Цепочки Гюгонио-Маслова для сингулярных вихревых решений квазилинейных гиперболических систем и траектории тайфунов

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 2 (2003). С. 5–44 УДК 517.95 ЦЕПОЧКИ ГЮГОНИО—МАСЛОВА ДЛЯ СИНГУ...

Author: Доброхотов С. | Семенов Е. | Тироцци Б.

2 downloads 153 Views 424KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 2 (2003). С. 5–44 УДК 517.95

ЦЕПОЧКИ ГЮГОНИО—МАСЛОВА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ВИХРЕВЫХ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ТРАЕКТОРИИ ТАЙФУНОВ c 2003 г.

С. ДОБРОХОТОВ, Е. СЕМЕНОВ, Б. ТИРОЦЦИ

АННОТАЦИЯ. Согласно концепции Маслова многие двумерные квазилинейные системы уравнений c частными производными имеют только три алгебры сингулярных решений со свойствами «структурной» самоподобности и устойчивости. Это — ударные волны, «узкие» решения и точечные особенности типа «квадратного корня» (уединенные вихри). Их распространение описывается бесконечными цепочками обыкновенных дифференциальных уравнений (цепочками Гюгонио—Маслова). В работе рассматривается цепочка Гюгонио—Маслова для точечных особенностей типа «квадратного корня» для уравнений мелкой воды. Мы обсудим как соответствующие математические вопросы, так и возможные приложения к задаче динамики тайфунов.

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Цепочки Гюгонио—Маслова и вихревые особенности типа квадратного корня . . . . . . 3. Интегрируемость оборванной цепочки: редукция к уравнению Хилла и одномерным гамильтоновым системам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Единственность особенности типа квадратного корня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Анализ негладкой компоненты решения, и возникновение уравнений Коши—Римана на траектории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Цепочка для гладкой компоненты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

5 11 17 28 37 42 43

ВВЕДЕНИЕ

1.1. Решения с особенностями для квазилинейных гиперболических систем с самоподобной устойчивой структурой. Около двадцати лет назад Маслов [19,20] сформулировал гипотезу, согласно которой широкий класс квазилинейных гиперболических систем, включая гидродинамические уравнения, имеет лишь несколько частных решений с особенностями, обладающих следующими свойствами. Во-первых, структура особенности сохраняется в течение некоторого интервала времени; во-вторых, структура особенности не меняется при малых возмущениях. Разумеется, такой выбор свойств соответствует наличию в уравнениях нелинейности. В случае линейных гиперболических систем структура любой особенности в начальных данных сохраняется для решения (по крайней мере в течение малого интервала времени). Указанному классу принадлежат ударные волны, «бесконечно узкие» солитоны и уединенные вихри. Все такие решения с особенностями могут быть описаны формулой, аналогичной «нелинейным» (уиземовским) решениям и искаженным волнам Римана (см. [24]): w = f (x, t) + g(x, t)F (S(x, t)), (1.1) где w — векторная (или скалярная) функция, x ∈ Rn , F (τ ) — скалярная функция, гладкая вне τ = 0 и имеющая особенность при τ = 0, а фаза S(x, t), векторный (или скалярный) фон f (x, t) Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 02-01-00850) и гранта DSTN 521241 (Dep. Physics, Univ. «La Sapienza», Italy, DSTN). c

2003 МАИ

5

6


и амплитуда g(x, t) — гладкие функции. Особенность может соответствовать, например, разрыву первого рода (тогда мы имеем дело с ударными волнами), а может принадлежать классу C 1 (в этом случае имеем слабые и вихревые особенности). Очевидно, особенности w(x, t) определяются нулями X(t) функции S(x, t). Например, для ударных волн в одномерном (n = 1) случае имеем F = Θ(τ ), где Θ(τ ) — функция Хевисайда (Θ(τ ) = 0 при τ < 0, и Θ(τ ) = 1 при τ > 0) и S = x − X(t). Для другого типа особенности по-прежнему S = x − X(t), но F = Sol (τ ), где Sol (τ ) = 0 при τ 6= 0 и 1 при τ = 0. В этом случае функция w описывает бесконечно узкий солитон на фоне u(x, t). Решения такого вида возникают, например, как предельные решения уравнения Кортевега—де Фриза с дисперсией ε2 при ε → 0 (см. [7, 21]). Рассмотрим еще один пример в двумерном случае, который будет служить основным примером в данной статье. Пусть F = τ r (0 < r < 1) и для каждого t неотрицательная функция S обращается в нуль в единственной точке (x1 = X1 (t), x2 = X2 (t)). Тогда в общем случае функция S с точностью до слагаемых более высокого порядка представляет собой положительную квадратичную форму по переменным x c различными собственными значениями. Нулем функции S является точка x = (X1 (t), X2 (t)), двигающаяся вдоль траектории Γ = (x = (X1 (t), X2 (t)) (задающей особенность). В данном случае мы имеем слабую «точечную» особенность: сама функция w непрерывна и даже обращается в нуль в особой точке, но некоторые производные функции w не являются непрерывными. Конечно, можно рассматривать и другие функции F (τ ) с особенностями, обладающие похожими свойствами, например τ log τ , (const + log τ )−1 , а также различные их линейные комбинации. Наиболее общее описание возможных функций F будет дано в следующем разделе. Свойства «самоподобности и устойчивости» структуры означают следующее. Пусть решения имеют при некотором t0 вид (1.1) с заданной функцией F (τ ). Тогда, во-первых, та же зависимость от τ сохраняется и при t > t0 , по крайней мере при достаточно малых t − t0 ; во-вторых, малые изменения начальных данных S(x, t0 ), f (x, t0 ), g(x, t0 ) и коэффициентов исходного уравнения не влияет на структуру особенности функции w (по τ ), определяемой функцией F . Как отмечалось выше, гипотеза Маслова заключалась в том, что для многих квазилинейных гиперболических уравнений, имеющих физический смысл, почти все возможные особенности с указанными√свойствами имеют описанную выше структуру. Более того, в последнем примере имеем F = τ (см. [7,15,20]). И хотя соответствующее уравнение может иметь частные решения (например, радиально-симметричные, т. е. такие, для которых S ∼ x21 + x22 ), отличные от описанных выше, эти особые решения, по-видимому, пропадают при малых возмущениях. Доказательство этой гипотезы совсем не тривиально; в данной статье оно будет приведено для слабой точечной особенности системы уравнений мелкой воды. (По поводу другого типа особенностей см. [7].) Сейчас мы приведем лишь некоторые алгебраические соображения, обосновывающие существование особенностей упомянутых типов. Поскольку исходная система нелинейна, необходимо определить произведения и степени компо√ нентов функции (1.1). Функции вида f (x, t)+g(x, t)F (S(x, t)), где F = Θ(τ ), F = Sol(τ ) и F = τ , обладают весьма важным свойством: каждая из них порождает алгебру функций с особенностью над кольцом гладких функций, имеющую только две образующих: 1 и F . Это свойство справедливо в силу того, что F 2 = F в первых двух случаях и F 2 (S) = S(x, t) есть гладкая функция в третьем случае. Для того чтобы изучить свойства решения (1.1), его следует подставить в исходную систему, сгруппировать слагаемые при различных типах особенностей, а затем и регулярные (гладкие) слагаемые и приравнять их к нулю. При этом исходная система распадается на две системы с функциями S, f , g (которые, вообще говоря, подлежат определению). Если рассматривать решения (1.1), основываясь на алгебрах с более чем двумя генераторами (например, если F = τ 1/3 , образующие суть 1, τ 1/3 , τ 2/3 ), то исходная система будет распадаться на три системы, являющиеся переопределенными, и т. д. Разумеется, мы привели лишь эвристическое объяснение: в случае бесконечного числа образующих не очевидно, как можно корректно обосновать группировку слагаемых, соответствующих различным особенностям, и дальнейшее разложение исходной системы. Мы не ставим целью изучить вопрос возникновения и исчезновения решений (1.1). Изучение только систем без вязкости и дисперсии недостаточно для исследования этого вопроса оказывается. Мы рассмотрим более простую, хотя и нестандартную математическую задачу: если решение (1.1),

ЦЕПОЧКИ ГЮГОНИО—МАСЛОВА

7

обладающее некоторыми достаточно общими свойствами, существует, то какого рода функции («структуры особенностей») F возможны и какова их динамика?

1.2. Цепочки Гюгонио—Маслова и их замыкание. Другое очень важное наблюдение, сделанное в [20], заключалось в том, что, независимо от физической природы рассматриваемого явления, решения с особенностью (1.1) и их описания очень близки с математической точки зрения. Одной из таких общих характеристик являются новые бесконечные системы обыкновенных дифференциальных уравнений (цепочки), определяющие динамику решений. Хотя решения (1.1) имеют особенности, они определяются гладкими скалярными и векторными функциями S(x, t), f (x, t), g(x, t). Следовательно, с этими функциями, а также и с самими решениями (1.1), можно связать как множество коэффициентов их рядов Тейлора в (особых) точках x = X(t), так и сами траектории x = X(t). Указанные цепочки возникают как необходимые условия существования решения (1.1). В случае ударных волн первое уравнение в такой цепочке совпадает с хорошо известным условием Гюгонио, а последующие уравнения могут рассматриваться как поправки к первому уравнению. Несмотря на то что цепочки для особенностей других типов могут иметь иной вид и, вероятно, имеют другой физический смысл, в [20] было установлено, что их математическая сущность оказывается одинаковой. Такие цепочки будем назвать цепочками Гюгонио—Маслова. На цепочки Гюгонио—Маслова в нелинейных задачах можно также посмотреть с другой точки зрения. Решения вида (1.1) являются обобщенными решениями, и, следовательно, методы исследования таких решений связаны с построением алгебр распределений и их приложениями в теории нелинейных уравнений (см. [14,26], а также [7], где эти уравнения рассматриваются достаточно подробно). Понятно, что структура обобщенных решений может зависеть от выбора соответствующей обобщенной функции. При этом оказывается, что одних лишь математических соображений недостаточно для того, чтобы указанный выбор был единственным. Обычно введение того или иного распределения в нелинейных задачах основывается на предшествующей регуляризации обобщенной функции, зависящей от некоторого малого или большого параметра. Вообще говоря, конечный результат зависит также и от используемой регуляризации, что «нехорошо» с точки зрения возможных физических приложений. С другой стороны, в физических задачах гиперболические системы не существуют сами по себе; как правило, они возникают в качестве некоторого приближения уравнений с малой вязкостью или дисперсией. Таким образом, гиперболические системы следует рассматривать как пределы таких «прообразов», их решения должны быть пределами решений «прообразов», и решения «предельной» гиперболической системы (так же как и соответствующий малый параметр) должны быть согласованы с исходными уравнениями. Грубо говоря, это всегда (и автоматически) выполняется для регулярных решений гиперболических систем. Однако выяснение того факта, выполняются ли указанные условия для решений с особенностями, представляет собой серьезную проблему. Часто оказывается весьма сложно или даже невозможно изучить описанное соответствие. Более того, во многих реальных физических ситуациях соответствующий «прообраз» с вязкостью или дисперсией принимается не всеми специалистами в качестве подходящей модели. Тем не менее, существуют некоторые характеристики обобщенных решений, инвариантные относительно выбора способа регуляризации обобщенных функций. Цепочки Гюгонио—Маслова как раз и являются такого рода характеристиками, поскольку они возникают как необходимые условия. Цепочки для ударных волн и решений уравнений газодинамики были изучены много лет назад (см. [19, 21, 27, 28], а также [6, 35]). Что касается цепочек, соответствующих вихревым особенностям, то здесь имеется очень небольшое число результатов. Цепочки Гюгонио—Маслова незамкнуты, поскольку первые N уравнений содержат более N неизвестных. Поэтому положение особенности, вообще говоря, нельзя однозначно определить из таких систем. Замыкание такой системы возможно при помощи использования глобальных свойств решений или некоторых дополнительных предположений [19, 21] (см. также [31]), например, предположения о малости негладкой амплитуды. Незамкнутые цепочки уравнений возникают в различных задачах статистической физики и механики. Хорошо известны цепочки Боголюбова—Борна— Грина—Кирквуда—Ивона, цепочки моментов, возникающие в статистической гидромеханике (см., например, [4, 17]). Проблема замыкания этих цепочек является одной из наиболее интересных и

8


трудных в математической физике. Напомним, что после замыкания ББГКИ-цепочек получается кинетическое уравнение Больцмана. Для цепочек типа Гюгонио, возникающих при описании ударных волн для простейшего нелинейного уравнения (уравнения Хопфа для простой волны) в работе [31] был предложен метод замыкания, основанный на приравнивании лишних компонент решения (с большими номерами) к нулю. Похожая процедура замыкания использовалась в статистической механике и гидродинамике (см., например, [4, 17]). Цель настоящей работы состоит в использовании цепочек типа Гюгонио, которые обрываются в духе работы [31], для описания траекторий вихревых особенностей решений системы (1.2) и в применении этого подхода к исследованию задачи о траекториях мезомасштабных вихрей. Ясно, что системы уравнений, полученные обрывом цепочек Гюгонио—Маслова, не могут адекватно описывать распространение особенности на больших интервалах времени, так как обрыв цепочки неизбежно влечет за собой локализацию задачи: эволюция особенности определяется только тем, что происходило вблизи данного момента времени. Однако если рассматриваются не слишком большие интервалы времени и если оборванная цепочка обладает некоторым свойством устойчивости, то использование такой оборванной цепочки представляется вполне оправданным. С другой стороны, например, в задаче о траектории глаза тайфуна невозможно достаточно достоверно измерить скорость u и геопотенциал η в начальный момент времени для того, чтобы получить корректную задачу Коши для соответствующей системы уравнений в частных производных (возможны резкие локальные изменения скорости, вследствие чего невозможно построить точную пространственную решетку для измерения скорости ветра, давления и пр.). Однако траектория глаза тайфуна может быть при этом измерена достаточно точно, например при помощи спутников, и последующая траектория может быть предсказана на основании известной предыстории посредством решения задачи экстраполяции. С этой целью можно в свою очередь пользоваться формулами для траекторий вихря, полученными интегрированием (оборванных) цепочек. Таким образом, локализация оказывается вполне обоснованной с точки зрения физической постановки задачи. 1.3. Уравнение мелкой воды и мезомасштабные вихри. В статье [20] содержится также идея, согласно которой решения (1.1) могут применяться для описания некоторых природных явлений: волн цунами в океане (случай «узких солитонов») и мезомасштабных (или «крупных») вихрей в атмосфере (тайфунов и ураганов, что соответствует случаю особенности типа квадратного корня). Таким образом, оборванные «вихревые» цепочки Гюгонио—Маслова могут с определенной точностью описывать динамику мезомасштабных вихрей. Система уравнений мелкой воды также хорошо известна как простейший пример двумерного бездисперсионного приближения с нулевой вязкостью в моделировании различных эволюционных физических процессов, включая (что важно в данной статье) распространение мезомасштабных вихрей в атмосфере [12, 22]. Такая система с переменной силой Кориолиса в так называемом β-плоскостном приближении имеет вид ∂η + h∇, ηui = 0, ∂t

∂u + hu, ∇iu − ωTu + ∇η = 0, ∂t

(1.2)

где x = t (x1 , x2 ) ∈ R2 , а неизвестными являются двумерный вектор u(x, t) = t (u1 (x, t), u2 (x, t)) и функция η(x, t) — геопотенциал атмосферы (или уровень свободной поверхности в теории волн t ∂ ∂ 0 1 на воде), T = , ∇= , , ω =ω ˜ + βx2 есть удвоенная частота Кориолиса на −1 0 ∂x1 ∂x2 β-плоскости, наконец ω ˜ , β суть параметры (физические константы), β предполагается достаточно малой. Обозначим также через h · , · i скалярное произведение; индекс t слева вверху будет обозначать транспонирование матриц и векторов. Система (1.2) обладает рядом важных свойств, таких как наличие закона сохранения, возможность гамильтонова представления и т. д. Для нас важно существование лагранжева инварианта — так называемого потенциального вихря или инварианта Россби Π=

u2x1 − u1x2 + ω . η

(1.3)


9

Свойство инвариантности означает, что Π остается неизменным вдоль траекторий поля вектора скорости u: Πt + hu, ∇iΠ = 0. Мы не имеем возможности обсудить здесь вопрос о возникновении системы (1.2); отметим лишь, что она не может использоваться ни в задачах о возникновении и исчезновении атмосферных вихрей, ни при детальном описании их трехмерной структуры. Тем не менее, она может применяться для описания динамики мезомасштабных вихрей в атмосфере. В данной работе мы изучим вихревые решения данной системы, имеющие особенность типа квадратного корня, имея в виду возможные приложения к физике атмосферы. Отметим, что мы также не будем изучать взаимодействие вихрей. Наша задача может быть коротко сформулирована следующим образом: если система имеет уединенный вихрь (1.1) со специальными, достаточно разумными физическими свойствами, то что можно сказать о его динамике, траектории и форме вблизи своего центра? Приведем теперь соображения Маслова относительно связи слабых особенностей уравнений мелкой воды (1.2) с моделями движения глаза тайфуна. Если мы предположим, что решения системы (1.2) описывают крупномасштабные атмосферные явления (такие как распространение тайфунов) и если тайфуны1 (мезомасштабные вихри) отвечают решениям, имеющим в данной точке особенность, но равным в ней нулю, то в силу единственности такой структурно самоподобной устойчивой особенности, траектория центра («глаза») тайфуна должна быть близка к траектории центра слабой точечной особенности типа квадратного корня. Отметим еще, что траектория центра вихря и геопотенциал η, соответствующие природному мезомасштабному вихрю, должны обладать следующими свойствами, разумными с физической точки зрения. Траектории не имеют слишком больших «дрожаний и петель», а η есть положительная функция, достаточно медленно изменяющаяся вдоль траектории. Следовательно, η на траектории не может быть «слишком большой или слишком малой». Эта дополнительная информация играет важную роль при изучении решений (1.1) с точки зрения их пригодности к описанию динамики мезомасштабных вихрей. 1.4. Интегрируемость оборванных вихревых цепочек Гюгонио—Маслова для уравнений мелкой воды. Скажем несколько слов о некоторых свойствах (таких как интегрируемость) цепочек для вихревых решений системы (1.2). После ряда преобразований оборванная цепочка сводится к сложной системе, содержащей 17 обыкновенных дифференциальных уравнений. Интересным и довольно неожиданным оказывается тот факт, что интегрирование этих 17 уравнений в случае постоянных частот Кориолиса (β = 0) приводит в точности к линейному уравнению Хилла, хорошо известному в теории колебаний, небесной механике, теории солитонов и т. д. Более того, ввиду упомянутых физических свойств решений мы должны выбирать начальные условия для уравнения Хилла так, чтобы решения были устойчивы, и включить силу Кориолиса в исходную систему (ω 6= 0). Заметим, что в области экватора, где ω = 0, тайфунов не бывает [5]. Наличие β-эффекта в конечном счете не оказывает влияния на негладкую компоненту решения, но приводит к появлению дополнительных слагаемых порядка β в соответствующей системе 17-ти обыкновенных дифференциальных уравнений. Новая система уже не редуцируется к уравнению Хилла, но наличие малого параметра β позволяет решить систему при помощи различных методов усреднения. При этом наблюдается медленная («адиабатическая») эволюция постоянных интегрирования в невозмущенной оборванной цепочке. Отметим еще одно интересное и неожиданное явление: при наличии упомянутых выше разумных предположений о траектории центра вихря и геопотенциале усредненные уравнения оказываются гамильтоновыми системами с одной степенью свободы, интегрируемыми в квадратурах и аналогичными уравнению физического маятника. Выявление связи между траекториями вихревых особенностей (1.2) и различными характеристиками уравнения Хилла и уравнения физического маятника является одним из основных результатов данной статьи. Нам представляется, что эта связь неслучайна и, вероятно, может быть установлена для других физических уравнений, имеющих решения типа уединенных вихрей. √ Напомним, что F (S) = S = 0 на траектории Γ и именно такое поведение w мотивирует применение соответствующих решений с особенностями при моделировании тайфунов: вблизи центра («глаза») тайфуна скорость ветра относительно мала. 1

