機械力学―考え方解き方 わかりやすい機械教室

２色 刷  わかりやすい機械教室

機 械 力 学 考え方解き方 小山十郎 著

TDU  東京電機大学出版局

演習付

本 書 の 全部 また は一 部 を無 断で 複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法 上 で の例 外 を 除 き,禁 じ られて い ます。 小 局 は,著 者 か ら複 写 に係 る 権 利 の管 理 に つ き委 託 を受 け てい ます ので,本 書 か らの複 写 を希望 され る場 合 は,必 ず小 局 (03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さい。

ま え が き   本 書 は,工 業 高 校 の機 械 科 に お け る新 学 習 内 容 を基 準 と して,必 要 最 少 限 の 内容 を残 らず 取 り入 れ,や さ し く理 解 しや す い形 に ま とめ た もの で あ る。 対 象 と して は,一 応 機 械 科 の生 徒 諸 君 を 考 え て い るが,そ の 他 の 工 学 を学 ぶ 者 お よ び機 械 技 術者 を志 す 者,さ らに な お 広 く一 般 の好 学 者 の諸 君 の た め に も読 み な が ら内容 が把 握 で き る よ う配 慮 した つ も りで あ る。   編 纂 に あ た って は,次 の諸 点 に留 意 した。  ①

な るべ く短 時 間 に労 せ ず して学 び と れ るよ うに,演 習 問 題 形 式 に よ らず, 例 題 集 と し,考 え方 ・解 き方 に 力 点 を お い た。 しか し,例 題 を 少 しで も多 く取 り入 れ るた め,考 え方 ・解 き方 を 重 要 視 しなが ら も,こ れ を 簡 潔 に と ど め た。

 ②

重 要 な 基 本 事 項 が ひ と 目 でわ か りや す い よ うに,わ く組 みの 中 に ま とめ, そ れ らの 中 で 説 明 の 必 要 な もの は わ く外 に理 解 しや す く解説 した。

 ③

三 角関 数 を必 要 とす る と こ ろ で は,計 算 を 容 易 にす る た め,主 と し て 特 別 角 を用 い るよ うに した。

  筆 者 は現 職 の体 験 を とお して,初 学 者 の 多 くの っ まづ き をみ て き た。 本 書 は 教 室 に お け る これ らの体 験 を 通 じて の授 業 の集 約 と もい う こ とが で き る。 執 筆 に あ た って は十 分 努 力 した つ も りで あ るが,不 足 の 点 はお 許 しい た だ き た い。   本 書 の作 成 に あ た って,ご 尽 力 下 さ った東 京電 機 大 学 出 版 局 な らび に,関 係 各 位 の絶 大 な る ご支 援 に対 し,心 か らお礼 を 申 し上 げ た い。

昭 和45年10月

筆者記 す

第   本 書 は昭 和45年(1970)に,初

２

次改訂に あた

っ

て

版 「機 械 の 力 学,考 え 方 ・解 き方 」 を タ イ ト

ル と して,機 械 力学 と材 料 力 学 の 合 本 で ス タ ー トし,そ れ以 来 多 くの版 を 重 ね, 昭 和60年(1985)に

な って,よ り見 や す くか つ 解 りや す くす る よ う に 期 待 を

こめ て 第 １次 改 訂 を行 い,２ 色 刷 り ２分 冊 と した。   今 般,SI単 位 系(国 際 単位 系)へ の 移 行 を 契 機 と して,多 くの 本 書 ご活 用 の 方 々 な らび に時 代 の要 請 に こた え,第 ２次 改 訂 を行 う こと と した。   初 版 以 来 一 貫 して 考 えて きた こ とは 「労 せ ず学 べ る例題 集 と し,考 え 方 ・解 き方 に力 点 を お く」 で あ り,ま た同 時 に 「機 械 設 計 へ の橋 渡 し と して役 立 つ も の」 で あ った。   か く して,第 １次 改訂 で は①2色 刷 り に して 解 説 ・図 ・問 題 点 な ど見 やす く, 理 解 しや す い よ うに浮 きぼ りに す る。 ② 演 習 問題 の追 加 と解答 に もな るべ く計 算 式 を付 加 す る。 ③MKS,  SI単 位 の 換 算 表 を 追 加 し,④ 設 計 関 連 部 分 で は単 位 の関 連 性 を考 慮 し,⑤ 材 料 力 学 関 連 図 はJIS規 格 に従 い,⑥ 電 卓 利 用 も考 慮 し て 円周 率 πは そ の ま ま扱 うな ど 見 な お しあ るい は 改善 を 行 った。   今 回 の第 ２次 改 訂 で は,第 １次 改 訂 の六 つ の ポ イ ン トか ら,さ ら に発 展 的 に 次 の諸 点 を重 点 と して意 を そ そ い だ つ も りで あ る。 ①SI単

位 系 の使 用(重 力 単 位 へ の 見 な お しも考 慮 した)。

②

機 械 力 学,材 料 力 学 の 二 つ を独 立 させ て ２分 冊 と した。

③

改 善 点 の見 な お しに よ る新 設 と廃 棄 。

④

機 械 工 学 便 覧(日 本 機 械 学 会 編)新 版 に 準 拠 す る よ う に した(例,曲

げ

モ ー メ ン トの正 負 の符 号 の扱 い な ど)。  ⑤

答 の数 値 は原 則 と して 四捨 五 入 で 有効 数 字 ３桁 と す る。(特 に,一 部 の 問 題 で は,そ の 題 意 に よ り切 り捨 て,切 り上 げ あ る い は その 有 効 数 字 の 桁 数 の増 減 を行 った)

 ⑥

付 録 ・単 位 の換 算 表 に ギ リシ ャ文 字 の追 加。 初 版 で は主 と して工 業 高校 の機 械 科 の生 徒 諸  君 を 対 象 と して 作 成 した が,

年 が経 つ に つ れ て,現 実 に は多 くの機 械 工 業 な らび に,そ の 関連 企 業 等 の 現 場 で,広 範 に ご活 用 い た だ い て きた こ と は著 者 と して 至 上 の喜 び と す る もの で あ る。 な お,本 書 に よ る学 習 法(ご 活 用)の 工 夫 の た め に,幅 広 く利 用 者 諸 氏 の 選 択 の 自 由度 を 高 め るべ く十 分配 慮 した つ も りで あ る。 一 層 の ご活 用 を い た だ け れ ば幸 い で あ る。   初 版 以 来 この か た,第 １次 改 訂,第

２次 改 訂 を通 して重 ね が さね ご尽力下 さ っ

た東 京 電 機 大 学 出 版 局   岩 下 行徳 氏 な らび に関 係 各 位 に対 し深 く感 謝 申 し上 げ る次 第 で あ る。 平 成 ６年 ３月

著者 記す

も く じ

１.力

―

ちか ら

1・1 

力 

１

1・2 

力 の 合 成 と 分 解 

６

1.3 

力 の モ ー メ ン ト 

25

1.4 

力 の つ り合 い 

44

1.5  1・6 

２.運

動

ト ラ ス に 働 く 力 と働 き 方  物 体 の 重 心 

2・1  運

動 

2・2  運 動 と力 

55 71

78 99

2・3  運 動 量 と 力 積 

113

3・1 

す べ り 摩 擦 

122

3・2 

こ ろ が り摩 擦 

127

４.仕 事 と動 力 と エ ネル ギ

4・1 

仕 事 と 動 力 

131

4・2 

エ ネ ル ギ 

136

５.機 械 の 効 率

5.1 

力 の 利 用 

145

5.2 

機 械 の 効 率 

154

３.摩

６.回

擦

転

体

6・1 

ト ルク 

168

6.2 

慣 性 モ ー メ ン ト 

170

6・3 

角 運 動 方 程 式 

174

6・4 

等 角 加 速 度 運 動 

176

問 題 の 解 答 

178

付 録   SI単 位 に つ い て 

197

１

力 ―

ちか ら 1・1力

〔１〕 一般 に

力の意味 ,力

  力 と は,物

と は,次

の よ う に い う こ とが で き る。

体 の 運 動 状 態 を 変 化 さ せ た り,物

的 な 作 用 の こ と を い う(図1・1(a),(b),(c))。

(ａ)弓 と矢(矢 を飛 ば す 力)

(ｂ)物 体 の 落 下(重 力)

体 を 変 形 させ た り す る 直 接

(ｃ)膨 張す る 力 力の例

図1・1

例 題1・1

私 た ち の 日常 生 活 の な か で,考

え ら れ る 力 の種 類 を,で

き るだけ

多 くあ げ て み よ う。   〔 考 え 方 〕 火 力(熱)は,物 が,膨

体 の 運 動 状 態 を 変 え た り,物 体 を変 形 さ せ た りで き る

張 とか 化 学 変 化 な どの 過 程 を経 て い る もの で,力

と して の 直 接 的 な 作 用 とい え

ない。 〔 解 き 方 〕 具 体 的 な 言 葉 で あ げ る。 答(重

力,浮

力,打

圧 縮 力,推

力,弾

進 力,動

力,圧 力,摩

力,回

擦 力,万

転 力,引

張 り力,

有 引 力 な ど)

〔２〕 力 の 単 位   力 の 大 き さ を 表 す に は,い

くつ か の 基 準 が あ る 。 こ こ で は,SI単

位 系 を用

い る こ と とす る。

  質 量 １㎏ 与 え る 力,1㎏

の 物 体 に,1m/s2(毎 ・m/s2を

秒 １mの

１N(ニ

割 合 で 速 度 を 増 す)の 加 速 度 を

ュ ー ト ン)と 表 し,こ

れ を 力 の 単 位 とす

る。 1〔 ㎏f〕=1〔

㎏

〕×9.80665〔m/s2〕=9.80665〔

㎏

・m/s2〕

≒9.8〔N〕

こ れ よ り,重 力 単 位 ㎏fか 1〔㎏f〕=9.8〔N〕

らSI単 位 へ の換 算 系 数 は9.8と す る。

《Sl単 位 系 》   力 の 大 き さ の 表 示 に,長

い あ い だ 重 力 単 位(㎏f)が

国 際 的 標 準 化 に よ り,わ

が 国 で も1974年

International

し てSI)の

d'Unites略

４ 月 以 後,国

１.力

１Ｎ(ニ

ュ ー

(キ ロ ニ ュ ー

力のモー メン ト

{

1N・m(ニ

Systeme

の 単 位 を(Ｎ)

ュ ー ト ン)は1÷9.8≒0.102か

ら,

圧力

ト ン)=1㎏

・m/s2(定

義),…

…103N=1kN

ト ン)

㎜(ニ

1Pa(パ

{応力

の 主 な単 位 を あ げ て み よ う。

ュ ー

=1N・

トル ク

３.

位 の

ロ グ ラ ム 重)に 等 しい 力 の 大 き さ と い う こ と に な る 。

〈参 考 〉 機 械 力 学 で 用 い るSI系

２.

際 単 位 系(Le

導 入 が 決 定 し た こ と か ら,力

と 改 め る こ と に な っ た 。 こ れ に よ り1N(1ニ 0.102㎏f(キ

使 わ れ て き た が,単

トン メー ュー

ト ル),…

…10-3N・m

ト ン ・ミ リ メ ー

ス カ ル)=N/m2。(定

=1N/㎜2=1MPa(メ

ト ル)

義),…

…106N/m2

ガ パ ス カ ル),…102N/㎝2(ヘ

ク

ト パ ス カ ル)

４.

５.

仕事

1J(ジ

エ ネルギー

ジ ュ ー ル)=1W・h(ワ

仕事率

1W(ワ

{

{動 力

ュ ー ル)=1N・m(定

ッ ト)=1J/s(定

ト)〔735W=1PS(仏

例 題1・2水0.5m3の   〔考 え 方 〕 の1000倍

水1m3に

重 さ は,力

義),…

…103N・m=1kJ(キ

ッ ト ・時)=360W・s(ワ

義),…

ッ ト秒)

…103W=1kW(キ

ロワ ッ

馬 力)〕

の 大 き さ 何(Ｎ)に

相 当 す る だ ろ うか 。

か か る 重 力 の 大 き さ は １ｔ(ト ン)1000 

で あ る 。 こ れ よ り 水0.5m3は1m3の

ロ

㎏fで

あ る か ら,9.8  N

何 倍 か を考 え る。

〔解 き 方 〕9.8N×1000×0.5=4900N

答(4900N)

問 題1・1長 (水 の7.8倍)で

さ50 ㎝,幅40 

㎝,厚

あ る とす れ ば,こ

さ ５㎝

の 鋼 材 が あ る。 こ の 鋼 材 の 比 重 が7.8

の 重 さ は何 Ｎ の 力 に相 当す る か 。 答(764.4N)

問 題1・2重 30 ㎝

さ が150Nに

相 当 す る 内 容 積(う ち の り)長 さ50 ㎝,幅40

の 水 槽 が あ る。 こ れ を満 水 に し て つ り上 げ る に は,何

㎝,深

さ

Ｎの 力が 必要か 。 答(738N)

〔３〕 力 の 表 し方 力 は,図1・2の

よ う に,矢

印 を使 って 表 す 。

XX:力

の 作 用 線(力 の 方 向 を示 す)

Ｏ点:着

力 点(力 の 働 く点)

OA:力

の 大 き さ と方 向 を表 す。

図1・2

力の表 し方

《力 の 効 果 を決 め る もの 》 〔力 の 大 き さ 〕 ……力の三要素

〔方 向 〕 〔着 力 点 〕

｝

《ベ ク トル(ベ ク トル 量)》 〔大 き さ 〕

〔方 向 〕 (例:ベ

}(こ の 二 つ を同 時 に 示 す 量)… … ベ ク トル(ベ ク トル 量) ク トル で 表 せ る 量 。 力,速

度,加

速 度 な ど)

  〈参 考 〉 こ れ に 対 して 長 さが ３ｍ,時 間 が ８時 間 な ど とい う よ うに た だ 一 つ の 数 量 だ け 示 す 量 の こ と を ス カ ラ ー 量 と い う。

例 題1・3定

点 Ｐ に,水

す る場 合 を,矢

１ｌの 量 の 重 力 が 作 用

印 の 長 さ １㎝

が １Ｎ の 力 の 大 き

さで ベ ク トル 表 示 して み よ う。   〔考 え 方 〕 水 １ｌの 水 の 目方 は １㎏fだ

か ら,こ

れ

をＮ に 換 算 す る。 〔解 き 方 〕1〔

㎏f〕=9.8〔N〕

1㎝

×1〔 ㎏f〕=9.8〔N〕

×9.8=9.8㎝

答(作

図) 図1・3

問 題1・3100Nの ２㎝

力 の 大 き さ を,長

さ ５㎝

の 矢 印 で 表 す とす れ ば,そ

の 図の 中で

の 矢 印は何 Ｎ に相 当す るか。 答(40N)

問 題1・4図1・4(a)の

よ う に,点

Ｐ に 対 し て ２方 向 に2㎏f,3㎏fの

大 き さの 力 が

作 用 して い る。 これ を横 長 の 長 方 形 の 紙 面 に 力 の 矢 印 の 長 さ が 紙 面 一 杯 に お さ ま る よ う に 描 き た い 。 力 の 大 き さ ２Ｎ を １㎝ 横 それ ぞれ何 ㎝

の 長 さ で 示 す た め に は紙 の 大 き さ は 最 低 で 縦

にすれ ば よいか。 答(縦10㎝,横15㎝)

(ａ)

(ｂ) 図1・4

1・2力

の 合 成 と分 解

〔１〕 図 法 に よ る力の 合 成 と分解 (a)1点

に働 く ２力 の 合 成(図 法 に よ る)

ば ね を使 っ て,力

の合 成 を考 え て み よ う。

《フ ッ ク の 法 則 》   弾 性(物 体 が 外 力 を受 け て 変 形 して も,そ の 外 力 が 去 れ ば も と の 形 に戻 る性 質)の 限 度 内 で は,変

形 量 は 外 力 に 比 例 す る(ロ バ ー ト ・フ ッ ク,英,1635

∼1703) 。 ば ね ば か りは,こ

の法 則 の 応 用 。

《力 の合 成 》   ２力 の 大 き さ,F1,F2の

働 き と 全 く同 じ効 果 を も つ 一 つ の 力(合 力)Ｆ を

求 め る こ とで あ る。

図1・5重

な る ２力 の和

図1・6重

(ａ)

(ｂ)

図1・7等

  図1・5∼ 方 法 で,そ

図1・8の

な る ２力 の 差

よ う に,そ

(ｃ)

しい ２力 の 合 成(３ 例)

れ ぞ れ の 場 合 の 力 の 合.成 は,各

図 の下段 に示 す

の 大 き さ や 方 向(向 き)が 求 め ら れ る 。

  実 験 に よ る と,図1・7,図1・8の 合 力 の 大 き さ は,２

な か で 示 し た ４例 の よ う に,一

般 に2力

の

力 の 大 き さ を示 す 矢 印 で 作 る平 行 四 辺 形 の 対 角 線 に 相 当 す

る 矢 印 の 長 さ と 等 し くな る こ とが 知 ら れ て い る 。

(ｂ)力 の 平 行 四 辺 形

(ａ)

(ｃ)力 の 三 角 形 一 般 に １点 ０'に働 く大 き さの 違 う ２力 の合 成 も 、 そ の ２力 の平 行 四辺 形 の 対 角 線 の 大 き さ と一 致

(

)

す る こ とが知 られ て い る。 図1・8 

例 題1・4あ

の か わ りに,一

る 点 に,東

へ30N,北

つ の 力 で,こ

等 し くな い ２力 の合 成

へ40Nの

力 が 作 用 し て い る 。 こ の ２力

れ と同 じ効 果 を与 え た い.何 Ｎ の 力 を どの 方 角 に

作 用 させ た ら よい だ ろ うか 。

(ａ)

(ｂ)

図1・9 

(ｃ)完 成 図

(ｄ)完 成 図

(力 の 平 行 四辺 形)

(力 の三 角 形)

力 の 平行 四 辺 形 と力 の三 角 形

〔考 え 方 〕 力 の 平 行 四辺 形 と 力 の 三 角 形 の,二  〔 解 き方 〕 矢 印 の 長 さ １㎝

を10Nと

つ の 解 き方 が あ る。

し て 考 え,図1・9(a)∼(d)の

く と よ い 。 完 成 図 か ら合 力 の 長 さ と角 θ を 測 れ ば,合

力 が ５㎝,θ

よ うな順 序 で 描 が53° で あ る こ

とが わ か る。 答(50Nの

例 題1・5前

の 例 題1・4で,北

へ40Nの

力 を東53° 北 の 方 角 に 加 え る)

力 だけ 西 向 きに変 え た らど うな る

か 。 ま た東 向 きに 変 え た ら ど うな るか 。 〔 考 え方 〕

ど ち ら の 場 合 も作 用 線 は 重 な り,２ 力 の 差 と和 に な る 。

〔解 き 方 〕

図1・10(a),(b)の

よ う に 描 い て 合 力 を測 れ ば よ い 。

答(西

へ10N,東

へ70N)

図1・10

例 題1・6図1・11の 力 で,ボ

よ う に,川

幅10mの

両 岸 に い る 人 が,そ

れ ぞ れ10Nの

ー トに つ け た 綱 を 引 い て い る 。 ボ ー トは 川 の 中 心 を 走 り,綱

図1・11

の 長 さは

両 方 と も そ れ ぞ れ10mで

あ っ た とい う。 ボー トを 前 進 させ る 力 は何 Ｎ に な る

か。   〔考 え方 〕 綱,川

幅 の 三 つ の 長 さ が10mだ

か ら,こ れ ら は 正 角 形 に な る こ とが わ

か る。   〔解 き 方 〕 例 と し て,１ ㎝ 辺 が10㎝

を １Ｎ の 力 の 大 き さ と し て 作 図 す れ ば,鋭

角60°,一

の ひ し形 が 描 け る。 こ れ よ り合 力(対 角 線)を 測 定 す れ ば17.3㎝

こ れ よ り1N×17.3=17.3Nと

を得 る。

す れば よい。 答(17.3N)

