Домашняя работа по алгебре за 9 класс к задачнику «Алгебра 9 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений» А.Г. Морд...
6 downloads
396 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Домашняя работа по алгебре за 9 класс к задачнику «Алгебра 9 кл.: Задачник для общеобразовательных учреждений» А.Г. Мордкович и др. М.: «Мнемозина», 2000 г.
учебно-практическое пособие
2
Содержание Задачи на повторение ..........................................................................................4 Глава 1. Неравенства и системы неравенств
§ 1. Линейные и квадратные неравенства .......................................... 20 § 2. Рациональные неравенства........................................................... 27 § 3. Системы рациональных неравенств ............................................ 42 Домашняя контрольная работа ........................................................... 68 Глава 2. Системы уравнений
§ 5. Основные понятия ......................................................................... 75 § 6. Методы решения систем уравнений ............................................ 89 § 7. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций ............................................................................................ 115 Глава 3. Числовые функции § 9. Определение числовой функции. Область определения, область значений функции........................................ 132
§ 10. Способы задания функций........................................................ 142 § 11. Свойства функций ..................................................................... 146 § 12. Четные и нечетные функции .................................................... 154 § 13. Функции у = хn (n ∈ N), их свойства и графики...................... 160 § 14. Функции у = х –n (n ∈ N), их свойства и графики.................... 171 § 15. Как построить график функции у = mf(x), если известен график функции у = f(x) ....................................... 180 Домашняя контрольная работа ......................................................... 186 Глава 4. Прогрессии
§ 17. Определение числовой последовательности и способы ее задания .................................................................... 189 § 18. Арифметическая прогрессия .................................................... 197 § 19. Геометрическая прогрессия...................................................... 208 Глава 5. Элементы теории тригонометрических функций
§ 21. Числовая окружность ................................................................ 219 § 22. Числовая окружность в координатной плоскости.................. 223 § 23. Синус и косинус. Тангенс и котангенс .................................... 227 § 24. Тригонометрические функции числового аргумента............. 235 § 25. Тригонометрические функции углового аргумента ............................ 241 § 26. Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики............................. 245 Домашняя контрольная работа ........................................................................ 253
3
Задачи на повторение 1.
а) (8
7 17 1 103 89 27 13 − 2 ) ⋅ 2,7 − 4 : 0,65 = − − × 3 12 36 12 36 10 3
100 220 27 20 22 ⋅ 3 20 59 = = ⋅ − = − . 65 36 10 3 4 3 6 8 35 13 144 8 11 13 б) 1 + ⋅1,44 − ⋅ 0,5625 = + ⋅ − × 15 24 36 100 15 24 36 ×
×
5625 131 ⋅ 2 15 232 = 2,32. = − = 10000 100 50 100
2.
а) 3х( х − 5) − 5 х( х − 3) = 3х 2 − 15 х − 5 х 2 + 15 х = −2 х 2 ; б) 2 y ( x − y ) + y (3 y − 2 x) = 2 yx − 2 y 2 + 3 y 2 − 2 yx = y 2 . 3.
а) 2 x 2 − x(2 x − 5) − 2(2 x − 1) − 5 = 0 , 2 x 2 − 2 x 2 + 5 x − 4 x + 2 − 5 = 0 , x −3 = 0 , x = 3; б) 6 x( x + 2) − 0,5(12 x 2 − 7 x) − 31 = 0 , 6 x 2 + 12 x − 6 x 2 + 3,5 x − 31 = 0 , 15,5 x = 31 , x = 2 . 4. (b + c − 2a )(c − b) + (c + a − 2b)(a − c) − (a + b − 2c)(a − b) =
= bc + c 2 − 2ac − b 2 − bc + 2ab + ac + a 2 − 2ab − c 2 − ac + 2bc − − a 2 − ab + 2ac + ab + b 2 − 2bc = 0 . 5.
а) (a + x) 2 = a 2 + 2ax + x 2 ;
б) (6b − 3) 2 = 36b − 36b + 9 ;
в) (8 x + 3 y ) 2 = 64 x 2 + 48 xy + 9 y 2 ; г) (9 p − 2q) 2 = 81 p 2 − 36 pq + 4q 2 . 6.
а) (3a − 1)(3a + 1) = 9a 2 − 1 ; б) ( x − 1)( x 2 + x + 1) = x 3 − 1 ; в) (10 x 3 − 5 y 2 )(10 x 3 + 5 y 2 ) = 100 x 6 − 25 y 4 ; г) ( x + 4)( x 2 − 4 x + 16) = x 3 + 64 . 7.
а) При a = −0,8 : (a − 1)(a − 2) − (a − 5)(a + 3) = a 2 − 3a + 2 − a 2 + 2a + 15 = = − a + 17 = −(−0,8) + 17 = 17,8 ; 4
б) При m = −0,5 : (m + 3) 2 − (m − 9)(m + 9) = m 2 + 6m + 9 − ( m 2 − 81) = 6m + 90 = 6(−0,5) + 90 = −3 + 90 = 87 ; 1 в) При a = − : 6 (a − 3)(a + 4) − ( a + 2)(a + 5) = a 2 − 3a + 4a − 12 − a 2 − 2a − 1 −5a − 10 = −6a − 22 = (−6) − − 22 = 1 − 22 = 21 ; 6
г) При c = −0,25 : (c + 2)2 − (c + 4)(c − 4) = c 2 + 4c + 4 − c 2 + 16 = 4c + 20 = = (−0,25) ⋅ 4 + 20 = 19 . 8.
а) 53 2 − 43 2 = (53 − 43)(53 + 43) = 10 ⋅ 96 = 960 ; б)
910 137 2 − 1232
=
1 910 910 = = ; (137 − 123)(137 + 123) 14 ⋅ 260 4
1442 − 182
(144 − 18)(144 + 18) 126 ⋅162 4 = = = ; 3 1532 − 902 (153 − 90)(153 + 90) 63 ⋅ 243 7,8 ⋅ 8,7 + 7,8 ⋅ 1,3 7,8(8,7 + 1,3) 7,8 ⋅ 10 г) = 0,78 . = = 100 100 100
в)
9. а) ax 2 + 3ax = ax( x + 3) ;
б) 15 x 3 y 2 + 10 x 2 y − 20 x 2 y 3 = 5 x 2 y (3xy + 2 − 4 y 2 ) ; в) 5a 2 b − 6a 2 b 2 = a 2 b(5 − 6b) ; г) 195c 6 p 5 − 91c 5 p 6 + 221c 3 p10 = 13c 3 p 5 (15c 3 − 7c 2 p + 17 p 5 ) . 10.
а) ax + bx + ac + bc = (a + b) x + (a + b)c = (a + b)( x + c) ; б) 4a + by + ay + 4b = 4(a + b) + 4(a + b) = (4 + y )(a + b) ; в) 9m 2 − 9mn − 5m + 5n = 9m(m − n) − 5(m − n) = (9m − 5) × ×(m − n) ; г) 16ab 2 + 5b 2 c + 10c 3 + 32ac 2 = 16a(b 2 + 2c 2 ) + 5c(b 2 + 2c 2 ) = = (16a + 5c)(b 2 + 2c 2 ) . 11.
а) 17 6 + 17 5 = 17 5 (17 + 1) = 17 5 ⋅ 18 — кратно 18; б) 317 + 315 = 315 (32 + 1) = 315 ⋅ 10 = 313 ⋅ 90 — кратно 90; в) 42 8 + 42 7 = 42 7 (421 + 1) = 42 7 ⋅ 43 — кратно 43; г) 223 + 220 = 220 (23 + 1) = 220 ⋅ 9 = 217 ⋅ 72 — кратно 72. 5
12.
а) 2,7 ⋅ 6,2 − 9,3 ⋅1,2 + 6,2 ⋅ 9,3 − 1,2 ⋅ 2,7 = 2,7(6,2 − 1,2) + +9,3(6,2 − 1,2) = 5 ⋅ 2,7 + 9,3 ⋅ 5 = 5(9,3 + 2,7) = 5 ⋅12 = 60 ; б) 125 ⋅ 48 − 31⋅ 82 − 31⋅ 43 + 125 ⋅ 83 = 125(48 + 83) − 31(82 + +43) = 125 ⋅131 − 31 ⋅125 = 125 ⋅ (131 − 31) = 125 ⋅100 = 12500 ;
в) 109 ⋅ 9,17 − 5,37 ⋅ 72 − 37 ⋅ 9,17 + 1,2 ⋅ 72 = 9,17(109 − 37) − −72(5,37 − 1,2) = 9,17 ⋅ 72 − 72 ⋅ 4,17 = 72(9,17 − 4,17) = 72 ⋅ 5 = 360 ; г) 19.9 ⋅18 − 19.9 ⋅16 + 30,1⋅18 + 30,1⋅16 = 19,9(18 − 16) + +30,1(18 − 16) = 2 ⋅19,9 + 30,1 ⋅ 2 = 2(30,1 + 19,9) = 100 . 13.
а) m 2 − 49 = (m − 7)(m + 7) ; б) a 2 c 2 − 9 = (ac) 2 − 3 2 = (ac − 3)(ac + 3) ; в) 64 p 2 − 81q 2 = (8 p − 9q)(8 p + 9q) ; г) 10 x 2 + 10 y 2 = 10( x 2 − y 2 ) = 10( x − y )( x + y ) . 14.
а) c3 − 64 = c3 − 43 = (c − 4)(c 2 + 4c + 16) ; б) 25a 4 − 20a 2 b + 4b 2 = (5a 2 ) 2 − 2 ⋅ 5a ⋅ 2a + (2b) 2 = (5a 2 − 2b 2 ) 2 ; в) 5a 2 + 10ab + 5b 2 = 5(a 2 + 2ab + b 2 ) = 5(a + b) 2 ; г) 15a 3 + 15d 3 = 15(a 3 + d 3 ) = 15(a + d )(a 2 − ad + d 2 ) . 15.
а) x 3 − x 2 y − xy 2 + y 3 = x 2 ( x − y ) − y 2 ( x − y ) = ( x − − y )( x 2 − y 2 ) = ( x − y ) 2 ( x + y ) ;
б) d 2 − 16d + 55 = d 2 − 16d + 64 − 9 = (d − 8) 2 − 3 2 = (d − −8 − 3)(d − 8 + 3) = (d − 11)(d − 5) ; в) m 2 − 2n − m − 4n 2 = m 2 − 4n 2 − (2n + m) = (m + 2n)(m − −2n) − (2n + m) = ( 2n + m)(m − 2n − 1) ; г) n 2 + 16n + 39 = n 2 + 16n + 64 − 25 = (n + 8) 2 − 25 = = (n + 8 − 5)(n + 8 + 5) = (n + 3)(n + 13) . 16. 6a + 6b 6(a + b) 6 а) = ; = 7 a + 7b 7 ( a + b ) 7
б)
ma 2 − m 2 a 2
m − ma
=
ma(a − m) a(m − a) = −a ; =− m( m − a ) m−a 6
в) г)
2 p − 4q 2( p − 2q ) ( 2q − p ) 1 =− ; =− = 16q − 8 p 8(2q − p) 4(2q − p ) 4 xy 4 − zy 4 3
Zy − xy
3
y 4 ( x − z)
=
y3 ( z − x)
=−
y ( z − x) = −y . z−x
17.
а) б) в) г)
b−7 y 2 − x2 2
x − 2 xy + y 125 y + 1
=
1 − 5 y + 25 y 2 3
8t + 1
=
(b − 7) 2
=
2
3
4t 2 − 2t + 1
b−7
=
b 2 − 14b + 49
1 ; b−7
( y − x)( y + x) ( x − y)
2
(5 y ) 3 + 1 25 y 2 − 5 y + 1
=−
(5 y + 1)(25 y 2 − 5 y + 1)
=
25 y 2 − 5 y + 1
4t 2 − 2t + 1
=
x+ y ; x− y
2
(2t + 1)(4t − 2t + 1)
=
= 5y +1 ;
1 . 2t + 1
18.
а) б)
27 5 − 27 4 8
7
9 +9 +9
=
6
811 − 810 − 8 9 4
15
−4
14
−4
13
27 4 (27 − 1) 6
2
9 (9 + 9 + 1) =
=
(33 ) 4 ⋅ 26 (3 ) ⋅ 91
8 9 (8 2 − 8 − 1) 13
2
2 6
4 (4 − 4 − 1)
=
=
312 ⋅ 2 312 ⋅ 2
(2 3 ) 9 ⋅ 55 2 13
(2 )
⋅11
=
=
2 ; 7
2 27 ⋅ 5 2 26
= 10 .
19. x − 2 x 2 − 2 x + 1 ( x − 1) 2 ; = = x x2 x2 x2 3 5 3 x − 3 y + 5 x + 5 y 2(4 x + y ) + = = 2 б) ; (x + y )(x − y ) x+ y x− y x − y2
а)
1
+
1 − 5d 2
d −5
а) б)
6
−
4
20. 3c + 2
c 2 − 4c + 4 y2 + 4 3
y +8
−
−
+
1
1 − 5 d 2 − d 3 + 5d 2 + d 3
1 ; = d d d d6 d6 5c 3c 5c 3c 35c + 18c 53c + = + = = г) . 6c + 6 7c + 7 6(c + 1) 7(c + 1) 42(c + 1) 42(c + 1)
в)
3
=
5 3c + 2 − 5(c − 2) 2(6 − c) = = ; c−2 (c − 2) 2 (c − 2)2
y2 + 4 − y2 + 2y − 4 2y 1 = ; = y + 2 ( y + 2)(Y 2 − 2 y + 4) y 3 + 8
7
в)
3a (16 − 3a )2 2
9a − 4
+
3 + 6a 2 − 9a − = 2 − 3a 3a + 2
48a − 9a 2 − (3 + 6a )(3a + 2) − (2 − 9a)(3a − 2) = = (3a − 2)(3a + 2) =
48a − 9a 2 − 9a − 6 − 18a 2 − 12a − 6a + 4 + 27 a 2 − 18a 1 = . (3a − 2)(3a + 2) 3a + 2
(Опечатка в ответе задачника). г) = =
2mn 3
m +n
3
+
2m 2
m −n
−
2
1 = m−n
2mn(m − n) + 2m(m 2 − mn + n 2 ) − (m + n)(m 2 − mn + n 2 ) (m + n)(m 2 − mn + n 2 )(m − n)
m3 − n 3 (m3 + n3 )(m − n)
=
(m − n)(m 2 + mn + n 2 ) (m − n)(m3 + n3 )
=
=
m 2 + mn + n 2 m3 + n 3
.
21.
(x − y )(x + y )3 y = x + y ; x2 − y 2 3 y ⋅ = а) 3 xy 3 xy ( x − y ) x− y x б)
(c − 7) c 2 − 49 2c + 14 (c − 7)(c + 7) 5d : ; = ⋅ = 10cd 5d 10cd 2(c + 7) 4c
в)
x 2 − 10 x + 25 2 x − 10 ( x − 5) 2 ( x − 4)( x + 4) ( x − 5)( x − 4) : 2 = ⋅ = ; 3 x + 12 3 ( + 4 ) 2 ( 5 ) − x x 6 x − 16
г)
t3 +8 2
⋅
4t + 9 2
12t + 27t t − 2t + 4
=
(t + 2)(t 2 − 2t + 4) (4t + 9) t+2 ⋅ = . 3t (4t + 9) 3t t 2 − 2t + 4
22.
( a + b) 2 − 2ab a 2 + b2 2b a+b а) ⋅ ( a + b) = ; − ⋅ ( a + b) = a+b a ( a + b) a a mn m n m n × + = − n 2 − mn) m 2 − mn m + n n( n − m) m(n − m)
б) ×
(m − n)(m + n) mn m2 − n2 mn = −1 . = ⋅ = m + n mn(n − m) m + n (n − m)(m + n) 23.
1 a
ab b−a 1 b2 − a2 b − a 1 = ⋅ = = ; b ab ab b 2 − a 2 (b − a )(b + a) b + a
а) − :
8
( a − 5)(a + 5) 1 1 a 2 − 25 a+5 ⋅ − ⋅ − = a+3 a (a + 5) a + 3 a 2 + 5a a 2 − 3a (a − 5)(a − 3) − (a + 5)(a + 3) a+5 16 − = = − 2 . a (a − 3) a (a + 3)(a − 3) a −9
б)
24. 5 x − 3 y = 14, 5 x − 3 y = 14, 5 x − 30 + 6 x = 14, 11x = 44, x = 4 а) y = 10 − 2 x; y = 2; 2 x + y = 10; y = 10 − 2 x; y = 10 − 2 x; a b a a a 3 + 4 = 55 , 3 + 28 − 224 = 55 , = 9 , б) b = 7; 7 a − b = 56; b = 7 a − 56; 4 x − 7 y = 30, 4 x = 30 + 7 y, 4 x = 30 + 7 y, x = 60, в) y = 30; 4 x − 5 y = 90; 30 + 7 y − 5 y = 90; 2 y = 60;
−2a + 4b = −11, 4b = 2a − 11, г)
4b = 2a − 11, 4a + 2a − 11 = 1; 6a = 12;
4a + 4b = 1;
a = 2, b = − 7 ; 4
25. 4 x + 5 y = 1, а) Умножим второе уравнение на 2. 2 x + 2,5 y = 5;
4 x + 5 y = 1, 4 x + 5 y = 10; чего, очевидно, быть не может. Решений нет. 3⋅ 4 x + 12 = 12, 0 ⋅ x = 0, 4 x − 3 y = 12, 4 x − 3 б) 4 y = 4 x − 4; 4 x y − = 4 ; 3 y = x − 4; 3 3 4 Решением будет пара ( x; x − 4) , где х – любое действительное 3
число. 26.
