Применение принципа возможных перемещений к определению реакций опор составной конструкции: Методические указания

Министерство образования Российской Федерации

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теории механизмов и машин

Л.И. Кудина

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ и варианты заданий для выполнения контрольной работы по теоретической механике «Применение принципа возможных перемещений к определению реакций опор составной конструкции» для студентов строительных специальностей заочного факультета

Оренбург 1999

ББК22.21Я7 К-88 УДК 521(07)

1 Общие указания по выбору варианта Исходные данные для выполнения контрольной работы выбираются студентом из таблицы 1 в соответствии с его личным учебным шифром. Шифром считаются две последние цифры номера зачетной книжки, например, если номер зачетной книжки 98075, то учебный шифр – 75. Номер условия в таблице 1 выбирается по первой цифре шифра, а номер схемы на рисунках 2.1 – 2.2 – по второй цифре личного шифра. Например, если личный шифр 75, то для решения задачи выбирается условие 7 из таблицы 1 и схема 5 на рисунках 2.1 – 2.2. Работы, выполненные не по шифру и не в соответствии с таблицей 1, не рецензируются и возвращаются для переработки. Контрольная работа обязательно должна содержать чертеж исходной расчетной схемы с указанием опор, действующей нагрузки и всех необходимых размеров. Решение должно сопровождаться краткими, последовательными пояснениями и четкими схемами. Промежуточные и окончательные ответы должны быть записаны с точностью до второго знака с указанием размерностей полученных величин. 2 Содержание задания Определить реакции опор составной конструкции с идеальными связями от заданной внешней нагрузки, используя принцип возможных перемещений совместно с принципом освобождаемости от связей. Схемы конструкций с действующей внешней нагрузкой показаны на рисунках 2.1 – 2.2. Все размеры на рисунках даны в метрах. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 1. Нагрузку, величина которой в таблице равна нулю, на схеме не изображать. Опоры конструкции на рисунках 2.1 – 2.2 не показаны, они устанавливаются в соответствии с выбранным номером условия из таблицы 1 (позиции 8 – 10). В таблице 1 приняты следующие условные обозначения опор: 1-й тип – жесткая заделка; 2-й тип - неподвижный шарнир; 3-й тип – подвижный шарнир на вертикальной опорной плоскости; 4-й тип – подвижный шарнир на горизонтальной опорной плоскости. Прочерк в позициях 8 – 10 таблицы 1 означает, что в данной точке связь не накладывается. Все внешние связи – удерживающие. Конструкция подвижных шарниров исключает отрыв катков от опорной плоскости.

Рисунок 2.1 5

Рисунок 2.2 Таблица 1 – Исходные данные Номер усло вия

q1, кН

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

2 0 4 0 5 0 0 2 3 0

0 4 0 2 0 3 5 0 0 2

6 0 0 8 10 0 12 0 5 4

0 15 5 0 0 10 0 6 12 10

10 0 0 5 0 12 0 5 4 0

0 10 12 0 8 0 8 0 0 6

1 1 4 3 2 3 4 2 4 2

3 1 4 4 3 2 -

4 1 3 2 1 4 4 2

6

Величина внешней нагрузки М1, М2, q2, P1, P2, кН кНм кНм кН кН

Типы опорных связей т. А т. В т. С

3 Методические указания Возможным (виртуальным) перемещением несвободной механической системы называется всякое воображаемое бесконечно малое перемещение её точек, допускаемое в данный момент времени наложенными на систему связями. Аналогично вводится понятие возможного перемещения для одной точки. Возможные перемещения рассматривают как величины первого порядка малости, поэтому криволинейные перемещения точек механической системы заменяют прямолинейными отрезками, направленными по касательным к траекториям точек. Понятие возможного перемещения чисто геометрическое. Возможное перемещение не зависит от действующих на точку или систему сил, а зависит только от вида наложенных на точку или систему связей. В этом состоит существенное отличие возможных перемещений от действительных. Величина и направление последних определяется как наложенными на точку или систему связями, так и действующими силами. Принцип возможных перемещений выражает необходимое и достаточное условие равновесия механической системы. Для равновесия механической системы с удерживающими, идеальными, голономными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на систему, на любых возможных перемещениях системы равнялась нулю.

