Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. 9 класс» Ю.Н. Макарычев и др., М.: «Просвещение», 1999 г.
уч...
14 downloads
374 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. 9 класс» Ю.Н. Макарычев и др., М.: «Просвещение», 1999 г.
учебно-практическое пособие
1
1.
а) f(−1)=−3⋅(−1)2+10=7; б) f(0)=−3+10=–3⋅02+10=10; 1 1 1 2 в) f( )=−3⋅( )2+10=–3⋅ +10= 9 . 9 3 3 3
2. 0 − 0,5 −0,5 = = −1 ; 0 + 0,5 0,5 1,5 − 0,5 1 = ; б) f(1,5)= 1,5 + 0,5 2 −1 − 0,5 −1,5 в) f(−1)= = = 3. − 1 + 0,5 − 0,5
а) f(0)=
3.
а) f(5)=53−10=125−10=115. б) f(4)=43−10=64−10=54. в) f(2)=23−10=8−10=−2. г) f(−3)=(−33)−10=−27−10=−37.
4.
1) ϕ(0)=02+0+1=1; 2) ϕ(1)=12+1+1=3; 3) ϕ(2)=22+2+1=4+2+1=7; 4) ϕ(3)=32+3+1=9+3+1=13; ϕ(0)+ϕ(1)+ϕ(2)+ϕ(3)=02+0+1+12+1+1+22+2+1+32+3+1=1+3+7+13=24.
5. 11 =−2,2. −5 4 б) −5x+6=−3; 5x=6+3; 5x=9; x=1 . 5 1 в) −5x+6=0; 5x=6; x=1 . 5
а) −5x+6=17; -5x=17−6; x=
6. а) x(x+4)=0; x1=0, x+4=0; x2=−4. x + 1 = 0 x +1 =0; ; x=−1. б) 5− x 5 − x ≠ 0 2
7. 4 =1;4=1⋅(6+x); 4-6=x; x=−2. 6+ x 4 б) =−0,5; 4=-0,5(6+x); 8=−6−x; x=−14. 6+ x 4 в) =0; 4=(6+x)⋅0; 4=0; нет решений. 6+ x а)
8. а) 0,5x−4=−5, 0,5x=−1, x= −
1 , x=−2. 0,5
4 , x=8. 0,5 6,5 в) 0,5x−4=2,5, 0,5x=6,5, x = , x=13. 0,5
б) 0,5x−4=0, 0,5x=4, x =
9. а) Область определения – все числа. б) Область определения – все числа. в) 5−x≠0, x≠5. Область определения – все числа, кроме 5. г) (х–4)(х+1)≠0; x−4≠0; x≠4 и x+1≠0; x≠−1. Область определения – все числа, кроме x=5; x=−1. д) x2+1=0 — нет решений. Область определения – все числа. е) х−5≥0; х≥5. Область определения: х≥5.
10. а) y=10x;
б) y=
6 5 x − 35
11. а) Область определения – все числа. б) 1+x≠0; x≠−1. Функция не определена при x=−1. в) 9+x≥0; х≥−9. Функция определена при всех x≥−9.
12. а) g(−4)=−3; g(−1)≈−2; g(1)=3; g(5)=3; б) g(х)=у при х≈1,3, х≈4,4; g(х)=−4 при х=−3; g(х)=0 при х=−5, х=0; в) Наибольшее значение функции равно 6 при х=3; наименьшее значение равно –4 при х=–3. г) Область значений: [−4; 6]. 3
13. а) D(f)=(–∞; ∞); E(f)=(–∞; ∞). б) D(f)=(–∞; ∞); E(f)=(–∞; ∞).
в) D(f)=(–∞; 0)∪ (0; ∞); E(f)=(–∞; 0)∪(0; ∞). г) D(f)=(–∞; 0)∪ (0; ∞); E(f)=(–∞; 0)∪(0; ∞).
14.
1) y=x2: D(y)=R, E(y)=[0;+∞]. 2) y=x3: D(y)=R, E(y)=R. 3) y= x : D(y)=[0:+∞), E(y)=[0;+∞).
15. а) y=
2 ; x
б) y=−
2 ; x
в) y=
x ; 2
г) y=
x −2; 2
д) у=2−
x . 2
16. При x=0 y=−1, при x=
1 имеем y=0, значит, искомая функция 2
y=2x−1.
17.
а) |x|=3,5 при х=3,5 или x=–3,5; б) |x| 0 при −7≤xу3(2).
21
76. 1) x 0 1 y1 0 0,4
2 1,6
3 3,6
–1 0,4
–2 1,6
–3 3,6
2) x 0 1 2 3 –1 –2 –3 y2 0 –0,4 –1,6 –3,6 –0,4 –1,6 –3,6 Е(у1)=[0;∞); Е(у2)=(∞; 0].
77. а) 1) При х=0 у=0; 2) при х≠0, то у0; 3) у(х)=у(–х); 4) убывает в (–∞; 0], возрастает в [0; ∞); 5) при х=0 функция принимает наименьшее значение у=0; 6) Е(у)=[0; ∞).
78. а) 1) При х=0 у=0; 2) При х≠0, то у>0; 3) у(х)=у(–х); 4) убывает в (–∞; 0], возрастает в [0; ∞); 5) при х=0 функция достигает наименьшего значения у=0; 6) Е(у)=[0; ∞). б) 1) При х=0 у=0; 2) При х≠0 у0. Два корня. 1 б) – y2+6y–18=0; y2–12y+36=0; D=(−12)2–4⋅1⋅(−36)=0. Один ко2 рень. в) m2–3m+3=0; D=(−3)2–4⋅1⋅3=–30 ⇒ (6х+1)(3+х)>0; 6(х+ 1 )(х+3)>0; (х+ 1 )(х+3)>0; в) 6 6 3+ х
(−∞; −3)∪(− 1 ;+∞) 6
г) 5 х 0 ; по теореме Вие3 2 2 2 2 9 3 2 та, x1+x2= , x1x2=−1. 3
г)−
163. Выделим квадрат двучлена: а)
2x2−3x+7=2(x2− 3 x+ 7 )=2(x2−2⋅x⋅ 3 + 9 − 9 + 7 =2((x− 3 )2− 47 )= 2
2
4
16 16
4
2
16
=2(x− 3 )2−5 7 . 4 8 б) 2 1 −3x2+4x−1=−3(x2− 4 x + 1 )=−3(x2−2⋅x⋅ 2 + 4 − 4 + 1 )=−3((x− )2− )= 3 9 3 9 9 3 3 3 2 2 1 −3(x− ) + . 3 3 9 в) 5x2−3x=5(x2− 3 x)=5(x2−2x⋅ 3 + 9 − 9 )=5((x− 3 )2− )= 5
10 100 100
10
100
=5(x− 3 )2− 9 . 10
20
г) −4x2+8x=−4(х2−2x)=−4(x2−2⋅x⋅1+1−1)=−4((x−1)2−1)=−4(x−1)2+4.