а) 5 − б)
165 2 − 124 2 = 164
в) 4 − г)
13 196 13 14 13 27 1 = 5− = 5− ⋅ = 3; 7 169 7 169 7 13
(165 − 124)(165 + 124) = 164
11 7 7 5 = 4− 4 49 4
145,5 2 − 96,5 2 2
193,5 − 31,5
2
=
289 17 = = 8,5 ; 4 2
256 7 16 = 4− ⋅ = 4−4 = 0 ; 49 4 7
(145,5 − 96,5)(145,5 + 96,5) = (193,5 − 31,5)(193,5 + 31,5)
9
49 ⋅ 242 7 ⋅11 77 = = . 162 ⋅ 225 9 ⋅15 135
=
27.
а) 12 = 4 ⋅ 3 = 2 3 ; 8 z 2 = 4 z 2 ⋅ 2 = 2Z 2 ;
в)
б)
54a 3 = 9a 2 ⋅ 6a = 3a 6a ;
г)
49d = 7 d .
28.
а) 2 5 = 5 ⋅ 4 = 20 ;
б) b 3 = − 3b 2 , b > 0 ;
в) 7 3a = 49 ⋅ 3a = 147 a ;
г) − a 2 = − 2a 2 , a > 0 .
29.
а) 2 125 + 2 20 − 2 80 = 2 ⋅ 5 5 + 2 ⋅ 2 5 − 2 ⋅ 4 5 = 6 5 ; б) 9a − 25a − 36a = 3 a − 5 a − 6 a = − 8 a ; в) 5 12 − 2 48 + 2 27 = 5 ⋅ 2 3 − 2 ⋅ 4 3 + 2 ⋅ 3 3 = 8 3 ; г) 0,1 5m − 0,45m + 2 80m = 0,1 5m − 0,3 5m + 2 ⋅ 4 5m = 7,8 5m . 30.
( 7 − 2) 2 + ( 7 − 3) 2 =
а)
7 − 2 + 7 − 3 = = 7 − 2 − 7 + 3 = 1,
т.к. 2 < 7 < 3 ; ( 12 − 4) 2 − 2 (2 − 3 ) 2 = 12 − 4 + 2 2 − 3 ,
б)
т.к. 12 < 4, то
12 − 4 = − 12 + 4 ,
т.к. 2 > 3 , то 2 − 3 = −2 − 3 , 12 − 4 − 2 2 − 3 = − 12 + 4 − 4 + 2 3 = −2 3 + 2 3 = 0 . 31.
а) 0,4a 2 b
25 2 2
a b
= 0,4a 2 b ⋅
5 , ab
т.к. a > 0, то a = a; т.к. b < 0, то b = −b , 0,4a 2 b ⋅ a б) b
5 5 = 0,4ab ⋅ = −2a ; ab ab
b6 a2
b − a
a6 b2
3 3 a b b a = − , b = b, b 3 = b 3 , т.к. b > 0 , b a a b
a = −a, a 3 = − a 3 , т.к. a < 0 ,
10
3 3 a b b a a b2 b (−a 3 ) − = ⋅ − ⋅ = −b 2 + a 2 = a 2 − b 2 . b a a b b (−a) a b
32.
а) (2 + 6 )(3 2 − 2 3 ) = 6 2 − 4 3 + 3 12 − 2 18 = = 6 2 −4 3 +6 3 −6 2 = 2 3 ;
б) ( 2a − 3b )( 2a + 3b ) = 2a − 3b ; в) (2 5 − 3 )( 3 + 3 5 ) = 2 15 + 6 ⋅ 5 − 3 − 3 15 = 27 − 15 ; г) (c + d )(c 2 + c d + d ) = (c + d )(c 2 − c ⋅ d + ( d ) 2 ) = = c3 + ( d )3 = c 2 + d d . 33.
а) б) в) =
г)
1− a 2 a −4
−
d +2 cd + d
3− a 3 a −6 c −3
−
1− a 4 a +8 b
cd + c
⋅
=
3−3 a −6+ 2 a 6( a − 2)
=
− a −3 6( a − 2)
cd + 2 c − cd + 3 d
=
cd ( c + d )
a + 4 ab + 4b
3−3 a
=
(1 − a )(1 + a ) ⋅ ( 4( a + 2 b )
=
;
2 c +3 d cd ( c + d )
a + 2 b )2
3(1 − a )
;
=
(1 + a )( a + 2 b ) ; 12 x 2 + x 2 x 2 x( x + 2 ) × = − 2 x + 2 x − 2 x + 2 x2 + 2
x2 + x 2 − x 2 + 2 x ⋅ ( x 2 + 2) x = = . ( x − 2 )( x + 2 ) ( x 2 + 2)( x − 2 ) x − 2 34.
а) ( x − 2 − y − 2 ) : ( x −1 − y −1) = =
( x −1 − y −1 )( x −1 + y −1 ) x
−1
−y
−1
=
б) (c − 2 − d − 2 ) ⋅ (d − c) − 2 =
( x −1 ) 2 − ( y −1 ) 2 x −1 − y −1
=
1 1 x+ y ; + = x y xy (c −1 − d −1 )(c −1 + d −1 ) (d − c) 2
=
11
=
1 1 1 1 − + c d c d (d − c) 2 −2
в) (k − l ) ⋅ (k
−1
=
(d − c)(d + c) c 2 d 2 (d − c) 2
d +c c 2 d 2 (d − c) 2
;
1 1 − 1 k c = l−k = −l ) = ; 2 2 kl (l − k ) (k − l ) kl (k − l ) −1
г) (a −1 − b −1 ) : (b −3 − a −3 ) = =−
=
a −1 − b −1
(b −1 − a −1 )(b − 2 + a −1b −1 + a − 2 )
=
1 a 2b 2 . =− 2 1 1 1 a + ab + b 2 + + b 2 ab a 2
35. −2
−2n − y −2n + x −2n + y −2n = x x − 2 n − y − 2n 1 3 При x = 3, y = , n = имеем 2 4 x − 2 n + y − 2n 1 + x −2n − y −2n
2 ⋅ 3 −1 −1 3 −1 − 3 4
−2
36. а) 2 x 2 + 3x + 1 = 0
2 = 3 1 4 − 3 3
−2
2 = 3 −1
−2
2x −2n = = x −2n − y −2n
−2
−2 2
9 −3 = = = 2,25 . 4 2
б) 5 x 2 − 8 x + 3 = 0
D = 16 − 5 ⋅ 3 = 1 D = 9−8 =1 4 1 4 −1 3 − 3 +1 x1 = = x1 = =− 4 2 5 5 − 3 −1 4 +1 x2 = = −2 x2 = =1 4 5 в) 3x 2 + 5 x − 2 = 0 г) 14 x 2 − 5 x − 1 = 0 D = 25 − 4 ⋅ 3(−2) = 49 D = 25 − 4 ⋅14 ⋅ (−1) = 81 5 − 81 4 1 − 5 + 49 2 1 =− =− x1 = = = x1 = 6 6 3 7 28 28 5 + 9 14 −2 − 5 − 49 12 = = x2 = x2 = = − = −2 28 282 1 6 6
12
37.
а) (a 2 − 5) 2 − (2a + 3) 2 = 0 a 2 − 5 = 2a + 3, a 2 − 5 = 2a + 3 ⇒ 2 a − 5 = −2a − 3
Решим первое уравнение:
Решим второе уравнение
2
a 2 + 2a − 2 = 0 D = 1+ 2 = 3 4
a − 2a − 8 = 0
по теореме Виета: a1 = 4 a2 = −2
−1+ 3 = −1 + 3 1 −1− 3 a2 = = −1 − 3 1 a3 =
Опечатка в ответе задачника. б) (3x − 1)(2 x − 2) = ( x − 4)2 + 7 6 x 2 − 6 x − 2 x + 2 = x 2 + 16 − 8 x + 7 21 x 2 = , x = ± 4,2 5
в) (d 2 − 13) 2 − (d − 77) 2 = 0 , (d 2 − 13) 2 = (d − 77) 2 , d 2 − 13 = d − 77, d 2 − 13 = d − 77 ⇒ 2 d − 13 = 77 − d
Решим первое уравнение: d 2 − d + 64 = 0 , D = 1 − 4 ⋅1 ⋅ 64 < 0 Решений нет. Решим второе уравнение d 2 + d − 90 = 0 , D = 1 + 90 ⋅ 4 = 361 , d1 =
−1 + 19 −1 − 19 = 9 , d2 = = −10 ; 2 2
г) 2 x − ( x + 1) 2 = 3x 2 − 5 , 2 x − x 2 − 2 x − 1 = 3x 2 − 5 , x 2 = 1 ⇒ x = ±1 . 38.
а) x 2 − 17 x + 60 . По теореме Виета: x1 = 12; x 2 = 5 ; x 2 − 17 x + 60 = ( x − 12)( x − 5) ; б) 3x 2 + 35 x − 38 ; D = 35 2 + 12 ⋅ 38 = 1225 + 456 = 1681 = 412 ; x1 =
38 −35 − 41 −35 + 41 ; = 1; x2 = =− 6 3 6
13
3x 2 + 35 x − 38 = 3( x − 1)( x +
38 ); 3
в) 2 x 2 − 297 x + 295 ; D = 297 2 − 8 ⋅ 295 = 88209 − 2360 = 85849 = (293) 2 ; x1 =
297 + 293 297 − 293 = 147,5; x 2 = =1 ; 4 4
2 x 2 − 297 x + 295 = 2( x − 147,5)( x − 1) = (2 x − 295)( x − 1) ; D г) x 2 + 26 x + 105 ; = 13 2 − 105 = 169 − 105 = 64 ; 4 −13 + 8 −13 − 8 x1 = = −5; x 2 = = −21 ; x 2 + 26 x + 105 = ( x + 5)( x + 21) . 1 1 39.
а)
б) в)
г)
3 x 2 − 10 x + 3x x2 − 9 5x 2 + x − 4 x2 + x
4 5( x + 1)( x − ) 5x − 4 5 = = ; x( x + 1) x
2x 2 − 9x + 4 x 2 − 16 2x 2 + 5x − 3 x2 −9
1 3( x − 3)( x − ) 3 = 3x − 1 ; = x+3 ( x − 3)( x + 3)
=
2( x 2 − 4,5 + 2) 2( x − 4)( x − 0,5) 2 x − 1 ; = = ( x − 4)( x + 4) ( x − 4)( x + 4) x+4
5 3 x− ) 2 2 = 2( x + 3)( x − 0,5) = 2 x − 1 . = ( x − 3)( x + 3) ( x + 3)( x − 3) x−3 2( x 2 +
40. 2 10 1 + 2x 2 10 1+ 2x = а) + 2 , + =0, − x x( x − 2) x − 2 x x − 2x x − 2 2 − 2x2 + x + 6 2 x − 4 + 10 − x − 2 x 2 = 0, = 0 ⇒ − 2 x + x + 6 = 0, x( x − 2) x( x − 2) x( x − 2) ≠ 0;
Решим первое уравнение: 2 x 2 − x − 6 = 0 , D = 1 + 48 = 49 , x1 =
1+ 7 1− 7 = 2 ; x2 = = −1,5; 4 4
Но при x = 2 второе уравнение системы обращается в 0. Следовательно, x = 2 - не решение. Отвте: x = −1,5. б)
2 2
x − 3x
−
1 12 2 1 12 , = − − =0, x( x − 3) x + 3 x( x − 3)( x + 3) x + 3 x 3 − 9x
14
x2 − 5x + 6 = 0 − x 2 + 5 x − 6 = 0 2 x + 6 − x 2 + 3 x − 12 =0, ⇒ x ≠ 0 x( x − 3)( x + 3) x( x − 3)( x + 3) ≠ 0 x ≠ 3 x ≠ −3 −5 + 1 −5 − 1 D = 25 − 24 = 1 , x1 = = 2 , x1 = =3; −2 −2 x = 3 не удовлетворяет 2-му условию системы. Значит решением будет лишь x = 2. В задачнике приведен неверный ответ. 14 − ( x + 3)( x − 2) 5 14 5+ x−2 14 , , =0, в) = +1 = 2 2 x−2 x−2 x − 4x + 4 ( x − 2) 2 ( x − 2) 14 − x 2 − x + 6 ( x − 2) 2
− x 2 − x + 20 = 0, x 2 + x − 20 = 0, = 0, D = 1 + 80 = 81 ( x − 2) 2 ≠ 0; x ≠ 2;
−1 + 9 −1 − 9 = 4 , x2 = = −5 . 2 2
x1 =
Ответ: -5; 4. Опечатка в ответе задачника. г)
x −3 x − 5 − 10 + x 2 − 3 x x −3 1 10 1 10 , =0, − = =0, − + x x( x − 5) x − 5 x( x − 5) x x 2 − 5x 5 − x
x 2 − 2 x + 15 = 0 ( x − 5)( x + 3) = 0 ⇒ x = −3. x( x − 5) ≠ 0 x( x − 5) ≠ 0
Опечатка в ответе задачника. 41.
а) x 4 − 17 x 2 + 16 = 0 . по теореме Виета: x 2 = 1 или x 2 = 16 x = ±1 6
x = ±4 3
б) x − 9 x + 8 = 0 По теореме Виета: x 3 = 8 или x 3 = 1 x=2
x =1
D = 400 − 144 = 256 = 16 2 4 20 − 16 4 20 + 16 x2 = = 4 или x 2 = = 9 9 9 2 x = ±2 x=± 3 4
в) 9 x − 40 x 2 + 16 = 0 ,
г) x 6 − 7 x 3 − 8 = 0 15
По теореме Виета: x 3 = 8 или x 3 = −1 x=2
x = −1
42.
Пусть v км/ч – скорость пешехода, Sкм – длина пути, тогда S = 1,2v v = −1 + S v = 5 S = v + 1 S = −1,2 + 1,2 S S = 6
Ответ: 5 км./ч. 43.
Пусть v км/ч – скорость лодок, тогда 45 3 45 3 = , = ⇒ v = 15 (км/ч). 2v 2 (v + 3) + (v − 3) 2
Ответ: 15 км/ч. 44.
Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда 80 36 ⋅v + 7 = (v + 30) , 80v + 420 = 36v + 1080 , 60 60 44v = 660, v = 15 (км/ч).
Ответ: 15 км/ч. 45.
Пусть v км/ч – скорость автомобиля, тогда 1 2v + (3 − 2 − )(v + 10) = 3v , 10v + 4v + 40 = 15v , v = 40 (км/ч). 5
Ответ: 40 км/ч. 46.
Пусть на одно платье требуется х м ткани, а на один сарафан у м, тогда x + 3y = 9 x = 9 − 3 y y = 2 3 x + 5 y = 19 27 − 9 y + 5 y = 19 x = 3
Ответ: 2м.; 3м. 47.
Пусть v км/ч – скорость велосипедиста, тогда 15 6 3 3 9 + = , 15v − 45 + 6v = v 2 − v , v 2 − 17v + 30 = 0 , v v −3 2 2 2
D = 289 − 120 = 169 = 13 2 , 17 − 13 17 + 13 v1 = = 2 ; v2 = = 15 . 2 2
16
По смыслу задачи v > 0 и v − 30 > 0, поэтому v = 15. Ответ: 15 км/ч и 12 км/ч. 48.
Пусть v км/ч – скорость лодки, тогда 2 2 7 7 , 2v − 2 + 2v + 2 = (v 2 − 1) , 7v 2 − 48v − 7 = 0 , + = v + 1 v − 1 12 12 D 24 + 25 2 = 576 + 49 = 625 = 25 , v1 = =7; 4 7
v2 < 0 — не пожходит по смыслу задачи. Ответ: 7 км/ч. 49.
Пусть завод по плану должен был выпускать n станков в день, тогда: 180n + 360 − n 2 − 2n = 180n , n 2 + 2n − 360 = 0 , D 180 180 = 1 + 360 = 361 = 192 , n1 = 18, n 2 < 0 , −1 = − 1 = 9 (дней). 4 n 18
50.
Пусть первая машинистка печатала в день х страниц, тогда получим: 320 − 5 x ( y + 5)( x) = 320 xy = 320 − 5 x y = y ( x + 2) = 270 xy = 270 − 2 y x xy = 270 − 2 y
320 x − 5 x 2 = 270 x − 640 + 10 x , x 2 − 8 x − 128 = 0 , D = 16 + 128 = 144 = 122 , x1 = 4 + 12 = 16, x 2 < 0 , 4
Ответ: 16 стр. первая, и 18 – вторая. 51.
Пусть грузоподъемность машины х тонн, тогда 30 30 , 30 x + 60 − 4 x 2 − 8 x = 30 x , 4 x 2 + 8 x − 60 = 0 , − 4 = x x + 2 x 2 + 2 x − 15 = 0 , D1 = 1 + 15 = 16 = 4 2 , x1 = −1 + 4 = 3,
x1 < 0 ,
30 = 6 (рейсов). 3+ 2
52.