10


Хотя в конечном счете мы имеем дело с весьма специальными решениями системы (1.2), такого рода решений довольно много, и в действительности мы имеем дело с семейством решений, зависящих от некоторых параметров. Во избежание громоздких обозначений будем также записывать эти параметры как Γ = (γ1 , γ2 , . . .); в общем случае число параметров может быть бесконечным. (Поскольку параметры (γ1 , γ2 , . . .) имеют различный физический смысл, иногда мы будем обозначать их другими буквами, однако совокупность параметров всегда будет обозначаться через Γ.) Предположим, что мы построили семейство таких решений и траектория движения описывается некоторой функцией X(t, Γ) = (X1 (t, Γ), X2 (t, Γ)). Тогда, исходя из предположения о том, что функции (1.1) описывают мезомасштабные вихри (тайфуны), и зная траекторию центра вихря (глаза тайфуна) при t ∈ [0, T ], мы можем попытаться предсказать последующее движение центра следующим образом. Пусть ΓN = (x1 = X1N (t), x3 = X2N (t)), t ∈ [t1 , t2 ], — траектория центра (глаза) настоящего природного вихря. Выберем параметры Γ = (γ1 , γ2 , . . .) из того условия, что траектории Γ и ΓN должны быть близки на интервале [0, T0 ], например, в смысле минимизации среднего значения квадратного корня из разности между теоретической и наблюдаемой траекториями тайфуна. Тогда, если нам известны параметры γ1 , γ2 , . . ., мы можем однозначно определить траекторию Γ при t > t2 . Таким образом, приходим к классической задаче оптимизации. В связи с соображениями, высказанными в этом пункте, еще раз отметим роль единственности структуры типа квадратного корня. Это утверждение «неконструктивно» с точки зрения конечных уравнений для траекторий. Тем не менее оно играет очень важную роль, поскольку наши физические заключения вытекают из чисто математических рассуждений. Если бы утверждение относительно единственности отсутствовало, другой выбор функции F в (1.1) (например, F = τ 1/3 или τ log τ и т. д.) мог бы привести к совершенно другим формулам для возможных траекторий, скоростей и пр. Таким образом, можно сказать, что формулы для траекторий мезомасштабных вихрей, геопотенциалов и т. д., которые будут получены ниже, являются необходимым условием (хотя, конечно, они получаются с помощью довольно грубого приближения). 1.5. Структура статьи и библиография. Исследование решений (1.1) проводится в несколько этапов. 1. Доказывается, что точечные особенности решений уравнения (1.2), обладающие заданными √ свойствами (физически обоснованными), могут быть только вида (1.1), где F = τ . Это оправдывает возможность рассмотрения этого класса особенностей, очень узкого с математической точки зрения. √ 2. Изучается негладкая компонента g S решения; данная компонента явно описывается через функции, определяющие «гладкий фон» f ; выводятся цепочки Гюгонио—Маслова. 3. Цепочка замыкается и редуцируется к уравнению Хилла для случая постоянной силы Кориолиса (β = 0). 4. Вводится в рассмотрение β-эффект, выбираются интересные с физической точки зрения решения, возмущенная оборванная цепочка усредняется, и затем проводится последовательный анализ с точки зрения приложений к задаче распространения тайфуна. Доказательство утверждения из этапа 1 для уравнений (1.2) без наличия силы Кориолиса (ω = 0) было получено в [15]. Однако приведенные там рассуждения неполны, хотя и содержат ряд весьма элегантных конструкций. Более того, соответствующее доказательство фактически невозможно исправить, так как включение недостающих в [15] случаев приводит к необходимости рассмотрения всей задачи с самого начала. Тем не менее, рассуждения работы [15] оказались весьма полезными в нашем доказательстве гипотезы Маслова для системы (1.2). Это доказательство получено в статьях [10, 29]. В упрощенной форме оно будет приведено в разделе 4. Исследование этапов 2, 3 было проведено в другой форме в [3, 15, 27, 28]. В данной работе мы также проведем это исследование в разделах 5, 6. Оно будет основано на одном новом результате из [23]. Замечание относительно эффекта интегрируемости для оборванных вихревых цепочек Гюгонио—Маслова было сделано в [27, 28], гамильтоновы свойства конечных уравнений для траекторий мезомасштабных вихрей анонсированы в [11]. Несмотря на то что окончательные результаты формулируются достаточно просто, соответствующие вычисления оказываются весьма длинными и нетривиальными. К сожалению, упомянутые статьи сдержит много опечаток и даже арифметических неточностей в записи коэффициентов. Эти неточности не влияют на важные


11

глобальные свойства (такие как интегрируемость) решений (1.1), однако иногда приводят к неверным окончательным формулам. В данной работе мы попытаемся исправить все эти неточности, а также укажем на новую, недавно установленную связь между (1.1) и природными мезомасштабными вихрями в атмосфере. Все результаты и пояснения относительно этапов 3, 4, являющиеся основными результатами статьи, содержатся в разделах 2, 3. Доказательства и дополнительные «технические» исследования содержатся в разделах 4–6. В [27, 28] приведена обширная библиография по мезомасштабным вихрям, уравнениям мелкой воды и т. д. Поэтому здесь упомянем лишь основную монографию [22] и недавние статьи [32, 34], связанные с распространением мезомасштабных вихрей и также содержащие обширную библиографию. 2.


И ВИХРЕВЫЕ ОСОБЕННОСТИ ТИПА КВАДРАТНОГО КОРНЯ

2.1. Постановка задачи. Итак, наша цель — построить решения системы (1.2) в виде η = ρ(x, t) + ρe(x, t),

ρe(x, t) = R(x, t)F (S(x, t)),

u = u(x, t) + u e(x, t),

u e(x, t) = U (x, t)F (S(x, t)).

(2.1)

Здесь x = t (x1 , x2 ) ∈ R2 , t ∈ [0, T ]; ρ, R и S — гладкие скалярные функции, u = t (v, w) и U = t (U1 , U2 ) — гладкие двумерные вектор-функции. Предполагается, что следующие условия выполнены. (i) Функция S(x, t) удовлетворяет следующим условиям: S(x, t) > 0, и для каждого t равенство S(x, t) = 0 выполняется в единственной точке x = X(t) = t (X1 (t), X2 (t)). Множество Γ = (x = X(t), t ∈ [0, T ]) будем называть траекторией решения с особенностью (2.1) уравнения (1.2) на интервале [0, T ]. (ii) Функции функциями «общего положения» в том смысле, что матрица

S,2 U и R являются

∂ S H(t) = ∂xi ∂xj = Hess S вторых производных невырождена (и, следовательно, положиΓ

Γ

тельна) на Γ. (iii) Собственные значения матрицы Hess S Γ различны1 . (Далее будет показано, что если существуют решения (2.1), такие, что S(x, t) удовлетворяет сформулированному предположению при t = t0 , то эти предположения выполняются также при t > t0 .) (iv) Разложения функций U и R по степеням (x − X(t)) начинаются с наименьших возможных степеней2 . (v) Функция F удовлетворяет следующим условиям: (v-a) функция F (τ ) непрерывна при τ > 0, F (0) = 0. (v-b) функция F (τ ) является гладкой при τ > 0, lim F 0 (τ ) = ∞. τ →+0

Очевидно, функция F в (2.1) не определяется однозначно условием (v): ее можно умножить на не обращающуюся в нуль гладкую функцию и прибавить к ней любую гладкую функцию, зависящую от S и равную нулю на траектории X(t). Более того, в некоторых случаях функция S также может быть умножена на некоторую не обращающуюся в нуль гладкую функцию переменных (x, t). Как отмечалось ранее, нелинейность в системе (1.2) совместно с предположением о «самоподобности и устойчивости» структуры особенности лишает нас возможности выбрать функцию F произвольным образом. Таким образом, проблема заключается в том, чтобы описать все подходящие функции F в (2.1) и затем получить по крайней мере некоторые характеристики решений (2.1), среди которых наиболее важными являются траектории Γ и значения на Γ функций ρ, R, u, U , некоторых их производных, Hess S|Γ и т. д., т. е. характеристик решения в окрестности траектории Γ. Вначале из асимптотических соображений мы выберем соответствующее приближение, а именно потребуем, чтобы наше приближенное решение являлось в некотором смысле главным членом в 1

Это предположение зависит от выбора системы координат на плоскости (x1 , x2 ). Соответствующее инвариантное относительно выбора системы координат предположение заключается в том, что отношения собственных значений матрицы Hess S|Γ и матрицы Hess(∇S)2 |Γ различны. 2 Это предположение можно опустить, но оно является естественным с точки зрения возможных приложений и, кроме того, позволяет упростить дальнейшие рассуждения.

12


формальном асимптотическом разложении по степеням x−X(t) (т. е. главным в смысле гладкости). Зависимость траектории X от параметров явно указываться не будет. 2.2. Цепочки Гюгонио—Маслова как необходимые условия существования вихревых решений. Сформулируем некоторые результаты. Начнем с утверждения, описывающего негладкую составляющую решения (2.1). Это утверждение было ранее доказано в несколько ином виде в [15,20] для случая ω = 0. Будем пользоваться следующими обозначениями: 1. точка над символом обозначает дифференцирование по времени; 2. звездочка в качестве верхнего правого индекса обозначает сопряженную матрицу; буква «t» в качестве верхнего левого индекса обозначает транспонирование. Пусть G(x, t) — гладкая функция или вектор, и пусть X(t) — некоторая траектория. Рассмотрим разложение в ряд Тейлора ∞ X G∼ G(k) (x, t), (2.2) k=0

где G(k) (x, t) =

X

m1 G(k) (x2 − X2 (t))m2 , m1 m2 (t)(x1 − X1 (t))

m1 +m2 =k 1 +m2 ) G(m m1 , m2 (t) =

1 ∂ (m1 +m2 ) G (X(t), t). m1 !m2 ! ∂xm1 ∂xm2 (m +m )

Таким образом, G(k) — однородные полиномы порядка k, Gm11m2 2 — коэффициенты Тейлора1 . Верхний индекс в этих коэффициентах не дает новой информации, и мы будем опускать его в данном разделе. Однако он будет полезен при громоздких выкладках последующих разделов; там (0) мы его снова введем. Для упрощения обозначений будем писать ρ0 (t), вместо ρ00 . Функция η должна быть строго положительной (это следует из ее физического смысла), поэтому далее будем рассматривать только те решения системы (1.2), которые удовлетворяют этому условию. Далее, ρ0 (t) должна быть положительной для траектории Γ (мы увидим, что наши решения сохраняют это свойство во времени). Положим также 1 q(t) = div u(X(t), t), (2.3) 2 ∂w 1 1 ∂v p(t) = (X(t), t) − (X(t), t) ≡ − rot3 u(X(t), t), (2.4) 2 ∂x2 ∂x1 2 ω0 = ω e + βX2 (t). (2.5) Теорема 2.1. Пусть система (1.2) имеет решение (2.1), удовлетворяющее условиям (i)–(v). Тогда имеют место следующие утверждения. √ 1. Без ограничения общности можно считать, что F = τ в (2.1). 2a. Траектория X(t) вморожена в поле скоростей u (а также в u): ˙ X(t) = u(X(t), t) ≡ u(X(t), t) ≡ V (t) ⇐⇒ X˙ 1 = V1 , X˙ 2 = V2 . (2.6) 2b. Комплексные скорости u(x, t) = v(x, t)+iw(x, t) (и u1 (x, t)+iu2 (x, t)) на траектории X(t) удовлетворяют условиям Коши—Римана ∂v ∂w ∂v ∂w = = q(t), =− = p(t) (2.7) ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 Γ

Γ

Γ

и ρ20 Γ = ρ02 Γ + βV1 /2, ρ11 Γ = βV2 /2. 2c. «Потенциальный вихрь» Π (1.3) сохраняется вдоль траектории Γ: ω0 − 2p Π|Γ = = −c = const. ρ0 1

Подчеркнем, что мы включаем факториалы в коэффициенты.

(2.8)

(2.9)


√ √ 2d. Функции ρe = R S и u e = U S определяются формулами 1 √ 2 √ T(∇(ϕρ))(1) u e TP ρ 0 =ϕ S + S S + O(|x − X(t)|4 ), ρe 0 3 ϕcρ0 (t))

13

(2.10)

где гладкая функция S и вектор-функция P имеют вид ρ0 (t) x − X(t), Π(t)BΠ∗ (t)(x − X(t)) + O(|x − X(t)|3 ), 2 P = ∇S ≡ ρ0 (t)Π(t)BΠ∗ (t)(x − X(t)) + O(|x − X(t)|2 ), cos θ sin θ Π(θ) = — матрица поворота на угол − sin θ cos θ S=

Zt θ(t) = θ0 +

1 p(t)dt ≡ θ0 − 2

0

Zt (2.11)

A = const,

(2.12)

0

ϕ = A + O(|x − X(t)|),

rot3 u(X(t), t)dt,

1+b 0 , b, θ0 и A — вещественные константы, характеризующие начальную 0 1−b структуру вихревого решения, |b| < 1. 2e. Производные ρlj , vlj , wlj , функции V1 = v(X(t)), V2 = w(X(t)), ω0 (t), ρ0 , p(t), q(t) и B=

r = ρ20 − βV1 /4 ≡ ρ02 + βV1 /4

(2.13)

удовлетворяют помимо (2.6) и (2.7) следующим уравнениям (начальным соотношениям цепочки Гюгонио—Маслова): V˙ 1 − ω0 V2 + ρ10 = 0,

V˙ 2 + ω0 V1 + ρ01 = 0,

(2.14)

ρ˙ 0 + 2qρ0 = 0,

(2.15)

ρ˙ 10 + 3qρ10 − pρ01 + ρ0 (w11 + 2v20 ) = 0,

(2.16)

ρ˙ 01 + 3qρ01 + pρ10 + ρ0 (v11 + 2w02 ) = 0,

(2.17)

2

2

q˙ − p + q + ω0 p + 2r + βV1 /2 = 0,

(2.18)

p˙ + 2pq − ω0 q − βV2 /2 = 0, 1 1 r˙ + 4qr + ρ10 (3v20 + w11 + v02 ) + ρ01 (v11 + 3w02 + w20 ) = f0 , 2 2 v˙ 20 + 3qv20 − ω0 w20 − p(v11 − w20 ) = f1 ,

(2.19) (2.20)

v˙ 11 + 3qv11 − ω0 w11 − p(2v02 − 2v20 − w11 ) + βp = f2 ,

(2.22)

v˙ 02 + 3qv02 − ω0 w02 + p(v11 + w02 ) − βq = f3 ,

(2.23)

w˙ 20 + 3qw20 + ω0 v20 − p(w11 + v20 ) = f4 ,

(2.24)

w˙ 11 + 3qw11 + ω0 v11 − p(−2w20 + 2w02 + v11 ) + βq = f5 ,

(2.25)

w˙ 02 + 3qw02 + ω0 v02 + p(w11 − v02 ) + βp = f6 ,

(2.26)

ω˙ 0 − βV2 = 0,

(2.27)

ρ10 (v11 + w02 ) + ρ01 (v20 + w11 ) + ρ0 (v21 + w12 ) + β(V˙ 2 /4 + qV2 + pV1 /2) = 0,

(2.28)

ρ10 (3v20 + w11 − v02 ) − ρ01 (v11 + 3w02 − w20 ) + ρ0 (3v30 + w21 − v12 − 3w03 )+ β(V˙ 1 /2 + 2qV1 − pV2 ) = 0.

(2.21)

(2.29)

Здесь f0 = −ρ0 (3v30 + 3w03 + w21 + v12 ), f1 = −3ρ30 , f2 = −2ρ21 , f3 = −ρ12 , f4 = −ρ21 , f5 = −2ρ12 , f6 = −3ρ03 . 3. Условия (2.6)–(2.8) и (2.14)–(2.29), а также представления (2.10)–(2.12) необходимы и достаточны для того, чтобы функция (2.1) удовлетворяла исходной системе с точностью до O(|x − X(t)|3 ).

14


Доказательство утверждения 1 дано в разделе 4. Соотношения, записанные в теореме, являются аналогом условий Гюгонио и поправок высших порядков для уединенных вихрей уравнений (1.2). Условия «вмороженности» (2.6) для вихря и условия Коши—Римана (2.7) вытекают из наличия негладкой составляющей в решении (2.1); возникновение этих условий основано на рассуждениях, близких рассуждениям лучевого метода или метода ВКБ, примененного к разложениям по гладкости в соответствии с гладкостью. Отметим, что эти условия существенным образом связаны с условием асимметрии вихря (iii). Рассуждения в разделе 5 позволяют получить соотношения, аналогичные (2.6)–(2.8) и возникающие при анализе существования слагаемых высших порядков в разложении в ряд Тейлора для функций S, U и R. Что касается условий (2.14)–(2.29), то они возникают главным образом при последовательном дифференцировании исходной системы с учетом (2.6)–(2.8) и вычислении результата в точках траектории x = X(t). Эта часть доказательства (см. раздел 6) требует лишь громоздких вычислений. 2.3. Свойства сингулярной вихревой составляющей решения. Формулы (2.10)–(2.12) достаточно просты (для двумерной задачи). Они легко поддаются анализу, особенно если при этом ограничиться главными членами функций u e и ρe. Главный член вектора u e имеет вид p 3 ), а главный член геопотенциала имеет вид u e = Aρ0 (t)3/2 Q(y(x, t))T∇Q(y(x, t)) + O(|x − X(t)| p ρe = 2/3cρ0 (t)5/2 Q(y(x, t)) + O(|x − X(t)|4 ), где Q = 1/2((1 + b)y12 + (1 − b)y22 ), y = Π∗ (t)(x − X(t)). Функция u e описывает движение уединенного вихря вдоль траектории Γ поля скоростей u(x, t) (или u(x, t)). Это не удивительно — данный факт хорошо известен в гидродинамике. Таким образом, решения вида (2.1) не противоречат законам гидродинамики. (Однако для решений вида (2.1) это утверждение требует доказательства.) Достаточно интересен тот факт, что в теореме возникают условия Коши—Римана (2.7). Эти условия могут не выполняться для произвольных траекторий поля скоростей, и, следовательно, они описывают влияние существования вихря на «гладкий фон» u(x, t). Как отмечалось выше, этот вихрь не имеет угловой симметрии относительно своего центра, его структура в окрестности центра (траектории Γ) определяется квадратичной формой Q(y) и функцией ρ0 , имеющей смысл p геопотенциала η на траектории Γ. Сечения Q = const являются эллипсами с полуосями 1/ (1 ± b). В исходной системе координат они двигаются вдоль X(t) и вращаются (в силу условий Коши—Римана) с угловой скоростью θ˙ = −1/2 rot u(X(t), t). Однако это вращение не является вихревым вращением внутри вихря: оно является только вращением «эллипса асимметрии». То же самое можно сказать о сечениях квадратичной формы S (2) , но теперь полуоси эллипсов S (2) = const изменяются пропор√ ционально ρ0 . Угол θ0 определяет начальный угол осей этого эллипса. Отметим также, что «вихревая» (негладкая) составляющая u e решения растет с увеличением рас√ 2 стояния от X(t) довольно медленно — как |x−X(t)| ( S ≈ |x−X(t)|, |P | ≈ |x−X(t)|), а функция ρe растет еще медленнее1 , а именно как |x − X(t)|3 . Такой медленный рост скорости означает, что это решение отличается от решений, основанных на моделях, в которых вихри представляются как «твердое тело». В последнем случае скорость растет линейно, т. е. как |x − X(t)|. Поведение сингулярной («вихревой») составляющей ρe геопотенциала η существенным образом зависит от констант A и c. Согласно предположению об общем положении, аналогично (ii), (iv), можно считать, что c 6= 0; это соответствует физическому смыслу потенциального вихря. Так как ρ0 (t) > 0, то при всех t негладкая компонента ρe имеет минимум на Γ, если Ac > 0, и максимум, если Ac < 0. В физике атмосферы первый случай соответствует циклонам, а второй — антициклонам. Проанализируем направление сингулярной составляющей векторов скорости на линиях уровня функции S (2) в координатах x0 = x − X(t). Вектор ∇S (2) является внешней нормалью к этим кривым. Следовательно, T∇S (2) на каждой из кривых суть касательные векторы, направление которых совпадает с направлением движения по часовой стрелке. Если мы теперь √ рассмотрим сечение функции |e u|=|P (1) | S (2) + O(|x0 |3 ), то увидим похожую картину, хотя векторы TP (1) = T∇S (2) уже не будут касательными векторами к соответствующим линиям уровня. Это означает, что построенный вихрь вращается по часовой стрелке, если A > 0, и против часовой стрелки, если A < 0. Известно также, что циклоны — это вихри, закрученные против часовой стрелки, а антициклоны — это вихри, закрученные по часовой стрелке. Следовательно, в первом 1 Медленный рост функций (2.10) позволяет использовать их при описании тайфунов, что соответствует наличию «глаза» тайфуна.


