Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений» Ш.А. Алимов...
3 downloads
335 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Домашняя работа по алгебре за 9 класс к учебнику «Алгебра. Учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений» Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. — 6-е изд. — М.: «Просвещение», 2001 г.
учебно-практическое пособие
3
СОДЕРЖАНИЕ
Степень с рациональным показателем ........... 4 ГЛАВА IV. Элементы тригонометрии .......... 73 ГЛАВА V. Прогрессия .................................... 119
4
СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 62. 1) 23 + ( – 3)3 – ( – 2)2 + ( – 1)5 = 8 + ( – 27) – (4) + ( – 1) = – 24; 2) ( – 7)2 – ( – 4)3 – 34 = 49 – ( – 64) – 81 = 32; 3) 13 · 23 – 9 · 23 + 23 = 23 · (13 – 9 + 1) = 8 · 5 = 40; 4) 6 · ( – 2)3 – 5 · ( – 2)3 – ( – 2)3 = – 23 · (6 – 5 – 1) = 0 ⋅ ( – 23) = 0. 63. 1) 2) 3) 4)
7 2 ⋅ 715
715+ 2
=
713
713
53 ⋅ 510 ⋅ 5 2
8
a ⋅ a ⋅b
3
c 3 d 5c 9
=
10 7
c d
=
515+ 4
=
a9 ⋅ b2
713
510+3+1
=
54 ⋅ 515
717
=
a
2 +8
⋅b
3
a9 ⋅ b2
c12 10 2
c d
=
c2 d
2
= 74 ; 514 519 = =
=
a10b3 a 9b 2 c2 d2
5
1 = ; 5 5 5 1
= ab ;
.
64. 1) 1 – 5 =
1 5
1
= 1;
0
3) ( – 10) = 1;
2) 4 – 3 = 4) ( – 5)
1 3
4 –2
=
1 ; 64
= 1
=
2
5
1 ; 25
4 1 1 1 5) = 4 = ; 2 16 2
3 6) 7
−1
=
7 1 =2 . 3 3
65. 1) 3)
5
1 = = 4-5 ; 45 4 1
1 x7
1 x
2)
7
= = x – 7;
4)
1 213 1 a9
3
1 –3 = 21 ; 21
=
1 a
9
= = a – 9. 5
66. 10 3
−3
1)
33
=
27 −9 = 0,027 ; 2) 1000 11
=
3
10
1 5
3) (0,2) – 4 =
−4
=
112 9
=
2
1 2
= (5)4 = 625; 4) (0,5) – 5 =
1 ; 17
5) – ( – 17) – 1 =
−2
121 40 =1 ; 81 80
−5
= 25 = 32; 1
6) – ( – 13) – 2 = –
132
= −
1 . 169
67. 1 1 3+ 4 7 ; + = = 3 4 12 12
1) 3 – 1 + ( – 2) – 2 = −3
33 1 2 ⋅ 27 − 1 53 5 2 = =3 ; 2) − 4−2 = 3 − 2 = 16 16 16 2 4 3 3) (0,2) – 2 + (0,5) – 5 = 52 + 25 = 25 + 32 = 57; 1 1000
4) ( – 0,1) – 3 – ( – 0,2) – 3 = –
−1
−1
1 + = – 1000 + 125 = – 875. 125
68. 1) 12 – 3 =
1 123
2) 210 = 1;
< 1;
5 3
5
5 19
3) (0,6) – 5 = > 1;
−4
4)
4
19 > 1. 5
=
69. 1
1) (x – y) – 2 = 3) 3b – 5 c8 =
( х − у)
3с 8 b5
5) a −1b 2 c −3 =
2
4) 9a3 b – 4 =
;
b2 ac 3
70. 1 7
−3
1 7
1 7
1 1 2) − ⋅ − 5 5
6
−4
( х + у) 3
9a 3 b4
6) a 2 b −1c − 4 =
;
1) ⋅ =
1
2) (х + у) – 3 =
;
−2
= 7 2 = 49 ;
1 = − 5
−3
= (−5) 3 = −125 ;
;
a2 bc 4
.
;
3 10
3) 0,37 ⋅ 0,3−10 = 0,3−3 =
4) 17 −5 ⋅ 17 3 ⋅ 17 = 17 −1 =
−3
3
1000 1 10 ; = = = 37 3 27 27
1 . 17
71. 1
1) 97 : 910 = 9−3 =
93
1 ; 729
=
2) (0,2) 2 : (0,2)−2 = (0.2) 4 = 0.0016 ; 2 13
3)
2 5
−12
3
2 : 13
2 5
4) :
−10
−1
=
2
2 = 13 4
=
132 2
2
72.
( ) 3) (а ) 1) а 3
−5
3 7
=
169 1 = 42 ; 4 4
16 . 625
=
54
−2
( ) 4) (b ) 2) b − 2
= а −15 ;
−4
7 −4
= а − 21 ;
= b8 ;
= а − 28 .
73.
(
)3 = а 3 b −6 = а 6 ;
2) а 2 b −1
b
( )
3) 2а
(
3
1) аb − 2
2 −6
=2
−6
a
−12
=
1 64a
12
;
( )
4) 3а
3 −4
)4 = a 8 b −4 = a 4 ; 8
b
=3
−4
а
−12
=
1 81a 12
.
74. 8 b
a 1) 7
−2
m −4 2) −5 n
=
a −16 b
−14
−3
=
=
m12 n15
b14 a16
;
;
2
2 x6 22 x12 y 8 4 x12 y 8 = 3) − 4 = ; 2 3y
−5
− 4 yx 4) 3 z
3
9
3
3 −15 64 y 3 = − 64 y x = − 9 15 ; 9 z z x
7
75.
(
) 1
−2
1) x 2 y − 2 − 4 y − 2 ⋅ = ( x 2 − 4) ⋅ y − 2 ⋅ y 2 = x 2 − 4 , y если х = 5, то x2 = 25 и 25 – 4 = 21;
(
2 ) a 2 b −1
=
(a 8 − b 8 ) b4
⋅
)
4
a8 a4 − b4 − a 0 b 4 : = − b4 2 4 b b
b2
=
(a 4 − b 4 )
(a
4
)(
− b4 a4 + b4
(
b2 ⋅ a4 − b4
)
если а = 2, b = – 3, то a4 = 16, b4 = 81, b2 = 9 и
2 ⋅ b = a4 − b4
)= a
4
+ b4 b2
;
16 + 81 97 7 = = 10 . 9 9 9
76. 1) 2000004 = (2 · 105)4 = 24 ⋅ 1020 = 16 · 1020 = 1,6 · 1021; 2) 0,00033 = (3 · 10 – 4)3 = 33 · 10 – 12 = 27 ⋅ 10 – 12 = 2,7 · 10 – 11; 3) 4000 – 2 = (4 · 103) – 2 = 0,0625 · 10 – 6 = 6.25 · 10 – 8; 4) 0,002 – 3 = (2 · 10 – 3) – 3 = 2 – 3 · 109 = 0,125 · 109 = 1,25 · 108. 77. 1) 0,0000087 = 8,7 · 10 – 6; 2) 0,00000005086 = 5,086 · 10 – 8; 1 = 0,008 = 8 ⋅ 10−3 ; 125 1 = 0,0016 = 1.6 ⋅ 10−3 . 4) 625
3)
78, 79, 80. 3 · 10
– 3
мм =
3 мм = 0,003мм; 0,00000000001с = 10 1000
10 – 4мм = 0,0001мм. 81. a8a −7
= a8 − 7 + 2 = a 3 , a−2 если а = 0,8, то a3 = 0,512; a15a3 2) = a15+3−13 = a5 , a13
1)
5
если а = 8
1 1 1 , то a5 = = . 32 2 2
– 11
с;
82. 1) =−
((− 20) ) : ((− 20) ) + 2 7 −7
−6 8
(
= (− 20)
−2
−49
: (− 20)
− 48
)+ 41 =
1 1 −1 + 5 1 + = = ; 20 4 20 5 2)
((−17) ) : ((−17) ) −4 − 6
2
1 − 17
−13 −2
2
−2
= (− 17) : (− 17) − 24
26
2
1 1 1 1 1 − = − − = 2 − 2 = 0. 17 17 17 17 17 83. 1) (1,3) – 118⋅ (1,3)127 = (1,3)9 ≈ 10,6; 2) (0,87) – 74: (0,87) – 57 = (0,87) – 74 + 57 = (0,87) – 17 ≈ 10,67; 17 3) 19 23 4) 21
−47
56
17 : 19
23 ⋅ 21
−26
−25
17 = 19
23 = 21
−21
19 = 17
21
≈ 10,34;
31
≈ 16,78 .
84. 1) (786 – 7)4 = 786 – 28 = 5,8 ⋅ 10 – 62; 2) (9233) – 6 = 923 – 18 = 4,23 ⋅ 10 – 54; 3) (1,76) – 8 ⋅ (35,4) – 8 = (62,3) – 8 = 2,07 ⋅ 10 – 14; 4) (0,47) – 5 : (7,81) – 5 = (0,47 : 7,81) – 5 = 1,27 ⋅ 106. 85. 1) V = (1,54 ⋅ 10 – 4)3 = 3,65 ⋅ 10 – 12 мм3; 2) V = (3,18 ⋅ 105)3 = 3,21 ⋅ 1015 км3. 86.
(
)(
1) a −3 + b −3 ⋅ a − 2 − b − 2 1 1 × 2 − 2 b a =
−1
(b
3
) ⋅ (a −1
1 1 1 ⋅ 2 − + 2 ab b a
)
=
+ a3 ⋅ a4 b4
(
2
− a −1b −1 + b − 2
−1
a b ⋅ (b − a )(b + a ) b − ab + a 3 3
−2
2
)
=
b3 + a3 a 3b 3
⋅
)
1 1 = 3 + 3 × a b
−1
a 2b 2
⋅
a 2b 2
b 2 − a 2 b 2 − ab + a 2
ab( b 3 + a 3 ) 3
3
( b − a )( a + b )
=
=
ab ; b−a 9
(
)(
2) a − 2b − ab− 2 ⋅ a − 2 + a −1b−1 + b− 2 a 1 1 1 b = 2 − 2 ⋅ 2 + + 2 ab b b a a =
b3 − a3 a2b2
⋅
a2b2 b2 + ab + a2
=
−1
)
−1
=
=
(b − a)(b2 + ab + a2 ) = b − a. b2 + ab + a2
87. 1) 1 = 1;
16 = 42 = 4;
0 = 0;
169 = 132 = 13;
2
1 1 1 = = ; 289 17 17 2) 3 1 = 1; 3
3
3
0 = 0;
3
125 = 53 = 5;
0,027 = 3 ( 0,3 )3 = 0,3; 4
3)
4
0 = 0;
4
1 = 1;
3
256 4 4 4 = = ; 625 5 5
88. 1)
6
3)
4
( )
3
4
4
4
1 1 1 =3 3 = ; 27 3 3
0,064 = 3 ( 0,4 )3 = 0,4
16 = 24 = 2;
4
4
3
4
16 4 2 2 = = ; 81 3 3
0,0016 = 4 (0,2) 4 = 0,2.
= 6 66 = 6 ;
( )
2
12
64 2 = 12 2 6
1 1 1 =4 = ; 5 25 5
4)
8
2254 = 8 (152 )4 = 158 = 15 .
10 6 = 10 2 = 100 ;
2)
3
312 = 3 4 = 81 ;
2
4
8
89.
10
= 12 212 = 2 ;
2)
36 3 = 6 6 2
1)
3
3)
4
1 2
4)
4
1 3
12
1 1 1 = = 3 = ; 8 2 2
3
16
1 1 1 = = 4 = . 3 81 3
4
90. 1)
3
− 8 = −2 ;
3)
3
−
5)
3
− 34 3 = −34 ;
1 1 1 = −3 =− ; 27 3 27
2)
15
− 1 = −1 ;
4)
5
− 1024 = − 45 = −4 ;
6)
7
− 8 7 = −8 .
5
91. 1) х4 = 81; х = ± 4 81 = ±3 ; х1 = 3; х2 = – 3; 2) x5 = −
5
1 1 1 1 = 5 − = − ; ; x=5 − 32 32 2 2
3) 5х5 = – 160; х5 = – 32; х = 5 − 32 = – 2. 4) 2х6 = 128; х6 = 64; х = ± 6 64 = ±2; х1 = 2 , х2 = – 2. 92. 1) 6 2 x − 3 — имеет смысл, если 2х – 3 ≥ 0 , тогда 2х ≥ 3 , x ≥
3 , 2
х ≥ 1,5. Ответ: х ∈ [1.5; + ∞). 2)
3
х + 3 — имеет смысл для любого x.
3)
3
2 х 2 − х − 1 — имеет смысл для любого x.
2 − 3х ≥ 0 2 − 3х 2 − 3х — имеет смысл, если: ≥ 0 , т.е. 2х − 4 2х − 4 2 х − 4 > 0 2 2 2 2 − 3х ≤ 0 x ≤ x ≥ x ≥ или ; или , поэтому 3 3 3 2 х − 4 < 0 х > 2 х < 2 x < 2 4)
4
Ответ: х ∈ [
2 ; 2). 3
93. 1)
3
2)
5
3 16 1 6 1 1 64 = 3 (−5) 3 + ⋅ 2 6 = −5 + ⋅ 2 = −5 + = −4 ; 8 8 8 4 4 1 6 5 32 − 0.5 ⋅ 3 − 216 = 2 5 − 3 (−6) 3 = 2 + = 5; 2 2 − 125 +
11
3) − 4)
3
5)
4
14 1 1 81 + 4 625 = − 4 3 4 + 4 5 4 = − ⋅ 3 + 5 = −1 + 5 = 4; 3 3 3 14 1 256 = 3 (−10) 3 − 4 4 4 = −10 − 1 = −11; − 1000 − 4 4 5
0,0001 − 2 ⋅ 0,25 + 5 −
= 0,1 − 1 − 6) 5
1 4 1 = (0,1) 4 − 2 0,5 2 + 5 − = 32 2
1 = −1,4; 2
1 1 1 1 3 10 − 9 1 + 3 − 0,001 − 4 0,0016 = − 0,1 − 0,2 = − 0,3 = − = = . 243 3 3 3 10 30 30
94. 9 + 17 ⋅ 9 − 17 = 81 − 17 = 64 = 8;
1)
2
2) 3 + 5 − 3 − 5 = 3 + 5 − 2 9 − 5 + 3 − 5 = 6 − 4 = 2 ;
2
3 ) 5 + 21 + 5 − 21 = 5 + 21 + 2 25 − 21 + 5 − 21 = = 10 + 4 = 14; 3+ 2 3 − 2 ( 3 + 2 )2 − ( 3 − 2 )2 4) − = = 3− 2 3− 2 3+ 2 =
3+ 2 6 + 2−3+ 2 6 − 2 2 6 + 2 6 = = 4 6. 3− 2 1
95. 1)
3
(х − 2)3
= х − 2 — для любого х.
