Дополнительные главы математического анализа

И.П.Макаров ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В данном пособии излагаются современная теория множеств и на ее основе теория функций действительного переменного, теория функций комплексного переменного и основы функционального анализа. ОГЛАВЛЕНИЕ множества Предисловие 3 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ 1 § 10. Точки конденсации. 55 ФУНКЦИИ Мощность несчетного замкнутого множества ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Упражнения к главе II 58 Глава I. Общая теория множеств 4 Глава III. Функции 61 § 1. Понятие множества 4 § 1. Общее понятие функции 61 § 2. Верхняя и нижняя грани 62 § 2. Конечные и бесконечные 5 функции. Колебание множества § 3. Подмножества, включение 6 § 3. Непрерывность 66 § 4. Основные свойства 70 § 4. Теоретико-множественные 6 непрерывных функций операции § 5. Точки разрыва 74 § 5. Эквивалентность множеств 10 § 6. Понятие мощности. 11 § 6. Точки разрыва монотонной 79 функции Кардинальные числа § 7. Функция с ограниченным 81 § 7. Сравнение мощностей 12 изменением § 8. Существование сколь угодно 15 высоких мощностей Упражнения к главе III 88 Глава IV. Непрерывные кривые 91 § 9. Счетные множества 16 § 1. Понятие непрерывной 91 Упражнения к главе I 22 кривой Глава II. Теория точечных 24 множеств § 2. Кривые Жордана 93 § 3. Кривые Пеано 93 § 1. Множества рациональных 24 § 4. Кривые Кантора и Урысона 94 чисел § 5. Спрямляемые кривые 96 § 2. Множество действительных 25 чисел Упражнения к главе IV 99 Глава V. Мера 100 § 3. Множество мощности 28 § 1. Мера Жордана для линейных 100 континуума § 4. Множества пространства En 32 множеств 100 § 2. Мера Жордана для § 5. Предельные точки 35 множества En. Квадрируемые и § 6. Замкнутые и открытые 40 кубируемые множества множества § 3. Мера Лебега для линейных 110 § 7. Строение линейных 47 множеств открытых и замкнутых множеств § 4. Свойства множеств, 116 § 8. Множество Кантора и его 52 измеримых но Лебегу свойства § 5. Измеримые функции 122 § 9. Мощность совершенного 54

Упражнения к главе V Глава VI. Интеграл § 1. Интеграл Римана § 2. Теорема Лебега § 3. Интеграл Стилтьеса § 4. Интеграл Лебега Упражнения к главе VI ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА Глава VII. Метрические пространства § 1. Основные понятия § 2. Примеры метрических пространств § 3. Полнота метрических пространств § 4. Теорема о замкнутых шарах § 5. Метод сжатых отображений § 6. Применение метода сжатых отображений в теории дифференциальных и интегральных уравнений § 7. Применение метода сжатых отображений в алгебре § 8. Применение метода сжатых отображений в математическом анализе Упражнения к главе VII Глава VIII. Сепарабельность и компактность § 1. Сепарабельность пространств En, С и lp § 2. Сепарабельность пространства Lp § 3. Пространство т как пример несепарабельного пространства § 4. Компактность множеств пространства En § 5. Общий критерий компактности § 6. Компактность множеств в пространстве С

124 125 125 131 135 139 143

146 146 148 149 152 153 155

150 157 159 159 159 161 162 163 164 165

§ 7. Компактность множеств в пространстве lp § 8. Компактность множеств в пространстве Lp Глава IX. Непрерывные функционалы и операторы § 1. Непрерывные функционалы § 2. Общие свойства непрерывных функционалов § 3. Равномерная непрерывность функционала § 4. Непрерывные операторы § 5. Свойства непрерывных операторов Упражнения к главе IX Глава X. Линейные функционалы, линейные операторы § 1. Линейные пространства § 2. Линейные функционалы § 3. Свойства линейных функционалов § 4. Слабая сходимость линейных функционалов § 5. Линейные операторы § 6. Свойства линейных операторов Упражнения к главе Х Глава XI. Применения функционального анализа в вариационном исчислении § 1. Дифференциал, вариация линейного функционала § 2. Экстремум дифференцируемого функционала § 3. Уравнение Эйлера § 4. Решение задачи о брахистохроне § 5. Задача о наименьшей поверхности вращения § 6. 0 других применениях функционального анализа в

168 169 170 171 172 173 175 170 177 178 178 180 182 184 187 189 191 191 192 193 194 196 199 200