164. а) Выделим квадрат двучлена: −х2+20x−103=−(x2−20x+103)=−(x2−2⋅x⋅10+100−100+103)= =−((x−10)2+3)0.
55
165. а)
Выделим
квадрат
двучлена:
3x2−4x+5=3(x2−
4 5 + )= 3 3
2 4 4 5 2 11 2 11 + − + )=3((x− )2+ )=3(x− )2+ ⇒ наибольшего 3 9 9 3 3 9 3 3 2 2 значения нет; наименьшее 3 . При x = . 3 3 б) Выделим квадрат двучлена: −3x2+12x=−(x2−4x)= 2 2 2 =−3(x −2⋅x⋅2+4−4)=−3((x−2) −4)=−3(x−2) + +12 ⇒ наименьшего значения нет; наибольшее 12. При х = 2
3(x2−2x
166. Так как по условию, a+b=40 то a=40−b, тогда их произведение равно ab=b(40−b)=−b2+40b=−(b2−40b+400−400)=−(b−20)2+400. Наибольшее значение этого выражения достигается при b=20; тогда и a=40−b=40−20=20.
167.
а) 0,8х2−19,8х−5=0. Найдем корни: D=392,04−4⋅0,8⋅(−5)=408,04; 1 1 4 1 x=25 или x= − ; 0,8x2−19,8x−5= (x+ )(x−25)= (4x+1) ( x−5). 4 5 4 5 2 16 1 2 100 б) 3,5−3 x+ x2=0. Найдем корни: D= −4⋅3,5⋅ = ; 3 3 9 3 9 31 + 4 7 31 − 4 3 1 2 2 3 7 x= 23 3 = или x= 23 3 = ; 3,5−3 x+ x2= (x− )(x− )= 2 3 3 3 2 2 2 ⋅2 ⋅2 3 3 в) x2+x 2 −2=0. Найдем корни: D=2−4⋅1⋅(−2)=10; x= − 2 + 10
2 − 10 − 2 − 2 − 10 2 − 10 + 2 или x= x +x 2 −2=(x− )(x− ). 2 2 2 г) x2−x 6 +1=0. Найдем корни: D=6−4⋅1⋅1=2; x= 6 + 2 или 2 6− 2 2 6− 2 6+ 2 x −x 6 +1=(x− )(x− ) x= 2 2 2
168. а) 1) m2+6m+8=0; D=62−4⋅1⋅8=4; m1= m2+6m+8=(m+2)(m+4). 56
−6 + 2 −6 − 2 =−2, m2= =−4; 2 2
2m 2 − 8
2)
2
m + 6m + 8
=
2(m 2 − 4) 2(m − 2)(m + 2) 2(m − 2) . = = (m + 2)(m + 4) (m + 2)(m + 4) m+4
б) 1) 2m2−5m+2=0; D=(−5)2−4⋅2⋅2=9; m1=
5−3 1 5+3 =2, m2= = ; 4 4 2
1 )=(m−2)(2m−1); 2 (m − 2)(2m − 1) 2m − 1 2m 2 − 5m + 2 (m − 2)(2m − 1) 2) = = = n−3 ( m − 2)(n − 3) mn − 2n − 3m + 6 n(m − 2) − 3(m − 2)
2m2−5m+2=2(m−2)(m−
169. а)
4x2−3x−1=0;
1)
D=(−3)2−4⋅4⋅(−1)=25;
x1=
3+5 =1, 8
3−5 1 1 = − ; 4x2−3x−1=4(x−1)(x+ )=(x−1)(4x+1); 4 8 4 37 x − 12 37 x − 12 x+4 x+4 2) − = − = x − 1 4 x 2 − 3 x − 1 x − 1 ( x − 1)(4 x + 1) x2=
=
( x + 4)(4 x + 1) − (37 x − 12) 4 x 2 + 16 x + x + 4 − 37 x + 12 = = ( x − 1)(4 x + 1) ( x − 1)(4 x + 1)
=
4( x 2 − 5 x + 4) ( x − 1)(4 x + 1)
3)
4x2−20x+16=0;
x2−5x+4=0;
D=(−5)2−4⋅1⋅4=9;
x1=
5+3 =4, 2
5−3 =1; 4x2−20x+16=4(x−4)(x−1); 2 4( x 2 − 5 x + 4) 4( x − 4)( x − 1) 4( x − 4) = = 4) . ( x − 1)(4 x + 1) ( x − 1)(4 x + 1) 4x + 1 −3 + 1 −3 − 1 =−1, x2= =−2; б) 1) x2+3x+2=0; D=32−4⋅1⋅2=1; x1= 2 2 x2+3x+2=(x+1)(x+2);
x2=
2) x − 1 − x+2
1− x 2
x + 3x + 2
= x −1 − x+2
1− x 1 = 1 = ( x − 1) + ( x + 1)( x + 2) ( x + 2) ( x + 1)( x + 2)
x +1+1 ( x − 1)( x + 2) x − 1 = = (x–1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2) x + 1
57
170. а) 1) x2−x−20=0; D=(−1)2−4⋅1⋅(−20)=81; x1=
1− 9 1+ 9 =−4; =5, x2= 2 2
x2−x−20=(x−5)(x+4); 7 x − x 2 x 2 − x − 20 x(7 − x)( x − 5)( x + 4) ⋅ 2) = =х(х−5)=x2−5x. 7−x x+4 ( x + 4)(7 − x) б)
1)
x2+11x+30=0;
D=112−4⋅1⋅30=1;
x1=
−11+ 1 =−5, 2
−11− 1 =−6; x2+11x+30=(x+5)( x+6); 2 x 2 + 11x + 30 x + 5 ( x + 5)( x + 6)( x − 5) x + 6 = : 2) . = 3x − 15 x −5 3( x − 5)( x + 5) 3 3+5 3−5 =4, x2= =−1; в) 1) x2−3x−4=0; D=(−3)2−4⋅1⋅(−4)=25; x1= 2 2 x2−3x−4=(x−4)(x+1); x2=
2x 2 − 7
2) =
3)
x 2 − 3x − 4
−
2 x +1 + − 2 x 2 − 7 − ( x + 1)( x + 1) = 2x 7 − x 1 = = x − 4 ( x + 1)( x − 4) x − 4 ( x − 4)( x + 1)
2
