Некоторые аспекты использования модели броуновской частицы в курсе общей физики

34

Ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå â âóçàõ, Ò. 7, ¹ 1, 2001

Íåêîòîðûå àñïåêòû èñïîëüçîâàíèÿ ìîäåëè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû â êóðñå îáùåé ôèçèêè Â.Â. Ôîìåíêî Ãîñóäàðñòâåííàÿ ëåòíàÿ àêàäåìèÿ Óêðàèíû Ðàññìîòðåíû âîïðîñû èñïîëüçîâàíèÿ ìîäåëè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â âÿçêîé ñðåäå, â êóðñå îáùåé ôèçèêè òåõíè÷åñêèõ âóçîâ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ íåêëàññè÷åñêèõ ôèçè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé è îñíîâ íåêëàññè÷åñêîãî ôèçè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, à òàêæå, äëÿ óñèëåíèÿ ïðîôåññèîíàëüíîé îðèåíòàöèè êóðñà.

Ìîäåëü áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû, äâèæóùåéñÿ â âÿçêîé ñðåäå, ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî èçâåñòíîé è, îáû÷íî, èñïîëüçóåòñÿ â êóðñàõ îáùåé ôèçèêè êàê äëÿ èëëþñòðàöèè îáùèõ ïîëîæåíèé ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè, òàê è äëÿ ðàññìîòðåíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ (ñì., íàïðèìåð, [1, 2]).  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ýòîé ìîäåëè â äâóõ àñïåêòàõ. Ïåðâûé ñâÿçàí ñ âîçìîæíîñòüþ å¸ ïðèìåíåíèÿ äëÿ èëëþñòðàöèè êëàññè÷åñêîãî è íåêëàññè÷åñêîãî óðîâíåé îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì, îçíàêîìëåíèÿ ñòóäåíòîâ ñ íåêëàññè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñèñòåì. Ýòîò âîïðîñ íàìè óæå ðàññìàòðèâàëñÿ â [3], îäíàêî, èñïîëüçóåìàÿ â ýòîé ðàáîòå ìîäåëü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèæóùåéñÿ â âàêóóìå ïîä äåéñòâèåì ñëó÷àéíîé ñèëû, ÿâëÿåòñÿ õîòÿ è áîëåå ïðîñòîé, ÷åì ïðåäëàãàåìàÿ ìîäåëü, íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, è áîëåå àáñòðàãèðîâàííîé îò ðåàëüíîñòè. Äðóãèì àñïåêòîì ïðèìåíåíèÿ ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ å¸ èñïîëüçîâàíèå, ñâÿçàííîå ñ ïðîôåññèîíàëüíîé îðèåíòàöèåé êóðñà ôèçèêè, â ÷àñòíîñòè, ïðè ôèçè÷åñêîì àíàëèçå äâèæåíèÿ ñàìîëåòîâ, ðàêåò è ò.ï. àïïàðàòîâ, ïîäâåðãàþùèõñÿ äåéñòâèþ ñòîõàñòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ. Ýòîò àñïåêò ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåðåñíûì è çíà÷èìûì äëÿ êóðñîâ ôèçèêè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ÷àñòèöû. Èòàê, ðàññìîòðèì äâèæåíèå ÷àñòèöû ìàññîé m âäîëü îñè ïîä äåéñòâèåì ñëó÷àéíîé ñèëû â âÿçêîé ñðåäå. Ýòî äâèæåíèå ìîæåò áûòü îïèñàíî óðàâíåíèåì Ëàíæåâåíà (ñì., íàïðèìåð, [2], ñ. 481):

dp p =− + f (t ) , dt τp

(1)

ãäå ïåðâûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòâåòñòâóåò ñèëå âÿçêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñðåäû ( τ p õàðàêòåðíîå âðåìÿ ðåëàêñàöèè èìïóëüñà ÷àñòèöû â ñðåäå, çàâèñÿùåå êàê îò ñâîéñòâ ýòîé ñðåäû, òàê è îò õàðàêòåðèñòèê ÷àñòèöû), à âòîðîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ ñèëó f (t ) . Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè p(0) = p0 èìååò âèä (ñì. [4], ñ. 221):

p(t ) = p0e

−t / τ p

+e

−t / τ p

t

∫e 0

t' / τ p

f (t' )dt'

(2)