問 題1・5図1・12の

よ う に,体

重10㎏fの

子供 を乗 せ た ブ ラ ン コに ひ もを結 ん で

引 張 る。 ひ もが ち ょ う ど地 面 と18° の 傾 き に な っ た と き,引 張 る 力 が60Nで

あ った

とい う。 こ の と き ブ ラ ン コの 綱 の 張 力 Ｆ は ２本 で何 Ｎ に な る だ ろ うか 。 答   (98N)

図1・12

問 題1・6図1・13の

よ う に,ば

ね ば か りで 引 い た 糸 の 中 間 に 重 り をつ る し た と き,

糸 は 水 平 面 との な す 角30° 下 向 き とな り,ば ね ば か りは0.08㎏fを

示 して い た。 重 り

は 何 ㎏fか 。 ま た 何 Ｎ に な るか 。 答(0.08㎏f,0.784N)

図1・13

(ｂ) 力の 分 解   (図 法 に よ る) 図1・8の

場 合 の 全 く逆 に 考 え る。

《力 の 分 解 》 一 つの 力 Ｆ を

,こ

れ と全 く等 し い 効 果 を も つ ２ 力F1,F2に

を 力 の 分 解 と い う。 こ の よ う なF1,F2を

例 題1・7図1・14の と お し て,重

よ う に1Nの

りP,Qで

分 け るこ と

Ｆ の 分 力 と い う。

力 に 相 等 す る 重 り を 糸 で つ り上 げ,滑

釣 り合 い が と れ た も の とす れ ば,重

りP,Qの

車 を 力 はそ

れ ぞ れ何 Ｎ に な る か。   〔 考 え 方 〕  力 の 合 成 と 同 じ よ うに,平

行 四 辺 形 ま た は 三 角 形 の 法 則 を,順 序 を 逆 に

し て 考 え る。   〔解 き方 〕 三 角 定 規 と分 度 器 を使 っ て,図1・15(a)ま →(4)の 順 に 作 図 す る と よ い 。 こ の よ う に してOAの OB,OCの

長 さ を,ま

た は(ｂ)の(４)図 か らO'B',OCの

0.74,0.5と

な る こ とが わ か る 。 こ の こ とか ら, 重 りP…

…1[N]×0.74=0.74[N]

重 りQ…

…1[N]×0.5=0.5[N]

た は(ｂ)の よ うに そ れ ぞ れ(1) 長 さ を １と し て(ａ)の(４）図 か ら 長 さ を 測 れ ば,そ

が得 られ る。

答   (P=0.74N,Q=0.5N)

れ ぞれ が

図1・14

(ａ)力 の 平 行 四 辺 形 に よ る 方 法

(ｂ)力 の 三 角 形 に よる 方 法 図1・15

問 題1・7図1・16の ㎏f相

よ う に,２ 本 の 立 ち 樹 の 間 に ハ ン モ ッ ク を つ る し て,重

当 の 人 が そ の 上 に 寝 た。 こ の と き頭 側,足

角 は45°,30° に な っ た 。 頭 側,足

さ50

側 の つ りひ もが そ れ ぞ れ 地 面 と な す

側 の つ りひ も の 引 張 られ る 力 は そ れ ぞ れ 何 Ｎ に な

るか。 答   (頭側440〔N〕,足

側360〔N〕)

図1・16

問 題1・8 

空 中 ケ ー ブ ル カー が 故 障 して,図1・17の

と な す 角30°,20° め て1500㎏fで

よ う に 引 張 り索 の 前 後 が 水 平 面

の 状 態 で 宙 づ りに な っ た 。 こ の と きの ゴ ン ドラ の 重 量 は 乗 客 を含

あ っ た 。 前 後 の 引 張 り索 に発 生 し た 引 張 り力 は そ れ ぞ れ 何 Ｎ に な る

か。 答   (前方18〔kN〕

  後 方16.6〔kN〕)

図1・17

(ｃ) １点 に働 く多 数 の 力 の 合 成   (図 法 に よ る)   １点 に 働 く 多 数 の 力F1,F2,…

… を,一

２力F1,F2の

に,こ

合 力F'を

求 め,次

つ の 力 に 合 成 す る に は,ま

のF'とF3と

の 合 力F"を

ず,

求 め,

さ ら に こ の Ｆ"とF4と

の 合 力 Ｆ"',…

… と順 次 合 成 を 続 け て最 終 合 力 Ｆ

を 求 め る(図1・8)。

(１)

(２)

(４)

(３)

(ａ)力 の 平 行 四 辺 形 利 用

(１)

(２)

(４)

(３)

(ｂ)力 の 三 角 形 利 用(力 の 多角 形 と もい う) 図1・18 

1点 に 働 く多数 の 力 の合 成(図 法)

《力の 多 角 形 》   １点 に働 く多 数 の 力 の 合 成 で,図1・18(b)の

よ うに 力 の 三 角 形 を 順 次 組

み 合 わせ て で き た 多角 形 を 力の 多 角 形 とい う。

例 題1・8 

北 向 きに20N,東

向 きに30N,東

南 向 き に10Nの

力 が １点 に働

く と き の 合 力 と方 角 を 図 法 で 求 め て み よ う 。   〔 考 え方 〕 平 行 四 辺 形 を順 次 作 っ て い く方 法 と,力 の 多角 形 に よ る 方 法 とが あ る。   〔 解 き方 〕 図1・19の

よ うに 作 図 し,合 力 の 方 角 と長 さ を測 る。 そ の 結 果 合 力39N

で 方 角 が 北71° 東 で あ る こ とが わ か る。 答   (作図 に よ り計 測 し て,合

力39N,北71°

東 の 方 角)

(ａ)力 の 平 行 四 辺 形 利用

(ｂ)力 の 多角 形 利 用 図1・19

問 題1・9  Nの

図1.20の

よ うに,壁

に 対 して 縦 の 垂 直 平 面 内 で,０ 点 か ら 水 平 方 向 に8

引 張 り力 が 作 用 し,こ れ に 対 して さ らに 上 向20°,下

N,8Nの

向40° の 方 向 に そ れ ぞ れ15

引 張 り力 が 作 用 して い る。 こ の と き ０点 に 働 く合 力 の 大 き さ と方 向 と を,

力 の 平 行 四 辺 形 を作 図 して 求 め よ。 答   (壁 の 外 へ 向 っ て 水 平 方 向 に28.2N)

図1・20

(ｄ) 着 力 点 の 違 う力 の 合 成   (図 法 に よ る)   私 た ち は,綱 か ろ うが,必 と,

で 物 体 を引 張 ろ う とす る と き,綱 の 長 さが 多 少 長 か ろ うが 短 か

要 な 力 の 大 き さ に は 変 わ りな い こ と を知 っ て い る。 い い か え る

「力 は 向 き を変 え な い か ぎ り,着 力 点 を そ の 作 用 線 上 の ど こへ 移 動 し て も効果 は変 わ らな い 」 と い う こ とが で き る 。

着 力 点 の 違 う ２力の 合 成 は,２ 力 の 着 力 点 を,そ れ ぞ れ の作 用 線 を延 長 した 交 点 ま で移 動 し,次 に 前 に 習 っ た 方 法 で合 力 を求 め る。 ３ 力 の 場 合 の 例 …(図1・21)

〔 注 〕 ３ 力 以 上 の 合 成 の 場 合 は,始 め に 求 め た ２力 の 合 力 と,残 な か の １力 と の 合 力 を,着

った

力点 の

移 動 に よ っ て求 め る。 こ れ を さ ら に順 次 繰 り返 し,最 終 合 力 を求 め れ ば よ い(図1・21)。

図1・21 

着 力 点 の違 う ３力 の合 成

例 題1・9図1・22の

よ うに,正 方 形 の 板 の 頂 点 に働 く ４力 の合 力 を図 法 で求

め よ う。

図1・22

  〔考 え 方 〕 力 の 平 行 四 辺 形 に よ る 場 合(図1.23)。 を求 め る順 序 を工 夫 す る と よ い 。

な る べ く簡 単 に す る た め,合

力

図1・24  図1・23 

力 の 多角 形 に よ る場 合

力 の平 行 四辺 形 に よ る場 合

  〔解 き方 〕 こ の 場 合,２ 力 ず つ 別 々 に 合 力 を求 め,そ

れ ら二 つ の 合 力 か ら ４力 の 合

力 を 得 る(力 の 多角 形 は 図1・24)。

答   (約27N) 問 題1・10 

図1・25の

よ うに,正

五 角 形 の 板 の 各 頂 点 に 働 く五 つ の 合 力 を 力 の 多 角

形 に よる方法 で求 め よ。

答   (約43N)

図1・25

〔２〕   計 算 に よ る力の 合 成 と分 解 (ａ) １点 に働 く ２力 の 合 成(計 ①

算 に よ る)

角 θの 開 き を なす ２力 の 合 成

図 法 と 同 じ考 え方 を計 算 で 行 え ば よ い。   図1・26で,２

力F1,F2が

０点 に 角 θ の 開 き で 働 く と き,合

力 Ｆ は,

三 平 方(ピ タ ゴ ラ ス)の 定 理 か ら,

(1・1)

合 力 の 向 き  α は,

(1.2) とな る。

図1・26角

②

図1・27直

θの開 き を なす ２力 の合 成

角 の 開 き を なす ２力 の 合 成

直 角 の 開 き を なす ２力 の 合 成

  式(1・1),(1・2)で,θ=90°

と お

け ば,cos90°=0,sin90°=1よ

り(図

1.27),

(1.3) (1.4) こ れ は,図1・27か

例 題1・10図1・28に

ら わ か る よ う に,単

純 な三 平 方 の 定 理 の 形 とな る。

よ る それ ぞ れ の 合 力 の 大 きさ と方 向 を求 め よ。

(ｃ)

(ｂ)

(ａ)

図1・28

  〔考 え方 〕 も ち ろ ん 式(1・1)∼(1・2)に よ っ て 解 くわ け で あ るが,図 て,お

お よ そ の 合 力 の 大 き さ,角

法 を頭 に浮 かべ

度 の 目安 を 立 て て み る と よ い 。

  〔 解 き方 〕  そ れ ぞ れ の 合 力 を Ｆ と し,そ の 方 向 が40Nと

なす 角 を α とす れ ば,

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

答((a)36.9°,(b)25.3°,(c)46.1。)

問

題1・11図1.29(a)の

よ う に,二

つ の 力60Nと150Nと

が,30°

(ｂ)

(ａ) 図1・29

の 開 き で １点 に

働 く と きの 合 力 と,そ の 方 向 を 計 算 に よ っ て 求 め よ。   ま た,図(ｂ)の

よ う に,二

答

つ の 力 の 開 き が135° の 場 合 は ど うか 。

30° の 場 合:204N,150Nの

(

方 向 か ら 左 ま わ り に8°27'

135° の 場 合:115.6N,150Nの

方 向 か ら 左 ま わ り に21°31'

(ｂ) 力 の 分 解   (計 算 に よ る) ①

角 θの 開 き を なす ２力 に分 解

  図1・30で,力

Ｆ を 角 α,β の 開 き で ２力F1,F2に

れ ば,α+β=θ

とお く と,

分 解 す る も の とす

(1.5) (1.6)

図1・30角

②

図1・31直

θの 開 き を なす 分 解

角 の開 き を なす 分 解

直 角 の 開 き を なす ２力 に分 解 式(1・5),(1・6)で,θ=90。

と お け ば,tan(90°-θ)=0,cos(90°-θ)=

1に な る こ と に よ り(図1・31),

実 際 に は,こ

F1=Fcosa

(1・7)

F2=Fsina

(1・8)

の θが 直 角 とな る ２力 へ の分 解 の場 合 が 多 い 。

)

例題

1・11図1・32に

よ る 力 Ｆ の そ れ ぞ れ 分 力F1,F2を

(ａ)

求 め よ。

(ｂ) 図1・32

  〔考 え 方 〕 式(1・5),(1・6)を

用 い れ ば よ い が,公

式 と して 暗 記 す る こ と よ り,式 の

導 き方 を覚 え た ほ うが 得 策 で あ る。 〔解 き 方 〕(ａ)

(ｂ)

答((a)F1=3.66N,F2=7.07N(b)F,=8.66N,Fz=5N)

問 題1・12図1・33の と こ ろ,天

よ うに,天

井 か ら ２本 の ロ ー プ で 重 さ70Nの

井 と ２本 の ロ ー プ と の 間 の 角 が そ れ ぞ れ60°

図1・33

と30°

物体 をつ る した

と に な っ た 。 ２本 の ロ

ー プ の 引 張 り力 を求 め よ

。 答(F1=35N(右

側),60.6N(左

側))

(ｃ)１ 点 に働 く多 くの 力 の 合 成(計 算 に よ る)   １点 に働 く多 くの 力 の合 成 は,作

用 点 を 原 点 とす る 直 角 座 標 を作 り,そ れ ぞ

れ の 力 の Ｘ 軸 成 分 の 和FXとY軸

成 分 の 和FYを

て,合

力 Ｆ を 求 め れ ば よ い(図1・34の

求 め,式(1・3)と

同様 に し

３力 の例 参 照)。

(1・9) (1・10) (1・11)

(1・12)

図1・35

図1・34多

例 題1・12図1・35に   〔 考 え 方 〕30Nの

数 の 力 の合 成

よ り,４ 力 の 合 力 の 大 き さ と方 向 を 求 め よ 。 力 の 方 向 を Ｘ 軸 とす る場 合 と40N,10Nを

軸 と お く場 合 な どが 考 え られ る(図1・36(a),(b)参   〔解 き方 〕(a)30Nの

そ れ ぞ れ Ｘ 軸,Ｙ

照)。

方 向 を Ｘ 軸 とす る場 合(図1・36(a)参

照)

(ｂ) (ａ) 図1・36

(b)40Nを

Ｘ 軸 と す る 場 合(図1・36(b)参

∴a=-49.5°(こ

問 題1・13図1・37の 105°,60°

照)

の 場 合,合

力 の 向 き は 第 ４ 象 限 と な る)

答(作

図 に よ る 合 力46.5Nと,(a),(b)に

よ う に,Ｘ

軸 の 方 向 に20N,そ

の 開 き を も つ50N,60N,30Nの

よ る 方 向)

れ か ら 左 ま わ り に135°,

四 つ の 力 が １点 Ｏ に か か る と き の 合 力

と そ の 向 き を計 算 に よ り求 め よ。 答(合

力52.3N,向

き Ｘ 軸 正 方 向 に 左 ま わ り234°28')

図1・37

  (ｄ)着

力 点 の 違 う 力 の 合 成(計

  前 例 の 式(1・9)∼(1・12)を

算 に よ る)

使 っ て,合

力 の 大 きさ お よ び そ の 向 き が 求 め られ

る。

例 題1・13図1・38に

よ り,正

三 角 形 の ま わ り の ３力 の 合 力 と そ の 向 き を 求

め よ。

  〔考 え 方 〕 Ｘ 軸 の 位 置 を ど の 部 分 に し た ら よ い か を考 え る 。 〔解 き方 〕30Nの

方 向(底 辺)を Ｘ 軸 とお け ば,

図1・38

  こ れ よ り,合 力 の 大 き さ17.32N,向

き30Nの

作 用 線 に 対 して30° 右 下 か か る こ と

がわ か る。   な お,作 て は,こ

用線 の位 置 につ い こに作 図 に よって求

め た 例 を参 考 に 示 して お く (図1・39)。   図1・39の

よ う に,20Nの

作 用 点 を Ｐ,作 用 線 の 通 過 点 をQ(QはPか 線 上),三 さ=A㎜

らの水平 延長 角 形 の 一 辺 の 長 とす れ ば,こ

の

図1・39

問 題 の 場 合 で は, PQ=A㎜ (計測 し て) で あ る こ とが わ か る。   こ れ よ り,合 力17.32Nは30Nの

作 用 線 上 Ｐ か ら 外 側A㎜

の 点 Ｑ を通 る右 下

30° の 向 き に か か る こ とに な る。 答(合 左 力 の 大 き さ17.32N,作 用 線 の 位 置 方 向 は,三 角 形 の 底 辺 の 延 長 線 上A㎜ は な れ た 点 Ｑ を通 る30° 右 下 の 向 き)

1・3

  〔1〕

力の モ ー メ ン ト

図 法 に よ る平 行 し た 力 の 合 成 法

  あ る間 隔 をお い て,平 行 力F1,F2が

働 く と きの 合 力 Ｆ を求 め て み よ う。 こ

の ま ま で は 力 の 平 行 四 辺 形 が で き な い の で 工 夫 を す る。

  図1・40(a)の

よ う に,間

隔 ｌの 両 端 に 平 行 力F1,F2が

は,図1・40(b)の

よ う に,打

の 合 力F1',F2'を

作 り,こ

ち 消 し 合 う ２力F'を

働 くときの合 力

両 端 に 加 え,そ

れ ぞれ

れ ら を 作 用 線 の 交 点 Ｏ ま で 移 し て,合

力 Ｆ を

求 め ろ。

(ａ)

(ｂ) 図1・40

例 題1・141・41(a),(b)の

N,100Nの

よ う に,500㎜

の 間 隔 で50N,100Nま

た は20

平 行 力 が 働 く と き,そ れ ぞ れ の 合 力 の 大 き さ と作 用 線 の位 置 を図

法 で求 め よ。

(ａ)

(ｂ) 図1・41

 〔 考 え 方 〕 両 端 に加 え る打 ち 消 し合 う力 は,外

向 きば か りで な く内 向 き も考 え て み

る とよい。   〔解 き 方 〕 図1・41(a)は,打 く と,図1・42(a),(b)の

ち 消 し合 う 力 を外 向 き と し,図(ｂ)は

内 向 き と して解

よ う に な る。

(ａ)

(ｂ) 図1・42

平 行 で 大 き さ の 等 し い 反 対 向 き の 力 に つ い て は,後

の 偶力 の ところで学 ぶ。

答(図1・42の(a),(b)作 問 題1・14図1・43の

よ う に,300㎜

の ２の 力20Nと40Nと   ま た,こ

の 棒 の 両 端 に,棒

と45° を な す 平 行 で 同 方 向

がかか った場合 の合 力 を図法 に よって求 め よ。

の 場 合 で,40Nの

力 だ け 反 対 向 きに 変 え た 場 合 は ど うな る か 。

図1・43

図 に よ る)

答

同 方 向:60N,作

用 線 は 棒 の 左 端 よ り右20㎝

(

反 対 向:20N,45°

右 上 方 向,作

用 線 は 棒 の 右 端 延 長30㎝

)

〔２〕 力 の モ ー メ ン ト と解 き 方

  (ａ)て  ①

こ と力 の モ ー メ ン ト

て この 作 用

  図1・44の よ う に,て 長 い ほ ど,小

こ で 重 い 物 体 を持 ち 上 げ よ う とす る と き,柄 の 長 さ が

さ い 力 で す む こ とは 私 達 が 日常 経 験 す る こ と で あ る。 こ こ で い

ま,逆 に柄 の 長 さ を短 か く して 行 き,つ い に 長 さ を ０に した と考 え る と,ち

ょ

う ど支 え る点(こ れ を 支 点 とい う)の 真 上 を押 す こ とに な り,も は や どの よ う に 大 き な 力 を加 え て も持 ち上 げ る こ とは で き な い。 この こ と を,次 の よ う に考 え る こ とが で き る。 て この 支 点 か ら ｌの 距 離 に,て こ の 回 転 作 用 の 大 き さ Ｍ は,力

こ に 対 して 直 角 の 力 Ｆ が 働 く と き,て Ｆ と距 離 ｌの値 に 比 例 す る。

  式 で 示せ ば, M=F・l

(1・13)

とな る。

(ａ)

(ｂ) 図1・44

②

力の モーメ ン ト 物 体 を 回 転 さ せ よ う と す る 力 の 働 き を “力 の モ ー メ ン ト(モ ー メ ン ト)"

と い う。 す な わ ち,式(1・13)の N・ ㎜

を 用 い る 。 ま た,ｌ

  力 の モ ー メ ン 1・44(a),(b)を

トM=F・lに

Ｍ を 力 の モ ー メ ン ト と い う。 単 位 に は

を モ ー メ ン トの 腕 と い う。

つ い て,も

う少

し研 究

し て み よ う 。 い ま,図

て こ の 例 に あ て は め て み る と,図1・45(a),(b)の

よ う に な る。

こ れ よ り,

(ａ)

(ｂ) 図1・45

(1・14)