15

случае имеем A < 0, а во втором случае — A > 0. Отсюда, а также из предыдущих рассуждений следует, что с точки зрения возможных приложений решений с особенностями (2.1) к динамике мезомасштабных вихрей в атмосфере интересен лишь случай c < 0 ⇐⇒ −c = Π|Γ > 0. При этом мы имеем циклон, если A < 0, и антициклон1 , если A > 0. Подчеркнем, что указанный выбор знаков c и A основан лишь на некоторых физических, а не математических рассуждениях: с математической точки зрения возможны все ситуации. Этот выбор аналогичен выбору волн сжатия и растяжения в теории ударных волн. (Для того чтобы сделать правильный выбор, необходимо включить в рассмотрение некоторые дополнительные соображения, такие как возрастание энтропии. С другой стороны, решения противоположных знаков, вероятно, могут возникать в других физических задачах, также описываемых системой (1.2).) √ Очевидно, размер кривых в случае когда |e u| = const ⇐⇒ |P (1) | S (2) ≈ const пропорциона3/2 лен ρ0 (t) вблизи траектории Γ. Следовательно, можно сказать, что вихрь сжимается, по крайней 3/2 3/2 мере локально, если ρ0 (t) возрастает, и расширяется, если ρ0 (t) убывает. Из уравнения (2.15) также вытекает, что коэффициент расширения определяется дивергенцией поля скоростей u(x, t) (или u(x, t)) на траектории X(t). Описанная динамика сохраняет асимметрию вихря, что важно с точки зрения условия (iii). По существу, в первом приближении мы имеем конформное преобразование вихря: он поворачивается и расширяется с одним и тем же коэффициентом по всем направлениям. Подчеркнем, что все упомянутые факты вытекают из существования решения (2.1) и не требуют привлечения соображений, связанных с вопросами возмущения и обрыва при исследовании цепочек Гюгонио—Маслова. Применяя процедуру обрыва цепочки и учитывая малость параметра β, мы найдем некоторые дополнительные свойства таких решений и их траекторий. Например, что достаточно гладкие траектории ρ0 могут быть выражены через функцию от частоты Кориолиса ω0 , и, следовательно (в некотором довольно грубом приближении), расширение вихря может быть выражено через функцию высоты, на которой находится центр вихря (см. раздел 3.6). Замечание. 1. Уравнение (2.27) получается из (2.5) дифференцированием; как будет показано дальше, удобнее использовать (2.5), а не (2.27). 2. Как уже отмечалось, система (1.2) порождает переменную, которая постоянна вдоль траекторий векторного поля u, а именно — «потенциальный вихрь» Π. Хорошо известно, что при использовании асимптотических процедур некоторые особые свойства, такие как наличие законов сохранения или гамильтоновой структуры, проявляются также в уравнениях для функций, определяющих асимптотику. Например, законы сохранения играют важную роль в методе усреднения Уизема для уравнения Кортевега—де Фриза: усредненные законы сохранения суть уравнения для медленно меняющихся параметров конидальных волн (см., например, [13,24]). В связи с этим интересно было бы понять, что означает существование неизменного потенциального вихря для цепочки Гюгонио—Маслова. Оказывается, что для гладкой составляющей выполняется тождество (2.9), и отсюда для негладкой составляющей вытекают условия Коши—Римана (2.7) (см. раздел 5.6). Более того, из существования Π следуют и другие интересные факты, такие как интегрируемость оборванной цепочки и пр. 3. Уравнения (2.8) вытекают из условий Коши—Римана, т. е. из сохранения потенциального вихря. 4. Функция ϕ в (2.10) описывает поправку в асимптотическом разложении функций ρe и u e. (2) Представление (2.10) включает в себя также поправку U , которая выражается через фазовую поправку S (3) и содержит новую неизвестную функцию ϕ(1) , зависящую линейным образом от x − X(t) и гладким образом от t: (2)

(1)

U (2) = AP⊥ + ϕ(1) P⊥ +

1

2 (2) S T∇(ϕ(1) ρ0 + ϕ0 ρ(1) ). 3ρ0

(2.30)

Это лишь абстрактный вывод: уравнения (1.2) используются только для описания тропических циклонов (тайфунов и ураганов). Динамика циклонов и антициклонов в средних широтах описывается другой моделью.

16

С. ДОБРОХОТОВ, Е. СЕМЕНОВ, Б. ТИРОЦЦИ (2)

Здесь P⊥ = T∇S (3) . Тогда в (2.10) ϕ = A + ϕ(1) . Для того чтобы найти функции S (3) и ϕ(1) , необходимо получить поправки U (3) и R(3) , т. е. асимптотическое решение, удовлетворяющее исходной системе с точностью до |x − X(t)|4 . Теорема 2.1 остается справедливой при произвольном выборе функций ϕ(1) и S (3) ; например, можно выбрать эти функции тождественно равными нулю. Записывая ρe и u e в виде (2.10), мы видим, что в действительности разложение по гладкости — или по степеням (xj − Xj (t)) — решений (2.1) есть не что иное, как разложение по степеням S k+1/2 . Можно также надеяться, что (2.10) подскажет структуру приближений более высокого порядка. 5. Как отмечалось выше, выбор фазы S осуществляется не единственным образом: ее можно умножить на любую гладкую положительную функцию, при этом изменится амплитуда (U, R). Мы покажем, что — с точностью до указанного преобразования — фаза S удовлетворяет уравнению эйконала или уравнению Гамильтона—Якоби St + hu, ∇Si = 0, которое является одним из характеристических уравнений, соответствующих линеаризации исходной системы (1.2) на гладком фоне u, ρ. В гидродинамике эта характеристика называется «гидродинамической» или «медленной» модой. Линеаризованное уравнение имеет также две другие характеристики, которые называются «акустическими» или «быстрыми» модами. Таким образом, чисто математические построения показывают, что рассматриваемый вихрь распространяется вдоль траектории, соответствующей медленной моде. Рассмотрим задачу Коши S|t=0 = S0 (x) с гладкой начальной функцией S0 для уравнения эйконала. Гладкое решение этой задачи существует при всех t ∈ (−∞, ∞). Вопрос заключается в том, для всякой ли начальной фазы S0 , удовлетворяющей условиям (i)–(iii), будет получаться подходящая для решения (2.1) фаза S. Квадратичная форма S (2) есть приближенное решение этого уравнения, и в начальный момент времени эта квадратичная форма может быть выбрана более или менее произвольно. Вопрос о полном решении S и о приближениях высоких порядков S (3) , S (4) и т. д. остается открытым. 6. Сжимаемость в системе (1.2) играет важную роль как при возникновении цепочки, так и при дальнейшем ее анализе. Если вместо системы (1.2) рассмотреть двумерное уравнение Эйлера для несжимаемой жидкости (формально это означает, что уравнение непрерывности в системе (1.2) заменяется на уравнение div u = 0), то, как показал Г. Коваль, вектор-функции (X(t), V (t)) не будут связаны с другими производными u и ρ, т. е. траектория Γ может быть выбрана произвольным образом. Это связано с тем фактом, что уравнения Эйлера во всем пространстве инвариантны относительно перехода к неинерциальной системе координат. С физической точки зрения этот факт, очевидно, объясняется следующим образом: граничные эффекты в несжимаемой среде влияют на траекторию особенности даже в нулевом приближении, тогда как в случае сжимаемой среды задача распространения особенности может быть локализована, если пренебречь некоторыми поправками к решению более высокого порядка. Наличие сжимаемости при возникновении цепочки Гюгонио—Маслова в случае точечных особенностей вполне согласуется с тем фактом, что условия Гюгонио для ударных волн получаются из уравнений газодинамики, где также имеется сжимаемость. Добавим также, что линеаризованные уравнения Эйлера имеют только один тип характеристик, соответствующих гидродинамической или медленной моде; быстрые моды в данном случае отсутствуют. Как только что было указано, из требования «структурной самоподобности» уравнения (2.1) следует, что особенность асимптотически двигается только по «медленной» (или «гидродинамической») моде (см. раздел 5) и не отдает энергии «быстрым» («акустическим») модам, наличие которых обеспечивается сжимаемостью. Таким образом, мы видим, что хотя траектория может быть включена в цепочку только в силу наличия акустических мод, «основная составляющая» вихря распространяется в основном по гидродинамической моде, а не по акустическим модам. 2.4. Замыкание цепочки. Из общего вида соотношений (2.20)–(2.29) следует, что вместе с (2.6) и (2.14)–(2.27) они образуют недоопределенную систему дифференциальных уравнений. Такая ситуация сохранится, если мы выпишем необходимые условия, связанные с коэффициентами ряда Тейлора для функций u, ρ, S, U и R. Другими словами, мы получили незамкнутую цепочку и должны ее замкнуть. Как уже отмечалось, проблема замыкания цепочек является одной из самых сложных и интересных в математической физике. Мы будем замыкать цепочку тем же методом, что и в работах [4, 31], приравнивая правые части в (2.20)–(2.26) (т. е. слагаемые, содержащие коэффициенты полиномов третьего порядка в разложении ρ и u)


17

нулю: fj = 0,

(2.31)

j = 0, . . . , 6.

Соотношения (2.28) и (2.29) будем рассматривать как уравнения, ограничивающие выбор vj 3−j и wj 3−j . (Из этих уравнений вытекает, что в общем случае невозможно сделать все третьи производные функций v, w, ρ равными нулю и в то же время сохранить точность O(|x − X(t)|3 ) в остаточном члене (1.2).) В результате мы получим замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы не будем переписывать «замкнутые» уравнения (2.20)–(2.26), а просто будем считать далее, что имеет место (2.31). Из пункта 2d теоремы 2.1 вытекает следующее утверждение. Следствие 2.1. Предположим, что коэффициенты ρk , vk и wk , |k| 6 2, удовлетворяют (2.6) и (2.14)–(2.27), функции S, U , R определены при помощи (2.10)–(2.12), а коэффициенты ρk , uk и vk , k = (k1 , k2 ), k1 + k2 = 3, выбраны описанным выше способом. Тогда функции (2.1) удовлетворяют исходной системе (1.2) с точностью O(|x − X(t)|3 ) для любых значений коэффициентов ряда Тейлора для u = (v, w) и ρ с номерами k = (k1 , k2 ), |k| > 4, и для U = (U1 , U2 ), R и S с номерами |k| > 3. В частности, полагая все указанные старшие коэффициенты равными нулю, получим приближенные решения, удовлетворяющие (1.2) с точностью O(|x − X(t)|3 ), с функциями u, ρ, U , R и S — полиномами по x−X(t) степени не выше 3. Таким образом, обрывая цепочку посредством (2.31), мы получаем асимптотическое в некотором смысле решение (по степеням x − X(t)) уравнений (1.2). До настоящего времени авторам не известно строгое доказательство того факта, что описанное выше замыкание цепочки дает приближенную траекторию особенности, близкую к реальной траектории на некотором интервале времени. Однако далее мы увидим, что имеющие смысл решения замкнутой цепочки должны быть устойчивыми (и выбираются устойчивыми). Поэтому, если предположить, что правые части в (2.20)–(2.26) хотя и не равны нулю, но являются достаточно малыми, то, вероятно, можно доказать, что их влияние на решения данной системы мало на некотором интервале времени. С другой стороны, оценка O(|x− X(t)|3 ) остаточного члена в правой части в (1.2) есть наименьшая оценка, позволяющая полностью определить главную составляющую негладкой компоненты решения (2.1). Численный анализ и аналитические рассуждения показывают, что, учитывая только слагаемые порядка 6 1 в системе, содержащей слагаемые второго порядка, мы получим сильно искаженное описание поведения решений. Мы видим, что метод, используемый для обрыва цепочки, достаточно разумен: обрыв на предыдущем шаге (когда мы полагаем v20 = w02 = v02 = · · · = 0) не позволяет получить правильное описание главной негладкой составляющей решения, тогда как учет последующих слагаемых значительно усложняет уравнения для коэффициентов в ряде Тейлора. (Если обрывать цепочку на третьем шаге, то к имеющейся системе необходимо добавить еще 12 уравнений; обрыв на четвертом шаге приводит к появлению еще 27 уравнений, и т. д.) 3.

ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ОБОРВАННОЙ ЦЕПОЧКИ: ХИЛЛА И ОДНОМЕРНЫЕ ГАМИЛЬТОНОВЫ

РЕДУКЦИЯ К УРАВНЕНИЮ

СИСТЕМЫ

Как уже отмечалось, довольно неожиданно оказалось, что система (2.6), (2.14)–(2.27), (2.31) с β = 0 (сила Кориолиса постоянна) может быть в точности сведена к уравнению Хилла d2 ψ + Qψ = 0, dΦ2

(3.1)

3 Q = λ + 2|c| Re (α2 α3 − α1 α¯3 )eiΦ + α1 α2 e2iΦ , (3.2) 2 где α1 , α2 и α3 — комплексные параметры, λ — вещественный параметр. (Вместе с c 6= 0 они суть константы интегрирования оборванной цепочки; смысл этих констант мы проясним в этом разделе.) Далее мы полагаем α = (α1 , α2 , α3 ) и чертой обозначаем комплексное сопряжение. Указанная редукция была проведена в [8, 9] при помощи довольно громоздкой процедуры. Анализ этой процедуры позволил затем указать новые переменные, в которых система (2.6), (2.14)– (2.27), (2.31) записывается в значительно более простом виде, и (при β = 0) найти интегралы

18


этой системы, непосредственно объясняющие возможность сведения укороченной цепочки к уравнению Хилла. Эти интегралы также оказались полезными при асимптотическом анализе системы при малом β. Один из интегралов данной системы уже был указан; (2.9) есть следствие этого интеграла. 3.1. Новые зависимые переменные и интегралы оборванной цепочки. Очевидно, достаточно исследовать систему (2.14)–(2.27), (2.31). Введем комплексные переменные, определяющие скорости и их производные. Именно, определим следующие (зависимые) комплексные переменные: z = x1 + ix2 (комплексная координата на (x1 , x2 )-плоскости) и производные ∂ 1 ∂ ∂ = −i , ∂z 2 ∂x1 ∂x2

∂ 1 ∂ ∂ = +i . ∂ z¯ 2 ∂x1 ∂x2

Пусть v = v(x, t) + iw(x, t) есть комплексная регулярная компонента скорости, X = X1 (t)+ +iX2 (t) ≡ z|Γ — комплексная траектория особенности (вихря) и V = V1 (t) + iV2 (t) ≡ v|Γ — комплексная скорость особенности. Далее будет удобно использовать переменную µ= p

1 |c|ρ0

,

(3.3)

вместо ρ0 (или иногда вместе с ρ0 ). Положим σ = 1, если c > 0, и σ = −1, если c < 0. Тогда уравнение (2.9) можно переписать в виде p=

ω0 + σµ−2 . 2

(3.4)

Далее, введем переменные1 2 β µ3 1 β µ3 ∂ v β v20 + v02 + iw20 + iw02 − Y = 3/2 ≡ ∆v − ≡ 2 − , 3 |c| 2 3 |c| ∂z∂ z¯ 3 Γ Γ ρ0 |c|5/2 1 v20 − v02 + i(w20 − w02 ) v11 + iw11 β µ3 ∂ 2 v β Z = 3/2 + + ≡ + , 2 2i 3 |c| ∂z 2 3 Γ ρ0 |c|5/2 1 v20 − v02 + i(w20 − w02 ) v11 + iw11 µ3 ∂ 2 v U = 3/2 − ≡ , 2 2i |c| ∂ z¯2 Γ ρ0 |c|5/2 c 1 W = 3/2 (ρ10 + iρ01 ) + iv11 − 2v02 − 2iw20 + w11 + β ≡ ρ0 |c|5/2 i ¯ ∂ 2 v ∂2v β µ3 µ3 c ∂ρ ¯ ≡ −ic (ρ10 + iρ01 ) − Y + 2Z ≡ 2 ≡ − + + |c| |c| i ∂ z¯ Γ ∂ z¯∂z Γ ∂ z¯2 Γ 2 2i ∂Π ≡− , 1/2 |c|5/2 ρ0 ∂ z¯ Γ 3 1 λ = − 2rµ4 − 2|c| Re (Z − Y¯ )W + Y Z . 4 2 1

(3.5) (3.6) (3.7)

(3.8)

(3.9)

Наконец, обозначим b2 =

1

ω02 + 2β Re V . 4

(3.10)

В этом разделе мы используем обозначение U для новой переменной, которая имеет совершенно иной смысл, нежели амплитуда U в формуле (1.1).


19

Лемма 3.1. В новых переменных µ, V, Y, Z, U, W, ω0 , λ система (2.14)–(2.27), (2.31) принимает вид iσ ¯ = 0, (3.11) V˙ + iω0 V + 3 (Y + W − 2Z) µ iβ(2p + ω0 )µ3 , (3.12) Y˙ = i(p − ω0 )Y − 3|c| iω0 βµ3 , (3.13) Z˙ = i(3p − ω0 )Z + 3|c| ˙ = −ipW, W (3.14) U˙ = i(p + ω0 )U, (3.15) ω0 2p + ω0 2p λ˙ = 2βµ3 Im Y − Im Z − Im W , (3.16) 2 2 3 ω˙ 0 = β Im V ≡ βV2 , (3.17) d2 µ 1 3 + b2 µ = 3 λ + 2|c| Re (Z − Y¯ )W + ZY . (3.18) dt2 µ 2 К этим уравнения следует добавить уравнение (2.6). Очевидно, функция U не оказывает влияния на траекторию, поэтому мы не будем рассматривать ее в дальнейшем. Доказательство основано на следующем наблюдении [9]. Поскольку на Γ имеют место уравнения Коши—Римана, то уравнения (2.16)–(2.17), (2.21)–(2.26) и (2.31) имеют специальную структуру g˙ + 3qg + pA = βF, где g — вектор-столбец с компонентами ρ10 , ρ01 , v20 , v11 , . . ., A — постоянная матрица, F — вектор правых частей. Введение новых переменных Y, Z, U, W приводит матрицу A к диагональному виду. Переменная λ возникает при интегрировании уравнений (2.20) и (2.31). Мы будем действовать следующим образом. Уравнения (3.11)–(3.15) получаются в результате сложения уравнений (2.21)–(2.26), а также (2.16) с коэффициентами (1, 0, 1, i, 0, i, 0, 0),

(1/2, −i/2, −1/2, i/2, 1/2, −i/2, 0, 0),

(1/2, −i/2, −1/2, i/2, −1/2, −i/2, 0, 0) и (0, i, −2, 0, −2i, 1, c/i, c) соответственно. Затем мы исключаем диагональный элемент 3q при помощи (2.15) и умножаем результат на |c|5/2 . Проверка справедливости (3.16) основана на том факте, что (2.20), (2.31) могут быть записаны в виде d c r d = σ|c|4 ρ0 Im (Z + Y¯ )W + 3Y Z ⇐⇒ rµ4 = 2 Im (Z + Y¯ )W + 3Y Z . 2 dt ρ0 dt µ ˙ W ˙ правыми частями из (3.12), (3.13) Дифференцируя равенство (3.9), заменяя производные Y˙ , Z, и (3.15), а также учитывая предыдущее равенство и (2.9) (или (3.4)), получаем (3.16). Уравнение (3.11) может быть получено сложением первого уравнения (2.14) со вторым, умноженным на i, и применением (3.8). Для того чтобы получить (3.18), следует выразить r через Y , Z и W из (3.9) и переписать (2.18) в виде βV1 2 2 2 2 1 q˙ − p + q + ω0 p + ρ0 c −Q + = 0, (3.19) 4 2 3 ¯ Q = λ + 2|c| Re (Z − Y )W + Y Z . (3.20) 2 Далее, выразим в этом уравнении q и p через ρ0 : q = −ρ˙ 0 /(2ρ0 ), p = (ω0 + cρ0 )/2. Тогда последнее уравнение примет вид 1d 1 dρ0 1 1 dρ0 2 ω 2 βV1 − + c2 Qρ0 2 − − = 0. (3.21) 2 dt ρ0 dt 4 ρ0 dt 4 2 Заменяя здесь ρ0 на µ из (3.3), после некоторых вычислений получаем (3.18), что завершает доказательство.