вариационном исчислении Упражнения к главе XI Глава XII. Применения функционального анализа в теории интегральных уравнений § 1. Вопрос о существовании решения интегрального уравнения. § 2. Вполне непрерывные операторы § 3. Теорема В. В. Немыцкого § 4. Линейные интегральные уравнения § 5. Собственные значения, спектр § 6. Метод последовательных приближений, построение резольвенты Упражнения к главе XII ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Глава XIII. Гармонические функции § 1. Основные определения § 2. Свойства гармонических функций и гармонических пар § 3. Теорема Дзядыка § 4. Понятие конформного отображения § 5. Конформность отображения гармонической парой § 6. Коэффициент растяжения Упражнения к главе XIII Глава XIV. Комплексные числа, последовательности, ряды § 1. Комплексное число как оператор § 2. Плоскость Гаусса § 3. Тригонометрические и алгебраические формы комплексного числа § 4. Действия над комплексными

201 202 202 204 204 206 207 208 211

213 213 215 217 217 218 220 223 224 224 226 227 227

числами § 5. Числовые 230 последовательности и ряды § 6. Признак Коши—Адамара 232 § 7. Степенные ряды 233 Упражнения к главе XIV 237 Глава XV. Функции 238 комплексного переменного, аналитические функции § 1. Непрерывность функции 239 комплексного переменного § 2. Дифференцируемость 241 функции комплексного переменного § 3. Определение и свойства 242 аналитической функции § 4. Конформность отображения 243 аналитической функции Упражнения к главе XV 244 Глава XVI. Элементарные 244 аналитические функции, конформные отображения § 1. Линейная функция 244 § 2. Бесконечно удаленная точка 245 § 3. Функция f(z)=1/z 246 § 4. Дробно-линейная функция 247 § 5. Степенная функция. 248 Поверхность Римана § 6. Показательная функция 250 § 7. Тригонометрические 253 функции § 8. Гиперболические функции 256 § 9. Логарифмическая функция 262 Упражнения к главе XVI 263 Глава XVII. Интеграл. Ряд 264 Тейлора § 1. Интеграл 264 § 2. Существование и 265 вычисление интеграла. Свойства интеграла § 3. Теорема Коши 267 § 4. Интегральная формула Коши 271 § 5. Разложение аналитической 274

функции в степенной ряд § 6. Ряд Тейлора § 7. Теорема единственности для аналитических функций § 8. Понятие об аналитическом продолжении § 9. Определение класса аналитических функций Упражнения к главе XVII Глава XVIII. О применениях теории функций комплексного переменного § 1. О применениях в математическом анализе

276 278 280 282 234 285

§ 2. О применениях в алгебре § 3. О применениях в картографии § 4. О применениях в гидро- и аэромеханике § 5. Функция Н. Е. Жуковского § 6. Критерий Рауса—Гурвица Упражнения к главе XVIII Дополнительная литература Алфавитный указатель Указатель специальных знаков

285

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Вейерштрасс 39, 42 Абель 234 Вектор 120, 225 —теорема 234 Гармоническая пара 215 Абстрактное пространство 147 Аддитивность оператора 188 Гаусс 226 Гейне 78 Аксиома непрерывности прямой 28 Гиперболические функции 256 Алгебраическая форма комплексного Гипотеза континуума 32 числа 227 Александров П. С. 32, 88, 89, 203 Гливенко В. И. 157 Грань верхняя множества 51 Аналитическая функция 242 — —функции 73 Аналитическое продолжение 280 — нижняя множества 51 Аргумент комплексного числа 127 Архимед 24 Гребенча М. К. 89 Дарбу 147 Арцела критерий 166 Демидович Б. П. 156, 158 Ассоциативность линейных систем Дзядыка теорема 217 179 Банах С. 146, 178, 180 Диаметр множества 126 Дирихле 75, 20 Бернулли И. 191 Дистрибутивность для линейных Биркгоф 203 Больцано 39, 42 Борель 47 систем 179 Дифференциал линейного Бореля—Лебега теорема 47 функционала 192 Брахистохрона 191 —сеть Буняковский В. Я. 36 Бэр 78, 171 Валле Пуссен 117, 167 — — конечная 164 — — компактная 170 Вариационное исчисление 191 Жордан 95, 108, 115, 117 Вариация линейного функционала Замкнутый шар 152 192 Замыкание множества 45 —функционала 193

