Механика. Специальная теория относительности: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

Л.А.Лукьянчиков Механика. Специальная теория относительности Учебное пособие

Новосибирск 2004

УДК 537.0

Лукьянчиков Л.А. Механика.Специальная теория относительности. Учеб. пособие. Новосиб. гос.ун-т. Новосибирск, 2003. с.

В учебном пособии излагается материал курса лекций по общей физике, который читается студентам геолого-геофизического факультета НГУ.

Рецензент профессор М.Е.Топчиян

Печатается по решению кафедры общей физики физического факультета НГУ

c Новосибирский государственный
университет Что и как изучает физика?

3 Физика изучает наиболее общие закономерности окружающего нас мира, в основе которых лежит наблюдение за этим миром с целью получения всё более новых результатов. Физика призвана сводить всё многообразие наблюдаемых явлений к небольшому количеству аксиом, опираясь на которые, с помощью логических построений можно решать конкретные задачи. Эти аксиомы называют фундаментальными физическими законами. Процессы, происходящие в природе, разворачиваются в пространстве и во времени. Эти понятия невозможно определить или объяснить. Представление о них каждый получает, используя свой жизненный опыт, который ограничен, что часто приводит к парадоксам. Такие парадоксы могут быть разрешены только при взгляде с более широких позиций. Именно в силу этих причин вызывает большие затруднения изучение релятивистской механики, в которой в соответствии со специальной теорией относительности время протекает с разной скоростью в движущихся относительно друг друга системах отсчета. Физика даёт количественное описание процессов, происходящих в природе. В основе же любого количественного анализа лежит измерение. В принципе измерить – значит сравнить с эталоном. Поэтому прежде чем производить измерения необходимо создать систему самих эталонов. Прежде всего это эталоны времени и пространства. Существует несколько систем эталонов и соответственно единиц измерений. Мы будем использовать ту, в которой время измеряют в секундах, расстояние в метрах, а сама система единиц получила название СИ. Две другие основные единицы этой системы будут введены позднее. Существует множество других систем единиц, которые основаны как на этих, так и на других эталонах. Наряду с основными единицами, которых немного, существует большое количество производных, призванных характеризовать те или иные характерные черты изучаемого процесса. Взаимосвязь этой производной величины с основными единицами называют размерностью. При количественном описании класса процессов необходимо применять единую систему эталонов и производных единиц. В основе каждого измерения всегда лежит взаимодействие нескольких тел. Поэтому само измерение всегда оказывает влияние на тот процесс, который исследуют, и таким образом изменяет его. На важность подобного обстоятельства впервые обратил внимание Бор, который сформулировал это в своем знаменитом принципе дополнительности. Большую часть информации о внешнем мире мы получаем посред-

4 ством зрения. Если оно сообщает нам о движении некоторого тела, то на это движение должны влиять те фотоны, которые после взаимодействия падающего излучения с этим телом попали в наш глаз. Но это влияние оказывается слишком малым, чтобы повлиять на движение тел, которые могут стать доступны нашему восприятию с помощью сравнительно простых приспособлений. Именно такие объекты и процессы стали содержанием классической механики и физики. В рамках такого подхода мы в произвольный момент времени можем определить положение тела в пространстве. При переходе к микрочастицам положение в корне меняется и принципы классической механики перестают адекватно отражать эту новую реальность. По мере развития физики и техники совершенствовались методы исследований, что открывало её новые разделы и новые законы. Но все открытые ранее фундаментальные аксиомы, подтвержденные практикой, остались справедливыми. Если же в процессе развития науки успевшие стать признанными аксиомы были объяснены с точки зрения новых более глубоких положений, то они утратили статус законов и стали следствиями. Фундаментальный характер основных законов позволяет применять их к новым ещё не изученным явлениям и получать при этом новые важные результаты. Для описания одного и того же объекта в зависимости от цели исследования применяются разные подходы в основе которых лежат разные фундаментальные законы. Поясним это на примере твёрдого тела. Одним из основополагающих достижений физики является установление того факта, что любое вещество состоит из атомов и молекул, которые в свою очередь содержат ещё более мелкие элементарные частицы. Все эти частицы движутся по определённым законам. Тем не менее механика изучает твердое тело как объект, который может быть неподвижным и это согласуется с большим количеством экспериментальных наблюдений. В основе этого кажущегося парадокса лежит тот факт, что классическая механика призвана наблюдать сразу за большим количеством частиц и оперировать с величинами, усредненными по координатам и по времени. Именно операция усреднения "останавливает"внутреннее движение и позволяет рассматривать объект неподвижным. Для того, чтобы усреднение было корректным необходимо, чтобы в любом изучаемом в рамках данного подхода элементе объёма находилось достаточно большое количество частиц. Но физика как количественная наука широко использует для формулировки своих результатов аппарат математического анализа. При этом начинают фигурировать предельные переходы, в том числе и такие, в которых представительные объемы

5 устремляются к нулю. В таких объемах формальное усреднение становиться некорректным. Тем не менее огромный опыт использования дифференциального исчисления в физике показывает, что идеи анализа бесконечно малых работают успешно. Если формальное дробление объёма приводит к ситуации, когда в нём остаётся небольшое количество частиц, начинают действовать другие физические законы и в том числе другие правила усреднения. Многие величины в физике являются векторами, правила обращения с которыми также устанавливают соответствующие разделы математики. При этом надо помнить о том, что эти векторные свойства не постулируются, а присваиваются на основе обобщения большого количества наблюдений.

Глава 1

Кинематика точки 1.1

Перемещение и скорость

Основное понятие механики- движение или перемещение тела по отношению к другим телам. Кинематика описывает движение, не вникая в причины, его порождающие. Движение характеризует только изменение положения некоторого тела относительно других тел. Понятие абсолютного движения лишено смысла, что является одним из фундаментальных свойств пространства. Совокупность тел, которые условно считают неподвижными и по отношению к которым рассматривают движение других тел называют системой отсчета. Систему отсчета выбирают произвольно бесчисленным множеством способов. Далее следует выбрать систему координат. Наиболее широко применима декартова. Для того, чтобы определить положение материальной точки в пространстве достаточно задать в ней три её координаты (x, y, z). В этом плане принято говорить, что материальная точка имеет три степени свободы. В тех случаях, когда в движении прослеживается осевая симметрия, удобно применять цилиндрическую систему координат, координатами в которой являются (r, ϕ, z). Декартовы и цилиндрические координаты связаны соотношениями x = r · cos ϕ, y = r · sin ϕ, z = z. 6

1.1. Перемещение и скорость

7

Для описания движения с центральной симметрией рационально использовать сферическую систему (r, θ, ϕ), связь которой с декартовыми имеет вид x = r · sin θ · cos ϕ, y = r · sin θ · sin ϕ, z = r · cos θ. В процессе движения точки её положение в пространстве изменяется во времени. Будем фиксировать её координаты через интервал времени ∆t. Геометрическое место точек, получаемое в пределе при ∆t → 0, образует кривую,называемую траекторией. Уравнение траектории в параметрической форме в декартовых координатах имеет вид x = x(t), y = y(t), z = z(t). Очевидно, что уравнение траектории изменяется при переносе начала координат в другую точку пространства. Количественно характеризует изменение положения точки в пространстве за определённый момент времени величина, называемая перемещением. Абсолютная величина перемещения ∆s за время ∆t равна ∆s = {[x(t + ∆t) − x(t)]2 + [y(t + ∆t) − y(t)]2 + [z(t + ∆t) − z(t)]2 }1/2 . Эта величина уже инвариантна по отношению к преобразованию переноса начала системы координат. Если произошло конечное перемещение точки, то её новая координата определяется совместным заданием ∆S и траектории и само переме Бесконечно малое щение является вектором ∆S. перемещение может быть представлено в виде ds = τ · ds,

(1.1)

Рис. 1.1:

где τ - единичный вектор, касательный к траектории. Перемещение в системе СИ измеряется в метрах. Перемещение точки с текущими координатами x, y, z удобно задавать через радиус-вектор, который является

Глава 1. Кинематика точки

8

вектором, проведенным из начала координат в эту точку. В декартовой системе координат он имеет вид r = ıx + y + kz Как следует из рис.1.1, при бесконечно малом перемещении точки имеет место ds = d r. Такая форма представления перемещения наиболее удобна, так как она инвариантна относительно преобразования переноса начала координат. Скорость точки равна ds dS dr ∆s = = τ · = = r˙ ∆t→0 ∆t dt dt dt

v = lim

(1.2)

Размерность скорости в системе СИ: [v] =

м . c

Модуль скорости по определению | v |= v =

ds dt

и v = τ · v. Состоянием движущейся точки в механике называют совокупность из трёх её координат и трёх компонент скоростей.

1.2

Ускорение Ускорение точки равно dv d2r ∆v = = v˙ = 2 = r¨ = ıwx + wy + kwz ∆t→0 ∆t dt dt

w  = lim

Размерность ускорения в СИ: [w] =

м . с2

(1.3)

1.2. Ускорение

9

Широко используется разложение вектора ускорения на другие компоненты. Пусть точка движется по криволинейной траектории и в процессе этого движения скорость её изменяется как по величине, так и по направлению. Тогда ускорение этого движения можно записать в виде: w =

dv d dv dτ = (τ v) = τ +v . dt dt dt dt

(1.4)

В различных точках траектории у единичного вектора τ может изменяться только его направление. Так как этот вектор единичный, то (τ · τ ) = (τ )2 = 1 и d(τ · τ ) = 2τ · dτ = 0. Отсюда следует, что вектор dτ ортогонален вектору τ Первую компоненту ускорения в соотношении (1.4), направленную по касательной к траектории dv (1.5) w  τ = τ , dt называют тангенциальным ускорением. Вторая, перпендикулярная к ней компонентаРис. τ 1.2: w n = v

dτ dS dτ dτ =v = v2 , dt dS dt dS

получила название нормального ускорения. Нормальное ускорение при криволинейном движении характеризует изменение только направление скорости, а модуль последней при этом не изменяется. Поэтому,если радиус кривизны траектории в некоторой выбранной точке равен R, а модуль скорости точки v, то тоже самое нормальное ускорение будет реализовано при равномерном движении по окружности радиуса R со скоростью v. Вычислим изменение вектора τ при повороте точки по этой окружности на угол dϕ. При этом вектор τ , являясь единичным, свою длину изменить не может. Его трансформация представлена на рис.1.2,a. Его изменение сведется к повороту на тот же угол dϕ. Поэтому следуя рис.1.2,b, мы вправе записать |dτ | = |τ |dϕ = dϕ.

Глава 1. Кинематика точки

10

Так как элементарное смещения по дуге окружности при повороте на угол dϕ равно dS = R · dϕ, то dτ dϕ n = n = . dS Rdϕ R Здесь n- единичный вектор, перпендикулярный вектору τ . С учетом этих соотношений получим окончательное выражение для нормального ускорения. v2 wn = n . (1.6) R

1.3

Угловая скорость и угловое ускорение

Простейший случай вращательного движения - перемещение точки с постоянной скоростью по окружности, лежащей в плоскости. При этом центр окружности называют центром вращения, а прямую, проходящую через центр вращения перпендикулярную плоскости - осью вращения. Пусть радиус окружности R а модуль скорости точки v. Тогда точка проходит окружность за время T = 2πR/v и совершает f = 1/T = v/2πR полных оборота в единицу времени. Величину f называют частотой вращения. Введём круговую частоту вращения ω, которая связана с обычной частотой f соотношением ω = 2πf.

(1.7)

Тогда модуль скорости точки, движущейся по окружности, можно записать в виде v = ωR. Эту круговую частоту называют угловой скоростью. В таком движении угол поворота точки линейно связан со временем в соответствии с ϕ = ω · t. Если модуль скорости изменяется во время движения, то dϕ . ω= dt Вращение точки в пространстве можно представить в общем случае как суперпозицию вращений в трёх плоскостях. Для каждой из плоскостей существует своя угловая скорость, определяемая осью вращения, перпендикулярной к этой плоскости. Эта компонента угловой скорости

1.3. Угловая скорость и угловое ускорение

11

полностью определяет движение точки в данной плоскости, направление движения которой непрерывно меняется. Поэтому данная компонента так же является вектором и направлена она по оси вращения. Рассмотрим движение точки, задаваемое вращением вокруг оси z, т.е. определяемое вектором угловой скорости kωz , направленным по оси 0Z в сторону положительных z (см.рис.1.3). В этом случае точка движется в плоскости X, Y и имеет компоненты скорости ıvx = −ıv cos ϕ = −ıωz r cos ϕ = −ıωz y, ıvy = v sin ϕ = ωz r sin ϕ = ωz x, а вектор скорости в этой плоскости vxy равен

Рис. 1.3:

vxy = −ıωy + ωx Аналогичные соотношения могут быть получены и относительно вращений вокруг осей 0X и 0Y , а итоговое соотношение принимает вид


ı k


(1.8) v =

ωx ωy ωz

= ω × r.

x y z При плоском вращении угловое ускорение направлено по оси вращения, а его модуль равен dω ε= (1.9) dt В этом случае имеет место простая связь между угловым и тангенциальным ускорениями wτ =

dω dv =r = rε. dt dt

(1.10)

Пусть мы наблюдаем равномерное вращение некоторой плоскости относительно неподвижной оси. Если мы имеем возможность поставить метку на движущейся поверхности то, наблюдая за ее перемещением, можно установить, какое количество N полных оборотов совершает эта метка за известный интервал t времени. По этим данным легко установить частоту вращения f , а с помощью (3.8) найти величину угловой скорости.