где

∑ Fkа⋅ δrk = 0;

(1) - равнодействующая всех приложенных к k -той точке активных сил (внешних и внутренних); δrk - возможное перемещение k-той точки системы.

Fkа

Идеальными называются такие связи, для которых сумма элементарных работ всех сил реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е. ΣNk ⋅ δrk=0; (2) где Nk - реакция связи, действующая на k-тую точку системы. Примерами идеальных связей являются абсолютно гладкие поверхности и линии (направляющие); шарниры без трения; абсолютно твердая шероховатая поверхность при перекатывании по ней без скольжения абсолютно твердого тела. 7

Ограничения, накладываемые связями на перемещения и скорости точек системы, математически описываются с помощью некоторых уравнений, называемых уравнениями связей. Если время не входит явно в уравнение связи, связь называется стационарной. Связи, накладывающие ограничения только на перемещения точек системы, называются голономными (геометрическими). Связи, ограничивающие не только перемещения, но и скорости точек, называются неголономными (кинематическими). Все связи делятся также на удерживающие (двусторонние) и неудерживающие (односторонние). Если связь, препятствующая перемещению точек системы в некотором направлении, не допускает перемещения этих точек в направлении, противоположном первому, то она называется удерживающей (двусторонней). Неудерживающей (односторонней) называется связь, препятствующая перемещению точек системы в некотором направлении и не работающая при перемещении этих точек в противоположном направлении. Примером односторонней связи может служит гибкая нерастяжимая нить. Она не допускает удаления подвешенного на ней тела от точки подвеса, но не мешает этому телу приближаться к ней (в этом случае нить провисает и связь не работает). Принцип возможных перемещений дает единый метод решения задач статики для механической системы, находящейся под действием любой системы сил (как плоской, так и пространственной). Если не все связи, наложенные на систему, являются идеальными, например, имеются негладкие плоскости и поверхности, то в уравнении (1) к активным силам следует добавить силы трения и приравнять к нулю сумму работ не только активных сил, но и сил трения на любых возможных перемещениях системы. Если требуется определить реакцию какой-либо идеальной связи, то следует, применяя принцип освобождаемости от связей, отбросить соответствующую связь и заменить её действие исходной реакцией. Затем составить уравнение принципа возможных перемещений (1), включая в число активных сил и эту реакцию связи. В ряде случаев при решении задач удобнее использовать другую формулировку принципа возможных перемещений, так называемое уравнение возможных мощностей. Для равновесия механической системы с удерживающими, идеальными, голономными и стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма возможных мощностей всех активных сил системы равнялась нулю. Возможная мощность силы находится как скалярное произведение вектора силы на возможную скорость точки ее приложения. Направление возможной скорости точки совпадает с направлением её возможного перемещения и зависит только от характера наложенных на систему связей. 8

Математически это соотношение определяется выражением:

ΣFkа ⋅ Vk =0;

(3)

где Vk - возможная скорость k-той точки системы.

4 Примеры выполнения задания Пример 4.1. Для конструкции, показанно на рисунке 4.1, определить реакции опор от действующей внешней нагрузки q = 2 кН/м; Р = = 8 кН, М = 15 кНм. Накладываемые на раму внешние связи: в т. А – связь 1-го типа, в т.В - связь 2-го типа, в т. С - связь 3-го типа.