287 288 290 293 294 300 301 303 307

Извлечение корня из комплексного числа 229 Интеграл Дарбу 147 — Лебега 162 —от аналитической функции 267 — от функции комплексного переменного 264 — Римана 146 — Стилтьеса 157 Интегральная формула Коши 271 Интегральное уравнение 202 Интегрируемость степенного ряда 276 Интервал смежный 55 — составляющий 53 — n-мерный 37 Итерированное ядро 209 Квадрируемость 124 Келлог 203 Ковер Серпинского 111 Колебание функции 51 Колмогоров А. Н. 169 Контур кусочно-гладкий 268 — простой 268 Конформность отображения гармонической парой 218 Коммутативность линейных систем 179 Компактности критерии 164 Компактность множества 163 — —метрического пространства 163 — — значений непрерывного оператора 176 ——ограниченного множества 163 Комплексное число 224 — — умножения 227 — —деления ,228 — —возведение в степень 229 Коши — Адамара признак 232 Коши 271 — неравенства 287 —теорема 271 Кривая Жордана 106

— замкнутая спрямляемая 268 — Кантора 106 — кусочно-гладкая 268 — Пеано 100 —спрямляемая 113 — Урысона 106 Круг сходимости степенного ряда 233 Кубируемость 124 Лебег 152 Лиувилль 287 Лиувилля теорема 287 Лобачевский Н. И. 72 Локсадрома 289 Лузин Н. Н. 86, 108, 138, 139 Люстерник Л. А. 146, 151 Ляпунов А. М. 202 Максимум функционала 192 Мера внешняя 119 — внутренняя 119 — Жордана 119 — Лебега 130 Меркатор Г. 288 Метод итерации 158 — сжатых отображений 153 Метод последовательных приближений 156, 208 Метризация 147 Метрика пространства 147 Минимум функционала 192 Мнимая единица 226 — ось 226 — часть комплексного числа 227 Многообразие линейное 178 Множества непересекающиеся 6 — пересекающие 6 — эквивалентные 8 Множество алгебраических чисел 32 — бесконечное 2 — всюду разрывное 57 — выпуклое 203 Множество действительных чисел 25 — замкнутое 43

— значений функции 73 — измеримое по Жордану 119 — измеримое по Лебегу 130 — изолированное 44 — Кантора 56 — компактное 163 — конечное 2 — линейное 51 — метрического пространства 163 — n-мерное 37 — непрерывное 27 — несчетное 21 — нигде не плотное 57 — ограниченное 38 — одномерное 107 — одноэлементное 3 — открытое 44 — пар натуральных чисел 17 — плотное 24 — плотное в себе 43 — производное 43 — пустое 3 — рациональных чисел 24 — связное 107 — совершенное 43 — счетное 15 Множитель-оператор 224 Модуль комплексного числа 227 Мощность 7 —континуума 29 —множества 8 Натансон И. П. 138, 161, 167, 175 Немыцкий В. В. 204, 218 Непрерывность дифференцируемой функции комплексного переменного 239 — линейного функционала 180 — множества действительных чисел 25 — обратного отображения компактного множества 176 — оператора 175 —функции по Бэру 78, 171

— — — по Гейне 78 — — комплексного переменного 229 — — по Коши 78 — — слева 88 — — справа 88 — функционала равномерная 123 Неравенство Коши — Буняковского 36 Несчетность множества 28 Норма оператора 187 —функционала 184 Область 127 — замкнутая 127 — значений функции комплексного переменного 238 — многосвязная 127 Область ограниченная 127 — односвязная 127 — определения функции комплексного переменного 238 Ограниченность линейного оператора 188 Однородность линейного пространства 190 Окрестность 38 Оператор 146 — Вольтерра 206 — вполне непрерывный 204 — линейный 183 — непрерывный 175 — сопряженный 211 — Фредгольма 206 Определения аналитической функции 282 Основная теорема алгебры 237 Остаток ряда 234 Отображение дробно-линейной функцией 247 — конформное 217, 248 — линейной функцией 244 — обратное 176 — показательной функцией 250

