Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)
ÒÎËÊÎÂÛÉ ÑËÎÂÀÐÜ ÏÎ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ
ÌÎÑÊÂÀ...
179 downloads
178 Views
441KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò (ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)
ÒÎËÊÎÂÛÉ ÑËÎÂÀÐÜ ÏÎ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ
ÌÎÑÊÂÀ 2007
Ñîñòàâèòåëü Ã.Í. ßêîâåíêî Ðåöåíçåíò Äîöåíò Þ.È. Õàíóêàåâ
Òîëêîâûé ñëîâàðü ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå /
Ñîñò. Ã.Í. ßêîâåíêî.. Ì.: ÌÔÒÈ, 2007. 68 ñ.
Öåëüþ èçäàíèÿ ÿâëÿåòñÿ íàâåäåíèå òåðìèíîëîãè÷åñêîãî åäèíñòâà â ñðåäå èçó÷àþùèõ è ïðåïîäàþùèõ òåîðåòè÷åñêóþ ìåõàíèêó. Ïðèâåäåíû ôîðìóëèðîâêè îïðåäåëåíèé, ïîíÿòèé, óòâåðæäåíèé òåîðåòè÷åñêîé è àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ðàññìîòðåíèå îãðàíè÷åíî òåìàìè, âõîäÿùèìè â ïðîãðàììó êóðñà Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ÌÔÒÈ.  êàæäîé ñòàòüå äàþòñÿ ññûëêè íà ëèòåðàòóðíûå èñòî÷íèêè ñ óêàçàíèåì ñòðàíèö. Èçäàíèå áóäåò ïîëåçíî ñòóäåíòàì è ïðåïîäàâàòåëÿì, èçó÷àþùèì èëè ïðåïîäàþùèì îáùóþ ôèçèêó è òåîðåòè÷åñêóþ ìåõàíèêó, à òàêæå ñìåæíûå äèñöèïëèíû àýðî è ãèäðîìåõàíèêó, ñîïðîìàò, äèíàìèêó êîñìè÷åñêîãî ïîëåòà è ò. ä. Ïîñîáèå áóäåò ïîëåçíî âñåì òåì, êòî ïî ðîäó ñâîèõ çàíÿòèé äîëæåí èñïîëüçîâàòü è ïîíèìàòü òåðìèíîëîãèþ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè: íàó÷íûì ìåíåäæåðàì, ìàðêåòîëîãàì íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé ëèòåðàòóðû è ò. ä.
ÒÎËÊÎÂÛÉ ÑËÎÂÀÐÜ ÏÎ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÅ Ñîñòàâèòåëü ßêîâåíêî Ãåííàäèé Íèêîëàåâè÷
ÂÂÅÄÅÍÈÅ Äëÿ êàæäîãî ÿâëåíèÿ æèçíè íàéä¼òñÿ ïîñëîâèöà-ïîãîâîðêà, êîòîðàÿ ýòî ÿâëåíèå îäîáðÿåò, à òàêæå ïîñëîâèöàïîãîâîðêà, êîòîðàÿ ýòî ÿâëåíèå îñóæäàåò.  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ íàðîäíàÿ ìóäðîñòü. Íàðîäíàÿ ìóäðîñòü Ïðèâåä¼ì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ðàçíî÷òåíèé â òîëêîâàíèè òåðìèíîâ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè (ïîäðîáíîñòè â ñòàòüÿõ ñëîâàðÿ). Àìïëèòóäà, ÷àñòîòà, ôàçà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ [6, ÷. 1, ñ. 59], [8, ñ. 202], [13, ñ. 177], [23, ò. 1, ñ. 888], [32, ñ. 848]. Âîçìîæíîå, äåéñòâèòåëüíîå, âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå [1, ñ. 154], [7, ñ. 11], [22, ñ. 38], [25, ñ. 29], [36, ñ. 45].  ñëîâàðå ïðèâåäåíû ôîðìóëèðîâêè îïðåäåëåíèé è óòâåðæäåíèé òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè.  ñëó÷àå ðàçíî÷òåíèé äàíû ññûëêè íà íåñêîëüêî âàðèàíòîâ.  ññûëêàõ óêàçàíû ñòðàíèöû. Ðàññìîòðåíèå îãðàíè÷åíî òåìàìè, òðàäèöèîííî âõîäÿùèìè â ïðîãðàììó êóðñà Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ÌÔÒÈ. Ôîðìóëèðîâêè ïî âîçìîæíîñòè ñîãëàñîâûâàëèñü ñ òåðìèíîëîãè÷åñêèìè ñáîðíèêàìè [29, 31]. Ñîñòàâèòåëü áëàãîäàðèò êîëëåã ïî êàôåäðå òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè ÌÔÒÈ çà ïîñòîÿííóþ ïîìîùü è ïîíèìàíèå âîñòðåáîâàííîñòè íàñòîÿùåãî ñëîâàðÿ.
Íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ:
dx ; dt (·, ·) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå; [·, ·] (âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå; 1, åñëè k = l, δkl = ñèìâîë Êðîíåêåðà; 0, åñëè k 6= l q = (q1 , . . . , qn ). x˙ =
3
Àáñîëþòíàÿ ñêîðîñòü [1, ñ. 32], [37, ñ. 24]. Ñêîðîñòü â àáñîëþòíîì äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà.
Àáñîëþòíîå äâèæåíèå [1, ñ. 31], [37, ñ. 22]. Äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà.
Àáñîëþòíîå óñêîðåíèå [1, ñ. 33], [37, ñ. 24]. Óñêîðåíèå â
àáñîëþòíîì äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà.
Àêòèâíûå ñèëû [8, ñ. 19], [36, ñ. 36]. Ñèëû F (t, r, r˙ ), äëÿ êî-
òîðûõ èçâåñòíà çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè t è ñîñòîÿíèÿ, è íà ýòó çàâèñèìîñòü íàëîæåíèå èëè ñíÿòèå ìåõàíè÷åñêèõ ñâÿçåé âëèÿíèå íå îêàçûâàþò.
Àëãåáðà êâàòåðíèîíîâ [13, ñ. 32], [33, ñ. 36], [37, ñ. 24]. ×åòûð¼õìåðíîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ýëå-
ìåíòàìè Λ è áàçèñîì i0 , i1 , i2 , i3 . Áàçèñíûé ýëåìåíò i0 èãðàåò ðîëü åäèíèöû (Λ ◦ i0 = i0 ◦ Λ = Λ) , îí îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ åäèíèöåé 1 è ïðè óìíîæåíèè îïóñêàåòñÿ: 3 P Λ = λ0 + λk ik . Äëÿ ïðî÷èõ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ
(k, l
k=1
=( 1, 3) â òàáëèöå óìíîæåíèÿ ïðèíèìàåòñÿ −1, åñëè k = l, ik ◦ il = [ik , il ] , åñëè k 6= l.
Àìïëèòóäà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ [6, ñ. 59], [32, ñ. 110]. Âåëè÷èíà A â ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàíèè x = A sin (ωt + α). Èíîãäà àìïëèòóäîé íàçûâàþò âåëè÷èíó |A| [8, ñ. 202], [23, ò. 1, ñ. 888].
Àìïëèòóäíàÿ ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà [1, ñ. 252], [12, ñ. 45], [37, ñ. 132]. Çàâèñèìîñòü ìîäóëÿ Rjk (Ω) = |Wjk (iΩ)| àìïëèòóäíî-ôàçîâîé õàðàêòåðèñòèêè Wjk (iΩ) = Rjk (Ω) eiψjk (Ω) îò ïåðåìåííîé Ω.
4
Àìïëèòóäíî-ôàçîâàÿ ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà [1, ñ. 251], [12, ñ. 45], [37, ñ. 131]. Ó ëèíåéíîé îäíîðîäíîé ñèñòåìû A¨ q + B q˙ + Cq = 0 (A, B , C = const) óðàâíåíèé Ëàãðàíæà îòûñêèâàåòñÿ ðåøåíèå â âèäå q = ueiΩt . Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà ýêñïîíåíòó, îñòà¼òñÿ ëèíåéíàÿ îäíîðîäíàÿ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî àìïëèòóä u. Àìïëèòóäíî-ôàçîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà Wjk (iΩ) ýòî äðîáü, â çíàìåíàòåëå êîòîðîé íàõîäèòñÿ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû, à â ÷èñëèòåëå àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà ñ íîìåðîì jk.
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó [8, ñ. 174], [36, ñ. 109]. Ðåøåíèå x = 0 ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (t, x) , x ∈ Rn , àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó, åñëè îíî: 1) óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó ; 2) ñóùåñòâóåò òàêàÿ ∆-îêðåñòíîñòü òî÷êè x = 0 (îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ), ÷òî äëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ x (t, t0 , x0 ) âûïîëíÿåòñÿ: {|x0 | < ∆} ⇒ { lim x (t, t0 , x0 ) = 0}. t→∞
Áèíå óðàâíåíèå (óðàâíåíèå Áèíå, âòîðàÿ ôîðìóëà Áèíå) [10, ñ. 191], [13, ñ. 78], [37, ñ. 65]. Óðàâíåíèå äëÿ òðàåêòîðèé â öåíòðàëüíîì ïîëå : u00 + u = −r2 f /mc2 , ãäå r, ϕ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû, u = 1/r, u00 = d2 u/dϕ2 , f âåëè÷èíà öåíòðàëüíîé ñèëû, c ïðèâåä¼ííûé ìîìåíò èìïóëüñà.
Áèíîðìàëè îðò. Ñì. îðò áèíîðìàëè. Âàëåíòíîñòü [8, ñ. 131], [36, ñ. 193]. ×èñëî c 6= 0 â îñíîâ-
íîì êðèòåðèè êàíîíè÷íîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ.
Âàðèàöèîííàÿ ñèììåòðèÿ (í¼òåðîâñêàÿ ñèììåòðèÿ) [15, ñ. 128][24, ñ. 332], [36, ñ. 151]. Íåîñîáåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ t, q ↔ b t, qb, ñâÿçàííîå ñ ôóíêöèåé
5
Ëàãðàíæà L (t, q, q) ˙ ñëåäóþùèì îáðàçîì µ ¶ dt db q L b t, qb, = L (t, q, q) ˙ (èëè â ñèììåòðè÷íîì âèäå db t ! db t à µ ¶ _ _ _ dq _ dq L t , q , _ d t = L t, q, dt). dt dt
Âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà [1, ñ. 286], [17, ñ. 190] (íà÷àëî Ãàìèëüòîíà [1, ñ. 287], ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà [8, ñ. 92], [25, ñ. 48] [36, ñ. 144], ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà Îñòðîãðàäñêîãî [19, ñ. 645], [22, ñ. 474], ïðèíöèï ñòàöèîíàðíîãî äåéñòâèÿ Ãàìèëüòîíà [5, ñ. 191], [6, ÷. II, ñ. 262], [10, ñ. 446]. Ïóòü q˜ (t) â ðàñøèðåííîì
êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðè ëþáîì âàðüèðîâàíèè q (t, α) ïðè íåèçìåííûõ ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ äëÿ âàðèàöèè äåéñòâèÿ ïî Ãàìèëüòîíó W (α) âûïîëíÿåòñÿ ¯ ¯ δW |α=0 = ∂W/∂α¯ δα = 0. α=0
Âàðüèðîâàíèå ôóíêöèè (ïðîâàðüèðîâàòü ôóíêöèþ) [36, ñ. 144]. Âêëþ÷åíèå ôóíêöèè q˜ (t) â ãëàäêîå ñåìåéñòâî ôóíêöèé q (t, α) (q (t, 0) = q˜ (t)).
Âàðèàöèÿ ôóíêöèè [1, ñ. 287], [17, ñ. 190]. Äèôôåðåíöèàë ïðîâàðüèðîâàííîé ôóíêöèè ïî ïàðàìåòðó α.
Âåêîâîå óðàâíåíèå (óðàâíåíèå ÷àñòîò) [1, ñ. 243], [36, ñ. 100]. Ìíîãî÷ëåííîå óðàâíåíèå äëÿ ðàçðåø¼ííûõ êðóãîâûõ ÷àñòîò ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ìàëûõ (ëèíåéíûõ) êîëåáàíèé.
Âåêòîð êðèâèçíû òðàåêòîðèè [1, ñ. 17], [37, ñ. 7]. Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå K = dτ /ds = Kn = n/ρ, ãäå τ îðò êàñàòåëüíîé, n îðò íîðìàëè, ρ ðàäèóñ êðèâèçíû, s äëèíà äóãè òðàåêòîðèè.
6
Âåêòîðíàÿ ÷àñòü êâàòåðíèîíà [13, ñ. 32], [33, ñ. 37], [37, ñ. 24]. ×àñòü λ = λ1 i1 + λ2 i2 + λ3 i3 êâàòåðíèîíà Λ = λ0 + λ1 i1 + λ2 i2 + λ3 i3 = λ0 + λ. Âåêòîðíûå èíâàðèàíòû [1, ñ. 361], [37, ñ. 38]. Ãëàâíûé
âåêòîð R è ãëàâíûé ìîìåíò MO ìíîæåñòâà ñêîëüçÿùèõ âåêòîðîâ.
Âåêòîðíûé íóëü [1, ñ. 358], [37, ñ. 34]. Ïàðà ñ íóëåâûì ïëå÷îì.
Âèíò [1, ñ. 364], [37, ñ. 39]. Ñîâîêóïíîñòü: ïðÿìàÿ ëèíèÿ îñü âèíòà ; ðàñïîëîæåííûé íà îñè âèíòà ñêîëüçÿùèé âåêòîð R; ðàñïîëîæåííûé íà îñè âèíòà ìîìåíò MO îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î îñè âèíòà.
Âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå òî÷êè [1, ñ. 154], [5, ñ. 15], [36, ñ. 15]. Äèôôåðåíöèàë ðàäèóñ-âåêòîðà, íå ïðîòèâîðå÷àùèé óðàâíåíèÿì ìåõàíè÷åñêèõ ñâÿçåé ïðè ôèêñèðîâàííîì â óðàâíåíèÿõ âðåìåíè t.
Âíåøíåå âîçäåéñòâèå (âõîäíîå âîçäåéñòâèå) [36, ñ. 129]. Îáîáù¼ííàÿ ñèëà, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò âðåìåíè t. Âíåøíèå ñèëû [1, ñ. 58], [37, ñ. 50]. Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òî÷êè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, è âûçâàííûå âçàèìîäåéñòâèåì ñ òî÷êàìè, íå ïðèíàäëåæàùèìè ñèñòåìå.
Âíóòðåííèå ñèëû [1, ñ. 57], [37, ñ. 50]. Ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, ïðèíàäëåæàùèìè ñèñòåìå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Âîçìîæíûå ïåðåìåùåíèÿ [1, ñ. 154], [36, ñ. 45]. Äèôôå-
ðåíöèàë ðàäèóñ-âåêòîðà, íå ïðîòèâîðå÷àùèé óðàâíåíèÿì ìåõàíè÷åñêèõ ñâÿçåé. Äèôôåðåíöèàë ðàäèóñ-âåêòîðà, ñîãëàñîâàííûé ñ âîçìîæíîé ñêîðîñòüþ.
7
Âîçìîæíûå ñêîðîñòè [1, ñ. 154], [36, ñ. 45]. Ñêîðîñòè òî÷åê
ñèñòåìû ïðè äâèæåíèè, íå íàðóøàþùåì íàëîæåííûå íà ñèñòåìó ìåõàíè÷åñêèå ñâÿçè.
Âòîðàÿ ôîðìóëà Áèíå Ñì. Áèíå óðàâíåíèå. Âòîðîé çàêîí Êåïëåðà [1, ñ. 93], [37, ñ. 64]. Ïðè äâèæåíèè
ïîä âîçäåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû ïëîùàäü çàìåòàåìàÿ ðàäèóñîì-âåêòîðîì, ïðîïîðöèîíàëüíà âðåìåíè äâèæåíèÿ.
Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà (óðàâíåíèå Íüþòîíà) [1, ñ. 57], [37, ñ. 48]. Óðàâíåíèå mW = F, ãäå m ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, W óñêîðåíèå òî÷êè, F ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òî÷êó.
Âõîäíîå âîçäåéñòâèå. Òî æå, ÷òî âíåøíåå âîçäåéñòâèå. Âûíóæäåííàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïðåöåññèÿ òâ¼ðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé [1, ñ. 207], [37, ñ. 106]. Ðåãóëÿðíàÿ ïðåöåññèÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ê òâ¼ðäîìó òåëó ñèë. Äëÿ äâèæåíèÿ ñ çàäàííûìè ïàðàìåòðàìè ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè (óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ω 1 , óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðåöåññèè ω 2 , óãîë íóòàöèè θ) ìîìåíò ïðèëîæåííûõ ñèë îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè O ðàâåí ½ ¾ ω2 (C − A) cos θ , MO = [ω 2 , ω 1 ] C + ω1 ãäå C ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè, A ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ðàñïîëîæåííîé â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè.
Âûíóæäåííîå äâèæåíèå (âûõîä ñèñòåìû, îòêëèê ñèñòåìû, ðåàêöèÿ ñèñòåìû, óñòàíîâèâøèéñÿ ïðîöåññ) [1, ñ. 248], [36, ñ. 129]. Äâèæåíèå, âûçâàííîå âíåøíèì (âõîäíûì) âîçäåéñòâèåì, ïîñëå çàòóõàíèÿ âëèÿíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ.