Рисунок 4.1

Рисунок 4.2

Решение. Изображаем расчетную схему конструкции с указанием всех размеров и опор. Заменим равномерно распределённую нагрузку сосредоточенной силой Q = q ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 = 6 кН, приложенной в середине загруженного участка (рисунок 4.2). Определим реакцию подвижной опоры В, для чего мысленно отбросим эту опору и заменим её действие реакцией RВ (рисунок 4.3). Возможным перемещением правой части рамы является её поворот вокруг шарнира С на бесконечно малый угол δϕ. Направление поворота выбираем произвольно, например, против хода часовой стрелки. Левая часть рамы при этом остаётся неподвижной, т.к. жесткая заделка исключает всякое перемещение этой части рамы. 9

Рисунок 4.3

Рисунок 4.4

Составим уравнение принципа возможных перемещений (1). При этом учтем, что работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна взятому с соответствующим знаком произведению момента силы относительно центра вращения на угол поворота тела. Уравнение (1) примет вид: (- M ⋅ δϕ) + 0.5Q ⋅ δϕ + 4RB ⋅ δϕ = 0. Сокращая обе части уравнения на δϕ, получим RB = (М - 0.5Q) / 4 = (15 - 0.5 ⋅6) / 4 = 3 кН. Для определения реакций жесткой заделки А воспользуемся уравнением возможных мощностей (3). Определим сначала реактивный момент МА. Для этого отбросим связь, препятствующую повороту левой части рамы, и заменим жесткую заделку неподвижной шарнирной опорой, приложив в точке искомый момент МА (рисунок 4.4). Возможным перемещением для левой части рамы будет поворот вокруг неподвижного центра А. Сообщим этой части рамы возможную угловую скорость ω1, например, по вращению часовой стрелки. Тогда т. С получит возможную скорость VС, перпендикулярную отрезку (АС). Направление VС указываем в соответствии с выбранным направлением ω1. Выясним, какое перемещение совершит при этом правая часть рамы. Подвижный шарнир В получит возможную скорость VВ, направленную вдоль опорной плоскости вправо (в соответствии с указанным направлением VС). Восстанавливая перпендикуляры из точек С и В к направлениям соответствующих скоростей, найдем положение мгновенного центра скоростей РВС для правой части рамы. Следовательно, правая часть рамы повернется вокруг центра РВС с 10

возможной угловой скоростью ω2, направленной против вращения часовой стрелки (в соответствии с направлением VВ и VС). Установим связь между возможными угловыми скоростями вращения правой и левой частей рамы. Скорость точки С можно выразить двояко, т.к. эта точка одновременно принадлежит обеим частям рамы. С одной стороны, VС = ω1 ⋅ АС. С другой стороны, VС = ω2 ⋅ СРВС. Из подобия треугольников АСК и СД РВС: Тогда,

АС / СРВС = АК / СД = 2 / 4 = 0.5. ω1 ⋅ АС = ω2 ⋅ СРВС; ω2 = ω1 ⋅ АС / СРВС = 0.5ω1.

(4)

Из уравнения (3) следует (- МА ⋅ ω1) - Р ⋅ ω1 sin 300 - М ⋅ ω2 - 1.5Q ⋅ ω2 = 0. Подставляя (4) и сокращая на ω1, получим (- МА) - Р sin 300 - 0.5 М - 0.75 Q = 0. Отсюда, МА = - Р sin 300 - 0.5 М - 0.75 Q = - 8 ⋅ 0.5 - 0.5 ⋅15 - 0.75 ⋅ 6= = - 16 кНм. Для определения вертикальной составляющей реакции заделки УА отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точки А, заменив жесткую заделку скользящей с вертикальными направляющими и приложив реакцию УА (рисунок 4.5). Направляющие скользящей заделки исключают поворот левой части рамы, возможным для неё будет поступательное перемещение. При этом точки А и С получат возможные скорости

Рисунок 4.5

Рисунок. 4.6 11

VА и VС, например, направленные вверх. Установим, какое перемещение совершит правая часть рамы. Возможная скорость подвижного шарнира В направлена вдоль опорной поверхности влево (в соответствии с направлением VС). На пересечении перпендикуляров к VС и VВ находится мгновенный центр скоростей РВС. Возможная угловая скорость ω2 вращения правой части рамы будет направлена по ходу часовой стрелки (в соответствии с направлением VВ и VС). Составим уравнение возможных мощностей (3): УА ⋅ V + Р sin 300 V + М ω2 - 0.5Q ω2 = 0. Т.к. точка С принадлежит одновременно двум частям рамы, то VС = VА = V; VС = ω2 ⋅ СРВС. Тогда,

V = ω2 ⋅ СРВС = 4ω2.