2) т.к.
(3 − х )6
≥ 0 , то при х ; 100 11 100 11 1 4
1
,
1
12 100 12 4 100 4 т.к. и 13
3
2
3 , т.к. 4,09 < 4 ; 25
− 5
,
т.к.
12 13 12 > и 11 12 11
5
13 > 12
5
.
138. 1 5
2x
x
=6 . 1 Тогда 2 x = . 5 1 . Отсюда x = 10 1) 6
3) 7
1− 3 x
2) 3 = 27 ; x
х = 3.
10
=7 .
4) 2
2+ x
2+ x
2 x +1
2 x +1
= 32 , 5
2 =2 . Тогда 2х + 1 = 5, х = 2.
Поэтому 1 – 3х = 10, х = – 3. 5) 4
3
3 =3 ;
1 6) 5
=1; 0
4 x −3
=5,
53− 4 x = 5 ,
4 =4 . Поэтому 2 + х = 0,
3 – 4х = 1, 1 x= . 2
х = – 2. 139. 1)
7
2
2
2
2
2
3− 2 17 1 1 − =7 = ; 2 3 6 6 2
1 7 1 1 4−3 7 − =7 = 3 4 12 12 т.к.
1 1 2 > , а > 0, 6 12 7
то
7
2
2
1 1 1 1 − >7 − . 2 3 3 4 27
2)
5
1 1 1 − 1 5 4
3
3
и
5
1 1 1 − 1 ; 7 6
3
3
3
1 1 5 1 25 − 24 1 − 1 = 5 = ; 4 5 20 20
5
3
3
3
1 1 49 − 48 1 5 1 − 1 = 5 = ; 7 6 42 42
5
т.к.
1 1 3 > , а > 0, 20 42 5
то
5
3
3
1 1 1 1 1 − 1 > 5 1 − 1 . 5 7 4 6
140. 1) 3 2) 3
2− y
= 27 , 3
5− 2 x
=1; 3
3)
1 x −1 92
4)
1 3− y 27 3
2− y
5− 2 x
−3 = 0 ;
3
= 3 . Тогда 2 – у = 3 и у = – 1. 0
= 3 . Поэтому 5 – 2х = 0 и х = 2,5.
1 x −1 92
− 81 = 0 ;
=3;
1 3 3− y 3 3
1 2 x −1 2 3
= 3 . Тогда х – 2 = 1 и х = 3.
= 3 4 . Тогда 9 – у = 4 и у = 5.
141. 1 1) 9
2 x −5
=3
5 x −8
−2 ; 3
2 x −5
=3
5 x −8
;
3−4 x +10 = 35x −8 .
Тогда 10 – 4х = 5х – 8, 9х = 18 и х = 2. x−4
1 = ; 2 4 x −9 = 2 − x + 4 . 2 Поэтому 4х – 9 = – х + 4, 5х = 13 и х = 2,6. x x +13 1 3) 8 ⋅ 4 = ; 16 23x ⋅ 22 x + 26 = 2−4 . Тогда 3х + 2х + 26 = – 4, 5x = – 30; х = – 6. 2) 2
28
4 x −9
25 x − 2
4)
1 = 5
5
2 x −4−
x − 7 ,5
;
1 − +
2 = 5 x 7 ,5 . 5 Тогда 2х – 4,5 = – х + 7,5, 3х = 12 и х = 4.
142. 1 1) 3 (3 3
−
2 x +1
1 2 ) 2 x +1
− x−
1 2
=3
( )
x
= 3 3 , 3
2)
x
= 32 , 3x 2
Тогда − x −
2
3) 9
(3 )
2 3х+ 4
x −1 3
2x
,
4x
=23 . х −1 4 = x, 3 3
.
Поэтому
1 3 = x, 2 2
х – 1 = 4х,
– 2,5х = 0,5 1 и x=− . 5 3x+4
( 2)
2 = 3 2
x −1
3
3х = – 1 и x=−
⋅ 3=
27
x −1
3
( )
⋅ 3 = 33
,
х −1
4) 2
,
1 . 3
8
( 2)
х
3
1 х 22
=4
3 х−2
2, 1
= 2 2(3 х
− 2)
⋅22 .
1 1 х = 2 (3 х − 2 ) + , 2 2 1 1 6 х=6 2 2 и х = 1.
36х + 8 + 1 = 33х – 3.
Тогда 3 −
Тогда 6х + 9 = 3х – 3, 3х = – 12 и х = – 4. 143. 2
1) log 7 49 = log 7 7 = 2 ; 1 3) log 1 4 = log 1 2 2 2
6
2) log 2 64 = log 2 2 = 6 ;
−2
= −2 ;
4) log 3
−3 1 = log 3 3 = −3 . 27
29
144. 1) lg23 ≈ 1,4; 2) lg131 ≈ 2,1; 3) 40lg2 ≈ 12; 4) 57lg3 ≈ 27,2. 146. 1+ lg 7 , x ≈ 0,92; 2
1) 102x – 1 = 7, 2x – 1 = lg7, x = 2) 101 – 3x = 6, 1 – 3x = lg6, 1+ lg 6 x= , x ≈ 0,07. 3 146. 4
2
2
625 100 25 1) (0,175)0 + (0,36)− 2 − 1 3 = 1 + ; −1 = = 36 9 81 1
1 3
1000 3 2) 1−0,43 − (0,008) + (15,1) = 1 − +1 = 8 = 2−3
0
103 10 = 2 − = −3 ; 2 23 1
−2
2
1 25 1 4 1 3 5 +4= − +4= 3) − + 4 ⋅ 379 0 = − 3 5 27 4 27 16 3 25 11 251 11 ; = + = =5 16 3 48 48 4) (0,125) =
−
1 3
2
3 + − (1,85)0 = 4
1 3
0,125
+
9 1 9 −1 = + −1 = 16 0,5 16
9 9 + 2 −1 = 1 . 16 16 147.
(
)
1) 9,3 ⋅ 10−6 : 3,1 ⋅ 10−5 = −6
9,3 ⋅ 10−6 3,1 ⋅10
−5
= 3 ⋅ 10−1 = 0,3 ;
7
2) 1,7 ⋅ 10 ⋅ 3 ⋅ 10 = 5,1 ⋅ 10 = 51 ; 3) 8,1 ⋅ 1016 ⋅ 2 ⋅ 10−14 = 16,2 ⋅102 = 1620 ;
(
)
4) 6,4 ⋅10 5 : 1,6 ⋅10 7 = 30
6,4 ⋅10 5 1,6 ⋅10
7
=
4 10 2
= 0,04 ;
−1
−2
3
1 1 1 1 5) 2 ⋅10 −1 + 6 0 − ⋅ ⋅ ⋅ − 6 3 3 4 1 2 ⋅ (−4) ⋅ 3 1 8 7 = + = − = − = 1,4; 5 5⋅3 5 5 5 1 6) 3 ⋅10 −1 − 8 0 − 8 3 2 3−4 = − = = −0,1. 10 5 10
−1
1 ⋅ 4
−3
4
1 5 ⋅ ⋅ 4 7
−1
=
−1
=
1 6 32 + ⋅ ⋅ (− 4 ) = 5 5 33
3 8 1 7 − ⋅ ⋅ = 10 7 4 5
148. −2
1 5 2 5 х3 ⋅ х6 х6 ⋅ х6 1) 1 = 1 х6 х6 7 1 81 32 = =1 ; при x = 9 x 2 49 49 2 1 а3 ⋅ а9 2) − 2 а9
−3
−2
6 1 а9 ⋅ а9 = −2 а9
при a = 0,1, a3 = 0,001,
1 a3
7 х6 = 1 х6
−2
= х−2 =
−3
7 2 = а9 ⋅ а9
1 х2
,
−3
= (а )−3 =
1 , а3
= 1000.
149.
( 125х − 8х )− ( 27х − 64х ) = (5 х − 2 х )− (3 х − 4 х ) = 4 2) ( х + 16 х )+ ( 81 х − 625 х ) =
1)
3
3
4
=
4
4
3
3
4
х + 2 4 х + 34 х − 5 4 х =
3
3
3
3
3
х;
4
4
х;
3 + 1 − а 2 1 + а 2 3 3 + 1− а = + 1− а : =1; 3) 1+ а 1+ а 1 + а 3 + 1 − а 2 х2 − у2 − х х 1 : х2 − у2 − х = . 4) 1 − = 2 2 2 2 2 2 2 2 − − х у х у х у х у х − − −
31
150. 1) 7
5 х −1
= 49 ; 7
5 х −1
2
=7 .
Тогда 5х – 1 = 2; 5х = 3 и х =
3 . 5
2) (0,2)1− х = 0,04 ; (0,2)1− х = (0,2)2 . Поэтому 1 – х = 2 и х = – 1. 1 3) 7
3 х +3
2х
=7
; 7
−3 х − 3
=7
2х
.
Значит, – 3х – 3 = 2х; – 5х = 3 и х = –
3 . 5
2х
−2 х 5 х −7 1 =3 . = ; 3 3 Отсюда, 5х – 7 = – 2х; 7х = 7 и х = 1.
4) 3
5 х −7
Проверь себя 1. 3
1) 3 2) 3) = 5+
5
−5
:3
−7
−2
310 ⋅ 32 −
3 25 2
⋅ 25
−1
−2
3 3
+
2 −1 2 2 27 3 3 ⋅ 2 + = 3 − 2 + = 9−4+3 =8 ; 3 8 8 8 4
48
= 3 2 ⋅ 2 − 3 8 = 18 − 2 = 16 ;
3
2⋅ 3 2 53 3
( )
:5
3
2 − 48 3
2 :63
= 25 + 5
−1
2 −83
=
1 − 4 = 1,2. 5
2. 8600 = 8,6 ⋅ 103;
0.0078 = 7,8 ⋅ 10 – 3;
1) 8,6 ⋅ 103 ⋅ 7,8 ⋅ 10 – 3 = 67,08;
2) 8,6 ⋅ 103 : 7,8 ⋅ 10 – 3 =
6 43 ⋅10 . 39
3. 1) 32
(
3 х −9 ⋅ 2 х5 = 6 ; 2) х−1 + у−1 х−4
−2
)⋅ ху1
=
у+х ⋅ (ху)2 = (х + у)ху . ху
4. 5
5
а3 3 3
= а3 ⋅ а
−
2 3
⋅a
−
3 4
= а⋅а
−
3 4
1−
=а
3 4
1
1
= а 4 ; при а = 81, то a 4 = 3 .
а2 ⋅ а 4
5. 2
2
а) (0,78) 3 > (0,67 ) 3 , т.к. 0,78 > 0,67, и показатель степени
2 > 0; 3
1 1 1 б) (3,09)− 3 < (3,08)− 3 , т.к. 3,09 > 3,08, и показатель − < 0. 3
151. −
3
1
1
1
3 3 1 4 19 5 243 5 3 1) + 100004 − 7 = (16)4 + 10 − = 2 + 10 − = 16 32 32 2 3 = 8 + 10 − = 16,5; 2
2) (0,001)
−
1 3
−2
−2
2 ⋅ 64 3
−8
−1
1 3
1 = 1000 3
4
1 13 − ⋅ 3 64 2 − = 4 8
4
= 10 −
3)
16 3 1 1 15 − = 10 − 4 − =5 ; 4 16 16 8 2 273
− (− 2)
−2
4) (− 0.5)
−4
= 16 − 625 −
−
3 + 3 8
1 3
5 1 2 1 8 3 = 272 − + 3 =9− + =9 ; 4 3 12 4 27
1 − 625 − 2 4
−1
1 2
3
4 = 16 − 625 − = 9
8 8 = −609 . 27 27
152. 4
1) х 2 − 4 – имеет смысл, если выполнено х2 – 4 ≥ 0, т.е. (х – 2)(х + 2) ≥ 0. Ответ: х ∈ (−∞; − 2]U [2; + ∞ ) . 33
3
2) х 2 − 5 х + 6 – имеет смысл для любого х. Ответ: х ∈ ( −∞;+∞) . х−2 х−2 ≥ 0 , при этом х + 3≠0 – имеет смысл, если х+3 х+3 т.е. х≠ – 3. 3)
6
Ответ: х ∈ (−∞; − 3)U [2; + ∞ ) . 4
4) х 2 − 5 х + 6 – имеет смысл, если х2 – 5х + 6 ≥ 0, тогда (х – 3)(х – 2) ≥ 0.
Ответ: х ∈ (−∞; + 2]U [3; + ∞ ) . 8
– имеет смысл, если х3 – х ≥ 0, поэтому 5) х 3 − х х(х – 1)(х + 1) ≥ 0.
Ответ: х ∈ [−1; 0]U [1; + ∞ ) 6
6) х 3 − 5 х 2 + 6 х – имеет смысл, если х3 – 5х2 + 6х ≥ 0, тогда х ⋅ (х – 3)(х – 2) ≥ 0.