8
Âûõîä ñèñòåìû. Òî æå, ÷òî âûíóæäåííîå äâèæåíèå. Ãàìèëüòîíèàí (ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà) [1, ñ. 269], [36, ñ. 136]. Ôóíêöèÿ H (t, q, p) ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåí-
íûõ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ïðàâóþ ÷àñòü ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû. Ãàìèëüòîíèàí ñâÿçàí ñ ëàãðàíæèàíîì L(t, q, q) ˙ n P ñëåäóþùèì îáðàçîì: H = pi q˙i − L. i=1
Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà (óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà) [1, ñ. 270], [36, ñ. 136]. Ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â íîðìàëüíîì âèäå q˙i =
∂H , ∂pi
p˙i = −
∂H . ∂qi
Ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû îïðåäåëåíà ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà (ãàìèëüòîíèàíîì) H (t, q, p).
Ãàìèëüòîíîâû ïåðåìåííûå (ïåðåìåííûå Ãàìèëüòîíà) [1, ñ. 268], [36, ñ. 135]. Ñîâîêóïíîñòü ïåðåìåííûõ: âðåìÿ t, îáîáùåííûå êîîðäèíàòû qi , îáîáùåííûå èìïóëüñû pi .
Ãàðìîíè÷åñêîå âîçäåéñòâèå [1, ñ. 249], [36, ñ. 132]. Âíåøíåå (âõîäíîå) ñèíóñîèäàëüíîå âîçäåéñòâèå x = A sin (ωt + α) ñ íåêîòîðûìè àìïëèòóäîé A, êðóãîâîé ÷àñòîòîé ω è íà÷àëüíîé ôàçîé α.
Ãàðìîíè÷åñêîå (ñèíóñîèäàëüíîå) êîëåáàíèå [6, ÷. I, ñ. 59], [23, ò. 1, ñ. 888] [32, ñ. 110]. Èçìåíåíèå êîîðäèíàòû ïî çàêîíó x = A sin (ωt + α), ãäå A àìïëèòóäà, ω êðóãîâàÿ (óãëîâàÿ, öèêëè÷åñêàÿ) ÷àñòîòà, α íà÷àëüíàÿ ôàçà.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñâÿçü (ãîëîíîìíàÿ ñâÿçü, êîíå÷íàÿ ñâÿçü) [8, ñ. 12], [36, ñ. 21]. Ìåõàíè÷åñêàÿ óäåðæèâà9
þùàÿ ñâÿçü f (t, r1 , . . . , rN ) = 0, óðàâíåíèå êîòîðîé ïðåäñòàâèìî â âèäå ôóíêöèè îò âðåìåíè t è îò ïîëîæåíèÿ r1 , . . . , rN òî÷åê ñèñòåìû.
Ãåîìåòðèÿ ìàññ òâåðäîãî òåëà [1, ñ. 178], [37, ñ. 92]. Èçó-
÷åíèå ìîìåíòîâ èíåðöèè òâ¼ðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíûõ îñåé.
Ãèðîäèí [35, ñ. 189, ñ. 192]. Ðàçâîðà÷èâàþò ñòàíöèþ è óäåð-
æèâàþò å¼ â íóæíîì ïîëîæåíèè èñïîëíèòåëüíûå ìåõàíèçìû: ... òÿæåëûå âîë÷êè-ãèðîñêîïû, íàçûâàåìûå ãèðîäèíàìè (îò ãðå÷. ãèðîñ è äèíàìèñ ñèëà). Îñü ðàñêðó÷åííîãî âîë÷êà ñòðåìèòñÿ ñîõðàíèòü ñâî¼ ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå, è äîñòàòî÷íî ìàññèâíûé ãèðîäèí ïðåïÿòñòâóåò ïîâîðîòó âñåé êîñìè÷åñêîé ñòàíöèè.
Ãèðîñêîï Òâ¼ðäîå òåëî, äâèæóùååñÿ âîêðóã ôèêñèðîâàííîé
â í¼ì òî÷êè, äëÿ êîòîðîãî ýëëèïñîèä èíåðöèè ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ [22, ñ. 206].  øèðîêîì ñìûñëå ñëîâà òâ¼ðäîå òåëî, èìåþùåå ïðåèìóùåñòâåííîå âðàùåíèå âîêðóã êàêîé-ëèáî îñè.  áîëåå óçêîì çíà÷åíèè áûñòðî âðàùàþùèéñÿ ðîòîð [16, ñ. 87]. Äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîå òâ¼ðäîå òåëî, èìåþùåå îäíó íåïîäâèæíóþ òî÷êó è äîñòàòî÷íî áîëüøîé ñîáñòâåííûé êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò [13, ñ. 92].
Ãèðîñêîïè÷åñêàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà [1, ñ. 148], [36, ñ. 52]. Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ ãèðîñêîïè÷åñêîé ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ óñëîâèé: ñèñòåìà ñòàöèîíàðíî çàäàíà ; ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò òîëüêî îò îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò ; ìîùíîñòü íåïîòåíöèàëüíûõ ñèë ðàâíà íóëþ.
Ãèðîñòàò [21, ñ. 179], [38, ñ. 227]. Ñîâîêóïíîñòü òâ¼ðäûõ
òåë : òåëî ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé; ðîòîðû ñ äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèåé, âðàùàþùèåñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ âîêðóã ñâÿçàííûõ ñ òåëîì îñåé äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè.
10
Ãëàâíàÿ îñü èíåðöèè â òî÷êå Î [1, ñ. 183], [37, ñ. 95]. Îñü ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè â òî÷-
êå Î. Öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñ óïîìèíàíèåì ýòîé îñè ðàíû íóëþ. ¡ ¢ Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà W t, q, q 0 [8, ñ. 139], [36, ñ. 208]. Äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó ¢ Rt ¡ W = L s, q(s, q 0 , p0 ), q(s, ˙ q 0 , p0 ) ds t0 ¡ ¢ ¡ ¢ âû÷èñëÿåòñÿ íà îáùåì ðåøåíèè q t, q 0 , p0 , p t, q 0 , p0 óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.  ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ ïîäñòàâëÿåòñÿ íàéäåííàÿ ¡ ¢ èç îáùåãî ðåøåíèÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ p0 = p0 t, q, q 0 .
Ãëàâíàÿ öåíòðàëüíàÿ îñü èíåðöèè [1, ñ. 179], [37, ñ. 96]. Îñü ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà èíåðöèè â öåíòðå ìàññ (öåíòðå èíåðöèè) Ñ òâ¼ðäîãî òåëà.
Ãëàâíîå êîëåáàíèå [1, ñ. 245], [36, ñ. 100]. Âñå êîîðäèíàòû
èçìåíÿþòñÿ ñèíóñîèäàëüíî ñ îäèíàêîâûìè ÷àñòîòîé è íà÷àëüíîé ôàçîé, íî, âîçìîæíî, ñ ðàçíûìè àìïëèòóäàìè.
Ãëàâíûå êîîðäèíàòû (íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû) [1, ñ. 243], [36, ñ. 104]. Êîîðäèíàòû θi , â êîòîðûõ êèíån
òè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ èìååò âèä T = n
1X 2 íàÿ Π = ri θi , ri = const. 2
1 X ˙2 θi , à ïîòåíöèàëü2 i=1
i=1
Ãëàâíûé âåêòîð R [1, ñ. 351], [30, ñ. 19], [37, ñ. 37]. Õàðàêòåðèñòèêà R =
N P
i=1
ai ìíîæåñòâà âåêòîðîâ {ai } ðåçóëü-
òàò òàêîãî ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà âåêòîðîâ, ÷òî ó íèõ ñîâïàäàþò íà÷àëüíûå òî÷êè, è ïîñëåäóþùåãî èõ ñëîæåíèÿ.
11
Ãëàâíûé ìîìåíò MO îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î [1, ñ. 353], [37, ñ. 38]. Õàðàêòåðèñòèêà MO =
N P
i=1
mO (ai ) ìíîæåñòâà âåêòîðîâ {ai } ìîìåíòû
mO (ai ) îòäåëüíûõ âåêòîðîâ îòêëàäûâàþòñÿ îò òî÷êè Î, çàòåì ñêëàäûâàþòñÿ.
Ãîäîãðàô Ìèõàéëîâà [1, ñ. 229], [36, ñ. 119].  ìíîãî÷ëåí
f (λ) ïîäñòàâëÿåòñÿ âìåñòî ïåðåìåííîé λ ìíèìàÿ ïåðåìåííàÿ iω , çàòåì âûäåëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè f (iω) = u (ω) + iv (ω), è ïðè èçìåíåíèè 0 6 ω < ∞ íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè (u, v ) èçîáðàæàåòñÿ êðèâàÿ.
Ãîëîíîìíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñâÿçü [1, ñ. [36, ñ. 41]. Òî æå, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñâÿçü.
153],
Ãîëîíîìíàÿ ñèñòåìà [1, ñ. 153], [36, ñ. 41]. Ìåõàíè÷åñêàÿ
ñèñòåìà, íà êîòîðóþ íàëîæåíû ãåîìåòðè÷åñêèå (ãîëîíîìíûå, êîíå÷íûå) ñâÿçè.
Ãðóïïà âàðèàöèîííûõ ñèììåòðèé [24, ñ. 327], [36, ñ. 152]. Ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé, âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîòîðîé âàðèàöèîííûå ñèììåòðèè.
Ãþéãåíñà Õ., Øòåéíåðà ß. òåîðåìà [1, ñ. 178], [37, ñ. 96]. Ìîìåíòû èíåðöèè I , IC òâ¼ðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíûõ îñåé, îäíà èç êîòîðûõ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ìàññ C òåëà, ñâÿçàíû ôîðìóëîé I = IC +md2 , ãäå m ìàññà òåëà, d ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè.
Äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó [1, ñ. 283], [36, ñ. 145]. Ôóíêöèîíàë W =
Rt1
t0
L (t, q, q) ˙ |q=q(t) dt, êîòîðûé ñòàâèò â ñîîòâåò-
ñòâèå ôóíêöèè q (t), îïðåäåë¼ííîé íà èíòåðâàëå [t0 , t1 ], ÷èñëî (L (t, q, q) ˙ ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ).
Äåéñòâèå ïî Ëàãðàíæó [1, ñ. 343], [36, ñ. 178]. Ôóíêöèîíàë 1
W∗ =
Rq1 q10
P (t, q, q 0 ) |q=q(q1 ) dq1 , êîòîðûé ñòàâèò â ñîîòâåò-
12
£ ¤ ñòâèå ôóíêöèè q (q1 ), îïðåäåë¼ííîé íà èíòåðâàëå q10 , q11 , ÷èñëî (P (t, q, q 0 ) ôóíêöèÿ ßêîáè ).
Äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêà [12, ñ. 45], [36, ñ. 131]. Çàâèñèìîñòü äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòè Pjk (Ω) = ReWjk (iΩ) àìïëèòóäíî-ôàçîâîé õàðàêòåðèñòèêè Wjk (iΩ) = Pjk (Ω) + iSjk (Ω) îò ïåðåìåííîé Ω.
Äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè [30, ñ. 43], [36, ñ. 9]. Êîýôôèöèåíòû xk ðàçëîæåíèÿ ðàäèóñà-âåêòîðà r ïî îðòàì ik , ñâÿçàííîãî ñ ñèñòåìîé 3 P xk ik . îòñ÷¼òà áàçèñà: r = k=1
Äèâåðãåíòíàÿ ñèììåòðèÿ [24, ñ. 358], [36, ñ. 151]. Íåîñî_
_ áåííîå ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåìåííûõ t, q ↔ tˆ, q , ñâÿçàííîå ñ ôóíêöèåé Ëàãðàíæà ˙ ñëåäóþùèì îáðàçîì ³_ ´ L (t, q, q) ! à _ _ df t , q _ _ dq dt = L (t, q, q) ˙ _ èëè â ñèììåòL t, q, _ + _ dt dt dt ðè÷íîì âèäå à ! µ ¶ _ ³_ ´ _ _ _ dq dq _ L t , q , _ d t + df t , q = L t, q, dt. dt dt
Äèíàìè÷åñêàÿ ñèììåòðèÿ â òî÷êå Î [1, ñ. 200], [37, ñ. 96]. Ó òâ¼ðäîãî òåëà â äàííîé òî÷êå åñòü îñü äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè.
Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà [1, ñ. 197], [37, ñ. 100]. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òâ¼ðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé Î :
Ap˙ + (C − B) qr = M1 , B q˙ + (A − C) pr = M2 , C r˙ + (B − C) pq = M3 , ãäå A, B , C ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî ãëàâíûõ
13
îñåé èíåðöèè â òî÷êå Î, p, q, r ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè, M1 , M2 , M3 ïðîåêöèè ãëàâíîãî ìîìåíòà ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î.
Äèññèïàòèâíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà [1, ñ. 149], [36, ñ. 54]. Ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ äèññèïàòèâíîé ïðè âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ óñëîâèé: ñèñòåìà ñòàöèîíàðíî çàäàíà ; ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò òîëüêî îò îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò ; ìîùíîñòü íåïîòåíöèàëüíûõ ñèë íåïîëîæèòåëüíà. Ïðè âûïîëíåíèè áîëåå ñòðîãîãî óñëîâèÿ: ìîùíîñòü íåïîòåíöèàëüíûõ ñèë îòðèöàòåëüíà, åñëè äëÿ îáîáù¼ííûõ ñêîðîñòåé ñïðàâåäëèâî q˙12 + . . . + q˙n2 6= 0, ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îïðåäåë¼ííî-äèññèïàòèâíîé.
Äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ Ðåëåÿ Φ (t, q, q) ˙ [1, ñ. 216], [5, ñ. 59], [36, ñ. 55]. Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà Φ (t, q, q) ˙
=
n 1 X bil (t, q) q˙i q˙l , ïðè ïîìîùè êîòîðîé 2 i,l=1
÷àñòü îáîáù¼ííûõ ñèë âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì ∂Φ Q∗i = − . ∂ q˙i
Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâÿçè [1, ñ. 152], [36, ñ. 21]. Ìåõàíè-
÷åñêèå ñâÿçè, óñëîâèÿ fl (t, ri , Vi ) 6 0 êîòîðûõ ñîäåðæàò ñêîðîñòè Vi ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Çàêîí äâèæåíèÿ öåíòðà èíåðöèè [1, ñ. 73], [37, ñ. 51]. Óðàâíåíèå mWC = Râíåøí , ãäå m=
N P
i=1
mi ñóììàðíàÿ ìàññà ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû,
WC óñêîðåíèå öåíòðà èíåðöèè Râíåøí ãëàâíûé âåêòîð âíåøíèõ ñèë.
ñèñòåìû,
Çàêîí èçìåíåíèÿ èìïóëüñà (êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ) [1, ñ. 72], [37, ñ. 51]. Óðàâíåíèå Q˙ = Râíåøí , ãäå Q èìïóëüñ (êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ) ñèñòåìû, Râíåøí ãëàâíûé âåêòîð âíåøíèõ ñèë.
14
Çàêîí èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà (ìîìåíòà èìïóëüñà, ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ) [1, ñ. 75], [37, ñ. 53]. Óðàâíåíèå ˙ O = Mâíåøí − m [VO , VC ], K O ãäå KO ìîìåíò èìïóëüñà ñèñòåìû (ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ, êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò) îòíîñèòåëüíî òî÷êè O, Mâíåøí ãëàâíûé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî òî÷O N P êè O âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó, m = mi i=1
ñóììàðíàÿ ìàññà ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, VO ñêîðîñòü òî÷êè O, VC ñêîðîñòü öåíòðà èíåðöèè C ñèñòåìû.
Çàêîí èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå [22, ñ. 170], [37, ñ. 56]. Óðàâíåíèå dT = δA, ãäå dT äèôôåðåíöèàë îò êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû, δA ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñèë (âíåøíèõ è âíóòðåííèõ), äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó.
Çàêîí èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè â èíòåãðàëüíîé ôîðìå [22, ñ. 171], [37, ñ. 56]. Óðàâíåíèå T2 −T1 = A12 , ãäå T1 , T2 êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèè ñèñòåìû â íà÷àëå è â êîíöå ïóòè ri (t) ñèñòåìû, A12 ðàáîòà ñèë (âíåøíèõ è âíóòðåííèõ), äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó, ñîâåðøåííàÿ íà ïóòè ri (t).
Çàêîí èçìåíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ñì. çàêîí èçìåíåíèÿ èìïóëüñà.
Çàêîí èçìåíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Ñì. çàêîí èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.