20


Прежде чем начать изучение специальных свойств системы (3.11)–(3.18), заметим, что эта система (или ее эквивалентные формы) инвариантна относительно замены переменных p → −p, ω0 → −ω0 , c → −c, V → V¯ , Y → Y¯ и т. д. (черта означает комплексное сопряжение). Поэтому всюду далее без ограничения общности будем считать, что ω0 > 0. (Другими словами, наши рассуждения будут справедливы для северного полушария; переход к южному полушарию может быть осуществлен путем указанной замены переменных.) Положим Zt Zt Zt Zt φ1 = (p − ω0 )dt, φ2 = (ω0 − 3p)dt, φ3 = − p dt, φ4 = (p + ω0 )dt. 0

0

0

0

Следствие 3.1. Пусть β = 0; тогда d −iφ1 d iφ2 d d −iφ4 dλ Ye = Ze = W e−iφ3 = Ue = = 0, dt dt dt dt dt т. е. функции α1 = Y e−iφ1 , α2 = Ze−iφ2 , α3 = W e−iφ3 , α4 = U e−iφ4 и λ, c = (2p − ω0 )/ρ0 , ω0 являются интегралами системы (3.11)–(3.18) и, следовательно, оборванной цепочки (2.6), (2.14)– (2.27), (2.31). 3.2. Уравнение Ермакова и редукция к уравнению Хилла. Заменим t новой независимой переменной Zt Zt Φ = (2p − ω0 )dt ≡ c ρ0 dt, (3.22) 0

0

которая определена корректна, так как ρ0 6= 0. Последнее неравенство будет выполнено, если рассматривать достаточно гладкие решения исходной системы и считать, что ρ0 6= 0 по крайней в одной точке. Напомним, что согласно физическому смыслу функция ρ0 (геопотенциал) строго положительна на Γ; это согласуется с нашими предположениями и с последующими формулами. √ Используя переменную Φ, а также ρ0 , вместо ρ0 , перепишем уравнение (3.21) в виде p √ d 2 ρ0 ω02 + 2βV1 a2 √ + Q ρ = , a = . (3.23) √ 0 dΦ2 ( ρ0 )3 2|c| Уравнение (3.23) с a = const (сила Кориолиса постоянна) известно как уравнение Ермакова (см. [16, с. 351]) и может быть сведено к линейному уравнению (3.1) при заданной функции Q1 . Переформулируем данное утверждение в удобном для нас виде. Лемма 3.2. Пусть ψ1 и ψ2 — некоторые вещественнозначные решения уравнения (3.1) с единичным определителем Вронского ψ1 ψ20 − ψ2 ψ10 = 1, и пусть ψ = ψ1 + iψ2 . (Здесь и далее обозначаем ψ 0 = dψ/dΦ.) Тогда общее решение уравнения (3.23) с a = const > 0 имеет вид ρ0 = aR(Φ, γ), (3.24) p где R(Φ, γ) = (|ψ|2 1 + |γ|2 + Re(ψ 2 γ) и γ = γ1 + iγ2 есть комплексная константа интегрирования. Доказательство следует из формулы Ермакова для (3.23) и может быть получено прямым дифференцированием (3.24) (см. также [27, 28]). Ясно, что решения ψ1 , ψ2 зависят от потенциала Q и, следовательно, от параметров λ, α1 , α2 , α3 . Для упрощения обозначений мы не будем явно указывать эту зависимость. Из леммы 3.2 немедленно вытекают формулы (в случае ω = ω0 = const) для решений системы (3.11)–(3.18) и, следовательно, для оборванных цепочек (2.6), (2.14)–(2.27), (2.31) через решения уравнения (3.1). Мы не имеем возможности привести здесь формулы для всех компонент ρ0 , p, q, v10 и т. д., поэтому приведем лишь формулу для геопотенциала ρ0 . Остальные компоненты также нетрудно получить последовательным интегрированием. Отметим только, что при интегрировании возникнут новые (дополнительно к ω0 , c, λ, αj , γ) константы интегрирования, а именно: начальные 1

Интересно, что его векторное обобщение возникает в других моделях динамики жидкости (см. [33]).


21

(комплексная) скорость V 0 и координата X 0 центра вихря. Таким образом, окончательно получим решение оборванной цепочки, зависящее от 17 параметров. Геопотенциал ρ0 зависит при этом только от ω0 , c, λ, α1 , α2 , α3 , γ; для упрощения обозначений мы не указываем эту зависимость. Теорема 3.1. Предположим, что β = 0 и ω0 6= 0 в системе (2.6), (2.14)–(2.27), (2.31) (или в системе (3.11)–(3.18)), а R(Φ, γ) есть введенная выше функция. Тогда ρ0 -компонента общего решения этой системы при c 6= 0 имеет вид ρ0 (t) =

|ω0 | R(Φ(t), γ). 2|c|

(3.25)

Здесь функция Φ(t), которая также зависит от параметров ω0 , α, λ и γ, определяется как решение уравнения ZΦ

dΦ σω0 t = . R(Φ, γ) 2

(3.26)

0

Доказательство. Достаточно подставить функции Y , W , Z в потенциал Q вида (3.20) и заметить, что после соответствующих сокращений переменная t (неожиданно) пропадает и в полученном выражении остается только переменная Φ; при этом Q оказывается равным потенциалу (3.2). Теперь заменим ρ0 в формуле (3.22) для Φ на правую часть (3.25), и, проинтегрировав, получим (3.26). 3.3. О влиянии устойчивости уравнения Хилла и наличия постоянной силы Кориолиса на траектории. Вначале напомним некоторые сведения о решениях уравнения Хилла. Согласно общей теории (см., например, [25]) возможно следующее поведение решений системы (3.1), (3.2). 1. Устойчивый случай. Существует базис решений системы (3.1), (3.2), состоящий из функций (решений Флоке) вида ψ = ψ0 exp(iΩ0 Φ), ψ¯ = ψ¯0 exp(−iΩ0 Φ), где Ω0 — вещественное число, называемое характеристическим показателем, ψ0 (Φ, α, λ) — гладкая комплексная функция, 2π-периодическая по Φ и не обращающаяся в нуль. 2. Экспоненциально неустойчивый случай. В этом случае существует базис решений си0 (Φ)eδΦ , ψ 0 −δΦ , стемы (3.1), (3.2), состоящий из решений Флоке вида ψ+ = ψ+ − = ψ− (Φ)e где δ > 0 — характеристический показатель. Экспоненциальная неустойчивость сохраняется также при малых изменениях λ и α. 3. Линейно неустойчивый случай. В этом случае существует базис решений системы (3.1), (3.2), состоящий из 2π-периодической функции ψ1 (Φ) и функции вида ψ2 (Φ) + Φψ1 (Φ), где ψ2 (Φ) — 2π-периодическая функция. Данная ситуация имеет место, когда λ и α лежат на границе между зоной сильной устойчивости и зоной экспоненциальной неустойчивости; она не сохраняется при малых изменениях λ и α. Далее этот случай подробно рассматриваться не будет. Следующее утверждение представляет собой элементарное следствие из теории Флоке—Ляпунова для уравнения Хилла (см., например, [25]). Лемма 3.3. В случаях устойчивости и экспоненциальной неустойчивости уравнение Хилла (3.1), (3.2) имеет следующий базис решений: ψ1 = g(Φ) cos θeδΦ , ψ2 = g(Φ) sin θe−δΦ . Здесь g(Φ) > 0 — 2π-периодическая гладкая функция переменной Φ, характеристический показатель δ положителен в неустойчивом случае, и δ = 0 в устойчивом случае, гладкая nΦ функция θ(Φ) представима в виде θ(Φ) = + θ0 (Φ), где θ0 — 2π-периодическая функция, n — 2 целое число, dθ/dΦ = δ sin 2θ + 1/g 2 (Φ). Замечание. 1. Указанное представление для ψ1, 2 , вообще говоря, не единственно. 2. Число |n| характеризует номер зоны неустойчивости (см. [25]).

22


Теорема 3.2. 1. Предположим, что либо ω0 > 0 и параметры α, λ принадлежат зоне экспоненциальной неустойчивости, либо ω0 = 0. Тогда для сколь угодно малого ε > 0 существует tε > 0, такое, что либо 0 < ρ0 (tε ) < ε, либо ρ0 (tε ) > 1/ε. 2. Предположим, что ω0 > 0 и параметры α, λ принадлежат зоне устойчивости. Тогда компонента ρ0 (t) представляет собой почти периодическую функцию с двумя периодами ω и ω/Ω0 и является ограниченной снизу положительными константами при каждом t. Более того, ρ0 (и, следовательно, компоненты скорости V1 , V2 и самой траектории X1 , X2 ) выражается через функции g(Φ) и θ(Φ) следующим образом: ωg 2 (Φ) p , (3.27) 2|c|( 1 + |γ|2 + |γ| cos(ω(t − t˜))) p γ ˜ γ 2 p где t˜ = arctg , γ˜ = 1 + |γ|2 − γ1 , а функция Φ(t), зависящая также 2 2 γ2 1 + |γ| + γ1 от ω0 , α, λ, определяется как гладкое решение уравнения p ωσ tg Θ(Φ(t)) = γ2 + tg (t − t0 ) /( 1 + |γ|2 − γ1 ), Φ(0) = 0. 2 ρ0 =

Доказательство. После некоторых вычислений, основанных на предыдущих теореме и лемме, получаем ρ0 =

|ω0 |g 2 (Φ)˜ γ e−2δΦ 2|c|(cos2 ω20 σ (t − t0 )e−4δΦ γ˜ 2 + γ2 cos2 ω20 σ (t − t0 ) + sin2

ω0 σ 2 (t

− t0 ))

,

(3.28)

где t0 — константа, которая выражается через γ1 , γ2 , α и λ по формуле ω0 σt0 /˜ γ. tg(Θ|Φ=0 ) = γ2 − tg 2 Рассмотрим вначале неустойчивый случай. Пусть существует ε0 > 0, такое, что ρ0 > ε0 при всех t > 0. Тогда, очевидно, |Φ| > |c|ε0 t. Следовательно, для достаточно больших решений tk ω0 p уравнения tg(ω0 σ(tk − t0 ))/2) = −γ2 число ρ0 (tk ) = ( 1 + |γ|2 +γ1 )g 2 (Φ(tk ))e2δΦ(tk ) будет либо 2|c| сколь угодно большим, если c > 0, либо сколь угодно малым, если c < 0. Последнее противоречит нашему предположению. В устойчивом случае δ = 0 и выражение (3.28) легко сводится к (3.27). Свойство почти периодичности следует из детального анализа (3.27). Доказательство утверждения 1 теоремы для случая ω0 = 0 основано на том факте, что согласно (3.23) ρ0 есть квадрат некоторого решения уравнения Хилла, и проводится аналогично предыдущим рассуждениям. Замечание. В приложениях, вероятно, не следует полностью игнорировать неустойчивые случаи, так как сами траектории могут изучаться для «средних» интервалов времени, когда геопотенциал ρ0 все еще остается в физически разумных пределах. Однако чем больше приращение δ, тем быстрее ρ0 покидает эти пределы. Можно сделать вывод, что если неустойчивые режимы и возникают на практике, то это возможно только тогда, когда параметры α и γ близки к зоне устойчивости, а сами зоны неустойчивости достаточно малы. 3.4. Критические режимы. Система (3.11)–(3.18) выглядит намного проще, чем исходная оборванная система (2.14)–(2.27), (2.31). Но, учитывая (2.6), мы все же имеем 17 обыкновенных дифференциальных уравнений. Следовательно, ее решение зависит от 17 параметров. Ясно, что не все решения описывают динамику мезомасштабных вихрей. Таким образом, из всех решений системы (3.11)–(3.18) нужно выбрать некоторое специальное семейство решений, которые могут описывать указанную динамику. Натурные эксперименты показывают, что траектории таких вихрей описываются (по крайней мере после усреднения) достаточно гладкими (или кусочно гладкими) кривыми. Более того, на этих траекториях потенциал ρ0 (и, следовательно, функции µ и ω0 ) должны меняться достаточно медленно и локально. На малых интервалах времени соответствующие решения должны совпадать с решениями цепочки со стационарным геопотенциалом. Таким


23

d2 µ в (3.18) должна быть достаточно малой, и, следовательно, ей можно dt2 пренебречь. Из анализа уравнения (3.11) и (2.6) можно также заключить, что быстрые компоненты переменных Y, Z и W должны быть достаточно малы: в противном случае траектория x = X(t) содержит много петель или же движение вдоль нее может оказаться слишком быстрым. Очевидно, только одна из переменных Y, Z и W может иметь большую медленную компоненту; в этом случае одна из следующих частот должна быть мала: ν1 = (p − ω0 ) мала, тогда Z ' 0, W ' 0 (случай I); ν2 = (ω0 − 3p) мала, тогда Y ' 0, W ' 0 (случай II); ν3 = −p мала, тогда Y ' 0, Z ' 0 (случай III). Естественно назвать специальные решения оборванной цепочки с указанными свойствами «критическими режимами»; похоже, они играют роль «аттракторов» как в случае оборванных цепочек, так и в случае полной цепочки. образом, производная

3.5. Критические режимы в случае β = 0. Вначале обсудим критические режимы в случае β = 0. Колебательная составляющая потенциала (3.2) оказывается равной нулю, при этом имеем b2 = ω02 /4. Это позволяет использовать во всех трех случаях уравнения √ 1 ω0 √ , (3.29) µ2 = 2 λ/ω0 , ρ0 = = 2 |c|µ 2|c| λ вместо (3.18), а также записать ω0 σ p= (3.30) 1+ √ . 2 2 λ Очевидно, существование такого типа обусловлено исключительно наличием частоты Кориолиса ω0 , организующей «потенциальную яму» в (3.23). Следовательно, стационарный (или «квазистационарный» в случае β 6= 0) геопотенциал порождается силой Кориолиса1 . Этот стаци√ √ онарный геопотенциал соответствует решению ψ = gei λΦ , g = 1/ 4 λ уравнения (3.1) с Q = λ и γ = 0 в (3.24). Так как здесь p = const, то легко интегрируются другие уравнения системы (2.6), (3.11)– (3.18). При этом получаются следующие формулы для (комплексных) траекторий особенностей (вихрей) (2.1): X = X 0 + aeiω0 t + beiνj t , (3.31) где a, b — комплексные константы интегрирования; кроме того, предположим сейчас, что частоты νj во всех формулах не обращаются в нуль. Таким образом, в стационарном случае траектории определяются почти периодическими или периодическими (если соответствующие частоты соизмеримы) функциями, чьи частоты равны (ω0 , p − ω0 ), (ω0 , ω0 − 3p) или (ω0 , −p) соответственно. Частота ω0 определяет собственные колебания или вращения под действием силы Кориолиса; если все α1 , α2 , α3 равны нулю, то движение происходит вдоль окружности с центром X 0 и радиусом |a|, при этом частота (угловая скорость) равна ω0 . Такие «собственные движения» будем называть «быстрыми»; характерное время этих движений T = 2π/ω0 . Как упоминалось выше, с точки зрения дальнейших приложений к распространению мезомасштабных вихрей интересно исследовать ситуации, когда t T и траектории (или по крайней мере некоторые их усреднения) являются гладкими кривыми без петель. Тогда величина |a| должна быть достаточно малой, и интересующие нас траектории задаются уравнением X(t) ≈ X 0 + beiνj t , которое определяет движение вдоль окружностей с центром X 0 , радиусом |b| и (малыми) угловыми скоростями νj . Заметим, что ν1 ≡ p − ω0 = 0 ⇐⇒ λ = 1/4, ν2 ≡ 3p − ω0 = 0 ⇐⇒ λ = 9/4, ν3 ≡ −p = 0 ⇐⇒ λ = 1/4,

σ = 1, σ = −1, σ = −1.

Как и для гладких траекторий, частоты p − ω0 , 3p − ω0 , p должны быть малы. Тогда для режимов I, II, III имеем σ = 1, σ = −1, σ = −1 соответственно. Точки λ = 1/4 и λ = 9/4 являются «следами» первой и третьей зон неустойчивости для уравнения Хилла (3.1) после перехода 1

Заметим, что вблизи экватора, где ω0 очень мало, тайфунов и ураганов нет.

24


от осциллирующего потенциала Q к постоянному потенциалу λ. Таким образом, мы видим, что гладкие траектории возникают вблизи первой и третьей зон неустойчивости (или лакун в спектре) уравнения Хилла. Если a = 0, то точные траектории (3.31) описывают равномерное движение вдоль окружностей с центром в X 0 и радиусом |b|. Итак, для достаточно гладких траекторий (с «малыми» частотами νj ) получаем следующие результаты. Движение на указанных окружностях происходит по часовой стрелке, если в случаях I, III (ν1, 3 < 0 ⇐⇒ 1/4 < λ) ⇐⇒ λ лежит в окрестности первой лакуны во второй зоне устойчивости, или в случае II (ν2 < 0 ⇐⇒ ⇐⇒ 9/4 < λ) ⇐⇒ λ лежит в окрестности третьей лакуны в четвертой зоне устойчивости. Движение происходит против часовой стрелки, если в случаях I, III (ν1, 3 > 0 ⇐⇒ 1/4 > λ) ⇐⇒ λ лежит в окрестности первой лакуны в первой зоне устойчивости, или в случае II (ν2 > 0 ⇐⇒ ⇐⇒ 9/4 > λ) ⇐⇒ λ лежит в окрестности третьей лакуны в третьей зоне устойчивости. В случае когда частота νj равна нулю, вместо (3.31) имеем уравнение X = X 0 + ae−iω0 t + bt, где a, b — константы интегрирования. Если a = 0 («собственное движение» отсутствует), то траектории X являются прямыми линиями. (При ненулевом a в окрестности этих прямых возникают петли.) При переходе параметра λ из одной зоны устойчивости в другую, направление движения меняется, и, более того, траектории, являющиеся кругами с петлями, превращаются в момент перехода в прямые с петлями. Поэтому интересно рассмотреть ситуацию, при которой параметры ω0 , p, ρ, a, b и X 0 являются медленными (адиабатическими) функциями времени, а режимы могут постепенно переходить один в другой. Такая ситуация возникает, если мы будем учитывать β-эффект (зависимость ω0 от широты). Именно этот случай будет изучен в следующем разделе. 3.6. Влияние β-эффекта и гамильтоновы системы в критических режимах. Предположим теперь, что β — малый положительный параметр, и попытаемся построить некоторые асимптотические решения системы (3.11)–(3.18) для временного интервала ∼1/β. В действительности мы пользуемся методами усреднения, причем поскольку мы предположили, что одна из частот рассматриваемой системы достаточно мала, мы делаем частичное усреднение (см., например, [1]). Несмотря на то что последующий анализ проводится на физическом уровне строгости (сюда входит центральный для нас вопрос о возникновении оборванных уравнений), в результате мы приходим к результатам, которые подтверждаются численными исследованиями. Вначале рассмотрим при сделанных выше предположениях уравнения (3.11)–(3.18) в случае II. Будем считать, что 3p − ω0 , а также функции Y и W малы и σ = −1. Предположим также, что по крайней мере главные составляющие функций ω0 , p, λ, ρ0 и µ меняются достаточно медленно. Тогда для этих функций в первом приближении мы можем пользоваться соотношениями (3.29), (3.30). Покажем, что в данном приближении можно выразить p, λ, ρ0 и µ через ω0 (и, следовательно, через X2 ). Рассмотрим уравнение (3.13). Его можно переписать в виде G˙ = iνG + iβF,

(3.32)

3

¯ ν = −(3p − ω0 ), F = − ω0 µ . Интегрируя это уравнение, находим где G = Z, 3|c|   Zt Zt iφ(t)  −iφ(y) G=e G0 + iβ e F (y) dy  , φ = ν(y)dy, G0 = const. 0

0

Хотя мы предполагаем, что частота ν мала, она, тем не менее, порождает некоторое малое колебание функции G = Z. Слагаемое с интегралом может компенсировать некоторые колебания. Будем считать, что после интегрирования эти колебания оказываются малыми по сравнению с колебаниями, определяемыми сомножителем eiφ(t) , и предположим, что G ∼ eiφ(t) g. Теперь рассмотрим уравнение (3.11). После отбрасывания компонент W и Z в (3.11) получаем уравнение −1 ¯ d Z 2i ¯ Запишем формально решение этого уравнения в виде V = −2i V˙ +iω0 V = − 3 Z. + iω0 . µ dt µ3


