Вычисление коммутаторной длины в свободных группах

Алгебра и логика, 39, N 4 (2000), 395-440

УДК 512.54

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОММУТАТОРНОЙ

ДЛИНЫ

В С В О Б О Д Н Ы Х ГРУППАХ*)

В. Г. Б А Р Д А К О В Посвящается 60-летию со дня рождения Ю. И, Мерзлякова

Напомним, что коммутаторной длиной с\(д) неединичного элемента д из коммутанта G1 группы G называется наименьшее натуральное к такое, что д является произведением к коммутаторов. Для единичного элемента е полагают cl(e) = 0. Для произвольной неабелевой группы G естественно сформулировать вопрос о вычислении коммутаторной длины произволь­ ного элемента д из коммутанта G1. Этот вопрос связан, с одной стороны, с решением уравнений в группе G, а с другой — с вычислением ширины коммутанта относительно множества коммутаторов. В предлагаемой рабо­ те изучается коммутаторная длина в свободных группах. По-видимому, первый алгоритм вычисления коммутаторной длины был построен Голдстейном и Тернером [1]. Затем Каллер [2] дал другой алгоритм вычисления коммутаторной длины, который может быть исполь­ зован не только для свободных групп, но и для свободных произведений. Кроме того, он установил, что если а и Ь — свободные порождающие сво­ бодной группы J 1, то c\(zm) > 1. Отвечая на вопрос Эдмундса и Розенбергера [4], Комерфорд, Комерфорд и Эдмунде [6] показали, что при га > 3 для всякого неединичного z E F' вы­ полняется неравенство cl(zm) > 2, здесь же описаны все элементы, имею­ щие коммутаторную длину 2. В [7] построен алгоритм, позволяющий нахо­ дить слова заданной коммутаторной длины. Дункан и Хоуе [8] установили неравенство cl(zm) ^ (га + 1)/2. Эта нижняя оценка коммутаторной дли­ ны c\(zm) является наилучшей из известных автору. К сожалению, она не зависит от коммутаторной длины самого элемента z. В настоящей статье получена подобная оценка: c\{zm) ^ (ms(z) + 6)/12, где s(z) — некоторое неотрицательное число, определенное элементом z (см. теор. 2). Во мно­ гих случаях это неравенство дает более точную оценку, по сравнению с оценкой Дункана—Хоуе, а также в некоторых случаях помогает находить точное значение с1(г) (см. § 4). Можно высказать предположение о том, что справедлива ГИПОТЕЗА. Для всякого элемента z из коммутанта

свободной

Вычисление коммутаторной длины

397

неабелевой группы F и всякого натурального т справедливо неравенство cl(zm)^[(m+l)/2]cl(z). В § 3 для коммутативно-ассоциативного кольца К с единицей строит­ ся некоторая А~-алгебра Р и исследуются ее свойства. Эта алгебра обладает делителями нуля, не является разрешимой и не имеет свойство ассоциа­ тивности степеней. Тем не менее, она является Л и-допустимой, а соответ­ ствующая ей алгебра Ли Pi является 3-х ступенно разрешимой. Здесь же будет дано определение ширины производной подалгебры произвольной алгебры А, двойственное понятию ширины коммутанта, известному в тео­ рии групп. Будет найдена ширина производной подалгебры алгебры Р , а также ширина производной подалгебры алгебры Ли Pi. Помимо того, что алгебра Р является достаточно интересной и сама по себе, она использу­ ется при доказательстве теоремы 2. В §4, с учетом результатов предыдущих параграфов, будет получе­ на неулучшаемая верхняя оценка коммутаторной длины cl(z m ), а также установлено, что в свободной группе F2k со свободными порождающими «1, &i,..., аь, Ь&, k £ N, для всякого натурального т справедливо равен­ ство cl(([a b bi)... [ojb, bk])m) ~ [(2 - m)/2] + тк. При к = 1 отсюда будет следовать результат Каллера [2]. В [4] сформулирован вопрос: какие значения может принимать функ­ ция cl(z m ), z e F', при фиксированном натуральном ml При т = 2 дадим ответ на этот вопрос. Будет построена такая последовательность элемен­ тов dk Е i^, к == 1,2,..., что ни один из них не является собственной степенью и cl(d|) = к + 1. Кроме того, там же (см. [4, вопрос 3]) авторы спрашивают: "Если [w, w][x,y] = z2 в F , то что можно сказать о группе G = гр(г;, w,x,y1z)'}.i