Глава 1. Кинематика точки

12

При произвольном вращении тела, расстояние между любыми точками которого остается неизменным, относительно некоторой неподвижной точки угловую скорость всегда можно представить суммой трех компонент, направленных по осям декартовой системы координат ω = ıωx + ωy + κωz .  Пусть во время вращения эта угловая скорость остается неизменной. Для того, чтобы установить наличие вращательного движения этого тела и описать его необходимо определить все эти три компоненты. Разрешить поставленную задачу можно, выполнив следующую процедуру. Поместим начало декартовой системы координат в ту точку, относительно которой происходит вращение. Проведем плоскость, перпендикулярную оси 0X, так, чтобы она пересекала вращающееся тело. Выберем на этом сечении произвольную точку и проведем вокруг нее небольшой контур L, ограничивающий площадку S.Определим функцию в соответствии с  v dl L . (1.11) Ax = lim S→0 S Индекс ”x” указывает на то что соответствующая циркуляция вектора скорости вычисляется только при вращении тела в плоскости Y Z с постоянной угловой скоростью ωx Вычислим Ax для контура, представляющего из себя окружность радиуса R с центром но оси 0X. После предельного перехода Ax в точке R=0  v dl = v · 2πR, S = πR2 , L

 Ax = lim

R→0

v dl

L

S

ωx R v · 2πR 2 R = lim 2 = 2ωx . R→0 R→0 π R

= lim

Покажем, что результат не измениться, если контур в плоскости Y Z будет стягиваться не к оси вращения, а к произвольной точке выделенного сечения. Пусть эта точка находится на расстоянии r от оси 0X, а сам контур, изображенный на рис.1.4, образован двумя отрезками радиусов и двумя дугами, высекаемыми из двух концентрических

1.3. Угловая скорость и угловое ускорение окружностей, с разницей радиусов dr.  v dl = (r + dr)dϕ · ωx (r + dr) − dϕ r2 ωx = dϕ · ωx · 2rdr. L

Площадь dS этого контура равна dS = (r + dr)2 откуда

 Ax = lim

dr→0

L

dϕ dϕ − r2 = dϕ · r · dr, 2 2

v dl

∆S

=

dϕ · ωx · 2rdr = 2ωx . dϕ · rdr

Таким образом мы установили, что процедура (1.11), примененная к контуру, расположенному в плоскости, перпендикулярной оси 0X, определяет удвоенную составляющую вектора угловой скорости, направленную по этой оси. Совершив эту операцию еще два раза, но теперь уже относительно двух других осей 0Y и 0Z, мы найдем еще две составляющие Ay Az , равные удвоенным значениям компонент вектора угловой скорости ωy и ωz . Определенную с помощью процедуры (1.11) век = ıAx + Ay + κAz называют торную функцию A Рис. 1.4: ротором и обозначают символом rot.В проведенных вычислениях ротор был определен для скорости v и поэтому rotv = 2ω.

13

Глава 2

Законы движения Ньютона 2.1

Первый закон механики

Динамика исследует изменение движения под действием внешних факторов. При изучении законов движения прежде всего надо записать их в наиболее простом виде. Это в свою очередь связано с рациональным выбором системы отсчета. Эта задача оказалась весьма непростой и её удалось решить только на основе осмысливания и обобщения большого количества экспериментального материала. Исследование природы установило, что физические объекты взаимодействуют друг с другом и движение их вследствие этого взаимно изменяется. Было замечено так же, что по мере удаления тел друг от друга их взаимное влияние ослабевает.На этой основе было введено понятие свободного тела. Если тело находится достаточно далеко от других тел, то его назвали свободным. При введении этого понятия реализована идея о слабости влияния на свободное тело других свободных тел. Приведём одну из формулировок первого закона механики. Он утверждает, что если связать систему отсчета со свободным телом, то свободное движение других тел в указанной системе выглядит равномерным и прямолинейным. Взаимодействие двух тел мы воспринимаем через величину, называемую силой. Сила не может быть определена каким-либо иным спосо14

2.2. Принцип относительности Галлилея

15

бом и воспринимается нами так же, как пространство и время на основе нашего жизненного опыта. В соответствии с первым законом механики, тело, на которое не действуют никакие силы, в системе отсчета, связанной со свободным телом может или покоиться, или же двигаться равномерно и прямолинейно.

2.2

Принцип относительности Галлилея

Системы отсчета, связанные со свободными телами, называют инерциальными. Галлилей сформулировал принцип, в соответствии с которым все законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета, которые в этом смысле эквивалентны между собой. Инерциальную систему отсчета, связанную с той точкой пространства, где мы находимся, называют лабораторной системой отсчета и обозначают буквой K. Любая другая инерциальная система отсчета K’ в силу первого закона механики может двигаться относительно первой только равномерно и прямолинейно с постоянной скоростью V . В таРис. 2.1: кой постановке ничто не мешает выбрать декартову систему координат таким образом, чтобы оси координат в обеих системах были параллельны и относительная скорость систем совпадала с направлением оси OX (см. рис.2.1) Преобразование координат при переходе из системы отсчета K в систему K’ в механике Ньютона называют прямым преобразованием Галлилея. x = x − V t y = y

(2.1)



z =z t = t. Важным моментом этого преобразование является абсолютный характер времени, которое сохраняет своё значение в обеих системах отсчета. Как станет ясно в дальнейшем данное утверждение не имеет места в тех случаях, когда скорость V намного меньше скорости света. При этих условиях не работает и вся механика Ньютона.

Глава 2. Законы движения Ньютона

16

Преобразование координат при переходе из K’ в K называют обратным преобразованием Галлилея. x = x + V t y = y

(2.2)

z = z t = t . Воспользовавшись тем, что время абсолютно, продифференцируем первые три уравнения системы (2.1) по времени и сформируем из полученных компонент скорости вектор полной скорости. v  = v −ıV.

(2.3)

Полученное соотношение иллюстрирует закон сложения скоростей в классической механике. Если скорость системы K’ относительно K направлена не по оси 0X, а произвольно, то закон сложение скоростей в наиболее общей форме принимает вид v = v − V .

2.3

(2.4)

Импульс

Наблюдая внешний мир мы убеждаемся, что окружающие тела сильно отличаются размерами, что сильно влияет на нашу возможность изменять их движение. В конечном итоге это привело к возникновению понятия количества вещества в теле, которое стали называть массой и обычно обозначают m. Тела, обладающие массой, движутся и мы уже знаем, как найти их скорость v в произвольный момент времени. Поэтому для каждого из таких тел, может быть определён вектор p = mv ,  получивший название импульса тела. Размерность импульса в СИ: [p] =

кг · м . c

Специальной единицы измерения импульсу не присвоено.

(2.5)

2.4. Центр инерции системы материальных точек

17

Из первого закона механики следует, что импульс свободной частицы остаётся неизменным. Если мы имеем систему, состоящую из N частиц, то импульсом P такой системы является P = p1 + p2 + . . . + pn =

N 

pi =

i=1

N 

(2.6)

mi vi .

i=1

Если частицы системы взаимодействуют только друг с другом, то такую систему называют замкнутой. Фундаментальный закон сохранения импульса утверждает, что импульс замкнутой системы сохраняется. Закон сохранения импульса указывает способ определения отношения масс частиц. Для этого достаточно создать замкнутую систему из двух частиц с массами m1 и m2 и осуществить столкновение этих частиц, зарегистрировав их скорости v1 , v2 до и v 1 , v 2 после удара. Тогда в силу закона указанного закона сохранения m1 v1 + m2v2 = m1 v 1 + m2 v 2 , откуда v 2 − v2 m1 = . m2 v1 − v 1 Этот метод позволяет измерить любые массы, сравнив их с эталоном, например m1 .

2.4

Центр инерции системы материальных точек

Пусть нам задано состояние некоторой системы из N материальных точек. Введём понятие центра инерции этой системы. Это будет точка, которая имеет координаты N 

X=

N 

mi xi

i=1 N  i=1

, mi

Y =

N 

mi y i

i=1 N  i=1

, mi

Z=

mi z i

i=1 N  i=1

, mi

(2.7)

Глава 2. Законы движения Ньютона

18 и радиус-вектор

N 

 = ı X +  Y + kZ = R

miri

i=1 N 

(2.8)

. mi

i=1

Скорость V движения центра инерции системы равна N 

  = dR V dt

=

N 

mir˙i

i=1 N 

= mi

i=1

Здесь M=

mivi

i=1 N 

= mi

P . M

(2.9)

i=1 n 

mi ,

i=1

а ri - радиус-вектор i-той точки системы. Если система замкнута, то её импульс сохраняется. При этом соот , следующее ношение между M и скоростью центра инерции системы V из (2.5), аналогично задаваемому (2.9). Поэтому M , являющаяся суммой масс частиц системы имеет свойства массы. Отсюда следует аддитивность массы, или другими словами, масса сложного тела равна сумме масс его частей.

2.5

Второй закон механики

Если движение тела не свободное, то его импульс изменяется силой. Описание этого процесса является содержанием второго закона механики. В соответствии с первым законом действие второго должно быть одинаковым во всех инерциальных системах отсчета. Удовлетворить этому условию можно бесчисленным количеством способов. Оно, например, реализуется, если сила обуславливает изменение любой производной скорости тела по времени. Второй закон механики, как и все фундаментальные законы физики следующий из экспериментов,постулирует, что сила равна производной от импульса. d(mv ) d p = = F dt dt

(2.10)

2.6. Движение центра инерции

19

Таким образом в рамках классической механики для тел постоянной массы она определяет первую производную скорости от времени. d p dv =m = mw  = F . dt dt

(2.11)

Если же масса изменяется, то d p dv dm =m + v . dt dt dt

(2.12)

Соотношение (2.12) справедливо только в тех случаях, когда изменение массы происходит без подвода импульса. Размерность силы в СИ равна: [F ] =

кг · м . с2

Эту единицу силы назвали ньютоном. В системе CGS силу измеряют в динах. Ее размерность в этой системе следующая: [F ] =

2.6

г· см c2

Движение центра инерции

Рассмотрим произвольную замкнутую систему из N материальных точек. Из сохранения импульса следует  d d  dP pi = =0 pi = dt dt i=1 dt i=1 N

N

Учитывая (2.11) получим N  dP i=1

dt

=

N 

Fi = 0.

(2.13)

i=1

Полученное соотношение и есть третий закон механики. В рамках нашего изложения он не выступает в качестве фундаментального закона природы, а является прямым следствием закона сохранения импульса.

Глава 2. Законы движения Ньютона

20

Если система содержит всего два тела, то (2.13) трансформируется в F1 + F2 = 0,

F1 = −F2 ,

откуда сразу ясно, что действие равно противодействию. Если система незамкнута, то под действием внешних сил её центр инерции и образующие частицы движутся ускоренно. Продифференцировав два раза раза радиус-вектор центра инерции, задаваемый (2.8), получим N d2 R  mi¨r.i M 2 = dt i=1 Следуя второму закону механики заменим правую часть в полученном выражении суммой сил, действующих на частицы системы. Эти силы имеют двоякое происхождение. Во-первых это внешние силы Fi , имеющие равнодействующую F =

N 

Fi .

i=1

 ij , определяющие воздействие Во вторых, это внутренние силы, N i-той частицы на j-тую. Запишем сумму всех этих сил.  12 + N  13 + N  14 + . . . + N  1i + . . . + N  1N )+ (N  21 + N  23 + N  24 + . . . + N  2i + . . . + N  2N )+ (N  31 + N  32 + N  34 + . . . + N  3i + . . . + N  3N ) + · · · + (N N2 + N N3 + . . . + N Ni + . . . + N  N N −1 ) =  N1 + N (N j=1 j=1  

(N )ij ,

i = j.

i=1 i=1

Третий закон механики требует, чтобы имело место  ij = −N  ji , N откуда следует, что N  N  j=1

i

 ij = 0, N

2.6. Движение центра инерции

21

и в конечном итоге мы получаем, что  ¨ = MR Fi N

(2.14)

i=1

Таким образом центр инерции незамкнутой системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой всей системы, находящаяся в центре инерции системы под действием равнодействующей всех сил, действующих на отдельные части этой системы.

Глава 3

Задачи динамики точки 3.1

Простейшие одномерные уравнения

Для решения конкретной задачи исследования движения точки требуется прежде всего выбрать систему отсчета, определиться с системой координат, установить все действующие силы. Затем применяют второй закон механики и составляют на его основе уравнение, которое называют уравнением движения. Если силы, действующие на материальную точку, зависят только от радиуса-вектора и скорости, то векторное уравнение движения имеет вид mr¨ = m

d2r   Fi (r, v , t). = dt2 i=1 N

Это уравнение надлежит спроектировать на оси координат и получить таким образом три скалярных уравнения. Пусть силы Fi таковы, что проекции этого уравнения на оси координат могут быть представлены в виде m¨ x=

N 

Fix (x, vx , t),

i=1

m¨ y=

N 

Fiy (y, vy , t),

i=1

22

3.1. Простейшие одномерные уравнения m¨ z=

N 

23

Fiz (z, vz , t).

i=1

Для того, чтобы получить конечное решение, каждое из этих уравнений необходимо проинтегрировать дважды, в результате возникнут шесть постоянных, которые должны быть определены. Для того, чтобы определить эти константы, надо задать шесть начальных условий, для чего достаточно знать состояние этой точки в начальный момент времени, полностью определяемое тремя значениями её координат и компонент скоростей. Теперь наша задача становиться корректной и можно приступить к решению дифференциальных уравнений. Наиболее просто решаются уравнения с разделяющимися переменными, которые могут быть только уравнениями первого порядка. Например, таким уравнением является f1 (x)

dx = f2 (t.) dt

При его решении производная dx dt рассматривается как частное от деления dx на dt, что позволяет сделать трансформировать его в f1 (x)dx = f2 (t)dt, а затем взять неопределенный интеграл о обеих частей:   f1 (x)dx = f2 (t)dt. Задачу, сведенную к квадратурам (т.е. к интегралам), считают решенной. Лишь очень немногие дифференциальные уравнения второго порядка могут быть проинтегрированы аналитически. Наиболее просто решаются линейные уравнения, к которым относятся уравнения вида x¨ + a1 (t)x˙ + a2 (t)x = F (t) Если a1 и a2 постоянные, то уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами. Линейное уравнение называется однородным, если F (0) = 0, и неоднородным в противном случае. Общее решение уравнения второго порядка содержит две независимые произвольные составляющие: x = x(t, C1 , C2 )

Глава 3. Задачи динамики точки

24

Геометрически это уравнение определяет двухпараметрическое семейство интегральных кривых. Отдельная интегральная кривая, являющаяся графиком соответствующего частного решения, выделяется из этого семейства при определённом выборе постоянных C1 и C2 . Конкретные уравнения движения могут быть как однородными, так неоднородными уравнениями. Приступая к решению конкретного уравнения прежде всего необходимо попытаться свести его к уравнению с разделяющимися переменными, которое всегда сводиться к квадратурам. В уравнении второго порядка это может быть достигнуто заменой переменных. В качестве примера рассмотрим задачу об одномерном движении материальной точки под действием силы, зависящей только от времени. m¨ x = F (t) В начальный момент времени t = 0, x(0) = x0 , x˙ 0 = v0 . Совершим замену переменных, введя в качестве новой переменной скорость тела. Тогда v = x, ˙ v˙ = x ¨, откуда   1 1 dv = F (t), dv = F (t)dt, dv = m f (t)dt + A, dt m m  dx = f (t)dt + A, v= dt   dx = f (t)dt dt + Adt, x=

1 m

 

 f (t)dt dt + At + B.

