∞ ) полное и з м е не ни е

∞

V f ( x)

э кв и в а ле нт ны м обр а зом м ожно опр е д ели ть соот-

a

нош е ни ем ∞

V f ( x) = a

A

lim V f ( x)

A→+∞

a

С пом ощь ю э т ого соот нош е ни я д ока з а нны е в э том пункте св ойств а обобща ю т ся и на случа й бесконечного пр ом ежутка . 1.4. К р и т ер и й д ля ф ункци й с огр а ни ченны м и з м е не ни ем . Пуст ь f ( x) опр е д еле на в коне чном и ли бесконечном пр ом ежут ке X ( X = [a; b] и ли X = [a; ∞) ). Т е ор е м а . Для т ого, чт обы ф ункци я f ( x) и м е ла в пр ом ежут ке X огр а ни че нное из м ене ни е, не обход и м о и д оста т очно, чт обы д ля нее в э том пр ом е жут ке суще ств ов ала в оз р а ста ю ща я и огр а ни че нна я ф ункци я F ( x) , та ка я, что в лю бой ча ст и [ x '; x ''] ( x ' < x '') пр ом е жут ка X пр и р а ще ни е ф ункци и f ( x) по м од улю не пр ев осход и т соотв ет ств ую ще го пр и р а ще ни я ф ункци и F ( x) : f ( x '') − f ( x ') ≤ F ( x '') − F ( x ').

Дока з а те ль ств о т е ор ем ы . Не обход и м ость . Пуст ь f ( x) и м е ет в пр ом ежутке X огр а ни ченное и з м ене ни е. Положи м x

F ( x) = V f (t ). a

р а ста ю ща я и огр а ни че нна я ф ункци я. К р ом е т ого, Т огд а F ( x) - в оз

8


x ''

f ( x '') − f ( x ') ≤ V f (t ) = F ( x '') − F ( x ') , x'

т а к чт о F ( x) - ф ункци я с тр ебуем ы м и св ойст в а м и . Дост а т очност ь . Пуст ь суще ств уе т ф ункци я F ( x) с ука з а нны м и св ойст в а м и . i =n Пуст ь сна ча ла X = [a; b] , и пуст ь { xi }i =0 - пр ои з в оль ное р а з би е ни е пр ом е жут ка [a; b] . И м е ем : n −1

n −1

i =0

i =0

V = ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤ ∑ ( F ( xi +1 ) − F ( xi ) ) = F (b) − F (a).

(1.4.1)

И з(1.4.1) след уе т, чт о f ( x) и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е на [a; b] . Пуст ь т е пер ь X = [a; ∞). Ф и кси р уем пр ои з в оль ное чи сло A > a . Т огд а , по уже д ока з а нном у, д ля лю бого р а зби е ни я отр ез ка [a; A] и м е ем V ≤ F ( A) − F (a ) . Поэ т ом у A

V f ( x) ≤ F ( A) − F (a) ≤ lim F (t ) − F (a ) . a

t →+∞

В си лу пр ои з в оль ност и A > a от сю д а сле д уе т , чт о f ( x) и м е е т огр а ни че нное и зм е не ни е на [a; ∞) . Т еор ем а д ока з а на . З а м еча ни е. Ф ункци ю F ( x) , уд ов ле тв ор яю щую услов и ям т е ор е м ы , на з ы в ают м а жор а нт ой д ля f ( x) . Пр и в е д ем те пе р ь е ще од ну ф ор м у кр и т е р и я. Т е ор е м а . Для т ого чт обы ф ункци я f ( x) и м ела в пр ом ежут ке X огр а ни че нное из м ене ни е, не обход и м о и д оста т очно, чт обы она в э т ом пр ом ежут ке м огла бы ть пр е д ста в ле на в в и д е р а з ност и д в ух в оз р а ста ю щи х и огр а ни че нны х ф ункци й: f ( x) = g ( x) − h( x) .

Дока з а те ль ств о т е ор ем ы . Не обход и м ость . Пуст ь f ( x) и м е ет в X огр а ни че нное и з м е нени е. Т огд а д ля f ( x) суще ств уе т в оз р а ста ю ща я и огр а ни че нна я м а жор а нта F ( x) . Положи м g ( x) = F ( x), h( x) = F ( x) − f ( x) . Т огд а f ( x) = g ( x) − h( x) . Т а к ка к ф ункци я f ( x) огр а ни чена , т о и h( x) огр а ни че на . Убе д и м ся, чт о h( x) в оз р а ста ю ща я ф ункци я. Пуст ь x '' > x ', x ', x '' ∈ X . Т огд а h( x '') − h( x ') = F ( x '') − f ( x '') − ( F ( x ') − f ( x ')) = F ( x '') − F ( x ') − ( f ( x '') − f ( x ')) ≥ ≥ F ( x '') − F ( x ') − f ( x '') − f ( x ') ≥ 0.

Т а к что h( x) - в оз р а ста ю ща я ф ункци я. Дост а т очност ь . Пуст ь f ( x) пр ед ста в и м а в пр ом ежут ке X в в и д е р а ста ю щи е и огр а ни че нны е ф ункци и . Пока f ( x) = g ( x) − h( x) , гд е g ( x) и h( x) - в оз жем , чт о F ( x) = g ( x) + h( x) есть м а жор а нта д ля f ( x) . Я сно, чт о F ( x) ест ь в озра ст а ю ща я и огр а ни че нна я ф ункци я. К р ом е т ого, е сли x ' < x '', x ', x '' ∈ X , то f ( x '') − f ( x ') = ( g ( x '') − h( x '')) − ( g ( x ') − h( x ')) = ( g ( x '') − g ( x ')) − (h ( x '') − h( x ')) ≤ ≤ g ( x '') − g ( x ') + h( x '') − h( x ') = g ( x '') − g ( x ') + h( x '') − h( x ') = F ( x '') − F ( x '), 9


т о е ст ь f ( x '') − f ( x ') ≤ F ( x '') − F ( x ').