Çàêîí Êåïëåðà, âòîðîé. Ñì. âòîðîé çàêîí Êåïëåðà. Çàêîí Êåïëåðà, ïåðâûé. Ñì. ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà. Çàêîí Êåïëåðà, òðåòèé. Ñì. òðåòèé çàêîí Êåïëåðà. Çàêîí Íüþòîíà, âòîðîé. Ñì. âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. 15
Çàêîí Íüþòîíà, ïåðâûé. Ñì. ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà. Çàêîí Íüþòîíà, òðåòèé. Ñì. òðåòèé çàêîí Íüþòîíà. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ) [1, ñ. 72], [37, ñ. 52]. Åñëè ïðîåêöèÿ Rzâíåøí íà îñü z ãëàâíîãî âåêòîðà Râíåøí âíåøíèõ ñèë ðàâíà íóëþ, òî èìåþò ìåñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïðîåêöèè èìïóëüñà (êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ) íà îñü z è ðàâíîìåðíîñòü äâèæåíèÿ â íàïðàâëåíèè z öåíòðà èíåðöèè ñèñòåìû.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà (ìîìåíòà èìïóëüñà, ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ) [1, ñ. 76], [37, ñ. 53]. Åñëè ïðîåêöèÿ Mzâíåøí íà îñü z ãëàâíîãî ìîìåíòà Mâíåøí âíåøíèõ ñèë ðàâíà íóëþ, òî â O ïðåäïîëîæåíèè VO = 0 (èëè VO ||VC ) èìååò ìåñòî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïðîåêöèè êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà (ìîìåíòà èìïóëüñà, ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ) íà îñü z.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ñì. çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Ñì. çàêîí ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ. Ñì. çàêîí ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè [1, ñ. 78], [37, ñ. 61]. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ âî âðåìÿ äâèæåíèÿ.
Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê [1, ñ. 43], [37, ñ. 532]. Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ìàòåðèàëüíûå òî÷êè êîòîðîé âçàèìîäåéñòâóþò òîëüêî ñ òî÷êàìè, ïðèíàäëåæàùèìè ñèñòåìå.
16
Çíàêîîïðåäåë¼ííûå ôóíêöèè [22, ñ. 535], [37, ñ. 85]. Ïî-
ëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííûå, îòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííûå ôóíêöèè.
Çíàêîïîñòîÿííûå ôóíêöèè [22, ñ. 535], [37, ñ. 85]. Ïîëî-
æèòåëüíî ïîñòîÿííûå, îòðèöàòåëüíî ïîñòîÿííûå ôóíêöèè.
Çíàêîïåðåìåííûå ôóíêöèè [22, ñ. 535], [37, ñ. 85]. Ôóíê-
öèè, ïðèíèìàþùèå â ëþáîé îêðåñòíîñòè íóëÿ êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ.
Èäåàëüíàÿ ñâÿçü [1, ñ. 159], [36, ñ. 36]. Òàêàÿ ãåîìåòðè÷å-
ñêàÿ ñâÿçü, ÷òî îáîáù¼ííûå ñèëû, ñîîòâåòñòâóþùèå ðåàêöèÿì ñâÿçè, ðàâíû íóëþ. Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå: íà ëþáîì âèðòóàëüíîì ïåðåìåùåíèè ñèñòåìû ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñèë ðåàêöèè ñâÿçè ðàâíà íóëþ.
Èçîëèðîâàííàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà [22, ñ. 88], [37, ñ. 48]. Òî÷êà, íå âçàèìîäåéñòâóþùàÿ ñ äðóãèìè òî÷êàìè.
Èçîõðîííûé äèôôåðåíöèàë δF (t, q) [5, ñ. 14], [36, ñ. 193]. Äèôôåðåíöèàë ïðè ôèêñèðîâàííîì âðåìåíè t: δF (t, q) =
n X ∂F i=1
∂qi
dqi .
Èìïóëüñ (êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ) ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê [1, ñ. 56], [37, ñ. 51]. Âû÷èñëÿåòñÿ êàê ãëàâíûé âåêòîð ïî ôîðìóëå Q=
N P i=1
mi Vi =
N P i=1
mi r˙ i ,
ãäå mi , Vi , ri ìàññà, ñêîðîñòü è ðàäèóñ-âåêòîð îòäåëüíîé òî÷êè.
Èìïóëüñ (êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè [1, ñ. 55], [37, ñ. 48]. Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Q = mV = m˙r, ãäå m, V, r ìàññà, ñêîðîñòü è ðàäèóñâåêòîð òî÷êè.
17
Èíâîëþöèîííàÿ ñèñòåìà (ñèñòåìà â èíâîëþöèè) ôóíêöèé [13, ñ. 301], [23, ò. 2, ñ. 547], [36, ñ. 212]. Ñèñòåìà ôóíêöèé ϕi (t, q, p), i = 1, m, ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ, äëÿ ñêîáîê Ïóàññîíà êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ (ϕi , ϕj ) = 0, i, j = 1, m.
Èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷¼òà [1, ñ. 44], [37, ñ. 48]. Ñèñòåìà, â êîòîðîé òî÷êà äâèæåòñÿ V = r˙ = const.
èçîëèðîâàííàÿ ìàòåðèàëüíàÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ:
Èíòåãðàë ïëîùàäåé [22, ñ. 242], [37, ñ. 64]. Ñîõðàíåíèå
ïðèâåä¼ííîãî ìîìåíòà èìïóëüñà ïðè äâèæåíèè ïîä âîçäåéñòâèåì öåíòðàëüíîé ñèëû (ñì. âòîðîé çàêîí Êåïëåðà).
Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò [1, ñ. 302], [36, ñ. 171]. Îïðåäå-
ë¼ííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ, íå ìåíÿþùèé ñâîåãî çíà÷åíèÿ ïðè ïåðåíîñå îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåë¼ííûì îáðàçîì ñîãëàñîâàííî ñ ôàçîâûì ïîòîêîì ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.
Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò Ïóàíêàðå [1, ñ. 306], n H P [36, ñ. 173]. Êîíòóðíûé èíòåãðàë pi δqi , íå ìåíÿþC i=1
ùèé ñâîåãî çíà÷åíèÿ ïðè ïåðåíîñå êîíòóðà C â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ôàçîâûì ïîòîêîì ëþáîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.
Èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò Ïóàíêàðå-Êàðòàíà [1,· ñ. 305], [36, ñ. 172] . Êîíòóðíûé èíòåãðàë ¸ n H P
C
i=1
pi δqi − Hδt : ïî ëþáûì äâóì ñîãëàñîâàííûì êîí-
òóðàì C0 è C1 , îõâàòûâàþùèì òðóáêó ïðÿìûõ ïóòåé, èíòåãðàë ïðèíèìàåò îäíî è òî æå çíà÷åíèå. Òðóáêà ïîðîæäàåòñÿ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà H , âõîäÿùåé â ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå,
18
Èíòåãðèðóåìàÿ äèôôåðåíöèàëüíàÿ ñâÿçü [1, ñ. 153], [36, ñ. 21]. Óðàâíåíèå äèôôåðåíöèàëüíîé ñâÿçè fl (t, ri , Vi ) = 0 äîïóñêàåò ýêâèâàëåíòíóþ çàìåíó óðàâíåíèåì ãåîìåòðè÷åñêîé ñâÿçè. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå V1 − V2 = 0 çàìåíÿåòñÿ óðàâíåíèåì r1 − r2 − c = 0.
Èíòåðïðåòàöèÿ Ïóàíñî [22, ñ. 198], [30, ñ. 525], [22, ñ. 198], [37, ñ. 105]. Èíòåðïðåòèðóåò äâèæåíèå òâ¼ðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé â ñëó÷àå Ýéëåðà.  íà÷àëå äâèæåíèÿ îáðàçóåòñÿ ïëîñêîñòü, êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñîèäó èíåðöèè â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà íà÷àëüíîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ.  äàëüíåéøåì ïëîñêîñòü çàíèìàåò íåèçìåííîå ïîëîæåíèå, à ýëëèïñîèä èíåðöèè ñ íåïîäâèæíûì öåíòðîì êàòàåòñÿ ïî íåé áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ.
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà. Òî æå, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà.
Êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå [1, ñ. 323], [36, ñ. 191]. Òà-
êîå íåîñîáåííîå ïðåîáðàçîâàíèå q˜ = q˜ (t, q, p), p˜ = p˜ (t, q, p) ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ, ÷òî óêàçàííàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ â ëþáîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ïðèâîäèò ê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå.
Êàñàòåëüíîå (òàíãåíöèàëüíîå) óñêîðåíèå [1, ñ. 17], [37, ñ. 91]. Ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà êàñàòåëüíóþ ê òðàåêòîðèè òî÷êè. Ïî âåëè÷èíå ðàâíî Wτ = dV /dt, ãäå V âåëè÷èíà ñêîðîñòè òî÷êè.
Êàñàòåëüíîé îðò. Ñì. îðò êàñàòåëüíîé. Êàñàòåëüíûé âåêòîð ê êîîðäèíàòíîé ëèíèè [22, ñ. 28], [37, ñ. 10] .  âûðàæåíèè ðàäèóñà-âåêòîðà ¡ ¢ r q10 , q2 , q30 ÷åðåç êðèâîëèíåéíûå (îáîáù¼ííûå) êîîðäèíàòû èçìåíÿåòñÿ òîëüêî îäíà êîîðäèíàòà, íàïðèìåð, q2 . Ê ïîñòðîåííîé êðèâîé (êîîðäèíàòíîé ëèíèè) â òî÷êå q10 , q20 , q30 ñòðîèòñÿ êàñàòåëüíûé âåêòîð Hi (q) = ∂ r (q)/∂qi .
19
Êâàòåðíèîí. Ñì. àëãåáðà êâàòåðíèîíîâ. ʼíèãà Ñ. ñèñòåìà. Ñì. ñèñòåìà ʼíèãà. ʼíèãà Ñ. òåîðåìà äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê [1, ñ. 174], [37, ñ. 57]. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ðàâíà T = m=
N P i=1
1 mVC2 + T îòí , ãäå 2
mi ñóììàðíàÿ ìàññà ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû,
VC ñêîðîñòü öåíòðà èíåðöèè C ñèñòåìû, T îòí êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ â ñèñòåìå ʼíèãà.
ʼíèãà Ñ. òåîðåìà äëÿ òâ¼ðäîãî òåëà [1, ñ. 174], [37, ñ. 58]. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òâ¼ðäîãî òåëà ðàâíà N P 1 1 mi ñóììàðíàÿ ìàññà mVC2 + Iω ω 2 , ãäå m = 2 2 i=1 ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, VC ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ C ñèñòåìû, ω âåëè÷èíà óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà, Iω ìîìåíò èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíîé âåêòîðó ω îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð ìàññ òåëà.
T =
Êåïëåðà È. âòîðîé çàêîí. Ñì. âòîðîé çàêîí Êåïëåðà. Êåïëåðà È. ïåðâûé çàêîí. Ñì. ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà. Êåïëåðà È. òðåòèé çàêîí. Ñì. òðåòèé çàêîí Êåïëåðà. Êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà Ë. [1, ñ. 195], [37, ñ. 82]. Óðàâíåíèÿ p = ψ˙ sin θ sin ϕ + θ˙ cos ϕ, q = ψ˙ sin θ cos ϕ − θ˙ sin ϕ, r = ψ˙ cos θ + ϕ, ˙ èëè â íîðìàëüíîì âèäå
1 ψ˙ = (p sin ϕ + q cos ϕ) , sin θ ˙θ = p cos ϕ − q sin ϕ, ϕ˙ = r − (p sin ϕ + q cos ϕ) ctg θ,
20
ãäå îáîçíà÷åíî ψ , θ, ϕ óãëû Ýéëåðà, p, q, r ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè.
Êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ â ïàðàìåòðàõ Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà [33, ñ. 236], [37, ñ. 90]. Óðàâíåíèÿ ˙ λ0 λ˙ 1 λ˙ 2 λ˙ 3
λ0 0 −p −q −r 1 p 0 λ1 r −q = 2 q −r 0 p λ2 λ3 r q −p 0
,
ãäå λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ïàðàìåòðû Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà (êîîðäèíàòû êâàòåðíèîíà ), p, q, r ïðîåêöèè óãëîâîé ñêîðîñòè íà ãëàâíûå îñè èíåðöèè.
Êèíåìàòè÷åñêèé âèíò [22, ñ. 72], [37, ñ. 40]. Âèíò, ïîñòðîåííûé äëÿ ìíîæåñòâà óãëîâûõ ñêîðîñòåé.
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê [1, ñ. 56], [37, ñ. 55]. Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå N
1X mi Vi2 , ãäå mi , Vi ìàññà è ñêîðîñòü îòäåëüT = 2 i=1 íîé òî÷êè.
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òâ¼ðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé [1, ñ. 190], [37, ñ. 97]. Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîð3
X 1X Ikl ωk ωl , ãäå Ik , Ikl ýëåìåíòû Ik ωk2 − 2 k 0) óñòîé÷èâ, òî äëÿ åãî êîýôôèöèåíòîâ âûïîëíÿåòñÿ: a1 > 0, . . . , am > 0.
Íåïîòåíöèàëüíûå ñèëû. Ñèëû, íå ÿâëÿþùèåñÿ ïîòåíöèàëüíûìè.
Íåñòàöèîíàðíî çàäàííàÿ ñèñòåìà [36, ñ. 26]. Ïîëîæåíèÿ ri (t, q) òî÷åê ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû åñòü âåêòîð-ôóíêöèè íå òîëüêî îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò, íî è ÿâíî âðåìåíè t.
Íåñòàöèîíàðíûå ñâÿçè (ðåîíîìíûå ñâÿçè) [1, ñ. 153], [36, ñ. 21]. Îãðàíè÷åíèÿ fl (t, ri , Vi ) 6 0 íà äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ñîäåðæàùèå ÿâíî âðåìÿ t.
29
Íåòåðîâñêàÿ ñèììåòðèÿ. Ñì. âàðèàöèîííàÿ ñèììåòðèÿ. Íåóäåðæèâàþùàÿ ñâÿçü [1, ñ. 151], [36, ñ. 21]. Îãðàíè÷åíèå f (t, ri , Vi ) 6 0 òèïà íåðàâåíñòâà, íàëîæåííîå íà ñîñòîÿíèÿ òî÷åê ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
Íåóñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó [1, ñ. 223], [36, ñ. 84]. Ðåøå-
íèå x = 0 ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (x), x ∈ Rn , íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó, åñëè äëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ x (t − t0 , x0 ) âûïîëíÿåòñÿ: ∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃|x0 | < δ, ∃t1 > t0 , |x (t1 − t0 , x0 ) | > ε.
Íîðìà êâàòåðíèîíà [13, ñ. 34], [33, ñ. 39], [37, ñ. 84]. Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå ˜ =Λ ˜ ◦ Λ = λ2 + λ2 + λ2 + λ2 , Λ◦Λ 0 1 2 3 ˜ êâàòåðíèîí, ñîïðÿæ¼ííûé êâàòåðíèîíó Λ, λk ãäå Λ ïàðàìåòðû Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà.
Íîðìàëè îðò. Ñì. îðò íîðìàëè. Íîðìàëüíîå óñêîðåíèå Wn [1, ñ. 17], [37, ñ. 9]. Ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ íà íàïðàâëåíèå âåêòîðà êðèâèçíû K (íàïðàâëåíèå îðòà íîðìàëè n). Íîðìàëüíûå êîîðäèíàòû. Òî æå, ÷òî ãëàâíûå êîîðäèíàòû. Íîðìèðîâàííûé êâàòåðíèîí [33, ñ. 39], [37, ñ. 85]. Êâàòåðíèîí, íîðìà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå.
Íüþòîíà âòîðîé çàêîí. Ñì. âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Íüþòîíà ïåðâûé çàêîí. Ñì. ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà. Íüþòîíà òðåòèé çàêîí. Ñì. òðåòèé çàêîí Íüþòîíà. Îáëàñòü ïðèòÿæåíèÿ [28, ñ. 18], [36, ñ. 109]. Òàêàÿ
∆-îêðåñòíîñòü ðåøåíèÿ x ≡ 0 ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (x) , x ∈ Rn , ÷òî äëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ x (t − t0 , x0 ) âûïîëíÿåòñÿ: {|x0 | < ∆} ⇒ { lim x (t − t0 , x0 ) = 0}. t→∞
30
Îáîáù¼ííàÿ ñèëà [1, ñ. 134], [36, ñ. 15]. Ïîëîæåíèå ëþ-
áîé òî÷êè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû âûðàæåíî êàê ôóíêöèÿ ri (t, q) âðåìåíè è îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò. Îáîáù¼ííàÿ ñèëà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîîðäèíàòå qk , îïðåäåëÿåòñÿ ¶ Xµ ∂ ri , ãäå Fi ñèëà, ïðèëîâûðàæåíèåì Qk = Fi , ∂qk i æåííàÿ ê òî÷êå ri . Ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå: êîýôôèöèåíò ïðè δqk â ýëåìåíòàðíîé ðàáîòå P P δA = (Fi , δ ri ) = Qk δqk i
k
íà âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèÿõ ñèñòåìû.
Îáîáù¼ííî êîíñåðâàòèâíàÿ ñèñòåìà [1, ñ. 272], [36, ñ. 140]. Ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà, ó êîòîðîé ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H (q, p) ÿâíî íå çàâèñèò îò âðåìåíè t. Îáîáù¼ííî êîíñåðâàòèâíàÿ ñèñòåìà ïîðîæäàåò ïåðâûé èíòåãðàë H (q, p) = c ñîîòâåòñòâóþùåé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.