Применив начальные условия легко установим, что A = v0 , B = x0 и    1 x= f (t)dt dt + v0 t + x0 . m Если исходное линейное уравнение неоднородно и переменные разделить не удается, то можно применить теорему из теории дифференциальных уравнений, в соответствии с которой общее решение неоднородного равно сумме двух решений: общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. В тех задачах, которые

3.2. Свободные одномерные колебания

25

необходимо будет решать в рамках этого курса, частные решения неоднородных линейных уравнений находятся методом подбора. В начале рационально искать решение в виде константы. Если такое оно не существует, то проверяются линейные и квадратичные функции. Для гармонических правых частей решение ищется так же в виде гармонической функции. Очевидно, что этот метод эффективен тогда, когда удается найти аналитическое решение однородного уравнения.

3.2

Свободные одномерные колебания

Рассмотрим одномерное движение материальной точки, на которую действует сила упругости F = −kx и сила сопротивления, пропорциональная скорости движения F = −ax. ˙ При этом уравнение движения имеет вид m¨ x = −kx − ax˙ (3.1) В качестве начальных условий x(0)

=

x(0) ˙ =

x0 0

(3.2)

Приведя (3.1) к нормальному виду m¨ x + ax˙ + kx = 0

(3.3)

установим, это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. В этом уравнении переменные не разделяются и для его решения используется другой метод. Решение уравнения будем искать виде (3.4) x = Aeαt Подставив (3.4) в (3.3) получим уравнение для α, которое называют характеристическим. k a = 0, α2 + α + m m откуда a k a2 α1,2 = − ± (3.5) − . 2m 4m2 m

Глава 3. Задачи динамики точки

26

Пусть α1 = α2 . Тогда общее решение (3.3) будет линейной комбинацией решений, определяемых α1 и α2 , откуда x = Aeα1 t + Beα2 t

(3.6)

С помощью (3.2), (3.4) и (3.6) найдём, что A=

α2 x0 , α1 − α2

B=

α1 x0 , α1 − α2

а после подстановки полученного результата в (3.6) найдём общее решение (3.2), удовлетворяющее начальным условиям. x0 − at ωt a  ωt e 2m (e + e−ωt ) + e − e−ωt x= (3.7) 2 2mω где k a2 (3.8) ω= − . 2 4m m Свойства (3.7) зависят от знака подкоренного выражения в (3.8). Если k a2 > 0, − 4m2 m то ω действительно и (3.7) можно представить в виде at

x = x0 e− 2m (ch ωt + Рис. 3.1:

a sh ωt), 2mω

(3.9)

где sh ωt =

eωt − eωt eωt + eωt , ch ωt = . 2 2

Функции sh ωt и ch ωt называют гиперболическим синусом и косинусом. Решение, описываемого соотношением (3.9), является апериодическим и x меняется во времени так, как показано на рис.3.1. Если же a2 k < 0, − 4m2 m

3.2. Свободные одномерные колебания

27

то свойства решения кардинально меняются. Новое решение может быть получено из (??)),если произвести в нём замену ω ⇒ iω, где новое ω a2 k ω= − m 4m2 уже действительное число. При этом гиперболические функции преобразуются в соответствии с sh ωt ⇒

eiωt − eiωt , 2

ch ωt ⇒

eiωt + eiωt , 2

√ где i = −1. Вновь полученные функции преобразуем, разложив их предварительно в ряд Тейлора: x2 x3 xn x + + + ···+ + ··· 1! 2! 3! n! ix3 in xn ix x2 − − + ···+ + ··· eix = 1 + 1! 2! 3! n! ix3 (−1)n in xn ix x2 e−ix = 1 − − + + ···+ + ··· . 1! 2! 3! n! Сопоставив эти ряды с разложением sin x и cos x ex = 1 +

sin x = x −

x3 x5 x2n+1 + − · · · + (−1)n + ··· , 3! 5! (2n + 1)!

cos x = 1 −

x2 x5 x2n + − · · · + (−1)n + ··· , 2! 5! n!

установим, что

eiωt − e−iωt , 2i eiωt + e−iωt cos ωt = . 2 Преобразуя (3.9) в соответствии с выведенными соотношениями, получим, что решение исходного уравнения (3.3) в случае отрицательного дискриминанта характеристического уравнения примет вид sin ωt =

at

x = x0 e 2m (cos ωt +

a sin ωt) 2mω

(3.10)

Глава 3. Задачи динамики точки

28

Введение угла сдвига фаз ϕ ϕ = arctan

a 2mω

трансформирует (3.10) в x = x0 e

Рис. 3.2:

at − 2m

1+

a2 cos(ωt − ϕ). 4m2 ω 2

(3.11)

Зависимость x от t приведена на рис.3.2. Мы наблюдаем здесь затухающий колебательный процесс. Ещё один режим, который называют критическим имеет место в том случае, когда дискриминант характеристического уравнения обращается в ноль. Мнимая единица здесь не возникает и периодические режимы поэтому невоз-

можны.

3.3

Вынужденные колебания

Движение груза на пружине в поле тяжести. Одной из простейших задач теории колебания, сводящейся к решению неоднородного уравнения, является задача о движении груза, прикрепленного к пружине, в поле тяжести. Выберем систему координат таким образом, чтобы ось OX была направлена по направлению g . При отсутствии силы сопротивления задача сводится к решению неоднородного дифференциального уравнения g x = g. m Пусть начальные условия для этого уравнения имеют вид x ¨+

x(0) = 0,

x(0) ˙ = 0.

Введем собственную частоту колебаний контура g ω0 = m

(3.12)

(3.13)

(3.14)

3.3. Вынужденные колебания

29

Как было указано решение (3.12) можно представить в виде x = x0 + x1 . В данном случае x0 найдем, решив однородное дифференциальное уравнение g x = 0. (3.15) x ¨+ m Это решение имеет вид x0 = Aeiω0 t + Be−iω0 t .

(3.16)

Частное решение неоднородного уравнения уравнения (3.12) будем искать в виде x1 = b. Уравнение обратится в тождество, если x1 = b =

gm . k

(3.17)

Из соотношений (3.16) и (3.17) следует x = x0 + x1 = Aeiω0 t + Be−iω0 t +

gm . k

(3.18)

Совместное применение зависимостей (3.13) и (3.18) позволяет найти константы A и B: gm . 2k Окончательное решение получим после подстановки этих констант в формулу (3.18). gm x= (1 − cos ω0 t). (3.19) k Движение груза на пружине под действием периодической силы. Пусть на рассмотренную выше массу, соединенную с пружиной действует периодическая сила A=B=−

F (t) = f0 sin ωt

(3.20)

Если масса в начальный момент покоиться в начале координат, то движение груза описывается решением дифференциального уравнения x¨ + ω02 x =

f0 sin ωt m

(3.21)

Глава 3. Задачи динамики точки

30

Таким образом задача сводится к решению неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью, зависящей от времени. Однородное уравнение для данной задачи идентично (3.15) и поэтому общее его решение определяется зависимостью (3.16). Начальные условия также идентичны условиям предыдущей задачи. Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде x1 = b sin ωt

(3.22)

Подставив соотношение (3.22) в уравнение (3.21) найдем, что b=− и x1 = −

f0 , − ω2)

m (ω02

f0 sin ωt. m (ω02 − ω 2 )

(3.23)

Следовательно x = A eiωt + B e−iωt +

f0 sin ωt. m (ω02 − ω 2 )

(3.24)

В соответствии с начальными условиями A + B = 0, iωA −iωB =

f0 ω , m (ω02 − ω 2 )

откуда A = −B =

f0 ω 2 i ω0 m (ω 2 − ω 2 )

и общее решение уравнения (3.21) x(t, ω) =

f0 m(ω02 − ω 2 )



ω sin ω0 − sin ωt ω0

 (3.25)

Соотношение (3.25) не позволяет описать процесс при ω = ω0 . так как в этом случае мы имеем неопределенность типа 0/0. Для того чтобы обойти возникшее затруднение введем величину расстройки δ исходя из δ = ω − ω0 .

(3.26)

3.3. Вынужденные колебания

31

В этом случае зависимость (3.25) трансформируется в x(t, δ) =

f0 [(ω0 + δ) sin ω0) t − ω0 sin (ω0 + δ) t] m ω0 δ (2 ω0 + δ)

(3.27)

Для того, чтобы получить результат при расстройке, равной нулю, найдем предел (3.27) при δ стремящемся к нулю. lim x(t) =

δ→0

f0 (sin ω0 t − ω t cos ω0 t) . 2 ω02 m

(3.28)

Рис. 3.3: Проиллюстрируем типичные режимы на примере колебательной системы, собственной частотой ω0 = 10 c−1 , возбуждаемой внешним вибратором, обеспечивающим массе осциллятора ускорение не более 1м/с2 . Результаты расчетов приведены на рис. 3.3. Если δ/ω = 0, 5, то решением описывает колебания небольшой амплитуды, среднее значение которой не меняется со времеРис. 3.4: нем. С уменьшением разницы между собственной частотой осциллятора и частотой внешнего генератора характер колебаний меняется. При δ/ω = 0.05 возникают биения. Максимальная амплитуда значительно возрастает. Если δ равно нулю, то возникает режим, который называют резонансом. Характер изменения x теперь уже следует из выражения (3.28). На рис.3.4 все три зависимости x = x(t) приведены в одинаковом масштабе. Амплитуда колебания вдали от резонанса очень мала даже при отсутствии затухания. При резонансе она же безгранично возрастает по линейному закону.

Глава 3. Задачи динамики точки

32

3.4

Движение тел с переменной массой

Рассмотрим движение ракеты, стартующей вне поля тяжести. Начальная масса ракеты m0 . Текущая масса m изменяется за счет истечения газообразных продуктов, образующихся при сгорании топлива. В единицу времени из ракеты выбрасывается масса µ со скоростью u, направленной в сторону, противоположную скорости ракеты V . Введем две системы отсчета: инерциальную K, в которой задана скорость ракеты V и мгновенно сопутствующую K’, жестко связанную с ракетой, в которой определена скорость истечения газов u. Уравнение движения ракеты запишем в инерциальной системе K в форРис. 3.5: ме (??). К этому уравнению мы должны добавить член, учитывающий изменение импульса p газ ракеты, который уносится истекающими из нее газами. Если p импульс ракеты и равнодействующая внешних сил равна нулю, то d (p + p газ ) = 0. dt Так как dp газ = −(V − u)µdt и p = mV , то dV dm dV +V − (V − u)µ = m + V µ − (V − u)µ = 0, dt dt dt что приводит к уравнению m

m

dV = −uµ. dt

В свою очередь dm = µdt и поэтому mdV = −udm. Проинтегрировав это уравнение при начальном условии m(0) = m0 , получим окончательный результат V = u ln

m0 . m

3.5. Движение заряженных частиц

3.5

33

Движение заряженных частиц

На частицу с зарядом q, находящуюся в электрическом поле, ха действует сила, называемая кулорактеризуемом напряженностью E, новской:  F = q E. На заряженную частицу частицу в магнитном поле может действовать сила только в том случае, если скорость движения этой частицы отлична от нуля. Пусть частица с тем же зарядом движется в магнитном  со скоростью v . Тогда сила на нее действующая, поле напряженности H называемая силой Лоренца, будет равна:  Fл = µ0 q[v H]. Здесь µ0 константа системы единиц СИ. Обе силы отражают действие фундаментальных законов природы, найденных экспериментально. Под действием двух этих сил частица, имеющая массу m, будет двигаться в соответствии с уравнением движения:  + µ0 q[v H].  mr¨ = q E (3.29) Пусть электрическое и магнитное поле постоянны и направлены соответственно по осям 0Y и 0Z и по модулю равны соответственно E и H. В этом случае  = E,  = kH. E H Спроектируем (3.29) на оси координат. Так как


ı k


 =
vx vy vz
= ıvy H − vx H, [v H]


0 0 H
то mv˙ x = µ0 qHvy , v˙ y = qE − µ0 qHvx , mv˙ z = 0. Получим решение этой системы уравнений для частного случая  = 0. Очевидно, что третье уравнение дает тривиальный результат E и мы исключим его из рассмотрения. Для двух оставшихся уравнений

Глава 3. Задачи динамики точки

34

удобно вернуться к векторному представлению функций, записав вектора в виде комплексных чисел. Чтобы получить это представление, умножим второе уравнение системы на мнимую единицу i и сложим с первым. В результате этой операции получим d (vx + iVy ) = −iω(vx + ivy ), dt где qµ0 H . m Решением этого уравнения является ω=

ln(vx + ivy ) = −ωt + ln A, где A – константа, являющаяся комплексным числом, которое можно записать в виде A = v0 e−iα . После потенцирования решение принимает вид: vx + ivy = v0 [e−i(ωt+α) = v0 cos(ωt + α) − i sin(ωt + α)]. Проектируя этот вектор на оси 0X и 0Y , получим: vx = v0 cos(ωt + α), vy = −v0 sin(ωt + α). Второе интегрирование приводит к x = x0 +

v0 sin(ωt + α), ω

v0 cos(ωt + α). ω Начало системы отсчета можно выбрать так, чтобы x0 =y0 = 0. Тогда, возведя x и y в квадрат и сложив их получим уравнение траектории движения заряженной частицы в магнитном поле: y = y0 +

v2 x + y = 02 = m 2

2



mv0 µ0 H

2

= R2 .

Таким образом эта траектория является окружностью радиуса R.