25

d 3 ¯ Если Z меняется достаточно медленно, то исключая , можем написать V ≈ −2Z/(ω 0 µ ). Но поdt скольку в функцию Z¯ входит сомножитель eiφ(t) , содержащий некоторые колебания, имеет место следующая формула (более точная, чем предыдущая): g¯ 2 2i ¯ ≡ f Z, f= 3 . (3.33) V ≈ −eiφ(t) 3 iν + iω0 µ µ (3p − 2ω0 ) Теперь получим дифференциальное уравнение для λ как функции переменной ω0 . Для этого мы должны рассмотреть следующие два уравнения для λ˙ и ω, ˙ соответствующие приближению рассматриваемого режима (при этом считаем, что переменными Y и Z можно пренебречь): λ˙ ≈ −βµ3 (2p + ω0 ) Im Z, ω˙ 0 ≈ β Im V ≡ −βf Im Z. Поделив уравнение для λ˙ на уравнение для ω˙ 0 , получим (Im Z сокращаются!) dλ/dω0 = (2p + ω0 )(3p − 2ω0 )µ6 /2. Переменные p и µ выражаются через λ и ω0 при помощи√(3.29), (3.30). Таким образом, приходим к √ уравнению с разделяющимися переменными dλ/dω0 = λ(3 − 10 λ − 8λ)/(2ω0 ). Из предыдущих рассуждений видно, что малость (3p − ω0 ) означает малость (λ1/2 − 3/2). Учитывая этот факт (благодаря которому пропадает решение с −η в формуле ниже), после интегрирования находим 7/2 2η − 1 ω0 −1/2 λ =2 , η= . (3.34) η+3 ω2 Здесь ω2 > 0 есть константа интегрирования; кроме того, предполагается, что по крайней мере ω2 ω0 > 2/7 . Отсюда получаем 2 p 4 ω0 (2η − 1)3 1 ω0 (2η − 1) ω0 (4 − η) √ ρ0 = ≡ , p= , f =− . (3.35) |c|µ2 |c|(3 + η) 2(3 + η) 7η η + 3 Аналогичные рассуждения и вычисления в случае режимов I, III дают √ 2 ω0 (ξ − 1)3/2 1 σ = 1, V ≈ f Y, f = − 3 = , Z ≈ W ≈ 0, pµ ξ (3.36) 1 ω0 (ξ − 1) ω0 ξ −1/2 λ = 2(ξ − 1), ρ0 ≡ 2 = , p= (случай I), cµ c 2 и p ω0 (ζ + s)3 1 √ , Y ≈ Z ≈ 0, σ = −1, V ≈ f W, f = = (ω0 − p)µ3 ζ ζ −s (3.37) 1 ω0 (ζ + s) ω0 ζ +s −1/2 λ =2 , ρ0 ≡ 2 = , p = −s (случай III). ζ −s cµ |c|(ζ − s) ζ −s 4/3 ω0 ω0 Здесь ξ = ,ζ= ; ω1 > 0, ω3 > 0 — константы интегрирования, s = ±1, и предполагаω1 ω3 ется, что по крайней мере ω0 > ω1 в случае I1 и ω0 > ω3 в случае III. В отличие от случаев I, II, в случае III имеются две различные возможности для реализации подходящих решений, соответствующие различным знакам s = ±1 в формулах (3.37); мы обсудим эти различия позже. Теперь понятно, что приближенное решение оборванных цепочек для критических режимов I, II, III сводится к решению системы уравнений (3.32) и ω˙ 0 = βf Im G,

j = 1, 2, 3,

(3.38)

где в случаях I, II, III соответственно имеем G = Y, 1

ν ≡ p − ω0 = ω0

(ξ − 2) , 2

F =−

2p + ω0 3 ξ+1 µ =− p , 3c 3c ω0 (ξ − 1)3

(3.39)

Следовательно, согласно нашим предыдущим исследованиям сингулярной составляющей решения (2.1) этот случай не может быть связан с движением мезомасштабных вихрей в атмосфере. Тем не менее, вероятно, он может реализовываться в некоторых других физических задачах, описываемых уравнениями (1.2).

26


s 3 ω µ 1 (η + 3)3 0 ¯ F =− =− , G = Z, 3|c| 3|c| ω0 (2η − 1)3 ω0 , F = 0. G = W, ν ≡ −p = s ζ −s Удобно использовать экспоненциальное представление для Y, Z и W , введя неизвестную туду M и угол (скорость) ψ: Y = M eiψ (случай I), Z¯ = M eiψ (случай II), W = M eiψ (случай III). 5η − 6 , ν ≡ ω0 − 3p = ω0 2(η + 3)

(3.40) (3.41) ампли(3.42)

Следующее утверждение является одним из главных результатов данной статьи. Теорема 3.3. Все системы (3.32), (3.38)–(3.41) интегрируемы в квадратурах; при этом в (3.42) p q (ξ − ξ+ )(ξ − ξ− ) 1 2 1 ± 1 + 12cM1 (случай I), (3.43) M = M1 , ξ± = 1 + ξ−1 6cM12 s 11 7 7 1 1 M = M2 1 + − − + log(2η − 1) (случай II), (3.44) 4(2η − 1)2 2η − 1 14 12|c|M22 4 M = M3

(случай III).

(3.45)

Здесь M1 , M2 , M3 — константы интегрирования; кроме того, здесь и далее предполагается, что ω0 > ω ˜i, ω ˜ 1 = ω1 ξ+ , ω ˜ 2 = ω2 (η+ )2/7 , ω ˜ 3 = ω3 , где η+ — наибольший корень подкоренного выражения в (3.44), случай II. Более того, системы для ω0 и ψ могут быть записаны в гамильтоновой форме ∂H ∂H ψ˙ = f , ω˙ 0 = −f , ω0 > ω ˜i (3.46) ∂ω0 ∂ψ с гамильтоновой структурой, индуцированной 2-симплектической формой f dω0 ∧dψ и гамильтонианами

N=

(ω1 )3/2 4

N =−

√

H = βM cos ψ + N, p p ξ(2ξ 2 − 3ξ + 9) 9 √ − log ξ−1+ ξ 4 4 ξ−1

7(ω2 )3/2 4

ω0 ω2

y 9 (5y 7 − 6) p

(y 7 + 3)(2y 7 − 1)3

1

N=

3(ω3 )3/2 4

(3.48)

dy

(случай II),

(3.49)

4/3

ζ 9/8

Z p 1

(случай I),

1/2

Z

ω0 ω3

(3.47)

(ζ − s)(ζ + s)3

dζ

(случай III).

(3.50)

Таким образом, H = const для приближенных траекторий X, соответствующих режимам I, II, III и восстанавливаемых по формуле 0

Zt

X(t) = X +

0

Zt

V dτ = X + 0

f (ω0 (τ ))M (ω0 (τ ))eiψ(τ ) dτ.

(3.51)

0

Здесь X 0 = X10 + iX20 — константа интегрирования. Доказательство. Подставляя (3.42) в (3.32), умножая результат на e−iψ и разделяя вещественную и мнимую части, получаем систему βF M˙ = βF sin ψ, ψ˙ = ν + cos ψ, ω˙ 0 = βM f sin ψ. M Поделив первое из этих уравнений на третье, находим dM 2 /dω0 = 2F /f. Интегрирование данного уравнения в различных случаях дает (3.43)–(3.45). Простое дифференцирование показывает, что


27

второе и третье уравнения из последней системы могут быть записаны в виде (3.47) с гамильтонианом ω   s  Zω0 Z Z 0    0 F (φ) ν(φ) F (φ ) 0 H = β exp dφ cos ψ + exp dφ dφ,  M 2 (φ)f (φ)   M 2 (φ0 )f (φ0 )  M (φ)f (φ) α

0

α0

1 dM 2 F на , после интегрирования получаем первый f 2 dω0 Zω0 ν(φ) dφ. После некоторых член в (3.47). Аналогично функция N представляется в виде N = f (φ) где α0 — константа интегрирования. Заменяя

0

преобразований приходим к формулам (3.48)–(3.50). Замечание. 1. Полученные гамильтоновы системы описывают адиабатически возмущенные траектории (окружности), которые упоминались в предыдущем разделе. Напомним, что движение по окружностям может происходить по часовой стрелке или против часовой стрелки. Это зависит от знака ν и определяется принадлежностью к зоне устойчивости уравнения Хилла. Как отмечалось ранее, включение малого параметра β в оборванную цепочку означает адиабатическое возмущение радиуса и угловой скорости для траекторий, которые становятся медленно меняющимися функциями времени √ t. Один из эффектов такого возмущения — это способность траекторий «перескакивать» точки λ = 1/2, 3/2 (следы лакун) и изменять направление движения «зигзагоподобным» образом. Это объясняется наличием возмущенной «силы» F в уравнении (3.32). Поэтому указанный эффект отсутствует в случае III, и поэтому для него возникают два различных режима (со знаками ±). 2. Нетрудно доказать, что функция ρ0 (ω0 ) в (3.35) (случай II), (3.37) (случай III) возрастает при возрастании ω0 . Согласно разделу 2.3 это означает, что вихрь (2.10) сжимается, двигаясь с юга на север. 3.7. Описание возможных траекторий мезомасштабных вихрей. Теперь мы хотим связать траектории x = X(t) (3.51), полученные при помощи приближенного интегрирования и сведения к гамильтоновым системам (3.47), с траекториями реальных тайфунов. В действительности в каждом из случаев II, III имеется семейство гамильтоновых систем, зависящих от трех параметров: ωi , Mi и c. Каждое решение фиксированной системы зависит от двух параметров: ψ0 = ψ|t=0 и ω0 = ω|t=0 . Следовательно, в каждом из случаев I, II, III траектория X(t) зависит от шести ˜ + βX 0 ), и определение траектории сводитпараметров: ωi , Mi , c, ψ0 , X10 , X20 (так как ω0 = Ω 2 ся к восстановлению этих параметров. Понятно, что исходное решение (2.1) зависит от бесконечного числа параметров; после обрыва у нас остается 16 свободных начальных данных для системы (2.6), (2.14)–(2.27), (2.31). При математических рассуждениях, основанных на разумных физических требованиях относительно медленного изменения геопотенциала ρ0 и «гладкости» траекторий, автоматически «отфильтровываются» шесть основных параметров, играющих существенную роль при определении траекторий, и оставшиеся 10 параметров, которые оказывают малое и, вероятно, случайное воздействие на траектории. Эти шесть «существенных» параметров могут быть восстановлены при помощи полученных выше формул через шесть имеющих физический смысл величин: начальные положение (X10 , X20 ) и скорость (V10 , V20 ) центра вихря, потенциальный вихрь c и третья компонента rot3 v в центре вихря. Понятно, что в настоящее время нетрудно численно проинтегрировать систему из 17 (и более) уравнений при помощи ЭВМ. Но при этом достаточно сложно или даже невозможно получить полный набор начальных данных для этой системы, используя данные, основанные на наблюдениях за реальными тайфунами и ураганами. Наши математические рассуждения позволяют (хотя и весьма приближенно) решить эту задачу и восстановить начальные «математические» данные при помощи относительно малого разумного набора «физических» данных, которые можно получить, наблюдая за тропическими циклонами. Согласно теории гамильтоновых систем траектории системы (3.46) являются замкнутыми или открытыми линиями уровня H на полуплоскостях ω0 > ω ei . Полуплоскости разделяются сепаратрисами на зоны с топологически подобными траекториями. Каждая зона с замкнутыми траекториями

28


имеет центр, являющийся устойчивой точкой покоя для H. Сепаратрисы пересекаются в (гиперболических) седловых точках H, но могут также начинаться и заканчиваться на границах ω0 = ω ˜i. m ), m = 0, ±1, . . ., где ω m — решения Критическими точками для H являются (ψ, ω0 ) = (πm, ωcr cr уравнений ν(ω0 )M (ω0 ) =(−1)m+1 βF (ω0 ). Эти критические точки являются устойчивыми, если ν ν F 2 ∂ −β >0 f f ∂ω0 ν m ω0 =ωcr (если m = 2l, то это точки максимума, а если m = 2l + 1, то это точки минимума), и являются седловыми в противном случае. Вблизи центров фазовые портреты системы (3.46) аналогичны фазовому портрету физического маятника, но при этом траектории двигаются по часовой стрелке вблизи точек максимума и против часовой стрелки вблизи точек минимума. При некоторых значениях параметров Mi , ωi , c седловые точки отсутствуют; в частности, они всегда отсутствуют в случае III. Поведение траекторий системы (3.46) отражается на поведении траекторий X(t). Из экспериментов известно, что, как правило, мезомасштабные вихри в северном полушарии практически в течение всего периода своего существования перемещаются с юга на север; в обратном направлении они могут перемещаться лишь в течение короткого промежутка времени сразу после возникновения и незадолго до исчезновения. Таким образом, имеется некое правило, не позволяющее тайфунам перемещаться в северном полушарии с севера на юг. Оборванная цепочка (3.11)–(3.18) не содержит этого правила; скорее всего, оно не содержится и в системе (1.2), следовательно, необходимо рассматривать более сложные модели для того, чтобы получить соответствующие ограничения. Таким образом, мы априори должны рассматривать такие временные интервалы и решения оборванной системы, для которых траектории Γ удовлетворяют указанному правилу. В частности, это означает, что на фазовой (полу)плоскости (ψ, ω0 ) нас интересуют только части фазовых кривых, лежащие в прямоугольнике ω˜i < ω0 , −π − δ < ψ < δ или ω˜i < ω0 , −δ < ψ < π + δ, где δ — некоторая малая положительная константа, а также соответствующие части траекторий Γ. Далее, замкнутые траектории системы (3.46) порождают зигзагообразные траектории X(t) (Z-образные вблизи точек максимума и S-образные вблизи точек минимума), а незамкнутые (ψ, ω0 )-траектории порождают ⊃- и ⊂-образные траектории X(t). 4.

ЕДИНСТВЕННОСТЬ

ОСОБЕННОСТИ ТИПА КВАДРАТНОГО КОРНЯ

Цель данного раздела — доказать утверждение 1 из теоремы 2.1, т. е. единственность особенности типа квадратного корня в широком классе решений со слабыми особенностями уравнения (1.2). В настоящем разделе будем пользоваться некоторыми новыми локальными обозначениями α, β, γ, δ, σ, A, B, C, D, E, которые имеют другой смысл, нежели в трех предыдущих разделах. 4.1. Вспомогательные утверждения. Прежде всего, перейдем к подвижной системе координат (x0 , t), где x0 = x − X(t), и положим u0 = u − V . Тогда система (1.2) записывается в виде (мы опускаем штрихи на новых переменных x) ηt + h∇, ηui = 0,

ut + hu, ∇iu + ∇η + V˙ − ωT(u + V ) = 0

(4.1)

и изучаются решения системы (4.1) вида (2.1). В новых координатах имеем 1 S = hx, H(t)xi + O(|x|3 ). 2 Обозначим P⊥ = TP ; такое же обозначение будем использовать для всех двумерных векторов, (1) например, U⊥ = TU , P⊥ = TP (1) . Положим Λ = St + hu, P i. Символ o(|x|∞ ) используется для обозначения гладкой функции, убывающей в нуле быстрее любой целой степени x. Поскольку функция S представима в виде S = 1/2hx, H(t)xi + O(|x|3 ) (см. условие (ii)) и H — положительная матрица, по лемме Морса существует гладкая замена переменных x = x(y, t), такая, что S = y 2 . Следующее утверждение достаточно хорошо известно, и его доказательство элементарно.


29

Лемма 4.1. 1. Пусть z (k) — однородный полином порядка k, тогда справедливо тождество Эйлера hx, ∇iz (k) = kz (k) . 2. S (2) = hx, P (1) i/2. Лемма 4.2. Пусть гладкая вектор-функция z такова, что hz, P i = 0. Тогда существует гладкая функция α, такая, что z = αP⊥ . Отсюда вытекает, что если z = z (k) есть однородный полином переменной x порядка k и z (k) 6= 0, то это же утверждение справедливо с z, вместо z (k) , P , вместо P (1) , и α, вместо однородного полинома α(k−1) порядка (k − 1). Если k = 0, то z = 0. Доказательство. Очевидно, достаточно доказать утверждение относительно z. Перейдем от −1 t (y1 , y2 ). Следовакоординат x к координатам Морса y. Тогда получим P = t ∂x/∂y тельно, h(∂x/∂y)−1 z, yi = 0. Положим w = (∂x/∂y)−1 z и разложим в ряд Тейлора компоненты w1 (y1 , y2 , t) и w2 (y1 , y2 , t) вектора w вблизи точек (y1 , 0), (0, y2 ) соответственно. В результате получим w1 (y1 , y2 , t) = w1 (y1 , 0, t) + y2 w1 (y1 , y, t), где 0 < y < y2 ; аналогичное равенство выполняется для w2 (y1 , y2 , t). Если положить w1 (y1 , 0, t) = w10 (y1 , t), w ˜1 (y, t) = w1 (y1 , y, t), w2 (0, y2 , t) = w20 (y2 , t), w ˜2 (y, t) = w2 (y, y2 , t), то вектор w запишется в 0 0 виде w1 = w1 (y1 , t) + y2 w ˜1 (y, t) и w2 = w2 (y2 , t) + y1 w ˜2 (y, t), где wi0 и w ˜i — гладкие функции. Условие ортогональности для z и P принимает вид y1 w10 (y1 , t) + y2 w20 (y2 , t) + y1 y2 (w ˜1 + w ˜2 ) = 0. В этом уравнении положим последовательно y1 = 0 и y2 = 0 и получим w10 = w20 = 0. Далее, поделим его на y1 y2 и получим w ˜1 = −w ˜2 ≡ g˜(y, t) и (∂x/∂y)−1 z = g˜T y. Теперь заметим, что T t Q = (det Q)2 Q−1 T для любой невырожденной (2 × 2)-матрицы Q. Следовательно, 2 2 −1 ∂x ∂x ∂x t ∂x z = g˜ T y = g˜ det T y=g P⊥ . ∂y ∂y ∂y ∂y Лемма 4.2 доказана. Для формулировки следующей леммы необходимо дать определение взаимно простых квадраe тичных форм. Будем говорить, что квадратичные формы S(x), S(x) взаимно просты, если отноe e шение S(x)/S(x) не определено в нуле (например, пусть S(x) = x21 + 2x22 и S(x) = x21 + x22 ; тогда e S(x)/S(x) не определено в нуле). e Лемма 4.3. Пусть гладкие функции S(x), S(x), x ∈ R2 , удовлетворяют следующим условиям в некоторой окрестности точки x = 0: e e 1. S(x) > 0, S(x) > 0, если x 6= 0; S(0) = S(0) = 0; 2. матрицы Hess S x=0 , Hess Se x=0 вторых производных невырождены (и, значит, положительны) при x = 0; 3. квадратичные формы S (2) , Se(2) взаимно просты. e где Φ(x), Ψ(x) — гладкие функции. Тогда Предположим, что выполняется равенство ΦS = ΨS, существует гладкая функция α(x), такая, что с точностью до функций равных нулю вместе e Ψ = αS. со всеми своими производными в точке x = 0: Φ = αS, Доказательство. Лемма 4.3 доказана в [15]. Для полноты изложения дадим несколько иное доказательство приведенных равенств. Функция S(x) удовлетворяет условиям 1–3 леммы 4.3. Таким образом, мы можем использовать координаты Морса y, такие, что S(x, t) = y 2 = S (2) . Теперь запишем равенство ΦS = ΨSe в виде (Φ(0) + Φ(1) + . . . )S (2) = (Ψ(0) + Ψ(1) + . . . )(Se(2) + Se(3) + . . . ),

(4.2)

где G(k) — однородный полином порядка k в разложении в ряд Тейлора по y вблизи точки y = 0. Поскольку в этом уравнении коэффициенты при однородных полиномах одного и того же порядка совпадают, то, используя предположения леммы, получаем Φ(0) = 0, Ψ(0) = 0, Φ(1) = 0, Ψ(1) = 0, Φ(2) = α(0) Se(2) , Ψ(2) = α(0) S (2) , Φ(3) = α(0) Se(3) + α(1) Se(2) , Ψ(3) = α(1) S (2) , где α(0) — заданная

30


константа, α(1) — некоторый однородный полином первого порядка по x. Применим метод математической индукции. Предположим, что формулы Φ(k) =

k−2 X

α(i) Se(k−i) ,

Ψ(k) = α(k−2) S (2)

(4.3)

i=0

справедливы при k = 2, 3, . . . , n − 1, где α(i) — заданный однородный полином по x порядка i. Покажем, что данные формулы справедливы при k = n. Для этого приравняем слагаемые одного n−1 P (i−2) e(n−i+2) и того же порядка в (4.2): S (2) (Φ(n) − α S ) = Ψ(n) Se(2) . Отсюда вытекает, что (4.3) i=2

выполняется при k = n с некоторой однородной формой α(n−2) порядка (n − 2). Таким образом, e Ψ = αS для рядов Тейлора формулы (4.3) верны при k = n. Отсюда следует равенство Φ = αS, e α. функций Φ, Ψ, S, S, 4.2. Уравнение для функции F с особенностью в морсовых координатах. Подставим функции (2.1) в систему (4.1). Тогда получим систему F 0 (τ )A + F (τ )B + F (τ )F 0 (τ )C + F 2 (τ )D + E = 0.