(5)

Подставляя (5) в уравнение возможных работ, получим 4УA ω2 + 4Р sin 300 ⋅ ω2 + М ω2 - 0.5 Q ω2 = 0; 4 УА + 4Р sin 300 + М - 0.5Q = 0; УА = (0.5 Q - 4Р sin 300 - М) / 4 = (0.5 ⋅ 6 - 4 ⋅ 8 ⋅ 0.5 - 15) / 4 = = -7 кН. Для определения горизонтальной реакции заделки А отбросим связь, препятствующую горизонтальному смещению т. А, заменим жесткую заделку скользящей с горизонтальными направляющими и приложим реакцию ХА (рисунок 4.6). Для левой части рамы возможно поступательное горизонтальное перемещение, т.к. скользящая заделка исключает поворот и вертикальное смещение. Дадим левой части возможную скорость V= VА =VС, направленную вправо. Для подвижного шарнира В возможным является перемещение вдоль опорной поверхности, возможная скорость так же будет направлена вдоль опорной поверхности вправо (в соответствии с направлением VС). Т.к. скорости точек В и С параллельны, то правая часть рамы, как и левая, получит возможное поступательное перемещение. Следовательно, VА = VС = VВ = V. Тогда, уравнение возможных мощностей: ХА ⋅ V - Р cos 300 ⋅ V - Q ⋅ V = 0; ХА = Р cos 300 + Q = 8 ⋅ 0.866 + 6 = 12.93 кН. 12

Рисунок 4.7

Рисунок 4.8

Проверим правильность решения задачи. Для этого освободим раму от наложенных на неё связей и заменим их действие на раму соответствующими реакциями. Для полученной произвольной плоской системы сил (рисунок 4.7) составим уравнения статики: ∑ FКХ = 0; ∑ FКУ = 0; ∑ МС (FК ) = 0;

ХА - Р cos 300 - Q = 0; УА + Р sin 300 + RВ = 0; ХА⋅ 1 + МА − 2YA - Р sin 300 ⋅1- Р cos 300 ⋅1-- М +0.5 Q + 4RB = 0.

Убедимся, что найденные значения реакций удовлетворяют составленным уравнениям. 12.93 – 8 ⋅ 0.866 – 6 = 0; - 7 + 8 ⋅ 0.5 + 3 = 0; 12.93 – 16 + 7 ⋅ 2 – 8 ⋅ 0.866 – 8 ⋅ 0.5 – 15 + 0.5 ⋅ 6 + 4 ⋅ 3 = = 41.93 – 41.93 = 0. Следовательно, реакции рамы определены правильно. Ответ: ХА= 12.93 кН; УА= - 7 кН; МА= - 16 кНм; RВ= 3 кН. Пример 4.2. Для рамы, изображенной на рисунке 4.8, определить реакции опор от действующей внешней нагрузки q = 4 кН/м, P = 5 кН, М= 10 кНм. Типы устанавливаемых связей: в т. А – связь 2-го типа, в т. В – связь 4-го типа, в т. С – связь 3-го типа. Решение. Изображаем расчетную схему конструкции с указанием всех размеров и опор. Равномерно распределенную нагрузку заменяем со13 средоточенной силой Q = 4q = 4 ⋅ 4 = 16 кН, приложенной в середине загруженного участка (рисунок 4.9).

Для определения реакций опор воспользуемся уравнением возможных мощностей (3).