Íåêîòîðûå àñïåêòû èñïîëüçîâàíèÿ ìîäåëè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû â êóðñå îáùåé ôèçèêè

tf′′f(t(t)) = 0

35

Åñëè áû f (t ) áûëà ôèêñèðóåìîé è êîíòðîëèðóåìîé âíåøíåé ñèëîé, òî âûðàæåíèå (2) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿëî áû ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ èìïóëüñà ÷àñòèöû â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Èìåííî òàê, êàê èçâåñòíî, è ðåøàåòñÿ çàäà÷à î äâèæåíèè ÷àñòèöû â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîãî äåòåðìèíèçìà. Îäíàêî, â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî f (t ) - ñëó÷àéíàÿ ñèëà, îïèñûâàþùàÿ ôëóêòóàòèâíóþ êîìïîíåíòó âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íà ÷àñòèöó, è, óðàâíåíèå (2) ïðèîáðåòàåò ñòîõàñòè÷åñêèé õàðàêòåð. Ââèäó ýòîãî îíî ñàìî ïî ñåáå íå äà¸ò, ôàêòè÷åñêè, íèêàêîé ðåàëüíîé èíôîðìàöèè î äâèæåíèè ÷àñòèöû, â òîì ñìûñëå, ÷òî íå ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî ïðåäñêàçàòü ðåçóëüòàò èçìåðåíèé åå èìïóëüñà â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëàãàåìàÿ ìîäåëü èìååò íåêëàññè÷åñêèé ñòàòóñ (ïîäðîáíåå î êëàññè÷åñêèõ è íåêëàññè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ñì. [3, 5]). Äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ýòîé íåêëàññè÷åñêîé ìîäåëüíîé çàäà÷è âìåñòî îäíîé ÷àñòèöû ââåäåì ñòàòèñòè÷åñêèé àíñàìáëü îäèíàêîâûõ ÷àñòèö, ñòàðòóþùèõ â ìîìåíò t = 0 èç òî÷êè x0 ñ íà÷àëüíûì èìïóëüñîì p0 . Áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíûé õàðàêòåð ñèëû f (t ) âûðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè t åå ñðåäíåå ïî àíñàìáëþ çíà÷åíèå ðàâíî íóëþ: . (3) Òîãäà, óñðåäíÿÿ (2) ïî àíñàìáëþ ÷àñòèö, ñ ó÷åòîì (3), ïîëó÷èì: −t / τ p , (4) p (t ) = p0e ÷òî, ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, è ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêîé óòâåðæäåíèÿ î òîì, ÷òî τ p ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âðåìÿ ðåëàêñàöèè èìïóëüñà ÷àñòèöû â âÿçêîé ñðåäå. ßñíî, ÷òî óðàâíåíèå (4) íèêàê íå âûÿâëÿåò ðîëü ñòîõàñòè÷åñêîé ñèëû f (t ) â õàðàêòåðå âðåìåííîé ýâîëþöèè àíñàìáëÿ ÷àñòèö. Äëÿ óÿñíåíèÿ ýòîé ðîëè, à òàêæå äëÿ áîëåå äåòàëüíîãî îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ àíñàìáëÿ, ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè êâàäðàòà èìïóëüñà ÷àñòèöû, óñðåäíåííîãî ïî àíñàìáëþ. Âîçâåäÿ (2) â êâàäðàò è óñðåäíèâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïî àíñàìáëþ ÷àñòèö, ñ ó÷åòîì (3), ïîëó÷èì: p 2 (t ) = p 02 e

− 2t / τ p

t

∫

+ dt' e

−( t − t' ) / τ p

0

⎛ t −( t −t'' ) / τ ⎞ p ⎜ e f (t' ) f (t' ' ) dt' ' ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 ⎠

∫

(5)

Âåëè÷èíà f (t ′) f (t ′′) â ôîðìóëå (5) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîèçâåäåíèå çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé ñèëû, âçÿòûõ äëÿ îäíîé è òîé æå ÷àñòèöû àíñàìáëÿ â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè t′ è , óñðåäíåííîå ïî àíñàìáëþ ÷àñòèö. Ââèäó ñëó÷àéíîãî õàðàêòåðà áóäåì ïîëàãàòü: f (t' ) f (t' ' ) = f 02 (t' )τ f (t' )δ(t' −t' ' )

(6)

ãäå δ(t' −t' ' ) - äåëüòà ôóíêöèÿ Äèðàêà, à τ f (t' ) - íåêîòîðîå õàðàêòåðíîå âðåìÿ êîððåëÿöèè çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé ñèëû. Äëÿ óïðîùåíèÿ çàäà÷è áóäåì ñ÷èòàòü ñëó÷àéíóþ ñèëó ñòàöèîíàðíîé, â òîì ñìûñëå, ÷òî:

36

Â.Â. Ôîìåíêî

τ f ( t ) = τ f = const .

f 02 ( t ) = f 02 = const ,

(7)

Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ (6),(7) â âûðàæåíèå (5) è ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå, ïîëó÷èì: p 2 ( t ) = p02e

− 2t / τ p

+

1 2 − 2t / τ p f0 τ pτ f ( 1 − e ). 2

(8)

Ýòî âûðàæåíèå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ñðåäíåãî ïî àíñàìáëþ çíà÷åíèÿ 2 êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû Eêèí ( t ) = p ( t ) 2m :

Eêèí ( t ) = E02e

− 2t / τ p

+

f 02 τ p τ f 4m

(1− e

− 2t / τ p

).