Глава 4

Работа и энергия 4.1

Кинетическая энергия и работа

Если в некоторой части пространства, в каждой его точке определена сила, зависящая от координат этой точки, то в данном пространстве существует силовое поле. Это поле является векторным. Если задано силовое поле и начальное состояние тела или системы тел, то с помощью второго закона механики можно записать все необходимые уравнения движения и начальные условия для них. После этого для определения скоростей и перемещений остается разрешить только математические проблемы.В большинстве реальных случаев дифференциальные уравнения движения не могут быть проинтегрированы в элементарных функциях, и для их решения требуются численные расчеты. Покажем, что с помощью простых преобразований правая часть уравнения движения всегда может быть один раз проинтегрирована. Это открывает новые возможности для проведения аналитического анализа поведения некоторых механических систем. Умножим правую часть уравнения движения материальной точки m

dv = F dt

 на ее бесконечно малое перемещение dS. m

dv   dS = F dS. dt 35

Глава 4. Работа и энергия

36

Преобразуем левую часть этого соотношения. m

 dv  dS m 2 dS = m dv = mv dv = dv . dt dt 2

Пусть материальная точка, движущаяся в некотором силовом поле переместилась, двигаясь по соответствующей траектории из точки 1 в точку 2 и при этом ее скорость изменяется от v1 до v2 . Тогда интегрирование полученного уравнения приводит к m 2

v2 v1

mv12 mv22 − = dv = 2 2 2

2  F dS

(4.1)

1

Интеграл в правой части (4.1) называют работой силы F совершенной при перемещении тела из точки 1 в точку 2 и обозначают буквой A. 2  (4.2) A12 = F dS. 1

Работу, произведенную в единицу времени называют мощностью и обозначают буквой N . N=

 F dS dA = = F v . dt dt

(4.3)

Левая часть (4.1) определяет величину, называемую кинетической энергией, которая обозначается буквой T . T =

mv 2 . 2

(4.4)

Принимая во внимание принятые обозначения (4.1) может быть переписано в виде T = T2 − T1 =

mv12 mv22 − = A12 2 2

Уравнение (4.1) позволяет определить изменение скорости в процессе движения в том случае, если интеграл в его правой части может быть вычислен в виде элементарных функций. Это особенно важно, если прямое интегрирование уравнения движения невозможно. Поэтому

4.1. Кинетическая энергия и работа

37

зависимости, определяющие изменения скорости и перемещения от времени не могут быть установлены. Однако после вычисления интеграла, определяющего работу, устанавливается связь между значениями координат тела и величиной его скорости. Продуктивность такого подхода проиллюстрируем на хорошо известной задаче о колебании математического маятника. Если амплитуда колебаний произвольна, то уравнение движения математического маятника длиной l в поле тяжести с ускорением g, который приведен на рис.11. Уравнением движения маятника является mlϕ ¨ = −mg sin ϕ. Это нелинейное уравнение не может быть проинтегрировано в элементарных функциях. Однако интеграл, определяющий работу силы тяжести, легко вычисляется. Если тело перемещается из состояния покоя, задаваемого значением угла, равным ϕ, то  = mg cos ( dA = F dS

Рис. 4.1:

π − ϕ) l dϕ. 2

Полная работа, произведенная при перемещении в положение равновесия будет равна 0 A=

mg sin ϕ l dϕ = mg l (1 − cos ϕ), ϕ

а положение равновесия тело пройдет со скоростью  v = 2gl (1 − cos ϕ). При решении задач о движении частиц и тел в силовых полях важно заранее знать, что работа соответствующей силы может быть вычислена. Соответствующая информация легко получить для стационарных полей.

Глава 4. Работа и энергия

38

4.2

Потенциальное силовое поле

Рассмотрим в декартовой системе координат некоторое стационарное силовое поле. Тогда в каждой точке этого поля заданы проекции силы на оси этой системы. Пусть все эти проекции являются однозначными и непрерывными функциями координат. Fx = Fx (x, y, z, ), Fy = Fy (x, y, z), Fz = Fz (x, y, z). В том случае, если существует такая функция координат V (x, y, z), что частные производные от этой функции по всем переменным равны равны соответствующим проекциям силы на оси координат, т.е. Fx =

∂V ∂V ∂V , Fy = , Fz = , ∂x ∂y ∂z

(4.5)

то V называют силовой функцией данного поля, а само силовое поле потенциальным. Найдем элементарную работу dA, совершаемую при бесконечно малом перемещении в этом поле. ∂V ∂V ∂V dx + dy + dz = dV. dA = F dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz = ∂x ∂y ∂z Эта работа оказывается равна полному дифференциалу функции V и поэтому интересующий нас интеграл равен разности двух значений потенциальной функции и не зависит ни от вида, ни от длины траектории, по которой перемещается точка приложения силы. 2 A12 =

2  = V2 − V1 . F dS

dV = 1

1

Практически важно для каждого силового поля определить, является ли оно потенциальным или нет. Для того чтобы добиться желаемого результата достаточно проверить выполняется или нет соотношение   = 0. F dS (4.6) Наиболее просто этого можно осуществить, записав теорему о циркуляции вектора F (4.6) в дифференциальной форме. Эту процедуру можно осуществить, если посчитать циркуляцию силы для некоторых

4.2. Потенциальное силовое поле

39

бесконечно малых контуров, выбранных специальным способом. Выберем в внутри силового поля произвольную точку с координатами x, y, z. Сила в этой точке может быть записана как сумма проекций этих сил по трем координатам: F = ıFx (x, y, z) + Fy (x, y, z) + κFz (x, y, z). Вычислим циркуляцию этой силы по трем бесконечно малым контурам, расположенным в плоскостях X0Y, X0Z и Z0Y . Для контура в плоскости Z0Y , изображенного на рис.4.2, вклад в циркуляцию дадут только составляющие силы по осям 0Y и 0Z. На участке 1-2 соответствующий вклад в циркуляцию равен Fy dy. При переходе на участок контура 3-4 сила изменя∂Fy dz. Изменяется и нается на величину ∂z правление обхода контура. Поэтому вклад в общую циркуляцию от этого участка бу  ∂Fy дет равен − Fy + dz dy. Аналогич∂z ные рассуждения для участков 2-3  и 4-1  Рис. 4.2: ∂Fz дают составляющие циркуляции − Fz + dy dz ∂y и -Fz dz. Итоговая циркуляция по всему этому контуру равна сумме всех этих вкладов равна    ∂Fz ∂Fy   F dS = − dydz. ∂y ∂z 1234

Отсюда следует, что 

 F dS

1234

dydz

=

∂Fz ∂Fy − . ∂y ∂z

В следствие (1.11) данное соотношение определяет компоненту 0X вектора, который мы назвали ротором и этот ротор в данном случае берется от вектора силы F . Поэтому (rotF )x =

∂Fy ∂Fz − . ∂y ∂z

Глава 4. Работа и энергия

40

Но работа силы по любому контуру в потенциальном поле равна нулю, откуда следует ∂Fz ∂Fy − = 0. ∂y ∂z

(4.7)

Повторив эти рассуждения для элементарных контуров, расположенных в плоскостях Z0X и X0Y мы получим еще два аналогичных соотношения: ∂Fx ∂Fz − = 0, (4.8) ∂x ∂z ∂Fy ∂Fx − = 0. ∂x ∂y

(4.9)

Одновременное выполнение соотношений (4.7),(4.8) и (4.9) является необходимым и достаточным условием того, чтобы силовое поле было потенциальным. Для силовой функции V (x, y, z), следуя ее определению (8.7), условием потенциальности является ∂2V ∂ 2V ∂2V = = ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z

4.3

(4.10)

Энергия в центральном поле

Используя критерии потенциальности для силы покажем, что любое центральное поле потенциально. Зависимость силы от радиус-вектора r в таком поле всегда имеет вид r F (r) = f (r) . r Здесь r = ı x +  y + k z,  r = x2 + y 2 + z 2 , y z x F (r) = ı Fx +  Fy + k Fz = ı f (r) +  f (r) + k f (r) . r r r

(4.11)

4.3. Энергия в центральном поле

41

Проверку выполнения потенциальности для поля типа(4.11) проведем с помощью условия (4.9). Для этого необходимо вычислить произ∂Fx ∂Fy водные и . ∂y ∂x   ∂Fx ∂  x x ∂r x ∂r ∂r x f (r) = f (r) = fr (r) · − 2 · = · fr (r) − , ∂y ∂y r ∂y r r ∂y r ∂y r ∂  y  y ∂r ∂Fy = f (r) = · ∂x ∂x r r ∂x



fr (r) −

f (r) r

 .

Так как ∂  2 x x ∂r = x + y2 + z 2 =  = ∂x ∂x r x2 + y 2 + z 2 и

то

∂  2 y y ∂r = x + y2 + z 2 =  = , 2 2 2 ∂y ∂y r x +y +z ∂Fx ∂Fy xy = = 2 ∂y ∂x r

  f (r)  fr (r) − . r

Аналогичная процедура, проведенная с проекциями силы Fx и Fz , а так же Fy и Fz приводит к аналогичному результату, что доказывает потенциальность любого центрального поля. Определим силовую функцию для гравитационного поля, описываемого законом всемирного тяготения Ньютона. Если поместить начало координат в центре сферической массы M , имеющей радиус R, то сила с которой она притягивает другую массу m, находящуюся на расстоянии r ≥ R будет равна  = − G · M m · r. (4.12) F r3 Поэтому частные производные от силовой функции по координатам будут равны: Mm ∂V = − Fx = − G 3 x, ∂x r ∂V Mm = − Fy = − G 3 y, ∂y r ∂V Mm = − Fz = − G 3 z. ∂z r

Глава 4. Работа и энергия

42

Полный дифференциал функции V будет равен dV =

∂V ∂V ∂V Mm Mm dx+ dy+ dz = − G 3 (xdx+ydy+zdz) = − G 3 rdr, ∂x ∂y ∂z r r

Mm dr, r2 что после интегрирования приводит к dV = − G

Mm + const. r На практике оказывается более удобным иметь дело не с той силой, компоненты которой определяются производными от силовой функции, а с силой, направленной в противоположном направлении и поэтому имеющей обратный знак. Применительно к полю тяжести такой силой является та, которую мы прилагаем для того, чтобы, например, поднять груз в поле тяжести на некоторую высоту. Очевидно, что и эта сила так же определена во всей области существования силового поля. Для ее компонент выполняются соотношения, аналогичные (8.7), но, очевидно, что знак их противоположен. Определенную таким образом функцию называют потенциальной энергией и для нее имеет место V =G

U = − V.

(4.13)

Если поле гравитационное, то Mm + const. (4.14) r Если потенциальная энергия известна, то с помощью (8.7) и (4.13) можно определить проекции силы на оси координат. Для декартовых координат они равны: U = −G·

Fx = −

∂U , ∂x

Fy = −

∂U , ∂y

Fz = −

∂U . ∂z

Отсюда следует

  ∂U  ∂U ∂U F = ı Fx +  Fy + k Fz = − ı +  +k . ∂x ∂y ∂z

(4.15)

Для упрощения записи соотношений, аналогичных полученному, вводят новую функцию, названную градиентом и обозначаемую символом grad. Для поля с потенциальной энергией U = U (x, y, z) градиент равен gradU = ı

∂U  ∂U ∂U +  +k ∂x ∂y ∂z

(4.16)

4.4. Закон сохранения энергии

43

Потенциальное поле в физике часто называют консервативным.

4.4

Закон сохранения энергии

Рассмотрим движение материальной точки массы m в потенциальном силовом поле. Из полученных выше соотношений следует:   mv 2 dA = dV = −dU = d , 2   mv 2 d U+ = 0, 2 что после интегрирования приводит к E=U+

mV 2 = const. 2

(4.17)

Сумму, обозначенную символом, E называют полной энергией или энергией частицы, а само выражение (4.17) выражает закон сохранения энергии в простейшем виде. Сам по себе вывод этого соотношения не является доказательством этого закона, а лишь иллюстрирует его проявление в конкретном случае, когда для силового поля существует потенциальная энергия. Если же потенциальную энергию ввести невозможно,то необходимые энергетические соотношения следуют непосредственно из (4.1). Как и другие фундаментальные законы физики, закон сохранения энергии справедлив потому, что подтвержден соответствием выводов, из него следующих, огромному количеству экспериментальных наблюдений. Важно то, что эти эксперименты проводились и в сложных системах, в которых энергия и работа выступали в различных формах.

4.5

Границы движения. Устойчивость

Исследуем поведение частицы в одномерном поле, потенциал которого таков, что в любой точке рассматриваемой области имеет место d2 U > 0. (4.18) dx2 Пример такого поля приведен на рис. 4.3. Пусть частица имеет некоторую внутреннюю энергию E0 .

Глава 4. Работа и энергия

44 Так как

mv 2 ≥ 0, 2 то частица может находиться в этом поле только в том случае, если эта ее энергия E, будет удовлетворять соотношению E0 − U (x) =

E0 ≥ Umin . Уравнение E0 = U (x) для поля данной конфигурации всегда имеет два действительных решения x1 и x2 , которые определяют границы области, в которой может находиться частица с такой энергией и для ее возможная координата x удовлетворяет неравенству x1 ≤ Рис.движение 4.3: x ≥ x2 . Такое частицы называют финитным. Если же E0 = Umin , то частица может находиться только в точке dU = 0. В силу (4.16), сила в этой точке равна нулю x = x0 , в которой dx и поэтому здесь реализуется состояние равновесия. Оставаясь в рамках основных постулатов классической механики, мы не можем выйти из этого состояния. Однако практика показывает что в реальных системах, равенство с высокой точностью нулю равнодействующей силы еще не может гарантировать, что тело будет продолжать в течение неограниченного времени оставаться в этой точке. Ляпунов доопределил условия равновесия, введя понятия устойчивого и неустойчивого равновесия. Он положил, что равновесие является устойчивым в том случае, если при малом отклонении из положения равновесия в любую сторону возникает сила, направленная в противоположную сторону, т.е. стремящаяся вернуть тело в исходное положение.Равновесие всегда устойчиво в той точке, где потенциальная энергия имеет минимум, например в точке x0 рис.4.18. Если мы сместимся в сторону отрицательных значений переdU в этой менной x на сколь угодно малое расстояние, то производная dx новой точке будет уже отрицательна. На нашу частицу в силу (4.15) действует сила, направленная в сторону положительного направления оси 0X, т.е. возвращающая тело в начальную точку. При отклонении в другую сторону значение производной и силы изменяют свой знак на противоположный и ситуация повторяется.