Ответ: х ∈ [ 0; 2]U [3; + ∞ ) . 153. 1
1)
а4 − а 1 а4
а3 − а 1
а3 − а 34
7 4
3 − −а 4
4
2)
−
− −
2 3 2 3
=
=
а
−
7 4
(а − 1) = а 2
3 − а 4
а
−
а
2 3
−
(а − 1)
−1
(а + 1)(а − 1) = а + 1 = 1 + 1 ; (а − 1)
а
(а − 1) = (а + 1)(а − 1) = а + 1 ;
2 3
2
(а − 1)
(а − 1)
a
5
3)
4)
3 b4
a a
=
1 a3
1
b 4 + 2b 4 + b
3 4
=
1 − +b 4
−
4 3 b −2
−
5 3 b −2
1 +b3
−
− a −2 b − a −2 b
−
4 3
−
5 3
b
−
3 4
(b
)=
2
1 − b 4
(b + 1) 2
=
1 a − 2 b − 2 (a 3
a3 a b
ab
−1
−1 3
− a b −1
− a b
b
=
a b
4
a − b =
2
1
a − 2 b − 2 (a 3 − b 3 ) 1 −b3
=
1
1
1
( a 3 + b 3 )( a 3 − b 3 ) 1 a3
)
1 −b3
=
= 3 a + 3 b;
3 −1
5)
(b + 1)2 = b + 1 ; b (b + 1) b
+ 2b + 1
b3
−
a b
−
=
a
4
ab a2 − b2
a4 − b4
=
=
a2 − b2
ab
=
2
a − b 2 (a + b)(a − b) = = a + b; a−b a−b 6)
3 1 − 4 a b 4 1 1 − a 4b 4
−a +a
−
1 3 4b 4
−
1 1 4b 4
=
a
−
1 1 − 4b 4
(a − b )
1 1 1 − − 4 4 a b a2
1 + b2
=
( a + b )( a − b ) = a+ b
= a − b; 1
−2
1 + ab 4 a 3b − 4 ab3 b 2 ⋅ 1 + + 2 b = 7) 4 + a ab b − a a
(
)(
) (
4 3 4 3 4 1 + ab b − a + ab a b − ab = 4 ab ⋅ b − a a+ b = ab ⋅ = a + b ⋅ b; a
(
)
)
−2
1 2 2 b = ⋅ 1 + a
35
3 3 a+b ab 2 − a 2b + 8) 3 2 3 2 3 2 3 a − 23 ab + b 2 a − b
=
( a + b ) a − ab + b ( a − b )( a + b ) 3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
+
3 3 a 2 − 3 ab + 3 b 2 ab : = − 3 3 a −3 b a − 3 b 3
= =
36
3
a 2 − 23 ab + b 2 3
a −3 b
3
a −3 b
6
a −6 b
=
( a+ 6
6
6
3
:
( a − b )= 6
6
( b − a ) : ( a − b ) = ( a − b ) ab
3
3
3
6
2
3
( a − b )= 6
6
( a − b) = : ( a − b )= ( a − b )( a − b ) b )( a − b ) = a+ b. 6
6
a −6 b
3
6
6
3
3
3
6
6
6
2
6
6
154. Vk = a3; 4 3 Vш = π ⋅ R , 3 если Vk = Vш = 100cm3; Vш 3V 300 =3 ш =3 ≈ 2,88; 4 4π 4π π 3 2R = 5,74, 2R > a, следовательно, шар не поместится в куб, т.к. диаметр шара больше ребра куба. a = 3 V k = 3 10 2 ≈ 4,64 см; R =
3
155. T = 2π
0,185 0,185 l ≈ 2π ≈ 2 ⋅ 3,14 ⋅ ≈ 0,86c. 9,8 9,8 g
156. а) у(х) = х2 – 4х + 5, у(– 3) = (–3)(–3) – 4(–3) + 5 = 9 + 12 + 5 = 26, у(– 1) = (–1)(–1) – 4(–1) + 5 =1 + 4 + 5 = 10, у(0) = 0 – 0 +5 = 5, у(2) = 22–4 ⋅ 2 + 5 = 4 – 8 + 5 = 1; б) пусть у(х) = 1, значит х2 – 4х + 5 = 1, 2 х – 4х + 4 =0; (х – 2)2 = 0, тогда x – 2 = 0, x = 2, пусть у(х) = 5, значит х2 – 4х + 5 = 5; х2 – 4х = 0, х(х – 4) = 0, тогда х1 = 4; х2 = 0, если у(х) = 10, то х2 – 4х + 5 = 10, х2 – 4х – 5 = 0, тогда х1 = 5, х2 =–1, если у(х) = 17, то х2 – 4х – 5 = 17, х2 – 4х – 12 = 0, тогда х1=6, х2=–2. 157. х+5 ; х −1 3 1) у (−2) = = −1, −3 1 5.5 у = = −11, 2 − 0.5 у ( х) =
2) если у(х) = –3, то
5 = −5, −1 3+5 8 у (3) = = = 4; 3 −1 2
у (0) =
х+5 = −3 ; х −1 35
х + 5 + 3х – 3 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, 4 x = −2 , x ≠ 1 тогда х = −
1 , 2
х+5 = −2 , х −1 х + 5 + 2х – 2 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, 3х = –3, x ≠ 1, значит, х = –1, х+5 = 13 , если у(х) = 13, то х −1 х + 5 – 13х +13 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, –12х = –18, x ≠ 1, значит, х = 1,5, х+5 = 19 , если у(х) = 19, то х −1 х + 5 – 19х +19 = 0, при этом х – 1 ≠ 0, –18х = –24, x ≠ 1, 4 поэтому, х = . 3
если у(х) = –2, то
158. 2 1) у = 4 х − 5 х + 1, х ∈ (-∞; ∞) ; 2) у = 2 – х – х2, х ∈ (-∞; ∞) ;
2х − 3 , x ≠ 3, х ∈ ( −∞; 3) U (3; + ∞) ; х −3 3 , x 2 ≠ 5, х ∈ (−∞;− 5 ) U (− 5 ; 5 ) U ( 5 ; ∞) ; 4) у = 5 − х2 3) у =
5) у = 4 6 − х , 6 − x ≥ 0, х ∈ (−∞;6] ; 6) у =
1 , x + 7 > 0, x ∈ (−7; ∞) . х+7
159. 1) у = 36
2х 2
х − 2х − 3
, х 2 − 2 x − 3 ≠ 0;
т.е. ( x − 1)( x − 3) ≠ 0; значит x ≠ 1, x ≠ 3 , х ∈ (−∞; 1) ∪ (1; 3) ∪ (3; ∞); 6
2) у = х 2 − 7 х + 10 , тогда х2 – 7х + 10 ≥ 0, (x–2)(x–5) ≥ 0, х ∈ (−∞; 2]∪ [5; + ∞ ) ; 8
2
3) у = 3 х − 2 х + 5 , значит, 3х2 – 2х + 5 ≥ 0. Найдем корни уравнения 3х2 – 2х + 5 = 0: D = 1 − 15 = −14 < 0 , корней нет, поэтому т.к. 3>0 – ветви вверх, 4 значит, 3х2 – 2х + 5 > 0, для любого х , х ∈ (-∞; ∞) , 2х + 4 2х + 4 ≥ 0, , тогда 3− х 3− х при этом 3–х≠0; х≠3; –2≤х 1 2
2 х + 1, х ≥ 0 у= ; − 2 х + 1, х < 0
5) у = |x| + |x – 2|, −2 х + 2, х < 0 у = 2, 0≤ x≤2; 2 х − 2, х > 2
40
6) у =| x + 1 | − | x | , х < −1 −1, у = 2 х + 1, 1 ≤ x < 0 . 1, х≥0
164. 1) у = 2х + 3,
2) у = 1 – 3х,
у возрастает, если х ∈ (–∞;+∞); y убывает, если х ∈ (–∞; ∞); 3) у = х2 + 2,
4) у = 3 – х2,
y возрастает, если х ∈ (0; +∞;), y возрастает, если х ∈ (–∞; 0), у убывает, если х ∈ (–∞; 0); у убывает, если х ∈ (0; +∞); 6) у = (2 + х)2, 5) у = (1 – х)2,
y возрастает, если х ∈ (1; +∞;), у убывает, если х ∈ (–∞; 1);
у возрастает, если х ∈ (–2; +∞), y убывает, если х ∈ (–∞; –2);
166. 41
3
−
3 4
1) у = х 7 .
2) у = х
Ответ: возрастает.
Ответ: убывает.
3) у = х −
4) у = х
2
.
Ответ: убывает.
3
.
.
Ответ: возрастает.
167. 1
1
1) х 2 = 3 ;
2) х 4 = 2 ;
х = 32 = 9;
х = 24 = 16;
4) х
−
1 4
5
=2;
х = 2–4 =
1 ; 16
5) х 6 = 32 ;
168. у=4 х ; а) при у = 0,5; х≈0,6, 42
5
х= 32 6 = 2 6 =64;
−
1 2
−
4 5
= 3; 1 х = 3–2 = ; 9 3) х
6) х
= 81 ; 5
1 1 х= 4 81−5 = = . 3 243
при у = 1; х = 1, при у = 4; х = 256, при у = 2,5; х≈39; б)
4
1,5 ≈ 1,2 ,
4
2 ≈ 1,3 ,
4
2,5 ≈ 1,4 ,
4
3 ≈ 1,5 .
169. 4
6
4 х 3 = 625; 6 х 5 = 64; 5; у = х3 ; = у х 3 3 5 5 х = (625) 4 = (5 4 ) 4 = 5 3 ; 2) 1) х = 64 6 = (2 6 ) 6 = 2 5 ; у = 625; х = 125. у = 64; х = 32. Ответ: М (125, 625). Ответ: М (32, 64). 7
3
7 3 х 3 = 128; х 2 = 216; 3 2 у = х ; у = х ; 3 3 2 2 7 7 3 3 2 7 3 4) 128 ( 2 ) х = = = 23 ; 3) х = 216 = (6 ) = 6 ; у = 216; х = 36. у = 128; х = 8.
Ответ: М (36, 216). Ответ: М (8, 128). 170. 2
1) у = х +
х +1 1 1 = 1 ; ; пусть х1 < х2, у1 = х1 + х х1 х1
у 2 = х2 +
х +1 1 = 2 ; х2 х2
у1 − у 2 =
х12 + 1 х 22 + 1 х12 ⋅ х 2 + х 2 − х 22 ⋅ х1 − х1 − = = х1 х2 х1 ⋅ х 2
2
=
х1 ⋅ х 2 (х1 − х 2 ) − (х1 − х 2 ) (х1 − х 2 )⋅ (х1 ⋅ х 2 − 1) , = х1 ⋅ х 2 х1 ⋅ х 2
при х1, х2 > 0, но х1, х2 < 1, имеем х1 – х2 < 0, х1 ⋅ х2 > 0, х1 ⋅ х2 – 1 < 0 (х − х 2 )(х1 ⋅ х 2 − 1) > 0 , поэтому у1 > у2 тогда 1 х1 ⋅ х 2 43
Тогда т.к. х1 < х2, а у1 > у2, функция убывает на интервале 0 < x < 1. 1 2) у = 2 ; у возрастает при х ∈ ( – ∞; 0], х +1 у убывает при х ∈ [0; + ∞).
3) у = х3 – 3х. Пусть х1 0;
а) пусть у – четная, тогда у = |x|; 2) у = х2; x > 0;
а) пусть у – четная, тогда у = х2; 3) у = х2 + х; x > 0;
б) пусть у – нечетная, тогда у = х;
б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x|;
49
а) пусть у – четная, тогда у = х2 + |x|; 4) у = х2 – х; x > 0;
б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x| + х;
а) пусть у – четная, тогда у = х2 – |x|;
б) пусть у – нечетная, тогда у = х|x| – х.
182. 1) у = (х + 1)6; ось симметрии: х = – 1; 2) у = х6 + 1; ось симметрии: х = 0. 183. 1) у = х3 + 1 центр симметрии: т.М (0,1); 2) у = (х + 1)3 центр симметрии: т.М ( – 1,0). 184. у=
2 ; х
1) у(х) = 4, если х =
1 ; 2
1 , если х = – 4; 2 3) у(х)>1, если 0<x 625; (х2 – 25)(х2 + 25) >0, тогда (х – 5)(х + 5)(х2 + 25)>0.
Ответ: х∈[ – 2; 2].
Ответ: x∈( – ∞; – 5)∪(5; + ∞).
193. 1) S = а2, и а2 > 361 а – сторона квадрата, значит, а>0;
а2 – 361 > 0, (а – 19)(а + 19) > 0, a>0.
2) V = а3, т.е. а – ребро куба, тогда a>0
Ответ: а > 19(см). а3 > 343; а 3 > 7 3; а > 7, значит a>7(см). Ответ: а > 7(см).
194. х −3 = 2;
1)
2)
7−3 = 2;
х 2 − 13 − 2 х − 5 = 3 ;
49 − 13 − 14 − 5 = 6 − 3 = 3 ,
4 = 2, значит, 7 – корень;
поэтому 7 – корень.
195. 1) х = 3 ; х = 32 = 9;
2) х = 7 ; х2 = 72 = 49;
3) 2 х − 1 = 0 ; 4) 3 х + 2 = 0 ; 2x – 1 = 0; 3x + 2 = 0; 1 2 х= ; х=− . 2 3
196.
54
1) х + 1 = 2 по О.Д.З. х + 1 = 4; х ≥ – 1, х = 3 входит в О.Д.З.;
2) х − 1 = 3 по О.Д.З. х – 1 = 9; х ≥ 1, х = 10 входит в О.Д.З.;
3) 1 − 2 х = 4 , по О.Д.З. 1 1 – 2х = 16; х ≤ ;– 2х = 15; 2 х = – 7,5 входит в О.Д.З.;
2 х − 1 = 3 , по О.Д.З.; 1 2х – 1 = 9; х ≥ ; 2х = 10; 2 х = 5 входит в О.Д.З.
4)
197. х ≥ −1 х + 1 = 2 х − 3 по О.Д.З. x ≥ 1,5; х ≥ 1,5 х + 1 = 2х – 3; х = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х = 4.