(9)

Ïî ñâîåé ñòðóêòóðå âûðàæåíèå (9) ñîâïàäàåò ñ àíàëîãè÷íûì âûðàæåíèåì äëÿ ñðåäíåé ýíåðãèè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû â ñðåäå, ïðèâåäåííûì â [2] (ñì. ñ. 483).  ýòîì ñëó÷àå f ( t ) èìååò ñìûñë íåðåãóëÿðíîé ÷àñòè ñèëû, äåéñòâóþùåé íà áðîóíîâñêóþ ÷àñòèöó â ðåçóëüòàòå ñîóäàðåíèé ñ ìîëåêóëàìè ñðåäû.  ñëó÷àå t >> τ p âûðàæåíèå (9) äàåò: 〈 Eêèí 〉 t →∞ =

f 02 τ p τ f 4m

= const ,

(10)

÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåëàêñàöèè ýíåðãèè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû ê çíà÷åíèþ ( 1 / 2 )kT , îòâå÷àþùåìó ñðåäíåé “îäíîìåðíîé” ýíåðãèè ìîëåêóë ñðåäû. Äëÿ îïèñàíèÿ îòêëîíåíèÿ ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ èìïóëüñà ÷àñòèöû îò ñâîåãî ñðåäíåãî ïî àíñàìáëþ çíà÷åíèÿ (4) ââåäåì ñëó÷àéíóþ ïåðåìåííóþ: δp( t ) = p( t ) − p( t ) .

(11)

Åå ñðåäíåå çíà÷åíèå, ðàçóìååòñÿ, ðàâíî íóëþ, à âåëè÷èíà Δ p , îïðåäåëÿåìàÿ êàê: ,

(12)

õàðàêòåðèçóåò ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ èìïóëüñà ÷àñòèöû îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (4) è (8), èìååì: − 2t / τ p ⎤ ⎡1 Δp( t ) = f 0 ⎢ τ f τ p ( 1 − e )⎥ 2 ⎣ ⎦

1/ 2

.

(13)

Íåêîòîðûå àñïåêòû èñïîëüçîâàíèÿ ìîäåëè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû â êóðñå îáùåé ôèçèêè

37

Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ êîîðäèíàòû (òî÷íåå, ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ êîîðäèíàòû) äâèæóùåéñÿ ÷àñòèöû. Äëÿ ïðîèçâîäíîé êîîðäèíàòû x ÷àñòèöû ïî âðåìåíè èìååì î÷åâèäíîå ñîîòíîøåíèå: .

(14)

Óñðåäíÿÿ ýòî âûðàæåíèå ïî ðàññìàòðèâàåìîìó àíñàìáëþ ÷àñòèö, ïîëó÷èì ñ ó÷åòîì (4): d p −t / τ p 〈 x( t )〉 = 0 e . dt m

(15)

Èíòåãðèðîâàíèå (15) ñ ó÷åòîì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ 〈 x( 0 )〉 = x0 äàåò:

〈 x( t )〉 = x0 +

p0 τ p m

(1 − e

−t / τ p

).

(16)

Èç ôîðìóëû (16) â ïðåäåëå t → ∞ ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ñðåäíåé ãëóáèíû ïðîíèêíîâåíèÿ ÷àñòèö ñ íà÷àëüíûì èìïóëüñîì â âÿçêóþ ñðåäó, ïðåäñòàâëÿþùåå ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ: p0 τ p Lñð = ( 〈 x( t )〉 − x0 )t → ∞ = . (17) m Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèÿ (16, 17) (êàê è àíàëîãè÷íîå ïî ñìûñëó âûðàæåíèå (4)) ñîîòâåòñòâóþò ïî ñâîåé ôèçè÷åñêîé ñóùíîñòè êëàññè÷åñêîìó óðîâíþ îïèñàíèÿ äàííîé ñèñòåìû (ò.å. êëàññè÷åñêîìó ïðèáëèæåíèþ â ðåøåíèè ðàññìàòðèâàåìîé íåêëàññè÷åñêîé çàäà÷è). Êàê è â ñëó÷àå èìïóëüñà (ñì. (11)), äëÿ õàðàêòåðèñòèêè îòêëîíåíèÿ èçìåðåííîãî çíà÷åíèÿ δdx px0( t ) =p(xt()t ) − 〈 x( t )〉 êîîðäèíàòû ÷àñòèöû x îò ñâîåãî ñðåäíåãî ïî àíñàìáëþ çíà÷åíèÿ (16) ââåäåì ñëó÷àéíóþ = âåëè÷èíó : dt m . (18) Î÷åâèäíî 〈 δx( t )〉 = 0 . Äëÿ âåëè÷èíû 〈( δx( t ))2 〉 ïî ìåòîäó, èçëîæåííîìó â [1, 2], ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå: d2 dt