Îáîáù¼ííûå èìïóëüñû pi [1, ñ. 267], [36, ñ. 135]. Îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ôóíêöèþ Ëàãðàíæà : ∂L (t, q, q) ˙ . pi = ∂ q˙i
Îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû qi [1, ñ. 156], [36, ñ. 19]. Êîîðäè-
íàòû q1 , . . . , qn , îïðåäåëÿþùèå äîïóñòèìûå íàëîæåííûìè íà ñèñòåìó ñâÿçÿìè ïîëîæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû è óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì: 1) ÷èñëà q1 , . . . , qn â ìîìåíò âðåìåíè t íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ïîëîæåíèÿìè, äîïóñòèìûìè ñâÿçÿìè; 2) êîîðäèíàòû q1 , . . . , qn íåçàâèñèìû ìîæíî èçìåíÿòü îäíó èç íèõ ïðè ôèêñèðîâàííûõ äðóãèõ; 3) ïðè èçìåíåíèè îäíîé êîîðäèíàòû qj â ïðîñòðàíñòâå, â êîòîðîì çàäà¼òñÿ ïðîèçâîëüíîå ïîëîæåíèå ñèñòåìû, âû÷åð÷èâàåòñÿ êîîðäèíàòíàÿ ëèíèÿ è êàñàòåëüíûé âåêòîð Hj ê íåé â òî÷êå q 0 , âåêòîðû H1 , . . . , Hn äîëæíû áûòü ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
31
Îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè q˙i [1, ñ. 156], [36, ñ. 25]. Ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè t îò îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò qi .
Îáîáù¼ííûé ïîòåíöèàë [1, ñ. 161], [36, ñ. 55]. Ôóíêöèÿ V (t, q, q) ˙ , ñâÿçàííàÿ ñ îáîáù¼ííûìè ñèëàìè Qk ñëåäóþd ∂V ∂V ùèì âûðàæåíèåì: Qk = − . dt ∂ q˙k ∂qk
Îáðàòíàÿ çàäà÷à ëàãðàíæåâà ôîðìàëèçìà [36, ñ. 57]. Âîçìîæíî ëè êîíêðåòíóþ ñèñòåìó îáûêíî-
âåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ýêâèâàëåíòíî (íå ìåíÿÿ ìíîæåñòâà ðåøåíèé) çàìåíèòü óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà? Ïðè ïîëîæèòåëüíîì îòâåòå ñäåëàòü ýòó çàìåíó.
Îáðàòíûå òåîðåìû òåîðèè èíòåãðàëüíûõ èíâàðèàíòîâ [1, ñ. 308], [36, ñ. 173]. Òåîðåìû óòâåðæäàþò: åñëè äëÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â íîðìàëüíîì âèäå èìååò ìåñòî èíâàðèàíòíîñòü èíòåãðàëà Ïóàíêàðå (èëè Ïóàíêàðå-Êàðòàíà ), òî ñèñòåìà óðàâíåíèé ãàìèëüòîíîâà.
Îáùåå óðàâíåíèå äèíàìèêè [8, ñ. 23], [13, ñ. 75]. Äëÿ ìå-
õàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè ñïðàâåäëèâî äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå N P (mi Wi − Fi , δ ri ) = 0, i=1
ãäå mi ìàññà îòäåëüíîé òî÷êè, Wi óñêîðåíèå òî÷êè, Fi àêòèâíàÿ ñèëà, ïðèëîæåííàÿ ê òî÷êå, δ ri ïðîèçâîëüíîå âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå èç ýòîé òî÷êè.
Îáùåå óðàâíåíèå ñòàòèêè (ïðèíöèï âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé) [1, ñ. 214], [22, ñ. 115]. Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ èäåàëüíûìè ñâÿçÿìè íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ r0i òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â ïîëîæåíèè r0i N P ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå (Fi , δ ri ) = 0, ãäå Fi àêòèâi=1
32
íûå ñèëû, ïðèëîæåííûå ê òî÷êàì r0i , δ ri ïðîèçâîëüíîå âèðòóàëüíîå ïåðåìåùåíèå èç r0i .
Îäíîìåðíîå òåëî [36, ñ. 7]. Òâ¼ðäîå òåëî, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò îäíîìåðíàÿ âûïóêëàÿ îáîëî÷êà.
Îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé _ [13, ñ. 218], [36, ñ. 152]. Îáùåå ðåøåíèå _ x = x (x, t) ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ àâòîíîìíûõ ¡_¢ _ (ñòàöèîíàðíûõ) óðàâíåíèé â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ x , _ _ x ∈ Rn , ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ x (0) = x. Âîçìîæåí ïåðåõîä ê äðóãîìó ïàðàìåòðó t = f (τ ).
Îêîëüíûé ïóòü [1, ñ. 288], [36, ñ. 144]. Ãðàôèê äâèæåíèÿ
â îäíîì èç ïðîñòðàíñòâ (êîîðäèíàòíîì, ðàñøèðåííîì êîîðäèíàòíîì è ò. ä.), íå ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé äèíàìèêè (óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà è ò. ä.).
Îïðåäåë¼ííî-äèññèïàòèâíàÿ ñèñòåìà. Ñì. äèññèïàòèâíàÿ ñèñòåìà.
Îïðåäåë¼ííî-îòðèöàòåëüíàÿ (îòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ) ôóíêöèÿ [22, ñ. 535], [28, ñ. 10], [36, ñ. 85]. Äëÿ ôóíêöèè â íåêîòîðîé ½ îáëàñòè, ñîäåðæàùåé òî÷êó x = 0, âûïîëíÿåòñÿ V (x)
= 0, x = 0, < 0, x = 6 0.
Îïðåäåë¼ííî-ïîëîæèòåëüíàÿ (ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ) ôóíêöèÿ [22, ñ. 535], [28, ñ. 10], [37, ñ. 85]. Äëÿ ôóíêöèè â íåêîòîðîé½ îáëàñòè, ñîäåðæàùåé òî÷êó x = 0, âûïîëíÿåòñÿ V (x)
33
= 0, x = 0, > 0, x = 6 0.
Îïðåäåëèòåëü Ãóðâèöà [1, ñ. 227], [36, ñ. 119]. Ñòðîèòñÿ ïî êîýôôèöèåíòàì ìíîãî÷ëåíà a0 λm + a1 λm−1 + · · · + am−1 λ + am : ¯ ¯ ¯ a1 a3 a5 a7 . . . . . . . . . ¯ 0 ¯ ¯ ¯ a0 a2 a4 a6 . . . . . . . . . . ¯¯ ¯ ¯ 0 a1 a3 a5 . . . . . . . . . . ¯¯ ¯ ¯ 0 a a a ......... . ¯¯ 0 2 4 ¯ ¯ ¯ ∆m = ¯ 0 0 a a . . . . ¯¯ . 1 3 ¯ ¯ ¯ .. ¯ 0 0 a0 a2 . . ¯¯ ¯ ¯ .. ¯ .. .. .. .. ¯ . . . ¯¯ . . . ¯ ¯ 0 0 0 0 ......... am ¯
Ðàçìåð îïðåäåëèòåëÿ ñîâïàäàåò ñî ñòåïåíüþ m ìíîãî÷ëåíà (ñì. ãëàâíóþ äèàãîíàëü).
Îðò áèíîðìàëè b [1, ñ. 16], [37, ñ. 7]. Ââîäèòñÿ òàê, ÷òîáû âìåñòå ñ îðòîì êàñàòåëüíîé τ è îðòîì íîðìàëè n òðè âåêòîðà {τ , n, b} ïðåäñòàâëÿëè ñîáîé ïðàâûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ: b=[τ ,n]. Îðò ãëàâíîé íîðìàëè (îðò íîðìàëè) n [1, ñ. 16], [37, ñ. 7]. Íàïðàâëåí ê öåíòðó êðèâèçíû òðàåêòîðèè òî÷êè öåíòðó îêðóæíîñòè, àïïðîêñèìèðóþùåé òðàåêòîðèþ â äàííîé òî÷êå. Îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé K = dτ /ds = K n = n/ρ, ãäå K âåêòîð êðèâèçíû, Ê åãî âåëè÷èíà, ρ ðàäèóñ êðèâèçíû (ðàäèóñ àïïðîêñèìèðóþùåé îêðóæíîñòè), s äëèíà äóãè òðàåêòîðèè.
Îðò êàñàòåëüíîé τ [1, ñ. 16], [37, ñ. 7]. Îðò, ðàñïîëîæåííûé íà êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè òî÷êè. Îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé τ = dr (s) /ds, ãäå r (s) ðàäèóñ-âåêòîð êàê ôóíêöèÿ äëèíû äóãè s.
Îðò íîðìàëè. Ñì. îðò ãëàâíîé áèíîðìàëè. 34
Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò [22, ñ. 28], [37, ñ. 11]. Ñèñòåìà, ó êîòîðîé âåêòîðû ëîêàëüíîãî áàçèñà ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ [13, ñ. 15], [37, ñ. 9]. Â ïðî-
ñòðàíñòâå ôèêñèðóþòñÿ òàêèå ÷åòûðå òî÷êè O, A1 , A2 , A3 , ÷òî äëÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ik = OAk âûïîëíÿåòñÿ ½ 1, k = l, (ik , il ) = δkl = 0, k 6= l.
Îñíîâíîé êðèòåðèé êàíîíè÷íîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ [8, ñ. 131], [36, ñ. 193]. Ïðåîáðàçîâàíèå q˜ = q˜ (t, q, p), p˜ = p˜ (t, q, p) ÿâëÿåòñÿ êàíîíè÷åñêèì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóþò òàêàÿ âàëåíòíîñòü c = const è òàêàÿ ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ F, ÷òî â ñèëó ïðåîáðàçîâàíèÿ q, p ↔ q˜, p˜ ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî µn ¶ n P P ˜ p˜i d˜ qi − Hdt = c pi dqi − Hdt − dF . i=1
i=1
Îñü âèíòà (îñü ìèíèìàëüíûõ ìîìåíòîâ, öåíòðàëüíàÿ îñü) [1, ñ. 355], [37, ñ. 39]. Ãëàâíûé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî òî÷åê ýòîé îñè ðàñïîëîæåí íà ýòîé îñè.
Îñü äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè â òî÷êå O òâ¼ðäîãî òåëà [1, ñ. 200], [37, ñ. 96]. Ýëëèïñîèä èíåðöèè â òî÷êå O ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ âîêðóã ýòîé îñè.
Îñü ìèíèìàëüíûõ ìîìåíòîâ. Òî æå, ÷òî îñü âèíòà. Îòäåëèìàÿ êîîðäèíàòà [8, ñ. 142], [37, ñ. 142]. Îáîáù¼ííàÿ
êîîðäèíàòà qk íàçûâàåòñÿ îòäåëèìîé, åñëè îò íå¼ è îò ñîîòâåòñòâóþùåãî åé îáîáù¼ííîãî èìïóëüñà pk ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà çàâèñèò ñëåäóþùèì îáðàçîì: H (t, z, q1 , . . . , qk−1 , qk+1 , . . . , qn , p1 , . . . , pk−1 , pk+1 , . . . , pn ), z = f (qk , pk ). Îòäåëèìàÿ êîîðäèíàòà ïîðîæäàåò ïåðâûé èíòåãðàë f (qk , pk ) = c ñîîòâåòñòâóþùåé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.
35
Îòêëèê ñèñòåìû. Òî æå, ÷òî âûíóæäåííîå äâèæåíèå. Îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü Vîòí (Vr ) [1, ñ. 32], [37, ñ. 23]. Ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå [1, ñ. 31], [37, ñ. 22]. Äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Îòíîñèòåëüíîå óñêîðåíèå Wîòí (Wr ) [1, ñ. 33], [37, ñ. 23]. Óñêîðåíèå îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Îòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ. Òî æå, ÷òî îïðåäåë¼ííîîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Îòðèöàòåëüíî ïîñòîÿííàÿ (îòðèöàòåëüíî ïîëóîïðåäåë¼ííàÿ) ôóíêöèÿ [22, ñ. 535], [28, ñ. 11], [36, ñ. 85]. Äëÿ ôóíêöèè â íåêîòîðîé ½ îáëàñòè, ñîäåðæàùåé òî÷êó x = 0, âûïîëíÿåòñÿ V (x)
= 0, x = 0, 6 0, x = 6 0.
Ïàðà [1, ñ. 364], [34, ñ. 17], [37, ñ. 36]. Äâà âåêòîðà a è −a, ðàñïîëîæåííûå íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ.
Ïàðàìåòðû Ðîäðèãà-Ãàìèëüòîíà [33, ñ. 28], [37, ñ. 85]. Êîýôôèöèåíòû λ0 , λ1 , λ2 , λ3 ðàçëîæåíèÿ Λ = λ0 +
3 P
k=1
λk ik êâàòåðíèîíà ïî áàçèñó i1 , i2 , i3 , ñâÿ-
˜ çàííîìó ñ ñèñòåìîé îòñ÷¼òà. Ïî ôîðìóëå ek = Λ ◦ ik ◦ Λ çàäàþò ïîëîæåíèå îðòîâ e1 , e2 , e3 , ñâÿçàííûõ ñ òåëîì.
Ïàðàìåòðû ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè [1, ñ. 207], [34, ñ. 191], [37, ñ. 29]. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ, óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðåöåññèè, óãîë íóòàöèè.
Ïàðà ÷èñòûõ (ìãíîâåííûõ) âðàùåíèé [1, ñ. 373], [34, ñ. 39], [37, ñ. 32]. Ïàðà óãëîâûõ ñêîðîñòåé ω è −ω , çàäàþùèõ ÷èñòûå (ìãíîâåííûå) âðàùåíèÿ. Ýêâèâàëåíòíà ïîñòóïàòåëüíîìó äâèæåíèþ.
36
Ïåðâûé çàêîí Êåïëåðà [1, ñ. 93], [22, ñ. 246], [37, ñ. 68]. Ïëàíåòû äâèæóòñÿ ïî ýëëèïñàì, â ôîêóñàõ êîòîðûõ íàõîäèòñÿ Ñîëíöå.
Ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà [1, ñ. 45], [22, ñ. 87], [37, ñ. 48] Èçîëèðîâàííàÿ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ.
Ïåðâûé èíòåãðàë [1, ñ. 273], [22, ñ. 160], [36, ñ. 137].
Ôóíêöèÿ f (t, x), êîòîðàÿ ïðè ïîäñòàíîâêå â íå¼ ëþáîãî ðåøåíèÿ x (t) ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (t, x), x ∈ Rn , ñîõðàíÿåò êàê ôóíêöèÿ t ñâî¼ çíà÷åíèå: f (t, x (t)) = f (t0 , x0 ) = const.
Ïåðåìåííûå Ãàìèëüòîíà. Òî æå, ÷òî ãàìèëüòîíîâû ïåðåìåííûå.
Ïåðåìåííûå Ëàãðàíæà. Òî æå, ÷òî ëàãðàíæåâû ïåðåìåííûå.
Ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ [36, ñ. 5]. Ïåðåìåííûå, îïðåäåëÿ-
þùèå â ñîâîêóïíîñòè ñîñòîÿíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñèñòåìû: îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû qi , îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè q˙i èëè îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû qi , îáîáù¼ííûå èìïóëüñû pi .
Ïåðåíîñíàÿ ñèëà èíåðöèè [1, ñ. 107], [37, ñ. 49]. Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Jïåð = −mWïåð , ãäå m ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, Wïåð ïåðåíîñíîå óñêîðåíèå. Ïåðåíîñíàÿ ñêîðîñòü Vïåð (Ve ) [1, ñ. 31], [37, ñ. 23].
Ñêîðîñòü ïðè äâèæåíèè ñîâìåñòíî ñ ïîäâèæíûì ïðîñòðàíñòâîì (â êà÷åñòâå òî÷êè òâ¼ðäîãî òåëà ).
Ïåðåíîñíîå äâèæåíèå [1, ñ. 31], [37, ñ. 22]. Äâèæåíèå ïîäâèæíîãî ïðîñòðàíñòâà.
37
Ïåðåíîñíîå óñêîðåíèå W (We ) [1, ñ. 33], [37, ñ. 23]. Óñêîðåíèå ïðè äâèæåíèè ñîâìåñòíî ñ ïîäâèæíûì ïðîñòðàíñòâîì (â êà÷åñòâå òî÷êè òâ¼ðäîãî òåëà ).
Ïåðåõîäíîé ïðîöåññ [12, ñ. 41], [36, ñ. 133]. Íà ñèñòåìó
â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ïîäà¼òñÿ âõîäíîå âîçäåéñòâèå ½ = 0, t < 0, åäèíè÷íàÿ ñòóïåíüêà: Q (t) Ïåðåõîäíîé = 1, t > 0. ïðîöåññ äâèæåíèå ñèñòåìû äëÿ çíà÷åíèé t > 0, áëèçêèõ ê t = 0 (äî âûõîäà íà óñòàíîâèâøèéñÿ ïðîöåññ ).
Ïåðèîä ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ [6, ÷. 1, ñ. 59], [32, ñ. 530]. Íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, ÷åðåç êî-
òîðûé ñèñòåìà, ñîâåðøàþùàÿ êîëåáàíèå x = A sin (ωt + α), âîçâðàùàåòñÿ â íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå. 2π Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå T = . ω Ïëå÷î ïàðû [1, ñ. 364], [34, ñ. 17], [37, ñ. 36]. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè, íà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ýëåìåíòû a è −a ïàðû.
Ïëîñêîå äâèæåíèå [1, ñ. 36], [34, ñ. 44], [37, ñ. 54]. Äâèæåíèå äâóìåðíîãî òâ¼ðäîãî òåëà â ïëîñêîñòè.
Ïëîñêîïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå [1, ñ. 36], [34, ñ. 44], [37, ñ. 54]. Äâèæåíèå êàæäîé òî÷êè òâ¼ðäîãî òåëà ñî-
âåðøàåòñÿ â ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíîé ôèêñèðîâàííîé ïëîñêîñòè.