Пусть токарь должен был сделать работу за х дней, тогда 39( x − 6) − 24 x = 21 , 15 x = 255 , x = 17 , 39(17 − 6) = 429 . Ответ: 429 деталей. 17
53.
Пусть первоначально в 1-й школе было х учеников, а во второй – у, тогда x + y = 1500 x + y = 1500 1,1x + 1,2 y = 1720 11x + 12 y = 17,200 x = 1500 − y y = 700 16.500 − 11 y + 12 y = 17.200 x = 800
Ответ: 800 и 700 человек соответственно. 54.
Пусть швея в день шила х сумок, тогда 60 − (
60 − 4) x = 4 , 56( x − 2) − (60 − 4 x + 8) x = 0 , x−2
x 2 − 3 x − 28 = 0 , x1 = 7, x2 = −4 — не подходит по смыслу задачи.
Ответ: 7 сумок в день. 55.
Пусть v – скорость второго велосипедиста, тогда получим: 120 120 − = 2 , 120v + 360 − 120v = 2v 2 + 6v , v 2 + 3v − 120 = 0 , v v+3 3 + 27 D = 9 + 720 = 729 = 27 2 , v1 = − = 12, v 2 < 0 . 2
Ответ: 12 км/ч и 15 км/ч. 56.
Пусть v – скорость легкового автомобиля, тогда 30 30 1 − = , 120v − 120v + 2400 = v 2 − 20v , v 2 − 20v − 2400 = 0 , v − 20 v 4 D2 = 100 + 2400 = 1500 = 50 2 , v1 = +10 + 50 = 60, v 2 < 0 .
Ответ: 60 км/ч. 57.
Пусть n и v – скорости первого и второго туриста соответственно, тогда 50 =1 n + v 50 = n + v 50 50 5 60n − 60v = nv − = n 6 v 60(50 − v) − 60v = nv(50 − v) , v 2 − 170v + 3000 = 0 , D = 7225 − 3000 = 4225 = 652 , v1 = 85 − 65 = 20 , v 2 = 85 + 65 = 150 , 4 18
n 2 = 30 , n 2 < 0 .
Ответ: 30 км/ч и 20 км/ч. 58.
Пусть v км/ч – скорость катера, тогда 36 18 (v + 6) − = 36 , (v + 6)(36 − 0,3v) = 36v. v 60 (v + 6)(360 − 3v) = 360v , − 18v + 360v + 3v 2 − 360v + 2160 = 0 , v 2 + 6v − 720 = 0 , D = 9 + 720 = 729 = 27 2 , v1 = −3 + 27 = 24 (км/ч), v 2 = −3 − 27 < 0, что нас не устраивает. Ответ: 24 км/ч. Опечатка в ответе задачника.
59.
Пусть асм и bсм – длина катетов, тогда a − b + 37 = 84 a = 47 − b 2 2 2 2 a + b = 1369 a + b = 1369
2209 − 1369 + 2b 2 − 94b = 0 , b 2 − 47b − 420 = 0 , D = 2209 − 1680 = 529 = 23 2 47 − 23 47 + 23 b1 = = 12 ; b2 = = 35 . 2 2 Для b1 = 12 см, a1 = 35 см ⇒ S = 210 см2.
Для b2 = 35 см, a1 = 12 см ⇒ S = 210 см2. S=
1 2 ab = 210 см . 2
Ответ: 210 см2. Опечатка в ответе задачника.
19
ГЛАВА 1. § 1. Линейные и квадратные неравенства 1.
а) a = −1 −2 − 5 > 9 - неверно. a = −1 не является решением. a = 3 6 − 5 = 1 > 9 - неверно. a = 3 не является решением. б) a = −2 2 + 12 = 14 < −10 - неверно. Не является решением. a = 4 2 − 24 = −22 < 10 - верно. Является решением. в) a = −15 7 + 45 = 52 < 13 - неверно. Не является решением. a = 4 7 − 12 = −5 < 13 - верно. Является решением. г) a = −2 −8 + 5 > 17 - неверно. Не является решением. a = 5 20 + 5 > 17 - верно. Является решением. 2.
а) 4a − 11 < a + 13
б) 6 − 4c > 7 − 6c
3a < 24
2c > 1
a 5 3. 5 − a 3 − 2a а) − −12 b>
x + 7 5 + 4x > 4 3 3x + 21 > 20 + 16 x 1 > 13x 1 x< 13
в)
y > −1
4.
а) a(a − 2) − a 2 > 5 − 3a , a 2 − 2a − a 2 > 5 − 3a , a > 5 ; б) 5 y 2 − 5 y ( y + 4) ≥ 100 , 5 y 2 − 5 y 2 − 20 y ≥ 100 , y ≤ −5 ; 20
в) 3x(3x − 1) − 9 x 2 ≤ 2 x + 6 , 9 x 2 − 3x − 9 x 2 ≤ 2 x + 6 , 5x + 6 ≥ 0 , x ≥ −
6 ; 5 1 5
г) 7c(c − 2) − c(7c + 1) < 3 , 7c 2 − 14c − 7c 2 − c < 3 , −15c < 3 , c > − . 5.
а) x 2 − 6 x − 7 ≥ 0 по теореме Виета: x1 = 7, x2 = −1
+
( x − 7)( x + 1) ≥ 0 x ≤ 1, x ≥ 7
б) − x 2 + 6 x − 5 < 0
– –1
+
+
х
+
х
+
х
+
х
7 –
2
x − 6x + 5 > 0
по теореме Виета: x1 = 5, x2 = 1 , x < 1, x > 5
1 +
5 –
2
в) x + 2 x − 48 ≤ 0 по теореме Виета: x1 = 6, x2 = −8 , −8 ≤ x ≤ 6 г) − x 2 − 2 x + 8 > 0 x 2 + 2x − 8 < 0
по теореме Виета: x1 = 2, x2 = −4 , −4 < x < 2 6. D = 4 + 12 = 4 2 4 3 −2 − 4 −2 + 4 1 x1 = = , x1 = =− 4 2 4 2 1 3 x≥ , x≤− 2 2
а) 4 x 2 + 4 x − 3 ≥ 0 ,
б) 12 x 2 + x − 1 < 0 , D = 1 + 48 = 49 1 −1 + 7 1 −1 − 7 = , x2 = =− 24 3 24 4 1 1 − <x< 3 4 x1 =
–8
+
6
– -4
2
+
–
−
–
−
в) 6 x − 7 x − 20 ≤ 0
−
– 4 3
+
х
+
х
1 4
1 3
–
2
х
1 2
3 2
+
+
5 2 21
D = 49 + 480 = 529 = 23 2 4 5 7 − 23 4 7 + 23 5 x1 = = , x2 = =− , − ≤x≤ ; 3 2 12 3 12 2
г) 15 x 2 − 29 x − 2 > 0 2
D = 841 + 120 = 961 = 31 29 + 31 29 − 31 1 x1 = = 2, x 2 = =− 30 30 15 1 x > 2, x < − 15
+
+
–
−
х
2
1 15
7.
а) 3x 2 + x + 2 > 0 , D = 1 − 24 = −23 < 0 . Следовательно −∞ < x + ∞ (т.к. первый коэффициент положителен). б) − 3x 2 + 2 x − 1 ≥ 0 ,
D = 1 − 12 = −11 < 0 . 4
Следовательно, решений нет. в) 5 x 2 − 2 x + 1 < 0 ,
D = 1 − 5 = −4 < 0 . 4
Следовательно, решений нет. г) − 7 x 2 + 5 x − 2 ≤ 0 , D = 25 − 28 = −3 < 0 . −∞ < x < +∞ (т.к. старший коэффициент положителен). 8.
Выражение имеет смысл когда: а) (3 − x)( x + 7) ≥ 0 , −7 ≤ x ≤ 3 ;
–
+ –7
– –1
–
+ −
х
+
х
+
х
–4
– 9 2
– 6
–9
г) 2 x 2 + 7 x − 9 ≥ 0 D = 49 + 72 = 121 = 112 9 −7 + 11 −7 − 11 x1 = = 1, x1 = =− ; 4 2 4
+
+
х
3
б) 5 x − x 2 + 6 ≥ 0 D = 25 + 24 = 49 −5 + 7 −5 − 7 x1 = = −1, x 2 = =6 +2 −2 −1 ≤ x ≤ 6 в) ( x + 4)( x + 9) ≥ 0 x ≥ −4, x ≤ −9
–
1
22
x ≥ 1, x ≤ −
9 . 2
9.
f(х) Определено, если подкоренное выражение неотрицательно. а) x 2 − 18 x + 77 ≥ 0 + х + – D = 81 − 77 = 4 4 x1 = 9 + 2 = 11, x 2 = 9 − 2 = 7 , x ≥ 11, x ≤ 7 ;
б) 10 x 2 − 11x − 6 ≥ 0 ,
+
D = 121 + 240 = 361 = 19 2 , 11 − 19 2 11 + 19 3 x1 = = , x2 = =− 20 2 20 5 2 3 x≥ , x≤− ; 2 5
в) x 2 + 9 x − 36 ≥ 0 ,
11
7
– −
2 5
+
–
+
х
+
х
+
х
3 2
–12 D = 81 + 144 = 225 = 15 2 , −9 + 15 −9 − 15 x1 = = 3, x 2 = = −12 , x ≥ 3, x ≤ −12 ; 2 2
г) 12 x 2 − 13x − 4 ≥ 0
+
3
–
2
D = 169 + 192 = 361 = 19 1 13 + 19 4 13 − 19 1 − x1 = = , x2 = =− 4 24 3 24 4 4 1 x ≥ , x ≤ − . В задачнике приведен неверный ответ. 3 4
4 3
10.
f(x) определено тогда, когда подкоренное выражение строго больше нуля. + х + – а) − x 2 − x + 2 > 0 , x 2 + x − 2 < 0 , по теореме Виета: –2 1 x1 = 1, x1 = −1 , −2 < x < 1 ;
б) x 2 − 9 > 0 , x 2 > 9 ⇔ x > 3 , x > 3, x < −3 ; в)
7 2
14 − 2 x − 3 x
=
7 14 − 2 x 2 − 3 x
14 − 2 x 2 − 3x > 0 , 2 x 2 + 3x − 14 < 0 D = 9 + 112 = 121 = 112
+
+
– −
7 2
х
2
23
x1 =
7 7 −3 + 11 −3 − 11 = 2, x 2 = =− , − <x 0 , x 2 < 25 ⇔ x < 5 , −5 < x < 5 . 11.
Квадратное уравнение имеет 2 корня, при D > 0, 1 корень при D = 0 и не имеет корней при D < 0 . D = p 2 + ( p − 6) ⋅ 3 = p 2 + 3 p − 18 4
+
–
–6
а) p 2 + 3 p − 18 > 0 по теореме Виета: p1 = 3, p 2 = −6 , p > 3, p < −6 ; б) p = 3, p = −6 ; в) −6 < p < 3 .
+
х
+
х
3
12.
а) 3x − 2 > 7 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3 . Число (-3) – решение второго неравенства, но не первого. Неравенства не равносильны. б) 4 x − 3 ≤ 9 ⇔ 4 x ≤ 12, x ≤ 3 ,
1 ≤ 0 ⇔ x −3< 0 ⇔ x < 3 . x−3
Неравенства не равносильны. в) 2 x + 1 ≥ 5 ⇔ 2 x ≥ 4 ⇔ x ≥ 2 ,
1 ≥0⇔ x−2>0⇔ x>2. x−2
Неравенства не равносильны. г) − x + 7 > 5 ⇔ x < 2 , ( x − 2)( x + 3) < 0 ⇔ −3 < x < 2 . Неравенства не равносильны. 13.
x − 2 ≤ 5, x ≤ 7, ⇔ − 2 ≥ − 5 ; x x ≥ −3;
−3 ≤ x ≤ 7 ;
1 − x > 2, x < −1 ⇔ 1 − x < −2; x > 3
x < −1, x > 3 ;
а) x − 2 ≤ 5 ⇔ б) 1 − x > 2 ⇔
3 − x ≥ 3, x ≤ 0 ⇔ 3 − x ≤ −3; x ≥ 6
в) 3 − x ≥ 3 ⇔
3 + x < 4, x < 1 ⇔ 3 + > − 4 ; x x > −7
г) 3 + x < 4 ⇔
x ≤ 0, x ≥ 6 ;
−7 < x < 1 .
14.
а) 2 x 2 + x < 2 , 2 x 2 + x − 2 < 0 D = 1 + 16 = 17
+ − 1− 17 4
–
− 1+ 17 4
24
x1 =
− 1 + 17 − 1 − 17 , x1 = 4 4
− 1 − 17 − 1 + 17 <x< ; 4 4
б) 3 − x 2 ≤ x , x 2 + x − 3 ≥ 0
+
D = 1 + 12 = 13 x1 = x≥
х
− 1− 13 2
− 1− 13 2
− 1 + 13 − 1 − 13 , x1 = 2 2
+
–
− 1− 13 − 1+ 13 , x≤ ; 2 2
в) x 2 − 4 x + 2 ≥ 0 , x 2 − 4 x + 4 ≥ 2 x − 2 ≥ 2 , x ≥ 2 + 2 ( x − 2) 2 ≥ 2 ⇔ ⇔ x − 2 ≥ − 2 ; x ≤ 2 − 2
г) x + 1 > x 2 , x 2 − x − 1 < 0 , D = 1+ 4 = 5 , x1 =
x ≥ 2 + 2, x ≤ 2 − 2 ;
+
1+ 5 1− 5 , x1 = 2 2
+
–
х
1− 5 2
1+ 5 2
1− 5 1+ 5 <x< . 2 2 15.
x − 1 x 2 + x − 4 0,5 x 2 + 1 + > а) 2 4 3
+ –11
x 2 + 9 x − 22 >0 12 x 2 + 9 x − 22 > 0 ,
б)
x1 = 2, x1 = −11 ,
+
х
+
х
+
х
2
x > 2, x < −11 ;
x 2 − 5 x +1 x 2 − 5 + 2x + 2 + ≥2, ≥2, 6 3 6
x 2 + 2 x − 15 ≥ 0 , x1 = 3, x2 = −5 ,
–
+
–
–5
3
x ≥ 3, x ≤ −5 ;
в)
x 2 + 3x x − 1 3 − 2 x < + ; 8 4 2
x 2 + 3 x − 2 x + 2 − 12 + 8 x 15 3
x 2 + 1 + 45 x > 35 x − 15 , x 2 + 10 x + 16 > 0
по теореме Виета: x1 = −2 , x1 = −8
+ –8
x > −2, x < −8
+
х
–
х
–
х
– –2
16.
а) 4 x + 3 > 5 , 1 4 x + 3 > 5, 4 x > 2, x > 2 , x > 1 , x < −2 ; ⇔ ⇔ 4 x + 3 < −5; 4 x < −8; x < −2; 2 б) 6 − 3x + 1 > 0 , 3x + 1 < 6 , 5 x < 3 , 7 5 3 x < 5, 3 x + 1 < 6, − <x< ; 3 x + 1 > −6; ⇔ 3 x > −7; ⇔ 7 3 3 x > − ; 3 в) 3 − 2 x ≥ 9 , 3 − 2 x ≥ 9, 2 x ≤ −6, x ≤ −3, 3 − 2 x ≤ −9; ⇔ 2 x ≥ 12; ⇔ x ≥ 6; x ≤ −3; x ≥ 6 ; г) 4 − 3 + 2 x ≤ 0 , 3 + 2 x ≥ 4 , 1 x ≥ 2 , 3 + 2 x ≥ 4, 2 x ≥ 1, 3 + 2 x ≤ −4; ⇔ 2 x ≤ −7; ⇔ x ≤ − 7 . 2
x≥
1 7 , x≤− . 2 2
В задачнике приведен неверный ответ. 17.
Сначала решим это неравенство. ( x + 2)( p − x) ≥ 0 Пусть p ≥ −2 −2 ≤ x ≤ p При p < −2 p ≤ x ≤ −2 а) p = 1, p = −5 ; б) p = 2 ;
–
+
2
– р
р
+ –2
26
в) p = −1 , p = −3 ; г) p = −2 . 18. ( x − 8)( x + p ) ≤ 0 При p ≥ −8 −p ≤ x ≤8 При p < −8 а) p = 1 ; б) p = 2 ; в) p = 3 ;
+
–
–р
х
+
х
8
+
–
8
г) решений нет.
+
–р
19. (7 − x)( p − x) < 0 , ( x − 7)( x − p) < 0 . При p > 7 7 < x < p ; При p < 7 p < x < 7 ; При p = 7 решений нет. а) p = 11, p = 3 ; б) p = 8, p = 6, p = 7 .
Опечатка в ответе задачника.
§ 2. Рациональные неравенства 20.
а) ( x + 2)( x + 3) > 0
+
–
x > −2, x < −3 б) ( x + 3)( x − 0,5) < 0 −3 < x < 0,5
–3 +
–
1 в) ( x − )( x + 4) > 0 4 1 x > , x < −4 4 4 1 г) ( x − )( x − ) < 0 9 3 1 4 <x< 3 9
+
–3
–2
х
+
х
0,5
–
+
х
+
х
+
х
1 4
–4 +
+
– 4 9
1 3
21.