と な る。   式(1・14)は,て

こ の 支 点 Ｏ に お い て,F1に

に よ る 時 計 回 転 方 向 モ ー メ ン ト と が,つ   合 力 に つ い て 考 え れ ば,図1・45か

り合 っ て い る こ と を 示 し て い る 。

ら わ か る よ う に,F=F1+F2と

の 作 用 線 は 支 点 の 位 置 を 通 る 。 し た が っ て,合 の 長 さ をl1+l2=lと

同 様 に し て,

お け ば,式(1・14)か

よ る 反 時 計 回 転 モ ー メ ン ト とF2

力 の 位 置 は,図

な り,そ に お い て,て

ら,

(1・15)

こ

とな る。

例

題1・15図1・46の

直 角 な 力100Nが

よ う に,回

転 軸 Ｏ か ら500㎜

の 点 Ｐ に 対 し,OPに

働 く と き の モ ー メ ン トは い く ら か 。

  〔考 え 方 〕 式(1・13)に あ て は ま る こ とが 気 づ け ば よ い 。   〔解 き方 〕 求 め る モ ー メ ン トMは, M=F・l=100×500=50×103〔N.㎜

〕

図1・46 図1・47

答(50x103N・

問 題1・15図1・47の 1800㎜

よ う な 長 さ4000㎜

の と こ ろ に 体 重32㎏f相

重60㎏gf相

㎜)

の シ ー ソ ー が あ る。 中 央 の 支 点 か ら

当 の 子 供 が 乗 っ て い る。 こ れ とつ り合 う よ う に 体

当 の 大 人 が 乗 るた め に は,支

点か ら子供 と反対側 何 ㎜

の位 置 を とれ ば

上いか。 答(960㎜) 問 題1・16図1・48の 100Nの

よ う に,長

お も り をつ る して,棒

置 は左 端 か ら何 ㎜

さ2000㎜

の 棒 が あ る。 左 端 に60N,右

端 に

が 水 平 に な る よ うに 支 点 の 位 置 を 定 め た い。 支 点 の 位

に な るか。 答(1250㎜)

図1・48

(ｂ)斜 ①

めの力 のモー メン ト

斜 めの力の モー メン ト

  図1・49の

よ う に,モ

卜 は ， これ と 腕 の

長

さ

モ

ー

ー メ

と の 積 で,次

メ

ン ト

の腕

ｌ と な す

ン ト の腕 の直角 方 向に の式

角 Ｆ

のよ う に表

θ の力 Ｆ が

の 分力F

働 sinθ

く と き の モ ー メ ン を と

り,

さ れる 。

(1.16)

図1・49 図1・50

例 題1・16図1・50に

示 す モ ー メ ン トの 腕ABの

を 回 転 軸 と し,Ｂ

長 さ300㎜

に 腕 の 延 長 に 対 し て30° 方 向 で60Nの

に お い て,Ａ

力が働 くときのモー

メ ン トを 求 め よ 。   〔 考 え方 〕 作 図 し て か ら数 式 を た て る とよ い 。   〔 注 〕 モ ー メ ン トの 腕 方 向 の 分 力 は,回 転 軸 に 作 用 す る だ け で,回

転 力に は影響 が

な い。 〔解 き方 〕 モ ー メ ン トをＭ とす れ ば, 答(9000N・

問 題1・17図1・51の 梁 Ｂ を 固 定 し,梁

よ う に,主 柱 Ａ の 高 さ3000㎜ の 先 端 で 点 Ｐ か ら3000㎜

の 点 Ｐ の 位 置 に,傾

の と こ ろ に,ロ

ー プ で1000Nの

を つ り下 げ た 。 こ の 場 合 の 点 Ｐ の モ ー メ ン トを 求 め よ 。 ま た,主 メ ン トは 何kN・mか 答(点

㎜)

き30に 荷物

柱 の根 元 Ｑ の モー

。 Ｐ の モー メ ン ト:2.6kN・m,点

Ｑ の モ ー メ ン ト:2.6kN・m)

図1・51

②

合 力の モーメ ン ト

  多 数 の 力 の,あ

る 点 の ま わ りの モ ー メ ン 卜の 総 和 は,そ

れ らの 合 力 に よ

る モ ー メ ン 卜に 等 し い 。   一 般 に,ｎ

個 の 力 の 大 き さ を そ れ ぞ れF1, 

の 腕 の 長 さ を そ れ ぞ れl1,l2,l3,… を そ れ ぞ れ さ を ｌ,そ

θ1,θ2,θ3,…

…,ln,そ

…,θnと

し,合

F2,…

…, 

Fn,モ

ー メ ン ト

れ ぞ れ の 腕 と力 との なす 角 力 の 大 き さ を Ｆ,そ

の 腕 の 長

の な す 角 を θ と す れ ば,

(1.17) と な る。

  こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,図1・52(a)の 置 に そ れ ぞ れ 腕 の 延 長 と の な す 角 θ1,θ2で,２

よ う に,点 力F1,F2が

Ｏ か らl1,l2の

位

働 く場 合 の モ ー メ

ン トを求 め て み る。   図1・52(b)の

よ う に し て,２

る 垂 線 上 に,そ

れ ぞ れF1,F2,Fか

  合 力 の 成 分 は,

力F1,F2の

合 力 Ｆ を 求 め,点

ら 垂 線 を お ろ せ ば,

Ｐ のOPに

対 す

(ｂ)

(ａ)

一 般 の 合 力 の モ ー メ ン ト

図1・52

と な る 。 ま た,合

力 の モ ー メ ン ト は,図1・52(b)か

ら, ……(モ

ー メ ン ト

の 式) と な り,点

Ｏ か らF1,F2,Fま

で の 腕 の 長 さ は,そ

れ ぞ れ 図(a),(b)か

ら,

こ れ ら を(モ ー メ ン トの 式)に 代 入 し て,

が 得 られ る。   多 数 の 力 の 場 合 も 同 様 に し て 求 め ら れ,式(1・17)が   〔注 〕Flsinθ=0の

と き は,合

得 られ る。

力 Ｆ の 作 用 線 は 回 転 の 中 心 Ｏ を通 り,モ ー メ ン ト

は つ り合 っ て い る こ とに な る。

例

題1・17図1・53の,点

  〔考 え 方 〕

式(1・17)の

Ｏ の ま わ り の モ ー メ ン トは 何kN・ 考 え 方 で,二

㎜

か。

つ の モ ー メ ン ト の 和 を 求 め る(左

回 転 を 正,右

回 転 を 負 とす る)。 〔解 き方 〕

答   (右 回 転2.69kN・

㎜)

図1・53 図1・54

例 題1・18図1・54は,人 A,Bそ

が 自転 車 で 走 行 し よ う とす る状 態 を示 して い る。

れ ぞ れ の 場 合 の モ ー メ ン トは 何kN・

㎜

か。

  〔考 え 方 〕 前 脚 と後 脚 の モ ー メ ン トの 和 に な る こ と に 注 意 し,図1・55(a),(b)の うに 線 図 を描 い て み る 。   〔解 き 方 〕 Ａ の場 合:

Ｂ の 場 合:

よ

(ａ)

(ｂ) 図1・55

答

問 題1・18図1・56は,水

さ100Nの

の 位 置 に80° を な し て 上 向 き に100N,も を な して 上 向 き に100Nの ㎜

㎜,B.11.11kN・

㎜)

車 小 屋 の 中 の 米 つ き の 様 子 を 示 して い る。 水 車 の 軸 が ち

ょ う ど 図 の よ う な 位 置 の と き,重

ー メ ン トは 何kN・

  (A.27.7kN・

杵 の ２本 の う ち １本 は 軸 心 か ら100㎜ う １本 は 軸 心 か ら300 ㎜

の 位 置 に140°

力 が それ ぞれ か か って い る。 この 場 合 の 軸 心 に か か るモ

か。 答(29.13kN・

図1・56水

車小屋 の米つ き

㎜)

〔３〕  平 行 した ２力 の 合 成 法 (ａ) 同 じ向 きの 平 行 な ２力 の 合 成 法(計 算 に よ る)   図1・57に

よ り,間

２ 力F1,F2の

隔 ｌの 着 力 点A,Bに

合 力 Ｆ が,点

お け る ｌ に 直 角 で 同 じ向 き の

Ｏ を 通 る もの と す れ ば(式(1・15)参

照),

  合 力 Ｆ の 着 力 点 の 位 置(作 用 線 の 通 過 点)は,

(1.18)

合 力 Ｆ の 大 き さ は, F=F1+F2

(1.19) 図1・57

と な る。

  こ れ ら の 成 り立 つ 理 由 を 考 え て み よ う。   《式(1・18)に

ついて》

式(1・15)か

ら も わ か る が,モ

式(1・17)のF1・l1sinθ1+F2・l2sinθ2=F・lsinθ 換 え て み る と,こ い"こ

れ は"個

を 簡 単 にM1+M2=Mと

置 き

々 の モ ー メ ン トの 総 和 は 合 力 の モ ー メ ン トに 等 し

と を 示 し て い る の で あ る か ら,こ

モ ー メ ン トの 符 号 は,反

ー メ ン トの 考 え 方 か ら,

の 考 え 方 を 図1・57に

時計 回転量 方 向 を+,時

用 い て(た だ し,

計 回 転 方 向 を― と す る),Ｏ

点

の ま わ りの モ ー メ ン ト を 求 め れ ば,

(1.20)   こ れ よ り,着

力 点 Ｏ はlをF1,F2の

大 き さの 逆 比 に 内 分 す る位 置 に な る こ

と が わ か る｡   《式(1・19)に

つ いて》

点 Ｂ の ま わ りの モ ー メ ン トは,

こ こ で,式(1・20)か

ら

とな る こ とが わ か る。

例

題1・19

き,90Nか

400㎜

の 間 隔 で,平

行 な 同 じ 向 き の ２力90N,30Nが

働 く と

らの 合 力 の位 置 とそ の 大 き さ を求 め よ。

  〔考 え方 〕 式(1・18),(1・19)を

よ く理 解 した う え で,な

る べ く図 を描 い て か ら式 を

た て る と よ い(図 は 省 略)。   〔 解 さ方〕90Nか

ら の合 力 の 位 置 を ａ,合 力 の 大 き さ を Ｆ とす れ ば,

答   (90Nの

例

題1・20平

行 で 同 じ 向 き の ２ 力40N,60Nが,あ

力 の 位 置 は60Nか

ら120㎜

方 か ら100㎜

内 側 で120N)

る 間 隔 で 働 く と き,合

の と こ ろ で あ っ た と い う 。 ２力 の 間 隔 と 合 力 の

大 き さ を求 め よ。

図1・58

〔 考 え方 〕 ま ず,図

を描 い て み る(図1・58)。

〔 解 き方 〕 ２力 の 間 隔 をx〔 ㎜

〕,合 力 の 大 き さ を Ｆ 〔N〕とす れ ば,

答   (100N)

例 題1・21図1・59の

よ う に,平

㎜

力250Nがx〔N〕

の 間 隔 で 働 き,合

と す れ ば,x,aの

行 な 同 じ 向 き の ２力100N,x〔N〕 よ りa〔 ㎜

が500

〕の と こ ろ に 現 れ る も の

値 は い く らに な るか 。

図1・59

〔考 え 方 〕 計 算 の 順 序 を考 え る 。 〔解 き方 〕

答(x=150N,a=200㎜)

問 題1・19図1・60の

よ うな ク レー ンが あ る。 横 げ た の 長 さ は5000㎜,つ

る荷 物 の 重 量 は5000N,反 .y〔㎜

対 側 の バ ラ ン ス ・ウ ェ イ トはx〔N〕,荷

〕と し,主 塔 に か か る合 力 が12200N(た

だ し,横

り下 げ

物側 の腕 の 長 さ を

げ た の 重 量 は 考 え な い もの

とす る)で あ っ た とす る。   こ の 場 合 の バ ラ ン ス ・ウ ェ イ トx〔N〕 と,荷 物 側 の 腕 の 長 さy〔 ㎜

〕は い く らか 。

答   (x=7200N,y=2950mm)

図1・60

(ｂ)反

対 向 きの 平 行 な ２力 の 合 成 法(計 算 に よ る)

  図1・61に

よ り,間

F1,F2(F1＞F2)が

隔 ｌの 着 力 点A,Bに,lに

働 く も の とす れ ば,合

直 角 で 反 対 向 き の ２力

力 Ｆ はF1の

外 側 の 点 Ｏ を 通 り, 

合

力 の 着 力 点 Ｏ の 位 置(作 用 線 の 通 過 点)は,

(1.21)

合 力 の 大き さ は

(1.22) 図1・61

と な る。

前 例 に な ら っ て,式(1・21),(1・22)を 《式(1・21)に

つ い て》

検 討 し て み よ う。

点 Ｏ の ま わ りの モ ー メ ン トは,

(1.23)   こ れ よ り合 力 の 着 力 点 Ｏ は,ｌ をF1,F2の る こ とが わ か る。

大 き さの 逆 比 に外 分 す る点 で あ

よ り,

同 様 に,

《式(1・22)に

つ い て 》  点 Ｂ の ま わ り の モ ー メ ン ト は,

よ り,

ま た,式(1・23)よ

り,

結 果 と し て,F=F1-F2が

例 題1・22 き,合

600㎜

得 られ る。

の 間 隔 で,反

対 向 き の 平 行 ２ 力120N,70Nが

働 く と

力 の 大 き さ と 着 力 点 を 求 め よ(図1.62)。

  〔考 え 方 〕 合 力 は ２力 の 差 に な る こ と,そ の 位 置 は 大 き い 方 の 力 の 外 側 で,２ 力 の

図1・62

大 き さ に よ る 外 分 点 で あ る こ と を 考 え る。 〔解 き方 〕 合 力 を Ｆ と し,着 力 点 の 位 置 を120Nの

答(合

力50N着

外 側a〔 ㎜

力 点 は120)Nの

〕とす れ ば,

外 側840㎜

の 点)

問 題1・20図1・63の Nが

よ う に,b〔 ㎜

〕の 間 隔 で 反 対 向 きの 平 行 な ２力F1〔N〕,80

働 く と き,合 力 の 大 き さ60NがF1の

外 側 に80Nの

こ ろ に 生 じた とす る 。 こ の 場 合 のF1,bを

位 置 か ら,1500㎜

の と

求 め よ。

図

1・63

答(F1=140N,b=643㎜)

〔４〕 偶 力 と そ の 解 き方

大き さYが

等しく,平 行

で 反

対 向きの ２力 が，

一定 間隔で 働 く

よ

う な

１ 組

の 力 を 偶 力 とい う。 い ま,こ

の ２力 を そ れ ぞ れF1,間

１ と す れ ば(図1・64参

隔 を

照),

偶 力 の 合 力=０ 偶 力 の モ ー メ ン ト=F1・l

}

(1・24)

図 と な る 。 ま た,lを

偶 力の 腕

  こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,間 F1と2F1が

働 く と き,合

1・64

と い う。

隔 ｌの 両 端 に,平

力F=2F1-F1=F1,そ

行 で 反 対 向 き の ２力

の 位 置 ０ は,2F1の

外側 に

で あ る こ とが わ か る(図1・65(a))。  こ こ で,2F1を

小 さ く し てF1に

近 づ け る と,図1・65(b),(c)の

よ う に な り,

つ い に 偶 力 と な る(図1・65(d))。  こ れ よ り,合 が わか る。

力 の 位 置 ０ は 無 限 に 遠 く な る と 同 時 に,合

力 は ０に な る こ と

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

図

1・65

図

1・66

(ａ)

(ｂ)

偶 力 の モ ー メ ン ト は,図1・66(a),(b)の く,F1・lと

よ う に,回

転 軸 Ｏの 位 置 に関 係 な

な る こ とが わ か る 。

例 題1・23図1・67で,そ

れ ぞ れ ２組 の 偶 力 の モ ー メ ン ト を 求 め よ。 ま た,

偶 力 の モ ー メ ン トの 和 を 求 め よ。 〔考 え 方 〕 式(1・24)の 考 え 方 に よ り,そ れ ぞ れ ２組 の 偶 力 の モ ー メ ン トを 求 め,さ ら に そ れ ら の 代 数 和 を求 め る。 〔解 き 方 〕 F1に

よ る 偶 力 の モ ー メ ン ト=-50×100=-5000〔N・

㎜

〕

F2に

よ る 偶 力 の モ ー メ ン ト=80sin30°

×120=4800〔N・

㎜

偶 力 の モ ー メ ン トの 和=(-5000)+(+4800)=-200〔N・

㎜

答(-5000N・

図

例 題1・

２４

㎜,4800N・

さ1200㎜

〕

㎜,-200N・

図

1・67

図1・68は,幅900㎜,長

〕

㎜)

1・68

の テ ー ブ ル で あ る。 四 隅

に 図 の よ うな 偶 力 が働 く と きの 偶 力 の 和 を求 め よ。 〔

考 え 方〕100Nに

よ る偶 力 の 腕 は,テ

ー ブ ル の 対 角 線 で あ る か ら,こ れ は 三 平 方

の 定 理 を用 い れ ば よ い 。 〔解き方〕 テ ー ブ ル の 対 角 線 の 長 さ は,

偶 力 の 和 は,

答(-162kN・

図

1・69

㎜

〕

問 題1・21図1・69の

よ う な 円 板 に,200㎜,300㎜,500㎜

の 腕 を も つ ３組 の

偶 力 が 働 い て い る 。 こ れ らの 偶 力 の 和 を求 め よ。 答(13.5kN・

1・4力

㎜)

の つ り合 い

〔１〕 １点 に 働 く力 の つ り合 い

(ａ)つ

り合 い と 合 力

  物 体 に,い

くつ か の 力 が 働 く と き,全

態 に あ れ ば,こ   ま た,つ

体 と し て 力 が 働 か な い の と 同 じ状

れ ら の 力 は 互 い に つ り合 い の 状 態 に あ る と い う 。

り合 い の 状 態 に あ る 力 の 合 力 は ０ と な る。

全 体 と し て 力 が 働 か な い の と 同 じ状 態 と い う こ と と,合 は,全

力 が ０に な る こ と と

く同 じ こ と で あ る 。

(b)2力

の つ り合 い

  １点 に 働 く ２力 が,つ き は,２

り合 い の 状 態 に あ る と

力 は 互 い に 大 き さ が 等 し く,向

きが 反

対 と な る(図1・70)。

図

(c)3力

1・70

の つ り合 い

１点 に 働 く ３力 が,つ

り合 い の 状 態 に あ る と き は,２

力 の 合 力 と残 りの

１力 と は 互 い に 大 き さ 等 し く,向

きが 反 対 とな る。

こ の 場 合,“ 力 の 三 角 形 は 閉 じ る ” と も い う。

《ラ ミー の 定 理 》

(ｂ)参

(ａ)

考 図,(ａ)と

同 じ効 果 を もつ

図 1.71

１点

０ に お い て,３

力F1,F2,F3が,F1とF2,F2とF3,F3とF1の

1それ の な す 角 θ3,θ1,θ2で

つ り合 う と き,次

そ れ1

の 関 係 が 成 り立 つ(図1・71)。

(1.25) こ の 関 係 式 を ラ ミー の 定 理 と い う。   こ の 成 り立 ち を 調 べ て み よ う 。 図1・71の F2,F3の

よ う に,F1方

向 を Ｘ 軸 と す れ ば,

Ｙ 軸 成 分 は 互 い に 反 対 向 き で 等 し い か ら,

F3方 向 を Ｘ 軸 とす れ ば,同 様 に して,

が 得 ら れ,式(1・25)

が 成 り立 つ こ とが わ か る。

問 題1・25図1・72の

よ う に,ひ

もAOBで

つ り 下 げ ら れ た100N相

当の荷

重 に よ るOA,OBの  〔

考 え 方

引張 力 を求 め よ。

〕 図法 な らば,100Nに

対 し て 反 対 向 きの100Nを

考 え,こ

れ を対 角 線 と

す る 平 行 四 辺 形 を作 っ て 求 め れ ば よ い 。 計 算 に よ る ２例 を考 え て み る と,一 つ は,垂 直 方 向,水

平 方 向 い ず れ も合 力 の 成 分 が ０に な る とい う考 え 方 。 も う一 つ は,ラ

ミー

の 定 理 を用 い る こ と,と が 考 え られ る。

図

  〔解 F1,F2の

1・72

き方〕 図 法 は 省 略 。 くそ のI>OA,OBの 垂 直 分 力 の 和 は100Nに

そ れ ぞ れ の 張 力 をF1,F2と

等 し い こ と,ま

た,F1,F2の

す れ ば,

水 平分 力 も等 しい こ

と か ら,

(１)