2 x − 7 − ( x 2 + 2 x + 1) 2 x 2 − 7 − x 2 − 2 x − 1 x 2 − 2x − 8 = = ( x − 4)( x + 1) ( x − 4)( x + 1) ( x − 4)( x + 1)
x2−2x−8=0;
D=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=36;
x2−2x−8=(x−4)(x+2);
x1=
2+6 =4, 2
x2=
2−6 =−2; 2
2 ( x − 4)( x + 2) x + 2 4) x − 2 x − 8 = . =
( x − 4)( x + 1)
( x − 4)( x + 1)
x +1
г) 1) 3x2−5x+2=0; D=(−5)2−4⋅3⋅2=1; x1= 3x2−5x+2=3(x−1)(x− 2) =
2 + x − x2 2 − 5 x + 3x 2
+
5 +1 5 −1 2 =1, x2= = ; 6 6 3
2 )=(x−1))(3x−2); 3
2 + x − x2 10 x 10 x 2 + x − x 2 + 10 x( x − 1) = + = = 3 x − 2 ( x − 1)(3 x − 2) 3x − 2 ( x − 1)(3 x − 2)
2 + x − x 2 + 10 x( x − 1) 2 + x − x 2 + 10 x 2 − 10 x 9x 2 − 9x + 2 ; = = ( x − 1)(3x − 2) ( x − 1)(3x − 2) ( x − 1)(3x − 2)
58
3)
9x2−9x+2=0;
9x2−9x+2=9(x−
D=(−9)2−4⋅9⋅2=9;
x1=
9+3 2 = , 18 3
x2=
9−3 1 = ; 18 3
1 2 )(x− )=(3x−2)(3x−1); 3 3
2 (3x − 2)(3x − 1) 3x − 1 4) 9 x − 9 x + 2 = =
( x − 1)(3x − 2)
( x − 1)(3x − 2)
x −1
171. а) x=5; y=−7 ⇒ a⋅52=−7; 25a=−7; a=−
7 . 25
б) x=− 3 ; y=9 ⇒ a⋅(− 3 )2=9; 3a=9; a=3. 1 1 1 1 1 1 1⋅ 4 =−2 в) x=− ; y=− ⇒a⋅(− )2=− ; a=− ; a=− 2 2 2 2 4 2 2 ⋅1 10 1 г) x=100; y=10 ⇒ a⋅1002=10; 10000a=10; a= = = 0,001. 10000 1000
172.
y 1) График функции у=−0,25х2 − па–6 –4–2–1 12 рабола, у которой ветви направлены 2 x вниз (т.к. коэффициент при x отрицательный). y=–0,25x2 –4 2) Найдем координаты вершины: b 0 =0; yв=0; (0; 0). xв=− =− 2a 2 ⋅ (−0,25) 1 3) x 2 −2 3 −3 −1 −6 y −1 −1 −2,25 −2,25 −0,25 −0,25 −9 4) Наибольшее значение равно 0, наименьшее значение равно y(–6)=–9.
173.
а) При a>0 имеем: y=ax2 ≥ 0 ⇒ E(y)=[0;+∞); б) при a < 0 имеем ⇒ E(y)=(−∞; 0].
174.
y=ax2; y=ax. Найдем точки пересечения: ax2=ax; ax2−ax=0; ax(x−1)=0; x=0 или x−1=0; x=1. При x=0 получим точку пересечения (0; 0) при x=1 получим (1; a).
59
175.
Перенеся параболу y=7x2 вверх на 5 единиц, получим новую параболу — график функции y=7x2+5. Перенеся ее влево на 8 единиц, получим параболу — график функции y=7(x+8)2+5. Итак, y=7(x+8)2+5.
176.
а) График функции у=−х3 получается из графика функции у=х3 вертикальным отражением относительно оси Ох. График функции у=(х−3)3 получается из графика функции у=х3 при сдвиге на 3 единицы вправо. График функции у=х3+4 получается из графика функции у=х3 при сдвиге вверх на 4 единицы. б) График функции у=− х получается из графика функции у= х при отражении относительно оси Ох. График функции у= х + 5 получается из графика функции у= х при сдвиге на 5 единиц влево. График функции у= х − 1 получается из графика функции у= х при сдвиге на 1 единицу вниз.
177. x, x > 0 - x, x < 0
1) Строим график функции y=|x|=
2) График функции y=|x−4| получается из построенного графика при сдвиге на 4 единицы вправо. 3) График функции y=|x−4|−3 получается из графика функции y=|x−4| при сдвиге на 3 единицы вниз.
178.
График функции у=х2−6х+с есть парабола, у которой ветви направлены
вверх.
ув=9−18+с=с−9. 60
Координаты
вершины:
хв=− b = 6 =3; 2a
2
График функции располагается выше данной горизонтальной прямой, если выше нее будет расположена вершина параболы. а) График располагается выше прямой у=4 при с−9>4, т.е. при c>13. б) График располагается выше прямой у=−1 при с−9>−1 т.е. при с>8.