4.5. Границы движения. Устойчивость

45

Еще одна характерная конфигурация силовых полей приведена на рис. 4.4. Кривая потенциальной энергии здесь имеет минимум и максимум. Если энергия частицы удовлетворяет неравенству Umin ≤ E ≥ Umax , то частица может находится в областях I и III. В первой из них движение финитно, а во второй – инфинитно и частица может уйти на бесконечность. Область II для частицы недоступна, так как границы считаются непроницаемыми. Если энергия частицы превышает Umax , то движение частицы инфинитно во всех областях. Если частица обладает энергией E = Umax и находится в точке с координатой x4 , то она находится в состоянии неустойчивого равновесия.Действительно, любое малое отклонение по x от этой точки приводит к появлению силы, направленной в сторону отклонения и точка неминуемо уходит из состояния равновесия. Легко видеть, что состояние равРис. 4.4: новесия в точке, где потенциальная энергия на границе имеет точку перегиба, так же неустойчиво.При любом малом отклонении частица начнет здесь смещаться в ту часть области силового поля, где потенциальная энергия уменьшается.

Глава 5

Импульс и энергия в инерциальных системах отсчета 5.1

Преобразование импульса в инерциальных системах отсчета

Пусть в лабораторной системе K отсчета нам задана некоторая система материальных точек, имеющая импульс P , равный P =

N 

pi =

i=1

N 

mivi .

i=1

Инерциальная система K’ движется относительно K со скоростью  . Тогда в соответствии с классическим законом сложения скоростей V скорости v и v  одного и того же процесса будут связаны между собой зависимостью (??) v = v  + V . С помощью этого преобразования выразим P через v  . P =

N  i=1

 mivi + V

N  i=1

46

 M. = P  + V

5.2. Преобразование энергии в инерциальных системах отсчета

47

Отсюда следует, что система отсчета K  , в которой импульс P  равен нулю, движется относительно K со скоростью N 

 = V

mivi

i=1 N 

. mi

i=1

А это и есть скорость движения центра инерции исходной системы точек в лабораторной системе отсчета K.

5.2

Преобразование энергии в инерциальных системах отсчета

Полная энергия рассмотренной в предыдущем разделе системы точек в лабораторной системе отсчета будет равна: 1 mi vi2 + U. 2 i=1 N

E=

Выразим эту энергию через скорости v  системы K  . Так как потенциальная энергия при преобразовании (??) не изменяется, то 2 1  )2 + U = E  + V  P  + M V . mi (vi + V 2 i=1 2 N

E= Здесь

E =

N  mi v 2 i=1

2

+ U.

Если начало отсчета K  находится в центре инерции системы частиц, то P  = 0, а энергию системы E  называют внутренней и обозначают Eвн . Тогда MV 2 . (5.1) E = Eвн + 2 Применим полученное соотношение для решения конкретной задачи.

48

Глава 5. Импульс и энергия в инерциальных системах отсчета

Определим кинетическую энергию тонкого обруча массы m, который катится по горизонтальной поверхности с постоянной скоростью v(см. рис. 5.1). Внутренняя энергия, входящая первым слагаемым в (5.1) равна кинетической энергии обруча относительно его центра инерции, который находится в центре окружности. Так как все элементы массы этого обруча имеют одинаковую скорость v относительно центра инерции, то Рис. 5.1:

Eвн =

mv 2 . 2

Кинетическая энергия, обусловленная движением центра инерции Tци будет равна той же самой величине. Tци =

mv 2 . 2

Поэтому полная кинетическая энергия составит T = Eвн + Tци = mv 2 .

Глава 6

Момент импульса 6.1

Определение. Закон сохранения момента импульса

Введем систему отсчета K и построим в ней систему координат с началом в точке 0. Некоторая материальная частица с массой m и скоростью v имеет в некоторый момент времени радиус вектор r. Тогда моментом импульса частицы относительно выбранной точки назовем вектор определяемый соотношением.  = [rp] = r ×  L p = r × mv .

(6.1)

Момент импульса называют еще и моменРис. 6.1: том количества движения. Момент импульса изменяется не только при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, но и при простом переносе начала координат из одной точки в другую в пределах одной системы отсчета. Момент количества движения системы из N точек определяют аналогичным образом.  = L

N 

[ri  pi ] = [r1 p1 ] + [r2 p2 ] + [r3 p3 ] + . . .

i=1

49

(6.2)

Глава 6. Момент импульса

50

Закон сохранения момента импульса утверждает, что в замкнутой системе он остается неизменным. Этот фундаментальный закон природы установлен в результате обобщения большого числа наблюдений, т.е. следует из эксперимента.

6.2

Момент импульса и момент сил

Если система незамкнута, то ее момент импульса изменяется под действием внешних факторов. Для того чтобы установить определяю по времени. щие из них, вычислим производную от L      dr d d p dL = [rp] = × p + r × . dt dt dt dt Так как



 dr × p = [v × mv ] = m[v × v ] = 0, dt

то

   dL d p = r × = [r × F ]. dt dt Векторное произведение  = [r × F ] K

(6.3)

называют моментом силы. Таким образом сила, определяющая изменения координат в соответствии с уравнением движения (2.10), в конечном итоге определяет и изменения количества движения. Итоговая формула, определяющая эволюцию момента количества, движения имеет вид:  dL  = [r × F ] = K. (6.4) dt  = const и в силу (6.4) сумма моВ замкнутой системе частиц L ментов всех сил, действующих на систему должна быть равна нулю. Поэтому еще одним условием равновесия для системы частиц, является обязательное выполнение требования: N  i=1

 i = 0. K

(6.5)

6.3. Движение частицы в центральном поле

6.3

51

Движение частицы в центральном поле

Пусть некоторая частица движется в центральном поле. Тогда момент сил, действующий на эту частицу всегда будет равен нулю. В си постоянен и, следолу (6.4) вектор момента количества движения L вательно, его направление в пространстве будет неизменным. Поэтому перпендикулярные ему в силу (8.20) векторы r и p (а следовательно и v )перемещаются в одной плоскости, проходящей через центр поля, внешняя нормаль к этой плоскости совпадает с вектором момента количества движения движущейся частицы. Следовательно, и сама частица всегда движется в этой плоскости.

Рис. 6.2:

Рис. 6.3:

Рассмотрим элементарное перемещение ds частицы c с массой m в центральном поле (см. рис. 6.2). Тогда непосредственно из определения момента количества движения следует:  = m[rv ] = m[r ds ] = m rds . L dt dt Как известно, модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на векторах, которые перемножаются таким образом. Для векторов r и ds = dr соответствующий параллелограмм представлен на рис. 6.3. Введем секториальную скорость для радиус-вектора r как отношение бесконечно малой площади dS, зачерчиваемой при перемещении r за бесконечно малое время к этому времени dt. Очевидно, что эта скорость будет равна половине площади построенного параллелограмма. Таким образом из предыдущего соотношения для модуля момента импульса следует: L = 2m

dS . dt

52

Глава 6. Момент импульса

Таким образом при движении частицы в центральном поле ее секториальная скорость сохраняется, т. е. радиус вектор описывает за равные времена одинаковые площади. В таком виде это положение было сформулировано Кеплером как второй закон движения планет Солнечной системы. Для полного описания движения планет требуется совместное рассмотрение законов сохранения энергии и момента количества движения.

Глава 7

Неинерциальные системы отсчета 7.1

Силы инерции

Для того, чтобы второй закон механики адекватно описывал движение тел и систем тел, как известно, его необходимо применять в инерциальных системах отсчета. При этом должны быть учтены все действующие силы, определяемые фундаментальными законами природы. Например, если наряду с исследуемым объектом присутствует еще какая либо масса, то между этими телами должно иметь место взаимодействие в соответствии с законом всемирного тяготения. Пусть этой массой m будет искусственный спутник Земли, движущейся по круговой орбите на расстоянии r от ее центра. Тогда на спутник будут действовать две силы: сила притяжения Землей, равная по модулю mM , r2 направленная к центру Земли и равная ей по модулю, но противоположно направленная центростремительная сила, равная Fпр = G

mv 2 , r близкая к первой космической скорости. Очевидно, что их равнодействующая будет равна нулю, и земной наблюдатель обосновано придет Fцс =

53

54

Глава 7. Неинерциальные системы отсчета

к выводу, что на спутнике имеет место невесомость. Космонавт, находящийся на спутнике, будет реально ощущать невесомость. Перед ним находится Земля, которая, как он знает, должна его притягивать по хорошо ему известному закону. Ему кажется, что Земля вращается вокруг своей оси, но из этого факта он не может сделать вывод о возникновении каких либо новых для него сил. Для того, чтобы объяснить состояние невесомости с точки зрения классической физики, он должен ввести силу, котоРис. 7.1: рая уравновесит тяготение. Эта сила является для него как бы результатом эксперимента и, вообще говоря, причина ее возникновения ему может быть и неизвестна. Но космонавт знает, как обстоит дело с точки зрения системы, связанной с Землей и понимает, что введение новой силы обусловлено неинерциальностью его системы отсчета. В общем случае, для того, чтобы правильно написать законы движения в неинерциальной системе, необходимо определить ее ускорение относительно инерциальной и ввести необходимые поправочные силы, которые с точки зрения самой неинерциальной системы являются фиктивными. Эти фиктивные силы называют силами инерции.

7.2

Силы инерции во вращающихся системах отсчета

Неинерциальных систем, как и сил инерции, очевидно, может быть бесчисленное множество. Но некоторые из этих сил наиболее широко известны и даже получили специальные названия. Это прежде всего всего вращающиеся системы отсчета. Определим силы инерции для системы отсчета, приведенной на рис. 7.2. Неинерциальная система отсчета K’ здесь жестко связана с диском радиуса r, вращающегося с постоянной угловой скоростью Ω относительно лабораторной системы K. В свою очередь в системе K’ вдоль края диска со скоростью vн = const движется частица массы m. Тогда следуя закону сложения скоростей скорость vи этой частицы в системе K будет равна: vи = vн + Ωr.

7.2. Силы инерции во вращающихся системах отсчета

55

Ускорение тела, движущегося в неинерциальной системе по окружности в инерциальной системе отсчета будет равно: wи =

v2 vи2 = н + 2Ωvн + Ω2 r. r r

Его же ускорение в неинерциальной системе будет vн2 . r Реальная сила Fи , действующая на частицу может быть вычислена только в инерциальной системе отсчета, в нашем случае, например, в системе K. Она равна wн =

Рис. 7.2:

mvн2

+ 2mΩvн + mΩ2 r. r С точки зрения неинерциальной системы отсчета может быть объяснена только сила Fн , равная Fи = mwи =

Fн = mwн =

mvн2 . r

Но на тело все таки действует сила Fи . И для того чтобы механика работала и в неинерциальной системе, мы должны ввести там силу инерции Fин , состоящую в данном случае из двух слагаемых Fин = 2mΩvн + mΩ2 r Первую из них называют силой Кориолиса, а вторую - центробежной силой. Поскольку Земля вращается, в любой лаборатории, которая на ней неподвижна, эти силы инерции имеют место.

Глава 8

Движение твердого тела 8.1

Кинематика движения

Твердым телом в механике называют некоторую субстанцию, занимающую ограниченную часть пространства, непрерывно заполненную веществом, плотность которого ρ может быть функцией координат. Согласование данного подхода с реальным строением вещества, состоящим из атомов и молекул, достигается усреднением по пространству и времени. При этом в бесконечно малом объеме, критериальном для дифференциального исчисления, должно находиться большое количество элементарных частиц. Практика показала, что такое приближение достоверно. Второй характеристикой твердого тела является предположение о его недеформируемости. Следовательно, расстояние между любыми его двумя точками в процесс движения не должно меняться. Данное положение существенно упрощает рассмотрение. Имеется большое количество задач, где оно выполняется с огромной точностью. Именно такие задачи и будут объектом нашего рассмотрения. Те задачи, где деформацией пренебречь нельзя, выделены в специальные разделы механики. Определим число степеней свободы, которыми обладает твердое тело. Его положение в пространстве, где введены система отсчета и система координат, полностью определяет задание трех точек, жестко связанных с этим телом. Каждая точка в пространстве имеет три координаты x1 , y1 и z1 . Эти три координаты и определят положение свободной точки. Две точки, жестко связанные с отрезком прямой, однозначно 56

8.1. Кинематика движения

57

задают положение этого отрезка в пространстве. Вторая точка имеет уже координаты x2 , y2 , z2 . Но эти шесть координат не являются независимыми. Так как отрезок не деформируется, длина его l12 остается постоянной. Таким образом обязательно должно выполняться соотношение: 1

[(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ] 2 = l12

(8.1)

Зависимость (8.1) устанавливает дополнительное условие и число независимых координат для отрезка становится равным пяти. Для определения положения твердого тела необходимо задать еще одну точку x3 , y3 , z3 . Между этими точками зафиксированы уже три расстояния: l12 , l13 , l23 , которые приводят к 1

[(x3 − x1 )2 + (y3 − y1 )2 + (z3 − z1 )2 ] 2 = l13 , 1

[(x3 − x2 )2 + (y3 − y2 )2 + (z3 − z2 )2 ] 2 = l23 .