〈( δx )2 〉 + 2

f 02 τ p τ f 1 d − 2t / τ p 〈( δx )2 〉 = (1 − e ) 2 τ p dt m

(19)

ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:

〈( δx )2 〉 t = 0 = 0 ,

(

d 〈( δx )2 〉 )t =o = 0 . dt

Ðåøåíèå (19) íåñêîëüêî ãðîìîçäêî, íî, â ïðèíöèïå, íåñëîæíî. Îíî èìååò âèä:

(20)

38

Â.Â. Ôîìåíêî

〈( δx( t ))2 〉 =

f 02 τ3p τ f m

2

(

t 1 − 2t / τ p 3 −t / τ p + 2e − e − ). τp 2 2

(21)

 ïðåäåëå t >> τ p ôîðìóëà (21) äàåò: 〈( δx( t ))2 〉 t → ∞ =

f o2 τ 2p τ f m2

t .

(22)

Òàêèì îáðàçîì, ïðè t → ∞ äâèæåíèå ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû èìååò äèôôóçèîííûé õàðàêòåð (ò.å. ) ñ “êîýôôèöèåíòîì äèôôóçèè”: D=

f o2 τ 2p τ f 2m 2

.

(23)

Ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå êîîðäèíàòû ÷àñòèöû (ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ êîîðäèíàòû) îò ñâîåãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ (16) Δx( t ) = 〈 δx 2 ( t )〉1 / 2 , è ïðè t >> τ p èç (22) èìååì: Δx( t )t →∞ =

fo τ p ( τ f t )1/ 2 ~ t 1/ 2 . m

(24)

Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ÷àñòèöà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ìîæåò óäàëèòüñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêî îò ñâîåé íåâîçìóùåííîé äåéñòâèåì ñëó÷àéíîé ñèëû f ( t ) (ò.å. “êëàññè÷åñêîé”) òðàåêòîðèè. Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ðàññìîòðåííàÿ ìîäåëü ïðèìåíèìà òîëüêî ê îïèñàíèþ îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû â âÿçêîé ñðåäå. Îäíàêî, ñôåðà åå ïðèìåíåíèÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè íåñêîëüêî øèðå.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ãîðèçîíòàëüíûé ïîëåò ñàìîëåòà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u0 íà íåêîòîðîé âûñîòå. Çàêîí èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû x ñàìîëåòà ñî âðåìåíåì â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä: . (25) Ïðè ýòîì ñèëà òÿæåñòè ñàìîëåòà óðàâíîâåøèâàåòñÿ ïîäú¸ìíîé ñèëîé êðûëüåâ: mg − F Ï = 0 , (26) à ñèëà òÿãè äâèãàòåëåé – ñèëîé àýðîäèíàìè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ: FT − FC = 0 . (27) Ñèëà àýðîäèíàìè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ FC â âûðàæåíèè (27) ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ñêîðîñòè ïîëåòà: (28) FC = αu 2 , ãäå α - êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, çàâèñÿùèé îò ãåîìåòðèè ñàìîëåòà è ïëîòíîñòè âîçäóõà è íå çàâèñÿùèé îò ñêîðîñòè . ×òî êàñàåòñÿ ñèëû òÿãè äâèãàòåëåé , òî îíà â ðåàëüíûõ óñëîâèÿõ íå ìîæåò áûòü ñòðîãî ïîñòîÿííîé, à èñïûòûâàåò ìàëûå ôëóêòóàöèè f ( t ) , îáóñëîâëåííûå íåîäíîðîäíîñòÿìè â ïîäà÷å òîïëèâà â äâèãàòåëü, òóðáóëåíòíîñòÿìè àòìîñôåðíîãî âîçäóõà è ò. ï.

Íåêîòîðûå àñïåêòû èñïîëüçîâàíèÿ ìîäåëè áðîóíîâñêîé ÷àñòèöû â êóðñå îáùåé ôèçèêè

39

 ðåçóëüòàòå ïîäîáíûõ ôëóêòóàöèé ñèëû òÿãè êîîðäèíàòà ñàìîëåòà (25) ïðèîáðåòàåò äîïîëíèòåëüíóþ ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùóþ δx > ( δ