(4.4)

Здесь

Rt + h∇, ρU + Rui ΛR + ρhU, P i A= , B= ˆ , RP + ΛU ΓU + hU, ∇iu + ∇R − wTU ρt + h∇, ρui h∇, RU i 2RhU, P i, C= , D= , E= ˆ , hU, P iU U˙ Γu + ∇ρ + V˙ − ωT(u + V ). ˆ = ∂/∂t + hu, ∇i. где τ = S(x, t), U˙ = hU, ∇iU , Γ Снова сделаем гладкую замену переменных x = x(y, t), при которой S = y 2 . Векторы √ A, B, C, D и √ E гладким образом зависят от y. Введем также полярные координаты τ , ϕ, y1 = τ cos ϕ, y2 = τ sin ϕ и подставим их в систему (4.4). Тогда при каждом ϕ получим систему дифферен√ циальных уравнений первого порядка с коэффициентами, гладким образом зависящими от τ , ϕ: √ A = A(x(y( τ , ϕ))). Для упрощения обозначений не будем писать все эти аргументы, оставив лишь зависимость коэффициентов от x. Заметим, что можно сделать следующую замену функций S и F . Можно умножить S на любую (строго) положительную функцию, что будет соответствовать масштабированию амплитуд U , R в представлении (2.1). Можно также прибавить произвольную гладкую функцию переменного τ к функции F , что соответствует сдвигу фона (u, ρ) в (2.1). Далее мы будем часто пользоваться этими фактами, а также тем фактом, что F не зависит от ϕ. Доказательство можно разбить на три основные части: • получение из (4.4) более простых уравнений, решения которых находятся явно; • выбор из этих решений тех, которые удовлетворяют (v); √ • доказательство того факта, что из всех полученных решений только F = τ удовлетворяет системе (4.4). 4.3. Модельные уравнения. Поскольку у нас имеется система трех уравнений для одной функции F , можно попытаться исключить члены с F 0 и F F 0 и получить квадратное уравнение. К сожалению, в силу возможного вырождения компонентов коэффициентов A, C и их комбинаций, это не всегда возможно. Поэтому нужно найти другой способ упрощения уравнения (4.4). Лемма 4.4 (о модельных уравнениях). Пусть выполнены условия (ii)–(iii), и пусть система (4.4) имеет решение F , удовлетворяющее условию (v). Тогда справедливы следующие утверждения. A. Существуют гладкие функции α, β, γ, δ, зависящие от (x, t) и такие, что F удовлетворяет уравнению Риккати α(x, t)F 0 (τ ) + β(x, t)F 2 (τ ) + γ(x, t)F (τ ) + δ(x, t) = 0, где производные по x функции α не равны нулю при x = 0. B. Функция F удовлетворяет одному из следующих трех уравнений:

(4.5)


31

— квадратному уравнению a(x, t)F 2 (τ ) + b(x, t)F (τ ) + c(x, t) = 0,

(4.6)

если либо hU, P⊥ i 6= o(|x|∞ ), hU˙ , U⊥ i 6= o(|x|∞ ) и при этом hU, P i = o(|x|∞ ), либо hU, P⊥ i = o(|x|∞ ); — линейному дифференциальному уравнению a(x, t)F 0 (τ ) + b(x, t)F (τ ) + c(x, t) = 0,

(4.7)

если hU, P⊥ i = 6 o(|x|∞ ), hU˙ , U⊥ i = o(|x|∞ ); — кубическому уравнению a(x, t)F 3 (τ ) + b(x, t)F 2 (τ ) + c(x, t)F (τ ) + d(x, t) = 0,

(4.8)

если hU, P⊥ i = 6 o(|x|∞ ), hU˙ , U⊥ i = 6 o(|x|∞ ), hU, P i = 6 o(|x|∞ ). Здесь a, b, c, d — также гладкие функции, некоторые производные которых по x не равны нулю при x = 0. C. Если ψ = o(|x|∞ ), то F n ∂ m F/∂τ m ψ = o(|x|∞ ) для любых целых n и m > 0. Доказательство. Заметим, что уравнение Риккати играет важную роль: утверждение C леммы 4.4 вытекает непосредственно из уравнения (4.5). Для доказательства леммы 4.4 используются в основном чисто алгебраические процедуры. Рассматриваются отдельно следующие два случая: (a) hU, P⊥ i = 6 o(|x|∞ ), (b) hU, P⊥ i = o(|x|∞ ). Вначале изучим случай (a). Преобразуем систему (4.4). Коэффициенты преобразованной системы будут помечаться штрихом. Мы не будем выписывать сами системы, а запишем только их коэффициенты, которые соответствуют коэффициентам в (4.4). Наш метод заключается в том, чтобы попытаться исключить члены, содержащие F 0 и F F 0 . К сожалению, в общем случае такое упрощение невозможно, так как при этом могут пропасть и другие коэффициенты. Начнем с того, что сделаем равным нулю только коэффициент C. При этом не будем отслеживать, какой вид примут B и E (так как в действительности мы мало что знаем о них). Умножим первое уравнение в (4.4) на U и вычтем его из второго и третьего уравнений, умноженных на 2R: h∇, RU i ΛR + ρhU, Ri 2RhU, P i 0 0 0 A = , C = , D = . 0 2R2 P + (ΛR − ρhU, P i)U 2RU˙ − h∇, RU iU В системе со штрихами умножим второе и третье уравнения на U⊥ и P⊥ и получим в системе (4.4) новые коэффициенты     ΛR + ρhU, P i 2RhU, P i  , C 00 =  , 0 2R2 hU⊥ , P i A00 =  0 (ρhU, P i − ΛR)hU, P⊥ i   h∇, RU i . 2RhU˙ , U⊥ i D00 =  ˙ 2RhU , P⊥ i − h∇, RU ihU, P⊥ i Второе уравнение в полученной систему и есть нужное нам уравнение (4.5). Теперь рассмотрим следующие подслучаи: (a.1) hU˙ , U⊥ i = o(|x|∞ ), (a.2) hU˙ , U⊥ i = 6 o(|x|∞ ). В случае (a.1) в силу утверждения C леммы 4.4 член hU˙ , U⊥ iF 2 в полученном уравнении Риккати можно включить в коэффициент E200 , и тогда мы получим уравнение (4.7). Рассмотрим случай (a.2). Вначале предположим, что hU, P i = 6 o(|x|∞ ). Выразим F 0 через F 2 и F из уравнения Риккати и подставим полученное выражение в первое уравнение. Получим кубическое уравнение (4.8) с невырожденным коэффициентом при F 3 .

32


Если hU, P i = o(|x|∞ ), умножим первое уравнение системы с двумя штрихами на hU⊥ , P i и прибавим его к третьему уравнению той же системы; в результате получим, что коэффициенты при F 0 и F F 0 в полученном уравнении суть o(|x|∞ ) — эти члены могут быть отнесены к соответствующему E-коэффициенту. Коэффициент при F 2 есть D3000 = 2(RhU˙ , P⊥ i − h∇, RU ihU, P⊥ i). В силу леммы 4.2, U представимо в виде U = αP⊥ + µP , где α, µ — гладкие функции, µ = o(|x|∞ ) и некоторые производные функции α не равны нулю при x = 0. После ряда вычислений выражение для D3000 принимает вид 2α2 hP, QP i + ζ, где матрица Q определяется следующим образом:   ∂2S ∂2S −R − hP , ∇Ri R ⊥   ∂x1 ∂x2 ∂x21 , Q= 2 2   ∂ S ∂ S R 2 − hP⊥ , ∇Ri −R ∂x2 ∂x1 ∂x2 ζ = o(|x|∞ ). Теперь предположим, что D3000 = o(|x|∞ ). Тогда в силу леммы 4.2 получаем QP = γP + δP⊥ , где γ, δ — гладкие функции и γ = o(|x|∞ ). Это, в частности, означает, что с точностью до o(|x|∞ ) имеем Sx1 x1 = −Sx2 x2 . Но в этом случае матрица H (см. условие (ii)) не будет положительно определена. Это противоречие завершает доказательство в случае (a). Анализ случая (b) основан на аналогичных идеях, но требует более тонких рассуждений, которые мы опускаем (см. [29]). 4.4. Возможные решения модельных уравнений. Наши предыдущие рассуждения показыва√ ют, что коэффициенты уравнения (4.4) являются гладкими функциями, зависящими только от τ . Тем не менее, используя предположение о существовании решений, удовлетворяющих (v), покажем, что в действительности мы можем считать их гладкими по τ . Следующее утверждение играет важную роль во всех наших исследованиях. Лемма 4.5. Пусть u, v — гладкие функции переменной y, и пусть некоторые производные функции v при y = 0 не равны нулю. Если функция Φ такова, что Φ(τ ) = u(y1 , y2 )/v(y1 , y2 ), то Φ(τ ) = τ n Ψ(τ ), где Ψ — гладкая функция, n — целое число. √ √ Доказательство основано на представлении y1 = τ cos ϕ, y2 = τ sin ϕ и дальнейшем анализе выражения u(y1 , y2 )/v(y1 , y2 ). Далее будем пользоваться следующей формулой для производной по ϕ: ∂z ∂z ∂z = −y2 + y1 . ∂ϕ ∂y1 ∂y2 Важно, что если z гладкая, то zϕ также гладкая. Лемма 4.6. Пусть u, v гладкие функции переменной y и некоторые производные функции v не равны нулю при y = 0. Если все производные функции u0ϕ v−uvϕ0 обращаются в нуль при y = 0, то по крайней мере в некотором угле ϕ1 6 ϕ 6 ϕ2 имеем u = τ n αv, где n — целое число, α — гладкая по τ функция. Доказательство леммы здесь мы не приводим. Рассмотрим квадратное уравнение и линейное дифференциальное уравнение (4.7). Разделим каждое из них на a и продифференцируем по ϕ. Тогда в обоих случаях получим линейное уравнение uF + v = 0, где u = b0ϕ a − ba0ϕ , v = c0ϕ a − ca0ϕ . Если u имеет не равные нулю производные при y = 0, то из леммы 4.5 и условия (v-a) вытекает гладкость F . Следовательно, F не удовлетворяет условию (v-b). Значит, все производные функций u и v равны нулю при y = 0. Применяя лемму 4.6, получаем b = τ −n µa, c = τ −n γa, где n — неотрицательное целое число, µ, γ — гладкие функции переменной τ . Далее, поделив уравнения (4.6), (4.7) на a, получим уравнения того же типа: τ n F 2 + µF + γ = 0,

(4.9a)

τ n F 0 + µF + γ = 0,

(4.9b)

но с коэффициентами, гладким образом зависящими от τ .


33

Используя аналогичные рассуждения в случае уравнения (4.8), сведем его к кубическому уравнению с гладкими по τ коэффициентами: τ n F 3 + µF 2 + γF + δ = 0,

α = τ n.

(4.10)

Теперь можем воспользоваться точными формулами для p решений полученных уравнений. Для квадратного уравнения (4.9a) имеем F = (−µ ±√ µ2 − 4γτ n )/(2τ n ). Если выполняется 2 n ∞ неравенство µ2 − 4γτ n 6= o(|x|∞ ), то условие (v) √ дает F = τ . Если ψ = µ − 4γτ = o(|x| ), то из условия (v-a) вытекает представление F =√f + ψ с гладкой функцией f . Подставим это выражение в уравнение Риккати (4.5). Получим для ψ уравнение Риккати с гладкими коэффициентами. Это √ означает, что ψ есть гладкая функция и F не удовлетворяет условию (v-b). Теперь рассмотрим линейное уравнение (4.9b). Разберем различные случаи. Предположим, что µ = o(|x|∞ ). Тогда функция δ = µF +γ гладкая, F 0 = −δ/τ n и из условия (v-a) вытекает гладкость F . Пусть γ = o(|y|∞ ). Тогда δ = γ/F гладкая и τ n F 0 /F + e = 0, где e = µ + δ — F 0 (τ ) e(y1 , y2 ) F 0 (τ ) гладкая функция. Следовательно, =− , или по лемме 4.5 имеем = τ m Φ(τ ), n F (τ ) τ F (τ ) Z где Φ — гладкая функция. Тогда F (τ ) = exp

τ m Φ(τ )dτ . Без ограничения общности можем

считать, что Φ(0) 6= 0. Если m > 0, то F (0) 6= 0. Если m < −1, то либо F (0) = ∞, либо F 0 (0) = 0. Предположим, что m = −1; тогда F (τ ) = τ κ Ψ(y), где κ = Φ(0), Ψ — гладкая функция, не равная нулю при y = 0. Условие (v) выполняется тогда и только тогда, когда 0 < κ < 1. Теперь предположим, что обе функции µ и γ имеют не равные нулю производные. Перепишем (4.9b) в виде F 0 = AF + B, где A = τ m µ0 , B = τ k γ0 ; m, k — целые числа; µ0 , γ0 — гладкие функции, не равные нулю при y = 0. В этом случае F можно записать в виде Z Z Z F (τ ) = B(τ ) exp − A(τ )dτ dτ exp A(τ )dτ . Непосредственный анализ показывает, что в случаях m > 0 и m 6 −2 решений не существует. В случае m = −1 имеется единственная возможность F = τ k , 0 < k < 1. Тем самым рассмотрение линейного дифференциального уравнения завершено. Кубическое уравнение (4.10) при помощи стандартной подстановки F = z + g(τ ), где g(τ ) = −µ/(3τ n ), сводится к каноническому виду z 3 + 3pz + 2q = 0, где 3p = −(−γ/τ n + µ/(3τ n )), 2q = δ/τ n − 2µ3 /(3τ n )2 − µγ/(3τ 2 n). Воспользуемся формулой Кардано p p z = (−q + q 2 + p3 )1/3 + (−q − q 2 + p3 )1/3 , где ветви кубического корня выбираются так, чтобы произведение двух слагаемых было равно −p. Дальнейший анализ основан на сравнении порядков p и q в окрестности точки y = 0. Этот анализ достаточно прост, хотя и требует определенных вычислений, которые мы опускаем в этой работе. Заметим лишь, что в случае q 2 + p3 = o(|x|∞ ) мы должны использовать уравнение Риккати (4.5), как это было сделано для квадратного уравнения. В следующем утверждении собраны результаты всех наших рассуждений. Лемма 4.7. Без ограничения общности можно считать, что модельные уравнения (4.6), (4.7), (4.8) имеют только следующие решения, удовлетворяющие (v): (F1) F = τ κ , (F2) F = τ log τ , (F3) F = τ 1/3 + στ 2/3+n , (F4) F = τ 2/3 + στ 4/3+n , где 0 < κ < 1, σ = ±1 или 0, n > 0 — целое число. Квадратное уравнение (4.6) имеет лишь решение типа (F1) с κ = 1/2, линейное дифференциальное уравнение (4.7) имеет решения типа (F1) и (F2), кубическое уравнение (4.8) имеет решения (F1) с κ = 1/2, (F3) и (F4). 4.5. Исходная система уравнений и особенности перечисленных типов. Лемма 4.7 лишь накладывает некоторые ограничения на возможные типы решений с особенностями, но не гарантирует существование таких решений. По существу, мы использовали до сих пор только часть системы (4.4). Теперь мы воспользуемся оставшимися уравнениями для того, чтобы показать, что

34


система несовместна с функциями (F1)–(F4), если k 6= 1/2. Вначале получим уравнения, связывающие коэффициенты A, B, C, D и E в (4.4) для случая, когда F имеет вид (F1)–(F4). Нам будет удобнее работать с самими уравнениями (4.4), а не с их линейными комбинациями. Подставляя соответствующие функции F в систему (4.4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим следующие уравнения для коэффициентов A, B, C, D и т. д., которые должны быть пренебрежимо малыми функциями, т. е. функциями обращающимися в нуль вместе со всеми своими производными при x = 0. Лемма 4.8. Пусть κ 6= 1/2. Тогда с точностью до o(|x|∞ ) выполняются следующие соотношения: (F1) :

κA + BS = 0,

(F2) :

A + BS + CS = 0, C + DS = 0, A + E = 0;  2n+1 + 3DS 2n+2 = 0,  A + 3BS + (2 + 3n)CS C + 3DS + (2 + 3n)σAS n + 3σBS n+1 = 0,   E + (1 + n)σCS n + 2σDS n+1 = 0;  2n+2 + 3DS 2n+3 = 0,  2A + 3BS + (4 + 3n)CS 2C + DS + (4 + 3n)σAS n + 3σBS n+1 = 0,   E + (2 + n)σCS n+1 + 2σDS n+2 = 0.

(F3) :

(F4) :

κC + DS = 0,

E = 0;

(4.11) (4.12) (4.13)

(4.14)

Каждая из этих систем совместна только тогда, когда все производные функций U и R обращаются в нуль на траектории X(t). Другими словами, решений с особенностью вида (F1)– (F4) при κ 6= 1/2 не существует. Доказательство равенств (4.11)–(4.14) получается непосредственно. Доказательство несовместности — более тонкий результат. Воспользуемся методом математической индукции по наименьшему порядку k ненулевой производной функций U и R. Разложим S, U , R и т. д. в ряды Тейлора и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x. Очевидно, это эквивалентно дифференцированию соответствующих уравнений и последующей подстановке x = 0. Наш подход заключается в том, чтобы изучить первое и второе уравнения в системах (4.11)–(4.14). В большинстве случаев достаточно оставить лишь члены наименьшего порядка в разложениях U , R и S в ряды по степеням x. Доказательство леммы 4.8 содержит в себе доказательство ряда вспомогательных утверждений. Несколько первых шагов во всех случаях совпадают, но начиная с леммы 4.13, процесс раздваивается. Разложим все функции в ряды Тейлора, подставим эти ряды в системы (4.11)–(4.14) и приравняем коэффициенты при наименьших степенях x. Первые три уравнения имеют вид (0) (1) (0) hu , P iR + ρ(0) hU (0) , P (1) i (1) A = = 0. (4.15) R(0) P (1) + hu(0) , P (1) iU (0) Лемма 4.9. U (0) = 0, R(0) = 0. Доказательство. Умножим первое уравнение на hu(0) , P (1) i и вычтем из него второе уравнение, умноженное скалярно на P (1) и затем на ρ(0) . Получим (hu(0) , P (1) i2 − ρ(0) (P (1) )2 )R(0) = 0. Поскольку (P (1) )2 есть квадратичная форма, ρ(0) 6= 0 и hu(0) , P (1) i есть линейная форма, то первый сомножитель в получившемся уравнении не равен нулю. Следовательно, R(0) = 0. Далее, из первого уравнения немедленно вытекает, что hU (0) , P (1) i = 0 и, следовательно, U (0) = 0. Теперь предположим, что Uj = 0,

Rj = 0,

j < k,

k > 1.

(4.16)

Выпишем слагаемые наименьшего порядка в первом вектором уравнении в системах (4.11)–(4.14). Все они имеют один и тот же вид R(k) hu(0) , P (1) i + ρ(0) hU (k) , P (1) i + νS (2) (ρ(0) h∇, U (k) i + hu(0) , ∇iR(k) ) = 0, R(k) P (1) + hu(0) , P (1) iU (k) + νS (2) (∇R(k) + hu(0) , ∇iU (k) ) = 0, где ν — число, зависящее от системы.