Поэ т ом у ф ункци я F ( x) ест ь м а жор а нта д ля f ( x) . В си лу пр е д ы д ущей т е ор ем ы м е не ни е в X . Т еор ем а д ока з а на . f ( x) и м ее т огр а ни че нное и з З а м еча ни е. Ф ункци и g ( x) и h( x) и зпр е д ст ав ле ни я ф ункци и f ( x) с огр а ни ченны м и з м е не ни е м м ожно счи та ть ст р ого в оз р а ста ю щи м и . Де йств и т ель но, е сли э т о не т а к, то м ожно положи т ь g1 ( x) = g ( x) + arctgx, h1 ( x) = h( x) + arctgx,

пр и э т ом g1 ( x) − h1 ( x) = f ( x) .

2. И нт е гр а лСт и лть е са . 2.1. Опр е д еле ни е и нт е гр а ла Сти лт ь е са . И нт е гр а лСт и лт ь е са яв ляе т ся не поср е д ств енны м обобще ни е м опр ед еле нного и нте гр а ла Ри м а на . Опр е д е ляет ся он сле д ую щи м обр а зом . Пуст ь на от р е з ке [a; b] з а д а ны д в е огр а ни че нны е ф ункци и f ( x) и g ( x) . Ра з обь ем отр езок [a; b] на ча сти т очкам и д еле ни я a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b и положи м ке d = max ∆xi , гд е ∆xk = xk +1 − xk , k = 0,1,..., n − 1 . Вы бер ем на ка жд ом от р е з i

[ xi , xI +1 ], i = 0,1,..., n − 1 , пр ои з в оль ны м обр азом т очку ξi и соста в и м сум м у n −1

σ = ∑ f (ξ i )∆g ( xi ),

(2.1.1)

i=0

гд е ∆g ( xi ) = g ( xi+1 ) − g ( xi ), i = 0,1,..., n − 1 Сум м а (2.1.1) носи т на з в а ни е и нт егр а ль ной сум м ы Ст и лть е са . ы в а ет ся пр е д елом сум м σ пр и d → 0 , если д ля лю бого ε > 0 суЧ и сло I на з ще ств уе т чи сло δ > 0 та кое, чт о д ля лю бого р а з би е ни я отр езка [a; b] с д и а м етр ом d < δ пр и лю бом в ы бор е пр ом е жут очны х т очек ξi ∈ [ xi ; xi +1 ] в ы полняет ся не р а в енств о σ − I < ε . ы в а е тся и нт еК онечны й пр е д елсум м σ пр и d → 0 , если он суще ств ует , на з гр а лом Ст и лт ь е са ф ункци и f ( x) по ф ункци и g ( x) и обоз на ча е т ся си м в олом b

∫ f ( x)dg ( x) a

Т аки м обр азом , 10


(2.1.2).

n −1

b

∫ f ( x)dg ( x) = lim ∑ f (ξ )∆g ( x ) . d →0

a

i=0

i

i

Если и нте гр а л(2.1.2) суще ств ует , т о гов ор ят, чт о ф ункци я f ( x) на отр ез ке [a; b] и нт е гр и р уе м а по ф ункци и g ( x) .

Очев и д но, и нте гр а лРи м а на ест ь ча ст ны й случа й и нте гр а ла Ст и лт ь еса : он отв еча е т случа ю ф ункци и g ( x) = x . 2.2. Общи е услов и я суще ств ов а ни я и нт е гр ала Ст и лт ь е са . Уст а нов и м общи е услов и я суще ств ов а ни я и нте гр а ла Ст и лт ь е са в пр е д положе ни и , чт о ф ункци я g ( x) в оз р а ста е т на от р ез ке [a; b] . Вэ т ом случа е в се ∆g ( xi ) ≥ 0 , и м ожно пов т ор и ть конст р укци ю постр ое ни я обы чного и нт е гр а ла Ри м а на . Пуст ь mi = inf f ( x), M i = sup f ( x), i = 0,1,..., n − 1 . [ x ;x ] i

i +1

[ xi ; xi + 1 ]

Вв е д ем в р а ссм отр е ни е сум м ы Да р бу-Ст и лть е са n −1

s = ∑ mi ∆g ( xi ), i=0

n −1

S = ∑ M i ∆g ( xi ). i =0

Сум м ы s и S на з ы в а ю т , соот в ет ств е нно, ни жней и в е р хне й сум м ам и Да р буСт и лть е са . Очев и д но, чт о д ля лю бого р а з би е ни я s ≤σ ≤ S , пр и че м s и S яв ляю тся т очны м и гр а ням и д ля ст и лть есов ы х сум м σ . Ле гко д оказ ы в а ет ся, чт о сум м ы Да р бу-Ст и лт ь е са обла д а ю т след ую щи м и св ойств а м и . 1. Пр и и з м ель чени и р а зби е ни я ни жняя сум м а Да р бу-Ст и лть е са м ожет ли ш ь в оз р а ст и , а в ер хняя сум м а – ли ш ь ум е нь ш и ть ся. 2. К а жд а я ни жняя сум м а Да р бу-Ст и лть е са не пр ев осход и т пр ои з в оль ной в ер хне й сум м ы , хотя бы и отв е ча ю ще й д р угом у р а з би е ни ю пр ом ежут ка . Если в в ест и ни жни й и в е р хни й и нт е гр а лы Да р бу-Ст и лт ь еса I* = sup{s}, I * = inf{S} ,

т о получи м , чт о s ≤ I* ≤ I * ≤ S .