а) t (t − 1) < 0 0 < t 0 t > 0, t < −3
б) t (t − )(t − 12) ≥ 0
+
–
г) t (t + 8)(t − 1,2) ≤ 0
12
1 4
1 +
+
–
–3
–
t ≤ −8, 0 ≤ t ≤ 1,2
t
+
–
t
0
+ –8
–
+
t
+
x
+
x
1,2
0
22.
а) x 2 − x > 0 , x( x − 1) > 0 , x > 1, x < 0 ; б) 2 x + x 2 ≤ 0 , x( x + 2) ≤ 0 , −2 ≤ x ≤ 0 ; в) x 2 − 3x ≥ 0 , x( x − 3) ≥ 0 , x ≥ 3, x ≤ 0 ; г) 5 x + x 2 < 0 , x( x + 5) < 0 , −5 < x < 0 . 23.
а) x 2 − 4 > 0 , x 2 > 4 ⇔ x > 2 ⇔ x > 2 , x < −2 ; б) x( x 2 − 9) ≤ 0
–
x( x − 3)( x + 3) ≤ 0 x ≤ −3, 0 ≤ x ≤ 3
+ –3
– 3
0
в) x 2 − 25 ≥ 0 , x 2 ≥ 25 , x ≥ 5 , x ≥ 5, x ≤ −5 ; г) x( x 2 − 64) > 0
–
x > 8, −8 < x < 0
+ –8
– 0
8
24.
а) a 2 > 225 , a > 15 , a > 15, a < −15 ; б) b 2 ≤ 16 , b ≤ 4 , 4 ≤ b ≤ 4 ; 1 2 c ≥ 1 , c 2 ≥ 4 , c ≥ 2 , c ≥ 2, c ≤ −2 ; 4 1 г) z 2 < 0 . Решений нет. 9
в)
28
25.
а) ( x + 2)( x + 4)( x − 1) > 0
–
x > 1; −4 < x < −2
б) ( x − 3)( x − 6)( x + 6) < 0
–
x > 3; −1 > x > −5
+
–
–
1 1 ( x − 4)( x + )( x + 1) > 0 , x > 4, − 1 < x < − ; 3 3 б) (2 x + 3)( x + 1)( x − 1) > 0 ,
3 3 x + ( x + 1)( x − 1) < 0 , x < − , −1 < x < 1 ; 2 2 в) (4 x − 1)( x − 2)( x + 2) < 0 , 1 1 <x 0 ,
27.
а) (2 − x)(3x + 1)(2 x − 3) > 0 , 1 3 ( x − 2) x + x − < 0 , 3 2 1 3 x 0 , 2 1 x > , −5 < x < −1 . 2
– 3
–3
+ 1
–2
–6
x < −3; −1 < x < 2
г) ( x + 5)( x + 1)( x − 3) > 0
–
–4
x < −6, 3 < x < 6
в) ( x − 2)( x + 3)( x + 1) < 0
+
x
2
29
б) (2 x + 3)(1 − 2 x)( x − 1) < 0 ,
–
3 1 x + x − ( x − 1) > 0 , 2 2 3 1 x > 1, − < x < ; 2 2 в) (3x − 2)( x − 4)(3 − 2 x) < 0 ,
−
2 3
–
(x + 7 ) x + 3 x − 1 < 0 , x < −7, −
4
+
–7
2
1
– 3 2
+
x
+
– 1 2
3 2
–
2 3 x − (x − 4) x − > 0 , 3 2 3 2 x > 4, > x > ; 2 3 г) ( x + 7)(4 x + 3)(1 − 2 x) > 0 ,
+
+
x
+
x
4
– 3 − 4
1 2
–
+
x
+
x
+
x
+
x
+
х
3 1 <x< 4 2
28. x ( x − 2) а) >0, x+3 x > 2, 0 > x > −3 ; x( x + 1) б) ≥0, x −9 x > 9, −1 ≤ x ≤ 0 ; x ( x + 6) x 2 + 6x 0 2x − 3 2x − 3 7 x− − 3x + 7 3 0⇔ 3 2x − 3 2 3 x− 2
–
+ 0
–3 –
+
– 0
–1
–
+
9
– 0
–6 –
2
+
2 –
0
–7
+
5
– 3 2
7 3
30
x+3 x +3− x + 2 5 0 ,
1
2 3
1 2
1 2
+
–
+
х
3 2
2 3
2 3
–
+ −
−
+
–
+
3
7 2
х
2 x − (x − 5)(x − 1)(x − 2) < 0 , 3 2 2 < x < 5; − 1 < x < ; 3 г) (2 x + 5)(4 x + 3)(7 − 2 x)( x − 3) < 0 , 5 3 7 x + x + x − (x − 3) > 0 , 2 4 2 32
x>
3 3 7 5 ; − < x< ; x0
x > 12; 0 < x < 7; −7 < x < 0; x < −12 . 36.
–
3
а) x − 64 x > 0 , x( x − 8)( x + 8) > 0 , x > 8; 0 > x > −8 ;
б) x 3 ≤ 2 x ⇔ x 3 − 2 x ≤ 0 ⇔ x( x 2 − 2) ≤ 0
–8 –
x( x − 2 )( x + 2 ) ≤ 0 ,
+ х
–
+ 0
8 + х
–
+ 0
− 2
2
x ≤ − 2; 0 ≤ x ≤ 2 ;
в) x 3 ≥ x ⇔ x( x 2 − 1) ≥ 0 , x( x − 1)( x + 1) ≥ 0 , x ≥ 1; 0 ≥ x ≥ −1 ;
–
г) x 3 − 100 x < 0 ,
–
−1
x( x − 10)( x + 10) < 0 , 0 < x < 10; x < −10 . 37.
0
–
0
+ х 10
+ х
–
+ 2 3
1
–
+ −10
+ х
–
+
1
5 2 33
2 ( x − 1) x − 3 0, 5 − 2x
2
2 5 x < ; 1< x < ; 3 2 ( 2 x + 3)(2 x + 1) ≥0, б) ( x − 1)( x − 4)
−
3 1 x + x + 2 2 ≥0, ( x − 1)( x − 4) 1 3 ; x≤− ; 2 2 ( x + 1)( x + 2)( x + 3) в) ≤0 ( 2 x − 1)( x + 4)(3 − x)
+
–
+ 3 2
−
+ х
–
1 2
1
4
+
– +х
x > 4; 1 > x ≥ −
( x + 1)( x + 2)( x + 3) ≥0 1 x − ( x + 4)( x − 3) 2 x > 3;
г)
–
+
+ –3
–4
– –2
–1
3
1 2
1 > x ≥ −1; −3 ≤ x ≤ −2; x < −4 2
7−x 0,
x − 2 x + 1 ( x − 4) 3 2 1 2 x > 7; 4 > x > ; x < − . 2 3
–
+ −
1 2
2 3
+ х
–
+ 4
7
38.
а) x + –
( x − 4)( x − 2) x 2 − 6x + 8 8 ≤0, ≤6, ≤0, x x x
–
+ 0
2
4 ≥ x ≥ 2; x < 0 ;
б) x +
+
х
4
( x − 1)( x − 2) x 2 − 3x + 2 2 ≥ 0, ≥ 3, ≥0, x x x
34
–
–
+ 0
1
+
х
2
x ≥ 2, 0 < x ≤ 1 ; ( x + 3)( x + 1) x 2 + 4x + 3 3 ≤0, ≤ −4 , ≤0, x x x
в) x + –
–
+ –3
–1
+
х
0
−1 ≤ x < 0, x ≤ −3 ; ( x − 4)( x + 2) x 2 − 2x − 8 8 >0, >2, >0, x x x
г) x − –
–
+ –2
0
+
х
4
x > 4, −2 < x < 0 . 39.
а) ( x − 1)( x 2 − 3x + 8) < 0 . Рассмотрим x 2 − 3x + 8 D = 9 − 32 = −23 < 0 , следовательно x 2 − 3 x + 8 > 0 при любых х. Разделим обе части на x 2 − 3x + 8 , x − 1 < 0 ⇔ x < 1 ; б) ( x + 5)( x 2 + x + 6) ≥ 0 . Рассмотрим x 2 + x + 6 , D = 1 − 24 = −23 < 0 , следовательно x 2 + x + 6 > 0 при любых х. Разделим обе части на x 2 + x + 6 , x + 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ −5. в) ( x − 7)(− x 2 − 3x − 18) > 0 , ( x − 7)( x 2 + 3x + 18) < 0 , x 2 + 3 x + 18 > 0 при любых х (т.к. D = 9 − 72 = −63 < 0 ). Разделим обе части на этот множитель; x − 7 < 0 ⇔ x < 7 .
г) ( x + 1,2)( x 2 + 5 x + 14) ≤ 0 , x 2 + 5 x + 14 > 0 при любых х (т.к. D = 25 − 56 = −29 < 0 ). Разделим обе части на этот множитель; x + 1,2 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1,2 . 40.
а) ( x − 1) 2 ( x 2 + 4 x − 12) < 0 , 2
( x − 1) ( x − 2)( x + 6) < 0 , −6 < x < 1; 1 < x < 2 ;
+
–
– –6
1
+
х
2 35
б) ( x + 2)( x 2 − 6 x − 16) > 0 , ( x + 2)( x − 8)( x + 2) > 0 ,
– –2
( x + 2) 2 ( x − 8) > 0 , x > 8 ;
8
( x + 3) 2 ( x − 7)( x − 3) ≥ 0 , x ≤ 3; x ≥ 7 ;
–3
г) ( x − 1)( x 2 − 7 x + 6) ≥ 0 , ( x − 1)( x − 6)( x − 1) ≥ 0 ,
–
+
+
в) ( x + 3) 2 ( x 2 − 10 x + 21) ≥ 0 ,
7
х
+
– –1
х
+
3
–
( x − 1) 2 ( x − 6) ≥ 0 , x = 1; x ≥ 6 ;
х
+
–
6
41. x2 − 5x + 6
>0, x 2 − 12 x + 35 ( x − 2)( x − 3) >0, ( x − 7)( x − 5)
а)
–
+
3
2
+ х
–
+ 5
7
x > 7; 3 < x < 5; x < 2 ;
б)
x 2 − 2x + 3 2
x + 9x + 8
< 0 , x 2 − 2 x + 3 > 0 при любых х (т.к.
D = 1 − 3 = −2 < 0 ). 4
Разделим обе части на это положительное выражение 1 1 + х + – 0,
( x + 3)( x + 4) ( x + 3)( x + 4) 0, (5 − x)( x + 5) ( x − 5)( x + 5)
36
–
+
+ х
–
+
–3 5 −4 −5 −5 < x < −4, −3 < x < 5 . 42.
а)
2 x 2 + 18 x − 4
2 x 2 + 18 x − 4 − 2 x 2 − 18 x − 16
>2,
x 2 + 9x + 8 x 2 + 9x + 8 −20 1 >0⇔ 0,
–1
−8 < x < −1 ;
б)
2 x 2 + x − 16
≤1,
x2 + x
2 x 2 + x − 16 − x 2 − x
x2 + x
≤0,
( x − 4)( x + 4) x 2 − 16 ≤ 0, ≤0⇔ x( x + 1) x( x + 1)
+
–
+
0
−1
−4
+ х
– 4
0 < x ≤ 4, −4 ≤ x < −1 ;
в)
1− x 2
1− x 2 + x 2 + 2x − 8
x 2 + 2x − 8 7 x− 2x − 7 2 ≥0⇔ ≥0, ( x − 2)( x + 4) x 2 + 2x − 8 7 x ≥ , −4 < x < 2 ; 2
г)
x 2 + 2x − 8
≥ −1 ⇔
x 2 + 3 x + 10 x2 −9
7, −3 < x < 3, x < −4 .
37
43.
x3 + x 2 + x
а)
9 x 2 − 25
≥0⇔
x( x 2 + x + 1) ≥0, (3 x − 5)(3x + 5)
x 2 + x + 1 > 0 (т.к. D = 1 − 4 = −3 < 0, следовательно можно разделить
обе части на ( x 2 + x + 1). x x ≥0, ≥0 3 3 (3 x − 5)(3 x + 5) ( x − )( x + ) 5
5
−
5 5 < x ≤ 0, x > ; 3 3
−
б)
–
+
– 5 3
+
0
х
5 3
x 2 ( x − 1) + ( x − 1) ( x 2 + 1)( x − 1) x 3 − x 2 + x −1 ≤0⇔ ≤0, ≤0. x +8 x+8 x +8
Разделим обе части на строго положительное выражение x 2 + 1 . x −1 ≤ 0 ⇔ −8 < x ≤ 1 . x +8 x 4 + x 2 +1
в)
x 2 − 4x − 5
3 ;
–
+
– −5
–2
−2
х
в)
+
х
г)
6
–
+
–
( x + 2)( x + 5) x 2 + 7 x + 10 ≥0, ≤0, x−6 6− x −2 ≤ x < 6, x ≤ −5
+
–1
7
–
+
( x − 7)( x + 2) 14 − x 2 + 5 x ≥0, ≤0, x +1 x +1 x ≤ −2, −1 < x ≤ 7 .
45.
+ –3
х
2
x2 −9
≥0, x − 5x + 6 ( x − 3)( x + 3) ≥ 0, x ≠ 3 , ( x − 2)( x − 3)
а)
2
x > 2, x ≤ −3, x ≠ 3, то есть x ≤ −3, 2 < x < 3, x > 3 ;
+
+
– 1
х
2
2 − x − x2
≥0, x2 − 4 ( x − 1)( x + 2) ≤ 0 , x ≠ −2 , ( x − 2)( x + 2)
б)
2 > x ≥1 ;
в)
2x 2 − 5x + 2
1 2( x − 2) x − 2 ≥0, ≤ 0, ( x − 3)( x − 2)
+
5x − 6 − x 2 1 x ≠ 2 , ≤ x < 3, x ≠ 2 , 2 1 ≤ x < 2, 2 < x < 3 ; 2
1 3 x + ( x + 3) 3 ≥0, ≥ 0, г) 2 ( 3 )( x + 5) x + x + 8 x + 15 1 x ≠ −3 , x ≥ − x < −5 . 3,
3 x 2 + 10 x + 3
– 0,5
+
х
+
х
3
– –5
+
−
1 3
46. 1 2 3 а) , + > x +1 x + 3 x + 2
39
( x + 3)( x + 2) + 2( x + 1)( x + 2) − 3( x + 1)( x + 3) >0, ( x + 1)( x + 2)( x + 3) x 2 + 5 x + 6 + 2 x 2 + 6 x + 4 − 3 x 2 − 12 x − 9 >0, ( x + 1)( x + 2)( x + 3)
−x +1 >0, ( x + 1)( x + 2)( x + 3)
+
1 > x > −1, −2 > x > −3 ; 2 1 б) − > −3 , x −1 x +1 2 x + 2 − x + 1 + 3( x + 1)( x − 1) >0, ( x − 1)( x + 1)
+
–
+
–1
−2
−3
–
+
−3
−
+ х
– 1
+ х
– 0
1 3
1
1 x x + x + 3 + 3x 2 − 3 3 >0, >0, ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1)
1 < x < 0 , x >1; 3 3 1 x +1 в) >− − , x−2 x−2 2 3( x + 2) 2x + 2x + 6 + x − 2 >0 >0, 2( x − 2) 2( x − 2)
x < −1, −
+
+
– –2
х
2
x > 2, x < −2 ;
–
+
– 3
x < 3,
7 2
+
х
г)
x − 4 x − 3 ( x − 4) 2 − ( x − 3) 2 , >0, > ( x − 3)( x − 4) x −3 x−4
x− 7 2 −2 x + 7 >0, 0 , −7 < x < −5, −5 < x ; x 3x 0 , −5 < x < −1; 0 < x < 2, x > 2 ;
3
б) x( x − 2) ( x + 1) ( x + 5) < 0 , x < −5, −1 < x < 0 ; в) x( x − 2) 2 ( x + 1) 2 ( x + 5) ≥ 0 , −5 ≤ x ≤ −1, x ≥ 0 ; г) x( x − 2) 2 ( x + 1) 2 ( x + 5) ≤ 0 , x ≤ −5, −1 ≤ x ≤ 0 . 49.
( x + 2) 2 ( x − 1)(2 x + 3) = f ( x) = x(2 x + 1) ( x + 2)2 ( x − 1) x + = 1 x x + 2 а) f ( x) > 0 ,
2( x + 2)2 ( x − 1) x + 1 2 x x + 2
3 2
=
3 2
+
+ –2
+
– −
3 2
−
1 2
+
– 0
х
1 41
x > 1, −
1 3 < x < 0, − 2 < x < − , 2 2
x < −2 ; 3 1 < x < − , 0 < x x > − , x ≤ − . 2 2
б) f ( x) < 0 , −
(опечатка в ответе задачника). г) f ( x) ≤ 0 , 0 < x ≤ 1, −
3 1 ≤ x < − , x = −2 . 2 2
50. 2
x ( x + 2)( p − x) ≥ 0 , x 2 ( x + 2)( x − p ) ≤ 0 . При p ≥ 0 : −2 ≤ x ≤ p ; При р −2 < p < 0 , x ≥ p, x ≤ −2 ; При p ≤ −2 , p ≤ x ≤ −2, x = 0 ; а) p = −2 , б) p = 1, p = −4 , в) p = 0, p = −3, p = −1 , г) p = 2 p = −5 .