179*. Вычислим
координаты
вершины
параболы:
хв=−
b , 4
b2 b2 b2 . Чтобы вершина оказалась в точке (6; –12), − +c = = c− 4 4 2 2 2 b положим: − = 6 , b=−12; c − b = −12 , c= b − 12 , так как b=−12, 2 4 4
ув=
c= 144 − 12 = 36 − 12 = 24 . 4
180. Прямая является осью симметрии параболы, когда на этой прямой лежит вершина параболы. хв=
16 8 8 = ; должно быть = 4 , т.е. 2а а а
а=2.
181. у=ах2+с; у=0 ⇒ ах2+с=0; ах2=−с; х2=− с ⇒ уравнение имеет реа
шения при 1) а>0, с≤0 2) а0. Так как ax2+bx+c=x(b+ax)+c, коэффициент c определяет сдвиг вдоль оси Оу графика функции x(b+ax). В нашем случае у a и b разные знаки, значит, один нуль квадратичной функции x(b+ax) равен 0, а второй лежит правее нуля. Так как на данном графике оба корня лежат правее нуля, произошел сдвиг вниз, следовательно, с0. График сдвинут вправо от оси Оу, значит, а и b разных знаков, т.е. b0. Итак, а>0, b0.
189.
а) 1) График функции y=x2−5x−50 является параболой, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Решим уравнение x2–5x–50=0; D=(–5)2–4⋅1·(–50)= 5 + 15 5 − 15 =10, x2= =−5. =225; x1= 2 2 3) (−5; 10).
66
б) 1) Графиком функции y=−m2−8m+9 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при m2 отрицательный). 2) Решим уравнение –m2–8m+9=0; D=(–8)2–4·(– 1)·9= =100; m1=
8 + 10 8 − 10 =−9, m2= =1. 2 ⋅ (−1) −2
3) [−9; 1]. в) 1) Графиком функции z=3y2+4y−4 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при y2 положительный). 2) Решим уравнение 3y2+4y−4=0; D=42−4·3·(−4)= −4 − 8 −4 + 8 2 =−2. = , y2= 6 6 3 2 3) (−∞; −2)∪( ;+∞). 3
=64; y1=
г) 8p2+2p−21≥0. 1) Графиком функции 8p2+2p−21 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при p2 положительный). 2) Решим уравнение 8p2+2p−21=0; D=22−4·8·(−21)= −2 + 26 −2 − 26 =676; p1= =1,5, p2= =− 1,75 16 16 3) (−∞; −1,75)∪(1,5; +∞). д) −4x2+12x−9≤0. 1) Графиком функции y=−4x2+12x−9 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный) 2) Решим уравнение −4x2+12x−9=0; 4x2−12x+9=0; −12 + 0 =1,5. D=122−4·(−4)·(−9)=0; x= −8 3) (−∞; +∞). е) −9x2+6x−1x2+5x−7x−35; x2−2x+29>0. 1) Графиком функции y=x2−2x+29 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 2) Решим уравнение x2−2x+29=0; D=(−2)2−4·1·290. 2) Графиком функции y=144–9x2 является парабола, у которой ветви направлены вниз (т.к. коэффициент при x2 отрицательный). 3) Решим уравнение: 144–9x2=0; 9x2=144; x2=16; x=4 или x=–4. 4) (–4; 4). б) 1) Так как подкоренное выражение неотрицательно, то 16 − 24 x + 9 x 2 ≥ 0 . Т.к. x+2 стоит в знаменателе дроби, ⇒ x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ −2 . 2) Графиком функции y=9x2–24x+16 является парабола, у которой ветви направлены вверх (т.к. коэффициент при x2 положительный). 3) Решим уравнение 9x2–24x+16=0; D=(−24)2– 24 + 0 4 4·9·16=0; x = = . 18 3 4) (−∞;−2) ∪ (−2;+∞) 68
192*.
Решим первое неравенство. Рассмотрим уравнение x2+6x–7=0; − 6 + 64 − 6 − 64 =1, D=62−4⋅1⋅(−7)=64; = −7 ; x1 = x2 = − 2 2 ( x − 1)( x + 7) ≤ 0 при −7 ≤ x ≤ 1 . +
– –7
Решим
+
второе
–3
+ –
1
неравенство: 2+8 D=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64; x1 = =5, 2 ( x − 5)( x + 3) ≤ 0 при −3 ≤ x ≤ 5 . Общие решения неравенств: −3 ≤ x ≤ 1 .
5
+
x 2 − 2 − 15 ≤ 0 ; 2−8 x2 = = −3 ; 2
193*. а) Решим первое неравенство системы. 4 x 2 − 27 x − 7 = 0 ; 27 + 29 56 D=(−27)2−4⋅4·(−7)=841; или x1 = = =7 8 8 1 1 27 − 29 2 1 и x >7. x2 = = − = − ; ( x − 7)( x + ) > 0 при x < − 8 8 4 4 4 Учитывая второе уравнение системы, получаем: x>7. б) Решим первое неравенство системы. − 3 x 2 + 17 x + 6 < 0 ; 3x 2 − 17 x − 6 > 0 . Рассмотрим уравнение 3x 2 − 17 x − 6 = 0 ; 17 + 19 36 D=172+6·12=289+72=361; = =6 или x1 = 6 6 1 1 17 − 19 1 = − ; ( x − 6)( x + ) > 0 при x < − и x>6. Учитывая x2 = 6 3 3 3 1 второе уравнение системы, получаем: x < − . 3 в) Решим второе неравенство системы: 2 x 2 − 18 > 0 ; 2( x 2 − 9) > 0 2( x − 3)( x + 3) > 0 при x < −3 и x > 3 . Из первого неравенства следует, что x0; –60b>–16; b< . 15 в) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. 3x2+bx+3=0; D=b2–4·3·3=b2–36>0; (b–6)(b+6)>0. (–∞; –6)∪(6; +∞). г) Чтобы уравнение имело 2 корня, необходимо, чтобы D>0. D=b2–7·1·5=b2–20>0; (b– 2 5 )(b+ 2 5 )>0; x2+bx+5=0; (–∞; – 2 5 )∪( 2 5 ; +∞).