С пом ощь ю сум м Да р бу-Ст и лт ь е са в р а ссм а тр и в а ем ом случа е ле гко уст а на в ли в а е т ся сле д ую щи й кр и т е р и й суще ств ов а ни я и нт е гр а ла Ст и лть е са . Т е ор е м а . Для суще ств ов а ни я и нт е гр а ла Ст и лт ь е са не обход и м о и д оста т очно, чт обы в ы полнялось услов и е lim(S − s) = 0, d →0

и ли 11


n −1

lim ∑ϖ i ∆g ( xi ) = 0 , d →0

i =0

гд е ϖ i ест ь колеба ни е ф ункци и f ( x) на отр ез ке [ xi , xI +1 ] . Дока з а те ль ств о т еор ем ы пр ов од и т ся по т ой же схем е , чт о и в случа е и нт е гр а ла Ри м а на . 2.3.Случа и суще ств ов а ни я и нт е гр а ла Ст и лт ь е са . В э т ом пункт е буд ут уст а нов ле ны в а жны е па р ны е кла ссы ф ункци й f ( x) и g ( x) , д ля кот ор ы х и нте гр а лСт и лт ь е са суще ств уе т .

1. Если ф ункци я f ( x) непр ер ы в на , а ф ункци я g ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м ене ни е, т о и нт е гр а лСт и лт ь е са

b

∫ f ( x)dg ( x)

суще ств ует .

a

р а ста ю ща я Дока з а т ель ств о. Пр е д положи м сна ча ла , что g ( x) - ст р ого в оз ф ункци я. Ф и кси р уе м пр ои з в оль ное ε > 0 . Т а к ка к f ( x) р а в ном е р но не пр ер ы в на на отр езке [a; b] , то на йд е т ся δ > 0 та кое, чт о коле ба ни е ф ункци и f ( x) на лю бом отр ез ке с д ли ной, м ень ш ей, чем δ , буд е т м е нь ш е, чем ε ( g (b) − g (a )) . Пуст ь те пер ь {xi }ii== n0 - пр ои з в оль ное р а з би е ни е отр ез ка [a; b] с д и а м е тр ом d < δ . Т огд а ε

n −1

n −1

∑ϖ ∆g ( x ) < g (b) − g (a) ∑ ( g ( x i =0

i

i

i +1

i=0

) − g ( xi )) = ε ,

т а к чт о услов и е n −1

lim ∑ϖ i ∆g ( xi ) = 0 d →0

i =0

в ы полне но. Ра ссм отр и м те пер ь общи й случа й. Пуст ь ф ункци я g ( x) и м ее т огр а ни че нное из м ене ни е на от р е з ке [a; b] . Пр ед ст а в и м е е в в и д е g ( x) = g1 ( x) − g2 ( x), гд е g1 ( x) и g 2 ( x) - стр ого в оз р а ста ю щи е огр а ни че нны е ф ункци и . Пусть {xi }ii ==0n - пр ои з в оль ное р аз би е ни е отр ез ка [a; b] . З а пи ш ем сум м у σ в в и д е n −1

n −1

n −1

i =0

i=0

i =0

σ = ∑ f (ξi )∆g ( xi ) = ∑ f (ξi )∆g1 ( xi ) −∑ f (ξi )∆g2 ( xi ) = σ 1 − σ 2 .

Т а к ка к пр и d → 0 сум м ы σ 1 и σ 2 стр ем ятся к коне чны м пр ед елам , т о суще ств ует коне чны й пр е д ели сум м ы σ . 2. Если ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уе м а на от р езке [a; b] по Ри м а ну, а g ( x) уд ов летв ор яе т услов и ю Ли пш и ца , т ак чт о g ( x2 ) − g ( x1 ) ≤ L( x2 − x1 ), L = const , a ≤ x1 < x2 ≤ b,

т о и нт егр а л b

∫ f ( x)dg ( x) a

суще ств уе т. Дока з а те ль ств о. Пр ед положи м сна ча ла , чт о g ( x) в оз р а ста ет на пр ом е жут ке i =n [a; b] . Т огд а д ля лю бого р аз би е ни я {xi }i =0 отр ез ка [a; b] и м е ем 12


n −1

n −1

∑ϖ ∆g ( x ) ≤ ∑ϖ L∆x i

i =0

i

i=0

i

i

n−1

= L∑ϖ i ∆xi . i=0

Т а к ка к f ( x) и нт е гр и р уем а по Ри м а ну на отр ез ке [a; b] , т о в ы полняе т ся условие n −1

lim ∑ϖ i ∆xi = 0, d →0

i=0

а поэ т ом у и n −1

lim ∑ϖ i ∆g ( xi ) = 0. d →0

i=0

В общем случа е пр ед ста в и м g ( x) в в и д е р а з ност и g ( x) = Lx − ( Lx − g ( x)) = g1 ( x) − g 2 ( x).

Ф ункци я g1 ( x) = Lx уд ов летв ор яет услов и ю Ли пш и ца и яв ляе тся в оз р а ста ю ще й. Т о же в ер но и д ля ф ункци и g 2 ( x) = Lx − g ( x), посколь ку пр и a ≤ x1 < x2 ≤ b g 2 ( x2 ) − g 2 ( x1 ) = Lx2 − g ( x2 ) − ( Lx1 − g ( x1 )) = L( x2 − x1 ) − ( g ( x2 ) − g ( x1 )) ≥ ≥ L( x2 − x1 ) − g ( x2 ) − g ( x1 ) ≥ 0

и g 2 ( x2 ) − g 2 ( x1 ) = L( x2 − x1 ) − ( g ( x2 ) − g ( x1 )) ≤ L( x2 − x1 ) + g ( x2 ) − g ( x1 ) ≤ 2 L( x2 − x1 ).