–
+ −2
+
– p
−2
–
+ p
х
–
х
+
х
p
0
+
–
–
0
+ −2
0
§ 3. Системы рациональных неравенств 51. 20 − 3 < 10 + 10 а) — второе неравенство неверно. 7 − 10 > 5 + 11
Ответ: не является. 10 + 5 < 35 − 8 — оба неравенства верны. б) 12 − 5 > 15 − 11
Ответ: является. 10 − 30 < 40 − 40 — второе неравенство неверно. в) 20 − 1 > 25 − 3
Ответ: не является. 42
8 + 5 < 15 + 2 г) — верно. 19 − 10 > 5 + 3
Ответ: является. 52.
−6 − 22 < 0 х= –2 — второе неверно. − 4 − 1 > 3
0 − 22 < 0 — второе неверно. х= 0 0 − 1 > 3
15 − 22 < 0 — верно. x=5 10 − 1 > 3
18 − 22 < 0 — верно. x= 6 12 − 1 > 3
Ответ: Числа 5 и 6 являются решениями. x
53. x > 5 а) x>7 x > 7
5
x ≤1 x≤1 б)
x < 5 x ≥ 0 1 в) 1 x > > x 2 2 x6
x
y 2
6 y
-4
6
3 y − 18 > 0 y > 6 в) 4 y > 12
x
12
8 y < 48 б)
–4 < y < 6
x
y
y > 3
3
6
43
7 x − 14 ≥ 0 x ≥ 2 г) 2 x ≥ 8
x
x ≥ 4
x≥4
2
4
55.
t
7 t ≤ 2 5t − 20 < 0 t < 4
7 − 2t ≥ 0 а)
7 2
7 t≤ 2
4 t
t < 4 3 2t − 3 ≥ 0 t ≥ 2
2t − 8 < 0 б)
3 2
3 ≤t 0 t < 3 t < −2 1 5t − 1 > 0 t > г) 5 3t − 6 ≥ 0 t ≥ 2 t≥2
4
t
2t + 4 ≤ 0 в)
-2
t 1 5
56.
4 3
2
5
x
0,4 x − 1 ≤ 0 x ≤ а) 2 2,3 x ≥ 4,6
x ≥ 2
5 2≤ x≤ 2 40 x > 3 0,2 x + 1 < 6 x < 25
2
5 2
0,3x > 4 б)
40 < x < 25 3 1,5t + 4,5 ≤ 0 t ≤ −3 в) 1 t ≥ 9 t ≥ 1 9
нет решений.
x 40 3
25 t
-3
9 x
4 9
12
44
5 z − 10 ≤ 0 г) 6 3 z ≤ 1 1 3 4 x≤ 9
x ≤ 12 x ≤ 4 9
57. 5 x − 7 > −14 + 3x а) − 4 x + 5 > 29 + 2 x
x
7 2 x > −7 x > − 6 x < −24 2 x < −4
-4
−
7 2
Решений нет
x
б) 3x + 3 ≤ 2 x + 1
3x − 2 ≤ 4 x + 2
-4
x ≤ −2 x ≥ −4 −4 ≤ x ≤ −2
-2 x
1 − 12 x < 3 x + 1 в) 2 − 6 x > 4 + 4 x
0
-0,2
15 x > 0 x > 0 10 x < −2 x < −0,2
Решений нет 4 x + 2 ≥ 5x + 3 г) 2 − 3 x < 7 − 2 x
x
x ≤ −1 x > −5
-5
-1
−5 < x ≤ −1 58. 2 x − 4 ≥ 0 а) 2 x − 7 x + 12 < 0
+
–
+
3
x1 = 3 , x 2 = 4
x
4
x ≥ 2 (x − 3)(x − 4) < 0 x ≥ 2 3 < x < 4 3 < x < 4
x 2
3
4
45
3x − 1 < 0 2 x − 3x + 2 ≥ 0
б)
+
–
по теореме Виета: x1 = 2 , x 2 = 1 1 x < 3 (x − 1)(x − 2) ≥ 0
+
1
1 x < 3 x ≥ 2, x ≤ 1
x
2 x 1
1 3
1 3 5 x − 10 > 15 x − 2 > 3 в) 2 2 x x + − 6 ≤ 0 x + x − 6 ≤ 0 по теореме Виета: x1 = 2 , x 2 = −3 ; x
3 (x − 2 )(x + 3) ≤ 0
x
x > 5 − 3 ≤ x ≤ 2
2
-3
5
Решений нет г) 3 x − 10 > 5 x − 5
+
–
+
x
2
x + 5 x + 6 < 0
-2
2 x < −5 2 x + 5x + 6 < 0
-3
по теореме Виета: x1 = −2 , x 2 = −3 ; 5 x < − 2 (x + 2)(x + 3) < 0 −3< x < −
5 x < − 2 − 3 < x < −2
x
5 . 2
-3
59. 7 x 2 − x + 3 ≤ 0 7 x 2 − x + 3 ≤ 0 а) 2 x + 3 > 7 2 x + 3 > 7
−
5 2
-2
D = 1 – 83 = –81 < 0.
Первое неравенство не имеет решений (т.к. D = < 0). Следовательно, и вся система не имеет решений. 2 2 б) − 3x + 2 x − 1 ≤ 0 3 x − 2 x + 1 ≥ 0
6 x > 3(x + 1) − 1
6 x > 3x + 2
D = 4 – 12 < 0. 4
Следовательно, решениями первого неравенства будут все –∞ < x < +∞. 46
2 −∞ < x < +∞ x> ; 3x > 2 3 2 в) 5 x − 2 x + 1 ≤ 0
2( x + 3) − ( x − 8 ) < 4
D = 1 – 5 = –4 < 0. 4
Первое неравенство не имеет решений (т.к. D = < 0). Следовательно, и вся система не имеет решений. 2 2 г) − 2 x + 3 x − 2 < 0 2 x − 3x + 2 > 0
D = 9 – 16 = –7
. x > 1 21x > 3 7 7
60. 3 x 2 + x + 2 > 0 а) 2 x < 9
3 x 2 + x + 2 > 0 x < 3
D = 1 – 24 = –23 < 0.
Решениями первого неравенства будут все –∞ < x < +∞. −∞ < x < +∞ −3 < x < 3 ; − 3 < x < 3 − 7 x 2 + 5 x − 2 > 0 7 x 2 − 5 x + 2 < 0 2 x ≤ 5 x ≤ 25
D = 25 – 56 < 0.
б)
Первое неравенство не имеет решений, значит решений не имеет и вся система. 2 x 2 + 5 x + 10 > 0 x 2 ≥ 16
в)
2 x 2 + 5 x + 10 > 0 x ≥ 4
D = 25 – 80 = –55
< 0. Решениями первого неравенства будут все –∞ < x < +∞. x ≥ 4, x ≤ −4 − 5 x 2 + x − 1 > 0 5 x 2 − x + 1 < 0 2 2 x > 81 x > 81
г)
D = 1 – 20 = –19 < 0.
Первое неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся система решений не имеет. 61. x2 −9 а) x ≥ 0 2 x − 1 ≥ 0
(x − 3)(x + 3) ≥0 x 2 x − 1 ≥ 0
–
-3
+
–
+
-3
0
3
0
1 2
3
x x 47
x ≥ 3,−3 ≤ x ≤ 0 x ≥ 1 2
x≥3
(x + 5)(x − 1) ≥0 x 10 x − 1 < 0
б)
–
+
(x + 5)(x − 1) ≥0 x 10 x < 1
-5
–
+
0
x
1 x
x ≥ 1,−5 ≤ x ≤ 0 x < 1 10
-5
1 10
0
–5 ≤ x < 0 25 − x 2 ≤0 x 5 x − 10 ≥ 35
1
в)
–
+
(5 − x )(5 + x ) ≤0 x 5 x ≥ 45
-5
–
+
0
x
5 x
(x − 5)(x + 5) ≥0 x x ≥ 9
-5
0
5
9
x≥9
(x − 2)(x + 3) ; 5 5 2x + 1 11 1 б) − 4 ≤ ≤ 0 , −12 ≤ 2 x + 1 ≤ 0 , − ≤ x ≤ − . 3 2 2
а) −6 < 3 − 5 x < 6 , −9 < −5 x < 3 ,
67. 1 0 < 1 + 4 x < 17 , − < x < 4 . 4
Наименьшее целое – 0; Наибольшее целое – 3. 68.
а) y = 12 − 3x + x + 2 12 − 3 x ≥ 0 x ≤ 4 x + 2 ≥ 0 x ≥ −2 −2 ≤ x ≤ 4 ;
–2
4
–4
5
2
4
–1
3
–11
3
б) y = 15 − 3x + x + 4 15 − 3x ≥ 0 x ≤ 5 x + 4 ≥ 0 x ≥ −4
−4 ≤ x ≤ 5 ;
в) y = 15 x − 30 + 4 − x 15 x − 30 ≥ 0 4 − x ≥ 0
x ≥ 2 x ≤ 4 2 ≤ x ≤ 4 ;
г) y = 6 x − 18 + x + 1 , 6 x − 18 ≥ 0 x ≥ 3 x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 x ≥ 3 . 69. 7 x + 3 ≥ 5(x − 4) + 1 а) 4 x + 1 ≤ 43 − 3(7 + x )
7 x + 3 ≥ 5 x − 19 4 x + 1 ≤ 43 − 3(7 + x ) x ≥ −11 x ≤ 3 −11 ≤ x ≤ 3
2 x ≥ −22 7 x ≤ 21
52
3(x + 8) ≥ 4(7 − x ) б)
(x + 2 )(x − 5) > (x + 3)(x − 4 )
1
4 7 4 7 x ≥ 4 x ≥ 2 x < 2 7 x < 1
−
3x + 24 ≥ 28 − 4 x 2 2 x − 3 x − 10 > x − x − 12 4 ≤ x 2 x + 2 в)
0
3 2
3 x > − 2 x ≤ 0
−
x
4(x + 1) − 2 ≤ 2(2 x + 1) − x
2 x > 3 4 x + 5 > 2 x + 2 4 x + 2 − 2 ≤ 3 x + 2 x ≤ 0
3 <x≤0 2
(x + 2)(x − 6) ≤ (x + 2)(x + 1) + 4 г) 2(6 x − 1) ≥ 7(2 x − 4)
−
18 7
13
x 2 − 4 x − 12 > x 2 + 3 x + 6 12 x − 2 ≥ 14 x − 28
18 18 7 x ≥ −18 x ≥ − ≤ x ≤ 13 . 2 x ≤ 26 7 − 7 x ≤ 13
53
70. x x + < 7 а) 3 4 1 − x > 0 6
4 x + 3x 0 x < 6 >0 6
6 x x б) 4 x − x − 4 > 1 5
12 4 − x >x 4 4 − x > 4 x 5x − x − 4 4 x − 4 > 5 >1 5
1/4
x −1 x − 2 > 1 г) x < 5 3
4x − x 4 ≥ 2 3x − 3 + 2 x − 4 >1 6
8/3
x≥
3x ≥ 8 5 x − 7 > 6
8 ; 3
2x − x + 1 > 1 x + 1 > 2 x > 1 x < 15 x < 15 2 x < 15
15 1 71.
а) x −1 x − 2 x − 3 −x − ≥ 3 4 2 1 − x > 0,5 x − 4
62
4 5 1 4
4/5
1 4 <x< ; 4 5 x x − ≥ 2 в) 4 x 1 x 2 − + − >1 2 3
13/5
x< x >
1 < x < 15 .
8 x ≥ 3 x > 13 5
11x ≥ −11 6 x − 6 − 4 x + 8 ≥ 3 x − 9 − 12 x 1,5 x < 5 x < 10 3
x ≥ −1 x < 10 3
−1 ≤ x
x-1 | Умножим на 6 3 2 2 − 2 x > 0,5 x + 0,5
б) 6
2 x − 1 + 2 x + 4 − 3 x + 24 > 6 x − 6 2,5 x < 1,5 33 5 x < 33 x < 5 x< 3 ; x < 3 3 5 5 x < 5
3/5
5 x + 7 3 x 11x − 7 − < 4 12 в) 6 1 − 3 x − 1 − 4 x ≥ x − 1 2 3 6
33/5
21/10 7/2
10 x + 14 − 9 x < 11x − 7 10 x > 21 3 − 9 x − 2 + 8 x ≥ x − 6 2 x ≤ 7
x > 21 21 7 <x≤ ; x ≤ 7 10 2 2
8x + 1 4x + 9 x − 1 > − 2 3 г) 3 39/5 5 x − 2 < 2 x + 13 − x + 2 3 2 3 27 x> 16 x + 2 > 12 x + 27 − 2 x + 2 6 x > 27 6 10 x − 4 < 6 x + 39 − 2 x − 4 6 x < 39 x < 39 5 27 39 <x< ⇔ 4,5 < x < 6,5 . 6 6
27/6
72. 2x + 1 2 2 x − 3
x+3 0 2 x − 3
2x + 1 − x + 2 0 2x − 3 x+3 x−2 < 0 x −8 < 0 3 x− 2
−3 < x < 2 3 < x < 8 2 3 <x 4 3x − 3
7 − 3x − 4 + 10 x ≤0 2 − 5x 2 x + 1 − 12 x + 12 >0 3x − 3
7x + 3 ≤0 2 − 5 x − 10 x + 13 >0 3x − 3
3 x + 7 ≥0 x− 2 5 13 x − 10 < 0 x −1
3 2 x < − , x > 7 5 1 < x < 1,3
1 < x < 1,3 ;
1,25
х
+
–
1,6
3
x
1,25
16 7
x
1,6
16 7
3
x
−
−
2 5
1
13/10
5x − 8 0 4 x − 5
x
3 7 2 5
3x − 2 3 4 x − 5
x
3 7
1
13 10
3x − 2 − 6 + 2 x 0 4x − 5 x − 1,6 x−3 > 0 x − 16 7 3, x < 1,6 1,25 < x < 16 1,25 < x < 1,6 ; 7
x+3 ≤1 г) 3x − 1 2x + 5 ≥ 2 x − 4 − 2x + 4 3x − 1 ≤ 0 13 ≥0 x − 4
64
x + 3 − 3x + 1 ≤0 3 x − 1 2x + 5 − 2x + 8 ≥0 x−4 x−2 ≥0 1 x− 3 x − 4 > 0
+
–
+
2
1 3
1 3
2
x
4
x
1 x ≥ 2, x < 3 x > 4
x > 4.
73.
3x − 4 1 6 x − 8 − 5 + x ≥0 ≥ а) 5 − x 2 2(5 − x ) x ≥4 x 2 ≥ 16 13 7
7 x − 13 ≥0 5− x x ≥ 4, x ≤ −4
13 x − 7 ≤0 x −5 x ≥ 4, x ≤ −4
x
5
13 <x0 1 − 6x
x
1 6
1 6
7 7 − 2 ≤ x ≤ 2 − 7 ≤ 2 x ≤ 7 1 8x + 4 > 0 x + 2 0 x2 + 9x + 8 2 x + 8 − 6x ≤ 0 x
2 x 2 + 18 x − 4 >2 2 а) x + 9 x + 8 x + 8 ≤ 6 x 2 x 2 x
− 20
20 > 0 x−3 x − 3 x − 4
x 2 + 4x + 3 ≤0 x 2 2 (x − 4) − (x − 3) > 0 (x − 3)(x − 4 )
(x + 3)(x + 1) ≤0 x (x − 4 − x + 3)(x − 4 + x − 3) >0 (x − 3)(x − 4)
–
+
–3
x ≤ −3,−1 ≤ x < 0 7 x− 2 3 x + 1 x + 3 x + 2 x 2 (x − 1) + (x − 1) ≤0 3 2 x + 2 (x + 2)(x + 3) + 2(x + 1)(x + 2 ) − 3(x + 1)(x + 3) >0 (x + 1)(x + 2)(x + 3)
(
)
(x − 1) x 2 + 1 ≤0 2 x + 3 2 − x +1 >0 (x + 1)(x + 2 )(x + 3)
Разделим первое неравенство на положительное выражение x −1 ≤0 3 x+ 2 x −1 , − < x ≤ 0 3 3 x < −1, 0 ≤ x < 1
x −
x = 0, −
x
5 3
–1
0
1
5 3
5 < x < −1 3
76.