(２)

F1=50〔N〕

F2≒86.6〔N〕

が 得 られ る。 ラ

ミー の 定 理(式(1・25))か

ら,

答(F1=50N,F2=86.6N)

問 題1・22図1・73の F1〔N〕,さ

よ う に,Ｘ

軸 の 正 方 向 に20N,そ

れ か ら左 回 転60° の 方 向 に

らに 加 え て165° の 方 向 にF2〔N〕 の 合 計 ３力 が 原 点 で つ り合 っ て い る。 こ

の場 合 の ２力F1,F2を

ラ ミー の 定 理 を使 っ て 求 め よ。 答(F1=54.6N,F2=66.9N)

図

(d)4力

以 上 の つ り合 い

  １点 に 多 数 の 力 が 働 き,つ 垂 直 分 力 の 総 和 は,と   い ま,ｎ 分

1・73

り合 う と きは,そ

もに ０ とな る(合 力 が ０ と同 じ)。

個 の 力F1,F2,F3,…

を そ れ ぞ れX1,X2,X3,…

れ ぞ れ の 水 平 分 力 の総 和,

…,FnのX,Yの …,Xn,Y1,Y2,Y3,…

直 角 座 標 軸 方 向 の 成 …,Ynと

す れ

ば, X1+X2+X3+… Y1+Y2+Y3+… と な る(図1・74)。

…Xn=0 …Yn=0

}

(1・26)

(ａ)

(ｂ)直 角 分 力 の つ り合 い

図

例 題1・26図1・75の

よ う に,1点

1・74

Ｏ に ４ 力 が 働 く と す れ ば,こ

れ ら とつ り

合 う力 Ｆ の Ｘ 軸 成分 と Ｙ 軸 成 分 とを求 め よ。 〔考 え 方 〕 Ｆ を 含 め て,Ｘ る こ と を 考 え,式(1・26)を

図

軸 成 分 の 総 和 と,Ｙ

軸 成 分 の 総 和 は,そ

用 い る。

1・75

図

〔 解 き 方 〕 Ｆ の Ｘ 軸 成 分 をFxと

す れ ば(図1・76),

1・76

れ ぞれ ０ とな

Ｆ の Ｙ軸 成 分 をFYと

す れ ば,

答(つ

問題

1・23図1.77の

わ た って,原

よ

う に,Ｘ

り合 力 の Ｘ 軸 成 分35.9N,Ｙ

軸 か ら 左

点 に20N,40N,40N,30N,30Nの

ま わ

軸 成 分-18.5N)

り に45°,120°,220°,240°,330°

に

５力 が 働 い て い る。

  こ れ ら ５力 とつ り合 う 力 を Ｆ と す れ ば,Ｆ 答(Ｘ

の Ｘ 軸 成 分 と Ｙ 軸 成 分 と を 求 め よ。 軸 成 分+25.6N,Ｙ

軸 成 分+17.96N)

図1・77

〔２〕 着 力 点 の 違 う力 の つ り合 い (ａ)偶

力 の つ り合 い

 一般に,偶力は合力が０であるが,つり合わない何組かの偶力が全体として,全く打ち消し合うとき

(図1・78)。

図1・78

(ｂ)着

力 点 の 違 う多 数 の 力 の つ り合 い

  着 力 点 の 違 う多数 の 力 が つ り合 うため に は,次

の二つ を同時に満 足 しな

け れ ば な らな い。

 ①合力が０であること。 ②任意の点のまわりのモーメントが０であること。 た と え ば,偶 力 は ① の み が 成 り 立 ち,モ ー メ ン トが 残 っ た 場 合 つ り合 わ な い 。 図1・79は,②

の み が 成 り 立 ち,合

力 が 残 っ て つ り合 わ な い 場 合 の 例 で あ

る 。

図   一 般 に,多

数 の 力F1,F2,F3,…

をX1,X2,X3…

…

…,Y1,Y2,Y3,…

1・79

が 物 体 に働 … と し,任

れ の モ ー メ ン ト をM1,M2,M3,…

…

く と き,直

角

２方 向 の 分 力

意 の 点 ０ の ま わ りの そ れ ぞ

と す れ ば,

(1・27)

こ れ が

例 題1・27高

つ

り

合

いの条 件式である。

さが300㎜

,150㎜

の 正 三 角 形 が 図1・80の

と き,各 頂 点 に 図 に示 す よ うな 力 が働 く もの とす れ ば,こ い の状 態 に あ るか な い か,理

由 を述 べ て 説 明 せ よ。

よ う に位 置 す る

れ らの 力 は,つ

り合

図1・80

  〔 考え 方〕 合 力,モ

ー メ ン トの そ れ ぞれ の 総 和 が,解

答の ポ イン トとな るこ とに気

づ け ば よ い。 合 力,モ

ー メ ン トの 両 方 と も ０な ら ば つ り合 うが,ど

ち らか 片 方 ま た は

両 方 と も ０で な い と き は つ り合 わ な い 。 式(1・27)を 用 い る。   〔解き 方〕 中心 Ｏ を原 点,水 の Ｘ 軸 方 向 成 分 の 総 和,同 れFX,FY,Mと

  Fx〓0,FY=0(合

平 方 向 を Ｘ 軸,垂

直 方 向 を Ｙ 軸 と し,お

じ く Ｙ 軸 方 向 成 分 の 総 和,モ

の お の の力

ー メ ン トの 総 和 を,そ

れぞ

お け ば,

力=0)お

よ びM=0に

よ り,題

意 に よ る 力 は,つ

り合 い の 状

態 に あ る。 答   (FX=0,FY=0,(合

問 題1・24例

題1・27の

高 さ300㎜,150㎜

力=0),M=0で

つ り合 っ て い る)

の 正 三 角 形(図1・80)の

底 辺 を Ｘ軸,

そ の 左 端 を 原 点 と し て,全 総 和FY,お

７力 の Ｘ 軸 方 向 成 分 の 総 和Fx,同

よ び モ ー メ ン トの 総 和 Ｍ を 求 め よ(図1・81参

じ くＹ 軸 方 向成 分 の

考)。

答   (Fx=0,FY=0,(合

図1・81

問 題1・25前

力=0),M=0)

図1・82

問 と同 様 に し て,例 題1・27の

内 側 の 正 三 角 形 の 底 辺 左 頂 点 を 原 点,

そ の 左 斜 辺 を Ｘ 軸 と した と き の 同 じ全 ７力 の Ｘ 軸 方 向 成 分 の 総 和FX,同 方 向 成 分 の 総 和FY,モ

ー メ ン トの 総 和 Ｍ を そ れ ぞ れ 求 め よ(図1・82参 (答  Fx=0,FY=0,(合

じくＹ軸 考)。

力=0),M〓0)

(ｃ)  平 行 力 の つ り合 い

  図1・83は,長 え た と き,支

さ ｌの 棒ABを

両 端 で 支 え,任

え た 点(こ れ を 支 点 と い う)A,Bに

れ を 反 力 と い う)RA,RBを つ り合 い の 条 件 か ら,次

生 ず る 。 距 離ACを

意 の 点 Ｃ に 荷 重 Ｗ を加 荷 重 と 反 対 向 き の 力(こ ａ,CBを

ｂ と す れ ば,

の 関 係 が 成 り立 つ 。

(1・28)

図1・83

理 由 は,つ

り合 い の 条 件 か ら,合

力 は0に

な る の でW-RA-RB=0,こ

れ

よ り,W=RA+RBが な る の で,Ｂ

得 ら れ る 。 ま た,任

意 の 点 の ま わ りの モ ー メ ン ト も ０ と

点 の ま わ り の モ ー メ ン トは,し

っ て,と

たが

な る 。 さ ら に,

と な る 。 こ れ は,Ａ

点 の ま わ りの モ ー メ ン トか ら も

得 ら れ る こ とは も ち ろん で あ る。

例題1・28 か ら800㎜

支 点A,Bで,水

平 に 支 え た 長 さ2000㎜

の 点 に 重 さ200Nの

の棒 が あ る。 支 点 Ｂ

お も り を か け る と,支

点A,Bの

反 力 は,

そ れに ぞ れに い ぐ らに な るか 。 〔考 え 方 〕 任 意 の 点 の ま わ りの モ ー メ ン トの 総 和 が ０に な る こ と を考 え る。 特 に, 単 位 に 注 意 す る こ と。 式(1・28) 〔解 き 方 〕

支 点A,Bの

反 力 をRA,RBと

す れ ば,

答   (支 点 Ａ の 反 力80N,支 問 題1・26

図1・84の

よ うに,支

  棒 の Ａ 側 か ら100㎜,200㎜ て い る とす れ ば,支

点A,Bの

点A,Bに

支 え ら れ た長 さ500㎜

の ２箇 所 に そ れ ぞ れ20N,30Nの 各 反 力RA,RBは,そ

点 Ｂ の 反 力120N) の棒 が あ る。 荷 重 が加 わ っ

れ ぞ れ い く らに な る か 。 答   (RA=34N,RB=16N)

図1・84

問 題1・27

前 問 に さ ら に 加 え て,図1.85の

図1・85

よ う に棒 の Ａ 側 か ら300㎜

の ところ

に,あ

る 大 き さ の 荷 重Wxを

この 場 合 の 各 反 力RA,RBと

か け て,A,B支 荷 重Wxの

点 の 各 反 力RA,RBを

等 し く し た い。

大 き さ を 求 め よ。 答(RA=RB=70N,Wx=90N)

問 題1・28図1・86の   こ の 棒 に,Ａ

よ う に,支

点A,Bで

側 か ら200㎜,300㎜

支 え ら れ た 長 さ400㎜ の と こ ろ に50N,50Nの

か り,こ れ と別 に 長 さ200㎜

の 棒 が Ｃ 点 を 支 点 と して 支 え ら れ,Ｃ

端 に10Nの

荷 重 が,ま

れ と反 対 側50㎜

か ら10㎜

の 点 に 対 し て か か っ て い る。 こ の 場 合 の 力 Ｆ,反

た,こ

の 棒 が あ る。 等 しい荷 重 が か よ り150㎜

の

の 端 に 上 向 き に 力 Ｆ が 棒ABの

Ａ

力RA,RBの

大 き さを

求 め よ。 答   (F=30N,RA=15N,RB=55N)

図1・86

問 題1・29図1・87の Cと

し て 支 え,Ａ

〔N〕,100Nの

よ う に,長

さ600㎜

の 棒ACの

か ら100㎜,200㎜,500㎜

両 端 と 中 心 を支 点A,B,

の と こ ろ に,そ

荷 重 を か け る も の と す る 。 こ の 場 合,反

図1・87

力RA,RB,RCが

れ ぞ れ20N,F 等 し くな る

よ うに す る た め に は,荷 重 Ｆ を何 Ｎ に す れ ば よい か 。

答   (F=160N)1・5 トラスに働く

〔 １〕 

トラ ス の 意 味

  直 線 状 の 部 材 を 結 合 し て,組

み 立 て た 骨 組 構 造 の 各 部 材 を組子

結合点 を 節 点

と い う 。 節 点 が ピ ン 結 合 で,回

ぶ 。 ま た,組

子 が す べ て 同 一 平 面 内 に あ る も の を平面トラス

を立体トラス

と い う(図1・88(a),(b))。

(ａ)平

と い い,

転 で き る 構 造 物 を ト ラス と 呼

面 トラ ス

(ｂ)立

立 体 的 な もの

体 トラ ス

図1・88

  節 点 が ピ ン 結 合(滑 に,ラーメン

接)で な く,完

と 呼 ぶ 。 こ こ で は,平

全 固 定(剛 節)を

含 ん だ 骨 組 構 造 物 を,特

面 トラ ス を 学 ぶ こ と に し よ う 。

  《 トラ ス の 組 子 の 性 質 》  (図1・89(a),(b)) ①

各 組 子 に は,組

②

組 子 が 両 端 の 節 点 か ら 受 け る 力 は,大 る。

子 の 軸 線 方 向 に 力 が 働 く。 き さ が 等 し く,向

きが 反対 で あ

③

引 張 力 を受 け る組 子(引 張 材),圧 縮 力 を受 け る組 子(圧 縮材)は,い

ずれ

も内 部 に,元 の 長 さ に戻 そ う とす る抵 抗 力(応 力)が 発 生 す る。

(ａ)引

(ｂ)圧 縮 材

張 材

図1・89

  〔 ２ 〕 

   

トラ ス に 働

トラスで

に 働

は,各

く 力の合

く力 の 計 算 法

節

点に 働

力は,そ

れ ぞれ

例 題1・29図1・90(a)は,２ Nの

荷 重 が 働 く と き,反

く 力 はつ

り 合って

い

る。 い い か え れ ば,各節点

０となる。

点A,Bで

支 え られ た トラ ス で あ る 。 点 Ｃ に100

力RA,RBと,各

組 子 に 発 生 す る 応 力 の 大 き さ,種

類(引 張 力 か 圧 縮 力 か)を 求 め よ。   〔考 え 方 〕 各 節 点 で は,つ 水 平 分 力 の 和,お い 。 た だ し,注 働 き,つ

り合 っ て い るの で,各

よ び 同 じ く垂 直 分 力 の 和 が,そ

節 点 ご と に働 い て い る全 部 の 力 の れ ぞ れ ０に な る こ と を 考 え れ ば よ

意 し な け れ ば な ら な い の は 正 負 の 符 号 の 用 い 方 で あ る。 物 体 に 外 力 が

り合 う と きは,物

とか ら,符 号 は 一 般 に,圧 対 す る応 力 を+と

体 内 に 外 力 と大 き さ 等 し く,反 対 向 きの 応 力 が 発 生 す る こ 縮 力 を+,引

張 力 を-,圧

縮 に 対 す る応 力 を-,引

張 りに

して 用 い る。

  〔 解 き 方 〕 点A,Bの

反 力 をRA,RBと

す れ ば,荷

重 の 作 用 線 がABの

中 点 を通

るか ら, (１)

(ａ) (ｂ)

(ｃ)

(ｄ)

図1・90

点 Ａ の つ り合 い(節

点 よ り右 を正,左

を 負,上

を 正,下

を 負 で 表 す)

(水平 方 向)(図1・90(b))(２)

(垂直方向)(３) 式(２)か ら,

(４) 式(３)か ら,

(圧縮)(５) 式(５)を 式(４)へ 代 入 し て,

(引張 り) 点 Ｃ の つ り合 い (水平 方 向)(図1・90(c))(６)

(垂直 方 向)(７) 式(６)か ら,

式(７)か ら,

点 Ｄ の つ り合 い (引張 り) 反 力 は 点A,Bと

答

(

BDと

もに50N,応

も に86.6N(引

力 はAC100N(圧

張 り),BC100N(圧

縮),CD0(こ

縮),AD, の組 子

は力 学上 不要 で あ る)

例 題1・30図1・91に

よ り,組

子AC,BCに

発 生 す る 応 力 の種 類 と大 き さ を

求 め よ。 〔考 え 方〕 点 Ｃ に お け る 力 の つ り合 い を 考 え る。

〔解き 方〕 水 平方 向 のつ り合 い

(１)

垂 直 方向 のつ り合 い

(２)

式(１)-式(２)か

ら, (３)

図1・91

(圧縮) こ れ を 式(１)へ 代 入 す る と,

(引 張 り) 答(各

応 力 はAC;9659N(引

)

張 り),BC;13660N(圧

縮))

例

題1・31

図1・92に

〔 考 え 方 〕 点C,Dに

よ り,各

組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ 。

お け る力 の つ り合 い を考 え る。

〔解 さ 方 〕 点 Ｃ の つ り合 い

図1・92

(水平方向)(１) (垂直方向)(２) 式(２)か

ら,

(引 張 り) これ を 式(１)に 代 入 し て, (圧縮) 点 Ｄ の つ り合 い

(水平 方向)(３) (垂直方 向)(４) 式(４)か

ら,

(圧縮)

こ れ を 式(３)に 代 入 して,

(引 張 り)

答

各 応 力 はAD;2732N(引

(

BC;1000N(圧

例 題1・32図1・93で,各

張 り),BD;2000N(圧 縮),DC;1414N(引

縮)

張 り)

)

組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ 。

図1・93

  〔考 え方 〕 順 序 と して,点

Ｄ,点

Ｃ の 順 に つ り合 い を考 え る。 なぜ な ら,CDの

力 が わ か っ て い な い か ら。 〔解 き方 〕 点 Ｄ の つ り合 い

(水平方向)(１) (垂直方向)(２) 式(２)か

ら,

(圧 縮) こ れ を 式(１)に 代 入 して, (引 張 り) 点 Ｃ の つ り合 い

(水平方 向)(３) (垂直方 向)(４) 式(４)か

ら,

(引 張 り)

応

こ れ を 式(３)に 代 入 して,

答

各 応 力 はAD;866N(引

(

BC;2598N(圧

例 題1・33図1・94に

よ り,反

類 を 求 め よ。 な お,点

Ｂ は,こ

張 り),  AC;2000N(引 縮),CD;1000N(圧

力RA,RBお

縮)

張 り)

)

よ び各 組 子 の 応 力 の 大 き さ と種

ろ で支 持 され て い る もの とす る。

図1・94

  〔考 え方 〕 点 Ａ の つ り合 い で は,未

知 数 が 三 つ(FAD,FAE,FAB)あ

式(連 立 方 程 式)で は 解 け な い 。 そ こ で,点

る の で,二

つの

Ｄ の つ り合 い か ら求 め る の が よ い 。

〔 解 き方 〕 点 Ｄ の つ り合 い

式(１)よ

-FAD

cos

60°+F

-FAD

sin 60°-FDE

DE cos sin

30°=0(水 30°-400=0(垂

平 方 向)(１) 直 方 向)(２)

り,

(３)

式(2)よ

り,

(４) 式(3)+√3×

式(４)か

ら,

(圧縮) こ れ を 式(３)に 代 入 して,

(圧縮) 点 Ａ の つ り合 い FAB+FAE FAE 一 方

,反

Sin

cos

30°+FAD

30°+FAD

cos

60°=0(水

Sin 60°+RA=0(垂

(５)

平 方 向)

(６)

直 方 向)

力 は,

(対称 形) ま た,式(５)か

(７)

ら, (８)

式(６)か

ら, (９)

よ り,式(９)か

ら,

こ れ を式 ８ に代 入 して,

同 様 に し て,点 FADと

Ｃ の つ り 合 い か らFDEと

同 じ く,FBC=-346〔N〕(圧

Ｂ 点 の つ り合 い か ら,FAEと 反 力 はRA,RBと

答

(

DE,CE;200N(圧

同 じ く,FCE=-200〔N〕(圧

縮)

縮) 同 じ く,FBE=-200〔N〕(圧 も に400N,各

縮)

縮),AE,BE;200N(圧

組 子 の 応 力 はAD,BC;346N(圧 縮),AB;346N(引

縮) 張 り)

)

〔注 〕

Ｅ 点 の つ り合 い は 考 え な か っ た が,計

BEは,い

ず れ も200Nの

圧 縮 で,合

算 の 結 果 か ら 組 子DE,CE,AE,

力 が0と

な る こ とが わ か る。 こ の よ う に,

  トラ ス の 計 算 で 用 い な か っ た 節 点 に つ い て も,つ 問 題1・30図1・95に

示 す トラ ス の,各

  た だ し,Ｂ 点 に は 荷 重100Nが

り合 い を確 か め て み る と よ い 。

組 子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を求 め よ。

か か っ て い る もの と し,組 子 の 重 さ は 考 え な い も

の とす る。 各 組 子 の 応 力 はAB;100N(引

答

張 り),BC;173.2N(圧

AC;173.2N(圧

縮),AD;200N(引

CD;173.2N(圧

縮),CE;173.2N(圧

（

縮),

張 り), 縮)

)