Дока з а те ль ств о з а в ер ш а е тся та к же, ка к и в пункт е 1. ке [a; b] , а ф ункци я 3. Пуст ь ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уе м а по Ри м а ну на отр ез x

g ( x) пр е д ста в и м а в в и д е g ( x) = c + ∫ ϕ (t )dt , гд е ф ункци я ϕ (t ) та кже и нте гр и р уе м а a

b

по Ри м а ну на от р е з ке [a; b] . Т огд а и нте гр а л ∫ f ( x)dg ( x) суще ст в уе т. a

Дока з а т ель ств о. Доста т очно пока з а ть , чт о g ( x) - ли пш и це в а ф ункци я. Посколь ку ф ункци я ϕ (t ) и нт егр и р уе м а на отр ез ке [a; b], то она огр а ни че на на э т ом отр ез ке . Пуст ь пост оянна я L > 0 та ков а , что д ля лю бого t ∈ [a; b] в ер но не р а в е нств о ϕ (t ) ≤ L. Т огд а пр и a ≤ x1 < x2 ≤ b и м е ем g ( x2 ) − g ( x1 ) =

x2

x2

x1

x1

∫ ϕ (t )dt ≤

∫ ϕ (t ) dt ≤ L( x

2

− x1 ),

т . е . g ( x) - ли пш и це в а ф ункци я. З а м еча ни е. Пуст ь ф ункци я g ( x) не пр ер ы в на на отр езке [a; b] и и м ее т в сю д у на нем , з а и склю че ни ем , бы ть м оже т, коне чного чи сла т очек, пр ои з в од ную g '( x), кот ор а я и нт егр и р уе м а по Ри м а ну на отр ез ке [a; b] (в точка х, гд е пр ои з в од на я не суще ств уе т, ф ункци я g '( x) д оопр ед еляе тся пр ои з в оль ны м обр а з ом ). Т огд а x

спр а в ед ли в а ф ор м ула g ( x) = g (a) + ∫ g '(t )dt. Поэ том у, если ф ункци я f ( x) a

13


b

и нте гр и р уе м а по Ри м а ну на от р езке [a; b] , то и нт е гр а л ∫ f ( x)dg ( x) суще ств уе т. a

2.4.Св ойств а и нт е гр ала Ст и лть е са . И зопр е д еле ни я и нт е гр а ла Ст и лт ь еса непоср е д ств е нно в ы т ека ю т след ую щи е е го св ойств а . b

1. ∫ dg ( x) = g (b) − g (a); a b

b

b

2. ∫ ( f1 ( x) ± f2 ( x))dg ( x) = ∫ f1 ( x)dg ( x) ± ∫ f 2 ( x)dg ( x); a b

3.

a

∫ f ( x)d ( g ( x) ± g 1

2

a b

a

b

b

a

a

( x)) = ∫ f ( x)dg1 ( x) ± ∫ f ( x)dg 2 ( x); b

4. ∫ kf ( x)d (lg ( x)) = kl ∫ f ( x)dg ( x), k , l = const. a

a

Пр и э т ом в случа ях 2, 3, 4 и зсуще ст в ов а ни я и нт е гр а лов в пр а в ой ча ст и в ы т е ка е т суще ств ов а ни е и нт е гр а ла в лев ой ча ст и . b

5. Пуст ь суще ств уе т и нт е гр а л ∫ f ( x)dg ( x) и пусть c - пр ои з в оль на я т очка a

и нте р в а ла (a; b). Т огд а суще ств уе т кажд ы й и зи нт е гр а лов c

∫ f ( x)dg ( x), a

b

∫ f ( x)dg ( x) c

и в е р но р а в е нств о b

∫ a

c

b

a

c

f ( x)dg ( x) = ∫ f ( x)dg ( x) + ∫ f ( x)dg ( x).

Дока з а те ль ств о э т ого ут в ер жд ени я м ожно на йт и в [1, стр . 95]. З а м еча ни е. М ожно пока з ат ь , чт о и зсуще ств ов а ни я обои х и нт е гр а лов c

b

a b

c

∫ f ( x)dg ( x), ∫ f ( x)dg ( x)

в ообще гов ор я, не в ы т ека ет суще ств ов а ни е и нте гр а ла

∫ f ( x)dg ( x) . Соотв е т ств ую щи й пр и м ер

ле гко м ожет бы т ь постр ое н (см ., на пр и м е р ,

a

[1, стр . 97]). 6. Для и нт егр а лов Ст и лт ь е са и м ее т м е ст о ф ор м ула b

∫ f ( x)dg ( x) = a

b

f ( x) g ( x) |ba − ∫ g ( x)df ( x), a

в пр ед положе ни и , чт о суще ств уе т од и н и зэ т и х и нт е гр а лов ; д р угой и нте гр а лт огд а та кже суще ст в уе т. Пр и в е д е нна я ф ор м ула носи т на з в а ни е ф ор м улы и нт егр и р ов а ни я по ча ст ям . Дока з а те ль ств о. Пуст ь суще ст в уе т, на пр и м ер , и нт е гр а л

14


b

∫ g ( x)df ( x). a

Пуст ь {xi }ii== n0 - пр ои з в оль ное р а з би ени е от р е з ка [a; b] . Вы бер ем на ка жд ом се гм е нт е [ xi ; xi +1 ] (i = 0,1,..., n − 1) пр ои з в оль ны м обр а з ом т очку ξi , та к чт о a = x0 ≤ ξ 0 ≤ x1 ≤ ... ≤ xi −1 ≤ ξ i −1 ≤ xi ≤ ξ i ≤ xi +1 ≤ ... ≤ xn −1 ≤ ξ n−1 ≤ xn = b.