Рисунок 4.9

Рисунок 4.10

Определим реакцию подвижной опоры В, для чего отбросим эту связь и заменим ее действие реакцией RВ (рисунок 4.10). Т.к. на нижней части рамы АD находится неподвижный шарнир А, то возможным перемещением для нее будет поворот вокруг центра А. Сообщим этой части рамы возможную угловую скорость ω1, направленную, например, по часовой стрелке. При этом т. D получит возможную скорость VD, перпендикулярную отрезку (АD) и направленную вправо. Выясним, какое перемещение совершит верхняя часть рамы ВС. Возможная скорость подвижного шарнира С VC будет направлена вдоль опорной плоскости вниз (в соответствии с направлением VD). Восстанавливая перпендикуляры из точек D и C к направлениям соответствующих скоростей, найдем положение мгновенного центра скоростей РВС для верхней части рамы. Следовательно, эта часть конструкции повернется вокруг центра РВС с возможной угловой скоростью ω2 против хода часовой стрелки (в соответствии с направлением VC и VD). Составляем уравнение возможных мощностей (3): (6) 2Р ⋅ ω2 + 4RB ⋅ ω2 – 2Q ⋅ ω2 – M ⋅ω2 = 0. Скорость т. D можно записать двояко, т.к. эта точка одновременно принадлежит двум частям рамы. С одной стороны, VD = ω1 ⋅ AD. С другой стороны, VD = ω2 ⋅ DPBC. 14 Тогда, ω1 ⋅ AD = ω2 ⋅ DPBC;

ω2 = ω1 ⋅ (AD / DPBC) = ω1 ⋅ (4/2) = 2ω1. Подставляя (7) в (6) и сокращая на ω1, получим

(7)

2Р + 8RB - 4Q - 2M = 0; RB = (4Q + 2M - 2P) / 8 = (4⋅16 + 2⋅10 − 2⋅5) / 8 = 9.25 кН. Аналогично определяем реакцию подвижного шарнира С. Отбросив связь С, заменим ее действие реакцией RC (рисунок 4.11). Для нижней части рамы возможен поворот вокруг неподвижного шарнира А. Сообщим этой части рамы угловую скорость ω1 по ходу часовой стрелки. Точка D при этом получит возможную скорость VD, направленную перпендикулярно отрезку (AD), такую что VD = ω1 ⋅ AD. Установим, какое перемещение возможно для верхней части рамы ВС. Скорость подвижной опоры В VB направлена вдоль горизонтальной опорной плоскости. Т.к. направления скоростей двух точек В и D этой части рамы совпадают, то вся верхняя часть рамы получит поступательное перемещение, возможная скорость которого равна V = VB = VD = ω1 ⋅ AD = 4ω1.

(8)

Уравнение возможных мощностей (3) примет вид: RC ⋅V + 2 Р ⋅ ω1 = 0.

Рисунок 4.11

(9)

Рисунок 4.12

15 Подставив (8) в уравнение возможных мощностей (9) и сократив на ω1, получим

4RC + 2P = 0; RC = (- 2Р / 4) = (- 5 / 2 ) = - 2,5 кН. Для определения вертикальной составляющей реакции неподвижного шарнира А, отбросим связь, препятствующую вертикальному смещению опоры А, заменив неподвижный шарнир подвижной шарнирной опорой на вертикальных направляющих и приложив в т. А искомую силу YA(рисунок 4.12). Анализ характера возможного перемещения рамы начнем с верхней части, т.к. на ней расположены две опоры. Скорости т. В и т. С будут направлены вдоль соответствующих опорных плоскостей. На пересечении перпендикуляров к векторам VC и VD находим мгновенный центр скоростей РВС, вокруг которого повернется верхняя часть рамы. Сообщим части ВС возможную угловую скорость ω1 вокруг центра РВС. При этом точка D получит скорость VD, направленную перпендикулярно отрезку DPBC. Выясним, какое перемещение станет возможным для нижней части рамы AD. Указав направление возможной скорости т. А (вдоль опорной поверхности), на пересечении перпендикуляров к векторам VA и VD найдем мгновенный центр скоростей PAD. Следовательно, для нижней части рамы будет возможен поворот вокруг мгновенного центра скоростей PAD c угловой скоростью ω2. Выразим скорость т. D, учитывая, что она одновременно принадлежит двум частям рамы: VD = ω1 ⋅ DPBC; VD =ω2 ⋅ DPAD. Отсюда, ω1 ⋅ DPBC = ω2 ⋅ DPAD. Из подобия треугольников DAPAD и DBPBC: DPAD / DPBC = AD / BPBC = 4 / 2 = 2. Тогда, ω1 = ω2 ⋅ DPAD / DPBC = 2ω2. Составляем уравнение возможных мощностей (3): (-2P ⋅ ω2) + 8YA ω2+ M ω1 – 2Q ω1 = 0. После подстановки (10) и сокращения на ω2, получим