図1・95

問 題1・31図1・96の 組 子AB,BCの

よ う に,荷

重100Nの

台 の 脚 部 を トラ ス に し て 支 え た と き,

応 力 の 大 き さ と種 類 を 求 め よ。 た だ し,平

面 的 に考 え る もの とす

る。

図1・96

答   (各 組 子 の 応 力 はAB;86.6N(圧

縮),BC;50N(引

張 り))

問 題1・32図1・97は,前

問 の ２支 点 を組 子BEで

  こ の 場 合 の 組 子AB,BC,BEの 答(各

結 ん だ場 合 を示 して い る。

応 力 の 大 き さ と種 類 を求 め よ 。

組 子 の 応 力 はAB;38.5N(圧

縮),BC;33-3N(圧

縮),BE;48.1N(引

張 り))

図1・97

〔３〕

トラ ス の 図 式 に よ る解 き 方

(ａ)バ

ウの 記 号 法

図1.98(a)の

よ う に,力F1,F2,…

… の 作 用 線 で 区 切 ら れ た 場 所 に Ａ,

(ａ)

(ｂ) 図1・98

Ｂ,… A,Bに F2の

… の 記 号 を つ け,図(ｂ)の

よ う に,F1よ

は さ ま れ た Ｆ1の ベ ク トル に はab,同 ベ ク トル に はbc,…

… と,場

り 力 の 多 角 形 を 描 き,場 じ くB,Cに

所

は さ まれ た

所 と力 を 関連 づ け た 記 号 を用 い て 図 の

よ うに 表 す 方 法 をバ ウ の 記 号 法 とい う。

(ｂ)支

点 の 反 力 の 求 め 方(図 式 に よ る)

図1・99(a),(b),(c),(d)に

よ り,反

力R1，R2を

次 の よ うに して 求 め る。

(ａ) (ｃ)

(ｄ)

(注):

(

A,B,…,a,b,…

は

)

バ ウ の 記号 法 に よ る 。

(ｂ) 図1・99

①

荷 重 の ベ ク トルabを

引 く(図(ｃ))。

②

Ｗ の ベ ク ト ル の 横 に 任 意 の 点 Ｏ を と り,線

分Oa,Obを

引 く(図

(ｃ))。

③R1の

作 用 線 上 に 任 意 の 点 １を も うけ,Ｗ

平 行 な1-2を ④2よ

りR2の

の 作 用 線 ま で 線 分Oaに

引 く(図(ｂ))。 作 用 線 ま で,線

分bOに

平 行 な 線 分2-3を

引 く(図

(ｂ))。 ⑤1と ⑥

３ を 線 分 で 結 ぶ(図(ｂ))。 線 分1-3に

平 行 な 線 分Ocを

で き 上 っ た ベ ク ト ルca,bcは,反 (ｄ))。

引 く(図(ｃ))。 力R1,R2の

大 き さ を 示 す(図

  こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 図1・100に ベ ク トルOa,bOで -2方

向 で

,Ｗ

お い て,①

の 分 力 のOaと

向 で Ｗ の 分 力Obと

R1,同

②R1は

つ り合 う 力 お よ び 線 分1-3方 ③R2も

つ り合 う 力 お よ び 線 分1-3方

力 と に 置 き 換 え ら れ る(図(a),(d))。 は,R1,R2の

ク トルab)は,

置 き 換 え ら れ る(力 の 三 角 形,図(a),(b))。

と つ り 合 う 力 と に 置 き 換 え ら れ る(図(a),(c))。 -3方

荷 重 Ｗ(ベ

じ くベ ク トルcO,Obの

向 でR2の

合 力bcがR2と

分 力

同 様 に し て,線

分2

向 で の 分 力 とつ り合 う

④ 結 果 と し て 線 分1-3に

互 い に 打 ち 消 し合 う 分 力 と な り,ベ

線 分1

平 行 な 線Oc

ク トルaO,Ocの

合 力caが

な る こ と が わ か る(図(a),(c),

(d))。

(ｂ)

(ｃ) (ｄ)

(ａ) 図1・100

(ｃ)ト

ラ ス に働 く力 の 求 め 方(図 式 に よ る)

図1・101(a)で,ト

ラ ス に 働 く力 の,図

式 に よ る 解 き 方 を 示 せ ば,次

の よ

う に な る。

①

各 力 の 作 用 線 で 区 切 ら れ た 場 所 にA,B,C,Dの

記 号 を入 れ る

(図(ｂ))。 ②

バ ウ の 記 号 法 に よ り,大

き さの わ か っ た力 を含 む 節 点 か ら順 次 力 の

  多角 形 を 次 の 要 領 で 作 って い く。 節 点3

ab…

… 鉛 直,ad…

… 右60°

上,bd…

… 右30°

下(図(ｃ))

節 点1ac…

… 鉛 直,ad…

節 点2bd…

… 左30° 上, dc… … 水 平,  bc… … 垂 直   (図(ｅ))

完 成 図 に よ りＷ(ベ

… 右60°

ク トルab)の

上,dc…

… 水 平(図(ｄ))

長 さ を 基 準 に,各

矢 印 の 長 さ を 測 っ て,

各 応 力,各

反 力 の 値 を 求 め る こ とが で き る(図(ｆ))。

  な お,矢

印 の 向 き は,そ

(-),内

の 節 点 で 各 組 の 応 力 を示 す か ら,外

向 き は 引 張 り(+)を

向 きは 圧 縮

表す。

(ｅ)節

点 ２

(ａ)

(ｃ)節

点３

(ｆ)完 成 図 (ｂ) 図1・101

例 題1・34図1・102(a)の

ト ラ ス で,反

さ と種 類 を 図 式 で 求 め よ 。 た だ し,Ｗ   〔 考え 方〕

(ｄ)節 点１

力R1,R2お は100Nと

よび各 組子 の 応力 の 大 き す る。

力 の 大 き さが 与 え ら れ て い る 節 点 の 位 置 を考 え た う え で,解

序 を 決 め る。 こ の 問 題 の 場 合 は,荷

重 Ｗ の か か る 節 点 は,力

く節 点 の 順

の 多角 形 が 四 辺 形 で 作

図 で き な い か ら,反 力 か ら求 め る と よ い 。 〔解 き 方

〕 ①

図(ｂ)の

に 適 当 な 番 号1,2,3,4を ②

図1・99の

よ う に 右 ま わ り に 区 域A,B,C,D,Eを

記 入 し,節

点

つ け る。

方 法 で,図1・102(b),(c)を

作 る と,ベ

ク トルcbはR1を,ベ

ク トル

(ｃ) (ａ)

(ｄ)

(ｅ)

(ｆ)

(ｂ) 図1・102

acはR2を ③

表 す。

節 点1∼4に

従 っ て,力

ベ ク トルabの め,矢

答

の 多 角 形 を 作 る(図(d),(e),(f))。

長 さ を 基 準 に,各

ベ ク トル の 大 き さ を 測 っ て ,そ

れ ら の 値 を求

印 の 向 き で応 力 の種 類 を知 る こ とが で き る。

反 力ac(R2)75N,反

力cd(R1)25N,各

(

(圧 縮),ce86.6N(圧

縮),ea43.3N(引

応 力 はbd43.3N(引 張 り),de100N(引

(c)節

(ｄ)節112

(ｅ)節

図1・103

張 り)

(ｆ)完 成 図

点 １

(a)

(b)

張 り),dc50N

点3,4

)

例 題1・35図1・103(a)の

トラ ス で 反 力,組

子 の 応 力 の 大 き さ と種 類 を,そ

れ

ぞ れ 図 式 に よ って 求 め よ。   〔考 え方 〕 作 図 の順 を考 え て 節 点 に 番 号 を つ け るの も よ い 。 区 域 の 符 号 は 壁 の と こ ろ で ２つ に 分 か れ な い こ と に 注 意 す る。 〔解 き 方 〕

500Nの

図1・103(b),(c),(d),(e),(f)の

よ うに 作 図 を進 め る。

ベ ク トル を基 準 に 各 ベ ク トル を測 って,次

答

ab(反

力R3)2790N(引

(

張 り),da(反

各 応 力 はbe866N(引

例 題1・36図1・94の

の 値 を 知 る こ とが で き る。

張 り),ae

ト ラ ス で,節

力R4)2600N(圧

2000N(引

縮),

張 り),ec

点 Ｄ の 荷 重 だ け600Nに

1000N(圧

縮)

)

変 え た場 合 図 式

に よ り反 力,組 子 の 応 力 を求 め よ 。

(ｃ)節

(ａ)

(ｅ)節

点 １

(ｄ)節

点 ２

(ｂ)

点 ３

(ｆ)節

点 ４

(ｇ)節 点 ５

(ｈ)完 成 図

図1・104

  〔考 え方 〕 こ の 場 合 は,手

始 め に 反 力 を求 め て か ら,解

きや す い 節 点 の 順 を考 え る

の が よい。 〔解 き 方 〕

図1・104(a),(b)の

場 合 は,ベ

ク ト ルab,bcの

和 を 作 り(図(ｂ)),各

力

の 三 角 形 を 作 っ て か ら,R2の aO,bO,cOに

作 用 線 上 よ り600N,400N,R5の

そ れ ぞ れ 平 行 な線 分 を 引 き(図(a)),R2の

い た 線 分 に 平 行 な線dOを

引 く と(図(ｂ)),ベ

各 作 用 線 の順 に

出 発 点 か らR5の

ク トルda,cdは

終 点 に引

そ れ ぞ れR2,R5を

示

す。  以 下,節

点1∼5に

従 っ て 解 く と(図(c)∼(g)),完

っ て値 を 求 め る と,次

の答 えの よ うにな る。

反 力R2;550N,R5;450N,応

答

(

eg;200N(圧 346N(圧

力ae;520N(圧

縮),gd;433N(引

反 力R3,R4の

題1・31の

（

Ｎ(圧

図1・92と

張 り),反

力R3;2730N(引

縮),ad;2000 張 り),

縮)

図1・105

問 題1・34図1・106の

)

同 じ も の で あ る 。 今 度 は,図

張 り),cd;1000N(圧

縮),bd;1414N(引

R4;2910N(圧

縮),fc;

大 き さ と種 類 を求 め よ 。

各 組 子 の 応 力ab;2730N(引

答

縮),

縮)

組 子 は,例

式 に よ り,各 組 子,各

縮),eb;300N(圧

張 り),bf;200M(圧

縮)gf;300N(圧

問 題1・33図1.105の

成 図(ｈ)を 得 る。 各 ベ ク トル を 測

よ う な トラ ス の 各 組 子 に 働 く各 応 力 の 大 き さ と 反 力R5,R6

図1・106

）

の 大 き さ を 図 式 に よ り求 め よ 。 ab(反

答

力R6);250N(圧

(

縮),bc(反

応 力ad;250N(圧

af;200N(圧

縮),de;86.6N(圧 縮),ce;173N(引

力R5);150N(引 縮),ef;173N(圧 張 り),bd;0,cf;173N(引

張 り), 縮), 張 り)

)

1・6  物 体 の 重 心

〔１〕   重 心 の位 置

  物 体 を 多数 の小 部 分 の 集 ま り とみ な す と き,各 小 部 分 に働 く重 力 の 合 力 の 着 力 点 を重 心 とい う。   重 心 の位 置 は,一 般 に,こ

の 合 力 の 着 力 点 の座 標 で 表 す こ とが で き る。

  い ま小 部 分 の 重 さ(重 力 の 大 き さ と し て)を 図1・107の

よ う に,

  これ らの 各 座 標 を,

  物 体 の 重 さ(重 力 の 大 き さ)を,

  重 心 の座 標 を, 図1.107

と す れ ば, ｘ 軸 の ま わ りの モ ー メン ト ｙ軸 の ま わ りの モ ー メン ト

重 心 の位 置 は, *  ｘ バ ー

,ｙ

バ ー と読 む。

(1・29)

〔注 〕 密 度 が 一 定 な 物 体 の と き は Ｗ お よ びw1,w2,w3… 置 き換 え る こ と が で き,ま

た,密

… は,そ

れ ぞれ体 積 に

度 と厚 さ が 一 定 な物 体 の と き は,同

じ くそ れ ぞ

れ 面 積 に 置 き換 え る こ とが で き る。

例 題1・37 

300㎜

の 棒 の 両 端 に,重

力 の 大 き さ10N,20Nの

小物 体 をつ

け た 機 械 の 部 品 が あ る 。 棒 の 目 方 を 無 視 で き る も の と す れ ば,重 10Nの

側 か ら い く らの と こ ろ に な るか 。

  〔考 え 方 〕 Ｘ 軸,Ｙ

軸 を ど の よ うな 位 置 に し た ら よ い か を考 え る。

  〔解 き 方 〕 Ｘ 軸 を棒 の 軸 心 に 置 き,小

物 体10Nの

中 心 を 原 点,小

+側 と し,Ｙ 軸 は 原 点 を通 り Ｘ 軸 に 垂 直 とす れ ば,重

答   (重 心 の 位 置 は棒 の 軸 心 上 で,10N側

問

題1・35図1・108の

10Nで,こ

心 の位 置 は

よ う に,３

よ り20N側

個 の 鉄 球A,B,Cが,そ

に 向 い200㎜

間 が200mm,A-C球

間 が400㎜

の 位 置 は ど こ に 位 置 す る か 。 軸 心A-B,A-Cか 答   (A-Bよ

り,Ｃ

の とこ ろ)

角 をは さむ各 球

で あ る とす れ ば,全

体 の 重心

らの距 離 で示せ 。

側 に33.3㎜,A-Cよ

図1・108

り,

れ ぞ れ50N,60N,

れ らが 直 角 三 角 形 の 形 に 棒 で つ な い で あ る 。 こ こ で,直

間 の 距 離 はA-B球

物 体20Nを

心 の 位 置 は,式(1・29)よ

り,Ｂ

側 に100㎜)

〔２〕  簡 単 な 形 の重 心 の 求 め 方 前 頁 〔１〕の 〔注 〕に よ り,重 さ の一 様 な物 体(重 さの か わ りに体 積 が使 え る)あ る い は,重

さ が 一 様 で厚 み の 一 定 な 平 面 形(重 さの か わ りに 面 積 が 使 え る)に つ

いて 簡 単 な形 の 重 心 を求 め て み よ う。

(ａ)直 線 形 (ｂ)弓

形 (ｃ)円 弧

(ｄ)正 方 形 ・長 方 形 ・平 行 四 辺 形 ・ひ し 形 (ｅ)三 角 形

(ｆ)円 (ｇ)扇

(ｉ)直 方 体

(ｊ)球

形

(ｋ)半 球 図1・109

(ｈ)半 円

(ｌ)す い 形

(ａ)

(ｃ)

(ｂ)

(ｄ) 図1・110

な お こ こ で,図1.109に 〔注 〕 一 般 に,こ

「基 本 形 の 重 心 」 を あ げ て お こ う 。

れ ら の 図 形 の 重 心 を 利 用 して 解 く場 合 が 多 い の で,よ

く覚 え て お

こ う。

例 題1・38図1・110(a)∼(d)は,い

ず れ も均 質 な 板 ま た は 立 体 で あ る 。 そ れ ぞ

れ の 重 心 を求 め よ。   〔考 え 方 〕   い ず れ も,座 標 軸 の 位 置 の 決 め 方 ひ とつ で,計 に も な る か ら,よ え,座

く考 え て 決 め る。 要 点 は,な

る べ く 単 純 な 図 形 の 組 合 せ と して 考

標 軸 も 重 心 の 位 置 を示 しや す い と こ ろ に 決 め る の が よ い(単 位 に 注 意)。

  図 形 が 空 間 を も つ 場 合(た と え ば,図(ａ)で の 三 角 形,図(ｃ)で を+,空

算 が 容 易 に も,め ん ど う

は,二

は,80×90の

つ の 円 の よ うに),空

間 図 形 の 重 心 の モ ー メ ン トを-と

長 方 形,図(ｂ)で

は,み

ぞ

間 が な い もの と した 重 心 の モ ー メ ン ト

し て,代

数 和 を考 え れ ば よ い(図1・111参

照)。   〔 解 き 方 〕(ａ)90×30と10×90の を Ｘ 軸 と し,重 心 の 座 標 を(x,y)と

二 つ の 長 方 形 に 分 け,左 す れ ば,

端 の 縦 線 を Ｙ 軸,底

辺

図1・111

答(左  〔 別   解 〕90×120と80×90の

端 よ り30㎜

で,底

二 つ の 長 方 形 に分 け,前

辺 よ り35mmの

と こ ろ)

と同 様 に 座 標 軸 を 取 る と,

次 の よ う に 同 じ答 が 得 られ る。

  (ｂ)底 辺 を Ｘ 軸,縦

の 中 心 線 を Ｙ 軸 とす れ ば,Ｙ

軸 に 対 し て 対 称 形 で あ る か ら重 心

は Ｙ 軸 上 に あ る。 Ｇ の 底 辺 か ら の 座 標 を ｙ,長 方 形 の 重 心Gl,三 す れ ば,図1・112(a),(b),(c)の

(ａ)

角 形 の 重 心G2と

よ うに な り,

(ｂ) 図1・112

(ｃ)

答   (中 心 線 上 で 底 辺 か ら約17.1㎜)   (ｃ)図1.110(c)か 線 を Ｙ 軸,重

ら 重 心 Ｇ は,横

中 心 線 上 に あ る。 こ の 中 心 線 を Ｘ 軸 と し,左 端 縦

心 の Ｘ 座 標 を ｘ とす れ ば,

答   (中 心 線 上 左 端 よ り,96.3㎜   (ｄ)重 心 Ｇ は 中 心 線 上 に あ る(図1・110(d))。 考 え,中

心 線 上 の 左 端 を 原 点 と し,Ｇ

標 を そ れ ぞ れx1,x2,x3,同

立 体 を 半 球,正

の 座 標 を ｘ,半

じ く体 積 をvi,v2,v3と

四 角 柱,円

球 ・正 四 角 柱

の と こ ろ) 柱 に分 け て

・円 柱 の 重 心 の 座

す れ ば,

答   (中 心 線 上 で,左 側 頭 の 先 端 か ら32.3㎜

問 題1・36図1・113は,直

径200㎜,長

さ400㎜

図1・113

の 均 質 の 丸 棒 で,そ

の と こ ろ)

の右端か

ら同 心 円 で 直 径100㎜,奥 線 上 に あ る は ず で あ る が,そ

行 き300㎜

の 穴 あけ を した もので あ る。重 心 はセ ン タ

れ は左 端 か ら何 ㎜

の とこ ろにな るか。 答   (左端 よ り188.5㎜)

問 題1・37図1.114は,均

質 で 一 定 な 肉 厚 の パ イ プ の 両 端 を,中

に 線 対 称 に 曲 げ た も の で あ る。 両 端 の 円 弧 の 半 径 は100㎜,中 ㎜,両 に何 ㎜

弧 の 先 に は さ ら に100 ㎜

心 角90° の 円 弧 状 心 間 の 距 離 は300

の 直 線 部 が あ る。 重 心 の 位 置 は Ａ 点 か ら ど ち ら

に な るか 。 答   (Ａ よ り中 心 線 上 で 右 へ50.9㎜

図1・114

の と こ ろ)

２

運

動 2・1運

動

物 体 が 時 間 と と もに 位 置 を変 え る こ と を運 動 とい う。 こ こ で は,運 動 に つ い て 考 え て み よ う。

〔１〕   変位 と経 路

  物 体 が 位 置 を変 え る こ とを変 位 とい い,そ の 通 っ た路 を経 路 とい う。 変 位 は,始

点 と終 点 の 位 置 で 決 ま り,大 き さ ・方 向(向 き)を もつ の で ベ ク ト

ル 量 で あ る(図2・1)。

図2・1 

変 位 の ベ ク トルAB

図2・2 

図2・1に お い て,変 位 の 中間 点 を考 え,図2・2に トルABは,変

位 のベ ク トルACとCBと

変 位 ベ ク トル の 三 角 形

置 き換 え る と,変 位 の ベ ク

の 和 とな る こ とが 理 解 で き よ う。

〔２〕   直 線 運 動 と曲 線 運 動 (ａ)速

度 と相 対 速 度

時 間 に対 す る変 位 の 割 合 を速 度 と い う。 速 度 は,大

き さ,方 向(向 き)を

もつ の で ベ ク トル量 で あ る。 速 度 が 一 定 の 運 動 を 等速 度 運 動 とい い,時

間

ｔの 間 に 距 離 Ｓ だ け 動 く と きの 等 速 度 運 動 の 速 度 ｖは,

(2.1)   あ る物 体 Ｂ を 基 準 に 物 体 Ａ の 運 動 をみ る と き,こ の 運 動 を Ｂ に 対 す る 相 対 運 動 とい い,こ

の 速 度 を相 対 速 度 とい う。

  《直 進 す る Ａ 列 車 の Ｂ 列 車 に対 す る相 対 速 度 》   直 進 す る ２本 の 列 車A,Bが,角 (a))相

θの 大 き さ で 交 差 す る場 合(図2・3

対 速 度 を ｖ とす れ ば三 平 方(ピ タ ゴ ラ ス)の 定理 よ り(図2・3(b))