1)
2)
х − 2 = 3 х − 6 по О.Д.З. х ≥ 2
х − 2 = 3(х − 2 ) х = 2 входит в О.Д.З. Ответ: х = 2. 3) х 2 + 24 = 11х по О.Д.З. х ≥ 0; х2 + 24 = 11х х2 – 11х + 24 = 0, x1 = 3 и x2 = 8 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 8. х 2 + 4 х = 14 − х х ≤ 14 х ∈ (−∞;−4] ∪ [0;14] ; по О.Д.З. 2 х + 4 х ≥ 0
4)
х2 + 4х + х – 14 = 0; х2 + 5х – 14 = 0, x1 = 2 и x2 = – 7 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 2; х2 = – 7. 198. 1) х + 2 = х2 по О.Д.З х ≥ 0; х2 – х – 2 = 0; х1 = 2; х2 = – 1; х2 = – 1 – не входит в О.Д.З. Ответ: x = 2. 2) 3х + 4 = х2 по О.Д.З. х ≥ 0, 1 x ≥ −1 3 ⇒ x ≥ 0; x ≥ 0
х2 – 3х – 4 = 0; х1 = 4; х2 = – 1; х2 = – 1 – не входит в О.Д.З., т.к. – 1 1, тогда х – 1 > 1 и х > 2. Ответ: х ∈ (2;+∞) . 3) (2х – 3)7 ≥ 1, поэтому 2х – 3 ≥ 1 и х ≥ 2. Ответ: х ∈ [2;+∞ ) . 56
2) (х + 5)3 > 8, значит, х + 5 > 2 и x > – 3. Ответ: х ∈ (−3;+∞) . 4) (3х – 5)7 < 1, отсюда 3х – 5 < 1 и х < 2. Ответ: х ∈ (−∞;2) .
(
)(
)
5) (3 – х)4 > 256; (3 − х )2 − 16 (3 − х )2 + 16 > 0 (3 – х – 4)(3 – х + 4) > 0, т.к. (3 – x)2 + 16>0 при любом х, тогда ( – х – 1)(7 – х ) > 0.
Ответ: х ∈ ( – ∞; – 1)∪(7; + ∞).
(
)(
)
6) (4 – х)4 > 81; (4 − х )2 − 9 (4 − х )2 + 9 > 0 , т.к. (4 – x)2 + 9>0, то (4 – х – 3)(4 – х + 3) > 0, тогда ( 1 – х)(7 – х ) > 0. Ответ: х ∈ ( – ∞; 1)∪(7; + ∞). 201. 1)
х = −8 – не имеет смысла, т.к.
х ≥0;
2) х + х − 4 = −3 – не имеет смысла, т.к. слева стоит сумма неотрицательных слагаемых, а справа отрицательное число; 3) − 2 − х 2 = 12 – не имеет смысла, т.к. – 2 – х2 < 0 для любого х; 4) 7 х − х 2 − 63 = 5 не имеет смысла, т.к. 7х – х2 – 63 < 0 для любых х. 202. х 2 − 4 х + 9 ≥ 0 5 ; х ∈ ;+∞ ; О.Д.З. 2 х − 5 ≥ 0 2 2 2 возводим в квадрат х – 4х + 9 = 4х – 20х + 25 3 х2 – 16 х + 16 = 0. Решим: D = 8 2 − 3 ⋅16 = 64 − 48 = 16 ; 4 8± 4 x1, 2 = , x1 = 4 входит в О.Д.З.; 3 1 х2 = 1 не входит в О.Д.З. 3 Ответ: x = 4. 1)
х 2 + 4 х + 9 = 2 х − 5;
57
2)
х2 + 3х + 6 ≥ 0 2 х2 + 3х + 6 = 3х + 8; О.Д.З. ; х ∈ − 2 ;+∞; 3х + 8 ≥ 0 3 2
2
возведем в квадрат х + 3 х + 6 = 9 х + 48 х + 64 ; 8х2 + 45х + 58 = 0. Решим: D = 2025 – 1856 = 169 > 0, −45 ± 13 х1, 2 = ; 16 −58 29 1 х1 = =− = −7 не входит в О.Д.З.; 16 4 4 −32 х2 = = −2 входит в О.Д.З. 16 Ответ: x = – 2. 1 3) 2 х = 1 + х 2 + 5 ; О.Д.З. 2х – 1 ≥ 0, х ∈ ;+∞ ; 2 х 2 + 5 = 2 х − 1 . Возводим в квадрат х2 + 5 = 4х2 – 4х + 1 3х2 – 4х – 4 = 0. Решим: D = 4 + 12 = 16 ; 4 2±4 2 х1 = , x1 = 2 − входит в О.Д.З.; х 2 = − − не входит в О.Д.З. 3 3 Ответ: x = 2. 13 − 4 х ≥ 0 1 О.Д.З. ; х ∈ − ∞; 3 ; 4) х + 13 − 4 х = 4; 4 − х ≥ 0 4 13 − 4 х = 4 − х . Возведем в квадрат 13 – 4х = 16 – 8х + х2; х2 + 4х = 3 = 0. Решим: х1 = 3, х2 = 1 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 1. 203. 1)
х ≥ 0 х + 12 = 2 + х ; О.Д.З. ; х ∈ [0; + ∞ ); х + 12 ≥ 0
возводим в квадрат х + 12 = 4 + 4 х + х ; 4 х = 8 ; х = 2 ; x = 4 входит в О.Д.З. Ответ: х = 4. 58
х ≥ 0 х ∈ [0; + ∞ ) ; 4 + х + х = 4 ; О.Д.З. 4 + х ≥ 0
2)
4 + x = 4 − x . Возводим в квадрат 4 + х = 16 − 8 х + х ; − 8 х = −12 ; х = 1,5 , x = 2,25 входит в О.Д.З. Ответ: х = 2,25.
204. 1)
2 х + 1 ≥ 0 2 х + 1 + 3 х + 4 = 3; О.Д.З. ; 3 х + 4 ≥ 0
1 х ∈ − ;+∞ ; 2
3 х + 4 = 3 − 2 х + 1 , возводим в квадрат 3х + 4 = 9 – 6 2 х + 1 + 2х + 1; х – 6 = – 6 2 х + 1 ; 6 2 х + 1 = 6 – х; О.Д.З. 6 – х ≥ 0, возводим в квадрат 36(2х + 1) = 36 – 12х + х2; 1 х ≤ 6, т.е. х ∈ − ;6 – общая О.Д.З.; 2 72х + 36 = 36 – 12х + х2; х2 – 84 х = 0. Решим: х(х – 84) = 0, x1 = 0 входит в О.Д.З.; х2 = 84 не входит в О.Д.З. Ответ: x = 0. 4 х − 3 ≥ 0 3 ; х ∈ ;+∞ ; 2) 4 х − 3 + 5 х + 4 = 4; О.Д.З. 5 х + 4 ≥ 0 4 5 x + 4 = 4 − 4 x − 3 , возводим в квадрат
5х + 4 = 16 – 8 4 х − 3 + 4х – 3 х – 9 = – 8 4 х − 3 запишем еще один О.Д.З.9 – х ≥ 0, возводим в квадрат х2 – 18х + 81 = 64(4х + 3); 3 х ≤ 9, т.е. х ∈ ; 9 – общая О.Д.З.; 4 2 х – 18х + 81 = 256х – 192; х2 – 274х + 273 = 0. Решим: х1 = 273, х2 = 1; х1 = 273 – не входит в О.Д.З., x1 = 1 – входит в О.Д.З. Ответ: x = 1. 59
х − 7 ≥ 0 х − 7 − х + 17 = −4; О.Д.З. ; х + 17 ≥ 0
3)
х ∈ [7; + ∞ );
x + 17 = x − 7 + 4 , возводим в квадрат
х + 17 = 16 + 8 х − 7 + х – 7 8 = 8 х−7 1 = х − 7 , х – 7 = 1, х = 8 входит в О.Д.З. Ответ: х = 8. х + 4 ≥ 0 О.Д.З. ; х −1 ≥ 0
х + 4 − х − 1 = 1;
4)
х ∈ [1; + ∞ );
x + 4 = 1 + x − 1 , возводим в квадрат
х + 4 = 1 + 2 х − 1 + х – 1; 4 = 2 х −1 ; 2 = х − 1 , х – 1 = 4, х = 5 входит в О.Д.З. Ответ: х = 5. 205. 1)
х ≥ 0 4 + х = 19 − 2 х ; О.Д.З. ; 19 − 2 х ≥ 0
возводим в квадрат 4 +
1 х ∈ 0; 90 ; 4
х = 19 – 2 х ;
3 х = 15, тогда х = 5; х = 25 – входит в О.Д.З. Ответ: х = 25. х ≥ 0 7 + х = 11 − х ; О.Д.З. ; 11 − х ≥ 0 возводим в квадрат 2)
7+
х = 11 –
х
2 х = 4; х = 2; х = 4 – входит в О.Д.З. Ответ: х = 4. 60
х ∈ [0; 121];
206. 1) х − 2 > 3; О.Д.З. и возведем в квадрат х − 2 ≥ 0 х ≥ 2 ; ; х>11 х − 2 > 9 х > 11
Ответ: х ∈ (11; + ∞). х − 2 ≥ 0 х ≥ 2 ; ; 2) х − 2 ≤ 1 ; х − 2 ≤ 1 х ≤ 3 2≤х≤3. Ответ: х ∈ [2; 3]. 2 − х ≥ 0 х ≤ 2 х ≤ 2 3) 2 − х ≥ х ; ; ; . 2 2 2 − х ≥ х х + х − 2 ≤ 0 ( х + 2)( х − 1) ≤ 0
Ответ: х ∈ ( – ∞; 1]. 2 − х ≥ 0 х ≤ 2 х ≤ 2 ; х ≥ 0 ; х ≥ 0 . 4) 2 − х < х ; х ≥ 0 2 2 2 − х < х х + х − 2 > 0 х < −2 или х > 1
Ответ: х ∈ (1; 2]. 5)
5 х ≥ 0 х ≥ 2,2 5 х + 11 > х + 3 ; 2 2 5 х + 11 > х + 6 x + 9 х + х − 2 < 0
Ответ: х ∈ ( – 2; 1) х + 3 ≥ 0 ; 6) х + 3 ≤ х + 1 ; х + 1 ≥ 0 2 х + 3 ≤ х + 2х + 1
х ≥ −3 . х ≥ −1 2 х + х − 2 ≥ 0
Ответ: х ∈ [1; + ∞). 61
207. ВС – АС ≤ 0,02. Если АС = х, 1 то ВС = х 2 + . 4 Получим 1 ≤ 0,02 + х ; О.Д.З.; 4 0,02 + х ≥ 0 2 1 2 х + 4 ≤ 0,0004 + 0,04 x + х . х ≥ −0,02 х ≥ −0,02 ; . 0 , 04 x ≥ 0 , 2496 х ≥ 6,24
х2 +
1 − х ≤ 0,02 ; 4
х2 +
Возведем в квадрат
Ответ: на расстоянии ≥ 6,24 (м). 208. 1 , значит, 2х + 1 ≠ 0, 2х +1 1 1 1 x ≠ − , тогда х ∈ − ∞; − ∪ − ; ∞ ; 2 2 2
1) у =
2) у = (3 – 2х) – 2, тогда 3 – 2х ≠ 0, х ≠ 1,5, значит х ∈ (−∞; 1,5)∪ (1,5; ∞ ) ; 3) у = − 5 − 3 х , значит – 5 – 3х ≥ 0; – 3х ≥ 5; 2 2 х ≤ − 1 , тогда х ∈ − ∞; − 1 ; 3 3
4) у = 3 7 − 3 х , имеет смысл для любого x, т.е. х ∈ (−∞; ∞) . 209.
62
1)
4
2,7 < 4 2,9 , т.к. 2,7 , т.к. > и 7 8 7 8
4
х – возрастает;
3) ( – 2)5 > ( – 3)5 т.к. у = х5 – возрастает и – 2> – 3; 5 5 2 3 2 3 4) 2 < 2 т.к. у = х5 – возрастает и 2 < 2 . 3 4 3 4 210. 1) у = – 2х4;
2) у =
1 5 х ; 2
у – четная; у – нечетная; у возрастает, если х ∈ ( – ∞; 0), у возрастает для любого х; у убывает, если х ∈ (0; + ∞); 3) у = 24 х ;
4) у = 33 х ;
определена при х≥0; у – нечётная; у – ни чётная, ни нечётная; у – возрастает при всех значениях х. у – возрастает при всех х; 211. k , если k = – 4 расположены во II и IV квадрантах, x т.к. – 40. x у=
63
212.
А (1; 1) В ( – 1; – 1)
213. у = х 2 1) ; х2 = х3. у = х 3 Тогда х2 – х3 = 0; х2 (х – 1) = 0; х1 = 0; х2 = 1. Точки А (0; 0); В (1; 1). 1 1 y = 2) = 2 х. х ; y = 2х х 1− 2х = 0; х 1 – 2х2 = 0; 1 х2 = ; 2 2 2 , точки M ; х2 = − х1 = 2 2 Тогда
2 2 ; 2; N
2 − 2 ;− 2;
у = х 3) ; х =| x | . у =| x | Значит, х1 = 0; х2 = 1, точки M (0; 0), N (1; 1); у = 3 х 4 1 3 3 =1. ; 4) x х ; = 1 х у = х Получим х1 = 1; х2 = – 1, точки M (1; 1), N ( – 1; – 1). 64
214. 1) х4 ≤ 81; 2) х5 >32; 2 2 2 (х – 9)( х + 9) ≤ 0, т.к. x + 9>0, то х5 > 25, значит (х – 3)( х + 3) ≤ 0. х > 2. Ответ: х ∈ [ – 3; 3].
Ответ: х ∈ (2; + ∞).
6
4) х5 ≤ – 32; х5 ≤ ( – 2)5, получим х ≤ – 2. Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2].
3) х > 64; х2 >4; х2 – 4 >0, тогда (х – 2)(х + 2) > 0; х>2 или x< – 2.
Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2)∪(2; + ∞). 215. 1) 3 − х = 2 по О.Д.З.; 3 – х = 4; х ≤ 3; х = – 1 входит в О.Д.З. Ответ: х = – 1. 2)
3 х + 1 = 7 по О.Д.З.; 1 3
3х + 1 = 49 3х + 1 ≥ 0, x ≥ − ; 3х = 48; х = 16 входит в О.Д.З. Ответ: х = 16. 3)
х ≥ 0 ; 3 − 11х = 2 х по О.Д.З. 3 − 11х ≥ 0
возводим в квадрат 3 – 11х = 4х2; 0≤х≤
3 ; 11
4х2 + 11х – 3 = 0. Решим: −11 ± 13 1 х1, 2 = х1 = ; входит в О.Д.З. х 2 = −3 не входит в 8 4 О.Д.З. 1 Ответ: x = . 4 65
х ≥ 0 ; 5 х − 1 + 3 х 2 = 3 х по О.Д.З. 2 3х + 5 х − 1 ≥ 0 возводим в квадрат: 3х2 + 5х – 1 = 9х2; х ∈ (0,2; ∞); 6х2 – 5х + 1 = 0. Решим: D = 25 – 24 = 1 > 0; 5 ±1 1 1 ; х1, 2 = х1 = и х2 = входят в О.Д.З. 12 2 3 1 1 Ответ: x1 = ; x2 = . 2 3 х − 2 ≥ 0, х ≥ 2 5) 2 х − 1 = х − 2 по О.Д.З. . 2 х − 1 ≥ 0 Возведем в квадрат: 2х – 1 = х2 – 4х + 4; х ≥ 2; х2 – 6х + 5 = 0. Решим: х1 = 5; х2 = 1 не входит в О.Д.З. Ответ: x = 5. х + 3 ≥ 0 х ≥ −3 6) 2 − 2 х = х + 3 по О.Д.З. ; . 2 − 2 х ≥ 0 х ≤ 1 Возводим в квадрат: 2 – 2х = х2 + 6х + 9; х2 + 8х + 7 = 0. Решим: х1 = – 7 не входит в О.Д.З.; х2 = – 1 – входит в О.Д.З. Ответ: – 1. 4)
216. 3 1) у = х 2 + 2 х − 15 , при всех x имеет смысл х ∈ ( – ∞;∞);
2) у = 4 13х − 22 − х 2 ; – х2 + 13х – 22 ≥ 0; х2 – 13х + 22 ≤ 0. Решим уравнение x2 – 13x + 22 = 0. Корни х1 = 11; х2 = 2, тогда 2 ≤ х ≤ 11. Ответ: х ∈ [2; 11]. 66
3) у =
х2 + 6 х + 5 х+7
х2 + 6х + 5 ≥ 0 . Решим x2 + 6x + 5 = 0; х+7 ( x + 1)( x + 5) х1 = – 1; х2 = – 5; значит, ≥ 0. x+7
Значит,
Ответ: х ∈ ( – 7; – 5]∪[ – 1; + ∞). 4) у =
х2 − 9 х + 8х + 7 2
х2 −9 х 2 + 8х + 7
≥ 0 . Решим (x2 – 9)(x2 + 8x + 7) = 0;
х1 = 3; х2 = – 3; х3 = – 7; х4 = – 1 исключая x3 и x4.
Ответ: х ∈ ( – ∞; – 7)∪[ – 3; – 1) ∪ [3; + ∞). 217. 1 , ( х − 3) 2 у убывает, если х > 3; 1 2) у = , х < 2. ( х − 2)3 Если х1 = 0, х2 = 1, x1<x2, 1 у (0) = − то 8 ; у1 > y 2 , тогда у (1) = −1 т.к. х1 < x2, y1 > y2, то y – убывает, если x < 2;
1) у =
y
3) у = 3 х + 1 , х ≥ 0. Пусть х1 = 7, х2 = 26; у1 = 3 8 = 2
; у1 < у 2 , и т.к. х1 < x2, то получим, что у2 = 3 27 = 3 у – возрастает, если х ≥ 0; 67
4) у =
1
, х < – 1/ х +1 Пусть х1 = – 8, х2 = – 27, x1>x2; 1 1 у1 = 3 =− 2 1 1 −8 ; − >− , 1 1 3 2 у2 = 3 =− 3 − 27 получим, что у1 < y2, x1 > x2, значит у – убывает, если х < – 1. 3
218. 1) у = х6 – 3х4 + х2 – 2; четная; 2) у = х5 – х3 + х; нечетная; 1 3) у = +1; (х − 2)2 ни четная ни нечетная; 4) у = х7 + х5 + 1; ни четная ни нечетная/ 219. 1) у =
1 х
2
;
2) у =
1 ; х3
1. у – чётная; 1. у – нечетная; 2. у возрастает, 2. у убывает, если х ∈ ( – ∞; 0); если х ∈ ( – ∞; 0)∪ (0; + ∞); 3. у убывает, если х ∈ (0; + ∞); 68
3) у =
1 + 2; х3
4) у = 3 −
1 ; х2
1. у – ни четная, ни нечетная; 2. у убывает, если х ∈ ( – ∞; 0)∪ (0; + ∞); 1 5) у = +1; (3 − х )2
1. у – четная; 2. у возрастает, если х>0 у убывает, если x1; б) у – ни четная, ни нечетная.
220. 1) (3х + 1)4 > 625; (3х + 1)2 – 25 > 0, т.к. (3x + 1)2 + 25>0; (3х + 1 – 5)(3х + 1 + 5) > 0; получим (3х – 4)(3х + 6) > 0.
1 3
Значит, x < – 2 или x > 1 .
2) (3х2 + 5х)5 ≤ 32; (3х2 + 5х) ≤ 2. Тогда 3х2 + 5х – 2 ≤ 0; 1 х1 = – 2; х 2 = 3
1 3
Поэтому – 2 ≤ x ≤ 1 ; 1 ) ≤ 0. 3 1 Ответ: х ∈ [ – 2; ]. 3
(х + 2)(х – 1 3
Ответ: х ∈ ( – ∞; – 2)∪( 1 ; + ∞).
69
221. 1)
2 х 2 + 5 х − 3 = х + 1 по О.Д.З.
х + 1 ≥ 0 1 ; х ∈ ( ; + ∞). 2 2 2 х + 5 х − 3 ≥ 0 Возводим в квадрат 2х2 + 5х – 3 = х2 + 2х + 1; х2 + 3х – 4 = 0. Решим: х1 = 1; х2 = – 4 – не входит в О.Д.З. Ответ: х = 1. 2)
3х 2 − 4 х + 2 = х + 4 ; О.Д.З.:
х + 4 ≥ 0 ; х ∈ ( – 4; + ∞). 2 3х − 4 х + 2 ≥ 0 Возводим в квадрат 3х2 – 4х + 2 = х2 + 8х + 16; 2х2 – 12х – 14 = 0; х2 – 6х – 7 = 0. Решим: х1 = 7; х2 = – 1 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 7; х2 = – 1. х + 11 ≥ 0 ; х ≥ 0. 3) х + 11 = 1 + х ; О.Д.З.: х ≥ 0 Возводим в квадрат х + 11 = 1 + 2 х + х; 10 = 2 х ; х = 5. Тогда х = 25 входит в О.Д.З. Ответ: х = 25.
х + 19 ≥ 0 ; х ≥ 0. х + 19 = 1 + х ; О.Д.З.: х ≥ 0 Возводим в квадрат 4)
х + 19 = 1 + 2 х + х; 2 х = 18; х = 9; х = 81 входит в О.Д.З. Ответ: х = 81.
70
5)
х + 3 ≥ 0 х + 3 + 2 х − 3 = 6; О.Д.З. : ; х ∈ [1,5; ∞ ); 2 х − 3 ≥ 0
2x − 3 = 6 − x + 3 . Возводим в квадрат
2х – 3 = 36 – 12 х + 3 + х + 3; х – 6 – 36 = – 12 х + 3 . Возводим в квадрат (х – 42) = – 12 х + 3 , О.Д.З. х – 42 ≤ 0, т.е. х ∈ [1,5; 42] ; (х2 – 84х + 1764) = 144(х + 3); х2 – 228х + 1332 = 0. Решим х1 = 222; х2 = 6, х1 = 222 – не входит в О.Д.З. Ответ: x = 6. 7 − х ≥ 0 5 ; х ∈ ; 7 ; 6) 7 − х + 3 х − 5 = 4; О.Д.З. : 3 х − 5 ≥ 0 3 3x − 5 = 4 − 7 − x . Возводим в квадрат 3х – 5 = 16 – 8 7 − х + 7 – х;
4х – 5 – 16 – 7 = – 8 7 − х ; 4х – 28 = – 8 7 − х ; х – 7 = – 2 7 − х ; О.Д.З.: 5 х – 7≤0, т.е. x ∈ ; 7 . 3 Возводим в квадрат х2 – 14х + 49 = 28 – 4х; х2 – 10х + 21 = 0. Решим х1 = 3; х2 = 7 входят в О.Д.З. Ответ: х1 = 3; х2 = 7. 222. 1)
х 2 − 8 х > 3 ; x > 9 или x < – 1;
х 2 − 8 х ≥ 0 х(х − 8) ≥ 0 . 2 2 х − 8 х > 9 х − 8 х − 9 > 0
Ответ: х∈ ( – ∞; – 1)∪(9; + ∞). 71
2)
х 2 − 3 х < 2;
х2 − 3х ≥ 0 х(х − 3) ≥ 0 х ≥ 3 или х ≤ 0 ; 2 ; . 2 х − 3х < 4 х − 3х − 4 < 0 −1 < x < 4
Ответ: х∈ ( – 1; 0]∪[3;4). 3)
3х − 2 > х − 2 ;
2 2 3х − 2 ≥ 0 х ≥ х ≥ ; 3 ; 3 . 2 3х − 2 > х − 4х + 4 2 х − 7х + 6 < 0 1 < x < 6
Ответ: х∈ (1; 6). 4)
2х + 1 ≤ х − 1 ;
1 х ≥ − 2 2 х + 1 ≥ 0 x > 1 ; х ≥ 1 ; х − 1 ≥ 0 x ≤ 0 или 2 2 2 х + 1 ≤ х − 2 х + 1 х − 4 х ≥ 0
. x≥4
Ответ: х ∈[4; + ∞).
Глава IV. Элементы тригонометрии
223. 1) 40° =
40π 2π рад.; = 180 9
105 7π рад.; π= 180 12 75 5π π= 5) 75° = рад.; 180 12
3) 105° =
72
2) 120° =
120π 2π рад.; = 180 3
150 5π рад.; π= 180 6 32 8π π= 6) 32° = рад.; 180 45
4) 150° =
7) 100° =
100 5π π= рад.; 180 9
8) 140° =
140 7π π= рад. 180 9
224. 1)
π 180° = = 30° ; 6 6
2π 2 ⋅180 = = 120° ; 3 3 180° 360 5) 2 = ⋅2 = ° ; π π 180° 3 270 ⋅ = 7) 1,5 = ° ; π 2 π
3)
225. π 3,141 1) ≈ ≈ 1,57; 2 2
2)
π 180° = = 20° ; 9 9
4)
3 3 ⋅ 180° π = = 135° ; 4 4
180° 720 = ° ; π π 180° 36 324 ⋅ = 8) 0,36 = ° . π 100 5π
6) 4 = 4 ⋅
3 3 ⋅ 3,141 ≈ 4,71; π≈ 2 2 2 2 ⋅ 3,141 ≈ 2,09. 4) π ≈ 3 3 2)
3) 2π ≈ 2 ⋅ 3,141 = 6,28; 226. π –1;
3) нет, т.к. –
4) да, т.к. –1 < 2 –
2 < –1;
π + πn, n ∈ ∧; 2
π + 2πn, n ∈ ∧. 2
2 < 1. 79
80
251.
π π 2 2 = 2 +1 1) 2 sin α + 2 cosα = 2 sin + 2 sin = 2⋅ + 2 ⋅ 4 4 2 2 2) 0,5 cosα − 3 sin α = π π 1 1 3 1 3 5 = − =− = 0,5cos − 3 sin = ⋅ − 3 ⋅ 3 3 2 2 2 4 2 4
3) sin 3α − cos 2α = sin 4) cos
3π 2π 1 1 − cos = 1− = 6 6 2 2
2 1 π π α α + = = cos + sin = + sin 2 3 4 6 2 2
252. 1) sin x = –1
2 +1 2
2) cos x = –1
π x = – + 2πn n ∈ Z 2
x = π + 2πn n ∈ Z
3) sin3x = 0
4) cos 0,5x = 0
Тогда 3x = πn, n ∈ Z
Значит 0,5x =
πn n∈Z 3 5) cos2x – 1 = 0 cos2x = 1 Отсюда 2x = 2πn n ∈ Z
x=
x = πn n ∈ Z
π + πn, n ∈ Z 2
x = π + 2πn n ∈ Z 6) 1 – cos3x = 0 cos3x = 1 3x = 2πn, n ∈ Z 2πn x= n∈Z 3
253. 1) cos12° ≈ 0,98; 2) sin38° ≈ 0,62 3) tg 100° ≈ –5,67 4) sin400° = sin(360° + 40°) = sin40° ≈ 0,64 5) cos2,7 ≈ cos158° =cos(180° –22°)= –cos22° ≈ –0,93 6) tg(–13)≈ –tg745°= –tg(720° +25°)= –tg(360°⋅ 2 + 25°)= = –tg25°≈–0,47 π 7) sin = 0,5 6 π 8) cos − ≈ cos26°≈ 0,9 7 80
254. 1) I четв. 2) II четв. 3) III четв. 4) II четв. 5) I четв. 6) II четв. 255. 5π 3π 5π III четв. < < 0 , т.к. π < 4 4 2 π 5π 5π > 0 , т.к. 2) sin < < π II четв. 6 2 6
1) sin
5π π 5π ) < 0 , т.к. − π < − < − IV четв. 8 2 8 4π 3π 4π ) > 0 , т.к. − 4) sin(− 0 , I четв. 6) sin 510° > 0 , II четв. 3) sin(−
256. 1) cos
2π 7π < 0 , II четв. 2) cos < 0 , III четв. 3 6
3π ) < 0 , III четв. 4 5) cos290° > 0, IV четв.
3) cos(−
2π ) > 0 , IV четв. 5 6) cos(–150°) < 0, III четв.