Выражение определено, если стоящее под корнем выражения неотрицательны. + – + x
(x − 3)(x − 5) ≥ 0 а) (1 − x )(7 − x ) ≥ 0
3
5
x ≥ 5, x ≤ 3 x ≥ 7, x ≤ 1
+
1
x 1 б)
3x + 2 4− x + 5− x 7 − 2x
3
5
+
7
7 +
–
−
70
–
2 3
+
5
x
x
2 x+ 3 3x + 2 ≤0 ≥0 x−5 5 − x x−4 4− x ≥0 ≥0 7 − 2 x −7 x 2
+
–
−
2 3
x 4
7 2
(x − 2)(x − 3) ≥ 0 в)
+
5
–
(5 − x )(6 − x ) ≥ 0
+
2
x ≥ 3, x ≤ 2 x ≥ 6, x ≤ 5 x ≤ 2, 3 ≤ x ≤ 5, x ≥ 6
x
5
7 2
2 − ≤ x 7, x < −2
−
1 2
77. x 2 − 16 ≥ 0 x 2 ≥ 16 а) 7 x − x 2 ≥ 0 x(7 − x ) ≥ 0
−
7
1 4
x ≥ 4, x ≤ −4 0 ≤ x ≤ 7
x -4
0
4
7
71
4≤ x≤7 x 2 − 3x + 2 ≥ 0 9 − x 2 ≥ 0
б)
по теореме Виета: (x − 2 )(x − 1) ≥ 0 2 x ≤ 9
+
x1 = 2 x2 = 1
по теореме Виета:
x
2
−3 ≤ x ≤ 1, 2 ≤ x ≤ 3
x
–3
x 2 − 5 x + 6 ≥ 0 2 x − 1 ≥ 0
+
1
x ≤ 1, x ≥ 2 x ≤ 1, x ≥ 2 ⇔ x ≤3 − 3 ≤ x ≤ 3
в)
–
1
2
3
+
x1 = 2 x2 = 3
–
+
2
(x − 2 )(x − 3) ≥ 0 x ≥ 3, x ≤ 2 2 x ≥ 1, x ≤ −1 x ≥ 1
x
3 x
-1
1
2
3
x ≤ −1, 1 ≤ x ≤ 2, x ≥ 3 x 2 + 8 x + 7 ≥ 0 2 25 − x ≥ 0
г)
+
x = −1 по теореме Виета: 1 x2 = −7
–
-7
(x + 1)(x + 7 ) ≥ 0 x ≥ −1, x ≤ −7 2 - 5 ≤ x ≤ 5 x ≤ 25
x -7 −1 ≤ x ≤ 5
72
-5
-1
5
+
-1
x
78. 13 3x x − 1 7 ≤ − − + 4 8 а) 4 4 2 ≥ x + 3 − 2 x 4 3
19 2 x + 1 ≤ 2 − 5 x − 12 ≤ 0
3x − x + 1 26 − 7 ≤ 4 8 3x + 12 − 8 x ≤2 12
2 x + 1 19 4 ≤ 8 − 5 x − 12 ≤0 12
17 x ≤ 4 12 17 − ≤ x ≤ . Серединой промежутка 12 5 4 x ≥ − 5 17
12
− a+b . В данном случае 4 5 2 2 x x x x − − + − − + + 3 3 1 2 6 3 1 4 2 3 + ≥ − 0,3 ≥0 5 10 б) 5 10 1 ≥ x − 1 + 0,5(x + 3) x − 1 + 1,5 x + 4,5 − 3 ≤ 0 3 3
[a, b] будет число
37 40 x 5 +4 ≥0 10 2,5 x + 0,5 ≤0 3 =
4 1 a+b 5 x ≥ −4 . 2,5 x ≤ −0,5 − ≤ x ≤ − . Середина [a, b] – это 2 5 5
−
4 1 − 5 5 = − 1.
2
2
79. 3 − 7 x x + 1 7 − 8x + < 13 − 10 2 2 7(3 x − 5) + 4(17 − x ) > 18 − 5(2 x − 6 ) 2 130 − 3 + 7 x + 5 x + 5 − 35 + 40 x 0 52 x + 97 < 0 52 x + 97 < 0 10 11x > 0 22 x > 0
97 x < − 52 Решений нет. x > 0
80. x 3x − 1 2 − x x + 1 3 − 6 < 12 − 2 + 3 x > 5 x − 4 − 3 x − 1 − 2,5 10 5
4 x − 6 x + 2 − 2 + x + 6 x + 6 − 36 5 0 < x ≤ 2 ; 1, 2 1 − < −
5 x − 1 x 3x − 3 − 2 x x −3 3 3 < x ≤ 5 ; 4, 5. + 4 x x 4 12 7 − 3 − 12 − x x x > >0 >0 21 3 7 21
82. x − 1 ≤ 2 − 2 ≤ x − 1 ≤ 2 а) x − 4 ≥ 5 x − 4 ≥ 5, x − 4 ≤ −5 −1 ≤ x ≤ 3 x ≥ 9, x ≤ −1 x = −1 ;
x -1
3
9
x − 5 ≤ 3 − 3 ≤ x − 5 ≤ 3 б) x − 4 ≥ 2 x − 4 ≥ 2, x − 4 ≤ −2 2 ≤ x ≤ 8 x ≥ 6, x ≤ 2 x = 2,
x
6 ≤ x ≤8;
2
6
8
x + 5 < 3 − 3 < x + 5 < 3 в) x − 1 ≥ 4 x − 1 ≥ 4, x − 1 ≤ −4 −8 < x < −2 x ≥ 5, x ≤ −3 -8 < x ≤ −3 74
x -8
-3
-2
5
x − 3 < 5 − 5 ≤ x − 3 ≤ 5 г) x + 2 ≥ 1 x + 2 ≥ 1, x + 2 ≤ −1 −2 < x < 8 x ≥ −1, x ≤ −3 -1 ≤ x < 8
x
-3
2
-1
8
83. 2 x + 4 < 6 − 6 ≤ 2 x + 4 ≤ 6 а) 3 − 2 x > −1 4 > 2 x
x
−10 < 2 x < 2 −5 < x < 1 x < 2 x < 2 -5 < x < −1
-5
1
2
5 x + 4 < 29 5 x < 25 б) 5 x − 4 ≥ 21 5 x − 4 ≥ 21, 5 x − 4 ≤ −21
x
x < 5 x ≥ 5, x ≤ − 17 5
x≤−
−17 5
5
17 5 3x + 1 < 10 − 10 < 3x + 1 < 10 4 x + 3 < 11 4 x < 8
в) −
-
11 3
2
x
3
11 − 11 < 3x < 9 − < x < 3 x < 2 3 x < 2
11 < x < −2 ; 3 2 x − 1 < 7 2 x < 8 г) 2 x − 3 ≥ 9 2 x − 3 ≥ 9, 2 x − 3 ≤ −9
x -3
4
6
x < 4 x ≥ 6, x ≤ −3 x ≤ −3 .
84. 3 x − 2 < 7 − 7 < 3 x − 2 < 7 − 5 < 3 x < 9 x > 2, x < −2 x >2 x 2 > 4
а)
5 − < x < 3 3 x > 2, x < −2
x 75
-2
5 − 3
2
3
2< x 7 решений нет. При р ≤ 7 решения есть. x≤5 в)
x > p
При р ≥ 5 решений нет. При р ≤5 решения есть.
76
6
р
5
x р
x р
x ≤ p г) x ≥ 2 При р ≥ 2 решения есть. При р < 2 решений нет.
x p
2
p
86. x > 3 x > p ;
а) р = 5; б) Таких р нет. в) р ≤ 3. Ответ в задачнике не верен. г) Таких р нет. 87.
( p − 2)x 2 − ( p − 4)x + (3 p − 2) > 0 а) 1. Неравенство не имеет решений, если первый (старший) коэффициент отрицателен и дискриминант меньше либо равен 0. 2. Оно также может не иметь решений, если и первый и второй коэффициент равны 0, а свободный член меньше либо равен 0. p − 2 < 0 ⇔ 2 ( p − 4 ) − 4( p − 2)(3 p − 2 ) ≤ 0
1.
p − 2 < 0 2 2 p − 8 p + 16 − 12 p + 16 p − 16 ≤ 0
p < 2 p < 2 p p − 8 ≥ 0 2 − 11 + 8 ≤ 0 p p 11
x 0
p < 2 8 ≤ p 8 , 11
p −2 > 0 2 − 11 p + 8 p < 0
1.
p2 p − 2 = 0
2. p − 4 = 0
Решений нет.
3 p − 2 > 0
Итак, p > 2. Ответы решебника неверны.
§ 4. Домашняя контрольная работа ВАРИАНТ 1.
4 − 27 − 15 < 3 2 x 2 3 18 1. 5 x < 3 + , x = −3 , − 15 < 3 − , 9 2 − 15 < − 23 - верно. 9 2 6
Является. 6 2 − 3x , ≤ 7 14 70 x + 12 − 2 + 3 x ≤ 0, 14 3. 2 x + 4 ≤ 7 ,
2. 5 x +
73 x + 10 10 ≤ 0, x ≤ − . 14 73
− 7 ≤ 2 x + 4 ≤ 7, − 11 ≤ 2 x ≤ 3, −
11 3 ≤x≤ ; 2 2
4. Выражение определено, если D = 1 + 15 = 16; 4 −1 + 4 3 −1− 4 x1 = = ; x2 = = −1; 5 5 5 3 3 5 x − (x + 1) ≥ 0, x − (x + 1) ≥ 0 5 5 3 x ≥ , x ≤ −1. 5
5 x 2 + 2 x − 3 ≥ 0,
5.
+
–
+
–1
x
3 5
x 2 + 2,5 x − 18 x 2 + 2,5 x − 18 − 1,5 x + 6 x 2 + x − 12 > 1, > 0, >0 1,5 x − 6 1,5 x − 6 1,5(x − 4)
по теореме Виета: x1 = 3 x1 = −4
78
–
+
–4
–
3
+
4
x
(x − 3)(x + 4) > 0
x−4 x > 4, − 4 < x < 3 6. а) f (x ) > 0 2
1 3 9 x − ⋅ 2 x + (x − 5) (3x − 1) (2 x + 3)(5 − x ) > 0, 3 2 < 0, x(x − 1) x(x − 1) 2
2
1 3 x − ⋅ x + ( x − 5 ) 3 2 0 4 2 20 − 4 x ≤ 5 x − x
x >0 x > 0 4 2 x − 9 x + 20 ≤ 0 (x − 5)(x − 4 ) ≤ 0
по теореме Виета:
+
x1 = 5 x1 = 4
x > 0 4 ≤ x ≤ 5 4≤ x≤5
x 0
4
–
4
+
x
5
5
−5 + 9 2 x 2 + 5 x − 7 > 0 x1 = =1 4 D = 25 + 56 = 81 8. 3 x − 4 7 −5−9 2x + 6 ≤ 1 x2 = =− 4 2 7 2(x − 1) x + > 0 2 3x − 4 − 2 x − 6 ≤ 0 2x + 6 7 x > 1, x < − 2 x − 10 ≤0 2(x + 3) 7 x > 1, x < − 2 − 3 < x ≤ 10 1 < x ≤ 10.
80
+
–
− +
x
+
x
1
7 2 –
–3
+
10 x
−7 2
–3
1
10
5 + 3x ≤ −1 4 −12 ≤ 5 + 3x ≤ −4 17 − ≤ x ≤ −3 3 2 x − 11 19 − 2 x + < 2x 2 10. 4 2 x + 15 > 1 (x − 1) + x 9 5 3
9. − 3 ≤
−10 x + 27 27 4 − 14 x + 84 14 x < 84 >0 45 2,7 < x < 6
2 x − 11 + 38 − 4 x − 8 x 0 45 27 x > = 2,7 10 x < 6
Целые 3, 4, 5. ВАРИАНТ 2. 3 ⋅ 0,5 + 7,8 1. ≥ 2 ⋅ 0,5; 2 12,3 ≥ 2 — верно.
3 x + 7,8 4,5 + 7,8 ≥ 2 x; x = 0,5 ; ≥1; 2 2
Является. 11x + 8 8 4 − 5x x x + 16 − 8 + 10 x ≥ 0, ≥ 0, 8 + 11x ≥ 0, x ≥ − ≤ 2+ ; 4 8 8 8 11 3. 4 − 3x ≥ 6
2.
4 − 3x ≥ 6, 4 − 3x ≤ −6 3x ≤ −2, 3x ≥ 10 2 10 x≤− , x≥ . 3 3
4. Выражение определено, если 8 x − 15 x 2 − 1 ≥ 0; 15 x 2 − 8 x + 1 ≤ 0 D = 16 − 15 = 1 4 4 +1 1 4 −1 1 x1 = = ; x2 = = 15 3 15 5 1 1 15 x − x − ≤ 0 3 5 1 1 ≤x≤ 5 3
5.
+
–
1 5
+
x
1 3
x2 − 2 x − 8 x 2 − 4,5 x − 3 x 2 − 4,5 x − 3 + 2,5 x − 5 ≤1; ≤0; ≥ 0, 5 − 2,5 x − 2,5(x − 2 ) x−2 81
по теореме Виета: x1 = 4 x2 = −2
x−2 −2 ≤ x < 2,
6. а) f (x ) > 0
+
–
(x − 4)(x + 2) ≥ 0
−2
– 2
+
х
4
x≥4 2
3 1 x − ⋅ x + (x − 3) 2 3 0; x(2 − x ) 2
+
–
−
+
+
0
1 3
–
2
3 2
+
x
3
1 < x < 0, 2 < x < 3 3 б) f (x ) ≥ 0 −
2
3 1 x − ⋅ x + (x − 3) (2 x − 3)2 (3x + 1)(x − 3) ≥ 0; 2 3 ≤0 x(2 − x ) x(x − 2 ) +
2 < x ≤ 3, −
в) f (x ) < 0
1 ≤x0 x(2 − x ) x (x − 2 ) 2
+
–
−
1 3
+
0
+
3 2
3 3 1 < x < 2, 0 < x < , x < − 2 2 3 г) f (x ) ≤ 0 x > 3,
82
–
2
+
3
x
x
x− (2 x − 3) (3x + 1)(x − 3) ≤ 0; x(2 − x ) 2
+
–
−
1 3
2
3 1 ⋅ x + (x − 3) 2 3 ≥0 x(x − 2 ) +
0
+
3 2
–
+
2
x
3
1 x ≤ - , 0 < x < 2, x ≥ 3. 3 5 − 2 x 3x + 5 9 x + 15 + 6 − 10 + 4 x ≤ +1 ≥0 7. 3 2 6 2 2 4 x ≥ 2(x − 4 ) + x x + 2x − 8 − 4x ≤ 0 13x + 11 ≥0 6 x 2 − 2x − 8 ≤ 0 x1 = 4 x 2 = −2
+
–
–2
+
x
4
13x + 11 ≥ 0 (x − 4 )(x + 2) ≤ 0 11 x ≥ − 13 − 2 ≤ x ≤ 4 11 − ≤x≤4 13
x –2
−11 13
3 x 2 − 7 x − 10 ≤ 0 D = 49 + 120 = 169 = 13 2 > 3 2 − 3x 7 + 13 10 x1 = = 6 3 7 − 13 x2 = = −1 6 10 10 3 x − (x + 1) ≤ 0 − 1 ≤ x ≤ + – 3 3 11x − 7 2x −1 − 6 + 9x > 0 >0 − 1(3x − 2 ) –1 2 − 3x
4
8. 2 x − 1
+
x
10 3
83
10 − 1 ≤ x ≤ 3 7 x− 11 >0 x− 2 3 7 2 <x< 11 3
10 −1 ≤ x ≤ 3 7 2 <x< 11 3
+
–
7 11
+
x
2 3
x −1
17 2 10 11 3 3 4x − 7 9. 2 ≤ ≤4 5 10 ≤ 4 x − 7 ≤ 20 17 ≤ 4 x ≤ 27 17 27 ≤x≤ 4 4 x+5 x −1 2x + 3 x − + < 2− , 2 3 6 2 10. 1 − x + 5 + 4 − x < 3 x − x + 1 8 2 4
3x − 3 − 4 x − 6 + x − 12 + 3x + 15 0, х>5, х 0 x > −2 4x + 6
4 x + 6 ≥ 0 б) у= ; 3 x + 4 3 x + 4 > 0 в) y =
г) у=
3 x ≥ − 2 4 х>− ; 4 3 x > − 3
x + 1 x + 1 ≥ 0 x ≥ −1 х≥−1; x + 3 x + 3 > 0 x > −3 5 5 − 3 x 5 − 3 x ≥ 0 5 3 x ≤ 5 x ≤ 4 x + 8 > 0 ⇔ 4 x > −8 3 −2 −2
214.
а) у=
2− x 3x + 2
+ −
134
+
– 2 3
2
х
x−2 2− x 2 ≤0; − <x≤2 ≥0; 2 3 3x + 2 x+ 3
3x + 6 б) у= 2x + 1 x+2 3x + 6 1 ≥0; х>− , х≤−2 ≥0; 1 2 2x + 1 x+
+ –2
2
+
1 2x + 1 2x + 1 2 ≥0 ; ≥0; x+3 x+3 x+3 x+
в) у= х≥−
– −
1 , х−3; x+3
а) у=
4x + 5
1 ; 2−4х>0; х< ; 2 2 − 4x x +1 г) у= ; 4−х>0; х 0
3x − 4
4 x ≥ 3 x2 > 1
4 4 x ≥ х≥ ; 3 3 x > 1, x < −1
1
–1 х
–3
–2
б) у=
2
4 3
x2 − 4 x+3
x − 4 ≥ 0 x2 ≥ 4 x + 3 > 0 x > −3 2
| x |≥ 2 x ≥ 2, x ≤ −2 −3<x≤−2, x≥2; x > −3 x > −3 в) у=
х –4
–3
2x + 6 16 − x 2
2 x + 6 ≥ 0 x ≥ −3 2 16 − x > 0 | x |< 4
4
x ≥ −3 − 4 < x < 4 −3≤х 0 x > 2
5
3 2
2 x 2 − 50
x ≥ 5, x ≤ −5 х≥5. x > 3 2
226.