(2.2) 〔注 〕  ｖの 向 き を求 め る に は 式(1.25)を

応用 す る とよい。

(ａ)

(ｂ)

(ｅ) (ｃ)

(ｄ)

図2・3

①

よ り

θ=0°(平 行 で 同 じ 向 き の 場 合)式(2・2)で, (図2・3(c)参

照),

(2.2)' ②

θ=90°(直

よ り(図2・3(d)

交 す る 場 合)式(2・3)で,

参 照),

(2.2)" ③

θ=180°(平 3(e)参

よ り(図2・

行 で 対 向 す る 場 合)式(2・2)で,

照),

(2.2)"'   速 度 の 方 向(向 き)を 考 え な い で,大 う。 速 さ の 単 位 はm/s,m/hの

き さ の み を問 題 に す る場 合 を 速 さ とい

よ う に 表 す 。 速 度 が 一 定 で な い と き,式(2・1)

の ｖは 平 均 の 速 さ(直 線 運 動 で は 平 均 速 度 と い え る)を 表 す 。

《変 化 す る速 度 》 時 刻t0を 含 む 短 か い 時 間 ⊿ｔの 間 に,距 離 ⊿Ｓ だ け動 い た とす れ ば,〓は, 時 間 ⊿ｔの 間 の 平 均 速 さ で あ る(図2・4(a))。

さ くと る と〓

し か し,こ

こ で ⊿ｔを き わ め て 小

は 時 刻t0に お け る速 度 を表 し,方 向 は 経 路 の 接 線 と一 致 す る

(図2・4(b))。

(ｂ)

(ａ) 図2・4

この よ う な

例題 2・1

を 時 刻t0に

お け る速 度 とい う。

地 球 の 周 を40000㎞

とす れ ば,ま

る １ 日で １周 す るに は 何 ㎞/

hの 速 さ が 必 要 か。 〔 考 え 方 〕 １日 を 時 間 に 直 して 考 え る。 〔解 き方 〕 答  (1667㎞/h)

例題 2・2

音 の 速 さ は 常 温 で 約340m/sで

〔考 え 方 〕 km㎞

す るため

あ る 。 こ れ は 何 ㎞/hに

倍 し,時 間 に 直 す ため に3600倍

あ た るか 。

す る。

〔 解 き方〕 答  (1224㎞/h)

例題 2.3 ら 考 え て,飛

音 速 と 同 じ速 さ を マ ッハ １ と 呼 ん で い る が,例 行 機 で24時

間 に 地 球 １周 す る に は,マ

題2・1,例

題2・2か

ッハ い く ら で 飛 べ ば よ い

か。 〔考 え方 〕 音 速 で 地 球 の 周 の 大 き さ を 割 れ ば よ い｡地

球 の 周:４

万 ㎞,音

速(常

温):340m/s。

〔解 き方 〕

(マ ッ ハ) 答 

例題 2.4

速 度20㎞/hの

車 中 で,車

(マ ッ ハ1.362)

幅 の 方 向(進 行 方 向 に 直 角)に4㎞/h

で 歩 く人 が い る。 この 人 の 地 面 に対 す る相 対 速 度 は い く らか 。 〔 考 え方 〕 式(2・2)を

利 用 す る。

〔 解 き方 〕 答  (20.4㎞/h)

例題

2・5

２隻 の モ ー タ ー ボ ー ト が30° の 開 き で,と

も に60㎞/hの

速 度 で

走 っ て い る 。 ボ ー ト間 の 相 対 速 度 を 求 め よ 。 〔考 え 方 〕 式(2・2)と,他

に ラ ミ ー の 定 理 式(1・25)の

〔解 き方 〕 解 Ｉ式(2・2)よ

解

Ⅱ式(1・25)よ

応 用 が あ る。

り

り

(ラ ミー の 定 理)

答  (互 い に31.1㎞/hの

問題 2・1

音 の 速 さ は 空 気 中 で 常 温 で は 約340m/sで,海

約 ５倍 で あ る と い う。 い ま,図2・5の

よ う に,船

速 さ で 遠 ざ か る)

水 中 で は 空気 中の 場 合 の

か ら 海 底 に 向 か っ て 音 を発 射 し,

0.5秒 後 に そ の 音 が 海 底 か ら は ね 返 っ て き た 。 海 の 深 さ は 約 何 ｍ か 。 答  (425m)

図2・6 図2・5

問題

2・2

図2・6に 示 す よ う に,あ

回 転(2500rpm)す

る と き,こ

る 飛 行 機 の 直 径2mの

プ ロ ペ ラ が,毎

分2500

の プ ロ ペ ラ の 周 速 度(外 周 先 端 部 の 周 速 度)は 何

㎞/h

に な るか。 答  (942㎞/h)

問題 2.3 200㎞

図2・7の

1.8(音 速 の1.8倍)で m/sと

よ う に,フ

ラ ン ス の 新 幹 線(TGV)が,い

ま,東

へ 向か って 時速

で 走 っ て い る 。 ち ょ う ど そ の 上 空 を 超 音 速 ジ ェ ッ ト機(コ ン コ ル ド)が マ ッハ

す れ ば,新

北 東 か ら南 西 の 方 向 に 向 か っ て 交 差 し た 。 こ の 時 の 音 速 を340 幹 線 と ジ ェ ッ ト機 との 相 対 速 度 は 何 ㎞/hか｡ 答  (2349㎞/h)

図2・7

問題

2.4

図2・8

地 球 を 完 全 な 球 と考 え た と き,自 転 に よ る 赤 道 上 の 周 速 度 は,例

よ り約1667km/hで

あ っ た 。 図2・8の

よ う に,北

緯60度

題2・1

の あ る地 点 の 同 じ く自転

に よ る周 速 度 は い く らか｡ 答  (834㎞/h)

問題 2.5

100mを10秒

で 走 る 男 が い る。 こ の 男 は 時 速 何

㎞ の 速 さに相 当す るか。

答   (36㎞/h)

図2・9

(ｂ)

加

速

度

  速 度 の時 間 に 対 す る変 化 の 割 合 を加 速 度 とい う。 加 速 度 もベ ク トル 量 で あ る。 単 位 は,毎 秒1m/sず

つ の 割 合 で 速 度 が 変 わ る と き,1m/s2の

よ

うに 表 す 。 加 速 度 が 一 定 の と き の運 動 を等 加 速 度 運 動 とい う。  加 速 度 は 増 加(+)の

場 合 と,減 少(-)の

場 合 とが あ る こ とに 注 意 す る。

  直 線 上 を 等 加 速 度 運 動 す る 物 体 の 速 度 が,時

間 ｔの 間 にv0か

ら ｖに 変 わ っ

た とす る と(図2・10(b)),

(ａ)等 速 度

(ｂ)等 加 速度 図2・10

加 速 度 αは,

(2.3) 終 速 度 ｖは,

(2.4) 時 間 ｔの 間 に動 い た 距 離 Ｓ は,平

均 速度

よ り

(図2・11),

(2.5) 図2・11 

加 速 度 と距 離

式(2・4),式(2・5)よ

り ｔ を 消 去 す れ ば,初

速,終

速,加

速 度,距

離 の 関 係 式

(2・6)が 得 られ る。

(2.6)

例題

2.6

５秒 間 に,10m/sの

速 度 を増 す 物 体 の 加 速 度 は い く ら か 。

〔考 え 方 〕 式(2・3)に よ る 。 式 の 意 味 を よ く理 解 す る 。 〔解 き方 〕 答 

例題

30㎞/hの

2・7

(2m/s2)

速 さの 自動 車 が ブ レー キ を か け て ３秒 間 で停 止 した 。

この 場 合 の加 速 度 は い く らか 。 〔考 え 方 〕 ㎞/hをm/sに

直 し て,式(2・3)に

代 入 す る。

〔解 き方 〕 加 速 度 を α とす れ ば,

答 

例題

2.8

30㎞/hで

急 ブ レー キ を か け て 停 止 まで に10mを

の 自動 車 が あ る。 同 じ能 力 で40㎞/hの 〔考 え方 〕 式(2・6)に よ り,ブ い て,同

(-2.78m/s2)

必 要 とす る 能 力

速 さか ら停 止 す る に は何m必

レ ー キ の 能 力(加 速 度)を 求 め,次

要 か。

に この加 速 度 を用

じ く式(2・6)か ら制 動 距 離 を求 め る 。

〔解 き方 〕

制 動 距 離 をＳ とす れ ば,

答   (17.75m)

〔注 〕 車 の 制 動 距 離 は,初 ㎞/hで10mの

速 の ２乗 に 比 例 す る こ と が わ か る 。 上 例 で は,初

制 動 距 離 が,初

速40km/hに

速30

な る と,10m×(40/30)2=17.78

〔m〕と な る。 研 究 し て み る と お も しろ い 。

問 題2・6初

速8m/sで10秒

度 は い く らか 。 さ ら に,そ

後 の 速 度 が20m/sの

等 加 速 度 運 動 を す る物 体 の 加 速

の間 の走 っ た距離 は い くらか。 答   (1.2m/s2,140m)

問 題2・7前

問 の 場 合 で,さ

らか 。 ま た,こ

ら に10秒 後,す

な わ ち,始

め か ら20秒

後 の速度 は い く

の 場 合 の 走 っ た 距 離 は い く らか 。 答   (32m/s,400m)

問 画2・8初

速2m/sの

度 が8m/sで

あ っ た とい う。 加 速 度 は い く ら か 。

等 加 速 度 運 動 をす る物 体 が,ち

ょ う ど6m進

ん だ瞬 間 に速

答 

(ｃ)

(5m/s2)

落体の 運動

  空 気 の な い と こ ろ(真 空 中)で は,物 は 地 球 の 重 力 に よ る も の で,こ

の 加 速 度 を 重 力 の 加 速 度 と い い,記

で 表 す 。 普 通g=9.8m/s2(980㎝/s2)と

表2・1 標 準 の ｇ の 値980.665㎝/s2(定

体 は 一 定 の 加 速 度 で 落 下 す る。 こ れ

して計 算 す る。

各 地 の 重 力 実 測 値(「 理 科 年 表 」か ら) 義:1901年

国 際 度 量 衡 総 会),東

京979.76319㎝/s2

号 ｇ

〔注 〕 空 気 中 で 落 下 す る物 体 は,空 が,近

気 抵 抗 を 受 け る た め,等

加 速度 運 動 では ない

似 的 に 等 加 速 度 運 動 とみ な す こ と に す る。 ま た,ｇ の 値 は 地 球 上 の 場 所 に

よ っ て,わ

ず か に 違 っ た値 を 示 す(表2・1)。

《静 止 状 態 か ら 自由 落 下 す る場 合 》   物 体 が 落 ち 始 め て か ら ｔ秒 後 の 速 度 を ｖ,落 の 初 速V0を

下 距 離 を ｈ と す れ ば,式(2・4)

０,α を ｇ と 置 き 換 え て,

(2.7)

v=gt 式(2・5)か

ら は,

(2・8)

式(2・6)か

ら,

(2.9) を 得 る。

《鉛 直 下 向 き に投 げ られ た 場 合 》 鉛 直 下 向 き に 投 げ ら れ た 場 合,初 式(2・4)か

速v0と

す れ ば,上

式 と 同 じ よ う に し て,

ら,

(2.10)

v=v0+gt 式(2・5)か

ら,

(2.11) 式(2・6)か

ら,

(2.12)

v2-v02=gh

《鉛 直 上 向 き に投 げ られ た 場 合 》   式(2・10)∼(2・12)で

は ｇ の 向 き が 反 対 向 き な の で,-ｇ

に 置 き換 え れ ば よ

い 。

例 題2・9橋

の 上 か ら,小 石 を静 止 の 状 態 か ら落 下 させ た ら3.5秒 で 地 面 に 達

し た 。 橋 の 高 さ は い く ら か 。 ま た,地

面 に 達 す る と きの 速 度 は い く らか 。 た だ

し,空

気 の 抵 抗 は な い も の と考 え る 。

〔考 え方 〕 橋 の 高 さ は 式(2・8),速

度 は 式(2・7)を 用 い て 解 く。

〔解 き方 〕 高 さ を ｈ,速 度 を ｖ とす れ ば,

答   (高 さ60m,速

例 題2・10あ

度34.3m/s)

る荷 物 をパ ラ シ ュー トで 落 下 させ た と き,着 地 速 度 は3mの

高

さ か ら 自 由 落 下 さ せ た の と 同 じ だ っ た と い う。 着 地 速 度 は い く ら に な る か 。 〔考 え 方 〕 与 え られ た 数 値,求

め よ う とす る数 値 を み て,必

要 な公 式 を 考 え れ ば よ

い 。

〔解 き 方 〕

初 速v0=0,高

さh=3m,g=9.8m/s2か

ら,終

速 ｖ は,

答 

例 題2.11秒

速5mで

(7.67m/s)

落 下 す るパ ラ シュ ー トの荷 物 が,着 地 す る 前 に 綱 が 切

れ て 落 ち た 。 綱 が 切 れ て か ら激 突 ま で ２秒 だ っ た。 綱 が 切 れ た と きの 高 さ と, 激 突 の 速 度 と を求 め よ。 〔 考 え 方 〕 初 速5m/s,加

速 度9.8m/s2に

よ り ２秒 後 の 距 離 と 速 度 を 求 め る 式 を

考 え る° 〔解 き 方 〕

初 速v0=5m/s,時

間t=2s,g=9.8m/s2よ

り,

よ り,

答   (高 さ29.6m,速

例 題2・12初

速25m/sで,ボ

ー ル を 鉛 直 上 方 に 投 げ た と き,最

た 高 さ と,そ れ に 要 し た時 間 と を求 め よ。

度24.6m/s)

高 点 に達 し

〔考 え 方 〕

必 要 な 公 式 を 考 え る 。 な お,注

意 し な け れ ば な ら な い の は,ｇ

がマ イナ

ス に な る こ とで あ る。 〔解 き 方 〕

初 速v0=25m/s,終

速v=0,g=9.8m/s2よ

り,

こ れ よ り,

ま た,v=v0+(-g)tよ

り,

答   (高 さ31.9m,時

問 題2・9水

面 か ら 計 っ て 高 さ19.6mの

ら 自 然 落 下 さ せ る も の とす れ ば,何

位 置 か ら小 石 を 落 とす｡石

間2.55s)

は静 止 の状 態 か

秒 で 水 面 に達 す るか 。 た だ し,空 気 の 抵 抗 は 無 視

す る もの とす る。 答   (2s)

問 題2・10真

空 中 で,あ

る 物 体 を22.5mの

高 さ ま で 鉛 直 に 投 げ 上 げ る に は,秒

速何

ｍ の速 度 で投 げ上 げれ ば よいか。 答   (21m/s)

(ｄ)

放物運 動

  い ま ま で,物 体 を鉛 直上 方 に 投 げ 上 げ た場 合 の 運 動 に つ い て学 ん だ が,今 は 物 体 を水 平 や 斜 め に投 げ た 場 合 の 運 動 を考 え て み よ う。

度

  空 気 の な い と こ ろ(真 空 中)で は,物 体 が水 平 ま た は 斜 め に投 げ られ た と き,時 間 が た つ と と もに物 体 の 鉛 直 方 向 の分 速 度 は,重 力 の 加 速 度 ｇの 作 用 を受 け て 変 化 し,水 平 方 向 の 分 速 度 は 変 化 し な い。 この と き物 体 が 描 く 経 路 を 放 物 線 とい い,こ

の よ う な運 動 を放 物 運 動 とい う。

〔注 〕 落 体 の 場 合 と 同 じ よ う に,空 は な ら な い が,近

気 中 で は 抵 抗 を受 け る の で,正

しい放物 運動 に

似 的 に放 物 運 動 とみ な せ る。

《水 平 に投 げ ら れ た 物 体 の 放 物 運 動 》(図2・12)   水 平 方 向 の 移 動 距 離 ｘ は,初

速v0,経

過 時 間 ｔ と お け ば,V0=一

定 で,ｔ

に

比 例 し,

(2.13)

図2・12

水平に投げた物体の放物運動

  鉛 直 方 向 の移 動 距 離 ｙ は,初 速 ０,経 過 時 間 ｔ とお け ば,ｇ

に よ り等 加 速 度

運 動(落 体 の 運 動)と な っ て,

(2.14) とな る。

こ の 二 つ の 式 よ り ｔを消 去 す れ ば,水 平 に 投 げ た と きの放 物 線 の 方程 式

(2.15) が 得 られ る。

水平 方 向の分速度

時 間 ｔの 後 も変 化 な く;v0

鉛 直方 向の分速度

時 間 ｔの 後 の 速 度;gt

とな る か ら,時 間 ｔの 後 の 物 体 の 速 度 ｖ と,こ れ が 水 平 面 と の な す 角 θは,

ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 と三 角 比 か ら,次 の よ うに な る。 (2・16)

  《斜 め に投 げ られ た 物 体 の 放 物 運 動 》(図2・13)   水 平 面 との な す 角 ａで,斜 め 上 方 に 初 速v0で 物 体 が 投 げ ら れ た 場 合,経 時 間 を ｔとす れ ば,   水 平 方 向 の 移 動 距 離 ｘ は,式(2・13)と

図2・13斜

同 様 に,

め に 投 げ た 物体 の 放 物 運 動

x=(v0 cos a).t 鉛 直 方 向 の 移 動 距 離yは,式(2・5)で-gに

(2・17)

置 き 換 え, (2・18)

こ の 二 つ の 式 か ら ｔを消 去 す れ ば,こ

の物 体 の 経 路 を示 す 放 物 線 の 方 程 式 (2・19)

が 得 られ る。   次 に,経 過 時 間 ｔの 後 の 速 度 に つ い て 考 え て み よ う。   水 平 分 速 度vxは, vx=v0・cos

α

(2・20)

過

鉛 直 分 速 度vyは, (2・21)

最 高 点 に 達 し た 高 さymaxは,  と す れ ば,式(2・21)よ

vy=0と

り,

な る か ら,そ

れ ま で の 経 過 時 間 をt1

と な り,式(2・18)に

代 入 し て,

(2・22)

出 発 点 と 同 一 平 面 に 落 下 す る ま で の 時 間t2は,式(2・18)でy=0と

か ら 求 め ら れ る わ け で あ る。t2=0は,出

お き,

発 時 点 を 意 味 す る の で,こ

れ をはぶ

き, (2・23)

と な る。 こ れ を式(2・17)に 代 入 す れ ば,同 一 水 平 面 の 到 達 距 離 が 得 られ る。 これ よ り,  出 発 点 と同 一 平 面 に落 下 す る まで の 水平 到 達 距 離x2は, (2・24)

とな る。   水 平 到 達 距 離 の 最 大xmaxは,初 2a=90°,ゆ

え に, a=45°

速v0に

お い てsin

2a=1の

と き で あ る か ら,

の と き で, (2・25)

とな る。

*sin(α+β)=Sin

α ・cosβ+cos

α・sinβ で α=β

と お け ば,sin

2α=2sin

α.cos

α と な る。

例題

2・13高

体 は,投

度200mで,速

度90㎞/hの

ヘ リ コ プ ター か ら投 下 させ た 物

下 鉛 直 下 方 地 点 よ り前 方 何 ｍ の と こ ろ に 着 地 す る か 。

  〔考 え 方 〕200mの

自由 落 下 時 間 を 出 し,こ

れ を水 平 方 向 の 初 速 に 乗 じて 得 ら れ

る。   〔解 き方 〕200mの

自 由 落 下 時 間 ｔは,式(2・14)か

水 平 方 向 移 動 距 離 ｘは,式(2・13)か

ら,

ら,

答(160m前

例題

2・14水

平 面 と な す 上 向 き の 角(仰 角)60°

た 物 体 の ４s後 の 高 さ お よ び 水 平 分 速 度,鉛

に,初

速40m/sで

投 げ上 げ

直 分 速 度 を そ れ ぞ れ 求 め よ。

  〔考 え方 〕 初 速 の 鉛 直 分 速 度 に よ り,鉛 直 上 方 に 投 げ る場 合 の 式 で,時 を 求 め る 式 を 考 え る。 さ らに,経