Сум м у Ст и лть еса д ля и нт е гр а ла

b

∫ f ( x)dg ( x) a

n −1

σ = ∑ f (ξ i )( g ( xi +1 ) − g ( xi )) i =0

м ожно пр ед ста в и ть в в и д е n −1

n −1

n

n −1

i =0

i =1

i =0

σ = ∑ f (ξ i ) g ( xi +1 ) = ∑ f (ξ i ) g ( xi ) = ∑ f (ξ i −1 ) g ( xi ) −∑ f (ξ i ) g ( xi ) = f (ξ n −1 ) g (b) + i =0

n −1

n −1

i =1

i =1

+ ∑ f (ξ i −1 ) g ( xi ) − ∑ f (ξ i ) g ( xi ) − f (ξ 0 ) g (a) = n −1   = −  g (a) f (ξ 0 ) + ∑ g ( xi )( f (ξ i ) − f (ξ i −1 )) − g (b) f (ξ n −1 )  .   i =1

(2.4.1)

Если в ф ор м уле (2.4.1) пр и ба в и ть и от нять спр ав а в ы р а же ни е f ( x) g ( x) |ba = f (b) g (b) − f (a ) g (a ),

т о сум м а σ з а пи ш е т ся в в и д е n −1   σ = f ( x) g ( x) |ba −  g (a)( f (ξ 0 ) − f (a)) + ∑ g ( xi )( f (ξ i ) − f (ξi −1 )) + g (b)( f (b) − f (ξ n −1 ))  .   i =1

Вы р а же ни е в ф и гур ны х скобка х пр е д ста в ляе т собой ст и лть е сов у сум м у д ля и нт е гр а ла b

∫ g ( x)df ( x), a

кот ор ы й, по пр е д положе ни ю , суще ств уе т. Э та сум м а отв еча е т р а з би е ни ю пр ом е жут ка [a; b] т очка м и д еле ни я a ≤ ξ0 ≤ ξ1 ≤ ... ≤ ξi −1 ≤ ξi ≤ ... ≤ ξ n−1 ≤ b,

е сли в ка чест в е в ы бр а нны х на пр ом е жут ка х [ξi−1 ;ξi ](i = 1,..., n − 1) т очек в з ять xi , а на пр ом е жут ка х [a;ξ0 ] и [ξn −1 ; b] , соот в ет ств е нно, a и b . Если положи ть d = max( xi +1 − x1 ), то т е пер ь д ли ны в сех ча ст и чны х пр ом е жут ков не буд ут пр е в осход и ть 2d . Пр и d → 0 сум м а в ф и гур ны х скобка х ст р е м и т ся к b

∫ g ( x)df ( x), a

поэ т ом у суще ств уе т коне чны й пр ед ели д ля сум м σ , то е ст ь и нт е гр а л b

∫ f ( x)dg ( x), a

и спр а в е д ли в а тр ебуе м а я ф ор м ула . З а м еча ни е. Изд ока з а нного утв ер жд е ни я сле д уе т, чт о е сли ф ункци я g ( x) в пр ом е жут ке [a; b] и нте гр и р уе м а по ф ункци и f ( x) , то и ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уе м а по ф ункци и g ( x) . 15


7. Т е ор ем а о ср ед нем . Пуст ь на отр езке [a; b] ф ункци я f ( x) огр а ни че на : m ≤ f ( x) ≤ M ,

р а ста ет. Если суще ст в уе т и нт е гр а лСти лт ь е са I от f ( x) по g ( x) , то а g ( x) в оз и м е ет м е ст о ф ор м ула b

I = ∫ f ( x)dg ( x) = µ ( g (b) − g (a)),

(2.4.2)

a

гд е m ≤ µ ≤ M . Дока з а те ль ств о. Очев и д но, чт о д ля лю бой ст и лт ь е сов ой сум м ы σ в ы полняе тся не р а в е нст в о m( g (b) − g (a)) ≤ σ ≤ M ( g (b) − g (a)).

Пер еход я в э том нер а в е нст в е к пр ед елу, получи м , чт о m( g (b) − g (a)) ≤ I ≤ M ( g (b) − g (a )).

(2.4.3)

Если g (b) = g (a), т о и з(2.4.3) сле д уе т, чт о I = 0, и пот ом у р а в енств о (2.4.2) в ер но с пр ои з в оль ны м µ ∈ R. Пуст ь т епер ь g (b) > g (a), т огд а и з(2.4.3) сле д уе т, чт о m ≤ I ( g (b) − g (a)) ≤ M .