(8.2)

(8.3)

Таким образом на исходные девять координат наложены три условия (8.1), (8.2), (8.3) и независимыми остаются только шесть. Для задания шести независимых координат введем две системы отсчета: инерциальную лабораторную K и неинерциальную K’, связанную с произвольной точкой твердого тела таким образом, чтобы телу была предоставлена возможность только вращаться вокруг этой точки. Допускается, чтобы указанная точка находилась и вне тела.  радиус вектор Обозначим через R точки O’, куда помещено начало координат в неинерциальной системе отсчеРис. 8.1: та. Пусть r – радиус некоторой произвольной точки исследуемого тела, определенный в системе K, а r – радиус вектор той же точки, но уже в системе отсчета K’(см. рис. 8.1). Если тело движется, то все эти радиус-векторы являются функциями времени и связаны между собой соотношением:  + r (t) r(t) = R(t)

58

Глава 8. Движение твердого тела

В силу выбора системы отсчета K’ вектор r может только вращаться в пространстве, сохраняя свою длину. Поэтому для приращений этих векторов имеет место  + [d (8.4) dr = dR ϕ × r ]. Здесь d ϕ – угол поворота r при элементарном перемещении. Разделим обе части равенства (8.4) на приращение времени dt.  + [Ω  × r ]. v = V

(8.5)

Величины, входящие в полученное соотношение (8.5), имеют следующий физический смысл: вектор v =

dr dt

(8.6)

определяет скорость движения выбранной точки тела в инерциальной лабораторной системе отсчета K; вектор   = dR V (8.7) dt устанавливаетРис. поступательную скорость начала отсчета неинерциаль8.2: ной системы K’ относительно системы K; вектор ϕ  = d (8.8) Ω dt определяет угловую скорость вращения выбранной точки в неинерциальной системе отсчета.  инвариантна относительно преобПокажем, что угловая скорость Ω разования переноса начала отсчета системы координат в неинерциальной системе отсчета(т. е. точки O’). Сместим точку O’ на постоянный вектор a (см рис. 8.2). При этом начало отсчета системы K’ сместится в точку O1 , радиус-вектор которой в системе K будет теперь R1 . Из рисунка следует: r = r1 + a. Подставим полученное выражение для r в формулу (8.5).  + [Ω  × r ] + [Ω  × a] v = V 1

8.1. Кинематика движения

59

 ×a] одинаков для любой выбранной точки и в этом смысВектор [Ω  . Объединив эти ле эквивалентен вектору поступательной скорости V два вектора в один, выражение для скорости выбранной точки можно записать в виде:  × r ],  1 + [Ω v = V 1

1 = V  + [Ω  × a]. V Таким образом полученное выражение для скорости при другом выборе начала отсчета неинерциальной системы отсчета K’ полностью аналогично тому, что задается формулой (8.5), что и доказывает инвариантность угловой скорости.  и Если движение тела плоское, то векторы V  × a] лежат в плоскости движения. Поскольку [Ω вектор a выбирается произвольно, то его можно  1 обравсегда выбрать таким образом, чтобы V тился в нуль. Полученная точка, задающая начало отсчета K’, неподвижна в системе K. Ее называют мгновенным центром вращения. Для того чтобы найти мгновенную ось вращения достаточно знать направление скорости в двух любых точках твердого тела. Перпендикуляры к скоростям, восстановленные из этих тоРис. 8.3: чек пересекутся на этой мгновенной оси. Указанная операция проиллюстрирована на рис. 8.3. Здесь стержень массы m движется под действием силы тяжести между двумя взаимно перпендикулярными плоскостями таким образом, что его концы все время контактируют с этими плоскостями. Определим как направлена сила инерции в неинерциальной системе отсчета K’, начало которой находится в точке, совпадающей с мгновенной осью вращения. Пусть тело совершает плоское движение по инерции. Тогда его центр инерции движется равномерно и прямолинейно. В то же время он вращается вокруг мгновенной оси с некоторой угловой скоростью, модуль которой равен Ω. Поэтому действующая на любую бесконечно малую массу тела элементарная сила инерции является центробежной силой и ее момент относительно мгновенной оси равен нулю.

Глава 8. Движение твердого тела

60

8.2

Кинетическая энергия твердого тела

Если начало отсчета системы K’ помещено в центр инерции твердого тела с массой M , то его кинетическая энергия, следуя (??) будет равна M V2 . T = T + 2 Здесь T  – кинетическая энергия движения тела в системеK’, которая может быть только энергией вращения. Так как масса в твердом теле распределена непрерывно, кинетическая энергия вращения Tв вычисляется с помощью интегрирования. Вторая составляющая энергии, обязанная поступательному движению, находится элементарно. Соответствующий интеграл равен  1  × r]2 dV ρ · [Ω (8.9) Tв = 2 V

Здесь ρ – плотность тела, которая может быть переменной, а r – радиусвектор произвольной точки его объема v. Вычислим Tв для простейшего случая, когда тело вращается только вокруг оси OZ. Тогда


ı  k


 × r] =
0 0 Ω
= Ω × (x −ıy) (8.10) [Ω


x y z
Следовательно в рассматриваемом случае   1 1Ω2 2 Tв = ρ · Ω (x −ıy)dV = ρ · (x2 + y 2 )dV. 2 2 V

V

Кинетическую энергию вращения принято записывать в виде: Tв =

Ω2 J , 2

(8.11)

где J называют моментом инерции твердого тела относительно этой оси.   J = ρ · Ω2 (x2 + y 2 )dV = ρr02 dV. (8.12) V

V

8.3. Вычисление моментов инерции

61

Здесь r0 – расстояние элементарного объема от единственной оси вращения. Если же ось проходит через центр инерции твердого тела, то соответствующий момент инерции обозначают J0 . Тогда кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоское движение будет равна: T =

J0 Ω2 M V2 + . 2 2

(8.13)

Момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции, обычно находится наиболее просто. При известном J0 легко найти момент инерции относительно любой оси, параллельной проходящей через центр инерции. Пусть расстояние между этими осями a. Тогда относительно оси, не проходящей через центр инерции, последний будет перемещаться со скоростью V = Ωa и полная кинетическая энергия данного тела в силу зависимости (8.13) будет равна T =

M Ω2 a 2 J0 Ω2 + . 2 2

В то же время эта же энергия может быть вычислена через момент инерции относительно новой оси. Так как угловая скорость инвариантна, то: JΩ2 T = . 2 Сравнивая два полученных соотношения для одной и той же энергии, установим зависимость между J и J0 : J = J0 + M a2 .

(8.14)

Доказанное положение называют теоремой Штейнера.

8.3

Вычисление моментов инерции

Момент инерции диска При нахождении моментов инерции твердых необходимо производить интегрирование по всему объему, занятому телом. В общем случае для этого необходимо вычислять кратные интегралы. Однако, для

Глава 8. Движение твердого тела

62

некоторых тел, обладающих высокой симметрией, за счет рационального выбора элементарного объема, по которому производится интегрирования, задача значительно упрощается. В качестве примера найдем момент инерции диска радиуса R и массы m. Плотность диска будем полагать постоянной. В качестве элементарного объема выберем часть диска, заключенную между радиусами r и r + dr (см. рис. 8.4). Для диска толщиной h его плотность ρ равна ρ=

m , πR2 h

а элементарный объем dV = 2πrhdr. Подставим эти величины в (8.12), учитывая, что в рассматриваемом случае r0 = r и интегрирование по всему объему происходит при изменении r от 0 до R. Рис. 8.4:

R J0 =

ρr2 2πrhdr = 2πρh

0

mR2 R4 = . 4 2

(8.15)

Момент инерции диска относительно параллельной оси, проходящей через любую точку его периферии, найдем с помощью теоремы Штейнера (8.14). 3 (8.16) J = mR2 + J0 = mR2 . 2 Момент инерции стержня Рассмотрим вначале тонкий стержень длиной l, массой m и площадью сечения S, постоянная плотность которого равна ρ=

m Sl

. В качестве элементарного объема для интегрирования выберем dv = Sdx. Будем искать момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр инерции, перпендикулярной к оси самого стержня. Для

8.3. Вычисление моментов инерции

63

этого достаточно применить соотношение (8.12) к половинке стержня и удвоить полученный результат. l

2 J0 = 2 0


l m

2 x3 ml2 m Sdx = 2
= . x lS l 0 3 12 2

(8.17)

Момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через конец стержня будет равен  2 ml2 ml2 l = . + J =m 2 12 3

Рис. 8.5: (8.18)

Рассмотрим как влияет на величину момента инерции стержня площадь его поперечного сечения.

Рис. 8.6: С этой целью рассмотрим стержень длины l, представленный на рис. 8.6,a, сечение которого S представляет собой квадрат со стороной a. Тогда тогда элементарный момент инерции элемента стержня (см. рис 8.6, b), удаленный от центра инерции на расстояние x на основе теоремы Штейнера будет равен: dJ0 = ρSx2 dx + ρS где ρ=

a2 dx, 12

m m = 2 . Sl a l

Глава 8. Движение твердого тела

64

Окончательное значение момента инерции после интегрирования l

2 J0 = 2

dJ0 = (2ρS 0

8.4


l   a2
2 x3 ml2 a2 + ρS x)

= 1+ 2 . 3 12 0 12 l

(8.19)

Момент импульса твердого тела

Момент импульса или момент количества движения твердого тела определяется интегралом   = ρ [r × v ] dV. L (8.20) V

 только вокруг одной Если тело вращается с угловой скоростью Ω оси, выражения для момента импульса трансформируется в   = ρ(r × Ω  × r) dV. L (8.21) V

Преобразуем подынтегральную функцию в (8.22) для случая, когда осью вращения является ось OZ. Так как a × b × c = b(ac) − c(ab) то мы получим:  = k Ω(x2 + y 2 + z 2 )−  × r = Ω(  r · r) − r(r · Ω)  =Ω  · (r)2 − r(r · Ω) r × Ω −(ı x +  y + k z)zΩ = −ı xzΩ −  yzΩ + k x2 + y 2 Ω). Подставим это выражение в (8.21) и спроектируем полученный вектор на ось OZ.  Lz = ρΩ(x2 + y 2 )dV = ΩJ. (8.22) V

Если ось OZ закреплена в пространстве, то все возможные движения тела сводятся только к вращению вокруг этой оси. Это вращение определяет момент сил, действующий относительно этой оси. Соответствующее уравнение (6.4) было получено нами ранее. В рассматриваемом случае оно приводит к зависимости:

8.5. Некоторые методы решения задач

J

8.5

dΩ = K. dt

65

(8.23)

Некоторые методы решения задач

Наиболее просто решаются задачи о движении тела вокруг закрепленной оси вращения. Для достижения конечного результата при этом необходимо найти момент всех сил, действующих относительно оси вращения и, затем, подставить его в формулу (8.23). Для того, чтобы полностью описать плоское движение твердого тела, необходимо выбрать ось вращения, определить движение этой оси, а так же вращение тела относительно этой оси под действием моментов всех сил, действующих на тело, включая и силы инерции. Начало отсчета системы K’ (т. е. точку на оси вращения) выгодно располагать в центре инерции твердого тела, так как: -движение этой точки всегда определяется, если найдены все силы, действующие на тело в инерциальной системе K. -суммарный момент всех сил инерции, относительно оси, проходящей через центр инерции, всегда равен нулю. Докажем последнее положение для модельного твердого тела, представляющего собой набор дискретных точечных масс mi , жестко скрепленных между собой невесомыми связями. К такому телу приложены некоторые внешние силы и оно движется. Введем неинерциальную систему отсчета K’ (см. рис. 8.7), начало отсчета которой O’ закреплено в произвольной точке твердого тела. Пусть ускорение этой точки будет w(O   ). Тогда дополнительно к реальным внешним силам на каждую i- тую точРис. 8.7: ку этой системы будет действовать сила инер  ). Момент сил инерции относительно точки O равен ции mi w(O N  i=1

 = K

N 

mi w(O   )r i .

i=1

  1 относительно точки O , Вычислим теперь момент сил инерции K 1   радиус-вектор которой в системе K’ равен R . Сила инерции для каждой

Глава 8. Движение твердого тела

66

точки mi в этом случае будет mi w(O  1 ) и поэтому N 

  i1 = K

i=1

N 

mi w(O  1 )r i1 .

i=1

Так как  , r i1 = r i − R то N  i=1

  i1 = K

N 

 ) mi w(O  1 )(r i −R



= w(O  )1 )×

N 

i=1

 mi r i −w(O   )1 )×R

i=1

  таким образом, чтобы момент сил инерции Подберем R

N 

mi .

i=1 N    i1 отK i=1

носительно точки O1 обратился в нуль. Это произойдет в том случае, если выбрать N 

 = R

mi r i

i=1 N 

. mi

i=1

  является радиус-вектором Согласно соотношению (2.8) радиус-вектор R центра инерции рассматриваемого твердого тела, определенным в системе K’. Этот результат легко обобщается на твердое тело с непрерывно распределенной массой. При этом идеология остается прежней, а суммы трансформируются в интегралы. Следовательно, в конкретной ситуации при рассмотрении вращения тела относительно оси, проходящей через его центр инерции, в любой системе отсчета должны учитываться только реальные силы. Как было показано ранее, точно так же обстоит дело и в том случае, если в начале системы отсчета K’ расположена мгновенная ось вращения. При решении задач, в которых круглое тело катится, например, по плоскости специфическую роль играет сила трения. Если тело катиться без проскальзывания, то величина трения определяется этой силы находится при решении задачи. Если же проскальзывание имеет место, то сила трения определяется коэффициентом трения.

8.5. Некоторые методы решения задач

67

В этом плане ситуация аналогична обычному одномерному движению тела, например, по плоской поверхности. Пусть на тело действует горизонтальная сила F которую можно изменять по величине. Здесь имеют место два случая. Если тело покоится, то сумма всех действующих на него сил равна нулю и сила трения равна действующей силе. И только если тело начинает двигаться сила трения становится постоянной и определяется силой нормального давления и коэффициентом трения. Рассмотрим конкретную задачу о движении твердого тела. Катушка с намотанной ниткой установлена на горизонтальной поверхности (см. рис. 8.8). Между катушкой и плоскостью есть трение. Катушку тянут за нитку с силой F под углом α. Требуется найти ускорение w центра инерции этого тела, если проскальзывание отсутствует. Особенностью данной постаРис. 8.8: новки является то обстоятельство, что не только величина силы трения, но и ее направление зависят от внешних параметров. Запишем систему уравнений, связывающую ускорение центра инерции w, угловое ускорение ε и силу трения Fтр . Последнее уравнение системы задает кинематическое условие отсутствия проскальзывания. F r − Fтр R = Jo ε, F cos α − Fтр = mw w = εR Сила трения, полученная из решения данной системы, равна:   mRr − cos α F J0 Fтр = . mR2 −1 J0 В том случае, если начинает выполняться неравенство cos α > сила трения изменяет свой знак.

mRr , J0

Глава 8. Движение твердого тела

68

8.6

Гироскоп

Гироскопом называют очень быстро вращающееся тело, которое, закреплено всего лишь в одной точке. Естественно, что оно должно быть осесимметричным. Поэтому он в силу соотношения (8.21) имеет большой момент количества движения. Специфические свойства его движения проявляются в том случае, если момент внешних сил, действующих на гироскоп, мал и незначительно изменяет его момент количества движения, который по абсолютной величине остается равным  происходит не по величине, а по наL0 = ΩJ0 . При этом изменение L правлению. Проанализируем движение такого тела, находящегося в поле тяжести. Пусть оно имеет массу m, момент инерции J0 вращается относительно  оси симметрии с угловой скоростью Ω. Если за время dt ось вращения повернулась на угол dϕ, то  dL = |L|dϕ = L0 ωdt,

при

dL = ωL0 dt

Рис. 8.9: ω Ω.