(4.17)


35

Лемма 4.10. Предположим, что выполнено соотношение (4.16) и u(0) 6= 0. Тогда либо (hu(0) , P (1) i2 − ρ(0) (P (1) )2 ) = δ0 S (2) ,

(4.18)

где δ0 (t) < 0 — гладкая функция, либо соотношение (4.18) не выполняется, и тогда U (k) = 0, R(k) = 0. Доказательство. Умножим первое уравнение в системе (4.17) на hu(0) , P (1) i, а второе — на P (1) и затем — на ρ(0) , после чего вычтем одно из другого. Получим (hu(0) , P (1) i2 − ρ(0) (P (1) )2 )R(k) = δ (k) S (2) , где δ (k) — однородный полином по (x1 , x2 ) порядка k, который может быть выписан явно. Таким образом, либо выполняется соотношение (4.18), где, очевидно, δ0 (t) < 0, либо R(k) делится на S (2) : e(k−2) S (2) . Из второго уравнения вытекает, что U (k) = U e (k−2) S (2) . R(k) = R e(k−2) и U e (k−2) снова удовлетворяют системе (4.17) с числом Непосредственно проверяется, что R e(k−2) и U e (k−2) делятся на S (2) , и мы снова получаем систему (4.17) νe = ν/(1 + ν). Мы видим, что R (k−4) (k−4) e e для полиномов R и U . Продолжая процесс, на некотором шаге получим, что порядок e(k−2m) = 0 и U e (k−2m) = 0. Следовательно, имеем этих полиномов меньше, чем 2, и поэтому R (k) (k) также R = 0 и U = 0. Лемма 4.11. При условии u(0) 6= 0 имеем U (k) = 0, R(k) = 0. Доказательство. Очевидно, без ограничения общности можно считать, что U (k) и R(k+1) одновременно не делятся на S (2) . Иначе, используя инвариантность (указанную в доказательстве преe(k−2) S (2) , U (k) = U e (k−2) S (2) , дыдущей леммы) системы (4.17) относительно подстановки R(k) = R мы можем свести задачу к случаю меньшего k и т. д. Умножим скалярно второе уравнение в (4.17) на TP = P⊥ . Существует однородный полином φ(k−1) порядка k, для которого выполняется hU (k) , P⊥ i = φ(k−1) S (2) , откуда сразу получаем U (k) = φ(k−1) Tx + µ(k−1) P (1) ,

(4.19)

где µ(k−1) есть однородный полином порядка (k − 1). Подставим U (k) вида (4.19) во второе уравнение в системе (4.17) и скалярно умножим его на вектор x; в результате получим R(k) =

1 (−2hu(0) , νS (2) ∇µ(k−1) + (ν + 1)µ(k−1) P (1) i + νhu(0) , P (1) i). 2 + νk

(4.20)

Умножим скалярно второе уравнение в (4.17) на u(0) и положим ψ (k) = R(k) + hu(0) , U (k) i. В результате получим уравнение ψ (k) hu(0) , P (1) i + νS (2) hu(0) , ∇ψ (k) i = 0, из которого, очевидно, следует, что ψ (k) = ψe(k−2) S (2) , где ψe(k−2) есть однородный полином порядка (k − 2). Подставляя ψ (k) в предыдущее равенство, снова заключаем, что ψe(k−2) делится на S (2) , и т. д. Таким образом, находим, что ψ (k) = 0 или R(k) = −hu(0) , U (k) i. Обозначим χ = 1/(2 + νk + ν). Сравнивая R(k) с (4.20), получаем U (k) = 2χ(νS (2) ∇µk−1 + (ν + 1)µ(k−1) P (1) + σ e(k) Tu(0) ), σ e(k)

R(k)

(4.21)

U (k)

где — однородный полином порядка k. Подставим и во второе уравнение (4.17) и (k) (k−2) (2) затем скалярно умножим его на x. Получим σ e =σ S , где σ (k−2) — однородный полином (1) порядка k. Используя очевидные тождества 2S (2) ∇µ(k−1) = h∇µ(k−1) , P⊥ iTx+hP ∇µ(k−1) , xiP (1) , (P (1) )2 ∇µ(k−1) = h∇µ(k−1) , P (1) iP (1) в (4.21), находим (1) U (k) = µ(k−1) + σ (k−2) χhTu(0) , xi P (1) + χhP⊥ , (ν∇µ(k−1) + σ (k−2) Tu(0) )iTx. Умножим скалярно полученную формулу для U (k) и уравнение (4.19) на x. Сравнивая результаты, получаем σ e(k) = 0. Поскольку уравнения (4.17) линейны относительно R(k) , U (k) и R(k) = −hu(0) , U (k) i, то сомножитель 2χ в (4.21) можно включить в µ(k−1) . Таким образом, U (k) = νS (2) ∇µ(k−1) + (ν + 1)µ(k−1) P (1) .

(4.22)

36


Применяя оператор

1 ∇ к уравнению (4.18), получим 2

1 hu(0) , P (1) iu(0) = ρ(0) P (1) + δ0 x. 2 (k) Умножая скалярно (4.23) на U , получим

(4.23)

hu(0) , P (1) ihu(0) , U (k) i = ρ(0) hU (k) , P (1) i + δ0 hU (k) , xi/2. Подставим R(k) = −hu(0) , U (k) i в первое уравнение в (4.17) и воспользуемся последним соотношением. Уравнение примет вид δ0 hx, U (k) i+2νS (2) (hu(0) , hu(0) , νiU (k) i−ρ(0) h∇, U (k) i) = 0. Подставляя в него U (k) вида (4.22) и используя (4.23), получаем уравнение µ(k−1) (ν 2 k + ν 2 + νk + 1)δ0 + ν(ν + 1)hu(0) , Hu(0) i − ν(ν + 1)ρ(0) ∆S (2) + (4.24) +ν 2 S (2) hu(0) , ∇ihu(0) , ∇µ(k−1) i − ρ(0) ∆µ(k−1) = 0. Применяя оператор ∇ к (4.23), придем к уравнению hu(0) , Hu(0) i = ρ(0) ∆S (2) + δ0 . Таким образом, (4.24) принимает вид µ(k−1) (ν + 1)(νk + 1)δ0 + ν 2 S (2) (hu(0) , ∇ihu(0) , ∇µ(k−1) i − ρ(0) ∆µ(k−1) ) = 0, откуда вытекает, что µ(k−1) делится на S (2) . Теперь из (4.22) и выражения для R(k) следует, что U (k) и R(k) делятся на S (2) ; это противоречит нашему предположению. Лемма 4.12. Пусть k > 1. Если R(j) = 0 и U (j) = 0 при всех j < k, то R(k) = 0. Поскольку u(0) = 0, то второе из уравнений (4.17) принимает вид R(k) P (1) + νS (2) ∇R(k) = 0. Умножим его на x. В силу тождества Эйлера имеем hx, ∇R(k) i = kR(k) и hP (1) , xi = 2S (2) . Следовательно, R(k) (νk + 2) = 0, откуда получаем R(k) = 0. Таким образом, для завершения доказательства леммы 4.8 осталось показать, что U (k) = 0 при выполнении следующего предположения: u(0) = 0 и R(j+1) = 0, U (j) = 0 при j < k, где k > 1. Запишем первые векторные уравнения для наименьших степеней x в (4.11)–(4.14). Они имеют один и тот же вид hU (k) , P (1) i + νS (2) h∇, U (k) i = 0, (k)

R(k+1) P (1) + Λ(2) U (k) + νS (2) (Ut

+ hu(1) , ∇iU (k) +

+hU (k) , ∇iu(1) + ∇R(k+1) − ω (0) T U (k) ) = 0.

(4.25) (4.26)

Рассмотрим по отдельности уравнения (4.11), (4.12) и уравнения (4.13), (4.14). Начнем с уравнений (4.11) и (4.12). Далее нам понадобятся вторые векторные уравнения в системах (4.11)–(4.12). Приравняем коэффициенты при наименьших степенях в разложении по степеням x к нулю. В результате получим уравнения R(k+1) hU (k) , P (1) i + νS (2) h∇, R(k+1) U (k) i = 0,

(4.27)

hU (k) , P (1) iU (k) + νS (2) hU (k) , ∇iU (k) = 0.

(4.28)

Лемма 4.13. Уравнения (4.25), (4.26) и (4.28) совместны в том и только в том случае, если U (k) = 0. Доказательство. Умножим (4.26) на P (1) и воспользуемся выражением для hU (k) , P (1) i из уравe(k−1) S (2) . Теперь заметим, что если нения (4.25). Получим, что R(k+1) делится на S (2) : R(k+1) = R e (k−2) , то подстановка U (k) , R(k+1) в (4.25), (4.26), (4.28) дает такую же систему для U (k) = S (2) U (k−2) (k−1) e e U ,R с νe = ν/(1 + ν) вместо ν. Следовательно, без ограничения общности можно считать, (k) что U не делится на S (2) (в противном случае мы приходим за конечное число шагов к исходной системе с k < 2). Из уравнений (4.25), соотношения 2S (2) = (P (1) , x) и леммы 4.2 получаем 1 (1) U (k) = α(k−1) (t, x)x + σ (k−1) (t, x)P⊥ , α(k−1) = − νh∇, U (k) i, (4.29) 2


37

где σ (k−1) есть (k −1)-форма с коэффициентами, являющимися гладкими функциями переменной t. Из (4.25) выразим hU (k) , P (1) i через h∇, U (k) iS (2) и подставим результат в (4.28). Тогда полу(k) чим hU (k) , ∇iU (k) = h∇, U (k) iU ! . Простые вычисления показывают, что это уравнение можно (k) (k) ∂U (k) ∂U1 ∂U2 переписать в виде det = 0. Отсюда следует, что векторы и коллинеарны, ∂x ∂x ∂x (k)

(k)

∂U ∂U1 = γ0 2 , где γ0 (t) — гладкая функция. Интегрируя эти соотношения по x и учитывая ∂x ∂x (k) (k) тот факт, что U (k) — однородные полиномы по x, получаем U2 = U1 γ0 . Подставим это выражение в (4.29) и умножим скалярно обе части получившегося соотношения (k) на Tx; в результате получим U1 (x2 − γ0 x1 ) = 2σ (k−1) S (2) , что противоречит предположению о (k) (2) том, что U не делится на S , так как (x2 − x1 γ0 ) 6= 0. Тем самым завершается доказательство леммы 4.13, а также той части леммы 4.8, которая касается уравнений (4.11) и (4.12).

т. е.

Исследование случая систем (4.13), (4.14) основано на аналогичных идеях, но требует проведения более сложных выкладок; мы его здесь не приводим. √ В заключение отметим, что соответствующей системой для F = τ является (5.1), (5.4), и в отличие от предыдущих случаев эта система может быть совместной, если U и R имеют ненулевые производные. Этот случай изучается в следующем разделе. 5.

АНАЛИЗ

НЕГЛАДКОЙ КОМПОНЕНТЫ РЕШЕНИЯ

И ВОЗНИКНОВЕНИЕ УСЛОВИЙ

КОШИ—РИМАНА

НА ТРАЕКТОРИИ

Цель данного раздела — получить цепочку уравнений для коэффициентов в рядах Тейлора, соответствующую решению с особенностью типа квадратного корня. Мы дадим естественное объяснение возникновению некоторых коэффициентов в разложении и появлению некоторых соотношений. 5.1. Негладкая (вихревая) компонента решения. Изучим теперь решения системы (1.2) вида (2.1) с функциями ρ, S, R, u и U , удовлетворяющими условиям, описанным в разделе 2 и представимыми рядами (2.2). Как и ранее (см. раздел 4.1), вначале перейдем к координатам, связанным с центром точечной особенности, и перепишем систему (1.2) в виде (4.1). Центр точечной особенности теперь имеет координату x = 0. Из свойств S следует, что S (0) = S (1) = 0 и S = S (2) + S (3) + . . . , где S (2) = 1/2(x, H(t)x) — положительно определенная квадратичная форма, причем S (2) 6= µ(t)(x21 + x22 ). Вернемся √ к исходной √ системе (4.1). Предположим, что она √ имеет решение вида (2.1) с F = τ и u e = U S, ρe = R S. Тогда уравнения для (u, ρ) и (e u, ρe) распадаются следующим образом: ∂ρ + ∇ · (ρu + ρeu e) = 0, ∂t (5.1) ∂u ˙ + hu, ∇iu + ∇ρ + V − ωT (u + V ) + he u, ∇ie u = 0; ∂t ∂ ρe + ∇ · (e ρu + ρe u) = 0, ∂t (5.2) ∂e u + hu, ∇ie u + he u, ∇iu + ∇e ρ − ωT u e = 0. ∂t Предположим, что нам известны функции ρ(x, t) и u(x, t). Тогда для u e и ρe мы имеем линейную систему уравнений. При этом нас интересуют решения с особенностями p вида (2.1). Для p системы (5.2) рассмотрим задачу Коши ρe|t=0 = R(x, 0) S(x, 0), u e|t=0 = U (x, 0) S(x, 0). Таким образом, мы приходим к задаче о нахождении решений с особенностью для гиперболической системы. Хорошо известно, что такие задачи можно решать при помощи разложений по гладкости или лучевых разложений (см., например, [2,18]). Далее мы по существу используем идеи, восходящие к этим методам. Однако имеются некоторые отличия, существенные с точки зрения лучевого метода, которые не позволяют использовать для нашей задачи напрямую результаты о разложениях по гладкости. Прежде всего, использование разложения по гладкости позволяет построить решение задачи Коши, а не решение со специальной структурой. В частности, такое разложение

38


не гарантирует структуры (2.1) решения, даже если эта структура имеет√место при t = 0. Даже если главная негладкая составляющая решения имеет вид (2.1) с F = τ , последующие, более гладкие слагаемые в u e и ρe вполне могут иметь другую структуру; иными словами, согласно разложению по гладкости амплитуды U и R в (2.1) не обязаны быть гладкими. С другой стороны, можно потребовать, чтобы R и U были гладкими, но тогда возникает риск получения лишних условий, которые являются следствием выбранного способа решения. Поэтому, несмотря на то что мы помним о лучевых разложениях, все рассуждения будут проводится только на основе условий (5.2) и гладкости u, ρ, U и R. Для реализации сказанного повторим процедуру, использованную в лемме √ 4.8 для решений с особенностями типа квадратного корня: подставим функции (2.1) с F = τ √в (5.2), произведем соответствующее дифференцирование и√сгруппируем слагаемые, содержащие S в знаменателе, в левой части и слагаемые, содержащие S в числителе, в правой части. Тогда получим      Λ ρP1 ρP2 R f √ 1 √ P1 Λ 0  U1  = − S F1  . (5.3) 2 S P 0 Λ U F 2 2 2 Это приводит к системе ΛR + ρhP, U i + 2Sf = 0,

ΛU + P R + 2SF = 0.

(5.4)

Здесь f = Rt + h∇, uR + ρU i,

F = Ut + hu, ∇iU + hU, ∇iu − ωT U + ∇R.

(5.5)

Если бы мы попытались применить лучевые разложения для нахождения решений с особенностью системы (5.3), то мы бы представили функции R и U некоторыми (асимптотическими) e U e1 и U e2 в этих рядах для R, U1 и U2 соответственно мы рядами; для первых коэффициентов R, бы получили уравнения относительно собственных векторов матрицы в (5.3), соответствующих нулевому собственному значению. Собственные значения λ0 и λ± этой матрицы имеют вид (см., например, [26]): λ0 = Λ, λ± = Λ ± ρ|P |. Если мы положим λ0 = 0 или λ± = 0 (как в ВКБ методе), то получим характеристические уравнения (уравнения эйконала или Гамильтона—Якоби), соответствующие различным модам, описывающим распространение особенностей: медленной (гидродинамической) в первом случае и быстрым (акустическим) в других случаях. Заметим также, что при P = 0 все λ0 и λ± совпадают и, более того, λ± перестают быть гладкими. Таким образом, мы имеем дело с ситуацией, известной в теории гиперболических уравнений как «негладкая смена кратности характеристик». Поскольку нас интересует точка из R2x , в которой S достигает своего минимума, то в этой точке имеем P = 0. Следовательно, мы не можем исключить те точки, где P 6= 0. Более того, именно те точки x, где P = ∇S обращается в нуль, представляют для нас основной интерес. Наконец, мы не можем просто отбросить правую часть в (5.3) для «главного члена» разложения без дополнительного рассмотрения, так как левая и правая части в (5.3) имеют один и тот же порядок малости при |x| → 0. Таким образом, мы должны с самого начала рассмотреть всю систему (5.1), (5.2) и изучить ее свойства. С первого взгляда может показаться, что система (5.2) недоопределена: имеются три уравнения относительно четырех неизвестных функций (U1 , U2 , R, S) (или шесть уравнений для семи неизвестных функций, если добавить систему (5.1) и функции фона (v, w, ρ)). Мы покажем, что заданные свойства функции S и гладкость всех названных функций фактически приводит к возникновению уравнения эйконала для фазы S и система замыкается. 5.2. Особенность, «вмороженная» в поле скоростей. Так же как и в предыдущем разделе, разложим все функции в ряды Тейлора, подставим эти ряды в системы (5.4) и приравняем коэффициенты при соответствующих степенях x. Указанная процедура приводит к некоторым равенствам и уравнениям для коэффициентов в рядах Тейлора S (k) , U (k) , u(k) и т. д. Некоторые из них уже были выписаны в предыдущем разделе. Поскольку они играют важную роль, повторим их. Лемма 5.1. 1. U (0) = 0, R(0) = 0; 2. u(0) = 0;


39

другими словами, особенность «вморожена» в поле скоростей u+V (и в общее поле скоростей, так как u = u + V в точке x = X(t)): особая точка X(t) перемещается вдоль траектории поля u. Доказательство. Для доказательства выпишем слагаемые наименьшего порядка в уравнениях системы (5.4). Они имеют вид (4.15). Следовательно, справедливы лемма 4.9 и первая часть леммы 5.1. Второе утверждение есть частный случай леммы 4.11. 5.3. Уравнение эйконала для функции S. «Вмороженность» особенности в поле скоростей позволяет доказать, что фаза S может быть без ограничения общности выбрана в качестве решения уравнения Гамильтона—Якоби. Рассматривая старшие члены в (5.4), получаем уравнения ρ(0) hU (1) , P (1) i + 2S (2) ρ(0) h∇, U (1) i = 0,

R(1) P (1) + 2S (2) ∇R(1) = 0.

(5.6)

Лемма 5.2. Имеют место следующие равенства R(1) = 0 и U (1) = ATP (1) ,

(5.7)

где A(t) — гладкая функция. Доказательство. Первое равенство есть частный случай леммы 4.12 для k = 1. Далее, из первого уравнения в (5.6) следует, что hU (1) + h∇, U (1) ix, P (1) i = 0 и, таким образом, (1) U (1) = −h∇, U (1) ix + AT P⊥ . Применяя к этому соотношению оператор ∇, убеждаемся в том, что h∇, U (1) i = 0. Следовательно, имеют место уравнения (5.7). Лемма 5.3. Предположим, что по крайней мере одна из производных ∂U/∂xj не равна нулю. Тогда без ограничения общности можно считать, что S является решением уравнения эйконала (или Гамильтона—Якоби) Λ ≡ St + hu, ∇Si = 0. Следовательно, S (2) является решением уравнения эйконала с линеаризованными коэффициентами (2)

St

+ hu(1) , ∇S (2) i = 0 ⇐⇒ Λ(2) = 0.

(5.8)

Доказательство. Умножая скалярно уравнение (5.4) на P⊥ , получаем ΛhP⊥ , U i + 2ShF, P⊥ i = 0.