Пола га я µ = I ( g (b) − g (a)), получи м тр е буе м ое соот нош е ни е (2.4.2). 8. Оце нка и нт е гр а ла Ст и лт ь е са . Пуст ь ф ункци я f ( x) не пр е р ы в на , а ф ункци я g ( x) и м е ет огр а ни ченное и з мене ни е на от р е з ке [a; b] . Вэ т ом случа е спр а в ед ли в а оце нка b

∫ f ( x)dg ( x) ≤ MV ,

(2.4.4)

a

гд е b

M = max f ( x) , V = V g ( x). a ≤ x ≤b

a

Дока з а те ль ств о. Действ и т ель но, д ля лю бой сум м ы Сти лт ь е са и м е е т м е ст о нер а в е нств о σ =

∑ f (ξ )∆g ( x ) ≤ ∑ i

i

i

i

f (ξ i ) ⋅ ∆g ( xi ) ≤ M ∑ g ( xi +1 ) − g ( xi ) ≤ MV , i

и зкот ор ого, и споль зуя пр ед ель ны й пе р е ход , получа ем оце нку (2.4.4). 2.5. Вы чи сле ни е и нт е гр а лов Ст и лт ь еса. Спр а в е д ли в о след ую ще е ут в е р жд е ни е. Т е ор е м а . Пуст ь ф ункци я f ( x) и нте гр и р уе м а по Ри м а ну на от р ез ке [a; b] , а ф ункци я g ( x) и м е ет в и д x

g ( x) = C + ∫ ϕ (t )dt , a

16


гд е ф ункци я ϕ (t ) та кже и нт е гр и р уе м а по Ри м а ну на [a; b] . Т огд а спр а в ед ли в а ф ор м ула b

∫ a

b

f ( x)dg ( x) = ∫ f ( x)ϕ ( x)dx.

(2.5.1)

a

Дока з а те ль ств о. З ам е т и м , чт о оба в ы пи са нны х и нт е гр а ла суще ств ую т. Дока жем и х р а в е нств о. З а пи ш ем пр ои з в оль ную сум м у Сти лт ь еса σ в в и д е n −1

n −1

xi +1

n −1 xi +1

i =0

i=0

xi

i =0 xi

σ = ∑ f (ξ i )( g ( xi +1 ) − g ( xi )) = ∑ f (ξ i ) ⋅

∫ ϕ ( x)dx = ∑ ∫

f (ξ i )ϕ ( x) dx.

Пр е д ста в и м т епер ь и нт е гр а лв пр а в ой ча ст и ф ор м улы (2.5.1) сле д ую щи м обр а з ом : b

n −1 xi +1

a

i =0 xi

∫ f ( x)ϕ ( x)dx = ∑ ∫

f ( x)ϕ ( x)dx.

Т огд а b

n −1 xi +1

a

i =0 xi

σ − ∫ f ( x)ϕ ( x) dx = ∑

∫ ( f (ξ ) − f ( x))ϕ ( x)dx. i

Пуст ь L - та ка я пост оянна я, что ϕ ( x) ≤ L д ля в сех x и зпр ом ежут ка [a; b] , и пуст ь ωi - коле ба ни е ф ункци и f ( x) на отр езке [ xi ; xi +1 ]. Т огд а д ля в се х x и зотр езка [ xi ; xi +1 ] в ы полняет ся нер а в е нств о f (ξ i ) − f ( x) ≤ ω i , i = 0,..., n − 1.

Поэ т ом у спр а в е д ли в о нер а в е нств о b

n −1 xi +1

a

i =0 xi

σ − ∫ f ( x)ϕ ( x)dx ≤ ∑

∫

n−1

xi +1

n −1

i=0

xi

i =0

f (ξ i ) − f ( x) ϕ ( x) dx ≤ ∑ ω i L

∫ dx = L∑ ω ∆x . i

i

Посколь ку ф ункци я f ( x) и нте гр и р уем а по Ри м а ну на от р езке [a; b] , то пр и d → 0 и м е ем : n −1

∑ ω ∆x i =0

i

i

→ 0.

Поэ т ом у b

lim σ = ∫ f ( x)ϕ ( x) dx, d →0

a

и р а в е нств о (2.5.1) д ока з а но. Т е ор е м а д ока з а на . След ст в и е. Пуст ь ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уе м а по Ри м а ну на отр езке [a; b] . Пр е д положи м , д а лее , чт о ф ункци я g ( x) не пр е р ы в на на отр ез ке [a; b] и и м е е т в сю д у в нем , з а и склю чени е м , бы т ь м ожет , коне чного чи сла т очек, пр ои з в од ную g '( x) , кот ор а я и нт егр и р уе м а по Ри м а ну на [a; b] (в те х т очка х, гд е пр ои з в од на я не суще ств уе т, ф ункци я g '( x ) д оопр е д еляет ся пр ои з в оль ны м обр азом ). Т огд а b

b

a

a

∫ f ( x) dg ( x) = ∫ f ( x) g '( x)dx. 17


Дока з а те ль ств о. Действ и т ель но, в р а ссм а тр и в а ем ом случа е спр а в ед ли в о р а в е нст в о x

g ( x) = g (a) + ∫ g '(t )dt , a

и

ϕ (t ) = g '(t ).

Ра ссм отр и м те пер ь случа й в ы чи сле ни я и нт егр а ла , когд а ф ункци я g ( x) р а з р ы в на . Вв е д ем в р а ссм отр е ни е ф ункци ю  0, е сли x ≤ 0, h( x) =  1, е сли x > 0.

ы в а ю т ф ункци ей Х е в и са йд а). Г р а ф и к э той ф ункци и и з обр а же н (ф ункци ю h( x) на з на р и с. 1. у

1 х Ри с. 1 Ф ункци я h( x) не пр ер ы в на в сю д у, кр ом е т очки x = 0 . Вточке x = 0 она не пр е р ы в на слев а и р аз р ы в на спр а в а ; пр и э т ом ска чок спр а в а h(0 + 0) − h(0) р а в ен 1. Ра ссм отр и м те пер ь ф ункци и h( x − c) иh(c − x), c ∈ R. 1. Вт очке с ф ункци я h( x − c) не пр ер ы в на слев а , спр а в а – ска чок, пр и чем h(c + 0 − c) − h(0) = 1. Во в сех ост аль ны х т очка х чи слов ой оси h( x − c) не пр ер ы в на . Ее гр а ф и к и зобр а же н на р и с. 2. у