74
211.
а) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 3x2–6x+3u=0; D=36– 36 =1,5. 4·3·2u=36–24u=0; 24u=36; u= 24 б) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 5x2+2ux+5=0; 100 =25; u=5 или u=–5. D=4u2–4·5·5=4u2–100=0; 4u2=100; u2= 4 в) Уравнение имеет один корень, когда D=0. x2–3ux+18=0; D=9u2–4·18=9u2–72=; 9u2=72; u2=8; u=2 2 или u=–2 2 . г) Уравнение имеет один корень, когда D=0. 2x2–12x+3u=0; D=144–4·2·3u=144–24u=0; 24u=144; u=6.
212.
а) Уравнение не имеет корней, если D36.
ijb D ≥ 0 bf__l dhjgb t = 12 ± D . Ijb 2 D ≥ 0 h[Z hgb hljbpZl_evgufb [ulv g_ fh]ml HdhgqZl_evgh c>36. [ t 2 + ct + 100 = 0 g_ bf__l dhjg_c ijb D < 0; D = c 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 100 < 0 ijb c 2 < 400, −20 < c < 20. −c± D 2) t 2 + ct + 100 = 0 ijb D ≥ 0 bf__l dhjgb t = . Ijb 2) t 2 − 12t 2 + c = 0
2
c≤0 c! c>
h^bg ba dhjg_c h[yaZl_evgh g_hljbpZl_e_g (− c + D ≥ 0); ijb bf__f − c + D < 0, c > D gh D = c 2 − 400 < c 2 , ihwlhfm D \k_]^Z BlZd c! HdhgqZl_evgh c>–20.
26
300*.
MjZ\g_gb_ bf__l dhjgb _keb ihke_ aZf_gu khhl\_lkl\mxs__ d\Z^jZlgh_ mjZ\g_gb_ bf__l g_hljbpZl_evgu_ dhjgb t 2 − 13t + k = 0 bf__l dhjgb ijb D = (−13) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ k ≥ 0, l_ ijb k ≤ 169 ; hgb jZ\gu 4
13 ± D , 2
b ohly [u h^bg ba gbo iheh`bl_e_g Z MjZ\g_gb_ bf__l q_luj_ jZaebqguo dhjgy _keb h[Z dhjgy khhl\_lkl\mxs_]h d\Z^jZlgh]h mjZ\g_gby iheh`bl_evgu b jZaebqgu l_ D! l_ 13 − D > 0; 13 − 169 − 4k > 0; 13 > 169 − 4k ; 169 169 > 169 − 4 k ; 4 k > 0; k > 0; hdhgqZl_evgh 0 < k < . 4 [ MjZ\g_gb_ bf__l ^\Z dhjgy _keb h^bg ba dhjg_c khhl\_lkl\mxs_]h d\Z^jZlgh]h mjZ\g_gby hljbpZl_e_g Z \h \lhjhc g_hljbpZl_e_g l_ 13 − D < 0; l_ 13 < 169 − 4k ; l_ ±k>0, k eb[h dh]^Z D l_ k = 169 . t=
4
301*.
Z K^_eZ_f aZf_gm t=x2. JZkkfhljbf d\Z^jZlguc lj_oqe_g t 2 − 20t + 64; j_rbf mjZ\g_gb_ t 2 − 20t + 64 = 0. 20 ± 12 , t1 beb t2 Ihwlhfm D = (−20) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 64 = 144; t = 2
t 2 − 20t + 64 = (t − 16 )(t − 4 );
(x
2
)(
)
− 16 x 2 − 4 = (x + 4 )(x − 4 )(x + 2 )(x − 2 ).
[ t=x . J_rbf mjZ\g_gb_ t 2 − 17t + 16 = 0; D=(−17)2–4⋅1⋅16=225; 17 ± 15 t= ; t1 beb t2=1. Ihwlhfm t 2 − 17t + 16 = (t − 16 )(t − 1); 2
2 x − 16 x 2 − 1 = (x + 4 )(x − 4 )(x + 1)(x − 1).
(
2
\
)(
)
t=x2.
J_rbf
mjZ\g_gb_ 5 ± 13 t= ; t1 beb
t 2 − 5t − 36 = 0;
t1 ± Ihwlhfm 2 t 2 − 5t − 36 = (t − 9 )(t + 4 ); x 2 − 9 x 2 + 4 = (x + 3)(x − 3) x 2 + 4 .
D=(−5)2−4⋅1⋅(−36)=169;
(
)(
)
(
)
27
]
J_rbf
t=x2.
D = (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4) = 25;
mjZ\g_gb_ 3±5 t= ; t1 beb
t 2 − 3t − 4 = 0;
2 2 2 2 t − 3t − 4 = 0; x − 4 x + 1 = (x + 2 )(x − 2 ) x 2 + 1 .
(
)(
^ J_rbf mjZ\g_gb_
)
(
9t − 10t + 1 = 0; 2
)
t 2 = −1.
Ihwlhfm
D = (−10) 2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 1 = 64;
10 ± 8 1 1 ; t1 = 1 beb t 2 = . Ihwlhfm 9t2–10t+1=9(t–1) t − ; 18 9 9 1 1 1 9 x 2 − 1 x 2 − = 9(x + 1)(x − 1) x + x − =(x+1)(x−1)(3x+1)(3x−1) 9 3 3 t=
(
)
_
t=x2.
J_rbf
D = (−17) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 225;
mjZ\g_gb_ 17 ± 15 t= ; t1 beb 8
4t 2 − 17t + 4 = 0; 1 t 2 = . Ihwlhfm 4t2– 4
1 17t+4=4(t–4) t − ; 4
(
)
1 1 1 4 x 2 − 4 x 2 − = 4(x + 2 )(x − 2 ) x + x − = (x+2)(x−2)(2x+1)(2x−1) 4 2 2
302.
Z
y = − x 2 − x, y = x − 10.