Учет направления векторов приводит к более общему соотношению:    [ω × L] = K.

(8.24)

Рассмотрим гироскоп (см.рис. (8.9)), вращающийся в поле тяжести и точка его закрепления не совпадает с центром инерции. Тогда момент силы тяжести относительно центра инерции будет равен:    Ll lm   K = [rци × mg] = [L × g ], × mg =  L0 |L| так как

 L |rци |. L0 Но из соотношения (8.24) следует rци =

ml   = −[L  × ω]. · [L × g ] = [ ω × L] L0

8.6. Гироскоп

69

Поэтому ω = −

ml g L 0

и | ω| = ω =

mgl . J0 Ω

Глава 9

Специальная теория относительности 9.1

Постулаты Эйнштейна

Справедливость преобразований Галилея для классической механики подтверждена успешным развитием науки и техники. Однако после завершения создания электродинамики возникли принципиальные осложнения, требующие своего разрешения. Дело в том, что ее основные уравнения оказались неинвариантны относительно этого преобразования. А ведь эти уравнения определяют многие силы, изменяющие характер движения в соответствии с законами Ньютона, на которых базируется вся классическая механика, успешно объясняющая происходящие вокруг процессы. Физики предпринимали попытки согласовать электродинамику с классической механикой, введя понятие эфира – упругой среды, заполняющей все пространство. В эфир погружены атомы, представляющие собой сложные системы электрических зарядов. Колебания зарядов генерируют в эфире упругие волны, обуславливающие взаимодействие между атомами. Но в конечном итоге концепция эфира оказалась несостоятельной. Например, трудно было объяснить тот факт, что небесные тела не встречают при своем движении сквозь эфир сколь-нибудь заметного сопротивления. Поэтому никакие механические приборы не позволяют обнаружить движение лаборатории относительно эфира. Если бы это имело место и могло быть обна70

9.1. Постулаты Эйнштейна

71

ружено, то тогда бы существовала абсолютная система отсчета, неподвижная относительно эфира. Максвелл предложил мысленный эксперимент, который в принципе позволяет экспериментально проверить концепцию эфира, используя для этого распространение света. Представим себе вагон длины 2l, который движется так, как показано на рис. 9.1 со скоростью v. В середине вагона зажигают лампочка и световые лучи попадают на стенки вагона. Эфир обязан набегать на лампочку со скоростью −v. Если скорость света в эфире c, то он достигнет передней стенки вагона позже, чем задней, Рис. 9.1: так как его скорость по отношению к передней стенке равна c − v, а по отношению к задней – c + v. Если справедлив классический закон сложения скоростей, то запаздывание одного луча относительно другого будет составлять t =

1 2lv ∼ 2lv l − = 2 = 2 , c−v c+v c − v2 c

так как v c. Идея, высказанная Максвеллом, была реализована в экспериментах, проведенных Майкельсоном, в которых объектом, движущимся сквозь гипотетический эфир, являлась Эемля, скорость движения которой по солнечной орбите составляет 30 км/с. Сравнивались скорости двух лучей света. Один из них распространялся по направлению движения Земли, а второй – в перпендикулярном ему направлении. Для измерения скорости распространения фиксировалась возникающая между двумя этими лучами разность фаз, регистрируемая методами интерференции. Однако эксперименты не зарегистрировали изменения в интерференционной картине, что свидетельствует о независимости скорости света от скорости движения излучающего источника. Таким образом была доказана несостоятельность преобразования Галлилея для световых сигналов. Эйнштейн один из первых понял, что это противоречие фундаментально, и переформулировал принцип относительности, лежащий в основе физики. К такому же выводу пришел и знаменитый математик Пуанкаре. Новый принцип относительности дополняет принцип Галлилея и носит название принципа относительности Эйнштейна. В конечном итоге

72

Глава 9. Специальная теория относительности

он состоит из трех пунктов, первые два из которых совпадают с классическим принципом относительности. Приведем содержание этих принципов. 1. Никакие физические эксперименты, производимые внутри лаборатории, не позволяют установить, находится ли она в абсолютном прямолинейном движении или нет. 2. Все физические явления протекают одинаково в двух лабораториях, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно. 3. Скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях и не зависит от движения источника света.

9.2

Преобразования Лорентца

Сформулированным принципам полностью удовлетворяют преобразования, найденные Лорентцом, относительно которых инвариантна система уравнений электромагнитного поля, в окончательном виде найденная Максвеллом. То, что эти уравнения справедливы для всех разделов физики, доказано большим опытом их практического использования. Как всякий фундаментальный физический закон, они являются аксиомой и не выводятся из каких-либо других соотношений. Но полезно провести некоторые рассуждения, иллюстрирующие необходимость необходимость их записи в данной форме. При построении новых, названных релятивисткими, формул преобразования координат и времени при переходе из системы K в систему K’ должны быть выполнены следующие очевидные требования: – формулы перехода должны обладать симметрией относительно обеих систем отсчета; – конечные точки одной системы должны переходить в конечные точки другой; – когда относительная скорость двух систем отсчета становится много меньшей скорости света, то релятивисткое преобразование должно трансформироваться в галлилеевское (2.1) x = x − V t, y  = y, z  = z, t = t;

9.2. Преобразования Лорентца

73

– скорость любого объекта в любой системе отсчета не должна превышать скорость света в вакууме. Как и при рассмотрении преобразования Галлилея, будем искать соотношения, связывающие координаты и время события в инерциальной системы отсчета K с координатами и временем того же самого события в другой инерциальной системе отсчета K’. Сформулированные требования указывают, что преобразование должно быть линейным. Будем искать его для декартовой системы координат. Пусть оси OX и O X  параллельны и K  движется относительно K с постоянной скоростью, направленной вдоль оси OX. Поэтому искомые преобразования могут быть представлены в следующем виде: прямое x = γ(x − V t), y  = y, z  = z, t = αx + δt;

(9.1)

обратное x = γ(x + V t ), y = y, z = z,

(9.2)

t = α x + δ  t . В формулы (9.1) и (9.2) входят пять коэффициентов – γ, α, δ, α , δ  , которые должны быть определены. Для решения поставленной задачи проведем ряд мысленных экспериментов. Рассмотрим движение начала системы координат системы K. Очевидно, что все координаты этой точки в K равны нулю. В системе K  координаты этой точки определяются уравнениями (9.1) и равны соответственно x = −V t , y  = 0, и z  = 0. Тогда из первого уравнения этой системы уравнений следует: −V t = −γV t, а из четвертого уравнения получим t = δt,

t = γ t,

Глава 9. Специальная теория относительности

74 откуда следует

γ = δ. Рассмотрим теперь в двух системах отсчета K и K’ перемещение точки O , являющейся началом начала координат системы отсчета K  . Теперь уже в K  x = y  = z  = 0 и из первого уравнения системы уравнений (9.1) следует x = V t. Подставив найденное выражение для x в в первое уравнение системы (9.1) и учитывая, что x = 0, получим t = γt , а а подстановка x = 0 в четвертое уравнение системы (9.2) приводит к соотношению t = δt . Таким образом оказывается, что имеет место равенство γ = δ . Условие t = 0 для любой точки пространства, примененное к преобразованию (9.1) трансформирует первое его уравнение в x = γx, а четвертое в

t = αx,

что после почленного их деления друг на друга дает x γ = .  t α И, наконец, четвертое уравнение системы уравнений (9.2) при t = 0 трансформируется в 0 = α x + δ  t , откуда следует

и,таким образом,

δ γ x == − =−    t α α α = −α.

9.2. Преобразования Лорентца

75

Рассмотрим теперь распространение светового луча в обеих системах координат. В соответствии с формулировкой третьего пункта принципа относительности в релятивисткой механике эта скорость в обеих системах одинакова и равна c. Разделим правые и левые части первого и четвертого уравнения системы уравнений (9.1) друг на друга: x γ − γV x γx − γV t . = tx = t αx + δt α +δ t Подставив в полученное соотношение x x =  = c, t t получим αc2 + δc = γc − γV. В силу установленного выше равенства γ = δ, мы вправе записать α=γ

V . c2

Рассмотрим системы отсчета K и K  движущихся относительно друг друга вдоль осей абсцисс с относительной скоростью, модуль которой равен V . Выберем в качестве начала отсчета времени тот момент, когда начала координат обеих систем отсчета совпадают, т. е. t = t = 0. В этот момент времени из совпавших точек O и O излучается световой сигнал. В дальнейшем точки O и O расходятся. Определим координаты фронта световой волны x и x в последующие моменты времени. Так как скорость светового сигнала в обеих системах одинакова и равна c, то из первого уравнения преобразования (9.1) следует x = ct = γ(x + V t) = γ(ct + V t), x = ct = γ(x − V t ) = γ(ct − V t ). Первое из полученных уравнений приводит к соотношению t γ(c + V ) = , t c

76 а второе к

Глава 9. Специальная теория относительности t c = . t γ(c + V )

Приравнивая отношение времен и учитывая ранее установленное равенство между γ, δ и δ  , получим: γ=

1

V2 1− 2 c

= δ = δ.

(9.3)

и далее α = −α = γ

V = c2



V

. (9.4) V2 1− 2 c Окончательный вид прямого и обратного преобразования Лорентца получим, подставив (9.3) и (9.3) в (9.1) и (9.2): прямое c2

x−Vt x = , V2 1− 2 c y  = y, z  = z, x t−V 2  c ; t = V2 1− 2 c

(9.5)

обратное x + V t x= , V2 1− 2 c y = y, z = z , x t + V 2 c . t= V2 1− 2 c

(9.6)

9.3. Свойства пространства и времени

9.3 9.3.1

77

Свойства пространства и времени Сокращение масштабов

Рассмотрим стержень длины l0 , покоящийся в системе отсчета K, где он расположен вдоль оси OX. Поэтому l0 = x2 − x1 , В системе отсчета K  он движется вдоль оси O X  со скоростью −V . Он так же расположен вдоль оси абсцисс этой системы и его длина в этой системе l задается координатами x1 и x2 : l = x2 − x1 Связь между всеми этими координатами установим исходя из обратного преобразования Лорентца (9.6). x + V t x1 = 1 , V2 1− 2 c x + V t x2 = 2 . V2 1− 2 c В системе отсчета K стержень покоится и поэтому значения координат не меняются и их можно определять в любой момент времени. В системе же K  стержень движется и, соответственно, измерение координат здесь должно быть осуществлено синхронно в один и тот же момент времени t . Поэтому: x − x1 . x2 − x1 = 2 V2 1− 2 c Установленную зависимость принято записывать в виде: l = l0

1−

V2 . c2

(9.7)

78

9.3.2

Глава 9. Специальная теория относительности

Преобразование промежутков времени

Пусть в системе отсчета K  покоятся часы. Тогда промежуток времени между двумя какими либо событиями в этой точке равен T0 = t2 − t1 . Это время называют собственным временем. Найдем промежуток времени между этими же событиями в системе отсчета K. Из четвертого уравнения обратного преобразования Лорентца (9.6) следует: V t1 + x1 2 c , t1 = V2 1+ 2 c V t2 + x2 2 c t2 = . V2 1+ 2 c Так как по условию задачи x1 = x2 , то t − t1 t2 − t 1 = 2 . V2 1− 2 c Промежуток времени между фиксируемыми событиями в системе K обозначим через T . Тогда связь между этим временем и собственным задается соотношением T0 T = . (9.8) V2 1− 2 c Таким образом, собственное время оказывается минимальным по отношению к другим системам отсчета. Полученные правила преобразования пространства и времени были подтверждены прямыми экспериментами с частицами конечной массы, а, именно, с µ-мезонами. В экспериментах на поверхности Земли, в тех случаях, когда скорость движения этих частиц была гарантировано мала (т. е. во много раз меньше скорости света), был установлен закон их распада, определяемый зависимостью 5

N (t) = N0 e−5·10 t .

9.4. Релятивисткий закон сложения скоростей

79

Здесь N0 – начальное количество частиц, а N (t) – их количество в момент времени t. Известно было также, что µ-мезоны могут образовываться в атмосфере Земли из молекул, входящих в состав воздуха, под действием жесткого космического излучения. В этом случае их скорость составляет приблизительно 0, 99c. Оказалось, что поверхности планеты достигает около 1 % от начального количества образующихся частиц. В системе отсчета, связанной с Землей, мезоны пролетят 20 километров за T = 6, 67 · 10−5 с. За это время их концентрация упадет в 10−15 раз, что не согласуется с результатами измерений. Но закон их распада справедлив в той системе отсчета, где они покоятся, а она движется относительно поверхности, где проводят измерения, со скоростью V = 0, 99c. Собственное время пролета в этой системе будет равно  V2 T0 = T 1 − 2 = 6, 67 · 10−5 · 1 − 0, 992 = 9, 4 · 10−6 с. c Легко проверить, что за это время не успеют распасться 0, 0091% от исходного количества частиц. В системе отсчета, связанной с ракетой, преобразуется в соответствии с (9.7) преобразуется (сокращается) расстояние. Причем коэффициент сжатия оказывается тем же самым, что и для времени. Поэтому время на его преодоление в системе мезона обеспечивает тот же процент попадания частиц на поверхность Земли.