方)

過 時 間 後 の 終 速 水 平 分 速 度,終

間 か ら高 さ

速 鉛 直分速 度 を求め

る。  〔 解 き方 〕 初 速v0,経

過 時 間 ｔ とお け ば,式(2・18)か

水 平 方 向 の 終 速 度vxは,初

ら,

速 水 平 分 速 度 に 等 しい か ら,

鉛 直 方 向 の 終 速 度vyは,式(2・21)か

ら,

(下 向 き) 答(水

例題

2・15ボ

ー ル を 投 げ て,河

平 分 速 度20m/s,鉛 幅40mの

直 分 速 度 下 向 き4.56m/s)

向 う岸 へ 届 くた め の 最 小 の 初 速 を

求め よ。  〔 考 え 方 〕 仰 角 ａ,初 速 ν0で,水 平 距 離 を 出 す た め に は,初

速 の 鉛 直 分 速 度 で,

鉛 直 上 方 に 投 げ 上 げ,最

高 点 に 達 し て 再 び 同 一 平 面 上 に落 下 す る ま で の 時 間 を 求 め,

これ を初速 水平分 速 度 に掛 けれ ば よい。   し か し,こ で,簡

こ で は 水 平 距 離 の 最 大 を考 え る こ と に 注 意 し た い 。 も ち ろ ん,式(2・25)

単 に 解 け る が,な

る べ く筋 道 を立 て,式

  〔 解 き 方 〕 同 一 平 面 落 下 ま で の 時 間t2は,仰

を作 り出 す 努 力 が ほ しい 。 角 ａ,初 速v0と

お け ば,式(2・23)か

ら,

し たが っ て,水

  こ れ よ り,水

面 距 離 はx2は,

平 距 離 の 最 大 値xmaxは,sin

2 a=1の

と き で あ る か ら,  a=45°

の と

き で,

と な る 。 数 値 を 代 入 し て,V0>0よ

り,

答(19.8m/s)

問題

2・11ピ

ッ チ ャ ー の 投 げ た ボ ー ル を,バ

だ 。 ボー ル の 初 速 は お よ そ何m/sか

ッ トで 打 っ た ら 仰 角30°

。 こ の 場 合,バ

で200m飛

ん

ッ トに 当 た っ た 高 さ は 無 視 す る

も の とす る。 答(47.6m/s)

問題

2・12い

ま,ゴ

ル フ で 飛 距 離 を160m出

し た い と思 う。 最 低 打 速 は い く らに す

れ ば よ い か 。 空 気 の 抵 抗 は な い もの とす る 。 答(39.6m/s)

(ｅ)円

運

動

  物 体 が 円 周 上 を 運 動 す る場 合,こ

れ を 円 運 動 とい い,速

さが 一 定 な 円運

動 を等 速 円 運 動 とい う。   《角速 度 と周 速 度 》(図2・14)   半 径 ｒの 円 運 動 をす る １点 が あ る。 い ま,こ の 点 が 時 間 ⊿tの 間 に Ｐ か ら Ｐ'に 移 り,そ の 中 心角 が ⊿θで あ っ た とす る。 こ の場 合,時

間 ⊿tの 間 の角 の

変 化 量 ⊿θ を 角速 度 とい い,次 の よ うに 表 す 。 (2・26)

  ま た,同 様 に ⊿tの 間 に運 動 す る １点 の変 位 量PP'(円

孤 の 長 さ)を 周 速 度 と

い う。 これ を ｖで 示せ ば, (2・27)

図2・14角

  こ こ で,⊿tを

無 限 に 小 さ く と れ ば,⊿

は 接 線 に 近 づ く。 こ れ よ り,そ

速度

θ も小 さ く な っ て,P, 

の 点 の 瞬 間 速 度 の 大 き さ はr・

P'を ω で,方

結ぶ 直線 向 は接

線 方 向 と な る。

〔注 〕rad(radian 

ラ ジ ア ン)は,角

さ の 円 弧 を と る と き,そ

の 単 位 で,1radは

円 周 上 に 半 径 と等 し い 長

の 弧 の 中 心 角 の 大 き さ に 当 た る 。 式 で 示 せ ば,図2・14

*記 号 ω(オ メ ガ と読 む)は 角 速 度 を表 し,単 位 はrad/s(ラ

ジ ア ン毎 秒)を

用 い る。

で,

〔rad〕 と な り,ゆ

え に,  PP'=r・

⊿θ と な る 。

と

回転 数 と角 速 度 との 関 係 は, な る。 た だ し,rpmは 径 Ｄ,回

毎 分 回 転 数(revolution

転 数N〔rpm〕

の と き,周

速 度 ｖは,次

per

minute)を

示 す 。 ま た,直

の よ うに な る。 (2・28)

  《角 加 速 度 》   時 間 に 対 す る角 速 度 の 変 化 の 割 合 を 角 加 速 度 とい う。 経 過 時 間 ⊿tの 間 に 角 速 度 が ⊿ω だ け 増 した とす れ ば,角 加 速 度 ω(オ メ ガ.ド ッ トと読 む)は, (2・29)

とな る。 単 位 はrad/s2で

ある。

  《等 速 円運 動 》   円周 上 を一 定 の角 速 度 で動 く物 体 の 運 動 を 等速 円 運 動 とい う。 等 速 円 運 動 で は,速

度 の 大 き さは 変 わ らず,そ

の 方 向 は た え ず 変 化 す る。 し た が っ て,加 速

度 が 生 じて い る。

(ｂ)

(ａ)

図2・15等

速 円 運動 の加 速 度

  こ の 加 速 度 の 大 き さ と方 向 を 求 め て み よ う 。 図2・15(a)で,き 時 間 ⊿tの 間 に,１ は,大

点 が Ｐ か ら Ｑ に 移 っ た と す れ ば,P,Q点

き さ が 等 し く,方

わ め て短 か い の 速 度vp,vQ

向 が ⊿θ だ け 違 う こ と が わ か る 。

  こ れ よ りベ ク トル 図 を作 れ ば,図(ｂ)の

よ う に な っ て,ベ

ク ト ルP'Q'の

変 化 が 生 じ た こ と に な る 。 ⊿θ を き わ め て 小 さ く す れ ば,P'Q'=O'P'・ く こ と が で き る(半 径 に 角 度 を 掛 け る と考 え る)。 速 度 変 化P'Q'は,こ の 加 速 度 を ａ と す れ ば,a・

⊿tと

な る か ら,vP=vQ=vと

速度

⊿θ と書 の とき

置 け ば,a・

⊿t=

v・⊿ θ と な る 。 ゆ え に,

v=r・

ω で あ る か ら,加

速 度 の 大 き さ ａ は,

(2・30)

  加 速 度 の 方 向 は,⊿ に 向 か う)で,こ

例題

2・16

θ が ご く小 さ い と きP'Q'の

方 向(vpに

直 角 で 円 の 中心 Ｏ

れ を 向 心 加 速 度 と呼 ん で い る 。

15rad/sは

  〔考 え 方 〕rpmは

何rpmか

。

毎 分 回 転 数 で あ る か ら,秒

を 分 に 直 す こ と 。 ま た,１

回 転 は2π

〔rad〕に な る こ と を 考 え れ ば よ い 。 〔解 き 方 〕

１ 回 転(360ｰ)は2π

〔rad〕で あ る か ら,15〔rad〕

は

回 転 。 こ れ を60倍

し て,

答(143.2rpm)

例題

2・17直

径100㎝

の ホ イ ー ル の 周 速 度 が200㎝/sで

あ る。 角 速 度 と毎

分 回 転 数 を求 め よ。   〔 考 え 方 〕 角 速 度 はrad/sで た,毎

分 回 転 数 は,

あ る か ら,１ 秒 当 た りの 角 の 変 化 量 と し て 考 え,ま よ り求 め ら れ る。

〔解 き方 〕 角 速 度 を ω 〔rad/s〕,回 転 数 をN〔rpm〕

とす れ ば,

答(4rad/s,38.2rpm)

例題 rpmに

2・18静

止 し た 車 が あ る 。 等 角 加 速 度 で 回 転 を は じ め,10秒

後 に1800

な った 。 角 加 速 度 は い くらか 。

〔考 え 方 〕10秒

後 の 角 速 度 を求 め,こ

れ を経 過 時 聞 で 割 れ ば よ い 。

〔解 き 方 〕10秒

後 の 角 速 度 を ω 〔rad/s〕,経 過 時 間 を ｔ とす れ ば,角

加 速 度 ω は次

の よ う に な る。

答(18.85rad/s2)

例題

2・19直

る に は,周

径 ８㎝

で 円 運 動 さ せ て,向

心 加 速 度 を16㎝/s2ち

ょ う どに す

速 度 を い くらに す れ ば よ い か 。

〔考 え 方 〕 周 速 度 ｖ,半 径 ｒ とす れ ば,向

心加速 度

よ り,ｖ

を得 る。

〔解 き 方 〕 答(8㎝/s)

問題

2・13地

上10000mの

高 度 を 高 速 ロ ケ ッ トで 水 平 飛 行 す る と き,ロ

生 じ る 向心 加 速 度 が 重 力 の 加 速 度 と同 じ値 に な る ため に は,ロ 飛 ば し た ら よ い か 。 た だ し,地 球 の 円 周 を40000㎞

ケ ッ トに

ケ ッ トを秒 速 何 ㎞

と す る。 答(7.91㎞/s)

で

2・2運

動 と力

〔１〕 ニ ュ ー トン の 運 動 の 法 則 (ａ)運

動 の 第 １法 則

  物 体 に 外 力 を作 用 しな け れ ば,静

止 して い る物 体 は 永 久 に 静 止 し,動 い

て い る物 体 は 永 久 に そ の 方 向 と速 さ を変 え な い。 これ を運 動 の 第 １法 則 と い い,物 体 の この よ うな 性 質 を慣 性 とい う。 運動 の 第 １法 則 の こ と を慣 性 の 法 則 と も い う。

〔注 〕 ア イ ス ・ス ケ ー トで 滑 っ て い る人 や,走

っ て い る電 車 な どが ブ レー キ を か け

な い か ぎ り永 く走 り続 け る の は 慣 性 の た め で,や か な 抵 抗 力(氷 の 抵 抗,車

輪 や 車 軸 の 抵 抗,空

が て 止 ま っ て し ま うの は,わ

ず

気 抵 抗 な ど)が 外 力 と し て,進 行 を

妨 げ る方 向 に 作 用 す る か ら で あ る 。

(ｂ)運

動 の 第 ２法 則

 一 般 に,物 体 に外 力 が 作 用 す る と加 速 度 を生 ず る。 この 加 速 度 の 大 き さ は外 力 に 比 例 し,方 向 は外 力 の 方 向 と一 致 す る。 こ れ を運 動 の 第 ２法 則 と い う。  あ る物 体 に 外 力 Ｆ が 働 き,加 速 度 ａ を生 じ た とす れ ば,運 動 の 第 ２法 則 か らF〓aと

な る。 こ れ よ り比 例 定 数 を ｍ と置 け ば, F=ma

(2・31)

とな る。 こ の 式 か ら,い ろ い ろ な 物 体 に 同 じ加 速 度 を与 え る た め に は,ｍ

が

大 きい物 ほ ど大 き な 力 を必 要 とす る こ とが わ か る。   い い か え れ ば,ｍ 質 量 とい う。

の 大 小 は慣 性 の 大 小 を表 す こ とに な る。 こ の ｍ を 物 体 の

落 体 の 運 動 で は,重

さＷ,重

力 の 加 速 度 ｇ よ り,

W=mg

(2・32)

を 得 る 。 こ れ を 式(2・31)に 代 入 す れ ば, (2・33)

が 得 ら れ る。 この 式 は,重

さ Ｗ の 物 体 に加 え た力 Ｆ と,生 ず る加 速 度 ａ との

関 係 を示 す もの で,こ れ を運 動 方 程 式 と呼 ぶ 。

例題

2・20

600N(約61.2kgf相

方 向 に 一 定 な 力 を 加 え,10秒

当)の 物 体 が 時 速10㎞ 間 で 時 速60㎞

で 動 い て い る。 運 動

に す る た め に は,力

の大 きさは

い くら にす れ ば よ い か。   〔考 え 方 〕 速 度 の 単 位 をm/sに

。 式(2・31),(2・32),(2・3)よ

り,

と順 に も ど っ て 考 え る と よ い。

〔解 き方 〕

答(85N)

例題

2・21静

止 し て い る600N(約61.2kgf相

当)の 物 体 が あ る。 こ れ に ロ ー

プ を つ け て つ り上 げ る と き,５ 秒 間 一 定 の 力800Nで

引 き上 げ た とす れ ば,高

さ は何 ｍ に達 す る か。 〔考 え方 〕 一 定 な 力(F-W)で, ｖ ま で 等 加 速 度 ａ で 引 き上 げ る と考 え る。   〔解 き 方 〕 式(2・31)よ り,

式(2・11)よ

り,

の 物 体 を,時

間 ｔの 間 に 初 速 ０か ら 終 速

答(40.8m)

例 題2・223000N(約306㎏f相

当)の ハ ン マ を 自 由 落 下 さ せ て,５

材 を打 っ た と こ ろ,鉄 材 の 厚 み10㎝

の もの が ７㎝

ｍ下 の鉄

に な っ た 。 鉄 材 に作 用 し

た 力 を求 め よ。 〔考 え 方 〕   さ ら に,鉄

材 の 厚 み10㎝

か ら ７㎝

に 達 す る 間 の 加 速 度 を-α

と し,鉛

直 方 向の

変 形 量 を ｈ'とす れ ば,2(-α)h'=-v2 〔解 き方 〕

答(503kN) 問 題2・148000N(約816㎏f相

当)の 車 が 時 速40㎞

で 走 っ て い て,そ

ン ク リー トの 電 柱 に 衝 突 し た。 車 も 電 柱 も 大 破 し た が,車 で 止 ま っ た。 電 柱 に 与 え た 力 は 約 何kNで

の ままコ

は 衝 突 後 お よ そ ２ｍ 進 ん

あ ったか。 答(約25.2kN)

問 題2・15秒

速20m,2.5N(約0.255㎏f相

当)の 硬 球 を,30㎝

手 を引 き込 ん で

受 け 止 め た。 手 に は 何 Ｎ の 力 が 作 用 し た か 。 答(170N)

(ｃ)運 動 の 第 ３法 則 物 体 に は,静

止 あ る い は 運 動 の状 態 に 関 係 な く,次 の法 則 が 成 り立 つ 。

物 体 に 外 力 を 加 え る と,同 時 に そ の 物 体 に は 外 力 に 反 対 す る 力 が 生 れ る。 この 外 力 を作 用,反

力 を反 作 用 とい う。 作 用 と反作 用 とは 大 き さが 等

し く,向 きが 反 対 で あ る。 こ れ を運 動 の 第 ３法 則 とい う。 ま た,こ

れ を作

用 反 作 用 の 法 則 と も い う(図2・16(a),(b))。

(ａ)バ ネば か り

(ｂ)車 中 の作 用 反 作 用 図2・16

〔注 〕 作 用 と反 作 用 の例 を考 え て み よ う。 手 で 壁 を押 せ ば,壁 の 力 で 押 し返 す 。 また,綱

は こ れ と 同 じ大 き さ

引 きで は 勝 ち 負 け が 起 こ っ て も,綱 が 両 方 か ら 引 張 ら

れ る力 の 大 き さ は 等 し い。 こ の 場 合,勝

敗 の 原 因 は 地 面 と足 と の 間 の 摩 擦 力(抵

抗 力)の 大 小 に あ る の で あ る。

例 題2・239000N(約918㎏f相

当)の

静 止 し て い る6000N(約612㎏f相 た 。6000Nの

自動 車 は 何km/hと

自 動 車 が36㎞/hで

走 っ て い た が,

当)の 自 動 車 に 衝 突 し て,7.2km/hに

な っ

な るか 。

〔考 え 方 〕 作 用 反 作 用 の 法 則 が 成 り立 つ こ と を 考 え る。 〔解 き方 〕 時 速 を秒 速 に 直 して,

求 め る速 さ をv〔m/s〕,互

い に 力 をお よぼ し た 時 間 をt〔s〕 とす れ ば,9000Nの

自

動 車 の 受 け た 力 は,

6000Nの

自動 車 の 受 け た 力 は,

作 用 反作 用の 法則 か ら,

答(43.2㎞/h) 問 題2・16時

速30㎞

で 走 っ て い る10000N貸

に 進 ん で い る18000Nの

車 が 時 速10㎞

貸 車 に 衝 突 し た 。10000Nの

な っ た と す れ ば,18000Nの

貨 車 は時 速何 ㎞

の 速 さ で 同 じ方 向

貨 車 は 衝 突 後,時

速10㎞

に

に な るだ ろ う か 。 答(約21.1㎞/h)

〔２〕SI単

位 系 と他 の 単 位 系

機 械 力 学 で はSI単

位 系 を用 い る が,他

の 単 位 系 との 使 い わ け も あ り う る の

で,注 意 が 必要 で あ る。   SI単

位 系:長

さ(ｍ)メ

ー トル ・質 量(㎏)キ

(Ａ)ア ン ペ ア を 基 本 に,温

度(Ｋ)ケ

ロ グ ラ ム ・時 間(ｓ)秒

ル ビ ン ・物 質 星(mol)モ

ン デ ラ を 加 え た ７個 の 基 本 単 位 と,平

面 角(rad)ラ

・電 流

ル ・光 度(cd)カ

ジ ア ン ・立 体 角(sr)ス

テ

ラ ジ ア ン の ２個 の 補 助 単 位 に よ り構 成 。   重 力 単 位 系:質   CGS単

位 系:長

量 の 代 りに 力(㎏f)重 さ(㎝)セ

本 単 位 とす る 単 位 系 。

量 キ ロ グ ラ ム を用 い た単 位 系 。

ン チ メ ー トル ・質 量(ｇ)グ ラ ム ・時 間(ｓ)秒 を 基

《CGSに CGSで

よ る力 の 単 位 》 は 力 は ダ イ ン(dyne,単

1dyn:質

量 １ｇ の 物 体 に,加

  Ｎ で 表 す と 式(2・31)よ

㎏fで

位 記 号dyn)で 速 度1㎝/s2を

示 す。 生 じ させ る 力 の 大 き さ。

り,

表 す と 式(2・33)よ

り

  質 量 は 物 体 の 慣 性 の 大 きさ を示 す 量 で あ る。 だ か ら引 力 に 関 係 さ れ な い の で 地 上 で も 月面 で も値 が 変 わ らな い 。   と こ ろ が そ の 重 さ は,W=㎎

の よ う に ｇ に 比 例 す る。 だ か ら重 力 の加 速

度 が 異 な る場 所 で は 重 さ も異 な る値 に な る。 例 題2・24水

１ｌの 重 さ をN,dynで

表せ 。 で立式 。

〔 考 え方 〕 重 力 〔 ㎏f〕 を考 え, 〔 解 き 方 〕 水 １ｔか ら1000㎏fと

して

答(9.8×103N,9.8×108dyn)

問 題2・171dyn(1g・

をMdynで

㎝/s2)の106倍

を １ メ ガ ダ イ ン(Mdyn)と

い う 。 １㎏fの

示せ 。 答(0.98Mdyn)