4) cos(−
257. 5 6
5 ctg π < 0 , II четв. 6 −3π 3) tg >0 5 −3π ctg > 0 , III четв. 5
12 π >0 5 12 ctg π > 0 , II четв. 5 5π 4) tg − < 0 4 5π ctg − < 0 , II четв. 4
5) tg190° > 0 ctg190° > 0, III четв. 7) tg172° < 0 ctg172° < 0, II четв.
6) tg283° < 0 ctg283° < 0, IV четв. 8) tg200° > 0 ctg200° > 0, III четв.
1) tg π < 0
2) tg
81
258. 1) если π < α
0, ctgα > 0 2) если
3π 7π , то 0, tgα < 0, ctgα < 0 3) если
7π < α < 2π , то 4
sinα < 0, cosα > 0, tgα < 0, ctgα < 0 4) если 2π < α < 2,5π , то sinα > 0, cosα > 0, tgα > 0, ctgα > 0 259. a) sin1 > 0, cos1 > 0, tg1 > 0 б) sin3 > 0, cos3 < 0, tg3 < 0 в) sin(–3,4) > 0, cos(–3,4) < 0, tg(–3,4) < 0 г) sin(–1,3) < 0, cos(–1,3) > 0, tg(–1,3) < 0 260. π −α > 0 2 4) sin (π − α ) > 0
1) sin
7) cos α −
π >0 2
π +α < 0 2 5) cos (α − π ) < 0
2) cos
8) ctg α −
3π −α > 0 2 6) tg (α − π ) > 0
3) tg
π 0 . 4 4
263. 1) sin 0,7 > sin 4, т.к. sin 0,7 > 0, sin4 < 0; 2) cos 1,3 > cos 2,3, т.к. cos 1,3 > 0, cos2,3 < 0. 264. 1) sin (5π + x) = 1; sin(4π + π + x) = 1, но sin( α + 2kπ )=sin α , где k∈∧ тогда sin(π + x) = 1; π +2πn, 2 π и x = – + 2πn, n∈ ∧; 2
π+x=
2) cos (x + 3π) = 0; cos (x+ π+2π) = 0, но т.к. cos( 2πk + α )=cos α , то cos(x+ π) = 0; n∈ z x + π = x=
π +πn, n∈ ∧ 2
π + πn, n∈ ∧; 2
5π 3) cos + x = −1; 2
9 4) sin π + x = −1; 2
π cos 2π + + x = −1, 2 т.к. cos( α + 2πk )=cos α , то π cos + x = −1; 2
π sin 2 ⋅ 2π + + x = −1, 2 т.к. sin( 2πk + α )=sin α , то π sin + x = −1; 2
π + х = π + 2πn 2
π π + х = − + 2πn 2 2
иx=
π + 2πn, 2
n ∈ ∧;
и x = π + 2πn, n∈ ∧.
265. Т.к. sin α + cosα < 0, то М ∈ III четв., где cos α < 0, sin α 1, то sin α > 0, cosα < 0, значит, М ∈ II четв. 83
267. 3π < α < 2π , то sin α < 0, тогда 2
1) Т.к.
sin α = – 1 − cos 2 α =
1−
25 = 169
144 2 122 12 = =− ; 169 13 132
sin α −12 ⋅ 13 12 = =- . cos α 13 ⋅ 5 5 π 2) Т.к. < α < π , tgα =
2
то cos α < 0, тогда cos α = − 1 − sin 2 α = − 1 − 0,64 = − 0,36 = −0,6; sin α 0,8 4 = =− . cosα − 0,6 3 π 3) Т.к. < α < π , то sin α > 0, поэтому 2 tgα =
sin α = 1 - cos 2 α =
1−
9 16 = = 25 25
42 5
2
=
4 ; 5
sin α 4 5 4 tgα = =− ⋅ =− ; cos α 5 3 3 1 3 =− . tgα 4
сtgα =
3π , то cos α < 0, тогда 2
4) Т.к. π < α
0, тогда 2
sin α = 1 − cos α = 1 −
1 2 2 = ; 9 3
π π π 1 2 2 2 2 4− 2 + ⋅ = . cos α − = cos α ⋅ cos + sin α ⋅ sin = − ⋅ 4 4 4 3 2 3 2 6
296. 1) cos3α ⋅ cosα – sinα ⋅ sin3α = cos(3α + α) = cos4α; 2) cos5β ⋅ cos2β + sin5β ⋅ sin2β = cos(5β – 2β) = cos3β; π 5π π 5π 3) cos + α cos - α sin + α sin -α = 14 7 14 7 5π π π = cos + α + - α = cos = 0 ; 14 2 7 7π 2π 7π 2π 4) cos + α ⋅ cos + α + sin + α ⋅ sin +α = 5 5 5 5 2π 7π = cos +α − − α = cos π = −1 . 5 5 297. π π 1) cos(α + β ) + cos − α cos − β = cos α ⋅ cos β − 2 2 − sin α ⋅ sin β + sin α ⋅ sin β = cosα ⋅ cos β ; 96
π π π π 2) sin - α sin - β - cos(α − β ) = sin ⋅ cosα − cos ⋅ sin α x 2 2 2 2 π π x sin ⋅ cos β − cos ⋅ sin β - (cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β ) = 2 2 = cosα ⋅ cos β − cosα ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β = − sin α ⋅ sin β . 298. 1) sin73° ⋅ cos17° + cos73° ⋅ sin17° = sin(73° + 17°)=sin90°=1; 2) sin73° ⋅ cos13° – cos73° ⋅ sin13° = sin(73° – 13°)=sin60°=
3 ; 2
5π π 5π 5π π π π + sin ⋅ cos =sin + =sin =1; ⋅ cos 12 12 12 12 12 12 2 7π π 7π 7π π π π 4) sin – sin ⋅ cos =sin − =sin =1. ⋅ cos 12 12 12 12 2 12 12
3) sin
299. 1) Т.к. π < α
0, тогда cosα = 1 − sin 2 α = 1 −
Т.к. 0 < β
0, тогда cos β = 1 − sin 2 α = 1 −
64 15 ; = 289 17
cos(α + β) = cosα⋅cosβ – sinα⋅sinβ =
4 15 3 8 60 24 84 = ⋅ − − ⋅ = + = ; 5 17 5 17 85 85 85 4 15 3 8 60 24 36 − = . cos(α – β) = ⋅ + − ⋅ = 5 17 5 17 85 85 85
98
302. Т.к.
π < α < π , то sinα > 0; 2
sinα = 1 − cos 2 α = 1 − 0,64 = 0,36 = 0,6 . 3π Т.к. π < β < , 2
то cosβ < 0; cosβ = – 1 − sin 2 α = − 1 −
144 5 =− ; 169 13
sin(α – β) = sinα⋅cosβ – cosα⋅sinβ =
5 12 −15 48 63 − =− . − (−0,8) ⋅ − = 13 65 65 65 13
= 0,6 ⋅ −
303. 2π 2π π 2 1) cos π − α + cosα + = cos ⋅ cos α + sin ⋅ sin α + 3 3 3 3 + cos
1 3 1 3 π π ⋅ cosα − sin ⋅ sin α = − cosα + sin α + cosα − sin α = 0 ; 2 2 2 2 3 3
2 2π 2π π 2) sinα + π − sin − α = sinα ⋅ cos + cosα ⋅ sin − 3 3 3 3 1 3 3 1 π π − sin ⋅ cosα + cos ⋅ sinα = − sinα + cosα − cosα + sinα = 0 ; 2 2 3 3 2 2 2 cos α sin β + sin(α − β ) 2 cos α sin β + sin α cos β − cos α sin β 3) = = 2 cos α cos β − cos(α − β ) 2 cos α cos β − cos α cos β − sin α sin β =
cos α sin β + sin α cos β sin(α + β ) = = tg (α + β ) ; cos α cos β − sin α sin β cos(α + β )
4)
cos α cos β − cos(α + β ) cos α cos β − cos α cos β + sin α sin β = = cos(α − β ) − sin α sin β cos α cos β + sin α sin β − sin α sin β
=
sin α sin β = tg α ⋅ tg β . cos α cos β
304. 1) sin(α – β)⋅cos(α + β) = (sinαcosβ – cosα sinβ)( sinαcosβ + + cosα sinβ) = sin2α cos2β – cos2α sin2β = sin2α(1 – sin2β) – (1 – –sin2α) sin2β = sin2α – sin2α⋅ sin2β – sin2β + sin2α ⋅ sin2β=sin2α – sin2β; 99
2) sin(α – β)⋅cos(α + β) = (cosαcosβ – sinα sinβ)( cosαcosβ + + sinα sinβ) = cos2α cos2β – sin2α sin2β = cos2α(1 – sin2β) – – (1 – cos2α) sin2β = cos2α – cos2α⋅ sin2β – sin2β + cos2α ⋅ sin2β = = cos2α – sin2β; 2 2 π 2 cos α − 2 cos α + sin α 2 cos α − 2 cos − α 2 4 2 3) = = π 1 3 2 sin + α − 3 sin α 2 cos α + sin α − 3 sin α 2 6 2 2 cos α − 2 cos α − 2 sin α
=
cos α + 3 sin α − 3 sin α
=
− 2 sin α = − 2tgα ; cos α
1 3 π cos α − 2 cos α − sin α cos α − 2 cos + α 2 2 3 = 4) = π 3 1 2 sin α − − 3 sin α 2 sin α + cos α − 3 sin α 6 2 2 cos α − cos α + 3 sin α
=
3 sin α − cos α − 3 sin α
=
3 sin α = − 3tgα . − cos α
305. 1) cos6x ⋅ cos5x + sin6x ⋅ sin5x = – 1; cos (6x – 5x) = – 1. Тогда cos x = – 1; x = π + 2πn, n ∈ ∧; 2) sin3x ⋅ cos5x – sin5x ⋅ cos3x = – 1; sin (3x – 5x) = – 1; – sin2x = – 1; sin2x = 1. Значит, 2x =
π + 2πn; 2
x=
π + 2πn,n ∈ ∧; 4
3)
π 2 cos + x − cos x = 1 ; 4
2 2 2 cos x − sin x − cos x = 1 ; 2 2 cos x – sin x – cos x = 1; sin x = – 1. Поэтому x = – 100
π + 2πn, n ∈ ∧; 2
x π x 2 sin − + sin = 1 ; 2 4 2
4)
2 2 x x x 2 cos − sin + sin = 1 ; 2 2 2 2 2
x x x − sin + sin = 1 ; 2 2 2 x cos = 1 . 2 x Значит, = 2πn и x = 4πn, n ∈ ∧. 2 cos
306. 1)
tg 29° + tg31° = tg ( 29° + 31°) = tg 60° = 3 ; 1 − tg 29° ⋅ tg31°
7π 3π − tg 16 16 = tg 7π − 3π = tg π = 1 . 2) 7π 3π 4 16 16 ⋅ tg 1 + tg 16 16 tg
307. sinα cos β cosα sin β + cosα cos β cosα cos β tgα + tgβ sin(α + β ) sinα cosβ + cosα sin β = = = ; 1) sinα cos β cosα sin β tgα − tgβ sin(α − β ) sinα cosβ − cosα sin β − cosα cos β cosα cos β cosα cos β sinα sin β + sinα sin β sinα sin β ctgα ⋅ ctgβ + 1 cos(α − β ) cosα cosβ + sinα sin β = = . 2) = cosα cos β sinα sin β ctgα ⋅ ctgβ − 1 cos(α + β ) ctgα ⋅ ctgβ −1 − sinα sin β sinα sin β
308. 1) 2sin15°cos15° = sin2 ⋅ 15° = sin30° =
1 ; 2
2) cos215° – sin215° = cos2 ⋅ 15° – cos30° =
3 ; 2
3) (cos75° – sin75°)2 = cos275° – 2sin75°cos75° + sin275° = = 1 – sin150° = 1 – sin30° = 1 –
1 1 = ; 2 2
4) (cos15° + sin15°)2 = cos215° + 2sin15°cos15° + sin215° = 3 1 = 1 + sin30° = 1 + = . 2 2 101
309. π 8
1) 2 sin cos π 8
3) sin cos
2 2 π π π π π ; 2) cos 2 − sin 2 = cos = ; = sin = 8 4 2 8 8 4 2
2 1 π 1 1 π 1 + = sin + = + = 8 4 2 4 4 4 4
2 +1 ; 4
2
4) =
π π π π 2 2 − cos + sin = − 1 + 2 sin cos = 2 8 8 2 8 8
2 2 2 2 2 π − 1 + sin = − 1+ = −1− = −1 . 2 4 2 2 2 2 310. 1) Т.к.