9.4

Релятивисткий закон сложения скоростей

Возьмем дифференциал от соотношений, задающих прямое преобразование Лорентца (9.5). dx − V dt , dx = V2 1− 2 c  dy = dy,

(9.10)

dz  = dz,

(9.11)

V dt − 2 dx c dt = . V2 1− 2 c

(9.12)



(9.9)

Глава 9. Специальная теория относительности

80

dv  dv  , vx = и т. д., то Так как по определению скоростей vx = dt dt поделив почленно вычисленные дифференциалы координат на дифференциал от времени, получим: dx −V dx dx − V dt vx − V = dt =  = . = V V V dx dt dt − 2 dx 1 − vx 2 1− 2 c c c dt V vy 1 − 2 c  . vy = V 1 − vx 2 c V vz 1 − 2 c  vz = . V 1 − vx 2 c

vx

(9.13)

(9.14)

(9.15)

Полученные соотношения (9.13), (9.14), (9.15) и представляют собой релятивисткий закон сложения скоростей. В силу особенностей относительного движения систем отсчета, преобразование скорости vx отличается от преобразования компонент скорости по осям OY и OZ. Убедимся, что движение источника, излучающего световой сигнал, не сказывается на скорости распространения этого сигнала. Пусть vx = c. Тогда из (9.13) следует: vx =

9.5

c−V 1−c·

V c2

= c.

Парадокс близнецов

Один из двух близнецов, проживающих на планете Земля, отправляется в космическое путешествие на корабле, способном развить скорость, близкую к скорости света. Его брат остается на планете. Через некоторое время путешественник возвращается. Необходимо определить возраст каждого из братьев в момент возвращения. Для того, чтобы осуществить операцию по сравнению возрастов необходимо поместить оба объекта рядом друг с другом в одной системе отсчета. По

9.5. Парадокс близнецов

81

самой постановке задачи один из братьев остается на Земле и поэтому система отсчета K, в которой будет происходить сравнения должна быть связана именно с Землей. Систему K’ свяжем с ракетой. Выберем программу космического путешествия. На первом этапе корабль разгоняется с ускорением w заданным в системе K’, которое положим постоянным. Затем корабль может двигаться по инерции с постоянной скоростью. Перед прибытием на объект путешествия, корабль должен затормозить.Для возвращения разгон и торможение повторяются. Таким образом, в отличии от системы Земли, система связанная с ракетой четырежды испытывает ускорение. Именно этот фактор и отличает данные системы друг от друга и определяет итоговое различие в ходе времени. Определим ход времени на Земле и в ракете на участке ее разгона с постоянным ускорением. Особенность задачи состоит в том, что переменная скорость ракеты должна фиксироваться в системе K, а ускорение мы задали в системе K’. Для того чтобы ее решить, найдем связь между приращениями скорости в обеих системах отсчета. Для этого возьмем дифференциал от скорости vx , задаваемой соотношением (9.13)   V (vx − V ) 2 dvx  vx − V   c + dvx (9.16) dvx = d  = V  V V 1 − vx 2 1 − vx 2 1 − vx 2 c c c Так как система K  в данном случае мгновенно сопутствующая, то vx = V и выражение (9.16) вследствие этого трансформируется в dvx . V2 1− 2 c В силу того что dvx = w dt из (9.17) следует dvx =

dt =

1 w

(9.17)

dvx . v2 1 − 2x c

Собственное время разгона ракеты до скорости V , определяемой в K, будет равно 1 t =  w 

V 0

V 1+ c dvx c . = · ln V 2w vx2 1− 1− 2 c c

Глава 9. Специальная теория относительности

82

собственное время разгона для конкретного случая: V = √ Определим 0, 999c, w = 20 см2 . Тогда t = T 0 =

√ 1 − 0, 999 3 · 108 √ · ln = 6, 27 · 107 с = 1, 97года. 2 · 20 1 + 0, 999

Вычислим теперь время T в системе отсчета K. Исходя из соотношения (9.8) мы вправе записать: dt = dT =

dt

v2 1 − 2x c

=

1 dvx · 3/2 . w  vx2 1− 2 c

Окончательный результат получим после интегрирования по скорости при ее изменении в пределах 0 до V . 1 T =t=  · w

V 0

dvx V = .   2 3/2 V2 vx  w 1− 2 1− 2 c c

После подстановки численных значений получим: √ 0, 999 · 3 · 108 √ T = = 4, 74 · 108 с = 15, 03года. 20 · 0, 001 Таким образом, мы установили, что после осуществления только первого этапа ускорения, разница в возрасте у близнецов достигнет 13,06 лет, причем испытавший ускорение будет моложе землянина.

9.6

Пространство Минковского

Минковский объединил обычное трехмерное пространство, имеющее физический смысл, и время в единое четырехмерное многообразие, введя наряду с декартовыми координатами четвертую координату τ , зависящую от времени. τ = ict, (9.18) где i – мнимая единица, выполняющая роль орта.

9.7. Уравнение движения

83

Расстояние между двумя точками в этом пространстве называют интервалом и обозначают буквой S. Поскольку пространство ортогональное, интервал между двумя точками 1 и 2 (событиями) в этом пространстве равен S12 = [c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2 − (z2 − z1 )2 ]1/2 .

(9.19)

Дифференциал от интервала соответственно равен dS 2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . Непосредственной проверкой можно убедится, что интервал инвариантен относительно преобразования Лорентца. Решение многих задач релятивисткой физики в четырехмерном пространстве значительно облегчается. Однако для осмысливания полученного результата рационально возвращаться в реальное физическое пространство. При этом в результатах окончательных вычислений мнимая единица всегда исчезает и остаются реальные пространственные координаты и время.

9.7

Уравнение движения

При выводе уравнения движения будем исходить из законов движения, установленных в классической механике. В то же время кинематика движения должна соответствовать преобразованиям Лорентца. Таким образом, и в релятивисткой механике производная от импульса должна равняться действующей силе. Совместно удовлетворить этим условиям удается в том случае, если считать, что масса тела зависит от скорости его движения. В этом случае для характеристики тела необходимо ввести массу покоя m0 , которая определена в той системе отсчета, где тело покоится. Установим зависимость m = m(v) изучая движение в стационарном силовом поле, заданном в инерциальной системе K и направленной вдоль оси OX. Сила, обусловленная этим полем, будет иметь ту же величину и в системе K  , если та движется относительно системы K со скоростью, направленной вдоль оси абсцисс. Для того чтобы доказать это положение рассмотрим движение заряженной частицы в однородном электрическом поле, созданном двумя заряженными пластинами, заряд одной из которых положителен, а

84

Глава 9. Специальная теория относительности

другой – отрицателен (см. рис. 9.2). Однородность поля может быть достигнута, если поперечный размер пластин намного превышает расстояние между ними и плотность заряда на них постоянна. Из закона сохранения электрического заряда следует его инвариантность относительно преобразования Лорентца. Поэтому его величина будет одной и той же, как в лабораторной системе отсчета K, так и в той системе, где заряд в данный момент покоится. Такую систему отсчета называют мгновенно сопутствующей. В нашем случае она будет двигаться ускоренно. Так как в соответствии с преобразованием Лорентца (9.5) y  = y и z  = z, то и плотность зарядов в системах K и K  будет одинаковой и не зависящей от скорости движения систем друг от друга. Но тогда и силы, действующие на заряд, движущийся вдоль осей абсцисс, будут так же одинаковы. В силу универсальности свойств силы, это будет справедливо для любого силового поля с теми же свойствами. В силу изложенного для движения в направлении оси OX мы вправе записать: d(mvx ) d(mvx ) dvx d(mvx ) dp = = =w = F. dt dt dv dt dvx Так как в мгновенно сопутствуюРис. 9.2: щей системе скорость бесконечно мала, в ней справедлива классическая механика. Пусть в этой системе отсчета ускорение тела равно w , тогда в силу второго закона механики F = m0 w  и вследствие инвариантности рассматриваемой силы имеет место: w и

d(mvx ) = m0 w  dvx

d(mvx ) w = m0 . dv w

(9.20)

Ускорений в системе K  найдем тем же способом, каким выше был получен закон сложения скоростей. Для этого возьмем дифференциал от vx , задаваемый соотношением (9.13). Поделим почленно соотношения (9.17) и (9.12) друг на друга:

9.7. Уравнение движения

85

dvx dvx w  dt =w =  =  3/2 .  2 dt V V dx V2 1− 2 · 1− 2 1− 2 c c dt c Таким образом мы получили: 1 1 w = =  3/2 . 3/2 w V2 vx2 1− 2 1− 2 c c

(9.21)

После подстановки соотношения (9.21) в уравнение (9.20) получим окончательное дифференциальное уравнение, решающее поставленную задачу, в котором переменные (mvx ) и vx разделяются. d(mvx ) m0 = 3/2 . dvx vx2 1− 2 c

(9.22)

После разделения переменных и интегрирования взятия неопределенного интеграла от обеих частей, получим: m0 vx + A. mvx = vx2 1− 2 c В силу постановки задачи m = m(vx ) и m(0) = m0 , поэтому константа A равна нулю. Полученный результат не зависит от направления скорости в системе K, така оси координат всегда могут быть развернуты в нужном направлении. Поэтому окончательную зависимость массы от скорости рационально записать в виде: m=

m0

v2 1− 2 c

(9.23)

.

Поэтому импульс частицы с массой m0 , движущейся в лабораторной системе отсчета со скоростью v, будет равен по модулю P = mv =

m0 v

1−

v2 c2

= F,

(9.24)

Глава 9. Специальная теория относительности

86

и направлен по скорости v движения частицы. Уравнение одномерного движения можно так же записать в для модулей определяющих величин: 



 dp d   m0 v  = F. =   dt dt v2 1− 2 c

9.8 9.8.1

(9.25)

Энергия в релятивисткой механике Кинетическая энергия

Кинетическую энергию тела в релятивисткой механике можно найти, если работа силы расходуется только на увеличение кинетической энергии тела. Элементарная работа силы, направленной вдоль перемещения ds и приращение кинетической энергии dT , как известно, связаны соотношением: dT = F ds = F vdt. С помощью (9.25)данное соотношение преобразуется в 



 m0 v  m0 vdv = dT = vd   3/2 .  2  v v2 1− 2 1− 2 c c Если тело начато разгоняться из состояния покоя, то его полная кинетическая энергия при достижении им скорости v будет равна интегралу: v T =

v dT = m0

0

0

vdv

 3/2 v2 1− 2 c


v
1
= m 0 c2
.
v2 0 1− 2 c

Окончательное значение релятивисткой кинетической энергии получим после подстановки пределов интегрирования.

9.8. Энергия в релятивисткой механике 

  1 T = m 0 c2  

v2 1− 2 c

9.8.2

87

 − 1 .

(9.26)

О законе сохранения энергии

При описании механических процессов в классической механике закон сохранения энергии, зачастую, требует дополнительной информации, привлекаемой из других разделов физики. В качестве примера такого явления рассмотрим неупругий удар двух масс, находящихся вне какого либо силового поля. Массы тел для упрощения выкладок выберем одинаковыми, равными m0 . Пусть эти два тела движутся навстречу друг другу с равными по величине, но противоположно направленными скоростями, соответственно v и −v. Так как суммарный импульс системы остается равным нулю, образовавшееся после удара тело будет покоится. Следовательно, его кинетическая энергия так же будет равна нулю. Поскольку начальная кинетическая энергия системы равнялась T = m0 v 2 , а потенциальная отсутствует, требуется привлечение дополнительной информации о механизме трансформации энергии. Эта энергия выделяется в виде тепла, что является иной формой энергии, описание которой выходит за рамки классической механики. В релятивисткой механике это затруднение не имеет места. Покажем это на примере того же самого эксперимента, протекающего при высоких скоростях. Пусть два тела с массами покоя m01 и m02 движутся в лабораторной системе отсчета K со скоростями v01 = v и v02 = −v. Тела испытывают неупругое соударение, после которого образуется новое тело, имеющее массу покоя m03 . Это тело покоится в лабораторной системе отсчета. Значение скоростей, импульсов и кинетических энергий всех трех тел приведены в таблице 1. Таблица 1

Глава 9. Специальная теория относительности

88 тело 1 v01 m0 v

v p T

 2 2  1 − v /c  1 2  m0 c −1 1 − v 2 /c2

тело 2 −v m0 v − 2 2  1 − v /c  1 2  m0 c −1 1 − v 2 /c2

тело 3 0 0 0

Рассмотрим теперь тот же самый процесс в системе отсчета K’, связанной с левым телом. Эта система движется относительно K со скоростью V = v01 = v. Определим скорость движения v02
второго тела в этой системе отсчета. Применим закон сложения скоростей (9.13), принимая во внимание, что v02 = −v а V = v.  = v02

v02 − V 2v =− V v2 1 − v02 2 1+ 2 c c

 Кинетическую энергию T02 найдем, подставив полученное значение скорости в формулу (9.26):

 T02







    1 2   = m0 c  − 1  = m0 c  2 v  1 − 02 c2 2

  2   = 2m0 v .  v2  1 4v 2 1 − 1− 2 · c2 c (1 + v 2 /c2 )2 1

Все значения скоростей, импульсов и кинетических энергий этих же тел в системе отсчета K’ приведены в таблице 2. Таблица 2 тело 1 v

0

p

0

T

0

тело 2 2v − 1 + v 2 /c2 2vm0 − 1 − v 2 /c2 2m0 v 2 1 − v 2 /c2

тело 3 −v vm03 − 1 − v 2 /c2   1 2  m03 c −1 1 − v 2 /c2

Запишем закон сохранения импульса в системе K’. p1 + p2 = p3 .

9.8. Энергия в релятивисткой механике

89

Подставив сюда значения импульсов из таблицы 2, получим: m03 =

2m0

v2 1− 2 c

.

Конечная кинетическая энергия тел после удара в системе отсчета Kстановится равной нулю. Поэтому в результате удара она уменьшится (смю таблицу 1) на величину    1 T = T1 + T2 = 2m0 c2  

1−

2

v c2

 − 1 .

В соответствии с законом сохранения энергии это количество энергии переходит во внутреннюю. Определим теперь разницу между массой покоя образовавшейся частицы массами покоя исходных тел.    1 m = m03 − 2m0 = 2m0  

1−

2

v c2

 − 1 .

Нетрудно видеть, что T = m0 c2 . Полученное соотношение дает нам право ввести внутреннюю энергию тела в соответствии с Eвн = m0 c2 .

(9.27)

Сумма внутренней и кинетической энергии тела, движущегося в системе K со скоростью v 



 1 E = Eвн + T = m0 c2 + m0 c2  

 m 0 c2 − 1 = .  v2 v2 1− 2 1− 2 c c

Таким образом мы установили, что имеет место E = mc2 .

(9.28)