Ïëîòíîñòü ñòàòèñòè÷åñêîãî àíñàìáëÿ [1, ñ. 311], µ [8, ñ. 127], [36, ñ. 184]. ρ = , ãäå v âåëè÷èíà ìàëîãî v îáú¼ìà â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, µ êîëè÷åñòâî íàõîäÿùèõñÿ â îáú¼ìå ýêçåìïëÿðîâ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíñàìáëÿ.
Ïîäâèæíîå ïðîñòðàíñòâî [1, ñ. 30], [37, ñ. 22]. Â ñëîæíîì
äâèæåíèè ïîäâèæíîå ïðîñòðàíñòâî ïåðåìåùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà (ïåðåíîñíîå äâèæåíèå ), â ïî-
38
äâèæíîì ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåùàþòñÿ ìàòåðèàëüíûå òî÷êè (îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå ).
Ïîëå âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ (íüþòîíîâñêîå ãðàâèòàöèîííîå ïîëå) [1, ñ. 90], [22, ñ. 98], [37, ñ. 67]. Ïîëå ñ
ïîòåíöèàëüíîé
ýíåðãèåé
Π
=
−γ
Mm , r
ãäå
ñì3 γ = 6.67 · 10−8 óíèâåðñàëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ òÿãîã · ñåê2 òåíèÿ, M ìàññà ðàñïîëîæåííîãî â íåïîäâèæíîé òî÷êå Ñîëíöà, m ìàññà ñîâåðøàþùåé äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, r ðàññòîÿíèå òî÷êè äî Ñîëíöà.
Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ [1, ñ. 78], [37, ñ. 61]. Âû-
÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå E = T + Π , ãäå T , Π êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè.
Ïîëíûé [1,
èíòåãðàë óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè ñ. 335], [37, ñ. 220]. Ðåøåíèå
S (t, q1 , . . . , qn , α1 , . . . , αn ) óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè (q1 , . . . , qn îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû, α1 , . . . , αn ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ ° ° 2 ° ∂ S (t, q, α) ° ° det ° ° ∂qi ∂αk ° 6= 0.
Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ [1, ñ. 214], [36, ñ. 71]. Ïîëîæåíèå
ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ, åñëè òî÷êè ñèñòåìû, ïîìåùåííûå â ýòî ïîëîæåíèå ñ íóëåâûìè ñêîðîñòÿìè, ïðîäîëæàò îñòàâàòüñÿ â ýòîì ïîëîæåíèè.
Ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ. Òî æå, ÷òî îïðåäåë¼ííîïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïîëîæèòåëüíî ïîñòîÿííàÿ (ïîëîæèòåëüíî ïîëóîïðåäåë¼ííàÿ) ôóíêöèÿ [22, ñ. 535], [28, ñ. 11], [36, ñ. 85]. Äëÿ ôóíêöèè â íåêîòîðîé îáëàñòè, ñîäåð-
39
½
= 0, x = 0, > 0, x = 6 0. ¡ ¢ Ïîëóãëàâíàÿ ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà V t, q, p0 [36, ñ. 211]. Äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó ¢ Rt ¡ W = L s, q(s, q 0 , p0 ), q(s, ˙ q 0 , p0 ) ds t0 ¡ ¢ ¡ ¢ âû÷èñëÿåòñÿ íà îáùåì ðåøåíèè q t, q 0 , p0 , p t, q 0 , p0 óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.  ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ ïîäñòàâëÿåòñÿ ¡íàéäåííàÿ èç îáùåãî ðåøåíèÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ¢ q 0 = q 0 t, q, p0 . æàùåé òî÷êó x = 0, âûïîëíÿåòñÿ V (x)
Ïîëóñâîáîäíîå êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå [36, ñ. 202]. Êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå , óäîâëåòâîðÿ° ° ° ∂ p˜i (t, q, p) ° ° 6= 0. þùåå óñëîâèþ det ° ° ° ∂p k
Ïîñòóëàò Ìàêñâåëëà [5, ñ. 115], [20, ñ. 114], [36, ñ. 69]. Ïîâåäåíèå ýëåêòðîìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îï-
ðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà, â êîòîðûå ïîäñòàâëåíû ôóíêöèè: êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ Ðåëåÿ, îáîáù¼ííûå ñèëû, ñîîòâåòñòâóþùèå íåïîòåíöèàëüíûì è íåäèññèïàòèâíûì ñèëàì. Âñå óêàçàííûå ôóíêöèè åñòü ñóììû ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé ÷àñòè ñèñòåìû è äëÿ ìåõàíè÷åñêîé.
Ïîëþñ [22, ñ. 50]. Ïðîèçâîëüíàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà òâ¼ðäîãî òåëà.
Ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå òâ¼ðäîãî òåëà [1, ñ. 22], [37, ñ. 32]. Äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ñâÿçàííàÿ ñ òåëîì, ïåðåìåùàåòñÿ ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ñèëà [1, ñ. 60], [37, ñ. 60]. Ñèëà Fi (t, r1 , . . . , rN ), äåéñòâóþùàÿ íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó, îïðåäåë¼ííóþ ðàäèóñ-âåêòîðîì ri , íàçûâàåòñÿ ïîòåíöè-
àëüíîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ
40
Π (t, r1 , . . . , rN ) ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà Fi (t, r1 , . . . , rN ) = − gradi Π (t, r1 , . . . , rN ) = = −∇i Π (t, r1 , . . . , rN ), ãäå gradi Π (t, r1 , . . . , rN ) = ∇i Π (t, r1 , . . . , rN ) ãðàäèåíò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïî ïåðåìåííûì, ñîîòâåòñòâóþùèì ðàäèóñ-âåêòîðó ri .
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ [1, ñ. 60], [37, ñ. 60]. Ôóíêöèÿ Π (t, r1 , . . . , rN ), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåò ïîòåíöèàëüíûå ñèëû Fi (t, r1 , . . . , rN ), äåéñòâóþùèå íà ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, îïðåäåë¼ííûå ðàäèóñ-âåêòîðàìè ri . Ïîòåíöèàëüíîå ñèëîâîå ïîëå [1, ñ. 60], [37, ñ. 60]. Ñè-
ëîâîå ïîëå, â êîòîðîì îïðåäåëÿþùàÿ ïîëå ñèëà ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé.
Ïðèâåä¼ííûé êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò (èíòåãðàë ïëîùàäåé) [22, ñ. 242], [37, ñ. 64]. Ñîõðàíÿþùàÿñÿ âî âðåìÿ K0 = r2 ϕ˙ , äâèæåíèÿ â öåíòðàëüíîì ïîëå âåëè÷èíà c = m ãäå K0 êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò îòíîñèòåëüíî öåíòðà ïîëÿ, m ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, r, ϕ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû.
Ïðèëîæåííûé âåêòîð [1, ñ. 351], [37, ñ. 36]. Âåêòîð ñ ôèêñèðîâàííîé íà÷àëüíîé òî÷êîé.
Ïðèíöèï âèðòóàëüíûõ ïåðåìåùåíèé. Òî æå, ÷òî îáùåå óðàâíåíèå ñòàòèêè.
Ïðèíöèï âîçìîæíûõ ïåðåìåùåíèé. Òî æå, ÷òî êðèòåðèé ðàâíîâåñèÿ ñòàöèîíàðíî çàäàííîé ñèñòåìû.
Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà. Òî æå, ÷òî âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà.
Ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà-Îñòðîãðàäñêîãî. Òî æå, ÷òî âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà.
41
Ïðèíöèï Ìîïåðòþè-Ëàãðàíæà [1, ñ. 344], [36, ñ. 178]. Ïóòü q˜ (q1 ) â êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðè ëþáîì âàðüèðîâàíèè q (q1 , α) ïðè íåèçìåííûõ ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ äëÿ âàðèàöèè äåéñòâèÿ ïî Ëàãðàíæó âûïîëíÿåòñÿ δW ∗ |α=0 = 0.
Ïðèíöèï ñòàöèîíàðíîãî äåéñòâèÿ Ãàìèëüòîíà. Òî æå, ÷òî âàðèàöèîííûé ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà.
Ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè [1, ñ. 248], [36, ñ. 129]. Åñëè âíåø-
íèì âîçäåéñòâèÿì Qα (t) íà ëèíåéíóþ ñèñòåìó ñîîòâåòñòâóþò îòêëèêè q α (t), òî P âíåøíåìó âîçäåéñòâèþ P α q α (t). Q (t) ñîîòâåòñòâóåò îòêëèê α
α
Ïðîâàðüèðîâàòü ôóíêöèþ. Òî æå, ÷òî âàðüèðîâàíèå ôóíêöèè.
Ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ êàíîíè÷åñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ [1, ñ. 329], [36, ñ. 193]. Ôóíêöèÿ F â îñíîâíîì êðèòåðèè êàíîíè÷íîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ.
Ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî) [1, ñ. 213], [36, ñ. 4]. 2n-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ êîîðäèíà-
òàìè q1 , . . . , qn , q˙1 , . . . , q˙n (îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû, îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè ) èëè ñ êîîðäèíàòàìè q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn (îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû, îáîáù¼ííûå èìïóëüñû ). Äëÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â íîðìàëüíîì âèäå ïðîñòðàíñòâî ñ êîîðäèíàòàìè x1 , . . . , xn .
Ïðÿìîé ïóòü [1, ñ. 286], [36, ñ. 144]. Ãðàôèê äâèæåíèÿ â
îäíîì èç ïðîñòðàíñòâ (êîîðäèíàòíîì, ðàñøèðåííîì êîîðäèíàòíîì è ò. ä.) ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé äèíàìèêè (óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà è ò. ä.).
42
Ïóàíñî èíòåðïðåòàöèÿ. Ñì. Èíòåðïðåòàöèÿ Ïóàíñî. Ðàáîòà ñèë [1, ñ. 58], [36, ñ. 56]. Ðàáîòà A12 ñèë Fi (t, r, r˙ ) íà ïóòè ri (t) ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê çà âðåìÿ t ∈ [t1 , t2 ] âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå A12 = =
N Rt2 P t1 i=1
N Rt2 P t1 i=1
(Fi , dri ) =
(Fi (t, r (t) , r˙ (t)) , Vi (t)) dt.
Ðàäèàëüíîå óñêîðåíèå Wr [26, ñ. 17], [37, ñ. 27]. Ïðîåê-
öèÿ óñêîðåíèÿ íà ðàäèóñ-âåêòîð. Âåëè÷èíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ðàâíà Wr = r¨ − ϕ˙ 2 r.
Ðàäèóñ êðèâèçíû [1, ñ. 17], [37, ñ. 7]. Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, àïïðîêñèìèðóþùåé êðèâóþ â äàííîé òî÷êå.
Ðàäèóñ-âåêòîð r [22, ñ. 21], [37, ñ. 6]. Íà÷àëüíàÿ òî÷êà íåïî-
äâèæíà â ñèñòåìå îòñ÷¼òà, êîíå÷íàÿ òî÷êà îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè Ãàìèëüòîíà-ßêîáè [22, ñ. 375], [36, ñ. 221].  êà÷åñòâå ïîëíîãî èíòåãðàëà ôóíêöèè S (t, q1 , . . . , qn , α1 , . . . , αn ) ìíîãèõ ïåðåìåííûõ îòûñêèâàåòñÿ êîìáèíàöèÿ ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îäíîé ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, àääèòèâíàÿ êîìáèíàöèÿ S = S0 (t, α) + S1 (q1 , α) + . . . + Sn (qn , α), ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ êîìáèíàöèÿ S = S0 (t, α) × S1 (q1 , α) × · · · × Sn (qn , α).
Ðàñøèðåííîå êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî [1, ñ. 214], [36, ñ. 4]. (n +1)-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî ñ êîîðäèíàòàìè t, q1 , . . . , qn (âðåìÿ, îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû).
Ðàñøèðåííîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé (ðàñøèðåííîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî) [1, ñ. 214], [36, ñ. 4]. (2n +1)ìåðíîå
ïðîñòðàíñòâî
43
ñ
êîîðäèíàòàìè
t, q1 , . . . , qn , q˙1 , . . . , q˙n (âðåìÿ, îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû, îáîáù¼ííûå ñêîðîñòè ) èëè ñ êîîðäèíàòàìè t, q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn (âðåìÿ, îáîáù¼ííûå êîîðäèíàòû, îáîáù¼ííûå èìïóëüñû ).
Ðàñøèðåííîå ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî. Òî æå, ÷òî ðàñøèðåííîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé.
Ðåàêöèÿ ñâÿçåé [1, ñ. 159], [36, ñ. 36]. Ñèëû, áëàãîäàðÿ êîòîðûì âûïîëíÿþòñÿ íàëîæåííûå íà ñèñòåìó ìåõàíè÷åñêèå ñâÿçè.
Ðåàêöèÿ ñèñòåìû íà âíåøíåå âîçäåéñòâèå. Òî æå, ÷òî âûíóæäåííîå äâèæåíèå.
Ðåãóëÿðíàÿ ïðåöåññèÿ òâ¼ðäîãî òåëà [1, ñ. 207], [34, ñ. 191], [37, ñ. 29]. Ñëîæíîå äâèæåíèå, ïðè êîòîðîì ïîäâèæíîå ïðîñòðàíñòâî âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω ïåð (óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðåöåññèè), à îòíîñèòåëüíûì äâèæåíèåì ÿâëÿåòñÿ òàêæå âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω îòí (óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ). Îñè, âîêðóã êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò âðàùåíèÿ, ïåðåñåêàþòñÿ. Õàðàêòåðèçóåòñÿ ïàðàìåòðàìè ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè.
Ðåçàëÿ òåîðåìà [22, ñ. 76], [37, ñ. 8]. Äëÿ âåêòîðà a (t) = AB ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà da = a˙ = VB − VA , dt ãäå VA , VB ñêîðîñòè ãðàíè÷íûõ òî÷åê.
Ðåîíîìíûå ñâÿçè. Òî æå, ÷òî íåñòàöèîíàðíûå ñâÿçè. Ñâîáîäíîå äâèæåíèå òâ¼ðäîãî òåëà [1, ñ. 176], [37, ñ. 108]. Åäèíñòâåííûå ìåõàíè÷åñêèå ñâÿçè, íàëîæåííûå íà ïîëîæåíèÿ òî÷åê òåëà: ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè íåèçìåííî.
44
Ñâîáîäíîå êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå [1, ñ. 329], [36, ñ. 200]. Êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå , óäîâëåòâîðÿ° ° ° ∂ q˜i (t, q, p) ° ° 6= 0. þùåå óñëîâèþ det ° ° ° ∂p k
Ñâîáîäíûé âåêòîð [34, ñ. 9], [37, ñ. 36]. Íàïðàâëåííûé îòðåçîê ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ.
Ñåêòîðíàÿ ñêîðîñòü [22, ñ. 243], [37, ñ. 64]. Ñêîðîñòü çàìåòàíèÿ ïëîùàäè ðàäèóñ-âåêòîðîì.
Ñèëà [1, ñ. 90], [37, ñ. 48]. Ñèëîé, äåéñòâóþùåé íà ìàòå-
ðèàëüíóþ òî÷êó, (ìåðîé âçàèìîäåéñòâèÿ ñ äðóãèìè òî÷êàìè) íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè îò èìïóëüñà òî÷êè.
Ñèëà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ [1, ñ. 57], [37, ñ. 67]. Ñèëà
âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè ñ ìàññàìè m è M : mM F = −γ 3 r, r ãäå γ = 6.67 · 10−11 Í· ì2 · êã−2 âñåìèðíàÿ ïîñòîÿííàÿ, r âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò òî÷êè ñ ìàññîé M ê òî÷êå ñ ìàññîé m. Ïðèâåäåíà ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òî÷êó ñ ìàññîé m.
Ñèëà èíåðöèè [1, ñ. 107], [37, ñ. 49]. Ñèëà, êîòîðóþ äîïîëíèòåëüíî íóæíî ïðèëîæèòü ê ìàòåðèàëüíîé òî÷êå, ÷òîáû âòîðîé çàêîí Íüþòîíà áûë ñïðàâåäëèâ â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷¼òà
Ñèëà èíåðöèè êîðèîëèñîâà. Ñì. êîðèîëèñîâà ñèëà èíåðöèè. Ñèëà èíåðöèè ïåðåíîñíàÿ. Ñì. ïåðåíîñíàÿ ñèëà èíåðöèè. Ñèëà öåíòðàëüíàÿ [1, ñ. 62], [37, ñ. 63]. Äåéñòâóåò íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó è êîëëèíåàðíà åå ðàäèóñ-âåêòîðó.
Ñèëû âíåøíèå. Ñì. âíåøíèå ñèëû. Ñèëû âíóòðåííèå. Ñì. âíóòðåííèå ñèëû. 45
Ñèëîâàÿ ôóíêöèÿ [1, ñ. 60], [37, ñ. 630]. Ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ïî çíàêó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.
Ñèëîâîå ïîëå [1, ñ. 59], [37, ñ. 60]. Ñèëû Fi (t, r1 , . . . , rN ),
äåéñòâóþùèå íà îòäåëüíûå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, íå çàâèñÿò îò ñêîðîñòåé òî÷åê.
Ñèíõðîííûé äèôôåðåíöèàë [22, ñ. 38]. Òî æå, ÷òî èçîõðîííûé äèôôåðåíöèàë.