(5.9)

По предположению леммы 5.3 A 6= 0 в (5.7) на некотором временном интервале [0, T ]. Функции hU, P⊥ i и S удовлетворяют предположениям леммы 4.3, и имеет место уравнение (5.9). Следовательно, существует гладкая функция α(x, t), представимая в виде своего ряда Тейлора в окрестности точки x = 0 с гладкими коэффициентами, гладким образом зависящими от t, такая, что Λ = αS. Вспоминая, что Λ = St +hu, P i, приходим к уравнению St +hu, ∇Si = αS. Функцию S мы можем умножить на гладкую положительную функцию D(x, t), т. е. сделать замену переменe и, применяя метод характеристик, выбрать D так, чтобы это уравнение приняло ных S = DS, e Значит, без ограничения общности можно считать, что α(x, t) = 0 вид уравнения эйконала для S. и Λ = 0. Наличие уравнения эйконала позволяет замкнуть систему (5.4), (5.1) для функций u, ρ, U, R, S, а также упростить систему (5.4) и вывести некоторые полезные формулы. А именно — система (5.4) теперь принимает вид ρhP, U i + 2Sf = 0,

(a)

P R + 2SF = 0. (b)

(5.10)

Следствие 5.1. Функция R представляется в виде R = −2α(x, t)S,

(5.11)

и F = αP, где α(x, t) — гладкая функция. Для доказательства последнего равенства, умножим скалярно уравнение (5.10b) на P . Используя лемму 4.3, немедленно получаем (5.11). Второе равенство следует из (5.10b). Мы уже использовали хорошо известный факт, что интегрирование уравнения эйконала для S сводится к системе x˙ = u и фаза S не меняется вдоль траектории. Таким образом, если нам известна S в начальный момент времени t0 и известна скорость фона, то мы можем найти S при

40


t > t0 . Но напомним, что скорость фона u также является неизвестной функцией; более того, нет уверенности, что гладкие решения u, U, ρ, R существуют при любом выборе начальной фазы S. Воспользуемся теорией возмущений (основанной на разложениях в ряды Тейлора) для преодоления этой трудности. Ограничимся при этом рассмотрением главного члена S (2) функции S. Тогда с (5.8) мы можем связать линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (так как u(1) = ∂u/∂x|x=0 x) и ее матрицу Коши G(t): ∂u (5.12) x˙ = u(1) (x), x|t=0 = x0 , (a) G˙ = G, G|t=0 = E (b). ∂x x=0 ∂ 2 S 1 ≡ Π0 B(Π0 )∗ есть вещественПредположим, что S (2) = hx, H0 xi при t = 0, где H0 = 2 ∂x2 t=0 ная симметричная положительная матрица, причем Π0 = Π(θ0 ), B определены в (2.10)–(2.12). Интегрируя (5.8), получаем следующее утверждение. Следствие 5.2. Функция S (2) имеет вид 1 1 S (2) = hx, H(t)xi ≡ hx0 , H0 x0 i. 2 2

(5.13)

Здесь H = t G−1 H0 G−1 — симметричная положительная матрица, x0 = G(t)−1 x. d ∂ = + hu(1) , ∇i. Тогда в силу dt ∂t выбора S вектор-функции P, P⊥ удовлетворяют уравнениям (сопряженным к (5.12)) Обозначим через d/dt полную производную в силу (5.12a): t ∂u(1) dP =− P, dt ∂x

5.4.

t ∂u(1) dP⊥ =T T P⊥ . (b) dt ∂x

(a)

(5.14)

Уравнение переноса для амплитуды и возникновение условий Коши—Римана.

Лемма 5.4. На траектории Γ выполняются условия Коши—Римана (2.7) и имеют место следующие формулы: A(t) = A = const, 1 1 F (1) = A(ω0 + rot3 u(1) )P (1) ≡ A(ω0 − 2p)P (1) , 3 3 2 R= A(2p − ω0 ) + O(|x|) S. 3

(5.15) (5.16)

Доказательство. В силу (5.11) из (5.10b) находим (1)

hF (1) , P⊥ i = 0

⇐⇒

F (1) = α0 P (1) ,

α0 (t) = α(0, t).

(5.17)

Из определения F следует, что (1)

F (1) = Ut

+ hu(1) , ∇iU (1) +

∂u(1) (1) U − ω0 T U (1) + ∇R(2) = ∂x

d (1) ∂u(1) (1) U + U − ω0 T U (1) + ∇R(2) = dt ∂x (1) ˙ (1) + AP˙ (1) + A ∂u P (1) + ω0 AP (1) − 2α0 P (1) . = AP ⊥ ⊥ ∂x ⊥ =

(5.18)

Подставляя F (1) в (5.17), получаем следующее уравнение переноса для функции A(t): (1) ˙ (1) )2 + A d (P (1) )2 + AhP (1) , ∂u P (1) i = 0. A(P ⊥ 2 dt ∂x ⊥

(5.19)

Преобразуем последнее слагаемое. Заметим, что в силу системы (5.1) функции ρ0 и u(1) удовлетворяют (2.15) (для доказательства достаточно положить x = 0 в (5.1)). Отсюда находим, что div u(1) = −ρ˙ 0 /ρ0 . Далее,


(1) hP⊥ ,

∂u(1) (1) P i= ∂x ⊥

(1) (1) ∂u (P2 )2 1 ∂x1

−

(1) (1) (1) ∂u1 P1 P2 ∂x2

−

(1) (1) (1) ∂u2 P1 P2 ∂x1

41

+

(1) (1) 2 ∂u2 (P1 ) ∂x2

=

(1) (1) ∂u (1) P − (P (1) )2 ρ˙ 0 /ρ0 = = (в силу (6.1)) = − P , ∂x = (в силу (5.14a)) = hP˙ (1) , P (1) i − (P (1) )2 ρ˙ 0 /ρ0 . Подставляя это выражение в (5.19), получаем d A(P (1) )2 A(0) (1) 2 0 ρ0 = 0 или A(t)(P (1) )2 = ρ0 (t) (P ) (x ). dt ρ0 ρ0 (0) 0 (1)

(5.20)

(1)

Теперь заметим, что P (1) (t) = t G−1 P0 ≡ t G−1 H0 x0 , P0 = H0 x0 на траекториях системы (5.12a), где G(t) — матрица Коши этой системы. Таким образом, из (5.20) вытекает равенство двух квадратичных форм. Это возможно, только если матрица Коши G удовлетворяет уравнению G t G = A(t)ρ0 (0)(A(0)ρ0 (t))−1 E. Здесь E единичная (2 × 2)-матрица. Очевидно, это равенство возможно, только если G представимо в виде G = g(t)Π(t), где матрица поворота Π(t), определенная в части 2d теоремы 2.1, и угол θ(t) — гладкие функции. Выясним, что это означает для системы (5.12b). Подставим G в (5.12b), продифференцируем G и умножим справа на Π∗ = Π−1 . В (1) ˙ результате получим соотношение g˙ + θTg − gux = 0, из которого немедленно вытекают условия Коши—Римана (2.7) на Γ. Воспользуемся обозначениями (2.3), (2.4). Из последнего уравнения получаем формулы (2.11) и (2.12) для g(t) и θ(t), а из (6.1) получаем соотношение ρ0 (t) = ρ0 (0)/g 2 (t); объединяя его с (5.20), имеем A = const. Теперь подставим полученные выражения в (5.17), (5.18); тогда, учитывая (5.14b), получим α = 1/3A(ω0 − 2p) и формулы (5.15)–(5.16). Подставляя выражения для g и θ в (5.13) и (5.7), получаем слагаемые O(|x − X(t)|2 ) в (2.10). 5.5. Вычисление поправки U (2) . Рассмотрим первое уравнение в (5.4). Сравнивая слагаемые порядка x3 (однородные полиномы третьего порядка), получаем ρ(0) hP (1) , U (2) i + hP (2) , U (1) i = −2S (2) f (1) . Вычисления показывают, что из этого уравнения вытекает (2.30). 5.6. Порядок остатка для негладкой составляющей решения. Нетрудно доказать следующее утверждение. Лемма 5.5. Пусть коэффициенты S (i) , U (i) и R(i) , i = 0, 1, 2, в разложениях соответствующих функций в ряды Тейлора определены по формулам S (0) = S (1) = R(0) = 0, U (0) = 0, а также (5.13), (5.7), (2.30) и (5.16) соответственно. Тогда вектор-функции u ˜ и ρ˜ удовлетворяют системе (5.2) с точностью до O(x3 ). 5.7. Закон сохранения для потенциального вихря и условия Коши—Римана. Из предыдущего видно, что именно из закона сохранения для (P (1) )2 A/ρ0 (t) вытекают условия Коши—Римана. Мы уже говорили, что уравнения (1.2) также имеют переменные, которые остаются постоянными на траекториях поля скоростей u. Теперь мы покажем, что условия Коши—Римана являются следствием закона сохранения для потенциального вихря (1.3). Отделим друг от друга гладкую и негладкую составляющие в законе сохранения (1.3) для Π (так же как в разделе 4.1). Негладкая составляющая имеет вид e eρ Ωρ − Ωe ρ Ωρ − Ωe ∂ + hu, ∇i + he u , ∇i = 0. (5.21) ∂t ρ2 − ρe2 ρ2 − ρe2 e=u Здесь Ω = u2x1 − u1x2 + ω и Ω e2x1 − u e1x2 . √ Умножим уравнение (5.21) на S и приравняем в полученном уравнении главную по x часть к нулю. Учитывая вид U , равенство u(0) = 0 и уравнение эйконала для S (2) , получим i ∂ d h A(t) d h (2) 2 (2) i d ((P (1) )2 + 2S ∇ S ) = 0, = + hu(1) , ∇i . (5.22) dt ρ0 (t) dt dt ∂t

42


Вычисления, аналогичные предыдущим, показывают, что (5.22) имеет место тогда и только тогда, когда первое и второе слагаемые в левой части (5.22) равны нулю [27, 28]. Из этих равенств вытекают условия Коши—Римана. Замечание. Более сложные вычисления показывают, что еще одно приближение для (5.21) дает следующую поправку к условиям Коши—Римана (2.7), устанавливающую связь между вторыми производными скорости u и первыми производными функции ρ. v20 + v02 − 1/10 (cρ01 + β) v20 − v02 − w11 (2H − tr(H)I) = tr(H) . w20 + w02 + 1/10 cρ10 w02 − w20 − v11 Здесь tr(H) — след матрицы H, I — единичная матрица. Аналогично условию Коши—Римана эти 1 11 βµ3 ¯ соотношения также играют роль необходимых условий. Полагая J = Y + i(Y +W −2Z)+ 10 30 |c| (Y , W , Z — комплексные переменные из раздела 2), мы можем переписать эти уравнения в виде U = 4be2iθ J. Это уравнение можно считать дополнительным уравнением для переменных U , Y , W , Z. Если мы исключим указанные переменные из полученного уравнения и из уравнений (3.12)– (3.15), пренебрегая слагаемыми из правой части, содержащими третьи производные функции ρ, то получим уравнение, связывающее третьи производные ρ. Это уравнение не оказывает влияния на траекторию в рассматриваемом приближении. 6.

ЦЕПОЧКА

ДЛЯ ГЛАДКОЙ КОМПОНЕНТЫ

Решение части системы (5.1), (5.2), соответствующей негладкой составляющей решения, основывалось на разложении в ряд Тейлора или, что то же самое, на повторном дифференцировании по x1 , x2 и последующей подстановке x1 = X1 (t), x2 = X2 (t). Ясно, что та же процедура оказывается естественной и при исследовании части этой системы, отвечающей гладкой составляющей. Никаких особых трудностей здесь не возникает, и, учитывая равенство u(0) = 0, мы приходим к следующему набору уравнений: ∂ρ0 + h∇, ρ0 u(1) i = 0, ∂t

(6.1)

∂ρ(1) + h∇, ρ0 u(2) + ρ(1) u(1) i = 0, ∂t

(6.2)

∂ρ(2) + h∇, ρ(1) u(2) + ρ(2) u(1) i + h∇, ρ0 u(3) i = 0, ∂t dV − ω0 T V + ∇ρ(1) = 0, dt ∂u(1) + hu(1) , ∇iu(1) + ∇ρ(2) − ω0 T u(1) − βx2 T V = 0, ∂t

(6.4)

∂u(2) + hu(1) , ∇iu(2) + hu(2) , ∇iu(1) − ω0 T u(2) + ∇ρ(3) − βx2 T u(1) = 0. ∂t

(6.6)

(6.3)

(6.5)

Приравняем в (6.1)–(6.6) соответствующие коэффициенты при одночленах 1, x1 , x2 , x21 , x1 x2 и x22 . Из (6.1), (6.2), (6.4) получаем уравнения (2.14)–(2.17). Теперь рассмотрим уравнение (6.5). После простых преобразований оно принимает вид ! (2) (2) ∂u(1) ∂ ∂u(1) ∂u(1) 2 2ρ20 ρ11 x + x − ω0 T x − βx2 T V + Cx = 0, C = (2) (2) . ∂t ∂x ∂x ∂x ρ11 2ρ02 (2)

Это эквивалентно следующему матричному уравнению для элементов q, p, ρlm : 2 q˙ p˙ q − p2 2qp −p q 0 V2 + − ω0 −β + C = 0. −p˙ q˙ −q −p 0 −V1 −2qp q 2 − p2 Переписывая покомпонентно эти уравнения, получим два уравнения, содержащие q˙ и отличающи(2) (2) еся только слагаемыми 2ρ20 и 2ρ02 + βV1 , а также два уравнения, содержащие p˙ и отличающиеся

ЦЕПОЧКИ ГЮГОНИО—МАСЛОВА (2)

43

(2)

слагаемыми ρ11 и −ρ11 + βV2 . Используя обозначение (2.13), немедленно получаем (2.18), (2.19) и следующее утверждение. Лемма 6.1. Система (6.1)–(6.6) совместна, если имеют место равенство (2.8). Эти равенства вытекают из условий Коши—Римана. (3)

(3)

Равенства (2.8) позволяют получить некоторые дополнительные соотношения между v30 , w03 , (3) (1) (1) (2) v20 и т. д., с одной стороны, и ρ10 , ρ01 , w20 и т. д., с другой стороны. Действительно, записывая (6.3) для коэффициентов при одночленах x21 , x22 и x1 x2 , получаем (2.28) и уравнения ρ˙ 20 + 4qρ20 + ρ10 (3v20 + w11 ) + ρ01 w20 + ρ0 (3v30 + w21 ) − pρ11 = 0,

(2)

(2)

(6.7)

(2) ρ˙ 02

(2) 4qρ02

(6.8)

+

(1)

+

(2)

(1) (2) ρ10 v02

+

(2)

(1) (2) ρ01 (v11

(1)

+

(2)

(2) 3w02 )

(3)

+

(3) ρ0 (v12

+

(3)

(3) 3w03 )

(2)

+

(2) pρ11

= 0.

Вычитая (6.8) из (6.7), получим (2.29), что может рассматриваться совместно с (2.28) как условие, (3) (3) (3) (3) ограничивающее выбор v30 , w30 , v21 , v21 и т. д. Прибавляя (6.7) к (6.8) и вводя переменную r согласно (2.13), приходим к (2.20). Остается приравнять коэффициенты при соответствующих одночленах в оставшихся уравнениях (6.1) и (6.6). В результате получим цепочку (2.14)–(2.29). Тем самым доказательство теоремы 2.1 завершено. Мы выражаем глубокую признательность В. Ф. Должанскому, В. П. Маслову, А. Сперанце и К. Панкрашкину за многократные обсуждения и полезные замечания. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики// Итоги науки и техн., сер. Совр. пробл. мат., Фундам. напр. — М.: ВИНИТИ, 1985. — 3 2. Бабич В. М. Фундаментальное решение гиперболических уравнений с переменными коэффициентами// Мат. cборник. — 1960. — 52 (94), № 2. — С. 709–738 3. Булатов В. В., Владимиров Ю. В., Данилов В. Г., Доброхотов С. Ю. Пример вычисления «глаза» тайфуна на основе гипотезы В. П. Маслова// Докл. РАН. — 1994. — 338, № 1. — С. 102–105 4. Вишик М. И., Фурсиков А. В. Математические проблемы статистической механики. — М: Наука, 1980 5. Гордин В. А. Математические задачи гидродинамического прогноза погоды: аналитические аспекты. — Л.: Гидрометеоиздат, 1987 6. Гринфельд М. А. Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов в нелинейном упругом материале// Прикл. мат. и мех. — 1978. — 42, № 5. — C. 883–898 7. Данилов В. Г., Маслов В. П., Шелкович В. М. Алгебры особенностей обобщенных решений строго гиперболических систем квазилинейных уравнений первого порядка// Теор. и мат. физ. — 1998. — 114, № 1. — С. 3–55 8. Доброхотов С. Ю. Цепочки Гюгонио–Маслова для траекторий точечных вихревых особенностей уравнений мелкой воды и уравнение Хилла// Докл. РАН. — 1997. — 354, № 5. — С. 600–603 9. Доброхотов С. Ю. Редукция к уравнению Хилла цепочки Гюгонио–Маслова для траекторий уединенных вихрей уравнений мелкой воды// Теор. и мат. физ. — 1997. — 112, № 1. — С. 47–66 10. Доброхотов С. Ю., Панкрашкин К. В., Семенов Е. С. О гипотезе Маслова о структуре слабых точечных особенностей уравнений мелкой воды// Докл. РАН. — 2001. — 379, № 2. — C. 173–176 11. Доброхотов С. Ю., Тироцци Б. О свойстве гамильтоновости укороченных цепочек Гюгонио–Маслова для траекторий мезомасштабных вихрей// Докл. РАН. — 2002. — 384, № 6. — С. 741–746 12. Должанский Ф. В., Крымов В. А., Манин Д. Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений// Усп. физ. наук. — 1990. — 160, № 7. — C. 1–47 13. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Гамильтонов формализм одномерных систем гидродинамического типа и метод усреднения Боголюбова–Уизема// Докл. АН СССР. — 1983. — 270, № 4. — С. 781–785 14. Егоров Ю. В. К теории обобщенных функций// Усп. мат. наук. — 1990. — 45, № 5. — С. 3–40 15. Жихарев В. Н. О необходимых условиях существования и единственности типа решения со слабой распространяющейся особенностью, сосредоточенной в точке, для уравнений гидродинамики в случае двух пространственных переменных// Депонировано в ВИНИТИ, № B86, 8148. — Москва, 1986 16. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 1995 17. Зубарев Д. Н. Современные методы статистической теории неравновесных процессов, // Итоги науки и техн., сер. Совр. пробл. мат. — М.: ВИНИТИ, 1980. — 15. — С. 131–226 18. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. — М.: МГУ, 1965

44


19. Маслов В. П. О распространении ударной волны в изоэнтропическом невязком газе// Итоги науки и техн., сер. Совр. пробл. мат. — М.: ВИНИТИ, 1977. — 8. — С. 199–271 20. Маслов В. П. Три алгебры, отвечающие негладким решениям систем квазилинейных гиперболических уравнений// Усп. мат. наук. — 1980. — 35, № 2. — С. 252–253 21. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Условия типа Гюгонио для бесконечноузких солитонов уравнений простых волн// Сиб. мат. ж. — 1983. — 24, № 5. — С. 787–795 22. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. — М.: Мир, 1984 23. Семенов Е. С. Об условиях Гюгонио–Маслова для вихревых особых решений системы уравнений мелкой воды// Мат. заметки. — 2002. — 71, № 6. — С. 902–913 24. Уизем Дж. Б. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977 25. Якубович В. А., Старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. — М.: Главная редакция физ.-мат. литературы изд-ва «Наука»,1972. — 720 с. 26. Colombeau J. F., le Roux A. Y. Multiplications of distributions in elasticity and hydrodynamics// J. Math. Phys. — 1988. — 219. — С. 315–319 27. Dobrokhotov S. Yu. Hugoni´ot–Maslov chains for solitary vortices of the shallow water equations, I// Russ. J. Math. Phys. — 1999. — 6, № 2. — С. 137–173 28. Dobrokhotov S. Yu. Hugoni´ot–Maslov chains for solitary vortices of the shallow water equations, II// Russ. J. Math. Phys. — 1999. — 6, № 3. — С. 282–313 29. Dobrokhotov S. Yu., Pankrashkin K. V., Semenov E. S. Proof of Maslov’s conjecture about the structure of weak point singular solutions of the shallow water equations// Russ. J. Math. Phys. — 2001. — 8, № 1. — С. 25–54 30. Milnor J. Morse theory// Ann. Math. Stud. — 1993. — № 51 31. Ravindran R., Prasad P. A new theory of shock dynamics. Part I (II)// Appl. Math. Lett. — 1990. — 3, № 3. — С. 77–79 32. Reznik G. M., Grimshaw R. Ageostrophic dynamics of an intence localized vortex on a [beta]-plane// J. Fluid Mech. — 2001. — 443. — С. 351–376 33. Rogers C., Schief W. K. Multi–component Ermakov systems: structure and linearization// J. Math. Anal. Appl. — 1996. — 198, № 1. — С. 194–220 34. Shapiro L. J. Potential vorticity asymmetries and tropical cyclone evolution in a moist three-layer model// J. Atm. Sc. — 1999. — 57, № 21. — С. 3645–3662 35. Shugaev F. V., Shtemenko L. S. Propagation and Reflection of Shock Waves. — Singapore: World Scientific, 1998.

Сергей Доброхотов Институт проблем механики РАН, Москва E-mail: [email protected] Евгений Семенов Институт проблем механики РАН, Москва E-mail: [email protected] Brunello Tirozzi Department of Physics, University «La Sapienza», Rome E-mail: [email protected]

Цепочки Гюгонио-Маслова для сингулярных вихревых решений квазилинейных гиперболических систем и траектории тайфунов

Recommend Documents