=jZnbd nmgdpbb y = − x 2 − x − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba ld dhwnnbpb_gl ijb x 2 hljbpZl_e_g −1 b 1 =− =− ; GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x < = − 2a 2 ⋅ (− 1) 2
2
1 1 1 y B = − − − − = ; 2 2 4 3) 0 x −2 −1 0 0 y −2
1 –2
2 –6
HklZevgu_ lhqdb bf kbff_ljbqgu hlghkbl_evgh ijyfhc
1 x=− . 2
=jZnbd nmgdpbb y=x–10 − ijyfZy x y
28
0 –10
5 −5
§ ± §± ±
[ =jZnbd nmgdpbb (x − 2)2 + y 2 = 9 − hdjm`ghklv k p_gljhf \ b jZ^bmkhf 2 =jZnbd nmgdpbb y = x − 4 x + 4 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x < = − b = − −4 = 2; 2a
y B = 4 − 8 + 4 = 0; 4) x −2 y 16
–1 9
0 4
1 1
2 0
3 1
4 4
2 ⋅1 5 9
§ §
\ =jZnbd nmgdpbb b jZ^bmkhf
x 2 + y 2 = 25 − hdjm`ghklv k p_gljhf \
29
=jZnbd nmgdpbb y = 2 x 2 − 14 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \\_jo GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x < = − b = − 0 = 0;
2a
y B = −14; 4) x y
–3 4
–2 –6
–1 –12
0 −14
1 –12
2 –6
2⋅2
3 4
§ §± § ± §± ±
] =jZnbd nmgdpbb x2+y2=10 − hdjm`ghklv k p_gljhf \ b jZ^bmkhf 10 . =jZnbd nmgdpbb xy=3 − ]bi_j[heZ m dhlhjhc \_l\b jZkiheh`_gu \ , b ,,, q_l\_jlyo 3)
x y
−3 −1
−2 −1,5
−1 −3
1 3
1,5 2
2 1,5
§± ± §± ± § §
y
0
30
1
x
3 1
^ =jZnbd nmgdpbb x+y=8 − ijyfZy
=jZnbd nmgdpbb b jZ^bmkhf
x 0 4 y 8 4 2 2 x+1) +y =81 − hdjm`ghklv
k p_gljhf \ ±
(8; 0); (–1; 9).
y
x 0
1
_ =jZnbd nmgdpbb y=–x2+4 − iZjZ[heZ m dhlhjhc \_l\b gZijZ\e_gu \gba b GZc^_f dhhj^bgZlu \_jrbgu x\= − = 0; y\=4. 2a
y
0
3)
,,
x y
−2 0
−1 3
=jZnbdhf nmgdpbb q_l\_jl_c
0 4 y=|x_
1
x
1 3
2 0
y\ey_lky h[t_^_g_gb_ [bkk_dljbk , b
§ §±
303*.
Z I_j\h_ mjZ\g_gb_ y = x 2 + 11; \lhjh_ mjZ\g_gb_ y = − x 2 + 4. =jZnbd i_j\hc nmgdpbb ihemqZ_lky ba ]jZnbdZ nmgdpbb y = x 2 k^\b]hf \\_jo gZ _^bgbp \lhjZy ² ba y = − x 2 k^\b]hf \\_jo gZ _^bgbpu Ld hgb g_ i_j_k_dZxlky lh j_r_gbc g_l 31
[ I_j\h_ mjZ\g_gb_ ² wlh mjZ\g_gb_ hdjm`ghklb k p_gljhf b jZ^bmkhf \lhjh_ ² mjZ\g_gb_ hdjm`ghklb k p_gljhf b jZ^bmkhf LZd dZd hdjm`ghklb g_ bf_xl h[sbo lhq_d lh j_r_gbc g_l ± ±
\ 0, l_ m 2 < 10, hldm^Z − 10 < m < 10 . 33
306. x = −3 y − 1, (− 3 y − 1)2 + 2 y (− 3 y − 1) + y − 3 = 0; x = −3 y − 1, x = −3 y − 1, 2 2 9 y + 6 y + 1 − 6 y − 2 y + y − 3 = 0; 3 y 2 + 5 y − 2 = 0.
Z
J_rbf mjZ\g_gb_ 3 y 2 + 5 y − 2 = 0. −5 + 7 1 −5 − 7 y2 = = beb y1 = = −2; 6
D = 52 − 4 ⋅ 3 ⋅ (− 2) = 49;
6
3
1 y1 = −2, y2 = , 3 beb x1 = 5; x2 = −2; y = 2 x − 1, [ x(2 x − 1) − (2 x − 1)2 + 3 x + 1 = 0; y = 2 x − 1, 2 2 x − x − 4 x 2 + 4 x − 1 + 3 x + 1 = 0;
y = 2 x − 1, y = 2x − 1 2 − 2 x + 6 x = 0 x( x − 3) = 0
x = 3, x1 = 0, beb 2 y1 = −1; y 2 = 5. y = 11 − 2 x, \ 2 x + 5(11 − 2 x ) − (11 − 2 x )2 − 6 = 0; y = 11 − 2 x, 2 x + 55 − 10 x − 121 + 44 x − 4 x 2 − 6 = 0;
y = 11 − 2 x, − 4 x 2 + 36 x − 72 = 0;
y = 11 − 2 x 2 x − 9 x + 18 = 0
J_rbf mjZ\g_gb_ x 2 − 9 x + 18 = 0; 9+3 9−3 x2 = = 6 beb x1 = = 3; 2 x2 = 6, y2 = −1;
34
beb
2 x1 = 6, y1 = 5.
D = (−9) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 18 = 9;
2(4 + y )2 − 3 y 2 − 5(4 + y ) − 2 y − 26 = 0, x = 4 + y;
]
32 + 16 y + 2 y 2 − 3 y 2 − 20 − 5 y − 2 y − 26 = 0, x = 4 + y;
J_rbf mjZ\g_gb_ y 2 − 9 y + 14 = 0; 9+5 9−5 y2 = = 7 beb y1 = = 2; 2 y2 = 7, x2 = 11;
^
y 2 − 9 y + 14 = 0, x = 4 + y.
D = (−9) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 14 = 25;
2
beb
y1 = 2, x1 = 6.