Ñèñòåìà â èíâîëþöèè. Òî æå, ÷òî èíâîëþöèîííàÿ ñèñòåìà. Ñèñòåìà Êåíèãà [34, ñ. 156], [37, ñ. 57]. Ñèñòåìà (òð¼õìåð-
íîå ïðîñòðàíñòâî) äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî, îäíà èç å¼ òî÷åê ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì èíåðöèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Ñèñòåìà êîíñåðâàòèâíàÿ. Ñì. êîíñåðâàòèâíàÿ ñèñòåìà. Ñèñòåìà ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ [1, ñ. 218], [36, ñ. 127]. Ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (x) , x ∈ Rn , ϕ (0) = 0, ðàñêëàäûâàþò â ðÿäû â îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ x = 0 è îñòàâëÿþò òîëüêî ëèíåéíûå ñëàãàåìûå.
Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê [1, ñ. 43], [37, ñ. 50]. Ñèñòåìà ñîñòîèò èç N > 1 ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â íîðìàëüíîì âèäå (â íîðìàëüíîé ôîðìå Êîøè) [11, ñ. 9], [36, ñ. 35]. Ñèñòåìà x˙ = ϕ (t, x), x ∈ Rn , ó êîòîðîé â ëåâîé ÷àñòè íàõîäÿòñÿ ïðîèçâîäíûå, â ïðàâîé ÷àñòè ôóíêöèè îò íåçàâèñèìîé è çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.
Ñèñòåìà îòñ÷¼òà [1, ñ. 11], [37, ñ. 9]. Òð¼õìåðíîå åâêëèäîâî
ïðîñòðàíñòâî, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ñîâåðøàåò äâèæåíèå ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà.
Ñèñòåìà îòñ÷¼òà èíåðöèàëüíàÿ. Ñì. èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷¼òà.
46
Ñèñòåìà îòñ÷¼òà íåèíåðöèàëüíàÿ. Ñì. íåèíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷¼òà.
Ñèñòåìà ïåðåìåííîãî ñîñòàâà [1, ñ. 110], [37, ñ. 72]. Ñè-
ñòåìà, ó êîòîðîé âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ïðîèñõîäèò ïðèõîä è óõîä ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Ñêàëÿðíàÿ ÷àñòü êâàòåðíèîíà [33, ñ. 14], [37, ñ. 83]. ×àñòü λ0 êâàòåðíèîíà Λ = λ0 + λ1 i1 + λ2 i2 + λ3 i3 = λ0 + λ.
Ñêàëÿðíûé èíâàðèàíò [1, ñ. 355], [37, ñ. 39]. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (R, MO ) ãëàâíîãî âåêòîðà R íà ãëàâíûé ìîìåíò MO ìíîæåñòâà ñêîëüçÿùèõ âåêòîðîâ. Ñêëåðîíîìíûå ñâÿçè (ñòàöèîíàðíûå ñâÿçè) [1, ñ. 153], [36, ñ. 21]. Ìåõàíè÷åñêèå ñâÿçè, óñëîâèÿ fl (ri , Vi ) 6 0 êîòîðûõ íå ñîäåðæàò ÿâíî âðåìåíè t.
Ñêîáêà Ëàãðàíæà [1, ñ. 327], [8, ñ. 159]. Ñîïîñòàâëåíèå ôóíêöèÿì ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ϕi (t, q, p), ψi (t, q, p), i = 1, n, ôóíêöèèµ ¶ n P ∂ϕi ∂ψi ∂ϕi ∂ψi − . [qj , pk ] = ∂pk ∂qj i=1 ∂qj ∂pk
Ñêîáêà Ïóàññîíà [1, ñ. 274], [8, ñ. 87], [37, ñ. 138]. Ñîïî-
ñòàâëåíèå ôóíêöèÿì ãàìèëüòîíîâûõ ïåðåìåííûõ ϕ (t, q, p), ψ (t, q, p) ôóíêöèè ¶ µ n P ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ − . (ϕ, ψ) = ∂pi ∂qi i=1 ∂qi ∂pi
Ñêîëüçÿùèé âåêòîð [1, ñ. 351], [37, ñ. 36]. Íàïðàâëåííûé
îòðåçîê, êîòîðûé ìîæíî ïåðåìåùàòü âäîëü ëèíèè äåéñòâèÿ.
Ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè [1, ñ. 14], [37, ñ. 7]. Îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå V = dr/dt = r˙ , ãäå r ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè.
47
Ñëîæíîå äâèæåíèå [1, ñ. 30], [37, ñ. 22]. Ïîäâèæíîå ïðî-
ñòðàíñòâî ïåðåìåùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà (ïåðåíîñíîå äâèæåíèå ), â ïîäâèæíîì ïðîñòðàíñòâå ïåðåìåùàþòñÿ ìàòåðèàëüíûå òî÷êè (îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå ).
Ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ñì. Êîâàëåâñêîé ñëó÷àé .
Ñëó÷àé Ëàãðàíæà äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà. Ñì. Ëàãðàíæà ñëó÷àé äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà.
Ñëó÷àé Ýéëåðà äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà [1, ñ. 199], [37, ñ. 100]. Òâ¼ðäîå òåëî ñîâåðøàåò äâèæåíèå ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé O. Ãëàâíûé ìîìåíò MO âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè ðàâåí íóëþ.
Ñîáñòâåííûé êâàòåðíèîí [33, ñ. 33], [37, ñ. 89]. Áàçèñ ik íîðìèðîâàííûì êâàòåðíèîíîì Λ = λ0 +
3 P
k=1
λk ik ïåðåâî-
äèòñÿ â áàçèñ ek , êîòîðûé íîðìèðîâàííûì êâàòåðíèîíîì 3 P M = µ0 + µk ek ïåðåâîäèòñÿ â áàçèñ nk . Â ñîáñòâåííîì k=1
êâàòåðíèîíå M ∗ = µ0 +
3 P k=1
µk ik ïî îòíîøåíèþ ê êâàòåð-
íèîíó M êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó ek ïðèïèñûâàþòñÿ èñõîäíîìó áàçèñó ik .
Ñîáñòâåííûé àìïëèòóäíûé âåêòîð (ôîðìà ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ) [36, ñ. 100]. Àìïëèòóäíûé âåêòîð â ãëàâíîì êîëåáàíèè.
Ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà [17, ñ. 438], [36, ñ. 100]. Êðóãîâàÿ ÷àñòîòà â ãëàâíîì êîëåáàíèè.
Ñîãëàñîâàííûå êîíòóðû [36, ñ. 171]. Êîíòóðû C0 è C1
îõâàòûâàþò òðóáêó ïðÿìûõ ïóòåé è ïàðàìåòðèçîâàíû êàæäûé ïàðàìåòðîì α òàê, ÷òî çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà α
48
ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè êîíòóðîâ C0 , C1 , ðàñïîëîæåííûå íà îäíîì è òîì æå ïðÿìîì ïóòè.
Ñîïðîâîæäàþùèé òð¼õãðàííèê [1, ñ. 15], [37, ñ. 6]. Áàçèñ
â êàæäîé òî÷êå òðàåêòîðèè, ñîñòîÿùèé èç îðòîâ êàñàòåëüíîé, íîðìàëè è áèíîðìàëè.
Ñîïðÿæåííûå êèíåòè÷åñêèå ôîêóñû. Òî æå, ÷òî êèíåòè÷åñêèå ôîêóñû.
Ñîïðÿæ¼ííûé êâàòåðíèîí [33, ñ. 38], [37, ñ. 84]. Êâàòåðíèîíó Λ = λ0 +
3 P
λk ik ñîîòâåòñòâóåò ñîïðÿæ¼ííûé
k=1 3 P
˜ = λ0 − êâàòåðíèîí Λ
k=1
λk ik .
Ñîñòîÿíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè [17, ñ. 32], [36, ñ. 5]. Ïî-
ëîæåíèå è ñêîðîñòü òî÷êè îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷¼òà.
Ñòàòèñòè÷åñêèé àíñàìáëü [1, ñ. 311], [36, ñ. 1841]. Ìíîæå-
ñòâî ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà, íî ðàçëè÷àþòñÿ íà÷àëüíûå äàííûå q 0 , p0 .
Ñòàòè÷åñêèé âèíò (äèíàìà) [1, ñ. 371], [36, ñ. 40]. Âèíò, ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîæåñòâó ñèë.
Ñòàöèîíàðíî çàäàííàÿ ñèñòåìà [36, ñ. 26]. Ðàäèóñ-âåêòîð ri (q) ëþáîé òî÷êè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû åñòü ôóíêöèÿ
òîëüêî îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò (íåò ÿâíîé çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè t).
Ñòàöèîíàðíî ïîòåíöèàëüíîå ñèëîâîå ïîëå [36, ñ. 60]. Ïîòåíöèàëüíîå ñèëîâîå ïîëå, äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿþùàÿ ïîëå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Π (r1 , . . . , rN ) íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè.
Ñòàöèîíàðíûå ñâÿçè. Òî æå, ÷òî ñêëåðîíîìíûå ñâÿçè. 49
Ñòðóêòóðíàÿ ôîðìóëà äëÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà [36, ñ. 12]. Ïðîìåæóòî÷íàÿ ôîðìóëà äëÿ óðàâíåíèé Ëàãðàíæà â ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðàõ (íå îáÿçàòåëüíî â îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàòàõ ).
Òàíãåíöèàëüíîå (êàñàòåëüíîå) óñêîðåíèå. Ñì. êàñàòåëüíîå óñêîðåíèå.
Òâ¼ðäîå òåëî [1, ñ. 17], [37, ñ. 9]. Òàêàÿ ñîâîêóïíîñòü ìàòå-
ðèàëüíûõ òî÷åê, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ íåèçìåííî.
Òåíçîð èíåðöèè [1, ñ. 181], [36, ñ. 94]. Ìàòðèöà
I1 −I12 −I13 −I21 I2 −I23 êâàäðàòè÷íîé ôîðìû −I31 −I32 I3 3 P P Ie = Ik αk2 − 2 Ikl αk αl , ãäå Ie ìîìåíò èíåðöèè ^
I
=
k=1
k 0, ∃|x0 | < δ , V (x0 ) < 0, òî ðåøåíèå x (t) ≡ 0 íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.
50
Òåîðåìà Ãþéãåíñà Õ., Øòåéíåðà ß. Ñì. Ãþéãåíñà Õ., Øòåéíåðà ß. òåîðåìà.
Òåîðåìà: çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè [1, ñ. 78], [37, ñ. 61]. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ E = T + Π êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ âî âðåìÿ äâèæåíèÿ.
Òåîðåìà Êåíèãà äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ñì. Êåíèãà òåîðåìà äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Òåîðåìà Êåíèãà äëÿ òâ¼ðäîãî òåëà. Ñì. Êåíèãà òåîðåìà äëÿ òâ¼ðäîãî òåëà.
Òåîðåìà Êîðèîëèñà. Ñì. Êîðèîëèñà òåîðåìà. Òåîðåìà Ëàãðàíæà-Äèðèõëå [1, ñ. 231], [36, ñ. 92]. Ïóñòü
â íåêîòîðîé ∆-îêðåñòíîñòè òî÷êè q 0 = 0 êîîðäèíàòíîãî ïðîñòðàíñòâà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Π (q) êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû èìååò â ïîëîæåíèè 0 0 q = 0 ñòðîãèé ìèíèìóì. Òîãäà q = 0 óñòîé÷èâîå ïî Ëÿïóíîâó ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.
Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ î ïåðâûõ èíòåãðàëàõ â èíâîëþöèè [22, ñ. 381], [36, ñ. 225]. Ïóñòü äëÿ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ wi (t, q, p) = αi , i = 1, n, 2n -ìåðíîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû âûïîëíÿåòñÿ: à) (wi , wk ) = 0, i, k = 1, n, ((·, ·) ñêîáêà Ïóàññîíà ) ïåðâûå èíòåãðàëû íàõîäÿòñÿ â èíâîëþöèè; á) óðàâíåíèÿ wi (t, q, p) = αi , i = 1, n, ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî p : pi = ψi (t, q, α). Òîãäà, íå âûõîäÿ çà ðàìêè àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé è êâàäðàòóð, ïî ôóíêöèÿì wi (t, q, p), i = 1, n, âû÷èñëÿþòñÿ: ïîëíûé èíòåãðàë S (t, q, α) óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíàßêîáè ; äîïîëíèòåëüíûå ïåðâûå èíòåãðàëû wn+i (t, q, p) = αn+i , i = 1, n; îáùåå ðåøåíèå qi (t, α), pi (t, α), i = 1, n, óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà.
51
Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ î ñîõðàíåíèè âåëè÷èíû ôàçîâîãî îáú¼ìà [1, ñ. 311], [36, ñ. 180]. Ïóñòü ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (t, x), x ∈ Rn , óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ n ∂ϕ (t, x) P i =0 div ϕ (t, x) = ∂x i i=1 (óñëîâèå âûïîëíåíî äëÿ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ). Òîãäà ïðè ïåðåíîñå ôàçîâîãî îáú¼ìà ðåøåíèÿìè ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ åãî âåëè÷èíà.
Òåîðåìà Ëè Õóà÷æóíà [1, ñ. 316], [36, ñ. 185]. Ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû: n H P à) èíòåãðàë J = {Ai (t, q, p) δqi + Bi (t, q, p) δpi } àíàC i=1
ëîãè÷íî èíòåãðàëüíîìó èíâàðèàíòó n H P pi δqi èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò ;
Ïóàíêàðå
C i=1
á) ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ñ è òàêàÿ ôóíêöèÿ F (t, q, p), ÷òî ïîäûíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì n P {Ai (t, q, p) δqi + Bi (t, q, p) δpi } = i=1
=c
n P i=1
pi δqi − δF (t, q, p) ,
ãäå δF (t, q, p) èçîõðîííûé äèôôåðåíöèàë (t ôèêñèðîâàííûé ïàðàìåòð).
Òåîðåìà Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå [28, ñ. 22], [36, ñ. 85]. Ïóñòü â ∆-îêðåñòíîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ àâòîíîìíîé ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (x) , x ∈ Rn , ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííàÿ ôóíêöèÿ V (x) òàêàÿ, ÷òî å¼ ïðîèçâîäíàÿ V˙ (x) â ñèëó ñèñòåìû x˙ = ϕ (x), x ∈ Rn , îòðèöàòåëüíî ïîñòîÿííàÿ. Òîãäà íóëåâîå ðåøåíèå óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.
52
Òåîðåìà Ëÿïóíîâà î íåóñòîé÷èâîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû (ïåðâàÿ) [1, ñ. 233], [36, ñ. 93]. Ïóñòü äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Π (q) (Π (0) = 0) êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû â íåêîòîðîì ïîëîæåíèè q∗ âûïîëíÿåòñÿ Π2 (q∗) < 0, ãäå Π2 ñîâîêóïíîñòü ñëàãàåìûõ â Π (q) âòîðîãî ïîðÿäêà (îòñóòñòâèå ïðè q 0 = 0 ìèíèìóìà ó Π (q), âêëþ÷àÿ íåñòðîãèé). Òîãäà ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ q 0 = 0 íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.
Òåîðåìà Ëÿïóíîâà î íåóñòîé÷èâîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû (âòîðàÿ) [1, ñ. 233], [36, ñ. 93]. Ïóñòü Πm ñîâîêóïíîñòü ñëàãàåìûõ â ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè Π (q) (Π (0) = 0) êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû íàèìåíüøåé ñòåïåíè m > 2, è ôóíêöèÿ Πm (q) îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà. Òîãäà ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ q 0 = 0 íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.
Òåîðåìà ͼòåð Ýììè [1, ñ. 296], [36, ñ. 153]. Ïóñòü îäíî_
_
_
_
ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ãðóïïà t = t (t, q, τ ), q i = q i (t, q, τ ), i = 1, n, ãðóïïà âàðèàöèîííûõ ñèììåòðèé äëÿ ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû, îïðåäåë¼ííîé ôóíêöèåé Ëàãðàíæà L (t, q, q) ˙ . Òîãäà ó ñèñòåìû åñòü ïåðâûé èíòåãðàë n P w= pi ηi − ξH , ãäå pi è H , ñâÿçàííûå ñ ôóíêöèåé Ëài=1
ãðàíæà L (t, q, q) ˙ îáîáù¼ííûé èìïóëüñ è ãàìèëüòîíèàí, ôóíêöèè ξ è ηi âû÷èñëÿþòñÿ ïî óðàâíåíèÿì ãðóïïû ¯ ¯ _ _ ¯ ¯ ∂ t (t, q, τ ) ¯ ∂ q i (t, q, τ ) ¯ ξ (t, q) = ¯ , ηi (t, q) = ¯ . ¯ ¯ ∂τ ∂τ τ =0
τ =0
Òåîðåìà îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû [1, ñ. 236], [36, ñ. 112]. Ïóñòü q 0 = 0 èçîëèðîâàííîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñòàöèîíàðíî çàäàííîé îïðåäåë¼ííî-äèññèïàòèâíîé ñèñòåìû. Ïóñòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò ïðè q 0 = 0 ñòðîãèé ìèíèìóì. Òîãäà q 0 = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîå ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.