1 с Ри с. 2

2. Вт очке с ф ункци я h(c − x) не пр ер ы в на спр а в а , слев а – скачок, р а в ны й - 1. Во в сех ост аль ны х т очка х чи слов ой оси h(c − x) непр ер ы в на . Ее гр а ф и к и з обр а жен на р и с. 3. 18


у

1 х с Ри с. 3 Пуст ь ф ункци я f ( x) з а д а на на отр ез ке [a; b] и не пр ер ы в на в точке c ∈ [ a; b]. Если c = b , то h( x − b) = 0 пр и x ≤ b , поэ т ом у f ( x) и нт е гр и р уе м а по h( x − b) и b

∫ f ( x)dh( x − b) = 0. a

Пуст ь те пер ь a ≤ c < b. Пока жем , чт о и нт егр а л b

∫ f ( x)dh( x − c) a

суще ств уе т, и в ы чи сли м е го. i =n Ра ссм отр и м пр ои з в оль ное р а з би е ни е { xi }i = 0 от р ез ка [a; b] , и пуст ь ξi ∈ [ xi ; xi +1 ], i = 0, ..., n − 1. Пуст ь , д алее , k та ков о, чт о xk ≤ c < xk +1 (см . р и с. 4).

у y = h( x − c) a

xk

с ξk

xk +1

b

х

Ри с.4 Т огд а n −1

σ = ∑ f (ξ i )( h( xi +1 − c) − h( xi − c)) = f (ξ k )(h( xk +1 − c) − h( xk − c)) = f (ξ k ) ⋅1 = f (ξ k ). i =0

Пуст ь d → 0 , тогд а по не пр ер ы в ност и ф ункци и f ( x) в точке c f (ξ k ) → f (c). Поэ т ом у lim σ = f (c ). d →0

Т а ки м обр а зом , ф ункци я f ( x) и нте гр и р уе м а по h( x − c) и b

∫ f ( x)dh( x − c) = a

Ра ссм отр и м те пер ь и нт егр а л 19


f (c).

b

∫ f ( x)dh(c − x). a

Если c = a, т о h(a − x) = 0 пр и x ≥ a. От сю д а сле д уе т, чт о f ( x) и нт егр и р уем а по h(a − x) и b

∫ f ( x )dh(a − x) = 0. a

Пуст ь те пер ь a < c ≤ b. Ра ссм отр и м пр ои з в оль ное р аз би е ни е { xi }i = 0 отр ез ка [a; b] , и пуст ь ξi ∈ [ xi ; xi +1 ], i = 0, ..., n − 1. Пуст ь , д а ле е, k та ков о, чт о xk < c ≤ xk +1 (см . р и с. 5). i =n

у y = h( x − c)

ξk .

a

xk

х с

xk +1

b

Ри с. 5 Т огд а n −1

σ = ∑ f (ξ i )(h(c − xi +1 ) − h(c − xi )) = f (ξ k ) ⋅ (−1) = − f (ξ k ). i =0

В си лу не пр ер ы в ност и f ( x) в точке c получа е м , что если d → 0 , то σ → − f (c). Поэ т ом у f ( x) и нт е гр и р уе м а по h(c − x) и b

∫ f ( x)dh(c − x) = − f (c). a

Дока жем те пер ь след ую ще е ут в ер жд е ни е. Т е ор е м а . Пуст ь ф ункци я f ( x) не пр е р ы в на на от р езке [a; b] , а ф ункци я g ( x) в сю д у на э т ом отр ез ке, з а и склю че ни ем , бы т ь м ожет , конечного чи сла т оче к, и м е ет пр ои з в од ную g '( x ) , кот ор а я и нте гр и р уем а по Ри м а ну на [a; b] . Пр е д положи м , чт о ф ункци я g ( x) в конечном чи сле т оче к a = c0 < c1 < ... < cm = b

м оже т и м е ть р а з р ы в ы пер в ого р од а . Т огд а ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уем а по g ( x) и спр а в ед ли в а ф ор м ула

20


b

b

∫ f ( x )dg ( x) = ∫ f ( x) g '( x)dx + f ( a)( g (a + 0) − g ( a)) + a

a

m −1

(2.5.2)

+ ∑ f (ck )( g (ck + 0) − g (ck − 0)) + f (b)( g (b) − g (b − 0)). k =1

Дока з а те ль ств о. Вв ед ем спе ци а ль ны е обоз на че ни я д ля ска чков ф ункци и g ( x) спр а в а и слев а : α k+ = g (ck + 0) − g (ck ), k = 0, ..., m − 1, α k− = g (ck ) − g (ck − 0), k = 1, ..., m.

Для k = 1, ..., m − 1 и м е ем α k+ + α k− = g (ck + 0) − g (ck − 0).

Ра ссм отр и м в спом ога т ель ную ф ункци ю m −1

m

k =0

k =1

g1 ( x ) = ∑ α k+ h( x − ck ) − ∑ α k− h(ck − x),

и пуст ь g 2 ( x) = g ( x) − g1 ( x), та к чт о g ( x) = g1 ( x) + g 2 ( x). Пока жем , чт о ф ункци я g 2 ( x) не пр е р ы в на на отр ез ке [a; b]. Я сно, чт о g 2 ( x) не пр ер ы в на д ля x , отли чны х от в сех ck , посколь ку д ля та ки х x не пр ер ы в ны обе ф ункци и g ( x) и g1 ( x) . Пока жем , что ф ункци я g 2 ( x) не пр ер ы в на и в точка х ck , k = 0, ..., m. Ф и кси р уе м пр ои з в оль ную т очку c p , p < m . Пока жем , чт о g 2 ( x) не пр ер ы в на в не й спр а в а . Все сла га ем ы е сум м ы g1 ( x) , кр ом е, бы т ь м ожет, чле на α +p h( x − c p ), не пр е р ы в ны в т очке c p спр а в а . Поэ т ом у д оста т очно пока з а т ь , чт о в т очке c p не пр ер ы в на спр а в а ф ункци я ϕ ( x) = g ( x) − α +p h( x − c p ).