4 x 2 − 9 y 2 + x − 40 y = 19, 2 x = 3 y + 5;
4(1,5 y + 2,5)2 − 9 y 2 + 1,5 y + 2,5 − 40 y − 19 = 0, x = 1,5 y + 2,5; 9 y 2 + 30 y + 25 − 9 y 2 + 1,5 y + 2,5 − 40 y − 19 = 0, x = 1,5 y + 2,5; − 8,5 y = −8,5, y = 1, x = 1,5 y + 2,5; x = 4. 2 2 _ 3( − 2) + + 8( − 2) + 13 − 5 = 0, = − 2;
m
m o m
m
m
m
3 2 − 12 + 12 + = − 2.
o m
m
m 2 + 8 m − 16 + 13 m − 5 = 0,
J_rbf mjZ\g_gb_ 4 m + 9 m − 9 = 0; m2 = −9 + 15 = 3 beb m1 = −9 − 15 = −3; 2
8
m2
3 = , 4
o2 = −1 41.
m
o m
D = 9 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 9) = 225;
8
4
beb
m
4 2 + 9 − 9 = 0, = − 2.
m1 = −3, o1 = −5;
35
307.
o m m m m(m + 4) − 3 = 0; o m o = m + 4, x = y + 4 2 2 m m m m − 8 m − 3 = 0; − m − 4 m = 0; y( y + 4) = 0 m = −4, m1 = 0, beb 2 o1 = 4; o 2 = 0. m = o + 1, [ (2 o + 3)(o − 1) − o(o + 1) − 1 = 0; m = o + 1, y = x + 1 m = o + 1, 2 2 2 o + 3 o − 2 o − 3 − o − o − 1 = 0; o 2 − 4 = 0; ( x + 2)( x − 2) = 0 o = −2, o2 = 2, beb 1 m2 = 3; m1 = −1. m = 2 o − 5, \ (o + 1)(2 o − 1) − 2 o(2 o − 5) + 1 = 0; m = 2 o − 5, m = 2 o − 5, 2 2 2 o + 2 o − o − 1 − 4 o + 10 o = 1 = 0; − 2 o 2 + 11o = 0; = + 4, ( + 3)( + 1) − 2 = + 4, 2 + 3 + + 3 − 2
Z
y = 2x − 5 x(2 x − 11) = 0 1 = 0, beb 1 = −5;
o m
]
o
m
= 1 − , − ( + 5) −
o 2 = 5,5, m 2 = 6.
o
m
= 1 − , + 12 = 0 − 2 − 5 −
mm m o = 1 − m, − 2 m 2 − 5 m + 12 = 0; 2
m
m m 2 + 12 = 0;
x = 1 − y 2 2 y + 5 y − 12 = 0
J_rbf mjZ\g_gb_ 2 m 2 + 5 m − 12 = 0; m2 = −5 + 11 = 1,5 beb m1 = −5 − 11 = −4 4
36
4
D = 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ (− 12) = 121;
m2 = 1,5, beb m1 = −4, o2 = −0,5; o1 = 5.
308.
Z
12 2 − + 12 =− ;
m
o
m o
m
m
m 2 = 40, m 2 + m 2 − 40 = 0, o = − 12 ; m 144
4 − 40 2 = 144 = 0, 12 =− ;
m
J_rbf mjZ\g_gb_
m − 40 m + 144 = 0. 4
2
144 + y 4 − 40 y 2 = 0 12 x = − y
H[hagZqbf
t 2 − 40t + 144 = 0; D = (−40) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 144 = 1024; t1 = 40 − 32 = 4 ⇒ m2 2 1 = 6, 2 = −6, 1 = −2; 2 = 2;
t2 =
m o
[
o
m o
m
beb
= 36
m
2
m =t
⇒
40 + 32 = 36 2
beb
2
=4.
m 3 = 2, m 4 = −2, o3 = −6; o 4 = 6.
2 = 228 − 2 2 , 3 228 − 2 2 − 2
(
m ) m 2 − 172 = 0; x 2 = 228 − 2 y 2 o 2 = 228 − 2 m 2 , o 2 = 228 − 2 m 2 , 684 − 6 m 2 − 2 m 2 − 172 = 0; − 8 y 2 + 512 = 0 m 2 = 64; m = −8, m = 8, beb 2 2 o = 100; o = 100 o1 = 10, o 2 = −10, o 3 = −10, o 4 = −10, m1 = 8; m 2 = 8; m 3 = −8; m 4 = −8;
309.
Z
(
)
x 2 + 3 x − 4 2 x − x 2 − 5 − 20 = 0, y = 2 x − x 2 − 5; 37
x 2 + 3 x − 8 x + 4 x 2 + 20 − 20 = 0, y = 2 x − x 2 − 5;
5 x 2 − 5 x = 0, y = 2 x − x 2 − 5;
x( x − 1) = 0 y = 2 x − x 2 − 5 x1 = 0, y1 = −5;
[
beb
x2 = 1, y2 = −4;
3 x = y − y 2 + 1, 2 y + 6 x − 2 y = 1;
y − y 2 +1 , x = 3 2 2 6 y − y +1 − 2 y − 1 = 0; y + 3
(
)
y − y2 + 1 x = 3 y2 + 2 y − 2 y2 − 2y −1 = 0
y − y 2 +1 , x = 3 y 2 = 1; y2 = 1, 1 x2 = 3 ;
beb
y1 = −1, 1 x1 = − 3 .
310. x + y + xy = 5, 2 y = −8, y = −4 y = −4, x − y + xy = 13 ; x + y + xy = 5 ; x − 4 − 4 x = 5 x = −3; 2 x + 2 xy + 2 y = 20, 3 xy = 22, [ xy − 2 x − 2 y = 2; xy − 2 x − 2 y = 2; 22 22 x = 3 y , x = 3 y , 22 y − 2 ⋅ 22 − 2 y − 2 = 0; 22 y − 44 − 6 y 2 − 6 y = 0; 3 y 3y
Z
38
22 x = 3 y 3 y 2 − 8 y + 22 = 0
J_rbf
mjZ\g_gb_ 2 D = (−8) − 4 ⋅ 3 ⋅ 22 = −200 < 0 G_l dhjg_c 311*.