π < α < π , то cos α < 0, тогда 2
9 4 =− ; 25 5 3 4 24 sin2α = 2 sin αcos α = 2 ⋅ − = − . 5 5 25 3π 2) Т.к. π < α < , то 2 cosα = − 1 − sin 2 α = − 1 −
sin α < 0, тогда sin α = –
1−
16 3 =− ; 25 5
3 4 24 sin2α = 2sin αcos α = 2 ⋅ − ⋅ − = − . 5 5
25
311. 1) sin2α = 1 – cos2α;
2)cos2α = 1 – sin2α;
sin2α = 1 –
cos2α = 1 –
16 9 = . 25 25
9 16 = . 25 25
Т.к. cos2α = cos2α – sin2α, то
Т.к. cos2α = cos2α – sin2α, то
cos2α =
cos2α =
16 9 7 ; − = 25 25 25
312. 2 sin α cosα sin 2α ; = 2 2 sin 2α π 2) cosα cos − α = sin α cosα = ; 2 2
1) sin α cosα =
102
16 9 7 . − = 25 25 25
3) cos4α + sin22α = cos22α – sin22α + sin22α = cos22α; 4) sin2α + (sinα – cosα)2 = 2sinαcosα + sin2α – 2sinαcosα + + cos2α = 1. 313. cos 2α + 1 cos 2 α − sin 2 α + cos 2 α + sin 2 α 2 cos 2 α = = = cosα ; 2 cosα 2 cosα 2 cosα sin 2α 2 sin α cosα 2 cosα 2) = = = 2ctgα ; 2 sin α 1 − cos α sin 2 α
1)
sin 2 α
3) =
(sin α + cos α )2 − 1
=
sin 2 α sin 2 α + 2 sin α cos α + cos 2 α − 1
=
sin 2 α 1 = tgα ; 2 sin α cosα 2 4)
1 + cos 2α cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α 2 cos 2 α 2 = = = ctg α . 2 1 − cos 2α cos 2 α + sin 2 α − cos 2 α + sin 2 α 2 sin α
314. 1) (sinα + cosα)2 – 1 = 1 + 2sinαcosα – 1 = 2sinαcosα = sin2α; 2) (sinα – cosα)2 = sin2α – 2sinαcosα + cos2α = 1 – sin2α; 3) cos4α – sin4α = (cos2α – sin2α)( cos2α + sin2α) = cos2α; 4) 2cos2α – cos2α = 2cos2α – cos2α + sin2α = cos2α + sin2α = 1. 315. 1) sinα + cosα =
1 . 2
Возведем в квадрат. Получим: (sinα + cosα)2 =
1 ; 4
3 1 1 ; sin2α = – 1 = – . 4 4 4 1 2) sinα – cosα = – . 3
1 + 2sinαcosα =
Возведем в квадрат (sinα – cosα)2 =
8 1 1 1 ; 1 – 2sinαcosα = ; sin2α = 1 – = . 9 9 9 9
316. 1) 1 + cos2α = sin2α + cos2α + cos2α – sin2α = 2cos2α; 2) 2sin2α = sin2α + cos2α – cos2α + sin2α = 1 – cos2α. 103
317. 1) 2 cos215° – 1 = 2 cos215° – (sin215° + cos215°) = = cos215° – sin215° = cos30° =
3 ; 2
2) 1 – sin222,5° = sin222,5° + cos222,5° – 2sin222,5° = = cos222,5° – sin222,5° = cos45° = 3) 2 cos 2 = cos
π π π π π π − 1 = 2 cos 2 − cos 2 + sin 2 = cos 2 − sin 2 = 8 8 8 8 8 8
2 π ; = 4 2
4) 1 - 2 sin 2
= cos
2 ; 2
π π π π π π - 2 sin 2 - sin 2 = cos 2 + sin 2 = cos 2 = 12 12 12 12 12 12
3 π . = 6 2
318. 1) 1 – 2sin25α=sin25α + cos25α – 2sin25α=cos25α – sin25α=cos10α; 2) 2cos23α – 1 = 2cos23α – (sin23α + cos23α) = = cos23α – sin23α = cos6α; 1 − cos 2α sin 2 α + cos 2 α − cos 2 α + sin 2 α 4 sin 2 α = = = 4 sin α ; α α 1 sin α sin cos sin α 2 2 2 α α 2α 2α 2 cos - 1 2 cos - cos 2 - sin 2 cos α 1 2 2 2 2 = 4) . = = 2 sin α ⋅ cos α 2 sin α cos α 2 sin α sin 2α
3)
319. 1)
cos 2α 2
sin α cos α + sin α cos α sin α = − = ctg − 1; sin α sin α
2)
sin 2α − 2 cosα 2
sin α − sin α
=
=
(cos α − sin α )(cos α + sin α ) = cos α − sin α sin α (cos α + sin α )
sin α
2 cosα (sin α − 1) 2 cosα =− = −2ctgα ; sin α (1 − sin α ) sin α
3) tgα ⋅ (1 + cos 2α ) = tgα ⋅ (cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α ) =
=
sin α ⋅ 2 cos 2 α = 2 sin α cos α = sin 2α ; cos α
104
=
4)
1 − cos 2α + sin 2α = 1 + cos 2α + sin 2α
cos 2 α + sin 2 α − cos 2 α + sin 2 α + 2 sin α cos α cos α ⋅ = cos 2 α + sin 2 α + cos 2 α − sin 2 α + 2 sin α cos α sin α 2 sin α (sin α + cos α ) ⋅ cos α = = 1. 2 cos α (sin α + cos α ) ⋅ sin α =
320. 1) sin2x – 2cosx = 0; 2cosx ⋅ sinx – 2cosx = 0; 2cosx (sinx – 1) = 0.
π x = + πn cos x = 0 ; ; Тогда 2 sin x − 1 = 0 sin x = 1
π x = 2 + πn, n ∈ Z . x = π + 2πn, n ∈ Z 2
π + πn . 2 2) cos2x + 3sinx = 1; cos2x – sin2x + 3sinx – sin2x – cos2x = 0; 3sinx – 2sin2x = 0; sinx ( – 2sinx + 3) = 0; n∈Z sin x = 0 x = πn, . − 2 sin x + 3 = 0; sin x = 1,5 − нет решения
Ответ:
Ответ: πn; n ∈ ∧. 3) 2sinx = sin2x; 2sinx – 2sinx ⋅ cosx = 0; 2sinx (1 – cosx) = 0; sin x = 0 x = πn, n ∈ Z x = πn, n ∈ Z ; . 1 − cos x = 0; cos x = 1 x = 2πn Ответ: πn. 4) sin2x = – cos2x; sin2x + cos2x – sin2x = 0; cos2x = 0; cosx = 0. π Ответ: + πn ; n ∈ ∧. 2
105
321. Т.к. tg 2α =
2 tgα 2
1 − tg α
, то tg 2α =
2 ⋅ 0,6 1,2 120 7 = = =1 . 1 − 0,36 0,64 64 8
322. 2 tg
1)
π 8
π 1 − tg 8 2
= tg
6 tg15° 1 π = 1 ; 2) = 3 ⋅ tg30° = 3 ⋅ = 3. 2 4 3 1 − tg 15°
323. 1) sin
13 π π π = sin 6π + = sin = 1 ; 2 2 2
2) sin17π = sin (18π – π) = – sinπ = 0; 3) cos7π = cos (8π – π) = cosπ = – 1; 4) cos
11 π π π = cos 6π − = cos = 0 ; 2 2 2
5) sin720° = sin (2 ⋅ 360°) = 0; 6) cos540° = cos (360° + 180°) = cos 180° = – 1. 324. 1) cos420° = cos (360° + 60°) = cos60° = 2) tg570° = tg (3 ⋅ 180° + 30°) = tg30° =
1 ; 2
1 3
3) sin3630° = sin (10⋅ 360° + 30°) = sin30° = 4) ctg960° = ctg (5 ⋅ 180° + 60°) = ctg60° =
; 1 ; 2
1 3
;
13π π π 1 = sin 2π + = sin = ; 6 6 6 2 11π 1 π π = tg 2π − = − tg = − 6) tg . 6 6 6 3
5) sin
325. 1) cos150° = cos (90° + 60°) = – sin60° = – 2) sin135° = sin (90° + 45°) = cos45° = 106
2 ; 2
3 ; 2
3) cos120° = – cos60° = –
1 ; 2
4) sin315° = sin (360° – 45°) = – 45° = –
2 . 2
326. 5π π π = tg π + = tg = 1 ; 4 4 4 7π 1 π π sin = sin π + = − sin = − ; 6 6 6 2 5π π π 1 cos = cos 2π − = cos = ; 3 3 3 2 11 π π π 1 sin − = − sin 2π − = sin = ; 6 6 2 6 π π 1 7π cos − = cos 2π + = cos = ; 3 3 2 3 π π 2π tg − = − tg π − = tg = 3 . 3 3 3
1) tg 2) 3) 4) 5) 6)
327. 1) cos630° – sin1470° – ctg1125° = cos(720° – 90°) – – sin(1440° + 30°) – ctg(1080° + 45°) = cos90° – sin30° – ctg45° = 3 1 =0– –1=– ; 2 2 2) tg1800° – sin495° + cos945° = 0 – sin135° + cos225° = = –sin(90° + 45°)+cos(180° + 45°)= –cos45° –cos45° = – 2⋅
2 =– 2
2;
31π 7π − tg = − sin(6π + π ) − 3 4 π π π π − 2 cos10π + − tg 2π − = − sin π − 2 cos + tg = 3 4 3 4 1 = 0 − 2 ⋅ + 1 = −1 + 1 = 0 ; 2 π 21π 49π 4) cos( −9π ) + 2 sin − = cos π − 2 sin 8π + + − ctg − 6 6 4 π π π 1 + ctg 5π + = −1 − sin + ctg = −1 − 2 ⋅ + 1 = −1 − 1 + 1 = −1 . 4 6 4 2 3) sin( −7π ) − 2 cos
107
328. 1) cos2(π – α) + sin2(α – π) = cos2α + sin2α = 1; 2) cos(π – α)cos(3π – α) – sin(α – π)sin(α – 3π) = = cos(π – α)cos(3π – α) – sin(π – α)sin(3π – α) = cos(π – α + 3π – α) = = cos(4π – 2α) = cos2α. 329. 1) cos723° + sin900° = cos(360°⋅20 + 30°) + sin(360°⋅2 + 180°) = = cos30° + sin180° =
3 3 ; +0 = 2 2
2) sin300° + tg150° = sin(360° – 60°) + tg(180° – 30°) = = – sin60° – tg30° = –
3 3 −5 3 ; − = 2 3 6
3) 2 sin 6,5π − 3 sin
19π π π = 2 sin 6π + - 3 sin 6π + = 3 2 3
π π 3 3 1 = 2− = ; - 3 sin = 2 − 3 ⋅ 2 3 2 2 2 1 61π π 1 π 4)) 2 cos 4,25π − cos cos10π + = = 2 cos 4π + −
= 2 sin
3
6
4
3
6
π π 2 1 3 1 1 1 − cos = 2 ⋅ − ⋅ = 1− = ; 4 6 2 2 2 3 3 2 π − sin 6π + − tg (6π + π ) sin(−6,5π ) + tg (−7π ) 2 5) = = cos(−7π ) + ctg (−16,25π ) π cos(6π + π ) − ctg 16π + 4 π − sin − tgπ −1− 0 1 2 = = = ; π −1−1 2 cos π − ctg 4 cos(−540°) + sin 480° cos(720° − 180°) + sin(360° + 120°) 6) = = tg 405° − ctg 330° tg (360° + 45°) − ctg (360° − 30°)
= 2 cos
3 −1 + ( 3 − 2)(1 − 3 ) 5 − 3 3 cos 180° + sin 120° 3 −2 2 = . = = = = tg 45° + ctg 30° 4 1+ 3 2(1 + 3 ) 2(1 + 3 )(1 − 3 )
108
330. π sin − α + sin(π − α ) cosα + sin α 2 = = −1 ; 1) cos(π − α ) + sin( 2π − α ) − cosα − sin α π cos(π − α ) + cos − α 2 − cosα + sin α 2) = = 1; π sin α − cosα sin(π − α ) − sin − α 2 − sin α ⋅ ( − tgα ) sin(α − π ) tg (π − α ) ⋅ = = 1; 3) tg (α + π ) tgα ⋅ sin α π cos − α 2
π sin 2 (π − α ) + sin − α 2 sin 2 α + cos 2 α 4) ⋅ tg (π − α ) = ⋅ (−tgα ) = sin(π − α ) sin α =
1 sin α 1 ⋅− . =− sin α cosα cosα
331. Пусть α , β , γ – углы треугольника, sinγ = sin(180° – (α + β)) = sin180°⋅cos (α + β) – – cos180° ⋅ sin (α + β) = 0⋅cos (α + β) – ( – 1)⋅sin (α + β) = sin (α + β). 332. 1)
π π π sin + α = sin ⋅ cos α + cos ⋅ sin α = 2 2 2 = 1 ⋅ cos α + 0 ⋅ sin α = cos α ;
2)
π π π cos + α = cos ⋅ cos α − sin ⋅ sin α = 2 2 2 = 0 ⋅ cos α − 1 ⋅ sin α = − sin α ;
3)
3π 3π 3π cos − α = cos ⋅ cos α + sin ⋅ sin α = 2 2 2 = 0 ⋅ cos α + (−1) ⋅ sin α = − sin α ;
4)
3π 3π 3π sin − α = sin ⋅ cos α − cos ⋅ sin α = 2 2 2 = −1 ⋅ cos α − 0 ⋅ sin α = − cos α . 109
333. π 1) cos − x = 1 ; 2 sinx = 1. π Тогда x = + 2πn, n ∈ Z . 4 3) cos (x – π) = 0; cosx = 0. Поэтому x =
π + 2πn, n ∈ Z . 4
2) sin (π – x) = 1; sinx = 1.
π + 2πn, 4 π 4) sin x − = 1 ; 2 – cosx = 1;
Значит x =
n∈Z .
cosx = – 1. Тогда x = π + 2πn, n ∈ Z.
334. π π + α - cos - α = 4 4
1) sin
2 2 2 2 cos α + sin α − cos α − sin α = 0 ; 2 2 2 2
=
π 6
π 3
2) cos - α - sin + α =
3 1 3 1 cos α + sin α − cos α − sin α = 0 . 2 2 2 2
=
336. 1) I четв.; 3) III четв.; 5) II четв. 337. 1) sin3π = 0; cos3π = – 1; 3) sin3,5π = – 1;
2) III четв.; 4) IV четв.;
2) sin4π = 0; cos4π = 1; π 5π 4) sin = sin = 1 ; 2 2 5π =0; 2
cos3,5π = 0;
cos
5) sinπn = 0; n − четное 1, cos πn = ; − 1 , n − нечетное
6) sin ((2n + 1)π) = 0;
110
cos ((2n + 1)π) = – 1, n ∈ Z.
338. 3π = 0 – 0 = 0; 2
1) sin3π – cos
2) cos0 – cos3π + cos3,5π = 1 – ( – 1) + 0 = 2; 3) sinπk + cos2πk = 0 + 1 = 1; 4) cos
(2k + 1)π (4k + 1) π = 0 - 1 = −1 . - sin 2 2
339. 1) Т.к.