— посредством гармонической пары 218 — регулярное 218 — сжатое 154 — функцией 153 Пеано 108 Пересечение множеств 6 Плоскость Гаусса 226 — расширенная замкнутая 245 Плотность, множества 24 — — действительных чисел 24 — — рациональных чисел 24 Поверхность Римана 248 Подмножество 4 — несобственное 4 — собственное 4 Подпоследовательность сходящаяся 172 Полнота метрического пространства 149 Понятие конформного отображения 217 Последовательность 27 — сегментов стягивающаяся 27 Поток плоскопараллельный 290 Предел последовательности 232 — — верхний 232 Преобразование инверсии 247 — ряда для точки 235 Признак необходимый сходимости ряда 231 Признак Коши—Адамара 232 Принцип максимума модуля 222 — Ферма 109 — Шаудера 204 Приращение функционала 192 Проблема континуума 32 Проекция меркаторская 288 Производная функции комплексного переменного 241 Производный ряд 235 Пространство абстрактное 147 — Банаха 180

— евклидово 147 — координатное Гильберта 148 — линейное нормированное 180 — метрическое 146 — полное нормированное 150 — сепарабельное метрическое 159 Профиль модуля функции комплексного переменного 238 Прямая числовая 35 Равномерная сходимость степенного ряда 234 Резольвента 258 Риман 146 Ряд абсолютно сходящийся 231 — комплексных чисел 230 — степенной 233 — сходящийся 230 — Тейлора 276 Свойства аналитической функции 242 — линейных операторов 189 — тригонометрических функций комплексного неременного 254 Сегмент 37 — n-мерный 37 Серпинский В. К. 111 Система — интервалов, покрывающих множество 47 — линейная 178 Скачок функции 88 Скелет счетный 159 Сложение комплексных чисел 227 Слудская М. М. 218 Соболев С. Л. 208 Собственные значения линейного оператора 207 Соответствие взаимно однозначное 8 Спектр линейного оператора 208 Стилтьес 157 Сумма Дарбу 147 Сумма линейных операторов 190 — множеств 4

— ряда 231 — —частная 131 Существование единичного элемента линейной системы 179 Сходимость последовательности комплексных чисел 230 —функционалов сильная 185 — — слабая 184 Теорема Абеля 231 — Больцано—Вейерштрасса 39 — Бореля—Лебега 47 — Дзядыка 217 — Жордана 115 — Кантора 27 — Кантора—Бернштейна 14 — Лузина 138 — Немыцкого 204 — об абсолютной сходимости степенного ряда 233 — о единственности аналитической функции 278 — о непрерывности суммы ряда 350 — о производных рядах 236 — основная алгебры 237 Точка бесконечно удаленная 245 — внешняя 44 — внутренняя 44 — граничная 44 — изолированная 38 — кратная 108 — конденсации 60 — неподвижная 153 — нулевая метрического пространства 173 — предельная 38 — разрыва 80 Траектория луча света 199 Транзитивность линейного пространства 179 Умножение комплексных чисел 228 Упорядоченность множества 24 — — действительных чисел 25 Уравнение Вольтерра 206

— интегральное 208 — Лагранжа 266 — линейное интегральное 206 Уравнение Фредгольма 208 — Эйлера 104 Урысон П. С. 106, 110 Условия КРЭДА 213 Условия экстремума функционала 193 Фихтенгольц Г. М. 86, 88, 101, 217, 265 Фридман А. А. 153 Функция аналитическая 212 — гармоническая 215 —гиперболическая 256 Функция голоморфная 242 — действительного переменного 73 — Дирихле 75 —дифференцируемая, комплексного переменного 241 — Жуковского Н. Е. 293 — интегрируемая по Риману 147 — — по Лебегу 164 — комплексного переменного 238 — логарифмическая комплексного переменного 262 — моногенная 242 — примитивная 270 — равностепенно непрерывная 206 — равномерно ограниченная 206 — сопряженно гармоническая 213 — тригонометрическая, комплексного переменного 253 — характеристическая потока 29 Функционал 146 — дифференцируемый 192 — линейный 180 — непрерывный 170 Функциональный анализ 191 Фомин С. В. 173 Формула Грина — Остроградского 215 —Муавра 213

Формула —Ньютона—Лейбница 267 Формулы Эйлера 255 Цермело 138 Циклические постоянные 223 Циклоида 198 Черкасов А. Н. 218 Число алгебраическое 20 — действительное 25 — иррациональное 25 — кардинальное 9 — комплексное 226 — мнимое 226

—рациональное 24 — трансцендентное 32 Тригонометрическая форма комплексного числа 227 Шаудер 204 Эквивалентность множеств 8 — определений непрерывности 78 — Экстремум 192 Ядро 206 — итерированное 209 Якобиан 218