Z (x + y )(x − y ) = 0 ⇒ x + y = 0 beb kbkl_fu
x − y = 0.
3 y 2 − 8 y + 22 = 0;
Ihemqbf ^\_ gh\uo
x 2 = 1, x − y = 0, x = y, 1) 2 x − y = 1; 2 y − y = 1; y 2 = 1. 1 x1 = 3 , y = − 1 ; 1 3 (x − 7 y )(x + 7 y ) = 0 ⇒ x − 7 y = 0 beb x + 7 y = 0.
x + y = 0, x = − y, 2) 2 x − y = 1; − 2 y − y = 1;
[ gh\u_ kbkl_fu 1)
x 2 + y 2 = 100; x 2 + y 2 = 100; x + 7 y = 0; x = −7 y;
Ihemqbf ^\_
(− 7 y )2 + y 2 = 100; x = −7 y;
49 y 2 + y 2 = 100 x = −7 y
J_rbf i_j\h_ mjZ\g_gb_ y = 2 beb y = − 2 . Hlkx^Z
y2 = 2 , x2 = 7 2
x 2 + y 2 = 100; 2) x − 7 y = 0;
beb
49 y 2 + y 2 = 100; 50 y 2 = 100; y 2 = 2;
y1 = − 2 , x1 = −7 2
(7 y )2 + y 2 = 100; x = 7 y;
Ba i_j\h]h mjZ\g_gby
y= 2
beb
49 y 2 + y 2 = 100 x = 7 y
y = − 2.
Hldm^Z
39
y 3 = 2 , y = − 2, beb 4 x 4 = 7 2 x 3 = −7 2 \ (x − 3)(y − 5) = 0 ⇒ x − 3 = 0
kbkl_fu
beb
y − 5 = 0.
IhemqZ_f ^\_ gh\u_
x 2 + y 2 = 25, x 3 = 0, 1) y = 5; y 3 = 5. x 2 + y 2 = 25, 2) x = 3;
y 2 = 16, y1 = 4, x = 3; x1 = 3
] x(y + 1) = 0 ⇒ x = 0 beb
y = − 1.
beb
IhemqZ_f ^\_ gh\u_ kbkl_fu
x 2 − y 2 = 50, x 2 = 51, x1 = 51, 2) y = −1; y = −1; y1 = −1;
m.
x 2 − y 2 = 50, 2) x = 0;
− y 2 = 50, x = 0;
312.
Z Ba \lhjh]h mjZ\g_gby gb_
²
beb
x 2 = − 51, 1 y 2 = −1.
dhjg_c g_l ld ±m2≤ ijb \k_o
y = 2 x − 5;
1 1 1 + = ; x 2x − 5 6
y 2 = −4, x 2 = 3.
ih^klZ\bf \ i_j\h_ mjZ\g_6(2 x − 5) + 6 x − x(2 x − 5) = 0; 6 x(2 x − 5)
5 2 x 2 − 23x + 30 = 0; x ≠ 0; x ≠ ; 2 23 ± 17 3 D = (−23) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 30 = 289; x = ; x2 = 10 ; x1 = − . HdhgqZ2 4
12 x − 30 + 6 x − 2 x 2 + 5 x = 0;
l_evgh
3 3 x1 = − , x1 = − , beb 2 2 y1 = 2 x − 5; y1 = −8. mjZ\g_gby x = 14 − 2 y, ih^klZ\bf \ i_j\h_
x2 = 10, x2 = 10, y2 = 2 x − 5; y2 = 15.
[ Ba \lhjh]h gb_
1 1 1 1 1 1 − = − = ; ; 14 − 2 y y 20 2(7 − y ) y 2 ⋅10
40
mjZ\g_-
10 y − 20(7 − y ) − y (7 − y ) = 0; 2 ⋅10 y (7 − y )
(y ≠ 0, y ≠ 7 ); y=
y 2 + 23 y − 140 = 0;
10 y − 140 + 20 y − 7 y + y 2 = 0;
D = 232 + 4 ⋅ 1 ⋅ (−140) = 1089;
−23 ± 33 ; 2 beb 1 ± HdhgqZl_evgh 2 y = −28, y2 = 5, y2 = 5, y1 = −28, beb 1 x2 = 14 − 2 y; x2 = 4. x1 = 14 − 2 y; x1 = 70.
m
\ H[hagZqbf
m
x =t y
Lh]^Z ba \lhjh]h mjZ\g_gby
12t 2 + 12 − 25t =0 12t
D = (−5) 2 − 4 ⋅ 12 ⋅ 12 = 49; t =
(t ≠ 0); 25 ± 7 4 ; t1 = 24 3
1 25 t+ = ; t 12
12t 2 − 25t + 12 = 0;
beb t2 = 3 . Bf__f 4
4 4 x = 3 y, x = y , x1 = 8, beb 3 y1 = 6 . y + 4 y = 14; y = 6; 3 3 x 3 3 x = 4 y, x = y , x 2 = 6, = , y 4 4 y 2 = 8. x + y = 14; y + 3 y = 14; y = 8; 4 x ] H[hagZqbf = t Lh]^Z ba \lhjh]h mjZ\g_gby t − 1 = 5 ; t 6 y x 4 = , y 3 x + y = 14;
6t 2 − 6 − 5t = 0; 6t 2 − 5t − 6 = 0 (t ≠ 0); D = (−5) 2 − 4 ⋅ 6 ⋅ (−6) = 169; 6t 5 ± 13 2 3 t= ; t1 = beb t 2 = − . Bf__f 12 3 2
41
2 x = − 3 y, − 2 y − y = 2; 3 3 3 x = 2 y, x = 2 y , x1 = 6, 3 y − y = 2; 1 y = 2; y1 = 4. 2 2 2 x =− , y 3 x − y = 2;
2 x = − 3 y, − 5 y = 2; 3
4 x 3 x 2 = 5 , = , y 2 y = − 6 . x − y = 2; 2 5
beb
313*.