+
+
– –1
х
а) у=
2
x 2 − 36 x2 − x − 2
х 138
–6
–1
2
6
x 2 − 36 ≥ 0 2 x − x − 2 > 0
| x |≥ 6 ( x − 2)( x + 1) > 0 x ≥ 6, x ≤ −6 x > 2, x < −1 х≥6, х≤−6;
+
х
+
–
б) у=
5
1
по теореме Виета: х1=5, х2=+1 ( x − 1)( x − 5) ≥ 0 x ≤ 1, x ≥ 5 | x |< 5 − 5 < x < 5
x2 − 6x + 5 25 − x 2
x 2 − 6 x + 5 ≥ 0 ; 25 − x 2 > 0
х –5
1
5
−5<x≤1; в) у=
x2 − 4
+
6 − x − x2
x 2 − 4 ≥ 0 x 2 ≥ 4 2 6 − x − x > 0 x 2 + x − 6 < 0 по теореме Виета: х1=2, х2=−3 | x |≥ 2 x ≥ 2, x ≤ −2 ( x − 2)( x + 3) < 0 − 3 < x < 2 −3<x≤−2;
г) у=
x2 + 7 x − 8
9 − x2 по теореме Виета: х1=1, х2=−8 ( x − 1)( x + 8) ≥ 0 | x |< 3
2
–3
х –3
x 2 + 7 x − 8 ≥ 0 ; 9 − x 2 > 0
x ≥ 1, x ≤ −8 − 3 < x < 3 1≤х−2. 3 x+2 Опечатка в ответе задачника. x+
в) f(x)=
+
– −
–2
7 3
x − 2 ≥ 0 ; 2 x − 5x + 4 x − 5x + 4 ≠ 0 x−2
2
x ≥ 2 по теореме Виета: х1=4, х2=1; ; 2≤х≤4, х>4; x ≠ 1, x ≠ 4 x−2 x−2 ; ≥0 5 − 2x 5 − 2x x−2 5 ≤0; 2≤х< . 5 2 x− 2
г) f(x)=
+
+
–
х
5 2
2
228.
а) f(x)=
б) f(x)=
1 2 x + 1 ≥ 0 x ≥ − ; 2 ; х>3; x − 3 x − 3 > 0 x > 3
2x + 1
3x + 1 3x + 1 ; ≥0 7x − 4 7x − 4
+
1 x+ 3 ≥0; х> 4 , x≤− 1 ; 4 7 3 x− 7
в) f(x)=
2x + 1 2x + 1 ; ≥0 x−3 x−3
1 2 ≥0; х>3, х≤− 1 ; 2 x−3
x+
г)
140
f(x)=
3x + 1 7x − 4
;
3 x + 1 ≥ 0 7 x − 4 > 0
– −
– −
1 2
х
+
х
4 7
1 3
+
+
3
х
1 x≥− 3 х> 4 . 4 7 x > 7 229.
а) у= x − 1 ⋅ 9 − x ⋅ ( x − 5)( x − 7) ; б) у= в) у= г) у=
x − 2 ⋅ 10 − x ⋅ ( x − 3)( x − 6) ; x−3 1 ; x + 2 ⋅ 2 − x ⋅ x2 − 1 x − 4 ⋅ ( x + 2)( x − 1) x + 5 ⋅ ( x + 2)
.
230. x, если x ≤ 0 у=f(x)= x 2 , если 0 < x < 2 4, если 2 ≤ x ≤ 4 а) D(f)=(−∞; 4]; б) f(−2)=−2; f(0)=0, f(2)=4, f(4)=4, f(8) − не существует; в)
г) Е(f)=(−∞; 4]. 231. 2 x 2 − 4 x + 1, если x ≤ 2 у=f(x)= − 3( x − 2) 2 + 1, если 2 < x ≤ 3 а) D(f)=(−∞; 3]; б) f(0)=1, f(2)=1, f(3)=−2, f(4), f(5) − не существует; в)
141
г) Е(f)=[−2; +∞). 232. x + 1, если − 3 ≤ x ≤ 0 у=f(x)= x 2 − 4 x + 1, если 0 < x ≤ 2 2 , если x > 2 x а) D(f)=[−3; +∞);
б) f(−5) − не существует; f(−2)=−1, f(0)=1, f(2)=−3, f(4)= в)
г) Е(f)=[−3; 1]. 233.
142
1 ; 2
234.
§ 10. Способы задания функций 235. а) Да, является. в) Да, является.
б) Да, является. На горизонтальной оси стоит у. г) Нет, не является.
236. б), в) и г). 237. а) Является, у=х+2; б) да, является. у=2|x|−2; | x−2|−| x+2| в) нет, не является; г) да, является. у= . 2 238. а) Задает. у=х2.
б) Не задает.
в) Задает. у= x + 4 .
г) Задает. у=−(х+2)2+4=−х2−4х.
239. а) f(x)=−2x−2; (опечатка в ответе задачника) б) f(x)=(х+2)2−2=х2+4х+2; 3 в) f(x)= х+2; (опечатка в ответе задачника) 2 г) f(x)=−(х−2)2+4=−х2+4х. 240.
а) f(x)=
2 ; x
б) f(x)=− x + 5 +2; в) f(x)= x + 2 −1; (опечатка в ответе задачника) 3 г) у=− . (опечатка в ответе задачника) x
143
241. а) S(1)=90 (км); S(2,5)=225 (км); S(4)=360 (км); б) 1800=90t; t=20 (ч); в) 15 мин.=0,25 ч. S=90⋅0,25=22,5 (км); г) 450 м=0,45 км; t=0,005 ч. 242.
а) t(36)=3; t(2,7)= б)
9 ; t(144)=12; 40
S =4,5; S=54; 12
0,15 0,05 5 = = ч.; 12 4 400 3 3 3 S 3 г) 45 с= мин.= ч. = . S= =0,15 (км)=150 м. 4 240 240 12 20
в) 150 м=0,15 км; t(0,15)=
243. а) −х2 +4=(х−2)2 Строим график правой и левой части.
Абсциссы точек пересечения: 0; 2. Решения: 0; 2. б) Строим график обеих частей.
Абсциссы точек пересечения: 0; 3. в) х2−4=−(х+2)2
Абсциссы точек пересечения: 0; −2. 144
г) х2−3= x − 1
Абсциссы точек пересечения: 2. 244. а) S(1)=6; S(2,5)=22,5; S(4)=48;
б) 240=2t2+4t; t2+2t−120=0; D = 4 − 4 ⋅ 1(−120) = 222 −2 + 22 −2 − 2 =10; t2= =−12 – не подходит по смыслу задачи. t1= 2 2 Итак, t = 10 (ч.) 1 3 3 18 9 в) 45 мин.=0,75 ч.= ч. S=2⋅ +4⋅ = +3=4 (км); 4 16 4 16 8 г) 350 м=0,35 км; 2t2+4t=0,35; 2t2+4t−0,35=0 D =4+0,7=4,7 4 t1=
− 2 + 4,7 − 2 − 4,7 (ч.); t2= (ч.) – не подходит по смыслу. 2 2
245. 1 3V 3V Sh; S= ; h= ; h S 3 1 2,8 3 б) V= ⋅2⋅1,4= м; 3 3 3 ⋅ 0,045 3 ⋅ 0,45 1,35 2 = = м; в) 45 дм3=0,045 м3; S= 0,4 4 4 3⋅5 =60. (м). г) 2500 см2=0,25 м2; h= 0,25
а) V=
246. а) у=2х2−1;
б) у=−3 (х+1)2;
247. а) f(1)=1; б) f(8)=2; Опечатка в ответе задачника.
в) у=−3х2+4;
г) у=3(х−2)2.
в) f(5)=2;
г) f(12)=3.
145
248. а) f(73)=9. Опечатка в ответе задачника. б) f(−6)=6; в) f(−3)=9; г) f(12)=4. 249. Область значений − множество {0, 1, 4, 5, 6, 9}, вследствие того, что квадраты целых чисел оканчиваются всегда на одну из этих цифр. 250.
4, если x ≤ −5 2 а) у= f(х)= ( x + 3) , если − 5 < x < −2 x + 3, если x ≥ −2
Опечатка в ответе задачника. ( x + 2)2 + 1, если -4 ≤ x ≤ −1 . б) у= f(х)= 2 | x |, если − 1 < x < 1 x − 1 + 2, если x ≥ 1 251.
252. а)
146
б)
§ 11. Свойства функций 253.
а) f(x)=у=5х. Возьмем произвольные х1, х2, такие что х1 0, cos 2 < 0 , значит наше выражение имеет знак "+". 7π 3π в) sin , − ctg 10 5 7π 3π sin > 0, ctg < 0 , значит выражение имеет знак "+". 10 5 г) sin 2 − ctg 5,5 sin 2 > 0, ctg 5,5 < 0, значит выражение имеет знак
"+". 607.
а) sin1 ⋅ cos 2 ⋅ tg 3 ⋅ ctg 4 sin1 > 0, cos 2 < 0, tg 3 < 0, ctg4 > 0. Выражение имеет знак "+". б) sin(−5) ⋅ cos(−6) ⋅ tg(−7) ⋅ ctg(−8), sin(−5) > 0, cos(−6) > 0, tg(−7) < 0, ctg(−8) > 0. Выражение имеет знак "−". 608.
40 sin t = 10 . π 5π 1 + 2πk , k ∈ Z. sin t = ; t = + 2πk , k ∈ Z. t = 6 6 2
а)
б) 2 sin t − 3 = 0 sin t =
3 π 2π ; t = + 2πk , k ∈ Z. t = + 2πk , k ∈ Z. 3 3 2
в) 6 sin t + 27 = 0 . 6 sin t = −3 3 ; sin t = −
г) 2sin t + 1 = 0 240
3 π 2π ; t = − + 2πk , k ∈ Z. t = − + 2πk , k ∈ Z. 3 2 3
sin t = −
π 5π 1 ; t = − + 2πk , k ∈ Z.; t = − + 2πk , k ∈ Z. 6 6 2
609.
50 cos t = 5 1 π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z. cos t = 4 2
а)
б) 2 cos t + 3 = 0 cos t = −
3 5π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z. 6 2
в) 4 cos = 12 3 π ; t = ± + 2πk , k ∈ Z. 6 2
cos t =
г) 2 cos t − 1 = 0. cos t =
π 1 ; t = ± + 2πk , k ∈ Z. 3 2
§ 24. Тригонометрические функции числового аргумента 610.
а) 1 − sin2 t = cos2 t. в) 1 − cos2t = sin2t.
б) cos2t − 1 = − sin 2t. г) sin2t − 1 = − cos2t.
611.
а) (1 − sin t )(1 + sin t) = 1 − sin2t = cos2t. б) cos2t + (1 − sin2t) = 2cos2t. в) (1 − cos t )(1 + cos t) = 1 − cos2t = sin2t. г) sin2t + 2cos2t − 1 =1+cos2t − 1 = cos2t. 612.
а) sin2t + cos2t + 1 = 2. б) 1 − sin2t + cos2t = 2cos2t. в) cos2t − (1 − 2sin2t) = cos2t + sin2t − 1 + sin2t = sin2t. г) 1 − (cos2t − sin2t) = sin2t + sin2t = 2sin2t. 613.
а) б)
1 cos 2 t
−1 =
1 − sin 2 t 2
cos t
=
1 − cos 2 t cos 2 t cos 2 t cos 2 t
= tg 2 t .
=1, t ≠
π + πk , k ∈ Z. 2
241
в) 1 − г)
1 2
sin t
1 − cos 2 t 1 − sin 2 t
=
sin 2 t − 1
=
2
sin t sin 2 t cos 2 t
=−
cos 2 t sin 2 t
= −ctg 2 t
= tg 2 t .
614. π sin t = sin t, t ≠ + πk , k ∈ Z. 2 cos t π б) sin t + cos t ⋅ tg t = sin t + sin t = 2 sin t , t ≠ + πk , k ∈ Z. 2 cos t в) sin t ⋅ ctg t = sin t ⋅ = cos t , t ≠ πk , k ∈ Z. sin t г) 2 sin t ⋅ ctg t + cos t = 3 cos t , t ≠ πk , k ∈ Z.
а) cost ⋅ tg t = cost ⋅
615.
а) sin t ⋅ cos t ⋅ ctg t − 1 = sin t ⋅
cos 2 t − 1 = cos 2 t − 1 = − sin 2 t , sin t
t ≠ πk , k ∈ Z.
б) sin 2 t + cos 2 t + tg 2 t = 1 + tg 2 t = 1 +
sin 2 t
1
=
.
cos 2 t πk в) sin 2 t − tg t ⋅ ctg t = sin 2 t − 1 = − cos 2 t , t ≠ , k ∈ Z. 2
г) tg t ⋅ ctg t + ctg 2 t = 1 + ctg 2 t =
2
cos t
sin 2 t + cos 2 t sin 2 t
t ≠ πk , k ∈ Z. 616. π < t < π , то есть cos t < 0, 2 3 cos t = − 1 − sin 2 t = − , 5 sin t 4 cos t 3 tg t = = − ; ctg t = =− . cos t 3 sin t 4 5 π б) sin t = , 0 < t < , то есть cos t > 0, 13 2 12 , cos t = 1 − sin 2 t = 13 sin t 5 cos t 12 ; ctg t = . tg t = = = cos t 12 sin t 5 4 5
а) sin t = ,
242
=
1 sin 2 t
,
в) sin t = −0,6; −
π < t < 0 , то есть cos t > 0, 2
cos t = 1 − sin 2 t = 0,8 , 3 4 tg t = − ; ctg t = − . 4 3
г) sin t = −0,28 ; π < t
0 13 2 12 sin t = 1 − cos 2 t = 13 sin t 12 5 tg t = = − ; ctg t = − . cos t 5 12 3π в) cos t = 0,6 , < t < 2π , то есть sin t < 0, 2 sin t = − 1 − cos 2 t = −0,8 , sin t −0,8 4 3 tg t = = = − ; ctg t = − . Ошибка в ответе задачника. cos t 0,6 3 4 24 3π г) cos t = − , π < t < , то есть sin t < 0 25 2 7 , sin t = − 1 − cos 2 t = − 25 7 24 tg t = ; ctg t = . 24 7 618.
а) tg t =
3 π , 0 < t < , то есть cos t > 0. 4 2
243
1
cos 2 t =
; cos t =
1 + tg 2 t
1 1 + tg 2 t
=
4 ; 5
3 4 ; ctg t = . 5 3 3π б) tg t = 2,4 , π < t < , то есть cos t < 0, 2
sin t = tg t ⋅ cos t =
1
cos t = −
1 + tg t
1
cos t = −
=−
1 + tg 2 t 1 3
г) tg t = − ,
5 12 5 ; sin t = tg t ⋅ cos t = − ; ctg t = . 13 13 12
π < t < π , то есть cos t < 0. 2
3 4
в) tg t = − ,
cos t =
=−
2
4 3 4 ; sin t = tg t ⋅ cos t = ; ctg t = − . 5 5 3
3π < t < 2π , то есть cos t > 0. 2
1
3
=
1 + tg 2 t
10
; sin t = tg t ⋅ cos t = −
1 10
; ctg t = −3.
619.
а) ctg t =
1
sin t = −
1 + ctg t
1 2
1 + ctg t
244
24 7 24 ; cos t = ctg t ⋅ sin t = ; tg t= . 25 25 7
=
5 3π , < t < 2π , то есть sin t < 0, 12 2 1
1 + ctg 2 t
г) ctg t = − sin t =
5 12 5 ; cos t = ctg t ⋅ sin t = − ; tg t = . 13 13 12
7 π , 0 < t < , то есть sin t > 0, 24 2
в) ctg t = − sin t = −
=−
2
б) ctg t = sin t =
12 3π ,π 0, 15 2 1
1 + ctg 2 t
=
15 8 15 ; cos t = sin t ⋅ ctg t = − ; tg t = − . 17 17 8
620.
а) (sin t + cos t)2 − 2sin t cos t = = sin2t + cos2t + 2sin t cos t − 2sin t cos t = 1. б)
2 − sin 2 t − cos 2 t 3 sin 2 t + 3 cos 2 t
=
2 −1 1 = . 3 3
в) sin4t + cos4t + 2sin2t cos2t = (sin2t + cos2t)2 = 1. г)
sin 4 t − cos 4 t 2
2
=
(sin 2 t − cos 2 t )(sin 2 t + cos 2 t ) sin 2 t − cos 2 t
sin t − cos t π πk , k ∈ Z. t≠ + 4 2
=1,
621.
а) (sin t + cos t)2 + (sin t − cos t)2 = = sin2 t + cos2 t + 2sin t cos t + sin2t + cos2t − 2sin t cos t = 2. б) (tg t + ctg t)2 − (tg t − ctg t)2 = = tg2t + ctg2t + 2 − tg2t − ctg2t + 2 = 4. sin t cos t + = cos t sin t
в) sin t cos t ⋅ (tg t + ctg t) = sin t cos t = sin t cos t
sin 2 t + cos 2 t πk =1, t ≠ , k ∈ Z. sin t cos t 2
г) sin2t cos2t (tg2t + ctg2t + 2) = sin2t cos2t (tg t + ctg t)2 = 2
sin 2 t + cos 2 t = 1, t ≠ πk , k ∈ Z. = sin t cos t cos t sin t 2 2
2
622. 2 sin t 2 sin t sin t sin t (1 − cos t + 1 + cos t ) а) + = = = . 1 + cos t 1 − cos t sin 2 t sin t 1 − cos 2 t
б) (1 + tg t)2 + (1 − tg t)2 = 1 + tg2 t + 2 tg t + 1 + tg2 t − 2tg t = = 2(tg2 t + 1) =
2
.
cos 2 t cos t cos t cos t (1 − sin t + 1 + sin t ) 2 cos t 2 в) + = = = . 1 + sin t 1 − sin t cos t 1 − sin 2 t cos 2
г) (1 + ctg t)2 + (1 − ctg t)2 = 1 + ctg2t + 2ctg t + 1 + ctg2t − 2 ctg t = = 2(ctg2t + 1) =
2 sin 2 t
.