53
Òåîðåìà îá óãëîâîé ñêîðîñòè [1, ñ. 24], [22, ñ. 59] [36, ñ. 9], [37, ñ. 17].  êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t ñóùåñòâóåò òàêîé åäèíñòâåííûé âåêòîð ω (óãëîâàÿ ñêîðîñòü ), ÷òî ñêîðîñòè ëþáûõ äâóõ òî÷åê òâ¼ðäîãî òåëà B è C ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì VB = VC + [ω, ρ], ãäå ρ = CB .
Òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ ëèíåéíîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû [11, ñ. 278, 279], [36, ñ. 112]. λk = µk + iνk êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ëèíåéíîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû x˙ = Dx, x ∈ Rn , D = const. 1. {∀µk = Reλk < 0} ⇔ {x ≡ 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîå ðåøåíèå ñèñòåìû x˙ = Dx}; 2. {∃µk = Reλk > 0} ⇒ {x ≡ 0 íåóñòîé÷èâîå ðåøåíèå ñèñòåìû x˙ = Dx}; 3. {µk = Reλk < 0, k = 1, r < n, µk = Reλk = 0, k = r + 1, n} ⇒ {x ≡ 0 óñòîé÷èâîå ïî Ëÿïóíîâó èëè íåóñòîé÷èâîå ðåøåíèå ñèñòåìû x˙ = Dx}.
Òåîðåìà îá óñòîé÷èâîñòè ïî ëèíåéíîìó ïðèáëèæåíèþ [1, ñ. 236], [36, ñ. 127] 1. Ïóñòü äëÿ êîðíåé λk = µk + iνk õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ x˙ = Dx, x ∈ Rn , D = const, âûïîëíÿåòñÿ ∀µk = Reλk < 0. Òîãäà ðåøåíèå x ≡ 0 íåëèíåéíîé ñèñòåìû x˙ = ϕ (x) = Dx + R (x) (R (x) íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. 2. Ïóñòü äëÿ êîðíåé λk = µk + iνk õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ x˙ = Dx, x ∈ Rn , D = const, âûïîëíÿåòñÿ ∃µk = Reλk > 0. Òîãäà ðåøåíèå x ≡ 0 íåëèíåéíîé ñèñòåìû x˙ = ϕ (x) = Dx+R (x) (R (x) íåëèíåéíûå ñëàãàåìûå) íåóñòîé÷èâî.
Òåîðåìà î ñëîæåíèè ñêîðîñòåé â ñëîæíîì äâèæåíèè [1, ñ. 32], [37, ñ. 24]. Àáñîëþòíàÿ ñêîðîñòü Vàáñ òî÷êè â ñëîæíîì äâèæåíèè åñòü ñóììà ïåðåíîñíîé è îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòåé : Vàáñ = Vïåð + Vîòí .
54
Òåîðåìà î ñëîæåíèè óñêîðåíèé â ñëîæíîì äâèæåíèè (òåîðåìà Êîðèîëèñà) . Ñì. Êîðèîëèñà òåîðåìà. Òåîðåìà Ðàóñà-Ãóðâèöà. Òî æå, ÷òî êðèòåðèé Ðàóñà-Ãóðâèöà. Òåîðåìà Ðåçàëÿ. Ñì. Ðåçàëÿ òåîðåìà. Òåîðåìà ×åòàåâà î íåóñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå [28, ñ. 26], [36, ñ. 85]. Ïóñòü â ε-îêðåñòíîñòè ðåøåíèÿ x (t) = 0 ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (x) , x ∈ Rn , ñóùåñòâóåò îáëàñòü M (∂M ãðàíèöà îáëàñòè M ), â êîòîðîé ïðè íåêîòîðîì ÷èñëå k äëÿ ôóíêöèè V (x) âûïîëíÿåòñÿ: 1. 0 < V (x) 6 k ; n ∂V (x) P ϕi (x) > 0; 2. W (x) = V˙ (x) = i=1 ∂xi 3. {V (x) > V0 } ⇒ {∃l > 0, W (x) > l}; 4. {x = 0} ∈ ∂M ; 5. {x ∈ ∂M, |x| < ε} ⇒ {V (x) = 0}. Òîãäà ðåøåíèå x (t) = 0 ñèñòåìû x˙ = ϕ (x) , x ∈ Rn íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.
Òåîðåìà ×åòàåâà î íåóñòîé÷èâîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû [1, ñ. 234], [36, ñ. 94]. Ïóñòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Π (q) (Π (0) = 0) êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ, è â ïîëîæåíèè q∗ ñèñòåìû âûïîëíÿåòñÿ Π (q∗) < 0 (îòñóòñòâèå ïðè q 0 = 0 ìèíèìóìà, âêëþ÷àÿ íåñòðîãèé). Òîãäà ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ q 0 = 0 íåóñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó.
Òåîðåìà Ýììè ͼòåð. Òî æå, ÷òî òåîðåìà ͼòåð Ýììè. Òåîðåìà ßêîáè-Ïóàññîíà [1, ñ. 275], [36, ñ. 119]. Ñêîá-
êà Ïóàññîíà (ϕ, ψ) ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ϕ (t, q, p) = c1 , ψ (t, q, p) = c2 ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ïåðâûé èíòåãðàë òîé æå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.
55
Òðàåêòîðèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè [37, ñ. 6]. Ãîäîãðàô ðàäèóñ-âåêòîðà.
[22,
ñ.
20],
Òðàíñâåðñàëüíîå óñêîðåíèå [26, ñ. 17], [37, ñ. 27] Â ïëîñ-
êîì äâèæåíèè ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íà íàïðàâëåíèå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ðàäèóñ-âåêòîðó. Âåëè÷èíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ðàâíà Wϕ = ϕr ¨ + 2ϕ˙ r˙ .
Òðåòèé çàêîí Êåïëåðà [1, ñ. 93], [37, ñ. 69]. Îòíîøåíèå
êâàäðàòà âðåìåíè îáðàùåíèÿ ïëàíåòû âîêðóã Ñîëíöà ê êóáó áîëüøîé ïîëóîñè òðàåêòîðèè îäèíàêîâî äëÿ âñåõ ïëàíåò îäíîé è òîé æå Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû.
Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà [1, ñ. 57], [37, ñ. 50]. Ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé âåêòîðíûé íóëü.
Òðóáêà ïðÿìûõ ïóòåé [1, ñ. 302], [36, ñ. 171]. Â ðàñøèðåí-
íîì ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàìêíóòûé êîíòóð, è ÷åðåç êàæäóþ åãî òî÷êó t0 , q 0 , p0 (êàê íà÷àëüíóþ) ïðîâîäèòñÿ ïðÿìîé ïóòü ðåøåíèå ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü òâ¼ðäîãî òåëà [1, ñ. 24], [22, ñ. 59], [36, ñ. 9], [37, ñ. 17]. Âåêòîð, ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü êîòîðîãî óñòàíàâëèâàåòñÿ òåîðåìîé îá óãëîâîé ñêîðîñòè.
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïðåöåññèè [1, ñ. 207], [22, ñ. 196], [37, ñ. 29]. Ïðè ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè òâ¼ðäîãî òåëà óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïîäâèæíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ [1, ñ. 207], [22, ñ. 196], [37, ñ. 29]. Ïðè ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè òâ¼ðäîãî òåëà óãëîâàÿ ñêîðîñòü îòíîñèòåëüíî ïîäâèæíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Óãëîâàÿ ÷àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ. Ñì. êðóãî-
âàÿ (óãëîâàÿ, öèêëè÷åñêàÿ) ÷àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ.
56
Óãëîâîå óñêîðåíèå òâ¼ðäîãî òåëà [1, ñ. 23], [37, ñ. 18]. Âû÷èñëÿåòñÿ ÷åðåç óãëîâóþ ñêîðîñòü ω ñëåäóþùèì îáðàçîì: ε = dω/dt = ω˙ .
Óãëû Ýéëåðà [1, ñ. 193], [37, ñ. 80]. Çàäàþò îðèåíòàöèþ áà-
çèñà e1 , e2 , e3 , ñâÿçàííîãî òâ¼ðäûì òåëîì, îòíîñèòåëüíî áàçèñà i1 , i2 , i3 , ñâÿçàííîãî ñ ñèñòåìîé îòñ÷¼òà: óãîë d íóòàöèè θ = i[ 3 , e3 ; óãîë ïðåöåññèè ψ = i1 , n; óãîë ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ϕ = n [ , e1 , ãäå n îðò, ðàñïîëîæåííûé íà ëèíèè óçëîâ: n⊥i3 , n⊥e3 .
Óãîë íóòàöèè. Ñì. óãëû Ýéëåðà. Óãîë ïðåöåññèè. Ñì. óãëû Ýéëåðà. Óãîë ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ. Ñì. óãëû Ýéëåðà. Óäåðæèâàþùàÿ ñâÿçü [1, ñ. 151], [36, ñ. 21]. Îãðàíè÷åíèå
f (t, ri , Vi ) = 0 òèïà ðàâåíñòâà, íàëîæåííîå íà ñîñòîÿíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
Óíèâàëåíòíîå êàíîíè÷åñêîå ïðåîáðàçîâàíèå [1, ñ. 329], [36, ñ. 199]. Äëÿ âàëåíòíîñòè c âûïîëíÿåòñÿ c = 1.
Óðàâíåíèå Áèíå. Ñì. Áèíå óðàâíåíèå. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè [1, ñ. 335], [36, ñ. 191].
Ñòðîèòñÿ ïî ôóíêöèè H (t, q, p) ñëåäóþùèì µ Ãàìèëüòîíà ¶ ∂S ∂S îáðàçîì: + H t, q, = 0. ∂t ∂q
Óðàâíåíèå Ëÿïóíîâà [36, ñ. 123]. Óðàâíåíèå DT X + XD = C îòíîñèòåëüíî êâàäðàòíîé ÷èñëîâîé ìàòðèöû X , C è D êâàäðàòíûå ÷èñëîâûå ìàòðèöû.
Óðàâíåíèå Ìåùåðñêîãî [1, ñ. 123], [36, ñ. 74]. Îïðåäåëÿ-
åò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå òâ¼ðäîãî òåëà ïåðåìåííîãî ñîñòàâà:
57
ïð n r óõ X dmi dV óõ X dmk ïð âíåøí m =R − ui + uk , ãäå m dt dt dt i=1 k=1 ïåðåìåííàÿ ìàññà òåëà, V ñêîðîñòü òåëà, Râíåøí ïð óõ ãëàâíûé âåêòîð âíåøíèõ ñèë, mi , mk óøåäøèå óõ ïð è ïðèøåäøèå ê ìîìåíòó âðåìåíè t ìàññû, ui , uk ñêîðîñòè óõîäÿùèõ è ïðèõîäÿùèõ ìàññ â ïîäâèæíîé ïîñòóïàòåëüíîé ñèñòåìå, ñâÿçàííîé ñ òåëîì.
Óðàâíåíèå Íüþòîíà. Òî æå, ÷òî âòîðîé çàêîí Íüþòîíà. Óðàâíåíèå ÷àñòîò. Òî æå, ÷òî âåêîâîå óðàâíåíèå. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà. Òî æå, ÷òî ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà. Óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà. Òî æå, ÷òî ëàãðàíæåâà ñèñòåìà. Óðàâíåíèÿ Óèòòåêåðà [1, ñ. 340], [36, ñ. 137]. Óðàâíåíèå
H (q, p) = h, ãäå H (q, p) ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà îáîáù¼ííî êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû, ðàçðåøàåòñÿ îòíîñèòåëüíî îäíîãî èç îáîáù¼ííûõ èìïóëüñîâ, íàïðèìåð, p1 : p1 = −K (q1 , q2 , . . . , qn , p2 , . . . , pn , h). Ïðèíèìàÿ îáîáù¼ííóþ êîîðäèíàòó q1 çà íåçàâèñèìóþ, ïî ôóíêöèè Óèòòåêåðà K (q1 , q2 , . . . , qn , p2 , . . . , pn , h) âû÷èñëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ Óèòòåêåðà (ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ): ∂K dpi ∂K dqi = , =− , i = 2, n. dq1 ∂pi dq1 ∂qi
Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà [4, ñ. 24].  âàðèàöèîííîì èñ÷èñëåíèè óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà.
Óðàâíåíèÿ ßêîáè [1, ñ. 341] [36, ñ. 178]. Ëàãðàíæåâà ñè-
d ∂P ∂P − = 0, â îñíîâå êîòîðîé ëåæèò ôóíêöèÿ dq1 ∂qi0 ∂qi ßêîáè P (q1 , q, q 0 ), q1 íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ, øòðèõ ïðîèçâîäíàÿ ïî íåé.
ñòåìû
Óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè [1, ñ. 14], [37, ñ. 8]. Îïðå˙ = ¨r, ãäå V äåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå W = dV/dt = V ñêîðîñòü òî÷êè, r ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè. 58
Óñêîðåíèå Êîðèîëèñà. Ñì. êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå. Óñêîðåíèå ðàäèàëüíîå. Ñì. ðàäèàëüíîå óñêîðåíè å. Óñêîðåíèå òðàíñâåðñàëüíîå. Ñì. òðàíñâåðñàëüíîå óñêîðåíèå.
Óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ òâ¼ðäîãî òåëà [10, ñ. 257], [36, ñ. 81]. Íåêîòîðîå ïîëîæåíèå òâ¼ðäîãî òåëà ÿâëÿåòñÿ åãî ïîëîæåíèåì ðàâíîâåñèÿ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà: R = 0, MO = 0, ãäå R ãëàâíûé âåêòîð, MO ãëàâíûé ìîìåíò äåéñòâóþùèõ íà òåëî ñèë, O ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà òåëà.
Óñòàíîâèâøèéñÿ ïðîöåññ. Òî æå, ÷òî âûíóæäåííîå äâèæåíèå.
Óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó [1, ñ. 222], [36, ñ. 83]. Ðå-
øåíèå x = 0 ñèñòåìû â íîðìàëüíîì âèäå x˙ = ϕ (t, x), x ∈ Rn , óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó, åñëè äëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ x (t, t0 , x0 ) âûïîëíÿåòñÿ: ∀ε > 0, ∀t0 > 0, ∃δ > 0, ∀|x0 | < δ, ∀t > t0 , |x (t, t0 , x0 ) | < ε.
Óñòîé÷èâûé ìíîãî÷ëåí [8, ñ. 196], [36, ñ. 117]. Ìíîãî÷ëåí
â ëåâîé ÷àñòè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ a0 λm +a1 λm−1 +· · ·+am−1 λ+am = 0 íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè âñå êîðíè λk = µk + iνk õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ðàñïîëàãàþòñÿ â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ñëåâà îò ìíèìîé îñè: ∀µk = Reλk < 0.
Ôàçà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ [6, ÷. 1, ñ. 59], [32, ñ. 110]. Âûðàæåíèå ωt + α â ãàðìîíè÷åñêîì êîëåáàíèè x = A sin (ωt + α).
Ôàçîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà [1, ñ. 252], [36, ñ. 132]. Çàâè-
ñèìîñòü àðãóìåíòà ψjk (Ω) = arg Wjk (iΩ) àìïëèòóäíîôàçîâîé õàðàêòåðèñòèêè Wjk (iΩ) = Rjk (Ω) eiψjk (Ω) îò ïåðåìåííîé Ω.
59
Ôàçîâûé îáú¼ì [1, ñ. 310], [36, ñ. 83]. Âåëè÷èíà îáú¼ìà
çàìêíóòîé îáëàñòè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé).
Ôàçîâûé ïîòîê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû [22, ñ. 358], [36, ñ. 205]. Ñîâîêóïíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé q 0 , p0 ↔ q, p ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ïðè ðàçíûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ âðåìåíè t îáùèì ðåøåíè¡ ¢ ¡ ¢ åì q = q t, q 0 , p0 , p = p t, q 0 , p0 ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.
Ôîêàëüíûé ïàðàìåòð [1, ñ. 92], [37, ñ. 67]. Ïîñòîÿííàÿ p
p äëÿ îðáèò â ïîëå âñåìèð1 + e cos (ϕ + β) íîãî òÿãîòåíèÿ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.
â ôîðìóëå r =
Ôîêóñ êèíåòè÷åñêèé. Ñì. êèíåòè÷åñêèé ôîêóñ. Ôîðìà ãëàâíîãî êîëåáàíèÿ. Òî æå, ÷òî ñîáñòâåííûé àìïëèòóäíûé âåêòîð.
Ôîðìóëà Öèîëêîâñêîãî [1, ñ. 124], [37, ñ. 75]. Ñêîðîñòü
îäíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ðàêåòû ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ m0 , ãäå V0 , m0 ñêîðîñòü è ìàññà â ñèë: V (t) = V0 +u ln m (t) íà÷àëå äâèæåíèÿ, u ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ðàáî÷åãî òåëà, m (t) òåêóùàÿ ìàññà.
Ôóíêöèè Ëÿïóíîâà V (x) [1, ñ. 239], [36, ñ. 83]. Îïðåäåëå-
íû â íåêîòîðîé ∆−îêðåñòíîñòè íóëÿ: |x| < ∆. Äëÿ V (x) ïðåäïîëàãàåòñÿ V (0) = 0. Èñïîëüçóþòñÿ ôóíêöèè Ëÿïóíîâà: çíàêîîïðåäåë¼ííûå (ïîëîæèòåëüíî, îòðèöàòåëüíî), çíàêîïîñòîÿííûå (ïîëîæèòåëüíî, îòðèöàòåëüíî), çíàêîïåðåìåííûå.
Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà. Òî æå, ÷òî ãàìèëüòîíèàí. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà. Òî æå, ÷òî ëàãðàíæèàí.
60
Ôóíêöèÿ ñèëîâàÿ. Ñì. ñèëîâàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ Óèòòåêåðà K (q1 , q2 , . . . , qn , p2 , . . . , pn , h) [1, ñ. 340], [36, ñ. 142]. Ðåçóëüòàò ðàçðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
H (q, p) = h îòíîñèòåëüíî îäíîãî èç îáîáù¼ííûõ èìïóëüñîâ, íàïðèìåð, p1 : p1 = −K (q1 , q2 , . . . , qn , p2 , . . . , pn , h). H (q, p) ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà îáîáù¼ííî êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû.
Ôóíêöèÿ ßêîáè P (q1 , q, q 0 ) [1, ñ. 341], [36, ñ. 178]. Âû÷èñ-
ëÿåòñÿ ïî ôóíêöèè Óèòòåêåðà K (q1 , q2 , . . . , qn , p2 , . . . , pn , h) êàê ëàãðàíæèàí ïî ãàìèëün P òîíèàíó: P (q1 , q, q 0 ) = pk qk0 − K , q1 íåçàâèñèìàÿ k=2
ïåðåìåííàÿ, øòðèõ ïðîèçâîäíàÿ ïî íåé.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí [1, ñ. 220], [36, ñ. 115]. Ìíîãî÷ëåí, ðàñïîëîæåííûé â ëåâîé ÷àñòè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ a0 λm + a1 λm−1 + · · · + am−1 λ + am = 0.
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå [1, ñ. 220], [36, ñ. 115]. Ðåøåíèå ëèíåéíîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû x˙ = Dx, x ∈ Rn , D = const, îòûñêèâàåòñÿ â âèäå x = ueλt , ïîñëå ñîêðàùåíèÿ íà eλt îñòà¼òñÿ àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå (D − λE) u = 0 äëÿ ÷èñåë λ, u. Óðàâíåíèå èìååò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå u 6= 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà λ óäîâëåòâîðÿåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîìó óðàâíåíèþ det (D − λE) = a0 λm + a1 λm−1 + · · · + am−1 λ + am = 0.
Õàðàêòåð ýêñòðåìóìà äåéñòâèÿ ïî Ãàìèëüòîíó [4, ñ. 70], [27, ò. 2, ñ. 231], [36, ñ. 156] Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà. Åñëè äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó ïðè ëþáîì âàðüèðîâàíèè ¡ïðÿìîãî ¢ ¡ ïóòè ¢ ñ 0 1 çàêðåïëåííûìè ãðàíè÷íûìè òî÷êàìè t0 , q , t1 , q â ðàñøèðåííîì êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå äîñòèãàåò ìèíèìóìà íà ïðÿìîì ïóòè, òî ïðè t0 < t < t1¡ îòñóòñòâóþò ¢ êèíåòè÷åñêèå ôîêóñû, ñîïðÿæåííûå òî÷êå t0 , q 0 .
61
Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñòðîãîãî ìèíèìóìà. Åñëè íà ïðÿìîì ïóòè ïðè t0 < t 6 t1 îòñóòñòâóþò¡ êèíåòè÷åñêèå ¢ ôîêóñû, ñîïðÿæ¼ííûå íà÷àëüíîé òî÷êå t0 , q 0 , òî ïðè ëþáîì íåòðèâèàëüíîì âàðüèðîâàíèè q (t, α) (¡∂q (t,¢α)¡/∂α 6=¢ 0) ñ çàêðåïë¼ííûìè ãðàíè÷íûìè òî÷êàìè t0 , q 0 , t1 , q 1 â ðàñøèðåííîì êîîðäèíàòíîì ïðîñòðàíñòâå äåéñòâèå ïî Ãàìèëüòîíó ïðèíèìàåò íà ïðÿìîì ïóòè ñòðîãèé ìèíèìóì.
Öåíòðàëüíàÿ îñü. Ñì. îñü âèíòà. Öåíòðàëüíàÿ ñèëà. Ñì. ñèëà öåíòðàëüíàÿ. Öåíòðàëüíîå ïîëå [1, ñ. 62], [37, ñ. 65]. Ñèëîâîå ïîëå, îáðàçîâàííîå öåíòðàëüíûìè ñèëàìè.
Öåíòð èíåðöèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê [1, ñ. 73], [37, ñ. 50]. Ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà èíåðöèè N
N P 1 X âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå rC = mi ri , m = mi , m i=1 i=1 ãäå mi , ri ìàññà è ðàäèóñ-âåêòîð îòäåëüíîé òî÷êè.
Öåíòð êðèâèçíû [1, ñ. 17], [36, ñ. 7]. Öåíòð îêðóæíîñòè, àïïðîêñèìèðóþùåé êðèâóþ â äàííîé òî÷êå.
Öåíòð ìàññ [1, ñ. 73], [37, ñ. 50]. Öåíòð èíåðöèè òâ¼ðäîãî òåëà.
Öåíòðîáåæíûé ìîìåíò èíåðöèè òâ¼ðäîãî òåëà [1, ñ. 180],P[37, ñ. 93]. Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå I12 = I21 =
i
mi xi1 xi2 , ãäå mi ìàññà òî÷êè íîìåð i,
xi1 , xi2 , xi3 êîîðäèíàòû òî÷êè â îðòîíîðìèðîâàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿþòñÿ öåíòðîáåæíûå ìîìåíòû èíåðöèè I13 = I31 , I23 = I32 .
Öèêëè÷åñêàÿ êîîðäèíàòà [1, ñ. 277], [36, ñ. 139]. Êîîðäè-
íàòà qk íàçûâàåòñÿ öèêëè÷åñêîé, åñëè ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H (t, q1 , . . . , qk−1 , qk+1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) îò íå¼ íå çà-
62
âèñèò. Öèêëè÷åñêàÿ êîîðäèíàòà qk ïîðîæäàåò ïåðâûé èíòåãðàë pk = c ñîîòâåòñòâóþùåé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû.
Öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ. Ñì. êðóãîâàÿ (óãëîâàÿ, öèêëè÷åñêàÿ) ÷àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ.
Öèîëêîâñêîãî ôîðìóëà. Ñì. ôîðìóëà Öèîëêîâñêîãî. ×àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ [6, ÷. 1, ñ. 59], 1 ω [32, ñ. 849]. Âåëè÷èíà ν = = , îáðàòíàÿ ïåðèîäó T T 2π ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ x = A sin (ωt + α).
×àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ êðóãîâàÿ (óãëîâàÿ, öèêëè÷åñêàÿ). Ñì. êðóãîâàÿ (óãëîâàÿ, öèêëè÷åñêàÿ) ÷àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ.
×àñòîòíûå õàðàêòåðèñòèêè [12, ñ. 45], [36, ñ. 128]. Ñî-
âîêóïíîñòü õàðàêòåðèñòèê: àìïëèòóäíî-ôàçîâàÿ, àìïëèòóäíàÿ, ôàçîâàÿ, äåéñòâèòåëüíàÿ, ìíèìàÿ.
×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ãîëîíîìíîé ñèñòåìû [1, ñ. 156], [36, ñ. 23]. Êîëè÷åñòâî îáîáù¼ííûõ êîîðäèíàò. ×èñòîå âðàùåíèå òâ¼ðäîãî òåëà [22, ñ. 50], [37, ñ. 32]. Ïðè ÷èñòîì âðàùåíèè äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè O òåëà âûïîëíÿåòñÿ VO = 0, à äëÿ äðóãèõ òî÷åê B : VB = [ω, ρ], ρ = OB . Ýéëåðà äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ñì. äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà.
Ýéëåðà êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ñì. êèíåìàòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà.
Ýéëåðà ñëó÷àé. Ñì. ñëó÷àé Ýéëåðà. Ýéëåðà óãëû. Ñì. óãëû Ýéëåðà.
63
Ýêâàòîðèàëüíàÿ ïëîñêîñòü [13, ñ. 88], [18, ñ. 257], [37, ñ. 96]. Ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ â íåïîäâèæíîé òî÷êå òâ¼ðäîãî òåëà îñè äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè.
Ýêâàòîðèàëüíûé ìîìåíò èíåðöèè [13, ñ. 88], [18, ñ. 257], [37, ñ. 96]. Ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè, ðàñïîëîæåííîé â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè.
Ýêñöåíòðèñèòåò [1, ñ. 92], [37, ñ. 67]. Ïîñòîÿííàÿ e â ôîð-
p äëÿ îðáèò â ïîëå âñåìèðíîãî 1 + e cos (ϕ + β) òÿãîòåíèÿ êîíè÷åñêèõ ñå÷åíèé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. ìóëå r =
Ýëåêòðîìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà [8, ñ. 58], [20, ñ. 56], [36, ñ. 69]. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòåé: ìåõàíè÷åñêîé è ýëåêòðè÷åñêîé.
Ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèå àíàëîãèè [8, ñ. 58], [20, ñ. 56], [36, ñ. 66]. Ââåäåíèå äëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè: êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé, äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè Ðåëåÿ, îáîáù¼ííûõ ñèë, ñîîòâåòñòâóþùèõ íåïîòåíöèàëüíûì è íåäèññèïàòèâíûì ñèëàì. Íà îñíîâå ââåä¼ííûõ ôóíêöèé âû÷èñëÿþòñÿ óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.
Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñèë [1, ñ. 58], [36, ñ. 56]. Âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå δA =
N P
(Fi , dri ), ãäå Fi ñèëà, dri
i=1
ïåðåìåùåíèå òî÷êè åå ïðèëîæåíèÿ.
Ýëåìåíòàðíàÿ òåîðèÿ ãèðîñêîïà [1, ñ. 209], [36, ñ. 107]. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñîá-
ñòâåííîãî âðàùåíèÿ ω1 çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò óãëîâóþ ñêîðîñòü ïðåöåññèè ω2 : ω1 À ω2 . Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî äà¼ò âîçìîæíîñòü ïîëüçîâàòüñÿ óïðîùåííîé ôîðìóëîé äëÿ ìîìåíòà, ïîääåðæèâàþùåãî âûíóæäåííóþ ðåãóëÿðíóþ ïðåöåññèþ: MO = C [ω 2 , ω 1 ].
64
Ýëëèïñîèä èíåðöèè [1, ñ. 182], [37, ñ. 94]. Íà îñè, ïðîõîäÿ-
ùåé ÷åðåç òî÷êó .√ O òâ¼ðäîãî òåëà, îòêëàäûâàåòñÿ îòðåçîê OA = 1 I , ãäå I ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî äàííîé îñè. Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê A ýëëèïñîèä èíåðöèè.
65
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] Àéçåðìàí Ì.À. Êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà: Ó÷åáíîå ïîñîáèå. 3-å èçä. Ì.: Èçäàòåëüñòâî Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 2005. 380 ñ. [2] Aðíîëüä Â.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ì.: Íàóêà, 1974. 432 ñ. [3] Àðíîëüä Â.È., Êîçëîâ Â.Â., Íåéøòàäò À.È. Ìàòåìàòè÷åñêèå àñïåêòû êëàññè÷åñêîé è íåáåñíîé ìåõàíèêè. Èçä. 2-å, ïåðåðàá. è äîï. Ì.: Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2002. 416 ñ. [4] Áóñëàåâ Â.Ñ. Âàðèàöèîííîå èñ÷èñëåíèå: Ó÷åá. ïîñîáèå. Ë.: Èçä-âî Ëåíèãð. óí-òà, 1980. 288 ñ. [5] Áóòåíèí Í.Â., Ôóôàåâ Í.À. Ââåäåíèå â àíàëèòè÷åñêóþ ìåõàíèêó. 2-å èçä., ïåð. è äîï. Ì.: Íàóêà, 1991. 256 ñ. [6] Áóõãîëüö Í.Â. Îñíîâíîé êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè.  2-õ ÷àñòÿõ. Ì.: Íàóêà, 1972. [7] Ãàëèóëëèí À.Ñ. Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Âûñø. øê., 1989, 264 ñ. [8] Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Ëåêöèè ïî àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêè: Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ / 3-å èçä. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2001. 264 ñ. [9] Ãîëäñòåéí Ã. Êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Íàóêà, 1975. 416 ñ. [10] Ãîëóáåâ Þ.Ô. Îñíîâû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ó÷åáíèê. Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ. 1992. 525 ñ. [11] Åãîðîâ À.È. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ïðèëîæåíèÿìè. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2003. 384 ñ. [12] Åãîðîâ À.È. Îñíîâû òåîðèè óïðàâëåíèÿ. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2004. 504 ñ. [13] Æóðàâë¼â Â.Ô. Îñíîâû òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Èçä. 2-å ïåðåðàá. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2001. 320 ñ. [14] Èáðàãèìîâ Í.Õ. Ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå. Ì.: Íàóêà, 1983. 280 ñ.
66
[15] Êèðÿêîâ Ï.Ï., Ñåíàøîâ Ñ.È., ßõíî À.Í. Ïðèëîæåíèå ñèììåòðèé è çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ê ðåøåíèþ äèôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Èçäàòåëüñòâî ÑÎ ÐÀÍ, 2001. 192 ñ. [16] Êîñìîíàâòèêà: Ýíöèêëîïåäèÿ / Ãë. ðåä. Â.Ï. Ãëóøêî Ì.: Ñîâ. Ýíöèêëîïåäèÿ, 1985. 528 ñ. [17] Ëèäîâ Ì.Ë. Êóðñ ëåêöèé ïî òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêå. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2001. 478 ñ. [18] Ëîéöÿíñêèé Ë.Ã., Ëóðüå À.È. Êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Òîì II. Ì.: ÃÈÒÒË, 1955. 596 ñ. [19] Ëóðüå À.È. Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1961. 824 ñ. [20] Ëüâîâè÷ À.Þ. Îñíîâû òåîðèè ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì. Èçä.-âî Ëåíèíãð. óí-òà, 1973. 196 ñ. [21] Ìàãíóñ Ê. Ãèðîñêîï. Òåîðèÿ è ïðèìåíåíèå. Ì.: Ìèð, 1974. 528 ñ. [22] Ìàðêååâ À.Ï. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà: Ó÷åáíèê äëÿ óíèâåðñèòåòîâ. Èæåâñê: ÍÈÖ Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà, 2001. 572 ñ. [23] Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ. Ì.: ÑÝ.  5 ò., 1977-1985. 1152 ñ.; 1104 ñ.; 1184 ñ.; 1216 ñ.; 1248 ñ. [24] Îëâåð Ï. Ïðèëîæåíèå ãðóïï Ëè ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Ìèð, 1989. 639 ñ. [25] Ïàðñ Ë.À. Àíàëèòè÷åñêàÿ äèíàìèêà: Ïåð. ñ àíãë. Ì.: Íàóêà, 1971. 636 ñ. [26] Ïåòêåâè÷ Â.Â. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà: Ó÷åáíîå ïîñîáèå. Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1981. 496 ñ. [27] Ïóàíêàðå À. Èçáðàííûå òðóäû â òðåõ òîìàõ. Òîì II. Èçäâî Íàóêà, 1974. 1000 c. [28] Ðóø Í., Àáåòñ Ï., Ëàëóà Ì. Ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà â òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. Ì.: Ìèð, 1980. 304 ñ. [29] Ñáîðíèê òåðìèíîâ ïî êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå íà ïÿòè ÿçûêàõ: ðóññêèé, íåìåöêèé, àíãëèéñêèé, ôðàíöóçñêèé, ïîëüñêèé. Wydavnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1965.
67
[30] Ñóñëîâ Ã.Ê. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. 3-å èçä. Ì.: Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1946. 655 ñ. [31] Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Òåðìèíîëîãèÿ. Áóêâåííûå îáîçíà÷åíèÿ âåëè÷èí: Ñáîðíèê ðåêîìåíäóåìûõ òåðìèíîâ. Ì.: Íàóêà, 1984. Âûï. 102. [32] Ôèçè÷åñêèé ýíöèêëîïåäè÷åñêèé ñëîâàðü. Ì.: Ñîâ. ýíöèêëîïåäèÿ, 1984. 944 ñ. [33] ×åëíîêîâ Þ.Í. Êâàòåðíèîííûå è áèêâàòåðíèîííûå ìîäåëè è ìåòîäû ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà è èõ ïðèëîæåíèÿ. Ãåîìåòðèÿ è êèíåìàòèêà äâèæåíèÿ. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2006. 512 ñ. [34] ×åòàåâ Í.Ã. Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà / Ïîä ðåä. Â.Â. Ðóìÿíöåâà, Ê.Å. ßêèìîâîé. Ì.: Íàóêà, 1987. 368 ñ. [35] Ýíöèêëîïåäèÿ äëÿ äåòåé. Òîì 14. Òåõíèêà / Ãëàâ. ðåä. Ì.Ä. Àêñåíîâà. Ì.: Àâàíòà+ , 2000. 688 c. [36] ßêîâåíêî Ã.Í. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé äèíàìèêè Ì.: ÁÈÍÎÌ. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2004. 238 ñ. [37] ßêîâåíêî Ã.Í. Êðàòêèé êóðñ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè Ì.: ÁÈÍÎÌ. Ëàáîðàòîðèÿ çíàíèé, 2006. 116 ñ. [38] Hughes Peter C. Spacecraft attitude dynamics. Dover publications, inc. Mineola, New York, 2004. 574 p.
68