〔３〕 慣

性

力

  静 止 ま た は運 動 して い る物 体 の 運 動 状 態 を変 化 させ よ う とす る と き,そ の 物 体 に は,元

の 運 動 状 態 を維 持 し よ う とす る 力 が 生 まれ る(〔1〕(a)の運

動 の 第 １法 則)。 この 力 を慣 性 力 と い う。

力

〔注 〕 慣 性 力 の 大 き さ に つ い て 考 え て み よ う。 い ま,等 車 の 中 に,ひ 力 Ｔ と動

も で 重 さＷ の 物 体 を つ るす と,図2・17の Ｗ との 合 力(式(2.33))で

加 速 度 αで 走 っ て い る電 よ うに,電

物 体 を引張 る

車 は ひ もの 張 が わ か る。 し

か し,ひ

もは 一 定 の か た む き で 静 止 す る か ら,物 体 に は

い て,つ

り合 う もの と考 え られ る。 こ の よ う なつ り合 い を 動 的 つ り合 い と い う。

 この 見掛 けの 力

の力 が生 まれ て

が 慣性 力に相 当す る

図2・17

例 題2・25500N(約51㎏f相

当)の 物 体 を ロ ー プ で0.2ｇ(重

倍)の 加 速 度 で 引 き上 げ る と き,ロ

力 の 加 速 度 の0.2

ー プ の 張 力 は い くら に な るか。

  〔考 え 方 〕 ロ ー プ の 張 力 Ｆ は 上 向 き に,物

体 の 重 力 と加 速 度 αに よ る 慣 性 力

と は 下 向 き の 力 と な る(動 的 つ り合 い を 考 え る)。   〔 解 き 方 〕 動 的 つ り合 い か ら,

答(600N)

例 題2・26 

10m/sで

運 動 し て い る 重 さ400N(約41㎏f相

れ と 同 じ進 行 方 向 に ６秒 間 一 定 な 力 を 連 続 し て 加 え た ら,速

当)の 物 体 に,そ 度 が22m/sに

な

っ た。 加 え た 力 は い くらか 。   〔考 え 方 〕 慣 性 力 と加 え た 力 との 動 的 つ り合 い を 考 え る。 慣 性 力 は 進 行 方 向 と反 対 向 きであ る。 ,加

〔解 き方 〕 慣 性 力 を

と

え た 力 を Ｆ とす る。 加 速 度

な っ て 動 的 つ り合 い に よ り,

答(81.6N)

例 題2・27重

さ200N(約20㎏f相

当)の 物 体 を上 方 に 一 定 の 力300Nで

引

き上 げ る と き,発 生 す る加 速 度 は い くらか 。 〔 考 え 方 〕 重 さＷ と慣 性 力

は 下 向 きに,引

き上 げ る力 Ｆ は 上 向 き に して,動

的 つ り合 い を考 え る。 〔 解 き方 〕 動 的 つ り合 い か ら,

答(4.9m/s2)

例 題2・28 

7000Nの

推 進 力 で10秒

間 働 く能 力 を もつ 重 さ3000N(約306

㎏f相 当)の ロ ケ ッ トが あ る。 こ れ を鉛 直 上 方 に 向 け て 発 射 す る と,高 さ何 ｍ に達 す るか 。 た だ し,空 気 の 抵 抗 や 燃 料 消 費 に よ る重 量 の変 化 は な い もの とす る。   〔考 え方 〕10秒 に分 けて 考 え る。

間 の加 速 に よ る高 さ と,そ の後 の 惰性 に よ る上 昇 した分 との 二 つ

〔解 き方 〕

ロ ケ ッ トの 重 さＷ,推

打 ち 上 げ10秒

進 力 Ｆ,加

後 の 速 度 ｖは,

速 度 α とす れ ば,動

的 つ り合 い は,

よ り,

式(2・11)よ り,推 力 に よ る 加 速 度 αで10秒

後 の 高 度h1は,

10秒 後 の 速 度(初 速)ｖ に よ る惰 性 で上 昇 し た 分h2は,式(2・12)か

ら,

求 め る 高 さ は,

答(1526m)

問 題2・18重

量 が15000N(約1531㎏f相

車 を ２人 で 協 力 して10秒 合,押

当)の 鉄 道 貨 車 が 止 ま っ て い る。 こ の 貨

間 一 定 の 力 で 押 した と こ ろ2m/sの

速 度 に 達 した 。 こ の 場

した 力 は 何 Ｎ に な る か 。 答(306N)

問 題2・19図2・18の こ の 場 合,人

よ うに,人

を乗 せ た ボ ー トA,Bが

を 含 め た ボ ー トの 重 量 は Ａが2500N,Ｂ

図2・18

静 水 の 上 に 浮 か ん で い る。 が1500Nで

あ る。 ２人 は 互

い に 一 定 な 力 で ３秒 間 押 し合 っ た。 そ の 結 果,ボ の 速 さ に達 した 。 こ の 時,ボ

ー ト Ｂ は 静 水 面 に 対 して 秒 速0.5m

ー ト Ａ の 静 水 に 対 す る速 さ を 求 め よ。 答(0.3m/s)

〔４〕 向 心 力 と遠 心 力

  円 運 動 す る物 体 に,向

心 加 速 度 を起 こ させ て い る力(向 心 加 速 度 の 方 向

と 同 じ 中心 向 き)を 向 心 力 と い い,こ れ とつ り合 う力(中 心 と反 対 向 き)を 遠 心 力 とい う(図2・19)。

(ａ)静 止 状 態 (ｂ)水 平 回転 状 態 図2・19向

物 体 の 重 さ を Ｗ,向

心 力 と遠 心 力

心 加 速 度 を α,向 心 力 を Ｆ と す れ ば,式(2・30)よ

り,

(2.35)

例 題2・29長 け,他

さ １ｍ の ひ も の 先 端 に,重

さ ５Ｎ(約0.5㎏f相

当)の 物 体 を つ

端 を 中 心 に 水 平 面 内 に 回 転 さ せ る も の とす る(重 力 は 無 視 し て い る)。 ひ

も は 張 力200Nま

で た え ら れ る も の と す れ ば,角

速 度 は 最 大 何 ラ ジ ア ン毎 秒 に

な るか 。   〔考 え 方 〕 数 値 の 与 え ら れ て い る もの は何 か を考 え,数   〔解 き方 〕 ひ も の 張 力 Ｆ,同 式(2・35)よ り,

式 をたて る。

じ く半 径 ｒ,物 体 の 重 さ Ｗ とお け ば,角

速 度 ω は,

角 速 度 は+と

考 え,

答(19.8rad/s)

例 題2・3O旋

盤 の 主 軸 を1200rpmに

ま わ し棒 １Ｎ は,ど

し た と き,軸

心 か ら100㎜

の位 置 の

れ ほ どの 遠 心 力 を発 生 す るか 。 た だ し,重 力 は 無 視 す る。

〔考 え 方 〕 単 位 に 注 意 。 周 速 度 を だ し,遠 心 力 を 求 め る 。 〔解 き 方 〕N=1200rpm,r=100㎜=0.1m,W=1Nよ

り,

周 速 度 ｖは,

遠 心 力 Ｆ'は,

答(向

例 題2・31長

心 力 と 反 対 向 き(中 心 か ら外 向 き)161N)

さ １ｍ の 糸 の 先 端 に 重 さ １Ｎ(約0.1㎏f相

鉛 直 面 内 に100rpmで

当)の 物 体 を つ け て,

回 転 さ せ る 。 こ の と き 物 体 が 最 上 位 と最 下 位 に き た と

きの 糸 の 張 力 を求 め よ。   〔考 え 方 〕 重 力 の 作 用 を受 け る こ と を考 え て,そ

れ ぞ れ 鉛 直 方 向 の 動 的 つ り合 い を

考 え る。   〔解 き 方 〕 重 力 Ｗ,糸

の 張 力 Ｓ,遠 心 力 Ｆ'と す れ ば,最

最 下 位 の 動 的 つ り合 い は, -W+S-F'=0

上 位 の 動 的 つ り合 い は,

答(最

例 題2・32飛

行 機 が 旋 回 半 径100mで

(傾 斜 角)45° 時速何 ㎞

上 位 の 張 力10.19N,最

で,乗

飛 ん で い る。 機 体 の 水 平 面 との な す 角

客 は い す に 対 し て 垂 直 に 安 定 し て 座 っ て い る 。 こ の 場 合,

で飛 ん で い るか 。

  〔考 え 方 〕 傾 斜 角45° と い う の は,飛 の 方 向 が,鉛

下 位 の 張 力12.19N)

行物 体 の重 さとその遠 心 力の 大 きさ との合 力

直 線 よ り45° 傾 い て い る こ とに な る。

  〔解 き方 〕 飛 行 物 体 の 重 さＷ,そ

の 遠 心 力 Ｆ',旋 回 周 速 度 ｖ,旋 回 半 径 ｒ とす れ

ば,

F'=Wで

あ る か ら,

求 め る 速 度 は,正

を と っ て,

答(時 問 題2・20図2・20の 速60㎞

よ うに,電

車 が 半 径120mの

円 弧 に カ ー ブ し た レー ル 上 を 時

の 速 さ で 走 っ て い る。 電 車 の 総 重 量 が200×103N(約20.4tf相

とす れ ば,遠

速112.7㎞)

当)で あ っ た

心 力 は い く らか 。 答(47.24kN)

図2・20

〔５〕  円 す い 振 り子

  図2・21の よ う に,糸 の 長 さ ｌの 先 端 に,重 固 定 して,お

さＷ の 重 りを つ け,上 端 を

も りに 円運 動 を与 え る と,糸 は 鉛 直 軸 を 中心 と し て 円 す い面

を描 く。 こ れ を 円 す い 振 り子 と い う。 円 す い 振 り子 の 高 さ ｈお よ び 周 期 Ｔ(お も りが １回 転 す る時 間)は,角

速 度 ω だ け で 決 ま り,糸 の 長 さや 重

りの 重 さ に は 無 関係 で あ る。

図2・21円

す い振 り子

  こ の 理 由 を 考 え て み よ う。 い ま,図2・21で,糸 Ｆ',重

の 張 力 Ｓ,お

も りの 遠 心 力

り の 重 さ Ｗ の 力 は つ り合 っ て い る 。 三 角 形 の 相 似 か ら,

こ れ に,

を 代 入 し て,(ω>0)

(2・36)

  こ れ よ り,ｈ

は ω2に 反 比 例 し,ｌ

や Ｗ に は 無 関 係 で あ るこ とが わか る。

  ま た,１ 秒 間 の 回 転 角 が ω 〔rad/s〕 で あ る か ら,重 間,周

期 Ｔ は,

り １回 転 に 必 要 と す る 時

(2・37)

と な っ て,周

期 も ま た 角 速 度 に 反 比 例 し,ｌ

や Ｗ に 無 関 係 で あ る こ とが わ か

る。

例題

2・33長

す れ ば,周

さ50㎝

の 糸 に 重 り を つ け,鉛

直 線 と な す 角30°

で 回 す もの と

期 は い く らか 。

〔 考 え方 〕 円 す い 振 り子 の 高 さ ｈ を求 め て,式(2・36)に

よ り求 め る。 ｈ と糸 の 長 さ

が 成 り立 つ こ とに 気 づ け ば よ い 。

ｌの 間 に は,

〔 解 き方 〕

答   (周期1.32秒)

例 題2・34重

mで

り の 重 さ2N(約0.2㎏f),円

す い の 高 さ １m,底

面 の 半 径0.5

運 動 して い る 円す い 振 り子 が あ る。 糸 の 張 力 は い くらか 。

  〔考 え方 〕 糸 の 張 力,重

りの 重 さ,遠 心 力 に よ る 力 の 三 角 形(直 角 三 角 形)か ら 張 力

を 求 め る。 〔解 き 方 〕  W=2N,

h=1m,

r=0.5mと

す れ ば,

張 力 Ｓ は,

答(糸

の 張 力2.24N)

例 題2.35円

す い 振 り 子 の 回 転 数 が30rpmの

と き,振

り子 の 高 さは い く ら

に な るか 。   〔考 え 方 〕 回 転 数 と周 期 の 関 係 を よ く理 解 して お き た い 。 回 転 数 をN〔rpm〕 れ ば,１ 秒 間 の 回 転 数 はN/60回

とす

。 そ こ で １回 転 に 要 す る 時 間 Ｔ(周 期)は,

とな るこ とに気づ け ば よい。

両 辺 を ２乗 して ｈに つ い て 解 け ば

〔 解 き方 〕

答(高

問 題2・21糸

の 張 力 が4N,重

りの 重 さ が3N,１

さ0.993m)

秒 間 の 回 転 角 が5rad/sの

運動 を

して い る 円 す い 振 り子 が あ る 。 重 りが 描 く円 の 半 径 は い くら か 。 答(重

2.3

〔１〕 運

動

りの 描 く半 径0.346m)

運 動 量 と力積

量

運 動 の 強 さ を 表 す 量 と して,そ の 物 体 の 質 量 と速 度 との 積 を用 い,こ

れ

を運 動 量 とい う。 物 体 の 質 量 ｍ,重

さ Ｗ,速

度 υ とお け ば,運

動 量 は, (2・38)

運 動 量 も また ベ ク トル 量 で,そ の と き の速 度 と 同 じ向 き を も っ て い る。 単 位 はN・sを

用 い る(参 考:

m・ υが 運 動 の 強 さ を意 味 す る の は,重

い物 体 ほ ど,ま た 速 度 の 大 き い 物 体

ほ ど 止 め に く い こ と か ら も う な ず け よ う。

《運 動 量 と力》   υ0の速 度 で 直 線 運 動 す る重 さ Ｗ の 物 体 が,運 動 の 方 向 に 力 Ｆ を 時 間 ｔの 間 受 け た とす る。   こ の と き加 速 度 αは, α=(υ-υ0)/t

これ を運 動 方 程 式 に代 入 して,

(2・39)

  こ れ よ り,"運

動 量 の 時 間 的 変 化 の 割 合 は 力の 大 き さ に 等 し い” と い う こ と

が わ か る。

こ れ は 運 動 の第 ２法 則 の 変 わ っ た表 現 法 の 一 つ とい え る。

例 題2・36

500N(約51㎏f相

当)の 物 体 が,速

度25m/s,5m/sの

それ ぞれ

の 場 合 の 運 動 量 を求 め よ。 〔考 え方 〕 式(2・38)が 思 い 出 さ れ れ ば よ い 。 〔解 き方 〕

よ り,速 度25m/sの

同 横 に し て ５m/sの

場合は

場 合 は

答(1276Ns,255Ns)

問 題2・22

500N(約51㎏f相

当)の 物 体 が,25m毎

の 物 体 に ３秒 間 一 定 の 外 力 を加 え,５m毎

秒 の 速 度 で 運 動 し て い る。 こ

秒 の 速 度 に お と した 。 加 え た 外 力 の 大 き さ

は い く らか 。 答(物

体 の 運 動 の 逆 方 向 に340N)

〔２〕 力

式(2・39)を

積

変 形 す れ ば, (2・40)

と な る 。 こ の 左 辺 のF・tを

力 積 と い う 。 こ の 式 は,力

積 は運動 量 の変化

に 等 しい こ と を示 して い る。

《衝 撃 力 と緩 衝 》   急 激 に 運 動 量 を変 化 させ る た め に は,非 常 に 大 きな 力 を必 要 とす る。 こ の よ うな 力 を衝 撃 力 とい う。 これ は 式(2・39)で,ｔ 分 母 は小 さ くな る こ とか ら,Ｆ

を小 さ くす れ ば す る ほ ど,式 の

は大 き くな る こ とが理 解 で き よ う。

  衝 撃 力 を和 らげ る こ と を緩 衝 と い う。 緩 衝 を実 現 す るた め に は,ゴ な ど を用 い て,式(2・39)の

例 題2・37静

ｔを大 き く してや れ ば よ い こ と に気 づ くで あ ろ う。

止 して い る6000N(約612㎏f相

加 え て,70㎞/hの

ムや ばね

当)の 物 体 に15秒 間 力 を一 定 に

速 度 に した い 。 こ の た め に は何 Ｎ の 力 が 必 要 か。

  〔考 え方 〕 与 え られ た値 は一 定 時間 前後 の物体 の速 度 と重 さで あ るか ら,運 動 量 の 時問的 変化 よ り力 が求 め られ る。 〔 解 き方〕 あ る か ら,式(2・40)よ

で り

答(793N)

例 題2・381000N(約102㎏f相 っ た 初 速10m/sで,静

当)の 重 りで く い を 打 っ た ら,く 止 す る ま で に0.2秒

いに当 た

か か っ た と い う。 何 Ｎ の 力 で 打

った こ とに な る か 。   〔考 え 方 〕 前 間 と同 じ考 え 方 。 初 速 と終 速 は 逆 に な る。 重 力 も加 わ る。

〔解 き方 〕

  こ こ で,マ

イ ナ ス(-)は,重

りの 運 動 と反 対 向 き に6.1kNの

意 味 す る。 くい は こ の 作 用 に 対 す る反 作 用 と し て,運

力 が作 用 した こ とを

動 方 向 に6.1kNの

力 を受 け た

こ と に な る。 答(打 問 題2・2340m/sで

力 は6.1kN)

飛 ん で き た ボ ー ル をバ ッ トで 打 ち 返 し た と こ ろ50m/sの

で 飛 ん で い っ た 。 バ ッ トは0.07秒

間 一 定 な 力 で ボ ー ル に 作 用 し た とす れ ば,作

た 力 は 何 Ｎ か 。 た だ し,ボ ー ル の 目 方 は3Nと

速度 用 し

す る。 答(-394N)

〔３〕   運 動 量 保 存 の法 則

  図2・22(a)の

よ う に,重

さWA,WBの

物 体A,Bが,速

度 υa,υB(υA

>υB)で 同 方 向 に 運 動 し て い る。 や が て Ａ は Ｂ に 追 い つ き,力 ｔの 間 作 用 し た の ち(図(ｂ)),A,Bの

速 度 は υA',υB'に な っ た と す る(図

(ｃ))。図(ｂ)で,

(ｂ)

(ａ)

図2・22運

Ａ に働 く力 積 は, Ｂ に働 く力積 は,

Ｆ で時 間

動 量 の保 存

(ｃ)

運 動 の 第 ３法 則 よ り,

(2・41)

こ の 式 は,作

用 前 ・作 用 後 の そ れ ぞ れ の 運 動 量 の 総 和 が 等 し い こ と を示

して い る。 こ れ を運 動 量 保 存 の 法 則 とい う。

〔注 〕 特 に,運

動 量 保 存 の 法 則 が 成 り立 つ の は,他

か ら力 が 働 か な い と き と,も

し

働 い て も合 力 が ０の と き の い ず れ か に 限 ら れ て い る こ とに 注 意 さ れ た い 。

例 題2・39静 の 人 が,後

止 し て い る 重 さ1000N相 方 へ ３m/sの

当 の ボ ー トに 乗 っ た 体 重500N相

速 度 で 飛 び 込 ん だ と す れ ば,ボ

当

ー トは ど ん な 運 動 を す

るか 。   〔考 え 方 〕 飛 び 込 む 前 の 運 動 量 の 総 和 は ０,し たが っ て,飛

び込 ん だ後 の 運動 量 の

総 和 も ０に な る こ とに 気 づ け ば よ い 。 〔解 き方 〕 飛 び 込 ん だ 後 の ボー トの 速 度 を υ とす れ ば,式(2・41)か

答(1.5m/sの

ら,

速 度 で 前 進 す る)

問 題2・24同

一 直 線 上 を 同 じ方 向 に 運 動 す る 同 じ 目方 の 二 つ の 物 体ABが

Ａ は25m/sの

速 度 で 先 に 進 み,Ｂ

は 衝 突 して Ａ の 速 度 は35m/sと

は40m/sの

あ っ て,

速 度 で Ａ を 追 っ た 。 そ の 後,A,B

な っ た 。 Ｂ の 速 度 は い く ら と な るか 。 運 動 量 保 存 の

法 則 を使 っ て 求 め よ 。 答(30m/s)

〔４〕 衝 (ａ)反

突

発係 数

一般 に

,物

体 は 他 の 物 体 に ぶ つ か る と は ね 返 る 。 こ の と き,当

の 速 度 を υ,は

ね 返 る 速 度 を υ'と す れ ば,実

の 結 果 で は,υ'は

た る とき

験

υ に お お よ そ 比 例 す る(図

2・23)。 (2・42) 図2・23反

と 置 き,こ

〔 注〕

ｅの 値 は,２ 物 体 の 材 質 で 違 う値 と な る。e=1と

後 の 速 度 が 等 し く,e=0の