Пр и x = c p она пр и ни м а е т з на че ни е g (c p ). Да лее , lim ( g ( x) − α p+ h( x − c p )) = g (c p + 0) − α p+ = g (c p + 0) − ( g (c p + 0) − g (c p )) = g (c p ).

x →c p + 0

Т а к что ф ункци я ϕ ( x), а потом у и g 2 ( x) , в точке c p не пр е р ы в на спр а в а . А на логи чно пока з ы в а е тся, чт о ф ункци я g 2 ( x) непр ер ы в на слев а в лю бой т очке c p , p > 0. И та к, g 2 ( x) не пр ер ы в на на отр ез ке [a; b] .

21


Да ле е, в лю бой т очке x , в кот ор ой g ( x) и м е ет пр ои з в од ную , ф ункци я g 2 ( x) т а кже и м е е т пр ои з в од ную , та к ка к g1 ( x) пост оянна в некот ор ой окр е ст ност и т очки x ; пр и э том g 2' ( x) = g '( x).

По уже д ока з а нном у и м е ем b

∫ a

b

b

a

a

f ( x)dg 2 ( x) = ∫ f ( x) g 2' ( x)dx = ∫ f ( x) g '( x)dx.

(2.5.3)

Да ле е, m −1

b

b

∫ f ( x)dg ( x) = ∑ α ∫ f ( x)dh( x − c 1

+ k

k =0

a

m −1

m

k

a

m

b

k =1

a

) − ∑ α k− ∫ f ( x) dh(ck − x) =

= ∑ α f (ck ) − ∑ α ( − f (ck )) = f (a)( g (a + 0) − g (a)) + k =0

+ k

k =1

− k

(2.5.4)

m −1

+ ∑ f (ck )( g (ck + 0) − g (ck − 0)) + f (b)( g (b) − g (b − 0)). k =1

И нте гр а лв лев ой ча ст и ф ор м улы (2.5.4) суще ств уе т, посколь ку суще ств ую т в се и нте гр а лы в и д а b

∫ f ( x )dh( x − c

b

k

),

a

∫ f ( x)dh(c

k

− x).

a

(см . п. 2.4). Да лее, посколь ку f ( x) и нт е гр и р уем а и по g1 ( x) , и по g 2 ( x) , то f ( x) и нте гр и р уе м а и по g1 ( x ) + g2 ( x) = g ( x). Склад ы в а я р а в е нств а (2.5.3) и (2.5.4), получи м соот нош е ни е (2.5.2). Т е ор е м а д ока з а на . Пр и в е д ем пр и м е р ы в ы чи сле ни я и нт е гр а ла Сти лт ь е са . Пр и м ер 1. Вы чи сли ть и нт е гр а лСт и лть е са 3

∫ xdg ( x),

−1

 0, е сли x = −1,  г д е g ( x) =  1, е сли − 1 < x < 2,  −1, е сли 2 ≤ x ≤ 3. 

Ре ш е ни е. Ф ункци я g ( x) и м е е т ска чок 1 пр и x = −1 и ска чок –2 пр и x = 2 ; в ост а ль ны х т очка х g '( x) = 0 . Поэ т ом у 3

∫ xdg ( x) = (−1) ⋅1 + 2 ⋅ (−2) = −5.

−1

22


Пр и м ер 2. Вы чи сли ть и нт е гр а л 2

∫ xdg ( x),

−2

 x + 2, е сли − 2 ≤ x ≤ −1,  г д е g ( x) =  2, е сли − 1 < x < 0,  x 2 3, е сли 0 x 2. ≤ ≤  +

Ре ш е ни е. Ф ункци я g(x) и м е ет ска чки , р а в ны е 1, пр и x=-1 и x=0. Пр ои з в од на я 1, е сли − 2 ≤ x < −1,  g '( x) = 0, е сли − 1 < x < 0,  2 x, е сли 0 x 2. < ≤ 

Поэ т ом у 2

∫

−2

xdg ( x) =

−1

2

5 2 ∫−2 xdx + 2∫0 x dx + (−1) ⋅1 + 0 ⋅1 = 2 6 .

23


ЛИ Т ЕРА Т УРА 1. Ф и хт е нголь ц Г . М . К ур с д и ф ф ер е нци аль ного и и нт е гр а ль ного и счи слени я. – М ., 1970. – Т . 3. – 656 с. 2. См и р нов В. И . К ур с в ы сш е й м а т ем а т и ки . – М ., 1959. – Т . 5. – 655 с. 3. Руд и н У. Основ ы м ат ем а т и че ского а на ли з а . – М ., 1976. – 319 с. 4. В. И. Соболе в . Ле кци и по д ополни т ель ны м глав а м м а те м ат и че ского а на ли з а . – М ., 1968. – 288 с. 5. А р хи пов Г . И ., Са д ов ни чи й В. А ., Ч уба р и ков В. Н. Лекци и по м а т ем а т и че ском у а на ли зу. – М ., 1999. – 695 с.

Соста в и т ели : Ре д а ктор :

Ла р и н А ле кса нд р А лекса нд р ов и ч Полов и нки н И гор ь Пе тр ов и ч. Б уни на Т . Д.

24


Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса: Методическое пособие

Recommend Documents