π < α < π , то cosα < 0, тогда 2
cosα = − 1 − sin 2 α = − 1 −
1 6 . =− 3 3
3π , то tgα < 0, 2
2) Т.к. π < α
0, ctgα = ; = = tgα 2 2 4 2
1 + ctg2α =
1 sin α
4) Т.к. π < α < 1 + tg2α = cosα = –
1
sinα =
2
2
1 + ctg α
1
=
1+
1 8
=
8 = 9
2 2 . 3
3π , то cosα < 0, 2
1
,
cos 2 α
tgα =
1 2
1 + ctg α
=
1 1 1+ 2
1 2
=
=−
2 ; 2 2 − 6 . = 3 3
340. 1) 5sin2α + tgα ⋅ cosα + 5cos2α = = 5 (sin2α + cos2α) +
sin α ⋅ cosα = 5 + sinα; cosα
2) ctgα ⋅ sinα – 2cos2α – 2sin2α =
=
sin α 2 2 ⋅ sin α – 2 (sin α + cos α) = cosα – 2; cosα
111
3) 4)
3 2
1 + tg α
5 1 + ctg 2α
2 2 = 3 cos α . Т.к. cos α =
= 5 sin 2 α . Т.к. sin2α =
1 1 + tg 2α
;
1 1 + ctg 2α
.
341. π π 1) 2sin( – α) ⋅ cos − α – 2cos( – α) ⋅ sin − α = 2
2
2
= – 2sinα ⋅ sinα – 2cosα ⋅ cosα = – 2sin α – 2cos2α = = – 2(sin2α + cos2α) = – 2;
π π − α + 3sin2 − α = 2 2
2) 3sin(π – α)cos
= 3sinα ⋅ sinα + 3cos2α = 3(sin2α + cos2α) = 3; 3) (1 – tg( – α)) ⋅ (1 – tg(π + α))cos2α = (1 + tgα)(1 – tgα) ⋅ cos2α = = (1 – tg2α) ⋅ cos2α = cos2α – sin2α = cos2α;
1 = (1 + tg2α) ⋅ = 2 + − α 1 ctg ( ) 1 ctg α +
4) (1 + tg2( – α))⋅ =
(1 + tg 2α ) ⋅ tg 2α 1 + tg 2α
1
2
2 = tg α .
342. 3π 3π + α = cos α − cos α = −2 cos α . - α + sin 2 2
1) sin
1 1 , то значение выражения равно – . 4 2 π π 3 2) cos + α + cos − α = − sin α − sin α = −2 sin α . 2 2 1 1 Т.к. sinα = , то значение выражения равно – . 6 3
Т.к. cosα =
343. 1) 2sin75° ⋅ cos75° = sin150° = sin (180° – 150°) = sin30° = 2) cos275° – sin275° = cos150° = – cos (180° – 150°) = = – cos30° = – 112
3 ; 2
1 ; 2
2 ( 3 − 1) 2 3 2 1 6− 2 ; ⋅ − ⋅ = = 2 2 2 2 4 4 2⋅ 3 2 2 ( 3 + 1) 6+ 2 + = = . 4) sin75° = sin(45° + 30°) = 2⋅2 2⋅2 4 4
3) sin15°=sin(45° – 30°) =
344. π 1) cos2(π – α) – cos2 − α = cos2α – sin2α = cos2α;
2 π π 2) 2sin − α cos − α = 2 ⋅ cosα ⋅ sinα = sin2α; 2 2
cos 2 ( 2π + α ) − sin 2 ( 2π + α ) cos 2 α − sin 2 α cos 2α = = = ctg 2α ; 2 cosα sin α sin 2α π 2 cos(2π + α ) cos − α 2 π 2 sin(π − α ) sin − α 2 cosα sin α sin 2α 2 4) = = = tg 2α . 2 2 π cos 2α 2 2 cos sin α − α sin α − − sin (α − π ) 2
3)
345. 47π 1 π π π = sin 8π − = sin − = sin − = − ; 6 6 2 6 6 π π 25π 2) tg = tg 6π + = tg = 1 ;
1) sin
4
4
4
3) ctg
27π π π π = ctg 7π − = ctg − = ctg − = −1 ; 4 4 4 4
4) cos
21π 2 π π π . = cos 5π + = cos π + = − cos = − 4 4 4 4 2
346. 1)cos
π 23π 15π π π π = cos 6π − - sin 4π = cos − − sin − = - sin 4 4 4 4 4 4
π π 2 2 + sin = + = 2; 4 4 2 2 25π 10π π π π π 2) sin − tg = sin 8π + − tg 3π + = sin − tg = 3 3 3 3 3 3
= cos
=
3 3 ; − 3=− 2 2
113
3) 3cos3660° + sin( – 1560°) = 3cos(10 ⋅ 360° + 60°) + + sin( – 120° – 4 ⋅ 360°) = 3⋅cos60° – sin120° = 3⋅ =
1 – sin60° = 2
3 3 3− 3 − = ; 2 2 2
4) cos( – 945°) + tg1035° = cos( – 3 ⋅ 360° + 135°) + + tg(2,5 ⋅ 360° + 135°) = cos135° + tg135° = – cos45° – tg45° = =–
2 2+ 2 −1 = − . 2 2
347. 1) sin3 > cos4, т.к. sin3 > 0, cos4 < 0.
2) cos0 > sin5, т.к. sin5 < 0, cos0 = 1.
348. 1) sin 3,5 ⋅ tg3,5 =
sin 2 3,5 < 0 , т.к. sin23,5>0, cos3,5 0, т.к. cos5,01>0, sin0,73>0; 3)
tg13 < 0 , т.к. tg13>0, cos150, т.к. sin1>0, cos2 и tg3 0, n 1, 2 =
−3 ± 25 ; 2
n1 = 11, n2 = – 14 ∉ N ; не подходит, т.к. n∈N. Ответ: n = 11.
2) Если an = 104, то 104 = (n – 1)(n + 4); 104 = n2 + 3n – 4; n2 + 3n – 108 = 0. Решим: D = 9 + 432 = 441 > 0, n 1, 2 =
−3 ± 21 ; 2
n1 = 9, n2 = – 12 ∉ N ; не подходит, т.к. n∈N. Ответ: n = 9.
367. а2 = а1 = 256 = 162 = 16 ; а3 = а2 = 16 = 42 = 4 ; а4 = а3 = 4 = 22 = 2 .
120
368. 1) а 2 = sin
π π ⋅ a 1 = sin = 1 ; 2 2 π π а 4 = sin ⋅ a 3 = sin = 1 ; 2 2 π π а 6 = sin ⋅ a 5 = sin = 1 ; 2 2
π π а 3 = sin ⋅ a 2 = sin = 1 ; 2 2 π π а 5 = sin ⋅ a 4 = sin = 1 ; 2 2
2) а2 = cosπ = – 1; a4 = cosπ = – 1; а6 = cosπ = – 1.
а3 = cos( – π) = – 1; а5 = cos( – π) = – 1;
369. а3 = а12 – а2 = 22 – 3 = 1; а4 = а22 – а3 = 32 – 1 = 8; а5 = а32 – а4 = 12 – 8 = – 7. 370. 1) Пусть an = – 5n + 4; an + 1 = – 5(n + 1) + 4 = – 5n – 5 + 4; an + 1 = – 5n – 1; an – 1 = – 5(n – 1) + 4 = – 5n + 5 + 4; an – 1 = – 5n + 9; an + 5 = – 5(n + 5) + 4 = – 5n – 25 + 4; an + 5 = – 5n – 21. 2) Пусть an = 2(n – 10). Тогда an + 1 = 2(n + 1 – 10) = 2n + 2 – 20; an + 1 = 2n – 18; an – 1 = 2(n – 1 – 10) = 2n – 2 – 20; an – 1 = 2n – 22; an + 5 = 2(n + 5 – 10) = 2n + 10 – 20; an + 5 = 2n – 10. 3) Пусть an = 2 ⋅ 3n + 1. Тогда an + 1 = 2 ⋅ 3n + 2; an – 1 = 2 ⋅ 3n; an + 5 = 2 ⋅ 3n + 6. 1 4) Пусть an = 7⋅
n+2
2
1 Тогда an + 1 = 7⋅ 2
1 an – 1 = 7⋅ 2
n +1
n +3
. ;
1 ; an + 5 = 7⋅ 2
n +7
. 121
372. 1) Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то a2 = 2 + 5 = 7; a3 = 7 + 5 = 12; a4 = 12 + 5 = 17; a5 = 17 + 5 = 22;
2) Т.к. a2 = a1 + d, то a2 = – 3 + 2 = – 1; a3 = – 1 + 2 = 1; a4 = 1 + 2 = 3; a5 = 3 + 2 = 5.
373. 1) an + 1 = 3 – 4(n + 1); an + 1 – an = 3 – 4(n + 1) – 3 + 4n = 3/ − 4/ n/ − 4 − 3/ + 4/ n/ = −4 , т.к. разность an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 2) an + 1 = – 5 + 2(n + 1); an + 1 – an = – 5 + 2(n + 1) + 5 – 2n = – 5/ + 2/ n/ + 2 + 5/ − 2/ n/ = 2 , т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 3) an + 1 = 3(n + 2); an + 1 – an = 3(n + 2) – 3(n + 1) = 3/ n/ + 6 - 3/ n/ - 3 = 3, т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 4) an + 1 = 2(2 – n); an + 1 – an = 2(2 – n) – 2(3 – n) = 4 − 2/ n/ − 6 + 2/ n/ = −2 , т.к. an + 1 – an не зависит от n, то это – арифметическая прогрессия. 374. 1) an = a1 + (n – 1)d, n = 15, поэтому а15 = a1 + 14d = 2 + 14 ⋅ 3 = 2 + 42 = 44. Ответ: а15 = 44. 2) an = a1 + (n – 1)d, n = 20, тогда a20 = a1 + 19d; а20 = 3 + 19 ⋅ 4 = 3 + 76 = 79. Ответ: a20 = 79. 3) an = a1 + (n – 1)d, n = 18, тогда а18 = a1 + 17d; а18 = – 3 + 17 ⋅ ( – 2) = – 37. Ответ: a18 = – 37. 4) an = a1 + (n – 1)d, n = 11, тогда а11 = a1 + 10d; а11 = – 2 + 10 ⋅ ( – 4) = – 42. Ответ: a11 = – 42. 375. 1) а1 = 1; а2 = 6; d = 6 – 1 = 5; an = a1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1) ⋅ 5; an = 5n – 4; 122
2) а1 = 25; а2 = 21; d = 21 – 25 = – 4; an = a1 + (n – 1)d=25 + (n – 1) ⋅ ( – 4); an = – 4n + 29;
3) а1 = – 4; а2 = – 6; d = – 6 – ( – 4) = – 2; an = a1 + (n – 1)d = = – 4 + (n – 1) ⋅ ( – 2); an = – 2n – 2;
4) а1 = 1; а2 = – 4; d = – 4 – 1 = – 5; an = a1 + (n – 1)d = = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 5); an = – 5n + 6.
376. а1 = 44; d = 38 – 44 = – 6; an = a1 + (n – 1)d. Тогда – 22 = 44 + (n – 1) ⋅ ( – 6); 0 = 66 – 6n + 6; 6n = 50 + 22; 6n = 72; n = 12. 377. a1 = – 18; a2 = – 15; d = – 15 – ( – 18) = 3; an = a1 + (n – 1)d. Тогда 12 = – 18 + (n – 1) ⋅ 3; 30 = 3n – 3; 3n = 33; n = 11. Ответ: 12 является членом аn. 378. a1 = 1; a2 = – 5; d = – 5 – 1 = – 6; Тогда – 59 = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 6); – 60 = – 6n + 6; 6n = 66;
an = a1 + (n – 1)d. Значит – 46 = 1 + (n – 1) ⋅ ( – 6); 0 = 47 – 6n + 6; 6n = 53;
n = 11;
n=8
а11 = – 59 является членом an.
значит, – 46 не является членом an.
5 – не натуральное, 6
379. 1) an = а1 + (n – 1)d; а16 = а1 + 15 ⋅ d, т.к. a1 = 7, a16 = 67, то 67 = 7 + 15d; 15d = 60. Отсюда d = 4. 2) a9 = а1 + 8d, т.к. a1 = – 4, a9 = 0, то 1 0 = – 4 + 8d; 8d = 4. Тогда d = . 2 380. 1) а9 = 12. Т.к. а9 = а1 + 8 ⋅ d, то 12 = а1 + 8 ⋅ 1,5; а1 = 12 – 12; а1 = 0.
2) а7 = – 4. Т.к. а7 = а1 + 6 ⋅ d, то – 4 = а1 + 6 ⋅ 1,5; а1 = – 4 – 9; а1 = – 13. 123
381. 1) d = – 3; а11 = 20. Т.к. а11 = а1 + 10d, то 20 = а1 + 10 ⋅ ( – 3); а1 = 20 + 30 = 50; а1 = 50; 382. 1) если а3 = 13; а6 = 22. Т.к. а6 = а3 + 8d, то 22 = 13 + 3 ⋅ d. Тогда 3d = 9 и d = 3; а3 = а1 + 2d; 13 = а1 + 2 ⋅ 3; а1 = 13 – 6. Получим а1 = 7. Значит аn = а1 + (n – 1)d; аn = 7 + (n – 1) ⋅ 3. Итак, аn = 3n + 4.
2) а21 = – 10; a22 = – 5,5; d = а22 – а21 = – 5,5 – ( – 10) = 4,5. Т.к. a21 = а1 + 20 ⋅ d, то – 10 = а1 + 20 ⋅ 4,5; а1 = – 10 – 90 = – 100. 2) если а2 = – 7; а7 = 18. Т.к. а7 = а2 + 5d, то 18 = – 7 + 5d. Значит 5d = 25 и d = 5; а2 = а1 + d; а1 = – 7 – 5. Получим а1 = – 12. Значит аn = а1 + (n – 1)d; аn = – 12 + (n – 1) ⋅ 5. Итак, аn = 5n – 17.
383. а1 = 15; a2 = 13. Тогда d = 13 – 15 = – 2. Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то an = 15 + (n – 1) ( – 2); an = – 2n + 17. Т.к. an < 0, то – 2n + 17 < 0; – 2n < – 17. Тогда n > 8,5, т.е. при n ≥ 9 an