16

(- 2P) + 8YA + 2М – 4Q = 0; YA = ( 4Q + 2 P –2M ) / 8 = (4 ⋅16 + 2⋅ 5 – 2 ⋅10) / 8 = 6,75 кН.

(10)

Рисунок 4.13

Рисунок 4.14

Аналогично определяем горизонтальную составляющую реакции опоры А. Отбросив связь, препятствующую горизонтальному перемещению опоры А, заменим ее подвижной шарнирной опорой на горизонтальных направляющих и приложим в т. А искомую реакцию ХA (рисунок 4.13 ). Рассуждая так же, как и в предыдущем случае (при определении реакции YA), найдем мгновенный центр скоростей РВС для верхней части рамы и укажем направление возможной скорости точки D. VD = ω1 ⋅ DPBC.

(11)

Перпендикуляры к векторам VA и VD пересекутся в т. D. Но это значит, что мгновенный центр скоростей для нижней части рамы находится в т. D, т.е. VD = 0. Тогда из (11) следует, что ω1 = 0 , т.е. верхняя часть рамы неподвижна. Следовательно, возможным перемещением в этом случае будет поворот только нижней части рамы вокруг т. D с угловой скоростью ω2. Уравнение возможных мощностей (3) примет вид: 4XA ⋅ ω 2 – 2P⋅ ω2 = 0 После сокращения на ω2, получим 4XA – 2P2 = 0; XA = 2P2 / 4 = 10 / 4 = 2.5 кН. 17

Проверим правильность решения задачи с помощью уравнений статики. Отбросим все наложенные на конструкцию связи и заменим их действие реакциями (рисунок 4.14). Для полученной плоской системы сил Σ FKX = 0; ∑FKY = 0; ∑MD(FK) = 0;

(-XA) + Р + RC = -2.5 + 5 -2.5 = 0; YA + RB – Q = 6.75 + 9.25 – 16 = 0; 4RB - 2Q - 2RC – M + 2P - 4XA = = 4⋅ 9.25 – 2 ⋅16 +2 ⋅2.5 - 10 +2 ⋅5 – 4 ⋅2.5 = 0.

Следовательно, реакции определены верно. Ответ: XA = 2.5 кН; YA = 6.75 кН; RB = 9.25 кН; RC = - 2 .5 кН.

5 Вопросы для самопроверки 5.1 Какие перемещения механической системы называются возможными? 5.2 В чём заключается отличие возможных перемещений от действительных? 5.3 Как определяется работа силы на возможном перемещении? 5.4 Какие связи механической системы называются идеальными? голономными? удерживающими? стационарными? 5.5 Как формулируется принцип возможных перемещений? 5.6 Как формулируется принцип освобождаемости от связей? 5.7 Как определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений? 5.8 Почему для определения реакций связей с помощью принципа возможных перемещений сначала необходимо применить принцип освобождаемости от связей? 5.9 Можно ли применить принцип возможных перемещений к расчету систем с неидеальными связями, например, при наличии трения?

6 Рекомендуемая литература 6.1 Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Учебник для вузов. В 2 ч. Ч II. Динамика.-М.:Высшая Школа, 1984.488 с. 6.2 Бать М.И., Джанелидзе Г. Ю. , Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах: Учебное пособие для вузов. В 3-х т. Т. II. Динамика. - 8-е изд., перераб.- М.: Наука, 1991. - 640 с. 18