623.
а)
1 − sin 2 t 1 − cos 2 t
+ tg t ⋅ ctg t =
cos 2 t sin 2 t
+1 =
1 sin 2 t
. 245
б) ctg t + в)
1 sin t cos t sin t sin 2 t + cos t + cos 2 t = + = = . 1 + cos t sin t 1 + cos t sin t (1 + cos t ) sin t
cos 2 t − 1 2
sin t − 1
+ tg t ⋅ ctg t =
− sin 2 t 2
− cos t
+1 =
1 cos 2 t
.
cos t sin t cos t sin t + sin 2 t + cos 2 t = + = = 1 + sin t cos t 1 + sin t cos t (1 + sin t ) 1 + sin t 1 . = = cos t (1 + sin t ) cos t
г) tg t +
624. sin t sin t sin t (1 − cos t + 1 + cos t ) 2 sin t 2 + = = = . 1 + cos t 1 − cos t 1 − cos 2 t sin 2 t sin t
а) −16. б) 2 3 . 625.
1 − cos 2 t sin 2 t = = sin t = sin (t + 4π ) . sin t sin t cos t б) ctg t ⋅ sin t = ⋅ sin t = cos t = cos(t − 2π ) . sin t sin t в) tg t ⋅ cos(t + 6π) = ⋅ cos t = sin t = sin (t + 2π ) . cos t
а)
г) sin 2 (t + 4π) + cos 2 (t + 2π) − sin 2 (t − 2π) − cos 2 (t − 8π) = = sin 2 t + cos 2 t − sin 2 t − cos 2 t = 0 . 626. tg t tg t tg t а) = = = 2 sint cos t tg t + ctg t sin t + cos 2 t + cost sin t cos t sin t sin t = ⋅ cos t ⋅ sin t = sin 2 t . cos t 1 + tgt 1 + tg t tgt + 1 б) = tg t . = 1 + ctg t tgt
в)
cos t ctg t ctg t ctg t = = = ⋅ cos t ⋅ sin t = cos 2 t . 2 2 sin t cos t tg t + ctg t sin t sin t + cos t + cos t sin t cos t ⋅ sin t
246
1 − ctg t г) = 1 − tg t
sin t − cos t cos t cos t sin t sin t = =− = −ctg t . cos t − sin t sin t sin t 1− cos t cos t 1−
627. sin (4π + t ) =
3 π , 0 < t < , то есть cos t > 0, 5 2
3 3 sin t sin (4π + t ) tg (π − t ) = tg (− t ) = −tg t = − =− = − 5 =− . 4 cos t 2 4 1 − sin (4π + t ) 5
628. 12 3π , < t < 2π , то есть sin t < 0, 13 2 cos t cos(−t ) ctg (π − t ) = ctg (− t ) = −ctg t = − =− = sin t sin t 12 cos(2π − t ) 12 13 =− =− =+ . 2 5 144 − 1 − cos (2π − t ) − 1− 169
cos(2π − t ) =
629. 5 , 8,5 < t < 9π, то есть sin t > 0, 13 12 sin (− t ) = − sin t = − 1 − cos 2 t = − . 13 cos t = −
630. 4 9π < t < 5π , то есть cos t < 0. sin t = , 5 2
cos(− t ) + sin (− t ) = cos t − sin t = − 1 − sin 2 t − sin t = −
3 4 7 − =− . 5 5 5
§ 25. Тригонометрические функции углового аргумента 631. 11π 2π а) . б) . 9 3 5π 1 в) . г) 4 π . 4 3
247
632. 5π 7π а) . б) . 6 6 11π 11π в) . г) . 6 3 633. 128π 43π а) . б) . 45 36 35π 171π в) . г) . 18 36 634.
а) 135°. б) 660° . в) 216°. г) 920°. 635.
а) 480°. б) 315°. в) 324°. г) 555°. 636.
а) 300°. б) 675°. в) 375°. г) 280°. 637.
а) sin α б) sin α в) sin α г) sin α
= 1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0. = 1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0. = 0; cos α = 1; tg α = 0; ctg α − не существует. = −1; cos α = 0; tg α − не существует ; ctg α = 0.
638.
а) sin α =
2 2 ; cos α = − ; tg α = −1; ctg α = −1. 2 2
б) sin α = −
2 2 ; cos α = ; tg α = −1; ctg α = −1. 2 2
в) sin α = −
2 2 ; cos α = ; tg α = −1; ctg α = −1. 2 2
г) sin α =
2 2 ; cos α = − ; tg α = −1; ctg α = −1. 2 2
639.
а) sin α = −
3 1 1 ; cos α = ; tg α = − ; ctg α = − 3 . 2 2 3
б) sin α = −
1 3 1 ; cos α = − ; tg α = ; ctg α = 2 2 3
248
3.
в) sin α = −
3 1 1 ; cos α = ; tg α = − ; ctg α = − 3 . 2 2 3
г) sin α = −
1 3 1 ; cos α = − ; tg α = ; ctg α = 2 2 3
3.
640.
а) sin α =
1 3 1 ; cos α = − ; tg α = − 3 ; ctg α = − . 2 2 3
б) sin α =
3 1 1 ; cos α = − ; tg α = − 3 ; ctg α = − . 2 2 3
в) sin α = −
1 1 3 ; cos α = ; tg α = − 3 ; ctg α = − . 2 2 3
г) sin α = −
1 1 3 ; cos α = ; tg α = − 3 ; ctg α = − . 2 2 3
641.
а) х = 5 sin α .
б) x = 4 cos α .
3 . в) x = cos α
г) x =
1 = ctgα . tgα
642. 2 2 . = 4 . б) x = 1 ⋅ sin 45 = sin 30 2 2 4 5 = . г) x = 5 ⋅ cos 60 = . в) x = sin 60 2 3
а) x =
643.
3 1 = 6 3 , b = c cos α = 12 ⋅ = 6 . 2 2 ab 1 Площадь: S = = 18 3 , r = c = 6 . 2 2
а) Катеты: a = c sin α = 12 ⋅
б) Катеты: a = c sin α = 6 ⋅ Площадь: S =
2 2 = 3 2 , b = c cos α = 6 ⋅ =3 2 . 2 2
ab =9. 2 1 2
Радиус описанной окружности r = c = 3 .
249
в) Катеты: a = c sin α = 4 ⋅ Площадь: S =
1 3 =2 3 . = 2 . b = c cos α = 4 ⋅ 2 2
ab =2 3. 2 1 2
Радиус описаной окружности r = c = 2 г) Катеты: a = c sin α = 60 ⋅ Площадь: S =
3 1 = 30 3 . b = c cos α = 60 ⋅ = 30 . 2 2
ab = 450 3 . 2 1 2
Радиус описаной окружности r = c = 30 . 644.
sin 160, sin 40, sin 120, sin 80. 645.
cos 160, cos 120, cos 80, cos 40. 646.
sin 570, sin 210, cos 70, sin 110. 647.
∆АВС − прямоугольный (т.к. он вписан в окружность и одна его сторона является диаметром). Тогда АВ = АС cosα = 2R cos α . 648.
Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, диагонали АС и BD разбивают этот четырехугольник на четыре треугольника: ∆АВО, ∆ВСО, ∆CDO и ∆DAO, где О — точка пересечения диагоналей АС и BD. Пусть α — угол между диагоналями, т.е. ∠СОВ = ∠AOD = α (как вертикальные). 1 1 AO ⋅ OB ⋅ sin(180° – α) = AO ⋅ OB ⋅ sinα; 2 2 1 S∆BCO = BO ⋅ OC ⋅ sinα; 2 1 1 S∆CDO = CO ⋅ OD ⋅ sin(180° – α) = CO ⋅ OD ⋅ sinα; 2 2 1 S∆DAO = AO ⋅ OD ⋅ sinα; 2
S∆ABO =
SABCD = S∆ABO + S∆BCO + S∆CDO + S∆DAO = 250
1 sinα(AO ⋅ OB + BO ⋅ OC + CO ⋅ OD + AO ⋅ OD) = 2 1 = BD ⋅ AC ⋅ sinα (поскольку BO + OD = BD; AO + OC = AC). 2
=
Что и требовалось доказать. 649.
Из того, что сумма углов треугольника равна 180°, следует, что ∠В = 180° –∠А – ∠С = 180° – 45° – 30° = 105°. По теореме синусов имеем: AB AC BC 4 2 1 AB , откуда BC = ⋅ sin A = ⋅ = 8 (см). = = 1 sin C sin C sin B sin A 2
По теореме косинусов имеем: ВС2 = АВ2 + АС2 – 2 ⋅ АВ ⋅ АС ⋅ cosA; 1
64 = 32 + AC2 – 8 2 ⋅ AC ⋅ AC2 – 8AC – 32 = 0;
2
2
;
( )
2
D = 64 + 128 = 192 = 8 3 ; 8±8 3 , откуда АС = 4(1 + 3 ) (см). 2 1 1 1 S∆ABC = AC ⋅ BC ⋅ sin∠C = ⋅ 8 ⋅ 4((1 + 3 ) ⋅ = 8((1 + 3 ) (см2). 2 2 2 AC =
Ответ: АС = 4(1 + 3 ) см; S∆ABC = 8(1 + 3 ) см2.
§ 26. Функции y = sin x, y = cos x, их свойства и графики 650.
Боковая сторона данного треугольника, прилежащая к углу в 60°, равна
5 5 10 (см), а прилежащая к углу в 45° равна = = sin 60° 3 3 2
5 5 = = 5 2 (см). Угол при вершине треугольника, из 1 sin 45° 2
которой опущена высота, равен 180° – 45 ° – 60° = 75°. Следовательно, площадь треугольника равна:
251
25 2 (1 + 3 ) 25 3 ⋅ (1 + 3 ) 1 10 ⋅ ⋅ 5 2 ⋅ sin 75° = ⋅ = (см2). 6 2 3 3 2 2
Ответ:
25 3 ⋅ (1 + 3 ) см2. 6
651.
а) 0; б)
3 3 ; в) 0; г) − . 2 2
652.
π 6
а) y = 2 sin x − + 1 , x =
π 4
1 4π 4π , f =− . 3 3 2
π 2
π 2
б) y = − sin x + , x = − , f − =
1 y = 2 ⋅ − +1 = 0 2
2 . 2
653.
Точка принадлежит графику тогда и только тогда, когда ее координаты (х , у) удовлетворяют уравнению у = sin x. π 2
а) −1 = sin − − верно. Принадлежит. б)
1 π = sin − неверно. 2 2
Не принадлежит. в) 1 = sin π − неверно. Не принадлежит. г) −1 = sin
3π − верно. 2
Принадлежит. 654.
а)
б)
в)
252
г)
655.
а)
б)
в)
г)
656.
а)
б)
в)
253
г)
657.
а)
б)
в)
г)
658.
π 2
3 2 −3π 5π π ; г) ƒ − = = 0 ; в) ƒ = − 2 2 2 6 4
а) ƒ = 0 ; б) ƒ 659.
Точка (х, у) принадлежит графику тогда, кода y = cos x. π 2
а) −1 = cos − − неверно. Не принадлежит. б) − 254
5π 3 = cos − верно. Принадлежит. 6 2
в) −
1 2π − верно. Принадлежит. = cos 2 3
г) 1 = sin 2π − верно. Принадлежит. 660.
а)
б)
в)
г)
661.
а)
б)
в)
г)
255
662.
а)
б)
в)
г)
663.
а)
б)
в)
г) 256
664.
а)
б)
в)
г)
665.
а) sin x =
2 x, π
Решения: 0;
π π ; − . 2 2
б) cos x = x2 + 1.
Решение: 0. в) sin x = x + π.
257
Решение: x = −π. г) sin x = 3 −
4 x. π y 1 0
x
1
–3
Решение: x =
π . 2
666.
а) f (x ) = x 5 sin x Рассмотрим: f(−x) = (−x)5sin(−x) = x5sin x = f(x). Причем, D( f ) = (−∞; + ∞) . Функция четная. б) f (x ) =
sin 2 x
x 2 − cos x
Функция не определена в тех точках, где х2 = cos x. Очевидно, что корни этого уравнения симметричны относительно О. (т.к. если х − корень, то (−х) − тоже корень). Значит область определения симметрична относительно О. f (− x ) =
sin 2 (− x )
(− x )2 − cos(− x )
=
sin 2 (x )
x 2 − cos x
= f (x )
Функция четная. в) f (x ) =
cos 5 x + 1 , | x|
D( f ) = (−∞; 0)∪(0; + ∞) − симметрична относительно О. f (−x) =
cos(−5 x ) + 1 cos 5 x + 1 = = f (x ) , | −x | |x|
Функция четная. г) f (x) = sin2x − x4 + 3 cos 2 x . D ( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О. f (−x) = sin2(−x) − (−x)4 + 3cos (−2x) = sin2x − x4 + 3cos 2x = 0. 258
667.
а) f (x ) = x − sin x D ( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О. f (− x ) = − x + sin (− x ) = −(x + sin x ) = − f (x )
Функция нечетна. б) f (x ) = x 3 ⋅ sin x 2 D( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О. f (− x ) = (− x )3 ⋅ sin (− x )2 = − x 3 sin x = − f (x ) . Функция нечетна.
(
в) f (x ) =
x 2 sin x x2 − 9
)
,
D( f ) = (−∞; −3)∪(−3; 3)∪(3; + ∞) − симметрична относительно О. f (− x ) =
(− x )2 sin (− x ) = − x 2 sin x = − f (x ) . x2 − 9 (− x )2 − 9
Функция нечетна. г) f (x ) =
x 3 − sin x , 2 + cos x
D( f ) = (−∞; + ∞) − симметрична относительно О. f (− x ) =
(− x )3 − sin (− x ) = − x 3 − sin x = − f (x ) . 2 + cos(− x ) 2 + cos(− x )
Функция нечетна. 668.
f (x) = 2x2 − 3x − 2, −f(cos x)=− 2cos2x + 3cos x + 2 = 2(1 − cos2x) + 3cos x= = 2sin 2x + 3 cos x. 669.
f (x) = 5x2 + x + 4, f (cos x)=5cos2x + cos x + 4 = −5 (1 − cos2x) + cos x + 9= = −5 sin2x + cos x + 9. 670.
f (x) = 2x2 − 5x + 1, f (2 sin x)=2⋅4sin2x−10 sin x+1 = 8 sin2 x − 10 sin x + 1= = 8(sin2x−1)−10 sin x+9=−8 cos2 x−10 sin x+9=9 − 10 sin x − 8 (1 + tg2 x).
259
Домашняя контрольная работа. ВАРИАНТ № 1.
1. 9 6 ; б) . 5 5
а)
2. а) Третьей; б) Третьей. 3. 11π π ; − 6 6
4. sin
2π 2 1 6 π π cos ctg = ⋅− 3 = − . 4 3 6 2 2 4
5. sin
12 3π , cos ; Знак "+". 7 8
6.
(sin t + cos t )2
1 + 2 sin t cos t
=
=
(sin t + cos t )2 (sin t + cos t )2
(sin t + cos t )2 2
cos t + 2 sin t cos t + sin 2 t
=1, t ≠
=
3π + πk , k ∈ Z. 4
7.
(sin t + cos t )2 + (sin t − cos t )2 = sin 2 t + 2 sin t cos t + cos 2 t + + sin 2 t − 2 sin t cos t + cos 2 t = 2 .
8. sin t =
12 π , < t < π , то есть cos t < 0, 13 2
cos t = − 1 − sin 2 t = − 1 −
tg t =
9. а)
260
−12 −5 ; ctg t = . 5 12
144 − 5 , = 169 13
б)
10.
f (x ) = x 2 − 5 x + 4 f (cos x ) = cos 2 x − 5 cos x + 4 = cos 2 x − 1 − 5 cos x + 5 =
= 5 − 5 cos x − sin 2 x . ВАРИАНТ №2.
1. а)
π 7π ; б) . 8 8
2. а) Четвертой. б) Третьей. 3. 4π 2π ; − 3 3
4. sin
5π 3π 2 6 π 1 . cos 3=− ⋅ tg = ⋅ − 6 4 3 2 2 4
5. cos
15 11π 15 11π , sin ; cos < 0 , sin > 0 . Знак "−". 8 15 8 15
6.
(sin t − cos t )2 = (sin t − cos t )2 1 − 2 sin t cos t (sin t − cos t )2
=1, t ≠
π + 2πk , k ∈ Z. 4
7. Доказать: (sin t + cos t )2 − (sin t − cos t )2 = 4 sin t cos t , Доказательство:
(sin t + cos t )2 − (sin t − cos t )2 = 1 + 2 sin t cos t − 1 + 2 sin t cos t =
4 sin t cos t .
8. cos t = −
5 3π , π
